Erwägungen:
1.
1.1. Die Parteien sind die nicht miteinander verheirateten Eltern einer Tochter namens C.B._ (2006). Der Beschwerdeführer anerkannte das Kind am 9. Februar 2007.
1.2. Am 12. April 2012 beantragte der Beschwerdeführer bei der Vormundschaftsbehörde der Stadt Zürich das Sorgerecht für seine Tochter. Mit Zirkulationsbeschluss vom 2. September 2015 stellte die KESB die Tochter unter die gemeinsame elterliche Sorge der Eltern, teilte aber die Obhut der Mutter zu. Gegen diesen Beschluss gelangte der Beschwerdeführer an den Bezirksrat Zürich. Mit Verfügung vom 15. Dezember 2015 wies die KESB das Gesuch des Beschwerdeführers um unentgeltliche Verfahrensführung im Verfahren betreffend ge-meinsame elterliche Sorge ab und hielt an der Verfahrensgebühr fest. Mit Beschluss und Urteil vom 11. Februar 2016 vereinigte der Bezirksrat Zürich beide Verfahren, wies das Gesuch des Beschwerdeführers um unentgeltliche Rechtspflege ab, trat auf diverse Anträge nicht ein und wies in der Sache u.a. die Beschwerde gegen die Erteilung der gemeinsamen elterlichen Obhut ab. Dagegen gelangte der Beschwerdeführer an das Obergericht des Kantons Zürich, welches mit Beschluss vom. 6. April 2016 das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege abwies und auf die Beschwerde nicht eintrat. Der Beschwerdeführer wendet sich dagegen mit Beschwerde vom 17. Mai 2016 an das Bundesgericht. Er ersucht unter anderem um unentgeltliche Rechtspflege und um aufschiebende Wirkung.
2.
2.1. Gegenstand der vorliegenden Beschwerde ist ausschliesslich der Beschluss des Obergerichts des Kantons Zürich vom 6. April 2016. Soweit der Beschwerdeführer die Nichtigerklärung anderer Entscheide verlangt, ist darauf nicht einzutreten.
2.2. Die bundesgerichtlichen Akten bestehen einzig aus den Eingaben des Beschwerdeführers. Auf die Verfahrensanträge ist nicht weiter einzugehen.
3.
3.1. Die Beschwerde hat einen Antrag zu enthalten (<ref-law>). In der Beschwerde ist in Auseinandersetzung mit den Erwägungen des angefochtenen Entscheids darzulegen, welche Rechte der beschwerdeführenden Partei durch das kantonale Gericht verletzt worden sind (<ref-law>; <ref-ruling> E. 2.1 S. 245), wobei eine allfällige Verletzung verfassungsmässiger Rechte vom Bundesgericht nicht von Amtes wegen geprüft wird, sondern nur dann, wenn solche Rügen in der Beschwerdeschrift ausdrücklich erhoben und begründet werden (<ref-law>; <ref-ruling> E. 1.2 S. 234). Blosse Verweise auf die Akten und andere Rechtsschriften sind unzulässig (vgl. <ref-ruling> E. 1d). Wird eine Sachverhaltsfeststellung beanstandet, muss in der Beschwerdeschrift dargelegt werden, inwiefern diese Feststellung willkürlich oder durch eine andere Rechtsverletzung im Sinn von <ref-law> (z.B. <ref-law> oder <ref-law>) zustande gekommen ist (vgl. <ref-ruling> E. 1.2.2 und 1.4.3 S. 255) und inwiefern die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein kann (Art. 97 Abs. 1 in fine BGG; <ref-ruling> E. 2.2.2 S. 22). Auf rein appellatorische Kritik am Sachverhalt tritt das Bundesgericht nicht ein.
3.2. Das Obergericht hat im Wesentlichen erwogen, einziger Anfechtungsgegenstand sei der Entscheid des Bezirksrats vom 11. Februar 2016. Einzig der Beschwerdeführer sei Beschwerde führende Partei im Beschwerdeverfahren vor Obergericht. Auf den Antrag auf Nichtigerklärung des Beschlusses der Kammer des Obergerichts vom 12. Juni 2015 sei nicht einzutreten, da darauf nicht zurückgekommen werden könne und dagegen überdies die Beschwerde an das Bundesgericht offen gewesen sei. Nicht einzutreten sei auf den Antrag 4, da diesbezüglich jegliche Begründung fehle. Im Übrigen handle es sich bei der beanstandeten Stellungnahme um die vom Bezirksrat verlangte Vernehmlassung. Sodann seien die zu den Akten gegebenen Unterlagen bei den Akten zu belassen. Schliesslich sei der Beschwerdeführer darauf hinzuweisen, dass die Bezeichnung der Verfasserinnen der fraglichen Stellungnahme als Straftäterinnen die Grenze des Anstandes und erlaubter Kritik überschreite. Die Anträge 6 und 8 seien wörtlich und inhaltlich identisch. Der Beschwerdeführer zeige nicht auf, dass ihm im Verfahren die Akteneinsicht verweigert worden sei. Anhand der Unterlagen der KESB sei ihm mehrfach Gelegenheit zur Akteneinsicht geboten worden. Die vom Bezirksrat Zürich erhobenen Akten seien dem Beschwerdeführer bereits zugestellt worden. Auf diese Anträge sei nicht einzutreten. Der Beschwerde gegen den Entscheid des Bezirksrats komme von Gesetzes wegen aufschiebende Wirkung zu. Nicht einzutreten sei auf den Antrag 10. Diesbezüglich lasse sich ein Zusammenhang des aktuellen Verfahrens auf Übertragung der gemeinsamen elterlichen Obhut mit den dem Beschwerdeführer bei einem Diebstahl entwendeten Dateien nicht herstellen. Darauf sei nicht einzutreten. Die Akten seien beigezogen worden. Weitere Erörterungen erübrigten sich. Gleiches gelte für Antrag 12. Nicht einzutreten sei auf Antrag 15, da einzig der Entscheid des Bezirksrats vom 11. Februar 2016 Verfahrensgegenstand sei und nicht jener der KESB. Inwiefern die in der Sache anwendbaren Bestimmungen des ZGB und der ZPO den Anforderungen an ein rechtsstaatliches Verfahren nicht genügen sollten, werde nicht erörtert. Auf Antrag 3 werde nicht eingetreten. In Ziffer 7 verlange der Beschwerdeführer die unentgeltliche Rechtspflege und Vertretung. Ob er diesen Antrag auf das Verfahren vor der Kammer, vor der KESB oder vor allen drei Instanzen beziehe, lasse sich aus seiner Eingabe nicht erschliessen. Aus Art. 41 und 46 EMRK ergebe sich kein allgemeiner Anspruch auf ein kostenloses Verfahren. Was das Verfahren vor dem Bezirksrat angehe, habe der Rat das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege zu Recht abgewiesen, zumal der Beschwerdeführer seine Mittellosigkeit nicht dargetan habe. Im Übrigen bestreite der Beschwerdeführer pauschal die Erwägungen der Vorinstanz und halte diesen seine eigenen Darlegungen entgegen, wonach die Mittellosigkeit genügend nachgewiesen sei. Dem sei nicht so. Hinsichtlich der Kosten der KESB bringe der Beschwerdeführer keine Begründung vor. Was das Gesuch des Beschwerdeführers um unentgeltliche Rechtspflege vor dem Obergericht anbelange, mache der Beschwerdeführer keine Angaben zu seinen finanziellen Verhältnissen. Auf eine Fristansetzung zur Einreichung der Angaben sei angesichts der Aussichtslosigkeit des Verfahrens zu verzichten. Soweit der Beschwerdeführer den Erwägungen des Bezirksrats gegen das Ausstandsbegehren lediglich entgegenhalte, der Beweis liege seit xx.xx.2006 vor, bzw. behaupte, es liege eine Menschenrechtsverletzung vor, genügten seine Ausführungen den minimalen Anforderungen an eine Begründung nicht. Der Bezirksrat Zürich habe sich einlässlich mit dem Antrag des Beschwerdeführers auf Zuteilung/Übertragung der Obhut über C.B._ an ihn befasst. Der Beschwerdeführer setze sich mit diesen Erwägungen nicht auseinander, sondern wiederhole gebetsmühlenartig seine irrige Meinung, es sei ihm ab der Geburt des Kindes das Recht auf eine gemeinsame elterliche Sorge/Obhut zugestanden. Dieser irrigen Auffassung habe allerdings bis Ende Juni 2013 die bundesrechtliche Regelung entgegengestanden. Als Fazit sei das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege für das Verfahren vor der Kammer abzuweisen und im Übrigen auf die Beschwerde nicht einzutreten.
3.3. Der Beschwerdeführer behauptet eine Reihe von Rechtsverletzungen, insbesondere Verletzungen der Bestimmungen der EMRK und der Verfassung; er zeigt indes nicht nachvollziehbar anhand der Erwägungen des angefochtenen Entscheides auf, inwiefern die Vorinstanz diese Bestimmungen verletzt haben soll. Überdies zeigt der Beschwerdeführer in seinen Ausführungen nicht anhand der Erwägungen des angefochtenen Beschlusses auf, inwiefern die Vorinstanz den Sachverhalt willkürlich oder sonst wie gegen Bundesrecht verstossend festgestellt bzw. Bundesrecht verletzt haben soll. Insbesondere wird in diesem Zusammenhang nicht rechtsgenügend auf die Erwägung Bezug genommen, wonach der Beschwerdeführer sich nicht mit der einlässlichen Begründung des Bezirksrats mit Bezug auf die Frage der Obhut auseinandersetze. Auf die offensichtlich nicht hinreichend begründete Beschwerde ist somit im vereinfachten Verfahren durch den Präsidenten der Abteilung (Art. 108 Abs. 1 bzw. <ref-law>) unter Kostenfolge für den Beschwerdeführer (<ref-law>) nicht einzutreten.
4.
Mit dem Entscheid in der Sache wird das Gesuch um aufschiebende Wirkung gegenstandslos.
5.
Wie die bisherigen Ausführungen zeigen, hat sich die Beschwerde als von Anfang an aussichtslos erwiesen. Fehlt es somit an einer der materiellen Voraussetzungen für die Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege, ist das entsprechende Gesuch des Beschwerdeführers abzuweisen (<ref-law>).

Demnach erkennt der Präsident:
1.
Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2.
Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege wird abgewiesen.
3.
Die Gerichtskosten von Fr. 500.-- dem Beschwerdeführer auferlegt.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Zürich, II. Zivilkammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 26. Mai 2016
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: von Werdt
Der Gerichtsschreiber: Zbinden