Sachverhalt:
A.
A._ war seit teilzeitlich als Haushilfe/Pflegehelferin angestellt. Nach schwangerschaftsbedingter Abwesenheit vom Arbeitsplatz, in welchem Zeitraum sie eine Tochter gebar, löste die Arbeitgeberin das Arbeitsverhältnis auf Ende September 2004 auf. Im März 2009 meldete sich A._ bei der Invalidenversicherung zum Rentenbezug an. Nach Erhebungen (u.a. Gutachten der Academy of Swiss Insurance Medicine [asim], Universitätsspital Basel, vom 26. Oktober 2010 und 18. November 2013 sowie Abklärungsberichte Haushalt vom 24. Januar 2011 und 19. November 2014) sprach ihr die IV-Stelle Basel-Stadt mit Verfügungen vom 25. September 2015 ab 1. März 2013 bis 31. Mai 2014 eine Viertelsrente, vom 1. Juni bis 31. August 2014 eine ganze Rente, vom 1. September 2014 bis 31. Januar 2015 eine Viertelsrente sowie vom 1. Februar bis 30. April 2015 eine ganze Rente jeweils samt einer Kinderrente zu.
B.
Die Beschwerde der A._ mit dem hautpsächlichen Antrag auf Zusprechung einer ganzen Rente ab 1. Dezember 2013 wies das Sozialversicherungsgericht des Kantons Basel-Stadt nach zweifachem Schriftenwechsel mit Entscheid vom 22. März 2016 ab.
C.
Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten beantragt, A._, der Entscheid vom 22. März 2016 sei aufzuheben, und es sei ihr ab 1. Dezember 2013 eine halbe, ab 1. Juni 2014 eine ganze, ab 1. September 2014 eine halbe, ab 1. Februar 2015 eine ganze und ab 1. Mai 2015 eine halbe Invalidenrente zuzusprechen, unter Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege.
Die IV-Stelle Basel-Stadt ersucht um Abweisung der Beschwerde. Das Bundesamt für Sozialversicherungen (BSV) äussert sich in der Sache, ohne einen Antrag zu stellen.

Erwägungen:
1.
Aufgrund der Begehren (und deren Begründung) in der Beschwerde ist Streitgegenstand, ob die Beschwerdeführerin vom 1. Dezember 2013 bis 31. Mai 2014, vom 1. September 2014 bis 31. Januar 2015 sowie ab 1. Mai 2015 unbefristet Anspruch auf eine halbe Rente der Invalidenversicherung hat. Gemäss vorinstanzlichem Entscheid und angefochtenen Verfügungen besteht während der ersten beiden Zeitabschnitte lediglich Anspruch auf eine Viertelsrente; ab 1. Mai 2015 ist kein Anspruch gegeben. Die Monate Juni bis August 2014 und Februar bis April 2015, für welche der Beschwerdeführerin eine ganze Rente zugesprochen wurde, stehen ausser Diskussion (<ref-law>).
Den Darlegungen in der Beschwerde zufolge bestünde (unter Berücksichtigung der Dreimonatsfrist nach <ref-law>) ab 1. November 2012 bis 30. November 2013 kein Rentenanspruch. Mit der ersten von der Vorinstanz bestätigten Verfügung vom 25. September 2015 sprach die Beschwerdegegnerin der Versicherten indessen ab 1. März 2013bis 31. Mai 2014 eine Viertelsrente zu. Dies kann sich jedoch nicht zu Ungunsten der Beschwerdeführerin auswirken, etwa indem ihr die Rente vom 1. März bis 30. November 2013 abzuerkennen wäre. Abgesehen davon, dass sie keinen entsprechenden Antrag gestellt hat, kann sie sich nicht schlechter stellen als wenn sie nicht Beschwerde erhoben hätte.
2.
Das kantonale Sozialversicherungsgericht hat die Invaliditätsbemessung nach der gemischten Methode (<ref-law>) im Sinne der Rechtsprechung gemäss <ref-ruling> und seitherige Urteile in den angefochtenen Verfügungen als nachvollziehbar und bundesrechtskonform erachtet. Insbesondere sei nicht zu beanstanden, dass die Beschwerdegegnerin davon ausgegangen sei, die Beschwerdeführerin würde bei voller Gesundheit seit August 2012 zu rund 70 % erwerbstätig sein. Dementsprechend seien Erwerb und Haushalt im Verhältnis 70 % zu 30 % aufzuteilen. Dabei erscheine im Ergebnis ein invaliditätsbedingter Ausfall von 11,6 % im Haushalt in Anbetracht der Gesamtumstände als angemessen. Mit Bezug auf die Invalidität im erwerblichen Bereich bestehe gemäss dem asim-Gutachten vom 18. November 2013 eine Arbeitsfähigkeit von 40 % (2 x 2 Stunden im Tag) in einer angepassten Tätigkeit. Darauf sei abzustellen. Entgegen den Vorbringen der Beschwerdeführerin könne nicht davon gesprochen werden, die Verwertung der Restarbeitsfähigkeit sei nicht mehr zumutbar. Sodann sei nicht zu beanstanden, dass die Beschwerdegegnerin das Valideneinkommen auf der Grundlage der Schweizerischen Lohnstrukturerhebung 2012 des Bundesamtes für Statistik ermittelt habe, da nicht mit überwiegender Wahrscheinlichkeit erstellt sei, dass die Beschwerdeführerin die letzte Arbeitsstelle aus gesundheitlichen Gründen verloren habe.
Die Invaliditätsbemessung der Beschwerdegegnerin hatte für die Zeit ab 1. Februar 2015 (mit Wirkung ab 1. Mai 2015; <ref-law>) einen nicht (mehr) anspruchsbegründenden Invaliditätsgrad von 39,48 % (0,7 x 51,43 % + 0,3 x 11,6 %; zum Runden <ref-ruling>; <ref-law>) ergeben.
3.
Die Beschwerdeführerin rügt unter Hinweis auf das Urteil des Europäischen Gerichtshofs für Menschenrechte (EGMR; Zweite Kammer) in Sachen Di Trizio gegen die Schweiz (7186/09) vom 2. Februar 2016, die gemischte Methode gemäss geltender Rechtsprechung (grundlegend <ref-ruling>) verletze Art. 14 EMRK (Diskriminierungsverbot) in Kombination mit Art. 8 EMRK (Recht auf Achtung des Privat- und Familienlebens), da sie hauptsächlich bei Frauen (nach der Geburt eines Kindes) angewendet werde. In der Begründung weise der EGMR explizit darauf hin, dass andere Berechnungsmethoden vorstellbar seien, mit denen dem Ziel der Gleichstellung der Geschlechter besser Rechnung getragen werden könne, ohne dadurch den Zweck der Invalidenversicherung zu gefährden. Eine dieser Methoden, welche seit geraumer Zeit auch in der Lehre vorgeschlagen werde, sei, die Invalidität im erwerblichen Bereich auf ein Vollzeitpensum zu beziehen (und nicht auf das hypothetische Teilzeitpensum im Gesundheitsfall; <ref-ruling> E. 4.1 S. 339, 125 V 146 E. 2b in fine S. 150; vgl. E. 4 hiernach). Weiter bestreitet die Beschwerdeführerin die Ermittlung des Valideneinkommens auf tabellarischer Grundlage. Auszugehen sei vom zuletzt 2002 erzielten Verdienst, der an die Nominallohnentwicklung anzupassen sei (vgl. E. 5 hiernach).
4.
4.1. Das Bundesgericht hat sich im Revisionsentscheid 9F_8/2016 vom 20. Dezember 2016 betreffend das Urteil 9C_49/2008 vom 28. Juli 2008 zu den Implikationen des Urteils des EGMR in Sachen Di Trizio gegen die Schweiz (7186/09) vom 2. Februar 2016 geäussert und in E. 4.1 und 4.2 Folgendes festgehalten:
4.1 Das Urteil des EGMR vom 2. Februar 2016 betrifft eine versicherte Person, welche unter dem Status einer Vollerwerbstätigen eine Invalidenrente beanspruchen konnte und diesen Anspruch zu einem späteren Zeitpunkt allein aufgrund des Umstandes verliert, dass sie wegen der Geburt ihrer Kinder und der damit einhergehenden Reduktion des Erwerbspensums für die Invaliditätsbemessung neu als Teilerwerbstätige mit einem Aufgabenbereich qualifiziert wird. Denn diese als Revisionsgrund geltende Statusänderung (Urteil 8C_441/2012 vom 25. Juli 2013 E. 3.1.1, in: SVR 2013 IV Nr. 44 S. 134; Meyer/Reichmuth, Bundesgesetz über die Invalidenversicherung [IVG], 3. Aufl. 2014, Rz. 27 zu Art. 30-31 IVG) hat zur Folge, dass der Invaliditätsgrad nicht mehr anhand eines (auf Vollerwerbstätige anwendbaren) Einkommensvergleichs im Sinne von <ref-law> in Verbindung mit <ref-law> ermittelt wird, sondern nach der (auf Teilerwerbstätige mit einem Aufgabenbereich anwendbaren) gemischten Methode im Sinne von <ref-law>, was im Falle der am Recht stehenden Versicherten zur revisionsweisen Aufhebung der Invalidenrente bzw. zur Befristung der rückwirkend zugesprochenen Rente führt (<ref-ruling> und <ref-ruling> E. 2d S. 417 f.; Meyer/Reichmuth, a.a.O., Rz. 11 und 19 zu Art. 30-31 IVG). Als Verletzung von Art. 14 in Verbindung mit Art. 8 EMRK ist demnach zu betrachten, wenn die von der versicherten Person getroffenen, in den Schutzbereich des Art. 8 EMRK fallenden Dispositionen - die Geburt von Kindern und die damit (hypothetisch) verbundene teilweise Aufgabe der Erwerbstätigkeit - die einzige Grundlage des Statuswechsels bilden und aus der Änderung der Invaliditätsbemessungsmethode (Anwendbarkeit der gemischten statt der Einkommensvergleichsmethode) die revisionsweise Aufhebung der Invalidenrente (bzw. die Befristung der rückwirkend zugesprochenen Rente) resultiert.
4.2 Zur Herstellung des konventionskonformen Zustandes ist in der in E. 4.1 beschriebenen Konstellation auf die Aufhebung der Invalidenrente im Sinne von <ref-law> alleine zufolge eines Statuswechsels von "vollerwerbstätig" zu "teilerwerbstätig mit Aufgabenbereich" zu verzichten. In diesem Fall ist die Aufhebung der Invalidenrente EMRK-widrig. Für die Gesuchstellerin bedeutet dies, dass sie über den 31. August 2004 hinaus unverändert Anspruch auf eine halbe Rente der Invalidenversicherung hat; Sachverhalt (vgl. lit. A.a) und geltende Rechtslage belassen keinen Spielraum.
Aus diesen Erwägungen lässt sich (direkt) nichts für den vorliegenden Fall ableiten. Aus dem Urteil des EGMR vom 2. Februar 2016 kann jedenfalls nicht gefolgert werden, die Anwendung der gemischten Methode der Invaliditätsbemessung nach geltender Praxis sei konventionswidrig "sans égard à la situation concrète" (Urteil 9C_473/2016 vom 25. Januar 2017 E. 4).
4.2.
4.2.1. Der hier zu beurteilende Sachverhalt ist nicht vergleichbar mit demjenigen, welcher dem Urteil 9C_49/2008 vom 28. Juli 2008 zugrunde lag. Die Beschwerdeführerin war schon vor der Geburt ihrer Tochter 2004 teilzeitlich erwerbstätig. Im selben zeitlichen Umfang (70 % eines Normalarbeitspensums) gilt sie, und zwar durchgehend, im Rahmen der ab 1. März 2013 rückwirkenden Zusprechung der (gleichzeitig revisionsweise) abgestuften und befristeten Rente (<ref-ruling> E. 2d S. 417) als im Gesundheitsfall teilerwerbstätige, daneben den Haushalt führende und die Tochter betreuende Person (E. 2 hiervor). Unter diesen Umständen kann die vorinstanzlich bestätigte Rentenaufhebung auf Ende April 2015 bzw. die Verneinung eines Rentenanspruchs ab 1. Mai 2015 nicht ohne Weiteres als Folge einer Änderung des Status oder des hypothetischen erwerblichen Pensums (Anteil der Erwerbstätigkeit; Urteil 9C_395/2016 vom 25. August 2016 E. 2) aus rein familiären Gründen gelten.
4.2.2. Im IV-Rundschreiben Nr. 355 des BSV vom 31. Oktober 2016 wird das weitere Vorgehen nach dem Urteil des EGMR vom 2. Februar 2016, soweit nicht eine "'Di Trizio' ähnliche Ausgangslage" vorliegt, was namentlich einen familiär bedingten Grund für die Reduktion der Arbeitszeit voraussetzt, wie folgt umschrieben: "Wie der Bundesrat bereits in seinem Bericht [vom 1. Juli 2015 (Beantwortung des Postulates Jans [12.3960 "Schlechterstellung von Teilerwerbstätigen bei der Invalidenversicherung"])] festgehalten hat, kann eine Verbesserung für teilerwerbstätige Personen mit einem entsprechend angepassten Berechnungsmodell realisiert werden. Der Bundesrat beabsichtigt nun, ein solches Berechnungsmodell für die gemischte Methode einzuführen. Bis zum Inkrafttreten dieser neuen, generell-abstrakten Regelung wird es im Hinblick auf eine einheitliche und rechtsgleiche Behandlung der Versicherten notwendig sein, dass das bisherige Recht soweit als möglich weiterhin zur Anwendung gelangt. Dementsprechend ist beispielsweise bei einer erstmaligen Rentenzusprache bei einer Person, die bereits vor der Rentenprüfung einer Teilerwerbstätigkeit nachgegangen ist, das bisherige Recht und das bisherige Berechnungsmodell der gemischten Methode anzuwenden."
Das Bundesgericht ist in den bisherigen nach Eintritt der Rechtskraft des Urteils des EGMR in Sachen Di Trizio gegen die Schweiz (7186/09) vom 2. Februar 2016 gefällten Entscheiden im Sinne des IV-Rundschreibens Nr. 355 vom 31. Oktober 2016, welches den Charakter einer Verwaltungsweisung (zu deren Verbindlichkeit für die Sozialversicherungsgerichte: <ref-ruling> E. 5.1.2 in fine S. 20 und 133 V 257 E. 3.2 S. 258) hat, vorgegangen (vgl. etwa Urteile 9C_473/2016 vom 25. Januar 2017, 9C_514/2016 und 9C_399/2016, je vom 18. Januar 2017 sowie 9C_179/2016 vom 11. August 2016). Es besteht kein Anlass, es vorliegend anders zu halten (zu den Voraussetzungen für eine Praxisänderung <ref-ruling> E. 5.5.1 S. 303; <ref-ruling> E. 2.2.2 S. 422; je mit Hinweisen). Insofern kann die vorinstanzlich bestätigte Invaliditätsbemessung der Beschwerdegegnerin nicht als bundesrechtswidrig bezeichnet werden.
5.
Den Anspruch auf eine halbe Rente für die Zeitabschnitte 1. März 2013 bis 31. Mai 2014, 1. September 2014 bis 31. Januar 2015 und ab 1. Mai 2015 begründet die Beschwerdeführerin damit, das Valideneinkommen (<ref-ruling> E. 4.3 S. 224) sei konkret, ausgehend vom zuletzt erzielten Verdienst, und nicht auf tabellarischer Grundlage zu ermitteln, was zu einem höheren erwerblichen Invaliditätsgrad führe (E. 3 hiervor).
5.1. Nach der Rechtsprechung ist für die Ermittlung des Valideneinkommens entscheidend, was die versicherte Person im massgebenden Zeitpunkt aufgrund ihrer beruflichen Fähigkeiten und persönlichen Umstände als Gesunde tatsächlich verdient hätte. Da nach empirischer Feststellung in der Regel die bisherige Tätigkeit im Gesundheitsfall weitergeführt worden wäre, ist grundsätzlich vom letzten vor Eintritt der gesundheitlichen Beeinträchtigung erzielten, der Teuerung sowie der realen Einkommensentwicklung angepassten Verdienst auszugehen. Ausnahmen müssen mit überwiegender Wahrscheinlichkeit erstellt sein (<ref-ruling> E. 3.3.2 S. 30; Urteil 9C_361/2016 vom 22. August 2016 E. 5.1.2).
5.2. Entgegen der Auffassung der Beschwerdeführerin verletzt die Ermittlung des Valideneinkommens auf tabellarischer Grundlage und nicht ausgehend vom 2002 erzielten Verdienst kein Bundesrecht. Mit ihren Vorbringen verkennt sie, dass die in E. 5.1 hiervor dargelegte (Rechts-) Regel nur zum Zuge kommt, wenn überwiegend wahrscheinlich gesundheitliche Gründe (mit-) ursächlich für den Verlust der letzten Anstellung waren. Mit Bezug auf diese vom Bundesgericht nur eingeschränkt überprüfbare Tatfrage (Art. 105 Abs. 1 und 2 BGG) greift die allgemeine aus <ref-law> abgeleitete Beweislastverteilung. Danach wirkt sich Beweislosigkeit zu Ungunsten der Person aus, die sich auf die Regel der Anknüpfung an den zuletzt erzielten Lohn berufen will. Die Feststellung der Vorinstanz, es sei nicht mit überwiegender Wahrscheinlichkeit erstellt, dass die Beschwerdeführerin die letzte Arbeitsstelle bei der Spitex aus gesundheitlichen Gründen verloren habe, ist nicht offensichtlich unrichtig und somit für das Bundesgericht verbindlich.
6.
6.1. Entscheide, die der Beschwerde an das Bundesgericht unterliegen, müssen u.a. die massgebenden Gründe tatsächlicher und rechtlicher Art enthalten (<ref-law>). Aus dem angefochtenen Erkenntnis muss klar hervorgehen, von welchem festgestellten Sachverhalt die Vorinstanz ausgegangen ist und welche rechtlichen Überlegungen sie angestellt hat. Die Begründungspflicht dient dazu, den Parteien die für den Entscheid massgebenden Umstände zur Kenntnis zu bringen, damit sie sich ein Bild über die Tragweite machen und ihn gegebenenfalls sachgemäss anfechten können. Das Bundesgericht muss seinerseits die Möglichkeit haben, den Entscheid auf seine Richtigkeit hin zu überprüfen. Ein Entscheid, der diesen Anforderungen nicht genügt, ist in Anwendung von <ref-law> an die Vorinstanz zur Verbesserung zurückzuweisen oder aufzuheben (Urteil 4A_443/2015 vom 12. April 2016 E. 4.1 mit Hinweisen). Eine Rückweisung zur Verbesserung ohne Aufhebung des angefochtenen Entscheids kann nur erfolgen, wenn die Behebung des Mangels den Ausgang des vorinstanzlichen Verfahrens sicher nicht tangiert, wie etwa bei kanzleimässigen Versehen, die der Berichtigung unterliegen (Urteil 8C_742/2016 vom 5. Januar 2017 E. 2.2).
6.2. Für die Ermittlung des Invaliditätsgrades für die Zeit ab 1. Februar 2015 (mit Wirkung ab 1. Mai 2015; <ref-law>) hat die Vorinstanz ausgehend von einer verbliebenen Arbeitsfähigkeit von 2 x 2 Stunden im Tag und einer Aufteilung von Erwerb und Haushalt im Verhältnis 70 % zu 30 % (E. 2 hiervor) auf die in der Verfügung vom 25. September 2015 gemachten Ausführungen verwiesen (E. 5.1 des angefochtenen Entscheids). Dies vermag aus folgenden Gründen nicht vor <ref-law> zu bestehen: Einer rückwirkend verfügten abgestuften und/oder befristeten Rente muss ein Revisionsgrund nach <ref-law> unterlegt, d.h. eine Änderung in den tatsächlichen Verhältnissen von voraussichtlicher Dauer seit Rentenbeginn eingetreten sein, die sich auf den Anspruch als solchen oder den Umfang auswirken kann und Anlass gibt, den Invaliditätsgrad neu zu ermitteln (<ref-ruling> E. 2.3 S. 10; <ref-ruling> E. 2d i.f. S. 418). In der Begründung der Verfügungen vom 25. September 2015 wurden in Bezug auf die hier interessierende Rentenaufhebung auf Ende 2015 keine in diesem Sinne erhebliche Tatsachenänderungen genannt, ebenso wenig hat die Vorinstanz dazu Feststellungen getroffen. Ohne dass der diesbezüglich rechtserhebliche Sachverhalt festgestellt wird, ist es dem Bundesgericht nicht möglich, die für eine Neuberechnung des Invaliditätsgrades entscheidende Frage zu prüfen, ob ein Revisionsgrund nach <ref-law> gegeben ist, was <ref-law> und damit Bundesrecht verletzt (<ref-law>).
6.3. Im vorstehenden Sinne wird die Vorinstanz über den Anspruch der Beschwerdeführerin auf eine Rente der Invalidenversicherung ab 1. Mai 2015 neu zu entscheiden haben.
7.
Dem Ausgang des Verfahrens entsprechend sind die Gerichtskosten je zur Hälfte der Beschwerdeführerin und der IV-Stelle Basel-Stadt aufzuerlegen (Art. 66 Abs. 1 und 3 BGG). Die Versicherte hat Anspruch auf eine reduzierte Parteientschädigung (<ref-law>). Ihrem Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege kann im Übrigen entsprochen werden (Art. 64 Abs. 1 und 2 BGG). Es wird indessen ausdrücklich auf <ref-law> hingewiesen, wonach sie der Gerichtskasse Ersatz zu leisten hat, wenn sie später dazu im Stande ist.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird teilweise gutgeheissen. Der Entscheid des Sozialversicherungsgerichts des Kantons Basel-Stadt vom 22. März 2016 wird aufgeho ben, soweit er den Anspruch der Beschwerdeführerin auf eine Rente der Invalidenversicherung ab 1. Mai 2015 verneint. Die Sache wird an die Vorinstanz zu neuer Entscheidung im Sinne der Erwägungen zurückgewiesen. Im Übrigen wird die Beschwerde abgewiesen.
2.
Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege für das bundesgerichtliche Verfahren wird gutgeheissen und es wird der Beschwerdeführerin Rechtsanwalt Stephan Müller als Rechtsbeistand beigegeben.
3.
Die Gerichtskosten von Fr. 800.- werden je zur Hälfte (Fr. 400.-) der IV-Stelle Basel-Stadt und der Beschwerdeführerin auferlegt. Der Anteil der Versicherten wird einstweilen auf die Bundesgerichtskasse genommen.
4.
Die IV-Stelle Basel-Stadt hat die Beschwerdeführerin für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 1'400.- zu entschädigen.
5.
Dem Rechtsvertreter der Beschwerdeführerin wird aus der Bundesgerichtskasse eine Entschädigung von Fr. 1'400.- ausgerichtet.
6.
Dieses Urteil wird den Parteien, dem Sozialversicherungsgericht des Kantons Basel-Stadt und dem Bundesamt für Sozialversicherungen schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 15. März 2017
Im Namen der II. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Pfiffner
Der Gerichtsschreiber: Fessler