Sachverhalt:
A.
Mit Entscheid vom 19. Oktober 2015 wies das Departement für Justiz und Sicherheit des Kantons Thurgau (DJS) ein Gesuch von A._ um längerfristige Hilfe gemäss Art. 13 Abs. 2 und Art. 16 des Bundesgesetzes über die Hilfe an Opfer von Straftaten (Opferhilfegesetz, OHG; SR 312.5) ab. Gegen diesen Entscheid gelangte A._ mit auf den 4. November 2015 datierter Beschwerde (Poststempel: 11. November 2015, Eingang: 13. November 2015) an das Verwaltungsgericht des Kantons Thurgau.
Am 10. Mai 2016 stellte das Verwaltungsgericht A._ eine Kopie des Zustellnachweises betreffend den angefochtenen Entscheid vom 19. Oktober 2015 zu und gab ihr die Möglichkeit, sich zur Rechtzeitigkeit der Beschwerde zu äussern. Mit Eingabe vom 17. Mai 2016 machte A._ geltend, der angefochtene Entscheid sei ihr erst am 23. Oktober 2015 zugegangen. Die Beschwerde sei daher rechtzeitig erhoben worden. Mit Entscheid vom 8. Juni 2016 trat das Verwaltungsgericht auf die Beschwerde von A._ nicht ein.
B.
A._ erhebt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten und beantragt, der Entscheid des Verwaltungsgerichts sei aufzuheben und zur neuen Beurteilung an die Vorinstanz zurückzuweisen. Es sei ihr die unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung zu gewähren.
Das Verwaltungsgericht und das Departement beantragen die Abweisung der Beschwerde.

Erwägungen:
1.
Angefochten ist ein letztinstanzlicher kantonaler Endentscheid in einer Angelegenheit des öffentlichen Rechts, die unter keinen Ausschlussgrund gemäss <ref-law> fällt und daher mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten an das Bundesgericht weitergezogen werden kann (Art. 82 lit. a, Art. 86 Abs. 1 lit. d und Art. 90 BGG). Die Beschwerdeführerin ist gemäss <ref-law> zur Ergreifung dieses Rechtsmittels berechtigt. Die übrigen Sachurteilsvoraussetzungen geben zu keinen Bemerkungen Anlass. Auf die Beschwerde ist grundsätzlich einzutreten.
2.
2.1. Die Beschwerdeführerin macht geltend, sie habe ihre Beschwerde beim Verwaltungsgericht rechtzeitig erhoben.
2.2. Gemäss § 20 Abs. 1 VRG des Gesetzes über die Verwaltungsrechtspflege des Kantons Thurgau vom 23. Februar 1981 (VRG; RB 170.1) sind Entscheide den Beteiligten schriftlich zu eröffnen. Die 20-tägige Rechtsmittelfrist läuft von der schriftlichen Zustellung an (§ 20 Abs. 3 i.V.m. § 57 Abs. 1 VRG), wobei der Tag der Entscheideröffnung bei der Fristberechnung nicht gezählt wird (§ 24 Abs. 1 VRG). Zur Fristwahrung muss die betreffende Handlung vor Ablauf der Frist vorgenommen werden. Schriftliche Eingaben müssen vor Ablauf der Frist dem Adressaten, der schweizerischen Post oder einer schweizerischen diplomatischen oder konsularischen Vertretung übergeben werden (§ 24 Abs. 3 VRG).
2.3. Nach ständiger bundesgerichtlicher Rechtsprechung erfolgt die fristauslösende Zustellung einer uneingeschriebenen Sendung (A- oder B-Post) bereits dadurch, dass sie in den Briefkasten oder in das Postfach des Adressaten eingelegt wird und damit in den Verfügungsbereich des Empfängers gelangt. Nicht erforderlich ist, dass der Adressat sie tatsächlich in Empfang nimmt; es genügt, wenn sie in seinen Machtbereich gelangt und er demzufolge von ihr Kenntnis nehmen kann (<ref-ruling> E. 5.1 S. 247 f.; <ref-ruling> E. 1 S. 143; <ref-ruling> E. 3b S. 17; <ref-ruling> E. 2a S. 297 f.). Dies hat zur Konsequenz, dass Fristen bereits im Zeitpunkt der ordnungsgemässen Zustellung und nicht erst bei tatsächlicher Kenntnisnahme durch den Adressaten zu laufen beginnen (vgl. ALFRED KÖLZ/ISABELLE HÄNER/MARTIN BERTSCHI, Verwaltungsverfahren und Verwaltungsrechtspflege des Bundes, 3. Aufl. 2013; Rz. 577).
2.4. A-Post Plus Sendungen entsprechen grundsätzlich A-Post Sendungen. Im Unterschied zu diesen sind sie jedoch mit einer Nummer versehen, welche die elektronische Sendungsverfolgung im Internet ("Track & Trace") ermöglicht; daraus ist u.a. ersichtlich, wann dem Empfänger die Sendung durch die Post zugestellt wurde (grundlegend Urteil des Bundesgerichts 2C_430/2009 vom 14. Januar 2010, publ. in: StR 65 [2010] 396 und RDAF 2010 II 458). Direkt bewiesen wird mit einem "Track & Trace"-Auszug zwar nicht, dass die Sendung tatsächlich in den Empfangsbereich des Empfängers gelangt ist, sondern bloss, dass durch die Post ein entsprechender Eintrag in ihrem Erfassungssystem gemacht wurde. Aus diesem Eintrag lässt sich aber immerhin im Sinne eines Indizes darauf schliessen, dass die Sendung in den Briefkasten oder in das Postfach des Adressaten gelegt wurde (Urteil des Bundesgerichts 5A_547/2015 vom 4. Juli 2016 E. 2.2 mit Hinweisen, zur Publikation vorgesehen).
2.5. Dass die Sendung in den Briefkasten des Empfängers gelangte, hat der Absender zu beweisen. Nach der bundesgerichtlichen Rechtsprechung, die sich auch auf die Zustellungsart A-Post Plus bezieht, liegt ein Fehler bei der Postzustellung nicht ausserhalb jeder Wahrscheinlichkeit. Eine fehlerhafte Postzustellung ist allerdings nicht zu vermuten, sondern nur anzunehmen, wenn sie aufgrund der Umstände plausibel erscheint. Auf die Darstellung des Adressaten, dass eine fehlerhafte Postzustellung vorliegt, ist daher abzustellen, wenn seine Darlegung der Umstände nachvollziehbar ist und einer gewissen Wahrscheinlichkeit entspricht, wobei sein guter Glaube zu vermuten ist. Rein hypothetische Überlegungen des Empfängers genügen hingegen nicht (Urteil 2C_165/2015 vom 21. Februar 2015 E. 2.3 sowie das bereits erwähnte Urteil 5A_547/2015 vom 4. Juli 2016 E. 2.4.1 mit Hinweisen).
2.6. Vorliegend ist unbestritten, dass der angefochtene Entscheid vom 19. Oktober 2015 am gleichen Tag über die Schweizerische Post als "A-Post Plus"-Sendung versandt wurde. Dem "Track & Trace"-Auszug kann entnommen werden, dass die Sendung am Montag, dem 19. Oktober 2015, um 21.00 Uhr, in 8010 Zürich Mülligen aufgegeben und um 21.47 Uhr zur Weiterleitung sortiert wurde. Am Dienstag, dem 20. Oktober 2015, um 00.55 Uhr, wurde die Sendung für die Zustellung an das Briefzentrum Zürich sortiert; um 6.59 Uhr erfolgte die Ankunft bei der Abhol-/Zustelle in U._. Um 10.01 Uhr wurde die Sendung der Beschwerdeführerin zugestellt. Damit ist der Weg der Sendung durch die elektronische Sendungsverfolgung lückenlos nachgewiesen. Der von der Beschwerdeführerin dagegen erhobene Einwand, es könnte sein, dass die Sendung fälschlicherweise in den Briefkasten der Nachbarn eingelegt worden sei, ist hypothetischer Natur und vermag nicht zu überzeugen, zumal der Beschwerdeschrift auch keine plausiblen Gründe oder nachvollziehbare Umstände (z.B. Verwechslungen bei der Zustellung aufgrund gleicher oder ähnlicher lautender Familiennamen) zu entnehmen sind. Offenbar soll Rechtsanwalt Florian Wick, der die Beschwerdeführerin im vorliegenden Verfahren jedoch nicht vertrat, am 23. Oktober 2015 eine Orientierungskopie des Entscheid erhalten haben. Dieser Umstand ist für die Frage der fristauslösenden Eröffnung des angefochtenen Entscheids ohne Bedeutung. Daraus vermag die Beschwerdeführerin nichts zu ihren Gunsten abzuleiten.
2.7. Wie die Vorinstanz zutreffend festhält, besteht somit kein Zweifel, dass der angefochtene Entscheid am 20. Oktober 2015 in den Briefkasten der Beschwerdeführerin gelegt wurde. Damit wurde die 20-tägige Rechtsmittelfrist ausgelöst, die am 9. November 2015 ablief. Wie dem Poststempel entnommen werden kann, hat die Beschwerdeführerin ihre auf den 4. November 2015 datierte Beschwerde jedoch erst am 11. November 2015 der Post übergeben. Auf die verspätet erhobene Beschwerde musste die Vorinstanz nicht eintreten.
3.
Nach dem Gesagten ist die Beschwerde als unbegründet abzuweisen.
Es sind keine Gerichtskosten zu erheben (<ref-law>). Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege ist damit gegenstandslos. Das Gesuch um Verbeiständung für das bundesgerichtliche Verfahren ist abzuweisen, da die Beschwerde schon zum Vornherein aussichtslos erschien (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen.
2.
Es werden keine Gerichtskosten erhoben.
3.
Das Gesuch um unentgeltliche Verbeiständung wird abgewiesen.
4.
Dieses Urteil wird der Beschwerdeführerin, dem Departement für Justiz und Sicherheit des Kantons Thurgau und dem Verwaltungsgericht des Kantons Thurgau schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 27. September 2016
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Fonjallaz
Der Gerichtsschreiber: Misic