Sachverhalt:
A.
A._ und B._ sind die Eltern von C._ (geb. 2010). Sie waren nie miteinander verheiratet.
B.
B.a. Mit Eingabe vom 29. Januar 2014 verklagte A._ B._ vor dem Bezirksgericht Aarau auf Ersatz der Entbindungskosten und weiterer infolge der Geburt des gemeinsamen Sohnes entstandener Auslagen. Ausserdem machte sie für sich persönlich Unterhaltsbeiträge sowie eine Genugtuungsforderung geltend. Im Laufe des Verfahrens änderte bzw. präzisierte A._, nun im Armenrecht durch eine Rechtsanwältin vertreten, ihre Rechtsbegehren. Sie stellte das Begehren, B._ zu verpflichten, ihr bis und mit Mai 2026 einen monatlichen Unterhaltsbeitrag in der Höhe von Fr. 2'110.-- zu bezahlen. Weiter sei B._ zum Ersatz der infolge der Geburt des Sohnes notwendig gewordenen Auslagen von Fr. 3'632.-- zu verurteilen. Eventualiter forderte A._, B._ zur Bezahlung einer Genugtuungs- und Schadenersatzsumme in der Höhe von Fr. 150'000.-- zu verpflichten.
B.b. Am 3. Dezember 2014 teilte A._s unentgeltliche Rechtsvertreterin dem Bezirksgericht mit, dass sie die Interessen von A._ ab sofort nicht mehr vertrete.
B.c. Mit Entscheid vom 9. Januar 2015 wies das Bezirksgericht die Klage ab, soweit es darauf eintrat.
C.
C.a. Darauf wandte sich A._ mit Berufung an das Obergericht des Kantons Aargau und stellte dabei, soweit vor Bundesgericht noch von Interesse, die folgenden Rechtsbegehren:
"1. Der Entscheid des Bezirksgerichts Aarau vom 09. Januar 2015 sei aufzuheben und das Rechtsverhältnis der Parteien im Innen- und Aussenverhältnis zu prüfen.
"1. Der Entscheid des Bezirksgerichts Aarau vom 09. Januar 2015 sei aufzuheben und das Rechtsverhältnis der Parteien im Innen- und Aussenverhältnis zu prüfen.
2. Es sei der Berufungsbeklagte für einen vorsorglichen Unterhaltsbetrag zu verpflichten und die Klage zur erneuten Überprüfung an die Vorinstanz zurückzuweisen.
2. Es sei der Berufungsbeklagte für einen vorsorglichen Unterhaltsbetrag zu verpflichten und die Klage zur erneuten Überprüfung an die Vorinstanz zurückzuweisen.
3. Es sei der Berufungsbeklagte zu verpflichten, alle Informationen, die im Zusammenhang mit D._ bestehen, der Berufungsklägerin umgehend mitzuteilen und auf seine künftige Mitwirkungspflicht anzuweisen."
C.b. Das Obergericht trat auf die Berufung nicht ein (Urteil vom 14. Oktober 2015).
D.
D.a. Mit Beschwerde vom 23. November 2015 (Datum der Postaufgabe) wendet sich A._ (Beschwerdeführerin) an das Bundesgericht. Unter dem Titel "Rechtsbegehren" fordert sie das Bundesgericht auf, alle notwendigen Schritte einzuleiten, damit sie ihre Unterhaltsforderungen "gemäss den Rechten einer verheirateten Ehefrau" geltend machen könne. Zudem verlangt die Beschwerdeführerin, B._ (Beschwerdegegner) zu einem allfälligen Kostenvorschuss zu verpflichten. Am 26. November 2015 reichte die Beschwerdeführerin die Berufungsschrift an das Obergericht vom 11. September 2015 nach. Für das Verfahren vor dem Bundesgericht verlangt die Beschwerdeführerin mit nachträglicher Eingabe vom 4. Dezember 2015 die unentgeltliche Rechtspflege.
D.b. Zur Vernehmlassung eingeladen, beantragt der Beschwerdegegner, die Beschwerde abzuweisen (Schreiben vom 30. März 2016). Das Obergericht hat auf eine Vernehmlassung verzichtet. In ihrer Replik vom 18. Mai 2016 (Datum der Postaufgabe) hält die Beschwerdeführerin sinngemäss an ihrem Standpunkt fest. Die Eingabe wurde dem Beschwerdegegner zur Wahrung des rechtlichen Gehörs zur Kenntnis gebracht.

Erwägungen:
1.
Die Beschwerde richtet sich gegen den Endentscheid (<ref-law>) einer letzten kantonalen Instanz (<ref-law>). Der Streit dreht sich um Unterhalts-, Genugtuungs- und Schadenersatzforderungen sowie um Ansprüche auf Ersatz von Auslagen im Zusammenhang mit der Geburt eines Kindes. Das ist eine vermögensrechtliche Zivilsache (<ref-law>). Die gesetzliche Streitwertgrenze (Art. 74 Abs. 1 Bst. b BGG) ist erreicht, die Beschwerdeführerin zur Beschwerde berechtigt (<ref-law>). Die rechtzeitig (<ref-law>) eingereichte Beschwerde ist grundsätzlich zulässig.
2.
Nicht einzutreten ist auf den Antrag, den Beschwerdegegner zur Leistung eines Kostenvorschusses zu verpflichten. Dieser Antrag ist gegenstandslos, nachdem die Beschwerdeführerin für das bundesgerichtliche Verfahren um unentgeltliche Rechtspflege ersucht (s. Sachverhalt Bst. D.a) und das Bundesgericht auf einen Kostenvorschuss verzichtet hat. Von vornherein unbeachtlich sind auch die weitschweifigen Ausführungen, mit denen die Beschwerdeführerin den erstinstanzlichen Entscheid beanstandet. Gegenstand der Beschwerde an das Bundesgericht ist einzig der Entscheid der letzten kantonalen Instanz (<ref-law>). Dieser erschöpft sich darin, dass das Obergericht auf die Berufung der Beschwerdeführerin nicht eintritt. Das Bundesgericht prüft nur, ob dieser vorinstanzliche Nichteintretensentscheid zu Recht ergangen ist. Falls es diese Frage verneinen und die Beschwerde gutheissen sollte, müsste es die Sache an die Vorinstanz zurückweisen. Deshalb konnte sich die Beschwerdeführerin hier mit einem blossen Aufhebungs- und Rückweisungsantrag begnügen (s. <ref-ruling> E. 3.1 S. 489 f.). Ob der vage Antrag, "alle notwendigen Schritte einzuleiten" (s. Sachverhalt Bst.), überhaupt einen solch kassatorischen Antrag darstellt und damit dem gesetzlichen Erfordernis eines Rechtsbegehrens (<ref-law>) genügt, erscheint selbst unter Berücksichtigung der Beschwerdebegründung (s. BGE 136V 131 E. 1.2 S. 136) fraglich. Was es damit auf sich hat, kann mit Blick auf den Ausgang des bundesgerichtlichen Verfahrens aber offenbleiben.
3.
Nach dem Gesagten dreht sich der Streit vor Bundesgericht ausschliesslich um die Frage, ob die Berufungsbegehren der Beschwerdeführerin den gesetzlichen Anforderungen genügen, die Vorinstanz also darauf hätte eintreten müssen. Vorweg ist Folgendes in Erinnerung zu rufen:
3.1. Gemäss <ref-law> ist die Berufung schriftlich und begründet einzureichen. In der Berufungseingabe sind Rechtsbegehren zu stellen (<ref-ruling> E. 4.2.2 S. 618 f.). Im Rechtsbegehren bringt die Partei zum Ausdruck, welche Rechtsfolge sie im Berufungsverfahren anstrebt (Rechtsfolgebehauptung) und inwiefern sie das Gericht hierzu - mittels eines Leistungs-, Gestaltungs- oder Feststellungsbegehrens - um Rechtsschutz ersucht (Rechtsschutzantrag; vgl. dazu Urteil 4A_439/2014 vom 16. Februar 2015 E. 5.4.3.1 mit Hinweisen). Das Rechtsbegehren muss so bestimmt sein, dass es im Falle der Gutheissung der Klage unverändert zum Urteil erhoben werden kann. Daraus folgt, dass auf Geldzahlung gerichtete Begehren zu beziffern sind (<ref-ruling> E. 4.3 S. 619 mit Hinweisen). Soweit die Berufungsinstanz im Falle einer Gutheissung der Berufung die Streitsache nicht zwangsläufig zur erneuten oder weiteren Behandlung an die erste Instanz zurückweisen muss (s. Art. 318 Abs. 1 Bst. c ZPO), bestätigt sie den angefochtenen Entscheid, oder sie trifft einen neuen Entscheid in der Sache (Art. 318 Abs. 1 Bst. a und b ZPO). Wegen dieser reformatorischen Natur der Berufung darf sich auch die Berufungsklägerin grundsätzlich nicht darauf beschränken, lediglich die Aufhebung des angefochtenen erstinstanzlichen Entscheids zu beantragen. Vielmehr muss sie einen Antrag in der Sache, das heisst ein (reformatorisches) Begehren im beschriebenen Sinne stellen (Urteil 4D_8/2013 vom 8. April 2013 E. 2.2; 4A_383/2013 vom 2. Dezember 2013 E. 3.2.1).
3.2. Wie alle Prozesshandlungen sind auch Rechtsbegehren nach Treu und Glauben auszulegen (vgl. <ref-ruling> E. 2a S. 152 mit Hinweisen), insbesondere im Lichte der dazu gegebenen Begründung. Dies gilt auch unter der Herrschaft der Schweizerischen Zivilprozessordnung in Bezug auf die Berufungsanträge (s. Urteil 5A_474/2013 vom 10. Dezember 2013 E. 6.2.3). Tritt das Berufungsgericht auf eine Berufung mit formell mangelhaften Rechtsbegehren nicht ein, obwohl sich aus der Begründung, allenfalls in Verbindung mit dem angefochtenen Entscheid, mit hinreichender Deutlichkeit ergibt, was die Berufungsklägerin verlangt oder - im Falle zu beziffernder Rechtsbegehren - welchen Geldbetrag sie fordert, so läuft es Gefahr, gegen das Verbot des überspitzten Formalismus zu verstossen (<ref-ruling> E. 6.2-6.3 S. 621 f.). Daraus folgt freilich nicht, dass die Berufungsinstanz einer Partei gestützt auf <ref-law> Gelegenheit zur Verbesserung ihrer Eingabe geben muss. Die zitierte Norm ist nicht dazu bestimmt, die inhaltliche Ergänzung oder Nachbesserung eines ungenügenden Rechtsbegehrens und/oder einer ungenügenden Begründung zu ermöglichen (BGE a.a.O. E. 6.4 S. 622).
4.
Im konkreten Fall begründet das Obergericht seinen Nichteintretensentscheid damit, dass die Beschwerdeführerin keine bezifferten oder genügend bestimmten Berufungsanträge (Sachverhalt Bst. C.a) gestellt habe. Der Berufungsantrag Ziffer 1, die Sache zur Prüfung des Innen- und Aussenverhältnisses an die Vorinstanz zurückzuweisen, sei rein kassatorisch und damit der Berufung nicht zugänglich. Der Berufungsantrag Ziffer 2 betreffend den vorsorglichen Unterhaltsbeitrag beinhalte zwar einen Antrag in der Sache. Indes sei nicht ersichtlich, in welcher Höhe die Beschwerdeführerin Unterhalt fordere. Eine Bezifferung dieses Rechtsbegehrens ergebe sich auch nicht aus der Berufungsbegründung. Soweit die Beschwerdeführerin unter dem Titel "Informationspflicht und Mitwirkungspflicht" sinngemäss darum ersuche, den Beschwerdegegner zu monatlichen Unterhaltszahlungen von Fr. 1'550.-- zu verpflichten, sei einerseits nicht ersichtlich, ob dies der einzige von ihr geforderte "Unterhaltsbeitrag" im Sinne des Berufungsantrags Ziffer 2 darstelle. Anderseits lasse sich auch nicht erkennen, für welchen Zeitraum ein entsprechender Unterhaltsbeitrag gefordert wird. Sodann genüge die diesbezügliche Begründung den Anforderungen gemäss <ref-law> nicht, da der Zusammenhang zwischen der nicht geschlossenen Ehe, der Geburt des gemeinsamen Kindes, der Fortführung der D._ AG, den offenbar nicht mehr finanzierbaren Patentgebühren sowie den Auslagen für Miet- und Nebenkosten nicht ersichtlich sei. Was schliesslich den Berufungsantrag Ziffer 3 angeht (Verpflichtung des Beschwerdegegners zur Information und Mitwirkung), vermag das Obergericht nicht zu erkennen, welche konkreten Informationen die Beschwerdeführerin vom Beschwerdegegner fordert. Überdies sei nicht nachvollziehbar, ob und in welcher Form sie diesen Antrag bereits vor dem Bezirksgericht gestellt hat.
5.
Die Beschwerdeführerin wirft dem Obergericht vor, nach formellen Fehlern zu suchen, anstatt sorgfältig auf die Berufung einzugehen. Es werde ihr Unrecht angetan, wenn ihre Berufung an demselben Massstab gemessen werde, wie er für Anwälte gelte.
5.1. Was den Berufungsantrag Ziffer 1 angeht, beteuert die Beschwerdeführerin, es sei ihr darum gegangen, dass sie Unterhaltsforderung "analog einer verheirateten Ehefrau" stellen könne. Sie habe gedacht, dass zuerst das Bezirksgericht den "konkreten Status" von ihr und dem Beschwerdegegner überprüfen sollte, ehe sie dann eine Unterhaltsforderung beim Obergericht geltend machen könne. Aus diesem Grund habe sie den Unterhalt vorerst nur vorsorglich beantragt. Mit diesen Einwänden verkennt die Beschwerdeführerin die beschriebene reformatorische Natur des Berufungsverfahrens (E. 3.1) : Diese bringt es mit sich, dass das Obergericht - der Ausdrucksweise der Beschwerdeführerin folgend - "mit der Prüfung des Status' der Parteien" grundsätzlich nicht das Bezirksgericht beauftragen durfte, sondern die Klage auf Unterhalt und die weiteren Forderungen der Beschwerdeführerin selbst beurteilen konnte und auch beurteilen musste. Wie ausführlich dargelegt, hätte eine derartige "Überprüfung" durch das Obergericht aber ein entsprechendes reformatorisches (Berufungs-) Begehren vorausgesetzt. Dem Obergericht ist darin beizupflichten, dass der Berufungsantrag Ziffer 1 nicht als reformatorisches Begehren gelten kann. Denn allein mit der Forderung, der Entscheid des Bezirksgerichts sei aufzuheben, bringt die Beschwerdeführerin nicht zum Ausdruck, welche Rechtsfolge sie im Berufungsverfahren in der Sache, das heisst im Streit um ihre Unterhalts- und weiteren auf Geldzahlung gerichteten Forderungen anstrebt. Daran ändert auch der Zusatz nichts, wonach "das Rechtsverhältnis der Parteien im Innen- und Aussenverhältnis zu prüfen" sei. Soweit dieser Passus nicht bloss der Begründung der Berufung dient und die Beschwerdeführerin ihn als Anweisung an das Bezirksgericht verstanden wissen will, könnte darin allenfalls ein Rückweisungsantrag erblickt werden; eine Willensbekundung, welche konkrete Gestaltung der Rechtslage die Beschwerdeführerin in der Sache anstrebt, lässt sich daraus nicht konstruieren. Warum das Obergericht im Falle einer Gutheissung der Berufung nicht selbst hätte entscheiden können und sich eine Rückweisung an das Bezirksgericht geradezu zwingend aufdrängte, vermag die Beschwerdeführerin nach dem Gesagten aber nicht zu erklären.
5.2. Bezüglich ihres Berufungsantrags Ziffer 2 (s. Sachverhalt Bst. C.a) bestreitet die Beschwerdeführerin, kein genügend bestimmtes Begehren gestellt zu haben. Sie erinnert an ihre Ausführungen in der Beschwerdebegründung, wonach sie als vorsorglichen Unterhaltsbeitrag für Miet- und Nebenkosten, Wasser- und Abfallgebühren und für eine Grundstrompauschale den Betrag von monatlich Fr. 1'550.-- gefordert habe. Dem Obergericht wirft sie vor, ihr keine Frist zur genauen Bestimmung angesetzt zu haben. Auch diese Einwände sind zum Scheitern verurteilt. Entgegen dem, was die Beschwerdeführerin glauben machen will, versteckt sich die Vorinstanz nicht hinter einer "Ausrede", wenn sie es für unklar hält, ob der erwähnte Geldbetrag der einzige von ihr geforderte Unterhaltsbeitrag darstellt. Die Beschwerdeführerin irrt sich, wenn sie meint, ihre Ausführungen zum beantragten vorsorglichen Unterhaltsbeitrag vermöchten eine Bezifferung der Berufungsbegehren in der Hauptsache, das heisst im Streit um den "Status der Parteien" und die daraus hergeleiteten Unterhalts-, Genugtuungs- und Schadenersatzansprüche, zu ersetzen. Inwiefern das Obergericht übersehen hätte, dass sich ihrer Berufungseingabe auch Angaben zur Begründung und Bezifferung ihres Anliegens in der Hauptsache entnehmen lassen, tut die Beschwerdeführerin nicht dar. Was schliesslich den Streit um die Bezifferung und die Begründung des vorsorglich verlangten Unterhaltsbeitrags angeht, setzt sich die Beschwerdeführerin nicht mit der vorinstanzlichen Erkenntnis auseinander, wonach im Dunkeln bleibe, für welche Dauer die Alimente gefordert werden. Soweit sie argumentiert, das Obergericht hätte sie zur Verbesserung auffordern müssen, verkennt sie die dargelegte Rechtslage, wonach eine Nachfrist nicht dazu da ist, die Nachbesserung inhaltlich ungenügender Begehren und/oder Eingaben zu ermöglichen (s. E. 3.2).
5.3. Zu den vorinstanzlichen Erkenntnissen, weshalb auch auf den Antrag um Verpflichtung des Beschwerdegegners zur Information und Mitwirkung nicht eingetreten werden könne (Berufungsbegehren Ziffer 3; s. oben E. 4), äussert sich die Beschwerdeführerin vor Bundesgericht nicht. Soweit sie den vorinstanzlichen Entscheid auch in dieser Hinsicht anficht, kann das Bundesgericht mangels Begründung (Art. 42 Abs. 1 und 2 BGG) nicht auf die Beschwerde eintreten.
6.
Wie die vorigen Erwägungen zeigen, trifft das Obergericht nicht der Vorwurf, die Prozessordnung "missbraucht" oder seine "interne Ordnung höher gewichtet" zu haben, wenn es auf die Berufung der Beschwerdeführerin nicht eintritt. Die Beschwerde ist unbegründet. Sie ist abzuweisen, soweit überhaupt auf sie eingetreten werden kann. Bei diesem Ausgang des Verfahrens unterliegt die Beschwerdeführerin. Sie hat deshalb für die Gerichtskosten aufzukommen (<ref-law>). Dem Beschwerdegegner, der vor Bundesgericht ohne anwaltliche Vertretung auftritt und sich in seiner Vernehmlassung nicht zu den Kostenfolgen äussert, ist keine Entschädigung geschuldet. Das Gesuch der Beschwerdeführerin um unentgeltliche Rechtspflege für das bundesgerichtliche Verfahren kann gutgeheissen werden (<ref-law>). Die Beschwerdeführerin hat der Gerichtskasse Ersatz zu leisten, wenn sie später dazu in der Lage ist (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.
Das Gesuch der Beschwerdeführerin um unentgeltliche Rechtspflege für das bundesgerichtliche Verfahren wird gutgeheissen.
3.
Die Gerichtskosten von Fr. 1'000.-- werden der Beschwerdeführerin auferlegt, indes vorläufig auf die Gerichtskasse genommen.
4.
Es werden keine Parteientschädigungen zugesprochen.
5.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Aargau, Zivilgericht, 2. Kammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 17. Juni 2016
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: von Werdt
Der Gerichtsschreiber: V. Monn