Sachverhalt:
A.
Der Gemeinderat von Mosnang beabsichtigt, die Strasse zwischen den Weilern Lenzlingen und Wolgensingen mit einem Hartbelag zu versehen, um so die Erschliessung von Wolgensingen zu verbessern. Die Strecke ist zurzeit als Wanderweg ohne Hartbelag und als Radweg ausgewiesen und soll wegen des Strassenausbaus aus dem Wanderwegnetz ausgeschieden werden. Vorgesehen ist, den Wanderweg in einem grösseren Bogen auf einer Gemeindestrasse 3. Klasse und einem Gemeindeweg 3. Klasse östlich durch den Färachwald und das Gebiet Letten bis zu einem bestehenden Wanderweg im Bereich von Wolgensingen zu führen. Ein kurzes Teilstück des betroffenen Gemeindewegs soll zudem geringfügig verlegt werden.
Der Gemeinderat beschloss am 13. August 2013 das Bauprojekt und den dazugehörigen Teilstrassenplan. In der Folge unterbreitete er den Teilstrassenplan dem Baudepartement des Kantons St. Gallen zur Genehmigung. Das im Genehmigungsverfahren zur Vernehmlassung eingeladene kantonale Amt für Natur, Jagd und Fischerei (ANJF) beantragte, den neuen Wanderweg nicht zu genehmigen. Faktisch bestehe im Mittelbereich derzeit gar kein Weg und deshalb kaum eine durchgängige Benutzung. In diesem Bereich würde so ein bis anhin ruhiges Gebiet erschlossen und ein wichtiger Lebensraum für Wildtiere beeinträchtigt. Mit Verfügung vom 13. Juni 2014 verweigerte das Baudepartement dem Teilstrassenplan die Genehmigung.
Dagegen erhob die Gemeinde Mosnang beim Verwaltungsgericht des Kantons St. Gallen Beschwerde. Mit Entscheid vom 22. Januar 2016 wies das Verwaltungsgericht das Rechtsmittel ab, soweit es darauf eintrat.
B.
Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten vom 29. Februar 2016 beantragt die Gemeinde Mosnang dem Bundesgericht, den Entscheid des Verwaltungsgerichts aufzuheben.
Das Verwaltungsgericht und das Baudepartement beantragen die Abweisung der Beschwerde. Die Beschwerdeführerin hat dazu Stellung genommen.

Erwägungen:
1.
Angefochten ist ein letztinstanzlicher kantonaler Entscheid über eine öffentlich-rechtliche Angelegenheit (Art. 82 lit. a und Art. 86 Abs. 1 lit. d BGG). Die Gemeinde Mosnang ist zur Beschwerde berechtigt (<ref-law> i.V.m. Art 14 Abs. 1 lit. a des Bundesgesetzes vom 4. Oktober 1985 über Fuss- und Wanderwege [FWG; SR 704]). Die weiteren Sachurteilsvoraussetzungen geben zu keinen Bemerkungen Anlass. Auf die Beschwerde ist einzutreten.
2.
Das Verwaltungsgericht ging im Wesentlichen davon aus, dass der Strassenausbau zwischen Lenzlingen und Wolgensingen nur zulässig sei, wenn ein geeigneter Wanderwegersatz zur Verfügung stehe. Der von der Gemeinde vorgesehene Ersatzweg sei jedoch mit den Interessen des Natur- und Wildschutzes (Erhalt eines störungsarmen und gut strukturierten Wildlebensraums) nicht vereinbar. Zudem lasse sich die Strasse auch ohne Hartbelag mit vertretbarem Aufwand unterhalten.
Die Beschwerdeführerin hält dem zum einen entgegen, die Strasse zwischen Lenzlingen und Wolgensingen gehöre zwar zum Wanderwegnetz, doch sei sie für den allgemeinen Fahrverkehr offen und deshalb nicht als eigentlicher Wanderweg, sondern nur als Verbindungsstück zu qualifizieren. Eine Ersatzpflicht bestehe deshalb nicht (dazu E. 3 hiernach). Zum andern ist sie der Auffassung, die Wanderwegumlegung sei zulässig (dazu E. 4 hiernach).
3.
3.1. Die Beschwerdeführerin argumentiert, es sei zwischen Wanderwegen und Verbindungsstücken zu unterscheiden. Stehe eine ins Wanderwegnetz aufgenommene Strasse dem allgemeinen Fahrverkehr offen, so handle es sich um ein Verbindungsstück. Dies gehe aus Art. 7 Abs. 2 lit. d FWG hervor. Eine Ersatzpflicht bestehe indessen nur in Bezug auf eigentliche Wanderwege. Daraus folge, dass die Strasse zwischen Lenzlingen und Wolgensingen befestigt werden könne, ohne dass für den darauf verlaufenden Wanderweg Ersatz geschaffen werden müsse.
3.2. Gemäss Art. 3 FWG dienen Wanderwegnetze vorwiegend der Erholung und liegen in der Regel ausserhalb des Siedlungsgebiets (Abs. 1). Sie umfassen untereinander zweckmässig verbundene Wanderwege. Andere Wege, Teile von Fusswegnetzen und schwach befahrene Strassen können als Verbindungsstücke dienen (Abs. 2 Satz 1 und 2). Die Ersatzpflicht wird in Art. 7 FWG geregelt. Danach ist, unter Berücksichtigung der örtlichen Verhältnisse, für angemessenen Ersatz durch vorhandene oder neu zu schaffende Wege zu sorgen, wenn die in den Plänen enthaltenen Wanderwegnetze oder Teile davon aufgehoben werden (Abs. 1). Gemäss Abs. 2 dieser Bestimmung sind Wanderwege insbesondere zu ersetzen, wenn sie nicht mehr frei begehbar sind (lit. a); abgegraben, zugedeckt oder sonstwie unterbrochen werden (lit. b); auf einer grösseren Wegstrecke stark befahren oder für den allgemeinen Fahrverkehr geöffnet werden (lit. c); auf einer grösseren Wegstrecke mit Belägen versehen werden, die für die Fussgänger ungeeignet sind (lit. d).
3.3. Die Ersatzpflicht gemäss Art. 7 Abs. 1 FWG bezieht sich nach dem Gesetzeswortlaut allgemein auf Wanderwegnetze. Wenn in Abs. 2 dieser Bestimmung im Rahmen der Konkretisierung der Ersatzpflicht der Begriff "Wanderweg" verwendet wird, so ist damit ein Teil des Wanderwegnetzes gemeint. Dieses Verständnis, wonach die Gesamtheit der Wanderwege das Wanderwegnetz bilden, entspricht dem allgemeinen Sprachgebrauch und geht auch aus Art. 3 Abs. 2 Satz 1 FWG hervor.
Dem folgend spricht die Botschaft von einer Ersatzpflicht allgemein in Bezug auf Wanderwegnetze, ohne Verbindungsstücke davon auszunehmen (Botschaft vom 26. September 1983 zu einem Bundesgesetz über Fuss- und Wanderwege [FWG], BBl 1983 IV 11 Ziff. 22). Davon geht im Übrigen auch das Bundesamt für Strassen (ASTRA) in seinem Handbuch zur Wanderwegnetzplanung aus (ASTRA, Wanderwegnetzplanung, 2014, S. 10, «http://www.astra.admin.ch/themen/langsamverkehr», unter Vollzugshilfen [besucht am 1. Juni 2016]).
Ein wichtiges Anliegen des FWG besteht zudem darin zu verhüten, dass die heutige Situation sich verschlechtert (BBl 1983 IV 8 Ziff. 22). Wenn ein Wanderweg bei Inkrafttreten des Gesetzes bereits auf einer grösseren Strecke für den allgemeinen Fahrverkehr geöffnet oder Verkehrsbelastungen ausgesetzt war, löste dies keine Ersatzpflicht aus (BBl 1983 IV 11 Ziff. 22; ASTRA Ersatzpflicht für Wanderwege: Vollzugshilfe zu Artikel 7 des Bundesgesetzes über Fuss- und Wanderwege [FWG], 2012, S. 25, «http://www.astra.admin.ch/themen/langsamverkehr», unter Vollzugshilfen [besucht am 1. Juni 2016]). Bei einer neu eintretenden Verschlechterung im Sinne von Art. 7 Abs. 2 FWG eine Ersatzpflicht zu verneinen, wäre dagegen mit dem genannten Gesetzeszweck nicht vereinbar.
Das Argument, Wanderwegnetze bestünden aus eigentlichen Wanderwegen und Verbindungsstücken, wobei sich die Ersatzpflicht nach Art. 7 FWG nur auf Erstere beziehe, findet somit im Gesetz und den dazugehörigen Materialien keine Stütze und widerspricht zudem dem Gesetzeszweck.
Im Übrigen ist darauf hinzuweisen, dass die in Frage stehende Wegstrecke gemäss den von der Beschwerdeführerin eingereichten Plänen ausdrücklich als Wanderweg ausgewiesen ist. Dass dieser Wanderweg seine Funktion im Sinne von Art. 3 FWG aufgrund der Zugänglichkeit für den allgemeinen Fahrverkehr nicht erfüllen könnte, ist nicht ersichtlich und wird auch nicht geltend gemacht. Gemäss dem angefochtenen Entscheid werden damit lediglich fünf Liegenschaften erschlossen (vgl. dazu BBl 1983 S. 11 Ziff. 22, wonach Wanderwege die ihnen zugedachte Funktion nicht mehr erfüllen, wenn die Erholungssuchenden ständig den Auswirkungen des motorisierten Fahrverkehrs ausgesetzt sind).
3.4. Ein Hartbelag ist ein ungeeigneter Wanderwegbelag (Art. 6 der Verordnung vom 26. November 1986 über Fuss- und Wanderwege [FWV; SR 704.1]). Das Anbringen eines Hartbelags auf dem bestehenden Wanderweg zwischen Lenzlingen und Wolgensingen löst deshalb nach Art. 7 Abs. 2 lit. d FWG eine grundsätzliche Ersatzpflicht aus.
4.
4.1. Gemäss Art. 9 FWG berücksichtigen Bund und Kantone auch die Anliegen der Land- und Forstwirtschaft, des Natur- und Heimatschutzes sowie der Landesverteidigung. Ist eine Ersatzpflicht gestützt auf Art. 7 FWG grundsätzlich zu bejahen und steht der Ersatz in Konflikt mit anderen Anliegen im Sinne von Art. 9 FWG, so ist eine umfassende Interessenabwägung vorzunehmen. Dabei sind die Interessen am Vorhaben, die Interessen am Wanderweg bzw. an dessen Ersatz und die anderen Anliegen gemäss Art. 9 FWG gegeneinander abzuwägen (vgl. ASTRA, Ersatzpflicht, a.a.O., S. 14 ff.).
4.2. Das Verwaltungsgericht legt in dieser Hinsicht dar, die im Teilstrassenplan vorgesehene Verlegungsstrecke des Wanderwegs verlaufe auf bereits klassierten Gemeindewegen und -strassen. Auf einem Zwischenstück führe die streitige Verlegungsroute des Wanderwegs jedoch durch Weideland und sei nicht zu jeder Jahreszeit als Wanderweg erkennbar. Der Weg werde zurzeit kaum begangen. Es sei davon auszugehen, dass die geplante Wanderwegverlegung selbst im Fall einer nur sporadischen Nutzung durch Wanderer, Läufer und Biker den bisher kaum frequentierten Wildlebensraum stören würde. Weil sich eine Störung auch unabhängig von einer Nutzung des Wegs durch Biker ergebe, brauche die Frage, ob mit einer Wegnutzung durch Biker zu rechnen und ob diese überhaupt zulässig wäre, nicht geklärt zu werden.
Der vorgesehene Ersatzwanderweg berühre im Bereich des Färachwaldes ein BLN-Gebiet und teilweise auch ein Landschaftsschutzgebiet sowie ein feuchtes Naturschutzgebiet gemäss der Schutzverordnung der Gemeinde Mosnang. Nach Art. 8 dieser Verordnung dürften in Landschaftsschutzgebieten der Bau und Ausbau von Anlagen, welche eine Förderung des Gebiets als Erholungsraum bezweckten, nicht bewilligt werden. Der Strassenabschnitt im Landschaftsschutzgebiet ende momentan als Sackgasse. Werde die Strecke durchgängig gemacht, fördere dies die Nutzung des Gebiets als Erholungsraum, was der Schutzverordnung widerspreche.
Weiter gewährleiste der zu befestigende Strassenabschnitt im aktuellen Zustand unbestritten eine hinreichende Zufahrt zu den anliegenden Häusern (drei landwirtschaftlich und zwei nichtlandwirtschaftlich genutzte Wohnhäuser). Die Anwohner der fünf Liegenschaften könnten zudem selbst dazu beitragen, übermässige Staubentwicklungen und die Verschmutzung ihrer Fahrzeuge zu verhindern, indem sie den Weg mit angepasst tiefer Geschwindigkeit befahren. Der Unterhalt der Gemeindestrasse halte sich in vertretbarem Rahmen. Es könne deshalb offen bleiben, ob deren Befestigung im Endeffekt überhaupt zu Einsparungen führe, was angesichts der budgetierten Erstellungskosten von Fr. 258'000.-- fraglich sei. Lasse sich aber die Strasse, welche als Zufahrt und Wanderweg diene, mit vertretbarem Aufwand unterhalten und sei der angebotene Ersatz mit den Interessen des Natur- und Wildschutzes (Erhalt eines störungsarmen und gut strukturierten Wildlebensraums) sowie mit der erwähnten Schutzverordnung nicht vereinbar, sei auf eine Befestigung zu verzichten.
4.3. Die Beschwerdeführerin hält dem entgegen, die Ersatzstrecke würde auf Gemeindestrassen und -wegen 3. Klasse verlaufen, welche im Gegensatz zu Gemeindestrassen 2. Klasse für die Nutzung als Wanderwege besonders geeignet seien. Nach <ref-law> dürften Wege, die sich für den Verkehr mit Motorfahrzeugen oder Fahrrädern nicht eigneten oder offensichtlich nicht dafür bestimmt seien, wie Fuss- und Wanderwege, mit solchen Fahrzeugen nicht befahren werden. Aufgrund dieser Bestimmung werde der Gemeindeweg 3. Klasse im Gebiet Letten wie bis anhin nicht für den Verkehr mit Fahrrädern offenstehen und dürfe deshalb auch nicht durch Biker genutzt werden. Den Anliegen des Natur- und Landschaftsschutzes habe zudem nach Art. 33 lit. e des Strassengesetzes des Kantons St. Gallen vom 12. Juni 1988 (sGS 732.1) bereits beim Strassenbau Rechnung getragen werden müssen. Durch die Zuweisung zum Wanderwegnetz ergäben sich somit keine neuen Anforderungen. Den Anliegen der Wanderer werde dadurch sogar besser Rechnung getragen. Im Gebiet Letten sei vorgesehen, die neue Wegführung zwischen den Weidetoren über die Wiese durch eine rudimentäre Einkiesung im Gelände vorzugeben. Diese werde aber schon bald nicht mehr sichtbar sein. Neben ortskundigen würden in Zukunft zusätzlich ortsunkundige Wanderer den Weg benutzen. Dies sei die einzige Änderung, die aufgrund der Zuweisung zum Wanderwegnetz zu erwarten sei. Art. 8 der kommunalen Schutzverordnung sei schliesslich nicht anwendbar, da es nicht um den Bau oder Ausbau einer Anlage gehe, sondern nur um eine Aufnahme ins Wanderwegnetz. In jenem Bereich, wo der Weg leicht verschoben werde, sei zudem kein Schutzobjekt tangiert.
4.4. Die Beschwerdeführerin stellt nicht in Abrede, dass die Zufahrt für die fünf Wohnhäuser in Wolgensingen beim aktuellen Zustand der Strasse hinreichend ist. Vor diesem Hintergrund ist nicht zu beanstanden, dass das Verwaltungsgericht das Interesse am Vorhaben als gering veranschlagte, insbesondere, zumal die störende Staubentwicklung im Sommer durch langsames Fahren verringert werden kann. Die Erwägung, dass bei einem Kostenvergleich auch die Erstellungskosten berücksichtigt werden müssten und die Unterhaltskosten (inklusive der Schneeräumung) gegenwärtig jedenfalls vertretbar seien, beanstandet die Beschwerdeführerin ebenfalls nicht.
Wanderwege sind gemäss Art. 6 Abs. 1 lit. a FWG zu kennzeichnen. Als nachvollziehbar erscheint deshalb die Prognose des Verwaltungsgerichts, durch die Aufnahme der derzeit kaum benutzten Ersatzroute ins Wanderwegnetz nehme die Nutzung zu und werde der Wildlebensraum gestört. Die Beschwerdeführerin vermag mit ihren Ausführungen nicht darzutun, dass diese Feststellungen offensichtlich unrichtig sind (<ref-law>). Das ANJF hielt dazu in seiner Stellungnahme vom 28. Februar 2014 fest, der geplante Wanderweg führe im ersten Teil durch einen schattigen Wald. Dieser sei Einstandsgebiet und Rückzugsort für Wildtiere, biete jedoch kaum Äsung. Für die Nahrungsaufnahme optimal seien die umliegenden Weiden. Der Waldrand sei gebuchtet und die Weiden immer wieder von strukturierenden Busch- und Baumgruppen durchsetzt. Die Kombination dieser Lebensraumbedingungen stelle ein bevorzugtes Habitat für Wildtiere dar. Solche störungsarmen, reich strukturierten Lebensrauminseln würden immer seltener, da die Zerschneidung und Beunruhigung der Landschaft immer stärker zunehme. Durch die sporadische und damit für das Wild unvorhersehbare Nutzung würden die Tiere grösserem Stress ausgesetzt. Bei einer Nutzung durch Biker und Läufer akzentuiere sich das Problem, insbesondere wenn diese auch in der Dämmerung noch unterwegs seien, da Wildtiere gerade die Dämmerung nutzten, um aus der Deckung herauszutreten und Nahrung aufzunehmen.
Gestützt auf diese Ausführungen der fachkundigen kantonalen Amtsstelle ist davon auszugehen, dass durch die Wanderwegverlegung störungsreiche Aktivitäten im momentan ruhigen Wildlebensraum gefördert würden (vgl. ASTRA, Ersatzpflicht, a.a.O., S. 31 f.). Nicht entscheidend scheint in dieser Hinsicht, ob mit einer zusätzlichen Nutzung durch Biker zu rechnen und ob diese zulässig wäre. Nicht ausschlaggebend ist auch der Einwand der Beschwerdeführerin, aufgrund der Klassierung der betroffenen Strassen bzw. Wege sei die Ersatzroute für Wanderer vorteilhafter. Eine möglicherweise leicht höhere Attraktivität der Ersatzstrecke vermag die Störung des Wildlebensraums jedenfalls nicht zu rechtfertigen.
Indem das Verwaltungsgericht den Schutz der von einer Wanderwegumlegung betroffenen Wildtiere höher gewichtete als das Interesse an einer Befestigung der Strasse zwischen Lenzlingen und Wolgensingen und die Interessenabwägung der Beschwerdeführerin deshalb als mit Art. 9 FWG nicht vereinbar erachtete, verletzte es aus diesen Gründen kein Bundesrecht. Ob die Wanderwegumlegung als eine Beeinträchtigung der in diesem Gebiet vorhandenen Natur- und Landschaftsschutzgebiete zu qualifizieren ist, kann damit offen bleiben.
5.
Die Beschwerde ist abzuweisen.
Bei diesem Ausgang des Verfahrens sind keine Gerichtskosten zu erheben (Art. 66 Abs. 1 und 4 BGG). Eine Parteientschädigung ist nicht zuzusprechen (Art. 68 Abs. 1-3 BGG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen.
2.
Es werden keine Gerichtskosten erhoben.
3.
Es wird keine Parteientschädigung zugesprochen.
4.
Dieses Urteil wird der Beschwerdeführerin, dem Baudepartement und dem Verwaltungsgericht des Kantons St. Gallen schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 9. Juni 2016
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Fonjallaz
Der Gerichtsschreiber: Dold