Faits :
A.
A.a. A._, sans formation, a travaillé dès 2001 en tant que joueur professionnel de hockey sur glace auprès du Hockey Club B._ SA. Dans le cadre de cet emploi, il a été assuré pour la prévoyance professionnelle auprès de la Fondation collective LPP de l'Allianz Suisse Société d'Assurances sur la Vie (ci-après: la fondation collective). Dès le 25 février 2005, il a été en incapacité totale de travailler; l'employeur a résilié le contrat de travail pour la fin de ce mois. Du 28 février au 7 mars 2005, A._ a été hospitalisé au département de psychiatrie de l'Hôpital C._. Dans un rapport du 10 mars 2005, le docteur D._, spécialiste en psychiatrie et psychothérapie, a fait état (diagnostic principal) de troubles mentaux et troubles du comportement liés à l'utilisation de cocaïne, trouble psychotique avec idées délirantes au premier plan (F14.51), ainsi que (autres diagnostics) de troubles mentaux et troubles du comportement liés à l'utilisation de dérivés de cannabis actuellement abstinent mais dans un environnement protégé (F12.21). Durant le séjour de A._, les médecins ont noté une rapide disparition des phénomènes hallucinatoires ainsi que de l'idéation persécutoire. De mars à septembre 2005, le prénommé a été suivi par la doctoresse E._, qui a attesté une incapacité totale de travailler jusqu'au 31 août 2005. En 2006, il est parti vivre à l'étranger.
De retour en Suisse, A._ a été engagé par le Hockey Club G._ SA du 15 décembre 2006 au 15 janvier 2007, date de son licenciement avec effet immédiat. Du 17 janvier au 29 avril 2007, il a été hospitalisé à l'Hôpital C._ à cause d'idées délirantes à thème persécutoire et d'hallucinations auditives. Dans un rapport du 14 mai 2007, le docteur H._, spécialiste en psychiatrie et psychothérapie, a fait état (diagnostic principal) d'une psychose non organique, sans précision (F29.X), ainsi que (autres diagnostics) de troubles mentaux et du comportement sur consommation de cocaïne, syndrome de dépendance, actuellement abstinent (F14.20).
Dès le 30 avril 2007, A._ a intégré le Hockey Club I._ à l'essai et a repris les entraînements. Du 1 er août 2007 au 29 février 2008, son salaire a été versé par J._ SA. Dans ce cadre, il a été assuré pour la prévoyance professionnelle auprès de la Fondation commune LPP pour le travail temporaire, dont les actifs et les passifs ont été repris, le 1 er janvier 2014, par la Caisse de pension Pro. Du 6 novembre 2007 au 18 janvier 2008, A._ a été hospitalisé à nouveau à l'Hôpital C._ pour une décompensation psychotique; le docteur H._ a posé les mêmes diagnostics que précédemment (CIM-10: F29.X et F14.20) dans son rapport du 25 janvier 2008. A la suite d'une blessure à la cheville, A._ a dû cesser les entraînements et est retourné à l'étranger, où il a été hospitalisé du 31 mai au 4 juillet 2008 en milieu psychiatrique. Rapatrié en Suisse, il a séjourné du 5 juillet 2008 au 25 mai 2009 à l'Hôpital C._. Dans un rapport du 13 janvier 2009, le docteur K._, spécialiste en psychiatrie et psychothérapie et chef de clinique au Service de psychiatrie adulte de l'Hôpital C._, a diagnostiqué une schizophrénie paranoïde (F20.0) entraînant une incapacité totale de travail, médicalement attestée à 100 % depuis mars 2008 au moins; ce médecin s'est encore exprimé le 4 juin 2009.
A.b. Entre-temps, le 4 décembre 2008, A._ a déposé une demande de prestations de l'assurance-invalidité. Dans un avis du 12 mars 2009, le docteur L._, médecin au Service médical régional, a retenu une schizophrénie paranoïde et une incapacité de travail totale et durable depuis le 1 er mars 2008. Par décision du 3 juillet 2009, l'Office de l'assurance-invalidité (ci-après: l'office AI) l'a mis au bénéfice d'une rente entière d'invalidité à compter du 1 er juin 2009 (demande tardive). Des mesures d'ordre tutélaire ont été ordonnées le 5 février 2009.
Après que la convention collective a refusé de lui allouer des rentes d'invalidité, A._ a mandaté le docteur M._, spécialiste en psychiatrie et psychothérapie, pour une expertise. Dans son rapport du 8 décembre 2014, le médecin a diagnostiqué, avec répercussion sur la capacité de travail, des troubles mentaux et troubles du comportement liés à l'utilisation de substances psychoactives multiples, syndrome de dépendance, actuellement abstinent (F19.20; actif depuis février 2005) et une schizophrénie paranoïde, rémission incomplète (F20.04; actif depuis janvier 2007). Pour le docteur M._, de septembre 2005 à janvier 2007 l'incapacité de travail était de 50 % et imputable aux troubles psychiatriques, dont les problèmes d'addiction faisaient alors majoritairement partie. Les capacités d'intégration, d'adaptation et d'autonomie de l'intéressé avaient continué à se dégrader par la suite, justifiant une rente entière d'invalidité dès 2009.
B.
Le 22 juin 2015, A._ a saisi la Chambre des assurances sociales de la République et canton de Genève d'une demande dirigée contre la fondation collective et la Caisse de pension Pro, en concluant au paiement de rentes d'invalidité dès le 1 er mars 2009, avec intérêts à 5 % l'an. La demande était dirigée principalement contre la première institution de prévoyance nommée, subsidiairement contre la seconde.
Par jugement du 17 mai 2016, la juridiction cantonale a admis partiellement la demande dirigée contre la Caisse de pension Pro et condamné cette dernière au paiement d'une rente entière d'invalidité à compter du 1 er juin 2009, avec intérêt à 5 % dès le 26 juin 2015. Elle a rejeté la demande formée contre l'autre défenderesse.
C.
La Caisse de pension Pro interjette un recours en matière de droit public contre ce jugement dont elle demande l'annulation dans la mesure où elle doit allouer des prestations d'invalidité à l'intimé.

Considérant en droit :
1.
Le Tribunal fédéral conduit son raisonnement juridique sur la base des faits établis par l'autorité précédente (<ref-law>). Il ne peut s'en écarter que si les faits ont été établis de façon manifestement inexacte - ce qui correspond à la notion d'arbitraire (<ref-ruling> consid. 2.4 p. 313; <ref-ruling> consid 8.1 p. 153) - ou en violation du droit au sens de l'<ref-law> (<ref-law>). La violation peut consister en un état de fait incomplet, car l'autorité précédente viole le droit matériel en n'établissant pas tous les faits pertinents pour l'application de celui-ci (<ref-ruling> consid. 4.3 p. 62). La partie recourante qui entend s'écarter des constatations de l'autorité précédente doit expliquer de manière circonstanciée en quoi les conditions d'une exception prévue par l'<ref-law> seraient réalisées. A défaut d'une telle motivation, il n'est pas possible de prendre en considération un état de fait qui diverge de celui contenu dans la décision attaquée, ni des faits qui n'y sont pas contenus (<ref-ruling> consid. 1.2 p. 187; <ref-ruling> consid. 1.4 et 6.2 p. 287 s.).
2.
2.1. Le litige porte sur le droit de l'intimé à une rente d'invalidité de la prévoyance professionnelle dès le 1 er juin 2009, à charge de l'institution de prévoyance professionnelle recourante.
A cet égard, le jugement entrepris expose correctement les dispositions légales sur le droit à des prestations d'invalidité de la prévoyance professionnelle obligatoire, ainsi que sur la notion d'incapacité de travail et le double critère de la connexité matérielle et temporelle entre l'incapacité de travail et l'invalidité exigé par la jurisprudence pour fonder l'obligation de prester d'une institution de prévoyance à laquelle était affiliée l'intéressé. Il suffit d'y renvoyer.
2.2. Les constatations de la juridiction cantonale relatives à l'incapacité de travail résultant d'une atteinte à la santé (survenance, degré, durée, pronostic) relèvent d'une question de fait et ne peuvent être examinées par le Tribunal fédéral que sous un angle restreint dans la mesure où elles reposent sur une appréciation des circonstances concrètes du cas d'espèce (art. 97 al. 1 et 105 al. 1 et 2 LTF). Les conséquences que tire la juridiction cantonale des constatations de fait quant à la connexité temporelle sont en revanche soumises au plein pouvoir d'examen du Tribunal fédéral (arrêt 9C_503/2013 du 25 février 2014 consid. 3.3, in SVR 2014 BVG n° 38 p. 143 et la référence).
3.
3.1. Se fondant sur le rapport du docteur K._ du 13 janvier 2009, les premiers juges ont admis que la schizophrénie paranoïde, dont le diagnostic n'a pas été posé avant l'hospitalisation de juillet 2008, n'avait pas eu de répercussions sur la capacité de travail de l'intimé avant le 6 novembre 2007, de sorte que les incapacités de travail survenues antérieurement à cette date étaient dues à d'autres troubles psychiques. Par conséquent, ces incapacités de travail n'étaient pas, au degré de la vraisemblance prépondérante, en lien de connexité matérielle avec l'invalidité. La juridiction cantonale a précisé qu'elle n'avait pas retenu l'avis du docteur M._, selon lequel le diagnostic de schizophrénie paranoïde était actif depuis le mois de janvier 2007 déjà, car cette appréciation rétrospective, établie près de huit ans après les faits, ne reposait pas sur des éléments probants et son auteur n'expliquait pas les raisons pour lesquelles il s'écartait de l'avis du docteur K._ qui avait suivi et traité l'intimé.
Les premiers juges ont ainsi admis que l'incapacité de travail en lien de connexité matérielle avec l'invalidité était survenue à compter du 6 novembre 2007, alors que l'intimé était affilié auprès de l'institution de prévoyance recourante.
3.2. La Caisse de pension Pro conteste le point de vue de la juridiction cantonale. Elle soutient que l'incapacité de travail à l'origine de l'invalidité existait déjà lors de la première hospitalisation de l'intimé à l'Hôpital C._, en février 2005, en raison d'un trouble psychotique aigu avec crise clastique. En se référant à la systématique de la CIM-10, la recourante soutient que l'existence d'une telle pathologie ne s'expliquait pas uniquement en raison de l'utilisation de substances psychoactives. Elle relève que s'il n'avait pas été fait état de schizophrénie dans le rapport d'hospitalisation du 10 mars 2005 de l'Hôpital C._, le déclenchement d'un trouble mental de type schizophrénique n'avait cependant pas pu être écarté. A son avis, il est vraisemblable que l'intimé avait présenté des symptômes entrant dans la catégorie F20 à F29 de la CIM-10, soit la schizophrénie, trouble schizotypique et troubles délirants, qui n'étaient pas entièrement imputables à la consommation de toxiques lors de cette première hospitalisation. Elle en déduit que la maladie psychique qui s'est aggravée pour prendre finalement la forme d'une schizophrénie paranoïde a émergé en février 2005 et que l'incapacité de travail intervenue à cette époque est essentiellement de la même nature que l'invalidité pour schizophrénie paranoïde (F20.0), compte tenu de la présence d'une symptomatologie entrant dans la famille CIM-10 (F20 à F29). La recourante fait encore valoir qu'une incapacité de travail de 50 % avait été attestée rétrospectivement par le docteur M._ dans son expertise du 8 décembre 2014. Le lien de connexité matérielle entre l'incapacité de travail survenue en 2005 et l'invalidité serait ainsi donné. Quant au lien de connexité temporelle, il n'aurait jamais été interrompu, compte tenu de la brièveté des périodes au cours desquelles l'intimé avait repris le travail, à l'instar de son engagement auprès du Hockey Club I._ en 2007 qui s'était rapidement soldé par un échec.
Dans l'éventualité où le lien de connexité matérielle entre l'incapacité de travail survenue en 2005 et l'invalidité devrait néanmoins être nié, la recourante fait valoir que ce lien devrait alors être admis en relation avec l'incapacité de travail apparue en janvier 2007, laquelle avait conduit l'intimé à séjourner dans les services de psychiatrie de l'Hôpital C._ du 17 janvier au 29 avril 2007. En effet, lors de cette hospitalisation, un diagnostic plus précis avait pu être posé quant à l'affection psychique de nature psychotique, car l'intimé ne consommait pas de toxiques. Pour la recourante, le tableau clinique présenté en janvier 2007 était, de fait, superposable à celui qui existait en novembre 2007, dans la mesure où la méfiance (caractère persécutoire), le déni des troubles (anosognosie) et les idées délirantes (hallucinations auditives) étaient présents à ce moment-là, ce qui permettait de poser le diagnostic de psychose non organique. Aussi la juridiction cantonale n'était-elle pas en droit de suivre l'avis du docteur K._.
Dans ce contexte, la recourante soutient que l'avis du docteur M._ devrait l'emporter sur celui de son confrère K._ pour fixer le moment à partir duquel la schizophrénie paranoïde a eu une influence sur la capacité de travail. Dès lors que l'incapacité de travail déterminante était survenue à une époque où l'intimé n'était pas affilié auprès d'elle, la recourante nie son obligation de prester.
4.
4.1. Le constat, par les premiers juges, de l'incapacité totale de travailler liée à la schizophrénie paranoïde (F20.0) n'est pas remis en cause. La fixation, contestée, du début de l'incapacité de travail causée par cette affection relève également d'une question de fait. Pour établir ce constat, l'autorité précédente s'est fondée sur les observations du chef de clinique du Service de psychiatrie adulte de l'Hôpital C._ où l'intimé a été hospitalisé du 5 juillet 2008 au 25 mai 2009. Au cours de ce séjour, le diagnostic de schizophrénie paranoïde a pu être posé pour la première fois et c'est à cette occasion également qu'un spécialiste s'est exprimé sur le moment de la survenance de l'incapacité de travail liée à cette affection psychique, en indiquant qu'elle prévalait depuis mars 2008 au moins, soit quelques mois auparavant. Quant à la date du 6 novembre 2007, elle correspond au jour où l'intimé a été hospitalisé alors qu'il travaillait au service du Hockey Club I._.
4.2. C'est en vain que la recourante oppose aux constatations de la juridiction cantonale l'existence d'une incapacité de travail remontant à février 2005. Son raisonnement y relatif ne peut être suivi. En effet, il est fondé sur sa propre appréciation des diagnostics médicaux établis jusqu'en janvier 2007, par laquelle elle assimile certaines affections diagnostiquées en 2005 à une schizophrénie paranoïde en interprétant librement les codes CIM-10 retenus. Son interprétation ne trouve cependant appui sur aucun avis médical, même le docteur M._ attestant d'une forme paranoïde de schizophrénie "actif depuis janvier 2007". Elle n'est pas susceptible de démontrer le caractère manifestement inexact de la date retenue par la juridiction cantonale (6 novembre 2007).
4.3. En ce qui concerne ensuite l'argumentation de la recourante tendant à démontrer que la schizophrénie paranoïde prévalait au plus tard depuis janvier 2007, il est vrai que le tableau clinique décrit à ce moment-là par le docteur H._ semble correspondre à celui qu'il a établi pour novembre 2007 et que le docteur K._ a décrit comme "compatible avec celui que le patient présente actuellement" (cf. rapport du 13 janvier 2009 p. 5). Il n'en demeure pas moins que le docteur K._ a été le premier à poser le diagnostic de schizophrénie paranoïde, entraînant une incapacité de travail depuis mars 2008 au moins. Quoi qu'il en soit, le point de savoir si l'incapacité de travail survenue lors de l'hospitalisation de janvier 2007 est due à la même atteinte à la santé que celle qui a justifié l'hospitalisation de novembre 2007 puis de juillet 2008 peut rester indécis.
En effet, à l'inverse de ce que prétend la recourante, à supposer que l'intimé eût néanmoins été atteint de schizophrénie paranoïde invalidante déjà en janvier 2007, il faudrait alors admettre que le lien de connexité temporelle aurait été interrompu. L'intimé avait recouvré une capacité de travail entière durant une période suffisamment longue (cf. arrêt 9C_944/2012 du 10 juillet 2013 consid. 2.2, in SVR 2014 BVG n° 3 p. 8). Six mois s'étaient écoulés entre le moment où il avait repris les entraînements auprès du Hockey Club I._, le 30 avril 2007, jusqu'à son hospitalisation survenue le 6 novembre 2007, période pendant laquelle il n'existe pas d'indice d'une incapacité de travail, ni d'un engagement professionnel qui aurait été lié à des considérations sociales de l'employeur. Si, à sa sortie de l'Hôpital C._ en avril 2007, la situation de l'intimé avait été qualifiée de fragile par le docteur H._, celui n'avait pas attesté d'une incapacité de travail subséquente à avril 2007.
4.4. En conséquence de ce qui précède, l'intimé était assuré par l'institution de prévoyance recourante à l'époque où est survenue l'incapacité de travail déterminante (le 6 novembre 2007), c'est à bon droit que la juridiction cantonale a admis l'obligation de la recourante de prester. Le recours est infondé.
5.
La recourante, qui succombe, supportera les frais de la procédure (<ref-law>).

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce :
1.
Le recours est rejeté.
2.
Les frais judiciaires, arrêtés à 800 fr., sont mis à la charge de la recourante.
3.
Le présent arrêt est communiqué aux parties, à la Fondation collective LPP d'Allianz Suisse Société d'Assurances sur la Vie, à la Cour de justice de la République et canton de Genève, Chambre des assurances sociales, et à l'Office fédéral des assurances sociales.
Lucerne, le 25 janvier 2017
Au nom de la IIe Cour de droit social
du Tribunal fédéral suisse
La Présidente : Pfiffner
Le Greffier : Berthoud