Sachverhalt:
A.
Am 17. Februar 2016 klagte das Handelsregisteramt des Kantons Zürich (Kläger, Beschwerdegegner) beim Handelsgericht des Kantons Zürich gegen die A._ AG, Zürich, (Beklagte, Beschwerdeführerin) mit dem Rechtsbegehren, es seien gestützt auf Art. 941a Abs. 1 i.V.m. <ref-law> infolge Mängeln in der gesetzlich zwingend vorgeschriebenen Organisation der Gesellschaft die erforderlichen Massnahmen zu ergreifen; dies unter Kosten- und Entschädigungsfolge. Die Beklagte verfügte in jenem Zeitpunkt über keinen Verwaltungsrat.
B.
In der Folge liess die Beklagte ein neues (einziges) Mitglied des Verwaltungsrats mit Einzelunterschrift im Handelsregister eintragen; die Eintragung erfolgte am 29. März 2016.
Nach dieser Mangelbehebung schrieb das Handelsgericht des Kantons Zürich das Verfahren mit Verfügung vom 21. April 2016 zufolge Gegenstandslosigkeit ab (Dispositiv-Ziffer 1). Es setzte die Gerichtskosten auf Fr. 2'200.-- fest (Dispositiv-Ziffer 2) und auferlegte sie der Beklagten (Dispositiv-Ziffer 3). Zudem verpflichtete es die Beklagte, dem Kläger eine Umtriebsentschädigung von Fr. 300.-- zu bezahlen (Dispositiv-Ziffer 4).
C.
Mit Beschwerde in Zivilsachen und subsidiärer Verfassungsbeschwerde beantragt die Beklagte dem Bundesgericht, es seien Dispositiv-Ziffern 2, 3 und 4 des Entscheids des Handelsgerichts des Kantons Zürich vom 21. April 2016 aufzuheben und es seien ihr weder die vorinstanzlichen Gerichtskosten noch die Umtriebsentschädigung aufzuerlegen.
Der Beschwerdegegner beantragt sinngemäss die Abweisung der Beschwerde. Die Vorinstanz hat auf eine Vernehmlassung verzichtet.

Erwägungen:
1.
Das Bundesgericht prüft von Amtes wegen und mit freier Kognition, ob ein Rechtsmittel zulässig ist (<ref-law>; <ref-ruling> E. 2 S. 59; <ref-ruling> E. 1 S. 133; je mit Hinweisen).
1.1. Bei der angefochtenen Verfügung vom 21. April 2016 handelt es sich um einen Endentscheid im Sinne von <ref-law>. Für Beschwerden in Zivilsachen gegen Urteile kantonaler Handelsgerichte besteht kein Streitwerterfordernis (<ref-law> i.V.m. <ref-law> [SR 272]; <ref-ruling> E. 1.2 S. 69).
Da auch die übrigen Sachurteilsvoraussetzungen erfüllt sind, ist - unter Vorbehalt einer hinreichenden Begründung (Art. 42 Abs. 2 und <ref-law>) - auf die Beschwerde in Zivilsachen einzutreten. Die ebenfalls erhobene subsidiäre Verfassungsbeschwerde ist demnach unzulässig (<ref-law>).
1.2. Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (<ref-law>). Es ist somit weder an die in der Beschwerde geltend gemachten Argumente noch an die Erwägungen der Vorinstanz gebunden; es kann eine Beschwerde aus einem anderen als dem angerufenen Grund gutheissen oder eine Beschwerde mit einer von der Argumentation der Vorinstanz abweichenden Begründung abweisen. Mit Blick auf die Begründungspflicht der beschwerdeführenden Partei (Art. 42 Abs. 1 und 2 BGG) behandelt es aber grundsätzlich nur die geltend gemachten Rügen, sofern die rechtlichen Mängel nicht geradezu offensichtlich sind; es ist jedenfalls nicht gehalten, wie eine erstinstanzliche Behörde alle sich stellenden rechtlichen Fragen zu untersuchen, wenn diese vor Bundesgericht nicht mehr vorgetragen werden (<ref-ruling> E. 2 S. 116; <ref-ruling> E. 1.3; <ref-ruling> E. 1.4). Eine qualifizierte Rügepflicht gilt hinsichtlich der Verletzung von Grundrechten und von kantonalem und interkantonalem Recht. Das Bundesgericht prüft eine solche Rüge nur insofern, als sie in der Beschwerde präzise vorgebracht und begründet worden ist (<ref-law>).
1.3. Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (<ref-law>). Dazu gehören sowohl die Feststellungen über den streitgegenständlichen Lebenssachverhalt als auch jene über den Ablauf des vor- und erstinstanzlichen Verfahrens, also die Feststellungen über den Prozesssachverhalt (<ref-ruling> E. 1.3.1 mit Hinweisen). Es kann die Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz nur berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruht (<ref-law>). "Offensichtlich unrichtig" bedeutet dabei "willkürlich" (<ref-ruling> E. 2 S. 117; <ref-ruling> E. 1.5). Überdies muss die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein können (<ref-law>).
Für eine Kritik am festgestellten Sachverhalt gilt das strenge Rügeprinzip von <ref-law> (<ref-ruling> E. 2.3 S. 266 mit Hinweisen). Die Partei, welche die Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz anfechten will, muss klar und substanziiert aufzeigen, inwiefern diese Voraussetzungen erfüllt sein sollen (<ref-ruling> E. 1.3.1 S. 18 mit Hinweisen). Wenn sie den Sachverhalt ergänzen will, hat sie zudem mit präzisen Aktenhinweisen darzulegen, dass sie entsprechende rechtsrelevante Tatsachen und taugliche Beweismittel bereits bei den Vorinstanzen prozesskonform eingebracht hat (<ref-ruling> E. 2 S. 90). Genügt die Kritik diesen Anforderungen nicht, können Vorbringen mit Bezug auf einen Sachverhalt, der vom angefochtenen Entscheid abweicht, nicht berücksichtigt werden (<ref-ruling> E. 1.3.1 S. 18).
1.4. Nicht einzutreten ist auf die Beschwerde, soweit die Beschwerdeführerin darin in frei gehaltenen Ausführungen ihre Sicht der Dinge hinsichtlich des Verhaltens des Beschwerdegegners vor Einleitung des vorinstanzlichen Verfahrens schildert und ihm gestützt darauf nunmehr Rechtsverweigerung, eine Verletzung des Grundsatzes von Treu und Glauben, Willkür in der Gewährung von Fristerstreckungen und eine Verletzung des Grundsatzes der Verhältnismässigkeit vorwirft, ohne in Auseinandersetzung mit den konkreten Erwägungen des angefochtenen Entscheids aufzuzeigen, inwiefern der Vorinstanz eine Verletzung von Bundesrecht vorzuwerfen wäre.
2.
Die Beschwerdeführerin rügt eine Verletzung des rechtlichen Gehörs (<ref-law>).
2.1. Die Vorinstanz erwog unter Hinweis auf <ref-law>, die Prozesskosten seien nach Ermessen zu verteilen. In der Regel seien bei Gegenstandslosigkeit infolge Behebung des Mangels die Kosten der Beklagten aufzuerlegen, weil sie die Ursache für die Einleitung des Verfahrens gesetzt habe; deshalb habe sie grundsätzlich die Gerichtskosten zu tragen und in Anwendung von <ref-law> eine Umtriebsentschädigung zu entrichten. Die Vorinstanz berücksichtigte in der Folge den Antrag der Beschwerdeführerin, ihr seien keine Kosten aufzuerlegen und es sei ihr eine Umtriebsentschädigung zuzusprechen. Dabei hielt sie fest, der frühere - einzige - Verwaltungsrat der Gesellschaft sei am 10. Juli 2015 plötzlich verstorben, was im Zusammenhang mit der Behebung des dadurch ohne Fehlverhalten eines Organs entstandenen Organisationsmangels Schwierigkeiten bei der Mangelbehebung verursachen könne. Die Erbinnen des Verstorbenen hätten das Erbe bis Ende November 2015 ausschlagen können; sie hätten es in der Folge nicht ausgeschlagen. Unter dem 4. Dezember 2015 habe der Beschwerdegegner die gesetzliche Frist von 30 Tagen zur Mangelbehebung angesetzt. Auf Gesuch hin habe das Amt die Frist bis 6. Februar 2016 erstreckt, dies mit der Anmerkung, man erwarte bis dann die Eintragungsunterlagen. Mit Eingabe vom 7. Februar 2016 habe die Erbengemeinschaft des Verstorbenen dem Beschwerdegegner beantragt, die Beschwerdeführerin sei im Sinne von <ref-law> und Art. 155 der Handelsregisterverordnung vom 17. Oktober 2007 (HRegV; SR 221.411) zu löschen. Das Amt habe am 15. Februar 2016 mitgeteilt, dass dies nicht möglich sei.
Die Vorinstanz führte weiter aus, das Gewähren einer Fristerstreckung stelle zwar ein begrüssenswertes, aber grosses Entgegenkommen des Handelsregisteramts dar. Die Frist von 30 Tagen (<ref-law>) sei eine gesetzliche Frist und damit nicht erstreckbar. Eine gewährte Fristerstreckung müsse deshalb untechnisch verstanden werden, im Sinne eines Zuwartens mit der Klage wegen besonderer Umstände und - was das Gericht begrüsse - zur Vermeidung von Kosten. Die Beschwerdeführerin habe den Mangel innert Frist nicht behoben. Sie habe den Fristablauf auch nicht durch einen Antrag auf völlig anderer Grundlage verhindern oder verzögern können. Dabei könne dahingestellt bleiben, ob das Gesuch auf Löschung der Beklagten hätte behandelt werden müssen. In der Literatur werde die Auffassung vertreten, die ordentlichen Auflösungsvorschriften dürften nicht umgangen werden, weshalb für eine Löschung von Amtes wegen nach <ref-law> schlüssige Unterlagen wie beispielsweise Verlustscheine vorliegen müssten (mit Hinweis auf DAVID RÜETSCHI, in: Rino Siffert/Nicolas Turin [Hrsg.], Kommentar zur Handelsregisterverordnung, 2013, N. 8 zu <ref-law>). Die Klageeinleitung, so die Vorinstanz, sei nach Fristablauf pflichtgemäss erfolgt. Daran ändere auch nichts, dass nach Fristablauf nochmals ein Erstreckungsgesuch gestellt worden sei. Damit müsse es hinsichtlich der Prozesskosten bei den Regelfolgen bei Abschreibung des Verfahrens nach Mangelbehebung bleiben.
2.2. Der Anspruch auf rechtliches Gehör (<ref-law>) verlangt, dass das Gericht die Vorbringen des vom Entscheid in seiner Rechtsstellung Betroffenen auch tatsächlich hört, prüft und in der Entscheidfindung berücksichtigt (<ref-ruling> E. 4.1 S. 88 mit Hinweisen). Damit sich die Parteien ein Bild über die Erwägungen des Gerichts machen können, ist sein Entscheid zu begründen. Die Begründung muss kurz die Überlegungen nennen, von denen sich das Gericht hat leiten lassen und auf die sich sein Entscheid stützt. Nicht erforderlich ist hingegen, dass sich der Entscheid mit allen Parteistandpunkten einlässlich auseinandersetzt und jedes einzelne Vorbringen ausdrücklich widerlegt. Es genügt, wenn der Entscheid gegebenenfalls sachgerecht angefochten werden kann (<ref-ruling> E. 2.2.1 S. 188; <ref-ruling> E. 3.3 S. 445; je mit Hinweisen; vgl. auch <ref-ruling> E. 3.2.4 S. 41; <ref-ruling> E. 6.2 S. 274).
Der angefochtene Entscheid genügt diesen Anforderungen. Die Beschwerdeführerin vermag mit ihren Ausführungen nicht aufzuzeigen, inwiefern ihr die vorinstanzliche Begründung eine sachgerechte Anfechtung verunmöglicht hätte. Sie zeigt ausserdem keine Gehörsverletzung auf, indem sie ohne konkrete Angaben behauptet, die Vorinstanz habe sich "[m]it den wesentlichen von [ihr] geltend gemachten Argumenten [...] gar nicht befasst".
Der Vorwurf der Gehörsverletzung ist unbegründet.
3.
Die Beschwerdeführerin wirft der Vorinstanz eine rechtswidrige Ausübung des Ermessens nach <ref-law> vor. Demgegenüber stellt sie nicht in Frage, dass die Voraussetzungen für eine Umtriebsentschädigung nach <ref-law> gegeben sind; deshalb wird darauf nicht weiter eingegangen, obwohl an sich fraglich ist, ob gestützt auf diese Bestimmung auch einem Amt für seine amtliche Tätigkeit eine Umtriebsentschädigung zugesprochen werden kann. Ebenso wenig beanstandet die Beschwerdeführerin die Höhe der festgesetzten Prozesskosten.
3.1. Das Gericht kann nach <ref-law> von den Verteilungsgrundsätzen gemäss <ref-law> abweichen und die Prozesskosten nach Ermessen verteilen, wenn das Verfahren als gegenstandslos abgeschrieben wird (<ref-law>) und das Gesetz nichts anderes vorsieht. Dabei ist etwa zu berücksichtigen, welche Partei Anlass zur Klage gegeben hat, welches der mutmassliche Prozessausgang gewesen wäre und bei welcher Partei die Gründe eingetreten sind, die dazu geführt haben, dass das Verfahren gegenstandslos wurde (Urteile 4A_346/2015 vom 16. Dezember 2015 E. 5; 5A_885/2014 vom 19. März 2015 E. 2.4; Botschaft vom 28. Juni 2006 zur Schweizerischen Zivilprozessordnung, BBl 2006 S. 7297).
Ermessensentscheide prüft das Bundesgericht mit Zurückhaltung. Es schreitet nur ein, wenn die Vorinstanz grundlos von in Lehre und Rechtsprechung anerkannten Grundsätzen abgewichen ist, wenn Tatsachen berücksichtigt wurden, die keine Rolle hätten spielen dürfen, oder wenn umgekehrt Umstände ausser Betracht geblieben sind, die zwingend hätten beachtet werden müssen. In derartige Ermessensentscheide wird ferner eingegriffen, wenn sich diese als offensichtlich unbillig, als in stossender Weise ungerecht erweisen (<ref-ruling> E. 11.2; <ref-ruling> E. 2.1 S. 254, 669 E. 3.1 S. 671; je mit Hinweisen).
3.2. Die Beschwerdeführerin beanstandet zu Recht nicht, dass sich die Vorinstanz bei der Kostenverteilung auf <ref-law> gestützt hat. Ebenso wenig vermag sie einen in Lehre und Rechtsprechung anerkannten Grundsatz aufzuzeigen, von dem der angefochtene Entscheid abgewichen wäre. Entgegen ihrer Ansicht ist der Vorinstanz auch keine Ermessensunterschreitung vorzuwerfen. So wird im angefochtenen Entscheid zutreffend auf die Kriterien hingewiesen, die bei der Verteilung der Prozesskosten bei Abschreibung des Verfahrens nach Mangelbehebung zu beachten sind. Entgegen der in der Beschwerde vertretenen Ansicht trifft nicht zu, dass sich die Vorinstanz auf einen Regelsatz beschränkt hätte; vielmehr hat sie die konkreten Umstände, die von der Beschwerdeführerin ins Feld geführt wurden, bei der Beurteilung berücksichtigt.
Der Vorwurf, die Kostenverteilung sei ohne jede Prüfung des Einzelfalls erfolgt, worin eine Ermessensunterschreitung zu erblicken sei, ist unbegründet.
3.3. Die Beschwerdeführerin wirft der Vorinstanz im Weiteren zu Unrecht vor, sie habe Umstände ausser Acht gelassen, die hätten berücksichtigt werden müssen und insoweit auch den Sachverhalt unrichtig bzw. lückenhaft dargestellt. Ihre Kritik an den vorinstanzlichen Sachverhaltsfeststellungen geht schon deshalb ins Leere, weil sie nicht mit Aktenhinweisen darlegt, entsprechende rechtsrelevante Tatsachen bereits im vorinstanzlichen Verfahren prozesskonform eingebracht zu haben. Sie verkennt zudem, dass es sich bei der von ihr ins Feld geführten Löschung von Amtes wegen nach <ref-law>, die bei Rechtseinheiten ohne Geschäftstätigkeit und ohne Aktiven durch den Handelsregisterführer erfolgen kann, um ein Verfahren mit eigenen Voraussetzungen und Fristen handelt, und die Löschung unter anderem einen dreimaligen ergebnislosen Rechnungsruf voraussetzt (vgl. zum Verfahrensablauf <ref-law>). Die Vorinstanz ging zutreffend davon aus, dass die Beschwerdeführerin den Ablauf der ihr im Rahmen des laufenden Verfahrens nach <ref-law> angesetzten 30-tägigen Frist zur Behebung des Organisationsmangels (<ref-law>) nicht durch einen Antrag auf gänzlich anderer Grundlage (d.h. einen Antrag auf Löschung nach <ref-law> i.V.m. <ref-law>) habe verhindern oder verzögern können. Die Beschwerdeführerin verkennt, dass das Handelsregisteramt nach <ref-law> i.V.m. <ref-law> nicht nur befugt, sondern auch verpflichtet ist, dem Gericht bei Entdeckung von Organisationsmängeln in einer Gesellschaft den Antrag zu stellen, die erforderlichen Massnahmen (<ref-law>) zu ergreifen. Es steht ihm demnach nicht frei, ob es ein gerichtliches Organisationsmängelverfahren einleiten will oder nicht (Urteil 4A_560/2012 vom 1. März 2013 E. 2.4). Es ist nicht einzusehen, inwiefern unter den gegebenen Umständen entgegen der Vorschrift von <ref-law>, die bei ausgebliebener Wiederherstellung des rechtmässigen Zustands innert Frist die Antragstellung an das zuständige Gericht vorsieht, mit der Klage noch weiter zuzuwarten gewesen wäre. Der Einwand der Beschwerdeführerin, mit der beantragten Löschung nach <ref-law> hätte ohne Weiteres auf ein Gerichtsverfahren verzichtet werden können, verfängt schon aufgrund des zeitlichen Ablaufs nicht.
Es erübrigt sich daher zu vertiefen, ob die Voraussetzungen für eine Löschung nach <ref-law> erfüllt gewesen wären, was die Beschwerdeführerin ausserdem nicht konkret aufzeigt. Dass bei Klageeinleitung ein Organisationsmangel vorlag, stellt sie im Übrigen nicht in Frage und zeigt auch in keiner Weise auf, weshalb sie die geforderte Handelsregisteranmeldung, die erst im vorinstanzlichen Verfahren erfolgte, nicht schon vorher hätte vornehmen können.
Entgegen der in der Beschwerde vertretenen Ansicht ist die Vorinstanz bei der Verteilung der Prozesskosten ohne Verletzung von Bundesrecht davon ausgegangen, dass die Beschwerdeführerin Anlass zur Klage gegeben habe. Es liegt kein Grund vor, in den vorinstanzlichen Ermessensentscheid nach <ref-law> einzugreifen.
4.
Die Beschwerde ist abzuweisen, soweit darauf eingetreten werden kann. Die Gerichtskosten sind bei diesem Verfahrensausgang der Beschwerdeführerin aufzuerlegen (<ref-law>). Dem Beschwerdegegner wird keine Parteientschädigung zugesprochen (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 2'000.-- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Handelsgericht des Kantons Zürich schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 26. August 2016
Im Namen der I. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Kiss
Der Gerichtsschreiber: Leemann