Faits :
A.
A._, ressortissante russe née en 1979, est arrivée en Suisse en 2005 avec sa fille, B._, ressortissante russe née en 2002. Le 15 décembre 2005, elle a épousé C._, ressortissant français titulaire d'une autorisation d'établissement. En 2008, C._ a annoncé son départ pour Hong Kong avec sa famille, en raison de son transfert professionnel prévu pour la période allant du mois de septembre 2008 au mois de septembre 2010. Le Service cantonal de la population du canton de Vaud (ci-après: le Service cantonal) a accédé à sa demande de maintien de son autorisation d'établissement.
En janvier 2009, l'épouse est rentrée de Hong Kong en Suisse avec sa fille au motif notamment qu'elle était enceinte et que sa fille ne parlait que le français. C._ a informé les autorités vaudoises que, d'un commun accord, il poursuivrait son activité professionnelle jusqu'à la fin de la période de deux ans prévue. En septembre 2009, A._ a donné naissance à un deuxième enfant, D._, de nationalité française. Le Service cantonal a accordé à l'intéressée et à ses deux enfants des autorisations de séjour de courte durée (permis L), valables du 16 décembre 2009 au 14 décembre 2010.
Par jugement du 22 décembre 2011, le divorce des époux a été prononcé à Hong Kong. La garde des enfants a été confiée à la mère. Le père a été condamné à verser une pension alimentaire de 1'500 fr. par mois pour les deux enfants.
Le 5 avril 2012, le Service cantonal a informé l'intéressée qu'il était disposé à délivrer à son fils de nationalité française une autorisation de séjour fondée sur l'art. 24 Annexe I de I'Accord du 21 juin 1999 entre la Confédération suisse d'une part, et la Communauté européenne et ses Etats membres d'autre part, sur la libre circulation des personnes (ALCP; RS 0.142.112.681), ainsi que des autorisations de séjour à elle-même et à sa fille.
B.
Par décision du 13 août 2012, l'Office fédéral des migrations (depuis le 1er janvier 2015: le Secrétariat d'Etat aux migrations; ci-après: le SEM) a refusé d'approuver l'octroi des autorisations de séjour en faveur de A._ et de ses deux enfants.
Par arrêt du 11 août 2015, le Tribunal administratif fédéral a admis le recours de A._ et ses enfants contre la décision du SEM susmentionnée.
C.
Agissant par la voie du recours en matière de droit public, le Département fédéral de justice et police (ci-après: le Département fédéral) demande au Tribunal fédéral, sous suite de frais, d'annuler l'arrêt rendu le 11 août 2015 par le Tribunal administratif fédéral. Les intimés concluent au rejet du recours, sous suite de frais et dépens.
Le Tribunal administratif fédéral a produit le dossier de la cause et renoncé à prendre position.

Considérant en droit :
1.
Le Tribunal fédéral examine d'office sa compétence (<ref-law>). Il contrôle donc librement la recevabilité des recours qui sont déposés devant lui (<ref-ruling> consid. 1 p. 133).
1.1. Selon l'art. 83 let. c ch. 2 LTF, le recours en matière de droit public est irrecevable contre les décisions relatives à une autorisation de droit des étrangers à laquelle ni le droit fédéral, ni le droit international ne donnent droit. Selon la jurisprudence, il suffit, sous l'angle de la recevabilité, qu'il existe un droit potentiel à l'autorisation, étayé par une motivation soutenable, pour que cette clause d'exclusion ne s'applique pas et que, partant, la voie du recours en matière de droit public soit ouverte. La question de savoir si les conditions d'un tel droit sont effectivement réunies relève du fond (<ref-ruling> consid. 2.5 p. 315; <ref-ruling> consid. 1.1 p. 179).
En l'occurrence, en sa qualité de ressortissant français, D._, intimé, peut prétendre à l'octroi d'une autorisation de séjour en Suisse, en vertu du droit à la libre circulation que lui confère l'ALCP (cf. ATF <ref-ruling> consid. 1.1 p. 179; <ref-ruling> consid. 1.2 p. 343). L'intimée qui a la garde de son fils de nationalité française peut également faire valoir un droit dérivé à séjourner en Suisse sur la base de l'ALCP. Il en va de même de sa fille, en application de l'art. 8 CEDH. Il s'ensuit que le recours échappe au motif d'irrecevabilité de l'art. 83 let. c ch. 2 LTF (cf. <ref-ruling> consid. 1.3 p. 68).
1.2. Pour le surplus, dirigé contre une décision finale (<ref-law>), rendue par le Tribunal administratif fédéral (<ref-law>), le présent recours, déposé en temps utile (<ref-law>) et dans les formes prescrites (<ref-law>) par le Département fédéral de justice et police, qui a un intérêt digne de protection à l'annulation de la décision attaquée (<ref-law>), est en principe recevable.
2.
Le Département fédéral se plaint d'une violation des art. 6 et 16 par. 2 ALCP ainsi que des art. 3 et 24 par. 1 Annexe I ALCP. Il soutient que les <ref-law> et 24 Annexe I ALCP ne permettent pas à un ressortissant européen mineur de se prévaloir d'un droit originaire à l'octroi d'une autorisation de séjour. Il estime ensuite qu'un droit dérivé de la mère de cet enfant n'est pas prévu par l'ALCP.
2.1. Aux termes de l'<ref-law>, dans la mesure où l'application de l'Accord implique des notions de droit communautaire, il sera tenu compte de la jurisprudence pertinente de la Cour de justice des Communautés européennes antérieure à la date de sa signature. Dans un arrêt de principe du 26 novembre 2015 (arrêt 2C_716/2014 du 26 novembre 2015 destiné à la publication), le Tribunal fédéral a rappelé que, de jurisprudence constante, dans le but d'assurer une situation juridique parallèle entre les États membres de la Communauté européenne, d'une part, et entre ceux-ci et la Suisse, d'autre part, il s'inspire des arrêts rendus par la Cour de justice de l'Union européenne après la date de signature de l'ALCP, pour autant que des motifs sérieux ne s'y opposent pas (cf. <ref-ruling> consid. 3.2 p. 117; <ref-ruling> consid. 4.1.1 p. 397 s.; <ref-ruling> consid. 3.4 p. 12 s.; arrêt 2C_375/2014 du 4 février 2015 consid. 3.3). Le Tribunal fédéral a précisé que le nouvel article 121a de la Constitution fédérale, selon lequel la Suisse gère de manière autonome l'immigration des étrangers, n'est pas directement applicable. Cette disposition n'entraîne aucune modification de l'interprétation de l'ALCP, lequel demeure applicable aussi longtemps qu'il n'a pas été renégocié ou dénoncé. En outre, cet article ne constitue pas un motif sérieux permettant de s'écarter du principe selon lequel le Tribunal fédéral s'inspire de la jurisprudence rendue par la Cour de justice de l'Union européenne en matière d'ALCP postérieure à la date de signature de l'accord (cf. arrêt 2C_716/2014 précité, consid. 3 et les références citées).
Le Tribunal fédéral a dès lors confirmé qu'il convenait de tenir compte de l'arrêt Zhu et Chen rendu par la Cour de Justice des Communautés européennes (arrêt du 19 octobre 2004 C-200/02, Rec. 2004 I-9925), conformément à sa jurisprudence constante (arrêt 2C_716/2014 précité, consid. 5.2; cf. not. <ref-ruling> consid. 3.3 p. 269; arrêts 2C_375/2014 du 4 février 2015 consid. 3.1 à 3.3; 2C_470/2014 du 29 janvier 2015 consid. 3.3 et 2C_574/2010 du 15 novembre 2010 consid. 2.2.2). Selon cette jurisprudence, le parent qui a effectivement la garde d'un enfant mineur de nationalité d'un Etat membre, a le droit de séjourner avec lui dans l'Etat membre d'accueil, à condition en particulier que lui-même et son enfant disposent de ressources suffisantes pour ne pas devenir une charge pour les finances publiques de l'Etat membre d'accueil.
2.2. En l'espèce, il découle de ce qui précède que, contrairement à ce que soutient le recourant, c'est à bon droit que le Tribunal administratif fédéral a jugé que le fils mineur, de nationalité française et habitant en Suisse, pouvait se prévaloir d'un droit de séjour originaire conféré par les <ref-law> et 24 Annexe I ALCP pour autant que les conditions soient remplies (cf. <ref-ruling> consid. 3.3 p. 269; arrêts 2C_470/2014 du 29 janvier 2015 consid. 3.1; 2C_190/2011 du 23 novembre 2011 consid. 4.2.1 et 2C_574/2010 du 15 décembre 2010 consid. 2). Si tel est le cas, et afin d'éviter de priver de tout effet utile le droit de séjour de l'enfant (cf. arrêt 2C_716/2014 précité, consid. 5.2 et les références citées), sa mère, intimée, qui a effectivement la garde de son enfant peut se prévaloir d'un droit dérivé, à condition qu'elle dispose elle aussi de ressources suffisantes.
Compte tenu de ce qui précède, le grief du recourant doit être rejeté.
3.
Le Département fédéral considère encore que c'est à tort que le Tribunal administratif fédéral a retenu que l'enfant D._, de nationalité française, disposait de moyens financiers suffisants au sens de l'<ref-law>.
3.1. Selon l'<ref-law>, une personne ressortissante d'une partie contractante n'exerçant pas d'activité économique dans le pays de résidence reçoit un titre de séjour d'une durée de cinq ans au moins, à condition qu'elle prouve aux autorités nationales compétentes qu'elle dispose pour elle-même et les membres de sa famille de moyens financiers suffisants pour ne pas devoir faire appel à l'aide sociale pendant son séjour (let. a) et d'une assurance-maladie couvrant l'ensemble des risques (let. b). Le paragraphe 2 de l'<ref-law> précise que les moyens financiers nécessaires sont réputés suffisants s'ils dépassent le montant en dessous duquel les nationaux, eu égard à leur situation personnelle, peuvent prétendre à des prestations d'assistance. Selon l'<ref-law>, tel est le cas si ces moyens dépassent les prestations d'assistance qui seraient allouées en vertu des directives "Aide sociale: concepts et normes de calcul" de la Conférence suisse des institutions d'action sociale (CSIAS), à un ressortissant suisse, éventuellement aux membres de sa famille, sur demande de l'intéressé et compte tenu de sa situation personnelle. En d'autres termes, on considère que la condition de l'<ref-law> est remplie si les moyens financiers d'un citoyen suisse, dans la même situation, lui fermeraient l'accès à l'aide sociale (<ref-ruling> consid. 3.3 p. 269; arrêts 2C_375/2014 du 4 février 2015 consid. 3.2 et 2C_470/2014 du 29 janvier 2015 consid. 3.2). Il importe peu, pour apprécier la situation économique de l'intéressé, que ce dernier génère lui-même ses moyens financiers ou que ceux-ci lui soient procurés par un tiers (arrêt 2C_716/2014 précité, consid. 5.1; <ref-ruling> consid. 3.3 p. 269 s.; arrêts 2C_375/2014 du 4 février 2015 consid. 3.2 et 2C_470/2014 du 29 janvier 2015 consid. 3.2).
3.2. En l'espèce, il ressort des faits constatés par l'autorité précédente, qui lient le Tribunal fédéral, que l'intimée est au bénéfice d'un contrat de travail de durée indéterminée, lui assurant, depuis le 1er novembre 2014, un revenu mensuel net de 5'297 fr. 55. Elle reçoit également de son ex-mari un montant mensuel de 1'500 fr. à titre de pension alimentaire pour ses deux enfants, ainsi qu'un montant de 600 fr. au titre d'allocations familiales. Le montant des revenus de la famille (7'397 fr. 55) excède les charges de celle-ci, lesquelles s'élèvent à un montant total de 5'941 fr. 85. Le Tribunal administratif fédéral a encore relevé que l'intimée ne faisait pas l'objet de poursuites et n'avait pas de dettes, assurait son indépendance financière et qu'aucun élément du dossier ne laissait "entrevoir l'éventualité d'une détérioration subite et prochaine de la situation professionnelle et financière" de celle-ci.
Dans ces conditions, l'on ne saurait reprocher au Tribunal administratif fédéral d'avoir considéré que l'enfant D._ et sa mère disposaient de ressources suffisantes au sens des <ref-law> et 24 Annexe I ALCP et de la jurisprudence précitée. Il n'est par ailleurs pas contesté que l'intimée et ses enfants disposent d'une assurance-maladie.
3.3. Pour le surplus, c'est en vain que le recourant se prévaut de l'arrêt 2C_375/2014. Dans cette affaire, qui concernait des ressortissants roumains au bénéfice d'autorisations de séjour pour études, lesquels s'étaient vu refuser l'octroi d'une autorisation de séjour avec activité lucrative en application de l'<ref-law>, les recourants et leur enfant ne disposaient pas, au moment de l'arrêt attaqué, de revenus suffisants au sens de l'<ref-law>.
Il découle de ce qui précède que l'intimée peut se prévaloir d'un droit dérivé de celui de son fils, conformément à la jurisprudence susmentionnée (cf. supra consid. 2.1).
3.4. C'est également à bon droit que l'instance précédente a jugé que la fille de l'intimée avait droit à une autorisation de séjour au titre de regroupement familial avec sa mère (art. 8 CEDH), étant précisé que celle-ci en a la garde exclusive. Le recourant ne le conteste d'ailleurs pas.
4.
Les considérants qui précèdent conduisent au rejet du recours. Il n'est pas perçu de frais judiciaires (<ref-law>). Les intimés, qui obtiennent gain de cause avec l'assistance d'un mandataire professionnel, ont droit à des dépens à la charge du Département fédéral de justice et police (art. 68 al. 1 et 2 LTF).

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce :
1.
Le recours est rejeté.
2.
Il n'est pas perçu de frais judiciaires.
3.
Le Département fédéral de justice et police versera aux intimés la somme de 2'500 fr. à titre de dépens pour la procédure devant le Tribunal fédéral.
4.
Le présent arrêt est communiqué aux parties, au Service de la population du canton de Vaud, au Secrétariat d'Etat aux migrations et au Tribunal administratif fédéral, Cour III.
Lausanne, le 1er mars 2016
Au nom de la IIe Cour de droit public
du Tribunal fédéral suisse
Le Président : Zünd
La Greffière : Thalmann