Erwägungen:
1.
Der 1984 geborene brasilianische Staatsangehörige A.A._ heiratete am 12. März 2010 in seiner Heimat eine spanische Staatsangehörige. In der Folge lebte das Paar in Spanien, wo am 8. September 2012 der gemeinsame Sohn B.A._ zur Welt kam. Am 20. Februar 2013 reisten die Ehegatten ohne ihren in Spanien bei den Grosseltern zurückgelassenen Sohn in die Schweiz ein. A.A._ erhielt eine bis zum 28. Februar 2018 befristete Aufenthaltsbewilligung EU/EFTA zum Verbleib bei seiner hier anwesenheitsberechtigten Ehefrau. Am 19. April 2013 trennten sich die Ehegatten. Die Ehe wurde am 27. März 2014 in Spanien geschieden. Die Gattin weilte vom 7. November 2014 bis zum 15. Februar 2015 zusammen mit dem Sohn in der Schweiz, um alsdann wieder nach Spanien zu ziehen, wo sie sich nach für das Bundesgericht verbindlicher Feststellung der Vorinstanz (vgl. Art. 105 Abs. 1 und 2 bzw. <ref-law>) mit dem Sohn auch aktuell aufhält. A.A._ pflegt heute eine Beziehung zu einer in der Schweiz wohnhaften Mazedonierin; ein Ehevorbereitungsverfahren ist im Gang, das vorerst wegen der noch fehlenden Anerkennung des spanischen Scheidungsurteils durch Brasilien (ein entsprechendes Verfahren ist dort am 30. November 2015 eingeleitet worden) blockiert ist. Die neue Partnerin von A.A._ scheint auf den Herbst 2016 ein gemeinsames Kind zu erwarten.
Am 6. Januar 2014 widerrief die Einwohnergemeinde Bern die Aufenthaltsbewilligung von A.A._ und verfügte seine Wegweisung. Eine Beschwerde an die Polizei- und Militärdirektion des Kantons Bern blieb erfolglos. Mit Urteil vom 11. April 2016 wies das Verwaltungsgericht des Kantons Bern die gegen den Beschwerdeentscheid der Direktion vom 26. Mai 2015 erhobene Beschwerde ab. Es bestätigte den Widerruf der Aufenthaltsbewilligung EU/EFTA. Es überwies die Akten an das Amt für Migration und Personenstand (Migrationsdienst) des Kantons Bern, damit dieses prüfe, ob dem Betroffenen im Hinblick auf die beabsichtigte Eheschliessung eine Kurzaufenthaltsbewilligung erteilt werden könne.
Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten vom 11. Mai 2016 beantragt A.A._ dem Bundesgericht, das Urteil des Verwaltungsgerichts sei aufzuheben und seine Aufenthaltsbewilligung sei nicht zu widerrufen; eventualiter sei die Sache zur neuen Beurteilung im Sinne der Erwägungen an die Vorinstanz zurückzuweisen.
Mit dem vorliegenden instanzabschliessenden Urteil wird das Gesuch um aufschiebende Wirkung gegenstandslos.
2.
2.1. Der Beschwerdeführer thematisiert die Frage einer allfälligen Bewilligungserteilung gestützt auf die geplante Heirat mit seiner neuen Lebenspartnerin und die Art und Weise der Erledigung dieses Streitpunkts durch das Verwaltungsgericht (Überweisung der Sache an die kantonale Ausländerrechtsbehörde zwecks weiterer Prüfung) nicht (dazu E. 5 des angefochtenen Urteils). Streitig vor Bundesgericht ist einzig der Widerruf der auf der geschiedenen Ehe mit einer Spanierin beruhenden Aufenthaltsbewilligung EU/EFTA.
2.2. Das Verwaltungsgericht erläutert zunächst, warum der Beschwerdeführer, obwohl er mit einer Spanierin verheiratet war und sein Sohn, den er mit ihr hat, keine Bewilligung nach dem FZA beanspruchen kann (E. 2). Sodann befasst es sich ausgiebig mit der Frage einer Bewilligungserteilung nach Art. 50 Abs. 1 lit. a AuG (Erfordernis des dreijährigen Bestands der Ehegemeinschaft nicht erfüllt) sowie Art. 50 Abs. 1 lit. b und Art. 8 EMRK (namentlich Auslandaufenthalt des Sohns); dabei bestätigt es den Bewilligungswiderruf im Lichte dieser Normen (E. 3). Es erwähnt auch die Möglichkeit der ermessensweisen Bewilligung des Aufenthalts und stellt fest, dass und warum die Verweigerung einer solchen nicht zu beanstanden sei (E. 4); ohnehin stünde diesbezüglich die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten nicht zur Verfügung (<ref-law>). Seine Erwägungen fasst das Verwaltungsgericht in E. 6 des Urteils zusammen. Diese Erwägungen lassen sich nicht beanstanden; das massgebliche Recht wird zutreffend dargestellt und in korrekter Weise auf die tatsächlichen Verhältnisse des Beschwerdeführers angewendet. Es kann vollumfänglich auf das angefochtene Urteil verwiesen werden (vgl. <ref-law>). Die Vorbringen des Beschwerdeführers geben in keinerlei Hinsicht Anlass zu ergänzenden Erwägungen.
2.3. Die offensichtlich unbegründete Beschwerde ist im Verfahren nach <ref-law> abzuweisen.
2.4. Die Gerichtskosten (<ref-law>) sind entsprechend dem Verfahrensausgang dem Beschwerdeführer aufzuerlegen (Art. 66 Abs. 1 erster Satz BGG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 1'500.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten, dem Verwaltungsgericht des Kantons Bern, dem Staatssekretariat für Migration und - zur Kenntnisnahme - dem Amt für Migration und Personenstand des Kantons Bern schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 17. Mai 2016
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Das präsidierende Mitglied: Zünd
Der Gerichtsschreiber: Feller