Sachverhalt:
A.
Die Staatsanwaltschaft Muri-Bremgarten führt gegen A._ ein Strafverfahren wegen Tätlichkeiten, Beschimpfung und Drohung zum Nachteil von B._ (Dossier 1), übler Nachrede, Verleumdung und Beschimpfung zum Nachteil von C._ (Dossier 2), Diebstahl zum Nachteil von D._ (Dossier 3), geringfügiger Sachbeschädigung und Beschimpfung zum Nachteil von E.E._ und F.E._ (Dossier 4) sowie wegen Widerhandlung gegen das Waffengesetz (Dossier 5). Am 11. November 2014 stellte A._ bei der Staatsanwaltschaft ein Gesuch um amtliche Verteidigung. Dieses erneuerte er am 11. November 2015. Mit Schreiben vom 10. Dezember 2015 stellte ihm die Staatsanwaltschaft die Einstellung des Strafverfahrens in Bezug auf das Dossier 2 (mit Ausnahme der üblen Nachrede), das Dossier 3 und das Dossier 5 in Aussicht. Zudem forderte sie ihn auf, Unterlagen zu seinen finanziellen Verhältnissen einzureichen. Nachdem A._ mit Eingabe vom 23. Dezember 2015 entsprechende Belege eingereicht hatte, wies sie das Gesuch mit Verfügung vom 6. Januar 2016 ab. Zur Begründung führte sie im Wesentlichen aus, angesichts der Geringfügigkeit der Tatvorwürfe liege ein Bagatellfall vor, dies unbesehen davon, ob man auf den Zeitpunkt des ersten oder des zweiten Gesuchs abstelle. Zudem sei A._ dem Verfahren auch ohne Verteidigung gewachsen. Offen bleiben könne, ob er über die erforderlichen Mittel verfüge.
Dagegen erhob A._ Beschwerde ans Obergericht des Kantons Aargau und stellte gleichzeitig ein Gesuch um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege für das Beschwerdeverfahren. Das Obergericht wies mit Entscheid vom 4. März 2016 sowohl die Beschwerde als auch das Gesuch ab.
B.
Mit Beschwerde in Strafsachen und subsidiärer Verfassungsbeschwerde vom 29. April 2016 ans Bundesgericht beantragt A._, der Entscheid des Obergerichts sei aufzuheben und es sei ihm die amtliche Verteidigung sowie die unentgeltliche Rechtspflege für das vorinstanzliche Verfahren zu gewähren. Als amtlicher Verteidiger bzw. unentgeltlicher Rechtsbeistand sei Rechtsanwalt Peter Steiner einzusetzen.
Das Obergericht hat auf eine Vernehmlassung verzichtet. Die Staatsanwaltschaft beantragt die Abweisung der Beschwerde, soweit darauf einzutreten sei. Der Beschwerdeführer hat dazu Stellung genommen.

Erwägungen:
1.
1.1. Beim angefochtenen Beschluss handelt es sich um einen kantonal letztinstanzlichen, selbständig eröffneten Zwischenentscheid in einer Strafsache, der einen nicht wieder gutzumachenden Nachteil bewirken kann (Art. 78 Abs. 1, Art. 80 und Art. 93 Abs. 1 lit. a BGG; <ref-ruling> E. 4 S. 338; Urteil 1B_66/2015 vom 12. August 2015 E. 1, in: Pra 2015 Nr. 107 S. 872; je mit Hinweisen). Der Beschwerdeführer hat auch in Bezug auf die bereits erfolgten anwaltlichen Leistungen ein aktuelles und praktisches Interesse an der Behandlung der Beschwerde (<ref-law>; Urteil 1B_66/2015 vom 12. August 2015 E. 1 mit Hinweisen, in: Pra 2015 Nr. 107 S. 872). Die weiteren Sachurteilsvoraussetzungen sind erfüllt. Auf die Beschwerde in Strafsachen ist einzutreten.
1.2. Mit der Beschwerde in Strafsachen kann auch die Verletzung von Verfassungsrecht gerügt werden (<ref-law>). Damit besteht kein Raum für die subsidiäre Verfassungsbeschwerde (<ref-law>).
2.
2.1. Der Beschwerdeführer ist der Auffassung, die amtliche Verteidigung hätte ihm bereits aus vertrauensschutzrechtlichen Gründen gestützt auf <ref-law> gewährt werden müssen, nachdem sein erstes Gesuch vom 11. November 2014 lange Zeit unbehandelt geblieben sei.
2.2. Die Staatsanwaltschaft und das Obergericht halten dazu fest, das erste Gesuch um amtliche Verteidigung sei nicht hinreichend begründet gewesen. Der Beschwerdeführer habe es damals unterlassen, seine Einkommens- und Vermögensverhältnisse offenzulegen.
2.3. Es obliegt grundsätzlich dem Gesuchsteller, seine finanziellen Verhältnisse umfassend offenzulegen. Kommt er dieser Obliegenheit nicht nach, ist das Gesuch abzuweisen. Erfüllt er seine Obliegenheiten, ohne dass es ihm in der ersten Eingabe gelingt, seine Bedürftigkeit zur Zufriedenheit des Gerichts nachzuweisen, so hat ihn dieses zur Klärung aufzufordern (Urteil 1B_389/2015 vom 7. Januar 2016 E. 5.4 mit Hinweisen, in: Pra 2016 Nr. 35 S. 318).
In Situationen, in denen der Rechtsvertreter nach Einreichung des Gesuchs gehalten ist, weitere Verfahrensschritte zu unternehmen, ist es unabdingbar, dass die Behörden über das Gesuch um unentgeltliche Verbeiständung umgehend entscheiden, damit sich Klient und Rechtsvertreter über das finanzielle Verfahrensrisiko Klarheit verschaffen können (Urteil 4A_20/2011 vom 11. April 2011 E. 7.2.2 mit Hinweis).
Aus diesen Erwägungen rechtfertigt es sich nicht, ein Gesuch mit der Begründung unbehandelt zu lassen, es sei nicht hinreichend belegt worden. Wie es sich insofern im vorliegenden Fall verhält, kann jedoch offen gelassen werden, zumal der Beschwerdeführer keine Verletzung seines Anspruchs auf Beurteilung innert angemessener Frist (<ref-law>) bzw. des Beschleunigungsgebots (<ref-law>) geltend macht. Er bringt einzig vor, darauf vertraut zu haben, sein Gesuch werde bewilligt. Dieses Vorbringen ist unbegründet: Die blosse Untätigkeit der Staatsanwaltschaft bildete unter den vorliegenden Umständen keinen Grund davon auszugehen, die amtliche Verteidigung würde gewährt. Das Obergericht verletzte <ref-law> somit nicht, wenn sie den Anspruch auf Vertrauensschutz mangels einer Vertrauensgrundlage verneinte.
3.
3.1. Nach <ref-law> ordnet die Verfahrensleitung eine amtliche Verteidigung an, wenn die beschuldigte Person nicht über die erforderlichen Mittel verfügt und die Verteidigung zur Wahrung ihrer Interessen geboten ist. Zur Wahrung der Interessen der beschuldigten Person ist die Verteidigung namentlich geboten, wenn es sich nicht um einen Bagatellfall handelt und der Straffall in tatsächlicher oder rechtlicher Hinsicht Schwierigkeiten bietet, denen die beschuldigte Person allein nicht gewachsen wäre (Abs. 2). Ein Bagatellfall liegt jedenfalls dann nicht mehr vor, wenn eine Freiheitsstrafe von mehr als 4 Monaten, eine Geldstrafe von mehr als 120 Tagessätzen oder gemeinnützige Arbeit von mehr als 480 Stunden zu erwarten ist (Abs. 3).
3.2. Das Obergericht bezeichnete die finanzielle Situation des Beschwerdeführers als undurchsichtig. Es könne jedoch im Ergebnis offen bleiben, ob er nicht über die erforderlichen Mittel verfüge, da die amtliche Verteidigung jedenfalls nicht geboten sei. Massgebend sei in dieser Hinsicht der Zeitraum zwischen dem Gesuch vom 11. November 2014 und dem bereits angekündigten Verfahrensabschluss durch Strafbefehl bzw. Einstellungsverfügung.
Hinsichtlich des Dossiers 1 habe es zum Zeitpunkt des ersten Gesuchs keine Einvernahmen und offenbar auch keine Vorkehrungen durch den Verteidiger gegeben. Es handle sich um einen denkbar einfachen Sachverhalt (Drohung, Pfeffersprayattacke, Beschimpfung). Nachdem das Verfahren infolge eines Vergleichs eingestellt werden solle, seien auch keine weiteren Handlungen ersichtlich, für welche ein amtlicher Verteidiger erforderlich sei.
Im Dossier 2 gehe es um den Vorwurf, der Beschwerdeführer habe C._ in einer E-Mail an dessen Schwester Kontakte zu einem "hochkarätigen Drogenschieber" unterstellt. Tatsächliche oder rechtliche Schwierigkeiten biete dieser Vorwurf nicht. Dass C._ anwaltlich vertreten sei, sei unmassgeblich, zumal eine Konfrontation nicht stattgefunden habe und mit einer solchen angesichts des bevorstehenden Verfahrensabschlusses durch Strafbefehl nicht zu rechnen sei.
Auch der Gegenstand von Dossier 3 bildende Velodiebstahl sei einfach gelagert und dem Bagatellbereich zuzuordnen. Ob es sich sogar um einen geringfügigen Diebstahl im Sinne von Art. 139 Ziff. 1 i.V.m. <ref-law> handle, könne dahingestellt bleiben. Der Beschwerdeführer bestreite im Übrigen nicht, das Velo in sein Fahrzeug geladen zu haben. Umstritten seien einzig die Umstände, die dazu geführt hätten. Hierzu habe sich der Beschwerdeführer auch ohne Anwalt klar und deutlich geäussert.
Im Dossier 4 gehe es um Beschimpfung mit "Scheiss-Jugo", "Scheiss-Kroate" etc. und um die Beschädigung eines Stromkabels. In dieser Hinsicht könne auf die Ausführungen zu Dossier 1 verwiesen werden. Wie dort komme es auch hier zu einer Einstellung infolge eines Vergleichs.
Dossier 5 betreffe schliesslich eine Widerhandlung gegen das Waffengesetz. Der Beschwerdeführer solle seinem Sohn Waffen zur Verfügung gestellt haben, obwohl dieser nicht über eine entsprechende Bewilligung verfüge. Tatsächliche oder rechtliche Schwierigkeiten bestünden nicht, zudem sei der Beschwerdeführer bereits im Jahr 2011 mit einem ähnlichen Vorwurf konfrontiert worden, womit er in diesem Bereich über eine gewisse Erfahrung verfüge.
An dieser Beurteilung vermöge auch nichts zu ändern, dass ein Strafbefehl für mehrere Taten drohe, da auch insgesamt nicht von einer Geldstrafe von mehr als 120 Tagessätzen und damit immer noch von einer Bagatellsache auszugehen sei. Koordinationsprobleme mit einem ebenfalls gegen den Beschwerdeführer geführten Verfahren der Staatsanwaltschaft Baden, wo es lediglich um eine Übertretung gehe, seien nicht ersichtlich. Wegen konkurrenzrechtlicher Fragen brauche es in dieser Hinsicht keinen amtlichen Verteidiger, denn die Staatsanwaltschaft Muri-Bremgarten habe von Amtes wegen darauf Rücksicht zu nehmen.
Der Beschwerdeführer sei zumindest durchschnittlich intelligent und vermöge sich mündlich und schriftlich auszudrücken. Dass er sich offenbar einer neurologischen Abklärung habe unterziehen müssen, lasse noch nicht auf eine gesundheitliche Beeinträchtigung schliessen. Die Behauptung, er könnte an Demenz leiden, sei bis heute nicht belegt worden.
3.3. Der Beschwerdeführer macht demgegenüber geltend, es sei in erster Linie die Verdachtssituation im Zeitpunkt des ersten Gesuchs um amtliche Verteidigung massgebend. Die Vorwürfe könnten zu einer Freiheitsstrafe von sicherlich weit mehr als vier Monaten führen. Da zudem bisher keines der Dossiers durch Strafbefehl oder Einstellungsverfügung abgeschlossen worden sei, sei noch völlig offen, welche Untersuchungshandlungen noch erfolgen. Im Dossier 2 stehe er einem anwaltlich vertretenen Privatkläger gegenüber. Das Obergericht gehe in dieser Hinsicht nicht auf das Problem ein, dass der Privatkläger Zivilforderungen gestellt habe, womit es das rechtliche Gehör verletze. Der Sachverhalt gemäss Dossier 3 sei nicht einfach. Erfahrungsgemäss müsse ein Beschuldigter vor dem Obergericht des Kantons Aargau faktisch seine Unschuld beweisen. Zudem stellten sich kuriose Fragen. Zum Beispiel sei ein Foto in den Akten, auf dem die Geschädigte ihr Velo abstelle. Der Platz sei jedoch ein anderer als derjenige, wo es in der Folge angeblich gestohlen worden sei. Eigenartigerweise gebe es davon kein Video. Diese Einwände übergehe das Obergericht, was wiederum eine Verletzung des rechtlichen Gehörs darstelle. Er bestreite zudem nicht, ein Velo vom Velounterstand in sein Fahrzeug geladen zu haben, doch habe es sich dabei um das Velo seines Sohns gehandelt. Auch im Dossier 4 würden sich noch schwierige Beweisfragen stellen. Und auch hier laufe er Gefahr, schuldig gesprochen zu werden, weil er seine Unschuld nicht so leicht beweisen könne. Hinsichtlich des Dossiers 5 sei darauf hinzuweisen, dass er sein Sturmgewehr eben irgendwo in der Wohnung aufbewahren müsse. Vor dem Obergericht habe er schliesslich auf neurologische Störungen hingewiesen, die auf Demenz und ein Schlaganfallrisiko hindeuteten. Auch wenn es erst um Abklärungen gehe, heisse dies noch lange nicht, dass er keine Unterstützung durch einen Anwalt benötige.
3.4. Mit der Regelung der amtlichen Verteidigung in <ref-law> wird die bisherige bundesgerichtliche Rechtsprechung zu <ref-law> und Art. 6 Abs. 3 lit. c EMRK für den Bereich des Strafprozessrechts umgesetzt (<ref-ruling> E. 4.3 S. 119). Diese Rechtsprechung unterscheidet nach der Schwere der Strafdrohung drei Fallgruppen. Falls das in Frage stehende Verfahren besonders stark in die Rechtsposition des Betroffenen eingreift, ist die Bestellung eines amtlichen Rechtsbeistands grundsätzlich geboten. Falls kein besonders schwerer Eingriff in die Rechte des Gesuchstellers droht (sog. relativ schwerer Fall), müssen besondere tatsächliche oder rechtliche Schwierigkeiten hinzukommen, denen der Gesuchsteller, auf sich allein gestellt, nicht gewachsen wäre. Das Bundesgericht hat einen relativ schweren Fall etwa bei einer Strafdrohung von drei Monaten Gefängnis unbedingt (<ref-ruling> E. 4 S. 105 f.), bei einer "empfindlichen Strafe von jedenfalls mehreren Monaten Gefängnis" (<ref-ruling> E. 3c S. 47) oder bei der Einsprache gegen einen Strafbefehl von 40 Tagen Gefängnis bedingt (Urteil 1P.627/2002 vom 4. März 2003 E. 3.2, in: Pra 2004 Nr. 1 S. 1) angenommen. Bei offensichtlichen Bagatelldelikten, bei denen nur eine Busse oder eine geringfügige Freiheitsstrafe in Frage kommt, verneint die Bundesgerichtspraxis einen verfassungsmässigen Anspruch auf einen amtlichen Rechtsbeistand (zum Ganzen: <ref-ruling> E. 2a S. 44 f.; <ref-ruling> E. 2.5.2 S. 232 f.; Urteil 1B_23/2016 vom 8. Februar 2016 E. 2.4; je mit Hinweisen).
3.5. Daraus, aber auch aus dem Wortlaut von <ref-law> ("jedenfalls dann nicht") folgt, dass nicht automatisch von einem Bagatellfall auszugehen ist, wenn die im Gesetz genannten Schwellenwerte nicht erreicht sind (Urteil 1B_263/2013 vom 20. November 2013 E. 4.3 mit Hinweis). Weiter ist zu berücksichtigen, dass die Formulierung von Abs. 2 durch die Verwendung des Worts "namentlich" zum Ausdruck bringt, dass nicht ausgeschlossen ist, neben den beiden genannten Kriterien (kein Bagatellfall; tatsächliche und rechtliche Schwierigkeiten, denen die beschuldigte Person allein nicht gewachsen wäre) weitere Gesichtspunkte zu berücksichtigen (vgl. im Einzelnen Urteil 1B_746/2012 vom 5. März 2013 E. 2.5 mit Hinweis). Mithin ist eine Beurteilung der konkreten Umstände des Einzelfalls notwendig, die sich einer strengen Schematisierung entzieht. Immerhin lässt sich festhalten, dass je schwerwiegender der Eingriff in die Interessen der betroffenen Person ist, desto geringer die Anforderungen an die erwähnten tatsächlichen und rechtlichen Schwierigkeiten, und umgekehrt (Urteil 1B_380/2015 vom 1. Dezember 2015 E. 2.5 mit Hinweis).
3.6. Für die Beurteilung des Anspruchs auf amtliche Verteidigung ist der Zeitpunkt des ersten Gesuchs des Beschwerdeführers massgebend (vgl. für die analoge Situation beim Beizug des sogenannten Anwalts der ersten Stunde: Urteil 1B_66/2015 vom 12. August 2015 E. 2.3, in: Pra 2015 Nr. 107 S. 872). Zumindest zu jenem Zeitpunkt konnte angesichts der Gesamtheit der Tatvorwürfe nicht von einem Bagatellfall ausgegangen werden. Somit handelt es sich um einen sogenannt relativ schweren Fall im Sinne der zitierten Rechtsprechung. Es müssen deshalb besondere Schwierigkeiten rechtlicher oder tatsächlicher Natur bestehen, denen der Beschwerdeführer nicht gewachsen ist.
Die einzelnen dem Beschwerdeführer zur Last gelegten Delikte sind zwar einfach gelagert. Indessen ist in Betracht zu ziehen, dass es sich um eine Mehrzahl von Tatvorwürfen handelt, was bereits eine nicht unerhebliche Komplexität darstellt (Urteil 1B_66/2015 vom 12. August 2015 E. 2.5, in: Plädoyer 2015/6 S. 69). Auch war zumindest im Zeitpunkt des ersten Gesuchs um amtliche Verteidigung davon auszugehen, dass sich einige heikle Beweisfragen stellen würden. Dies betrifft insbesondere das Dossier 1, wo es um einen Nachbarschaftsstreit geht, welcher zu einer Pfeffersprayattacke sowie Handgreiflichkeiten mit einer leichten Verletzung geführt haben soll. Hinzu kommt, dass die geschädigte Person im Dossier 2 anwaltlich vertreten ist, was aus Gründen der Waffengleichheit dafür spricht, dem Beschuldigten eine amtliche Verteidigung beizugeben (Urteil 1B_224/2013 vom 27. August 2013 E. 2.3 und 3 mit Hinweisen). Schliesslich sind gemäss den Ausführungen der Vorinstanz in Bezug auf ein von der Staatsanwaltschaft Baden geführtes Strafverfahren (retrospektive) konkurrenzrechtliche Probleme nicht ausgeschlossen. Aus dem Hinweis, dass die Staatsanwaltschaft Muri-Bremgarten bei Erlass eines Strafbefehls diese von Amtes wegen berücksichtigen müsse, kann nicht abgeleitet werden, der Beschuldigte brauche keinen Anwalt (Urteil 1B_66/2015 vom 12. August 2015 E. 2.5, in: Plädoyer 2015/6 S. 69).
3.7. Insgesamt ist eine anwaltliche Verteidigung zur Wahrung der Interessen des Beschwerdeführers geboten. Die Frage, ob dieser auch nicht über die erforderlichen Mittel verfügt, haben die Vorinstanzen nicht abschliessend geklärt. Es ist nicht Aufgabe des Bundesgerichts, dies als erste Instanz zu tun. Die Sache ist daher an die Staatsanwaltschaft zurückzuweisen, welche das Gesuch des Beschwerdeführers um amtliche Verteidigung im Licht der bundesgerichtlichen Erwägungen neu zu prüfen haben wird.
4.
Die Beschwerde in Strafsachen ist somit gutzuheissen, der angefochtene Entscheid aufzuheben und die Sache an die Staatsanwaltschaft zu neuem Entscheid zurückzuweisen. Damit erübrigt es sich, auf die weiteren vom Beschwerdeführer vorgetragenen Rügen einzugehen. Auf die subsidiäre Verfassungsbeschwerde ist dagegen nicht einzutreten (vgl. E. 1.2 hiervor).
Dem Ausgang des bundesgerichtlichen Verfahrens entsprechend sind keine Gerichtskosten zu erheben (<ref-law>). Der Kanton Aargau hat dem Beschwerdeführer für das kantonale Beschwerdeverfahren und für das Verfahren vor dem Bundesgericht eine Parteientschädigung zu bezahlen (Art. 68 Abs. 2 und 5 BGG). Der betreffende Honoraranspruch wird dem Anwalt des Beschwerdeführers persönlich zugesprochen (vgl. <ref-law>). Damit wird das Gesuch des Beschwerdeführers um unentgeltliche Rechtspflege gegenstandslos.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Auf die subsidiäre Verfassungsbeschwerde wird nicht eingetreten.
2.
Die Beschwerde in Strafsachen wird gutgeheissen, der Entscheid des Obergerichts des Kantons Aargau vom 4. März 2016 aufgehoben und die Sache zu neuem Entscheid an die Staatsanwaltschaft Muri-Bremgarten zurückgewiesen.
3.
Es werden keine Gerichtskosten erhoben.
4.
Der Kanton Aargau hat (für das kantonale Beschwerdeverfahren und das Verfahren vor Bundesgericht) eine Parteientschädigung von insgesamt Fr. 2'000.-- an Rechtsanwalt Peter Steiner zu entrichten.
5.
Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer, der Staatsanwaltschaft Muri-Bremgarten und dem Obergericht des Kantons Aargau, Beschwerdekammer in Strafsachen, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 1. Juli 2016
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Fonjallaz
Der Gerichtsschreiber: Dold