Erwägungen:
1.
Die zuständige Staatsanwältin der Staatsanwaltschaft des Kantons Solothurn eröffnete am 28. Juni 2016 gegen A._ eine Untersuchung wegen versuchter schwerer Körperverletzung, einfacher Körperverletzung und mehrfacher Gewalt und Drohung gegen Behörden und Beamte. Am 29. Juni 2016 stellte sie dem Haftgericht den Antrag auf Anordnung von Untersuchungshaft. Mit Verfügung vom 30. Juni 2016 hiess das Haftgericht den Haftantrag gut und ordnete für die Dauer von drei Monaten bis am 29. September 2016 Untersuchungshaft an. Mit Eingabe vom 14. Juli 2016 erhob der mit Verfügung vom 28. Juni 2016 eingesetzte amtliche Verteidiger von A._ Beschwerde gegen die Anordnung der Untersuchungshaft. Die Beschwerdekammer des Obergerichts des Kantons Solothurn wies mit Urteil vom 27. Juli 2016 die Beschwerde ab und auferlegte A._ die Kosten des Beschwerdeverfahrens von Fr. 800.--. Die Beschwerdekammer bejahte den dringenden Tatverdacht bezüglich der einfachen Körperverletzung und der mehrfachen Gewalt und Drohung gegen Behörden und Beamte und ging von Wiederholungs- bzw. Fortsetzungsgefahr aus. Im Weiteren erachtete sie die Untersuchungshaft als verhältnismässig.
Am 29. Juli 2016 reichte A._ beim Obergericht des Kantons Solothurn eine als "Berufung" bezeichnete Eingabe ein und beantragte die vollständige Aufhebung des Urteils der Beschwerdekammer. Mit Schreiben vom 8. August 2016 überwies die Strafkammer des Obergerichts des Kantons Solothurn die Eingabe von A._ dem Bundesgericht zur weiteren Behandlung. Mit Urteil vom 15. August 2016 (1B_292/2016) trat das Bundesgericht auf die Beschwerde mangels einer genügenden Begründung im Sinne von <ref-law> nicht ein.
2.
A._ wandte sich mit Eingabe vom 22. August 2016 an das Bundesgericht. Er führte dabei u.a. aus, dass es ihm nicht "um den Inhalt des Urteils der Beschwerdekammer vom 27.7.2016" gehe, da er gegenwärtig nicht aus der Untersuchungshaft entlassen werden wolle. Da nicht ersichtlich war, was A._ mit der Eingabe vom 22. August 2016 erreichen wollte, forderte ihn das Bundesgericht mit Schreiben vom 24. August 2016 auf, mitzuteilen, als was die Eingabe vom 22. August 2016 behandelt werden soll. Mit Schreiben vom 27. August 2016 wandte sich A._ erneut an das Bundesgericht.
3.
Soweit sich die Eingaben vom 22. und 27. August 2016 erneut gegen das Urteil der Beschwerdekammer des Obergerichts des Kantons Solothurn vom 27. Juli 2016 richten sollten, ist vorweg festzuhalten, dass Streitgegenstand die angeordnete Untersuchungshaft ist. Soweit der Beschwerdeführer die Einsetzung und Prozessführung seines amtlichen Verteidigers beanstandet, kann darauf von vornherein nicht eingetreten werden, da diese Rügen ausserhalb des Streitgegenstandes liegen.
Wie sich aus der Eingabe vom 22. August 2016 ergibt, beanstandet der Beschwerdeführer die angeordnete Untersuchungshaft nicht. Eine Beschwerde gegen das Urteil der Beschwerdekammer vom 27. Juli 2016 kann sich folglich nur noch gegen die Auferlegung der Kosten des Beschwerdeverfahrens richten. Bereits mit Urteil 1B_292/2016 vom 15. August 2016 ist das Bundesgericht auf eine entsprechende Rüge mangels einer genügenden Begründung im Sinne von <ref-law> nicht eingetreten. Auch mit den neuen Eingaben vom 22. und 27. August 2016 vermag der Beschwerdeführer mit seinem erneuten Hinweis, er habe den amtlichen Anwalt nicht mit der Einreichung eines Haftentlassungsgesuch beauftragt, dieser habe vielmehr gegen seinen Willen gehandelt, nicht aufzuzeigen, inwiefern die beanstandete Kostenauflage rechts- bzw. verfassungswidrig sein soll. Demgemäss ist auch vorliegend mangels einer genügenden Begründung auf die Beschwerde gegen das Urteil der Beschwerdekammer des Obergerichts des Kantons Solothurn vom 27. Juli 2016 nicht einzutreten.
4.
Sollte A._ seine Eingaben vom 22. und 27. August 2016 als Revisionsgesuch gegen das bundesgerichtliche Urteil 1B_292/2016 vom 15. August 2016 auffassen, kann darauf ebenfalls nicht eingetreten werden. Er beruft sich in seinen Eingaben auf keinen Revisionsgrund (<ref-law>) und legt nicht ansatzweise dar, inwiefern ein solcher vorliegen sollte. Deshalb ist auf das Revisionsgesuch ohne Schriftenwechsel (<ref-law>) nicht einzutreten.
5.
Angesichts der Aussichtslosigkeit des Verfahrens ist dem Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege nicht zu entsprechen (<ref-law>). Auf eine Kostenauflage kann indessen verzichtet werden (<ref-law>).
Der Beschwerdeführer wird darauf aufmerksam gemacht, dass sich das Bundesgericht vorbehält, inskünftig ähnliche Eingaben in der vorliegenden Angelegenheit formlos abzulegen.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2.
Auf das Revisionsgesuch wird nicht eingetreten.
3.
Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege wird abgewiesen.
4.
Es werden keine Kosten erhoben.
5.
Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer, der Staatsanwaltschaft des Kantons Solothurn und dem Obergericht des Kantons Solothurn, Beschwerdekammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 12. September 2016
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Fonjallaz
Der Gerichtsschreiber: Pfäffli