Erwägungen:
1.
A._ reichte mit Eingaben vom 3. Januar 2015 bei verschiedenen Behörden des Kantons St. Gallen eine Strafanzeige "gegen die Kantonspolizei St. Gallen" ein. Die Strafanzeige bezog sich auf einen Polizeieinsatz vom 21. Dezember 2014 in der Bahnhofunterführung in Wil. Die Anklagekammer des Kantons St. Gallen erteilte mit Entscheid vom 10. März 2015 keine Ermächtigung zur Eröffnung eines Strafverfahrens.
2.
Mit inhaltlich gleichlautenden Eingaben vom 21. Mai 2016 an wiederum verschiedene Behörden des Kantons St. Gallen erstattete A._ erneut Strafanzeige "gegen die Kantonspolizei St. Gallen" aufgrund des Polizeieinsatzes vom 21. Dezember 2014. Ausserdem erhob er Strafanzeige "gegen die Staatsanwaltschaft des Kantons St. Gallen" wegen der "Ersatzfreiheitsstrafe vom 15. Juni 2016". Das Untersuchungsamt Gossau leitete am 10. Juni 2016 die Strafanzeige zwecks Durchführung eines Ermächtigungsverfahrens an die Anklagekammer des Kantons St. Gallen weiter. Mit Entscheid vom 20. Juli 2016 erteilte die Anklagekammer keine Ermächtigung zur Eröffnung eines Strafverfahrens, soweit sie auf die Strafanzeige eintrat. Zur Begründung führte die Anklagekammer zusammenfassend aus, dass die Vorwürfe gegenüber der Kantonspolizei St. Gallen bereits mit Entscheid der Anklagekammer vom 10. März 2015 beurteilt wurden. Neue Tatsachen oder Beweismittel seien keine vorgebracht worden. Insoweit sei deshalb auf die Strafanzeige vom 21. Mai 2016 nicht einzutreten. Hinsichtlich des angeblich strafbaren Verhaltens aufgrund einer "Ersatzfreiheitsstrafe vom 15. Juni 2016" seien die minimalen Begründungsanforderungen nicht ansatzweise erfüllt. Gestützt auf die vorliegenden Akten sowie die teilweise nur schwer nachvollziehbaren Ausführungen des Anzeigers seien keine Anhaltspunkte für ein strafrechtlich allenfalls relevantes Verhalten der Mitarbeiter der Staatsanwaltschaft oder weiterer Personen ersichtlich. Die Voraussetzungen für die Erteilung der Ermächtigung seien klar nicht gegeben.
3.
A._ führt mit Eingaben vom 26. und 30. September 2016 Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten gegen den Entscheid der Anklagekammer des Kantons St. Gallen. Das Bundesgericht hat davon abgesehen, Stellungnahmen zur Beschwerde einzuholen.
4.
Nach Art. 42 Abs. 2 BGG ist in der Begründung einer Beschwerde in gedrängter Form darzulegen, inwiefern der angefochtene Entscheid Recht verletzt. Die Bestimmungen von Art. 95 ff. BGG nennen die vor Bundesgericht zulässigen Beschwerdegründe. Hinsichtlich der Verletzung von Grundrechten gilt der in Art. 106 Abs. 1 BGG verankerte Grundsatz der Rechtsanwendung von Amtes wegen nicht; insofern besteht eine qualifizierte Rügepflicht (Art. 106 Abs. 2 BGG; <ref-ruling> E. 1.4.1 S. 53, 65 E. 1.3.1 S. 68 mit Hinweisen). Es obliegt dem Beschwerdeführer namentlich darzulegen, inwiefern der angefochtene Entscheid gegen die gerügten Grundrechte verstossen soll.
Der Beschwerdeführer setzt sich mit der Begründung der Anklagekammer, die zur Verweigerung der Ermächtigung führte, nicht auseinander. Aus seinen weitschweifigen Ausführungen ergibt sich nicht, inwiefern die Begründung des angefochtenen Entscheids bzw. der Entscheid im Ergebnis selbst rechts- bzw. verfassungswidrig sein soll. Mangels einer genügenden Begründung im Sinne von Art. 42 Abs. 2 BGG ist daher auf die Beschwerde nicht einzutreten. Der Begründungsmangel ist offensichtlich, weshalb über die Beschwerde im vereinfachten Verfahren nach Art. 108 Abs. 1 BGG entschieden werden kann.
5.
Auf eine Kostenauflage kann verzichtet werden (Art. 66 Abs. 1 BGG).

Demnach erkennt das präsidierende Mitglied:
1.
Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2.
Es werden keine Kosten erhoben.
3.
Dieses Urteil wird den Parteien, der Staatsanwaltschaft des Kantons St. Gallen, Untersuchungsamt Gossau, und der Anklagekammer des Kantons St. Gallen schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 7. Oktober 2016
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Das präsidierende Mitglied: Merkli
Der Gerichtsschreiber: Pfäffli