Sachverhalt:
A.
A.a. Mit Strafbefehl vom 15. März 2016 warf die Staatsanwaltschaft Baden X._ eine Überschreitung der zulässigen Höchstgeschwindigkeit innerorts von 50 km/h um 31 km/h vor. Dadurch habe er sich der groben Verkehrsregelverletzung nach <ref-law> in Verbindung mit Art. 4 Abs. 1 lit. a VRV schuldig gemacht. X._ wurde zu einer Geldstrafe von 50 Tagessätzen zu je CHF 60.00, bedingt vollziehbar bei einer Probezeit von zwei Jahren, und zu einer Busse von CHF 1'000.00 beziehungsweise zu einer Ersatzfreiheitsstrafe von 10 Tagen bei schuldhafter Nichtbezahlung der Busse verurteilt.
X._ erhob Einsprache. Darin beantragte er, es sei vom Schuldvorwurf des Vorsatzes und des Eventualvorsatzes abzusehen und er sei wegen fahrlässiger Verletzung der Verkehrsregeln mit einer Busse von CHF 600.00 zu bestrafen.
A.b. Das Bezirksgericht Baden, Präsidium des Strafgerichts, sprach X._ am 21. Oktober 2016 der einfachen Verkehrsregelverletzung wegen Überschreitens der signalisierten Höchstgeschwindigkeit innerorts im Sinne von <ref-law> in Verbindung mit Art. 4a Abs. 1 lit. a VRV schuldig und bestrafte ihn mit einer Busse von CHF 1'000.00 beziehungsweise mit einer Ersatzfreiheitsstrafe von 10 Tagen im Falle der schuldhaften Nichtbezahlung der Busse.
B.
Gegen diesen Entscheid erhoben X._ Berufung und die Staatsanwaltschaft Baden Anschlussberufung.
Das Obergericht des Kantons Aargau, Strafgericht, 3. Kammer, sprach X._ am 31. Mai 2017 der groben Verletzung der Verkehrsregeln durch Missachtung der signalisierten und zulässigen Höchstgeschwindigkeit innerorts gemäss Art. 90 Abs. 2 in Verbindung mit Art. 27 Abs. 1 und Art. 32 Abs. 2 SVG schuldig. Es bestrafte ihn hiefür mit einer bedingten Geldstrafe von 90 Tagessätzen zu je CHF 80.00 bei einer Probezeit von zwei Jahren und mit einer Busse von CHF 1'000.00, ersatzweise 13 Tage Freiheitsstrafe.
C.
X._ erhebt Beschwerde in Strafsachen. Er stellt die Anträge, das Urteil des Obergerichts sei aufzuheben und er sei vom Vorwurf der groben Verletzung der Verkehrsregeln durch Missachtung der signalisierten und zulässigen Höchstgeschwindigkeit innerorts freizusprechen; eventualiter sei die Sache zur erneuten Beurteilung an die Vorinstanz zurückzuweisen; subeventualiter sei er wegen fahrlässiger einfacher Verkehrsregelverletzung zu verurteilen; subsubeventualiter sei er wegen fahrlässiger schwerer Verletzung der Verkehrsregeln zu verurteilen. Zudem ersucht er um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege.
Das Obergericht und die Oberstaatsanwaltschaft des Kantons Aargau haben auf Vernehmlassungen verzichtet.

Erwägungen:
1.
Im Strafbefehl, der vorliegend gemäss <ref-law> als Anklage gilt, wird dem Beschwerdeführer vorgeworfen, er habe vorsätzlich durch grobe Verletzung der Verkehrsregeln eine ernstliche Gefahr für die Sicherheit anderer hervorgerufen oder in Kauf genommen. Der Beschwerdeführer habe durch massive Überschreitung der vorgegebenen Geschwindigkeit wissentlich und willentlich eine konkrete oder erhöhte abstrakte Gefahr für die Sicherheit anderer Verkehrsteilnehmer geschaffen beziehungsweise eine solche Gefahr zumindest in Kauf genommen. Damit wird dem Beschwerdeführer in der Anklageschrift eine Vorsatztat zur Last gelegt. Die Staatsanwaltschaft beantragte denn auch in ihrer Anschlussberufung die Verurteilung des Beschwerdeführers wegen vorsätzlicher grober Verkehrsregelverletzung gemäss <ref-law>.
2.
Die erste Instanz erwog, der Beschwerdeführer habe glaubhaft dargelegt, dass er für kurze Zeit in Gedanken versunken gewesen sei und daher die Überschreitung der zulässigen Geschwindigkeit nicht bemerkt habe. Er habe unbewusst fahrlässig gehandelt. Zwar könne nach der Rechtsprechung auch unbewusst fahrlässiges Verhalten den subjektiven Tatbestand der groben Verkehrsregelverletzung erfüllen, wenn das Nichtbedenken der Gefährdung anderer Verkehrsteilnehmer auf Rücksichtslosigkeit beruhe. Dem Beschwerdeführer könne indessen weder eine besondere Gleichgültigkeit noch ein bedenken- oder gewissenloses Verhalten gegenüber fremden Rechtsgütern vorgeworfen werden. Er sei mit seinen Gedanken bei seinem Freund gewesen, von dessen schweren Krebserkrankung er kurz zuvor erfahren habe. Zudem habe er die inkriminierte Tat auf einer geraden und übersichtlichen Strecke in einem nur wenig besiedelten Gebiet bei bloss geringem Verkehrsaufkommen begangen, welche Umstände ebenfalls dazu beigetragen haben mochten, in der Aufmerksamkeit nachzulassen. Die erste Instanz verurteilte den Beschwerdeführer daher wegen fahrlässiger einfacher Verletzung der Verkehrsregeln im Sinne von <ref-law> zu einer Busse.
3.
Die Vorinstanz gibt im angefochtenen Urteil die Aussagen des Beschwerdeführers in den verschiedenen Verfahrensstadien wieder. In der polizeilichen Einvernahme vom 27. Februar 2016 sagte der Beschwerdeführer aus, er sei sich nicht bewusst gewesen, so schnell gefahren zu sein; er habe gedacht, 80 km/h seien erlaubt. In der staatsanwaltschaftlichen Einvernahme vom 28. April 2016 sagte der Beschwerdeführer auf die Frage, weshalb er so schnell, d.h. mit 81 km/h, gefahren sei, aus, er sei im Moment schnell in Gedanken irgendwo anders gewesen; er habe wohl im Moment etwas studiert; er sei sich einfach einen Moment lang nicht bewusst gewesen, dass er so schnell gefahren sei. In der Einvernahme an der erstinstanzlichen Hauptverhandlung vom 21. Oktober 2016 erwähnte der Beschwerdeführer auf die Frage, wieso er zu schnell gefahren sei, erstmals die schwere Krebserkrankung eines Bekannten, von der er an jenem Tag erfahren habe. Mitten drin beim Autofahren habe er an den Bekannten gedacht und sei er zwei bis drei Minuten in Gedanken an ihn gehangen. Auf den Vorhalt, dass er davon in der staatsanwaltschaftlichen Einvernahme nichts erwähnt habe, antwortete der Beschwerdeführer, er sei nicht danach gefragt worden.
Zur Aussage des Beschwerdeführers in der polizeilichen Einvernahme hält die Vorinstanz fest, diese sei in sich, aber auch im Vergleich zu den späteren Aussagen widersprüchlich. Sie zeige aber, dass sich der Beschwerdeführer offenbar sehr wohl bewusst gewesen sei, dass er massiv schneller als 50 km/h gefahren sei, da er im Zeitpunkt der Anhaltung selbst von einer zulässigen Höchstgeschwindigkeit von 80 km/h ausgegangen sei. Zur Aussage des Beschwerdeführers betreffend die schwere Erkrankung eines Bekannten hält die Vorinstanz fest, der Beschwerdeführer habe solches weder gegenüber der Polizei noch gegenüber der Staatsanwaltschaft vorgetragen. Dies erstaune insbesondere in Anbetracht der Aktualität der Nachricht. Die Aussagen des Beschwerdeführers erschienen nachgeschoben und als Schutzbehauptungen. Dies sei jedoch aus nachfolgenden Gründen nicht entscheidend. Der Beschwerdeführer habe die zulässige Innerortsgeschwindigkeit nicht lediglich um ein paar km/h, sondern um 31 km/h überschritten. Von einem praxiserfahrenen und geübten Autolenker könne ohne weiteres erwartet werden, dass er gefahrene 81 km/h von erlaubten 50 km/h unterscheiden könne und dies auch tue. Dies unabhängig davon, an was er dabei gedacht haben wolle. Eine bloss versehentliche Überschreitung der zulässigen Höchstgeschwindigkeit im hier zu beurteilenden Ausmass sei auch unter der Annahme, der Beschwerdeführer sei durch Gedanken an seinen schwer erkrankten Kollegen abgelenkt worden, undenkbar. Von einem Fahrzeuglenker dürfe erwartet werden, dass er auch bei emotionaler Belastung die für die Verkehrssicherheit wichtigen Geschwindigkeitsbeschränkungen wahrnehme und befolge. Wäre er dazu nicht mehr in der Lage, müsste er im Zweifel auf das Führen eines Motorfahrzeugs verzichten. Dass der Beschwerdeführer dies nicht getan habe und nicht einmal auf einer ihm bestens bekannten Strecke die dort geltenden Geschwindigkeitsvorschriften eingehalten habe, könne ihm nur als Rücksichtslosigkeit angelastet werden. Besondere Umstände, welche das Verhalten des Beschwerdeführers subjektiv in einem milderen Licht erscheinen liessen, seien nicht ersichtlich. Demnach sei auch der subjektive Tatbestand von <ref-law> erfüllt. Damit erübrigten sich Ausführungen zur angeblichen Verletzung des Anklagegrundsatzes.
4.
Der Beschwerdeführer stellt nicht in Abrede, dass er die zulässige Höchstgeschwindigkeit von 50 km/h innerorts um 31 km/h überschritt. Er bestreitet auch nicht, dass er dadurch den objektiven Tatbestand der groben Verletzung der Verkehrsregeln im Sinne von <ref-law> erfüllte. Er macht aber geltend, er habe den subjektiven Tatbestand der groben Verkehrsregelverletzung nicht erfüllt. Er sei in Gedanken versunken gewesen und habe daher lediglich unbewusst fahrlässig gehandelt. Er weist auf verschiedene Umstände hin, welche die Vorinstanz im Unterschied zur ersten Instanz nicht gebührend berücksichtigt habe. Er sei ortskundig, die Strasse sei gerade und übersichtlich und das Verkehrsaufkommen sei gering gewesen. Diese Umstände seien im Zusammenwirken mit der Kenntnisnahme der Krebsdiagnose betreffend einen guten Bekannten nach der allgemeinen Lebenserfahrung geeignet, ein so starkes Aufmerksamkeitsdefizit zu bewirken, dass die Überschreitung der zulässigen Höchstgeschwindigkeit von 50 km/h innerorts um 31 km/h von einem Automobilisten kurzzeitig nicht bemerkt werde. Indem die Vorinstanz Vorsatz annehme, obwohl er einerseits die Überschreitung der zulässigen Höchstgeschwindigkeit, da er überhaupt nicht in Eile gewesen sei, nicht gewollt und aufgrund seiner Verfassung der Gedankenversunkenheit auch nicht erkannt haben könne, verletze sie Bundesrecht. Eine Verurteilung wegen fahrlässiger einfacher Verkehrsregelverletzung, die er im Verfahren der Einsprache gegen den Strafbefehl noch akzeptiert hätte, falle jedoch nach dem Anklagegrundsatz ausser Betracht, nachdem die Staatsanwaltschaft an ihrem Strafbefehl, in welchem ihm eine vorsätzliche grobe Verkehrsregelverletzung vorgeworfen worden sei, festgehalten habe und der Strafbefehl daher als Anklageschrift gelte.
5.
5.1. Gemäss <ref-law> wird mit Freiheitsstrafe bis zu drei Jahren oder mit Geldstrafe bestraft, wer durch grobe Verletzung der Verkehrsregeln eine ernstliche Gefahr für die Sicherheit anderer hervorruft oder in Kauf nimmt. Dieser qualifizierte Tatbestand der Verkehrsregelverletzung ist objektiv erfüllt, wenn der Täter eine wichtige Verkehrsvorschrift in objektiv schwerer Weise missachtet und die Verkehrssicherheit ernstlich gefährdet. Eine ernstliche Gefahr für die Sicherheit anderer ist nicht erst bei einer konkreten, sondern bereits bei einer erhöhten abstrakten Gefährdung gegeben. Ob eine konkrete, eine erhöhte abstrakte oder nur eine abstrakte Gefahr geschaffen wurde, hängt von der Situation ab, in welcher die Verkehrsregelverletzung begangen wurde. Wesentliches Kriterium für die Annahme einer erhöhten abstrakten Gefahr ist die Nähe der Verwirklichung. Die allgemeine Möglichkeit der Verwirklichung einer Gefahr genügt demnach nur zur Erfüllung des Tatbestands von <ref-law>, wenn in Anbetracht der Umstände der Eintritt einer konkreten Gefährdung oder gar einer Verletzung naheliegt (<ref-ruling> E. 3.1; <ref-ruling> E. 3.2; je mit Hinweisen).
Nach der Rechtsprechung ist ungeachtet der konkreten Umstände der Tatbestand der groben Verkehrsregelverletzung im Sinne von <ref-law> objektiv erfüllt, wenn die zulässige Höchstgeschwindigkeit von 50 km/h innerorts um 25 km/h oder mehr überschritten wird (<ref-ruling> E. 3.1; Urteile 6B_263/2015 vom 30. Juni 2015 E. 2.1; 6B_571/2012 vom 8. April 2013 E. 3.2; 6B_359/2016 vom 18. August 2016 E. 1.3.2).
5.2. Subjektiv erfordert der Tatbestand von <ref-law> ein rücksichtsloses oder sonst schwerwiegend verkehrswidriges Verhalten, d.h. ein schweres Verschulden, bei fahrlässiger Begehung grobe Fahrlässigkeit (<ref-ruling> E. 3.1; <ref-ruling> E. 3.2; je mit Hinweisen). Je schwerer die Verkehrsregelverletzung objektiv wiegt, desto eher wird Rücksichtslosigkeit subjektiv zu bejahen sein, sofern keine besonderen Gegenindizien vorliegen. Die Annahme von Rücksichtslosigkeit im Sinne von <ref-law> ist restriktiv zu handhaben, weshalb nicht unbesehen von einer objektiv groben auf eine subjektiv grobe Verkehrsregelverletzung geschlossen werden darf. Nicht jede Unaufmerksamkeit, die wegen der Schwere des Erfolgs objektiv als gravierende Verletzung der Vorsichtspflicht zu betrachten ist, wiegt auch subjektiv schwer (<ref-ruling> E. 3.1 mit Hinweisen). Grobe Fahrlässigkeit kann auch vorliegen, wenn der Täter die Gefährdung anderer Verkehrsteilnehmer pflichtwidrig gar nicht in Betracht gezogen, also unbewusst fahrlässig gehandelt hat. In solchen Fällen ist grobe Fahrlässigkeit zu bejahen, wenn das Nichtbedenken der Gefährdung anderer Verkehrsteilnehmer auf Rücksichtslosigkeit beruht (BGE <ref-ruling> E. 3.2 mit Hinweisen; Urteil 6B_571/2012 vom 8. April 2013 E. 3.2). Das Bundesgericht verneinte ein rücksichtsloses Verhalten in einem Fall, in dem ein Fahrzeugführer die bloss während einer Woche geltende und örtlich begrenzte Geschwindigkeitsreduktion auf 80 km/h auf einer Autobahn übersehen hatte (Urteil 6B_109/2008 vom 13. Juni 2008 E. 3.2). Es verneinte Rücksichtslosigkeit auch im Fall der Missachtung einer Geschwindigkeitsbeschränkung, die Teil von Massnahmen eines Verkehrsberuhigungskonzepts bildete (Urteil 6B_622/2009 vom 23. Oktober 2009 E. 3.5).
6.
6.1. Die Vorinstanz stützt die Verurteilung des Beschwerdeführers nicht auch auf dessen Aussagen in der polizeilichen Einvernahme. Daher kann dahingestellt bleiben, ob diese Aussagen, wie der Beschwerdeführer geltend macht, unverwertbar seien.
6.2. Die Vorinstanz zweifelt an der Glaubhaftigkeit der Aussagen des Beschwerdeführers, er sei in Gedanken an einen schwer erkrankten Bekannten versunken gewesen. Diese Zweifel wirkten sich aber nicht auf die Beurteilung des konkreten Falles aus. Es ist daher nicht zu prüfen, ob die Vorinstanz in Willkür verfiel, indem sie erwog, die fraglichen Aussagen erschienen als Schutzbehauptung.
6.3. Die Vorinstanz bringt in der Begründung ihres Urteils zum Ausdruck, dass der Beschwerdeführer die zulässige Höchstgeschwindigkeit von 50 km/h innerorts vorsätzlich um 31 km/h überschritten habe. Dies ergibt sich etwa aus der Erwägung, von einem praxiserfahrenen und geübten Autolenker könne unabhängig davon, was er gerade denke, erwartet werden, dass er gefahrene 81 km/h von erlaubten 50 km/h unterscheiden könne und dies auch tue, sowie aus der Erwägung, eine bloss versehentliche Überschreitung der zulässigen Höchstgeschwindigkeit im hier zu beurteilenden Ausmass sei auch unter der Annahme, der Beschwerdeführer sei in Gedanken versunken gewesen, undenkbar. Die Vorinstanz hat denn auch die Anschlussberufung der Staatsanwaltschaft gutgeheissen, mit welcher diese die Verurteilung des Beschwerdeführers entsprechend dem Strafbefehl wegen einer Vorsatztat beantragte.
6.4. Der Beschwerdeführer fuhr am 27. Februar 2016 um 19.30 Uhr auf der Landstrasse durch das Dorf A._. Die Strasse ist ein- und teilweise beidseitig bebaut, und es münden einige andere Strassen in sie ein. Der Beschwerdeführer befährt nach eigenen Aussagen die Strecke seit 18 Jahren alle zwei Wochen. Er fuhr nach eigenen Angaben vor der Anhaltung während zirka zwei bis drei Minuten mit der gemessenen Geschwindigkeit. Um 19.30 Uhr war mit schlecht sichtbaren Fussgängern zu rechnen.
Unter diesen konkreten Umständen konnte dem Beschwerdeführer, auch wenn er in Gedanken an seinen schwer kranken Bekannten versunken war, nach der allgemeinen Lebenserfahrung nicht entgangen sein, dass er die zulässige Höchstgeschwindigkeit von 50 km/h innerorts deutlich überschritt, und kann ihm ohne Verletzung von Bundesrecht und willkürfrei vorgeworfen werden, er habe eine Überschreitung der zulässigen Höchstgeschwindigkeit innerorts um 31 km/h, d.h. um mindestens 25 km/h, in Kauf genommen. Der Beschwerdeführer machte sich daher nach der zutreffenden Auffassung der Vorinstanz der (eventual-) vorsätzlichen groben Verletzung der Verkehrsregeln schuldig. Bei diesem Ergebnis kann dahingestellt bleiben, ob eine Verurteilung wegen grobfahrlässiger grober Verkehrsregelverletzung mit dem Anklagegrundsatz vereinbar wäre.
7.
Der Beschwerdeführer ersucht um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege. Das Gesuch ist abzuweisen, da die Beschwerde keine Aussicht auf Erfolg hatte. Der Beschwerdeführer hat somit die bundesgerichtlichen Kosten zu tragen. Seiner finanziellen Lage ist bei der Bemessung der Gerichtskosten Rechnung zu tragen (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.
Das Gesuch um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege wird abgewiesen.
3.
Die Gerichtskosten von CHF 1'200.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Aargau, Strafgericht, 3. Kammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 26. Oktober 2017
Im Namen der Strafrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Denys
Der Gerichtsschreiber: Näf