Sachverhalt:
A.
A._ (geb. 1988) ist tunesischer Staatsangehöriger. Nach eigenen Angaben hält er sich seit einiger Zeit abwechslungsweise in Italien bei einem Kollegen und in Frankreich bei seiner Schwester auf. Am 1. Juli 2016 wurde er nach einer Grenzkontrolle von den französischen an die schweizerischen Behörden übergeben; diese wiesen ihn gleichentags weg und nahmen ihn in Ausschaffungshaft. Die Einzelrichterin für Zwangsmassnahmen am Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt (als Verwaltungsgericht) prüfte und bestätigte diese am 4. Juli 2016 bis zum 30. September 2016.
B.
In der Folge wurde die administrative Festhaltung von A._ verlängert, letztmals am 28. Dezember 2016 bis zum 30. März 2017. Die Einzelrichterin für Zwangsmassnahmen ging davon aus, der Haftgrund der Untertauchensgefahr bzw. der Missachtung eines bis zum 11. März 2019 gültigen Einreiseverbots in den Schengenraum bestehe fort; eine weitere Festhaltung von A._ könne mit Blick auf sein Verhalten nicht als unverhältnismässig bezeichnet werden. Die schweizerischen Behörden hätten sich kontinuierlich darum bemüht, seine tunesische Staatsbürgerschaft zu erstellen und ein Reisepapier für ihn zu besorgen.
C.
A._ beantragt vor Bundesgericht, den Haftgenehmigungsentscheid vom 28. Dezember 2016 aufzuheben und ihn sofort auf freien Fuss zu setzen; für seine widerrechtlich ausgestandene Haft sei ihm eine Entschädigung zu Lasten des Kantons Basel-Stadt in der Höhe von Fr. 200.-- pro Tag zuzusprechen. A._ macht geltend, die Einzelrichterin habe Verfahrensfehler übersehen, das Beschleunigungsgebot nicht beachtet und unverhältnismässig entschieden; die Ausschaffungshaft könne grundsätzlich nur für sechs Monate vorgesehen werden; die von ihr genehmigte Haftverlängerung hierüber hinaus rechtfertige sich nicht.
Die Einzelrichterin für Zwangsmassnahmen am Appellationsgericht Basel-Stadt, das Migrationsamt des Kantons Basel-Stadt und das Staatssekretariat für Migration (SEM) beantragen, die Beschwerde abzuweisen. Die Bundes- wie die kantonalen Behörden hätten sich mit Nachdruck um die Identitätsbestätigung und die Beschaffung von Reisepapieren für A._ bemüht. Die Zusammenarbeit der schweizerischen mit den tunesischen Behörden habe sich eingespielt und inzwischen auch bewährt.

Erwägungen:
1.
1.1. Gegen den kantonal letztinstanzlichen richterlichen Entscheid betreffend Zwangsmassnahmen im Ausländerrecht kann mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten an das Bundesgericht gelangt werden (Art. 82 lit. a, 86 Abs. 1 lit. d und Abs. 2, Art. 90 sowie Art. 89 Abs. 1 BGG; <ref-ruling> E. 1; Urteil 2C_1089/2012 vom 22. November 2012 E. 1). Dieses wendet das Recht grundsätzlich von Amtes wegen an (<ref-law>); es prüft, unter Berücksichtigung der Begründungspflicht der beschwerdeführenden Person (<ref-law>), indessen nur die vorgebrachten Rügen, es sei denn, die rechtlichen Mängel erwiesen sich als offensichtlich. Das Bundesgericht ist nicht gehalten, wie eine erstinstanzliche Behörde alle sich stellenden rechtlichen Fragen zu beantworten, wenn diese in seinem Verfahren nicht mehr problematisiert werden (<ref-ruling> E. 1.4.1 S. 254). Die beschwerdeführende Person muss sich im Bezug auf den Verfahrensgegenstand in rechtlicher wie tatsächlicher Hinsicht sachbezogen mit den Ausführungen im angefochtenen Entscheid auseinandersetzen und darlegen, dass und inwiefern die Vorinstanz den Sachverhalt offensichtlich falsch festgestellt bzw. willkürlich gewürdigt oder anderweitig Bundesrecht verletzt hat (Art. 42 Abs. 2 i.V.m. <ref-law>; <ref-ruling> E. 1.4.3; <ref-ruling> E. 1.3, 393 E. 7.1, 462 E. 2.4). Soweit die vorliegende Beschwerde diesen Anforderungen genügt, ist unter dem nachstehenden Vorbehalt darauf einzutreten.
1.2. Unzulässig ist der Antrag, dem Beschwerdeführer bei einer Gutheissung der Beschwerde eine Haftentschädigung zuzusprechen: Das Begehren geht über den vorinstanzlichen Verfahrensgegenstand hinaus und ist unzulässig (<ref-law>), zumal Ansprüche auf Haftentschädigung nicht bereits wegen Art. 5 Ziff. 5 EMRK Gegenstand des Haftprüfungsverfahrens bilden (vgl. EGMR-Urteil Jusic gegen Schweiz vom 2. Dezember 2010 [Nr. 4691/06] §§ 103 ff.; <ref-ruling> E. 6 S. 303 f.; <ref-ruling> E. 3 S. 142; Urteile 2C_575/2016 vom 12. Juli 2016 E. 1.2 und 2C_168/2013 vom 7. März 2013 E. 1.2). Soweit der Beschwerdeführer mit seinem Rechtsmittel eine Entschädigung für die erlittene Ausschaffungshaft erwirken will, ist nicht darauf einzutreten.
2.
Der Beschwerdeführer stellt zu Recht nicht infrage, dass gegen ihn am 1. Juli 2016 ein inzwischen rechtskräftiger Wegweisungsentscheid ergangen ist. Auch der Haftgrund besteht fort (vgl. hierzu <ref-ruling> E. 3 mit Hinweisen) : Der Beschwerdeführer hält sich seit Jahren illegal in Europa auf, wobei er zwischen Frankreich, wo seine Schwester lebt, und Italien, wo er weggewiesen wurde und gegen ihn eine Einreisesperre erging, hin und her reist. Der Beschwerdeführer hat widersprüchliche Angaben zum Verbleib seines Passes bzw. zu seinem sozialen Umfeld (Freundin mit verstorbenem Kind; Absicht, einen homosexuellen Partner in Italien zu heiraten usw.) gemacht und wiederholt erklärt, auf keinen Fall nach Tunesien zurückkehren, sondern nach Frankreich oder Italien ausreisen zu wollen, wo er ohne Papiere leben könne. Trotz wiederholter Aufforderungen dazu liess er sich weder von seiner Schwester noch seinen Eltern Papiere schicken, obwohl er dies mehrmals in Aussicht gestellt hatte. Sein bisheriges Verhalten lässt befürchten, dass er sich ohne Festhaltung dem Vollzug der Ausschaffung entziehen wird (Art. 76 Abs. 1 lit. b Ziff. 3 AuG), zumal er erklärt hat, sich bei einer Haftentlassung illegal nach Frankreich absetzen zu wollen. Die Schweizer Behörden dürfen hierzu nicht Hand bieten, nachdem die Einreise in das Hoheitsgebiet eines anderen Staats unter Verletzung von dessen Einreisebestimmungen unter Strafe gestellt ist (Art. 115 Abs. 2 AuG). Der Beschwerdeführer hat eine schengenweite, bis zum 11. März 2019 gültige Einreisesperre missachtet und sich mit deren Verletzung behördlichen Anordnungen widersetzt (Art. 76 Abs. 1 lit. b Ziff. 4 sowie 76 Abs. 1 lit. b Ziff. 1 i.V.m. Art. 75 Abs. 1 lit. c AuG). Das Gleiche gilt, soweit er bereits am 20. Juni 2016 bei der Einreise in die Schweiz in Brig angehalten und nach Italien zurückgewiesen wurde, wobei er nur zehn Tage später wieder versucht hat, illegal über die Schweiz nach Frankreich zu gelangen.
3.
3.1. Die Vorbereitungs- und die Ausschaffungshaft sowie die Durchsetzungshaft dürfen zusammen grundsätzlich eine maximale Dauer von sechs Monaten nicht überschreiten (Art. 79 Abs. 1 AuG); mit Zustimmung der kantonalen richterlichen Behörde kann diese indessen um höchstens zwölf Monate verlängert werden, (a) wenn die betroffene Person nicht mit der zuständigen Behörde kooperiert oder (b) sich die Übermittlung der für die Ausreise erforderlichen Unterlagen durch einen Nichtschengenstaat verzögert (Art. 79 Abs. 2 AuG). Die für den Vollzug der Weg- oder Ausweisung notwendigen Vorkehren sind umgehend zu treffen (<ref-law>; Beschleunigungsgebot). Die Ausschaffungshaft soll den Vollzug der Entfernungsmassnahme sicherstellen und muss ernsthaft geeignet sein, diesen Zweck zu erreichen, was nicht (mehr) der Fall ist, wenn die Weg- oder Ausweisung trotz der behördlichen Bemühungen nicht in einem angemessenen Zeitraum vollzogen werden kann. Die Festhaltung hat, weil unverhältnismässig, dann als rechtswidrig zu gelten, wenn triftige Gründe für solche Verzögerungen sprechen oder praktisch feststeht, dass sich der Vollzug kaum innert vernünftiger Frist wird realisieren lassen (<ref-ruling> E. 4.1.3 S. 61 mit Hinweisen).
3.2. Nach der bundesgerichtlichen Praxis ist jeweils aufgrund sämtlicher Umstände im Einzelfall zu klären, ob die Haft (noch) geeignet bzw. erforderlich erscheint und sie nicht gegen das Übermassverbot, d.h. das sachgerechte und zumutbare Verhältnis von Mittel und Zweck, verstösst (zur Ausschaffungshaft: <ref-ruling> E. 5.1 S. 5 und unpublizierte E. 7; <ref-ruling> ff.; zur Durchsetzungshaft: <ref-ruling> E. 2.3.2 S. 97; <ref-ruling> E. 2.2 S. 100; Urteile 2C_1182/ 2014 vom 20. Januar 2015 E. 3.3 und 2C_168/2013 vom 7. März 2013 E. 3). Die entsprechende Anforderung ergibt sich aus dem Haftzweck, aus Art. 5 Ziff. 1 lit. f EMRK und dem verfassungsmässigen Verhältnismässigkeitsgrundsatz (Art. 5 Abs. 2 und Art. 36 Abs. 3 i.V.m. <ref-law>) sowie aus der von der Schweiz im Rahmen des Schengenbesitzstands übernommenen sogenannten "Rückführungsrichtlinie" (Richtlinie 2008/115/EG des Europäischen Parlaments und des Rats vom 16. Dezember 2008 über gemeinsame Normen und Verfahren in den Mitgliedstaaten zur Rückführung illegal aufhältiger Drittstaatsangehöriger, ABl. L 348 vom 24. Dezember 2008 S. 98 ff.). Wird als "letztes Mittel" von Zwangsmassnahmen Gebrauch gemacht, so müssen diese verhältnismässig sein und dürfen nicht über die Grenzen des Erforderlichen hinausgehen (Art. 8 Abs. 4 RL 2008/115/EG). Drittstaatsangehörige, gegen die ein Rückkehrverfahren hängig ist, sollen nur in Haft genommen werden, wenn im konkreten Fall keine anderen, milderen Zwangsmassnahmen wirksam erscheinen; die Festhaltung hat so kurz wie möglich zu sein; sie darf sich nur auf die Dauer der laufenden Abschiebungsvorkehrungen erstrecken, soweit diese mit der gebotenen Sorgfalt vorangetrieben werden (vgl. Art. 15 Abs. 1 RL 2008/115/EG). Grundsätzlich ist der Gesetzgeber - in Übereinstimmung mit der europäischen Regelung (Art. 15 Abs. 6 RL 2008/115) - davon ausgegangen, dass eine Festhaltung bis zur Maximaldauer von 18 Monaten zulässig ist, wenn die Verzögerungen in erster Linie auf das Verhalten des Betroffenen zurückgehen (Urteil 2C_1182/2014 vom 20. Januar 2015 E. 3.3.2).
3.3. Die Behörden sind im Rahmen von Art. 76 Abs. 4 AuG (Beschleunigungsgebot) nicht gehalten, schematisch bestimmte Handlungen vorzunehmen. Sie haben aber zu beachten, dass die Freiheit einer Person nach <ref-law> nur in den vom Gesetz selbst vorgesehenen Fällen und nur auf die im Gesetz vorgeschriebene Weise entzogen werden darf (vgl. auch Art. 5 Ziff. 1 lit. f EMRK). Im Hinblick auf die Modalitäten der Ausschaffungshaft präzisiert Art. 76 Abs. 4 AuG diese Verfassungsbestimmung dahingehend, dass die für den Vollzug der Weg- oder Ausweisung notwendigen Vorkehren umgehend zu treffen sind. Das so verankerte Beschleunigungsgebot gilt als verletzt, wenn während mehr als zwei Monaten keinerlei Vorkehren mehr im Hinblick auf den Vollzug der Wegweisung getroffen wurden (Untätigkeit der Behörden), ohne dass die Verzögerung in erster Linie auf das Verhalten ausländischer Behörden oder des Betroffenen selber zurückgeht (<ref-ruling> E. 2.1 S. 211; <ref-ruling> E. 3a S. 50 f.; Urteile 2C_575/2016 vom 12. Juli 2016 E. 4.3 und 2C_1182/2014 vom 20. Januar 2015 E. 3.2.1, je mit Hinweisen).
4.
4.1. Der Beschwerdeführer hat sich geweigert, mit den Behörden zusammenzuarbeiten und ist seinen Mitwirkungspflichten nicht nachgekommen (Art. 90 AuG). Das Verfahren zur Beschaffung von Reisepapieren ist nach seiner Anhaltung insofern sofort eingeleitet worden, als er zu seiner aufenthaltsrechtlichen Situation umfassend befragt wurde. Im Rahmen der Migrationspartnerschaft mit Tunesien ist am 10. März 2015 in Tunis vereinbart worden, dass die Schweizer Behörden nicht mehr jeweils im Einzelfall um die Abklärung von Personalien nachfragen, sondern dies über die Botschaft künftig gruppenweise tun werden. Dieses Vorgehen kann im ungünstigsten Fall dazu führen, dass einige Wochen verstreichen, bis eine entsprechende (neue) Liste an die tunesischen Behörden übermittelt wird. Die damit verbundenen Verzögerungen sind im Hinblick auf die verabredeten Modalitäten der Zusammenarbeit hinzunehmen, zumal der Beschwerdeführer seine Festhaltung jederzeit verkürzen bzw. beenden kann, indem er bei der Papierbeschaffung mitwirkt.
4.2. Die kantonalen Behörden haben das Staatssekretariat für Migration (SEM) umgehend um Vollzugshilfe ersucht; das SEM übermittelte die Liste, auf der die Identität des Beschwerdeführers zur Prüfung unterbreitet wurde, der Schweizer Botschaft in Tunesien am 2. September 2016. Am 13. Januar 2017 hat das SEM im Rahmen einer weiteren Gruppenanfrage die tunesischen Behörden über die Botschaft erneut darum ersucht, die Personalien des Beschwerdeführers zu bestätigen, wobei inzwischen dessen Passnummer ermittelt und den tunesischen Behörden zur Verfügung gestellt werden konnte. Die Schweizer Botschaft ihrerseits hat am 7. Oktober 2016 und am 18. Januar 2017 die tunesischen Behörden auf die noch ausstehende Identifizierung des Beschwerdeführers hingewiesen. Nach Anerkennung der Identität und der Staatsbürgerschaft kann das erforderliche Reisepapier erfahrungsgemäss innert rund 14 Tagen erhältlich gemacht werden. Dasselbe gälte, wenn der Beschwerdeführer bereit wäre, bei der Beschaffung der erforderlichen Unterlagen mitzuwirken.
4.3. Zwar geht das Bundesgericht davon aus, dass bei einer Untätigkeit von rund zwei Monaten anzunehmen ist, dass das Beschleunigungsgebot verletzt und das Wegweisungsverfahren nicht mit dem nötigen Nachdruck verfolgt wurde. Die kantonalen Behörden dürfen praxisgemäss auch dann nicht untätig bleiben, wenn der Ausländer sich - wie hier - unkooperativ zeigt. Sie müssen vielmehr versuchen, seine Identität festzustellen und sich die für seine Ausschaffung erforderlichen Papiere zu beschaffen. Sie haben mit der gebotenen Sorgfalt alle vernünftigerweise zur Verfügung stehenden Massnahmen zu ergreifen, die geeignet erscheinen, den Vollzug der Wegweisung voranzutreiben. Die Migrationsbehörden von Bund und Kanton sind diesen Pflichten - entgegen der Kritik des Beschwerdeführers - nachgekommen: Sie wandten sich nicht nur an die tunesischen Behörden, sondern gingen - wie der rege Mailaustausch in den Akten belegt - auch den Hinweisen nach, dass er allenfalls über eine Bewilligung in Italien verfügen könnte; sie arbeiteten auch eng mit den französischen Behörden zusammen, um über die in Nantes lebende Schwester des Beschwerdeführers weitere Angaben zu dessen Identität und einer allfälligen Anwesenheitsberechtigung in einem der Nachbarstaaten zu erlangen. Sämtliche Abklärungen blieben erfolglos und ergaben, dass der Beschwerdeführer weder in Italien noch in Frankreich über eine legale Aufenthaltsmöglichkeit verfügt; beide Länder lehnten seine Übernahme ab, womit die schweizerischen Behörden zuständig blieben, für den Vollzug seiner Wegweisung nach Tunesien zu sorgen, nachdem sich der Beschwerdeführer illegal auf schweizerischem Hoheitsgebiet aufhält und nur der Heimatstaat völkerrechtlich verpflichtet ist, ihn zurückzunehmen (vgl. BGE <ref-ruling> E. 4.2.2 S. 103 mit Hinweisen auf die einschlägige völkerrechtliche Doktrin; <ref-ruling> E. 4.1.2 S. 60). Der Umstand, dass er sich allenfalls in Italien bzw. in Frankreich einfacher illegal aufhalten könnte, bildet keine Veranlassung, seine Haft zu beenden und ihm Gelegenheit zu geben, sich in eines der Nachbarländer abzusetzen.
5.
Was der Beschwerdeführer weiter einwendet, überzeugt nicht: Der Umstand, dass teilweise Aktenstücke von Mitarbeitern der Migrationsbehörden ins Französische übersetzt wurden, verletzte seinen Anspruch auf rechtliches Gehör nicht (<ref-law>), da er gemäss des für das Bundesgericht verbindlich festgestellten Sachverhalts (<ref-law>) dieser Sprache mächtig ist. Der Beschwerdeführer hat sich mit Unterbrüchen während Jahren in Frankreich aufgehalten, was nahelegt, dass er Französisch spricht und versteht; im Übrigen zog das Migrationsamt teilweise auch einen Arabisch-Übersetzer bei und unterzeichnete der Beschwerdeführer jeweils seine auf Französisch durchgeführten Einvernahmen - soweit ersichtlich - vorbehaltslos. Im letzten Haftprüfungsverfahren war er unentgeltlich durch eine Rechtsanwältin vertreten. Da seine Haft am 30. Dezember 2016 ohne Verlängerungsentscheid dahinfiel, musste er davon ausgehen, dass eine weitere Verhandlung stattfinden würde. Sein Einwand, er sei durch diese überrascht worden, ist unglaubwürdig, hat er doch selber am 23. Dezember 2016 (Eingang beim Verwaltungsgericht) ein Haftentlassungsgesuch gestellt.
6.
6.1. Die Beschwerde erweist sich als unbegründet und ist abzuweisen, soweit darauf eingetreten werden kann: Die beanstandete Haftverlängerung über sechs Monate hinaus (bis zum 30. März 2017) ist rechtens, da die Verfahrensverzögerungen auf das Verhalten des Beschwerdeführers und die Vorbereitung der Rückübernahme durch Tunesien zurückzuführen sind. Der Vollzug der Wegweisung ist absehbar, nachdem inzwischen die Passnummer des Beschwerdeführers ermittelt werden konnte; das Beschleunigungsgebot wurde ebenso wenig verletzt wie der Anspruch des Betroffenen auf rechtliches Gehör bzw. auf ein faires Verfahren (Art. 29 Abs. 1 bzw. <ref-law>). Es wird ergänzend auf die Ausführungen im kantonalen Haftgenehmigungsentscheid verwiesen.
6.2. Der Beschwerdeführer beantragt für den Fall des Unterliegens, ihm die unentgeltliche Rechtspflege zu gewähren: Da das Bundesgericht in Haftsachen in der Regel davon absieht, Kosten zu erheben (Art. 66 Abs. 1 2. Satz BGG), ist das Gesuch als gegenstandslos abzuschreiben. Nachdem der Beschwerdeführer nicht durch einen zugelassenen Anwalt vertreten war, hätte sein Rechtsbeistand nicht als unentgeltlicher Vertreter bestellt werden können, sollte sein Ersuchen sich auch auf einen solchen bezogen haben (vgl. das Urteil 2C_1182/ 2014 vom 20. Januar 2015 E. 4). Es sind keine Parteientschädigungen geschuldet (vgl. <ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.
Es werden keine Kosten erhoben.
3.
Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege wird als gegenstandslos abgeschrieben.
4.
Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten, dem Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt als Verwaltungsgericht, Einzelrichterin für Zwangsmassnahmen im Ausländerrecht, und dem Staatssekretariat für Migration schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 9. Februar 2017
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Seiler
Der Gerichtsschreiber: Hugi Yar