Sachverhalt:
A.
A.a. B.C._ (Beschwerdegegnerin) und A.C._ (Beschwerdeführer) heirateten am 10. Dezember 1982. Am 19. Dezember 2014 klagte A.C._ vor dem Kantonsgericht Zug auf Scheidung der Ehe. Mit Entscheid vom 8. Juni 2015 trat das Gericht mangels örtlicher Zuständigkeit auf die Klage nicht ein; A.C._ habe nicht in Zug Wohnsitz. Eine hiergegen von A.C._ eingereichte Berufung wies das Obergericht des Kantons Zug mit Urteil vom 7. Dezember 2015 ab, soweit es darauf eintrat. Dieses Urteil ist unangefochten in Rechtskraft erwachsen.
A.b. Mit Klage vom 22. Dezember 2016 ersuchte A.C._ das Kantonsgericht Zug erneut um Scheidung der Ehe. Das Kantonsgericht trat mit Entscheid vom 17. Mai 2017 auch auf diese Klage nicht ein. Zur Begründung führte es im Wesentlichen aus, über die örtliche Zuständigkeit des Gerichts sei bereits rechtskräftig entschieden und die tatsächlichen Verhältnisse hätten sich seit dem ersten Urteil nicht verändert.
B.
Gegen diesen Entscheid reichte A.C._ am 21. Juni 2017 Berufung beim Obergericht des Kantons Zug ein. Soweit hier interessierend beantragte er, es sei die Zuständigkeit des Kantonsgerichts festzustellen und die Sache zum Entscheid über die Scheidung an dieses zu verweisen. Mit Präsidialverfügung vom 27. Juni 2017 (eröffnet am 29. Juni 2017) trat das Obergericht auf die Berufung nicht ein.
C.
Mit Beschwerde vom 31. Juli 2017 gelangt A.C._ an das Bundesgericht. Er beantragt die Aufhebung des Entscheids des Obergerichts vom 27. Juni 2017 und die Rückweisung der Sache zur materiellen Behandlung der Scheidungsklage an das Obergericht. Ausserdem ersucht er um Feststellung, dass sich sein ordentlicher Wohnsitz im Kanton Zug befinde, und dass er "die Frist" eingehalten habe.
Am 15. August 2017 hat der Beschwerdeführer weitere Unterlagen eingereicht.
Das Bundesgericht hat die Akten des kantonalen Verfahrens, indessen keine Vernehmlassungen eingeholt.

Erwägungen:
1.
1.1. Die Beschwerde richtet sich gegen einen Endentscheid (<ref-law>) einer letzten kantonalen Instanz, die als oberes Gericht (<ref-law>) über eine Klage auf Ehescheidung und damit eine nicht vermögensrechtliche Zivilsache nach <ref-law> entschieden hat. Damit ist die Beschwerde in Zivilsachen das zutreffende Rechtsmittel. Der Beschwerdeführer ist grundsätzlich nach <ref-law> zur Beschwerde berechtigt und er hat diese fristgerecht erhoben (Art. 100 Abs. 1 und Art. 46 Abs. 1 Bst. b BGG). Auf die Beschwerde ist unter Vorbehalt der nachfolgenden Ausführungen einzutreten.
1.2. Kein schutzwürdiges Interesse an der Beschwerdeführung besteht allerdings insoweit, als der Beschwerdeführer die Feststellung beantragt, er habe im Kanton Zug Wohnsitz (Art. 76 Abs. 1 Bst. b BGG) : Wie sich der Beschwerdebegründung entnehmen lässt, will er mit diesem Antrag letztlich erreichen, dass die Erstinstanz auf die Scheidungsklage eintritt. Hierzu bedarf es keiner gesonderter Feststellung des Wohnsitzes (vgl. zum sog. Feststellungsinteresse <ref-ruling> E. 1.1; Urteil 5A_928/2016 vom 22. Juni 2017 E. 1.2).
1.3. Der Beschwerdeführer beantragt vor Bundesgericht unter anderem die Feststellung, dass er "die Frist" eingehalten habe. Die Tragweite dieses Antrags bleibt auch unter Beizug der Beschwerdebegründung, in welcher der Beschwerdeführer sich hierzu nicht äussert, unklar; es ist nicht ersichtlich, auf welche Frist sich der Antrag bezieht. Auf die Beschwerde ist auch insoweit nicht einzutreten (vgl. Urteil 5A_464/2015 vom 6. November 2015 E. 4.2).
2.
Das Kantonsgericht verneinte seine örtliche Zuständigkeit zur Behandlung der Scheidungsklage vom 22. Dezember 2016 und trat auf diese nicht ein (vorne Bst. A.b). Die Vorinstanz hat zwar angedeutet, dass dies ihrer Einschätzung nach nicht zu beanstanden sein dürfte. Auf die Berufung vom 21. Juni 2017 trat sie aber deshalb nicht ein, weil diese den Begründungsanforderungen von <ref-law> nicht genüge. Ausgehend von diesem Anfechtungsobjekt ist Streitgegenstand im bundesgerichtlichen Verfahren einzig die Frage, ob das Obergericht zu Recht auf die Berufung nicht eingetreten ist (vgl. <ref-ruling> E. 3.2; Urteil 5A_243/2016 vom 12. Juni 2017 E. 3.2, zur Publikation vorgesehen; allgemein zum Streitgegenstand vgl. <ref-ruling> E. 4.4.2; <ref-ruling> E. 5, 457 E. 4.2). Dies verkennt der Beschwerdeführer, wenn er vorbringt, er habe Wohnsitz im Kanton Zug und die Erstinstanz hätte die Scheidungsklage an die Hand nehmen müssen. Auf die Beschwerde ist insoweit nicht einzutreten.
3.
3.1. Das Berufungsverfahren ist als eigenständiges Verfahren ausgestaltet. Es dient nicht der Vervollständigung des vorinstanzlichen Verfahrens, sondern der Überprüfung und Korrektur des erstinstanzlichen Entscheids im Lichte konkret dagegen vorgebrachter Beanstandungen (<ref-ruling> E. 2.2.2 mit Hinweisen). Entsprechend ist die Berufung nach <ref-law> begründet einzureichen. Dies gilt auch dann, wenn das Verfahren wie hier dem Untersuchungsgrundsatz unterliegt (<ref-law>; vgl. Urteil 5A_206/2016 vom 1. Juni 2016 E. 4.2.1 mit Hinweisen). Der Berufungskläger muss aufzeigen, inwiefern er den angefochtenen Entscheid als fehlerhaft erachtet. Um dieser Pflicht nachzukommen genügt es nicht, wenn er auf seine Vorbringen vor der ersten Instanz verweist oder den angefochtenen Entscheid in allgemeiner Art und Weise kritisiert. Vielmehr muss der Berufungskläger im Einzelnen die vorinstanzlichen Erwägungen bezeichnen, die er beanstandet, sich mit ihnen argumentativ auseinandersetzen und die Aktenstücke nennen, auf denen seine Kritik beruht. Die Begründung muss hinreichend explizit sein, dass sie von der Berufungsinstanz einfach nachvollzogen werden kann (vgl. zum Ganzen <ref-ruling> E. 4.3.1; Urteile 4A_142/2017 vom 3. August 2017 E. 3.1; 4A_397/2016 vom 30. November 2016 E. 3.1; 4A_580/2015 vom 11. April 2016 E. 2.2, nicht veröffentlicht in: <ref-ruling>).
3.2. Das Obergericht hielt fest, der Beschwerdeführer habe sich in der Berufung im Wesentlichen darauf beschränkt, seinen bereits im erstinstanzlichen Verfahren vorgebrachten Standpunkt zu wiederholen. Die Vorbringen seien pauschal und unsubstanziiert und der Beschwerdeführer setze sich nicht mit der Begründung des erstinstanzlichen Erkenntnisses auseinander. Vielmehr beharre er auf seinem Standpunkt, ohne substanziiert darzulegen, weshalb er seit dem ersten Scheidungsverfahren in Zug Wohnsitz begründet habe (vgl. dazu vorne Bst. A). Zugleich versäume es der Beschwerdeführer, konkret und nachvollziehbar darzulegen, inwiefern die Vorinstanz den Sachverhalt falsch festgestellt oder das Recht falsch angewendet habe.
3.3. Der Beschwerdeführer bestreitet nicht, im vorinstanzlichen Verfahren im Wesentlichen seine vor der Erstinstanz vorgebrachten Standpunkte wiederholt zu haben. Zwar verwahrt er sich gegen den Vorwurf, sich in der Berufungsschrift bloss pauschal und unsubstanziiert geäussert zu haben. Er legt jedoch nicht überzeugend dar, dass er sich in einer der Begründungspflicht genügenden Art und Weise mit dem erstinstanzlichen Urteil auseinandergesetzt hat. Insoweit hilft ihm der Hinweis nicht, er habe dem Kantonsgericht umfangreiche Akten eingereicht. Dieses Vorbringen betrifft das erstinstanzliche Verfahren und geht daher von vornherein an der Sache vorbei. Unbehelflich ist es weiter, wenn der Beschwerdeführer beanstandet, das Obergericht habe seine Verweise auf die erstinstanzlichen Vorbringen nicht beachtet. Wie in E. 3.1 hiervor ausgeführt, genügen solche Hinweis nicht, um der Begründungspflicht nachzukommen. Hieran ändert nichts, dass das Obergericht in der Begründung seines Entscheids seinerseits auf den erstinstanzlichen Entscheid verweisen durfte (vgl. dazu Urteil 5A_369/2016 vom 27. Januar 2017 E. 3.1 mit Hinweisen). Wenig hilfreich ist schliesslich der Hinweis des Beschwerdeführers, er habe die Eingabe an das Obergericht in deutscher Sprache verfasst. Allein damit vermag er nicht darzutun, dass er hinreichend klar dargelegt hat, weshalb er mit dem Entscheid des Kantonsgerichts nicht einverstanden ist. Das Obergericht konnte damit ohne Verletzung von <ref-law> auf die Berufung nicht eintreten. Unter diesen Umständen kann ihm entgegen dem Beschwerdeführer auch kein überspitzter Formalismus (<ref-law>) vorgeworfen werden (vgl. <ref-ruling> E. 2.4.2; Urteil 5A_466/2016 vom 12. April 2017 E. 2.3; allgemein zum überspitzten Formalismus vgl. <ref-ruling> E. 4.2 mit Hinweisen). Damit erweist sich die Beschwerde als unbegründet.
4.
Nach dem Ausgeführten ist die Beschwerde abzuweisen, soweit darauf einzutreten ist. Bei diesem Ausgang des Verfahrens hat der unterliegende Beschwerdeführer die Gerichtskosten zu tragen (<ref-law>). Parteientschädigungen sind keine zuzusprechen; da keine Vernehmlassungen eingeholt wurden, sind keine entschädigungspflichtigen Parteikosten angefallen, und der Kanton Zug hat keinen Anspruch auf Kostenersatz (Art. 68 Abs. 1 und 3 BGG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf eingetreten wird.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 1'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3.
Parteientschädigungen werden keine zugesprochen.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Zug, I. Zivilabteilung, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 19. Oktober 2017
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: von Werdt
Der Gerichtsschreiber: Sieber