Faits :
A.
A.a. A._ travaillait à temps complet en qualité de jardinier au service d'une société immobilière. A ce titre, il était assuré obligatoirement contre le risque d'accident auprès de Zurich Compagnie d'Assurances SA (ci-après: la Zurich). En outre, il exerçait une activité accessoire de nettoyeur auprès d'une pharmacie. Le 25 août 1999, il a été victime d'un accident alors qu'il se rendait sur son lieu de travail à moto. Souffrant de diverses fractures au membre inférieur droit, il a subi plusieurs interventions chirurgicales, en particulier une amputation traumatique selon Burgess, située 22 cm environ sous la pointe de la rotule droite.
La Zurich a pris en charge le cas et a recueilli de nombreux renseignements d'ordre médical. En particulier, elle a confié une expertise pluridisciplinaire aux médecins du Centre d'expertise médicale (ci-après: le CEMed), lesquels ont rendu leur rapport le 21 décembre 2005. Par décision du 20 juillet (recte: juin) 2006, l'assureur-accidents a supprimé, à partir du 30 avril 2006, le droit de l'intéressé à une indemnité journalière, ainsi qu'à la prise en charge du traitement médical, sous réserve d'un programme de rééducation à la marche. En outre, il a alloué, à partir du 1 er mai 2006, une rente d'invalidité fondée sur un taux d'incapacité de gain de 14 %, ainsi qu'une indemnité pour atteinte à l'intégrité reposant sur un taux de 35 %. L'assuré a fait opposition à cette décision par écriture du 13 juillet 2006.
Le 26 octobre 2007, l'intéressé a subi une nouvelle opération consistant en une révision du moignon d'amputation de la jambe droite.
La Zurich a complété l'instruction, notamment en confiant une nouvelle expertise pluridisciplinaire au CEMed (rapport du 31 mars 2010). Par décision sur opposition du 24 octobre 2011, elle a réformé la décision querellée en ce sens qu'elle a pris en charge les frais découlant de l'intervention du 26 octobre 2007, les frais de traitement consécutifs, ainsi que les soins indispensables à la conservation de la capacité résiduelle de gain. En outre, elle a reconnu le droit de l'intéressé, en lieu et place du droit à la rente d'invalidité, à des indemnités journalières pour la période d'incapacité de travail entière du 25 octobre 2007 au 31 mars 2008. Enfin, elle a alloué à l'assuré, à compter du 1 er mai 2006 et sous réserve de la période susmentionnée, une rente d'invalidité fondée sur une incapacité de gain de 28 %.
A.b. De son côté, l'Office de l'assurance-invalidité du canton de Vaud (ci-après: OAI) a alloué à l'assuré, depuis le 1 er août 2000, une rente entière d'invalidité fondée sur un taux d'incapacité de gain de 100 % (décisions des 29 juillet et 12 septembre 2003). A l'issue d'une procédure de révision, il a rendu une décision, le 17 juin 2013, par laquelle il a supprimé cette prestation avec effet dès le premier jour du deuxième mois suivant la notification de la décision.
Cette décision a été déférée à la Cour des assurances sociales du Tribunal cantonal du canton de Vaud, laquelle a rejeté le recours par jugement du 4 janvier 2016.
Saisi d'un recours en matière de droit public contre ce jugement, le Tribunal fédéral a statué par arrêt dont la date est identique à celle du présent arrêt (cause 8C_162/2016).
B.
Par jugement du 4 janvier 2016, la Cour des assurances sociales du Tribunal cantonal du canton de Vaud a rejeté le recours formé par l'assuré contre la décision sur opposition de la Zurich du 24 octobre 2011.
C.
A._ forme un recours en matière de droit public contre ce jugement dont il demande l'annulation. Il conclut à l'octroi d'indemnités journalières correspondant à un taux d'incapacité de travail de 100 % pour la période du 1 er mai 2006 au 31 mars 2008, ainsi qu'à la prise en charge, pendant la même période, de tous les frais médicaux découlant des traitements consécutifs à l'accident du 25 août 1999. En outre, il demande le renvoi de la cause à l'intimée pour mise en oeuvre d'une expertise pluridisciplinaire afin de fixer le taux de la rente d'invalidité à laquelle il a droit. Subsidiairement, il conclut à l'octroi d'une rente d'invalidité fondée sur un taux d'incapacité de gain de 43 % dès le 1 er avril 2008, plus subsidiairement encore à partir du 1 er mai 2006, dans l'éventualité où le droit aux indemnités journalières ne lui serait pas reconnu pour la période à compter du 1 er mai 2006, le tout sous suite de frais et dépens. Par ailleurs, il requiert le bénéfice de l'assistance judiciaire et la désignation de son mandataire en qualité d'avocat d'office.
L'intimée conclut au rejet du recours sous suite de frais et dépens, tandis que la cour cantonale et l'Office fédéral de la santé publique ont renoncé à présenter des déterminations.

Considérant en droit :
1.
Le recours est dirigé contre un arrêt final (<ref-law>) rendu en matière de droit public (<ref-law>) par une autorité cantonale de dernière instance (art. 86 al. 1 let. d LTF). Il a été déposé dans le délai (<ref-law>) et la forme (<ref-law>) prévus par la loi. Il est donc recevable.
2.
Le litige porte sur la durée du droit du recourant à la prise en charge des frais de traitement et à l'indemnité journalière, ainsi que sur le taux d'invalidité imputable aux séquelles de l'accident du 25 août 1999.
Lorsque le jugement entrepris porte sur des prestations en espèces et en nature de l'assurance-accidents, le Tribunal fédéral constate avec un plein pouvoir d'examen les faits communs aux deux objets litigieux et se fonde sur ces constatations pour statuer, en droit, sur ces deux objets. En revanche, les faits qui ne seraient pertinents que pour statuer sur le droit aux prestations en nature ne sont revus que dans les limites définies par les art. 97 al. 1 et 105 al. 2 LTF (SVR 2011 UV n° 1 p. 1 [8C_584/2009] consid. 4; arrêts 8C_763/2015 du 11 juillet 2016 consid. 2; 8C_399/2014 du 22 mai 2015 consid. 2).
3.
3.1. Selon l'<ref-law>, les prestations d'assurance sont allouées en cas d'accident professionnel, d'accident non professionnel et de maladie professionnelle. Est réputée accident toute atteinte dommageable, soudaine et involontaire, portée au corps humain par une cause extérieure extraordinaire qui compromet la santé physique, mentale ou psychique ou qui entraîne la mort (<ref-law> [RS 830.1]).
L'assuré a droit au traitement médical approprié des lésions résultant de l'accident (<ref-law>). S'il est totalement ou partiellement incapable de travailler (<ref-law>), il a droit à une indemnité journalière (<ref-law>). Le droit à l'indemnité journalière naît le troisième jour qui suit celui de l'accident; il s'éteint notamment dès qu'une rente d'invalidité est versée (<ref-law>).
Si l'assuré est invalide (<ref-law>) à 10 % au moins par suite d'un accident, il a droit à une rente d'invalidité (<ref-law>, dans sa teneur - applicable en l'occurrence [cf. <ref-ruling> consid. 3.1.1 p. 220 et les arrêts cités; ch. 1 des dispositions transitoires relatives à la modification de la LAA du 25 septembre 2015] - valable jusqu'au 31 décembre 2016). Selon l'<ref-law>, le droit à la rente prend naissance dès qu'il n'y a plus lieu d'attendre de la continuation du traitement médical une sensible amélioration de l'état de l'assuré et que les éventuelles mesures de réadaptation de l'assurance-invalidité ont été menées à terme; le droit au traitement médical et aux indemnités journalières cesse dès la naissance du droit à la rente.
3.2. La cour cantonale a considéré qu'à compter du 1 er mai 2006, il n'y avait plus lieu d'attendre d'un traitement médical une sensible amélioration de l'état de santé du recourant. Elle s'est fondée pour cela sur les conclusions des experts du CEMed (rapport du 21 décembre 2005 et complément du 23 mars 2006). Ces médecins ont préconisé une amputation complémentaire mi-jambe avec une bonne mobilité du genou et un programme de rééducation à la marche afin de permettre l'économie du rachis lombaire et l'abandon de la canne à gauche, mais ils ont indiqué que les chances de succès de l'intervention dépendait de la collaboration de l'assuré. Cependant, l'intéressé étant d'avis que l'amputation complémentaire n'était pas de nature à améliorer son état, les experts ont indiqué qu'il n'y avait pas lieu d'effectuer l'intervention. Quant à l'opération chirurgicale réalisée le 26 octobre 2007 - consistant en une révision du moignon d'amputation de la jambe droite, avec résection d'un névrome affectant une branche du sciatique poplité externe -, les premiers juges ont considéré qu'elle ne permettait pas de nier la stabilisation de l'état de santé dès le 1er mai 2006. A cet égard, ils ont réfuté l'argument de l'intéressé, selon lequel cette opération - qui n'était pas celle qui avait été proposé par les experts du CEMed - ne constituait pas un fait nouveau. En outre, ils sont d'avis que cette opération n'avait pas entraîné d'amélioration en ce qui concerne les douleurs, l'assuré qualifiant même la situation de "plutôt pire". En effet, dans leur deuxième rapport d'expertise du 31 mars 2010, les médecins du CEMed ont fait état d'une situation superposable sur le plan orthopédique par rapport à l'année 2005, en ce sens qu'il n'y avait eu aucune évolution significative dans le sens d'une détérioration ou d'une amélioration.
3.3. Le recourant invoque une constatation erronée des faits pertinents, en tant que la cour cantonale a retenu que son état de santé était stabilisé dès le 1er mai 2006. Il se réfère à l'avis du docteur C._, médecin adjoint au service d'orthopédie et de traumatologie de l'appareil moteur de l'hôpital D._ (rapport du 16 février 2007), selon lequel les symptômes correspondent à un névrome de la branche principale du sciatique poplité externe de type sensitif, de sorte que le seul moyen d'apporter une amélioration éventuelle est de procéder à une exploration chirurgicale avec excisions des névromes, opération qui a été réalisée le 26 octobre 2007. Le recourant ajoute que cet avis médical a été corroboré par le docteur B._, médecin au CEMed (lettre du 28 août 2007). Le recourant infère de cela que l'assureur-accidents était tenu, au-delà du 30 avril 2006 et jusqu'au 31 mars 2008, d'allouer des indemnités journalières et de prendre en charge tous les frais médicaux pour les traitements consécutifs à l'accident du 25 août 1999.
3.4. De son côté, l'intimée fait valoir que dans la mesure où le recourant n'était pas disposé, ou du moins pas tout de suite, à se soumettre à l'opération proposée par les experts du CEMed dans leur rapport du 21 décembre 2005, c'est à juste titre qu'elle est passée au régime de la rente d'invalidité. D'ailleurs, dès que l'intéressé a accepté de se soumettre à l'intervention proposée par le docteur C._, elle a pris en charge cette intervention et ses suites (traitement médical et indemnité journalière).
3.5. En l'espèce, les avis médicaux versés au dossier ne sont pas de nature à établir - au degré de la vraisemblance prépondérante - que l'on pouvait encore attendre d'un traitement médical une sensible amélioration de l'état de santé du recourant au-delà du 30 avril 2006. En ce qui concerne l'amputation complémentaire accompagnée d'un programme de rééducation à la marche, les médecins du CEMed ont indiqué qu'elle permettrait une économie du rachis lombaire et l'abandon de la canne à gauche, mais à la condition que l'intéressé collaborât à cette mesure. Celui-ci a toutefois refusé de se soumettre à cette intervention, précisément au motif qu'elle n'était pas de nature à améliorer sa situation. Ainsi, en l'absence de collaboration de l'assuré, on ne voit pas comment l'amputation proposée aurait pu entraîner une sensible amélioration de son état de santé. Quant à la révision du moignon d'amputation, à laquelle l'intéressé a accepté de se soumettre le 26 octobre 2007, bien que le docteur C._ ait indiqué qu'elle pouvait apporter une amélioration éventuelle, les médecins du CEMed n'ont constaté aucune amélioration significative à l'issue de cette intervention. Quoi qu'il en soit, dès lors que l'intimée a pris en charge les frais découlant de cette opération, les frais de traitement consécutifs, ainsi que les soins indispensables à la conservation de la capacité résiduelle de gain et qu'elle a alloué des indemnités journalières pour la période d'incapacité de travail entière du 25 octobre 2007 au 31 mars 2008, il n'est pas nécessaire d'examiner plus avant si l'amélioration prévisible était suffisante au regard de la jurisprudence. Cela étant, l'intimée était fondée à supprimer le droit aux prestations provisoires à partir du 30 avril 2006 et à examiner dès ce moment-là les conditions du droit éventuel à une rente d'invalidité et à une indemnité pour atteinte à l'intégrité.
4.
4.1. Pour évaluer le taux d'invalidité, le revenu que l'assuré aurait pu obtenir s'il n'était pas invalide est comparé avec celui qu'il pourrait obtenir en exerçant l'activité qui peut raisonnablement être exigée de lui après les traitements et les mesures de réadaptation, sur un marché du travail équilibré (<ref-law>). Pour fixer ce taux, l'administration - ou le juge s'il y a recours - a besoin de documents que le médecin, éventuellement d'autres spécialistes, doivent lui fournir. La tâche du médecin consiste à porter un jugement sur l'état de santé et à indiquer dans quelle mesure et pour quelles activités l'assuré est incapable de travailler. En outre, les données médicales constituent un élément utile pour déterminer quels travaux on peut encore, raisonnablement, exiger de l'assuré (<ref-ruling> consid. 4 p. 99; <ref-ruling> consid. 4 p. 261 et les arrêts cités).
4.2. La cour cantonale a considéré que l'assuré ne subissait pas d'incapacité de travail sur le plan psychique. Elle s'est fondée pour cela sur les conclusions des experts du CEMed (rapports du 21 décembre 2005 et du 31 mars 2010), ainsi que sur celles des médecins de l'hôpital E._, lesquels ont réalisé une expertise à l'intention de l'OAI (rapport du 30 août 2012 et rapport complémentaire du 7 février 2013).
4.3. Le recourant invoque une violation de l'<ref-law> en tant que la cour cantonale a considéré que le dossier était complet en ce qui concerne les troubles psychiques et qu'elle a refusé d'ordonner une expertise pluridisciplinaire afin de se prononcer sur le caractère invalidant de ces troubles. A l'appui de ce grief, il fait valoir que les experts de l'hôpital E._ n'ont pas motivé leur conclusion selon laquelle les troubles psychiques sont sans influence sur sa capacité de travail.
4.4. Ce grief est mal fondé. Les experts de l'hôpital E._ ont fait état d'un état de stress post-traumatique, d'intensité modérée, existant depuis l'accident et d'un trouble dépressif récurrent, épisode actuel d'intensité légère. Cette appréciation de l'influence des troubles psychiques sur la capacité de travail repose sur des examens complets, sur la prise en considération des plaintes exprimées par l'intéressé et de l'anamnèse, ainsi que sur une description du contexte médical et une appréciation de la situation médicale claires. Il n'y a dès lors pas de motif de mettre en cause la valeur probante des conclusions des experts de l'hôpital E._ (<ref-ruling> consid. 5.1 p. 232; <ref-ruling> consid. 3a p. 352). En particulier, on ne saurait leur dénier pleine valeur probante au motif que, selon le recourant, ses troubles psychiques ne peuvent qu'avoir une répercussion sur sa capacité de travail.
5.
5.1. Par un autre moyen, le recourant invoque un abus du pouvoir d'appréciation en tant que la cour cantonale n'a pas procédé à un abattement sur le revenu d'invalide fixé sur la base des statistiques salariales. Il soutient que ce revenu aurait dû être réduit de 20 % afin de tenir compte des circonstances personnelles et professionnelles, à savoir, dans le cas particulier, ses limitations fonctionnelles importantes, les douleurs, le fait que l'amputation ralentit ses déplacements et qu'il a moins de chances de retrouver un emploi qu'un assuré âgé de trente ans.
5.2. Ce grief est mal fondé. La jurisprudence considère, en effet, que lorsqu'un assuré est capable, comme en l'espèce, de travailler à plein temps mais avec une diminution de rendement, celle-ci est prise en considération dans la fixation de la capacité de travail et il n'y a pas lieu, en sus, d'effectuer un abattement à ce titre (arrêts 8C_80/2013 du 17 janvier 2014 consid. 4.2; 9C_677/2012 du 3 juillet 2013 consid. 2.2 et les références). En l'occurrence, la diminution de rendement de 30 % admise par la cour cantonale tient compte de manière globale des facteurs liés à l'atteinte à la santé comme les limitations fonctionnelles, les douleurs, ainsi que les déplacements rendus plus lents en raison de l'amputation. Quant au facteur lié à l'âge, le recourant ne démontre pas à satisfaction de droit en quoi la cour cantonale aurait commis un excès positif ou négatif de son pouvoir d'appréciation ou abusé de celui-ci en retenant qu'il ne justifiait pas d'opérer un abattement sur le salaire statistique.
6.
Vu ce qui précède, le jugement attaqué n'est pas critiquable et le recours se révèle mal fondé.
7.
Conformément à sa demande, le recourant, qui satisfait aux conditions de l'<ref-law>, est dispensé de payer des frais judiciaires. Quant aux conditions auxquelles l'<ref-law> subordonne la désignation d'un avocat d'office, elles sont également réalisées. L'attention de l'intéressé est toutefois attirée sur le fait qu'il devra rembourser la caisse du Tribunal s'il devient en mesure de le faire ultérieurement (<ref-law>). L'intimée n'a pas droit à des dépens (<ref-law>).

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce :
1.
Le recours est rejeté.
2.
L'assistance judiciaire est accordée au recourant et M e David Erard est désigné comme avocat d'office.
3.
Les frais judiciaires, arrêtés à 800 fr., sont mis à la charge du recourant. Ils seront toutefois supportés provisoirement par la caisse du Tribunal.
4.
Une indemnité de 2'800 fr., supportée par la caisse du Tribunal, est allouée à M e Erard à titre d'honoraires.
5.
Il n'est pas alloué de dépens.
6.
Le présent arrêt est communiqué aux parties, à la Cour des assurances sociales du Tribunal cantonal du canton de Vaud et à l'Office fédéral de la santé publique.
Lucerne, le 2 mars 2017
Au nom de la Ire Cour de droit social
du Tribunal fédéral suisse
Le Juge présidant : Frésard
Le Greffier : Beauverd