Sachverhalt:
A.
Die B._ AG ist Eigentümerin der Parzellen Nrn. 761 und 1417 in Luzern (rechtes Ufer), die mit einem von der C._ AG betriebenen Spital überbaut sind. Entlang der nördlichen Grundstücksgrenzen verläuft die St.-Anna-Strasse, im Süden schliesst die Rigistrasse an die beiden Grundstücke.
Mit zwei separaten Eingaben vom 29. Juli 2013 ersuchte die C._ AG zum einen um die Bewilligung für den Abbruch der bestehenden Trakte A und B sowie deren Ersatz durch einen Trakt A+, zum andern um die Bewilligung für den Neubau eines Trakts E Hof.
Gegen das Bauvorhaben Trakt E Hof gingen zahlreiche Einsprachen ein. Mit Entscheid vom 29. Oktober 2014 erteilte der Stadtrat Luzern die Baubewilligung unter Bedingungen und Auflagen. Auf drei der erhobenen Einsprachen trat er nicht ein, darunter auf jene von A._.
Gegen den Entscheid des Stadtrats erhoben A._ sowie weitere Personen Verwaltungsgerichtsbeschwerde. Mit Urteil vom 16. März 2016 wies das Kantonsgericht Luzern die Beschwerden ab, soweit es darauf eintrat. In Bezug auf die Beschwerde von A._ erwog es, der Stadtrat sei zu Recht nicht auf seine Einsprache eingetreten. Er könne nicht als besonders berührt gelten und sei deshalb auch nicht einspracheberechtigt. Auch die Rügen jener Beschwerdeführer, auf deren Einsprache der Stadtrat eingetreten war, erachtete es als unbegründet.
B.
Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten vom 3. Mai 2016 beantragt A._, das Urteil des Kantonsgerichts sei aufzuheben, eventuell sei die Sache an die Vorinstanz zurückzuweisen.
Das Kantonsgericht schliesst auf die Abweisung der Beschwerde. Die Beschwerdegegnerinnen beantragen primär, auf die Beschwerde sei nicht einzutreten, und eventualiter, sie sei abzuweisen, soweit darauf eingetreten werden könne. Der Stadtrat erklärt in einer verspätet eingereichten Eingabe, auf eine Vernehmlassung zu verzichten. Der Beschwerdeführer hat sich erneut vernehmen lassen.
C.
Mit Präsidialverfügung vom 7. Juni 2016 hat das Bundesgericht das Gesuch des Beschwerdeführers um aufschiebende Wirkung abgewiesen.

Erwägungen:
1.
Die Beschwerde richtet sich gegen einen kantonal letztinstanzlichen Endentscheid in einer öffentlich-rechtlichen Angelegenheit (Art. 82 lit. a, Art. 86 Abs. 1 lit. d und Art. 90 BGG). Der Beschwerdeführer ist zur Beschwerde berechtigt (<ref-law>). Die weiteren Sachurteilsvoraussetzungen sind ebenfalls erfüllt. Auf die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten ist einzutreten.
Streitgegenstand ist einzig, ob das Kantonsgericht den Nichteintretensentscheid des Stadtrats zu Recht bestätigt hat.
2.
2.1. Das Kantonsgericht führt aus, der Beschwerdeführer sei Eigentümer diverser Grundstücke im Gebiet des Spitals. Der Stadtrat habe festgestellt, dass die kürzeste Distanz zwischen dem projektierten Neubau Trakt E Hof und dem nächstgelegenen Grundstück mindestens 220 m betrage. Aufgrund der Entfernung sei nicht ersichtlich, inwiefern dem Beschwerdeführer aus der Gutheissung seiner Beschwerde ein praktischer Nutzen erwachsen würde. Zwar habe der Stadtrat das im Miteigentum des Beschwerdeführers stehende Grundstück Nr. 1481, auf dem die Lützelmattstrasse verlaufe und das bis gut 50 m an den geplanten Trakt E Hof heranführe, unberücksichtigt gelassen. Doch bleibe die tatsächliche wie auch die rechtliche Situation dieses nicht überbaubaren Strassengrundstücks vom Verfahrensausgang unberührt. Insbesondere führe die Erschliessung des Spitals nicht über die Lützelmattstrasse.
2.2. Der Beschwerdeführer macht dagegen geltend, bei einem Abstand von unter 100 m zum Bauprojekt müsse die Betroffenheit grundsätzlich bejaht werden und sei es Sache der Vorinstanz darzulegen, dass die Betroffenheit stattdessen zu verneinen sei. Hinzu komme, dass der Neubau sehr gross sei. Vom Grundstück Nr. 1481 sei er problemlos sichtbar. Auch werde der Verkehr auf der St.-Anna-Strasse zunehmen, auf der, mit Ausnahme der Anlieferung, sämtlicher Verkehr abgewickelt würde. Dies beeinträchtige zweifellos die Zu- und Wegfahrt im Einmündungsbereich der Lützelmattstrasse, zumal die dortigen Verkehrsverhältnisse unübersichtlich seien (Bushaltestelle, Busbucht, Fussgängerstreifen und Radstreifen). Damit verbunden sei auch eine Lärmzunahme. Schliesslich sei er Eigentümer verschiedener anderer Grundstücke im fraglichen Gebiet und habe auch insoweit ein Interesse daran, dass kein den Bauvorschriften widersprechender Bau entstehe.
2.3. Die Beschwerdegegnerinnen sind der Auffassung, es spiele bei einem Strassengrundstück aufgrund seiner Zweckbestimmung keine Rolle, ob die geplante Baute sichtbar sei oder nicht. Zudem dürfte dies nur auf den untersten Zehntel der Lützelmattstrasse zutreffen. Der Beschwerdeführer habe dies offenbar ebenfalls erkannt, denn nun argumentiere er zusätzlich mit einer Verkehrszunahme auf der St.-Anna-Strasse. Dabei handle es sich um ein unzulässiges Novum. Auch belege der Beschwerdeführer seine Behauptung nicht. Den im kantonalen Verfahren eingereichten Gutachten könne entnommen werden, dass der Bau nicht zu einer Erhöhung des Verkehrsaufkommens führe bzw. führen dürfe, weil sich andernfalls lärmrechtliche Probleme ergäben. Die Vorinstanzen hätten sie darauf bzw. auf das von ihnen gestützt auf die Lärmprognose erarbeitete Anlieferungskonzept behaftet. Eine Erhöhung des Anlieferungsverkehrs sei damit ausgeschlossen. Ebenso unwahrscheinlich sei eine Zunahme des privaten Besucherverkehrs zur Klinik, werde die Anzahl der Besucherparkplätze mit den geplanten Bauvorhaben doch reduziert.
3.
3.1. <ref-law> definiert Mindestanforderungen an das kantonale Verfahren. Insbesondere muss sich am Verfahren vor allen kantonalen Vorinstanzen als Partei beteiligen können, wer zur Beschwerde ans Bundesgericht berechtigt ist (Abs. 1). Die Kantone dürfen die Beschwerdebefugnis somit nicht enger umschreiben. In öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten beurteilt sich die Legitimation zur Beschwerde ans Bundesgericht nach <ref-law>. Mithin ist zu untersuchen, ob das Verwaltungsgericht die (bundesrechtlichen) Mindestanforderungen von Art. 111 Abs. 1 i.V.m. <ref-law> beachtet hat. Das Bundesgericht prüft diese Frage mit freier Kognition (<ref-ruling> E. 3 S. 329; <ref-ruling> E. 2.1.1 S. 164; Urteil 1C_124/2016 vom 7. Juli 2016 E. 1.3; je mit Hinweisen).
3.2. <ref-law> setzt für das Beschwerderecht voraus, dass der Beschwerdeführer über eine spezifische Beziehungsnähe zur Streitsache verfügt (lit. b) und einen praktischen Nutzen aus der Aufhebung oder Änderung des angefochtenen Entscheids zieht (lit. c; <ref-ruling> E. 2.1 S. 52).
Nach der bundesgerichtlichen Rechtsprechung sind Nachbarn zur Beschwerdeführung gegen ein Bauvorhaben in der Regel insbesondere dann legitimiert, wenn sie mit Sicherheit oder zumindest grosser Wahrscheinlichkeit durch Immissionen (Lärm, Staub, Erschütterungen, Licht oder andere Einwirkungen) betroffen werden, die der Bau oder Betrieb der fraglichen Anlage hervorruft (<ref-ruling> E. 2.3.1 S. 285 mit Hinweisen).
Als wichtiges Kriterium zur Beurteilung der Betroffenheit dient in der Praxis die räumliche Distanz zum Bauvorhaben bzw. zur Anlage. Die Rechtsprechung bejaht in der Regel die Legitimation von Nachbarn, deren Liegenschaften sich in einem Umkreis von bis zu rund 100 m befinden. Bei grösseren Entfernungen muss eine Beeinträchtigung aufgrund der konkreten Gegebenheiten glaubhaft gemacht werden. Allerdings darf nicht schematisch auf einzelne Kriterien (insbesondere Distanzwerte) abgestellt werden, sondern ist eine Gesamtwürdigung anhand der konkreten Verhältnisse erforderlich (<ref-ruling> E. 2.3 S. 219 f.; Urteil 1C_124/2016 vom 7. Juli 2016 E. 3.3.1; je mit Hinweisen).
3.3. Bei den mehr als 220 m vom Bauprojekt entfernt liegenden Parzellen des Beschwerdeführers liegt es gestützt auf die erwähnte Rechtsprechung nicht auf der Hand, weshalb die besondere Betroffenheit zu bejahen sein sollte. Sein pauschales Vorbringen, er sei Eigentümer verschiedener anderer Grundstücke im fraglichen Gebiet und habe auch insoweit ein Interesse daran, dass kein den Bauvorschriften widersprechender Bau entstehe, ist insofern nicht geeignet, die Bundesrechtswidrigkeit des angefochtenen Urteils darzutun.
Hinsichtlich der Lützelmattstrasse, an welcher der Beschwerdeführer Miteigentum besitzt, berücksichtigte die Vorinstanz zu Recht deren Zweckbestimmung. Tatsächlich ist nicht ersichtlich, inwiefern aus dem Umstand, dass im unteren Bereich der Strasse der neue Trakt sichtbar sein wird, auf ein Interesse an der Aufhebung oder Änderung des angefochtenen Entscheids geschlossen werde könnte. Im Gegensatz beispielsweise zu einem Grundstück, das sich für die Überbauung mit einem Wohnhaus eignet, spielen für eine Strassenparzelle die Aussicht, eine allfällige Beschattung, Lärmimmissionen und dergleichen kaum eine Rolle. Anders kann es sich dagegen verhalten, wenn etwa die Stabilität des Untergrunds oder - wie der Beschwerdeführer vorliegend geltend macht - die Verkehrssicherheit betroffen ist. Letzteres würde indessen eine wesentliche Zunahme des Verkehrs auf der St.-Anna-Strasse bedingen. Dass dies zutrifft, legt der Beschwerdeführer nicht dar. Insbesondere geht er nicht auf die Ausführungen im angefochtenen Entscheid ein, wo dargelegt wird, dass die Anlieferungen nicht über die nördlich des Baugrundstücks liegende St.-Anna-Strasse abgewickelt werden, sondern über die Rigistrasse im Süden. Auch zum Vorbringen in der Beschwerdeantwort der Beschwerdegegnerinnen, wonach die Anzahl Besucherparkplätze sogar reduziert werde, äussert er sich nicht. Zeigt der Beschwerdeführer jedoch nicht auf, inwiefern sich sein tatsächliches Vorbringen aus den Akten ergibt oder inwiefern die Vorinstanz den Sachverhalt in dieser Hinsicht in Verletzung von Bundesrecht unvollständig festgestellt hat (<ref-law>), ist es als Novum im Sinne von <ref-law> nicht zu berücksichtigen.
4.
Die Beschwerde ist aus den genannten Gründen abzuweisen, soweit darauf eingetreten werden kann.
Bei diesem Verfahrensausgang trägt der Beschwerdeführer die Gerichtskosten (<ref-law>). Er hat den obsiegenden, anwaltlich vertretenen Beschwerdegegnerinnen eine angemessene Parteientschädigung auszurichten (Art. 68 Abs. 1 und 2 BGG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 2000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3.
Der Beschwerdeführer hat die Beschwerdegegnerinnen für das bundesgerichtliche Verfahren mit insgesamt Fr. 2'000.-- zu entschädigen.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien, dem Stadtrat Luzern und dem Kantonsgericht Luzern, 4. Abteilung, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 19. August 2016
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Fonjallaz
Der Gerichtsschreiber: Dold