Erwägungen:
1.
Am 22. März 2016 erhob A._ beim Verwaltungsgericht des Kantons Zürich Beschwerde gegen den Beschluss des Regierungsrats des Kantons Zürich vom 17. Februar 2016 betreffend Verletzung der Berufspflichten als Zahnarzt. Mit Verfügung des zuständigen Abteilungspräsidenten des Verwaltungsgerichts vom 1. April 2016 wurde er aufgefordert, innert einer Frist von 20 Tagen die ihn allenfalls treffenden Kosten des Verfahrens durch einen Vorschuss von einstweilen Fr. 2'500.-- sicherzustellen, ansonsten auf die Beschwerde nicht eingetreten würde. Gegen diese Zwischenverfügung erhob A._ am 4. Mai (Postaufgabe 6. Mai) 2016 Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten (Verfahren 2C_460/2016); am 19. Mai 2016 reichte er innert der ihm hierfür angesetzten Frist die angefochtene Verfügung nach.
Mit Verfügung des Einzelrichters vom 19. Mai 2016 trat das Verwaltungsgericht des Kantons Zürich auf die Beschwerde vom 22. März 2016 nicht ein, weil er den Kostenvorschuss innert der (am 26. April 2016 abgelaufenen) Zahlungsfrist nicht geleistet hatte. Am 23. Juni 2016 erhob A._ auch gegen diese Verfügung Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten (Verfahren 2C_592/2016). Wie in der ersten Beschwerde beantragt er, das Verwaltungsgericht sei zur bedingungslosen Annahme bzw. zum unbedingten Eintreten auf die Beschwerde vom 22. März 2016 zu verpflichten.
Da die Verfahrensbeteiligten in beiden Verfahren identisch sind und angesichts des engen Zusammenhangs zwischen Aufforderung zur Bezahlung eines Kostenvorschusses und dem Nichteintreten mangels Vorschussleistung, scheint es zweckmässig und geboten, die beiden Verfahren zu vereinigen (vgl. <ref-law> i. V. m. <ref-law>).
Es ist weder ein Schriftenwechsel noch sind andere Instruktionsmassnahmen angeordnet worden.
2.
Gemäss Art. 42 Abs. 1 und 2 BGG haben Rechtsschriften die Begehren und deren Begründung zu enthalten; in der Begründung ist in gedrängter Form darzulegen, inwiefern der angefochtene Akt schweizerisches Recht (<ref-law>) verletze. Die Begründung hat sachbezogen zu sein; die Beschwerde führende Partei hat in gezielter Auseinandersetzung mit den für das Ergebnis des angefochtenen Entscheids massgeblichen Erwägungen plausibel aufzuzeigen, welche Rechte bzw. Rechtsnormen die Vorinstanz verletzt haben soll (<ref-ruling> E. 2 S. 88 f. mit Hinweisen). Beruht der angefochtene Entscheid auf kantonalem Recht, kann weitgehend bloss die Verletzung verfassungsmässiger Rechte gerügt werden; entsprechende Rügen bedürfen gemäss <ref-law> spezifischer Geltendmachung und Begründung (<ref-ruling> E. 1.3 S. 41; <ref-ruling> E. 3.1 und 3.2 S. 227 f.; <ref-ruling> E. 1.3 S. 60 f.;<ref-ruling> E. 1.4.1 S. 53, 65 E. 1.3.1 S. 68, je mit Hinweisen).
Die angefochtenen Verfügungen stützen sich auf kantonales Recht, welches unter bestimmten Voraussetzungen die Erhebung eines Kostenvorschusses und bei dessen Nichtleistung das Nichteintreten auf die Rechtsvorkehr durch den Einzelrichter des Verwaltungsgerichts erlaubt (§§ 15 Abs. 2 lit. b und 38b Abs. 1 lit. a des Zürcher Verwaltungsrechtspflegegesetzes vom 24. Mai 1959 [VRG]). Der Beschwerdeführer behauptet in beiden Beschwerden, bei § 15 Abs. 2 lit. b VRG handle es sich um einen blossen "Drohparagraphen", der es dem Gericht bloss gestatte, eine Drohung auszusprechen, eine Legitimation zur tatsächlichen Nichtanhandnahme bzw. Verhandlungsverweigerung einer Beschwerde biete dieser Paragraph nicht. Inwiefern die Auslegung der fraglichen Norm durch das Verwaltungsgericht willkürlich sei, lässt sich den Ausführungen des Beschwerdeführers nicht entnehmen. Er macht indessen geltend, einer derartigen Gesetzeshandhabung stehe höheres Recht entgegen, nämlich Art. 29 und 30 BV sowie Art. 14 UNO-Pakt II. Inwiefern sich aus diesen Normen, ergeben soll, das Behandeln einer Rechtsvorkehr dürfe nicht von der Bezahlung eines Kostenvorschusses abhängig gemacht werden, bleibt unerfindlich und müsste vom Beschwerdeführer spezifisch aufgezeigt werden, was er nicht tut, stellt er doch nicht einmal den Inhalt besagter Normen dar.
Die Beschwerden enthalten offensichtlich keine hinreichende Begründung (<ref-law>). Es ist auf sie mit Entscheid des Abteilungspräsidenten als Einzelrichter im vereinfachten Verfahren nach <ref-law> nicht einzutreten.
Die Gerichtskosten (<ref-law>) sind entsprechend dem Verfahrensausgang dem Beschwerdeführer aufzuerlegen (Art. 66 Abs. 1 erster Satz BGG).

Demnach erkennt der Präsident:
1.
Die Verfahren 2C_460/2016 und 2C_592/2016 werden vereinigt.
2.
Auf die Beschwerden wird nicht eingetreten.
3.
Die Gerichtskosten von Fr. 1'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
4.
Dieses Urteil wird dem Verfahrensbeteiligten und dem Verwaltungsgericht des Kantons Zürich, 3. Abteilung, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 28. Juni 2016
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Seiler
Der Gerichtsschreiber: Feller