Sachverhalt:
A.
A._ ist bei der Stadt Zürich tätig und dadurch bei der Unfallversicherung der Stadt Zürich (nachfolgend: UVZ) obligatorisch gegen Unfallfolgen versichert. Gemäss Schadenmeldung vom 16. April 2010 stürzte er am 7. März 2010 auf einer Treppe und verletzte sich am linken Knie. Am 26. April 2010 wurde dieses durch den orthopädischen Chirurgen Dr. med. B._, Klinik C._, operiert. Die UVZ gewährte Heilbehandlung und richtete Taggeld aus. Am 21. Dezember 2012 wurde der UVZ eine Schädigung am rechten Knie als Rückfall zum Unfall vom 7. März 2010 gemeldet. Am 9. Januar 2013 nahm Dr. med. B._ am rechten Knie gestützt auf die Diagnose einer medialen Meniskushinterhornquetschverletzung eine Arthroskopie mit "Riss-Débridement und Naht Meniskushinterhorn" vor (Operationsbericht/Austrittsbericht vom 10. Januar 2013). Mit Verfügung vom 9. April 2013 und Einspracheentscheid vom 8. Januar 2014 verneinte die UVZ ihre Leistungspflicht für die Gesundheitsschädigung am rechten Knie mangels natürlichen Kausalzusammenhangs zum Unfall vom 7. März 2010.
B.
A._ reichte hiegegen Beschwerde ein. Mit Entscheid vom 5. Juni 2015 wies das Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich diese ab.
C.
Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten beantragt A._, in Aufhebung des vorinstanzlichen Entscheids sei die UVZ zu verpflichten, die gesetzlichen Leistungen, insbesondere Heilungskosten und Taggelder, für den Gesundheitsschaden am rechten Knie zu leisten; eventuell sei die Vorinstanz zu verpflichten, ein medizinisches Gutachten einzuholen.
Es wird kein Schriftenwechsel durchgeführt.

Erwägungen:
1.
Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann wegen Rechtsverletzungen gemäss Art. 95 und 96 BGG erhoben werden. Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (<ref-law>), doch prüft es, unter Berücksichtigung der allgemeinen Rüge- und Begründungspflicht (Art. 42 Abs. 1 und 2 BGG), nur die geltend gemachten Vorbringen, falls allfällige weitere rechtliche Mängel nicht geradezu offensichtlich sind (<ref-ruling> E. 1.6 S. 280 mit Hinweisen).
Im Beschwerdeverfahren um die Zusprechung oder Verweigerung von Geldleistungen der Militär- oder Unfallversicherung ist das Bundesgericht nicht an die vorinstanzliche Feststellung des rechtserheblichen Sachverhalts gebunden (Art. 97 Abs. 2 und Art. 105 Abs. 3 BGG).
2.
Streitig und zu prüfen ist der Anspruch auf Leistungen der obligatorischen Unfallversicherung aus dem Treppensturz vom 7. März 2010 für den Gesundheitsschaden am rechten Knie.
Die Vorinstanz hat die Bestimmungen und Grundsätze zum Leistungsanspruch aus Unfall und unfallähnlicher Körperschädigung, zum hiefür nebst anderem vorausgesetzten natürlichen Kausalzusammenhang zwischen dem Unfall resp. sinnfälligen Ereignis und dem eingetretenen Gesundheitsschaden, zu den Anforderungen an beweiswertige ärztliche Berichte und Gutachten sowie zum zu beachtenden Beweisgrad der überwiegenden Wahrscheinlichkeit zutreffend dargelegt. Darauf wird verwiesen.
3.
3.1. Das kantonale Gericht ist zum Ergebnis gelangt, der natürliche Kausalzusammenhang zwischen dem Gesundheitsschaden am rechten Knie und dem Unfall vom 7. März 2010 sei nicht mit überwiegender Wahrscheinlichkeit nachgewiesen. Es begründet dies namentlich damit, gemäss den Akten seien Beschwerden am rechten Knie erst deutlich nach dem Treppensturz aufgetreten. Sodann lasse sich auch aufgrund der erhobenen Befunde nicht darauf schliessen, der Gesundheitsschaden am rechten Knie sei auf den Unfall zurückzuführen.
3.2. Der Versicherte macht zunächst geltend, er habe nach dem Ereignis vom 7. März 2010 bereits anlässlich der Erstkonsultation bei Dr. med. B._ (vom 22. April 2010) auch über Beschwerden am rechten Knie geklagt. Diese Beschwerden habe er in der Folge erst nach der Wiederaufnahme sportlicher Aktivitäten erneut stark verspürt.
Die Vorinstanz hat diesen Einwand mit überzeugender Begründung entkräftet. Hervorzuheben ist, dass gemäss den Einträgen der Ärzte der Klinik C._ die ab dem 11. März 2010 durchgeführten Untersuchungen und Behandlungen sowie die am 26. April 2010 erfolgte Operation wegen den Beschwerden am linken Knie erfolgt sind. Weder aus der Unfallmeldung vom 16. April 2010 noch aus der dokumentierten Krankengeschichte der Klinik C._ noch aus den weiteren echtzeitlichen Akten, einschliesslich der Berichte des Dr. med. B._ und eines Berichtes der Klinik D._ vom 3. Juni 2010 über eine vom 23. Mai bis 3. Juni 2010 erfolgte Hospitalisation, geht hervor, dass der Versicherte damals über Beschwerden am rechten Knie geklagt hätte. Erwähnt werden solche Beschwerden erstmals im Bericht des Dr. med. E._, Gesundheitszentrum F._, vom 27. Januar 2011 über die am 24. Januar 2011 vorgenommene Untersuchung, mithin mehr als 10 Monate nach dem Treppensturz. Gemäss diesem Bericht gab der Beschwerdeführer überdies an, die Beschwerden bestünden ohne erinnerliches Trauma. Dr. med. B._ untersuchte das rechte Knie gemäss Eintrag in der Krankengeschichte erstmals anlässlich der Verlaufskontrolle vom 3. Mai 2011. Er beschränkte sich darauf, eine Einlagenversorgung zu verordnen, und erachtete die Behandlung als abgeschlossen. Laut Krankengeschichte meldete sich der Versicherte dann wegen des rechten Knies am 11. Dezember 2012 wieder bei Dr. med. B._, welcher weitere Abklärungen einleitete und in der Folge das Knie operierte. Bestehende Beschwerden am rechten Knie wären vom Versicherten bei den verschiedenen ärztlichen Untersuchungen und Behandlungen, einschliesslich der 10-tägigen Hospitalisation in der Klinik D._, nach dem Treppensturz vom 7. März 2010 sicher geklagt und von ärztlicher Seite auch notiert worden, zumal sich diesfalls auch die Frage weiterer Abklärung und adäquater Therapie gestellt hätte. Dass dennoch erst im Untersuchungsbericht des Dr. med. E._ vom 27. Januar 2011 solche Beschwerden erwähnt werden, macht deren Bestehen zeitnah zum Ereignis vom 7. März 2010 unwahrscheinlich. Davon geht offensichtlich auch der orthopädische Chirurg Dr. med. G._ als beratender Arzt der Beschwerdegegnerin in seinen Stellungnahmen vom 8. Januar, 13. März und 24. Oktober 2013 aus. Die Eintragung, welche Dr. med. B._ in der Krankengeschichte vom 17. Dezember 2012 vorgenommen hat, rechtfertigt kein anderes Ergebnis. Sie beruht auf durch keine Akten gestützte Vermutungen zu geklagten Beschwerden und zum Hergang des Ereignisses vom 7. März 2010.
3.3. Die weiteren Einwände vermögen die vorinstanzliche Beurteilung ebenfalls nicht in Frage zu stellen. Vorgebracht wird, beim rechten Kniegelenk könne eine Überbelastung aufgrund der Schonung des linken Knies eingetreten sein. In den medizinischen Akten finden sich indessen keine Anhaltspunkte, welche diese Mutmassung zu stützen vermöchten. Abgesehen davon stünde diese im Widerspruch zur Darstellung des Versicherten, die Beschwerden am rechten Knie seien gleich nach dem Treppensturz aufgetreten. Entgegen der in der Beschwerde vertretenen Auffassung trifft es auch nicht zu, dass Dr. med. G._ seine Ansicht in Bezug auf die Kausalität revidiert hätte. Den Stellungnahmen des Facharztes lässt sich nichts Entsprechendes entnehmen, zumal dieser, soweit er eine Unfallkausalität überhaupt in Betracht zieht, nur von möglichen Hergängen ausgeht. Sodann hat das kantonale Gericht zutreffend erkannt, dass die Befunde, welche mittels MRI vom 11. Dezember 2012 und bei der Operation vom 9. Januar 2013 erhoben wurden, keine verlässlichen Anhaltspunkte dafür bieten, dass dem Treppensturz vom 7. März 2010 eine ursächliche Bedeutung für die Beschwerden am rechten Knie zukommt. Die Vorinstanz hat auch in nicht zu beanstandender antizipierter Beweiswürdigung von den beantragten Beweismassnahmen (Befragungen; Einholung eines medizinischen Gutachtens) abgesehen, da diese keine verlässlichen neuen Anhaltspunkte für die streitige Kausalitätsfrage erwarten lassen. Darin liegt keine Verletzung des rechtlichen Gehörs. Auch die Rüge einer einseitigen Beweiswürdigung ist nicht begründet. Die Beschwerde ist abzuweisen.
4.
Die Kosten des Verfahrens sind vom unterliegenden Beschwerdeführer zu tragen (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 800.- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird den Parteien, dem Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich und dem Bundesamt für Gesundheit schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 7. Januar 2016
Im Namen der I. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Maillard
Der Gerichtsschreiber: Lanz