Faits :
A.
A.a. A._ SA (ci-après: A._ ou la société), qui appartenait au groupe A.A._ Inc (ci-après: la société-mère), était active dans la distribution de matériel électronique en Suisse.
Elle comptait 17 organes de fait ou de droit, dont Z._ (nommé administrateur entre février 1995 et février 2000), B._ (administratrice entre février et novembre 1995), et C._ (administrateur entre novembre 1995 et mars 1997).
La société a été déclarée en faillite par jugement du 22 mai 2000.
A.b. Sur plainte de la masse en faillite de la société (ci-après: la masse en faillite), le Ministère public genevois a ouvert, en juin 2000, une instruction pénale contre deux (ex-) organes de fait, puis contre Z._ (gestion fautive et faux dans les titres), B._ et C._.
Par ordonnance du 30 octobre 2012 (entrée en force), le Ministère public, sur la base notamment d'une expertise judiciaire financière du 13 janvier 2006, a classé la procédure pénale en tant qu'elle était dirigée contre Z._, au motif que sa participation aux actes de gestion fautive et de faux dans les titres commis au détriment de la société A._ n'était pas établie et, en tout état, qu'elle n'aurait pas pu être intentionnelle.
A.c. L'activité d'administrateur exercée par Z._ (ci-après: l'assuré ou l'administrateur) entre 1995 et 2000, ainsi que celle de trois autres administrateurs (dont B._ et C._), était couverte par une assurance responsabilité civile professionnelle - souscrite par l'intermédiaire de D._ SA (preneur d'assurance) - auprès de X._ SA (à l'époque : V._) (ci-après: la compagnie d'assurances ou l'assureur), à hauteur d'un montant maximal de 5'000'000 fr. par événement.
Une clause des conditions générales d'assurance (art. 7 let. c CGA) et des conditions complémentaires d'assurance (art. 113 let. g CCA 1990) prévoyait l'exclusion de toute couverture en cas de préjudice causé par la commission intentionnelle d'un crime ou d'un délit ou par la violation intentionnelle de la loi ou des prescriptions des autorités par l'assuré.
Une autre clause (art. 23 CGA) prévoyait la représentation de l'assuré par l'assureur à l'égard des tiers réclamants, notamment dans le cadre de pourparlers, et l'interdiction pour l'assuré de payer des indemnités, de conclure une transaction ou de reconnaître tout ou partie des prétentions des tiers sans l'accord de l'assureur.
Enfin, l'art. 24 des CGA formulait la perte du droit aux prestations d'assurance en cas d'agissement de l'assuré contrevenant " aux dispositions concernant l'avis de sinistre " ou " contraire[...] aux règles de la bonne foi " dans le cadre du traitement du sinistre, à moins qu'il ne prouve avoir agi sans faute ou que son attitude n'ait modifié ni sa situation juridique, ni celle de l'assureur et n'ait par conséquent exercé aucune influence sur le règlement du sinistre.
Z._ a communiqué l'avis de sinistre à son assureur le 13 juillet 2001.
B.
B.a. Le 9 septembre 2008, la masse en faillite a formé une action en responsabilité à l'encontre des 17 organes (dont Z._), concluant à leur condamnation solidaire au paiement d'une indemnité de 164'525'547 fr. avec intérêts à 5% l'an dès le 22 mai 2000.
B.b. Le 17 octobre 2008, Z._ a demandé à la compagnie d'assurances de couvrir ses frais de défense et il l'a invitée à se déterminer sur les démarches à entreprendre dans la procédure. La compagnie d'assurances l'ayant préalablement autorisé à déposer sa demande d'appel en cause contre elle, Z._, par acte d'appel en cause du 15 décembre 2008, a conclu à la condamnation de la compagnie d'assurances à lui rembourser ses frais de défense et toute indemnité qu'il pourrait être condamné à payer à la masse en faillite à l'issue du procès principal, à hauteur de 5'000'000 fr. au maximum.
Le 26 mars 2009, le Tribunal de première instance a déclaré recevable l'appel en cause et ordonné sa jonction avec la procédure principale intentée par la masse en faillite.
B.c. Le 4 novembre 2009, la compagnie d'assurances a versé à la masse en faillite les sommes de 1'100'000 fr., pour le compte de C._, et de 300'000 fr., pour le compte de B._, ensuite de transactions conclues par ces assurés avec la masse en faillite. La masse en faillite a retiré sa demande avec désistement d'action à l'égard de ces deux administrateurs.
La compagnie d'assurances a par la suite encore payé une indemnité de 20'000 fr. au conseil de B._ et de 35'215 fr.75 à l'avocat de C._.
B.d. Le 15 juin 2011, Z._ a informé la compagnie d'assurances que des discussions transactionnelles étaient en cours entre la masse en faillite et d'autres défendeurs et il lui a demandé l'autorisation d'y participer et, le cas échéant, de conclure une transaction.
Le 28 juin 2011, la compagnie d'assurances l'a autorisé à négocier mais elle lui a interdit de conclure une transaction sans son accord, tout en considérant qu'en l'état, la couverture d'assurance n'était pas donnée.
En avril 2012, Z._ et la masse en faillite ont établi un projet de transaction extrajudiciaire prévoyant, sans reconnaissance de responsabilité de la part du premier, le paiement de 5'000'000 fr. " pour solde de tous comptes et de toutes prétentions " de la seconde, contre le retrait avec désistement d'action de la demande en paiement de la masse en faillite en tant qu'elle était dirigée contre Z._.
Le 20 avril 2012, l'administrateur a transmis le projet de transaction à l'assureur et a sollicité l'autorisation d'y apposer sa signature.
Le 24 avril 2012, la compagnie d'assurances, tout en rappelant à Z._ que " la couverture d'assurance n'[était] pas donnée ", lui a interdit de signer la transaction qu'elle ne ratifiait " ni sur le principe, ni sur la quotité ", et elle l'a informé que la conclusion de l'accord enfreindrait ses obligations d'assuré " avec les conséquences qui en découl[ai]ent ".
Passant outre l'opposition de la compagnie d'assurances, Z._ a conclu la transaction avec la masse en faillite le 27 avril 2012 et il a payé à celle-ci le montant de 5'000'000 fr.
Le 30 avril 2012, la masse en faillite a déclaré au Tribunal de première instance qu'elle retirait sa demande et se désistait de son action en tant qu'elle était dirigée contre Z._.
B.e. Par jugement du 13 septembre 2012, le Tribunal a donné acte à la masse en faillite du retrait de sa demande en paiement avec désistement de son action à l'encontre de Z._. Par ordonnance du même jour, il a ordonné l'apport de la procédure pénale (cf. supra let. A.b).
Les échanges d'écritures (entre Z._ et la compagnie d'assurances) ont alors principalement porté sur la validité de l'appel en cause (compte tenu du retrait de la demande principale dirigée contre l'appelant en cause), sur la réalisation des conditions de la responsabilité contractuelle de Z._, ainsi que sur divers motifs excluant ou restreignant la couverture d'assurance.
Par jugement du 16 avril 2015, le Tribunal de première instance a débouté Z._ de toutes ses conclusions, dans la mesure où elles n'étaient pas sans objet ou irrecevables, et l'a condamné aux dépens de l'appel en cause, comprenant une indemnité de 60'000 fr. valant participation aux honoraires du conseil de la compagnie d'assurances.
En substance, il a considéré que la prétention récursoire de l'appelant en cause dirigée contre la compagnie d'assurances était devenue sans objet (ensuite du retrait définitif de la demande en paiement formée par la masse en faillite), qu'au demeurant cette prétention était mal fondée, l'appelant en cause n'ayant jamais allégué, moins encore établi, l'existence d'une violation de ses obligations d'ex-administrateur, d'un préjudice subi par la société et d'un lien de causalité entre la prétendue violation et le préjudice; partant, la condition préalable à l'obligation d'indemnisation de l'assureur n'était, selon les premiers juges, pas réalisée.
B.f. Par arrêt du 13 novembre 2015, la cour cantonale, sur appel de Z._, a annulé le jugement entrepris et, statuant à nouveau, condamné la compagnie d'assurances à payer à l'administrateur le montant de 4'944'784 fr.25 plus intérêts à 5% l'an dès le 27 avril 2012. Elle a mis à la charge de la compagnie d'assurances les dépens de l'appel en cause, lesquels comprennent une indemnité de 60'000 fr. valant participation aux honoraires d'avocat de Z._. Enfin, elle a fait supporter à la compagnie d'assurances les frais d'appel, arrêtés à 25'000 fr., et condamné celle-ci à verser à Z._ 21'000 fr. à titre de dépens d'appel.
En substance, la cour cantonale a considéré que la transaction extrajudiciaire conclue entre les parties à la demande principale et le retrait de cette dernière n'ont pas mis fin à la procédure d'appel en cause (cette question n'est plus litigieuse devant la Cour de céans). Elle a ensuite indiqué que, tous les actes reprochés à l'administrateur étant déjà allégués dans la demande en paiement (du 9 septembre 2008), on ne pouvait exiger de l'appelant en cause qu'il reproduise tous ces éléments factuels dans son mémoire (dans le cadre de l'appel en cause), mais qu'il suffisait qu'il s'y réfère; contrairement au Tribunal de première instance, la cour cantonale a ainsi considéré que l'appelant en cause avait valablement allégué les faits permettant de juger de sa responsabilité (cette question n'est plus litigieuse).
Sur le fond, la cour cantonale a jugé que les conditions de la responsabilité de l'administrateur étaient réalisées, que celui-ci avait ainsi établi la survenance d'un sinistre couvert par le contrat d'assurance et qu'aucun motif d'exclusion (ou de réduction) de la couverture n'entrait en ligne de compte. Enfin, la cour cantonale a jugé que seuls les honoraires payés pour la défense de B._ et de C._ (d'un montant total de 55'215 fr.75) pouvaient être déduits de la somme assurée de 5'000'000 fr.
C.
La compagnie d'assurances exerce un recours en matière civile contre l'arrêt cantonal du 13 novembre 2015. Elle conclut à son annulation et à ce que Z._ soit débouté de toutes ses conclusions. La recourante invoque l'arbitraire dans l'établissement des faits et l'appréciation des preuves (art. 9 Cst.), une violation des art. 14 al. 2, 33, 39, 45 al. 1 et 69 LCA, des art. 4 et 8 CC, de l'<ref-law>, ainsi que de diverses dispositions des conditions générales d'assurance (CGA) et des conditions complémentaires d'assurance (CCA 1990).
Z._ (l'intimé) conclut au déboutement de la recourante de toutes ses conclusions et à la confirmation de l'arrêt entrepris.
La requête visant l'octroi de l'effet suspensif déposée par la compagnie d'assurances a été rejetée par ordonnance présidentielle du 15 mars 2016.

Considérant en droit :
1.
1.1. Interjeté par la partie qui a succombé dans ses conclusions libératoires et dirigé contre un arrêt final (<ref-law>) rendu en matière civile (<ref-law>) par un tribunal cantonal supérieur statuant sur recours (<ref-law>) dans une affaire pécuniaire dont la valeur litigieuse atteint le seuil de 30'000 fr. (<ref-law>), le recours en matière civile est recevable, puisqu'il a été déposé dans le délai (art. 45 al. 1, 48 al. 1 et 100 al. 1 LTF) et la forme (<ref-law>) prévus par la loi.
1.2. Le Tribunal fédéral statue sur la base des faits établis par l'autorité précédente (<ref-law>).
1.3. Si le Tribunal fédéral admet le recours, il statue lui-même sur le fond ou renvoie l'affaire à l'autorité précédente pour qu'elle prenne une nouvelle décision (<ref-law>).
2.
2.1. En substance, la cour cantonale a jugé que toutes les conditions de la responsabilité de l'administrateur étaient remplies et, partant, que celui-ci avait " établi la survenance d'un sinistre couvert a priori par le contrat d'assurance conclu auprès de la compagnie d'assurances ". Elle a retenu que l'administrateur avait agi par négligence et que l'assurance ne pouvait donc pas se prévaloir de la clause des conditions complémentaires d'assurance (CCA 1990) prévoyant l'exclusion de couverture en cas d'agissement intentionnel. Elle a également considéré que, dans les circonstances de l'espèce, l'administrateur n'avait pas perdu son droit aux prestations d'assurance du fait qu'il avait conclu une transaction sans obtenir l'accord de son assureur, que celui-ci ne pouvait réduire ses prestations en invoquant la faute grave de l'assuré et elle a jugé que l'essentiel des montants déjà versés à d'autres administrateurs (soit les sommes de 1'100'000 fr. et de 300'000 fr.) ne pouvait être porté en déduction de la somme assurée de 5'000'000 fr.
Invoquant l'arbitraire dans l'établissement des faits, ainsi que plusieurs violations du droit fédéral, l'assureur soutient qu'une saine application de la loi et des clauses contractuelles aurait dû conduire la cour cantonale à retenir que l'assuré n'avait droit à aucune indemnisation en l'espèce.
2.2. S'agissant de la prétention émise par l'assuré (appelant en cause) contre l'assureur (appelé en cause), il faut, à titre liminaire, rappeler les principes applicables s'agissant du fardeau de la preuve.
2.2.1. Selon l'<ref-law>, le demandeur doit prouver les faits qui fondent sa prétention, tandis que sa partie adverse doit prouver les faits qui entraînent l'extinction ou la perte du droit (<ref-ruling> consid. 3.1 p. 323). Ces principes, qui sont également applicables dans le domaine du contrat d'assurance, impliquent qu'il incombe à l'ayant droit d'alléguer et de prouver, d'une part la réalisation du risque, d'autre part le préjudice qu'il subit lui-même par son obligation d'indemniser le lésé dont les prétentions sont fondées (<ref-ruling> consid. 3.1 p. 323; arrêt 5C.240/1995 du 1er février 1996 consid. 2a).
2.2.2. Dans une première étape, il incombe à l'administrateur assuré d'apporter la preuve des faits permettant de constater que toutes les conditions de sa responsabilité sont réalisées (<ref-law>, <ref-law>; cf. arrêt 4A_373/2015 déjà cité consid. 4.3.2).
Dans une deuxième étape, il appartient à l'assuré de démontrer que les conditions découlant de la relation contractuelle nouée avec l'assureur sont remplies, lorsque la preuve est à sa charge. Ainsi, si l'assuré conclut une transaction avec le lésé sans l'accord de l'assureur, il lui incombe d'établir les faits dont il résulte qu'aucune faute ne lui est imputable ou que son attitude n'a modifié ni sa situation juridique, ni celle de l'assureur et n'a par conséquent exercé aucune influence sur le règlement du sinistre (arrêt C.197/1982 du 11 novembre 1982 consid. 2c).
2.2.3. Si l'assureur entend se prévaloir d'un moyen libératoire (cf. notamment art. 14 al. 1 et 2 LCA), il lui incombe alors de prouver les faits permettant l'application de la disposition légale ou de la clause contractuelle sur laquelle il se fonde (<ref-ruling> consid. 3.1 p. 323).
2.3. Il résulte d'emblée de l'arrêt entrepris que les magistrats cantonaux n'ont pas examiné séparément chacun des actes reprochés à l'administrateur, mais, dans une motivation succincte, ils ont admis globalement (pour l'ensemble des agissements de l'administrateur) la réalisation des conditions de sa responsabilité. Ils sont ainsi parvenus à la conclusion que l'administrateur " a établi la survenance d'un sinistre couvert a priori par le contrat d'assurance conclu auprès [de l'assureur] ".
Plus spécifiquement, dans l'examen des conditions fixées par le contrat d'assurance (deuxième étape), la cour cantonale introduit des points (en particulier des constatations) susceptibles de renvoyer à la première étape du raisonnement (conditions de la responsabilité) (cf. notamment l'affirmation selon laquelle l'administrateur pouvait être conforté dans l'idée qu'une des opérations à l'origine du dommage était une " opération licite ", qui aurait déjà dû être mentionnée sous l'angle de la faute en tant que condition de la responsabilité), ce qui complique encore la compréhension de son raisonnement.
Cela étant, on ne distingue pas clairement sur la base de quel (s) agissement (s) l'administrateur a engagé sa responsabilité et pour quel dommage; on peut d'ores et déjà douter que, devant les juridictions cantonales, l'assuré ait apporté la preuve qui était à sa charge. La question peut toutefois rester ouverte. En effet, en signant la transaction extrajudiciaire avec la masse en faillite, puis en versant à celle-ci l'indemnité prévue dans cet accord, l'administrateur a violé le contrat conclu avec l'assureur (deuxième étape, cf. supra consid. 2.2.2) et, partant, celui-ci est libéré de ses obligations. Pour éviter cette conséquence, l'administrateur assuré doit établir les faits dont il résulte qu'aucune faute ne lui est imputable ou que son attitude n'a modifié ni sa situation juridique, ni celle de l'assureur et n'a par conséquent exercé aucune influence sur le règlement du sinistre (cf. infra consid. 2.4 à 2.7).
2.4. Il résulte des constatations cantonales que, le 20 avril 2012, l'administrateur a transmis à l'assureur le texte de son projet de transaction avec la masse en faillite, en lui demandant l'autorisation de la conclure. Le 24 avril 2012, l'assureur, en lui réitérant que " la couverture d'assurance n'[était] pas donnée ", lui a interdit de signer cette transaction qu'elle ne ratifiait " ni sur le principe, ni sur la quotité ", et en lui rappelant que, s'il devait conclure, il enfreindrait ses obligations d'assuré " avec les conséquences qui en découl[ai]ent " (arrêt entrepris let. n p. 6). Le 27 avril 2012, Z._ a finalement conclu avec la masse en faillite la transaction extrajudiciaire litigieuse et, le même jour, il lui a versé une indemnité transactionnelle de 5'000'000 fr. (arrêt entrepris let. o p. 6).
La cour cantonale arrive néanmoins à la conclusion que l'attitude de l'administrateur n'a exercé aucune influence sur le règlement du sinistre. Elle s'appuie principalement sur le fait que l'administrateur a conclu une transaction portant sur une somme de 5'000'000 fr. alors que la masse en faillite réclamait un montant de 164'525'547 fr. à l'administrateur. Elle en infère que la signature de la transaction ne pouvait être que dans l'intérêt de l'administrateur et de l'assureur. Dans sa réponse, l'administrateur reprend cette position, relevant que la prétention soulevée contre lui se monte aujourd'hui, avec les intérêts, à 288'000'000 fr. et que l'indemnité négociée avec la masse ne représente que le 1,73% de ce montant (mémoire de réponse p. 18).
2.5. Force est de constater que le montant de la transaction signée par l'administrateur atteint le plafond de la couverture d'assurance (5'000'000 fr.). Cela étant, l'assureur ne pouvait à première vue être placé dans une situation moins favorable et on voit mal comment l'administrateur pourrait établir que son attitude n'a pas modifié la situation juridique de l'assureur ni exercé aucune influence sur le règlement du sinistre (cf. art. 24 CGA).
2.5.1. La recourante soutient que la conclusion de la transaction est d'emblée injustifiable puisque l'assuré a commis une faute du seul fait d'avoir négocié un accord portant sur l'indemnisation maximale prévue par son contrat d'assurance, en méconnaissant que ce montant devait être partagé avec les autres administrateurs indemnisés en novembre 2009 (il n'est à cet égard pas contesté que le montant total des honoraires versés par l'assureur à ces administrateurs devait être déduit de la somme assurée) (cf. arrêt entrepris consid. 7 p. 21).
On peut se demander si le comportement de l'assuré, tel que décrit par la recourante, a vraiment eu une influence sur le règlement du sinistre, puisque l'assureur restait quoi qu'il en soit libre, en vertu du contrat d'assurance, de fixer l'indemnisation due à l'administrateur en retranchant préalablement les montants déjà versés aux autres administrateurs. La question peut toutefois rester ouverte, la signature de la transaction ayant eu une incidence évidente pour les motifs qui suivent.
2.5.2. Pour que l'on puisse admettre que l'accord conclu entre l'administrateur et la masse en faillite n'a eu aucun effet défavorable (en particulier pour l'assureur), l'administrateur se devait avant tout de démontrer qu'il aurait dû inéluctablement s'acquitter (en allant au terme de la procédure judiciaire) de dommages-intérêts supérieurs, ou au moins équivalents, au plafond de la couverture d'assurance.
En effet, le postulat défendu par l'administrateur selon lequel le montant transigé (5'000'000 fr.) ne représente qu'une infime partie du montant réclamé à l'administrateur (288'000'000 fr. avec les intérêts, selon l'administrateur), et que la transaction ne pouvait ainsi être que dans l'intérêt de chacun (assureur et assuré), ne pourrait être accepté que si la responsabilité (et donc l'ampleur du dommage) était clairement établie. Force est toutefois de constater que, contrairement à ce que pense la cour cantonale, le dommage personnellement imputable à l'administrateur n'est pas établi dans l'arrêt attaqué.
D'une part, l'autorité précédente impute globalement le dommage à l'administrateur, comme s'il avait été l'unique administrateur de la société, alors même que plusieurs administrateurs se sont succédés, ce qui présupposait de déterminer le dommage causé par chacun d'eux durant leur période d'activité respective au sein de la société.
D'autre part, si l'expert, en mentionnant le chiffre de 164'525'547 fr. visait l'aggravation du surendettement (arrêt entrepris let. B.u.c p. 9), la cour cantonale a retenu que ce montant équivalait au préjudice global résultant de tous les manquements reprochés à l'administrateur (arrêt entrepris consid. 4.2 p. 18). Or, le préjudice résultant exclusivement de la violation de l'<ref-law> ne peut être égal au préjudice découlant de toutes les violations puisqu'il résulte notamment des constatations cantonales que d'autres agissements reprochés à l'administrateur (remboursement illicite du capital à l'actionnaire, violation des principes comptables) se sont déroulés en 1997, soit avant le début du surendettement (que la cour cantonale fixe au 31 décembre 1998).
A cela s'ajoute que la cour cantonale n'indique pas sur la base de quelle (s) valeur (s) le montant de 164'525'547 fr. a été calculé. A la lecture de l'expertise, il apparaît que la valeur d'exploitation des biens (ici sans aucune pertinence) a été prise en compte (à cet égard, cf. <ref-ruling> consid. 3.2.1 p. 325 s.).
Quant au prétendu " aveu " de l'assureur (qui porterait notamment sur le dommage global de 164'525'547 fr.), l'administrateur tente de le tirer d'un passage (conclusions motivées du 28 août 2014 p. 27 s.) qui ne constitue en réalité pas un aveu. En effet, la seule affirmation selon laquelle le dommage a été " chiffré par l'expert à un montant de CHF 164'525'547.- " n'est à cet égard pas suffisamment claire, puisque l'assureur se limite à désigner un chiffre fourni par l'expert, sans exprimer une quelconque reconnaissance quant au dommage effectivement causé par l'administrateur.
Cela étant, on ne peut exclure que la poursuite de la procédure judiciaire aurait pu conduire à ce que l'administrateur soit condamné à verser, à titre de dommages-intérêts, un montant inférieur à 5'000'0000 fr.
Il en résulte que l'administrateur n'est pas parvenu à démontrer que la conclusion de la transaction n'a eu aucune influence sur le règlement du sinistre. Partant, l'assureur est libéré de l'obligation d'indemniser son assuré.
2.5.3. Dans ce contexte, l'administrateur, dans une argumentation lapidaire, invoque encore une violation de l'<ref-law> (mémoire de recours p. 20). Dans la mesure où l'absence de couverture de l'assureur découle de la violation, par l'assuré, de ses obligations contractuelles, on ne voit toutefois pas en quoi cette disposition pourrait être violée.
Le Tribunal fédéral n'étant pas lié par la jurisprudence cantonale, c'est en vain que l'administrateur tente de tirer argument d'un arrêt du Tribunal cantonal vaudois, celui-ci traitant au demeurant d'un cas de figure différent.
Quant à l'abus de droit que l'administrateur reproche enfin à l'assureur (mémoire de recours p. 19 s.), il repose sur la prémisse - erronée - d'une transaction extrajudiciaire - conclue dans l'intérêt de toutes les parties - qui permettrait d'éviter, au terme de la procédure judiciaire, le paiement de 288'000'000 fr. de dommages-intérêts. L'argument se révèle donc sans consistance.
2.6. Dans une motivation " subsidiaire ", la cour cantonale observe que l'appelant en cause avait informé l'assureur de l'existence de négociations avec la masse en faillite et qu'il avait tenté d'obtenir son accord avant la signature de la convention, de sorte qu'on ne saurait lui reprocher d'avoir conclu une convention avec la masse en faillite (arrêt entrepris consid. 5.2.2 p. 19).
Le fait que l'administrateur ait informé l'assureur de l'existence de négociations et qu'il ait tenté d'obtenir son accord (pour la signature de la transaction) n'est en soi pas déterminant pour démontrer que l'administrateur n'a commis aucune faute en signant l'accord litigieux. Admettre le contraire équivaudrait à autoriser l'assuré, qui a informé l'assureur des négociations et sollicité de celui-ci l'autorisation de signer la transaction, à conclure celle-ci, malgré le refus explicite de l'assureur, sans que son comportement ne puisse entraîner une quelconque sanction. Cela priverait la clause contractuelle - pourtant convenue entre les parties au contrat d'assurance (cf. également <ref-law>) - prévoyant l'interdiction de transiger sans l'accord de l'assureur de toute portée, ce qui ne peut être admis.
2.7. Le moyen tiré de la violation de l'<ref-law> et des art. 23 et 24 CGA est fondé.
Cela étant, il n'y a pas lieu d'examiner les autres violations du droit fédéral invoquées par la compagnie d'assurances, ni la transgression de l'art 9 Cst. soulevée en lien avec un point de fait contenu dans l'arrêt attaqué.
3.
Il résulte des considérations qui précèdent que le recours en matière civile de l'assureur doit être admis et que l'arrêt entrepris doit être réformé en ce sens que l'administrateur est débouté de toutes ses conclusions.
La cause est renvoyée à la cour cantonale pour nouvelle décision sur les frais et dépens cantonaux.
Les frais et dépens de l'instance fédérale sont mis à la charge de l'administrateur, qui succombe (art. 66 al. 1 et 68 al. 1 et 2 LTF).

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce :
1.
Le recours est admis et l'arrêt attaqué est réformé en ce sens que l'appelant en cause est débouté de toutes ses conclusions.
2.
La cause est renvoyée à l'autorité cantonale pour nouvelle décision sur les frais et dépens cantonaux.
3.
Les frais judiciaires de la procédure fédérale, arrêtés à 25'000 fr., sont mis à la charge de l'intimé.
4.
L'intimé versera à la recourante une indemnité de 30'000 fr. à titre de dépens pour la procédure fédérale.
5.
Le présent arrêt est communiqué aux parties, à la Cour de justice du canton de Genève, Chambre civile, à la Masse en faillite de A._ SA, Genève, à R._, Verbier, et à S._, Miami Beach, Floride.
Lausanne, le 21 septembre 2016
Au nom de la Ire Cour de droit civil
du Tribunal fédéral suisse
La Présidente : Kiss
Le Greffier : Piaget