Sachverhalt:
A.
Mit Beschluss vom 22. Januar 2013 bewilligte der Gemeinderat Neunkirch ein Baugesuch der B._AG für die Erstellung von zwei Mehrfamilienhäusern ("Haus C" und "Haus D") mit je sechs Wohnungen auf der Parzelle Nr. 2760. Am Tag darauf bewilligte das Planungs- und Naturschutzamt des Kantons Schaffhausen die zugehörige Tiefgarage mit 16 Einstellplätzen. Gegen diese Baubewilligung erhoben A._ mit Eingabe vom 8. Februar 2013 und C._ mit Eingabe vom 26. Februar 2013 Rekurs beim Regierungsrat des Kantons Schaffhausen. Auf Ersuchen der Bauherrin hin sistierte dieser das Verfahren vorläufig.
Am 14. August 2013 reichte die B._AG bei der Gemeinde revidierte Pläne mit einem geänderten Attikageschoss bei den Häusern C und D sowie einer leicht geänderten Eingangspartie beim Haus D ein. Der Gemeinderat bewilligte die geänderten Pläne mit Beschluss vom 24. September 2013. Dagegen erhob A._ am 16. November 2013 wiederum Rekurs.
Der Regierungsrat wies mit Beschluss vom 14. Januar 2014 den Rekurs von C._ und den ersten Rekurs von A._ ab, auf den zweiten Rekurs von A._ trat er wegen Nichteinhalten der Rechtsmittelfrist nicht ein.
Dagegen erhoben sowohl A._ als auch C._ Beschwerde ans Obergericht des Kantons Schaffhausen. Mit Entscheid vom 10. November 2015 vereinigte dieses die beiden Verfahren und wies die Beschwerden ab.
B.
Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten ans Bundesgericht beantragt A._ im Wesentlichen die Aufhebung des Entscheids des Obergerichts, soweit dieser ihn betrifft, sowie der Beschlüsse von Regierungsrat und Gemeinde.
Das Obergericht hat auf eine Vernehmlassung verzichtet. Die Gemeinde schliesst auf Abweisung der Beschwerde. Die Beschwerdegegnerin beantragt, die Beschwerde sei abzuweisen, soweit darauf einzutreten sei. Die weiteren Verfahrensbeteiligten haben sich nicht vernehmen lassen. Der Beschwerdeführer hält in seiner Replik an seinen Anträgen fest. Die Beschwerdegegnerin hat dazu Stellung genommen. In der Folge hat sich auch der Beschwerdeführer erneut vernehmen lassen, jedoch verspätet und ohne ein Gesuch um Fristerstreckung gestellt zu haben.

Erwägungen:
1.
Angefochten ist ein kantonal letztinstanzlicher Entscheid über eine Baubewilligung für zwei Mehrfamilienhäuser, welcher der Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten unterliegt (<ref-law>). Der Beschwerdeführer ist als direkter Nachbar zur Beschwerde berechtigt. Auf die Beschwerde ist grundsätzlich einzutreten.
Unzulässig ist der Antrag des Beschwerdeführers, auch die Beschlüsse der Vorinstanzen des Obergerichts anzufechten. Diese sind durch den Entscheid des Obergerichts ersetzt worden (Devolutiveffekt) und gelten als inhaltlich mitangefochten (<ref-ruling> E. 1.4 S. 144 mit Hinweis).
2.
2.1. Gemäss angefochtenem Entscheid machte der Beschwerdeführer in seinem zweiten Rekurs geltend, die Attikageschosse lägen weiterhin nicht in einem Winkel von 45° von der Fassadenflucht zurückversetzt, da die darunter liegenden Vollgeschosse bei den Balkonen zwei Rücksprünge aufwiesen, die zu berücksichtigen seien. Diese Kritik habe sich gegen die im Projektänderungsverfahren vorgenommene Modifizierung des Attikageschosses gerichtet und sei neu gewesen. Der Regierungsrat sei nicht darauf eingegangen, weil der gegen die Änderungsverfügung gerichtete Rekurs verspätet gewesen sei. Dass der Rekurs entgegen der Feststellung des Regierungsrats rechtzeitig erfolgt sei, mache der Beschwerdeführer nicht geltend.
2.2. Der Beschwerdeführer kritisiert diese Erwägungen in seiner Beschwerdeschrift und weist darauf hin, dass einzig der regierungsrätliche Beschluss vom 14. Januar 2014 mit Beschwerde ans Obergericht habe angefochten werden können. Er macht geltend, das Obergericht habe seinen Anspruch auf rechtliches Gehör (<ref-law>) verletzt, indem es auf seine Rüge nicht eingetreten sei.
2.3. Entgegen der Auffassung des Beschwerdeführers ist die Vorinstanz auf seine Rüge eingetreten. Sie hat ihre inhaltliche Beurteilung jedoch zu Recht auf die Frage der Rechtzeitigkeit des zweiten Rekurses beschränkt. Konsequenterweise ging sie somit nicht auf das Thema der Rücksprünge beim obersten Vollgeschoss ein. Das rechtliche Gehör verletzte sie dadurch nicht.
3.
3.1. Die Attikageschosse der Häuser C und D sind gemäss den Baugesuchsunterlagen jeweils von zwei Gebäudefassaden, nämlich den beiden längeren, zurückversetzt. Der Beschwerdeführer ist der Ansicht, dies genüge den Vorgaben von Art. 11 Abs. 4 der Bau- und Nutzungsordnung der Gemeinde Neunkirch vom 15. November 2001 (im Folgenden: BNO) nicht. Ein Attikageschoss müsse gemäss dieser Bestimmung auf allen vier Seiten von der Gebäudefassade zurückversetzt werden.
Art. 11 Abs. 4 BNO hat folgenden Wortlaut:
"Geschosse, die unter einem Winkel von 45 Grad vom Schnittpunkt der Fassadenflucht mit der Dachhaut des Flachdaches als Attikageschoss über dem obersten Vollgeschoss zurückliegen, zählen als Dachgeschosse. Ausgenommen sind Aufbauten für Treppen, Aufzüge, Kamine und Ventilationsanlagen."
3.2. Das Obergericht legte dar, die Regelung solle einzig sicherstellen, dass Attikageschosse, die als nicht anrechenbares Dachgeschoss gälten, nicht mehr Volumen aufwiesen als ein echtes Dachgeschoss. Damit reiche es aber aus, wenn ein Attikageschoss unter einem imaginären Satteldach Platz habe. Der Regierungsrat weise in diesem Zusammenhang zu Recht darauf hin, dass dies auch durch die bebilderten Erläuterungen zu Art. 11 BNO nahegelegt werde, wo das Attikageschoss gleich dargestellt sei wie das Dachgeschoss.
3.3. Der Beschwerdeführer macht dazu im Wesentlichen geltend, es verhalte sich beim Attikageschoss gleich wie bei der Kniestockhöhe, die ebenfalls auf allen Seiten eingehalten werden müsse. Bei den beiden bebilderten Erläuterungen könne es sich ebensogut um Walmdächer handeln. Weshalb die Vorinstanz auf ein imaginäres Satteldach abstelle, sei nicht nachvollziehbar. Gehe man stattdessen von einem Walmdach aus, so müssten auch alle vier Seiten des Attikageschosses zurückversetzt werden. Die beiden Bilder in der BNO könnten als zwei verschiedene Seitenansichten desselben Gebäudes verstanden werden, was diese Interpretation stütze. Schliesslich erscheine wesentlich, dass Art. 11 Abs. 4 BNO keine Einschränkungen enthalte. Wenn man stattdessen davon ausgehe, dass die Notwendigkeit einer Rückversetzung nicht auf allen Gebäudeseiten bestehe, so bräuchte es aber auch konkrete Angaben darüber, auf wie vielen bzw. welchen Seiten davon abgesehen werden dürfte. Solche Angaben fehlten, weshalb davon auszugehen sei, dass eine Rückversetzung auf allen Seiten notwendig sei. Sonst erschiene die Bestimmung unklar. In diesem Sinne habe im Übrigen auch das Verwaltungsgericht des Kantons St. Gallen am 28. Januar 2010 eine Beschwerde betreffend ein Attikageschoss gutgeheissen.
3.4. Ausgangspunkt jeder Auslegung bildet der Wortlaut der massgeblichen Bestimmung. Weiter sind der Zweck der Regelung und der Sinnzusammenhang, in dem die Norm steht, zu berücksichtigen. Schliesslich dient auch die Entstehungsgeschichte als Hilfsmittel, um den Sinn der Norm zu erkennen (<ref-ruling> E. 3.3.1 S. 225 mit Hinweisen).
Ob das Obergericht Art. 11 Abs. 4 BNO richtig ausgelegt hat, prüft das Bundesgericht nur auf Willkür. Nach der ständigen Praxis liegt Willkür in der Rechtsanwendung vor, wenn der angefochtene Entscheid offensichtlich unhaltbar ist, mit der tatsächlichen Situation in klarem Widerspruch steht, eine Norm oder einen unumstrittenen Rechtsgrundsatz krass verletzt oder in stossender Weise dem Gerechtigkeitsgedanken zuwiderläuft. Das Bundesgericht hebt einen Entscheid jedoch nur auf, wenn nicht bloss die Begründung, sondern auch das Ergebnis unhaltbar ist. Dass eine andere Lösung ebenfalls als vertretbar oder gar zutreffender erscheint, genügt nicht (<ref-ruling> E. 2.2 S. 72 mit Hinweisen).
3.5. Aus dem Wortlaut von Art. 11 Abs. 4 BNO geht nicht hervor, auf wie vielen bzw. auf welchen Seiten das Attikageschoss von der Fassade zurückversetzt werden muss, um nicht als Vollgeschoss zu gelten. Auch der Vergleich mit der Kniestockhöhe gibt über den Normsinn keinen Aufschluss, zumal diese von vornherein nur an der Traufseite gemessen wird und zudem eine andere Problematik betrifft. Zutreffend ist in dieser Hinsicht die Feststellung des Beschwerdeführers, dass insofern ein Unterschied zwischen Sattel- und Walmdächern besteht, und dass das Volumen des Dachgeschosses von der Dachform abhängt. Indessen übersieht er, dass die Wahl der Dachform grundsätzlich im Belieben des Bauherrn steht.
Auch die beiden erwähnten schematischen Darstellungen im Anhang der BNO sind nicht eindeutig. Sie zeigen beide ein Gebäude im Querschnitt, wobei es sich beim ersten um ein Gebäude mit Dachgeschoss, beim zweiten um ein solches mit Attikageschoss handelt. Entgegen der Auffassung des Beschwerdeführers ist nicht davon auszugehen, dass das eine Bild eine Frontansicht und das andere eine Seitenansicht darstellt. Vielmehr erscheint plausibler, dass unterschiedliche Themen von Art. 11 BNO veranschaulicht werden sollen, nämlich Vollgeschoss (Abs. 1), Untergeschoss (Abs. 2), Dachgeschoss (Abs. 3) und Attikageschoss (Abs. 4). Immerhin legt das zweite Bild nahe, dass das Attikageschoss von den zwei gegenüberliegenden Seiten zurückzuversetzen ist, und nicht von zwei aneinanderliegenden.
Wenn das Obergericht hinsichtlich des Zwecks der Bestimmung davon ausgeht, es solle sichergestellt werden, dass Attikageschosse nicht mehr Volumen aufweisen als ein echtes Dachgeschoss, erscheint dies ohne Weiteres nachvollziehbar. Der Beschwerdeführer wendet zwar zu Recht ein, auch ein Walmdach sei ein "echtes Dachgeschoss", doch vernachlässigt er, dass, wie erwähnt, die Wahl der Dachform dem Bauherrn obliegt. Insofern ist nicht zu beanstanden, dass das Obergericht für die Berechnung des Volumens des Attikageschosses von jener (imaginären) Dachform ausgeht, welche ein grösseres Attikageschoss zulässt, nämlich dem Satteldach. Gestützt auf diese Begründung lässt sich auch das Argument des Beschwerdeführers entkräften, Art. 11 Abs. 4 BNO könne nur dann als klar angesehen werden, wenn er sich auf alle vier Seiten beziehe.
Die Auslegung des Obergerichts, wonach es ausreicht, wenn ein Attikageschoss unter einem imaginären Satteldach Platz hat, und das Zurückversetzen deshalb nur von den beiden entsprechenden Traufseiten erforderlich ist, erweist sich aus diesen Gründen als nicht willkürlich. Daran ändert auch nichts, wenn das Verwaltungsgericht eines anderen Kantons in Anwendung einer anderslautenden kommunalen Bestimmung zu einem anderen Schluss gekommen ist. Jener Entscheid steht hier nicht zur Diskussion.
4.
Der Beschwerdeführer beanstandet schliesslich die von der Vorinstanz bestätigte Kostenverlegung durch den Regierungsrat. Dieser auferlegte die Verfahrenskosten von Fr. 4'000.-- gestützt auf Art. 27 Abs. 1 des Gesetzes des Kantons Schaffhausen vom 20. September 1971 über den Rechtsschutz in Verwaltungssachen (Verwaltungsrechtspflegegesetz; SHR 172.200) zu drei Vierteln den Rekurrenten und zu einem Viertel der Bauherrschaft. Zur Begründung hielt er fest, die Rekurrenten seien zwar unterlegen, doch sei zu berücksichtigen, dass einzelne Rügen zu Recht erhoben worden seien und eine Projektanpassung nötig gewesen sei. Die Rekurrenten seien indessen kostenpflichtig, da sie an sämtlichen Rügen festgehalten hätten.
Der Beschwerdeführer kritisiert in seiner Beschwerde diese Ausführungen nicht. Er stört sich vielmehr an der Erwägung des Obergerichts, wonach die Neugestaltung des Attikageschosses auf einen Einwand des Baudepartements zurückzuführen gewesen sei. Nach Auffassung des Beschwerdeführers hat das Baudepartement erst durch ihn von diesem Mangel erfahren.
Ob die Kritik des Beschwerdeführers zutrifft, kann vorliegend offen bleiben. Der Regierungsrat hielt einzig fest, dass gewisse Rügen berechtigt waren, und berücksichtigte diesen Umstand zu Gunsten des Beschwerdeführers bei der Kostenverlegung. Dass es im Ergebnis willkürlich war, wenn der Regierungsrat drei Viertel der Verfahrenskosten den Rekurrenten auferlegte, weil sich nur zwei von einer Mehrzahl von Rügen als begründet erwiesen, ist nicht ersichtlich und wird vom Beschwerdeführer auch nicht behauptet. Es ist deshalb nicht ausschlaggebend, ob das Obergericht darüber hinaus anführte, die Neugestaltung des Attikageschosses sei wegen eines Einwands des Baudepartements erfolgt. Die Rüge der Verletzung des Willkürverbots ist somit unbegründet.
5.
Die Beschwerde ist abzuweisen, soweit darauf einzutreten ist.
Bei diesem Ausgang des Verfahrens sind die Gerichtskosten dem Beschwerdeführer aufzuerlegen (<ref-law>). Der Beschwerdeführer hat der anwaltlich vertretenen Beschwerdegegnerin eine angemessene Parteientschädigung auszurichten (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 3'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3.
Der Beschwerdeführer hat der Beschwerdegegnerin eine Parteientschädigung von Fr. 2'000.-- auszurichten.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien, der Gemeinde Neunkirch, dem Planungs- und Naturschutzamt des Kantons Schaffhausen, dem Regierungsrat des Kantons Schaffhausen, C._ und dem Obergericht des Kantons Schaffhausen schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 18. Mai 2016
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Fonjallaz
Der Gerichtsschreiber: Dold