Erwägungen:
1.
A._ gelangte mit mehreren Eingaben an das Untersuchungsamt Altstätten, die Rechtspflegekommission des Kantonsrats des Kantons St. Gallen sowie die Anklagekammer des Kantons St. Gallen und bezichtigte dabei den Kreisgerichtspräsidenten und einen Kreisrichter von Rorschach, den Ersten Staatsanwalt des Kantons St. Gallen sowie den psychiatrischen Gutachter Dr. B._ zahlreicher Straftaten. Das Untersuchungsamt St. Gallen und die Rechtspflegekommission überwiesen die Anzeigen zuständigkeitshalber an die Anklagekammer. Eine weitere Anzeige gelangte mit Schreiben des Untersuchungsamts Gossau an die Anklagekammer.
Die Anklagekammer des Kantons St. Gallen erteilte mit Entscheid vom 8. Februar 2017 keine Ermächtigung zur Eröffnung von Strafverfahren. Zur Begründung führte die Anklagekammer zusammenfassend aus, die Eingaben des Anzeigers seien weitgehend unsubstantiiert und von der Realität (zunehmend) entkoppelt. Keine der Anzeigen lasse auch nur den vagen Verdacht zu, eine der angezeigten Personen hätte sich einer strafbaren Handlung schuldig gemacht. Aufgrund der Strafanzeige würde sich bei keinem der Angezeigten Hinweise auf allenfalls strafrechtlich relevantes Verhalten finden.
2.
A._ führt mit Eingabe vom 2. April 2017 (Postaufgabe 3. April 2017) Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten gegen den Entscheid der Anklagekammer des Kantons St. Gallen vom 8. Februar 2017. Das Bundesgericht verzichtet auf die Einholung von Vernehmlassungen.
3.
Nach Art. 42 Abs. 2 BGG ist in der Begründung einer Beschwerde in gedrängter Form darzulegen, inwiefern der angefochtene Entscheid Recht verletzt. Die Bestimmungen von Art. 95 ff. BGG nennen die vor Bundesgericht zulässigen Beschwerdegründe. Hinsichtlich der Verletzung von Grundrechten gilt der in Art. 106 Abs. 1 BGG verankerte Grundsatz der Rechtsanwendung von Amtes wegen nicht; insofern besteht eine qualifizierte Rügepflicht (Art. 106 Abs. 2 BGG; <ref-ruling> E. 1.4.1 S. 53, 65 E. 1.3.1 S. 68 mit Hinweisen). Es obliegt dem Beschwerdeführer namentlich darzulegen, inwiefern der angefochtene Entscheid gegen die gerügten Grundrechte verstossen soll.
Der Beschwerdeführer vermag mit der Darstellung seiner Sicht der Dinge nicht aufzuzeigen, dass der Schluss der Anklagekammer, aus den Eingaben des Anzeigers sei ein strafrechtlich relevantes Verhalten der Angezeigten nicht erkennbar, Recht im Sinne von Art. 42 Abs. 2 BGG verletze. Aus seinen nicht sachbezogenen Ausführungen ergibt sich nicht, inwiefern die Begründung der Anklagekammer, die zur Verweigerung der Ermächtigung führte, bzw. deren Urteil selbst rechts- bzw. verfassungswidrig sein soll. Die Beschwerde genügt den gesetzlichen Formerfordernissen offensichtlich nicht, weshalb auf sie im vereinfachten Verfahren nach Art. 108 Abs. 1 BGG nicht einzutreten ist.
4.
Auf eine Kostenauflage ist zu verzichten (Art. 66 Abs. 1 BGG).

Demnach erkennt der Präsident:
1.
Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2.
Es werden keine Kosten erhoben.
3.
Dieses Urteil wird den Parteien und der Anklagekammer des Kantons St. Gallen schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 5. April 2017
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Merkli
Der Gerichtsschreiber: Pfäffli