Erwägungen:
1.
1.1. Mit Eingabe vom 20. April 2016 wandte sich A._ an das Bundesgericht. Sinngemäss machte er geltend, ein Gesuch um Opferhilfe vom 3. April 2016 bei der Gesundheits- und Fürsorgedirektion des Kantons Bern sei erfolglos und eine dagegen beim Verwaltungsgericht des Kantons Bern eingereichte Beschwerde unbehandelt geblieben. A._ beantragte sinngemäss die sofortige Zusprechung von Opferhilfe und von Ergänzungsleistungen sowie Krankenkostenentschädigungen (Pflegegeld) für sich, seine Ehefrau und seine Tochter. Mit Einzelrichterentscheid vom 29. April 2016 trat der Präsident der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung des Bundesgerichts mangels geeigneten Antrags sowie rechtsgenüglicher Begründung auf die Eingabe nicht ein (Urteil des Bundesgerichts 1C_187/2016).
1.2. Mit weiterer Eingabe vom 30. Mai 2016 an das Bundesgericht machte A._ geltend, das Verwaltungsgericht des Kantons Bern habe in seiner Sache noch immer nicht entschieden. Am 9. Juni 2016 nahm das Bundesgericht diese Eingabe teilweise als Rechtsverzögerungsbeschwerde entgegen und wies sie ab, soweit es darauf eintrat (Urteil des Bundesgerichts 1C_259/2016).
1.3. Mit neuer Eingabe vom 28. August 2016 wendet sich A._ erneut an das Bundesgericht und beruft sich darin wiederum sinngemäss auf angebliche Verzögerungen der kantonalen Behörden.
2.
2.1. Gemäss Art. 42 Abs. 1 und 2 BGG ist die Beschwerde mit einem (gültigen) Rechtsbegehren zu versehen und ist in der Begründung in gedrängter Form darzulegen, inwiefern der angefochtene Akt Recht verletzt. Zusätzliche Anforderungen gelten, wenn die Verletzung von Grundrechten geltend gemacht wird. Dies prüft das Bundesgericht grundsätzlich nur insoweit, als eine solche Rüge in der Beschwerde vorgebracht und begründet worden ist (<ref-law>). Das Bundesgericht prüft nur klar und detailliert erhobene und, soweit möglich, belegte Rügen (<ref-ruling> E. 1.4 S. 176; <ref-ruling> E. 1.6 S. 130; <ref-ruling> E. 1.4 S. 254 f.).
2.2. Aus der dem Bundesgericht eingereichten Eingabe geht nicht verständlich hervor, ob der Verfasser ein Revisionsgesuch im Sinne von <ref-law> gegen das Urteil des Bundesgerichts vom 9. Juni 2016 oder eine gänzlich neue Rechtsverzögerungsbeschwerde nach <ref-law> erheben will. Überdies erscheint nicht klar, ob sich eine allfällige Rechtsverzögerungsbeschwerde gegen das Verwaltungsgericht des Kantons Bern, was vor Bundesgericht einzig zulässig wäre (vgl. <ref-law>), oder gegen die Gesundheits- und Fürsorgedirektion des Kantons Bern bzw. die Ausgleichskasse des Kantons Bern, was vor Bundesgericht ausgeschlossen wäre, richten sollte. Wie es sich damit verhält, kann aber offen bleiben. So oder so erweisen sich sowohl die gestellten Anträge als auch deren Begründung als offensichtlich ungenügend. Auf die Eingabe ist daher im Einzelrichterverfahren gemäss <ref-law> nicht einzutreten.
2.3. Bei diesem Verfahrensausgang sind dem unterliegenden Beschwerdeführer bzw. Gesuchsteller die Gerichtskosten aufzuerlegen, wobei seinen angespannten finanziellen Verhältnissen angemessen Rechnung getragen werden kann (Art. 66 Abs. 1, Art. 65 BGG).
3.
3.1. Dem Verfasser der Eingabe wird wie bereits im Urteil vom 9. Juni 2016 nochmals empfohlen, sich fachkundig beraten zu lassen.
3.2. Dem Beschwerdeführer bzw. Gesuchsteller wird mitgeteilt, dass das Bundesgericht künftig gleichartige Eingaben in derselben Angelegenheit unbehandelt ablegen wird.

Demnach erkennt der Präsident:
1.
Auf die Eingabe wird nicht eingetreten.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 200.-- werden dem Beschwerdeführer bzw. Gesuchsteller auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer bzw. Gesuchsteller, der Gesundheits- und Fürsorgedirektion des Kantons Bern und dem Verwaltungsgericht des Kantons Bern schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 6. September 2016
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Fonjallaz
Der Gerichtsschreiber: Uebersax