Sachverhalt:
A.
Die Offene Dorfgemeinde Andermatt stimmte am 28. Oktober 2010 einem neuen Reglement über den Tourismus in den Gemeinden Andermatt, Hospental und Realp (im Folgenden auch "Tourismusreglement" oder "TR") zu. Dieses Reglement sollte den Tourismus in den drei Gemeinden des Urserentals auf eine neue Grundlage stellen. Es sieht unter anderem vor, dass die drei Gemeinden eine Beherbergungsgebühr erheben.
Mit Urteil vom 5. Juli 2011 (2C_951/2010) wies das Bundesgericht die Beschwerde eines Ferienwohnungseigentümers gegen die Einführung dieser Beherbergungsgebühr ab, soweit es darauf eintrat.
Inzwischen - am 1. Juli 2011 - war das Reglement in der Einwohnergemeinde Andermatt in Kraft getreten. Am 23. Oktober 2011 wurde es revidiert und u.a. der Abgabesatz pro m2 Nettowohnfläche für Ferienwohnungen (dazu hinten E. 2) von Fr. 20.-- auf Fr. 14.-- gesenkt.
B.
A._ ist Eigentümer des auf der Parzelle Nr. yyy gelegenen Ferienhauses in Andermatt. Gegen die ihm am 5. September 2011 vom Gemeinderat Andermatt provisorisch in Rechnung gestellte Beherbergungsgebühr für das Jahr 2011 erhob er Beschwerde beim Regierungsrat des Kantons Uri und beantragte die Aufhebung der genannten Rechnung sowie die Aufhebung bzw. Abänderung von Teilen des Tourismusreglements. Am 20. März 2012 wies der Regierungsrat diese Beschwerde ab. A._ wehrte sich gegen diesen Entscheid erfolglos bis zum Bundesgericht (vgl. Urteil 2C_258/2013 vom 13. September 2013).
C.
Am 28. Oktober 2013 legte der Gemeinderat Andermatt gegenüber A._ die Beherbergungsgebühren für das Jahr 2011 auf Fr. 860.75 und für die Jahre 2012 und 2013 auf je Fr. 1'475.60 (definitiv) fest und stellte ihm diese Beträge in Rechnung. Die von A._ hiegegen geführte Verwaltungsbeschwerde beim Regierungsrat des Kantons Uri blieb erfolglos, und mit Urteil vom 10. April 2015 wies das Obergericht des Kantons Uri (verwaltungsrechtliche Abteilung) die gegen den regierungsrätlichen Entscheid vom 22. April 2014 gerichtete Beschwerde ebenfalls ab, soweit es darauf eintrat.
D.
Mit Eingabe vom 10. Juni 2015 führt A._ beim Bundesgericht Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten mit den Anträgen, das letztgenannte Urteil sowie die gestützt auf das Tourismusreglement zugestellten Rechnungen aufzuheben.
Die Einwohnergemeinde Andermatt beantragt, die Beschwerde abzuweisen. Die Justizdirektion - für den Regierungsrat - äussert sich, ohne einen konkreten Antrag zu stellen. Das Obergericht des Kantons Uri verzichtet auf Vernehmlassung.
Mit Eingabe vom 28. August 2015 hält A._ an seinen Anträgen fest. Am 2. Dezember 2016 reichte er dem Bundesgericht unaufgefordert den Geschäftsbericht 2015 der Andermatt-Urserental Tourismus GmbH sowie den Bericht "Wirtschaftliche Entwicklung im Urserental" der Urner Kantonalbank (November 2016) ein.

Erwägungen:
1.
1.1. Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten gegen den kantonal letztinstanzlichen Endentscheid ist zulässig (Art. 82 lit. a, Art. 86 Abs. 1 lit. d und Abs. 2 sowie Art. 90 BGG) und der Beschwerdeführer ist als Abgabepflichtiger, dessen Anträge vorinstanzlich abgewiesen wurden, zur Beschwerde legitimiert (<ref-law>). Soweit der Beschwerdeführer die Aufhebung der Rechnungen bzw. Verfügungen vom 28. Oktober 2013 beantragt, ist allerdings auf die Beschwerde nicht einzutreten, denn diese wurden durch den angefochtenen Entscheid ersetzt (Devolutiveffekt, vgl. <ref-ruling> E. 1.4 S. 144).
1.2. Das Bundesgericht prüft unter Berücksichtigung der allgemeinen Rüge- und Begründungspflicht grundsätzlich nur die geltend gemachten Vorbringen, sofern die rechtlichen Mängel nicht geradezu offensichtlich sind (<ref-ruling> E. 1.4.1 S. 254). Es legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, wie die Vorinstanz ihn festgestellt hat (<ref-law>), und kann diesen - soweit entscheidrelevant - bloss dann berichtigen oder ergänzen, falls er offensichtlich unrichtig oder in Verletzung wesentlicher Verfahrensrechte ermittelt wurde (<ref-law>, <ref-ruling> E. 2 S. 5).
1.3. Streitgegenstand bildet hier die konkrete Beherbergungsgebühr für die Jahre 2011 (ab Juli) bis 2013. Der Beschwerdeführer rügt nicht eine unrichtige bzw. willkürliche Anwendung des Reglements bei der Bemessung dieser Abgabe (insbesondere nicht die Anzahl der dazu herangezogenen m2 seiner Ferienliegenschaft), sondern die Gesetzes- und Verfassungswidrigkeit des Reglements selber. Dies ist an sich zulässig; die Abweisung der Beschwerde in der abstrakten Normenkontrolle des Verfahrens 2C_951/2010 (vorne lit. A) schliesst die verfassungs- bzw. gesetzesrechtliche Infragestellung des Reglements im Rahmen einer konkreten Normenkontrolle nicht aus, zumal im genannten Urteil nur auf formgerecht vorgetragene Verfassungsrügen eingegangen werden konnte.
1.4. Indessen sind Kognition und Rügepflicht zu beachten: Mit der Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann namentlich die Verletzung von Bundesrecht und Völkerrecht gerügt werden (Art. 95 lit. a und b BGG). Beruht der angefochtene Entscheid auf kantonalem oder kommunalem Recht, sind die Rügegründe erheblich eingeschränkt. Der Eingriff in kantonales oder kommunales Recht bildet nur insofern einen eigenständigen Beschwerdegrund, als die Verletzung kantonaler verfassungsmässiger Rechte (<ref-law>) oder kantonaler Bestimmungen zum Stimm- und Wahlrecht (<ref-law>) geltend gemacht wird. Abgesehen davon kann das Bundesgericht die Handhabung kantonalen (und kommunalen) Verfassungs-, Gesetzes- oder Verordnungsrechts nicht als solche prüfen, sondern lediglich daraufhin, ob dadurch Bundes-, Völker- oder interkantonales Recht verletzt wird (Art. 95 lit. a, b und e BGG; <ref-ruling> E. 5.4 S. 43; <ref-ruling> E. 4.3 S. 176; <ref-ruling> E. 3.1 S. 321; <ref-ruling> E. 2 S. 300; <ref-ruling> E. 2 S. 150; <ref-ruling> E. 1.2 S. 145). Dabei steht die Prüfung dessen im Vordergrund, ob eine Verletzung des Willkürverbots vorliegt (<ref-law>; <ref-ruling> E. 3.4 S. 53; <ref-ruling> E. 3.1 S. 224; <ref-ruling> E. 5.4 S. 324).
Willkür in der Rechtsanwendung liegt vor, wenn der angefochtene Entscheid offensichtlich unhaltbar ist, mit der tatsächlichen Situation in klarem Widerspruch steht, eine Norm oder einen unumstrittenen Rechtsgrundsatz krass verletzt oder in stossender Weise dem Gerechtigkeitsgedanken zuwiderläuft. Das Bundesgericht hebt einen Entscheid jedoch nur auf, wenn nicht bloss die Begründung, sondern auch das Ergebnis unhaltbar ist. Dass eine andere Lösung ebenfalls als vertretbar oder gar zutreffender erscheint, genügt nicht (<ref-ruling> E. 3.4 S. 53; <ref-ruling> E. 4.3.1 S. 177; <ref-ruling> E. 1.2 S. 308 f.; <ref-ruling> E. 2.1 S. 18 f.).
Bei der Prüfung von Bundes- und Völkerrecht (Art. 95 lit. a und b BGG) verfügt das Bundesgericht über uneingeschränkte (volle) Kognition und wendet es das Recht von Amtes wegen an (<ref-law>). Die Verletzung von Grundrechten und von kantonalem (einschliesslich kommunalem) und interkantonalem Recht prüft das Bundesgericht in jedem Fall nur, falls eine solche Rüge in der Beschwerde überhaupt vorgebracht und ausreichend begründet worden ist (qualifizierte Rüge- und Begründungspflicht gemäss <ref-law>; <ref-ruling> E. 2.2 S. 60). Wird keine Verfassungsrüge erhoben, kann das Bundesgericht eine Beschwerde selbst dann nicht gutheissen, wenn eine Verfassungsverletzung tatsächlich vorliegt (<ref-ruling> E. 1.3 S. 41; <ref-ruling> E. 2.2 S. 232). In der Beschwerde ist daher klar und detailliert anhand der Erwägungen des angefochtenen Entscheids darzulegen, inwiefern verfassungsmässige Rechte verletzt worden sein sollen (<ref-ruling> E. 8 S. 156).
Die Vorbringen des Beschwerdeführers genügen diesen Anforderungen nicht vollumfänglich; sie sind teilweise kaum hinreichend substantiiert: Dass andere Regelungen denkbar oder aus der Sicht des Beschwerdeführers sachgerechter oder gar vorzuziehen gewesen wären, bedeutet - wie ausgeführt - noch nicht, dass die von ihm angefochtene Abgabe verfassungswidrig wäre.
2.
Das Tourismusreglement bezweckt, die nachhaltige Entwicklung des Tourismus in den betroffenen Gemeinden zu fördern (Art. 1 Abs. 1 TR). Dazu leisten diese Gemeindebeiträge in der Richtgrösse von Fr. 150.-- pro Einwohner und Jahr (Art. 25 Abs. 1). Zudem veranlagen und erheben die Gemeinden eine Beherbergungsgebühr sowie eine Tourismusabgabe und überwachen deren Verwendung (Art. 3 lit. c-e).
Die Beherbergungsgebühr ist gemäss Art. 4 zu bezahlen für die zur Verfügungsstellung von Räumlichkeiten für die Übernachtung in Beherbergungsbetrieben wie Hotels, Gasthäusern, Pensionen und Privatzimmern (lit. a), in Lagerhäusern und Berghütten (lit. b), auf Standplätzen für Zelte, Wohnwagen und Wohnmobile (lit. c), und in Zweitwohnungen, Ferienwohnungen und Ferienhäusern (lit. d). Abgabepflichtig ist, wer Räumlichkeiten für die Übernachtung zur Verfügung stellt oder diese zu Wohnzwecken selbst nutzt (Art. 5). Für Beherbergungsbetriebe bildet die Grundlage für die Berechnung der jährlich zu entrichtenden Beherbergungsgebühr der Zimmerpreis pro Übernachtung (Gebührenhöhe Fr. 300.-- - Fr. 1'000.-- pro Zimmer und Jahr), vgl. Art. 7; für Lagerhäuser und Berghütten die Anzahl der Schlafstätten (Art. 8); für Standplätze die Anzahl der Standplätze (Fr. 130.--) und für Zweitwohnungen, Ferienwohnungen und Ferienhäuser die Nettowohnfläche der Wohnliegenschaft, unabhängig davon, ob sie eigenbelegt oder gewerbsmässig vermietet wird (Art. 10 Abs. 1). Für die ermittelte Nettowohnfläche (Summe aller begeh- und belegbaren Wohnflächen innerhalb der Wohnung) sind Fr. 14.-- pro m 2 und Jahr zu bezahlen (Art. 10 Abs. 2). Der Ertrag aus den Beherbergungsgebühren ist vollumfänglich im Interesse und zum Nutzen der Benützer der Beherbergungsangebote zu verwenden. Unter anderem sind mit den Beherbergungsgebühren touristische Dienste, Infomationen aller Art, Veranstaltungen, der Bau und der Betrieb touristischer Anlagen sowie die Planung und die Entwicklung von Angeboten zu finanzieren (Art. 15).
Die Tourismusabgabe ist gemäss Art. 17 zu entrichten - Ausnahmen in Art. 18 vorbehalten - von allen selbständig erwerbenden natürlichen Personen und juristischen Personen mit Sitz oder Betriebsstätten in den betroffenen Gemeinden, soweit ihre unternehmerische Tätigkeit aus dem Tourismus direkten oder indirekten Nutzen zieht (namentlich Beherbergungs- und Gastgewerbebetriebe, Transportunternehmungen mit touristischem Personenverkehr, kommerzielle Anbieter in den Bereichen Sport- und Freizeit etc.). Diese Abgabe bemisst sich nach dem Nutzen, welche die Abgabepflichtigen aus dem Tourismus ziehen und beträgt mindestens Fr. 200.-- und höchstens Fr. 4'000.-- pro Jahr (Art. 19). Der Ertrag aus der Tourismusabgabe ist vollumfänglich im Interesse und zum Nutzen von tourismusnahen Unternehmen und Beherbergungsbetrieben zu verwenden. Unter anderem sind mit der Tourismusabgabe die Ausgaben für das Marketing zu finanzieren (Art. 24).
Streitig ist hier die Beherbergungsgebühr.
3.
3.1. Die Vorinstanz und der Beschwerdeführer qualifizieren die Beherbergungsgebühr mit Recht als Kostenanlastungssteuer (dazu Urteile 2C_712/2015 und 2C_794/2015 [ASA 84 725] vom 22. Februar 2016 E. 3.2.2 und 3.2.3 mit Hinweisen, 2C_1158/2012 vom 27. August 2013 E. 4.2, [zit.] 2C_951/2010, 2C_139/2009 vom 13. August 2009 E. 3.2 mit Hinweisen, vgl. auch ADRIANO MARANTELLI, Grundprobleme des schweizerischen Tourismusabgaberechts, 1991, S. 4 ff., 20 ff. S. 51 [im Folgenden: MARANTELLI, Grundprobleme]). Unter den Begriff der Kostenanlastungssteuern fallen Sondersteuern, die einer bestimmten Gruppe von Personen auferlegt werden, weil diese zu bestimmten Aufwendungen des Gemeinwesens in einer näheren Beziehung stehen als die übrigen Steuerpflichtigen (<ref-ruling> E. 5.3 S. 277 [Abgabe zur Sanierung von Altlasten]; <ref-ruling> E. 5.1 S. 354 f. [Beitrag an die Investitionskosten von Heimen]; <ref-ruling> E. 2.2 S. 160 [Sondergewerbesteuer in Samnaun/GR]; <ref-ruling> E. 3e S. 293 [Strassenreinigungsabgabe]; <ref-ruling> E. 4b S. 309 f. [Steuer auf Gebäuden als Feuerschutzabgabe]). Weitere typische Erscheinungsformen bestehen in Kurtaxen, Motorfahrzeugsteuern, Schiffssteuern, Hundesteuern oder Treibstoffzuschlägen, wobei die Steuereinnahmen auch regelmässig einer gesetzlichen Zweckbindung unterworfen sind (BGE <ref-ruling> E. 3b S. 292; <ref-ruling> E. 4c S. 311). Die Pflicht zur Leistung einer Kostenanlastungssteuer knüpft an die abstrakte Interessenlage des belasteten Personenkreises an und erfordert keinen konkreten besonderen Nutzen des Einzelnen (<ref-ruling> E. 4.5 S. 10 [Gemeinwerk in Grindelwald]; zum Ganzen Urteil 2C_1158/2012 vom 27. August 2013 E. 4.2, in: ASA 82 S. 229, RDAF 2014 II 12, StE 2014 A 25 Nr. 13, StR 68/2013 S. 786). Anders als bei der Vorzugslast ist ein individueller, der einzelnen abgabepflichtigen Person zurechenbarer Sondervorteil entbehrlich. Es genügt, dass die betreffenden Aufwendungen des Gemeinwesens dem abgabepflichtig erklärten Personenkreis eher anzulasten sind als der Allgemeinheit, sei es, weil diese Gruppe von den Leistungen generell stärker profitiert als andere (" abstrakte Nutzennähe "), sei es, weil sie als hauptsächliche Verursacherin dieser Aufwendungen angesehen werden kann (" abstrakte Kostennähe ").
Die Erhebung einer derartigen Abgabe setzt voraus, dass sachlich haltbare Gründe bestehen, die betreffenden staatlichen Aufwendungen der erfassten Personengruppe anzulasten (sachlich haltbar gezogener Kreis der Abgabepflichtigen). Zudem muss die allfällige Abgrenzung nach haltbaren Kriterien erfolgen; andernfalls verletzt die Abgabe das Gleichheitsgebot (<ref-ruling> E. 4.2). Die Bemessung muss sich hingegen nicht nach konkret nachgewiesenen Vorteilen richten, sondern kann in abstrakter Weise aufgrund schematisch festgelegter Kriterien erfolgen (vgl. BGE <ref-ruling> E. 3b S. 292, Urteile 2P.194/2006 vom 7. August 2006 E. 3, 2P.322/2004 vom 24. Juni 2005 E. 2 mit Hinweisen; zur Pauschalierung MARANTELLI, Grundprobleme, S. 336 ff.), denn jede Steuer dient auch der Finanzierung von Staatsaufgaben, die nicht von allen Steuerpflichtigen in Anspruch genommen oder gewünscht werden (Beispiele bei MARANTELLI, Tourismus- und Zweitwohnungsabgaben - eine Bestandesaufnahme, in: Jusletter vom 2. Februar 2015 Rz. 15) [im Folgenden: MARANTELLI, Tourismusabgaben]). Dies gilt auch für Kostenanlastungssteuern, sofern der Kreis der Pflichtigen und die Aufgabenwahrnehmung an sich haltbar erscheint.
4.
Ob die Gemeinde eine (kantonal-) gesetzliche Grundlage zur Steuererhebung benötigt, ist eine Frage des kantonalen Rechts und wird - selbst wenn es um kantonales Verfassungsrecht geht - vom Bundesgericht nur unter dem Gesichtswinkel des Willkürverbots geprüft (<ref-ruling> E. 5.4 S. 43), was entsprechende Rügen voraussetzt (vorne E. 1.3). Die Vorinstanz hat in Anwendung des einschlägigen kantonalen Rechts die Kompetenz der Gemeinde zur Erhebung der Abgabe bejaht (E. 9 des angefochtenen Entscheides). Der Beschwerdeführer stellt dies nicht substantiiert in Frage. Er behauptet zwar, der Gemeinde Andermatt fehle die Kompetenz zur Erhebung der entsprechenden Abgabe und diese missachte das kantonale Gastgewerbegesetz (S. 20 der Beschwerdeschrift), zeigt aber nicht auf, dass und inwiefern die getroffene Regelung konkret gesetzwidrig und die vom Obergericht vorgenommene Auslegung des kantonalen Rechts willkürlich wäre.
5.
Der Beschwerdeführer beanstandet, die mit der Beherbergungsgebühr eingenommenen finanziellen Mittel würden rechtswidrig verwendet und argumentiert über weite Strecken damit, dass mit dieser Abgabe auch die Tourismusförderung bezahlt werde.
5.1. Die Erträge einer Kostenanlastungssteuer dürfen nur für diejenigen Zwecke verwendet werden, welche die Erhebung der Steuer rechtfertigen; sie sind also zweckgebunden (vorne E. 3.1). In diesem Sinne gilt auch das Kostendeckungsprinzip (vgl. die berechtigte Kritik am [zit.] Urteil 2C_951/2010 bei MARANTELLI, Tourismusabgaben, Rz. 12 Fn 18).
5.2. Zurückgehend auf <ref-ruling> E. 3a S. 71 ff. muss der Ertrag einer Kurtaxe der Finanzierung von Ausgaben dienen, die den Touristen einen Nutzen bringen. Dies nimmt das Andermatter Reglement auch für die dort vorgesehenen Abgaben auf, indem es in Art. 15 die Mittelverwendung für die Beherbergungsgebühr ("vollumfänglich im Interesse und zum Nutzen der Benützer des Beherbergungsangebots") und in Art. 24 diejenige für die Tourismusabgabe ("vollumfänglich im Interesse und zum Nutzen von tourismusnahen Unternehmen und Beherbergungsbetrieben", u.a. "Auslagen für das Marketing") regelt (vgl. vorne E. 2). Der Ertrag aus der Beherbergungsgebühr darf also nach dem klaren Wortlaut des Erlasses - allerdings unabhängig davon, ob die Benützer des Beherbergungsangebotes von den entsprechenden Einrichtungen konkret Gebrauch machen - nur für diese Benützer verwendet werden, aber nicht für die Tourismusförderung.
5.3. Die Vorinstanz prüfte die Mittelverwendung der Beherbergungsgebühr mit dem Ergebnis, dass deren Ertrag nicht für die Tourismusförderung verwendet wird (E. 11 des angefochtenen Entscheides). Dies ist eine Sachverhaltsfrage (vorne E. 1.2).
Der Beschwerdeführer behauptet, die Erträge aus der Beherbergungsgebühr würden rechtswidrig für die Tourismusförderung verwendet und stellt eigene Rechnungen auf, legt aber in seiner Beschwerdeschrift nicht dar, inwiefern die vorinstanzliche Sachverhaltsfeststellung willkürlich wäre. Diese ist für das Bundesgericht damit verbindlich (vorne E. 1.2) und ist der weiteren Beurteilung im Folgenden zugrunde zu legen (<ref-law>).
6.
Der Beschwerdeführer beanstandet die Höhe der Abgabe und rügt die Ungleichbehandlung zwischen Einwohnern, Hotelgästen und Zweitwohnungsbesitzern. Die Bevorzugung der Hotelbetreiber sei stossend und unzulässig. Bei Zweitwohnungen erscheine die Anknüpfung an die Wohnfläche sodann nicht sachgerecht. Dadurch würden das Rechtsgleichheitsgebot und das Willkürverbot (Art. 8 und 9 BV) mehrfach verletzt.
6.1. Die Höhe einer Steuer ist primär ein politischer Entscheid; dass eine Abgabe höher ausfällt als bisher oder höher als in anderen Kantonen oder Gemeinden, bedeutet nicht, dass sie verfassungswidrig wäre. Zwar trifft bei Tourismus- bzw. Zweitwohnungsabgaben regelmässig die besondere Konstellation zu, dass diejenigen, die über diese Abgaben beschliessen, zum grössten Teil nicht abgabepflichtig sind, während umgekehrt den Pflichtigen das Stimmrecht fehlt. Dies liegt jedoch im Auseinanderfallen von Wohnsitz und Eigentum begründet. Dass das Stimmrecht am Wohnsitz ausgeübt wird, ist verfassungsrechtlich vorgegeben (<ref-law>). Wer an einem anderen Ort Grundeigentum erwirbt, unterwirft sich damit der Steuerhoheit des jeweiligen Gemeinwesens. Die Trennung von Steuerpflicht und Stimmrecht rechtfertigt allenfalls eine besonders kritische Überprüfung der Verfassungsmässigkeit, weil eine systematische Benachteiligung der auswärtigen Eigentümer nicht von der Hand zu weisen ist (vgl. <ref-ruling>), bedeutet für sich allein aber nicht Verfassungswidrigkeit.
6.2. Die pauschale Bemessung einer derartigen Abgabe unabhängig von der effektiven Benützung der touristischen Anlagen verletzt das Rechtsgleichheitsgebot nicht (vgl. Urteil 2P. 111/2002 vom 13. Dezember 2002 E. 4.2). Im dort beurteilten Fall ging es um eine (allerdings betragsmässig tiefe) Pauschal-Abgabe zur Förderung des öffentlichen Verkehrs, die vom Bundesgericht sogar unabhängig von der Grösse der Wohnung als zulässig erachtet wurde. Die Bemessung der hier streitbetroffenen Abgabe nach der Nettowohnfläche der betroffenen Ferienliegenschaft erscheint jedenfalls nicht sachlich unhaltbar, stellt sie doch einen ungefähren Bezug her zu deren Nutzungsmöglichkeit.
6.3. Soweit der Beschwerdeführer geltend macht, Zweitwohnungsbesitzer würden im Vergleich mit den von den Gemeinden zu leistenden Beiträgen pro Einwohner (Art. 25 TR, vgl. vorne E. 2) übermässig belastet, ist ihm entgegenzuhalten, dass touristische Anlagen primär im Interesse der Gäste errichtet werden und nicht in erster Linie für die einheimische Bevölkerung (zit. Urteil 2C_794/2015 E. 3.3.5 mit Hinweisen). Wenn Tagestouristen (mangels geeigneter Möglichkeiten, sie abgaberechtlich effizient zu erfassen) an diese Anlagen keinen Beitrag leisten, ist dies durch die Praktikabilität bedingt und gerechtfertigt (vgl. zit. Urteil 2C_794/2015 E. 3.4, ebenso MARANTELLI, Tourismusabgaben, a.a.O., Rz. 31 f.).
6.4. Die als unzulässig gerügte ungleiche Bemessungsgrundlage für Beherbergungsbetriebe und Zweitwohnungen (vgl. vorne E. 2) verletzt das Rechtsgleichheitsgebot ebenfalls nicht; sie ist sachlich haltbar und liegt in der unterschiedlichen Benützungsstruktur von Beherbergungsbetrieben und Ferienliegenschaften begründet. Auch die Höhe der Abgabe ist nicht unsachlich unterschiedlich, generieren doch drei bis vier Hotelzimmer üblichen Standards jährlich ungefähr gleich viel Ertrag aus der Beherbergungsgebühr wie die Ferienliegenschaft des Beschwerdeführers (vgl. Art. 7 Abs. 2 lit. a TR).
6.5. Die vom Beschwerdeführer verschiedentlich herangezogene Methodik zu einer seiner Auffassung nach zulässigen Abgabenhöhe für Zweitwohnungsbesitzer (in seinem Fall Fr. 320.-- bis Fr. 450.-- pro Jahr anstatt der in Rechnung gestellten Fr. 1'475.60) beruht auf Logiernächten und setzt voraus, dass auf die konkrete Belegung abgestellt wird (bei einer Ferienwohnung bloss 40 Tage pro Jahr, vgl. S. 13 und S. 21 der Beschwerdeschrift). Es ist aber nicht unhaltbar, der Bemessung abstrakt die volle Auslastung der Ferienliegenschaft zu Grunde zu legen: Einerseits kann der Wohnungseigentümer seine Wohnung im Prinzip auch ganzjährig vermieten, so gut oder so schlecht wie der Hotelbetreiber sein Hotel auslasten kann. Verzichtet der Wohnungseigentümer auf eine Vermietung, kann er nicht eine Reduktion der Abgabe verlangen (so wenig wie der Hotelbesitzer, der sein Hotel nur wenige Tage pro Jahr geöffnet hat), denn die mit dem Ertrag der Abgabe finanzierten Anlagen müssen unterhalten werden, unabhängig davon, ob und wie oft sie effektiv benützt werden.
7.
Der Beschwerdeführer rügt, die im Reglement vorgesehene Beherbergungsgebühr verletze die Wirtschaftsfreiheit (<ref-law>). Er werde dafür bestraft, dass er eine Vermietung seiner Wohnung unterlasse. <ref-law> schütze aber auch die Freiheit, sich nicht wirtschaftlich zu betätigen.
7.1. Die Erhebung einer Steuer verletzt die Wirtschaftsfreiheit nicht, so lange sie sich nicht prohibitiv auswirkt (<ref-ruling> E. 4.2 S. 135 f., 128 I 102 E. 6 S. 110 ff., Urteil 2C_763/2009 vom 28. April 2010 E. 6), auch Kostenanlastungssteuern nicht (Urteil 2A.246/2004 vom 21. Dezember 2004 E. 6 und E. 7). Ebenso sind sachlich begründete Differenzierungen anderer Abgaben zulässig (<ref-ruling> [emissionsabhängige Landegebühren für einen Flughafen]).
7.2. Die umstrittene Beherbergungsabgabe hindert den Beschwerdeführer nicht daran, seine Ferienliegenschaft nicht zu vermieten; er bleibt frei, eine Fremdvermietung in die Wege zu leiten oder dies zu unterlassen. Die betreffende Abgabe ist nicht eine Strafzahlung für das Unterlassen der Vermietung, sondern ein pauschalierter Beitrag an die Kosten für touristische Informationen, Veranstaltungen und Anlagen, die den (potenziellen oder effektiven) Benützern dienen (vgl. Art. 15 TR). Selbst wenn mit dieser Abgabe ein gewisser indirekter Vermietungsdruck erzeugt werden soll, ist dies verfassungsrechtlich nicht unzulässig (vgl. analog zur Eigentumsgarantie <ref-ruling> E. 9 S. [kommunale Zweitwohnungssteuer Silvaplana]).
8.
Nach dem Ausgeführten ist die Beschwerde abzuweisen, soweit darauf einzutreten ist.
Bei diesem Ausgang trägt der Beschwerdeführer die Gerichtskosten (Art. 65 und Art. 66 Abs. 1 BGG). Parteientschädigungen sind nicht geschuldet (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht :
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 1'300.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten und dem Obergericht des Kantons Uri, Verwaltungsrechtliche Abteilung, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 21. Dezember 2016
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Seiler
Der Gerichtsschreiber: Klopfenstein