Sachverhalt:
A.
A.a. C.A._ wurde am 2013 in U._, Ohio/USA, von einer Leihmutter zur Welt gebracht. Im "Certificate Live Birth" (Geburtsurkunde) des Ohio Department Health sind folgende Personen als Eltern von C.A._ eingetragen: Als Vater A.A._, von V._/ZG, und als Mutter B.A._, von V._/ZG und W._/OW. Die Geburtsurkunde wurde am 4. April 2013 auf konsularischem Weg an den aufgrund der Heimatberechtigung zuständigen Zivilstands- und Bürgerrechtsdienst des Kantons Zug zur Eintragung in das Personenstandsregister weitergeleitet.
A.b. Gemäss Urteil des Court of Common Pleas, Probate Division, Gallia County, Ohio/USA, vom 26. Dezember 2012 handelt es sich bei der Leihmutter von C.A._ um D.D._, verheiratet mit E.D._, wohnhaft U._, Ohio/USA. Weiter geht aus dem Leihmutterschaftsurteil hervor, dass das noch ungeborene Kind mittels der Eizelle einer anonymen Spenderin und dem Spermium von A.A._ gezeugt worden war, dass die Leihmutter und ihr Ehemann auf die ihnen Kraft der Schwangerschaft der Leihmutter zustehenden Rechte verzichtet hatten und dass zwischen dem Kind und A.A._ sowie B.A._ ein Kindesverhältnis bestehe. Im Weiteren liegt ein Gutachten des Instituts für Rechtsmedizin (IRM) der Universität Zürich vom 31. Juli 2013 bei den Akten, wonach aufgrund der DNA-Befunde praktisch erwiesen sei, dass es sich bei A.A._ um den genetischen Vater von C.A._ handle. Anfang 2014 verlegte die ganze Familie A._ ihren Wohnsitz in die USA.
A.c. Nachdem sich A.A._ und B.A._ geweigert hatten, eine notariell beglaubigte, mehr als sechs Wochen nach der Geburt von C.A._ abgegebene Erklärung der gebärenden Mutter einzureichen, in welcher diese auf ihre Rechte als Mutter verzichtet, stellte der Zivilstands- und Bürgerrechtsdienst mit Zwischenverfügung vom 11. April 2014 die Identität der gebärenden Mutter von C.A._ gemäss Urteil aus Ohio vom 26. Dezember 2012 förmlich fest und verfügte zudem, dass der gebärenden Mutter im Eintragungsverfahren das rechtliche Gehör zu gewähren sei. Eine gegen diese Zwischenverfügung gerichtete Beschwerde wies das Verwaltungsgericht des Kantons Zug mit Urteil V 2014 63 vom 10. November 2014 im Wesentlichen ab.
B.
B.a. Am 9. Oktober 2015 verfügte der Zivilstands- und Bürgerrechtsdienst des Kantons Zug das Folgende:
1. Das Urteil des Court of Common Pleas, Probate Division, Vereinigte Staaten, Ohio Gallia County, vom 26. Dezember 2012 (rechtskräftig 26. Dezember 2012) betreffend C.A._, geb. 2013 wird teilweise anerkannt und in das Personenstandsregister (INFOSTAR) eingetragen.
1.1 Der Teilentscheid betreffend Aufhebung der rechtlichen Verwandtschaft von C.A._ zu D.D._ wird nicht anerkannt.
1.2 Der Teilentscheid betreffend Aufhebung der rechtlichen Verwandtschaft von C.A._ zu E.D._ wird anerkannt.
1.3 Der Teilentscheid betreffend Feststellung der rechtlichen Verwandtschaft von C.A._ zu A.A._ wird anerkannt.
1.4 Der Teilentscheid betreffend Feststellung der rechtlichen Verwandtschaft von C.A._ zu B.A._ wird nicht anerkannt.
2. Es werden folgende Personalien in INFOSTAR beurkundet:
[Personalien von C.A._]
Name Vater: A.A._ Beziehungsentstehung: Durch Gerichtsurteil seit 26. Dezember 2012 Name Mutter: D.D._ Beziehungsentstehung: Durch Geburt Zusatzangaben Entscheid: Entscheid des Court of Common Pleas, Probate Division vom 26. Dezember 2012, Vereinigte Staaten, Ohio, Gallipolis Zusatzangaben Abstammung: Tatsache der anonymen Eizellenspende
B.b. Gegen die Verfügung gelangten A.A._ und B.A._ sowie C.A._ mit Beschwerde an das Verwaltungsgericht des Kantons Zug. In teilweiser Gutheissung der Beschwerde hob das Verwaltungsgericht mit Urteil vom 31. Mai 2016 die Dispositiv-Ziff. 1.1 (Nichtanerkennung der Aufhebung der rechtlichen Verwandtschaft zu D.D._) der angefochtenen Verfügung auf. Sodann ordnete es die Streichung des Namens der Mutter (D.D._) und die Beziehungsentstehung (durch Geburt) in Dispositiv-Ziff. 2 der angefochtenen Verfügung an und wies die Sache zu weiteren Sachverhaltsabklärungen und zu neuem Entscheid an den Zivilstands- und Bürgerrechtsdienst des Kantons Zug zurück. Schliesslich ist laut Urteil die Dispositiv-Ziff. 2 der angefochtenen Verfügung insoweit zu ergänzen, als unter den "Zusatzangaben Abstammung" die genetische Vaterschaft von A.A._ zu vermerken ist. Im Übrigen wurde die Beschwerde abgewiesen.
C.
Mit Eingabe vom 15. August 2016 ist das Bundesamt für Justiz (BJ), handelnd für das Eidgenössische Justiz- und Polizeidepartement (EJPD), an das Bundesgericht gelangt. Es beantragt, das Urteil des Verwaltungsgerichts des Kantons Zug vom 31. Mai 2016 aufzuheben; die Verfügung des Zivilstands- und Bürgerrechtsdienst des Kantons Zug vom 9. Oktober 2015 sei zu bestätigen, abgesehen von der (von der Vorinstanz angeordneten) Ergänzung, dass unter "Zusatzangaben Abstammung" auch der Vermerk "Genetische Vaterschaft von A.A._" aufzunehmen sei.
Es sind die kantonalen Akten, indes keine Stellungnahmen eingeholt worden.

Erwägungen:
1.
Das Verwaltungsgericht hat als kantonale Rechtsmittelinstanz über eine Verfügung der kantonalen Aufsichtsbehörde betreffend die Eintragung ausländischer Entscheidungen und Urkunden in das Zivil- bzw. Personenstandsregister (<ref-law>) entschieden. Die Bundesbehörden sind berechtigt, gegen Entscheidungen der Zivilstandsbeamten und Aufsichtsbehörden die kantonalen Rechtsmittel einzulegen und Beschwerde beim Bundesgericht zu führen (<ref-law>; Art. 90 Abs. 4 ZStV). Der angefochtene Entscheid unterliegt der Beschwerde in Zivilsachen (Art. 72 Abs. 2 lit. b Ziff. 2 BGG) und der beschwerdeführenden Bundesbehörde steht das Beschwerderecht zu (<ref-law>).
2.
Das Verwaltungsgericht hat laut Urteilsdispositiv die Sache zur weiteren Sachverhaltsabklärung und zum anschliessenden Neuentscheid an die kantonale Aufsichtsbehörde zurückgewiesen. Das BJ beruft sich zur Anfechtbarkeit zunächst auf die Rechtsprechung, wonach das Bundesgericht einen Rückweisungsentscheid wie ein Endentscheid (<ref-law>) zu behandeln ist, wenn der Behörde, an welche die Sache zurückgewiesen wird, kein Entscheidspielraum mehr verbleibt und die Rückweisung bloss noch der Umsetzung des oberinstanzlich Angeordneten dient (<ref-ruling> E. 1.2; <ref-ruling> E. 1.1).
2.1. Das Verwaltungsgericht hat zunächst im Wesentlichen erwogen, dass das der Geburtsurkunde zugrunde liegende Leihmutterschaftsurteil vom 26. Dezember 2012 nicht anerkannt werden könne, da es infolge Rechtsumgehung als Ordre public-widrig zu erachten sei. Die Nichtanerkennung, d.h. Verweigerung der Wirkungserstreckung habe zur Folge, dass die Beschwerdegegnerin 2 (als Wunschmutter) nicht als rechtliche Mutter eingetragen werden könne, währenddem der Beschwerdegegner 1 als genetischer Vater trotz Rechtsumgehung als rechtlicher Vater einzutragen sei, weil diesbezüglich Art. 8 EMRK berücksichtigt werden müsse.
2.2. Weiter hat das Verwaltungsgericht festgehalten, dass - entgegen der Auffassung der Erstinstanz - die Leihmutter D.D._ nicht als rechtliche Mutter des Kindes eingetragen werden könne, weil hierfür "eine eindeutige - allenfalls stillschweigende - Willensäusserung von D.D._ notwendig gewesen wäre". Der Sachverhalt erweise sich mit Blick auf die Frage, ob "die Leihmutter auf ihre Elternrechte nachgeburtlich verzichtet habe, als nicht genügend abgeklärt"; die (teilweise) Nichtanerkennung des Leihmutterschaftsurteils "verbunden mit der Eintragung der Leihmutter als rechtliche Mutter habe derzeit nicht absehbare, allenfalls weitreichende Folgen", so dass die betreffende Eintragung "aktuell nicht sachgerecht" und deshalb aufzuheben sei. Die Eintragung der Leihmutter als rechtliche Mutter (im Rahmen der Nichtanerkennung des Leihmutterschaftsurteils) widerspreche zudem dem "Grundsatz der Registerwahrheit", d.h. schaffe sinngemäss ein zusätzliches (mit Bezug auf eine weitere Person) hinkendes Rechtsverhältnis. Das Verwaltungsgericht hat festgehalten, "sollte sich die Kontaktnahme mit der Leihmutter als unmöglich erweisen [...], könnte D.D._ nicht als rechtliche Mutter [...] eingetragen werden, [...] wäre aber unter den Zusatzangabe zur Abstammung als Leihmutter" in das Personenstandsregister aufzunehmen. Das Verwaltungsgericht hat die Sache an die Aufsichtsbehörde zurückgewiesen, damit sie durch Kontaktnahme mit der Leihmutter feststelle, ob eine "eindeutige - allenfalls stillschweigende - Willensäusserung von D.D._" bestehe, aufgrund derer sie erst als rechtliche Mutter des ausgetragenen Kindes bzw. des Beschwerdegegners 3 anzuerkennen und im Personenenstandsregister einzutragen wäre.
2.3. Das BJ betrachtet die Unmöglichkeit der Kontaktnahme mit der Leihmutter als "wahrscheinlichste Hypothese", womit der "wahrscheinliche Ausgang" des Verfahrens - die Eintragung als Leihmutter, nicht rechtliche Mutter - verbindlich entschieden sei. Von einem Rückweisungsentscheid, der verfahrensabschliessenden Charakter hat und damit einem Endentscheid gleichkommt, kann indes nicht gesprochen werden. Massgebend ist nicht die Wahrscheinlichkeit des Ergebnisses einer Sachverhaltsabklärung, sondern der verbleibende Beurteilungsspielraum.
Vorliegend könnte die Kontaktnahme mit der Leihmutter gelingen und die Erstinstanz nach Würdigung zur Aussage zum Ergebnis gelangen, dass die Leihmutter ihren Willen bekundet, auf ihre Rechte zu verzichten und nicht rechtliche Mutter sein zu wollen. Die Sachverhaltsabklärung, zu welcher die Erstinstanz angehalten wird, kann zu einer neuen Beurteilung führen, so dass von einer blossen Umsetzung des Entscheides des Verwaltungsgerichts keine Rede sein kann. Inwieweit eine neue Beurteilung möglich ist, wenn die Leihmutter ihren Willen bekunden würde, nunmehr rechtliche Mutter sein zu wollen, braucht nicht erörtert zu werden. Der Rückweisungsentscheid kann jedenfalls nicht wie ein Endentscheid (<ref-law>) behandelt werden.
2.4. Gegen den vorliegenden Rückweisungsentscheid, der einen Zwischenentscheid darstellt, kann nur unter den Voraussetzungen von <ref-law> an das Bundesgericht gelangt werden (<ref-ruling> E. 1.2 S. 331). Die Beschwerde ist zulässig (vgl. <ref-ruling> E. 1.2 S. 47), wenn der Zwischenentscheid einen nicht wieder gutzumachenden Nachteil rechtlicher Natur bewirken könnte (lit. a) oder wenn die Gutheissung der Beschwerde sofort einen Endentscheid herbeiführen und damit einen bedeutenden Aufwand an Zeit und Kosten für ein weitläufiges Beweisverfahren ersparen würde (lit. b). Es obliegt dem Beschwerdeführer darzutun, dass die Voraussetzungen dieser Bestimmung erfüllt sind, soweit deren Vorliegen nicht offensichtlich ist (<ref-ruling> E. 1.2 S. 47). Die selbständige Anfechtbarkeit eines Zwischenentscheides bildet eine Ausnahme vom Grundsatz, dass sich das Bundesgericht mit jeder Angelegenheit nur einmal befassen soll (<ref-ruling> E. 1.2).
2.5. Zu Recht wird nicht behauptet, die Nachteilsvoraussetzung gemäss <ref-law> sei erfüllt. Die erste der beiden - kumulativen - Voraussetzungen von <ref-law> ist vorliegend wohl erfüllt. Wenn das Bundesgericht zum Schluss kommen würde, dass - wie vom BJ beantragt - die Leihmutter D.D._ als rechtliche Mutter von Beschwerdegegner 3 einzutragen (und insoweit der erstinstanzliche Entscheid zu bestätigen) sei, wäre das Verfahren auf Anerkennung und Eintragung einer ausländischen Urkunde beendet. Das BJ erachtet die vom Verwaltungsgericht angeordnete Sachverhaltsabklärung (Kontaktnahme mit der Leihmutter), welche eine Zustellung und Beweisaufnahme auf dem Rechtshilfeweg in den USA notwendig mache, sowohl finanziell als auch zeitlich aufwändig. Was die Vorinstanz angeordnet hat, kann jedoch mit Bezug auf die Kosten und Dauer nicht als von gewöhnlichen Prozessen besonders abweichend bezeichnet werden und gilt daher noch nicht als weitläufig. Jedes Beweisverfahren verursacht Aufwand an Zeit und Kosten, was allein nicht genügt, damit <ref-law> erfüllt ist. Die Beschwerde gegen den Entscheid des Verwaltungsgerichts erweist sich als unzulässig. Der Beschwerdeführer kann den verwaltungsgerichtlichen Entscheid gemäss <ref-law> durch Beschwerde gegen den Endentscheid anfechten.
2.6. Das BJ führt aus, dass dem Beschwerdegegner 3 im kantonalen Verfahren kein Verfahrensbeistand nach Art. 306 Abs. 2 und 3 ZGB bestellt worden sei, der Beschwerdegegner 1 als rechtlicher Vater indes ein eigenes Interesse habe, dass die Leihmutter nicht rechtliche Mutter des Beschwerdegegners 3 sei; die Frage der genügenden Vertretung des Kindes für das bundesgerichtliche Verfahren werde dem Bundesgericht überlassen. Nach der Rechtsprechung zur erwähnten Bestimmung ist allgemein eine abstrakte Gefährdung der Interessen des Kindes regelmässig dann vorhanden, wenn zwischen dem Dritten und den Eltern eine so nahe persönliche Beziehung besteht, dass angenommen werden muss, die Rücksichtnahme auf die Interessen des Dritten könnte das Handeln der Eltern allenfalls beeinflussen (Urteil 6B_184/2016 vom 7. Juli 2016 E. 5.1, mit Hinweisen). Die Frage der gehörigen Vertretung des Beschwerdegegners 3 im bundesgerichtlichen Verfahren kann hier offen bleiben, da auf die Beschwerde nicht einzutreten ist und demnach vonseiten der Beschwerdegegner vor Bundesgericht keine Verfahrenshandlungen nötig sind.
3.
Nach dem Dargelegten kann auf die Beschwerde nicht eingetreten werden. Die Auferlegung von Gerichtskosten fällt ausser Betracht (<ref-law>) und eine Parteientschädigung ist nicht zu bezahlen.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2.
Es werden keine Gerichtskosten auferlegt.
3.
Eine Parteientschädigung ist nicht zu bezahlen.
4.
Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten und dem Verwaltungsgericht des Kantons Zug, Verwaltungsrechtliche Kammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 29. März 2017
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: von Werdt
Der Gerichtsschreiber: Levante