Faits :
A.
A.A._ (1951) et B.A._ (1947) se sont mariés en 1973. Trois enfants, aujourd'hui majeurs, sont issus de cette union.
A la suite notamment de problèmes de santé psychique de B.A._, la vie commune des conjoints a cessé en septembre 2014. L'époux s'est installé dans un appartement protégé, dont le loyer se montait à 855 fr. par mois.
En 2015, l'état de santé de B.A._ s'est dégradé. Le 22 juin 2015, le Tribunal de protection de l'adulte et de l'enfant du canton de Genève a institué une mesure de curatelle de représentation avec gestion en sa faveur.
Au mois d'août 2015, l'époux a été admis dans un EMS, dont les frais s'élèvent à 6'400 fr. par mois.
B.
Le 23 décembre 2015, l'épouse a déposé une requête de mesures protectrices de l'union conjugale auprès du Tribunal de première instance du canton de Genève (ci-après: le Tribunal de première instance), concluant notamment à ce que son conjoint lui verse une pension mensuelle de 1'620 fr. et à ce qu'il soit donné acte à l'époux qu'il accepte de donner l'ordre à sa caisse de pension de verser directement sur le compte de l'épouse ladite contribution d'entretien.
Par jugement du 4 avril 2016, le Tribunal de première instance a débouté l'épouse de ses conclusions en paiement d'une contribution d'entretien.
Par arrêt du 9 septembre 2016, la Chambre civile de la Cour de justice du canton de Genève a rejeté l'appel formé par A.A._ contre le jugement du Tribunal de première instance, a mis à la charge de l'épouse les frais judiciaires d'appel et a compensé les dépens de deuxième instance.
C.
Par acte du 19 octobre 2016, l'épouse exerce un recours en matière civile au Tribunal fédéral. Elle conclut à l'annulation de l'arrêt attaqué en tant qu'il porte sur la contribution d'entretien et la répartition des frais et dépens, et au renvoi de la cause à l'autorité précédente pour nouvelle décision dans le sens des considérants, ou, " si mieux n'aime ", à l'annulation de l'arrêt attaqué et à sa réforme en ce sens que l'intimé doit lui verser la moitié de sa pension de prévoyance, à savoir la somme de 1'620 fr., par mois et d'avance, au plus tard dans les 3 jours suivant la réception de ladite rente, ou qu'il soit ordonné à la caisse de pension de verser directement cette somme à la recourante. Elle conclut également à la condamnation de l'époux en tous les frais judiciaires et dépens, tant pour la procédure cantonale que pour la procédure fédérale.
Des observations n'ont pas été requises.

Considérant en droit :
1.
Déposé en temps utile (<ref-law>) et dans la forme légale (<ref-law>), le recours est dirigé contre une décision finale (<ref-law>; <ref-ruling> consid. 4 p. 395 s.) rendue sur recours par une autorité supérieure statuant en dernière instance cantonale (art. 75 al. 1 et 2 LTF), dans une affaire matrimoniale (<ref-law>) de nature pécuniaire, dont la valeur litigieuse atteint 30'000 fr. (art. 51 al. 1 let. a, 51 al. 4 et 74 al. 1 let. b LTF). La recourante a participé à la procédure devant l'autorité précédente et a un intérêt digne de protection à la modification ou l'annulation de la décision entreprise (art. 76 al. 1 let. a et b LTF). Le recours est donc en principe recevable.
2.
2.1. Comme la décision entreprise porte sur des mesures provisionnelles au sens de l'<ref-law> (<ref-ruling> consid. 1.1 p. 668; <ref-ruling> consid. 5 p. 396 s., 585 consid. 3.3 p. 587), la partie recourante ne peut dénoncer que la violation de droits constitutionnels. Le Tribunal fédéral n'examine de tels griefs que s'ils ont été invoqués et motivés par le recourant (" principe d'allégation "; <ref-law>), c'est-à-dire s'ils ont été expressément soulevés et exposés de manière claire et détaillée (<ref-ruling> consid. 1.3 p. 41 et les références). En particulier, une décision ne peut être qualifiée d'arbitraire (art. 9 Cst.) que si elle est manifestement insoutenable, méconnaît gravement une norme ou un principe juridique clair et indiscuté, ou heurte de manière choquante le sentiment de la justice et de l'équité; il ne suffit pas qu'une autre solution paraisse concevable, voire préférable; pour que cette décision soit annulée, encore faut-il qu'elle se révèle arbitraire non seulement dans ses motifs, mais aussi dans son résultat (<ref-ruling> consid. 4.1 p. 566 et les références). Partant, le recourant ne peut se borner à critiquer la décision attaquée comme il le ferait en procédure d'appel, où l'autorité de recours jouit d'une libre cognition, notamment en se contentant d'opposer sa thèse à celle de l'autorité précédente; les critiques de nature appellatoire sont irrecevables (<ref-ruling> consid. 2.8 p. 494 et les références).
2.2. Le Tribunal fédéral statue sur la base des faits établis par l'autorité précédente (<ref-law>). Dans l'hypothèse d'un recours soumis à l'<ref-law>, le recourant qui entend invoquer que les faits ont été établis de manière manifestement inexacte ne peut obtenir la rectification ou le complètement des constatations de fait de l'arrêt cantonal que s'il démontre la violation de droits constitutionnels, conformément au principe d'allégation susmentionné (cf. supra consid. 2.1). Le Tribunal fédéral ne corrige les constatations de fait que si elles sont arbitraires (art. 9 Cst.) et ont une influence sur le résultat de la décision (<ref-ruling> consid. 1.2.2 p. 252). En matière d'appréciation des preuves et d'établissement des faits, il n'y a arbitraire que lorsque l'autorité ne prend pas en compte, sans aucune raison sérieuse, un élément de preuve propre à modifier la décision, lorsqu'elle se trompe manifestement sur son sens et sa portée, ou encore lorsque, en se fondant sur les éléments recueillis, elle en tire des constatations insoutenables (<ref-ruling> consid. 2.3 p. 266 et les références). Le recourant ne peut pas se borner à contredire les constatations litigieuses par ses propres allégations ou par l'exposé de sa propre appréciation des preuves; il doit indiquer de façon précise en quoi ces constatations sont arbitraires au sens de l'art. 9 Cst. (<ref-ruling> consid. 1.2.2 p. 252). Une critique des faits qui ne satisfait pas à cette exigence est irrecevable (<ref-law>; <ref-ruling> consid. 2.3 p. 266 et les références).
Dans la partie " En fait " de son mémoire, la recourante, qui déclare se référer à " l'exposé des faits contenus dans l'arrêt attaqué ainsi qu'aux faits et pièces figurant dans sa requête en mesures protectrices de l'union conjugale du 23 décembre 2015 et dans son mémoire d'appel du 15 avril 2016, ainsi qu'aux pièces produites ultérieurement par elle-même et par sa partie adverse ", se contente d'exposer sa propre version des faits. En tant que ces éléments complètent ceux constatés dans l'arrêt cantonal et qu'ils ne sont pas critiqués sous l'angle de l'établissement arbitraire des faits ou de l'appréciation arbitraire des preuves, il n'en sera pas tenu compte.
3.
La cour cantonale a retenu que l'épouse vivait dans un appartement dont le loyer mensuel était de 1'327 fr., charges comprises. Sa prime d'assurance-maladie, LCA comprise, se montait à 688 fr. par mois. Ses seuls revenus étaient sa rente ordinaire de vieillesse, de 1'679 fr. par mois. L'épouse avait toujours assuré son entretien en ayant accès au compte bancaire conjoint du couple. Le 31 juillet 2015, elle avait fait une demande de prestations complémentaires, laquelle avait été refusée en raison de sa participation à une succession. Elle avait formé opposition contre ce refus le 4 avril 2016. La procédure était toujours pendante.
Les revenus de l'époux se montaient quant à eux à 5'214 fr. 50, à savoir 1'972 fr. de rente AVS et 3'242 fr. 50 de rente de deuxième pilier. Sa prime d'assurance-maladie était de 442 fr. 40 et ses frais d'EMS de 6'400 fr. par mois. L'époux avait également présenté une demande de prestations complémentaires en juillet 2015.
Au vu de ces éléments et en application de la méthode du minimum vital avec répartition de l'excédent, il était établi et non contesté qu'au moment du dépôt de la requête, aucun des conjoints ne parvenait à couvrir ses charges au moyen de ses revenus. Le premier juge avait dès lors à juste titre considéré que le minimum vital du débirentier ne devait pas être entamé et qu'aucune contribution d'entretien ne pouvait être mise à sa charge. Dans ce contexte, il ne se justifiait pas de prendre en compte la situation des époux avant l'entrée en EMS de l'intimé pour déterminer la contribution d'entretien. En effet, cet élément nouveau aurait de toute façon justifié une modification de la mesure prise antérieurement et conduit à la suppression de toute pension. Par ailleurs, les arguments soulevés en lien avec les prestations complémentaires n'étaient pas pertinents et devaient le cas échéant être invoqués dans le cadre du recours contre la décision prise en la matière.
4.
4.1. Dans deux griefs séparés qu'il convient toutefois en l'espèce de traiter ensemble, la recourante se plaint de ce que l'autorité cantonale aurait arbitrairement appliqué l'<ref-law> ainsi que les art. 10 al. 3 let. e LPC et 6 LPCC/GE. En substance, elle soutient qu'en lui refusant le bénéfice d'une contribution d'entretien au motif que le conjoint doit financer ses frais d'EMS, la cour cantonale la placerait dans une situation plus défavorable que celle qui aurait été la sienne si elle avait fait fixer la pension officiellement avant l'entrée de son mari en EMS. Au vu de la législation sur les prestations complémentaires - qui ne supprime pas la pension due au cas où une demande de prestations complémentaires est déposée mais l'inclut dans les charges du débirentier qui doivent être couvertes par lesdites prestations -, il s'imposerait manifestement de faire une exception à la jurisprudence du Tribunal fédéral sur le maintien du minimum vital du débirentier, pour tenir compte de la particularité de la situation des rentiers AVS ou AI, qui ont droit à des prestations complémentaires. En l'espèce, il conviendrait de tenir compte de la " convention implicite " des conjoints, selon laquelle l'épouse avait le droit de puiser dans les revenus du mari versés sur le compte commun pour payer ses charges.
4.2.
4.2.1. Même lorsqu'on ne peut plus sérieusement compter sur la reprise de la vie commune, l'<ref-law> demeure la cause de l'obligation d'entretien réciproque des époux en mesures protectrices de l'union conjugale (<ref-ruling> consid. 4.2.1 p. 338; <ref-ruling> consid. 2.2 p. 98 s.; <ref-ruling> consid. 3.1 p. 386 s.). Pour fixer la contribution d'entretien selon l'<ref-law>, le juge doit partir de la convention, expresse ou tacite, que les époux ont conclue au sujet de la répartition des tâches et des ressources entre eux (<ref-law>). La loi n'impose pas au juge de méthode de calcul particulière pour fixer la quotité de la contribution d'entretien (<ref-ruling> consid. 4.2.2 p. 339; <ref-ruling> consid. 3.2.2 p. 414). La détermination de celle-ci relève du pouvoir d'appréciation du juge du fait, qui applique les règles du droit et de l'équité (<ref-law>). A cet égard, il n'y a violation du droit fédéral que si le juge a abusé de son pouvoir d'appréciation, en se référant à des critères dénués de pertinence ou en ne tenant pas compte d'éléments essentiels, ou encore si, d'après l'expérience de la vie, le montant arrêté paraît manifestement inéquitable au regard des circonstances (<ref-ruling> consid. 3a p. 141). Lorsque les époux ne réalisaient pas d'économies durant la vie commune ou qu'en raison des frais supplémentaires liés à l'existence de deux ménages séparés et de nouvelles charges, le revenu est entièrement absorbé par l'entretien courant, le juge peut appliquer la méthode dite du minimum vital avec répartition de l'excédent (<ref-ruling> consid. 4.2.2 p. 339 et les références). Selon cette méthode, lorsque le revenu total des conjoints dépasse leur minimum vital de base du droit des poursuites (<ref-law>), auquel sont ajoutées les dépenses non strictement nécessaires, l'excédent est en règle générale réparti par moitié entre eux (<ref-ruling> consid. 3b p. 100 [mesures provisionnelles pendant la procédure de divorce]; <ref-ruling> consid. 7 p. 31). Selon la jurisprudence constante du Tribunal fédéral, le minimum vital du débirentier au sens de l'<ref-law> doit dans tous les cas être préservé, de sorte qu'un éventuel déficit est supporté uniquement par le crédirentier (<ref-ruling> consid. 4.3 p. 339 s. et les références).
4.2.2. En l'espèce, le fait d'avoir tenu compte des frais d'EMS dans les charges de l'intimé n'apparaît pas insoutenable, dès lors qu'il s'agissait - la recourante ne soutenant pas le contraire - d'une charge effective et réellement acquittée au moment de l'introduction de la requête de mesures protectrices de l'union conjugale (<ref-ruling> consid. 3b p. 92 [saisie de revenus]; arrêt 5A_426/2016 du 2 novembre 2016 consid. 4.2 et les références). C'est ainsi sans arbitraire que la cour cantonale a constaté qu'aucun des conjoints ne parvenait à couvrir ses charges au moyen de ses revenus, ce qui empêchait l'intimé de verser une pension à la recourante. Pour le surplus, la recourante ne démontre pas que l'application de la jurisprudence constante sur la garantie du minimum vital du débirentier entraînerait en l'espèce un résultat arbitraire. Son argumentation revient en effet à critiquer les conséquences générales de cette jurisprudence, laquelle déroge au principe selon lequel le crédirentier peut prétendre au même train de vie que le débirentier lorsqu'il n'est pas possible de conserver le niveau de vie antérieur (<ref-ruling> consid. 4.3 p. 339).
Autant que recevables (cf. supra consid. 2.1), les griefs sont infondés.
5.
5.1. La recourante se plaint ensuite d'arbitraire " quant au renvoi aux démarches administratives pouvant être entreprises auprès des Services des prestations complémentaires ". Selon elle, l'arrêt attaqué, qui paraît déléguer au Service des prestations complémentaires le soin de fixer le montant de la contribution d'entretien, serait en contradiction manifeste avec le principe selon lequel les organes des assurances sociales sont liés par le jugement définitif du juge civil et ne peuvent plus se prononcer indépendamment sur la question tranchée. De ce fait, si le juge civil nie le droit à une contribution d'entretien, le Service des prestations complémentaires perd la compétence pour fixer une telle pension.
5.2. En l'occurrence, l'arrêt attaqué se contente d'indiquer que " les arguments en lien avec les prestations complémentaires sont irrelevants et devront cas échéant être invoqués dans le cadre d'un recours contre la décision prise en la matière ". Contrairement à ce que soutient la recourante, il ne ressort nullement de la décision querellée que la juridiction précédente aurait délégué à l'autorité compétente en matière de prestations complémentaires le soin de fixer la pension due à l'épouse. Par conséquent, la critique de la recourante - qui ne précise au demeurant pas quels arguments invoqués lors de la procédure d'appel auraient arbitrairement été écartés par la cour cantonale - ne remplit pas les exigences de motivation susmentionnées, ce qui entraîne son irrecevabilité (cf. supra consid. 2.1).
6.
La recourante reproche enfin à la cour cantonale d'avoir arbitrairement appliqué l'<ref-law> et d'avoir violé les art. 8 et 9Cst. Dans la mesure où ces articles sont invoqués sans autre motivation que celle consistant à répéter les arguments examinés ci-dessus (cf. supra consid. 4), la critique de l'épouse est d'emblée irrecevable (cf. supra consid. 2.1).
7.
En conclusion, le recours est rejeté dans la mesure de sa recevabilité. Les frais judiciaires sont mis à la charge de la recourante, qui succombe (<ref-law>). Il n'est pas alloué de dépens à l'intimé, qui n'a pas été invité à se déterminer (art. 68 al. 1 et 2 LTF). Au vu du sort de la cause, il n'y a pas lieu de modifier la répartition des frais et dépens de la procédure cantonale (art. 67 et 68 al. 5 LTF), objet d'une conclusion au demeurant non motivée plus avant par la recourante.

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce :
1.
Le recours est rejeté dans la mesure où il est recevable.
2.
Les frais judiciaires, arrêtés à 2'000 fr., sont mis à la charge de la recourante.
3.
Le présent arrêt est communiqué aux parties et à la Chambre civile de la Cour de justice du canton de Genève.
Lausanne, le 12 janvier 2017
Au nom de la IIe Cour de droit civil
du Tribunal fédéral suisse
Le Président : von Werdt
La Greffière : Feinberg