Sachverhalt:
A.
Die A._ AG hat Sitz in U._/ZH. Statutengemäss bezweckt sie den Betrieb eines histopathologischen, das heisst auf die Feststellung von Erkrankungen des menschlichen Gewebes ausgerichteten Diagnosezentrums. Sie verfügt über eine Bewilligung des Kantons Zürich zum Betrieb einer ambulanten ärztlichen Institution. Ihre Klientschaft setzt sich aus inländischen Spitälern und Ärzten zusammen. Gewisse Untersuchungen führt sie nicht selbst durch, insbesondere bezieht sie Laboratoriumsleistungen auch aus dem Ausland, so aus der Tschechischen Republik und der Bundesrepublik Deutschland. Die A._ AG und die beiden ausländischen Laboratorien sind in dem von der Eidgenössischen Steuerverwaltung (ESTV) geführten Register der Mehrwertsteuerpflichtigen nicht verzeichnet.
B.
Mit Schreiben vom 15. April 2013 erkundigte die A._ AG sich bei der ESTV danach, ob ihre im Jahr 2012 aus dem Ausland bezogenen humanmedizinischen Laboratoriumsleistungen im Gesamtumfang von mehr als Fr. 10'000.-- der Bezugsteuer unterlägen. Sie vertrat dabei die Auffassung, eine (von vornherein auf den Bezug beschränkte) Steuerpflicht sei nicht gegeben, weil es sich bei den Leistungen um Heilbehandlungen handle, was zum Erbringerortprinzip führe (<ref-law>). Der Ort der Leistung liege mithin im Ausland. Entsprechend löse der Vorgang keine Bezugsteuer im Sinne von <ref-law> aus. Selbst wenn das Empfängerortprinzip zum Tragen käme (<ref-law>), sei keine Bezugsteuerpflicht gegeben, da es sich um von der Steuer ausgenommene Leistungen handle (<ref-law>).
C.
Die ESTV beantwortete die Anfrage am 13. Juni 2013 dahingehend, dass die Voraussetzungen der Bezugsteuer vorlägen. Gemäss Ziff. 9.2 der MWST-Branchen-Info 21 ("Gesundheitswesen") seien nur Leistungen solcher Institutionen von der Besteuerung ausgenommen, die über eine kantonale Bewilligung zum Betrieb eines medizinischen Laboratoriums verfügten. Weil die im Ausland ansässigen Laboratorien keine kantonale Bewilligung vorweisen könnten, fehle eine von der Steuer ausgenommene Heilbehandlung. Der Ort der Leistung richte sich nach dem Empfängerortprinzip, was die Bezugsteuer auslöse.
D.
Mit Blick darauf reichte die A._ AG eine Aufstellung der in den Jahren 2011 und 2012 aus dem Ausland erlangten Laboratoriumsleistungen nach. Demzufolge hatte sie in den beiden Jahren Leistungen von Fr. 67'296.77 bzw. Fr. 94'946.91 bezogen. Mit Ergänzungsabrechnungen vom 8. Oktober 2013 belastete die ESTV die Bezugsteuer nach; diese belief sich auf Fr. 5'383.74 bzw. Fr. 7'595.75. Die A._ AG bestritt dies am 6. März 2014 und gab überdies bekannt, sie habe im Jahr 2013 gleichartige Leistungen von Fr. 90'866.10 bezogen. Dies veranlasste die ESTV am 17. März 2014 zu einer weiteren Ergänzungsabrechnung, diesmal über Fr. 7'255.05. Mit Verfügung vom 6. Mai 2014 hielt die ESTV an ihrer Sichtweise fest und bestätigte sie die Ergänzungsabrechnungen vom 8. Oktober 2013 bzw. 17. März 2014. Im Einspracheentscheid vom 16. April 2015 bekräftigte die ESTV ihren Standpunkt. Obwohl im Gesetz nicht ausdrücklich erwähnt, sei auch von ausländischen Laboratorien eine kantonale Bewilligung zu verlangen, damit diese eine von der Steuer ausgenommene Leistungen erbringen könnten.
E.
Dagegen gelangte die A._ AG an das Bundesverwaltungsgericht. Mit Urteil A-3112/2015 vom 22. Oktober 2016 hiess dieses die Beschwerde gut und wies es die Sache zur Fällung eines neuen Entscheides im Sinne der Erwägungen an die ESTV zurück. Das Bundesverwaltungsgericht kam im Wesentlichen zum Schluss, im Fall ausländischer Zentren für Diagnostik sei eine kantonale Bewilligung zum Betrieb einer ambulanten ärztlichen Institution von vornherein entbehrlich. Ein ausländisches Laboratorium qualifiziere als "Zentrum für Diagnostik" im mehrwertsteuerlichen Sinn, falls es Leistungen erbringe, die gemäss Vermerk in der Analysenliste auch im Ausland kassenpflichtig durchgeführt werden können (E. 5.3). Von einer "Heilbehandlung" oder einer "damit eng verbundenen Leistung" sei in einem solchen Fall ebenfalls nur bei Leistungen zu sprechen, die gemäss Vermerk in der Analysenliste auch im Ausland kassenpflichtig durchgeführt werden können. Treffe dies zu, könne das ausländische Laboratorium steuerausgenommene Leistungen ins Inland erbringen (E. 5.4). Die ESTV habe zum Charakter der vom deutschen und tschechischen Laboratorium erbrachten Leistungen keine Feststellungen getroffen. Da dies aber unumgänglich sei, sei die Sache an die ESTV zurückzuweisen.
F.
Mit Eingabe vom 30. November 2015 erhebt die ESTV beim Bundesgericht Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten. Sie beantragt die Aufhebung des vorinstanzlichen Urteils sowie die Bestätigung des Einspracheentscheides vom 16. April 2015. Eventualiter sei die auszurichtende Parteientschädigung aufgrund der Akten zu bestimmen und auf höchstens Fr. 3'000.-- festzusetzen.
Die A._ AG sieht von einer Beschwerde ab und beschränkt sich auf eine Vernehmlassung. Darin beantragt sie erstens, die Ziff. 1 des Dispositivs des angefochtenen Entscheids sei insoweit aufzuheben, als die Sache im Sinne der Erwägungen an die Vorinstanz zurückgewiesen wird. Aufzuheben sei zweitens auch der Einspracheentscheid der ESTV vom 16. April 2015. Drittens sei festzustellen, dass sie, die A._ AG, die im Einspracheentscheid verfügten Mehrwertsteuern je zuzüglich Zins nicht schulde und ihr die unter Vorbehalt geleisteten Zahlungen zuzüglich Zins zurückzuerstatten bzw. gutzuschreiben seien. Viertens sei die Ziff. 3 des Dispositivs bezüglich der Parteientschädigung zu bestätigen und der Eventualantrag der ESTV abzuweisen.
Die Vorinstanz verzichtet auf eine Stellungnahme. Das Bundesgericht hat die Angelegenheit am 9. Dezember 2016 öffentlich beraten.

Erwägungen:
1.
1.1. Beim streitbetroffenen Urteil handelt es sich um einen Rückweisungsentscheid des Bundesverwaltungsgerichts in einer Angelegenheit des öffentlichen Rechts, dessen Anfechtung nur unter Vorbehalt des Nachfolgenden zulässig ist (Art. 82 lit. a, Art. 83 e contrario, Art. 86 Abs. 1 lit. a, Art. 89 Abs. 1, Art. 100 Abs. 1 BGG). Aus dem Bundesgesetz vom 12. Juni 2009 über die Mehrwertsteuer (MWSTG; SR 641.20) gehen keine spezialgesetzlichen Vorschriften zum bundesgerichtlichen Verfahren hervor.
1.2.
1.2.1. Das Bundesgericht soll sich der Konzeption nach nur einmal mit derselben Angelegenheit befassen müssen und diese hierbei abschliessend beurteilen können (<ref-ruling> E. 1.3 S. 366). Die Beschwerde ist daher grundsätzlich nur zulässig gegen Entscheide, die das Verfahren ganz oder teilweise abschliessen (End- oder Teilentscheide gemäss Art. 90 und 91 BGG). Gegen Vor- und Zwischenentscheide, die weder zu Ausstandsbegehren noch zur Zuständigkeit ergehen (dazu <ref-law>), ist die Beschwerde lediglich unter den Voraussetzungen von <ref-law> gegeben. Sie ist zulässig, wenn solche Entscheide einen nicht wieder gutzumachenden Nachteil bewirken können (lit. a) oder wenn die Gutheissung der Beschwerde sofort einen Endentscheid herbeiführen und damit einen bedeutenden Aufwand an Zeit oder Kosten für ein weitläufiges Beweisverfahren ersparen würde (lit. b; <ref-ruling> E. 1.1 S. 28; <ref-ruling> E. 1.2 S. 332).
1.2.2. Rückweisungsentscheide führen begrifflich zu keinem Verfahrensabschluss, weshalb es sich dabei grundsätzlich um einen Zwischenentscheid handelt (<ref-ruling> E. 1.1 S. 366; <ref-ruling> E. 1.1 S. 332). Dies trifft insbesondere zu, wenn der oberinstanzliche Rückweisungsentscheid materiellrechtliche Vorgaben enthält, die den Beurteilungsspielraum der Unterinstanz zwar nicht vollständig, aber doch erheblich einschränken. Dergestalt kann er für die Unterinstanz, an welche die Sache zurückgewiesen wird, einen nicht wieder gutzumachenden Nachteil gemäss <ref-law> bewirken. Denn diese kann gezwungen sein, einen ihres Erachtens rechtswidrigen Entscheid zu treffen, zu dessen Anfechtung sie nicht befugt ist. Die beschwerdegegnerische Person hat regelmässig keinen Anlass, den neu zu erlassenden Entscheid anzufechten, wenn er zu ihrem Vorteil ist. Im Ergebnis könnte der unter Umständen rechtswidrige Entscheid keiner bundesgerichtlichen Überprüfung unterzogen werden, was für die Verwaltungsbehörde zu einem nicht wieder gutzumachenden Nachteil führt (Urteil 2C_91/2015 vom 31. Mai 2016 E. 1.2, nicht publ. in: <ref-ruling>; <ref-ruling> E. 3.7.1 f. S. 327; <ref-ruling> E. 1 S. 509). Wenn die Rückweisung aber einzig noch der (rechnerischen) Umsetzung des oberinstanzlich Angeordneten dient und der Unterinstanz folglich keinerlei Entscheidungsspielraum mehr verbleibt, nimmt die Praxis einen anfechtbaren (Quasi-) Endentscheid im Sinne von <ref-law> an (<ref-ruling> E. 1.2 S. 24; <ref-ruling> E. 3.2 S. 325).
1.2.3. Die Vorinstanz erwägt, ein ausländisches Zentrum für Diagnostik bedürfe zwar keiner kantonalen Bewilligung, um unter <ref-law> zu fallen, ihre Tätigkeit müsse aber zu kassenpflichtigen Leistungen im Sinne der Krankenversicherungsgesetzgebung führen, um als steuerausgenommen gelten zu können. Wie es sich im streitbetroffenen Fall verhalte, habe die ESTV aber (noch) nicht abgeklärt (angefochtener Entscheid, E. 5.4.3), weshalb die Sache zu diesem Zweck an sie zurückzuweisen sei (vorne lit. E). Dementsprechend ist im bundesgerichtlichen Verfahren von einem Zwischenentscheid auszugehen. Dieser muss aufgrund dessen selbständig anfechtbar sein, dass die ESTV der Auffassung ist, Leistungen von der streitbetroffenen Art können keineswegs steuerausgenommen sein. Die Vorinstanz kommt zu einem anderen Ergebnis (sofern die Untersuchungen gemäss Vermerk in der Analysenliste auch im Ausland kassenpflichtig durchgeführt werden können). Mithin ist die ESTV gehalten, von einer Rechtslage auszugehen, die ihrer Auffassung widerspricht. Dies kann einen nicht wieder gutzumachenden Nachteil im Sinne von <ref-law> bewirken.
1.2.4. Die Legitimation der ESTV ergibt sich aus <ref-law>. Anders als <ref-law> setzt dieser keine bundesgesetzliche Grundlage voraus. Es ist ausreichend, wenn "das Bundesrecht" ein Beschwerderecht zugunsten der "unterstellten Dienststelle" vorsieht. Eine Rechtsverordnung genügt hierzu (<ref-ruling> E. 1.3.1 S. 326; <ref-ruling> E. 2.2 S. 324). Die ESTV kann sich auf Art. 4 Abs. 1 und Art. 12 der Organisationsverordnung vom 17. Februar 2010 für das Eidgenössische Finanzdepartement (OV-EFD; SR 172.215.1) berufen (Urteile 2C_469/2015 vom 22. Februar 2016 E. 1.3 [DBG]; 2C_359/2016 vom 4. Oktober 2016 E. 1.2.3 [MWSTG]). Gemäss <ref-law> ist die Beschwerdebefugnis der ESTV frei von weiteren Voraussetzungen (auch dazu <ref-ruling> E. 1.3.1 S. 326; ferner <ref-ruling> E. 1.2 S. 363; <ref-ruling> E. 1.2.1 S. 341 f.). Ein allgemeines Interesse der ESTV an der einheitlichen und richtigen Anwendung des Mehrwertsteuerrechts genügt zur Begründung der Legitimation (<ref-ruling> E. 4.2 S. 542; <ref-ruling> E. 1.2 S. 362 ff.; <ref-ruling> E. 1.1 S. 203).
1.2.5. Auf die Beschwerde der ESTV ist damit einzutreten.
1.3.
1.3.1. Die A._ AG hat keine Beschwerde erhoben, stellt in ihrer Vernehmlassung aber Anträge, als ob dies der Fall wäre (vorne lit. F). Im Verfahren vor Bundesgericht ist eine Anschlussbeschwerde ausdrücklich ausgeschlossen (<ref-ruling> E. 2.1 S. 110). Der Bundesrat hatte eine solche - entgegen der Expertenkommission - abgelehnt und festgehalten, jede am vorinstanzlichen Verfahren beteiligte Partei habe innerhalb der Beschwerdefrist zu entscheiden, ob sie das Bundesgericht anrufen wolle. Verzichte sie darauf, habe sie sich damit zu begnügen, gegebenenfalls zur Beschwerde der Gegenpartei Stellung zu nehmen (Botschaft zur Totalrevision der Bundesrechtspflege [Botschaft BGG], BBl 2001 4202 ff., insb. 4342 zu Art. 96 E-BGG). Die Bundesversammlung schloss sich dieser Ansicht an (zum Ganzen <ref-ruling> E. 2.5 S. 335). Ist auf eine Sache einzutreten, so ist das Bundesgericht aufgrund der Dispositionsmaxime in seiner Entscheidfindung an den Rahmen der von den beschwerdeführenden Parteien gestellten Anträge gebunden (ne eat iudex ultra petita partium; <ref-law>; Urteil 2C_960/2013 und weitere vom 28. Oktober 2014 E. 1.2.4, in: RDAF 2016 I, S. 472 und ZBl 116/2015 S. 376). Der bundesgerichtliche Entscheidungsspielraum ist mithin durch das Dispositiv des angefochtenen Entscheids und die Anträge der beschwerdeführenden Parteien begrenzt (zum Ganzen <ref-ruling> E. 2.1 S. 110).
1.3.2. Sieht eine Partei von einer eigenen Beschwerde ab, kann sie sich vor Bundesgericht einzig noch vernehmlassungsweise äussern. In ihrer Beschwerdeantwort kann sie lediglich auf Nichteintreten und/oder Abweisung, je vollständig oder teilweise, der von der Gegenpartei erhobenen Beschwerde schliessen. Es bleibt ihr in diesem Rahmen aber unbenommen, Gründe anzuführen, welche die Vorinstanz nicht in Erwägung gezogen hat (Urteile 1C_232/2014 vom 18. März 2016 E. 1.2, nicht publ. in: <ref-ruling>; 2C_422/2014 und weitere vom 18. Juli 2015 E. 1.5, in: ASA 84 S. 321). Anträge und Begründungen, die darüber hinausgehen, sind nicht zu hören. Soweit aber Rechtsfragen des Bundesrechts aufgebracht werden, bleibt es bei der Prüfung von Amtes wegen (<ref-law>; hinten E. 1.4.1).
1.3.3. Im Ergebnis dasselbe trifft zu, wenn der angefochtene Entscheid zwar wiederum beiden Parteien (nur) teilweise Recht gibt, er sich im bundesgerichtlichen Verfahren aber als selbständig anfechtbarer Vorentscheid oder Zwischenentscheid (Art. 92 und 93 BGG) darstellt. Zu denken ist insbesondere an Rückweisungsentscheide (<ref-law>), soweit diese als Zwischenentscheid gelten (vorne E. 1.2.2). In einem solchen Fall ist es grundsätzlich nicht erforderlich, Beschwerde zu erheben, um sicherzustellen, dass keine Verfahrensrechte dahinfallen. Wenn die Beschwerde nach Art. 93 Abs. 1 und 2 BGG entweder unzulässig war oder von ihr kein Gebrauch gemacht wurde, so kann der Vor- oder Zwischenentscheid noch durch Beschwerde gegen den Endentscheid angefochten werden. Verlangt wird einzig, dass der Vor- oder Zwischenentscheid sich auf den Endentscheid überhaupt auswirkt (<ref-law>). Falls im bundesgerichtlichen Verfahren aber nur eine Partei Beschwerde erhebt und daraufhin einen Endentscheid ergeht, wird die nicht beschwerdeführende Gegenpartei um die Möglichkeit gebracht, das vorinstanzlich zu ihrem Nachteil Entschiedene anzufechten. Daher muss es ihr möglich sein, vernehmlassungsweise auch Gründe vorzubringen, bezüglich derer sie im vorinstanzlichen Verfahren unterlegen ist (zum Ganzen <ref-ruling> E. 2.2 S. 110).
1.3.4. Der angefochtene Entscheid gibt beiden Parteien (nur) teilweise Recht. Die Vorinstanz ist, insoweit mit der ESTV, der Ansicht, dass der Ort der streitbetroffenen Dienstleistung im Inland liegt (<ref-law>). Mit der A._ AG geht sie einig, dass es keiner kantonalen Bewilligung bedarf. Unterlässt die A._ AG in dieser Konstellation eine eigene Beschwerde gegen den von der ESTV angefochtenen Rückweisungsentscheid, muss es ihr im Sinne des Gesagten möglich sein, Rügen zu erheben, welche die Frage nach Ort und Charakter der Leistung betreffen. Zu einer eigenen Beschwerde war die A._ AG nicht verpflichtet, da sie damit rechnen durfte, im Zusammenhang mit dem noch zu treffenden Endentscheid auch den vorinstanzlichen Zwischenentscheid anfechten zu können (<ref-law>). Wenn das Bundesgericht den Antrag der ESTV mit einem reformatorischen Endentscheid guthiesse, wäre sie dieser Möglichkeit aber beraubt, weshalb ihr Antrag (Ziff. 1 des Rechtsbegehrens) zulässig sein muss.
1.3.5. Nicht einzutreten ist hingegen auf Ziff. 2 des Rechtsbegehrens, worin die A._ AG um Aufhebung des Einspracheentscheids vom 16. April 2015 ersucht. Aufgrund des Devolutiveffekts der Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann nur das vorinstanzliche Urteil ein taugliches Anfechtungsobjekt bilden, wobei der unterinstanzliche Entscheid inhaltlich als mitangefochten gilt (Urteil 2C_903/2010 vom 6. Juni 2011 E. 1, nicht publ. in: <ref-ruling>; <ref-ruling> E. 1.2; <ref-ruling> E. 4.1 S. 275; <ref-ruling> E. 1.4 S. 144).
1.4.
1.4.1. Das Bundesgericht beurteilt namentlich Streitigkeiten wegen Verletzung von Bundesrecht (<ref-law>), worunter auch das Recht der Mehrwertsteuer fällt (<ref-law>). Es prüft das Bundesrecht von Amtes wegen (<ref-law>; <ref-ruling> E. 4.4.5 S. 157) und mit uneingeschränkter (voller) Kognition (<ref-law>; <ref-ruling> E. 2 S. 236). Das Bundesgericht ist daher weder an die in der Beschwerde vorgebrachten Argumente noch an die Erwägungen der Vorinstanz gebunden; es kann die Beschwerde aus einem anderen als dem angerufenen Grund gutheissen, und es kann eine Beschwerde mit einer von der Argumentation der Vorinstanz abweichenden Begründung abweisen (Motivsubstitution; <ref-ruling> E. 1.3 S. 296 f.).
1.4.2. Die Verletzung von verfassungsmässigen Rechten (einschliesslich der Grundrechte) und von kantonalem oder kommunalem und interkantonalem Recht prüft das Bundesgericht in jedem Fall nur, falls eine solche Rüge in der Beschwerde überhaupt vorgebracht und ausreichend begründet worden ist (qualifizierte Rüge- und Begründungsobliegenheit gemäss <ref-law>). Unterbleibt dies, kann das Bundesgericht eine Beschwerde selbst dann nicht gutheissen, wenn eine Verfassungsverletzung tatsächlich vorliegt (<ref-ruling> E. 1.7.2 S. 106).
1.4.3. Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (<ref-law>; <ref-ruling> E. 4.4.3 S. 156). Es kann die tatsächlichen Feststellungen der Vorinstanz nur berichtigen oder ergänzen, soweit sie offensichtlich unrichtig - das heisst willkürlich - sind oder auf einer anderen Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruhen (<ref-law>; <ref-ruling> E. 1.6 S. 144 f.; <ref-ruling> E. 2 S. 5).
2.
2.1. Gemäss <ref-law> erhebt der Bund eine Mehrwertsteuer. Dabei handelt es sich steuertechnisch um eine Verbrauchssteuer. Der Belastungskonzeption der Mehrwertsteuer zufolge zielt diese auf den "nicht unternehmerischen Endverbrauch im Inland" ab (<ref-law>). Im Zentrum steht freilich nicht der eigentliche Verbrauch, sondern die Mittelverwendung der endverbrauchenden Person zwecks Verbrauchs ausserhalb eines Unternehmens. Die Erhebungskonzeption der Mehrwertsteuer kommt im System der Netto-Allphasensteuer mit Vorsteuerabzug zum Ausdruck (<ref-law>). Aus Praktikabilitätsgründen erfolgt der Bezug der Mehrwertsteuer auf Stufe der leistungserbringenden Personen, selbst wenn nicht diese, sondern die leistungsbeziehenden Personen die Destinatäre der Mehrwertsteuer sind (zum Ganzen <ref-ruling> E. 2.2 S. 491 f.).
2.2.
2.2.1. Zur vollständigen Erfassung der Mittelverwendung im Inland bedarf es neben der Inlandsteuer weiterer Erhebungsformen, nämlich der Einfuhrsteuer und der Bezugsteuer (IVO P. BAUMGARTNER/DIEGO CLAVADETSCHER/MARTIN KOCHER, Vom alten zum neuen Mehrwertsteuergesetz, 2010, § 1 N. 46 und § 9 N. 4). In <ref-law> 1999 ist dessen ungeachtet nur die Rede von den beiden ersten Formen, während die Bezugsteuer unerwähnt bleibt. Im früheren Verfassungsrecht fanden sich hierzu immerhin übergangsrechtliche Grundlagen (Art. 8 Abs. 2 lit. g Ziff. 2 ÜbBest. BV 1874 in der Fassung vom 18. Juni 1993 [AS 1994 258 262]).
Unter dem Verfassungsrecht von 1993 hat das Bundesgericht die Verfassungsmässigkeit der Besteuerung des "Dienstleistungsbezugs aus dem Ausland" mehrfach bestätigt und dies in erster Linie mit der Verwirklichung des Bestimmungslandprinzips begründet (Urteile 2A.541/2006 vom 21. Februar 2007 E. 2.3; 2A.400/2001 vom 9. April 2002 E. 2.2; PHILIP ROBINSON, in: Markus Reich, Steuerrecht, 2. Aufl. 2012, § 35 N. 1; ALOIS CAMENZIND/NIKLAUS HONAUER/KLAUS A. VALLENDER/MARCEL R. JUNG/SIMEON L. PROBST, Handbuch zum Mehrwertsteuergesetz, 3. Aufl. 2012, N. 2092; PASCAL MOLLARD/XAVIER OBERSON/ANNE TISSOT BENEDETTO, Traité TVA, 2009, Kapitel 3 N. 382). Es schloss sich damit dem Eidgenössischen Finanzdepartement an, das darauf hingewiesen hatte, der auf Art. 8 Abs. 2 lit. g Ziff. 2 ÜbBest. BV 1874 in der Fassung vom 18. Juni 1993 gestützte Art. 4 Abs. 1 lit. d der Verordnung vom 22. Juni 1994 über die Mehrwertsteuer (MWSTV 1994; AS 1994 1464) sei "notwendig, um das System abzurunden (keine Doppel- bzw. Nichtbesteuerung) " (Kommentar des Eidgenössischen Finanzdepartements vom 22. Juni 1994 zur MWSTV 1994, BBl 1994 III 530 ff., insb. 532).
Diese übergangsrechtliche Anknüpfung ist zwar entfallen. Die Bezugssteuer ist aber unausgesprochener Bestandteil des Systems der allgemeinen Verbrauchssteuer geblieben und daher von <ref-law> miterfasst. Alsdann findet sie in Art. 1 Abs. 2 lit. b und Art. 45 ff. MWSTG eine ausdrückliche gesetzliche Grundlage. Dies ist für das Bundesgericht massgebend (<ref-law>; <ref-ruling> E. 2.4.3 S. 192).
2.2.2. Der Tatbestand der Bezugsteuer besteht gemäss <ref-law> 2009 und Art. 109 Abs. 1der Mehrwertsteuerverordnung vom 27. November 2009 (MWSTV 2009; SR 641.201) aus:
- Dienstleistungen
- von Unternehmen mit Sitz im Ausland, die nicht im Register der steuerpflichtigen Personen eingetragen sind,
- deren Ort der Dienstleistung sich nach Art. 8 Abs. 1 im Inland befindet (bis dahin Art. 45 Abs. 1 lit. a),
- wobei der inländische Empfänger der Dienstleistung bereits nach <ref-law> ordentlich steuerpflichtig ist oder im Kalenderjahr für mehr als 10'000 Franken solche Leistungen bezieht und dadurch beschränkt steuerpflichtig wird (Art. 45 Abs. 2 lit. a und b),
- und schliesslich die Dienstleistung weder nach <ref-law> von der Mehrwertsteuer ausgenommen noch gemäss <ref-law> von der Mehrwertsteuer befreit ist (<ref-law>).
2.2.3. Nach den für das Bundesgericht verbindlichen Feststellungen der Vorinstanz (<ref-law>; vorne E. 1.4.3) bezieht die A._ AG Laboratoriumsleistungen; solche fallen nicht unter die Lieferungen und gelten daher mehrwertsteuerlich als Dienstleistungen (<ref-law>). Die Erbringer dieser Leistungen haben ihren Sitz im Ausland. Ebenso steht fest, dass die A._ AG nicht ordentlich mehrwertsteuerpflichtig ist, aber für mehr als Fr. 10'000.-- solche Leistungen bezieht. Streitig und zu prüfen bleiben der dritte und der fünfte Punkt des Tatbestands. Sofern der Ort der Dienstleistung im Ausland liegt, entfällt die objektive Bezugsteuerpflicht, während er diese auslöst, wenn der Ort im Inland ist (hinten E.3). Befindet sich der Ort im Inland, fragt sich in einem zweiten Schritt, ob die Laboratoriumsleistungen überhaupt unter die steuerbaren Leistungen fallen (hinten E. 4).
2.2.4. Im Unterschied zur Inlandsteuer wird die Bezugsteuer nicht mittelbar (bei der leistungserbringenden Person; vorne E. 2.1), sondern unmittelbar (bei der leistungsempfangenden Person) erhoben. Bezugsteuerpflichtige und steuertragende Person fallen daher zusammen (BAUMGARTNER/CLAVADETSCHER/KOCHER, a. a. O., § 9 N. 5). Ist die der Bezugsteuer unterliegende inländische Person nicht ohnehin subjektiv steuerpflichtig (<ref-law>), setzt die Steuerpflicht ein, wenn im Kalenderjahr für mehr als Fr. 10'000.-- derartige Leistungen bezogen werden (<ref-law>). Diesfalls ergibt sich eine auf die Bezugsteuer beschränkte Steuerpflicht (BAUMGARTNER/CLAVADETSCHER/KOCHER, a. a. O., § 9 N. 13).
3.
3.1. Streitig und zu prüfen ist zunächst der Ort der Dienstleistung. Die Bezugsteuer hängt nach dem Gesagten namentlich davon ab, dass der Ort der aus dem Ausland erbrachten Dienstleistung im Inland liegt (Art. 45 Abs. 1 lit. a in Verbindung mit <ref-law>; <ref-ruling> E. 5.1 S. 116 zum wesensverwandten Art. 10 des Bundesgesetzes vom 2. September 1999 über die Mehrwertsteuer [MWSTG 1999; AS 2000 1300]). Im Regelfall greift hinsichtlich des Ortes der Dienstleistung das Empfängerortprinzip (<ref-law>). Dieses steht aber unter dem Vorbehalt, dass kein Fall von <ref-law> anwendbar ist. D as Empfängerortprinzip ist mithin subsidiärer Natur (<ref-ruling> E. 9.3 S. 393 f.; <ref-ruling> E. 4.1 S. 346; <ref-ruling> E. 3.3 S. 563; <ref-ruling> E. 6.3.1 S. 349).
3.2. Die Ausnahmen nach <ref-law> führen zur Anknüpfung an den Erbringerort (lit. a und b), Tätigkeitsort (lit. c und d), Beförderungsort (lit. e), Belegenheitsort (lit. f) oder den Bestimmungsort (lit. g; BAUMGARTNER/CLAVADETSCHER/KOCHER, a. a. O., § 4 N. 74 ff.). Dem Erbringerortprinzip im Sinne von lit. a unterliegen Dienstleistungen, die "typischerweise unmittelbar gegenüber physisch anwesenden natürlichen Personenerbracht werden, auch wenn sie ausnahmsweise aus der Ferneerbracht werden". Mit der Wendung "... ausnahmsweise aus der Ferne..." wird das Tatbestandselement der typischerweise gegebenen physischen Anwesenheit abgeschwächt, um eine örtliche Anknüpfung "unabhängig von der Art und Weise der Dienstleistungserbringung" zu erzielen (Botschaft vom 25. Juni 2008 zur Vereinfachung der Mehrwertsteuer [Botschaft MWSTG 2009], BBl 2008 6885 ff., insb. 6945). Eine solche Leistung muss nicht vor Ort erbracht werden. Entsprechend sollen beispielsweise Auskünfte eines Zentrums für Telemedizin auch unter das Erbringerortprinzip fallen (so NIKLAUS HONAUER, in: Martin Zweifel/Michael Beusch/Pierre-Marie Glauser/Philip Robinson [Hrsg.], MWSTG, Kommentar, 2015 [nachfolgend: Komm. MWSTG], N. 20 zu <ref-law>; FELIX GEIGER, in: Felix Geiger/Regine Schluckebier [Hrsg.], MWSTG, Kommentar, 2012 [nachfolgend: HK-MWSTG], N. 28 zu <ref-law>). Dagegen sind die Dienste von Escort-Begleiterinnen, die "typischerweise unmittelbar gegenüber physisch anwesenden natürlichen Personen erbracht werden", auch dann dem Erbringerortprinzip unterstellt, wenn die Begegnung ausserhalb des Sitzes der wirtschaftlichen Tätigkeit geschieht (<ref-ruling> E. 9.6 S. 394 ff.).
3.3. Es fragt sich, wie Laboratoriumsleistungen einzuordnen sind. Nach dem an sich klaren Gesetzeswortlaut fallen die Heilbehandlungen unter das Erbringerortprinzip. Um als Heilbehandlung zu gelten, ist aber zu verlangen, dass die Behandlung "direkt am Patienten" ausgeübt wird. Schon zu Beginn der mehrwertsteuerlichen Rechtsprechung erwog das Bundesgericht, von "Leistungen im Bereich des Gesundheitswesens" (Art. 8 Abs. 2 lit. b Ziff. 2 ÜbBest. BV 1874 bzw. Art. 14 Ziff. 2 und 3 MWSTV 1994) sei nur zu sprechen, sofern die Heilbehandlung "direkt am Patienten" vorgenommen wird. Dementsprechend konnte die Lieferung von Zahnprothesen und kieferorthopädischen Apparaturen nicht unter Art. 14 Ziff. 3 MWSTV 1994 subsumiert werden (<ref-ruling> E. 7a/aa S. 207, bestätigt in <ref-ruling> E. 8a S. 381). Daran ist festzuhalten.
3.4. Die ärztliche Heilbehandlung erfolgt üblicherweise dadurch, dass der Arzt den in seiner Praxis physisch anwesenden Patienten untersucht, die Diagnose vornimmt und die gebotene Therapie einleitet. Der Patient konsumiert die medizinische Dienstleistung daher klassischerweise in der Praxis, weswegen es als gerechtfertigt erscheint, vom Empfängerortprinzip abzuweichen und die ärztliche Praxis als Ort der Dienstleistung zu betrachten. Selbst wenn die humanmedizinische Heilbehandlung in Auskünften eines Zentrums für Telemedizin besteht, bleibt es dennoch dabei, dass die klassische ärztliche Dienstleistungserbringung typischerweise unmittelbar gegenüber dem physisch anwesenden Patienten erbracht wird. Die Telemedizin bildet die Ausnahme, welche die Regel bestätigt.
3.5. Genau das Gegenteil trifft auf die medizinischen Laboratorien zu. Die dem in der Arztpraxis physisch anwesenden Patienten abgenommenen Proben gelangen zumeist durch die Post oder einen Kurierdienst zum örtlich getrennten Laboratorium. Das Laboratorium untersucht das Prüfgut und trägt mit seinem Ergebnis zur ärztlichen Diagnose bei. Vor dem Hintergrund von <ref-law> kann jedenfalls nicht gesagt werden, dass Dienstleistungen eines humanmedizinischen Laboratoriums "nur ausnahmsweise aus der Ferne erbracht werden". Damit würden Regel und Ausnahme ins Gegenteil verkehrt. Bereits die grammatikalische Auslegung zeigt auf, dass Laboratoriumsleistungen nach der Art, wie sie hier streitbetroffen ist, unter <ref-law> zu subsumieren sind.
3.6. Auch wenn in <ref-law> insgesamt von den Heilbehandlungen gesprochen wird, können nur jene Erscheinungsformen gemeint sein, die auch "typischerweise unmittelbar gegenüber der physisch anwesenden natürlichen Person erbracht werden". Auf die Diagnosen eines humanmedizinischen Laboratoriums trifft dies nicht zu, selbst wenn es der Praxis oder dem Spital angegliedert ist. Massgebend ist, dass es am Element der Ausübung "direkt am Patienten" fehlt. Leistungen eines Laboratoriums sind daher vom Erbringerortprinzip ausgenommen und verbleiben im Anwendungsbereich des Empfängerortprinzips. Entsprechend sind Laboratoriumsleistungen, die vom Ausland ins Inland erbracht werden, der Bezugsteuer zugänglich.
3.7. Im Ergebnis entspricht dies im Übrigen der Rechtslage, wie sie im Anwendungsbereich von Art. 45 der Richtlinie 2006/112/EG des Rates der Europäischen Union vom 28. November 2006 über das gemeinsame Mehrwertsteuersystem (MwStSystRL; nachfolgend: RL 2006/112/EG) herrscht (<ref-ruling> E. 9.6.5 S. 397). Das bundesrechtliche Mehrwertsteuerrecht lehnt sich konzeptionell an das Richtlinienrecht der Europäischen Union an (BAUMGARTNER/CLAVADETSCHER/KOCHER, a. a. O., § 1 N. 52), was Helvetismen aber nicht ausschliesst. Soweit das bundesrechtliche Mehrwertsteuerrecht nicht ausdrücklich und bewusst vom Richtlinienrecht der Europäischen Union abweicht und einen eigenständigen Weg einschlägt, kann dieses bei der Anwendung des schweizerischen Rechts fallweise als Erkenntnisquelle und Auslegungshilfe herangezogen werden. Im Zentrum steht dabei die erwähnte RL 2006/112/EG. Von Bedeutung ist unter Umständen auch noch die Sechste Richtlinie 77/388/EWG des Rates der Europäischen Union vom 17. Mai 1977 zur Harmonisierung der Rechtsvorschriften der Mitgliedstaaten über die Umsatzsteuern (nachfolgend: RL 77/388/EWG), die am 1. Januar 2007 durch die RL 2006/112/EG abgelöst wurde (Art. 413 RL 2006/112/EG). Das Richtlinienrecht des Rates und die Rechtsprechung des Gerichtshofs der Europäischen Union (EUGH) entfalten dessen ungeachtet keinerlei präjudizierende Wirkung und vermögen die schweizerische Rechtsprechung mithin nicht zu binden (<ref-ruling> E. 7.4.6 S. 362; <ref-ruling> E. 2.5.1 S. 259; so schon <ref-ruling> E. 6a S. 203).
4.
4.1. Nachdem der Ort der streitbetroffenen Leistungen mithin im Inland liegt, fragt sich, ob die Laboratoriumsleistungen überhaupt unter die steuerbaren Leistungen fallen, von welchen <ref-law> spricht. Andere als steuerbare Leistungen vermögen die Bezugsteuer nicht auszulösen (Urteil 2C_309/2009 vom 1. Februar 2010 E. 4.1 zu Art. 4 lit. d MWSTV 1994 und <ref-ruling> E. 5 S. 116 zu Art. 5 lit. d MWSTG 1999). Dieses Prinzip, das unmittelbar aus dem System der Mehrwertsteuer hervorgeht, ergibt sich heute deklaratorisch aus <ref-law>. Mit <ref-law> in der Fassung vom 30. September 2016 (BBl 2016 7631), der voraussichtlich am 1. Januar 2018 in Kraft tritt, wird das Prinzip eine formellgesetzliche Grundlage finden (Botschaft vom 25. Februar 2015 zur Teilrevision des Mehrwertsteuergesetzes, BBl 2015 2615 ff., insb. 2657). Von der objektiven Mehrwertsteuerpflicht einer Leistung ist (nur) auszugehen, soweit das Gesetz keine echte Ausnahme (Befreiung des Umsatzes mit Recht zum Vorsteuerabzug; <ref-law>) und keine unechte Ausnahme (Befreiung des Umsatzes ohne Recht zum Vorsteuerabzug; Art. 21 Abs. 1 in Verbindung mit <ref-law>) vorsieht (Urteil 2C_1003/2011 vom 18. Februar 2013, in: ASA 81 S. 761).
4.2.
4.2.1. Unechte Ausnahmen sind insbesondere im Bereich des Gesundheitswesens verbreitet (Art. 21 Abs. 2 Ziff. 2 bis 7 MWSTG), was Ausfluss gesundheits- und sozialpolitischer Erwägungen ist (CAMENZIND/HONAUER/VALLENDER/JUNG/PROBST, a. a. O., N. 1004). Die Erfassung der Heilbehandlungen mit der Mehrwertsteuer wäre zum einen stossend (so MOLLARD/OBERSON/TISSOT BENEDETTO, a. a. O., Kapitel 2 N. 279), zum andern führte sie zur Verteuerung des Gesundheitswesens, was der Zielsetzung widerspricht, die von den Sozialversicherungen zu tragenden Kosten zu ermässigen (REGINE SCHLUCKEBIER, in: HK-MWSTG, N. 15 zu <ref-law>). Diese zweite Zielsetzung findet sich auch im Richtlinienrecht der EU. Danach dient etwa Art. 13 Teil A Abs. 1 lit. c RL 77/388/EWG dazu, "die Kosten ärztlicher Heilbehandlungen zu senken" (Urteil des EUGH vom 18. November 2010 C-156/09 Verigen Transplantation Service International AG Randnr. 27).
4.2.2. <ref-law> lautet folgendermassen (Auszeichnungen durch das Bundesgericht) :
"[Von der Steuer ausgenommen sind] die Spitalbehandlung und die ärztliche Heilbehandlung in Spitälern im Bereich der Humanmedizineinschliesslich der damit eng verbundenen Leistungen, die von Spitälern sowie Zentren für ärztliche Heilbehandlung und Diagnostikerbracht werden. Die Abgabe von selbst hergestellten oder zugekauften Prothesen und orthopädischen Apparaten gilt als steuerbare Lieferung".
Die Formulierung im Landesrecht entspricht weitgehend den gleichartigen Art. 13 Teil A Abs. 1 lit. b RL 77/388/EWG bzw. Art. 132 Abs. 1 lit. b RL 2006/112/EG, die wie folgt gehalten sind:
"[Die Mitgliedstaaten befreien folgende Umsätze von der Steuer:] Krankenhausbehandlungen und ärztliche Heilbehandlungen sowie damit eng verbundene Umsätze, die von Einrichtungen des öffentlichen Rechts oder unter Bedingungen, welche mit den Bedingungen für diese Einrichtungen in sozialer Hinsicht vergleichbar sind, von Krankenanstalten, Zentren für ärztliche Heilbehandlung und Diagnostik und anderen ordnungsgemäss anerkannten Einrichtungen gleicher Art durchgeführt beziehungsweise bewirkt werden.
Die beiden unionsrechtlichen Bestimmungen sind untereinander in übereinstimmender Weise auszulegen (Urteile des EUGH vom 10. Juni 2010 C-86/09 Future Health Technologies Ltd Randnr. 27; C-262/08 CopyGene A/S Randnr. 28). Aufgrund der engen grammatikalischen und teleologischen Nähe zu <ref-law> spricht nichts dagegen, die Praxis zu den unionsrechtlichen Richtlinien weitgehend wie eine inländische Auslegungshilfe heranzuziehen.
4.2.3. Der Tatbestand von <ref-law> setzt sich im Wesentlichen aus einem objektiven und einem subjektiven Element zusammen (<ref-ruling> E. 7a/aa S. 206 f. zu Art. 14 Ziff. 3 MWSTV 1994). In objektiver Hinsicht verlangt die Norm eine Heilbehandlung, das heisst eine humanmedizinische Spitalbehandlung, eine humanmedizinische ärztliche Heilbehandlung in Spitälern oder eine eng mit dem einen oder andern verbundene Leistung (hinten E. 4.3.1). Das subjektive Tatbestandselement von <ref-law> besteht darin, dass die stationär erbrachten Heilbehandlungen entweder von einem Spital, einem Zentrum für ärztliche Heilbehandlung oder einem Zentrum für Diagnostik ausgehen (hinten E. 4.3.4).
4.2.4. Unter dem Mehrwertsteuerrecht von 1994 und 1999 galt die "Vorumsatztheorie". Danach war ein steuerausgenommener Umsatz im Sinne des heutigen <ref-law> auf die Stufe des Endverbrauchs beschränkt (<ref-ruling> E. 5e S. 202; ANNE TISSOT BENEDETTO, in: Komm. MWSTG, N. 11 zu <ref-law>; MOLLARD/OBERSON/TISSOT BENEDETTO, a. a. O., Kapitel 2 N. 273). Die dem letzten Umsatz vorgeschalteten Vorumsätze mussten - selbst wenn sie formell alle Voraussetzungen von Art. 14 MWSTV 1994 bzw. Art. 18 MWSTG 1999 erfüllten, besteuert werden. Mit <ref-law> ist der Gesetzgeber von der Vorumsatztheorie abgerückt. Seither können auch seriell erbrachte Leistungen steuerausgenommen sein, sofern sie die Voraussetzungen von <ref-law> erfüllen. Vorbehalten bleibt jedoch die an sich selbstverständliche Regelung von <ref-law>, wonach auch die subjektiven Tatbestandselemente vorzuliegen haben (zum Ganzen CAMENZIND/HONAUER/VALLENDER/JUNG/PROBST, a. a. O., N. 1378 ff.; BAUMGARTNER/CLAVADETSCHER/KOCHER, a. a. O., § 4 N. 92 ff.). Neurechtlich ist es daher möglich, dass ein erstes humanmedizinisches Labor seine Leistungen an ein zweites solches Laboratorium steuerausgenommen erbringt.
4.3.
4.3.1. Was unter einer Heilbehandlung im Einzelnen zu verstehen ist, überlässt <ref-law> dem Verordnungsgeber (<ref-law>). Der Bundesrat hat von seiner Kompetenz lediglich im Bereich von Art. 21 Abs. 2 Ziff. 3MWSTG Gebrauch gemacht. Schon unter dem Recht von 1994 ergab die Auslegung, dass der Begriff der Heilbehandlung, wie er sich damals sowohl in Art. 14 Ziff. 2 als auch Art. 14 Ziff. 3 MWSTV 1994 fand, übereinstimmt (<ref-ruling> E. 8a S. 381; Urteil 2A.527/1998 vom 3. August 2000 E. 7a). Alsdann übernahmen zunächst Art. 18 Ziff. 2 MWSTG 1999 und schliesslich <ref-law> 2009 den Wortlaut von Art. 14 Ziff. 2 MWSTV 1994. Die Praxis zu den früheren Erlassen kann damit uneingeschränkt herangezogen werden (CAMENZIND/HONAUER/VALLENDER/JUNG/PROBST, a. a. O., N. 1015). Daraus ergibt sich zweierlei: Zum einen bestehen zwischen Art. 21 Abs. 2 Ziff. 2 (stationäre Heilbehandlung) und Ziff. 3 MWSTG (ambulante Heilbehandlung) keinerlei inhaltlichen Unterschiede. Zum andern sind Art. 34 und 35 MWSTV, welche formell nur <ref-law> näher ausführen, in gleicher Weise auf <ref-law> anwendbar. Das Mehrwertsteuerrecht von 2009 kennt mithin einen einheitlichen Begriff der Heilbehandlung.
4.3.2. Als Heilbehandlungen im Sinne von <ref-law> gelten daher einerseits die Feststellung und Behandlung von Krankheiten, Verletzungen und anderen Störungen der körperlichen und seelischen Gesundheit des Menschen, anderseits Tätigkeiten, die der Vorbeugung von Krankheiten und Gesundheitsstörungen des Menschen dienen (<ref-law>). Diese Umschreibung deckt sich nahezu vollständig mit dem Richtlinienrecht (Urteil des EUGH vom 2. Juli 2015 C-334/14 Nathalie De Fruytier Randnr. 20 ff.). Was nicht als Heilbehandlung im Sinne von <ref-law> gilt, hat der Bundesrat in einem nicht abschliessenden Negativkatalog festgeschrieben (<ref-law>). Darunter fallen etwa Untersuchungen, Beratungen und Behandlungen, die lediglich der Hebung des Wohlbefindens ("Wellness") oder der Leistungsfähigkeit ("Fitness") dienen (lit. a).
4.3.3. Laboratoriumsleistungen sind grundsätzlich bei stationärer Behandlung unter die "ärztliche Heilbehandlung" im Sinne von Art. 21 Abs. 2 Ziff. 2, bei ambulanter Behandlung unter die "Heilbehandlungen im Bereich der Humanmedizin" gemäss <ref-law> zu subsumieren. Dies deckt sich mit dem Unionsrecht (HOLGER STADIE, Kommentar zum deutschen Umsatzsteuergesetz, 3. Aufl. 2015, N. 13 zu § 4 Nr. 14 UStG/DE).
4.3.4. Das subjektive Tatbestandselement von <ref-law> erfordert, dass die stationär erbrachten Heilbehandlungen entweder von einem Spital, einem Zentrum für ärztliche Heilbehandlung oder einem Zentrum für Diagnostik ausgehen. Landes rechtlich werden Röntgeninstitute, Laboratorien und ähnliche Institute, die Analysen für die Befunderhebung im Rahmen einer stationären Heilbehandlung vornehmen, unter die "Zentren für Diagnostik" subsumiert (CAMENZIND/HONAUER/VALLENDER/JUNG/PROBST, a. a. O., N. 1038). Zum ambulanten Bereich formuliert <ref-law> das Erfordernis, dass die humanmedizinischen Leistungserbringer über eine Berufsausübungsbewilligung verfügen. Über eine solche kann sich gemäss <ref-law> nur ausweisen, wer entweder im Besitz der nach kantonalem Recht erforderlichen Bewilligung zur selbständigen Berufsausübung ist oder zur Ausübung der Heilbehandlung nach der kantonalen Gesetzgebung zugelassen ist.
4.3.5. Das Bundesgericht hat sich in seinen frühesten Entscheiden zum Mehrwertsteuerrecht mit dem Erfordernis einer kantonalen Bewilligung zum Erbringen von Heilbehandlungen auseinandergesetzt. Es tat dies zunächst im Bereich der ambulanten Tätigkeiten. Zu Art. 14 Ziff. 3MWSTV 1994 hielt es fest, die humanmedizinische Heilbehandlung müsse von einer Person ausgehen, "welche die Grundausbildung in einem von der (ESTV) anerkannten Heilberuf besitzt und über die allenfalls notwendige kantonale Bewilligung verfügt (subjektive Voraussetzung) " (Urteil 2A.582/1996 vom 19. März 1998 = <ref-ruling> E. 7a/aa S. 207). Einige Zeit später zog es im stationären Bereich dieselben Schlüsse. So erwog es zu Art. 14 Ziff. 2MWSTV 1994: "Les centres de diagnostic comprennent les laboratoires d'analyses, soit les laboratoires de cabinets médicaux et d'hôpitaux, ainsi que les autres laboratoires s'ils sont en possession d'une autorisation cantonale pour l'exploitation d'un laboratoire médical " (Urteil 2A.527/1998 vom 3. August 2000 E. 7a). Diese Einschätzung besteht unverändert fort. Wie dargelegt, kennt das Mehrwertsteuerrecht von 2009 einen einheitlichen Begriff der Heilbehandlung (objektives Element; vorne E. 4.3.1). In gleicher Weise gelten für inländische humanmedizinische Laboratorien, die im ambulanten und/oder im stationären Bereich tätig sind, einheitliche Zulassungsvorschriften. Alles andere wäre sachwidrig. Wenn <ref-law> und im Nachgang dazu <ref-law> einzig für den ambulanten Bereich eine kantonalrechtliche Berufsausübungs- oder Betriebsbewilligung verlangen, ergreift dies folglich auch den stationären Bereich.
4.3.6. Als das zitierte Urteil 2A.527/1998 vom 3. August 2000 erging, verlangte Art. 13 Teil A Abs. 1 lit. b RL 77/388/EWG hinsichtlich der stationären Heilbehandlungen, dass eine "ordnungsgemäss anerkannte Einrichtung gleicher Art" ("d'autres établissements de même nature dûment reconnus") vorliegt. Unter welchen Voraussetzungen eine Einrichtung "ordnungsgemäss anerkannt" bzw. "dûment reconnu" ist, lässt das Richtlinienrecht offen. Es ist daher "grundsätzlich Sache des innerstaatlichen Rechts jedes Mitgliedsstaates, die Regeln aufzustellen". Die Mitgliedstaaten verfügen insoweit über ein Gestaltungsermessen (Urteil des EUGH vom 8. Juni 2006 C-106/05 L. u. P. GmbH Randnr. 42).
4.4.
4.4.1. Streitig und zu prüfen ist, ob die zuliefernden ausländischen Laboratorien in der Lage sind, der A._ AG steuerausgenommene Heilbehandlungen im Sinne von <ref-law> zu erbringen. Dies hängt im Wesentlichen vom subjektiven Tatbestandselement ab. Die Vorinstanz erwägt hierzu, das Abstellen auf das Krankenversicherungsrecht erscheine da als besonders angebracht, wo es um Gesundheitsleistungen gehe, die von einem ausländischen Dienstleister ins Inland erbracht werden (angefochtener Entscheid E. 5.3.2). Entgegen dem im Krankenversicherungsrecht sonst verbreiteten Territorialitätsprinzip sähen Art. 35 und 38 KVG bzw. Art. 53 und 54 KVV vor, dass die obligatorische Krankenpflegeversicherung die Kosten von Leistungen zu übernehmen habe, sofern dieselben Leistungen im Inland kassenpflichtigen wären, aber aus medizinischen Gründen im Ausland bezogen werden (müssen). Daher sei die Verwaltungsverordnung der ESTV (MWST-Branchen-Info 21, "Gesundheitswesen", insb. Ziff. 9.2), die auch in derartigen Konstellationen eine kantonale Berufsausübungsbewilligung voraussetze, insoweit nicht rechtsbeständig (angefochtener Entscheid E. 5.3.3). Das gefundene Ergebnis sei auch gleichheitsrechtlich vertretbar (angefochtener Entscheid E. 5.4.1).
4.4.2. Die ESTV bestreitet das Vorliegen einer Heilbehandlung bzw. einer eng damit zusammenhängenden Leistung im Sinne von <ref-law>, was sie damit begründet, dass die ausländischen Zulieferer-Laboratorien über keine kantonalrechtliche Bewilligung zum Betrieb eines medizinischen Laboratoriums verfügten. Sie bekräftigt mithin den im Verwaltungsverfahren eingenommenen Standpunkt (vorne lit. C und D).
4.4.3. Die A._ AG teilt weder die vorinstanzliche noch die von der ESTV vertretene Sichtweise. Sie ist der Ansicht, weder sei der Begriff "Zentrum für Diagnostik" auslegungsbedürftig noch bestünden weitere, im Gesetz nicht verankerte Voraussetzungen. Es treffe nicht zu, dass ausländische medizinische Laboratorien über eine kantonale Betriebsbewilligung verfügen müssten, um als Zentrum für Diagnostik im Sinne von <ref-law> zu gelten. Die Bewilligung des betreffenden ausländischen Staates reiche vollkommen aus.
4.5.
4.5.1. Das Mehrwertsteuerrecht von 2009 kennt einen einheitlichen Rechtsbegriff der Heilbehandlung (objektives Element; vorne E. 4.3.1) und - jedenfalls für den Bereich der humanmedizinischen Laboratorien - einheitliche Zulassungsvorschriften (vorne E. 4.3.5). Die mehrwertsteuerlichen Voraussetzungen und Rechtsfolgen der Laboratoriumsleistung sollen nicht davon abhängen, ob es sich um eine stationäre oder ambulante Heilbehandlung handelt, es sei denn, das Gesetz treffe eine Unterscheidung. Dies ist hier nicht der Fall. Zu prüfen bleibt, welche (einheitlichen) Zulassungsvorschriften im Bereich humanmedizinischer Laboratorien bestehen.
4.5.2. Humanmedizinische Laboratorien zählen zu den gesundheitsrechtlichen Leistungserbringern, deren Tätigkeit regelmässig zu Lasten der obligatorischen Krankenpflegeleistung gehen (Art. 35 Abs. 2 lit. f des Bundesgesetzes vom 18. März 1994 über die Krankenversicherung [KVG; SR 832.10]). Die konkreten Voraussetzungen der Zulassung sind verordnungsweise zu regeln (<ref-law>). Der Bundesrat ist diesem Auftrag in Art. 53 der Verordnung vom 27. Juni 1995 über die Krankenversicherung (KVV; SR 832.102) nachgekommen, wo er festhielt, als Laboratorien seien Einrichtungen zugelassen, die medizinische Analysen durchführen (lit. a), nach kantonalem Recht zugelassen sind (lit. b) und die weiteren Voraussetzungen (lit. c-g) erfüllen.
4.5.3. Die Ausübung eines universitären Medizinalberufs richtet sich grundsätzlich nach Bundesrecht, konkret nach dem Bundesgesetz vom 23. Juni 2006 über die universitären Medizinalberufe (MedBG; SR 811.11). Das Führen eines medizinischen Laboratoriums fällt weder unter diese Berufsgruppen (<ref-law>), noch hat der Bundesrat eine Gleichstellung verordnet (<ref-law>). Die Zulassung verbleibt mithin in der Souveränität der Kantone (<ref-law> [SR 101]; <ref-ruling> E. 3.2.2 S. 194). In 22 Kantonen bedarf es zum Betrieb eines medizinischen Laboratoriums einer kantonalen Zulassungsbewilligung. Nur in den Kantonen Bern, Glarus, St. Gallen und Graubünden dürfen medizinische Laboratorien bewilligungsfrei eröffnet und geführt werden (siehe die Übersicht des Verbandes der medizinischen Laboratorien der Schweiz [FAMH], www.famh.ch, Rubrik AL/Gesetze). Das Bundesgericht hat diesem Umstand in seiner bisherigen Praxis insoweit Rechnung getragen, als es eine kantonale Bewilligung nur voraussetzt, soweit diese "allenfalls notwendig" ist (<ref-ruling> E. 7a/aa S. 207; vorne E. 4.3.5). Wo das kantonale Gesundheitsrecht keine solche verlangt, kann das Mehrwertsteuerrecht auch nicht auf einer Bewilligung beharren, in den anderen Kantonen aber schon. Denn die kantonale Bewilligung zum Betrieb einer ambulanten ärztlichen Institution stellt ein qualitatives Merkmal dar, das eine vernünftige Abgrenzung gestattet, gesundheitsrechtlich allgemein anerkannt ist und im mehrwertsteuerlichen Verfahren verhältnismässig einfach überprüft werden kann (zum letzten Aspekt <ref-ruling> E. 9.6.6 S. 398). Der Praktikabilität kommt in einem Massenverfahren, das auf dem Prinzip der (modifizierten) Selbstveranlagung beruht (Urteil 2C_326/2015 vom 24. November 2016 E. 3.2 mit Hinweisen, in: ASA 85 S. 393), naturgemäss einige Bedeutung zu.
4.5.4. Das Erfordernis einer kantonalen Berufsausübungs- und/oder Betriebsbewilligung erweist sich als taugliches Kriterium. Es fragt sich, ob im grenzüberschreitenden Verhältnis etwas Anderes zu gelten hat. Auszugehen ist davon, dass ausländische humanmedizinische Laboratorien, soweit dies vom jeweiligen unilateralen Recht überhaupt vorgesehen ist, über eine örtliche Bewilligung, von vornherein aber über keine kantonalrechtliche Zulassung verfügen. Wird die kantonalrechtliche Bewilligung zur unabdingbaren Voraussetzung gemacht, so schliesst dies im Ergebnis die ausländischen Zentren für Diagnostik unmittelbar vom Erbringen steuerausgenommener Leistungen aus, sodass der inländische Empfänger der Leistungen durchwegs der Bezugsteuer unterliegt. Als der Gesetzgeber das Mehrwertsteuerrecht von 2009 schuf, war ihm die bundesgerichtliche Praxis bekannt, wonach inländische humanmedizinische Laboratorien einer kantonalrechtlichen Zulassung bedürfen, um steuerausgenommene Leistungen erbringen zu können (vorne E. 4.3.5). Dennoch hat er davon abgesehen, für das grenzüberschreitende Leistungsverhältnis etwas Anderes vorzusehen. Er hat es unterlassen, eine Sondernorm zu schaffen, weshalb es bei der Regel bleibt, wie sie auf die inländischen Laboratorien anwendbar ist. Nicht nur ausländische, auch inländische humanmedizinische Laboratorien, welche über keine kantonalrechtliche Zulassung verfügen, sind vom Geltungsbereich von Art. 21 Abs. 2 Ziff. 2 und 3 MWSTG ausgeschlossen. Sie erbringen daher steuerbare Leistungen (vorne E. 4.1).
4.5.5. Mit andern Worten ist nicht zwischen inländischen und ausländischen Laboratorien zu differenzieren, sondern zwischen solchen mit und solchen ohne kantonale Berufsausübungs- und/oder Betriebsbewilligung. Dass der Gesetzgeber diese Grenzlinie zieht, ist nicht zu beanstanden, zumal Art. 21 Abs. 2 Ziff. 2 und 3 MWSTG für das Bundesgericht ohnehin massgebend sind (<ref-law>; <ref-ruling> E. 2.4.3 S. 192; <ref-ruling> E. 9.2 S. 295). Das allgemeine Rechtsgleichheitsgebot (<ref-law>) ist jedenfalls nicht verletzt, hat der Gesetzgeber sich doch von sachlichen Gründen leiten lassen und den ihm anheim gestellten Gestaltungsspielraum überzeugend genutzt (vgl. <ref-ruling> E. 4.4 S. 580; <ref-ruling> E. 5.1 S. 254; <ref-ruling> E. 3.6.1 S. 229 f.; <ref-ruling> E. 4.1 S. 267). Denn die kantonale Bewilligung zum Betrieb einer ambulanten ärztlichen Institution stellt ein qualitatives Merkmal dar, das eine vernünftige Abgrenzung gestattet. Es ist gesundheitsrechtlich allgemein anerkannt, spielt auch krankenversicherungsrechtlich eine Rolle und kann im mehrwertsteuerlichen Verfahren verhältnismässig einfach überprüft werden, was in einem Massenverfahren nicht unterschätzt werden darf (<ref-ruling> E. 9.6.6 S. 398; dazu schon vorne E. 4.5.3). Bei alledem steht aber das gesundheitsrechtliche Ziel der Qualitätssicherung im Zentrum, über welches das Mehrwertsteuerrecht nicht ohne Weiteres hinwegsehen kann.
4.5.6. Dem Gesetzgeber verbleibt gemeinhin in abgaberechtlichem Zusammenhang ein weiter Spielraum (<ref-ruling> E. 5 S. 215; <ref-ruling> E. 4.2 S. 7; <ref-ruling> E. 3b S. 323 f.), soweit die Grundrechte und die Vorgaben von <ref-law> gewahrt sind und kein harmonisierendes übergeordnetes Recht zu beachten ist. Im vorliegenden Sachbereich hat der Gesetzgeber die Brücke zum Krankenversicherungsrecht geschlagen. Dieser Entscheid beruht auf sachlich nachvollziehbaren Erwägungen, weshalb kein Verstoss gegen das allgemeine Rechtsgleichheitsgebot vorliegt (<ref-law>). Die streitbetroffene Gesetzgebung ist aber auch diskriminierungsfrei gehalten. Macht ein Gesetzgeber eine Rechtswohltat von bestimmten qualitativen Eigenschaften abhängig, so ist dies diskriminierungsrechtlich unproblematisch, falls Kriterien herangezogen werden, die nicht unter die verpönten Anknüpfungen im Sinne von <ref-law> fallen. Auch wenn an ein an sich verpöntes Merkmal angeknüpft würde, liesse sich eine drohende Diskriminierung immer noch durch eine qualifizierte Rechtfertigung begründen (<ref-ruling> E. 6.1.1 S. 323; <ref-ruling> E. 4.3.2 S. 250). Mit der blossen Anknüpfung an das Vorliegen einer kantonalrechtlichen Bewilligung tritt aber, wie gesagt, von vornherein keine direkte Diskriminierung ein.
4.5.7. Die schweizerische Lösung steht schliesslich auch in Einklang mit Art. 13 Teil A Abs. 1 lit. b RL 77/388/EWG bzw. Art. 132 Abs. 1 lit. b RL 2006/112/EG (vorne E. 4.2.2). Als "ordnungsgemäss anerkannte Einrichtung gleicher Art" bzw. "autre établissement de même nature dûment reconnu" gilt nach hiesigem Recht ein humanmedizinisches Laboratorium, dessen ordnungsgemässe Anerkennung darin besteht, dass es über eine kantonalrechtliche Zulassung verfügt (vorne E. 4.3.6).
4.6.
4.6.1. Vor diesem Hintergrund sind weitere Ausführungen an sich erlässlich. Zum vorinstanzlichen Lösungsansatz, welcher die Zugehörigkeit einer Laboratoriumsleistung zur Analysenliste in den Mittelpunkt stellt, ist immerhin folgendes festzuhalten: Gemäss Art. 52 Abs. 1 lit. a Ziff. 1 KVG erlässt das Eidgenössische Departement des Innern (EDI) nach Anhörung der zuständigen Kommissionen und unter Berücksichtigung der Grundsätze nach den Art. 32 Abs. 1 und Art. 43 Abs. 6 eine Liste der Analysen mit Tarif. Die Liste trägt den Titel "Analysenliste" und ist der Verordnung des EDI vom 29. September 1995 über Leistungen in der obligatorischen Krankenpflegeversicherung (KLV; SR 832.112.31) als Anhang 3 angefügt (<ref-law>).
4.6.2. Auf die "Kassenpflicht" der Leistung eines medizinischen Laboratoriums abzustellen, wie die Vorinstanz dies befürwortet, greift aber zu kurz. Zur Umschreibung des objektiven Tatbestandselements von Art. 21 Abs. 2 Ziff. 2 und 3 MWSTG kann es zwar durchaus sinnvoll sein, sich an die "Leistungen, die der Diagnose oder Behandlung einer Krankheit und ihrer Folgen dienen" anzulehnen (<ref-law>). Dies ermöglicht beispielsweise die Abgrenzung zu Leistungen im Bereich von "Wellness" und "Fitness". Solche fallen nicht unter das objektive Tatbestandselement. Was die Umschreibung der eigentlichen Heilbehandlungen betrifft, ist aber unbestritten, dass die Definitionen gemäss KVG und MWSTG nicht restlos übereinstimmen. So sind beispielsweise zahnärztliche Heilbehandlungen grundsätzlich nicht kassenpflichtig (<ref-law> e contrario). Dennoch gelten sie gemäss der einschlägigen Verwaltungsverordnung der ESTV als Heilbehandlung im Sinne von <ref-law> (MWST-Branchen-Info 21, "Gesundheitswesen", Ziff. 2.2.1).
4.6.3. Was die Leistungserbringer ( subjektives Tatbestandselement) angeht, kann erst recht nicht uneingeschränkt auf das KVG abgestellt werden. Gemäss <ref-law> zählen zu den Angehörigen von Heil- und Pflegeberufen im Sinne von <ref-law> etwa auch Dentalhygieniker und Dentalhygienikerinnen (lit. c bis), Naturärzte, Naturärztinnen, Heilpraktiker, Heilpraktikerinnen, Naturheilpraktiker und Naturheilpraktikerinnen (lit. h) oder Podologen und Podologinnen (lit. n). Im abschliessend gehaltenen Positivkatalog von <ref-law> haben diese Berufsbilder keine Erwähnung gefunden, weswegen deren Leistungen auch nicht kassenpflichtig sind. Das Kriterium der Kassenpflicht erweist sich vor allem im Bereich der Spitäler als ungeeignet. Leistungen eines Spitals sind von der obligatorischen Krankenpflegeversicherung nur zu tragen, soweit das Krankenhaus überhaupt auf der Spitalliste steht (Art. 35 Abs. 2 lit. h, Art. 39 Abs. 1 lit. e KVG). Die Spitalliste ist als gesundheitspolitisches Instrument ausgestaltet, das gleichzeitig eine ausreichende Spitalversorgung und anderseits vertretbare Kosten sicherstellen soll. Es gibt demzufolge Spitäler, die zwar nicht auf der Spitalliste stehen und damit nicht KVG-zugelassen sind, aber trotzdem eine qualitativ einwandfreie Heilbehandlung erbringen. Es ist offensichtlich nicht der Sinn von <ref-law>, dass die Heilbehandlungen solcher Krankenhäuser nicht steuerausgenommen sein sollen.
5.
5.1. Den streitbetroffenen ausländischen Laboratorien ist nach den für das Bundesgericht verbindlichen Feststellungen der Vorinstanz (<ref-law>) keine kantonale Betriebsbewilligung erteilt worden (vorne lit. A). Sie fallen mithin nicht unter <ref-law> und erbringen im Umkehrschluss steuerbare Leistungen. Mangels Heilbehandlungen, die typischerweise unmittelbar gegenüber physisch anwesenden natürlichen Personen erbracht werden, entfällt das Erbringerortprinzip (<ref-law>) und bleibt es beim Empfängerortprinzip (<ref-law>). Der Tatbestand von <ref-law> ist gegeben, und das Grenzminimum von Fr. 10'000.-- erreicht (<ref-law>). Damit unterliegen die aus dem Ausland erbrachten Laboratoriumsleistungen der Bezugsteuer, womit die A._ AG insoweit (beschränkt) steuerpflichtig wird (vorne E. 2.2.4).
5.2. Die Beschwerde der ESTV erweist sich damit als begründet, weshalb sie gutzuheissen ist (<ref-law>). Das Urteil A-3112/2015 vom 22. Oktober 2015 ist demnach aufzuheben und der Einspracheentscheid der ESTV vom 16. April 2015 zu bestätigen.
6.
6.1. Die A._ AG hat aufgrund ihres Unterliegens die Kosten des bundesgerichtlichen Verfahrens zu tragen (Art. 65 und Art. 66 Abs. 1 Satz 1 BGG).
6.2. Der Eidgenossenschaft, die in ihrem amtlichen Wirkungskreis obsiegt, ist keine Parteientschädigung zuzusprechen (<ref-law>).
6.3. Die Festsetzung der Kosten und Entschädigung für das vorinstanzliche Verfahren wird dem Bundesverwaltungsgericht übertragen (Art. 67 i. V. m. <ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird gutgeheissen. Das Urteil des Bundesverwaltungsgerichts vom 22. Oktober 2015 wird aufgehoben und der Einspracheentscheid der Eidgenössischen Steuerverwaltung vom 16. April 2015 bestätigt.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 2'500.-- werden der Beschwerdegegnerin auferlegt.
3.
Die Sache wird zur Neuverlegung der Kosten und der Parteientschädigung des vorinstanzlichen Verfahrens an das Bundesverwaltungsgericht zurückgewiesen.
4.
Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten und dem Bundesverwaltungsgericht, Abteilung I, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 9. Dezember 2016
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Seiler
Der Gerichtsschreiber: Kocher