Sachverhalt:
A.
A._ (geb. 2008) erstattete am 4. Dezember 2014, handelnd durch seine Mutter B._, Strafanzeige bei der aargauischen Staatsanwaltschaft gegen seinen Vater E._ wegen Veruntreuung von Kindesvermögen. Gleichzeitig erstattete er Anzeige gegen dessen Rechtsanwalt, F._, wegen Gehilfenschaft zu diesem Delikt. Die Vorwürfe stehen im Zusammenhang mit der Erbschaft des am 10. Juli 2013 verstorbenen G._, dem Grossvater von A._. A._ machte geltend, sein Erbanteil sei in zwei Tranchen auf ein österreichisches Konto seiner Mutter, auf welches sein Vater mittels Bankomatkarte Zugriff gehabt habe, sowie auf ein schweizerisches Konto seines Vaters ausbezahlt worden. Rechtsanwalt F._ habe die beiden Überweisungen autorisiert. Das Geld habe sein Vater, gegen den in Österreich im Februar 2013 die Geschäftsinsolvenz eröffnet worden sei und gegen den in der Schweiz ein Wirtschaftsstrafprozess hängig sei, zu eigenen Zwecken verwendet.
Am 13. April 2015 verstarb E._. Darauf stellte die Staatsanwaltschaft mit Verfügung vom 29. April 2015 (genehmigt durch die Oberstaatsanwaltschaft am 1. Mai 2015) das Verfahren gegen ihn ein. Mit Verfügung vom 11. Mai 2015 (genehmigt durch die Oberstaatsanwaltschaft am 12. Mai 2015) nahm sie das Strafverfahren gegen Rechtsanwalt F._ wegen Gehilfenschaft zu Veruntreuung nicht anhand.
Auf die Beschwerde A._s hin hob das Obergericht des Kantons Aargau mit Entscheid vom 10. Dezember 2015 die Nichtanhandnahmeverfügung auf und wies die Sache an die Staatsanwaltschaft zurück. Diese eröffnete in der Folge ein Strafverfahren gegen Rechtsanwalt F._.
Mit Eingabe vom 19. August 2016 reichte A._ ein Ausstandsgesuch gegen die kantonale Staatsanwaltschaft und insbesondere gegen den verfahrensleitenden Staatsanwalt, D._, ein. Mit Entscheid vom 27. Februar 2017 wies das Obergericht des Kantons Aargau das Ausstandsgesuch ab, soweit es darauf eintrat.
B.
Mit Beschwerde in Strafsachen ans Bundesgericht vom 31. März 2017 beantragt A._, der Entscheid des Obergerichts sei aufzuheben und das Ausstandsgesuch gegen Staatsanwalt D._ gutzuheissen.
Die Oberstaatsanwaltschaft und das Obergericht haben auf eine Stellungnahme verzichtet. Staatsanwalt D._ hat sich nicht vernehmen lassen.

Erwägungen:
1.
1.1. Beim angefochtenen Urteil handelt es sich um einen selbständig eröffneten Zwischenentscheid über ein Ausstandsbegehren in einer Strafsache (Art. 78 Abs. 1 und Art. 92 Abs. 1 BGG). Das Obergericht hat als letzte und einzige kantonale Instanz entschieden (<ref-law> i.V.m. <ref-law>). Der Beschwerdeführer ist gemäss Art. 81 Abs. 1 lit. a und lit. b Ziff. 5 BGG zur Beschwerde befugt. Die weiteren Sachurteilsvoraussetzungen geben zu keinen Bemerkungen Anlass. Auf die Beschwerde ist einzutreten.
1.2. Im Gegensatz zum vorinstanzlichen Verfahren verlangt der Beschwerdeführer im Verfahren vor Bundesgericht nur noch den Ausstand von Staatsanwalt D._ und nicht mehr der gesamten kantonalen Staatsanwaltschaft.
2.
2.1. Der Beschwerdeführer macht geltend, der Beschwerdegegner habe eine Reihe schwerer Verfahrensfehler begangen. Zudem ist er der Auffassung, der Beschwerdegegner habe versucht, seine Rechtsvertreterin einzuschüchtern, indem er ihr strafbares Verhalten und eine Verletzung der Standesregeln für Anwälte vorgeworfen habe.
2.2. <ref-law> zählt verschiedene Gründe auf, die zum Ausstand von in einer Strafbehörde tätigen Personen führen. Nach <ref-law> trifft dies namentlich aus anderen (als den in lit. a-e der gleichen Bestimmung genannten) Gründen zu, insbesondere wenn die in der Strafverfolgung tätige Person wegen Freundschaft oder Feindschaft mit einer Partei oder deren Rechtsbeistand befangen sein könnte. <ref-law> konkretisiert die Verfassungsbestimmung von <ref-law> (für nicht richterliche Behörden) und von <ref-law> (für richterliche Behörden) sowie von Art. 6 Ziff. 1 EMRK. Hinsichtlich der Staatsanwaltschaft in ihrer Funktion als Strafuntersuchungs- und Anklagebehörde konkretisiert <ref-law> mithin den in <ref-law> und Art. 6 Ziff. 1 EMRK verankerten Anspruch jeder Person auf ein faires Verfahren. Die Garantie ist verletzt, wenn bei objektiver Betrachtungsweise Gegebenheiten vorliegen, die den Anschein der Befangenheit zu begründen vermögen. Vom Staatsanwalt als Untersuchungs- und Anklagebehörde ist dabei Sachlichkeit, Unbefangenheit und Objektivität namentlich insofern zu erwarten, als er sich vor Abschluss der Untersuchung grundsätzlich nicht darauf festlegen darf, dass dem Beschuldigten ein strafbares Verhalten zur Last zu legen sei (<ref-ruling> E. 3.2.1 f. S. 179 f. mit Hinweisen). Auch hat er den entlastenden Indizien und Beweismitteln ebenso Rechnung zu tragen wie den belastenden (<ref-law>). Materielle oder prozessuale Rechtsfehler stellen dagegen nur dann einen Ausstandsgrund dar, wenn sie besonders krass sind und wiederholt auftreten, sodass sie einer schweren Amtspflichtverletzung gleichkommen (<ref-ruling> E. 3.2.3 S. 180 mit Hinweisen).
2.3. Mit seinem Vorwurf, der Beschwerdegegner habe versucht, seine Rechtsvertreterin einzuschüchtern, bezieht sich der Beschwerdeführer auf die Stellungnahme des Beschwerdegegners im vorinstanzlichen Verfahren vom 8. September 2016. Die beanstandete Passage der Stellungnahme des Beschwerdegegners hat folgenden Wortlaut:
"Des Weiteren ist festzuhalten, dass die Vertreterin des Gesuchstellers den Verfahrensleiter der Gesuchsgegnerin in ihrem Ausstandsgesuch wider besseres Wissen mehrfach der Begünstigung (<ref-law>), der Urkundenfälschung (<ref-law>) sowie der Unterdrückung von Urkunden (<ref-law>) und damit eines strafbaren Verhaltens gegenüber einem Dritten, namentlich gegenüber der Beschwerdekammer in Strafsachen des Obergerichts des Kantons Aargau, bezichtigt. Schliesslich sind die Ausführungen der Vertreterin des Gesuchstellers auch ehrverletzend, da sie den Ruf des Verfahrensleiters, ein ehrbarer Mensch zu sein, d.h. sich so zu benehmen, wie nach allgemeiner Anschauung ein charakterlich anständiger Mensch sich zu verhalten pflegt, herabsetzt (vgl. dazu <ref-ruling>, E. 2 ff.). Die vorliegenden Äusserungen der Vertreterin des Gesuchstellers können augenscheinlich nicht mehr unter die 'professionelle Schärfe', die zwischen Parteien besteht, die auf verschiedenen Seiten stehen, subsumiert werden.
Alsdann stellt sich unter Berücksichtigung des Verhaltens der Vertreterin des Gesuchstellers sowie ihren Handlungen im gesamten vorliegenden Verfahren die Frage, ob diese die nötige professionelle Distanz aufweist, um für den Gesuchsteller... das beste Resultat erzielen zu können, da unbestritten eine persönliche Nähe zu den involvierten Personen besteht. Einerseits ist die Vertreterin des Gesuchstellers die Ex-Frau des verstorbenen E._ sel., mit dem sie drei Kinder hat und andererseits ist die Anzeigeerstatterin die zweite Ehefrau, unmittelbar nach der Vertreterin des Gesuchstellers, des Verstorbenen, die mit diesem ein Kind, welches in casu der Gesuchsteller ist, hat.
Aufgrund dieser Tatsachen entstand bis heute vielmehr der Anschein, dass die Vertreterin von A._ sich mit Frau B._ solidarisierte, um zunächst gemeinsam gegen E._ sel., und als dieser verstarb, gegen den Beschuldigten F._ unter allen Umständen vorzugehen. Dabei ist augenscheinlich, dass die Vertreterin des Gesuchstellers damit nicht nur dessen, sondern vielmehr auch ihre persönlichen Interessen verfolgt... Unter Berücksichtigung der vorliegenden Tatsachen behält sich der Verfahrensleiter der Gesuchsgegnerin die Prüfung einer Meldung an die Anwaltskommission bezüglich eventueller Verletzung der Standesregeln durch die Vertreterin des Gesuchstellers vor."
2.4. Die Vorinstanz hielt dazu fest, der Beschwerdegegner habe das Auftreten der Vertreterin des Gesuchstellers im Ausstandsverfahren in mehrfacher Hinsicht pointiert beanstandet, ohne indes diesbezüglich formelle Anträge zu stellen. Unter den vorliegenden besonderen Umständen vermöge jedoch der Hinweis des Gesuchgegners, er erwäge eine Meldung an die Aufsichtsbehörde über die Anwälte, selbstredend keinen Anschein der Befangenheit zu erwecken, da es andernfalls die Gegenpartei mit einem Ausstandsgesuch als Reaktion auf eine Meldung an die Aufsichtsbehörde in der Hand hätte, eine unliebsame Justizperson allein dadurch auszuschalten, bzw. sie von einer Meldung an die Aufsichtsbehörde abzuhalten, was nicht angehen könne.
2.5. Verbale Anfeindungen, Unterstellungen oder auch das Erheben einer Strafanzeige durch eine Partei vermögen nicht für sich allein den Anschein der Befangenheit beim Adressaten zu begründen. Andernfalls hätte es die betreffende Partei biespielsweise in der Hand, einen Richter in den Ausstand zu versetzen und so die Zusammensetzung des Gerichts zu beeinflussen (<ref-ruling> E. 4.3.2 S. 22; Urteil 1B_303/2008 vom 25. März 2009 E. 2.3.3). Massgeblich ist in derartigen Fällen die Reaktion des Betroffenen (Urteil 6B_20/2013 vom 3. Juni 2013 E. 2.2 mit Hinweisen, in: RtiD 2014 I S. 139). Antwortet dieser etwa mit einer Strafanzeige wegen Ehrverletzung und Zivilforderungen, so erhält der Konflikt dadurch eine persönliche Dimension, welche seine Unbefangenheit tangiert (<ref-ruling> E. 4.3.2 S. 22). Auch andere Formen der Reaktion, welche nicht mehr sachgerecht sind, können zu einem Ausstandsgrund führen (Urteile 1B_221/2007 vom 16. Januar 2008 E. 4.2, in: AJP 2008 S. 774; 1P.514/2002 vom 13. Februar 2003 E. 2.7 mit Hinweisen; zum Ganzen: Urteil 1B_664/2012 vom 19. April 2013 E. 3.3 mit Hinweisen).
2.6. Es trifft zu, dass das Verhalten des Beschuldigten bzw. seiner Rechtsvertreterin für sich allein keinen Anschein der Befangenheit des verfahrensleitenden Staatsanwalts begründen kann. Ausschlaggebend ist dessen Reaktion. Der Beschwerdegegner warf der Rechtsvertreterin des Gesuchstellers mit detaillierter Begründung strafbares Verhalten und eine Verletzung der Standesregeln vor. Inwiefern diese Vorwürfe zutreffen, braucht vorliegend nicht beurteilt zu werden. Wesentlich erscheint, dass die betreffenden Ausführungen nicht einfach nur pointiert waren, sondern klarerweise über eine Stellungnahme zum Ausstandsgesuch hinausgingen. Insbesondere der Hinweis, er behalte sich eine Meldung an die Aufsichtsbehörde vor, durfte von der Rechtsvertreterin des Beschwerdeführers als Warnung verstanden werden, welche im weiteren Verlauf des Verfahrens aufrechterhalten werden sollte. Mit dem Ausstandsverfahren haben die betreffenden Ausführungen nichts zu tun und es ist nicht ersichtlich, welchem schutzwürdigen Zweck sie hätten dienen können. Der Umstand, dass sich der Beschwerdegegner gerade im Ausstandsverfahren, wo seine eigene Amtsführung zur Diskussion stand, mit derartigen Bemerkungen zur Wehr setzte, weist darauf hin, dass er sich persönlich angegriffen fühlte und die Angelegenheit nicht mehr mit der notwendigen Sachlichkeit betrachtete. Unter diesen Umständen ist der Ausstandsgrund von <ref-law> zu bejahen.
2.7. Die Rüge des Beschwerdeführers ist somit begründet und es kann offenbleiben, wie es sich mit den geltend gemachten Verfahrensfehlern, die der Beschwerdegegner begangen haben soll, verhält.
3.
Die Beschwerde wird gutgeheissen und der angefochtene Entscheid aufgehoben. Das Ausstandsgesuch gegen Staatsanwalt D._ wird gutgeheissen (vgl. <ref-law>).
Bei diesem Verfahrensausgang sind keine Kosten zu erheben (<ref-law>). Der Kanton Aargau hat den obsiegenden Beschwerdeführer für das bundesgerichtliche und das vorinstanzliche Verfahren angemessen zu entschädigen (Art. 68 Abs. 2 und 5 BGG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird gutgeheissen. Der Entscheid vom 27. Februar 2017 des Obergerichts des Kantons Aargau, Beschwerdekammer in Strafsachen, wird aufgehoben. Der Beschwerdegegner hat in den Ausstand zu treten.
2.
Der Kanton Aargau hat dem Beschwerdeführer für das kantonale Verfahren eine Entschädigung von Fr. 2'000.-- zu bezahlen.
3.
Es werden keine Gerichtskosten erhoben.
4.
Der Kanton Aargau hat dem Beschwerdeführer für das bundesgerichtliche Verfahren eine Entschädigung von Fr. 2'000.-- zu bezahlen.
5.
Dieses Urteil wird den Parteien, der Oberstaatsanwaltschaft des Kantons Aargau und dem Obergericht des Kantons Aargau, Beschwerdekammer in Strafsachen, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 15. Juni 2017
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Merkli
Der Gerichtsschreiber: Dold