Sachverhalt:
A.
A._ ist in verschiedenen Funktionen an mehreren Strafverfahren im Kanton Zürich beteiligt. Am 21. Oktober 2015 beantragte er im Verfahren F-1/2013/4001 den Ausstand des Leitenden Staatsanwalts der Staatsanwaltschaft Zürich-Sihl, Daniel Kloiber. Da die Eingabe nicht mit einer Originalunterschrift versehen war, setzte ihm die Verfahrensleitung am Obergericht des Kantons Zürich mit Verfügung vom 2. November 2015 eine Nachbesserungsfrist von zehn Tagen an. Zugleich kündigte sie ihm an, dass das Ausstandsgesuch voraussichtlich von den Oberrichterinnen A. Meier und F. Schorta sowie von Ersatzoberrichter T. Graf beurteilt werde. Die Verfügung wurde am 4. November 2015 an der schweizerischen Zustelladresse des Gesuchstellers entgegengenommen.
B.
Mit zwei Eingaben vom 13. November 2015 wandte sich A._ an das Obergericht des Kantons Zürich. Er bestätigte und begründete darin sein Ausstandsgesuch gegen den Staatsanwalt Daniel Kloiber. Mit einer weiteren Eingabe vom 25. November 2015 verlangte er überdies den Ausstand von sieben Richterinnen und Richtern der III. Strafkammer, worunter der Oberrichterinnen A. Meier und F. Schorta sowie von Ersatzoberrichter T. Graf.
Mit Beschluss vom 27. April 2016 wies die II. Strafkammer des Obergerichts das gegen die sieben Richterinnen und Richter gerichtete Ausstandsgesuch ab. Dieser Entscheid blieb unangefochten.
Mit Beschluss vom 18. Oktober 2016 trat die III. Strafkammer des Obergerichts in der angekündigten Besetzung auf das Ausstandsgesuch gegen Staatsanwalt Daniel Kloiber nicht ein. Zur Begründung führte sie im Wesentlichen aus, A._ habe die Nachbesserungsfrist verpasst, weshalb das Gesuch an einem massgeblichen Formmangel leide.
C.
Gegen den Entscheid vom 18. Oktober 2016 führt A._ beim Bundesgericht Beschwerde in Strafsachen. Er beantragt, den Beschluss vom 18. Oktober 2016 aufzuheben (Rechtsbegehren 1) und das Obergericht zu verpflichten, auf das Ausstandsgesuch gegen Staatsanwalt Daniel Kloiber einzutreten (Rechtsbegehren 2). Überdies sei das Obergericht zu verpflichten, auf das Ausstandsgesuch gegen Mitglieder der III. Strafkammer einzutreten (Rechtsbegehren 3). Der aufgehobene Beschluss sei zur Neuentscheidung an eine andere Kammer des Obergerichts zurückzuweisen (Rechtsbegehren 5), unter Kosten- und Entschädigungsfolge zulasten des Kantons Zürich (Rechtsbegehren 4). Zur Begründung trägt er im Wesentlichen vor, seine fraglichen Eingaben an das Obergericht rechtzeitig einer diplomatischen Vertretung im Ausland übergeben zu haben. In der Begründung verlangt A._ schliesslich den Ausstand verschiedener Bundesrichter und von zwei Gerichtsschreibern des Bundesgerichts.
Daniel Kloiber, für sich und die Staatsanwaltschaft Zürich-Sihl, sowie das Obergericht des Kantons Zürich verzichteten auf eine Vernehmlassung.

Erwägungen:
1.
1.1. Art. 34 BGG regelt den Ausstand am Bundesgericht. Nach dem ausdrücklichen und klaren Wortlaut von Art. 34 Abs. 2 BGG bildet die Mitwirkung an einem früheren Verfahren des Bundesgerichts für sich allein keinen Ausstandsgrund. Das Ausstandsgesuch ist ausreichend zu begründen und es ist insbesondere individuell darzulegen, gegen wen es sich richtet und worin der Ausstandsgrund liegen soll. Pauschale Hinweise genügen dafür nicht.
1.2. Der Gesuchsteller bezieht sich auf zwei frühere Urteile des Bundesgerichts über von ihm eingereichte Beschwerden. Er verlangt ausdrücklich den Ausstand der Bundesrichter Fonjallaz, Karlen und Eusebio sowie von Gerichtsschreiber Störi, die am Urteil 1C_137/2014 vom 11. Juni 2014 beteiligt gewesen waren. Im Zusammenhang mit dem Urteil 1B_353/2015 vom 22. April 2016 verlangt er ebenfalls den Ausstand, verbleibt dabei aber in pauschalen Formulierungen und erwähnt einzig Gerichtsschreiber Forster ausdrücklich. Nicht namentlich genannt wird insbesondere der nebst den Bundesrichtern Fonjallaz und Karlen am zweiten Urteil mitwirkende Bundesrichter Merkli. Sollte sich das Ausstandsgesuch auch auf diesen beziehen, wäre es insofern jedenfalls nicht genügend substantiiert, um als in zulässiger Weise eingereicht gelten zu können. Abteilungspräsident Merkli kann daher am vorliegenden Urteil mitwirken. Im Übrigen sind die Ausstandsbegehren gegenstandslos, da vorliegend in anderer Besetzung geurteilt wird, und zusätzlich ebenfalls mangels rechtsgenüglicher Begründung unzulässig. Auf die Ausstandsgesuche ist demnach nicht einzutreten, soweit sie nicht als gegenstandslos abzuschreiben sind. Der Vollständigkeit halber kann darauf verwiesen werden, dass sie in der Sache ohnehin aussichtslos erscheinen, da der Gesuchsteller sie einzig mit der Mitwirkung der fraglichen Gerichtspersonen an früheren Verfahren begründet und keine massgeblichen Ausstandsgründe geltend macht.
2.
2.1. Soweit der angefochtene Entscheid die Frage des Ausstandes des Staatsanwaltes Daniel Kloiber betrifft, handelt es sich um einen selbständig anfechtbaren, kantonal letztinstanzlichen (vgl. Art. 59 Abs. 1 lit. b StPO) Zwischenentscheid des Obergerichts des Kantons Zürich, gegen den gemäss Art. 78 ff. in Verbindung mit Art. 92 BGG grundsätzlich die Beschwerde in Strafsachen an das Bundesgericht offen steht.
2.2. Soweit der Beschwerdeführer allerdings auch beantragt, das Obergericht sei zu verpflichten, auf das Ausstandsgesuch gegen bestimmte Mitglieder der III. Strafkammer einzutreten, erweist sich die Beschwerde als unzulässig. Darüber wurde in einem separaten Beschluss der II. Strafkammer des Obergerichts vom 27. April 2016 entschieden. Der Beschwerdeführer hat diesen Entscheid damals nicht angefochten. Darauf kann er heute nicht mehr zurückkommen, da die entsprechende 30-tägige Beschwerdefrist (vgl. Art. 100 Abs. 1 BGG) längst abgelaufen ist. Auf das Rechtsbegehren 3 ist somit nicht einzutreten. Dasselbe gilt für das Rechtsbegehren 5, mit dem der Beschwerdeführer für den Fall der Gutheissung die Rückweisung der Streitsache an eine andere Kammer des Obergerichts beantragt, was unmittelbar mit der nicht zu behandelnden Frage des Ausstandes der Mitglieder der III. Strafkammer zusammen hängt.
2.3. Nach Art. 100 Abs. 1 BGG betrug die Beschwerdefrist auch im vorliegenden Zusammenhang 30 Tage. Gemäss Art. 48 Abs. 1 BGG müssen Eingaben spätestens am letzten Tag der Frist beim Bundesgericht eingereicht oder zu dessen Handen der Schweizerischen Post oder einer schweizerischen diplomatischen oder konsularischen Vertretung übergeben werden. Nachdem der Beschwerdeführer den angefochtenen Entscheid am 2. November 2016 erhalten hatte, lief die Frist am 2. Dezember 2016 ab. Seine Eingabe trägt den Poststempel vom 5. Dezember 2016. Die schweizerische Botschaft in Oslo bestätigte jedoch mit Mail vom 22. Dezember 2016, dass der Beschwerdeführer seine Rechtsschrift am Freitag Nachmittag, den 2. Dezember 2016, beim Botschafter abgegeben hatte, diese aber erst am darauf folgenden Montag, den 5. Dezember 2016, registriert wurde. Der Beschwerdeführer hat damit die gesetzliche Frist eingehalten und die Beschwerde wurde rechtzeitig eingereicht. Auf die Rechtsbegehren 1, 2 und 4 ist demnach einzutreten.
2.4. Mit der Beschwerde in Strafsachen an das Bundesgericht kann insbesondere die Verletzung von Bundesrecht gerügt werden (Art. 95 lit. a BGG). Dazu zählt auch die Missachtung von Verfahrensrecht.
3.
Der Beschwerdeführer rügt eine gesetzeswidrige Besetzung der Vorinstanz beim angefochtenen Beschluss. Nach dem Grundsatz von Treu und Glauben und dem Verbot des Rechtsmissbrauchs ist es nicht zulässig, formelle Rügen, die in einem früheren Prozessstadium hätten geltend gemacht werden können, bei ungünstigem Ausgang erst später vorzubringen (<ref-ruling> E. 2.2 S. 336 mit Hinweisen). Dem Beschwerdeführer wurde die voraussichtliche Besetzung am 2. November 2015 mitgeteilt. Nach seinen eigenen Angaben in der Beschwerdeschrift hielt ihm bereits das Obergericht entgegen, die Rüge der ungesetzlichen Besetzung sei verspätet. Wo dies der Fall war und weshalb es nicht zutreffen sollte, legt der Beschwerdeführer indessen nicht dar. Im hier angefochtenen Beschluss finden sich jedenfalls keine entsprechenden Ausführungen. Falls sich der Beschwerdeführer auf den Beschluss vom 27. April 2016 beziehen sollte, wäre auf seine Rüge schon deshalb nicht einzutreten, weil dieser Entscheid nicht Gegenstand des vorliegenden Verfahrens bildet. So oder so erweist sie sich mithin als unzulässig.
4.
4.1. Der Beschwerdeführer macht geltend, das begründete und originalunterzeichnete Ausstandsgesuch gegen Staatsanwalt Daniel Kloiber innerhalb der ihm gesetzten Nachbesserungsfrist und damit rechtzeitig der schweizerischen Botschaft in Oslo übergeben zu haben.
4.2. Nach Art. 91 Abs. 2 StPO müssen Eingaben im Strafverfahren, analog wie beim Bundesgericht gemäss Art. 48 Abs. 1 BGG, am letzten Tag der Frist bei der Strafbehörde abgegeben oder zu deren Handen der Schweizerischen Post, einer schweizerischen diplomatischen oder konsularischen Vertretung oder, im Falle von inhaftierten Personen, der Anstaltsleitung übergeben werden.
4.3. Die Verfügung vom 2. November 2015, mit der dem Beschwerdeführer eine zehntägige Nachbesserungsfrist angesetzt worden war, wurde am 4. November 2015 an dessen schweizerischen Zustelladresse in Empfang genommen. Die Frist lief damit, unter Berücksichtigung der gesetzlichen Fristverlängerung über das Wochenende (vgl. Art. 90 Abs. 2 StPO), am Montag, den 16. November 2015, ab. Die Vorinstanz stellte darauf ab, dass die Eingaben des Beschwerdeführers erst am 24. November 2015 der schweizerischen Post übergeben worden waren.
4.4. Indessen bestätigte auch diesbezüglich die schweizerische Botschaft in Oslo mit Mail vom 10. November 2016, den Eingang der Eingaben am 16. November 2015; eine weitere Eingabe vom 30. Oktober 2015, deren Bedeutung im vorliegenden Verfahren nicht ganz klar ist, was aber offen bleiben kann, habe sie am 2. November 2015 erhalten. Der Beschwerdeführer musste nicht damit rechnen, dass der rechtzeitige Eingang des Ausstandsgesuchs für das Obergericht nicht ersichtlich sein könnte, weil er offenbar von der schweizerischen Vertretung nicht für den Adressaten erkennbar vermerkt worden war. Da ihm daher erst der vorinstanzliche Entscheid Anlass gab, die rechtzeitige Übergabe an die schweizerische Vertretung in Oslo zu belegen, erweist sich die Nachreichung des entsprechenden Beweises als zulässig (vgl. Art. 99 Abs. 1 BGG). Die Vorinstanz ging demnach, selbst wenn es für sie nicht ersichtlich gewesen sein sollte, zu Unrecht davon aus, dass der Beschwerdeführer das originalunterzeichnete Ausstandsgesuch verspätet eingereicht hatte.
5.
Die Beschwerde erweist sich als teilweise begründet. Sie ist gutzuheissen, soweit darauf eingetreten werden kann, und der angefochtene Entscheid ist aufzuheben. Die Sache ist an das Obergericht des Kantons Zürich zurückzuweisen zur Prüfung des gegenüber Staatsanwalt Daniel Kloiber gestellten Ausstandsgesuchs.
Bei diesem Verfahrensausgang sind keine Kosten zu erheben (Art. 66 Abs. 4 BGG). Praxisgemäss ist dem nicht anwaltlich vertretenen Beschwerdeführer, der auch keinen massgeblichen aussergewöhnlichen Aufwand zu belegen vermag, keine Entschädigung für das bundesgerichtliche Verfahren zuzusprechen. Über die Kosten und Entschädigungen des vorinstanzlichen Verfahrens wird das Obergericht ohnehin nochmals zu entscheiden haben.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Auf die gegen Richter und Gerichtsschreiber des Bundesgerichts gerichteten Ausstandsbegehren wird nicht eingetreten, soweit sie nicht als gegenstandslos abgeschrieben werden.
2.
Die Beschwerde wird gutgeheissen, soweit darauf einzutreten ist, und der Beschluss des Obergerichts des Kantons Zürich, III. Strafkammer, vom 18. Oktober 2016 wird aufgehoben. Die Sache wird an das Obergericht des Kantons Zürich zurückgewiesen zur Behandlung des gegen Staatsanwalt Daniel Kloiber gestellten Ausstandsgesuchs.
3.
Es werden keine Kosten erhoben.
4.
Eine Parteientschädigung wird nicht zugesprochen.
5.
Dieses Urteil wird den Parteien, der Staatsanwaltschaft Zürich-Sihl und dem Obergericht des Kantons Zürich, III. Strafkammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 13. März 2017
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Merkli
Der Gerichtsschreiber: Uebersax