Erwägungen:
1.
Mit Verfügung vom 6. Januar 2015 beschlagnahmte das Veterinäramt des Kantons Zürich unter Entzug der aufschiebenden Wirkung vorsorglich drei Hundewelpen, die A._ aus Tschechien in die Schweiz hatte einführen lassen. Gegen diese Verfügung reichte A._ Rekurs bei der Gesundheitsdirektion des Kantons Zürich ein. Mit Verfügung vom 19. Februar 2015 beschlagnahmte das Veterinäramt die drei Hunde definitiv. Auch gegen diese Verfügung erhob A._ Rekurs. Mit Verfügung vom 22. Mai 2015 vereinigte die Gesundheitsdirektion beide Rekursverfahren, schrieb das Rekursverfahren gegen die vorsorgliche Beschlagnahme infolge Gegenstandslosigkeit ab, trat auf den Rekurs gegen die Verfügung vom 19. Februar 2015 (definitive Beschlagnahmung) wegen verspäteter Eingabe nicht ein und wies das Gesuch um Wiederherstellung der Rekursfrist ab. Mit Urteil vom 22. Oktober 2015 wies das Verwaltungsgericht des Kantons Zürich die dagegen erhobene Beschwerde ab. Mit Eingabe vom 26. November 2015 erhebt A._ Beschwerde an das Bundesgericht. Sie beantragt sinngemäss die Aufhebung des vorinstanzlichen Urteils sowie die unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung.
2.
Die mit "Beschwerde" betitelte Eingabe der Beschwerdeführerin ist als Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten entgegenzunehmen. Das Bundesgericht hat die vorinstanzlichen Akten eingeholt und auf einen Schriftenwechsel verzichtet. Die Beschwerde ist offensichtlich unbegründet, weshalb sie nach <ref-law> mit summarischer Begründung und Verweis auf die vorinstanzlichen Erwägungen zu erledigen ist.
2.1.
2.1.1. Die Beschwerdeführerin macht geltend, es sei ihr vor dem Verwaltungsgericht keine umfassende Akteneinsicht gewährt worden. Ebenso rügt sie sinngemäss eine Verletzung der Begründungspflicht durch die Vorinstanz, da sie nicht wisse, auf welchen Informationen das vorinstanzliche Urteil basiere. Die Rüge ist unbegründet, soweit sie überhaupt ausreichend substanziiert erscheint (<ref-law>).
2.1.2. Das Recht auf Akteneinsicht ist Teil des verfassungsrechtlichen Anspruchs auf rechtliches Gehör, welcher in <ref-law> verankert ist (<ref-ruling> E. 4.1 S. 467; <ref-ruling> E. 5.1 S. 293). Um Akteneinsicht zu erhalten, hat eine Partei grundsätzlich ein Gesuch einzureichen (<ref-ruling> E. 6.2 S. 391; Urteil 2C_814/2010 vom 23. September 2011 E. 2.3).
Vor dem Verwaltungsgericht beantragte die Beschwerdeführerin Einsicht in das Protokoll vom 3. Januar 2015 betreffend die erste Einvernahme ihres Ehemanns, in drei Protokolle betreffend die Einvernahmen ihrer Person, ihres Ehemanns und von B._ durch die Polizei in U._ sowie die jeweiligen Übersetzungen ins Deutsche. Mit Verfügung vom 23. September 2015 wurde ihr der Rapport der Stadtpolizei Zürich vom 29. Januar 2015 samt Protokoll der Stadtpolizei Zürich vom 3. Januar 2015 über die Einvernahme ihres Ehemanns zur Einsicht und zur freigestellten Stellungnahme zugestellt. Das Verwaltungsgericht hält weiter fest, dass die Stadtpolizei Zürich auf Ersuchen der Beschwerdeführerin hin die drei Protokolle betreffend die Einvernahmen der Beschwerdeführerin, von deren Ehemann und von B._ durch die Polizei in U._ nachgereicht habe. In ihrer Eingabe vor Bundesgericht bestätigt die Beschwerdeführerin denn auch, drei Protokolle erhalten zu haben. Weder dem vorinstanzlichen Urteil noch den Akten lässt sich entnehmen, dass die Beschwerdeführerin weitere ausdrückliche Gesuche um Akteneinsicht gestellt habe, denen die Vorinstanz nicht stattgegeben hätte. Unter diesen Umständen kann von einer Verletzung des Anspruchs der Beschwerdeführerin auf Akteneinsicht nicht die Rede sein.
2.1.3. Aus dem Gehörsanspruch folgt auch die Verpflichtung der Behörde, ihren Entscheid zu begründen. Dabei ist jedoch nicht erforderlich, dass sie sich mit allen Parteistandpunkten einlässlich auseinandersetzt und jedes einzelne Vorbringen ausdrücklich widerlegt. Vielmehr kann sie sich auf die für den Entscheid wesentlichen Punkte beschränken. Rechtsprechungsgemäss muss die Begründung so abgefasst sein, dass sich der Betroffene über die Tragweite des Entscheids Rechenschaft geben und ihn in voller Kenntnis der Sache an die höhere Instanz weiterziehen kann (<ref-ruling> E. 5.2 S. 236; Urteil 2C_219/2015 vom 20. November 2015 E. 3.1).
Es ist nicht ersichtlich, inwiefern das angefochtene Urteil ungenügend begründet sein sollte. Aus dem vorinstanzlichen Entscheid ergibt sich mit genügender Klarheit, weshalb das Verwaltungsgericht sowohl eine Verletzung des rechtlichen Gehörs als auch das Vorliegen eines Fristwiederherstellungsgrundes verneinte (vgl. E. 2.2 hiernach). Die Beschwerdeführerin hat ohne Weiteres erfassen können, welche Überlegungen das Verwaltungsgericht geleitet haben. Dass sie diese nicht teilt, belegt in keiner Weise eine ungenügende Begründung, sondern ist eine Frage der rechtlichen Würdigung.
2.2.
2.2.1. Offensichtlich und unstrittig ist, dass die Beschwerdeführerin innert Frist keinen rechtsgenüglichen Rekurs eingereicht hat. Nach § 22 Abs. 1 Satz 1 des Zürcher Verwaltungsrechtspflegegesetzes vom 24. Mai 1959 (VRG/ZH) ist ein Rekurs innert 30 Tagen bei der Rekursinstanz schriftlich einzureichen. Eine versäumte Frist kann nach § 12 Abs. 2 VRG/ZH wiederhergestellt werden, wenn dem Säumigen keine grobe Nachlässigkeit zur Last fällt und er innert zehn Tagen nach Wegfall des Grundes, der die Einhaltung der Frist verhindert hat, ein Gesuch um Wiederherstellung einreicht.
2.2.2. Das Verwaltungsgericht hat im angefochtenen Urteil ausführlich dargelegt, dass es dem Ehemann der Beschwerdeführerin - welche während der laufenden Rekursfrist offenbar aus psychiatrischen Gründen hospitalisiert war - möglich gewesen wäre, innert Frist (d.h. bis zum 26. März 2015) einen formgerechten Rekurs einzureichen, hatte dieser doch per E-Mail vom 20. März 2015 gegenüber den Behörden seine Vertretungsbefugnis behauptet und angekündigt, eine von ihm unterzeichnete Einsprache einreichen zu wollen. Ebenso überzeugend legt die Vorinstanz dar, dass kein Fristwiederherstellungsgrund vorgelegen habe, da einerseits der Zeitpunkt des Wegfalls der behaupteten krankheitsbedingten Unfähigkeit der Beschwerdeführerin fraglich sei und andererseits der von ihr rechtsgültig zur Vertretung bevollmächtigte Ehemann nach Ablauf der Rekursfrist innert zehn Tagen ein Gesuch um Wiederherstellung der Frist hätte stellen können. Auf die diesbezüglichen Ausführungen des Verwaltungsgerichts kann vollumfänglich verwiesen werden (<ref-law>). Vor Bundesgericht äussert sich die Beschwerdeführerin erneut zu ihrer gesundheitlichen Situation und bekundet, dass sie die Frist unverschuldet verpasst habe. Sie lässt jedoch jegliche Auseinandersetzung mit den entscheidwesentlichen Erwägungen des Verwaltungsgerichts - insbesondere dass von einer Vertretungsbefugnis des Ehemannes auszugehen sei und dieser nicht im Irrtum bezüglich einer schon eingereichten Beschwerde war - vermissen; sie legt auch nicht ansatzweise dar, inwiefern das angefochtene Urteil auf qualifiziert mangelhaften Sachverhaltsfeststellungen (<ref-law>) beruhen bzw. schweizerisches Recht (<ref-law>) verletzten sollte, weshalb auf ihre Ausführungen nicht weiter einzugehen ist.
2.3. Gemäss <ref-law> ist die Beschwerde gegen einen Entscheid innert 30 Tagen nach der Eröffnung der vollständigen Ausfertigung beim Bundesgericht einzureichen. Bei der Beschwerdefrist von 30 Tagen handelt es sich um eine gesetzlich bestimmte Frist, die nicht erstreckt werden kann (<ref-law>). Das Nachreichen einer ergänzenden Beschwerdebegründung ausserhalb einer Replik hat innerhalb der Beschwerdefrist zu erfolgen (Urteil 6B_1039/2014 vom 24. März 2015 E. 4.3 mit Hinweis). Der vorinstanzliche Entscheid wurde der Beschwerdeführerin am 2. November 2015 eröffnet. Die 30-tägige Beschwerdefrist gemäss <ref-law> begann folglich am 3. November 2015 zu laufen und endete am 2. Dezember 2015. Nach <ref-law> räumt das Bundesgericht den beschwerdeführenden Parteien auf Antrag eine angemessene Frist zur Ergänzung der Beschwerdebegründung ein, wenn es eine Beschwerde auf dem Gebiet der internationalen Rechtshilfe in Strafsachen als zulässig erachtet (lit. a) und der aussergewöhnliche Umfang oder die besondere Schwierigkeit der Beschwerdesache eine Ergänzung erfordert (lit. b). Da diese Voraussetzungen vorliegend nicht erfüllt sind, kann weder dem von der Beschwerdeführerin in der Beschwerdeschrift vom 26. November 2015 gestellten Gesuch um Fristverlängerung von 30 Tagen noch ihren per Schreiben vom 23. Dezember 2015 und 6. Januar 2015 (recte: 2016) gestellten Anträgen zur Verlängerung der Frist um zehn Tage für die Einreichung der Begründung der Beschwerde entsprochen werden. Die am 14. Januar 2016 von der Beschwerdeführerin eingereichte Eingabe ist folglich unbeachtlich. Im Übrigen ist im Lichte der vorstehenden Erwägungen nicht ersichtlich, inwiefern eine Ergänzung der Beschwerdebegründung am Ausgang des Verfahrens etwas zu ändern vermöchte.
3.
Nach dem Gesagten ist die Beschwerde abzuweisen. Angesichts der Aussichtslosigkeit der Beschwerde ist das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung abzuweisen (<ref-law>). Die unterliegende Beschwerdeführerin trägt die (umständehalber reduzierten) Gerichtskosten (<ref-law>). Ausgangsgemäss ist keine Parteientschädigung zuzusprechen (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen.
2.
Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung wird abgewiesen.
3.
Die Gerichtskosten von Fr. 1'000.-- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
4.
Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten, dem Verwaltungsgericht des Kantons Zürich, 3. Abteilung, und dem Bundesamt für Lebensmittelsicherheit und Veterinärwesen schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 18. Januar 2016
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Zünd
Die Gerichtsschreiberin: Petry