Erwägungen:
1.
Im Rahmen von diversen Zivilverfahren betreffend Getrenntleben/Ehescheidung wurde A._ die unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung gewährt; dies unter Vorbehalt einer Verpflichtung zur Nachzahlung im Falle von verbesserten wirtschaftlichen Verhältnissen.
Mit Schreiben vom 4. August 2014 forderte die zentrale Inkassostelle der Gerichte des Kantons Zürich A._ zur Nachzahlung von insgesamt Fr. 72'573.50 auf. In der Folge kam es zu keiner Einigung, weshalb die zentrale Inkassostelle am 12. August 2015 an das Bezirksgericht Horgen gelangte. Dieses verpflichtete A._ mit Urteil vom 25. Januar 2016 zur Nachzahlung von insgesamt Fr. 72'573.50, resultierend aus den Kosten- und Entschädigungsfolgen folgender Entscheide:
- Beschluss des Obergerichts des Kantons Zürich vom 27. Februar 2006;
- Beschluss des Obergerichts des Kantons Zürich vom 17. Mai 2006;
- Beschluss des Obergerichts des Kantons Zürich vom 28. Juni 2006;
- Beschluss des Obergerichts des Kantons Zürich vom 22. Dezember 2006;
- Urteil des Bezirksgerichts Horgen vom 2. August 2007;
- Urteil des Obergerichts des Kantons Zürich vom 11. Februar 2009;
- Beschluss des Obergerichts des Kantons Zürich vom 11. Februar 2009;
- Beschluss des Obergerichts des Kantons Zürich vom 16. Mai 2011.
Dabei ging das Bezirksgericht Horgen in finanzieller Hinsicht davon aus, dass A._ und seine neue Ehegattin über liquide Bankguthaben von rund Fr. 80'000.-- verfügten, wovon mindestens Fr. 50'000.-- auf A._ entfielen. Dieser erziele zudem ein monatliches Nettoeinkommen von Fr. 12'888.--, seine Frau ein solches von Fr. 1'000.--. A._ habe einen Notbedarf von Fr. 7'854.-- zu tragen, womit ein monatlicher Überschuss von Fr. 5'034.-- verbleibe. Bei Anrechnung seines Vermögens (Fr. 50'000.--) abzüglich eines Notgroschens von Fr. 20'000.-- verbliebe noch eine Forderung in Höhe von rund Fr. 42'000.--, welche A._ mit dem vorhandenen Überschuss innert rund 9 Monaten nachzahlen könne.
Gegen das Urteil des Bezirksgerichts Horgen gelangte A._ erfolglos ans Obergericht des Kantons Zürich: Dieses wies die Berufung mit Urteil vom 2. Mai 2016 ab und legte die Termine der zu leistenden Nachzahlungen fest.
Mit Eingabe vom 16. Mai 2016 beschwert sich A._ beim Bundesgericht und beantragt im Wesentlichen, er sei lediglich im Umfang von Fr. 13'993.-- zur Nachzahlung zu verpflichten. Eventualiter sei die Nachzahlungsverpflichtung zufolge Verjährung um jene Summe zu reduzieren, welche auf den Beschluss des Obergerichts des Kantons Zürich vom 27. Februar 2006 zurückgeht. Subeventualiter sei ihm die Rückzahlung des Gesamtbetrags mittels monatlichen Ratenzahlungen während einer Dauer von sechs Jahren zu bewilligen.
Mit Verfügung vom 10. Juni 2016 erkannte der Präsident der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung des Bundesgerichts der Beschwerde antragsgemäss aufschiebende Wirkung zu.
2.
Die Beschwerde erweist sich als offensichtlich unbegründet, weshalb sie im vereinfachten Verfahren gemäss <ref-law> (summarische Begründung/Verweis auf den angefochtenen Entscheid) zu erledigen ist:
Gemäss <ref-law> ist eine Partei, der die unentgeltliche Rechtspflege gewährt wurde, zur Nachzahlung verpflichtet, sobald sie dazu in der Lage ist. Vor Inkrafttreten der Schweizerischen Zivilprozessordnung am 1. Januar 2011 war eine analoge Nachzahlungspflicht auch in § 92 der früheren Zivilprozessordnung des Kantons Zürich vom 13. Juni 1976 vorgesehen. Der Beschwerdeführer bestreitet die Anwendbarkeit dieser Normen nicht substantiiert. Namentlich macht er auch nicht geltend, die Feststellungen der Vorinstanzen zu seinen jetzigen finanziellen Verhältnissen seien offensichtlich unrichtig (vgl. <ref-law>). Stattdessen beschränkt er sich im Wesentlichen darauf, die Kostenauferlegung in den acht eingangs genannten und längst rechtskräftigen familienrechtlichen Entscheiden sowie die nun vom Kanton Zürich geltend gemachte Nachzahlungspflicht als ungerecht zu bezeichnen, weil die entsprechenden Aufwendungen grösstenteils durch seine Ex-Frau sowie durch die Gerichte selbst verursacht worden seien. Diese Ausführungen sind jedoch rechtlich unerheblich und stellen keine hinreichende Beschwerdebegründung dar.
Unbehelflich ist schliesslich auch die pauschale und unbegründete Eventualbehauptung, die Nachzahlungsforderung sei verjährt, soweit sie auf den Beschluss des Obergerichts des Kantons Zürich vom 27. Februar 2006 zurückgehe. Vorliegend kann offen bleiben, ob sich die Verjährung der streitbetroffenen Forderungen noch nach kantonalem Recht oder bereits nach der per 1. Januar 2011 in Kraft getretenen Schweizerischen Zivilprozessordnung richtet (vgl. zu dieser Thematik: <ref-ruling> E. 2.2 S. 510 f.; Urteil des Verwaltungsgerichts des Kantons Graubünden U 11 78 vom 13. Dezember 2011, publ. in: PVG 2011 7/12) : Die Verletzung von kantonalemRecht ist ausser in den Fällen von Art. 95 lit. c - e BGG kein zulässiger Beschwerdegrund und der Beschwerdeführer erhebt auch keine substantiierte Willkürrüge. Richtet sich die Verjährung nach Bundesrecht, so sieht <ref-law> vor, dass der Anspruch des Kantons auf Nachzahlung zehn Jahre nach Abschluss des Verfahrens verjährt. Diese Verjährungsfrist kann jedoch gehemmt und unterbrochen werden (Botschaft zur Schweizerischen Zivilprozessordnung vom 28. Juni 2006, BBl 2006 7221 S. 7305). Eine Hemmung erfolgt durch die Stillstandszeiten gemäss Art. 145 Abs. 1 lit. a-c ZPO, wodurch sich die Verjährungsfrist jährlich um 62 Tage verlängert (ALFRED BÜHLER, in: Berner Kommentar zum schweizerischen Privatrecht, Schweizerische Zivilprozessordnung, 2012, Band I, Art. 1-149 ZPO, Rz. 18 zu Art. 123). Da der Nachzahlungsanspruch auch dann eine öffentlich-rechtliche Forderung des Gerichtskantons darstellt, wenn die unentgeltliche Prozessführung in einem Zivilprozess gewährt wurde (<ref-ruling> E. 1 S. 507 f.), kann die Verjährung durch sämtliche Handlungen unterbrochen werden, mit denen die Forderung in geeigneter Weise beim Schuldner geltend gemacht wird; die Unterbrechungsgründe sind demnach zahlreicher als im Privatrecht (<ref-ruling> E. 2.3 S. 490; <ref-ruling> E. 4.3.1 S. 583; VIKTOR RÜEGG, in: Spühler/Tenchio/Infanger [Hrsg.], Basler Kommentar - Schweizerische Zivilprozessordnung, 2. Aufl. 2013, Rz. 2 zu Art. 123 m.w.H.). In Berücksichtigung des jährlichen Fristenstillstands von 62 Tagen während einer Dauer von zehn Jahren sowie des Umstands, dass die zentrale Inkassostelle die Nachzahlungsforderung bereits am 4. August 2014 gegenüber dem Beschwerdeführer geltend gemacht hat, ergibt sich im vorliegenden Fall ohne Weiteres, dass die Forderung des Kantons Zürich auch betreffend den Beschluss des Obergerichts vom 27. Februar 2006 bundesrechtlich noch nicht verjährt ist.
3.
Nach dem Ausgeführten ist die Beschwerde abzuweisen.
Dem Ausgang des Verfahrens folgend, hat der unterliegende Beschwerdeführer die Gerichtskosten zu tragen (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 2'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten sowie dem Obergericht des Kantons Zürich, II. Zivilkammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 22. Juli 2016
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Seiler
Der Gerichtsschreiber: Zähndler