Faits :
A.
A.A._, marié à B.A._, est titulaire d'une rente de l'assurance-invalidité, en complément de laquelle il a perçu des prestations complémentaires. Le 21 avril 2015, la Caisse cantonale neuchâteloise de compensation (ci-après: la CCNC) a nié le droit aux prestations complémentaires pour les années 2014 et 2015, en raison d'un excédent de revenus lié à la perception par B.A._ d'indemnités journalières de l'assurance-invalidité depuis le 6 janvier 2014. Par courrier du 1er juin 2015, l'Office de l'assurance-invalidité du canton de Neuchâtel (ci-après: l'office AI) a transmis à la CCNC une communication du 28 mai précédent, par laquelle il indiquait à B.A._ que la mesure de réadaptation était interrompue au 31 mai 2015. Par courriel du 14 août 2015, les époux A.A._ et B.A._ ont annoncé à la CCNC l'interruption de la mesure de réadaptation professionnelle. Par décision du 4 septembre 2015, la CCNC a octroyé à A.A._ des prestations complémentaires mensuelles d'un montant de 974 fr. dès le 1er août 2015.
B.A._ et A.A._ ont formé opposition contre cette décision, demandant l'octroi des prestations à partir du 1er juin 2015. Par décision sur opposition du 4 janvier 2016, la CCNC a rejeté l'opposition et confirmé la décision du 4 septembre 2015, motif pris que son service des prestations complémentaires avait été informé, par l'épouse de l'ayant droit, de la fin du droit aux indemnités journalières de l'assurance-invalidité le 1er août 2015 seulement.
B.
Par jugement du 17 mai 2017, le Tribunal cantonal de la République et canton de Neuchâtel, Cour de droit public, a rejeté le recours des époux A.A._ et B.A._.
C.
B.A._ et A.A._ interjettent un recours en matière de droit public contre ce jugement dont ils demandent l'annulation. Ils concluent à ce qu'il soit ordonné à la CCNC de leur octroyer les prestations complémentaires AVS/AI mensuelles de 974 fr. dès le 1er juin 2015.

Considérant en droit :
1.
Le recours en matière de droit public peut être formé pour violation du droit, tel qu'il est délimité par les art. 95 et 96 LTF. Le Tribunal fédéral applique le droit d'office (<ref-law>), n'étant limité ni par les arguments de la partie recourante, ni par la motivation de l'autorité précédente. Le Tribunal fédéral n'examine en principe que les griefs invoqués, compte tenu de l'exigence de motivation prévue à l'<ref-law>, et ne peut aller au-delà des conclusions des parties (<ref-law>). Il fonde son raisonnement sur les faits retenus par l'autorité précédente (<ref-law>) sauf s'ils ont été établis de façon manifestement inexacte ou en violation du droit au sens de l'<ref-law> (<ref-law>).
2.
2.1. Le litige porte sur le moment à partir duquel les prestations complémentaires doivent être versées au recourant. Les époux A.A._ et B.A._ ne contestent pas que le changement de la situation déterminante relève de l'application des art. 25 al. 1 let. c et 25 al. 2 let. b OPC-AVS/AI. Mais ils soutiennent que l'annonce déterminante de la baisse des revenus familiaux est intervenue le 1 er juin 2015 lorsque l'office AI a informé l'intimée de l'interruption de la mesure de réadaptation à fin mai 2015, et non le 14 août 2015 lorsqu'ils ont écrit à la CCNC.
2.2. Aux termes de l'<ref-law>, l'ayant droit ou son représentant légal ou, le cas échéant, le tiers ou l'autorité à qui la prestation complémentaire est versée, doit communiquer sans retard à l'organe cantonal compétent tout changement dans la situation personnelle et toute modification sensible dans la situation matérielle du bénéficiaire de la prestation. Cette obligation de renseigner vaut aussi pour les modifications concernant les membres de la famille de l'ayant doit.
L'art. 25 al. 1 let. c OPC-AVS/AI prévoit que la prestation complémentaire annuelle doit être augmentée, réduite ou supprimée lorsque les dépenses reconnues, les revenus déterminants et la fortune subissent une diminution ou une augmentation pour une durée qui sera vraisemblablement longue; sont déterminants les dépenses nouvelles et les revenus nouveaux et durables, convertis sur une année, ainsi que la fortune existant à la date à laquelle le changement intervient; on peut renoncer à adapter la prestation complémentaire annuelle lorsque la modification est inférieure à 120 fr. par an. Selon l'<ref-law>, la nouvelle décision doit porter effet, dans les cas prévus par l'al. 1 let. c, lors d'une augmentation de l'excédent des dépenses, dès le début du mois au cours duquel le changement a été annoncé, mais au plus tôt à partir du mois dans lequel celui-ci est survenu.
3.
3.1. En tant que les recourants invoquent tout d'abord l'<ref-law> en soutenant que l'office AI avait, en qualité de "tiers", informé l'intimée du changement déterminant, de sorte qu'ils avaient ainsi respecté leur obligation de renseigner, leur argumentation n'est pas pertinente. En effet, l'office AI n'est pas un "tiers [...] à qui la prestation complémentaire est versée", si bien qu'il n'était tenu d'aucune obligation en vertu de la disposition mentionnée.
Par ailleurs, l'information donnée par l'organe de l'assurance-invalidité correspondait à une tâche prévue par l'art. 41 al. 1 let. c RAI, selon lequel l'office AI transmet immédiatement les communications concernant le droit aux indemnités journalières, aux rentes et aux allocation pour impotent pour les assurés majeurs en cours à la caisse de compensation compétente. Cette information visait donc l'intimée en sa qualité d'organe compétent pour verser (ici cesser de verser) les indemnités journalières de l'assurance-invalidité (<ref-law>). Or selon les constatations de la juridiction cantonale, qui ne sont pas remises en cause par les recourants (supra consid. 1), les tâches confiées à la CCNC en application de la législation sur l'assurance-invalidité d'une part et celles confiées en matière de prestations complémentaires d'autre part sont attribuées à des sections différentes. Si l'épouse apparaissait bien dans le dossier de son époux géré par la section "prestations complémentaires" dès lors qu'il était tenu compte de sa personne pour le calcul des prestations complémentaires de l'assuré, l'ayant droit n'apparaissait pas comme bénéficiaire de prestations complémentaires dans le dossier de son épouse géré par la section "prestations AVS/AI".
Dans ces circonstances, compte tenu de la division des tâches relevant des deux assurances sociales différentes et de leur attribution à des collaborateurs de secteurs différents, l'information de l'office AI, qui portait exclusivement sur l'interruption d'une prestation de l'assurance-invalidité allouée jusqu'alors à B.A._ et donnée à la section "prestations AVS/AI", ne pouvait être considérée d'emblée comme ayant trait au droit de son époux en matière de prestations complémentaires et s'adressant aussi à la section "prestations complémentaires". Elle ne valait donc pas annonce d'une modification des circonstances dont pourrait se prévaloir l'ayant droit aux prestations complémentaires. Les recourants ne peuvent en l'occurrence rien tirer en leur faveur de cette information en relation avec l'<ref-law>.
3.2. Les griefs de l'interdiction du formalisme excessif (art. 29 al. 1 Cst.) et de la violation du principe de la bonne foi (art. 5 al. 3 et 9 Cst.) invoqués par les recourants sont également mal fondés. Compte tenu de l'organisation de l'intimée relative à ses compétences distinctes dans les domaines respectifs de l'assurance-invalidité et des prestations complémentaires, on ne saurait lui reprocher un formalisme excessif lorsqu'elle considère, en tant qu'organe d'exécution des prestations complémentaires, avoir eu connaissance de la modification concernant les membres de la famille de l'ayant droit seulement au moment de l'annonce des recourants, le 14 août 2015. Dans la mesure ensuite où la communication de l'office AI du 28 mai 2015 ne comportait aucun élément permettant de faire un lien entre l'interruption des mesures de réadaptation de la recourante et un éventuel droit à des prestations complémentaires du recourant, les époux A.A._ et B.A._ ne pouvaient en déduire qu'ils n'avaient plus besoin d'informer l'intimée; la référence à la bonne foi ne leur est d'aucun secours.
3.3. Il résulte de ce qui précède que la juridiction cantonale était en droit de constater que l'annonce du changement de situation était intervenue le 14 août 2015 et de confirmer que le droit aux prestations complémentaires prenait effet au 1er août 2015. Le recours est mal fondé.
4.
En fonction de l'issue de la procédure, les frais judiciaires sont mis à la charge des recourants (art. 66 al. 1 première phrase LTF).

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce :
1.
Le recours est rejeté.
2.
Les frais judiciaires, arrêtés à 500 fr., sont mis à la charge des recourants.
3.
Le présent arrêt est communiqué aux parties, au Tribunal cantonal de la République et canton de Neuchâtel, Cour de droit public, et à l'Office fédéral des assurances sociales.
Lucerne, le 16 novembre 2017
Au nom de la IIe Cour de droit social
du Tribunal fédéral suisse
La Présidente : Pfiffner
La Greffière : Flury