Faits :
A.
X._ est actuellement âgé de huitante-huit ans.
Le 31 janvier 2002, à l'Hôpital de la Providence à Vevey, et sous anesthésie péridurale, il a subi une opération du genou droit pour la mise en place d'une prothèse.
Le 2 mai suivant, il fut admis à l'Hôpital de la Riviera à Montreux; il souffrait de graves douleurs et troubles sciatiques dans la fesse et la jambe gauche. Une radiculographie fut exécutée le 6 mai 2002, cet examen comportant une ponction dans les vertèbres lombaires. On posa le diagnostic d'un canal lombaire étroit et d'une protrusion d'un disque intervertébral, avec compression des racines nerveuses. Une opération était indiquée; dans l'intervalle, un traitement conservateur médicamenteux fut prescrit.
Le patient dut être ré-hospitalisé d'urgence le 13 mai. Il souffrait de douleurs lombaires et de douleurs dans les membres inférieurs, avec baisse de l'état général. Il souffrait également d'un début de tétraparésie, soit de paralysie des quatre membres, qui s'est ensuite aggravée.
En raison des douleurs qui ne cédaient pas aux analgésiques, on entreprit le 16 mai 2002 une laminectomie, soit une opération des vertèbres lombaires destinée à permettre la décompression du canal lombaire étroit. Le chirurgien découvrit alors un empyème péridural, soit une infection avec présence de pus et de staphylocoques dorés. Le chirurgien exécuta le drainage de cette infection, puis on mit en place un traitement antibiotique.
Le 18 mai, le patient dut être transféré aux soins intensifs en raison de graves complications cardiaques, rénales et hépatiques. Il y demeura jusqu'au 5 juillet 2002. Le 27 mai, un arrêt cardiaque nécessita une trachéotomie, laquelle fut suivie d'une infection pulmonaire nosocomiale puis d'une colonisation ou infection fongique.
L'hospitalisation se poursuivit dans divers établissements. Le 10 septembre 2002, les médecins posèrent le diagnostic d'une polyneuropathie des soins intensifs. Le pronostic de récupération de la mobilité, alors totalement perdue, était réservé. Le patient subit encore plusieurs opérations du genou droit, la dernière le 27 février 2003, consécutives à une infection par les staphylocoques dorés.
Le patient n'a pas recouvré sa mobilité; il demeure au contraire paralysé des quatre membres et totalement dépendant de l'aide d'autrui. Il vit dans un établissement médico-social.
B.
Sur requête de X._, le juge compétent a fait établir une expertise hors procès puis une expertise complémentaire afin de déterminer les causes de la paralysie et les éventuelles erreurs et responsabilités dans les traitements médicaux.
C.
Le 15 décembre 2007, X._ a ouvert action contre la Fondation des Hôpitaux de la Riviera, laquelle exploitait alors l'établissement de la Riviera et celui de la Providence, devant le Tribunal cantonal du canton de Vaud. La défenderesse devait être condamnée à payer 997'322 fr.10 à titre de dommages-intérêts et de réparation morale, avec intérêts au taux de 5% par an, dès le 1er août 2004 sur 320'887 fr.60, dès le 1er janvier 2007 sur 501'434 fr.50 et dès le 15 novembre 2007 sur 175'000 francs.
Le demandeur plaidait au bénéfice de l'assistance judiciaire.
La défenderesse a conclu au rejet de l'action.
Le juge instructeur a fait établir une expertise comptable, surtout destinée à élucider la perte de gain alléguée par le demandeur, et une nouvelle expertise médicale.
La Cour civile du Tribunal cantonal s'est prononcée le 31 mai 2012; elle a rejeté l'action. Elle a communiqué le dispositif de son jugement le 12 juin 2012, puis l'expédition complète le 11 mars 2013.
D.
Le demandeur a interjeté appel.
Par un arrêt du 20 décembre 2013 (4A_366/2013), le Tribunal fédéral lui a reconnu le droit d'obtenir l'assistance judiciaire en appel aussi.
Dès le 1er janvier 2014, l'établissement intercantonal de droit public Hôpital Riviera-Chablais Vaud-Valais a repris l'ensemble des actifs et passifs de la Fondation des Hôpitaux de la Riviera; dans le procès, il s'est substitué à la Fondation en qualité de défendeur.
La Cour d'appel civile du Tribunal cantonal a autorisé le défendeur à produire une description de la radiculographie avec ponction lombaire telle que le personnel de l'Hôpital de la Riviera la pratiquait en 2002, avec une liste du matériel utilisé. Elle a chargé un troisième expert d'évaluer d'après ces documents si l'intervention subie par le demandeur le 6 mai 2002 avait été exécutée conformément aux règles de l'art; elle a également chargé cet expert de la renseigner au sujet de la documentation qui, en 2002, était usuellement établie et conservée lors d'une radiculographie avec ponction lombaire.
La Cour d'appel a statué le 28 avril 2016; elle a rejeté l'appel et confirmé le jugement de la Cour civile.
E.
Agissant par la voie du recours en matière civile, le demandeur saisit le Tribunal fédéral de conclusions correspondant à celles de sa demande en justice. Une demande d'assistance judiciaire est jointe au recours.
Le défendeur n'a pas été invité à procéder.

Considérant en droit :
1.
Les conditions de recevabilité du recours en matière civile sont satisfaites, notamment à raison de la valeur litigieuse.
2.
Selon le jugement de la Cour civile, le demandeur et la Fondation des Hôpitaux de la Riviera se sont liés par un contrat de mandat et cette seconde partie contractante est responsable selon les art. 101 al. 1 et 398 al. 2 CO des actes ou omissions dommageables de son personnel qui sont survenus, le cas échéant, dans la prise en charge médicale du demandeur. Cette prémisse est incontestée et elle est de toute évidence exacte. La prétention que le demandeur fonde sur ces dispositions de droit fédéral est actuellement élevée contre l'Hôpital Riviera-Chablais Vaud-Valais par suite d'un transfert de patrimoine qui est postérieur aux faits tenus pour générateurs de la responsabilité. La législation vaudoise sur la responsabilité de l'Etat, des communes et de leurs agents, à laquelle cet établissement de droit public est dorénavant soumis d'après l'art. 24 al. 3 de la convention intercantonale du 17 décembre 2008 qui l'institue, n'est pas en cause dans la présente contestation.
3.
Selon la thèse du demandeur, la ponction lombaire exécutée le 6 mai 2002 se trouve à l'origine de l'infection très grave découverte dix jours plus tard lors de la laminectomie, en ce sens que les staphylocoques dorés se sont introduits dans le canal lombaire lors de la ponction. La responsabilité de l'établissement hospitalier est engagée par deux manquements de son personnel. D'une part, celui-ci n'a pas préalablement informé le patient du risque d'infection auquel la ponction l'exposait, ni de la possibilité d'éviter ce risque en remplaçant la radiculographie avec ponction par un examen IRM sans geste invasif; le personnel a ainsi exécuté la ponction sans avoir recueilli le consentement éclairé du patient. D'autre part, le personnel a violé les règles de l'art médical en commettant une faute d'asepsie pendant l'exécution de la ponction.
A ce premier grief, l'établissement défendeur oppose que l'examen IRM sans geste invasif n'aurait pas pu être accompli à l'Hôpital de la Riviera, faute de l'équipement nécessaire, et qu'il aurait nécessité un transfert du patient à Lausanne, au Centre hospitalier universitaire vaudois (CHUV). Ce transfert et l'examen IRM n'auraient vraisemblablement pas pu s'accomplir sans délai, alors que le patient souffrait et qu'il importait d'établir un diagnostic puis d'entreprendre un traitement. Selon l'un des rapports d'expertise, le risque d'infection lors d'une ponction lombaire est compris entre 0,2 et 1,2 sur 10'000; ce risque est donc très faible et il n'était pas usuel, en 2002, d'en informer le patient et de lui proposer l'alternative entre la radiculographie avec ponction et l'examen IRM sans geste invasif. Au deuxième grief, le défendeur oppose que le protocole de désinfection usuel a été scrupuleusement observé.
4.
Il est constant que le personnel de l'Hôpital de la Riviera n'a pas informé le demandeur de l'alternative entre radiculographie avec ponction et examen IRM sans geste invasif.
4.1. Selon la jurisprudence, le médecin ne peut en principe exécuter aucun acte comportant une atteinte à l'intégrité corporelle du patient, tel une intervention chirurgicale, sans avoir préalablement recueilli le consentement éclairé de ce même patient. L'atteinte à l'intégrité corporelle est en effet illicite et, de plus, contraire aux devoirs contractuels du mandataire si elle n'est pas justifiée par ce consentement. Celui-ci n'est éclairé que si le patient a reçu du médecin, en termes clairs, intelligibles et aussi complets que possible, une information portant sur le diagnostic, le traitement, le pronostic, les alternatives au traitement proposé, les risques encourus, l'évolution spontanée de la maladie et les aspects financiers concernant notamment la couverture d'assurance.
Le médecin ne peut se dispenser d'informer le patient que dans des cas spécifiques, par exemple avant l'exécution d'actes courants qui ne comportent pas de dangers particuliers et n'entraînent pas d'atteinte définitive ni durable à l'intégrité corporelle; dans les cas d'urgence confinant à l'état de nécessité, ou encore lorsque pendant l'exécution d'une opération, la nécessité d'en entreprendre une autre se révèle de manière évidente. Le médecin n'est pas non plus tenu de renseigner minutieusement un patient qui a déjà subi une ou plusieurs opérations du même genre; toutefois, le patient a droit à une information claire et complète avant une intervention particulièrement délicate dans son exécution ou dans ses conséquences.
Lorsque le médecin n'a pas, ou pas entièrement satisfait à son devoir de renseigner, il peut éventuellement faire valoir que le patient aurait accepté l'intervention même s'il avait été dûment informé. Ce consentement hypothétique n'entre toutefois pas en considération lorsque le genre et la gravité du risque encouru auraient nécessité une information accrue car il est alors vraisemblable que le patient, s'il avait reçu une information complète, se serait trouvé devant un choix difficile et aurait sollicité un temps de réflexion. La situation individuelle et concrète du patient est en principe déterminante dans l'évaluation de son consentement hypothétique; si, dans le procès, le patient ne fait pas état de motifs personnels qui l'auraient conduit à refuser l'intervention en cause, le juge doit apprécier objectivement s'il serait compréhensible qu'un patient raisonnable s'oppose à cette intervention.
Si le médecin n'a pas renseigné le patient de manière à obtenir son consentement éclairé et qu'il ne peut pas non plus se prévaloir d'un consentement hypothétique, l'intervention engage sa responsabilité ou celle de l'établissement hospitalier, cela même si elle est exécutée conformément aux règles de l'art.
Il incombe au médecin de prouver qu'il a suffisamment renseigné le patient et obtenu son consentement éclairé préalablement à l'intervention. Si le médecin se prévaut du consentement hypothétique, il doit également le prouver; le patient doit toutefois collaborer à cette preuve en rendant vraisemblable ou, au moins, en alléguant les motifs personnels qui l'auraient incité à refuser l'intervention s'il avait été dûment informé (<ref-ruling> consid. 4.1 p. 128, avec références détaillées à d'autres arrêts).
4.2. Il est généralement connu que tout acte médical invasif dans le corps humain, tel une injection ou une ponction, comporte un risque d'infection, et que ce risque peut se réaliser en dépit de l'application méticuleuse de toutes les mesures d'asepsie que les règles de l'art médical prescrivent pour cet acte. Il s'agit du risque d'infection dit résiduel. C'est ce risque résiduel qui est, selon l'un des experts judiciaires, compris entre 0,2 et 1,2 sur 10'000 lors d'une ponction lombaire. Les conséquences d'une infection à l'intérieur de la colonne vertébrale sont notoirement et habituellement très graves; néanmoins, et conformément à l'appréciation avancée par le défendeur, le risque que cette infection soit causée par une ponction est très faible.
La ponction lombaire est par ailleurs un acte médical qui n'entraîne d'ordinaire aucune atteinte définitive ni durable à l'intégrité corporelle du patient. Sous cet aspect, selon la jurisprudence ci-rapportée, le médecin ne semble pas tenu d'informer le patient du risque d'infection résiduel que la ponction comporte inévitablement.
Si le choix entre la radiculographie avec ponction et l'examen IRM sans ponction lui avait été proposé, le demandeur aurait pu se faire transférer dans un établissement hospitalier à Lausanne pour l'exécution de cet examen-ci. Il aurait alors dû se soumettre aux désagréments inhérents à ce transfert, et il aurait aussi dû envisager que l'examen ne pût pas s'accomplir aussi rapidement qu'une radiculographie à l'Hôpital de la Riviera où il était déjà pris en charge. Il aurait donc dû envisager une hospitalisation plus longue et une atténuation moins rapide des graves douleurs et troubles sciatiques à l'origine de cette hospitalisation. Auparavant, il s'était déjà soumis à une intervention chirurgicale - l'opération du genou droit le 31 janvier 2002 - et dans l'actuel procès civil, il n'a fait état d'aucun motif personnel de redouter et d'éviter spécialement une ponction lombaire. Dans ces conditions, il y a lieu de présumer que si le demandeur avait été informé du risque résiduel d'infection compris entre 0,2 et 1,2 sur 10'000, il aurait accepté ce risque et choisi la radiculographie avec ponction. L'établissement défendeur est donc autorisé à se prévaloir d'un consentement hypothétique de ce patient, propre à justifier l'acte invasif qui a été pratiqué sur lui.
5.
Dans l'exécution de la ponction, une éventuelle faute d'asepsie était de nature à accroître le risque d'infection.
5.1. Aux termes de l'<ref-law>, le mandataire est responsable, envers le mandant, de la bonne et fidèle exécution du mandat. L'échec de la mission assumée n'est certes pas suffisant à engager sa responsabilité; il doit seulement réparer les conséquences d'actes ou d'omissions contraires à son devoir de diligence. Un médecin doit observer les règles de l'art médical, soit les principes établis par la science médicale, généralement reconnus et admis, communément suivis et appliqués dans sa profession. Savoir si le médecin a violé son devoir de diligence est une question de droit; établir s'il existe une règle professionnelle communément admise, quel était l'état du patient et comment l'acte médical s'est déroulé relèvent du fait (<ref-ruling> consid. 3.1 p. 124).
Le Tribunal fédéral a jugé qu'en cas d'infection consécutive à une injection intra- ou périarticulaire, le patient qui recherche le médecin ou l'établissement hospitalier bénéficie en principe d'une présomption de fait au stade de l'appréciation des preuves, en ce sens que le juge doit constater la faute d'asepsie, faute qui est une violation des règles de l'art, si la partie défenderesse n'a pas prouvé les précautions concrètement appliquées lors de l'intervention et médicalement recommandées pour prévenir l'irruption de germes pathogènes. A défaut de cette preuve, la partie défenderesse ne peut pas utilement opposer au patient le risque résiduel inhérent à tout acte invasif (<ref-ruling> consid. 2c p. 250 in fine; voir aussi <ref-ruling> consid. 3.1 i.f. p. 125).
Le médecin ou l'établissement hospitalier assume par ailleurs l'obligation d'établir et de conserver une documentation des actes accomplis sur le patient. Le Tribunal fédéral s'est plus récemment prononcé sur l'étendue de cette obligation: le personnel médical doit consigner tous les éléments importants en vue de la continuation d'un traitement médical adéquat; il n'est en revanche pas tenu de consigner d'autres faits aussi, dans le seul but de réserver des moyens de preuve en cas de contestation. Le but de la documentation est au premier chef médical; son utilité à des fins probatoires n'est qu'accessoire ou secondaire. La documentation doit rapporter les faits qu'il est usuel et nécessaire de consigner du point de vue médical. Au stade de l'appréciation des preuves dans un procès civil ultérieur, le médecin ou l'établissement défendeur ne doivent subir aucun préjudice en conséquence de ce que la documentation ne mentionne pas des faits dont le relèvement n'était pas nécessaire du point de vue médical (<ref-ruling>).
5.2. Sur la base des preuves qu'elle a administrées, la Cour d'appel juge que le protocole de désinfection et d'asepsie usuellement appliqué lors d'une ponction lombaire, en 2002 et à l'Hôpital de la Riviera, était conforme aux règles de l'art médical; cela n'est pas contesté par le demandeur.
Aucun indice ne dénote que l'une ou l'autre des précautions prévues au protocole n'ait pas, ou n'ait pas été correctement mise en oeuvre lors de la ponction lombaire subie par le demandeur le 6 mai 2002. Comme celui-ci le souligne, il n'existe non plus aucune preuve que toutes ces précautions aient été réellement mises en oeuvre lors de cette intervention en particulier. La documentation alors établie par le personnel de l'hôpital, conforme aux usages de l'époque, ne les mentionne pas. Or, quoiqu'absolument indispensables dans l'exécution d'une ponction lombaire, ces précautions ne présentaient aucune importance dans la perspective des autres investigations, du diagnostic et, enfin, du traitement médical qui allaient suivre la radiculographie. Du point de vue médical, il n'était donc pas nécessaire de consigner ces précautions dans un procès-verbal. Le personnel n'était pas tenu de les consigner dans le seul but de devancer la présente contestation judiciaire. Dans ces conditions et au regard de la jurisprudence la plus récente du Tribunal fédéral, ce silence de la documentation ne peut fonder aucune espèce de présomption au détriment de l'établissement défendeur.
Aux termes de l'<ref-law>, chaque plaideur doit, si la loi ne prescrit le contraire, prouver les faits qu'il allègue pour en déduire son droit. Lorsque le juge ne parvient pas à constater un fait dont dépend le droit litigieux, il doit statuer au détriment de la partie qui aurait dû prouver ce même fait (<ref-ruling> consid. 2b p. 191/192; voir aussi <ref-ruling> consid. 4.5 p. 701/702; <ref-ruling> consid. 2.6 p. 24). Dans la présente contestation, la faute d'asepsie est un fait générateur de la responsabilité civile dont la preuve incombait au demandeur. Celui-ci n'a pas apporté cette preuve. On vient de voir que la preuve contraire, soit celle de l'observation scrupuleuse de toutes les précautions médicalement recommandées pour prévenir l'irruption de germes pathogènes, n'est pas censée ressortir de la documentation établie par le personnel de l'hôpital. Par ailleurs, il n'apparaît pas que l'établissement défendeur eût pu et dû, de bonne foi, apporter cette preuve contraire d'une autre manière. L'<ref-law> impose donc, en l'espèce, le rejet de l'action en justice et le rejet du recours.
6.
A teneur de l'art. 64 al. 1 et 2 LTF, le Tribunal fédéral peut accorder l'assistance judiciaire à une partie lorsque celle-ci ne dispose pas de ressources suffisantes et que ses conclusions ne paraissent pas d'emblée vouées à l'échec (al. 1). Il attribue un avocat à cette partie si la sauvegarde de ses droits le requiert; l'avocat perçoit une indemnité appropriée à verser par la caisse du tribunal (al. 2).
Le recours en matière civile se révèle privé de fondement; néanmoins, au regard de la jurisprudence précitée concernant les infections consécutives à une injection intra- ou périarticulaire, ce recours pouvait présenter quelques chances de succès. Par ailleurs, il est établi que son auteur n'est pas en mesure de pourvoir aux frais d'un procès; sa demande d'assistance judiciaire sera donc accueillie et son conseil désigné en qualité d'avocat d'office.
Le défendeur n'a pas été invité à procéder et il n'y a donc pas lieu de lui allouer des dépens.

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce :
1.
La demande d'assistance judiciaire est admise et Me Philippe Mercier est désigné en qualité d'avocat d'office du demandeur.
2.
Le recours est rejeté.
3.
Il n'est pas perçu d'émolument judiciaire ni alloué de dépens.
4.
La caisse du Tribunal fédéral versera une indemnité de 10'000 fr. à Me Mercier, à titre d'honoraires.
5.
Le présent arrêt est communiqué aux parties et au Tribunal cantonal du canton de Vaud.
Lausanne, le 6 février 2017
Au nom de la Ire Cour de droit civil
du Tribunal fédéral suisse
La présidente : Kiss
Le greffier : Thélin