Sachverhalt:
A.
A.a. A._ (geb. am 30. November 1973) ist Staatsangehöriger von Nigeria. Am 22. Oktober 2004 reiste er illegal in die Schweiz ein und stellte unter falscher Identität ein Asylgesuch. Das damalige Bundesamt für Flüchtlinge fällte am 8. November 2004 einen Nichteintretensentscheid und wies A._ aus der Schweiz weg. Dieser reiste am 28. August 2005 wiederum illegal in die Schweiz ein und stellte unter Vorlage gefälschter Papiere beim Zivilstandsamt der Stadt Zürich ein Gesuch um Durchführung einer Eheschliessung. Am 17. März 2006 heiratete A._ die aus Kenia stammende Schweizer Bürgerin B._ (geb. 1963). Die ihm zum Verbleib bei der Ehefrau erteilte Aufenthaltsbewilligung wurde letztmals bis zum 11. März 2014 verlängert. Am 3. Februar 2011 hatte A._ erfolglos um Erteilung der Niederlassungsbewilligung ersucht.
A.b. Im Nachgang zweier Strafbefehle vom 22. Oktober 2004 und vom 19. Dezember 2006 verwarnte das Migrationsamt des Kantons Zürich A._ am 9. Februar 2007 und stellte ihm schwerer wiegende fremdenpolizeiliche Massnahmen in Aussicht für den Fall, dass er erneut gerichtlich bestraft werden oder sein Verhalten zu anderen berechtigten Klagen Anlass geben sollte.
Am 19. Juli 2013 wurde A._ zufolge dauerhaften und erheblichen Sozialhilfebezugs ausländerrechtlich verwarnt.
A.c. Aus einer Beziehung mit C._ (geb. 1976), einer in der Schweiz aufenthaltsberechtigten Staatsangehörigen von Ghana, gingen die Kinder D._ (geb. am 4. August 2007), E._ (geb. am 7. Dezember 2010) und F._ (geb. am 1. Februar 2014) hervor. Sie stehen seit ihrer Geburt unter der elterlichen Sorge und Obhut ihrer Mutter.
A.d. Im Rahmen eines Eheschutzverfahrens, welches die mittlerweile unter Beistandschaft stehende B._ eingeleitet hatte, genehmigte das Bezirksgericht Zürich am 19. Juni 2014 das Getrenntleben der Ehegatten auf unbestimmte Zeit.
B.
Am 23. September 2015 wies das Migrationsamt das Gesuch von A._ um Verlängerung der Aufenthaltsbewilligung wegen Eingehens einer Scheinehe ab und wies ihn aus der Schweiz weg. Die dagegen erhobenen kantonalen Rechtsmittel blieben erfolglos (Entscheid der Sicherheitsdirektion des Kantons Zürich vom 15. August 2016; Urteil des Verwaltungsgerichts des Kantons Zürich vom 19. November 2016). Beide Instanzen wiesen das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege (inkl. Verbeiständung) wegen Aussichtslosigkeit ab.
C.
A._ erhebt am 23. Dezember 2016 Beschwerde beim Bundesgericht mit dem Antrag, das angefochtene Urteil aufzuheben und ihm die Aufenthaltsbewilligung zu verlängern.
Das Verwaltungsgericht und die Sicherheitsdirektion verzichten auf Vernehmlassung, ebenso das Staatssekretariat für Migration. A._ hat am 2. Mai 2017 repliziert.
Mit Präsidialverfügung vom 27. Dezember 2016 ist der Beschwerde antragsgemäss aufschiebende Wirkung zuerkannt worden.

Erwägungen:
1.
1.1. Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten betreffend die Nichtverlängerung der Aufenthaltsbewilligung steht offen, wenn das Bundesrecht oder das Völkerreicht einen Bewilligungsanspruch vorsieht (<ref-law> e contrario). Der ausländische Beschwerdeführer, dessen Ehe mit einer Schweizer Bürgerin im Zeitpunkt der streitigen Verfügung mehr als drei Jahre gedauert hatte, kann sich auf Art. 50 Abs. 1 AuG [SR 142.20]) berufen. Die Beschwerde ist zulässig.
Ob aufgrund der Beziehung des Beschwerdeführers zu seinen drei Kindern, welche (lediglich) über die Aufenthaltsbewilligung verfügen, ein Anspruch aus Art. 8 Ziff. 1 EMRK besteht, ist nicht ohne Weiteres klar. Weil diese Frage für das Eintreten auf die Beschwerde nicht entscheidend ist, wird sie im Rahmen der materiellen Erwägungen behandelt (vgl. E. 4.3).
1.2. Die Beschwerde wurde unter Einhaltung der gesetzlichen Frist (<ref-law>) und Form (<ref-law>) eingereicht, und der Beschwerdeführer ist zur Erhebung des Rechtsmittels legitimiert (<ref-law>). Auf die Beschwerde ist einzutreten.
2.
2.1. Ausländische Ehegatten von Schweizerinnen und Schweizern haben Anspruch auf Erteilung und Verlängerung der Aufenthaltsbewilligung, wenn sie mit diesen zusammenwohnen (Art. 42 Abs. 1 AuG). Nach Auflösung der Ehe oder der Familiengemeinschaft besteht der Anspruch des Ehegatten und der Kinder auf Erteilung und Verlängerung der Aufenthaltsbewilligung nach Art. 42 und 43 AuG weiter, wenn die Ehegemeinschaft mindestens drei Jahre bestanden hat und eine erfolgreiche Integration besteht oder wichtige persönliche Gründe einen weiteren Aufenthalt in der Schweiz erforderlich machen (Art. 50 Abs. 1 AuG). Die Ansprüche nach den Art. 43, 48 und 50 AuG erlöschen, wenn sie rechtsmissbräuchlich geltend gemacht werden, namentlich um Vorschriften dieses Gesetzes und seiner Ausführungsbestimmungen über die Zulassung und den Aufenthalt zu umgehen (Art. 51 Abs. 2 lit. a AuG).
2.2. Ob eine Scheinehe geschlossen wurde bzw. ob die Ehe bloss noch formell besteht, entzieht sich in der Regel dem direkten Beweis und kann nur durch Indizien erstellt werden (<ref-ruling> E. 4.2 S. 9 f.; <ref-ruling> E. 10.2 S. 135). Solche Indizien können äussere Begebenheiten sein wie die Umstände des Kennenlernens, eine kurze Dauer der Bekanntschaft, eine drohende Wegweisung, das Fehlen einer Wohngemeinschaft, ein erheblicher Altersunterschied, Schwierigkeiten in der Kommunikation, fehlende Kenntnisse über den Ehepartner und dessen Familie oder die Bezahlung einer Entschädigung für die Heirat. Die Indizien können aber auch psychische Vorgänge betreffen (tatsächlicher Wille). In beiden Fällen handelt es sich um tatsächliche Feststellungen, welche das Bundesgericht nur auf offensichtliche Unrichtigkeit oder Rechtsverletzungen hin überprüft (<ref-law>; <ref-ruling> E. 2.3 S. 152). In die vorinstanzliche Beweiswürdigung greift es nur ein, wenn diese willkürlich ist (Urteile 2C_752/2016 vom 16. September 2016 E. 3.2; 2C_1141/2015 vom 18. Juli 2016 E. 2.2; zur Willkür in der Beweiswürdigung vgl. <ref-ruling> E. 4.4 S. 444; <ref-ruling> E. 4.2 S. 234; <ref-ruling> E. 4.2 S. 560). Frei zu prüfen ist dagegen die Rechtsfrage, ob die festgestellten Tatsachen (Indizien) darauf schliessen lassen, die Berufung auf die Ehe sei rechtsmissbräuchlich oder bezwecke die Umgehung fremdenpolizeilicher Vorschriften (<ref-ruling> E. 2.3 S. 152). Dass die Begründung einer wirklichen Lebensgemeinschaft gewollt war, ergibt sich nach der Rechtsprechung nicht notwendigerweise schon daraus, dass die Ehegatten während einer gewissen Zeit zusammengelebt und (angeblich) intime Beziehungen unterhalten haben; ein derartiges Verhalten kann auch nur vorgespiegelt sein, um die Behörden zu täuschen (<ref-ruling> E. 2b S. 295 mit Hinweisen; Urteil 2C_804/2013 vom 3. April 2014 E. 2.2). Die Zeugung eines Kindes mit einem anderen Partner als dem Ehegatten stellt ein starkes Indiz für eine Scheinehe dar (Urteile 2C_998/2016 vom 10. Mai 2017 E. 3.4; 2C_563/2013 vom 9. Januar 2014 E. 3.4.1).
2.3. Eine Scheinehe liegt umgekehrt nicht bereits dann vor, wenn auch ausländerrechtliche Motive den Eheschluss beeinflusst haben. Erforderlich ist, dass der Wille zur Führung der Lebensgemeinschaft im Sinn einer auf Dauer angelegten wirtschaftlichen, körperlichen und spirituellen Verbindung zumindest bei einem der Ehepartner fehlt (<ref-ruling> E. 3b S. 102). Grundsätzlich muss die Migrationsbehörde die Umgehungsehe nachweisen. Dass eine solche vorliegt, darf dabei nicht leichthin angenommen werden. Die Behörden müssen den Sachverhalt von Amtes wegen möglichst zuverlässig abklären; indessen wird der Untersuchungsgrundsatz durch die Mitwirkungspflicht der Parteien relativiert (vgl. Art. 90 AuG). Diese kommt naturgemäss bei Tatsachen zum Tragen, die eine Partei besser kennt als die Behörden und die ohne ihre Mitwirkung gar nicht oder nicht mit vertretbarem Aufwand erhoben werden können (<ref-ruling> E. 8.6.4 S. 496 f.). Das gilt insbesondere, wenn bereits gewichtige Hinweise für eine Scheinehe sprechen; dann wird von den Eheleuten erwartet, dass sie von sich aus Umstände vorbringen und belegen, um den echten Ehewillen glaubhaft zu machen (Urteile 2C_936/2016 vom 17. März 2017 E. 2.3; 2C_804/2013 vom 3. April 2014 E. 2.3).
3.
3.1. Indizien dafür, dass der Beschwerdeführer die Ehe mit B._ nur zum Schein eingegangen ist, um eine Aufenthaltsbewilligung zu erhalten, ergeben sich im Wesentlichen aus den folgenden, durch die Vorinstanz für das Bundesgericht grundsätzlich verbindlich festgestellten (vgl. <ref-law>) Tatsachen:
3.1.1. Der Beschwerdeführer reiste nach dem Nichteintretensentscheid auf sein Asylgesuch ein zweites Mal illegal in die Schweiz ein, worauf er dem Zivilstandsamt gefälschte Papiere im Zusammenhang mit der geplanten Eheschliessung vorlegte.
3.1.2. Die Ehefrau des Beschwerdeführers ist zehn Jahre älter als er selbst. Die Vorinstanz weist darauf hin, dass ein derartiger Altersunterschied in dem Kulturkreis, aus dem der Beschwerdeführer stammt, die Ausnahme bildet.
3.1.3. Die Ehefrau des Beschwerdeführers wurde seit Dezember 1997 dauerhaft von der Sozialhilfe unterstützt. Bereits vor der Heirat litt sie an schweren gesundheitlichen Problemen; namentlich die Geh- und Sehfähigkeit waren stark eingeschränkt. Auch Depressionen und ein Alkoholproblem wurden erwähnt. Aufgrund der psychischen Erkrankung und der starken Sehbehinderung wurde der Ehefrau des Beschwerdeführers mit Vorbescheid vom 29. Januar 2014 mit Wirkung ab Juni 2013 eine ganze Invalidenrente in Aussicht gestellt.
3.1.4. Knapp eineinhalb Jahre nach der Eheschliessung, am 4. August 2007, kam das erste Kind, welches der Beschwerdeführer mit C._ gezeugt hatte, zur Welt. Zwei weitere, mit derselben Frau gezeugte Kinder wurden 2010 und 2014 geboren. Die Ehefrau des Beschwerdeführers erfuhr erst im Januar 2012 durch das Migrationsamt von den beiden ersten ausserehelichen Geburten. Sie hatte aber bereits am 7. September 2007 beim Bezirksgericht Zürich ein Eheschutzbegehren gestellt, weil der Beschwerdeführer zeitweise nachts nicht nach Hause gekommen sei und sich zudem mit seiner Freundin in der ehelichen Wohnung aufgehalten habe. Aus den Akten geht nicht hervor, warum dieses Eheschutzbegehren im Sand verlief. Am 24. Januar 2014 stellte die Ehefrau mit Hilfe ihres Beistandes erneut ein Eheschutzbegehren beim Bezirksgericht Zürich. Darin machte die Ehefrau geltend, der Beschwerdeführer pflege seit mindestens 2007 eine aussereheliche Beziehung mit C._ und diese erwarte von ihm mittlerweile das dritte Kind. Nach Angabe des Beistandes habe die Ehefrau die Ehe seit langem auflösen wollen, sei jedoch aufgrund ihrer schlechten gesundheitlichen Verfassung und ihrer Fürsorgeabhängigkeit nicht aus eigener Kraft dazu in der Lage gewesen.
3.2. Bei der Würdigung dieser Umstände fällt ins Gewicht, dass der Beschwerdeführer sein Vorhaben, ein Aufenthaltsrecht in der Schweiz zu erhalten, einzig durch eine Heirat verwirklichen konnte. Die körperlich und psychisch stark angeschlagene, sozialhilfeabhängige und zehn Jahre ältere B._ entprach in jeder Hinsicht der typischen Zielgruppe von Schweizerinnen, welche für die Eingehung einer Scheinehe angegangen werden. Die Vorbringen des Beschwerdeführers, wonach er und seine Ehefrau eine echte Liebesbeziehung geführt hätten und er mit C._ lediglich eine sporadische, aussereheliche Affäre gehabt habe, sind angesicht der Zeugung von drei gemeinsamen Kindern nicht glaubhaft. An dieser Beurteilung vermögen die Beteuerungen des Beschwerdeführers, er habe sich um seine Ehefrau gekümmert und würde sie auch heute noch zu Arztterminen und Besorgungen begleiten, nichts zu ändern, zumal derartige Gefälligkeiten durchaus Teil des Arrangements sein können, welches mit einer Scheinehe naturgemäss einhergeht. Das mit der Beschwerde vorgelegte Schreiben von B._ vom 21. Dezember 2016 (dessen Beweiskraft ohnehin fragwürdig wäre) ist ein echtes Novum und damit unbeachtlich (<ref-ruling> E. 3.1.2; <ref-ruling> E. 2.1). Das Gesamtbild der Umstände deutet unzweifelhaft auf eine rechtsmissbräuchliche Eheschliessung hin. Die Vorinstanz hat in Anwendung von Art. 51 Abs. 1 lit. a AuG einen Anspruch auf Verlängerung der Aufenthaltsbewilligung nach Art. 50 Abs. 1 AuG zu Recht verneint.
4.
4.1. Der Beschwerdeführer macht unter Verweis auf seine drei ausserehelich gezeugten Kinder geltend, die Nichtverlängerung der Aufenthaltsbewilligung verletze das Recht auf Achtung des Familienlebens nach Art. 8 Ziff. 1 EMRK.
4.2. Das durch Art. 8 Ziff. 1 EMRK bzw. <ref-law> geschützte Recht ist berührt, wenn eine staatliche Entfernungs- oder Fernhaltemassnahme eine nahe, echte und tatsächlich gelebte familiäre Beziehung einer in der Schweiz gefestigt anwesenheitsberechtigten Person beeinträchtigt, ohne dass es dieser möglich bzw. zumutbar wäre, das entsprechende Familienleben andernorts zu pflegen (<ref-ruling> E. 2.1 S. 336; <ref-ruling> E. 3.1 S. 285). Ein gefestigtes Anwesenheitsrecht wird praxisgemäss im Schweizer Bürgerrecht, in der Niederlassungsbewilligung und in der (befristeten) Aufenthaltsbewilligung erblickt, wenn diese ihrerseits auf einem gefestigten Rechtsanspruch beruht (BGE <ref-ruling> E. 3.1 S. 285), so dass auf deren Erteilung oder Verlängerung ein Anspruch besteht. Dies ist der Fall bei Aufenthaltsbewilligungen, welche sich auf Art. 50 Abs. 1 AuG stützen.
4.3. Die Sicherheitsdirektion stellte in ihrem Entscheid vom 15. August 2016 fest, C._ und ihre mit dem Beschwerdeführer gezeugten Kinder würden nach der Auflösung der Ehegemeinschaft mit einem im Kanton Zürich niederlassungsberechtigten ghanaischen Staatsangehörigen über Aufenthaltsbewilligungen nach Art. 50 Abs. 1 lit. a AuG verfügen. Den Akten ist dazu allerdings nichts zu entnehmen, und auch in der Verfügung des Migrationsamts vom 23. September 2015 wird ohne Verweis auf die Akten lediglich behauptet, die drei Kinder des Beschwerdeführers würden über ein gefestigtes Anwesenheitsrecht verfügen. Nachdem die Vorinstanz diese Prämisse übernommen hat, ohne sie zu verifizieren, steht nicht zweifelsfrei fest, ob ein Anspruch aus Art. 8 Ziff. 1 EMRK überhaupt gegeben ist. Von einer Rückweisung an die Vorinstanz zur Klärung dieser Frage kann jedoch abgesehen werden, weil ohnehin keine Verletzung des Rechts auf Achtung des Familienlebens resultiert bzw. resultieren würde.
4.4. Der nicht sorge- bzw. obhutsberechtigte ausländische Elternteil kann die familiäre Beziehung mit seinem Kind in der Regel aus zivilrechtlichen Gründen nur in beschränktem Rahmen leben, nämlich durch die Ausübung des ihm eingeräumten Rechts auf angemessenen persönlichen Verkehr ("Besuchsrecht", vgl. <ref-law>). Hierfür ist nicht unbedingt erforderlich, dass er sich dauerhaft im selben Land aufhält wie das Kind und dort über ein Anwesenheitsrecht verfügt. Unter dem Gesichtswinkel des Anspruchs auf Familienleben nach Art. 8 Ziff. 1 EMRK bzw. <ref-law> genügt je nach den Umständen, dass der Kontakt zum Kind im Rahmen von Kurzaufenthalten, Ferienbesuchen oder über die modernen Kommunikationsmittel vom Ausland her wahrgenommen werden kann; gegebenenfalls sind die zivilrechtlichen Modalitäten den ausländerrechtlichen Vorgaben entsprechend anzupassen. Der nicht sorge- oder obhutsberechtigte Elternteil eines niedergelassenen ausländischen Kindes hat gestützt auf Art. 8 Ziff. 1 EMRK einen Anspruch auf Erteilung einer Aufenthaltsbewilligung nur unter der Voraussetzung, dass er sich "tadellos" im Sinn der Rechtsprechung verhalten hat und zwischen ihm und seinem Kind in wirtschaftlicher und affektiver Hinsicht eine besonders enge Beziehung besteht, die wegen der Distanz zwischen der Schweiz und dem Herkunftsland dieses Elternteils praktisch nicht aufrecht erhalten werden könnte (<ref-ruling> E. 3.2 S. 147; <ref-ruling> E. 2.2 S. 319).
4.5. Der Beschwerdeführer erfüllt keine dieser Vorgaben.
4.5.1. Dass er sich nicht tadellos verhalten hat, belegt schon die Tatsache, dass er eine Scheinehe eingegangen ist. In strafrechtlicher Hinsicht hat sich der Beschwerdeführer nicht nur zwei Mal der rechtswidrigen Einreise schuldig gemacht, sondern - was schwerer wiegt - der Fälschung von Ausweisen (im Zusammenhang mit der rechtsmissbräuchlichen Eheschliessung). Schliesslich musste er im Jahr 2013 wegen dauerhaften und erheblichen Sozialhilfebezugs verwarnt werden.
4.5.2. Nachdem der Beschwerdeführer seine Kinder nur sporadisch finanziell unterstützte, kann von einer wirtschaftlich engen Beziehung nicht die Rede sein. Die im Zusammenhang mit der Einkommenssituation des Beschwerdeführers eingereichten Unterlagen (Handelsregisterauszug vom 13. Dezember 2016, undatierter Mietvertrag betreffend Lagerraum mit Mietbeginn ab 30. November 2016) sind als echte Noven unbeachtlich (<ref-ruling> E. 3.1.2; <ref-ruling> E. 2.1).
4.5.3. Sodann fehlt es im Hinblick auf die enge affektive Beziehung zu den Kindern an einem üblichen Besuchsrecht im Sinn der Rechtsprechung (vgl. BGE <ref-ruling> E. 2.5 S. 321 f.). Die Vorinstanz hat für das Bundesgericht verbindlich (vgl. <ref-law>) festgehalten, dass der Kontakt zwischen dem Beschwerdeführer und seinen Kindern seit Sommer 2014 markant abgenommen hat. Seit Ende 2015 dürfe er seine Kinder an drei Tagen pro Woche für jeweils zwei bis drei Stunden sehen, wobei die Besuche bei der Kindsmutter oder in der Umgebung stattzufinden hätten. Faktisch sei das Besuchsrecht vermutlich höchstens in diesem Umfang wahrgenommen worden.
Bei dieser Sachlage hat die Vorinstanz eine enge affektive Beziehung zu Recht verneint. Das mit der Beschwerde eingereichte Schreiben von C._ vom 17. Dezember 2016 ist ein echtes Novum und damit unbeachtlich (<ref-ruling> E. 3.1.2; <ref-ruling> E. 2.1). Der Beschwerdeführer bringt nichts vor, was die Feststellungen der Vorinstanz als willkürlich erscheinen liesse (vgl. <ref-law>).
4.6. Nach dem Gesagten ist ein (allfälliger) Anspruch auf Verlängerung der Aufenthaltsbewilligung gemäss Art. 8 Ziff. 1 EMRK bzw. <ref-law> zu verneinen.
5.
Die Beschwerde ist abzuweisen. Die Gerichtskosten sind dem unterliegenden Beschwerdeführer aufzuerlegen (<ref-law>). Es ist keine Parteientschädigung geschuldet (Art. 68 Abs. 1-3 BGG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 2'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten, dem Verwaltungsgericht des Kantons Zürich, 4. Abteilung, und dem Staatssekretariat für Migration schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 21. Juni 2017
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Seiler
Die Gerichtsschreiberin: Genner