Sachverhalt:
A.
Mit Bauentscheid vom 23. August 2011 erteilte die Bausektion Zürich B._ die Baubewilligung für die Erstellung eines Mehrfamilienhauses (4 Wohnungen) mit Unterniveaugarage anstelle des bestehenden Wohnhauses auf dem Grundstück Kat.-Nr. SW2972 in Zürich 12 - Saatlen. Die Bewilligung erwuchs nach Abweisung des dagegen erhobenen Rekurses in Rechtskraft.
Mit Bauentscheid vom 2. Juli 2014 erteilte das Amt für Baubewilligungen der Stadt Zürich B._ die Bewilligung für die Lageverschiebung der Garagenzufahrt (Abänderungspläne zum mit Bauentscheid vom 23. August 2011 bewilligten Wohnhaus). Diesen Bauentscheid fochten X.A._ und Y.A._ (als Stockwerkeigentümergemeinschaft) mit Rekurs vom 8. August 2014 beim Baurekursgericht des Kantons Zürich an. Dieses wies den Rekurs mit Entscheid vom 3. Dezember 2014 ab.
Am 23. Januar 2015 reichten X.A._ und Y.A._ Beschwerde an das Verwaltungsgericht des Kantons Zürich ein, welches die Beschwerde mit Urteil vom 22. Oktober 2015 abwies.
B.
Mit Eingabe vom 5. Dezember 2015 führen X.A._ und Y.A._ Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten an das Bundesgericht. Sie beantragen die Aufhebung des angefochtenen Urteils und die Rückweisung der Sache zu neuer Entscheidung an die Vorinstanz.
Mit Verfügung vom 11. Januar 2016 erkannte der Präsident der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung der Beschwerde die aufschiebende Wirkung zu.
Die Vorinstanz beantragt, die Beschwerde sei abzuweisen, soweit darauf eingetreten werden könne. Das Amt für Baubewilligungen der Stadt Zürich stellt Antrag auf Beschwerdeabweisung. B._ beantragt, auf die Beschwerde sei nicht einzutreten, eventualiter sei diese abzuweisen. Die Beschwerdeführer halten an ihrem Standpunkt fest.

Erwägungen:
1.
1.1. Dem angefochtenen Entscheid liegt ein Beschwerdeverfahren über eine baurechtliche Bewilligung zugrunde. Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten nach <ref-law> steht auf dem Gebiet des Raumplanungs- und Baurechts zur Verfügung. Angefochten ist ein Entscheid einer letzten kantonalen Instanz (<ref-law>). Die Beschwerdeführer haben am vorinstanzlichen Verfahren teilgenommen, sind als unmittelbare Nachbarn durch den angefochtenen Entscheid besonders berührt und haben ein schutzwürdiges Interesse an dessen Aufhebung oder Änderung (<ref-law>).
1.2. Mit der Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten können Rechtsverletzungen im Sinne von <ref-law> gerügt werden. Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (<ref-law>), doch prüft es, unter Berücksichtigung der allgemeinen Rüge- und Begründungspflicht (Art. 42 Abs. 1 und 2 BGG), nur die geltend gemachten Vorbringen, falls allfällige weitere rechtliche Mängel nicht geradezu offensichtlich sind (<ref-ruling> E. 1.4.1 S. 254). Hinsichtlich der Verletzung von Grundrechten - einschliesslich der willkürlichen Anwendung von kantonalem Recht und Willkür bei der Sachverhaltsfeststellung - gilt eine qualifizierte Rügepflicht (<ref-law>; vgl. <ref-ruling> E. 1.6 S. 281 f.).
2.
2.1. Das am 23. August 2011 bewilligte Bauvorhaben betrifft die Erstellung eines Mehrfamilienhauses mit Unterniveaugarage sowie den Abbruch des bestehenden Wohnhauses. Mit der vorliegend zu beurteilenden Projektänderung sollen die Garagenzufahrt und die Garagenaussenwand weiter vom Nachbargrundstück der Beschwerdeführer weg bzw. näher zum projektierten Mehrfamilienhaus hin verschoben werden, sodass das Grundstück der Beschwerdeführer für die Bauarbeiten nicht mehr beansprucht werden muss. Das Baugrundstück liegt gemäss Bau- und Zonenordnung der Stadt Zürich (BZO) in der Wohnzone W2 und gemäss Grundwasserkarte des Kantons Zürich im Gewässerschutzbereich Au. Im Stammbaubewilligungsverfahren erteilte die Baudirektion Zürich am 23. Februar 2011 eine wasser- und gewässerschutzrechtliche Bewilligung, welche mit der Auflage ergänzt wurde, die Baugrube sei mit einem dichten, geschlossenen Spundwandkasten zu sichern.
2.2. Die Beschwerdeführer rügen eine Verletzung der Begründungspflicht als Teilgehalt des Anspruchs auf rechtliches Gehör gemäss <ref-law>, da sich die Vorinstanz mit ihren Rügen gar nicht oder nur pauschal auseinandergesetzt habe.
2.3. Aus dem Anspruch auf rechtliches Gehör ergibt sich für die Behörde die Pflicht, ihren Entscheid zu begründen. Dies bedeutet indes nicht, dass sie sich mit jeder tatbeständlichen Behauptung und jedem rechtlichen Einwand auseinandersetzen muss. Vielmehr kann sie sich auf die für den Entscheid wesentlichen Punkte beschränken (<ref-ruling> E. 5.2 und 5.3 S. 236 f.).
2.4. Die Vorinstanz hat zusammenfassend erwogen, da mit der zu beurteilenden Projektänderung die Garagenzufahrt und die Garagenaussenwand weiter weg vom Nachbargrundstück der Beschwerdeführer verschoben würden, ergebe sich für dieses keine grössere Gefährdung als jene, welche bereits im Stammbaubewilligungsverfahren beurteilt worden sei. Dort seien die notwendigen Anordnungen zur Verhinderung der Gefährdung von Personen und Sachen getroffen worden (insb. die Sicherung der Baugrube mit einer Spundwand). Diese Nebenbestimmungen zur Stammbaubewilligung hätten weiterhin Geltung. Im Übrigen sei entgegen der nicht substanziierten Behauptung der Beschwerdeführer nicht ersichtlich, weshalb die Überprüfung der Projektänderung gestützt auf die Baueingabepläne nicht möglich sein sollte.
2.5. Mit diesen Erwägungen ist die Vorinstanz ihrer Begründungspflicht nachgekommen. Die Beschwerdeführer behaupten nicht, dass die Projektänderung mit einer erhöhten Gefährdung für ihr Grundstück verbunden sein könnte, sodass die Nebenbestimmungen der Stammbaubewilligung für die Einhaltung der gebührenden Sicherheit bei der Bauausführung und der Bauinstallation nicht mehr ausreichend wären. Dies ist auch nicht ersichtlich, da mit der Projektänderung der Abstand zwischen der Garagenzufahrt bzw. der Garagenaussenwand und dem Grundstück der Beschwerdeführer vergrössert wird. Die Vorinstanz war mangels Hinweisen auf eine andere Gefährdungslage nicht gehalten, sich nochmals mit den bereits im Stammbaubewilligungsverfahren beurteilten Einwänden zu befassen.
Mit ihren weiteren Ausführungen üben die Beschwerdeführer blosse appellatorische Kritik am angefochtenen Urteil. Sie stellen einzig ihre Sicht der Dinge dar, ohne sich mit den Erwägungen der Vorinstanz auseinanderzusetzen. Die Beschwerdeführer rügen insbesondere keine willkürliche Anwendung kantonalen Rechts und legen auch im Übrigen nicht dar, inwiefern der angefochtene Entscheid Bundesrecht verletzen sollte. Dies ist auch nicht ersichtlich.
3.
Die Beschwerde ist deshalb abzuweisen, soweit darauf einzutreten ist. Bei diesem Verfahrensausgang haben die Beschwerdeführer die Gerichtskosten zu tragen (Art. 66 Abs. 1 und 5 BGG) und dem anwaltlich vertretenen Beschwerdegegner eine angemessene Entschädigung auszurichten (Art. 68 Abs. 1 und 2 BGG). Die kommunalen und kantonalen Behörden haben keinen Anspruch auf Ausrichtung einer Parteientschädigung (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 3'000.-- werden den Beschwerdeführern auferlegt.
3.
Die Beschwerdeführer haben dem Beschwerdegegner für das bundesgerichtliche Verfahren eine Entschädigung von Fr. 2'500.-- zu bezahlen.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien, dem Amt für Baubewilligungen der Stadt Zürich und dem Verwaltungsgericht des Kantons Zürich, 1. Abteilung, 1. Kammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 15. März 2016
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Fonjallaz
Der Gerichtsschreiber: Stohner