Sachverhalt:
A.
A.a. B._ (Kläger, Beschwerdegegner) ist im November 1981 geboren und war im Zeitpunkt des Todes seiner Mutter am 14. Mai 1998 noch unmündig.
Die A._AG (Beklagte, Beschwerdeführerin), U._, bezweckt die Erbringung von Dienstleistungen aller Art, namentlich Vermögensberatung und -verwaltung.
Sie wurde von der Mutter des Klägers, die ihr im Jahre 1995 einen Vermögensverwaltungsauftrag erteilt hatte, als Willensvollstreckerin eingesetzt und nahm dieses Mandat an. Entsprechend einem testamentarischen Wunsch der Mutter des Klägers wurde ausserdem der Verwaltungsratspräsident der Beklagten, C._, von der zuständigen Vormundschaftsbehörde zum Vormund des Klägers bestellt. Die Vormundschaft erlosch mit der Volljährigkeit des Klägers am 29. November 1999.
A.b. Das Mandat der Beklagten wurde auf Ende März 2004 beendet, nachdem sich C._ und der Kläger zerstritten hatten. Der Kläger erbte von seiner Mutter Aktiven im Werte von Fr. 1'576'998.--. Er verbrauchte für seine Bedürfnisse bis zur Beendigung des Mandats der Beklagten Fr. 445'914.--, so dass ohne Rendite und ohne Verlust ein Restkapital von Fr. 1'121'084.-- hätte vorhanden sein sollen. Tatsächlich verblieb per 31. März 2004 ein Kapital von Fr. 971'844.--.
B.
B.a. Nach erfolgloser Schlichtungsverhandlung reichte der Kläger am 19. November 2010 beim Bezirksgericht Meilen Klage ein mit dem Begehren, die Beklagte sei zu verpflichten, ihm den Betrag von Fr. 378'173.11 nebst Zins zu 5% ab 7. April 2009 zu bezahlen (Klagebegehren 1), und der Beklagten sei unter Androhung der Bestrafung wegen Ungehorsams im Sinne von <ref-law> zu befehlen, ihm innert 20 Tagen ab Rechtskraft des Urteils eine überprüfbare und detaillierte Schlussabrechnung unter Ausweis vereinnahmter Retrozessionen sowie einen Schlussbericht über ihre Tätigkeit vorzulegen (Klagebegehren 2).
Zur Begründung brachte der Kläger vor, die Beklagte habe mit einem Teil seines Vermögens pflichtwidrig Optionsgeschäfte getätigt. Den Schaden berechnete der Kläger unter anderem so, dass er die einzelnen Optionsgeschäfte auflistete und die daraus resultierenden Verluste zusammenzählte.
B.b. Das Bezirksgericht Meilen hiess mit Urteil vom 12. März 2015 die Klage teilweise gut und verpflichtete die Beklagte dazu, dem Kläger Fr. 319'571.10 nebst Zins zu 5% seit 7. April 2009 zu bezahlen.
Das Gericht kam zum Schluss, der Beklagten sei der Beweis nicht gelungen, dass der Kläger der Verwaltung seines Vermögens durch Optionsgeschäfte in informierter Kenntnis der Bedeutung dieser Transaktionen zugestimmt habe. Da der Kläger durch Auflistung der Verluste (Glattstellung, Bezug der Titel) jedes einzelnen Optionsgeschäftes den Schaden ziffernmässig - nach Korrektur eines Rechenfehlers mit Fr. 430'874.88 - behauptet hatte, hielt das Bezirksgericht die ebenfalls angestellte Vergleichsrechnung mit dem durchschnittlichen Ertrag eines konservativ angelegten Vermögens nach dem Pictet-LFP-Index 93 für Willensvollstrecker für entbehrlich. Zum ziffernmässig behaupteten Schaden führte das Bezirksgericht ein Beweisverfahren durch und kam zum Schluss, dass die nachgewiesenen Verluste auf diesen Positionen unter Berücksichtigung der nachgewiesenen Gewinne, soweit diese ebenfalls auf pflichtwidrig getätigten Optionsgeschäften beruhten, Fr. 319'571.10 betrug.
B.c. Mit Urteil vom 15. März 2016 wies das Obergericht des Kantons Zürich die Berufung der Beklagten ab und bestätigte das Urteil des Bezirksgerichts Meilen vom 12. März 2015.
Das Obergericht kam zum Schluss, es sei unklar geblieben, ob und welche Anlagestrategie die Beklagte mit der Mutter des Klägers vereinbart hatte; jedenfalls habe die Beklagte die bisherige Strategie nicht beibehalten, sondern durch eine aggressivere ersetzt und damit ihre Pflichten verletzt, wobei nicht einmal berücksichtigt werde, dass mit Blick auf die Verhältnisse des Klägers im Vergleich zu seiner Mutter eine Kurskorrektur angebracht gewesen wäre. Das Obergericht folgte sodann der Beweiswürdigung des Bezirksgerichts darin, dass dem Kläger die Risiken des Optionshandels nicht bewusst waren und er seine Zustimmung daher nicht gültig erteilen konnte; es fügte an, dass wohl selbst bei Zustimmung des Klägers dessen Profil eine aggressive Anlage des Vermögens verboten hätte, woran auch die Genehmigung des Schlussberichts des Vormundes durch die zuständige Vormundschaftsbehörde nichts ändere. In Bezug auf die Bemessung des Schadens bestätigte das Obergericht, dass die von der Beklagten nicht substanziiert behaupteten Gewinne auf Optionen nicht angerechnet werden könnten und die konkrete Berechnung der Verluste massgebend sei.
C.
Mit Beschwerde in Zivilsachen stellt die Beklagte dem Bundesgericht den Antrag, das Urteil des Obergerichts des Kantons Zürich vom 15. März 2016 sei aufzuheben und die Klage sei vollumfänglich abzuweisen, eventualiter sei das angefochtene Urteil aufzuheben und das Verfahren zur Neubeurteilung an die Vorinstanz zurückzuweisen. Sie rügt, die Vorinstanz habe zu Unrecht eine Pflichtverletzung bejaht und den vereinbarten Haftungsausschluss nicht beachtet; dass der Beschwerdegegner nicht im Bilde war, kritisiert sie ausdrücklich nicht. Zur Schadensberechnung rügt sie, dass nicht das gesamte Portfolio berücksichtigt und kein Vergleichs-Portfolio berücksichtigt worden sei. Zum Kausalzusammenhang beanstandet sie, es hätte berücksichtigt werden müssen, dass der ausgewiesene Verlust nur ein Buchverlust sei und zum Verschulden will sie berücksichtigt haben, dass keine Vorteile angerechnet und die jahrelange Duldung durch den Beschwerdegegner sowie der angeblich selbstlose Einsatz des Organs der Beschwerdeführerin nicht berücksichtigt worden seien. Schliesslich behauptet sie, mit dem Befehl zur Rechenschaft werde von ihr etwas verlangt, das sie nicht schulde bzw. bereits geleistet habe.
Der Beschwerdegegner beantragt in seiner Beschwerdeantwort, die Beschwerde sei abzuweisen. Die Vorinstanz hat auf Vernehmlassung verzichtet.
Die Parteien haben unaufgefordert repliziert und dupliziert.

Erwägungen:
1.
Die Beschwerde betrifft eine Zivilsache (<ref-law>) und richtet sich gegen den Endentscheid eines oberen kantonalen Gerichts, das als Rechtsmittelinstanz entschieden hat (<ref-law>). Die Beschwerdeführerin ist mit ihren Anträgen unterlegen (<ref-law>), der Streitwert ist offensichtlich erreicht (<ref-law>) und die Beschwerde ist fristgerecht eingereicht worden (Art. 100 i.V.m. <ref-law>). Auf die Beschwerde ist unter Vorbehalt hinreichender Begründung - <ref-law> und <ref-law> - einzutreten.
2.
Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (<ref-law>). Dazu gehören sowohl die Feststellungen über den streitgegenständlichen Lebenssachverhalt als auch jene über den Ablauf des vor- und erstinstanzlichen Verfahrens, also die Feststellungen über den Prozesssachverhalt (<ref-ruling> E. 1.3.1 mit Hinweisen). Es kann die Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz nur berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruht (<ref-law>). "Offensichtlich unrichtig" bedeutet dabei "willkürlich" (<ref-ruling> E. 2 S. 117; <ref-ruling> E. 1.5). Überdies muss die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein können (<ref-law>).
Für eine Kritik am festgestellten Sachverhalt gilt das strenge Rügeprinzip von <ref-law> (<ref-ruling> E. 2.3 S. 266 mit Hinweisen). Die Partei, welche die Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz anfechten will, muss klar und substanziiert aufzeigen, inwiefern diese Voraussetzungen erfüllt sein sollen (<ref-ruling> E. 1.3.1 S. 18 mit Hinweisen). Dabei ist insbesondere die Beweiswürdigung nicht schon dann willkürlich, wenn sie nicht mit der Darstellung der Beschwerde führenden Partei übereinstimmt, sondern bloss, wenn sie offensichtlich unhaltbar ist (<ref-ruling> E. 4.2.1; <ref-ruling> E. 2.1). Dies ist dann der Fall, wenn das Gericht Sinn und Tragweite eines Beweismittels offensichtlich verkannt hat, wenn es ohne sachlichen Grund ein wichtiges und entscheidwesentliches Beweismittel unberücksichtigt gelassen oder wenn es auf der Grundlage der festgestellten Tatsachen unhaltbare Schlussfolgerungen gezogen hat (<ref-ruling> E. 2.3 S. 266; <ref-ruling> E. 4.2 S. 234; <ref-ruling> E. 4.2).
Soweit die Beschwerdeführerin den massgebenden Sachverhalt aus ihrer Sicht zusammenfasst (S. 6-10) bringt sie ausdrücklich keine Rügen vor. Im Übrigen genügt die Kritik der Beschwerdeführerin an den Sachverhaltsfeststellungen der Vorinstanz - welche sie im Zusammenhang mit ihren rechtlichen Rügen vorbringt - diesen Anforderungen über weite Strecken nicht. Insoweit ist darauf nicht einzutreten. Die Beschwerdeführerin ist überdies nicht zu hören, soweit sie ihre rechtlichen Rügen auf einen von den Feststellungen der Vorinstanz abweichenden Sachverhalt stützt.
3.
Die Beschwerdeführerin rügt zunächst, die Vorinstanz habe rechtswidrig angenommen, dass sie ihre vertraglichen Pflichten als Willensvollstreckerin bzw. Vermögensverwalterin des Beschwerdegegners verletzt habe.
3.1. Die Verantwortlichkeit des Willensvollstreckers gegenüber den Erben entspricht derjenigen des Beauftragten gegenüber dem Auftraggeber (<ref-ruling> E. 4.1 S. 10). Der Willensvollstrecker hat dafür zu sorgen, dass der Wille des Erblassers durchgesetzt wird; er hat insbesondere die Erbschaft zu verwalten, die Vermächtnisse auszurichten und die Schulden zu bezahlen (<ref-ruling> E. 3.1 S. 12 f.). Soweit der Erblasser nichts Gegenteiliges anordnet, hat der Willensvollstrecker im Rahmen der Verwaltung des Erbschaftsvermögens für die Dauer seiner Tätigkeit grundsätzlich eine Anlagestrategie zu definieren, namentlich wenn das Vermögen erheblich ist und Wertschriften umfasst. Dabei hat er zwar einen gewissen Ermessenspielraum, muss jedoch seine Strategie auf objektive Kriterien stützen und insbesondere berücksichtigen, dass es ihm obliegt, die Vermögenssubstanz bestmöglich zu erhalten. Er muss im Rahmen des Möglichen seine Anlagestrategie auf die Bedürfnisse der Erben ausrichten und berücksichtigen, wie sie ihre Erbteile nach der Teilung nutzen wollen. Er muss daher nach den Umständen eine andere Anlagestrategie wählen, als sie der Erblasser verfolgte. Namentlich wenn eine Neuanlage oder die Liquidation gewisser Bestandteile des Vermögens erforderlich ist, muss der Willensvollstrecker eine konservative Anlagestrategie wählen (<ref-ruling> E. 5.2.1 S. 11; vgl. auch 4A_364/2013 vom 5. März 2014 E. 6.7.3).
3.2. Im vorliegenden Fall durfte die Beschwerdeführerin als Willensvollstreckerin entgegen ihrer Ansicht die von der Erblasserin früher bei der Erteilung eines Vermögensverwaltungsauftrags für ihre eigenen Verhältnisse gewählte Anlagestrategie nicht einfach weiterführen. Sie war vielmehr verpflichtet, das Vermögen nunmehr im Interesse des Erben und unter Berücksichtigung seiner Bedürfnisse zu verwalten. Dabei ist aufgrund der Feststellungen im angefochtenen Urteil nicht ersichtlich und wird in der Beschwerde auch nicht ausgewiesen, dass Umstände hätten vorliegen können, die ein Abweichen von der grundsätzlich im Rahmen der Willensvollstreckung ohnehin gebotenen konservativen Anlagestrategie hätten rechtfertigen können. Insbesondere ist nicht festgestellt, dass die Erblasserin ausdrücklich eine davon abweichende, aggressivere Anlagestrategie für das Willensvollstreckermandat angeordnet hätte, so dass sich die Frage nicht stellt, inwieweit die Beschwerdeführerin gestützt darauf die umstrittenen Geschäfte hätte vornehmen dürfen. Da die Beschwerdeführerin im Rahmen des Willensvollstreckermandats nicht berechtigt war, die von der Erblasserin gewählte Strategie unbesehen weiterzuführen, kann auch dahin gestellt bleiben, ob die Erblasserin mit ihrem früheren Mandat tatsächlich die von der Beschwerdeführerin behauptete Strategie wählte. Die entsprechenden Ausführungen in der Beschwerde (S. 11-23) sind unerheblich.
3.3. Der Begründung der Beschwerde ist nicht zu entnehmen, wie die im früheren Vermögensverwaltungsvertrag mit der Erblasserin enthaltene Klausel, mit der "jegliche weitergehende Haftung der Beschwerdeführerin aus der Tätigkeit als Vermögensverwalterin ausgeschlossen ist" konkret lautete und weshalb diese auch im Rahmen der Anlagestrategie hätte gelten können, zu deren Wahl die Beschwerdeführerin im Interesse des Beschwerdegegners verpflichtet war. Da die Begründung in der Beschwerde selbst enthalten sein muss (<ref-ruling> E. 3.1 S. 400), ist die Rüge des Haftungsausschlusses nicht zu hören. Schliesslich hält die Beschwerdeführerin zwar im Grundsatz daran fest, dass der Beschwerdeführer die umstrittenen Geschäfte genehmigt habe, anerkennt jedoch, dass die gegenteilige Beweiswürdigung der Vorinstanz mindestens nicht willkürlich ist. Die Vorinstanz hat Bundesrecht nicht verletzt mit dem Schluss, die Beschwerdeführerin habe mit den umstrittenen Optionsgeschäften ihre Pflichten als Willensvollstreckerin verletzt.
4.
Die Beschwerdeführerin rügt sodann, die Vorinstanz habe den Schaden rechtsfehlerhaft berechnet, indem sie nur die Verluste aus den Optionsgeschäften berücksichtigt und das von ihr verwaltete Vermögen nicht gesamtheitlich betrachtet habe.
4.1. Nach konstanter Rechtsprechung entspricht der Schaden der Differenz zwischen dem gegenwärtigen - nach dem schädigenden Ereignis festgestellten - Vermögensstand und dem Stand, den das Vermögen ohne das schädigende Ereignis hätte. Der Schaden ist die ungewollte beziehungsweise unfreiwillige Vermögensverminderung. Er kann in einer Vermehrung der Passiven, einer Verminderung der Aktiven oder in entgangenem Gewinn bestehen (Urteil 6B_1061/2014 vom 18. April 2016 E. 1.3.1 [zur Publikation bestimmt] mit Verweis auf <ref-ruling> E. 8.1.1 S. 187 f.; <ref-ruling> E. 4. S. 366; je mit Hinweisen).
4.2. Der Beschwerdegegner hat die Verluste aus den pflichtwidrigen Anlagegeschäften konkret behauptet und die Vorinstanz hat sie ihm insoweit zugesprochen, als diese konkret bewiesen sind. Die Verminderung der Aktiven im Vermögen des Beschwerdegegners, die durch die pflichtwidrigen Optionsgeschäfte entstanden sind, sind damit konkret ausgewiesen. Die Vorinstanz hat zutreffend erkannt, dass eine Schätzung - namentlich aufgrund eines Vergleichs mit der durchschnittlichen Entwicklung eines hypothetischen, rechtskonform angelegten Vermögens - gegenstandslos ist, wenn eine konkrete Bezifferung möglich und wie hier tatsächlich ausgewiesen ist. Dass die Beschwerdeführerin dabei allfällige Gewinne im Vermögen des Beschwerdegegners aus vergleichbar pflichtwidrigen Geschäften im kantonalen Verfahren prozesskonform behauptet und nachgewiesen hätte, rügt sie nicht. Ihre Behauptung, ein Gewinn aus Optionsgeschäften ergebe sich aus den im Recht liegenden Bilanzen und Erfolgsrechnungen, welche jede einzelne Transaktion auswiesen, gilt als neu (<ref-law>) und vermag jedenfalls keine willkürliche Feststellung des Prozessachverhalts durch die Vorinstanz auszuweisen. Es kann daher dahingestellt bleiben, inwieweit Gewinne vom ziffernmässig nachgewiesenen Verlust in Abzug gebracht werden können. Jedenfalls kann der Beschwerdeführerin darin nicht gefolgt werden, dass Gewinne aus rechtmässig getätigten Anlagegeschäften mit Verlusten aus rechtswidrig vorgenommenen Geschäften verrechnet werden können. Nur soweit Gewinne bei rechtmässiger Verwaltung des Vermögens nicht angefallen wären, mithin aus pflichtwidrig getätigten Geschäften herrühren, können sie mit gleichartigen Verlusten verrechnet werden. Die Vorinstanz hat aus diesem Grund auch zu Recht eine gesamtheitliche Betrachtung der Vermögensentwicklung abgelehnt, wie sie die Beschwerdeführerin befürwortet. Es stellt sich daher die Frage nicht, welche Indizes für eine Vergleichsrechnung gegebenenfalls heranzuziehen wären. Die Rüge, der Schaden sei im angefochtenen Urteil rechtswidrig berechnet worden, ist unbegründet.
5.
Die Beschwerdeführerin rügt unter dem Titel "Kausalzusammenhang und Verschulden ", der Vermögensverlust per Ende März 2004 sei lediglich ein Buchverlust und den Beschwerdegegner würde ein erhebliches Selbstverschulden treffen, wenn er die Werte kurz nach Vertragsbeendigung veräussert hätte, zumal die Kurse für die Wertschriften in den Depots des Beschwerdegegners bis Dezember 2006 erheblich gestiegen seien. Beim Verschulden will sie als Reduktionsgründe das jahrelange Dulden des Beschwerdegegners und das uneigennützige Handeln ihres Organs beachtet haben.
5.1. Nach <ref-law> kann der Auftrag jederzeit beendet werden (vgl. <ref-ruling> E. 2), weshalb die Beschwerdeführerin nicht geltend machen kann, das Depot hätte sich wieder erholt und der Schaden wäre bei späterer Vertragsbeendigung nicht eingetreten; mit diesem Einwand ist sie unbesehen darum ausgeschlossen, ob ein Anlagehorizont vereinbart wurde (vgl. Urteil 4A_364/2013 vom 5. März 2014 E. 11.1; 4A_351/2007 vom 15. Januar 2008 E. 3 mit Hinweisen). Der Beschwerdegegner war nicht verpflichtet, die für ihn verfehlte Anlagestrategie durchzuhalten, zumal es im Kündigungszeitpunkt rein spekulativ gewesen wäre, damit auf eine Erholung des Depotwerts zu setzen.
5.2. Die Beschwerdeführerin hat nach den verbindlichen Feststellungen der Vorinstanz nicht bewiesen, dass der Beschwerdegegner ausreichend über die Risiken des Optionshandels informiert war. Dass die eingehende Beweiswürdigung der Vorinstanz zu dieser Frage mindestens dem Willkürvorwurf standhält, anerkennt die Beschwerdeführerin zu Recht. Wenn sie dennoch aus der "jahrelangen Duldung" ihrer Anlagen durch den Beschwerdegegner einen "Haftungsreduktionsgrund" ableiten will, so verkennt sie, dass ein jahrelanges Dulden nur insoweit als Einverständnis gelten kann, als die Tragweite des geduldeten Verhaltens erkannt wird. Mit ihrer Ansicht, der Beschwerdegegner hätte das Risiko mit der Zeit erkennen müssen, macht aber die Beschwerdeführerin nicht einmal geltend, sie habe eine hinreichende Information aufgrund der Umstände annehmen dürfen.
5.3. Schliesslich hat die Vorinstanz für die Schadenersatzbemessung aus dem Willensvollstreckermandat der Beschwerdeführerin zutreffend für unerheblich erachtet, dass sich ihr Organ als Vormund und "väterlicher Freund" des Beschwerdegegners in vielen Belangen um diesen persönlich gekümmert hat. Dass die Beschwerdeführerin selbst das Mandat aus Gefälligkeit oder ohne Entgelt geführt hätte, behauptet sie nicht und ergibt sich insbesondere aus den verbindlichen Feststellungen der Vorinstanz nicht. Ein Herabsetzungsgrund nach Art. 43 f. OR ist nicht ersichtlich.
6.
Die Beschwerdeführerin beanstandet schliesslich ihre Verpflichtung zur Erstellung einer Schlussabrechnung und eines Schlussberichts.
6.1. Die Vorinstanz hat dargelegt, dass die abschliessende Rechnungslegung durch die jährliche Berichterstattung nicht ersetzt werde und Standard sei. Sie hat daher die Verpflichtung der Beschwerdeführerin mit der ersten Instanz bestätigt, einen korrekten Abschluss zu liefern.
6.2. Die Vorinstanz hat damit den Einwand der Beschwerdeführerin verworfen, wonach sie in ihren jährlichen Berichten alle Informationen bereits geliefert habe, welche der Beschwerdegegner verlange. Die Wiederholung ihres Einwands in der vorliegenden Beschwerde ändert nichts daran, dass sie zu Recht zur Erstellung auch einer abschliessenden Rechenschaft verpflichtet ist.
7.
Die Beschwerde ist abzuweisen, soweit darauf einzutreten ist.
Diesem Verfahrensausgang entsprechend trägt die Beschwerdeführerin die Gerichtskosten (<ref-law>) und hat dem Beschwerdegegner dessen Parteikosten für das vorliegende Verfahren zu ersetzen (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 6'500.-- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
3.
Die Beschwerdeführerin hat den Beschwerdegegner für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 7'500.-- zu entschädigen.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Zürich, II. Zivilkammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 10. Oktober 2016
Im Namen der I. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Kiss
Der Gerichtsschreiber: Hurni