Erwägungen:
1. A._ wurde gemäss der am 7. November 2015 ergangenen Verfügung des Zwangsmassnahmengerichts des Kantons Thurgau dem von der Staatsanwaltschaft Kreuzlingen am 6. November 2015 gestellten Antrag entsprechend für die Zeit bis einstweilen 5. Februar 2016 in Untersuchungshaft versetzt, dies namentlich wegen Kollusionsgefahr in der gegen ihn laufenden Strafuntersuchung wegen versuchter schwerer Körperverletzung, Freiheitsberaubung, Drohung, versuchter Entführung u.a.m.
Mit Verfügung vom 17. Dezember 2015 wies das Zwangsmassnahmengericht ein vom Beschuldigten gestelltes Haftentlassungsgesuch ab, wobei es den Tatverdacht in verschiedener Hinsicht bestätigte, ebenso den Haftgrund der Kollusionsgefahr.
Das Obergericht des Kantons Thurgau schützte eine vom Beschuldigten hiergegen erhobene Beschwerde mit Entscheid vom 28. Januar 2016 und hob die angefochtene Verfügung auf, wobei es die Staatsanwaltschaft anwies, den Beschwerdeführer bis spätestens 29. Januar 2016 aus der Untersuchungshaft zu entlassen.
Das Obergericht des Kantons Thurgau schützte eine vom Beschuldigten hiergegen erhobene Beschwerde mit Entscheid vom 28. Januar 2016 und hob die angefochtene Verfügung auf, wobei es die Staatsanwaltschaft anwies, den Beschwerdeführer bis spätestens 29. Januar 2016 aus der Untersuchungshaft zu entlassen.
2. Gegen diesen ihr noch am 28. Januar 2016 (um etwa 17 h) zugegangenen, erst im Dispositiv vorliegenden und somit zunächst nicht weiter begründeten Entscheid wandte sich die Staatsanwaltschaft mit Beschwerde vom 29. Januar 2016 (zwischen 16 und 17 h) ans Bundesgericht mit dem Hauptbegehren, der Entscheid sei aufzuheben und die Sache zur Neubeurteilung an die Vorinstanz zurückzuweisen, wobei der Beschwerde im Sinne einer vorsorglichen Massnahme die aufschiebende Wirkung zu erteilen und für die Dauer des bundesgerichtlichen Verfahrens die Untersuchungshaft des Beschuldigten anzuordnen sei.
2. Gegen diesen ihr noch am 28. Januar 2016 (um etwa 17 h) zugegangenen, erst im Dispositiv vorliegenden und somit zunächst nicht weiter begründeten Entscheid wandte sich die Staatsanwaltschaft mit Beschwerde vom 29. Januar 2016 (zwischen 16 und 17 h) ans Bundesgericht mit dem Hauptbegehren, der Entscheid sei aufzuheben und die Sache zur Neubeurteilung an die Vorinstanz zurückzuweisen, wobei der Beschwerde im Sinne einer vorsorglichen Massnahme die aufschiebende Wirkung zu erteilen und für die Dauer des bundesgerichtlichen Verfahrens die Untersuchungshaft des Beschuldigten anzuordnen sei.
3. <ref-law> räumt zwar der kantonalen Behörde die Möglichkeit ein, ihren Entscheid zunächst ohne Begründung zu eröffnen, wobei aber die Parteien diesfalls innert 30 Tagen eine vollständige Ausfertigung verlangen können und der Entscheid nicht vollstreckbar ist, solange nicht entweder diese Frist unbenützt abgelaufen oder die vollständige Ausfertigung eröffnet worden ist.
Im Widerspruch zu dieser Bestimmung, bei noch fehlender Entscheidbegründung, hat indes das Obergericht die Staatsanwaltschaft verbindlich angewiesen, den Beschuldigten bis spätestens am 29. Januar 2016 aus der Untersuchungshaft zu entlassen, woraufhin sich die Staatsanwaltschaft zur genannten Beschwerde ans Bundesgericht veranlasst gesehen hat mit dem Begehren, es sei umgehend wieder die Inhaftierung anzuordnen.
Die Vorgehensweise der Vorinstanz vermag den Anforderungen eines Haftprüfungsverfahrens, das sich insbesondere auch nach dem Beschleunigungsgrundsatz auszurichten hat, nicht zu genügen (vgl. etwa <ref-ruling> E. 2.5 S. 85: eine zumindest kurze Begründung müsste innert kürzester Frist eröffnet werden). Bei derzeit fehlender vorinstanzlicher Begründung der Haftentlassung vermag sich das Bundesgericht nicht in die Lage versetzt sehen, die Beschwerde überprüfen zu können, zumal über den Zeitpunkt der vorinstanzlichen Begründung nichts bekannt ist.
Nach dem Gesagten ist der Entscheid vom 28. Januar 2016 aufzuheben und die Sache an die Vorinstanz zurückzuweisen (<ref-law>). Entsprechend bleibt die am 17. Dezember 2015 ergangene Haftbelassungsverfügung des Zwangsmassnahmengerichts aufrechterhalten.
Mit dem vorliegenden Entscheid wird das von der Staatsanwaltschaft gestellte Gesuch um aufschiebende Wirkung bzw. Anordnung einer vorsorglichen Massnahme gegenstandslos.
Mit dem vorliegenden Entscheid wird das von der Staatsanwaltschaft gestellte Gesuch um aufschiebende Wirkung bzw. Anordnung einer vorsorglichen Massnahme gegenstandslos.
4. Bei den gegebenen Verhältnissen rechtfertigt es sich, für das vorliegende Verfahren keine Kosten zu erheben.

Demnach wird erkannt:
1.
Der am 28. Januar 2016 ergangene Entscheid des Obergerichts des Kantons Thurgau wird aufgehoben und die Sache an die Vorinstanz zurückgewiesen.
2.
Es werden keine Kosten erhoben.
3.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Thurgau schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 1. Februar 2016
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Fonjallaz
Der Gerichtsschreiber: Bopp