Sachverhalt:
A.
A._ erhob gegen eine Verfügung der Gemeinde Aeugst am Albis, Sozialbehörde, betreffend Sozialhilfe Rekurs beim Bezirksrat Affoltern, welcher darüber mit Beschluss vom 5. Februar 2013 entschied.
B.
Hiegegen erhob A._ Beschwerde beim Verwaltungsgericht des Kantons Zürich. Dieses gewährte ihr mit Verfügung vom 4. Juni 2013 die unentgeltliche Verbeiständung. Mit Entscheid vom 28. Januar 2016 hiess das Gericht die Beschwerde teilweise gut und auferlegte der Gemeinde die Gerichtskosten. Sodann verpflichtete es die Gemeinde zur Bezahlung einer Parteientschädigung von Fr. 2'700.- an A._ (Dispositiv-Ziffer 5) und sprach deren Rechtsvertreter als unentgeltlichem Rechtsbeistand eine Entschädigung von Fr. 6'116.60 zu, woran die Parteientschädigung anzurechnen sei (Dispositiv-Ziffer 6).
C.
A._ führt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten mit dem Rechtsbegehren, die Dispositiv-Ziffern 5 und 6 des vorinstanzlichen Entscheids seien dahingehend abzuändern, dass ihr Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege aufgrund ihres Obsiegens als gegenstandslos abgeschrieben und ihr eine Parteientschädigung von Fr. 6'116.60 zugesprochen werde.
Das Verwaltungsgericht und - sinngemäss - die Gemeinde schliessen in ihren Vernehmlassungen auf Abweisung der Beschwerde. Mit Eingabe vom 17. Mai 2016 nimmt A._ nochmals Stellung.
D.
Der Rechtsvertreter von A._ führt gegen den verwaltungsgerichtlichen Entscheid auch in eigenem Namen Beschwerde. Darüber wird mit heutigem Urteil 8C_214/2016 befunden.

Erwägungen:
1.
Gestützt auf <ref-law> beurteilt das Bundesgericht Beschwerden gegen Entscheide in Angelegenheiten des öffentlichen Rechts. Dieses Rechtsmittel steht somit grundsätzlich auch auf dem Gebiet der kantonalen Sozialhilfe zur Verfügung. Das Bundesgerichtsgesetz enthält dazu in Art. 83 keinen Ausschlussgrund. Ist die Beschwerde demnach in der Hauptsache zulässig, gilt dies auch im Kostenpunkt (Urteil 1C_17/2012 vom 15. Juni 2012 E. 2.1 mit Hinweisen). Da die übrigen Sachurteilsvoraussetzungen ebenfalls erfüllt sind, ist auf die Beschwerde einzutreten.
2.
Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann wegen Rechtsverletzung gemäss Art. 95 f. BGG, insbesondere wegen Verletzung von Bundesrecht (<ref-law>), erhoben werden. Die Verletzung kantonaler Bestimmungen bildet - abgesehen von den hier nicht gegebenen Fällen gemäss Art. 95 lit. c-e BGG - nur dann einen zulässigen Beschwerdegrund, wenn eine derartige Rechtsverletzung einen Verstoss gegen Bundesrecht im Sinne von <ref-law> oder gegen Völkerrecht im Sinne von <ref-law> zur Folge hat (<ref-ruling> E. 3.1 S. 321 mit Hinweisen; vgl. auch <ref-ruling> E. 1.3 S. 96 mit Hinweis).
Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (<ref-law>). Es prüft die Verletzung von Grundrechten und von kantonalem und interkantonalem Recht nur insofern, als eine solche Rüge in der Beschwerde vorgebracht und begründet worden ist (<ref-law>). Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (<ref-law>). Sachverhaltsfeststellungen können nur berichtigt werden, wenn sie offensichtlich unrichtig sind oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruhen (<ref-law>).
3.
Der vorinstanzliche Entscheid ist angefochten, soweit darin die Entschädigung für die Anwaltskosten der Beschwerdeführerin im kantonalen Gerichtsverfahren festgesetzt wurde. Das Verwaltungsgericht hat erwogen, für die Frage der Kostenfolgen sei von einem vollständigen Obsiegen der Beschwerdeführerin im Prozess auszugehen. Das ist nicht umstritten. Gleiches gilt für die (Gesamt-) Höhe der zugesprochenen Entschädigung von Fr. 6'116.60. Die Beschwerdeführerin bestätigt, dass dieser Betrag ihren anwaltlichen Aufwand im kantonalen Verfahren abdeckt. Ihre Einwände richten sich dagegen, wie das kantonale Gericht die Bezahlung der Entschädigung geregelt hat. Danach soll die Gemeinde der Beschwerdeführerin eine Parteientschädigung von Fr. 2'700.- entrichten. Sodann soll der Rechtsvertreter der Beschwerdeführerin als unentgeltlicher Rechtsbeistand eine Entschädigung von Fr. 6'116.60 erhalten, woran die genannte Parteientschädigung von Fr. 2'700.- anzurechnen sei.
4.
Die Beschwerdeführerin rügt, der vorinstanzliche Entscheid verletze das Willkürverbot gemäss <ref-law>, indem ihr trotz vollständigen Obsiegens im Prozess lediglich eine Parteientschädigung von Fr. 2'700.- zugesprochen worden sei. Damit werde der Aufwand ihres Rechtsvertreters in völlig unangemessener Art und Weise entschädigt. Die Parteientschädigung an die in unentgeltlicher Verbeiständung prozessierende, obsiegende Partei müsse mindestens gleich hoch ausfallen, wie die Entschädigung aus der unentgeltlichen Verbeiständung, welche bei Unterliegen im Prozess ausgerichtet worden wäre. Das gebiete auch der Anspruch auf ein faires Verfahren gemäss Art. 6 EMRK. Es sei zudem willkürlich und verletze den Anspruch auf unentgeltlichen Rechtsbeistand nach <ref-law> sowie den Anspruch auf ein faires Verfahren nach Art. 6 EMRK, dass der Beschwerdeführerin trotz ihres vollständigen Obsiegens nur für einen Teil ihres Anwaltsaufwandes eine Parteientschädigung, für den Rest hingegen eine Entschädigung aus der unentgeltlichen Verbeiständung zugesprochen worden sei.
Das Verwaltungsgericht äussert sich dahingehend, sein Entscheid stütze sich auf § 17 Abs. 2 des kantonalen Verwaltungsrechtspflegegesetzes vom 24. Mai 1959 (VRG; LS 175.2) sowie § 8 der kantonalen Gebührenverordnung des Verwaltungsgerichts vom 23. August 2010 (GebV VGr; LS 175.252) und verstosse nicht gegen übergeordnetes Recht. Die Beschwerdegegnerin schliesst sich dieser Auffassung an.
5.
Nach ständiger Praxis des Bundesgerichts ergibt sich die Zusprechung einer Parteientschädigung an die obsiegende Partei weder aus den allgemeinen Rechtsgrundsätzen noch aus den Verfahrensgarantien der Bundesverfassung; diese Frage fällt einzig in den Bereich des auf die Sache anwendbaren Verfahrensrechts (<ref-ruling> E. 7 S. 119; <ref-ruling> E. 1 S. 13; vgl. auch <ref-ruling> E. 1b S. 403 mit Hinweisen und, statt vieler, Urteile 2C_881/2013 vom 18. Februar 2014 E. 9.1; 1C_432/2012 vom 14. August 2013 E. 3 Ingress; 1C_592/2012 vom 7. März 2013 E. 3.5, veröffentlicht in: ZBl 2014 S. 564).
6.
Die demnach massgebliche Regelung gemäss § 17 Abs. 2 VRG (in der seit 1. Januar 1988 geltenden Fassung) lautet wie folgt:
Im Rekursverfahren und im Verfahren vor Verwaltungsgericht kann indessen die unterliegende Partei oder Amtsstelle zu einer angemessenen Entschädigung für die Umtriebe ihres Gegners verpflichtet werden, namentlich wenn
a. die rechtsgenügende Darlegung komplizierter Sachverhalte und schwieriger Rechtsfragen besonderen Aufwand erforderte oder den Beizug eines Rechtsbeistandes rechtfertigte,
oder
b. ihre Rechtsbegehren oder die angefochtene Anordnung offensichtlich unbegründet waren.
Zu prüfen ist, ob das kantonale Gericht bei der Anwendung dieser Bestimmung das Willkürverbot gemäss <ref-law> resp. den Anspruch auf ein faires Verfahren gemäss Art. 6 Ziff. 1 EMRK verletzt hat. Gerügt wird sodann eine Verletzung von <ref-law>.
7.
7.1. Das kantonale Gericht verweist auf seine Praxis, wonach zumindest die überwiegend oder mehrheitlich obsiegende Partei Anspruch auf eine Parteientschädigung habe. Was deren Höhe anbelange, spreche § 17 Abs. 2 VRG von einer "angemessenen" und nicht von einer "vollen" Entschädigung. Gemäss Rechtsprechung des Verwaltungsgerichts falle die Parteientschädigung regelmässig tiefer aus als die notwendigen Kosten, weil es der entschädigungsberechtigten Partei zuzumuten sei, einen Teil der Kosten selber zu tragen. In der Regel liege die Parteientschädigung selten über der Hälfte der tatsächlichen Honorarkosten eines notwendigerweise beigezogenen Rechtsvertreters und werde teilweise auf einen Drittel, einen Viertel, einen Fünftel oder einen Siebtel derselben festgesetzt. Eine volle Parteientschädigung werde nur ausnahmsweise und namentlich dann gewährt, wenn ein Verfahren für die betroffene Person in persönlicher oder beruflicher Hinsicht von grosser Bedeutung sei.
7.2. Die dargelegte Praxis des Verwaltungsgerichts ist zwar in der Lehre auf Kritik gestossen (vgl. KASPAR PLÜSS, in: Alain Griffel [Hrsg.], Kommentar zum Verwaltungsrechtspflegegesetz des Kantons Zürich [VRG], 3. Aufl. 2014, N. 80 ff. zu § 17). Das Bundesgericht hat sich indessen in mehreren Entscheiden mit der Auslegung von § 17 Abs. 2 VRG befasst und entschieden, dass im Gegensatz zur "vollen" Entschädigung eine "angemessene" Entschädigung im Sinne dieser Bestimmung nicht sämtliche Parteikosten decken müsse. Nach § 17 Abs. 2 VRG habe die obsiegende Partei nicht in jedem Fall Anspruch auf eine Parteientschädigung und müsse namentlich den für die Darlegung einfacher Sachverhalte und Rechtsfragen erforderlichen Aufwand selbst tragen. Mit dieser - eher restriktiven - Ausgestaltung des Gesetzes erscheine es durchaus verständlich, auch in Fällen, in welchen eine Parteientschädigung gewährt werde, der Partei zuzumuten, einen Teil der Aufwendungen selbst zu tragen (Urteil 2P.74/1999 vom 4. August 1999 E. 2d mit Hinweis auf die Urteile 1P.181/1998 vom 23. Oktober 1998 und 1A.7/1998 vom 7. Juli 1998, auszugsweise publiziert in: URP 1998 S. 538). Mit dieser Begründung hat das Bundesgericht die entsprechende Auffassung der Vorinstanz als nicht willkürlich beurteilt (erwähnte Urteile 2P.74/1999 E. 3c; 1A.7/1998 E. 3d; vgl. auch Urteil 6B_325/2015 vom 19. Mai 2015 E. 7.2). Es besteht kein Anlass, von dieser Rechtsprechung abzuweichen.
7.3. Entgegen der in der Beschwerde vertretenen Auffassung lassen auch die Grundsätze zur Bemessung der Parteientschädigung gemäss § 8 Geb VGr den vorinstanzlichen Entscheid nicht als willkürlich erscheinen, zumal die dargelegte Praxis des Verwaltungsgerichts bereits unter Geltung dieser Ausführungsbestimmung (resp. der davor in Kraft gestandenen, gleichlautenden Regelung) ergangen und vom Bundesgericht als nicht willkürlich beurteilt worden ist (vgl. erwähntes Urteil 1P.181/1998 E. 4d).
7.4. Es ist auch weder willkürlich noch verstösst es gegen den Anspruch auf ein faires Verfahren, wenn die Parteientschädigung tiefer angesetzt wird als die Entschädigung, welche der unentgeltliche Rechtsbeistand bei Unterliegen der von ihm vertretenen Partei erhält und die in der Regel - je nach anwendbarem Verfahrensrecht - die vollen oder annähernd die vollen Anwaltskosten deckt. Der verfassungsrechtliche Anspruch auf unentgeltliche Verbeiständung soll einer finanziell bedürftigen Person ermöglichen, die notwendige Rechtsvertretung in einem nicht aussichtslosen Prozess zu erhalten (vgl. E. 8 hienach). Daraus ergibt sich aber nicht die Verpflichtung der Gegenpartei, im Falle ihres Unterliegens die vollen Anwaltskosten der obsiegenden Partei zu übernehmen. Das gilt unabhängig davon, ob Letztere in unentgeltlicher Verbeiständung prozessiert oder nicht.
7.5. Die von der Beschwerdeführerin angerufenen Präjudizien vermögen ihren Standpunkt nicht zu stützen. Dass im Urteil 8C_728/2015 vom 15. Januar 2016 davon ausgegangen wurde, bei Anspruch auf eine Parteientschädigung bestehe kein Anspruch auf unentgeltliche Verbeiständung, lässt die hier zu beurteilende Praxis des Verwaltungsgerichts nicht als unhaltbar erscheinen. Das Bundesgericht hat denn auch im bereits erwähnten, ebenfalls einen Fall aus dem Kanton Zürich betreffenden Urteil 6B_325/2015 E. 7.2 erkannt, es bestehe kein ungeschriebener Rechtsgrundsatz, wonach bei Obsiegen im Verwaltungsrekurs- und kantonalen Verwaltungsgerichtsbeschwerdeverfahren die unentgeltliche Rechtsverbeiständung im Sinne von § 16 Abs. 2 VRG hinfällig und vollumfänglich durch die Parteientschädigung gemäss § 17 Abs. 2 VRG substituiert werde. Die Beschwerdeführerin fährt im Übrigen, da ihre nicht durch die Parteientschädigung gedeckten Anwaltskosten (zumindest vorläufig) durch den Kanton getragen werden, deutlich besser als eine nicht in unentgeltlicher Verbeiständung prozessierende Partei, welche diese Kosten von vornherein selber bezahlen muss (vgl. E. 8 hienach). Nichts anderes ergibt sich auch aus dem Urteil 9C_688/2009 vom 19. November 2009 (veröffentlicht in: SVR 2010 IV Nr. 27 S. 83), zumal diesem, anders als im vorliegenden Fall, mit <ref-law> eine bundesgesetzliche Regelung der Parteientschädigung zugrunde lag.
7.6. Alleine der Umstand, dass nach der kantonalen Praxis die der obsiegenden Partei zugesprochene Parteientschädigung die tatsächlichen Anwaltskosten nicht voll deckt, ist nach dem Gesagten nicht willkürlich und verletzt auch nicht den Anspruch auf ein faires Verfahren.
Gleiches gilt für die Höhe der hier zugesprochenen Parteientschädigung. Das Bundesgericht hat im Urteil 1A.7/1998 (E. 4e) erkannt, unter Berücksichtigung des weiten Ermessensspielraums des Regierungsrats - als Vorinstanz im dortigen Verfahren - bei der Bemessung der Parteientschädigung, des Grundentscheids des Gesetzgebers gegen eine kostendeckende Parteientschädigung sowie der generell restriktiven Praxis des Regierungsrats bei der Bemessung der Parteientschädigung sei die im konkreten Fall zugesprochene Parteientschädigung nicht willkürlich. Im Wesentlichen gleich hat es in den Urteilen 2P.74/1999 (E. 3a und c) und 1P.181/1998 (E. 4b und d), in welchen über in Anwendung von § 17 Abs. 2 VRG ergangene Kostenentscheide des Verwaltungsgerichts zu befinden war, entschieden. Im vorliegenden Fall ist der prozentuale Anteil der zugesprochenen Parteientschädigung an den angefallenen Anwaltskosten jedenfalls nicht tiefer als in den erwähnten Verfahren 2P.74/1999, 1A.7/1998 und 1P.181/1998. Die Beschwerdeführerin legt auch nicht dar, dass in ihrem Fall besondere Umstände vorhanden wären, welche eine höhere als die vom Verwaltungsgericht im üblichen Rahmen zugesprochene Parteientschädigung bedingten.
8.
Gerügt ist sodann eine Verletzung von <ref-law>. Gemäss dieser Verfassungsnorm hat jede Person, die nicht über die erforderlichen Mittel verfügt, Anspruch auf unentgeltliche Rechtspflege, wenn ihr Rechtsbegehren nicht aussichtslos erscheint. Soweit es zur Wahrung ihrer Rechte notwendig ist, hat sie ausserdem Anspruch auf unentgeltlichen Rechtsbeistand.
Im vorliegenden Fall hat die Vorinstanz der Beschwerdeführerin mit Zwischenverfügung die unentgeltliche Verbeiständung gewährt. Im Endentscheid hat sie die Anwaltskosten der Beschwerdeführerin teils als Parteientschädigung der Beschwerdegegnerin auferlegt und teils im Rahmen der unentgeltlichen Verbeiständung entschädigt. Der verfassungsrechtliche Anspruch auf unentgeltlichen Rechtsbeistand wurde damit nicht verletzt. Daran ändert nichts, dass die Beschwerdeführerin gemäss § 16 Abs. 4 VRG dem Kanton die Entschädigung an den unentgeltlichen Rechtsbeistand nachzuzahlen hat, sobald sie dazu in der Lage ist. Denn dies setzt voraus, dass die prozessuale Bedürftigkeit, mithin eine der Voraussetzungen der unentgeltlichen Verbeiständung, dahingefallen ist und die Beschwerdeführerin daher wirtschaftlich in der Lage ist, die Anwaltskosten selber zu tragen (vgl. auch <ref-ruling> E. 4.1 S. 136 f. mit Hinweisen). Tritt dieser Fall ein, ist die Beschwerdeführerin gleich gestellt wie die Partei, welche nicht in unentgeltlicher Verbeiständung prozessiert und deshalb ihre Anwaltskosten selber bezahlen muss, soweit diese nicht im Rahmen einer gegnerischen Parteientschädigung gedeckt werden. Die Beschwerde ist somit auch bezüglich dieser Verfassungsrüge unbegründet, was zu ihrer Abweisung führt.
9.
Die Gerichtskosten werden der unterliegenden Beschwerdeführerin auferlegt (<ref-law>). Dem Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege (im Sinne der vorläufigen Befreiung von den Gerichtskosten und der unentgeltlichen Verbeiständung) kann entsprochen werden, da die Bedürftigkeit ausgewiesen ist, die Beschwerde nicht als aussichtslos zu bezeichnen und die Vertretung durch einen Rechtsanwalt geboten war (Art. 64 Abs. 1 und 2 BGG). Es wird indessen ausdrücklich auf <ref-law> aufmerksam gemacht, wonach die begünstigte Partei der Bundesgerichtskasse Ersatz zu leisten haben wird, wenn sie später dazu in der Lage ist.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen.
2.
Der Beschwerdeführerin wird die unentgeltliche Rechtspflege gewährt und Rechtsanwalt Dr. Pierre Heusser wird als unentgeltlicher Anwalt bestellt.
3.
Die Gerichtskosten von Fr. 600.- werden der Beschwerdeführerin auferlegt, indes vorläufig auf die Bundesgerichtskasse genommen.
4.
Dem Rechtsvertreter der Beschwerdeführerin wird aus der Bundesgerichtskasse eine Entschädigung von Fr. 2'800.- ausgerichtet.
5.
Dieses Urteil wird den Parteien, dem Verwaltungsgericht des Kantons Zürich und dem Bezirksrat Affoltern am Albis schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 24. August 2016
Im Namen der I. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Maillard
Der Gerichtsschreiber: Lanz