Faits :
A.
Par jugement du 9 décembre 2015, le Tribunal de police du Littoral et du Val-de-Travers a reconnu X._ coupable d'abus de confiance et l'a condamné à 120 jours-amende à 120 fr., avec sursis pendant deux ans, ainsi qu'à une amende de 1'400 fr., la peine privative de liberté de substitution étant de 14 jours en cas de non-paiement de l'amende.
B.
Par jugement d'appel du 25 mai 2016, la Cour pénale du Tribunal cantonal neuchâtelois a rejeté l'appel formé par X._. Elle a toutefois modifié le jugement de première instance en ce sens qu'elle a reconnu X._ coupable de gestion déloyale aggravée, tout en maintenant la peine infligée par le premier juge.
En substance, elle a retenu les faits suivants:
B.a. " A._ " Coopérative d'habitation, à Neuchâtel (ci-après: A._ ou la coopérative), est une société coopérative inscrite au registre du commerce depuis le 8 septembre 1949. Son but est, en résumé, de proposer à ses associés - notamment des membres de l'Union syndicale suisse - des logements à des prix raisonnables. A cette fin, elle est propriétaire d'un parc immobilier, qu'elle entretient, gère et développe au gré des opportunités. Son administration doit se composer de sept membres au moins. Pendant de nombreuses années, X._ en a été administrateur président, B._ administrateur vice-président et C._ administrateur délégué. Le président disposait de la signature collective à deux. B._ et C._ pouvaient chacun signer collectivement à deux avec le président. Parmi les autres administrateurs inscrits au registre du commerce figurait D._, depuis 2007. La fiduciaire d'E._ en révisait les comptes depuis 2001.
X._ a prêté à la coopérative, pour lui-même et son épouse, 200'000 fr. en 2004 et encore 50'000 fr. en 2008. B._ a prêté 100'000 fr. en 1999 et C._, qui avait déjà prêté 185'000 fr., a ajouté 400'000 fr. le 16 décembre 1999, 150'000 fr. le 25 janvier 2006 et 150'000 fr. le 1er avril 2010. Les contrats étaient signés par C._ et B._ pour les prêts X._ (en violation du droit à la signature résultant du registre du commerce, puisque les deux intéressés n'avaient chacun la signature collective à deux qu'avec le président, à savoir X._ lui-même), par X._ et B._ pour le prêt C._ de 2006, par le président et l'administrateur pour les prêts C._ de 1999, par le président et C._ lui-même pour les prêts C._ antérieurs, ainsi que par le président et l'administrateur pour le prêt B._ en 1999. Les contrats conclus depuis 1999 prévoyaient des intérêts annuels au taux pratiqué par la Banque F._ pour ses prêts hypothécaires pour immeubles d'habitation, majoré au maximum de 1 %, ce taux étant fixé par le conseil d'administration chaque année civile.
B.b. Le 2 septembre 2010, D._ a déposé une plainte pénale contre X._ et C._. Elle leur reprochait notamment un système de prêts chirographaires, par lequel les deux intéressés et B._ accordaient à A._ des prêts chirographaires à des taux d'intérêts supérieurs à ceux pratiqués par les banques, cela à l'insu de l'assemblée générale.
C.
Contre le jugement d'appel cantonal, X._ dépose un recours en matière pénale devant le Tribunal fédéral. En substance, il conclut, principalement, à son acquittement des préventions des art. 138 et 158 CP et à l'octroi d'une indemnité selon l'<ref-law>; à titre subsidiaire, il requiert l'annulation du jugement attaqué et le renvoi de la cause à l'autorité précédente pour nouvelle décision.

Considérant en droit :
1.
1.1. Le Tribunal fédéral conduit son raisonnement sur la base des faits établis par l'autorité précédente. Il ne peut les revoir que si ceux-ci l'ont été de manière manifestement inexacte (<ref-law>), c'est-à-dire arbitraire (sur cette notion, cf. <ref-ruling> consid. 6.1 p. 205) et pour autant que la correction du vice soit susceptible d'influer sur le sort de la cause (<ref-law>). En bref, une décision n'est pas arbitraire du seul fait qu'elle apparaît discutable ou même critiquable; il faut qu'elle soit manifestement insoutenable, et cela non seulement dans sa motivation mais aussi dans son résultat.
1.2. Le grief d'arbitraire doit être invoqué et motivé de manière précise (<ref-law>). Le recourant doit exposer, de manière détaillée et pièces à l'appui, que les faits retenus l'ont été d'une manière absolument inadmissible, et non seulement discutable ou critiquable. Il ne saurait se borner à plaider à nouveau sa cause, contester les faits retenus ou rediscuter la manière dont ils ont été établis comme s'il s'adressait à une juridiction d'appel (<ref-ruling> consid. 3 p. 352; <ref-ruling>). Le Tribunal fédéral n'entre pas en matière sur les critiques de nature appellatoire (<ref-ruling> consid. 1.3.1 p. 253).
2.
Dénonçant une mauvaise application de l'<ref-law>, le recourant conteste sa condamnation pour gestion déloyale aggravée.
2.1. L'<ref-law> punit celui qui, en vertu de la loi, d'un mandat officiel ou d'un acte juridique, est tenu de gérer les intérêts pécuniaires d'autrui ou de veiller sur leur gestion et qui, en violation de ses devoirs, aura porté atteinte à ces intérêts ou aura permis qu'ils soient lésés (ch. 1 al. 1). Le cas de la gestion déloyale aggravée est réalisé lorsque l'auteur a agi dans le dessein de se procurer ou de procurer à un tiers un enrichissement illégitime (ch. 1 al. 3).
Sur le plan objectif, il faut que l'auteur ait un devoir de gestion ou de sauvegarde, qu'il ait violé une obligation inhérente à cette qualité et qu'il en soit résulté un dommage. Sur le plan subjectif, il faut qu'il ait agi intentionnellement. Le dessein d'enrichissement illégitime constitue une circonstance aggravante (<ref-law>).
2.2. L'infraction réprimée par l'<ref-law> ne peut être commise que par une personne qui revêt la qualité de gérant. Selon la jurisprudence, il s'agit d'une personne à qui incombe, de fait ou formellement, la responsabilité d'administrer un complexe patrimonial non négligeable dans l'intérêt d'autrui (<ref-ruling> consid. 3.1 p. 126; <ref-ruling> consid. 3b p. 21). La qualité de gérant suppose un degré d'indépendance suffisant et un pouvoir de disposition autonome sur les biens administrés. Ce pouvoir peut aussi bien se manifester par la passation d'actes juridiques que par la défense, au plan interne, d'intérêts patrimoniaux, ou encore par des actes matériels, l'essentiel étant que le gérant se trouve au bénéfice d'un pouvoir de disposition autonome sur tout ou partie des intérêts pécuniaires d'autrui, sur les moyens de production ou le personnel d'une entreprise (ATF <ref-ruling> consid. 3b p. 21). Il est admis en règle générale que cette définition s'applique au directeur, gérant ou membre du comité d'une société coopérative (arrêt 6S.187/2004 du 18 février 2005 consid. 3.1; DUPUIS ET AL., Petit commentaire du Code pénal, 2012, n° 11 ad <ref-law>).
En l'espèce, la qualité de gérant du recourant n'est pas contestée, dès lors qu'il était administrateur et président de la société coopérative. Peu importe qu'il ne disposât que d'une signature collective à deux (cf. <ref-ruling> consid. 2 p. 109 s.).
2.3.
2.3.1. Le comportement délictueux visé à l'<ref-law> n'est pas décrit par le texte légal. Il consiste à violer les devoirs inhérents à la qualité de gérant. Le gérant sera ainsi punissable s'il transgresse - par action ou par omission - les obligations spécifiques qui lui incombent en vertu de son devoir de gérer et de protéger les intérêts pécuniaires d'une tierce personne. Savoir s'il y a violation de telles obligations implique de déterminer, au préalable et pour chaque situation particulière, le contenu spécifique des devoirs incombant au gérant. Ces devoirs s'examinent au regard des dispositions légales et contractuelles applicables, des éventuels statuts, règlements internes, décisions de l'assemblée générale, buts de la société et usages spécifiques de la branche (arrêts 6B_233/2013 du 3 juin 2013 consid. 3.2; 6B_446/2010 du 14 octobre 2010, consid. 8.4.1).
2.3.2. En sa qualité de gérant, le recourant devait préserver les intérêts de A._ et de ses membres (cf. <ref-law>). L'art. 50 des statuts de la coopérative faisait obligation aux administrateurs de veiller à la bonne gestion des affaires sociales et de contribuer de toutes leurs forces à la prospérité de la société. Le devoir des administrateurs consistait notamment à prendre des décisions permettant de réaliser le but social, à savoir la mise à disposition d'une clientèle peu favorisée de logements adéquats à des prix raisonnables, ce qui supposait une gestion rationnelle des recettes et des dépenses, ainsi qu'une limitation de ces dernières à ce qui était utile à la réalisation du but. La négociation, en tant que nécessaire, d'emprunts à des taux aussi favorables que possible entrait dans ce cadre, s'agissant d'une coopérative d'habitation qui devait forcément recourir à l'emprunt pour financer des immeubles et des travaux en relation avec ceux-ci, même si sa situation financière était très saine.
Les prêts du recourant et des autres administrateurs, au moins dès 1999, ne correspondaient pas à un réel besoin pour A._. La coopérative jouissait d'une situation financière très favorable, et le niveau de ses liquidités était toujours très élevé. Le cash flow de la coopérative a été utilisé en partie pour financer une politique intensive d'investissements entre 2000 et 2009. Dans tous les cas, la coopérative n'aurait eu aucune difficulté à emprunter auprès de banques ou d'autres institutions, compte tenu de sa situation financière. C'est ainsi que, selon E._, qui révisait les comptes de A._, depuis 2001 en tout cas, les prêts des administrateurs ne répondaient à aucune justification économique; la coopérative pouvait sans autre avoir recours à d'autres sources de financement. E._ a déclaré: " je précise que la justification économique n'est plus donnée actuellement "; " à ce jour les prêts ne courent à mon avis aucun risque "; " je pense qu'en tous les cas dès 2001, la Coopérative pouvait recourir à d'autres modes de financement "; " des prêts auraient pu être obtenus à la place des prêts chirographaires à des taux moins élevés s'ils étaient garantis ou plus élevés s'ils n'étaient pas garantis par exemple s'il s'était agi d'un compte courant, où l'on paie toutefois sur ce qu'on utilise effectivement ".
Le recourant fait valoir que les taux servis n'ont jamais dépassé de plus de 1% le taux de référence pratiqué par la Banque F._ pour les hypothèques de premier rang, respectant ainsi les termes des contrats passés entre la coopérative et l'emprunteur. En outre, ces prêts n'auraient pas été sans risque, puisque que l'on ne pouvait pas exclure un " crack " immobilier. Ces griefs ne sont pas pertinents, dans la mesure où il est établi que les taux appliqués aux prêts du recourant étaient supérieurs à ceux que la coopérative auraient pu obtenir auprès de banques. Le recourant soutient également que la coopérative avait besoin de liquidités pour acheter de nouveaux immeubles et maintenir en bon état des bâtiments de la coopérative. Par cette argumentation, il s'écarte de l'état de fait cantonal, sans en démontrer l'arbitraire. En effet, il ressort de celui-ci que la coopérative avait assez de liquidités pour acquérir de nouveaux immeubles et rénover les bâtiments existants; en tout état de cause, elle pouvait recourir à des emprunts plus avantageux. Contrairement à ce que soutient le recourant, l'analyste financier ne dit pas le contraire.
Après avoir constaté que le conseil d'administration était compétent pour les décisions sur la " conclusion d'emprunts et de tout accord financier " (art. 50 let. k des statuts), la cour cantonale a retenu que les décisions relatives aux prêts chirographaires avaient été prises en petit comité par le recourant, B._ et C._ et que le conseil d'administration n'avait fait que ratifier des propositions sur les taux d'intérêts, généralement sans même savoir exactement qui avait prêté et combien; du reste, les procès-verbaux des séances du conseil d'administration (dossier D. 337-360) ne contenaient aucune décision formelle concernant les différents emprunts contractés auprès du recourant, de B._ et de C._.
Le recourant conteste ces constatations de fait, qu'il taxe d'arbitraires. Il fait valoir que les membres du conseil d'administration étaient au courant de l'existence des prêts chirographaires et du taux d'intérêt qui était consenti aux prêteurs. Il explique qu'aucune décision formelle du conseil d'administration n'était nécessaire, qu'en outre le bilan présentait les prêts chirographaires dans un poste séparé de celui des autres prêts et que le conseil d'administration aurait accepté souverainement que le nom des prêteurs ne figure plus dans les comptes en regard des montants. Il conteste avoir violé son devoir de réserve s'agissant d'affaires qui le concernaient personnellement, puisque les emprunts effectués par la coopérative avaient été passés en la forme écrite et qu'ils avaient fait l'objet de discussions au sein du conseil d'administration tant au sujet de leur bien-fondé que des taux d'intérêts qui leur étaient servis. Par cette argumentation, le recourant n'expose toutefois pas, de manière claire et précise, pourquoi les faits retenus par la cour cantonale seraient arbitraires. De caractère appellatoire, cette argumentation est donc irrecevable.
Cela dit, le fait que le conseil d'administration ait ou non été informé de ces prêts est sans pertinence sur la réalisation de l'acte de gestion déloyale. L'accord du conseil d'administration ne peut pas guérir le caractère illicite des prêts incriminés. En effet, étant admis que ceux-ci étaient contraires aux intérêts de la coopérative, les autres administrateurs, qui sont également tenus à veiller aux intérêts de celle-ci, n'étaient pas non plus autorisés à accorder ces prêts sans violer leur devoir de gestion (cf. arrêts 6B_412/2016 du 10 février 2017 consid. 2.3.2; 6B_310/2014 du 23 novembre 2015 consid. 3.9.5; 6S.187/2004 du 18 février 2005 consid. 3.2.2, sur l'absence d'impact de l'approbation de membres du conseil d'administration sur la réalisation de l'infraction de gestion déloyale).
2.4. La notion de « dommage » au sens de cette disposition doit être comprise comme pour les autres infractions contre le patrimoine, en particulier l'escroquerie (<ref-ruling> consid. 2a p. 281). Ainsi, le dommage est une lésion du patrimoine sous la forme d'une diminution de l'actif, d'une augmentation du passif, d'une non-augmentation de l'actif ou d'une non-diminution du passif, mais aussi d'une mise en danger de celui-ci telle qu'elle a pour effet d'en diminuer la valeur du point de vue économique (<ref-ruling> consid. 3.1 p. 125 s.; <ref-ruling> consid. 3d p. 22). Un dommage temporaire ou provisoire est suffisant (<ref-ruling> consid. 2a p. 281; arrêt 6B_1054/2010 du 16 juin 2011 consid. 2.2.1). Il n'est pas nécessaire que le dommage corresponde à l'enrichissement de l'auteur, ni qu'il soit chiffré; il suffit qu'il soit certain (arrêts 6B_967/2013 du 21 février 2014 consid. 3.3; 6B_986/2008 du 20 avril 2009, consid. 4.1).
Par ses actes, le recourant a causé un dommage à A._, en ce sens que la coopérative n'avait pas besoin des liquidités ainsi apportées, respectivement aurait pu se les procurer sur le marché à des conditions plus favorables et qu'elle a donc versé au recourant et à ses acolytes des intérêts supérieurs à ce qu'elle aurait versé à une banque.
2.5. La gestion déloyale est une infraction intentionnelle. La conscience et la volonté de l'auteur doivent englober la qualité de gérant, la violation du devoir de gestion et le dommage (arrêt 6B_223/2010 du 13 janvier 2011 consid. 3.3.3). Le dol éventuel suffit; vu l'imprécision des éléments constitutifs objectifs de l'infraction, la jurisprudence se montre toutefois restrictive, soulignant que le dol éventuel doit être strictement caractérisé (ATF <ref-ruling> consid. 3e p. 23). Le dessein d'enrichissement illégitime n'est pas requis, mais constitue une circonstance aggravante.
Le recourant avait la conscience et la volonté de porter atteinte aux intérêts pécuniaires de A._ en faisant contracter, par la coopérative et à son profit, des prêts chirographaires pour l'essentiel inutiles à la société et toujours à un taux d'intérêt supérieur à ce que A._ aurait pu obtenir auprès d'une banque. Il savait que ses prêts et ceux des autres administrateurs coûtaient plus chers à la coopérative que des emprunts bancaires. En outre, il a agi dans le dessein de se procurer un enrichissement illégitime. Il savait qu'en agissant comme il l'a fait, il s'assurait des revenus supérieurs à ceux qu'il aurait pu réaliser avec d'autres formes de placements, améliorant ainsi sa situation financière. Cet enrichissement était illégitime, dans la mesure où il lésait ainsi les intérêts de la société qu'il avait la charge de gérer.
2.6. En définitive, la cour cantonale n'a pas violé le droit fédéral en retenant que les éléments constitutifs objectifs et subjectif de la forme aggravée de la gestion déloyale (art. 158 ch. 1 al. 1 et 3 CP) étaient réalisés.
3.
Le recourant fait valoir que l'infraction d'abus de confiance n'est pas réalisée.
Dans la mesure où la cour cantonale n'a pas retenu cette infraction, le grief soulevé n'est pas pertinent.
4.
Le recourant sollicite l'octroi d'une indemnité selon l'<ref-law>.
Vu l'issue du recours, cette conclusion est sans objet.
5.
Le recours doit ainsi être rejeté dans la mesure où il est recevable.
Le recourant qui succombe doit supporter les frais judiciaires (<ref-law>).

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce :
1.
Le recours est rejeté dans la mesure où il est recevable.
2.
Les frais judiciaires, arrêtés à 3'000 fr., sont mis à la charge du recourant.
3.
Le présent arrêt est communiqué aux parties et à la Tribunal cantonal de la République et canton de Neuchâtel, Cour pénale.
Lausanne, le 2 mai 2017
Au nom de la Cour de droit pénal
du Tribunal fédéral suisse
Le Président : Denys
La Greffière : Kistler Vianin