Faits :
A.
A._, né en 1954, a travaillé en qualité de serveur, d'aide de cuisine et de nettoyeur. Dans le cadre d'un programme d'emploi temporaire accompli chez B._, entreprise d'insertion, il s'est occupé de revalorisation de matériel électronique (certificat de travail du 11 juillet 2011). Le 2 septembre 2011, il s'est annoncé à l'assurance-invalidité, en invoquant des problèmes neurologiques.
L'Office de l'assurance-invalidité du canton de Genève (ci-après: l'office AI) a recueilli en particulier les avis des neurologues C._, médecin traitant (rapports des 8 novembre et 20 décembre 2011), et D._, qu'il avait mandaté en qualité d'expert (rapport du 19 juillet 2013). Par décision du 27 novembre 2013, l'office AI a fixé le taux d'invalidité de l'assuré à 10 % et rejeté la demande.
B.
A._ a déféré cette décision à la Cour de justice de la République et canton de Genève, Chambre des assurances sociales, en concluant principalement à son annulation et à l'octroi d'une rente d'invalidité, subsidiairement à des mesures professionnelles.
La Cour de justice a ordonné une expertise qu'elle a confiée au docteur E._, neurologue; l'expert a déposé son rapport le 26 décembre 2014. Par jugement du 23 mars 2015, la juridiction cantonale a admis partiellement le recours, annulé la décision du 27 novembre 2013, reconnu le droit de l'assuré à une rente entière d'invalidité à compter du 1 er janvier 2013 et condamné l'office AI aux dépens par 4'000 fr.
C.
L'office AI interjette un recours en matière de droit public contre ce jugement dont il demande l'annulation. Il conclut d'une part à la confirmation de sa décision du 27 novembre 2013, et d'autre part à ce que la cause lui soit renvoyée pour examen du droit aux prestations pour la période postérieure à l'expertise du docteur E._.
L'assuré intimé conclut au rejet du recours. Il sollicite l'octroi de l'assistance judiciaire.
L'Office fédéral des assurances sociales a renoncé à se déterminer.

Considérant en droit :
1.
Compte tenu des motifs et conclusions du recours, le litige en instance fédérale porte sur la date à partir de laquelle l'intimé a présenté une incapacité de travail déterminante; le recourant ne conteste pas que l'intimé était totalement incapable de travailler à la date de l'expertise judiciaire, mais nie que tel fût le cas dès fin 2011 (75 %) et dès le 1 er mars 2012 (100 %).
2.
Les premiers juges ont exposé correctement les règles applicables à la solution du litige. Il suffit de renvoyer au jugement attaqué.
3.
La Chambre des assurances sociales a considéré que l'expert D._ n'avait pas précisément évalué la capacité de travail du recourant au vu des limitations fonctionnelles. Les juges cantonaux ont constaté que les limitations retenues par l'expert ne comprenaient pas, sans explication, celles liées aux douleurs, au peu de force, aux tremblements et aux paresthésies des membres, pourtant attestées. En outre, ils ont admis qu'il n'était pas cohérent d'admettre que le syndrome myélo-radiculaire pluriétagé n'eût pas de répercussion sur la capacité de travail. Enfin, le syndrome des jambes sans repos diagnostiqué par la doctoresse C._ n'avait pas été discuté. Pour ces motifs, les premiers juges n'ont pas retenu la capacité de travail telle qu'évaluée par l'expert D._, mais ordonné une nouvelle expertise.
A cet égard, la Cour de justice a considéré que le rapport d'expertise du docteur E._ du 26 décembre 2014 répondait aux exigences relatives à la force probante de tels documents. En effet, l'expert avait procédé à une évaluation minutieuse et fondée sur une prise en compte objective de la situation du recourant, ayant en particulier analysé le contexte dans lequel il avait travaillé pour B._, et souligné que le rendement n'était, déjà à cette époque (soit en 2011), pas complet. Si une évaluation rétrospective de la capacité de travail n'était pas facile, l'expert avait néanmoins jugé qu'il disposait de suffisamment d'éléments objectifs pour la fixer, cela à tout le moins depuis fin 2011, époque pour laquelle il avait retenu une capacité limitée à 20-30 %; l'expert avait précisé que la décompensation fonctionnelle progressive de la moelle dorsale sur hernie transdurale était acquise au 1 er mars 2012. Les premiers juges ont ainsi établi que le recourant était en incapacité de travail de 75 % depuis fin 2011, puis de 100 % à partir du 1 er mars 2012. Ils en ont déduit qu'une rente entière d'invalidité était due à compter du 1 er janvier 2013.
4.
Le recourant fait grief aux premiers juges d'avoir admis à tort que l'expertise du docteur D._ était dénuée de force probante. Il relève que l'expert D._ ne s'était référé à l'activité exercée chez B._ que pour souligner la contradiction existant entre l'évaluation du médecin traitant qui attestait d'une capacité de l'ordre de 10-20 % alors que l'intimé était apte à travailler à 100 % durant plusieurs mois à cette même époque. Il ajoute que l'appréciation de la capacité de travail résultait d'examens. En outre, le recourant estime que les juges cantonaux se sont livrés à des conjectures qui relèvent exclusivement de la science médicale lorsqu'ils ont considéré que l'expert n'avait pas précisément évalué la capacité de travail au vu des limitations fonctionnelles retenues. De plus, les appréciations des neurologues C._ et D._ se rejoignaient quant à l'exigibilité d'une pleine capacité de travail.
A l'inverse, le recourant reproche à la juridiction cantonale d'avoir accordé pleine force probante à l'expertise du docteur E._, alléguant qu'elle ne satisferait pas aux exigences en la matière. Il observe que l'expert judiciaire s'est fondé uniquement sur la description du stage accompli chez B._ tel que l'intimé l'a rapportée, où il indiquait devoir faire des pauses et parfois rentrer à la maison. L'évaluation de l'expert serait de plus en contradiction manifeste avec le dossier, singulièrement le certificat de travail de B._ du 11 juillet 2011 qui ne mettait pas d'incapacité de travail en exergue. L'office recourant insiste également sur le fait que l'expert E._ avait clairement indiqué qu'il lui était très difficile de se prononcer, a posteriori, de façon précise sur les capacités de travail antérieures à son examen, mais que les constatations de l'expert démontraient une aggravation de l'état de santé depuis l'année 2013. Il en déduit que l'avis du docteur E._ ne permet pas de faire remonter l'incapacité de travail à fin 2011 déjà.
5.
5.1. En principe, le juge ne s'écarte pas sans motifs impératifs des conclusions d'une expertise médicale judiciaire, la tâche de l'expert étant précisément de mettre ses connaissances spéciales à la disposition de la justice afin de l'éclairer sur les aspects médicaux d'un état de fait donné. Selon la jurisprudence, peut constituer une raison de s'écarter d'une expertise judiciaire le fait que celle-ci contient des contradictions, ou qu'une surexpertise ordonnée par le tribunal en infirme les conclusions de manière convaincante. En outre, lorsque d'autres spécialistes émettent des opinions contraires aptes à mettre sérieusement en doute la pertinence des déductions de l'expert, on ne peut exclure, selon les cas, une interprétation divergente des conclusions de ce dernier par le juge ou, au besoin, une instruction complémentaire sous la forme d'une nouvelle expertise médicale (<ref-ruling> consid. 3b/aa et les références).
Par ailleurs, lorsque, comme en l'occurrence, l'autorité de recours de première instance juge l'expertise judiciaire concluante et en fait sien le résultat, le Tribunal fédéral n'admet le grief d'appréciation arbitraire que si l'expert n'a pas répondu aux questions posées, si ses conclusions sont contradictoires ou si, d'une quelconque autre façon, l'expertise est entachée de défauts à ce point évidents et reconnaissables, même sans connaissances spécifiques, que le juge ne pouvait tout simplement pas les ignorer. Il n'appartient pas au Tribunal fédéral de vérifier si toutes les affirmations de l'expert sont exemptes d'arbitraire; sa tâche se limite bien plutôt à examiner si l'autorité intimée pouvait, sans arbitraire, se rallier au résultat de l'expertise (arrêt 9C_587/2014 du 20 octobre 2014 consid. 6.1; voir également <ref-ruling> consid. 3b/aa p. 352 et les références).
5.2. En l'espèce, les motifs invoqués par l'office recourant à l'encontre de l'expertise ne sont pas convaincants. Si l'expert judiciaire a certes tenu compte des déclarations de l'intimé (cf. rapport du 26 décembre 2014, p. 7), il a toutefois fondé son appréciation du cas en première ligne sur l'analyse des images IRM cervico-dorsales (réalisées entre 2004 et 2013) et d'examens complémentaires (un ENMG pratiqué le 15 octobre 2014), qui ont permis de confirmer la présence de pathologies avec répercussions fonctionnelles objectives. Le docteur E._ a également rendu ses conclusions sur la base des constatations cliniques de ses confrères neurologues C._ en 2011 et D._ en 2013 (rapport, pp. 5-6).
Par ailleurs, l'expert E._ a exposé les motifs qui l'ont conduit à fixer rétrospectivement l'étendue de la capacité de travail depuis la fin de l'année 2011. A cet égard, il a indiqué clairement que la " relative divergence d'appréciation " d'avec ses confrères neurologues C._ et D._, tient " probablement du fait de l'évolution de la myélopathie au décours confortée par l'objectivation précise d'une diminution des influx nerveux médullaires par les potentiels évoqués " (rapport, p. 7). L'expert a ainsi mis en évidence des éléments objectifs que ses confrères n'avaient pas pu voir à défaut d'examens plus précis. De plus, à l'inverse du docteur D._, le docteur E._ a fait état d'une péjoration de la problématique dorsale entre 2004 et 2013 (aggravation de la myélomalacie D2-D3 dès 2004 et apparition d'une hernie transdurale). On ajoutera que le stage chez B._ a été accompli du 5 octobre 2010 au 15 avril 2011, soit antérieurement au moment où l'expert E._ a fait débuter l'incapacité de travail de 75 % (en novembre 2011); son appréciation n'est donc pas contradictoire avec le certificat de travail du 11 juillet 2011.
Dans ces circonstances, on ne saurait qualifier d'arbitraire l'appréciation de la juridiction cantonale fondée sur le rapport du docteur E._. En l'absence de contradictions dans le rapport d'expertise et à défaut d'opinions contraires d'autres spécialistes aptes à mettre sérieusement en doute la pertinence des déductions de l'expert, il n'y a pas lieu de s'écarter de ses conclusions ni d'ordonner un complément d'instruction. Dénuées d'arbitraire, les constatations de la juridiction cantonale quant à la date à partir de laquelle l'intimé présentait une incapacité totale de travail (dans toutes activités) lient le Tribunal fédéral (<ref-law>). Le recours est mal fondé sur ce point.
6.
6.1. Le recourant conteste également l'indemnité de dépens de 4'000 fr. allouée à l'avocate de l'intimé. Il soutient que ce montant est manifestement disproportionné, eu égard au travail accompli et à la complexité de la cause, car le litige portait uniquement sur l'appréciation médicale de la capacité de travail. A cet égard, il observe que la mandataire, qui occupe également un poste de Juge assesseur auprès de la même juridiction cantonale, a rédigé un mémoire de recours de huit pages, dont deux seulement sont consacrées à la partie " droit " et n'auraient rien apporté de nouveau à la procédure, le reste du travail se résumant à un rappel des documents figurant au dossier. L'avocate a déposé des observations à la suite du dépôt de l'expertise judiciaire, puis une écriture d'une page et demie dans laquelle elle exprimait son adhésion aux conclusions de l'expert.
6.2. L'intimé a obtenu gain de cause " en grande partie " (consid. 13 du jugement attaqué) en procédure cantonale (sur cette notion, cf. <ref-ruling> consid. 6.2 p. 235 et les références). Il a droit à ce que ses frais et ses dépens soient remboursés dans la mesure fixée par le tribunal selon l'importance et la complexité de la cause (art. 61 let. g LPGA). Si le principe du droit aux dépens relève du droit fédéral, l'évaluation de leur montant ressortit en revanche au droit cantonal dont l'examen échappe en principe à la compétence du Tribunal fédéral, sauf exceptions non pertinentes en l'occurrence (cf. art. 95 let. c, d et e LTF) ou sauf si l'application de ce droit consacre une violation du droit fédéral au sens de l'<ref-law> (notamment de l'interdiction de l'arbitraire [art. 9 Cst.]; cf. arrêt 9C_857/2013 du 15 septembre 2015 consid. 6.2 et les références). Dans son argumentation, l'administration invoque une application arbitraire du droit cantonal quant à la fixation des dépens.
Les premiers juges ont alloué des dépens pour un montant de 4'000 fr., sans procéder à aucune constatation concrète quant au temps investi par la mandataire de l'intimé, qui n'a pas fourni de note d'honoraire. Cette rémunération reste dans la fourchette de 200 fr. à 10'000 fr. prévue par le droit de procédure genevois (cf. art. 6 du règlement sur les frais, émoluments et indemnités en procédure administrative du 30 juillet 1986, RFPA; RS/GE E 5 10.03). Par ailleurs, confrontés à une fourchette de 160 à 320 fr. par heure admise par le Tribunal fédéral en ce qui concerne la facturation du travail accompli durant une procédure devant les tribunaux cantonaux des assurances (arrêt 9C_857/2013 précité), des dépens d'un montant de 4'000 fr. correspondraient à 12,5 heures de travail à 320 fr. Sous cet angle également, la décision des premiers juges n'apparaît pas non plus insoutenable.
7.
Le recourant, qui succombe, supportera les frais et dépens de la procédure (art. 66 al. 1 et 68 al. 1 LTF).

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce :
1.
Le recours est rejeté.
2.
Les frais judiciaires, arrêtés à 800 fr., sont mis à la charge du recourant.
3.
Le recourant versera à l'avocate de l'intimé la somme de 2'400 fr. à titre de dépens pour l'instance fédérale.
4.
Le présent arrêt est communiqué aux parties, à la Cour de justice de la République et canton de Genève, Chambre des assurances sociales, et à l'Office fédéral des assurances sociales.
Lucerne, le 25 janvier 2016
Au nom de la IIe Cour de droit social
du Tribunal fédéral suisse
La Présidente : Glanzmann
Le Greffier : Berthoud