Sachverhalt:
A.
Der kurdische Iraker A._ (Jg. 1978) reiste am 8. August 1999 illegal und unter falschem Namen in die Schweiz ein. Tags darauf stellte er ein Asylgesuch. Am 10. August 2001 lehnte das Bundesamt für Flüchtlinge (heute: Staatssekretariat für Migration, SEM) das Gesuch ab, verfügte die Wegweisung und setzte A._ Frist bis zum 8. November 2001, um die Schweiz zu verlassen.
Am 29. August 2001 heiratete A._ in Bern die Schweizerin B._. Er erhielt daraufhin im Kanton Bern eine Aufenthaltsbewilligung. Am 1. September 2002 kam der gemeinsame Sohn C._ zur Welt.
B.
Am 7. März 2006 stellte A._ ein Gesuch um erleichterte Einbürgerung. Am 1. September 2007 unterzeichneten die Ehegatten die gemeinsame Erklärung, wonach sie in einer stabilen ehelichen Gemeinschaft zusammenlebten und weder Trennungs- noch Scheidungsabsichten hätten. Am 23. Oktober 2007 wurde A._ in Köniz eingebürgert.
Am 3. Oktober 2008 reichte die damalige Ehefrau von A._ beim Gerichtskreis VIII Bern-Laupen ein Eheschutzgesuch ein. Zwei Tage später verliess A._ die eheliche Wohnung. Am 7. Mai 2009 wurde die Trennungsvereinbarung der Eheleute gerichtlich genehmigt; darin wurde festgehalten, dass der gemeinsame Haushalt seit dem 5. Oktober 2008 auf unbestimmte Zeit aufgehoben sei und der gemeinsame Sohn für die Dauer der Aufhebung unter die Obhut der Mutter gestellt werde. Am 18. April 2013 wurden A._ und B._ rechtskräftig geschieden.
Am 21. Mai 2013 stellte A._ beim Regionalgericht Bern-Mittelland ein Begehren gemäss <ref-law> um Berichtigung seines Namens, Vornamens und Jahrgangs im Zivilstandsregister. Er habe bei seiner Flucht falsche Angaben gemacht, um sich vor Repressalien des irakischen Staates zu schützen. Solange die Angaben nicht berichtigt seien, könne er seine neue irakische Lebenspartnerin, mit welcher er im Irak zwei Kinder (Jg. 2011 und 2012) habe, nicht heiraten.
C.
Am 3. Juni 2013 eröffnete das SEM ein Verfahren auf Nichtigerklärung der erleichterten Einbürgerung. Am 22. August 2014 erteilte der Heimatkanton Bern seine Zustimmung zur Nichtigerklärung der erleichterten Einbürgerung.
Am 10. September 2014 erklärte das SEM die erleichterte Einbürgerung von A._ für nichtig und stellte fest, die Nichtigkeit erstrecke sich auf alle Familienmitglieder, deren Schweizer Bürgerrecht auf der nichtig erklärten Einbürgerung beruhe.
Am 10. Oktober 2014 beantragte A._ beim Bundesverwaltungsgericht, diese Verfügung des SEM aufzuheben und ihm und seinen Familienmitgliedern das Schweizer Bürgerrecht zu belassen.
D.
Am 11. Februar 2015 wies das Regionalgericht Bern-Mittelland den Zivilstands- und Bürgerrechtsdienst des Kantons Bern an, Namen, Vornamen und Geburtsdatum von A._ entsprechend seinen Angaben zu bereinigen.
Am 2. Dezember 2015 anerkannte A._ in Bern seine beiden im Irak geborenen Kinder, welche dadurch das schweizerische Bürgerrecht erwarben.
Am 11. Juli 2016 wies das Bundesverwaltungsgericht die Beschwerde von A._ gegen die Nichtigerklärung seiner Einbürgerung ab. Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege wies es ebenfalls ab und auferlegte ihm die Verfahrenskosten.
E.
Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten beantragt A._, diesen Entscheid des Bundesverwaltungsgerichts aufzuheben und ihm und seinen miteingebürgerten Kindern das Bürgerrecht zu belassen. Die erstinstanzlichen Verfahrens- und Parteikosten seien dem Bundesverwaltungsgericht aufzuerlegen; eventuell sei ihm für das erstinstanzliche Verfahren die unentgeltliche Prozessführung und Verbeiständung zu gewähren. Für das bundesgerichtliche Verfahren ersucht er um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung.
F.
Das Bundesverwaltungsgericht verzichtet auf Vernehmlassung. Das SEM beantragt, die Beschwerde abzuweisen.

Erwägungen:
1.
Die Beschwerde richtet sich gegen einen Entscheid in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten des Bundesverwaltungsgerichts (Art. 82 lit. a, Art. 86 Abs. 1 lit. a BGG). Die Ausnahme der ordentlichen Einbürgerungen nach <ref-law> erstreckt sich nicht auf die Nichtigerklärung der Einbürgerung. Es liegt auch keine der übrigen Ausnahmen von <ref-law> vor. Der Beschwerdeführer hat sich am Verfahren vor der Vorinstanz beteiligt und ist beschwerdelegitimiert (<ref-law>). Die übrigen Sachurteilsvoraussetzungen geben zu keinen Bemerkungen Anlass, sodass auf die Beschwerde unter diesem Vorbehalt einzutreten ist.
2.
2.1. Gemäss <ref-law> kann ein Ausländer nach der Eheschliessung mit einer Schweizerin ein Gesuch um erleichterte Einbürgerung stellen, wenn er insgesamt fünf Jahre in der Schweiz gewohnt hat, seit einem Jahr hier wohnt und seit drei Jahren in ehelicher Gemeinschaft mit der Schweizerin lebt. <ref-law> setzt ferner in allgemeiner Weise voraus, dass der Bewerber in der Schweiz integriert ist (lit. a), die schweizerische Rechtsordnung beachtet (lit. b) und die innere und äussere Sicherheit der Schweiz nicht gefährdet (lit. c). Alle Einbürgerungsvoraussetzungen müssen sowohl im Zeitpunkt der Gesuchseinreichung als auch in demjenigen der Einbürgerungsverfügung erfüllt sein (<ref-ruling> E. 2.1).
2.2. Nach <ref-law> kann die Einbürgerung vom Bundesamt mit Zustimmung der Behörde des Heimatkantons nichtig erklärt werden, wenn sie durch falsche Angaben oder Verheimlichung erheblicher Tatsachen erschlichen worden ist. Das blosse Fehlen der Einbürgerungsvoraussetzungen genügt nicht.
Die Nichtigerklärung der Einbürgerung setzt vielmehr voraus, dass diese "erschlichen", das heisst mit einem unlauteren und täuschenden Verhalten erwirkt worden ist (<ref-ruling> E. 3.1 S. 115). Arglist im Sinne des strafrechtlichen Betrugstatbestands ist nicht erforderlich. Immerhin ist notwendig, dass der Betroffene bewusst falsche Angaben macht bzw. die Behörde bewusst in einem falschen Glauben lässt und so den Vorwurf auf sich zieht, es unterlassen zu haben, die Behörde über eine erhebliche Tatsache zu informieren (<ref-ruling> E. 2 S. 165; <ref-ruling> E. 3.1 S. 115).
Bei der Nichtigerklärung einer erleichterten Einbürgerung ist deshalb von der Behörde zu untersuchen, ob die Ehe im massgeblichen Zeitpunkt der Gesuchseinreichung und der Einbürgerung tatsächlich gelebt wurde. Im Wesentlichen geht es dabei um innere Vorgänge, die der Behörde oft nicht bekannt und schwierig zu beweisen sind. Sie kann sich daher veranlasst sehen, von bekannten Tatsachen (Vermutungsbasis) auf unbekannte (Vermutungsfolge) zu schliessen. Es handelt sich dabei um Wahrscheinlichkeitsfolgerungen, die aufgrund der Lebenserfahrung gezogen werden (<ref-ruling> E. 3.2 S. 485 f.). Der Betroffene ist bei der Sachverhaltsabklärung mitwirkungspflichtig (<ref-ruling> E. 2 S. 166; <ref-ruling> E. 3.2 S. 486).
2.3. Die tatsächliche Vermutung betrifft die Beweiswürdigung und bewirkt keine Umkehrung der Beweislast (<ref-ruling> E. 3.2 S. 486). Begründet die kurze Zeitspanne zwischen der erleichterten Einbürgerung einerseits und der Trennung oder Einleitung einer Scheidung andererseits die tatsächliche Vermutung, es habe schon bei der Einbürgerung keine stabile eheliche Gemeinschaft mehr bestanden, so muss der Betroffene deshalb nicht das Gegenteil beweisen. Es genügt, wenn er einen Grund anführt, der es als plausibel erscheinen lässt, dass er bei der Erklärung, wonach er mit seiner Schweizer Ehepartnerin in einer stabilen ehelichen Gemeinschaft lebt, nicht gelogen hat. Bei diesem Grund kann es sich um ein ausserordentliches, nach der Einbürgerung eingetretenes Ereignis handeln, welches zum raschen Scheitern der Ehe führte, oder um das fehlende Bewusstsein des Gesuchstellers bezüglich bestehender Eheprobleme im Zeitpunkt der Einbürgerung (<ref-ruling> E. 2 S. 166 mit Hinweisen).
2.4. Gemäss dem am 1. März 2011 in Kraft getretenen <ref-law> (in der Fassung vom 25. September 2009; AS 2011 347) kann die Einbürgerung innert zwei Jahren, nachdem das Bundesamt vom rechtserheblichen Sachverhalt Kenntnis erhalten hat, spätestens aber innert acht Jahren nach dem Erwerb des Schweizer Bürgerrechts nichtig erklärt werden. Nach jeder Untersuchungshandlung, die der eingebürgerten Person mitgeteilt wird, beginnt eine neue zweijährige Verjährungsfrist zu laufen. Die Fristen stehen während eines Beschwerdeverfahrens still. Die Neuregelung löste die frühere fünfjährige Frist ab (vgl. AS 1952 1087; <ref-ruling> E. 2.3). Übergangsrechtlich findet das neue Recht nach der Praxis von Bundes- und Bundesverwaltungsgericht Anwendung, wenn die altrechtliche Fünfjahresfrist beim Inkrafttreten der neuen Bestimmung - also am 1. März 2011 - noch nicht abgelaufen war, wobei der bereits unter dem alten Recht verstrichene Teil der Frist auf die neurechtliche Achtjahresfrist anzurechnen ist (Urteil 1C_540/2014 vom 5. Januar 2015 E. 3.1 mit Hinweisen auf die Praxis des BVGer).
Der Beschwerdeführer wurde am 23. Oktober 2007 eingebürgert, mithin war die altrechtliche Fünfjahresfrist am 1. März 2011 noch nicht abgelaufen, womit entgegen der Auffassung des Beschwerdeführers die neurechtliche Bestimmung - <ref-law> - zur Anwendung gelangt. Am 28. Mai 2013 wurde das SEM über die Scheidung des Beschwerdeführers informiert, worauf es die Einbürgerung am 10. September 2014, d.h. innerhalb von zwei Jahren bzw. innerhalb von 8 Jahren seit dem 23. Oktober 2007 für nichtig erklärte. Die Fristen für die Nichtigerklärung der Einbürgerung des Beschwerdeführers sind damit gewahrt.
3.
3.1. Unbestritten ist, dass der Beschwerdeführer 1999 illegal in die Schweiz einreiste und unter falscher Identität ein Asylgesuch stellte, welches am 10. August 2001 abgewiesen wurde. Nur 19 Tage später heiratete er eine Schweizerin brasilianischer Abstammung; ein Jahr später kam der gemeinsame Sohn zur Welt. Am 7. März 2006 ersuchte der Beschwerdeführer um erleichterte Einbürgerung, und am 1. Oktober 2007 gaben die Ehegatten die gemeinsame Erklärung ab, in einer stabilen Ehe zu leben, worauf die erleichterte Einbürgerung am 23. Oktober 2007 erfolgte. Am 3. Oktober 2008 liess die Ehefrau eine Eheschutzgesuch einreichen, worauf der Beschwerdeführer die gemeinsame Wohnung unverzüglich und für immer verliess. Am 19. Januar 2010 heiratete er im Irak unter einer anderen Identität eine Irakerin und hatte mit ihr zwei Kinder (2011 und 2012). Die Scheidung von seiner Schweizer Gattin erfolgte am 18. April 2013.
3.2. Die Chronologie der Ereignisse legt nahe, dass für den Beschwerdeführer bei der Eheschliessung vom 29. August 2001 von Anfang an die Erlangung des Bürgerrechts im Vordergrund stand und nicht die Absicht, mit seiner damaligen Ehefrau eine stabile, auf Dauer ausgerichtete Ehe einzugehen: dafür spricht, dass er sie nur wenige Tage nach dem abschlägigen Asylentscheid einging, er seine wahre Identität nicht enthüllte und die Ehe bereits wenige Monate nach der Einbürgerung scheiterte, ohne dass ein später eingetretener Umstand ersichtlich wäre, der dies plausibel erklären könnte. Dass er bloss gut ein Jahr nach seinem Auszug aus der ehelichen Wohnung und ohne die Scheidung abzuwarten, in den Irak reiste, eine Frau aus seinem Kulturkreis heiratete und mit ihr Kinder zeugte, ist ein weiteres starkes Indiz dafür, dass er jedenfalls im Zeitpunkt der Einbürgerung nicht (mehr) die Absicht gehabt hatte, die Ehe mit seiner damaligen schweizerischen Gattin fortzuführen.
3.3. Was der Beschwerdeführer dagegen vorbringt, ist nicht geeignet, die (begründete) Vermutung zu widerlegen, die Ehe sei bereits im Zeitpunkt der "gemeinsamen Erklärung" nicht mehr intakt und auf unbestimmte Dauer angelegt gewesen. Die damalige Ehefrau hat denn auch erklärt, die Ehe sei von Anfang an schlecht gelaufen, weil er fremdgegangen sei, sich wenig um den Sohn gekümmert und Geld nach Kurdistan geschickt habe; sie habe dies wegen des gemeinsamen Kindes geduldet. Nach der Einbürgerung habe er sein wahres Gesicht gezeigt, es sei danach immer schlimmer geworden; im Zeitpunkt der "gemeinsamen Erklärung" sei der Zustand der Ehe "gerade noch gut" gewesen (Entscheid BFM vom 10. September 2014 E. 5.4 S. 6). Auch wenn der Beschwerdeführer bestreitet, seiner Frau untreu gewesen zu sein, so bestanden doch offensichtlich von Anfang an grosse Spannungen zwischen den Eheleuten, und ihre Vorstellung von einer guten Ehe klafften weit auseinander. Wenn die Ehefrau ihre Ehe als im Zeitpunkt der gemeinsamen Erklärung "gerade noch gut" bezeichnete, so kann dies vor diesem Hintergrund nur bedeuten, dass sie sie als schwer erschüttert, aber noch nicht vollständig zerstört einstufte. Stabil und auf Dauer ausgerichtet war sie damit, was beiden Gatten bewusst gewesen sein musste, jedenfalls nicht mehr. Das Bundesverwaltungsgericht hat kein Bundesrecht verletzt, indem es zum Schluss kam, der Beschwerdeführer habe seine Einbürgerung durch falsche Angaben in der "gemeinsamen Erklärung" erwirkt, und ihre Nichtigerklärung durch das Bundesamt schützte. Die Beschwerde erweist sich als unbegründet.
4.
Die Beschwerde ist somit abzuweisen. Damit wird der Beschwerdeführer kostenpflichtig (<ref-law>). Er hat zwar ein Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung gestellt, welches indessen abzuweisen ist, da die Beschwerde aussichtslos war (Art. 64 Abs. 1 und 2 BGG). Da auch die Beschwerde an die Vorinstanz nicht aussichtsreicher war, erweist sich auch der Antrag auf Abänderung der vorinstanzlichen Gerichts- und Parteikostenregelung als unbegründet.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen.
2.
Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung wird abgewiesen.
3.
Die Gerichtskosten von Fr. 1'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
4.
Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer, dem Staatssekretariat für Migration und dem Bundesverwaltungsgericht, Abteilung IV, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 7. November 2016
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Fonjallaz
Der Gerichtsschreiber: Störi