Faits :
A.
A.a. A._ (né en 1943) a été chargé de cours à l'Ecole polytechnique fédérale de Lausanne (EPFL) à partir de l'année académique 1980/1981. Le 10 mai 2004, l'EPFL l'a informé que sa charge ne serait pas reconduite pour l'année académique 2004/2005. Il s'en est suivi un litige sur la nature juridique des rapports liant le prénommé à l'EPFL qui a été porté jusqu'au Tribunal fédéral. Dans un arrêt rendu le 28 juin 2006, celui-ci a considéré que la charge de cours de l'intéressé était soumise à la Loi fédérale du 24 mars 2000 sur le personnel de la Confédération (LPers; RS 172.220.1) et que A._ devait en conséquence bénéficier d'un contrat de durée indéterminée, dans le respect des règles régissant les assurances sociales.
A.b. Par décision du 27 novembre 2007, l'EPFL a notamment constaté que le contrat de travail la liant à l'intéressé prendrait fin le 30 avril 2008 et que celui-ci aurait dû en principe être affilié à une caisse de pensions depuis le 1 er octobre 1980, date à partir de laquelle il avait été au bénéfice d'un contrat de durée indéterminée; elle a cependant considéré qu'il appartenait à la Caisse fédérale de pensions Publica (ci-après: Publica) d'examiner formellement cette question et que le dossier de A._ devait lui être transmis à cette fin.
A la suite de recours successifs à la Commission de recours interne des écoles polytechniques fédérales (jugement du 4 novembre 2008) puis au Tribunal administratif fédéral (arrêt du 13 janvier 2010), Publica a informé A._, le 4 mars 2010, qu'elle entamait les démarches administratives en lien avec son affiliation. Après que l'EPFL lui a versé un montant de 54'695 fr. 70 pour une affiliation rétroactive du prénommé au 1er janvier 1999 en considérant que les créances de cotisations de plus de dix ans étaient prescrites, Publica a indiqué à A._ que le montant de la rente de vieillesse à laquelle il avait droit à partir du 1er mai 2008 s'élevait à 412 fr. 35 par mois.
A.c. A l'issue de la procédure initiée par A._, qui a déposé devant le Tribunal cantonal vaudois le 23 mars 2012 une demande visant à son affiliation rétroactive auprès de Publica à partir du 1er octobre 1980, ainsi qu'au paiement d'arriérés de rentes par l'institution de prévoyance et de cotisations par l'EPFL, le Tribunal fédéral s'est prononcé le 23 avril 2014 (cause 9C_640/2013). Il a réformé le jugement cantonal (du 22 juillet 2013) - par lequel le Tribunal cantonal vaudois avait débouté l'intéressé - en ce sens que la demande formée contre Publica était partiellement admise, celle-ci étant tenue d'affilier A._ à titre rétroactif dès le 1er octobre 1980; il a rejeté le recours pour le surplus.
B.
Le 24 décembre 2014, A._ a derechef ouvert action contre Publica et l'EPFL devant le Tribunal cantonal vaudois. Il a conclu principalement à ce que les défenderesses soient condamnées au paiement en sa faveur de 99'563 fr. 70 avec intérêts à 5 % dès le 1 er septembre 2011 et de 125'979 fr. 60 avec intérêts à 5 % dès le 1 er janvier 2015; à titre subsidiaire il a demandé le paiement de ces montants par l'EPFL et, plus subsidiairement, par Publica.
Statuant le 5 janvier 2017, la Cour des assurances sociales du Tribunal cantonal vaudois a prononcé l'irrecevabilité de la demande du 24 décembre 2014 et transmis celle-ci à Publica et à l'EPFL pour qu'elles procèdent conformément aux considérants.
C.
A._ interjette un recours en matière de droit public contre ce jugement, dont il demande l'annulation, en concluant en substance au renvoi de la cause à la juridiction cantonale pour qu'elle entre en matière sur sa demande. A titre de mesure provisionnelle, il conclut à ce que Publica et l'EPFL - voire l'EPFL ou, subsidiairement, Publica - soient solidairement condamnées à lui verser 1260 fr. 30 par mois jusqu'au règlement définitif du litige. Il sollicite par ailleurs le bénéfice de l'assistance judiciaire en relation avec les frais de procédure.
L'EPFL conclut au rejet de la requête de mesure provisionnelle et s'en remet à justice quant au sort du recours sur le fond. Publica conclut également au rejet de ladite requête, mais à l'admission du recours. De son côté, l'Office fédéral des assurances sociales a renoncé à se déterminer.
D.
Par ordonnance du 28 septembre 2017, la demande de mesure provisionnelle a été rejetée.

Considérant en droit :
1.
1.1. Le jugement entrepris constitue une décision d'irrecevabilité de nature finale, par laquelle la juridiction cantonale a nié sa compétence en raison de la matière. Il peut être contesté par la voie du recours en matière de droit public (art. 82 let. a et 90 LTF).
1.2. Lorsque le Tribunal fédéral annule un jugement d'irrecevabilité, il n'entre pas lui-même en matière sur le fond, mais renvoie la cause à l'autorité judiciaire précédente pour nouvelle décision. La conclusion du recours tendant au renvoi de la cause au Tribunal cantonal vaudois est dès lors suffisante au regard de l'<ref-law> et seule admissible (<ref-ruling> consid. 1.2 p. 48 et les références). Les autres conditions de recevabilité sont également réalisées, de sorte qu'il y a lieu d'entrer en matière sur le recours.
2.
Seul est litigieux et doit être examiné le point de savoir si la juridiction cantonale était en droit de ne pas entrer en matière sur la demande du recourant.
2.1. Les premiers juges ont retenu que l'action du 24 décembre 2014 avait pour objet le paiement de dommages-intérêts à raison de la mauvaise exécution par Publica et l'EPFL du contrat d'affiliation les liant; en d'autres termes, elle visait la réparation du dommage causé sans droit au recourant par les intimées à la suite de la violation par celles-ci de dispositions en matière de prévoyance professionnelle. Constatant que l'EPFL et Publica sont des établissements de droit public de la Confédération, ils ont considéré que la responsabilité des intimées pour le dommage causé était régie exclusivement par la loi fédérale du 14 mars 1958 sur la responsabilité de la Confédération, des membres de ses autorités et de ses fonctionnaires (LRCF; RS 170.32); il n'y avait, en particulier, pas de place pour l'application des règles en matière de responsabilité civile contractuelle (<ref-law>) ou délictuelle (<ref-law>). A leurs yeux, l'<ref-law> (sous le chapitre "La responsabilité des organisations spéciales chargées d'accomplir des tâches pour la Confédération et de leur personnel") constitue un cas de responsabilité réglé de manière spécifique par une disposition spéciale de droit fédéral. Aussi, l'examen des demandes en réparation du dommage introduites par le recourant à l'encontre de l'EPFL et de Publica ne relevait-il pas du tribunal prévu par l'<ref-law> (soit dans le canton de Vaud, la Cour des assurances sociales du Tribunal cantonal vaudois), mais de la procédure prévue par l'<ref-law>. L'art. 100 du règlement de prévoyance du 3 décembre 2007 de la Caisse de prévoyance du domaine des EPF pour le personnel du domaine des EPF (RS 172.220.142.1; RP-EPF 1), sur la compétence des tribunaux prévus selon l'<ref-law> pour statuer sur les litiges entre Publica, l'employeur et les ayants droit, n'y changeait rien, pas plus que la jurisprudence du Tribunal fédéral (<ref-ruling>). En conclusion, la juridiction cantonale a retenu qu'en vertu de l'<ref-law>, il appartenait aux intimées de statuer matériellement sur les réclamations de A._ dirigées contre elles, ce pour quoi elle leur a transmis la demande (ch. II du dispositif du jugement entrepris).
2.2. Invoquant une violation des <ref-law> et 100 RP-EPF 1, le recourant soutient que le litige qui l'oppose à l'EPFL et Publica relève de la compétence du tribunal au sens de la LPP. Par ailleurs, en tant que la juridiction cantonale avait elle-même fait mention de la voie de droit prévue par l'<ref-law> dans son arrêt du 22 juillet 2013, elle ne pouvait opérer un "changement de jurisprudence", sans que les exigences en fussent réalisées, ce qui ne ressortait nullement des motifs du jugement entrepris.
3.
3.1. Aux termes de l'art. 73 al. 1, première phrase, LPP, chaque canton désigne un tribunal qui connaît, en dernière instance cantonale, des contestations opposant institutions de prévoyance, employeurs et ayants droit. Ce tribunal est également compétent pour les prétentions en responsabilité selon l'<ref-law> (al. 1 let. c). L'<ref-law> est applicable au domaine de la prévoyance obligatoire, de la prévoyance pré-obligatoire, sous-obligatoire et de la prévoyance plus étendue auquel participent les institutions de prévoyance enregistrées de droit public et de droit privé, de même qu'aux institutions de prévoyance non enregistrées. Le point de savoir si les prétentions en cause découlent du droit privé ou du droit public n'est pas déterminant (arrêt 9C_70/2015 du 28 août 2015 consid. 2.1 et la référence, in SVR 2016 BVG n° 12 p. 52).
En plus de la limitation de la compétence de l'autorité prévue par l'<ref-law> quant au cercle des parties pouvant être liées à une contestation qui lui est soumise, à savoir les institutions de prévoyance, les employeurs et les ayants droit (<ref-ruling> consid. 3 p. 173; <ref-ruling> consid. 1.1 p. 104 et les références), cette compétence suppose que la contestation entre les parties porte sur des questions spécifiques de la prévoyance professionnelle, au sens étroit ou au sens large. Tel est le cas lorsque la contestation concerne spécifiquement le droit de la prévoyance professionnelle et a pour objet le rapport de prévoyance entre un ayant droit et une institution de prévoyance. Il s'agit donc avant tout des litiges qui portent sur des prestations d'assurance, des prestations de libre passage (prestation de sortie) et des cotisations. En revanche, les voies de droit de l'<ref-law> ne sont pas ouvertes lorsque la contestation a un fondement juridique autre que le droit de la prévoyance professionnelle, même si elle devait avoir des effets relevant du droit de ladite prévoyance. Lorsque la compétence matérielle des autorités visées par l'<ref-law> prête à discussion, le point de savoir si une question spécifique de la prévoyance professionnelle se pose doit être résolu - conformément à la nature juridique de la demande - en se fondant sur les conclusions de la demande et sur les faits invoqués à l'appui de ces conclusions; le fondement de la demande est alors un critère décisif de distinction (<ref-ruling> consid. 3 p. 172 s. et les références).
4.
4.1. Dans sa demande déposée devant la juridiction cantonale, le recourant a conclu principalement à ce que les intimées soient condamnées à lui verser, solidairement entre elles, les sommes de 99'563 fr. 70 avec intérêts à 5 % dès le 1er septembre 2011 et de 125'979 fr. 60 avec intérêts à 5 % dès le 1er janvier 2015. De son point de vue, il avait droit au "paiement de dommages et intérêts résultant de la violation du contrat d'affiliation": il ne pouvait pas bénéficier de rentes calculées sur la base d'une affiliation rétroactive au 1er octobre 1980 à cause d'une "prescription découlant de l'<ref-ruling>", mais l'obligation d'affiliation à cette date avait été constatée par le Tribunal fédéral dans son arrêt du 23 avril 2014 en relation avec "d'éventuelles prétentions en dommages et intérêts résultant de la violation du contrat d'affiliation". Le recourant se prévalait en particulier du fait que dans leurs arrêts respectifs des 23 avril 2014 et 22 juillet 2013, le Tribunal fédéral et le Tribunal cantonal vaudois avaient retenu que "M. A._ subi[ssai]t un préjudice du fait de la prescription partielle de la créance de cotisations".
4.2. Il convient de constater, en premier lieu, qu'à l'inverse de ce qu'a prétendu le recourant en instance cantonale - et répète en instance fédérale -, il ne saurait se fonder sur les deux arrêts cantonal et fédéral cités pour en déduire qu'il aurait fait reconnaître l'existence d'un dommage par les juridictions fédérale ou cantonale, voire la réalisation d'autres conditions juridiques afférentes à ses prétentions, en soutenant que "le principe [de la demande] a, en quelque sorte, déjà été retenu à la fois par le Tribunal cantonal et par le Tribunal fédéral" (demande datée du 24 décembre 2014, II. b in fine). Dans l'arrêt 9C_640/2013 du 23 avril 2014 (publié in <ref-ruling>), le Tribunal fédéral a considéré que la détermination de la date à partir de laquelle A._ était affilié à Publica à titre rétroactif, "[pouvait], le cas échéant, jouer un rôle pour d'éventuelles prétentions en dommages et intérêts résultant de la violation du contrat d'affiliation, dont ont fait état les premiers juges." (consid. 8); il y avait dès lors lieu de réformer le jugement sur le seul aspect de la date d'affiliation déterminante. Ces considérations ne portent pas sur la reconnaissance d'un dommage - ni sur d'autres aspects relevant des conditions d'une prétention en dommages-intérêts -, mais sur le motif pour lequel la fixation de la date d'affiliation du recourant à Publica peut se révéler déterminante. Il n'en va pas différemment des considérations précédentes de la juridiction cantonale, qui, dans son jugement du 22 juillet 2012 a mentionné la possibilité pour le recourant d'invoquer à titre subsidiaire des prétentions en dommages et intérêts résultant de la violation du contrat d'affiliation, en retenant qu'il ne lui appartenait toutefois pas de se prononcer sur cette question, à défaut de conclusions et de motivation de l'action de A._ dans ce sens (consid. 4c p. 15).
4.3. Au regard des conclusions de l'action introduite devant le Tribunal cantonal vaudois et des faits invoqués à l'appui de celles-là, la demande a pour objet des prétentions en dommages-intérêts résultant, selon le recourant, de la violation du contrat d'affiliation qui lie Publica et l'EPFL. Même si aucune disposition légale n'est citée à l'appui des prétentions du recourant, il résulte de son écriture qu'il se prévaut d'une mauvaise exécution, par les intimées, dudit contrat; cette violation contractuelle aurait conduit au dommage résultant du fait que la rente de vieillesse de la prévoyance professionnelle qu'il perçoit a été calculée en fonction d'une affiliation rétroactive au 1er janvier 1999 et non pas au 1er octobre 1980.
Or dans une telle constellation où un salarié (ici, un ancien salarié) fait valoir des prétentions à l'égard de l'institution de prévoyance, d'une part, et de son (ancien) employeur, d'autre part, en raison de la violation par ceux-ci du contrat d'affiliation, la voie de la demande devant le juge de la prévoyance professionnelle au sens de l'<ref-law> n'est pas ouverte, comme l'a retenu à juste titre la juridiction cantonale. En premier lieu, même si le contrat d'affiliation fonde en partie les rapports de prévoyance au sens des <ref-law> et 7 OPP 2 (RS 831.44.1), les destinataires (employés) ne peuvent en principe pas tirer de prétentions directes de ce contrat, du moins lorsqu'il ne contient pas une clause valant stipulation pour autrui parfaite au sens de l'<ref-law>. Dans la mesure où le salarié fonde sa demande sur l'inexécution ou l'exécution imparfaite du contrat d'affiliation, il fait valoir des dommages-intérêts résultant d'une violation contractuelle (cf. <ref-law>), ce qui n'entre pas dans la compétence ratione materiae de l'autorité juridictionnelle prévue par l'<ref-law> (arrêt B 37/03 du 10 mars 2004, in RSAS 2005 p. 176, consid. 4.2; cf. aussi, arrêt B 93/03 du 27 avril 2004, in RSAS 2006 p. 44). Il en va de même si le salarié tire sa prétention en réparation du dommage de l'inexécution ou de l'exécution imparfaite d'une obligation issue du contrat de travail ou d'une convention collective (<ref-ruling> consid. 3c p. 31; arrêt B 122/03 et B 123/05 du 25 avril 2006 consid. 6, in RSAS 2007 p. 72).
En conséquence, le tribunal désigné à l'<ref-law> n'est pas compétent pour connaître d'une demande en dommages-intérêts introduite par un ayant droit (ancien salarié) à l'encontre de l'institution de prévoyance et de l'ancien employeur et fondée sur l'inexécution ou l'exécution imparfaite du contrat d'affiliation.
4.4. Comme l'a retenu de manière succincte la juridiction cantonale, la jurisprudence invoquée par le recourant, à savoir l'<ref-ruling> auquel se réfère également Publica dans sa réponse, ne conduit pas à une solution différente.
Dans un obiter dictum de cet arrêt (<ref-ruling> consid. 5.3 p. 83), le Tribunal fédéral a considéré que le tribunal désigné à l'<ref-law> est compétent en raison de la matière pour statuer sur une prétention à la réparation d'un dommage résultant de la violation du contrat d'affiliation (entre un employeur et une institution de prévoyance) au sens d'une lésion d'obligations qui ressortent typiquement du domaine de la prévoyance professionnelle. Dans le cas dont avait à juger le Tribunal fédéral, il s'agissait d'un litige opposant une institution de prévoyance et l'employeur; les considérations relatives à d'éventuelles prétentions en dommages-intérêts tirées d'une mauvaise exécution du contrat d'affiliation portaient uniquement sur les rapports juridiques entre l'institution de prévoyance et l'employeur. Le Tribunal fédéral a justifié la compétence de l'autorité juridictionnelle prévue par l'<ref-law> par l'idée d'harmoniser la compétence quant à la demande en dommages-intérêts fondée sur la violation d'obligations tirées du contrat d'affiliation avec celle valant pour l'action en réparation du dommage prévue à l'<ref-law>, qui relève depuis le 1er janvier 2005 (entrée en vigueur de la 1ère révision LPP, RO 2004 1677) du juge de la prévoyance professionnelle (art. 73 al. 1 let. c LPP). En parallèle à la procédure concernant la demande fondée sur l'<ref-law>, qui permet à une institution de prévoyance - mais non pas aux (anciens) affiliés - de demander réparation du dommage aux personnes chargées de l'administrer ou de la gérer, ou aux experts en matière de prévoyance professionnelle (al. 1), il convient, selon le Tribunal fédéral, d'admettre la compétence du juge de la prévoyance professionnelle lorsque l'institution de prévoyance exige de l'employeur des dommages-intérêts en invoquant une exécution imparfaite du contrat d'affiliation qui les lient (<ref-ruling> consid. 5.3 p. 82 s.). Dès lors que l'action fondée sur l'<ref-law> n'est pas ouverte aux assurés ou autres ayants droit, leur éventuelle prétention en dommages-intérêts tirée d'une inexécution ou d'une exécution imparfaite du contrat d'affiliation n'a pas non plus à être soumise au juge désigné à l'<ref-law>. L'arrêt en cause ne constitue pas un changement de la jurisprudence rappelée ci-avant (supra consid. 4.3).
4.5. En conséquence de ce qui précède, le grief tiré de la violation de l'<ref-law> ou de l'art. 100 RP-EPF 1, qui renvoie en ce qui concerne les voies de droit relatives au litige entre Publica, l'employeur et les ayants droit à l'<ref-law>, est mal fondé.
Pour le reste, hormis l'argumentation liée à la compétence en raison de la matière du juge désigné à l'<ref-law>, le recourant ne remet pas en cause les considérations des premiers juges sur la compétence des intimés - en leur qualité d'institution indépendante au sens de l'<ref-law> (pour l'EPFL, arrêt A-4685/2007 du 24 juin 2009 du Tribunal administratif fédéral consid. 3.2.3) - pour statuer sur la demande en réparation du recourant en vertu de la LRCF. Il n'y a pas lieu d'y revenir.
5.
Le recourant semble encore soutenir que la procédure qu'il a engagée ne serait pas compatible avec les "exigences de la CEDH". Dans la mesure où il ferait valoir une violation du droit à un procès équitable prévu par l'art. 6 § 1 CEDH, son grief est mal fondé. Le fait invoqué de ne "toujours pas [savoir] devant quelle juridiction il peut faire valoir les droits qui sont les siens" ne relève pas d'une situation dans laquelle il serait empêché, par une autorité étatique, d'accéder à un tribunal pour faire valoir ses droits. La circonstance qu'une autorité se déclare incompétente, ratione materiae, pour statuer sur un litige qui lui est concrètement soumis ne relève pas d'une violation de l'art. 6 CEDH (ou d'une autre disposition de la Convention).
6.
Compte tenu de l'issue de la procédure, les frais de justice y afférents seront en principe supportés par le recourant (<ref-law>). Il a cependant requis le bénéfice de l'assistance judiciaire limitée à l'exemption de frais judiciaires, ce qui peut lui être accordé, dès lors que les conditions en sont réalisées (art. 64 al. 1 et 2 LTF).
En qualité d'organisations chargées de tâches de droit public, les intimées ne peuvent pas prétendre des dépens (au sujet de l'institution de prévoyance, <ref-ruling> consid. 5b p. 133; au sujet de l'ancien employeur, arrêt B 40/03 du 27 novembre 2003 consid. 6, non publié in <ref-ruling>).

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce :
1.
Le recours est rejeté.
2.
La requête d'assistance judiciaire est admise.
3.
Les frais judiciaires, arrêtés à 500 fr., sont mis à la charge du recourant. Ils sont toutefois provisoirement pris en charge par la Caisse du Tribunal fédéral.
4.
Le présent arrêt est communiqué aux parties, au Tribunal cantonal du canton de Vaud, Cour des assurances sociales, et à l'Office fédéral des assurances sociales.
Lucerne, le 20 novembre 2017
Au nom de la IIe Cour de droit social
du Tribunal fédéral suisse
La Présidente : Pfiffner
Le Greffier : Cretton