Sachverhalt:
A.
A.a. René Strickler (Mieter, Gesuchsgegner, Beschwerdeführer) mietete mit Vertrag vom 3. Juni/1. Juli 2003 von der A._ AG mit Sitz in U._ (Vermieterin, Gesuchstellerin, Beschwerdegegnerin) eine Liegenschaft in Subingen/SO, welche als "Fliegerhalle 1'038.30 m2 und Land 4'561.70 m2 = Total 5'600m2 " bezeichnet wurde. Der Vertrag sollte unter Einhaltung einer sechsmonatigen Kündigungsfrist je auf Quartalsende, frühestens auf den 30. September 2008 gekündigt werden können. Am 12./13. Oktober 2006 wurde ein zusätzlicher Vertrag über Pachtland von ca. 3'200m2 mit denselben Kündigungsmodalitäten abgeschlossen.
A.b. Der Mieter hält auf dem Areal einen sibirischen Tiger, sechs bengalische Tiger, sechs Pumas, einen asiatischen Schwarzbär, zwei afrikanische Löwen, zwei Transval-Löwen sowie diverse Zwergziegen, Hängebauchschweine, Hühner sowie Reptilien und Insekten. Der Mieter bezeichnet sich als internationale Grösse, die die Schweiz sowohl in Filmen als auch in Auftritten würdig vertreten und zahlreiche Preise gewonnen habe, namentlich habe er bei allen namhaften Zirkusunternehmen Engagements gehabt und sei mit Preisen ausgezeichnet worden; seit 1995 habe er mit seiner Stiftung "René Strickler - Freundschaft mit Raubtieren" in der Schweiz und Deutschland getourt. Er habe in den vergangenen 13 Jahren seinen Raubtierpark aufgebaut und seinen Tieren in Subingen eine grüne Oase geschaffen, weshalb auch die Bewilligungen für die Tierhaltung jeweils anstandslos erteilt worden seien.
B.
B.a. Die Vermieterin kündigte den Vertrag 2009, worauf der Mieter ein Verfahren anhängig machte, in dessen Rahmen das Mietverhältnis erstreckt wurde. Im Rahmen der Zweiterstreckung schlossen die Parteien am 19. Februar 2014 folgenden Vergleich:
"1. René Strickler verpflichtet sich, die mit Mietvertrag vom 3. Juni 2003 gemietete Fliegerhalle à 5'600m2 und das mit Mietvertrag vom 12. Oktober 2006 gemietete Land à 3'200m2 bis spätestens 31. Dezember 2015 zu räumen und zu verlassen.
2. René Strickler verpflichtet sich, die neben der Mietfläche deponierten Gegenstände und Fahrzeuge bis spätestens 30. April 2014 zu entfernen bzw. auf die Mietfläche zu verlegen.
3. René Strickler erstattet der Beklagten per 1. April 2015, 1. Juli 2015 und 1. Oktober 2015 ein schriftliches Reporting über den Stand des Wegzuges.
4. Die Beklagte verpflichtet sich, eingehende Kaufangebote des Klägers zu prüfen. Die Beklagte ist frei, allfällige Rechtsgeschäfte mit Dritten abzuschliessen. Sie verpflichtet sich, den Kläger in einem solchen Fall zu informieren.
(Kosten)."
Das Verfahren wurde am 20. Februar 2014 zufolge Vergleichs abgeschrieben.
B.b. Nachdem der Mieter das Areal innert der vereinbarten Frist nicht geräumt hatte, beantragte die Vermieterin mit Eingabe vom 7. Januar 2016 beim Richteramt Bucheggberg-Wasseramt die Anordnung der Vollstreckung.
Der Gesuchsgegner beantragte darauf im Wesentlichen eine mindestens einjährige zusätzliche Frist zur freiwilligen Räumung, unter Belassung sämtlicher Tiere im Raubtierpark und die Verpflichtung der Vermieterin, das Land an ihn oder einen von ihm bezeichneten Dritten zu verkaufen. Ausserdem beantragte er Zeugeneinvernahmen und Gutachten zu Fragen der Tierhaltung.
Mit Urteil vom 9. März 2016 erkannte das Richteramt Bucheggberg-Wasseramt:
"1. Es wird festgestellt, dass der in der Abschreibungsverfügung des Amtsgerichtspräsidenten Bucheggberg-Wasseramt vom 20. Februar 2014 wiedergegebene gerichtliche Vergleich vom 19. Februar 2014 rechtskräftig und vollstreckbar ist.
2. Der Gesuchsgegner hat die neben der Mietfläche deponierten Gegenstände und Fahrzeuge bis spätestens Donnerstag, 16. Juni 2016, 16:00 Uhr, zu entfernen.
3. Der Gesuchsgegner hat sämtliche auf den Mietparzellen gehaltenen Kleintiere, insbesondere 6 Hunde, 11 Ziegen, Zwergschwein, Rotknievogelspinne, Australische Gespenstschrecke, grosse Teichmuschel, Maskenleguan, Goldstaub-Taggecko sowie die Bielefelder Kennhühner und Tahaweber bis spätestens Donnerstag, 16. Juni 2016, 16:00 Uhr, abzuziehen.
4. Die Gesuchstellerin hat bis spätestens Montag, 20. Juni, 11.00 Uhr, dem Oberamt Region Solothurn mitzuteilen, ob die neben der Mietfläche deponierten Gegenstände und Fahrzeuge entfernt und sämtliche Kleintiere abgezogen wurden.
5. Der Gesuchsgegner hat das Mietobjekt, die im Mietvertrag vom 3. Juni 2003 gemietete Fliegerhalle à 5'600m2 und das mit Mietvertrag vom 12. Oktober 2006 gemietete Land à 3'200m2 bis Donnerstag, 14. Juli 2016, 16.00 Uhr, vollständig, also insbesondere mit Abzug der dort gehaltenen Raubtiere (gemäss Tierliste 7 Tiger, 4 Löwen, 6 Pumas und ein Kragenbär) zu räumen und zu verlassen.
6. Die Gesuchstellerin hat bis spätestens Montag, 18. Juli 2016, 11.00 Uhr, dem Oberamt Solothurn mitzuteilen, ob das Mietobjekt geräumt und verlassen wurde.
7. Für den Fall, dass das Mietobjekt nicht urteilsgemäss geräumt und verlassen worden ist, wird das Oberamt Region Solothurn angewiesen, umgehend die zwangsweise Ausweisung zu veranlassen, nötigenfalls unter Anwendung von Polizeigewalt und unter zwangsweiser Verschaffung von Zugang in die Liegenschaft.
8. Die Gesuchstellerin hat bei der zwangsweisen Räumung mitzuwirken, indem auf Anweisung des Oberamtes der Zutritt zum Mietobjekt und die für die Räumung notwendigen Hilfspersonen organisiert (namentlich Schlüsselservice, Zügelunternehmen, Lagerung der Gegenstände, Verlegung und Unterbringen der Tiere) sowie die Kosten hierfür vorgeschossen werden.
9. Dem Gesuchsgegner wird für den Fall, dass die Liegenschaft innert der gesetzten Fristen nicht ordnungsgemäss geräumt und verlassen wird, hiermit die Strafe nach <ref-law> ausdrücklich angedroht. Diese lautet: "Wer der von einer zuständigen Behörde oder einem zuständigen Beamten unter Hinweis auf die Strafdrohung dieses Artikels an ihn erlassenen Verfügung nicht Folge leistet, wird mit Busse bestraft".
10. Auf die Rechtsbegehren 3 und 4 des Gesuchsgegners vom 1. Februar 2016 wird nicht eingetreten.
(Kosten)."
Das Obergericht des Kantons Solothurn wies mit Urteil vom 9. Mai 2016 die Beschwerde des Gesuchsgegners ab, soweit es darauf eintrat.
C.
Der Gesuchsgegner erhebt mit Eingabe vom 8. Juni 2016 Beschwerde in Zivilsachen und subsidiäre Verfassungsbeschwerde an das Bundesgericht und stellt ein Gesuch um vorsorgliche Massnahmen mit folgenden Rechtsbegehren:
"I. Rechtsbegehren vorsorgliche Massnahmen
1. Die vorinstanzlich angeordnete Zwangsräumung sei in Form einer vorsorglichen Massnahme zu sistieren bzw. der Beschwerde sei vorsorglich aufschiebende Wirkung zuzuerkennen, dies zwecks Erhaltung des bestehenden Zustandes und Sicherstellung bedrohter Interessen, bis der bundesgerichtliche Entscheid im vorliegenden Beschwerdeverfahren ergangen und somit in Rechtskraft erwachsen ist.
II. Rechtsbegehren Beschwerde in Zivilsachen
1. Der Entscheid des Obergerichts des Kantons Solothurn vom 09. Mai 2016 (ZKBES.2016.81) sei aufzuheben.
2. Der Beschwerde sei aufschiebende Wirkung zuzuerkennen.
3. Die Entscheide der Vorinstanzen betreffend die Nichtzulassung der durch den Beschwerdeführer beantragten Beweismittel sei aufzuheben. Die vorin-stanzlich beantragten Beweismittel seien in vollem Umfang zuzulassen.
4. Die Art und Weise der Zwangsräumung als ultima ratio sowie die einzelnen Elemente derselben unter Berücksichtigung der daraus erwachsenden Folgen sollen detailliert gerichtlich geregelt und angeordnet werden.
5. Es sei festzustellen, dass eine Zwangsräumung eine Enteignung des Beschwerdeführers und ein faktisches Berufsverbot für den Beschwerdeführer darstellt.
6. Es sei die staatliche Entschädigung für den Fall der Zwangsräumung aufgrund der Enteignung gerichtlich festzustellen.
7. Dem Beschwerdeführer sei bis zu einer Zwangsräumung eine angemessene Räumungsfrist von mindestens einem Jahr ab Entscheid der angerufenen Instanz einzuräumen.
8. Eventualiter sei dem Beschwerdeführer die Räumungsfrist nach richterlichem Ermessen zu erstrecken.
9. Sämtliche Tiere, Bauten und Gegenstände, die sich auf dem durch den Beschwerdeführer gemieteten Areal in Subingen befinden, seien bis zur vollständigen Räumung bzw. einer dauerhaften Lösung dort zu belassen.
10. Eventualiter sei der Entscheid des Obergerichts des Kantons Solothurn vom 09. Mai 2016 (ZKBES.2016.81) aufzuheben und die Sache sei zu neuerlichen Entscheidung und Sachverhaltsvervollständigung im Sinne der Erwägungen an die Vorinstanz zurückzuweisen. Diesfalls seien sämtliche vor den Vorinstanzen beantragten Beweismittel vollumfänglich zuzulassen."
Mit Eingabe vom 28. Juni 2016 reichte der Beschwerdeführer ein ergänztes Beweismittelverzeichnis ein und informierte über die "fortschreitenden Bemühungen des Beschwerdeführers und seines Teams ", vermögende Investoren für den Erwerb des Mietgrundstücks zu finden; er erneuerte sein Begehren um Sistierung des Verfahrens.
Die Beschwerdegegnerin stellt in ihrer Vernehmlassung vom 30. Juni 2016 den Antrag, es sei das Gesuch um aufschiebende Wirkung abzuweisen. Mit Stellungnahme vom 6. Juli 2016 hält sie daran fest, dass das Gesuch um aufschiebende Wirkung zufolge eindeutiger Hauptsacheprognose zuungunsten des Beschwerdeführers abzuweisen sei und bemerkt, die in der Eingabe vom 28. Juni 2016 vorgebrachten Noven seien weder zulässig noch würden sie in der Sache etwas ändern.
Die Antworten der Beschwerdegegnerin wurden dem Beschwerdeführer am 7. Juli 2016 zur Kenntnisnahme zugestellt.

Erwägungen:
1.
Mit dem heutigen Entscheid in der Sache wird der Antrag auf Gewährung der aufschiebenden Wirkung bzw. der Sistierung des Verfahrens gegenstandslos.
2.
Das angefochtene Urteil des Obergerichts betrifft die Vollstreckung eines gerichtlichen Vergleichs, der gemäss <ref-law> einem rechtskräftigen Entscheid gleichsteht, und unterliegt damit der Beschwerde in Zivilsachen an das Bundesgericht (Art. 72 Abs. 2 lit. b Ziff. 1 BGG). Es ist ein Endentscheid (<ref-law>) eines oberen kantonalen Gerichts, das gemäss <ref-law> als Rechtsmittelinstanz entschieden hat. Der Beschwerdeführer ist mit seinen Anträgen unterlegen und daher zur Beschwerde legitimiert (<ref-law>).
2.1. Der Streitwert wird zwar im angefochtenen Urteil nicht ausdrücklich der Höhe nach festgelegt. Mit der Angabe in der Rechtsmittelbelehrung ist jedoch davon auszugehen, dass die erforderlichen Fr. 15'000.-- (<ref-law>) erreicht werden. Bei Mietausweisungen bestimmt sich der Streitwert in der Regel nach dem Nutzungsentgelt, das für die Zeit bezahlt werden muss, während der der Entscheid mutmasslich nicht vollstreckt werden kann. Da hier der jährliche Mietzins Fr. 36'000.-- beträgt und der Beschwerdeführer eine Räumungsfrist von mindestens einem Jahr beantragt, kann das Streitwerterfordernis als erfüllt gelten. Die Beschwerde in Zivilsachen ist grundsätzlich zulässig, weshalb auf die eventualiter erhobene subsidiäre Verfassungsbeschwerde nicht einzutreten ist.
2.2. Neue Begehren, Tatsachen und Beweismittel sind im Beschwerdeverfahren vor Bundesgericht nicht zulässig (<ref-law>). Abgesehen davon, dass der Beschwerdeführer in der Formulierung seiner Anträge im Vergleich zu seiner Eingabe an die Vorinstanz abweicht, erscheint jedenfalls das Begehren in Ziffer 4 als neu und damit unzulässig - wobei hinzukommt, dass damit nicht in einer hinreichend bestimmten Weise beantragt wird, in welcher Weise der Beschwerdeführer die Folgen der Zwangsräumung geregelt haben möchte und daher sein Antrag im Falle der Gutheissung gar nicht zum Urteil erhoben werden könnte. Nicht zulässig sind ausserdem die neuen Beweisanträge des Beschwerdeführers zum Wert seiner Tiere. Er legt namentlich nicht dar und es ist auch nicht erkennbar, inwiefern erst der angefochtene Entscheid dazu hätte Anlass geben können.
2.3. Rechtsmittelbegehren sind zu begründen (<ref-law>). In der Beschwerde ist in gedrängter Form dazulegen, inwiefern der angefochtene Akt Recht verletzt (<ref-law>). Dies setzt mindestens voraus, dass sich der Beschwerdeführer mit den Erwägungen des angefochtenen Entscheides auseinandersetzt und darlegt, weshalb er damit nicht einverstanden ist (<ref-ruling> E. 2 S. 89, 115 E. 2 S. 116).
Die Vorinstanz ist auf die Ziffern 8-10 der Beschwerdebegehren nicht eingetreten mit der Begründung, diese seien neu und gemäss <ref-law> unzulässig (E. 5 S. 8). Es handelt sich dabei um die Begehren, mit denen der Beschwerdeführer festgestellt haben will, dass die Vollstreckung des Vergleichs einer Enteignung und angesichts seines Alters von 67 Jahren einem faktischen Berufsverbot gleichkomme und dass er entschädigt werden müsse. Der Beschwerde ist nicht zu entnehmen, inwiefern die Vorinstanz <ref-law> verletzt haben soll, nachdem der Beschwerdeführer nicht bestreitet, dass er entsprechende Begehren vor erster Instanz nicht gestellt hat (S. 18 f.). Jedenfalls ist nicht nachvollziehbar, was der Beschwerdeführer vorbringen will mit dem Hinweis, die neuen Begehren hielten sich "im Rahmen des Streitgegenstandes ". Seine Ausführungen zu den persönlichen Folgen der Vollstreckung des gerichtlichen Vergleichs für sich und seine Tiere bilden - wie die Vorinstanz zutreffend beigefügt hat - nicht Gegenstand des Vollstreckungsverfahrens. Auf die im vorliegenden Verfahren unter den Ziffern 5 und 6 gestellten Begehren ist mangels hinreichender Begründung nicht einzutreten.
3.
3.1. Die Beschwerdegegnerin begehrt im vorliegenden Verfahren die Vollstreckung eines gerichtlichen Vergleichs, der einem Urteil gleichsteht (<ref-law>). Soweit der Beschwerdeführer mit seinen Vorbringen und Beweisanträgen die Rückgabe des Mietgeländes in Frage stellen will, verkennt er, dass er sich im gerichtlichen Vergleich zur Rückgabe des Geländes bis Ende 2015 verpflichtet hat. Das Vollstreckungsverfahren ist Folge davon, dass er diese rechtskräftige Verpflichtung nicht erfüllt hat, und es dient allein dem Vollzug dieser Verpflichtung, weshalb nicht mehr über zivilrechtliche Ansprüche verhandelt wird und daher auch Art. 6 Ziffer 1 EMRK grundsätzlich keine Anwendung findet (<ref-ruling> E. 5.1 S. 98).
3.2. Entscheide und ihnen gleichgestellte gerichtliche Vergleiche werden nach den Bestimmungen des 10. Kapitels der ZPO (Art. 335 bis 346) vollstreckt, wenn sie nicht auf Geldzahlung oder Sicherheitsleistung lauten (<ref-law>). Kann - wie hier - nicht direkt vollstreckt werden, so ist beim Vollstreckungsgericht ein Vollstreckungsgesuch einzureichen (<ref-law>). Das Gericht entscheidet im summarischen Verfahren (<ref-law>) von Amtes wegen und nach Anhörung der Gegenpartei über die Vollstreckbarkeit (<ref-law>). Materiell kann die unterlegene Partei gemäss <ref-law> einwenden, dass seit Eröffnung des Entscheids Tatsachen eingetreten sind, welche der Vollstreckbarkeit entgegenstehen, wie insbesondere Tilgung, Stundung, Verjährung oder Verwirkung der geschuldeten Leistung. Besteht die zu vollstreckende Verpflichtung in einem Tun, so kann das Vollstreckungsgericht gemäss <ref-law> anordnen eine Strafdrohung nach Artikel 292 StGB (lit. a), eine Ordnungsbusse bis Fr. 5'000.-- (lit. b), eine Ordnungsbusse bis Fr. 1'000.-- für jeden Tag der Nichterfüllung (lit. c), eine Zwangsmassnahme wie Wegnahme einer beweglichen Sache oder Räumung eines Grundstücks (lit. d) oder eine Ersatzvornahme (lit. e).
3.3. Im vorliegenden Fall ist der Beschwerdeführer kraft gerichtlichen Vergleichs rechtskräftig verpflichtet, der Beschwerdegegnerin das Grundstück zurückzugeben bzw. seine Tiere und Gegenstände vom Mietgrundstück zu entfernen. Da er dieser vollstreckbaren Verpflichtung nicht fristgerecht nachgekommen ist, haben die kantonalen Gerichte ihn nunmehr unter Strafdrohung nach <ref-law> verpflichtet, einen Teil seiner Tiere und Gegenstände bis Donnerstag, 16. Juni 2016, und den anderen Teil bis spätestens Donnerstag, 14. Juli 2016, vom Gelände abzutransportieren (<ref-law>). Für den Fall, dass er dieser Verpflichtung zur Räumung des Geländes bis zur gesetzten Frist nicht nachkommen sollte, haben sie ausserdem das Oberamt Region Solothurn als zuständige Verwaltungsbehörde angewiesen, das Gelände im Interesse und in Zusammenarbeit mit der Beschwerdegegnerin zwangsweise zu räumen (<ref-law>). Der Beschwerdeführer stellt weder in Abrede, dass die gesetzlichen Voraussetzungen der Vollstreckbarkeit vorliegen, noch behauptet er, es stände einer der vom Gesetz als beachtlich erklärten Gründe der Vollstreckbarkeit seiner Verpflichtung zur Rückgabe des Mietgeländes entgegen.
3.4. Die Vorbringen des Beschwerdeführers erschöpfen sich darin, auf die Schwierigkeiten einer neuen Unterbringung seiner Tiere hinzuweisen, zumal er diese weiterhin in der Weise versorgen möchte, wie er dies bisher auf dem Mietgrundstück getan hat. Er will diese Schwierigkeiten beweisen und verlangt, es sei ihm zu gestatten das Grundstück der Beschwerdegegnerin noch für mindestens ein weiteres Jahr wie bisher zu nutzen, wobei er hofft, bis dahin Investoren zu finden, welche für ihn und seine Tiere einen Millionenbetrag zum Erwerb des Grundstücks aufbringen. Ausserdem verlangt er, das Vollstreckungsgericht müsse konkrete Anordnungen über die anderweitige Unterbringung der Tiere treffen, so dass der Tierschutzgesetzgebung Rechnung getragen werde und ihm selbst ausserdem die Erwerbsgrundlage erhalten bleibe.
3.4.1. Der Beschwerdeführer beantragt, seine im kantonalen Verfahren gestellten Beweisanträge seien zuzulassen. Beweis ist nur über rechtserhebliche Tatsachen zu führen (<ref-law>). Die vom Beschwerdeführer beantragten Beweise sollen den Nachweis erbringen, dass mit der Entfernung der Tiere aus ihrer gewohnten Umgebung deren körperliche und seelische Gesundheit gefährdet sei; die vom Beschwerdeführer im kantonalen Verfahren beantragten Zeugeneinvernahmen und Gutachten hätten mittels eingehender Abklärungen die Berücksichtigung des Tierwohls namentlich bei der Zwangsräumung sicherstellen sollen. Der Beschwerdeführer zitiert das Tierschutzgesetz zutreffend, wenn er darlegt, dass der Tierhalter - d.h. der Beschwerdeführer selbst - für die Gewährleistung des Wohls seiner Tiere verantwortlich ist. Den Anträgen des Beschwerdeführers ist jedoch nicht zu entnehmen, mit welchen konkreten und zivilprozessual vorgesehenen Massnahmen er verlangt, dass das Wohl seiner Tiere für den Fall deren Umsiedlung gewährleistet werden sollte. Seine Ausführungen erschöpfen sich in der sinngemässen Aussage, dass er ohne Gefährdung des Tierwohls seiner Verpflichtung zur Räumung des Geländes nicht nachkommen könne und auch eine Zwangsräumung ohne Verletzung der Anliegen des Tierschutzes nicht möglich sei. Die Vorbringen richten sich damit gegen die Mietkündigung und die rechtskräftig feststehende Beendigung des Mietverhältnisses an sich und sind damit im Vollstreckungsverfahren nicht zu hören. Im Übrigen verkennt der Beschwerdeführer, dass Fragen der Tierschutzgesetzgebung nicht Gegenstand eines zivilprozessualen Vollstreckungsverfahrens bilden, sondern bei den hierfür zuständigen Verwaltungsbehörden zu thematisieren sind.
3.4.2. Der Beschwerdeführer beantragt, es sei ihm bis zur Zwangsräumung eine angemessene Räumungsfrist von mindestens einem Jahr einzuräumen bzw. die Räumungsfrist nach richterlichem Ermessen zu erstrecken. Er begründet diese Anträge mit aktuellen Bemühungen seinerseits und Verhandlungen zwischen den Parteien. Nachdem seine Bemühungen um anderweitige Platzierung seiner Tiere gescheitert seien, plant der Beschwerdeführer nach seinen Ausführungen, das Gelände durch Investoren zu erwerben, wofür er jedoch ausreichend Zeit benötige. Abgesehen davon, dass die Beschwerdegegnerin in ihrer Antwort zum Gesuch um aufschiebende Wirkung bestreitet, dass konkrete Verhandlungen im Gang sind, gibt der Beschwerdeführer nach den Erwägungen im angefochtenen Entscheid mit diesen Anträgen zu erkennen, dass er nicht bereit ist, den Vergleich zu erfüllen, wogegen er nichts vorbringt (E. 4.3 S. 8); nach den Feststellungen im erstinstanzlichen Urteil (E. 3.3.2 S. 8 f.) beziehen sich die vom Beschwerdeführer nachgewiesenen Bemühungen um eine neue Platzierung seiner Tiere denn auch zumeist auf die Zeit vor dem Abschluss des gerichtlichen Vergleichs vom 19. Februar 2014.
3.4.3. Mit seinem Antrag verkennt der Beschwerdeführer die Natur des zivilprozessualen Vollstreckungsverfahrens grundlegend. Mit der Ansetzung der Räumungsfrist soll allein die Durchführung der Räumung zur Vollstreckung des rechtskräftigen Entscheides praktisch ermöglicht werden; es geht nicht um eine weitere Erstreckung des - rechtskräftig beendeten - Mietverhältnisses oder darum, dem Beschwerdeführer die Suche weiterer Alternativen zu ermöglichen. Nachdem der Beschwerdeführer spätestens seit Abschluss des rechtskräftigen Vergleichs vom 19. Februar 2014 definitiv weiss, dass er das Mietgelände verlassen muss, haben die Vorinstanzen ihr Ermessen nicht verletzt, sondern zugunsten des Beschwerdeführers grosszügig ausgeübt mit der Anordnung einer Frist von drei bis vier Monaten für die Räumung des Geländes. Soweit der Beschwerdeführer - ohne selbst konkrete Anträge zu stellen - beanstandet, die Zwangsmassnahme der Räumung sei nicht hinreichend bestimmt, kann ihm nicht gefolgt werden. Es obliegt dem Vollstreckungsgericht, bei Anordnung einer Zwangsmassnahme im Sinne von <ref-law> die zuständige Verwaltungsbehörde mit der Durchführung, namentlich mit der Räumung eines Grundstückes, zu betrauen. Mangels konkreter Anordnungen über die Art der Durchführung ist es Sache der zuständigen Verwaltungsbehörde, die im Rahmen des Auftrags zur Räumung des Grundstückes erforderlichen Massnahmen zu treffen. Der Auftrag an die zuständige Verwaltungsbehörde, nötigenfalls unter Anwendung von Polizeigewalt und unter zwangsweiser Verschaffung von Zugang in die Liegenschaft (Dispositiv-Ziffer 7 des erstinstanzlichen Vollstreckungsentscheids) und unter Inanspruchnahme der Mithilfe der Beschwerdegegnerin (Dispositiv-Ziffer 8) die Ausweisung zu veranlassen, ist hinreichend bestimmt. Dass die konkreten Vollzugsmodalitäten allenfalls im Rahmen dieses Auftrages von der zuständigen Vollzugsbehörde in Beachtung der gesamten Gesetzgebung zu treffen sind, liegt in der Natur der Sache. Der Beschwerdeführer hätte die Möglichkeit gehabt, die Modalitäten der Räumung selbst zu bestimmen, indem er seine längst rechtskräftige Verpflichtung zum Verlassen des Grundstücks erfüllt hätte.
4.
Die Beschwerde ist abzuweisen, soweit darauf einzutreten ist.
Bei diesem Ausgang des Verfahrens trägt der Beschwerdeführer die Gerichtskosten (<ref-law>). Er hat der anwaltlich vertretenen Gegenpartei eine reduzierte Parteientschädigung für deren Kosten im Zusammenhang mit der Stellungnahme zum Gesuch um aufschiebende Wirkung zu bezahlen (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 2'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3.
Der Beschwerdeführer hat der Beschwerdegegnerin deren Parteikosten für das vorliegende Verfahren mit Fr. 800.-- zu ersetzen.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Solothurn, Zivilkammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 29. Juli 2016
Im Namen der I. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Kiss
Der Gerichtsschreiber: Hurni