Sachverhalt:
A.
A.a. A._ wurde am 28. Dezember 2007 von der Eidgenössischen Revisionsaufsichtsbehörde RAB unbefristet als Revisionsexperte zugelassen und in das Revisorenregister eingetragen. Er ist Alleininhaber der C._ GmbH, die seit dem 16. Oktober 2008 als Revisionsexpertin zugelassen ist.
A.b. Mit Schreiben vom 9. Januar 2015 ersuchte die RAB die C._ GmbH und den Beschwerdeführer um Erteilung diverser Auskünfte und um Einreichung von Unterlagen im Hinblick auf die Sachverhaltsabklärung betreffend einer Anzeige (Verletzung der Unabhängigkeit bzw. der Anzeigepflichten) gegen die C._ GmbH. Am 27. Februar 2015 beantwortete der Beschwerdeführer namens der C._ GmbH einige der Fragen, verweigerte aber die Einreichung der verlangten Unterlagen.
A.c. Mit Schreiben vom 25. März 2015 teilte die RAB A._ mit, sie eröffne gegen ihn ein Verwaltungsverfahren wegen des Verdachts auf fehlende Gewähr für eine einwandfreie Prüftätigkeit. Gegen diese Mitteilung erhob A._ am 27. April 2015 Beschwerde beim Bundesverwaltungsgericht. Mit Urteil B-2626/2015 vom 19. Januar 2016 wies das Bundesverwaltungsgericht die Beschwerde ab, soweit es darauf eintrat. Zur Begründung führte es aus, das Schreiben der RAB habe keinen Verfügungscharakter und stelle daher kein taugliches Anfechtungsobjekt dar. Gegen dieses Urteil erhob der Beschwerdeführer Beschwerde beim Bundesgericht. Mit Urteil 2C_167/2016 vom 17. März 2017 trat das Bundesgericht auf seine subsidiäre Verfassungsbeschwerde nicht ein und wies seine Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten ab.
B.
B.a. Am 8. Februar 2016 forderte die RAB die C._ GmbH und A._ auf, die restlichen der von ihnen mit Schreiben vom 9. Januar 2015 verlangten Auskünfte und Unterlagen einzureichen. Mit Schreiben vom 19. Februar 2016 verweigerte A._ namens der C._ GmbH die verlangten Auskünfte und die Einreichung der verlangten Unterlagen. Mit Schreiben vom 13. Mai 2016 forderte er die RAB auf, zu bestätigen, dass es sich bei ihren Aufforderungen lediglich um eine unverbindliche Bitte und nicht um rechtsverbindliche Amtshandlungen und Verfügungen handle.
B.b. Mit Schreiben vom 30. Juni 2016 forderte die RAB A._ letztmals zur Mitwirkung und Einreichung der verlangten Informationen und Unterlagen auf. Sie präzisierte, das Verfahren betreffe nur den Beschwerdeführer persönlich. Sie legte dar, gestützt auf welche Anhaltspunkte der Verdacht auf fehlende Gewähr bestehe und zu welchem Zweck sie die von ihr verlangten Informationen und Unterlagen benötige. Bei ihrem Ersuchen handle es sich um eine Aufforderung zur Mitwirkung, welche nicht Verfügungscharakter habe. Der Beschwerdeführer habe eine anfechtbare Verfügung verlangt. Bevor sie aber eine allfällige Verfügung erlasse, gewähre sie ihm Gelegenheit, im Sinne des rechtlichen Gehörs Stellung nehmen zu können. Sofern er die gewünschten Informationen und Unterlagen gemäss ihrem Schreiben vom 9. Januar 2015 nicht vollständig bis zum 5. August 2016 einreiche, werde ihm voraussichtlich, wegen Verstosses gegen seine Mitwirkungs- und Auskunftspflichten sowie wegen des Verdachts, dass seine Gewähr für eine einwandfreie Prüftätigkeit und somit eine Zulassungsvoraussetzung nicht mehr gegeben sei, ein Verweis erteilt bzw. seine persönliche Zulassung entzogen.
C.
C.a. Am 27. Juli 2016 reichte A._ Beschwerde gegen dieses Schreiben beim Bundesverwaltungsgericht ein und beantragte, das Schreiben der RAB vom 30. Juni 2016 sei als Verfügung zu qualifizieren und aufzuheben. Eventualiter beantragte er, im Fall der Nichtqualifikation des Schreibens als Verfügung sei seine Beschwerde als Rechtsverweigerungsbeschwerde entgegenzunehmen und die RAB sei unter Aufhebung der von ihr angedrohten Rechtsfolgen zum Erlass einer beschwerdefähigen Verfügung bezüglich der Herausgabe der von ihr verlangten Informationen und Akten zu verpflichten.
C.b. Mit Endverfügung vom 31. August 2016 entzog die RAB A._ die Zulassung als Revisionsexperte und einer allfälligen Beschwerde die aufschiebende Wirkung. Eine dagegen erhobene Beschwerde ist vor dem Bundesverwaltungsgericht noch hängig (vgl. angefochtener Entscheid E. 2.6 in fine).
C.c. Mit Urteil B-4726/2016 vom 10. April 2017 trat das Bundesverwaltungsgericht auf die Beschwerde von A._ nicht ein, soweit sie nicht gegenstandslos geworden sei. Es führte aus, das angefochtene Schreiben vom 30. Juni 2016 sei nicht als anfechtbare Zwischenverfügung einzustufen. Selbst wenn das Schreiben als anfechtbare Zwischenverfügung zu qualifizieren wäre, so wäre das Bundesverwaltungsgericht - mangels eines nicht wieder gutzumachenden Nachteils - nicht auf die Beschwerde eingetreten. In Bezug auf die eventualiter erhobene Rechtsverweigerungsbeschwerde führte das Bundesverwaltungsgericht aus, diese sei mit Erlass der Endverfügung der RAB vom 31. August 2016 gegenstandslos geworden.
D.
Mit Eingabe vom 2. Juni 2017 erhebt A._ Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten sowie Verfassungsbeschwerde "hinsichtlich aller als willkürlich bzw. <ref-law> verletzend bezeichneter Punkte" beim Bundesgericht. Er beantragt, das angefochtene Urteil sei aufzuheben und der an das Bundesverwaltungsgericht erhobenen Rechtsverweigerungsbeschwerde sei stattzugeben. Eventualiter sei das angefochtene Urteil aufzuheben und es sei "dem mit der Beschwerde an das Bundesverwaltungsgericht erhobenen Antrag stattzugeben, das Schreiben der RAB vom 30. Juni 2016 als Verfügung zu qualifizieren und diese aufzuheben".
Die RAB beantragt, auf die Beschwerde sei nicht einzutreten, eventualiter sei sie abzuweisen. Das Bundesverwaltungsgericht verzichtet auf eine Vernehmlassung. Der Beschwerdeführer repliziert.

Erwägungen:
1.
1.1. Die Beschwerde richtet sich gegen einen Nichteintretensentscheid des Bundesverwaltungsgerichts auf dem Gebiet der Revisionsaufsicht. Das Schreiben der RAB vom 30. Juni 2016 stellt - sofern es überhaupt als Verfügung zu betrachten wäre - eine Zwischenverfügung dar (vgl. auch E. 3.2 hiernach). Damit handelt es sich auch beim vorinstanzlichen Nichteintretensentscheid nicht um einen Endentscheid (vgl. <ref-law>), sondern um einen Zwischenentscheid, gegen den die Beschwerde - von hier nicht gegebenen Spezialfällen abgesehen (vgl. <ref-law>) - nur unter einschränkenden Voraussetzungen (<ref-law>) zulässig ist. Das Bundesgericht verzichtet indes bei Beschwerden wegen Rechtsverweigerung auf das Erfordernis eines nicht wieder gutzumachenden Nachteils (vgl. <ref-law>), weshalb die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten hier grundsätzlich offen steht (<ref-ruling> E. 1.1 S. 261 mit Hinweis; Urteil 8C_607/2016 vom 8. August 2017 E. 1.2, zur Publikation vorgesehen).
Die Beschwerde wurde rechtzeitig eingereicht und entspricht den Formerfordernissen. Der Beschwerdeführer ist gemäss Art. 89 Abs. 1BGG zur Beschwerde legitimiert. Auf die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten ist einzutreten.
1.2. Für die subsidiäre Verfassungsbeschwerde bleibt gemäss <ref-law> kein Raum, weshalb darauf nicht einzutreten ist. Die damit geltend gemachte Verletzung von <ref-law> ist gemäss <ref-law> im Rahmen der Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten zu prüfen.
1.3. Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann eine Rechtsverletzung nach Art. 95 und Art. 96 BGG gerügt werden. Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (<ref-law>), doch prüft es, unter Berücksichtigung der allgemeinen Rüge- und Begründungspflicht (Art. 42 Abs. 1 und 2 BGG), grundsätzlich nur die geltend gemachten Vorbringen, sofern allfällige weitere rechtliche Mängel nicht geradezu offensichtlich sind (<ref-ruling> E. 1.6 S. 280 f.). Die Verletzung von Grundrechten untersucht es in jedem Fall nur insoweit, als eine solche Rüge in der Beschwerde präzise vorgebracht und begründet worden ist (<ref-law>; <ref-ruling> E. 2.2 S. 232; <ref-ruling> E. 2.2 S. 246).
1.4. Das Bundesgericht legt seinem Urteil den von der Vorinstanz festgestellten Sachverhalt zugrunde (<ref-law>). Es kann die Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz von Amtes wegen berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruht (<ref-law>).
2.
Wie das Bundesgericht bereits im - den Beschwerdeführer betreffenden - Urteil 2C_167/2016 vom 17. März 2017 ausführlich dargelegt hat, liess die RAB das hier strittige Schreiben vom 30. Juni 2016 dem Beschwerdeführer im Rahmen ihrer Aufsichtstätigkeit über Revisionsexperten zukommen. Als Aufsichtsbehörde unterzieht die RAB nur die staatlich beaufsichtigten Revisionsunternehmen, nicht aber die anderen Revisionsunternehmen und die natürlichen Personen einer eingehenden periodischen Überprüfung alle drei resp. fünf Jahre (vgl. Art. 16 Abs. 1 und Abs. 1bis des Bundesgesetzes vom 16. Dezember 2005 über die Zulassung und Beaufsichtigung der Revisorinnen und Revisoren [Revisionsaufsichtsgesetz, RAG; SR 221.302]). Natürliche Personen werden demgegenüber unbefristet zugelassen (<ref-law>). Indes ordnet <ref-law> in Bezug auf die natürlichen Personen explizit an, dass die Aufsichtsbehörde die Zulassung befristet oder unbefristet entziehen kann, wenn die Person die Zulassungsvoraussetzungen gemäss Art. 4-6 oder 9a RAG nicht mehr erfüllt. Hieraus ergibt sich zwangsläufig, dass die persönlichen Zulassungsvoraussetzungen dauerhaft erfüllt sein müssen und dass die Aufsichtsbehörde entsprechenden Hinweisen nachgehen und gegebenenfalls einen Entzug prüfen muss.
Weiter hat das Bundesgericht im erwähnten Urteil 2C_167/2016 dargelegt, dass die Zulassungsvoraussetzungen u.a. einen unbescholtenen Leumund und die Gewähr für eine einwandfreie Prüftätigkeit verlangen (vgl. <ref-law> und Art. 4 Abs. 1 der Verordnung vom 22. August 2007 über die Zulassung und Beaufsichtigung der Revisorinnen und Revisoren [Revisionsaufsichtsverordnung, RAV; SR 221.302.3]). Zum beruflichen Leumund gehört auch die Einhaltung der gesetzlichen Unabhängigkeitsvorschriften gemäss Art. 728 und 729 OR. Eine einwandfreie Prüftätigkeit erfordert fachliche Kompetenz und ein korrektes Verhalten im Geschäftsverkehr, wobei unter Letzterem primär die Einhaltung der gesamten Rechtsordnung, namentlich des Revisionsrechts, aber auch des Zivil- und Strafrechts sowie die Beachtung des Grundsatzes von Treu und Glauben zu verstehen ist.
3.
Der Beschwerdeführer ist der Auffassung, beim strittigen Schreiben vom 30. Juni 2016 handle es sich um eine anfechtbare Verfügung
3.1. Wie schon die Vorinstanz im angefochtenen Entscheid und das Bundesgericht im erwähnten Urteil 2C_167/2016 ausgeführt haben, gelten als Verfügungen autoritative, einseitige, individuell-konkrete Anordnungen der Behörde, die in Anwendung von Verwaltungsrecht ergangen, auf Rechtswirkungen ausgerichtet sowie verbindlich und erzwingbar sind (vgl. <ref-law> [SR 172.021]; <ref-ruling> E. 3.1 S. 235 mit Hinweisen). In der Ausrichtung auf Rechtsverbindlichkeit unterscheidet sich die Verfügung vom tatsächlichen und informellen Verwaltungshandeln, welches nicht auf die Herbeiführung eines Rechts-, sondern eines Taterfolgs ausgerichtet ist, indessen gleichwohl die Rechtsstellung von Privaten beeinträchtigen kann (<ref-ruling> E. 6.1 S. 379). Über solche (die Rechtsstellung tangierende) Realakte kann bei schutzwürdigem Interesse durch Gesuch eine Verfügung erwirkt werden (<ref-law>).
3.2. In Übereinstimmung mit der Vorinstanz (vgl. angefochtenes Urteil E. 1.6) ist zunächst festzuhalten, dass es sich beim hier zu beurteilenden Schreiben nicht um eine Endverfügung, sondern allenfalls um eine Zwischenverfügung handeln kann.
3.3. Der Beschwerdeführer erblickt im Hinweis der RAB auf allfällige Säumnisfolgen für den Fall der Nichtmitwirkung in der Sachverhaltsabklärung eine unmittelbare nachteilige Auswirkung auf seine Rechtsstellung, weshalb das angefochtene Schreiben als Verfügung zu qualifizieren sei.
3.4. Der Auffassung des Beschwerdeführers kann nicht gefolgt werden.
3.4.1. Gemäss <ref-law> muss die Behörde, die eine Frist ansetzt, gleichzeitig die Folgen der Versäumnis androhen. Das blosse In-Aussicht-Stellen oder Androhen einer Verfügung erzeugt keine Rechtswirkung und stellt damit noch keine Verfügung dar (FELIX UHLMANN, in: Praxiskommentar Verwaltungsverfahrensgesetz, 2. Aufl. 2016, N. 99 zu <ref-law>). Entgegen den Ausführungen des Beschwerdeführers gilt zudem die Regelung eines Rechtsverhältnisses im Einzelfall und nicht eine allfällige Beeinträchtigung der Rechtsstellung des Adressaten als Strukturmerkmal einer Verfügung (Urteil 2C_167/2016 vom 17. März 2017 E. 3.3.3). Das Kriterium der Erzwingbarkeit ist sodann noch nicht erfüllt, wenn eine Anordnung zwar eine bestimmte Pflicht hinreichend konkret vorschreibt, deren Nichterfüllung aber nur mit Rechtsnachteilen belegt (UHLMANN, a.a.O., N. 130 zu <ref-law>).
3.4.2. Zugelassene natürliche Personen müssen der Aufsichtsbehörde alle Auskünfte erteilen und Unterlagen herausgeben, die diese für die Erfüllung ihrer Aufgaben benötigt (<ref-law>). Wie das Bundesgericht im erwähnten Urteil 2C_167/2016 in E. 3.4 bereits ausführlich dargelegt hat, benötigt die RAB die von ihr ersuchten Auskünfte und Unterlagen dafür, das Vorliegen der Zulassungsvoraussetzungen beim Beschwerdeführer zu überprüfen, zumal aufgrund zweier Schreiben eines Dritten der Verdacht auf Verletzung von Unabhängigkeitsbestimmungen und von Sorgfaltspflichten aufgekommen ist und damit die einwandfreie Prüftätigkeit in Frage stehen könnte und gegebenenfalls Massnahmen zu ergreifen wären. Es ist - entgegen der Ansicht des Beschwerdeführers - die Aufgabe und Pflicht der RAB, einem solchen Verdacht nachzugehen. Mit der Aufforderung zur Mitwirkung und zur Auskunftserteilung hat die RAB den Beschwerdeführer somit zu dem angehalten, was ohnehin von Gesetzes wegen gilt. Das zu beurteilende Schreiben vom 30. Juni 2016 ist - wie schon das Schreiben vom 25. März 2015 - auch insofern nicht auf Rechtswirksamkeit ausgerichtet, weshalb es nicht als Verfügung qualifiziert werden kann (vgl. auch Urteil 2C_1097/2014 vom 6. Oktober 2015 E. 3.2). Ob es tatsächlich zu gewährsrelevanten Verstössen durch den Beschwerdeführer gekommen ist, wird somit Sache der Abklärungen der RAB sein. Dabei ist diese auf die Mitwirkung des Beschwerdeführers angewiesen. Dieser wird in diesem Rahmen die materiellen Einwände, die er teilweise bereits im vorliegenden Verfahren darlegt, einbringen können.
3.4.3. Selbst wenn hier gemäss der Argumentation des Beschwerdeführers vom Vorliegen einer anfechtbaren Zwischenverfügung ausgegangen würde, wäre eine Beschwerde dagegen nur zulässig, wenn die Zwischenverfügung einen nicht wieder gutzumachenden Nachteil bewirken kann (<ref-law>; <ref-law>). Dies ist hier indes nicht der Fall, wird doch der Beschwerdeführer alle Rechte vollumfänglich im Verfahren vor der RAB wahrnehmen und sich gegebenenfalls gegen eine ihn belastende Massnahme mit Beschwerde gegen die Endverfügung zur Wehr setzen können (vgl. erwähntes Urteil 2C_167/2016 E. 3.3.3 in fine).
3.5. Das angefochtene Schreiben vom 30. Juni 2016 begründet somit kein Rechtsverhältnis und ist nicht auf Rechtswirksamkeit ausgerichtet. Die Voraussetzungen einer Verfügung sind damit nicht erfüllt. Die Vorinstanz ist zu Recht nicht vom Vorliegen einer Verfügung ausgegangen und diesbezüglich auf die bei ihr erhobene Beschwerde nicht eingetreten.
4.
4.1. Der Beschwerdeführer hatte im vorinstanzlichen Verfahren eventualiter beantragt, seine Beschwerde als Rechtsverweigerungsbeschwerde entgegenzunehmen, da er mehrfach vergeblich um Erlass einer formellen Verfügung ersucht habe. Die Vorinstanz hat dazu ausgeführt, dieses Rechtsbegehren sei mit der Endverfügung der RAB in der Hauptsache vom 31. August 2016 gegenstandslos geworden (vgl. angefochtener Entscheid E. 2.6). Der Beschwerdeführer ist dagegen der Ansicht, die Vorinstanz hätte auf seine Rechtsverweigerungsbeschwerde eintreten und dieser stattgeben müssen. Er führt im Wesentlichen aus, der Anspruch auf eine Rechtsverweigerungsbeschwerde bliebe "toter Buchstabe", wenn die Behörde sie beliebig durch Erlass einer Endverfügung "gezielt abwürgen" könnte.
4.2. Auch in Bezug auf die geltend gemachte Rechtsverweigerung kann der Auffassung des Beschwerdeführers nicht gefolgt werden.
4.2.1. Wird eine verfassungsmässige Rechtsverweigerung bzw. Rechtsverzögerung (<ref-law>) geltend gemacht, so entfällt praxisgemäss das aktuelle, rechtlich geschützte Interesse an der Behandlung dieser Rüge mit Ausfällung des ausstehenden Entscheids durch die zuständige Behörde (Urteil 5A_349/2009 vom 23. Juni 2009 E. 2.5; <ref-ruling> E. 1 S. 374; <ref-ruling> E. 5b S. 90).
Ergeht die Sachverfügung noch während der Rechtshängigkeit der Rechtsverweigerungs- oder Rechtsverzögerungsbeschwerde, wird das Verfahren wegen Gegenstandslosigkeit abgeschrieben (MARKUS MÜLLER, in: Kommentar zum Bundesgesetz über das Verwaltungsverfahren, 2008, N. 12 zu <ref-law>; MOSER/BEUSCH/KNEUBÜHLER, Prozessieren vor dem Bundesverwaltungsgericht, 2. Aufl. 2013, N. 5.31).
4.2.2. Die Vorinstanz hat hier verbindlich festgestellt, dass die RAB mit Endverfügung vom 31. August 2016 in der Sache materiell entschieden und dem Beschwerdeführer die Zulassung als Revisionsexperte entzogen hat (vgl. Sachverhalt lit. C.b). Damit wird sich das Bundesverwaltungsgericht in dem offenbar bei ihm hängigen Beschwerdeverfahren gegen diese Endverfügung mit den vom Beschwerdeführer aufgeworfenen Fragen (insbesondere Berufung auf Revisionsgeheimnis) zu befassen haben.
4.2.3. Daraus folgt im Ergebnis, dass das Bundesverwaltungsgericht die Rechtsverweigerungsbeschwerde wegen Gegenstandslosigkeit abschreiben durfte.
5.
Nach dem Gesagten erweist sich die Beschwerde als unbegründet und ist abzuweisen. Die Gerichtskosten werden dem unterliegenden Beschwerdeführer auferlegt (<ref-law>). Der RAB ist keine Parteientschädigung auszurichten (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Auf die subsidiäre Verfassungsbeschwerde wird nicht eingetreten.
2.
Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten wird abgewiesen.
3.
Die Gerichtskosten von Fr. 2'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
4.
Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten, dem Bundesverwaltungsgericht, Abteilung II, und dem Eidgenössischen Justiz- und Polizeidepartement schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 14. September 2017
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Seiler
Der Gerichtsschreiber: Winiger