Faits :
A.
A.a. Depuis plusieurs années, la question de la rétrocession du produit des amendes infligées par les services municipaux, recouvré par le Service des contraventions de l'Etat de Genève (ci-après: le Service des contraventions), a donné lieu à d'importants échanges épistolaires entre la Ville de Genève et le Conseil d'Etat du canton de Genève (ci-après: le Conseil d'Etat).
La Ville de Genève soutient que le canton de Genève lui aurait causé un préjudice d'environ 15'227'000 fr., correspondant au montant des amendes transmises par la commune au Service des contraventions pour encaissement, et dont le produit n'aurait jamais été rétrocédé à la commune. D'après l'intéressée, de graves dysfonctionnements organisationnels et informatiques au sein du Service des contraventions en seraient la cause. De son côté, le Conseil d'Etat conteste les prétentions de la commune et affirme que le recouvrement n'était plus possible, notamment pour cause de prescription, de conversion en peine privative de liberté ou encore de délivrance d'actes de défaut de biens.
A.b. Le 4 février 2015, la Ville de Genève a adressé un commandement de payer de 15'227'000 fr. avec intérêts à 5% dès le 13 octobre 2013, au titre de dommages et intérêts liés à la non-restitution par le Service des contraventions du produit des amendes infligées par les agents de la police municipale. Ce commandement de payer a été notifié le 24 mars 2014 à la chancellerie d'Etat, laquelle a fait opposition.
A.c. Par courrier du 6 mai 2015, le Conseil administratif de la Ville de Genève (ci-après: le Conseil administratif) a proposé au Conseil d'Etat de régler la question de la rétrocession du produit des amendes. Le Conseil administratif a notamment demandé des explications quant à l'absence de recouvrement des amendes infligées par les agents municipaux. Le 10 juin 2015, le Conseil d'Etat a répondu que les explications utiles sur le processus de recouvrement des amendes avaient été fournies à plusieurs reprises et que des demandes complémentaires ne pourraient être examinées qu'après retrait du commandement de payer, démarche qu'il qualifiait d'inadmissible.
Le 2 septembre 2015, le Conseil administratif a persisté en reprenant une argumentation plus détaillée. Le Conseil d'Etat a répondu par courrier du 28 octobre 2015, précisant qu'il " n'entend[ait] pas revenir sur le caractère parfaitement inadmissible du commandement de payer adressé par la Ville de Genève pour de prétendus dommages et intérêts qui seraient en lien avec l'activité de recouvrement des amendes d'ordre et ordonnances pénales par le Service des contraventions [...]. Par ailleurs, il [était] exclu que le Conseil d'Etat renonce à invoquer la prescription s'agissant d'une soi-disant dette qui n'exist[ait] pas puisque sans fondement juridique ".
B.
Le 30 novembre 2015, la Ville de Genève a saisi la Chambre administrative de la Cour de justice de la République et canton de Genève (ci-après: la Cour de justice) d'un recours, subsidiairement d'une action de droit administratif, contre le courrier du 28 octobre 2015, concluant à son annulation en tant qu'il était une décision et à la condamnation de l'Etat de Genève à payer à la Ville de Genève la somme de 15'227'000 fr. avec intérêts à compter du 23 décembre 2014. D'après l'intéressée, le courrier litigieux devait, malgré son libellé, être considéré comme une décision puisqu'il traitait d'une prétention concrète de la Ville de Genève, à laquelle le Conseil d'Etat opposait une fin de non-recevoir. Subsidiairement, l'acte devait être déclaré recevable en tant qu'action de droit administratif et l'Etat de Genève être condamné à payer à la Ville de Genève le montant précité.
Par arrêt du 31 janvier 2017, la Cour de Justice a déclaré le recours et l'action de droit administratif irrecevables. Elle a considéré en substance que le courrier du 28 octobre 2015 ne constituait pas une décision au sens de l'art. 4 de la loi [de la République et Canton de Genève] du 12 septembre 1985 sur la procédure administrative (LPA; RS/GE E 5 10). Par ailleurs, aucun contrat de droit public ou toute autre forme de convention fondée sur le droit public ne liait les intéressés sur la question du transfert du produit du recouvrement des amendes d'ordre.
C.
La Ville de Genève forme un recours en matière de droit public contre l'arrêt précité. Elle conclut, sous suite de frais, à l'annulation de l'arrêt attaqué et au renvoi de la cause à l'autorité précédente, afin qu'elle entre en matière sur les conclusions préalables et au fond formulées par la recourante dans son recours du 30 novembre 2015.
Le Conseil d'Etat conclut principalement à l'irrecevabilité du recours et subsidiairement à son rejet. La Cour de justice s'en rapporte à justice quant à la recevabilité du recours et déclare persister dans les considérants et le dispositif de son arrêt. La Ville de Genève a répliqué le 8 juin 2017 et le Conseil d'Etat a dupliqué le 12 juillet 2017. Le 16 août 2017, la Ville de Genève a déposé de nouvelles observations en réponse aux observations de l'intimé.

Considérant en droit :
1.
Le Tribunal fédéral examine d'office sa compétence (<ref-law>) et contrôle librement la recevabilité des recours qui lui sont soumis (<ref-ruling> consid. 1 p. 555).
1.1. Formé contre un arrêt final (<ref-law>) pris en dernière instance cantonale (art. 86 al. 1 let. d LTF) sur la base du droit public cantonal (<ref-law>), le présent recours est en principe recevable comme recours en matière de droit public au sens des <ref-law>, aucune des exceptions prévues à l'<ref-law> n'étant réalisée.
1.2. La Ville de Genève fonde sa qualité pour recourir sur la disposition générale de l'<ref-law>, au motif que l'arrêt attaqué la toucherait dans ses prérogatives de puissance publique et qu'elle disposerait d'un intérêt public propre digne de protection à l'annulation ou à la modification de l'acte attaqué (cf. <ref-ruling> consid. 1.2.2 p. 93; <ref-ruling> consid. 1.3.1 p. 149; <ref-ruling> consid. 2.1.1 p. 508). Tel est le cas lorsqu'un acte de puissance publique concerne des intérêts publics essentiels dans un domaine qui relève de la compétence de l'autorité (<ref-ruling> consid. 1.4 p. 274; <ref-ruling> consid. 2.4 p. 386; <ref-ruling> consid. 3.3.2 p. 349; <ref-ruling> consid. 1.2.2 p. 15 s.). N'importe quel intérêt financier découlant directement ou indirectement de l'exécution de tâches d'intérêt public ne permet pas non plus à la commune de se fonder sur l'<ref-law> (<ref-ruling> consid. 1.2.2 p. 93; <ref-ruling> consid. 2.2.1 p. 47 et les références citées). L'atteinte à des intérêts centraux peut en revanche exister en présence d'intérêts patrimoniaux d'importance (cf. <ref-ruling> consid. 2.3 p. 165 s.; <ref-ruling> consid. 1.2.2 p. 93 s.; arrêt 2C_931/2010 du 28 mars 2011 consid. 2.5). Il faut dans ce cas que la commune soit touchée dans ses intérêts centraux liés à sa puissance publique (<ref-ruling> consid. 1.2.4 p. 94; <ref-ruling> consid. 2.1.1 p. 509). L'atteinte à des intérêts centraux est présumée exister en présence de décisions mettant en cause la péréquation cantonale ou intercommunale (cf. <ref-ruling> consid. 1.3 p. 47; <ref-ruling> consid. 3.3 p. 160). D'une manière générale, l'exigence selon laquelle la commune doit être affectée de manière qualifiée dans ses intérêts de puissance publique se comprend comme une clause de minimis; celle-ci vise à éviter que le Tribunal fédéral ne doive entrer en matière sur des cas-bagatelle qui sont soulevés par des collectivités publiques ne pouvant pas se fonder sur les voies de recours qui leur sont spécifiquement réservées à l'<ref-law> (<ref-ruling> consid. 1.2.4 p. 94).
En l'occurrence, selon l'art. 12 al. 1 de la loi d'application de la législation fédérale sur la circulation routière (LaLCR; RS/GE H 1 05), les services de gendarmerie sont compétents pour infliger les amendes d'ordre prévues par la législation fédérale sur les amendes d'ordre infligées aux usagers de la route. L'art. 18 al. 2 de la loi sur les agents de la police municipale, les contrôleurs municipaux du stationnement et les gardes auxiliaires des communes (LAPM; RS/GE F 1 07) prévoit que si le contrevenant ne paie pas l'amende d'ordre, l'engagement de la procédure ordinaire est de la compétence du service des contraventions, qui procède alors au recouvrement. L'art. 17 du règlement sur les agents de la police municipale (RAPM; RS/GE F 1 07.01) précise enfin que le produit des amendes infligées par leurs agents reste intégralement acquis aux communes (al. 1) et que lorsque le recouvrement de l'amende est effectué par l'Etat, celui-ci en rétrocède le montant de base à la commune (al. 2). Il suit de ces dispositions que la commune a un intérêt juridique évident à pouvoir faire valoir la rétrocession du produit des amendes infligées. Compte tenu de l'importance du montant réclamé par la recourante (15'227'000 fr.), il ne fait aucun doute que le refus d'entrer en matière a une incidence directe sur l'équilibre financier de la commune et qu'il la touche dans ses intérêts centraux de puissance publique. On ne saurait, en pareille situation, parler d'un cas-bagatelle au sens de la jurisprudence précitée. Par conséquent, il y a lieu de reconnaître à la Ville de Genève la qualité pour recourir sur la base de la clause générale de l'<ref-law>.
1.3. Pour le surplus, le recours a été formé en temps utile (<ref-law>) et dans les formes prescrites par la loi (<ref-law>); il convient donc d'entrer en matière.
1.4. Les juges cantonaux ayant refusé d'entrer en matière sur le recours, seule la question de la recevabilité du recours cantonal peut donc être portée devant le Tribunal fédéral qui n'a, à ce stade, pas à examiner le fond de la contestation (<ref-ruling> consid. 1.4 p. 414; <ref-ruling> consid. 3.1; arrêt 1C_593/2016 du 11 septembre 2017 consid. 1).
2.
La recourante reproche à la Cour de justice d'avoir considéré arbitrairement que le courrier du 28 octobre 2015 ne constituait pas une décision. D'après l'intéressée, l'acte par lequel le Conseil d'Etat a rejeté ses prétentions en rétrocession du produit des amendes infligées aurait dû être qualifié de décision négative au sens de l'art. 4 al. 1 let. c LPA.
2.1. En droit public, la notion de "décision" au sens large vise habituellement toute résolution que prend une autorité et qui est destinée à produire un certain effet juridique ou à constater l'existence ou l'inexistence d'un droit ou d'une obligation; au sens étroit, c'est un acte qui, tout en répondant à cette définition, intervient dans un cas individuel et concret (<ref-ruling> consid. 2.1 p. 332; <ref-ruling> consid. 3 p. 69; <ref-ruling> consid. 3a p. 520; cf. également <ref-ruling> consid. 3.1 p. 235 s.; <ref-ruling> consid. 4.3 p. 44 s.). A teneur de l'art. 4 al. 1 LPA, sont considérées comme des décisions "les mesures individuelles et concrètes prises par l'autorité dans les cas d'espèce, fondées sur le droit public fédéral, cantonal, communal et ayant pour objet de créer, de modifier ou d'annuler des droits ou des obligations (let. a), de constater l'existence, l'inexistence ou l'étendue de droits, d'obligations ou de faits (let. b) ou de rejeter ou de déclarer irrecevables des demandes tendant à créer, modifier, annuler ou constater des droits ou des obligations (let. c) ". Selon l'art. 4 al. 3 LPA, " lorsqu'une autorité rejette ou invoque des prétentions à faire valoir par voie d'action judiciaire, sa déclaration n'est pas considérée comme une décision ". Cette exception s'applique notamment au contentieux de la responsabilité de l'Etat, qui prévoit un contentieux par voie d'action (art. 7 de la loi sur la responsabilité de l'Etat et des communes du 24 février 1989 [LREC; RS/GE A 2 40]; GRODECKI/JORDAN, Code annoté de procédure administrative genevoise, LPA/GE et lois spéciales, 2017, n° 80 p. 22; THIERRY TANQUEREL, Manuel de droit administratif, 2011, n° 690 p. 239).
L'art. 4 LPA définit la notion de décision de la même manière que l'art. 5 al. 1 de la loi fédérale sur la procédure administrative (PA; RS 172.021; GRODECKI/JORDAN, op. cit., n° 63 p. 17). La notion de décision implique donc un rapport juridique obligatoire et contraignant entre l'autorité et l'administré. De simples déclarations, comme des opinions, des communications, des prises de position, des recommandations et des renseignements n'entrent pas dans la catégorie des décisions, faute de caractère juridique contraignant (arrêts 1C_593/2016 du 11 septembre 2017 consid. 2.2; 8C_220/2011 du 2 mars 2012 consid. 4.1.2 in SJ 2013 I 18). Pour déterminer s'il y a ou non décision, il y a lieu de considérer les caractéristiques matérielles de l'acte. Un acte peut ainsi être qualifié de décision (matérielle), si, par son contenu, il en a le caractère, même s'il n'est pas intitulé comme tel et ne présente pas certains éléments formels typiques d'une décision, telle l'indication des voies de droit (arrêts 1C_532/2016 du 21 juin 2017 consid. 2.3.1; 2C_271/2012 du 14 août 2012 consid. 1.3, non publié à l'<ref-ruling>).
2.2. Appelé à revoir l'interprétation d'une norme cantonale sous l'angle restreint de l'arbitraire, le Tribunal fédéral ne s'écarte de la solution retenue par l'autorité cantonale de dernière instance que si celle-ci apparaît insoutenable, en contradiction manifeste avec la situation effective, adoptée sans motifs objectifs et en violation d'un droit certain. En revanche, si l'application de la loi défendue par l'autorité cantonale ne s'avère pas déraisonnable ou manifestement contraire au sens et au but de la disposition ou de la législation en cause, cette interprétation sera confirmée, même si une autre solution - même préférable - paraît possible (<ref-ruling> consid. 4.3.1 p. 177 et les références citées). Les griefs de violation de dispositions cantonales sont soumis à des exigences de motivation accrue (<ref-law>); il appartient dans ce contexte à la partie recourante de citer les dispositions du droit cantonal dont elle se prévaut et démontrer en quoi celles-ci auraient été appliquées arbitrairement ou d'une autre manière contraire au droit (cf. <ref-ruling> consid. 2.8 p. 494; <ref-ruling> consid. 1.4 p. 287).
2.3. En l'occurrence, le courrier litigieux indique clairement que la " soi-disant dette [de la Commune] n'existe pas ". Ainsi, de par sa formulation, le Conseil d'Etat constate sans ambiguïté l'inexistence de droits de la recourante s'agissant du recouvrement des amendes transmises au Service des contraventions. En cela, le courrier emporte les effets d'une décision au sens de l'art. 4 al. 1 let. b LPA. Contrairement à ce que retient l'intimé, le caractère décisionnel d'une mesure ne dépend pas d'un intérêt juridiquement protégé de son destinataire. Un intérêt de fait peut suffire (cf. MOOR/POLTIER, Droit administratif, vol. II, Les actes administratifs et leur contrôle, 3ème éd. 2011, n° 2.1.2.2 p. 188; cf. arrêts 8C_220/2011 du 2 mars 2012 consid. 4.1.2; 8C_191/2010 du 12 octobre 2010 consid. 6.3). Le point de savoir si les prétentions émises sont ou non justifiées est une question qui relève du fond et non de la procédure (arrêts 8C_220/2011 du 2 mars 2012 consid. 4.1.2; 8C_191/2010 du 12 octobre 2010 consid. 6.3). L'instance précédente est ainsi tombée dans l'arbitraire en considérant que le courrier du 28 octobre 2015, qui comportait les éléments essentiels d'une décision, ne devait pas être considéré comme une décision au sens de l'art. 4 LPA. La motivation présentée par les juges précédents, à savoir que la Ville de Genève n'avait aucun droit de regard sur l'activité du Service des contributions en matière de recouvrement d'amendes d'ordre, que la tâche exercée par la commune était une tâche cantonale déléguée et que la répartition des charges financières n'entrait pas dans le champ de l'autonomie communale, ne permet pas de justifier la solution à laquelle ils sont parvenus. L'arrêt attaqué est, en outre, muet sur la question de l'application de l'art. 4 al. 3 LPA, alors même qu'une demande en paiement a été déposée par devant le Tribunal de première instance de Genève (cf. arrêt attaqué, consid. 8). Cette motivation arbitraire a eu pour conséquence que la Cour de justice a refusé d'entrer en matière sur le recours, le déclarant irrecevable. Dès lors que la recourante se voit ainsi privée de la possibilité de faire contrôler l'application du droit par l'instance précédente, l'arrêt entrepris est également arbitraire dans son résultat (cf. arrêt 5P.512/2006 du 24 mai 2007 consid. 3.3). Par conséquent, la Cour de justice a violé l'art. 9 Cst. en refusant d'entrer en matière sur le recours en raison de l'absence de décision attaquable sur la question des amendes recouvrées par l'Etat mais non rétrocédées à la Commune.
3.
Dans ces circonstances, le recours doit être admis. L'arrêt attaqué doit être annulé et la cause renvoyée à la Cour de justice pour qu'elle traite le courrier du 28 octobre 2015 comme une décision, qu'elle examine si les prétentions de la Ville de Genève tombent, en tout ou en partie, sous l'exception de l'art. 4 al. 3 LPA et qu'elle en tire les conséquences juridiques. Succombant, le canton de Genève, dont l'intérêt pécuniaire est en cause, doit supporter les frais judiciaires (cf. art. 66 al. 1 et 4 LTF). Agissant dans l'exercice de ses attributions officielles, la Ville de Genève ne peut prétendre à des dépens (<ref-law>).

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce :
1.
Le recours est admis. L'arrêt attaqué est annulé et la cause est renvoyée à l'autorité précédente pour nouvelle décision dans le sens des considérants.
2.
Les frais judiciaires, arrêtés à 2'000 fr., sont mis à la charge du canton de Genève.
3.
Le présent arrêt est communiqué à la recourante, au Conseil d'Etat de la République et canton de Genève et à la Cour de justice de la République et canton de Genève, Chambre administrative.
Lausanne, le 4 décembre 2017
Au nom de la IIe Cour de droit public
du Tribunal fédéral suisse
Le Président : Seiler
La Greffière : McGregor