Sachverhalt:
A.
A._ und B._ sind die Eltern der beiden Kinder C._ (geb. 2004) und D._ (geb. 2007). Am 25. Juni 2014 schied das Regionalgericht Bern-Mittelland die Ehe der Eltern. Es stellte die Kinder unter die elterliche Sorge des Vaters und regelte den persönlichen Verkehr zwischen der Mutter und den Kindern.
Die Kinder leben zur Zeit im Kinderheim E._ in U._.
B.
B.a. Am 27. November 2014 reichte die Vertreterin der beiden Kinder Berufung beim Obergericht des Kantons Bern ein. Sie beantragte, die elterliche Sorge und Obhut über die beiden Kinder der Mutter zu übertragen und dem Vater ein Besuchsrecht an jedem zweiten Wochenende von Freitag Schulschluss bis am Sonntag 18.00 Uhr sowie während der Hälfte der Schulferien einzuräumen.
B.b. Am 1. Dezember 2014 reichte auch A._ Berufung ein. Sie beantragte, die elterliche Obhut und Sorge über die Kinder beiden Parteien gemeinsam, eventualiter ihr alleine zu übertragen. Ferner sei B._ ab Rechtskraft der Ehescheidung zu angemessenen monatlichen Unterhaltsbeiträgen von mindestens Fr. 600.-- pro Kind zu verurteilen.
B.c. In ihrer Antwort auf die Berufung der Kindesvertreterin vom 27. Februar 2015 ergänzte bzw. modifizierte A._ ihre Rechtsbegehren dahingehend, dass ihr die elterliche Sorge und Obhut allein übertragen werde; eventualiter sei ihr die elterliche Sorge gemeinsam mit dem Kindsvater zuzuteilen. Auch ihre Begehren zum Betreuungs- und Kontaktrecht des Vaters konkretisierte sie, insbesondere mit Details zur Übergabe der Kinder und zum Ferienrecht.
B.d. Mit Entscheid vom 1. Dezember 2015 stellte das Obergericht die gemeinsamen Kinder C._ und D._ unter die gemeinsame elterliche Sorge der Eltern, unter Zuteilung der alleinigen Obhut an B._. Zudem regelte das Obergericht den persönlichen Verkehr von A._ mit den Kindern, ordnete die Weiterführung der Erziehungsbeistandschaft gemäss <ref-law> an und verpflichtete A._, für die Kinder ab Rechtskraft des Scheidungsurteils bis zur Volljährigkeit monatliche Unterhaltsbeiträge von Fr. 560.-- zu bezahlen.
C.
C.a. A._ (Beschwerdeführerin) wendet sich mit Eingabe vom 19. Januar 2016 an das Bundesgericht. Sie verlangt die teilweise Aufhebung des vorinstanzlichen Urteils und die Unterstellung der beiden Kinder unter ihre alleinige Obhut (Rechtsbegehren, Ziff. 1). Zudem sei der persönliche Verkehr von B._ (Beschwerdegegner) zu seinen Kindern zu regeln (Rechtsbegehren, Ziff. 2). Der Beiständin seien die Kompetenz und der Auftrag zu erteilen, unter Berücksichtigung des Kindeswohls zu bestimmen, auf welchen Zeitpunkt hin eine Übersiedlung der Kinder vom Kinderheim E._ zur Beschwerdeführerin zu erfolgen hat (Rechtsbegehren, Ziff. 3). Zudem seien die vom Beschwerdegegner für die Kinder zu leistenden Unterhaltsbeiträge festzulegen (Rechtsbegehren, Ziff. 4), unter Berücksichtigung der Teuerung, soweit sich das Einkommen des Beschwerdegegners mit der Teuerung entwickle, wobei der Beschwerdegegner die Beweislast für eine fehlende oder nicht vollständige Angleichung seines Einkommens an die Teuerung zu tragen habe (Rechtsbegehren, Ziff. 5). Zudem stellt die Beschwerdeführerin ein Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege.
C.b. Das Bundesgericht hat den Beschwerdegegner, die Kinderanwältin und die Vorinstanz eingeladen, zum Gesuch der Beschwerdeführerin um aufschiebende Wirkung Stellung zu nehmen. Der Beschwerdegegner hat sich dem Gesuch widersetzt (Eingabe vom 1. Februar 2016), während die Kinderanwältin dieses unterstützt hat (Eingabe vom 28. Januar 2016). Die Vorinstanz hat auf eine Stellungnahme verzichtet (Eingabe vom 22. Januar 2016). Der Präsident der II. zivilrechtlichen Abteilung hat mit Verfügung vom 2. Februar 2016 dem Gesuch um aufschiebende Wirkung teilweise entsprochen, um sicherzustellen, dass die Kinder während des Verfahrens vor dem Bundesgericht weiterhin im Kinderheim E._ in U._ leben.
C.c. Der Beschwerdegegner hat in seiner Stellungnahme zum Gesuch um aufschiebende Wirkung zusätzlich die unentgeltliche Rechtspflege beantragt.
C.d. Das Bundesgericht hat die vorinstanzlichen Akten, in der Hauptsache aber keine Vernehmlassungen eingeholt.

Erwägungen:
1.
Angefochten ist binnen Frist ein kantonal letztinstanzlicher Entscheid betreffend vermögensrechtliche und nicht vermögensrechtliche Nebenfolgen einer Scheidung. Dagegen steht unabhängig vom Streitwert die Beschwerde in Zivilsachen offen (s. Art. 72 Abs. 1, Art. 75 Abs. 1, Art. 90 sowie Art. 100 Abs. 1 BGG).
2.
Im ordentlichen Beschwerdeverfahren sind in rechtlicher Hinsicht alle Rügen gemäss Art. 95 f. BGG zulässig. Das Bundesgericht wendet das Recht grundsätzlich von Amtes wegen an (<ref-law>) und prüft behauptete Rechtsverletzungen (<ref-law>) mit freier Kognition. Bei der Überprüfung von Ermessensentscheiden (<ref-law>) auferlegt es sich aber Zurückhaltung. Es schreitet nur ein, wenn die kantonale Instanz grundlos von in Lehre und Rechtsprechung anerkannten Grundsätzen abgewichen ist, wenn sie Gesichtspunkte berücksichtigt hat, die keine Rolle hätten spielen dürfen, oder wenn sie umgekehrt rechtserhebliche Umstände ausser Acht gelassen hat. Aufzuheben und zu korrigieren sind ausserdem Ermessensentscheide, die sich als im Ergebnis offensichtlich unbillig, als in stossender Weise ungerecht erweisen (<ref-ruling> E. 1 S. 99; <ref-ruling> E. 4.2 S. 15; <ref-ruling> E. 2c/aa S. 162). Weiter ist das Bundesgericht an den festgestellten Sachverhalt grundsätzlich gebunden (<ref-law>). Diesbezüglich kann die rechtsuchende Partei nur vorbringen, die vorinstanzlichen Feststellungen seien offensichtlich unrichtig (<ref-law>), das heisst willkürlich (vgl. <ref-ruling> E. 4.3 S. 62; <ref-ruling> E. 1.2.2 S. 252), oder würden auf einer anderen Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> (z.B. <ref-law> oder <ref-law>) beruhen (Urteil 5A_374/2010 vom 9. Juli 2010 E. 1). In der Beschwerde ist darzutun, inwiefern die Behebung der erwähnten Mängel für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein kann (<ref-law>; <ref-ruling> E. 2.2.2 S. 22).
3.
Umstritten ist, welchem Elternteil die Obhut über die beiden Kinder zuzuteilen ist. Die Vorinstanz hat die Obhut dem Beschwerdegegner übertragen und dabei das Folgende erwogen:
3.1. Eine alternierende Obhut scheide im vorliegenden Fall aus, weil es an der geografischen Nähe der Wohnorte der Eltern mangle. Die Beschwerdeführerin wohne in U._, der Vater in V._. Es sei daher zu prüfen, unter wessen Obhut die beiden Kinder zu stellen seien. Deren Trennung komme nicht in Frage.
3.2. Gemäss dem Gutachter sei die Beziehung von C._ und D._ zu beiden Elternteilen gut. Da das Gutachten sowie die Ergänzungsgutachten bereits etwas älter seien, seien die neuen Berichte des Kinderheims E._ beizuziehen. Dort werde ausgeführt, dass C._ und D._ an den Besuchswochenenden jeweils eine gute Zeit mit dem jeweiligen Elternteil erleben würden. Anlässlich der Kinderanhörung hätten die beiden erklärt, dass sie bei der Mutter wohnen, den Vater aber unbedingt weiterhin sehen möchten. Daraus könne geschlossen werden, dass die persönliche Beziehung weiterhin zu beiden Eltern gut sei.
3.3. Die Erziehungsfähigkeit der Eltern sei vom Gutachter bei beiden Eltern als grundsätzlich gut beschrieben worden. Wenn die Kinderanwältin in ihrem 2. Parteivortrag die Erziehungsfähigkeit des Vaters in Zweifel gezogen habe, weil er manchmal laut werde und dies einen Risikofaktor darstelle, so sei festzustellen, dass das offenkundig immer noch vorhandene Misstrauen der Mutter und ihre bestätigte Aussage, sie sehe die Kinder lieber im Heim als beim Vater, ebenfalls problematisch sei. Anderseits könne die Einschätzung der ersten Instanz, wonach die Erziehungsfähigkeit des Vaters als besser einzustufen sei, nicht bestätigt werden; es sei nicht mehr die Rede davon, dass die Kinder aus den Besuchswochenenden beim Vater ruhiger zurückkämen als aus denjenigen bei der Mutter. Weiter seien die Probleme bei den Übergaben der Kinder offenbar auch überwunden. Das Kriterium sei daher im Ergebnis ebenfalls als neutral zu bezeichnen.
3.4. Ferner würden beide Elternteile gemäss ihren eigenen Angaben lediglich zu ca. 50 % arbeiten. Sie könnten sich daher in gleichem Ausmass selbst um die Kinderbetreuung kümmern. Dass dies von den Eltern lediglich aus taktischen Gründen so vorgebracht werde, sei nicht anzunehmen, da diese Situation schon länger andauere und bezüglich dem Beschwerdegegner feststehe, dass seine Partnerin auch Teilzeit ausser Haus arbeite und er sich in dieser Zeit um die beiden ständig dort wohnenden Kinder (Tochter der Partnerin und gemeinsamer Sohn F._) kümmere. Somit sei auch dieses Kriterium als neutral zu taxieren.
3.5. Was die Bindungstoleranz betreffe, habe der Gutachter diese zu Gunsten des Kindsvaters und zu Ungunsten der Kindsmutter gewichtet resp. die Bindungstoleranz der Kindsmutter als eingeschränkt erachtet. Die erste Instanz sei dieser Ansicht gefolgt und habe ausgeführt, die Kindsmutter habe zwar eine positive Entwicklung durchschritten; diese vermöge aber die Anschuldigungen gegen den Kindsvater und ihr jahrelanges Verhalten sowie die vollständige Nichtberücksichtigung der Kinderbedürfnisse im Jahr 2012 nicht zu überwiegen. Angesichts der auch von der Kinderanwältin im 2. Parteivortrag festgestellten, kaum veränderten Haltung beider Eltern könne man vorliegend nicht zu einer anderen Einschätzung gelangen. Nach wie vor sehe die Beschwerdeführerin die Kinder lieber im Heim als beim Vater und bestätige, dass eine andere als die von ihr geforderte Zuteilungsvariante nur "über ihre Leiche" in Frage käme. Ihre misstrauische Haltung, welche auch gegenüber Anwälten und der neuen Beiständin zum Ausdruck komme, sei ein Risikofaktor für die ansonsten glaubwürdig geäusserte Absicht, den Kindsvater nicht vom Leben der Kinder ausschliessen zu wollen.
Der Beschwerdegegner seinerseits habe bereits dem Gutachter erklärt, er wäre bereit, auf das Obhutsrecht zu verzichten, damit die Kinder nicht mehr im Heim leben müssten. Dies habe er an der Hauptverhandlung wiederholt. Auch wenn heute gewisse Elemente dafür sprechen würden, dass eine positive Veränderung seitens der Mutter stattgefunden habe, würden diese die Schlussfolgerungen des Gutachters nicht umkehren. Vielmehr sei aufgrund der erwähnten und kaum veränderten Haltung der Beschwerdeführerin nach wie vor davon auszugehen, dass ihre Bindungstoleranz eingeschränkt resp. die Bindungstoleranz des Beschwerdegegners als besser einzustufen sei.
3.6. Zur Stabilität der örtlichen und familiären Verhältnisse hält die Vorinstanz fest, dass C._ und D._ im Urteilszeitpunkt seit rund dreieinhalb Jahren im Kinderheim E._ in U._ leben würden. Nach anfänglichen Schwierigkeiten und trotz dem nur allzu verständlichen und immer geäusserten Wunsch, am liebsten bei den Eltern zu wohnen, hätten sie sich gemäss den Berichten im Kinderheim gut eingelebt und seien in der Kindergruppe gut integriert. C._ habe längere Zeit schulische Schwierigkeiten und auch Gewichtsprobleme gehabt; beides scheine sich nun aber gebessert zu haben. D._ verhalte sich seinem Alter entsprechend. Beide Kinder würden gleich viel Besuchs- und Freizeit mit Vater und Mutter verbringen. Beim Vater seien sie mit ihrem Halbbruder F._ und der Tochter der neuen Partnerin ihres Vaters zusammen. Bei der Mutter sähen sie oft ihren jüngsten Cousin G._, mit welchem sie eng befreundet seien. Da Vater und Mutter neue Partner hätten, seien C._ und D._ jeweils auch mit diesen zusammen und schienen keine grösseren Schwierigkeiten damit zu haben; wenn sie bei der Kinderanhörung erwähnt hätten, die Partnerin des Vaters schreibe ihnen viel vor, so sei dies nicht negativ zu gewichten, da bei vier Kindern im Spielalter verständlicherweise Regeln aufgestellt werden müssten. Damit sei die Stabilität der familiären Verhältnisse bei beiden Elternteilen als gleichwertig zu betrachten.
In Bezug auf die Stabilität der örtlichen Verhältnisse sei zu berücksichtigten, dass C._ und D._ in U._ zur Schule gehen würden und dort gut integriert seien. C._ habe bereits einen Schulfreund gefunden, mit dem er auch ausserhalb der Schule etwas unternehme. Der neue Wohnort der Mutter in U._ sei nur wenige hundert Meter von den Schulhäusern der Kinder entfernt. Im Falle einer Obhutszuteilung an die Mutter könnten C._ und D._ daher ihre bisherige Schule weiterhin besuchen. Die Zuteilung der Obhut an den Vater, welcher in V._ wohne, würde für die Kinder hingegen einen Schulwechsel bedingen. Die Stabilität der örtlichen Verhältnisse spreche daher grundsätzlich für die Beschwerdeführerin. Ihr Umzug nach U._ sei aber wohl aus prozesstaktischen Gründen erfolgt. An der Berufungsverhandlung vom 2. September 2015 habe die Beschwerdeführerin im Rahmen der Parteibefragung ausgeführt, sie werde per 1. Oktober 2015ohne ihren Partner nach U._ umziehen. Mittlerweile sei sie nach U._ umgezogen. Der Mietvertrag sei erst am 19./20. August 2015, das heisst knapp zwei Wochen vor dem Verhandlungstermin unterschrieben worden. Der beigelegte Google-Maps-Auszug sei beschriftet mit "Haus" sowie "Schulhaus C._" und "Schulhaus D._". Auffällig und nicht leicht verständlich sei auch der überraschende Umzug ohne ihren Partner H._, nachdem gemäss Aussagen der Beschwerdeführerin gegenüber dem Kinderheim "sie und ihr Partner der richtige Ort für C._ und D._" seien, jegliche Anzeichen für ein Zerwürfnis fehlten und sie von ihrem Partner finanziell unterstützt werde. Weiter falle auf, dass die Beschwerdeführerin zur Bezahlung der neuen Mietwohnung wohl auf weitere finanzielle Hilfe - der Eltern - angewiesen sei, da sie den Mietzins von Fr. 1'690.-- mit dem von ihr angegeben Einkommen von Fr. 1'500.-- selbst nicht finanzieren könne. Zwingende Gründe, die einen Umzug der Beschwerdeführerin von W._ nach U._ als notwendig erscheinen liessen, seien nicht ersichtlich. Der Umzug der Beschwerdeführerin in die aktuelle Aufenthaltsgemeinde der Kinder sei daher höchstwahrscheinlich prozesstaktischer Natur und nicht von entscheidender Relevanz.
Es sei daher fraglich, ob die Beschwerdeführerin tatsächlich in U._ wohnen bleibe resp. nicht wieder nach W._ zurückkehren werde, wo sich der Bauernbetrieb der Eltern ihres Partners befinde. Aufgrund dieser begründeten Unsicherheit vermöge das Kriterium der Stabilität der örtlichen Verhältnisse die grössere Bindungstoleranz des Beschwerdegegners nicht zu überwiegen.
3.7. Schliesslich äussert sich die Vorinstanz zum Kindeswillen: Relevant sei vor allem der Wohnwunsch von C._. Er habe ca. Mitte 2014 erstmals geäussert, dass er lieber bei der Mutter wohnen möchte. Diesen Wunsch habe er anlässlich der Anhörung im Januar 2015 wiederholt und klar formuliert; zu diesem Zeitpunkt sei C._ knapp elf Jahre alt gewesen. Damit sei gestützt auf die bundesgerichtliche Rechtsprechung seine Meinung zwar zu hören, aber mit grosser Zurückhaltung zu würdigen. Daran änderte auch die Aussage im Bericht des Kinderheims E._ vom 31. August 2015 nichts, wonach er in den letzten drei Monaten vermehrt seinen Willen bewusst zeige, seine eigene Meinung vertrete und sich nicht von andern Standpunkten beeinflussen lasse. Denn einerseits gehe es wohl nicht um Themen, die für das jetzige Leben des Jungen so zentral sind wie die Wohnfrage. Weiter sei zu berücksichtigen, dass die Kinder unter grossem Druck stehen würden und gewissen Beeinflussungen von beiden Elternteilen ausgesetzt seien. Mit der geforderten Zurückhaltung könne man höchstens sagen, dass C._ - und damit auch D._ - nach wie vor mit beiden Eltern gleichwertigen Kontakt haben möchten, aber eine Präferenz für das Wohnen bei der Mutter zeigen.
4.
4.1.
4.1.1. Die Beschwerdeführerin macht geltend, dass das Obergericht in seiner Begründung davon ausgegangen sei, sie sei lediglich aus prozesstaktischen Gründen nach U._ umgezogen. Hierbei handle es sich um eine neue überraschende rechtliche Argumentation der Vorinstanz, zu der sie keine Stellung habe nehmen können, weshalb es ihr nun gestattet sein müsse, sich im Beschwerdeverfahren vor Bundesgericht trotz Novenverbot dazu zu äussern (<ref-law>).
4.1.2. Ferner wirft die Beschwerdeführerin der Vorinstanz vor, den Sachverhalt offensichtlich unrichtig festgestellt zu haben. Sie habe gar nie gemeinsam mit ihrem Partner in W._ gewohnt. Wie sich den Akten entnehmen lasse, wohne ihr Partner in X._ und nicht auf dem Bauernbetrieb seiner Eltern in W._. Für die Beschwerdeführein bestünde somit keinerlei Anreiz, nach W._ zurückzukehren. Bezüglich des Mietzinses verkenne die Vorinstanz, dass sich der neue Mietzins gegenüber dem alten Mietzins in W._ im Haus, das ihrem Partner gehöre, nur unwesentlich erhöht habe. Der Mietzins in W._ habe Fr. 1'640.-- betragen, der Mietzins in U._ betrage Fr. 1'690.-- monatlich. Da sie nicht gemeinsam mit ihrem Partner in W._ gewohnt habe, gehe das Obergericht von falschen Tatsachen aus, wenn es feststelle, sie sei aufgrund des Umzugs auf weitere finanzielle Hilfe angewiesen. Richtigerweise sei davon auszugehen, dass sie nun in U._ am Ort, an dem die Kinder in die Schule gehen, wohne und dort wohnen bleiben werde. Sie sei in der Gegend bereits stark verwurzelt. So sei sie Mitglied des Elternrates der Schule ihrer Söhne sowie im Unihockeyverein, in dem diese aktiv seien. Sie sei bereits früher in U._ einkaufen gegangen und habe sich viel im Ort aufgehalten. Den Umzug nach U._ habe sie aufgrund der Tatsache geplant, dass sie so ihren Kindern für den Fall, dass ihr die Obhut zugeteilt würde, einen Schulwechsel ersparen könnte. Im Weiteren sei bereits vom Gutachter vorgeschlagen worden, dass die Übergaben der Kinder nach Zuteilung der Obhut idealerweise jeweils im Kinderheim E._ in U._, dem derzeitigen Aufenthaltsort der Kinder, stattfinden sollten. Sie habe durch ihren Umzug somit auch sicherstellen wollen, dass die Übergaben für die Kinder möglichst problemlos stattfinden könnten. Schliesslich habe sie sicherstellen wollen, dass die Kinder - selbst wenn die Obhut dem Beschwerdegegner zugeteilt werden sollte - weiterhin Kontakt zu ihrem derzeitigen Umfeld haben könnten.
4.1.3. Im Weiteren komme die Vorinstanz zum Schluss, dass beide Eltern lediglich zu ca. 50 % arbeiten würden und sich daher im gleichen Ausmass um die Kinderbetreuung kümmern könnten. Die Vorinstanz verkenne dabei, dass der Beschwerdegegner gemäss Ergänzungsgutachten vom 29. November 2013 die Kinder nur an zwei Wochentagen persönlich betreuen würde. An drei Wochentagen würden die Kinder von der Lebenspartnerin des Beschwerdegegners betreut. Auch die erste Instanz sei in der Folge davon ausgegangen, dass sie, die Beschwerdeführerin, die Kinder mehr als der Beschwerdegegner persönlich betreuen könne. Die Vorinstanz stütze ihre Annahme auf die persönliche Befragung des Beschwerdegegners anlässlich der Berufungsverhandlung vom 2. September 2015. Der Beschwerdegegner habe damals ausgeführt, dass er momentan weniger als 60-70 % arbeite. Er arbeite 50 %, um auf die Kinder aufpassen zu können. Damit werde jedoch nicht die Frage beantwortet, ob er die Kinder stets persönlich betreue. Bei den obergerichtlichen Ausführungen handle es sich folglich lediglich um Annahmen. Richtigerweise sei somit davon auszugehen, dass sie, die Beschwerdeführerin, die Kinder mehr als der Beschwerdegegner betreuen könnte. Diese Tatsache sei für den Ausgang des Verfahrens entscheidend.
4.2.
4.2.1. Es ist unbestritten, dass die Beschwerdeführerin erst eine Wohnung in U._ gemietet hat, nachdem das Regionalgericht Bern-Mittelland dem Beschwerdegegner die alleinige elterliche Sorge und Obhut über die beiden Söhne übertragen hat. Vor diesem Hintergrund musste die Beschwerdeführerin damit rechnen, dass die Vorinstanz ihren Umzug nach U._ als prozesstaktisch motiviert qualifizieren würde. Für die Vorinstanz bestand kein Grund, die Beschwerdeführerin explizit darauf hinzuweisen. Ein Zusammenhang mit dem Novenverbot (<ref-law>) ist nicht zu erkennen. Im Übrigen ist es belanglos, weshalb die Beschwerdeführerin nach U._ umzog. Wichtig für die vorliegend zu beantwortende Frage nach der Zuteilung der Obhut ist einzig, ob damit zu rechnen ist, dass die Beschwerdeführerin auch in Zukunft in U._ wohnen wird. Die Zweifel, welche die Vorinstanz in diesem Zusammenhang hat, werden durch die Kritik der Beschwerdeführerin nicht zerstreut. Namentlich verstrickt sich die Beschwerdeführerin in einen Widerspruch, wenn sie einerseits erklärt, ohne den neuen Partner nach U._ umgezogen zu sein, und anderseits argumentiert, der Platz der Kinder sei bei ihr und ihrem neuen Partner.
4.2.2. Nicht zu beanstanden ist es auch, dass es die Vorinstanz für gegeben erachtet, dass der Beschwerdegegner bei einem Arbeitspensum von 50 % seine Söhne während der Hälfte der Zeit persönlich betreuen kann und will. Dass sich sein zeitliches Engagement bisher auf zwei (Arbeits-) Tage in der Woche beschränkt hat, tut nichts zur Sache. Ebenso wenig ist zu beanstanden, dass die Vorinstanz auch auf Seiten der Beschwerdeführerin eine persönliche Betreuung nur im Umfang von 50 % Prozent bejaht hat. Tatsächlich ist nicht nachvollziehbar, wie es die Beschwerdeführerin schaffen sollte, neben ihrer Erwerbstätigkeit von 50 % ihre beiden Söhne vollumfänglich selbst zu betreuen. Daran ändert auch die Behauptung der Beschwerdeführerin nichts, dass sie ihre Arbeitszeit entsprechend einteilen würde. Eine solche Behauptung ist appellatorischer Natur und belegt nicht, dass die Vorinstanz bei ihrer gegenteiligen Feststellung den rechtserheblichen Sachverhalt willkürlich festgestellt hätte. Im Übrigen ist es eine Frage der rechtlichen Würdigung, wie man in Patchwork-Familien damit umgeht, dass die Betreuung der Kinder teilweise von einem neuen Partner übernommen wird.
5.
5.1.
5.1.1. In rechtlicher Hinsicht macht die Beschwerdeführerin geltend, dass gemäss <ref-law> alle für das Kindeswohl massgeblichen Umstände zu berücksichtigen seien. Auf die Meinung der Kinder sei, soweit tunlich, Rücksicht zu nehmen. Die Vorinstanz habe bei der Zuteilung der Obhut die durch das Bundesgericht entwickelten Kriterien offenkundig falsch gewichtet sowie die Zuteilung auf Überlegungen abgestützt, die unter dem Gesichtspunkt des Kindeswohls bedeutungslos seien. Im Übrigen sei unbestritten, dass beide Eltern über eine gute Erziehungsfähigkeit verfügten und eine gute und herzliche Beziehung zwischen beiden Eltern und den Kindern bestehe. In diesem Fall entscheide die Möglichkeit, die Kinder persönlich zu betreuen, über die Obhutszuteilung.
5.1.2. Bezüglich Bindungstoleranz verkenne die Vorinstanz, dass eine allfällige fehlende Bindungstoleranz gemäss bundesgerichtlicher Rechtsprechung lediglich dann als Kriterium für die Obhutszuteilung herangezogen werde, wenn beide Eltern in erzieherischer, wirtschaftlicher und sozialer Hinsicht gleichwertige Voraussetzungen mit sich brächten. Wie bereits festgestellt worden sei, sei auf ihrer Seite die Möglichkeit besser, die Kinder persönlich zu betreuen. Im Weiteren sei gemäss bundesgerichtlicher Rechtsprechung dem Moment der örtlichen und familiären Stabilität und - je nach Alter der Kinder - allenfalls ihrem eindeutigen Wunsch Rechnung zu tagen. Erst wenn auch in diesem Punkt gleichwertige Voraussetzungen gegeben seien, werde gemäss Rechtsprechung des Bundesgerichts die Bindungstoleranz als massgebendes Kriterium herangezogen. Die Vorinstanz begründe in keiner Weise, weshalb sie die leicht eingeschränkte Bindungstoleranz der Beschwerdeführerin derart stark gewichte, dass sie die Obhut dem Beschwerdegegner zuteile.
5.1.3. Betreffend die Stabilität der örtlichen und familiären Verhältnisse sei davon auszugehen, dass der Umzug nach U._ dauerhaft sei und die Stabilität der örtlichen Verhältnisse grundsätzlich für die Beschwerdeführerin spreche. Selbst wenn davon ausgegangen werden sollte, dass sie, die Beschwerdeführerin, lediglich aus prozesstaktischen Gründen nach U._ umgezogen sei, so sei dennoch Fakt, dass die Kinder im Fall der Obhutszuteilung an sie am Ort bleiben könnten, an dem sie bisher die Schule besuchen würden. Dem Bedürfnis der Kinder nach der für eine harmonische Entfaltung in körperlicher, seelischer und geistiger Hinsicht notwendigen Stabilität würde durch eine Zuteilung der Obhut an sie, die Beschwerdeführerin, Rechnung getragen. Dieses Kriterium erhalte gemäss bundesgerichtlicher Rechtsprechung bei ungefähr gleicher Erziehungs- und Betreuungsfähigkeit besonderes Gewicht.
5.1.4. Betreffend den Wunsch der Kinder halte auch die Vorinstanz fest, dass diese klar eine Präferenz für das Wohnen bei der Mutter zeigten. Der Wunsch werde mehrfach geäussert und sei deshalb eindeutig, weshalb ihm gemäss bundesgerichtlicher Rechtsprechung Rechnung zu tragen sei.
5.2.
5.2.1. Nach der im Grundsatz unbestrittenen bundesgerichtlichen Rechtsprechung hat bei strittiger Zuteilung der Obhut das Wohl des Kindes Vorrang vor allen anderen Überlegungen, insbesondere vor den Wünschen der Eltern. Vorab muss die Erziehungsfähigkeit der Eltern geklärt werden. Ist diese bei beiden Elternteilen gegeben, sind vor allem Kleinkinder und grundschulpflichtige Kinder demjenigen Elternteil zuzuteilen, der die Möglichkeit hat und dazu bereit ist, sie persönlich zu betreuen. Erfüllen beide Elternteile diese Voraussetzung ungefähr in gleicher Weise, kann die Stabilität der örtlichen und familiären Verhältnisse ausschlaggebend sein. Schliesslich ist - je nach Alter der Kinder - ihrem eindeutigen Wunsch Rechnung zu tragen. Diesen Kriterien lassen sich die weiteren Gesichtspunkte zuordnen, namentlich die Bereitschaft eines Elternteils, mit dem anderen in Kinderbelangen zusammenzuarbeiten, oder die Forderung, dass eine Zuteilung der Obhut von einer persönlichen Bindung und echter Zuneigung getragen sein sollte (vgl. <ref-ruling> E. 5.3 S. 180 f.; <ref-ruling> E. 4a S. 209; zuletzt Urteil 5A_157/2012 vom 23. Juli 2012 E. 3.1 mit weiteren Hinweisen, in: FamPra.ch 2012, S. 1096 f.). Das Kriterium der zeitlichen Verfügbarkeit und damit die Möglichkeit der persönlichen Betreuung kann hinter das Kriterium der Stabilität der örtlichen und familiären Verhältnisse zurücktreten, soweit die Eltern ungefähr gleiche erzieherische Fähigkeiten haben (Urteile 5C.212/2005 vom 25. Januar 2006 E. 4.2 ff., in: FamPra.ch 2006, S. 754 ff.; 5A_458/2013 vom 19. September 2013 E. 2.3.3). Die nämlichen Zuteilungskriterien gelten grundsätzlich auch nach Inkrafttreten der Bestimmungen über die gemeinsame elterliche Sorge (Urteil 5A_847/2015 vom 2. März 2016 E. 5.2.2 mit Hinweisen).
5.2.2. Willkürfrei ist die Vorinstanz davon ausgegangen, dass grundsätzlich beide Parteien erziehungsfähig sind und damit für eine Obhutszuteilung in Frage kommen. Ausgehend davon hat sie dem Beschwerdegegner die Priorität eingeräumt, weil er sich über die grössere Bindungstoleranz als die Beschwerdeführerin ausweist. Dieses Faktum gewichtete die Vorinstanz stärker als die Aussicht darauf, dass die Kinder weiterhin in U._ zur Schule gehen könnten, wenn die Obhut der Beschwerdeführerin übertragen würde. Im konkreten Fall ist diese Interessenabwägung nicht zu beanstanden. Namentlich fällt ins Gewicht, dass die Bindungstoleranz der Beschwerdeführerin nicht, wie sie behauptet, nur leicht eingeschränkt wäre. Vielmehr ist diesbezüglich von einem krassen Defizit zu sprechen. Der Standpunkt der Beschwerdeführerin, die Kinder lieber in einem Heim als beim Beschwerdegegner zu sehen, ist diesbezüglich bezeichnend.
Ferner durfte die Vorinstanz berücksichtigen, dass die Beschwerdeführerin ihren Wohnsitz möglicherweise aus prozesstaktischen Gründen nach U._ verlegt hat, so dass zu befürchten ist, dass die von der Beschwerdeführerin reklamierte angebliche Stabilität bloss vorläufig ist. Die vorinstanzliche Interessenabwägung wird auch nicht dadurch in Frage gestellt, dass der Beschwerdegegner zur Betreuung seiner Söhne offensichtlich auf die Unterstützung seiner neuen Partnerin und Mutter eines gemeinsamen Kindes angewiesen ist. Letztlich ist auch die Beschwerdeführerin auf die Hilfe Dritter angewiesen, wenn sie trotz der ihr zugewiesenen Obhut einer Erwerbstätigkeit von 50 % nachgeht. Schliesslich ist es auch nicht zu beanstanden, dass sich die Vorinstanz über den Wunsch der Kinder, bei ihrer Mutter zu wohnen, hinweggesetzt hat. Dieser Wunsch der Kinder ist zwar nachvollziehbar, weil sie damit - zumindest vorläufig - nicht aus ihrer gewohnten Umgebung herausgerissen werden. Im Übrigen aber sind für die Kinder keine Nachteile auszumachen, die ihnen bei einer väterlichen Obhut drohen könnten.
5.3. Zusammenfassend ist der vorinstanzliche Entscheid zu bestätigen, wonach die Obhut der Kinder dem Beschwerdeführer zu übertragen ist. Die übrigen Rechtsbegehren der Beschwerdeführerin erweisen sich damit als gegenstandslos.
6.
Bei diesem Ausgang des Verfahrens unterliegt die Beschwerdeführerin. Sie hat deshalb für die Gerichtskosten aufzukommen (<ref-law>). Dazu gehört auch der Aufwand der Kindesvertreterin, die sich zum Gesuch der Beschwerdeführerin um aufschiebende Wirkung vernehmen liess (Urteil 5A_346/2012 vom 12. Juni 2012 E. 6; 5A_840/2011 vom 13. Januar 2012 E. 6). Dem Beschwerdegegner ist keine Entschädigung geschuldet: Dieser hat sich dem Gesuch der Beschwerdeführerin um aufschiebende Wirkung erfolglos widersetzt, während in der Sache keine Vernehmlassungen eingeholt worden sind. Die Gesuche beider Parteien um unentgeltliche Rechtspflege für das Verfahren vor dem Bundesgericht werden gutgeheissen (<ref-law>). Die Parteien haben der Gerichtskasse Ersatz zu leisten, wenn sie später dazu in der Lage sind (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.
2.1. Das Gesuch der Beschwerdeführerin um unentgeltliche Rechtspflege für das bundesgerichtliche Verfahren wird gutgeheissen und es wird der Beschwerdeführerin Rechtsanwältin Caroline Ehlert als Rechtsbeiständin beigegeben.
2.2. Das Gesuch des Beschwerdegegners um unentgeltliche Verbeiständung für das bundesgerichtliche Verfahren wird gutgeheissen und es wird dem Beschwerdegegner Fürsprecher Rolf Röthlisberger als Rechtsbeistand beigegeben.
3.
Die Gerichtskosten von Fr. 2'200.-- (inkl. Entschädigung für die Kindesvertreterin) werden der Beschwerdeführerin auferlegt, indes vorläufig auf die Gerichtskasse genommen.
4.
Rechtsanwältin Caroline Ehlert wird aus der Gerichtskasse mit Fr. 2'500.-- entschädigt.
5.
Fürsprecher Rolf Röthlisberger wird aus der Gerichtskasse mit Fr. 500.-- entschädigt.
6.
Die Kindesvertreterin Daniela Gullo Ehm wird aus der Gerichtskasse mit Fr. 200.-- entschädigt.
7.
Dieses Urteil wird den Parteien, C._, D._ und dem Obergericht des Kantons Bern, Zivilabteilung, 2. Zivilkammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 19. Mai 2016
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: von Werdt
Der Gerichtsschreiber: V. Monn