Sachverhalt:
A.
A._ (geb. 1977; Beschwerdeführerin) und B._ (geb. 1965; Beschwerdegegner) heirateten im März 2010. Sie sind die Eltern von C._ (geb. 2011) und D._ (geb. 2012). Mit Eheschutzentscheid vom 2. März 2016 stellte das Bezirksgericht Aarau, Familiengericht, auf Antrag von B._ fest, dass die Eheleute zur Aufhebung des gemeinsamen Haushaltes berechtigt sind und seit dem 10. Januar 2016 getrennt leben. Die Obhut über die gemeinsamen Kinder teilte es den Eheleuten unter Regelung der Besuchs- und Ferienrechte alternierend zu. B._ verpflichtete es zu Unterhaltszahlungen an die Kinder von monatlich je Fr. 800.-- zuzüglich Kinderzulagen ab dem 1. März 2016 und an A._ von monatlich Fr. 6'355.-- von März bis Juni 2016, Fr. 7'140.-- von Juli 2016 bis Juli 2017 und Fr. 4'465.-- ab August 2017. Per 27. Juli 2015 ordnete das Familiengericht ausserdem die Gütertrennung an.
B.
Gegen diesen Entscheid reichte A._ am 2. Mai 2016 beim Obergericht des Kantons Aargau Berufung ein. Mit Entscheid vom 17. Oktober 2016 (eröffnet am 31. Oktober 2016) teilte das Obergericht die Obhut über die Kinder A._ zu und regelte das Besuchs- und Ferienrecht des Vaters. Ausserdem verpflichtete es B._ zur Zahlung von monatlichem Kindesunterhalt von je Fr. 800.-- zuzüglich Kinderzulagen ab dem 1. Februar 2016 sowie von Unterhalt an A._ im Umfang von monatlich Fr. 6'254.-- von Februar 2016 bis Juni 2016, Fr. 7'705.-- von Juli 2016 bis August 2016, Fr. 11'000.-- von September 2016 bis Juli 2017 und Fr. 8'508.-- ab August 2017. Das Begehren, es sei der Antrag von B._ auf Anordnung der Gütertrennung abzuweisen, wies das Obergericht ab.
C.
Mit Beschwerde in Zivilsachen vom 30. November 2016 (Poststempel) ist A._ mit den folgenden Anträgen an das Bundesgericht gelangt:
"1. Ziff. 1.1 des Urteils des Obergerichts AG betreffend Ziff. 5 des Urteils des Bezirksgerichts Aargau vom [2. März] 2016 sei aufzuheben und es sei der Beschwerdegegner zu verpflichten, der Beschwerdeführerin an den Unterhalt der Kinder C._ und D._ mit Wirkung ab 15. Januar 2016 monatlich vorschüssig Beiträge von je CHF 1'200 zuzüglich Kinderzulagen zu bezahlen, dies für die Dauer der Trennung.
2. Ziff. 1.1 des Urteils des Obergerichts AG betreffend Ziff. 6 des Urteils des Bezirksgerichts Aarau sei aufzuheben und es sei der Beschwerdegegner zu verpflichten, der Beschwerdeführerin an ihren persönlichen Unterhalt monatlich vorschüssig folgende Unterhaltsbeiträge zu bezahlen:
- Von 15. Januar 2016 - Ende Juni 2016: CHF 15'495.00.
- Von 1. Juli 2016 bis Bestehen der Anwaltsprüfung plus ein Monat: CHF 16'095.00.
- Ein Monat ab Bestehen der Anwaltsprüfung: CHF 14'719.00.
3. Es seien die monatlichen Schulkosten der Kinder in der Höhe von CHF 4'400.- zu berücksichtigen und wie die Kinderzulagen separat auszuweisen.
4. Es sei die Beschwerdeführerin zu berechtigen, die Anwaltsprüfungen erst im Oktober 2017 anzutreten und der Beschwerdegegner zu verpflichten, ihr die Unterhaltsbeiträge bis ein Monat nach Bestehen der Prüfung ohne Abzug eines hypothetischen Verdienstes zu entrichten.
5. Ziff. 1.1 des Urteils des Obergerichts AG betreffend Ziff. 7 des Urteils des Bezirksgerichts Aarau vom 2. März 2016 sei ersatzlos aufzuheben; der Antrag des [Beschwerdegegners] auf Anordnung der Gütertrennung sei abzuweisen.
6. Ziff. 1.1 des Urteils des Obergerichts AG betreffend Ziff. 4.2 des Urteils des Bezirksgerichts Aarau sei aufzuheben, der Beschwerdegegner sei zu verpflichten, die Kinder freitags an ihrem Wohnort in Küsnacht ZH, entweder um 17.00 Uhr (vor dem Insulinspritzen und Abendessen) oder um 19.00 Uhr (nach dem Insulinspritzen und Abendessen) abzuholen und sonntags, um 18.00 Uhr zu ihrem Wohnort in Küsnacht zurückzubringen.
7. Ziff. 3 des Urteils des Obergerichts AG sei aufzuheben; die Kosten und Entschädigungsfolgen des erstinstanzlichen Verfahrens vor Obergericht AG und Bezirksgericht Aarau seien vom Bundesgericht neu festzusetzen.
8. Alles unter Kosten- und Entschädigungsfolgen zulasten des Beschwerdegegners, zuzüglich MWST.
9. Es sei der Beschwerdeführerin die unentgeltliche Rechtspflege zu gewähren oder eine Fristerstreckung zur Bezahlung des Kostenvorschusses bis das Bundesgericht über ihre Anträge entschieden hat."
Das Bundesgericht hat die kantonalen Akten, indessen keine Vernehmlassungen eingeholt.

Erwägungen:
1.
1.1. Angefochten ist ein Endentscheid einer letzten kantonalen Instanz, die als oberes Gericht (Art. 75 und 90 BGG) über die Anordnung von Massnahmen zum Schutz der ehelichen Gemeinschaft (<ref-law>; elterliche Obhut und persönlicher Verkehr; Kindes- und Ehegattenunterhalt; Anordnung der Gütertrennung) und damit eine zivilrechtliche Streitigkeit (<ref-law>) entschieden hat. Stehen sowohl vermögensrechtliche als auch nicht vermögensrechtliche Fragen im Streit, ist die Beschwerde in Zivilsachen ohne Streitwerterfordernis zulässig (Urteil 5A_191/2016 vom 23. Dezember 2016 E. 1). Die Beschwerdeführerin ist nach <ref-law> zur Beschwerde berechtigt. Auf die auch fristgerecht erhobene (<ref-law>) Beschwerde ist einzutreten.
1.2. In den Rechtsbegehren Ziffer 3 und 4 ersucht die Beschwerdeführerin um Berücksichtigung und Ausweisung der Schulkosten sowie um Erlaubnis, die Anwaltsprüfung erst im Oktober 2017 absolvieren zu dürfen. Wie sich der Beschwerdebegründung entnehmen lässt, stehen diese Anträge im Zusammenhang mit dem Ehegattenunterhalt. Sie betreffen die Berechnung des Bedarfs und das (hypothetische) Einkommen der Beschwerdeführerin. Bei diesen Rechtsbegehren handelt es sich demnach um Elemente der Begründung der Anträge betreffend den Ehegattenunterhalt (Rechtsbegehren Ziffer 2). Sie sind entsprechend zu behandeln.
1.3. Eheschutzentscheide unterstehen <ref-law> (<ref-ruling> E. 5.1 und 5.2). Daher kann nur die Verletzung verfassungsmässiger Rechte gerügt werden (vgl. dazu <ref-ruling> E. 4.1). Es gilt das strenge Rügeprinzip nach <ref-law>. Die rechtsuchende Partei muss präzise angeben, welches verfassungsmässige Recht durch den angefochtenen Entscheid verletzt wurde, und im Einzelnen darlegen, worin die Verletzung besteht. Das Bundesgericht prüft nur klar und detailliert erhobene und soweit möglich belegte Rügen. Auf ungenügend begründete Rügen und rein appellatorische Kritik am angefochtenen Entscheid tritt es nicht ein (<ref-ruling> E. 2.3 S. 266; <ref-ruling> E. 2.2). Wird eine Verletzung des Willkürverbots gerügt, reicht es daher nicht aus, wenn die beschwerdeführende Partei die Sach- und Rechtslage aus ihrer Sicht darlegt und den davon abweichenden angefochtenen Entscheid als willkürlich bezeichnet. Vielmehr muss sie im Einzelnen darlegen, inwiefern das kantonale Gericht willkürlich entschieden haben soll und der angefochtene Entscheid deshalb an einem qualifizierten oder offensichtlichen Mangel leidet (BGE <ref-ruling> E. 2.2; <ref-ruling> E. 1.3). Auch eine Berichtigung oder Ergänzung der Sachverhaltsfeststellungen kommt nur in Frage, wenn die kantonale Instanz verfassungsmässige Rechte verletzt hat (<ref-ruling> E. 4.1), was die rechtsuchende Partei wiederum präzise geltend zu machen hat.
Die Beschwerdeführerin verkennt diese Grundsätze, wenn sie unter Verweis auf Art. 95 Bst. a BGG ausführt, mit der vorliegenden Beschwerde könne die Verletzung von Bundesrecht geltend gemacht werden. Entsprechend ist auf die Beschwerde nicht einzutreten, soweit die Beschwerdeführerin die Verletzung der Bestimmungen über den Schutz der ehelichen Gemeinschaft und von prozessualen Normen und Grundsätzen rügt, ohne darzulegen, weshalb das angefochtene Urteil ihre verfassungsmässigen Rechte berühren sollte. Andernorts beschränkt die Beschwerdeführerin sich darauf, ihre Sicht der Dinge derjenigen des Obergerichts entgegenzustellen und den angefochtenen Entscheid als willkürlich zu bezeichnen, was den Begründungsanforderungen nicht genügt und das Nichteintreten auf die Beschwerde zur Folge hat. Angesprochen sind hier neben einigen Aspekten der Berechnung des Ehegattenunterhalts die Vorbringen zum Kindesunterhalt, zur Gütertrennung und zur Ausgestaltung des Besuchsrechts des Beschwerdegegners.
1.4. Die Beschwerde genügt den Begründungsanforderungen schliesslich insoweit nicht, als die Beschwerdeführerin sich zur Begründung der "weiteren Rechtsbegehren" - gemeint ist wohl ihr Antrag zu den vorinstanzlichen Kosten - darauf beschränkt, auf ihre Eingaben im Verfahren vor dem Obergericht zu verweisen (vgl. <ref-ruling> E. 2). Auch in diesem Umfang ist nicht auf die Beschwerde einzutreten.
2.
Die Beschwerdeführerin rügt im Zusammenhang mit der Festsetzung des Ehegattenunterhalts verschiedene Verfassungsverletzungen.
2.1. Das Obergericht legte den Unterhalt nach der Methode der Existenzminimumsberechnung mit Überschussverteilung fest (auch zweistufige Methode genannt). Bereits die Erstinstanz sei nach dieser Methode vorgegangen, was unbestritten geblieben sei. Demgegenüber führt die Beschwerdeführerin aus, die kantonalen Instanzen seien durch Anwendung dieser Methode in Willkür verfallen, weil "der Beschwerdegegner im erstinstanzlichen Verfahren sämtliche Aufwandpositionen, welche die Beschwerdeführerin aufgelistet und mit Belegen bewiesen hatte, anerkannt hatte". Der Unterhalt hätte nach der einstufig-konkreten Methode berechnet werden müssen.
Wie das Obergericht richtig festhält, liess die Beschwerdeführerin im vorinstanzlichen Verfahren allerdings ausführen, dass "der Lebensstandard während des (ehelichen) Zusammenlebens sehr hoch war. (...) Die Vorinstanz hielt deshalb zu Recht fest, dass eine zweistufige Unterhaltsberechnung mit Überschussverteilung stattfinden solle (...)." (Berufung vom 12. Mai 2016 [Beschwerdebeilage 2], S. 24 Rz. 68). Die Beschwerdeführerin hat die Wahl der Berechnungsmethode durch das Familiengericht vor Obergericht damit nicht gerügt bzw. ausdrücklich als rechtmässig bestätigt. Unter diesen Umständen ist sie mit ihrem Vorbringen vor Bundesgericht mangels materieller Erschöpfung des Instanzenzuges nicht zu hören (vgl. <ref-ruling> E. 4.4.6; <ref-ruling> E. 2; ferner: Urteil 5A_235/2016 vom 15. August 2016 E. 5.2). Auf die Beschwerde ist auch insoweit nicht einzutreten.
2.2. Die Beschwerdeführerin wendet sich sodann in verschiedenen Punkten gegen die Berechnung ihres Lebensbedarfs durch die Vorinstanz.
2.2.1. Nach Ansicht der Beschwerdeführerin verstösst es gegen das Verschlechterungsverbot (Verbot der reformatio in peius) und ist es willkürlich, dass die Vorinstanz bei der Berechnung des Bedarfs im Gegensatz zur Erstinstanz einen Wohnkostenanteil für die Kinder von Fr. 500.-- und die Kinderzulagen im Umfang von Fr. 400.-- anstatt Fr. 200.-- als Abzugsposten berücksichtigt hat.
Der Unterhaltsanspruch der Ehegatten unterliegt der Dispositionsmaxime, womit das Verschlechterungsverbot zur Anwendung gelangt. Dieses besagt, dass die Rechtsmittelinstanz das angefochtene Urteil nicht zu Ungunsten der rechtsmittelführenden Partei abändern darf, es sei denn, die Gegenpartei habe ebenfalls ein Rechtsmittel ergriffen. Beim Verschlechterungsverbot handelt es sich um einen klaren und unumstrittenen Rechtsgrundsatz, dessen Missachtung gegen das Willkürverbot (<ref-law>) verstösst (<ref-ruling> E. 2.1; Urteil 5A_169/2012 vom 18. Juli 2012 E. 3.3). Im unterhaltsrechtlichen Zusammenhang bezieht sich das Verbot nicht auf einzelne Einkommens- oder Bedarfspositionen, sondern auf die Rechtsbegehren insgesamt (Urteile 5A_476/2012 vom 10. Juli 2012 E. 3; 5A_122/2012 vom 9. Juni 2011 E. 5.3).
Das Obergericht hat der Beschwerdeführerin betragsmässig einen wesentlich höheren Unterhaltsanspruch zugesprochen als die Erstinstanz (vgl. vorne Bst. A und B). Dies gilt nicht nur mit Blick auf den der Beschwerdeführerin insgesamt zugesprochenen Unterhalt, sondern auch, wenn die ihr monatlich geschuldeten Unterhaltsbeiträge verglichen werden. Einzig von März bis Juni 2016 liegen die vom Familiengericht festgesetzte Beiträge um Fr. 101.-- im Monat höher als die im angefochtenen Entscheid vorgesehenen. Dies wird aber dadurch wieder ausgeglichen, dass das Obergericht einen Unterhaltsanspruch ab dem 1. Februar 2016 und nicht wie die Erstinstanz ab dem 1. März 2016 annahm. Unter diesen Umständen kann kein Verstoss gegen das Verschlechterungsverbot festgestellt werden. Die Beschwerde erweist sich insoweit als unbegründet.
2.2.2. Die Beschwerdeführerin macht sodann geltend, das Obergericht habe ihren Antrag "auf Berücksichtigung der Autokosten bei der Bedarfsberechnung gar nicht behandelt". Insoweit rügt sie sinngemäss eine Rechtsverweigerung (<ref-law>; vgl. dazu <ref-ruling> E. 2.1).
Die Beschwerdeführerin verkennt, dass die Vorinstanz bei der Berechnung ihres Bedarfs die "Autokosten" sehr wohl berücksichtigte. Das Obergericht ist dabei von denselben Zahlen ausgegangen wie die Erstinstanz. Zu einem anderen Vorgehen bestand kein Anlass, weil die Beschwerdeführerin in der Berufung vom 12. Mai 2016 die Festsetzung der Kosten für "Mobilität" durch das Familiengericht nicht beanstandete (Beschwerdebeilage 2, S. 26 ff. Ziff. 72 ff.). Auch wenn die Beschwerdeführerin dem Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege im vorinstanzlichen Verfahren einen Leasingvertrag beilegte, welcher höhere Kosten auswies (Beschwerdebeilage 5, pag. 19/26), kann von einer Rechtsverweigerung unter diesen Umständen keine Rede sein. Die Beschwerde erweist sich auch insoweit als unbegründet.
Soweit die Beschwerdeführerin im Übrigen rügen sollte, das Obergericht habe ihren Bedarf rechtsfehlerhaft berechnet, weil es nicht sämtliche Mobilitätskosten berücksichtigte, ist auf die Beschwerde nicht einzutreten. Diesbezüglich macht sie keine Verfassungsverletzung geltend (vgl. vorne E. 1.3).
2.2.3. Zuletzt möchte die Beschwerdeführerin die Kosten ihrer anwaltlichen Vertretung in den vorinstanzlichen Verfahren bei der Berechnung ihres Bedarfs berücksichtigen. Das anderweitige Vorgehen des Obergerichts sei willkürlich und verstosse gegen Art. 6 EMRK.
Nach der Rechtsprechung gehen persönliche, nur einen Ehegatten treffende Schulden gegenüber Dritten der familienrechtlichen Unterhaltspflicht nach und gehören nicht zum Existenzminimum. Sie sind nach Ermessen des Sachgerichts im Rahmen einer allfälligen Überschussverteilung zu berücksichtigen. Zum Bedarf hinzuzurechnen sind somit grundsätzlich nur diejenigen regelmässig abbezahlten Schulden, welche die Ehegatten für den gemeinsamen Lebensunterhalt aufgenommen haben oder für die sie solidarisch haften (<ref-ruling> E. 2a/bb; Urteile 5A_1029/2015 vom 1. Juni 2016 E. 3.3.1.3; 5A_780/2015 vom 10. Mai 2016 E. 2.7). Anders als die Beschwerdeführerin meint, können ihre Anwaltskosten nicht als derartige Schulden qualifiziert werden. Diese Kosten sind für die Interessenvertretung (allein) der Beschwerdeführerin angefallen und dienten nicht dem Unterhalt beider Eheleute, die denn auch nicht solidarisch dafür haften. Die Beschwerde erweist sich auch in diesem Punkt als unbegründet.
Soweit die Beschwerdeführerin darauf hinweist, die Berücksichtigung ihrer Anwaltskosten sei mit Blick auf das Recht auf ein faires Verfahren (Art. 6 EMRK; <ref-law>) notwendig, ist sie darauf hinzuweisen, dass zu diesem Zweck das Institut der unentgeltlichen Rechtspflege (<ref-law>) zur Verfügung steht (<ref-ruling> E. 6.5.4). Die Beschwerdeführerin rügt denn auch, das Obergericht habe ihren Antrag auf Gewährung dieses Rechts nicht behandelt. Wie sich der Beschwerde entnehmen lässt, hat die Beschwerdeführerin dieses Gesuch aber erst am 24. Oktober 2016 und damit nach Ausfällung des angefochtenen Entscheids am 17. Oktober 2016 gestellt (Beschwerdebeilage 5). Inwieweit der Vorinstanz eine Verfassungsverletzung vorzuwerfen wäre, weil sie in diesem Entscheid nicht über das Gesuch befunden hat, ist nicht ersichtlich. Streitgegenstand vor Bundesgericht ist sodann einzig der Entscheid vom 17. Oktober 2016 (vgl. <ref-ruling> E. 4.4.2) und nicht eine allfällige spätere Unterlassung der Vorinstanz (vgl. <ref-law>).
2.3. Zur Berechnung des der Beschwerdeführerin geschuldeten Unterhalts hat das Obergericht den errechneten Überschuss hälftig den Eheleuten angerechnet (zur Methode vgl. E. 2.1 hiervor). Nach Ansicht der Beschwerdeführerin ist dieses Vorgehen willkürlich, weil das Obergericht bei der Überschussverteilung nicht berücksichtigt habe, dass die zwei minderjährigen Kinder unter ihrer Obhut stünden.
Die Beschwerdeführerin bringt zu Recht vor, dass es nach der Rechtsprechung unhaltbar sein kann, den Überschuss hälftig aufzuteilen, wenn sich - wie hier - nicht zwei Einpersonenhaushalte gegenüberstehen, sich vielmehr ein Ehegatte um die minderjährigen Kinder kümmert (<ref-ruling> E. 3c; jüngst auch Urteil 5A_583/2016 vom 4. April 2017 E. 6.1). Allerdings verkennt sie, dass das Obergericht sich dieser Rechtsprechung sehr wohl bewusst war. Es erwog jedoch, die in dieser Situation normalerweise vorzunehmende Aufteilung im Verhältnis von zwei Dritteln zu einem Drittel rechtfertige sich bei durchschnittlichen finanziellen Verhältnissen. Aufgrund der besonders günstigen Verhältnisse sei vorliegend eine hälftige Aufteilung angebracht. Ansonsten erfahre die obhutsberechtigte Person eine nicht zu rechtfertigende Besserstellung. Mit dieser Argumentation setzt die Beschwerdeführerin sich mit keinem Wort auseinander. Die Beschwerde genügt daher auch in diesem Punkt den (erhöhten) Begründungsanforderungen an Verfassungsrügen nicht (vorne E. 1.3) und auf sie ist auch insoweit nicht einzutreten.
3.
Die Beschwerde erweist sich somit als unbegründet und ist abzuweisen, soweit auf sie einzutreten ist. Bei diesem Ausgang des Verfahrens sind die Gerichtskosten der unterliegenden Beschwerdeführerin aufzuerlegen (<ref-law>). Anspruch auf eine Parteientschädigung besteht nicht, da dem obsiegenden Beschwerdegegner keine Kosten entstanden sind (<ref-law>). Das Gesuch der Beschwerdeführerin um unentgeltliche Rechtspflege ist infolge Aussichtslosigkeit der Rechtsbegehren abzuweisen (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf eingetreten wird.
2.
Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege wird abgewiesen.
3.
Die Gerichtskosten von Fr. 2'000.-- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
4.
Parteikosten werden keine zugesprochen.
5.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Aargau, Zivilgericht, 5. Kammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 11. August 2017
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: von Werdt
Der Gerichtsschreiber: Sieber