Sachverhalt:
A.
A.a. Die Grand Casino X._ AG teilte A._ am 9. März 2012 mit, dass sie nicht mehr zum Spiel zugelassen werde und sie sich als Spielbank aufgrund der Umstände (häufige Besuche, hohe Einsätze, spezifisches Spielverhalten usw.) veranlasst sehe, eine allgemeine Spielsperre gegen sie zu treffen. A._ gelangte hiergegen wiederholt an die Grand Casino X._ AG, wobei sie erfolglos geltend machte, die Spielsperre sei ungerechtfertigt und deshalb aufzuheben.
A.b. Am 23. April 2012 teilte die Eidgenössische Spielbankenkommission (ESBK) A._ auf Anfrage hin mit, dass sie nach Konsultation ihres Dossiers keine Veranlassung sehe, aufsichtsrechtlich gegen die Grand Casino X._ AG vorzugehen; es liege in der ausschliesslichen Kompetenz der Spielbanken, Spielsperren anzuordnen bzw. wieder aufzuheben. Deren Vorgehen könne auf dem Zivilrechtsweg der richterlichen Prüfung zugeführt werden.
A.c. Am 16. August 2012 ersuchte der Rechtsvertreter von A._ die Grand Casino X._ AG darum, die Spielsperre verfügungsweise "unverzüglich" aufzuheben, worauf diese ihn am 27. August 2012 wissen liess, dass sie sich mangels Verfügungsbefugnis für unzuständig erachte. Gegen das entsprechende Schreiben gelangte A._ an das Bundesverwaltungsgericht und die Schlichtungsbehörde U._ (zivilrechtliches Verfahren). Am 23. Oktober 2012 überwies das Bundesverwaltungsgericht die Angelegenheit an die Eidgenössische Spielbankenkommission, deren Zuständigkeit es als "wahrscheinlich" erachtete; es sei aber an dieser, ihre Kompetenz im Einzelnen noch zu prüfen. Am 4. März 2013 beschränkte die ESBK das Verfahren auf die Frage ihrer Zuständigkeit als Beschwerdebehörde und verneinte diese am 1. Mai 2013. Soweit sie das Ersuchen als aufsichtsrechtliche Anzeigen entgegennahm, gab sie ihm keine Folge. Die ESBK auferlegte A._ die Verfahrenskosten von Fr. 4'400.-- und verpflichtete sie, der Grand Casino X._ AG eine Parteientschädigung von Fr. 5'338.65 auszurichten.
B.
B.a. A._ gelangte am 5. Juni 2013 hiergegen an das Bundesverwaltungsgericht. Sie beantragte diesem, die entsprechende Verfügung aufzuheben und die Sache zuständigkeitshalber an die ESBK zurückzuweisen; allenfalls sei diese bzw. die Grand Casino X._ AG anzuhalten, innert gerichtlich zu bestimmender Frist die Spielsperre gegen sie aufzuheben und sämtliche Daten im Register der Spielbanken zu löschen; subeventuell seien die ihr auferlegten Verfahrens- und Prozesskosten "nach gerichtlichem Ermessen" angemessen herabzusetzen. A._ machte geltend, die ESBK sei zu Unrecht auf ihre Beschwerde nicht eingetreten; die Grand Casino X._ AG sei von Gesetzes wegen mit dem Vollzug der Schutzmassnahme der Spielsperre, welche schweizweit wirke, "beliehen"; ihr komme hinsichtlich der Anordnung bzw. Aufhebung von Spielsperren von Gesetzes wegen Verfügungskompetenz zu, weshalb das Schreiben vom 27. August 2012 bei der ESBK habe angefochten werden können.
B.b. Mit Urteil vom 12. März 2014 hiess das Bundesverwaltungsgericht die Beschwerde teilweise gut, soweit es darauf eintrat: Es ging davon aus, dass das Schreiben der Grand Casino X._ AG vom 27. August 2012 keine Verfügung bildete und damit auch nicht Anfechtungsobjekt in einem Verwaltungsbeschwerdeverfahren sein konnte. Es brauche nicht definitiv geklärt zu werden, ob den Spielbanken in Bezug auf die Aussprechung und Aufhebung von Spielsperren eine öffentlich-rechtliche Aufgabe übertragen worden sei, da die Zuständigkeit der ESBK als Beschwerdebehörde zusätzlich voraussetzen würde, dass die Spielbanken berechtigt wären, diesbezüglich per Verfügung hoheitlich zu entscheiden, was nicht der Fall sei; die Rechtsvergleichung und die Materialen ergäben, dass der Gesetzgeber allfällige Streitigkeiten um die Spielsperren auf den Zivilweg habe verweisen wollen. Die von der ESBK erhobene Spruchgebühr in der Höhe von Fr. 4'400.-- entspreche den gesetzlichen Vorgaben und verletze weder das Äquivalenz- noch das Kostendeckungsprinzip. Hingegen habe die ESBK zu Unrecht der Grand Casino X._ AG eine Parteientschädigung zugesprochen: Für eine solche fehle die erforderliche gesetzliche Grundlage; <ref-law> (SR 172.021) finde keine Anwendung, da dieser sich auf Beschwerde- und nicht auf erstinstanzliche Verfahren beziehe. Das Bundesverwaltungsgericht auferlegte die Kosten seines Verfahrens im Umfang von Fr. 3'000.-- A._ und für Fr. 1'000.-- der Grand Casino X._ AG. Sie verpflichtete A._ zudem, dieser eine (reduzierte) Parteientschädigung von Fr. 870.-- auszurichten.
C.
C.a. A._ beantragt vor Bundesgericht (im Verfahren 2C_386/2014), das Urteil des Bundesverwaltungsgerichts aufzuheben und die Sache zur Neubeurteilung an dieses zurückzuweisen mit der Anordnung, auf ihre Beschwerde einzutreten und einen materiellen Entscheid zu fällen bzw. durch die ESBK fällen zu lassen. Die einzelnen Abgrenzungskriterien ergäben, dass die Spielsperre öffentlich-rechtlicher und nicht zivilrechtlicher Natur sei. Die ESBK sei als Aufsichtsbehörde zur Beurteilung der Beschwerde gegen die "Verfügung" der Grand Casino X._ AG vom 27. August 2012 zuständig, weil mit dieser ihre Rechte und Pflichten über das einzelne Casino hinaus hoheitlich festgelegt worden seien.
C.b. Das Bundesverwaltungsgericht hat darauf verzichtet, sich vernehmen zu lassen. Die ESBK beantragt, die Beschwerde abzuweisen: Die Grand Casino X._ AG verfüge über eine Konzession, die sie berechtige bzw. verpflichte, eine Spielbank zu betreiben. Dabei habe sie die gesetzlichen Vorschriften einzuhalten, wozu unter anderem auch gehöre, ein Sozialkonzept zur Erfassung von gefährdeten Spielerinnen und Spielern zu erstellen und durchzusetzen. Öffentlich-rechtlich sei die Beziehung zwischen Konzedent und Konzessionär, nicht hingegen jene zwischen dem Konzessionär und dem spielenden Dritten; über Streitigkeiten in diesem Zusammenhang hätten die Zivilgerichte zu befinden.
C.c. Die Grand Casino X._ AG macht geltend, dass auf die Beschwerde nicht einzutreten sei: Sie habe mangels entsprechender Kompetenzen nie verfügt; wenn eine Verfügung vorläge, wäre diese in der Spielsperre vom 9. März 2012 zu sehen, weshalb A._ ihre Beschwerden zu spät eingereicht habe. Im Übrigen sei das Bundesverwaltungsgericht zu Recht davon ausgegangen, dass sie keinerlei Verfügungskompetenz besitze und dies selbst dann nicht, wenn angenommen würde, sie erfülle eine öffentlich-rechtliche Aufgabe, was die Vorinstanz nicht definitiv habe entscheiden müssen, da die Verfügungskompetenz kumulativ zur Erfüllung der öffentlich-rechtlichen Aufgabe hinzuzukommen habe.
C.d. A._ hielt an ihren Ausführungen und Anträgen fest: ESBK und Gegenpartei würden die schweizweite Wirkung der Spielsperre verkennen. Der Gesetzgeber könne den Rechtsweg wählen, tue er dies indessen nicht, habe das Gericht den Gesetzestext nach den allgemeinen Regeln auszulegen. Es bestehe heute mit dem Gang über die Zivilgerichte kein praktikabler Rechtsschutz, was gegen <ref-law> (Rechtsweggarantie) verstosse. Im Übrigen könne man die Spielsperre nicht von der damit verbundenen gesetzlichen Folge, dem allgemeinen, schweizweiten Spielverbot trennen, wie dies die ESBK zu tun versuche.
D.
D.a. Die Grand Casino X._ AG beantragt - im Verfahren 2C_394/2014 -, den Entscheid des Bundesverwaltungsgerichts vom 12. März 2014 aufzuheben, soweit darin davon abgesehen wurde, die ihr von der ESBK zugestandene Parteientschädigung von Fr. 5'338.65 zu schützen; die Verfahrenskosten von Fr. 4'000.-- seien zudem vollumfänglich A._ zu überbinden, allenfalls habe dies im Umfang von Fr. 3'900.-- zu deren Lasten und für Fr. 100.-- zu ihren Lasten zu geschehen. Für das Verfahren vor dem Bundesverwaltungsgericht müsse sie von A._ im Umfang von Fr. 3'981.95 (inkl. MwSt) (allenfalls anteilsmässig) von Fr. 3'882.40 entschädigt werden. Die Grand Casino X._ AG macht geltend, A._ habe die ESBK als Beschwerdeinstanz gegen eine angebliche Verfügung der Spielbank angerufen, weshalb die allgemeinen Kosten- und Entschädigungsregeln für das Beschwerdeverfahren anzuwenden gewesen seien (Art. 64 Abs. 1 bzw. <ref-law>).
D.b. Das Bundesverwaltungsgericht und die ESBK haben darauf verzichtet, sich zur Beschwerde 2C_394/2014 vernehmen zu lassen. A._ beantragt, die Beschwerde der Grand Casino X._ AG abzuweisen. Eine Parteientschädigung sei nur in Beschwerdeverfahren geschuldet; die ESBK habe erstinstanzlich verfügt. Nach der bundesgerichtlichen Praxis sei <ref-law> nicht auf erstinstanzliche Verwaltungsverfahren anwendbar; im Übrigen habe sich das Bundesverwaltungsgericht im Rahmen seines Beurteilungsspielraums gehalten.

Erwägungen:
1.
1.1. Die beiden Beschwerden in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten richten sich gegen dasselbe Urteil des Bundesverwaltungsgerichts vom 12. März 2014 (B-3223/2013). In beiden Verfahren stehen sich die gleichen Parteien gegenüber und die aufgeworfenen Rechtsfragen sind eng miteinander verbunden. Es rechtfertigt sich deshalb, die Verfahren 2C_386/2014 und 2C_394/2014 zusammenzulegen und in einem gemeinsamen Urteil zu behandeln.
1.2. Verfahrensgegenstand im Dossier 2C_386/2014 bildet die Frage, ob die Rechtmässigkeit der Anordnung bzw. der Nichtaufhebung einer Spielsperre im zivilrechtlichen Klage- oder im verwaltungsrechtlichen Beschwerdeverfahren zu prüfen ist. Nicht zu beurteilen hat das Bundesgericht, ob die Grand Casino X._ AG die Spielmöglichkeiten von A._ in der Sache selber zu Recht beschränkt hat bzw. ob nach wie vor Anlass dafür besteht, das entsprechende Verbot aufrecht zu erhalten. Auf die diesbezüglichen Ausführungen in den Eingaben der Parteien ist nicht weiter einzugehen, da sie ausserhalb des Streitgegenstands liegen; die entsprechenden Überlegungen der ESBK in ihrer Verfügung vom 1. Mai 2013 sind aufsichtsrechtlicher Natur und als solche nicht anfechtbar (KIENER/RÜTSCHE/KUHN, Öffentliches Verfahrensrecht, 2. Aufl. 2015, N. 2050).
1.3. Unberechtigt ist der Einwand, dass eine allfällige Verweisung auf den zivilrechtlichen Rechtsweg, weil nicht effizient, die verfahrensrechtlichen Garantien von <ref-law> verletze (soweit die entsprechende Verfassungsrüge überhaupt hinreichend begründet erhoben wird) : Unabhängig davon, ob die Zivilgerichte oder die Spielbanken und danach die ESBK bzw. das Bundesverwaltungsgericht zu entscheiden haben, ist bei beiden Lösungen die verfassungsrechtlich geforderte richterliche Kontrolle und die Möglichkeit gewahrt, wirksamen Rechtsschutz zu erlangen (vgl. BERNHARD WALDMANN, in: BSK Bundesverfassung, 2015, N. 16 zu <ref-law>; Urteil 1C_471/2012 vom 23. Mai 2013 E. 4.3). Es kommt dabei nicht darauf an, welche Behörde zur Beurteilung allenfalls geeigneter erscheint bzw. welcher die damit verbundene Mehrbelastung (derzeit bestehen rund 43'094 Spielsperren [2014]) eher zugemutet werden könnte; abzustellen ist darauf, wie der Gesetzgeber die Frage geregelt hat. Geht dies aus dem Gesetzestext nicht hinreichend klar hervor, ist die richtige Lösung im Rahmen der anerkannten Abgrenzungskriterien zwischen privatem und öffentlichem Recht auslegungsweise und methodenpluralistisch zu ermitteln (vgl. unten E. 2).
1.4. Streitgegenstand des Verfahrens 2C_394/2014 bildet die Problematik der Anwendbarkeit von <ref-law> in einem Fall, in dem die ESBK entschied, nachdem das Bundesverwaltungsgericht in einem Zwischenentscheid seine Zuständigkeit verneint und auf jene der ESBK als Vorinstanz verwiesen hatte. Die im Rahmen eines Zwischenentscheids ergangene Kostenregelung kann an sich nur zusammen mit dem Endentscheid infrage gestellt werden (vgl. <ref-ruling> E. 2); dies gilt indessen dann nicht, wenn der Zwischenentscheid - wie die hier aufgeworfene Zuständigkeitsproblematik - vorgängig von Gesetzes wegen separat zu klären ist und hernach nicht mehr beanstandet werden kann (vgl. <ref-law>). Um die Frage der Bundesrechtskonformität der verschiedenen Kosten- und Entschädigungsregelungen beurteilen zu können (vgl. unten E. 8), ist die umstrittene Zuständigkeitsfrage vorweg zu prüfen.
1.5.
1.5.1. Die Grand Casino X._ AG bestreitet die Eintretensvoraussetzungen und macht geltend, die Eingabe von A._ sei vor den Vorinstanzen verspätet eingereicht worden. Falls überhaupt ein Anfechtungsobjekt vorliege, könne dieses nur in der Spielsperre vom 9. März 2012 gesehen werden. Diese sei aber nicht bzw. zu spät angefochten worden, sodass die Vorinstanzen auf die Rechtsmittel gar nicht hätten eintreten dürfen.
1.5.2. Die Auffassung überzeugt nicht: Die Beschwerdeführerin 1 hat wiederholt um eine Aufhebung der Spielsperre ersucht und über ihren Anwalt die Grand Casino X._ AG eingeladen, diesbezüglich eine Feststellungsverfügung zu treffen, worauf ihr die Grand Casino X._ AG am 27. August 2012 mitteilte, hierfür unzuständig zu sein. Im Folgenden wurde die Beschwerdeführerin von einer Behörde an die andere verwiesen, weshalb sie die verschiedenen zivil- und verwaltungsrechtlichen Verfahren parallel einleitete und diesbezüglich jeweils die Fristen einhielt. Sie machte mit dem Standpunkt, dass die Grand Casino X._ AG hätte verfügen müssen, bei der verwaltungsrechtlichen Aufsichtsbehörde als Rechtsmittelinstanz inhaltlich eine formelle Rechtsverweigerung geltend, wozu sie befugt war. Eine solche Beanstandung kann - ein Verhalten nach Treu und Glauben vorbehalten - auch ausserhalb der Beschwerdefristen erfolgen (vgl. Art. 46a bzw. <ref-law>; KIENER/RÜTSCH/KUHN, a.a.O., N. 1315; RHINOW ET AL. [HRSG.], Öffentliches Prozessrecht, 2. Aufl. 2010, N. 1606; MARKUS MÜLLER, in: Auer/Müller/Schindler, VwVG, 2008, N. 10 zu <ref-law>).
2.
Um zu beurteilen, ob gegen den Entscheid, eine Spielsperre anzuordnen bzw. nicht aufzuheben, der privat- oder verwaltungsrechtliche Rechtsweg offen steht, muss mit Blick auf das Legalitätsprinzip in erster Linie auf die vom Gesetzgeber spezialgesetzlich vorgegebene Lösung abgestellt werden. Nur wenn die Auslegung der entsprechenden Regelung Zweifel fortbestehen lässt (allgemein zur Gesetzesauslegung: <ref-ruling> E. 4 mit Hinweisen), ist im Sinne eines objektivierten Methodenpluralismus auf die verschiedenen in der Praxis entwickelten weiteren Kriterien zur Abgrenzung von privat- oder verwaltungsrechtlicher Natur einer Bestimmung zurückzugreifen. Diese sind dann im Sinne einer wertenden Abwägung sachbezogen und pragmatisch miteinander zu kombinieren (<ref-ruling> E. 4.1 S. 138 mit weiteren Hinweisen; WIEDERKEHR/RICHLI, Praxis des allgemeinen Verwaltungsrechts, Bd. I, 2012, N. 1 ff. und 121 ff.), um eine verlässliche Aussage über die Rechtsnatur der Norm bzw. das dieser zugrunde liegende Rechtsverhältnis machen zu können (vgl. <ref-ruling> E. 1.1 S. 401). Dabei ist zu berücksichtigen, ob der umstrittene Rechtssatz ausschliesslich oder vorwiegend privaten oder öffentlichen Interessen dient (Interessentheorie; <ref-ruling> E. 4.2 S. 138 ff.; WIEDERKEHR/RICHLI, a.a.O., N. 44 ff.), er die Erfüllung öffentlicher Aufgaben oder die Ausübung einer öffentlichen Tätigkeit zum Gegenstand hat (Funktionstheorie; <ref-ruling> E. 4.3 S. 140 ff.; WIEDERKEHR/ RICHLI, a.a.O., N. 57 ff.), die handelnde Organisation dem Privaten als Träger hoheitlicher Gewalt gegenüber tritt (Subordinationstheorie; <ref-ruling> E. 4.4 S. 152 ff.) oder die Norm zivil- bzw. öffentlichrechtliche Wirkungen oder Folgen nach sich zieht (modale Theorie; vgl. <ref-ruling> E. 4.5 S. 155 ff. mit Hinweisen; WIEDERKEHR/RICHLI, a.a.O., N. 80 ff.). Regelmässig nur von untergeordneter Bedeutung sind je nach Zweck und Anlass der Abgrenzung (WIEDERKEHR/RICHLI, a.a.O., N. 3) die rein formellen Kriterien wie der Umstand, ob die Regelung als öffentliches oder privates Recht erlassen wurde (Rechtsquellentheorie), in welcher Rechtsform die Behörde allenfalls gehandelt hat (Rechtsformentheorie), oder ob der anzuwendenden Norm zwingender Charakter zukommt oder nicht (WIEDERKEHR/RICHLI, a.a.O., N. 4).
3.
3.1. Das Glückspiel war - die Lotterien vorbehalten - in der Schweiz lange Zeit verboten bzw. eng beschränkt (vgl. zur geschichtlichen Entwicklung: SCHERRER/MURESAN, Handbuch zum schweizerischen Lotterie und Wettrecht, 2014, S. 1 ff.). Nach <ref-law> in der Fassung vom 11. März 2012 erlässt der Bund heute unter Berücksichtigung der Interessen der Kantone die Vorschriften über die Geldspiele; für die Errichtung und den Betrieb von Spielbanken erteilt er Konzessionen (<ref-law>). Bund und Kantone müssen von Verfassungs wegen den Gefahren, die von den Geldspielen ausgehen, Rechnung tragen und durch Gesetzgebung und Aufsichtsmassnahmen diesbezüglich einen angemessenen Schutz sicherstellen (<ref-law>). Sowohl für den Bund wie die Kantone bestehen im öffentlichen Interesse fiskalisch begründete verfassungsrechtliche Vorgaben über die Verwendung der ihnen aus dem Spielbetrieb zufliessenden Mittel (Spielbankenabgabe [<ref-law>: AHV/IV]; Zweckbindung der Lotterieeinnahmen [<ref-law>: gemeinnützige Zwecke]; vgl. BENNO SCHNEIDER, in: St. Galler Kommentar zur BV, 3. Aufl. 2014, N. 13 zu <ref-law>).
3.2. Die Gesetzgebungskompetenz des Bundes umfasst gestützt auf das entsprechende rechtliche Monopol implizit die Ermächtigung, gegebenenfalls vom Grundsatz der Wirtschaftsfreiheit abzuweichen (vgl. <ref-ruling> E. 2.2 S. 267 f.). Der Bund hat im Bundesgesetz vom 18. Dezember 1998 über Glücksspiele und Spielbanken (Spielbankengesetz [SBG; SR 935.52]) von seiner Regelungskompetenz Gebrauch gemacht und für die Spielbanken das verfassungsrechtlich vorgegebene Konzessionssystem eingeführt und konkretisiert (vgl. TSCHANNEN/ ZIMMERLI/MÜLLER, Allgemeines Verwaltungsrecht, 4. Aufl. 2014, § 45 N. 12 [Konzessionshoheit]). Auf die Erteilung der wirtschaftspolitischen Bewilligungen (Standort/Betrieb) besteht kein Rechtsanspruch (vgl. SCHNEIDER, a.a.O., N. 10 zu <ref-law>). Das in der Verfassung vorgesehene Konzessionssystem schliesst das Betreiben von Spielbanken durch den Bund selber indessen aus (lediglich sog. "Aufsichtskonzession"; vgl. TSCHANNEN/ZIMMERLI/MÜLLER, A.A.O., § 45 N. 18; MATTHIAS OESCH, in: Waldmann/Belser/Epiney [Hrsg.], Basler Kommentar zur BV, 2015, N. 18 ff. zu Art. 106 mit Hinweisen).
3.3. Das rechtliche Verhältnis zwischen dem konzessionierenden Bund (bzw. der Eidgenössischen Spielbankenkommission als Aufsichts- und Kontrollbehörde) und den einzelnen Spielbankenbetreibern ist öffentlich-rechtlicher Natur. Die Kommission beaufsichtigt die Spielbanken und überwacht die Einhaltung der gesetzlichen Vorschriften durch diese; sie erlässt - so das Gesetz - die hierzu notwendigen "Verfügungen" (<ref-law>); dazu gehört nach <ref-law> insbesondere auch die Kontrolle, ob die Spielbanken ihre Sicherheits- und Sozialkonzepte einhalten. Wird das Gesetz verletzt, so "verfügt" sie die Massnahmen, die zur Herstellung des ordnungsgemässen Zustandes und zur Beseitigung der Misstände notwendig sind (<ref-law>). Sie kann überdies Verwaltungssanktionen aussprechen (<ref-law>), falls die Konzessionäre zu ihrem Vorteil gegen die Konzession verstossen bzw. verstossen haben, was praxisgemäss der Fall sein kann, wenn sie es unterlassen, eine gefährdete Person im Rahmen von <ref-law> rechtzeitig vom Spielbetrieb fernzuhalten (<ref-ruling> E. 5 S. 397 ff.; Urteil 2C_949/2010 vom 18. Mai 2011 E. 3 - 6).
4.
4.1. Einigkeit herrscht zwischen den Parteien darüber, dass die einzelnen Spielvorgänge als solche jeweils auf einem privatrechtlichen (Glücksspiel-) Vertrag beruhen (vgl. zum privatrechtlichen Nutzungs- bzw. Kundenverhältnis bei der Bahn: <ref-ruling> E. 2 und 3, 457 E. 6 S. 465 ff.). Ein Anspruch auf den Abschluss eines solchen besteht wegen der privatrechtlichen Vertragsfreiheit regelmässig nicht; die Spielbanken können potenzielle Spieler deshalb mit einem privatrechtlichen Hausverbot belegen oder sich anderweitig weigern, einen Besucher zum Spielen (bzw. zum Wiederspielen) zuzulassen (vgl. <ref-law>). Ein sich hieran knüpfender Rechtsstreit über einen allfälligen Kontrahierungszwang ist zivilrechtlicher Natur (vgl. <ref-ruling> ff.).
4.2. Umstritten ist, wie es sich in jenen Fällen verhält, in denen die Spielbank den Spieler - wie hier - gestützt auf <ref-law> aussperrt (und nicht nur ein auf ihren Betrieb beschränktes Hausverbot erlässt), um nicht ihre spielbanken- bzw. konzessionsrechtlichen Sorgfaltspflichten zu verletzen und sich damit dem Risiko einer aufsichtsrechtlichen Sanktion seitens der ESBK auszusetzen (indirekte [konzessionsrechtliche] Einschränkung des privaten Benutzerverhältnisses zum Schutz des Konsumenten/Verbrauchers).
4.2.1. Die Beschwerdeführerin 1 macht geltend, die Sperre diene dazu die Spielsucht zu verhüten und den sozialschädlichen Auswirkungen des Spielbetriebs entgegenzuwirken, was gemäss Funktions- und Interessentheorie für den öffentlich-rechtlichen Charakter der Massnahme spreche. Dasselbe ergäben die weiteren Auslegungsmethoden (teleologische, systematische und modale Überlegungen) : Die Spielbanken seien berechtigt und verpflichtet Spielsperren anzuordnen oder aufzuheben; diese seien in das entsprechende Register einzutragen und damit den anderen Spielbanken mitzuteilen; die Spielbanken nähmen damit öffentlich-rechtliche Vollzugsaufgaben wahr und träten den Spielern gegenüber hoheitlich auf. Gegen das Vorliegen einer privatrechtlichen Regelung spreche der Umstand, dass die Spielsperre für alle Spielbanken gelte und nicht nur für die anordnende im Rahmen von deren Hausrecht bzw. des jeweiligen Spielvertrags. Die ESBK sei deshalb als Aufsichtsbehörde zur Beurteilung der Beschwerde gegen die Verfügung der Grand Casino X._ AG vom 27. August 2012 zuständig, weil mit dieser ihre Rechte und Pflichten über das einzelne Casino hinaus hoheitlich festgelegt worden seien. Die Spielsperre führe automatisch zu einem schweizweiten Spielverbot. Die einzelne Spielbank sei bezüglich der Spielsperren als andere Instanz oder Organisation ausserhalb der Bundesverwaltung in Erfüllung der ihnen übertragenen öffentlich-rechtlichen Aufgaben befugt und verpflichtet, hoheitlich zu handeln.
4.2.2. Die beteiligten Behörden und die Grand Casino X._ AG widersprechen dem und verweisen auf den zivilrechtlichen Rechtsweg, da die Spielsperre nicht anders als das Hausverbot (<ref-law>) im Zusammenhang mit dem zivilrechtlichen Persönlichkeitsschutz zu sehen sei. Dem Gesetzgeber stehe es frei, zu entscheiden, ob er die Streitregelung dem öffentlichen oder dem privaten Recht unterstellen wolle, bzw. wen er auf welche Weise und gestützt auf welche Normen - öffentlichrechtlicher oder privatrechtlicher Natur - mit dem Vollzug des Rechts betraue. Aus den Gesetzesberatungen und den Erläuterungen zum Entwurf des geplanten Geldspielgesetzes ergebe sich, dass es der ausdrückliche Wille des Gesetzgebers gewesen sei, die Spielsperre als privatrechtlichen Akt an den privatrechtlich ausgestalteten Spielvertrag zu knüpfen und entsprechende Streitigkeiten ebenfalls der Zivilgerichtsbarkeit zu übertragen. Die entsprechende Ordnung mache Sinn und habe sich in der Praxis bewährt. Nicht entscheidend sei, dass der Gesetzgeber auch eine andere - allenfalls sogar geeignetere - Lösung hätte treffen können (vgl. <ref-ruling> E. 3b S. 154). Die Spielsperre stelle als Abbruch der Vertragsbeziehungen einen privatrechtlichen Akt dar. Eine Verfügungskompetenz sei hierfür weder spielbankenrechtlich vorgesehen noch von der Sache her erforderlich. Dass der Gesetzgeber einen Unterschied zwischen dem Hausverbot und der Spielsperre mache, bedeute nicht, dass den Spielbanken bei der Spielsperre hoheitliche Verfügungskompetenzen eingeräumt werden sollten. Der Gesetzgeber habe mit der Einführung der Spielsperre ein neues (zusätzliches) privatrechtliches Instrument geschaffen. Das Schrifterfordernis und die Begründungspflicht dienten dazu, die Beweislage für das Zivilverfahren zu sichern. Im Gesetzgebungsverfahren hätten sich Verwaltung und vorberatende Kommissionen klar dafür entschieden, dass die Spielbank die Sperre nicht verfüge und allfällige Streitigkeiten daraus durch die Zivilgerichte zu beurteilen seien. Bei der Spielsperre nach <ref-law> handle es sich um ein (verallgemeinertes) Kontrahierungsverbot gegenüber gewissen schutzbedürftigen Personen in deren Interesse.
5.
5.1. Als Verfügung gelten autoritative, einseitige, individuell-konkrete Anordnungen der Behörden, die in Anwendung von Verwaltungsrecht ergehen, auf Rechtswirkungen ausgerichtet, verbindlich und erzwingbar sind (vgl. <ref-ruling> E. 6.1; <ref-ruling> E. 4.3; <ref-ruling> E. 2.2). Der Akt muss von einer Behörde ausgehen, wobei als solche Organisationseinheiten gelten, die unmittelbar mit der Erfüllung von Verwaltungsaufgaben des Bundes betraut sind; es kann sich dabei auch um Instanzen oder Organisationen ausserhalb der Bundesverwaltung handeln, soweit diese in Erfüllung ihnen übertragener öffentlichrechtlicher Aufgaben des Bundes tätig werden (<ref-law>). Auch Private können Staatsaufgaben wahrnehmen und zu deren Erfüllung mit Verfügungsmacht betraut sein (vgl. PIERRE TSCHANNEN, in: Auer/Müller/Schindler [Hrsg.], a.a.O., N. 23 zu <ref-law>; siehe auch <ref-law>; GIOVANNI BIAGGINI, in: St. Galler Kommentar zur BV, 2014, N. 26 ff. und 32 ff. zu <ref-law>).
5.2. In diesem Fall muss die Delegation indessen, da es um die Ausübung einer an sich dem Staat vorbehaltenen Aufgabe geht, auf einer hinreichend klaren gesetzlichen Grundlage beruhen. Die Übertragung der Aufgabe kann zwar implizit auch die für deren Erfüllung erforderliche Verfügungskompetenz enthalten, indessen gilt dies nur, wenn (1) die gesetzliche Regelung dem nicht entgegensteht und (2) die Verfügungskompetenz sich zur Wahrnehmung der übertragenen Aufgabe als sachnotwendig erweist. Lässt sich dem (formellen) Gesetz (vgl. <ref-ruling> E. 5.1 S. 158 f.) keine definitive Lösung über die Verfügungskompetenz und deren Umfang bzw. Anwendungsbereich entnehmen, darf auf eine solche Befugnis nur ausnahmsweise und bloss aufgrund einer ausdrücklichen, von der reinen Aufgabenübertragung losgelösten gesetzlichen Grundlage geschlossen werden, da die Übertragung hoheitlicher Befugnisse an Private nicht leichthin vermutet werden kann (<ref-ruling> E. 5.1 S. 159; <ref-ruling> E. 6 S. 412 ff. mit Hinweisen). Die verwaltungsexterne Instanz muss mit anderen Worten (1) in Erfüllung einer ihr übertragenen öffentlich-rechtlichen Aufgabe des Bundes handeln und (2) gleichzeitig befugt sein, dabei im Rahmen von <ref-law> von einer ihr durch das Gesetz eingeräumten hoheitlichen (Verfügungs-) Befugnis Gebrauch zu machen (vgl. das Urteil 2C_715/2008 vom 15. April 2009 E. 3 mit Hinweisen; <ref-ruling> E. 7.4 S. 416 ff.); bloss in diesem Fall steht gegen ihren Akt der verwaltungsrechtliche Beschwerdeweg offen (Art. 44 i.V.m. <ref-law>).
5.3. Der Beschwerdeführerin 1 ist zuzugestehen, dass der Umstand, dass die Spielsperre nach <ref-law> automatisch ein Spielverbot für alle anderen Spielbanken mitumfasst (<ref-law>), dafür sprechen könnte, dass ein hoheitliches Verhältnis vorliegt und die Spielbank den Spielenden insofern nicht auf der gleichen (privatrechtlichen) Ebene gegenüber tritt. Dennoch kann gestützt auf den gesetzgeberischen Willen nicht gesagt werden, dass im Spielbankenbereich - wie sie meint - eine "Beleihung" besteht: Mit der sog. "Beleihung" wird eine Verwaltungsaufgabe - allenfalls auch ausserhalb von staatlichen Monopolen - zur Erfüllung an einen Privaten übertragen, womit dieser zu einem dezentralen Verwaltungsträger wird, der (in der Regel) über die gesamte Palette von "behördlichen" Rechten und Pflichten verfügt. Bereits die Verfassungsgrundlage sieht hinsichtlich des Spielbankenbetriebs, soweit ein solcher überhaupt als Staatsaufgabe gelten kann, lediglich eine (Aufsichts-) Konzessionierung vor, wobei die einzelnen Konzessionäre Privatrechtssubjekte bleiben, welche sowohl in ihrem Handeln als auch im Haftungsfall dem Zivilrecht unterstehen (vgl. TSCHANNEN/ZIMMERLI/MÜLLER, a.a.O., § 45 N. 21 mit Hinweisen; vgl. zur Abgrenzung von Konzessionierung und Beleihung auch TSCHANNEN/ZIMMERLI/MÜLLER, Allgemeines Verwaltungsrecht, 3. Aufl. 2009, § 45 N. 21 u. 22).
6.
6.1. Wenn das Bundesverwaltungsgericht davon ausgegangen ist, die Spielsperre nach <ref-law> werde durch die einzelne Spielbank mangels einer Übertragung der erforderlichen Hoheitsbefugnis nicht im Sinne von <ref-law> verfügt, so ist dies gestützt auf die Materialien (vgl. hierzu die E. 7.3) nicht bundesrechtswidrig; es kann unter diesen Umständen dahingestellt bleiben, ob und wieweit der Spielbetrieb überhaupt als übertragene öffentlichrechtliche Verwaltungsaufgabe des Bundes gelten kann (<ref-law>), nachdem dieser selber keine Spielbanken betreiben dürfte und von Verfassungs wegen lediglich aufsichts- bzw. konzessionsrechtlich tätig werden kann.
6.2. Nach <ref-law> "sperrt" die Spielbank Personen vom Spielbetrieb aus, von denen sie aufgrund eigener Wahrnehmung in der Spielbank oder aufgrund Meldungen Dritter weiss oder annehmen muss, dass sie (a) überschuldet sind oder ihren finanziellen Verpflichtungen nicht nachkommen; (b) Spieleinsätze riskieren, die in keinem Verhältnis zu ihrem Einkommen und ihrem Vermögen stehen oder solche, (c) die den geordneten Spielbetrieb beeinträchtigen. Die Spielsperre muss der betroffenen Person mit Begründung schriftlich mitgeteilt (<ref-law>) und wieder aufgehoben werden, sobald ihr Grund entfallen ist (<ref-law>). Die Spielenden können selbst bei der Spielbank eine Spielsperre beantragen (<ref-law>). Die Spielbank trägt sämtliche Sperren in ein Register ein und teilt den anderen Spielbanken in der Schweiz die Identität der gesperrten Personen mit. Nach Aufhebung der Spielsperre müssen die entsprechenden Daten unverzüglich gelöscht werden (<ref-law>). Die Spielsperre bildet Teil des Sozialkonzepts (Art. 37 Abs. 1 lit. e der Verordnung vom 24. September 2004 über Glücksspiele und Spielbanken [VSBG; SR 935.521]; vgl. SCHNEIDER, a.a.O., N. 22 - 24 zu <ref-law>) und entfaltet ihre Wirkung jeweils im Rahmen der Sicherheitsmassnahmen der anderen Spielbanken, welche ihrerseits gewährleisten müssen, dass ein unberechtigter Zutritt zum Spielbetrieb bzw. ein unberechtigtes Spielen (vgl. <ref-law>) unterbleibt.
7.
7.1. Die gewerbsmässige Gelegenheit, Glücksspiel anzubieten, ist den konzessionierten Spielbanken vorbehalten (Art. 4 und 7 SBG). Das Spielbankengesetz will einen sicheren und transparenten Spielbetrieb garantieren, die Kriminalität und die Geldwäscherei in oder durch Spielbanken verhindern und sozialschädlichen Auswirkungen des Spielbetriebs (insbesondere der Spielsucht) vorbeugen. Zu diesem Zweck hat der Verfassungs- bzw. der Gesetzgeber ein wirtschaftspolitisches Konzessionssystem vorgesehen; die entsprechenden im öffentlichen Interesse liegenden Ziele werden über gesetzliche Mindestvorgaben unter Beaufsichtigung der Spielbanken durch eine unabhängige Aufsichtskommission verwirklicht.
7.2.
Dem einzelnen Betreiber kommt - wie die Vorinstanz zu Recht festgestellt hat - gestützt auf das Gesetz direkt keine Verfügungsbefugnis zu.
7.2.1. Die Spielsperre dient in erster Linie dem Schutz des gefährdet erscheinenden Spielers im Einzelfall; sie will den Spieler als schwächeren Vertragspartner indirekt vor dem potenziell stärkeren, der Spielbank, schützen, indem dieser im Konzessionsverhältnis gewisse drittschützende Prüfungs- und Ausschlusspflichten auferlegt werden, deren Missachtung aufsichtsrechtliche Sanktionen nach sich ziehen kann. Naturgemäss liegt es im Interesse der Spielbank, mit möglichst vielen Spielern zu einem privatrechtlichen Vertragsabschluss zu kommen und dadurch ihren Umsatz zu steigern; die Konzessionärin wird deshalb über <ref-law> aufsichtsrechtlich zu einem selbstkritischeren Verhalten und einem verantwortungsbewussteren Umgang bei der Ausübung ihrer zivilrechtlichen Kontrahierungsfreiheit verpflichtet. Nützt sie die (Spiel-) Situation und die damit verbundene Suchtgefahr - trotz der in <ref-law> genannten Indizien - zivilrechtlich aus und sieht sie nicht rechtzeitig vom Abschluss weiterer Spielverträge mit einer bestimmten Vertragspartei ab, so kann die ESBK gegen sie Verwaltungssanktionen treffen. Dieser Umstand verhält die Spielbank dazu, ihre zivilrechtlichen Möglichkeiten zulasten einzelner (schutzbedürftiger) Vertragspartner nicht auszunutzen (<ref-law>: objektive Hinweise auf Bestehen einer Spielsucht bzw. Gefährdung der materiellen Existenz; zu Sinn und Zweck der Spielsperre: MEYER/ HAYER, Die Effektivität der Spielsperre als Massnahme des Spielerschutzes, Frankfurt a.M. 2010, S. 25 ff.).
7.2.2. Wäre die Spielbank gehalten, die Spielsperre gestützt auf eine Übertragung hoheitlicher Befugnisse jeweils zu verfügen, machte <ref-law> systematisch keinen Sinn, wonach die Spielsperre der betroffenen Person zu begründen und schriftlich mitzuteilen ist; dies ergäbe sich logischerweise bereits aus den allgemeinen verwaltungsverfahrensrechtlichen Bestimmungen und Grundsätzen und verstünde sich grundsätzlich von selber. Es wäre auch nicht einzusehen, warum der Gesetzgeber die Art der Eröffnung einer entsprechenden "Verfügung" spezialgesetzlich regeln, gleichzeitig aber darauf verzichten sollte, den einzelnen Konzessionär anzuhalten, den betroffenen Spielern - den allgemeinen verwaltungsrechtlichen Regeln entsprechend - auch eine Rechtsmittelbelehrung zu erteilen bzw. die Ausgestaltung des weiteren Verfahrens unter Vorgabe minimaler konzessionsrechtlicher Auflagen in die Kompetenz der einzelnen Spielbank zu stellen, wie dies in Art. 41 Abs. 2 und Art. 42 Abs. 2 VSBG geschieht.
7.3.
7.3.1. Eine Verfügungsbefugnis steht nach dem Wortlaut und dem Konzept des Gesetzes ausschliesslich der Spielbankenkommission zu; nur sie kann Massnahmen ergreifen und entsprechende Verfügungen erlassen. Sie steuert indirekt über die Genehmigung der Sozial- und Sicherheitskonzepte sowie die Beaufsichtigung der Konzessionäre das im Benutzerverhältnis auf einem privatrechtlichen Vertrag beruhende Geschehen. Zwar wäre es denkbar gewesen, den wegen der damit verbundenen Drittwirkung die Spielsperren nach <ref-law> - anders als die anderen rein privatrechtlichen Zutrittsbeschränkungen (vgl. <ref-law>) -, der Verfügungskompetenz der ESBK (<ref-law>) zu unterstellen; doch hat der Gesetzgeber sich (auch) diesbezüglich anders entschieden, wie sich aus den beigezogenen Materialien ergibt.
7.3.2. In der vorberatenden Kommission des Nationalrats wurde die Rechtsnatur der Spielsperre besprochen; die verwaltungsinterne Prüfung der Frage ergab, dass die Beziehung zwischen Spieler und Spielbank auch hinsichtlich der Spielsperre als privatrechtlich einzustufen und auszugestalten sei. Da die Spielsperre die Freiheit des Einzelnen beschränke, dürfe sie nur angeordnet werden, soweit die Vorgaben von <ref-law> erfüllt würden. Voraussetzung dafür, dass die betroffene Person überhaupt eine widerrechtliche Persönlichkeitsverletzung (zivilrechtlich) geltend machen könne, sei, dass sie über den Ausschluss informiert werde, was über die Begründungspflicht gemäss <ref-law> erreicht werde (Protokolle der Sitzung der nationalrätlichen Kommission vom 5. Mai 1998 S. 39 f. und vom 7. Juli 1998, S. 48). Seitens der Verwaltung wurde betont, dass es bei der Spielsperre um eine zivilrechtliche Problematik gehe. Da der Sperre eine zivilrechtliche Vertragsregelung zugrunde liege, müsse auch das Begehren um deren Aufhebung gestützt auf <ref-law> an den Zivilrichter gerichtet werden; es sei deshalb im Gesetzestext nicht von einer "Entscheidung" zu sprechen, da dies im Sinne einer Verfügungsbefugnis missverstanden werden könnte; es gehe nicht um eine solche, sondern um einen privatrechtlichen Vertragsabschluss (Protokoll der Sitzung der nationalrätlichen Kommission vom 7. Juli 1998, S. 48 in fine).
7.3.3. Von analogen Überlegungen und Vorgaben liess sich die vorberatende Kommission des Ständerats leiten (Protokoll der Sitzungen vom 22. August 1997 S. 22 bzw. vom 22./23. Oktober 1998 S. 12) : Dem Spieler werde die Sperre lediglich mittels Schreibens begründet, damit er als Privatperson an den Zivilrichter gelangen könne, um Klage wegen Vertragsverletzung bzw. Missachtung seiner Persönlichkeitsrechte zu führen. Wenn eine Spielbank grundlos eine Spielsperre erlasse, dann sei dies ein privatrechtliches Handeln. Der Betroffene werde in seiner Persönlichkeit tangiert und könne deshalb gestützt auf <ref-law> an den (Zivil-) Richter gelangen.
7.3.4. Der gesetzgeberische Wille ging, nachdem die Problematik in den weiteren Gesetzesberatungen nicht mehr infrage gestellt wurde, damit bei allen Spielsperren (Art. 22 und <ref-law>) davon aus, dass zu deren richterlichen Beurteilung der Zivilweg zu beschreiten ist und weder die einzelne Spielbank noch deren Aufsichtsbehörde diesbezüglich befugt sind, Verfügungen zu erlassen.
7.4.
7.4.1. Was die Beschwerdeführerin einwendet, überzeugt im Hinblick auf den klaren Willen des Gesetzgebers nicht: Dass die Spielsperre wegen des Eintrags in das entsprechende Register bis zu ihrer Aufhebung in allen Spielbanken in der Schweiz und nicht nur in der diese mitteilende Geltung hat, ist Folge des mit der Spielsperre angestrebten Sozialschutzes nötigenfalls auch gegen den Willen der Spielenden. Spieler und Spielbank begegnen sich zwar wegen der gesetzlichen Ausdehnung der Auswirkungen der Spielsperre nicht auf der gleichen Ebene (Subordinationstheorie), doch schliesst dies die Beurteilung der die entsprechende Wirkung auslösenden ersten Spielsperre bzw. deren Aufhebung durch den Zivilrichter nicht aus, nachdem der Gesetzgeber dies bewusst so gewollt hat. Da er sich spezialgesetzlich gegen die Übertragung einer entsprechenden Verfügungskompetenz an die Spielbanken bzw. einen Einbezug in die Verfügungskompetenzen der Spielbankenkommission entschieden hat, kann nicht unter Rückgriff auf allgemeine Abgrenzungskriterien eine andere Lösung auslegungsweise geschaffen werden.
7.4.2. Dass der Rechtsmittelweg "sachgerechter" anders hätte gestaltet werden können, weil die ESBK allenfalls fachlich geeigneter erscheint als der Zivilrichter, strittige Fragen um Spielsperren zu beurteilen, da sie den entsprechenden Problemen als Fachinstanz regelmässig näher stehen dürfte, ändert hieran nichts. Eine Übertragung der Verfügungsbefugnis bezüglich der Spielsperren und damit einer Abtretung hoheitlicher Befugnisse an die Spielbanken lässt sich dem Spielbankengesetz und dessen Entstehungsgeschichte nicht entnehmen; sie ist für die entsprechende Aufgabenerfüllung auch nicht erforderlich, steht für die Anfechtung der Spielsperre (und damit verbunden dem Eintrag im Register, welche deren Wirkung zum Schutz der betroffenen Person faktisch auf alle anderen Spielbanken ausdehnt) der zivilrechtliche Rechtsweg in dem Sinne offen, als der betroffene Spieler geltend machen kann, dass er durch die schweizweite Spielsperre in widerrechtlicher Weise in seiner Persönlichkeit bzw. seinem Ruf verletzt werde (<ref-law>). Die Widerrechtlichkeit ist durch den Zivilrichter dabei nach Massgabe der Voraussetzungen von <ref-law> zu beurteilen. Daneben steht es der betroffenen Person frei, mittels des Rechtsbehelfs der Aufsichtsanzeige an die ESBK zu gelangen und diese auf allfällige Missstände bei der Anordnung von Spielsperren durch eine bestimmte Spielbank hinzuweisen und insofern eine aufsichtsrechtliche Kontrolle im Lichte der konzessionsrechtlichen Vorgaben auszulösen (vgl. <ref-law>; <ref-ruling> E. 3.1 S. 460 f. sowie E. 6.3 S. 466 ff.). Dies hat die Beschwerdeführerin - neben der Anrufung des Zivilrichters, dessen Verfahren sistiert wurde - vorliegend, wenn auch erfolglos, getan.
7.5. Ergänzend kann schliesslich darauf hingewiesen werden, dass der Bundesrat in seiner Botschaft vom 21. Oktober 2015 zum geplanten Geldspielgesetz am diesbezüglich zivilrechtlich ausgestalteten Rechtsschutz festzuhalten gedenkt: Er führt zu Art. 79 seines Entwurfs aus, dass die Spielsperre aufzuheben sei, wenn der Grund dafür nicht mehr bestehe, wobei der Antrag bei der Veranstalterin eingereicht werden müsse, welche die Sperre ausgesprochen habe. Der Rechtsweg gegen den Entscheid der Veranstalterin, gegen eine Person eine Spielsperre auszusprechen bzw. eine solche nicht aufzuheben, erfolge "angesichts der privatrechtlichen Natur des Spielvertrags" über die Zivilgerichte (vgl. BBl 2015 8387 ff., dort 8471). Die entsprechende Passage übernimmt damit das bisherige System der Anfechtung der Spielsperre auf dem Zivilweg. Es steht dem Gesetzgeber gegebenenfalls frei, den betroffenen Spielern künftig ein anderes (verwaltungsrechtliches) Verfahren zur Verfügung zu stellen, sollte er die geltende Regelung als überholt oder unbefriedigend erachten. Es liegt derzeit kein Grund vor, den klaren gesetzgeberischen Willen, wie er sich aus den Materialien zum Spielbankengesetz ergibt, auslegungsweise infrage zu stellen; die entsprechende Vorgabe ist durch das Gericht vielmehr umzusetzen (vgl. <ref-law>).
7.6. Zusammengefasst ergibt sich, dass der Gesetzgeber den Spielbanken in Bezug auf die Kompetenz bzw. Pflicht, Spielsperren auszusprechen bzw. aufrecht zu erhalten, keine Verfügungsbefugnis übertragen hat. Die Grand Casino X._ AG war weder berechtigt noch verpflichtet, als Behörde im Sinne von <ref-law> in Anwendung hoheitlicher Befugnisse die beanstandete Spielsperre auszusprechen bzw. zu widerrufen. Ihr Schreiben vom 27. August 2012 stellte keine in einem Beschwerdeverfahren nach <ref-law> anfechtbare Verfügung dar, weshalb die ESBK auf die Eingabe der Beschwerdeführerin 1, soweit sie als Rechtsmittel erhoben wurde, zu Recht nicht eingetreten ist; sie durfte sich darauf beschränken, diese als aufsichtsrechtliche Anzeige entgegen zu nehmen und zu behandeln. Die Beschwerde 2C_386/2014 erweist sich als unbegründet und ist deshalb abzuweisen, soweit darauf eingetreten werden kann.
8.
8.1. Anders verhält es sich hinsichtlich der Beschwerde der Grand Casino X._ AG, soweit diese geltend macht, die Vorinstanz habe zu Unrecht die ihr von der ESBK zugesprochene Parteientschädigung von Fr. 5'338.65 gestrichen: Nach <ref-law> kann die Beschwerdeinstanz der ganz oder teilweise obsiegenden Partei von Amtes wegen oder auf ihr Begehren hin eine Entschädigung für die ihr erwachsenen notwendigen und verhältnismässig hohen Kosten zusprechen. Ohne spezialgesetzliche Grundlage besteht hingegen kein entsprechender Anspruch im erstinstanzlichen Verwaltungsverfahren (<ref-ruling> E. 5.2 S. 62 f. mit Hinweisen; Urteil 2C_715/2008 vom 15. April 2009 E. 2.1 mit Hinweisen).
8.2. A._ hat immer geltend gemacht - so auch vor Bundesgericht -, die Grand Casino X._ AG sei gestützt auf <ref-law> hinsichtlich der ihr gegenüber erklärten und praktizierten Spielsperre verpflichtet gewesen, eine anfechtbare Verfügung zu erlassen. Gegen deren Weigerung, dies zu tun, ist sie erfolglos beschwerdeweise an die ESBK und an das Bundesverwaltungsgericht gelangt. Die ESBK setzte die Höhe der Parteientschädigung gestützt auf die Honorarnote des Rechtsvertreters der Grand Casino X._ AG auf Fr. 5'338.65 fest. Das Bundesverwaltungsgericht hat insofern, als es diese mit der Begründung strich, die ESBK habe als erstinstanzlich verfügende Behörde zu gelten, die Tragweite von <ref-law> verletzt: A._ ging die ESBK als Beschwerdeinstanz (<ref-law>) an; sie machte bei dieser im Sinne von <ref-law> ein unrechtmässiges Verweigern oder Verzögern einer anfechtbaren Verfügung geltend, weshalb die ESBK nicht erstinstanzlich, sondern in einem Beschwerdeverfahren (Rechtsverzögerung/Rechtsverweigerung) entschied und die zu Unrecht ins Recht gefasste Grand Casino X._ AG nach den allgemeinen Regeln eines Zweiparteienverfahrens Anspruch darauf hatte, dass ihr die entstandenen und in ihrer Höhe im Hinblick auf den mit dem Verfahren verbundenen Aufwand nicht zu kritisierenden Parteikosten von Fr. 5'338.65 ersetzt werden.
8.3. Hob das Bundesverwaltungsgericht den Entscheid der ESBK vom 1. Mai 2013 im Entschädigungspunkt zu Unrecht auf, durfte es in der Folge auch die Verfahrenskosten nicht anteilsmässig (zu einem Viertel) der Grand Casino X._ AG auferlegen und deren Anspruch auf Parteientschädigung im Umfang des Obsiegens von A._ kürzen bzw. die beiden Ansprüche gegeneinander verrechnen. Die Grand Casino X._ AG beantragt, ihr sei für das Verfahren vor Bundesverwaltungsgericht als vollobsiegende Partei eine Entschädigung von Fr. 3'981.95 zuzusprechen. Dieser Betrag erscheint mit Blick darauf, dass die Vorinstanz einen doppelten Schriftenwechsel durchgeführt hat, nicht als übersetzt. Die Beschwerde der Grand Casino X._ AG erweist sich deshalb als begründet; es ist ihren Hauptanträgen zu entsprechen, womit es sich erübrigt, noch auf ihre Eventualvorbringen einzugehen.
9.
9.1. Die Beschwerdeführerin 1 unterliegt im Verfahren 2C_386/2014 vollumfänglich; sie hat dementsprechend dessen Kosten zu tragen (<ref-law>) und die Beschwerdegegnerin für dieses angemessen zu entschädigen (<ref-law>). Bei der Festsetzung der Höhe der Parteientschädigung wird dem Umstand Rechnung getragen, dass sich deren Aufwand mit Blick auf die beiden vorausgegangenen Verfahren und die dortigen Ausführungen in Grenzen hielt. Dass es sich im entsprechenden Beschwerdeverfahren, nach Ansicht von A._ um eine Grundsatzfrage mit präjudizieller Wirkung handelt, ändert an ihrer grundsätzlichen Kosten- und Entschädigungspflicht als unterliegende Partei nichts (<ref-law>).
9.2. Die Grand Casino X._ AG dringt mit ihrer Beschwerde (2C_394/2014) vollumfänglich durch. Zwar hat die dortige private Beschwerdegegnerin eigene Anträge im Sinne des angefochtenen Entscheids gestellt, doch kann ausnahmsweise davon abgesehen werden, deswegen Gerichtskosten von ihr zu erheben (Art. 66 Abs. 1 zweiter Satz BGG); hingegen hat sie die Beschwerdeführerin für das entsprechende Verfahren wiederum angemessen zu entschädigen (vgl. <ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Verfahren 2C_386/2014 und 2C_394/2014 werden vereinigt.
2.
2.1 Die Beschwerde 2C_386/2014 wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.2 Die Beschwerde 2C_394/2014 wird gutgeheissen und das Urteil des Bundesverwaltungsgerichts vom 12. März 2014 insoweit aufgehoben, als es die Beschwerde von A._ zulasten der Grand Casino X._ AG gerichtete Beschwerde teilweise gutheisst. Das Dispositiv des Urteils vom 12. März 2014 wird dementsprechend wie folgt geändert:
"1. Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2. Die Verfahrenskosten von Fr. 4'000.-- werden der Beschwerdeführerin auferlegt und mit dem entsprechenden Kostenvorschuss verrechnet.
3. Die Beschwerdeführerin hat die Beschwerdegegnerin für das Verfahren vor Bundesverwaltungsgericht mit Fr. 3'981.95 (inkl. MWSt) zu entschädigen."
3.
3.1 Die Kosten für die bundesgerichtlichen Verfahren in der Höhe von insgesamt Fr. 2'000.-- werden A._ auferlegt.
3.2 A._ hat die Grand Casino X._ AG für die bundesgerichtlichen Verfahren insgesamt mit Fr. 3'000.-- zu entschädigen.
4.
Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten, der Eidgenössischen Spielbankenkommission und dem Bundesverwaltungsgericht, Abteilung II, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 18. Januar 2016
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Zünd
Der Gerichtsschreiber: Hugi Yar