Sachverhalt:
A.
Das Strafgericht des Kantons Basel-Stadt sprach A._ am 9. Juni 2016 der mehrfachen versuchten vorsätzlichen Tötung, der Gefährdung des Lebens, des Raufhandels und des mehrfachen Vergehens gegen das Waffengesetz schuldig und verurteilte ihn zu fünfeinhalb Jahren Freiheitsstrafe. Gegen dieses Urteil hat A._ Berufung angemeldet.
Der Vorfall, der zur Verurteilung führte, hatte sich am 17. Oktober 2015 ereignet. Am 26. Oktober 2015 versetzte das Zwangsmassnahmengericht des Kantons Basel-Stadt A._ in Untersuchungshaft. Die Untersuchungs- bzw. Sicherheitshaft wurde seither mehrfach verlängert, letztmals mit Beschluss des Strafgerichts vom 9. Juni 2016 bis zum 1. September 2016. Am 13. Juni 2016 bewilligte die Verfahrensleitung des Strafgerichts den vorzeitigen Strafvollzug.
Gegen den Beschluss des Strafgerichts vom 9. Juni 2016 erhob A._ Beschwerde ans Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt. Mit Entscheid vom 20. Juni 2016 wies dieses die Beschwerde ab.
B.
Mit Beschwerde in Strafsachen vom 1. Juli 2016 ans Bundesgericht beantragt A._, der Entscheid des Appellationsgerichts sei aufzuheben und er selbst sei umgehend aus der Haft zu entlassen.
Die Staatsanwaltschaft und das Appellationsgericht beantragen die Abweisung der Beschwerde. Der Beschwerdeführer hat eine Replik eingereicht.

Erwägungen:
1.
Der angefochtene Entscheid betrifft die Entlassung aus dem vorzeitigen Strafvollzug. Dagegen ist die Beschwerde in Strafsachen nach <ref-law> gegeben. Der Beschwerdeführer ist nach <ref-law> zur Beschwerde berechtigt. Auf sein Rechtsmittel ist einzutreten.
2.
2.1. Dass sich der Beschwerdeführer im vorzeitigen Strafvollzug befindet, hindert ihn nicht daran, ein Gesuch um Haftentlassung zu stellen. Auf Gesuch um Entlassung aus dem vorzeitigen Strafvollzug hin ist zu prüfen, ob die Haftvoraussetzungen gegeben sind (<ref-ruling> E. 4.1 f. S. 194; Urteil 1B_254/2014 vom 29. Juli 2014 E. 2.1; je mit Hinweisen).
2.2. Nach <ref-law> sind Untersuchungs- und Sicherheitshaft unter anderem zulässig, wenn die beschuldigte Person eines Verbrechens oder Vergehens dringend verdächtig ist und ernsthaft zu befürchten ist, dass sie sich durch Flucht dem Strafverfahren oder der zu erwartenden Sanktion entzieht (Abs. 1 lit. a). An ihrer Stelle sind Ersatzmassnahmen anzuordnen, wenn sie den gleichen Zweck wie die Haft erfüllen (Art. 212 Abs. 2 lit. c und Art. 237 ff. StPO).
2.3. Der Beschwerdeführer bestreitet das Vorliegen eines dringenden Tatverdachts nicht. Er ist jedoch der Auffassung, dass keine Fluchtgefahr bestehe bzw. dass einer allfälligen Fluchtgefahr mit Ersatzmassnahmen begegnet werden könnte.
3.
3.1. Das Appellationsgericht erwog, es sei davon auszugehen, dass sich der Beschwerdeführer im Zuge seiner erstinstanzlichen Verurteilung der drohenden endgültigen Strafe bewusst geworden sei. Während bisher die Kollusionsgefahr im Vordergrund gestanden sei, sei es nun die Fluchtgefahr. Hinsichtlich der sozialen Situation des Beschwerdeführers sei festzuhalten, dass er 1991 in der Schweiz geboren, hier aufgewachsen und auch Schweizer Bürger sei, dass seine Eltern, seine Schwester, seine Freundin und sein vor kurzem geborenes Kind in der Schweiz lebten. Indessen befinde sich seine restliche Verwandtschaft, zu der er auch Kontakt pflege, in Bosnien und Serbien, wobei er auch die dortige Sprache spreche. Nach der ihm vorgeworfenen Tat sei er untergetaucht. Darin liege neben der Konkretisierung der Fluchtgefahr auch eine Relativierung der familiären Bindungen, sei doch seine Freundin schon im damaligen Zeitpunkt schwanger gewesen. Dass er sich sechs Tage später der Polizei gestellt habe, vermöge an dieser Einschätzung nichts zu ändern, sei er doch aufgrund seiner Sachverhaltsdarstellung damals davon ausgegangen, jedenfalls einer einschneidenden Sanktion zu entgehen. Er habe sich darauf berufen, von der eingesetzten Schusswaffe vorgängig nichts gewusst, auch während der Auseinandersetzung nicht mit deren Einsatz gerechnet und keinen Schiessbefehl erteilt zu haben. Mit diesem Ansinnen sei er vor der ersten Instanz jedoch gescheitert. Die aus diesen Gründen zu bejahende Fluchtgefahr könne durch eine Schriftensperre ebensowenig gebannt werden wie durch eine Sicherheitsleistung. Der Beschwerdeführer selbst sei mittellos, zudem habe er im Rahmen seines Antrags um amtliche Verteidigung darauf hingewiesen, dass seine Familie bisher für seine Verteidigung aufgekommen sei, was jedoch nun nicht mehr möglich sei.
3.2. Der Beschwerdeführer wirft der Vorinstanz eine Verletzung des Willkürverbots und des Grundsatzes von Treu und Glauben vor (<ref-law>). Er macht geltend, Fluchtgefahr sei bisher immer verneint worden, weil er sich freiwillig der Polizei gestellt habe, Schweizer sei, in der Schweiz aufgewachsen und verwurzelt sei, weil er Schweizerdeutsch spreche und hier arbeite. Die Annahme von Fluchtgefahr sei willkürlich, denn spätestens seit der Anklageschrift vom 24. Februar 2016 stehe fest, dass er wegen eines versuchten Tötungsdelikts angeklagt werde. Die plötzliche Umkehr von bisherigen Entscheiden bei genau gleicher Ausgangslage bedürfe einer besonders nachvollziehbaren Begründung. Die Vorinstanz habe insoweit darauf hingewiesen, dass nur ein besonderer Haftgrund angeführt werden müsse. Dem könne nicht gefolgt werden, wenn daraus auf andere Haftgründe geschlossen werden solle. Das Zwangsmassnahmengericht habe die Fluchtgefahr nicht ins Dispositiv aufgenommen und somit diesen Haftgrund klarerweise nicht angenommen. Gegen Fluchtgefahr spreche zudem, dass er Vater geworden sei und sich nun um seine Tochter kümmern wolle. Die Bindung an seine Tochter habe nach der mutmasslichen Tat noch nicht bestanden, sei jedoch entscheidend. Schliesslich komme als Ersatzmassnahme eine Schriftensperre oder eine Sicherheitsleistung durch Angehörige in Betracht.
3.3. Die Annahme von Fluchtgefahr setzt ernsthafte Anhaltspunkte dafür voraus, dass die beschuldigte Person sich dem Strafverfahren oder der zu erwartenden Sanktion durch Flucht entziehen könnte (<ref-law>). Im Vordergrund steht dabei eine mögliche Flucht ins Ausland, denkbar ist jedoch auch ein Untertauchen im Inland. Bei der Bewertung, ob Fluchtgefahr besteht, sind die gesamten konkreten Verhältnisse zu berücksichtigen. Es müssen Gründe bestehen, die eine Flucht nicht nur als möglich, sondern als wahrscheinlich erscheinen lassen. Die Schwere der drohenden Strafe ist zwar ein Indiz für Fluchtgefahr, genügt jedoch für sich allein nicht, um den Haftgrund zu bejahen (<ref-ruling> E. 3a S. 62 mit Hinweisen). Miteinzubeziehen sind die familiären und sozialen Bindungen, die berufliche und finanzielle Situation und die Kontakte zum Ausland. Selbst bei einer befürchteten Reise in ein Land, welches die beschuldigte Person grundsätzlich an die Schweiz ausliefern bzw. stellvertretend verfolgen könnte, ist die Annahme von Fluchtgefahr nicht ausgeschlossen (zum Ganzen: Urteile 1B_157/2015 vom 27. Mai 2015 E. 3.1; 1B_325/2014 vom 16. Oktober 2014 E. 3.1; je mit Hinweisen).
3.4. Wie der Beschwerdeführer zur Auffassung kommt, das Zwangsmassnahmengericht hätte bisher die Fluchtgefahr konstant verneint, ist aufgrund der Akten nicht nachvollziehbar. Selbst wenn dies zuträfe, könnte sich der Beschwerdeführer im Übrigen nicht auf den Vertrauensschutz berufen. Massgebend ist vorliegend einzig, ob im jetzigen Zeitpunkt die Fluchtgefahr bejaht werden kann. Die Rüge der Verletzung von <ref-law> ist insofern unbegründet.
3.5. Die erfolgte erstinstanzliche Verurteilung zu fünfeinhalb Jahren Freiheitsstrafe ist (auch in Berücksichtigung der bereits erstandenen Haft) als gewichtiges Fluchtindiz einzustufen (vgl. Urteil 1B_325/2014 vom 16. Oktober 2014 E. 3.3 mit Hinweisen). Nach den Feststellungen im angefochtenen Entscheid ist zudem davon auszugehen, dass der Beschwerdeführer zwar in der Schweiz gut verankert ist und nun eine Familie gegründet hat, jedoch auch den Kontakt zu seinen Verwandten in Bosnien und Serbien pflegt und bei einer Flucht dorthin keine sprachlichen Schwierigkeiten hätte. Hinzu kommt, dass er bereits einen Versuch unternommen hat, sich der Strafverfolgung zu entziehen, indem er nach der ihm vorgeworfenen Tat sechs Tage untertauchte. Zwar stellte er sich schliesslich selbst der Polizei, doch bleibt die Motivation dafür unklar. Der Hinweis der Vorinstanz, wonach der Beschwerdeführer damals wohl noch darauf vertraut habe, die Strafverfolgungsbehörden von seiner Darstellung des Tatverlaufs überzeugen zu können, ist nicht von der Hand zu weisen. Insgesamt ist die Fluchtgefahr deshalb zu bejahen.
Inwiefern der Fluchtgefahr mit Ersatzmassnahmen nach <ref-law> begegnet werden könnte, ist nicht ersichtlich. Eine Schriftensperre erscheint nicht als hinreichend wirksam, um die Flucht des Beschwerdeführers ins Ausland oder ein Untertauchen in der Schweiz zu verhindern. Auch eine Sicherheitsleistung ist unter den gegebenen Voraussetzungen kein wirksamer Ersatz für den Freiheitsentzug. Der Beschwerdeführer ist mittellos und macht keine Angaben, wie er eine Kaution erhältlich machen wollte (vgl. Urteil 1P.334/1998 vom 10. Juli 1998 E. 3d mit Hinweis; vgl. auch 1B_325/2014 vom 16. Oktober 2014 E. 3.5, wonach bei mittellosen Beschuldigten eine Haftkaution als wirksame Ersatzmassnahme grundsätzlich nicht in Frage kommt). Seine Kritik ist somit unbegründet.
4.
Die Beschwerde ist aus den genannten Erwägungen abzuweisen.
Der Beschwerdeführer stellt ein Gesuch um unentgeltliche Prozessführung und Rechtsverbeiständung. Da die gesetzlichen Voraussetzungen erfüllt sind, kann dem Gesuch entsprochen werden (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen.
2.
Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege wird gutgeheissen.
2.1. Es werden keine Kosten erhoben.
2.2. Rechtsanwalt Dr. Stefan Suter wird zum unentgeltlichen Rechtsbeistand ernannt und für das bundesgerichtliche Verfahren aus der Bundesgerichtskasse mit Fr. 1'000.-- entschädigt.
3.
Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer, der Staatsanwaltschaft und dem Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt, Einzelgericht, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 13. Juli 2016
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Fonjallaz
Der Gerichtsschreiber: Dold