Faits :
A.
A._ est titulaire d'une licence ès lettres en archéologie classique de l'Université de Genève.
En octobre 2005, il a passé avec succès les examens finaux en vue de l'obtention d'un certificat d'études supérieures à la faculté des lettres et des sciences humaines (ci-après: la faculté) de l'Université de Neuchâtel (ci-après: l'Université). L'intéressé a ensuite demandé à pouvoir transformer ce certificat en un titre de master en histoire de l'art, ce que le doyen de la faculté a accepté, à la condition que A._ accomplisse trois semestres consécutifs et rédige un mémoire. L'intéressé a donné une suite favorable à cette proposition et signé un contrat pédagogique avec son directeur de mémoire. En raison de tensions avec ce dernier, il s'est vu désigner un nouveau jury pour son mémoire de master. Le 22 mai 2008, A._ a procédé à une première soutenance, à l'issue de laquelle les membres du jury ont annoncé que son mémoire était accepté conditionnellement. Un nouveau mémoire a été déposé le 9 septembre 2008. Le 3 octobre 2008, la faculté l'a informé qu'elle lui attribuait la note de 3, constitutive d'un échec.
A la suite d'un recours interjeté par A._ contre ce prononcé, admis par le rectorat de l'Université le 3 avril 2009, le décanat de la faculté, le 23 avril 2009, a nouvellement attribué la note de 4 au mémoire de master. L'intéressé a recouru contre cette décision. Le 8 août 2011, le Tribunal administratif de la République et canton de Neuchâtel (actuellement: la Cour de droit public du Tribunal cantonal de la République et canton de Neuchâtel; ci-après: le Tribunal cantonal) a admis le recours, renvoyé la cause à la faculté et ordonné que le travail de l'intéressé soit évalué par un nouveau jury.
B.
Le 19 avril 2010, durant la procédure de recours précitée devant le Tribunal cantonal, A._ a demandé au rectorat de l'Université le paiement d'un montant de 131'600 fr. afin de l'indemniser pour une perte de salaire, des frais juridiques, des frais administratifs et un tort moral. Le rectorat a rejeté cette demande le 24 juin 2010. Le 19 octobre 2010, l'intéressé, s'estimant victime d'actes illicites, notamment par le fait de n'avoir pu soutenir son mémoire de master qu'en mai 2006 et d'avoir été victime de mobbing, a saisi le Tribunal cantonal d'une action de droit administratif à l'encontre de l'Université et demandé le versement de 132'400 fr. Parallèlement à cette action, A._ a déposé des plaintes pénales à l'encontre de la doyenne de la faculté, des membres du jury et de son ancien directeur de mémoire pour des propos tenus lors d'échanges de courriers électroniques. Le 13 mai 2013, la Cour pénale du Tribunal cantonal de la République et canton de Neuchâtel a reconnu l'ancien directeur de mémoire de l'intéressé coupable de diffamation.
Le 8 octobre 2013, A._, reprochant à l'Université le retard dans la délivrance du certificat d'études supérieures en histoire de l'art, a demandé à celle-ci le paiement de 647'400 fr. à titre de perte de salaire, 21'000 fr. de frais juridiques, 400 fr. de frais administratifs et 7'000 fr. de tort moral. Le rectorat a rejeté la demande le 17 décembre 2013. Le 7 avril 2014, l'intéressé a saisi le Tribunal cantonal d'une nouvelle action de droit administratif à l'encontre de l'Université et demandé le versement d'un montant de 659'400 fr.
Finalement, le 29 avril 2014, A._ a exigé de l'Université qu'elle lui verse un montant total de 7'678 fr. 85. Le 13 mai 2014, il a saisi le Tribunal cantonal d'une troisième demande.
Après avoir joint les trois procédures, le Tribunal cantonal, par arrêt du 27 novembre 2015, a partiellement admis la demande du 19 octobre 2010 et condamné l'Université à verser 1'500 fr. à A._ pour tort moral. Il a rejeté les deux autres demandes dans la mesure de leur recevabilité.
C.
Agissant par la voie du recours en matière de droit public et celle, subsidiaire, du recours constitutionnel, A._ demande en substance au Tribunal fédéral, sous suite de frais et dépens, outre l'assistance judiciaire, d'annuler partiellement l'arrêt du 27 novembre 2015 du Tribunal cantonal et d'admettre l'entier de deux de ses demandes, soit celles des 19 octobre 2010 et 7 avril 2014; subsidiairement, il conclut à une admission partielle des demandes précitées et à l'octroi d'un montant à déterminer; plus subsidiairement, il requiert le renvoi de la cause au Tribunal cantonal pour instruction complémentaire et nouvelle décision dans le sens des considérants. Il se plaint d'arbitraire dans l'application du droit cantonal et de violation du droit fédéral.
Le Tribunal cantonal et l'Université concluent tous deux au rejet du recours. Dans des observations finales, A._ a confirmé ses conclusions.

Considérant en droit :
1.
Le litige porte sur la responsabilité de l'Université de Neuchâtel, établissement de droit public cantonal (cf. art. 1 al. 1 de la loi neuchâteloise du 5 novembre 2002 sur l'Université [LU/NE; RSN 416.10]), à l'égard du recourant en vertu de la loi neuchâteloise du 26 juin 1989 sur la responsabilité des collectivités publiques et de leurs agents (LResp/NE; RSN 150.10). Il relève donc du droit public et l'arrêt attaqué, ne tombant pas sous le coup de l'une des exceptions prévues à l'<ref-law>, peut en principe faire l'objet d'un recours en matière de droit public au Tribunal fédéral (cf. <ref-law>). L'arrêt entrepris, qui déboute le demandeur de son action en responsabilité, est une décision finale rendue par un tribunal supérieur statuant en dernière instance cantonale (cf. art. 86 al. 1 let. d et al. 2 LTF et <ref-law>). Le recourant est légitimé à agir sur la base de l'<ref-law>. Déposé en temps utile (cf. <ref-law>) et dans les formes requises (cf. <ref-law>), le recours en matière de droit public est également recevable au regard de l'<ref-law>, dès lors que la valeur limite de 30'000 fr. exigée dans le domaine de la responsabilité étatique est largement dépassée. Le recours constitutionnel subsidiaire est par conséquent irrecevable (<ref-law> a contrario).
2.
2.1. Le Tribunal fédéral examine librement la violation du droit fédéral (cf. art. 95 let. a et 106 al. 1 LTF). Cependant, il ne connaît de la violation de droits fondamentaux que si un tel grief a été invoqué et motivé par le recourant, selon le principe d'allégation (<ref-law>; <ref-ruling> consid. 3.3 p. 310 s.; <ref-ruling> consid. 3.2 p. 88). En outre, sauf dans les cas cités expressément à l'<ref-law>, le recours devant le Tribunal fédéral ne peut pas être formé pour violation du droit cantonal en tant que tel. Néanmoins, il est possible de faire valoir que la mauvaise application du droit cantonal ou communal constitue une violation du droit fédéral, en particulier qu'elle est arbitraire au sens de l'art. 9 Cst. ou contraire à d'autres droits constitutionnels. Le Tribunal fédéral n'examine toutefois le moyen tiré de la violation d'une norme de rang constitutionnel que si le grief a été invoqué et motivé de manière précise (<ref-law>).
2.2. Une décision est arbitraire (art. 9 Cst.) lorsqu'elle contredit clairement la situation de fait, qu'elle viole gravement une norme ou un principe juridique clair et indiscuté ou qu'elle heurte d'une manière choquante le sentiment de la justice et de l'équité. Il n'y a pas arbitraire du seul fait qu'une solution autre que celle de l'autorité cantonale semble concevable, voire préférable (<ref-ruling> consid. 2.1 p. 211). Pour qu'une décision soit annulée pour cause d'arbitraire, il ne suffit pas que sa motivation soit insoutenable; il faut encore que cette décision soit arbitraire dans son résultat (<ref-ruling> consid. 2.4 p. 5 et les références citées).
3.
Dans un premier grief, le recourant, citant l'<ref-law>, invoque un établissement inexact des faits par le Tribunal cantonal.
3.1. Le Tribunal fédéral statue sur la base des faits établis par l'autorité précédente (cf. <ref-law>; <ref-ruling> consid. 4.4.3 p. 156 s.), sous réserve des cas prévus à l'<ref-law>. Le recourant ne peut critiquer les constatations de fait ressortant de la décision attaquée que si celles-ci ont été effectuées en violation du droit au sens de l'<ref-law> ou de manière manifestement inexacte, c'est-à-dire arbitraire (<ref-ruling> consid. 2.4 p. 313 s.), et si la correction du vice est susceptible d'influer sur le sort de la cause (<ref-law>; <ref-ruling> consid. 4.2 p. 233 s.). Conformément à l'<ref-law>, le recourant doit expliquer de manière circonstanciée en quoi ces conditions seraient réalisées. Les faits et les critiques invoqués de manière appellatoire sont irrecevables (<ref-ruling> consid. 5.1 p. 356). Par ailleurs, aucun fait nouveau ni preuve nouvelle ne peut en principe être présenté devant le Tribunal de céans (<ref-law>).
3.2. En l'occurrence, le recourant, après avoir énuméré quinze situations de fait qu'il estime importantes, mentionne que six d'entre elles ne figurent pas dans le jugement attaqué.
3.2.1. Il relève que son certificat d'études supérieures ne lui a été délivré en bonne et due forme qu'en octobre 2012, soit sept ans après avoir réussi ses examens. Or, l'autorité précédente a expressément constaté ce fait dans son arrêt. Il en va de même en tant que le recourant explique avoir été victime de dysfonctionnements au sein de la faculté et dans la mesure où il démontre que son ancien directeur de mémoire, après avoir pourtant été écarté du jury de son mémoire de master par la faculté, a continué d'intervenir dans les discussions des professeurs relatives à son évaluation, la plupart du temps en sa défaveur. Finalement, il estime que le fait de ne disposer que d'une attestation et non d'un diplôme en bonne et due forme est un désavantage sur un marché du travail concurrentiel. Par cette affirmation, on ne voit pas en quoi l'autorité précédente n'aurait pas établi un fait. Au contraire, elle a parlé de cette problématique et a jugé que le recourant n'avait pas démontré avoir subi un désavantage. Dans la mesure où il considère encore que les exigences posées afin d'obtenir l'équivalence master pour son certificat d'études supérieures seraient devenues illicites, il s'agit-là d'une question de droit et non de fait.
3.2.2. Par contre, il faut reconnaître que l'autorité précédente n'a pas fait cas du poème moqueur, pastichant le nom du recourant, rédigé par l'un des membres du jury et transmis par courrier électronique à plusieurs de ses collègues. On doit également relever que l'arrêt entrepris ne fait pas mention d'un article de journal traitant de divers dysfonctionnements au sein de l'Université et dans lequel la rectrice a annoncé qu'elle entendait améliorer les procédures en vigueur, notamment en matière de gestion de conflits.
3.3. On retiendra en premier lieu que les comportements des membres du jury, de la doyenne de la faculté et de l'ancien directeur de mémoire du recourant, avérés, sont inadmissibles au sein d'un établissement académique tel que l'Université. Le comportement de certains professeurs de cette institution, quel qu'ait été celui de recourant, n'est en aucune façon excusable, ni digne de leur fonction. Toutefois, même s'il faut admettre que certains faits, dépeignant négativement le fonctionnement de l'Université, n'ont effectivement pas été pris en compte par le Tribunal cantonal (cf. consid. 3.2.2 ci-dessus), cela ne signifie pas encore que ces faits ont une incidence sur l'issue de la présente cause. Comme on le verra dans les considérants qui suivent, cela n'est pas le cas. En outre, les autres faits mentionnés par le recourant (cf. consid. 3.2.1 ci-dessus), contrairement à ce qu'il affirme, on été pris en compte par le Tribunal cantonal. Pour les raisons qui précèdent, le grief d'établissement inexact des faits doit donc être écarté.
4.
4.1. En droit neuchâtelois, comme en droit fédéral d'ailleurs (cf. arrêt 2C_397/2012 du 19 novembre 2012 consid. 3.3 et les références citées), la responsabilité de l'Etat est engagée lorsque la preuve d'un dommage se trouvant dans un rapport de causalité adéquate avec un acte illicite commis par une autorité, un magistrat ou un fonctionnaire est apportée par le tiers lésé. Celui-ci n'a pas besoin d'établir l'existence d'une faute (cf. art. 5 al. 1 LResp/NE). La collectivité ne répond pas des dommages résultant de décisions ou de jugements ayant acquis force de chose jugée (art. 5 al. 2 LResp/NE). Les décisions et jugements modifiés après recours n'entraînent la responsabilité de la collectivité publique que s'ils sont arbitraires (art. 5 al. 3 LResp/NE). Aux conditions prévues par le droit des obligations en matière d'actes illicites, une indemnité équitable peut en outre être allouée, en cas de faute de l'agent, à titre de réparation morale (art. 6 LResp/NE). Dans ce dernier cas de figure, les <ref-law> sont donc applicables à titre de droit cantonal supplétif.
4.2. L'autorité précédente a exposé le droit applicable et la jurisprudence cantonale (reprenant la jurisprudence fédérale) relative à la condition de l'illicéité (cf. <ref-ruling> consid. 4.1 p. 317 s. et les références citées), à la définition du dommage (cf. <ref-ruling> consid. 4a p. 75 s.; 403 consid. 4a p. 404 s.; <ref-ruling> consid. 11a p. 393 s.) et à la preuve de celui-ci (cf. <ref-ruling> consid. 3a p. 221 s.), aux liens de causalité naturelle et adéquate (cf. <ref-ruling> consid. 7a p. 357), ainsi qu'aux indemnités équitables allouées en cas de faute d'un agent (cf. <ref-law>) de façon correcte et détaillée, de sorte qu'il y est renvoyé.
4.3. Le Tribunal cantonal a traité les trois demandes séparément. Le recourant ayant retenu des griefs à l'encontre du rejet (partiel) de deux de ces demandes (celles des 19 octobre 2010 et 7 avril 2014), il convient de suivre cette structure. En tant que le recourant ne conteste pas l'arrêt entrepris dans la mesure où celui-ci rejette la demande déposée le 13 mai 2014, il n'en sera pas traité en l'espèce car hors objet du litige (cf. <ref-ruling> consid. 4.4.2 p. 156).
5.
Le Tribunal cantonal a en premier lieu traité l'action du 19 octobre 2010. Le recourant reproche à celui-ci d'avoir arbitrairement appliqué les art. 5 et 6 LResp/NE et d'avoir violé son droit d'être entendu, l'égalité de traitement, le principe de la bonne foi, ainsi que le principe de célérité.
5.1. Le litige porte ici sur le point de savoir si le recourant peut prétendre à un montant 132'400 fr. de la part de l'Université en raison du retard pris dans ses études, notamment dans la soutenance de son mémoire de master, et du fait qu'il n'a pas pu donner suite à une offre d'emploi en juin 2008. Il prétend également avoir été victime de mobbing. Il soutient que l'Université, en ne suivant pas sa réglementation et en rendant des décisions arbitraires, a commis des actes illicites.
5.2. Il ressort des faits retenus par l'autorité précédente qu'après avoir obtenu un certificat d'études supérieures en histoire de l'art à la faculté, le recourant a poursuivi ses études auprès de celle-ci en octobre 2006, en vue d'obtenir un master en histoire de l'art. Selon le règlement d'acquisition de la Maîtrise universitaire en lettres et sciences humaines pour les titulaires d'une licence ès lettres et sciences humaines ou d'un titre jugé équivalent du 15 mars 2006 (ci-après: le règlement d'acquisition) et le contrat pédagogique conclu avec le directeur de mémoire, il était tenu d'accomplir trois semestres consécutifs, pendant lesquels il devait rédiger un mémoire. Il a soutenu une première fois son mémoire en mai 2008, qui n'a pas été accepté, et le nouveau travail déposé en septembre 2008 a été sanctionné d'une note insuffisante, occasionnant un échec. Après avoir obtenu, à la suite d'un recours, la possibilité de voir son mémoire réévalué, il s'est finalement vu attribuer la note suffisante de 4 en avril 2009 (note qu'il a au demeurant contestée avec succès par la suite).
5.3. Le recourant invoque en premier lieu une application arbitraire de l'art. 5 al. 1 et 3 LResp/NE par le Tribunal cantonal.
5.3.1. Le Tribunal cantonal a limité son examen à la question de l'illicéité. Il a ainsi d'abord rappelé que, dans le cas d'un dommage patrimonial tel que celui avancé par le recourant, l'illicéité suppose que l'auteur ait violé une norme de comportement ayant pour but de protéger le bien juridique en cause (cf. <ref-ruling> consid. 3.2 p. 534 et les références citées). Sur cette base, il a constaté que le programme d'études prévoit une durée maximale de trois semestres et que si ce programme avait été respecté, le recourant aurait pu achever ses études en janvier 2008. Toutefois, c'est sans arbitraire qu'il a ensuite jugé que les dispositions du règlement d'études et du contrat pédagogique (dont la clause principale se limite à constater l'engagement du recourant à satisfaire aux exigences du plan d'études) ne constituent pas des normes de comportement adressées au corps professoral dans le but de protéger l'intérêt patrimonial des étudiants. Partant, c'est de manière pleinement soutenable qu'il a conclu que le fait de ne pas respecter ces normes n'était pas constitutif d'un acte illicite fondant une responsabilité de l'Université. On ajoutera que, contrairement à ce qu'il semble penser, le recourant ne pouvait prétendre d'emblée à la remise du master, ce titre n'étant pas équivalant à un certificat d'études supérieures, mais à une licence. L'invocation des Directives du Conseil des Rectorats du Triangle AZUR sur les attestations d'équivalence entre les diplômes/licences et les diplômes de master ne lui est d'aucune utilité en l'espèce.
5.3.2. Le Tribunal cantonal a ensuite relevé que les différents organes de l'Université ont rendu des décisions les 3 octobre 2008 (attribution de la note 3 au mémoire de master) et 23 avril 2009 (attribution de la note 4 au mémoire de master) qui étaient entachées de vices de procédure, ce qui a été constaté par le rectorat de l'Université, respectivement par le Tribunal cantonal. En l'occurrence, même si la motivation de l'autorité précédente relative à l'art. 5 al. 3 LResp/NE peut sembler relativement succincte en retenant que " la violation des règles de procédure relevées par le rectorat puis la Cour de céans ne suffisent pas à conclure que les décisions étaient manifestement insoutenables ", force est de constater que le recourant ne motive pas à suffisance son grief d'arbitraire (cf. <ref-law>). Il se contente de mentionner que les deux décisions ont été prises par la mauvaise autorité, ce qui doit constituer un cas si grave de vice de procédure que la nullité " peut être " retenue " selon les circonstances ". Or, il n'explique pas à suffisance en quoi, en l'espèce, la motivation de l'autorité précédente devrait être considérée comme étant arbitraire, respectivement en quoi les éventuels graves vices seraient constitutifs d'arbitraire. Au demeurant, en expliquant que la nullité peut être retenue selon les circonstances, le recourant avoue indirectement qu'il n'est pas arbitraire de considérer ces décisions comme n'étant elles-mêmes pas arbitraires.
5.3.3. Sur le vu de ce qui précède, c'est de manière pleinement soutenable que l'autorité précédente a retenu qu'aucun acte illicite ne pouvait être retenu à l'encontre de l'Université, malgré le comportement fortement inadéquat de certains membres de cette institution, et a renoncé à examiner les autres conditions d'application de l'art. 5 LResp/NE.
5.4. Le recourant fait ensuite valoir une application arbitraire de l'art. 6 LResp/NE.
Le Tribunal cantonal a reconnu au recourant le droit à une indemnité de 1'500 fr. pour tort moral en raison des atteintes à la personnalité dont il a été victime, son ancien directeur de mémoire ayant été reconnu coupable de diffamation envers lui et la doyenne ayant également attenté à son honneur. Le recourant estime que c'est arbitrairement que la juridiction cantonale a fixé le montant de l'indemnité pour tort moral lié au mobbing et aux attitudes des professeurs concernés à 1'500 fr. Il réclame un montant de 15'000 fr. Même s'il faut reconnaître, à l'instar du Tribunal cantonal, que le comportement global du directeur de mémoire n'a pas uniquement été dicté par des considérations étrangères au débat académique, celui-ci illustrant ses critiques sur le travail du recourant par des exemples précis et relevant le manque de rigueur scientifique du travail de l'étudiant, il faut toutefois relever que la persévérance avec laquelle cet académicien est systématiquement intervenu en défaveur du recourant n'est guère admissible. Elle l'est d'autant moins qu'il a continué d'intervenir après avoir été démis de sa fonction de directeur de master. Toutefois, l'autorité précédente a justement relevé à ce propos que le directeur de mémoire et la doyenne ont tenu un discours qui sortait du cadre académique et ont notamment attenté à l'honneur du recourant lors d'un échange de courriers électroniques entre professeurs. Dans ces conditions, compte tenu des circonstances et du cercle de diffusion relativement restreint, c'est sans arbitraire que le Tribunal cantonal a arrêté un montant de 1'500 fr. d'indemnité pour tort moral. Un tel montant est par ailleurs conforme à la jurisprudence relative aux indemnités pour tort moral octroyées lors d'atteintes à la personnalité (cf. arrêt 2C.2/2000 du 4 avril 2003 consid. 4.8 et les références citées). De plus, même s'il fallait admettre un harcèlement psychologique envers le recourant, il ne serait pas non plus arbitraire de retenir globalement le montant de 1'500 fr. (cf. arrêt 2C.2/2000 du 4 avril 2003 consid. 4.8 et les références citées). Il ne saurait donc être question d'application arbitraire de l'art. 6 LResp/NE en l'espèce.
5.5. Dans la mesure où le recourant fait encore valoir une violation de son droit d'être entendu, ainsi que des principes de la bonne foi (art. 9 Cst.), de l'égalité de traitement (art. 8 al. 1 Cst.) et de célérité (art. 29 al. 1 Cst.), il ne saurait être suivi. En effet, ces griefs ne sont pas motivés à suffisance (<ref-law>). Même si le comportement de certains professeurs laisse fortement à désirer, il n'est pas question de violation du principe de la bonne foi, dès lors que le recourant, pour motiver son grief, fait référence à sa motivation relative à l'art. 5 LResp/NE. Il part faussement du principe que l'Université a commis des actes illicites, en ce sens qu'elle aurait contrevenu à des normes destinées à protéger le patrimoine. Or, comme on l'a vu précédemment (cf. consid. 5.3 ci-dessus), cela n'est pas le cas. Il en va de même quant à la prétendue violation du principe de l'égalité de traitement. En expliquant qu'aucun " étudiant n'a jamais été traité de la sorte, à la connaissance du recourant ", celui-ci ne motive pas à suffisance son grief. C'est même de manière purement appellatoire qu'il continue en expliquant que " pour aucun d'entre eux (des étudiants), cependant, les retards n'ont pris des proportions pareilles et la réaction du corps professoral n'a été aussi violente, les dégâts aussi importants ". Finalement, il invoque le principe de célérité et cite l'art. 6 par. 1 CEDH en expliquant que cette disposition s'applique aux actions en responsabilité contre les collectivités. S'il faut reconnaître que l'art. 6 par. 1 CEDH s'applique effectivement aux procédures de responsabilité étatique (cf. <ref-ruling> consid. 2.1 p. 332 s.), on ne voit pas en quoi la présente procédure aurait contrevenu au principe de célérité. Elle a certes été introduite en 2010. Il ressort de l'arrêt entrepris qu'elle a toutefois été suspendue en raison de la procédure pénale, puis des pourparlers engagés entre les parties, et qu'elle n'a été reprise qu'en mai 2015. Le recourant ne démontre nullement s'être opposé à cette suspension. Dans ces conditions, il ne saurait être question de violation du principe de célérité.
5.6. En définitive, c'est sans arbitraire dans l'application du droit cantonal et sans violer le droit fédéral que le Tribunal cantonal a partiellement admis l'action du 19 octobre 2010 et octroyé au recourant un montant de 1'500 fr. à titre de réparation du tort moral. La prise en compte des faits, tels qu'exposés par le recourant, n'y change rien. Le recours, en tant qu'il porte sur cette action doit par conséquent être rejeté.
6.
Le Tribunal cantonal a ensuite traité l'action du 7 avril 2014. Il l'a déclarée irrecevable et ajouté qu'elle devrait de toute façon être rejetée. Le recourant reproche à celui-ci d'avoir arbitrairement appliqué les art. 5 et 10 LResp/NE, ainsi que les <ref-law> et 70 LU/NE et d'avoir violé son droit d'être entendu, ainsi que les principes d'égalité de traitement, de la bonne foi et de célérité.
6.1. L'art. 10 LResp/NE prévoit que la responsabilité de la collectivité publique s'éteint si le lésé ne présente pas sa demande d'indemnisation, conformément à l'art. 11 LResp/NE, dans l'année à compter du jour où il a eu connaissance du dommage et de la collectivité publique qui en est responsable, en tout cas dans les dix ans dès le jour où le fait dommageable s'est produit. L'autorité précédente a expliqué en substance qu'en application de l'<ref-law>, par renvoi de l'art. 3 LResp/NE qui prévoit l'application du droit privé fédéral à titre de droit cantonal supplétif, le créancier connaît suffisamment le dommage lorsqu'il apprend, touchant son existence, sa nature et ses éléments, les circonstances propres à fonder et à motiver une demande en justice (<ref-ruling> consid. 3.1.1 p. 68; arrêt 4A_689/2015 du 16 juin 2016 consid. 3.1).
6.2. Il ressort de l'arrêt entrepris que le recourant a obtenu en octobre 2005 le certificat d'études supérieures en histoire de l'art à la faculté. Il a reçu deux documents, les 5 et 13 juillet 2006, qui attestent qu'il a terminé avec succès ce certificat. Il n'a toutefois pas reçu de diplôme en bonne et due forme avant octobre 2012. Le Tribunal cantonal a jugé que le recourant, dans la version la plus favorable, devait au plus tard s'être " rendu compte avoir été victime d'un nouvel éventuel acte illicite de (l'Université) le 30 novembre 2011(...) ", date à laquelle il a allégué avoir compris qu'il avait le droit de se voir délivrer un certificat en bonne et due forme. L'autorité précédente a ainsi retenu " qu'à ce moment-là, il était non seulement en mesure de circonscrire le dommage passé et futur tel qu'il l'a lui-même défini, mais encore de déterminer si les autres conditions permettant de mettre en cause la responsabilité de (l'Université) étaient réunies ".
Le recourant estime que ce raisonnement tombe à faux, l'Université ayant soutenu qu'elle ne pouvait pas délivrer deux titres pour des études similaires. Selon lui, cette position de l'Université l'aurait conduit à attendre de bonne foi la délivrance de l'équivalence master sans être conscient de son droit à réclamer également le certificat d'études supérieures. Or, dans la mesure où, selon les faits retenus par l'autorité précédente et non contestés par le recourant, celui-ci a lui-même reconnu avoir compris qu'il avait droit à se voir délivrer un certificat en bonne et due forme le 30 novembre 2011, il est pleinement soutenable de retenir cette date comme point de départ du délai de l'art. 10 LResp/NE. Ses explications ne permettent pas d'arriver à une autre conclusion. En effet, si l'Université a soutenu qu'elle n'allait pas délivrer deux titres, il aurait dû dès le début se rendre compte qu'il n'allait pas se faire remettre son certificat. De plus, l'équivalence master ne pouvait lui être remise qu'après qu'il ait obtenu une note suffisante à son mémoire, ce qui n'est pas encore le cas. Dans ces conditions, c'est sans arbitraire que le Tribunal cantonal a déclaré irrecevable l'action du 7 avril 2014, en application de l'art. 10 LResp/NE et la jurisprudence développée en relation avec l'<ref-law> appliqué à titre de droit cantonal supplétif. Ici également, les faits, tels que présentés par le recourant, n'ont pas d'incidence sur cette issue.
6.3. Partant, il n'y a pas à examiner si c'est sans arbitraire et en respectant le droit constitutionnel que l'autorité précédente a également rejeté l'action du 7 avril 2014.
7.
Les considérants qui précèdent conduisent au rejet du recours en matière de droit public. Le recours étant d'emblée dénué de chances de succès, la requête d'assistance judiciaire est rejetée (<ref-law>). Succombant, le recourant doit supporter les frais judiciaires, lesquels seront réduits eu égard à sa situation économique (<ref-law>). Il n'est pas octroyé de dépens (art. 68 al. 1 et 3 LTF).

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce :
1.
Le recours en matière de droit public est rejeté.
2.
Le recours constitutionnel subsidiaire est irrecevable.
3.
La demande d'assistance judiciaire est rejetée.
4.
Les frais judiciaires, arrêtés à 1'000 fr., sont mis à la charge du recourant.
5.
Le présent arrêt est communiqué aux mandataires du recourant et de l'intimée, ainsi qu'au Tribunal cantonal de la République et canton de Neuchâtel, Cour de droit public.
Lausanne, le 27 mars 2017
Au nom de la IIe Cour de droit public
du Tribunal fédéral suisse
Le Président : Seiler
Le Greffier : Tissot-Daguette