Faits :
A.
X._ est une entreprise individuelle détenue par Y._, inscrite depuis le 25 mai 1987 au registre du commerce de Genève. Son but est l'exploitation d'un garage, d'un atelier de réparations pour tous véhicules à moteur et d'une station-service.
Le 30 avril 2014, l'Aéroport International de Genève (ci-après: l'Aéroport) a écrit à X._ pour le mettre en demeure de cesser ses activités commerciales sur le site aéroportuaire. A défaut, une décision d'interdiction d'accéder au site serait prononcée, dont la violation serait susceptible de constituer une infraction pénale.
Dans une réponse du 10 juin 2014, X._ a indiqué qu'il offrait un service de parking individualisé aux utilisateurs de l'Aéroport depuis 1961 et qu'il avait continué à exercer cette activité depuis lors, malgré les nombreuses évolutions ayant eu lieu sur le site et à la plus grande satisfaction de toutes les personnes concernées.
Les parties se sont rencontrées, sans succès, le 15 septembre 2014.
B.
Par décision du 5 novembre 2014, l'Aéroport a fait interdiction à X._, ainsi qu'à ses organes, collaborateurs et autres auxiliaires d'accéder au site aéroportuaire, sous la menace des sanctions prévues à l'<ref-law>.
X._ a recouru contre cette décision auprès de la Chambre administrative de la Cour de justice du canton de Genève (ci-après: la Cour de justice), en demandant son annulation. Il indiquait notamment qu'à la fin des années 1990, l'Aéroport lui avait suggéré de se mettre en rapport avec A._ en vue d'une éventuelle collaboration, mais les négociations n'avaient pas abouti. Depuis lors, il avait développé ses activités en collaboration avec Swissport. Les clés des clients étaient déposées dans l'Aéroport au guichet de Swissport, à qui il versait 500 fr. par mois pour ce service. Entre 1980 et 2000, X._ achetait des lots de tickets de parking et avait été candidat lors de l'avis de soumission d'une concession d'exploitation d'un service de valet de parking en 2001. Sur la base de ces éléments, X._ se prévalait d'une autorisation à tout le moins implicite d'exercer son activité sur le site.
L'Aéroport a contesté en substance avoir reconnu l'existence d'un droit de X._ à une utilisation des parkings pour y exercer son activité.
Par arrêt du 23 juin 2015 notifié le 30 juin 2015, la Cour de justice a rejeté le recours de X._.
C.
Contre cet arrêt, X._ forme un recours en matière de droit public et un recours constitutionnel subsidiaire au Tribunal fédéral. Il conclut à son annulation, avec suite de frais et dépens.
Par ordonnance du 28 septembre 2015, le Président de la IIe Cour de droit public a admis la requête d'effet suspensif formée par X._.
La Cour de justice a déclaré s'en rapporter à justice quant à la recevabilité du recours et persister dans les considérants et le dispositif de son arrêt. L'Aéroport a déposé des observations, en concluant au rejet du recours en matière de droit public et à l'irrecevabilité du recours constitutionnel subsidiaire, avec suite de frais et dépens.

Considérant en droit :
1.
1.1. Relevant du droit public (<ref-law>), l'arrêt attaqué constitue une décision finale (<ref-law>), rendue par une autorité judiciaire supérieure cantonale de dernière instance (art. 86 al. 1 let. d et al. 2 LTF), de sorte que la voie du recours en matière de droit public est en principe ouverte, aucune des exceptions de l'<ref-law> n'étant réalisée. Le recours a été formé en temps utile compte tenu des féries (art. 46 al. 1 let. b et 100 al. 1 LTF), par le titulaire de l'entreprise individuelle qui, en tant que destinataire de l'arrêt attaqué lui interdisant de continuer à exercer son activité sur le site de l'Aéroport, a qualité pour recourir (<ref-law>).
1.2. Le recourant conclut à titre principal uniquement à l'annulation de l'arrêt attaqué, alors que des conclusions purement cassatoires ne sont en principe pas suffisantes (<ref-law>). Dès lors toutefois que l'on comprend clairement, à la lecture du mémoire, qu'il entend obtenir du Tribunal fédéral de pouvoir continuer à exercer son activité de valet de parking sur le site de l'Aéroport, il convient de ne pas se montrer trop formaliste (cf. <ref-ruling> consid. 1.3 p. 317; <ref-ruling> consid. 1.4.1 p. 414 s.) et de ne pas déclarer le recours irrecevable pour ce motif.
Il ressort en outre de la motivation que le recourant prétend à une indemnité à titre d'expropriation, qu'il laisse à l'appréciation au Tribunal fédéral. L'acte de recours ne contient pas de conclusion au sens strict du terme sur ce point, contrairement à ce que prescrit l'<ref-law>. De plus, les conclusions portant sur une somme d'argent doivent en principe être chiffrées, à moins que la somme à allouer soit d'emblée reconnaissable au regard de la motivation du recours ou de la décision attaquée (cf. <ref-ruling> consid. 2 p. 237; arrêt 2C_298/2010 du 28 avril 2011 consid. 1.4.1; FLORENCE AUBRY GIRARDIN, in Commentaire de la LTF, 2e éd. 2014, n° 17 ad <ref-law> p. 307). Tel n'est pas le cas en l'espèce, de sorte que cette conclusion est déjà irrecevable pour ce motif. En outre, le recourant n'avait pas pris de telle conclusion devant l'autorité précédente. Il s'agit partant aussi d'une conclusion irrecevable parce que nouvelle (<ref-law>).
1.3. Hormis la réserve précitée, le recours remplit, les conditions de l'art. 42 al. 1 et 2 LTF, de sorte qu'il convient d'entrer en matière.
1.4. Le recours en matière de droit public étant ouvert, le recours constitutionnel subsidiaire également formé par le recourant doit être déclaré irrecevable (cf. <ref-law> a contrario).
2.
2.1. Saisi d'un recours en matière de droit public, le Tribunal fédéral contrôle librement le respect du droit fédéral, qui comprend les droits de nature constitutionnelle (cf. art. 95 let. a et 106 al. 1 LTF), sous réserve des exigences de motivation figurant à l'<ref-law>. Aux termes de cet alinéa, le Tribunal fédéral n'examine les droits fondamentaux que si le grief a été invoqué et motivé par le recourant (cf. <ref-ruling> consid. 1.3 p. 41; <ref-ruling> consid. 2.5 p. 314).
Sauf exceptions non pertinentes en l'espèce (cf. art. 95 let. c, d et e LTF), l'on ne peut invoquer la violation du droit cantonal ou communal en tant que tel devant le Tribunal fédéral (<ref-law> e contrario). Il est néanmoins possible de faire valoir que son application consacre une violation du droit fédéral, comme la protection contre l'arbitraire (art. 9 Cst.) ou la garantie d'autres droits constitutionnels (<ref-ruling> consid. 2.3 p. 387; <ref-ruling> consid. 2.2 p. 69). Le Tribunal fédéral n'examine alors de tels moyens que s'ils sont formulés conformément aux exigences de motivation qualifiée prévues à l'<ref-law> (<ref-ruling> consid. 1.3 p. 41; <ref-ruling> consid. 2.5 p. 314).
2.2. Pour statuer, le Tribunal fédéral se fonde sur les faits constatés par l'autorité précédente (cf. <ref-law>), à moins que ceux-ci n'aient été établis de façon manifestement inexacte - notion qui correspond à celle d'arbitraire (<ref-ruling> consid. 2.3 p. 266) - ou en violation du droit au sens de l'<ref-law> (cf. <ref-law>). Si le recourant entend s'écarter des constatations de l'autorité précédente (cf. <ref-law>), il doit expliquer de manière circonstanciée en quoi les conditions d'une exception prévue par l'<ref-law> seraient réalisées. Sinon, il n'est pas possible de tenir compte d'un état de fait divergeant de celui qui est contenu dans l'acte attaqué (<ref-ruling> consid. 3.1.2 p. 34; <ref-ruling> consid. 5.1 p. 356; <ref-ruling> consid. 5.2.2 p. 322 s.).
3.
Selon la jurisprudence, l'objet du litige soumis au Tribunal fédéral est déterminé par la décision attaquée (objet de la contestation), elle-même délimitée par les conclusions des parties (<ref-law>; sur les notions d'objet de la contestation et du litige, cf. <ref-ruling> consid. 1.1 p. 502 et les références).
En l'espèce, l'Aéroport, dans sa décision du 5 novembre 2014, a fait interdiction au recourant, de même qu'à ses organes, collaborateurs et autres auxiliaires, d'accéder au site aéroportuaire dans le but d'y exercer une quelconque activité commerciale et/ou financière. L'activité visée dans les motifs de cette décision était toutefois exclusivement celle de valet de parking. Dans l'arrêt attaqué, la Cour de justice n'a également envisagé que cette activité. Il en découle que, malgré la formulation très large du dispositif de la décision du 5 novembre 2014, la contestation porte sur l'interdiction d'exercer une activité de valet de parking. Le recourant ne s'y trompe pas, motivant son recours uniquement en lien avec le maintien d'un accès au site aéroportuaire en vue de pouvoir continuer à y exercer l'activité de valet de parking. Partant, le litige porte exclusivement sur cette activité.
Cette interdiction repose sur le droit cantonal et les règles d'organisation édictées par l'Aéroport sur cette base. Par conséquent, le Tribunal fédéral examinera la cause dans les limites des droits constitutionnels invoqués d'une manière conforme à l'<ref-law> (cf. supra consid. 2.1).
4.
L'arrêt attaqué retient en substance que les parkings font partie du patrimoine administratif de l'Aéroport, affectés à une tâche publique. Comme l'usage qu'en fait le recourant au travers de son activité constitue un usage extraordinaire, il n'est admissible qu'en présence d'un acte spécial l'y autorisant, qui n'existe pas en l'espèce. Les arrangements que le recourant a trouvés au fil du temps avec l'une ou l'autre compagnie active sur le site ne lui permet pas d'inférer que l'intimé l'autorisait à exercer son activité. Au contraire, les contacts entre les parties indique que l'Aéroport n'entendait pas tolérer de telles activités. On ne peut donc considérer que le recourant a bénéficié d'une autorisation. En outre, dès lors que les parkings de l'Aéroport ne constituent pas des biens publics susceptibles d'un usage commun, l'entreprise recourante ne peut se prévaloir de sa liberté économique. Le fait que l'Aéroport ait concédé à A._ un service de voiturier contre rémunération n'y change rien, l'Aéroport ayant fait le choix d'un concessionnaire unique. Quant à l'inégalité de traitement invoquée par le recourant au motif que l'Aéroport tolérerait des activités de tiers à l'intérieur de son site, la Cour de justice considère que les règlements adoptés par l'Aéroport expriment clairement la volonté de l'intimé d'exclure les activités commerciales non autorisées dans les parkings et autres locaux du site et que rien n'indique que celui-ci entendrait tolérer ou continuer à tolérer de telles activités.
5.
Avant d'examiner les griefs de nature constitutionnelle concernant le fond invoqués par le recourant, il convient de qualifier juridiquement les lieux où, sur le site de l'Aéroport, l'exercice de l'activité de voiturier s'effectue (consid. 5.1-5.3), puis d'examiner l'usage qui en est fait par le recourant (consid. 5.4). En effet, selon que les parkings relèvent du domaine public ou du patrimoine administratif et en fonction de l'usage que l'activité litigieuse nécessite, la possibilité d'interdire ladite activité en lien notamment avec les droits constitutionnels invoqués sera soumise à des exigences différentes (cf. <ref-ruling> consid. 2.3.2 p. 284; <ref-ruling> consid. 4b p. 89).
5.1. Ce qui différencie l'appartenance d'un bien au domaine public ou au patrimoine administratif est fondamentalement le cercle des utilisateurs. Le domaine public comprend l'ensemble des biens qui peuvent être utilisés librement par tout un chacun (<ref-ruling> consid. 2.3.2 p. 284). Il est donc ouvert à tous, en principe de manière libre, égale et gratuite (THIERRY TANQUEREL, Manuel de droit administratif, 2011, n. 199). Appartiennent au domaine public les espaces naturels publics, tels les cours d'eau et les ouvrages affectés à un but d'intérêt général, comme les routes et les places (cf. <ref-law>; TSCHANNEN/ ZIMMERLI/MÜLLER, Allgemeines Verwaltungsrecht, 4e éd. 2014, p. 469). Le patrimoine administratif vise pour sa part un cercle d'utilisateurs plus limité (<ref-ruling> consid. 2.3.2 p. 284). Relèvent du patrimoine administratif les biens des collectivités publiques qui sont directement affectés à la réalisation d'une tâche publique. En font parties les immeubles qui abritent les écoles, les hôpitaux, les gares (avec des nuances concernant les zones commerciales ou les parois des couloirs cf. <ref-ruling> consid. 2.3.2), les musées, les bibliothèques et, de manière générale, les établissements publics et les services administratifs de l'État (arrêt 4A_250/2015 du 21 juillet 2015 consid. 4.1; 1C_379/2014 du 29 janvier 2015 consid. 5.3, in SJ 2015 I 322).
Lorsque le patrimoine administratif est affecté à des fins particulières d'intérêt public au bénéfice des citoyens, il est le plus fréquemment séparé du patrimoine administratif ordinaire et est institué en patrimoine distinct sous la forme d'un établissement public (par ex. les établissements scolaires ou universitaires, les hôpitaux, les théâtres municipaux, les musées, etc.). Dans ces cas, l'utilisation du patrimoine administratif se confond avec l'usage de l'établissement public en cause, lequel est en principe défini par son affectation spécifique et par les conditions mises à son accès par une loi (arrêts 2C_167/2012 du 1er octobre 2012 consid. 4.2, in SJ 2013 I 341; 1C_312/2010 du 8 décembre 2010 consid. 3.2 et les références, in RDAF 2011 I 48). Le patrimoine administratif est régi par le principe selon lequel l'autorité concernée accorde la priorité à une utilisation ordinaire (conforme au droit) par rapport à une utilisation extraordinaire par des personnes privées, cette dernière utilisation n'entrant en considération que si elle est compatible avec la destination de l'ouvrage ou de l'installation en question (ATF <ref-ruling> consid. 4b p. 89). L'établissement de droit public chargé de gérer le patrimoine administratif est donc en droit de refuser que des activités qui ne sont pas conformes à un usage ordinaire s'y développent ou d'en limiter l'ampleur par un système d'autorisation et/ou de concession (cf. sur la nature juridique de ces restrictions, qui dépasse l'objet du présent litige, MARKUS HEER, Die ausserordentliche Nutzung des Verwaltungsvermögens durch Private, 2006, p. 124 ss).
5.2. L'exploitation d'un aéroport à titre commercial est soumise à concession octroyée par le Département fédéral compétent (cf. art. 36a al. 1 de la loi fédérale du 21 décembre 1948 sur l'aviation [LA]; RS 748.0). Selon l'art. 36a al. 2 LA, le concessionnaire a notamment l'obligation de mettre à la disposition des usagers une infrastructure répondant aux impératifs d'une exploitation sûre et rationnelle (cf. art. 36a al. 2 LA). L'exploitation des aérodromes est réglée, sur le plan fédéral, par l'ordonnance du Conseil fédéral sur l'infrastructure aéronautique du 23 novembre 1994 (OSIA; RS 748.131.1). L'<ref-law> prévoit que le règlement d'exploitation régit tous les aspects opérationnels de l'aérodrome. Il contient notamment des prescriptions sur l'utilisation des installations de l'aérodrome par les passagers, les aéronefs et les véhicules terrestres ainsi que par les autres usagers (let. d).
Le canton de Genève a confié la gestion et l'exploitation de l'Aéroport, dans les limites de la concession fédérale, à un établissement de droit public autonome et doté de la personnalité juridique, à savoir l'intimé (cf. art. 1 de la loi cantonale genevoise du 10 juin 1993 sur l'Aéroport international de Genève [LAIG]; RS/GE H 3 25). Celui-ci a pour mission de gérer et d'exploiter l'Aéroport et ses installations en offrant, au meilleur coût, les conditions optimales de sécurité, d'efficacité et de confort pour ses utilisateurs (art. 2 al. 1 LAIG). Il doit prendre toutes les mesures propres à remplir sa mission (cf. art. 30 LAIG). Les bâtiments, installations et aménagements extérieurs compris dans le périmètre aéroportuaire sont propriété de l'Aéroport (art. 4 al. 1 LAIG). Celui-ci peut donner en location ou en concession les locaux techniques, administratifs et commerciaux dont il est propriétaire et dont il n'a pas lui-même l'usage (art. 31 LAIG). L'art. 3 let. b du règlement d'application de la loi sur l'Aéroport international de Genève du 13 décembre 1993 (RAIG; RS/GE H 3 25.01) précise que, dans le cadre de la gestion de l'établissement, le conseil d'administration de l'Aéroport édicte notamment un règlement général sur l'organisation de l'Aéroport.
Faisant usage de cette compétence, le conseil d'administration a adopté un règlement d'exploitation de l'Aéroport international de Genève le 31 mai 2001 (ci-après: le règlement d'exploitation). Son article 15 prévoit qu'aucune activité commerciale, financière, industrielle ou artisanale ne peut être exercée à l'Aéroport sans une concession accordée par l'exploitant. En outre, il découle de l'art. 12 al. 1 et 2 let. d du règlement d'exploitation que l'exploitant édicte et publie des prescriptions complémentaires d'utilisation de l'Aéroport, qui portent notamment sur la circulation et le stationnement des véhicules dans l'enceinte aéroportuaire. Sur cette base, l'intimé a adopté, le 21 mai 2013, un nouveau règlement d'utilisation des parkings publics du site aéroportuaire (ci-après: le règlement d'utilisation des parkings), qui prévoit notamment, à son article 12 ch. 3, que les transactions commerciales et/ou financières ne sont admises ni au sein des Parkings et/ou de la (des) zone (s) de dépose-rapide ni à leur proximité immédiate, sauf autorisation préalable et écrite de l'Aéroport.
5.3. Il découle de cette réglementation que les parkings situés sur le site aéroportuaire ne remplissent pas les caractéristiques propres au domaine public. Leur accès n'est pas libre, égal et gratuit. Leur utilisation est limitée, car l'exploitation d'un aéroport international implique que les utilisateurs de l'Aéroport, en particulier le personnel, les voyageurs et les personnes venant amener des passagers, puissent accéder dans des conditions optimales au site, ce qui suppose en particulier que les parkings leur soient accessibles en priorité; dans ce contexte, le rôle des parkings de courte durée consiste à offrir suffisamment de places pour permettre en permanence aux personnes amenant ou recherchant des voyageurs d'y laisser leur véhicule pour une courte période. Ces parkings sont en ce sens affectés à des fins particulières d'intérêt public. Le canton de Genève a du reste, de manière caractéristique, créé un établissement de droit public doté de la personnalité juridique à qui il a conféré la propriété de l'ensemble des bâtiments, installations et aménagements extérieurs compris dans le périmètre aéroportuaire, dont les parkings font parties, à charge pour celui-ci de gérer et de réglementer l'ensemble en offrant aux utilisateurs les meilleures conditions possibles. Les parkings de l'Aéroport apparaissent ainsi comme des biens appartenant à un établissement de droit public autonome qui sont directement affectés à la réalisation d'une tâche publique. Il convient donc de considérer, à l'instar de la Cour de justice, que ces parkings relèvent du patrimoine administratif, propriété de l'Aéroport, et que celui-ci a la compétence et aussi l'obligation, en vertu de la législation fédérale et cantonale, de les gérer dans le respect des impératifs d'intérêt public poursuivis; il peut donc, dans le cadre de ces impératifs, poser des conditions à leur usage et limiter une utilisation qui n'est pas conforme à leur but premier. Dans ce cadre, l'intimé a, d'une part, soumis l'exercice d'une activité commerciale, financière, industrielle ou artisanale sur le siège de l'Aéroport à concession (cf. art. 15 du règlement d'utilisation) et, d'autre part, subordonné les transactions commerciales et/ou financières dans les parkings, les zones de dépose-rapide et leur proximité immédiate, à l'octroi d'une autorisation préalable (cf. art. 12 ch. 3 du règlement d'utilisation des parkings).
5.4. Pour savoir si les restrictions posées, conformément aux règlements précités, par l'Aéroport à l'usage du parking par le recourant sont admissibles, il convient d'examiner quelle est la nature de cette utilisation.
Selon les juges cantonaux, le recourant, par son activité exercée sur le site de l'Aéroport, consistant à réceptionner et à remettre des véhicules, fait un usage qui ne correspond pas à l'utilisation des parkings de courte durée de l'Aéroport. Le fait que le dépôt des clés ait lieu à un guichet de Swissport n'a pas été considéré comme déterminant, car il ne changeait rien à l'utilisation du parking de courte durée compromise par l'intervention conjointe de plusieurs employés du recourant liée aux activités de nombreux autres concurrents.
Le recourant ne contestant pas cette appréciation, il n'y a pas lieu d'y revenir. Dès lors que le recourant n'est formellement pas titulaire d'une concession ni d'une autorisation écrite, l'interdiction qui lui a été faite s'insère dans le cadre de la législation applicable et est conforme aux dispositions réglementaires fixées par l'intimé.
Encore faut-il vérifier que cette interdiction ne viole pas les droits constitutionnels invoqués dans le recours (<ref-law>).
6.
Le recourant se prévaut principalement du fait qu'il a pu exercer son activité de valet de parking sur le site de l'Aéroport depuis plusieurs décennies. L'arrêt attaqué, reprenant la position du recourant, indique que ce service était offert depuis 1961 par Y._. Invoquant, certes de manière quelque peu désordonnée, comme le relève l'intimé, mais néanmoins suffisante en regard de l'<ref-law>, l'art. 9 Cst., l'interdiction de l'arbitraire et le principe de la confiance, le recourant reproche aux autorités cantonales d'avoir nié qu'il bénéficiait d'un droit acquis le plaçant dans une position identique à un concessionnaire.
6.1. Un établissement de droit public assumant une tâche de l'État est lié par les droits fondamentaux en vertu de l'art. 35 al. 2 Cst. (<ref-ruling> consid. 5 p. 204 et 6.4.1 p. 208; arrêt 2C_167/2012 du 1er octobre 2012 consid. 4.4, in SJ 2013 I 341). Tel est en particulier le cas lorsqu'il décide de l'utilisation du patrimoine administratif qui lui est confié. Même s'il dispose d'une certaine liberté d'appréciation dans l'exercice de sa tâche, il doit respecter les principes généraux du droit public, dont font notamment partie l'interdiction de l'arbitraire, l'égalité de traitement et la proportionnalité, de même que le devoir de l'autorité d'adopter une attitude neutre et objective (cf. <ref-ruling> consid. 6.4.1 p. 208; <ref-ruling> consid. 2.2.2 p. 283).
6.2. Découlant directement de l'art. 9 Cst. et valant pour l'ensemble de l'activité étatique, le principe de la bonne foi protège le citoyen dans la confiance légitime qu'il met dans les assurances reçues des autorités, lorsqu'il a réglé sa conduite d'après des décisions, des déclarations ou un comportement déterminé de l'administration. Selon la jurisprudence, un renseignement ou une décision erronés de l'administration peuvent obliger celle-ci à consentir à un administré un avantage contraire à la réglementation en vigueur, à condition que l'autorité soit intervenue dans une situation concrète à l'égard de personnes déterminées, qu'elle ait agi ou soit censée avoir agi dans les limites de ses compétences et que l'administré n'ait pas pu se rendre compte immédiatement de l'inexactitude du renseignement obtenu. Il faut encore qu'il se soit fondé sur les assurances ou le comportement dont il se prévaut pour prendre des dispositions auxquelles il ne saurait renoncer sans subir de préjudice et que la réglementation n'ait pas changé depuis le moment où l'assurance a été donnée (cf. <ref-ruling> consid. 6.2 p. 538; <ref-ruling> consid. 6.1 p. 636 s.). Une violation du principe de la bonne foi n'est réalisée que lorsque la modification du droit porte atteinte aux droits acquis en contredisant, sans raisons valables, des assurances précédemment données par le législateur, ou lorsqu'une modification est décidée de façon imprévisible dans le dessein d'empêcher l'exécution d'un projet qui serait réalisable (<ref-ruling> consid. 4b/bb p. 358; arrêt 2C_507/2011 du 16 janvier 2012 consid. 9.3, in RNRF 95/2014 p. 250). Il découle uniquement des droits acquis une certaine "stabilité" de la loi dans le sens que de tels droits ne peuvent pas être annulés ou restreints par des changements de loi ultérieures sans indemnités (<ref-ruling> consid. 3b p. 145; arrêt 2C_561/2007 du 6 novembre 2008 consid. 3, in ZBl 110/2009 p. 571, résumé in RDAF 2010 I 328). Le principe de la bonne foi peut, en outre, imposer un régime transitoire (<ref-ruling> consid. 7.6.1 p. 40; <ref-ruling> consid. 8.1 p. 60). Ce régime doit permettre aux administrés de s'adapter à la nouvelle réglementation et non pas de profiter le plus longtemps possible de l'ancien régime plus favorable (<ref-ruling> consid. 7.6.1 p. 40; <ref-ruling> consid. 9 p. 395).
Sous l'angle de la bonne foi, il est possible de se prévaloir d'une situation acquise, s'agissant de l'exercice d'activités qui, avant leur interdiction faisaient l'objet d'une autorisation administrative ou qui étaient à tout le moins tolérées (arrêts 2C_547/2015 consid. 1.3.3, in SJ 2016 I 260; <ref-ruling> consid. 9.5 p. 513 concernant une position juridique similaire à un concessionnaire). A cet égard, il convient de préciser que la possibilité pour un justiciable d'obtenir, par le biais de l'effet suspensif, la possibilité de continuer à exercer une activité, parce que celle-ci avait été tolérée par l'autorité, durant la procédure, ne comporte pas, de facto, s'agissant du fond, la reconnaissance d'une situation acquise lui conférant un droit à l'exercice durable de ladite activité (cf. arrêt 2C_1161/2013 du 27 février 2014 consid. 5.4).
Même si une concession portant sur un usage accru du domaine public (ou du patrimoine administratif) a été accordée pour une durée indéterminée, elle ne confère pas au concessionnaire un droit acquis immuable; celui-ci n'est pas à l'abri d'un changement de législation ni du fait que l'autorité choisisse de limiter sa concession dans le temps (cf. arrêt 2P.315/2005 du 18 mai 2006 consid. 3.3, in ZBl 108/2007 p. 226); toutefois, dans un tel cas l'autorité doit tenir compte de l'intérêt à la sécurité du droit et à la protection des investissements déjà effectués (<ref-ruling> consid. 2.4.2 p. 112 et les références; arrêt 2C_829/2015 du 15 janvier 2016 consid. 4.3, in ZBl 117/2016 p. 493).
6.3. En l'espèce, la Cour de justice considère que le recourant ne peut se prévaloir d'une autorisation (implicite) de la part de l'Aéroport lui permettant d'exercer son activité de valet de parking, au motif que les arrangements trouvés avec l'une ou l'autre compagnie sur le site ne suffisent pas à en inférer que l'Aéroport autorisait cette activité. Au contraire, les contacts entre les parties à l'occasion de l'octroi de la concession à A._ indiquaient que l'intimé n'entendait pas tolérer d'autres entreprises du même type sur le site.
Un telle position ne peut être suivie. En effet, pour savoir si le recourant peut se prévaloir d'une situation acquise sous forme d'une autorisation implicite à exercer l'activité de valet de parking, il faut examiner ce qu'il pouvait déduire du comportement de l'Aéroport à son égard; savoir ce que l'Aéroport, en son for intérieur, avait l'intention de faire n'est en revanche pas pertinent. En l'espèce, la concession à A._ a été délivrée en 2002 (<ref-law>). L'arrêt attaqué évoque les contacts entre les parties durant la procédure d'octroi de la concession, mais est muet sur leur contenu; il ne contient par ailleurs aucun élément concret (et l'intimé n'en invoque lui-même aucun) selon lequel l'Aéroport aurait par la suite et avant le 30 avril 2014, avisé le recourant qu'il ne tolérerait plus son activité sur son site. Lorsque les juges mentionnent les arrangements trouvés entre le recourant et l'une ou l'autre compagnie sur le site, ils se réfèrent apparemment à la collaboration du recourant avec Swissport qui accepte contre rémunération que la remise des clés se fasse à l'un de ses guichets. Si l'on ne peut conclure de cette collaboration avec une entreprise distincte que l'Aéroport entendait autoriser cette activité, cela ne signifie pas que l'intimé l'aurait communiqué au recourant. Enfin, aucun indice ne permet de penser que l'Aéroport n'ait pas été au courant que l'entreprise Dunoyer continuait à exercer ses activités après l'octroi de la concession à A._ en 2002, dès lors qu'elle avait un site internet et utilisait évidemment les parkings de l'Aéroport dans la même mesure que par le passé. Il apparaît ainsi que, bien que le recourant n'ait pas obtenu la concession, l'Aéroport a toléré qu'il continue à exercer ses activités sur son site. Ce n'est que douze années plus tard, soit le 30 avril 2014, que l'intimé a mis le recourant en demeure de cesser ses activités, le lui interdisant formellement le 5 novembre 2014. Enfin, les juges précédents perdent de vue que, contrairement à la situation des autres entreprises concurrentes non bénéficiaires d'une concession qui ont commencé leur activité récemment, le recourant exerce une activité de valet de parking sur le site de l'Aéroport depuis plus de cinquante années.
En pareilles circonstances, c'est en violation de l'art. 9 Cst. que l'arrêt attaqué n'a pas admis que le recourant pouvait se prévaloir d'une situation acquise.
6.4. Reste à déterminer ce que cette position permet au recourant de faire valoir. Comme indiqué, l'existence d'une situation acquise, sous forme d'une autorisation ou d'une concession implicites, ne garantit pas à son bénéficiaire une situation immuable. Il faut admettre que les circonstances se sont modifiées pour l'Aéroport. Alors qu'il avait tacitement accepté les activités de valet de parking exercées par le recourant en parallèle avec son propre concessionnaire, de nouvelles entreprises sont venues se greffer sur ce marché, empêchant une utilisation des parkings conforme à leur but. Dans ce contexte, on ne peut reprocher à l'intimé d'avoir modifié sa pratique tolérante, ni d'avoir précisé l'art. 15 de son règlement d'exploitation en adoptant, le 23 septembre 2013, un nouvel art. 12 ch 2 du règlement d'utilisation des parkings, soumettant toutes transactions commerciales dans les zones de parkings à son autorisation préalable et écrite (cf. supra consid. 5.2 in fine). Même au bénéfice d'une situation acquise, le recourant doit donc accepter le changement de position de l'Aéroport à son égard. Toutefois, compte tenu du nombre d'années pendant lesquelles le recourant a exercé son activité sur le site, l'Aéroport ne pouvait, après l'avoir mis en demeure de cesser ses activités, se contenter de les lui interdire quelques mois plus tard, sans accorder à l'intéressé un délai transitoire pour lui permettre de s'adapter à la nouvelle situation (cf. <ref-ruling> consid. 7.6.1 p. 40 s.), étant précisé que le seul fait de bénéficier de l'effet suspensif durant une procédure ne compense pas un tel délai. Cela correspond du reste à ce que demande le recourant dans son écriture, en évoquant un délai de cinq années.
6.5. S'agissant de la fixation du délai, celui-ci ne peut être établi de manière abstraite, mais dépend des circonstances d'espèce, de sorte que le délai requis par le recourant ne peut être accordé sans autre examen. Comme la Cour de justice n'a pas envisagé cet aspect, l'arrêt attaqué ne contient pas d'éléments de fait suffisants pour que le Tribunal fédéral établisse lui-même cette période transitoire, qui doit être fixée en faisant une pesée entre les intérêts légitimes des deux parties. Il convient donc de renvoyer la cause à la Cour de justice pour qu'elle statue sur ce point (<ref-law>).
7.
Il découle de ce qui précède que le recours constitutionnel subsidiaire doit être déclaré irrecevable, alors que le recours en matière de droit public doit être admis dans la mesure où il est recevable. L'arrêt attaqué sera annulé et la cause renvoyée à la Cour de justice pour qu'elle statue dans le sens des considérants.
8.
L'Aéroport étant un établissement public agissant en l'espèce dans l'exercice de ses attributions officielles sans que son intérêt patrimonial soit en cause, aucun frais ne sera mis à sa charge (art. 66 al. 1 et 4 LTF; arrêt 2C_1161/2013 précité consid. 6.1). En revanche, il versera une indemnité au recourant qui obtient gain de cause par l'intermédiaire d'un avocat (<ref-law>).
Il appartiendra à la Cour de justice de statuer à nouveau sur les frais et dépens dans le cadre de sa décision de renvoi.

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce :
1.
Le recours constitutionnel subsidiaire est irrecevable.
2.
Le recours en matière de droit public est admis, dans la mesure où il est recevable.
3.
L'arrêt du 23 juin 2015 est annulé et la cause renvoyée à la Cour de justice pour nouvelle décision dans le sens des considérants.
4.
Il n'est pas perçu de frais.
5.
Une indemnité de dépens, arrêtée à 4'000 fr., est allouée au recourant, à la charge de l'intimé.
6.
Le présent arrêt est communiqué aux mandataires des parties et à la Cour de justice de la République et canton de Genève, Chambre administrative, 2ème section.
Lausanne, le 11 novembre 2016
Au nom de la IIe Cour de droit public
du Tribunal fédéral suisse
Le Président : Seiler
La Greffière: Vuadens