Sachverhalt:
A.
A.a. A.A._ (geb. 1968) und B.A._ (geb. 1967) heirateten 1999. Sie sind die Eltern von C.A._ (geb. 2006) und von D.A._ (geb. 2008).
A.b. Die Eheleute trennten sich am 1. Januar 2014. Mit Entscheid vom 28. Dezember 2015 hielt das Bezirksgericht Kriens fest, sie seien berechtigt, für unbestimmte Zeit getrennt zu leben. Die Kinder stellte das Bezirksgericht unter Regelung des Besuchs- und Ferienrechts des Vaters unter die Obhut der Mutter. Dieser wies es auch die eheliche Liegenschaft zu alleinigem Nutzen und Gebrauch zu. Das gemeinsame Fahrzeug überliess es B.A._. Ausserdem verpflichtet das Bezirksgericht B.A._, der Ehefrau monatlich Fr. 1'650.-- zuzüglich allfälliger Kinderzulagen an den Unterhalt jedes Kindes zu leisten. Den an A.A._ zu bezahlenden Unterhalt legte es bis Ende Juli 2015 auf monatlich Fr. 4'800.-- und danach auf monatlich Fr. 4'900.-- fest. An diese Unterhaltsbeiträge seien die bis 30. Juni 2015 geleisteten Unterhaltszahlungen in der Höhe von Fr. 156'491.10 sowie die ab dem 1. Juli 2015 geleisteten Zahlungen anzurechnen. Die Gerichtskosten auferlegte das Bezirksgericht B.A._. Parteientschädigungen sprach es keine zu.
A.c. Am 2. Januar 2016 klagte B.A._ auf Scheidung der Ehe.
B.
Gegen den Entscheid des Bezirksgerichts reichten soweit die Unterhaltszahlungen betreffend sowohl A.A._ als auch B.A._ am 15. Januar 2016 Berufung beim Kantonsgericht Luzern ein. Mit Urteil vom 28. Juli 2016 (den Parteien eröffnet am 9. August 2016) legte das Kantonsgericht den von B.A._ an die Ehefrau monatlich für die Kinder zu bezahlenden Unterhalt neu je auf Fr. 1'450.-- bis Ende September 2016, auf Fr. 1'550.-- bis Ende September 2018 und ab Oktober 2018 auf Fr. 1'650.-- fest; je zuzüglich allfälliger Kinderzulagen. Den an A.A._ zu bezahlenden Unterhalt bezifferte das Kantonsgericht neu mit monatlich Fr. 4'550.-- bis Ende September 2018 und mit Fr. 1'800.-- pro Monat ab Oktober 2018. An diese Unterhaltsbeiträge seien die bis 30. Juni 2015 geleisteten Unterhaltszahlungen in der Höhe von Fr. 156'491.10 sowie die ab Juli 2015 geleisteten Zahlungen anzurechnen (Dispositivziffer 1). Die Gerichtskosten des Berufungsverfahrens auferlegte es B.A._. Parteientschädigungen sprach es für dieses Verfahren keine zu. Ausserdem bestätigte es den Kostenspruch der Vorinstanz (Dispositivziffer 3).
C.
C.a. Mit Beschwerde in Zivilsachen vom 8. September 2016 gelangt A.A._ (Beschwerdeführerin) mit den folgenden Anträgen ans Bundesgericht:
"1. Ziff. 1 des Dispositivs des Urteils des Kantonsgerichts Luzern vom 28. Juli 2016 sei aufzuheben und [B.A._] sei zu verpflichten, [ihr] folgende monatliche und vorauszahlbare, erstmals am 1. Januar 2014 fällig gewesene und ab Verfall zu 5 % verzinsliche Unterhaltsbeiträge zu bezahlen:
- für die Kinder je CHF 1'650.00 zuzüglich erhältlicher Kinderzulagen;
- für sie persönlich CHF 5'900.00.
2. Eventualiter:
Die Angelegenheit sei zur Neubeurteilung an die Vorinstanz zurückzuweisen.
3. Unter Kosten- und Entschädigungsfolgen zu Lasten [von B.A._]."
C.b. Mit Beschwerde in Zivilsachen vom 8. September 2016 gelangt auch B.A._ (Beschwerdeführer) ans Bundesgericht. Er stellt folgende Anträge:
"1. Ziff. 1 des Rechtsspruches des Urteils des Kantonsgerichtes Luzern vom 28. Juli 2016 sei mit Ausnahme des letzten Absatzes aufzuheben.
2. [B.A._] habe [A.A._] an den Unterhalt der gemeinsamen Kinder C.A._ und D.A._ ab 1. Januar 2014 einen monatlichen, auf den Ersten des Monats fälligen und ab Verfall zu 5% verzinslichen Unterhaltsbeitrag von je CHF 910.00 zuzüglich allfälliger Kinder- und Ausbildungszulagen zu zahlen.
3. [B.A._] habe [A.A._] für sie persönlich ab 1. Januar 2014 einen monatlichen, auf den Ersten des Monats fälligen und ab Verfall zu 5% verzinslichen Unterhaltsbeitrag von CHF 800.00 zu bezahlen. Ab 1. Oktober 2015 sei von der Zusprechung eines Unterhaltsbeitrages an [A.A._] persönlich abzusehen.
4. An die ab 1. Januar 2014 zu leistenden Unterhaltsbeiträge seien die bis 30. Juni 2015 geleisteten Unterhaltsbeiträge in der Höhe von CHF 156'491.10 anzurechnen. Ebenfalls anrechenbar seien die ab 1. Juli 2015 geleisteten Zahlungen.
5. Eventualiter sei die Sache zu einer neuen Beurteilung an die Vorinstanz zurückzuweisen.
6. Unter Kosten- und Entschädigungsfolgen zu Lasten [von A.A._]."
C.c. Mit Vernehmlassung vom 24. Februar 2017 hat B.A._ die Abweisung der Beschwerde von A.A._ beantragt, soweit darauf einzutreten sei. Am 16. März 2017 beantragt A.A._ die Abweisung der Beschwerde von B.A._. Das Kantonsgericht hat sich nicht vernehmen lassen.

Erwägungen:
1.
1.1. Beide Parteien fechten dasselbe Urteil an und befassen sich mit demselben Streitgegenstand. Es rechtfertigt sich daher, die Beschwerden zu vereinigen und in einem Urteil zu behandeln (<ref-law> i.V.m. <ref-law> [SR. 273]).
1.2. Die Beschwerden richten sich gegen einen Endentscheid einer letzten kantonalen Instanz betreffend den Schutz der ehelichen Gemeinschaft und damit eine Zivilsache (Art. 72 Abs. 1, Art. 75 Abs. 1 und Art. 90 BGG). Vor Bundesgericht ist der an die Beschwerdeführerin und die gemeinsamen Kinder der Parteien zu zahlende Unterhalt strittig, womit eine vermögensrechtliche Angelegenheit vorliegt. Der Streitwert übersteigt Fr. 30'000.-- (Art. 51 Abs. 4 und Art. 74 Abs. 1 Bst. b BGG). Die Beschwerde in Zivilsachen ist damit grundsätzlich zulässig. Die Parteien haben vor der Vorinstanz am Verfahren teilgenommen und sind durch den angefochtenen Entschied besonders berührt. Die Beschwerdeführerin hat sodann ein schutzwürdiges Interesse an dessen Änderung, womit sie zur Beschwerde berechtigt ist (<ref-law>). Auf die auch fristgerecht eingereichte (Art. 46 Abs. 1 Bst. c und <ref-law>) Beschwerde im Verfahren 5A_645/2016 ist daher einzutreten. Bezüglich des schutzwürdigen Interesses des Beschwerdeführers im Verfahren 5A_651/2016 wird auf E. 3.3 hiernach verwiesen.
2.
Eheschutzentscheide gelten als vorsorgliche Massnahmen im Sinn von <ref-law> (<ref-ruling> E. 5). Mit der Beschwerde kann somit nur die Verletzung verfassungsmässiger Rechte gerügt werden (vgl. auch <ref-ruling> E. 4.1). Hierfür gilt das strenge Rügeprinzip (<ref-law>). Das bedeutet, dass das Bundesgericht nur klar und detailliert erhobene und soweit möglich belegte Rügen prüft, während es auf ungenügend begründete Rügen und rein appellatorische Kritik am angefochtenen Entscheid nicht eintritt (<ref-ruling> E. 2.2; <ref-ruling> E. 2.2).
3.
3.1. Die Beschwerdeführerin rügt vorab die Verletzung des Anspruchs auf rechtliches Gehör (<ref-law>). Dieser Anspruch ist formeller Natur. Seine Verletzung führt ungeachtet der materiellen Begründetheit der Beschwerde grundsätzlich zur Aufhebung des angefochtenen Entscheids (<ref-ruling> E. 2.8.1). Die entsprechenden Rügen sind daher vorab zu behandeln (<ref-ruling> E. 5.1).
3.2. Die Beschwerdeführerin bringt diesbezüglich vor, das Kantonsgericht habe im Zusammenhang mit der Ermittlung des ehelichen Lebensstandards einen Beweisantrag auf Edition verschiedener Unterlagen zu Unrecht abgewiesen.
3.2.1. Dieser Vorwurf beschlägt vorab den Beweisführungsanspruch nach <ref-law> sowie <ref-law> und ist in der Regel als Verletzung dieser Bestimmungen geltend zu machen. Dennoch ist die Beschwerdeführerin mit der Rüge der Verletzung von <ref-law> zu hören, da sie die Verletzung der Gesetzesbestimmungen im vorliegenden Verfahren nicht geltend machen kann (vorne E. 2; Urteile 5A_312/2011 vom 22. August 2011 E. 4.3; 5A_193/2008 vom 13. Mai 2008 E. 3.1). Zum Anspruch auf rechtliches Gehör gehört, dass das Gericht alle erheblichen, rechtzeitigen und formgültigen Vorbringen der Parteien würdigt und die ihm anerbotenen Beweismittel abnimmt. Hierbei unterliegt das Recht auf Beweis den massgebenden prozeduralen Vorschriften (vgl. dazu MÜLLER/SCHEFER, Grundrechte in der Schweiz, 4. Aufl. 2008, S. 863, mit Hinweis auf <ref-ruling> E. 1b S. 309). Bei vorsorglichen Massnahmen kann dem Gehörsanspruch eine geringere Tragweite zukommen (<ref-ruling> E. 3.3). Keine Verletzung des rechtlichen Gehörs liegt vor, wenn das Gericht in antizipierter Beweiswürdigung auf die Abnahme beantragter Beweise verzichtet, weil diese aufgrund der bereits abgenommenen Beweise die gewonnene Überzeugung von der Wahrheit oder Unwahrheit einer behaupteten Tatsache nicht zu erschüttern vermag oder weil das beantragte Beweismittel von vornherein nicht geeignet ist, die behauptete Tatsache zu beweisen (zum Ganzen <ref-ruling> E. 3.3; 285 E. 6.3.1; <ref-ruling> E. 5.3). Dabei schliesst auch die Geltung der Untersuchungsmaxime eine vorweggenommene Beweiswürdigung nicht aus (<ref-ruling> E. 2.2.3; Urteile 5A_724/2015 vom 2. Juni 2016, E. 4.5, nicht publiziert in: <ref-ruling>, aber in: FamPra.ch 2016 S. 1079; 5A_96/2016, E. 4.4, in: FamPra.ch 2016 S. 1059).
3.2.2. In Übereinstimmung mit der bundesgerichtlichen Rechtsprechung ging die Vorinstanz bei der Berechnung der strittigen Unterhaltsleistungen von dem in der Ehe vor Aufhebung des gemeinsamen Haushalts zuletzt gelebten Standard aus (angefochtenes Urteil, E. 4.1). Auf die Fortführung dieses Standards haben beide Eheleute bei genügenden finanziellen Mitteln Anspruch. Der Kinderunterhaltsbeitrag soll sodann den Bedürfnissen des Kindes sowie der Lebensstellung und Leistungsfähigkeit der Eltern entsprechen (<ref-ruling> E. 3.3). Demgemäss ermittelte die Vorinstanz bei der Unterhaltsberechnung den bisherigen Lebensstandard der Familie (angefochtenes Urteil, E. 5.2.3.1). Diesbezüglich erachtete sie den von der Beschwerdeführerin behaupteten bisherigen Bedarf von ca. Fr. 20'000.-- im Monat als überzogen. Eine von der Beschwerdeführerin "in Form einer sechsseitigen Tabelle im Format A3" ins Recht gelegte Liquiditätsplanung berücksichtige sie nicht. Abgesehen davon, dass diese bestritten sei, sei es nicht Sache des Gerichts, darin die massgeblichen Zahlen zu suchen. Die von der Beschwerdeführerin zum Nachweis des angeblichen Vermögensverzehrs der Familie beantragte Edition sämtlicher Konten des Beschwerdeführers, sämtlicher Kreditkartenabrechnungen seit dem Jahr 2006 sowie der Steuererklärungen 2014 und 2015 wies die Vorinstanz ab. Dies würde den Rahmen des vorliegenden summarischen Verfahrens sprengen. Zumal infolge des dem Beschwerdeführer anzurechnenden Vermögensverzehrs eine restriktive Bedarfsberechnung angezeigt sei. Ohnehin seien die Kreditkartenabrechnungen der Jahre 2012 und 2013 bei den Akten und könnten diesen die zusätzlichen Fixkosten entnommen werden. Die Beschwerdeführer habe es unterlassen, gestützt hierauf den Bedarf der Parteien einigermassen genau darzulegen.
3.2.3. Massnahmen des Eheschutzes nach <ref-law> gelten als vorsorgliche Massnahmen (vgl. auch vorne E. 2). Sie werden in einem summarischen Verfahren angeordnet (Art. 271 Bst. a i.V.m. <ref-law>). Dabei stellt das Gericht den Sachverhalt im Eheschutzverfahren von Amtes wegen fest (<ref-law>). Diese sog. soziale oder eingeschränkte Untersuchungsmaxime verpflichtet das Gericht nicht zur eigentlichen Erforschung des Sachverhalts. Sie auferlegt ihm bloss die Pflicht, eine unbeholfene oder schwächere Partei zu unterstützen (Urteile 5A_565/2015 vom 24. November 2015 E. 4.2.1; 5A_2/2013 vom 6. März 2013 E. 4.2, in: FamPra.ch 2013 S. 769). Das Gericht trifft dabei im Wesentlichen eine verstärkte Fragepflicht während der mündlichen Verhandlung (vgl. <ref-law>) und die Pflicht, die Parteien zur Einreichung fehlender Beweismittel aufzufordern. Umfangreiche Ermittlungen sind nicht notwendig (Urteile 5A_251/2016 vom 15. August 2016 E. 2.3.1; 5A_875/2015 vom 22. April 2016 E. 3.2.2; ANNETTE SPYCHER, in: Berner Kommentar, Schweizerische Zivilprozessordnung, 2012, N. 5 zu <ref-law>; SIEHR/BÄHLER, in: Basler Kommentar, Schweizerische Zivilprozessordnung, 2. Aufl. 2013, N. 4 zu <ref-law>). Demgegenüber gilt nach <ref-law> die uneingeschränkte Untersuchungsmaxime, soweit in familienrechtlichen Angelegenheiten Kinderbelange betroffen sind. Dies gilt auch, wenn in einem Eheschutzverfahren über Kinderbelange zu entscheiden ist; wie hier betreffend den Unterhalt (ANNETTE SPYCHER, a.a.O., N. 4 zu <ref-law> und N. 5 zu <ref-law>; vgl. auch <ref-ruling> E. 4.3). Demnach hat das Gericht den Sachverhalt von Amtes wegen zu erforschen, bis über die Tatsachen, die für die Beurteilung des strittigen Anspruchs erforderlich sind, hinreichende Klarheit besteht.
<ref-law> schreibt dem Gericht nicht vor, mit welchen Mitteln der Sachverhalt abzuklären ist. Ebenso wenig erfasst die Bestimmung die Art der Erhebung der Beweismittel. Die Untersuchungsmaxime schliesst eine vorweggenommene (antizipierte) Würdigung der Beweisanerbieten nicht aus. Verfügt das Gericht über genügende Grundlagen für eine sachgerechte Entscheidung, kann es daher auf weitere Beweiserhebungen verzichten (Urteile 5A_59/2016 vom 1. Juni 2016 E. 4.4, in: FamPra.ch 2016 S. 1059; 5A_513/2014 vom 1. Oktober 2015 E. 4.1; 5A_877/2013 vom 10. Februar 2014 E. 4.1.1, in: SJ 2014 I 312). Die Geltung der (eingeschränkten oder vollen) Untersuchungsmaxime ändert nichts an der Beweislast und enthebt die Parteien nicht davon, an der Sammlung des Prozessstoffes mitzuwirken (<ref-law>; Urteil 5A_875/2015 vom 22. April 2016 E. 3.2.2 mit Hinweis auf <ref-ruling> E. 4.3; ANNETTE SPYCHER, a.a.O., N. 6 zu <ref-law> und N. 7 zu 296 ZPO). Es obliegt ihnen, dem Gericht die rechtserheblichen Tatsachen zu unterbreiten und es auf die verfügbaren Beweismittel hinzuweisen (Urteil 5A_298/2015 vom 30. September 2015 E. 2.1.2).
3.2.4. Der vor der Aufhebung des gemeinsamen Haushalts von den Parteien zuletzt gelebte Standard ist nach dem Ausgeführten für die Bemessung der strittigen Unterhaltsleistungen bestimmend. Da auch Kindesunterhalt betroffen ist, kommt bei der Ermittlung des Sachverhalts insgesamt die uneingeschränkte Untersuchungsmaxime nach <ref-law> zum Tragen. Gemessen hieran durfte das Kantonsgericht sich nicht mit dem pauschalen Hinweis begnügen, die von der Beschwerdeführerin beantragte Edition verschiedener Unterlagen sprenge den Rahmen eines vorsorglichen Verfahrens und es sei nicht Aufgabe des Gerichts, in den Akten nach den massgebenden Zahlen zu suchen. Vielmehr wäre das Gericht verpflichtet gewesen, die Beweismassnahmen anzuordnen, falls diese ansonsten zulässig und zur Klärung des massgeblichen Sachverhalts geeignet sind. Wie es sich hiermit verhält, hat das Kantonsgericht indessen gar nicht erst geprüft. Ebenso wenig hat es sich dazu geäussert, ob und weshalb es zum Schluss gelangte, die beantragten Beweismassnahmen hätten das Beweisergebnis nicht mehr zu erschüttern vermocht. Das Kantonsgericht hat damit auch nicht im Rahmen einer grundsätzlich zulässigen antizipierten Beweiswürdigung auf die fraglichen Beweismassnahmen verzichtet.
Nicht zu überzeugen vermag sodann der (sinngemässe) Verweis der Vorinstanz auf eine Verletzung der Mitwirkungspflicht durch die Beschwerdeführerin. Wie sich dem angefochtenen Urteil entnehmen lässt, hat die Beschwerdeführerin dem Gericht dargelegt, von welchem gemeinsamen Lebensstandard sie ungefähr ausgeht und wie sich dieser ihrer Ansicht nach nachweisen lässt. Damit ist sie ihrer Mitwirkungspflicht nachgekommen. Der Beschwerdeführerin ist schliesslich auch darin zuzustimmen, dass der Hinweis der Vorinstanz darauf, die Bedarfsberechnung sei restriktiv vorzunehmen, das Gericht nicht von der korrekten Abklärung der Entscheidgrundlagen entbindet. Erst wenn diese vorhanden sind, kann eine - gegebenenfalls restriktive - Bestimmung des massgebenden Lebensstandards vorgenommen werden.
3.2.5. Damit ist das Kantonsgericht zu Unrecht auf die Beweisanträge der Beschwerdeführerin nicht eingegangen und hat deren Anspruch auf rechtliches Gehör verletzt. Eine Heilung dieses Verfahrensmangels im vorliegenden Verfahren ist bereits aufgrund der beschränkten Kognition des Bundesgerichts ausgeschlossen (vorne E. 2).
3.3. Folglich ist die Beschwerde im Verfahren 5A_645/2016 bereits aus diesem Grund gutzuheissen. Die Ziffer 1 - ausgenommen der nicht umstrittene letzte Absatz (<ref-law>; <ref-ruling> E. 1.3; <ref-ruling> E. 6.2 mit Hinweisen) - und die Ziffer 3 (betreffend die Kosten) des angefochtenen Urteils sind aufzuheben. Entsprechend dem Eventualantrag der Beschwerdeführerin ist die Sache zum erneuten Entscheid an die Vorinstanz zurückzuweisen. Diese wird die fraglichen Beweisanträge der Beschwerdeführerin zu prüfen und, falls sie sich als zulässig und sachdienlich erweisen, die notwendigen Beweismassnahmen vorzukehren haben. Danach muss das Kantonsgericht erneut über die strittigen Unterhaltsansprüche entscheiden und die Kosten des kantonalen Verfahrens verlegen.
Im Verfahren 5A_651/2016 sind eben jene Ansprüche strittig, über welche die Vorinstanz nochmals zu entscheiden haben wird (vgl. auch vorne E. 1.1). Es erübrigt sich daher, zum jetzigen Zeitpunkt über die vom Beschwerdeführer aufgeworfenen Fragen zu entscheiden. Entsprechend fällt dessen aktuelles Interesse an der Beschwerdeführung (<ref-law>) dahin, sodass das Verfahren 5A_651/2016 als gegenstandslos geworden abzuschreiben ist (<ref-law>).
4.
Die Rückweisung der Sache zur erneuten Abklärung gilt für die Frage der Auferlegung der Gerichtskosten und der Parteientschädigung als vollständiges Obsiegen im Sinne von Art. 66 Abs. 1 und <ref-law> (<ref-ruling> E. 11.1). Die Beschwerdeführerin gilt damit im Verfahren 5A_645/2016 als vollständig obsiegend. Bei der Verlegung der Kosten des Verfahrens 5A_651/2016 (vgl. <ref-law> i.V.m. <ref-law>) ist zu beachten, dass dieses Verfahren allein aufgrund der Rückweisung der Sache an die Vorinstanz gegenstandslos geworden ist. Unter diesen Umständen rechtfertigt es sich, die Gerichtskosten der vereinigten Verfahren zu fünf Sechsteln dem Beschwerdeführer und zu einem Sechstel der Beschwerdeführerin aufzuerlegen (<ref-law>). Im entsprechenden Umfang werden die Parteien hinsichtlich der Parteikosten gegenseitig entschädigungspflichtig (<ref-law>), wobei die gegenseitigen Parteientschädigungen zu verrechnen sind.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Verfahren 5A_645/2016 und 5A_651/2016 werden vereinigt.
2.
Die Beschwerde im Verfahren 5A_645/2016 wird gutgeheissen, die Ziffer 1 mit Ausnahme des letzten Absatzes und die Ziffer 3 des Urteils des Kantonsgerichts Luzern vom 28. Juli 2016 werden aufgehoben und die Sache wird zum erneuten Entscheid an die Vorinstanz zurückgewiesen.
3.
Das Verfahren 5A_651/2016 wird als gegenstandslos geworden abgeschrieben.
4.
Die Gerichtskosten von Fr. 3'000.-- werden im Umfang von Fr. 2'500.-- dem Beschwerdeführer und im Umfang von Fr. 500.-- der Beschwerdeführerin auferlegt.
5.
Der Beschwerdeführer hat die Beschwerdeführerin für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 2'500.-- zu entschädigen.
6.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Kantonsgericht Luzern, 2. Abteilung, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 18. Mai 2017
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: von Werdt
Der Gerichtsschreiber: Sieber