Faits :
A.
Par jugement du 9 mars 2016, le Tribunal de police de l'arrondissement de la Broye et du Nord vaudois a libéré X._ et Y._ du chef de prévention d'escroquerie, a condamné X._, pour tentative d'escroquerie et d'infraction à la LAVS, à une peine pécuniaire de 180 jours-amende à 10 fr. le jour, avec sursis pendant 2 ans, a condamné Y._, pour tentative d'escroquerie et d'infraction à la LAVS, à une peine pécuniaire de 150 jours-amende à 20 fr. le jour, avec sursis pendant 2 ans, et a dit que les deux prénommés doivent solidairement à l'Office de l'assurance-invalidité pour le canton de Vaud (ci-après : l'Office AI) la somme de 12'970 fr. à titre de réparation du dommage subi.
B.
Par jugement du 12 septembre 2016, la Cour d'appel pénale du Tribunal cantonal du canton de Vaud a partiellement admis les appels interjetés par X._ et Y._ contre ce jugement et l'a réformé en ce sens que ces derniers ne doivent payer aucun montant à l'Office AI à titre de réparation du dommage. Elle a confirmé le jugement pour le surplus.
En substance, la cour cantonale a retenu les faits suivants.
X._ est né en 1962 en Serbie Monténégro. Il a acquis la nationalité suisse en 1987. Après avoir oeuvré pendant 18 ans pour le même employeur comme ouvrier non qualifié dans la maçonnerie, il a été victime d'un accident de travail en mars 2002. A la suite de cet accident, plusieurs tentatives de reprise du travail ont échoué et diverses investigations et essais thérapeutiques n'ont pas permis d'améliorer l'état de santé de X._. Y._, fille du prénommé, est née en 1996 en Serbie Monténégro. Le casier judiciaire des deux intéressés est vierge.
Par décision du 4 mai 2006, X._ a été mis au bénéfice d'un quart de rente d'invalidité, puis d'une rente entière à compter du 1er avril 2004, en raison d'un état dépressif qualifié de grave. Le 22 novembre 2011, le prénommé a déposé une demande d'allocation pour impotent, qui a été complétée par Y._. Dans le questionnaire idoine, X._ a précisé qu'il avait besoin d'aide pour l'ensemble des actes ordinaires de la vie, ainsi que d'une surveillance et d'un accompagnement au quotidien. Ces indications ont été maintenues lors de la visite à domicile d'une collaboratrice de l'administration, le 6 mars 2012. La description faite par X._ au sujet de son degré de dépendance a suscité certaines interrogations au sein de l'Office AI, soit de son corps médical. Des mesures d'observation ont en conséquence été mises en oeuvre entre le 12 octobre et le 20 novembre 2012. Il en est ressorti que X._ était en réalité une personne exempte de toute limitation fonctionnelle, qu'il menait une vie normale, de manière autonome. Convoqué dans les locaux de l'Office AI le 14 décembre 2012, le prénommé s'est présenté avec sa fille. Il était prostré, silencieux, tremblant et avait le regard vide. Faute de pouvoir communiquer avec l'intéressé, les collaborateurs de l'Office AI ont donné la parole à Y._. Cette dernière a décrit de manière explicite la situation vécue par son père, en indiquant qu'il était en général mutique, qu'il devait être littéralement tiré du lit chaque matin, qu'il fallait lui faire à manger et lui couper sa nourriture, l'accompagner lorsqu'il regardait la télévision et l'inciter à sortir une fois tous les deux mois afin qu'il ne se coupe pas totalement du monde. Compte tenu des renseignements rassemblés lors de l'enquête administrative, la demande d'allocation pour impotent a été rejetée par décision du 27 mai 2013. La procédure de révision du droit à la rente a, par ailleurs, suivi son cours. De nouvelles mesures d'observation ont été entreprises, entre le 3 février et le 17 juillet 2014. Les constatations faites lors de la première enquête ont été confirmées, en ce sens que l'intéressé ne manifestait aucun symptôme et menait une vie parfaitement ordinaire lorsqu'il ne se sentait pas observé. Un nouvel entretien a eu lieu avec X._ le 19 août 2014. A cette occasion, le prénommé a adopté un comportement similaire à celui qu'il avait eu lors de la rencontre du 14 décembre 2012. Y._ a derechef rappelé que son père sortait très rarement et a pour le reste tenu les mêmes propos que lors de l'entretien précédent.
Le 23 octobre 2014, l'Office AI a rendu une décision supprimant la rente d'invalidité avec effet rétroactif au 1er octobre 2012. Le 26 septembre 2014, il a déposé plainte pénale et s'est constitué partie civile. Il a chiffré ses prétentions à 12'970 fr., cette somme correspondant aux honoraires du détective privé qui avait été mandaté pour mettre en oeuvre les mesures d'observation concernant X._.
C.
L'Office AI forme un recours en matière pénale au Tribunal fédéral contre le jugement du 12 septembre 2016, en concluant, avec suite de frais, principalement à sa réforme en ce sens que X._ et Y._ lui doivent solidairement la somme de 12'970 fr. à titre de réparation du dommage. Subsidiairement, il conclut à son annulation et au renvoi de la cause à l'autorité précédente pour nouvelle décision.

Considérant en droit :
1.
Le Tribunal fédéral examine d'office et librement la recevabilité des recours qui lui sont soumis (<ref-ruling> consid. 1 p. 197).
1.1. Selon l'art. 81 al. 1 let. a et b ch. 5 LTF, la partie plaignante qui a participé à la procédure de dernière instance cantonale est habilitée à recourir au Tribunal fédéral, si la décision attaquée peut avoir des effets sur le jugement de ses prétentions civiles. Constituent des prétentions civiles celles qui sont fondées sur le droit civil et doivent en conséquence être déduites ordinairement devant les tribunaux civils. Il s'agit principalement des prétentions en réparation du dommage et du tort moral au sens des <ref-law> (<ref-ruling> consid. 1.1 p. 4).
En l'espèce, le recourant a pris part à la procédure de dernière instance cantonale. Dans ce cadre, il a pris des conclusions tendant à ce que les intimés soient condamnés à lui payer la somme de 12'970 fr., correspondant aux honoraires du détective privé qui a été mandaté pour observer l'intimé 1 dans le cadre de l'instruction relative à sa demande d'allocation pour impotent, puis de celle concernant la suppression de sa rente d'invalidité. En substance, le recourant soutient que, par leur comportement illicite et fautif, les intimés lui auraient causé un dommage de 12'970 fr., dont il demande la réparation sur la base de l'<ref-law>.
Il convient de déterminer si le recourant peut se prévaloir de "prétentions civiles" au sens de l'art. 81 al. 1 let. b ch. 5 LTF.
1.2. Le domaine des assurances sociales est régi par le principe général de la gratuité de la procédure; sauf base légale expresse, les frais administratifs liés à la mise en oeuvre de l'assurance - notamment les frais administratifs engendrés par une procédure de restitution de prestations - doivent être assumés par l'assureur (arrêt 9C_258/2010, 9C_265/2010 du 30 novembre 2011 consid. 5.6). Or, la législation en matière d'assurance-invalidité ne contient aucune disposition prévoyant que l'assureur puisse facturer des frais administratifs aux assurés. En outre, à la suite de l'arrêt rendu le 18 octobre 2016 par la CourEDH ( Vukota-Bojic c. Suisse; 61838/10), le Tribunal fédéral a modifié sa jurisprudence (cf. <ref-ruling>) et a jugé que l'art. 59 al. 5 de la loi fédérale sur l'assurance-invalidité (LAI; RS 831.20) ne constituait pas une base légale suffisante pour procéder à l'observation d'un assuré par l'intermédiaire d'un détective privé (arrêts 9C_385/2017 du 21 août 2017 consid. 3.2; 9C_806/2016 du 14 juillet 2017 consid. 4 destiné à la publication). La disposition en question ne saurait donc, à plus forte raison, permettre la mise des frais d'une telle observation à la charge d'un assuré. L'art. 45 al. 3 de la loi fédérale sur la partie générale du droit des assurances sociales (LPGA; RS 830.1), applicable en matière d'assurance-invalidité (<ref-law>), permet certes à l'assureur de mettre les frais à la charge d'une partie qui empêche ou entrave l'instruction de manière inexcusable et après sommation et indication des conséquences, mais, comme l'admet d'ailleurs le recourant, les conditions d'application de cette disposition ne sont pas remplies en l'espèce. A défaut de toute base légale en matière de droit des assurances sociales, il paraît douteux que le recourant puisse faire valoir les prétentions en question contre les intimés en fondant celles-ci sur l'<ref-law>.
1.3. Aux termes de l'<ref-law>, en qualité de partie plaignante, le lésé peut faire valoir des conclusions civiles déduites de l'infraction par adhésion à la procédure pénale. Il s'agit des prétentions que le lésé peut faire valoir non seulement dans le cadre d'un procès civil ordinaire, mais encore, par adhésion, dans celui de la procédure pénale (cf. Message du 21 décembre 2005 relatif à l'unification du droit de la procédure pénale, FF 2006 1151). En sont exclues les prétentions qui relèvent, par nature, du droit public (cf. NIKLAUS SCHMID, Schweizerische Strafprozessordnung, Praxiskommentar, 2e éd. 2013, n° 2 ad <ref-law>; JEANDIN/MATZ, in Commentaire romand, Code de procédure pénale suisse, 2011, n° 19 ad <ref-law>). Or, la mise de frais d'instruction à la charge d'un assuré - telle que prévue par exemple à l'<ref-law> - doit se faire par le biais d'une décision administrative sujette à recours (cf. UELI KIESER, ATSG-Kommentar, 3e éd. 2015, n° 41 ad <ref-law>).
D'éventuelles prétentions du recourant en matière de frais d'instruction relèveraient dès lors du droit public. En outre, les frais en question ne découlent pas directement de la tentative d'escroquerie et d'infraction à la LAVS pour laquelle les intimés ont été condamnés, mais ont été engagés par le recourant afin qu'il puisse statuer sur la demande d'allocation pour impotent et la suppression de la rente d'invalidité de l'intimé 1. En définitive, les frais dont le recourant a demandé le paiement par adhésion à la procédure pénale ne constituent pas des prétentions de droit civil découlant directement de la commission des infractions. Le recours est ainsi irrecevable.
2.
Il peut être statué sans frais. Les intimés, qui n'ont pas été invités à se déterminer, ne sauraient prétendre à des dépens.

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce :
1.
Le recours est irrecevable.
2.
Il n'est pas perçu de frais judiciaires.
3.
Le présent arrêt est communiqué aux parties, au Ministère public central du canton de Vaud et à la Cour d'appel pénale du Tribunal cantonal du canton de Vaud.
Lausanne, le 1er septembre 2017
Au nom de la Cour de droit pénal
du Tribunal fédéral suisse
Le Président : Denys
Le Greffier : Graa