Sachverhalt:
A._ erlitt während seiner Tätigkeit als Bauhilfsarbeiter in der Schweiz 2007 und 2010 zwei Unfälle. Dabei zog er sich Verletzungen am rechten Handgelenk und linken Knöchel zu. Die Schweizerische Unfallversicherungsanstalt (Suva) erbrachte Leistungen. Aufgrund der Unfallfolgen sprach die IV-Stelle für Versicherte im Ausland (nachfolgend: IVSTA) A._ mit Verfügung vom 2. Juli 2014 vom 1. Mai bis 30. September 2012 eine ganze Invalidenrente zu.
Am 26. September 2016 trat das Bundesverwaltungsgericht auf die dagegen erhobene Beschwerde des A._ nicht ein, da dieser den Kostenvorschuss für das Beschwerdeverfahren von Fr. 800.- nicht geleistet habe. Mit Schreiben vom 11. Oktober 2016 räumte das Bundesverwaltungsgericht ein, es habe übersehen, dass der Kostenvorschuss dem Gerichtskonto am 1. September 2016 fristgerecht gutgeschrieben worden sei; es handle sich um einen Systemfehler, den das Bundesverwaltungsgericht zu vertreten habe. Zur Aufhebung des Nichteintretensentscheids vom 26. September 2016 verwies es A._ auf den Beschwerdeweg.
A._ führt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten mit dem sinngemässen Rechtsbegehren, in Aufhebung des angefochtenen Entscheids sei die Sache zur Prüfung und Beurteilung in materiell-rechtlicher Sicht an die Vorinstanz zurückzuweisen.

Erwägungen:
1.
Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann wegen Rechtsverletzung gemäss den Art. 95 f. BGG erhoben werden. Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (<ref-law>), und kann deren Sachverhaltsfeststellung von Amtes wegen nur berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruht (<ref-law>; vgl. auch <ref-law>).
2.
Prozessthema bildet einzig die Frage, ob das Nichteintreten der Vorinstanz auf die Beschwerde des A._ gegen die Verfügung der IVSTA vom 2. Juli 2014 Bundesrecht verletzt.
Aus den Akten ergibt sich in der Tat, dass der Versicherte den Kostenvorschuss für das vorinstanzliche Verfahren fristgerecht per 1. September 2016 leistete. Dies hat das Bundesverwaltungsgericht nach eigenen Angaben aufgrund eines Systemfehlers jedoch erst nach Erlass des Urteils vom 26. September 2016 bemerkt. Nachdem es anerkannt hat, dass es sich dabei um eigenes Versehen handelte, erübrigen sich Weiterungen (vgl. zum Ganzen das Schreiben vom 11. Oktober 2016). Das Bundesverwaltungsgericht hätte somit aufgrund des geleisteten Kostenvorschusses auf die Beschwerde gegen die Verfügung vom 2. Juli 2012 eintreten und die Rechtsbegehren des Versicherten materiell behandeln müssen. Das wird nachzuholen sein.
3.
Die Beschwerde ist offensichtlich begründet, weshalb sie im Verfahren nach <ref-law> mit summarischer Begründung erledigt wird.
4.
Auf einen Schriftenwechsel wird aus prozessökonomischen Gründen verzichtet. Die Einholung einer (vorinstanzlichen) Stellungnahme zur Beschwerde käme einem prozessualen Leerlauf gleich und würde nur weitere Kosten verursachen (Art. 102 Abs. 1 in initio BGG; vgl. statt vieler Urteil 9C_702/2014 vom 1. Dezember 2014 E. 5).
5.
Auf die Erhebung von Gerichtskosten wird in Anwendung von <ref-law> umständehalber verzichtet.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird gutgeheissen. Der Entscheid des Bundesverwaltungsgerichts, Abteilung III, vom 26. September 2016 wird aufgehoben. Die Sache wird zum Entscheid in der Sache an die Vorinstanz zurückgewiesen.
2.
Es werden keine Gerichtskosten erhoben.
3.
Dieses Urteil wird den Parteien, dem Bundesverwaltungsgericht, Abteilung III, und dem Bundesamt für Sozialversicherungen schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 25. November 2016
Im Namen der II. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Glanzmann
Der Gerichtsschreiber: Grünenfelder