Erwägungen:
1.
A._ reichte am 30. April 2016 beim Verwaltungsgericht des Kantons Bern eine Beschwerde gegen einen Entscheid der Erziehungsdirektion des Kantons Bern vom 22. März 2016 betreffend Ausbildungsbeitrag 2014/2015 für seinen Sohn ein. Das Verwaltungsgericht trat mit Urteil des Einzelrichters vom 20. Mai 2016 auf die Beschwerde wegen Verspätung nicht ein. Zur Begründung führte es Folgendes aus: Die eingeschriebene Postsendung mit dem Entscheid der Erziehungsdirektion sei am 23. März 2016 zur Abholung gemeldet und am 31. März 2016 in Empfang genommen worden; indessen sei die 7-tägige Abholfrist am 30. März 2016 abgelaufen, sodass dieser Tag als Zustelltag fingiert werde und letzter Tag der 30-tägigen Beschwerdefrist der 29. April 2016 gewesen sei; die Beschwerde sei am 30. April 2016 um einen Tag verspätet erhoben worden; eine Verlängerung der Beschwerdefrist um einen Tag, wie dies A._ am 16. Mai 2016 beantragt habe, könne nach dem kantonalen Verfahrensrecht nicht gewährt werden, weil es sich bei der Beschwerdefrist um eine gesetzliche Frist handle; schliesslich liege kein Fristwiederherstellungsgrund vor.
Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten vom 23. Juni 2016 beantragt A._ dem Bundesgericht Wiederherstellung der Frist und sachliche Beurteilung durch die Vorinstanz.
Es ist weder ein Schriftenwechsel noch sind andere Instruktionsmassnahmen angeordnet worden.
2.
2.1. Gemäss Art. 42 Abs. 1 und 2 BGG haben Rechtsschriften die Begehren und deren Begründung zu enthalten; in der Begründung ist in gedrängter Form darzulegen, inwiefern der angefochtene Akt schweizerisches Recht (<ref-law>) verletze. Die Begründung hat sachbezogen zu sein; die Beschwerde führende Partei hat in gezielter Auseinandersetzung mit den für das Ergebnis des angefochtenen Entscheids massgeblichen Erwägungen plausibel aufzuzeigen, welche Rechte bzw. Rechtsnormen die Vorinstanz verletzt haben soll (<ref-ruling> E. 2 S. 88 f. mit Hinweisen). Nicht unmittelbar gerügt werden kann die Verletzung von kantonalem Recht (s. <ref-law>). Beruht der angefochtene Entscheid, wie vorliegend, auf kantonalem Recht, kann weitgehend bloss die Verletzung verfassungsmässiger Rechte gerügt werden; entsprechende Rügen bedürfen gemäss <ref-law> spezifischer Geltendmachung und Begründung (<ref-ruling> E. 1.3 S. 41; <ref-ruling> E. 3.1 und 3.2 S. 227 f.; <ref-ruling> E. 1.3 S. 60 f.;<ref-ruling> E. 1.4.1 S. 53, 65 E. 1.3.1 S. 68, je mit Hinweisen). Der von der Vorinstanz festgestellte Sachverhalt ist für das Bundesgericht verbindlich, es sei denn, die Partei zeige auf, dass und inwiefern die tatsächlichen Feststellungen qualifiziert falsch oder in Verletzung von Verfahrensvorschriften getroffen worden seien, was spezifisch geltend zu machen und zu begründen ist, sofern entsprechende Mängel nicht ins Auge springen (vgl. Art. 105 Abs. 1 und 2 sowie <ref-law>; dazu <ref-ruling> E. 2 S. 117, 264 E. 2.3 S. 266; <ref-ruling> E. 4.1.2 S. 62 mit Hinweisen).
2.2. Das angefochtene Urteil beruht darauf, dass die Beschwerdefrist um einen Tag verpasst wurde, weil deren Erstreckung nicht möglich ist (Art. 43 Abs. 1 des bernischen Gesetzes vom 23. Mai 1989 über die Verwaltungsrechtspflege [VRPG]), eine eingeschriebene Sendung spätestens am siebenten Tag nach dem ersten erfolglosen Zustellungsversuch (d.h.. seit Hinterlegung der Abholungseinladung) als erfolgt gilt (Art. 44 Abs. 3 VRPG) und dass kein entschuldbares Hindernis den Beschwerdeführer am rechtzeitigen Handeln gehindert habe und daher die Wiederherstellung der verpassten Frist erlaubt hätte (Art. 43 Abs. 2 VRPG).
Der Beschwerdeführer macht nicht geltend, dass der Sachverhalt hinsichtlich der Zustellungsabläufe offensichtlich falsch festgestellt worden und zu korrigieren wäre (Art. 97 Abs. 1 bzw. <ref-law>). Mit den vom Verwaltungsgericht als einschlägig erachteten und herangezogenen kantonalen verfahrensrechtlichen Normen setzt sich der Beschwerdeführer nicht auseinander. Mit seinen Äusserungen legt er auch nicht ansatzweise dar, inwiefern die Vorinstanz diese Gesetzesbestimmungen in einer gegen verfassungsmässige Rechte oder sonst wie gegen schweizerisches Recht verstossenden Weise ausgelegt und auf den massgeblichen Verfahrenssachverhalt angewendet hätte.
Die Beschwerde enthält offensichtlich keine den Anforderungen von Art. 42 Abs. 2 bzw. <ref-law> genügende Begründung (<ref-law>); es ist darauf mit Entscheid des Abteilungspräsidenten als Einzelrichter im vereinfachten Verfahren nach <ref-law> nicht einzutreten.
2.3. Dem Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege kann schon darum nicht entsprochen werden, weil die Beschwerde aussichtslos erschien (vgl. <ref-law>).
Damit sind die Gerichtskosten dem Beschwerdeführer als unterliegende Partei aufzuerlegen (Art. 65 und Art. 66 Abs. 1 erster Satz BGG).

Demnach erkennt der Präsident:
1.
Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2.
Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege wird abgewiesen.
3.
Die Gerichtskosten von Fr. 300.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
4.
Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten und dem Verwaltungsgericht des Kantons Bern, Verwaltungsrechtliche Abteilung, Einzelrichter, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 27. Juni 2016
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Seiler
Der Gerichtsschreiber: Feller