Erwägungen:
1.
Mit Verfügung vom 3. November 2015 entzog das Verkehrsamt des Kantons Schwyz A._ vorsorglich den Führerausweis. Die Wiedererteilung des Führerausweises wurde vom Ergebnis einer verkehrsmedizinischen Untersuchung beim Institut für Rechtsmedizin (IRM) der Universität Zürich abhängig gemacht.
Dagegen erhob A._ am 20. November 2015 Beschwerde beim Verwaltungsgericht des Kantons Schwyz, welches die Beschwerde mit Entscheid vom 22. Dezember 2015 abwies.
2.
A._ führt mit Eingabe vom 28. Januar 2016 (Postaufgabe 29. Januar 2016) Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten gegen den Entscheid des Verwaltungsgerichts des Kantons Schwyz. Das Bundesgericht verzichtet auf die Einholung von Vernehmlassungen.
3.
3.1. Das Bundesgericht prüft von Amtes wegen und mit freier Kognition, ob und inwieweit ein bei ihm eingereichtes Rechtsmittel zulässig ist (vgl. <ref-ruling> E. 1 S. 116 mit Hinweisen).
3.2. Nach <ref-law> ist die Beschwerde innert 30 Tagen nach Eröffnung der vollständigen Ausfertigung des angefochtenen Entscheids beim Bundesgericht einzureichen. Diese gesetzliche Frist ist nicht erstreckbar (<ref-law>).
3.3. Der angefochtene Entscheid des Verwaltungsgerichts ist dem Beschwerdeführer nach eigenen Angaben am 24. Dezember 2015 zugestellt worden. Die Beschwerdefrist begann somit am 25. Dezember 2015 zu laufen und endete am Montag, 25. Januar 2016. Die am 29. Januar 2016 der Post übergebene Beschwerde ist daher nach Ablauf der 30-tägigen Beschwerdefrist aufgegeben worden.
3.4. Der Beschwerdeführer ist der Auffassung, es gelte der Fristenstillstand gemäss <ref-law>, wonach gesetzlich oder richterlich bestimmte Fristen vom 18. Dezember bis und mit 2. Januar still stehen. Diese Vorschrift gilt indessen gemäss <ref-law> (in der Fassung vom 26. September 2014, in Kraft seit 1. November 2015) nicht in Verfahren betreffend aufschiebende Wirkung und andere vorsorgliche Massnahmen sowie in der Wechselbetreibung, für Stimmrechtssachen (Art. 82 Bst. c) und auf den Gebieten der internationalen Rechtshilfe in Strafsachen und der internationalen Amtshilfe in Steuersachen.
Der vorinstanzliche Entscheid betrifft einen vorsorglichen Führerausweisentzug. Dabei handelt es sich unbestrittenermassen um eine vorsorgliche Massnahme nach <ref-law> (vgl. etwa Urteil 1C_264/2014 vom 19. Februar 2015 E. 2 mit weiteren Hinweisen). Die in <ref-law> und <ref-law> verwendeten Begriffe der vorsorglichen Massnahme sind gleichbedeutend (<ref-ruling> E. 1.3 S. 668 mit Hinweisen; vgl. auch BSK BGG, Kathrin Amstutz/Peter Arnold, 2. Aufl., Art. 46 N 11). Da es sich vorliegend um eine vorsorgliche Massnahme nach <ref-law> handelt, gelangt der Fristenstillstand nicht zur Anwendung. Demzufolge ist die am 29. Januar 2016 der Post übergebene Beschwerde verspätet.
4.
Auf die Beschwerde ist demnach wegen verspäteter Einreichung nicht einzutreten. Der genannte Mangel ist offensichtlich, weshalb über die Beschwerde im vereinfachten Verfahren nach <ref-law> entschieden werden kann.
Bei diesem Ausgang des Verfahrens sind die Gerichtskosten dem Beschwerdeführer aufzuerlegen (<ref-law>).

Demnach erkennt der Präsident:
1.
Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 1'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer, dem Verkehrsamt des Kantons Schwyz und dem Verwaltungsgericht des Kantons Schwyz, Kammer III, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 5. Februar 2016
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Fonjallaz
Der Gerichtsschreiber: Pfäffli