Faits :
A.
A.a. A._, mécanicien-tourneur, a requis le 23 novembre 2001 des prestations de l'assurance-invalidité. Dans le cadre de l'instruction de cette demande, l'Office AI du canton de Neuchâtel (ci-après: l'office AI) a recueilli l'avis du médecin traitant, le docteur B._, spécialiste en médecine interne générale (avis des 6 décembre 2001 et 15 septembre 2005), et confié la réalisation d'une expertise rhumatologique au docteur C._, spécialiste en médecine interne générale et en rhumatologie (rapport du 20 janvier 2004). Par décision sur opposition du 27 mars 2008, l'office AI a rejeté la demande de prestations.
A.b. La Cour des assurances sociales du Tribunal administratif du canton de Neuchâtel (actuellement: Tribunal cantonal de la République et canton de Neuchâtel, Cour de droit public) a annulé la décision du 27 mars 2008 et renvoyé la cause à l'office AI pour instruction complémentaire et nouvelle décision (jugement du 26 mai 2010). L'office AI a versé au dossier notamment le rapport médical du docteur D._, spécialiste en médecine interne générale et en rhumatologie (rapport du 27 juin 2008), et soumis l'assuré à une nouvelle expertise rhumatologique. Le docteur E._, spécialiste en médecine interne générale et en rhumatologie, a posé les diagnostics - avec répercussion sur la capacité de travail - de lombosciatique L5 droite irritative et déficitaire sur un plan sensitif et moteur en L5 (hernie discale foraminale L5-S1 droite, discopathies L4-L5 et L5-S1 et protrusion discale médiane paramédiane gauche en L4-L5) et d'ostéoporose fracturaire avec status après fracture des têtes métatarsiennes II et III à droite et fracture du cunéiforme droit en 2009; la capacité de travail de l'assuré s'était objectivement péjorée depuis l'avis du 15 septembre 2005 du docteur B._ pour devenir nulle dans son activité habituelle à compter du mois de mai 2008 (date de l'IRM lombaire et de l'examen clinique mené par le docteur D._). Dans une activité adaptée, l'assuré disposait d'une capacité de travail de 50 % (rapport du 25 août 2011). Par décision du 5 juin 2013, l'office AI a octroyé à l'assuré trois quarts de rente à compter du 1er mai 2009.
A.c. Par jugement du 14 avril 2014, la Cour de droit public a partiellement admis le recours déposé par A._ en ce sens que la décision du 5 juin 2013 a été annulée et la cause renvoyée à l'office AI pour complément d'instruction et nouvelle décision selon les considérants. D'un point de vue rhumatologique, le docteur E._ a précisé qu'il n'y avait pas d'élément objectif qui permettait de justifier une incapacité de travail - même partielle - de l'assuré dans son activité habituelle de mécanicien-tourneur avant mai 2008 (complément du 19 mai 2014). Par décision du 26 janvier 2015, l'office AI a octroyé à A._ trois quarts de rente de l'assurance-invalidité à compter du 1er mai 2009.
B.
A._ a déféré cette décision au Tribunal cantonal de la République et canton de Neuchâtel, Cour de droit public. Par jugement du 31 août 2015, la cour cantonale a rejeté le recours.
C.
A._ forme un recours en matière de droit public contre ce jugement dont il demande l'annulation. Il conclut principalement à l'octroi d'une rente entière de l'assurance-invalidité à compter du 1er août 2001, subsidiairement au renvoi du dossier à l'office AI pour complément d'instruction au sens des considérants.

Considérant en droit :
1.
Le recours en matière de droit public peut être formé pour violation du droit, tel qu'il est délimité par les art. 95 et 96 LTF. Le Tribunal fédéral applique le droit d'office (<ref-law>), n'étant limité ni par les arguments de la partie recourante, ni par la motivation de l'autorité précédente. Le Tribunal fédéral n'examine en principe que les griefs invoqués, compte tenu de l'exigence de motivation prévue à l'<ref-law>, et ne peut aller au-delà des conclusions des parties (<ref-law>). Il fonde son raisonnement sur les faits retenus par l'autorité précédente (<ref-law>) sauf s'ils ont été établis de façon manifestement inexacte ou en violation du droit au sens de l'<ref-law> (<ref-law>). La partie recourante qui entend s'écarter des faits constatés doit expliquer de manière circonstanciée en quoi les conditions de l'<ref-law> sont réalisées, sinon un état de fait divergent ne peut être pris en considération (<ref-law>).
2.
Compte tenu des conclusions et motifs du recours, le litige porte sur le droit du recourant à une rente entière de l'assurance-invalidité à compter du 1er août 2001, au lieu des trois quarts de rente qui lui ont été accordés à partir du 1er mai 2009. L'autorité précédente a exposé correctement les règles applicables en matière d'appréciation des preuves, ainsi que celles qui se rapportent à la notion d'invalidité, si bien qu'il suffit de renvoyer au jugement attaqué.
3.
Se fondant principalement sur le rapport du docteur E._ du 25 août 2011 et son complément du 19 mai 2014, la juridiction cantonale a confirmé le droit du recourant à un trois quarts de rente de l'assurance-invalidité à compter du 1 er mai 2009. A._ présentait une capacité résiduelle de travail de 50 % dans une activité adaptée à compter du mois de mai 2008 et, en application de la méthode générale de comparaison des revenus, un taux d'invalidité de 67 %, de sorte qu'il pouvait prétendre à trois quarts de rente à l'échéance du délai de carence d'un an. Par ailleurs, aucun élément ne permettait de retenir que les circonstances s'étaient modifiées de manière significative depuis l'expertise du docteur E._ au point d'influencer son droit à une rente.
4.
4.1. Dans un grief d'ordre formel qu'il convient d'examiner en premier, le recourant se plaint d'une violation de son droit d'être entendu. Il reproche à l'autorité précédente d'avoir refusé de procéder à des investigations médicales complémentaires - sous la forme notamment d'une nouvelle expertise médicale - portant sur l'évolution de sa capacité de travail de 2004 à 2008, puis de 2011 à 2015.
4.2. La violation du droit d'être entendu dans le sens invoqué par le recourant est une question qui n'a pas de portée propre par rapport au grief tiré d'une mauvaise appréciation des preuves (<ref-ruling> consid. 2.1 p. 428; arrêt 9C_796/2014 du 27 avril 2015 consid. 2.2). Le juge peut en effet renoncer à accomplir certains actes d'instruction, sans que cela n'entraîne une violation du droit d'être entendu, s'il est convaincu, en se fondant sur une appréciation consciencieuse des preuves (voir <ref-ruling> consid. 3a p. 352), que certains faits présentent un degré de vraisemblance prépondérante et que d'autres mesures probatoires ne pourraient plus modifier cette appréciation (sur l'appréciation anticipée des preuves en général: <ref-ruling> consid. 6.3.1 p. 298 et les références). Il s'agit par conséquent d'un grief qu'il convient d'examiner avec le fond du litige.
5.
5.1. Invoquant une violation du principe de la maxime inquisitoire et de l'interdiction de l'arbitraire dans l'appréciation des preuves, le recourant fait valoir que le rapport du docteur E._ et son complément n'indiquaient pas de manière suffisamment précise comment sa capacité de travail avait évolué entre le 31 juillet 2003 (date de son licenciement) et le 6 mai 2008 (date de l'examen clinique mené par le docteur D._). L'autorité précédente avait précédemment retenu dans son jugement de renvoi du 14 avril 2014 qu'il était possible que la capacité de travail du recourant se fût progressivement réduite, pour devenir finalement nulle en mai 2008, et avait requis pour ce motif un complément d'instruction. Dans la mesure où le dossier ne contenait aucune pièce médicale entre 2004 et 2008, le recourant affirme que le docteur E._ n'avait eu d'autres choix que de retenir la date de mai 2008 comme début de l'incapacité de travail. Or il appartenait à l'office AI d'assumer la responsabilité de n'avoir mené aucune mesure d'instruction conséquente entre 2004 et 2008; l'incapacité de travail n'étant manifestement pas apparue de "nulle part" au moment de l'IRM lombaire de mai 2008.
5.2. La procédure dans le domaine des assurances sociales est régie par le principe inquisitoire d'après lequel les faits pertinents de la cause doivent être constatés d'office par l'assureur (<ref-law>) ou, éventuellement, par le juge (art. 61 let. c LPGA). Ce principe n'est cependant pas absolu. Sa portée peut être restreinte par le devoir des parties de collaborer à l'instruction de l'affaire. Si le principe inquisitoire dispense les parties de l'obligation de prouver, il ne les libère pas du fardeau de la preuve, dans la mesure où, en cas d'absence de preuve, c'est à la partie qui voulait en déduire un droit d'en supporter les conséquences, sauf si l'impossibilité de prouver un fait peut être imputée à la partie adverse. Cette règle ne s'applique toutefois que s'il se révèle impossible, dans le cadre de la maxime inquisitoire et en application du principe de la libre appréciation des preuves, d'établir un état de fait qui correspond, au degré de la vraisemblance prépondérante, à la réalité (<ref-ruling> consid. 5.2 p. 185 et les références).
5.3. Compte tenu de son pouvoir d'examen restreint en la matière (supra consid. 1), il n'appartient pas au Tribunal fédéral de procéder une nouvelle fois à l'appréciation des preuves administrées, mais à la partie recourante d'établir en quoi celle opérée par l'autorité précédente serait manifestement inexacte ou incomplète, ou en quoi les faits constatés auraient été établis au mépris de règles essentielles de procédure. Quoi qu'en dise le recourant, les premiers juges ont procédé à une appréciation complète des avis médicaux à leur disposition et expliqué de manière circonstanciée les raisons pour lesquelles le rapport du docteur E._, qui remplissait les exigences posées par la jurisprudence en matière de force probante (jugement du 14 avril 2014 consid. 3), et son complément suffisaient à trancher le litige. Le médecin avait en particulier donné son avis en toute connaissance du contexte médical et expliqué de manière motivée et convaincante pourquoi il ne retenait pas une incapacité de travail - même partielle - dans la profession habituelle de mécanicien-tourneur avant le mois de mai 2008. Les juges cantonaux ont également exposé les raisons pour lesquelles ils ne pouvaient suivre les avis du docteur B._ quant à une incapacité de travail déterminante avant la date arrêtée par le docteur E._.
En se contentant d'affirmer que les actes médicaux devaient être complétés en raison de l'inactivité de l'office intimé durant les années 2004 à 2008, le recourant ne démontre pas que l'appréciation des preuves des premiers juges et que le résultat de celle-ci seraient arbitraires ou manifestement inexacts. Il reconnaît d'ailleurs n'avoir consulté aucun spécialiste du rachis de 2004 à mai 2008 quand bien même il savait que le docteur C._ faisait état d'une complète capacité de travail dans une profession sédentaire exercée en position assise ou assise alternée, avec un port de charges ne dépassant pas dix kilos, et n'excluait apparemment pas la reprise de l'activité habituelle. Ce n'est que le docteur D._ qui le premier, le 27 juin 2008, a exposé qu'au vu du status actuel - notamment d'un léger déficit moteur qui n'avait pas été décrit jusqu'à l'IRM lombaire du 9 mai 2008 - une activité à temps complet, telle que retenue par le docteur C._, ne lui semblait plus envisageable. L'office AI a ensuite confié la réalisation d'une expertise rhumatologique au docteur E._, qui a exclu une incapacité de travail - même partielle - antérieure à mai 2008. L'autorité précédente n'a par ailleurs pas méconnu ses précédents arrêts de renvoi en accordant une pleine valeur probante au rapport du docteur E._ ou le fait que le docteur C._ n'avait pas été suffisamment précis quant à l'exigibilité d'une reprise de l'activité de mécanicien-tourneur. Il n'y a pas lieu de s'écarter des faits retenus par les premiers juges, dont l'appréciation (anticipée) des preuves n'est pas entachée d'arbitraire.
6.
Le recourant n'expose enfin pas quelle pièce au dossier ou quelle allégation aurait dû inciter les premiers juges à remettre en cause les conclusions du docteur E._ en raison d'une "énième aggravation" de son état de santé. A lui seul, l'écoulement du temps n'altère pas la valeur probante d'un rapport médical (arrêt 9C_641/2009 du 4 novembre 2010 consid. 3.3 et la référence). Au regard de l'évaluation du docteur E._ - et en l'absence de tout indice de nature à la remettre en cause -, la juridiction cantonale pouvait sans faire preuve d'arbitraire considérer qu'une nouvelle expertise n'était susceptible ni de mettre en évidence un élément propre à établir une aggravation de l'état de santé du recourant ni de modifier les conclusions du docteur E._. C'est le lieu d'ajouter que l'état de fait déterminant pour juger du droit à la prestation en cause est celui qui s'est déroulé jusqu'à la date de la décision du 26 janvier 2015. Aussi bien, c'est à juste titre que l'autorité précédente n'a pas examiné les conséquences de la prise en charge du recourant par le service des soins intensifs du service de neurologie de l'hôpital F._ en février 2015. L'office intimé a du reste ouvert début mars 2015 une nouvelle procédure d'examen du droit à la rente du recourant.
7.
Mal fondé, le recours doit être rejeté. Le recourant, qui succombe, supportera les frais judiciaires afférents à la présente procédure (art. 66 al. 1, 1ère phrase, LTF).

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce :
1.
Le recours est rejeté.
2.
Les frais judiciaires, arrêtés à 800 fr., sont mis à la charge du recourant.
3.
Le présent arrêt est communiqué aux parties, au Tribunal cantonal de la République et canton de Neuchâtel, Cour de droit public, et à l'Office fédéral des assurances sociales.
Lucerne, le 22 mars 2016
Au nom de la IIe Cour de droit social
du Tribunal fédéral suisse
La Présidente : Glanzmann
Le Greffier : Bleicker