Sachverhalt:
A.
A.a. In den zwei beim Betreibungsamt Rüti laufenden Grundpfandverwertungen Nr. www und Nr. xxx gelangte die A._ AG am 16. Juli 2016 an das Bezirksgericht Hinwil als untere Aufsichtsbehörde in Schuldbetreibungs- und Konkurssachen. Sie machte die Nichtigkeit der beiden der Verwertung zugrunde liegenden Zahlungsbefehle und der beiden Lastenverzeichnisse geltend. Die Beschwerde wurde am 20. Juli 2016 abgewiesen.
A.b. Das Obergericht des Kantons Zürich als obere kantonale Aufsichtsbehörde über Schuldbetreibung und Konkurs wies die von der A._ AG daraufhin erhobene Beschwerde am 16. August 2016 ab, soweit es darauf eintrat.
B.
Mit Eingaben vom 30. August 2016/5. September 2016 ist die A._ AG an das Bundesgericht gelangt. Die Beschwerdeführerin erhebt Beschwerde in Zivilsachen bzw. subsidiäre Verfassungsbeschwerde und beantragt, das obergerichtliche Urteil aufzuheben und die Sache zur Durchführung eines Schriftenwechsels an die Vorinstanz zurückzuweisen. Zudem seien die Zahlungsbefehle sowie die Lastenverzeichnisse in beiden Verwertungsverfahren als nichtig zu erklären. Die Gläubiger seien zur Einlieferung der Schuldtitel anzuhalten.
Das Obergericht sowie die Gläubiger C._, D._ und E._ (Beschwerdegegner) haben sich dem Gesuch um aufschiebende Wirkung widersetzt. Das Betreibungsamt hat sich nicht vernehmen lassen. Mit Präsidialverfügung vom 14. Oktober 2016 ist der Beschwerde antragsgemäss die aufschiebende Wirkung zuerkannt worden.
Es sind die kantonalen Akten, aber keine Vernehmlassungen in der Sache eingeholt worden.

Erwägungen:
1.
1.1. Mit dem angefochtenen Entscheid hat die kantonale Rechtsmittelinstanz als obere kantonale Aufsichtsbehörde in Schuldbetreibungs- und Konkurssachen ein Grundpfandverwertungsverfahren beurteilt. Die Beschwerde in Zivilsachen ist vorliegend gegeben (Art. 72 Abs. 2 lit. a, Art. 75 BGG). Die beiden fristgerecht eingereichten Eingaben sind als solche entgegenzunehmen. Damit entfällt die subsidiäre Verfassungsbeschwerde (Art. 113 BGG).
1.2. Mit der Beschwerde in Zivilsachen kann insbesondere die Verletzung von Bundesrecht gerügt werden (Art. 95 lit. a BGG). Das Bundesgericht wendet das Recht in diesem Bereich grundsätzlich von Amtes wegen und mit freier Kognition an (Art. 106 Abs. 1 BGG). Auf eine Beschwerde kann indes nur eingetreten werden, soweit daraus hervorgeht, inwiefern der angefochtene Akt Recht verletzen soll (Art. 42 Abs. 2 BGG; <ref-ruling> E. 1.1 S. 104). Die Missachtung verfassungsmässiger Rechte ist ebenfalls zu begründen (Art. 106 Abs. 2 BGG), wobei hier das Rügeprinzip gilt (<ref-ruling> E. 2 S. 591). Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (Art. 105 BGG). Neue Tatsachen und Beweismittel sind nicht zulässig (Art. 99 Abs. 1 BGG). Das Bundesgericht erhebt selber keine Beweise, weshalb auf die diesbezüglichen Anträge der Beschwerdeführerin insgesamt nicht einzugehen ist.
2.
Anlass zur vorliegenden Beschwerde bilden zwei Grundpfandverwertungen. Die Beschwerdeführerin erachtet die in diesen Verfahren erstellten Zahlungsbefehle sowie das Lastenverzeichnis als nichtig. Ihrer Ansicht nach darf die Verwertung ihrer Liegenschaften nicht fortgeführt werden. Die diesbezüglichen Verfahren seien von Beginn an nochmals durchzuführen.
2.1. Die Vorinstanz hat (unter Hinweis auf Art. 322 Abs. 1 ZPO) auf die Einholung einer Antwort verzichtet, da die Beschwerde offensichtlich unbegründet sei. Ihrer Ansicht nach ist die Sache spruchreif. Dagegen wehrt sich die Beschwerdeführerin. Sie macht die Verletzung ihres rechtlichen Gehörs (Art. 29 Abs. 2 BV) und des Anspruchs auf ein faires Verfahren (Art. 6 EMRK) geltend. Beides sei ihr in willkürlicher Weise verweigert worden. Der Beschwerdeführerin ist in Erinnerung zu rufen, dass sie nicht berechtigt ist, anstelle der üblicherweise zur Vernehmlassung eingeladenen Beteiligten hinsichtlich des Verfahrens die Verletzung verfassungs- oder konventionsrechtlicher Anforderungen geltend zu machen. Sie ist durch das Vorgehen der Vorinstanz nicht in besonderer Weise berührt und hat diesbezüglich kein schutzwürdiges Interesse an der Aufhebung des angefochtenen Urteils (Art. 76 Abs. 1 lit. b BGG; Urteil 5A_971/2014 vom 16. März 2015 E. 2.2).
2.2. Die Beschwerdeführerin wiederholt vor Bundesgericht ihren Vorwurf der Befangenheit gegenüber der unteren kantonalen Aufsichtsbehörde. Sie macht sinngemäss "andere Gründe" geltend (Art. 10 Abs. 1 Ziff. 4 SchKG). Daher müsse sich eine Aufsichtsbehörde aus einem anderen Bezirk mit ihrer Beschwerde befassen. Die Vorinstanz ist zum Schluss gelangt, dass offensichtlich kein Ausstandsgrund vorliege und daher kein entsprechendes Verfahren eingeleitet werde. Ihrer Ansicht nach lässt der Umstand, dass eine Gerichtsinstanz einen Entscheid fällt, der einer Partei nicht genehm ist, diese noch nicht als befangen erscheinen. Was die Beschwerdeführerin dagegen vorbringt, erschöpft sich im Wesentlichen in der blossen Behauptung, die zuständige Aufsichtsbehörde erscheine als befangen. Aufgrund ihrer bisherigen zusammenhängenden Entscheide sei diese in der Beurteilung der Beschwerde nicht mehr frei gewesen. Damit genügt die Beschwerdeführerin den Begründungsanforderungen im konkreten Verfahren in keiner Weise (E. 1.2). Zudem führt sie selber aus, die Mitglieder der unteren Aufsichtbehörde erst nach Kenntnis ihres Entscheides als befangen erachtet zu haben. Das Begehren erwies sich daher ohnehin als verspätet, da ihr aufgrund all der bisherigen Verfahren die Mitglieder dieser Instanz bekannt gewesen sein dürften (<ref-ruling> E. 8.4.3 S. 275).
2.3. In der Sache hat die Vorinstanz - als obere Aufsichtsbehörde - die Beschwerdeführerin darauf hingewiesen, dass die von Amtes wegen zu prüfende Nichtigkeit es nicht zulasse, eine vom Gericht rechtskräftig beurteilte Streitsache erneut zu überprüfen. Ebenso könne eine betreibungsamtliche Verfügung nach Ablauf der Beschwerdefrist nur dann in Frage gestellt werden, wenn sie sich als nichtig erweise und nicht zuvor schon in einem Beschwerdeverfahren überprüft worden war. Die Vorinstanz hat die Beschwerdeführerin in diesem Zusammenhang an die in dieser Sache bereits ergangenen Urteile erinnert. Insbesondere habe die Aufsichtsbehörde am 1. Dezember 2014 entschieden, dass das Betreibungsamt bei der Erstellung und Mitteilung des Lastenverzeichnisses korrekt vorgegangen und über die Begründetheit der angemeldeten Forderungen nicht zu entscheiden befugt gewesen sei. Alsdann sei das zuständige Bezirksgericht am 9. Dezember 2014 auf die Lastenbereinigungsklage nicht eingetreten, da die Zahlungsbefehle in beiden Verfahren in Rechtskraft erwachsen seien und die Forderungen der betreibenden Grundpfandgläubiger daher nicht im Lastenbereinigungsverfahren erneut geprüft werden können. Die Beschwerdeführerin sei in der Folge an das Obergericht gelangt, welches ihre Berufung am 14. September 2015 (gegen das Nichteintreten des Friedensrichteramts Dürnten) abgewiesen hatte. Dem Weiterzug an das Bundesgericht sei ebenfalls kein Erfolg beschieden gewesen (Urteil 5A_813/2015 vom 12. Januar 2016).
Im Weiteren legte die Vorinstanz der Beschwerdeführerin dar, dass gegen den Erlass von Zahlungsbefehlen zwar Beschwerde geführt werden bzw. die Feststellung der Nichtigkeit verlangt werden könne. Da sie jedoch einzig materiellrechtliche Rügen vorbringe, stehe ihr der Beschwerdeweg aber im konkreten Fall nicht offen. Dies gelte selbst dann, wenn - wie vorliegend - eine Klage nicht mehr möglich sei. Aufgrund ihrer Vorbringen liege auch kein Fall einer schikanösen und damit rechtsmissbräuchlichen Betreibung vor, welche vor der Aufsichtsbehörde geltend gemacht werden könne. Da im vorliegenden Verfahren - so die Vorinstanz - nur Verfahrensfehler, nicht aber die Höhe der angemeldeten Forderungen geprüft werden könnten, sei auf die Vorbringen zu Kapital, Zinsen und Gläubigereigenschaft nicht einzugehen. Zum Begehren auf Einreichung der Schuldbriefe hat die Vorinstanz die Beschwerdeführerin auf die Voraussetzungen hingewiesen, unter welchen das Betreibungsamt diese vor der Verteilung einzufordern habe (Art. 69 Abs. 1 VZG). Zudem seien Zahlungen an das Betreibungsamt möglich und bei vollständiger Tilgung der Forderung samt Zinsen und Kosten bestehe ein Anspruch auf Herausgabe der Schuldbriefe.
2.4. Mit diesen einlässlichen Erläuterungen setzt sich die Beschwerdeführerin nicht auseinander. Sie wiederholt (teilweise wortgleich) bloss ihre Vorbringen im kantonalen Verfahren. Zudem vermengt sie auch vor Bundesgericht die Aufgabenbereiche der Aufsichtsbehörden mit denjenigen der Gerichte. Insbesondere blendet sie aus, dass in einer Beschwerde nach Art. 17 SchKG über Verfahrensfehler, nicht über die Begründetheit einer Forderung sowie der Zinsen zu befinden ist (KREN KOSTKIEWICZ, Kommentar SchKG, 19. Aufl. 2016, N. 14 zu Art. 17). Infolgedessen steht es der Aufsichtsbehörde auch nicht zu, ein Lastenverzeichnis aus materiellrechtlichen Überlegungen nichtig zu erklären oder gar die Herausgabe von Schuldtiteln zwecks Prüfung der Gläubigereigenschaft zu veranlassen. Der Beschwerdeführerin kann daher nicht gefolgt werden, wenn sie mit einer völlig ungenügenden Begründung weiterhin auf ihrer Absicht besteht, die bereits weit fortgeschrittene Verwertung ihrer beiden Liegenschaften neu aufzurollen (E. 1.2).
3.
Nach dem Gesagten ist der Beschwerde kein Erfolg beschieden. Ausgangsgemäss sind die Kosten der Beschwerdeführerin aufzuerlegen (Art. 66 Abs. 1 BGG). Den Beschwerdegegnern ist kein entschädigungspflichtiger Aufwand entstanden.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 3'000.-- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten und dem Obergericht des Kantons Zürich, II. Zivilkammer, als oberer kantonaler Aufsichtsbehörde über Schuldbetreibung und Konkurs schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 1. November 2016
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Das präsidierende Mitglied: Escher
Der Gerichtsschreiber: Levante