Sachverhalt:
A.
A.A._ (geb. 1977) stammt aus der Türkei. Am 14. November 2005 heiratete sie den Landsmann B.A._, welcher über eine Aufenthaltsbewilligung im Kanton Basel-Stadt verfügte. In der Folge erhielt sie eine Aufenthaltsbewilligung zum Verbleib bei ihrem Ehemann. Das Paar hat einen gemeinsamen Sohn (geb. 2007). A.A._ brachte zudem einen älteren Sohn (geb. 1998) mit in die Ehe.
Mit Verfügung vom 13. Juli 2012 verweigerte das Migrationsamt die Verlängerung der Aufenthaltsbewilligungen des Ehepaares und wies die Familie aus der Schweiz weg. Die dagegen erhobenen Rechtsmittel blieben erfolglos (Entscheid des Justiz- und Sicherheitsdepartements vom 25. März 2014 und Urteil des Appellationsgerichts vom 25. November 2014). Mit Urteil des Bezirksgerichts Gölbasi-Ankara vom 3. Dezember 2014 wurde die Ehe von A.A._ und B.A._ in der Türkei geschieden. Das türkische Urteil wurde mit Entscheid des Zivilgerichts des Kantons Basel-Stadt vom 23. Juni 2015 ergänzt.
B.
Am 1. Juli 2015 stellte A.A._ beim Migrationsamt ein Gesuch um Wiedererwägung der Verfügung vom 13. Juli 2012. Sie beantragte, ihr und ihren Kindern den Aufenthalt zu bewilligen resp. zu verlängern. Das Migrationsamt trat auf das Gesuch nicht ein. Den dagegen erhobenen Rekurs wies das Justiz- und Sicherheitsdepartement des Kantons Basel-Stadt mit Entscheid vom 2. November 2015 ab. Mit Urteil vom 21. März 2016 wies das Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt den gegen den Entscheid des Justiz- und Sicherheitsdepartements erhobenen Rekurs ebenfalls ab.
C.
Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten vom 13. Mai 2016 beantragt A.A._ die Aufhebung des vorinstanzlichen Urteils. Bezüglich der Verweigerung des Kostenerlasses im Verfahren vor dem Justiz- und Sicherheitsdepartement sei die Sache zur Festsetzung des Honorars an die 1. Rekursinstanz zurückzuweisen. Zudem beantragt A.A._ die unentgeltliche Rechtspflege im bundesgerichtlichen Verfahren.
Sowohl das Justiz- und Sicherheitsdepartement als auch das Appellationsgericht beantragen die Abweisung der Beschwerde. Das Staatssekretariat für Migration SEM liess sich nicht vernehmen.
Mit Verfügung des präsidierenden Mitglieds der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung des Bundesgerichts vom 17. Mai 2016 wurde A.A._ und ihren Kindern für die Dauer des bundesgerichtlichen Beschwerdeverfahrens der prozedurale Aufenthalt gewährt.

Erwägungen:
1.
1.1. Das Bundesgericht prüft seine Zuständigkeit bzw. die Zulässigkeit eines Rechtsmittels grundsätzlich von Amtes wegen und mit freier Kognition (<ref-ruling> E. 1 S. 476; <ref-ruling> E. 1, 471 E. 1 S. 475; <ref-ruling> E. 1). Ist jedoch die Zulässigkeit eines Rechtsmittels zweifelhaft, beschlägt die der Beschwerde führenden Partei obliegende Begründungspflicht gemäss <ref-law> auch die Eintretensvoraussetzungen; die für deren Vorliegen massgeblichen Aspekte müssen diesfalls aufgezeigt werden (vgl. <ref-ruling> E. 2.2.3 S. 48; <ref-ruling> E. 1.1 S. 251, 353 E. 1 S. 356, 400 E. 2 S. 404; s. auch BGE <ref-ruling> E. 1.2 S. 47). Hängt die Zulässigkeit des Rechtsmittels vom Bestehen eines Rechtsanspruchs ab, ist ein potenzieller Anspruch in vertretbarer Weise geltend zu machen (<ref-ruling> E. 1.1 S. 332; <ref-ruling> E. 1.1 S. 179).
1.2. Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten ist gemäss <ref-law> unzulässig gegen Entscheide auf dem Gebiet des Ausländerrechts betreffend Bewilligungen, auf die weder das Bundesrecht noch das Völkerrecht einen Anspruch einräumt. Nach dem Grundsatz der Einheit des Prozesses (vgl. <ref-ruling> E. 1.1 S. 503) beschlägt der gesetzliche Ausschlussgrund auch Entscheide über die Wiedererwägung eines früheren negativen Bewilligungsentscheids.
1.3. Die Beschwerdeführerin setzt sich mit der Eintretensproblematik nicht auseinander. Inwiefern sie einen bundesgesetzlichen Anspruch auf Erteilung bzw. Verlängerung der Aufenthaltsbewilligung haben sollte, ist nicht ersichtlich. Die Beschwerdeführerin macht auch nicht geltend, ein solcher ergebe sich in ihrem Fall aus dem Völkerrecht. Damit erweist sich die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten als unzulässig, weshalb darauf nicht eingetreten werden kann.
2.
Es bleibt zu prüfen, ob die Eingabe als subsidiäre Verfassungsbeschwerde nach <ref-law> entgegengenommen werden kann.
2.1. Zur Verfassungsbeschwerde ist berechtigt, wer ein rechtlich geschütztes Interesse an der Aufhebung oder Änderung des angefochtenen Entscheids hat (<ref-law>). Steht der Ausländerin kein Anspruch auf die beantragte ausländerrechtliche Bewilligung zu, ist sie durch deren Verweigerung nicht in rechtlich geschützten Interessen betroffen, weshalb ihr die Legitimation zur Anfechtung des negativen Bewilligungsentscheids bzw. eines diesen bestätigenden Rechtsmittelentscheids in der Sache selbst fehlt (<ref-ruling>).
Trotz fehlender Legitimation in der Sache selbst ist die Ausländerin allerdings zur Rüge berechtigt, ihr zustehende Verfahrensgarantien seien verletzt worden. Nicht zu hören sind dabei aber Vorbringen, die im Ergebnis auf die Überprüfung des Sachentscheids abzielen (vgl. <ref-ruling> E. 3c S. 313; <ref-ruling> E. 1.4 S. 222; <ref-ruling> E. 7b S. 94; <ref-ruling> E. 1c S. 236; zur Weiterführung dieser so genannten "Star-Praxis" unter der Herrschaft des Bundesgerichtsgesetzes s. <ref-ruling> E. 3.2 S. 436 f.; s. auch <ref-ruling> E. 1.3 S. 80; spezifisch zum Ausländerrecht <ref-ruling> E. 6.2 S. 198 f. und <ref-ruling> E. 2 S. 308).
2.2. Die Beschwerdeführerin rügt eine Verletzung von <ref-law>. Sie wirft dem Appellationsgericht vor, es sei zu Unrecht nicht auf ihr zentrales Argument eingegangen, wonach sich die Umstände bezüglich einer für sie und die Kinder zumutbaren Rückkehr in die Türkei seit dem ersten Entscheid wesentlich geändert hätten. Darin liege eine Rechtsverweigerung und eine Rechtsverletzung.
Bei den Vorbringen der Beschwerdeführerin handelt es sich um Rügen, die im Sinne der zitierten Rechtsprechung im Ergebnis auf eine Überprüfung des Sachentscheids abzielen. Hierzu fehlt ihr jedoch die Legitimation gemäss <ref-law>, weshalb sie damit auch in einem Wiedererwägungsverfahren nicht zu hören ist (vgl. Urteile 2C_1047/2015 vom 25. November 2015 E. 2.4; 2D_11/2015 vom 15. Februar 2015 E. 2.4.3). Demzufolge ist auf die subsidiäre Verfassungsbeschwerde nicht einzutreten.
3.
Dem Verfahrensausgang entsprechend wird die unterliegende Beschwerdeführerin kostenpflichtig, da ihrem Gesuch um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege vor Bundesgericht infolge Aussichtslosigkeit nicht zu entsprechen ist (<ref-law>). Angesichts der besonderen Umstände werden der Beschwerdeführerin reduzierte Gerichtskosten auferlegt (<ref-law>). Parteientschädigungen werden keine zugesprochen (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2.
Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege wird abgewiesen.
3.
Die Gerichtskosten von Fr. 500.-- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
4.
Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten, dem Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt als Verwaltungsgericht und dem Staatssekretariat für Migration schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 12. Januar 2017
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Seiler
Die Gerichtsschreiberin: Petry