Sachverhalt:
A.
Mit Verfügung und Urteil vom 10. März 2016 erteilte das Bezirksgericht Zürich der B._ AG provisorische Rechtsöffnung gegenüber A._ (Betreibung Nr. xxx des Betreibungsamts Zürich 9; Zahlungsbefehl vom 12. Mai 2015) für Fr. 726.40 nebst Zins zu 5 % seit 6. Mai 2015. Das Gesuch von A._ um unentgeltliche Rechtspflege wies es ab.
B.
Dagegen erhob A._ am 12. April 2016 Beschwerde an das Obergericht des Kantons Zürich. Er verlangte die Aufhebung der angefochtenen Verfügung bzw. des angefochtenen Urteils und die Abweisung des Rechtsöffnungsgesuchs. Ihm sei im Verfahren vor Bezirks- und vor Obergericht die unentgeltliche Rechtspflege zu gewähren und Rechtsanwalt Bertisch als unentgeltlicher Rechtsvertreter beizuordnen.
Mit Verfügung vom 22. April 2016 wies das Obergericht ein Gesuch des Beschwerdeführers um aufschiebende Wirkung ab. Mit Urteil vom 22. Juni 2016 wies das Obergericht die Beschwerde und das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege für das Beschwerdeverfahren ab.
C.
Am 17. August 2016 hat A._ (Beschwerdeführer) subsidiäre Verfassungsbeschwerde an das Bundesgericht erhoben. Er verlangt sinngemäss die Aufhebung des obergerichtlichen Urteils, die Abweisung des Rechtsöffnungsgesuchs und die Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege unter Beiordnung von Rechtsanwalt Bertisch vor den Vorinstanzen. Zudem ersucht er um aufschiebende Wirkung und auch für das bundesgerichtliche Verfahren um unentgeltliche Rechtspflege unter Beiordnung von Rechtsanwalt Bertisch.
Das Bundesgericht hat das Gesuch um aufschiebende Wirkung am 18. August 2016 abgewiesen.
Am 19. August 2016 und am 23. August 2016 (jeweils Postaufgabe) hat der Beschwerdeführer die Beschwerde ergänzt.
Das Bundesgericht hat die Akten beigezogen und Vernehmlassungen eingeholt. Das Obergericht hat sich am 29. Dezember 2016 (Postaufgabe) geäussert. Die B._ AG (Beschwerdegegnerin) hat sich nicht vernehmen lassen. Nach Anzeige der Vernehmlassungsantwort hat sich der Beschwerdeführer mit Eingaben vom 11. Februar 2017 (Postaufgabe) und - nach gewährter Fristerstreckung - am 8. März 2017 (Postaufgabe) nochmals geäussert.

Erwägungen:
1.
Die Angelegenheit erreicht den für eine Beschwerde in Zivilsachen erforderlichen Streitwert nicht (<ref-law>). Der Beschwerdeführer macht nicht geltend, dass sich eine Rechtsfrage von grundsätzlicher Bedeutung stellen würde (<ref-law>). Die Eingabe ist demnach - wie verlangt - als subsidiäre Verfassungsbeschwerde zu behandeln (<ref-law>). Mit der Verfassungsbeschwerde kann einzig die Verletzung verfassungsmässiger Rechte gerügt werden (<ref-law>). Diesen Vorwurf prüft das Bundesgericht nicht von Amtes wegen, sondern nur insoweit, als eine entsprechende Rüge in der Beschwerde vorgebracht und begründet worden ist (Art. 117 i.V.m. <ref-law>). Dies bedeutet, dass klar und detailliert anhand der Erwägungen des angefochtenen Entscheids darzulegen ist, inwiefern verfassungsmässige Rechte verletzt worden sein sollen (<ref-ruling> E. 1.2 S. 234; <ref-ruling> E. 3.2 S. 88).
2.
Verfahrensgegenstand ist zunächst die Frage, ob die Beschwerdegegnerin legitimiert ist, gegenüber dem Beschwerdeführer provisorische Rechtsöffnung zu verlangen. Der Beschwerdeführer machte bzw. macht weiterhin geltend, dass weder eine Abtretung der Forderung von der ursprünglichen Gläubigerin (C._) noch ein Inkassomandat nachgewiesen bzw. behauptet sei.
2.1. Nach den Feststellungen des Obergerichts hat die Beschwerdegegnerin als Rechtsöffnungstitel eine "Bestätigung Zahlungsvereinbarung" vom 21. April 2013 ins Recht gelegt. Diese enthalte am Schluss folgenden Passus:
"Der/die Unterzeichnende anerkennt hiermit, dem Gläubigervertreter B._ AG die oben aufgeführten Beträge zu schulden. Adressänderungen sind uns sofort zu melden. Bei Zahlungsverzug um mehr als 15 Tage wird die Restschuld zur Zahlung fällig."
Der Beschwerdeführer habe diesen Text unterschrieben. Dieser Text genüge, um von einer durch Unterschrift des Schuldners bekräftigten Schuldanerkennung im Sinne von <ref-law> auszugehen. Es sei darin klar festgehalten, dass der Beschwerdeführer der namentlich genannten Beschwerdegegnerin den Betrag von Fr. 4'326.40 schulde. Es sei vor diesem Hintergrund nicht entscheidend, dass die Beschwerdegegnerin in diesem Dokument einmal als Gläubigerin (und die C._ als ursprüngliche Gläubigerin) und einmal als Gläubigervertreterin bezeichnet werde. Das Obergericht hat damit - wie bereits das Bezirksgericht - im Ergebnis offen gelassen, wer effektiv Gläubigerin der Forderung ist.
2.2. Der Beschwerdeführer hält die obergerichtliche Auffassung für willkürlich. Die Auffassung des Obergerichts führe dazu, dass ein Schuldner mit einer beliebigen Drittperson gültig vereinbaren könnte, dass die ursprüngliche Gläubigerstellung dahinfalle. Dadurch werde <ref-law> (zwingende schriftliche Zustimmung des Gläubigers zur Zession) willkürlich verletzt. Eine solche Zession liege nicht vor und ein Inkassomandat sei nicht behauptet worden. Auch eine Abtretung zum Inkasso bedürfte der Form von <ref-law>. Vorliegend handle es sich auch nicht um eine abstrakte Schuldanerkennung. Der Schuldner dürfe sodann Einreden und Einwendungen vorbringen, die sich nicht aus dem Rechtsöffnungstitel ergeben und die Legitimation betreffen, was das Obergericht verkannt habe. Eine Zession sei notwendig, damit der Beschwerdeführer anhand von Quittungen (auf die er ein Recht habe und die nur der Gläubiger ausstellen könne) belegen könne, dass er an die richtige Stelle bezahlt habe. Ohne Vorliegen einer Zession oder eines Inkassomandats riskiere er sonst Doppelzahlung. Der eigentliche Gläubiger (hier C._) könne sich nämlich jederzeit auf den Standpunkt stellen, es sei nie gültig bezahlt worden. Das Obergericht habe sich insoweit nicht mit allen Einwänden des Beschwerdeführers befasst und dadurch auch das rechtliche Gehör verletzt.
2.3. Zunächst ist auf die Rüge der Verletzung des rechtlichen Gehörs einzugehen. Aus dem Anspruch auf rechtliches Gehör (<ref-law>) folgt unter anderem grundsätzlich die Pflicht des Gerichts, seinen Entscheid zu begründen. Dabei ist es nicht erforderlich, dass es sich mit allen Parteistandpunkten einlässlich auseinandersetzt und jedes einzelne Vorbringen ausdrücklich widerlegt. Vielmehr kann es sich auf die für den Entscheid wesentlichen Punkte beschränken. Die Begründung muss so abgefasst sein, dass sich der Betroffene über die Tragweite des Entscheids Rechenschaft geben und ihn in voller Kenntnis der Sache an die höhere Instanz weiterziehen kann. In diesem Sinne müssen wenigstens kurz die Überlegungen genannt werden, von denen sich das Gericht hat leiten lassen und auf die sich sein Entscheid stützt (<ref-ruling> E. 5.2 S. 236; <ref-ruling> E. 5.1 S. 237; <ref-ruling> E. 3.2.4 S. 41; je mit Hinweisen).
Der angefochtene Entscheid genügt diesen Anforderungen. Insbesondere hat das Obergericht dargelegt, weshalb es auf gewisse Vorbringen des Beschwerdeführers nicht eingegangen ist, nämlich deswegen, weil es bei dem von ihm (dem Obergericht)eingenommenen Rechtsstandpunkt nicht mehr auf die entsprechenden Ausführungen des Beschwerdeführers ankomme.
2.4. Inhaltlich kann die Rechtsanwendung des Obergerichts einzig unter dem Gesichtspunkt der Willkür überprüft werden (<ref-law>). Willkürlich ist ein Entscheid nach konstanter Praxis nicht schon dann, wenn eine andere Lösung ebenfalls als vertretbar oder gar zutreffender erscheint. Willkür in der Rechtsanwendung liegt nur vor, wenn der angefochtene Entscheid offensichtlich unhaltbar ist, mit der tatsächlichen Situation in klarem Widerspruch steht, eine Norm oder einen unumstrittenen Rechtsgrundsatz krass verletzt oder in stossender Weise dem Gerechtigkeitsgedanken zuwiderläuft; dabei ist erforderlich, dass der Entscheid nicht nur in der Begründung, sondern auch im Ergebnis willkürlich ist (<ref-ruling> E. 2.1 S. 18 f. mit Hinweisen).
Die Befugnis, provisorische Rechtsöffnung in eigenem Namen zu verlangen, ist grundsätzlich auf diejenige Person beschränkt, die in der Schuldanerkennung gemäss <ref-law> als Gläubigerin ausgewiesen ist (<ref-ruling> E. 1c S. 454 f.). Ausnahmen bestehen in verschiedene Richtungen: Einerseits kann der Rechtsnachfolger des in der Schuldanerkennung ausgewiesenen Gläubigers, der die Forderung z.B. durch Zession erworben hat, ebenfalls (in eigenem Namen) provisorische Rechtsöffnung verlangen (<ref-ruling> E. 4.1.1 S. 142 f.). Andererseits kann der Gläubiger einen Dritten mit dem Inkasso beauftragen und ihn entsprechend bevollmächtigen, wobei dieser Dritte die provisorische Rechtsöffnung dann ineigenem Namen (aber auf Rechnung des Gläubigers) verlangen darf, wenn der Schuldner in einer Schuldanerkennung sich zur Bezahlung an diesen Dritten verpflichtet hat (<ref-ruling> E. 1 S. 454 f.).
Vorliegend hat der Beschwerdeführer eine Schuldanerkennung zugunsten der Beschwerdegegnerin unterzeichnet. Nach den obergerichtlichen Feststellungen geht aus dieser Schuldanerkennung allerdings nicht klar hervor, ob die Beschwerdegegnerin Forderungsinhaberin (aufgrund einer Zession) ist oder bloss Inkassobevollmächtigte. Der Beschwerdeführer hat die Schuldanerkennung demnach ungeachtet der Rolle unterzeichnet, die die Beschwerdegegnerin einnimmt, und sich unbesehen ihrer genauen Rechtsstellung zur Zahlung an sie verpflichtet. Unter diesen Umständen erscheint es für die Zwecke eines Verfahrens auf provisorische Rechtsöffnung nicht als willkürlich, wenn das Obergericht alleine auf diese Schuldanerkennung abgestellt hat und das Rechtsverhältnis zwischen der Beschwerdegegnerin und der C._ nicht näher beleuchtet hat. Dadurch werden dem Beschwerdeführer im Rechtsöffnungsverfahren zwar die Einreden entweder gegen die Zession oder gegen die Inkassobevollmächtigung abgeschnitten. Dies ist jedoch nicht unhaltbar, da der Beschwerdeführer die Schuldanerkennung unterschrieben hat (wozu er nicht verpflichtet gewesen wäre), und dadurch zu erkennen gegeben hat, sich mit der unklaren Rechtsposition der Beschwerdegegnerin abzufinden. Die Schuldanerkennung wird damit womöglich nicht abstrakt gegenüber der darin anerkannten Forderung (d.h. dass Einwendungen dagegen immer noch möglich wären), aber immerhin abstrakt gegenüber dem Rechtsverhältnis der Beschwerdegegnerin zur C._ (sei es dahingehend, dass damit Einreden und Einwendungen ausgeschlossen werden, die sich auf den Zeitraum bis zur Unterzeichnung der Schuldanerkennung beziehen, oder sei es sogar darüber hinaus [z.B. Widerruf der Vollmacht]). Das Risiko der Doppelzahlung hat der Beschwerdeführer damit in Kauf genommen. Unter dem Gesichtspunkt von <ref-law>, wonach die provisorische Rechtsöffnung einzig von einer solchen Schuldanerkennung abhängt und nach dem materiellen Rechtsverhältnis grundsätzlich nicht gefragt wird, erscheint all dies nicht willkürlich. Inwieweit dies mit <ref-law> vereinbar ist, kann mangels voller rechtlicher Kognition nicht überprüft werden (vgl. <ref-ruling>, der jedoch in erster Linie die Situation bei der Aberkennungsklage betrifft).
2.5. Die Einwände des Beschwerdeführers gegen die Rechtsöffnung sind demnach unbegründet.
3.
Umstritten ist sodann der Anspruch des Beschwerdeführers auf unentgeltliche Rechtspflege vor den kantonalen Instanzen (<ref-law>).
3.1. Das Bezirksgericht hat das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege infolge Aussichtslosigkeit abgewiesen. Das Obergericht hat dies geschützt mit Hinweis auf seine eigene Beurteilung der Einwendungen des Beschwerdeführers. Hinsichtlich des Gesuchs um unentgeltliche Rechtspflege für das obergerichtliche Verfahren hat das Obergericht erwogen, der Beschwerdeführer begründe dieses mit keinem Wort. Zudem sei die Beschwerde aussichtslos gewesen.
3.2. Der Beschwerdeführer macht geltend, seine Begehren seien nicht aussichtslos gewesen, wie sich aus seinen vorstehenden Darlegungen in der Beschwerde an das Bundesgericht ergebe.
Da sein Vortrag vor Bundesgericht nicht zwangsläufig mit dem vor den Vorinstanzen Vorgetragenen übereinstimmen muss, ist ein solcher Schluss nicht ohne weiteres zulässig. Soweit sich der Beschwerdeführer auf das bezirksgerichtliche Verfahren bezieht, so legt er nicht detailliert dar, aus welchen damaligen Vorbringen zwingend darauf geschlossen werden müsste, sein Standpunkt sei seinerzeit nicht aussichtslos gewesen.
Erörterungen zur Aussichtslosigkeit seiner Beschwerde an das Obergericht erübrigen sich, da das Obergericht ihm in einer Alternativerwägung mangelnde Begründung des Gesuchs vorgeworfen hat. Mit dieser Alternativerwägung setzt sich der Beschwerdeführer nicht genügend auseinander. Zwar führt er aus, das Obergericht habe ihn nie aufgefordert, Belege zum Nachweis seiner Bedürftigkeit aufzufordern. Es sei aktenwidrig, dass die Bedürftigkeit nicht nachgewiesen worden sei, denn diesen Nachweis habe er bereits vor Bezirksgericht erbracht. Allenfalls seien die bezirksgerichtlichen Akten dem Obergericht nicht vollständig vorgelegen. Das Gesuch habe deshalb nicht mangels Nachweises der Bedürftigkeit abgewiesen werden dürfen. Der Beschwerdeführer verkennt mit diesen Einwänden den Gehalt der obergerichtlichen Erwägung: Das Obergericht hat sich nicht zum Vorhandensein allfälliger Belege und Aktenstücke zur Bedürftigkeit des Beschwerdeführers geäussert, sondern es hat ihm vorgeworfen, das entsprechende Gesuch nicht begründet zu haben. Dies bedeutet mit anderen Worten, dass der Beschwerdeführer sich in seinen Rechtsschriften an das Obergericht nicht zu seiner Bedürftigkeit - gegebenenfalls unter Bezugnahme auf bereits vorhandene oder neu eingereichte Belege - geäussert hat. Darauf geht der Beschwerdeführer nicht ein.
Auf die Rügen im Zusammenhang mit der unentgeltlichen Rechtspflege im kantonalen Verfahren ist damit nicht einzutreten.
4.
Die Beschwerde ist demnach abzuweisen, soweit darauf eingetreten werden kann.
5.
Bei diesem Ausgang des Verfahrens trägt der Beschwerdeführer die Gerichtskosten (<ref-law>). Wie die vorstehenden Erwägungen zeigen, war die Beschwerde von Anfang an aussichtslos. Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung im bundesgerichtlichen Verfahren ist deshalb abzuweisen (<ref-law>). Der Beschwerdegegnerin ist kein zu entschädigender Aufwand entstanden (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.
Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung im bundesgerichtlichen Verfahren wird abgewiesen.
3.
Die Gerichtskosten von Fr. 500.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Zürich, I. Zivilkammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 17. Mai 2017
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Das präsidierende Mitglied: Escher
Der Gerichtsschreiber: Zingg