Faits :
A.
A._, né en 1977 (époux) et B._, née en 1986 (épouse), tous deux de nationalité soudanaise, ont contracté mariage le 8 août 2008 au Soudan. Une enfant est issue de cette union, C._ (2010).
B.
B.a. Le 6 mars 2015, B._ a formé une requête de mesures protectrices de l'union conjugale devant le Tribunal de première instance du canton de Genève (ci-après: Tribunal). Elle a conclu à être autorisée à vivre séparée de son époux, à l'attribution en sa faveur de la jouissance du domicile conjugal et du mobilier le garnissant, ainsi que de la garde de sa fille, un droit de visite restreint devant être réservé au père. Elle a en outre conclu à l'instauration d'une curatelle d'organisation et de surveillance du droit de visite et à la condamnation de son époux à lui verser la somme de 2'620 fr. par mois, allocations familiales non comprises, à titre de contribution d'entretien.
A._ a sollicité la garde de sa fille et la jouissance du domicile conjugal. Il a en outre requis la mise en oeuvre d'une expertise psychiatrique.
B.b. Dans ses rapports des 19 mai et 31 août 2015, le Service de protection des mineurs (ci-après: SPMi) a préconisé d'attribuer la garde à la mère, d'instaurer une mesure de droit de regard et d'information, de réserver au père un droit de visite progressif se déroulant, sauf accord contraire entre les parents, à raison d'une journée par semaine, le samedi ou le dimanche, de 10h à 18h, le passage de l'enfant se faisant par le biais d'un Point Rencontre, et d'instaurer une curatelle d'organisation et de surveillance des relations personnelles.
B.c. Par jugement du 3 décembre 2015, le Tribunal a notamment autorisé les époux à vivre séparés pour une durée indéterminée (ch. 1 du dispositif), a confié la garde de C._ à l'épouse (ch. 2), a réservé au mari un droit de visite s'exerçant à raison d'un jour par semaine, soit le samedi ou le dimanche, en alternance, de 9h à 19h, le passage de l'enfant devant se faire par l'intermédiaire d'un Point Rencontre (ch. 3), a instauré une curatelle d'organisation et de surveillance du droit de visite (ch. 4), a instauré au profit du SPMi un droit de regard et d'information concernant la situation de l'enfant (ch. 5), a attribué à l'épouse la jouissance exclusive du domicile conjugal avec le mobilier le garnissant (ch. 6), a imparti au mari un délai échéant le 15 janvier 2016 pour libérer ce domicile (ch. 7), a condamné le mari à verser à l'épouse, par mois et d'avance, allocations familiales non comprises, avec effet dès le jour du prononcé du jugement, à titre de contribution à l'entretien de l'enfant, la somme de 400 fr. (ch. 8), a condamné le mari à verser à son épouse les allocations familiales perçues depuis juillet 2015 et non reversées à la mère (ch. 9), a condamné le mari à verser à l'épouse, à titre de contribution à son propre entretien, par mois et d'avance, avec effet dès le jour du prononcé du jugement, la somme de 1'400 fr. (ch. 10), a fixé les frais de la procédure à 500 fr. et les a mis à la charge des parties pour moitié chacune (ch. 11), et n'a pas alloué de dépens (ch. 12).
B.d. Le 22 décembre 2015, A._ a formé appel contre le jugement du 3 décembre 2015. Préalablement, outre l'octroi de l'effet suspensif, il a requis l'apport de la procédure pénale xxxxx, l'établissement d'un rapport complémentaire du SPMi et d'une expertise psychiatrique familiale, ainsi que d'être autorisé à répliquer. Principalement, il a conclu à la réforme du jugement attaqué en ce sens notamment que la garde de l'enfant C._ lui est confiée, un droit de visite ordinaire étant réservé à la mère, que la jouissance exclusive du domicile conjugal lui est attribuée, et que son épouse est condamnée à lui verser, par mois et d'avance, allocations familiales non comprises, avec effet au " jour du prononcé du présent jugement ", la somme de 400 fr. à titre de contribution à l'entretien de l'enfant et la somme de 1'400 fr. à titre de contribution à son propre entretien.
B._ a conclu à l'irrecevabilité de l'appel pour cause de tardiveté et à la confirmation du jugement entrepris.
A._ a répliqué et a notamment versé à la procédure l'intégralité de la procédure pénale xxxxx. Dans sa duplique, B._ a conclu à ce que la procédure pénale produite par son époux soit écartée.
B.e. Par arrêt du 11 février 2016, la Cour de justice du canton de Genève (ci-après: Cour de justice) a admis la requête de A._ tendant à la suspension de l'effet exécutoire des ch. 9 et 10 du dispositif du jugement attaqué pour tout montant dépassant 600 fr. par mois à titre de contribution d'entretien en faveur de son épouse, et l'a rejetée pour le surplus. Le recours en matière civile formé par A._ contre cet arrêt a été déclaré irrecevable par le Tribunal fédéral (5A_233/2016).
B.f. Par arrêt du 6 mai 2016, expédié le 13 mai 2016, la Cour de justice a annulé les ch. 10 et 11 du dispositif du jugement attaqué et les a réformés en ce sens que A._ est en l'état dispensé de contribuer à l'entretien de son épouse, que les frais de la procédure de première instance sont fixés à 500 fr., qu'ils sont mis à la charge des parties à concurrence de la moitié chacune, et qu'ils sont provisoirement laissés à la charge de l'Etat de Genève. Le jugement attaqué a été confirmé pour le surplus.
C.
Par acte posté le 23 juin 2016, A._ exerce un recours en matière civile au Tribunal fédéral contre l'arrêt du 6 mai 2016, avec requête d'effet suspensif. Il conclut à son annulation et à ce que la Cour de justice, préalablement, ordonne l'établissement d'un rapport complémentaire du SPMi ainsi qu'une expertise psychiatrique familiale et l'autorise à répliquer, puis, sur le fond, à ce qu'elle fasse droit à ses conclusions prises dans son acte d'appel du 22 décembre 2015. Subsidiairement, il sollicite le renvoi de la cause à la Cour de justice pour nouvelle décision dans le sens des considérants. A._ requiert en outre d'être mis au bénéfice de l'assistance judiciaire pour la procédure fédérale.
Invitée à se déterminer sur la requête d'effet suspensif, l'intimée a conclu à son rejet et a également sollicité d'être mise au bénéfice de l'assistance judiciaire. Sur le fond, elle a conclu au rejet du recours et à la confirmation de l'arrêt attaqué. Elle a par ailleurs réitéré sa demande d'assistance judiciaire.
La cour cantonale s'est référée aux considérants de son arrêt.
D.
Par ordonnance présidentielle du 14 juillet 2016, le Tribunal fédéral a admis la requête d'effet suspensif pour les contributions d'entretien dues jusqu'au 31 mai 2016, mais non pour les montants dus à partir du 1er juin 2016, le recourant étant en outre autorisé à rester dans le domicile conjugal durant la procédure fédérale.

Considérant en droit :
1.
1.1. Le présent recours a été interjeté en temps utile (<ref-law>) et dans la forme légale (<ref-law>), contre une décision finale (<ref-law>; <ref-ruling> consid. 4) prise en matière civile (<ref-law>) par l'autorité supérieure du canton statuant en dernière instance et sur recours (art. 75 al. 1 et 2 LTF). Le litige porte sur la garde, le droit aux relations personnelles, les contributions d'entretien, ainsi que la jouissance du domicile conjugal, à savoir sur une affaire non pécuniaire dans son ensemble. Le recourant a en outre qualité pour recourir (art. 76 al. 1 let. a et b LTF). Le recours en matière civile est en principe recevable au regard des dispositions qui précèdent.
2.
2.1. Comme la décision attaquée porte sur le prononcé de mesures protectrices de l'union conjugale (<ref-law>), lesquelles sont considérées comme des mesures provisionnelles au sens de l'<ref-law> (<ref-ruling> consid. 1.1; <ref-ruling> consid. 5), le Tribunal fédéral dispose d'un pouvoir d'examen limité, seule la violation des droits constitutionnels pouvant être invoquée. Il n'examine en outre les griefs de violation de tels droits que s'ils ont été invoqués et motivés conformément au principe d'allégation (<ref-law>), à savoir expressément soulevés et exposés de manière claire et détaillée (<ref-ruling> consid. 2.2; <ref-ruling> consid. 3.2; <ref-ruling> consid. 1.4.2). Le recourant qui se plaint de la violation d'un droit fondamental ne peut donc se borner à critiquer la décision attaquée comme il le ferait en instance d'appel, où l'autorité de recours jouit d'une libre cognition; il ne peut, en particulier, se contenter d'opposer sa thèse à celle de l'autorité cantonale, mais doit démontrer ses allégations par une argumentation précise (<ref-ruling> consid. 3; <ref-ruling> consid. 3.2). Les critiques de nature appellatoire sont irrecevables (<ref-ruling> consid. 2.3; <ref-ruling> consid. 10.1). Il doit exister un lien entre la motivation du recours et la décision attaquée. Le recourant doit se déterminer par rapport aux considérants de l'arrêt entrepris; il ne peut se contenter de reprendre presque mot pour mot l'argumentation formée devant l'autorité cantonale (<ref-ruling> consid. 2.1 et 2.3).
D'après la jurisprudence, une décision est arbitraire (art. 9 Cst.) lorsqu'elle est manifestement insoutenable, méconnaît gravement une norme ou un principe juridique clair et indiscuté, ou heurte de manière choquante le sentiment de la justice et de l'équité (<ref-ruling> consid. 3.2.5; <ref-ruling> consid. 2.1); il ne suffit pas qu'une autre solution paraisse concevable, voire préférable (<ref-ruling> consid. 2.1); pour que cette décision soit annulée, encore faut-il qu'elle se révèle arbitraire, non seulement dans ses motifs, mais aussi dans son résultat (<ref-ruling> consid. 2.1).
2.2. Le Tribunal fédéral statue sur la base des faits établis par l'autorité précédente (<ref-law>). Dans le cadre d'un recours soumis à l'<ref-law>, le recourant qui entend invoquer que les faits ont été établis de manière manifestement inexacte ne peut obtenir la rectification ou le complètement des constatations de fait de l'arrêt cantonal que s'il démontre la violation de droits constitutionnels, conformément au principe d'allégation susmentionné (cf. supra consid. 2.1). Le recourant ne peut donc pas se borner à contredire les constatations litigieuses par ses propres allégations ou par l'exposé de sa propre appréciation des preuves; il doit indiquer de façon précise en quoi ces constatations sont contraires au droit ou entachées d'une erreur indiscutable, c'est-à-dire arbitraire au sens de l'art. 9 Cst. (ATF <ref-ruling> consid. 1.2.2). Une critique des faits qui ne satisfait pas à cette exigence est irrecevable (<ref-law>; <ref-ruling> consid. 2.3; <ref-ruling> consid. 1.4.3).
2.3. Aucun fait nouveau ni preuve nouvelle ne peut être présenté, à moins de résulter de la décision de l'autorité précédente (<ref-law>). Cette exception vise les faits qui sont rendus pertinents pour la première fois par la décision attaquée; peuvent notamment être introduits des faits nouveaux concernant le déroulement de la procédure devant l'instance précédente, afin d'en contester la régularité, ou encore des faits postérieurs à l'arrêt attaqué permettant d'établir la recevabilité du recours. En dehors de ces cas, les nova ne sont pas admissibles, qu'il s'agisse de faits ou moyens de preuve survenus postérieurement à la décision attaquée, ou d'éléments que les parties ont négligé de présenter aux autorités cantonales (<ref-ruling> consid. 3.1.2; <ref-ruling> consid. 4.4.3).
Dans sa réponse, l'intimée fait valoir des faits nouveaux, à savoir, d'une part, qu'elle s'est réinstallée avec sa fille dans l'appartement conjugal sis à Y._, commune où C._ est toujours scolarisée à l'école primaire, et, d'autre part, que le recourant se serait constitué un nouveau domicile dans le quartier de Z._ à Genève. Ces allégations nouvelles - au demeurant dépourvues d'offres de preuve - n'entrent pas dans l'exception de l'art. 99 al. 1 in fine LTF; partant, elles sont irrecevables.
3.
La cause présente un élément d'extranéité en raison de la nationalité étrangère des époux. La compétence des juridictions suisses pour connaître du litige est donnée en raison du domicile des parties à Genève (<ref-law>). Le droit suisse est applicable (art. 48 et 49 LDIP; art. 4 de la Convention de La Haye du 2 octobre 1973 sur la loi applicable aux obligations alimentaires [RS 0.211.213.01]).
4.
Le recourant reproche premièrement à la Cour de justice d'avoir violé l'art. 9 Cst., en lien avec les art. 4 et 8 CC ainsi que 152 al. 1 et 183 al. 1 CPC, en refusant arbitrairement d'ordonner une expertise psychiatrique familiale et un rapport complémentaire du SPMi, violant ce faisant son droit d'être entendu (art. 29 al. 2 Cst.).
Il expose que le rapport d'expertise psychiatrique devait impérativement être ordonné au vu des éléments résultant de la procédure pénale qu'il avait versée au dossier. Or, la Cour de justice les avait totalement occultés, alors qu'ils révélaient le caractère inquiétant, irrationnel et incohérent de l'intimée et fondaient de sérieuses craintes quant à ses capacités éducatives. L'enfant était objectivement soumise à des formes " diverses et variées " de pression et de maltraitance psychologiques, l'intimée ayant très clairement une personnalité ambivalente. Elle n'avait du reste pas hésité à provoquer sciemment, et sans le moindre motif, la rupture de tout lien affectif entre l'enfant et son père durant plusieurs mois. Dans ces conditions, sans expertise psychiatrique, la Cour de justice ne pouvait attribuer la garde de l'enfant à l'intimée, mais devait à tout le moins la lui confier en vertu du " principe de précaution ".
Quant au rapport complémentaire du SPMi, le recourant prétend qu'il avait été requis pour " faire la lumière " sur la situation de logement de l'intimée, cette dernière ayant toujours refusé de fournir les pièces relatives à l'appartement qu'elle occupe dans le quartier de X._ à Genève depuis l'été 2015 au moins. Les juges cantonaux ne pouvaient, au vu du dossier et sans donner suite à ses réquisitions de preuve, uniquement se baser sur les déclarations de l'intimée pour retenir que cette dernière était hébergée provisoirement et non de manière durable.
4.1.
4.1.1. Le droit d'être entendu, tel qu'il est garanti par l'art. 29 al. 2 Cst., comprend notamment le droit pour l'intéressé de produire des preuves pertinentes, d'obtenir qu'il soit donné suite à ses offres de preuves pertinentes, de participer à l'administration des preuves essentielles ou à tout le moins de s'exprimer sur son résultat, lorsque cela est de nature à influer sur la décision à rendre (<ref-ruling> consid. 6.3.1; <ref-ruling> consid. 3.3). Le juge est cependant autorisé à effectuer une appréciation anticipée des preuves déjà disponibles et, s'il peut admettre de façon exempte d'arbitraire qu'une preuve supplémentaire offerte par une partie serait impropre à ébranler sa conviction, refuser d'administrer cette preuve (<ref-ruling> précité; <ref-ruling> consid. 4.3.2; <ref-ruling> consid. 5.3; <ref-ruling> consid. 5.3). Il n'en va pas différemment lorsque, comme ici (art. 272 et 296 al. 1 CPC), le procès est soumis à la maxime inquisitoire (<ref-ruling> consid. 2.2.3 et les arrêts cités).
4.1.2. Les mesures protectrices de l'union conjugale sont ordonnées à la suite d'une procédure sommaire avec administration restreinte des moyens de preuve et limitation du degré de la preuve à la simple vraisemblance (arrêts 5A_661/2011 du 10 février 2012 consid. 2.3; 5A_572/2012 du 15 novembre 2012 consid. 2.3). Il n'y a pas de violation du droit à la preuve (art. 29 al. 2 Cst.) lorsque le juge parvient à se former une conviction de la vraisemblance des faits en se fondant sur les preuves administrées (arrêt 5A_450/2016 du 4 octobre 2016 consid. 3.2 et les arrêts cités).
Dans la procédure de mesures protectrices de l'union conjugale, il s'agit d'aménager le plus rapidement possible une situation optimale pour les enfants. De longs éclaircissements, notamment par expertise, ne sauraient être la règle, même dans les cas litigieux; ils ne doivent être ordonnés que dans des circonstances particulières (abus sexuels sur les enfants, par exemple). Le sort des enfants est régi par la liberté de la preuve. L'expertise pédopsychologique est l'une des mesures d'instruction que le tribunal peut, mais ne doit pas, ordonner dans les affaires concernant les enfants régies par la maxime d'office; la décision sur ce point relève de son pouvoir d'appréciation. Dans la mesure où le tribunal peut déjà se forger son opinion sur la base des preuves administrées, son refus d'administrer encore d'autres preuves requises ne viole ni le droit à la preuve (art. 29 al. 2 Cst.) ni la maxime inquisitoire (arrêts 5A_265/2015 du 22 septembre 2015consid. 2.2.2; 5A_813/2013 du 12 mai 2014 consid. 4.3; 5A_905/2011 du 28 mars 2012 consid. 2.5 et les arrêts cités, publié in FamPra.ch 2012 p. 1123; 5A_160/2009 du 13 mai 2009 consid. 3.2, publié in FamPra.ch 2009 p. 731; 5A_444/2008 du 14 août 2008 consid. 2.2; 5P.328/2005 du 19 janvier 2006 consid. 6.2).
4.2.
4.2.1. Il sera tout d'abord relevé qu'il ne résulte nullement de l'arrêt attaqué que le rapport complémentaire du SPMi avait été requis en lien avec la situation de logement de l'intimée. A la lecture des écritures d'appel, singulièrement de la réplique du 22 février 2016, il s'avère que dit rapport avait été sollicité pour que le SPMi se prononce sur les capacités éducatives de l'intimée et sur la nécessité d'ordonner une expertise psychiatrique familiale, le rapport précédent datant du 31 août 2015. C'est donc exclusivement sous cet aspect que le refus de donner suite aux réquisitions de preuve du recourant sera examiné ci-après.
4.2.2. La Cour de justice a jugé qu'il n'existait aucun élément qui confirmerait la thèse développée par le recourant selon laquelle l'intimée manipulerait l'enfant, lui infligerait des punitions corporelles ou aurait un comportement incohérent. Il était établi que l'intimée s'en était occupée de manière prépondérante depuis sa naissance. Il résultait par ailleurs du dossier qu'en dépit de son exposition au conflit conjugal, l'enfant se développait harmonieusement et ne semblait pas rencontrer de problèmes particuliers selon sa pédiatre et son enseignante, laquelle l'avait décrite comme étant une petite fille souriante et attentive aux consignes. Le bon développement de l'enfant attestait ainsi du fait que sa mère lui prodiguait des soins adéquats, quand bien même elle avait quelques difficultés à lui assurer un suivi pédiatrique régulier. Le dossier était donc suffisamment instruit pour admettre que l'intimée disposait des capacités parentales suffisantes pour s'occuper de sa fille, aidée en cela par la curatelle d'assistance éducative mise en oeuvre. La procédure pénale produite par le recourant n'était pas de nature à modifier cette analyse et n'était donc pas pertinente. Dans ces conditions, il n'y avait pas lieu d'ordonner une expertise psychiatrique familiale.
4.2.3. En l'espèce, force est de constater que le recourant reprend les motifs qu'il a invoqués en vain en appel pour fonder sa requête tendant à la mise en oeuvre d'une expertise psychiatrique. Ce faisant, il n'expose aucunement en quoi l'appréciation anticipée des preuves à laquelle a procédé la cour cantonale serait arbitraire. A cet égard, l'affirmation selon laquelle les juges précédents auraient " totalement occulté " les éléments " plus qu'éloquents " résultant de la procédure pénale est non seulement erronée mais également insuffisante. Les juges précédents ont tenu compte de cette procédure pénale, mais l'ont considérée comme dénuée de pertinence car impropre à modifier leur conviction. Or, lister, comme le fait le recourant, certains éléments particuliers tirés d'une audience devant le procureur en charge du dossier pénal ne saurait à l'évidence rendre insoutenable le constat de la cour cantonale selon lequel l'expertise psychiatrique requise n'est pas susceptible de prévaloir sur les autres moyens de preuve déjà administrés. Au demeurant, les motifs retenus dans l'arrêt attaqué sont pertinents et permettaient, sans arbitraire, de justifier le refus d'ordonner une expertise psychiatrique, respectivement un rapport complémentaire du SPMi. Partant, le droit d'être entendu du recourant n'a pas été violé.
Pour autant que recevable, le grief doit être écarté.
5.
Le recourant reproche deuxièmement à la Cour de justice d'avoir arbitrairement (art. 9 Cst.) violé l'<ref-law> en attribuant la jouissance exclusive du domicile conjugal à l'intimée.
5.1. Si les époux ne parviennent pas à s'entendre au sujet de la jouissance de l'habitation conjugale, l'<ref-law> prévoit que le juge attribue provisoirement le logement conjugal à l'une des parties en faisant usage de son pouvoir d'appréciation. Il doit procéder à une pesée des intérêts en présence, de façon à prononcer la mesure la plus adéquate au vu des circonstances concrètes (arrêts 5A_132/2013 et 5A_133/2013 du 24 mai 2013 consid. 4.2.1; 5A_575/2011 du 12 octobre 2011 consid. 5.1).
En premier lieu, le juge doit examiner à quel époux le domicile conjugal est le plus utile ( grösserer Nutzen). Ce critère conduit à attribuer le logement à celui des époux qui en tirera objectivement le plus grand bénéfice, au vu de ses besoins concrets. A cet égard, entrent notamment en considération l'intérêt de l'enfant, confié au parent qui réclame l'attribution du logement, à pouvoir demeurer dans l'environnement qui lui est familier, l'intérêt professionnel d'un époux, qui, par exemple, exerce sa profession dans l'immeuble, ou encore l'intérêt d'un époux à pouvoir rester dans l'immeuble qui a été aménagé spécialement en fonction de son état de santé. L'application de ce critère présuppose en principe que les deux époux occupent encore le logement dont l'usage doit être attribué. Le fait qu'un des époux ait par exemple quitté le logement conjugal non pas pour s'installer ailleurs mais pour échapper provisoirement à un climat particulièrement tendu au sein du foyer ou encore sur ordre du juge statuant de manière superprovisionnelle ne saurait toutefois entraîner une attribution systématique de la jouissance du logement à celui des époux qui l'occupe encore (arrêts 5A_298/2014 du 24 juillet 2014 consid. 3.3.2; 5A_291/2013 du 27 janvier 2014 consid. 5.4).
Si ce premier critère de l'utilité ne donne pas de résultat clair, le juge doit, en second lieu, examiner à quel époux on peut le plus raisonnablement imposer de déménager, compte tenu de toutes les circonstances. A cet égard, entrent notamment en considération l'état de santé ou l'âge avancé de l'un des époux qui, bien que l'immeuble n'ait pas été aménagé en fonction de ses besoins, supportera plus difficilement un changement de domicile, ou encore le lien étroit qu'entretient l'un d'eux avec le domicile conjugal, par exemple un lien de nature affective. Des motifs d'ordre économique ne sont en principe pas pertinents, à moins que les ressources financières des époux ne leur permettent pas de conserver ce logement. Si ce second critère ne donne pas non plus de résultat clair, le juge doit alors tenir compte du statut juridique de l'immeuble et l'attribuer à celui des époux qui en est le propriétaire ou qui bénéficie d'autres droits d'usage sur celui-ci (<ref-ruling> consid. 2c; arrêts 5A_904/2015 du 29 septembre 2016 consid. 4.2; 5A_298/2014 du 24 juillet 2014 consid. 3.3.2; 5A_291/2013 du 27 janvier 2014 consid. 5.3.3; 5A_710/2009 du 22 février 2010 consid. 3.1, non publié aux <ref-ruling>).
5.2. La Cour de justice a constaté que l'enfant fréquente l'école primaire de Y._, lieu où se trouve le domicile conjugal dans lequel vit actuellement le recourant. L'argument de ce dernier selon lequel l'intimée s'était constituée un nouveau domicile et avait ainsi perdu tout intérêt à réintégrer l'appartement conjugal ne pouvait être suivi. Il apparaissait en effet que l'intimée était logée dans un hébergement géré par l'Hospice général, qui n'avait qu'un caractère temporaire. Par ailleurs, l'enfant devait effectuer quotidiennement des trajets pour se rendre à l'école à Y._. Compte tenu des bouleversements que celle-ci avait déjà vécus, il convenait d'éviter qu'elle ne doive également changer d'école, alors qu'elle y avait noué des attaches et qu'elle s'y sentait bien. L'attribution de la jouissance de l'appartement conjugal à l'intimée était dès lors pleinement justifiée.
5.3. Le recourant considère que la Cour de justice a versé dans l'arbitraire en ne constatant pas que l'intimée s'était déjà constituée un domicile séparé. Il était objectivement contraire à la réalité du dossier de considérer qu'elle était hébergée provisoirement. Il ressortait en effet du dossier que l'intimée disposait d'un logement propre depuis l'été 2015 au moins. Cet appartement indépendant, loué dans le quartier de X._ à Genève, était à quelques arrêts de bus de l'école primaire de Y._ où était scolarisée l'enfant. Il était donc faux d'affirmer que, si le logement familial n'était pas attribuée à l'intimée, l'enfant serait contrainte de changer d'école ou que le trajet du domicile actuel de l'intimée jusqu'à l'école de Y._ serait difficile pour l'enfant, ce trajet ne prenant que 15 minutes selon le site Internet des Transports publics genevois. Ainsi, contrairement à ce qu'avait retenu la Cour de justice, la situation actuelle n'avait engendré - et n'engendrerait - aucun bouleversement de l'équilibre personnel, social ou scolaire de l'enfant. Le recourant ajoute que les perspectives de trouver un appartement plus spacieux (ou à nouveau sur la commune de Y._) étaient plus réalistes pour l'intimée que pour lui, dès lors qu'elle bénéficiait de l'aide et de la prise en charge complète des services sociaux (Hospice général), qui l'appuyaient concrètement dans toutes ses démarches.
5.4. Les critiques du recourant, essentiellement appellatoires, laissent intacte la constatation de la cour cantonale selon laquelle le logement actuellement occupé par l'intimée est un hébergement provisoire mis à disposition de l'Hospice général. Hormis répéter quasiment textuellement ce qu'il avait déjà invoqué sans succès devant la cour cantonale - ce qui n'est pas admissible (cf. supra consid. 2.1) -, le recourant n'apporte aucun élément permettant de considérer qu'une telle constatation est arbitraire (sur la notion d'arbitraire, cf. supra consid. 2.1). Le fait que le recourant occupe actuellement le domicile conjugal, alors que l'intimée l'a quitté, ne saurait donc recevoir le poids prépondérant que le recourant semble vouloir lui donner dans la balance des intérêts qu'il convient d'opérer. S'agissant des motifs retenus par la cour cantonale pour attribuer la jouissance exclusive du logement conjugal à l'intimée, on peine à discerner en quoi ils seraient critiquables sous l'angle de l'arbitraire. Sur ce point également, la critique du recourant, qui se borne en définitive à opposer sa propre appréciation de la cause à celle des juges précédents, est largement appellatoire.
Autant que recevable, le grief doit être rejeté.
6.
Invoquant derechef l'arbitraire (art. 9 Cst.), le recourant se plaint enfin du fait que la Cour de justice a confirmé sa condamnation au paiement d'une contribution d'entretien de 400 fr. par mois, allocations familiales non comprises, en faveur de l'enfant. Si son budget avait correctement été établi, la cour cantonale aurait constaté qu'il n'a objectivement pas les moyens d'assumer une telle contribution.
6.1.
6.1.1. La loi n'impose pas au juge de méthode de calcul particulière pour fixer la quotité de la contribution d'entretien (<ref-ruling> consid. 4.2.2; <ref-ruling> consid. 3.2.2). La détermination de celle-ci relève du pouvoir d'appréciation du juge du fait, qui applique les règles du droit et de l'équité (<ref-law>). A cet égard, il n'y a violation du droit fédéral que si le juge a abusé de son pouvoir d'appréciation, en se référant à des critères dénués de pertinence ou en ne tenant pas compte d'éléments essentiels, ou bien encore si, d'après l'expérience de la vie, le montant arrêté paraît manifestement inéquitable (<ref-ruling> consid. 2.2.1; <ref-ruling> consid. 1; <ref-ruling> consid. 2c/aa; <ref-ruling> consid. 3a). Selon la jurisprudence constante (<ref-ruling> consid. 4.3; <ref-ruling> consid. 4.2.1; <ref-ruling> consid. 2-10; <ref-ruling> consid. 1a/aa), le minimum vital du débirentier au sens de l'<ref-law> doit dans tous les cas être préservé. Même une atteinte d'un montant objectivement faible est illicite (arrêt 5A_432/2011 du 20 septembre 2011 consid. 3.5 [mesures provisionnelles de divorce], publié in FamPra.ch 2012 p. 212).
6.1.2. Les contributions d'entretien se déterminent en fonction du revenu net du débirentier (arrêts 5A_703/2011 du 7 mars 2012 consid. 4.1; 5A_58/2011 du 6 juin 2011 consid. 2.3.1). Les allocations familiales ne doivent pas être ajoutées au revenu du parent qui les reçoit, mais doivent être déduites, préalablement, lors du calcul des besoins de l'enfant (ATF <ref-ruling> consid. 4.2.3; <ref-ruling> consid. 4b; DE WECK-IMMELÉ, in Droit matrimonial, Commentaire pratique, 2016, nos 63 et 166 ad <ref-law> et les arrêts cités).
La détermination du revenu effectif d'une partie est une question de fait et partant, d'appréciation des preuves (arrêts 5A_703/2011 précité; 5A_795/2010 du 4 février 2011 consid. 3.2; 5A_468/2010 du 27 octobre 2010 consid. 5.2, publié in FamPra.ch 2011 p. 237). Le point de savoir quelles sont les charges qu'une personne paie effectivement est également une question de fait (arrêts 5A_58/2011 précité; 5A_55/2007 du 14 août 2007 consid. 7.1).
6.1.3. Seuls les frais de logement effectifs ou raisonnables doivent être pris en considération dans le calcul des charges des époux, menant à celui de la contribution d'entretien (arrêts 5A_1029/2015 du 1er juin 2016 consid. 4.3.1; 5A_905/2014 du 12 mai 2015 consid. 3.3; 5A_365/2014 du 25 juillet 2014 consid. 3.1 et les références). Les charges de logement d'un conjoint peuvent ne pas être intégralement retenues lorsqu'elles apparaissent excessivement élevées au regard de ses besoins et de sa situation économique concrète (arrêts 5A_1029/2015 précité; 5A_365/2014 précité).
6.2. La Cour de justice a retenu que le recourant avait perçu, pour l'année 2014, un salaire net de 43'056 fr. Dans la mesure où, selon les fiches de salaire produites pour les mois de mars à juillet 2015, les allocations familiales (300 fr. par mois) étaient comprises dans le salaire versé, celui-ci s'élevait annuellement à 39'456 fr. (43'056 fr. [salaire annuel net] - 3'600 fr. [allocations familiales de 300 fr. x 12]), correspondant à 3'288 fr. par mois. Dès lors toutefois que le recourant avait fait état dans son mémoire d'appel d'un salaire mensuel net de 3'588 fr. par mois (43'056 fr. / 12), c'était ce dernier montant qui devait être retenu. Le Tribunal avait par ailleurs tenu compte d'un revenu supplémentaire correspondant aux prestations complémentaires familiales, d'aide sociale et de subsides d'assurance-maladie, d'un montant de 1'113 fr. par mois. Ce montant résultait toutefois d'une décision du 2 septembre 2014 concernant l'ensemble de la famille, de sorte que l'on ne pouvait retenir que le recourant continuait de le percevoir dans son intégralité. Les charges incompressibles du recourant devaient être retenues à hauteur de 2'926 fr. 80 par mois (1'200 fr. de minimum vital; 456 fr. 80 de prime d'assurance-maladie, subside déduit; 70 fr. de frais de transport; 1200 fr. de loyer estimé). Le montant de 1'200 fr. retenu au titre de loyer devait permettre au recourant de louer un appartement de deux ou trois pièces susceptible d'accueillir sa fille dans des conditions correctes. Il se justifiait que le recourant s'accommode d'un espace plus restreint, dès lors qu'il vivait seul et qu'il n'accueillerait sa fille que dans le cadre de l'exercice de son droit de visite. Il n'y avait par ailleurs pas lieu de tenir compte de la somme de 100 fr. par mois invoquée par le recourant au titre des impôts vu la situation financière très modeste des parties et l'absence de preuve du paiement effectif de cette somme. Compte tenu de ses revenus et charges mensuels, le recourant disposait d'un disponible de 661 fr. 20 (3'588 fr. - 2'926 fr. 80). Quant aux charges de l'enfant, non contestées, elles s'élevaient à 698 fr. 80 par mois, soit à 398 fr. 80 après déduction des allocations familiales. C'était donc à juste titre que le Tribunal avait condamné le recourant à verser la somme de 400 fr. par mois à titre de contribution à l'entretien de l'enfant, hors allocations familiales.
6.3. Le recourant rappelle que, serveur à plein temps dans la restauration, il réalise un salaire des plus modestes. A cet égard, la Cour de justice s'était basée sur un salaire mensuel net de 3'588 fr. par mois, alors qu'elle avait corrigé l'inadvertance manifeste du premier juge en constatant qu'il réalisait en réalité un salaire mensuel net de 3'288 fr. Elle était en outre tombée dans l'arbitraire en considérant qu'il pouvait aisément obtenir en location un appartement de deux ou trois pièces, pour un loyer de 1'200 fr. par mois. Il était en effet notoire qu'aucun appartement de deux ou trois pièces n'est mis sur le marché genevois à ce prix. Il correspondait plutôt aux loyers pratiqués pour une chambre individuelle. Il était ainsi arbitraire et choquant de ne pas admettre, au minimum, la somme de 1'500 fr. dans son budget mensuel à titre de coût de logement, étant rappelé que son loyer actuel s'élève à 1'459 fr. par mois. Le montant de 1'500 fr. correspondait au loyer moyen pour un appartement de deux ou trois pièces à Genève, compte tenu de la conjoncture actuelle et des prix pratiqués dans le canton depuis plusieurs années. Dès lors notamment qu'il était criblé de dettes et compte tenu du " taux d'effort maximum de 30% exigé actuellement par les bailleurs ", il était de toute façon illusoire de penser qu'une régie immobilière de la place lui attribuerait un tel logement. Cela étant, en corrigeant les deux postes litigieux de son budget mensuel, qui devait en outre être augmenté de la somme de 100 fr. au titre des impôts, il apparaissait clairement qu'il ne disposait d'aucun disponible, étant rappelé que son minimum vital devait être préservé.
6.4. S'agissant du loyer hypothétique raisonnable imputé au recourant, ce dernier ne parvient pas à démontrer l'arbitraire du raisonnement de la cour cantonale.
Il n'apparaît en effet pas insoutenable de retenir que le recourant doit trouver un logement qui soit davantage en adéquation avec les moyens financiers limités des parties et ses besoins, compte tenu de l'étendue de son droit de visite et du jeune âge de l'enfant. Pour ce qui est plus particulièrement du montant arrêté par la cour cantonale, la critique du recourant s'épuise en des affirmations appellatoires, en partie reprises de ses écritures cantonales, partant impropres à démontrer l'arbitraire de l'arrêt querellé sur ce point. Cela étant, même si les statistiques des loyers pratiqués à Genève sont accessibles sur Internet, ce que le recourant n'allègue même pas, cela ne veut pas encore dire qu'il serait prétendument notoirement impossible de trouver à Genève un logement de 2 ou 3 pièces pour un loyer de 1'200 fr. par mois (sur la notion de fait notoire, cf. <ref-ruling> consid. 4.1). Par ailleurs, c'est à juste titre que la cour cantonale n'a pas tenu compte du montant de 100 fr. allégué au titre des impôts compte tenu des moyens limités du débirentier. Conformément à la jurisprudence, les impôts ne sont en effet pris en considération dans le calcul de la contribution d'entretien que lorsque les conditions financières sont favorables. Dans les situations financières modestes, où le revenu des époux ne suffit pas à couvrir les besoins minimaux de deux ménages, la charge fiscale du débirentier ne doit en principe pas être prise en compte dans le calcul de son minimum vital du droit de la famille (<ref-ruling> consid. 4.2.3 et 4.4; <ref-ruling> consid. 4a/bb; <ref-ruling> consid. 2a/bb; <ref-ruling> consid. 1a/aa). Ce principe s'applique aussi aux mesures protectrices de l'union conjugale (arrêt 5A_219/2014 du 26 juin 2014 consid. 4.2.1 et les arrêts cités).
S'agissant du revenu du recourant, l'arrêt querellé est en revanche arbitraire tant dans sa motivation que dans son résultat.
Lorsque, comme en l'espèce, la maxime inquisitoire illimitée de l'<ref-law> s'applique, le juge n'est lié ni par les faits allégués ni par les faits admis par les parties (ATF <ref-ruling> consid. 3.2.1; arrêt 5A_31/2014 du 11 juillet 2014 consid. 3.3). Ce n'est que dans une procédure soumise à la maxime inquisitoire sociale (<ref-law>) qu'il a été considéré comme non arbitraire de se fonder sur l'admission des faits par une partie (arrêts 5A_565/2015 du 24 novembre 2015 consid. 4.2.1; 5A_298/2015 du 30 septembre 2015 consid. 2.1.2 et 2.2). La cour cantonale ne pouvait, sans arbitraire, considérer qu'elle était liée par le montant du salaire allégué par le recourant dans ses écritures, dès lors que la maxime inquisitoire illimitée est applicable et qu'elle avait constaté sur la base des pièces du dossier que ce montant devait être amputé des 300 fr. d'allocations familiales que le recourant percevait chaque mois. Par ailleurs, en ajoutant en définitive dites allocations familiales - déduites dans le calcul des besoins de l'enfant - au revenu du recourant qui les reçoit, elle s'est arbitrairement écartée de la jurisprudence (cf. supra consid. 6.1.2). Enfin, en fixant la contribution d'entretien de l'enfant à concurrence de 400 fr. par mois, la cour cantonale a porté atteinte de manière inadmissible au minimum vital du recourant (cf. supra consid. 6.1.1), quand bien même l'atteinte ne s'élève qu'à 38 fr. 80 (400 fr. - 361 fr. 20 [3'288 fr. (revenu mensuel net) - 2'926 fr. 80 (charges incompressibles)]).
Il y a dès lors lieu, sur ce point, de réformer l'arrêt entrepris en ce sens que le montant de la contribution d'entretien due par le mari en faveur de l'enfant dès le 3 décembre 2015 est fixé à 360 fr. par mois, allocations familiales non comprises.
7.
En définitive, le recours doit être très partiellement admis et l'arrêt attaqué réformé au sens des considérants. La cause sera renvoyée à l'autorité précédente pour nouvelle décision sur les frais de la procédure cantonale (<ref-law>), étant précisé qu'aucuns dépens n'ont été mis à la charge des parties devant les instances cantonales.
Devant le Tribunal fédéral, le recourant obtient très partiellement gain de cause sur la question du montant de la contribution à l'entretien de l'enfant. En conséquence, il supportera 4/5èmes des frais judiciaires arrêtés à 2'000 fr., le solde étant mis à la charge de l'intimée (<ref-law>). L'assistance judiciaire peut être accordée aux parties, compte tenu de leurs ressources restreintes (<ref-law>). Les dépens réduits pour leurs frais d'avocat respectifs seront fixés à 1'500 fr. Les parties sont toutefois rendues attentives au fait qu'elles devront rembourser la caisse du Tribunal, si elles retrouvent ultérieurement une situation financière leur permettant de le faire (<ref-law>).
L'effet suspensif ayant été attribué au recours de l'époux concernant notamment l'attribution de la jouissance du domicile conjugal, il convient, en tant que de besoin, de fixer à celui-ci un nouveau délai pour quitter ledit domicile (arrêt 5A_951/2013 du 27 mars 2014 consid. 6). La pratique considérant comme approprié un délai oscillant entre quelques semaines et trois mois (DE WECK-IMMELÉ, op. cit., n° 177 ad <ref-law>), un délai sera, à toutes fins utiles, imparti au 30 janvier 2017 pour ce faire.

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce :
1.
Le recours est très partiellement admis et l'arrêt réformé en ce sens que le montant de la contribution d'entretien due par le recourant en faveur de l'enfant dès le 3 décembre 2015 est fixé à 360 fr. par mois, allocations familiales non comprises. Le recours est rejeté pour le surplus.
2.
A toutes fins utiles, ordre est donné au recourant de quitter le domicile conjugal d'ici au 30 janvier 2017.
3.
La cause est renvoyée à l'autorité cantonale pour nouvelle décision sur les frais de la procédure cantonale.
4.
La requête d'assistance judiciaire du recourant est admise, Me Agrippino Renda, avocat à Genève, lui est désigné comme avocat d'office.
5.
La requête d'assistance judiciaire de l'intimée est admise, Me Samir Djaziri, avocat à Genève, lui est désigné comme avocat d'office.
6.
Les frais judiciaires, arrêtés à 2'000 fr. et provisoirement supportés par la Caisse du Tribunal fédéral, sont mis à la charge du recourant par 1'600 fr., le solde de 400 fr. étant supporté par l'intimée.
7.
La Caisse du Tribunal fédéral versera à l'avocat d'office du recourant une indemnité de 1'500 fr. à titre d'honoraires.
8.
La Caisse du Tribunal fédéral versera à l'avocat d'office de l'intimée une indemnité de 1'500 fr. à titre d'honoraires.
9.
Le présent arrêt est communiqué aux parties et à la Chambre civile de la Cour de justice du canton de Genève.
Lausanne, le 13 décembre 2016
Au nom de la IIe Cour de droit civil
du Tribunal fédéral suisse
Le Président : von Werdt
La Greffière : Hildbrand