Sachverhalt:
A.
Der 1965 geborene, gelernte Automechaniker A._ arbeitet als Gesellschafter und Geschäftsführer in seinem Betrieb, der B._ GmbH. Er ist bei der Schweizerischen Unfallversicherungsanstalt (SUVA) obligatorisch gegen Unfallfolgen versichert. Am 17. März 2006 meldete er der SUVA, er habe sich am 27. Oktober 2005 beim Getriebe montieren die rechte (recte wohl: linke) Schulter verletzt. Eine am 24. März 2006 durchgeführte MRI-Untersuchung an der linken Schulter ergab eine Ruptur der Supraspinatussehne, woraus eine 50 %-ige Arbeitsunfähigkeit resultierte. Am 25. August 2006 zog er sich beim Fussballspielen eine rechtsseitige Achillessehnenruptur zu, welche operativ versorgt wurde (Bericht des Spitals C._ vom 4. September 2006). Die SUVA übernahm für beide Unfälle die Heilbehandlungskosten und richtete ein Taggeld aus. Gestützt auf eine kreisärztliche Beurteilung des Dr. med. D._, Facharzt für Physikalische Medizin und Rehabilitation, stellte die SUVA die Taggeldleistungen per 10. Oktober 2008 ein, was sie mit Verfügung vom 5. Februar 2009 bestätigte. Die dagegen erhobene Einsprache wies sie mit rechtskräftig gewordenem Einspracheentscheid vom 15. Oktober 2009 ab.
Beim Herausheben eines Motorteils am 1. April 2010 verspürte A._ Schmerzen in der rechten Schulter, wobei er eine partielle Läsion der Supraspinatussehne erlitt. Die SUVA kam für die Heilbehandlungskosten auf und richtete ein Taggeld aus. Mit Verfügung vom 18. Juni 2012 sprach sie ihm im Zusammenhang mit diesen rechtsseitigen Schulterbeschwerden eine Invalidenrente im Umfang von 20 % zu.
Am 18. Juni 2012 meldete A._ bezüglich der linken Schulter einen Rückfall. Die SUVA lehnte nach Einholung einer Stellungnahme ihres Kreisarztes Dr. med. E._, Facharzt für Chirurgie FMH, vom 13. August 2012, eine weitere Leistungspflicht ab. Am 4. Februar 2014 machte er einen erneuten diesbezüglichen Rückfall geltend. Gestützt auf eine Stellungnahme der Kreisärztin Frau Dr. med. F._, Fachärztin für Chirurgie FMH, vom 1. April 2014, wonach in den letzten zwei Jahren mit Blick auf die dokumentierten objektiven Befunde keine Verschlechterung der Schulterproblematik feststellbar sei und bezüglich der Wirbelsäulenbeschwerden keine Unfallkausalität bestehe, verneinte die SUVA ihre Leistungspflicht hinsichtlich der linken Schulter und des Wirbelsäulenleidens (Schreiben vom 2. April 2014 und Verfügung vom 27. Mai 2014). Nach erneuter ärztlicher Beurteilung durch Frau Dr. med. F._ am 17. Juli 2014 hielt die SUVA daran mit Einsprachentscheid vom 12. November 2014 fest.
B.
Die dagegen geführte Beschwerde wies das Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich mit Entscheid vom 12. August 2016 ab, soweit es darauf eintrat.
C.
Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten beantragt A._, in Aufhebung des vorinstanzlichen Entscheids sei ihm eine Invalidenrente auf der Basis eines 100 %-igen Invaliditätsgrads sowie eine Integritätsentschädigung zuzusprechen. "Es sei die Beschwerdegegnerin anzuweisen, die Anmeldung zur Verantwortlichkeitsklage der zuständigen Stelle innerhalb der SUVA zu überweisen". Eventualiter sei die Sache zur ergänzenden medizinischen Abklärung an die Vorinstanz zurückzuweisen. Schliesslich wird um Durchführung eines zweiten Schriftenwechsels ersucht.
Es wird kein Schriftenwechsel durchgeführt.

Erwägungen:
1.
Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann wegen Rechtsverletzungen gemäss Art. 95 und 96 BGG erhoben werden. Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (Art. 106 Abs. 1 BGG), doch prüft es, unter Berücksichtigung der allgemeinen Rüge- und Begründungspflicht (Art. 42 Abs. 1 und 2 BGG), nur die geltend gemachten Vorbringen, falls allfällige weitere rechtliche Mängel nicht geradezu offensichtlich sind (<ref-ruling> E. 1.6 S. 280 mit Hinweisen).
Im Beschwerdeverfahren um die Zusprechung oder Verweigerung von Geldleistungen der Militär- oder Unfallversicherung ist das Bundesgericht nicht an die vorinstanzliche Feststellung des rechtserheblichen Sachverhalts gebunden (Art. 97 Abs. 2 und Art. 105 Abs. 3 BGG).
2.
Die Vorinstanz hat die Bestimmungen und Grundsätze über die Leistungsvoraussetzungen des natürlichen (<ref-ruling> E. 3.1 S. 181 mit Hinweisen) und des adäquaten Kausalzusammenhangs (<ref-ruling> E. 3.2 S. 181 mit Hinweis) zutreffend dargelegt. Dasselbe gilt für die Anforderungen an einen ärztlichen Bericht (<ref-ruling> E. 5.1 S. 232; <ref-ruling> E. 3a S. 352) und die Einholung eines versicherungsexternen Gutachtens (Art. 44 ATSG; <ref-ruling> E. 4 S. 467). Darauf wird verwiesen.
3.
Die Vorinstanz erkannte, die Leistungseinstellung betreffend die Beschwerden an der linken Schulter und der rechten Achillessehne sei ebenso rechtskräftig wie die Rentenverfügung vom 18. Juni 2012 hinsichtlich der rechtsseitigen Schulterbeschwerden. Geltend gemacht werde ein Rückfall mit Bezug auf die linke Schulter. Der behandelnde Dr. med. G._, FMH Orthopädische Chirurgie und Traumatologie, habe im Bericht vom 10. März 2014 keine Befunde erhoben, die eine Verschlechterung darlegen würden, indem er ausdrücklich darauf hingewiesen habe, dass die Supraspinatusrupturen links wie rechts seit den MRI-Untersuchungen im Jahr 2012 unverändert seien. Diese Darlegungen stimmten mit den Ausführungen der SUVA-Kreisärztin Dr. med. F._ vom 17. Juli 2014 überein. Zu den Rückenbeschwerden hielt das kantonale Gericht fest, es sei kein Unfallgeschehen dokumentiert, welches Rückenbeschwerden zur Folge gehabt habe; ein ärztlicher Bericht, woraus sich eine unfallkausale Rückenproblematik ableiten liesse, liege nicht vor. PD Dr. med. H._, Orthopädische Chirurgie FMH, Wirbelsäulenchirurgie, habe einzig bildgebend festgestellte degenerative Befunde festgehalten. Eine von der Tätigkeit als Automechaniker herrührende Berufskrankheit verneinte die Vorinstanz sodann unter Hinweis darauf, dass sich kein ärztlicher Bericht finden liesse, der eine Berufskrankheit aufführe, womit auch eine ausschliesslich oder stark überwiegend durch die berufliche Tätigkeit verursachte Krankheit im Sinne von Art. 9 Abs. 2 UVG auszuschliessen sei. Auf geltend gemachte Ansprüche aus Verantwortlichkeit nach Art. 78 ATSG trat das kantonale Gericht mangels Anfechtungsgegenstand schliesslich nicht ein.
4.
Der Beschwerdeführer vermag nichts einzuwenden, was zu einer anderen Sichtweise führen würde. Mit der gerügten Befangenheit des Kreisarztes Dr. med. E._ befasste sich das kantonale Gericht einlässlich und führte zutreffend aus, dass keine Anhaltspunkte für eine solche vorlägen. Entgegen dem Einwand in der Beschwerde hat die Vorinstanz das Schreiben des Dr. med. E._ vom 15. August 2012 nicht offensichtlich übersehen. Vielmehr erwähnte sie dieses im angefochtenen Entscheid und bezog es in ihre Beurteilung ein. Aus dem Umstand, dass sich dieser mit Schreiben vom 15. August 2012 gegenüber Dr. med. I._, Innere Medizin FMH, gegen das Ausstellen eines Arztzeugnisses mit der Angabe einer vollständigen Arbeitsunfähigkeit hinsichtlich der linken Schulter ohne neue medizinische Fakten und ohne den Versicherten persönlich gesehen zu haben, wandte, lässt sich keine Befangenheit ableiten. Der Hausarzt Dr. med. I._ räumte denn auch in seinem Antwortschreiben Fehler ein und entschuldigte sich für das von ihm als "Missverständnis" bezeichnete Vorgehen seiner Stellvertreterin. Überdies äusserte sich der Kreisarzt Dr. med. E._ in der Folge zur Frage des Rückfalls bezüglich der linksseitigen Schulterbeschwerden nicht. Die medizinische Beurteilung dieser Frage oblag vielmehr der Kreisärztin Frau Dr. med. F._. Entgegen der in der Beschwerde vertretenen Auffassung besteht ferner kein Anlass für auch nur geringe Zweifel an der Zuverlässigkeit und Schlüssigkeit ihrer versicherungsinternen ärztlichen Feststellungen (vgl. <ref-ruling> E. 5.2 S. 229). Wiederholt ist festzuhalten, dass die Tatsache allein, dass die befragte Ärztin oder der befragte Arzt in einem Anstellungsverhältnis zum Versicherungsträger steht, nicht schon auf mangelnde Objektivität und auf Befangenheit schliessen lässt. Ihre Beurteilung wird auch durch die vom Versicherten aufgelegten ärztlichen Berichte nicht in Frage gestellt. Verlässliche Hinweise auf eine gesundheitliche Verschlechterung der linksseitigen Schulterproblematik liegen nicht vor. Ergänzende Abklärungen zur Unfallkausalität sind bei diesem Ergebnis nicht erforderlich. Ein Verstoss gegen das Gebot eines fairen Verfahrens im Sinne von Art. 6 Ziff. 1 EMRK besteht nicht. Das kantonale Gericht verzichtete somit ohne Verletzung des Untersuchungsgrundsatzes und in zulässiger antizipierter Beweiswürdigung (<ref-ruling> E. 2.1 S. 428 f.; <ref-ruling> E. 4b S. 94) auf die Einholung eines Gerichtsgutachtens.
5.
5.1. Weiter liegt ebenso wenig eine Rechtsverweigerung vor, wenn sich die Vorinstanz nicht zu einem Anspruch auf Integritätsentschädigung äusserte, zumal sich hierzu weder im Einspracheverfahren noch in seiner vorinstanzlichen Beschwerde Begründungen finden lassen. Liegt mit Blick auf die linke Schulter kein Rückfall vor, ergibt sich hieraus überdies auch kein Anspruch auf Integritätsentschädigung. Soweit ein solcher Anspruch ausserhalb dieser hier zu beurteilenden Problematik geltend gemacht wird, ist dies nicht Gegenstand des vor- und letztinstanzlichen Prozesses, wobei mit dem pauschalen Einwand von schweren Schulter- und Fussbeschwerden auch nicht dargelegt wird, worin ein zu einer Entschädigung berechtigender Integritätsschaden zu sehen wäre.
5.2. Ferner hat die Vorinstanz Art. 9 Abs. 2 UVG keineswegs bundesrechtswidrig unberücksichtigt gelassen, wenn sie - unter Hinweis auf diese Bestimmung und die medizinische Aktenlage - zutreffend ausführte, das Rückenleiden weise nach einhelliger ärztlicher Ansicht degenerativen Charakter auf, weshalb die nach Art. 9 Abs. 2 UVG vorausgesetzte ausschliessliche oder stark überwiegende berufliche Verursachung (vgl. hiezu <ref-ruling> E. 4b S. 189 und Urteil 8C_507/2015 vom 8. Januar 2016 E. 2.2) nicht erfüllt sei. Weitere Abklärungen sind nicht erforderlich. Entgegen der Auffassung des Beschwerdeführers ist auch Art. 36 UVG nicht verletzt. Im vorliegenden Kontext steht keine Kürzung oder Verweigerung von Unfallversicherungsleistungen zufolge Zusammentreffens verschiedener Schadensursachen im Raum, nachdem die Rückenbeschwerden rein degenerativer Natur sind und die Unfallursächlichkeit der übrigen geltend gemachten Beschwerden nicht bestritten ist, gestützt hierauf jedoch keiner der geltend gemachten Ansprüche zu bejahen ist.
6.
Eine allfällige Verantwortlichkeit der SUVA wäre von dieser im Verfahren nach Art. 78 ATSG zu prüfen und zu entscheiden, was die Geltendmachung einer hinreichend substantiierten Schadenersatzforderung seitens des Beschwerdeführers voraussetzt, worauf ihn die Vorinstanz bereits hinwies. Eine Rechtsverweigerung kann ihr auch nicht in diesem Zusammenhang vorgeworfen werden.
7.
Die Beschwerde ist unbegründet, soweit darauf einzutreten ist. Wird kein erster Schriftenwechsel durchgeführt, ist dem Antrag auf Durchführung eines zweiten die Grundlage entzogen.
8.
Dem Ausgang des Verfahrens entsprechend trägt der Beschwerdeführer die Gerichtskosten (Art. 66 Abs. 1 BGG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 800.- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird den Parteien, dem Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich und dem Bundesamt für Gesundheit schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 29. November 2016
Im Namen der I. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Maillard
Die Gerichtsschreiberin: Polla