Sachverhalt:
A.
A._ war zuletzt bis März bzw. April 2012 bei der B._ AG und beim Alters- und Pflegeheim C._ als Reinigerin angestellt. Im Februar 2012 meldete sie sich bei der Invalidenversicherung zum Leistungsbezug an. Die IV-Stelle Basel-Stadt tätigte verschiedene Abklärungen in erwerblicher und medizinischer Hinsicht, insbesondere veranlasste sie die psychiatrische Verlaufsbegutachtung des Dr. med. D._, FMH Psychiatrie und Psychotherapie, vom 12. Januar 2015 sowie dessen Ergänzungsschreiben vom 24. Juli 2015. Mit Verfügung vom 24. September 2015 sprach die Verwaltung A._ eine ganze Rente ab dem 1. September 2012 (Invaliditätsgrad 100 %) sowie eine Viertelsrente ab dem 1. April 2015 (Invaliditätsgrad 44 %) zu.
B.
Das Sozialversicherungsgericht des Kantons Basel-Stadt hiess die dagegen erhobene Beschwerde teilweise gut und hob die Verfügung vom 24. September 2015 insofern auf, als A._ ab dem 1. April 2015 noch eine halbe Invalidenrente zustehe (Entscheid vom 18. April 2016).
C.
Die IV-Stelle führt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten und beantragt die Aufhebung des Entscheids des Sozialversicherungsgerichts Basel-Stadt vom 18. April 2016. In prozessualer Hinsicht sei der Beschwerde die aufschiebende Wirkung zu gewähren.
Während A._ die Abweisung der Beschwerde beantragen lässt, verzichten die ASGA Pensionskasse und die Mobiliar Lebensversicherungs-Gesellschaft AG auf eine Stellungnahme. Das Bundesamt für Sozialversicherungen (BSV) schliesst auf Gutheissung der Beschwerde. Dazu reichte A._ am 21. Oktober 2016 eine weitere Stellungnahme ein.

Erwägungen:
1.
Mit der Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann unter anderem die Verletzung von Bundesrecht gerügt werden (<ref-law>). Die Feststellung des Sachverhalts kann nur gerügt werden, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von Artikel 95 beruht und wenn die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein kann (<ref-law>). Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (<ref-law>). Es kann die Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz von Amtes wegen berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von Artikel 95 beruht (<ref-law>).
2.
Streitig und zu prüfen ist einzig, ob ein leidensbedingter Abzug vom Tabellenlohn zu gewähren ist.
2.1. Ob und in welcher Höhe statistische Tabellenlöhne herabzusetzen sind, hängt von sämtlichen persönlichen und beruflichen Umständen des Einzelfalls ab, die nach pflichtgemässem Ermessen gesamthaft zu schätzen sind. Relevante Merkmale sind leidensbedingte Einschränkung, Alter, Dienstjahre, Nationalität/Aufenthaltskategorie und Beschäftigungsgrad (<ref-ruling> E. 5b/bb S. 80). Die Frage, ob ein Abzug vom Tabellenlohn vorzunehmen sei oder nicht, stellt eine vom Bundesgericht frei zu prüfende Rechtsfrage dar (<ref-ruling> E. 3.3 S. 399). Der Abzug hat nicht automatisch, sondern dann zu erfolgen, wenn im Einzelfall Anhaltspunkte dafür bestehen, dass die versicherte Person wegen eines oder mehrerer dieser Merkmale ihre gesundheitlich bedingte (Rest-) Arbeitsfähigkeit auf dem allgemeinen Arbeitsmarkt nur mit unterdurchschnittlichem erwerblichem Erfolg verwerten kann (<ref-ruling> E. 5b/aa S. 80).
2.2. Die Vorinstanz erwog, es rechtfertige sich nicht, von einem leidensbedingten Abzug abzusehen, weil die Versicherte aufgrund ihres Wasch- und Kontrollzwangs zusätzlich verlangsamt und entsprechend auf einen besonders verständnisvollen Arbeitgeber angewiesen sei. Zudem müsse dem Umstand Rechnung getragen werden, dass bei einer Aufteilung der Restarbeitsfähigkeit auf zwei tägliche Teileinsätze von z.B. zweimal zwei Stunden - weshalb im Übrigen von einer Restarbeitsfähigkeit von lediglich 48 % (statt 50 %) auszugehen sei - der Arbeitsweg doppelt zu bewältigen sei. Insgesamt erscheine ein Abzug von 10 % angemessen.
3.
3.1. Die IV-Stelle wendet zu Recht ein, Dr. med. D._ habe seine Einschätzung der Arbeitsfähigkeit im Verlaufsgutachten vom 12. Januar 2015 unter Berücksichtigung der Verlangsamung der Versicherten vorgenommen. So wies der Gutachter explizit darauf hin, auch die Zwangsstörung, welche im Zusammenhang mit der depressiven Symptomatik eine Verlangsamung zur Folge habe, wirke sich ungünstig auf die Belastbarkeit der Versicherten aus. "Dadurch" lasse sich nachvollziehbar eine Arbeitsfähigkeit von 50 % begründen. Diese gutachterlichen Ausführungen lassen keinen Raum für die von der Versicherten vertretene gegenteilige Auffassung, die Verlangsamung sei nicht in die Beurteilung der Arbeitsfähigkeit miteingeflossen.
Insoweit die Vorinstanz die Gewährung eines leidensbedingten Abzugs dennoch mit der Verlangsamung der Versicherten begründete, hat sie diese doppelt berücksichtigt - einerseits bei der zumutbaren Arbeitsfähigkeit und andererseits mit einem zusätzlichen Abzug -, was unzulässig ist (Urteil 9C_584/2015 vom 15. April 2016 E. 6.2 mit Hinweis).
3.2. Daran ändert nichts, dass Dr. med. D._ im Ergänzungsschreiben vom 24. Juli 2015 ausführte, die Versicherte könne ihre Arbeit theoretisch auch in zwei Portionen aufteilen. Anders als dem angefochtenen Entscheid zugrunde gelegt und in der Stellungnahme vom 21. Oktober 2016 vorgebracht, lässt sich aus der blossen Darlegung dieser Option nicht schliessen, die Versicherte könne lediglich noch maximal zwei Stunden am Stück arbeiten und sie sei deshalb darauf angewiesen, ihre Restarbeitsfähigkeit in zwei Teileinsätzen pro Tag zu leisten. Selbst wenn dem indessen so wäre, änderte dies nichts am Ergebnis. Entgegen den vorinstanzlichen Erwägungen handelt es sich beim Arbeitsweg, welcher bei mehreren Teileinsätzen allenfalls mehrmals zurückzulegen wäre, nicht um ein relevantes Merkmal für die Frage, ob und in welcher Höhe statistische Tabellenlöhne herabzusetzen sind (vgl. E. 2.1 hievor).
3.3. Entgegen der Vorinstanz stellt schliesslich auch der Umstand, dass eine versicherte Person eines besonders verständnisvollen Arbeitgebers bedarf, kein lohnmindernd anerkanntes Kriterium dar (vgl. SVR 2015 IV Nr. 1 S. 2, 8C_97/2014 E. 4.2; Urteil 9C_362/2008 vom 14. November 2008 E. 3.2.4).
4.
Nach dem Gesagten bestehen keine Anhaltspunkte, dass die Versicherte wegen eines oder mehrerer der relevanten Merkmale (vgl. dazu E. 2.1 hievor) ihre gesundheitlich bedingte Restarbeitsfähigkeit auf dem allgemeinen Arbeitsmarkt nur mit unterdurchschnittlichem erwerblichen Erfolg verwerten könnte. Es besteht deshalb kein Anlass für einen leidensbedingten Abzug. Die Beschwerde ist - unabhängig davon, ob von einer Restarbeitsfähigkeit von 48 % oder von 50 % auszugehen ist (vgl. E. 2.2 hievor) - gutzuheissen.
5.
Die Beschwerde ist offensichtlich begründet, weshalb sie im vereinfachten Verfahren nach <ref-law> mit summarischer Begründung erledigt wird.
6.
Mit dem Entscheid in der Sache wird das Gesuch um aufschiebende Wirkung der Beschwerde gegenstandslos.
7.
Bei diesem Ausgang des Verfahrens hat die Beschwerdegegnerin die Gerichtskosten zu tragen (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird gutgeheissen. Der Entscheid des Sozialversicherungsgerichts des Kantons Basel-Stadt vom 18. April 2016 wird aufgehoben und die Verfügung der IV-Stelle Basel-Stadt vom 24. September 2015 bestätigt.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 800.- werden der Beschwerdegegnerin auferlegt.
3.
Die Sache wird zur Neuverlegung der Kosten und der Parteientschädigung des vorangegangenen Verfahrens an das Sozialversicherungsgerichts des Kantons Basel-Stadt zurückgewiesen.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien, der ASGA Pensionskasse, der Schweizerischen Mobiliar Lebensversicherungs-Gesellschaft AG, dem Sozialversicherungsgericht des Kantons Basel-Stadt und dem Bundesamt für Sozialversicherungen schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 16. November 2016
Im Namen der II. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Glanzmann
Der Gerichtsschreiber: Williner