Sachverhalt:
A.
Die Gesundheitsdirektion des Kantons Zürich entzog X._ mit Verfügung vom 12. September 2005 die Bewilligung zur selbstständigen ärztlichen Tätigkeit. Das Verwaltungsgericht des Kantons Zürich schützte diese Verfügung mit Entscheid vom 13. Juli 2006. Das Bundesgericht wies die hiegegen erhobene staatsrechtliche Beschwerde mit Urteil vom 10. Januar 2007 ab. Seit 2. Mai 2007 war dem Beschwerdegegner demzufolge jegliche Ausübung einer ärztlichen Tätigkeit untersagt. Die Gesundheitsdirektion des Kantons Zürich erhob am 18. September 2007 Strafanzeige wegen Verdachts des wiederholten evtl. gewerbsmässigen Betrugs etc. Die Staatsanwaltschaft I des Kantons Zürich stellte das Strafverfahren am 26. Februar 2016 ein (Dispositiv-Ziff. 1). Sie auferlegte X._ die Verfahrenskosten (Dispositiv-Ziff. 2) und sprach ihm keine Entschädigung und keine Genugtuung zu (Dispositiv-Ziff. 4).
B.
Das Obergericht des Kantons Zürich hiess am 7. Juni 2016 eine von X._ gegen die Kosten- und Entschädigungsregelung der Einstellungsverfügung erhobene Beschwerde gut, hob die Dispositiv-Ziffern 2 und 4 der Einstellungsverfügung vom 26. Februar 2016 auf und wies die Sache insofern zur neuen Entscheidung an die Staatsanwaltschaft zurück.
C.
Die Oberstaatsanwaltschaft des Kantons Zürich führt Beschwerde in Strafsachen mit den Anträgen, der Beschluss des Obergerichts vom 7. Juni 2016 sei aufzuheben und es seien die Dispositiv-Ziffern 2 und 4 der Einstellungsverfügung vom 26. Februar 2016 zu bestätigen, eventualiter sei der Beschluss aufzuheben und die Sache zur neuen Beurteilung an das Obergericht zurückzuweisen.
D.
X._ beantragt in seiner Vernehmlassung die Abweisung der Beschwerde. Das Obergericht des Kantons Zürich hat auf Stellungnahme zur Beschwerde verzichtet.

Erwägungen:
1.
1.1. Die Beschwerdeführerin ist zur Beschwerde in Strafsachen berechtigt (Art. 81 Abs. 1 lit. b Ziff. 3 BGG). Ihr steht das Beschwerderecht uneingeschränkt zu (<ref-ruling> E. 1.4 S. 39 ff. mit Hinweisen).
1.2. Beim angefochtenen Entscheid handelt es sich um einen Zwischenentscheid. Gegen selbstständig eröffnete Vor- und Zwischenentscheide, die weder die Zuständigkeit noch Ausstandsbegehren betreffen (<ref-law>), ist die Beschwerde gemäss <ref-law> zulässig, wenn sie einen nicht wieder gutzumachenden Nachteil bewirken können (lit. a) oder wenn die Gutheissung der Beschwerde sofort einen Endentscheid herbeiführen und damit einen bedeutenden Aufwand an Zeit oder Kosten für ein weitläufiges Beweisverfahren ersparen würde (lit. b). Ein Rückweisungsentscheid bewirkt in der Regel keinen nicht wieder gutzumachenden Nachteil im Sinne von <ref-law>. Eine Ausnahme von dieser Regel ist gemäss der Rechtsprechung u.a. zu machen, wenn eine Behörde durch einen Rückweisungsentscheid gezwungen wird, eine ihres Erachtens rechtswidrige Verfügung zu treffen (<ref-ruling> E. 5.2.2 S. 483 f.; Urteil 6B_845/2015 vom 1. Februar 2016 E. 1.2.2, nicht publ. in <ref-ruling>; je mit Hinweisen). Dies ist namentlich der Fall, wenn die Grundsatzfrage, ob eine Entschädigung auszurichten ist, durch den angefochtenen Entscheid verbindlich beantwortet und die beschwerdeführende Staatsanwaltschaft angewiesen wird, über die Höhe der Entschädigung zu entscheiden (vgl. Urteile 6B_637/2013 vom 19. September 2013 E. 1.2; 1B_160/2012 vom 20. September 2012 E. 1.2). Im Umstand, dass die Vorinstanz feststellt, die Kostenauflage wie auch die Verweigerung der Entschädigung und Genugtuung würden gegen Bundesrecht verstossen, und die Sache zur Prüfung der geltend gemachten Entschädigungs- sowie Genugtuungsansprüche und diesbezüglich neuer Entscheidung an die Staatsanwaltschaft zurückweist, liegt deshalb ein nicht wieder gutzumachender Nachteil im Sinne von <ref-law>. Auch wenn die Vorinstanz der Staatsanwaltschaft keine Anweisungen hinsichtlich der Bemessung der Entschädigung bzw. Genugtuung erteilt, ist die Grundsatzfrage, ob eine Entschädigung bzw. Genugtuung auszurichten ist, durch den angefochtenen Entscheid verbindlich beantwortet.
2.
2.1. Die Staatsanwaltschaft warf dem Beschwerdegegner ein rechtswidriges und schuldhaftes Verhalten im Sinne von Art. 426 Abs. 2 und 430 Abs. 1 lit. a StPO vor, weshalb sie ihm in ihrer Einstellungsverfügung vom 26. Februar 2016 die Verfahrenskosten (inkl. Spruchgebühr) in der Höhe von Fr. 9'998.50 auferlegte und eine Entschädigung respektive Genugtuung gestützt auf die letztgenannte Bestimmung verweigerte. Der Beschwerdegegner habe sich seit dem Entzug der Bewilligung zur selbstständigen ärztlichen Tätigkeit durch die Gesundheitsdirektion vom 12. September 2005 und den diesen bestätigenden gerichtlichen Entscheidungen nicht an das Berufsausübungsverbot gehalten und weiterhin ärztliche Dienstleistungen nicht nur angeboten, sondern auch erbracht. Damit habe er sowohl gegen den Grundsatz des Handelns nach Treu und Glauben gemäss <ref-law> verstossen wie auch sich im Sinne von <ref-law> unlauter verhalten, was eine Kostenauflage trotz Verfahrenseinstellung zu begründen vermöge.
2.2. Die Vorinstanz stellt in tatsächlicher Hinsicht fest, es sei weder unbestritten noch klar nachgewiesen, dass der Beschwerdegegner tatsächlich ärztliche Dienstleistungen angeboten und erbracht habe. Mit ihrer Begründung für die Kostenauflage habe die Staatsanwaltschaft den Eindruck erweckt, sie halte den Beschwerdegegner für schuldig und dieser könne allein aufgrund der Verjährung nicht bestraft werden, womit sie die Unschuldsvermutung verletzt habe. <ref-law>, auf welchen die Staatsanwaltschaft zur Begründung der Kostenauflage hinweise, sei sodann nicht als eigenständige Schutznorm, welche Schädigungen untersage bzw. ein Schädigungen vermeidendes Verhalten vorschreibe, zu qualifizieren. Eine Verletzung des Grundsatzes von Treu und Glauben begründe daher für sich allein keine Widerrechtlichkeit, weshalb daraus höchstens in eng umgrenzten Ausnahmefällen, wenn zwischen Schädiger und Geschädigtem eine rechtliche Sonderverbindung im Sinne eines besonderen Vertrauens- und Treueverhältnisses bestehe, deliktische Verhaltenspflichten abgeleitet werden könnten. Mangels einer solchen Sonderverbindung könne <ref-law> nicht zur Kostenauflage herangezogen werden, sodass die Frage eines "klaren" Verstosses gegen diesen Artikel offen bleiben könne. Ob schliesslich <ref-law> zur Kostenauflage herangezogen werden könne, erscheine fraglich. Dies könne jedoch offen gelassen werden, da zum tatsächlichen Verhalten des Beschwerdegegners keine Feststellungen und kein Geständnis vorlägen. Insgesamt stelle die Kostenauflage einen Verstoss gegen <ref-law> dar. Da die Verweigerung einer Entschädigung und Genugtuung auf derselben Begründung basiere wie die Kostenauflage, liege auch darin ein Verstoss gegen Bundesrecht.
2.3. Die Beschwerdeführerin rügt die unrichtige Feststellung des Sachverhalts gemäss <ref-law> sowie die unrichtige Anwendung von Bundesrecht, insbesondere von Art. 426 Abs. 2 und <ref-law>. Sie macht geltend, aus der Aktenlage ergebe sich zweifelsfrei und klar, dass sich der Beschwerdegegner nach Untersagung jeglicher ärztlichen Tätigkeit ab 2. Mai 2007 nicht an das Berufsausübungsverbot gehalten habe. Bei der Begründung der Kostenauflage in der Einstellungsverfügung werde dem Beschwerdegegner sodann weder ein strafrechtlich relevanter Vorwurf gemacht, noch in irgendeiner Hinsicht zum Ausdruck gebracht, die Staatsanwaltschaft halte ihn trotz vorgängig umfangreich begründeter Verfahrenseinstellung für schuldig. Sie habe nach der Verneinung einer strafrechtlichen Verantwortlichkeit einzig prüfen müssen, ob bezüglich der Verhaltensweise des Beschwerdegegners eine zivilrechtlichen Grundsätzen angenäherte Haftung für fehlerhaftes Verhalten bestehe, welches das Strafverfahren veranlasst habe. Diesbezüglich macht die Beschwerdeführerin geltend, der Grundsatz des Handelns nach Treu und Glauben gemäss <ref-law> sei gemäss bundesgerichtlicher Rechtsprechung auch bei einer Kostenauflage gemäss <ref-law> zu beachten. Soweit die Vorinstanz dessen Anwendbarkeit unter Hinweis auf ein fehlendes besonderes Vertrauensverhältnis verneine, verkenne sie, dass gerade das Arzt-Patientenverhältnis ein starkes Vertrauen voraussetze. Auch indem sie für fraglich halte, ob <ref-law> für die Kostentragungspflicht beigezogen werden könne, setze sie sich in Widerspruch zur Praxis des Bundesgerichts. Zusammenfassend habe die Vorinstanz sowohl mit Verneinung der Voraussetzungen für eine Kostenauflage an die beschuldigte Person gemäss <ref-law> als auch mit der Verneinung der Voraussetzungen für die Verweigerung einer Entschädigung bzw. Genugtuung gemäss <ref-law> Bundesrecht verletzt.
3.
3.1. Gemäss <ref-law> trägt die beschuldigte Person die Verfahrenskosten, wenn sie verurteilt wird. Wird das Verfahren eingestellt oder die beschuldigte Person freigesprochen, so können ihr die Verfahrenskosten ganz oder teilweise auferlegt werden, wenn sie rechtswidrig und schuldhaft die Einleitung des Verfahrens bewirkt oder dessen Durchführung erschwert hat (<ref-law>).
3.2. Nach der Rechtsprechung des Bundesgerichts verstösst eine Kostenauflage bei Freispruch oder Einstellung des Verfahrens gegen die Unschuldsvermutung (<ref-law>, <ref-law> und Art. 6 Ziff. 2 EMRK), wenn der beschuldigten Person in der Begründung des Kostenentscheids direkt oder indirekt vorgeworfen wird, es treffe sie ein strafrechtliches Verschulden. Damit käme die Kostenauflage einer Verdachtsstrafe gleich. Dagegen ist es mit Verfassung und Konvention vereinbar, einer nicht verurteilten beschuldigten Person die Kosten zu überbinden, wenn sie in zivilrechtlich vorwerfbarer Weise, d.h. im Sinne einer analogen Anwendung der sich aus <ref-law> ergebenden Grundsätze, eine geschriebene oder ungeschriebene Verhaltensnorm, die sich aus der Gesamtheit der schweizerischen Rechtsordnung ergeben kann, klar verletzt und dadurch das Strafverfahren veranlasst oder dessen Durchführung erschwert hat. In tatsächlicher Hinsicht darf sich die Kostenauflage nur auf unbestrittene oder bereits klar nachgewiesene Umstände stützen (<ref-ruling> E. 3b S. 155; <ref-ruling> E. 1b S. 334; <ref-ruling> E. 2a S. 374; Urteile 6B_893/2016 vom 13. Januar 2017 E. 3.2; 6B_1247/2015 vom 15. April 2016 E. 1.3; je mit Hinweisen).
Zwischen dem zivilrechtlich vorwerfbaren Verhalten und den durch die Untersuchung entstandenen Kosten muss ein adäquater Kausalzusammenhang bestehen (<ref-ruling> E. 2c S. 170; Urteil 6B_877/2016 vom 13. Januar 2017 E. 3.2). Das Sachgericht muss darlegen, inwiefern die beschuldigte Person durch ihr Handeln in zivilrechtlich vorwerfbarer Weise gegen eine Verhaltensnorm klar verstossen hat (Urteile 6B_893/2016 vom 13. Januar 2017 E. 3.2; 6B_877/2016 vom 13. Januar 2017 E. 3.2; 6B_1247/2015 vom 15. April 2016 E. 1.3; je mit Hinweisen; 1P.164/2002 vom 25. Juni 2002, in: Pra 2002 Nr. 203 S. 1067).
3.3. Diese Grundsätze gelten auch bei der Beurteilung, ob eine Entschädigung oder Genugtuung im Sinne von <ref-law> herabzusetzen oder zu verweigern ist. Der Kostenentscheid präjudiziert die Entschädigungsfrage. Bei Auferlegung der Kosten ist grundsätzlich keine Entschädigung auszurichten (<ref-ruling> E. 2.4.2 S. 357; Urteil 6B_877/2016 vom 13. Januar 2017 E. 3.1 mit Hinweisen).
4.
4.1. Die Beschwerdeführerin rügt zunächst die Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz, wonach weder unbestritten noch klar nachgewiesen sei, dass der Beschwerdegegner nach Untersagung jeglicher ärztlichen Tätigkeit ab 2. Mai 2007 tatsächlich ärztliche Dienstleistungen angeboten und erbracht habe. Sie beruft sich diesbezüglich auf diverse Rezeptausstellungen, Auskündungen, Patientendossiers usw.
4.2. Die Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz kann vor Bundesgericht nur gerügt werden, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruht und wenn die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein kann (<ref-law>). Offensichtlich unrichtig ist die Sachverhaltsfeststellung, wenn sie willkürlich ist. Willkür liegt vor, wenn der angefochtene Entscheid offensichtlich unhaltbar ist oder mit der tatsächlichen Situation in klarem Widerspruch steht. Eine entsprechende Rüge muss klar vorgebracht und substanziiert begründet werden (Art. 42 Abs. 2 und Art. 106 Abs. 2 BGG; <ref-ruling> E. 1.3.1 S. 253 mit Hinweisen).
4.3. In der Beschwerde werden diverse Akten bezeichnet, welche das Werben für ärztliche Dienstleistungen sowie die Vornahme ärztlicher Tätigkeiten nach rechtskräftigem Bewilligungsentzug ab 2. Mai 2007 belegen sollen. Bei den aufgelisteten Dokumenten handelt es sich beispielsweise um Rezeptausstellungen des Beschwerdegegners vom 4. Mai 2007, 20. August 2009, 15. September 2009, 30. Oktober 2009, 17. November 2009, 19. August 2010, eine Verordnung zur Physiotherapie vom 25. August 2009, Einweisungszeugnisse bzw. Zuweisungsschreiben vom 10. Juli 2007, 19. Juli 2007, 29. Juli 2007, 9. August 2007, 5. Januar 2008, 26. Januar 2008, Einsatzaufträge Sanität vom 14. und 15. August 2007, Auszüge aus diversen Verzeichnissen mit Bezeichnung als Arzt, Hausbesuche und Betreuung rund um die Uhr, Notfalldienst, Pikettdienst vom September 2007 und November 2010, Kurzberichte einer Hausdurchsuchung vom 22. Oktober 2009 sowie über die forensische Auswertung von Informatikmitteln/Datenträgern vom 5. Juli 2010 und einen Bericht über die Hausdurchsuchung der Kantonspolizei Zürich vom 2. November 2009. Die vorinstanzliche Feststellung, wonach weder unbestritten noch klar nachgewiesen sei, dass der Beschwerdegegner nach Untersagung jeglicher ärztlichen Tätigkeit ab 2. Mai 2007 tatsächlich ärztliche Dienstleistungen angeboten und erbracht habe, erweist sich nach Gesagtem als aktenwidrig und damit willkürlich. Die Sachverhaltsrüge ist somit begründet.
5.
Die Begründung der Kostenauflage in der Einstellungsverfügung vom 26. Februar 2016 verletzt sodann entgegen der Auffassung der Vorinstanz nicht die Unschuldsvermutung. Dem Beschwerdegegner wird weder direkt noch indirekt angelastet, dass ihn ein strafrechtliches Verschulden treffe. Weder wird ihm vorgeworfen, einen strafrechtlichen Tatbestand erfüllt zu haben, noch wird festgehalten, er wäre ohne die Verjährung zu bestrafen gewesen. Dem Beschwerdegegner wurden die fraglichen Verfahrenskosten einzig deshalb auferlegt, weil er nach Ansicht der kantonalen Untersuchungsbehörde die Einleitung des Strafverfahrens durch ein zivilrechtlich vorwerfbares Verhalten veranlasst hat. Die Staatsanwaltschaft berief sich diesbezüglich auf den Grundsatz von Treu und Glauben gemäss <ref-law> sowie auf <ref-law>, wonach jedes täuschende oder in anderer Weise gegen den Grundsatz von Treu und Glauben verstossende Verhalten oder Geschäftsgebaren, welches das Verhältnis zwischen Mitbewerbern oder zwischen Anbietern und Abnehmern beeinflusst, unlauter und widerrechtlich ist. Ohne abschliessend zu beantworten, ob die Kostenauflage im vorliegenden Fall mit diesen beiden Bestimmungen begründet werden kann, ist doch darauf hinzuweisen, dass das Bundesgericht bereits mehrfach entschieden hat, der in der gesamten Rechtsordnung massgebende Grundsatz des Handelns nach Treu und Glauben gemäss <ref-law> wie auch der Vorwurf unlauteren Verhaltens gemäss <ref-law> könnten bei einer Kostenauflage nach <ref-law> beachtet werden (vgl. Urteile 6B_820/2014 vom 27. November 2014 E. 3.3 ff. und 6B_67/2014 vom 2. September 2014 E. 2.6.1, je mit Hinweisen). Insbesondere wurde auch entschieden, dass der Vorwurf unlauteren Verhaltens gemäss <ref-law> weder direkt noch indirekt einen strafrechtlichen Vorwurf enthält; unlauteres Verhalten im Sinne von <ref-law> ist nicht strafbar, wie sich aus <ref-law> ergibt, der nicht auf <ref-law> verweist (Urteil 6B_67/2014 vom 2. September 2014 E. 2.6.1).
6.
Zusammenfassend erweist sich die Beschwerde als begründet. Der angefochtene Entscheid ist aufzuheben und zur Neubeurteilung an die Vorinstanz zurückzuweisen. Nach korrekter Feststellung des Sachverhalts wird sie die Kostentragungspflicht des Beschwerdegegners wie auch dessen Anspruch auf Entschädigung sowie Genugtuung neu beurteilen müssen. Die Vorinstanz wird prüfen müssen, ob der Beschwerdegegner durch das ihm in der Einstellungsverfügung vorgeworfene Verhalten zivilrechtliche Vorschriften verletzte und dadurch rechtswidrig und schuldhaft die Einleitung des Strafverfahrens bewirkte respektive dessen Durchführung erschwerte. In Abhängigkeit des Verfahrensausgangs werden die Kosten- und Entschädigungsfolgen des kantonalen Beschwerdeverfahrens neu zu regeln sein.
7.
Bei diesem Ausgang des Verfahrens sind die Gerichtskosten dem Beschwerdegegner aufzuerlegen (<ref-law>). Die Beschwerdeführerin hat keinen Anspruch auf eine Parteientschädigung (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird gutgeheissen. Die Verfügung und der Beschluss des Obergerichts des Kantons Zürich vom 7. Juni 2016 werden aufgehoben und die Sache zu neuer Entscheidung an die Vorinstanz zurückgewiesen.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 3'000.-- werden dem Beschwerdegegner auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Zürich, III. Strafkammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 18. April 2017
Im Namen der Strafrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Denys
Die Gerichtsschreiberin: Kopp Käch