Faits :
A.
A.a. A._, né en 1977, de nationalité italienne, et B._, née en 1979, ressortissante suisse et italienne, se sont mariés en 2003 à U._ (GE), sans conclure de contrat de mariage. Deux enfants sont issus de cette union: C._, né en 2005, et D._, né en 2007.
Les conjoints vivent séparés depuis le 28 janvier 2013, date à laquelle l'épouse a quitté le domicile conjugal avec les enfants.
A.b. Par jugement du 5 février 2015, le Tribunal de première instance du canton de Genève, statuant sur mesures protectrices de l'union conjugale, a, notamment, autorisé les époux à vivre séparés (ch. 1 du dispositif), attribué le domicile conjugal au mari (ch. 2), ordonné une garde alternée des enfants, du lundi matin au mercredi à 18h00 auprès de leur mère et du mercredi à 18h00 au vendredi matin auprès de leur père, un week-end sur deux du vendredi soir au lundi, ainsi que durant la moitié des vacances scolaires (ch. 3), le domicile légal des enfants étant chez leur mère (ch. 4), condamné le mari à s'acquitter de la part de la prime d'assurance-maladie de l'épouse non prise en charge par l'employeur de celui-ci, les frais médicaux non remboursés, les primes d'assurance-vie, les frais extra-scolaires, les frais de "parascolaires", de cuisines scolaires et de transport (ch. 6), et dit que le père conservait, dès le 1er février 2015, l'intégralité des allocations familiales (ch. 7). Les parties ont été déboutées de toutes autres conclusions (ch. 12).
B.
Par arrêt du 28 août 2015, la Cour de justice du canton de Genève, statuant sur appel de chacune des parties, a confirmé les chiffres 3 et 6 du dispositif du jugement de première instance, étant précisé que les primes d'assurance-vie visées par le chiffre 6 ne comprennent pas celles relatives au contrat conclu par l'épouse. L'autorité cantonale a en outre annulé les chiffres 7 et 12 du dispositif de ce jugement et, statuant à nouveau, a condamné le mari à verser à l'épouse la somme de 3'600 fr. à titre d'arriérés d'allocations familiales pour la période de février 2013 à janvier 2014, et, en tant que de besoin, la moitié des allocations familiales perçues dès cette date, enfin, dit que lesdites allocations seront versées en mains de chaque partie pour moitié.
C.
Par acte du 9 octobre 2015, le mari exerce un recours en matière civile au Tribunal fédéral contre l'arrêt du 28 août 2015. Il conclut, principalement, à ce que soit ordonnée l'audition de E._, et à ce que l'intimée soit condamnée à lui verser, dès le 1er février 2013, des contributions d'entretien de 300 fr. par mois pour chacun des enfants, allocations familiales non comprises, et de 420 fr. par mois en sa faveur, ce dernier montant étant augmenté à 570 fr. par mois dès le 1er février 2014. Il demande en outre au Tribunal fédéral de dire que les contributions qu'il a versées à l'intimée depuis la séparation du couple seront portées en déduction de toute somme due théoriquement à celle-ci. Subsidiairement, il demande le renvoi de la cause à l'autorité cantonale pour nouvelle décision dans le sens des considérants et, plus subsidiairement, requiert d'être acheminé à prouver par toutes voies de droit les allégués de son écriture.
Des observations sur le fond n'ont pas été requises.
D.
Par ordonnance du 8 décembre 2015, le Président de la cour de céans a accordé l'effet suspensif au recours pour les arriérés d'allocations et les allocations familiales dues à l'épouse jusqu'à la fin du mois de septembre 2015, mais l'a refusé pour les montants dus à ce titre à partir du 1er octobre 2015.

Considérant en droit :
1.
1.1. Le présent recours a été interjeté en temps utile (<ref-law>) et dans la forme légale (<ref-law>), contre une décision finale (<ref-law>; <ref-ruling> consid. 2.2; <ref-ruling> consid. 4) prise en matière civile (<ref-law>) par l'autorité supérieure du canton statuant en dernière instance et sur recours (art. 75 al. 1 et 2 LTF). Le litige porte sur une affaire pécuniaire dont la valeur litigieuse requise est atteinte (art. 51 al. 1 et 4, 74 al. 1 let. b LTF). Le recourant a en outre qualité pour recourir (art. 76 al. 1 let. a et b LTF).
1.2. Les conclusions du recourant tendant au versement, par l'intimée, de contributions à son entretien et à celui de ses enfants sont irrecevables, faute de toute motivation (<ref-law>).
1.3. Des mesures probatoires devant le Tribunal fédéral ne sont qu'exceptionnellement ordonnées dans une procédure de recours (<ref-ruling> consid. 2), dès lors que le Tribunal fédéral conduit en principe son raisonnement juridique sur la base des faits établis par l'autorité précédente (cf. infra consid. 1.5).
Le recourant requiert l'audition d'un témoin et, plus généralement, d'être acheminé à prouver les allégués de son recours. Il ne sera pas donné suite à ces requêtes en l'absence d'élément dont on puisse inférer des circonstances exceptionnelles justifiant une mesure d'instruction devant la cour de céans, circonstances dont le recourant ne démontre par ailleurs nullement l'existence. Ses conclusions à cet égard sont par conséquent irrecevables.
1.4. Comme la décision attaquée porte sur des mesures protectrices de l'union conjugale (art. 172 à 179 CC), lesquelles sont considérées comme des mesures provisionnelles au sens de l'<ref-law> (ATF <ref-ruling> consid. 5.1, 585 consid. 3.3), seule peut être dénoncée la violation de droits constitutionnels. Le Tribunal fédéral n'examine de tels griefs que s'ils ont été invoqués et motivés ("principe d'allégation", <ref-law>), à savoir expressément soulevés et exposés de manière claire et détaillée (<ref-ruling> consid. 2.2; <ref-ruling> consid. 1.3; <ref-ruling> consid. 1.2; <ref-ruling> consid. 3.2 et les arrêts cités). Le recourant qui se plaint de la violation d'un droit fondamental ne peut donc se borner à critiquer la décision attaquée comme il le ferait en instance d'appel, où l'autorité de recours jouit d'une libre cognition; il ne peut, en particulier, se contenter d'opposer sa thèse à celle de l'autorité cantonale, mais doit démontrer ses allégations par une argumentation précise (<ref-ruling> consid. 3; <ref-ruling> consid. 3.2). Les critiques de nature appellatoire sont irrecevables (<ref-ruling> consid. 2.3; <ref-ruling> consid. 10.1 et les arrêts cités).
1.5. Le Tribunal fédéral statue sur la base des faits établis par l'autorité précédente (<ref-law>). Dans l'hypothèse d'un recours soumis à l'<ref-law>, une rectification ou un complètement de l'état de fait n'entre en considération que si l'autorité précédente a violé des droits constitutionnels, les art. 95, 97 et 105 al. 2 LTF ne s'appliquant pas directement (ATF <ref-ruling> consid. 7.1, 585 consid. 4.1). Toutefois, l'application de l'art. 9 Cst. aboutit pratiquement au même résultat: le Tribunal fédéral ne corrige les constatations de fait que si elles sont arbitraires et ont une influence sur le résultat de la décision.
Le Tribunal fédéral se montre réservé en matière de constatation des faits et d'appréciation des preuves, vu le large pouvoir qu'il reconnaît dans ce domaine aux autorités cantonales (<ref-ruling> consid. 4b; <ref-ruling> consid. 9 et les arrêts cités). Il n'intervient, du chef de l'art. 9 Cst., que si le juge du fait n'a manifestement pas compris le sens et la portée d'un moyen de preuve, a omis sans motifs objectifs de tenir compte de preuves pertinentes ou a opéré, sur la base des éléments recueillis, des déductions insoutenables (<ref-ruling> consid. 2.3; <ref-ruling> consid. 4.1.2; <ref-ruling> consid. 4.2). Cette retenue est d'autant plus grande lorsque, comme ici, le juge n'examine la cause que d'une manière sommaire et provisoire (<ref-ruling> consid. 3.3).
2.
Le recourant soutient que l'autorité cantonale a violé son droit d'être entendu et arbitrairement apprécié les charges incompressibles de l'intimée en refusant de donner suite à sa requête d'audition de E._, qui vivrait en ménage commun avec elle depuis le mois de février 2013 et partagerait ainsi assurément les frais fixes de celle-ci.
2.1. Lorsque le recourant soutient que les faits ont été constatés de façon manifestement inexacte, il doit rendre vraisemblable que la décision attaquée aurait été différente si les faits avaient été établis de manière conforme au droit (art. 97 al. 1 in fine LTF; <ref-ruling> consid. 3.4); cette exigence vaut également lorsqu'il se plaint d'une violation de son droit d'être entendu en relation avec l'établissement des faits (<ref-ruling> consid. 3.7; arrêts 1C_268/2015 du 9 février 2016 consid. 3.2; 5A_270/2012 du 24 septembre 2012 consid. 6; 5A_634/2010 du 7 janvier 2011 consid. 4.2; 9C_1001/2009 du 15 avril 2010 consid. 3.2; 8C_224/2009 du 27 juillet 2009 consid. 3.3.2).
En l'espèce, le recourant n'expose pas clairement en quoi le fait de retenir, dans les charges de l'intimée, la totalité de ses frais incompressibles et non la moitié, serait susceptible d'influer sur le sort de la cause. La question peut toutefois rester indécise, le grief devant de toute manière être rejeté pour le motif suivant.
2.2. Le droit d'être entendu, tel qu'il est garanti par l'art. 29 al. 2 Cst., comprend notamment le droit pour l'intéressé de produire des preuves pertinentes, d'obtenir qu'il soit donné suite à ses offres de preuves pertinentes, de participer à l'administration des preuves essentielles ou à tout le moins de s'exprimer sur son résultat, lorsque cela est de nature à influer sur la décision à rendre (<ref-ruling> consid. 3.3, 285 consid. 6.3.1; <ref-ruling> consid. 3.3). Le juge est cependant autorisé à effectuer une appréciation anticipée des preuves déjà disponibles et, s'il peut admettre de façon exempte d'arbitraire qu'une preuve supplémentaire offerte par une partie serait impropre à ébranler sa conviction, refuser d'administrer cette preuve (<ref-ruling> consid. 6.3; <ref-ruling> consid. 4.3.2; <ref-ruling> consid. 5.3; <ref-ruling> consid. 5.3). Il n'en va pas différemment lorsque, comme ici (art. 55 al. 2, 272 et 296 al. 1 CPC), le procès est soumis à la maxime inquisitoire (<ref-ruling> consid. 2.2.3 et les arrêts cités).
Les mesures protectrices de l'union conjugale sont ordonnées à la suite d'une procédure sommaire avec administration restreinte des moyens de preuve et limitation du degré de la preuve à la simple vraisemblance. Il n'y a pas de violation du droit à la preuve (art. 29 al. 2 Cst.) lorsque le juge parvient à se former une conviction de la vraisemblance des faits en se fondant sur les preuves administrées (arrêts 5A_882/2015 du 25 novembre 2015 consid. 6.1; 5A_265/2015 du 22 septembre 2015 consid. 2.2.2; 5A_661/2011 du 10 février 2012 consid. 2.3).
2.3. En l'occurrence, l'autorité cantonale a renoncé à citer E._ comme témoin pour les motifs suivants. Considérant que le premier juge avait à juste titre nié toute communauté de vie stable entre lui et l'épouse en se référant aux inscriptions auprès de l'Office cantonal de la population et aux dénégations de l'intéressée, les juges précédents ont en outre estimé qu'aucun élément ne rendait vraisemblable qu'il contribuât aux charges fixes de celle-ci, le fait qu'il entretiendrait une relation stable avec elle n'impliquant pas une telle conclusion. Il s'imposait également de renoncer à citer ce témoin au regard des liens allégués entre lui et l'épouse.
Il appert ainsi que l'autorité cantonale a procédé à une appréciation anticipée des preuves pour refuser l'audition requise, procédé qui ne viole pas le droit d'être entendu (cf. supra consid. 2.2). Or, le recourant n'établit pas que cette appréciation serait insoutenable (cf. sur cette forme d'arbitraire: <ref-ruling> consid. 4.2 et les arrêts cités). Il se borne à soutenir, en substance, qu'il n'a cessé d'alléguer, depuis le début de la procédure, que l'intimée vivait en ménage commun avec son compagnon, que le domicile légal de ce dernier était fictif et qu'il partageait par conséquent les dépenses courantes de l'intimée. En outre, cette audition avait été sollicitée à tous les stades de la procédure, tant en première instance qu'en appel. Le refus de l'autorité cantonale serait donc contraire à la loi, le solde disponible des parties ayant des répercussions évidentes sur la contribution à l'entretien des enfants et sur la perception des allocations familiales. L'autorité judiciaire aurait par ailleurs disposé de suffisamment de temps pour procéder à l'audition requise. Selon le recourant, la cour cantonale aurait ainsi fait preuve d'arbitraire en refusant sans droit l'audition de ce témoin. Partant, elle aurait retenu de manière insoutenable que les charges mensuelles incompressibles de l'intimée s'élevaient à 3'690 fr. au lieu de 2'204 fr. seulement, alors même que l'existence d'une "communauté de toit et de table" entre elle et son compagnon avait été continuellement alléguée et, de surcroît, démontrée par pièces.
S'il paraît justifié, lorsque l'époux créancier vit en ménage commun, de prendre en considération, dans le cadre de mesures provisionnelles, non seulement un concubinage qualifié ou stable ("communauté de toit, de table et de lit"; <ref-ruling> consid. 2.3.3), mais aussi un soutien économique momentané par le nouveau partenaire ou, à tout le moins, l'avantage économique découlant d'une (simple) communauté domestique ("communauté de toit et de table"), encore faut-il que les circonstances dans lesquelles vivent les intéressés, entraînant des économies pour chacun d'eux, soient établies (<ref-ruling> consid. 2.3.1-2.3.3 et les références; arrêts 5A_593/2013 du 20 décembre 2013 consid. 3.3.2; 5A_833/2012 du 30 mai 2013 consid. 3.3.1). Par son argumentation, essentiellement appellatoire (<ref-law>), le recourant ne démontre pas que l'appréciation des preuves à laquelle s'est livrée l'autorité cantonale serait à cet égard arbitraire (cf. supra consid. 1.5). En effet, il n'établit pas qu'il était insoutenable de retenir, à l'instar du premier juge, en se référant aux inscriptions auprès de l'Office cantonal de la population et indépendamment des allégués des parties, qu'il n'existait pas de communauté de vie stable entre les intéressés, ni que rien ne rendait vraisemblable une participation de E._ aux charges fixes de l'intimée. Au demeurant, il ne suffit pas que les motifs de la décision attaquée soient insoutenables; encore faut-il qu'elle soit arbitraire dans son résultat (<ref-ruling> consid. 3.2.5; <ref-ruling> consid. 4.4; <ref-ruling> consid. 6.1; <ref-ruling> consid. 2.6).
Les griefs de violation du droit d'être entendu et d'arbitraire soulevés en relation avec l'appréciation des preuves et l'établissement des faits doivent donc être rejetés, en tant que recevables.
3.
Dans un second moyen, le recourant reproche à l'autorité cantonale d'avoir arbitrairement jugé que les allocations familiales devaient bénéficier pour moitié à chacune des parties, vu la garde partagée, sans tenir compte du fait que, depuis la séparation des parties, il assume l'intégralité des frais liés aux enfants.
3.1. Le recourant n'a pas expressément pris de conclusions s'agissant du partage des allocations familiales entre les parties. En plus de requérir l'annulation de la décision attaquée, il a toutefois conclu à ce qu'en toutes hypothèses, les contributions qu'il a versées en mains de l'intimée depuis la séparation soient portées en déduction de toute somme théoriquement due par lui. Il résulte en outre de son écriture qu'il fait grief à l'autorité cantonale de l'avoir condamné au paiement rétroactif d'une somme de 3'600 fr. à titre d'arriérés d'allocations familiales pour la période de février 2013 à janvier 2014, ainsi qu'au versement de la moitié des allocations familiales perçues dès février 2014. Malgré l'absence de conclusions formelles en ce sens, il y a donc lieu de considérer qu'il ressort de la motivation du recours qu'il requiert de pouvoir conserver l'intégralité des allocations familiales. Afin de parer à tout formalisme excessif, il se justifie par conséquent d'examiner cette question.
3.2. En ce qui concerne le coût d'entretien des enfants, l'arrêt attaqué retient qu'après déduction des allocations familiales de 300 fr. par mois, les charges mensuelles du fils aîné s'élèvent à 490 fr. 40 et celles du fils cadet à 290 fr. 40. Compte tenu de l'ensemble des circonstances, soit en particulier de la prise en charge un peu plus importante des enfants par leur mère durant la période scolaire et du solde mensuel plus important dont disposait le père (soit environ 2'750 fr. par mois pour lui contre 2'325 fr. pour la mère), l'autorité cantonale a confirmé le chiffre 6 du dispositif du jugement de première instance qui condamnait le père à payer, dès le 1er février 2015, la part des primes d'assurance-maladie (LAMal et LCA) non prises en charge par son employeur, les frais médicaux non remboursés, les frais extra-scolaires (école de football et camp d'été), les frais parascolaires (prise en charge à midi et le soir deux fois par semaine), les frais des cuisines scolaires (deux fois par semaine), les frais de transport (abonnement TPG) ainsi que les primes d'assurance-vie, précisant toutefois que lesdites primes ne comprenaient pas celles relatives au contrat d'assurance-vie conclu par l'épouse. Par ailleurs, destinées à l'entretien des enfants, les allocations familiales devaient revenir pour moitié à chacune des parties, vu la garde partagée. Il y avait donc lieu de condamner le mari à verser à l'épouse la moitié des prestations perçues par lui à ce titre de février 2013 à janvier 2014 (soit: 7'200 fr. : 2 = 3'600 fr.).
3.3. Le recourant ne conteste pas que la garde partagée puisse conduire en soi à un partage des allocations familiales. Il ne critique pas non plus et, par conséquent, ne démontre pas, que le raisonnement de l'autorité cantonale selon lequel, compte tenu des circonstances, certains frais fixes pouvaient être mis à sa charge, chacun des parents assumant l'entretien courant des enfants lorsqu'ils en avaient la garde, aboutirait à un partage arbitraire des ressources pour une période relativement longue. Par ailleurs, en tant qu'il prétend qu'il aurait assumé des frais supplémentaires par rapport à ceux qui lui incombaient, il se fonde sur des faits qui ne résultent pas de l'arrêt attaqué, sans toutefois démontrer d'arbitraire à ce sujet (<ref-law>); partant, ses allégations ne peuvent être prises en considération (<ref-law>). De toute manière, et pour le surplus, le recourant perd de vue que, dans la mesure où il s'agirait d'imputer sur ce qu'il doit pour l'entretien des enfants les sommes déjà versées à ce titre, seules pourraient être déduites les charges qui ont été prises en compte dans la détermination de dite obligation, à l'exclusion des versements qui excèdent l'entretien défini dans ce cadre (cf. arrêt 5A_810/2012 du 22 mars 2013 consid. 3.2). Dès lors, il importe peu qu'il ait, comme il le prétend - sans du reste l'établir -, assumé certains frais devant être supportés par l'intimée.
Pour autant qu'il soit suffisamment motivé (<ref-law>; cf. supra consid. 1.4), le grief est ainsi infondé.
4.
En conclusion, le recours se révèle mal fondé et ne peut dès lors qu'être rejeté, dans la mesure où il est recevable. Le recourant, qui succombe, supportera par conséquent les frais judiciaires (<ref-law>). Il n'y a pas lieu d'allouer de dépens à l'intimée, qui n'est pas représentée par un avocat (cf. <ref-ruling> consid. 4) et a conclu au rejet de l'effet suspensif - alors que celui-ci a été partiellement accordé - sans être invitée à répondre sur le fond (art. 68 al. 1 et 2 LTF).

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce :
1.
Le recours est rejeté dans la mesure où il est recevable.
2.
Les frais judiciaires, arrêtés à 2'500 fr., sont mis à la charge du recourant.
3.
Le présent arrêt est communiqué aux parties et à la Chambre civile de la Cour de justice du canton de Genève.
Lausanne, le 7 mars 2016
Au nom de la IIe Cour de droit civil
du Tribunal fédéral suisse
Le Président : von Werdt
La Greffière : Mairot