Sachverhalt:
A.
A._ (Beschwerdeführerin) war von xxx bis yyy für die Bank B._ AG (Beschwerdegegnerin) tätig.
B.
Mit Eingabe vom 3. Dezember 2014 beantragte A._ dem Arbeitsgericht Zürich, Einzelgericht, es sei der Bank B._ AG unter Androhung der Bestrafung ihrer Organe und Geschäftsleiter nach <ref-law> im Widerhandlungsfalle zu verbieten, dem US Department of Justice oder einer anderen Behörde der USA "in irgendeiner Weise direkt oder indirekt die Klägerin identifizierende, bezeichnende oder betreffende Dokumente oder Informationen, namentlich über Art und Umfang der bei der Beklagten ausgeübten Tätigkeiten, der bekleideten Positionen oder der betreuten Kundenbeziehungen, zu übermitteln, herauszugeben oder sonstwie direkt oder indirekt zugänglich zu machen."
Mit Verfügung vom 5. Dezember 2014 wurde den Parteien Frist angesetzt, um zur Frage Stellung zu nehmen, ob der Prozess im vereinfachten oder im ordentlichen Verfahren zu führen sei. Nach Eingang der Stellungnahmen der Parteien trat der Präsident des Arbeitsgerichts mit Verfügung vom 16. Januar 2015 auf die Klage nicht ein.
Dagegen erhob A._ Berufung an das Obergericht des Kantons Zürich. Dieses trat mit Urteil vom 19. Mai 2015 auf die Klage ebenfalls nicht ein.
C.
A._ beantragt mit Beschwerde in Zivilsachen, eventualiter subsidiärer Verfassungsbeschwerde, das Urteil des Obergerichts sei aufzuheben, und es sei festzustellen, dass das beantragte Verbot einen Streitwert von Fr. 10'833.-- aufweise. Entsprechend sei die Sache "zwecks materieller Beurteilung der geltend gemachten Ansprüche im vereinfachten Verfahren gemäss <ref-law> an das Einzelgericht des Arbeitsgerichts zurückzuweisen". Eventualiter sei die Sache zur Neubeurteilung an die Vorinstanz zurückzuweisen.
Die Bank B._ AG und die Vorinstanz verzichteten auf Vernehmlassung.
D.
Mit Präsidialverfügung vom 10. Juli 2015 wurde der Beschwerde die aufschiebende Wirkung erteilt.

Erwägungen:
1.
Das angefochtene Urteil des Obergerichts ist ein Endentscheid (<ref-law>) einer letzten kantonalen Instanz im Sinne von <ref-law>. Das vorliegende Beschwerdeverfahren hat im Wesentlichen die Frage zum Gegenstand, ob die Klage der Beschwerdeführerin vermögensrechtlicher Natur ist oder nicht. Ob unter diesen Umständen <ref-law> zur Anwendung kommt, braucht nicht erörtert zu werden. Denn selbst wenn mit der Beschwerdeführerin angenommen würde, die Angelegenheit sei vermögensrechtlich, wäre die Beschwerde in Zivilsachen unabhängig vom Erreichen eines bestimmten Streitwertes zulässig, da den aufgeworfenen Rechtsfragen (siehe unten Erwägungen 3 - 6) jedenfalls - wie die Beschwerdeführerin zu Recht geltend macht - grundsätzliche Bedeutung im Sinne von <ref-law> zukommt (vgl. etwa <ref-ruling> E. 1.2; <ref-ruling> E. 1.1).
Nachdem auch die übrigen Sachurteilsvoraussetzungen erfüllt sind, ist - unter Vorbehalt zulässiger und hinlänglich begründeter Rügen (siehe Erwägung 2) - auf die Beschwerde einzutreten.
2.
2.1. Die Beschwerde ist hinreichend zu begründen, ansonsten darauf nicht eingetreten werden kann (<ref-ruling> E. 2.1). In der Beschwerdeschrift ist in gedrängter Form darzulegen, inwiefern der angefochtene Akt Recht verletzt (<ref-law>). Unerlässlich ist dabei, dass auf die Begründung des angefochtenen Entscheids eingegangen und im Einzelnen aufgezeigt wird, worin eine vom Bundesgericht überprüfbare Rechtsverletzung liegt. Die beschwerdeführende Partei soll in der Beschwerde an das Bundesgericht nicht bloss die Rechtsstandpunkte, die sie im kantonalen Verfahren eingenommen hat, erneut bekräftigen, sondern mit ihrer Kritik an den als rechtsfehlerhaft erachteten Erwägungen der Vorinstanz ansetzen (<ref-ruling> E. 2 S. 116, 86 E. 2 S. 89).
Unbeachtlich sind blosse Verweise auf Ausführungen in anderen Rechtsschriften oder auf die Akten; inwiefern das angefochtene Urteil Bundesrecht verletzt, ist in der Beschwerdeschrift selber darzulegen (<ref-ruling> E. 3.2; <ref-ruling> E. 2.3; <ref-ruling> E. 1d). Die Beschwerdeführerin kann daher nicht gehört werden, wenn sie in Randziffer 7 ihrer Beschwerde pauschal erklärt, sie halte "an ihren Ausführungen im Rahmen der vorinstanzlichen Verfahren fest" und diese zu einem "integrierenden Bestandteil" der Beschwerdebegründung erklärt.
2.2. Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (<ref-law>). Dazu gehören sowohl die Feststellungen über den streitgegenständlichen Lebenssachverhalt als auch jene über den Ablauf des vor- und erstinstanzlichen Verfahrens, also die Feststellungen über den Prozesssachverhalt (<ref-ruling> E. 1.3.1 mit Hinweisen). Es kann die Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz nur berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruht (<ref-law>). "Offensichtlich unrichtig" bedeutet dabei "willkürlich" (<ref-ruling> E. 2 S. 117; <ref-ruling> E. 1.5). Entsprechende Rügen sind überdies bloss zulässig, wenn die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein kann (<ref-law>). Neue Tatsachen und Beweismittel dürfen nur so weit vorgebracht werden, als erst der Entscheid der Vorinstanz dazu Anlass gibt (<ref-law>).
Die Partei, welche die Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz anfechten will, muss klar und substanziiert aufzeigen, inwiefern diese Voraussetzungen erfüllt sein sollen (<ref-ruling> E. 1.3.1 S. 18 mit Hinweisen). Soweit die Partei den Sachverhalt ergänzen will, hat sie zudem mit Aktenhinweisen darzulegen, dass sie entsprechende rechtsrelevante Tatsachen und taugliche Beweismittel bereits bei den Vorinstanzen prozesskonform eingebracht hat (<ref-ruling> E. 2 S. 90; Urteile 4A_275/2011 vom 20. Oktober 2011 E. 2, nicht publ. in: <ref-ruling>; 4A_214/2008 vom 9. Juli 2008 E. 1.2, nicht publ. in: <ref-ruling>).
3.
Die Beschwerdeführerin bezifferte den Streitwert ihrer Klage im kantonalen Verfahren auf Fr. 10'833.--, entsprechend einem Bruttomonatslohn. Die Beschwerdegegnerin erklärte sich damit einverstanden und stimmte der Führung des Prozesses im vereinfachten Verfahren zu.
Demgegenüber nahmen die Vorinstanzen zusammengefasst an, die Streitigkeit über die Verhinderung der Datenlieferung an einen fremden Staat sei nichtvermögensrechtlich. Sie traten daher mangels richtiger Verfahrensart respektive sachlicher Zuständigkeit auf die Klage nicht ein. Das Obergericht befand, die Streitigkeit sei im ordentlichen Verfahren vor dem Kollegialgericht zu behandeln.
4.
Das vereinfachte Verfahren gilt nach <ref-law> für vermögensrechtliche Streitigkeiten bis zu einem Streitwert von 30 000 Franken. Es gilt weiter ohne Rücksicht auf den Streitwert für die in Art. 243 Abs. 2 lit. a - f ZPO genannten Streitigkeiten. Daraus folgt, dass nichtvermögensrechtliche Streitigkeiten aus Bereichen, die in <ref-law> unerwähnt bleiben, grundsätzlich im ordentlichen Verfahren zu behandeln sind (siehe Botschaft vom 28. Juni 2006 zur Schweizerischen Zivilprozessordnung, BBl 2006 S. 7338 zu Art. 216 und S. 7346 zu Art. 239; KILLIAS, in: Berner Kommentar, Schweizerische Zivilprozessordnung, Bd. II, 2012, N. 13 zu <ref-law>; MAZAN, in: Basler Kommentar, Schweizerische Zivilprozessordnung, 2. Aufl. 2013, N. 1 und 14 zu <ref-law>; TAPPY, in: CPC, Code de procédure civile commenté, 2011, N. 11 zu <ref-law>). Dies gilt namentlich für nichtvermögensrechtliche Streitigkeiten aus dem Arbeitsverhältnis, die nicht unter Art. 243 Abs. 2 lit. a, d, e oder f ZPO fallen (siehe BOHNET/DIETSCHY, in: Commentaire du contrat de travail, 2013, N. 23 und 27 zu aArt. 343 OR; STREIFF/VON KAENEL/RUDOLPH, Arbeitsvertrag, 7. Aufl. 2012, S. 39; vgl. demgegenüber noch Art. 237 lit. b des Vorentwurfs der Expertenkommission vom Juni 2003).
5.
5.1. Die Beschwerdeführerin rügt, die Vorinstanz habe sich über die übereinstimmende Auffassung der Parteien hinweggesetzt, wonach eine vermögensrechtliche Streitigkeit vorliege. Damit habe sie <ref-law> verletzt.
Die Bestimmung hat den folgenden Wortlaut:
"Lautet das Rechtsbegehren nicht auf eine bestimmte Geldsumme, so setzt das Gericht den Streitwert fest, sofern sich die Parteien darüber nicht einigen oder ihre Angaben offensichtlich unrichtig sind."
Die Beschwerdeführerin ist der Ansicht, dass gestützt darauf nicht nur bei der Bestimmung des Streitwerts in erster Linie auf die Vorbringen der Parteien abzustellen sei, sondern auch hinsichtlich der Frage, ob der Streitgegenstand überhaupt vermögensrechtlich sei.
Die Vorinstanz hielt dem dahingehenden Argument entgegen, nichtvermögensrechtliche Klagen fielen von vornherein nicht unter die <ref-law>, da sie keinen Streitwert hätten. Die Frage, ob eine Streitigkeit vermögensrechtlicher oder nichtvermögensrechtlicher Natur sei, liege nicht in der Disposition der Parteien.
5.2. Letztere Auffassung ist nicht zu beanstanden: Der in <ref-law> enthaltene Vorbehalt zu Gunsten einer Einigung der Parteien betreffend ihre nicht auf eine bestimmte Geldsumme gerichteten Rechtsbegehren (vgl. dazu Urteil 4A_119/2011 vom 28. Juni 2011 E. 1.6) findet einerseits aufgrund seines Wortlauts, andererseits zufolge seiner Stellung im 7. Titel ("Streitwert") des 1. Teils der ZPO keine (direkte) Anwendung auf die Frage, ob eine vermögensrechtliche Streitigkeit vorliegt. Die Bestimmung befasst sich einzig mit der Frage, wie der Streitwert zu ermitteln ist, und setzt mithin voraus, dass das Rechtsbegehren seiner Natur nach überhaupt in Geld bewertet werden kann, also eine vermögensrechtliche Streitigkeit vorliegt (siehe TAPPY, a.a.O., N. 4 zu <ref-law>; VAN DE GRAAF, in: Schweizerische Zivilprozessordnung [ZPO], Kurzkommentar, 2. Aufl. 2014, N. 2 zu <ref-law>; vgl. für das bundesgerichtliche Verfahren auch DOLGE, in: Bundesgerichtsgesetz [BGG], Praxiskommentar, 2. Aufl. 2013, N. 2 zu <ref-law>; FRÉSARD, in: Commentaire de la LTF, 2. Aufl. 2014, N. 9 zu <ref-law>; RUDIN, in: Basler Kommentar, Bundesgerichtsgesetz, 2. Aufl. 2011, N. 8 zu <ref-law>).
Sodann besteht auch für die von der Beschwerdeführerin geforderte analoge Anwendung von <ref-law> kein Raum: Die Frage, ob eine Streitigkeit vermögensrechtlich ist, hat im Zivilverfahren in mehrerer Hinsicht Bedeutung, so etwa für die Zulässigkeit der direkten Klage beim oberen Gericht (<ref-law>) und die Möglichkeit der Parteien, gemeinsam auf die Durchführung des Schlichtungsverfahrens zu verzichten (<ref-law>). Ferner hängt im internationalen Verhältnis von der vermögensrechtlichen Natur der Angelegenheit ab, ob Letztere schiedsfähig ist (<ref-law>), ob die Parteien mittels Gerichtsstandsvereinbarung respektive Einlassung von der gesetzlichen Zuständigkeitsordnung abweichen können (Art. 5 Abs. 1, Art. 6 Abs. 1 sowie Art. 26 lit. b und c IPRG) und ob den Parteien der Nachweis des anzuwendenden ausländischen Rechts überbunden werden kann (<ref-law> und <ref-law>, siehe auch <ref-law>). Dabei geht das Gesetz von der Vorstellung aus, dass die Parteien in vermögensrechtlichen Angelegenheiten weniger schutzbedürftig sind und daher grössere Verantwortung für die Rechtsdurchsetzung tragen sowie weitere Verfügungsbefugnisse über das Verfahren haben sollen. Diesem Grundgedanken liefe es zuwider, es in das Belieben der Parteien zu stellen, ob sie ihrer Streitigkeit vermögensrechtliche Natur beimessen wollen.
Im Übrigen ist Folgendes zu beachten: Mit einer Einigung über den Streitwert gemäss <ref-law> können die Parteien - vorbehältlich offensichtlich unrichtiger Angaben - mittelbar auf die Verfahrensart und die sachliche Zuständigkeit Einfluss nehmen, denen ihre (nicht auf eine bestimmte Geldsumme lautenden) Begehren unterstehen (siehe etwa Art. 5 Abs. 1 lit. d und Art. 6 Abs. 2 lit. b ZPO). Indirekt wird dadurch der Grundsatz relativiert, wonach die sachliche Zuständigkeit der Gerichte der Disposition der Parteien entzogen ist und Letztere im Allgemeinen nicht vereinbaren können, einen Streit einem anderen als dem vom Gesetz bezeichneten staatlichen Gericht zu unterbreiten (siehe <ref-ruling> E. 3.1 S. 477 mit Hinweisen). Dies ist durch den Umstand gerechtfertigt, dass es für das Gericht häufig nur schwer möglich ist, den Streitwert von Nichtgeldleistungen, Gestaltungen oder Feststellungen zuverlässig zu beziffern, wogegen die Parteien selber am besten wissen, welche wirtschaftlichen Auswirkungen der Streit für sie hat (vgl. DIGGELMANN, in: Schweizerische Zivilprozessordnung [ZPO], Brunner/Gasser/Schwander [Hrsg.], 2011, N. 21 zu <ref-law>). Hinsichtlich der Frage, ob überhaupt ein vermögensrechtlicher Streit vorliegt, tritt diese Schwierigkeit jedenfalls nicht im gleichen Masse auf. Daher besteht kein Anlass, <ref-law> über seinen Gesetzeswortlaut hinaus auch in diesem Punkt anzuwenden.
5.3. Die Vorinstanz hat demnach zu Recht nicht auf die Angabe der Parteien abgestellt, es liege eine vermögensrechtliche Streitigkeit vor, sondern diese Rechtsfrage von Amtes wegen (<ref-law>) selber beurteilt.
6.
Die Beschwerdeführerin kritisiert, die Vorinstanz habe die Streitigkeit zu Unrecht als nichtvermögensrechtlich qualifiziert.
6.1. Der Begriff der vermögensrechtlichen Streitigkeit respektive Angelegenheit oder Sache wird in der Zivilprozessordung und in anderen prozessrechtlichen Erlassen des Bundesrechts an mehreren Stellen verwendet (siehe Erwägung 5.2), aber nicht definiert.
Nach der bundesgerichtlichen Rechtsprechung ist massgebend, ob mit der Klage letztlich und überwiegend ein wirtschaftlicher Zweck verfolgt wird. Ist dies der Fall, liegt eine vermögensrechtliche Streitigkeit vor (<ref-ruling> E. 12.1; <ref-ruling> E. 2c S. 531; <ref-ruling> E. 2a). Ein Vermögensinteresse besteht nicht nur, wenn direkt die Leistung einer bestimmten Geldsumme umstritten ist, sondern schon dann, wenn der Entscheid unmittelbar finanzielle Auswirkungen zeitigt oder mittelbar ein Streitwert konkret beziffert werden kann; in diesen Fällen werden von den Betroffenen letztlich wirtschaftliche Zwecke verfolgt (<ref-ruling> E. 3.1 S. 182 mit Hinweisen). In seiner publizierten Praxis hat das Bundesgericht zahlreiche nicht auf Geldleistungen lautende Begehren als vermögensrechtlich beurteilt, so etwa solche betreffend die Ausstellung oder Formulierung von Arbeitszeugnissen (BGE <ref-ruling> E. 2b S. 380; 74 II 43), Klagen auf Feststellung oder Unterlassung unlauteren Wettbewerbs (<ref-ruling> E. 1; <ref-ruling>) oder kürzlich die Anfechtung von Beschlüssen der Stockwerkeigentümer (<ref-ruling> E. 1.1).
Als nichtvermögensrechtlich sind demgegenüber Streitigkeiten über ideelle Inhalte zu betrachten, über Rechte, die ihrer Natur nach nicht in Geld geschätzt werden können. Es muss sich um Rechte handeln, die weder zum Vermögen einer Person gehören noch mit einem vermögensrechtlichen Rechtsverhältnis eng verbunden sind. Dass die genaue Berechnung des Streitwertes nicht möglich oder dessen Schätzung schwierig ist, genügt nicht, um eine Streitsache als eine solche nichtvermögensrechtlicher Natur erscheinen zu lassen (<ref-ruling> E. 12.1; <ref-ruling> E. 1a S. 78). Nach der Rechtsprechung ist etwa die Klage wegen Verletzung von Namens- oder Persönlichkeitsrechten eine nichtvermögensrechtliche Zivilstreitigkeit, sofern sie sich auf etwas anderes als Vermögensleistungen bezieht (<ref-ruling> E. 1a; <ref-ruling> E. 1; <ref-ruling> E. 1; vgl. im Einzelnen auch 5A_205/2008 vom 3. September 2008 E. 2.3 mit Hinweisen).
6.2. Die Beschwerdeführerin meint, die Vorinstanz habe das bundesgerichtliche Urteil 4A_239/2014 vom 2. Juli 2014 falsch interpretiert. Dieses und die am gleichen Tag ergangenen Urteile 4A_191/2014, 4A_235/2014 und 4A_237/2014 betrafen die vorsorglichen Massnahmengesuche von zwei im Bereich der Anlageberatung und Vermögensverwaltung tätigen Aktiengesellschaften, der Gesuchsgegnerin, einer Bank, sei zu verbieten, dem U.S. Department of Justice der Vereinigten Staaten von Amerika und/oder der Finma Personendaten der Gesuchstellerin oder deren Partner und Mitarbeiter zu übermitteln. Das Bundesgericht erwog, die Vorinstanz habe mit dem Schluss, es liege eine vermögensrechtliche Streitigkeit vor, keine verfassungsmässigen Rechte verletzt. Sie habe namentlich ohne Verletzung des Willkürverbots schliessen können, der Gesuchstellerin als juristischer Person gehe es primär darum, dass sie nicht in Verfahren verwickelt werde, die ihr Kosten und wirtschaftliche Nachteile verursachten. Die Vorinstanz habe ohne Verletzung verfassungsmässiger Rechte annehmen können, es gehe der Gesuchstellerin nicht um den Schutz ihrer Persönlichkeit, sondern um den Schutz ihres Vermögens, zumal selbst ein Reputationsverlust letztlich zu einem Schaden in ihrem Anlageberatungs- und Vermögensverwaltungsgeschäft führen würde. Entgegen der Ansicht der Gesuchstellerin erweise sich die vorinstanzliche Erwägung, bei gewinnorientierten juristischen Personen würden die Vermögensinteressen in der Regel überwiegen, nicht als willkürlich (E. 2.4).
Die Vorinstanz hielt diese Rechtsprechung hier für nicht streitentscheidend, da das Bundesgericht darin bloss mit beschränkter Kognition entschieden habe und dabei der Gewinnstrebigkeit der Gesuchstellerin als juristischer Person Relevanz zugemessen habe. Die Beschwerdeführerin beanstandet diese Auffassung. Zu Unrecht: Die vom Bundesgericht unter dem Aspekt der Willkür geschützte Überlegung betreffend eine gewinnstrebige juristische Person lässt sich nicht ohne weiteres auf die vorliegende Klage einer ehemaligen Bankmitarbeiterin, d.h. einer natürlichen Person, a uf Nichtherausgabe ihrer Personendaten übertragen. Vor allem war in jenem Fall dargetan, dass die Gesuchstellerin überwiegend einen wirtschaftlichen Zweck verfolgte, zumal ausdrücklich auf die drohenden negativen Auswirkungen auf das von der Gesuchstellerin unternehmerisch betriebene Anlageberatungs- und Vermögensverwaltungsgeschäft Bezug genommen wurde. Vorliegend ist dies nicht der Fall.
6.3. Demnach ist in diesem Zusammenhang auch die weitere einschlägige bundesgerichtliche Rechtsprechung im Zusammenhang mit der Datenübermittlung an ausländische Behörden zu berücksichtigen:
So hat das Bundesgericht etwa kürzlich im Zusammenhang mit der Bestimmung der Spruchgebühr des Bundesverwaltungsgerichts in der internationalen Amtshilfe in Steuerfragen in einer publizierten Erwägung ausgeführt, es gehe hier naturgemäss um die Übermittlung von Informationen an ausländische Steuerbehörden, welche sie zur korrekten Veranlagung sowie zur Erhebung von Nachsteuern und Bussen benutzen würden. Die zu übermittelnden Informationen hätten einen direkten Bezug zur Steuerschuld der betroffenen Personen und seien daher mit einem vermögensrechtlichen Rechtsverhältnis eng verbunden. Der Entscheid über die Übermittlung dieser Informationen zeitige somit unmittelbar finanzielle Auswirkungen. Es sei daher davon auszugehen, dass es sich bei der internationalen Amtshilfe in Steuersachen grundsätzlich um Streitigkeiten mit Vermögensinteresse handle (<ref-ruling> E. 12.3).
Im Gegensatz zur Amtshilfe in Steuerfragen geht es beim vorliegenden Begehren nicht um eine (eigene) Steuerschuld der Beschwerdeführerin, auf die das Bundesgericht im genannten Entscheid massgeblich abstellte. Im Zusammenhang mit den möglichen strafrechtlichen Folgen der Übermittlung von Daten ehemaliger oder aktueller Mitarbeiter einer Bank an ausländische Behörden stehen aber die finanziellen Aspekte und somit das Vermögensinteresse nicht derart im Vordergrund, als dass man im Sinne der Rechtsprechung annehmen könnte, mit der Klage werde letztlich und überwiegend ein wirtschaftlicher Zweck verfolgt.
Sodann geht das Bundesgericht in seiner Rechtsprechung davon aus, eine zivilrechtliche Klage zur Durchsetzung des Auskunftsrechts nach Art. 8 DSG sei nichtvermögensrechtlicher Natur (Urteile 4A_506/2014 / 4A_524/2014 vom 3. Juli 2015 E. 3; 4A_688/2011 vom 17. April 2012 E. 1 mit weiterem Hinweis, nicht publ. in: <ref-ruling>). In diesem Sinne hat es jüngst auch die Klagen von ehemaligen Bankmitarbeitern gegen ihre ehemalige Arbeitgeberin um Auskunft über die sie betreffenden persönlichen Daten, die an die US-amerikanischen Behörden übermittelt wurden, als nichtvermögensrechtlich qualifiziert (Urteile 4A_406/2014 / 4A_408/2014 vom 12. Januar 2015 E. 2.1, nicht publ. in: <ref-ruling>; 4A_215/2014 vom 18. September 2014 E. 1.1).
Dieser bundesgerichtlichen Rechtsprechung entspricht es, auch die Unterlassungsklageeiner ehemaligen Bankmitarbeiterin auf Nichtherausgabe der sie betreffenden Daten an ausländische Justizbehörden grundsätzlich als nichtvermögensrechtlich zu qualifizieren.
6.4. Schliesslich unterscheidet sich die in diesem Fall bestehende Ausgangslage entgegen der Auffassung der Beschwerdeführerin auch entscheidend von derjenigen eines Arbeitnehmers, der gegen den Arbeitgeber auf Ausstellung eines Arbeitszeugnisses klagt. Das Bundesgericht begründete die Praxis, wonach dieser Streit vermögensrechtlicher Natur ist (siehe Erwägung 6.1), damit, wenn das Gesetz dem Dienstpflichtigen Anspruch auf ein Zeugnis einräume, so habe das seinen Grund in erster Linie darin, dass ihm dadurch das wirtschaftliche Fortkommen erleichtert werden solle. Denn wer sich über seine frühere Tätigkeit durch eine ununterbrochene Kette von Zeugnissen auszuweisen vermöge, finde erfahrungsgemäss im Allgemeinen leichter wieder eine neue Anstellung. Dass das Zeugnis auch noch gewisse Auswirkungen auf ideellem Gebiete haben könne, indem es die persönliche Wertschätzung des Zeugnisträgers im gesellschaftlichen und öffentlichen Leben zu beeinflussen vermöge, trete gegenüber seinem materiellen Wert in den Hintergrund und sei daher für den Charakter des Streites nicht entscheidend (BGE 74 II 43 S. 44 f.). Auch hier stellte das Bundesgericht also darauf ab, dass die wirtschaftlichen Interessen überwogen. Entsprechendes kann vom Begehren eines in der Schweiz wohnhaften (ehemaligen) Bankmitarbeiters, die Herausgabe von persönlichen Daten an ausländische Justizbehörden zu verbieten, nicht gesagt werden. Soweit eine negative Auswirkung auf das wirtschaftliche Fortkommen des Mitarbeiters im schweizerischen Arbeitsmarkt überhaupt droht, liegt diese Gefahr jedenfalls nicht genügend nahe, als dass sie die ideellen, nichtvermögensrechtlichen Aspekte (Furcht, in ein ausländisches Strafverfahren hineingezogen werden zu können) - analog zum Arbeitszeugnis - in den Hintergrund treten liesse.
6.5. Somit sind die Klagen von ehemaligen Bankmitarbeitern auf Nichtherausgabe der sie betreffenden Daten an ausländische Justizbehörden in der Regel nichtvermögensrechtlicher Natur.
Die dementsprechende Würdigung der streitgegenständlichen Unterlassungsklage durch die Vorinstanz kann die Beschwerdeführerin auch nicht als bundesrechtswidrig ausweisen, wenn sie ihrerseits bloss behauptet, vorliegend sei die Gefahr von wirtschaftlichen Nachteilen erstellt. Die Vorinstanz vermochte insbesondere gerade nicht zu erkennen, weshalb konkret eine allfällige Strafuntersuchung gegen die Beschwerdeführerin in den USA deren Weiterbeschäftigung im hiesigen Finanzsektor massiv erschweren könnte, wenn nicht gar verunmöglichen sollte. Die Beschwerdeführerin legt ihrer eigenen Argumentation einen Sachverhalt zu Grunde, der im angefochtenen Urteil so nicht festgestellt ist und wirft der Vorinstanz in mehrfacher Hinsicht unzutreffende Feststellungen vor, ohne aber im Einzelnen hinreichend begründete (Erwägung 2.2) Sachverhaltsrügen zu erheben. Die Beschwerde geht überdies am angefochtenen Entscheid vorbei, wenn darin auf ein Urteil des Handelsgerichts des Kantons Zürich vom 6. August 2014 (Verfahrens-Nummer HE140223) verwiesen wird, gemäss dem die US-amerikanischen Behörden im Steuerstreit mit der Schweiz "harte Bandagen tragen" würden und jeden verfolgten, der ihnen behilflich sein könne, um an Bankkundendaten zu gelangen. Denn alleine diese Beurteilung macht die vorliegende Klage nicht zu einer vermögensrechtlichen.
7.
Nach dem Gesagten ist es von Bundesrechts wegen nicht zu beanstanden, wenn das Obergericht auf die Klage nicht eintrat.
Die Beschwerde ist abzuweisen, soweit darauf eingetreten werden kann. Ausgangsgemäss wird die Beschwerdeführerin kostenpflichtig (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 1'000.-- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Zürich, I. Zivilkammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 10. Februar 2016
Im Namen der I. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Kiss
Der Gerichtsschreiber: Kölz