Sachverhalt:
A.
D._ und seine Ehefrau sind Eigentümer der Parzelle Bremgarten Gbbl. Nr. 589, welche in der Wohnzone W2 liegt. Mit Baugesuch (samt dem Begehren um Erteilung einer Ausnahmebewilligung für das Unterschreiten des Traufabstands) vom 10. Juni 2014 beantragte D._, es seien die Erweiterung des bestehenden Einfamilienhauses zu einem Doppeleinfamilienhaus und der Abbruch bestimmter Gebäudeteile zu bewilligen. Dagegen erhoben A. und B. C._, Stockwerkeigentümer des nördlich angrenzenden Grundstücks Bremgarten Gbbl. Nr. 585, Einsprache. Das Regierungsstatthalteramt Bern-Mittelland bewilligte das Bauvorhaben mit Gesamtbauentscheid vom 9. Dezember 2014 einschliesslich der beantragten Ausnahme und wies die Einsprache ab.
Dagegen führten A. und B. C._ am 16. Januar 2015 Beschwerde bei der Bau-, Verkehrs- und Energiedirektion des Kantons Bern (BVE). Die Direktion holte in der Folge weitere Auskünfte und zwei Berichte der kantonalen Kommission zur Pflege der Orts- und Landschaftsbilder (OLK) ein (Berichte vom 28. April 2015 und vom 10. August 2015). Mit Entscheid vom 16. Oktober 2015 ergänzte die BVE den Gesamtbauentscheid des Regierungsstatthalteramts, indem sie das Bedachungsmaterial näher bestimmte. Im Übrigen wies sie die Beschwerde ab, soweit sie darauf eintrat.
Gegen diesen Entscheid erhoben A. und B. C._ am 18. November 2015 Verwaltungsgerichtsbeschwerde an das Verwaltungsgericht des Kantons Bern. Mit Verfügung vom 7. Juni 2016 wies der Instruktionsrichter den mit Eingabe vom 2. Juni 2016 gestellten Beweisantrag von A. und B. C._ ab, es seien die Bauakten der sog. "Helferhäuser" an der X._strasse "..." in Bremgarten einzuholen. Am 24. August 2016 führte das Verwaltungsgericht auf Antrag von A. und B. C._ eine öffentliche mündliche Schlussverhandlung mit Parteivorträgen gemäss Art. 6 EMRK durch. Mit Urteil vom 12. September 2016 wies es die Beschwerde ab, soweit es darauf eintrat.
B.
Mit Eingabe vom 14. Oktober 2016 führen A. und B. C._ Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten an das Bundesgericht mit dem Hauptantrag auf Aufhebung des angefochtenen Urteils des Verwaltungsgerichts vom 12. September 2016.
Mit Verfügung vom 7. November 2016 hat der Präsident der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung der Beschwerde aufschiebende Wirkung zuerkannt.
Die Vorinstanz, die BVE und die Einwohnergemeinde (EG) Bremgarten stellen in ihren Stellungnahmen Antrag auf Beschwerdeabweisung. D._ beantragt, die Beschwerde sei abzuweisen, soweit darauf eingetreten werden könne.
Die Verfahrensbeteiligten halten in weiteren Eingaben an ihrem Standpunkt und an ihren Anträgen fest.

Erwägungen:
1.
1.1. Dem angefochtenen Urteil der Vorinstanz liegt eine baurechtliche Streitigkeit und damit eine öffentlich-rechtliche Angelegenheit zugrunde. Das Bundesgerichtsgesetz enthält auf dem Gebiet des Raumplanungs- und Baurechts keinen Ausschlussgrund von der Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten (Art. 82 lit. a und Art. 83 BGG). Die Beschwerdeführer hatten im vorinstanzlichen Verfahren Parteistellung (<ref-law>). Als Nachbarn im baurechtlichen Sinne sind sie durch das angefochtene Urteil besonders berührt (lit. b) und haben ein schutzwürdiges Interesse an dessen Aufhebung (lit. c). Sie sind zur Beschwerdeführung berechtigt.
1.2. Mit der Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann die Verletzung von Bundesrecht, Völkerrecht und kantonalen verfassungsmässigen Rechten geltend gemacht werden (Art. 95 lit. a, b und c BGG). Die Verletzung des übrigen kantonalen Rechts kann abgesehen von hier nicht relevanten Ausnahmen vor Bundesgericht nicht gerügt werden. Zulässig ist jedoch die Rüge, die Anwendung dieses Rechts führe zu einer Verletzung von Bundesrecht, namentlich des verfassungsmässigen Willkürverbots (<ref-ruling> E. 2 S. 149 f.). Auch die Feststellung des Sachverhalts kann nur gerügt werden, wenn sie offensichtlich unrichtig - d.h. willkürlich - ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruht und wenn die Behebung des Mangels für den Verfahrensausgang entscheidend sein kann (<ref-law>). Die betroffene Person hat darzulegen, dass und inwiefern dies klar und eindeutig der Fall ist (Art. 42 Abs. 2 und Art. 106 Abs. 2 BGG; <ref-ruling> E. 1.2 S. 187 mit Hinweisen).
Nach der ständigen Praxis des Bundesgerichts liegt Willkür vor, wenn der angefochtene Entscheid offensichtlich unhaltbar ist, mit der tatsächlichen Situation in klarem Widerspruch steht, eine Norm oder einen unumstrittenen Rechtsgrundsatz krass verletzt oder in stossender Weise dem Gerechtigkeitsgedanken zuwiderläuft. Das Bundesgericht hebt einen Entscheid jedoch nur auf, wenn nicht bloss die Begründung, sondern auch das Ergebnis unhaltbar ist. Dass eine andere Lösung ebenfalls als vertretbar oder gar zutreffender erscheint, genügt nicht (<ref-ruling> E. 2.4 S. 5).
1.3. Die Beschwerdeführer behaupten eine willkürliche Feststellung des Sachverhalts durch die Vorinstanz, legen jedoch nicht konkret dar, worin diese bestehen soll. Soweit sie in diesem Zusammenhang rügen, die Baute ordne sich entgegen der willkürlichen Feststellung der Vorinstanz nicht gut in die bauliche Umgebung ein, ist darauf hinzuweisen, dass es sich dabei nicht um eine Sachverhalts-, sondern um eine Rechtsfrage handelt (siehe nachfolgend E. 3.5; vgl. auch Urteil 1C_102/2010 vom 11. November 2010 E. 1.3). Auf das Vorbringen ist deshalb nicht einzutreten (<ref-law>).
1.4. Nicht einzutreten ist auch auf die neuen tatsächlichen Vorbringen der Beschwerdeführer betreffend die sog. "Helferhäuser" in ihrer Stellungnahme vom 9. Januar 2017 (vgl. <ref-law>).
2.
Die Beschwerdeführer rügen vorab eine Verletzung von <ref-law>.
2.1.
2.1.1. Sie werfen der Vorinstanz vor, ihre Kognition gegenüber der BVE willkürlich eingeschränkt zu haben, was eine formelle Rechtsverweigerung (vgl. <ref-law>) bzw. eine Gehörsverletzung (vgl. <ref-law>) darstelle.
2.1.2. Die Rüge erweist sich als unbegründet. Der Gemeinde kommt bei der Auslegung des von ihr erlassenen kommunalen Rechts ein gewisser Beurteilungsspielraum zu. Wie von der Vorinstanz ausgeführt und begründet, ist es daher insoweit vorab Sache der Gemeinde, den Normgehalt zu bestimmen. Dies gilt auch, wenn sie nicht selber Baubewilligungsbehörde ist, sondern sich als Verfahrensbeteiligte auf die entsprechende Auslegung beruft. Die Vorinstanz durfte sich deshalb bei der Überprüfung des Entscheids der BVE darauf beschränken, zu beurteilen, ob die von der EG Bremgarten vertretene Auslegung des kommunalen Baureglements vom 19. Januar 2011 (GBR) rechtlich haltbar ist. Eine willkürliche Kognitionseinschränkung der Vorinstanz liegt nicht vor.
2.2.
2.2.1. Die Beschwerdeführer machen eine Verletzung ihres Anspruchs auf rechtliches Gehör geltend, da die Vorinstanz ihren Beweisantrag, es seien die Bauakten der "Helferhäuser" an der X._strasse "..." in Bremgarten zu edieren, abgelehnt habe. Nur durch die Edition dieser Akten hätte geklärt werden können, ob in der EG Bremgarten eine Praxis zu Art. 417 GBR bestehe und ob es Anwendungsfälle dazu gebe.
2.2.2. Aus dem Anspruch auf rechtliches Gehör gemäss <ref-law> ergibt sich für die Parteien das Recht, Beweisanträge zu stellen, und für die Behörden die Pflicht, rechtzeitig und formgültig angebotene Beweisbegehren entgegenzunehmen und zu berücksichtigen. Keine Verletzung des rechtlichen Gehörs liegt indes vor, wenn ein Gericht auf die Abnahme beantragter Beweismittel verzichtet, weil es aufgrund der bereits abgenommenen Beweise seine Überzeugung gebildet hat und ohne Willkür (vgl. <ref-law>) in vorweggenommener Beweiswürdigung annehmen kann, dass seine Überzeugung durch weitere Beweiserhebungen nicht geändert würde (<ref-ruling> E. 5.2 und 5.3 S. 236 f.).
2.2.3. Die Vorinstanz hat im angefochtenen Urteil unter Bezugnahme auf die Verfügung des Instruktionsrichters vom 7. Juni 2016 ausgeführt, es sei nicht entscheidend, welche Bedeutung die EG Bremgarten Art. 417 GBR in Zusammenhang mit den "Helferhäusern" beigemessen habe. In der Verfügung vom 7. Juni 2016 wurde erwogen, bei der Frage, in welchem Verhältnis die allgemeine Ausnahmebestimmung von Art. 26 des Baugesetzes des Kantons Bern vom 9. Juni 1985 (BauG/BE; BGS 721.0) und Art. 417 GBR zueinander stünden, handle es sich um eine Rechtsfrage, die ohne weitere Beweismassnahmen beantwortet werden könne. Seitens der Beschwerdeführer werde nicht näher begründet, was die Bauprojekte für die "Helferhäuser" zur Klärung dieser Frage beitragen könnten, zumal die EG Bremgarten selber einräume, zu Art. 417 GBR bestehe "kaum Praxis".
2.2.4. Diese Begründung verletzt kein Bundesrecht. Die Vorinstanz konnte - ohne in Willkür zu verfallen - den Beweisantrag in antizipierter Beweiswürdigung abweisen. Die Beschwerdeführer bringen nichts vor, was diese Beurteilung in Frage stellen würde. Sie behaupten auch im bundesgerichtlichen Verfahren nicht, dass eine kommunale Praxis zu Art. 417 GBR bestehe. Es ist nicht ersichtlich, welche Rechte oder Ansprüche sie aus dem Heranziehen der Bauakten der "Helferhäuser" geltend machen könnten, zumal diese mit dem zu beurteilenden Bauvorhaben nicht vergleichbar sind. Bei den "Helferhäusern" handelt es sich um Reiheneinfamilienhäuser, die sich in ästhetischer Hinsicht - insbesondere auch in Bezug auf die vorliegend umstrittene Dachform (vgl. E. 3 hiernach) - deutlich vom Einfamilienhaus des Beschwerdegegners unterscheiden.
3.
3.1. Auf der Südseite des projektierten Gebäudes sind zwei Vorbauten vorgesehen, die zugleich als Terrassen des Dachgeschosses dienen. Vier Lukarnen mit bodentiefen Fenstertüren sollen die Terrassen erschliessen. Dazwischen liegt eine fünfte, gleich gestaltete Lukarne mit einem bodentiefen Fenster. Diese Dachgestaltung ist vorliegend umstritten.
3.2.
3.2.1. Nach kantonalem Recht kann eine Gemeinde Vorschriften zum Ortsbild- und Landschaftsschutz erlassen, die über die kantonalen Mindestanforderungen nach Art. 9 Abs. 1 BauG/BE hinausgehen (Art. 9 Abs. 3 BauG/BE; vgl. auch Art. 69 Abs. 2 lit. c und f BauG/BE sowie Art. 12 Abs. 4 der Bauverordnung des Kantons Bern vom 6. März 1985 [BauV/BE; BSG 721.1]). Solche Vorschriften müssen, um eine selbständige Bedeutung zu haben, konkreter gefasst sein als die kantonalen und dürfen Letztere nicht nur allgemein anders umschreiben (vgl. Aldo Zaugg / Peter Ludwig, Kommentar zum Baugesetz des Kantons Bern, Band I, 4. Aufl. 2014, Art. 9/10 N. 4). Macht eine Gemeinde von dieser Kompetenz Gebrauch, so kann sie auch Voraussetzungen definieren, unter welchen von den - im Vergleich zum kantonalen Recht strengeren Bestimmungen - abgewichen werden darf. Dabei geht es um Gestaltungsvorschriften besonderer Art, sog. Ermächtigungsklauseln bzw. unechte Ausnahmen. Sie dienen im Gegensatz zu echten Ausnahmen nicht dazu, Unbilligkeiten oder Unzweckmässigkeiten allgemeinverbindlicher Normen im Einzelfall zu vermeiden, sondern räumen der Behörde nach der von der Vorinstanz zitierten kantonalen Rechtsprechung einen gewissen Entscheidungsspielraum ein, um im öffentlichen Interesse von eigenen - hier gestalterischen - Vorgaben abzuweichen (BVR 2003 S. 534 E. 4.2). Die abschliessende Ausnahmeregelung von Art. 26 BauG wird mit solchen kommunalen Klauseln nicht unzulässigerweise ausgedehnt (vgl. zum Ganzen Zaugg/Ludwig, a.a.O., Vorbemerkungen zu den Art. 26-31 N. 1; angefochtenes Urteil E. 4.4).
3.2.2. Die baurechtliche Grundordnung regelt in Art. 411 ff. GBR die Bau- und Aussenraumgestaltung einlässlich. Während Art. 411 Abs. 1 GBR den allgemeinen Gestaltungsgrundsatz im Sinn eines positiven Einfügungsgebots enthält und eine gute Gesamtwirkung der Baute mit ihrer Umgebung verlangt, befassen sich die Art. 412-416 GBR mit Einzelaspekten der Bau- und Aussenraumgestaltung. Diese Bestimmungen gehen in ihrem Regelungsgehalt und in ihrer Regelungsdichte über Art. 9 Abs. 1 BauG/BE hinaus und haben eigenständige Bedeutung.
Im zu beurteilenden Fall ist insbesondere Art. 414 GBR zur Dachgestaltung zu beachten. Nach Abs. 6 dieser Bestimmung dürfen Dachaufbauten nicht näher als 1 m an die Trauflinie zu liegen kommen. Gemäss Art. 417 GBR mit dem Randtitel "Gestaltungsspielraum" kann die Baubewilligungsbehörde nach Anhörung der Fachberatung oder auf der Grundlage des Ergebnisses eines qualifizierten Verfahrens von den Vorschriften über die Bau- und Aussenraumgestaltung gemäss Art. 412-416 GBR abweichen. Aus den erläuternden Hinweisen zu Art. 417 GBR ergibt sich, dass mit dieser Regelung zeitgemässe und innovative Gestaltungslösungen ermöglicht werden sollen, welche von der lokalen Bautradition im Sinne von Art. 412-416 GBR abweichen, in jedem Fall aber dem Grundsatz der "guten Gesamtwirkung" gemäss Art. 411 GBR entsprechen. Nach letzterer Bestimmung sind Bauten und Anlagen so zu gestalten, dass zusammen mit ihrer Umgebung eine gute Gesamtwirkung entsteht (Abs. 1), wobei insoweit verschiedene Beurteilungskriterien festgelegt werden (Abs. 2). Die Dachgestaltung ist eines davon.
3.3. Diese rechtliche Ausgangslage (E. 3.2.1 und 3.2.2) wird von den Beschwerdeführern nicht grundsätzlich in Frage gestellt. Unbestritten ist vorliegend, dass die geplanten Dachaufbauten beim Haus des Beschwerdegegners die Trauflinie des Daches durchbrechen und damit den Mindestabstand zur Trauflinie von 1 m nicht einhalten. Die Vorinstanzen haben diese Abweichung von Art. 414 Abs. 6 GBR in Anwendung von Art. 417 GBR als zulässig erachtet.
Die Beschwerdeführer machen geltend, die Vorinstanzen hätten in willkürlicher Weise Art. 417 GBR anstelle von Art. 26 BauG/BE angewendet. Bei Art. 417 GBR handle es sich um eine unzulässige Ausnahmeregelung, die dem abschliessenden Art. 26 BauG/BE zuwiderlaufe. Ein Ausnahmegrund im Sinne von Art. 26 BauG/BE sei nicht gegeben.
3.4. Die Vorinstanz hat erwogen, mit Blick auf den klaren Wortlaut von Art. 417 GBR könne nicht in Frage gestellt werden, dass er sich auch auf Art. 414 Abs. 6 GBR beziehe. Die Fachberatung nach Art. 431 GBR sei vorschriftsgemäss beigezogen worden. Gestützt auf deren Einschätzung habe die EG Bremgarten den Verzicht auf den Abstand zwischen Dachaufbauten und Trauflinie unterstützt, da damit aus Sicht der Gemeinde eine innovative und die ästhetisch beste Lösung ausgewählt worden sei. Die Vorinstanz hat weiter ausgeführt, die "gute Gesamtwirkung" gemäss Art. 411 Abs. 1 GBR, welche für die Anwendung von Art. 417 GBR vorausgesetzt werde, sei weder an geringen noch an besonders hohen architektonischen Qualitäten zu messen. Das Erfordernis bedeutet bei durchschnittlichen örtlichen Gegebenheiten nur, dass das Mittelmass der Umgebung nicht gestört werden dürfe und sich eine Neuüberbauung an den qualitativ hochwertigeren Bauten und Anlagen der Umgebung zu orientieren habe. Lägen Berichte der OLK vor, räume ihnen das Verwaltungsgericht regelmässig einen erheblichen Stellenwert ein und auferlege sich bei ihrer Überprüfung eine gewisse Zurückhaltung. Gemäss dem Bericht der OLK vom 28. April 2015 bestehe in der Umgebung des Bauvorhabens eine heterogene Baustruktur, wobei Satteldächer vorherrschend seien; ansonsten seien keine gestalterischen Zusammenhänge erkennbar. Die Positionierung des geplanten Baukörpers entspreche der Lage und Ausrichtung der Häuser in der Umgebung. Im Bericht vom 10. August 2015 führe die OLK zum geplanten Bedachungsmaterial aus, dieses passe sich bereits ab Baubeginn in die Umgebung ein. Die Vorinstanz erachtet die Fachberichte der OLK als schlüssig. Da es an quartiertypischen Gestaltungsmerkmalen fehle bzw. das einzige solche Element - das Satteldach - übernommen werde, sei nicht erkennbar, weshalb sich das Bauvorhaben nicht in das Wohnquartier einfügen und keine gute Gesamtwirkung der Baute mit der Umgebung erzielt werden sollte.
Zusammenfassend vermöchten die Beschwerdeführer nicht aufzuzeigen, weshalb die Anwendung von Art. 417 GBR Recht verletzen sollte.
3.5. Mit Art. 417 GBR sollen zeitgemässe und innovative Gestaltungslösungen ermöglicht werden, welche von der lokalen Bautradition im Sinne von Art. 412-416 GBR abweichen, jedoch in jedem Fall dem Grundsatz der guten Gesamtwirkung gemäss Art. 411 GBR entsprechen (vgl. die erläuternden Hinweise zu Art. 417 GBR und E. 3.2.2 hiervor). Wie von der EG Bremgarten bereits im kantonalen Verfahren vorgebracht, erscheint plausibel, dass die Befolgung der Vorgaben von Art. 412 ff. GBR insbesondere bei Umbauten und Erweiterungsbauten nicht zwingend zu einer guten Gesamtwirkung führt, dass diese aber gegebenenfalls mit anderen Gestaltungslösungen erreicht und so namentlich auch neuen und zeitgemässen architektonischen Entwicklungen Rechnung getragen werden kann. Art. 417 GBR ergänzt die Einzelbestimmungen von Art. 412-416 GBR zur Umsetzung des übergeordneten Gestaltungsgrundsatzes von Art. 411 GBR. Vom Grundsatz der - im öffentlichen Interesse liegenden - guten Gesamtwirkung kann mit Art. 417 GBR aber gerade nicht abgewichen werden. Der Gestaltungsspielraum von Art. 417 GBR stellt daher keine Ausnahmebestimmung im Sinne von Art. 26 BauG dar. Vielmehr handelt es sich um eine besondere Gestaltungsvorschrift, welche die Baubewilligungsbehörde unter bestimmten Voraussetzungen ermächtigt, auch neue Gestaltungsformen zu bewilligen, wenn diese dem übergeordneten Grundsatz der guten Gesamtwirkung entsprechen (vgl. zum Ganzen auch Entscheid der BVE vom 16. Oktober 2015 E. 5c). Entgegen der Behauptung der Beschwerdeführer verlangen weder Art. 417 GBR noch das übergeordnete Recht eine (weitergehende) Interessenabwägung. Die vorinstanzliche Auslegung von Art. 417 GBR erweist sich damit ohne Weiteres als vertretbar.
Kein Bundesrecht verletzt hat die Vorinstanz auch, indem sie die Voraussetzungen für eine Anwendung von Art. 417 GBR auf den konkreten Fall als erfüllt eingestuft hat. Die Fachberatung wurde beigezogen und es steht eine Abweichung von den Vorschriften über die Bau- und Aussenraumgestaltung gemäss Art. 412-416 GBR, konkret von Art. 414 Abs. 6 GBR, in Frage. Betreffend die verlangte gute Gesamtwirkung des Bauvorhabens gemäss Art. 411 GBR zeigen die Beschwerdeführer nicht auf, weshalb von der Einschätzung der kommunalen Fachberatung und von den Berichten der OLK, worin diese gute Gesamtwirkung bejaht worden ist, abgewichen werden sollte. Die Vorinstanz hat eingehend begründet, weshalb sie der Meinung der OLK als Fachgremium gefolgt ist. Die Beschwerdeführer bringen nichts vor, was diese Beurteilung in Frage stellen würde.
4.
Die Beschwerde ist deshalb abzuweisen, soweit darauf einzutreten ist. Bei diesem Verfahrensausgang haben die Beschwerdeführer die Gerichtskosten zu tragen (Art. 66 Abs. 1 und 5 BGG) und dem anwaltlich vertretenen Beschwerdegegner eine angemessene Entschädigung zu bezahlen (Art. 68 Abs. 1 und 2 BGG). Die kommunalen und kantonalen Behörden haben keinen Anspruch auf Ausrichtung einer Parteientschädigung (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 4'000.-- werden den Beschwerdeführern auferlegt.
3.
Die Beschwerdeführer haben dem Beschwerdegegner für das bundesgerichtliche Verfahren eine Entschädigung von Fr. 3'000.-- zu bezahlen.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien, der Einwohnergemeinde Bremgarten b. Bern, der Bau-, Verkehrs- und Energiedirektion des Kantons Bern, und dem Verwaltungsgericht des Kantons Bern, Verwaltungsrechtliche Abteilung, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 28. Juni 2017
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Merkli
Der Gerichtsschreiber: Stohner