Sachverhalt:
A.
A.a. Gegen A._ läuft im Kanton Schaffhausen seit einiger Zeit ein Strafverfahren wegen des Verdachts der mehrfachen ungetreuen Geschäftsbesorgung in Bereicherungsabsicht, des betrügerischen Konkurses und der Misswirtschaft sowie von mehrfacher Urkundenfälschung. Die Staatsanwaltschaft des Kantons Schaffhausen wird dabei von a.o. Staatsanwalt Richard Jezler vertreten. Am 8. September 2016 sowie am 12. und 21. Oktober 2016 führte er die Schlusseinvernahmen in den beiden untersuchten Sachzusammenhängen (B._ AG und C._ AG) durch. Am 9. November 2016 stellte der Staatsanwalt A._ die Anklageerhebung beim Gericht in Aussicht und setzte ihm Frist für allfällige Beweisanträge. Am 11. November 2016 erhob A._ in gleichem Zusammenhang Strafanzeige gegen D._, der ihn ursprünglich im Zusammenhang mit den mit der B._ AG verbundenen Vorgängen verzeigt hatte. Mit zwei Eingaben vom 12. Dezember 2016 ersuchte A._ insbesondere, das Strafverfahren bis zum rechtskräftigen Abschluss der Strafuntersuchung gegen D._ zu sistieren, eine Konfrontationseinvernahme mit diesem durchzuführen, ihn umfassend über die ihm vorgeworfenen Beschuldigungen zu informieren und verschiedene Zeugen sowie Auskunftspersonen einzuvernehmen.
A.b. Mit Beweisergänzungsentscheid vom 15. Dezember 2016 nahm der a.o. Staatsanwalt Richard Jezler die mit den Anträgen eingereichten Unterlagen zu den Akten und gab einzelnen Akteneinsichtsbegehren statt. Die Sistierungsanträge, die Anträge auf Konfrontationseinvernahme und auf Einvernahme von Auskunftspersonen und Zeugen sowie den Antrag auf umfassende Unterrichtung über die Beschuldigungen wies er ab.
A.c. Ebenfalls am 15. Dezember 2016 erhob die Staatsanwaltschaft beim Kantonsgericht Schaffhausen Anklage gegen A._ wegen mehrfacher ungetreuer Geschäftsbesorgung in Bereicherungsabsicht, betrügerischen Konkurses, Misswirtschaft und mehrfacher Urkundenfälschung.
A.d. Am 21. Dezember 2016 stellte A._ beim Obergericht des Kantons Schaffhausen ein Ausstandsbegehren mit dem Antrag, es sei a.o. Staatsanwalt Richard Jezler anzuweisen, im hängigen Strafverfahren gegen ihn in den Ausstand zu treten.
B.
Mit Entscheid vom 28. März 2017 wies die Vizepräsidentin des Obergerichts des Kantons Schaffhausen als Einzelrichterin das Ausstandsgesuch ab, soweit sie darauf eintrat.
C.
Dagegen führt A._ beim Bundesgericht Beschwerde in Strafsachen mit dem Antrag, den Entscheid des Obergerichts aufzuheben und die Ausstandspflicht von Richard Jezler im gegen ihn gerichteten Strafverfahren festzustellen; eventuell sei die Sache zur Neubeurteilung der Ausstandsfrage an das Obergericht zurückzuweisen. Zur Begründung wird im Wesentlichen geltend gemacht, Richard Jezler habe mehrfach, insbesondere mit seinem Beweisergänzungsentscheid sowie mit der Anklageerhebung vom jeweils 15. Dezember 2016, krass gegen Verfahrensvorschriften verstossen und damit seine Voreingenommenheit bzw. fehlende Unparteilichkeit gegenüber A._ offenbart.
Richard Jezler, unter Verweis auf seine Stellungnahme vor dem Obergericht und den obergerichtlichen Entscheid, sowie das Obergericht, unter Verweis auf seinen Entscheid, verzichteten auf ergänzende Ausführungen.

Erwägungen:
1.
1.1. Beim angefochtenen Entscheid handelt es sich um einen selbständig anfechtbaren, kantonal letztinstanzlichen (vgl. Art. 59 Abs. 1 lit. b i.V.m. Art. 380 StPO) Zwischenentscheid des Obergerichts des Kantons Schaffhausen, gegen den gemäss Art. 78 ff. in Verbindung mit Art. 92 BGG grundsätzlich die Beschwerde in Strafsachen an das Bundesgericht offensteht.
1.2. Der Beschwerdeführer war am vorinstanzlichen Verfahren beteiligt. Im strafprozessualen Vorverfahren kann auch ein Staatsanwalt abgelehnt werden. Im Falle, dass einem entsprechenden Ausstandsgesuch stattzugeben ist, können sämtliche Prozesshandlungen unter Einschluss der Anklageerhebung, die bei Vorliegen des allfälligen Ausstandsgrundes ergangen sind, angefochten werden (vgl. Art. 60 Abs. 1 StPO). Der Beschwerdeführer hat damit ein aktuelles praktisches Interesse an der Aufhebung oder Änderung des angefochtenen Entscheids und ist deshalb zur Beschwerde berechtigt (vgl. Art. 81 Abs. 1 BGG; Urteil des Bundesgerichts 1B_419/2014 vom 27. April 2015 E. 1, nicht publ. in: <ref-ruling>, i.V.m. <ref-ruling> E. 3.2.2 S. 180; vgl. auch hinten E. 2.2).
1.3. Mit der Beschwerde in Strafsachen an das Bundesgericht kann insbesondere die Verletzung von Bundesrecht gerügt werden (Art. 95 lit. a BGG). Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (Art. 106 Abs. 1 BGG), prüft die bei ihm angefochtenen Entscheide aber grundsätzlich nur auf Rechtsverletzungen hin, die von den Beschwerdeführern geltend gemacht und begründet werden (vgl. Art. 42 Abs. 2 BGG). Erhöhte Anforderungen an die Begründung gelten, soweit die Verletzung von Grundrechten gerügt wird (Art. 106 Abs. 2 BGG; <ref-ruling> E. 1.4.2 S. 254 mit Hinweisen). Das Bundesgericht legt seinem Urteil den von der Vorinstanz festgestellten Sachverhalt zugrunde (Art. 105 Abs. 1 BGG), es sei denn, dieser sei offensichtlich unrichtig oder beruhe auf einer Rechtsverletzung im Sinne von Art. 95 BGG (vgl. Art. 97 Abs. 1 und Art. 105 Abs. 2 BGG).
2.
2.1. Gemäss Art. 56 lit. f StPO tritt eine in einer Strafbehörde tätige Person in den Ausstand, wenn sie aus anderen Gründen, insbesondere wegen Freundschaft oder Feindschaft mit einer Partei oder deren Rechtsbeistand, befangen sein könnte. Bei dieser Bestimmung handelt es sich um eine Generalklausel, welche alle Ausstandsgründe erfasst, die in Art. 56 lit. a-e StPO nicht ausdrücklich vorgesehen sind. Sie entspricht Art. 30 Abs. 1 BV und Art. 6 Ziff. 1 EMRK. Danach hat jede Person Anspruch darauf, dass ihre Sache von einem unparteiischen, unvoreingenommenen und unbefangenen Richter ohne Einwirken sachfremder Umstände entschieden wird. Die Rechtsprechung nimmt Voreingenommenheit und Befangenheit an, wenn Umstände vorliegen, die bei objektiver Betrachtung geeignet sind, Misstrauen in die Unparteilichkeit des Richters zu erwecken. Solche Umstände können namentlich in einem bestimmten Verhalten des Richters begründet sein. Dabei ist nicht auf das subjektive Empfinden einer Partei abzustellen. Das Misstrauen in die Unvoreingenommenheit muss vielmehr in objektiver Weise begründet erscheinen. Es genügt, wenn Umstände vorliegen, die bei objektiver Betrachtung den Anschein der Befangenheit und Voreingenommenheit erwecken. Für die Ablehnung ist nicht erforderlich, dass der Richter tatsächlich befangen ist (<ref-ruling> E. 3.2.1 S. 179 mit Hinweisen).
2.2. Art. 30 Abs. 1 BV und Art. 6 Ziff. 1 EMRK sind bei der Ablehnung eines Staatsanwalts nur anwendbar, wenn er ausnahmsweise in richterlicher Funktion tätig wird, wie das bei Erlass eines Strafbefehls zutrifft. Amtet er jedoch als Strafuntersuchungsbehörde, beurteilt sich die Ausstandspflicht nach Art. 29 Abs. 1 BV. Wohl darf der Gehalt von Art. 30 Abs. 1 BV nicht unbesehen auf nicht richterliche Behörden bzw. auf Art. 29 Abs. 1 BV übertragen werden. Hinsichtlich der Unparteilichkeit des Staatsanwalts im Sinne von Unabhängigkeit und Unbefangenheit kommt Art. 29 Abs. 1 BV allerdings ein mit Art. 30 Abs. 1 BV weitgehend übereinstimmender Gehalt zu. Auch ein Staatsanwalt kann abgelehnt werden, wenn Umstände vorliegen, die objektiv geeignet sind, den Anschein der Befangenheit zu erwecken. Das gilt allerdings nur für das Vorverfahren. Nach Erhebung der Anklage wird die Staatsanwaltschaft dagegen wie die beschuldigte Person und die Privatklägerschaft zur Partei (Art. 104 Abs. 1 StPO; <ref-ruling> E. 3.2.2 S. 179 f.).
2.3. Gemäss Art. 61 lit. a StPO leitet die Staatsanwaltschaft das Verfahren bis zur Anklageerhebung. Sie gewährleistet insoweit eine gesetzmässige und geordnete Durchführung des Verfahrens (Art. 62 Abs. 1 StPO). Sie untersucht die belastenden und entlastenden Umstände mit gleicher Sorgfalt (Art. 6 Abs. 2 StPO). Zwar verfügt sie bei ihren Ermittlungen über eine gewisse Freiheit. Sie ist jedoch zu Zurückhaltung verpflichtet. Sie hat sich jeden unlauteren Vorgehens zu enthalten und sowohl die belastenden als auch die entlastenden Umstände zu untersuchen. Sie darf keine Partei zum Nachteil einer anderen bevorteilen (<ref-ruling> E. 2.2.1 S. 145 mit Hinweisen). Fehlerhafte Verfügungen und Verfahrenshandlungen des Staatsanwalts begründen für sich keinen Anschein der Voreingenommenheit. Anders verhält es sich, wenn besonders krasse oder wiederholte Irrtümer vorliegen, die eine schwere Verletzung der Amtspflichten darstellen (<ref-ruling> E. 3.2.2 S. 180 mit Hinweisen).
3.
3.1. Der Beschwerdeführer rügt im Wesentlichen, der in seinem Fall zuständige Staatsanwalt habe mehrfach krasse Verfahrensfehler begangen. Hauptsächlich begründet er das damit, der Staatsanwalt habe einzelne seiner Beweisanträge sowie das Gesuch um Sistierung des gegen ihn gerichteten Strafverfahrens bis zum rechtskräftigen Abschluss der Strafuntersuchung gegen den von ihm verzeigten D._, der ursprünglich gegen ihn Strafanzeige erstattet hatte, abgelehnt und stattdessen unverzüglich gegen ihn Anklage erhoben. Erschwerend seien auch vereinzelte frühere Verfahrensmängel zu berücksichtigen.
3.2. Die vom Beschwerdeführer behaupteten Verfahrensmängel betreffen in erster Linie prozessuale Zwischenentscheide, die als solche weitgehend nicht oder nur beschränkt selbständig anfechtbar sind. Dies kann nicht dadurch umgangen werden, dass die analogen Rügen im Rahmen eines Ausstandsverfahrens erhoben werden. Nur schwerwiegende krasse oder wiederholte Verfahrensmängel sind in diesem Zusammenhang relevant. Andere, allenfalls im Strafverfahren massgebliche prozessuale Mängel sind (einzig) in diesem und nicht im Ausstandsverfahren geltend zu machen. Die Qualifikation allfälliger Fehler als Ausstandsgrund, d.h. der Charakter als schwerwiegender Mangel, muss als solcher offensichtlich sein bzw. die Unparteilichkeit oder Voreingenommenheit klar erkennen lassen. Trifft dies nicht zu, gibt es keinen Anlass für einen Ausstand des Staatsanwaltes. Die Vorinstanz hat die vom Beschwerdeführer behaupteten Verfahrensmängel schon ziemlich detailliert geprüft. Das verschafft diesem aber nicht das Recht, dass das Bundesgericht das ebenfalls tut bzw. auf die von ihm erhobenen Rügen nochmals vertieft eingeht. Das Bundesgericht hat einzig zu entscheiden, ob ein Ausstandsgrund vorliegt oder nicht.
3.3. Mit der Ankündigung der Anklageerhebung setzt die Staatsanwaltschaft den Parteien eine Frist für Beweisanträge (Art. 318 Abs. 1 StPO). Solche können nur abgelehnt werden, wenn sie Tatsachen betreffen, die unerheblich, offenkundig oder bereits bekannt oder erwiesen sind; abgelehnte Beweisanträge können im Hauptverfahren erneut gestellt werden (Art. 318 Abs. 2 StPO). In seinem Beweisergänzungsentscheid vom 15. Dezember 2016 wies der Staatsanwalt zwar etliche, nicht aber alle Anträge des Beschwerdeführers ab. Einzelne Beweisanträge wie die Einsichtnahme in bestimmte Akten und die Entgegennahme eingereichter Unterlagen zu den Akten hiess er gut. Die Beweisbegehren wurden mithin nicht integral abgelehnt und der Entscheid wurde Punkt für Punkt mit sachlichen Argumenten begründet, was gegen die Voreingenommenheit des Staatsanwaltes gegenüber dem Beschwerdeführer spricht. Vertiefter ist hier nicht darauf einzugehen, ob die Ablehnung der Beweisofferten rechtmässig war oder nicht, wie der Beschwerdeführer detailliert darzulegen versucht. Das liefe auf eine im Ausstandsverfahren unzulässige Überprüfung der Rechtmässigkeit des Beweisergänzungsentscheides des Staatsanwaltes hinaus. Auch die vom Beschwerdeführer in diesem Zusammenhang behauptete Gehörsverletzung und der angebliche Verstoss gegen den Grundsatz von Treu und Glauben sind nicht derart offensichtlich, dass darin ein Ausstandsgrund zu sehen wäre. Über die Zulässigkeit der Anklage wird das Strafgericht zu entscheiden haben (vgl. Art. 328 ff. StPO). Im Übrigen kann der Beschwerdeführer alle Beweisanträge vor dem Strafgericht nochmals stellen. Dieses wird gegebenenfalls konkret zu prüfen haben, ob die Ablehnung der Beweisanträge zu Recht erfolgte oder, wie der Beschwerdeführer geltend macht, seine Beweisofferten im Sinne der Gewährung und Pflicht zur Entgegennahme von Entlastungsbeweisen doch noch zu befolgen sein werden. Im heutigen Zeitpunkt ist in diesem Zusammenhang jedenfalls ein schwerwiegender Verfahrensmangel, der einen Ausstand zu begründen vermöchte, nicht ersichtlich.
3.4. Nach Art. 314 Abs. 1 lit. b StPO kann die Staatsanwaltschaft eine Untersuchung sistieren, wenn der Ausgang des Strafverfahrens von einem anderen Verfahren abhängt und es angebracht erscheint, dessen Ausgang abzuwarten. Dabei verfügt die Staatsanwaltschaft über ein gewisses Ermessen. Im vorliegenden Fall ist der Staatsanwalt offenbar bestrebt, das Strafverfahren gegen den Beschwerdeführer zügig voranzutreiben und eine Verzögerung zu vermeiden, die darauf zurückginge, dass der Beschwerdeführer erst spät eine Strafanzeige gegen die gleiche Person erhoben hat, die ihn ursprünglich im Zusammenhang mit dem Strafvorwurf in Sachen B._ AG selbst verzeigt hatte. Die hier massgebliche Strafuntersuchung gegen den Beschwerdeführer läuft schon seit einiger Zeit, und die Schlusseinvernahme in Sachen B._ AG fand am 8. September 2016 statt. Die dem Sistierungsgesuch zugrunde liegende Strafanzeige hat der Beschwerdeführer jedoch erst am 11. November 2016 erstattet, zwei Tage, nachdem ihm am 9. November 2016 der Staatsanwalt die Anklageerhebung beim Gericht in Aussicht und ihm Frist für allfällige Beweisanträge gesetzt hatte. Die Strafuntersuchung stand also bereits kurz vor ihrem Abschluss und der Beschwerdeführer vermag nicht nachvollziehbar zu erklären, weshalb er seine Anzeige, deren vorherige Erledigung er für die Fortführung des vorliegenden gegen ihn selbst gerichteten Strafverfahrens nunmehr als unerlässlich bezeichnet, nicht schon früher erstattet hat. Mit Blick auf das Beschleunigungsgebot bzw. im Hinblick auf eine beförderliche Erledigung des vorliegenden Strafverfahrens erscheint es daher nicht unausweichlich bzw. krass falsch, den Sistierungsantrag abzuweisen. Im Übrigen könnte auch das Sistierungsbegehren vor dem Strafgericht nochmals gestellt werden (vgl. insbes. Art. 329 Abs. 2 StPO). Ein schwerwiegender Verfahrensmangel liegt nicht vor.
3.5. Daran vermögen auch die übrigen konkreten Rügen des Beschwerdeführers nichts zu ändern. Im hier zu beurteilenden Ausstandsverfahren geht es, wie dargelegt (vgl. vorne E. 3.2), nicht darum, alle möglichen prozessualen Mängel vertieft zu prüfen. Da im vorliegenden Zusammenhang einzig schwerwiegende Verfahrensfehler von Belang sind, muss den Vorhaltungen des Beschwerdeführers auch nur auf entsprechende Relevanz hin nachgegangen werden. Auch eine gesamtheitliche Sicht unter Einbezug früherer Entscheide des Staatsanwaltes, wie sie der Beschwerdeführer verlangt, lässt schwerwiegende Verfahrensmängel, die einen Ausstandsgrund des Staatsanwalts zu belegen vermöchten, nicht erkennen. Ob einzelne Rügen allenfalls verspätet erhoben wurden, kann daher offenbleiben. So oder so gibt es keine Anhaltspunkte für persönliche Feindschaft, Voreingenommenheit oder Parteilichkeit bzw. solche sind nicht im Sinne des erforderlichen Grades des Anscheins der Befangenheit nachgewiesen. Damit besteht im Strafverfahren gegenüber dem Beschwerdeführer keine Ausstandspflicht des Staatsanwaltes.
4.
Die Beschwerde erweist sich als unbegründet und ist abzuweisen.
Bei diesem Verfahrensausgang wird der unterliegende Beschwerdeführer kostenpflichtig (Art. 66 Abs. 1, Art. 65 BGG). Eine Parteientschädigung ist nicht zuzusprechen (vgl. Art. 68 BGG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 3'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Schaffhausen, Vizepräsidentin, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 2. Juni 2017
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Merkli
Der Gerichtsschreiber: Uebersax