Sachverhalt:
A.
Der 1968 geborene A._ war ab 1. Oktober 2003 als Croupier für die B._ AG in X._ tätig. Die Arbeitgeberin kündigte das Arbeitsverhältnis am 25. September 2012 per 30. November 2012 und stellte A._ per sofort frei. Am 16. Oktober 2012 meldete er sich zur Arbeitsvermittlung an. Zufolge einer krankheitsbedingten Arbeitsunfähigkeit in der Zeit vom 19. November bis 2. Dezember 2012 verlängerte sich das Arbeitsverhältnis mit der B._ AG bis Ende Dezember 2012. Nachdem A._ Antrag auf Ausrichtung von Arbeitslosenentschädigung gestellt hatte, eröffnete die Öffentliche Arbeitslosenkasse Basel-Stadt eine Rahmenfrist für den Leistungsbezug vom 1. Januar 2013 bis 31. Dezember 2014 und ermittelte einen versicherten Verdienst von Fr. 6'888.-, basierend auf dem Durchschnittslohn der letzten sechs Beitragsmonate (Juli bis Dezember 2012).
Im Anschluss an eine Revision des SECO forderte die Kasse mit Verfügung vom 30. Mai 2014 bezogene Leistungen in der Höhe von Fr. 4'654.60 zurück, die sie für die Zeit ab Mai 2013 ausgerichtet hatte. Zur Begründung gab sie an, die Rahmenfrist für den Leistungsbezug beginne neu am 1. Mai 2013, da erst ab diesem Zeitpunkt sämtliche Anspruchsvoraussetzungen erfüllt seien. Vom 1. Januar bis 30. April 2013 sei A._ in einem finanziell zumutbaren Arbeitsverhältnis bei der C._ AG unter Vertrag gewesen. Der versicherte Verdienst sei deshalb unter Mitberücksichtigung des Einkommens aus dieser Anstellung zu ermitteln. Ausserdem seien die von der B._ AG im November und Dezember 2012 ausgerichteten Leistungs- und Verhaltensprämien bei der Berechnung des versicherten Verdienstes anteilmässig auf das ganze Jahr 2012 anzurechnen. Aus diesen Korrekturen resultiere ein - niedrigerer - versicherter Verdienst von Fr. 6'254.-. Daran hielt die Kasse auf Einsprache hin fest (Einspracheentscheid vom 3. September 2014).
B.
In Gutheissung der dagegen von A._ geführten Beschwerde hob das Sozialversicherungsgericht des Kantons Basel-Stadt den Einspracheentscheid vom 3. September 2014 auf (Entscheid vom 17. Juni 2015).
C.
Das SECO führt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten und stellt das Rechtsbegehren, der Entscheid des kantonalen Gerichts vom 17. Juni 2015 sei aufzuheben.
Das Sozialversicherungsgericht des Kantons Basel-Stadt beantragt die Abweisung der Beschwerde und verweist zur Begründung auf den angefochtenen Entscheid. Die Kasse verzichtet auf eine Vernehmlassung. A._ schliesst sinngemäss auf Abweisung des Rechtsmittels.

Erwägungen:
1.
Die Legitimation des SECO zur Einreichung der Beschwerde ergibt sich aus <ref-law> in Verbindung mit <ref-law>. Die übrigen Voraussetzungen für das Eintreten auf die Beschwerde sind ebenfalls erfüllt.
2.
Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann wegen Rechtsverletzungen gemäss Art. 95 und 96 BGG erhoben werden. Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (<ref-law>), doch prüft es, unter Berücksichtigung der allgemeinen Rüge- und Begründungspflicht (Art. 42 Abs. 1 und 2 BGG), nur die geltend gemachten Vorbringen, falls allfällige weitere rechtliche Mängel nicht geradezu offensichtlich sind (<ref-ruling> E. 1.6 S. 280 mit Hinweis). Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (<ref-law>). Es kann deren Sachverhaltsfeststellung nur berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruht (<ref-law>).
3.
Nach <ref-law> in Verbindung mit <ref-law> sind unrechtmässig bezogene Leistungen zurückzuerstatten. Zu Unrecht bezogene Geldleistungen, die auf einer formell rechtskräftigen Verfügung beruhen, können, unabhängig davon, ob die zur Rückforderung Anlass gebenden Leistungen förmlich oder formlos verfügt worden sind, nur zurückgefordert werden, wenn entweder die für die Wiedererwägung (wegen zweifelloser Unrichtigkeit und erheblicher Bedeutung der Berichtigung) oder die für die prozessuale Revision (wegen vorbestandener neuer Tatsachen oder Beweismittel) bestehenden Voraussetzungen erfüllt sind (<ref-law>; <ref-ruling> E. 5.2 in fine S. 320; <ref-ruling> E. 1.1).
4.
4.1. Der ab 1. Januar 2013 als arbeitslos gemeldete Versicherte fand für die Zeit vom 1. Januar bis 31. März 2013 eine befristete Anstellung als Croupier für die C._ AG in Y._. Mit Vereinbarung vom 20. März 2013 wurde das Arbeitsverhältnis um einen Monat bis 30. April 2013 verlängert. In dieser befristeten Anstellung wurde ein monatlicher Lohn von Fr. 5'128.80, und somit unbestrittenermassen mehr als 70 % des ursprünglich von der Kasse auf Fr. 6'888.- festgesetzten versicherten Verdienstes, erzielt. Im angefochtenen Entscheid wird dazu festgehalten, dass allein der finanzielle Aspekt im Sinne von <ref-law> für die hier zu prüfende "Verlegung der Rahmenfristen" nicht entscheidend sei. Schon die Kasse habe festgestellt, dass die Länge des Arbeitswegs von X._ nach Y._ mit einer Dauer von 3 Stunden und 45 Minuten pro Weg tagsüber und bei guten Bahnverbindungen über der Zumutbarkeitsgrenze nach <ref-law> liege. Zudem sei nach dem Wortlaut dieser Bestimmung für die Annahme einer Unzumutbarkeit nicht allein ein langer Arbeitsweg, sondern zusätzlich noch das Fehlen einer angemessenen Unterkunft am Arbeitsort erforderlich. Im Vertrag zwischen dem Versicherten und der C._ AG vom 28. Dezember 2012 sei nicht vorgesehen, dass die Arbeitgeberin ihm eine Unterkunft auf ihre Kosten zur Verfügung stelle. Eine solche sei damit während des Engagements in Y._ nicht "vorhanden" gewesen. Der Versicherte habe mit anderen Worten eine Unterkunft nahe dem Arbeitsort in Y._ erst suchen und entsprechend zusätzliche finanzielle Belastungen (Mietzins) für eine Zweitwohnung auf sich nehmen müssen. In die Zeit seines Arbeitsantrittes am 1. Januar 2013 sei zudem ein in Y._ stattfindendes Wirtschaftstreffen gefallen, weshalb er in einer vom Arbeitgeber angemieteten Zweizimmerwohnung auf einem überdachten Balkon habe wohnen müssen und dafür (monatlich) Fr. 650.- bezahlt habe. Nach seinen glaubhaften Ausführungen anlässlich der Hauptverhandlung vom 17. Juni 2015 seien die Wohnverhältnisse sehr beengt gewesen. Nach Ende des Wirtschaftstreffens habe er zwar eine andere Unterkunft für (monatlich) Fr. 600.- gefunden. Es sei jedoch anzunehmen, dass er nicht nur zu Beginn, sondern für die ganze Dauer des Engagements in Y._ nicht über eine angemessene Unterkunft verfügt habe, denn für monatlich Fr. 600.- lasse sich in einem Winterkurort während der Wintersaison kein als angemessen zu bezeichnendes Logis finden. Mit Blick auf diese Umstände erscheine der ursprüngliche Entscheid der Kasse, die Tätigkeit im Zeitraum vom 1. Januar bis 30. April 2013 als im Sinne von <ref-law> unzumutbar zu qualifizieren und den in diesem Zeitraum erzielten Lohn als Zwischenverdienst zu behandeln, gut nachvollziehbar. Da es nicht offensichtlich unrichtig gewesen sei, das Anspruchserfordernis der Arbeitslosigkeit ab 1. Januar 2013 als erfüllt zu betrachten, sei auch die Festsetzung der Rahmenfrist für den Leistungsbezug auf den Zeitraum vom 1. Januar 2013 bis 31. Dezember 2014 nicht zweifellos unrichtig gewesen. Es bleibe damit bei der ursprünglichen Rahmenfrist für die Beitragszeit vom 1. Januar 2011 bis 31. Dezember 2012 und dem gestützt darauf ermittelten versicherten Verdienst von Fr. 6'888.-.
4.2. Gegen die vorinstanzliche Argumentation wendet das SECO ein, der Versicherte habe per 1. Januar 2013 eine auf vier Monate befristete Vollzeitstelle angetreten, die ihm im Sinne des AVIG ein zumutbares Einkommen ermöglicht habe. Damit sei offensichtlich, dass er keinen Arbeitsausfall, geschweige denn einen Verdienstausfall aufweise. Es fehle folglich an einer der "wesentlichsten" Anspruchsvoraussetzungen. Dem kantonalen Gericht könne nicht gefolgt werden, soweit es sich auf den unzumutbaren Arbeitsweg abstütze, denn der Versicherte habe die Arbeitsstelle selber ausgesucht und als für ihn gut eingestuft. Den Arbeitsvertrag habe er vor Eintritt der Arbeitslosigkeit unterschrieben. Zudem habe er ja selber innert nützlicher Frist eine angemessene Unterkunft gefunden, wenn auch nicht unmittelbar nach der Beendigung seines alten und nahtlosem Antritt seines neuen Anstellungsverhältnisses. Die Vorinstanz habe sich auch nicht damit befasst, dass sich in unmittelbarer Nähe von Y._ sicherlich eine angemessene Unterkunft hätte finden lassen. Dies sei aber so oder anders irrelevant, weil es einerseits an Arbeitslosigkeit fehle und andererseits ein zumutbares Einkommen vorliege. Der angefochtene Gerichtsentscheid verletze klarerweise Bundesrecht, weil die Eröffnung einer Rahmenfrist mangels Erfüllung aller Anspruchsvoraussetzungen nach Art. 8 in Verbindung mit <ref-law> offensichtlich unrichtig sei.
4.3. Der Versicherte weist letztinstanzlich darauf hin, dass er zur nach Ende des Wirtschaftstreffens gefundenen Wohnung im nächsten Dorf mehr als 3 km habe laufen müssen, weil nach seinen geleisteten Nachtschichten kein Bus mehr gefahren sei. Zudem werde vom SECO nicht berücksichtigt, dass er durch Annahme der Stelle in Y._ und Bezug einer zweiten Unterkunft (neben seinem Logis in X._) höhere Miet-, Pendler- und Lebenshaltungskosten gehabt habe, weshalb auch die wirtschaftliche Zumutbarkeit zu verneinen sei. Diese Kosten müssten berücksichtigt werden, da sie nur wegen dieser Stelle angefallen seien und ein Umzug mit Kündigung der Wohnung in X._ nicht in Frage gekommen sei, nachdem es sich beim Einsatz in Y._ von Anfang an um ein befristetes Arbeitsverhältnis während der Winterhochsaison gehandelt habe. Schliesslich sei ihm im Vorfeld vom RAV und von der Arbeitslosenkasse versichert worden, dass der Lohn aus dem befristeten Arbeitsverhältnis als Zwischenverdienst zu qualifizieren sei, weshalb er in seinem Vertrauen auf diese Zusicherung geschützt werden müsse.
5.
5.1. Der Anspruch auf Arbeitslosenentschädigung setzt unter anderem voraus, dass die versicherte Person ganz oder teilweise arbeitslos ist (Art. 8 Abs. 1 lit. a in Verbindung mit <ref-law>). Dabei gilt als ganz arbeitslos, wer in keinem Arbeitsverhältnis steht und eine Vollzeitbeschäftigung sucht (<ref-law>). Zudem muss sich der Arbeitsuchende beim Arbeitsamt seines Wohnortes zur Arbeitsvermittlung gemeldet haben (<ref-law>). Weiter setzt der Arbeitslosenentschädigungsanspruch voraus, dass die versicherte Person einen anrechenbaren Arbeitsausfall erlitten hat (Art. 8 Abs. 1 lit. b in Verbindung mit <ref-law>). Ein solcher Arbeitsausfall liegt gemäss <ref-law> dann vor, wenn er einen Verdienstausfall zur Folge hat und mindestens zwei aufeinanderfolgende volle Arbeitstage dauert. Kumulativ erforderlich sind somit ein Verdienst- und ein Mindestarbeitsausfall.
<ref-law> hat die Funktion einer Grundregel, die immer zur Anwendung gelangt, es sei denn, das Gesetz sehe selbst eine Ausnahme vor. Letzteres geschieht etwa mit <ref-law> (vgl. THOMAS NUSSBAUMER, Arbeitslosenversicherung, in: Schweizerisches Bundesverwaltungsrecht [SBVR], Soziale Sicherheit, 3. Aufl. 2016, Rz. 155). Diese im Rahmen der Zwischenverdienstregelung geltende Bestimmung befreit den Versicherten während den gesetzlich vorgesehenen Fristen (vgl. <ref-law>) vom Erfordernis des anrechenbaren Arbeitsausfalles, wenn er zur Vermeidung von Arbeitslosigkeit für wenigstens eine ganze Kontrollperiode eine Vollzeitbeschäftigung annimmt, deren Entlöhnung geringer ist als die ihm zustehende Arbeitslosenentschädigung (vgl. <ref-ruling> E. 2b S. 339).
5.2. Nach <ref-law> muss der Versicherte zur Schadensminderung grundsätzlich jede Arbeit unverzüglich aufnehmen. Der in <ref-law> geregelte Begriff der zumutbaren Arbeit ist massgebende Bezugsgrösse für die Anspruchsvoraussetzung der Vermittlungsfähigkeit (<ref-law>), spielt aber unter anderem auch bei der Beendigung der Arbeitslosigkeit und bei der Frage nach der Qualifikation einer Tätigkeit als Zwischenverdienst (<ref-law>) eine Rolle (NUSSBAUMER, a.a.O., Rz. 290). Die Unzumutbarkeitstatbestände gemäss <ref-law> müssen kumulativ ausgeschlossen sein, damit eine Arbeit als zumutbar qualifiziert werden kann (<ref-ruling>). Sie sind somit einzeln daraufhin zu überprüfen, ob die in Frage stehende Arbeit den jeweiligen Unzumutbarkeitsgrund erfüllt (Urteil C 137/03 vom 5. April 2004; NUSSBAUMER, a.a.O., Rz. 293).
5.3. Eine Arbeit ist namentlich unzumutbar, wenn sie einen Arbeitsweg von mehr als zwei Stunden je für den Hin- und Rückweg notwendig macht und bei welcher für den Versicherten am Arbeitsort keine angemessene Unterkunft vorhanden ist oder er bei Vorhandensein einer entsprechenden Unterkunft seine Betreuungspflicht gegenüber den Angehörigen nicht ohne grössere Schwierigkeiten erfüllen kann (<ref-law>). Unzumutbarkeit liegt unter anderm auch vor, wenn die Arbeit dem Versicherten einen Lohn einbringt, der geringer ist als 70 % des versicherten Verdienstes, es sei denn, er erhalte Kompensationsleistungen nach <ref-law> (<ref-law>, erster Teilsatz).
6.
6.1.
6.1.1. Das SECO vertritt die Auffassung, mangels eines Arbeits- und Verdienstausfalls sei im vorliegenden Fall gar keine Arbeitslosigkeit eingetreten, weshalb auch keine Rahmenfrist für den Leistungsbezug hätte eröffnet werden dürfen.
6.1.2. Das kantonale Gericht seinerseits hat sich bei seiner Beurteilung insbesondere vom Urteil C 224/03 des damaligen Eidgenössischen Versicherungsgerichts (seit 1. Januar 2007: I. und II. sozialrechtliche Abteilungen des Bundesgerichts) vom 1. März 2004 leiten lassen. Darin wurde erkannt, der Beginn der Rahmenfrist für den Leistungsbezug sei zu Recht auf einen Zeitpunkt gelegt worden, in dem der damals betroffene Versicherte eine Tätigkeit als Temporärmitarbeiter ausgeübt hatte. Obwohl der bezogene Lohn höher als die Arbeitslosenentschädigung gewesen war, qualifizierte das Eidgenössische Versicherungsgericht diese Tätigkeit als Zwischenverdienst im Sinne des <ref-law>, weil eine bloss zweitägige Kündigungsfrist gegeben war. Denn damit lag keine zumutbare Arbeit im Sinne des <ref-law> vor. Dies hatte zur Folge, dass der Versicherte auch während der temporären Anstellung als arbeitslos zu qualifizieren war. Im Übrigen wurde - unter Hinweis darauf, dass der erzielte Bruttolohn niedriger als die während der vorangegangenen Umschulung erzielten Bruttotaggelder der Invalidenversicherung, aber höher als die Taggelder der Arbeitslosenversicherung gewesen war - auch ein Verdienstausfall nach <ref-law> bejaht. Damit hatte der dortige Versicherte die Anspruchsvoraussetzungen für den Bezug von Taggeldern erfüllt, auch wenn infolge des die Taggeldhöhe übersteigenden Lohnes aus dem Zwischenverdienst keine Geldleistungen der Arbeitslosenversicherung ausbezahlt worden waren (Urteil C 224/03 vom 1. März 2004 E. 3).
Vor diesem Hintergrund und weil die neue (ab Beginn befristete) Stelle in Y._ nicht nur vom Arbeitsweg her, sondern auch deswegen unzumutbar war, weil am Arbeitsort eine angemessene Unterkunft fehlte, hat das kantonale Gericht ein Zurückkommen auf den ursprünglichen Entscheid auf dem Weg der Wiedererwägung nicht zugelassen. Denn es erscheine - so die Vorinstanz - angesichts der Umstände gut nachvollziehbar, die Tätigkeit des Versicherten im Zeitraum von 1. Januar bis 30. April 2013 als Zwischenverdienst zu qualifizieren. Da es nicht offensichtlich unrichtig gewesen sei, das Anspruchserfordernis der Arbeitslosigkeit im Sinne von Art. 8 Abs. 1 lit. a in Verbindung mit <ref-law> als erfüllt zu betrachten, gelte dies gleichermassen für die Festsetzung der Rahmenfristen ab 1. Januar 2013.
6.1.3. Es steht ausser Frage, dass eine eingetretene Arbeitslosigkeit im rechtlichen Sinn immer erst mit der Aufnahme einer nach <ref-law> zumutbaren Voll- oder Teilzeitstelle endet (<ref-ruling> E. 4c/bb S. 40, 114 V 345 E. 2d S. 349; NUSSBAUMER, a.a.O., Rz. 149 und 411; BORIS RUBIN, Commentaire de la loi sur l'assurance-chômage, 2014, N. 5 zu <ref-law>). Und wenn die gefestigte Rechtsprechung die "insbesondere lohnmässig" zumutbare Arbeit als Ausschlussgrund für die Annahme von Zwischenverdienst nennt (<ref-ruling> E. 2 S. 54, 120 V 233 E. 5c S. 250), bedeutet dies gewiss nicht, dass eine allenfalls aus anderen Gründen bestehende Unzumutbarkeit zur Beendigung der Arbeitslosigkeit und zum Ausschluss von <ref-law> führen würde (vgl. E. 5.3 hiervor). Anderseits erscheint kaum nachvollziehbar - und insofern ist dem beschwerdeführenden SECO beizupflichten -, den Eintritt der Arbeitslosigkeit und damit den Beginn der Rahmenfristen auf einen Zeitpunkt zu legen, in dem es an einem anrechenbaren Arbeitsausfall fehlte, ohne dass zugleich die Voraussetzungen eines ausnahmsweisen Verzichts auf dieses Erfordernis gemäss <ref-law> gegeben waren. Denn der Wortlaut dieser Bestimmung bezieht sich explizit ausschliesslich auf die (unzumutbare) Entlöhnung, derweil er die übrigen in <ref-law> aufgezählten Unzumutbarkeitsgründe unerwähnt lässt. Dies spräche an sich gegen die Zulässigkeit einer weitergehenden Sicht, wie sie nicht nur im besagten Urteil C 224/03 vom 1. März 2004, sondern ebenso im Urteil C 253/06 vom 6. November 2007 E. 5.1.2 vertreten wurde.
Ob an dem in diesen Urteilen Erwogenen in allen Teilen weiter festzuhalten ist, kann hier letztlich offen bleiben, wie sogleich zu zeigen ist.
6.2.
6.2.1. Wenn beim Beschwerdeführer ab 1. Januar 2013 keine Arbeitslosigkeit, namentlich kein anrechenbarer Arbeitsausfall bestand, da er eine Vollzeitbeschäftigung aufgenommen hatte, die ihm jedenfalls aus Sicht der Entlöhnung gemäss <ref-law> unbestrittenermassen zumutbar war, dann fiel die Ansetzung einer Rahmenfrist ab diesem Zeitpunkt ausser Betracht. Und weil sich der Beschwerdeführer aus freien Stücken zu einem solchen Schritt entschied, bleibt eine allfällige Unzumutbarkeit nach <ref-law> unerheblich. Selbst wenn diese vom SECO vertretene Sicht zutrifft und das kantonale Gericht in diesem Zusammenhang - ebenso wie zunächst die Verwaltung selbst - in rechtlicher Hinsicht von einem falschen Verständnis ausgegangen ist, führt dies nicht zwangsläufig zur Gutheissung der Beschwerde. Für ein Rückkommen auf die angesetzte Rahmenfrist bedarf es eines entsprechenden Titels, wobei im vorliegenden Fall lediglich derjenige der Wiedererwägung (<ref-law>) in Betracht fällt. Obwohl bei unrichtiger Rechtsanwendung die Wiedererwägungsvoraussetzung der zweifellosen Unrichtigkeit in der Regel bejaht wird, ist davon unter den hier gegebenen Umständen ausnahmsweise abzusehen (vgl. SVR 2011 ALV Nr. 5 S. 11 E. 5, 8C_721/2010, ebenfalls publiziert in ARV 2011 S. 160). Denn die von der Verwaltung ursprünglich vertretene Rechtsauffassung, nämlich die Annahme des Eintritts von Arbeitslosigkeit trotz unmittelbar auf den Stellenverlust folgender Aufnahme einer neuen, aber unzumutbaren Tätigkeit, liess sich immerhin mit den zuvor zitierten Urteilen des Eidgenössischen Versicherungsgerichts begründen. Aufgrund der verbindlichen vorinstanzlichen Tatsachenfeststellungen (vgl. E. 4.1 hiervor) kann die Unterbringung des Beschwerdeführers in Y._ wenigstens in der Anfangsphase nicht als angemessen bezeichnet werden. Der Schluss des kantonalen Gerichts von der - zumindest zu Beginn der Arbeitsaufnahme in Y._ bestehenden - Unzumutbarkeit auf eine ab Januar 2013 eingetretene Arbeitslosigkeit erweist sich daher nicht als unhaltbar.
6.2.2. Die ursprüngliche Eröffnung einer Rahmenfrist für den Leistungsbezug vom 1. Januar 2013 bis 31. Dezember 2014 durch die Arbeitslosenkasse war damit nicht geradezu zweifellos unrichtig. Mit der Vorinstanz hat es demnach beim anfänglich auf Fr. 6'888.- festgesetzten versicherten Verdienst, basierend auf den Einkünften in der früheren Anstellung bei der B._ AG - der Einbezug der im November und Dezember 2012 von der damaligen Arbeitgeberin ausgerichteten Leistungs- und Verhaltensprämien in die Berechnung des versicherten Verdienstes wird letztinstanzlich nicht mehr gerügt - sein Bewenden.
6.3. Damit dringt das SECO im Ergebnis nicht durch, was zur Abweisung seiner Beschwerde führt.
7.
Es werden keine Gerichtskosten erhoben (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen.
2.
Es werden keine Gerichtskosten erhoben.
3.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Sozialversicherungsgericht des Kantons Basel-Stadt schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 17. Mai 2016
Im Namen der I. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Maillard
Die Gerichtsschreiberin: Berger Götz