Faits :
A.
Par jugement du 21 mars 2017, le Tribunal de police de l'arrondissement de La Côte a condamné X._, pour vol, dommages à la propriété et violation de domicile, à une peine privative de liberté de 6 mois, sous déduction de 131 jours de détention avant jugement, a constaté qu'il avait subi 12 jours de détention dans des conditions de détention provisoire illicites et a ordonné que 6 jours de détention soient déduits de la peine à titre de réparation du tort moral, a ordonné le maintien du prénommé en détention pour des motifs de sûreté, a ordonné son expulsion du territoire suisse pour une durée de 5 ans et a statué sur les séquestres.
B.
Par jugement du 1er mai 2017, la Cour d'appel pénale du Tribunal cantonal du canton de Vaud a partiellement admis l'appel formé par X._ contre ce jugement et l'a réformé concernant le sort d'objets séquestrés.
En substance, la cour cantonale a retenu les faits suivants.
A B._, le 11 novembre 2016, X._ et D._ ont pénétré sans droit dans la déchetterie communale. Ils ont forcé la porte d'un local avec un outil et y ont dérobé divers objets. La commune de B._, par E._, a déposé plainte le 11 novembre 2016 et s'est constituée partie plaignante.
A A._, le 11 novembre 2016, X._ et D._ ont forcé le portail de la déchetterie intercommunale. Ils ont ensuite forcé les deux serrures du boîtier électronique, ont ouvert les dépôts, et y ont dérobé divers objets. La commune de A._, par F._, a déposé plainte le 11 novembre 2016.
A C._, le 11 novembre 2016, X._ et D._ ont pénétré sans droit dans la déchetterie communale. Ils ont forcé les portes de trois locaux, en ont fouillé l'intérieur et y ont dérobé du matériel électronique. La ville de C._, par G._, a déposé plainte le 11 novembre 2016 et s'est constituée partie plaignante.
C.
X._ forme un recours en matière pénale au Tribunal fédéral contre le jugement du 1er mai 2017, en concluant, avec suite de frais et dépens, à sa réforme en ce sens qu'il est libéré des chefs de prévention de dommages à la propriété et de violation de domicile, qu'il est condamné, pour vol, à une peine privative de liberté de 3 mois, sous déduction de la détention subie avant jugement, qu'il est expulsé du territoire suisse pour une durée de 3 ans, qu'une indemnité de 16'400 fr. lui est allouée à titre de réparation du tort moral, et qu'une indemnité de 600 fr. lui est allouée pour les jours de détention exécutés dans des conditions illicites, à titre de réparation du tort moral. Il sollicite par ailleurs le bénéfice de l'assistance judiciaire.

Considérant en droit :
1.
Le recourant fait grief à la cour cantonale d'avoir violé les art. 144 et 186 CP, en relation avec l'<ref-law>. Selon lui, aucune des personnes ayant signé les trois plaintes déposées à son encontre le 11 novembre 2016 n'avait la qualité pour représenter sa commune respective, de sorte que les plaintes en question n'étaient pas valables. En conséquence, il devait être libéré des infractions de dommages à la propriété et de violation de domicile, pour lesquelles une poursuite d'office est exclue.
1.1. Aux termes de l'<ref-law>, si une infraction n'est punie que sur plainte, toute personne lésée peut porter plainte contre l'auteur. Selon l'<ref-law>, le droit de porter plainte se prescrit par trois mois. Le délai court du jour où l'ayant droit a connu l'auteur de l'infraction. Avec le dépôt d'une plainte, le lésé manifeste sa volonté inconditionnelle de voir le lésé poursuivi pénalement (<ref-ruling> consid. 2.3.4 p. 387).
Lorsque le lésé est une collectivité publique, telle qu'une commune, la compétence relative au droit de porter plainte est déterminée par le droit public applicable en la matière (DUPUIS ET AL., Petit Commentaire, Code pénal, 2ème éd. 2017, no 12 ad <ref-law>; ANDREAS DONATSCH, in StGB Kommentar, 19ème éd. 2013, no 7 ad <ref-law>; TRECHSEL/JEAN-RICHARD, in Schweizerisches Strafgesetzbuch, Praxiskommentar, 2ème éd. 2013, no 6 ad <ref-law>; CHRISTOF RIEDO, in BSK Strafrecht I, 3ème éd. 2013, no 85 ad <ref-law>; DANIEL STOLL, in Commentaire romand, Code pénal I, 2009, no 33 ad <ref-law>; CHRISTOF RIEDO, Der Strafantrag, 2004, p. 347).
1.2. Aux termes de l'art. 67 de la loi vaudoise sur les communes (LC/VD; RS/VD 175.11), pour être réguliers en la forme, les actes de la municipalité doivent être donnés sous la signature du syndic et du secrétaire ou de leur remplaçant désigné par la municipalité, et munis du sceau de cette autorité; s'ils sont pris en exécution d'une décision du conseil général ou communal, ils doivent mentionner cette décision, laquelle est jointe à l'acte (al. 1). La municipalité peut, par décision, déléguer des pouvoirs de signature à l'un de ses membres, à un cadre ou un employé communal. La délégation s'opère par une procuration expresse donnée sous la signature du syndic et du secrétaire ou de leur remplaçant désigné par la municipalité, et munie du sceau de cette autorité (al. 2). La procuration peut être spéciale ou générale. Dans ce dernier cas, elle indique les limites et la durée du mandat (al. 3). Les actes pris en vertu d'une délégation de pouvoirs doivent être donnés sous la signature du ou des membres de la municipalité ou de la personne au bénéfice de la délégation (al. 4).
Selon l'art. 68 LC/VD, les actes réguliers en la forme, au sens de l'art. 67 LC/VD, engagent la commune, à moins que celle-ci ne rapporte la preuve que le ou les signataires de l'acte, ou l'organe communal lui-même, ont excédé leurs pouvoirs d'une manière manifeste, reconnaissable par les tiers intéressés (al. 1). L'al. 2 de cette disposition réserve la représentation, selon le droit civil, de la commune agissant comme personne de droit privé (<ref-law>).
1.3. La cour cantonale a considéré que la compétence pour déposer plainte pénale pour le compte d'une commune devait être déterminée sur la base des art. 67 et 68 LC/VD. Elle a constaté que E._, G._ et F._ avaient tous indiqué, lors du dépôt des plaintes pour le compte de leur commune respective, agir en tant que représentant qualifié de celle-ci.
Les communes concernées n'avaient par la suite pas remis en cause la qualité pour agir respective des prénommés. Au contraire, celles-ci avaient confirmé la délégation de pouvoir faites à leurs municipaux. F._ avait par ailleurs comparu aux débats d'appel sans contester la validité de la plainte qu'il avait déposée.
1.4. En l'espèce, au vu des infractions de dommages à la propriété et de violation de domicile qui faisaient l'objet des plaintes du 11 novembre 2016 ainsi que des biens juridiquement protégés touchés par celles-ci, on peut se demander si les communes concernées n'ont pas agi comme des personnes morales de droit privé - au sens de l'art. 68 al. 2 LC/VD -, pour lesquelles la qualité pour déposer plainte appartiendrait à l'organe dont la fonction consiste précisément à veiller à la sauvegarde du bien juridiquement protégé et lésé par l'infraction (cf. <ref-ruling> consid. 1c p. 171; arrêt 6B_99/2012 du 14 novembre 2012 consid. 3.2; cf. aussi RIEDO, op. cit., p. 347). On peut également se demander si le dépôt d'une plainte, qui constitue une manifestation de volonté (cf. consid. 1.1 supra), est un acte de la municipalité au sens de l'art. 67 al. 1 LC/VD.
Il n'y a cependant pas lieu d'examiner plus avant ces questions, dès lors que le droit cantonal n'est revu que sous l'angle restreint de l'arbitraire par le Tribunal fédéral et que le recourant ne formule, à cet égard, aucun grief répondant aux exigences de l'<ref-law>. Il convient d'admettre, partant, que les art. 67 et 68 LC/VD sont applicables en matière de compétence pour déposer une plainte, pour le compte d'une commune, dans le canton de Vaud.
Le recourant soutient que E._, non plus que G._ ou F._, ne disposait, au moment de déposer plainte, d'une délégation de pouvoirs de la municipalité au sens de l'art. 67 al. 2 LC/VD. La cour cantonale s'est contentée de reprendre l'indication des prénommés - figurant dans leur plainte respective -, selon laquelle ils auraient agi comme représentants qualifiés des communes concernées, mais n'a procédé à aucune analyse juridique à cet égard. On ignore ainsi, à la lecture du jugement attaqué, si les trois intéressés jouissaient d'une telle délégation de pouvoirs lorsqu'ils ont procédé au dépôt de leurs plaintes, ou si, cas échéant, l'une des municipalités concernées aurait valablement ratifié le dépôt dans le délai de l'<ref-law> (cf. <ref-ruling> consid. 3a p. 208).
En l'état, il n'est donc pas possible de déterminer si les trois plaintes pénales déposées contre le recourant le 11 novembre 2016 l'ont été par des personnes disposant des pouvoirs nécessaires en la matière, délégués conformément aux exigences ressortant de l'art. 67 LC/VD, et donc d'examiner si la cour cantonale aurait pu violer l'<ref-law> comme le soutient le recourant. Le jugement attaqué doit donc être annulé et la cause renvoyée à l'autorité cantonale afin qu'elle complète l'état de fait sur ce point et examine à nouveau si les conditions pour le dépôt valable des plaintes concernées étaient remplies (cf. <ref-law>).
2.
Compte tenu de ce qui précède, le Tribunal fédéral ne peut examiner les autres griefs soulevés par le recourant, qui concernent tous les conséquences d'un éventuel acquittement des infractions de dommages à la propriété et de violation de domicile résultant de l'invalidité des plaintes pénales déposées à son encontre.
3.
Le recourant obtient gain de cause. Il ne supportera pas de frais judiciaires (<ref-law>). Il peut prétendre à de pleins dépens (<ref-law>). En conséquence, la requête d'assistance judiciaire est sans objet (<ref-law>). Il peut être statué sans demander d'observations préalables (cf. <ref-ruling> consid. 3.4.2).

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce :
1.
Le recours est admis, l'arrêt attaqué est annulé et la cause est renvoyée à l'autorité cantonale pour nouvelle décision.
2.
Il n'est pas perçu de frais judiciaires.
3.
Le canton de Vaud versera au conseil du recourant une indemnité de 3'000 fr. à titre de dépens pour la procédure devant le Tribunal fédéral.
4.
La requête d'assistance judiciaire est sans objet.
5.
Le présent arrêt est communiqué aux parties et à la Cour d'appel pénale du Tribunal cantonal du canton de Vaud.
Lausanne, le 11 décembre 2017
Au nom de la Cour de droit pénal
du Tribunal fédéral suisse
Le Président : Denys
Le Greffier : Graa