Sachverhalt:
A.
A.a. B.A._ (geb. 2013) ist der Sohn von A.A._ und C._. Am 22. Juni 2015 entzog die Kindes- und Erwachsenenschutzbehörde (KESB) Nordbünden den gemeinsam sorgeberechtigten Eltern vorsorglich das Aufenthaltsbestimmungsrecht über den Sohn und brachte diesen zuerst bei der Grossmutter mütterlicherseits und später bei den Grosseltern väterlicherseits unter. Schon am 7. Mai 2013 hatte die KESB über B.A._ eine Erziehungsbeistandschaft errichtet. Am 15. Dezember 2015 ernannte sie ausserdem eine Verfahrensbeiständin. Ein vom Vater gegen den vorsorglichen Entzug des Aufenthaltsbestimmungsrechts erhobenes Rechtsmittel blieb erfolglos.
A.b. Mit Entscheid vom 25. Februar 2016 teilte die KESB die Obhut über B.A._ dem Kindsvater zu und erteilte Letzterem Verhaltensanweisungen. Gleichzeitig regelte sie das Besuchs- und Ferienrecht der Mutter. Ausserdem erweiterte die KESB die bestehende Erziehungsbeistandschaft und regelte die Aufgaben und Kompetenzen der Beistandsperson.
B.
Am 4. April 2016 erhob A.A._ beim Kantonsgericht von Graubünden Beschwerde gegen den Entscheid vom 25. Februar 2016. In der Sache beantragte sie die Aufhebung des angefochtenen Entscheids und die Zuteilung der Obhut über B.A._ (Betroffener) an sich selbst. Dem Kindsvater sei ein angemessenes Besuchsrecht einzuräumen, welches mit einer "Besuchsrechtbeistandschaft" zu verknüpfen sei. Weiter ersuchte sie das Kantonsgericht für das Beschwerdeverfahren um Befreiung von den Gerichtskosten und um Beiordnung ihres Rechtsvertreters als unentgeltlicher Rechtsbeistand. In der Verfügung vom 13. Juni 2016 (eröffnet am 16. Juni 2016) hielt das Kantonsgericht fest, ein "spezielles Gesuch" um unentgeltliche Rechtspflege sei nur für die unentgeltliche Rechtsverbeiständung zu stellen. Ein allfälliger Verzicht auf die Erhebung von Verfahrenskosten werde im Hauptverfahren geprüft. Das Gesuch um unentgeltliche Verbeiständung wies das Kantonsgericht ab.
C.
Mit Beschwerde in Zivilsachen vom 17. Juli 2016 gelangt A.A._ (Beschwerdeführerin) an das Bundesgericht. Sie beantragt, es sei in Gutheissung der Beschwerde die Verfügung des Kantonsgerichts vom 13. Juni 2016 aufzuheben und es sei ihr für das kantonale Beschwerdeverfahren ihr Rechtsvertreter als unentgeltlicher Rechtsbeistand beizuordnen. Eventuell sei das Verfahren "im Sinne der bundesgerichtlichen Weisungen entsprechend den Erwägungen der vorliegenden Beschwerde" an das Kantonsgericht zurückzuweisen. Ausserdem ersucht sie für das bundesgerichtliche Verfahren um Befreiung von den Gerichtskosten und um Beiordnung ihres Rechtsvertreters als unentgeltlicher Rechtsbeistand.
Das Bundesgericht hat die Akten des kantonalen Verfahrens, hingegen keine Vernehmlassung eingeholt.

Erwägungen:
1.
1.1. Die Beschwerde richtet sich gegen die Verfügung einer letzten kantonalen Instanz (<ref-law>), mit der die unentgeltliche Verbeiständung für das kantonale Beschwerdeverfahren verweigert worden ist. Das Kantonsgericht hat die Verfügung im Rahmen eines Beschwerdeverfahrens erlassen. Daher bleibt unerheblich, dass die Vorinstanz nicht auf Rechtsmittel hin, sondern als einzige kantonale Instanz entschieden hat (<ref-ruling> E. 1.1 S. 42; <ref-ruling> E. 2.2 S. 426). Beim Entscheid über die unentgeltliche Verbeiständung handelt es sich um einen Zwischenentscheid, der einen nicht wieder gutzumachenden Nachteil bewirken kann (Art. 93 Abs. 1 Bst. a BGG; <ref-ruling> E. 1.1 S. 131; <ref-ruling> E. 2a S. 210; Urteil 4D_48/2014 vom 21. November 2014 E. 1.3). Bei Zwischenentscheiden folgt der Rechtsweg jenem der Hauptsache (<ref-ruling> E. 1.1 S. 382). Dort stehen Massnahmen des Kindesschutzes in Frage (Obhutszuteilung sowie Regelung des Besuchs- und Ferienrechts und der Erziehungsbeistandschaft; vorne Bst. A.b). Damit liegt eine nicht vermögensrechtliche Angelegenheit in unmittelbarem Zusammenhang mit dem Zivilrecht vor, welche der Beschwerde in Zivilsachen unterliegt (Art. 72 Abs. 2 Bst. b Ziff. 6 BGG). Die Beschwerde in Zivilsachen ist damit auch gegen die Zwischenverfügung vom 13. Juni 2016 gegeben. Die Beschwerdeführerin ist nach <ref-law> zur Beschwerde berechtigt. Auf die auch fristgerecht eingereichte Beschwerde (<ref-law>) ist einzutreten.
1.2. Das Verfahren vor den Kindesschutzbehörden und den gerichtlichen Beschwerdeinstanzen ist in den Grundzügen im ZGB geregelt (Art. 314 Abs. 1 i.V.m. <ref-law>). Soweit das ZGB keine Vorschrift enthält, regeln die Kantone das Verfahren (<ref-law>). Zur unentgeltlichen Rechtspflege findet sich im ZGB keine Regelung. Ebenso wenig im kantonalen Recht, welches aber ergänzend auf die Bestimmungen der ZPO verweist (Art. 60 Abs. 2 des Einführungsgesetzes [des Kantons Graubünden] vom 12. Juni 1994 zum Schweizerischen Zivilgesetzbuch [EGzZGB; BR 210.100]). Die ZPO gelangt folglich als subsidiäres kantonales Recht zur Anwendung. Das Bundesgericht überprüft ihre korrekte Handhabung daher nicht frei, sondern nur auf die Verletzung eines verfassungsmässigen Rechts, namentlich auf Willkür, und auf entsprechende Rüge hin (<ref-law>; <ref-ruling> E. 2.3 S. 387; Urteil 5A_724/2015 vom 2. Juni 2016 E. 2.2). Der Anspruch auf unentgeltliche Rechtspflege ergibt sich indessen auch aus <ref-law>. Da die als subsidiäres kantonales Recht anwendbaren Bestimmungen der ZPO in ihren Voraussetzungen nicht über den verfassungsmässigen Anspruch hinausgehen (<ref-ruling> E. 4.1 S. 136; <ref-ruling> E. 2.2.3 f. S. 218), ist die Beschwerde daher unter dem Blickwinkel von <ref-law> zu beurteilen. Entsprechend prüft das Bundesgericht frei, ob der strittige Anspruch verletzt worden ist. Auf Willkür beschränkt ist die Prüfungsbefugnis freilich, was die tatsächlichen Feststellungen der Vorinstanz betrifft (<ref-ruling> E. 2.3 S. 14; <ref-ruling> E. 2.1 S. 182).
1.3. Das Kantonsgericht hat das Gesuch der Beschwerdeführerin um unentgeltliche Rechtspflege soweit die Gerichtskosten betreffend (noch) nicht behandelt. Über einen Verzicht auf diese sei im Hauptverfahren zu entscheiden (vorne Bst. B). Die Beschwerdeführerin hat zwar die gesamte Verfügung des Kantonsgerichts angefochten, beantragt vor Bundesgericht für das vorinstanzliche Verfahren aber einzig die Beiordnung eines unentgeltlichen Rechtsvertreters. Damit ist allein die gerichtliche Bestellung einer Rechtsvertretung Gegenstand des Verfahrens vor Bundesgericht (vgl. <ref-ruling> E. 4.4.2 S. 156; <ref-ruling> E. 4.2 S. 462 f.).
2.
2.1. Die Beschwerdeführerin rügt eine Verletzung des Anspruchs auf rechtliches Gehör im Allgemeinen und der Begründungspflicht im Speziellen. Das Kantonsgericht habe allein auf den Entscheid der KESB abgestellt und sich mit ihren Vorbringen nicht auseinander gesetzt. Der Gehörsanspruch (<ref-law>) ist formeller Natur. Ist er verletzt worden, führt dies grundsätzlich ungeachtet der Erfolgsaussichten in der Sache zur Aufhebung des angefochtenen Entscheids. Die entsprechende Rüge ist deshalb vorweg zu prüfen (<ref-ruling> E. 3 S. 563; <ref-ruling> E. 3 S. 191; <ref-ruling> E. 2.2 S. 197).
2.2. Der Anspruch auf rechtliches Gehör verlangt, dass die Behörde die Vorbringen der vom Entscheid in ihrer Rechtsstellung betroffenen Person tatsächlich hört, prüft und in der Entscheidfindung berücksichtigt. Daraus folgt die Verpflichtung der Behörde, ihren Entscheid zu begründen. Dabei ist es nicht erforderlich, dass sie sich mit allen Parteistandpunkten einlässlich auseinandersetzt und jedes einzelne Vorbringen ausdrücklich widerlegt. Vielmehr kann sie sich auf die für den Entscheid wesentlichen Punkte beschränken. Die Begründung muss so abgefasst sein, dass sich die betroffene Person über die Tragweite des Entscheids Rechenschaft geben und ihn in voller Kenntnis der Sache an die höhere Instanz weiterziehen kann. In diesem Sinne müssen wenigstens kurz die Überlegungen genannt werden, von denen sich die Behörde hat leiten lassen und auf die sich ihr Entscheid stützt (<ref-ruling> E. 6.2 S. 274; <ref-ruling> E. 5.2 S. 236; <ref-ruling> E. 4.1 S. 88).
2.3. Die Verfügung der Vorinstanz ist nur knapp begründet. Indessen hat das Kantonsgericht die wesentlichen Eckpunkte genannt, von denen es sich hat leiten lassen: Die KESB habe bei der Zuteilung der Obhut auf das Kindeswohl abgestellt. Ihr Entscheid stütze sich auf die Berichte verschiedener Fachpersonen und sei "wohlbegründet". Allfällige Defizite des Kindsvaters würden durch die bestehende Erziehungsbeistandschaft ausgeglichen. Sodann bestehe im Leben der Mutter keine Stabilität und sei die Verfahrensbeiständin des Betroffenen der Ansicht, dem Kindeswohl werde durch den Entscheid der KESB am Besten gedient. Schliesslich habe auch die Beschwerdeführerin in ihrem "Rückzugsschreiben" durchblicken lassen, der Betroffene sei beim Vater besser aufgehoben. Die Beschwerde sei daher als aussichtslos zu qualifizieren und das Gesuch um unentgeltliche Verbeiständung abzuweisen. Diese Begründung ist ausreichend, damit die Beschwerdeführerin die Verfügung über die unentgeltliche Verbeiständung sachgerecht anfechten konnte. Es war nicht notwendig, auf sämtliche in der Hauptsache vorgetragenen Argumente einzugehen. Die angefochtene Verfügung ist damit ausreichend begründet und Anzeichen, dass das Kantonsgericht die Vorbringen der Beschwerdeführerin ungenügend berücksichtigt hätte, bestehen nicht. Eine Verletzung des Gehörsanspruchs kann nicht festgestellt werden.
3.
3.1. In der Sache umstritten ist das Gesuch um unentgeltliche Verbeiständung. Nach Ansicht der Beschwerdeführerin hat das Kantonsgericht dieses zu Unrecht als aussichtslos abgewiesen. Die von der KESB in der Hauptsache getroffene Regelung widerspreche dem Kindeswohl. Dem Kindsvater fehle die Fähigkeit und Kompetenz zur Betreuung eines Kindes. Dem Wohl des Betroffenen entspreche ein Aufenthalt bei der Kindsmutter in wesentlich höherem Masse. Die diesbezüglichen Vorbringen der Beschwerdeführerin seien unberücksichtigt geblieben, was auch eine unvollständige Feststellung des Sachverhalts bedeute. Die Unfähigkeit des Kindsvaters, sich um den Betroffenen zu kümmern, zeige auch das im Sommer 2016 neu eröffnete "Obhuts- und Aufenthaltsbestimmungsrechtsverfahren". Dieses sei auf verschiedene jüngere "kindeswohlgefährdende Vorfälle" zurückzuführen. Nicht berücksichtigt werden dürfe sodann die Erklärung der Beschwerdeführerin, mit der sie die Beschwerde zurückgezogen habe. Die Erklärung habe sie ohnehin nur auf Druck des Kindsvaters abgegeben.
3.2. Nach <ref-law> hat jede Person, die nicht über die erforderlichen Mittel verfügt, Anspruch auf unentgeltliche Rechtspflege, wenn ihr Rechtsbegehren nicht aussichtslos erscheint. Soweit es zur Wahrung ihrer Rechte notwendig ist, hat sie ausserdem Anspruch auf unentgeltliche Verbeiständung. Als aussichtlos sind Begehren anzusehen, bei denen die Gewinnaussichten beträchtlich geringer sind als die Verlustgefahren und die deshalb kaum als ernsthaft bezeichnet werden können. Dagegen gilt ein Begehren nicht als aussichtslos, wenn sich Gewinnaussichten und Verlustgefahren ungefähr die Waage halten oder jene nur wenig geringer sind als diese (<ref-ruling> E. 5.1 S. 139 f.; <ref-ruling> E. 1.2 S. 397). Geht es, wie hier, um die Frage, ob die unentgeltliche Rechtspflege für das Rechtsmittelverfahren gewährt wird, ist massgebend, ob das Rechtsmittel aus Sicht einer vernünftigen Partei hinreichend erfolgversprechend war. Die Prognose ist vom Inhalt des angefochtenen Entscheids sowie davon abhängig, in welchen Punkten sowie mit welchen Rügen und (allenfalls neuen) Tatsachen die Gesuch stellende Person sich gegen diesen Entscheid wendet und ob die Vorbringen im Rechtsmittelverfahren zulässig sind (Urteile 5D_164/2015 vom 11. Januar 2016 E. 5; 5D_76/2015 vom 5. Oktober 2015 E. 4.3). Ob im Einzelfall genügende Erfolgsaussichten bestehen, beurteilt sich aufgrund einer vorläufigen und summarischen Prüfung der Prozessaussichten, wobei die Verhältnisse im Zeitpunkt der Einreichung des Gesuchs massgebend sind (<ref-ruling> E. 5.1 S. 140; <ref-ruling> E. 2.2 S. 476 f.).
3.3. Die KESB hat sich beim Entscheid über die Obhutszuteilung vorab vom Kindeswohl leiten lassen, was die Vorinstanz zu Recht hervorhebt (vorne E. 2.3; zum Kindeswohl als dem vorrangigen Kriterium bei der Obhutszuteilung vgl. <ref-ruling> E. 4.4 S. 499 f.; <ref-ruling> E. 5.4 S. 340; <ref-ruling> E. 5.3 S. 180 f.). Dabei hat die Kindesschutzbehörde auf verschiedene Gutachten und Berichte von Fachpersonen abgestellt, welche sie im Laufe des Verfahrens eingeholt hatte (vgl. Entscheid vom 25. Februar 2016 [Beschwerdebeilage 3], Ziff. I.E S. 1 und Ziff. II.2 S. 2 ff.). Die Beschwerdeführerin setzt sich mit diesen Fachberichten nicht substanziiert auseinander; sie beschränkt sich auf den Hinweis, eine der Stellungnahmen enthielte bloss allgemeine Aussagen, welche nicht auf ihren Fall übertragbar seien (vgl. Beschwerde vom 4. April 2016 [Beschwerdebeilage 4], Bst. B Ziff. II.4 S. 5). Auch bringt sie nicht vor, die KESB habe die Fachberichte unzutreffend gewürdigt oder daraus die falschen Schlüsse gezogen. Vielmehr stellt sie ihre Einschätzung bezüglich des Kindeswohls derjenigen der Fachpersonen und dem sich auf diese abstützenden Erkenntnis der Kindesschutzbehörde gegenüber. Unter diesen Umständen bestand für die Vorinstanz im Rahmen der vorzunehmenden summarischen Prüfung kein Anlass für Zweifel an der Beurteilung des Kindeswohls durch die KESB (zur Würdigung von Gutachten vgl. <ref-ruling> E. 2.1.3 S. 53; <ref-ruling> E. 4.3.1 S. 198 f.; Urteil 5A_322/2014 vom 14. Juli 2014 E. 2 am Ende). Das Kantonsgericht verwies sodann darauf, dass der Kindsvater in der Ausübung der Obhut durch eine Beistandsperson unterstützt werde. Auch sei die Verfahrensbeiständin des Betroffenen mit der vorgesehenen Lösung einverstanden. Die Beschwerdeführerin stellt auch diese Überlegungen nicht in Frage. Zutreffend ist allerdings der Einwand, die Vorinstanz habe nicht auf das Schreiben vom 26. Mai 2016 abstellen dürfen, mit dem die Beschwerdeführerin die Beschwerde zurückgezogen hat. Dieses Schreiben wurde nach Gesuchseinreichung verfasst, sodass es unbeachtlich bleibt (vorne E. 3.2). Auch wenn das Schreiben nicht berücksichtigt wird, ist es nach dem vorstehend Ausgeführten indessen nicht verfassungswidrig, dass die Vorinstanz das Rechtsmittel nicht als hinreichend erfolgversprechend und das Gesuch um unentgeltliche Verbeiständung daher als aussichtslos beurteilt hat.
3.4. Die (Nicht-) Aussichtslosigkeit eines Gesuchs um unentgeltliche Rechtspflege beurteilt sich nach den Prozessaussichten im Zeitpunkt der Gesuchseinreichung (vorne E. 3.2). Die verschiedenen Hinweise der Beschwerdeführerin auf nach diesem Zeitpunkt eingetretene Umstände müssen damit ausser Acht bleiben. Der Beschwerdeführerin ist es bei veränderten Verhältnissen freilich möglich, zu einem späteren Zeitpunkt erneut um unentgeltliche Rechtspflege zu ersuchen (Urteile 4D_19/2016 vom 11. April 2016 E. 4.4; 5A_305/2013 vom 19. August 2013 E. 3.5; VIKTOR RÜEGG, in: Basler Kommentar, Schweizerische Zivilprozessordnung, 2. Aufl. 2013, N. 4 zu <ref-law>).
3.5. Die Vorinstanz durfte nach dem Gesagten gestützt auf die Akten von der Aussichtslosigkeit des Gesuchs um unentgeltliche Verbeiständung ausgehen. Sie war nicht gehalten, aufgrund der Vorbringen der Beschwerdeführerin weitere Abklärungen zu treffen (Art. 60 Abs. 2 EGzZGB i.V.m. <ref-law>). Die Rüge der unvollständigen Sachverhaltsabklärung ist bereits deshalb unbegründet. Ohnehin haben Abklärungen zu Streitfragen, die inhaltlich Gegenstand des Hauptverfahrens bilden, nicht im Verfahren betreffend die unentgeltliche Rechtspflege zu erfolgen (ALFRED BÜHLER, in: Berner Kommentar, 2012, N. 254a zu <ref-law>; vgl. auch Urteile 5A_572/2015 vom 8. Oktober 2015 E. 4.1; 5A_842/2011 vom 24. Februar 2012 E. 5.3, nicht publ. in: BGE <ref-ruling>, aber in: FamPra.ch 2012 S. 799 ff.). Solches wäre hier aber der Fall, müsste das Kantonsgericht, wie von der Beschwerdeführerin gefordert, über die Obhutszuteilung Beweis führen.
4.
Nach dem Ausgeführten erweist sich die Beschwerde als unbegründet und muss abgewiesen werden. Die Beschwerdeführerin wird damit kosten-, nicht hingegen entschädigungspflichtig (Art. 66 Abs. 1 und Art. 68 Abs. 3 BGG). Aufgrund der Umstände des vorliegenden Falls und mit Rücksicht auf die wirtschaftlichen Verhältnisse der Beschwerdeführerin rechtfertigt es sich indessen, auf die Erhebung von Gerichtskosten ausnahmsweise zu verzichten (<ref-law>). Soweit die Beschwerdeführerin um Befreiung von den Gerichtskosten ersucht, wird ihr vor Bundesgericht gestelltes Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege folglich gegenstandslos. Was die Bestellung eines unentgeltlichen Anwalts betrifft, muss das Gesuch abgewiesen werden, konnte der Beschwerde doch von Beginn an kein Erfolg beschieden sein (<ref-law>). Denn die Beschwerdeführerin beschränkt sich auch vor Bundesgericht darauf, ihre eigene Einschätzung zum Kindeswohl den sich auf verschiedene Fachberichte abstützenden Ausführungen der Vorinstanzen gegenüber zu stellen. Ausserdem verweist sie auf Umstände, die sich nach der Einreichung des strittigen Gesuchs am 4. April 2016 zugetragen haben und daher von vornherein nicht geeignet sind, die angefochtene Zwischenverfügung in Frage zu stellen. Die vor Bundesgericht erhobene Gehörsrüge hatte, insbesondere mit Blick darauf, dass über das strittige Gesuch aufgrund einer vorläufigen und summarischen Prüfung der Erfolgsaussichten zu entscheiden ist, ebenfalls keine realistischen Erfolgsaussichten.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen.
2.
Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege wird abgewiesen, soweit es nicht gegenstandslos geworden ist.
3.
Es werden keine Gerichtskosten erhoben.
4.
Es wird keine Parteientschädigung gesprochen.
5.
Dieses Urteil wird den Parteien schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 19. Dezember 2016
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: von Werdt
Der Gerichtsschreiber: Sieber