Sachverhalt:
A.
Der pakistanische Staatsangehörige A.A._ (geb. 1957) hatte in der Schweiz erfolglos um Asyl ersucht. Am 21. Juli 1986 heiratete er in Pakistan eine Schweizer Bürgerin, reiste am 1. März 1987 erneut in die Schweiz ein und erhielt eine Aufenthaltsbewilligung zum Verbleib bei der Ehefrau. Am 6. Oktober 1993 liessen sich die Eheleute scheiden. A.A._ wurde am 5. Februar 1997 die Niederlassungsbewilligung erteilt.
B.
Am 10. August 2010 beantragte A.A._ beim Amt für Migration und Integration Kanton Aargau (MIKA) den Familiennachzug für seine pakistanische Ehefrau B.A._ und die drei gemeinsamen Kinder C.A._ (geb. 1996), D.A._ (geb. 2000) und E.A._ (geb. 2002). In der Folge wurde das Gesuch auf den jüngsten Sohn F.A._ (geb. 2011) ausgedehnt.
B.a. Nachdem das MIKA das Gesuch am 10. Februar 2012 abgewiesen und diesen Entscheid auf Einsprache hin am 22. August 2012 bestätigt hatte, hob das Verwaltungsgericht des Kantons Aargau den Einspracheentscheid mit Urteil vom 28. Februar 2014 auf und wies das Verfahren zurück an das MIKA zur Prüfung des Familiennachzugs.
B.b. Am 17. März 2015 wies das MIKA das Familiennachzugsgesuch erneut ab. Die dagegen erhobene Einsprache hiess es am 25. September 2015 teilweise gut, indem es den Familiennachzug für die Ehefrau und die drei jüngeren Kinder D.A._, E.A._ und F.A._ unter der Bedingung bewilligte, dass A.A._ innerhalb von sechs Monaten nach Rechtskraft des Einspracheentscheids den Nachweis einer bedarfsgerechten Wohnung erbringe. In Bezug auf den ältesten Sohn C.A._ wurde die Einsprache abgewiesen.
A.A._ focht die Verweigerung des Familiennachzugs in Bezug auf C.A._ beim Verwaltungsgericht an. Dieses wies die Beschwerde mit Urteil vom 15. Dezember 2015 ab.
C.
A.A._ erhebt am 25. Januar 2016 Beschwerde beim Bundesgericht mit dem Antrag, den angefochtenen Entscheid aufzuheben und das MIKA anzuweisen, C.A._ die Einreise in die Schweiz zum Zweck des Verbleibs bei seiner Familie zu bewilligen.
Das Verwaltungsgericht hat auf Vernehmlassung verzichtet. Das MIKA und das Staatssekretariat für Migration schliessen auf Abweisung der Beschwerde.

Erwägungen:
1.
1.1. Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten steht offen gegen verfahrensabschliessende Entscheide letzter kantonaler Gerichtsbehörden auf dem Gebiet des Ausländerrechts betreffend Bewilligungen, auf die das Bundesrecht oder das Völkerrecht einen Anspruch einräumt (vgl. Art. 82 lit. a BGG, Art. 83 lit. c Ziff. 2 BGG e contrario, Art. 86 Abs. 1 lit. d und Abs. 2 BGG, Art. 90 BGG). Der Beschwerdeführer beruft sich auf Art. 43 Abs. 1 AuG (SR 142.20) i.V.m. Art. 47 Abs. 4 AuG (nachträglicher Familiennachzug aus wichtigen familiären Gründen) sowie auf Art. 8 EMRK. Diese Ansprüche fallen potenziell in Betracht, weshalb die Beschwerde zulässig ist.
Der Beschwerdeführer, welcher seinen ältesten Sohn in die Schweiz nachziehen möchte, ist zur Beschwerdeführung legitimiert (vgl. Art. 89 Abs. 1 BGG), weil der Anspruch auf Familiennachzug der Person, die das Recht vermittelt, gleichermassen zukommt wie der nachzuziehenden Person.
Auf die frist- (Art. 100 Abs. 1 BGG) und formgerecht (Art. 42 BGG) eingereichte Beschwerde ist einzutreten.
1.2. Mit der Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann eine Rechtsverletzung nach Art. 95 und Art. 96 BGG gerügt werden. Das Bundesgericht legt seinem Urteil den von der Vorinstanz festgestellten Sachverhalt zugrunde (Art. 105 Abs. 1 BGG). Es kann die Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz von Amtes wegen berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von Art. 95 BGG beruht (Art. 105 Abs. 2 BGG). "Offensichtlich unrichtig" bedeutet dabei "willkürlich" (<ref-ruling> E. 2 S. 116). Die beschwerdeführende Partei kann die Feststellung des Sachverhalts unter den gleichen Voraussetzungen beanstanden, wenn die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein kann (Art. 97 Abs. 1 BGG). Eine entsprechende Rüge ist substanziiert vorzubringen (<ref-ruling> E. 5.1 S. 356; <ref-ruling> E. 2.5 S. 314).
2.
2.1. Gemäss Art. 43 Abs. 1 AuG haben ausländische Ehegatten und ledige Kinder unter 18 Jahren von Personen mit Niederlassungsbewilligung Anspruch auf Erteilung und Verlängerung der Aufenthaltsbewilligung, wenn sie mit diesen zusammenwohnen.
2.2.
2.2.1. Nach Art. 47 Abs. 1 AuG muss der Anspruch auf Familiennachzug innerhalb von fünf Jahren geltend gemacht werden; Kinder über zwölf Jahre müssen innerhalb von zwölf Monaten nachgezogen werden. Die Fristen beginnen bei Familienangehörigen von Ausländerinnen und Ausländern mit der Erteilung der Aufenthalts- oder Niederlassungsbewilligung oder der Entstehung des Familienverhältnisses (Art. 47 Abs. 3 lit. b AuG). Ist das betreffende Ereignis vor Inkrafttreten des AuG am 1. Januar 2008 erfolgt, beginnt (übergangsrechtlich) die Frist mit diesem Datum zu laufen (Art. 126 Abs. 3 AuG).
2.2.2. Ein nachträglicher Familiennachzug wird nur bewilligt, wenn wichtige familiäre Gründe geltend gemacht werden. Kinder über 14 Jahre werden zum Familiennachzug angehört, sofern dies erforderlich ist (Art. 47 Abs. 4 AuG). Wichtige Gründe im Sinn dieser Bestimmung liegen vor, wenn das Kindeswohl letztlich nur durch einen Nachzug in die Schweiz sachgerecht gewahrt werden kann (vgl. Art. 75 der Verordnung vom 24. Oktober 2007 über Zulassung, Aufenthalt und Erwerbstätigkeit [VZAE; SR 142.201]; <ref-ruling> E. 2.3.1 S. 291). Die Bewilligung des Nachzugs nach Ablauf der Fristen hat nach dem Willen des Gesetzgebers die Ausnahme zu bleiben. Ein wichtiger familiärer Grund liegt gemäss der Rechtsprechung vor, wenn die weiterhin notwendige Betreuung der Kinder im Herkunftsland beispielsweise wegen des Todes oder der Krankheit der betreuenden Person nicht mehr gewährleistet ist (Urteile 2C_147/2015 vom 22. März 2016 E. 2.4.3; 2C_303/2014 vom 20. Februar 2015 E. 6.1; 2C_205/2011 vom 3. Oktober 2011 E. 4.2 mit Hinweis). Es bedarf einer Gesamtsicht unter Berücksichtigung aller relevanten Elemente. Dabei ist auch dem Sinn und Zweck der Fristenregelung Rechnung zu tragen, wonach die Integration der Kinder bzw. Jugendlichen möglichst frühzeitig erfolgen soll (Urteil 2C_888/2011 vom 20. Juni 2012 E. 3.1). Trotz seines Ausnahmecharakters ist Art. 47 Abs. 4 AuG (bzw. Art. 73 Abs. 3 VZAE) so zu handhaben, dass der Anspruch auf Schutz des Familienlebens nach Art. 8 EMRK bzw. Art. 13 BV nicht verletzt wird (Urteile 2C_303/2014 vom 20. Februar 2015 E. 6.1; 2C_97/2013 vom 26. August 2013 E. 2.3).
3.
3.1. Das Kindsverhältnis zwischen dem Beschwerdeführer und seinem ältesten Sohn C.A._ war am 2. Dezember 1996 entstanden. Die Frist für den Familiennachzug hat somit am 1. Januar 2008 zu laufen begonnen (vgl. E. 2.2.1). In diesem Zeitpunkt verfügte der Beschwerdeführer über eine Niederlassungsbewilligung, so dass er zum Familiennachzug grundsätzlich berechtigt war (vgl. E. 2.1 und 2.2.1). Beim Beginn des Fristenlaufs am 1. Januar 2008 war C.A._ elf Jahre alt. Das zwölfte Lebensjahr vollendete er am 2. Dezember 2008. Ab diesem Zeitpunkt blieben noch zwölf Monate Zeit, um das Nachzugsgesuch einzureichen. Diese Frist endete am 2. Dezember 2009. Das am 10. August 2010 eingereichte Gesuch erweist sich somit hinsichtlich des ältesten Sohns des Beschwerdeführers als verspätet, was dieser nicht bestreitet. Er beantragt jedoch die Bewilligung des nachträglichen Familiennachzugs gemäss Art. 47 Abs. 4 AuG.
3.2. Der Beschwerdeführer macht im Wesentlichen geltend, für die Beurteilung, ob wichtige familiäre Gründe vorliegen, seien die Verhältnisse im Zeitpunkt der Gesuchseinreichung massgeblich. Das Verfahren habe mehr als fünf Jahre gedauert, was sehr lang sei. Es könne nicht sein, dass ein bestehender Anspruch durch eine ungerechtfertigte Verfahrensverzögerung zunichte gemacht werde. Die Vorinstanz habe einerseits geprüft, ob die Betreuung für seinen ältesten Sohn im Jahr 2010 gewährleistet gewesen sei. Andererseits erwähne sie, er sei 19 Jahre alt und habe keinen Bezug zur Schweiz. In Bezug auf Art. 8 EMRK habe sie wiederum darauf abgestellt, dass er bei der Einreichung des Gesuchs noch nicht 18 Jahre alt gewesen sei. Es verstosse gegen Treu und Glauben, auf die heutige Situation abzustellen, nachdem der Kanton Aargau das Verfahren verschleppt habe. Wäre der Familiennachzug 2010 bewilligt worden, wäre sein ältester Sohn im Alter von dreizehn Jahren jäh aus einer intakten Familie mit Mutter und Geschwistern gerissen worden und allein in Pakistan zurückgeblieben, was nicht zumutbar sei.
3.3. Zunächst ist daran zu erinnern, dass der Beschwerdeführer im Gesuchsverfahren eine gefälschte Heiratsurkunde sowie manipulierte Geburtsurkunden hinsichtlich der Kinder D.A._ und E.A._ eingereicht hatte. Das Verwaltungsgericht bestätigte diese Sachverhalte mit Urteil vom 28. Februar 2014, erachtete jedoch die zweite (zunächst bigamistisch gewesene) Ehe des Beschwerdeführers als bestehend und infolge Scheidung von der ersten Ehefrau als nunmehr mit dem ordre public vereinbar. Auch die Kindsverhältnisse bestätigte es trotz der Unregelmässigkeiten in den Geburtsurkunden. Von einer Verfahrensverschleppung seitens der aargauischen Behörden kann nicht die Rede sein, nachdem derartige Abklärungen erfahrungsgemäss einige Zeit beanspruchen (vgl. Urteil 2C_97/2013 vom 26. August 2013 E. 3.1.4). Der Beschwerdeführer hat sich selbst zuzuschreiben, dass das Verwaltungsgericht zweimal über den Anspruch auf Familiennachzug seiner Frau und der vier Kinder befinden musste.
3.4. Nach der Rechtsprechung des Bundesgerichts ist für die Frage, ob die Altersgrenze von 18 Jahren nach Art. 42 Abs. 1 bzw. Art. 43 Abs. 1 AuG eingehalten worden sei, das Alter des Kindes bei der Gesuchseinreichung massgeblich (<ref-ruling> E. 3.4 S. 502). Im Zeitpunkt der Gesuchseinreichung war C.A._ 13 Jahre und 8 Monate alt, weshalb eine Berufung auf Art. 43 Abs. 1 AuG i.V.m. Art. 47 Abs. 4 AuG zulässig ist. Die Gewährung des nachträglichen Familiennachzugs erfolgt aber nicht automatisch, sondern hängt davon ab, ob der Nachzug die einzige Möglichkeit ist, das Kindeswohl zu wahren (vgl. E. 2.2.2). Entgegen dem Vorbringen des Beschwerdeführers sind für die Beurteilung dieser Frage - wie bei jeder Bewilligung - die Umstände bis zum jeweiligen Entscheidzeitpunkt zu berücksichtigen (nicht im Verfahren vor dem Bundesgericht, welches echte Noven nicht berücksichtigen darf, vgl. <ref-ruling> E. 3.1.2 S. 123). Gemäss Art. 110 BGG muss mindestens ein kantonales Gericht das Recht von Amtes wegen anwenden und den Sachverhalt frei prüfen, soweit dieser in prozessual zulässiger Weise vorgebracht wurde (Urteil 2C_345/2015 vom 24. November 2015 E. 2.3). Ein Novenverbot ist nicht zulässig, wenn im Kanton - wie hier - nur eine einzige gerichtliche Instanz besteht (Urteile 2C_1140/2015 vom 7. Juni 2016 E. 2.2.1; 2C_219/2015 vom 20. November 2015 E. 4.1.3; <ref-ruling> E. 3.3 S. 374). Die Vorinstanz hatte somit zu prüfen, ob das MIKA im Einspracheentscheid vom 25. September 2015 die Bewilligungsvoraussetzungen in Bezug auf den ältesten Sohn des Beschwerdeführers zu Recht verneint hat, und ob dieser Entscheid auch unter Berücksichtigung der bis zum Urteilszeitpunkt hinzugetretenen Umstände zu bestätigen sei.
3.5. Der Sohn C.A._ lebte vom Zeitpunkt der Gesuchseinreichung am 10. August 2010 bis mindestens zum Erlass des Einspracheentscheids vom 25. September 2015 in einer geregelten Betreuungssituation in Pakistan. Die Vorinstanz legt einlässlich dar, dass weder mit Blick auf den Zeitpunkt der Gesuchseinreichung noch auf die Zeit danach bis zum angefochtenen Urteil ersichtlich sei, inwiefern die Betreuung von C.A._ nicht mehr gewährleistet gewesen wäre. Der Beschwerdeführer räumt dies selbst ein. Im Zeitpunkt des Einspracheentscheids vom 25. September 2015, mit dem der Familiennachzug für seine Mutter und seine jüngeren Geschwister bewilligt wurde, war C.A._ 19 Jahre alt und damit erwachsen. Während der ganzen Zeitspanne von der Einreichung des Gesuchs bis zum Erreichen des Mündigkeitsalters am 2. Dezember 2014 war das Kindeswohl gewährleistet. Es ist nicht ersichtlich, inwiefern unter dem Titel der Erhaltung des Kindeswohls Raum für eine Bewilligung des Familiennachzugs bestünde. Der Beschwerdeführer baut seine Rügen auf die Hypothese auf, dass der Mutter und den Geschwistern von C.A._ der Familiennachzug bereits im Jahr 2010 bewilligt worden wäre. Ein Sachverhalt, der sich nie verwirklicht hat, kann indessen nicht anspruchsbegründend sein. Massgeblich für die Beurteilung sind die tatsächlichen Verhältnisse, in denen C.A._ lebte. Dessen Betreuung war bis zum Eintritt der Mündigkeit am 2. Dezember 2014 stets gesichert, weil die Mutter erst mit dem Einspracheentscheid vom 25. September 2015 die Erlaubnis erhielt, in der Schweiz zu leben.
3.6. Der Beschwerdeführer macht geltend, er könne aufgrund seiner Schizophrenie nicht nach Pakistan reisen, weshalb Art. 8 EMRK verletzt sei.
Im Bereich des Familiennachzugs von Kindern ist für die Frage, ob Art. 8 EMRK angerufen werden kann, das Alter des Kindes im Zeitpunkt des bundesgerichtlichen Urteils massgeblich (<ref-ruling> E. 3.2 S. 499 f.; Urteile 2C_438/2015 vom 29. Oktober 2015 E. 1.2; 2C_897/2013 vom 16. April 2014 E. 1.2). Weil der Sohn C.A._ inzwischen volljährig geworden ist, entfällt ein Anspruch gemäss Art. 8 Ziff. 1 EMRK.
Die Verweigerung des Familiennachzugs erweist sich auch unter dem Blickwinkel von Art. 96 Abs. 1 AuG als verhältnismässig: Der Beschwerdeführer lebte jahrelang freiwillig getrennt von seiner Frau und seinen Kindern. Das Gesuch für C.A._ stellte er erst, als dieser 13 Jahre und acht Monate alt war. Der Gesetzgeber brachte durch Art. 47 Abs. 4 AuG zum Ausdruck, dass die frühzeitige Integration von Kindern und Jugendlichen die Regel sein soll (vgl. E. 2.2.2). Nachdem C.A._ nie mit seinem Vater zusammengelebt hatte und sich schon im Zeitpunkt der Gesuchseinreichung im Jugendalter befand, kann die Verweigerung des Familiennachzugs nicht als unverhältnismässig bezeichnet werden.
3.7. Die Vorinstanz hat den Anspruch auf nachträglichen Familiennachzug gemäss Art. 47 Abs. 4 AuG in Bezug auf den Sohn C.A._ zu Recht verneint. Dieser Entscheid ist verhältnismässig im Sinn von Art. 96 Abs. 1 AuG.
4.
Die Beschwerde ist abzuweisen. Der unterliegende Beschwerdeführer trägt die Gerichtskosten (Art. 66 Abs. 1 BGG). Eine Parteientschädigung ist nicht zuzusprechen (Art. 68 BGG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 2'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten, dem Verwaltungsgericht des Kantons Aargau, 2. Kammer, und dem Staatssekretariat für Migration schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 26. September 2016
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Seiler
Die Gerichtsschreiberin: Genner