Erwägungen:
1.
Das Kreisgericht Wil befahl A._ (Beschwerdeführerin) mit Entscheid vom 26. Februar 2016 unter Androhung von Ersatzmassnahmen, die Liegenschaft an der Strasse U._ in V._, die im Eigentum der B._ AG (Beschwerdegegnerin) steht, unverzüglich zu räumen.
Das Kantonsgericht St. Gallen trat mit Entscheid vom 12. Mai 2016 (BS.2016.2-EZ03) auf eine von der Beschwerdeführerin gegen diesen Entscheid erhobene Berufung wegen Verspätung nicht ein, nachdem es mit separatem Entscheid vom gleichen Tag (ZV.2016.37-EZ02) ein Gesuch der Beschwerdeführerin um Wiederherstellung der Berufungsfrist abgewiesen hatte.
Die Beschwerdeführerin erhob mit elektronischer Eingabe vom 26. Mai 2016 gegen den Entscheid ZV.2016.37-EZ02 (wie sich aus der Eingabe ergibt, recte wohl: BS.2016.2-EZ03) beim Bundesgericht Beschwerde mit den Anträgen, der vorinstanzliche Entscheid sei aufzuheben und das Gesuch um Mieterausweisung abzuweisen; eventualiter sei die Sache zur Neubeurteilung an die Vorinstanz zurückzuweisen. Ferner ersuchte die Beschwerdeführerin um Gewährung der unentgeltlichen Prozessführung und Rechtsverbeiständung für das bundesgerichtliche Verfahren.
Auf die Einholung von Vernehmlassungen zur Beschwerde wurde im vorliegenden Fall verzichtet.
Mit Präsidialverfügung vom 27. Mai 2016 wurde ein Gesuch der Beschwerdeführerin, es sei der Beschwerde die aufschiebende Wirkung zu erteilen, abgewiesen.
2.
2.1. Der Entscheid BS.2016.2-EZ03 des Kantonsgerichts St. Gallen, mit dem auf die Berufung der Beschwerdeführerin gegen den Entscheid der Erstinstanz nicht eingetreten wurde, stellt einen Endentscheid (Art. 90 BGG) einer letzten kantonalen Instanz im Sinne von Art. 75 Abs. 1 und 2 BGG dar, gegen den die Beschwerde an das Bundesgericht grundsätzlich zulässig ist.
2.2. Die Vorinstanz trat im angefochtenen Entscheid auf die Berufung der Beschwerdeführerin wegen Verspätung nicht ein, nachdem sie mit separatem Entscheid vom gleichen Tag (ZV.2016.37-EZ02) ein Gesuch der Beschwerdeführerin um Wiederherstellung der Berufungsfrist im Sinne von Art. 148 ZPO abgewiesen hatte.
Beim Entscheid ZV.2016.37-EZ02 über die Nichtwiederherstellung der Berufungsfrist handelt es sich um einen Zwischenentscheid im Sinne von Art. 93 BGG, der vorliegend nicht unmittelbar zu einem Rechtsverlust geführt hat und daher nicht selbständig anfechtbar ist (vgl. Art. 149 ZPO und <ref-ruling>, insbes. E. 6.3). In der Folge desselben ist indessen der Nichteintretensentscheid der Vorinstanz ergangen, womit der Entscheid über die Nichtwiederherstellung der Berufungsfrist sich im Sinne von Art. 93 Abs. 3 BGG auf diesen Endentscheid ausgewirkt und zum Verlust der Rechtsmittelmöglichkeit und damit zum definitiven Rechtsverlust der Beschwerdeführerin geführt hat. Er ist daher ungeachtet der Bestimmung von Art. 149 ZPO zusammen mit dem Endentscheid BS.2016.2-EZ03 anfechtbar und die Beschwerde ist auch zulässig, soweit sie sich gegen den betreffenden Entscheid richtet (vgl. <ref-ruling>; FREI, in: Berner Kommentar, Schweizerische Zivilprozessordnung, 2012, N. 11 f. zu Art. 149 ZPO; GOZZI, in: Basler Kommentar, Schweizerische Zivilprozessordnung, 2. Aufl. 2013, N. 14 zu Art. 149 ZPO; STAEHELIN, in: Sutter-Somm und andere [Hrsg.], Kommentar zur Schweizerischen Zivilprozessordnung [ZPO], 2. Aufl. 2013, N. 4 zu Art. 149 ZPO; MERZ, in: Schweizerische Zivilprozessordnung [ZPO], Kommentar, Brunner und andere [Hrsg.], 2. Aufl. 2016, N. 8 zu Art. 149 ZPO; HOFMANN-NOWOTNY, in: ZPO, Oberhammer und andere [Hrsg.], 2. Aufl. 2014, N. 5 zu Art. 149 ZPO).
Es schadet der Beschwerdeführerin nicht, soweit sie in ihren Beschwerdeanträgen nicht ausdrücklich die Aufhebung des Entscheids ZV.2016.37-EZ02 verlangt hat, da ihre Beschwerdeschrift eine rechtsgenügende, klar gegen die Beurteilung ihres Fristwiederherstellungsgesuchs in diesem Entscheid gerichtete Begründung enthält. Dieser Zwischenentscheid ist damit als gültig mitangefochten zu betrachten und auf die gegen diesen gerichteten Rügen grundsätzlich einzutreten (Urteile 4A_115/2014 vom 20. November 2014 E. 1.3 und 4A_424/2011 vom 2. November 2011 E. 1.5.1).
2.3. Nach den Feststellungen der Vorinstanz belief sich der Streitwert im kantonalen Verfahren auf weniger als Fr. 15'000.-- und erreicht danach die Streitwertgrenze für die Zulässigkeit der Beschwerde in Zivilsachen nach Art. 74 Abs. 1 lit. a BGG nicht. Die Beschwerdeführerin bestreitet dies allerdings mit dem Hinweis darauf, dass es sich bei der streitbetroffenen Liegenschaft um ein 7 1⁄2 Zimmer-Einfamilienhaus mit Garage, Parkplätzen, Wiese und Wald handle. Für den Fall, dass ihr darin nicht gefolgt wird, macht die Beschwerdeführerin - allerdings mit kaum hinreichender Begründung (Art. 42 Abs. 2 Satz 2 BGG) - geltend, die Beschwerde in Zivilsachen sei auch zulässig, weil sich eine Rechtsfrage von grundsätzlicher Bedeutung im Sinne von Art. 74 Abs. 2 lit. a BGG stellte.
Wie es sich damit verhält, kann indessen offen gelassen werden, da die vorliegende Beschwerde auch nicht durchzudringen vermag, wenn sie als Beschwerde in Zivilsachen behandelt und mit entsprechender Kognition geprüft wird.
3.
Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (Art. 105 Abs. 1 BGG). Dazu gehören sowohl die Feststellungen über den streitgegenständlichen Lebenssachverhalt als auch jene über den Ablauf des vor- und erstinstanzlichen Verfahrens, also die Feststellungen über den Prozesssachverhalt (<ref-ruling> E. 1.3.1 mit Hinweisen). Es kann die Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz nur berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von Art. 95 BGG beruht (Art. 105 Abs. 2 BGG). "Offensichtlich unrichtig" bedeutet dabei "willkürlich" (<ref-ruling> E. 2 S. 117; <ref-ruling> E. 1.5). Überdies muss die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein können (Art. 97 Abs. 1 BGG).
Für eine Kritik am festgestellten Sachverhalt gilt das strenge Rügeprinzip von Art. 106 Abs. 2 BGG (<ref-ruling> E. 2.3 S. 266 mit Hinweisen). Die Partei, welche die Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz anfechten will, muss klar und substanziiert aufzeigen, inwiefern diese Voraussetzungen erfüllt sein sollen (<ref-ruling> E. 1.3.1 S. 18 mit Hinweisen). Wenn sie den Sachverhalt ergänzen will, hat sie zudem mit präzisen Aktenhinweisen darzulegen, dass sie entsprechende rechtsrelevante Tatsachen und taugliche Beweismittel bereits bei den Vorinstanzen prozesskonform eingebracht hat (<ref-ruling> E. 2 S. 90). Genügt die Kritik diesen Anforderungen nicht, können Vorbringen mit Bezug auf einen Sachverhalt, der vom angefochtenen Entscheid abweicht, nicht berücksichtigt werden (<ref-ruling> E. 1.3.1 S. 18).
4.
Nach den Feststellungen der Vorinstanz im Entscheid ZV.2016.37-EZ02 stellte der Rechtsvertreter der Beschwerdeführerin dem Kantonsgericht mit elektronischer Eingabe vom 18. April 2016, dem letzten Tag der Frist für eine Berufung gegen den Ausweisungsentscheid des Kreisgerichts vom 26. Februar 2016, seine Stellungnahme im Ausweisungsverfahren vom 24. Dezember 2015 samt Beilagen zu. Auf telefonische Nachfrage hin teilte er dem Kantonsgericht mit, er habe am letzten Tag der Frist ein Rechtsmittel gegen den Ausweisungsentscheid ergreifen wollen, jedoch das falsche Dokument elektronisch versandt. Mit elektronischer Eingabe vom 2. Mai 2016 ersuchte die Beschwerdeführerin daraufhin um Wiederherstellung der Frist zur Einreichung der Berufung.
4.1. Die Vorinstanz wies das Gesuch um Wiederherstellung der Frist ab, weil es der Auffassung der Beschwerdeführerin nicht beipflichtete, wonach ihren Rechtsvertreter an der Fristversäumnis bloss ein leichtes Verschulden im Sinne von Art. 148 Abs. 1 ZPO treffe. Sie verwarf dabei die Argumentation der Beschwerdeführerin, in der diese auf die angebliche Besonderheit von elektronischen Eingaben im Kanton St. Gallen hingewiesen hatte. Nach ihren tatsächlichen Feststellungen dazu möge es zwar zutreffen, dass bei einer elektronischen Eingabe bloss eine einzige, elektronisch signierte PDF als Anhang genüge, worauf das System die Übermittlung ans Gericht zulasse. Ebenfalls zutreffend sei, dass das Fenster im Webformular, in dem die Anhänge aufschienen, keine unbegrenzte Anzahl an Zeichen zulasse bzw. anzeige; allerdings reiche der Platz ohne weiteres dafür aus, dem angehängten Dokument eine individuelle und auf den ersten Blick erkennbare Bezeichnung zu geben, welche nicht bloss aus schwer lesbaren Abkürzungen und dergleichen bestehe. Die Vorinstanz hielt sodann dafür, es gehöre zur elementaren Sorgfaltspflicht eines Anwalts, vor dem Senden einer elektronischen Eingabe sicherzustellen, dass die richtigen Anhänge beigefügt wurden, analog der Situation bei postalischer Übermittlung, wo der Absender sich vor der Übergabe an die Post vergewissern müsse, dass sich das gewünschte Dokument im Briefumschlag befinde. Komme hinzu, dass der Absender elektronischer Eingaben selbst nach erfolgter Übermittlung auf seinem Computer noch kontrollieren könne, ob seine Eingabe die richtigen Anhänge enthalte.
4.2. Was die Beschwerdeführerin dagegen vorbringt, vermag nicht durchzudringen, soweit darauf überhaupt eingetreten werden kann. Sie unterzieht die tatsächlichen Feststellungen der Vorinstanz über die Möglichkeit, dem einer elektronischen Eingabe angehängten Dokument eine auf den ersten Blick erkennbare Bezeichnung zu geben und nach erfolgter Übermittlung die Richtigkeit der Anhänge zu kontrollieren, frei gehaltener Kritik, ohne dazu eine Sachverhaltsrüge im vorstehend (Erwägung 3) umschriebenen Sinn zu substanziieren. Damit und mit ihrer darauf gestützten Rüge, die Vorinstanz habe aufgrund ihrer Feststellungen unzutreffende Analogien gezogen, kann sie nicht gehört werden.
Zu beachten ist weiter, dass es sich beim Entscheid darüber, ob den Gesuchsteller ein bloss leichtes Verschulden im Sinne von Art. 148 Abs. 1 ZPO trifft, um einen Ermessensentscheid handelt (Urteile 4A_163/2015 vom 12. Dezember 2015 E. 4.1; 5A_927/2015 vom 22. Dezember 2015 E. 5.1). Ermessensentscheide prüft das Bundesgericht mit Zurückhaltung. Es schreitet nur ein, wenn die Vorinstanz grundlos von in Lehre und Rechtsprechung anerkannten Grundsätzen abgegangen ist, wenn Tatsachen berücksichtigt wurden, die keine Rolle hätten spielen dürfen, oder wenn umgekehrt Umstände ausser Betracht geblieben sind, die zwingend hätten beachtet werden müssen. In derartige Ermessensentscheide wird ferner eingegriffen, wenn sich diese als offensichtlich unbillig, als in stossender Weise ungerecht erweisen (<ref-ruling> E. 11.2; <ref-ruling> E. 2.1.3., 669 E. 3.1 S. 671, je mit Hinweisen). Entsprechende Gründe für ein Einschreiten des Bundesgerichts gegen die vorinstanzliche Ermessensausübung macht die Beschwerdeführerin nicht geltend.
5.
Die Beschwerde ist demnach abzuweisen, soweit darauf überhaupt eingetreten werden kann.
Das Gesuch der Beschwerdeführerin um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege für das bundesgerichtliche Verfahren ist abzuweisen, weil die Beschwerde als von vornherein aussichtslos erscheint (Art. 64 Abs. 1 BGG), wobei darüber unter den gegebenen Umständen nicht vorgängig separat entschieden werden musste (vgl. Urteil 4A_20/2011 vom 11. April 2011 E. 7.2.2).
Auf die Erhebung von Gerichtskosten ist ausnahmsweise zu verzichten (Art. 66 Abs. 1 zweiter Satz BGG).
Die Beschwerdegegnerin hat keinen Anspruch auf eine Parteientschädigung, da ihr aus dem bundesgerichtlichen Verfahren kein Aufwand entstanden ist (Art. 68 Abs. 1 BGG).

Demnach erkennt das Bundesgericht im Verfahren nach Art. 109 Abs. 2 lit. a BGG:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.
Das Gesuch der Beschwerdeführerin um unentgeltliche Rechtspflege für das bundesgerichtliche Verfahren wird abgewiesen.
3.
Es werden keine Gerichtskosten erhoben und es wird keine Parteientschädigung gesprochen.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Kantonsgericht St. Gallen, Einzelrichter im Obligationenrecht, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 7. Juli 2016
Im Namen der I. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Kiss
Der Gerichtsschreiber: Widmer