Sachverhalt:
A.
Die Staatsanwaltschaft March sprach A._ mit Strafbefehl vom 25. Juli 2016 der falsc hen Anschuldigung im Sinne von Art. 303 Ziff. 1 Abs. 1 StGB zum Nachteil von B._ schuldig, bestrafte ihn mit einer Geldstrafe von 56 Tagessätzen zu Fr. 20.-- sowie einer Busse von Fr. 300.-- und auferlegte ihm die Kosten des Verfahrens von total Fr. 723.60. Dagegen erhob A._ am 12. August 2016 Einsprache. Nach Überweisung des Strafbefehls an das Strafgericht Schwyz am 14. September 2016 setzte die zuständige Einzelrichterin Sandra Rieder den Parteien mit Verfügung vom 27. September 2016 Frist bis zum 10. Oktober 2016, um Beweisanträge zu stellen und zu begründen. Am 10. Oktober 2016 reichte A._ ein Schreiben ein, in welchem er Sandra Rieder ersuchte, in den Ausstand zu treten, Beweisanträge stellte und einen Reisekostenvorschuss für die Hauptverhandlung beantragte. Sandra Rieder überwies das Ausstandsgesuch am 21. Oktober 2016 zusammen mit ihrer Stellungnahme an das Kantonsgericht Schwyz. A._ nahm seinerseits nochmals Stellung.
Mit Beschluss vom 25. Januar 2017 wies das Kantonsgericht das Ausstandsgesuch ab und auferlegte A._ die Verfahrenskosten von Fr. 800.--.
B.
Mit Eingabe vom 8. März 2017 führt A._ Beschwerde in Strafsachen an das Bundesgericht mit den Anträgen, den angefochtenen Beschluss aufzuheben und Einzelrichterin Sandra Rieder in den Ausstand zu versetzen.
Mit Verfügung vom 29. März 2017 erkannte der Präsident der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung der Beschwerde die aufschiebende Wirkung zu.
Das Kantonsgericht und die Oberstaatsanwaltschaft des Kantons Schwyz verzichten auf Vernehmlassungen. Sandra Rieder hat eine Stellungnahme eingereicht, ohne in der Sache Anträge zu stellen. Der Beschwerdeführer hält an seinem Standpunkt fest.

Erwägungen:
1.
Beim angefochtenen Beschluss handelt es sich um einen selbständig eröffneten Zwischenentscheid über ein Ausstandsbegehren in einer Strafsache (Art. 78 Abs. 1 und Art. 92 Abs. 1 BGG). Das Kantonsgericht hat als letzte und einzige kantonale Instanz entschieden (Art. 80 BGG i.V.m. Art. 59 Abs. 1 lit. b StPO). Der Beschwerdeführer ist gemäss Art. 81 Abs. 1 lit. a und lit. b Ziff. 1 BGG zur Beschwerde befugt. Auf die Beschwerde ist grundsätzlich einzutreten.
Nicht einzutreten ist indes auf die neuen tatsächlichen Vorbringen des Beschwerdeführers (vgl. Art. 99 Abs. 1 BGG), wonach die Beschwerdegegnerin in der Zwischenzeit einen seiner Beweisanträge und sein Begehren um Ausrichtung eines Reisekostenvorschusses abgewiesen habe.
2.
2.1. Der Beschwerdeführer bringt im Wesentlichen vor, die Beschwerdegegnerin sei in den Jahren 2011 und 2012 bei verschiedenen eherechtlichen Verfahren zwischen ihm und B._ als Gerichtsschreiberin am Bezirksgericht March tätig gewesen, weshalb sie voreingenommen sei. Insbesondere habe sie sich damals unangemeldet in Begleitung zweier Polizisten in seine Wohnung begeben und seine Tochter zu einem Gespräch gezwungen. Sein Anwalt habe daraufhin im Scheidungsprozess ein Ausstandsbegehren gestellt. In der Stellungnahme zu diesem Ausstandsbegehren habe die Beschwerdegegnerin seine Vorbringen als lächerlich bezeichnet. Bei dieser Vorgeschichte müsse er befürchten, dass die Beschwerdegegnerin auch in ihrer Funktion als Einzelrichterin im vorliegenden Strafverfahren die notwendige Unvoreingenommenheit ihm gegenüber nicht aufbringen könne.
2.2. Art. 56 StPO zählt verschiedene Gründe auf, die zum Ausstand von in einer Strafbehörde tätigen Personen führen. Diese Bestimmung konkretisiert die Verfassungsbestimmung von Art. 30 Abs. 1 BV sowie Art. 6 Ziff. 1 EMRK. Danach hat jede Person Anspruch darauf, dass ihre Sache von einem unparteiischen, unvoreingenommenen und unbefangenen Richter ohne Einwirken sachfremder Umstände entschieden wird. Die Garantie des verfassungsmässigen Richters soll zu der für einen korrekten und regelkonformen Prozess erforderlichen Offenheit des Verfahrens im Einzelfall beitragen und damit ein gerechtes Urteil ermöglichen. Da die Ausstandsregelung in einem Spannungsverhältnis zum Anspruch auf den gesetzlichen Richter (Art. 30 Abs. 1 BV) steht, muss sie eine Ausnahme bleiben, soll die Zuständigkeitsordnung nicht ausgehöhlt werden. Die Garantie des verfassungsmässigen Richters wird verletzt, wenn bei objektiver Betrachtung Gegebenheiten vorliegen, die den Anschein der Befangenheit oder die Gefahr der Voreingenommenheit zu begründen vermögen. Solche Umstände können entweder in einem bestimmten Verhalten der betreffenden Gerichtsperson oder in gewissen äusseren Gegebenheiten funktioneller und organisatorischer Natur begründet sein (vgl. <ref-ruling> E. 2.1 S. 229).
Der Beschwerdeführer wirft der Beschwerdegegnerin eine Vorbefassung und Voreingenommenheit vor. Näher zu prüfen sind die Ausstandsgründe gemäss Art. 56 lit. b und f StPO.
2.3.
2.3.1. Der Ausstandsgrund der Vorbefassung gemäss Art. 56 lit. b StPO setzt voraus, dass die in der Strafbehörde tätige Person bereits in einem früheren Stadium des Verfahrens in einer anderen Stellung mit der gleichen Strafsache befasst war. Massgeblich für die Annahme einer ausstandsbegründenden Vorbefassung ist, ob die beiden Behörden, in denen jemand in der gleichen Sache gewirkt hat, in aufeinanderfolgenden und organisatorisch getrennten Funktionen der Rechtsprechung gehandelt haben. Eine gleiche Sache ist anzunehmen bei Identität der betroffenen Parteien, des Verfahrens und der zur Beantwortung stehenden (Rechts-) Fragen (vgl. Urteil 1B_161/2014 vom 8. August 2014 E. 2.4).
2.3.2. Die Beschwerdegegnerin war im vorliegenden Strafverfahren bisher in keiner anderen Stellung tätig. Ihre Tätigkeit als Gerichtsschreiberin am Bezirksgericht March betraf lediglich eherechtliche Verfahren. Art. 56 lit. b StPO, welcher ausdrücklich eine Tätigkeit in der gleichen Sache voraussetzt, fällt somit als Ausstandsgrund ausser Betracht.
2.4.
2.4.1. Gemäss Art. 56 lit. f StPO tritt eine in einer Strafbehörde tätige Person in den Ausstand, wenn sie aus anderen als den in Art. 56 lit. a bis e StPO genannten Gründen, insbesondere wegen Freundschaft oder Feindschaft mit einer Partei oder deren Rechtsbeistand, befangen sein könnte. Art. 56 lit. f. StPO stellt eine Auffangklausel dar. Entscheidendes Kriterium ist, ob das Verfahren in Bezug auf den konkreten Sachverhalt und die konkret zu entscheidenden Rechtsfragen als offen und nicht vorbestimmt erscheint.
Misstrauen in die Unvoreingenommenheit einer in einer Strafbehörde tätigen Person kann sich namentlich aus Äusserungen ergeben, welche die gebotene Distanz zur Sache vermissen lassen. Bloss ungeschickte Äusserungen, verbale Entgleisungen oder Ungehaltenheiten genügen indes in der Regel nicht, um den Anschein der Befangenheit zu begründen (vgl. Urteil 1B_161/2014 vom 8. August 2014 E. 2.5.1).
2.4.2. Die Vorbringen des Beschwerdeführers beziehen sich ausschliesslich auf ein angebliches Fehlverhalten der Beschwerdegegnerin in den eherechtlichen Verfahren in den Jahren 2011 und 2012. Das Kantonsgericht Schwyz hatte das damalige Ausstandsgesuch mit Beschluss ZK2 2012 57 vom 8. Januar 2013 abgewiesen. Es erachtete das Vorgehen der Beschwerdegegnerin als Gerichtsschreiberin im damaligen Verfahren, insbesondere hinsichtlich ihres Besuchs beim Beschwerdeführer und der damit verbundenen Befragung seiner Tochter, als angemessen und verhältnismässig (Beschluss ZK2 2012 57 vom 8. Januar 2013 E. 6a). Sodann stufte das Kantonsgericht auch die Ausführungen der Beschwerdegegnerin, wonach sie die Vorbringen des Beschwerdeführers im damaligen Verfahren betreffend ihre Befangenheit als "lächerlich" bezeichnete, zwar als ungeschickt ein, aber nicht als geeignet, einen Ausstand zu begründen (Beschluss ZK2 2012 57 vom 8. Januar 2013 E. 6c).
Dieser rechtskräftige Beschluss ist vorliegend nicht auf seine Richtigkeit zu überprüfen. Für das zu beurteilende Ausstandsverfahren ist entscheidend, dass der Beschwerdeführer nicht nachvollziehbar aufzeigt, inwiefern das damalige Vorgehen und die Äusserungen der Beschwerdegegnerin als Gerichtsschreiberin in ihn betreffenden eherechtlichen Verfahren in den Jahren 2011 und 2012 für das seit September 2016 am Strafgericht Schwyz hängige Strafverfahren betreffend falsche Anschuldigung eine Voreingenommenheit der Beschwerdegegnerin als zuständige Einzelrichterin begründen sollte. Ein solcher Zusammenhang ist auch nicht ersichtlich.
Es kann folglich nicht gesagt werden, die Beschwerdegegnerin habe sich mit ihrem mehrere Jahre zurückliegenden Vorgehen und ihren damaligen Äusserungen in einem Mass festgelegt, welches das Strafverfahren nicht mehr als offen erscheinen lasse.
3.
Die Beschwerde ist abzuweisen, soweit darauf eingetreten werden kann. Der Beschwerdeführer ersucht um unentgeltliche Rechtspflege. Da die Voraussetzungen von Art. 64 Abs. 1 BGG erfüllt sind, kann dem Gesuch entsprochen werden und ist von der Erhebung von Gerichtskosten abzusehen. Der nicht anwaltlich vertretene Beschwerdeführer hat jedoch keinen Anspruch auf eine Parteientschädigung.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.
Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege wird gutgeheissen. Es werden keine Gerichtskosten erhoben.
3.
Es wird keine Parteientschädigung zugesprochen.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien, der Oberstaatsanwaltschaft des Kantons Schwyz und dem Kantonsgericht Schwyz, Beschwerdekammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 18. Mai 2017
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Das präsidierende Mitglied: Karlen
Der Gerichtsschreiber: Stohner