Sachverhalt:
A.
A._ wurde am 1. Januar 2012 von B._ mit einem Klappmesser durch zwei Stiche in den Bauch verletzt. Das Bezirksgericht Winterthur sprach B._ mit Urteil vom 19. September 2013 der schweren Körperverletzung (Art. 122 Abs. 1 StGB) und weiterer Delikte schuldig. Den zivilrechtlichen Anspruch von A._ auf Schadenersatz hiess es im Grundsatz gut, zudem verpflichtete es den Täter, ihm eine Genugtuung von Fr. 25'000.-- zuzüglich 5 % Zins seit dem 1. Januar 2012 zu bezahlen.
Am 13. Januar 2014 stellte A._ bei der Opferhilfestelle des Kantons Zürich ein Gesuch um eine Genugtuung von Fr. 25'000.-- zuzüglich 5 % Zins seit dem 1. Januar 2012. Mit Verfügung vom 24. April 2014 sprach ihm die Opferhilfestelle eine Genugtuung im Betrag von Fr. 8'000.-- zu (ohne Zins). Im Mehrbetrag wies sie das Gesuch ab.
Dagegen erhob A._ Beschwerde ans Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich. Er beantragte eine Genugtuung von mindestens Fr. 16'667.--. Mit Urteil vom 31. August 2015 wies das Sozialversicherungsgericht das Rechtsmittel ab.
B.
Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten ans Bundesgericht vom 14. Oktober 2015 beantragt A._ sinngemäss, das Urteil des Sozialversicherungsgerichts sei aufzuheben und die Opferhilfestelle zu verpflichten, ihm eine Genugtuung von mindestens Fr. 16'667.-- zuzusprechen.
Das Sozialversicherungsgericht und das ebenfalls zur Vernehmlassung eingeladene Bundesamt für Justiz haben auf eine Stellungnahme verzichtet. Die kantonale Opferhilfestelle hat sich nicht vernehmen lassen.

Erwägungen:
1.
Der angefochtene Entscheid stellt einen kantonal letztinstanzlichen Endentscheid (vgl. Art. 86 Abs. 1 lit. d und Abs. 2 sowie Art. 90 BGG) im Bereich der Opferhilfe dar. Dagegen steht die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten gemäss Art. 82 lit. a BGG offen. Bei der Opferhilfe geht es nicht um Staatshaftung, weshalb die Streitwertgrenze gemäss Art. 85 Abs. 1 lit. a BGG nicht anwendbar ist (<ref-ruling> E. 2.2.4 S. 121; Urteil 1C_326/2014 vom 16. Januar 2015 E. 1.1; je mit Hinweisen). Die weiteren Sachurteilsvoraussetzungen geben zu keinen Bemerkungen Anlass. Auf die Beschwerde ist vorbehältlich einer hinreichenden Begründung der Beschwerde (vgl. Art. 42 Abs. 2 und Art. 106 Abs. 2 BGG) einzutreten.
2.
2.1. Bei der Bemessung der Genugtuung berücksichtigte das Sozialversicherungsgericht die körperliche und psychische Beeinträchtigung des Beschwerdeführers. Die Verletzung sei zwar bis auf eine Narbe und eine Sensibilitätsstörung oberhalb der Narbe vollständig abgeheilt. Zudem gebe es gemäss dem Entscheid der Opferhilfestelle keine Hinweise auf einen ausserordentlich langen Heilungsverlauf oder auf Komplikationen. Indessen habe aufgrund der Verletzung eine akute Lebensgefahr bestanden und sei eine situationsbedingte erhöhte psychische Verletzlichkeit zurückgeblieben. Laut dem Bericht des Kantonsspitals Winterthur vom 8. Februar 2012 hätten die Messerstiche zu einer Eviszeration (Heraustreten) von Dünndarm geführt. Während der Operation hätten sich weiter eine Verletzung des Bauchfells, eine Verletzung einer Dünndarmarterie, zwei Löcher im Dickdarm und eine oberflächliche Dünndarmverletzung gezeigt. Ohne ärztliche Versorgung wäre der Beschwerdeführer verblutet und es wäre wegen der Darmverletzung zu einer Entzündung mit möglicherweise ebenfalls tödlichen Folgen gekommen. Dr. med. C._, Facharzt für Psychiatrie und Psychotherapie, habe in seinem Bericht vom 27. November 2012 eine Anpassungsstörung diagnostiziert. Im Laufe des Jahres habe der Beschwerdeführer seine Arbeitsstelle verloren und es sei zur Trennung von seiner Ehefrau gekommen. Beides sei durch die psychische Störung nach dem 1. Januar 2012 bedingt. Am 9. September 2013 habe Dr. C._ berichtet, aufgrund des bisherigen Verlaufs könne damit gerechnet werden, dass die Symptomatik weiter abklingen werde, sodass die Diagnose der Anpassungsstörung nicht mehr gerechtfertigt sei. Es werde jedoch vermutlich eine erhöhte psychische Verletzlichkeit gegenüber Situationen, die zwischenmenschliche Konflikte oder aggressive Auseinandersetzungen beinhalteten, zurückbleiben.
Das Sozialversicherungsgericht kam nach einem Vergleich mit Präjudizien zum Schluss, dass eine zivilrechtliche Genugtuungssumme von Fr. 13'000.-- angemessen sei. Dieser Betrag sei aufgrund des tieferen Bemessungsrahmens im Opferhilferecht um 40 % zu kürzen, was Fr. 7'800.-- ergebe. Es sei demzufolge nicht zu beanstanden, wenn die Opferhilfestelle dem Beschwerdeführer Fr. 8'000.-- als Genugtuung zugesprochen habe.
2.2. Der Beschwerdeführer macht geltend, es habe kein Anlass bestanden, von den Sachverhaltsfeststellungen und rechtlichen Erwägungen des Strafgerichts abzuweichen. Das Sozialversicherungsgericht behaupte solches denn auch nicht. Trotzdem habe es das Strafurteil ignoriert und die Höhe der Genugtuung nach einer eigenen Würdigung der einschlägigen Rechtsprechung festgesetzt. Indessen würden auch die entsprechenden Präjudizien keinen Anlass geben, die vom Strafgericht festgesetzte Genugtuung um nahezu die Hälfte zu kürzen. Auszugehen sei somit von einer Genugtuung von Fr. 25'000.--. Diese könne gemäss den Gesetzesmaterialien um einen Drittel gekürzt werden, um der spezifischen Zwecksetzung der Opferhilfe Rechnung zu tragen. Dies ergebe einen Betrag von Fr. 16'667.--.
3.
3.1. Bereits unter Geltung des alten Opferhilfegesetzes vom 4. Oktober 1991 in der bis zum 31. Dezember 2008 geltenden Fassung (aOHG) galt gemäss konstanter Rechtsprechung, dass bei der Prüfung der Angemessenheit einer Genugtuung die Opferhilfebehörde nicht an das Erkenntnis des Strafgerichts gebunden ist (Urteil 1C_286/2008 vom 1. April 2009 E. 4 mit Hinweisen). Das Bundesgericht hielt zudem fest, dass die opferhilferechtliche Genugtuung nicht gleich hoch wie die zivilrechtliche zu sein habe. Sie dürfe tiefer angesetzt werden, da sie nicht vom Täter, sondern - als Akt der Solidarität - von der Allgemeinheit bezahlt wird. Indessen bezeichnete es das Bundesgericht als sinnvoll, wenn sich die Bemessung der Genugtuung nach Opferhilfegesetz nicht zu weit von den zivilrechtlichen Grundsätzen, wie sie die Strafgerichte im Adhäsionsverfahren (vgl. Art. 9 aOHG) anwenden, entferne (<ref-ruling> E. 2.2.4 S. 121 mit Hinweisen).
3.2. Im Rahmen der Revision des Opferhilfegesetzes bildete die Genugtuung einen der zentralen Punkte. Im Vernehmlassungsverfahren sprach sich eine überwiegende Mehrheit für deren Beibehaltung aus. Der Bundesrat schrieb dazu in der Gesetzesbotschaft, der Genugtuung komme eine wichtige symbolische Rolle zu, denn mit ihr anerkenne das Gemeinwesen die schwierige Situation des Opfers (Botschaft vom 9. November 2005 zur Totalrevision des Opferhilfegesetzes, BBl 2005 7223 Ziff. 2.3.2). Dementsprechend hat das Opfer auch nach dem revidierten, am 1. Januar 2009 in Kraft getretenen Opferhilfegesetz Anspruch auf eine Genugtuung, wenn die Schwere der Beeinträchtigung es rechtfertigt. Die Art. 47 und 49 OR sind gemäss Art. 22 Abs. 1 OHG sinngemäss anwendbar, wie dies bereits nach der Praxis zum aOHG galt. Ebenso ist die Genugtuung weiterhin nach der Schwere der Beeinträchtigung zu bemessen (Art. 23 Abs. 1 OHG). Neu ist indessen, dass die Genugtuung der Opferhilfe durch Höchstbeträge beschränkt wird. Für das Opfer beträgt sie gemäss Art. 23 Abs. 2 lit. a OHG höchstens Fr. 70'000.--, für Angehörige Fr. 35'000.--.
Die Festlegung von Höchstbeträgen führte zu einer klaren Abkoppelung der opferhilferechtlichen von der zivilrechtlichen Genugtuung (vgl. PETER GOMM, in: Opferhilfegesetz, 3. Aufl. 2009, N. 4 zu Art. 23 OHG). Sie bringt den gesetzgeberischen Willen zum Ausdruck, bei der Bemessung klar tiefer anzusetzen als die zivilrechtliche Praxis (BBl 2005 7226 Ziff. 2.3.2). Die nach Privatrecht üblicherweise gewährten Beträge können jedoch einen Hinweis darauf geben, welche Beeinträchtigungen höhere Genugtuungen rechtfertigen. Die Höchstsummen sind für die schwersten Verletzungen vorbehalten (a.a.O.).
3.3. Den kantonalen Behörden steht bei der Festsetzung der Höhe der Genugtuung ein weiter Ermessensspielraum zu, in den das Bundesgericht nur eingreift, wenn grundlos von den in Lehre und Rechtsprechung entwickelten Grundsätzen abgewichen wird, wenn Tatsachen berücksichtigt werden, die für den Entscheid im Einzelfall keine Rolle spielen dürfen oder wenn umgekehrt Umstände ausser Betracht geblieben sind, die hätten beachtet werden müssen, oder wenn sich der Entscheid als offensichtlich ungerecht erweist (<ref-ruling> E. 2.2.5 S. 121 mit Hinweisen).
4.
4.1. Wenn der Beschwerdeführer kritisiert, die Vorinstanz sei von der im Strafurteil adhäsionsweise festgesetzten zivilrechtlichen Genugtuung abgewichen, übersieht er, dass die Opferhilfebehörde bei der Prüfung der Angemessenheit einer Genugtuung nicht an das Erkenntnis des Strafgerichts gebunden ist (vgl. das bereits erwähnte Urteil 1C_286/2008 vom 1. April 2009 E. 4 mit Hinweisen). Festzuhalten ist in dieser Hinsicht zudem, dass sich das Sozialversicherungsgericht zwar nicht direkt auf die Genugtuungsbemessung durch das Strafgericht bezogen, jedoch ausgehend von den Sachverhaltsfeststellungen im Strafurteil und gestützt auf vergleichbare Fälle dargelegt hat, weshalb eine zivilrechtliche Genugtuungsumme von Fr. 13'000.-- als angemessen erscheine. Das Verschulden des Täters berücksichtigte es dabei, im Unterschied zum Strafgericht, zu Recht nicht (vgl. <ref-ruling> E. 2.2.4 S. 121, wonach täterbezogene Merkmale unberücksichtigt bleiben, zumal die Genugtuung nicht vom Täter, sondern von der Allgemeinheit bezahlt wird). Der Beschwerdeführer bringt vor, die Präjudizien würden eine derartige Abweichung nicht rechtfertigen, begründet seine Auffassung jedoch nicht weiter. Mit den ausführlichen Erwägungen im angefochtenen Entscheid setzt er sich ebenfalls nicht auseinander. Darauf ist nicht weiter einzugehen (Art. 42 Abs. 2 BGG).
4.2. Ebenfalls nicht zu beanstanden ist nach dem Ausgeführten, dass das Sozialversicherungsgericht die opferhilferechtliche Genugtuung deutlich tiefer ansetzte als die zivilrechtliche. Der Beschwerdeführer fordert in dieser Hinsicht unter Hinweis auf die Botschaft, dass die zivilrechtlich angemessene Genugtuung nur um einen Drittel gekürzt werden dürfe. Aus der Botschaft geht indessen lediglich hervor, dass der Betrag von Fr. 70'000.-- ungefähr zwei Dritteln des üblichen haftpflichtrechtlichen Grundbetrags bei dauernder Invalidität, der bei Fr. 100'000.-- angesetzt werde, entspricht (BBl 2005 7225 Ziff. 2.3.2). Ein zwingender Automatismus im Sinne einer "Zwei-Drittel-Regel" ergibt sich daraus nicht. Vielmehr wird ausdrücklich darauf hingewiesen, dass es der Praxis überlassen werden solle, einen Tarif zu entwickeln (BBl 2005 7226 Ziff. 2.3.2; vgl. auch MERET BAUMANN/BLANCA ANABITARTE/SANDRA MÜLLER GMÜNDER, Genugtuungspraxis Opferhilfe, Jusletter vom 1. Juni 2015, Rz. 4).
4.3. Das Sozialversicherungsgericht ist aufgrund eines Vergleichs des Höchstbetrags von Fr. 70'000.-- mit den im Haftpflichtrecht zugesprochenen Höchstsummen zum Schluss gekommen, dass eine Herabsetzung um 40 % gerechtfertigt sei. Angesichts des weiten Ermessensspielraums der kantonalen Behörden sowie des Umstands, dass der genannte Höchstbetrag den schwersten Fällen vorbehalten sein soll, und unter Berücksichtigung des Rechtsgleichheitsgebots (Art. 8 Abs. 1 BV) ist ein derartiges Vorgehen nicht zu beanstanden (vgl. BBl 2005 7226 Ziff. 2.3.2; vgl. auch Bundesamt für Justiz, Leitfaden zur Bemessung der Genugtuung nach Opferhilfegesetz, 2008, S. 5, «https:// www.bj.admin.ch/bj/de/home/gesellschaft/opferhilfe/hilfsmittel.html» [besucht am 22. Januar 2016]). Die pauschale Kritik des Beschwerdeführers ist schliesslich auch nicht geeignet aufzuzeigen, dass der angefochtene Entscheid im Ergebnis offensichtlich ungerecht ist (vgl. E. 3.3 hiervor). Die sinngemäss vorgetragene Rüge der Verletzung von Art. 23 OHG ist somit unbegründet.
5.
Die Beschwerde ist aus den genannten Gründen abzuweisen, soweit darauf einzutreten ist.
Es werden keine Gerichtskosten erhoben (Art. 30 Abs. 1 OHG). Eine Parteientschädigung ist nicht zuzusprechen (Art. 68 Abs. 1-3 BGG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.
Es werden keine Gerichtskosten erhoben.
3.
Es wird keine Parteientschädigung zugesprochen.
4.
Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer, dem Kanton Zürich, dem Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich, II. Kammer, Einzelrichter, und dem Bundesamt für Justiz schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 28. Januar 2016
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Fonjallaz
Der Gerichtsschreiber: Dold