Erwägungen:
1.
Am 10. Februar 2016 teilte die Kantonsschule X._ A. und B.A._ mit, ihr Sohn C.A._ (geb. 2002) habe die Probezeit in einer 1. Gymnasialklasse nicht bestanden und könne deshalb bei ihr nicht aufgenommen werden. Hiergegen rekurrierten A. und B.A._ bei der Bildungsdirektion des Kantons Zürich, welche das Rechtsmittel am 5. April 2016 abwies. Hiergegen gelangte der Sohn C.A._, vertreten durch einen Rechtsanwalt, in eigenem Namen mittels Beschwerde an das Verwaltungsgericht des Kantons Zürich. Dieses trat mit Verfügung vom 23. Mai 2016 auf das Rechtsmittel nicht ein, da der Sohn C.A._ am bisherigen Verfahren nicht teilgenommen habe und er somit nicht formell beschwert sei.
Mit Eingabe vom 23. Juni 2016 erhebt C.A._ Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten und subsidiäre Verfassungsbeschwerde beim Bundesgericht. Er beantragt seine Aufnahme an der Kantonsschule X._. Eventualiter sei die Sache zur Beurteilung an die Vorinstanz zurückzuweisen. Während das Verwaltungsgericht des Kantons Zürich auf Vernehmlassung verzichtet, schliessen die Bildungsdirektion des Kantons Zürich sowie die Kantonsschule X._ auf Abweisung der Beschwerden.
2.
Der Beschwerdeschrift ist zu entnehmen, dass der Beschwerdeführer materiell seine zu tiefe Benotung zufolge angeblicher Diskriminierung beanstandet. Betreffend Entscheide über das Ergebnis von Prüfungen und anderen Fähigkeitsbewertungen, namentlich solcher von Schulen, ist die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten jedoch ausgeschlossen, so dass darauf nicht eingetreten werden kann. Zu beurteilen bleibt die Eingabe des Beschwerdeführers vorliegend einzig unter dem Gesichtspunkt der subsidiären Verfassungsbeschwerde. Mit dieser kann nur dieVerletzungvonverfassungsmässigenRechten gerügt werden (<ref-law>). Da sich der Entscheid des Verwaltungsgerichts auf das Nichteintreten mangels Beschwer beschränkte, ist eine Anfechtung vor Bundesgericht ebenfalls nur in diesem Umfang möglich; eine Erweiterung des Streitgegenstandes ist unzulässig. Dies führt dazu, dass auf den Hauptantrag des Beschwerdeführers auf Aufnahme an der Kantonsschule X._ auch im Rahmen der subsidiären Verfassungsbeschwerde nicht eingetreten werden kann. Zu prüfen ist lediglich der Eventualantrag auf Rückweisung der Angelegenheit zur (materiellen) Beurteilung.
3.
In diesem Zusammenhang rügt der Beschwerdeführer - jedenfalls sinngemäss -eine Verletzung des Anspruchs auf gleiche und gerechte Behandlung (<ref-law>), indem er der Vorinstanz überspitzten Formalismus vorwirft.
3.1. In sachverhaltlicher Hinsicht durfte die Vorinstanz willkürfrei davon ausgehen, dass im Verfahren vor der kantonalen Bildungsdirektion ausschliesslich die Eltern des heutigen Beschwerdeführers als Rekurrenten auftraten, zumal die Rekursschrift vom 16. Februar 2015 [recte: 2016] nur von ihnen verfasst und unterschrieben wurde (vgl. act. 1 der Vorakten der Bildungsdirektion) und auch der Rekursentscheid vom 5. April 2016 ausdrücklich die Eltern des Beschwerdeführers als Rekurrierende bezeichnet (vgl. act. 6 der Vorakten der Bildungsdirektion). Ebenso ist festzuhalten, dass dieser Umstand für den Rechtsvertreter des Beschwerdeführers erkennbar gewesen ist, und es diesem daher möglich gewesen wäre, auch seine Beschwerde ans Verwaltungsgericht im Namen der Eltern einzureichen.
3.2. Das Vorhandensein der formellen Beschwer ist ein zentrales Element für die Zulässigkeit eines Rechtsmittels und Voraussetzung für einen geordneten Prozessgang: Es muss klar erkennbar sein, wer als Rechtssuchender auftritt. Insofern kann keine Rede davon sein, dass das Festhalten am Erfordernis der formellen Beschwer grundsätzlich als überspitzt formalistisch erscheinen würde. Im Übrigen ist darauf hinzuweisen, dass das gleiche Erfordernis auch im bundesgerichtlichen Verfahren gilt (<ref-law>).
3.3. Dennoch erweist sich die Beschwerde im hier vorliegenden Einzelfall als begründet: Auch wenn der Rekurs bei der Bildungsdirektion nach dem Ausgeführten formell von den Eltern des Beschwerdeführers eingereicht wurde, so erhellt doch ohne Weiteres, dass dies zur Wahrung der Interessen des Sohnes erfolgt ist und die Eltern diesbezüglich in ihrer Eigenschaft als gesetzliche Vertreter des unmündigen Sohnes agierten. Dass die Eltern ein unabhängiges, eigenes Interesse an der Prozessführung vor der Bildungsdirektion gehabt hätten, wird weder von der Vorinstanz aufgezeigt noch wäre dies sonstwie ersichtlich. Sowohl im Rekurs- als auch im darauffolgenden kantonalen Beschwerdeverfahren ging es (einzig) um die Wahrung der Interessen des Sohnes. Dass somit vielmehr von einer kongruenten Interessenlage auszugehen ist, ergibt sich vorliegend aus dem Umstand, dass auch die im verwaltungsgerichtlichen Beschwerdeverfahren eingereichte Vollmacht des Beschwerdeführers von seinen Eltern unterschrieben war. Obwohl die Parteibezeichnungen im Rekurs- und im kantonalen Beschwerdeverfahren formell betrachtet tatsächlich nicht übereinstimmten, erscheint es bei dieser spezifischen Sachlage insgesamt gleichwohl als überspitzt formalistisch, wenn das Verwaltungsgericht deshalb die Legitimation des Sohnes verneint und auf seine Beschwerde nicht eintritt.
4.
Nach dem Ausgeführten ist die Verfassungsbeschwerde gutzuheissen, soweit darauf einzutreten ist. Die Angelegenheit ist zur materiellen Beurteilung an die Vorinstanz zurückzuweisen.
Bei diesem Verfahrensausgang werden keine Kosten erhoben (<ref-law>). Der Kanton Zürich hat den Beschwerdeführer indes für das bundesgerichtliche Verfahren zu entschädigen (<ref-law>). Damit wird das Gesuch des Beschwerdeführers um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung gegenstandslos.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die subsidiäre Verfassungsbeschwerde wird gutgeheissen, soweit darauf einzutreten ist. Die Angelegenheit wird zur materiellen Beurteilung an das Verwaltungsgericht des Kantons Zürich zurückgewiesen.
2.
Auf die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten wird nicht eingetreten.
3.
Es werden keine Gerichtskosten erhoben.
4.
Der Kanton Zürich hat den Beschwerdeführer für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 1'000.-- zu entschädigen.
5.
Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten und dem Verwaltungsgericht des Kantons Zürich, Einzelrichter der 4. Abteilung, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 14. November 2016
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Seiler
Der Gerichtsschreiber: Zähndler