Sachverhalt:
A.
Das Bezirksgericht Bremgarten verurteilte X._ am 4. Mai 2016 wegen fahrlässiger Tötung zu einer bedingten Geldstrafe von 120 Tagessätzen zu Fr. 130.-- bei einer Probezeit von 3 Jahren. Gegen dieses vorerst mündlich eröffnete und begründete Urteil meldete X._ am 13. Mai 2016 Berufung an, an der er nach Zustellung des Dispositivs mit Eingabe vom 24. Mai 2016 festhielt.
Am 21. September 2016 verfügte die Verfahrensleitung mit dem Einverständnis der Parteien die Durchführung des schriftlichen Berufungsverfahrens und setzte X._ Frist zur abschliessenden Stellung der Berufungsanträge sowie zur Begründung seiner Berufung, verbunden mit der Mitteilung, dass die Berufung als zurückgezogen gelte, wenn die Partei, die sie erklärt habe, keine schriftliche Eingabe einreiche. Am 17. Oktober 2016 ersuchte X._ um Erstreckung der Frist um 20 Tage bis zum 7. November 2016, was ihm bewilligt wurde.
Am 23. November 2016 reichte X._ die Begründung seiner Berufung ein. Am 7. Dezember 2016 ersuchte er um Wiederherstellung der Frist zur Einreichung der Berufungsbegründung und beantragte, seine Begründung vom 23. November 2016 sei als innert wiederhergestellter Frist eingereichte Eingabe zu den Akten zu nehmen.
B.
Am 31. Januar 2017 wies das Obergericht des Kantons Aargau das Gesuch von X._ um Wiederherstellung der Frist zur Einreichung der Berufungsbegründung ab und schrieb seine Berufung als durch Rückzug gegenstandslos geworden von der Geschäftskontrolle ab.
C.
X._ führt Beschwerde in Strafsachen. Er beantragt, der Beschluss vom 31. Januar 2017 des Obergerichts des Kantons Aargau sei aufzuheben und dieses anzuweisen, das Berufungsverfahren betreffend fahrlässige Tötung fortzusetzen, allenfalls nach Wiederherstellung der Frist gemäss Ziffer 2 der Verfügung des Obergerichts des Kantons Aargau vom 21. September 2016 zum Stellen und Begründen der Berufungsanträge. X._ ersucht um Erteilung der aufschiebenden Wirkung seiner Beschwerde.
D.
Obergericht und Oberstaatsanwaltschaft des Kantons Aargau verzichten auf eine Vernehmlassung.

Erwägungen:
1.
1.1. Gestützt auf Art. 94 Abs. 1 StPO kann eine säumige Partei (vgl. Art. 93 StPO) die Wiederherstellung der Frist verlangen, wenn ihr aus dem Säumnis ein erheblicher und unersetzlicher Rechtsverlust erwachsen würde, wobei sie glaubhaft zu machen hat, dass sie an der Säumnis kein Verschulden trifft.
1.2. Der Beschwerdeführer macht geltend, die Vorinstanz gehe zu Unrecht davon aus, dass seinen Verteidiger für das Fristversäumnis ein Verschulden treffe. Jedenfalls aber liege ein Fall notwendiger Verteidigung vor, weshalb ihm das Versäumnis seines Anwalts nicht anzurechnen sei.
1.3. Gemäss bundesgerichtlicher Rechtsprechung ist dem Beschuldigten im Rahmen einer notwendigen Verteidigung das allfällige Fehlverhalten seines Anwalts dann nicht anzurechnen, wenn es sich dabei um eine grobe Nachlässigkeit wie ein krasses Fristversäumnis handelt und dem Beschuldigten selbst kein eigener diesbezüglicher Vorwurf gemacht werden kann (<ref-ruling> E. 1.3; Urteil 6B_294/2016 vom 5. Mai 2017 E. 2.2.2 und 2.3, nicht publ. in <ref-ruling>; je mit Hinweisen).
1.4. Diese Voraussetzungen sind vorliegend erfüllt. Das Verpassen der richterlichen Frist zur Einreichung der Beschwerdebegründung ist als grobe Nachlässigkeit im obgenannten Sinn seitens des Anwalts des Beschwerdeführers zu qualifizieren. Entgegen der vorinstanzlichen Auffassung handelt es sich zudem um einen Fall der notwendigen Verteidigung nach Art. 130 lit. d StPO, zumal die Staatsanwaltschaft vor erster Instanz persönlich auftrat und eine notwendige Verteidigung diesfalls bis zum Abschluss des Rechtsmittelverfahrens zu gewähren ist (<ref-ruling> E. 4.3; Urteil 6B_876/2013 vom 6. März 2014 E. 2.4.1). Inwiefern dem Beschwerdeführer selbst ein Vorwurf hinsichtlich des Fristversäumnisses zu machen wäre, ist nicht ersichtlich. Dass ihm aus dem Säumnis ein erheblicher und unersetzlicher Rechtsverlust erwachsen würde, liegt hingegen auf der Hand, indem er sich durch den Fehler seines Anwalts der Möglichkeit beraubt sähe, das erstinstanzliche Urteil durch eine zweite Instanz überprüfen zu lassen und sein Schuldspruch wegen fahrlässiger Tötung in Rechtskraft erwachsen würde. Dieser Nachteil könnte auch durch keine andere Massnahme behoben werden.
1.5. Die Vorinstanz verletzt Bundesrecht, indem sie das Vorliegen einer notwendigen Verteidigung verneint und in der Folge das Fristversäumnis durch den Anwalt des Beschwerdeführers diesem anlastet.
Bei diesem Ergebnis erübrigt sich ein Eingehen auf die weiteren Rügen des Beschwerdeführers. Insbesondere kann offen bleiben, ob seinen Rechtsvertreter am Fristversäumnis ein Verschulden traf oder nicht.
2.
Die Beschwerde ist gutzuheissen und die Sache an die Vorinstanz zurückzuweisen. Diese wird in Gutheissung des Gesuchs vom 7. Dezember 2016 um Wiederherstellung der Frist die Berufungsbegründung des Beschwerdeführers vom 23. November 2016 als fristgerecht eingereicht entgegenzunehmen und das Berufungsverfahren fortzusetzen haben.
Mit dem Entscheid in der Sache wird das Gesuch um aufschiebende Wirkung der Beschwerde gegenstandslos.
Für das bundesgerichtliche Verfahren sind keine Kosten zu erheben (Art. 66 Abs. 1 und 4 BGG). Der Kanton Aargau hat dem Beschwerdeführer eine angemessene Parteientschädigung zu bezahlen (Art. 68 Abs. 2 BGG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird gutgeheissen, das Urteil des Obergerichts des Kantons Aargau vom 31. Januar 2017 aufgehoben und die Sache zu neuem Entscheid an die Vorinstanz zurückgewiesen.
2.
Es werden keine Kosten erhoben.
3.
Der Kanton Aargau hat dem Beschwerdeführer für das bundesgerichtliche Verfahreneine Parteientschädigung von Fr. 3'000.-- auszurichten.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Aargau, Strafgericht, 2. Kammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 25. Oktober 2017
Im Namen der Strafrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Denys
Die Gerichtsschreiberin: Siegenthaler