Sachverhalt:
A.
A._ und B._ (beide Jahrgang 1984) sind die Eltern des gemeinsamen Sohnes C._ (geb. 2008). Mit Urteil vom 15. April 2010 erhob das Stadtgericht Keszthely (Ungarn) eine zwischen den Eltern geschlossene Vereinbarung zum Urteil (7.P.20.698/2009/11), in der sich der Vater verpflichtete, der Mutter an den Unterhalt des Kindes monatlich EUR 220.-- zu zahlen.
B.
B.a. Auf Antrag von A._ vom 14. Januar 2016 erklärte das Bezirksgericht Pfäffikon (ZH) das ungarische Urteil (Bst. A) für vollstreckbar, trat aber auf die Feststellungsklage nicht ein. Es auferlegte den Parteien die Gerichtskosten von Fr. 1'000.-- je zur Hälfte und sprach keine Parteientschädigungen. A._ gewährte es die unentgeltliche Prozessführung, wies jedoch ihr Begehren für einen unentgeltlichen Rechtsbeistand ab.
B.b. Gegen die Verweigerung der unentgeltlichen Verbeiständung erhob A._ Beschwerde ans Obergericht des Kantons Zürich. Mit Beschluss und Urteil vom 22. April 2016 bzw. berichtigtem Urteil vom 24. Mai 2016 wies dieses die Beschwerde ab, soweit es darauf eintrat (Ziff. 1 des Urteils), und auferlegte A._ die Entscheidgebühr von Fr. 1'000.-- (Ziff. 2 des Urteils). Parteientschädigungen wurden keine zugesprochen (Ziff. 3 des Urteils). Den Antrag von A._ auf Bewilligung der unentgeltlichen Rechtspflege und Verbeiständung für das zweitinstanzliche Verfahren wies das Obergericht ab (Ziff. 1 des Beschlusses). Auf den Antrag, Rechtsanwalt Sandor Horvath für seine Bemühungen als unentgeltlicher Rechtsbeistand im erstinstanzlichen Verfahren mit Fr. 1'496.45 (inkl. Auslagen und 8 % Mehrwertsteuer) zu entschädigen, trat das Obergericht nicht ein (Ziff. 2 des Beschlusses).
B.c. Mit Beschwerde in Zivilsachen, eventualiter subsidiärer Verfassungsbeschwerde vom 23. Mai und 7. Juni 2016 beantragte A._ dem Bundesgericht, die Ziffern 1 und 2 des Beschlusses sowie die Ziffern 1 bis 3 des Urteils des Obergerichts aufzuheben und ihr für das Verfahren vor dem Bezirksgericht Pfäffikon sowie für das Verfahren vor dem Obergericht die vollumfängliche unentgeltliche Rechtspflege zu gewähren sowie den unterzeichnenden Anwalt als unentgeltlichen Rechtsbeistand zu ernennen. Ferner ersuchte sie auch für das Verfahren vor Bundesgericht um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege.
B.d. Das Bundesgericht hiess die Beschwerde am 29. November 2016 (Urteil 5A_385/2016) gut, hob das Urteil des Obergerichts vom 22. April 2016, teilweise berichtigt am 24. Mai 2016, auf und wies die Sache zur neuen Entscheidung im Sinne der Erwägungen an die Vorinstanz zurück. Aus diesen ergibt sich, dass die Vorinstanz über die unentgeltliche Verbeiständung für das vor dem Bezirksgericht gestellte Vollstreckungsbegehren neu zu urteilen hatte und, als Folge davon, auch über die Kosten des kantonalen Beschwerdeverfahrens und über die unentgeltliche Rechtspflege hierfür (E. 5).
B.e. Am 16. Februar 2017 beschloss und urteilte die I. Zivilkammer des Obergerichts des Kantons Zürich auf Rückweisung hin Folgendes:


Es wird beschlossen: "1. Das Gesuch der Beschwerdeführerin um Bewilligung der unentgeltlichen Rechtspflege und Beigabe eines unentgeltlichen Rechtsbeistandes für das Beschwerdeverfahren wird bezüglich der unentgeltlichen Rechtsverbeiständung im erstinstanzlichen Verfahren zur Durchsetzung des Feststellungsbegehrens abgewiesen. Im Übrigen wird es infolge Gegenstandslosigkeit abgeschrieben. 2. [Mitteilung, Rechtsmittelbelehrung]"
Es wird erkannt: "1. In teilweiser Gutheissung der Beschwerde wird Dispositivziffer 2 der Verfügung des Einzelgerichts im summarischen Verfahren am Bezirksgericht Pfäffikon vom 11. Februar 2016 aufgehoben und durch folgende Fassung ersetzt: 2. Der Klägerin wird zur Durchsetzung ihres Begehrens um Vollstreckbarerklärung des Urteils vom 15. April 2010 des Stadtgerichts Keszthely, Ungarn, 7.P.20.698/2009/11 (Rechtsbegehren Ziffer 1) in der Person von Rechtsanwalt lic. iur. et lic. phil Sandor Horvath ein unentgeltlicher Rechtsbeistand beigegeben. Mit Bezug auf die Durchsetzung der Feststellungsklage (Rechtsbegehren Ziffer 2) wird das Begehren der Klägerin um Bestellung eines unentgeltlichen Rechtsbeistandes abgewiesen. 2. Rechtsanwalt lic. iur. et lic. phil Sandor Horvath wird für seine Bemühungen und Barauslagen als unentgeltlicher Rechtsbeistand der Beschwerdeführerin im erstinstanzlichen Verfahren zur Durchsetzung des Begehrens um Vollstreckbarerklärung mit Fr. 1'496.45 (inkl. Mehrwertsteuer) aus der Gerichtskasse entschädigt. Die Nachzahlungspflicht der Beschwerdeführerin gemäss <ref-law> bleibt vorbehalten. 3. Die Entscheidgebühr für das Beschwerdeverfahren wird auf Fr. 1'000.-- festgesetzt. 4. Die Entscheidgebühr für das Beschwerdeverfahren wird zur Hälfte der Beschwerdeführerin auferlegt und zur Hälfte auf die Gerichtskasse genommen. 5. Der Beschwerdeführerin wird für das Beschwerdeverfahren eine reduzierte Parteientschädigung zu Lasten der Gerichtskasse von insgesamt Fr. 500.-- zugesprochen. 6. [Mitteilung] 7. [Rechtsmittelbelehrung]"
C.
C.a. Dagegen erhebt A._ (Beschwerdeführerin) erneut Beschwerde in Zivilsachen, eventualiter subsidiäre Verfassungsbeschwerde mit folgenden Anträgen:
"1. Ziffer 4 des Urteils vom 16. Februar 2017 sei aufzuheben. 2. Die Entscheidgebühr sei vollumfänglich der Vorinstanz aufzuerlegen. 3. Ziffer 5 des Urteils vom 16. Februar 2017 sei aufzuheben und der Beschwerdeführerin sei für das vorinstanzliche Verfahren eine Parteientschädigung mindestens in der Höhe von CHF 1'446.10 zuzusprechen. 4. Für den Fall, dass der Beschwerdeführerin wider Erwarten einen Teil der Entscheidgebühr auferlegt werden sollte, sei Ziff. 1 des Beschlusses vom 16. Februar 2017 aufzuheben und der Beschwerdeführerin für das vorinstanzliche Verfahren die vollumfängliche unentgeltliche Rechtspflege zu gewähren. 5. Der Beschwerdeführerin sei für das vorliegende Verfahren die vollumfängliche unentgeltliche Rechtspflege zu gewähren. Die Beschwerdeführerin sei von der Pflicht, einen Gerichtskostenvorschuss zu leisten, zu befreien. Der Beschwerdeführerin sei der Unterzeichnende, Rechtsanwalt Sandor Horvath, als unentgeltlichen Rechtsbeistand beizugeben. 6. Die Vorinstanz sei zu verpflichten, der Beschwerdeführerin für das vorliegende Beschwerdeverfahren eine angemessene Parteientschädigung zu leisten. 7. Unter Kosten- und Entschädigungsfolgen zu Lasten des Staates."
C.b. Mit Rücksicht auf das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege wurde von der Einforderung eines Kostenvorschusses der Beschwerdeführerin abgesehen, der Entscheid über das Gesuch aber vorbehalten. Hingegen wurden die vorinstanzlichen Akten eingeholt, ohne Aufforderung zur Vernehmlassung.
Erwägungen:
1.
1.1. Die Beschwerde richtet sich gegen einen Beschluss und ein Urteil einer letzten kantonalen Instanz (<ref-law>), welche als Folge des Urteils 5A_385/2016 vom 29. November 2016 der Beschwerdeführerin für das erstinstanzliche Verfahren betreffend Vollstreckbarerklärung einen unentgeltlichen Rechtsbeistand beiordnet sowie die Prozesskosten des vorinstanzlichen Verfahrens verlegt und die unentgeltliche Rechtspflege der Beschwerdeführerin hierfür regelt.
Streitig ist vorliegend noch die Prozesskostenverlegung des vorinstanzlichen Verfahrens, eventualiter der Umfang der unentgeltlichen Rechtspflege der Beschwerdeführerin hierfür. Dass das Obergericht diesbezüglich nicht als Rechtsmittelinstanz im Sinne von <ref-law> entschieden hat, steht der Beschwerde an das Bundesgericht nicht entgegen (Urteil 5A_385/2016 vom 29. November 2016 E. 1.1).
Der Rechtsweg im Streit um den unentgeltlichen Rechtsbeistand für das erstinstanzliche Verfahren, den das angefochtene Urteil primär regelte, folgt jenem der Hauptsache. In der Hauptsache ging es um die Vollstreckbarerklärung eines ausländischen Unterhaltsurteils, mithin um einen öffentlich-rechtlichen Entscheid, der in unmittelbarem Zusammenhang mit Zivilrecht steht (Art. 72 Abs. 2 Bst. b Ziff. 1 BGG) und vermögensrechtlicher Natur ist. Der Streitwert der Hauptsache übersteigt nach den vorinstanzlichen Feststellungen Fr. 30'000.-- (Art. 74 Abs. 1 Bst. b BGG; vgl. auch Urteil 5A_385/2016 vom 29. November 2016 E. 1.2). Die bezüglich der vorinstanzlichen Kostenverlegung und der unentgeltlichen Rechtspflege für das kantonale Beschwerdeverfahren unterlegene Beschwerdeführerin ist gemäss <ref-law> zur Beschwerde berechtigt und die Beschwerdefrist ist eingehalten (<ref-law>). Insofern kann auf die Beschwerde eingetreten werden. Das Eintreten auf die darin erhobenen Rügen wird bei deren Beurteilung geprüft.
1.2. Der Beschwerdeantrag 4, der auf die vollumfängliche Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege für das vorinstanzliche Verfahren zielt, ist ein zulässiges bedingtes Begehren (vgl. <ref-ruling> E. 2.2; Urteil 4A_330/2008 vom 27. Januar 2010 E. 2.1, nicht publiziert in <ref-ruling>). Als Eventualbegehren zu den Hauptanträgen 1 und 2 ist es nur zu prüfen, wenn der Beschwerdeführerin ein Teil der vorinstanzlichen Entscheidgebühr auferlegt wird (Bedingung).
1.3. Die als Beschwerdebeilage 5 vorgelegte Kostennote vom 24. Februar 2016 wurde schon vorinstanzlich eingereicht (Vorakten, act. 15). Daher erübrigt es sich, die Zulassung als Novum im bundesgerichtlichen Verfahren (<ref-law>) zu prüfen.
2.
Das Bundesgericht legt seinem Urteil nach <ref-law> den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat. Diese Sachverhaltsfeststellung kann nur gerügt werden, wenn sie offensichtlich unrichtig, d.h. willkürlich (<ref-ruling> E. 1.2.2 S. 252), ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruht und wenn die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein kann (<ref-law>). Wird eine willkürliche Feststellung von Tatsachen geltend gemacht, ist neben der Erheblichkeit der gerügten Tatsachenfeststellung für den Ausgang des Verfahrens klar und detailliert darzutun, inwiefern diese offensichtlich unhaltbar sein soll, d.h. mit der tatsächlichen Situation in klarem Widerspruch stehe, auf einem offenkundigen Versehen beruhe oder sich sachlich in keiner Weise rechtfertigen lasse (<ref-ruling> E. 7.1 S. 398 mit Hinweisen).
Rechtsanwendungsfehler im Sinne von Art. 95 f. BGG prüft das Bundesgericht bei festgestelltem Sachverhalt grundsätzlich frei (<ref-law>), im Rahmen rechtsgenüglicher Vorbringen (Art. 42 Abs. 2 i.V.m. Art. 95 f. BGG). Für verfassungsmässige Rechte (mit Einschluss der Rechte aus der EMRK) gilt allerdings das strenge Rügeprinzip (<ref-law>). Das heisst, dass das Bundesgericht nur anhand der Erwägungen des angefochtenen Entscheids klar und detailliert erhobene Rügen prüft, die soweit möglich zu belegen sind, während es auf ungenügend begründete Rügen und rein appellatorische Kritik am angefochtenen Entscheid nicht ein tritt (<ref-ruling> E. 7.1 S. 398).
Die Anwendung des kantonalen Rechts als solche - hier der zürcherischen Anwaltsgebührenverordnung (AnwGebV; ZH-Lex 215.3) - kann das Bundesgericht nicht überprüfen. Hingegen prüft es, neben den Sonderfällen von Art. 95 Bst. c-e BGG, ob die Anwendung kantonaler Normen Bundesrecht verletzt (Art. 95 Bst. a BGG), einschliesslich verfassungsmässige Rechte, namentlich das Willkürverbot (<ref-law> - <ref-ruling> E. 2; <ref-ruling> E. 1.2), wobei für die Verletzung verfassungsmässiger Rechte das Rügeprinzip gilt (<ref-law>). Willkür in der Anwendung kantonalen Rechts liegt beispielsweise vor, wenn ein Entscheid der steten und als solchen willkürfreien Praxis widerspricht bzw. wenn die Vorinstanz ohne guten Grund bzw. ohne Beachtung der für die Praxisänderung massgebenden Grundsätze von ihrer eigenen Praxis oder der bundesgerichtlichen Rechtsprechung abgewichen ist (vgl. NICOLAS VON WERDT, in: Bundesgerichtsgesetz (BGG), 2015, N. 12 zu <ref-law>).
3.
In ihrer Neubeurteilung hiess die Vorinstanz das Begehren der Beschwerdeführerin um unentgeltlichen Rechtsbeistand für das erstinstanzliche Verfahren teilweise gut. Sie gewährte den Rechtsbeistand für das Vollstreckungsbegehren, nicht jedoch für das Feststellungsbegehren, Letzteres wegen Aussichtslosigkeit. Für die Verbeiständung im erstinstanzlichen Verfahren gewährte die Vorinstanz dem Anwalt der Beschwerdeführerin die beantragte Entschädigung von Fr. 1'496.45. Die teilweise Verbeiständung und die Entschädigung für das erstinstanzliche Verfahren sind unangefochten geblieben.
Umstritten sind demgegenüber Anordnungen der Vorinstanz zur Verlegung der Prozesskosten des kantonalen Beschwerdeverfahrens (Urteilsziffern 4 und 5), eventualiter zum Umfang der unentgeltlichen Rechtspflege in diesem Beschwerdeverfahren (Beschlussziffer 1).
Die Vorinstanz auferlegte die zweitinstanzliche Entscheidgebühr von Fr. 1'000.-- auf Grund des Prozessausgangs - Obsiegen bezüglich der Verbeiständung für Vollstreckbarerklärung, Unterliegen hinsichtlich des Feststellungsbegehrens - je zur Hälfte der Beschwerdeführerin und der Gerichtskasse (Staatskasse) (E. 4.6). Nicht wörtlich, aber sinngemäss stützte sie sich dabei auf <ref-law>.
Sodann sprach die Vorinstanz der Beschwerdeführerin zu Lasten der Gerichtskasse (des Kantons Zürich) eine zweitinstanzliche Parteientschädigung von Fr. 500.-- für die Kosten ihres Anwalts zu. Deren Höhe setzte sie in Anwendung der zürcherischen AnwGebV/ZH fest. Ausgangspunkt war das nach § 13 Abs. 2 AnwGebV/ZH im Beschwerdeverfahren noch Streitige, was gemäss der Vorinstanz der für die Hauptsache beantragten Anwaltsentschädigung von Fr. 1'496.45 entsprach. Wegen vernachlässigbaren Aufwands für das Feststellungsbegehren rechnete sie alle Leistungen des amtlichen Anwalts der Vollstreckbarerklärung zu. Weiter verzichtete sie auf eine Herabsetzung gemäss § 13 Abs. 2 AnwGebV/ZH und bestimmte die Grundgebühr von rund einem Viertel nach der Streitwerttabelle in § 4 Abs. 1 AnwGebV/ZH. Diese erhöhte sie in Anwendung von § 4 Abs. 2 AnwGebV/ZH auf den zugesprochenen Betrag (E. 4.7).
Schliesslich wies die Vorinstanz das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege und Beiordnung ihres Anwalts als amtlicher Rechtsbeistand für das kantonale Beschwerdeverfahren ab, soweit es um den Rechtsbeistand zur Durchsetzung des aussichtslosen Feststellungsbegehrens ging. Im Übrigen, also soweit den Rechtsbeistand zur Durchsetzung der Vollstreckbarerklärung betreffend, schrieb sie das Gesuch wegen der zugesprochenen zweitinstanzlichen Parteientschädigung als gegenstandslos ab. Sie erwog, diese Entschädigung gehe zu Lasten des Staates und sei deshalb ohne Weiteres einbringlich. <ref-law> komme nicht zum Tragen (E. 6).
4.
Die Beschwerdeführerin rügt "die Verletzung von Bundesrecht [...] (<ref-law>), insbesondere die Verletzung des Willkürverbots (<ref-law>) ". Abgesehen von <ref-law> nennt sie keine Norm des Bundesrechts, die verletzt sein soll, doch ergeben sich die ZPO-Bestimmungen, um die es ihr geht, teilweise aus den Verweisen auf die vorinstanzlichen Erwägungen.
4.1. Die Beschwerdeführerin macht geltend, die hälftige Verteilung der Gerichtskosten des Beschwerdeverfahrens gemäss Erwägung 4.7 des angefochtenen Urteils sei nicht gerechtfertigt bzw. unverhältnismässig, weil sie nur in einem Nebenpunkt (Feststellungsbegehren) nicht durchgedrungen sei. Als Folge davon verlangt sie im Antrag 2 die vollumfängliche Auferlegung der Kosten an die Vorinstanz. Sinngemäss rügt sie damit eine Verletzung von <ref-law>. Ferner macht sie geltend, es sei mit dem ersten Urteil des Bundesgerichts unvereinbar, ihr die hälftige Entscheidgebühr aufzuerlegen. Das Bundesgericht habe dort festgehalten, dass die Kosten des Beschwerdeverfahrens neu zu verteilen seien. Das sei so zu verstehen, dass sie keine Verfahrenskosten zu tragen habe.
4.1.1. Das Bundesgericht erwog im Urteil 5A_385/2016 vom 29. November 2016 lediglich, dass die Vorinstanz als Folge der teilweisen Gutheissung der Beschwerde im Punkt unentgeltliche Verbeiständung neu auch die Kosten des Beschwerdeverfahrens zu verteilen habe (E. 5), machte dazu jedoch keine Vorgaben.
4.1.2. Gemäss <ref-law> verteilt das urteilende Gericht die Prozesskosten, wenn keine Partei vollständig obsiegt, nach dem Verfahrensausgang. Dabei hat es ein weites Ermessen, dessen Anwendung das Bundesgericht nur mit Zurückhaltung prüft. Es schreitet nur ein, wenn die Vorinstanz grundlos von in Lehre und Rechtsprechung anerkannten Grundsätzen abgegangen ist, wenn Tatsachen berücksichtigt wurden, die keine Rolle hätten spielen dürfen, oder wenn umgekehrt Umstände ausser Betracht geblieben sind, die zwingend hätten beachtet werden müssen. In derartige Ermessensentscheide wird ferner eingegriffen, wenn sich diese als offensichtlich unbillig, als in stossender Weise ungerecht erweisen (Urteil 4A_207/2015 vom 2. September 2015 E. 3.1 Abs. 2).
Die Beschwerdeführerin legt weder dar, welche Grundsätze die Vorinstanz bei der Kostenverlegung verletzt haben soll, noch führt sie aus, was dabei zu Unrecht berücksichtigt bzw. nicht berücksichtigt worden sein soll. Indem sie das Feststellungsbegehren, mit dem sie unterliegt, im Verhältnis zum Vollstreckungsbegehren als Nebenpunkt bezeichnet, spricht sie die Gewichtung der Begehren an, begründet jedoch keinen Ermessensfehler der Vorinstanz. Die Beschwerde erfüllt in diesem Punkt die Begründungsanforderungen (<ref-law>) nicht.
Die Gewichtung der beurteilten Begehren kann im Einzelfall nach unterschiedlichen Kriterien erfolgen, beispielsweise nach ihrer Bedeutung untereinander im Rechtsstreit oder im Verhältnis zum Zugesprochenen oder nach dem verursachten Aufwand. Ferner sind die Sonderfälle der Verteilung nach Ermessen gemäss <ref-law> zu beachten, darunter die Verteilung in familienrechtlichen Verfahren (Abs. 1 Bst. c). Wenn die Vorinstanz das Vollstreckungs- und das Feststellungsbegehren, bei denen es um den gleichen Unterhalt ging, von ihrer Bedeutung her gleich gewichtete, erscheint dies jedenfalls nicht als offensichtlich unbillig.
Besteht kein Anlass, die hälftige Verteilung der Gerichtskosten des Beschwerdeverfahrens aufzuheben, dann ist entsprechend Beschwerdeantrag 4 zu prüfen, ob der Beschwerdeführerin der unentgeltliche Rechtsbeistand für das kantonale Beschwerdeverfahren zu Recht verweigert wurde, soweit es um den Rechtsbeistand zur Durchsetzung des Feststellungsbegehrens ging.
4.2. Die Beschwerdeführerin meint, die unentgeltliche Rechtspflege für das Beschwerdeverfahren bilde eine Einheit. Die Vorinstanz könne sie nur als Ganzes gutheissen oder abweisen, nicht aber für einzelne Anträge. Es sei willkürlich, die unentgeltliche Rechtspflege nur für einen Teil zu gewähren.
Das trifft nicht zu. <ref-law> sieht eine teilweise Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege vor. Diese kann sich in gewissen Fällen auch aus der Beurteilung der Erfolgsaussichten ergeben. Bei einheitlichen Begehren sind die Erfolgsaussichten in der Regel gesamthaft abzuschätzen und ist die unentgeltliche Rechtspflege im Normalfall ganz oder gar nicht zu gewähren. Nur offensichtliches Überklagen oder Überbestreiten führt zur teilweisen unentgeltlichen Rechtspflege (<ref-ruling> E. 5.5-5.7). Wenn es jedoch um mehrere selbständige Begehren, die unabhängig voneinander beurteilt werden können, geht, dann ist die Beschränkung der unentgeltlichen Rechtspflege auf nicht aussichtslose Begehren zulässig (vgl. <ref-ruling> E. 5.6; Urteile 5D_164/2015 vom 11. Januar 2016 E. 4 Abs. 3 und 4A_235/2015 vom 20. Oktober 2015 E. 3 Abs. 3, <ref-ruling> zu <ref-law>; VIKTOR RÜEGG, Basler Kommentar, 2013, Rz. 2 zu <ref-law>). Vorliegend haben das Vollstreckungsbegehren und das Feststellungsbegehren zwar den gleichen Unterhalt zum Gegenstand, sie konnten aber getrennt beurteilt werden. Dementsprechend erklärte das Bezirksgericht am 14. Januar 2016 das ungarische Urteil für vollstreckbar, trat aber auf das aussichtslose Feststellungsbegehren nicht ein (Bst. B.a). Was die Beschwerdeführerin gegen die Beschränkung der unentgeltlichen Rechtspflege vorbringt, vermag deren Anwendung auf das kantonale Beschwerdeverfahren nicht in Frage zu stellen. Dass andere Lösungen denkbar sind, lässt die Beschränkung auch nicht als willkürlich erscheinen.
Die Gegenstandsloserklärung des Antrags um unentgeltliche Rechtspflege für das Beschwerdeverfahren, soweit die Durchsetzung des Vollstreckungsbegehrens betreffend, wurde nicht angefochten.
4.3. Hinsichtlich der Parteientschädigung für das Beschwerdeverfahren rügt die Beschwerdeführerin eine fehlerhafte Berechnung des zu ersetzenden Anwaltshonorars. Sie meint, die Vorinstanz hätte als Streitwert gemäss § 4 der zürcherischen AnwGebV/ZH den für die Hauptsache massgeblichen Betrag von Fr. 50'000.-- zu Grunde legen müssen und nicht auf die erstinstanzliche Parteientschädigung von Fr. 1'496.45 abstellen dürfen.
§ 2 und 4 AnwGebV/ZH, die für die Berechnung der Anwaltsgebühr auf den Streitwert abstellen, sind kantonales Recht. Die ZPO enthält zwar die Regeln zur Verteilung der Prozesskosten nach dem Verfahrensausgang bei teilweisem Obsiegen bzw. Unterliegen (<ref-law>) und die Vorgabe, dass Anwaltskosten unter dem Titel Parteientschädigung zu ersetzen sind (Art. 95 Abs. 3 Bst. b ZPO), nicht aber die Bemessungskriterien zur Bestimmung dieser Anwaltskosten. Diese richten sich nach den kantonalen Tarifen (<ref-law>, der auf <ref-law> verweist), hier der AnwGebV/ZH.
Nachdem die Beschwerdeführerin der Vorinstanz einzig vorwirft, sie habe bei der Bestimmung der zu ersetzenden Anwaltskosten kantonales Recht falsch angewendet, müsste sie die Willkür der Anwendung begründen (E. 2 Abs. 3). Das tut sie jedoch nicht, insbesondere macht sie keine Abweichung von einer steten Praxis zum Streitwertbegriff der AnwGebV/ZH geltend. Auf die Beschwerde ist daher in diesem Punkt nicht einzutreten. Die Parteientschädigung von Fr. 500.-- für das vorinstanzliche Verfahren (Ziffer 5 des angefochtenen Urteils) bleibt somit unverändert.
5.
Im Ergebnis ist die Beschwerde abzuweisen, soweit darauf einzutreten ist. Bei diesem Verfahrensausgang hätte die Beschwerdeführerin für die Gerichtskosten aufzukommen (<ref-law>). Auf Grund der besonderen Umstände wird jedoch auf die Erhebung der Kosten verzichtet (a.a.O., Satz 2).
Wie die vorstehenden Erwägungen zeigen, war die Beschwerde von Anfang an aussichtslos. Damit mangelt es an einer materiellen Voraussetzung für die unentgeltliche Rechtspflege (<ref-law>). Das entsprechende Gesuch ist abzuweisen.
Der als Gegenpartei geführten Vorinstanz bzw. dem dahinter stehenden Gemeinwesen ist keine Parteientschädigung zuzusprechen (<ref-law>).
Die unterliegende Beschwerdeführerin hat keinen Anspruch auf eine Prozessentschädigung (Art. 68 Abs. 1 und 2 BGG).
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.
Das Gesuch der Beschwerdeführerin um unentgeltliche Rechtspflege wird abgewiesen.
3.
Es werden keine Gerichtskosten erhoben.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 20. Juli 2017
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: von Werdt
Der Gerichtsschreiber: Leu