Sachverhalt:
A.
A._, wohnhaft in X._ (SG), pflegte ihre Mutter B._ (geboren am 1. Januar 1920) an deren Wohnsitz in Y._ (TG). Diese bezog neben einer Entschädigung der Invalidenversicherung für eine Hilflosigkeit schweren Grades Ergänzungsleistungen (EL) zu ihrer AHV-Rente. Im März 2014 ersuchte A._ um Vergütung der bei der Pflege angefallenen Betreuungskosten. Mit Verfügung vom 13. Juni 2014 bzw. Einspracheentscheid vom 4. Juni 2015 wies die Ausgleichskasse des Kantons Thurgau (nachfolgend: Ausgleichskasse) das Gesuch ab. B._ verstarb am 27. Februar 2015.
B.
B.a. Die gegen den Einspracheentscheid vom 4. Juni 2015 erhobene Beschwerde der A._ leitete das Verwaltungsgericht des Kantons Thurgau am 9. Juli 2015 formlos an das Versicherungsgericht des Kantons St. Gallen weiter.
B.b. Das Versicherungsgericht des Kantons St. Gallen erachtete sich als unzuständig, trat auf die Beschwerde nicht ein und überwies die Sache zuständigkeitshalber zurück an das Verwaltungsgericht des Kantons Thurgau (Entscheid vom 9. September 2016).
B.c. Mit Entscheid vom 16. November 2016 erliess auch das Verwaltungsgericht des Kantons Thurgau einen förmlichen Nichteintretensentscheid wegen fehlender örtlicher Zuständigkeit.
C.
A._ lässt gegen beide Entscheide Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten führen mit dem Rechtsbegehren, das Bundesgericht habe über die Frage der örtlichen Zuständigkeit zu entscheiden und die Angelegenheit zur materiellen Beurteilung an die zuständige Instanz zu überweisen.
Das Verwaltungsgericht des Kantons Thurgau, die Ausgleichskasse und das Bundesamt für Sozialversicherungen verzichten auf eine Vernehmlassung.

Erwägungen:
1.
Bei den angefochtenen Nichteintretensentscheiden handelt es sich um Endentscheide im Sinne von <ref-law>, mit welchen die kantonalen Gerichte ihre örtliche Zuständigkeit verneint haben (<ref-ruling> E. 1.3 S. 156; SVR 2010 IV Nr. 40 S. 126, 9C_1000/2009 E. 1.2 mit Hinweisen). Hiegegen ist die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten zulässig (Art. 82 lit. a und 90 BGG).
2.
Nach dem im Abschnitt Rechtspflegeverfahren unter der Überschrift Zuständigkeit stehenden <ref-law> überweist die Behörde, die sich als unzuständig erachtet, die Beschwerde ohne Verzug dem zuständigen Versicherungsgericht. Mit der Einreichung der Beschwerde bei der unzuständigen Behörde wird die Beschwerdefrist gewahrt (Art. 60 Abs. 2 in Verbindung mit <ref-law>). Dabei kann das sich als unzuständig betrachtende kantonale Versicherungsgericht einen Nichteintretensentscheid erlassen oder sich darauf beschränken, die Sache an das als zuständig betrachtete Versicherungsgericht eines anderen Kantons weiterzuleiten. Unabhängig davon, ob das erste Gericht die Beschwerde formlos weiterleitet oder einen förmlichen Nichteintretensentscheid erlässt, welcher von der rechtsuchenden Person im Hinblick auf die vorgenommene Weiterleitung der Sache an das zweite Gericht unangefochten blieb, ist bei Verneinung der örtlichen Zuständigkeit in einem Nichteintretensentscheid des zweiten Gerichts im Rahmen des dagegen eingeleiteten Beschwerdeverfahrens die Zuständigkeit beider in Frage kommenden Gerichte vom Bundesgericht ohne Bindung an den Nichteintretensentscheid des ersten kantonalen Gerichts zu prüfen. Da bei fehlender Zuständigkeit des zweiten Gerichts keine Instanz nach <ref-law> zur Verfügung stünde, kann bei einer solchen Verfahrenskonstellation die Rechtskraft des Nichteintretensentscheids des ersten kantonalen Gerichts nicht eintreten (<ref-ruling> E. 1.2 S. 155 f.; Urteil 9C_41/2012 vom 12. März 2012 E. 2.2, je mit Hinweisen).
3.
Die Frage nach der Zuständigkeit des kantonalen Versicherungsgerichts in einem Beschwerdeverfahren gegen einen EL-Einspracheentscheid richtet sich ausschliesslich nach <ref-law>, weil diese Norm im Recht der Ergänzungsleistungen integral gilt, insbesondere nicht durch Art. 21 ELG modifiziert worden ist. Entsprechend ist das Versicherungsgericht desjenigen Kantons zuständig, in dem die versicherte Person oder der Beschwerde führende Dritte zur Zeit der Beschwerdeerhebung Wohnsitz hat. Dabei sind die - zur örtlichen Zuständigkeit führenden - Begriffe der versicherten Person oder des Beschwerde führenden Dritten unter Berücksichtigung der Umstände so auszulegen, wie sie im jeweils in Frage stehenden Leistungsbereich rechtlich massgeblich sind. Bei Leistungsstreitigkeiten ist jedenfalls prioritär an den Wohnsitz der versicherten Person anzuknüpfen. Zur Bestimmung der örtlichen Zuständigkeit ist der Wohnsitz des Beschwerde führenden Dritten nur dann von Belang, wenn ein solcher der versicherten Person nicht besteht (<ref-ruling> E. 5.3 S. 175 f.).
4.
Die Verordnung des Regierungsrates des Kantons Thurgau zum Gesetz über Ergänzungsleistungen zur Alters-, Hinterlassenen- und Invalidenversicherung vom 11. Dezember 2007 (RB 831.31; nachfolgend: RRV Ergänzungsleistungen zur AHV/IV) bestimmt was folgt:
" § 5 Vergütung nach dem Tod
Ist eine versicherte Person gestorben, welche in die Berechnung der jährlichen Ergänzungsleistungen einbezogen war, so werden ihre Krankheits- und Behinderungskosten vergütet, wenn ihre Rechtsnachfolger dies innert zwölf Monaten nach dem Tod verlangen.
§ 5a Auszahlung der Vergütung
1 Die Vergütung für ausgewiesene Krankheits- und Behinderungskosten ist an die anspruchsberechtigten Bezügerinnen und Bezüger einer jährlichen Ergänzungsleistung auszurichten.
2 [...]."
5.
5.1. Das Versicherungsgericht des Kantons St. Gallen hat im Wesentlichen erwogen, die Beschwerdeführerin führe den Prozess als Erbin der verstorbenen EL-Bezügerin. Deshalb stehe für sie kein eigener Gerichtsstand an ihrem Wohnsitz zur Verfügung, könne doch ein Erbe der versicherten Person weder selber Versicherter noch Dritter sein. Wie das Bundesgericht in <ref-ruling> für die Kinder eines Bezügers von Ergänzungsleistungen festgehalten habe, müsse auch hier davon ausgegangen werden, dass die Beschwerdeführerin in ihrer Eigenschaft als Erbin und Rechtsnachfolgerin ihrer Mutter innerhalb des Rechtsverhältnisses stehe und somit nicht als Dritte angesehen werden könne. Daher sei es sachgerecht, den alleinigen Gerichtsstand im Kanton Thurgau - am Wohnsitz der versicherten Person zur Zeit des strittigen Anspruchs - anzuerkennen. Damit ergebe sich eine übereinstimmende Zuständigkeit der Ausgleichskasse und des kantonalen Versicherungsgerichts.
5.2. Demgegenüber hat das Verwaltungsgericht des Kantons Thurgau seine örtliche Zuständigkeit mit der Begründung verneint, die Beschwerdeführerin habe im Zeitpunkt der Beschwerdeerhebung unbestritten Wohnsitz im Kanton St. Gallen gehabt, weshalb das dortige Versicherungsgericht zuständig sei. Es bestehe kein Grund, von der gesetzlichen Regelung des <ref-law> abzuweichen. Die Beschwerdeführerin habe denn auch keinen näheren Bezug zum Kanton Thurgau, während die versicherte Person selber bereits vor Einreichung der Beschwerde verstorben sei. Es bestehe demnach kein Wohnsitz im Kanton Thurgau, welcher eine örtliche Zuständigkeit begründen könnte. Die Frage, ob eine gesplittete örtliche Zuständigkeit eintreten könnte, stelle sich nicht, weil die versicherte Person nicht mehr in der Lage sei, selber Beschwerde zu führen. Mit dem Wohnsitzgerichtsstand habe der Gesetzgeber zudem in Kauf genommen, dass eine Streitigkeit unter Umständen nicht durch das Gericht im Kanton der zuständigen Ausgleichskasse entschieden werde.
5.3.
5.3.1. In concreto ergibt sich aus dem kantonalen Recht (E. 4), dass die Vergütung für ausgewiesene Krankheits- und Behinderungskosten der Bezügerin der jährlichen Ergänzungsleistung ausbezahlt wird. Direkt anspruchsberechtigt war denn auch allein die verstorbene Mutter der Beschwerdeführerin. Letztere gilt selber weder als versicherte Person, noch hat sie einen originären Leistungsanspruch (vgl. Art. 14 Abs. 1 lit. b in Verbindung mit Abs. 2 ELG und § 11 RRV Ergänzungsleistungen zur AHV/IV; zum gegenteiligen Fall: <ref-ruling> E. 4.11 S. 161). Dass die Krankheits- und Behinderungskosten gemäss der kantonalen RRV Ergänzungsleistungen zur AHV/IV unter Einhaltung einer zwölfmonatigen Frist auch nach dem Tod der EL-Bezügerin vergütet werden können, ändert nichts: Auch in diesem Fall verfügt die Beschwerdeführerin nur über ein von der (verstorbenen) versicherten Person abgeleitetes Recht. Sie handelt, wie aus § 5 RRV Ergänzungsleistungen zur AHV/IV explizit hervorgeht, lediglich als deren "Rechtsnachfolger[in]" (zur Legitimation des Erben vgl. <ref-ruling> E. 2.1.2 S. 10 f.).
Ebenso wenig kann die Beschwerdeführerin als Beschwerde führende Dritte (E. 3) betrachtet werden, zumal die geltend gemachte aktive (Pflege-) Tätigkeit resp. deren Kostenersatz im EL-rechtlichen Kontext offensichtlich nicht ausserhalb, sondern innerhalb des streitigen Rechtsverhältnisses steht (<ref-ruling> E. 5.3 S. 175). Ob die Verfügung vom 13. Juni 2014 und der Einspracheentscheid vom 4. Juni 2015 zu Recht (alleine) an die Beschwerdeführerin adressiert waren, kann dahingestellt bleiben, führt doch auch die unrichtige oder unvollständige Bezeichnung des Verfügungsadressaten nicht zur Nichtigkeit der Verfügung, solange sich der ins Recht gefasste Adressat - wie hier - aus dem Sachzusammenhang eindeutig ergibt (HÄFELIN/MÜLLER/ UHLMANN, Allgemeines Verwaltungsrecht, 7. Aufl. 2016, S. 244 Rz. 1126).
5.3.2. Nach dem Gesagten ist darauf zu schliessen, dass betreffend die Zuständigkeit des kantonalen Versicherungsgerichts der Wohnsitz im Zeitraum, für welchen die Anspruchsberechtigung konkret besteht, massgeblich bleibt. Dies gilt umso mehr, als die Beschwerdeführerin ihre Mutter (gemeinsam mit ihren Geschwistern) unstreitig an deren Wohnsitz in Y._ (TG) pflegte. Im Kanton St. Gallen wurden hingegen zu keinem Zeitpunkt Pflege- oder Betreuungsleistungen erbracht. Damit liegt der Ort des direktesten Bezugs klarerweise im Kanton Thurgau, was ebenfalls für diesen Gerichtsstand spricht (<ref-ruling> E. 4.11 S. 161). Der Nichteintretensentscheid des Verwaltungsgerichts des Kantons Thurgau vom 16. November 2016 verletzt daher Bundesrecht (<ref-law>).
6.
Infolge des negativen Kompetenzkonflikts war die Beschwerdeführerin gezwungen, beide Nichteintretensentscheide der kantonalen Versicherungsgerichte vor dem Bundesgericht anzufechten. Dabei obsiegt sie, weshalb der Kanton Thurgau die Beschwerdeführerin für das Verfahren vor Bundesgericht zu entschädigen hat (Art. 68 Abs. 4 in Verbindung mit <ref-law>; vgl. Urteil 4A_405/2015 vom 26. Januar 2016 E. 5 [nicht publiziert in: <ref-ruling>] mit Hinweis auf <ref-ruling> E. 7 a.E. S. 483). Gerichtskosten werden keine erhoben (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird in dem Sinne gutgeheissen, als der Nichteintretensentscheid des Verwaltungsgerichts des Kantons Thurgau vom 16. November 2016 aufgehoben und die Sache an dieses zurückgewiesen wird, damit es materiell über die Beschwerde gegen den Einspracheentscheid der Ausgleichskasse des Kantons Thurgau vom 4. Juni 2015 entscheide.
2.
Es werden keine Gerichtskosten erhoben.
3.
Der Kanton Thurgau hat die Beschwerdeführerin für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 2'800.- zu entschädigen.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien, dem Verwaltungsgericht des Kantons Thurgau und dem Bundesamt für Sozialversicherungen schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 28. November 2017
Im Namen der II. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Pfiffner
Der Gerichtsschreiber: Grünenfelder