Sachverhalt:
A.
A._ (Versicherter, Kläger, Beschwerdeführer) war über seine Arbeitgeberin C._ GmbH bei der B._ AG (Versicherung, Beklagte, Beschwerdegegnerin) mit einer fixen Lohnsumme von Fr. 100'800.-- für die Dauer von 730 Tagen bei einer Wartefrist von 30 Tagen gegen Lohnausfall versichert.
Am 6. August 2012 begab sich der Versicherte wegen starker Migräneschmerzen und 39 Grad Fieber in das Spital U._. Dort wurde eine therapieresistente Migräne sowie ein viraler Infekt diagnostiziert und der Versicherte blieb bis am 8. August 2012 hospitalisiert. Eine Assistenzärztin attestierte ihm eine 100%ige Arbeitsunfähigkeit bis 10. August 2012.
Am 14. August 2012 begab sich der Versicherte zu seiner Hausärztin Dr. D._, FMH Allgemeine Medizin. Die Hausärztin diagnostizierte ein Erschöpfungssyndrom nach febrilem Infekt, wahrscheinlich viral bedingt und eine chronische Migräne. Sie attestierte dem Versicherten auf dem ihr von der Versicherung zugestellten Formular eine 100%ige Arbeitsunfähigkeit bis 19. August 2012 sowie eine 50%ige Arbeitsunfähigkeit vom 20. August bis "wahrscheinlich Ende Oktober 2012". Die Frage, wann mit einer Arbeitsaufnahme zu rechnen sei, beantwortete die Ärztin mit "ab November 2012".
Der Versicherte nahm seine Arbeitstätigkeit in der Folge nicht wie vorhergesagt wieder voll auf. Am 30. Oktober 2012 attestierte ihm seine Hausärztin eine 50%ige Arbeitsunfähigkeit vom 1. bis 16. November 2012 und eine 25%ige Arbeitsunfähigkeit vom 17. bis 30. November 2012.
Die Versicherung teilte dem Versicherten mit Schreiben vom 8. November 2012 mit, dass er aufgrund der ihr vorliegenden medizinischen Akten in der jetzigen oder auch in einer anderen in Frage kommenden Tätigkeit ab 1. Dezember 2012 vollumfänglich arbeitsfähig sei. Sie werde bis zum 30. November 2012 Taggelder im Umfang von 50% leisten und den Fall danach abschliessen.
Der Versicherte begab sich zwischen dem 21. August 2012 und dem 11. Dezember 2012 insgesamt 13 Mal in eine Gesprächstherapie bei Dr. E._, FMH Psychiatrie und Psychotherapie.
Im Winter 2012/2013 litt der Versicherte an rezidivierenden viralen Infekten. Seine Hausärztin attestierte ihm vom 1. Dezember 2012 bis 31. Januar 2013 eine 50%ige Arbeitsunfähigkeit. Im Februar stufte sie ihn trotz weiterhin eingeschränkter Leistungsfähigkeit als zu 100% arbeitsfähig ein, was sie der Versicherung in einem schriftlichen Bericht am 5. März 2013 mitteilte.
Mit Schreiben vom 27. Mai 2013 informierte die Versicherung den Versicherten, dass ihr Vertrauensarzt nach erneuter Prüfung der Unterlagen das Resultat der ersten Einstellung bestätige und sie daher am Fallabschluss per 30. November 2012 festhalte.
Am 3. Juni 2013 attestierte die Hausärztin dem Versicherten eine 50%ige Arbeitsunfähigkeit vom 1. März 2013 bis 30. Juni 2013. Am 6. September 2013 attestierte sie sodann eine 50%ige Arbeitsunfähigkeit vom 15. Juli 2013 bis 30. August 2013 und sandte am 11. September 2013 einen Bericht an Dr. F._, FMH Chirurgie, der von der Rechtsschutzversicherung des Versicherten mit der Beurteilung der Arbeitsunfähigkeit beauftragt worden war. Dr. F._ verfasste eine Stellungnahme, welche die Versicherung ihrem Vertrauensarzt Dr. G._ wiederum zur Stellungnahme unterbreitete.
Mit Schreiben vom 9. April 2014 teilte die Versicherung dem Versicherten erneut mit, dass sie an ihrem Entscheid vom 27. Mai 2013 festhalte und keine Taggeldleistungen erbringe. Der Fall bleibe abgeschlossen. Diese Haltung bestätigte die Versicherung auf erneute Anfrage des Versicherten mit Schreiben vom 15. April 2015.
B.
B.a. Mit Klage vom 2. September 2015 beantragte der Versicherte dem Sozialversicherungsgericht des Kantons Basel-Stadt, (1) es sei die Beklagte zu verpflichten, ihm die vertraglichen Leistungen bei Krankheit im Umfang von mindestens Fr. 37'383.55 auszurichten, (2) es seien die nachzuzahlenden Leistungen seit 1. Dezember 2012 mit 5% zu verzinsen, (3) es sei die Beklagte zur vollständigen Edition ihrer Unterlagen zu verpflichten und (4) es sei ihm Gelegenheit zu geben, zur Höhe der geschuldeten Leistungen Stellung zu nehmen.
Die Beklagte beantragte Abweisung der Klage, eventuell sei ein psychiatrisches Gutachten in Auftrag zu geben.
Mit Replik und Duplik hielten die Parteien an ihren Anträgen fest. Mit der Duplik reichte die Beklagte ihr Dossier und eine Stellungnahme von Dr. H._, FMH Psychiatrie und Psychotherapie, vom 12. März 2016 ein.
Der Kläger nahm mit Eingabe vom 13. Juni 2016 zum Dossier der Beklagten Stellung.
B.b. Mit Urteil vom 14. September 2016 hiess das Sozialversicherungsgericht die Klage teilweise gut und verpflichtete die Beklagte, dem Kläger den Betrag von Fr. 18'917.-- zuzüglich Zins zu 5% seit 27. Mai 2013 zu bezahlen. Im Übrigen wies es die Klage ab. Die Parteikosten wurden wettgeschlagen. Das Sozialversicherungsgericht ging davon aus, dass der Kläger für den Eintritt des Versicherungsfalles behauptungs- und beweispflichtig sei. Es hielt fest, dass der Anspruch auf Versicherungsleistungen bis 30. November 2012 unbestritten, jedoch für die Zeit vom 1. Dezember 2012 bis 31. Oktober 2013 das Ausmass der tatsächlichen Arbeitsunfähigkeit zu klären sei, wobei die Beklagte am 8. November 2012, als sie dem Kläger die Leistungseinstellung mitteilte, nicht über genügend objektiven Anhalt in den medizinischen Unterlagen verfügt habe, um ihre Leistungseinstellung zu begründen.
Das Sozialversicherungsgericht gab sodann die vertraglichen Bestimmungen über die Leistungsvoraussetzungen wieder und kam aufgrund der von der Beklagten mit der Duplik eingereichten Stellungnahme zum Schluss, die von der Hausärztin für die Arbeitsunfähigkeit gestellte psychiatrische Diagnose habe nicht zugetroffen. Aufgrund dessen, dass der Kläger nicht verpflichtet war, ein ärztliches Zeugnis einer psychiatrischen Fachärztin beizubringen und die Beklagte das Dossier ihrer Vertrauensärztin Dr. H._ erst im Frühling 2013 vorgelegt habe, könne ihre Stellungnahme vom 12. März 2016 frühestens ab dem 14. Mai 2013 berücksichtigt werden; der Kläger sei in seinem Vertrauen auf das Ausreichen seiner hausärztlichen Zeugnisse bis 14. Mai 2013 zu schützen. Der entsprechende Taggeldanspruch sei ab 27. Mai 2013 zu verzinsen, weil die Beklagte ihre Leistungspflicht mit Schreiben von diesem Datum zu Unrecht definitiv verneint habe.
C.
Mit Beschwerde in Zivilsachen stellt der Kläger die Anträge, (1) das Urteil des Sozialversicherungsgerichts des Kantons Basel-Stadt vom 14. September 2016 sei aufzuheben, (2) die Beklagte sei zu verpflichten, ihm die vertraglichen Leistungen bei Krankheit im Umfang von mindestens Fr. 37'383.55 auszurichten, (3) es seien die nachzuzahlenden Leistungen ab 1. Dezember 2012 mit 5% zu verzinsen, (4) die Beschwerdegegnerin sei zur Bezahlung einer Parteientschädigung für das vorinstanzliche Verfahren zu verpflichten, (5) eventuell sei die Sache zur weiteren Abklärung und neuer Entscheidung an die Vorinstanz zurückzuweisen. Der Beschwerdeführer rügt, die Vorinstanz habe den Sachverhalt willkürlich festgestellt und den Untersuchungsgrundsatz verletzt, indem sie auf eine Parteibehauptung - nämlich die Stellungnahme der Vertrauensärztin der Beschwerdegegnerin - abgestellt und die Bestätigung der behandelnden Ärzte, namentlich der Psychiaterin Dr. E._ vom 22. September 2014, unbeachtet gelassen bzw. sie nicht als Zeugin aufgeboten habe. Er rügt den Schluss der Vorinstanz als widersprüchlich und daher willkürlich, dass die anfänglich genügenden ärztlichen Bescheinigungen der Hausärztin zum Nachweis der Arbeitsunfähigkeit auf einmal nicht mehr genügen sollten; wenn ein Versicherer eine fachärztliche Beurteilung für notwendig halte, habe er die Möglichkeit, den Versicherten für eine Begutachtung aufzubieten, was hier nicht erfolgt sei. Der Beschwerdeführer rügt sodann, dass die Vorinstanz <ref-law> verletzt habe mit der Ansicht, die Beschwerdegegnerin habe ihre Leistungen nicht per 1. Dezember 2012 definitiv abgelehnt, sondern erst ab 27. Mai 2013 und beanstandet als nicht nachvollziehbar, dass ihm nicht im Ausmass seines Obsiegens eine Parteientschädigung zugesprochen wurde.
Die Beschwerdegegnerin beantragt in ihrer Antwort, (1, 2) das vorinstanzliche Urteil sei zu bestätigen und (3) sie sei auch nicht zur Ausrichtung einer Parteientschädigung zu verpflichten, (4) eventualiter sei die Sache an die Vorinstanz zur weiteren Abklärung zurückzuweisen. Sie stellt sich auf den Standpunkt, der Beschwerdeführer habe den Eintritt des Leistungsfalles lediglich behauptet und sie habe diese Behauptung für die Zeit ab 1. Dezember 2012 durch die Stellungnahmen ihrer Vertrauensärztin Dr. H._ substanziiert bestritten, die Befragung der behandelnden Ärztinnen als Zeuginnen sei nicht erforderlich gewesen und die Vorinstanz habe auch kein Bundesrecht verletzt, wenn sie dem Beschwerdeführer keine Parteientschädigung zusprach.
Das Sozialversicherungsgericht des Kantons Basel-Stadt bemerkt in der Vernehmlassung, es hätte dem Beschwerdeführer nach der Praxis eine reduzierte Parteientschädigung zugesprochen werden müssen, was versehentlich unterlassen worden und zu korrigieren sei. Im Übrigen beantragt die Vorinstanz unter Hinweis auf den angefochtenen Entscheid die Abweisung der Beschwerde.

Erwägungen:
1.
1.1. Streitigkeiten aus einer Zusatzversicherung zur sozialen Krankenversicherung unterstehen gemäss Art. 2 Abs. 2 Satz 2 des Bundesgesetzes vom 26. September 2014 betreffend die Aufsicht über die soziale Krankenversicherung (Krankenversicherungsaufsichtsgesetz, KVAG; SR 832.12) dem Bundesgesetz vom 2. April 1908 über den Versicherungsvertrag (Versicherungsvertragsgesetz, VVG; SR 221.229.1). Sie sind privatrechtlicher Natur, womit als Rechtsmittel an das Bundesgericht die Beschwerde in Zivilsachen gemäss <ref-law> in Betracht kommt (<ref-ruling> E. 1.1; <ref-ruling> E. 2.1 S. 441 f. mit Hinweis).
1.2. Die Beschwerde richtet sich gegen einen Endentscheid (<ref-law>). Das Versicherungsgericht des Kantons Basel-Stadt hat als einzige kantonale Instanz im Sinne von <ref-law> und <ref-law> entschieden, weshalb die Beschwerde in vermögensrechtlichen Angelegenheiten gemäss <ref-law> unabhängig vom Erreichen der Streitwertgrenze nach <ref-law> zulässig ist (vgl. <ref-ruling> E. 1.2.2 S. 5., 799 E. 1.1). Die Beschwerdefrist ist eingehalten (<ref-law>). Da auch die übrigen Sachurteilsvoraussetzungen erfüllt sind, ist unter Vorbehalt rechtsgenügend begründeter Rügen (<ref-law> i.V.m. <ref-law>) auf die Beschwerde einzutreten.
2.
Der Beschwerdeführer leitet seinen Anspruch auf Krankentaggelder aus dem Vertrag ab, den seine Arbeitgeberin mit der Beschwerdegegnerin abgeschlossen hat. Er stützt sich dabei auf die Allgemeinen Versicherungsbedingungen (AVB) Ausgabe 2008, die gemäss den prozessualen Feststellungen der Vorinstanz nach übereinstimmender Ansicht der Parteien Anwendung finden.
2.1. Die Leistungsvoraussetzungen sind nach dem angefochtenen Entscheid in Ziffer 8.1 AVB unter anderem wie folgt geregelt:
"8.1.1 Krankheit
Als Krankheit gilt eine Beeinträchtigung der körperlichen oder geistigen Gesundheit, die nicht Folge eines Unfalles ist und die eine medizinische Untersuchung oder Behandlung erfordert und die eine Arbeitsunfähigkeit zur Folge hat.
8.1.4 Arbeitsunfähigkeit
Arbeitsunfähigkeit liegt vor, wenn die versicherte Person infolge Krankheit, Unfall oder Geburt ganz oder teilweise ausserstande ist, ihren Beruf oder eine andere zumutbare Erwerbstätigkeit auszuüben. Teilweise Arbeitsunfähigkeit liegt vor, wenn eine Arbeitsunfähigkeit von mindestens 25 Prozent besteht.
8.1.5 Ärztliches Zeugnis
Taggeldleistungen setzen eine ärztliche Bescheinigung über die Arbeitsunfähigkeit der versicherten Person voraus."
2.2. Nach den Feststellungen der Vorinstanz hat die Hausärztin dem Beschwerdeführer vom 1. Dezember 2012 bis 31. Januar 2013, vom 1. März 2013 bis 30. Juni 2013 sowie vom 15. Juli bis 30. August 2013 eine 50%ige Arbeitsunfähigkeit attestiert. Die Vorinstanz stellt fest, dass der Beschwerdeführer vertraglich nicht verpflichtet war, ein ärztliches Zeugnis eines Facharztes, namentlich einer psychiatrischen Fachärztin beizubringen. Die Beschwerdegegnerin stellt in ihrer Antwort nicht in Frage, dass sie in ihren AVB keine spontane fachärztliche Bescheinigung als Leistungsvoraussetzung für Taggelder verlangt. Mit der ärztlichen Bescheinigung über seine Arbeitsunfähigkeit hat daher der Beschwerdeführer grundsätzlich die vertraglich vereinbarten Leistungsvoraussetzungen erfüllt.
2.3. Der Beschwerdeführer rügt sinngemäss zu Recht, dass die Vorinstanz sich über die vertragliche Regelung gemäss den AVB der Beschwerdegegnerin hinwegsetzt, wenn sie die ärztliche Bescheinigung der Hausärztin aufgrund eines drei Jahre später erstellten Parteigutachtens inhaltlich überprüft. Es ist üblich, dass Versicherer vertraglich die Möglichkeit haben, den Versicherten für eine Begutachtung aufzubieten, wenn sie eine fachärztliche Beurteilung für notwendig halten. Die versicherte Person ist denn auch nach Ziffer 9.2 AVB verpflichtet, sich auf Verlangen der Beschwerdegegnerin von einem zweiten Arzt oder durch den Vertrauensarzt der Beschwerdegegnerin untersuchen zu lassen.
2.4. Nach den Feststellungen der Vorinstanz hat die Beschwerdegegnerin zwar die ärztlichen Bescheinigungen des Beschwerdeführers intern überprüfen lassen und gestützt auf diese interne Prüfung ihre Leistungen verweigert; dem angefochtenen Entscheid ist indes nicht zu entnehmen, dass die Beschwerdegegnerin den Beschwerdeführer je aufgefordert hätte, sich von einem zweiten Arzt oder ihrem Vertrauensarzt untersuchen zu lassen. Die Beschwerdegegnerin wendet sich denn auch in der Antwort nicht gegen die Behauptung des Beschwerdeführers, dass sie ihn zu einer ärztlichen Untersuchung nie aufgeboten hat. Sie vertritt vielmehr die Ansicht, eine persönliche Untersuchung resp. ein Gespräch mit dem Beschwerdeführer sei konkret nicht angezeigt gewesen, weil ihre Vertrauensärztin Dr. H._ dies nicht für notwendig erachtet habe. Sie vertritt aufgrund der vertraglichen Regelung zu Unrecht die Ansicht, sie könne die geltend gemachte Arbeitsunfähigkeit durch beratende Fachärzte überprüfen lassen, ohne den Versicherten gemäss Ziffer 9.2 AVB zu einer weiteren Untersuchung aufzubieten.
2.5. Die Vorinstanz hat die vertragliche Regelung über den Anspruch auf Versicherungsleistungen verkannt und ist zu Unrecht davon ausgegangen, der Beschwerdeführer habe den Eintritt des Versicherungsfalles mit der Vorlage der Bestätigungen seiner Hausärztin nur behauptet. Mit der Vorlage der (haus-) ärztlichen Bestätigungen ist der Beschwerdeführer seiner vertraglichen Obliegenheit zum Beweis des Eintritts des Versicherungsfalles (teilweiser) Arbeitsunfähigkeit nachgekommen. Es obliegt daher der Beschwerdegegnerin, den Beweis dafür zu erbringen, dass die ärztliche Bestätigung der Arbeitsunfähigkeit inhaltlich unzutreffend war. Der Beschwerdeführer rügt im Ergebnis zu Recht, dass die Vorinstanz zu Unrecht auf eine unbegründete Parteibehauptung abgestellt hat, wenn sie aus der Stellungnahme der von der Beschwerdegegnerin beigezogenen Psychiaterin im Ergebnis ableitete, der Eintritt des Versicherungsfalles sei widerlegt.
2.6. Die Vorinstanz stellt zunächst fest, dass die Verweigerung weiterer Leistungen, welche die Beschwerdegegnerin am 8. November per 1. Dezember 2012 erklärte, in den damals vorhandenen medizinischen Akten keine Stütze findet. Sie hält sodann fest, mit der E-Mail-Nachricht der Konsiliarärztin Dr. H._, FMH Psychiatrie und Psychotherapie, vom 14. Mai 2013 habe eine erste Einschätzung einer psychiatrischen Fachärztin vorgelegen, die einen Leistungsabschluss hätte stützen können; jedoch enthält diese E-Mail nach den Feststellungen der Vorinstanz keine Begründung und setzt sich namentlich nicht mit der von der Hausärztin gestellten Diagnose "Erschöpfungssyndrom" auseinander. Die Vorinstanz folgt dagegen dem von der Beschwerdegegnerin in der Duplik eingereichten Bericht der Konsiliarärztin und schliesst daraus, die Diagnose der Hausärztin treffe aus psychiatrischer Sicht nicht zu, weil deren Voraussetzungen aus fachärztlicher Sicht nicht erfüllt seien.
2.7. Aus den Feststellungen der Vorinstanz über den Bericht der Konsiliarärztin der Beschwerdegegnerin kann ohne Willkür nicht abgeleitet werden, dass dem Beschwerdeführer die (teilweise) Arbeitsunfähigkeit zu Unrecht bescheinigt worden sei. So erwähnt die Parteigutachterin in ihrer Stellungnahme nach den Feststellungen der Vorinstanz selbst, es kämen - "wenn die psychischen Beschwerden des Klägers überhaupt Krankheitswert erreicht" hätten - aufgrund der Häufigkeit auch andere Krankheitsbilder in Frage, wie in erster Linie eine Anpassungsstörung auf belastende Ereignisse (z.B. viraler Infekt, berufliche Belastung, häufige Migräne), die allerdings in den Akten nicht hinreichend belegt seien. Wenn daher aus dem Bericht der Konsiliarärztin abgeleitet werden kann, dass die Diagnose der Hausärztin aus fachärztlicher Sicht als solche nicht zutrifft, so kann daraus entgegen der Ansicht der Beschwerdegegnerin nicht abgeleitet werden, eine fachärztliche Begutachtung mit entsprechend gezielter Beurteilung hätte die Diagnose der vollen Arbeitsfähigkeit ergeben. Denn es werden im Bericht der Parteigutachterin andere mögliche Krankheitsbilder erwähnt, die fachärztlich hätten abgeklärt werden können, wenn die Beschwerdegegnerin den Beschwerdeführer vertragsgemäss zu einer Untersuchung aufgeboten hätte.
2.8. Die Vorinstanz hat im übrigen die Beweise einseitig gewürdigt, indem sie allein auf den - fast 3,5 Jahre nach der Diagnose der Hausärztin verfassten - Bericht der Parteigutachterin der Beschwerdegegnerin abstellte, hingegen die Meinung der Psychiaterin des Beschwerdeführers mit der Begründung nicht beachtete, die Behandlung sei im Frühling/Sommer 2013 seit mehreren Monaten abgeschlossen gewesen; die Vorinstanz übergeht damit, dass die Beschwerdegegnerin wie deren Parteigutachterin den Beschwerdeführer seit dem 1. Dezember 2012 als voll arbeitsfähig erachten; damals war der Beschwerdeführer noch in psychiatrischer Behandlung. Auch bei der Würdigung dieser und der weiteren Unterlagen geht die Vorinstanz von der unzutreffenden Annahme aus, dass der Beschwerdeführer die Richtigkeit der psychiatrischen Diagnose zu beweisen habe, die von seiner Hausärztin zur Begründung der Arbeitsunfähigkeit genannt worden war.
3.
Die Beschwerde ist gutzuheissen und der angefochtene Entscheid ist aufzuheben. Da die erforderlichen Sachverhaltsfeststellungen zu den konkreten Taggeldansprüchen ab Mai 2013 fehlen, ist die Sache an die Vorinstanz zur weiteren Beurteilung zurückzuweisen (<ref-law>). Aus prozessökonomischen Gründen sei immerhin Folgendes erwähnt:
3.1. Nach der Rechtsprechung ist eine Mahnung für die Fälligkeit der Versicherungsleistungen (<ref-law>) in analoger Anwendung von <ref-law> nicht erforderlich, wenn der Versicherer seine Leistungspflicht definitiv verneint (Urteil 4A_206/2007 vom 29. Oktober 2007 E. 6.3 mit Verweisen, nicht publ. in: <ref-ruling>). Die Vorinstanz hat diese Praxis erwähnt, aber die definitive Verweigerung der Versicherungsleistungen auf den 27. Mai 2013 bestimmt. Der Begründung des angefochtenen Entscheids ist nicht zu entnehmen, weshalb die Beschwerdegegnerin ihre Leistungspflicht erst im Mai 2013 definitiv verneint haben sollte, nachdem sie selbst im vorliegenden Verfahren vor Bundesgericht noch den Standpunkt vertritt, die Voraussetzungen des Taggeldanspruchs seien ab 1. Dezember 2012 nicht mehr erfüllt gewesen und nachdem sie gemäss den Feststellungen im angefochtenen Urteil stets bestätigt hat, dass an der Einstellung der Versicherungsleistungen ab diesem Datum festgehalten werde.
3.2. Die Prozesskosten - zu denen hier auch die Parteikosten gehören - werden nach <ref-law> grundsätzlich der unterliegenden Partei auferlegt (<ref-law>). Hat keine Partei vollständig obsiegt, so werden die Prozesskosten nach dem Ausgang des Verfahrens verteilt (<ref-law>). Wie die Vorinstanz in der Vernehmlassung zutreffend bemerkt, wäre nach diesem Grundsatz dem Beschwerdeführer auf der Basis des angefochtenen Entscheides eine halbe Parteientschädigung zuzusprechen gewesen, da er danach zur Hälfte obsiegt hat. Da die Beschwerdegegnerin auch vor der Vorinstanz nicht anwaltlich vertreten war und ihr daher keine Parteikosten anfielen, steht ihr kein Anspruch auf Entschädigung zu. Damit bliebe es - auf der Basis des Verfahrensausgangs vor der Vorinstanz - beim Anspruch des Beschwerdeführers auf eine halbe Entschädigung seiner Parteikosten.
4.
Die Beschwerde ist gutzuheissen, der angefochtene Entscheid ist aufzuheben und die Sache zu neuer Entscheidung an die Vorinstanz zurückzuweisen. Diesem Verfahrensausgang entsprechend sind die Gerichtskosten der Beschwerdegegnerin zu auferlegen (<ref-law>). Diese hat dem anwaltlich vertretenen Beschwerdeführer die Parteikosten für das Verfahren vor Bundesgericht zu ersetzen (Art. 68 Abs. 1 und 2 BGG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird gutgeheissen, das Urteil des Sozialversicherungsgerichts des Kantons Basel-Stadt vom 14. September 2016 wird aufgehoben und die Sache wird zur Neubeurteilung an die Vorinstanz zurückgewiesen.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 2'000.-- werden der Beschwerdegegnerin auferlegt.
3.
Die Beschwerdegegnerin hat dem Beschwerdeführer dessen Parteikosten für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 2'500.-- zu ersetzen.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Sozialversicherungsgericht des Kantons Basel-Stadt schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 8. Mai 2017
Im Namen der I. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Kiss
Die Gerichtsschreiberin: Schneuwly