Sachverhalt:
A.
Die Finanzverwaltung des Kantons Bern schrieb am 18. Februar 2016 die Betriebshaftpflichtversicherung für "sämtliche Institutionen und angegliederten Betriebe" des Kantons Bern ab 1. Januar 2017 sowie den "Rahmenvertrag zum Abschluss von einzelnen Probandenversicherungen im Zusammenhang mit der Durchführung von klinischen Versuchen und Forschungsprojekten" öffentlich aus. Gemäss Eignungskriterien werden nur Angebote von "Versicherungsunternehmen mit einer Bewilligung der Aufsichtsbehörde" entgegen genommen, wobei "ein aktuelles Zertifikat" der Eidgenössischen Finanzmarktaufsicht FINMA beizulegen ist (Ziff. 1.1 Anhang I der Ausschreibungsunterlagen). Weiter werden Bietergemeinschaften, Teilangebote und der Einsatz von Subakkordantinnen und Subakkordanten ausgeschlossen (Ziff. 3.8 Anhang I der Ausschreibungsunterlagen).
B.
Die X._ AG gelangte am 25. Februar 2016 mit Beschwerde an die Finanzdirektion des Kantons Bern und beantragte, die Ausschreibung sei zu widerrufen und nicht nur Versicherungsgesellschaften, sondern "auch Versicherungsagenten sowie Versicherungsmakler" seien zur Offertstellung zuzulassen. Die kantonale Finanzdirektion trat mit Entscheid vom 31. März 2016 nicht auf die Beschwerde ein. Mit Urteil vom 19. Mai 2016 wies das Verwaltungsgericht des Kantons Bern die gegen diesen Entscheid von X._ AG geführte Beschwerde im Sinne der Erwägungen ab.
C.
Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten vom 17. Juni 2016 an das Bundesgericht beantragt X._ AG, das Urteil des Verwaltungsgerichts Bern vom 19. Mai 2016 sei kostenfällig aufzuheben. Des Weiteren beantragt die Beschwerdeführerin die Feststellung, Versicherungsbroker seien bei öffentlichen Beschaffungen einer Versicherungsdienstleistung zur Angebotsabgabe zuzulassen. Der kantonalen Finanzverwaltung sei zu untersagen, den in Sachen Ausschreibung tätig gewordenen Versicherungsbroker Y._ AG nach Zuschlag der ausgeschriebenen Versicherungsdienstleistungen mit der Betreuung derselben weiterhin zu beauftragen.
Die Vorinstanz schliesst auf Nichteintreten, eventualiter auf Abweisung der Beschwerde. Die kantonale Finanzverwaltung lässt sich dahingehend vernehmen, die Beschwerde sei abzuweisen. Die Wettbewerbskommission WEKO hat auf die Einreichung einer Vernehmlassung verzichtet.

Erwägungen:
1.
1.1. Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten wurde unter Einhaltung der gesetzlichen Frist (Art. 100 Abs. 1 BGG) und Form (Art. 42 BGG) eingereicht und richtet sich gegen einen Entscheid einer letzten oberen kantonalen Instanz (Art. 86 Abs. 1 lit. d und Abs. 2 BGG) in einer Angelegenheit des öffentlichen Rechts (Art. 82 lit. a BGG).
1.2. Art. 83 lit. f BGG schliesst Beschwerden gegen Entscheide auf dem Gebiet der öffentlichen Beschaffungen aus, wenn der geschätzte Wert des zu vergebenden Auftrags den massgebenden Schwellenwert des Bundesgesetzes vom 16. Dezember 1994 über das öffentliche Beschaffungswesen (BöB; SR 172.056.1) oder des Abkommens vom 21. Juni 1999 zwischen der Schweizerischen Eidgenossenschaft und der Europäischen Gemeinschaft über bestimmte Aspekte des öffentlichen Beschaffungswesens (SR 0.172.052.68) nicht erreicht, oder wenn sich keine Rechtsfrage von grundsätzlicher Bedeutung stellt.
1.2.1. Bei der Rechtsfrage von grundsätzlicher Bedeutung im Sinne von Art. 83 lit. f BGG muss es sich um eine Rechtsfrage aus dem Gebiet des öffentlichen Beschaffungsrechts handeln (<ref-ruling> E. 1.2.2.1 S. 21; <ref-ruling> E. 1.3 S. 195). Eine Rechtsfrage von grundsätzlicher Bedeutung liegt vor, wenn eine durch das Bundesgericht frei überprüfbare Norm zur Herstellung ihrer einheitlichen Auslegung und Auslegung eines höchstrichterlichen Urteils bedarf, und sie für die Praxis wegleitend sein kann (<ref-ruling> E. 1.2.2.1 S. 21; <ref-ruling> E. 1.3 S. 4; Urteil 2C_6/2016 vom 18. Juli 2016 E. 1.4.1, zur Publ. vorg.; Botschaft vom 28. Februar 2001 zur Totalrevision der Bundesrechtspflege, BBl 2001 4309). Soweit es bei der aufgeworfenen Rechtsfrage lediglich um die Anwendung von Grundsätzen auf einen Einzelfall geht, handelt es sich nicht um eine solche von grundsätzlicher Bedeutung (<ref-ruling> E. 1.2.2.1 S. 21; <ref-ruling> E. 1.3 S. 4). Ebensowenig genügt, dass eine Rechtsfrage noch nie entschieden worden ist (<ref-ruling> E. 1.2.2.1 S. 21; Urteil 2C_6/2016 vom 18. Juli 2016 E. 1.4.1, zur Publ. vorg.). Ist eine Beschwerde nur unter der Voraussetzung zulässig, dass sich eine Rechtsfrage grundsätzlicher Bedeutung stellt, ist in der Beschwerdeschrift auszuführen, warum diese Voraussetzung erfüllt ist (Art. 42 Abs. 2 BGG).
1.2.2. Die Beschwerdeführerin erblickt die Rechtsfrage von grundsätzlicher Bedeutung im Sinne von Art. 83 lit. f BGG darin, dass in letzter Zeit in der Schweiz wiederholt auf dem Gebiet der öffentlichen Beschaffung von Versicherungsdienstleistungen durch die öffentliche Hand die Ausschreibung des Beschaffungsgegenstandes an "externe broker" übertragen worden sei, ohne dass die hieraus resultierenden diskriminierenden und den wirksamen Wettbewerb unnötig behindernden Problemstellungen hinreichend Rechnung getragen worden wäre. Dadurch würden in der Schweiz pro Jahr Versicherungsdienstleistungen im Submissionswert von mehreren Fr. 100 Mio. möglicherweise rechtswidrig ausgeschrieben und wirtschaftlich günstigere Angebote verhindert. Dieser Sachverhalt sei bis anhin noch nicht einschlägig durch das Bundesgericht beurteilt worden, weshalb eine Rechtsfrage von grundsätzlicher Bedeutung vorliege.
1.2.3. Die Vorinstanz hat im angefochtenen Urteil erwogen, die kantonale Finanzdirektion hätte die Beschwerde der Beschwerdeführerin behandeln müssen, nahm sich der Streitigkeit trotz deren Nichteintretensentscheid in der Sache an und prüfte, ob die beanstandete Ausschreibung vom Februar 2016 Recht verletze. Aus Art. 11 lit. a und b der Interkantonalen Vereinbarung vom 25. November 1994/15. März 2001 über das öffentliche Beschaffungswesen (IVöB), wonach im Vergabeverfahren Anbieterinnen und Anbieter nicht zu diskriminieren und gleich zu behandeln sind sowie ein wirksamer Wettbewerb zu wahren ist, leitete sie die Pflicht der Vergabebehörde ab, den Auftrag so auszuschreiben, dass potentielle Anbieterinnen und Anbieter beim Marktzugang gleich behandelt würden. Unzulässig - weil diskriminierend seien solche Eignungskriterien, die den wirksamen Wettbewerb durch Vorgaben, die nur von wenigen Anbieterinnen und Anbietern erfüllt werden könnten, unnötig behindern würden. Sie entschied, der Umstand, dass nur durch die FINMA beaufsichtigte Versicherungsunternehmen, nicht aber Versicherungsbrokerinnen und -broker zur Offertstellung zugelassen würden, stelle deswegen keine unzulässige Wettbewerbsbeschränkung dar, weil die Einschränkung des Kreises der Anbieterinnen und Anbieter sachlich gerechtfertigt sei.
1.2.4. Entgegen der Ansicht der Beschwerdeführerin ist die Rechtsfrage, ob durch die Einschränkung des Kreises der Anbieterinnen und Anbieter auf beaufsichtigte Versicherungsunternehmen die ausgeschlossenen Anbieterinnen und Anbieter diskriminiert oder ungleich behandelt würden und dadurch ein wirksamer Wettbewerb im Vergabeverfahren nicht eingehalten werde, eine solche der Anwendung von Art. 11 lit. a und b IVöB auf den vorliegenden konkreten Anwendungsfall - die Ausschreibung vom 18. Februar 2016 - und damit nicht von grundsätzlicher Bedeutung im Sinne der Rechtsprechung (vgl. oben, E. 1.2.1). Als Rechtsfrage grundsätzlicher Bedeutung könnte das Bundesgericht etwa zwecks Herstellung einer einheitlichen Auslegung und Anwendung der frei überprüfbaren Vorschrift von Art. 11 lit. a und b IVöB (vgl. Art. 95 lit. e BGG) die Konturen der unbestimmten Gesetzesbegriffe der Nichtdiskriminierung und Gleichbehandlung oder der Gewährleistung eines wirksamen Wettbewerbs festlegen, soweit dies für die Praxis wegleitend sein kann. Die Rechtsanwendung dieser unbestimmten Gesetzesbegriffe auf den konkreten Anwendungsfall der Ausschreibung vom 18. Februar 2016 begründet jedoch ebensowenig eine grundsätzliche Bedeutung der Rechtsfrage wie der Umstand, dass sie durch das Bundesgericht noch nie entschieden worden sein soll. Damit fehlt es an der Beschwerdevoraussetzung der Rechtsfrage von grundsätzlicher Bedeutung (Art. 83 lit. f Ziff. 2 BGG), weshalb ohne weitere Prüfung der kumulativen Voraussetzung des Schwellenwertes (Art. 83 lit. f Ziff. 1 BGG; <ref-ruling> E. 1.1 S. 289) auf die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten nicht einzutreten ist.
1.3. Zu prüfen ist, ob die eingereichte Rechtsschrift vom 17. Juni 2016 als subsidiäre Verfassungsbeschwerde gegen das angefochtene Urteil des Verwaltungsgerichts des Kantons Bern vom 19. Mai 2016 entgegen genommen werden kann (Art. 113 BGG; <ref-ruling> E. 1.1 S. 289; <ref-ruling> E. 2.3 S. 256).
1.3.1. Zur Verfassungsbeschwerde ist legitimiert, wer (lit. a) vor der Vorinstanz am Verfahren teilgenommen oder zu Unrecht keine Möglichkeit zur Teilnahme erhalten hat und (lit. b) ein rechtlich geschütztes Interesse an der Aufhebung oder Änderung des angefochtenen Entscheids dartun kann (Art. 115 BGG; <ref-ruling> E. 3 S. 190). Mit der subsidiären Verfassungsbeschwerde kann nur die Verletzung von verfassungsmässigen Rechten gerügt werden (Art. 116 BGG), wofür eine qualifizierte Rügepflicht gilt (Art. 117 in Verbindung mit Art. 106 Abs. 2 BGG) : Das Bundesgericht prüft eine solche Rüge nur insofern, als sie in der Beschwerde präzise vorgebracht und begründet worden ist (Art. 106 Abs. 2 BGG; <ref-ruling> E. 1.4.1 S. 53). Wird eine Verletzung des Willkürverbots (Art. 9 BV) geltend gemacht, muss im Einzelnen dargelegt werden, inwiefern der angefochtene Entscheid an einem qualifizierten und offensichtlichen Mangel leidet. Auf ungenügend begründete Rügen und bloss allgemein gehaltene, appellatorische Kritik am angefochtenen Entscheid geht es nicht weiter ein (<ref-ruling> E. 1.3 S. 60; <ref-ruling> E. 3 S. 352; <ref-ruling> E. 1.4.2 S. 254; je mit Hinweisen).
1.3.2. In der Sache macht die Beschwerdeführerin geltend, das die Beschwerde verursachende, im Submissionsverfahren geforderte und mit dem angefochtenen Urteil als zulässig bestätigte Eignungskriterium - Erbringung der Dienstleistung durch ein Versicherungsunternehmen mit Bewilligung der FINMA - erscheine nur vordergründig für sich alleine betrachtet als nicht diskriminierend, denn in Konstellation mit den übrigen Eignungs- und Zuschlagskriterien würden nur noch eine Handvoll etablierter, in der Schweiz ansässiger Versicherungsgesellschaften als Anbieterinnen übrig bleiben, weshalb auch kein wirksamer Wettbewerb gewährleistet werde. Sie rügt, sie werde als Versicherungsbrokerin von der Vergabestelle ohne sachlichen Grund anders als (der Aufsicht der FINMA unterstellte) Versicherungsunternehmen behandelt.
Nach ständiger Rechtsprechung stellt das in Art. 11 lit. a IVöB enthaltene beschaffungsrechtliche Diskriminierungsverbot kein verfassungsmässiges Recht dar, welches mit subsidiärer Verfassungsbeschwerde gerügt werden könnte (Urteile 2C_665/2015 vom 26. Januar 2016 E. 2.2; 2C_1196/2013 vom 21. Februar 2014 E. 1.5; HANSJÖRG SEILER, Bundesgerichtsgesetz, 2. Aufl. 2015, N. 7 zu Art. 116 BGG). Zulässig (siehe Urteil 2C_665/2015 vom 26. Januar 2016 E. 2.3) ist jedoch die Rüge, der über das verfassungsrechtliche Rechtsgleichheitsgebot von Art. 8 Abs. 1 BV hinausgehende Grundsatz der Gleichbehandlung direkter Konkurrenten (Urteil 2C_61/2012 vom 2. Juni 2012 E. 4.2) sei verletzt. Dieser aus Art. 27 in Verbindung mit Art. 94 BV abgeleitete Grundsatz (<ref-ruling> E. 5.5.2 S. 6) vermittelt zwar keinen Anspruch auf staatliche Aufträge, garantiert jedoch die Möglichkeit, an öffentlichen Submissionen nach sachgerechten und wettbewerbsneutral ausgestalteten Zulassungsbedingungen teilnehmen zu können (Urteil 2C_665/2015 vom 26. Januar 2016 E. 2.3). In dem Umfang, wie die Beschwerdeführerin klar und ausdrücklich, wenn auch ohne Nennung der einschlägigen Rechtsgrundlagen, eine verfassungswidrige Ungleichbehandlung mit (aus ihrer Sicht) direkten Konkurrenten - vorliegend der Aufsicht der FINMA unterstehende Versicherungsunternehmen - rügt, kann ihre Rechtsschrift vom 17. Juni 2016 als subsidiäre Verfassungsbeschwerde wegen Verletzung von Art. 27 in Verbindung mit Art. 94 BV entgegen genommen werden. Ob die Beschwerdeführerin Aussichten auf Erhalt des Zuschlages hat, spielt angesichts dessen, dass sich das Verfahren gegen die Ausschreibung (Art. 15 Abs. 1bis lit. a IVöB) und nicht etwa gegen den Zuschlag (vgl. dazu ausführlich <ref-ruling> E. 4.1 S. 27) richtet, unter dem Gesichtspunkt der Beschwerdelegitimation keine Rolle; in Verfahren gegen die Ausschreibung ist regelmässig massgeblich, ob die beschwerdeführende Person als potentielle Anbieterin der nachgefragten Dienstleistung in Frage kommt und die Durchführung eines neuen Vergabeverfahrens bzw. die Feststellung von dessen Rechtswidrigkeit beantragt (Urteil 1P.338/2004 vom 11. August 2004 E. 2.1, E. 2.2). Der Umstand, dass während hängigem Rechtsmittelverfahren allenfalls der Zuschlag einer Konkurrentin oder einem Konkurrenten erteilt worden ist, lässt das praktische Rechtsschutzinteresse der Beschwerdeführerin nicht entfallen, kann doch nach ständiger bundesgerichtlicher Praxis ein Anbieter, der eine Beschwerde gegen die Ausschreibung (inklusive Ausschreibungsunterlagen) unterlassen hat, in einem späteren Verfahren gegen den Zuschlag Festlegungen, die in der Ausschreibung oder den Ausschreibungsunterlagen enthalten waren, nicht mehr beanstanden (<ref-ruling> E. 4.2 S. 245 f.; <ref-ruling> E. 6.2 S. 321 f.; Urteil 2C_409/2015 vom 28. September 2015 E. 4.2; ROBERT WOLF, Die Beschwerde gegen Vergabeentscheide - Eine Übersicht über die Rechtsprechung zu den neuen Rechtsmitteln, ZBl 104/2003 S. 5).
2.
Soweit die Eingabe des Beschwerdeführers als subsidiäre Verfassungsbeschwerde wegen Verletzung von Art. 27 in Verbindung mit Art. 94 BV entgegen genommen werden kann, ist sie als unbegründet abzuweisen. Die Bewilligung durch die FINMA, welche unterschiedslos sowohl für schweizerische Versicherungsunternehmen (Art. 2 Abs. 1 lit. a des Bundesgesetzes vom 17. Dezember 2004 betreffend die Aufsicht über Versicherungsunternehmen [SR 961.01; VAG]) wie für Versicherungsunternehmen mit Sitz im Ausland (Art. 2 Abs. 1 lit. b VAG) hinsichtlich spezifischer Versicherungstätigkeiten vorausgesetzt wird (Art. 3 Abs. 1 VAG), dient als aufsichtsrechtliche Zulassungsvorschrift dem Schutz der Versicherten vor den Insolvenzrisiken der Versicherungsunternehmen und vor Missbräuchen (Art. 1 Abs. 2 VAG). Zur Verwirklichung dieses Gesetzeszweckes unterstehen die bewilligten Versicherungsunternehmen der Aufsicht der FINMA (Art. 1 Abs. 1 lit. g des Bundesgesetzes vom 22. Juni 2007 über die Eidgenössische Finanzmarktaufsicht [FINMAG; SR 956.1], Art. 3 lit. a FINMAG in Verbindung mit Art. 3 Abs. 1 VAG). Die Anforderung der Vergabestelle, den Vertrag für die ausgeschriebene Betriebshaftpflichtversicherung direkt mit einem infolge Bewilligungspflicht der dauernden Aufsicht der FINMA unterstehenden Versicherungsunternehmen schliessen zu wollen, ist nachvollziehbar und damit sachlich begründet, weshalb darin keine verfassungswidrige Ungleichbehandlung zu erblicken ist (Urteil 2C_665/2015 vom 26. Januar 2016 E. 3.2.3). Die subsidiäre Verfassungsbeschwerde ist abzuweisen.
3.
Bei diesem Verfahrensausgang sind die Gerichtskosten der Beschwerdeführerin aufzuerlegen (Art. 66 Abs. 1 BGG). Parteientschädigungen werden nicht gesprochen (Art. 68 Abs. 1 und 3 BGG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Auf die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten wird nicht eingetreten.
2.
Die subsidiäre Verfassungsbeschwerde wird abgewiesen.
3.
Die Gerichtskosten von Fr. 3'000.-- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
4.
Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten, dem Verwaltungsgericht des Kantons Bern und der Wettbewerbskommission schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 30. Dezember 2016
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Seiler
Die Gerichtsschreiberin: Mayhall