Sachverhalt:
A.
Der 1955 geborene A._ ist ausgebildeter Bohrmeister und meldete sich wegen den Folgen eines Verhebetraumas a m 16. Januar 2004 bei der Invalidenversicherung zum Leistungsbezug an. Die IV-Stelle Luzern führte Abklärungen durch und verneinte einen Rentenanspruch mit Einspracheentscheid vom 20. März 2006. Die dagegen erhobene Beschwerde hiess das Verwaltungsgericht (heute: Kantonsgericht) Luzern mit Entscheid vom 13. September 2007 teilweise gut und wies die Sache zur weiteren Abklärung an die IV-Stelle zurück. Diese veranlasste eine bidisziplinäre Begutachtung und bestätigte gestützt darauf die Abweisung des Leistungsbegehrens. Die entsprechende Verfügung vom 30. Januar 2009hob das kantonale Gericht am 27. Mai 2010auf und wies die Verwaltung erneut an, den Sachverhalt ergänzend abzuklären. Das Bundesgericht bestätigte diesen Entscheid (Urteil 9C_574/2011 vom 8. August 2011).
Ende April 2011 erlitt A._ einen Hirnschlag. Die IV-Stelle holte beim Zentrum für Interdisziplinäre Medizinische Begutachtungen (nachfolgend: ZIMB) ein neues Gutachten ein, das vom 4. November 2012 datiert. Nach durchgeführtem Vorbescheidverfahren gewährte sie A._ vom 1. Juli 2011 bis Ende Februar 2012 eine ganze Invalidenrente und ab 1. März 2012 eine Viertelsrente (Invaliditätsgrad: 40 %; Verfügung vom 23. Januar 2014).
B.
Die dagegen erhobene Beschwerde hiess das Kantonsgericht Luzern, 3. Abteilung, mit Entscheid vom 27. März 2015 teilweise gut und sprach A._ ab 1. April 2011 bis 30. April 2012 eine ganze und ab 1. Mai 2012 eine halbe Invalidenrente zu; die Gerichtskosten überband es den Parteien je zur Hälfte und verpflichtete die IV-Stelle, A._ eine hälftige Parteientschädigung von Fr. 1'500.- (inkl. Auslagen und Mehrwertsteuer) zu bezahlen.
C.
A._ führt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten mit dem Rechtsbegehren, in Aufhebung des angefochtenen Entscheides sei ihm ab 1. Mai 2012 bei einer Invalidität von 65 % eine Dreiviertelsrente auszurichten; sodann sei die Vorinstanz zu verpflichten, ihm für das vorinstanzliche Verfahren eine Parteientschädigung von Fr. 3'000.- zuzusprechen.
Die IV-Stelle schliesst auf Abweisung der Beschwerde. Das Bundesamt für Sozialversicherungen verzichtet auf eine Vernehmlassung.

Erwägungen:
1.
1.1. Mit der Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann unter anderem die Verletzung von Bundesrecht gerügt werden (<ref-law>). Die Feststellung des Sachverhalts kann nur gerügt werden, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von Artikel 95 beruht und wenn die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein kann (<ref-law>). Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (<ref-law>). Es kann die Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz von Amtes wegen berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von Artikel 95 beruht (<ref-law>).
1.2. Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (<ref-law>), doch prüft es, unter Berücksichtigung der allgemeinen Rüge- und Begründungspflicht (Art. 42 Abs. 1 und 2 BGG), nur die geltend gemachten Vorbringen, falls allfällige weitere rechtliche Mängel nicht geradezu offensichtlich sind. Hinsichtlich der Verletzung von Grundrechten gilt eine qualifizierte Rügepflicht (<ref-law>; <ref-ruling> E. 1.6 S. 280 f. mit Hinweisen).
2.
Neue Tatsachen und Beweismittel dürfen nur soweit vorgebracht werden, als erst der vorinstanzliche Entscheid dazu Anlass gibt (<ref-law>; <ref-ruling>). Die dem Bundesgericht neu eingereichte Bestätigung der Physiotherapie B._ vom 9. April 2015 sowie die verurkundeten Website-Ausdrucke (Routenplaner) stellen neue Beweismittel dar. Der Beschwerdeführer begründet weder, weshalb diese Unterlagen nicht schon im vorinstanzlichen Verfahren hätten beigebracht werden können, noch legt er dar, inwiefern erst der angefochtene Entscheid Anlass zu deren Einreichung gegeben haben soll, zumal der Therapieaufwand des Beschwerdeführers bereits im vorinstanzlichen Beschwerdeverfahren (und im vorangehenden Vorbescheidverfahren) Streitgegenstand war; die Unterlagen sind daher unzulässig und bleiben unbeachtlich.
3.
3.1. Unbestritten sind das Fehlen eines Rentenanspruchs bis Ende März 2011 sowie der Anspruch des Versicherten auf eine ganze Invalidenrente ab 1. April 2011 bis Ende April 2012. Sodann zieht der Beschwerdeführer die Beweiskraft des ZIMB-Gutachtens vom 4. November 2012 (vgl. <ref-ruling> E. 5.1 S. 232), wonach ab Februar 2012 eine Restarbeitsfähigkeit von 50 % für adaptierte Tätigkeiten besteht, nicht in Zweifel; ebenso wenig bestreitet er, dass der Zeitbedarf für Ergo- und Physiotherapie von der 50 %igen Arbeitsunfähigkeit abzuziehen ist; Weiterungen zu diesen Punkten erübrigen sich (E. 1.2).
3.2. Bei den gerichtlichen Feststellungen zum Gesundheitszustand und zur Arbeitsfähigkeit handelt es sich grundsätzlich um eine Tatfrage (<ref-ruling> E. 3.2 S. 397 ff.). Ebenso stellt die konkrete Beweiswürdigung eine Tatfrage dar. Dagegen sind die unvollständige Feststellung rechtserheblicher Tatsachen sowie die Missachtung des Untersuchungsgrundsatzes (Art. 43 Abs. 1 und Art. 61 lit. c ATSG) Rechtsfragen (Urteil 9C_579/2014 vom 10. August 2015 E. 1.3).
3.3.
3.3.1. Die Vorinstanz hat festgestellt, entgegen der Betrachtungsweise der Beschwerdegegnerin und des Regionalen Ärztlichen Dienstes (nachfolgend: RAD) werde die gemäss ZIMB-Gutachten aus neurologischer Sicht auf 50 % bezifferte Einschränkung der Arbeitsfähigkeit nicht nur auf den therapeutischen Zeitaufwand zurückgeführt. Vielmehr sei nach den Ausführungen der Experten aktuell eine 50 %ige Restarbeitsfähigkeit lediglich im Rahmen wechselbelastender Tätigkeiten im Sitzen und mit der Möglichkeit zum Einplanen von Pausen zumutbar. Die Reduktion des Leistungsvermögens des Versicherten werde sodann auch mit der zur Erhaltung der Funktion zweimal wöchentlich erforderlichen physio- bzw. ergotherapeutischen Behandlung und dem vermehrten Zeitbedarf zum Aufsuchen des Arbeitsplatzes infolge der eingeschränkten Gehfähigkeit begründet. Diese Beurteilung sei auf Nachfrage hin mit Stellungnahme vom 28. Januar 2013 bestätigt worden. Daraus erhelle, dass die ZIMB-Gutachter die reduzierte Leistungsfähigkeit nicht nur mittelbar mit den für die Therapien aufzuwendenden Stunden, sondern auch mit den eigentlichen neurologischen (Rest) Folgen des Ende April 2011 aufgetretenen Hirnschlages erklärten. Werde der therapeutisch bedingte Aufwand ausgeschieden, resultiere mit dem RAD gemäss dessen Ausführungen vom 27. März 2013 eine unmittelbar auf die Gesundheitsschädigung zurückzuführende Verminderung der Arbeitsfähigkeit von jedenfalls 28.5 % (50 % abzüglich 21.5 %).
3.3.2. Soweit der Beschwerdeführer den von der Vorinstanz veranschlagten Zeitbedarf für Therapiesitzungen in Abrede stellt und stattdessen auf einen geringeren zeitlichen Aufwand schliesst, übersieht er, dass es sich hierbei um eine Fragestellung rein tatsächlicher Natur handelt (E. 3.2); diese ist einer Überprüfung durch das Bundesgericht grundsätzlich entzogen (E. 1.1). Im Übrigen ist eine Beweiswürdigung nicht bereits dann willkürlich (zum Begriff der Willkür: <ref-ruling> E. 2.1 S. 18 f. mit Hinweisen), wenn eine andere Lösung ebenfalls vertretbar erscheint oder gar vorzuziehen wäre, sondern erst dann, wenn der Entscheid offensichtlich unhaltbar ist, zur tatsächlichen Situation in klarem Widerspruch steht oder auf einem offenkundigen Fehler beruht (<ref-ruling> E. 2b S. 56, 135 V 2 E. 1.3 S. 4 f.). So verhält es sich hier jedoch nicht. Das kantonale Gericht hat sich vielmehr zur Ermittlung von Anfahrtsweg und Therapiedauer explizit auf die RAD-Stellungnahme vom 27. März 2013 gestützt (E. 3.3.1). Die vorinstanzliche Schlussfolgerung, wonach der Versicherte dafür insgesamt neun Stunden (entsprechend 21.5 %) benötigt, hält zudem auch im Lichte der gutachterlichen Angaben stand (vgl. ZIMB-Gutachten vom 4. November 2012 [neurologische Beurteilung]; ergänzende ZIMB-Stellungnahme vom 28. Januar 2013). Die Vorinstanz hat weder entscheidwesentliche Akten übersehen noch vorhandene Angaben offensichtlich unrichtig interpretiert; insoweit liegt - entgegen der Auffassung des Beschwerdeführers - auch keine Verletzung des Untersuchungsgrundsatzes oder der Beweiswürdigungsregeln (E. 3.2) vor. Insgesamt durfte das kantonale Gericht die anrechenbare Arbeitsunfähigkeit des Versicherten auf 28.5 % festlegen.
Nachdem die übrigen Faktoren der Invaliditätsbemessung, insbesondere die Bestimmung der Vergleichseinkommen sowie der Abzug vom Tabellenlohn von 10 % (<ref-ruling> E. 5b/bb S. 80), im Grundsatz unbestritten geblieben sind, erübrigen sich diesbezügliche Weiterungen.
4.
4.1. Ob die vorinstanzliche Festsetzung der Parteientschädigung den in <ref-law> statuierten bundesrechtlichen Anforderungen genügt, stellt eine vom Bundesgericht frei überprüfbare Rechtsfrage dar (Urteil 9C_787/2014 vom 7. Juli 2015 E. 5.1).
4.2. Ist das Quantitative einer Leistung streitig, rechtfertigt eine "Überklagung" eine Reduktion der Parteientschädigung nur, wenn das Rechtsbegehren den Prozessaufwand beeinflusst hat. Bei Streitigkeiten um die Höhe einer Invalidenrente darf die Parteientschädigung daher nicht allein deswegen reduziert werden, weil der Beschwerde führenden Person nicht die beantragte ganze oder höhere Rente, sondern eine geringere Teilrente zugesprochen wird (SZS 2011 S. 74, 9C_580/2010 E. 4.1; vgl. auch Urteil 8C_471/2007 vom 1. Februar 2008 E. 3.2 mit Hinweisen). Es besteht grundsätzlich kein Anlass zu einer anderen Betrachtungsweise, wenn statt einer unbefristeten oder länger dauernden Rente ein befristeter Anspruch oder ein solcher für eine kürzere als die beantragte Dauer zugesprochen wird. Ebenso wie die Höhe des Anspruches betrifft dessen zeitliche Dimension das Quantitativ. Indessen kommt die Zusprechung einer vollen Parteientschädigung bei teilweisem Obsiegen nur in Frage, wenn die Beschwerde führende Person im Grundsatz obsiegt und lediglich im Masslichen (teilweise) unterliegt (Urteil 9C_178/2011 vom 20. Mai 2011 E. 3.3.1).
4.3. Im vorinstanzlichen Beschwerdeverfahren machte der Versicherte - in Anbetracht der Verfügungsbegründung - einen Anspruch auf eine Viertelsrente vom 26. Juni 2004 bis 23. April 2011 und einen solchen auf eine ganze Invalidenrente ab 24. April 2011 geltend. Das kantonale Gericht hat zu Recht auf eine teilweise Gutheissung geschlossen und ihm vom 1. April 2011 bis 30. April 2012 eine ganze Invalidenrente und ab 1. Mai 2012 eine (unbefristete) halbe Rente gewährt. Der vorliegend angefochtene Entscheid weicht somit nicht nur in Bezug auf die Rentenhöhe, sondern auch zeitlich (Anfang und Ende der Rentenabstufung) vom Beantragten ab. Dies ändert nach dem Gesagten (E. 4.2) jedoch nichts daran, dass allein der quantitative Aspekt betroffen ist; die Vorinstanz hat letztlich dem geltend gemachten Anspruch auf eine abgestufte Rente entsprochen, sodass der Beschwerdeführer im Grundsatz obsiegt hat. Ausserdem ist nicht ersichtlich, inwiefern die (grundsätzliche) Anerkennung des Rentenanspruchs zu einem höheren Prozessaufwand geführt hat, zumal das zeitliche Abweichen von den gestellten Rechtsbegehren nicht einzig aus verfahrensrechtlichen Gründen erfolgte (zu dieser Konstellation vgl. Urteil 9C_580/2010 vom 16. November 2010 E. 4.1). Das kantonale Gericht hat Bundesrecht verletzt, indem es die Parteientschädigung des Beschwerdeführers allein wegen des bloss teilweisen Obsiegens reduzierte. Andere Gründe für eine Reduktion liegen nicht vor und werden vom kantonalen Gericht auch nicht genannt.
5.
Nach dem Gesagten hat es - anschliessend an die (unbestrittene) ganze Invalidenrente vom 1. April 2011 bis 30. April 2012 - mit der Zusprache einer Viertelsrente ab 1. Mai 2012 sein Bewenden (E. 3). Zu korrigieren ist der kantonale Entscheid einzig insoweit, als dem Beschwerdeführer für das vorinstanzliche Beschwerdeverfahren eine volle Parteientschädigung (Fr. 3'000.-) auszurichten ist. Die Beschwerde ist teilweise gutzuheissen.
6.
Der Beschwerdeführer ist vor Bundesgericht im Rentenpunkt nicht durchgedrungen, hat hingegen bezüglich der Parteientschädigung für das kantonale Verfahren obsiegt. Ausgangsgemäss haben die Parteien die Gerichtskosten je zur Hälfte zu tragen (<ref-law>). Die Beschwerdegegnerin hat dem Beschwerdeführer eine reduzierte Parteientschädigung zu bezahlen (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird teilweise gutgeheissen. Dispositiv-Ziffer 3 des Entscheides des Kantonsgerichts Luzern, 3. Abteilung, vom 27. März 2015 wird dahingehend abgeändert, dass die IV-Stelle des Kantons Luzern dem Beschwerdeführer eine Parteientschädigung von pauschal Fr. 3'000.- (inkl. Auslagen und Mehrwertsteuer) zu bezahlen hat. Im Übrigen wird die Beschwerde abgewiesen.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 800.- werden dem Beschwerdeführer und der Beschwerdegegnerin je zur Hälfte auferlegt.
3.
Die Beschwerdegegnerin hat den Beschwerdeführer für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 1'400.- zu entschädigen.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien, dem Kantonsgericht Luzern, 3. Abteilung, und dem Bundesamt für Sozialversicherungen schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 7. Januar 2016
Im Namen der II. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Glanzmann
Der Gerichtsschreiber: Grünenfelder