Sachverhalt:
A.
A._ reichte am 19. März 2014 gegen X.A._ Strafanzeige wegen Verleumdung, eventuell übler Nachrede, ein und konstituierte sich als Privatkläger.
B.
Der Anklagesachverhalt (gemäss Strafbefehl) lautet:
"X.A._ erzählte Frau B._, der Lehrerin ihrer Schwester C._, an einem Sonntag Abend im Januar 2014, dass A._ schon eine Anzeige gehabt habe wegen sexuellem Missbrauch, und verschwieg, dass das Verfahren ohne Verurteilung geendet hatte, obwohl sie dies gemäss eigenen Angaben aus dem Verhalten der damaligen Anzeigerin D._ schloss und gemäss den Aussagen ihrer Mutter und Grossmutter von ihnen wusste."
C.
Das Regionalgericht Bern-Mittelland verurteilte X.A._ am 13. Oktober 2014 wegen Verleumdung zu einer bedingten Geldstrafe von 50 Tagessätzen zu Fr. 50.-- (total Fr. 2'500.--) und zu den Verfahrenskosten von Fr. 2'424.-- sowie zur Bezahlung einer Genugtuung von Fr. 500.-- und einer Parteientschädigung von Fr. 6'395.35 an den Privatkläger.
Das Obergericht des Kantons Bern fand X.A._ am 12. Mai 2015 auf ihre Berufung hin der Verleumdung (<ref-law>) schuldig und verurteilte sie zu einer bedingten Geldstrafe von 30 Tagessätzen zu Fr. 50.-- (total Fr. 1'500.--), mit Probezeit von zwei Jahren, sowie zur Bezahlung einer Genugtuung von Fr. 300.-- und einer Parteientschädigung von insgesamt Fr. 7'032.15 (Fr. 6'395.35 plus Fr. 886.80 für das obergerichtliche Verfahren) an den Privatkläger, ferner zu den erst- und oberinstanzlichen Verfahrenskosten von Fr. 2'424.-- und Fr. 2'000.--.
D.
X.A._ beantragt mit Beschwerde in Strafsachen:
1. das vorinstanzliche Urteil aufzuheben und die Ziffern des Urteilsdispositivs dahingehend abzuändern:
2. Ziff. 1: das Verfahren einzustellen, eventualiter sie von Schuld und Strafe freizusprechen;
3. Ziff. 2: die Zivilklage unter Kostenfolge abzuweisen, eventualiter darauf nicht einzutreten, subeventualiter auf den Zivilweg zu verweisen;
4. Ziff. 3: den Privatkläger zu einer auf den Zivilpunkt entfallenden Parteientschädigung von Fr. 3'000.--, eventualiter zu einer Parteientschädigung nach richterlichem Ermessen, zu verurteilen;
5. Ziff. 4: die erstinstanzlichen Verfahrenskosten von Fr. 2'424.-- dem Kanton aufzuerlegen;
6. Ziff. 5: die vorinstanzlichen Verfahrenskosten von Fr. 2'000.-- dem Kanton aufzuerlegen;
7. ihr für das vorinstanzliche Verfahren zu Lasten des Kantons eine Parteientschädigung von Fr. 10'818.-- (inkl. Auslagen und MWST) auszurichten, eventualiter die Sache im Sinne der Erwägungen zu diesem Zweck an die Vorinstanz zurückzuweisen;
8. eventualiter die Sache an die Vorinstanz zurückzuweisen;
9. die unentgeltliche Rechtspflege zu gewähren;
10. Rechtsanwalt Oliver Lücke, eventualiter einen anderen Rechtsanwalt, als unentgeltlichen Rechtsbeistand beizuordnen;
[11.] unter Kosten- und Entschädigungsfolge.
E.
Obergericht und Generalstaatsanwaltschaft des Kantons Bern verzichteten auf Vernehmlassung. Der Privatkläger beantragte, die Beschwerde kostenfällig abzuweisen. Sie erschöpfe sich in Wortklaubereien und versuche, in langen rechtstheoretischen Ausführungen die niederträchtigen und rücksichtslosen, seiner Ehre zweifellos abträglichen, Aussagen zu legitimieren.

Erwägungen:
1.
Das Bundesgericht wies mit Verfügung vom 14. Januar 2016 das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung ab.
2.
Die Beschwerdeführerin rügt, sie sei wegen eines anderen Sachverhalts verurteilt worden als jenem der Anklage.
2.1. Die Beschwerdeführerin trägt vor, nach der Strafanzeige solle sie gegenüber Frau B._ (nachfolgend: Lehrerin) gesagt haben, dass der Privatkläger "einen sexuellen Missbrauch an einem Kind begangen habe"; nach dem Anklagesachverhalt habe sie dagegen der Lehrerin erzählt, dass der Privatkläger "schon eine Anzeige gehabt habe wegen sexuellem Missbrauch". Die Erstinstanz sei davon ausgegangen, dass die Beschwerdeführerin der Lehrerin mitgeteilt habe, dass gegen den Privatkläger "ein Strafverfahren wegen sexueller Handlungen durchgeführt worden ist", ohne zu erwähnen, dass es eingestellt worden sei. Die Vorinstanz schliesslich führe dazu aus, in der Strafanzeige werde der Beschwerdeführerin entsprechend den Briefen des Rechtsvertreters des Privatklägers (unten E. 4.3.2) vorgeworfen, gegenüber der Lehrerin geäussert zu haben, dass der Privatkläger "einen sexuellen Missbrauch an einem Kind begangen habe" (Urteil S. 24). Somit sei die Strafverfolgung nicht aufgrund des Sachverhalts im Strafantrag des Privatklägers eröffnet worden, und es habe bezüglich des Sachverhalts, für den sie verurteilt worden sei, zu keinem Zeitpunkt ein gültiger Strafantrag bestanden.
2.2. Nach dem Anklagegrundsatz kann eine Straftat nur gerichtlich beurteilt werden, wenn die Staatsanwaltschaft gegen eine bestimmte Person wegen eines genau umschriebenen Sachverhalts beim zuständigen Gericht Anklage erhoben hat (<ref-law>). Die Anklageschrift bezeichnet "möglichst kurz, aber genau: die der beschuldigten Person vorgeworfenen Taten, mit Beschreibung von Ort, Datum, Zeit, Art und Folgen der Tatausführung" (Art. 325 Abs. 1 lit. f. StPO).
Die Anklageschrift bestimmt den Gegenstand des Gerichtsverfahrens und bezweckt den Schutz der Verteidigungsrechte. Zu beurteilen ist jeweils die konkrete Anklageschrift. Solange für die beschuldigte Person klar ist, welcher Sachverhalt ihr vorgeworfen wird, kann auch eine fehlerhafte und unpräzise Anklage nicht dazu führen, dass es zu keinem Schuldspruch kommen darf; entscheidend ist, dass für die beschuldigte Person keine Zweifel darüber bestehen, welches Verhalten ihr vorgeworfen wird. Die nähere Begründung der Anklage erfolgt erst an Schranken. Letztlich ist es Sache des Gerichts, den Sachverhalt verbindlich festzustellen (Urteil 6B_716/2014 vom 17. Oktober 2014 E. 2.3 mit Hinweis; Urteile 6B_1079/2015 vom 29. Februar 2016 E. 1.1 sowie 6B_288/2014 vom 22. Januar 2015 E. 1.2 und 1.3).
Wird der Strafbefehl infolge Einsprache zur Anklageschrift (<ref-law>), muss aus ihm ersichtlich sein, welcher konkrete Lebensvorgang zur Beurteilung steht (<ref-ruling> E. 1.6 S. 192). Diese Voraussetzungen erfüllt die Anklageschrift.
2.3. Die Beschwerdeführerin wurde nicht wegen eines anderen als des ihr in der Anklageschrift vorgeworfenen Sachverhalts verurteilt (vgl. Urteil S. 28; unten E. 4.3.3). Sie war sich bereits aufgrund der Interventionen des Rechtsvertreters des Privatklägers (unten E. 4.3.2) im Klaren, worum es bei dem Vorwurf ging. Dass dem Privatkläger von der Beschwerdeführerin nach der Anklageschrift - anders als nach der Strafanzeige - nicht ein sexueller Missbrauch "an einem Kind" vorgeworfen wird (oben E. 2.1; Urteil S. 24), schadet entgegen der Verteidigung umso weniger, als das der Beschwerdeführerin bekannte (angebliche) Opfer D._ in der Anklageschrift namentlich erwähnt wird (vgl. unten E. 4.1, 4.4.3). Massgebend ist die Anklageschrift.
3.
Die Beschwerdeführerin rügt die vorinstanzliche Ablehnung eines Beweisantrags als formalistisch und Gehörsverletzung.
3.1. Die Beschwerdeführerin weist darauf hin, die Vorinstanz habe erwogen, nicht zuletzt deshalb, weil der Privatkläger auch ihrem Ehemann X.B._ unsympathisch war, sei ausserdem "anzunehmen", dass die Verfahrenseinstellung ebenfalls Thema zwischen dem Ehepaar gewesen sei (Urteil S. 27). Die Vorinstanz verletze mit dieser Annahme das rechtliche Gehör, weil sie die nochmalige Einvernahme des Ehemanns ablehne. Die Erstinstanz habe mitgeteilt, dass eine Berufungserklärung am Obergericht zu erfolgen habe; eine Begründung von Beweisanträgen habe sie nicht verlangt. Die Vorinstanz begehe einen überspitzen Formalismus und verletze zudem <ref-law> (Beschwerde S. 16, 17).
3.2. Wie sich dem Randtitel von <ref-law> ("Begründung und Form") entnehmen lässt, hat die Partei das Rechtsmittel zu begründen, wenn das Gesetz dies verlangt, und zwar gemäss Abs. 1 let. c auch, "welche Beweismittel sie anruft". Es ist mit MARTIN ZIEGLER/STEFAN KELLER (in: Basler Kommentar, Schweizerische Strafprozessordnung, Band II, 2. Aufl. 2014, N. 1 zu <ref-law>) davon auszugehen, dass Rechtsmittel zu begründen sind (vgl. Urteil 6B_396/2015 vom 5. Februar 2016 E. 2.1). Eine Nachfrist gemäss <ref-law> war jedenfalls vorliegend nicht anzusetzen (unten E. 2.3; vgl. ZIEGLER/KELLER, a.a.O., N. 3). Nach dem Gesetz sind die Beweisanträge in der Berufungserklärung anzugeben (<ref-law>). Weil das Rechtsmittelverfahren auf den im Vor- und Hauptverfahren erhobenen Beweisen beruht (<ref-law>), hat das Gericht die Parteien nicht nach <ref-law> zur Nennung von Beweisen aufzufordern (Urteil 6B_859/2013 vom 2. Oktober 2014 E. 3.4.3). Beweisabnahmen des erstinstanzlichen Gerichts werden "nur" unter den Voraussetzungen von <ref-law> wiederholt. Die Beschwerdeführerin hatte vor erster Instanz die Einvernahme des Zeugen nicht beantragt. Es hätte sich daher umso mehr aufgedrängt, den Antrag zu begründen.
3.3. Eine formelle Rechtsverweigerung durch überspitzten Formalismus (<ref-ruling> E. 2.1; Urteil 6B_396/2015 vom 5. Februar 2016 E. 2.1) ist zu verneinen. Die Vorinstanz wies den Beweisantrag in antizipierter Beweiswürdigung (<ref-ruling> E. 5.3 und E. 5.5) ab.
Die Vorinstanz hält fest, die Beschwerdeführerin habe ohne jegliche Begründung die nochmalige Einvernahme des Ehemanns beantragt. Sie gab den Parteien Gelegenheit zur Stellungnahme. Der Privatkläger beantragte die Abweisung. Die Vorinstanz weist den Beweisantrag gestützt auf Art. 389 Abs. 1 und 2 StPO ab (Urteil S. 2 und 3). In der Beweisverfügung nimmt sie diese Bestimmungen im Wortlaut auf und hält fest, es sei schon mangels Begründung nicht ersichtlich, inwiefern ein Anwendungsfall von <ref-law> vorliege. Ergänzend könne auf die Stellungnahme des Privatklägers verwiesen werden (kantonale Akten, act. 205). Nach dem Privatkläger kann nicht nachvollzogen werden, was eine solche Einvernahme bringen soll. Der Ehemann sei von der Staatsanwältin am 26. Mai 2014 während einer vollen Stunde einvernommen und seine Aussagen auf sieben Seiten protokolliert worden. Für die Hauptverhandlung sei kein Beweisantrag auf nochmalige Befragung gestellt worden (act. 201).
Die Vorinstanz weist den Beweisantrag ohne Bundesrechtsverletzung ab (zur prozessualen Situation vgl. Urteil 6B_288/2015 vom 12. Oktober 2015 E. 1.3.1). Die Aussage des Ehemanns stellt entgegen der Beschwerde (S. 18) keineswegs den einzigen oder wesentlichen Beweis dafür dar, dass die Verfahrenseinstellung bei Familienbesuchen thematisiert worden war (dazu unten E. 4.2).
3.4. Ein Beweisantrag lässt sich nicht nachträglich begründen. Noven sind gemäss <ref-law> (Urteile 6B_1207/2014 vom 25. November 2015 E. 1 und 6B_182/2014 vom 27. Januar 2015 E. 1) sowie mangels Erschöpfens des Instanzenzugs (<ref-law>; <ref-ruling> E. 2.1; Urteil 1B_306/2014 vom 12. Januar 2015 E. 2.5) unzulässig.
4.
Die Beschwerdeführerin behauptet eine willkürliche Sachverhaltsfeststellung in Verletzung des Grundsatzes in dubio pro reo.
4.1. Hintergrund bildet dieser Sachverhalt: Am 19. März 2012 wurde ein Verfahren gegen den Privatkläger wegen sexueller Handlungen mit Kindern und Schändung in Anwendung von <ref-law> ("kein Tatverdacht erhärtet ist, der eine Anklage rechtfertigt") eingestellt, und zwar, wie die Vorinstanz weiter ausführt, mit der Begründung, bei der Akten- und Beweislage sei mit überwiegender Wahrscheinlichkeit damit zu rechnen, dass der Privatkläger in Anwendung des Grundsatzes in dubio pro reo freizusprechen wäre (Urteil S. 11 f.).
Da wegen Verleumdung gemäss <ref-law> strafbar ist, wer jemanden wider besseres Wissen bei einem andern eines unehrenhaften Verhaltens oder anderer Tatsachen, die geeignet sind, seinen Ruf zu schädigen, beschuldigt oder verdächtigt, ist der Nachweis rechtserheblich, was die beschuldigte Person wusste (unten E. 4.2), äusserte (unten E. 4.3-4.5) oder zu sagen (pflichtwidrig) unterliess (unten E. 4.6).
4.2.
4.2.1. Die Beschwerdeführerin bringt vor, die Verurteilung erfolge aufgrund belastender Zeugenaussagen ihrer Grossmutter E._ und ihrer Mutter F._ (Beschwerde S. 10 f.). Sie beruft sich auf die Rechtsprechung zur Methodik der Glaubhaftigkeitsbeurteilung (<ref-ruling> E. 2; <ref-ruling> E. 4.3 S. 45) und führt aus, es falle auf, dass beide Zeuginnen oft Signalwörter verwendeten wie "bestimmt", "sicher mitbekommen" oder "also". Sie hätten keinen konkreten Sachverhalt schildern können, wo die Einstellung des Strafverfahrens in Anwesenheit der Beschwerdeführerin diskutiert worden sei. Dies belege, dass sie Vermutungen, aber keine sichere Kenntnis hätten (Beschwerde S. 12). Die Vorinstanz erwäge unhaltbar, dass niemand eine konkrete Situation habe angeben können, in welcher in Anwesenheit der Beschwerdeführerin über eine Verfahrenseinstellung gesprochen worden sei, ändere nichts daran, dass sie davon vernommen haben müsse. Die Vorinstanz verletze den Grundsatz in dubio pro reo in willkürlicher Weise, wenn sie ausführe, dass kein konkreter Sachverhalt erstellt werden konnte, es jedoch "nicht einzusehen sei, weshalb es anders gewesen sein soll". Es würden auch keine Indizien genannt, die für eine Verurteilung sprächen (Beschwerde S. 15).
4.2.2. Die Sachverhaltsfeststellung bzw. Beweiswürdigung erweist sich als willkürlich (<ref-law>), wenn das Gericht Sinn und Tragweite eines Beweismittels offensichtlich verkannt hat, wenn es ohne sachlichen Grund ein wichtiges und entscheidwesentliches Beweismittel unberücksichtigt gelassen oder wenn es auf der Grundlage der festgestellten Tatsachen unhaltbare Schlussfolgerungen gezogen hat (<ref-ruling> E. 2.3). Der Indizienbeweis ist vollgültiger Beweis (Urteil 6B_697/2014 vom 27. Februar 2015 E. 1.3). Dem Grundsatz in dubio pro reo als Beweiswürdigungsmaxime kommt keine über das Willkürverbot hinausgehende Bedeutung zu (<ref-ruling> E. 7; <ref-ruling> E. 2a; <ref-ruling> E. 2d).
4.2.3. Die Vorinstanz hat das "persönliche und sachliche Umfeld" und das "Rahmengeschehen" (Urteil S. 5) ebenso umfassend analysiert (Urteil S. 5-20) wie die Aussagen der befragten Personen (Urteil S. 2028). Sie kommt zum Ergebnis, das ein Jahr dauernde Verfahren gegen den Privatkläger sei "grosses Thema im Hause E._ und F._" gewesen: Die Beschwerdeführerin war seit dem Jahre 2010 von zu Hause ausgezogen, aber unbestritten mit ihrem Freund und späteren Ehemann trotz aller Differenzen, Streitigkeiten und Wiederversöhnungen immer wieder bei ihrer Mutter und ihrer Schwester zu Besuch, wo sich oft auch die Grossmutter und der Privatkläger aufhielten. Sie habe von diesem Verfahren vernommen und sogar mit dem (angeblichen) Opfer darüber gesprochen. Die Grossmutter, die Mutter und der Privatkläger seien sich sicher gewesen, dass sie wie alle andern auch von der rechtskräftigen Einstellung des Strafverfahrens Kenntnis erhalten hatte, und zwar sowohl am gemeinsamen Tisch anlässlich von Besuchen wie auch vom (angeblichen) Opfer selber, mit dem sie damals, jedenfalls bis im Dezember 2013, noch in Kontakt gewesen sei (Urteil S. 27 sowie S. 22 und 23).
Die Vorinstanz gibt sich überzeugt, es sei "nicht einzusehen", dass die Beschwerdeführerin im langen Zeitraum von fast zwei Jahren zwischen der Verfahrenseinstellung und der (eingeklagten) Tatzeit vom Ausgang des Strafverfahrens "nie Kenntnis erhielt". Es sei kein Grund ersichtlich, weshalb sie von ihrer Mutter und Grossmutter hätte falsch belastet werden sollen. Der Ehemann der Beschwerdeführerin, der in der fraglichen Zeit nie alleine bei der Grossmutter gewesen sei, habe aus deren Mund nicht nur von der Einstellung, sondern sogar den Grund dazu vernommen, nämlich eine Einstellung mangels Beweisen. So sei auch anzunehmen, dass die Einstellung Thema zwischen dem Ehepaar (vgl. oben E. 3.1) gewesen sei (Urteil S. 27).
Das Strafverfahren war im Familienkreis Dauerthema (Urteil S. 27). Die Vorinstanz kann willkürfrei annehmen, dass die Beschwerdeführerin "Kenntnis" von Inhalt und Einstellung des Strafverfahrens hatte.
4.3.
4.3.1. Die Beschwerdeführerin bringt vor, selbst wenn sich der Sachverhalt, wie von der Vorinstanz festgestellt, ereignet hätte, lasse sich dieser nicht unter den Tatbestand von <ref-law> subsumieren. Wenn zum objektiven Tatbestand die unwahre Aussage gehöre, sei dieser nicht erfüllt, wenn jemand eine wahre Aussage tätige (Beschwerde S. 19).
4.3.2. Die Vorinstanz führt zunächst aus, mit Schreiben seines Rechtsvertreters vom 26. Februar 2014 sei der Beschwerdeführerin eine Vereinbarung zur Unterschrift unterbreitet worden, gegen Verzicht auf eine Strafanzeige die unwahren Äusserungen unter Übernahme der Kosten zurückzunehmen. Allerdings sei im Schreiben fälschlicherweise festgehalten worden, die Beschwerdeführerin habe den Privatkläger bezichtigt, er habe sich sexuell an einem Kind vergangen. Der Rechtsvertreter habe dies auf Intervention des Privatklägers mit Schreiben vom 27. Februar 2014 korrigiert und ausgeführt, sie habe gesagt, dass er "bereits einmal ein Verfahren wegen sexuellen Missbrauchs an einem Kind [...] durchmachen musste", und zwar "offenbar" unter Verschweigung der vollständigen Entlastung. Der Vorwurf sei aber derselbe, dass sie nämlich den Privatkläger "wahrheitswidrig und wissentlich eines sexuellen Übergriffs gegenüber einem Kind bezichtigt" habe. Die Beschwerdeführerin habe auf das Angebot zur gütlichen Einigung nicht reagiert (Urteil S. 18 f.).
4.3.3. Die Vorinstanz erachtet es als erwiesen, dass die Beschwerdeführerin bei einem anfangs Januar 2014 zufällig zustande gekommenen Gespräch in der Institution in Anwesenheit ihres Ehemanns X.B._ und ihrer Schwester gegenüber der Lehrerin hinsichtlich des im Sommer 2014 bevorstehenden Austritts der Schwester aus der Institution äusserte, dass der Privatkläger bereits einmal eine Anzeige bzw. ein Verfahren wegen eines sexuellen Missbrauchs und damit wegen eines Sexualdelikts am Hals hatte; sie habe dabei jedoch die ihr bekannte Einstellung des Verfahrens, mithin dass der Privatkläger nicht verurteilt worden war, verschwiegen. Diese Äusserung verbunden mit ihrer Verheimlichung habe sie in der aus ihrer Sicht berechtigten Besorgnis um ihre Schwester gemacht um zu verhindern, dass diese aus der Institution austrete und zu Hause wieder in den Einflussbereich des Privatklägers gelange. Sinn und Zweck sei damit gleichsam gewesen, den ihr offenbar verhassten Privatkläger in schlechtes Licht zu rücken (Urteil S. 28).
4.4. Die Vorinstanz stützt sich auf die folgenden Einvernahmen:
4.4.1. Die Beschwerdeführerin habe ausgesagt, sie habe der Lehrerin erklärt, sie habe nicht gewollt, dass ihre Schwester nach Hause könne, sowie auf erneute Frage, "dass er [der Privatkläger] eine Anzeige gehabt habe, wegen sexueller Handlungen mit einem Kind", und dass sie auch angedeutet habe, dass sie nicht wisse, wie dieses Verfahren ausgegangen sei. In der Hauptverhandlung habe sie ausgesagt, es stimme nicht, was sie gesagt haben solle (gemeint sei gemäss Anzeige bzw. Anklage); sie habe gegenüber der Lehrerin angedeutet, dass es ein Strafverfahren gegen den Privatkläger gegeben habe, aber keinen Namen gesagt und auch nicht, "dass es um ein Kind gegangen ist" (Urteil S. 20).
Die Beschwerdeführerin relativierte damit ihre erste Aussage (Anzeige "wegen sexueller Handlungen mit einem Kind") an der Hauptverhandlung dahingehend, dass sie ein Strafverfahren angedeutet hatte.
4.4.2. Der beim Gespräch anwesende Zeuge X.B._, der Ehemann der Beschwerdeführerin, habe ausgesagt, diese habe im Zusammenhang mit anderen Dingen Bedenken betreffend den Austritt ihrer Schwester aus der Institution geäussert und nebenbei auf Rückfrage der Lehrerin gesagt, dass sie selber schon genug und nicht nur schöne Sachen mit dem Privatkläger erlebt habe und nicht wolle, dass die Schwester dasselbe wie sie durchmachen müsse. Weiter habe sie gesagt, dass der Privatkläger "eben auch schon ein Verfahren wegen Vergewaltigung am Hals hatte", und zwar glaublich zum Nachteil eines Kindes. Sie habe durchscheinen lassen, dass es auch "in sexueller Hinsicht Sachen gab, die unschön waren", zwar "nicht gerade eine Vergewaltigung, aber im Sinne von Grenzüberschreitungen oder im Sinne eines sexuellen Missbrauchs, dass er in dieser Richtung schon einmal ein Anzeige am Hals gehabt habe" (Urteil S. 21).
Somit erwähnte der Zeuge erst eine Äusserung "wegen Vergewaltigung", verneint anschliessend "eine Vergewaltigung" und spricht von einer Äusserung "im Sinne von Grenzüberschreitungen oder im Sinne eines sexuellen Missbrauchs". Er relativiert die angebliche Äusserung bis hin zu einer Aussage "in dieser Richtung". Es verbleibt die Interpretation, dass der Privatkläger "in dieser Richtung schon einmal ein Anzeige am Hals gehabt habe".
4.4.3. Die Lehrerin habe ausgesagt, dass die Beschwerdeführerin ihre Besorgnis äusserte, unter anderem dass sich der Privatkläger gegenüber der Schwester "nicht korrekt verhalten" habe. Auf den Vorhalt des Missbrauchsvorwurfs habe die Lehrerin erklärt, dass sie von einem "Kind" nichts gehört habe; das Wort "unkorrekt" sei ihr (synonymer) Begriff, sie habe die Äusserungen als "unabgegrenztes Verhalten im Sinne von Übergriffen", und zwar von Übergriffen "in sexueller Form" gedeutet bzw. interpretiert (Urteil S. 21).
Zur Rüge der Verteidigung, dass in der Anklageschrift ein "Kind" nicht erwähnt werde (vgl. oben E. 2.3), führt die Vorinstanz aus, die Lehrerin wolle beim Gespräch von einem "Kind" nichts gehört haben, habe aber letzten Endes eindeutig bestätigt, dass die Beschwerdeführerin sagte, gegen den Privatkläger habe es einmal eine Anzeige gegeben, ohne etwas vom Ausgang des Verfahrens zu erwähnen, und dass sie (die Lehrerin) es so verstanden habe, dass es um Übergriffe sexueller Art gegangen sei. Die Vorinstanz geht davon aus, dass die Beschwerdeführerin gegenüber der Lehrerin nicht ein Sexualdelikt gegenüber einem Kind erwähnt hatte (Urteil S. 26).
Die Lehrerin hatte somit die Äusserung als "Übergriffe" "in sexueller Form" "gedeutet oder interpretiert". Sie bestätigte nur, die Beschwerdeführerin habe gesagt, gegen den Privatkläger habe es einmal eine Anzeige gegeben, ohne aber etwas vom Ausgang des Verfahrens zu erwähnen, sowie dass sie (nämlich die Lehrerin) es so verstand, dass es um Übergriffe sexueller Art gegangen sei. Sie gab demnach keine Äusserung der Beschwerdeführerin des Wortlauts wieder, der Privatkläger habe einen sexuellen Übergriff begangen. Sie deutete oder interpretierte deren Äusserungen bloss in diesem Sinn.
4.4.4. Die beim Gespräch nicht anwesende F._, die Mutter der Beschwerdeführerin, habe auf entsprechenden Vorhalt (das dies die Tochter ihr gegenüber erzählt habe) bestätigt, dass die Beschwerdeführerin entweder gesagt habe, das Verfahren sei wegen "Kindsmissbrauchs" gelaufen, oder aber, es sei wegen "Kindsmisshandlung" gewesen (Urteil S. 21).
Die nächste Person, die vom Gespräch erfahren habe, sei E._, die Grossmutter der Beschwerdeführerin gewesen. Sie habe dies aber nicht von der Beschwerdeführerin, ihrer Enkelin, erfahren, sondern von ihrer Tochter F._, der Mutter der Beschwerdeführerin. E._ habe zu Protokoll gegeben, dass die Beschwerdeführerin gemäss ihrer Tochter auf der Institution gesagt haben soll, dass der Privatkläger "bereits ein Verfahren wegen Kindsmissbrauchs am Hals gehabt" und sie Angst um die Schwester habe. E._ habe sinngemäss diese rabiate Äusserung als typisch für die Beschwerdeführerin erklärt, die mit ihrem POS viel erzähle und oft nicht alles verstehe (Urteil S. 21 f.).
Nach Aussage des Privatklägers erzählte ihm seine Lebenspartnerin E._, dass die Beschwerdeführerin gegenüber der Lehrerin sinngemäss geäussert hatte, dass er "einen sexuellen Missbrauch an einem Kind begangen habe". Als Privatkläger habe er bestätigt, dass seine Anzeige auf den Angaben seiner Lebenspartnerin beruhe, wonach die Beschwerdeführerin auf der Institution erzählt hatte, er habe "ein Verfahren am Hals gehabt wegen der D._" (Urteil S. 22).
Die Erklärungen der drei beim fraglichen Gespräch nicht anwesenden Zeugen F._, E._ sowie des Privatklägers sind Aussagen vom Hörensagen aus dem Familienkreis und nicht geeignet, eine tatsächliche Äusserung im Wortlaut nachzuweisen.
4.5. Es ist davon auszugehen, dass die Beschwerdeführerin über Inhalt und Einstellung des Strafverfahrens (oben E. 4.1) zumindest in laienhafter Weise im Bild war (oben E. 4.2.3).
Soweit die Vorinstanz es dagegen als erwiesen erachtet, die Beschwerdeführerin habe gegenüber der Lehrerin geäussert, "dass der Privatkläger bereits einmal eine Anzeige bzw. ein Verfahren wegen eines sexuellen Missbrauchs und damit wegen eines Sexualdeliktes am Hals hatte" (oben E. 4.3.3), kann sie sich für den zweiten Satzteil ("bzw.") lediglich auf eine bis zur Verneinung relativierende Aussage der Beschwerdeführerin, eine diffuse Aussage von X.B._, eine eigene Interpretation der Lehrerin sowie auf Erklärungen vom Hörensagen aus dem Familienkreis stützen.
Nach der Aussage des am fraglichen Gespräch anwesenden X.B._ ergibt sich eine Äusserung der Beschwerdeführerin "im Sinne" von Grenzüberschreitungen oder "im Sinne" eines sexuellen Missbrauchs, und zwar konkret: "dass [der Privatkläger] in dieser Richtung schon einmal ein Anzeige am Hals gehabt habe" (oben E. 4.4.2). Die Lehrerin als massgebliche Adressatin gemäss <ref-law> "deutete oder interpretierte" das fragliche Gespräch im Sinne von Übergriffen in sexueller Form. Sie bestätigte nur, aber in gewisser Übereinstimmung mit X.B._, dass die Beschwerdeführerin sagte, gegen den Privatkläger habe es einmal eine Anzeige gegeben, ohne etwas vom Ausgang des Verfahrens zu erwähnen (oben E. 4.4.3). Das Ergebnis entspricht weitgehend der relativierenden Aussage der Beschwerdeführerin (oben E. 4.4.1). Alle Personen erzählen abweichende Versionen des Gesprächs. Ein tatsächlicher Wortlaut der fraglichen Äusserung lässt sich nicht feststellen.
4.6.
4.6.1. Die Vorinstanz stützt den Schuldspruch letztlich nicht auf eine angebliche Äusserung der Beschwerdeführerin, sondern auf eine Verschweigung der Verfahrenseinstellung gegenüber der Lehrerin.
4.6.2. Denn unmittelbar vor der oben (in E. 4.3.3) zitierten, zusammenfassenden vorinstanzlichen Feststellung des als erwiesen erachteten Sachverhalts führt die Vorinstanz aus, dass die Beschwerdeführerin im Zeitpunkt des Gesprächs wusste, dass das Verfahren gegen den Privatkläger in Sachen D._ eingestellt worden war. Die Vorinstanz führt anschliessend aus: "Damit ist gleichzeitig festgestellt, dass [die Beschwerdeführerin] angesichts ihrer Zielsetzung anlässlich des Gesprächs mit [der Lehrerin], nämlich [den Privatkläger] anzuschwärzen und von [der Schwester] fernzuhalten bzw. dies zu versuchen, verschwieg und somit bewusst und gewollt nicht sagte, dass das von ihr erwähnte Verfahren gegen [den Privatkläger] wegen eines sexuellen Missbrauchs bzw. wegen eines Sexualdelikts eingestellt worden war, [der Privatkläger] somit unschuldig war und nicht verurteilt wurde" (Urteil S. 28).
Die Vorinstanz folgert somit das "Anschwärzen" sowie "bewusste und gewollte" Verschweigen der Verfahrenseinstellung daraus, dass die Beschwerdeführerin etwas "nicht sagte". Nach den festgestellten Aussagen lässt sich unmittelbar nur das Motiv der Beschwerdeführerin feststellen, dass sie sich in "Besorgnis", aus "Bedenken" oder aus "Angst um die Schwester" gegenüber der Lehrerin geäussert hatte.
Dagegen lässt sich nicht erstellen, dass die Beschwerdeführerin in der "Zielsetzung", den Privatkläger anzuschwärzen, die Verfahrenseinstellung der Lehrerin bewusst und gewollt verschwiegen hätte. Vielmehr hatte sich die Beschwerdeführerin nach eigener Aussage auf "erneute Frage" (oben E. 4.4.1) bzw. nach der Aussage des anwesenden Zeugen X.B._ "nebenbei auf Rückfrage der Lehrerin" in der fraglichen Weise geäussert (oben E. 4.4.2). Mit der Erwägung, "Sinn und Zweck war damit gleichsam gewesen, den ihr offenbar verhassten [Privatkläger] in schlechtes Licht zu rücken" (oben E. 4.3.3), setzt sich die Vorinstanz in Widerspruch zu ihrer Feststellung, dass sich die Beschwerdeführerin "in aus ihrer Sicht berechtigter Besorgnis" um ihre Schwester geäussert hatte.
Es ergibt sich, dass die Beschwerdeführerin in berechtigter Besorgnis um ihre Schwester gegenüber der Lehrerin äusserte, dass der Privatkläger "in dieser Richtung schon einmal ein Anzeige am Hals gehabt habe" (oben E. 4.5). Das war eine wahrheitsgemässe Äusserung (oben E. 4.1). Das Urteil fusst im Übrigen auf Erörterungen des "persönlichen und sachlichen Umfelds" und des "Rahmengeschehens" (oben E. 4.2.3). Das ist für den rechtserheblichen Sachverhalt weitgehend unerheblich und im Ergebnis irreführend.
4.6.3. Zu prüfen bleibt, ob die Beschwerdeführerin durch "Nichtsagen" und damit durch Unterlassung im Sinne von <ref-law> eine Verleumdung begangen haben könnte. Eine pflichtwidrige Untätigkeit lässt sich jedoch kaum annehmen. Es kann der Beschwerdeführerin "nach den Umständen der Tat" auch nicht derselbe Vorwurf gemacht werden, "wie wenn sie die Tat durch ein aktives Tun begangen hätte" (<ref-law>).
Thema des nach der Vorinstanz zufällig zustande gekommenen Gesprächs in der Institution (oben E. 4.3.3) war der Austritt der betreuten Schwester aus dieser Institution.
Adressatin war die "Lehrerin", d.h. die mit der "Therapie" (Urteil S. 21) der Schwester betraute Pädagogin. Das Gespräch fand in einem Rahmen statt, in welchem naturgemäss höchstpersönliche Gesichtspunkte zur Sprache kommen und Gefühle, Ängste, Sorgen und auch Mutmassungen artikuliert werden können müssen. Die Adressatin der fraglichen Äusserungen war als "Lehrerin" zuständige Vertrauensperson, die als solche berufsmässig mit vertraulichen Mitteilungen umzugehen und diese zu bewerten weiss. Die Vorinstanz stellt denn auch fest, beim Aussageverhalten der Lehrerin falle auf, dass sie offenbar Bedenken wegen des Berufsgeheimnisses hatte und darüber belehrt worden sei, dass die Beschwerdeführerin und nicht die Schwester Beschuldigte sei "und sich das Berufsgeheimnis auf die Therapie [der Schwester] beschränke" (Urteil S. 21).
Ohne diese Frage hier vertiefen zu müssen, ist darauf hinzuweisen, dass das von der Beschwerdeführerin angesprochene Thema für die Therapiearbeit und die Austrittsprüfung wesentlich sein konnte und die Lehrerin einzig und ausschliesslich im vertraulichen Rahmen ihrer beruflichen Tätigkeit als Therapeutin der Schwester Adressatin der fraglichen Äusserungen der Beschwerdeführerin war, d.h. als Berufsgeheimnisträgerin.
4.7. Zusammenfassend ist festzustellen, dass erstens keine eindeutige Äusserung der Beschwerdeführerin nachgewiesen ist. Insbesondere lässt sich dieser Nachweis aufgrund der Aussage der massgeblichen Adressatin nicht erbringen (X.B._ kannte den Sachverhalt bereits aus familiären Diskussionen). Zweitens lässt sich der vom Tatbestand des <ref-law> vorausgesetzte subjektive Sachverhalt nicht zweifelsfrei erstellen. Drittens äusserte sich die Beschwerdeführerin in einem Rahmen, in welchem sie ihre Ängste um die Schwester offen darlegen durfte. Es fehlt damit an einer Tatsachengrundlage im Sinne von <ref-law>.
5.
Die Rechtsbegehren sind im Übrigen sinngemäss für den Fall einer reformatorischen bundesgerichtlichen Entscheidung bei Gutheissung der Beschwerde gestellt (<ref-law>) und nicht weiter begründet. Darauf ist ausgangsgemäss sowie angesichts von <ref-law> nicht einzutreten.
6.
Die Beschwerde ist teilweise gutzuheissen, soweit darauf eingetreten werden kann und sie nicht abzuweisen ist. Das Urteil ist aufzuheben und die Sache zu neuer Entscheidung an die Vorinstanz zurückzuweisen. Dem in der Hauptsache unterliegenden Privatkläger sind die bundesgerichtlichen Verfahrenskosten (teilweise) aufzuerlegen (<ref-law>). Dem Kanton Bern sind keine Gerichtskosten aufzuerlegen (<ref-law>). Der Kanton Bern und der Privatkläger sind zu gleichen Teilen solidarisch zu verpflichten, der Beschwerdeführerin für das bundesgerichtliche Verfahren eine (herabgesetzte) Parteientschädigung auszurichten (Art. 68 Abs. 2 sowie Art. 68 Abs. 4 i.V.m. <ref-law>). Der teilweise unterliegenden Beschwerdeführerin (oben E. 1, 2 und 3) sind herabgesetzte Gerichtskosten aufzuerlegen (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird teilweise gutgeheissen, das Urteil des Obergerichts des Kantons Bern vom 12. Mai 2015 aufgehoben und die Sache zu neuer Entscheidung an die Vorinstanz zurückgewiesen. Im Übrigen wird die Beschwerde abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.
Der Beschwerdeführerin werden Gerichtskosten von Fr. 500.-- auferlegt.
3.
Dem Privatkläger werden Gerichtskosten von Fr. 1'500.-- auferlegt.
4.
Der Privatkläger und der Kanton Bern haben die Beschwerdeführerin mit je Fr. 1'000.-- (insgesamt Fr. 2'000.--) zu entschädigen.
5.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Bern, Strafabteilung, 2. Strafkammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 2. Mai 2016
Im Namen der Strafrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Denys
Der Gerichtsschreiber: Briw