Faits :
A.
C._, né en 2011, et D._, né en 2012, sont les enfants nés hors mariage de A._ et de B._. A._ est également la mère de E._, né en 2007 d'une précédente union.
B.
B.a. Selon un rapport du Service de protection de la jeunesse (ci-après: SPJ) du 13 février 2015, établi dans le cadre d'une première enquête en limitation de l'autorité parentale, A._ et B._ ont convenu de se séparer à la fin de l'année 2013 mais ont continué à vivre dans un premier temps sous le même toit, à deux étages différents du domicile familial, en prévision d'un projet de garde alternée. Le conflit entre les parents s'est toutefois aggravé et a nécessité l'intervention de la police à trois reprises entre janvier et août 2014. Aucune mise en danger des enfants n'a été relevée. Les compétences éducatives de chacun des parents ont été reconnues. Le SPJ a en revanche souligné les difficultés de communication entre ceux-ci.
Lors d'une audience tenue le 21 août 2015 devant la Justice de paix du district du Jura-Nord vaudois, F._, assistant social de l'Office régional de protection des mineurs (ci-après: ORPM) du Nord vaudois, a estimé qu'il fallait conserver le statu quo, à savoir la garde des enfants à la mère, car un nouveau changement pourrait être mal vécu par C._ et D._, quand bien même il reconnaissait que le père lui avait présenté un projet valable, avec des solutions adéquates de garde concernant les enfants.
L'enquête a finalement abouti à la ratification, par décision de la Justice de paix du district du Jura-Nord vaudois du 21 août 2015 rectifiée le 22 décembre 2015, de la convention parentale prévoyant une autorité parentale conjointe et l'attribution de la garde sur les enfants C._ et D._ à la mère, le père jouissant d'un libre et large droit de visite.
B.b. Par décision du 15 janvier 2016, la Justice de paix du district de Lausanne (ci-après: la Justice de paix) a accepté le transfert de for - les enfants étant désormais domiciliés à U._ - et a désigné un curateur des relations personnelles conformément à l'art. 308 al. 2 CC, ainsi qu'un curateur pour la fixation de la contribution d'entretien. Le 6 mai 2016, elle a approuvé la convention d'entretien conclue entre celui-ci et les parents de C._ et D._.
B.c. Le 21 juin 2016, le psychologue et psychothérapeute G._ a signalé au SPJ la situation de C._.
B.d. Par requête de mesures provisionnelles du 21 juillet 2016, B._ a requis l'attribution de la garde des enfants C._ et D._ en sa faveur et la réglementation du droit de visite de la mère, ainsi que la modification de la contribution d'entretien.
Sur interpellation de la Justice de paix du 9 août 2016, divers intervenants ont déposé un rapport concernant la prise en charge des enfants, à savoir le Dr H._ - pédiatre des enfants concernés depuis septembre 2015 -, le Dr I._ - pédiatre consulté de septembre 2011 à décembre 2014 -, J._ - logopédiste en charge du suivi de C._, sur une base privée, depuis le mois de mai 2016 - et K._ - doyenne chargée de direction auprès de l'établissement scolaire de C._.
Le 2 septembre 2016, la Justice de paix a procédé à l'audition des parents, de L._ - assistante sociale du SPJ - et de M._ - curateur de surveillance des relations personnelles desenfants concernés. Elle a également entendu deux témoins, à savoir N._ - logopédiste scolaire - et O._ - enseignante de C._.
Le 16 septembre 2016, la Justice de paix a confié au SPJ un mandat d'évaluation de la situation et des conditions de vie des enfants C._ et D._. Le 29 septembre 2016, ce mandat a été, à la requête du SPJ, étendu à l'enfant E._.
Le 11 octobre 2016, P._, adjoint suppléant de la Cheffe de l'ORPM du Centre, pour le SPJ, a déposé un rapport d'évaluation, concluant que les intérêts des enfants C._ et D._ seraient plus rapidement et mieux préservés si c'était leur père qui en avait la charge quotidienne, qu'un travail de réseau pourrait alors être effectué pour préparer le transfert de garde, soutenir les enfants dans le changement et aider les parents à rechercher la complémentarité dans leurs rapports.
Le 13 octobre 2016, la logopédiste J._ a adressé à chacune des parties un courriel dans lequel elle a expliqué qu'elle donnait suite à la demande de la mère de déposer un rapport en sa faveur après le rapport défavorable du SPJ, mais qu'elle avait jugé nécessaire de répondre aux deux parents. Elle a en substance estimé qu'un transfert de la garde serait bénéfique pour C._.
A la reprise d'audience le 14 octobre 2016, la Justice de paix a procédé à l'audition des parents, ainsi que de Q._, assistante sociale pour le SPJ, en remplacement de L._. Elle a également entendu en qualité de témoins G._, R._ - infirmier en psychiatrie intervenant depuis décembre 2015 à raison d'une heure hebdomadaire au domicile de la mère -, S._ - infirmière scolaire - et T._ - amie de la mère et éducatrice de profession.
Par ordonnance du 14 octobre 2016, la Justice de paix a notamment arrêté provisoirement le lieu de résidence des enfants au domicile de leur père, qui en exerce désormais la garde, fixé le droit de visite de la mère et institué à titre provisoire une curatelle d'assistance éducative au sens de l'art. 308 al. 1 CC en faveur des enfants, dont le mandat a été confié à l'assistante sociale L._.
B.e. Par arrêt du 23 novembre 2016, la Chambre des curatelles du Tribunal cantonal du canton de Vaud (ci-après: la Chambre des curatelles) a rejeté l'appel formé par la mère contre l'ordonnance de la Justice de paix.
C.
Par acte du 7 décembre 2016, la mère exerce un recours en matière civile au Tribunal fédéral. Elle conclut principalement à la réforme de l'arrêt entrepris en ce sens que la requête de mesures provisionnelles déposée par le père le 21 juillet 2016 est rejetée, que le lieu de résidence des enfants C._ et D._ demeure provisoirement à son domicile et qu'elle exerce la garde de fait, qu'une expertise pédopsychiatrique est mise en oeuvre et confiée à la Dresse V._ ou au Prof. W._, l'expert ayant pour mission de formuler toute proposition utile concernant l'attribution de la garde et la fixation du droit de visite, que, dans l'intervalle, le suivi pédopsychiatrique régulier des enfants se poursuit auprès d'un pédopsychiatre désigné par l'autorité de protection de l'enfant, que les parties sont exhortées à entreprendre une thérapie familiale à Y._ et à prendre contact avec cet institut et que la décision rendue le 16 novembre 2015 par la Justice de paix du district du Jura-Nord vaudois est maintenue pour le surplus. Subsidiairement, la recourante conclut, en sus de ses conclusions principales, à ce qu'une curatelle d'assistance éducative soit instituée à titre provisoire en faveur des enfants et à ce que L._, assistante sociale auprès du SPJ, soit désignée curatrice ad personam. Plus subsidiairement encore, la mère conclut à l'annulation de l'arrêt attaqué et au renvoi de la cause à l'autorité précédente pour nouvelle décision dans le sens des considérants. Elle requiert également le bénéfice de l'assistance judiciaire.
D.
D.a. Par ordonnance du 8 décembre 2016, le Président de la II e Cour de droit civil a accordé l'effet suspensif au recours à titre superprovisoire.
Etant apparu que les enfants se trouvaient déjà chez leur père, la Juge présidant la II e Cour de droit civil a, par ordonnance du 16 décembre 2016, retiré l'effet suspensif accordé à titre superprovisoire.
D.b. Invités à se déterminer sur la requête d'effet suspensif assortissant le recours, l'intimé ne s'est pas prononcé, l'autorité précédente s'en est remise à justice et le SPJ a préconisé le refus de cette mesure, dès lors qu'un nouveau changement du lieu de vie des enfants leur serait préjudiciable et mettrait en danger leur stabilité.
D.c. Par ordonnance du 9 janvier 2017, le Président de la II e Cour de droit civil a rejeté la requête d'effet suspensif.
Des observations sur le fond n'ont pas été requises.

Considérant en droit :
1.
Déposé en temps utile (art. 100 al. 1 LTF) et dans la forme légale (art. 42 al. 1 LTF), le recours est dirigé contre une décision finale (art. 90 LTF) rendue sur recours par une autorité supérieure statuant en dernière instance cantonale (art. 75 al. 1 et 2 LTF), dans une affaire civile (art. 72 al. 1 LTF; arrêt 5A_22/2016 du 2 septembre 2016 consid. 1) de nature non pécuniaire. La recourante a participé à la procédure devant l'autorité précédente et a un intérêt digne de protection à la modification ou l'annulation de la décision entreprise (art. 76 al. 1 let. a et b LTF). Le recours est donc en principe recevable.
2.
2.1. Comme la décision entreprise porte sur des mesures provisionnelles au sens de l'art. 98 LTF, la partie recourante ne peut dénoncer que la violation de droits constitutionnels. Le Tribunal fédéral n'examine de tels griefs que s'ils ont été invoqués et motivés par le recourant (" principe d'allégation "; art. 106 al. 2 LTF), c'est-à-dire s'ils ont été expressément soulevés et exposés de manière claire et détaillée (<ref-ruling> consid. 2.1; <ref-ruling> consid. 2.4). En particulier, une décision ne peut être qualifiée d'arbitraire (art. 9 Cst.) que si elle est manifestement insoutenable, méconnaît gravement une norme ou un principe juridique clair et indiscuté, ou heurte de manière choquante le sentiment de la justice et de l'équité; il ne suffit pas qu'une autre solution paraisse concevable, voire préférable; pour que cette décision soit annulée, encore faut-il qu'elle se révèle arbitraire non seulement dans ses motifs, mais aussi dans son résultat (<ref-ruling> consid. 4.3; <ref-ruling> consid. 4.1 et les références). Partant, le recourant ne peut se borner à critiquer la décision attaquée comme il le ferait en procédure d'appel, où l'autorité de recours jouit d'une libre cognition, notamment en se contentant d'opposer sa thèse à celle de l'autorité précédente; les critiques de nature appellatoire sont irrecevables (ATF <ref-ruling> consid. 2.4).
2.2. Le Tribunal fédéral statue sur la base des faits établis par l'autorité précédente (art. 105 al. 1 LTF). Dans l'hypothèse d'un recours soumis à l'art. 98 LTF, le recourant qui entend invoquer que les faits ont été établis de manière manifestement inexacte ne peut obtenir la rectification ou le complètement des constatations de fait de l'arrêt cantonal que s'il démontre la violation de droits constitutionnels, conformément au principe d'allégation susmentionné (cf. supra consid. 2.1). Le Tribunal fédéral ne corrige les constatations de fait que si elles sont arbitraires (art. 9 Cst.) et ont une influence sur le résultat de la décision (<ref-ruling> consid. 1.2.2). En matière d'appréciation des preuves et d'établissement des faits, il n'y a arbitraire que lorsque l'autorité ne prend pas en compte, sans aucune raison sérieuse, un élément de preuve propre à modifier la décision, lorsqu'elle se trompe manifestement sur son sens et sa portée, ou encore lorsque, en se fondant sur les éléments recueillis, elle en tire des constatations insoutenables (<ref-ruling> consid. 2.3 et les références). Le recourant ne peut pas se borner à contredire les constatations litigieuses par ses propres allégations ou par l'exposé de sa propre appréciation des preuves; il doit indiquer de façon précise en quoi ces constatations sont arbitraires au sens de l'art. 9 Cst. (<ref-ruling> consid. 1.4.3). Une critique des faits qui ne satisfait pas à cette exigence est irrecevable (art. 106 al. 2 LTF; <ref-ruling> consid. 1.3.1; <ref-ruling> consid. 2.3 et les références).
3.
La cour cantonale a retenu qu'il ressortait de l'instruction opérée en première instance que les enfants C._ et D._, tout particulièrement le premier, connaissaient des difficultés importantes malgré leur jeune âge, qui nécessitaient une prise en charge soutenue sur plusieurs fronts en même temps (langage et suivi psychothérapeutique), à une fréquence que la mère, malgré ses efforts, peinait à assurer, d'autant plus qu'elle avait la charge d'un autre enfant, qui connaissait également des problèmes apparemment importants et nécessitait une prise en charge conséquente. Par ailleurs, la mère était décrite par le Dr H._ et par la logopédiste J._ comme ayant de la peine à admettre le besoin de suivi psychothérapeutique intense de son fils C._. Lorsque la recourante mettait en avant lors de son audition le fait de n'avoir pas été consultée par le père avant que le suivi par le psychologue G._ ne soit décidé, on devait admettre, au vu des sollicitations en ce sens du père et du courriel de la mère lui laissant le soin d'effectuer les démarches lui-même, de même qu'à la lecture du rapport du 21 août 2016 du Dr H._ - qui exposait que la mère peinait à adhérer à cette mesure et estimait qu'il revenait au père de la mettre en place -, qu'elle n'était en réalité pas disposée à entreprendre les démarches nécessaires en vue du suivi psychologique de C._. Dans son rapport du 11 octobre 2016, le SPJ avait d'ailleurs indiqué que la mère refusait de collaborer s'agissant du psychologue G._. Il résultait du dossier que les enfants, particulièrement C._, souffraient, qu'ils avaient besoin d'être cadrés et qu'ils nécessitaient une prise en charge plus soutenue que celle offerte par la mère, sous peine de voir leurs troubles s'aggraver. Il ressortait à la fois des rapports du Dr I._ et du Dr H._, ainsi que des témoignages de l'enseignante O._, de la logopédiste J._ et du psychothérapeute G._, que la mère avait de la peine à donner suite aux nombreux rendez-vous qui lui étaient fixés dans le cadre de la prise en charge scolaire et thérapeutique de ses trois enfants, quand bien même elle faisait apparemment tout pour s'organiser au mieux et malgré le fait qu'elle ne travaillait pas. Il n'était pas contesté que la recourante se souciait de ses enfants, qu'elle avait su demander de l'aide et qu'elle bénéficiait du suivi à domicile d'un infirmier en psychiatrie qui avait souligné ses efforts. Il fallait toutefois constater que la tâche semblait trop lourde pour elle, au vu des nombreuses difficultés rencontrées par ses enfants. Si la situation perdurait, le développement de ceux-ci serait rapidement compromis; par ailleurs, il était manifeste que le besoin de prise en charge allait augmenter et que la mère aurait d'autant plus de difficultés à y faire face qu'elle peinait déjà, alors que les enfants étaient jeunes et que les exigences quant à leur scolarité et leur comportement étaient moindres. Or, le père s'était investi dans la prise en charge des enfants depuis leur naissance. Il avait été en mesure de se montrer disponible et attentif aux besoins de ses fils et, de surcroît, paraissait parfaitement adéquat à tous les intervenants. Ses compétences éducatives et l'adéquation de la prise en charge qu'il proposait étaient reconnues par le SPJ depuis 2015, même si, à l'époque, le statu quo avait été privilégié. Les enfants avaient vécu à X._ jusqu'à la séparation parentale, de sorte qu'un éventuel changement dans la garde ne représenterait pas un bouleversement complet de leur environnement. Enfin, comme l'avait souligné la logopédiste J._ dans son courriel du 13 octobre 2016, l'incidence de la séparation de la fratrie devait être relativisée au vu de la différence d'âge et de besoins séparant C._, a fortiori D._, de E._. Au surplus, même jeunes, les enfants étaient conscients d'être issus de pères différents, ce qui justifiait une appréciation différenciée de leur situation respective.
Dans la mesure où la décision devait être prise en considération de l'intérêt et des besoins des enfants, et non du besoin des parents d'être confortés dans le cadre du conflit parental, il y avait lieu, au stade des mesures provisionnelles, de confier la garde des enfants au parent qui paraissait au moins aussi adéquat que l'autre pour s'occuper des enfants et qui, à l'épreuve des faits, apparaissait le plus disponible et le plus susceptible de leur offrir l'encadrement requis, ainsi que le suivi nécessité par leurs besoins. Pour ces motifs, le transfert immédiat de la garde au père se justifiait pour tenir compte du besoin à brève échéance d'une meilleure prise en charge et d'un cadre plus clair et sécurisant pour les enfants, sans attendre encore le résultat de plus amples mesures d'instruction, qui n'apparaissaient pas nécessaires à ce stade et étaient d'ailleurs peu compatibles avec le cadre procédural, à savoir la procédure sommaire qui prévalait en mesures provisionnelles.
4.
Dans un grief de nature formelle qu'il convient d'examiner en premier lieu (<ref-ruling> consid. 5.1), la recourante reproche à la cour cantonale d'avoir violé son droit d'être entendue (art. 29 al. 2 Cst.), sous les aspects du droit à la preuve et du droit à une décision motivée.
4.1.
4.1.1. Tel qu'il est garanti par l'art. 29 al. 2 Cst., le droit d'être entendu comprend notamment le droit pour le justiciable de participer à l'administration des preuves, d'en prendre connaissance et de se déterminer à leur propos. Cette garantie constitutionnelle n'empêche pas l'autorité cantonale de refuser une mesure probatoire en procédant à une appréciation anticipée des preuves, lorsqu'elle estime que le moyen de preuve requis ne pourrait pas fournir la preuve attendue ou ne pourrait en aucun cas prévaloir sur les autres moyens de preuve déjà administrés par le tribunal de première instance, à savoir lorsqu'il ne serait pas de nature à modifier le résultat des preuves qu'elle tient pour acquis. Le refus d'une mesure probatoire par appréciation anticipée des preuves ne peut toutefois être remis en cause devant le Tribunal fédéral qu'en invoquant l'arbitraire (art. 9 Cst.; <ref-ruling> consid. 6.3.1; <ref-ruling> consid. 4.3.2; arrêt 5A_726/2009 du 30 avril 2010 consid. 3.1 non publié in <ref-ruling>).
4.1.2. La jurisprudence a également déduit de l'art. 29 al. 2 Cst. le devoir pour l'autorité de motiver sa décision, afin que le destinataire puisse la comprendre, la contester utilement s'il y a lieu et que l'autorité de recours puisse exercer son contrôle. Pour répondre à ces exigences, il suffit que le juge mentionne, au moins brièvement, les motifs qui l'ont guidé et sur lesquels il a fondé sa décision, de manière à ce que l'intéressé puisse se rendre compte de la portée de celle-ci et l'attaquer en connaissance de cause. Il n'a pas l'obligation d'exposer et de discuter tous les faits, moyens de preuve et griefs invoqués par les parties, mais peut au contraire se limiter à ceux qui, sans arbitraire, apparaissent pertinents (<ref-ruling> consid. 1.3.1; <ref-ruling> consid. 3.2.1). Dès lors que l'on peut discerner les motifs qui ont guidé la décision de l'autorité, le droit à une décision motivée est respecté même si la motivation présentée est erronée. La motivation peut d'ailleurs être implicite et résulter des différents considérants de la décision. En revanche, une autorité se rend coupable d'un déni de justice formel si elle omet de se prononcer sur des griefs qui présentent une certaine pertinence ou de prendre en considération des allégués et arguments importants pour la décision à rendre (ATF <ref-ruling> consid. 3.2.1 et les références).
4.2. La recourante fait tout d'abord grief à la juridiction précédente d'avoir violé son droit à une décision motivée ainsi que son droit à la preuve en ne traitant pas de sa réquisition de mise en oeuvre d'une expertise pédopsychiatrique visant à formuler toute proposition utile en matière de garde et/ou de droit de visite.
En l'espèce, l'autorité cantonale a considéré qu'en sus des éléments fournis par le SPJ et le psychologue G._, le premier juge s'était livré à une instruction ample et détaillée, requérant des rapports et procédant à l'audition de la majorité des intervenants socio -médicaux ayant pris en charge les enfants concernés, de sorte qu'il ne se justifiait pas de compléter ni de reprendre l'instruction opérée de façon adéquate en première instance.
La juridiction précédente a dès lors clairement indiqué qu'elle n'entendait pas procéder à d'autres mesures d'instruction, partant a implicitement rejeté la requête de mise en oeuvre d'une expertise pédopsychiatrique. Le grief de violation du droit à une décision motivée est donc infondé.
Pour le surplus, dès lors que la cour cantonale a rejeté la requête sur la base d'une appréciation anticipée des preuves, la recourante aurait dû soutenir que celle-ci était arbitraire et non que son droit à la preuve était violé (cf. supra consid. 4.1.1).
4.3. La mère reproche ensuite à l'autorité cantonale d'avoir violé son droit d'être entendue en rejetant sa réquisition de production du courrier que lui avait adressé le psychologue G._ à la suite de son propre envoi du 24 juin 2016.
En l'occurrence, la juridiction précédente a estimé qu'il résultait déjà du dossier que l'alliance thérapeutique entre la recourante et le psychologue était absente et que, quoi qu'il en soit, cet élément n'était pas déterminant. La juridiction précédente a ainsi procédé à une appréciation anticipée des preuves, de sorte que le grief de violation du droit d'être entendu n'est pas pertinent en l'espèce, partant, doit être rejeté (cf. supra consid. 4.1.1). La critique sera pour le surplus examinée ci-après sous l'angle de l'interdiction de l'arbitraire, grief que la recourante invoque également en lien avec la réquisition litigieuse (cf. infra consid. 5.5).
4.4. La recourante se plaint enfin de ce que la cour cantonale n'aurait pas traité son grief de violation des principes de proportionnalité et de subsidiarité, critique qui ressortait pourtant clairement de ses écritures et faisait l'objet d'une conclusion propre. Son droit d'être entendue n'aurait ainsi pas été respecté.
En l'occurrence, la cour cantonale a considéré que le besoin des enfants à brève échéance d'une prise en charge plus soutenue et d'un cadre plus clair et sécurisant commandait le transfert de la garde au père, la tâche paraissant " trop lourde " pour la mère, qui peinait notamment à admettre le besoin de suivi psychothérapeutique intense de son fils C._ et à donner suite aux nombreux rendez-vous qui lui étaient fixés dans le cadre de la prise en charge scolaire et thérapeutique de ses enfants. Ce faisant, la juridiction précédente a indiqué les motifs qu'elle a considéré déterminants pour transférer la garde au père, rejetant implicitement l'argumentation de la recourante selon laquelle l'instauration d'une curatelle d'assistance éducative au sens de l'art. 308 al. 1 CC, sans modification de la garde, serait suffisante. Sur cette base, la mère était en mesure de contester la décision attaquée en connaissance de cause, ce qu'elle a au demeurant fait (cf. infra consid. 6). Partant, le grief est infondé.
5.
La recourante reproche ensuite à la cour cantonale d'avoir, à de nombreux égards, arbitrairement établi les faits et apprécié les preuves.
5.1.
5.1.1. Elle soutient tout d'abord que la juridiction cantonale aurait de manière insoutenable écarté plusieurs pièces déterminantes produites dans son bordereau du 14 novembre 2016, à savoir les pièces F à H (attestations de l'ancienne maîtresse d'école de E._, de la marraine de celui-ci et de la directrice de la crèche) et J (questionnaire rempli par le pédopsychiatre de E._) - établissant ses compétences éducatives -, les pièces K et M (courrier du 21 août 2016 adressé par la recourante à l'enseignante de C._ et récapitulatif des courriels et documents adressés à l'intimé concernant les enfants C._ et D._) - attestant de sa capacité de communication -, la pièce N (attestation complémentaire du Dr H._) - démontrant que l'assistante sociale du SPJ n'avait pas donné un préavis de retrait du droit de garde mais préconisait des mesures de soutien à la parentalité.
5.1.2. La cour cantonale a considéré " au stade des mesures provisionnelles, que certaines pièces produites par la recourante à l'appui de son recours [n'étaient] pas pertinentes, respectivement que le dossier [était] complet ", de sorte qu'elle n'a pas tenu compte des documents produits par la mère en deuxième instance.
5.1.3. En l'espèce, en tant qu'elle soutient que les pièces F à H sont nécessaires afin d'établir " la situation ayant prévalu au moment de l'attribution de la garde le 16 novembre 2015", la recourante perd de vue que la décision querellée constate déjà que - dans le cadre de la première procédure diligentée par le SPJ ayant abouti à la ratification par la Justice de paix de la convention parentale du 21 août 2015 - les compétences éducatives de chacun des parents ont été reconnues, de sorte que les pièces litigieuses ne sont pas propres à influer sur le sort de la cause.
S'agissant de sa demande adressée à l'enseignante de C._ de ne plus annoter l'agenda de celui-ci, la recourante soutient que - comme l'attesterait la pièce K de son bordereau -elle a fait cette démarche dans le but de désenvenimer les rapports entre les parents. On ne saurait dès lors lui reprocher sur cette base un manque de transparence ou un défaut de communication. Ce faisant, la recourante se contente d'expliquer - de manière largement appellatoire (cf. supra consid. 2.2) - les motifs de sa démarche, mais ne démontre pas en quoi le fait de considérer qu'en l'espèce, la demande de ne plus annoter l'agenda allait en réalité - et ce quelles que soient les intentions de la mère - à l'encontre de la transparence et d'une bonne communication entre les parents serait insoutenable.
La recourante ne saurait non plus être suivie lorsqu'elle affirme que la pièce M serait déterminante afin d'établir sa capacité de communication avec le père. En effet, la cour cantonale n'a jugé contraire à une bonne communication entre les parents qu'une démarche spécifique de la mère (cf. paragraphe ci-avant); elle n'a nullement retenu en défaveur de celle-ci une incapacité plus générale à communiquer avec l'autre parent.
S'agissant de la pièce J, on ne discerne pas en quoi la juridiction précédente l'aurait arbitrairement écartée, dès lors que, selon sa lettre même, ce document a été établi dans le cadre d'une autre procédure - opposant la mère à son ex-époux - et porte sur la situation de l'enfant E._, qui ne fait pas l'objet de la décision querellée.
Enfin, pour ce qui est de la pièce N, l'argumentation de la recourante n'est pas propre à démontrer le caractère insoutenable de la décision querellée, dès lors qu'elle se fonde sur de simples suppositions, à savoir que " les conclusions qui devraient figurer dans le journal de Mme L._ ne devraient pas être celles figurant au pied du rapport du 11 octobre 2016".
Au vu de ce qui précède, le grief doit être rejeté dans la mesure de sa recevabilité.
5.2. La recourante soutient ensuite que la juridiction précédente aurait arbitrairement omis de constater la date à laquelle la vie commune des parents a pris fin, à savoir septembre 2014, alors que cet élément serait indispensable pour évaluer si les enfants ont eu le temps de s'attacher au domicile commun des parties lorsqu'ils y vivaient.
Cette date n'est certes pas mentionnée dans la décision attaquée, qui constate toutefois que les concubins ont convenu de se séparer à la fin de l'année 2013, mais ont continué à vivre dans un premier temps sous le même toit et que, la situation ayant dégénéré, le conflit parental a nécessité l'intervention de la police à trois reprises entre janvier et août 2014. Il apparaît que ces éléments sont suffisants en l'espèce et que la constatation prétendument omise par la cour cantonale n'est pas de nature à influer sur le sort de la décision cantonale (cf. infra consid. 6.3 concernant la question du changement de l'environnement des enfants). Le grief est dès lors infondé.
5.3. Sous les intitulés " Mise en place du suivi auprès de M. G._ " et " Participation de la recourante à la mise en place du suivi psychologique de C._ ", la mère soutient également que les constatations selon lesquelles le père avait, entre fin août et novembre 2015, sollicité à plusieurs reprises son aval pour une prise en charge pédopsychiatrique de C._ et qu'elle avait répondu favorablement à cette demande par courriel du 11 août 2016 seraient insoutenables. Il ressortirait en effet des échanges de courriels entre les parties que le père avait proposé un tel suivi le 10 novembre 2015 seulement et que la réponse favorable de la mère datait du 11 janvier 2016 déjà. Ces faits seraient déterminants, dès lors que ceux retenus par l'autorité cantonale " laisseraient penser " que la recourante aurait attendu près d'une année pour se déterminer sur la proposition formulée par l'intimé et qu'elle n'était pas disposée à entreprendre les démarches nécessaires en vue du suivi de son fils. Compte tenu des fêtes et de l'importance de la décision à prendre, on ne pourrait considérer qu'elle avait tardé à réagir en consentant dans les deux mois à un tel suivi.
Contrairement à ce que soutient la recourante, ces éléments ne sont pas décisifs pour l'issue du litige. En effet, d'une part, la mère ne conteste pas que l'intimé a dû solliciter son aval à plusieurs reprises; d'autre part, la juridiction cantonale s'est fondée non seulement sur les échanges de courriels entre les parties mais aussi sur le rapport du Dr H._ du 21 août 2016 - que la recourante ne critique pas sur ce point (cf. supra consid. 2.2) - pour conclure que la mère n'était en réalité pas disposée à entreprendre elle-même les démarches nécessaires en vue du suivi psychologique de C._. Autant qu'il n'est pas irrecevable, car appellatoire, le grief de la recourante est infondé.
5.4. La recourante soutient par ailleurs que la cour cantonale aurait arbitrairement fait mention d'une décision de la Justice de paix du district du Jura-Nord vaudois du 21 août 2015, alors que celle-ci daterait en réalité du 16 novembre 2015. Selon elle, cet élément aurait une " importance considérable pour le jugement de la cause, puisqu'[il] met en évidence l'existence d'un jugement rendu par une autorité collégiale au terme d'un examen en fait et en droit complet moins d'une année avant que les mesures provisionnelles litigieuses ne retirent la garde à la recourante ".
En l'occurrence, la rectification de la date de la décision susmentionnée n'apparaît pas décisive pour le sort de la cause, la recourante ne soutenant pas, a fortiori ne démontrant pas (cf. supra consid. 2.2), que cette décision prendrait en compte des éléments postérieurs au 21 août 2015, dont il aurait également été tenu compte dans la présente procédure. Partant, le grief doit être rejeté.
5.5. La recourante soutient également que la juridiction précédente aurait arbitrairement écarté son courrier du 24 juin 2016 adressé au psychologue G._ et rejeté sa réquisition de production de la lettre recommandée que celui-ci lui avait envoyée quelques jours plus tard, mais qu'elle n'avait pas retirée. Ces documents démontreraient l'ampleur du conflit entre eux et, partant, les " éventuels biais " entourant le signalement effectué par le psychologue.
En l'espèce, selon les constatations de l'arrêt querellé, le thérapeute a admis que le ton était monté lors de l'entretien du 21 juin 2016 avec la mère, expliquant que celle-ci était opposée à ce qu'il procède à un signalement de la situation. Il a reconnu avoir déclaré, en présence de C._, que sa mère disait des choses qui n'étaient pas vraies, situation qui n'était pas forcément opportune, mais qui était, selon lui, la moins pire des solutions compte tenu du but qui était d'évoquer la souffrance de l'enfant. La question du conflit entre le psychologue et la mère a donc été investiguée en première instance et ces éléments ont été repris par la juridiction précédente. P ar ailleurs, la cour cantonale ne s'est pas uniquement appuyée sur les déclarations du psychologue pour fonder sa décision. Partant, la critique de la recourante n'est pas de nature à démontrer que l'autorité cantonale aurait versé dans l'arbitraire en écartant le courrier de la recourante ainsi que sa réquisition de preuve.
5.6. La recourante fait également grief à la cour cantonale d'avoir arbitrairement retenu qu'elle avait de la difficulté à assumer les rendez-vous fixés dans le cadre de la prise en charge scolaire et thérapeutique de ses enfants.
5.6.1. La cour cantonale a retenu qu'il ressortait à la fois des rapports du Dr I._ et du Dr H._ ainsi que des témoignages de l'enseignante O._, de la logopédiste J._ et du psychologue G._ que la mère avait de la peine à donner suite aux nombreux rendez-vous concernant ses enfants.
5.6.2. La recourante soutient que la juridiction précédente a arbitrairement apprécié les rapports et les procès-verbaux d'audition des personnes susmentionnées. En effet, selon le rapport du Dr I._ du 24 août 2016, les parents avaient toujours amené C._ à sa consultation de façon adéquate. Dans son rapport du 21 août 2016, le Dr H._ avait déclaré " ne pas avoir mis en évidence, de façon directe, un manquement ou une négligence de la part de [la] mère, qui n'a jamais manqué de rendez-vous ". L'enseignante O._ avait expliqué avoir eu des difficultés à contacter la recourante au mois d'avril 2016 uniquement. Quant aux déclarations de la logopédiste J._ concernant le manque de collaboration de la mère, la cour cantonale avait retenu qu'elles n'étaient pas corroborées par les constatations d'autres intervenants. On ne pouvait pas non plus se fonder sur les affirmations du psychologue G._, étant donné le conflit qui l'opposait à la recourante.
5.6.3. En tant que la recourante fonde son argumentation sur les pièces F à H et J - dont la cour cantonale n'a pas tenu compte, sans arbitraire (cf. supra consid. 5.1.3) - ainsi que les pièces I et P - dont la mère ne soutient pas, a fortiori ne démontre pas qu'elles auraient été écartées de manière insoutenable en deuxième instance (cf. supra consid. 2.2) -, sa critique est irrecevable.
Pour le surplus, la recourante se contente de proposer sa propre lecture des pièces et procès-verbaux d'audition, pour soutenir que la cour cantonale aurait arbitrairement déduit qu'elle avait de la peine à honorer les rendez-vous fixés. Elle ne démontre cependant pas que la cour cantonale aurait arbitrairement constaté les faits à cet égard.
En effet, s'il est vrai que le Dr H._ a indiqué que la mère n'avait pas manqué de rendez-vous (rapport du 21 août 2016 cité en p. 7 de l'arrêt entrepris), le Dr I._ a fait état de rendez-vous non décommandés entre mars et juillet 2014, ensuite desquels le père avait pris les choses en mains, contacté le pédiatre et pris un rendez-vous pour les deux enfants en octobre 2014, auquel il avait assisté (rapport du 24 août 2016 cité en p. 7 de l'arrêt querellé); en outre, la logopédiste privée J._ a indiqué dans son rapport du 26 août 2016 que la logopédiste scolaire N._ l'avait informée que la mère n'était pas venue aux rendez-vous ou venait avec un autre enfant que celui pour lequel la séance était prévue (p. 8 de l'arrêt attaqué); enfin, le psychologue G._ a déclaré que la mère n'amenait pas l'enfant à la consultation à la fréquence requise (p. 16 de l'arrêt entrepris). La recourante ne remet pas en cause l'existence de ces passages des rapports et procès-verbaux, se contentant de se référer à d'autres extraits de ceux-ci, en les sortant de leur contexte. Enfin, en tant qu'elle s'appuie sur les témoignages de S._, de T._ et de R._, la mère n'expose pas en quoi ceux-ci démontreraient qu'elle est capable de donner suite aux rendez-vous fixés, se contentant de l'affirmer, ce qui ne répond pas aux exigences de motivation susmentionnées, partant, est irrecevable (cf. supra consid. 2.2).
5.7. Sous les intitulés " Prise en charge des enfants trop lourde pour la recourante " et " Nécessité d'une prise en charge plus soutenue desenfants ", la recourante se contente en réalité d'opposer sa propre appréciation à celle de la cour cantonale, en particulier en ce qui concerne l'évolution de C._. Partant, sa critique - qui ne remplit pas les exigences de motivation susmentionnées (cf. supra consid. 2.2) - est d'emblée irrecevable.
6.
6.1. Dans deux griefs séparés qu'il convient en l'espèce de traiter ensemble, la recourante soutient ensuite que la cour cantonale aurait arbitrairement appliqué l'art. 298d CC et violé les principes de subsidiarité et de proportionnalité en transférant le lieu de résidence des enfants chez le père. Soulignant que la garde des enfants lui avait initialement été attribuée au terme d'un examen complet en fait et en droit effectué moins d'une année avant la décision querellée, la recourante reproche à la cour cantonale d'avoir arbitrairement suivi les avis du SPJ et du psychologue G._, alors qu'elle avait " pleinement conscience des contradictions et imperfections de l'avis de ces acteurs " et qu'aucune autre pièce du dossier ou témoignage recueilli ne corroborait l'existence d'une mise en danger concrète des enfants, l'avis de la logopédiste J._ ne pouvant être jugé crédible. Par ailleurs, l'affirmation de la cour cantonale selon laquelle un éventuel changement de la garde ne représenterait pas un bouleversement complet de l'environnement des enfants serait " pour le moins douteuse ", dès lors que ceux-ci étaient très jeunes et non scolarisés lorsqu'ils vivaient à X._. En outre, la Chambre des curatelles aurait minimisé l'impact du transfert de la garde sur la fratrie formée par E._, C._ et D._, alors que la différence d'âge entre eux serait " mesurée " et que les trois enfants auraient noué des relations étroites, à plus forte raison au vu des importantes disputes entre les parties et du climat délétère avant leur séparation. Par ailleurs, la décision de l'autorité cantonale ne reposerait pas sur des faits nouveaux, les difficultés de C._ étant préexistantes à la séparation des parties. Il ne serait ainsi pas surprenant que ces difficultés perdurent quelques mois plus tard, ce qui ne signifierait pas pour autant que la mère - qui avait par ailleurs mis en place un suivi logopédique en faveur de C._ - était à l'origine de ces difficultés. Enfin l'année scolaire 2016-2017 n'avait donné lieu à " aucune controverse " permettant de réexaminer la décision initiale d'attribution de la garde. Il n'était en outre nullement démontré que la recourante aurait de mauvais rapports avec ses enfants ou que ceux-ci entretiendraient de meilleures relations avec leur père. La mère disposerait par ailleurs de capacités éducatives pleines et entières et serait en mesure de prendre en charge personnellement les enfants dès lors qu'elle ne travaille pas, contrairement à l'intimé qui ne pourrait réduire son taux d'activité qu'à 80%. Le cadre socio-éducatif fixé par la mère serait bénéfique à l'enfant C._, qui aurait fait des progrès. Tout transfert de la garde reviendrait ainsi à prendre le risque de détruire le réseau mis en place et l'équilibre trouvé, les enfants devant changer de classe. Dans ces circonstances, il serait hautement vraisemblable - sinon certain - que C._ souffrirait d'un tel changement et que sa situation se péjorerait. Quant à D._, il se porterait comme tout garçon de cet âge dans une fratrie de trois frères. S'il pouvait parfois être amené à manifester un comportement turbulent, il serait impensable d'envisager un retrait de garde sur cette seule base. De plus, le raisonnement de la cour cantonale serait " intrinsèquement contradictoire ". Après avoir accordé l'effet suspensif au recours déposé devant elle, l'autorité précédente ne pouvait pas ordonner le transfert du lieu de résidence des enfants auprès du père, sauf à admettre qu'elle avait accepté de faire courir le risque d'un préjudice difficilement réparable aux enfants C._ et D._ entre le 4 novembre 2016 - jour du dépôt du recours - et le 2 décembre 2016 - date de la décision querellée. La recourante souligne enfin qu'une mesure de retrait du droit de garde n'est légitime que s'il n'est pas possible de prévenir le danger par des mesures moins incisives prévues aux art. 307 s. CC. La décision entreprise violerait de manière crasse les principes de proportionnalité et de subsidiarité, l'autorité cantonale ayant retiré la garde à la mère avant même d'avoir mis en place une curatelle d'assistance éducative conformément à l'art. 308 al. 1 CC.
6.2.
6.2.1. Aux termes de l'art. 298d CC, à la requête de l'un des parents ou de l'enfant ou encore d'office, l'autorité de protection de l'enfant modifie l'attribution de l'autorité parentale lorsque des faits nouveaux importants le commandent pour le bien de l'enfant (al. 1). Elle peut aussi se limiter à statuer sur la garde de l'enfant, les relations personnelles ou la participation de chaque parent à sa prise en charge (al. 2). Toute modification dans l'attribution de l'autorité parentale ou de la garde suppose ainsi que la nouvelle réglementation soit requise dans l'intérêt de l'enfant en raison de la survenance de faits nouveaux essentiels. En d'autres termes, une nouvelle réglementation ne dépend pas seulement de l'existence de circonstances nouvelles importantes; elle doit aussi être commandée par le bien de l'enfant (<ref-ruling> consid. 3 [concernant l'art. 157 aCC]; arrêt 5A_781/2015 du 14 mars 2016 consid. 3.2.2 et les références [concernant l'art. 134 CC]). La modification ne peut ainsi être envisagée que si le maintien de la réglementation actuelle risque de porter atteinte au bien de l'enfant et le menace sérieusement; la nouvelle réglementation doit s'imposer impérativement, en ce sens que le mode de vie actuel nuit plus au bien de l'enfant que le changement de réglementation et la perte de continuité dans l'éducation et les conditions de vie qui en est consécutive (arrêt 5A_781/2015 précité consid. 3.2.2 et les références [concernant l'art. 134 CC]).
Par ailleurs, conformément au principe de la proportionnalité, qui est inhérent au but d'une mesure provisoire (Message concernant la révision du code civil suisse [Protection de l'adulte, droit des personnes et de la filiation] du 28 juin 2006, FF 2006 6635, p. 6709), les mesures provisionnelles doivent être adaptées aux circonstances de l'espèce: il s'agit de préférer la mesure qui préserve au mieux les intérêts des parties et donc, entre plusieurs solutions possibles, de choisir la moins incisive.
6.2.2. Pour apprécier les critères susmentionnés, le juge du fait dispose d'un large pouvoir d'appréciation (art. 4 CC). Le Tribunal fédéral n'intervient que s'il s'est écarté sans motif des principes établis par la doctrine et la jurisprudence, lorsqu'il s'est fondé sur des faits qui ne devaient jouer aucun rôle pour la solution du cas d'espèce, ou lorsque, au contraire, il n'a pas tenu compte de circonstances qui auraient impérativement dû être prises en considération (<ref-ruling> consid. 3.2.5 et les références).
6.3. En l'espèce, la recourante - qui s'appuie notamment sur des faits qui ont été écartés sans arbitraire par la cour cantonale (cf. supra consid. 5) - se contente de substituer sa propre appréciation à celle de la juridiction précédente, sans démontrer que celle-ci, sur la base des éléments constatés dans la décision querellée, aurait manifestement abusé de son pouvoir d'appréciation en transférant, à titre provisionnel, la garde des enfants au père. En particulier, en tant qu'elle soutient qu'elle n'est pas à l'origine des difficultés de C._ - préexistantes à la séparation des parties - et qu'elle n'entretient pas de mauvaises relations avec ses fils, la mère ne s'en prend pas valablement à la décision querellée, qui n'a pas retenu ces éléments en sa défaveur. En tant qu'elle affirme que les déclarations de la logopédiste J._ ne pouvaient être jugées crédibles, la mère se contente de présenter sa propre appréciation de ce témoignage, en se référant notamment à des éléments qui ne ressortent pas de la décision attaquée et sans faire grief à la cour cantonale de les avoir arbitrairement écartés (cf. supra consid. 2.2), de sorte que sa critique est irrecevable. Ses arguments selon lesquels l'ensemble des éléments du dossier mettrait en avant son adéquation dans son rôle de mère et l'absence de mise en péril des enfants sont irrecevables pour les mêmes motifs. En tant qu'elle affirme que la cour cantonale a minimisé l'impact du transfert de garde sur la fratrie formée par E._, C._ et D._, la recourante se contente de décrire de manière appellatoire les liens qui unissent les enfants et n'explique pas en quoi il serait arbitraire en l'espèce de différencier la situation des demi-frères. Si le fait de considérer - comme l'a fait la juridiction précédente - qu'un éventuel changement de la garde ne représenterait pas un bouleversement complet de l'environnement des enfants, compte tenu du fait que ceux-ci ont vécu à X._ jusqu'à la séparation parentale, peut prêter à discussion au vu de l'âge des enfants au moment du déménagement, la cour cantonale n'a pas manifestement abusé de son pouvoir d'appréciation en évaluant ce critère, dès lors que, selon les déclarations du père - non contestées par la mère devant la Cour de céans - les enfants se sentent bien à X._ et y ont des amis. La recourante ne saurait par ailleurs tirer argument de ce que sa requête d'effet suspensif a été admise par la juridiction précédente, l'octroi de l'effet suspensif ne préjugeant pas du fond. Sa critique selon laquelle il serait arbitraire de modifier par voie de mesures provisionnelles une décision d'attribution de la garde rendue moins d'une année auparavant apparaît en l'espèce infondée, compte tenu du risque pour le développement des enfants et de leur besoin d'une meilleure prise en charge à brève échéance, éléments que la recourante n'a pas critiqué de manière conforme aux exigences de l'art. 106 al. 2 LTF (cf. supra consid. 2.2 et 5.7). Enfin, dès lors que, selon la décision querellée, la mère peine à assurer la prise en charge dont ses fils ont besoin rapidement et que le père apparaît apte à leur fournir le cadre adéquat, il n'apparaît pas en l'espèce que la cour cantonale aurait versé dans l'arbitraire en ne prononçant pas une curatelle d'assistance éducative avant d'envisager, à titre provisionnel, la modification de la garde.
Au vu de ce qui précède, le grief est infondé dans la mesure de sa recevabilité.
7.
La mère se plaint d'une application arbitraire de la maxime inquisitoire. Elle soutient que les conditions d'accueil chez le père n'ont nullement été instruites ni même constatées, la représentante du SPJ ayant indiqué que " la capacité du père à prendre en charge les enfants n'avait pas été investiguée ". Quant au curateur de surveillance des relations personnelles - qui avait indiqué qu'à sa connaissance, le père avait mis en place ce qui était nécessaire au transfert de la garde -, il n'avait jamais rencontré les enfants, ne s'était jamais rendu au domicile de l'une ou l'autre des parties et n'était pas présent aux débats de première instance.
En tant qu'elle s'en prend à l'avis émis par le curateur, la mère fonde sa critique sur des faits qui ne ressortent pas de l'arrêt attaqué, sans faire valoir que ceux-ci auraient été arbitrairement écartés par la cour cantonale (cf. supra consid. 2.2). Partant, sa critique est irrecevable.
Pour le surplus, contrairement à ce que soutient la recourante, l'autorité cantonale a indiqué que " les compétences éducatives et l'adéquation de la prise en charge que [le père] propos[ait] étaient reconnues par le SPJ depuis 2015", se référant ainsi explicitement à la première enquête, lors de laquelle le SPJ avait souligné que " le père avait présenté un projet valable, avec des solutions adéquates de garde concernant les enfants ". De surcroît, la juridiction précédente a relevé que le père paraissait adéquat à l'ensemble des intervenants. La recourante ne s'en prend pas à ces motifs, de sorte que sa critique est irrecevable (cf. supra consid. 2.2).
8.
Dans son écriture, la mère conclut également à ce que le suivi pédopsychiatrique des enfants C._ et D._ soit poursuivi auprès d'un pédopsychiatre désigné par l'autorité de protection de l'enfant et à ce que les parties soient exhortées à entreprendre une thérapie familiale à Y._ et à prendre contact avec cet institut. Ces points ne sont toutefois nullement motivés par la recourante, ce qui conduit à leur irrecevabilité (cf. supra consid. 2.1).
9.
En conclusion, le recours est rejeté dans la mesure où il est recevable. La requête d'assistance judiciaire de la recourante est également rejetée, ses conclusions étant d'emblée dénuées de chances de succès (art. 64 al. 1 LTF). Il n'y a pas lieu d'accorder de dépens à l'intimé, qui ne s'est pas prononcé s'agissant de l'effet suspensif et n'a pas été invité à se déterminer sur le fond (art. 68 al. 1 et 2 LTF).

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce :
1.
Le recours est rejeté dans la mesure où il est recevable.
2.
La requête d'assistance judiciaire de la recourante est rejetée.
3.
Les frais judiciaires, arrêtés à 3'000 fr., sont mis à la charge de la recourante.
4.
Le présent arrêt est communiqué aux parties, à la Chambre des curatelles du Tribunal cantonal du canton de Vaud, ainsi qu'aux curateurs L._ et Me M._.
Lausanne, le 1er juin 2017
Au nom de la IIe Cour de droit civil
du Tribunal fédéral suisse
Le Président : von Werdt
La Greffière : Feinberg