Sachverhalt:
A.
Die B._ GmbH mit Sitz in U._ (Gesuchs- und Beschwerdegegnerin) betreibt ein exportorientiertes Produktionsunternehmen auf dem Gebiet der Wärmeübertragung. Sie beschäftigt ein paar Dutzend Mitarbeiterinnen und Mitarbeiter.
Die Stammanteile an der Gesellschaft gehören je zur Hälfte A._ (Gesuchstellerin und Beschwerdeführerin) und C._. Zwischen den beiden Gesellschaftern besteht seit geraumer Zeit Zwist, was namentlich die Beschlussfassung in der Gesellschafterversammlung erschwert.
Die Gesellschaftsstatuten sehen vor, dass die Bestellung der Geschäftsführer durch Beschluss der Gesellschafter erfolgt und die Bestellung jederzeit von den Gesellschaftern widerrufen werden kann. lm Handelsregister sind die beiden Gesellschafter als Geschäftsführer eingetragen. Ebenfalls eingetragen ist D._ als Vorsitzender der Geschäftsführung. Alle drei verfügen über Kollektivunterschrift zu zweien.
Die Gesuchstellerin hat auch mit D._ Meinungsverschiedenheiten. Sie wirft ihm wiederholte und grobe Rechtsverletzungen vor, u.a. Verstösse gegen das Gleichbehandlungsgebot (<ref-law>) und die Treuepflicht (<ref-law>, <ref-law>). D._ habe sich auf die Seite von C._ geschlagen und versuche zusammen mit diesem, die Gesuchstellerin "zu verdrängen ".
B.
B.a. Mit vorsorglichem Massnahmegesuch vom 22. Juli 2015 stellte die Gesuchstellerin dem Handelsgericht des Kantons Zürich folgende Anträge:
"1. Es sei D._ mit sofortiger Wirkung vorsorglich die Geschäftsführungs- und Vertretungsfunktion für die B._ GmbH (CHE-108.532.465) zu entziehen.
2. Das Handelsregisteramt des Kantons Zürich sei anzuweisen, die Anordnung gemäss Ziff. 1 in das Handelsregister einzutragen.
3. Die in Ziff. 1 und 2 beantragten vorsorglichen Massnahmen seien im Sinne von <ref-law> sofort und ohne vorgängige Anhörung der Beklagten anzuordnen.
4. Alles unter Kosten- und Entschädigungsfolgen, zuzüglich MwSt, zu Lasten der Beklagten."
Mit Verfügung vom 23. Juli 2015 wies das Handelsgericht das Dringlichkeitsbegehren ab.
Am 18. August 2015 reichte die Gesuchstellerin einen ersten und am 9. September 2015 einen zweiten als "Noveneingabe " bezeichneten Schriftsatz ein.
Mit Gesuchsantwort vom 10. September 2015 beantragte die Gesuchsgegnerin die Abweisung des Massnahmegesuchs.
Am 23. Oktober 2015 reichte die Gesuchstellerin schliesslich eine dritte "Noveneingabe " ein.
B.b. Mit Urteil vom 26. November 2015 wies das Handelsgericht das Massnahmegesuch ab und auferlegte der Gesuchstellerin die Gerichts- und Parteikosten.
C.
Mit Beschwerde in Zivilsachen vom 16. Dezember 2015 stellt die Gesuchstellerin dem Bundesgericht folgende Anträge:
"1. Das Urteil des Einzelgerichts des Handelsgerichts des Kantons Zürich vom 26. November 2015 im Verfahren HE150336 sei aufzuheben.
2.1 Es sei D._ mit sofortiger Wirkung vorsorglich die Geschäftsführungs- und Vertretungsbefugnis für die B._ GmbH (CHE-108.532.465) zu entziehen.
2.2 Das Handelsregisteramt des Kantons Zürich sei anzuweisen, die Anordnung gemäss Ziff. 2.1 in das Handelsregister einzutragen.
3. Eventualiter sei die Sache zwecks Neubeurteilung an die Vorinstanz zurückzuweisen.
4. Alles unter Kosten- und Entschädigungsfolgen zu Lasten der Beschwerdegegnerin."
Die Beschwerdegegnerin beantragt in ihrer Vernehmlassung Nichteintreten auf die Beschwerde. Die Vorinstanz hat auf Vernehmlassung verzichtet.

Erwägungen:
1.
Das Bundesgericht prüft von Amtes wegen und mit freier Kognition, ob ein Rechtsmittel zulässig ist (<ref-law>; <ref-ruling> E. 2 S. 59; <ref-ruling> E. 1 S. 133; je mit Hinweisen).
1.1. Der angefochtene Massnahmeentscheid ist in einem eigenständigen Verfahren ergangen und schliesst dieses ab. Es handelt sich somit um einen Endentscheid i.S. von <ref-law> (<ref-ruling> E. 1.1). Er betrifft eine Zivilsache (<ref-law>) und ist von einem oberen kantonalen Gericht erlassen worden, das als Fachgericht für handelsrechtliche Streitigkeiten als einzige kantonale Instanz eingesetzt ist (<ref-law>). Bei Beschwerden gegen Urteile kantonaler Handelsgerichte besteht kein Streitwerterfordernis (<ref-law>; <ref-ruling> E. 1.2 S. 69 f.).
1.2. Nach <ref-law> ist zur Beschwerde in Zivilsachen berechtigt, wer ein schutzwürdiges Interesse an der Aufhebung oder Änderung des angefochtenen Entscheids hat. Die Beschwerdebefugnis setzt ein aktuelles und praktisches Interesse an der Gutheissung der Beschwerde voraus, das auch im Zeitpunkt des bundesgerichtlichen Urteils noch vorhanden sein muss (<ref-ruling> E. 1.1 mit Hinweisen).
Die Beschwerdeführerin ist mit ihren Begehren unterlegen und damit durch den vorinstanzlichen Entscheid beschwert. Die Beschwerdegegnerin spricht ihr indessen ein aktuelles Interesse an der Aufhebung des angefochtenen Entscheids aus folgenden Gründen ab: Am 28. September 2015 habe die Beschwerdeführerin vor einem Schiedsgericht den Hauptprozess betreffend den definitiven Entzug der Geschäftsführungs- und Vertretungsbefugnis von D._ eingeleitet. Mit Eingabe vom 8. Februar 2016 habe sie ihr Klagebegehren unter Vorbehalt der Wiedereinbringung aber wieder zurückgezogen. Damit zeige die Beschwerdeführerin, dass sie an der "beförderlichen Beurteilung " in der Hauptsache nicht mehr länger interessiert sei, womit sie auch kein Rechtsschutzinteresse im vorliegenden Verfahren mehr habe.
Diese Einwände verfangen nicht: Das vorliegende Massnahmeverfahren wurde selbständig, d.h. unabhängig vom schiedsgerichtlichen Hauptprozess eingeleitet. Dass die Beschwerdeführerin den Hauptprozess einstweilen nicht weiterverfolgen will, schliesst keineswegs aus, dass sie nach wie vor ein aktuelles und praktisches Interesse an der Anordnung der beantragten vorsorglichen Massnahme haben kann. Die Beschwerdebefugnis ist ihr deswegen nicht abzusprechen.
Auf die fristgerecht eingereichte Beschwerde in Zivilsachen ist unter Vorbehalt einer gehörigen Begründung (<ref-law> und <ref-law>) einzutreten.
1.3. Bei einem Entscheid, der - wie der vorliegend angefochtene - eine vorsorgliche Massnahme zum Gegenstand hat, kann vor Bundesgericht nur die Verletzung verfassungsmässiger Rechte geltend gemacht werden (<ref-law>). Die Verletzung solcher Rechte kann das Bundesgericht nur insofern prüfen, als eine solche Rüge in der Beschwerde präzise vorgebracht und begründet worden ist (<ref-law>; <ref-ruling> E. 1.5; <ref-ruling> E. 1.4; <ref-ruling> E. 1.3.1; <ref-ruling> E. 2.1/2.2; <ref-ruling> E. 3.2 S. 444). Macht die beschwerdeführende Partei eine Verletzung des Willkürverbots von <ref-law> geltend, genügt es nicht, wenn sie einfach behauptet, der angefochtene Entscheid sei willkürlich. Sie hat vielmehr anhand der Erwägungen des angefochtenen Urteils im Einzelnen aufzuzeigen, inwiefern dieses offensichtlich unhaltbar ist (<ref-ruling> E. 1.2 S. 234; <ref-ruling> E. 3 S. 352). Auf rein appellatorische Kritik am angefochtenen Entscheid tritt das Bundesgericht nicht ein (<ref-ruling> E. 2.8; <ref-ruling> E. 2.1; <ref-ruling> E. 3.1. S. 399).
1.4. Diese Grundsätze verkennt die Beschwerdeführerin, wenn sie der Vorinstanz in den Rz. 22 - 24 ihrer Beschwerdeschrift eine "willkürliche Würdigung der Noveneingabe vom 18. August 2015" vorwirft, ohne dabei auch nur ansatzweise darzutun, was sie in dieser Eingabe überhaupt vorgebracht haben will. Inwiefern die Vorinstanz gegen die Verfassung verstossen haben sollte, ergibt sich aus den entsprechenden Ausführungen nicht. Das gleiche gilt für die Vorbringen in den Rz. 25 und 26. Darauf ist nicht weiter einzugehen.
2.
Die Beschwerdeführerin rügt schliesslich eine Verletzung des rechtlichen Gehörs (<ref-law>) sowie des Willkürverbots (<ref-law>), indem die Vorinstanz die rechtlichen Ausführungen der Noveneingabe vom 18. August 2015 als verspätet qualifiziert und unbeachtet gelassen habe.
Die Rüge beruht auf falschen Prämissen und ist damit zum Vornherein unbegründet: Die Vorinstanz hat die rechtlichen Ausführungen der Eingabe vom 18. August 2015 in der Erwägung 8.3 des angefochtenen Entscheids sehr wohl berücksichtigt und ausgeführt, dass die entsprechenden Vorbringen " den relevanten Nachteil" (i.S. von <ref-law>) nicht darzutun vermögen. Von einer Verletzung des rechtlichen Gehörs oder gar des Willkürverbots kann keine Rede sein.
3.
Weiter rügt die Beschwerdeführerin, die Vorinstanz habe <ref-law> willkürlich angewendet, indem sie bei der Beurteilung der Frage, ob ein wichtiger Grund zur Entziehung der Geschäftsführungs- und Vertretungsbefugnis von D._ vorliege, ausschliesslich auf die Interessen der Gesellschaft abgestellt und die Interessen der Beschwerdeführerin unberücksichtigt gelassen habe. Zudem habe sie den Umstand, dass der Mitgesellschafter der Beschwerdeführerin am 22. Oktober 2015 eine Auflösungsklage gegen die Gesellschaft angestrengt und D._ ihn dabei unterstützt habe, zu Unrecht nicht als wichtigen Grund i.S. von <ref-law> qualifiziert.
3.1. Willkür in der Rechtsanwendung liegt nicht schon dann vor, wenn eine andere Lösung ebenfalls in Betracht zu ziehen oder gar vorzuziehen wäre, sondern nur, wenn der angefochtene Entscheid offensichtlich unhaltbar ist, mit der tatsächlichen Situation in klarem Widerspruch steht, eine Norm oder einen unumstrittenen Rechtsgrundsatz krass verletzt oder in stossender Weise dem Gerechtigkeitsgedanken zuwiderläuft; dabei ist erforderlich, dass der Entscheid nicht nur in der Begründung, sondern auch im Ergebnis willkürlich ist (vgl. <ref-ruling> E. 5.1 S. 22; <ref-ruling> E. 6.1; <ref-ruling> E. 1.3).
3.2.
3.2.1. Wer um die Anordnung einer vorsorglichen Massnahme ersucht, hat einen materiellen Anspruch zivilrechtlicher Natur und dessen Gefährdung (Verfügungsanspruch, <ref-law>) sowie einen drohenden nicht leicht wieder gutzumachenden Nachteil (Verfügungsgrund, <ref-law>) glaubhaft zu machen (Urteil 5A_931/2014 vom 1. Mai 2015 E. 4).
3.2.2. Vorliegend leitet die Beschwerdeführerin einen Verfügungsanspruch aus <ref-law> ab. Danach kann jeder Gesellschafter einer Gesellschaft mit beschränkter Haftung dem Gericht beantragen, einem Geschäftsführer die Geschäftsführungs- und Vertretungsbefugnis zu entziehen oder zu beschränken, wenn hierfür ein wichtiger Grund vorliegt, namentlich wenn die betreffende Person ihre Pflichten grob verletzt oder die Fähigkeit zu einer guten Geschäftsführung verloren hat. Passivlegitimiert hinsichtlich dieses Gestaltungsklageanspruchs ist die Gesellschaft, was auch dann gilt, wenn diese - wie hier - nur zwei Gesellschafter aufweist (Urteil 4A_8/2014 vom 6. Juni 2014 E. 2.3).
Die Klage auf Entzug oder Beschränkung der Geschäftsführungs- und Vertretungsbefugnis dient dazu, die Funktionstauglichkeit der Gesellschaftsorgane aufrecht zu erhalten, so dass die Gesellschaft fortgeführt werden kann (Urteil 4A_8/2014 vom 6. Juni 2014 E. 2.3; Botschaft vom 19. Dezember 2001 zur Revision des Obligationenrechts [GmbH-Recht sowie Anpassungen im Aktien-, Genossenschafts-, Handelsregister- und Firmenrecht], BBl 2002, S. 3217). Bei der Beurteilung der Frage, ob ein wichtiger Grund i.S. von <ref-law> vorliegt, ist mithin das Interesse der Gesellschaft massgebend, eine Organisation aufrecht zu erhalten, die ihr erlaubt, den Gesellschaftszweck zu erreichen. Die Klage dient nicht dazu, die individuellen Interessen der Geschäftsführer oder der Gesellschafter zu wahren (Urteil 4A_8/2014 vom 6. Juni 2014 E. 2.3).
3.3. Die Vorinstanz hat sich auf diese Grundsätze bezogen und erwogen, dass die Klage nach <ref-law> die Interessenwahrung der Gesellschaft bezwecke. Deshalb sei im Massnahmeverfahren zu prüfen, ob der Gesellschaft (und nicht der Gesuchstellerin) ein nicht leicht wieder gutzumachender Nachteil i.S. von <ref-law> drohe, wenn dem betroffenen Geschäftsführer die Geschäftsführungs- und Vertretungsbefugnis nicht vorsorglich entzogen würde. Die Vorinstanz hielt fest, dass die Gesuchstellerin in ihren Schriftsätzen lediglich Nachteile dargetan habe, die ihr selbst drohten, nicht aber solche der Gesellschaft. Damit habe sie im Wesentlichen nur die "grundsätzlich unerfreulichen" "Reibereien" und "Konflikte" zwischen den Geschäftsführern dargetan, nicht aber, inwiefern sich diese zum Nachteil der Funktionsfähigkeit der Gesellschaft auswirkten. Damit habe die Gesuchstellerin nicht glaubhaft gemacht, inwiefern der vorsorgliche Entzug der Geschäftsführungs- und Vertretungsbefugnis von D._ notwendig erscheine, um einen nicht leicht wieder gutzumachenden Nachteil der Gesellschaft abzuwenden. Insbesondere liege auch im Umstand, dass der Mitgesellschafter der Gesuchstellerin, C._, am 22. Oktober 2015 eine Auflösungsklage gestützt auf <ref-law> gegen die Gesellschaft angestrengt und D._ ihn dabei unterstützt haben soll, (im heutigen Zeitpunkt) kein solcher Nachteil für die Funktionsfähigkeit der Gesellschaft.
3.4. Was die Beschwerdeführerin gegen diese Erwägungen vorbringt, vermag keine Willkür auszuweisen. Die Vorinstanz hat zutreffend ausgeführt, dass der Gestaltungsklageanspruch aus <ref-law> auf die Interessenwahrung der Gesellschaft abzielt. Inwiefern die Vorinstanz in Willkür verfallen sein sollte, wenn sie die persönlichen Interessen der Beschwerdeführerin an einer Absetzung von D._ als grundsätzlich unerheblich erachtet hat, ist damit nicht ersichtlich. Zwar könnte im Umstand, dass D._ den Mitgesellschafter und -geschäftsführer C._ bei der Anstrengung einer Auflösungsklage unterstützt haben soll, eventuell eine Pflichtverletzung i.S. von <ref-law> liegen; es ist aber jedenfalls im Ergebnis nicht willkürlich, wenn die Vorinstanz daraus vorderhand keinen nicht leicht wieder gutzumachenden Nachteil i.S. von <ref-law> ableiten will, der einen sofortigen Entzug von Geschäftsführungs- und Vertretungsbefugnissen rechtfertigen würde. Die Rüge, die Vorinstanz habe <ref-law> (i.V.m. <ref-law>) willkürlich angewendet, erweist sich als unbegründet.
4.
Die Beschwerde ist abzuweisen, soweit darauf einzutreten ist.
Bei diesem Ausgang des Verfahrens wird die Beschwerdeführerin kosten- und entschädigungspflichtig (<ref-law> und <ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 5'000.-- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
3.
Die Beschwerdeführerin hat die Beschwerdegegnerin für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 6'000.-- zu entschädigen.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Handelsgericht des Kantons Zürich, Einzelgericht, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 11. Juli 2016
Im Namen der I. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Kiss
Der Gerichtsschreiber: Hurni