Sachverhalt:
A.
Mit Klage vom 23. November 2015 stellte A.A._ vor dem Bezirksgericht Luzern in einem Nachverfahren nach <ref-law> eine Reihe von Forderungsbegehren gegen B.A._. Der Streitwert betrug insgesamt Fr. 370'000.--. Der Kläger ersuchte das Bezirksgericht darum, ihm die unentgeltliche Rechtspflege zu gewähren und Rechtsanwältin Claudia Zumtaugwald als unentgeltliche Rechtsbeiständin zu ernennen. Mit Entscheid vom 8. Februar 2016 wies der Einzelrichter am Bezirksgericht das Gesuch mit der Begründung ab, A.A._ sei der Bedürftigkeitsnachweis nicht gelungen.
B.
Dagegen erhob A.A._ am 3. März 2016 Beschwerde beim Kantonsgericht Luzern. Er hielt an seinem Armenrechtsgesuch für das Verfahren vor dem Bezirksgericht fest und ersuchte auch für das Beschwerdeverfahren um unentgeltliche Rechtspflege. Das Kantonsgericht wies sowohl die Beschwerde als auch das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege für das Beschwerdeverfahren ab (Entscheid vom 6. Mai 2016).
C.
Mit Beschwerde vom 20. Juni 2016 wendet sich A.A._ (Beschwerdeführer) an das Bundesgericht. Er beantragt, den Entscheid des Kantonsgerichts aufzuheben und ihm die unentgeltliche Rechtspflege und unentgeltliche Rechtsverbeiständung unter Kostenfolgen zu Lasten des Staates zu gewähren. Auch für das bundesgerichtliche Verfahren ersucht er um unentgeltliche Rechtspflege. Das Bundesgericht hat sich die kantonalen Akten überweisen lassen, jedoch keinen Schriftenwechsel angeordnet.

Erwägungen:
1.
1.1. Angefochten ist zunächst der Entscheid, mit dem das Kantonsgericht die Abweisung des Armenrechtsgesuchs des Beschwerdeführers für den Zivilprozess vor dem Bezirksgericht bestätigt. Das ist ein Entscheid einer letzten kantonalen Instanz, die als oberes Gericht auf Rechtsmittel hin entschieden hat (Art. 75 Abs. 1 und 2 BGG). Allein sein Rechtsbegehren gibt nicht Aufschluss darüber, ob der Beschwerdeführer vor Bundesgericht auch die Abweisung seines Gesuchs um unentgeltliche Rechtspflege für das kantonale Beschwerdeverfahren anficht. Soweit dies der Fall ist (dazu E. 4), stünde <ref-law> einer Beschwerde an das Bundesgericht aber nicht im Weg (<ref-ruling> E. 2.2 S. 426 f. mit Hinweisen).
1.2. Nach der Rechtsprechung ist der die unentgeltliche Rechtspflege verweigernde Entscheid ein Zwischenentscheid, der einen nicht wieder gutzumachenden Nachteil im Sinne von Art. 93 Abs. 1 Bst. a BGG bewirken kann (Urteil 5D_158/2013 vom 24. September 2013 E. 1 mit Hinweisen). Bei Zwischenentscheiden folgt der Rechtsweg demjenigen der Hauptsache (<ref-ruling> E. 1.1 S. 382). Dort dreht sich der Streit um Geldforderungen in der Höhe von Fr. 370'000.-- (s. Sachverhalt Bst. A), mithin um eine Zivilsache (<ref-law>) vermögensrechtlicher Natur, deren Streitwert den gesetzlichen Mindestbetrag von Fr. 30'000.-- (Art. 74 Abs. 1 Bst. b BGG) übersteigt und die deshalb der Beschwerde in Zivilsachen unterliegt. Das gleiche Rechtsmittel steht daher gegen den angefochtenen Zwischenentscheid offen. Unter denselben Voraussetzungen stünde die Beschwerde im Übrigen auch gegen den Entscheid offen, der dem Beschwerdeführer für das kantonale Beschwerdeverfahren die unentgeltliche Rechtspflege versagt. Denn das Kantonsgericht hat diesen Entscheid nicht unabhängig vom Gegenstand des Rechtsmittelverfahrens gefällt.
1.3. Die Beschwerdefrist (Art. 100 Abs. 1 i.V.m. <ref-law>) ist eingehalten, der Beschwerdeführer zur Beschwerde in Zivilsachen berechtigt (<ref-law>). Auf die Beschwerde ist unter dem Vorbehalt einer hinreichenden Begründung einzutreten.
2.
2.1. Was die unentgeltliche Rechtspflege für das erstinstanzliche Verfahren angeht, dreht sich der Streit um die Frage, ob der Beschwerdeführer im Sinne von Art. 117 Bst. a ZPO "nicht über die erforderlichen Mittel verfügt", um seine Prozesskosten zu bestreiten. Nach der Praxis zu <ref-law>, die auch für die Auslegung von Art. 117 Bst. a ZPO zu berücksichtigen ist (Urteil 4D_19/2016 vom 11. April 2016 E. 4.1), gilt eine Person als bedürftig, wenn sie die Kosten eines Prozesses nicht aufzubringen vermag, ohne jene Mittel anzugreifen, die für die Deckung des eigenen notwendigen Lebensunterhalts und desjenigen ihrer Familie erforderlich sind. Demgegenüber kann die unentgeltliche Rechtspflege verweigert werden, wenn der monatliche Einkommensüberschuss es der gesuchstellenden Partei ermöglicht, die Prozesskosten bei weniger aufwändigen Prozessen binnen eines Jahres und bei anderen binnen zweier Jahre zu tilgen. Gegebenenfalls ist zu berücksichtigen, dass die betroffene Person binnen relativ kurzer Frist tätig werden muss und dass sie deshalb keine Rückstellungen machen kann, um Gerichts- und Anwaltskostenvorschüsse zu leisten (<ref-ruling> E. 5.1 S. 224, in: Pra 2010 Nr. 25 S. 171).
2.2. Grundsätzlich obliegt es dem Gesuchsteller, sowohl seine Einkommens- und Vermögensverhältnisse als auch alle seine finanziellen Verpflichtungen vollständig anzugeben und soweit möglich zu belegen. Diesbezüglich trifft ihn eine umfassende Mitwirkungspflicht (<ref-ruling> E. 4a S. 164 f.). An die klare und gründliche Darstellung der finanziellen Situation durch den Gesuchsteller selbst dürfen umso höhere Anforderungen gestellt werden, je komplexer diese Verhältnisse sind. Verweigert ein Gesuchsteller die zur Beurteilung seiner aktuellen Gesamtsituation erforderlichen Angaben oder Belege, so kann die Behörde die Bedürftigkeit ohne Verletzung des verfassungsmässigen Anspruchs verneinen (<ref-ruling> E. 3a S. 181 f.). Insbesondere ist die mit dem Gesuch befasste Behörde weder verpflichtet, den Sachverhalt von sich aus nach jeder Richtung hin abzuklären, noch muss sie unbesehen alles, was behauptet wird, von Amtes wegen überprüfen. Sie muss den Sachverhalt nur dort (weiter) abklären, wo noch Unsicherheiten und Unklarheiten bestehen, sei es, dass sie von einer Partei auf solche - wirkliche oder vermeintliche - Fehler hingewiesen wird, sei es, dass sie solche selbst feststellt (Urteil 5A_447/2012 vom 27. August 2012 E. 3.1; 5A_65/2009 vom 25. Februar 2009 E. 4.3 mit Hinweisen).
2.3. Hinsichtlich der Voraussetzung der Bedürftigkeit des Gesuchstellers prüft das Bundesgericht in rechtlicher Hinsicht frei, ob die Kriterien zu deren Bestimmung im Sinne von <ref-law> und Art. 117 Bst. a ZPO zutreffend gewählt worden sind. Die tatsächlichen Feststellungen der kantonalen Behörden kann es dagegen nur nach Massgabe von Art. 97 Abs. 1 und Art. 105 Abs. 2 BGG, das heisst auf Willkür hin überprüfen (<ref-ruling> E. 5.1 S. 223 mit Hinweis). Was die Rüge willkürlicher Sachverhaltsfeststellung anbelangt, ist neben der Erheblichkeit der gerügten Feststellungen für den Ausgang des Verfahrens (<ref-ruling> E. 2.2.2 S. 22) im Einzelnen darzulegen, inwiefern diese offensichtlich unhaltbar sein, das heisst mit der tatsächlichen Situation in klarem Widerspruch stehen, auf einem offenkundigen Versehen beruhen oder sich sachlich in keiner Weise rechtfertigen lassen sollen (<ref-ruling> E. 4.3 S. 62 mit Hinweisen).
3.
Anlass zur Beschwerde geben verschiedene Elemente in der Beurteilung der finanziellen Situation des Beschwerdeführers.
3.1. Auf Seiten der Einnahmen ist der Betrag von USD 7'830.80 streitig, den der Beschwerdeführer laut Kantonsgericht im erstinstanzlichen Verfahren unter dem Titel "Management fees (income as Agent) " für die Zeit vom 1. Januar bis 31. Dezember 2015 behauptet, jedoch nicht substanziiert hat. Die diesbezüglichen Bemühungen im kantonalen Rechtsmittelverfahren hält das Kantonsgericht für verspätet. Der Beschwerdeführer beschränkt sich darauf, den vorinstanzlichen Erkenntnissen undifferenziert seine eigene Sichtweise gegenüber zu stellen. Er übersieht, dass ihm das Kantonsgericht gar nicht vorwirft, sich erst im kantonalen Beschwerdeverfahren mit den Einnahmen befasst zu haben. Zur Frage, ob die Vorinstanz allenfalls überspannte Anforderungen an die Substanziierungspflicht stellt bzw. ob sie ihm die Substanziierung im Beschwerdeverfahren zu Unrecht versagt, äussert er sich nicht. Sodann schützt das Kantonsgericht die erstinstanzliche Erkenntnis, wonach die Kontoauszüge nicht als Beweismittel akzeptiert werden können, weil sie nicht auf den Beschwerdeführer, sondern auf die Firma "C._" ausgestellt sind. Dass die Vorinstanz es damit an einer Begründung fehlen lässt und so das rechtliche Gehör des Beschwerdeführers verletzt, trifft nicht zu (vgl. Urteil 5A_382/2013 vom 12. September 2013 E. 3.1). Unbehelflich sind auch die Hinweise des Beschwerdeführers auf seine Eingabe vom 19. Januar 2016 und die dazugehörigen Unterlagen. Die vorinstanzliche Beurteilung lässt sich nicht mit der blossen Behauptung umstossen, dass die fragliche Bankverbindung ein off-shore Konto sei, dies der Praxis im internationalen Finanzmarkt bzw. Hedge-Fund-Geschäft entspreche und die Gerichtsbehörden davon Kenntnis haben müssten. Auch dass über das Konto der besagten Firma Kreditkartenrechnungen des Beschwerdeführers bezahlt wurden und der Beschwerdeführer auf eine Aufstellung der früheren Beteiligung hingewiesen haben will, lässt eine Zuordnung des Kontos der Firma "C._" zu ihm nicht als geradezu unzweifelhaft erscheinen.
3.2. Auf Seiten der notwendigen Lebenshaltungskosten des Beschwerdeführers dreht sich der Streit um die Ausgabenposition "Data Base" in der Höhe von USD 3'189.26. Das Kantonsgericht hält den erstinstanzlichen Schluss, dass diese Position nicht belegt sei, für vertretbar. Vergeblich verweise der Beschwerdeführer auf eine Belegstelle, wo der Betrag von EUR 2'840.-- vermerkt sei; soweit er argumentiere, die Zahlung sei in USD erfolgt, wäre es ihm ein Leichtes gewesen, schon vor dem Bezirksgericht auf die Umrechnung von Euro in Dollar hinzuweisen. Dem entgegnet der Beschwerdeführer unter Hinweis auf verschiedene Unterlagen im Wesentlichen, dass es "für den Richter ebenso ein Leichtes gewesen wäre, den Rechnungsbeleg zu finden". Damit vermag der Beschwerdeführer die Vernachlässigung der Pflicht, seine finanzielle Situation klar und gründlich darzustellen, nicht beiseite zu schieben. Er täuscht sich, wenn er meint, die Behörde müsse im Durcheinander der eingereichten Geschäfts- und Bankunterlagen von sich aus Nachforschungen anstellen. Ebenso wenig kann er etwas daraus ableiten, wie streng das Bezirksgericht allenfalls in Bezug auf andere Belege gewesen sein soll.
3.3. Umstritten ist weiter die Ausgabenposition "Lawyer's Fees" im Betrag von USD 3'000.-- für ein hängiges Strafverfahren. Das Kantonsgericht widerspricht dem Vorwurf, das Bezirksgericht habe diesen Betrag willkürlich nicht berücksichtigt. Soweit der Beschwerdeführer unter Hinweis auf Belegstellen erkläre, dass es sich um eine Zahlung an Rechtsanwalt D._ von Fr. 2'264.87 vom 9. Oktober 2015 handele, sei sein Einwand unbehelflich, da der geltend gemachte und der bezahlte Betrag nicht äquivalent seien. Der Beschwerdeführer habe die "Lawyer's Fees" im erstinstanzlichen Verfahren nicht begründet und auch keinen Verweis auf die besagte Stelle gemacht. Vor Bundesgericht erklärt der Beschwerdeführer nun, die Kosten für Rechtsanwalt D._ würden nicht mit dem Betrag von USD 3'000.-- zusammenhängen, sondern "für ein anderes Dossier benutzt"; sie seien "in den Bel. 16 eingeflossen". Der Betrag von USD 3'000.-- stehe für Anwaltskosten, die im Zusammenhang mit Vergleichsgesprächen mit seiner Ehefrau angefallen seien. Dass die Vorinstanz dies pflichtwidrig übersehen, den Sachverhalt also offensichtlich unrichtig festgestellt hätte, tut der Beschwerdeführer nicht einer Weise dar, die dem Rügeprinzip genügt. So aber erweisen sich die geschilderten Behauptungen des Beschwerdeführers als neue Tatsachen, die im angefochtenen Entscheid keine Stütze finden und im bundesgerichtlichen Verfahren unbeachtlich sind (<ref-law>).
3.4. Was die Position "Commission Fees" in der Höhe von USD 875.99 angeht, widerspricht das Kantonsgericht der These des Beschwerdeführers, wonach ein Blick des Richters in die Gesuchsbeilage 1 genügt hätte, um die Begründetheit dieser Ausgaben zu erkennen. Gerade die Ausführungen des Beschwerdeführers in der (kantonalen) Beschwerde und die darin gemachte Aufstellung würden aufzeigen, dass der erwähnte Betrag vor erster Instanz nicht nachvollziehbar substanziiert bzw. nicht belegt worden war. Erneut verliert sich der Beschwerdeführer in wenig kohärenten Erörterungen darüber, wie die kantonalen Instanzen seiner Meinung nach zum Schluss hätten kommen müssen, dass der erwähnte Betrag zu berücksichtigen sei. Dabei übersieht er, dass bei komplexen Verhältnissen erhöhte Anforderungen an die Mitwirkungspflicht gestellt werden können (E. 2.2). Insbesondere ist es auch nicht die Aufgabe der Behörde, sich in Bankauszügen und anderen Unterlagen auf die Suche nach Geldbeträgen zu machen, um eine geltend gemachte Ausgabenposition zu rekonstruieren.
3.5. Das soeben Gesagte gilt sinngemäss für die monatlichen Kosten von Fr. 225.95, die der Beschwerdeführer laut Kantonsgericht im Gesuchsformular für "Einkäufe/Taxi" geltend machte. Das Kantonsgericht kommt zur Erkenntnis, dass die diesbezüglichen Ausführungen des Beschwerdeführers im kantonalen Beschwerdeverfahren auf neuen Urkunden und Tatsachenbehauptungen beruhen und deshalb unbeachtlich sind; zum andern sei der geltend gemachte Betrag vor dem Bezirksgericht effektiv nicht belegt gewesen. Der Beschwerdeführer bestreitet, dass "ein neuer Sachverhalt präsentiert" worden sei; dies gehe "an den Fakten vorbei und ermittelt den Sachverhalt gerade falsch". Allein damit lassen sich vorinstanzlichen Feststellungen über den Prozesssachverhalt (s. <ref-ruling> E. 1.3.1 S. 17 f.), zu denen auch die Feststellungen über die Parteivorbringen gehören (Urteil 4A_247/2013 vom 14. Oktober 2013 E. 1.1), nicht als offensichtlich unrichtig (<ref-law>) ausweisen. Soweit der Beschwerdeführer meint, dass die dargelegte "Mischrechnung" als Nachweis hätte akzeptiert werden müssen, bleibt im Dunkeln, was damit gemeint sein könnte.
3.6. Streitig ist der Betrag von USD 588.--, mit dem der Beschwerdeführer im Gesuchsformular vor erster Instanz seine monatlichen Gesundheitskosten (Krankenhaus, Arzt, Medikamente) veranschlagt. Das Kantonsgericht stellt fest, dass der Beschwerdeführer erklärt habe, diese Kosten nicht konkret belegen zu können, weil an seinem Wohnsitz in der Ukraine "alles über den Ladentisch laufe", und dass er fordere, ihm stattdessen entsprechend seinem Alter Kosten im Umfang einer mutmasslichen Krankenversicherungsprämie (zuzüglich Selbstbehalt und Franchise) anzurechnen. Das Kantonsgericht weist die Forderung mit der Begründung zurück, der erwähnte Betrag sei mit keinen Urkunden belegt; zudem sei die Behauptung, anstatt der tatsächlichen Gesundheitskosten Kosten die mutmasslichen Versicherungskosten einzusetzen, neu und daher unbeachtlich. Der Beschwerdeführer stellt nicht in Abrede, seine tatsächlichen Gesundheitskosten nicht belegt zu haben. Er behauptet auch nicht, dass er schon vor erster Instanz einen Schätzungsbetrag geltend gemacht und das Bezirksgericht dies übersehen hätte, noch beruft er sich darauf, dass das Kantonsgericht das Novenrecht bundesrechtswidrig angewendet hätte.
3.7. Ein letzter Streitpunkt betrifft die finanzielle Unterstützung des Beschwerdeführers durch Freunde und Familienangehörige. Der Beschwerdeführer wehrte sich vor der Vorinstanz gegen die erstinstanzliche Beurteilung, dass er auch in Zukunft auf diese Geldquellen werde zählen und sie für die Finanzierung seiner Gerichtsverfahren werde einsetzen können. Dem angefochtenen Entscheid zufolge berief er sich darauf, dass ihn sein Onkel E._ nicht mehr unterstütze und Geld von Freunden und Verwandten nicht für ein "derartiges Gerichtsverfahren" herangezogen werden dürfe. Das Kantonsgericht hält diese Vorbringen nicht für tauglich, um den erstinstanzlichen Entscheid als "im Ergebnis willkürlich" auszuweisen. Zudem habe das Bezirksgericht diese Begründung bloss hilfsweise herangezogen; sie sei nicht kausal für den Schluss, dass dem Beschwerdeführer der Bedürftigkeitsnachweis nicht gelungen sei. Dem hält der Beschwerdeführer entgegen, dass das Kantonsgericht "klar die Kausalität" anspreche, indem es die erstinstanzliche Erkenntnis schütze, dass er inskünftig auf die erwähnte Unterstützung zählen könne. "In diesem Punkt" will der Beschwerdeführer obsiegt haben, was bei der Kostenfolge berücksichtigt werden müsse. Soweit sie überhaupt nachvollziehbar sind, scheitern diese Überlegungen jedenfalls schon daran, dass sich nicht nach einzelnen Elementen einer Urteilsbegründung, sondern nach dem Prozessausgang bestimmt, ob eine Partei obsiegt hat oder unterlegen ist. Inwiefern sich die vorinstanzlichen Erwägungen auf den Ausgang des vorinstanzlichen Verfahrens hätten auswirken müssen, tut der Beschwerdeführer nicht dar.
3.8. Wie die vorigen Erwägungen zeigen, gelingt es dem Beschwerdeführer nicht, die vorinstanzlichen Feststellungen betreffend seine finanziellen Verhältnisse als offensichtlich unrichtig (<ref-law>), das heisst als willkürlich (<ref-ruling> E. 4.3 S. 62; <ref-ruling> E. 1.2.2 S. 252) auszuweisen. Daran ändert auch nichts, wenn der Beschwerdeführer der Vorinstanz vorwirft, ihm den "strikten Nachweis von sämtlichen Belegen" abzuverlangen, obwohl es zur Begründung eines Armenrechts genüge, die Bedürftigkeit glaubhaft zu machen. Im Verfahren betreffend die Bewilligung der unentgeltlichen Rechtspflege kommt es allein darauf an, dass der Staat über die Angaben und Belege verfügt, die erforderlich sind, um mit Blick auf die Kosten des konkreten Gerichtsverfahrens die aktuelle finanzielle Gesamtsituation des Gesuchstellers zu beurteilen. Liefert der Gesuchsteller die hierfür erforderlichen Elemente nicht, muss er mit der Abweisung seines Gesuchs rechnen (E. 2). Soweit der Beschwerdeführer klagt, nicht zur Nachreichung weiterer Unterlagen aufgefordert worden zu sein, ist er damit mangels Erschöpfung des Instanzenzuges (s. dazu Urteil 5A_458/2010 vom 9. September 2010 E. 3.2 mit Hinweisen) von vornherein nicht zu hören, denn auch diese Rüge beschlägt die Feststellung des Sachverhalts. Dass er sie schon im kantonalen Rechtsmittelverfahren ohne Erfolg erhoben hätte, macht der Beschwerdeführer nicht geltend.
4.
Nach dem Gesagten bleibt es dabei, dass der Beschwerdeführer im Verfahren vor dem Bezirksgericht (s. Sachverhalt Bst. A) keine unentgeltliche Rechtspflege in Anspruch nehmen kann. Was sein Armenrechtsgesuch für das kantonale Beschwerdeverfahren angeht, äussert sich der Beschwerdeführer nicht zur vorinstanzlichen Erkenntnis, wonach es an der Anspruchsvoraussetzung der fehlenden Aussichtslosigkeit seiner Beschwerde fehle. Soweit er diesen Entscheid vor Bundesgericht anficht, ist darauf mangels Begründung (<ref-law>) nicht einzutreten. Im Übrigen erweist sich die Beschwerde als unbegründet. Sie ist abzuweisen. Der Beschwerdeführer unterliegt. Er wird deshalb kostenpflichtig (<ref-law>). Den kantonalen Instanzen ist keine Entschädigung geschuldet (<ref-law>). Wie die vorstehenden Erwägungen zeigen, müssen die vor Bundesgericht gestellten Rechtsbegehren des Beschwerdeführers als von Anfang an aussichtslos bezeichnet werden. Damit fehlt es an einer materiellen Voraussetzung für die Bewilligung der unentgeltlichen Rechtspflege (<ref-law>). Das entsprechende Gesuch ist abzuweisen, soweit es überhaupt hinreichend begründet ist.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.
Das Gesuch des Beschwerdeführers um unentgeltliche Rechtspflege für das bundesgerichtliche Verfahren wird abgewiesen.
3.
Die Gerichtskosten von Fr. 2'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
4.
Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer, dem Bezirksgericht Luzern, Einzelrichter Abteilung 1, und dem Kantonsgericht Luzern, 1. Abteilung, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 12. August 2016
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: von Werdt
Der Gerichtsschreiber: Monn