Sachverhalt:
A.
A._ erhielt am 3. Oktober 2005 eine Berufsausübungsbewilligung als Zahnarzt im Kanton St. Gallen. Am 9. Mai 2012 teilte das Gesundheitsdepartement des Kantons St. Gallen (hiernach: Gesundheitsdepartement) A._ mit, dass es aufgrund von verschiedenen Aufsichtsbeschwerden beabsichtige, ein Disziplinarverfahren gegen ihn zu eröffnen. Im Dezember 2012 gab A._ die zahnärztliche Tätigkeit im Kanton St. Gallen auf. Seitdem ist er im Kanton Thurgau tätig.
B.
B.a. Mit Verfügung vom 28. Mai 2014 sprach das Gesundheitsdepartement des Kantons St. Gallen gegenüber A._ wegen Verletzungen von Berufspflichten ein definitives und uneingeschränktes Verbot der selbständigen Berufsausübung als Zahnarzt aus. Gleichzeitig verfügte es den Entzug der am 3. Oktober 2005 erteilten Berufsausübungsbewilligung als Zahnarzt, wobei es einer allfälligen Beschwerde die aufschiebende Wirkung entzog. Im Übrigen wies es die von A._ gestellten Ausstandsbegehren ab, auferlegte ihm eine Busse von Fr. 10'000.-- und verpflichtete ihn, die ihm angezeigten Schadensfälle verzugslos der zuständigen Berufshaftpflichtversicherung zu melden. Am 4. Juni 2014 erhob A._ Beschwerde an das Verwaltungsgericht des Kantons St. Gallen. Darin ersuchte er um Wiederherstellung der aufschiebenden Wirkung hinsichtlich des Entzugs der Berufsausübungsbewilligung und beantragte die Aufhebung der vorinstanzlichen Verfügung. Ferner ersuchte er um Ansetzung einer Nachfrist zur Sachverhaltsdarstellung und Einreichung der Begründung hinsichtlich der materiellen, nicht die Wiederherstellung der aufschiebenden Wirkung betreffenden Rechtsbegehren.
B.b. Mit Schreiben vom 6. Juni 2014 erstreckte der Präsident des Verwaltungsgerichts St. Gallen die Frist zur Einreichung der Beschwerdeergänzung bis 7. Juli 2014 mit dem Hinweis, dass das Verwaltungsgericht im Säumnisfall nicht auf die Beschwerde eintreten werde. Auf entsprechendes Gesuch hin erstreckte er die Frist erneut bis zum 18. August 2014, wobei er hinsichtlich der Säumnisfolgen auf das Schreiben vom 6. Juni 2014 verwies. Ein weiteres Erstreckungsgesuch adressierten die Rechtsvertreter von A._ am 18. August 2014 irrtümlicherweise an Rechtsanwalt B._, anstatt an das Verwaltungsgericht. Nach Feststellung dieses Irrtums holte einer der Rechtsvertreter das Fristerstreckungsgesuch bei Rechtsanwalt B._ ab und überbrachte es am 19. August 2014 persönlich dem Verwaltungsgericht. Auch Rechtsanwalt B._ leitete das Gesuch an das Gericht weiter mit dem Hinweis, er gehöre dem Stadtrat von Rheineck an und ihn treffe eine Pflicht zur Weiterleitung.
B.c. Mit Schreiben vom 20. August 2014 zeigte der Präsident des Verwaltungsgerichts A._ die mutmassliche Säumnis an und gab ihm Gelegenheit, zur Verspätung und deren Folgen Stellung zu nehmen und allenfalls ein Gesuch um Wiederherstellung der Frist einzureichen. Mit Eingabe vom 28. August 2014 ersuchte A._ um Wiederherstellung der Frist zur Einreichung der Beschwerdeergänzung. Mit Blick auf die Säumnis beantragte er am 8. September 2014, auf das Fristverlängerungsgesuch vom 18. August 2014 sei einzutreten; eventuell sei ihm eine Notfrist zur Beschwerdeergänzung anzusetzen oder es sei auf die Beschwerde auch ohne Ergänzung einzutreten; werde von einer Verspätung ausgegangen, sei dem Fristwiederherstellungsgesuch vom 28. August 2014 stattzugeben.
B.d. Mit Zwischenentscheid vom 21. November 2014 wies der Präsident des Verwaltungsgerichts das Gesuch um Wiederherstellung der aufschiebenden Wirkung der Beschwerde bezüglich der kantonalen Berufsausübungsbewilligung ab. Dies wurde letztinstanzlich vom Bundesgericht bestätigt (Urteil 2C_1180/2014 vom 11. Mai 2015).
B.e. Mit Urteil vom 27. April 2016 wies das Verwaltungsgericht das Gesuch um Wiederherstellung der Frist zur Einreichung der Beschwerdeergänzung ab und trat auf die Beschwerde nicht ein.
C.
Mit Beschwerde vom 9. Juni 2016 an das Bundesgericht beantragt A._ die Aufhebung des vorinstanzlichen Urteils. Es sei die Frist zur Einreichung der Beschwerdeergänzung wiederherzustellen. Eventualiter sei die Vorinstanz auch ohne Wiederherstellung der Frist betreffend die Einreichung der Beschwerdeergänzung zu verpflichten, auf die Beschwerde vom 4. Juni 2014 einzutreten. Subeventualiter sei die Angelegenheit zur neuen Beurteilung an die Vorinstanz zurückzuweisen.
Während das Verwaltungsgericht auf eine Vernehmlassung verzichtet, beantragt das Gesundheitsdepartement die Abweisung der Beschwerde.
Mit Verfügung des präsidierenden Mitglieds der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung des Bundesgerichts vom 4. Juli 2016 wurde dem Gesuch von A._ um aufschiebende Wirkung bzw. vorsorgliche Massnahmen insofern entsprochen, als das definitive, uneingeschränkte Verbot der selbständigen Berufsausübung als Zahnarzt gemäss Dispositiv-Ziff. 4 der Verfügung des Gesundheitsdepartements des Kantons St. Gallen vom 28. Mai 2014 vorläufig nicht vollstreckbar ist.

Erwägungen:
1.
Die form- und fristgerecht eingereichte Beschwerde des gestützt auf <ref-law> legitimierten Beschwerdeführers richtet sich gegen einen Endentscheid einer letzten kantonalen Instanz (<ref-law>) in einer Angelegenheit des öffentlichen Rechts (<ref-law>), welche unter keinen der Ausschlussgründe gemäss <ref-law> fällt und insoweit der Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten unterliegt. Auf die Beschwerde ist einzutreten.
2.
2.1. Mit der Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann eine Rechtsverletzung nach Art. 95 und Art. 96 BGG gerügt werden. Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (<ref-law>), doch prüft es, unter Berücksichtigung der allgemeinen Rüge- und Begründungspflicht (Art. 42 Abs. 1 und 2 BGG), nur die geltend gemachten Vorbringen, falls allfällige weitere rechtliche Mängel nicht geradezu offensichtlich sind (<ref-ruling> E. 1.6 S. 280). In Bezug auf die Verletzung von Grundrechten, insbesondere des Willkürverbots, gilt eine qualifizierte Rüge- und Substanziierungspflicht (<ref-law>).
2.2. Das Bundesgericht legt seinem Urteil den von der Vorinstanz festgestellten Sachverhalt zugrunde (<ref-law>). Es kann die Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz von Amtes wegen berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruht (<ref-law>). "Offensichtlich unrichtig" bedeutet dabei "willkürlich" (<ref-ruling> E. 2 S. 117).
3.
Der Beschwerdeführer macht geltend, in der Weigerung der Vorinstanz, die verpasste Frist wiederherzustellen, liege eine willkürliche Anwendung von Art. 30 des St. Galler Gesetzes über die Verwaltungsrechtspflege (VRP/SG; sSG 951.1) und eine Verletzung von <ref-law> (SR 272) vor.
3.1. Gemäss Art. 30 Abs. 1 VRP/SG finden die Bestimmungen der ZPO über die gerichtliche Vorladung, die Form der Zustellung, die Fristen und die Wiederherstellung sachgemässe Anwendung, soweit das Gesetz nichts anderes bestimmt. Gemäss <ref-law> kann das Gericht auf Gesuch einer säumigen Partei eine Nachfrist gewähren oder zu einem Termin erneut vorladen, wenn die Partei glaubhaft macht, dass sie kein oder nur ein leichtes Verschulden trifft. Diese bundesrechtliche Norm wird durch den Verweis im kantonalen Verwaltungsrechtspflegegesetz zu subsidiärem kantonalem Recht und ihre Anwendung ist insofern nicht frei, sondern nur unter dem beschränkten Gesichtswinkel der Willkür zu überprüfen (vgl. Urteil 2C_1107/2015 vom 23. März 2016 E. 2.2). Darüber hinaus steht den Gerichten bei der im Einzelfall vorzunehmenden Abgrenzung zwischen leichtem und schwerem Verschulden im Sinne von <ref-law> ein Ermessensspielraum zu (Urteil 1C_878/2013 vom 16. Mai 2014 E. 4.1 mit Hinweisen). Zu prüfen ist, ob die Vorinstanz in willkürlicher Weise zum Schluss gekommen ist, dass ein mehr als leichtes Verschulden im Sinne von <ref-law> vorgelegen habe und deshalb dem Wiederherstellungsgesuch nicht stattzugeben sei.
3.2. Ein Grund, der die Wiederherstellung einer Frist rechtfertigen könnte, ist nicht leichthin anzunehmen. Vielmehr rechtfertigt sich eine strenge Praxis aus Gründen der Rechtssicherheit und der Verfahrensdisziplin (vgl. KASPAR PLÜSS, in: Alain Griffel [Hrsg.], Kommentar zum Verwaltungsrechtspflegegesetz des Kantons Zürich, 3. Aufl. 2014, N. 45 zu § 12 mit Hinweisen). Für Rechtsanwälte gelten strenge Sorgfaltsmassstäbe. Der Rechtsanwalt muss seinen Kanzleibetrieb so organisieren, dass er in der Lage ist, eine gehörige Instruktion und die (frist- und termingerechte) Wahrnehmung der prozessualen Rechte seines Klienten sicherzustellen, wozu auch die sorgfältige Erfassung und Prüfung eingehender und mit eingeschriebener Post versandter Gerichtskorrespondenz gehört (vgl. NICCOLÒ GOZZI, in: Basler Kommentar, Schweizerische Zivilprozessordnung, 2. Aufl. 2013, N. 31 zu <ref-law>).
3.3. Die Vorinstanz hat erwogen, dass nicht von einem leichten Verschulden ausgegangen werden könne. Der Umstand, dass der Beschwerdeführer die streitige Frist nur knapp verpasst habe, sei nicht geeignet, das Verschulden geringer erscheinen zu lassen. Ein Rechtsanwalt bzw. dessen Hilfspersonen müssten die mit eingeschriebener Post zu versendende Gerichtskorrespondenz sorgfältig prüfen. Von einem Rechtsanwalt könne erwartet werden, fristwahrender Behördenkorrespondenz besondere Aufmerksamkeit und Kontrolle dahingehend zu widmen, dass sie auch tatsächlich ordnungsgemäss verpackt und rechtzeitig der Poststelle übergeben werde. Der von den Rechtsvertretern des Beschwerdeführers gewählte Arbeitsvorgang sei fehleranfällig. Durch das Überkleben des Couvertfensters lebe genau das Risiko der Fehladressierung wieder auf, das durch die Verwendung von Fenstercouverts eliminiert werden solle. Die entsprechende Unterweisung erscheine mithin unsorgfältig. Wenn die auf- bzw. überklebte Adressierung nicht zusätzlich gewissenhaft und systematisch kontrolliert werde, sei dies nachlässig. Unter diesen Umständen könne das dem Beschwerdeführer und seinen Rechtsvertretern anzulastende Verschulden nicht mehr als leicht bezeichnet werden. Bei der Anwendung der erforderlichen Sorgfalt wäre es ohne weiteres möglich gewesen, das Fristerstreckungsgesuch fristgerecht einzureichen.
3.4. Der Beschwerdeführer hält dem entgegen, dass die falsche Adressierung einer Eingabe als leichtes Verschulden im Sinne von <ref-law> zu werten sei. Von einem Rechtsanwalt könne nicht verlangt werden, jeden Versand nach der Etikettierung durch das Sekretariat nochmals systematisch zu prüfen. Ferner sei die Tatsache, dass der Bundesgesetzgeber in <ref-law> die Wiederherstellung nicht nur bei Schuldlosigkeit, sondern auch bei leichtem Verschulden gewähre, bei der Frage der Verschuldenszurechnung zu berücksichtigen. Die Partei und deren Vertreter müssten sich gegenüber Fehlern von Hilfspersonen exkulpieren können. Es sei daher geboten, die von der Lehre geforderte Zurechnung mit Entlastungsbeweis im Sinne von <ref-law> anzuwenden. Bezüglich der Auswahl, Instruktion und Überwachung der Sekretariatsmitarbeiterin, welche das Couvert mit dem Fristerstreckungsgesuch vom 18. August 2014 mit einer falschen Etikette beklebt habe, würden die Rechtsvertreter des Beschwerdeführers kein Verschulden treffen. Da somit weder ein direktes Verschulden des Beschwerdeführers oder seiner Rechtsvertreter noch ein Hinzurechnen von schuldhaftem Verhalten nach <ref-law> vorgelegen habe, hätte die Vorinstanz dem Beschwerdeführer die Wiederherstellung der Frist gewähren müssen.
3.5. Diese Vorbringen überzeugen nicht. Aus den unbestritten gebliebenen und damit für das Bundesgericht verbindlichen vorinstanzlichen Sachverhaltsfeststellungen geht hervor, dass die strittige Eingabe, bei der es sich nicht um die eigentliche Beschwerdeergänzung handelte, sondern um ein erneutes Fristerstreckungsgesuch, am letzten Tag der Frist versandbereit gemacht wurde. Angesichts der dadurch gesteigerten Möglichkeit des Eintritts einer Gefahr und der Grösse des möglichen Schadens war von den Rechtsvertretern des Beschwerdeführers (bzw. deren Hilfspersonen) erhöhte Sorgfalt gefordert. Entgegen der Auffassung des Beschwerdeführers durfte von den Rechtsvertretern erwartet werden, dass sie die nötigen Instruktions- bzw. Kontrollmassnahmen ergreifen, um die korrekte Adressierung sicherzustellen, zumal es sich um das dritte Fristerstreckungsgesuch handelte. Dass sie solche Massnahmen getroffen hätten, geht jedoch weder aus dem vorinstanzlichen Urteil hervor, noch wird dies vom Beschwerdeführer geltend gemacht. Wenn die Vorinstanz unter den genannten Umständen von mangelnder Sorgfalt ausgeht und ein leichtes Verschulden verneint, ist dies unter dem Blickwinkel der Willkür nicht zu beanstanden.
Nicht zu hören ist der Beschwerdeführer, soweit er geltend macht, aufgrund der Zulässigkeit eines leichten Verschuldens in <ref-law> sei von der gefestigten Rechtsprechung des Bundesgerichts abzuweichen, nach welcher sich der Rechtsvertreter bzw. sein Auftraggeber die Fehler von Kanzleiangestellten wie eigene anrechnen lassen muss (<ref-ruling> E. 2/e, noch zuletzt bestätigt in Urteil 1C_175/2016 vom 31. Januar 2017 E. 2.4). Der Beschwerdeführer legt nicht ansatzweise dar, dass bzw. inwiefern die Voraussetzungen für eine Praxisänderung gegeben wären (vgl. dazu <ref-ruling> E. 5.5.1 S. 303). Insbesondere zeigt er nicht auf, dass der Gesetzgeber mit <ref-law> die gefestigte Rechtsprechung des Bundesgerichts zur Haftung des Anwalts für das Verhalten seiner Hilfspersonen nach <ref-law> in Frage zu stellen beabsichtigte. Dessen ungeachtet bleiben die Ausführungen des Beschwerdeführers zu diesem Punkt sehr allgemein und verweisen im Wesentlichen auf seine Eingaben vor der Vorinstanz, was vor Bundesgericht unzulässig ist (vgl. <ref-ruling> E. 2 S. 116). Ohnehin besteht im vorliegenden Fall kein Anlass, von der gefestigten Rechtsprechung des Bundesgerichts bezüglich der Hilfspersonenhaftung abzuweichen.
Schliesslich erweist sich auch der in diesem Zusammenhang erhobene Vorwurf der Verletzung des Anspruchs auf rechtliches Gehör (<ref-law>) als unbegründet. Der Beschwerdeführer erblickt eine solche darin, dass die Vorinstanz sich nicht mit seinen Argumenten bezüglich der analogen Anwendung von <ref-law> auseinandergesetzt habe. Die Vorinstanz hat sehr wohl zu diesem Punkt Stellung genommen und auf die gefestigte Rechtsprechung des Bundesgerichts verwiesen (E. 5.4 des angefochtenen Entscheids), was nicht zu beanstanden ist. Im Übrigen hat sie auch aufgeführt, dass ihrer Auffassung nach selbst mit Blick auf <ref-law> dem Beschwerdeführer der Sorgfaltsnachweis nicht gelungen wäre (E. 5.8 des angefochtenen Entscheids). Eine Verletzung des rechtlichen Gehörs ist somit nicht ersichtlich.
3.6. Nach dem Gesagten stellt die Abweisung des Fristwiederherstellungsgesuchs keine Rechtsverletzung dar.
4.
Zu prüfen bleibt der Eventualantrag des Beschwerdeführers, die Vorinstanz sei auch ohne Wiederherstellung der Frist betreffend die Einreichung der Beschwerdeergänzung zu verpflichten, auf die Beschwerde vom 4. Juni 2014 einzutreten, weil diese bereits eine genügende Begründung enthalten habe. In der Weigerung der Vorinstanz, auf die Beschwerde einzutreten, liege eine Verletzung des Verbots des überspitzten Formalismus (<ref-law>).
4.1. Gemäss Art. 64 i.V.m. Art. 48 Abs. 1 zweiter Satz VRP/SG muss die Beschwerde an das Verwaltungsgericht einen Antrag sowie eine Darstellung des Sachverhaltes und eine Begründung enthalten.
4.2. Mit Bezug auf die Beschwerdeschrift vom 4. Juni 2014 hat die Vorinstanz erwogen, der Beschwerdeführer habe dort den Sachverhalt ausreichend dargestellt. In den nachfolgenden Ziffern habe er sich mit der beantragten Wiedererteilung der aufschiebenden Wirkung des Rechtsmittels und damit schwergewichtig mit prozessualen Fragen befasst. Gründe, weshalb die angefochtene Verfügung darüber hinaus in der Sache selbst materielles Recht verletze, habe er hingegen nicht angeführt. Gewissermassen im Nachsatz habe er auf die noch zu erstellende Begründung im Hauptverfahren verwiesen. Die in der Beschwerde skizzierten Herangehensweisen an die angefochtene Verfügung würden zwar das (voraussichtliche) Fazit einer möglichen Beschwerdebegründung vorwegnehmen, seien aber nicht geeignet, aufzuzeigen, inwiefern die Vorinstanz in ihrer über achtzigseitigen Verfügung konkret den Sachverhalt falsch festgestellt und Recht verletzt haben sollte. Eine Auseinandersetzung mit den detaillierten, im Ergebnis gegenteiligen Erwägungen des angefochtenen Entscheids und namentlich der vorinstanzlichen Beweiswürdigung könne darin nicht erblickt werden. Konkrete, sich auf die Erwägungen der Vorinstanz beziehende Hinweise würden sich aus den vorhandenen Begründungsansätzen des Beschwerdeführers nicht ergeben. Deshalb könne auf die Beschwerde nicht eingetreten werden.
4.3. Überspitzter Formalismus als besondere Form der Rechtsverweigerung liegt vor, wenn eine Behörde formelle Vorschriften mit übertriebener Schärfe handhabt oder an Rechtsschriften überspannte Anforderungen stellt und damit dem Bürger den Rechtsweg in unzulässiger Weise versperrt. Das Bundesgericht prüft frei, ob eine solche Rechtsverweigerung vorliegt und der angefochtene Entscheid damit gegen <ref-law> verstösst (<ref-ruling> E. 2/a S. 142). Wie das Bundesgericht immer wieder betont, stellt nicht jede prozessuale Formstrenge einen überspitzten Formalismus dar, sondern nur jene, die durch kein schutzwürdiges Interesse mehr gerechtfertigt ist und zum blossen Selbstzweck wird. Prozessuale Formen sind unerlässlich, um die ordnungsgemässe Abwicklung des Verfahrens sowie die Durchsetzung des materiellen Rechts zu gewährleisten. Eingaben an Behörden, vor allem Rechtsmittelschriften, haben daher im Allgemeinen bestimmten formellen Anforderungen zu genügen: Es soll aus ihnen hervorgehen, dass und weshalb der Rechtsuchende einen Entscheid anficht und inwieweit dieser geändert oder aufgehoben werden soll. Wird daher die Gültigkeit eines Rechtsmittels kraft ausdrücklicher gesetzlicher Bestimmung davon abhängig gemacht, dass es eine minimale Begründung enthält, so liegt darin weder eine Verweigerung des Anspruchs auf rechtliches Gehör noch kann darin ein überspitzter Formalismus gesehen werden (<ref-ruling> E. 2.4.2 S. 248 mit Hinweisen).
An die Qualität und Ausgestaltung der Begründung eines Rechtsmittels werden jedoch keine grossen Anforderungen gestellt. Eine Begründung ist ausreichend, wenn Argumente vorgebracht werden, nach denen ein Entscheid oder eine Verfügung auf einer fehlerhaften Sachverhaltsfeststellung oder Rechtsanwendung beruht. Erforderlich ist nicht, dass die Begründung die als verletzt erachteten Rechtsnormen genau bezeichnet (vgl. CAVELTI / VÖGELI, Verwaltungsgerichtsbarkeit im Kanton St. Gallen, 2. Aufl. 2003, N. 921 und N. 922 mit Hinweisen). So weist auch das Verwaltungsgericht St. Gallen in seiner Rechtsprechung darauf hin, dass "an die Beschwerdebegründung keine allzu hohen Anforderungen zu stellen sind" (vgl. Entscheid Verwaltungsgericht des Kantons St. Gallen vom 19. Februar 2015 B 2014/38). Nichts anderes ergibt sich aus der bundesgerichtlichen Rechtsprechung zur Begründungspflicht vor Bundesgericht (<ref-law>) : Danach muss aus der Beschwerdeschrift ersichtlich sein, in welchen Punkten und weshalb der angefochtene Entscheid beanstandet wird (<ref-ruling> E. 1.3 S. 306 mit Hinweisen). Dies setzt voraus, dass sich der Beschwerdeführer wenigstens kurz mit den massgeblichen Erwägungen der Vorinstanz auseinandersetzt (<ref-ruling> E. 1.2 S. 309; <ref-ruling> E. 2.1 S. 245 f.).
4.3.1. In seiner Beschwerdeschrift vom 4. Juni 2014 äussert sich der Beschwerdeführer u.a. wie folgt (S. 9 bis 11) :
"Seit Jahren hat sich [der Beschwerdeführer] nichts zu Schulden kommen lassen, der Entzug der Berufsausübungsbewilligung stützt sich denn auch nicht auf eine besonders gravierende Verfehlung, sondern einzig auf die Tatsache, dass mehrere aufsichtsrechtliche Beschwerden eingereicht worden sind. Dass die einzelnen Beschwerden aber bereits vor Jahren vom Kantonszahnarzt (damals noch zahnärztlich Beauftragter des Kantons St. Gallen) als nicht relevant abgeschlossen wurden und bei den neuen Beschwerden keine Gutachten vorliegen, welche einen Behandlungsfehler belegen würden, sei an dieser Stelle bereits erwähnt.[...]
Auch kann dem Beschwerdeführer keine mangelnde Mitwirkung im Verfahren vorgeworfen werden, was im Übrigen von der Beschwerdegegnerin auch nicht gemacht wird. Der Beschwerdeführer hat im Verfahren aktiv teilgenommen sowie Unterlagen, Stellungnahmen und sachdienliche Hinweise eingereicht. Vielmehr ist eine mangelhafte Mitwirkung der Beschwerdegegnerin zu bemängeln. So wurden diverse Aufsichtsbeschwerden vor Jahren bereits untersucht und als irrelevant abgeschlossen. Wenn die Beschwerdegegnerin nun Jahre später diese bereits abgeschlossenen Fälle neu aufrollt und ohne neue Beurteilung (es wurden keine Gutachten in Auftrag gegeben) diametral entgegengesetzt beurteilt - die neue Beurteilung erfolgte notabene auch nicht durch den Kantonszahnarzt, sondern durch juristische Mitarbeiter des Rechtsdienstes des Gesundheitsdepartements - und als genügenden Grund für den Entzug der Berufsausübungsbewilligung sowie ein definitives Berufsverbot erachtet, hat sie entweder vor Jahren, als die Fälle aktuell waren und vom Kantonszahnarzt als irrelevant beurteilt wurden, ihren gesetzlichen Auftrag - namentlich den Schutz der öffentlichen Gesundheit - nicht wahrgenommen oder es handelt sich um einen reinen Willkürakt. Hinzu kommt, dass die Beschwerdegegnerin diverse Verfahrensanträge (z.B. Aufnahme von Sachverhaltselementen in das Augenscheinprotokoll, Anträge auf Erlass einer Zwischenverfügung, Ausstandsbegehren etc.) faktisch ignorierte.
Abschliessend sei an dieser Stelle erwähnt, dass die Beschwerdegegnerin zu einem viel früheren Zeitpunkt hätte intervenieren müssen, sollten die Verfehlungen des Beschwerdeführers tatsächlich so gravierend sein. Tatsache ist, dass diverse dem Beschwerdeführer zur Last gelegte Verfehlungen bereits vor Jahren untersucht und als nicht relevant beurteilt wurden. Sollten diese Aufsichtsbeschwerden aus aufsichtsrechtlicher Sicht tatsächlich von Relevanz sein, hätte bereits zum damaligen Zeitpunkt eine mildere Massnahme (z.B. Verwarnung mit Aufforderung des Weiter- und/oder Fortbildungsnachweises) verfügt werden müssen. Es ist indessen nicht statthaft und widerspricht in krasser Weise dem Grundsatz von Treu und Glauben und der ratio legis, wenn die Beschwerdegegnerin über Jahre hinweg - trotz Kenntnis der Aufsichtsbeschwerden - zuwartet und plötzlich die Höchststrafe (definitives Berufsverbot) mit der Begründung, aufgrund der Vielzahl der Fälle seien die fachlichen und persönlichen Voraussetzungen nicht mehr erfüllt, verfügt. Entsprechend lässt das Verhalten der Beschwerdegegnerin eine Mitwirkung im Verfahren vermissen. Der Beschwerdeführer hatte nämlich gar nie die Möglichkeit, seine Vertrauenswürdigkeit zu beweisen, da er dazu gar nie aufgefordert wurde. Die Beschwerdegegnerin hat direkt die maximale Sanktion verfügt, als nach ihrem Dafürhalten genügend Gründe für das Berufsverbot vorlagen."
4.3.2. Auch wenn die Eingabe eine detaillierte Auseinandersetzung mit den einzelnen Erwägungen der angefochtenen Verfügung vermissen lässt und vom anwaltlich vertretenen Beschwerdeführer eine weitaus substantiiertere Beschwerdebegründung erwartet werden durfte, geht aus der am 4. Juni 2014 eingereichten Beschwerdeschrift dennoch in groben Zügen hervor, in welchen Punkten der Beschwerdeführer die verhängte Massnahme als rechtswidrig kritisiert. Insbesondere lässt sich daraus ableiten, dass er die Beweiswürdigung insofern beanstandet, als die erste Instanz auf aufsichtsrechtliche Beschwerden abgestellt haben soll, welche vom Kantonszahnarzt als irrelevant gewertet worden seien. Ebenso geht aus der Beschwerdeschrift hervor, dass der Beschwerdeführer das Berufsverbot für unverhältnismässig hält, weil ihm seiner Auffassung nach keine gravierenden Verfehlungen vorgeworfen werden könnten. Unter diesen Umständen erweist sich der Schluss der Vorinstanz, die Eingabe erfülle nicht die minimalen Anforderungen an eine Beschwerdebegründung, als unzutreffend. Dass der Beschwerdeführer, wie die Vorinstanz ausführt, ursprünglich selbst davon ausgegangen sei, dass die Beschwerdebegründung nicht die materiellen Punkte betreffe und er deshalb um Ansetzung einer Frist zur Nachreichung einer ausführlichen Sachverhaltsfeststellung und der Begründung ersucht habe, ändert daran nichts.
Demzufolge wäre die Vorinstanz zur Behandlung der Beschwerde gehalten gewesen. Indem sie auf die Beschwerde wegen unzureichender Beschwerdebegründung nicht eingetreten ist, hat sie zu hohe Anforderungen an die Begründungspflicht gestellt und das Verbot des überspitzten Formalismus verletzt. Die Beschwerde erweist sich in diesem Punkt als begründet.
5.
5.1. Nach dem Gesagten ist die Beschwerde teilweise gutzuheissen und das angefochtene Urteil wird insoweit aufgehoben, als die Vorinstanz auf die Beschwerde nicht eingetreten ist. Die Angelegenheit ist an die Vorinstanz zurückzuweisen, damit diese auf die Beschwerde vom 4. Juni 2014 eintritt und deren Begründetheit prüft.
Bei diesem Ergebnis erübrigt sich eine Auseinandersetzung mit den weiteren Rügen des Beschwerdeführers.
5.2. Da der Beschwerdeführer mit seinem Eventualantrag zwar obsiegt, im Hauptantrag aber unterliegt, hat er einen Teil der Gerichtskosten zu tragen. Dem Kanton St. Gallen sind keine Gerichtskosten aufzuerlegen (Art. 66 Abs. 1 und 4 BGG). Der Kanton St. Gallen hat dem anwaltlich vertretenen Beschwerdeführer eine reduzierte Parteientschädigung auszurichten (<ref-law>). Die Vorinstanz wird die Kosten und Entschädigungsfolgen des vorinstanzlichen Verfahrens neu zu verlegen haben (Art. 67, Art. 68 Abs. 5 BGG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
In teilweiser Gutheissung der Beschwerde wird das Urteil des Verwaltungsgerichts St. Gallen vom 27. April 2016 insofern aufgehoben, als die Vorinstanz auf die Beschwerde vom 4. Juni 2014 nicht eingetreten ist. Die Sache wird an die Vorinstanz zurückgewiesen, damit diese auf die betreffende Beschwerde eintritt und die darin enthaltenen Vorbringen materiell prüft. Im Übrigen ist die Beschwerde abzuweisen.
2.
Dem Beschwerdeführer werden Gerichtskosten in Höhe von Fr. 1'500.-- auferlegt.
3.
Der Kanton St. Gallen hat dem Beschwerdeführer für das bundesgerichtliche Verfahren eine Parteientschädigung von Fr. 1'000.-- auszurichten.
4.
Die Sache wird zur Neuverlegung der Kosten- und Entschädigungsfolgen des kantonalen Rechtsmittelverfahrens an das Verwaltungsgericht des Kantons St. Gallen zurückgewiesen.
5.
Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten und dem Verwaltungsgericht des Kantons St. Gallen schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 21. März 2017
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Seiler
Die Gerichtsschreiberin: Petry