Sachverhalt:
A.
A.a. A.A._ (Beschwerdeführer; geb. 1960) und B.A._ (Beschwerdegegnerin; geb. 1963) heirateten 1987 und trennten sich am 1. Januar 2014. Sie haben einen volljährigen Sohn und die Tochter C.A._ (geb. 2001).
A.b. Mit Urteil vom 16. März 2015 teilte das Kreisgericht Werdenberg-Sarganserland die Obhut für C.A._ der Mutter zu, regelte das Besuchsrecht des Vaters und verpflichtete diesen, ab Januar 2014 an den Unterhalt der Tochter monatlich Fr. 1'500.-- zuzüglich allfälliger Kinder- und Ausbildungszulagen zu bezahlen sowie an die Beschwerdegegnerin ab Januar 2014 Fr. 5'000.--, ab Januar 2015 Fr. 6'500.-- und ab Januar 2016 Fr. 5'900.--. Sodann regelte das Gericht die weiteren Trennungsfolgen.
B.
B.a. Gegen dieses Urteil erhob der Beschwerdeführer Berufung an das Kantonsgericht St. Gallen. Soweit nachfolgend relevant, verlangte er eine Reduktion des Unterhaltsbeitrags für die Ehefrau ab Januar 2014 auf Fr. 2'000.--. Die Beschwerdegegnerin beantragte, das Berufungsbegehren abzuweisen.
B.b. Mit Urteil vom 12. Oktober 2015 hiess das Kantonsgericht die Berufung in einem heute nicht mehr strittigen Punkt gut (Besuchs- und Ferienrecht zwischen Vater und Tochter), wies die Berufung im Übrigen aber ab. Die Kosten verlegte das Kantonsgericht im Verhältnis von 6/7 zu Lasten des Beschwerdeführers und 1/7 zu Lasten der Beschwerdegegnerin und es verpflichtete ersteren der Ehefrau Parteikosten zu vergüten.
C.
C.a. Hiergegen gelangt der Beschwerdeführer mit Eingabe vom 12. November 2015 an das Bundesgericht. Er beantragt, das Urteil vom 12. Oktober 2015 sei hinsichtlich Unterhaltsbeitrag sowie der damit verbundenen Kosten- und Entschädigungsfolge aufzuheben und mit folgenden Anweisungen zur Neubeurteilung an die Vorinstanz zurückzuweisen: Seine Unterhaltsverpflichtung gegenüber der Beschwerdegegnerin sei ab 1. Januar 2014 bis 31. Dezember 2014 auf Fr. 4'000.-- pro Monat und ab 1. Januar 2015 auf Fr. 2'000.-- zu reduzieren (a). Die kantonsgerichtlichen Kosten seien den Parteien hälftig aufzuerlegen und die Parteikosten wettzuschlagen (b).
C.b. Mit separater Eingabe vom 2. Dezember 2015 beantragte der Beschwerdeführer, seiner Beschwerde sei aufschiebende Wirkung zu gewähren. Die Beschwerdegegnerin widersetzte sich dem Gesuch mit Stellungnahme vom 14. Dezember 2015, während das Kantonsgericht auf eine Stellungnahme verzichtete. Mit Verfügung vom 16. Dezember 2015 erkannte der Präsident der II. zivilrechtlichen Abteilung der Beschwerde für die bis und mit November 2015 geschuldeten Frauenunterhaltsbeiträge aufschiebende Wirkung zu und wies das Gesuch im Übrigen ab.
C.c. Das Bundesgericht hat sodann die Akten der Vorinstanz, aber keine Vernehmlassungen eingeholt.

Erwägungen:
1.
1.1. Das Bundesgericht prüft von Amtes wegen und mit freier Kognition, ob eine bei ihm eingereichte Beschwerde zulässig ist (<ref-ruling> E. 1 S. 116; <ref-ruling> E. 2 S. 59).
1.2. Fristgerecht angefochten ist ein kantonal letztinstanzlicher Eheschutzentscheid (Art. 75 Abs. 1, Art. 90 und Art. 100 Abs. 1 BGG; zur Qualifikation als Endentscheid vgl. <ref-ruling> E. 4 S. 395 f.). Vor Bundesgericht ist einzig der Unterhalt der Ehefrau strittig, womit es sich um eine vermögensrechtliche Streitigkeit handelt. Der erforderliche Streitwert von Fr. 30'000.-- ist erreicht (Art. 51 Abs. 4 und Art. 74 Abs. 1 lit. b BGG). Der Beschwerdeführer ist gemäss <ref-law> zur Beschwerde berechtigt. Damit erfüllt die Eingabe des Beschwerdeführers die Voraussetzung für die Entgegennahme als Beschwerde in Zivilsachen nach <ref-law>.
2.
2.1. Weil Eheschutzentscheide vorsorgliche Massnahmen im Sinne von <ref-law> darstellen (<ref-ruling> E. 5.2 S. 397), kann einzig die Verletzung verfassungsmässiger Rechte gerügt werden. Hierfür gilt das strenge Rügeprinzip (<ref-law>). Das Bundesgericht prüft nur klar und detailliert erhobene und soweit möglich belegte Rügen, während es auf ungenügend begründete Rügen und rein appellatorische Kritik am angefochtenen Entscheid nicht eintritt. Wird die Verletzung des Willkürverbots gerügt, reicht es sodann nicht aus, die Lage aus Sicht des Beschwerdeführers aufzuzeigen und den davon abweichenden angefochtenen Entscheid als willkürlich zu bezeichnen; vielmehr ist im Einzelnen darzulegen, inwiefern das kantonale Gericht willkürlich entschieden haben soll und der angefochtene Entscheid deshalb an einem qualifizierten und offensichtlichen Mangel leidet (<ref-ruling> E. 2.2 S. 246). Auch eine Berichtigung oder Ergänzungen der Sachverhaltsfeststellungen kommt nur in Frage, wenn die kantonale Instanz verfassungsmässige Rechte verletzt hat (<ref-ruling> E. 4.1 S. 588), was die rechtsuchende Partei wiederum präzise geltend zu machen hat.
2.2. Dreht sich der Rechtsstreit um die Unterhaltsfestsetzung, gilt es zu beachten, dass der Richter in verschiedener Hinsicht auf sein Ermessen verwiesen ist (<ref-law>; <ref-ruling> E. 3a S. 141; Botschaft über die Änderung des ZGB vom 15. November 1995, BBl 1996 I S. 1 ff. S. 115 f.), wobei vorliegend der Willkürmassstab entscheidend bleibt (siehe E. 2.1 hiervor).
3.
3.1. Der Beschwerdeführer beanstandet vor Bundesgericht die von den Vorinstanzen vorgenommene Unterhaltsberechnung in dreifacher Hinsicht. Erstens sei ihm ein zu hohes durchschnittliches monatliches Einkommen angerechnet worden (siehe sogleich), zweitens seien ihm ungerechtfertigt Mietzinserträge angerechnet worden (E. 4), drittens sei die Berechnungsmethode unzulässig gewesen, indem nämlich die Sparquote nicht berücksichtigt worden sei (E. 5). In allen drei Punkten macht er eine Verletzung des Willkürverbots geltend.
3.2. Die erste Instanz rechnete dem Beschwerdeführer ein monatliches Einkommen von Fr. 17'800.-- an. Dieses umfasste Fr. 14'800.-- aus selbständiger Tätigkeit als Anwalt, Fr. 2'000.-- aus unselbständiger Tätigkeit (Unterricht an der Schule D._), Fr. 300.-- aus einem Einkommen als Verwaltungsrat und Fr. 500.-- Mietertrag. Die Vorinstanz stellte fest, dass dies korrekt addiert ein Gesamteinkommen von Fr. 17'600.-- ergebe, schützte aber die einzelnen Posten.
3.3. Der Beschwerdeführer rügt, er habe im Berufungsverfahren ein monatliches Einkommen von Fr. 14'800.-- anerkannt, sich aber gegen eine Aufrechnung der Unterrichtstätigkeit gewehrt. Daran hält er fest. Er habe bereits vor der Vorinstanz belegt, dass der betreffende Kurs ursprünglich für seinen Sohn E._ ausgeschrieben worden sei und er nur wegen gesundheitlicher Probleme des Sohnes interimsweise für den Sohn eingesprungen sei. Jedenfalls sei es willkürlich, von ihm ein Pensum von mehr als 100 % zu verlangen. Er arbeite als Rechtsanwalt schon 60 Stunden pro Woche, die Unterrichtszeiten seien Abends, also ausserhalb der eigentlichen vollzeitlichen beruflichen Tätigkeitszeiten und in einem Zeitrahmen, den er infolge der Trennung für die Haushaltsführung benötige. Zudem verfügten die Parteien mit dem von ihm anerkannten Verdienst bereits über genügend Geldmittel, ohne dass noch ein in der Vergangenheit erzielter Nebenerwerb berücksichtigt werden müsse.
3.4. Vorab ist festzuhalten, dass bei der Unterhaltsberechnung grundsätzlich vom effektiv erzielten Einkommen auszugehen ist. Der Beschwerdeführer bringt zwar vor, er habe den Kurs nur für seinen Sohn übernommen, dass er die entsprechende Vergütung dem Sohn weitergeleitet habe, bringt er indes nicht vor. Solange er den Kurs übernahm, floss ihm das strittige Einkommen also offensichtlich zu und ist es zu berücksichtigen. Dass er das Geld ausserhalb der üblichen Bürozeiten erzielte, spielt dabei keine Rolle. Ebenso ist irrelevant, dass er in dieser Zeit hätte Haushaltsarbeiten erledigen können. Soweit der Beschwerdeführer glauben machen will, dass er die Tätigkeit heute nicht mehr wahrnehme und ihm mithin die Unterrichtsentschädigung als hypothetisches Einkommen angerechnet werde, verpasst er es zu präzisieren, in welchem Zeitraum die Stellvertretung stattgefunden habe. Gleichzeitig ist er auf die Feststellung der Vorinstanz hinzuweisen, dass er weiterhin als Dozent der Schule aufgeführt sei. Er geht hierauf mit keinem Wort ein. Da er in der Tat weiterhin als Dozent der Schule D._ aufgelistet wird (vgl. Homepage der Schule D._; besucht am 7. Juli 2016), ist keine Willkür ersichtlich, wenn ihm das Einkommen weiterhin angerechnet wurde; zumal den kantonalen Instanzen betreffend Zumutbarkeit einer Nebenbeschäftigung über eine vollzeitliche Arbeitstätigkeit hinaus ein Ermessens zukommt, in welches des Bundesgericht nur mit Zurückhaltung eingreift (vgl. das vom Beschwerdeführer selbst zitierte Urteil 5A_722/2007 vom 7. April 2008 E. 6.2.2).
4.
4.1. Zum umstrittenen Mietertrag von Fr. 500.-- pro Monat gab die Vorinstanz zu bedenken, die Wohnung könnte wegen eines aktenkundigen Leichenfundes dort und Renovationsbedarf erschwert vermietbar sein. In der längerfristigen Betrachtung sei aber ein entsprechendes Einkommen anrechenbar. Darüber hinaus habe der Betrag infolge seiner Geringfügigkeit ohnehin keinen massgebenden Einfluss auf die Unterhaltsberechnung.
4.2. Der Beschwerdeführer betont, die Wohnung sei leer und zuletzt von einem Messie bewohnt gewesen, der in der Wohnung verstorben und erst nach mehreren Tagen tot aufgefunden worden sei. Die Wohnung könne schon deshalb nicht mehr vermietet werden; einer Neuvermietung stehe sodann auch ein Vorinvestitionsbedarf entgegen.
4.3. Wie aus dem angefochtenen Urteil hervorgeht, war der Vorinstanz die Problematik bekannt. Wenn sie die Wohnung dennoch für längerfristig (wieder) vermietbar hielt und zudem den Betrag für nicht derart gewichtig hielt, dass er die Unterhaltsberechnung massgeblich beeinflussen würden, ist darin keine willkürliche Ermessensüberschreitung ersichtlich (E. 2.2). Der Beschwerdeführer legt im Übrigen auch nicht dar, inwiefern sich die Weglassung des Mietertrags seines Erachtens betragsmässig auf den Unterhaltsbeitrag auswirken müsste.
5.
5.1. Schliesslich ist auf die Frage der Berechnungsmethode einzugehen. Die Vorinstanz hielt hierzu fest, die erste Instanz habe eine Grundbedarfsberechnung mit Überschussteilung vorgenommen, welche sich für die vorliegende Familie eigne, da keine massgebende Sparquote nachgewiesen worden sei. Ohnehin scheine die vom Beschwerdeführer erhobene Rüge der unzulässigen Methodenmischung nicht ausreichend begründet.
5.2. Der Beschwerdeführer knüpft daran an, dass die Vorinstanz seinen Einwand zwar erwähne, aber nicht darauf eingegangen sei, weil sie diesen willkürlich als nicht substanziiert erachtet habe. Er sei seiner Behauptungslast aber schon vor der Vorinstanz nachgekommen, indem er auf den Vermögenszuwachs in den Steuererklärungen 2012, 2013 hingewiesen habe. Weiter habe er erwähnt, dass die Unterhaltspflicht für den Sohn abgeschlossen sei und damit die bisherigen Beiträge von ca. Fr. 30'000.-- pro Jahr frei verfügbar würden. Ebenso habe er schon die Familienrichterin darauf aufmerksam gemacht, dass durch zusätzliche Einzahlungen von jährlich Fr. 15'000.-- in die Pensionskasse eine Sparquote erzielt werde. Zudem habe er darauf hingewiesen, dass die Berechnungsmethode der Familienrichterin unzulässig sei, weil sie verschiedene Methoden mische. Das genüge im kantonalen Rechtsmittelverfahren, womit der vorinstanzliche Richter hätte darauf eintreten müssen.
5.3. Entgegen der Behauptung des Beschwerdeführers ist die Vorinstanz auf den Einwand betreffend Berechnungsmethode eingetreten. Sie erwog, die Methode der Grundbedarfsberechnung mit Überschussverteilung sei zulässig, da "keine massgebende Sparquote nachgewiesen wurde". Gegen diese Beweiswürdigung müsste der Beschwerdeführer eine den Begründungsanforderungen genügende Sachverhaltsrüge erheben (135 III 232 E. 1.2 S. 234 mit Hinweisen; vgl. auch E. 2.1) und darüber hinaus aufzeigen, inwiefern sich der von ihm dargestellte Sachverhalt auf das Ergebnis auswirken würde (Art. 97 Abs. 1 in fine BGG).
Der Beschwerdeführer kommt dieser Rüge- und Substanziierungspflicht vor Bundesgericht nicht nach. Weder beziffert er, wie hoch die behauptete Sparquote insgesamt sein solle, noch belegt er dies mit Unterlagen. Ebensowenig zeigt er auf, wie sich die behauptete Sparquote auf die Unterhaltsberechnung auswirken würde. Auf diesen Einwand kann daher nicht eingetreten werden.
Die Beschwerde ist abzuweisen, soweit darauf eingetreten werden konnte. Mangels eigenständiger Anfechtung erübrigt sich bei diesem Ausgang eine Prüfung der vorinstanzlichen Kosten- und Entschädigungsregelung.
6.
Die Kosten für das bundesgerichtliche Verfahren sind somit dem Beschwerdeführer aufzuerlegen (<ref-law>). Da die Beschwerdegegnerin mit ihrem Antrag betreffend aufschiebende Wirkung zumindest teilweise unterlag und in der Sache keine Vernehmlassung eingeholt wurde, schuldet ihr der Beschwerdeführer indes keine Parteientschädigung (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 2'500.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Kantonsgericht St. Gallen, Einzelrichter im Familienrecht, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 13. Juli 2016
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: von Werdt
Die Gerichtsschreiberin: Friedli-Bruggmann