Erwägungen:
1.
A._ reichte mit Eingaben vom 30. Oktober und 2. November 2015 bei der Rechtspflegekommission des Kantons St. Gallen Strafanzeige gegen den Ersten Staatsanwalt des Kantons St. Gallen ein wegen "Nötigung, wiederholten Amtsmissbrauch, falsche Anschuldigung, persönlichen Racheakt, Verstoss gegen Treu und Glauben, ungetreue Amtsführung und weitere in Betracht kommende Gesichtspunkte". Die Rechtspflegekommission überwies die Strafanzeigen zuständigkeitshalber an die Anklagekammer des Kantons St. Gallen zur Durchführung des Ermächtigungsverfahrens.
Am 12. und 30. November 2015 wandte sich A._ an das Präsidium des Kantonsgerichts St. Gallen und ersuchte u.a. um Ausstand des Ersten Staatsanwalts sowie des Präsidenten der Anklagekammer. Ausserdem erhob er sinngemäss Beschwerde gegen die vom Untersuchungsamt St. Gallen erlassene Verfügung vom 30. Oktober 2015. Der Präsident des Kantonsgerichts leitete diese Eingaben zuständigkeitshalber an die Anklagekammer des Kantons St. Gallen weiter.
2.
Die Anklagekammer des Kantons St. Gallen trat mit Entscheid vom 22. Dezember 2015 auf die Ausstandsgesuche nicht ein, erteilte keine Ermächtigung zur Eröffnung eines Strafverfahrens gegen den Ersten Staatsanwalt und wies die Beschwerde gegen die Verfügung des Untersuchungsamts St. Gallen vom 30. Oktober 2015 ab. Zur Begründung führte sie zusammenfassend aus, dass die beiden Ausstandsgesuche gänzlich unbegründet seien. Bezüglich der eingereichten Strafanzeigen seien keinerlei hinreichend konkrete Hinweise für irgendein strafbares Verhalten des Ersten Staatsanwalts ersichtlich. Die Voraussetzungen für die Erteilung einer Ermächtigung zur Eröffnung eines Strafverfahrens seien nicht gegeben. Schliesslich erweise sich die Beschwerde als unbegründet, da die Vorinstanz zu Recht das Einspracheverfahren als erledigt abgeschrieben habe.
3.
A._ führt mit Eingabe vom 10. Februar 2016 Beschwerde gegen den Entscheid der Anklagekammer des Kantons St. Gallen vom 22. Dezember 2015. Das Bundesgericht verzichtet auf die Einholung von Vernehmlassungen.
4.
Nach <ref-law> ist in der Begründung einer Beschwerde in gedrängter Form darzulegen, inwiefern der angefochtene Entscheid Recht verletzt. Die Bestimmungen von <ref-law> nennen die vor Bundesgericht zulässigen Beschwerdegründe. Hinsichtlich der Verletzung von Grundrechten gilt der in <ref-law> verankerte Grundsatz der Rechtsanwendung von Amtes wegen nicht; insofern besteht eine qualifizierte Rügepflicht (<ref-law>; <ref-ruling> E. 1.4.1 S. 53, 65 E. 1.3.1 S. 68 mit Hinweisen). Es obliegt dem Beschwerdeführer namentlich darzulegen, inwiefern der angefochtene Entscheid gegen die gerügten Grundrechte verstossen soll.
Der Beschwerdeführer setzt sich mit der Begründung der Anklagekammer, die zum Nichteintreten auf die Ausstandsgesuche, zum Nichterteilen der Ermächtigung und zur Abweisung der Beschwerde führte, nicht auseinander. Mit seinen Ausführungen vermag der Beschwerdeführer nicht aufzuzeigen, inwiefern die Begründung der Anklagekammer bzw. deren Entscheid selbst rechts- bzw. verfassungswidrig sein soll. Die Beschwerde genügt den gesetzlichen Formerfordernissen offensichtlich nicht, weshalb auf sie im vereinfachten Verfahren nach <ref-law> nicht einzutreten ist.
5.
Auf eine Kostenauflage kann verzichtet werden (<ref-law>).

Demnach erkennt der Präsident:
1.
Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2.
Es werden keine Kosten erhoben.
3.
Dieses Urteil wird den Parteien, der Staatsanwaltschaft des Kantons St. Gallen, Untersuchungsamt St. Gallen, und der Anklagekammer des Kantons St. Gallen schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 22. Februar 2016
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Fonjallaz
Der Gerichtsschreiber: Pfäffli