Sachverhalt:
A.
A.C._, D.F._ und G._ erstatteten am 17. Februar 2012 teilweise gemeinsam, teilweise getrennt Strafanzeige gegen zahlreiche Personen wegen diverser Delikte. Sie machten unter anderem geltend, B.C._ und E.F._ hätten sich der Verleumdung bzw. üblen Nachrede schuldig gemacht. Die diesbezüglich als Staatsanwaltschaft amtende Jugendanwaltschaft des Kantons Basel-Stadt (nachfolgend: Staatsanwaltschaft oder Beschwerdegegnerin 1) stellte die Verfahren gegen B.C._ und E.F._ am 14. Mai 2014 ein.
Das Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt wies die gegen die Einstellungsverfügungen gerichteten Beschwerden von A.C._, D.F._ und G._ am 22. Mai 2015 ab.
B.
A.C._, D.F._ und G._ beantragen mit Beschwerde in Strafsachen vom 14. September 2015, der appellationsgerichtliche Entscheid sei aufzuheben und die Staatsanwaltschaft anzuweisen, die Verfahren unverzüglich wieder an die Hand zu nehmen. Es sei festzustellen, dass es im vorliegenden Strafverfahren zu einer Rechtsverweigerung und einer Rechtsverzögerung gekommen sei. Eventualiter sei der vorinstanzliche Entscheid aufzuheben und zur Begründung an die Vorinstanz zurückzuweisen.
C.
Das Appellationsgericht und die Staatsanwaltschaft des Kantons Basel-Stadt wurden zur Vernehmlassung, beschränkt auf die Rüge der Rechtsverweigerung bzw. Rechtsverzögerung, eingeladen. Das Appellationsgericht beantragt unter Verzicht auf eine Stellungnahme, die Beschwerde sei abzuweisen. Die Staatsanwaltschaft lässt sich vernehmen, ohne einen Antrag zu stellen. A.C._, D.F._ und G._ halten in ihrer Replik an ihrer Auffassung fest.

Erwägungen:
1.
Gemäss <ref-law> ist zur Beschwerde in Strafsachen berechtigt, wer ein rechtlich geschütztes Interesse an der Aufhebung des angefochtenen Entscheids hat. Das Bundesgericht hat zur früheren eidgenössischen Nichtigkeitsbeschwerde entschieden, dass ein rechtlich geschütztes Interesse an der materiellen Überprüfung des letztinstanzlichen kantonalen Entscheids entfällt, wenn eine Änderung im angefochtenen Strafpunkt nicht mehr erfolgen kann. Eine solche Änderung ist ausgeschlossen, wo eine Verurteilung infolge Verjährung nicht mehr möglich ist (<ref-ruling> E. 2a S. 81 f. mit Hinweisen). Der Eintritt der absoluten Verfolgungsverjährung nach Ausfällung des freisprechenden letztinstanzlichen Urteils bewirkte deshalb im Verfahren der eidgenössischen Nichtigkeitsbeschwerde, dass mangels eines rechtlich geschützten Interesses auf die Beschwerde nicht eingetreten werden konnte (<ref-ruling> E. 2b S. 82 mit Hinweis). Gemäss Urteil 6B_301/2009 vom 17. Juli 2009 behält diese Rechtsprechung ihre Gültigkeit für das seit dem 1. Januar 2007 in Kraft getretene Bundesgerichtsgesetz (BGG) und für die Beschwerde in Strafsachen (E. 1.4). Mit <ref-ruling> entschied das Bundesgericht, dass die Verjährung neu sowohl nach verurteilenden als auch nach freisprechenden erstinstanzlichen Urteilen nicht mehr eintritt (E. 1.5 S. 70 ff.). Damit ist die dargelegte Rechtsprechung, wonach bei Eintritt der Verfolgungsverjährung mangels rechtlich geschützten Interesses auf das vor Bundesgericht erhobene Rechtsmittel nicht eingetreten werden kann, für diese Fälle nicht mehr weiter relevant. Demgegenüber gilt sie weiterhin sinngemäss für letztinstanzliche kantonale Entscheide, in welchen die Zulässigkeit von Nichtanhandnahmen oder Einstellungen von Strafverfahren beurteilt wird. In diesen Fällen liegt kein Urteil vor, welches die Verfolgungsverjährung beenden würde (vgl. Urteil 6B_614/2015 vom 14. März 2016 E. 2.2.2 i.f.). Tritt im angefochtenen Punkt die Verjährung nach der Ausfällung des angefochtenen kantonalen Entscheids ein, fehlt ein rechtlich geschütztes Interesse zur Beschwerde in Strafsachen.
Die Verfolgung der Vergehen gegen die Ehre verjährt in vier Jahren (<ref-law>). Aus der Strafanzeige vom 17. Februar 2012 ergibt sich nicht eindeutig, wann sich die Beschwerdegegner 2 und 3 über die Beschwerdeführerinnen ehrverletzend geäussert haben sollen. Da darin jedoch nur Vorkommnisse bis Ende Dezember 2011 umschrieben werden, müssen auch die angeblich ehrverletzenden Äusserungen zu dieser Zeit erfolgt sein. Die Beschwerdegegnerin 1 geht diesbezüglich vom 19. Dezember 2011 aus. Jedenfalls sind die angezeigten Ehrverletzungsdelikte spätestens Ende Dezember 2015 verjährt. Da die Verjährung in jedem Verfahrensstadium von Amtes wegen zu berücksichtigen ist (<ref-ruling> E. 2a S. 81) und eine Verurteilung der Beschwerdegegner 2 sowie 3 nicht mehr in Betracht kommt, ist auf die Beschwerde insoweit nicht einzutreten, als die Beschwerdeführerinnen die Aufhebung des vorinstanzlichen Entscheids und die Rückweisung des Verfahrens an die Staatsanwaltschaft beantragen.
2.
2.1. Unbekümmert um die fehlende Legitimation in der Sache selbst kann die angeblich von einer Straftat betroffene Person die Verletzung von ihr zustehenden Verfahrensrechten geltend machen, deren Missachtung eine formelle Rechtsverweigerung darstellt bzw. darauf hinausläuft. Das zur Beschwerdelegitimation gemäss <ref-law> erforderliche rechtlich geschützte Interesse ergibt sich in diesem Fall aus der Berechtigung, am Verfahren teilzunehmen. Zulässig sind dabei nur Rügen formeller Natur, die von der Prüfung der Sache getrennt werden können. Nicht zu hören sind Rügen, die im Ergebnis auf eine materielle Überprüfung des angefochtenen Entscheids abzielen (<ref-ruling> E. 1.1 S. 5; <ref-ruling> E. 2 S. 250; <ref-ruling> E. 1.4 S. 44).
2.2. Die Rüge, die Vorinstanz verletze ihre Begründungspflicht bzw. den Anspruch auf rechtliches Gehör der Beschwerdeführerinnen, zielt auf die Überprüfung der Sache selbst ab. Dara uf ist nicht einzutreten.
2.3. Ebenfalls nicht einzutreten ist auf die von den Beschwerdeführerinnen erstmals in ihrer Replik erhobenen Rügen, die Beschwerdegegnerin 1 habe die Verfahren willkürlich zerstückelt und die Aktenführungspflicht gemäss <ref-law> verletzt (vgl. <ref-law>).
2.4. An der Sache vorbei geht der Einwand, die Vorinstanz verletze <ref-law> (SR 312.1), wenn sie die Zuständigkeit des Jugendanwalts für das Verfahren gegen den Beschwerdegegner 2 hierauf stütze. Da sowohl der Beschwerdegegner 2 als auch die Beschwerdegegnerin 3 im Zeitpunkt der angeblichen Ehrverletzungsdelikte volljährig waren, amtete der Jugendanwalt in diesen Verfahren stets als Staatsanwalt (vgl. Einstellungsverfügungen vom 14. Mai 2014), womit die Jugendstrafprozessordnung vorliegend nicht zur Anwendung gelangt (<ref-law> i.V.m. <ref-law> [SR 311.1] e contrario). Ferner übersehen die Beschwerdeführerinnen, dass gemäss § 23 Abs. 6 der Verordnung des Kantons Basel-Stadt vom 22. November 2011 über die Zusammensetzung, Organisation und Befugnisse der Staatsanwaltschaft (SG 257.120) Strafverfahren gegen Erwachsene nach Absprache zwischen den Abteilungen auch durch die Jugendanwaltschaft geführt werden können. In solchen Fällen kommt den Jugendanwältinnen und Jugendanwälten die Stellung von Staatsanwältinnen und Staatsanwälten zu.
2.5. Obwohl die Beschwerdegegnerin 1 und die Vorinstanz mittlerweile entschieden haben und das Verfahren abgeschlossen ist, haben die Beschwerdeführerinnen ein schutzwürdiges Interesse an der Behandlung der Beschwerde betreffend die gerügte Missachtung des Rechtsverzögerungs- und Rechtsverweigerungsverbots nach <ref-law> und Art. 6 Ziff. 1 EMRK (vgl. Urteile 6B_6 65/2012 vom 3. Februar 2014 E. 1.2; 1C_439/2011 vom 25. Mai 2012 E. 2.1, nicht publ. in: <ref-ruling>; je mit Hinweis).
Die dem zu beurteilenden Fall zugrunde liegende Strafanzeige datiert vom 17. Februar 2012. Erledigt wurden die Strafverfahren durch zwei Einstellungsverfügungen vom 14. Mai 2014, mithin rund zwei Jahre und drei Monate später. Die Vorinstanz weist zutreffend darauf hin, dass die angeblichen Ehrverletzungen eng mit den übrigen von den Beschwerdeführerinnen zur Anzeige gebrachten Taten zusammenhängen. Jedoch hat das Bundesgericht bereits in zwei Verfahren, die einen Teil der weiteren Delikte betrafen, festgestellt, dass sich nicht nur einige Perioden ergeben, in denen die Beschwerdegegnerin 1 ohne namhafte Gründe Zeit verstreichen liess, sondern auch die Verfahrensdauer von über zwei Jahren schlechthin nicht angemessen ist. Die Erwägungen des Bundesgerichts zur gerügten Rechtsverzögerung in den vorgenannten Verfahren treffen auch auf den vorliegend zu beurteilenden Fall zu, weshalb darauf verwiesen werden kann (vgl. Urteil 6B_411/2015 und 6B_412/2015 vom 9. September 2015 E. 3.3 f.; zu einem anderen Ergebnis gelangte das Bundesgericht in den Urteilen 1B_322/2015 vom 4. März 2016 E. 5 und 6B_716/2015 vom 17. November 2015 E. 6). Es ist daher festzustellen, dass das Beschleunigungsgebot im kantonalen Verfahren verletzt wurde. Inwiefern eine Rechtsverweigerung vorliegen soll, begründen die Beschwerdeführerinnen nicht substanziiert, weshalb in diesem Punkt auf die Beschwerde nicht einzutreten ist (vgl. Art. 42 Abs. 2 und Art. 106 Abs. 2 BGG).
Mit der Feststellung der Verletzung des Beschleunigungsgebots im Urteilsdispositiv und dem Verzicht auf eine Kostenauflage wird den Beschwerdeführerinnen eine hinreichende Genugtuung für die erlittene Rechtsverletzung verschafft (vgl. <ref-ruling> E. 3.2.3 S. 98, 118 E. 2.2 S. 121; <ref-ruling> E. 2.3 S. 278; Urteil 6B_665/2012 vom 3. Februar 2014 E. 2.5; je mit Hinweisen).
3.
Die Beschwerde ist gutzuheissen, soweit darauf eingetreten werden kann. Es ist festzustellen, dass das Beschleunigungsgebot (<ref-law>, <ref-law>, Art. 6 Ziff. 1 EMRK) im kantonalen Verfahren verletzt wurde.
Da auf die Beschwerde im Hauptpunkt nicht eingetreten werden kann, hätten die Beschwerdeführerinnen grundsätzlich einen Teil der Gerichtskosten zu tragen und wären vom Kanton Basel-Stadt nur reduziert zu entschädigen (vgl. Art. 66 Abs. 1 und Art. 68 Abs. 1 und 2 BGG). Unter den gegebenen Umständen rechtfertigt es sich jedoch, keine Kosten zu erheben (<ref-law>). Der Kanton Basel-Stadt hat den Beschwerdeführerinnen für das bundesgerichtliche Verfahren eine angemessene Parteientschädigung auszurichten (Art. 68 Abs. 1 und 2 BGG).
Die Vorinstanz hätte die Verletzung des Beschleunigungsgebots bejahen müssen, was sich auf ihren Kosten- und Entschädigungsentscheid hätte auswirken können. Jedoch hätten die Beschwerdeführerinnen vor Vorinstanz nur in einem Nebenpunkt obsiegt, da es im vorinstanzlichen Verfahren hauptsächlich um den Entscheid in der Sache ging. Folglich hätte sich der vorinstanzliche Kosten- und Entschädigungsentscheid nur marginal verändert, weshalb es genügt, wenn im bundesgerichtlichen Verfahren gänzlich von Verfahrenskosten abgesehen und eine volle Entschädigung ausbezahlt wird. Auf die Rückweisung der Akten an die Vorinstanz zur Neuregelung der vorinstanzlichen Kosten- und Entschädigungsfolgen kann damit verzichtet werden.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird gutgeheissen, soweit darauf einzutreten ist. Es wird festgestellt, dass das Beschleunigungsgebot (<ref-law>, <ref-law>, Art. 6 Ziff. 1 EMRK) im kantonalen Verfahren verletzt wurde.
2.
Es werden keine Kosten erhoben.
3.
Der Kanton Basel-Stadt hat den Beschwerdeführerinnen für das bundesgerichtliche Verfahren eine Parteientschädigung von Fr. 3'000.-- auszurichten.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt, Einzelgericht, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 2. Mai 2016
Im Namen der Strafrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Denys
Die Gerichtsschreiberin: Andres