Sachverhalt:
A.
Die Staatsanwaltschaft Basel-Landschaft führt gegen A._ ein Strafverfahren. Mit Eingabe vom 7. September 2016 beantragte A._, sein amtlicher Verteidiger, Simon Berger, sei durch Julian Burkhalter zu ersetzen. Mit Verfügung vom 14. September 2016 wies die Präsidentin des Strafgerichts Basel-Landschaft den Antrag ab.
Dagegen erhob A._ am 26. September 2016 Beschwerde ans Kantonsgericht Basel-Landschaft. Er beantragte, die Verfügung vom 14. September 2016 sei aufzuheben. Zudem stellte er ein Gesuch um aufschiebende Wirkung. Mit Verfügung vom 20. Oktober 2016 wies das Kantonsgericht das Gesuch ab (Dispositiv-Ziffer 3).
B.
Mit Beschwerde in Strafsachen ans Bundesgericht vom 24. Oktober 2016 beantragt A._ die Aufhebung der Verfügung des Kantonsgerichts. Eventualiter sei die Sache zur neuen Beurteilung an die Vorinstanz zurückzuweisen. Zudem stellt er ein Gesuch um aufschiebende Wirkung.
Das Strafgericht beantragt, auf die Beschwerde sei nicht einzutreten, eventualiter sei sie abzuweisen. Die Staatsanwaltschaft schliesst auf Abweisung der Beschwerde. Das Kantonsgericht beantragt ebenfalls die Abweisung der Beschwerde, macht aber auch geltend, dass die Sachurteilsvoraussetzungen von <ref-law> nicht erfüllt seien. Der Beschwerdeführer hält in seiner Stellungnahme dazu an seinen Anträgen und Rechtsauffassungen fest.

Erwägungen:
1.
1.1. Bei der angefochtenen Verfügung handelt es sich um einen kantonal letztinstanzlichen Zwischenentscheid in Strafsachen (Art. 78, 80 und 93 BGG).
1.2. Gemäss <ref-law> ist die Beschwerde gegen einen Zwischenentscheid unter anderem dann zulässig, wenn dieser einen nicht wieder gutzumachenden Nachteil bewirken kann. Dies trifft im Fall der Ablehnung eines Gesuchs um Wechsel des amtlichen Verteidigers insbesondere dann zu, wenn der amtliche Verteidiger seine Pflichten erheblich vernachlässigt oder zwischen ihm und der beschuldigten Person keine Vertrauensbasis mehr besteht (<ref-ruling> E. 1.1 f. S. 115 f.; Urteile 1B_211/2014 vom 23. Juli 2014 E. 1.2, in: Pra 2014 Nr. 104 S. 838; 1B_127/2015 vom 8. Juni 2015 E. 1; je mit Hinweisen). Das Bundesgericht tritt vor diesem Hintergrund auf eine Beschwerde gegen einen Entscheid, mit welchem der Wechsel der amtlichen Verteidigung abgelehnt wird, ein, sofern der Beschwerdeführer hinreichend darlegt, dass eine effektive Verteidigung nicht gewährleistet ist (zum Ganzen: Urteil 1B_297/2015 vom 26. Oktober 2015 E. 1.2, in: Pra 2016 Nr. 9 S. 68).
1.3. Mit der angefochtenen Verfügung wurde die Frage der amtlichen Verteidigung noch nicht entschieden, sondern lediglich das Gesuch um aufschiebende Wirkung abgewiesen. Weshalb dem Beschwerdeführer aus dem blossen Umstand, dass er kurze Zeit auf den Entscheid warten muss (<ref-law>), ein nicht wieder gutzumachender Nachteil entsteht, ist nicht ersichtlich. In der Beschwerde wird dazu vorgebracht, dass das Strafgericht das Verfahren unbesehen des Beschwerdeverfahrens weiterführe und dem angeblichen Wahlverteidiger peremptorische Fristen ansetze und dass der Beschwerdeführer selbst nach wie vor durch den unerwünschten und nicht mehr tragbaren amtlichen Verteidiger vertreten werde. Inwiefern sich daraus rechtliche Nachteile ergeben sollen, die später nicht mehr gutgemacht werden könnten, wird jedoch nicht begründet.
1.4. Der Beschwerdeführer macht zudem unter Hinweis auf <ref-law> geltend, es diene der Verfahrensökonomie, vorab über die Frage der gehörigen amtlichen Verteidigung zu entscheiden, da ansonsten der ganze Prozess wiederholt werden müsste. Nach der genannten Bestimmung ist die Beschwerde gegen einen selbständig eröffneten Zwischenentscheid zulässig, wenn die Gutheissung der Beschwerde sofort einen Endentscheid herbeiführen und damit einen bedeutenden Aufwand an Zeit oder Kosten für ein weitläufiges Beweisverfahren ersparen würde. Im vorliegenden Fall würde die Gutheissung der Beschwerde durch das Bundesgericht jedoch nicht sofort einen Endentscheid herbeiführen, weshalb auch unter diesem Titel auf die Beschwerde nicht eingetreten werden kann.
2.
Auf die Beschwerde ist somit nicht einzutreten. Damit wird das Gesuch um aufschiebende Wirkung gegenstandslos.
Der Beschwerdeführer stellt ein Gesuch um unentgeltliche Prozessführung. Wie sich aus den vorangehenden Erwägungen ergibt, ist vorliegend auf die Beschwerde schon gar nicht einzutreten. Infolge Aussichtslosigkeit des Rechtsmittels entfällt deshalb der Anspruch auf unentgeltliche Rechtspflege nach <ref-law>. Der Beschwerdeführer trägt somit die Gerichtskosten (<ref-law>). Er hat zudem keinen Anspruch auf eine Parteientschädigung (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2.
Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege wird abgewiesen.
3.
Die Gerichtskosten von Fr. 1'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
4.
Es wird keine Parteientschädigung zugesprochen.
5.
Dieses Urteil wird den Parteien, der Staatsanwaltschaft Basel-Landschaft und dem Kantonsgericht Basel-Landschaft, Abteilung Strafrecht, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 11. November 2016
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Fonjallaz
Der Gerichtsschreiber: Dold