Sachverhalt:
A.
A.A._ (geb. 2010) wohnt mit seinen Eltern in der Gemeinde U._ (AG). Vertreten durch seinen Vater ersuchte er die Schulpflege U._ am 5. Februar 2015 um Zuteilung in den Kindergarten X._ der Nachbargemeinde V._ (AG). Mit Entscheid vom 23. Februar 2015 wies die Schulpflege U._ das Ersuchen ab.
B.
Die gegen den Entscheid vom 23. Februar 2015 ergriffenen kantonalen Rechtsmittel blieben erfolglos. Kantonal letztinstanzlich wies das Verwaltungsgericht des Kantons Aargau eine Beschwerde von A.A._ mit Urteil vom 26. Februar 2016 ab.
C.
Dagegen gelangt A.A._, wiederum vertreten durch seinen Vater, mit Beschwerde vom 26. März 2016 an das Bundesgericht. Er stellt folgende Rechtsbegehren:
"1.. Es sei das Urteil des Verwaltungsgerichts vom 26. Februar 2016 aufzuheben.
2.. Es sei festzustellen, dass wichtige Gründe für einen auswärtigen Schulbesuch vorliegen.
3.. Es sei die örtliche Polizei betreffend das Verkehrsaufkommen und die Geschwindigkeitsübertretungen an der Z._strasse zu befragen eventualiter sei vom Gericht eine unabhängige Drittperson zu beauftragen innerhalb von z.B. zehn Minuten mit einer Stoppuhr in der Zeitperiode von 7:45 bis 8:15 zwischen Montag und Freitag an der Z._strasse yy die Anzahl der vorbeifahrenden Fahrzeuge festzuhalten.
4.. Es sei das Kind A.A._ (Jahrgang 2010) dem Kindergarten X._ in der Gemeinde V._ zuzuteilen
5.. Aufgrund Nichtbeurteilung der Rechtsbegehren des Beschwerdeführers im verwaltungsgerichtlichen Verfahren sei auf den Antrag auf Abweisung des Antrages der Schulpflege U._, dass den Eltern das Recht auf freie Wahl des Schulorts ihres Kindes abgesprochen werden soll, einzugehen.
6.. Unter Kosten- und Entschädigungsfolgen."
Mit Präsidialverfügung vom 30. März 2016 wurden die vorinstanzlichen Akten beigezogen. Vernehmlassungen wurden keine eingeholt.

Erwägungen:
1.
1.1. Das Bundesgericht prüft seine Zuständigkeit und die weiteren Eintretensvoraussetzungen von Amtes wegen (<ref-law>) und mit freier Kognition (<ref-law>; <ref-ruling> E. 1 S. 116).
1.2. Die frist- (<ref-law>) und formgerecht (<ref-law>) erhobene Beschwerde betrifft eine Angelegenheit des öffentlichen Rechts und richtet sich gegen das kantonal letztinstanzliche (<ref-law>), verfahrensabschliessende (<ref-law>) Urteil eines oberen Gerichts (<ref-law>). Der Beschwerdeführer war bereits vorinstanzlich am Verfahren beteiligt und ist dort mit seinen Anträgen unterlegen. Er ist durch den angefochtenen Entscheid somit formell und im Grundsatz auch materiell beschwert (<ref-law>; <ref-ruling> E. 3.3.1 S. 311; Urteile 2C_732/2011 vom 8. Juni 2012 E. 2.2, 2C_279/2013 vom 13. Dezember 2013 E. 2). Unter Vorbehalt der nachfolgenden Ausführungen ist auf die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten einzutreten.
1.2.1. Nicht einzutreten ist auf das Rechtsmittel, soweit der Beschwerdeführer eine Feststellung darüber beantragt, dass wichtige Gründe für einen auswärtigen Schulbesuch vorliegen. Ein solches Feststellungsbegehren ist nur zulässig, falls daran ein schutzwürdiges Interesse besteht, das nicht ebenso gut mit einem rechtsgestaltenden (Leistungs- oder Gestaltungs-) Urteil gewahrt werden kann (vgl. Urteil 2C_459/2011 vom 26. April 2012 E. 1.2.1, nicht publ. in: <ref-ruling>; <ref-ruling> E. 4 S. 122; Urteil 2C_74/2014 / 2C_78/2014 vom 26. Mai 2014 E. 2.3). Es ist nicht ersichtlich und wird vom Beschwerdeführer auch nicht dargetan, inwiefern er ein schutzwürdiges Interesse an der von ihm beantragten Feststellung hat, mit der Folge, dass auf die Beschwerde in diesem Umfang nicht einzutreten ist.
1.2.2. Ebenfalls nicht einzutreten ist auf das Rechtsmittel, soweit der Beschwerdeführer die Behandlung seines Antrags auf Abweisung eines "Antrags" der Schulpflege U._ verlangt. Die Vorinstanz erblickte in gewissen Äusserungen der Schulpflege U._ - anders als der Beschwerdeführer - keine selbständigen Begehren, sondern behandelte diese als Bestandteil der Begründung in der Beschwerdeantwort der Schulpflege U._. Entsprechend fällte die Vorinstanz darüber kein Urteil in der Sache.
Der Beschwerdeführer macht diesbezüglich sinngemäss eine formelle Rechtsverweigerung geltend (<ref-law>; vgl. hierzu <ref-ruling> E. 5 S. 181; <ref-ruling> E. 2.1 S. 9), was er damit begründet, dass sein Antrag auf Abweisung des "Antrags" der Schulpflege U._ nicht behandelt worden sei. Indessen ist der Beschwerdeführer durch die Nichtbehandlung des "Antrags" der Schulpflege U._ nicht beschwert, zumal er ohnehin dessen Abweisung verlangte. Folglich ist auf das Rechtsmittel auch insoweit nicht einzutreten.
1.3. Mit der Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann namentlich die Verletzung von Bundes- und Völkerrecht gerügt werden (<ref-law>). Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (<ref-law>), doch prüft es, unter Berücksichtigung der allgemeinen Rüge- und Begründungspflicht (<ref-law>), grundsätzlich nur die geltend gemachten Vorbringen, sofern allfällige weitere rechtliche Mängel nicht geradezu offensichtlich sind (<ref-ruling> E. 1.6 S. 280 f. mit Hinweis). Die Verletzung von Grundrechten sowie von kantonalem und interkantonalem Recht untersucht das Bundesgericht in jedem Fall nur insoweit, als eine solche Rüge in der Beschwerde präzise vorgebracht und begründet worden ist (<ref-law>; <ref-ruling> E. 3 S. 415; <ref-ruling> E. 2.2 S. 232).
1.4. In sachverhaltlicher Hinsicht stützt sich das Bundesgericht auf die Feststellungen der Vorinstanz (<ref-law>). Eine Berichtigung oder Ergänzung der vorinstanzlichen Sachverhaltsfeststellungen ist von Amtes wegen (<ref-law>) oder auf Rüge hin (<ref-law>) möglich. Von den tatsächlichen Grundlagen des vorinstanzlichen Urteils weicht das Bundesgericht jedoch nur ab, wenn diese offensichtlich unrichtig sind oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruhen und die Behebung des Mangels für den Verfahrensausgang entscheidend sein kann (Art. 97 Abs. 1, <ref-law>; <ref-ruling> E. 1.3.1 S. 17 f.).
2.
Der Beschwerdeführer rügt in verschiedener Hinsicht eine Verletzung seines Anspruchs auf rechtliches Gehör. Der in <ref-law> verankerte Anspruch auf rechtliches Gehör ist formeller Natur. Seine Verletzung führt grundsätzlich ungeachtet der materiellen Begründetheit des Rechtsmittels zur Gutheissung der Beschwerde und zur Aufhebung des angefochtenen Entscheides (<ref-ruling> E. 3 S. 563 f.; <ref-ruling> E. 2 S. 197 f.). Die Rüge ist deshalb vorweg zu behandeln.
2.1. Zunächst rügt der Beschwerdeführer, die Vorinstanz habe zu verschiedenen seiner Argumente, die er den Vorbringen der Schulpflege U._ entgegen setzte, nicht Stellung genommen. Eine Verletzung seines Anspruchs auf rechtliches Gehör erblickt der Beschwerdeführer weiter im Zusammenhang mit Beweismitteln und -anträgen, denen die Vorinstanz seiner Auffassung nach keine oder nur unzureichend Beachtung geschenkt haben soll. Der Beschwerdeführer beanstandet insbesondere, die Vorinstanz habe keine unabhängige Drittmeinung zum Verkehrsaufkommen auf seinem Schulweg eingeholt. Entsprechend wiederholt er auch vor Bundesgericht seinen (Beweis-) Antrag, das massgebende Verkehrsaufkommen von einer "unabhängige[n] Drittperson" feststellen zu lassen.
2.2. Der Anspruch auf rechtliches Gehör nach <ref-law> verlangt, dass die Behörde die Vorbringen des vom Entscheid in seiner Rechtsstellung Betroffenen tatsächlich hört, prüft und in der Entscheidfindung berücksichtigt (<ref-ruling> E. 5.2 S. 236; <ref-ruling> E. 3a S. 51). Daraus folgt die Verpflichtung der Behörde, ihren Entscheid zu begründen. Dabei ist es nicht erforderlich, dass sie sich mit allen Parteistandpunkten einlässlich auseinandersetzt und jedes einzelne Vorbringen ausdrücklich widerlegt. Vielmehr kann sie sich auf die für den Entscheid wesentlichen Punkte beschränken. Die Begründung muss so abgefasst sein, dass sich der Betroffene über die Tragweite des Entscheids Rechenschaft geben und ihn in voller Kenntnis der Sache an die höhere Instanz weiterziehen kann. In diesem Sinne müssen wenigstens kurz die Überlegungen genannt werden, von denen sich die Behörde hat leiten lassen und auf die sich ihr Entscheid stützt (vgl. <ref-ruling> E. 5.2 S. 236; <ref-ruling> E. 4.1 S. 88, je mit Hinweisen). Teil des Anspruchs auf rechtliches Gehör bildet auch das Recht des Betroffenen auf Abnahme von rechtzeitig und formrichtig angebotenen, rechtserheblichen Beweismitteln (<ref-ruling> E. 5.3 S. 236 f.; <ref-ruling> E. 5.3 S. 148). Einer vorweggenommenen Beweiswürdigung steht die Verfassungsgarantie indessen nicht entgegen. Das Gericht kann auf die Abnahme von Beweisen verzichten, wenn es aufgrund bereits abgenommener Beweise seine Überzeugung gebildet hat und ohne Willkür annehmen kann, seine Überzeugung werde durch weitere Beweiserhebungen nicht geändert (<ref-ruling> E. 5.3 S. 236 f.; <ref-ruling> E. 5.3 S. 148).
2.3. Die Vorinstanz setzte sich in ihrem Urteil mit den Vorbringen des Beschwerdeführers auseinander und legte dar, aus welchen Gründen seine Argumente nicht überzeugen. Es mag zutreffen, dass die Vorinstanz nicht auf jeden einzelnen Standpunkt in den ausführlichen Eingaben des Beschwerdeführers eingegangen ist. Zur Wahrung seines rechtlichen Gehörs war sie dazu aber auch nicht gehalten, nachdem sich der Urteilsbegründung mit hinreichender Klarheit entnehmen lässt, wieso die Vorinstanz das Rechtsmittel des Beschwerdeführers für unbegründet hielt.
Eine Gehörsverletzung ist auch nicht darin zu erblicken, dass die Vorinstanz in ihrem Urteil nicht sämtliche vom Beschwerdeführer offerierten Beweise diskutierte, sondern sich damit begnügte, nur die rechtserheblichen Beweismittel näher auf ihre Relevanz zu prüfen. Den mit zahlreichen Fotografien unterlegten Einwand des Beschwerdeführers, wonach sein durch Siedlungsgebiet führender Schulweg nicht durchwegs mit Trottoirs oder Bodenmarkierungen ausgestattet ist, berücksichtigte die Vorinstanz durchaus. Gleichzeitig hielt sie jedoch fest, dass es sich dabei um jenen Bereich handelt, der entlang von übersichtlichen Quartierstrassen mit Höchstgeschwindigkeit von 30 km/h führt und insoweit keine Sicherheitsbedenken bestehen. Der Vorwurf des Beschwerdeführers, die Vorinstanz habe rechtserhebliche Beweismittel unter Verletzung seines rechtlichen Gehörs nicht gewürdigt, geht fehl.
Keine Willkür vermag der Beschwerdeführer schliesslich im Zusammenhang mit dem Verzicht auf eine Verkehrszählung an der Z._strasse darzutun. Die Vorinstanz bestreitet diesbezüglich nicht, dass die Z._strasse dichter befahren ist und vom Beschwerdeführer überquert werden muss. Weil sich auch dieser Bereich in einer Tempo-30-Zone befindet, ein Zebrastreifen vorhanden ist, ein Hinweisschild den Schulweg markiert und der Abschnitt entlang der Z._strasse auf einem Trottoir zurückgelegt werden kann, hegte die Vorinstanz keine verkehrstechnischen Bedenken. Vor diesem Hintergrund durfte die Vorinstanz auf eine Verkehrszählung in antizipierter Beweiswürdigung verzichten, ohne dabei in Willkür zu verfallen. Die Rüge der Verletzung des rechtlichen Gehörs geht auch insoweit fehl.
3.
Der Beschwerdeführer wendet sich gegen die Erwägungen der Vorinstanz zur Dauer, die das Zurücklegen des 1.2 km langen und 118 m Höhendifferenz aufweisenden Schulwegs mit sich bringt.
Damit richtet er sich gegen die vorinstanzlichen Sachverhaltsfeststellungen, die vom Bundesgericht nur unter den in E. 1.4 genannten Voraussetzungen korrigiert oder ergänzt werden. Für eine solche Sachverhaltsrüge nach <ref-law> genügt es nicht, einen von den tatsächlichen Feststellungen der Vorinstanz abweichenden Sachverhalt zu behaupten. Vielmehr ist in der Beschwerdeschrift darzulegen, inwiefern diese Feststellungen offensichtlich unrichtig bzw. unter Verletzung einer Norm gemäss <ref-law> zustande gekommen sind. Andernfalls können Vorbringen mit Bezug auf einen Sachverhalt, der von den Feststellungen im angefochtenen Entscheid abweicht, nicht berücksichtigt werden. Vorbehalten bleiben offensichtliche Sachverhaltsmängel im Sinne von <ref-law>.
Der Beschwerdeführer stellt den Überlegungen der Vorinstanz lediglich die eigene Darstellung zur Dauer seines Schulwegs gegenüber. Zudem zeigt er nicht auf, gestützt auf welche Norm seinen Anträgen stattzugeben wäre, wenn seine Darstellung zutreffend wäre. Auch bei wohlwollender Beurteilung der vorliegenden Laienbeschwerde genügt diese den Begründungsanforderungen von <ref-law> nicht. Auf die (sinngemäss erhobene) Rüge der unrichtigen Sachverhaltsfeststellung ist daher nicht näher einzugehen, zumal sich eine Korrektur der vorinstanzlichen Sachverhaltsfeststellungen auch unter dem Gesichtspunkt von <ref-law> nicht aufdrängt.
4.
Sodann rügt der Beschwerdeführer einen Verstoss gegen das Willkürverbot (<ref-law>) und allgemeine Verfahrensgarantien (<ref-law>), weil die kantonalen Instanzen keine Gesamtbetrachtung im Zusammenhang mit einem Kindergartenbesuch in der Nachbargemeinde V._ vorgenommen hätten. Weiter macht er geltend, der Schulweg sei ihm "aufgrund seiner extremen Länge" nicht zumutbar. Schliesslich sieht der Beschwerdeführer das Gleichbehandlungsgebot verletzt (<ref-law>), weil die Gemeinde U._ verschiedenen Kindern aus der benachbarten Gemeinde W._ den Zugang zu einem Kindergarten ermögliche, dem Beschwerdeführer den auswärtigen Besuch des Kindergartens hingegen verweigere.
Zur Begründung seiner Beschwerde in materieller Hinsicht beruft sich der Beschwerdeführer somit auf verfassungsmässige Rechte. Für die Rüge der Verletzung verfassungsmässiger Rechte gilt indes eine qualifizierte Rügepflicht (<ref-law>; vgl. E. 1.3 hiervor). Soweit die Beschwerde diesen Anforderungen überhaupt genügt, vermag der Beschwerdeführer eine Verfassungsverletzung indes nicht darzutun: In willkürfreier Anwendung kantonalen Rechts durfte die Vorinstanz die Zumutbarkeit eines Kindergartenbesuchs in U._ beurteilen, ohne gleichzeitig die Alternative eines Kindergartenbesuchs in V._ in ihre Überlegungen mit einzubeziehen. Gestützt auf die Beschwerde unter keinem Titel ersichtlich ist sodann, inwiefern das Zurücklegen des Schulwegs dem Beschwerdeführer geradezu unzumutbar sein soll, zumal sich bereits die kantonalen Behörden ausführlich mit den diesbezüglichen Vorbringen des Beschwerdeführers auseinandersetzten und diese verwarfen. Schliesslich kann der Beschwerdeführer unter dem Gesichtspunkt der Gleichbehandlung aus dem Umstand, dass die Gemeinde U._ Schülern im Kindergartenalter aus der Nachbargemeinde W._ offenbar den Besuch eines ihrer Kindergärten erlaubt, keinen Anspruch auf den Besuch des Kindergartens X._ in der Gemeinde V._ ableiten.
5.
Nach dem Gesagten erweist sich die Beschwerde als unbegründet und ist abzuweisen, soweit darauf eingetreten werden kann. Bei diesem Verfahrensausgang wird der Beschwerdeführer kostenpflichtig (<ref-law>). Parteientschädigungen sind nicht geschuldet (Art. 68 Abs. 1-3 BGG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 2'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten und dem Verwaltungsgericht des Kantons Aargau, 3. Kammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 28. April 2016
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Seiler
Der Gerichtsschreiber: Fellmann