Sachverhalt:
A.
Am 15. April 2015 schrieb das Erziehungsdepartement des Kantons Basel-Stadt einen Auftrag für die Lieferung von Stoffhandtuchrollen während dreier Jahre aus. Gemäss den Unterlagen zur im offenen Verfahren geführten Ausschreibung mussten die Stoffhandtuchrollen eine Breite von 19 cm bzw. 25 cm sowie je eine Länge von mindestens 34 m aufweisen. Varianten waren keine zugelassen. Als Eignungskriterium musste der Nachweis eines in den letzten fünf Jahren bereits ausgeführten oder seit mindestens einem Jahr in Ausführung stehenden vergleichbaren Referenzauftrags mit einem Wert von mindestens Fr. 100'000.-- erbracht werden. Für den zu vergebenden Auftrag gingen innert Frist vier Offerten ein.
B.
Am 16. Juli 2015 erteilte das Erziehungsdepartement der Y._ SA den Zuschlag. Die Publikation des Zuschlags erfolgte am 22. Juli 2015. Auf entsprechendes Ersuchen hin teilte das Erziehungsdepartement der X._ AG am 5. August 2015 mit, dass sie vom Verfahren ausgeschlossen worden sei und deshalb nicht habe berücksichtigt werden können. Das Erziehungsdepartement begründete den Ausschluss damit, dass die Offerte der X._ AG nicht den Produktspezifikationen entsprochen habe. Zudem sei ihr der Eignungsnachweis nicht gelungen.
Gegen den Zuschlag gelangte die X._ AG mit Eingaben vom 23. Juli 2015 und vom 17. August 2015 an das Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt. Dieses wies den Rekurs mit Urteil vom 27. Januar 2016 ab.
C.
Mit Beschwerde vom 17. März 2016 gelangt die X._ AG an das Bundesgericht. Sie beantragt die Aufhebung des vorinstanzlichen Urteils sowie die Erteilung des Zuschlags an sie selbst. Eventualiter sei die Sache zwecks neuer Entscheidung an die Vorinstanz oder an die Vergabebehörde zurückzuweisen, subeventualiter sei die Rechtswidrigkeit des Zuschlags festzustellen.
Das Erziehungsdepartement beantragt die Abweisung des Rechtsmittels, soweit darauf einzutreten ist. Das Appellationsgericht schliesst auf Abweisung der Beschwerde. Nicht vernehmen liess sich die Y._ SA. Mit Eingabe vom 31. Mai 2016 nimmt die X._ AG zu den Vernehmlassungsantworten Stellung.
Am 8. April 2016 wurde der Beschwerde mit Verfügung des Abteilungspräsidenten die aufschiebende Wirkung zuerkannt.

Erwägungen:
1.
Das Bundesgericht prüft seine Zuständigkeit und die weiteren Eintretensvoraussetzungen von Amtes wegen (<ref-law>) und mit freier Kognition (<ref-ruling> E. 1 S. 116).
1.1. Die Beschwerdeführerin richtet sich mit ihrer form- und fristgerechten Eingabe (Art. 42 und Art. 100 Abs. 1 BGG) gegen das kantonal letztinstanzliche, beim Bundesverwaltungsgericht nicht anfechtbare, verfahrensabschliessende Urteil des Appellationsgerichts (Art. 86 Abs. 1 lit. d, Art. 90 BGG).
1.2. Der angefochtene Entscheid erging auf dem Gebiet der öffentlichen Beschaffungen. Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten an das Bundesgericht ist daher nur zulässig, wenn sich eine Rechtsfrage von grundsätzlicher Bedeutung stellt und der geschätzte Wert des zu vergebenden Auftrags den massgeblichen Schwellenwert erreicht (<ref-law>). Die beiden Voraussetzungen müssen kumulativ erfüllt sein (<ref-ruling> E. 1.2 S. 20 f.; <ref-ruling> E. 2.1 S. 398; Urteil 2C_919/2014 / 2C_920/2014 vom 21. August 2015 E. 2.2, nicht publ. in: <ref-ruling>).
1.2.1. Bei der Rechtsfrage von grundsätzlicher Bedeutung nach <ref-law> muss es sich um eine Rechtsfrage aus dem Gebiet des öffentlichen Beschaffungsrechts handeln (<ref-ruling> E. 1.3 S. 195; Urteil 2C_665/2015 vom 26. Januar 2016 E. 1.1). Keine Grundsatzfrage stellt die Anwendung rechtsprechungsgemäss feststehender Prinzipien auf einen Einzelfall dar. Ebenso wenig genügt der Umstand, dass die aufgeworfene Rechtsfrage noch nie entschieden wurde. Damit die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten zulässig ist, muss es sich um eine Rechtsfrage handeln, deren Beantwortung für die Praxis wegleitend sein kann und die von ihrem Gewicht her nach höchstrichterlicher Klärung ruft (<ref-ruling> E. 1.2.2.1 S. 21; <ref-ruling> E. 1.4.1 S. 118 f.; Urteil 2C_665/2015 vom 26. Januar 2016 E. 1.1). Eine Frage, die zwar an sich von grundsätzlicher Bedeutung wäre, aber den Ausgang des Verfahrens nicht zu beeinflussen vermag, führt mangels Rechtsschutzinteresse an der abstrakten Erörterung einer Rechtsfrage nicht zum Eintreten auf die Beschwerde (Urteile 2C_665/2015 vom 26. Januar 2016 E. 1.1; 2C_553/2015 vom 26. November 2015 E. 1; 2C_409/2015 vom 28. September 2015 E. 1.4).
1.2.2. Die Beschwerdeführerin unterbreitet dem Bundesgericht zwei Rechtsfragen, denen sie grundsätzliche Bedeutung beimisst: Erstens, ob sie als Offerentin ihre "Referenzpersonen vorher einseifen muss, damit diese Auskünfte erteilen". Zweitens wirft die Beschwerdeführerin die Frage auf, ob die Vergabebehörde verpflichtet ist, bei der Anbieterin nachzufragen und sie ihr anderweitig Gelegenheit zum Nachweis ihrer Eignung geben muss, wenn Referenzpersonen aus Datenschutzgründen oder wegen verwaltungsinternen Weisungen keine Auskunft geben dürfen. Beide Fragen stehen im Zusammenhang mit dem Eignungsnachweis, den die Beschwerdeführerin nach Auffassung der kantonalen Instanzen nicht erbringen konnte (vgl. Sachverhalt lit. A hiervor).
1.2.3. Die erste Frage lässt sich unter Rückgriff auf die submissionsrechtliche Rechtsprechung und generelle (verwaltungsrechtliche) Prinzipien beantworten, die im Beschaffungsverfahren allgemein zur Anwendung gelangen (vgl. dazu und zum Folgenden <ref-ruling> E 3.2 S. 495 mit Hinweisen) : Nach der Rechtsprechung steht fest, dass auch im Submissionsverfahren, wie in jedem anderen Verwaltungsverfahren, grundsätzlich die Behörde den erheblichen Sachverhalt von Amtes wegen abzuklären hat (sog. Untersuchungsmaxime). In aller Regel wird sie dabei auf die von den Anbieterinnen eingereichten Unterlagen abstellen, die diese im Rahmen ihrer Mitwirkungspflicht beibringen. Die Vergabestelle ist nicht gehalten, von Amtes wegen mangelhaft oder unvollständig eingereichte Unterlagen oder Angaben zu vervollständigen (vgl. <ref-ruling> E. 3.2 S. 495 f.). Somit obliegt es grundsätzlich der Anbieterin sicherzustellen, dass die von ihr genannten Referenzpersonen zur Erteilung von Auskünften bereit und berechtigt sind. Diese Obliegenheit bildet Ausfluss der verwaltungsrechtlichen Mitwirkungspflicht und ist nicht mit einer (unzulässigen) Beeinflussung der Referenzpersonen gleichzusetzen, wie die Beschwerdeführerin mit ihrer Fragestellung insinuiert.
Keine grundsätzliche Bedeutung ist auch der zweiten von der Beschwerdeführerin aufgeworfenen Frage beizumessen: Einerseits folgt aus dem soeben Dargelegten, dass die Vergabebehörde nicht eine allgemeine Pflicht zur Nachfrage trifft, wenn die Anbieterin im oben beschriebenen Sinne mangelhafte Angaben zu möglichen Referenzpersonen macht. Andererseits kann sich aus dem Verbot des überspitzten Formalismus (vgl. dazu im submissionsrechtlichen Kontext Urteile 2C_418/2014 vom 20. August 2014 E. 4.1; 2C_241/2012 vom 28. Juni 2012 E. 1.1.2; 2C_197/2010 / 2C_198/2010 vom 30. April 2010 E. 6.5) die Pflicht ergeben, den Eignungsnachweis in einer anderen, gleichermassen aussagekräftigen Form zu akzeptieren, als er gemäss den Ausschreibungsunterlagen verlangt ist. In welchen Situationen dies im Einzelfall geboten erscheint, lässt sich indes kaum in allgemeiner Weise festlegen, sodass einer Antwort auf die Frage keine wegleitende Bedeutung für die Praxis zukommt.
1.2.4. Mangels Vorliegens von Rechtsfragen grundsätzlicher Bedeutung kann auf die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten somit nicht eingetreten werden. Zu prüfen bleibt die Zulässigkeit der subsidiären Verfassungsbeschwerde (<ref-law>).
1.3. Zur Verfassungsbeschwerde ist gemäss <ref-law> berechtigt, wer vor der Vorinstanz am Verfahren teilgenommen hat oder keine Möglichkeit zur Teilnahme erhalten hat (lit. a) und ein rechtlich geschütztes Interesse an der Aufhebung oder Änderung des angefochtenen Entscheids hat (lit. b). Letzteres ist im Bereich des öffentlichen Vergabewesens der Fall, wenn die nicht berücksichtigte Bewerberin eine reelle Chance gehabt hätte, im Falle der Gutheissung ihres Rechtsmittels den Zuschlag zu erhalten (<ref-ruling> E. 4.1 S. 27 mit Hinweisen). Dasselbe gilt, wenn die Anbieterin ihren Ausschluss vom Verfahren anficht (vgl. <ref-ruling> E. 4.1 S. 27; <ref-ruling> E. 1.2 S. 260 f.).
Als Zuschlagskriterien sah die streitgegenständliche Ausschreibung einzig die Preise der Stoffhandtuchrollen in den verlangten Grössen vor. Aus dem Evaluationsbericht des Erziehungsdepartements vom 16. Juli 2015 ergibt sich, dass die Beschwerdeführerin Preise offerierte, die ihr bei einer Zulassung zum Verfahren intakte Aussichten auf den Zuschlag eröffneten. Zudem war sie bereits am vorinstanzlichen Verfahren beteiligt. Die Legitimationsvoraussetzungen für die subsidiäre Verfassungsbeschwerde sind erfüllt.
2.
2.1. Mit der subsidiären Verfassungsbeschwerde kann einzig die Verletzung verfassungsmässiger Rechte gerügt werden (<ref-law>). Ausgeschlossen ist damit die Rüge der Missachtung von Gesetzes- und Konkordatsrecht. Ebenfalls nicht selbständig gerügt werden kann die Verletzung des den Submissionserlassen zugrunde liegenden Transparenzgebotes und des beschaffungsrechtlichen Diskriminierungsverbotes. Diesen Grundsätzen kommt nicht der Rang selbständiger Verfassungsgarantien zu (vgl. Urteile 2D_58/2013 vom 24. September 2014 E. 2.1 [nicht publ. in: <ref-ruling>]; 2C_1196/2013 vom 21. Februar 2014 E. 1.5; 2C_85/2007 vom 1. Oktober 2007 E. 3.1). Hingegen ist die Rüge einer willkürlichen Anwendung der massgebenden Submissionsgesetzgebung zulässig, da die Anbieter im öffentlichen Beschaffungsrecht ein rechtlich geschütztes Interesse an der Einhaltung der entsprechenden Gesetzgebung haben (vgl. <ref-ruling> E. 4 S. 95 f.; Urteile 2C_665/2015 vom 26. Januar 2016 E. 2.3; 2C_1196/2013 vom 21. Februar 2013 E. 1.5).
2.2. Ob ein angefochtener Entscheid verfassungsmässige Rechte der Beschwerdeführerin verletzt, prüft das Bundesgericht nur, soweit eine entsprechende Rüge vorgebracht und begründet worden ist. In ihrer Eingabe muss die Beschwerdeführerin darlegen, welche verfassungsmässigen Rechte inwiefern verletzt worden sind (sog. Rügeprinzip; Art. 117 i.V.m. <ref-law>; <ref-ruling> E. 2.2 S. 232 mit Hinweisen; Urteil 2C_315/2013 vom 18. September 2014 E. 3 [nicht publ. in: <ref-ruling>]). Beruft sich die Beschwerdeführerin auf das Willkürverbot, muss sie anhand der Erwägungen des angefochtenen Entscheides dartun, dass und inwiefern der angefochtene Entscheid willkürlich, d.h. unhaltbar ist (<ref-ruling> E. 1.2 S. 234; <ref-ruling> E. 6 S. 397; Urteile 2C_1014/2015 vom 21. Juli 2016 E. 4; 2C_747/2012 vom 12. März 2013 E. 2.3). Das Bundesgericht hebt einen Entscheid nur auf, wenn nicht bloss die Begründung, sondern auch das Ergebnis unhaltbar ist. Dass eine andere Lösung ebenfalls als vertretbar erscheint, genügt nicht (<ref-ruling> E. 4.3.1 S. 177; <ref-ruling> E. 2.4 S. 5, mit Hinweisen).
3.
3.1. Die Vorinstanz ging davon aus, dass das ursprüngliche Angebot der Beschwerdeführerin nicht den Produktspezifikationen in der Ausschreibung entsprach, sondern eine unzulässige Variante darstellte. Zudem habe die Beschwerdeführerin nach Fristablauf eine Änderung am Angebot vorgenommen, was unzulässig sei. Gestützt darauf kam das Verwaltungsgericht zum Schluss, dass das Erziehungsdepartement die Beschwerdeführerin zu Recht vom Vergabeverfahren ausgeschlossen habe.
Diese Beurteilung der Vorinstanz stützt sich auf folgenden Sachverhalt: Die Ausschreibungsunterlagen führten unter Ziffer 2.2.2 "Produktebeschreibung" auf, dass Stoffhandtuchrollen mit einer Breite von 19 cm und 25 cm sowie einer Länge von minimal 34 m verlangt waren. Sodann wies die Vergabebehörde in Ziffer 1.10 "Zuschlagskriterien" darauf hin, dass die "zwingenden Voraussetzungen gemäss Ziffer 2.2.2" einzuhalten sind. Varianten waren laut Ziffer 1.8.4 der Ausschreibungsunterlagen nicht zugelassen. Im von der Beschwerdeführerin mit den offerierten Preisen ergänzten, im Übrigen aber von der Vergabebehörde erstellten Formular "Preisangebot" waren die Stoffhandtuchrollen in der verlangten Breite (19 cm und 25 cm) aufgeführt. Hingegen waren die Stoffhandtuchrollen in der beiliegenden Offerte der Beschwerdeführerin und in der Produktebeschreibung mit Breiten von 19 cm sowie 22 cm und einer Länge von 35 m vermerkt. Die Vergabebehörde gelangte daraufhin mit Schreiben vom 28. Mai 2015 an die Beschwerdeführerin und wies auf diese Unstimmigkeit in den Offertunterlagen hin. Gleichzeitig gewährte sie der Beschwerdeführerin die Gelegenheit zur Berichtigung ihrer Angaben und bat um Bestätigung, dass die Belieferung bei einem allfälligen Zuschlag tatsächlich mit Stoffhandtuchrollen der vorgegebenen Breite von 25 cm erfolgen werde. Die Beschwerdeführerin reagierte darauf mit Schreiben vom 1. Juni 2015 und stellte der Vergabebehörde eine Liste mit verschiedenen Stoffhandtuchrollen zu, die sie im Angebot hatte. Auf neuerliche Nachfrage der Vergabebehörde vom 2. Juni 2015 hin antwortete die Beschwerdeführerin am 4. Juni 2015 und hielt fest, dass die geforderten Handtuchrollenmasse "nicht den handelsüblichen Standardgrössen entsprechen" würden. Weil die Vergabebehörde "nun aber ausdrücklich die Stoffrollenbreite von 25 cm" wünsche, werde dem entsprochen. Die Beschwerdeführerin "bestätige" das Angebot für Stoffhandtuchrollen mit einer Breite von 25 cm und einer Länge von 40 m. Für den Fall, dass die Vergabebehörde "auf dieser Mass-Variante" bestehen sollte, offerierte sie zu einem tieferen Preis ausserdem Stoffhandtuchrollen mit einer Breite von 25 cm und einer Länge von 34 m.
3.2. Die Beschwerdeführerin wendet sich zunächst gegen die Qualifizierung ihrer ursprünglichen Offerte als Variante. Für ihr Angebot sei ausschliesslich das offizielle Formular massgebend, das die verlangten Breiten der Stoffhandtuchrollen aufführe. Die Diskrepanz zwischen dem Formular einerseits und ihrer Offerte sowie der Produktbeschreibung andererseits sei auf einen Verschrieb zurück zu führen. Soweit die Ausführungen der Beschwerdeführerin den Rügeanforderungen (vgl. dazu oben E. 2.2) im Verfahren der subsidiären Verfassungsbeschwerde überhaupt genügen, vermögen sie eine willkürliche Rechtsanwendung durch die Vorinstanz nicht darzutun:
3.2.1. So steht zunächst fest, dass die Produktspezifikationen (Masse der Stoffhandtuchrollen) deutlich aus den Vergabeunterlagen hervor gingen. Keinen Spielraum für Interpretationen eröffnete auch der Hinweis, dass es sich dabei um "zwingende" Anforderungen handelte. Gleichwohl reichte die Beschwerdeführerin eine Offerte und eine Produktebeschreibung ein, die sich beide nicht auf die verlangten Produkte bezogen (Stoffhandtuchbreiten 19 cm und 22 cm anstelle der verlangten 19 cm und 25 cm) und mit dem Formular "Preisangebot" in Widerspruch standen.
3.2.2. Soweit die Beschwerdeführerin diesen Widerspruch lediglich auf einen Verschrieb zurückführen will, ist ihr entgegen zu halten, dass ihre nachfolgende Korrespondenz mit der Vergabestelle ein anderes Bild ergibt. So ist nicht verständlich, wieso die Beschwerdeführerin auf das Schreiben der Vergabestelle vom 28. Mai 2015 mit einer ganzen Liste ihrer Produkte reagierte und den angeblichen Verschrieb nicht umgehend richtig stellte. Dazu hätte es ausgereicht, der Beschaffungsstelle zu bestätigen, dass bezüglich der Breite der Stoffhandtuchrollen ein Irrtum vorliege und die Offerte für Handtuchrollen mit den Breiten 19 cm und 25 cm gelte.
Wenn die falschen Massangaben in der Offerte und der Produktebeschreibung lediglich auf einem Versehen beruht hätten, ergäbe auch der Inhalt des Schreibens vom 4. Juni 2015 wenig Sinn, in dem die Beschwerdeführerin zunächst auf die angeblich unüblichen Spezifikationen der verlangten Produkte hinwies und anschliessend eine neue Offerte unterbreitete. Diese entsprach nun zwar den Produktanforderungen, wich jedoch nicht nur im einzig fraglichen Parameter "Handtuchrollenbreite" vom ursprünglichen Angebot ab, sondern bei gleichbleibendem Preis auch in Bezug auf die Länge der betreffenden Rollen (40 m statt wie ursprünglich 35 m).
3.2.3. Die kantonalen Instanzen durften vor diesem Hintergrund willkürfrei davon auszugehen, dass sich die ursprüngliche Offerte der Beschwerdeführerin auf Stoffhandtuchrollen in den Breiten 19 cm und 22 cm bezog. Diese stimmte mit den Produktanforderungen der Vergabestelle, die Handtuchbreiten von 19 cm und 25 cm vorsah, offensichtlich nicht überein.
3.3. Die Beschwerdeführerin rügt weiter ein überspitzt formalistisches Vorgehen der Vergabebehörde. Wenn überhaupt von einer Abweichung ihrer Offerte zu den Produktanforderungen ausgegangen werde, so sei diese von untergeordneter Natur und rechtfertige einen Ausschluss vom Verfahren nicht. Eine Zulassung der nach Eingabefrist vorgenommenen Präzisierung ihrer Offerte verletze zudem weder das Gleichbehandlungs-, noch das Transparenzgebot.
3.3.1. Der hier anwendbare § 23 Abs. 2 des Gesetzes des Kantons Basel-Stadt vom 20. Mai 1999 über öffentliche Beschaffungen (Beschaffungsgesetz, SG 914.100) sieht vor, dass unvollständige oder verspätete Angebote vom weiteren Verfahren ausgeschlossen werden (vgl. die vom Regelungsziel her übereinstimmenden Art. XIII Ziff. 4 lit. a und lit. c des Übereinkommens vom 15. April 1994 über das öffentliche Beschaffungswesen [SR 0.632.231.422; nachfolgend: GPA]). Auch nach der Rechtsprechung kann die Missachtung von vergaberechtlichen Formvorschriften zum Ausschluss von Offerten führen. Dies gilt gleichermassen für die Abweichung von inhaltlichen Vorgaben, liegt es doch in der Kompetenz und Verantwortung der Vergabestelle, zu bestimmen, welche Aufträge sie vergibt, solange die verlangten Spezifikationen keine Diskriminierung der Anbieterinnen bewirkt (vgl. Art. 11 Abs. 1 lit. a und Art. 13 Abs. 1 lit. b IVöB; Urteil 2P.282/1999 vom 2. März 2000 E. 3a; MARTIN BEYELER, Der Geltungsanspruch des Vergaberechts, 2012, Rz. 1914 ff. und 2011 ff.).
Nicht jede Unregelmässigkeit rechtfertigt jedoch einen Ausschluss vom Vergabeverfahren. Aus Gründen der Verhältnismässigkeit darf und soll vom Ausschluss einer Offerte abgesehen werden, wenn der festgestellte Mangel relativ geringfügig ist und der Zweck, den die in Frage stehende (Form-) Vorschrift verfolgt, dadurch nicht ernstlich beeinträchtigt wird. Im Einzelfall kann sich die Abgrenzung zwischen der (zulässigen) Korrektur von Fehlern in der Offerte oder deren Klarstellung und der (unzulässigen) Modifizierung oder Ergänzung eines Angebots als heikel erweisen (vgl. zum Ganzen <ref-ruling> E. 8.2.2 S. 374; Urteile 2C_418/2014 vom 20. August 2014 E. 4.1; 2C_782/2012 vom 10. Januar 2013 E. 3.3; 2D_34/2010 vom 23. Februar 2011 E. 2.3; PETER GALLI/ANDRÉ MOSER/ELISABETH LANG/MARC STEINER, Praxis des öffentlichen Beschaffungsrechts, 3. Aufl. 2013, Rz. 440, 456 ff. und 713 ff.; MARTIN BEYELER, a.a.O., Rz. 2140 ff.).
3.3.2. Nach dem Dargelegten (vgl. E. 3.2) wich die ursprüngliche Offerte der Beschwerdeführerin von den Vorgaben der Vergabestelle ab. Sie war in Bezug auf Stoffhandtuchrollen mit einer Breite von 25 cm unvollständig, was gemäss § 23 Abs. 2 des Beschaffungsgesetzes einen Ausschlussgrund darstellt. Entgegen der Auffassung der Beschwerdeführerin war die Abweichung zudem keineswegs von untergeordneter Natur. Sie betraf 20 % der zu beschaffenden Handtuchrollen, was die Beschwerdeführerin selber geltend macht. Eine Differenz von 3 cm bei einer verlangten Breite der Stoffhandtuchrollen von 25 cm kann ausserdem nicht mehr als geringfügig bezeichnet werden; die Offerte wich diesbezüglich immerhin 12 % von den Dimensionen gemäss Ausschreibung ab. Hinzu kommt, dass die Vergabestelle aus nachvollziehbaren technischen Gründen nicht von einer Handtuchrollenbreite von 25 cm abrücken wollte; sie tat dies im Hinblick auf die Kompatibilität mit bereits installierten Handtuchrollenspendern. Das Festhalten der Vergabestelle an den von ihr bereits in den Ausschreibungsunterlagen als "zwingend" bezeichneten Produkteigenschaften erweist sich bei dieser Ausgangslage nicht als überspitzt formalistisch.
3.3.3. Dasselbe gilt im Hinblick auf die Nichtzulassung des Angebots vom 4. Juni 2015, das die Beschwerdeführerin erst auf zweite Rückfrage der Vergabestelle hin einreichte: Einerseits war die Eingabefrist zu jenem Zeitpunkt bereits abgelaufen, sodass die Entgegennahme dieser Offerte als separates Angebot ausgeschlossen war (vgl. § 23 Abs. 2 Beschaffungsgesetz). Andererseits nahm die Beschwerdeführerin darin auch inhaltliche Veränderungen vor, die über die Präzisierung von nachrangigen Unklarheiten hinaus ging. Jedenfalls wich das Angebot gemäss Schreiben vom 4. Juni 2015 nicht nur im fraglichen Parameter (Rollenbreite) von der ursprünglichen Eingabe ab, sondern auch hinsichtlich der Länge (40 m statt ursprünglich 35 m). Des Weiteren enthielt das Schreiben vom 4. Juni 2015 eine zusätzliche Variante, die sich in Bezug auf sämtliche massgeblichen Parameter (Breite, Länge und Preis der Stoffhandtuchrollen) vom ursprünglichen Angebot unterschied, was im Übrigen seinerseits gegen die Bedingungen der Ausschreibung verstiess, die Varianten nicht zuliessen (vgl. E. 3.1 hiervor).
Entsprechend ist es nicht zu beanstanden, wenn die Vorinstanz im Schreiben der Beschwerdeführerin vom 4. Juni 2015 eine unzulässige Modifizierung ihres Angebots erblickte. Keine willkürliche Anwendung des Gleichbehandlungs- und Transparenzgebots vermag die Beschwerdeführerin schliesslich mit ihrem Verweis auf <ref-ruling> E. 10.2 S. 48 darzutun. Die dort als zulässig betrachtete Korrektur einer Eingabesumme ging auf einen Formelfehler und die Richtigstellung einer Stückzahl zurück. Mithin handelte es sich um eine Korrektur von Rechnungsfehlern. Vorliegend nahm die Beschwerdeführerin demgegenüber massgebliche inhaltliche Änderungen am Angebot vor, was über das vergaberechtlich Zulässige hinausgeht.
3.4. Der Ausschluss der Beschwerdeführerin vom Vergabeverfahren erweist sich damit bereits aufgrund der relevanten Abweichung ihres Angebots von den Produktanforderungen als zulässig. Eine Behandlung jener Rügen, mit denen die Beschwerdeführerin das Fehlen des Eignungsnachweises bestreitet, erübrigt sich daher. Ebenso sind bei der dargelegten Rechtslage die Eventualanträge der Beschwerdeführerin abzuweisen.
4.
Im Ergebnis kann auf die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten nicht eingetreten werden. Die subsidiäre Verfassungsbeschwerde ist abzuweisen. Bei diesem Verfahrensausgang wird die Beschwerdeführerin kostenpflichtig (<ref-law>). Die Y._ SA hatte im bundesgerichtlichen Verfahren keinen nennenswerten Aufwand. Ihr ist ebenso wenig eine Parteientschädigung zuzusprechen wie der Vergabebehörde, die in ihrem amtlichen Wirkungskreis obsiegt (Art. 68 Abs. 1 und Art. 68 Abs. 3 BGG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Auf die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten wird nicht eingetreten.
2.
Die subsidiäre Verfassungsbeschwerde wird abgewiesen.
3.
Die Gerichtskosten von Fr. 2'000.-- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
4.
Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten und dem Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 16. September 2016
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Seiler
Der Gerichtsschreiber: Fellmann