Sachverhalt:
A.
Mit Urteil vom 26. September 2016 hiess das Bezirksgericht Dielsdorf in der Betreibung Nr. xxx des Betreibungsamtes Rümlang-Oberglatt das Begehren um definitive Rechtsöffnung der B._ gegen A._ für den Betrag von Fr. 10'923.-- gut.
B.
Gegen dieses Urteil erhob A._ mit Eingabe vom 24. November 2016 beim Obergericht des Kantons Zürich Beschwerde. Er verlangte, das Rechtsöffnungsgesuch abzuweisen oder die Sache an das Bezirksgericht Dielsdorf unter Aufhebung des Entscheids zurückzuweisen. Zudem stellte er den prozessualen Antrag um Aufschub der Vollstreckbarkeit im Sinne von <ref-law>.
Das Obergericht wies das Gesuch um aufschiebende Wirkung mit Verfügung vom 28. November 2016 ab.
C.
Gegen diese Verfügung hat A._ (Beschwerdeführer) am 30. Dezember 2016 (Postaufgabe) beim Bundesgericht subsidiäre Verfassungsbeschwerde erhoben. Er stellt den Antrag, "die Verweigerung des Vollstreckungsaufschubes durch die Verfügung vom 28. November 2016 des Obergerichtes des Kantons Zürich aufzuheben und das Verfahren an das Obergericht unter Beachtung der Rechtsmeinung des Bundesgerichtes zurückzuweisen".
Das Bundesgericht hat die Akten beigezogen, hingegen keine Vernehmlassungen eingeholt.

Erwägungen:
1.
Das Bundesgericht prüft von Amtes wegen und mit freier Kognition, ob ein Rechtsmittel zulässig ist (<ref-law>; <ref-ruling> E. 1 S. 133 mit Hinweisen).
1.1. Angefochten ist ein kantonal letztinstanzlicher Zwischenentscheid mit welchem das Obergericht (in einem Beschwerdeverfahren gegen einen definitiven Rechtsöffnungsentscheid) ein Gesuch des Beschwerdeführers um Aufschub der Vollstreckbarkeit abgewiesen hat. Bei Zwischenentscheiden folgt der Rechtsweg jenem der Hauptsache (<ref-ruling> E. 1.1 S. 382; <ref-ruling> E. 2.2 S. 647). Bei dieser handelt es sich um eine Schuldbetreibungssache, wobei der für die Beschwerde in Zivilsachen erforderliche Streitwert von Fr. 30'000.-- nicht erreicht wird (Art. 72 Abs. 2 lit. a und Art. 74 Abs. 1 lit. b BGG). Die subsidiäre Verfassungsbeschwerde (<ref-law>) ist damit grundsätzlich auch gegen den Zwischenentscheid gegeben. Allerdings ist die Verfassungsbeschwerde gegen solche Entscheide - vom hier nicht gegebenen Ausnahmefall des Art. 117 i.V.m. <ref-law> abgesehen - nur zulässig, wenn sie einen nicht wieder gutzumachenden Nachteil bewirken können (Art. 117 i.V.m. <ref-law>).
Nach konstanter Praxis des Bundesgerichts muss der Nachteil rechtlicher Natur sein und darf somit auch mit einem für den Beschwerdeführer günstigen Endentscheid nicht oder nicht vollständig behebbar sein (<ref-ruling> E. 1.2 S. 47; <ref-ruling> E. 2.1 S. 190). Der blosse Umstand, zu einer Geldleistung verpflichtet zu werden, stellt grundsätzlich keinen solchen Nachteil dar, soweit der Schuldner das Geld zu zahlen in der Lage ist und die geleisteten Beträge im Falle seines Obsiegens in der Hauptsache zurückfordern kann (<ref-ruling> E. 1.3 S. 335 f.; Urteile 5A_708/2013 vom 14. Mai 2014 E. 1.1, in: SJ 136/2014 I S. 366 und 5D_52/2010 vom 10. Mai 2010 E. 1.1.1, in: SJ 133/2011 I S. 134 f.). Demgegenüber ist ein solcher Nachteil zu bejahen, wenn die finanzielle Lage der (vorläufig) zahlungspflichtigen Partei so kritisch ist, dass ihr durch die Zahlungspflicht ernsthafte Schwierigkeiten oder gar der Konkurs drohen (<ref-ruling> E. 1.5 S. 374). Soweit nicht offenkundig ist, dass der Zwischenentscheid einen nicht wieder gutzumachenden Nachteil bewirken könnte, hat der Beschwerdeführer in seiner Eingabe darzutun, inwiefern er einem solchen ausgesetzt ist und die Voraussetzungen der Zulässigkeit seiner Beschwerde erfüllt sind (<ref-law>; <ref-ruling> E. 1.2 S. 81; <ref-ruling> E. 1.2 S. 47; <ref-ruling> E. 1.3 S. 525).
1.2. Vorliegend erörtert der Beschwerdeführer seine konkreten Interessen am im vorinstanzlichen Verfahren gestellten Gesuch um aufschiebende Wirkung nicht näher. Er argumentiert lediglich, es bestehe kein tatsächlich überragendes wirtschaftliches Interesse der Beschwerdegegnerin an der sofortigen Vollstreckung, weil diese nicht die Gesamtforderung in Betreibung gesetzt hätte. Damit legt er nicht rechtsgenüglich dar, inwiefern die Eintretensvoraussetzung des nicht wieder gutzumachenden Nachteils im Sinne von <ref-law> erfüllt sein soll. Dass die Zahlung den Beschwerdeführer in finanzielle Schwierigkeiten bringen würde oder im Falle der Gutheissung des Rechtsmittels die Möglichkeit der Rückforderung wegen zweifelhafter Zahlungsfähigkeit der Gläubigerin ungewiss erscheine, hat er gemäss der angefochtenen Verfügung bereits im obergerichtlichen Verfahren nicht behauptet, geschweige denn belegt. Auf die unzulässige Beschwerde ist nicht einzutreten.
2.
Auf die Beschwerde kann sodann nicht eingetreten werden, soweit der Beschwerdeführer gegen das bezirksgerichtliche Urteil erhobene Rügen behandelt wissen möchte. Zulässiges Anfechtungsobjekt ist einzig der obergerichtliche Zwischenentscheid (<ref-law>).
3.
Zufolge Nichteintretens sind die Gerichtskosten dem Beschwerdeführer aufzuerlegen (<ref-law>). Der Gegenpartei ist kein entschädigungspflichtiger Aufwand entstanden (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 1'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Zürich, I. Zivilkammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 15. März 2017
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Das präsidierende Mitglied: Escher
Der Gerichtsschreiber: Buss