Sachverhalt:
A.
X._ erstattete am 13. Mai 2016 bei der Staatsanwaltschaft Zürich-Limmat gegen A._ Anzeige wegen Ehrverletzung. Mit Verfügung vom 24. Oktober 2016 entschied die Staatsanwaltschaft, die Strafuntersuchung nicht an die Hand zu nehmen.
B.
Gegen die Nichtanhandnahmeverfügung erhob X._ Beschwerde ans Obergericht des Kantons Zürich. Mit Präsidialverfügung vom 10. November 2016 wies ihn das Obergericht darauf hin, dass aus den eingereichten Rechtsschriften nicht hervorgehe und auch sonst nicht ohne weiteres ersichtlich sei, ob er sich im Strafverfahren als Privat- bzw. Zivilkläger konstituiere, noch ob und in welchem Umfang er Zivilansprüche geltend mache, über welche im Strafverfahren adhäsionsweise zu befinden wäre. Es wurde ihm eine kurze Nachfrist angesetzt, um eine entsprechende Erklärung abzugeben und eine allfällige Adhäsionsklage zumindest summarisch zu beziffern und zu begründen, unter Androhung, dass bei Säumnis über das Gesuch um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege aufgrund der Akten entschieden werde und mit einer Fristansetzung zur Leistung der Prozesskaution zu rechnen sei. Zudem bezeichnete das Obergericht einige Stellen der Beschwerdeschrift als ungebührlich und wies diese zur Überarbeitung zurück, unter Androhung des Nichteintretens auf die Beschwerde im Säumnisfall. Dem Rechtsvertreter wurde gleichzeitig Frist angesetzt, um zur Frage seiner Disziplinierung wegen der beanstandeten Passagen der von ihm verfassten Rechtsschrift Stellung zu nehmen. Der Rechtsvertreter entschuldigte sich am 14. November 2016 für die zitierten Formulierungen, ohne jedoch eine abgeänderte und ergänzte Beschwerdeschrift einzureichen. Mit Entscheid vom 1. Dezember 2016 wies das Obergericht das Gesuch um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege ab, soweit es darauf eintrat. Dem Rechtsvertreter auferlegte es eine Ordnungsbusse von Fr. 500.- und die Gerichtsgebühr von Fr. 1'500.-. Auf die Beschwerde trat es nicht ein.
C.
X._ führt Beschwerde in Strafsachen mit dem Antrag, der angefochtene Entscheid sei insoweit aufzuheben, als er beschwert sei. Eventualiter sei die Vorinstanz anzuweisen, auf seine gegen die Nichtanhandnahmeverfügung der Staatsanwaltschaft erhobene Beschwerde einzutreten. Eventualiter sei die Nichtanhandnahmeverfügung aufzuheben und die Durchführung einer Untersuchung anzuordnen. Zudem ersucht er um unentgeltliche Prozessführung.

Erwägungen:
1.
1.1. Nach <ref-law> ist zur Beschwerde in Strafsachen berechtigt, wer vor der Vorinstanz am Verfahren teilgenommen oder keine Möglichkeit zur Teilnahme erhalten hat (lit. a) und ein aktuelles rechtlich geschütztes Interesse an der Aufhebung oder Änderung des angefochtenen Entscheids hat (lit. b).
Bei der Privatklägerschaft wird in Art. 81 Abs. 1 lit. b Ziff. 5 BGG zusätzlich verlangt, dass der angefochtene Entscheid sich auf die Beurteilung der Zivilansprüche auswirken kann. Dies verlangt grundsätzlich vom Privatkläger, dass er bereits adhäsionsweise Zivilforderungen geltend gemacht hat. Bei Nichtanhandnahme oder Einstellung des Strafverfahrens wird auf dieses Erfordernis verzichtet. In diesen Fällen muss im Verfahren vor Bundesgericht aber dargelegt werden, aus welchen Gründen sich der angefochtene Entscheid inwiefern auf welche Zivilforderungen auswirken kann, sofern dies (etwa aufgrund der Natur der untersuchten Straftat) nicht ohne Weiteres aus den Akten ersichtlich ist (<ref-ruling> E. 1.3.1 S. 247 f., 219 E. 2.4 S. 222 f.). Das Bundesgericht stellt an die Begründung strenge Anforderungen (<ref-ruling> E. 1.1 S. 4 f. mit Hinweisen).
1.2. Unbekümmert um die Legitimation in der Sache selbst kann die Privatklägerschaft die Verletzung von Verfahrensrechten geltend machen, deren Missachtung eine formelle Rechtsverweigerung darstellt (<ref-ruling> E. 1.1 S. 5; <ref-ruling> E. 2 S. 250; <ref-ruling> E. 1.4 S. 44; Urteile 6B_827/2014 vom 1. Februar 2016 E. 1.1, nicht publ. in: <ref-ruling>; 6B_316/2015 vom 19. Oktober 2015 E. 1.1, nicht publ. in: <ref-ruling>). Ein in der Sache nicht legitimierter Beschwerdeführer kann deshalb weder die Beweiswürdigung kritisieren, noch kann er geltend machen, die Begründung sei materiell unzutreffend (BGE <ref-ruling> E. 1.4 S. 44; <ref-ruling> E. 3.2 S. 436 f.). Er kann hingegen vorbringen, auf ein Rechtsmittel sei zu Unrecht nicht eingetreten worden, er sei nicht angehört worden, er habe keine Gelegenheit erhalten, Beweisanträge zu stellen, oder er habe keine Einsicht in die Akten nehmen können (sog. "Star-Praxis"; vgl. dazu <ref-ruling> E. 1.1 S. 5; <ref-ruling> E. 1.3 S. 80; <ref-ruling> E. 2a/bb S. 160). Zulässig sind Rügen, die formeller Natur sind und von der Prüfung der Sache getrennt werden können. Das nach <ref-law> erforderliche rechtlich geschützte Interesse ergibt sich diesfalls aus der Berechtigung, am Verfahren teilzunehmen.
1.3. Da der Beschwerdeführer keine umgeänderte Beschwerdeschrift eingereicht hat, ist die Vorinstanz auf die Beschwerde gegen die Nichtanhandnahmeverfügung androhungsgemäss nicht eingetreten. Dies kann der Beschwerdeführer vor Bundesgericht unbesehen seiner Legitimation in der Sache selbst rügen. Auch zur Rüge, ihm sei im vorinstanzlichen Verfahren zu Unrecht die unentgeltliche Rechtsverbeiständung verweigert worden, ist der Beschwerdeführer unabhängig seiner Legitimation in der Sache berechtigt (Urteil 1B_370/2015 vom 22. März 2016 E. 1). Auf die Beschwerde ist einzutreten.
2.
2.1. Die Vorinstanz hat erwogen, in der Beschwerdeeingabe werde die Nichtanhandnahme durch die Staatsanwaltschaft nicht nur als "schlicht unhaltbarer Blödsinn" bezeichnet, sondern auch noch beigefügt, man rieche ihn förmlich, den § 1 des Reichsstrafgesetzbuches von 1933. Ferner werde behauptet, der Staat - mithin die Staatsanwaltschaft - behandle den Beschwerdeführer "wie juristisches Freiwild..., an welchem fast beliebige Verbrechen ohne Sanktion verübt werden dürfen". Der Beschwerdeführer geniesse diesbezüglich in diesem Land "soviel Rechtsschutz wie ein Jude im Dritten Reich". Im Kontext werde der Staatsanwaltschaft damit im Rahmen einer in keinem erkennbaren Zusammenhang mit antisemitischen Äusserungen stehenden Ehrverletzungsklage vorgeworfen, sie habe den Beschwerdeführer im Rahmen des Strafverfahrens behandelt wie Juden von der Justiz des Dritten Reichs. Weiter führte das Obergericht aus, der Rechtsvertreter des Beschwerdeführers habe sinngemäss die Ungebührlichkeit der beanstandeten Ausführungen zugegeben und behauptet, aus "Unachtsamkeit" seinerseits sei eine "falsche Version" verschickt worden. Die angeblich richtige Version habe er allerdings weder beigelegt noch als Beilage angeführt. Mit der Entschuldigung durch seinen Rechtsvertreter sei der Beschwerdeführer nicht im Ansatz seiner Obliegenheit nachgekommen, eine ordnungsgemässe Beschwerdeschrift nachzureichen. Es sei somit androhungsgemäss auf die Beschwerde nicht einzutreten.
2.2.
2.2.1. Der Beschwerdeführer rügt eine Verletzung von <ref-law>. Zur Begründung bringt er vor, die beanstandeten Formulierungen hätten durch die Entschuldigung des Anwalts als gestrichen zu gelten und seien somit nicht mehr relevant. Das Beharren der Vorinstanz auf Einreichung eines gedruckten Exemplars ohne die umstrittenen Formulierungen sei in einer an keine besondere Form gebundenen Verfahrenshandlung überspitzt formalistisch.
2.2.2. Nach <ref-law> kann die Verfahrensleitung unleserliche, unverständliche, ungebührliche oder weitschweifige Eingaben zurückweisen; sie setzt eine Frist zur Überarbeitung und weist darauf hin, dass die Eingabe, falls sie nicht überarbeitet wird, unbeachtet bleibt. Der Umstand, dass sich der Rechtsvertreter des Beschwerdeführers für die vom Gericht aus seiner Eingabe zitierten Formulierungen entschuldigt hat, ohne indessen eine umgeänderte Fassung seiner Eingabe einzureichen, lässt die beanstandeten Passagen der Beschwerdeschrift nicht entfallen (vgl. Urteil 2A.168/2005 vom 6. September 2005 E. 2.7.1 eine standesrechtliche Disziplinierung betreffend). Es bedeutet daher keinen überspitzten Formalismus (vgl. dazu <ref-ruling> E. 4.2 S. 158), wenn die Vorinstanz davon ausging, die Entschuldigung vermöge eine ordnungsgemässe Beschwerdeschrift nicht zu ersetzen. Es stellt zudem keine Rechtsverweigerung dar, wenn ein Gericht auf eine Beschwerde nicht eintritt, nachdem es die ungebührliche Eingabe zur Überarbeitung an den Absender retourniert hat, ohne dass dieser der Aufforderung nachkam, zumal <ref-law> dies ausdrücklich vorsieht (Urteile 6B_933/2015 vom 22. Juni 2016 E. 3.1; 1B_387/2013 vom 1. November 2013 E. 2; 1B_425/2012 vom 4. Oktober 2012 E. 5.5). Der Beschwerdeführer hätte es ohne weiteres in der Hand gehabt, die angedrohte Rechtsfolge durch Einreichung einer umformulierten Beschwerdeschrift abzuwenden. Soweit er vorbringt, die Vorinstanz habe kontroverse Formulierungen lediglich als Vorwand benutzt, um nicht auf die Beschwerde eintreten zu müssen und damit sein Recht auf wirksame Beschwerde (Art. 13 EMRK) verletzt, erweist sich der Einwand daher als unbehelflich (Urteil 1B_271/2011 vom 6. Juni 2011 E. 2).
2.2.3. Weiter macht der Beschwerdeführer Willkür, eine Verletzung des Anspruchs auf ein faires Verfahren, einen Verstoss gegen die Meinungsäusserungsfreiheit, Missbrauch und Überschreiten des Ermessens und falsche Sachverhaltsfeststellung geltend. Er habe mit den kontroversen Formulierungen lediglich Justiz- und Systemkritik betrieben und damit Meinungen geäussert, ohne dabei anstössige Wörter benutzt und Personen persönlich angegriffen zu haben. Diese stellten daher keinen hinreichenden Grund dar, um auf die Beschwerde aus formellen Gründen nicht einzutreten.
2.2.4. Eine Rechtsschrift ist dann ungebührlich, wenn sie den durch die guten Sitten gebotenen prozessualen Anstand vermissen lässt und gewählter Ton und Ausdrucksweisen sich auch durch das Recht auf selbst harte Kritik an Behörden nicht mehr rechtfertigen lassen (vgl. Urteil 5A_42/2014 vom 28. April 2014 E. 2.3; HAFNER/FISCHER, Basler Kommentar StPO, 2. Aufl. 2014, N. 25 zu <ref-law>; LAURENT MERZ, Basler Kommentar BGG, 2. Aufl. 2011, N. 102 zu <ref-law>). Die kritisierten Formulierungen in der Beschwerdeschrift enthalten Entgleisungen, welche den gebührenden Anstand im Prozess missen lassen. Die den Verhältnissen nicht angepasste Ausdrucksweise lässt sich auch nicht mit dem Hinweis auf die Meinungsäusserungsfreiheit rechtfertigen. Die Vorinstanz durfte daher, ohne in Willkür zu verfallen oder ihr Ermessen zu missbrauchen oder zu überschreiten, davon ausgehen, die Eingabe weise einen ungebührlichen Inhalt auf.
2.2.5. Soweit der Beschwerdeführer einen Verstoss gegen die Rechtsgleichheit, das Diskriminierungsverbot und die Meinungsäusserungsfreiheit damit begründet, die Vorinstanz habe seine Sprachfreiheit verletzt, erweist sich der Einwand als unbehelflich, soweit er überhaupt rechtsgenüglich begründet ist (<ref-law>).
2.3. Zusammenfassend verletzt das Nichteintreten der Vorinstanz auf die Beschwerde kein Bundesrecht.
3.
Der Beschwerdeführer macht weiter geltend, der angefochtene Entscheid verletze seinen Anspruch auf unentgeltliche Rechtspflege gemäss <ref-law> und Art. 6 EMRK.
3.1. Nach <ref-law> ist der Privatklägerschaft die unentgeltliche Rechtspflege für die Durchsetzung ihrer Zivilansprüche ganz oder teilweise zu gewähren, wenn sie nicht über die erforderlichen Mittel verfügt (lit. a) und die Zivilklage nicht aussichtslos erscheint (lit. b). Die Bestellung eines unentgeltlichen Rechtsbeistandes für die Privatklägerschaft setzt überdies voraus, dass dies zur Wahrung ihrer Rechte notwendig ist (<ref-law>). Als Privatklägerin gilt die geschädigte Person, die ausdrücklich erklärt, sich am Strafverfahren als Straf- oder Zivilklägerin zu beteiligen (<ref-law>). Der Strafantrag ist dieser Erklärung gleichgestellt (<ref-law>). Die Erklärung ist gegenüber einer Strafverfolgungsbehörde spätestens bis zum Abschluss des Vorverfahrens abzugeben (<ref-law>). Hat die geschädigte Person von sich aus keine Erklärung abgegeben, so weist sie die Staatsanwaltschaft nach Eröffnung des Vorverfahrens auf diese Möglichkeit hin (<ref-law>). Hat die Staatsanwaltschaft die Aufklärungspflicht verletzt, so hat das mit dem Fall befasste Gericht diese Pflicht wahrzunehmen (MAZZUCCHELLI/POSTIZZI, Basler Kommentar StPO, a.a.O., N. 12a zu <ref-law>).
3.2. Der Präsident des Obergerichts hat den Beschwerdeführer am 10. November 2016 aufgefordert zu erklären und zumindest summarisch zu begründen, ob er sich als Privat- bzw. Zivilkläger konstituiere, sowie ob und in welchem Umfang Zivilansprüche geltend gemacht werden. Der Beschwerdeführer rügt diese Vorgehensweise mit dem Hinweis, die Vorinstanz habe ohne Weiteres den Akten entnehmen können, dass er sich in der Strafanzeige als Strafantragsteller und damit von Gesetzes wegen als Zivilkläger zu erkennen gegeben habe. Wie es sich damit verhält, kann aus den nachstehenden Gründen offen bleiben.
3.3. Die Vorinstanz hat das Gesuch im angefochtenen Entscheid vom 1. Dezember 2016 nämlich nicht aus diesem Grund abgewiesen. Vielmehr hat sie erwogen, wenn auf die Beschwerde gegen eine Nichtanhandnahme oder eine Einstellungsverfügung bereits aus formellen Gründen nicht eingetreten werden könne, sei eine adhäsionsweise Beurteilung von Zivilansprüchen von vornherein nicht möglich und das Begehren aussichtlos. Die Voraussetzungen für die unentgeltliche Prozessführung seien daher - ungeachtet der wirtschaftlichen Verhältnisse - nicht erfüllt. Soweit dem Beschwerdeführer für das kantonale Verfahren keine Kosten auferlegt wurden, trat das Obergericht auf das Gesuch nicht ein.
3.4. Der Beschwerdeführer begründet die Notwendigkeit eines rechtskundigen Beistandes mit dem Nichteintreten auf die Beschwerde aus formellen Gründen. Wie bereits erwähnt, wäre es ihm indessen ohne weiteres offen gestanden, eine umgeänderte Fassung der Beschwerdeschrift einzureichen, nachdem die Vorinstanz ausdrücklich auf die von ihr beanstandeten Punkte hingewiesen hatte. Es verletzt daher kein Bundesrecht, wenn die Vorinstanz das Gesuch um unentgeltliche Rechtsverbeiständung abgewiesen hat.
4.
Nach dem Gesagten ist die Beschwerde abzuweisen. Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege im Verfahren vor Bundesgericht ist wegen Aussichtslosigkeit abzuweisen (vgl. <ref-law>). Es rechtfertigt sich indes, auf die Erhebung von Gerichtskosten zu verzichten (vgl. <ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen.
2.
Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege wird abgewiesen.
3.
Es werden keine Gerichtskosten erhoben.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Zürich, III. Strafkammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 14. Februar 2017
Im Namen der Strafrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Denys
Die Gerichtsschreiberin: Hofer