Sachverhalt:
A.
A.A._ und B.A._ heirateten 1990. Sie haben sieben gemeinsame, mittlerweile volljährige Kinder.
B.
B.a. Am 24. August 2011 reichte B.A._ beim Zivilgericht Basel-Stadt ein Eheschutzgesuch ein. Mit Entscheid vom 7. Mai 2012 verpflichtete das Zivilgericht A.A._, seiner Ehefrau mit Wirkung ab 1. Oktober 2011 einen monatlichen Unterhaltsbeitrag von Fr. 600.-- auszurichten. Die SUVA wurde angewiesen, diesen Betrag von A.A._s Rente von Fr. 1'100.-- abzuziehen und direkt der Ehefrau zu überweisen. Zudem forderte das Gericht die SUVA und weitere Versicherungen auf, dem Gericht allfällige Erhöhungen der Renten und Rentennachzahlungen mitzuteilen und ohne Anweisung des Gerichts keine Nachzahlungen vorzunehmen.
B.b. Am 13. Juni 2012 informierte die SUVA das Zivilgericht, dass sie A.A._s seit 1. März 2008 laufende Rente mit Entscheid vom 17. November 2011 rückwirkend herabgesetzt habe. Der zu viel bezahlte Betrag werde mit den gesperrten und den weiterhin laufenden Rentenansprüchen verrechnet. Bei voller Verrechnung könne die Rentenzahlung ab Januar 2013 wieder aufgenommen werden.
B.c. Mit Schreiben vom 16. Januar 2013 teilte die SUVA dem Zivilgericht mit, dass das Sozialversicherungsgericht Basel-Stadt den Rentenentscheid der SUVA aufgehoben und weitere medizinische Abklärungen über die Unfallfolgen angeordnet habe.
B.d. Am 22. Mai 2014 gab die SUVA bekannt, dass A.A._ ab 1. März 2008 Anspruch auf eine monatliche Rente von Fr. 2'053.30 und ab 1. Januar 2009 auf eine solche von Fr. 2'128.65 habe. Für die Zeit vom 1. März 2008 bis 31. Mai 2014 ergebe sich eine Rentennachzahlung von insgesamt Fr. 115'895.35. Zudem habe A.A._ Anspruch auf eine Integritätsentschädigung von Fr. 10'680.--.
B.e. In der Folge ordnete das Zivilgericht für den 22. Juli 2014 eine neue Eheschutzverhandlung an, um den Unterhaltsbeitrag zu überprüfen und die Rentennachzahlung aufzuteilen. Am 7. Juni 2015 verfügte es wie folgt: In Abänderung des Entscheides vom 7. Mai 2012 (Bst. B.a) verurteilte es A.A._, seiner Frau ab 1. Oktober 2011 monatlich Fr. 1'874.35 Unterhalt zu zahlen. Die SUVA wurde angewiesen, nach Rechtskraft des Entscheids vom Rentenanspruch des Mannes für die Zeit von Oktober 2011 bis Juni 2015 Fr. 84'345.75 an die Frau auszuzahlen. Der Betrag von Fr. 47'778.55.--, der bei der SUVA infolge der rückwirkenden Rentenerhöhung verblieb, wurde zur Sicherung güterrechtlicher Ansprüche gesperrt.
C.
Gegen diesen Entscheid wandte sich A.A._ mit Berufung an das Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt. Dieses wies die Berufung mit Entscheid vom 13. Januar 2016 ab, mit Kosten- und Entschädigungsfolge zu Lasten von A.A._.
D.
D.a. Mit Beschwerde vom 22. Februar 2016 wendet sich A.A._ (Beschwerdeführer) an das Bundesgericht. Er beantragt, das vorinstanzliche Urteil vollständig, eventualiter teilweise aufzuheben und die Angelegenheit zur weiteren Abklärung des Sachverhalts und zu neuer Entscheidung an das Zivilgericht Basel-Stadt zurückzuweisen. Eventualiter soll das Bundesgericht selbst neu entscheiden und die Frauenalimente ab 1. Oktober 2011 bis und mit Juli 2014 auf Fr. 1'000.00 und ab August 2014 auf Fr. 1'697.80 bestimmen; auszugehen sei dabei von einem Rentenanspruch des Ehemanns von monatlich Fr. 3'028.75 und von einem Nettoeinkommen der Beschwerdegegnerin ab Oktober bis November 2011 von monatlich Fr. 3'100.-- (IV-Rente, Arbeitslosengeld und hypothetischer Mietertrag aus Nutzniessung) und ab Dezember 2013 von monatlich Fr. 2'133.--. Nach Rechtskraft des Entscheids habe er seiner Frau für die Zeit von Oktober 2011 bis Juni 2015 den Betrag von Fr. 52'675.80 auszurichten. Die Sperrung seines Rentenguthabens bei der SUVA sei aufzuheben und der Restbetrag von Fr. 101'572.-- ihm auszuzahlen. Subeventualiter verlangt der Beschwerdeführer, bloss den vorinstanzlichen Kostenentscheid aufzuheben und ihm für das vorinstanzliche Verfahren die unentgeltliche Rechtspflege zu bewilligen. Auch für das bundesgerichtliche Verfahren ersucht er um unentgeltliche Rechtspflege.
D.b. Dem weiteren Antrag, der Beschwerde die aufschiebende Wirkung zuzuerkennen, entsprach der Abteilungspräsident mit Verfügung vom 9. März 2016 insoweit, als die SUVA in Dispositiv Ziff. 4 des erstinstanzlichen Entscheids angewiesen wurde, der Beschwerdegegnerin Fr. 84'345.75 auszuzahlen. Den Antrag um vorläufige Aufhebung der Sicherungsmassnahme wies das Bundesgericht ab. Im Übrigen hat sich das Bundesgericht die kantonalen Akten überweisen lassen, in der Sache aber keine Vernehmlassungen eingeholt.

Erwägungen:
1.
Die Beschwerde richtet sich in der Hauptsache gegen den Endentscheid (Art. 90 BGG) einer letzten kantonalen Instanz (Art. 75 Abs. 1 BGG) über die Abänderung von Unterhaltsbeiträgen im Eheschutzverfahren (Art. 179 ZGB). Diese zivilrechtliche Streitigkeit (Art. 72 Abs. 1 BGG) ist vermögensrechtlicher Natur. Die Streitwertgrenze ist erreicht (Art. 51 Abs. 1 Bst. a und Abs. 4; Art. 74 Abs. 1 Bst. b BGG), die Beschwerdefrist eingehalten (Art. 100 Abs. 1 BGG). Die Beschwerde in Zivilsachen stünde an sich offen. Dasselbe gälte für den Entscheid, mit dem die Vorinstanz dem Beschwerdeführer für das Berufungsverfahren das Armenrecht versagt. Der Rechtsweg gegen diesen Zwischenentscheid im Sinne von Art. 93 Abs. 1 Bst. a BGG (Urteil 5D_158/2013 vom 24. September 2013 E. 1) folgt der Hauptsache (<ref-ruling> E. 1 S. 382). Dass die Vorinstanz diesbezüglich nicht als Rechtsmittelinstanz entschieden hat, stünde der Beschwerde an das Bundesgericht nicht im Weg (<ref-ruling> E. 2.2 S. 426 f. mit Hinweisen).
2.
Nicht einzutreten ist auf die Beschwerde, soweit der Beschwerdeführer Kritik am erstinstanzlichen Entscheid übt. Gegenstand des Beschwerdeverfahrens vor Bundesgericht ist nicht der Entscheid des Zivilgerichts, sondern nur derjenige der letzten kantonalen Instanz (Art. 75 Abs. 1 BGG). Daran ändert nichts, dass sich die Vorinstanz damit begnügte, die Berufung des Beschwerdeführers abzuweisen, ohne das Dispositiv des erstinstanzlichen Urteils zu wiederholen.
3.
Eheschutzentscheide unterstehen Art. 98 BGG (<ref-ruling> E. 5 S. 396 f.). Dasselbe gilt für Entscheide betreffend ihre Abänderung (Urteil 5A_1018/2015 vom 8. Juli 2016 E. 2). Daher kann der Beschwerdeführer nur die Verletzung verfassungsmässiger Rechte rügen. Auch die Anwendung von Bundesgesetzen prüft das Bundesgericht im Rahmen von Art. 98 BGG nur auf die Verletzung des Willkürverbots (Art. 9 BV) hin (vgl. <ref-ruling> E. 3b S. 628; Urteil 5A_261/2009 vom 1. September 2009 E. 1.2, nicht publ. in: <ref-ruling>; zum Begriff der Willkür <ref-ruling> E. 3.4 S. 53; <ref-ruling> E. 1.2 S. 177; <ref-ruling> E. 3.1 S. 473 f.). Dasselbe gilt hinsichtlich der Sachverhaltsfeststellungen. Deren Berichtigung oder Ergänzung kommt nur in Frage, wenn die kantonale Instanz verfassungsmässige Rechte verletzt hat (<ref-ruling> E. 4.1 S. 588).
4.
Für die Geltendmachung der Verletzung verfassungsmässiger Rechte gilt das strenge Rügeprinzip (Art. 106 Abs. 2 BGG). Das bedeutet, dass das Bundesgericht nur klar und detailliert erhobene und soweit möglich belegte Rügen prüft. Auf ungenügend begründete Rügen und rein appellatorische Kritik am angefochtenen Entscheid tritt es nicht ein (<ref-ruling> E. 2.2 S. 246; <ref-ruling> E. 3.1 S. 399 f.). Wer sich auf eine Verletzung des Willkürverbots (Art. 9 BV) beruft, kann sich demnach nicht darauf beschränken, den vorinstanzlichen Entscheid als willkürlich zu bezeichnen. Vielmehr ist anhand der angefochtenen Subsumtion im Einzelnen darzutun, inwiefern der angefochtene Entscheid an einem qualifizierten und offensichtlichen Mangel leidet (<ref-ruling> E. 2.2 S. 246; <ref-ruling> E. 1.3 S. 262). Willkür liegt zudem nur vor, wenn nicht bloss die Begründung eines Entscheids, sondern auch das Ergebnis offensichtlich unhaltbar ist (<ref-ruling> E. 5.4 S. 148; <ref-ruling> E. 3.1 S. 153; <ref-ruling> E. 2.1 S. 211; je mit Hinweisen).
5.
Was den Sachverhalt angeht, behauptet der Beschwerdeführer, die Vorinstanz habe das der Ehefrau anzurechnende Einkommen unvollständig festgestellt und überdies die vorhandenen, aktenkundigen Beweise falsch und willkürlich einzig zu seinen Lasten und unter Verletzung von Art. 164 ZPO gewürdigt. Insbesondere macht er geltend, das Appellationsgericht lasse monatliche Mieteinnahmen der Beschwerdegegnerin von rund Fr. 2'000.-- ausser Betracht. Es habe davon abgesehen, zur Feststellung der Höhe dieser Einkünfte gestützt auf Art. 167 ZPO von Amtes wegen weitere Massnahmen gegen die Mieterin anzuordnen, die einer ersten gerichtlichen Anfrage um Auskunft nicht gefolgt sei. Wie seine weitschweifigen Erörterungen zeigen, gibt sich der Beschwerdeführer damit zufrieden, den Sachverhalt aus eigener Sicht zu schildern und davon abweichende Feststellungen der Vorinstanz zu bestreiten. Dies allein genügt nicht, um im Zusammenhang mit den vorinstanzlichen Sachverhaltsfeststellungen nach Massgabe von Art. 98 BGG (s. E. 3 und 4) eine Verletzung verfassungsmässiger Rechte, insbesondere des Willkürverbots (Art. 9 BV) darzutun. Vielmehr müsste der Beschwerdeführer neben der Erheblichkeit der gerügten Tatsachenfeststellung im Einzelnen darlegen, inwiefern das kantonale Gericht willkürlich entschieden haben soll und der angefochtene Entscheid deshalb an einem qualifizierten und offensichtlichen Mangel leidet (<ref-ruling> E. 2.2 S. 246). Diesen Anforderungen kommt der Beschwerdeführer nicht nach. Deshalb kann das Bundesgericht auf seine Sachverhaltsrügen nicht eintreten.
6.
In rechtlicher Hinsicht wirft der Beschwerdeführer dem Appellationsgericht vor, die formelle Rechtskraft des Entscheids vom 7. Mai 2012 missachtet zu haben. Weiter beklagt er sich darüber, dass sich der angefochtene Entscheid mit verschiedenen Normen des Bundesrechts, insbesondere mit Art. 178 und 179 ZGB nicht vertrage. Allein damit verkennt der Beschwerdeführer erneut dieeingeschränkte Kognition des Bundesgerichts in Angelegenheiten des Eheschutzes (s. E. 3 und 4). So nennt er keine einzige Verfassungsbestimmung, die verletzt worden wäre, weil die Vorinstanz den Zinsertrag aus der Vermietung der Wohnung an der C._allee xx in U._ beiden Ehegatten hälftig angerechnet hat. Dasselbe gilt für seine weiteren Beanstandungen im Zusammenhang mit dem Zeitpunkt, von dem an er seiner Frau höhere Unterhaltsbeiträge schuldet, und für die Vorwürfe betreffend die Sperrung seines Rentenguthabens bei der SUVA. Mangels tauglicher Rügen kann auf die Beschwerde nicht eingetreten werden.
7.
Auch im Streit um die unentgeltliche Rechtspflege für das Berufungsverfahren genügt die Beschwerde den Anforderungen von Art. 98 BGG nicht. Der Beschwerdeführer reklamiert, das Appellationsgericht habe seine Prozessarmut zu Unrecht verneint. In seiner Kritik greift er jedoch einzig seine vermögensrechtliche Situation auf. Er verpasst es, sich auch mit der Einkommenssituation auseinanderzusetzen. Inwiefern seine künftigen Rentenleistungen zur Finanzierung des Berufungsverfahrens nicht genügen würden, tut der Beschwerdeführer nicht dar. Eine Verfassungsverletzung ist nicht dargetan.
8.
Im Ergebnis ist auf die Beschwerde mangels relevanter Verfassungsrügen nicht einzutreten. Als unterliegende Partei hat der Beschwerdeführer für die Gerichtskosten aufzukommen (Art. 66 Abs. 1 BGG). Das Gesuch des Beschwerdeführers um unentgeltliche Rechtspflege ist abzuweisen. Die vorausgegangenen Erwägungen zeigen, dass der Beschwerde zum vornherein kein Erfolg beschieden sein konnte (Art. 64 Abs. 1 BGG). Die Beschwerdegegnerin hat sich nur zum Gesuch um aufschiebende Wirkung geäussert und dessen Abweisung beantragt. Mit diesem Begehren hat sie sich nur teilweise durchgesetzt. Sie hat damit keinen Anspruch auf Entschädigung. Angesichts der Mittel, die ihr durch den Eheschutzentscheid zufliessen, kann die Beschwerdegegnerin nicht als bedürftig gelten. Auch ihr Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege ist daher abzuweisen.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2.
Die Gesuche der Parteien um unentgeltliche Rechtspflege für das bundesgerichtliche Verfahren werden abgewiesen.
3.
Die Gerichtskosten von Fr. 1'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien, dem Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt, Ausschuss, und dem Zivilgericht Basel-Stadt, Einzelgericht in Familiensachen, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 4. August 2016
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: von Werdt
Der Gerichtsschreiber: V. Monn