Sachverhalt:
A.
Das mit einem Mehrfamilienhaus überbaute Grundstück Nr. 1964 des Grundbuchs (GB) Luzern rechtes Ufer, an der Geissmatthalde 6 in Luzern (nachstehend: Baugrundstück), stand im Eigentum von F. und G. H._.
Verschiedene an das Baugrundstück angrenzende Grundstücke stehen im Eigentum der Mitglieder der Erbengemeinschaft I. D._ sel., der namentlich A. und B. D._ angehören. C. D._ ist Eigentümerin des Grundstücks Nr. 3335, GB Luzern rechtes Ufer, Geissmatthalde 3.
B.
Am 30. August 2012 reichten F. und G. H._ der Stadt Luzern das Gesuch ein, auf dem Baugrundstück den Umbau des bestehenden Einfamilienhauses und die Errichtung einer neuen Garage zu bewilligen. Gegen das öffentlich aufgelegte Baugesuch erhoben A. und B. D._ sowie C. D._ (nachstehend: Einsprecher) Einsprachen.
Nachdem F. und G. H._ auf Mängel des Baugesuchs aufmerk sam gemacht worden waren, reichten sie am 5. September 2014 ein abgeändertes Baugesuch ein. Die Dienstabteilung Städtebau der Stadt Luzern setzte ihnen auch zur Überarbeitungdieses Gesuchs eine Frist, die mehrmals verlängert wurde.
Im Oktober 2014 übertrugen F. und G. H._ das Baugrundstück auf die E._ AG mit Sitz in Engelberg OW nachstehend: Bau herrin). Diese reichte bezüglich des Baugrundstücks ein abgeändertes Baugesuch ein, das am 11. August 2015 bei der Stadt Luzern einging.Die Einsprecher erneuerten ihre Einsprachen in Bezug auf dieses Baugesuch.
Mit Entscheid Nr. 309 vom 14. Dezember 2015wies die Baudirektion der Stadt Luzern (nachstehend: Baudirektion) die öffentlich-rechtlichen Einsprachen ab, soweit darauf einzutreten war bzw. sie nicht gutgeheissen wurden (Ziff. 1). Mit den privatrechtlichen Einsprachen ver wies die Baudirektion die Parteien an den Zivilrichter (Ziff. 2). Alsdann erteilte die Baudirektion der Bauherrin die von ihr verlangte Baubewilligung unter Bedingungen und Auflagen (Ziff. 3). Ziff. 3.29 der Baubewilligung verpflichtet die Bauherrin, vor Baubeginn beim Sachbearbeiter Ressort Baugesuche einen detaillierten Umgebungsplan mit Angaben zum Gefälle, zur Platzentwässerung und zur Gestaltung (Randabschlüsse, Beläge) einzureichen.
Gegen den Entscheid der Baudirektion vom 14. Dezember 2015erhoben die Einsprecher Beschwerde beim Kantonsgericht des Kantons Luzern. Dieses holte hinsichtlich der für das Bauvorhaben zu fällenden Bäume einen Amtsbericht der Stadt gärtnerei ein. Gestützt auf diesen Bericht ergänzte die Baudirektion mit Entscheid vom 23. Januar 2017 ihre ursprüngliche Baubewilligung vom 14. Dezember 2015 insoweit, als sie die Fällung eines Baumes (Scheinzypresse) bewilligte und eine Ersatzpflanzung verlangte.
Mit Urteil vom 20. März 2017 wies das Kantonsgericht die Beschwerde der Einsprecher ab, soweit es darauf eintrat (Ziff. 1). Es auferlegte die amtlichen Kosten von Fr. 5'000.-- den Einsprechern (Ziff. 2) und verpflichtete diese, der Bauherrin eine Parteientschädigung von Fr. 4'000.-- zu bezahlen (Ziff. 3).
C.
Die Einsprecher (Beschwerdeführer) erheben Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten mit den Anträgen, das Urteil des Kantonsgerichts Luzern vom 20. März 2017 und den Baubewilligungsentscheid der Stadt Luzern vom 14. Dezember 2015 aufzuheben und das Baubewilligungsgesuch abzuweisen. Eventuell seien Ziff. 2 und 3 des Dispositivs des angefochtenen Urteils aufzuheben und für dasvorinstanzliche Verfahren die amtlichen Kosten und die Parteientschädigung der Stadt Luzern aufzuerlegen. Subeventuell sei das angefochtene Urteil aufzuheben und die Sache zur neuen Entscheidung an die Vorinstanz zurückzuweisen.
Das Gesuch der Beschwerdeführer, der Beschwerde die aufschiebende Wirkung zu erteilen, wies das Bundesgericht mit Präsidialverfügung vom 29. Juni 2017 ab.
Das Kantonsgericht schliesst auf Abweisung der Beschwerde. Die Stadt Luzern und die Bauherrin (Beschwerdegegnerin) beantragen, die Beschwerde abzuweisen, soweit darauf einzutreten sei. In ihrer Replik stellen die Beschwerdeführer den Antrag, bei der Staatsanwaltschaft Kriens die Edition der Verfahrensakten betreffend eines im September 2014 an der Geissmatthalde verursachten Parkschadens mit Fahrerflucht zu verlangen. In ihrer Stellungnahme beantragt die Beschwerdegegnerin für den Fall des Beizugs dieser Akten zusätzlich die Edition der Akten eines anderen Strafverfahrens.

Erwägungen:
1.
1.1. Die Beschwerdeführer haben am vorinstanzlichen Verfahren teilgenommen und sind als Eigentümer von Grundstücken, die direkt an das Baugrundstück angrenzen oder davon nur durch eine Strasse getrennt sind, zur Beschwerdeführung legitimiert (<ref-law>; <ref-ruling> E. 2.3 S. 219 f.; <ref-ruling> E. 2.2 S. 504 mit Hinweisen). Gegen kantonal letztinstanzliche Endentscheide im Bereich des Baurechts steht die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten grundsätzlich offen (<ref-law>; <ref-ruling> E. 2 S. 356). Da auch die übrigen Eintretensvoraussetzungen gegeben sind, ist auf die Beschwerde grundsätzlich einzutreten.
1.2. Mit der Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann geltend gemacht werden, der angefochtene Entscheid verletze Bundesrecht, Völkerrecht oder kantonale verfassungsmässige Rechte (Art. 95 lit. a, b und c BGG). Die Verletzung des übrigen kantonalen Rechts kann abgesehen von hier nicht relevanten Ausnahmen gemäss <ref-law> vor Bundesgericht nicht gerügt werden; zulässig ist jedoch die Rüge, die Anwendung dieses Rechts führe zu einer Verletzung von Bundesrecht, namentlich des verfassungsmässigen Willkürverbots (<ref-ruling> E. 2 S. 149 f.). Nach der Praxis des Bundesgerichts verstösst ein Entscheid gegen dieses Verbot, wenn er im Ergebnis offensichtlich unhaltbar ist, weil er zum Beispiel eine Norm oder einen unumstrittenen Rechtsgrundsatz krass verletzt. Dass eine andere Lösung ebenfalls als vertretbar erscheint, genügt nicht (<ref-ruling> E. 2.2 S. 72 mit Hinweisen).
1.3. Vor Bundesgericht können neue Tatsachen und Beweismittel nur soweit vorgebracht werden, als erst der Entscheid der Vorinstanz dazu Anlass gibt (<ref-law>).
Die Beschwerdeführer haben die Verkehrssicherheit bei den geplanten Parkplätzen schon im vorinstanzlichen Verfahren thematisiert, weshalb nicht erst der vorinstanzliche Entscheid Anlass gab, dazu Beweisanträge zu stellen. Der neue Beweisantrag auf Beizug der Akten des Strafverfahrens wegen eines im September 2016 verursachten Parkschadens ist daher unzulässig, was sich auch daraus ergibt, das der Antrag in der Replik nach Ablauf der Beschwerdefrist verspätet gestellt wurde.
2.
2.1. Die Vorinstanz führte aus, mit der Baubewilligung seien auch die beiden Aussenparkplätze bewilligt worden. Zwar werde im schriftlichen Baubeschrieb des Baugesuchs die Änderung der beiden bestehenden Parkplätze nicht erwähnt. Jedoch gehe diese Änderung aus den übrigen Unterlagen klar hervor. Sowohl im Umgebungsplan 1:100 als auch im Plan Kellergeschoss 1:100 vom 30. August 2012 bzw. revidiert 12. (recte: 11.) August 2015 seien die aufzuhebenden bisherigen Parkplätze in gelber Farbe für "Abbruch" und die geplanten neuen Parkplätze in roter Farbe für "Neu" eingezeichnet.
2.2. Die Beschwerdeführer wenden ein, die vorinstanzliche Feststellung, wonach die Änderung der beiden Parkplätze aus den Unterlagen klar hervorgehe, sei nicht nachvollziehbar, da die Vorinstanz nicht sage, auf welche Unterlagen sie Bezug nehme.
2.3. Diese Sachverhaltsrüge ist offensichtlich unbegründet, weil sich die Vorinstanz ausdrücklich auf den Umgebungsplan 1:100 und den Plan Kellergeschoss 1:100 vom 11. August 2015 (vi.Bel. 11 und 12) bezieht, in denen die Parkplätze gemäss den vorinstanzlichen Ausführungen eingezeichnet sind.
3.
3.1. Die Vorinstanz führte weiter aus, die für eine umfassende und abschliessende Prüfung und Beurteilung des Baugesuchs gemäss § 55 Abs. 2 der Planungs- und Bauverordnung des Kantons Luzern vom 29. Oktober 2013 (PBV) notwendigen Unterlagen seien mit dem Baugesuch eingereicht worden. So seien die Beschwerdeführer in der Lage gewesen, die Baubewilligung auch bezüglich der Parkplätze anzufechten. Soweit für die Erstellung der neuen Parkplätze eine bestehende Hecke versetzt werden müsse, sei dafür keine Baubewilligung erforderlich (vgl. § 53 f. PBV). Im Übrigen habe gemäss Ziff. 3.29 der angefochtenen Baubewilligung die Beschwerdegegnerin vor Baubeginn der Stadt Luzern ohnehin einen detaillierten Umgebungsplan einzureichen, was eine zusätzliche Kontrolle ermögliche.
3.2. Die Beschwerdeführer bringen vor, gemäss § 55 Abs. 2 lit. b (recte: c) PBV sei der Umgebungsplan notwendiger Bestandteil der Baugesuchsunterlagen. Indem die Vorinstanz zulasse, dass der Umgebungsplan entgegen dem Wortlaut und Zweck dieser Regelung erst nach der Erteilung der Baubewilligung eingereicht werde, verstosse sie in willkürlicher Weise gegen § 55 Abs. 2 PBV. Zudem könnten die Beschwerdeführer den nachträglich einzureichenden Plan nicht prüfen und dagegen keine Einwände erheben, was ihren Anspruch auf rechtliches Gehör verletze.
3.3. Gemäss § 55 Abs. 2 PBV sind mit dem Baugesuch die für eine umfassende und abschliessende Prüfung und Beurteilung des Bauvorhabens notwendigen Unterlagen einzureichen. Dazu gehört gemäss lit. c dieser Bestimmung ein Plan über die Umgebungsgestaltung im Massstab 1:100, in dem namentlich die Abstellflächen für Fahrzeuge, die interne Erschliessung, die vorhandenen und geplanten Leitungen und die Spielplätze und Freizeitanlagen eingezeichnet und vermasst sind.
3.4. Die Beschwerdegegnerin hat mit den Baugesuchsunterlagen einen Umgebungsplan eingereicht, in dem namentlich die vorbestehenden und die geplanten nach Osten verschobenen Parkplätze eingezeichnet waren (vgl. E. 2 hievor). Damit lagen die in § 55 Abs. 2 PBV verlangten Angaben über die Abstellflächen für Fahrzeuge vor dem Entscheid über das Baugesuch vor. In Ziff. 3.29 der Baubewilligung wird bloss die Ergänzung des bereits eingereichten Umgebungsplansdurch weitere Angaben zu den Gefällen, der Platzentwässerung und der Gestaltung der Randabschlüsse und Beläge verlangt. Inwiefern § 55 Abs. 2 lit. c PBV das Nachreichen solcher Zusatzangaben zwingend ausschliessen soll, legen die Beschwerdeführer nicht dar. Dies ist auch nicht ersichtlich, zumal das in Ziff. 3.29 der Baubewilligung erwähnte Merkblatt zum Umgebungsplan der Stadt Luzern nur verlangt, dass der Umgebungsplan mit Erläuterungsteil (Legende) grundsätzlich mit der Eingabe des Baugesuchs bei der Gemeinde einzureichen ist. Damit wird ein Abweichen von diesem Grundsatz durch das spätere Einreichen eines weiteren Umgebungsplans mit zusätzlichen Angaben entgegen der Meinung der Beschwerdeführer nicht zwingend ausgeschlossen. Die Rüge der willkürlichen Anwendung von § 55 Abs. 2 lit. c PBV ist damit unbegründet. Gleiches gilt bezüglich der Rüge der Gehörsverletzung, da die Beschwerdeführer nicht darlegen, weshalb sie im vorliegenden Fall damit rechnen müssen, dass die in Ziff. 3.29 der Baubewilligung verlangten zusätzlichen Angaben zu für sie unter den gegebenen Umständen nachteiligen Veränderungen gegenüber den bewilligten Plänen führen könnten, was auch nicht ersichtlich ist. Demnach lag hinsichtlich des Umgebungsplans bezüglich der Abstellflächen für Fahrzeuge kein für die Baubewilligung relevanter Mangel des Bauvorhabens vor. Damit stellt sich entgegen der Meinung der Beschwerdeführer insoweit die Frage der Zulässigkeit der Mängelbehebung durch eine Auflage nicht.
4.
4.1. Die Beschwerdeführer machten in Ziff. 31 ihrer Verwaltungsgerichtsbeschwerde geltend, die geplanten Parkplätze seien kaum mehr erreichbar, ohnerechtswidrig das Grundstück Nr. 1092 der Beschwerdeführerzu befahren. Die Ausfahrt aus der Garage sei nur schwer zu bewerkstelligen. Die Parkplätze seien nicht sicher und verkehrsgerecht, wie dies Art. 14 des Parkplatzreglements fordere.Die Normen des Schweizerischen Verbandes der Strassen- und Verkehrsfachleute (VSS) würden nicht eingehalten, da nicht genügend Verkehrsfläche vorhanden und die Sicherheit, insbesondere für spielende oder Velo fahrende Kinder, gefährdet sei.
4.2. Die Vorinstanz führte zu diesen Rügen aus, gemäss Art. 14 Abs. 1 des Parkplatzreglements für die Stadt Luzern vom 17. April 1986 seien die Parkplätze und Verkehrsflächen verkehrsgerecht anzulegen (Satz 1). Dabei würden die VSS-Normen als Richtlinien gelten (Satz 2). Das kantonale Planungs- und Baugesetz (PBG) vom 7. März 1989 verlange, dass Ausfahrten und Ausgänge auf Strassen und Plätzen so anzulegen sind, dass die Verkehrsteilnehmer nicht behindert oder gefährdet werden (§ 119 Abs. 1 PBG), wobei es zulasse, dass die Gemeinden im Einzelfall den Verhältnissen angepasste Vorschriften über Breite und Art der Ausführung der Zufahrt zum Baugrundstück erlassen (§ 118 Abs. 1 Satz 1 PBG). Schliesslich werde verlangt, dass bei Grundstücken die Ein- und Ausfahrten gemäss der VSS-Norm SN 640 050 (Grundstückszufahrten) zu gestalten seien (VSS-Norm SN 640 291a S. 9 Ziff. 9.3 f.). Da die Geissmatthalde eine Privatstrasse sei, die nicht Teil des öffentlichen Strassennetzes bilde, sei nicht relevant, dass gemäss der VSS-Norm 640 291a der Parkierungsverkehr den Verkehrsfluss des öffentlichen Strassennetzes nicht in unzumutbarer Weise behindern darf. Zu beachten sei jedoch, dass nach der gleichen VSS-Norm der Parkierungsverkehr die Fussgänger und die Fahrer leichter Zweiräder nicht gefährden und deren Komfort nicht unnötig verringern soll. Eine entsprechende konkrete Gefährdung durch den von den streitbetroffenen Parkplätzen verursachten Verkehr sei nicht ersichtlich. Die Beschwerdeführer machten nicht geltend und es sei auch nicht aktenkundig, dass es bei der bisherigen Parkplatzbenutzung zu Gefährdungen von Fussgängern oder Velofahrern gekommen sei. Die Baukommission habe auch keine Veranlassung gesehen, die Sicherheit von Fussgängern und Velofahrern als ungenügend zu bezeichnen. Von dieser Einschätzung weiche das Kantonsgericht unter den vorliegenden Umständen und in Beachtung des Ermessensspielraums der Bewilligungsbehörde nicht leichthin ab. So sei aufgrund der in den Akten enthaltenen Pläne und Fotografien (vi Bel. 25) nicht erkennbar, dass die Parkplätze ohne Benutzung des Nachbargrundstücks Nr. 1092 nur mit übermässig gefährlichenWendemanövern erreicht werden könnten. Zwar mache die Wegfahrt von den Parkplätzen notwendig, dass teilweise rückwärts gefahren werde. Doch seien solche Rückwärtsfahrten nicht mit unzumutbaren Gefahren verbunden, wenn dabei gebührend Rücksicht auf die übrigen Verkehrsteilnehmer genommen werde. Sollte das Nachbargrundstück Nr. 1092 trotzdem ohne Berechtigung befahren werden, so wäre es Sache des Zivilgerichts, über diesbezügliche Streitigkeiten zu entscheiden.
4.3. Die Beschwerdeführer rügen, die vorinstanzlichen Tatsachenfeststellungen seien aktenwidrig. Die vorbestehenden Parkplätze hätten nach den Angaben der Baubewilligungsbehörde den Abmessungen gemäss der VSS-Norm 640 291a nicht entsprochen und im Vorplatz- und Zufahrtsbereich der Garage gelegen. Dies treffe bezüglich der bewilligten Parkplätze immer noch zu. Wenn sie besetzt seien, könnten Fahrzeuge die Garage nur verlassen, wenn sie auf das Grundstück Nr. 1092 abdrehten.
4.4. Gemäss dem Situationsplan und dem Umgebungsplan (vi. Bel. 10 f.) wurden die bewilligten gegenüber den bestehenden Parkplätzen nach Osten verschoben. Aus der nördlich geplanten Garage können Fahrzeuge daher neben den westlichen Parkplätzen vorbei nach Süden auf die Strassenparzelle fahren, ohne das Grundstück Nr. 1092 als Fahrfläche zu benutzen. Die entsprechende vorinstanzliche Feststellung ist daher nicht willkürlich, was durch die bei den Akten befindlichen Fotografien bestätigt wird (vgl. vi. Bel. 25). Dass die Strassenparzelle im Bereich vor den geplanten Parkplätzen nicht genügend Platz zum Wenden eines Fahrzeug bieten würde, machen die Beschwerdeführer nicht geltend und ist auch nicht ersichtlich. Inwiefern die geplanten Parkplätze den Abmessungen gemäss der VSS-Norm 640 291a nicht entsprechen sollen legen die Beschwerdeführer nicht dar und ist auch nicht ersichtlich, zumal sie gegenüber den vorbestehenden Plätzen verlängert wurden.
4.5. Sodann rügen die Beschwerdeführer, die vorinstanzliche Feststellung, dass die Baukommission keine Veranlassung gesehen habe, die Sicherheit von Fussgängern und Velofahrern als ungenügend zu bezeichnen, sei willkürlich, weil diese Kommission dies so nie festgestellt habe. Die Stadt Luzern habe in ihrer Vernehmlassung vom 18. Februar 2016 lediglich ausgeführt, aus der Sicht des Tiefbauamts könne ein reduziertes Sichtfeld gewährt werden und eine Durchsetzung der Sichtzonen gemäss VSS-Normen sei nicht verhältnismässig. Diese Angabe stehe jedoch im Widerspruch zur Stellungnahme des Tiefbauamts vom 31. August 2015,weil darin die Einhaltung der VSS-Normen verlangt werde.
4.6. Das Tiefbauamt führte in seiner Stellungnahme vom 31. August 2015 aus:
"Im Bereich der Ausfahrten dürfen keine sichtbehindernden Pflanzungen vorgenommen oder Gegenstände (z.B. Container, Briefkästen a.Ä.) platziert werden. Das heisst, das Sichtfeld (Sichtzone) gemäss VSS-Norm SN 640 273a muss zwischen 0,60 und 3,00 m über der Fahrbahnebene hindernisfrei sei. Pflanzungen sind jeweils entsprechend zurückzuschneiden."
Eine entsprechende Auflage wurde in der Ziff. 3.23 der Baubewilligung ausdrücklich vorgesehen, weshalb bezüglich der Sichtzonen ein Widerspruch zur VSS-Norm SN 640 273a nicht erkennbar ist.
4.7. Weiter machen die Beschwerdeführer sinngemäss geltend, das Tiefbauamt habe in seiner Stellungnahme vom 31. August 2015 die Einhaltung der VSS-Norm SN 640 291a verlangt. Da die Baubewilligung sich auf diese Stellungnahme beziehe, müsse diese zwingend eingehalten werden. Die Vorinstanz urteile somit aktenwidrig, wenn sie ausführe, die VSS-Normen hätten keine zwingende Geltung.
4.8. Nach der Rechtsprechung dürfen die VSS-Normen nicht allzu schematisch und starr gehandhabt werden (Urteil 1C_147/2015 vom 17. September 2015 E. 6.1.1 mit Hinweis). Was als hinreichende Zufahrt gilt, hängt von der beanspruchten Nutzung des Grundstücks sowie von den massgeblichen örtlichen Umständen des Einzelfalls ab (<ref-ruling> E. 6b S. 166). Bei deren Beurteilung steht den zuständigen kantonalen und kommunalen Behörden ein erhebliches Ermessen zu (<ref-ruling> E. 3a S. 68). Die Beschwerdeführer machen zwar sinngemäss geltend, die geplanten Parkplätze würden durch den entsprechenden Parkierungsverkehr entgegen der VSS-Norm SN 640 291a die Fussgänger und die Fahrer leichter Zweiräder gefährden und deren Komfort unnötig verringern. Sie zeigen jedoch nicht substanziiert auf, inwiefern die Vorinstanz das ihr insoweit bei der Beurteilung der örtlichen Umstände zustehende Ermessen überschritten haben soll. Dies ist auch nicht ersichtlich, weil die geplanten Parkplätze über eine private Strasse erreicht werden sollen, die nur wenige Häuser erschliesst. Demnach kann die Situation mit öffentlichen Parkierungsanlagen verglichen werden, bei denen Querparkplätze üblich sind, ohne dass die damit verbundenen Rückwärts-Manöver zu übermäs-sigen Gefährdungen führen. Dies wird dadurch bestätigt, dass die Beschwerdeführer in ihren Einsprachen die Verkehrssicherheit nicht thematisierten, was die Vorinstanz willkürfrei als Indiz dafür werten konnte, dass die bisherigen Parkplätze diese Sicherheit nicht übermässig gefährdeten und eine solche Gefährdung auch bei den ähnlich angeordneten geplanten Parkplätzen nicht zu erwarten sei.
5.
5.1. Sodann bringen die Beschwerdeführer vor, sie hätten zur Abklärung der Verkehrssicherheit im vorinstanzlichen Verfahren einen Augenschein und eine Expertise verlangt. Diese Beweisanträge habe die Vorinstanz offenbar in antizipierter Beweiswürdigung abgelehnt. Dies sei willkürlich gewesen, weil die Verkehrssicherheit allein gestützt auf die Pläne und Fotografien nicht rechtsgenüglich habe beurteilt werden können.
5.2. Die Beschwerdeführer legen nicht dar, weshalb die Pläne und Fotografien in den Akten bezüglich der überschaubaren örtlichen Gegebenheiten kein hinreichendes Bild erlauben sollen, was gemäss der vorstehenden Erwägung auch nicht ersichtlich ist. Sie bestreiten auch nicht, dass die Geismatthalde eine private Sackgasse ist, die nur wenige Häuser erschliesst, weshalb von einem sehr kleinen Verkehrsvolumen auszugehen ist. Unter diesen Umständen durfte die Vorinstanz in willkürfreier antizipierter Beweiswürdigung zum Ergebnis kommen, an ihrer gestützt auf die Akten vorgenommenen Beurteilung der Verkehrssicherheit könne ein Augenschein oder eine Verkehrsexpertise nichts mehr ändern (vgl. Urteil 1C_68/2017 vom 1. September 2017 E. 2.3).
6.
6.1. Gemäss § 198 Abs. 1 lit. c des Gesetzes über die Verwaltungsrechtspflege des Kantons Luzern vom 3. Juli 1972 (VRG) hat im Rechtsmittelverfahren die unterliegende Partei unter Vorbehalt der §§ 199 und 200 VRG die amtlichen Kosten zu tragen.
§ 199 VRG lautet:
1 Die kantonalen Instanzen belasten den Kanton und seine Behörden mit keinen amtlichen Kosten.
2 Den Gemeinden und andern dem Kanton nachgeordneten Gemeinwesen werden von kantonalen Instanzen nach § 198 amtliche Kosten auferlegt, wenn sie unter eigenem Namen oder durch eine Behörde in einem Rechtsmittelverfahren als Partei beteiligt und am Rechtsstreit wirtschaftlich interessiert sind.
3 Im übrigen können die kantonalen Rechtsmittelinstanzen den Gemeinden und andern dem Kanton nachgeordneten Gemeinwesen amtliche Kosten auferlegen, wenn ihren Behörden grobe Verfahrensmängel oder offenbare Rechtsverletzungen zur Last fallen.
6.2. Die Vorinstanz ging davon aus, soweit aufgrund einer Gehörsverletzung (insbesondere E. 3.3.6) überhaupt grobe Verfahrensmängel oder offenbare Rechtsverletzungen gegeben seien, rechtfertige sich vorliegend aufgrund der gesamten Umstände nicht, der Stadt Luzern gemäss § 199 Abs. 3 VRG amtliche Kosten aufzuerlegen. Die Vorinstanz auferlegte daher die amtlichen Kosten von Fr. 5'000.-- nach § 198 Abs. 1 VRG den mit ihren Anträgen unterliegenden Beschwerdeführern und verpflichtete diese, gemäss § 201 Abs. 1 VRG der obsiegenden privaten Beschwerdegegnerin eine Parteientschädigung von Fr. 4'000.-- zu bezahlen (Ziff. 2 und 3 des Dispositivs des angefochtenen Urteils).
6.3. Die Beschwerdeführer rügen, die Vorinstanz habe bezüglich der Verlegung der amtlichen Kosten den aus dem rechtlichen Gehör abgeleiteten Anspruch auf eine rechtsgenügliche Begründung des Entscheids verletzt. Aus dem angefochtenen Urteil gehe nicht hervor, wie die Vorinstanz die von ihr festgestellten Gehörsverletzungen bezüglich der Verlegung der amtlichen Kosten gewichtet habe und was mit den "gesamten Umständen" gemeint sei, die offenbar die Verletzungen des rechtlichen Gehörs aufwiegen sollten. Die vorinstanzliche Begründung sei auch bezüglich der Parteikostenentschädigung ungenügend, zumal sich die Vorinstanz dazu bloss auf § 201 Abs. 1 VRG berufe, ohne sich zur Frage der Lückenhaftigkeit dieser Norm bzw. der möglichen analogen Anwendung von § 199 Abs. 3 VRG zu äussern.
6.4. Da die Vorinstanz im angefochtenen Urteil im Zusammenhang mit den Ausführungen zu den Gehörsverletzungen die entsprechenden Umstände ausführlich dargelegte, ist auch bezüglich Anwendung von § 199 Abs. 3 VRG erkennbar, von welchen Umständen die Vorinstanz ausging. Auch war ersichtlich, von welchen Überlegungen die Vorinstanz sich bezüglich der Verlegung der Parteikosten leiten liess, weshalb insoweit eine sachgerechte Anfechtung des Urteils möglich war. Die Vorinstanz hat damit in diesem Zusammenhang ihre Begründungspflicht erfüllt (<ref-ruling> E. 9.2 S. 65; <ref-ruling> E. 3.2.4; je mit Hinweisen).
7.
7.1. Weiter rügen die Beschwerdeführer, die Vorinstanz habe bezüglich der amtlichen Kosten § 199 VRG und betreffend der Parteientschädigung § 201 VRG willkürlich angewandt. Sie habe verschiedene Gehörsverletzungen in Bezug auf die verspätete Offenlegung von Dokumenten festgestellt und geheilt. So bezüglich der Planunterlagen hinsichtlich der Vergrösserung des Grenzabstands, der Pläne zur Prüfung des Terrainverlaufs und der Stellungnahme des Tiefbauamts vom 31. August 2015. Auch habe die Vorinstanz eine Gehörsverletzung festgestellt, welche die Stadt Luzern durch die anfänglich ungenügende Berücksichtigung der Einwände der Beschwerdeführer bezüglich der Bewilligungspflicht der vorgesehenen Baumfällungen begangen habe. Dass eine Gehörsverletzung einen groben Verfahrensfehler und eine offenbare Rechtsverletzung darstelle, sei eindeutig und bedürfe keiner weiteren Ausführungen. Die Vorinstanz hätte die von ihr festgestellten Gehörsverletzungen voll gewichten müssen. Aufgrund der Summierung der Gehörsverletzungen sei es willkürlich, den Beschwerdeführern die amtlichen Kosten aufzuerlegen. Diese Kosten hätten gemäss § 199 Abs. 3 VRG der Stadt Luzern als verantwortliche Gemeinde auferlegt werden müssen. Demnach sei auch eine Parteikostenentschädigung zulasten der Beschwerdeführer willkürlich. § 201 VRG sehe zwar nicht vor, dass dem Gemeinwesen Parteikosten auferlegt werden könnten. Gemäss LGVE 1984 II Nr. 47 bestehe diesbezüglich jedoch eine echte Gesetzeslücke, weshalb die Parteikosten in echter Lückenfüllung der Stadt Luzern hätten auferlegt werden müssen. Eventuell sei die Sache zur neuen Prüfung der Kostenverlegung an die Vorinstanz zurückzuweisen.
7.2. Entgegen der Annahme der Beschwerdeführer stellt nicht jede Gehörsverletzung einen groben Verfahrensfehler oder eine offenbare Rechtsverletzung im Sinne § 199 Abs. 3 VRG dar. So können namentlich im Rechtsmittelverfahren geheilte Gehörsverletzungen unter Umständen als nicht derart schwerwiegend qualifiziert werden, dass sich gemäss § 199 Abs. 3 VRG eine Kostenauferlegung zu Lasten der Gemeinde aufdrängt (vgl. Urteil 1C_405/2011 vom 24. April 2012 E. 2.1). Die Beschwerdeführer legen nicht dar, weshalb die von ihnen angerufenen Gehörsverletzungen, trotz ihrer Heilung im vorinstanzlichen Verfahren,zwingend als grobe Verfahrensfehler im Sinne von § 199 Abs. 3 VRG hätten qualifiziert werden müssen, was auch nicht ersichtlich ist. Inwiefern die Stadt Luzern bezüglich der Zulässigkeit des strittigen Bauprojekts offenbare Rechtsverletzungen begangen haben soll, legen die Beschwerdeführer nicht dar und ist gemäss den vorstehenden Erwägungen auch nicht ersichtlich. Zudem ist zu beachten, dass § 199 Abs. 3 VRG eine Kann-Vorschrift ist und daher die Vorinstanz auch dann, wenn die Stadt Luzern grobe Verfahrensmängel oder offenbare Rechtsverletzungen im Sinne dieser Regelung begangen hätte, die amtlichen Kosten nicht zwingend dieser Stadt hätte auferlegen müssen. Demnach erweist sich die Rüge der willkürlichen Anwendung von § 199 Abs. 3 VRG als unbegründet. Damit kann offen bleiben, ob diese Regelung allenfalls analog auf die Tragung von Parteikosten gemäss § 201 VRG hätte übertragen werde können, weshalb auch die Rüge der willkürlichen Anwendung dieser Norm unbegründet ist.
7.3. Auch wenn kein grober Verfahrensmangel im Sinne von § 199 Abs. 3 VRG vorliegt, ist nach der bundesgerichtlichen Rechtsprechung dem Umstand, dass ein Beschwerdeführer nur deshalb unterlag, weil ein Verfahrensfehler von der Rechtsmittelinstanz geheilt worden war, bei der Regelung der Kosten- und Entschädigungsfolgen angemessen Rechnung zu tragen. Dies gilt auch dann, wenn das anwendbare kantonale Verfahrensrecht keine entsprechende ausdrückliche Regelung enthält (Urteile 1C_98/2012 vom 7. August 2012 E. 9.3; 1C_41/2014 vom 24. Juli 2014 E. 7.3; 6B_1/2015 vom 25. März 2015 E. 4, in: Pra. 2015 Nr. 60 S. 468). Die Vorinstanz verfiel daher in Willkür, wenn sie den Umstand, dass die Beschwerdeführer im kantonalen Beschwerdeverfahren nur deshalb vollständig unterlagen, weil sie zumindest eine Gehörsverletzung geheilt hat, bei der Auferlegung der Verfahrens- und Parteikosten überhaupt nicht berücksichtigte. Die Vorinstanz hätte den Beschwerdeführern daher lediglich eine angemessen reduzierte Gerichtsgebühr auferlegen dürfen und auch bei der Verlegung der Parteikosten berücksichtigen müssen, dass die Beschwerdeführer nur deshalb vollständig unterlagen, weil sie Verfahrensfehler geheilt hat (Urteil 1C_98/2012 vom 7. August 2012 E. 9.3 mit Hinweisen; vgl. auch Urteil 6B_1247/2015 vom 15. April 2016 E. 2.4.3). Die Sache ist daher zur Neuregelung der Kosten- und Entschädigungsfolgen für das Beschwerdeverfahren an die Vorinstanz zurückzuweisen (vgl. Art. 67 und Art. 68 Abs. 5 BGG).
8.
Nach dem Gesagten ist in teilweiser Gutheissung der Beschwerde das angefochtene Urteil bezüglich der Regelung der Kosten- und Entschädigungsfolgen für das Beschwerdeverfahren aufzuheben und die Sache insoweit an die Vorinstanz zurückzuweisen. Im Übrigen ist die Beschwerde abzuweisen, soweit darauf einzutreten ist.
Bei diesem Ausgang des Verfahrens unterliegen die Beschwerdeführer mehrheitlich, weshalb es sich rechtfertigt ihnen die Gerichtskosten zu vier Fünfteln aufzuerlegen (vgl. <ref-law>). Die Beschwerdeführer haben zudem der mehrheitlich obsiegenden Beschwerdegegnerin für das bundesgerichtliche Verfahren eine reduzierte Parteientschädigung auszurichten (vgl. <ref-law>; Urteil 1C_98/2012 vom 7. August 2012 E. 11).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
In teilweiser Gutheissung der Beschwerde wird das Urteil des Kantonsgerichts Luzern, 4. Abteilung, vom 20. März 2017 bezüglich der Verlegung der Kosten- und Entschädigungsfolgen für das kantonale Beschwerdeverfahren aufgehoben und die Sache wird zur Neuregelung dieser Folgen an die Vorinstanz zurückgewiesen. Im Übrigen wird die Beschwerde abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.
Die Gerichtskosten von insgesamt Fr. 5'000.-- werden zu vier Fünfteln (Fr. 4'000.--) den Beschwerdeführern und zu einem Fünftel (Fr. 1'000.--) der Beschwerdegegnerin auferlegt.
3.
Die Beschwerdeführer haben unter solidarischer Haftbarkeit der Beschwerdegegnerin eine reduzierte Parteientschädigung von Fr.3'000.-- zu bezahlen.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien, der Stadt Luzern, Stab Baudirektion, und dem Kantonsgericht Luzern, 4. Abteilung, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 24. Oktober 2017
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Merkli
Der Gerichtsschreiber: Gelzer