Sachverhalt:
A.
A.a. Die 1982 geborene A._ erlitt am 22. November 2013 einen Unfall, woraufhin die zuständige Unfallversicherung der Stadt Zürich (nachfolgend: Unfallversicherer) Leistungen erbrachte. Mit Schreiben vom 14. Januar 2015 informierte der Unfallversicherer A._ dahingehend, dass rückwirkend ab 1. November 2014 eine Hilflosenentschädigung schweren Grades ausgerichtet werde. Damit entfalle auf Ende Januar 2015 die Kostenübernahme für die nichtmedizinische Pflege zu Hause (Grundpflege), wohingegen die medizinische Pflege (Behandlungspflege) weiterhin erbracht werde. Auf 1. Dezember 2015 sprach der Unfallversicherer A._ ferner eine Invalidenrente zu (Mitteilung vom 19. November 2015).
A.b. Am 25. Januar 2015 wandte sich A._ an ihren Krankenversicherer, die SWICA Krankenversicherung AG (nachfolgend: SWICA), und ersuchte um Übernahme der vom Unfallversicherer ab 1. Februar 2015 nicht mehr erstatteten Grundpflege. Dieses Begehren lehnte die SWICA mit Verfügung vom 15. Juni 2015 ab. Daran wurde auf Einsprachen von A._ und dem Unfallversicherer hin festgehalten, soweit die SWICA auf die Eingaben überhaupt eintrat (Einspracheentscheid vom 27. Juli 2015).
B.
Die hiegegen von A._ geführte Beschwerde hiess das Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich, nachdem es den Unfallversicherer zum Prozess beigeladen und dieser sich hatte vernehmen lassen, mit der Feststellung gut, dass A._ gegenüber dem Unfallversicherer Anspruch auf Hauspflege habe (Entscheid vom 13. Januar 2017).
C.
C.a. Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten lässt A._ beantragen, in Aufhebung des vorinstanzlichen Entscheids sowie des Einspracheentscheids der SWICA vom 27. Juli 2015 sei die SWICA zu verpflichten, ihr die Kosten der Grundpflege (Spitex) zu vergüten.
Der Unfallversicherer schliesst auf Gutheissung der Beschwerde. Die SWICA und das Bundesamt für Gesundheit (BAG) verzichten auf eine Vernehmlassung.
C.b. Der Unfallversicherer führt ebenfalls Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten mit dem Rechtsbegehren, der kantonale Gerichtsentscheid sei aufzuheben.
Während A._ um Abweisung der Beschwerde ersuchen lässt, enthalten sich SWICA und BAG einer Vernehmlassung.

Erwägungen:
1.
Da den beiden Beschwerden derselbe Sachverhalt zugrunde liegt, sich die gleichen Rechtsfragen stellen und die Rechtsmittel den nämlichen vorinstanzlichen Entscheid betreffen, rechtfertigt es sich, die beiden Verfahren zu vereinigen und in einem einzigen Urteil zu erledigen (<ref-ruling> E. 1 S. 126 mit Hinweisen; vgl. auch <ref-ruling> E. 1 S. 194).
2.
Das Bundesgericht prüft von Amtes wegen und mit freier Kognition die formellen Gültigkeitserfordernisse des vorinstanzlichen Verfahrens. Hat die Vorinstanz übersehen, dass es an einer Prozessvoraussetzung fehlte und hat sie materiell entschieden, ist dies im Rechtsmittelverfahren von Amtes wegen zu berücksichtigen mit der Folge, dass der angefochtene Entscheid aufgehoben wird (<ref-ruling> E. 2.1 S. 69 mit Hinweisen). Art. 107 Abs. 1 BGG, wonach das Bundesgericht nicht über die Begehren der Parteien hinausgehen darf, steht in einem solchen Falle einer Aufhebung des angefochtenen Entscheids aus formellen Gründen - auch ohne entsprechenden Antrag - nicht entgegen, da diese Bestimmung nur die materielle Seite des Rechtsstreits betrifft (Urteil 8C_1078/2009 vom 8. Juni 2010 E. 1 mit Hinweis, in: SVR 2011 ALV Nr. 1 S. 1).
3.
3.1. Gemäss § 14 des kantonalzürcherischen Gesetzes über das Sozialversicherungsgericht vom 7. März 1993 (GSVGer; LS 212.81) kann das Gericht von Amtes wegen oder auf Antrag Dritte zum Verfahren beiladen, wenn diese ein schutzwürdiges Interesse am Ausgang des Verfahrens haben oder wenn eine Partei ein schutzwürdiges Interesse an der Beiladung der Dritten geltend macht (Abs. 1). Die Beigeladenen haben im Verfahren Parteistellung (Abs. 2). Die prozessleitenden Anordnungen sowie der Entscheid in der Sache selber sind auch für die Beigeladenen verbindlich (Abs. 3).
3.2. Mit der Beiladung werden Dritte, deren Interessen durch einen Entscheid berührt sind, in ein Verfahren einbezogen und daran beteiligt. Der Einbezug Beteiligter in den Schriftenwechsel bezweckt, die Rechtskraft des Urteils über die ursprünglichen Parteien hinaus auf die Beigeladenen auszudehnen, damit diese in einem später gegen sie angestrengten oder von ihnen ausgehenden Prozess das betreffende Urteil gegen sich gelten lassen müssen. Das Interesse an einer Beiladung ist rechtlicher Natur. Es muss eine Rückwirkung auf eine Rechtsbeziehung zwischen der Hauptpartei und dem Mitinteressierten in Aussicht stehen (<ref-ruling> E. 1.2 S. 502; <ref-ruling> E. 8b S. 94 f.; je mit Hinweisen; Urteile 2C_373/2016 vom 17. November 2016 E. 2.1, 2C_491/2009 vom 18. Mai 2011 E. 4 und [des Eidg. Versicherungsgerichts] U 307/01 vom 22. April 2003 E. 3.2, in: SVR 2003 UV Nr. 17 S. 49).
3.2.1. Die Beiladung dient somit einerseits dazu, die Rechtskraft eines Entscheids auch auf die Beigeladenen zu erstrecken und mit diesem Schritt zu verhindern, dass in der gleichen Sache widersprüchliche Entscheide ergehen. Insoweit strebt sie die Koordination des materiellen Rechts an. Anderseits kann sie auch auf die Gewährung des rechtlichen Gehörs abzielen, indem mittels Beiladung die Verletzung von Gehörs- und Parteirechten im Verwaltungsverfahren geheilt werden (Christian Zünd, Die Beiladung im Sozialversicherungsprozess, in: Sozialversicherungsrechtstagung 2004, S. 38; Isabelle Häner, Die Beteiligten im Verwaltungsverfahren und Verwaltungsprozess, 2000, S. 166 Rz. 299).
3.2.2. Weiter gehende Wirkungen kommen der Beiladung nicht zu (<ref-ruling> E. 1.2 S. 502 f.). Insbesondere können die Beigeladenen im Endentscheid grundsätzlich zu nichts verpflichtet werden. Vielmehr erschöpft sich die Wirkung der Beiladung im Wesentlichen darin, dass sich die Beigeladenen, wie dargelegt, den rechtskräftigen Entscheid in anderen Verfahren entgegenhalten lassen müssen (Melchior Volz, in: Gesetz über das Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich, 2. Aufl. 2009, S. 161 Rz. 31; Fritz Gygi, Bundesverwaltungsrechtspflege, 2. Aufl. 1983, S. 184). Ausser Betracht fällt die Verpflichtung einer anderen Partei als im zugrunde liegenden Einspracheentscheid. Ist beispielsweise strittig, ob die Voraussetzungen für einen Unfall erfüllt sind, kann die in diesem Verfahren beigeladene Krankenkasse nicht zu Leistungen verpflichtet werden (Zünd, a.a.O., S. 53 oben; in diesem Sinne auch: <ref-ruling> [jedoch ein Klageverfahren betreffend]).
4.
4.1. Die Vorinstanz hat den Unfallversicherer im von der Versicherten gegen den Einspracheentscheid der SWICA vom 27. Juli 2015 angehobenen Beschwerdeprozess beigeladen, da das zu fällende Urteil auch gegenüber dem Unfallversicherer Rechtswirkung entfalten werde. In der Folge hat sich dieser vernehmen lassen. Im angefochtenen Entscheid prüfte das kantonale Gericht den Anspruch der Versicherten auf Kostenübernahme der Hauspflege sodann einzig unter unfallversicherungsrechtlichem Blickwinkel. Es wies die Beschwerde dispositivmässig mit der Feststellung ab, dass gegenüber dem beigeladenen Unfallversicherer Anspruch auf Hauspflege bestehe.
4.2. Nach dem hiervor Ausgeführten war es der Vorinstanz verwehrt, den Unfallversicherer in der ihr angetragenen Krankenversicherungsthematik verbindlich zu Leistungen - hier in Form von Hauspflege - zu verpflichten. Vielmehr hätte sie sich angesichts des Anfechtungs- und Streitgegenstands (Einspracheentscheid der SWICA vom 27. Juli 2015) in Begründung und Dispositiv zur Leistungspflicht der SWICA nach Massgabe des KVG und dessen Ausführungsverordnungen äussern müssen. Eine unmittelbare Inpflichtnahme des Unfallversicherers im Rahmen des Krankenversicherungsprozesses war demgegenüber nicht zulässig, zumal die Versicherte keine entsprechenden Leistungen - auch nicht konkludent - vom Unfallversicherer verlangt hatte (dazu Näheres bei Zünd, a.a.O., S. 53 unten f.). Daran ändert der Umstand nichts, dass der Unfallversicherer bereits im Verwaltungsverfahren miteinbezogen worden war und ebenfalls Einsprache gegen die Verfügung der SWICA vom 15. Juni 2015, nicht aber Beschwerde gegen den Einspracheentscheid vom 27. Juli 2015erhoben hatte (vgl. Volz, a.a.O., S. 151 Rz. 11 [zum Beiladungsbegriff nach GSVGer]).
Der vorinstanzliche Entscheid beruht damit auf einer willkürlichen Anwendung der kantonalen Verfahrensvorschriften und ist daher aufzuheben. Die Sache ist an das kantonale Gericht zur Erstellung eines sich mit der hauspflegerischen Rechtslage im Krankenversicherungsbereich befassenden Entscheids zurückzuweisen. Beide Beschwerden sind in diesem Sinne gutzuheissen.
5.
5.1. Auf die Erhebung von Gerichtskosten wird umständehalber verzichtet (Art. 66 Abs. 1 Satz 2 BGG).
5.2. Die Rückweisung der Sache an die Vorinstanz (mit noch offenem Ausgang) gilt für die Frage des Parteikostenersatzes als vollständiges Obsiegen im Sinne von Art. 68 Abs. 1 und 2 BGG, unabhängig davon, ob sie beantragt oder ob das entsprechende Begehren im Haupt- oder im Eventualantrag gestellt wird (<ref-ruling> E. 6.1 S. 235; u.a. Urteil 8C_279/2015 vom 27. August 2015 E. 4.1 mit Hinweisen). Die SWICA hat der anwaltlich vertretenen A._ daher eine Parteientschädigung auszurichten.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Verfahren 9C_198/2017 und 9C_199/2017 werden vereinigt.
2.
Die Beschwerden in den Verfahren 9C_198/2017 und 9C_199/2017 werden teilweise gutgeheissen und der Entscheid des Sozialversicherungsgerichts des Kantons Zürich vom 13. Januar 2017 wird aufgehoben. Die Sache wird zu neuer Entscheidung an die Vorinstanz zurückgewiesen. Im Übrigen werden die Beschwerden abgewiesen.
3.
Es werden keine Gerichtskosten erhoben.
4.
Die SWICA Krankenversicherung AG hat A._ für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 2'800.- zu entschädigen.
5.
Dieses Urteil wird den Parteien, dem Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich und dem Bundesamt für Gesundheit schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 29. August 2017
Im Namen der II. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Pfiffner
Die Gerichtsschreiberin: Fleischanderl