Sachverhalt:
A.
Am 6. November 2016 fanden in der Einwohnergemeinde Spiez Gemeindewahlen statt (Gemeinderat, Grosser Gemeinderat, Gemeindepräsidium). Bei der Wahl des Gemeindepräsidiums erreichte keine Kandidatin und kein Kandidat das absolute Mehr. Der Gemeinderat der Einwohnergemeinde Spiez ordnete daher am 7. November 2016 einen zweiten Wahlgang an und setzte ihn auf den 27. November 2016 fest. Er wies darauf hin, dass zum zweiten Wahlgang nur die beiden Kandidatinnen zugelassen sind, die im ersten Wahlgang die meisten Stimmen erhalten hatten (Jolanda Brunner und Ursula Zybach). Dieser Beschluss wurde am 10. November 2016 im Simmentaler Anzeiger publiziert.
Am 16. November 2016 reichte die in der Einwohnergemeinde Spiez wohnhafte Marianne Roe-Zurbuchen beim Regierungsstatthalteramt Frutigen-Niedersimmental Beschwerde ein. Sie verlangte, dass der im ersten Wahlgang für das Gemeindepräsidium drittplatzierte, in den Gemeinderat gewählte Heinz Egli neben Jolanda Brunner und Ursula Zybach im zweiten Wahlgang zur Wahl zugelassen werde.
Der Regierungsstatthalter wies das Rechtsmittel am 23. November 2016 ab und entzog der Beschwerde sowie einer allfälligen Verwaltungsgerichtsbeschwerde gegen seinen Entscheid die aufschiebende Wirkung.
B.
Am 27. November 2016 fand der zweite Wahlgang für das Gemeindepräsidium statt, an dem nur Jolanda Brunner und Ursula Zybach zur Wahl standen. Erstere wurde mit deutlichem Mehr gewählt.
Gegen diese Wahl erhob Marianne Roe-Zurbuchen am 7. Dezember 2016 wiederum Beschwerde beim Regierungsstatthalteramt. Sie beantragte die Wiederholung des zweiten Wahlgangs, weil es rechtswidrig gewesen sei, nur die beiden Kandidatinnen mit den besten Resultaten aus dem ersten Wahlgang zum zweiten Wahlgang zuzulassen.
Mit Entscheid vom 19. Dezember 2016 trat der Regierungsstatthalter auf die Beschwerde nicht ein, weil er die Sache bereits mit seinem Entscheid vom 23. November 2016 beurteilt habe.
C.
Gegen die Entscheide des Regierungsstatthalters vom 23. November 2016 sowie vom 19. Dezember 2016 erhob Marianne Roe-Zurbuchen je Beschwerde ans Verwaltungsgericht des Kantons Bern. Mit Urteil vom 10. März 2017 wies das Verwaltungsgericht beide Beschwerden ab.
D.
Gegen das Urteil des Verwaltungsgerichts hat Marianne Roe-Zurbuchen am 19. April 2017 Beschwerde ans Bundesgericht erhoben. Sie beantragt, das angefochtene Urteil sei aufzuheben und die Sache an die Vorinstanz zurückzuweisen, die Wahl des Gemeindepräsidiums sei ungültig zu erklären, es sei eine Wiederholung der Wahl für das Gemeindepräsidium durchzuführen und Art. 17 Abs. 3 des Wahl- und Abstimmungsreglements der Einwohnergemeinde Spiez vom 4. März 1976 (nachfolgend WAR) sei abzuändern.
Das Regierungsstatthalteramt hat auf eine Vernehmlassung verzichtet. Die Einwohnergemeinde Spiez und das Verwaltungsgericht beantragen, die Beschwerde sei abzuweisen, soweit darauf einzutreten sei. Mit Eingabe vom 9. Juni 2017 hält die Beschwerdeführerin an der Beschwerde fest.

Erwägungen:
1.
1.1. Angefochten ist ein kantonal letztinstanzlicher Endentscheid betreffend die Gemeindepräsidiumswahl der Einwohnergemeinde Spiez. Dagegen steht die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten in der Form der Beschwerde in Stimmrechtssachen an das Bundesgericht offen, zumal es sich um eine Volkswahl handelt (Art. 82 lit. c, Art. 86 und Art. 90 BGG). Die Beschwerdeführerin ist als in der Einwohnergemeinde Spiez Wahlberechtigte zur Beschwerde legitimiert (<ref-law>). Da auch die übrigen Sachurteilsvoraussetzungen erfüllt sind, ist unter Vorbehalt von E. 1.2 nachfolgend auf die Beschwerde einzutreten.
1.2. Streitgegenstand vor der Vorinstanz und damit auch vor dem Bundesgericht bildet einzig die Frage, ob die Gemeindepräsidiumswahl der Einwohnergemeinde Spiez rechtmässig verlaufen ist. Vor Bundesgericht kann der Streitgegenstand gegenüber dem vorinstanzlichen Verfahren durch neue Begehren weder geändert noch erweitert werden (<ref-law>). Soweit die Beschwerdeführerin in ihrer Eingabe vom 9. Juni 2017 Ausführungen macht, die nicht den Streitgegenstand betreffen (Befangenheit der Gemeinderatsmitglieder, strafrechtliche Folgen der angeblichen Rechtsverweigerung), kann darauf nicht eingetreten werden.
Ebenfalls nicht einzutreten ist auf den Antrag, Art. 17 Abs. 3 WAR sei wegen Unvereinbarkeit mit übergeordnetem Recht abzuändern. Selbst wenn das Bundesgericht im Rahmen einer konkreten Normenkontrolle zum Schluss kommt, eine generell-abstrakte Norm widerspreche ganz oder teilweise übergeordnetem Recht, hebt es nicht die betreffende Norm auf, sondern nur den darauf beruhenden individuell-konkreten Anwendungsakt (Urteil 2C_875/2016 vom 10. Oktober 2016 E. 1.2.5 mit Hinweisen).
2.
Bei Stimmrechtsbeschwerden prüft das Bundesgericht nicht nur die Auslegung von Bundesrecht und kantonalem Verfassungsrecht frei, sondern auch diejenige anderer kantonaler Vorschriften, welche den Inhalt des Stimm- und Wahlrechts normieren oder mit diesem in engem Zusammenhang stehen (vgl. <ref-law>).
3.
Die Beschwerdeführerin macht zunächst eine Verletzung ihres Anspruchs auf rechtliches Gehör nach <ref-law> geltend, da das Regierungsstatthalteramt auf ihre Beschwerde vom 7. Dezember 2016 nicht eingetreten sei und das Verwaltungsgericht dieses Vorgehen im Ergebnis geschützt habe.
Wie die Vorinstanzen zu Recht festgestellt haben, handelte es sich bei der Anordnung des Gemeinderats, für den zweiten Wahlgang der Wahl des Gemeindepräsidiums nur die beiden Kandidatinnen zuzulassen, die im ersten Wahlgang am meisten Stimmen erzielten, um eine Handlung im Zusammenhang mit der Vorbereitung einer Wahl. Gemäss Art. 67a Abs. 3 des Gesetzes über die Verwaltungsrechtspflege des Kantons Bern (VRPG; BSG 155.21) ist gegen solche Handlungen innert zehn Tagen Beschwerde zu führen und ist eine Anfechtung nach dem Wahltermin nicht mehr zulässig, wenn die zehntägige Beschwerdefrist vor der Wahl endet (vgl. Urteil 1C_236/2011 vom 25. Oktober 2011 E. 2). Die Beschwerdeführerin hat gegen die am 10. November 2016 publizierte Anordnung des Gemeinderats fristgerecht Beschwerde beim Regierungsstatthalteramt erhoben, bevor der zweite Wahlgang am 27. November 2016 stattfand. Hingegen war ihre zweite Beschwerde ans Regierungsstatthalteramt vom 7. Dezember 2016, in welcher sie die gleichen Rügen erhob, mit Blick auf Art. 67a Abs. 3 VRPG verspätet, weshalb das Regierungsstatthalteramt darauf im Ergebnis zu Recht nicht eingetreten ist. Damit hat die Vorinstanz den Anspruch der Beschwerdeführerin auf rechtliches Gehör nicht verletzt und keine Rechtsverweigerung begangen, indem sie den Nichteintretensentscheid des Regierungsstatthalteramts vom 19. Dezember 2016 im Ergebnis geschützt hat. Wie die Vorinstanz im Übrigen zu Recht festgehalten hat, ist der Beschwerdeführerin aus dem Nichteintretensentscheid des Regierungsstatthalteramts ohnehin kein Nachteil erwachsen, da die von ihr vorgebrachten Rügen anlässlich ihrer ersten Beschwerde ans Regierungsstatthalteramt vom 16. November 2016 sowie anschliessend vom Verwaltungsgericht geprüft wurden.
4.
Art. 17 Abs. 3 WAR regelt das Verfahren für den zweiten Wahlgang der Wahl des Gemeindepräsidiums und lautet wie folgt:
"Ein allfälliger zweiter Wahlgang findet drei Wochen nach dem ersten statt. Wählbar sind nur die beiden Kandidaten mit der höchsten Stimmenzahl im ersten Wahlgang. Im zweiten Wahlgang entscheidet das relative Mehr. (...) "
Die Beschwerdeführerin rügt nicht, der zweite Wahlgang sei in Verletzung von Art. 17 Abs. 3 WAR durchgeführt worden. Sie macht indessen geltend, das in Art. 17 Abs. 3 WAR geregelte Verfahren, namentlich die Bestimmung wonach im zweiten Wahlgang nur die beiden Kandidaten mit der höchsten Stimmenzahl im ersten Wahlgang wählbar seien, verstosse gegen kantonales Recht (Art. 33 des Gemeindegesetzes des Kantons Bern vom 16. März 1998 [GG; BSG 170.11] i.V.m. Art. 108 ff. des Gesetzes des Kantons Bern über die politischen Rechte vom 5. Juni 2012 [PRG; BSG 141.1] und Art. 1 Abs. 1 der Verordnung des Kantons Bern über die politischen Rechte [PRV; BSG 141.112]) sowie gegen Art. 8 und 34 BV.
4.1. Die Kantone sind in der Ausgestaltung ihres politischen Systems und des Wahlverfahrens weitgehend frei. <ref-law> hält fest, dass die Kantone - entsprechend ihrer Organisationsautonomie - die Ausübung der politischen Rechte in kantonalen und kommunalen Angelegenheiten regeln. Diese Zuständigkeit wird im Rahmen der bundesverfassungsrechtlichen Garantie von <ref-law> ausgeübt (<ref-ruling> E. 3.1 S. 94 mit Hinweisen; Urteil 1C_88/2017 vom 30. März 2017 E. 3.1, zur Publikation vorgesehen). <ref-law> gewährleistet die politischen Rechte (auf Bundes- sowie Kantons- und Gemeindeebene) in abstrakter Weise und ordnet die wesentlichen Grundzüge der demokratischen Partizipation im Allgemeinen. Der Gewährleistung kommt Grundsatzcharakter zu. Sie weist Bezüge auf zur Rechtsgleichheit (<ref-law>) sowie zur Rechtsweggarantie (<ref-law>). Der konkrete Gehalt der politischen Rechte mit ihren mannigfachen Teilgehalten ergibt sich nicht aus der Bundesverfassung, sondern in erster Linie aus dem spezifischen Organisationsrecht des Bundes bzw. der Kantone.
Die in <ref-law> verankerte Wahl- und Abstimmungsfreiheit gibt den Stimmberechtigten Anspruch darauf, dass kein Abstimmungsergebnis anerkannt wird, das nicht den freien Willen der Stimmberechtigten zuverlässig und unverfälscht zum Ausdruck bringt. Es soll garantiert werden, dass jeder Stimmberechtigte seinen Entscheid gestützt auf einen möglichst freien und umfassenden Prozess der Meinungsbildung treffen und entsprechend mit seiner Stimme zum Ausdruck bringen kann. Die Wahl- und Abstimmungsfreiheit gewährleistet die für den demokratischen Prozess und die Legitimität direktdemokratischer Entscheidungen erforderliche Offenheit der Auseinandersetzung (<ref-ruling> E. 3.3 S. 94 f. mit Hinweisen; Urteil 1C_88/2017 vom 30. März 2017 E. 3.1, zur Publikation vorgesehen).
4.2. Gemäss Art. 33 GG ordnen im Kanton Bern die Gemeinden die Grundzüge des Wahlverfahrens im Organisationsreglement im Rahmen des übergeordneten Rechts selbst (Abs. 1). Soweit das Gemeindegesetz oder das kommunale Recht keine eigenen Regelungen vorsehen, gilt sinngemäss die kantonale Gesetzgebung über die politischen Rechte (Abs. 2).
Die Vorinstanz hat zutreffend ausgeführt, dass das PRG grundsätzlich nicht für kommunale, sondern für kantonale Volksabstimmungen und Volkswahlen gilt (Art. 2 Abs. 1 PRG) und deshalb nicht übergeordnetes Recht im Sinne von Art. 33 Abs. 1 GG darstellt. Das Gesetz über die politischen Rechte ist gemäss der eindeutigen Regelung von Art. 33 Abs. 2 GG auf kommunale Wahlen und Abstimmungen nur dann sinngemäss anwendbar, wenn das Gemeindegesetz oder das kommunale Gesetz keine eigenen Regelungen vorsieht. Daran ändert auch Art. 1 Abs. 1 PRV nichts. Zwar gilt nach dieser Bestimmung für kommunale Wahlen und Abstimmungen neben dem Gemeindegesetz sinngemäss die Gesetzgebung über die politischen Rechte. Diese Bestimmung ist allerdings im Lichte von Art. 33 Abs. 2 GG auszulegen, wonach das PRG - wie bereits ausgeführt - nur subsidiär gilt, nämlich wenn das kommunale Recht keine eigenen Regeln trifft. Soweit Spiez das Wahlverfahren für das Gemeindepräsidium selber festgelegt hat (vgl. Art. 15 ff. WAR), findet das PRG - namentlich dessen Art. 108 ff. - folglich keine Anwendung. Die Rüge, Art. 17 Abs. 3 Satz 2 WAR verstosse gegen kantonales Recht, erweist sich als unbegründet.
Die Vorinstanz hat weiter in Bezug auf die in <ref-law> verankerte Wahl- und Abstimmungsfreiheit erwogen, dass Art. 17 Abs. 3 WAR keine übertrieben strengen Anforderungen an das Auswahlverfahren stelle, weil nicht alle Kandidatinnen und Kandidaten des ersten Wahlgangs erneut kandidieren könnten. Da der Kreis der möglichen Kandidatinnen und Kandidaten im ersten Wahlgang sehr offen gehalten sei, werde die Auswahlfreiheit über beide Wahlgänge gesehen sichergestellt. Inwiefern Art. 17 Abs. 3 WAR sonst gegen <ref-law> verstossen sollte, sei nicht erkennbar. In diesem Punkt kann auf die zutreffenden Ausführungen der Vorinstanz (E. 5.3 ff. des angefochtenen Urteils) verwiesen werden (vgl. <ref-law>). Was die Beschwerdeführerin dagegen einwendet, ändert nichts daran, dass Art. 17 Abs. 3 Satz 2 WAR nicht bundesrechtswidrig ist. Namentlich verstösst diese Bestimmung auch nicht deshalb gegen Art. 8 oder 34 BV, weil die Zulassung von Kandidaten zum zweiten Wahlgang in den Städten Bern und Thun sowie für die Regierungsratswahlen im Kanton Bern anders geregelt ist.
5.
Die Beschwerde erweist sich als offensichtlich unbegründet. Sie ist im Verfahren nach <ref-law> abzuweisen, soweit darauf einzutreten ist. Bei diesem Ausgang des Verfahrens wird die Beschwerdeführerin kostenpflichtig (vgl. <ref-law>). Mit dem vorliegenden Urteil wird das Gesuch der Beschwerdeführerin um aufschiebende Wirkung gegenstandslos.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 2'000.-- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird der Beschwerdeführerin, der Einwohnergemeinde Spiez, dem Regierungsstatthalteramt Frutigen-Niedersimmental und dem Verwaltungsgericht des Kantons Bern, Verwaltungsrechtliche Abteilung, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 23. Juni 2017
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Merkli
Der Gerichtsschreiber: Mattle