Faits :
A.
Selon le dispositif du jugement du 3 avril 2017, le Tribunal correctionnel de l'arrondissement de la Broye et du Nord vaudois a libéré A._ de l'accusation de dommages à la propriété, l'a reconnu coupable d'extorsion qualifiée, de violation de domicile, d'insoumission à une décision de l'autorité et de contravention à la loi fédérale du 3 octobre 1951 sur les stupéfiants et les substances psychotropes (LStup; RS 812.121). Le prévenu a été condamné à quinze mois de peine privative de liberté - sous déduction de 496 jours de détention avant jugement subi au 29 mars 2017 - et à une amende de 1'500 fr., dont la peine privative de liberté de substitution en cas de non-paiement serait de 15 jours. Le tribunal a constaté que A._ avait subi deux jours de détention dans des conditions illicites et que l'Etat de Vaud lui devait, à titre de réparation du tort moral, 100 francs. Le sursis accordé le 1er juillet 2013 par le Ministère public du Nord vaudois a été révoqué et l'exécution de la peine pécuniaire de 180 jours-amende à 30 fr. le jour-amende ordonnée. L'autorité de première instance a également maintenu le prévenu en détention pour des motifs de sûreté. Elle a enfin statué sur les conclusions civiles, les indemnités du défenseur et du conseil d'office, ainsi que sur les frais.
Par prononcé rectificatif du 4 avril 2017, le Tribunal correctionnel a constaté qu'il avait omis de mentionner dans le dispositif du 3 avril 2017 le traitement institutionnel ordonné et a en conséquence ajouté un chiffre XIII audit dispositif (le tribunal "ordonne un traitement institutionnel des troubles mentaux en faveur de A._").
Le 4 avril 2017, le prévenu a annoncé faire appel de ce jugement et a reçu le jugement motivé le 10 avril 2017 (<ref-law>).
B.
A._ a contesté son maintien en détention, s'adressant pour ce faire, le 4 avril 2017, à la Chambre des recours pénale du Tribunal cantonal vaudois. Le 12 avril 2017, le Président de la Cour d'appel pénale du Tribunal cantonal vaudois l'a invité à compléter son écriture eu égard au prononcé rectificatif du 4 avril 2017 et le prévenu s'est déterminé dans le délai imparti.
Le 19 avril 2017, le Président de la Cour d'appel pénale a confirmé le maintien en détention pour des motifs de sûreté de A._. En tant que direction de la procédure de la juridiction d'appel, le Président s'est estimé compétent pour statuer sur ce qu'il a considéré comme une demande de mise en liberté déposée par le prévenu le 4 avril 2017. Cette autorité a retenu que le droit d'être entendu de A._ n'avait pas été violé dès lors qu'il avait renoncé à la lecture publique du jugement et que celui-ci avec son dispositif - "qui a[vait] été notifié le 3 avril 2017"- contenait la motivation relative au maintien en détention; le principe de célérité était aussi respecté au regard de la notification intervenue cinq jours après les débats du 29 mars 2017. Le Président de la Cour d'appel a retenu que la détention pour des motifs de sûreté visait à garantir l'exécution du traitement institutionnel ordonné par le tribunal de première instance (cf. <ref-law>), qu'il existait des soupçons suffisants de culpabilité et qu'un risque de récidive avait été retenu par les experts psychiatres. Selon l'autorité précédente, le principe de proportionnalité demeurait encore respecté, l'<ref-law> fixant une durée maximale de cinq ans à la privation de liberté entraînée par le traitement institutionnel.
C.
Par acte du 26 avril 2017, A._ forme un recours en matière pénale contre cet arrêt, concluant à sa libération immédiate et, à titre subsidiaire, au renvoi de la cause à l'autorité précédente pour nouvelle décision dans le sens des considérants. Le recourant sollicite également l'octroi de l'assistance judiciaire.
Invités à se déterminer, le Ministère public et l'autorité précédente ont renoncé à déposer des déterminations.

Considérant en droit :
1.
Le recours en matière pénale (<ref-law>) est ouvert contre une décision relative à la détention provisoire ou pour des motifs de sûreté au sens des <ref-law>. Selon l'art. 81 al. 1 let. a et b ch. 1 LTF, le recourant, prévenu détenu, a qualité pour recourir. Le recours a été formé en temps utile (<ref-law>) contre une décision rendue par une autorité statuant en tant qu'instance cantonale unique (art. 80 al. 2 in fine LTF et 233 2ème phrase CPP) et les conclusions présentées sont recevables au regard de l'<ref-law>. Il y a donc lieu d'entrer en matière.
2.
Dans un premier grief, le recourant remet en cause la compétence du Président de la Cour d'appel pénale.
2.1. Selon l'<ref-law>, au moment du jugement, le tribunal de première instance détermine si le prévenu qui a été condamné doit être placé ou maintenu en détention pour des motifs de sûreté pour garantir l'exécution de la peine ou de la mesure prononcée (let. a) ou/et en prévision de la procédure d'appel (let. b). Le détenu peut attaquer devant l'autorité de recours les décisions ordonnant une mise en détention provisoire ou une mise en détention pour des motifs de sûreté ou encore la prolongation ou le terme de cette détention; l'art. 233 est réservé (<ref-law>). En vertu de l'<ref-law>, un recours est notamment recevable contre les ordonnances, les décisions et les actes de procédure des tribunaux de première instance, sauf contre ceux de la direction de la procédure.
Font partie des prononcés du tribunal de première instance attaquables par le biais d'un recours au sens de l'<ref-law> les décisions rendues en application de l'<ref-law> (arrêts 1B_153/2016 du 10 mai 2016 consid. 1.3; 1B_377/2014 du 1er décembre 2014 consid. 1.3; 1B_250/2014 du 4 août 2014 consid. 2; 1B_381/2011 du 5 août 2011 consid. 2.2.; MOREILLON/PAREIN-REYMOND, Petit commentaire, Code de procédure pénale, 2e éd. 2016, n° 5 ad <ref-law> et n° 3 ad <ref-law>; MARC FORSTER, in Basler Kommentar, Schweizerische Strafprozessordnung, Art. 196-457 StPO, vol. II, 2e éd. 2014, n° 3 ad <ref-law>; HUG/SCHEIDEGGER, in DONATSCH/ HANSJAKOB/ LIEBER (éd.), Kommentar zum Schweizerischen Strafprozessordnung [StPO], 2e éd. 2014, n° 4 ad <ref-law> et n° 7 ad <ref-law>).
En effet, cette voie de droit permet un examen différent de celui qui peut prévaloir dans l'hypothèse d'une requête de mise en liberté au sens de l'<ref-law>. Ainsi, devant l'autorité de recours, le prévenu peut faire valoir tous ses griefs à l'encontre de la décision de détention rendue par la juridiction de première instance, y compris ceux d'ordre formel, soit par exemple une violation de son droit d'être entendu par cette dernière comme tel est au demeurant le cas dans la présente cause. Ce type de reproche ne peut en revanche pas être soulevé devant la direction de la procédure de la juridiction d'appel qui ne statue pas en tant qu'autorité de recours et limite son appréciation à la seule question du bien-fondé de la détention au moment de la réception de la demande. La possibilité de pouvoir déposer un recours au sens des <ref-law> est d'ailleurs d'autant plus importante dans l'hypothèse où le prévenu est arrêté à l'issue de l'audience de jugement de première instance (arrêt 1B_250/2014 du 4 août 2014 consid. 2.2).
Dès lors que le dispositif du jugement du 3 avril 2017 ne comporte pas d'indication de la voie de droit spécifique ouverte contre le maintien en détention pour des motifs de sûreté (ch. VII), c'est le lieu de rappeler que les jugements et autres prononcés clôturant la procédure contiennent l'indication des voies de droit, s'ils sont sujets à recours (art. 81 al. 1 let. d CPP; arrêts 1B_153/2016 du 10 mai 2016 consid. 1.3; 6B_964/2013 du 6 février 2015 consid. 3.3.2 publié in SJ 2015 I 377).
2.2. Selon l'art. 80 al. 1 let. a de la loi vaudoise du 12 décembre 1979 sur l'organisation judiciaire (LOJV; RSV 173.01), la Chambre des recours pénale du Tribunal cantonal vaudois statue sur les recours dirigés contre les actes de procédure et contre les décisions non sujettes à appel rendues par les tribunaux de première instance (<ref-law>), soit notamment les décisions de placement ou de maintien en détention pour des motifs de sûreté en application de l'<ref-law> (arrêt 1B_250/2014 du 4 août 2014 consid. 2.2).
2.3. En l'occurrence, dès lors que le recourant entendait contester le maintien en détention ordonné le 3 avril 2017 par le Tribunal correctionnel en application de l'<ref-law>, c'est à juste titre qu'il a utilisé la voie du recours au sens de l'<ref-law> et a saisi le 4 avril 2017 la Chambre des recours pénale du Tribunal cantonal vaudois (<ref-law> et 80 al. 1 let. a LOJV).
En tout état de cause, rien ne permet de considérer que les écritures du 4 avril 2017 auraient été une requête de mise en liberté. En effet, le recourant a clairement indiqué la voie qu'il entendait utiliser pour contester son maintien en détention, intitulant son mémoire "Recours [...] à l'encontre du jugement rendu sous forme de dispositif le 3 avril 2017 par le Tribunal correctionnel de l'arrondissement de la Broye et du Nord vaudois dans la cause P1 par lequel le maintien de [sa] détention [...] pour des motifs de sûreté a été ordonnée". Cette constatation s'impose également au regard des conclusions (en annulation et en réforme) et des griefs soulevés (violations de son droit d'être entendu et du principe de proportionnalité) manifestement en lien avec la décision rendue par le Tribunal correctionnel.
Partant, le Président de la Cour d'appel pénale n'était pas compétent pour se prononcer sur le mémoire - de recours - déposé le 4 avril 2017 et ce grief doit être admis.
3.
Selon la nature des griefs invoqués, notamment à l'encontre du tribunal de première instance, et si le Tribunal fédéral est en mesure de statuer sur ceux-ci, il n'y a en principe pas lieu de renvoyer la cause à l'autorité précédente, vu le principe de célérité prévalant tout particulièrement en matière de détention (cf. <ref-law>; arrêt 1B_250/2014 du 4 août 2014 consid. 3).
4.
Formellement, le recourant reprochait tout d'abord au Tribunal correctionnel d'avoir violé son droit d'être entendu. A cet égard, il soutenait en substance ne pas avoir été interpellé préalablement au prononcé du 3 avril 2017 sur la question de son maintien en détention, n'ayant ainsi pas pu se déterminer.
4.1. Le droit d'être d'entendu découlant des art. 29 al. 2 Cst., 3 al. 2 let. c et 107 CPP comprend notamment le droit pour le justiciable de s'exprimer sur les éléments pertinents avant qu'une décision ne soit prise touchant sa situation juridique (<ref-ruling> consid. 4.1.1 p. 52 s.; <ref-ruling> consid. 3.1 p. 564; <ref-ruling> consid. 2.2 p. 255 et les références citées).
Tel est également le cas dans le cadre des procédures de détention provisoire ou pour des motifs de sûreté (cf. art. 31 al. 4 Cst. et 5 par. 4 CEDH; <ref-ruling> consid. 3.3.2 p. 91 s.; <ref-ruling> consid. 3c p. 175 s.; arrêts 1B_143/2015 du 5 mai 2015 consid. 3.2; 1B_6/2009 du 4 février 2009 consid. 5). Devant le tribunal des mesures de contrainte, cela découle en particulier des art. 225, 227 al. 3, 228 al. 3 et des renvois des art. 229 al. 3 et 230 al. 5 CPP. Il n'en va pas différemment lorsque cette procédure - que ce soit en vue d'un placement en détention ou d'un maintien de cette mesure - est menée par le tribunal de première instance en application de l'<ref-law>; le prévenu doit avoir l'opportunité de se déterminer sur cette question préalablement à la décision y relative (arrêts 1B_281/2015 du 15 septembre 2015 consid. 3.2; 1B_143/2015 du 5 mai 2015 consid. 3.2; 1B_191/2013 du 12 juin 2013 consid. 2.2; voir également FORSTER, op. cit., n° 3 ad <ref-law>; HUG/SCHEIDEGGER, op. cit., n° 5 ad <ref-law>; DANIEL LOGOS, in Commentaire romand, Code de procédure pénale suisse, 2011, n° 9 ad <ref-law>).
Cela étant, la jurisprudence n'exclut pas qu'exceptionnellement, une éventuelle violation du droit d'être entendu à ce stade de la procédure puisse être réparée par le biais du recours puisque l'autorité en la matière dispose d'une pleine cognition en fait et en droit (cf. <ref-law>; <ref-ruling> consid. 2.8.1 p. 226; <ref-ruling> consid. 2.3.2 p. 197 s.; <ref-ruling> consid. 2.6.1 p. 285; arrêts 1B_244/2013 du 6 août 2013 consid. 2.2; 1B_191/2013 du 12 juin 2013 consid. 2.2). Une telle situation présuppose cependant tout d'abord que l'autorité de recours examine l'éventuelle violation alléguée et, le cas échéant, la constate.
4.2. En l'occurrence, si l'arrêt attaqué fait état de ce grief (cf. ad consid. 3), il ne se prononce toutefois pas sur cette question, puisque le Président de la juridiction d'appel n'a examiné une éventuelle violation du droit d'être entendu du recourant que pour une phase ultérieure, à savoir celle du jugement (prononcé et motivation; cf. consid. 3.2 de l'arrêt attaqué); en effet, l'explication retenue - renonciation à un prononcé en audience publique - ne peut pas concerner un stade antérieur de la procédure.
Dans la mesure où l'ordre des plaidoiries (cf. <ref-law>) et la possibilité pour le prévenu de s'exprimer en dernier (cf. <ref-law>) pourraient suffire à garantir le droit d'être entendu s'agissant d'un éventuel placement ou maintien en détention pour des motifs de sûreté, il ne ressort pas du procès-verbal de l'audience du 29 mars 2017 que le Ministère public aurait demandé la prolongation de la détention pour des motifs de sûreté lors de son réquisitoire, notamment afin de garantir l'exécution du traitement institutionnel sollicité (arrêt 1B_ 244/2013 du 6 août 2013 consid. 2.2, cause dans laquelle le Ministère public a demandé le maintien en détention lors de son réquisitoire et que l'avocat a de plus plaidé uniquement après une suspension d'audience). Les faits retenus dans l'arrêt attaqué - qui lient le Tribunal fédéral (<ref-law>) - ne font pas non plus état d'une éventuelle interpellation ultérieure des parties sur cette question. Partant, rien ne permet de considérer que le recourant ait été invité à se déterminer sur la possibilité de son maintien en détention pour des motifs de sûreté préalablement au prononcé l'ordonnant.
Vu l'absence d'échange d'écritures à ce sujet, notamment avec le Ministère public, au cours de la procédure cantonale et le défaut de toute considération par l'autorité précédente sur cette problématique, les conditions permettant exceptionnellement de considérer que le vice aurait été réparé au cours de la procédure de recours ne sont pas remplies.
La violation du droit d'être entendu constatée entraîne donc l'annulation de la décision entreprise, indépendamment des chances de succès du recours sur le fond (<ref-ruling> consid. 2.8.1 p. 226).
4.3. Il n'y a ainsi pas lieu de se prononcer sur les autres griefs, y compris formels, soulevés par le recourant, à savoir en particulier la violation alléguée du principe de célérité en lien avec la notification intervenue seulement le 10 avril 2017 de la motivation du maintien en détention ordonnée pourtant le 3 avril 2017 (cf. <ref-law>; <ref-ruling> consid. 2.3 à 2.7 p 183 ss; <ref-ruling> consid. 2.5 p. 85).
Le recourant se prévaut encore de la nullité du rectificatif du 4 avril 2017 rendu en application de l'<ref-law> (sur cette disposition, cf. <ref-ruling> consid. 1 p. 283 ss). Cependant, lorsque la nullité n'est pas d'emblée manifeste, il n'appartient pas au juge de la détention, mais au juge du fond d'examiner de manière approfondie les éventuelles irrégularités affectant le jugement de première instance, respectivement celles contenues dans les prononcés correctifs de celui-ci. En l'espèce, dans le cadre de l'examen de la détention, l'hypothèse d'un traitement institutionnel paraît, avec une vraisemblance suffisante, avoir pu entrer en considération au moment du jugement de première instance, vu les conclusions du rapport d'expertise (cf. consid. 7 de l'arrêt motivé du tribunal de première instance), ainsi que celles prises par le Ministère public lors de son réquisitoire (cf. le procès-verbal de l'audience du 29 mars 2017 p. 10); le rectificatif l'ordonnant paraît ainsi justifié.
5.
Il s'ensuit que le recours est admis. L'arrêt du 19 avril 2017 du Président de la Cour d'appel pénale est annulé. La cause lui est renvoyée pour qu'il la transmette à la Chambre des recours pénale comme objet de sa compétence et que celle-ci statue au sens des considérants et sur le recours déposé le 4 avril 2017 par le recourant contre le jugement du 3 avril 2017 du Tribunal correctionnel ordonnant son maintien en détention pour des motifs de sûreté.
Au regard des considérations qui précèdent, l'admission du recours ne saurait toutefois entraîner la libération immédiate du recourant; la Chambre des recours pénale est cependant invitée à procéder rapidement (<ref-law>).
Le recourant, assisté par un avocat, obtient gain de cause. Il a droit une indemnité de dépens à la charge du canton de Vaud (<ref-law>); celle-ci est fixée de manière forfaitaire pour la procédure fédérale et celle cantonale devant le Président de la Cour d'appel (<ref-law>). Il n'est pas perçu de frais judiciaires pour la procédure fédérale (<ref-law>); ceux de la procédure cantonale devant l'instance précédente, arrêtés à 630 fr., sont laissés à la charge du canton de Vaud (<ref-law>). La requête d'assistance judiciaire est dès lors sans objet.

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce :
1.
Le recours est admis. L'arrêt du 19 avril 2017 du Président de la Cour d'appel pénale du Tribunal cantonal vaudois est annulé. La cause lui est renvoyée pour qu'il la transmette à la Chambre des recours pénale du Tribunal cantonal vaudois comme objet de sa compétence et que celle-ci statue au sens des considérants, ainsi que sur le recours déposé le 4 avril 2017 par le recourant contre le jugement du 3 avril 2017 du Tribunal correctionnel de la Broye et du Nord vaudois ordonnant son maintien en détention pour des motifs de sûreté.
2.
Une indemnité de dépens, fixées à 3'000 fr., est allouée au mandataire du recourant pour la procédure fédérale et celle cantonale devant le Président de la Cour d'appel pénale du Tribunal cantonal vaudois.
3.
Il n'est pas perçu de frais judiciaires pour la procédure fédérale.
4.
Les frais judiciaires de la procédure devant le Président de la Cour d'appel pénale du Tribunal cantonal vaudois, arrêtés à 630 fr., sont laissés à la charge du canton de Vaud.
5.
La requête d'assistance judiciaire est sans objet.
6.
Le présent arrêt est communiqué au mandataire du recourant, au Ministère public de l'arrondissement de l'Est vaudois et au Président de la Cour d'appel pénale du Tribunal cantonal du canton de Vaud.
Lausanne, le 19 mai 2017
Au nom de la Ire Cour de droit public
du Tribunal fédéral suisse
Le Juge présidant : Karlen
La Greffière : Kropf