Sachverhalt:
A.
A._ (Beschwerdeführer) war über seine Arbeitgeberin bei der B._ Krankenversicherung AG (Beschwerdegegnerin) mit einer kollektiven Taggeldversicherung nach VVG (SR 221.229.1) versichert. Am Freitag, 18. März 2016, kündigte die Arbeitgeberin das Arbeitsverhältnis und stellte A._ per sofort von der Arbeit frei. Mit Schreiben vom Montag, 21. März 2016, sprach sie zudem die fristlose Kündigung aus.
Die B._ Krankenversicherung AG wurde mit Meldung der Arbeitgeberin vom 1. Juli 2016 darüber informiert, dass A._ vollständig arbeitsunfähig sei. Sie verneinte eine Leistungspflicht mit der Begründung, die Arbeitsunfähigkeit von A._ sei nach Beendigung des Versicherungsverhältnisses eingetreten.
B.
Am 23. Dezember 2016 klagte A._ beim Versicherungsgericht des Kantons Aargau mit dem Begehren, es sei ihm vom 19. April 2016 bis und mit dem 30. Oktober 2016 ein Taggeld auf der Basis einer Arbeitsunfähigkeit von 100 % zuzusprechen. Weiter sei ihm ab dem 1. November 2016 bis auf weiteres ein Taggeld auf der Basis einer Arbeitsunfähigkeit von 50 % zuzusprechen. Es "sei der Tagessatz bei einer 100 %-en Arbeitsunfähigkeit auf Fr. 219.18 festzusetzen".
Mit Urteil vom 26. September 2017 wies das Versicherungsgericht die Klage ab.
C.
A._ verlangt mit Beschwerde in Zivilsachen, das Urteil des Versicherungsgerichts sei aufzuheben. Die Sache sei "zur korrekten Durchführung des Verfahrens nach der geltenden Schweizerischen Zivilprozessordnung und der damit einhergehenden Neubeurteilung an die Vorinstanz zurückzuweisen".
Es wurden keine Vernehmlassungen eingeholt.

Erwägungen:
1.
Das angefochtene Urteil des Versicherungsgerichts hat eine Streitigkeit aus einer Zusatzversicherung zur sozialen Krankenversicherung gemäss <ref-law> zum Gegenstand (siehe dazu Urteil 4A_12/2016 vom 23. Mai 2017 E. 1.2 mit Hinweisen). Es ist ein Endentscheid (<ref-law>) einer einzigen kantonalen Instanz im Sinne von <ref-law>. Dagegen steht grundsätzlich die Beschwerde in Zivilsachen offen, gemäss <ref-law> unabhängig vom Streitwert (<ref-ruling> E. 1.1, 2 E. 1.2.2; siehe auch <ref-ruling> E. 1.2).
2.
Mit Beschwerde in Zivilsachen können Rechtsverletzungen nach Art. 95 und 96 BGG gerügt werden.
Der Beschwerdeführer hebt zu Recht hervor, dass auf das vorliegende Verfahren vor dem Versicherungsgericht die Bestimmungen der Schweizerischen Zivilprozessordnung Anwendung finden (siehe Urteil 4A_110/2017 vom 27. Juli 2017 E. 3 mit Hinweisen). Indessen vermag er keine vom Bundesgericht überprüfbare Verletzung derselben darzutun:
Er rügt, das Versicherungsgericht habe die Parteien am 10. Juli 2017 auf den 26. September 2017 zu einer "Beweisverhandlung mit Zeugenbefragung" vorgeladen. Dies entspreche dem früheren aargauischen Zivilprozessrecht, sei aber unter der Schweizerischen Zivilprozessordnung nicht mehr vorgesehen. Indessen ist ihm durch diesen Fehler kein Nachteil entstanden, räumt er doch selber ein, dass ihm auf telefonische Nachfrage seiner Rechtsvertreterin hin zur Auskunft gegeben worden sei, es werde eine Hauptverhandlung durchgeführt.
Er beanstandet weiter dem Sinn nach eine Verletzung seines Rechts auf Beweis gemäss <ref-law>, da die "in den Rechtsschriften" als Beweismittel beantragte, unabdingbare Parteibefragung mit ihm nicht durchgeführt worden sei und somit eine unvollständige Beweisabnahme stattgefunden habe. Da keine Beweisverfügung erlassen worden sei, sei unklar, ob eine Parteibefragung an der Verhandlung vom 26. September 2017 vorgesehen gewesen sei. Indessen hat es sich der Beschwerdeführer selber zuzuschreiben, dass er zu dieser Verhandlung nicht persönlich erschienen ist. Daran vermag auch nichts zu ändern, wenn ihm auf Anfrage hin vorgängig mitgeteilt wurde, es bestehe keine Pflicht, persönlich zu erscheinen. Dem Beschwerdeführer stand es jedenfalls ohne weiteres offen, auch ohne Pflicht zum persönlichen Erscheinen (siehe <ref-law>) an der Verhandlung teilzunehmen und seine Parteibefragung anzubieten, zumal ihm angesichts der Vorladung bekannt war, dass das Gericht zur Beweisabnahme schreiten würde. Jedenfalls hätte seine Rechtsvertreterin anlässlich der Verhandlung verlangen können, dass der Beschwerdeführer als Partei zu befragen sei. Dass sie dies getan hätte, macht der Beschwerdeführer nicht geltend und ergibt sich auch nicht aus dem Verhandlungsprotokoll. Demgegenüber verstösst es gegen die Pflicht zum Handeln nach Treu und Glauben gemäss <ref-law>, zuerst den Endentscheid abzuwarten und derartige Beanstandungen erst im Rahmen des Rechtsmittelverfahrens gegen diesen vorzubringen (vgl. <ref-ruling> E. 4.3.2 mit Hinweisen).
3.
Sodann beanstandet der Beschwerdeführer die Beweiswürdigung der Vorinstanz.
3.1. Nach <ref-law> kann die Feststellung des Sachverhalts nur gerügt werden, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruht. "Offensichtlich unrichtig" bedeutet dabei "willkürlich" (<ref-ruling> E. 2 S. 117; <ref-ruling> E. 1.5).
Dementsprechend greift das Bundesgericht in die Beweiswürdigung des Sachgerichts nur ein, wenn diese willkürlich ist. Willkür liegt nach der Rechtsprechung nicht schon dann vor, wenn eine andere Lösung ebenfalls in Betracht zu ziehen oder gar vorzuziehen wäre, sondern bloss, wenn der angefochtene Entscheid offensichtlich unhaltbar ist, mit der tatsächlichen Situation in klarem Widerspruch steht, eine Norm oder einen unumstrittenen Rechtsgrundsatz krass verletzt oder in stossender Weise dem Gerechtigkeitsgedanken zuwiderläuft (<ref-ruling> E. 4.1; <ref-ruling> E. 2.1; je mit Hinweisen). Die Beweiswürdigung ist mithin nicht schon dann willkürlich, wenn sie nicht mit der Darstellung der beschwerdeführenden Partei übereinstimmt, sondern bloss, wenn sie offensichtlich unhaltbar ist (<ref-ruling> E. 4.2.1; <ref-ruling> E. 2.1). Dies ist dann der Fall, wenn das Gericht Sinn und Tragweite eines Beweismittels offensichtlich verkannt hat, wenn es ohne sachlichen Grund ein wichtiges und entscheidwesentliches Beweismittel unberücksichtigt gelassen oder wenn es auf der Grundlage der festgestellten Tatsachen unhaltbare Schlussfolgerungen gezogen hat (<ref-ruling> E. 2.3 S. 266; <ref-ruling> E. 4.2 S. 234; <ref-ruling> E. 4.2). Inwiefern die Beweiswürdigung willkürlich sein soll, ist in der Beschwerde klar und detailliert aufzuzeigen (<ref-ruling> E. 2.2).
3.2. Die Vorinstanz wies die Klage mit der Begründung ab, der Beschwerdeführer habe nicht beweisen können, dass vor Beendigung des Arbeitsverhältnisses eine Arbeitsunfähigkeit eingetreten sei. Dabei würdigte es namentlich das Arbeitsunfähigkeitszeugnis von Dr. med. C._ und erwog, dieses beruhe im Wesentlichen auf den Angaben des Beschwerdeführers, der den Arzt erstmals am Mittwoch, 23. März 2016, aufgesucht habe. Die attestierte Arbeitsunfähigkeit sei nicht hinreichend durch eine erhobene Diagnose erklärt. Vor allem aber stehe die rückwirkende Krankschreibung in Widerspruch dazu, dass der Beschwerdeführer am Donnerstag, 17. März 2016, am Arbeitsort erschienen sei und sowohl am Donnerstag, 17. März 2016, als auch am Freitag, 18. März 2016, seinem damaligen Vorgesetzten gegenüber mitgeteilt habe, bei der Arbeit zu sein. Es sei ihm denn ja auch möglich gewesen, am Freitag um 16:00 Uhr bei seinem Vorgesetzten zu erscheinen. Damit sei nicht erstellt, dass während des mit der Beschwerdegegnerin bestehenden Versicherungsverhältnisses eine Arbeitsunfähigkeit eingetreten sei.
Diese nachvollziehbare Beweiswürdigung kann der Beschwerdeführer nicht dadurch als willkürlich ausweisen, dass er ihr seine eigene Sicht der Dinge entgegensetzt und rügt, die Vorinstanz habe vollumfänglich auf die Aussagen des ehemaligen Arbeitgebers abgestellt, obwohl diese "nicht über alle Zweifel erhaben" gewesen seien. Dass das Arbeitsunfähigkeitszeugnis von Dr. med. C._ im Wesentlichen auf seinen Äusserungen beruhte und seine Arbeitsunfähigkeit rückwirkend attestierte, stellt der Beschwerdeführer nicht in Frage; ebensowenig gelingt es ihm, den Widerspruch zu seinem tatsächlichen Erscheinen zur Arbeit auszuräumen. Wenn die Vorinstanz diesen Umständen entscheidende Bedeutung zumass, ist dies jedenfalls nicht unhaltbar.
4.
Die Beschwerde ist abzuweisen. Bei diesem Ausgang des Verfahrens sind die Gerichtskosten gemäss <ref-law> dem Beschwerdeführer aufzuerlegen. Der Beschwerdegegnerin ist kein Aufwand entstanden, für den sie nach <ref-law> zu entschädigen wäre.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 5'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Versicherungsgericht des Kantons Aargau, 3. Kammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 4. Dezember 2017
Im Namen der I. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Kiss
Der Gerichtsschreiber: Kölz