Sachverhalt:
A.
A._ ist eine von elf Vermächtnisnehmerinnen im Nachlass von C._. Der Erblasser starb im Jahr 1994. Als einzigen Erben hatte er D._ eingesetzt. Gemäss der letztwilligen Verfügung soll A._ ein Zwanzigstel des Nettonachlasses zukommen. Als Willensvollstrecker amtete Advokat und Notar B._.
B.
Am 30. Dezember 1997 unterbreitete B._ dem einzigen Erben und sämtlichen Vermächtnisnehmern seine Nachlassabrechnung. Demnach beträgt der Nettonachlass knapp Fr. 54 Mio. und das Vermächtnis von A._ Fr. 2'691'391.40. Als Testamentsvollstreckerhonorar für B._ einschliesslich des Honorars der Bank E._ sowie Mehrwertsteuer ist auf der Abrechnung der Betrag von Fr. 600'000.-- angegeben. D._ genehmigte diese Abrechnung am 7. Januar 1998.
C.
Mit Schreiben vom 4. September 2006 wandte sich A._ an B._ und bat um Substantiierung des Willensvollstreckerhonorars. In einem Schreiben vom 9. Mai 2007 erklärten B._ und sein Bürokollege, dass sie das Honorar entsprechend dem prozentualen Tarif gemäss Basler Notariatsgebührentarif berechnet hätten.
D.
Am 10. November 2009 verklagte A._ den Willensvollstrecker vor dem Zivilgericht des Kantons Basel-Stadt. Sie verlangte, B._ zu verurteilen, über seine Tätigkeit als Willensvollstrecker im Nachlass Rechenschaft abzulegen, insbesondere seinen Zeitaufwand detailliert auszuweisen, und das Willensvollstreckerhonorar nach Massgabe der einschlägigen gesetzlichen Bestimmungen gerichtlich festzulegen. Sie stellte ausserdem den Antrag, B._ zu verurteilen, ihr mindestens den Betrag von Fr. 35'800.-- nebst Zins zu 5% seit dem 1. Dezember 2009 zu bezahlen, und behielt sich eine Teilklage bzw. Mehrforderung vor. Das Zivilgericht wies die Klage mit Entscheid vom 6. November 2013 ab, soweit es darauf eintrat.
E.
Die unterlegene Klägerin erhob Berufung beim Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt. Sie hielt nur mehr an ihrem auf Geldzahlung gerichteten Begehren (s. Bst. D) fest und stellte im Übrigen den Eventualantrag, die Angelegenheit zur neuen Entscheidung an die Vorinstanz zurückzuweisen. Das Appellationsgericht wies die Berufung ab und bestätigte den erstinstanzlichen Entscheid (Entscheid vom 24. Juni 2015).
F.
Mit Beschwerde in Zivilsachen vom 11. September 2015 wendet sich A._ (Beschwerdeführerin) an das Bundesgericht. Sie stellt den Antrag, den Entscheid des Appellationsgerichts "vollumfänglich aufzuheben" und die Sache zur Neubeurteilung, "nämlich zur materiellen Beurteilung", an die Vorinstanz, eventuell an das Zivilgericht zurückzuweisen. Eingeladen, sich zur Beschwerde vernehmen zu lassen, stellt B._ (Beschwerdegegner) den Antrag, die Beschwerde in Bestätigung des Entscheids des Appellationsgerichts "vollumfänglich abzuweisen", soweit überhaupt darauf einzutreten ist (Beschwerdeantwort vom 31. Mai 2016). Unter Verzicht auf weitere Erläuterungen beantragt mit Schreiben vom 3. Mai 2016 (Datum der Postaufgabe) auch das Appellationsgericht die Abweisung der Beschwerde. Die Eingaben wurden der Beschwerdeführerin zur Wahrung des rechtlichen Gehörs zur Kenntnis gebracht.

Erwägungen:
1.
Die Beschwerde richtet sich gegen den Endentscheid einer letzten kantonalen Instanz in einer vermögensrechtlichen Zivilsache (Art. 72 Abs. 1, 75 und 90 BGG). Die gesetzliche Streitwertgrenze von Fr. 30'000.-- (Art. 74 Abs. 1 Bst. b BGG) ist erreicht, die Beschwerdefrist eingehalten (Art. 100 Abs. 1 i.V.m. Art. 46 Abs. 1 Bst. b BGG). Von daher ist die Beschwerde in Zivilsachen zulässig.
2.
2.1. Der Beschwerdegegner bemängelt, dass sich die Beschwerdeführerin mit einem kassatorischen Rechtsbegehren begnüge, obwohl ein reformatorischer Antrag möglich gewesen wäre. Sie mache nicht geltend, dass das Bundesgericht im Falle der Gutheissung der Beschwerde nicht selbst entscheiden könnte, sondern gehe lediglich davon aus, dass es nicht selbst entscheiden würde. Deshalb sei auf die Beschwerde gar nicht erst einzutreten.
2.2. Das Bundesgericht prüft die Zulässigkeit der ihm unterbreiteten Rechtsmittel von Amtes wegen und mit freier Kognition (<ref-ruling> E. 1 S. 116). Die Beschwerde in Zivilsachen ist ein reformatorisches Rechtsmittel (<ref-law>). Grundsätzlich muss die rechtsuchende Partei einen Antrag in der Sache stellen, das heisst angeben, welche Punkte des Entscheids sie anficht und welche Änderungen sie beantragt. Ein blosser Rückweisungsantrag reicht ausnahmsweise aus, wenn das Bundesgericht im Falle der Gutheissung in der Sache naturgemäss nicht selbst entscheiden könnte (so ausdrücklich <ref-ruling> E. 1.3 S. 383). Dieser Ausnahmefall ist hier gegeben. Im Streit um die Vermächtnisklage verneint das Appellationsgericht die Passivlegitimation des Beschwerdegegners, mit Blick auf eine Rückforderungsklage spricht es der Beschwerdeführerin die Aktivlegitimation ab und die These einer Verantwortlichkeit des Beschwerdegegners verwirft es mit der Begründung, die Beschwerdeführerin habe dessen Verschulden nicht hinreichend substanziiert. Bei dieser Ausgangslage müsste das Bundesgericht die Streitsache im Falle einer Gutheissung unabhängig davon, in welchem Punkt die Beschwerdeführerin durchdringt, zur weiteren Behandlung an die Vorinstanz zurückweisen. Der Einwand des Beschwerdegegners ist unbegründet.
3.
Die Klageforderung von Fr. 35'800.-- entspricht dem Geldbetrag, um den sich das Quotenvermächtnis der Beschwerdeführerin ihren eigenen Berechnungen zufolge erhöhen würde, falls das Willensvollstreckerhonorar auf einen angemessenen Betrag reduziert würde und der Beschwerdegegner den Mehrbetrag (zuzüglich Verzugszinsen) zurückerstatten müsste. Die Beschwerdeführerin wirft dem Appellationsgericht vor, mit der Abweisung dieser Klage in verschiedener Hinsicht das Bundesrecht zu verletzen. Im ordentlichen Beschwerdeverfahren sind vor Bundesgericht in rechtlicher Hinsicht alle Rügen gemäss Art. 95 f. BGG zulässig. Unter Vorbehalt der Verletzung verfassungsmässiger Rechte wendet das Bundesgericht das Recht in diesem Bereich von Amtes wegen an (<ref-law>). Es kann eine Beschwerde daher auch aus andern als den geltend gemachten Gründen gutheissen oder den Entscheid mit einer Begründung bestätigen, die von jener der Vorinstanz abweicht (<ref-ruling> E. 4 S. 252). Demgegenüber ist das Bundesgericht grundsätzlich an den Sachverhalt gebunden, den die Vorinstanz festgestellt hat (<ref-law>). Diesbezüglich kann einzig vorgebracht werden, die vorinstanzliche Feststellung des Sachverhalts sei offensichtlich unrichtig oder beruhe auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> (<ref-law>). Hierfür gilt das strenge Rügeprinzip (<ref-law>; vgl. <ref-ruling> E. 2.2 S. 246; <ref-ruling> E. 1.4.2 S. 254).
4.
Der Streit dreht sich zunächst um die Frage, ob sich die Beschwerdeführerin zur Durchsetzung ihrer Forderung mit der Vermächtnisklage (<ref-law>) behelfen kann.
4.1. Das Appellationsgericht verneint die Passivlegitimation des Beschwerdegegners. Es verweist auf die Erwägungen des Zivilgerichts. Danach kann sich die Vermächtnisklage auch gegen den Willensvollstrecker als Prozessstandschafter richten, weil die Ausrichtung der Vermächtnisse zu den Aufgaben des Willensvollstreckers gehört. Möglich sei dies aber nur, solange der Willensvollstrecker über zu verteilende Erbschaftsaktiven und damit über Haftungssubstrat verfügt. Mit der Teilung des Nachlasses ende die Passivlegitimation des Willensvollstreckers. Das Zivilgericht kommt zum Schluss, mit der Vorlage der Nachlassabrechnung und der unterschriftlichen Zustimmung des einzigen Erben vom 7. Januar 1998 sei die Willensvollstreckung für den Beschwerdegegner materiell abgeschlossen. Das Appellationsgericht pflichtet diesen Erwägungen bei. Es stellt fest, dass der Beschwerdegegner über keine zu verteilenden Nachlassaktiven mehr verfüge. Das Nachlassvermögen sei verteilt und dem Willensvollstrecker vom Erben Décharge erteilt worden. Damit sei die Passivlegitimation des Beschwerdegegners dahingefallen. Das Appellationsgericht betont, dass das Willensvollstreckerhonorar grundsätzlich eine Erbgangsschuld darstelle und deshalb vom zu verteilenden Nachlass vorweg in Abzug zu bringen sei. Mithin bilde es formell gar kein Erbschaftsaktivum und berühre auch den Anspruch der Vermächtnisnehmer nicht. Letzteren stehe gemäss der letztwilligen Verfügung ein Zwanzigstel des Nettonachlasses zu.
Sodann verwirft das Appellationsgericht die These, wonach ein Quotenvermächtnis der bedachten Person zu einer "erbenähnlichen Stellung" verhelfe, die ihr insbesondere bei der Déchargeerteilung dieselben Rechte wie den Erben einräumen soll. Unter Hinweis auf Literaturstellen kommt es zum Schluss, den Vermächtnisnehmern stehe ein Informationsanspruch einzig bezüglich der Ausrichtung des Vermächtnisses zu, nicht aber ein Anspruch auf Rechenschaftsablegung und Déchargeerteilung. Dies gelte entgegen der Meinung der Beschwerdeführerin auch für Quotenvermächtnisnehmer. In diesem Zusammenhang setzt sich das Appellationsgericht auch mit der Frage der Aktivlegitimation der Beschwerdeführerin auseinander. Es weist darauf hin, dass eine Rückforderungsklage gegenüber dem Willensvollstrecker wegen zu viel bezahlter Honorare den Erben nur gemeinsam zustehe. Selbst wenn man die Beschwerdeführerin als "Quasierbin" betrachten wollte, wäre der Klage gegen den Beschwerdegegner kein Erfolg beschieden, denn diesfalls würde die Klage voraussetzen, dass die Beschwerdeführerin mit dem einzigen Erben gemeinsam einen Rückforderungsanspruch geltend macht. Dies sei hier aber nicht der Fall, weshalb es der Beschwerdeführerin an der Aktivlegitimation fehlen würde.
4.2. Die Beschwerdeführerin argumentiert, nachdem sie mit einem Quotenvermächtnis bedacht worden sei, hänge ihr Legat direkt von der Höhe des Willensvollstreckerhonorars ab. Soweit die Honorarbezüge des Beschwerdegegners das gesetzliche Mass überschreiten, verfüge er auch nach wie vor über Nachlassaktiven. Die vorinstanzliche Feststellung, wonach sich keine Nachlassaktiven mehr beim Beschwerdegegner befänden, sei deshalb willkürlich. Zumindest im Umfang der eingeklagten Differenz zwischen dem effektiv geschuldeten Vermächtnis und dem ausbezahlten Betrag sei die Willensvollstreckung für den Beschwerdegegner eben gerade nicht materiell abgeschlossen. Die Beschwerdeführerin bestreitet auch, dass ihr die Déchargeerklärung des Erben entgegengehalten werden könne. Eine Willensvollstreckung könne nicht dadurch zu ihrem Ende kommen, dass die Erben dem Mandataren Décharge erteilen oder mit diesem eine sonstige Vereinbarung treffen. Soweit der Willensvollstrecker nicht abgesetzt wird oder sich selbst vorzeitig zurückziehe, ende sein Auftrag erst mit der gehörigen Erledigung, wozu auch die testaments- und gesetzeskonforme Ausrichtung der (Quoten-) Legate gehöre. Der vorinstanzliche Schluss, die Déchargeerklärung des einzigen Erben beende die Passivlegitimation des Beschwerdegegners, sei deshalb bundesrechtswidrig.
Für den Fall, dass auch nach der Auffassung des Bundesgerichts die Déchargeerteilung durch den einzigen Erben die Passivlegitimation des Beschwerdegegners beenden sollte, hält die Beschwerdeführerin daran fest, dass ihr gestützt auf <ref-law> eine erbenähnliche Stellung zukomme, die ihr sowohl gegenüber dem Erben als auch gegenüber dem Willensvollstrecker gewisse Rechte einräume, die das Gesetz einem "gewöhnlichen" Vermächtnisnehmer nicht zubillige. Die Pflicht des Willensvollstreckers, die Interessen der Vermächtnisnehmer gebührend zu berücksichtigen, beinhalte im Falle eines Quotenlegats auch eine umfassende Rechenschaftspflicht des Willensvollstreckers, die sich insbesondere auch auf das Honorar erstrecke. Deshalb hätte der Beschwerdegegner auch ihr die Schlussabrechnung mit dem Honorar zur Genehmigung unterbreiten müssen, so die Folgerung der Beschwerdeführerin.
4.3. Der Beschwerdegegner macht sich im Wesentlichen die vorinstanzliche Beurteilung zu eigen. Insbesondere wird er nicht müde zu betonen, dass mit dem Bezug seines Honorars auch der angeblich ungerechtfertigte Anteil nicht mehr Teil des Nachlassvermögens sei, die Passivlegitimation des Willensvollstreckers jedenfalls mit dem Abschluss der Nachlassabwicklung im Jahre 1998 geendet habe und auch die Déchargeerteilung durch den Erben belege, dass er über keine Nachlassaktiven mehr verfüge.
5.
5.1. Die Vermächtnisnehmer haben gegen die Beschwerten oder, wenn solche nicht besonders genannt sind, gegen die gesetzlichen oder eingesetzten Erben einen persönlichen Anspruch (<ref-law>). Diese erbrechtliche (BGE 66 I 48 ff.) Klage der Vermächtnisnehmer zur Durchsetzung ihres obligatorischen Auslieferungsanspruchs kann sich auch gegen den beauftragten Willensvollstrecker richten, der im Streit darüber, ob gemäss Verfügung von Todes wegen einem Bedachten gewisse Rechte zustehen, neben den Erben passivlegitimiert ist (<ref-ruling> E. 2e S. 261). Im Streit um Forderungsansprüche, die gegen die Erbschaft erhoben werden, setzt die Passivlegitimation des Willensvollstreckers aber voraus, dass der Streit auch tatsächlich Aktiven und Passiven der Erbschaft zum Gegenstand hat und dass dem Willensvollstrecker die Verwaltung der betreffenden Erbschaftswerte zusteht (<ref-ruling> E. 3a S. 133; <ref-ruling> E. 1 S. 142). Dabei handelt der Willensvollstrecker im gemeinsamen Interesse aller Erben (<ref-ruling> E. 3 S. 601). Daraus folgt, dass die Vermächtnisklage gegen den Willensvollstrecker nur gegeben ist, soweit der Willensvollstrecker nicht persönlich, sondern mit dem Nachlassvermögen in Anspruch genommen wird. Entsprechend ist auch die Wirkung eines die Vermächtnisklage gutheissenden Urteils gegen den Willensvollstrecker auf die Güter des Nachlasses beschränkt (<ref-ruling> E. 3b S. 135; 59 II 119 E. 2 S. 123).
5.2. Von der erbrechtlichen Auseinandersetzung um die Auslieferung eines Vermächtnisses, in denen der Willensvollstrecker als Verwalter des Nachlasses handelt, sind die Streitigkeiten zu unterscheiden, in denen er als Partei in eigener Sache auftritt. Dazu zählt insbesondere der Streit um den Anspruch des Willensvollstreckers auf angemessene Vergütung für seine Tätigkeit (<ref-law>). Diese Vergütung des Willensvollstreckers zählt zu den Erbgangsschulden (Urteile 5A_672/2013 vom 24. Februar 2014 E. 6.1 und 5A_881/2012 vom 26. April 2013 E. 5.1), für die nach herrschender Auffassung neben dem Nachlass die Erben grundsätzlich solidarisch haften (MARTIN KARRER/NEDIM PETER VOGT/DANIEL LEU, in: Basler Kommentar, 5. Aufl. 2015, N 33 zu <ref-law>; HANS RAINER KÜNZLE, in: Berner Kommentar, 2011, N 413 f. zu Art. 517-518 ZGB; PAUL PIOTET, Erbrecht, SPR IV/1, 1978, S. 165; STEPHAN WOLF/GIAN SANDRO GENNA, Erbrecht, SPR IV/1, 2012, S. 343; PAUL-HENRI STEINAUER, Le droit des successions, 2. Aufl. 2015, S. 594). Der Streit um die Honorierung des Willensvollstreckers gehört nicht (mehr) zur Willensvollstreckung, sondern zur Liquidation des privatrechtlichen (<ref-ruling> E. 2 S. 380 f.) Rechtsverhältnisses zwischen Willensvollstrecker und Erbschaft nach Durchführung der Willensvollstreckung. Entsprechend steht der Willensvollstrecker im Streit um seine Vergütung vor dem Zivilrichter in aller Regel den Erben gegenüber (BGE 78 II 123 E. 1a S. 125 f.). Keine erbrechtliche Klage auf Auslieferung des Vermächtnisses, sondern eine gegen den Willensvollstrecker persönlich gerichtete (Forderungs-) Klage erhebt aber auch der Vermächtnisnehmer, der dem Willensvollstrecker vorwirft, durch die zu hohe Berechnung des Honorars das Reinvermögen der Erbschaft vermindert und die Herabsetzung des Vermächtnisses herbeigeführt zu haben, und der den Willensvollstrecker auf denjenigen Teil des angeblich übersetzten Honorars verklagt, der ihm seiner Meinung nach als Saldo seiner Vermächtnisforderung zusteht. Denn auch in diesem Fall ist nicht das Erbrecht im weiteren Sinne - hier das Recht auf das Vermächtnis - Gegenstand des Streits zwischen den Parteien, sondern letztlich der Bestand einer Forderung der Erbschaft gegenüber einem Dritten, hier gegenüber dem Willensvollstrecker (vgl. grundlegend schon BGE 6 I 400, E. 2 S. 405 f.).
6.
6.1. Gleich präsentiert sich die Streitlage auch im vorliegenden Fall (vgl. E. 3). Die tatsächliche Feststellung des Appellationsgerichts, wonach das Nachlassvermögen unterdessen verteilt ist, stellt die Beschwerdeführerin vor Bundesgericht nicht in Abrede. Sie bestreitet bloss den von der Vorinstanz daraus gezogenen Schluss, dass "im jetzigen Zeitpunkt" kein Nachlassvermögen mehr bestehe. In ihrem Schriftsatz schreibt die Beschwerdeführerin selbst, der Beschwerdegegner habe das Honorar von Fr. 600'000.-- (s. Sachverhalt Bst. B) von den Erbschaftsaktiven "einbehalten" und seinem Privat- oder Geschäftskonto "gutschreiben lassen"; soweit seine "Bezüge" das Mass einer angemessenen Vergütung im Sinne von <ref-law> überschritten, würden sie "nichts anderes als zu Unrecht auf das Privat- oder das Geschäftskonto verschobene Nachlassaktiven" darstellen. Der Folgerung der Beschwerdeführerin, dass sich die vorgenommenen Bezüge des Beschwerdegegners bei dieser Ausgangslage "dem Prinzip nach... auch heute noch immer" in den Nachlassaktiven befinden, kann jedoch nicht gefolgt werden:
6.2. Muss nämlich in tatsächlicher Hinsicht als unbestritten gelten, dass der Beschwerdegegner das Honorar von Fr. 600'000.-- auf die beschriebene Art und Weise bezogen hat, so ist nicht das Verhältnis zwischen der Beschwerdeführerin und der Erbschaft Gegenstand des vorliegenden Zivilprozesses (s. E. 5.1). Vielmehr steht der Beschwerdegegner der Beschwerdeführerin als Beklagter in eigener Sache gegenüber (s. E. 5.2) : Bildlich gesprochen fordert die Beschwerdeführerin mit ihrer Klage einen Geldbetrag aus dem persönlichen Vermögen des Beschwerdegegners zurück, der ihrer Meinung nach nicht dorthin, sondern in den (Netto-) Nachlass gehört und deshalb direkt ihrem Quotenvermächtnis zufliessen soll. Diese Erkenntnis lässt sich durch einen Blick auf die Interessenlage bestätigen. Sähe sich der Beschwerdegegner als Beklagter einer Vermächtnisklage gegenüber, so wäre er als Willensvollstrecker dazu berufen, die gemeinsamen Interessen aller Erben zu verteidigen (E. 5.1). Hier aber entspricht die eingeklagte Geldsumme dem quotenmässigen Anteil der Beschwerdeführerin am Honorar, das der Beschwerdegegner zu Unrecht bezogen haben soll (E. 3). Auch wenn die Beschwerdeführerin mit ihrem Begehren durchdränge, wäre von diesem Ergebnis niemand anderes als der Beschwerdegegner persönlich betroffen. Mithin geht es der Beschwerdeführerin nach dem Ziel und Zweck ihrer Klage - wie das Appellationsgericht zutreffend klarstellt - um nichts anderes als um die Rückforderung zu viel bezahlter Willensvollstreckerhonorare.
6.3. An dieser Beurteilung würde sich auch dann nichts ändern, wenn der Beschwerdeführerin "unter Hinweis auf <ref-law> die erbenähnliche Stellung" zukäme, die sie für sich in Anspruch nimmt (s. E. 4.1). Steht fest, dass das Honorar dem Beschwerdegegner persönlich bereits zugeflossen ist (E. 6.1), könnte sich auch D._, der die Schlussabrechnung des Beschwerdegegners als einziger Erbe genehmigt hat (s. Sachverhalt Bst. B), nur mehr mit einer bereicherungs- oder vertragsrechtlichen Rückforderungsklage behelfen, soweit sich der Streit allein um die Höhe des bezogenen Honorars und nicht um die Verantwortlichkeit des Willensvollstreckers dreht (vgl. Urteil 5A_881/2012 vom 26. April 2013 E. 4.1). Deshalb kann offenbleiben, welche Tragweite die Genehmigung der Schlussabrechnung ("Déchargeerklärung") durch den einzigen Erben für die Beschwerdeführerin hat.
6.4. Nach alledem scheitert die Vermächtnisklage der Beschwerdeführerin entgegen der Meinung der kantonalen Instanzen nicht (erst) an der Passivlegitimation des Beschwerdegegners. Vielmehr bedient sich die Beschwerdeführerin mit dieser Vermächtnisklage schon von Anfang an und insgesamt des falschen Rechtsbehelfs, um ihre behaupteten subjektiven Rechte zu verwirklichen und vor Gericht durchzusetzen. Mit dieser Begründung - und nur mit dieser (s. E. 2) - ist den kantonalen Instanzen im Ergebnis beizupflichten, wenn sie die Vermächtnisklage abweisen. Die Beschwerde erweist sich insoweit als unbegründet. Eine andere Frage ist, ob der Beschwerdegegner zur Rückforderungsklage passivlegitimiert wäre, welche die Beschwerdeführerin in Tat und Wahrheit gegen ihn erhebt (E. 6.2). Der Willensvollstrecker ist mit dem Vorwurf konfrontiert, sein übersetztes Honorar schmälere im Ergebnis das Quotenvermächtnis. Was es damit auf sich hat, kann jedoch offenbleiben. Mit Blick auf die Rückforderungsklage erklärt das Appellationsgericht nämlich, die Beschwerdeführerin könnte den Rückforderungsanspruch nur mit dem Erben gemeinsam geltend machen. Dies sei hier nicht geschehen, weshalb es der Beschwerdeführerin an der Aktivlegitimation fehlen würde. Auf diese zuletzt erwähnte Erkenntnis geht die Beschwerdeführerin vor Bundesgericht mit keinem Wort ein. Damit aber übersieht sie, dass der angefochtene Entscheid in dieser Hinsicht auf einer doppelten Begründung beruht und sich die Beschwerdeschrift in einem solchen Fall auch mit beiden Begründungen auseinandersetzen muss (<ref-ruling> E. 3.2 S. 235 f.; <ref-ruling> E. 3.4 S. 735 mit Hinweis). Stellt sie von mehreren voneinander unabhängigen Begründungslinien nur einzelne Elemente in Frage, während sie andere unangefochten stehen lässt, so tritt das Bundesgericht diesbezüglich auf die Beschwerde nicht ein (<ref-ruling> E. 6.3 S. 120 f.).
7.
Streitig ist weiter, was es mit der Verantwortlichkeitsklage auf sich hat, welche die Beschwerdeführerin gestützt auf Art. 97 ff. bzw. <ref-law> in "Anspruchskonkurrenz" zur (nicht gegebenen: E. 4-6) Vermächtnisklage erhebt.
7.1. Das Appellationsgericht stellt zunächst fest, die Beschwerdeführerin habe diese Verantwortlichkeitsklage in ihren schriftlichen Ausführung vor erster Instanz zwar erwähnt, allerdings dann im Plädoyer präzisiert, es gehe vorliegend um eine Vermächtnisklage. Entsprechend habe das Zivilgericht die Leistungsklage denn auch als Vermächtnisklage betrachtet. Das Appellationsgericht bezweifelt, dass die Verantwortlichkeitsklage "nun prozessual zulässigerweise im Berufungsverfahren wiederum... eingeführt werden kann". Es lässt die Frage aber offen mit der Begründung, es fehle in diesem Zusammenhang an den Ausführungen zum Verschulden des Willensvollstreckers und damit an der erforderlichen Substantiierung. Die Haftung des Willensvollstreckers sei wegen fehlenden Verschuldens nämlich ausgeschlossen, wenn die Erben oder die Aufsichtsbehörde einer von ihm beabsichtigten Handlung zugestimmt haben. Das Appellationsgericht betont, die Pflicht zur Rechenschaftsablage mit Schlussrechnung und zur Einholung der Genehmigung und Déchargeerteilung bestehe gegenüber den Erben. Gegenüber dem Vermächtnisnehmer bestehe nur eine Pflicht zur Auskunfterteilung, Information und Akteneinsicht bezüglich der näheren Umstände des Vermächtnisses. Die Erben könnten den Willensvollstrecker sogar von einer Rechenschaftspflicht entbinden. Ein Verschuldensnachweis - der vorliegend gar nicht geführt werde - würde schon an diesem Umstand scheitern.
7.2. Der Beschwerdegegner stellt sich auf den Standpunkt, die Verantwortlichkeitsklage sei "schon aus grundsätzlichen Überlegungen abzuweisen". Nachdem die Beschwerdeführerin mit der Vermächtnisklage angeblich noch vorhandene Nachlassaktiven herausverlange bzw. einen Ablieferungsanspruch geltend mache, könne sie nicht gleichzeitig einen "Schaden aus Verantwortlichkeitsklage" behaupten, denn diese Ansprüche schlössen sich gegenseitig aus. Die Anspruchskonkurrenz lebe auch nicht wieder auf, weil die Vermächtnisklage wegen fehlender Passivlegitimation oder die Rückforderungsklage mangels Aktivlegitimation abgewiesen wird. Dieser Sichtweise kann nicht gefolgt werden. Der Autor, auf den sich der Beschwerdegegner beruft, schreibt an der fraglichen Stelle, dass kein Schaden vorliegt, wenn Rückerstattung des Honorars gefordert wird (HANS RAINER KÜNZLE, Der Willensvollstrecker in der Erbteilung, in: successio 2013, S. 320 Fn. 114). Er bringt damit lediglich zum Ausdruck, dass der Willensvollstrecker das Honorar, das er selbst bezogen hat und das sich im Nachhinein als übersetzt erweist, unabhängig davon zurückerstatten muss, ob er sich (unter dem Gesichtspunkt der Verantwortlichkeit) einem Vorwurf ausgesetzt und durch sein Verhalten einen Schaden verursacht hat. Daraus folgt aber nicht, dass einem Kläger, der fälschlicherweise eine Vermächtnisklage anstrengt oder zur Rückforderungsklage nicht aktivlegitimiert ist, auch die Verantwortlichkeitsklage versperrt wäre. Die Verantwortlichkeitsklage fusst auf einem anderen Rechtsgrund und steht, wie das Appellationsgericht zutreffend festhält, auch den Vermächtnisnehmern je einzeln zu. Gegenstand der Rückforderungsklage sind die Voraussetzungen eines Bereicherungsanspruchs, wenn die Erben ohne jeglichen Vorbehalt in (vermeintlicher) Erfüllung des Vertrages mehr leisten als das vertraglich Geschuldete, oder eines vertraglichen Anspruchs, falls unter dem Vorbehalt späterer Abrechnung geleistet wurde (Urteil 5A_881/2012 vom 26. April 2013 E. 4.1 mit Hinweisen). Die Verantwortlichkeitsklage richtet sich hingegen nach Auftragsrecht und nach <ref-law>; sie hat die Pflichtverletzung, den Schaden, den Kausalzusammenhang zwischen diesen beiden Elementen sowie das Verschulden zum Thema (<ref-ruling> E. 4.1 S. 10; <ref-ruling> E. 7 S. 541; <ref-ruling> E. 2 S. 53 f.).
7.3. In der Auseinandersetzung um die prozessuale Zulässigkeit ihrer Verantwortlichkeitsklage bestreitet die Beschwerdeführerin zunächst die vorinstanzliche Feststellung, wonach sie diesen Rechtsbehelf im Verfahren vor dem Appellationsgericht "wiederum" eingeführt habe. Sie erhebt damit eine Sachverhaltsrüge, denn zu den Feststellungen über den Sachverhalt, die für das Bundesgericht grundsätzlich verbindlich sind (<ref-law>), zählen auch die vorinstanzlichen Erkenntnisse über Ablauf des vor- und erstinstanzlichen Verfahrens (<ref-ruling> E. 1.3.1 S. 17 f.), darunter diejenigen über die Parteivorbringen (Urteil 4A_247/2013 vom 14. Oktober 2013 E. 1.1). Entsprechend gelten auch diesbezüglich die oben erwähnten Begründungsanforderungen (E. 2). Zur Begründung ihrer Rüge verweist die Beschwerdeführerin zum einen auf ihre Berufungsschrift, wo sie eine Anspruchskonkurrenz zwischen der Vermächtnis- und der Verantwortlichkeitsklage geltend gemacht, und zum andern auf ihre Klageschrift an das Zivilgericht, wo sie die Verantwortlichkeitsklage nicht nur erwähnt, sondern den dieser Klage zugrunde liegenden Lebenssachverhalt ausführlich geschildert und die entsprechenden Beweismittel genannt habe. Allein damit vermag die Beschwerdeführerin nichts auszurichten: Dass sie die Verantwortlichkeitsklage sowohl im erstinstanzlichen als auch im zweitinstanzlichen Verfahren erwähnt hat, erkennt auch das Appellationsgericht. Dessen Schluss, wonach die Verantwortlichkeitsklage im Berufungsverfahren "wiederum" eingeführt worden sei, liegt aber die Feststellung zugrunde, dass die Beschwerdeführerin in ihrem Plädoyer vor erster Instanz "präzisiert" habe, es gehe vorliegend um eine Vermächtnisklage. Damit setzt sich die Beschwerdeführerin vor Bundesgericht nicht auseinander. In tatsächlicher Hinsicht bleibt es deshalb dabei, dass die Beschwerdeführerin ihre Verantwortlichkeitsklage im Berufungsverfahren "wiederum" eingeführt hat. Daran ändern auch die Beteuerungen nichts, wonach sowohl der Vermächtnis- als auch der Verantwortlichkeitsklage "in casu genau die selben Tatsachenbehauptungen und Beweismittel" zugrunde lägen und sich der Unterschied einzig aus der rechtlichen Wertung ergebe. Welche Tatsachen die Beschwerdeführerin als Klägerin zur Begründung des geltend gemachten Anspruchs zu behaupten, zu substanziieren und gegebenenfalls zu beweisen hat, bestimmt sich nach der materiellrechtlichen Anspruchsgrundlage und ist deshalb keine Tat-, sondern eine Rechtsfrage (vgl. <ref-ruling> E. 3e S. 188; Urteil 4A_210/2009 vom 7. April 2010 E. 3.3).
7.4. Als Rechtsfrage ist nun zu prüfen, ob das Appellationsgericht die prozessuale Zulässigkeit der Verantwortlichkeitsklage im Berufungsverfahren unter den gegebenen Umständen (E. 7.3) mit der oben resümierten Begründung (E. 7.1) offenlassen durfte. In diesem Zusammenhang wirft die Beschwerdeführerin dem Appellationsgericht vor, ihre detaillierten Ausführungen zum Verschulden des Beschwerdegegners in ihrer Berufungsschrift zu übersehen und den Sachverhalt in dieser Hinsicht offensichtlich unrichtig festzustellen. In den Passagen, die sie aus ihrer Berufungsschrift zitiert, ist zusammengefasst davon die Rede, dass der Beschwerdegegner mit der unerlaubten Abzweigung des exorbitanten, nicht gesetzeskonformen Honorars, wie er sie sich "habe zu Schulden kommen lassen", seine Verpflichtungen ihr gegenüber in gravierender Weise verletzt habe. Besonders hebt die Beschwerdeführerin die Stelle hervor, wonach das Verschulden des Beschwerdegegners offensichtlich sei und im Übrigen vermutet werde, und wonach ihm der Exkulpationsbeweis mit Blick auf seine offenkundigen Verfehlungen nicht gelingen könne. Ob die Beschwerdeführerin die tatsächlichen Feststellungen des Appellationsgerichts über ihre Vorbringen im Berufungsverfahren (vgl. E. 7.3) damit als offensichtlich unrichtig im Sinne von <ref-law> auszuweisen vermag (E. 3), erscheint fraglich, kann aber offenbleiben. Das zeigen die folgenden Erwägungen:
7.5. Die Beschwerdeführerin rügt nämlich, die Vorinstanz blende "geflissentlich" aus, dass die vertraglichen Schadenersatzansprüche im Bereich des Obligationenrechts zwar prinzipiell auf Verschulden beruhen, dieses jedoch nicht als positive Anspruchsvoraussetzung formuliert sei, sondern vermutet werde. Sinngemäss stellt sie sich auf den Standpunkt, dass ihr im Streit um das Verschulden des Beschwerdegegners die Substanziierungslast gar nicht zufalle. Zu Recht: Wie bereits erwähnt, richtet sich der Gegenstand der Behauptungs- und Substanziierungslast nach der materiellrechtlichen Anspruchsgrundlage. Entsprechend bestimmen für Rechtsverhältnisse des Bundesprivatrechts die anwendbaren Normen des Bundesrechts, welche Tatsachen zu behaupten und zu substanziieren sind (s. E. 7.3). Dabei folgt die Behauptungslast der Beweislast (<ref-ruling> E. 4 S. 191). Dasselbe gilt für die Substanziierungslast, denn diese trifft wiederum die behauptungsbelastete Partei, falls der Prozessgegner deren schlüssigen Tatsachenvortrag bestreitet (Urteil 4A_210/2009 vom 7. April 2010 E. 3.3). Nun gilt entgegen dem, was der Beschwerdegegner glauben machen will, aber auch im Streit um die Verantwortlichkeit eines Willensvollstreckers die in <ref-law> verankerte Beweislastregel, wonach des Verschulden des Schuldners vermutet wird (<ref-ruling> E. 4.1 S. 10; <ref-ruling> E. 2 S. 54). Trifft die Beweislast für das Verschulden den Willensvollstrecker, so ist es nach dem Gesagten auch an ihm, zu behaupten und im Bestreitungsfalle zu substanziieren, dass er die geforderte Sorgfalt aufgebracht hat. Schon deshalb verträgt es sich nicht mit dem Bundesrecht, wenn das Appellationsgericht die Frage, ob die Verantwortlichkeitsklage im Berufungsverfahren überhaupt prozessual zulässig sei, mit dem Argument verneint, die Beschwerdeführerin habe sich mit Blick auf die Begründetheit dieser Klage gar nicht hinreichend substanziiert zum Verschulden des Beschwerdegegners geäussert. Wird das Verschulden des Beschwerdegegners vermutet und muss allein er beweisen, "dass ihm keinerlei Verschulden zur Last falle" (<ref-law>), so kommt es auch nicht darauf an, woran der Nachweis des Verschuldens, mit dem die Vorinstanz bundesrechtswidrig die Beschwerdeführerin belasten will, allenfalls scheitern könnte. Deshalb tut es nichts zur Sache, wenn die Vorinstanz und der Beschwerdegegner sinngemäss argumentieren, mit der Genehmigung des Schlussberichts samt Honorarabrechnung sei eine Haftung wegen fehlenden Verschuldens "ausgeschlossen", und damit suggerieren, dass der Beschwerdeführerin der Nachweis des Verschuldens von vornherein nicht gelingen könne. Auch diese Überlegungen taugen nicht dazu, die Frage nach der prozessualen Zulässigkeit der Verantwortlichkeitsklage der Beschwerdeführerin offenzulassen
7.6. Nach dem Gesagten durfte das Appellationsgericht die Rechtsfrage, ob die Beschwerdeführerin im Berufungsverfahren "wiederum" die Verantwortlichkeitsklage einführen konnte, jedenfalls nicht mit der Frage offenlassen, die Beschwerdeführerin habe sich nicht substanziiert zum Verschulden des Beschwerdegegners geäussert und der Verschuldensnachweis sei ohnehin zum Scheitern verurteilt. Die Beschwerde erweist sich in dieser Hinsicht als begründet. Die Sache ist antragsgemäss zur weiteren Behandlung an das Appellationsgericht zurückzuweisen. Angesichts dessen braucht sich das Bundesgericht nicht zur Begründetheit der Verantwortlichkeitsklage zu äussern.
8.
Bei diesem Ausgang des Verfahrens unterliegt der Beschwerdegegner. Er hat für die Gerichtskosten aufzukommen (<ref-law>) und die Beschwerdeführerin für das bundesgerichtliche Verfahren zu entschädigen (Art. 68 Abs. 1 und 2 BGG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird gutgeheissen. Der Entscheid des Appellationsgerichts des Kantons Basel-Stadt vom 24. Juni 2015 wird aufgehoben. Die Sache wird zur weiteren Behandlung im Sinne der Erwägungen an die Vorinstanz zurückgewiesen.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 5'000.-- werden dem Beschwerdegegner auferlegt.
3.
Der Beschwerdegegner hat die Beschwerdeführerin für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 6'000.-- zu entschädigen.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 21. Juni 2016
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: von Werdt
Der Gerichtsschreiber: V. Monn