Sachverhalt:
A.
A._ (geb. 1966) ist Staatsangehöriger von Bosnien und Herzegowina. Aus erster Ehe hat er zwei Kinder (geb. 1995 und 1997), welche in seiner Heimat wohnen. A._ heiratete am 28. Februar 2004 eine mehr als 18 Jahre ältere, im Kanton Zürich niedergelassene Serbin.
Am 25. Mai 2004 reiste A._ in die Schweiz ein, wo ihm eine Aufenthaltsbewilligung erteilt wurde. Ab Juli 2004 ging er verschiedenen beruflichen Tätigkeiten als Fassadenisoleur, Hilfsarbeiter in einer Garage und Maler nach. Im November 2005 erlitt A._ eigenen Angaben zufolge einen Arbeitsunfall. Seither ging er keiner Erwerbstätigkeit mehr nach, weshalb er von der Sozialhilfe unterstützt werden musste. Bis 8. September 2014 belief sich der Unterstützungsbetrag auf insgesamt Fr. 156'215.65. Die eheliche Gemeinschaft wurde spätestens im Oktober 2006 aufgegeben und die Ehe am 24. Juni 2009 in Serbien geschieden.
Seit seinem Arbeitsunfall klagt A._ über verschiedene gesundheitliche Beschwerden. Im März 2007 und November 2009 ersuchte er erfolglos um Ausrichtung von IV-Leistungen. Ein drittes Verfahren ist noch nicht rechtskräftig abgeschlossen; im Vorbescheidsverfahren wurde ein Rentenanspruch allerdings erneut verneint. A._ befand sich in den Jahren 2011 bis 2014 verschiedentlich in stationär-psychiatrischer Behandlung und es sind ihm mehrere Medikamente zur Einnahme verordnet.
B.
Nach Gewährung des rechtlichen Gehörs lehnte das Migrationsamt des Kantons Zürich mit Verfügung vom 8. Oktober 2013 ein Gesuch von A._ um weitere Verlängerung der Aufenthaltsbewilligung ab. Mit Entscheid vom 27. Oktober 2014 wies die Sicherheitsdirektion des Kantons Zürich den dagegen erhobenen Rekurs ab. Das Verwaltungsgericht des Kantons Zürich bestätigte diesen Entscheid auf Beschwerde hin mit Urteil vom 10. Juni 2015.
C.
A._ (Beschwerdeführer) führt mit Eingabe vom 17. August 2015 Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten an das Bundesgericht. Er beantragt "das Urteil des Verwaltungsgerichts des Kantons Zürich vom 10. Juni 2015 sowie die Verfügung der Sicherheitsdirektion des Kantons Zürich, Migrationsamt, vom 8. Oktober 2013 und der Rekursentscheid der Sicherheitsdirektion des Kantons Zürich, Rekursabteilung, vom 27. Oktober 2014 aufzuheben". Das Migrationsamt des Kantons Zürich sei ferner anzuweisen, ihm die Aufenthaltsbewilligung zu verlängern. Gleichzeitig ersucht er um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung.
Die Sicherheitsdirektion und das Verwaltungsgericht des Kantons Zürich (Vorinstanz) verzichten auf eine Vernehmlassung. Das Staatssekretariat für Migration (SEM) beantragt die Abweisung der Beschwerde. Nicht vernehmen liess sich das Migrationsamt des Kantons Zürich.
Mit Präsidialverfügung vom 19. August 2015 wurde der Beschwerde antragsgemäss die aufschiebende Wirkung zuerkannt.

Erwägungen:
1.
1.1. Das Bundesgericht prüft seine Zuständigkeit und die weiteren Eintretensvoraussetzungen von Amtes wegen (<ref-law>) und mit freier Kognition (<ref-law>; <ref-ruling> E. 1 S. 116).
1.2. Auf dem Gebiet des Ausländerrechts ist die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten ausgeschlossen gegen Entscheide betreffend Bewilligungen, auf die weder das Bundesrecht noch das Völkerrecht einen Anspruch einräumt (<ref-law>). Der Beschwerdeführer macht in vertretbarer Weise einen Anspruch auf Verlängerung der Aufenthaltsbewilligung gestützt auf Art. 50 AuG (SR 142.20) geltend. Ob der Anspruch besteht, ist nicht eine Frage des Eintretens, sondern der materiellen Beurteilung, womit sich die Beschwerde als zulässig erweist (<ref-law> e contrario; <ref-ruling> E. 1.1 S. 179; Urteil 2C_716/2014 vom 26. November 2015, zur Publikation vorgesehen).
Soweit mit dem Rechtsmittel die Aufhebung des vorinstanzlichen Urteils verlangt wird, richtet sie sich gegen einen verfahrensabschliessenden Entscheid (<ref-law>) eines kantonal letztinstanzlichen oberen Gerichts (<ref-law>). Der Beschwerdeführer hat am kantonalen Verfahren teilgenommen und ist mit seinen Anträgen unterlegen, was ihn zur Beschwerde legitimiert (<ref-law>). Auf die im Übrigen form- (<ref-law>) und fristgerecht (<ref-law>) eingereichte Beschwerde ist in diesem Umfang einzutreten.
Nicht Gegenstand des bundesgerichtlichen Beschwerdeverfahrens bilden hingegen die Verfügung des Migrationsamts des Kantons Zürich und der Rekursentscheid der Sicherheitsdirektion des Kantons Zürich, deren Aufhebung der Beschwerdeführer ebenfalls beantragt. Diese wurden durch das vorinstanzliche Urteil ersetzt und gelten inhaltlich als mitangefochten (Devolutiveffekt; <ref-ruling> E. 1.4 S. 144, Urteil 2C_406/2014 vom 2. Juli 2015 E. 1.1).
1.3. Mit der Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann namentlich die Verletzung von Bundes- und Völkerrecht gerügt werden (<ref-law>). Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (<ref-law>), doch prüft es, unter Berücksichtigung der allgemeinen Rüge- und Begründungspflicht (<ref-law>), grundsätzlich nur die geltend gemachten Vorbringen, sofern allfällige weitere rechtliche Mängel nicht geradezu offensichtlich sind (<ref-ruling> E. 1.6 S. 280 f. mit Hinweis). Die Verletzung von Grundrechten sowie von kantonalem und interkantonalem Recht untersucht das Bundesgericht in jedem Fall nur insoweit, als eine solche Rüge in der Beschwerde präzise vorgebracht und begründet worden ist (<ref-law>; <ref-ruling> E. 2.2 S. 232; <ref-ruling> E. 3 S. 415).
1.4. Seinem Urteil legt das Bundesgericht den Sachverhalt zugrunde, wie ihn die Vorinstanz festgestellt hat (<ref-law>). Die Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz kann von Amtes wegen oder auf Rüge hin berichtigt oder ergänzt werden, wenn sie offensichtlich unrichtig (d.h. willkürlich; vgl. <ref-ruling> E. 2.3 S. 266, mit weiteren Hinweisen) ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruht (Art. 97 Abs. 1 und <ref-law>). Das Bundesgericht prüft in Bezug auf den Sachverhalt nur klar und detailliert erhobene und, soweit möglich, belegte Rügen (strenges Rügeprinzip; vgl. <ref-law>; <ref-ruling> E. 2.3 S. 266), wobei der Mangel nur dann behoben wird, wenn er für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein kann (<ref-law>, <ref-ruling> E. 1.3.1 S. 17 f.).
In sachverhaltlicher Hinsicht beschränkt sich der Beschwerdeführer darauf, seinen eigenen, vom vorinstanzlichen Urteil abweichenden Standpunkt zu wiederholen. Damit genügt er den Begründungsanforderungen gemäss <ref-law> nicht; seine diesbezüglichen Vorbringen sind nicht zu hören. Das Bundesgericht legt hier seinem Urteil deshalb unter Vorbehalt von <ref-law> allein jenen Sachverhalt zugrunde, welchen das Verwaltungsgericht festgestellt hat.
2.
2.1. Gemäss Art. 43 Abs. 1 AuG haben ausländische Ehegatten von Personen mit Niederlassungsbewilligung Anspruch auf Erteilung und Verlängerung der Aufenthaltsbewilligung, wenn sie mit diesen zusammenwohnen. Nach Auflösung der Ehe oder der Familiengemeinschaft besteht der Anspruch des Ehegatten und der Kinder auf Erteilung und Verlängerung der Aufenthaltsbewilligung nach Art. 43 AuG fort, wenn die Ehegemeinschaft mindestens drei Jahre bestanden hat und eine erfolgreiche Integration besteht (Art. 50 Abs. 1 lit. a AuG) oder wichtige persönliche Gründe einen weiteren Aufenthalt in der Schweiz erforderlich machen (Art. 50 Abs. 1 lit. b AuG).
Der Beschwerdeführer hat weder gestützt auf Art. 43 Abs. 1 AuG noch unter Berücksichtigung von Art. 50 Abs. 1 lit. a AuG einen Anspruch auf Verlängerung der Aufenthaltsbewilligung.
2.2. Allerdings beruft er sich unter Verweis auf seinen gesundheitlichen Zustand auf das Vorliegen wichtiger persönlicher Gründe gemäss Art. 50 Abs. 1 lit. b AuG. Wichtige persönliche Gründe können namentlich dann vorliegen, wenn die Ehegattin oder der Ehegatte Opfer ehelicher Gewalt wurde oder die Ehe nicht aus freiem Willen geschlossen hat oder die soziale Wiedereingliederung im Herkunftsland stark gefährdet erscheint (Art. 50 Abs. 2 AuG).
Die Aufzählung dieser Gründe im Gesetz ist nicht abschliessend, was sich bereits aus dessen Wortlaut ergibt ("namentlich"). Ein wichtiger persönlicher Grund kann sich entsprechend auch aus anderen als den genannten Aspekten ergeben (<ref-ruling> E. 4.1 S. 7, 137 II 345 E. 3.2.3 S. 349 f., 136 II 1 E. 5.3 S. 4). Als wichtige persönliche Gründe fallen indes nur Umstände in Betracht, welche bei einem Wegfall der Anwesenheitsberechtigung für die ausländische Person Konsequenzen von erheblicher Intensität erwarten lassen (vgl. <ref-ruling> E. 3.1 S. 232, 137 II 345 E. 3.2.3 S. 350). Die Rückkehr in Lebensverhältnisse, welche im Herkunftsland allgemein üblich sind, stellt für sich allein entsprechend noch keinen wichtigen Grund dar. Das gilt auch dann, wenn die ausländische Person in der Heimat auf eine im Vergleich zur Schweiz weniger vorteilhafte Lebenssituation trifft (vgl. Urteile 2C_1000/2012 vom 21. Februar 2013 E. 5.2.1, 2C_647/2010 vom 10. Februar 2011 E. 3.6 und 3.7).
Der Gesundheitszustand einer betroffenen Person kann aufgrund der nicht abschliessenden Aufzählung in Art. 50 Abs. 2 AuG einen wichtigen persönlichen Grund darstellen, welcher Anspruch auf Verlängerung der Aufenthaltsbewilligung gibt (vgl. auch <ref-law>; Urteile 2C_1051/2011 vom 29. Juni 2012 E. 3.2, 2C_721/2014 vom 15. Januar 2015 E. 4.2.1, 2C_316/2011 vom 17. Oktober 2011 E. 3.3). Um als wichtiger persönlicher Grund im Sinne von Art. 50 Abs. 1 lit. b AuG anerkannt zu werden, müssen die gesundheitlichen Probleme allerdings so gravierend sein, dass eine Rückkehr ins Herkunftsland in medizinischer Hinsicht unhaltbar erscheint (Urteile 2C_317/2015 vom 1. Oktober 2015 E. 5.1, 2C_268/2013 vom 21. Juni 2013 E. 3.4, 2C_1051/2011 vom 29. Juni 2012 E. 3.2., 2C_316/2011 vom 17. Oktober 2011 E. 3.3).
In weitgehender Übereinstimmung mit der Rechtsprechung des Bundesverwaltungsgerichts zur Zumutbarkeit des Wegweisungsvollzugs (Art. 83 Abs. 4 AuG) ist aus medizinischer Sicht etwa dann von einem wichtigen Grund auszugehen, wenn die ungenügende Möglichkeit der Behandlung im Heimatland eine drastische und lebensbedrohende Verschlechterung des Gesundheitszustands nach sich zieht (vgl. Urteil 2C_721/2014 vom 15. Januar 2015 E. 3.2.2; THOMAS HUGI YAR, Von Trennungen, Härtefällen und Delikten - Ausländerrechtliches rund um die Ehe- und Familiengemeinschaft, in: Achermann et al. [Hrsg.], Jahrbuch für Migrationsrecht 2012/2013, 2013, S. 91; vgl. ferner auch <ref-ruling> E. 3.3.2 S. 351 f., Urteile 2C_1000/2012 vom 21. Februar 2013 E. 5.2.1, 2C_236/2011 vom 2. September 2011 E. 2.2).
3.
3.1. Die Vorinstanz erwog, dass beim Beschwerdeführer gemäss medizinischen Berichten des Sanatoriums Kilchberg, wo er sich in den Jahren 2011 bis 2014 mehrmals stationär-psychiatrisch habe behandeln lassen, eine schizoaffektive Störung, eine chronische Schmerzstörung mit somatischen und psychischen Faktoren sowie Diabetes mellitus und Hypertonie vorliege. Gemäss ärztlichen Stellungnahmen habe sich beim Beschwerdeführer eine chronifizierte, rezidivierende schwere Depression mit psychotischen Symptomen entwickelt; hinzu käme beim Patienten eine starke körperliche Beeinträchtigung aufgrund eines Arbeitsunfalls im Jahr 2005. Der Beschwerdeführer sei nach Ansicht der behandelnden Ärzte auf psychiatrische und psychopharmakologische Behandlung angewiesen. Eine Wegweisung werde nach deren Auffassung beim Beschwerdeführer mit hoher Wahrscheinlichkeit eine schwere Krise auslösen und eine Selbstgefährdung sowie Suizidalität zur Folge haben.
Die Vorinstanz gelangte zum Schluss, dass dem Beschwerdeführer eine Rückkehr dennoch zumutbar sei. Die Abklärungen zur medizinischen Situation im Heimatland hätten ergeben, dass eine ambulante oder stationäre psychiatrische Behandlung möglich sei. Für die Grund- und Notfallversorgung bestehe ein weitgehend kostenloser Gesundheitsschutz. Zur Behandlung der vom Beschwerdeführer beschriebenen Krankheitsbilder stünden die nötigen Medikamente zur Verfügung. Ferner habe der Beschwerdeführer seine Heimat erst im Alter von 37 Jahren verlassen und habe dort zwei erwachsene Kinder. Entgegen den Aussagen des Beschwerdeführers müsse davon ausgegangen werden, dass er vor Ort weiterhin über ein Beziehungsnetz verfüge. Entsprechend liege kein wichtiger Grund im Sinne von Art. 50 Abs. 1 lit. b AuG vor.
3.2. Der Beschwerdeführer rügt demgegenüber, die Vorinstanz habe das Vorliegen eines wichtigen Grunds im Sinne von Art. 50 Abs. 1 lit. b AuG zu Unrecht verneint: Die mit einer Wegweisung verbundenen gesundheitlichen Konsequenzen seien gewichtig im Sinne der bundesgerichtlichen Rechtsprechung. Zudem habe die Vorinstanz verschiedene Kriterien nach <ref-law> nicht bzw. nicht zutreffend gewichtet. Eine Nichtverlängerung der Aufenthaltsbewilligung verstosse zudem auch gegen das Verbot der unmenschlichen Behandlung gemäss Art. 3 EMRK. Die Vorbringen des Beschwerdeführers überzeugen indessen nicht:
3.2.1. Gemäss den Feststellungen der Vorinstanz ist zwar davon auszugehen, dass der Beschwerdeführer gesundheitlich angeschlagen ist und medizinische Unterstützung benötigt. Allerdings macht er im Zusammenhang mit dem hängigen (dritten) IV-Verfahren selber geltend, dass sich seine psychische Situation zeitweise stabilisiert habe. Zu berücksichtigen ist weiter, dass der Beschwerdeführer gemäss Urteil des Sozialversicherungsgerichts des Kantons Zürich vom 26. Dezember 2011 in einer leidensangepassten Tätigkeit zu 100 % arbeitsfähig ist. Von keinen die Arbeitsfähigkeit beeinflussenden Einschränkungen auf psychischer oder somatischer Ebene ging sodann auch das Gutachten der Medizinischen Abklärungsstelle (MEDAS) vom 20. Juni 2014 aus.
Gleichzeitig steht aufgrund eines konkret in Bezug auf den Beschwerdeführer bzw. seine gesundheitliche Situation eingeholten Abklärungsberichts fest, dass dessen medizinische Versorgung bei einer Rückkehr in seine Heimat in reduziertem, aber gleichwohl ausreichendem Umfang gewährleistet bleibt. Die zur Behandlung seiner Beschwerden notwendigen Medikamente sind verfügbar und es existieren Einrichtungen der ambulanten und stationären Therapie, an welche er sich wenden kann. In finanzieller Hinsicht steht es dem Beschwerdeführer frei, auf Leistungen der örtlichen Krankenversicherung zurückzugreifen, für deren Gebühren nötigenfalls die Sozialfürsorge aufkommt. Auch hat er als Rückkehrer im Vergleich zur übrigen Wohnbevölkerung von Bosnien und Herzegowina nicht mit Einschränkungen bei der Gesundheitsversorgung zu rechnen. Das gilt umso mehr, als er vor seiner Wohnsitznahme in der Schweiz bis zum Alter von 37 Jahren in der Heimat erwerbstätig war und dort Renten- und Sozialversicherungsansprüche erworben haben dürfte.
Soweit sich der Beschwerdeführer darüber hinaus auf den Standpunkt stellt, dass ihm in Bosnien und Herzegowina nicht dieselbe therapeutische, ärztliche und medikamentöse Betreuung zuteil werden könne wie hierzulande, verkennt er die Reichweite des aus Art. 50 Abs. 1 lit. b AuG fliessenden Anspruchs. Eine fehlende Gleichwertigkeit der medizinischen Versorgung im Heimatland ist grundsätzlich hinzunehmen, sofern die gesundheitliche Situation der betroffenen Person dadurch nicht geradezu unhaltbar wird (vgl. <ref-ruling> E. 6 S. 403; Urteile 2C_268/2013 vom 21. Juni 2013 E. 3.4, 2C_721/2014 vom 15. Januar 2015 E. 3.2.1). Gestützt auf die von den Vorinstanzen getroffenen und vom Beschwerdeführer nicht substantiiert in Zweifel gezogenen Abklärungen hat der Beschwerdeführer bei einer Rückkehr in sein Heimatland keine solche Härte zu erwarten.
Betreffend die von der Vorinstanz wiedergegebene Einschätzung behandelnder Ärzte, wonach der Beschwerdeführer bei einer Wegweisung mit selbstgefährdenden Tendenzen und Suizidalität reagieren könnte, ist darauf hinzuweisen, dass einer möglichen Verschlechterung des Gesundheitszustands im Zusammenhang mit einer Wegweisung medizinisch zu begegnen und der Wegweisungsvollzug allenfalls sorgfältig vorzubereiten ist (vgl. <ref-ruling> E. 5.2.2; Urteil 2C_573/2014 vom 4. Dezember 2014 E. 4.3.1).
3.2.2. Entgegen der Auffassung des Beschwerdeführers resultiert ein Anspruch auf Verlängerung der Aufenthaltsbewilligung auch nicht aus einer fehlenden Möglichkeit zur sozialen Wiedereingliederung in der Heimat. In der Schweiz verfügt er über keinen Bekannten- oder Freundeskreis und er ist seit der Trennung von seiner Ehefrau auf Fürsorgeleistungen angewiesen. Der Beschwerdeführer kann in der Schweiz somit weder als wirtschaftlich noch als sozial integriert gelten. Demgegenüber hat er in der Heimat zwei mittlerweile erwachsene Kinder aus erster Ehe. Zudem kam er vergleichsweise spät in die Schweiz und verbrachte seine Kinder- und Jugendjahre sowie die gesamte Schullaufbahn, Berufsausbildung und den grössten Teil seiner beruflichen Karriere im Herkunftsland. Vor diesem Hintergrund haben die Vorinstanzen die nicht näher begründete Behauptung des Beschwerdeführers, in der Heimat über keinerlei Kontakte mehr zu verfügen, zu Recht als wenig überzeugend gewertet. Dem Beschwerdeführer ist es zumutbar, bei einer Rückkehr auf die in seiner Heimat bestehenden Beziehungen zurückzugreifen. Jedenfalls erreichen mögliche Hindernisse bei der sozialen Wiedereingliederung des Beschwerdeführers nicht ein mit Blick auf Art. 50 Abs. 2 AuG relevantes Ausmass.
3.3. Soweit der Beschwerdeführer in der Nichtverlängerung der Aufenthaltsbewilligung schliesslich einen Verstoss gegen Art. 3 EMRK erblickt, erschöpfen sich seine Ausführungen in appellatorischer Kritik, mit welcher er nicht zu hören ist. Ohnehin macht der Beschwerdeführer hinsichtlich Art. 3 EMRK keine nicht bereits im Rahmen von Art. 50 Abs. 1 lit. b bzw. Art. 50 Abs. 2 AuG beurteilten Vorbringen. Auf die entsprechenden Erwägungen (vgl. oben E. 3.2) kann somit vollumfänglich verwiesen werden, zumal gemäss Rechtsprechung relativ hohe Schwellen bestehen, bevor eine Abschiebung oder Wegweisung aus medizinischen Gründen als unmenschliche Behandlung im Sinne von Art. 3 EMRK zu qualifizieren ist (vgl. Urteile 2C_721/2014 vom 15. Januar 2015 E. 3.2.2, 2C_317/2015 vom 1. Oktober 2015 E. 5.2; Urteil des EGMR N. gegen Vereinigtes Königreich vom 27. Mai 2008, Recueil CourEDH 2008-III S. 247 § 42 ff.; HUGI YAR, a.a.O., S. 91).
4.
Die Beschwerde erweist sich somit als unbegründet, soweit auf sie einzutreten ist. Im Lichte der sachverhaltlichen Feststellungen der Vorinstanz erwies sie sich überdies als aussichtslos, sodass dem Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung nicht entsprochen werden kann (<ref-law>). Damit wird der Beschwerdeführer grundsätzlich kostenpflichtig (<ref-law>); seiner finanziellen Lage ist indessen bei der Bemessung der Gerichtsgebühr angemessen Rechnung zu tragen (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.
Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung wird abgewiesen.
3.
Die Gerichtskosten von Fr. 500.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
4.
Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten, dem Verwaltungsgericht des Kantons Zürich, 4. Abteilung, und dem Staatssekretariat für Migration schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 14. März 2016
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Zünd
Der Gerichtsschreiber: Fellmann