Sachverhalt:
A.
A.a. Der 2011 geborene C.C._ ist der Sohn von D.C._ und E._. Seit dem 16. November 2011 besteht eine Erziehungsbeistandschaft. Das Aufenthaltsbestimmungsrecht für C.C._ lag seit dem 10. Februar 2012 (mit einer kurzen Unterbrechung) beim Amt für Kindesschutz des Kantons Wallis. C.C._ befand sich seit dem 15. Februar 2012 durch Vermittlung dieses Amtes bei der Pflegefamilie A.A._ und B.A._. Am 8. März 2012 erteilte das Amt dem Ehepaar A._ eine Pflegeplatzbewilligung mit Bezug auf C.C._. Am 1. März 2013 wurde die Bewilligung um ein Jahr verlängert. Am 12. Juni 2014 übertrug die Kindes- und Erwachsenenschutzbehörde (KESB) des Bezirks Brig die elterliche Sorge einschliesslich des Aufenthaltsbestimmungsrechts (Obhut) auf A.A._ und B.A._ (vgl. auch die Verfügung der KESB vom 16. Dezember 2015).
A.b. Am 13. November 2015 sprach das Kreisgericht I für das Oberwallis B.A._ von der Anklage der mehrfachen sexuellen Handlungen mit Kindern (<ref-law>), der mehrfachen sexuellen Nötigung (<ref-law>) sowie der mehrfachen Schändung (<ref-law>) frei. Dem Urteil ist zu entnehmen, dass B.A._ wegen Pornographie (aArt. 197 Ziff. 3 StGB) zweifach vorbestraft ist; in einem dieser Fälle sei auf vier Festplatten und einer CD-ROM des Beschuldigten unter anderem Kinderpornographie festgestellt worden (vgl. Strafbefehl des Untersuchungsrichteramtes Oberwallis vom 21. Juni 2006). Staatsanwaltschaft und Privatklägerin zogen das Urteil des Kreisgerichts vom 13. November 2015 an das Kantonsgericht Wallis weiter.
A.c. Mit Blick auf die nachträglich bekannt gewordenen Verurteilungen von B.A._ (vgl. Strafbefehle des Untersuchungsrichteramtes Oberwallis vom 21. Juni 2006 [S1 2005 971] und der Staatsanwaltschaft des Kantons Wallis vom 23. März 2011 [S1 2010 323]) entzog die KESB den Pflegeeltern A._ auf Antrag des Amtes für Kindesschutz die Obhut über C.C._ mit sofortiger Wirkung (Verfügung vom 18. Februar 2016). Das Kind wurde in einer anderen Pflegefamilie untergebracht.
B.
Mit Urteil vom 12. Mai 2016 wies das Kantonsgericht Wallis die gegen den Entscheid der KESB vom 18. Februar 2016 eingereichte Beschwerde ab, soweit es darauf eintrat.
C.
A.A._ und B.A._ reichten am 13. Juni 2016 Beschwerde in Zivilsachen ein. Sie beantragen, es sei ihnen die Obhut für das Pflegekind C.C._ zu übertragen. Die KESB sei anzuweisen, den Pflegeelternvertrag mit ihnen betreffend das Kind C.C._ zu verlängern. Eventuell sei ihnen ein angemessenes Besuchsrecht für das Kind C.C._ einzuräumen. Ausserdem ersuchen sie darum, ihre Beschwerde mit der aufschiebenden Wirkung zu versehen.
Das Bundesgericht lud die KESB und das Kantonsgericht ein, zum Gesuch um aufschiebende Wirkung Stellung zu nehmen. Beide Behörden schliessen auf Abweisung. Mit Verfügung vom 4. Juli 2016 wies das Bundesgericht das Gesuch ab.
In der Sache zog das Bundesgericht die kantonalen Akten (einschliesslich der Strafakten der Verfahren S1 2005 971, S1 2010 323 und P1 2015 67) bei und führte einen Schriftenwechsel durch. Das Kantonsgericht liess sich vernehmen, ohne einen Antrag zu stellen. Die Beschwerdeführer replizieren auf die Bemerkungen der Vorinstanz.
Über die vorliegende Beschwerde wurde in der öffentlichen Sitzung vom 18. Mai 2017 entschieden.

Erwägungen:
1.
Angefochten ist ein kantonal letztinstanzlicher, verfahrensabschliessender Entscheid betreffend den Kindesschutz (Entziehung des Aufenthaltsbestimmungsrechts gegenüber den Pflegeeltern; <ref-law>). Dagegen steht die Beschwerde in Zivilsachen offen (Art. 72 Abs. 2 lit. b Ziff. 6, Art. 75 Abs. 1 und Art. 90 BGG).
2.
2.1. Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (<ref-law>). Es ist folglich weder an die in der Beschwerde geltend gemachten Argumente noch an die Erwägungen der Vorinstanz gebunden. Es kann eine Beschwerde aus einem anderen als dem angerufenen Grund gutheissen, und es kann sie mit einer Begründung abweisen, die von der Argumentation der Vorinstanz abweicht (<ref-ruling> E. 2.4 S. 429; <ref-ruling> E. 1 S. 236, 605 E. 1 S. 607, 657 E. 2.2 S. 660).
2.2. Das Bundesgericht legt seinem Urteil (auch in zeitlicher Hinsicht) den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (<ref-law>). Es kann die tatsächlichen Feststellungen der Vorinstanz nur berichtigen oder ergänzen, soweit sie offensichtlich unrichtig, das heisst willkürlich, sind oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruhen (<ref-law>; <ref-ruling> E. 2.1 S. 659).
3.
Ist das Wohl des Kindes gefährdet und sorgen die Eltern nicht von sich aus für Abhilfe oder sind sie dazu ausserstande, so trifft die Kindesschutzbehörde die geeigneten Massnahmen zum Schutz des Kindes (<ref-law>). Die Kindesschutzbehörde ist dazu auch gegenüber Kindern verpflichtet, die bei Pflegeeltern untergebracht sind oder sonst ausserhalb der häuslichen Gemeinschaft der Eltern leben (Abs. 2). Kann der Gefährdung des Kindes nicht anders begegnet werden, so hat die Kindesschutzbehörde es den Eltern oder, wenn es sich bei Dritten befindet, diesen wegzunehmen und in angemessener Weise unterzubringen (<ref-law>).
4.
4.1. Das Kantonsgericht begründete die Rechtmässigkeit der Obhutsentziehung zunächst einmal damit, eine Pflegeplatzbewilligung nach der Verordnung vom 19. Oktober 1977 über die Aufnahme von Pflegekindern (Pflegekinderverordnung, PAVO; SR 211.222.338) habe nur mit Wirkung bis Ende Februar 2014 bestanden. Verfügten die Beschwerdeführer nicht mehr über die notwendige Bewilligung, erfüllten sie die Voraussetzungen für die Aufnahme von Pflegekindern nicht mehr. Bereits aus diesem Grund sei die im Dezember 2015 an die Beschwerdeführer übertragene Obhut zu entziehen. Das bisherige Pflegeverhältnis sei der einzige Grund für die Übertragung der Obhut gewesen.
4.2. Die Nichterneuerung der Pflegeplatzbewilligung für C.C._ geht offenkundig mit der Entziehung der Obhut einher. Die Frage der Pflegeplatzbewilligung bildet insofern keinen selbständigen Grund für die strittige Vorkehr. Sie ist denn auch nicht Teil des Streitgegenstandes. Sinngemäss gilt dies auch für einen Pflegeelternvertrag, dessen Verlängerung die Beschwerdeführer beantragen; eine solche Vereinbarung erfolgt im Rahmen und als Folge der Bewilligung.
5.
Die Beschwerdeführer wehren sich gegen einen Vorhalt, wonach der Pflegevater vor Abschluss des Pflegevertrages die Löschung eines Urteils aus dem Strafregister beantragt und so eine unrechtmässige Bewilligung erwirkt habe.
5.1. Die rechtskräftigen Strafbefehle vom 21. Juni 2006 und 23. März 2011 wurden den mit dem Pflegekindverhältnis befassten Behörden im Februar 2016 bekannt, weil sie im kreisgerichtlichen Entscheid vom 13. November 2015 erwähnt worden sind. Das Kantonsgericht erwog, das Amt für Kindesschutz habe die KESB am 17. Februar 2016 über das Kreisgerichtsurteil vom 13. November 2015 informiert. Als die Beschwerdeführer im August 2008 auf ihre Eignung als Pflegefamilie überprüft worden seien, sei die am 21. Juni 2006 ausgesprochene Sanktion (nach Ablauf der zweijährigen Probezeit) im Strafregister bereits gelöscht gewesen; eine weitere Verurteilung wegen Pornographie (vom 23. März 2011) sei erst nach jenem Zeitpunkt erfolgt. Daher habe die KESB damals keine Kenntnis von den strafrechtlichen Verurteilungen haben können.
5.2. Die Beschwerdeführer halten dagegen, die Verurteilung aus dem Jahr 2006 werde erst nach Ablauf der zehnjährigen Frist aus dem Register der Vorstrafen entfernt (<ref-law>). Nur im für Privatpersonen bestimmten Strafregisterauszug erscheine eine (teil-) bedingte Sanktion nach Ablauf der Probezeit nicht mehr, wenn der Verurteilte sich bis dahin bewährt habe (<ref-law>). Vor diesem Hintergrund könne diesem kein Vorwurf gemacht werden. Im Übrigen hätte die Behörde einen Sonderauszug nach <ref-law> einfordern können.
5.3. Es muss nicht näher darauf eingegangen werden, dass einerseits der Pflegevater frühere Verurteilungen verschwiegen hat, und dass anderseits die Behörde allenfalls zumutbare (Routine-) Abklärungen unterlassen hat. Entscheidend ist, ob die Entziehung der Obhut im Interesse des Kindeswohls geboten war, und nicht, wessen Verhalten dazu geführt hat, dass die Behörde den bewilligungsrelevanten strafrechtlichen Leumund ursprünglich nicht gekannt hat.
6.
6.1. In der Sache erwog das Kantonsgericht, es sei nicht zu beanstanden, dass die KESB angesichts der Verurteilung von B.A._ wegen Kinderpornographie das Kindeswohl als gefährdet betrachtet habe. Es gelte, jegliche Gefährdung zu vermeiden; die KESB dürfe auch ein bloss geringes Risiko nicht eingehen. Das Interesse der Pflegeeltern müsse in einer solchen Situation zurückstehen. Das Aufenthaltsbestimmungsrecht für C.C._ sei den Beschwerdeführern daher zu Recht entzogen worden.
6.2. Dem halten die Beschwerdeführer entgegen, auch in Bezug auf Massnahmen gegenüber Pflegeeltern gelte der Grundsatz der Verhältnismässigkeit. Eine behördliche Intervention müsse in Gestalt der jeweils mildesten erfolgversprechenden Massnahme stattfinden. Diese leite sich aus einer festgestellten Kindeswohlgefährdung ab. Ob das Kindeswohl konkret gefährdet sei, lasse sich erst nach einer umfassenden Abklärung des Sachverhalts beurteilen. Weder die KESB noch das Kantonsgericht hätten eine solche unternommen. Das verletze das Untersuchungsprinzip (vgl. Art. 314 Abs. 1 in Verbindung mit <ref-law>).
6.3.
6.3.1. Bei einer Gefährdung des Kindes ist die Obhutsregelung gegebenenfalls anzupassen (vgl. <ref-law>). Massgebend ist das objektive Kindesinteresse. Dem Sachgericht steht dabei Ermessen zu (<ref-law>), welches das Bundesgericht zurückhaltend überprüft (<ref-ruling> E. 1 S. 99; <ref-ruling> E. 2 S. 123; Urteil 5A_88/2015 vom 5. Juni 2015 E. 4.3.1). Schranken dieses Ermessens bilden namentlich die Grundsätze der Verhältnismässigkeit und der Subsidiarität. Danach ist die für alle Beteiligten einschneidende Massnahme der Obhutsentziehung nur zulässig, wenn der Gefährdung des Kindes nicht mit anderen Massnahmen nach Art. 307 und 308 ZGB begegnet werden kann (Urteil 5A_724/2015 vom 2. Juni 2016 E. 6.3). Auch übereiltes Handeln kann unverhältnismässig sein; das Mass der erforderlichen Abklärung setzt grundsätzlich eine Gefährdungsprognose voraus.
Mit Blick auf die Art und potentielle Schwere der Gefährdung, die ein unverzügliches Einschreiten erforderlich erscheinen liess, hat die Vorinstanz keinen Ermessensfehler begangen, als sie das Vorgehen der KESB schützte, unmittelbar gestützt auf die früheren Verurteilungen - resp. den daraus sich ergebenden Anschein einer entsprechenden Gefährdung - die Entziehung der Obhut zu verfügen. Soweit bei der prospektiven Beurteilung des Gefährdungspotentials zusätzlich das noch laufende Strafverfahren eine Rolle gespielt haben sollte, welches im Zeitpunkt des angefochtenen Urteils vor dem Kantonsgericht hängig gewesen ist, so wäre dies nicht zu beanstanden. Die bis zu einem rechtskräftigen Abschluss des Strafverfahrens bestehende Unschuldsvermutung kommt im vorliegenden Zusammenhang nicht zum Tragen, zumal ein Verschulden der (Pflege-) Eltern generell kein Faktor für die Beurteilung der Gefährdung des Kindes sowie die daraus zu ziehenden Folgerungen ist (Urteil 5A_724/2015 E. 6.3). Umgekehrt präjudiziert die kindesschutzrechtliche Beurteilung allfällige strafrechtliche Prognosen nicht.
6.3.2. Weiter bestehen keine konkreten Anhaltspunkte dafür, dass die Vorinstanz ihren Entscheid auf weitergehende Abklärungen hätte stützen müssen. Wenn davon auszugehen wäre, der Beschwerdeführer habe - obwohl sich für unschuldig haltend - die Strafbefehle nur deswegen unangefochten gelassen, weil ihm die Sache peinlich gewesen sei (vgl. den kreisgerichtlichen Entscheid vom 13. November 2015 S. 20 E. 4.6), ist nicht nachvollziehbar, weshalb er allfällige Entlastungsgründe nicht umgehend nach Eröffnung des KESB-Entscheids vom 18. Februar 2016 betreffend den Entzug des Aufenthaltsbestimmungsrechts benannt hat. Ausführungen dazu, weshalb und inwiefern vor einem Obhutsentzug weitere Abklärungen hätten stattfinden müssen, finden sich auch nicht in den Beschwerdeschriften vor Kantons- und Bundesgericht.
Insgesamt ist nicht ersichtlich, weshalb trotz der strafrechtlichen Verurteilung im Zusammenhang mit Kinderpornographie keine Tatsachen vorliegen sollten, welche eine Gefährdung des Kindeswohls begründen. Unter diesen Umständen ist auch die Rüge unbegründet, der angefochtene Entscheid beruhe auf einem unvollständigen Sachverhalt, womit die Anforderungen an die gerichtliche Entscheidbegründung nicht erfüllt seien.
7.
7.1. Im Eventualbegehren beantragen die Beschwerdeführer ein - aus <ref-law> abgeleitetes - angemessenes Besuchsrecht. Sie seien während der Pflegeelternschaft zu den wichtigsten Bezugspersonen von C.C._ geworden.
7.2. Gegenstand des Verfahrens vor Bundesgericht können nur Punkte sein, die bereits von der Vorinstanz beurteilt worden sind (vgl. <ref-law>; Urteil 5A_345/2016 vom 17. November 2016 E. 4). Das trifft hinsichtlich der Frage eines Besuchsrechts der Beschwerdeführer bei C.C._ nicht zu. Auf den betreffenden Antrag ist daher nicht einzutreten.
8.
Zusammenfassend ist die Beschwerde abzuweisen, soweit darauf eingetreten werden kann. Bei diesem Verfahrensausgang sind die Gerichtskosten von Fr. 1'500.-- den Beschwerdeführern aufzuerlegen (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 1'500.-- werden den Beschwerdeführern unter solidarischer Haftbarkeit auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird den Beschwerdeführern, der Kindes- und Erwachsenenschutzbehörde (KESB) Bezirk Brig sowie dem Kantonsgericht des Kantons Wallis, I. Zivilrechtliche Abteilung, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 18. Mai 2017
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: von Werdt
Der Gerichtsschreiber: Traub