Sachverhalt:
A.
A.A._ (geb. 1974) ist kosovarischer Staatsangehöriger. Am 20. Januar 2001 heiratete er in seiner Heimat die 1969 geborene F._, eine in der Schweiz niedergelassene Staatsangehörige Österreichs. Nach seiner Einreise in die Schweiz im April 2002 wurde ihm eine Aufenthaltsbewilligung erteilt, die mehrmals verlängert wurde, letztmals bis 6. April 2012. Mit Verfügung vom 8. Februar 2013 wies das Migrationsamt des Kantons Zürich ein Gesuch von A.A._ um Verlängerung der Aufenthaltsbewilligung ab. Die dagegen erhobenen kantonalen Rechtsmittel blieben erfolglos (Entscheid der Sicherheitsdirektion des Kantons Zürich vom 24. Oktober 2013 und Urteil des Verwaltungsgerichts des Kantons Zürich vom 27. Februar 2014). Gegen den kantonal letztinstanzlichen Entscheid erhob A.A._ am 14. April 2014 eine Beschwerde beim Bundesgericht (Verfahren 2C_367/2014).
Nachdem die Ehe mit F._ am 20. Februar 2014 geschieden worden war, heiratete A.A._ am 15. Mai 2014 die 1988 im Kosovo geborene Schweizerin G._. Daraufhin erteilte ihm das Migrationsamt des Kantons Zürich am 2. Juni 2014 erneut eine Aufenthaltsbewilligung. In der Folge schrieb das Bundesgericht die hängige Beschwerde gegen das Urteil des Verwaltungsgerichts vom 27. Februar 2014 als gegenstandslos ab (Verfügung vom 16. Juli 2014 im Verfahren 2C_367/2014).
B.
Am 16. April 2015 ersuchte der weiterhin aufenthaltsberechtigte A.A._ für seine Kinder B.A._ (geb. 1999), C.A._ (geb. 2001), D.A._ (geb. 2003) und E.A._ (geb. 2005) um Erteilung einer Einreisebewilligung zwecks Verbleib bei ihm. Die Kinder stammen aus einer Beziehung mit H._, einer 1974 geborenen Landsfrau von A.A._.
Das Migrationsamt des Kantons Zürich wies das Gesuch mit Verfügung vom 16. März 2016 ab. Ein dagegen erhobener Rekurs blieb erfolglos (Entscheid der Sicherheitsdirektion vom 9. August 2016). Mit Urteil vom 9. November 2016 wies das Verwaltungsgericht eine Beschwerde gegen den Rekursentscheid ab.
C.
A.A._, B.A._, C.A._, D.A._ und E.A._ wenden sich mit Eingabe vom 14. Dezember 2016 gegen das Urteil des Verwaltungsgerichts vom 9. November 2016. Sie erheben "Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten nach <ref-law> sowie damit in Verbindung subsidiäre Verfassungsbeschwerde gemäss <ref-law>" und verlangen die Aufhebung des angefochtenen Urteils sowie die Rückweisung der Sache zur Neubeurteilung an die Vorinstanz. Die Sicherheitsdirektion und das Verwaltungsgericht des Kantons Zürich verzichten auf Vernehmlassung.

Erwägungen:
1.
1.1. Die Beschwerdeführer fechten einen kantonal letztinstanzlichen Endentscheid eines oberen Gerichts in einer Angelegenheit des öffentlichen Rechts an (Art. 82 lit. a, Art. 86 Abs. 1 lit. d und Abs. 2, Art. 90 BGG). Auf dem Gebiet des Ausländerrechts ist die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten gegen Entscheide ausgeschlossen, die Bewilligungen betreffen, auf die weder das Bundesrecht noch das Völkerrecht einen Anspruch einräumen (<ref-law>). Die Aufenthaltsbewilligung des Beschwerdeführers 1 beruht mit Blick auf seine Ehe mit einer schweizerischen Staatsangehörigen auf einem gefestigten Rechtsanspruch (Art. 42 AuG [SR 142.20]; <ref-law> und Art. 8 EMRK; <ref-ruling> E. 1.3.1 S. 145 f.; Urteil 2C_360/2016 vom 31. Januar 2017 E. 5.1). Folglich machen die Beschwerdeführer in vertretbarer Weise einen Anspruch auf Familiennachzug gestützt auf <ref-law> und Art. 8 Ziff. 1 EMRK geltend. Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten ist zulässig (vgl. <ref-ruling> E. 1.1 S. 332; <ref-ruling> E. 1.1 S. 179 f.). Auf die frist- und formgerecht (Art. 42 Abs. 1 und Abs. 2, Art. 100 Abs. 1 BGG) eingereichte Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten der bereits am vorinstanzlichen Verfahren beteiligten und dort mit ihren Anträgen unterlegenen Beschwerdeführer ist einzutreten (<ref-law>). Nicht einzutreten ist demgegenüber auf die gleichzeitig erhobene subsidiäre Verfassungsbeschwerde (<ref-law>).
1.2. Neue Tatsachen und Beweismittel dürfen im bundesgerichtlichen Verfahren so weit vorgebracht werden, als der Entscheid der Vorinstanz dazu Anlass gibt (<ref-law>, vgl. Urteile 2C_347/2012 vom 28. März 2013 E. 2.5 und 2.6, nicht publ. in: <ref-ruling>; 2C_1017/2012 vom 30. Oktober 2012 E. 2). Tatsachen oder Beweismittel, die auf das vorinstanzliche Prozessthema Bezug nehmen, sich aber erst nach dem angefochtenen Entscheid ereignet haben oder entstanden sind, können nicht durch das angefochtene Urteil veranlasst worden sein. Diese sog. "echten Noven" sind im bundesgerichtlichen Verfahren in jedem Fall unzulässig (<ref-ruling> E. 3.1.2 S. 123; <ref-ruling> E. 2.1 S. 344; Urteil 2C_128/2016 vom 7. April 2017 E. 2.3). Von vorneherein unbeachtlich bleiben daher die von den Beschwerdeführern dem Bundesgericht unterbreiteten "aktualisierten" Arztzeugnisse zum Gesundheitszustand der Mutter und der Grossmutter der Beschwerdeführer 2-5 im Kosovo; diese wurden erst nach dem angefochtenen Urteil erstellt.
2.
2.1. Die Beschwerdeführer rügen eine Verletzung von Art. 47 Abs. 1 und Abs. 3 lit. b AuG sowie Art. 73 Abs. 1 und Abs. 2 der Verordnung vom 24. Oktober 2007 über Zulassung, Aufenthalt und Erwerbstätigkeit (VZAE; SR 142.201). Nach Auffassung der Beschwerdeführer hat das Verwaltungsgericht das Familiennachzugsgesuch vom 16. April 2015 zu Unrecht als verspätet qualifiziert. Im Nachgang zur Heirat vom 15. Mai 2014 sei dem Beschwerdeführer 1 am 2. Juni 2014 eine neue Aufenthaltsbewilligung erteilt worden. Mit der Erteilung dieser Aufenthaltsbewilligung habe eine neue Nachzugsfrist im Sinne von Art. 47 Abs. 1 und Abs. 3 lit. b AuG zu laufen begonnen.
2.2. Der ausländerrechtliche Familiennachzug ist in den Art. 42 ff. AuG geregelt. Der Nachzug von Kindern von Personen mit Aufenthaltsbewilligung muss innerhalb von fünf Jahren geltend gemacht werden; jener von Kindern über zwölf Jahren innerhalb von zwölf Monaten (Art. 47 Abs. 1 und Abs. 3 AuG bzw. <ref-law>; <ref-ruling> E. 2.7 S. 293 f.; <ref-ruling> E. 3.3 S. 395 ff.). Die Nachzugsfristen beginnen gemäss Art. 47 Abs. 3 lit. b AuG und <ref-law> mit der Erteilung der Aufenthaltsbewilligung oder der Entstehung des Familienverhältnisses zu laufen. Sofern die Einreise vor dem Inkrafttreten des Ausländergesetzes erfolgte oder das Familienverhältnis vor diesem Zeitpunkt entstanden ist, haben die Fristen mit dem Inkrafttreten des Ausländergesetzes am 1. Januar 2008 zu laufen begonnen (Art. 126 Abs. 3 AuG; AS 2007 5489; vgl. <ref-ruling> E. 4.2 S. 81; Urteil 2C_160/2016 vom 15. November 2016 E. 2.1). Ausserhalb dieser Nachzugsfristen ist der Familiennachzug bloss möglich, wenn hierfür wichtige familiäre Gründe sprechen (Art. 47 Abs. 4 AuG; <ref-ruling> E. 2.3.1 S. 290 f.).
2.2.1. Die Nachzugsfrist von Art. 47 Abs. 1 AuG gilt unabhängig davon, ob die ausländische Person über die Niederlassungs- oder die Aufenthaltsbewilligung verfügt und ob ein Anspruch auf Familiennachzug besteht oder nicht. Ein Statuswechsel von einer Aufenthalts- zur Niederlassungsbewilligung löst keine neue Frist aus, wenn zuvor kein fristgerechtes Gesuch gestellt worden ist. Anders verhält es sich, wenn dieses Gesuch gestellt, es aber abgelehnt worden ist. Diesfalls ist es den Betroffenen nicht verwehrt, erneut um Nachzug zu ersuchen, sobald sich ihr ausländerrechtlicher Status ändert und daraus bessere Nachzugsvoraussetzungen resultieren, namentlich wenn mit der Erteilung einer Niederlassungsbewilligung oder gar der Einbürgerung ein Rechtsanspruch auf Nachzug entsteht (Art. 42 und Art. 43 AuG). Allerdings muss sowohl das erste Gesuch wie auch das spätere innerhalb der gesetzlichen Frist eingereicht worden sein (BGE <ref-ruling> E. 3.3 S. 395 ff.; Urteile 2C_386/2016 vom 22. Mai 2017 E. 2.1; 2C_160/2016 vom 15. November 2016 E. 2.1).
2.2.2. Mit dem Fristenregime für den Familiennachzug nach Art. 47 AuG bzw. <ref-law> bezweckt der Gesetzgeber die Förderung eines frühzeitigen Nachzugs zwecks besserer Integration der Kinder (vgl. <ref-ruling> E. 4.3 S. 82; Urteile 2C_147/2015 vom 22. März 2016 E. 2.4.1; 2C_181/2010 vom 1. Oktober 2010 E. 5.1). Durch einen raschen Nachzug sollen diese unter anderem eine möglichst umfassende Schulbildung in der Schweiz geniessen können (<ref-ruling> E. 5.4 S. 20 ff.; Urteil 2C_147/2015 vom 22. März 2016 E. 2.4.1). Wie aus der parlamentarischen Debatte zum geltenden Ausländergesetz hervorgeht, stellen die Regeln über den Familiennachzug einen Kompromiss dar zwischen den gegenläufigen Anliegen, im Einklang mit <ref-law> und Art. 8 EMRK das Familienleben zu ermöglichen und die Einwanderung zu begrenzen (vgl. Urteile 2C_147/2015 vom 22. März 2016 E. 2.4.1; 2C_914/2014 vom 18. Mai 2015 E. 4.1).
2.3. Die Aufenthaltsbewilligung erlischt mit dem Ablauf ihrer Gültigkeitsdauer (Art. 61 Abs. 1 lit. c AuG). Die betroffene Person kann allerdings während der Dauer des Verlängerungsverfahrens und damit auch nach Erlöschen der Bewilligung in der Schweiz verbleiben, sofern die zuständige Behörde im Sinne vorsorglicher Massnahmen keine abweichenden Verfügungen trifft (<ref-law>; PETER BOLZLI, in: Marc Spescha/Hanspeter Thür/Andreas Zünd/Peter Bolzli/ Constantin Hruschka [Hrsg.], Migrationsrecht - Kommentar, 4. Aufl. 2015, N. 11 zu Art. 33 AuG; Urteil 2C_81/2013 vom 30. Januar 2013 E. 2.2). Dabei handelt es sich zwar nur um ein prozessuales Aufenthaltsrecht; die durch die Bewilligung verschafften Rechte (insbesondere hinsichtlich Aufenthalt und Erwerbstätigkeit) gelten nach Ablauf der Gültigkeitsdauer der Aufenthaltsbewilligung aber weiterhin (SILVIA HUNZIKER, in: Martina Caroni/Thomas Gächter/Daniela Thurnherr [Hrsg.], Bundesgesetz über die Ausländerinnen und Ausländer (AuG), Handkommentar, 2010, N. 16 zu Art. 61 AuG mit Hinweis auf die Botschaft vom 8. März 2002 zum Bundesgesetz über die Ausländerinnen und Ausländer, BBl 2002 3778; MARC SPESCHA, in: Marc Spescha/ Hanspeter Thür/Andreas Zünd/Peter Bolzli/Constantin Hruschka [Hrsg.], Migrationsrecht - Kommentar, 4. Aufl. 2015, N. 2 zu Art. 61 AuG). Es ist der ausländischen Person daher auch während des Verfahrens betreffend Verlängerung der Aufenthaltsbewilligung unbenommen, ein Gesuch um Familiennachzug zu stellen. Dass dieses regelmässig nicht beurteilt werden dürfte, bevor nicht über die Verlängerung der Aufenthaltsbewilligung entschieden ist, steht dem nicht entgegen.
2.4. Die Beschwerdeführer 2-5 wurden in den Jahren 1999 bis 2005 geboren. Die erstmalige Erteilung der Aufenthaltsbewilligung an den Beschwerdeführer 1 erfolgte im April 2002. Der Lauf der Nachzugsfristen setzte somit übergangsrechtlich am 1. Januar 2008 ein und dauerte längstens bis 1. Januar 2013 (vgl. E. 2.2 hiervor; Urteil 2C_452/2015 vom 26. Oktober 2015 E. 3.2.2). Am 16. April 2015 stellten die Beschwerdeführer erstmals ein Familiennachzugsgesuch. Die Nachzugsfristen mit Beginn am 1. Januar 2008 waren in diesem Zeitpunkt bereits abgelaufen. Von einem verspäteten Nachzugsgesuch wäre im Übrigen auch dann auszugehen, wenn die am 1. Januar 2008 in Gang gesetzten Fristen zwischen dem Ablauf der Gültigkeitsdauer der Aufenthaltsbewilligung (6. April 2012) und der erneuten Bewilligung des Aufenthalts am 2. Juni 2014 stillgestanden hätten (vgl. angefochtenes Urteil E. 3.2). Ob es gerechtfertigt wäre, während des Schwebezustands von einem Stillstand der Nachzugsfristen auszugehen, braucht daher nicht weiter vertieft zu werden. Zu prüfen bleibt einzig, ob mit der Erteilung der Aufenthaltsbewilligung am 2. Juni 2014 neue Nachzugsfristen zu laufen begonnen haben. Wie sich aus den nachfolgenden Erwägungen ergibt, ist das nicht der Fall.
2.4.1. Das Migrationsamt hat mit Verfügung vom 8. Februar 2013 eine Verlängerung der zuletzt bis 6. April 2012 gültigen Aufenthaltsbewilligung des Beschwerdeführers 1 noch abgelehnt. Am 2. Juni 2014 erteilte es ihm gestützt auf dessen neu geschlossene Ehe erneut eine Aufenthaltsbewilligung. Während der gesamten Zeit und somit auch während des Schwebezustands vom 6. April 2012 bis 1. Juni 2014 war der Beschwerdeführer 1 mit allen Rechten und Pflichten weiterhin in der Schweiz aufenthaltsberechtigt (vgl. <ref-law>, E. 2.3 hiervor). Formell handelte es sich bei der am 2. Juni 2014 erteilten Aufenthaltsbewilligung zwar um eine neue Bewilligung, weil sie auf wesentlich veränderten Tatsachen beruhte, nämlich auf der mit G._ neu eingegangenen Ehe (vgl. BGE <ref-ruling> E. 2 S. 181 f.; Urteile 2C_634/2016 vom 4. Mai 2017 E. 1.1.3; 2C_876/2013 vom 18. November 2013 E. 3.1). Materiell änderte sich am ausländerrechtlichen Status des Beschwerdeführers 1 jedoch nichts, zumal sich sein Aufenthalt schon zuvor auf die Ehe zu einer Person mit gefestigtem Anwesenheitsrecht in der Schweiz stützte. Namentlich hatte er während seiner gesamten Aufenthaltsdauer in der Schweiz und somit auch während der vollen Übergangsfrist nach Art. 47 Abs. 1 und Abs. 3 i.V.m. Art. 126 Abs. 3 AuG die Möglichkeit, ein Gesuch um Familiennachzug zu stellen (vgl. E. 2.3 hiervor).
2.4.2. Die Erteilung der Aufenthaltsbewilligung am 2. Juni 2014 setzte vor diesem Hintergrund keinen neuen Fristenlauf nach Art. 47 Abs. 1 und Abs. 3 AuG bzw. <ref-law> in Gang. Kein anderes Resultat ergibt sich im Übrigen mit Blick auf die bundesgerichtliche Rechtsprechung zum Statuswechsel von einer Aufenthalts- zur Niederlassungsbewilligung. Bei der Niederlassungsbewilligung handelt es sich im Verhältnis zur Aufenthaltsbewilligung zwar ebenfalls formell um eine neue Bewilligung, die ausserdem materiell mit Verbesserungen in der Rechtsstellung der ausländischen Person verbunden ist. Gleichwohl löst sie grundsätzlich keinen neuen Fristenlauf aus, sofern nicht bereits einmal ein (erfolgloses) Gesuch gestellt wurde und das erste wie das spätere Gesuch innerhalb der gesetzlichen Frist eingereicht werden (vgl. E. 2.2.1 hiervor; BGE <ref-ruling> E. 3.3 S. 397; Urteil 2C_160/2016 vom 15. November 2016 E. 2.1). Im vorliegenden Fall wurde im Unterschied zu dieser Praxis vor dem 16. April 2015 kein Familiennachzugsgesuch gestellt.
2.4.3. Mit der Erteilung der Aufenthaltsbewilligung am 2. Juni 2014 trat zudem keine Verbesserung in der Rechtsstellung des Beschwerdeführers 1 ein. Dass sich der Status des ununterbrochen aufenthaltsberechtigten Beschwerdeführers 1 während des Verfahrens auf Verlängerung der ursprünglichen Aufenthaltsbewilligung während einigen Monaten in der Schwebe befand, ändert daran entgegen der Auffassung des Beschwerdeführers nichts, weil er auch während dieser Zeit in der Schweiz aufenthaltsberechtigt war und die Möglichkeit hatte, ein Nachzugsgesuch zu stellen (vgl. E. 2.3 hiervor). Anders zu entscheiden hiesse, ununterbrochen aufenthaltsberechtigte Personen, deren ausländerrechtlicher Status sich im Hinblick auf die Nachzugsbedingungen nicht verbesserte, im Verhältnis zu anderen Personen, bei denen ein Statuswechsel zur Erleichterung der Nachzugsmöglichkeiten führte, in Bezug auf die Nachzugsfristen nur deshalb besser zu stellen, weil sich ihr Anwesenheitsrecht während einer gewissen Phase in der Schwebe befand. Dafür besteht kein sachlicher Grund, zumal ein solches Ergebnis auch Sinn und Zweck der gesetzlichen Nachzugsregeln widersprechen würde (vgl. E. 2.2.2 hiervor).
2.5. Das Familiennachzugsgesuch für die Beschwerdeführer 2-5 erfolgte somit verspätet. Daran ändert nichts, dass optimale Integrationsvoraussetzungen für seine Kinder nach Darstellung des Beschwerdeführers 1 erst seit Sommer 2014 vorliegen. Auf den Lauf der Nachzugsfristen hat dies offenkundig keinen Einfluss, zumal es der Beschwerdeführer 1 selber zu verantworten hat, wenn er nicht bereits vor Fristablauf für gute Nachzugsbedingungen sorgte. Unbehelflich ist auch der Einwand, in der Korrespondenz des Bundesgerichts im Verfahren 2C_367/2014 und jener des Migrationsamts sei jeweils von einem "neue[n] Bewilligungsgesuch" die Rede gewesen. Auf den Fristenlauf für den Familiennachzug hat dies nach dem soeben Dargelegten (vgl. E. 2.4 hiervor) keinen Einfluss. Nichts zu ihren Gunsten ableiten können die Beschwerdeführer schliesslich aus dem Grundsatz von Treu und Glauben (<ref-law>) im Zusammenhang mit einer angeblich falschen Auskunft des Migrationsamts vom April 2015 über den Lauf der Nachzugsfristen. Wie bereits die Vorinstanz zutreffend ausgeführt hat, waren Auskünfte in diesem Zeitpunkt von vorneherein nicht mehr geeignet, den Beschwerdeführer 1 von einer fristgerechten Einreichung des Nachzugsgesuchs abzuhalten, da die betreffenden Fristen längst abgelaufen waren (vgl. <ref-ruling> E. 3.1 S. 164 f.).
3.
3.1. Zu prüfen bleibt, ob wichtige Gründe für eine Bewilligung des Familiennachzugs im Sinne von Art. 47 Abs. 4 AuG vorliegen. Das ist nach <ref-law> der Fall, wenn das Kindswohl nur durch einen Nachzug in die Schweiz sachgerecht gewahrt werden kann. Entgegen dem Wortlaut der Verordnungsbestimmung ist dabei jedoch nicht ausschliesslich auf das Kindswohl abzustellen. Es bedarf vielmehr einer Gesamtschau unter Berücksichtigung aller relevanten Elemente im Einzelfall (vgl. Urteile 2C_176/2015 vom 27. August 2015 E. 3.1; 2C_888/2011 vom 20. Juni 2012 E. 3.1), wobei grundsätzlich auf die frühere Praxis zum Familiennachzug abgestellt werden kann (<ref-ruling> E. 2.2 S. 289 und E. 2.3.1 S. 291; <ref-ruling> E. 4.7 S. 85 f.; Urteil 2C_147/2015 vom 22. März 2016 E. 2.4.3). Ein wichtiger Grund liegt demnach vor, wenn die weiterhin notwendige Betreuung der Kinder im Herkunftsland beispielsweise wegen des Todes oder der Krankheit der betreuenden Person nicht mehr gewährleistet ist und keine sinnvolle andere Alternative in der Heimat gefunden werden kann. An den Nachweis der fehlenden Betreuungsmöglichkeit im Heimatland stellt die Rechtsprechung umso höhere Anforderungen, je älter das nachzuziehende Kind ist und je grösser die Integrationsschwierigkeiten erscheinen, die ihm hier drohen (vgl. <ref-ruling> E. 2.2 S. 289; Urteile 2C_147/2015 vom 22. März 2016 E. 2.4.3; 2C_767/2015 vom 19. Februar 2016 E. 5.1.2). Es obliegt im Rahmen ihrer Mitwirkungspflichten der nachzugswilligen Person, die entsprechenden Umstände nicht nur zu behaupten, sondern auch zu belegen (vgl. Art. 90 AuG; Urteile 2C_1/2017 vom 22. Mai 2017 E. 4.1.4; 2C_303/2014 vom 20. Februar 2015 E. 6.1 in fine).
3.2. Nach den vorinstanzlichen Feststellungen wurden die Beschwerdeführer 2-5 bis ins Jahr 2010 von ihrer Mutter betreut. Seither hat sich die im Zeitpunkt des angefochtenen Entscheids 67-jährige Grossmutter um sie gekümmert. Sie leidet gemäss einem ärztlichen Bericht an hohem Blutdruck, Diabetes und rheumatischen Krankheiten und soll deshalb nicht mehr in der Lage sein, sich um sich selbst zu kümmern. Die Mutter pflegt weiterhin einen engen Kontakt zu den Beschwerdeführern 2-5, gab in einer eidesstattlichen Erklärung vom 1. Dezember 2015 jedoch an, ein neues Leben beginnen und keine Verantwortung mehr für die Kinder übernehmen zu wollen. Auch sie klagt gemäss einem rudimentären Arztbericht über gesundheitliche Beschwerden. Die Vorinstanz kam zum Schluss, dass einer Betreuung der Beschwerdeführer durch die Grossmutter oder die Mutter aus gesundheitlichen Gründen keine ernsthaften Hindernisse im Weg stehen und die Erklärung der Mutter, die Verantwortung für die Kinder nicht übernehmen zu wollen, keinen wichtigen Grund im Sinne von Art. 47 Abs. 4 AuG darstelle.
3.3. Die Beschwerdeführer machen diesbezüglich zwar in verschiedener Hinsicht eine willkürliche Sachverhaltsfeststellung geltend, vermögen jedoch mit ihren weitgehend appellatorischen und teilweise auf unzulässigen Noven (vgl. E. 1.3 hiervor) beruhenden Vorbringen nicht darzutun, inwiefern die Vorinstanz die relevanten Sachumstände zum gesundheitlichen Zustand von Gross- und Kindsmutter offensichtlich unrichtig festgestellt hat (vgl. Art. 97 Abs. 1 und Art. 105 Abs. 2 BGG; zu den Anforderungen an Sachverhaltsrügen <ref-ruling> E. 9.2.3.6 S. 96; <ref-ruling> E. 1.4.3 S. 254 f.). Namentlich ist nicht zu beanstanden, dass die Vorinstanz den ärztlichen Berichten nur geringen Beweiswert zuerkannte, nachdem diese lediglich oberflächliche Angaben enthalten und zudem den Anschein erwecken, dass sie erst im Hinblick auf das Familiennachzugsverfahren angefertigt wurden. Mit der Vorinstanz ist deshalb davon auszugehen, dass die gesundheitliche Situation einer Betreuung der zwischen 1999 und 2005 geborenen Beschwerdeführer 2-5 weder durch die Gross-, noch durch die Kindsmutter im Weg stehen. Sodann stellt der Wunsch der Kindsmutter, für die Kinder künftig keine Verantwortung mehr übernehmen zu müssen, keinen wichtigen Grund im Sinne von Art. 47 Abs. 4 AuG dar. Fehlende Betreuungsmöglichkeiten im Heimatland, an deren Nachweis angesichts des Alters der Beschwerdeführer 2-5 erhöhte Anforderungen gelten (vgl. E. 3.1 hiervor), sind damit nicht dargetan. Schliesslich erweist es sich als mit Bundes- und Völkerrecht vereinbar, wenn die Vorinstanz davon ausgeht, ein Nachzug in die Schweiz sei unter dem Blickwinkel des Kindswohls nicht angezeigt, nachdem die Beschwerdeführer 2-5 ihr gesamtes bisheriges Leben getrennt vom Beschwerdeführer 1 verbracht haben, im Heimatland sozialisiert wurden und in der Schweiz mit erheblichen Schwierigkeiten bei der Integration in das Schul- und Berufsleben rechnen müssten. Damit liegen - auch unter Berücksichtigung des Anspruchs auf Familienleben (<ref-law> und Art. 8 Ziff. 1 EMRK) - keine wichtigen Gründe für einen nachträglichen Familiennachzug gemäss Art. 47 Abs. 4 AuG vor.
4.
Nach dem Dargelegten ist auf die subsidiäre Verfassungsbeschwerde nicht einzutreten. Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten ist zulässig, aber abzuweisen. Bei diesem Verfahrensausgang werden die Beschwerdeführer kostenpflichtig (<ref-law>). Parteientschädigungen sind nicht geschuldet (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Auf die subsidiäre Verfassungsbeschwerde wird nicht eingetreten.
2.
Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten wird abgewiesen.
3.
Die Gerichtskosten von Fr. 2'000.-- werden den Beschwerdeführern auferlegt.
4.
Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten, dem Verwaltungsgericht des Kantons Zürich, 4. Abteilung, und dem Staatssekretariat für Migration schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 25. August 2017
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Seiler
Der Gerichtsschreiber: Fellmann