Sachverhalt:
A.
A.a. Der 1953 geborene A._ meldete sich im September 2007 bei der Invalidenversicherung zum Leistungsbezug an. Die IV-Stelle des Kantons Solothurn sprach ihm mit Wirkung ab 1. Juli 2007 eine ganze (Invaliditätsgrad 100 %) und ab 1. Februar 2008 eine halbe Rente der Invalidenversicherung (Invaliditätsgrad 57 %) zu (Verfügung vom 21. April 2009).
A.b. Im Rahmen eines im Juli 2012 eingeleiteten Revisionsverfahrens veranlasste die IV-Stelle eine polydisziplinäre Begutachtung bei der Academy of Swiss Insurance Medicine (asim; Gutachten vom 24. Mai 2013). Weil dieses aufgrund einer zwischenzeitlich veranlassten Observation (Observationsbericht vom 3. April 2013) nicht in Kenntnis sämtlicher Akten ergangen war und weil das psychiatrische Teilgutachten gemäss Stellungnahme des Regionalen Ärztlichen Dienstes (RAD) vom 12. Juli 2013 nicht überzeugte, veranlasste die Verwaltung eine neuerliche polydisziplinäre Begutachtung bei der PMEDA Polydisziplinäre Medizinische Abklärungen (PMEDA; Gutachten vom 19. Dezember 2013). Gestützt darauf stellte die IV-Stelle in Aussicht, die Rente rückwirkend ab Dezember 2012 aufzuheben und den Anspruch auf berufliche Massnahmen abzuweisen (Vorbescheid vom 11. Februar 2014). Daran hielt sie mit Verfügung vom 28. März 2014 fest. Mit Verfügung vom 9. April 2014 forderte sie zudem Fr. 6'904.- für im Zeitraum zwischen dem 1. Dezember 2012 und dem 31. Juli 2013 zu viel ausgerichteter Rentenleistungen zurück.
B.
Die dagegen erhobene Beschwerde hiess das Versicherungsgericht des Kantons Solothurn gut und hob die Verfügungen der IV-Stelle vom 28. März und vom 9. April 2014 auf (Entscheid vom 9. Mai 2016).
C.
Die IV-Stelle führt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten und beantragt die Aufhebung des angefochtenen Entscheids.
A._ schliesst in der dazu eingeholten Vernehmlassung auf Nichteintreten, eventualiter auf Abweisung der Beschwerde. Das Bundesamt für Sozialversicherungen (BSV) verzichtet auf eine Stellungnahme.

Erwägungen:
1.
1.1. Mit der Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann u.a. die Verletzung von Bundesrecht gerügt werden (<ref-law>). Die Feststellung des Sachverhalts kann nur gerügt werden, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruht und wenn die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein kann (<ref-law>). Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (<ref-law>). Es kann die Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz von Amtes wegen berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruht (<ref-law>).
1.2. Bei den gerichtlichen Feststellungen zum Gesundheitszustand und zur Arbeitsfähigkeit bzw. deren Veränderung in einem bestimmten Zeitraum handelt es sich grundsätzlich um Tatfragen (<ref-ruling> E. 3.2 S. 397 ff.). Gleiches gilt für die konkrete Beweiswürdigung (Urteil 9C_204/2009 vom 6. Juli 2009 E. 4.1, nicht publ. in <ref-ruling>, aber in: SVR 2009 IV Nr. 53 S. 164). Dagegen ist die Beachtung des Untersuchungsgrundsatzes und der Beweiswürdigungsregeln nach <ref-law> Rechtsfrage (<ref-ruling> E. 3.2 und 4 S. 397 ff.; Urteil I 865/06 vom 12. Oktober 2007 E. 4 mit Hinweisen), die das Bundesgericht im Rahmen der den Parteien obliegenden Begründungs- bzw. Rügepflicht (<ref-law> und <ref-law>; <ref-ruling> E. 1.1 S. 137 f.; <ref-ruling> E. 1.4.1 und 1.4.2 S. 254) frei überprüfen kann (<ref-law>).
2.
Insofern der Versicherte Nichteintreten beantragt, weil die Beschwerde der IV-Stelle ohne entsprechende Vollmacht eingereicht worden sei, verkennt er, dass die Verwaltung nicht durch die unterzeichnete Juristin vertreten wird, sondern diese deren Angestellte ist. Einer Vollmacht im Sinne von <ref-law> bedarf es deshalb nicht. Dass juristische Mitarbeiterinnen des Rechtsdienstes einer IV-Stelle befugt sind, für diese Beschwerden einzureichen, entspricht einer üblichen Unterschriftenregelung. Konkrete Hinweise auf eine Zuwiderhandlung gegen die Unterschriftenregelung der IV-Stelle des Kantons Solothurn liegen nicht vor, weshalb sich Weiterungen dazu erübrigen.
3.
Prozessthema bildet die Frage, ob und inwieweit sich der Invaliditätsgrad des Versicherten im unbestritten massgebenden Vergleichszeitraum zwischen der rechtskräftigen Rentenzusprache (Verfügung vom 21. April 2009) und der verfügungsweisen Aufhebung vom 28. März 2014. In revisionsrechtlich erheblicher Weise verändert hat (<ref-law>). Dabei ist zu beachten, dass Anlass zur Rentenrevision jede wesentliche Änderung in den tatsächlichen Verhältnissen gibt, die geeignet ist, den Invaliditätsgrad und damit den Rentenanspruch zu beeinflussen. Allerdings stellt eine bloss unterschiedliche Beurteilung eines im Wesentlichen gleich gebliebenen Sachverhalts keine revisionsbegründende Tatsachenänderung dar (<ref-ruling> E. 2b S. 372; Urteil 9C_894/2015 vom 25. April 2016 E. 3).
4.
4.1. Die IV-Stelle stützte die ursprüngliche Rentenzusprache ab Juli 2007 auf die Stellungnahme des RAD vom 19. November 2008. Darin war Dr. med. B._, FMH Allgemeine Medizin, unter Würdigung verschiedener Berichte behandelnder Ärzte zum Schluss gelangt, der Versicherte leide an einem Schultersyndrom, an einem chronifizierten Lumbovertebralsyndrom degenerativer Basis sowie an einem Asthma bronchiale. Er sei deshalb vom 22. Mai 2006 bis zum 31. Oktober 2007 zu 100 % und ab dem 1. November 2007 zu 50 % arbeitsunfähig gewesen.
4.2. Die revisionsweise Rentenaufhebung stütze die Verwaltung auf die polydisziplinäre Expertise der PMEDA vom 19. Dezember 2013, worin die Gutachter eine Vielzahl internistischer, pneumologischer und rheumatologischer Diagnosen gestellt und eine Arbeitsfähigkeit von 100 % sowohl für die angestammte wie jede angepasste - d.h. körperlich nicht schwer belastende, keine inhalativen Expositionen beinhaltende und keine Überkopfarbeiten erfordernde - Tätigkeit attestiert hatten. Die Vorinstanz stellte in Bezug auf diese Expertise fest, es fehle darin eine vergleichende Auseinandersetzung mit den für eine Revision relevanten Vorakten. Im Gutachten werde lediglich festgehalten, die genannten qualitativen Einschränkungen ergäben sich aus den pneumologischen und rheumatologischen Befunden. Eine Verbesserung in eben diesen Bereichen, welche zur seinerzeitigen Rentenzusprache geführt hätten, gehe aus der Expertise indessen nicht hervor. Die stattdessen festgehaltene Verbesserung aus psychiatrischer Sicht sei unbeachtlich, weil im Zeitpunkt der Rentenzusprechung keine Einschränkungen aus psychiatrischer Sicht vorgelegen haben. Die Gutachter der PMEDA hätten sich vor allem darauf konzentriert aufzuzeigen, dass das Gutachten der asim vom 24. Mai 2013 nicht überzeuge und die darin diagnostizierten psychiatrischen Einschränkungen nicht mehr vorliegen würden, weshalb diesbezüglich von einer Verbesserung auszugehen sei. Einem Gutachten, welches die medizinischen Vorakten unzutreffend berücksichtige, fehle aber die erforderliche Überzeugungs- und Beweiskraft. Eine relevante Verbesserung gehe im Übrigen auch nicht aus dem Gutachten der asim vom 24. Mai 2013 hervor, hätten die dortigen Experten doch lediglich den gleichen Sachverhalt unterschiedlich beurteilt und eine gesundheitliche Verbesserung seit der Rentenzusprache explizit verneint.
Zusammenfassend kam das kantonale Gericht zum Schluss, eine revisionsbegründende Verbesserung des Gesundheitszustands sei gestützt auf die medizinischen Akten nicht mit überwiegender Wahrscheinlichkeit erstellt.
5.
Was beschwerdeweise gegen den angefochtenen Entscheid vorgebracht wird, ist unbegründet.
5.1. Die IV-Stelle rügt vorerst eine Verletzung des Untersuchungsgrundsatzes gemäss <ref-law>. So habe die Vorinstanz keine weiteren Abklärungen veranlasst, obwohl sie zum Schluss gelangt sei, dem Gutachten der PMEDA vom 19. Dezember 2013 - worin eine Verbesserung des Gesundheitszustands und eine rentenausschliessende Arbeitsfähigkeit klar bejaht würden - fehle es bezüglich der geltend gemachten Verbesserung an einer vergleichenden Auseinandersetzung mit den relevanten Vorakten. Mit diesem Einwand lässt die IV-Stelle ausser Acht, dass die Vorinstanz in E. 5.4 des angefochtenen Entscheids darlegte, weshalb sie auf ergänzende Abklärungen verzichtet hatte. Sie führte aus, der Versicherte sei entgegen bisheriger Annahmen bereits 63 Jahre alt, weshalb eine allfällig verbesserte Leistungsfähigkeit - die gerichtlich festzustellen weitere Zeit in Anspruch genommen hätte (zum Zeitpunkt, in welchem die Frage nach der Verwertbarkeit der Restarbeitsfähigkeit bei vorgerücktem Alter beantwortet wird vgl. <ref-ruling> E. 3.3 S. 462; Urteil 9C_456/2014 vom 19. Dezember 2014 E. 3.1.2) - ohnehin nicht mehr verwertbar wäre. Mit diesen Ausführungen setzte sich die IV-Stelle nicht ansatzweise auseinander. Sie lässt weiter unberücksichtigt, dass sich die im Gutachten der PMEDA erwähnte Verbesserung des Gesundheitszustands weder auf die relevanten Vergleichszeiträume (vgl. E. 3 hievor) bezieht noch auf eine medizinische Fachrichtung, welche seinerzeit für die Rentenzusprache (mit) verantwortlich gewesen wäre (vgl. E. 4.2 hievor). Hinweise auf eine revisionsrechtlich erhebliche Verbesserung finden sich indessen weder im Gutachten der PMEDA noch in den übrigen Akten. Deshalb ist nicht zu beanstanden, dass die Vorinstanz auf weitere Abklärungen verzichtet hat (antizipierte Beweiswürdigung; <ref-ruling> E. 5.3 S. 236). Eine Verletzung des Untersuchungsgrundsatzes liegt nicht vor.
5.2. Nichts zu ihren Gunsten abzuleiten vermag die IV-Stelle aus dem blossen Umstand, dass sowohl die Gutachter der asim wie auch jene der PMEDA zum Schluss gelangten, der Versicherte sei zu 100 % arbeitsfähig. Eine lediglich andere Einschätzung der Arbeitsfähigkeit aufgrund eines im Wesentlichen gleich gebliebenen Sachverhalts, wovon hier mangels Hinweisen auf eine revisionsrechtlich erhebliche Verbesserung auszugehen ist (vgl. E. 5.1 hievor), ist unbeachtlich (Urteil 9C_330/2014 vom 23. Juli 2014 E. 5.2 mit Hinweisen). Andere Gründe, weshalb die vorinstanzlichen Sachverhaltsfeststellungen und insbesondere der Schluss, eine revisionsbegründende Verbesserung des Gesundheitszustandes sei nicht erstellt, offensichtlich unrichtig sein oder auf einer Rechtsverletzung beruhen sollen, sind weder ersichtlich noch substanziiert dargetan. Die Sachverhaltsfeststellungen des kantonalen Gerichts bleiben daher für das Bundesgericht verbindlich (vgl. E. 1 hievor).
5.3. Für eine Angewöhnung oder Anpassung an die Behinderung, welche revisionsrechtlich erheblich sein kann (<ref-ruling> E. 2.3 S. 10) und wie sie die IV-Stelle behauptet, fehlen jegliche Anhaltspunkte. Darauf, dass eine lediglich andere Einschätzung der Arbeitsfähigkeit aufgrund eines im Wesentlichen gleich gebliebenen Sachverhalts nicht genügt, wurde bereits hingewiesen (vgl. E. 5.2 hievor). Unverfänglich ist aber auch der Hinweis in der Beschwerde, der Versicherte nehme bereits am morgen früh diverse Tätigkeiten in der C._ Bar und in der Küche wahr und tätige nachmittags verschiedene Erledigungen. Ob der Versicherte damit aktiver war, als er gegenüber der IV-Stelle und den behandelnden Ärzten angegeben hatte, ist für die vorliegende Streitigkeit nicht massgebend. Entgegen der Beschwerde rechtfertigte eine solch höhere Aktivität offenkundig auch nicht, die Anforderungen an den Revisionsgrund anders - konkret tiefer - anzusetzen. Entscheidend ist einzig, dass das Observationsmaterial gemäss der unbestritten gebliebenen vorinstanzlichen Beweiswürdigung den Schluss nicht zulässt, die in der C._ Bar verrichteten Arbeiten bewegten sich nicht innerhalb der ihm anlässlich der ersten Rentenverfügung medizinisch attestierten Restarbeitsfähigkeit. Damit bleibt zum Vornherein kein Raum für die Annahme einer Verbesserung der Arbeitsfähigkeit aufgrund einer Angewöhnung oder Anpassung an die Behinderung.
5.4. Weil die verschiedenen Arbeitseinsätze des Beschwerdeführers in der C._ Bar den Schluss auf eine unrichtige Leistungsausrichtung nicht zulassen (vgl. E. 4.3 hievor), kann offen bleiben, ob den Einwänden der IV-Stelle folgend die Voraussetzungen für eine rückwirkende Rentenaufhebung gemäss <ref-law> erfüllt wären.
6.
Weil die Observationsunterlagen im vorliegenden Fall belanglos bleiben, erübrigen sich Weiterungen, wie sie sich im Nachgang zum Urteil (des Europäischen Gerichtshofs für Menschenrechte) Vukota-Bojic gegen Schweiz vom 18. Oktober 2016 ergeben könnten.
7.
Dem Ausgang des Verfahrens entsprechend hat die IV-Stelle die Gerichtskosten zu tragen (<ref-law>) und dem Beschwerdegegner eine Parteientschädigung zu bezahlen (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 800.- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
3.
Die Beschwerdeführerin hat den Beschwerdegegner für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 2'400.- zu entschädigen.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien, dem Versicherungsgericht des Kantons Solothurn und dem Bundesamt für Sozialversicherungen schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 7. Dezember 2016
Im Namen der II. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Glanzmann
Der Gerichtsschreiber: Williner