Erwägungen:
1.
1.1. A._ hat steuerrechtlichen Wohnsitz in U._/BE. Mit Eingabe vom 21. September 2014 ersuchte der Steuerpflichtige die Steuerverwaltung des Kantons Bern (KSTV/BE) um Erlass folgender noch offener Steuerbeträge: Fr. 9'587.10 (Staats- und Gemeindesteuern des Kantons Bern, Steuerjahr 2006), Fr. 744.55 (direkte Bundessteuer, Steuerjahr 2006), Fr. 5'152.50 (Staats- und Gemeindesteuern des Kantons Bern, Steuerjahr 2007), Fr. 179.35 (direkte Bundessteuer, Steuerjahr 2007), jeweils inklusive Verzugszins und unter Berücksichtigung der bis am 15. August 2014 geleisteten Zahlungen. Am 20. November 2014 wies die KSTV/BE die Erlassgesuche ab. Die Steuerrekurskommission des Kantons Bern wies die Rekurse und Beschwerden sowie das Gesuch des Steuerpflichtigen um Erteilung des Rechts zur unentgeltlichen Rechtspflege ab (Entscheid vom 5. Juni 2015). Das Verwaltungsgericht des Kantons Bern, Verwaltungsrechtliche Abteilung, urteilte einzelrichterlich mit Entscheid 100.2015.201/202 vom 21. September 2016, worin es auf die Beschwerde betreffend die Staats- und Gemeindesteuern des Kantons Bern, Steuerjahre 2006 und 2007, mangels Wahrung der Rechtsmittelfrist nicht eintrat, die Beschwerde betreffend die direkte Bundessteuer, Steuerjahre 2006 und 2007, abwies, soweit es darauf eintrat, und das neuerliche Gesuch um Erteilung des Rechts zur unentgeltlichen Rechtspflege abwies.
1.2. Mit Eingabe vom 26. Oktober 2016 (Poststempel) erhebt der Steuerpflichtige beim Bundesgericht subsidiäre Verfassungsbeschwerde. Er beantragt: den Voll- oder Teilerlass (mindestens 50 Prozent) von Bundes, Gemeinde-, Feuerwehr- und Kirchensteuer der Steuerjahre 2006 und 2007; die Erteilung des Rechts zur unentgeltlichen Rechtspflege; den Ausstand des Veranlagungsbeamten ("wegen Verstössen gegen Treu und Glauben und wegen mehrfachen Rechtsverstössen"); Schadenersatz wegen des überlangen Verfahrens von mindestens Fr. 1'000.--; die Kostenfreiheit des vor- und erstinstanzlichen Verfahrens; eine Parteientschädigung von mindestens Fr. 1'500.--; gegebenenfalls die Rückweisung an die Vorinstanz, wobei diese in anderer Besetzung zu entscheiden habe.
Mit weiterer Eingabe vom 24. November 2016 ergänzt der Steuerpflichtige seine Anträge dahingehend, dass die KSTV/BE wegen Missachtung des Gerichts zu einer Busse von mindestens Fr. 1'000.-- zu verurteilen sei, habe diese doch im Anschluss an den angefochtenen Entscheid eine Abrechnung über die Steuerausstände gestellt und dabei versucht, den Steuerpflichtigen in die Irre zu führen.
1.3. Der Abteilungspräsident als Instruktionsrichter (<ref-law> [SR 173.110]) hat von Instruktionsmassnahmen abgesehen. Aufgrund der offensichtlich fehlenden hinreichenden Begründung ist die Angelegenheit im vereinfachten Verfahren nach <ref-law> zu entscheiden.
2.
2.1. Beim angefochtenen Entscheid handelt es sich um einen Entscheid über die Stundung oder den Erlass von Abgaben. Ein solcher ist - von Ausnahmen abgesehen, die hier keine Rolle spielen - vom Anwendungsbereich der Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten ausgenommen (<ref-law>). Deshalb steht dem Steuerpflichtigen einzig die subsidiäre Verfassungsbeschwerde zur Verfügung (<ref-law>). Zur Verfassungsbeschwerde ist nur berechtigt, wer ein rechtlich geschütztes Interesse an der Aufhebung oder Änderung des angefochtenen Entscheids hat (<ref-law>). Mit der Verfassungsbeschwerde kann darüber hinaus nur die Verletzung von verfassungsmässigen Rechten gerügt werden (<ref-law>), was dazu führt, dass die qualifizierte Rüge- und Begründungsobliegenheit herrscht (Art. 117 in Verbindung mit <ref-law>). Der qualifizierten Rüge- und Begründungsobliegenheit ist lediglich Genüge getan, soweit die Beschwerde eine detaillierte Auseinandersetzung mit dem angefochtenen Entscheid enthält und im Einzelnen aufzeigt, in welcher Weise dieser verfassungsmässige Rechte verletzt haben soll.
2.2.
2.2.1. Zur direkten Bundessteuer, Steuerjahre 2006 und 2007, erwägt die Vorinstanz, ein Härtefall im Sinne von <ref-law> in der Fassung vom 14. Dezember 1990 (AS 1991 1184) sei anhand der gesamten wirtschaftlichen Verhältnisse der steuerpflichtigen Person zu prüfen, wie sie sich im Entscheidzeitpunkt präsentieren. Der Zweck des Steuererlasses bestehe aber nicht darin, dass die öffentliche Hand ein "Sonderopfer" erbringe, um es der steuerpflichtigen Person dadurch zu ermöglichen, in vermehrtem Masse Schulden bei privaten Gläubigern zu tilgen. Genau dies sei aber der Fall gewesen: Zwischen 2008 und 2015 habe der Steuerpflichtige zwecks Schuldentilgung insgesamt Fr. 20'335.-- an die privaten Gläubiger und lediglich Fr. 5'700.-- an die öffentliche Hand überwiesen.
2.2.2. Sache des Steuerpflichtigen im Verfahren der subsidiären Verfassungsbeschwerde wäre es nach dem Gesagten, in detaillierter Auseinandersetzung mit den vorinstanzlichen Erwägungen aufzuzeigen, dass und inwiefern der angefochtene Entscheid verfassungsmässige Rechte verletzt. Er beschränkt sich freilich im Wesentlichen darauf, den Betrag von Fr. 5'700.-- zu bestreiten, ohne seine Darstellung zu belegen und ohne eine irgendwie geartete Auseinandersetzung mit dem Verfassungsrecht vorzunehmen. Dies genügt den gesetzlichen Anforderungen, die in einer qualifizierten Rüge- und Begründungspflicht bestehen, indessen nicht. Insoweit ist auf die Beschwerde nicht einzutreten (<ref-ruling> E. 1.7.2 S. 106).
2.3. Was die Staats- und Gemeindesteuer des Kantons Bern, Steuerjahre 2006 und 2007 betrifft, hat der Steuerpflichtige es unterlassen, im vorinstanzlichen Verfahren fristgerecht eine Beschwerde einzureichen. Die Vorinstanz ist aus diesem Grund auf die Sache nicht eingetreten. Der Steuerpflichtige unterlässt auch in dieser Hinsicht jegliche Vorbringen, die der qualifizierten Rüge- und Begründungspflicht genügen könnten. Auf die Beschwerde ist auch insofern nicht einzutreten.
2.4. Die übrigen Sachanträge sind entweder nicht im vorliegenden Verfahren vorzutragen (Ausstand des Veranlagungsbeamten in den nicht streitbetroffenen Veranlagungsperioden, Schadenersatz wegen des überlangen Verfahrens von mindestens Fr. 1'000.--) oder scheitern an den gesetzlichen Erfordernissen (Parteientschädigung von mindestens Fr. 1'500.--, obwohl eine anwaltliche Vertretung fehlt). Was schliesslich das Gesuch um Erteilung des Rechts zur unentgeltlichen Rechtspflege angeht, musste die Beschwerde sich von vornherein als aussichtslos darstellen, was zum Ausschluss dieser Rechtswohltat führt. Das Gesuch ist abzuweisen.
2.5. Die Kosten des bundesgerichtlichen Verfahrens gehen zulasten des Steuerpflichtigen (<ref-law>). Dem Kanton Bern, der in seinem amtlichen Wirkungskreis obsiegt, steht keine Parteientschädigung zu (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Verfahren 2D_37/2016 (Staats- und Gemeindesteuer des Kantons Bern, Steuerjahre 2006 und 2007) und 2D_38/2016 (direkte Bundessteuer, Steuerjahre 2006 und 2007) werden vereinigt.
2.
Auf die Beschwerde im Verfahren 2D_38/2016 wird nicht eingetreten.
3.
Auf die Beschwerde im Verfahren 2D_37/2016 wird nicht eingetreten.
4.
Das Gesuch um Erteilung des Rechts zur unentgeltlichen Rechtspflege wird abgewiesen.
5.
Die Kosten des bundesgerichtlichen Verfahrens von Fr. 1'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
6.
Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten, dem Verwaltungsgericht des Kantons Bern, Verwaltungsrechtliche Abteilung, und der Eidgenössischen Steuerverwaltung schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 27. Januar 2017
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Seiler
Der Gerichtsschreiber: Kocher