Sachverhalt:
A.
Am 12. November 2014 wurde die Autovermieterin X._ AG von der Stadtpolizei Solothurn wegen einer Geschwindigkeitsüberschreitung angezeigt, welche am 18. August 2014 mit einem Auto aus ihrer Flotte begangen worden war. Der Autovermieterin wurde mit Strafbefehl vom 25. November 2014 eine Busse von Fr. 40.-- und Verfahrenskosten von Fr. 100.-- auferlegt. Sie erhob Einsprache und legte dar, sie habe die Fahrzeugführerin des fraglichen Autos auf die Übertretungsanzeige hin gemeldet. Der Fahrzeugführerin wurde hierauf ein Strafbefehl zugestellt, der unwidersprochen blieb. Das Verfahren gegen die Autovermieterin wurde am 24. Juni 2015 eingestellt, ihr Entschädigungsbegehren wurde abgewiesen und die Verfahrenskosten wurden dem Kanton Solothurn überbunden.
X._ AG focht die Einstellungsverfügung an und verlangte eine Entschädigung, was ihr vom Bezirksgericht und vom Obergericht des Kantons Solothurn verwehrt wurde. Auf ihre Beschwerde in Strafsachen hin hob das Bundesgericht das obergerichtliche Urteil am 8. Dezember 2015 auf und wies die Sache zu neuer Entscheidung an die Vorinstanz zurück (Verfahren 6B_880/2015).
B.
Am 3. Februar 2016 erliess das Obergericht des Kantons Solothurn im Rückweisungsverfahren einen Beschluss, wonach der Kanton Solothurn X._ AG für das staatsanwaltliche Verfahren eine pauschale Entschädigung von Fr. 600.-- und für das Beschwerdeverfahren eine Entschädigung von Fr. 900.-- auszurichten sei.
C.
X._ AG erhebt Beschwerde in Strafsachen vor Bundesgericht und verlangt die Aufhebung des Beschlusses des Obergerichts des Kantons Solothurn vom 3. Februar 2016. Der Staat Solothurn sei zu verpflichten, X._ AG für das staatsanwaltliche Verfahren eine Entschädigung von Fr. 3'355.-- und für das Beschwerdeverfahren eine solche von Fr. 2'200.60, auszurichten. Eventualiter sei eine angemessene Entschädigung auszurichten, subeventualiter sei die Sache zu neuer Entscheidung an die Vorinstanz zurückzuweisen.
D.
Das Obergericht und die Oberstaatsanwaltschaft des Kantons Solothurn beantragen unter Verweis auf die Ausführungen im angefochtenen Entscheid, die Beschwerde sei abzuweisen, soweit darauf einzutreten sei.

Erwägungen:
1.
1.1. Die Beschwerdeführerin rügt eine Verletzung ihres Anspruchs auf rechtliches Gehör. Die Vorinstanz folge der Begründung der Eingabe der Beschwerdegegnerin vom 11. Januar 2016, welche ihr zwar zur Kenntnis, nicht jedoch zur Stellungnahme zugestellt worden sei.
1.2. Der Anspruch auf rechtliches Gehör nach <ref-law> umfasst auch das Recht, von den beim Gericht eingereichten Stellungnahmen Kenntnis zu erhalten und sich dazu äussern zu können (sog. Replikrecht). Die Wahrnehmung dieses Rechts setzt voraus, dass die fragliche Eingabe der Partei vor Erlass des Urteils zugestellt wird, damit sie entscheiden kann, ob sie sich dazu äussern will (<ref-ruling> E. 2.3.1 mit Hinweisen). Es obliegt dem Gericht, ein effektives Replikrecht zu gewähren. Hierfür kann es den Parteien eine Frist setzen (vgl. <ref-ruling> E. 1.2). Es kann die Eingabe aber auch lediglich zur Kenntnisnahme zustellen, wenn von den Parteien, namentlich von anwaltlich Vertretenen oder Rechtskundigen, erwartet werden kann, dass sie umgehend unaufgefordert Stellung nehmen oder eine Stellungnahme beantragen (<ref-ruling> E. 2.4). Das Gericht hat mit dem Entscheid so lange zuzuwarten, bis es annehmen darf, der Adressat habe auf eine Eingabe verzichtet (<ref-ruling> E. 4.8). Die Rechtsprechung bejaht in der Regel eine Verletzung des rechtlichen Gehörs, wenn das Gericht nur wenige Tage nach Mitteilung der Eingabe entscheidet. Vor Ablauf von zehn Tagen darf es jedenfalls nicht, hingegen nach 20 Tagen schon, von einem Verzicht auf das Replikrecht ausgehen (vgl. Urteil 5D_81/2015 vom 4. April 2016 E. 2.3.3 f. mit vertiefter Wiedergabe der bundesgerichtlichen Rechtsprechung).
1.3. Die Rüge ist unbegründet. Die Beschwerdeführerin war auch im kantonalen Verfahren anwaltlich vertreten. Ihre Verteidigerin musste die Rechtsprechung zum Replikrecht kennen und wissen, dass ihr ein Recht auf Vernehmlassung zustand, das sie innert angemessener Frist einzufordern hatte, ansonsten ein Verzicht angenommen würde. Die Vorinstanz stellte der Beschwerdeführerin bzw. ihrer Verteidigerin die zweiseitige Eingabe der Beschwerdegegnerin vom 11. Januar 2016 am 18. Januar 2016 zu (kantonale Akten). In den über zwei Wochen bis zur Urteilsfällung am 3. Februar 2016 reichte die Beschwerdeführerin weder Gegenbemerkungen ein, noch ersuchte sie um eine Frist zur Stellungnahme. Unter diesen Umständen durfte die Vorinstanz zum Schluss gelangen, diese habe auf ihr Replikrecht verzichtet.
2.
2.1. Die Beschwerdeführerin beanstandet, dass die Vorinstanz die Entschädigung für das staatsanwaltliche Verfahren auf pauschal Fr. 600.-- und für das Beschwerdeverfahren auf Fr. 900.-- festsetze, ohne den massgeblichen Gebührentarif anzuwenden und ohne sich mit ihrer detaillierten Aufwandaufstellung auseinander zu setzen. Damit wende sie willkürlich geltendes Recht nicht an und verletze die Begründungspflicht nach <ref-law>. Sodann stehe die Begründung der Vorinstanz zur Festsetzung der Entschädigung im Beschwerdeverfahren im Widerspruch mit der tatsächlichen Situation und sei deshalb willkürlich. Sie hätte ihren Antrag, dass ihr für das staatsanwaltliche Verfahren eine Entschädigung zuzusprechen sei, nicht mit der von der Vorinstanz aufgeführten Argumentation begründen können. Vielmehr habe sie darlegen müssen, weshalb im zu beurteilenden Fall der Beizug eines Rechtsanwalts gemäss <ref-law> und im Lichte der Rechtsprechung des Bundesgerichts gerechtfertigt gewesen sei.
Die Beschwerdeführerin macht ferner sinngemäss geltend, sie sei aufgrund ihrer Sorgfaltspflicht gehalten gewesen, in der Einsprache weitere Mängel des Strafbefehls vorzubringen, insbesondere auch, weil aufgrund der verschuldensunabhängigen Haftung der Fahrzeughalterin unklar sei, inwieweit sie im Verfahren als Beschuldigte gegolten habe. Dass die Vorinstanz nun nach einer nachträglichen Analyse nur die Bemühungen entschädigen wolle, welche schliesslich gemäss Begründung der Staatsanwaltschaft zur Einstellung des Strafverfahrens geführt habe, sei willkürlich.
2.2. Mit Urteil vom 8. Dezember 2015 hat das Bundesgericht erkannt, dass die Beschwerdeführerin im vorliegenden Fall zur angemessenen Ausübung ihrer Verteidigungsrechte einen Anwalt beiziehen konnte. Es wies darauf hin, es bleibe zu prüfen, ob die Höhe der geltend gemachten Entschädigung angemessen sei (Verfahren 6B_880/2015).
2.3. Die Vorinstanz bezeichnet den von der Beschwerdeführerin für das staatsanwaltliche Verfahren betriebenen Aufwand von 9.3 Stunden als nicht nachvollziehbar und völlig unverhältnismässig. Im Strafbefehl gehe es um eine Busse von Fr. 40.--. Die Einsprache gegen den Strafbefehl hätte mit Hinweis auf die Fahrerdaten erhoben werden können, zumal die Einsprache nicht begründet werden müsse. Stattdessen sei im Strafbefehlsverfahren ein unverhältnismässiger Aufwand betrieben worden, wohl um einen Grundsatzentscheid zur Halterhaftung gemäss Art. 6 Abs. 5 des Ordnungsbussengesetzes vom 24. Juni 1970 (OBG; SR 741.03) zu erwirken. Die Einsprachesache sei ein aus juristischer Sicht einfacher Fall. Insofern müsse sich der vom Anwalt betriebene Aufwand gemäss Rechtsprechung auf ein Minimum beschränken. Unter diesen Umständen rechtfertige es sich, die Entschädigung ermessensweise auf Fr. 600.-- festzusetzen. Bei den für das Beschwerdeverfahren geltend gemachten Aufwendungen verhalte es sich im Wesentlichen gleich. In der angefochtenen Verfügung sei die Einstellung des Verfahrens damit begründet, dass die Beschwerdeführerin die Fahrzeugführerin bekannt gegeben habe und dieser in der Folge ein Strafbefehl habe zugestellt werden können. Erneut lasse es die Beschwerdeführerin nicht bei dieser Thematik bewenden, sondern mache unter Hinweis auf die Praxis anderer Kantone Ausführungen zur Halterhaftung gemäss OBG. Im Strafbefehl werde festgestellt, dass der Polizei nicht gemeldet worden sei, wer das Fahrzeug gelenkt habe, was mit der Einsprache ohne grossen Aufwand hätte richtig gestellt werden können. Wäre die Beschwerde auf dieses Thema beschränkt worden, hätte nicht ein Aufwand von über 6 Stunden generiert werden müssen. Da die Abfassung einer Beschwerde mit mehr Aufwand verbunden sei als eine Einsprache gegen einen Strafbefehl, rechtfertige es sich, die Entschädigung ermessensweise auf pauschal Fr. 900.-- festzusetzen (Beschluss S. 3 f.).
2.4.
2.4.1. Wird die beschuldigte Person ganz oder teilweise freigesprochen oder wird das Verfahren gegen sie eingestellt, so hat sie unter anderem Anspruch auf Entschädigung für die angemessene Ausübung ihrer Verfahrensrechte (<ref-law>). Nicht jeder Aufwand, der im Strafverfahren entstanden ist, ist zu entschädigen. Sowohl der Beizug eines Verteidigers als auch der von diesem betriebene Aufwand müssen sich als angemessen erweisen (<ref-ruling> E. 2.3.4 mit Hinweis). Als Massstab bei der Beantwortung der Frage, welcher Aufwand für eine angemessene Verteidigung im Strafverfahren nötig ist, hat der erfahrene Anwalt zu gelten, der im Bereich des materiellen Strafrechts und des Strafprozessrechts über fundierte Kenntnisse verfügt und deshalb seine Leistungen von Anfang an zielgerichtet und effizient erbringen kann (Urteile 6B_129/2016 vom 2. Mai 2016 E. 2.2 mit Hinweisen; 6B_74/2014 vom 7. Juli 2014 E. 1.4.2).
2.4.2. Gemäss § 177 Abs. 1 des Gebührentarifs vom 24. Oktober 1979 des Kantons Solothurn (Gebührentarif; BSG 615.11) setzt der Richter die Entschädigung der privat bestellten Verteidiger und der Rechtsbeistände von Privatklägern oder Dritten sowie der amtlichen Verteidiger und unentgeltlichen Rechtsbeistände nach dem Aufwand fest, welcher für eine sorgfältige und pflichtgemässe Vertretung erforderlich ist. Er gibt den Parteien vor dem Entscheid Gelegenheit zur Einreichung einer Honorarnote. Wird keine detaillierte Honorarnote eingereicht, schätzt er den Aufwand nach pflichtgemässem Ermessen. Nach § 177 Abs. 2 Gebührentarif beträgt der Stundenansatz für die Bestimmung der Kosten der privat bestellten Verteidiger und der Rechtsbeistände von Privatklägern oder Dritten 230-330 Franken zuzüglich Mehrwertsteuer, soweit sie Anwälte sind. § 3 [Gebührentarif] ist analog anwendbar.
Nach § 3 Abs. 1 Gebührentarif sind die Gebühren innerhalb eines Gebührenrahmens nach dem Zeit- und Arbeitsaufwand, nach der Bedeutung des Geschäftes, nach dem Interesse an der Verrichtung sowie nach der wirtschaftlichen Leistungsfähigkeit des Gebührenpflichtigen zu bemessen. Der Regierungsrat kann anordnen, dass für bestimmte Geschäfte in der Verwaltung (lit. a) die Gebühr nur nach dem Zeit- und Arbeitsaufwand bemessen wird, oder (lit. b) eine nach dem Zeit- und Arbeitsaufwand bemessene Grundgebühr erhoben und der Bedeutung des Geschäftes, dem Interesse an der Verrichtung sowie der wirtschaftlichen Leistungsfähigkeit des Gebührenpflichtigen durch Zuschläge oder Abzüge Rechnung getragen wird (§ 3 Abs. 2 Gebührentarif). Im Bereich der Rechtsprechung stehen diese Befugnisse nach § 3 Abs. 2bis Gebührentarif dem Obergericht zu. In besonders umfangreichen und zeitraubenden Fällen und in Geschäften mit sehr hohem Streitwert kann die Gebühr bis zum Anderthalbfachen des Maximalansatzes erhöht werden (§ 3 Abs. 3 Gebührentarif).
2.4.3. Das Bundesgericht prüft die Auslegung von <ref-law> frei. Es auferlegt sich indessen eine gewisse Zurückhaltung gegenüber der vorinstanzlichen Einschätzung, insbesondere hinsichtlich der Frage, welcher Aufwand der Verteidigung im konkreten Fall noch als angemessen zu bezeichnen ist (<ref-ruling> E. 2.1 mit Hinweisen; <ref-ruling> E. 2.3.6; Urteil 6B_387/2013 vom 8. Juli 2013 E. 2.1 nicht publiziert in: <ref-ruling>). Es ist in erster Linie Aufgabe der Strafbehörden, die Angemessenheit anwaltlicher Bemühungen zu beurteilen, wobei sie über ein beträchtliches Ermessen verfügen. Das Bundesgericht schreitet nur ein, wenn der Ermessensspielraum klarerweise überschritten wurde und die Festsetzung des Honorars ausserhalb jeden vernünftigen Verhältnisses zu den vom Anwalt geleisteten Diensten steht (vgl. <ref-ruling> E. 3.1 bei der amtlichen Verteidigung mit Hinweisen).
Die Auslegung und Anwendung kantonalen Rechts prüft das Bundesgericht nur unter dem beschränkten Gesichtswinkel der Willkür (<ref-ruling> E. 3.3.1; <ref-ruling> E. 2). Eine willkürliche Anwendung kantonalen Rechts liegt vor, wenn der angefochtene Entscheid offensichtlich unhaltbar ist, mit der tatsächlichen Situation in klarem Widerspruch steht, eine Norm oder einen unumstrittenen Rechtsgrundsatz krass verletzt oder in stossender Weise dem Gerechtigkeitsgedanken zuwiderläuft. Das Bundesgericht hebt einen Entscheid jedoch nur auf, wenn nicht bloss die Begründung, sondern auch dessen Ergebnis unhaltbar ist. Dass eine andere Lösung ebenfalls als vertretbar oder gar als zutreffender erscheinen mag, genügt nicht (<ref-ruling> E. 2.2; <ref-ruling> E. 5.1;je mit Hinweisen).
2.5. Die Vorinstanz verletzt ihre Begründungspflicht nicht. Sie begründet die Festsetzung der Entschädigung zwar ausgesprochen knapp, aber gerade noch hinreichend. Sie hält den geltend gemachten Aufwand als unverhältnismässig und nicht nachvollziehbar. Sie ist der Auffassung, die Einsprachesache sei ein aus juristischer Sicht einfacher Fall, weshalb sich der vom Anwalt betriebene Aufwand auf ein Minimum zu beschränken habe. Insofern war es für die Beschwerdeführerin ohne Weiteres möglich, die Tragweite des Entscheids zu erfassen und ihn in voller Kenntnis der Sache an eine höhere Instanz weiterzuziehen (<ref-ruling> E. 3.2.4 mit Hinweisen).
2.6. Allerdings verfällt die Vorinstanz in Willkür, indem sie bei der Festsetzung der Entschädigung der Beschwerdeführerin für das staatsanwaltliche Verfahren und das Beschwerdeverfahren kantonales Recht nicht anwendet bzw. die Entschädigungen pauschal festsetzt, obschon dies im kantonalen Verfahrensrecht nicht vorgesehen ist. Für das staatsanwaltliche Verfahren setzt sie die Entschädigung ermessensweise auf Fr. 600.-- und für das Beschwerdeverfahren auf pauschal Fr. 900.-- fest. Mit dem in § 177 Abs. 2 Gebührentarif vorgesehenen Stundenansatz von Fr. 230.-- - Fr. 330.-- entspricht dies einem als angemessen erachteten Aufwand von 1,8-2,6 Stunden (staatsanwaltliches Verfahren) bzw. von 2,7-3,9 Stunden (Beschwerdeverfahren). Der Vorinstanz ist zwar beizupflichten, dass der Tatvorwurf als leicht zu qualifizieren ist. Indessen wies das Bundesgericht bereits im Rückweisungsentscheid 6B_880/2015 vom 8. Dezember 2015 im Zusammenhang mit der Frage der Angemessenheit des Beizugs eines Anwalts darauf hin, dass mit Blick auf das Zusammenspiel von Halterhaftung und verschuldensabhängiger Verantwortlichkeit des Fahrzeuglenkers von einer gewissen Komplexität auszugehen ist und sich die Beschwerdeführerin mit der Frage auseinandersetzen musste, ob trotz Meldung der Fahrzeuglenkerdaten an die Polizei die Voraussetzungen für die Halterhaftung nach <ref-law> gegeben sind (E. 1.4.3). Angesichts dieser Erwägungen und dem damit einhergehenden Abklärungsaufwand sowie der Zeit für den Klienten- und Behördenkontakt sind die der Beschwerdeführerin zugesprochenen pauschalen Entschädigungen unhaltbar tief und stehen ausserhalb jeden vernünftigen Verhältnisses zu den von einer erfahrenen Anwältin zu leistenden Diensten. Damit ist die Beschwerde teilweise gutzuheissen.
Bezüglich der Höhe der an die Beschwerdeführerin auszurichtenden Entschädigungen kann in Anwendung von <ref-law> ein reformatorischer Entscheid ergehen (<ref-ruling> E 1.3; <ref-ruling> E. 1.3; <ref-ruling> E. 3.1.; je mit Hinweisen). Eine Rückweisung an die Vorinstanz zur neuen Beurteilung erübrigt sich.
Der von der Anwältin der Beschwerdeführerin geltend gemachte Aufwand von 9,3 Stunden für das staatsanwaltliche Verfahren und von 6,1 Stunden für das Beschwerdeverfahren je à Fr. 325.-- übersteigt das gemäss Rechtsprechung (<ref-ruling> E. 2.3.5) angemessene Minimum deutlich (für die detaillierte Aufstellung der Leistungen vgl. Honorarnoten, kantonale Akten). Im Lichte der vorliegenden Umstände erscheint ein Aufwand von gesamthaft 10 Stunden und der Stundenansatz von Fr. 230.-- zuzüglich Mehrwertsteuer (§ 177 Abs. 1 Gebührentarif) als angemessen. Mangels entsprechender Substanziierung und angesichts der pauschalisierten Festsetzung des Aufwands entfällt ein zusätzlicher Ersatz von Auslagen.
3.
Die Beschwerde ist teilweise gutzuheissen und Ziff. 1 und 2 des angefochtenen Beschlusses aufzuheben. Im Übrigen ist die Beschwerde abzuweisen.
Der Kanton Solothurn hat der Beschwerdeführerin für das bundesgerichtliche Verfahren im Umfang ihres Obsiegens eine angemessene Parteientschädigung auszurichten (<ref-law>). Soweit die Beschwerdeführerin unterliegt, hat sie für die Kosten des bundesgerichtlichen Verfahrens aufzukommen (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird teilweise gutgeheissen und Dispositiv-Ziff. 1 sowie 2 des Beschlusses des Obergerichts des Kantons Solothurn vom 3. Februar 2016 werden aufgehoben. Der Staat Solothurn hat der Beschwerdeführerin, vertreten durch die Rechtsanwältin Bettina Bonderer Wittmann, Zürich, für das staatsanwaltliche Verfahren STR.2014.23251 und das Beschwerdeverfahren BKBES.2015.71 eine durch die Zentrale Gerichtskasse auszahlbare Entschädigung von Fr. 2'300.-- (zuzüglich 8 % Mehrwertsteuer) auszurichten.
Im Übrigen wird die Beschwerde abgewiesen.
2.
Der Beschwerdeführerin werden Gerichtskosten von Fr. 1'000.-- auferlegt.
3.
Der Kanton Solothurn hat die Beschwerdeführerin für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 1'500.-- zu entschädigen.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Solothurn, Beschwerdekammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 8. Juni 2016
Im Namen der Strafrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Denys
Die Gerichtsschreiberin: Pasquini