Sachverhalt:
A.
A.a. Die Ehegatten A.A._ (geb. 1975; Beschwerdeführerin) und C.A._ (geb. 1978; Beschwerdegegner) sind die Eltern der beiden Kinder D.A._ (geb. 2006) und E.A._ (geb. 2008). Am 9. März 2012 bewilligte das Bezirksgericht Weinfelden die Aufhebung des gemeinsamen Haushalts und mit Entscheid vom 3. Dezember 2013 schied es die Ehe. Im Scheidungsurteil übertrug das Bezirksgericht die alleinige elterliche Sorge über die beiden Kinder an A.A._. C.A._ räumte es unter Errichtung einer Besuchsrechtsbeistandschaft ein Besuchs- und Ferienrecht ein.
Auf Gesuch von C.A._ verpflichtete das Bezirksgericht die Kindsmutter am 25. Juni 2014 unter Bussendrohung zur Mitwirkung bei der Ausübung des Besuchsrechts.
A.b. Am 10. Oktober und am 9. Dezember 2014 stellte A.A._ bei der Kindes- und Erwachsenenschutzbehörde Weinfelden (KESB) superprovisorische Gesuche zur Ausgestaltung bzw. Aussetzung des Besuchsrechts des Kindsvaters. Die KESB wies die Gesuche ab und ordnete ein psychiatrisches Gutachten zur Frage der Erziehungsfähigkeit der Eltern sowie des Besuchsrechts an. Am 10. April 2015 räumte die KESB C.A._ bis zum Vorliegen des Gutachtens ein begleitetes Besuchsrecht ein. Die von A.A._ hiergegen beim Obergericht des Kantons Thurgau eingereichte Beschwerde blieb erfolglos.
Da das Besuchsrecht aufgrund des Widerstands der Kindsmutter nicht ausgeübt werden konnte, verpflichtete die KESB diese am 1. September 2015 unter Androhung einer Ordnungsbusse von Fr. 500.-- für jede Unterlassung die Kinder zwecks Ausübung des Besuchsrechts herauszugeben. Dennoch verweigerte A.A._ in der Folge weiterhin jede Zusammenarbeit bei der Ausübung des Besuchsrechts durch den Kindsvater. Bei der von der KESB angeordneten Begutachtung arbeitete A.A._ ebenfalls nicht mit.
Am 23. Dezember 2015 wies die KESB ein Gesuch von C.A._ um Änderung des Besuchsrechts und eventuell Übertragung des Aufenthaltsbestimmungsrechts über die Kinder an ihn ab.
A.c. In Kenntnis des zwischenzeitlich eingegangenen Gutachtens hob die KESB mit Entscheid vom 29. September / 9. Dezember 2016 das dem Kindsvater am 10. April 2015 eingeräumte Besuchsrecht auf und verzichtete darauf, A.A._ eine Ordnungsbusse aufzuerlegen. Ergänzend passte sie die Aufgaben der Beiständin an. Die Kosten des Verfahrens auferlegte sie den Kindseltern je zur Hälfte. Zur Tragung der Kosten des Gutachtens verpflichtete sie die Kindsmutter. Im Übrigen gewährte die KESB beiden Elternteilen unter Vorbehalt der Nachzahlungspflicht nach <ref-law> die unentgeltliche Rechtspflege.
B.
Beide Eltern erhoben gegen diesen Entscheid Beschwerde, wobei A.A._ die Befreiung von sämtlichen Verfahrens- und Gutachtenskosten sowie von der Nachzahlungspflicht beantragte. C.A._ stellte den Antrag, es sei der Kindsmutter eine Ordnungsbusse aufzuerlegen. Mit Entscheid vom 1. März 2017 (eröffnet am 17. März 2017) wies das Obergericht beide Beschwerden ab (Dispositivziffer 1). Beiden Parteien gewährte es die unentgeltliche Rechtspflege (Dispositivziffer 2); unter Vorbehalt der Nachzahlungspflicht gemäss <ref-law> (Dispositivziffer 4).
C.
Mit Beschwerde in Zivilsachen vom 28. April 2017 ist A.A._ ans Bundesgericht gelangt. Sie beantragt, es seien die Ziffern 1 und 4 des Entscheids des Obergerichts aufzuheben und sie sei in den Verfahren vor der KESB und dem Obergericht von jeglicher Pflicht zur Tragung von Verfahrens- und Gutachtenskosten sowie von der Nachzahlungspflicht nach <ref-law> zu befreien. Ausserdem ersucht A.A._ für das bundesgerichtliche Verfahren um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung.
Das Bundesgericht hat die Akten des kantonalen Verfahrens, indessen keine Vernehmlassungen eingeholt.

Erwägungen:
1.
1.1. Ist, wie hier, nebst der in einem kantonalen Entscheid ergangenen Kostenregelung auch die Ausgestaltung der unentgeltlichen Rechtspflege strittig (die Beschwerdeführerin bestreitet u.a. ihre Rückerstattungspflicht nach <ref-law>), kann der angefochtene Entscheid selbständig mit Beschwerde in Zivilsachen angefochten werden, wenn bezüglich der Hauptsache dieses Rechtsmittel offen steht (<ref-ruling> E. 2.2). In der Hauptsache ging es um eine Besuchsrechtsregelung und die Vollstreckung derselben, mithin um eine nicht vermögensrechtliche Streitigkeit, die mit Beschwerde in Zivilsachen angefochten werden kann. Damit steht dieses Rechtsmittel auch gegen den angefochtenen Entscheid offen.
Im Übrigen ist die Beschwerdeführerin zur Beschwerde berechtigt (<ref-law>), die sie auch fristgerecht eingereicht hat (Art. 100 Abs. 1 und Art. 46 Abs. 1 Bst. a BGG). In diesem Sinn ist unter Vorbehalt der nachfolgenden Ausführungen auf die Beschwerde einzutreten.
1.2. Mit Dispositivziffer 1 des angefochtenen Entscheids wies das Obergericht die beiden je von den Eltern erhobenen Beschwerden gegen den Entscheid der KESB ab (vorne Bst. B). Vor Bundesgericht beantragt die Beschwerdeführerin die Aufhebung der gesamten Ziffer 1. Ihren weiteren Anträgen und der Begründung der Beschwerde - diese ist zur Auslegung der Rechtsbegehren beizuziehen (<ref-ruling> E. 6.2; <ref-ruling> E. 1.3) - lässt sich indessen entnehmen, dass die Beschwerdeführerin den angefochtenen Entscheid insoweit nicht in Frage stellt, als das Obergericht es ablehnte, ihr eine Ordnungsbusse aufzuerlegen. In diesem Umfang wäre die Beschwerdeführerin mangels schutzwürdigen Interesses denn auch nicht zur Beschwerde berechtigt (Art. 76 Abs. 1 Bst. b BGG). Die Beschwerde ist entsprechend entgegenzunehmen.
2.
2.1. Auf das Verfahren vor der Kindesschutzbehörde (zu deren Zuständigkeit vgl. Art. 134 Abs. 4 und Art. 275 Abs. 1 ZGB) und der gerichtlichen Beschwerdeinstanz sind die Bestimmungen über das Verfahren vor der Erwachsenenschutzbehörde anwendbar (<ref-law>). Dieses ist in den Grundzügen im ZGB geregelt (<ref-law>) und bestimmt sich im Übrigen sinngemäss nach der ZPO, soweit die Kantone nichts anderes vorsehen (vgl. <ref-law>). Die hier interessierenden Kostenfragen sind nicht im ZGB geregelt. Nach dem einschlägigen kantonalen Recht sind die Kosten des Verfahrens betreffend den persönlichen Verkehr vor der Kindesschutzbehörde in der Regel von den Eltern zu tragen (§ 63 Abs. 5 der Verordnung des Obergerichts [des Kantons Thurgau] zum Kindes- und Erwachsenenschutz [Kindes- und Erwachsenenschutzverordnung, KESV/TG; RB 211.24]). Sinngemäss finden ausserdem die Bestimmungen der ZPO Anwendung (§ 29 Abs. 1 KESV/TG). Die Kostenverlegung im Verfahren vor der Beschwerdeinstanz richtet sich ebenfalls sinngemäss nach der ZPO (§ 76 Abs. 1 KESV/TG). Gleiches gilt für den Anspruch auf unentgeltliche Rechtspflege (§ 29 Abs. 1 und § 34 KESV/TG).
2.2. Soweit die ZPO vorliegend zur Anwendung gelangt, handelt es sich dabei folglich um subsidiäres kantonales Recht. Damit prüft das Bundesgericht ihre Handhabung nicht frei, sondern nur auf die Verletzung verfassungsmässiger Rechte hin, wenn und soweit entsprechende Rügen erhoben und begründet werden. D.h. es muss klar und detailliert anhand der Erwägungen des angefochtenen Entscheids dargelegt werden, inwieweit verfassungsmässige Rechte verletzt sein sollen; auf rein appellatorische Kritik am angefochtenen Entscheid tritt das Bundesgericht nicht ein (Art. 95 und 106 Abs. 2 BGG; <ref-ruling> E. 2.3 S. 266, 385 E. 2.3). Umfassend prüft das Bundesgericht dagegen die Rüge der Verletzung des Anspruchs auf unentgeltliche Rechtspflege. Die sinngemäss zur Anwendung gelangenden Bestimmungen der ZPO gehen insoweit nicht über den Anspruch nach <ref-law> hinaus (<ref-ruling> E. 4.1), weshalb die Beschwerde unter dem Blickwinkel der Verfassungsbestimmung frei zu beurteilen ist (<ref-ruling> E. 2.3; <ref-ruling> E. 2.1).
2.3. Betreffend die Verlegung der Gerichtskosten - also der Entscheidgebühr und der Kosten des Gutachtens (vgl. Art. 95 Abs. 2 Bst. b und c ZPO) - rügt die Beschwerdeführerin über weite Strecken, das Obergericht habe die <ref-law> verletzt. Mit dem Vorbringen der Bundesrechtsverletzung ist die Beschwerdeführerin vor Bundesgericht wie ausgeführt von vornherein nicht zu hören. Auf die Beschwerde ist insoweit nicht einzutreten.
2.4. Die Beschwerdeführerin wirft dem Obergericht im Zusammenhang mit der Kostenverlegung sodann verschiedentlich Willkür in der Rechtsanwendung vor (vgl. <ref-law>). Namentlich sei die Annahme willkürlich, die Beschwerdeführerin sei an den Ursachen des familiären Konflikts, welcher der vorliegenden Streitigkeit zugrunde liegt, gleichermassen beteiligt wie der Beschwerdegegner. Die Argumentation des Obergerichts sei zudem teilweise widersprüchlich. In ihren entsprechenden Ausführungen beschränkt sich die Beschwerdeführerin freilich im Wesentlichen darauf, die Sach- und Rechtslage aus ihrer Sicht darzulegen und den davon abweichenden Entscheid des Obergerichts als willkürlich zu bezeichnen. Weshalb dieser geradezu unhaltbar oder sonst qualifiziert fehlerhaft sein sollte (vgl. dazu <ref-ruling> E. 4.3 mit Hinweisen), zeigt sie dabei in keiner Weise auf. Damit genügt die Beschwerde den Begründungsanforderungen nicht (vgl. E. 2.2 hiervor; vgl. auch <ref-ruling> E. 2.2 und jüngst Urteil 5A_926/2016 vom 11. August 2017 E. 1.3). Die Begründung muss sodann in der Beschwerde ans Bundesgericht enthalten sein, weshalb der pauschale Hinweis auf die Beschwerde an das Obergericht und weitere Vorbringen vor den Vorinstanzen der Beschwerdeführerin nicht weiterhilft (vgl. <ref-ruling> E. 1d; Urteil 5A_90/2017 vom 24. August 2017 E. 6.3). Auf die Beschwerde ist auch insoweit nicht einzutreten.
2.5. Ebenfalls nicht eingetreten werden kann auf die Beschwerde insoweit, als die Beschwerdeführerin die Verletzung von <ref-law> rügt. Weder legt sie dar, welcher Aspekt dieser Bestimmung betroffen sein sollte, noch führt sie auch nur ansatzweise aus, worin eine entsprechende Verfassungsverletzung liegen könnte. Auch insoweit bleibt der Hinweis auf frühere Eingaben unbeachtlich.
3.
3.1. Im Zusammenhang mit der Kostenverlegung macht die Beschwerdeführerin sodann verschiedene Verletzungen der Begründungspflicht durch das Obergericht geltend. Der Anspruch auf rechtliches Gehör nach <ref-law> verlangt, dass das Gericht die Vorbringen der vom Entscheid in ihrer Rechtsstellung betroffenen Person auch tatsächlich hört, prüft und in der Entscheidfindung berücksichtigt. Daraus folgt die Verpflichtung des Gerichts, seinen Entscheid zu begründen. Dabei ist es nicht erforderlich, dass das Gericht sich mit allen Parteistandpunkten einlässlich auseinandersetzt und jedes einzelne Vorbringen ausdrücklich widerlegt. Die Begründung muss so abgefasst sein, dass sich die betroffene Person über die Tragweite des Entscheids Rechenschaft geben und ihn in voller Kenntnis der Sache an die höhere Instanz weiterziehen kann. In diesem Sinn müssen wenigstens kurz die Überlegungen genannt werden, von denen sich das Gericht hat leiten lassen und auf die sich sein Entscheid stützt (<ref-ruling> E. 6.2; <ref-ruling> E. 5.2).
3.2. Bezüglich der Kosten des Verfahrens vor der KESB hat das Obergericht unter Hinweis auf die massgebenden Bestimmungen (vgl. vorne E. 2.1) festgehalten, zwischen den Parteien bestehe seit geraumer Zeit ein massiver Konflikt. Der Streit über das Besuchsrecht des Beschwerdegegners entspringe dieser negativen elterlichen Dynamik. Es könne nicht im Einzelnen festgestellt werden, welcher Elternteil zu welchen Teilen für die schwierige familiäre Situation verantwortlich sei; beide Eltern hätten zu dieser negativen Entwicklung beigetragen. Unter diesen Umständen habe die KESB die Verfahrenskosten den Parteien je zur Hälfte auferlegen dürfen.
Zum Gutachten hielt das Obergericht fest, dieses sei notwendig, sachlich und auch vollständig. Soweit es sich zu einzelnen Fragen nicht abschliessend äussere, sei dies darauf zurückzuführen, dass die Beschwerdeführerin nicht mit dem Gutachter zusammengearbeitet habe. Letzterer sei auch nicht voreingenommen. Unter diesen Umständen sei nichts gegen die Auferlegung der Kosten an die Beschwerdeführerin einzuwenden.
3.3. Damit hat die Vorinstanz mit hinreichender Klarheit ausgeführt, weshalb die von der KESB vorgenommene Kostenverlegung ihrer Ansicht nach nicht zu beanstanden ist. Die Beschwerdeführerin war denn auch ohne weiteres in der Lage, den Entscheid des Obergerichts vor Bundesgericht anzufechten, was namentlich ihre Ausführungen zu den (angeblichen) Verletzungen von <ref-law> zeigen. Zwar konnte auf die Beschwerde insoweit aufgrund der nur beschränkten Prüfungsbefugnis des Bundesgerichts nicht eingetreten werden. Dies ist aber ebenso wenig auf eine Verletzung der Begründungspflicht durch das Obergericht zurückzuführen wie die nicht ausreichende Begründung der Verfassungsrügen durch die Beschwerdeführerin. Sodann war nicht notwendig, dass das Obergericht ausdrücklich auf jedes einzelne Vorbringen der Beschwerdeführerin einging. Entsprechend bleibt deren Rüge unbehelflich, einzelne Punkte seien unbehandelt geblieben. Anzumerken ist allerdings, dass der Vorwurf nicht zutrifft, das Obergericht habe sich nicht zur Notwendigkeit des Gutachtens und zur (angeblichen) Voreingenommenheit des Gutachters geäussert. Nicht nachvollziehbar ist das Vorbringen, das Obergericht hätte sich zu <ref-law> äussern müssen: Die Vorinstanz hat sich nicht auf diese Bestimmung gestützt, womit sich auch Ausführungen dazu erübrigten. Ob die Kostenverlegung durch das Obergericht schliesslich überzeugt, ist keine Frage des rechtlichen Gehörs, sondern eine solche der (inhaltlichen) Begründetheit des angefochtenen Entscheids (vgl. Urteil 5A_460/2016 vom 11. Januar 2017 E. 2.2). Diese prüft das Bundesgericht aber nur beschränkt und nur auf entsprechend begründete Rüge hin, woran es vorliegend fehlt (vorne E. 2.4). Zusammenfassend kann eine Verletzung der Begründungspflicht nicht festgestellt werden und die Beschwerde ist insoweit unbegründet.
4.
Die Beschwerdeführerin möchte zuletzt von der Nachzahlungspflicht nach <ref-law> befreit werden. Dieses Begehren begründet sie damit, dass richtigerweise sämtliche in den vorinstanzlichen Verfahren angefallene Kosten vom Beschwerdegegner zu tragen seien. Dadurch werde sie auch von der Nachzahlungspflicht befreit. Dies ist insofern zutreffend, als die Beschwerdeführerin im Falle der Kostenauferlegung an den Beschwerdegegner nicht auf die unentgeltliche Rechtspflege angewiesen ist und sie damit auch nicht nachzahlungspflichtig wird. Allerdings vermag die Beschwerdeführerin die vorinstanzliche Kostenverlegung nicht in Frage zu stellen, sodass die Nachzahlungspflicht aus diesem Grund nicht entfällt. Dass der angefochtene Entscheid mit Blick auf diese Pflicht aus anderen Gründen fehlerhaft wäre (vgl. vorne E. 2.2), macht die Beschwerdeführerin nicht geltend und ist vom Bundesgericht demnach nicht zu prüfen (vgl. <ref-ruling> E. 2.4; <ref-ruling> E. 2). Die Beschwerde erweist sich damit auch insoweit als unbegründet.
5.
Zusammenfassend ist die Beschwerde abzuweisen soweit darauf einzutreten ist.
Bei diesem Ausgang des Verfahrens wären die Gerichtskosten der unterliegenden Beschwerdeführerin aufzuerlegen (<ref-law>). Allerdings hat unnötige Kosten zu bezahlen, wer sie verursacht (<ref-law>). Auf der Grundlage dieser Bestimmung können die Kosten ausnahmsweise dem Rechtsvertreter der unterliegenden Partei auferlegt werden, falls die praktizierte Prozessführung geradezu mutwillig erscheint (vgl. etwa Urteile 4A_370/2016 vom 13. Dezember 2016E. 4.3; 4A_612/2014 vom 3. März 2015 E. 1.3; 2C_1228/2013 vom 3. Januar 2014 E. 5.2; 2C_1038/2013 vom 7. November 2013 E. 2.3). Vorliegend ist ein solcher Fall gegeben: Soweit aufgrund der mangelhaften Begründung und der Nichtbeachtung der Kognitionsvorschriften auf die Beschwerde überhaupt eingetreten werden konnte, war sie offensichtlich unbegründet. Die einschlägigen Vorschriften und die entsprechende Rechtsprechung mussten dem Rechtsvertreter, der im Anwaltsregister des Kantons Thurgau eingetragen ist, bekannt sein. Sodann wurden in der Beschwerde teilweise klar aktenwidrige Behauptungen aufgestellt. Unter diesen Umständen sind die Kosten dem Rechtsvertreter der Beschwerdeführerin aufzuerlegen. In diesem Umfang wird das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege gegenstandslos.
Dem obsiegenden Beschwerdegegner sind mangels Einholung einer Vernehmlassung keine entschädigungspflichtigen Kosten entstanden. Parteientschädigung ist daher keine zuzusprechen (<ref-law>). Das Gesuch der Beschwerdeführerin um unentgeltliche Verbeiständung ist nach dem Ausgeführten aussichtslos (Art. 64 Abs. 1 und 2 BGG) und abzuweisen.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen soweit darauf eingetreten wird.
2.
Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung wird abgewiesen, soweit es nicht gegenstandslos geworden ist.
3.
Die Gerichtskosten von Fr. 2'000.-- werden dem Rechtsvertreter der Beschwerdeführerin, Rechtsanwalt B._, auferlegt.
4.
Parteikosten werden keine zugesprochen.
5.
Dieses Urteil wird den Parteien, Rechtsanwalt B._, der Kindes- und Erwachsenenschutzbehörde (KESB) Weinfelden und dem Obergericht des Kantons Thurgau schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 25. Oktober 2017
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: von Werdt
Der Gerichtsschreiber: Sieber