Sachverhalt:
A.
Die am 6. Februar 2006 geborene B._ ist die Tochter der im Frühjahr 2011 geschiedenen Ehegatten A._ und C._. Das Kind befindet sich in der Obhut der Mutter.
Nachdem sich das Besuchsrecht des Kindsvaters als schwer umsetzbar erwiesen hatte, richtete das Familiengericht Bremgarten am 18. Juni 2014 eine Erziehungsbeistandschaft nach Art. 308 Abs. 1 und 2 ZGB ein. Dem Beistand wurde unter anderem die Koordination, Planung und Überwachung des persönlichen Verkehrs aufgetragen.
Am 21. Mai 2015 stellte A._ (damals: A._) beim Familiengericht den Antrag, es sei ein kinderpsychologisches Gutachten einzuholen zur Frage, weshalb sich B._ Besuchen bei ihrem Vater widersetze. Die dazu in Aussicht genommene Anhörung des Kindes kam nicht zustande. Das Familiengericht wies den Antrag ab; eine gutachterliche Abklärung sei nicht erforderlich. Weiter ordnete es an, die Erziehungsbeistandschaft unverändert weiterzuführen. Die Mutter wurde angewiesen, mit dem Beistand zusammenzuarbeiten, der Beistand, bei Zuwiderhandlung Meldung zu erstatten. Die Nichtbefolgung der Weisung zur Zusammenarbeit unterstellte das Gericht der Strafdrohung nach Art. 292 StGB (Entscheid vom 17. November 2015).
B.
A._ und B._ fochten diesen Entscheid beim Obergericht des Kantons Aargau an. Sie hielten am Antrag auf Einholung einer kinderpsychologischen Expertise fest. Gestützt auf diese seien die Weisung, mit dem Beistand zusammenzuarbeiten, und die zu deren Durchsetzung statuierten Vorkehren (Meldepflicht des Beistandes, Strafdrohung) neu zu beurteilen. Das Obergericht wies die Beschwerde ab, soweit es darauf eintrat (Entscheid vom 3. Juni 2016).
C.
A._ und B._ führten am 12. Juli 2016 Beschwerde in Zivilsachen. Sie erneuern die vorinstanzlich gestellten Begehren. Eventuell sei die Sache zur neuen Beurteilung an die Vorinstanz zurückzuweisen. Die Beschwerdeführerinnen beantragen ausserdem die unentgeltliche Rechtspflege.
Mit Verfügung vom 13. Juli 2016 wies das Bundesgericht das Gesuch der Beschwerdeführerinnen um aufschiebende Wirkung des Rechtsmittels ab.
Das Bundesgericht zog die kantonalen Akten bei, holte jedoch keine Vernehmlassungen ein.

Erwägungen:
1.
Angefochten ist ein kantonal letztinstanzlicher Entscheid unter anderm betreffend eine Beweisvorkehr im Zusammenhang mit dem Besuchsrecht (Art. 273 ZGB). Dagegen steht die Beschwerde in Zivilsachen offen (Art. 72 Abs. 2 lit. b Ziff. 6, Art. 75 Abs. 1 und Art. 90 BGG).
2.
In rechtlicher Hinsicht sind alle Rügen gemäss Art. 95 f. BGG zulässig. Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (Art. 106 Abs. 1 BGG), was heisst, dass es behauptete Rechtsverletzungen (Art. 42 Abs. 2 BGG) mit freier Kognition prüft (Urteil 5A_401/2015 vom 7. September 2015 E. 1). Hingegen ist das Bundesgericht grundsätzlich an den vorinstanzlich festgestellten Sachverhalt gebunden (Art. 105 Abs. 1 BGG). Diesbezüglich kann die rechtsuchende Partei nur vorbringen, die Feststellungen der Vorinstanz seien offensichtlich unrichtig, das heisst willkürlich (<ref-ruling> E. 1.5 S. 401), oder sie beruhten auf einer anderen Rechtsverletzung im Sinne von Art. 95 BGG (beispielsweise auf einer Verletzung des rechtlichen Gehörs oder einer Beweislastregel; Art. 97 Abs. 1 BGG).
3.
3.1. Hauptgegenstand des Verfahrens ist der Antrag der Kindsmutter, das Kind sei zur Frage des persönlichen Verkehrs mit dem Kindsvater psychologisch zu begutachten. Strittig sind auch die vor Familiengericht nicht zustandegekommene Anhörung des Kindes im Hinblick auf die Begutachtung sowie die (mit einer Strafandrohung bewehrte) Weisung an die Kindsmutter (Art. 307 Abs. 3 ZGB), mit dem Beistand zusammenzuarbeiten.
3.2.
3.2.1. Zur Frage, ob eine kinderpsychologische Begutachtung notwendig sei, erwog die Vorinstanz, seit Ende Mai 2013 beinhalte das Besuchsrecht des Kindsvaters alle zwei Wochen stattfindende Besuche von drei Stunden. Sie schloss sich der Auffassung des Familiengerichts an, mit einem kinderpsychologischen Gutachten lasse sich zwar eruieren, ob die Ablehnung des Vaters in eigenen Erfahrungen des Kindes begründet oder aber durch Einflussnahme der Mutter zustande gekommen sei. Der bestehende Konflikt lasse sich damit aber kaum lösen. Die von Kind und Kindsmutter behaupteten traumatischen Erfahrungen mit der Lebenspartnerin des Kindsvaters seien nicht erstellt; eine entsprechende strafrechtliche Anzeige sei nicht an die Hand genommen worden. Bisher hätten nicht einmal durch den Beistand begleitete dreistündige Besuche stattgefunden, obwohl dem Kindsvater selber nichts vorgeworfen werde. Die Kindsmutter unterstütze die ablehnende Haltung von B._ und sei nicht bereit, zwischen ihr und dem Vater zu vermitteln. Mit neun Jahren sei B._ nach wie vor in einem Alter, in welchem sie den Ansichten und (auch unterschwelligen) Erwartungen des betreuenden Elternteils ausgeliefert sei. Unter diesen Umständen erscheine die Erstellung eines Gutachtens in der Hoffnung, damit liessen sich die Probleme bei der Ausübung des Besuchsrechts lösen, zwecklos und unverhältnismässig (E. 4.3 des angefochtenen Entscheids).
3.2.2. Die Beschwerdeführerinnen heben hervor, B._ lehne den Kontakt mit ihrem Vater klar und dauerhaft ab. Nur das geforderte psychologische Gutachten werde Klarheit über die Ursachen dafür bringen. Entgegen den Ausführungen des Obergerichts gehe es nicht darum, den Konflikt zwischen den Eltern zu lösen, sondern allein darum, ob es B._ zugemutet werden könne, sich dem verfügten Besuchsrecht "zu beugen".
3.2.3. Die Vorinstanz kommt zur Auffassung, dass die Kontaktprobleme nichts mit dem Vater oder mit dem Verhalten von dessen Lebenspartnerin zu tun haben. Dem angefochtenen Entscheid liegt die Erkenntnis zugrunde, dass sich die negative Einstellung der Kindsmutter dem Kindsvater gegenüber auf die Tochter überträgt. Die Umstände, mit welchen die Mutter ihre Sorge um das Kindeswohl begründet, erklären nicht, weshalb sie - nach nicht offensichtlich unrichtiger Feststellung der Vorinstanz - nichts unternommen hat, um wenigstens auf einige Stunden beschränkte, begleitete Besuche zu ermöglichen. In diesem Lichte ist die vorinstanzliche Prognose, dass eine Begutachtung nichts an der blockierten Ausübung des Besuchsrechts ändern würde, nicht willkürlich. Somit hat das Obergericht auch keine beweisrechtlichen Grundsätze verletzt, als es das beantragte Gutachten als zwecklos einstufte.
3.3. Die Beschwerdeführerinnen halten überdies vor Bundesgericht daran fest, der ablehnenden Haltung des Kindes gegenüber einem Kontakt zum Kindsvater sei auch mittels einer Anhörung vor dem Familiengericht nachzugehen.
3.3.1. Dazu erwog das Obergericht, eine Anhörung des Kindes hätte keinen entscheidenden Einfluss auf den Ausgang des Verfahrens betreffend die Einholung eines Gutachtens gehabt. Die Umstände rechtfertigten einen Verzicht darauf (E. 3.3.2 des angefochtenen Entscheids).
3.3.2. Ist die vorinstanzliche Ablehnung einer Begutachtung rechtens (oben E. 3.2), so gilt dies ohne Weiteres auch für die Anhörung; denn mit ihr würde das gleiche Erkenntnisziel verfolgt wie mit einer Begutachtung. Unter diesen Umständen kann der Vorinstanz nicht vorgeworfen werden, sie habe die Belastung des Kindes, wie sie mit jeder Anhörung verbunden ist (vgl. <ref-ruling> E. 1.3.3 S. 559), zu Unrecht angeführt. Der Vorhalt, die Vorinstanz habe ein wichtiges und wesentliches Beweismittel in willkürlicher Weise nicht abgenommen, ist ebensowenig begründet wie die - im Zusammenhang mit dem Nichtzustandekommen der Anhörung erhobene - Rüge, das Familiengericht habe durch stures Festhalten an Terminen und unflexible Handhabung von Verschiebungsgesuchen überspitzt formalistisch gehandelt.
3.4.
3.4.1. Des Weitern schützte die Vorinstanz die Schlussfolgerung des Familiengerichts, die Kindsmutter kooperiere bei der Umsetzung des Besuchsrechts generell nicht, weshalb sie zur Zusammenarbeit anzuhalten sei. Aus dem Verhalten und den Äusserungen der Kindsmutter ergebe sich einmal, dass diese wenig an einer Anhörung der Tochter interessiert gewesen sei. Die fehlende Kooperation folge sodann auch aus dem Umstand, dass der Beistand das Kind seit Errichtung der Beistandschaft im Juni 2014 nie gesehen habe (E. 3.3.2 des angefochtenen Entscheids).
3.4.2. Die Beschwerdeführerinnen setzen dieser Beweiswürdigung ihre eigene Sicht der Dinge entgegen, ohne auszuführen, in welcher Hinsicht und aus welchen Gründen der Sachverhalt willkürlich festgestellt sein sollte (oben E. 2). Schon von daher kann die Beschwerde in diesem Punkt nicht an die Hand genommen werden.
Im Übrigen vermengen die Beschwerdeführerinnen das Nichtzustandekommen einer Anhörung im familiengerichtlichen Verfahren teilweise mit dem Nichtzustandekommen von Unterredungen mit dem Beistand. Irrelevant ist etwa der Vorwurf, der frühere Berufsbeistand habe Obstruktion betrieben, nachdem die Kindsmutter einen Rechtsbeistand mandatiert hatte. Ebenfalls nicht entscheidungserheblich ist das Vorbringen, der Übertragungsbericht des Berufsbeistandes vom 19. November 2015, in den die Kindsmutter zuvor keine Einsicht gehabt habe, sei ihr zwar im vorinstanzlichen Verfahren zugestellt worden. Jedoch habe sich das Obergericht mit ihrer Stellungnahme vom 17. Mai 2016 nicht inhaltlich auseinandergesetzt. Darin liege eine Rechtsverweigerung. Sowohl der Übertragungsbericht wie auch die Stellungnahme beziehen sich ausschliesslich auf die Gründe, weshalb keine Besprechungen mit dem Berufsbeistand zustandegekommen sind.
4.
Zusammenfassend ergibt sich, dass die Beschwerde abzuweisen ist, soweit darauf eingetreten werden kann. Wie die vorstehenden Erwägungen zeigen, muss das Rechtsmittel als von Anfang an aussichtslos bezeichnet werden, weshalb es an einer materiellen Voraussetzung für die unentgeltliche Rechtspflege fehlt (Art. 64 Abs. 1 BGG). Das entsprechende Gesuch ist abzuweisen.
5.
Ausgangsgemäss sind die Gerichtskosten den Beschwerdeführerinnen aufzuerlegen (Art. 66 Abs. 1 BGG). Bei deren Festsetzung wird den finanziellen Verhältnissen der Kindsmutter Rechnung getragen.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.
Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege wird abgewiesen.
3.
Die Gerichtskosten von Fr. 800.-- werden den Beschwerdeführerinnen auferlegt.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien, dem Bezirksgericht Bremgarten, Familiengericht, und dem Obergericht des Kantons Aargau, Kammer für Kindes- und Erwachsenenschutz, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 31. Januar 2017
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: von Werdt
Der Gerichtsschreiber: Traub