Sachverhalt:
A.
Der 1964 geborene A._ war über seinen Arbeitgeber bei der Schweizerischen Unfallversicherungsanstalt (SUVA) obligatorisch gegen Unfallfolgen versichert, als am 28. Mai 2010 ein nachfolgender Peugeot 406 innerorts ins Heck des von ihm gelenkten, vor einem Fussgängerstreifen angehaltenen Ford Kuga prallte. Gemäss Bericht des Spitals B._ vom 9. Juni 2010 zog sich A._ hiebei namentlich eine Distorsion der Halswirbelsäule (HWS) zu. Die SUVA gewährte Heilbehandlung und richtete Taggeld aus. Mit Verfügung vom 17. Juni 2014 stellte sie ihre Leistungen per 30. Juni 2014 ein und verneinte einen Anspruch auf eine Invalidenrente sowie auf eine Integritätsentschädigung, da die noch geklagten Beschwerden nicht in einem adäquaten Kausalzusammenhang zum Unfall vom 28. Mai 2010 stünden. Die vom Krankenpflegeversicherer des A._ hiegegen vorsorglich erhobene Einsprache wurde wieder zurückgezogen. Die Einsprache des Versicherten wies die SUVA mit Entscheid vom 11. November 2014 ab.
B.
Die von A._ gegen den Einspracheentscheid erhobene Beschwerde wies das Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich mit Entscheid vom 11. Januar 2016 ab.
C.
A._ führt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten mit dem Rechtsbegehren, in Aufhebung des vorinstanzlichen Entscheids sei die Sache zur ergänzenden Abklärung und zum Entscheid über die Fortsetzung des Taggeldes und über den Anspruch auf eine UVG-Invalidenrente auf der Grundlage einer 40%igen Arbeitsfähigkeit sowie über den Anspruch auf eine Integritätsentschädigung an das kantonale Gericht, eventuell an die SUVA zurückzuweisen. Weiter wird darum ersucht, das bundesgerichtliche Verfahren bis zum Vorliegen eines von der Invalidenversicherung (IV) angeordneten medizinischen Gutachtens zu sistieren.
Es wird kein Schriftenwechsel durchgeführt.

Erwägungen:
1.
Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann wegen Rechtsverletzungen gemäss Art. 95 und 96 BGG erhoben werden. Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (<ref-law>), doch prüft es, unter Berücksichtigung der allgemeinen Rüge- und Begründungspflicht (Art. 42 Abs. 1 und 2 BGG), nur die geltend gemachten Vorbringen, falls allfällige weitere rechtliche Mängel nicht geradezu offensichtlich sind (<ref-ruling> E. 1.6 S. 280; vgl. auch <ref-ruling> E. 1 S. 236; <ref-ruling> E. 1.1 S. 137 f.).
Im Beschwerdeverfahren um die Zusprechung oder Verweigerung von Geldleistungen der Militär- oder Unfallversicherung ist das Bundesgericht nicht an die vorinstanzliche Feststellung des rechtserheblichen Sachverhalts gebunden (Art. 97 Abs. 2 und Art. 105 Abs. 3 BGG).
2.
Das Sistierungsbegehren ist abzuweisen. Das zu seiner Begründung angeführte, noch ausstehende medizinische Gutachten könnte als unzulässiges echtes Novum im vorliegenden Verfahren von vornherein keine Beachtung finden (vgl. <ref-law>; <ref-ruling> E. 2.1 f. S. 343 f.; SVR 2016 UV Nr. 11 S. 33, 8C_412/2015 E. 4 mit Hinweis).
3.
Streitig und zu prüfen ist, ob aus dem Unfall vom 28. Mai 2010 über den 30. Juni 2014 hinaus Anspruch auf Leistungen der obligatorischen Unfallversicherung besteht.
Im angefochtenen Entscheid sind die namentlich interessierenden Grundsätze zum für einen solchen Anspruch nebst anderem erforderlichen natürlichen und adäquaten Kausalzusammenhang zwischen dem Unfall und dem eingetretenen Schaden, insbesondere bei organisch objektiv ausgewiesenen Unfallfolgen, bei Verletzungen, welche die Anwendung der sog. Schleudertrauma-Praxis rechtfertigen, und bei psychischen Fehlentwicklungen nach Unfall gemäss der sog. Psycho-Praxis (vgl. zum Ganzen: <ref-ruling> E. 4 S. 250 f. mit Hinweisen) zutreffend dargelegt. Darauf wird verwiesen.
4.
Das kantonale Gericht ist davon ausgegangen, die noch geklagten Beschwerden seien nicht mit einer organisch objektiv ausgewiesenen Unfallfolge zu erklären.
Der Beschwerdeführer will offensichtlich das Vorliegen einer solchen Unfallfolge postulieren, indem er geltend macht, es bestünden objektivierbare neuropsychologische Defizite.
Nach der Rechtsprechung kann indessen von organisch objektiv ausgewiesenen Unfallfolgen erst dann gesprochen werden, wenn die erhobenen Befunde mit apparativen/bildgebenden Abklärungen bestätigt wurden und die hiebei angewendeten Untersuchungsmethoden wissenschaftlich anerkannt sind (<ref-ruling> E. 5.1 S. 251 mit Hinweisen). Dies gilt auch hinsichtlich neuropsychologischer Defizite (Urteil 8C_117/2015 vom 17. Juni 2015 E. 2 mit Hinweis). Die im vorliegenden Fall durchgeführten bildgebenden Untersuchungen mittels CT und MRI haben keine unfallbedingten Läsionen ergeben, welche solche Defizite erklären könnten (Berichte Institut für Radiologie Spital B._ vom 7. Juni 2010, Medizinisch-Radiologisches Institut C._ vom 15. Juni 2010, Rehaklinik D._ vom 27. August 2010, Kliniken E._ vom 12. April 2011). Von ergänzenden medizinischen Abklärungen, welche der Versicherte hiezu beantragt, ist abzusehen, da sie keinen entscheidrelevanten neuen Aufschluss erwarten lassen (antizipierte Beweiswürdigung; <ref-ruling> E. 5.3 S. 236; Urteil 8C_777/2015 vom 22. März 2016 E. 3.7).
5.
Liegt keine organisch objektiv ausgewiesene Unfallfolge vor, welche die geklagten Beschwerden zu erklären vermag, ist der adäquate Kausalzusammenhang zwischen diesen und dem Unfall besonders zu prüfen (<ref-ruling> E. 4 S. 251). Ergibt sich, dass die Adäquanz zu verneinen ist, kann die Frage der natürlichen Unfallkausalität offen bleiben (<ref-ruling> E. 5.1 S. 472).
5.1. Das kantonale Gericht hat die Adäquanz mit der Begründung, psychische Beschwerden stünden im Vordergrund, nach der Psycho-Praxis geprüft. Der Beschwerdeführer erachtet offenbar die Schleudertrauma-Rechtsprechung für massgebend. Welche dieser Auffassungen zutrifft, braucht dann nicht abschliessend beurteilt zu werden, wenn die in der Regel und jedenfalls hier für die versicherte Person vorteilhaftere Schleudertrauma-Rechtsprechung zur Verneinung des adäquaten Kausalzusammenhangs führt. Das gilt es nachfolgend zu prüfen.
5.2. Auszugehen ist von der Schwere des erlittenen Unfalls. Die hier zu beurteilende Heckauffahrkollision ist im Lichte der Rechtsprechung zu derartigen Ereignissen (vgl. SVR 2010 UV Nr. 25 S. 100, 8C_897/2009 E. 4.1; Nr. 10 S. 40, 8C_626/2009 E. 4.2.2, je mit Hinweisen) mit der Vorinstanz als mittelschwerer Unfall im Grenzbereich zu den leichten Unfällen einzustufen, zumal die unfallbedingte Geschwindigkeitsänderung gemäss der biomechanischen Kurzbeurteilung vom 28. September 2010 lediglich knapp innerhalb oder oberhalb eines Bereiches von 10-15 km/h lag. Dass die Auffahrgeschwindigkeit des unfallverursachenden Fahrzeuges höher war als die besagte - und massgebliche - Geschwindigkeitsänderung, rechtfertigt entgegen der in der Beschwerde vertretenen Auffassung nicht, den Unfall als schwerer einzuordnen.
5.3. Von den massgeblichen Zusatzkriterien (gemäss <ref-ruling> E. 10.3 S. 130: besonders dramatische Begleitumstände oder besondere Eindrücklichkeit des Unfalls; Schwere oder besondere Art der erlittenen Verletzungen; fortgesetzt spezifische, belastende ärztliche Behandlung; erhebliche Beschwerden; ärztliche Fehlbehandlung, welche die Unfallfolgen erheblich verschlimmert; schwieriger Heilungsverlauf und erhebliche Komplikationen; erhebliche Arbeitsunfähigkeit trotz ausgewiesener Anstrengungen) müssten demnach mindestens vier oder aber eines in besonders ausgeprägter Weise erfüllt sein, um den adäquaten Kausalzusammenhang bejahen zu können (erwähntes Urteil 8C_897/2010 E. 4.5).
Die Kriterien der belastenden ärztlichen Behandlung und der ärztlichen Fehlbehandlung werden nicht geltend gemacht. Entgegen der in der Beschwerde vertretenen Auffassung war der Unfall vom 28. Mai 2010 aber auch nicht besonders eindrücklich. Ebenso wenig lassen die neuropsychologischen Defizite den Schluss zu, die erlittene Verletzung sei besonderer Art. Es wird sodann zu Recht nicht geltend gemacht, eines (oder mehrere) der weiter geltend gemachten Kriterien der erheblichen Beschwerden, des schwierigen Heilungsverlaufs und der erheblichen Arbeitsunfähigkeit sei in besonders ausgeprägter Weise gegeben. Damit kann offen bleiben, ob sie überhaupt in der einfachen Form vorliegen, genügte dies doch ohnehin nicht zur Bejahung der Adäquanz.
6.
Fehlt es nach dem Gesagten am adäquaten Kausalzusammenhang zwischen dem Unfall vom 28. Mai 2010 und den noch geklagten Beschwerden, wurde ein Leistungsanspruch hiefür aus der obligatorischen Unfallversicherung zu Recht verneint. Daran vermögen die weiteren Einwände des Beschwerdeführers nichts zu ändern. Die entscheidwesentlichen Abklärungen wurden getroffen. Das gilt auch für den Beizug der für die Beurteilung der Streitsache relevanten Akten. Es liegt keine Verletzung des Untersuchungsgrundsatzes oder des Anspruchs auf rechtliches Gehör vor. Namentlich hat sich die Vorinstanz auch genügend mit den Vorbringen des Versicherten auseinandergesetzt. Geltend gemacht wird weiter, das kantonale Gericht habe <ref-ruling> missachtet. Dieses Grundsatzurteil hat indessen die unfallversicherungsrechtliche Rechtsprechung zum natürlichen und adäquaten Kausalzusammenhangs nicht geändert (vgl. <ref-ruling> E. 5.2 S. 582; Urteil 8C_788/2015 v om 10. März 2016 E. 2.2 mit weiterem Hinweis). Das in ihm zur invalidisierenden Wirkung psychosomatischer Leiden Gesagte ist zudem im UVG-Bereich von vornherein nicht massgeblich, wenn wie hier ein Leistungsanspruch schon mangels Unfallkausalität der geklagten Beschwerden zu verneinen ist. Daher geht auch die Rüge fehl, die Vorinstanz habe Abklärungen im Hinblick auf <ref-ruling> unterlassen. Die Beschwerde ist abzuweisen.
7.
Die Kosten des Verfahrens sind vom unterliegenden Beschwerdeführer zu tragen (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Das Sistierungsgesuch wird abgewiesen.
2.
Die Beschwerde wird abgewiesen.
3.
Die Gerichtskosten von Fr. 800.- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien, dem Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich und dem Bundesamt für Gesundheit schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 12. April 2016
Im Namen der I. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Maillard
Der Gerichtsschreiber: Lanz