Faits :
A.
A.a. A._ est au bénéficie d'une rente de l'assurance-vieillesse et survivants. Par décision du 6 août 2012, la Caisse cantonale neuchâteloise de compensation (ci-après: CCNC) lui a octroyé une allocation pour impotent de degré faible, à partir du 1 er mars 2011. Elle a retenu que l'assuré avait besoin d'une aide importante et régulière d'autrui pour faire sa toilette et d'un accompagnement durable pour faire face aux nécessités de la vie. Le prononcé se fondait sur les conclusions d'une enquête réalisée au domicile de A._ (rapport d'instruction du 26 avril 2012).
A.b. Après que la CCNC a rejeté, par décision sur opposition du 24 juin 2013, une première demande de révision déposée le 4 mars précédent par l'assuré, ce dernier a déposé une nouvelle demande le 8 octobre 2013. Il a fait état d'une péjoration de la situation en raison d'une plaie au tibia gauche et requis le droit à une allocation pour impotent de degré moyen. Il a en particulier indiqué avoir besoin d'un accompagnement durable pour faire face aux nécessités de la vie ainsi que d'une aide régulière et importante d'autrui pour accomplir plusieurs actes ordinaires (se vêtir/se dévêtir, préparer les vêtements, faire sa toilette, aller aux toilettes, se déplacer). Il a en outre mentionné un besoin de surveillance personnelle et de soins exigés par l'invalidité (questionnaire de révision du 29 octobre 2013). A._ a produit plusieurs documents médicaux à l'appui de sa demande, dont l'appréciation du docteur B._, spécialiste en rhumatologie (rapport du 19 août 2013).
Dans le cadre de l'instruction de la demande, l'Office de l'assurance-invalidité du canton de Neuchâtel a interpellé le docteur C._, spécialiste en médecine générale et médecin traitant (rapport du 10 décembre 2013), et fait procéder à une enquête à domicile (rapport d'instruction du 18 février 2014).
Par décision du 15 mai 2014, la CCNC a rejeté la demande de révision de l'assuré. Ce dernier a fait opposition à cette décision. Il a produit deux avis médicaux, dont un rapport du docteur D._, spécialiste en neurologie, du 28 avril 2014. Par décision sur opposition du 19 septembre suivant, la CCNC a confirmé le rejet de la demande.
B.
A._ a déféré cette décision devant le Tribunal cantonal de la République et canton de Neuchâtel, Cour de droit public. Il a produit plusieurs documents médicaux, dont les avis des docteurs E._, spécialiste en neurologie, et F._, spécialiste en psychiatrie et psychothérapie à la Clinique G._ (rapports des 13 août et 21 mai [recte: 4 juin] 2014). Par jugement du 26 mai 2015, la juridiction cantonale l'a débouté.
C.
L'assuré interjette un recours en matière de droit public contre ce jugement, dont il requiert l'annulation. Il conclut principalement au renvoi du dossier à l'intimée pour instruction complémentaire et, subsidiairement, à l'augmentation du degré de l'allocation pour impotent, respectivement à l'octroi d'une allocation pour impotent de degré moyen, dès le 8 octobre 2013. Il produit par ailleurs un avis du docteur D._ (rapport du 6 août 2015).

Considérant en droit :
1.
1.1. Le recours en matière de droit public peut être formé pour violation du droit, tel qu'il est délimité par les art. 95 et 96 LTF. Le Tribunal fédéral applique le droit d'office (art. 106 al. 1 LTF), sans être limité par les arguments de la partie recourante ou par la motivation de l'autorité précédente. Il n'examine en principe que les griefs invoqués, compte tenu de l'exigence de motivation prévue à l'art. 42 al. 2 LTF, et ne peut aller au-delà des conclusions des parties (art. 107 al. 1 LTF). Il fonde son raisonnement sur les faits retenus par la juridiction de première instance (art. 105 al. 1 LTF) sauf s'ils ont été établis de façon manifestement inexacte ou en violation du droit au sens de l'art. 95 LTF (art. 105 al. 2 LTF).
1.2. L'interprétation et l'application correctes de la notion juridique de l'impotence, le respect de la maxime inquisitoire et des règles sur l'appréciation des preuves au sens des art. 43 al. 1 et 61 let. c LPGA, ainsi que les exigences relatives à la valeur probante de rapports d'enquête au domicile de l'assuré relèvent de questions de droit, que le Tribunal fédéral examine librement (art. 95 let. a LTF). Les constatations de la juridiction cantonale sur les limitations de la personne assurée pour accomplir certains actes ordinaires de la vie, fondées sur le résultat d'examens médicaux et sur un rapport d'enquête à domicile, constituent en revanche des questions de fait, soumises au Tribunal fédéral sous un angle restreint (consid. 1.1 supra; <ref-ruling> consid. 3.2 p. 398 s., arrêts 9C_425/2014 du 26 septembre 2014 consid. 1.2 et 9C_410/2009 du 1er avril 2010 consid. 3 in SVR 2011 IV Nr. 11 S. 29).
2.
Le litige porte sur l'octroi d'une allocation pour impotent de degré moyen en lieu et place d'une allocation pour impotent de degré faible - telle qu'admise par la caisse intimée - dans le cadre d'une procédure de révision au sens de l'art. 17 LPGA, entreprise par le recourant. À cet égard, le jugement entrepris expose correctement les dispositions légales et les principes jurisprudentiels applicables en l'espèce. Il suffit dès lors d'y renvoyer.
3.
L'avis du docteur D._ produit en instance fédérale par le recourant (rapport du 6 août 2015) constitue une preuve nouvelle au sens de l'art. 99 al. 1 LTF. Ce rapport a été établi postérieurement au jugement cantonal, de sorte qu'il ne peut "résulter" de celui-ci. Le rapport du 6 août 2015 n'est dès lors pas recevable.
4.
La juridiction cantonale a comparé la situation de l'assuré au moment de la décision initiale d'octroi de l'allocation pour impotent (6 août 2012) à celle qui prévalait au moment du prononcé de la décision litigieuse (19 septembre 2014). Elle n'a constaté aucune aggravation. Se fondant sur les conclusions de l'enquête à domicile (rapport du 18 février 2014), elle a admis que le besoin d'aide pour faire sa toilette ainsi que celui d'accompagnement durable pour faire face aux nécessités de la vie subsistaient. En revanche, elle a nié l'existence d'un besoin d'aide pour les autres actes ordinaires invoqués (se vêtir/se dévêtir, préparer les vêtements, aller aux toilettes, se déplacer) ainsi que d'un besoin de surveillance personnelle et de soins exigés par l'invalidité. Elle a en effet considéré que le rapport du 18 février 2014 n'était pas remis en cause par les avis des docteurs E._, F._, D._ et B._ (rapports des 13 août, 21 mai [recte: 4 juin], 28 avril 2014 et 19 août 2013). Selon elle, ces documents n'indiquaient pas de quelle aide concrète le recourant avait besoin pour effectuer les actes de la vie quotidienne ni si cette aide devait être régulière et importante.
5.
5.1. Le recourant reproche à la juridiction cantonale d'avoir (arbitrairement) écarté les avis des docteurs E._, F._ (consilium pré-admission à la Clinique G._), D._ ainsi que B._ et considéré que la cause était suffisamment instruite. Il soutient au contraire que ces documents mettaient en doute les constatations retenues par le tribunal cantonal sur la base de l'enquête à domicile.
5.2. En l'occurrence, conformément à ce qu'ont retenu les premiers juges, aucun des avis médicaux que l'assuré a invoqués à l'appui de ses critiques ne contredit les conclusions de l'enquête à domicile, selon lesquelles il présente uniquement un besoin d'aide pour faire sa toilette ainsi qu'un besoin d'accompagnement durable pour faire face aux nécessités de la vie. Les arguments du recourant sont donc infondés.
En effet, comme l'a constaté la juridiction cantonale, le docteur B._ (rapport du 19 août 2013) a mentionné que le degré d'impotence faible ne correspondait pas à l'état de santé du recourant et indiqué des difficultés accentuées dans les actes de la vie de tous les jours. Le médecin n'a toutefois pas précisé de quels actes il s'agissait. Il s'est contenté d'indiquer que l'assuré était plus somnolant à la suite d'un changement de traitement et incapable d'effectuer les activités de sa journée, sans exposer concrètement lesquelles. En ce qui concerne le docteur F._ (rapport du 21 mai 2014 [recte: 4 juin 2014]), il a mentionné un "état d'impotence fonctionnelle tout de même assez handicapant", sans indiquer ni le genre ni l'intensité de l'aide nécessaire pour y remédier. Le recourant invoque en outre l'appréciation du docteur D._ (rapport du 28 avril 2014). Ce dernier a signalé de sévères séquelles liées à une libération incomplète du nerf ulnaire et s'est dit inquiet quant à l'évolution de l'état de santé de son patient. Ces constatations ne permettaient cependant pas de retenir que l'assuré avait besoin d'une aide plus importante que celle qui lui avait été accordée par décision du 6 août 2012. Quant au docteur E._ (rapport du 13 août 2014), dont l'avis est également invoqué par le recourant, il a relevé un état confusionnel et des troubles de la personnalité schizoïde avec état dépressif, mais il n'a nullement évoqué la capacité de l'assuré à effectuer ou non les actes de la vie quotidienne. Cela étant, le recours n'expose aucun élément objectif qui aurait été ignoré dans le cadre de l'appréciation des preuves par le tribunal cantonal et qui serait suffisamment pertinent pour mettre en doute les conclusions du rapport d'enquête auxquelles la juridiction de première instance s'est référée pour nier l'existence d'une aggravation du degré d'impotence de l'assuré. Il ne suffit pas à cet égard d'opposer sa propre appréciation des éléments au dossier à celle des premiers juges, comme le fait en vain le recourant.
6.
Dans la mesure où les raisons qui ont mené les premiers juges à se fonder sur le rapport d'enquête - dont la valeur probante n'a d'ailleurs pas été contestée par le recourant - plutôt que sur les rapports médicaux invoqués par ce dernier ne sont nullement arbitraires, il n'y a pas lieu de s'écarter de l'appréciation à laquelle ils ont procédé, qui n'apparaît ni insoutenable, ni autrement contraire au droit.
Par ailleurs, la mise en oeuvre d'une instruction complémentaire, telle que requise par l'assuré déjà en instance cantonale, se révélait superflue compte tenu des pièces au dossier, dont l'appréciation dénuée d'arbitraire a permis à la juridiction cantonale de forger sa conviction.
7.
Vu l'issue de la procédure, les frais judiciaires y afférents doivent être mis à la charge du recourant (art. 66 al. 1 LTF), qui ne saurait prétendre de dépens (art. 68 al. 1 LTF).

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce :
1.
Le recours est rejeté.
2.
Les frais judiciaires, arrêtés à 500 fr., sont mis à la charge du recourant.
3.
Le présent arrêt est communiqué aux parties, au Tribunal cantonal de la République et canton de Neuchâtel, Cour de droit public, et à l'Office fédéral des assurances sociales.
Lucerne, le 4 février 2016
Au nom de la IIe Cour de droit social
du Tribunal fédéral suisse
La Présidente : Glanzmann
La Greffière : Flury