Erwägungen:
1.
Zwischen der Gemeinde U._ und A._ ist umstritten, wo dieser als niedergelassen zu gelten hat. Mit Verfügung vom 22. Juni 2015 hielt der Sicherheitsvorsteher der Gemeinde fest, dass dies in U._ sei; er meldete A._ dementsprechend rückwirkend auf den 1. April 2012 dort an. Der Bezirksrat Bülach bestätigte diese Verfügung auf Rekurs hin am 4. Februar 2016. Hiergegen gelangte A._ am 15. Mai 2016 (Postaufgabe: 16. Mai 2016) an das Verwaltungsgericht des Kantons Zürich, welches am 30. Mai 2016 auf seine Beschwerde nicht eintrat, da diese nicht fristgerecht eingereicht worden sei.
2.
2.1. A._ beantragt vor Bundesgericht, das entsprechende Urteil aufzuheben und die ihm entstandenen Anwaltskosten zu ersetzen; seine Eingabe sei unter Berücksichtigung des Pfingstmontags rechtzeitig erhoben worden; die Verfügung des Verwaltungsgerichts des Kantons Zürich beruhe auf einem offensichtlichen Fehler. Die Gemeinde U._ hat darauf verzichtet, sich vernehmen zu lassen. Das Verwaltungsgericht des Kantons Zürich anerkennt in seiner Stellungnahme, dass der Pfingstmontag als Feiertag zu gelten hat.
2.2. Die Eingabe erweist sich - unabhängig davon, ob sie als Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten oder als subsidiäre Verfassungsbeschwerde zu behandeln ist - als begründet:
2.2.1. Da A._ nicht bereit gewesen war, ein Zustelldomizil in der Schweiz zu bezeichnen, wurde der umstrittene Beschluss des Bezirksrats vom 4. Februar 2016 androhungsgemäss im Amtsblatt des Kantons Zürich vom 15. April 2016 veröffentlicht, was der Beschwerdeführer nicht mehr infrage stellt (vgl. § 6b des Verwaltungsrechtspflegegesetzes vom 24. Mai 1959 in der Fassung vom 8. Juni 1997 [VRG/ZH; 174.2]). In diesem Fall gilt der Tag der amtlichen Eröffnung als Zustellzeitpunkt; der Tag der Eröffnung ist bei der Fristberechnung indessen nicht zu berücksichtigen (vgl. § 11 Abs. 1 Satz 1 VRG/ZH). Fällt der letzte Tag der Frist auf einen Samstag oder einen öffentlichen Ruhetag, so endet sie am nächsten Werktag (vgl. § 11 Abs. 1 Satz 2 VRG/ZH). Die Beschwerde muss spätestens am letzten Tag der Frist bei der Behörde eintreffen oder zu deren Handen der Post übergeben worden sein (vgl. § 53 i.V.m. § 11 Abs. 2 VRG/ZH).
2.2.2. Die Beschwerdefrist begann vorliegend am 16. April 2016 zu laufen, nachdem der umstrittene Beschluss des Bezirksrats am 15. April 2016 amtlich veröffentlicht worden war. Sie endete wegen des Pfingstmontags in der Folge am 17. Mai 2016, weshalb die an diesem Tag der Post zu Handen des Verwaltungsgerichts des Kantons Zürich übergebene Beschwerdeschrift rechtzeitig eingereicht wurde und die Verfügung des Verwaltungsgerichts vom 30. Mai 2016 offensichtlich fehlerhaft ist. Das Verwaltungsgericht anerkennt in seiner Vernehmlassung vom 4. Oktober 2016, dass der Pfingstmontag im Kanton Zürich zu den Feiertagen zählt (vgl. § 71 VRG/ZH [Fassung vom 8. Juni 1997] i.V.m. § 122 des Gesetzes vom 10. Mai 2010 über die Gerichts- und Behördenorganisation im Zivil- und Strafprozess des Kantons Zürich [211.1]), und auf die Eingabe des Beschwerdeführers in zeitlicher Hinsicht deshalb einzutreten gewesen wäre; als Rechtsmittelinstanz sei es ihm indessen nicht möglich gewesen, die Verfügung vom 30. Mai 2016 selber in Wiedererwägung zu ziehen, wie dies der Beschwerdeführer beantragt habe. Die Beschwerde erweist sich demnach auch aus der Sicht des Verwaltungsgerichts als begründet.
2.3. Der Beschwerdeführer ist im bundesgerichtlichen Verfahren durch einen von ihm am 29. April 2016 zur Anfechtung des Beschlusses vom 4. Mai 2016 bevollmächtigten Rechtsanwalt vertreten. Dieser verlangt, es seien die ihm entstandenen Kosten von Fr. 6'276.50 zu ersetzen. Der Betrag steht in keinem vernünftigen Verhältnis zum erforderlichen Aufwand für die Anfechtung des kantonalen, auf einem offensichtlichen Versehen beruhenden Nichteintretensentscheids. Der verrechnete Zeitaufwand von 16.25 Stunden ist zu dem mit der Anfechtung verbundenen Aufwand - des einzig Verfahrensgegenstand bildenden Nichteintretensentscheids - unangemessen; die materiellen Fragen wird die Vorinstanz erst noch zu prüfen haben, sollte die Beschwerdeschrift sämtliche weiteren Eintretensvoraussetzungen erfüllen. Die Parteientschädigung für das bundesgerichtliche Verfahren (vgl. Art. 68 Abs. 1 und 4 i.V.m. <ref-law>) ist demnach zu reduzieren und die Sache zu neuem Entscheid - auch bezüglich der kantonalen Kosten- und Entschädigungsfrage - an die Vorinstanz zurückzuweisen. Für das bundesgerichtliche Verfahren sind keine Kosten geschuldet (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird gutgeheissen, die Verfügung des Verwaltungsgerichts des Kantons Zürich vom 30. Mai 2016 aufgehoben und die Sache zu neuem Entscheid an dieses zurückgewiesen.
2.
Es werden keine Kosten erhoben.
3.
Der Kanton Zürich hat den Beschwerdeführer für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 800.-- zu entschädigen.
4.
Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten und dem Verwaltungsgericht des Kantons Zürich, 3. Abteilung, Einzelrichter, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 30. Dezember 2016
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Seiler
Der Gerichtsschreiber: Hugi Yar