Faits :
A.
A.a. A._ a été engagé par l'Hôpital B._ (aujourd'hui: Etablissement hospitalier multisite cantonal, ci-après: EHM) en qualité d'infirmier au bloc opératoire dès le 16 juillet 2001. En août 2013, la direction générale de l'EHM ainsi que sa direction logistique ont confié à une commission sécurité le mandat de "Suivi des travaux relatifs au nouveau bloc OP modulaire préfabriqué à mettre en oeuvre sur le site de B._ et coordination des activités du chantier avec celles du bloc OP". La commission sécurité était composée de dix personnes, dont A._.
A.b. Par courrier électronique du 11 décembre 2013 adressé à D._, chef du service des constructions de l'EHM et membre de la commission sécurité, A._ a indiqué qu'en tant qu'ingénieur en hygiène-sécurité-environnement, il se permettait de lui poser diverses questions au sujet de la pose, dans un local de stockage de matériel opératoire, de deux filtres servant à piéger les radio-nucléïdes et mentionnait un risque de contamination du matériel servant pour les opérations par les particules radioactives. Le 13 décembre 2013, E._, technicien-chef en médecine nucléaire, lui a répondu que tout avait été validé par l'Office fédéral de la santé publique (ci-après: OFSP).
A.c. Lors d'une séance du 16 décembre 2013, la commission sécurité a constaté que les réponses apportées par E._ ne satisfaisaient pas les utilisateurs et a en conséquence décidé d'inviter ce dernier ainsi que deux spécialistes à la prochaine séance agendée au 20 janvier 2014.
A.d. Par la suite, A._ a persisté à requérir de E._ la demande à l'OFSP (courriels des 17, 18 et 28 décembre 2013 et du 6 janvier 2014) et la réponse de cette autorité. Le 8 janvier 2014, F._ (infirmier-chef des blocs opératoires) a invité A._ à respecter les limites du mandat qui lui avait été attribué.
A.e. A._ a été informé de la confirmation de conformité des circuits de ventilation du service de médecine nucléaire aux exigences en matière de radioprotection délivrée le 13 janvier 2014 par G._, de l'OFSP.
A.f. Dans sa séance du 20 janvier 2014, la commission sécurité a décidé de déplacer en toiture le système de filtres, précisant que "cette décision, bien que subjective et probablement émotionnelle, [était] empreinte d'une plus grande acceptabilité".
A.g. Le 5 février 2014, A._ a interpellé H._ (directrice des soins), I._ (directeur général) et J._ (chargé de sécurité) et leur a transmis l'ensemble des courriels échangés avec MM. D._, E._ et F._, en mettant en cause ces deux derniers et en relevant qu'à ce jour, les conduits n'étaient toujours pas identifiés, ce qui constituait une mise en danger de la sécurité et de la santé d'autrui.
A.h. Un groupe de travail composé de G._, J._, E._ et K._ (technicienne et coordinatrice en radioprotection) s'est réuni le 11 février 2014 dans le nouveau bloc opératoire du site de B._. Il ressort de cette réunion que le dispositif de ventilation et les filtres à proximité des instruments opératoires ne représentaient pas de danger pour les utilisateurs et que l'installation était conforme aux normes applicables en la matière. A la question lui demandant si le déplacement des filtres en toiture était nécessaire pour garantir la sécurité, G._ a répondu par la négative, précisant qu'il s'agissait plus d'une décision prise pour calmer l'aspect émotionnel des utilisateurs.
A.i. Dans un courriel du 12 février 2014 adressé à J._, A._ s'en est pris à la direction de l'EHM, estimant que celle-ci "n'a[vait] rien à faire du risque éventuel de contamination sur la santé de son personnel".
A.j. Se prévalant d'une rupture de confiance à l'égard de A._, la direction des soins lui a retiré, le 14 février 2014, le mandat de suivi des travaux au bloc opératoire.
A.k. Le 4 mars 2014, A._ a écrit à G._ afin d'obtenir confirmation de la conformité des conduits et filtres de médecine nucléaire au bloc opératoire de B._. Le même jour, il s'est en outre adressé à L._, conseiller d'Etat et président du conseil d'administration de l'EHM, afin, disait-il, de lui exposer la situation de manière confidentielle.
A.l. Par décision du 12 mai 2014, la Direction de l'EHM a prononcé un avertissement à l'encontre de A._. Il lui était notamment reproché de s'être obstiné à manifester son opposition aux travaux en relation avec les installations du bloc opératoire malgré les explications qui lui avaient été fournies et les multiples confirmations de conformité, d'avoir porté un jugement plus que déplacé à l'encontre de la direction par courriel du 12 février 2014 adressé à J._ ainsi que d'avoir persisté à penser que les mesures prises n'étaient pas conformes aux dispositions réglementaires en vigueur, mettant en doute les compétences de nombreuses personnes pourtant engagées au regard de leurs compétences reconnues.
B.
A._ a saisi la Cour de droit public du Tribunal cantonal de la République et canton de Neuchâtel, concluant à l'annulation de la décision d'avertissement.
Par arrêt du 5 novembre 2015, la juridiction cantonale a rejeté le recours.
C.
Agissant par la voie du recours constitutionnel subsidiaire, A._ demande au Tribunal fédéral, sous suite de frais et dépens, d'annuler l'arrêt du Tribunal cantonal du 5 novembre 2015 ainsi que la décision d'avertissement de la Direction de l'EHM du 12 mai 2014. Il sollicite l'octroi de l'effet suspensif.
L'EHM conclut principalement à l'irrecevabilité du recours, ainsi qu'au refus de la demande d'effet suspensif. Subsidiairement, sous suite de frais et dépens, il conclut au rejet du recours.
D.
Par ordonnance du 14 mars 2016, le juge instructeur a rejeté la requête d'effet suspensif.

Considérant en droit :
1.
Le Tribunal fédéral examine d'office et librement la recevabilité des recours qui lui sont soumis (<ref-ruling> consid. 2 p. 59; <ref-ruling> consid. 1 p. 92).
2.
2.1. Selon l'art. 9 de la loi du 30 novembre 2004 sur l'Etablissement hospitalier multisite cantonal (LEHM; RSN 802.4), les rapports de travail de tout le personnel de l'EHM sont régis par une convention collective de travail de droit public (CCT Santé 21; cf. aussi arrêt 8C_672/2015 du 19 mai 2016 consid. 2.1). La cause relève donc du droit public et la voie ordinaire de recours est celle du recours en matière de droit public (<ref-law>). Cependant, en ce qui concerne les rapports de travail de droit public (et sauf s'il se rapporte à l'égalité des sexes), le recours en matière de droit public est subordonné à la double condition que la décision attaquée concerne une contestation pécuniaire et que la valeur litigieuse atteigne au moins 15'000 fr. (art. 83 let. g LTF en corrélation avec l'<ref-law>). Même lorsque la valeur litigieuse n'atteint pas le montant déterminant, le recours est recevable si la contestation soulève une question juridique de principe (<ref-law>).
2.2. En l'espèce, la décision attaquée, soit un simple avertissement, n'a pas d'incidence sur le traitement du recourant (voir les arrêts 8D_3/2015 du 7 juin 2016 consid. 3 destiné à la publication, 1D_15/2007 du 13 décembre 2007 consid. 1.3; cf. aussi FLORENCE AUBRY GIRARDIN, in Commentaire de la LTF, 2 e éd. 2014, n° 102 ad <ref-law>). L'exception prévue à l'art. 83 let. g LTF s'applique donc, et le recours constitutionnel subsidiaire est par conséquent ouvert (<ref-law>).
2.3. Le recourant a pris part à la procédure devant le Tribunal cantonal et dispose d'un intérêt juridique à obtenir l'annulation ou la modification de la décision attaquée (<ref-law>). Dirigé contre une décision finale (art. 117 et 90 LTF), rendue en dernière instance cantonale par un tribunal cantonal supérieur (art. 114 et 86 al. 1 let. d et al. 2 LTF), le recours a été déposé en temps utile (art. 117 et 100 al. 1 LTF) et dans les formes requises (<ref-law>). Il est donc recevable.
3.
Aux termes de l'art. 3.2.1 CCT Santé 21, dans sa teneur en vigueur du 1 er janvier 2013 au 31 décembre 2016, l'employé ou l'employeur peut résilier le contrat de travail moyennant le respect d'un délai variable en fonction du nombre d'années d'activité accomplies (al. 1). Selon l'art. 3.2.2, tout résiliation signifiée par l'employeur doit être précédée d'un entretien (al. 2). Si l'employeur invoque une violation des obligations incombant à l'employé, la résiliation doit avoir été précédée, en sus, d'un avertissement écrit, lequel précise les objectifs, le délai pour les réaliser et les moyens mis à disposition (al. 3, 1 ère phrase).
4.
Dans un grief d'ordre formel qu'il convient d'examiner en premier lieu, le recourant se plaint d'une violation de son droit d'être entendu; il reproche à l'instance précédente de n'avoir pas fait droit à sa requête d'audition des parties et de plusieurs témoins.
4.1. S'agissant de l'audition des parties, il y a lieu de relever d'emblée que le droit d'être entendu ne comprend pas le droit d'être entendu oralement (<ref-ruling> consid. 9.6.1 p. 76; <ref-ruling> consid. 5.3 p. 148).
4.2. Le droit d'être entendu garanti à l'art. 29 al. 2 Cst. comprend notamment celui de faire administrer les preuves, pour autant qu'elles apparaissent utiles à l'établissement des faits pertinents. L'autorité peut mettre un terme à l'instruction lorsque les preuves administrées lui ont permis de former sa conviction et que, procédant d'une manière non arbitraire à une appréciation anticipée des preuves qui lui sont encore proposées, elle a la certitude que ces dernières ne pourraient l'amener à modifier son opinion (<ref-ruling> consid. 3.3 p. 64; <ref-ruling> consid. 6.3.1 p. 299).
En l'espèce, l'instance précédente a estimé que les faits permettant d'apprécier le comportement du recourant étaient suffisamment établis par les pièces figurant au dossier. Le recourant ne le conteste pas, mais il soutient qu'il aurait été opportun d'entendre différents témoins afin de comprendre la "légitimité" de son comportement et les "raisons qui l'ont poussé à agir de la sorte". Les auditions auraient aussi permis de prendre la mesure des pressions qu'il affirme avoir subies et d'établir les véritables raisons qui auraient poussé ses interlocuteurs à déplacer les filtres litigieux.
Les critiques que le recourant forme à cet égard ne permettent toutefois pas de retenir que l'autorité cantonale aurait versé dans l'arbitraire en considérant qu'elle était suffisamment renseignée. Le dossier de la procédure est particulièrement bien étoffé. Le recourant ne fait pas état d'indices concrets qui iraient dans le sens de ses allégations. Il se borne à alléguer son point de vue selon lequel l'audition de témoins était opportune, voire nécessaire, sans toutefois établir que l'appréciation de l'autorité cantonale serait insoutenable. Le moyen soulevé n'est dès lors pas fondé.
5.
5.1.
Saisi d'un recours constitutionnel subsidiaire, le Tribunal fédéral statue sur la base des faits constatés dans la décision attaquée; il ne peut rectifier ou compléter les constatations de fait de l'autorité précédente que si les faits ont été établis en violation des droits constitutionnels (<ref-law> en corrélation avec l'<ref-law>), soit arbitrairement, ce qu'il appartient à la partie recourante d'exposer et de démontrer de manière claire et circonstanciée (art. 117 et 106 al. 2 LTF; <ref-ruling> consid. 1.3 p. 41; <ref-ruling> consid. 2.1 p. 334). Le Tribunal fédéral n'entre pas en matière sur des critiques de nature appellatoire (<ref-ruling> consid. 2.3 p. 266; <ref-ruling> consid. 10.1 p. 445). Selon la jurisprudence, il y a arbitraire dans l'appréciation des preuves et l'établissement des faits lorsque l'autorité ne prend pas en compte, sans aucune raison sérieuse, un élément de preuve propre à modifier la décision, lorsqu'elle se trompe manifestement sur son sens et sa portée, ou encore lorsque, en se fondant sur les éléments recueillis, elle en tire des constatations insoutenables (<ref-ruling> consid. 2.3 p. 266). La partie recourante qui entend s'écarter des constatations de l'autorité précédente doit expliquer de manière circonstanciée en quoi les conditions d'une exception prévue par l'<ref-law> seraient réalisées et la correction du vice susceptible d'influer sur le sort de la cause (<ref-law>). A défaut d'une telle motivation, il n'est pas possible de tenir compte d'un état de fait divergent de celui qui est contenu dans l'acte attaqué.
5.2. En résumé, les premiers juges ont retenu que le recourant avait adopté une attitude et tenu des propos inadéquats vis-à-vis de collaborateurs spécialisés, de sa hiérarchie et de la direction générale de l'EHM. Si l'on pouvait comprendre que, bénéficiant de connaissances scientifiques, il ait posé des questions alors qu'il doutait de la conformité des circuits de ventilation du service de médecine nucléaire et, partant, de la sécurité des usagers, l'ampleur et la nature de ses démarches, motivées par sa formation et ses connaissances maintes fois rappelées à son employeur en se prévalant du titre d'ingénieur, avaient outrepassé ce questionnement légitime. En particulier, la cour cantonale a relevé que malgré la décision d'inviter des spécialistes à la séance de la commission sécurité du 16 décembre 2013 afin de débattre de la conformité des filtres et d'évaluer la possibilité de déporter ces derniers en toiture, le recourant avait persisté à requérir de E._ la demande à l'OFSP et la réponse de cette autorité. Après avoir été invité à ne pas s'écarter du cadre du mandat lui ayant été confié au sein de la commission sécurité, et bien qu'il eût été informé par l'OFSP de la confirmation de conformité des installations, le recourant avait persisté dans ses démarches en interpellant des collaborateurs de la direction des soins ainsi que de la sécurité, mettant en cause D._ et E._. La juridiction cantonale a relevé qu'en dernier lieu, suite au retrait du mandat lui ayant été confié, le recourant avait contacté J._ et G._ afin d'obtenir à nouveau la confirmation de conformité des installations et s'était également adressé au conseiller d'Etat L._. Aussi, les premiers juges ont-ils considéré que la direction de l'EHM n'avait pas abusé de son pouvoir d'appréciation en donnant un avertissement au recourant au vu de son comportement décrit ci-dessus.
5.3. Le recourant se plaint à maints égards, en partie sous couvert d'une violation du droit d'être entendu (art. 29 al. 2 Cst.), de la constatation des faits par les juges cantonaux et de leur appréciation, qu'il juge arbitraire. Il se prévaut également du principe de la bonne foi.
Entre autres griefs, il reproche à la juridiction précédente de ne pas avoir fait état d'une réunion ayant eu lieu le 10 février 2014 entre lui-même et trois membres de la direction de l'EHM, au cours de laquelle il aurait subi des pressions afin qu'il cesse d'exiger le respect des règles légales en matière de sécurité. Il fait également grief aux premiers juges d'avoir omis de prendre en compte le fait que toutes ses interpellations étaient restées lettre morte et de n'avoir pas tenu compte du fait que les filtres litigieux avaient finalement été déplacés, conformément à ses recommandations, ce qui légitimait l'insistance dont il avait fait preuve. Il reproche enfin à l'autorité cantonale de ne pas avoir cherché à comprendre les raisons qui l'ont poussé à intervenir. Il fait valoir que la Direction de l'EHM a agi de manière contraire à la bonne foi en l'intégrant dans la commission sécurité "pour ses qualités techniques" puis en s'insurgeant contre le fait qu'il remette en cause le projet en soulevant les problèmes liés à la localisation des filtres litigieux. S'il admet avoir fait preuve d'un certain zèle dans les tâches lui ayant été confiées, il relève qu'il s'agissait d'un mandat oral dont les modalités n'avaient pas été définies de manière claire et que selon la Direction de l'EHM, on attendait de lui qu'il fasse l'interface entre les collaborateurs de terrain et le groupe de travail institutionnel. Par conséquent, on ne pouvait lui reprocher de s'être montré insistant pour faire respecter son droit et celui des autres collaborateurs à la protection de la vie, de la santé et de l'intégrité personnelle. Enfin, il fait valoir que s'il s'est adressé à différentes personnes pour signaler le danger que représentaient les installations litigieuses, c'est parce que les réponses données ne pouvaient pas, selon lui, être considérées comme satisfaisantes.
5.4. En l'occurrence, le recours ne contient aucune démonstration du caractère arbitraire des constatations du jugement attaqué. L'argumentation du recourant repose en partie sur de simples allégations qui ne ressortent ni du jugement attaqué, ni du dossier (s'agissant des pressions alléguées lors la réunion du 10 février 2014). En outre, il n'y a pas lieu de remettre en cause la constatation des premiers juges selon laquelle le déplacement des filtres en toiture a été réalisé pour calmer l'aspect émotionnel des utilisateurs et non pas pour garantir leur sécurité. De manière plus générale, on retient des constatations de l'autorité cantonale, qui lient le Tribunal fédéral, que le recourant avait pour tâche d'intégrer le groupe de travail dans le but d'assurer le suivi des travaux du bloc opératoire, en faisant l'interface entre les collaborateurs de "terrain" et le groupe de travail institutionnel. Comme F._ l'avait cependant rappelé au recourant, il s'agissait d'une fonction consultative et ce dernier était parfaitement au courant du rôle qu'il devait jouer au sein de la commission sécurité. Par ailleurs, on relèvera que ce n'est pas tant son questionnement à l'égard de la conformité des circuits de ventilation du service de médecine nucléaire qui est reproché au recourant mais bien plutôt l'ampleur et la nature de ses démarches, lesquelles avaient clairement outrepassé ce questionnement. Au demeurant, bien que dûment rassuré, il persistait à contester les mesures prises par son employeur.
5.5. Pour le reste, et contrairement à ce que suggère le recourant, on ne saurait qualifier d'arbitraire, que ce soit dans sa motivation ou dans son résultat, le point de vue des premiers juges selon lequel le comportement du recourant, non seulement intempestif et insistant, mais également peu respectueux, justifiait un avertissement au sens de l'art. 3.2.2 al. 3 CCT Santé 21.
6.
Vu ce qui précède, le jugement attaqué n'est pas critiquable et le recours se révèle mal fondé.
7.
Le recourant, qui succombe, supportera les frais judiciaires (<ref-law>). Bien qu'il obtienne gain de cause, l'intimé n'a pas droit à des dépens (<ref-law>).

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce :
1.
Le recours constitutionnel subsidiaire est rejeté.
2.
Les frais judiciaires, arrêtés à 1'000 fr., sont mis à la charge du recourant.
3.
Le présent arrêt est communiqué aux parties et au Tribunal cantonal de la République et canton de Neuchâtel, Cour de droit public.
Lucerne, le 24 août 2016
Au nom de la Ire Cour de droit social
du Tribunal fédéral suisse
Le Président : Maillard
La Greffière : Fretz Perrin