Sachverhalt:
A.
D._ ist Eigentümer der in der Dorfzone D, Bauzone zweiter Etappe, liegenden Parzelle Nr. "..." in Mönthal, die unter anderem mit einer ehemaligen Soldatenstube (Gebäude Nr. "...") überbaut war. Er beantragte am 30. Oktober 2014 die Erteilung einer Baubewilligung für die Errichtung eines Ersatzbaus, wogegen A. und B. C._ Einwendungen erhoben.
Der Gemeinderat Mönthal wies mit Beschluss vom 29. Juni 2015 die Einwendungen ab und erteilte die Baubewilligung unter Bedingungen und Auflagen. Die dagegen von A. und B. C._ erhobene Beschwerde hiess das Departement Bau, Verkehr und Umwelt des Kantons Aargau am 12. Oktober 2015 teilweise gut und ergänzte die Baubewilligung mit einer Auflage. Die von ihnen beim Verwaltungsgericht des Kantons Aargau eingereichte Beschwerde wies dieses mit Urteil vom 27. Mai 2016 ab, soweit es darauf eintrat.
B.
Mit als Beschwerde bezeichneter Eingabe vom 5. Juli 2016 gelangen A. und B. C._ an das Bundesgericht und beantragen, die Baubewilligung vom 29. Juni 2015 sei aufzuheben. Zudem werde vom Regierungsrat des Kantons Aargau verlangt, dass der Bauzonenplan der Gemeinde Mönthal innert kurzer Zeit überarbeitet werde.
D._ (Beschwerdegegner), der Gemeinderat und das Verwaltungsgericht schliessen auf Abweisung der Beschwerde. Das DBU hat sich nicht vernehmen lassen. Die Beschwerdeführer halten in der Replik sinngemäss an ihren Anträgen fest.

Erwägungen:
1.
1.1. Angefochten ist ein letztinstanzlicher kantonaler Endentscheid über eine Baubewilligung (Art. 82 lit. a, Art. 86 Abs. 1 lit. d BGG). Dagegen steht die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten nach Art. 82 ff. BGG offen; ein Ausschlussgrund ist nicht gegeben (Art. 83 BGG). Die Beschwerdeführer haben am vorinstanzlichen Verfahren teilgenommen und weisen als Eigentümer von direkt angrenzenden bzw. nur durch eine Strasse vom Baugrundstück getrennten Parzellen in räumlicher Hinsicht eine spezifische Beziehungsnähe zum Streitgegenstand auf, weshalb sie zur Beschwerdeführung befugt sind (Art. 89 Abs. 1 BGG). Da die übrigen Sachurteilsvoraussetzungen zu keinen Bemerkungen Anlass geben, ist auf die Beschwerde grundsätzlich einzutreten.
1.2. Die Beschwerdeführer beantragen in ihrer Rechtsschrift die Aufhebung der durch den Gemeinderat erteilten Baubewilligung für den Ersatzbau. Dabei übersehen sie aber, dass diese im Rahmen des Streitgegenstands durch das Urteil des Verwaltungsgerichts ersetzt worden ist (Devolutiveffekt); sie gilt als inhaltlich mitangefochten (<ref-ruling> E. 1.4 S. 144).
1.3. Unzulässig ist hingegen der Sachantrag, der Bauzonenplan der Gemeinde Mönthal sei innert kurzer Zeit zu überarbeiten, da er über das im angefochtenen Entscheid geregelte Rechtsverhältnis hinausgeht (Art. 99 Abs. 2 BGG; <ref-ruling> E. 3.4.2 S. 365). Streitgegenstand bildet einzig die Frage, ob die Baubewilligung für den Ersatzbau der inzwischen abgebrochenen Soldatenstube zu Recht erteilt worden ist. Auf die mit der Zonenplanrevision zusammenhängenden Vorbringen, wonach gemäss geltendem Recht Zwischenzonen unzulässig seien, zu denen die streitbetroffene wie auch eine der Parzellen der Beschwerdeführer zählten, ist nachfolgend deshalb nicht einzugehen. Ohne Beachtung bleiben müssen ferner die Ausführungen privatrechtlicher Natur, weil dafür im Baubewilligungsverfahren grundsätzlich kein Raum besteht (vgl. <ref-ruling> E. 5.2 S. 139 f.).
1.4. Die Beschwerde ist hinreichend zu begründen; andernfalls wird darauf nicht eingetreten. Gemäss Art. 42 Abs. 2 BGG ist in der Rechtsschrift in gedrängter Form darzulegen, inwiefern der angefochtene Akt Recht verletzt. Die Beschwerdeführer müssen sich wenigstens kurz mit den Erwägungen des angefochtenen Entscheids auseinandersetzen. Rein appellatorische Kritik ohne Bezug zum angefochtenen Entscheid genügt nicht. Zwar wendet das Bundesgericht das Recht grundsätzlich von Amtes wegen an (Art. 106 Abs. 1 BGG). Das setzt aber voraus, dass auf die Beschwerde überhaupt eingetreten werden kann, diese also wenigstens die Begründungsanforderungen von Art. 42 Abs. 2 BGG erfüllt. Strengere Anforderungen gelten, wenn die Verletzung von Grundrechten - einschliesslich der willkürlichen Anwendung von kantonalem oder kommunalem Recht - geltend gemacht wird. Dies prüft das Bundesgericht nur insoweit, als eine solche Rüge in der Beschwerde vorgebracht und begründet worden ist (Art. 106 Abs. 2 BGG). Das Bundesgericht prüft in diesem Sinne nur klar und detailliert erhobene und, soweit möglich, belegte Rügen (<ref-ruling> E. 2 S. 88 ff.; <ref-ruling> E. 2.1 f. S. 245 f.; je mit Hinweisen).
Die Beschwerdeführer verweisen an zahlreichen Stellen der Rechtsschrift auf ihre umfangreichen Beschwerdebeilagen, ohne darzutun, inwiefern diese Unterlagen ihre Kritik am angefochtenen Entscheid belegen sollen. Auf das Rechtsmittel kann insoweit nicht eingetreten werden. Angesichts des Verfahrensausgangs kann auch dahingestellt bleiben, ob die beigebrachten Dokumente als unzulässige Noven aus dem Recht zu weisen wären (Art. 99 Abs. 1 BGG).
2.
2.1. Die Beschwerdeführer bemängeln im Wesentlichen, bei der unterdessen widerrechtlich abgebrochenen Soldatenstube habe es sich um eine Baracke bzw. um eine Fahrnisbaute gehandelt, die keine Altbaute im Sinne von § 6 Abs. 5 der Bau- und Nutzungsordnung der Gemeinde Mönthal vom 27. November 1998 (nachfolgend: BNO) darstelle. Das Bauvorhaben sei als Neubaute zu qualifizieren, weshalb der ordentliche Grenzabstand von 4 m gegenüber der Nachbarparzelle und der Strasse eingehalten werden müsse.
Unter dem Titel "Dorfzone D" regelt § 6 Abs. 5 BNO namentlich, dass bestehende Altbauten erneuert, umgebaut, ausgebaut (Umnutzung) und angebaut werden dürften. Der Abbruch und Wiederaufbau auf dem bisherigen Grundriss mit gleicher First- und Traufhöhe ist möglich. Für Neubauten exklusive Ersatzbauten gilt unter anderem ein minimaler Grenzabstand von 4 m.
2.2. Unstreitig ist, dass der Beschwerdegegner die Soldatenstube noch während des laufenden Rechtsmittelverfahrens unrechtmässig abgebrochen hat. Das Verwaltungsgericht erwog indes, da das Gebäude im Zeitpunkt des Baugesuchs und der Erteilung der Baubewilligung noch bestanden habe, sei es möglich gewesen, zu überprüfen, ob die First- und Traufhöhe der geplanten Ersatzbaute mit jener der Altbaute übereinstimmten. Bei einer teleologischen Auslegung von § 6 Abs. 5 BNO, nach der das Dorfbild zu erhalten sei, könnten Bauten wie die vorliegende, die diese Kriterien einhielten, von den baupolizeilichen Vorschriften - im Gegensatz zu Neubauten - abweichen.
2.3. Das Bundesgericht prüft die Auslegung und Anwendung von kantonalem oder kommunalem Recht nur unter dem Gesichtspunkt der Willkür (vgl. E. 1.4 hiervor). Willkür in der Rechtsanwendung liegt vor, wenn der angefochtene Entscheid offensichtlich unhaltbar ist, mit der tatsächlichen Situation in klarem Widerspruch steht, eine Norm oder einen unumstrittenen Rechtsgrundsatz krass verletzt oder in stossender Weise dem Gerechtigkeitsgedanken zuwiderläuft; dass eine andere Lösung ebenfalls als vertretbar oder gar zutreffender erscheint, genügt nicht (<ref-ruling> E. 2.1 S. 18 f.; 167 E. 2.1 S. 168).
Die Beschwerdeführer zeigen in ihrer Rechtsschrift nicht auf, inwiefern die Begründung im angefochtenen Entscheid oder das Urteil selbst im Ergebnis rechts- bzw. verfassungswidrig sein soll. Vielmehr beschränken sie sich darauf, den bereits im kantonalen Verfahren eingenommenen Rechtsstandpunkt erneut zu bekräftigen, ohne auf die Ausführungen im angefochtenen Entscheid einzugehen. Damit vermögen sie den Begründungsanforderungen nicht zu genügen.
2.4. Das Verwaltungsgericht führte ferner aus, auch wenn die Soldatenstube bei ihrer Errichtung als Provisorium geplant gewesen sei, habe das Gebäude über 70 Jahre bestanden und zum Erscheinungsbild von Mönthal gehört, weshalb es als Altbaute gemäss § 6 Abs. 5 BNO qualifiziert werden könne. Die Beschwerdeführer räumen in ihrer Eingabe an das Bundesgericht ein, dass die Soldatenstube zweifellos nach Massgabe des damaligen Rechts rechtmässig erstellt worden sei. Sie machen aber geltend, es handle sich dabei nicht um eine Altbaute im Sinne von § 6 Abs. 5 BNO, sondern um eine Fahrnisbaute. Insofern zweifeln sie den Charakter der Soldatenstube als Baute an. Soweit sie damit überhaupt den vorerwähnten Begründungsanforderungen zu genügen vermögen, verkennen sie, dass Fahrnisbauten, die über nicht unerhebliche Zeiträume ortsfest verwendet werden, bereits von Bundesrechts wegen als (bewilligungspflichtige) Bauten gelten (<ref-ruling> E. 5.2 S. 140; <ref-ruling> E. 3 S. 259). Auch das Gesetz über Raumentwicklung und Bauwesen des Kantons Aargau (BauG/AG; SAR 713.100) zählt in § 6 Abs. 1 lit. c Fahrnisbauten wie Hütten, Buden, Baracken, Kioske, Waren- und andere Automaten, Schaukästen und dergleichen zu den Bauten und Anlagen im Sinne des Gesetzes (vgl. RALPH VAN DEN BERGH, in: Kommentar zum Baugesetz des Kantons Aargau, 2013, N. 8 zu § 6 BauG/AG). Dass vorliegend die Soldatenstube bereits seit Jahrzehnten ortsfest verwendet worden ist, stellen die Beschwerdeführer zu Recht nicht in Abrede. Die Vorinstanz ist somit nicht in Willkür verfallen, wenn sie das Gebäude als Altbaute im Sinne von § 6 Abs. 5 BNO einstufte. Insoweit durfte von der Einhaltung des Grenzabstands von 4 m für Neubauten abgesehen werden.
Soweit die Beschwerdeführer in diesem Zusammenhang vorbringen, die Soldatenstube habe nicht zum Dorfbild gehört, erschöpft sich ihr Einwand in rein appellatorischer Kritik am angefochtenen Entscheid, die nicht zu hören ist (vgl. E. 1.4 hiervor).
3.
Nach dem Ausgeführten erweist sich die Beschwerde als unbegründet. Sie ist abzuweisen, soweit darauf eingetreten werden kann. Bei diesem Verfahrensausgang tragen die Beschwerdeführer die Gerichtskosten (Art. 66 Abs. 1 und 5 BGG). Dem nicht anwaltlich vertretenen Beschwerdegegner steht praxisgemäss keine Entschädigung zu (Art. 68 Abs. 1 und 2 BGG; vgl. <ref-ruling> E. 4 S. 446).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 2'000.-- werden den Beschwerdeführern auferlegt.
3.
Es wird keine Parteientschädigung zugesprochen.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien, dem Gemeinderat Mönthal, dem Departement Bau, Verkehr und Umwelt, und dem Verwaltungsgericht des Kantons Aargau, 3. Kammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 3. November 2016
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Das präsidierende Mitglied: Merkli
Die Gerichtsschreiberin: Pedretti