Fatti:
A.
Al termine di lavori di ristrutturazione e ampliamento di uno stabile a Bogno, di proprietà di A._, l'impresa di costruzioni B._SA ha emesso una fattura di fr. 105'360.85, della quale, dedotti gli acconti, rimanevano scoperti fr. 45'360.85. Il 16 gennaio 2009 la creditrice, che nel frattempo aveva mutato la ragione sociale in C._SA, ha avviato un'azione davanti al Pretore di Lugano chiedendo che A._ fosse condannato a pagarle la predetta somma più fr. 670.-- di spese; chiedeva inoltre che a garanzia della mercede fosse ordinata l'iscrizione di un'ipoteca legale definitiva sul fondo del convenuto.
L'appaltatrice è fallita il 26 aprile 2012 e sussiste con la ragione sociale C._SA in liquidazione. Le è subentrata in causa la X._ quale cessionaria secondo l'<ref-law>.
B.
Fatta eccezione dell'importo di fr. 670.--, il Pretore di Lugano ha accolto la petizione con sentenza del 18 giugno 2015. Il successivo appello del convenuto è stato respinto il 28 ottobre 2016 dalla II Camera civile del Tribunale di appello ticinese nella misura in cui era ricevibile.
C.
A._ insorge davanti al Tribunale federale con ricorso in materia civile del 9 dicembre 2016. Chiede che la petizione sia integralmente respinta e che sia ordinata la cancellazione dell'ipoteca legale degli artigiani e imprenditori già iscritta in via provvisoria. La X._ propone di respingere il ricorso nella misura in cui fosse ammissibile. L'autorità cantonale non si è pronunciata.

Diritto:
1.
Il ricorso è presentato dalla parte soccombente nella procedura cantonale (<ref-law>), è tempestivo (<ref-law>) ed è volto contro una sentenza finale (<ref-law>) emanata su ricorso dall'autorità ticinese di ultima istanza (<ref-law>) in una causa civile (<ref-law>) con valore litigioso superiore a fr. 30'000.-- (<ref-law>). Sotto questo profilo è ammissibile.
2.
La violazione del diritto federale è motivo di ricorso secondo l'<ref-law>. Il Tribunale federale lo applica d'ufficio (<ref-law>). Tuttavia, tenuto conto dell'onere di allegazione e motivazione imposto dall'art. 42 cpv. 1 e 2 LTF, di regola esso considera solo gli argomenti proposti nell'atto di ricorso (<ref-ruling> consid. 2; <ref-ruling> consid. 1.1).
In linea di massima il Tribunale federale fonda il suo ragionamento giuridico sull'accertamento dei fatti svolto dall'autorità inferiore (<ref-law>). Può scostarsene o completarlo solo se è stato effettuato in violazione del diritto ai sensi dell'<ref-law> o in modo manifestamente inesatto (<ref-law>). L'accertamento dei fatti contenuto nella sentenza impugnata può essere censurato alle stesse condizioni. Se rimprovera all'autorità cantonale un accertamento dei fatti manifestamente inesatto - che significa arbitrario (<ref-ruling> consid. 2; <ref-ruling> consid. 4.2; <ref-ruling> consid. 1.5) - il ricorrente deve sollevare la censura e motivarla in modo preciso, come esige l'<ref-law> (<ref-ruling> consid. 1.3.1; <ref-ruling> consid. 2.2). Siccome il giudice cantonale fruisce di un grande potere discrezionale nel campo dell'apprezzamento delle prove (e nell'apprezzamento dei fatti in genere), il ricorrente deve dimostrare che la sentenza impugnata ha ignorato il senso e la portata di un mezzo di prova preciso, ha omesso senza ragioni valide di tenere conto di una prova importante suscettibile di modificare l'esito della lite, oppure ha ammesso o negato un fatto ponendosi in aperto contrasto con gli atti di causa o interpretandoli in modo insostenibile (DTF <ref-ruling> consid. 4.2; <ref-ruling> consid. 4.1.2 pag. 62; <ref-ruling> consid. 4.3 pag. 62 con rinvii). Va inoltre dimostrato che l'eliminazione dell'asserito vizio può influire in maniera determinante sull'esito della causa (<ref-law>).
3.
I giudici d'appello, seguendo il giudizio del Pretore, hanno stabilito che la mercede non era stata pattuita a corpo (<ref-law>), come sosteneva il convenuto prevalendosi del preventivo dell'11 aprile 2008 (documento Q), ma andava determinata secondo il valore del lavoro (<ref-law>). Essi sono giunti a questa conclusione considerando che il solo fatto di avere intitolato il documento " preventivo " esclude che l'attrice volesse impegnarsi per un prezzo fisso; che " Il convenuto gravato dell'onere della prova, non ha del resto allegato e provato se e sulla base di quali circostanze (non essendo sufficiente il fatto che nel documento fossero indicate alcune posizioni a corpo e altre su misura) si dovesse ragionevolmente ritenere che quel documento costituisse invece un'offerta vincolante e dunque forfetaria, ciò che per altro non è affatto presunto"; e che oltretutto il documento Q era stato aggiornato con un successivo documento S, che il convenuto non aveva contestato.
3.1. Il ricorrente sostiene che il Tribunale di appello ha violato gli <ref-law> e 8 CC e accertato i fatti in modo manifestamente inesatto. Afferma di non comprendere la rilevanza della denominazione "preventivo" e, dopo un breve esposto sul significato del prezzo forfettario, spiega che quello pattuito con la controparte lo era, poiché il documento Q fissava prezzi vincolanti a corpo o unitari per ogni singolo lavoro; tanto più che la prova riguardo al tipo di preventivo spetterebbe all'appaltatore e che in caso di dubbio occorrerebbe ritenere la soluzione più favorevole al committente. Quanto all'aggiornamento successivo del prezzo il ricorrente asserisce che il documento S non era stato inviato a lui e non era nemmeno stato approvato da lui.
3.2. La Corte cantonale ha stabilito con ragione che l'onere della prova relativo alla mercede d'appalto pattuita a corpo nel senso dell'<ref-law> lo porta la parte che se ne prevale, indipendentemente dal suo ruolo processuale, e che la pattuizione di prezzi forfettari non è presunta, nemmeno in caso di dubbio (cfr. i riferimenti della sentenza impugnata, in particolare: sentenza 4C.346/2003 del 26 ottobre 2004 consid. 3.1 e rif.; ZINDEL/PULVER/SCHOTT, Commento Basilese, Obligationenrecht, 6aed. 2015, n. 37 ad <ref-law>; PETER GAUCH, Der Werkvertrag, 5aed. 2011, n. 932 e 1014).
Rinviando a Thevenoz/Werro ( recte: FRANÇOIS CHAIX), Commentaire Romand, Code des Obligations, 2aed. 2012 n. 7 ad <ref-law>, il ricorrente sostiene il contrario, ovvero che nel dubbio prevarrebbe la soluzione più favorevole al committente. La citazione è errata, poiché il commento in questione si riferisce alle diverse ipotesi di accordi sui prezzi sussumibili sotto gli art. 374 e 375 CO, una volta esclusa la pattuizione della mercede a corpo dell'<ref-law>. Anche questo autore conferma invece quanto esposto sopra (v. op. cit., n. 34 ad <ref-law> e n. 14 ad <ref-law>).
3.3. Secondo la sentenza impugnata l'unica circostanza allegata dal convenuto - che la ribadisce davanti al Tribunale federale - per suffragare il carattere vincolante dell'offerta in discussione è che il preventivo documento Q conteneva alcune posizioni a corpo e altre a misura. La Corte d'appello l'ha ritenuta giustamente insufficiente; anche i preventivi sommari o approssimativi degli art. 374 e 375 CO possono definire prezzi unitari o su misura.
I giudici ticinesi, come detto, hanno rimproverato al convenuto di non avere né allegato né provato altre circostanze che attesterebbero la pattuizione di un prezzo fisso. Il ricorrente accenna a quest'argomentazione della sentenza, ma non la contesta. La costatazione della Corte cantonale rimane perciò vincolante. In forza delle regole esposte sopra la mancata prova della pattuizione di un prezzo forfettario va a scapito del committente, ovvero del convenuto.
La sentenza impugnata rispetta pertanto il diritto federale (a prescindere dalla rilevanza sia del titolo dato dall'appaltatrice al preventivo Q, sia dell'aggiornamento avvenuto con il documento S).
4.
In prima istanza il convenuto aveva obiettato che non tutti i lavori fatturati erano stati effettivamente eseguiti; il Pretore aveva respinto l'obiezione sulla base degli accertamenti del perito giudiziario, aggiungendo che l'esecuzione di tutte le opere era " inoltre stata confermata dal teste D._ ". Il Tribunale cantonale ha dichiarato irricevibili per carenza di motivazione le censure d'appello concernenti l'effettuazione dei lavori, perché il ricorrente non si è confrontato con l'argomentazione riguardante la testimonianza D._, ritenuta una tra due motivazioni alternative e indipendenti esposte dal Pretore.
Non a torto il ricorrente mette in dubbio che la sentenza di primo grado avesse sviluppato due motivazioni alternative. In effetti il Pretore aveva semplicemente accertato un fatto - l'esecuzione di tutti i lavori - mediante l'apprezzamento di due prove: la perizia e la testimonianza D._. Il risultato, tuttavia, non cambia. L'appello era comunque insufficientemente motivato poiché, secondo la sentenza impugnata, l'appellante non si era espresso sulla testimonianza D._, una delle due prove apprezzate a suo sfavore dal Pretore. Davanti al Tribunale federale il ricorrente doveva quindi contestare con motivazione appropriata questo rimprovero formale, spiegando dove e come si era confrontato con la deposizione D._ in sede di appello. Il gravame è tuttavia silente a tale riguardo. Il ricorrente si esprime solo sul merito dell'accertamento: mette in dubbio la credibilità del testimone, un dipendente della controparte che a suo dire sarebbe stato presente solo saltuariamente sul cantiere, e si dilunga nell'elencare i lavori che non sarebbero stati eseguiti.
Ne viene che le censure del ricorso, che non considerano l'argomentazione della sentenza impugnata, sono inammissibili. Il Tribunale federale non può del resto esprimersi su accertamenti di fatto che la Corte cantonale non ha effettuato.
5.
La sentenza cantonale rammenta che in sede d'appello il ricorrente ha sostenuto che la fatturazione era errata per diversi motivi: considerava opere non eseguite dall'appaltatrice o già pagate o che costituivano semplici riparazioni di danni ed esponeva inoltre prezzi unitari che non corrispondevano ai lavori effettivamente eseguiti ed erano comunque da ridurre a fr. 82'224.20 al massimo secondo le indicazioni dell'architetto E._. La Corte ticinese ha passato in rassegna le posizioni contestate, per concludere che tutte le argomentazioni d'appello sono inammissibili per carenza di motivazione (<ref-law>), poiché il ricorrente, di volta in volta, omette di indicare le conseguenze patrimoniali che avrebbe l'accoglimento delle censure, non indica le prove a sostegno delle sue tesi o formula contestazioni generiche non quantificate; quanto alle correzioni dell'architetto E._ l'autorità cantonale ha ricordato che il ricorrente non è stato in grado di smentire gli accertamenti del Pretore sull'esecuzione di tutte le opere fatturate (cfr. consid. 4) e non ha spiegato per quali ragioni sarebbero errate le conclusioni sulla correttezza dei prezzi che il primo giudice aveva dedotto dalla perizia.
Il ricorrente definisce " sbrigativa " la motivazione del Tribunale di appello, che violerebbe anche l'<ref-law>, poiché, avendo lui " sempre contestato in toto la fattura finale ", spettava all'attrice provarne la correttezza; egli ritiene di avere motivato sufficientemente anche in merito alla riduzione della fattura proposta dall'arch. E._ e rinvia alle argomentazioni del ricorso sviluppate in precedenza a proposito della non esecuzione di determinate opere. Queste critiche sono d'acchito inammissibili. Al ricorrente sfugge di nuovo che la Corte cantonale non è entrata nel merito delle contestazioni proposte in appello, perché le ha ritenute immotivate. Solo questo giudizio fondato sull'<ref-law> poteva essere censurato davanti al Tribunale federale, ma in modo puntuale, confrontandosi, smentendole, con le singole argomentazioni della sentenza. Il rinvio alle censure formulate in merito alla mancata esecuzione di alcune opere non giova al ricorrente, dal momento che anch'esse si sono avverate inammissibili (cfr. consid. 4).
6.
Il Tribunale di appello si è occupato infine della pretesa di fr. 36'458.80 messa in compensazione dal convenuto, comprendente l'importo fatturatogli dalla ditta F._SA per rimediare ai difetti dell'opera fornita dall'appaltatrice e ai danni da essa causati. La Corte ticinese ha in primo luogo confermato il giudizio del Pretore sulla tardività di due segnalazioni di difetti, una del 25 agosto 2008 (documento 5) e una del 23 settembre 2008 (documento 7). Per la prima ha giustificato la tardività con il fatto che i lavori erano terminati già il 29/30 luglio 2008 e ritenuto irrilevante sotto il profilo dell'<ref-law> cpv. 1 CO l'asserita riparazione di difetti avvenuta successivamente, alla fine delle ferie edilizie. In merito alla seconda segnalazione i giudici ticinesi, hanno ritenuto che, quand'anche l'attrice non ne avesse contestato la tempestività, la motivazione dell'appello era carente, poiché il convenuto sosteneva di averla inviata non appena aveva costatato i difetti, ma non aveva addotto di avere riscontrato difetti occulti.
6.1. Il ricorrente afferma che la notifica del 25 agosto 2008 riguardava un muro in calcestruzzo rimasto difettoso nonostante che fosse già stato riparato una volta dopo la fine dei lavori, ciò che presupponeva evidentemente che i difetti fossero stati notificati precedentemente. Siccome l'attrice non avrebbe contestato tali circostanze, la sentenza violerebbe l'<ref-law>, secondo cui i fatti non contestati vanno ammessi. A mente del ricorrente la norma di diritto federale sarebbe stata violata anche in relazione con la segnalazione del 23 settembre 2008, dal momento che la controparte non ne aveva contestato la tempestività e che si trattava "evidentemente di difetti non visibili al momento della consegna dell'opera ".
6.2. Con queste critiche, che riguardano essenzialmente i fatti, il ricorrente non sostanzia in modo puntuale l'arbitrio, come dovrebbe (cfr. consid. 2); fonda inoltre le sue critiche su fatti che non risultano dalla sentenza impugnata (le riparazioni effettuate sul muro di calcestruzzo) e ribadisce semplicemente la propria versione, senza curarsi dei motivi per i quali parte delle sue censure d'appello è stata dichiarata irricevibile (la mancata allegazione dei difetti occulti). Sotto questo profilo il ricorso è perciò inammissibile.
Lo è anche laddove il ricorrente invoca la violazione dell'<ref-law>, poiché la procedura di prima istanza non è stata retta dal diritto federale bensì dal vecchio codice di procedura civile ticinese, del quale occorreva se del caso censurare l'applicazione arbitraria, ancora con motivazione specifica (<ref-law>; <ref-ruling> consid. 2.2; <ref-ruling> consid. 3).
7.
Sull'entità della contropretesa fatta valere dal convenuto, in particolare quale risarcimento dei danni causati dall'appaltatrice, il Tribunale cantonale ha dapprima giudicato ancora irricevibili le censure d'appello, che non si confrontavano con le argomentazioni del Pretore; in subordine ha però confermato nel merito la sentenza di prima istanza. Ha spiegato che la parte attrice non aveva contestato i danni fatti valere dal convenuto, ciò che equivaleva ad ammissione, e neppure l'importo totale di fr. 36'458.80 posto in compensazione. Tuttavia, secondo quanto aveva allegato il convenuto, questa somma comprendeva, oltre al costo della riparazione dei danni, anche quello della sistemazione dei difetti e dei lavori supplementari. Il convenuto non aveva però fornito gli elementi atti a stabilire quale porzione dell'importo complessivo concernesse i danni, per cui, cadute le rivendicazioni per difetti e lavori supplementari, i giudici ticinesi hanno ritenuto impossibile quantificare la pretesa di risarcimento dei danni, anche per equità secondo l'<ref-law>.
Il ricorrente obietta di avere " motivato ampiamente le proprie censure a pag. 8 dell'appello "; nel merito, ritiene che la sentenza cantonale leda nuovamente l'<ref-law>, giacché l'importo non contestato di fr. 36'458.80 andava interamente riconosciuto, senza riguardo al fatto che comprendesse anche i costi della riparazione dei difetti e dei lavori supplementari.
Alle pagine 7 e 8 dell'atto di appello il convenuto aveva effettivamente contestato il giudizio del Pretore secondo cui gli atti di causa non permettevano di determinare l'ammontare esatto dei danni. Può tuttavia rimanere indeciso se quelle allegazioni fossero sufficienti alla luce dell'<ref-law>. Come detto, la Corte cantonale ha comunque affrontato il merito della questione, rimproverando in sostanza al convenuto di non avere provato l'entità della pretesa litigiosa. Di questa motivazione alternativa e indipendente, fondata sull'apprezzamento delle prove, il ricorrente non tenta nemmeno di dimostrare l'arbitrio (cfr. consid. 2). Le sue censure sono pertanto inammissibili, anche in quanto fondate sull'<ref-law> (cfr. consid. 6.2).
8.
Per tutti questi motivi il ricorso, nella misura limitata in cui è ammissibile, è infondato. Le spese seguono la soccombenza (66 cpv. 1 e 68 cpv. 1 LTF).

Per questi motivi, il Tribunale federale pronuncia:
1.
Nella misura in cui è ammissibile, il ricorso è respinto.
2.
Le spese giudiziarie di fr. 2'000.-- sono poste a carico del ricorrente, che rifonderà all'opponente fr. 2'500.-- a titolo di ripetibili per la procedura innanzi al Tribunale federale.
3.
Comunicazione ai patrocinatori delle parti e alla II Camera civile del Tribunale d'appello del Cantone Ticino.