Sachverhalt:
A.
Mit Verfügung vom 18. Juni 2015 verpflichtete die Ausgleichskasse des Kantons Uri A._ als einzelzeichnungsberechtigte Gesellschafterin und Geschäftsführerin der B._ GmbH zur Bezahlung von Schadenersatz in der Höhe von Fr. 92'692.40 für entgangene Sozialversicherungsbeiträge. Daran hielt sie mit Einspracheentscheid vom 19. August 2015 fest.
B.
Am 16. September 2015 führte C._ im Namen von A._ Beschwerde gegen den Einspracheentscheid vom 19. August 2015. Am 21. September 2015 teilte das Obergericht des Kantons Uri, Verwaltungsrechtliche Abteilung, C._ mit, dass er die für eine berufsmässige Vertretungstätigkeit geforderten Voraussetzungen nicht erfülle. Es werde die Möglichkeit eingeräumt, innert drei Tagen eine von A._ persönlich unterzeichnete Beschwerdeschrift einzureichen, anderenfalls auf die Beschwerde nicht eingetreten werde. Den daraufhin am 24. September 2015 von C._ gestellten Antrag um Zulassung als gerichtlicher Vertreter lehnte das Obergericht mit Zwischenentscheid vom 30. Oktober 2015 ab. Am 25. November 2015 reichte die Beschwerdeführerin eine nunmehr persönlich unterzeichnete Beschwerde ein, welche das Obergericht unter Bestätigung einer reduzierten Schadenersatzforderung im Umfang von 60'926.35 teilweise guthiess (Entscheid vom 7. Oktober 2016).
C.
Die Ausgleichskasse führt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten und beantragt die Aufhebung des vorinstanzlichen Entscheids.
Sowohl A._ wie auch das Bundesamt für Sozialversicherungen verzichten auf eine Stellungnahme.

Erwägungen:
1.
Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten (<ref-law>) kann wegen Rechtsverletzung gemäss den Art. 95 f. BGG erhoben werden. Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (<ref-law>), und kann deren Sachverhaltsfeststellung nur berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruht (<ref-law>; vgl. auch <ref-law>).
2.
Streitig und zu prüfen ist einzig die Frage der Rechtzeitigkeit der vorinstanzlich eingereichten Beschwerde.
2.1. Das kantonale Gericht hielt diesbezüglich fest, C._ habe die am 21. September 2015 gesetzte Nachfrist mit seinem rechtzeitigen Antrag um Zulassung zum gerichtlichen Vertreter gewahrt. Nach Erlass des abschlägigen Zwischenentscheids vom 30. Oktober 2015 habe die Beschwerdeführerin fristgerecht innert 30 Tagen die von ihr eigenhändig unterzeichnete Beschwerdeschrift vom 25. November 2015 eingereicht.
2.2. Die Ausgleichskasse rügt, die Aufforderung in der verfahrensleitenden Verfügung vom 21. September 2015 habe unmissverständlich dahin gehend gelautet, innerhalb einer Nachfrist von drei Tagen eine persönlich von der Beschwerdeführerin unterzeichnete Beschwerde einzureichen. Dieser Aufforderung seien weder sie noch C._ nachgekommen, wie die Vorinstanz im Zwischenentscheid vom 30. Oktober 2015 selber zutreffend festgehalten habe. Es sei darin auch keine weitere Nachfrist angesetzt worden. Die Beschwerde vom 25. November 2015 sei verspätet, weshalb das kantonale Gericht darauf nicht hätte eintreten dürfen.
3.
3.1. Gemäss <ref-law> ist die Beschwerde innerhalb von 30 Tagen nach der Eröffnung des Einspracheentscheides einzureichen. Diese Frist kann nicht erstreckt werden (Art. 60 Abs. 2 i.V.m. <ref-law>).
3.2. Nach dem für das erstinstanzliche Beschwerdeverfahren massgebenden <ref-law> muss die Beschwerde eine gedrängte Darstellung des Sachverhaltes, ein Rechtsbegehren und eine kurze Begründung enthalten. Genügt sie diesen Anforderungen nicht, so setzt das Versicherungsgericht der Beschwerde führenden Person eine angemessene Frist zur Verbesserung und verbindet damit die Androhung, dass sonst auf die Beschwerde nicht eingetreten wird. Der Anwendungsbereich der Nachfrist erstreckt sich über die in <ref-law> ausdrücklich erfassten Bereiche hinaus. Sie ist auch anzusetzen, wenn weitere formelle Eintretensvoraussetzungen, die nachträglich erfüllt werden können, nicht erfüllt sind (<ref-ruling> E. 2.3 S. 155 mit zahlreichen Hinweisen).
3.3. Es ist unbestritten, dass die Eingabe vom 16. September 2015 mangelhaft war, weil der unterzeichnete C._ die für eine berufsmässige Vertretungstätigkeit geforderten Voraussetzungen nicht erfüllt. Das kantonale Gericht gewährte eine Nachfrist von drei Tagen zur Verbesserung - konkret zur Einreichung einer von der Beschwerdeführerin persönlich unterzeichneten Beschwerde - wobei bei unbenutztem Ablauf auf die Beschwerde nicht eingetreten werde. Die Beschwerdeführerin liess diese Nachfrist ungenutzt verstreichen, woran nichts ändert, dass C._ innert Frist (vergeblich) seine Zulassung als gerichtlicher Vertreter für die Beschwerdeführerin beantragte. Die erst im Anschluss an den unangefochten gebliebenen Zwischenentscheid vom 30. Oktober 2015 eingereichte verbesserte Eingabe vom 25. November 2015 ist klar verspätet. Entgegen dem angefochtenen Entscheid ist massgebend für die Frage der Rechtzeitigkeit nicht die Rechtsmittelfrist des Zwischenentscheids vom 30. Oktober 2015, sondern die - gemäss Art. 40 Abs. 1 i.V.m. <ref-law> nicht erstreckbare (vgl. E. 3.1 hievor) - Rechtsmittelfrist des Einspracheentscheids vom 19. August 2015.
3.4. Die Vorinstanz hätte - androhungsgemäss - auf die mangelhafte und nicht innert Nachfrist verbesserte Eingabe nicht eintreten dürfen. Der angefochtene Entscheid verletzt somit Bundesrecht und ist aufzuheben.
4.
Bei diesem Ausgang des Verfahrens hat die Beschwerdegegnerin die Gerichtskosten zu tragen (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird gutgeheissen. Der Entscheid des Obergerichts des Kantons Uri, Verwaltungsrechtliche Abteilung, vom 7. Oktober 2016 wird aufgehoben und der Einspracheentscheid der Ausgleichskasse des Kantons Uri vom 19. August 2015 bestätigt.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 1'000.- werden der Beschwerdegegnerin auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird den Parteien, dem Obergericht des Kantons Uri, Verwaltungsrechtliche Abteilung, und dem Bundesamt für Sozialversicherungen schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 30. Januar 2017
Im Namen der II. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Pfiffner
Der Gerichtsschreiber: Williner