Sachverhalt:
A.
A._ überschritt am 17. August 2014 in Piotta als Führer eines Motorfahrzeugs bei einem Überholmanöver die zugelassene Geschwindigkeit von 80 km/h nach Abzug der Sicherheitsmarge um 44 km/h. Hierfür wurde er rechtskräftig wegen grober Verletzung der Verkehrsregeln gemäss <ref-law> verurteilt (Urteil 6B_231/2016 vom 21. Juni 2016).
Das Strassenverkehrsamt des Kantons Luzern wertete diese Widerhandlung gegen die Strassenverkehrsvorschriften als schwer im Sinne von <ref-law> und entzog A._ mit Verfügung vom 21. September 2016 den Führer- und Schiffsführerausweis auf unbestimmte Zeit, mindestens für zwei Jahre (<ref-law>), nachdem ihm dies mit Schreiben vom 25. August 2016 bereits angekündigt worden war und er dazu Stellung nehmen konnte. Dieses Schreiben ersetzte jenes vom 6. Juli 2016, in dem das Strassenverkehrsamt A._ den Entzug des Führerausweises für acht Monate in Aussicht gestellt hatte. Mit der Verfügung vom 21. September 2016 wurde zugleich einer allfälligen Verwaltungsgerichtsbeschwerde die aufschiebende Wirkung entzogen.
B.
Diesen Entscheid focht A._ beim Kantonsgericht Luzern an. Nachdem dieses sein Gesuch um Wiederherstellung der aufschiebenden Wirkung abgewiesen hatte und eine dagegen erhobene Beschwerde beim Bundesgericht erfolglos blieb (Urteil 1C_557/2016 vom 24. März 2017), wies es die Verwaltungsgerichtsbeschwerde mit Urteil vom 16. Mai 2017 ab, soweit es darauf eintrat.
C.
Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten vom 21. Juni 2017 gelangt A._ an das Bundesgericht und beantragt, das kantonsgerichtliche Urteil vom 16. Mai 2017 sei nichtig zu erklären und der am 6. Juli 2016 erlassene Entscheid sei zu bestätigen. Eventualiter sei das kantonsgerichtliche Urteil aufzuheben und der Entscheid vom 6. Juli 2016 zu bestätigen. Subeventualiter sei in Änderung des kantonsgerichtlichen Urteils die Entzugsdauer auf sechs Monate herabzusetzen. Subsubeventualiter sei die Angelegenheit an das Kantonsgericht zu neuer Entscheidung zurückzuweisen.
Das Kantonsgericht, das Strassenverkehrsamt und das Bundesamt für Strassen (ASTRA) schliessen auf Abweisung der Beschwerde. Der Beschwerdeführer hält in der Replik an seinen Anträgen fest.
Mit Verfügung vom 13. Juli 2017 hat der Präsident der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung das Gesuch um aufschiebende Wirkung abgewiesen.

Erwägungen:
1.
1.1. Angefochten ist ein kantonal letztinstanzlicher Endentscheid über einen Führerausweisentzug. Dagegen steht die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten nach <ref-law> offen; ein Ausnahmegrund im Sinne von <ref-law> liegt nicht vor. Da auch die übrigen Sachurteilsvoraussetzungen zu keinen Bemerkungen Anlass geben, ist auf die Beschwerde grundsätzlich einzutreten.
1.2. Mit der Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann insbesondere die Verletzung von Bundesrecht gerügt werden (<ref-law>). Dieses wendet das Bundesgericht grundsätzlich von Amtes wegen an (<ref-law>). Gemäss <ref-law> ist in der Begründung in gedrängter Form darzulegen, inwiefern der angefochtene Akt Recht verletzt. Der Beschwerdeführer muss sich wenigstens kurz mit den Erwägungen des angefochtenen Entscheids auseinandersetzen. Strengere Anforderungen gelten, wenn eine Verletzung von Grundrechten geltend gemacht wird. Dies prüft das Bundesgericht grundsätzlich nur insoweit, als eine solche Rüge in der Beschwerde vorgebracht und begründet worden ist (<ref-law>; <ref-ruling> E. 2.4 S. 367 f.; <ref-ruling> E. 1.5 S. 144).
Der Beschwerdeführer bringt im vorliegenden Verfahren erneut vor, das Schreiben vom 6. Juli 2016, in dem ihm ein Führerausweisentzug von acht Monaten angekündigt worden war, stelle einen formell rechtskräftigen Entscheid dar, welcher den Erlass einer Verfügung des Strassenverkehrsamts mit einer längeren Entzugsdauer ausschliesse. Dabei unterlässt er es aber, sich in einer den Begründungsanforderungen genügenden Weise mit den einschlägigen Erwägungen im angefochtenen Entscheid auseinanderzusetzen. Darin gelangte die Vorinstanz unter Bezugnahme auf das bundesgerichtliche Urteil 1C_557/2016 vom 24. März 2017 zum Schluss, das Schreiben vom 6. Juli 2016 stelle keinen Entscheid dar, dem Verfügungscharakter zukomme, weshalb es dem Strassenverkehrsamt nicht verwehrt gewesen sei, unter Wahrung der Verfahrensrechte darauf zurückzukommen (vgl. E. 2 des angefochtenen Entscheids). Auf die Beschwerde ist insoweit nicht einzutreten.
2.
Streitig ist, ob die Vorinstanz das Verhalten des Beschwerdeführers zu Recht als schwere Widerhandlung im Sinne von <ref-law> erachtete. Der Beschwerdeführer wendet dagegen ein, er habe weder vorsätzlich noch fahrlässig gegen die Strassenverkehrsvorschriften verstossen. Aufgrund eines plötzlich aufgetretenen Unwohlseins mit schweren Magenkrämpfen, Übelkeit und Durchfall sei er in eine akute Notlage bzw. in starke Bedrängnis geraten, weshalb er beschleunigt und die vor ihm fahrenden Motorfahrzeugführer überholt habe, um sich so schnell wie möglich bei einem abseits der Hauptstrasse gelegenen Transformatorenhäuschen Erleichterung verschaffen zu können.
2.1. Das Gesetz unterscheidet zwischen der leichten, mittelschweren und schweren Widerhandlung (Art. 16a-c SVG). Gemäss <ref-law> begeht eine schwere Widerhandlung, wer durch grobe Verletzung von Verkehrsregeln eine ernstliche Gefahr für die Sicherheit anderer hervorruft oder in Kauf nimmt (Abs. 1 lit. a). Die Annahme einer schweren Widerhandlung setzt kumulativ eine qualifizierte objektive Gefährdung und ein qualifiziertes Verschulden voraus. In objektiver Hinsicht wird verlangt, dass die Verkehrssicherheit ernsthaft gefährdet wurde. Dabei genügt nach der Rechtsprechung eine erhöhte abstrakte Gefährdung, die vorliegt, wenn in Anbetracht der jeweiligen Verhältnisse des Einzelfalls der Eintritt einer konkreten Gefährdung oder gar einer Verletzung nahe liegt. Subjektiv erfordert der Tatbestand der groben Verkehrsregelverletzung ein rücksichtsloses oder sonst schwerwiegend verkehrswidriges Verhalten, d.h. ein schweres Verschulden, bei fahrlässiger Begehung grobe Fahrlässigkeit (<ref-ruling> E. 3.2 S. 136 mit Hinweisen; Urteile 1C_588/2015 vom 14. April 2016 E. 2.2; 1C_3/2015 vom 26. August 2015 E. 4.2). Nach einer schweren Widerhandlung wird der Führerausweis für unbestimmte Zeit, mindestens aber für zwei Jahre entzogen, wenn in den vorangegangenen zehn Jahren der Ausweis zweimal wegen schweren Widerhandlungen oder dreimal wegen mindestens mittelschweren Widerhandlungen entzogen war (<ref-law>).
2.2. Nach <ref-law> hat der Lenker sein Fahrzeug ständig so zu beherrschen, dass er seinen Vorsichtspflichten nachkommen kann. Er muss jederzeit in der Lage sein, auf die jeweils erforderliche Weise auf das Fahrzeug einzuwirken und auf jede Gefahr ohne Zeitverlust zweckmässig zu reagieren. Er muss seine Aufmerksamkeit der Strasse und dem Verkehr zuwenden (Art. 3 Abs. 1 der Verkehrsregelnverordnung [VRV; SR 741.11]). Gemäss Art. 4a Abs. 1 lit. b VRV beträgt die allgemeine Höchstgeschwindigkeit für Fahrzeuge unter günstigen Strassen-, Verkehrs- und Sichtverhältnissen 80 km/h ausserhalb von Ortschaften, ausgenommen auf Autostrassen und -bahnen. Eine Überschreitung der zulässigen Höchstgeschwindigkeit im Ausserortsbereich um 30 km/h oder mehr stellt nach der bundesgerichtlichen Rechtsprechung grundsätzlich eine schwere Widerhandlung gegen die Strassenverkehrsvorschriften dar, und zwar auch bei ansonsten günstigen objektiven und subjektiven Umständen des konkreten Einzelfalles (<ref-ruling> E. 3.1 S. 237 f.; Urteile 1C_581/2016 vom 9. März 2017 E. 3; 1C_280/2015 vom 2. Dezember 2015 E. 3.2; 1C_384/2011 vom 7. Februar 2012 E. 2.4.2).
2.3. Der Beschwerdeführer hat durch sein Verhalten die vorgenannten Verkehrsregeln verletzt. Er räumt denn auch selbst ein, bei einer Geschwindigkeitsüberschreitung von 44 km/h im Ausserortsbereich eine schwere Widerhandlung gegen die Strassenverkehrsvorschriften begangen zu haben. Dabei bestreitet er die Würdigung der Vorinstanz nicht, wonach mindestens eine erhöhte abstrakte Gefährdung für die anderen Verkehrsteilnehmer bestanden habe. Zwar kann ihm grundsätzlich nicht zum Vorwurf gereichen, dass er in einer Situation plötzlichen Unwohlseins von verschiedenen möglichen Massnahmen nicht diejenige ergreift, die sich im Nachhinein aus objektiver Sicht als die angemessenste Reaktion erweist (vgl. <ref-ruling> E. 5 S. 254 f.). Indes ist nicht jedes unzweckmässige Handeln entschuldbar. Das Bundesgericht verlangt, dass die ergriffene Massnahme und diejenige, welche ex post als die zweckmässigere erscheint, annähernd gleichwertig sein müssen und dass der Fahrzeugführer deren unterschiedliche Wirksamkeit nur deshalb nicht erkannte, weil die plötzlich eingetretene Situation eine augenblickliche Entscheidung erforderte. Wo eine Vorkehr im Vergleich zu andern sich aber derart aufdrängt, dass sie auch im Falle der Notwendigkeit sehr rascher Reaktion als die näherliegende und angemessenere erkannt werden kann, ist es als Fehler anzurechnen, wenn trotzdem eine weniger geeignete getroffen wird (<ref-ruling> f.; Urteile 1C_656/2015 vom 8. April 2016 E. 2.3; 1C_361/2014 vom 26. Januar 2015 E. 3.1; je mit Hinweisen).
Aus dieser Rechtsprechung erhellt für den hier zu beurteilenden Fall, dass entgegen der Auffassung des Beschwerdeführers im Falle plötzlichen Unwohlseins eine erhebliche Beschleunigung des Personenwagens und das Überholen mehrerer Fahrzeuge bei einer Geschwindigkeit von 124 km/h auf einer Kantonsstrasse, um sich so schnell wie möglich bei einem abseits gelegenen Transformatorenhäuschen erleichtern zu können, nicht als zweckmässige und in der Situation gebotene Reaktion erscheint. Nicht nur schuf der Beschwerdeführer durch die übersetzte Geschwindigkeit und das Überholmanöver eine grosse Gefahr für die Verkehrssicherheit. Aufgrund seines angeschlagenen Gesundheitszustands mit schweren Magenkrämpfen, starker Übelkeit, Brechreiz und Durchfall ist ausserdem davon auszugehen, dass seine Fähigkeit, der Strasse und dem Verkehr die gebotene Aufmerksamkeit zukommen zu lassen sowie den Vorsichtspflichten als Motorfahrzeugführer gebührend nachzukommen, massgeblich eingeschränkt war. Insoweit stellte er für die anderen Verkehrsteilnehmer ein erhebliches Risiko dar. Der Vorinstanz ist daher darin beizupflichten, dass vom Beschwerdeführer hätte erwartet werden dürfen, dass er die Fahrgeschwindigkeit reduziert und den Personenwagen zum Stillstand bringt, um sich anschliessend von seinem Unwohlsein zu erholen. Diese Vorgehensweise drängte sich aufgrund der Umstände auf und konnte vom Beschwerdeführer auch bei der erforderlichen raschen Reaktion ohne Weiteres als die angemessenere erfasst werden. Inwiefern diesbezüglich eine offensichtlich unrichtige Sachverhaltsfeststellung vorliegen soll, ist nicht ersichtlich. So ergibt sich aus den dem Bericht der Tessiner Kantonspolizei vom 19. August 2014 beigefügten sowie aus den vom Beschwerdeführer ins Recht gelegten Fotografien, dass sich auf der rechten Seite zwischen der Fahrbahn und dem Zaun ein schmaler Grünstreifen befand, der zumindest ein teilweises Ausscheren erlaubt hätte. Ausserdem räumt der Beschwerdeführer selbst ein, auf der linken Seite habe sich ein offener Platz mit Holzstapeln befunden. Auch wenn dieser nicht die von ihm gewünschte Rückzugsmöglichkeit bot, hätte der Beschwerdeführer dort - wie bereits vom Bundesgericht im Urteil 6B_231/2016 vom 21. Juni 2016 in E. 2.3 festgestellt - problemlos anhalten können. Mithin erweist sich das Verhalten des Beschwerdeführers in der von ihm als Notstand bzw. schwere Bedrängnis bezeichneten Situation plötzlichen Unwohlseins nicht als entschuldbar.
2.4. Unbegründet ist sodann der in diesem Zusammenhang sinngemäss erhobene Einwand, die Vorinstanz habe ihre Begründungspflicht verletzt. Soweit der Beschwerdeführer damit überhaupt seiner Substanziierungspflicht zu genügen vermag (vgl. E. 1.2 hiervor), findet sein Vorbringen keine Stütze im angefochtenen Entscheid. Die Vorinstanz legt darin mit genügender Klarheit dar, weshalb sie die vom Beschwerdeführer geltend gemachte Notsituation, in der er rasch eine Lösung habe finden müssen, nicht als Rechtfertigungs- bzw. Schuldausschlussgrund anerkannte. Der Beschwerdeführer war daher ohne Weiteres in der Lage, den kantonsgerichtlichen Entscheid sachgerecht anzufechten. Dass die Vorinstanz seiner Argumentation nicht gefolgt ist, verletzt das rechtliche Gehör nicht.
2.5. Überdies ist das dem Beschwerdeführer angelastete Verschulden aufgrund seines Verhaltens als schwer einzustufen. Zwar kann es als natürliche Reaktion gewertet werden, wenn er sich in einer Situation plötzlichen Unwohlseins mit starker Übelkeit, Brechreiz und Durchfall so rasch als möglich Erleichterung verschaffen wollte. Wenn er dabei jedoch anstatt anzuhalten auf eine Geschwindigkeit von 124 km/h beschleunigt und ein Überholmanöver in einem Zustand vornimmt, in dem er seine Aufmerksamkeit aufgrund seiner erheblichen Beschwerden nur beschränkt der Strasse und dem Verkehr zukommen lassen kann, so liegt ein schwerwiegend verkehrswidriges Verhalten, mithin ein qualifiziertes Verschulden, vor.
2.6. Nach dem Gesagten hält die Würdigung der Vorinstanz, das Fehlverhalten des Beschwerdeführers sei als schwere Widerhandlung gemäss <ref-law> zu qualifizieren, vor Bundesrecht und insbesondere dem Willkürverbot bzw. dem Rechtsgleichheitsgebot stand.
3.
Das Kantonsgericht bestätigte mithin den vom Strassenverkehrsamt verfügten Führerausweisentzug auf unbestimmte Zeit, mindestens aber für zwei Jahre, zu Recht (<ref-law>), zumal dem Beschwerdeführer in den vorangegangenen zehn Jahren der Führerausweis unbestrittenermassen dreimal wegen mindestens einer mittelschweren Widerhandlung entzogen worden war. Der von diesem angerufene <ref-law>, der bei Führerausweisentzügen wegen fehlender Fahreignung zur Anwendung gelangt, erweist sich nicht als einschlägig. Die von <ref-law> vorgesehene gesetzliche Mindestentzugsdauer wurde vorliegend voll nach unten ausgeschöpft, womit insbesondere der beruflichen Notwendigkeit des Führens eines Motorfahrzeugs angemessen Rechnung getragen worden ist (<ref-law>). Da die Mindestentzugsdauer von Gesetzes wegen nicht unterschritten werden darf (<ref-law>; Urteil 1C_542/2016 vom 15. März 2017 E. 2.6), erweist sich der Einwand des Beschwerdeführers, die verfügte Entzugsdauer sei angesichts der besonderen Umstände des Einzelfalls unverhältnismässig und müsse auf sechs Monate reduziert werden, als unbehelflich. Dem Kantonsgericht kann mithin keine Bundesrechtswidrigkeit und insbesondere kein Verstoss gegen das Willkürverbot, das Rechtsgleichheitsgebot oder das Verhältnismässigkeitsprinzip vorgeworfen werden. Ebenso wenig kann ihm eine Gehörsverletzung angelastet werden, hat es doch die wesentlichen Einwände des Beschwerdeführers gewürdigt (vgl. E. 4 des angefochtenen Entscheids) und war es aufgrund des Verbots der Unterschreitung der Mindestentzugsdauer nicht gehalten, auf jeden einzelnen Parteistandpunkt einlässlich einzugehen. Ebenso fällt mangels Rechtswidrigkeit des Entscheids dessen Nichtigerklärung ausser Betracht.
4.
Die Beschwerde erweist sich demnach als unbegründet und ist abzuweisen, soweit darauf einzutreten ist. Bei diesem Verfahrensausgang wird der Beschwerdeführer kostenpflichtig (<ref-law>). Eine Parteientschädigung ist nicht zuzusprechen (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 3'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer, dem Strassenverkehrsamt des Kantons Luzern, dem Kantonsgericht Luzern, 4. Abteilung, Einzelrichter, und dem Bundesamt für Strassen, Sekretariat Administrativmassnahmen, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 2. Oktober 2017
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Merkli
Die Gerichtsschreiberin: Pedretti