Erwägungen:
1.
Das Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt schrieb mit Verfügung seines Präsidenten vom 16. Oktober 2017 das durch A._ betreffend einen Entscheid des Regierungsrats des Kantons Basel-Stadt vom 4. September 2017 eingeleitete Rekursverfahren als erledigt ab, weil der verfügte Kostenvorschuss innert der hierfür gesetzten Frist nicht vollständig geleistet worden war. Mit Verfügung vom 26. Oktober 2017 wies er ein Gesuch um Wiedereinsetzung in die versäumte Frist zur Leistung des Kostenvorschusses ab.
Am 19. November 2017 haben einerseits A._, andererseit seine Mutter B._ beim Bundesgericht einen "Rekurs gegen Erlöschen der Aufenthaltsbewilligung/Wegweisung" erhoben. Der Aufforderung zur Beibringung des angefochtenen Entscheids innert Nachfrist haben sie am 27. November 2017 rechtzeitig Folge geleistet und die Verfügung des Appellationsgerichts vom 26. Oktober 2017 nachgereicht.
2.
2.1. Da B._ am vorinstanzlichen Verfahren nicht teilgenommen hat, ist sie zur Beschwerde nicht legitimiert (<ref-law>). Zur Beschwerde berechtigt ist nur A._.
2.2. Gemäss Art. 42 Abs. 1 und 2 BGG haben Rechtsschriften die Begehren und deren Begründung zu enthalten. In der Begründung ist in gedrängter Form darzulegen, inwiefern der angefochtene Akt schweizerisches Recht (<ref-law>) verletze. Rechtsbegehren und Begründung haben sachbezogen zu sein; die Beschwerde führende Partei hat in gezielter Auseinandersetzung mit den für das Ergebnis des angefochtenen Entscheids massgeblichen Erwägungen plausibel aufzuzeigen, welche Rechte bzw. Rechtsnormen die Vorinstanz verletzt haben soll (<ref-ruling> E. 2 S. 88 f. mit Hinweisen).
Angefochten ist eine Verfügung, mit der das Appellationsgericht das Gesuch um Wiedereinsetzung in die versäumte Frist zur Bezahlung des Kostenvorschusses abgelehnt hat. Die vom Beschwerdeführer verfasste Rechtsschrift enthält zu diesem einzigen Prozessthema nichts. Auch die Darstellung in der Rechtsschrift seiner (nicht zur Beschwerde legitimierten) Mutter, dass er sich geirrt habe und in Raten habe zahlen wollen, genügte als Beschwerdebegründung offensichtlich nicht. Das Appellationsgericht hat sich mit diesem behaupteten Irrtum befasst und erklärt, warum dieser nicht als unverschuldetes Hindernis gelte, der die Wiedereinsetzung in die versäumte Frist ermöglichen würde. Dazu lässt sich auch der Eingabe der Mutter des Beschwerdeführers nichts entnehmen.
2.3. Die Beschwerde erweist sich in Bezug auf die Beschwerdeführerin als unzulässig. Die Rechtsschrift des Beschwerdeführers enthält (gleich wie auch diejenige der Beschwerdeführerin) offensichtlich keine hinreichende Begründung (<ref-law>). Auf die Beschwerde ist mit Entscheid des Abteilungspräsidenten als Einzelrichter im vereinfachten Verfahren nach <ref-law> nicht einzutreten.
2.4. Diesem Verfahrensausgang entsprechend sind die Gerichtskosten nach Massgabe von Art. 65 sowie Art. 66 Abs. 1 erster Satz und Abs. 5 BGG den Beschwerdeführern aufzuerlegen.

Demnach erkennt der Präsident:
1.
Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 400.-- werden den Beschwerdeführern unter solidarischer Haftung auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten, dem Appellationsgericht Basel-Stadt und dem Staatssekretariat für Migration schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 29. November 2017
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Seiler
Der Gerichtsschreiber: Feller