Sachverhalt:
A.
C._ und B._ sind die unverheirateten Eltern einer Tochter namens A._ (geb. 2014). Am 24. März 2016 klagte A._ (nachfolgend: Gesuchstellerin), vertreten durch ihre Mutter, gegen ihren Vater auf Zahlung von Unterhalt. In diesem Verfahren stellte sie überdies ein Gesuch gegen den Vater auf Leistung eines Prozesskostenvorschusses von Fr. 7'000.--. Eventualiter verlangte sie die Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege. Mit Entscheid vom 16. Februar 2017 wies die Einzelrichterin am Bezirksgericht Kriens beide Gesuche ab.
B.
Die Gesuchstellerin gelangte gegen diesen Entscheid an das Kantonsgericht des Kantons Luzern mit dem Begehren, der Gesuchsgegner sei zu verpflichten, ihr einen Prozesskostenvorschuss von Fr. 11'000.-- zu bezahlen. Ferner sei sie von der Übernahme sämtlicher Gerichtskostenvorschüsse vor den kantonalen Instanzen zu befreien, eventuell sei ihr die unentgeltliche Rechtspflege zu gewähren. Für das Rechtsmittelverfahren stellte sie überdies den Antrag, den Gesuchsgegner zu verpflichten, ihr einen Prozesskostenvorschuss von Fr. 3'000.-- zu bezahlen. Mit Entscheid vom 31. März 2017 wies das Kantonsgericht die Beschwerde ab und schrieb den Eventualantrag betreffend unentgeltliche Rechtspflege für das erstinstanzliche Verfahren sowie das Gesuch um Prozesskostenvorschuss für das Beschwerdeverfahren infolge Gegenstandslosigkeit ab. Die Verfahrenskosten wurden der gesetzlichen Vertreterin der Gesuchstellerin auferlegt und diese verpflichtet, dem Kantonsgericht die Gerichtskosten von Fr. 1'500.-- zu bezahlen. Parteientschädigungen wurden nicht gesprochen.
C.
Die Gesuchstellerin (Beschwerdeführerin) hat am 11. Mai 2017 (Postaufgabe) beim Bundesgericht gegen den vorgenannten Entscheid des Kantonsgerichts Beschwerde in Zivilsachen bzw. subsidiäre Verfassungsbeschwerde erhoben. Sie beantragt, den angefochtenen Entscheid aufzuheben, den Gesuchsgegner (Beschwerdegegner) zu verpflichten, ihr für das Verfahren vor Bezirksgericht Kriens einen Prozesskostenvorschuss von Fr. 11'000.-- zu bezahlen. Ferner sei der Beschwerdegegner anzuhalten, ihr für das Verfahren vor dem Kantonsgericht eine angemessene Parteientschädigung von Fr. 3'000.-- zu bezahlen. Eventuell sei die Sache zur Neubeurteilung an das Bezirksgericht Kriens zurückzuweisen. Für das bundesgerichtliche Verfahren stellt sie den Antrag, der Beschwerdegegner sei zu verpflichten, ihr einen Prozesskostenvorschuss von Fr. 6'000.-- zu bezahlen. Eventuell sei ihr für das bundesgerichtliche Verfahren die unentgeltliche Rechtspflege zu bewilligen. "Eventualiter" sei die Beschwerde als subsidiäre Verfassungsbeschwerde entgegen zu nehmen.
D.
Der Gesuchsgegner (Beschwerdegegner) hat sich am 14. Juni 2017 vernehmen lassen. Er schliesst auf Abweisung der Beschwerde, soweit darauf eingetreten werden kann. Die Beschwerdeführerin hat am 3. Juli 2017 repliziert. Der Beschwerdegegner hat am 14. Juli 2017 eine Duplik eingereicht. Weiterer Schriftenwechsel fand nicht statt.

Erwägungen:
1.
Auf die Vernehmlassung des Beschwerdegegners wird, soweit nötig, im Rahmen der Behandlung der einzelnen Rügen eingegangen. In der Replik und der Duplik wiederholen die Parteien ihre Standpunkte. Darauf ist nicht weiter einzugehen. Soweit darin Neues vorgebracht wird, ist darauf nicht einzutreten, kann doch die Replik bzw. die Duplik nicht dazu dienen, das in der Beschwerde bzw. der Vernehmlassung nicht Vorgebrachte nachzutragen.
2.
2.1. Gegenstand des bundesgerichtlichen Verfahrens sind der Prozesskostenvorschuss für die Unterhaltsklage des Kindes sowie die Frage der Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege im besagten Unterhaltsprozess. Die elterliche Unterhaltspflicht nach <ref-law> umfasst grundsätzlich auch die Prozesskosten (<ref-ruling> E. 3d-f S. 206 ff.). Im Anfangsstadium eines Verfahrens hat das Kind Anspruch auf einen Prozesskostenvorschuss durch die Eltern (Urteil 5A_442/2016 vom 7. Februar 2017 E. 7.2; 5A_85/2017 vom 19. Juni 2017 E. 7.1). Nach Massgabe von <ref-law> kann der Richter für die Dauer des Prozesses vorsorgliche Massnahmen treffen. Zu diesen Massnahmen zählt auch die Anordnung an den beklagten Elternteil, dem Kind im Hinblick auf dessen Unterhaltsklage einen Prozesskostenvorschuss zu leisten (vgl. auch Urteile 5A_442/2016 vom 7. Februar 2017 E. 7.2; 5P.184/2005 E. 1.3 mit Hinweisen). Beim Entscheid, mit dem eine Partei im Rahmen der Unterhaltsklage zur Leistung eines solchen Prozesskostenvorschusses verpflichtet wird, handelt es sich um eine vorsorgliche Massnahme (<ref-law>) und einen selbstständig eröffneten Zwischenentscheid (Urteil 5D_111/2015 vom 6. Oktober 2015 E. 1.2). Nicht anders verhält es sich im vorliegenden Fall, in dem das Gesuch der Beschwerdeführerin um Leistung eines Kostenvorschusses für den Unterhaltsprozess abgewiesen, d.h. der Erlass einer vorsorglichen Massnahme verweigert worden ist (vgl. dazu: <ref-ruling> E. 1.1; Urteile 5A_475/2015 vom 17. Dezember 2015 E. 1.4; 5A_222/2014 vom 17. September 2014 E. 1.1). Auch der Entscheid über die unentgeltliche Rechtspflege stellt einen Zwischenentscheid dar (<ref-ruling> E. 1.1 S. 131).
2.2. Bei Zwischenentscheiden folgt der Rechtsweg jenem der Hauptsache (z.B. <ref-ruling> E. 1.1). Diesebetrifft eine Klage auf Kindesunterhalt und damit eine Zivilsache vermögensrechtlicher Natur (Art. 72 Abs. 1 i.V.m. <ref-law>), deren Streitwert gegeben ist (<ref-law>). Folglich können auch die angefochtenen Zwischenentscheide mit diesem Rechtsmittel angefochten werden.
2.3.
2.3.1. Gegen Vor- und Zwischenentscheide ist die Beschwerde an das Bundesgericht nur zulässig, wenn der Entscheid einen nicht wieder gutzumachenden Nachteil bewirken kann (<ref-law>) oder wenn die Gutheissung der Beschwerde sofort einen Endentscheid herbeiführen und damit einen bedeutenden Aufwand an Zeit oder Kosten für ein weitläufiges Beweisverfahren ersparen würde (<ref-law>). Letztere Voraussetzung ist vorliegend nicht gegeben, geht es doch einzig um einen Prozesskostenvorschuss als vorsorgliche Massnahme. Der drohende nicht wieder gutzumachende Nachteil im Sinne von <ref-law> muss rechtlicher Natur sein, der sich auch mit einem späteren günstigen Endentscheid nicht oder nicht gänzlich beseitigen lässt. Die blosse Möglichkeit eines nicht wieder gutzumachenden Nachteils rechtlicher Natur genügt. Dagegen reichen rein tatsächliche Nachteile wie die Verfahrensverlängerung oder -verteuerung nicht aus (<ref-ruling> E. 6 S. 192; <ref-ruling> E. 1.2.1 S. 382; je mit Hinweisen). Nach der Rechtsprechung obliegt es dem Beschwerdeführer darzutun, dass eine der beiden Voraussetzungen erfüllt ist (<ref-ruling> E. 1.1 S. 329; <ref-ruling> E. 1.2 in fine S. 429), es sei denn, deren Vorliegen springe geradezu in die Augen (<ref-ruling> E. 2.4.2 S. 633). Im konkreten Fall geht es um den Zugang zum Gericht (<ref-law>). Indes hat die beschwerdeführende Partei in der Begründung ihrer Beschwerde darzulegen, dass ihr der fragliche Nachteil auch tatsächlich droht, weil sie nicht in der Lage ist, die Gerichts- bzw. Anwaltskostenvorschüsse zu leisten (vgl. BGE 142III 798 E. 2.3 die Leistung des Gerichtskostenvorschusses betreffend).
2.3.2. Die Vorinstanz hat unter Hinweis auf den erstinstanzlichen Entscheid festgehalten, die Mutter sei sowohl für die Gerichts- als auch für die Vertretungskostenvorschüsse wirtschaftlich leistungsfähig. Diese Feststellung bleibt im bundesgerichtlichen Verfahren unwidersprochen. Weil beide Eltern gleichermassen unterhaltspflichtig und damit kostenvorschusspflichtig sind, könnte die Beschwerdeführerin sich auch an ihre Mutter wenden. Im Ergebnis legt die Beschwerdeführerin nicht dar, dass ihr durch die Verweigerung eines Prozesskostenvorschusses die Verweigerung des Zugangs zum Gericht tatsächlich droht. Mangels Darlegung des verlangten Nachteils ist mit Bezug auf den Prozesskostenvorschuss auf die Beschwerde nicht einzutreten.
3.
Der Anspruch auf Gewährung eines Prozesskostenvorschusses durch die Eltern geht dem Recht auf unentgeltliche Rechtspflege vor (vgl. <ref-ruling> E. 2.3 S. 39). Die Beschwerdeführerin müsste also dartun, dass ein Prozesskostenvorschuss nicht erhältlich gemacht werden kann. Das tut sie nicht. Die Tatsache, dass auf ihre Beschwerde gegen die Verweigerung des Prozesskostenvorschusses nicht eingetreten wird (E. 3) und sie folglich vom Beklagten keinen Prozesskostenvorschuss erhält, bedeutet indes in diesem Kontext nicht, dass kein Prozesskostenvorschuss erhältlich gemacht werden konnte. Damit mangelt es an einer der Anspruchsgrundlagen für die Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege. Die Beschwerde ist in diesem Punkt abzuweisen.
4.
Die Beschwerdeführerin ersucht darum, den Beschwerdegegner zur Bezahlung eines Prozesskostenvorschusses für das vorliegende Beschwerdeverfahren zu verpflichten. Der Beschwerdegegner schliesst auf Abweisung dieses Gesuchs. Wie dargelegt gründet der Anspruch auf Bevorschussung von Prozesskosten in der familienrechtlichen Pflicht der Eltern, im Rahmen ihrer Fürsorge- und Unterhaltspflicht für die Prozesskosten ihres minderjährigen Kindes aufzukommen (<ref-ruling> E. 3b S. 205; <ref-ruling> E. 4 S. 135; je mit Hinweisen). Ist der Bevorschussungsanspruch aber im materiellen Zivilrecht (<ref-law>) begründet, muss die (minderjährige) Prozesspartei einen solchen Anspruch gegen ihre Eltern vor demjenigen Gericht geltend machen, das nach dem einschlägigen Prozessrecht im Rahmen des Unterhaltsprozesses für den Erlass vorsorglicher Massnahmen zuständig ist. Ein Gesuch um Bevorschussung von Prozesskosten kann nicht im Kleid eines Gesuchs um Erlass einer vorsorglichen Massnahme im bundesgerichtlichen Verfahren (<ref-law>) gestellt werden, zumal ein entsprechendes Gesuch nicht den Streitgegenstand des Hauptsacheverfahrens betrifft. Die geschilderte Rechtslage ergibt sich aus der bundesgerichtlichen Rechtsprechung zur Geltendmachung des Bevorschussungsanspruchs unter Ehegatten in eherechtlichen Prozessen (Urteil 5A_793/2008 vom 8. Mai 2008 E. 6.2, bestätigt in:Urteile 5F_9/2009 vom 2. Februar 2010 E. 1.5; 5A_97/2017 vom 23. August 2017 E. 12.1; zum Ganzen ausführlich insbesondere auch Urteil 5A_382/2010 vom 22. September 2010 E. 1.4). Auf das Gesuch ist nicht einzutreten.
5.
Bei diesem Ausgang des Verfahrens hat die Beschwerdeführerin grundsätzlich die Kosten des Verfahrens zu tragen (<ref-law>). Hingegen rechtfertigen es die konkreten Umstände, die Parteikosten wettzuschlagen (<ref-law>). Da die Unterhaltspflicht gemäss <ref-law> auch die Gerichtskosten für ein Verfahren umfasst, sind diese der Mutter der Beschwerdeführerin aufzuerlegen.
6.
Die Beschwerdeführerin ersucht eventualiter um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege für das bundesgerichtliche Verfahren. Im vorliegenden Fall ist nicht ersichtlich, dass die Beschwerdeführerin vor dem zuständigen kantonalen Gericht ein Gesuch um Bevorschussung der Prozesskosten für das bundesgerichtliche Verfahren gestellt hat. Angesichts der Subsidiarität der unentgeltlichen Rechtspflege (<ref-ruling> E. 2.3 S. 39) ist das Gesuch abzuweisen.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Auf das Gesuch um Erlass vorsorglicher Massnahmen wird nicht eingetreten.
2.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
3.
Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege für das bundesgerichtliche Verfahren wird abgewiesen.
4.
Die Gerichtskosten von Fr. 1'000.-- werden C._ auferlegt.
5.
Es werden keine Parteientschädigungen gesprochen.
6.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Kantonsgericht Luzern, 2. Abteilung, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 24. Oktober 2017
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: von Werdt
Der Gerichtsschreiber: Zbinden