Sachverhalt:
A.
A.a. A.A._ (geb. 1979; amerikanische Staatsangehörige) und B.A._ (geb. 1974; bulgarischer und amerikanischer Staatsangehöriger) haben am 1. Dezember 2000 in T._ (USA) geheiratet. Sie sind die Eltern der Tochter C.A._ (geb. 2005).
A.b. Die Familie lebte mehrere Jahre in den USA. Im Sommer 2013 trat B.A._ in U._ (Italien) eine neue Arbeitsstelle an. Er lebte dort mit C.A._, bis diese am 10. November 2013 zu ihrer Mutter und deren neuen Lebenspartner nach V._ (Frankreich) zog. Am 17. Mai 2014 kehrte C.A._ nach U._ zu ihrem Vater zurück. Seit August 2015 leben Vater und Tochter in W._, wo B.A._ als Lehrer an der Schule D._ arbeitet.
B.
B.a. Anfangs März 2014 strengte B.A._ in Italien ein Strafverfahren wegen Kindsentführung gegen A.A._ an.
B.b. Ein von A.A._ im Oktober 2014 in Italien anhängig gemachtes Kindesrückführungsverfahren wurde auf deren Rückzug hin am 16. Juli 2015 vom Tribunale per i Minorenni di U._ abgeschrieben. Ebenso zog B.A._ seine Strafanzeige zurück.
B.c. Mit Verfügung vom 21. Juli 2015 sprach das Tribuale ordinario di U._ B.A._ in dem von ihm eröffneten Trennungsverfahren vorübergehend die Obhut und elterliche Sorge betreffend C.A._ zu.
B.d. Das nachträglich wieder eröffnete italienische Kindesrückführungsverfahren wurde am 30. September 2015 (verurkundet am 7. Oktober 2015) infolge des Umzugs von Vater und Tochter in die Schweiz (Bst. A.b) erneut abgeschrieben.
C.
Mit Eingabe vom 9. November 2015 stellte A.A._ beim Obergericht des Kantons Bern ein Gesuch um Rückführung von C.A._ nach Frankreich. Mit Urteil vom 12. Januar 2016 wies das Obergericht das Gesuch kostenfällig ab, gewährte der Gesuchstellerin aber die unentgeltliche Rechtspflege.
D.
D.a. Mit Eingabe vom 24. Januar 2016 gelangt A.A._ (Beschwerdeführerin) an das Bundesgericht. Sie beantragt, das Urteil des Obergerichts aufzuheben und die Rückführung von C.A._ nach Frankreich anzuordnen (Rechtsbegehren Ziff. 2). Der Beschwerde sei superprovisorisch aufschiebende Wirkung zu erteilen (Ziff. 3 und 4). Ferner sei B.A._ (Beschwerdegegner) zu verurteilen, der Beschwerdeführerin sämtliche durch das widerrechtliche Verbringen der gemeinsamen Tochter in die Schweiz entstandenen Kosten (so namentlich Reisekosten, Kosten für das Auffinden des Kindes, der Rechtsvertretung der Beschwerdeführerin in der Schweiz und Italien, sowie die Kosten für die Rückgabe und Rückführung des Kindes) zu bezahlen (Ziff. 5). Eventualiter sei die Sache zur Neubeurteilung an die Vorinstanz zurückzuweisen (Ziff. 6). In diesem Fall seien die mit Verfügung des Obergerichts des Kantons Bern vom 11. November 2015 getroffenen vorsorglichen Massnahmen zu bestätigen. Ferner sei der Beschwerdegegner unter Strafandrohung von <ref-law> im Unterlassungsfalle zu verurteilen, während der Dauer des Verfahrens namentlich seinen bulgarischen und amerikanischen Pass zu hinterlegen (Ziff. 7). Auch in ihrem Eventualbegehren verlangt die Beschwerdeführerin den Ersatz ihrer Kosten (Ziff. 8).
Für das Verfahren vor dem Bundesgericht beantragt die Beschwerdeführerin mit separater Eingabe vom gleichen Tag die unentgeltliche Rechtspflege.
D.b. Am 25. Januar 2016 hat das Bundesgericht der Beschwerde antragsgemäss superprovisorisch aufschiebende Wirkung zuerkannt und den Beschwerdegegner, Rechtsanwalt Alain Pfulg als Kindesvertreter und die Vorinstanz eingeladen, sich innert zwölf Tagen zur Beschwerde und zur Frage der aufschiebenden Wirkung zu äussern.
D.c. Mit Eingabe vom 5. Februar 2016 hat der Beschwerdegegner sich zur Beschwerde vernehmen lassen und zum Gesuch der Beschwerdeführerin um aufschiebende Wirkung Stellung genommen. Er beantragt, beide abzulehnen. In der Sache gleich äussert sich Rechtsanwalt Alain Pfulg in seiner Eingabe vom 8. Februar 2016; er beantragt allerdings, das Gesuch um aufschiebende Wirkung gutzuheissen. Die Vorinstanz erklärte am 26. Januar 2016 auf eine Vernehmlassung zu verzichten und verwies im Übrigen auf den angefochtenen Entscheid. Die Vernehmlassungen wurden der Beschwerdeführerin unter Ansetzung einer nicht erstreckbaren Frist von 12 Tagen für eine allfällige Replik zugestellt. Die Beschwerdeführerin äusserte sich nicht mehr.
D.d. Am 11. Februar 2016 hat der Instruktionsrichter der Beschwerde die aufschiebende Wirkung im Umfang der bereits superprovisorisch verfügten Massnahme gewährt. Im Übrigen lehnte er das Gesuch um die Anordnung weiterer Massnahmen für die Dauer des Verfahrens vor dem Bundesgericht ab.

Erwägungen:
1.
1.1. Bei Rückführungsentscheiden nach dem Haager Übereinkommen über die zivilrechtlichen Aspekte internationaler Kindesentführung vom 25. Oktober 1980 (HKÜ, SR 0.211.230.02) geht es um die Regelung der Rechtshilfe zwischen den Vertragsstaaten (<ref-ruling> E. 1.2 S. 585; <ref-ruling> E. 2b S. 224), die in unmittelbarem Zusammenhang mit der Respektierung und Durchsetzung ausländischen Zivilrechts steht (Art. 72 Abs. 2 Bst. b Ziff. 1 BGG; <ref-ruling> E. 1.2 S. 585). Gegen den Endentscheid des Obergerichts des Kantons Bern, das als einzige kantonale Instanz entschieden hat (Art. 7 Abs. 1 des Bundesgesetzes über internationale Kindesentführung und die Haager Übereinkommen zum Schutz von Kindern und Erwachsenen vom 21. Dezember 2007, BG-KKE, SR 211.222.32), steht deshalb die Beschwerde in Zivilsachen offen (Art. 75 Abs. 2 Bst. a und <ref-law>). Die Beschwerdeführerin hat am vorinstanzlichen Verfahren teilgenommen; sie ist durch den angefochtenen Entscheid besonders berührt und hat ein schutzwürdiges Interesse an dessen Aufhebung (<ref-law>). Die Beschwerdefrist von zehn Tagen ist eingehalten (Art. 100 Abs. 2 Bst. c BGG). Auf die Beschwerde in Zivilsachen ist somit einzutreten.
1.2. In rechtlicher Hinsicht sind bei der Beschwerde in Zivilsachen alle Rügen gemäss Art. 95 f. BGG zulässig. Mit ihr kann insbesondere die Verletzung von Bundesrecht (Art. 95 Bst. a BGG) und von Völkerrecht (Art. 95 Bst. b BGG) gerügt werden, wozu als Staatsvertrag auch das HKÜ gehört. Das Bundesgericht wendet in diesem Bereich das Recht von Amtes wegen an (<ref-law>). Allerdings ist in der Beschwerdeschrift in gedrängter Form darzulegen, inwiefern der angefochtene Akt Recht verletzt (<ref-law>; <ref-ruling> E. 1.4.1 S. 254).
1.3. Das Bundesgericht ist grundsätzlich an den von der Vorinstanz festgestellten Sachverhalt gebunden (<ref-law>). Diesbezüglich kann einzig vorgebracht werden, dieser sei offensichtlich unrichtig, d.h. willkürlich, festgestellt worden oder er beruhe auf einer anderen Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law>, wobei der Mangel für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein muss (<ref-law>; <ref-ruling> E. 4.2 S. 234). Hierfür gilt das strenge Rügeprinzip (<ref-law>; <ref-ruling> E. 1.4.3 S. 254 f.; <ref-ruling> E. 2.2 S. 246). Strenge Anforderungen gelten auch für Verfassungsrügen (einschliesslich Willkürrüge nach <ref-law>). Das Bundesgericht prüft hier nur klar und detailliert erhobene und soweit möglich belegte Rügen, während es auf ungenügend begründete Rügen und rein appellatorische Kritik am angefochtenen Entscheid nicht eintritt (BGE <ref-ruling> E. 2.2 S. 246). Willkür in der Beweiswürdigung liegt vor, wenn das Gericht Sinn und Tragweite eines Beweismittels offensichtlich verkannt hat, wenn es ohne sachlichen Grund ein wichtiges Beweismittel, das für den Entscheid wesentlich sein könnte, unberücksichtigt gelassen hat oder wenn es auf Grundlage der festgestellten Tatsachen unhaltbare Schlussfolgerungen getroffen hat. Vorausgesetzt ist dabei, dass die angefochtene Tatsachenermittlung den Entscheid im Ergebnis und nicht bloss in der Begründung als willkürlich erscheinen lässt (vgl. <ref-ruling> E. 4.2 S. 234; <ref-ruling> E. 4.2 S. 560).
2.
2.1. Ziel des HKÜ ist es, die sofortige Rückgabe widerrechtlich in einen Vertragsstaat verbrachter oder dort zurückgehaltener Kinder sicherzustellen (Art. 1 Bst. a HKÜ). Das Verbringen oder Zurückhalten eines Kindes gilt dabei dann als widerrechtlich, wenn dadurch das Sorgerecht verletzt wird, das einer Person, Behörde oder sonstigen Stelle allein oder gemeinsam nach dem Recht des Staates zusteht, in dem das Kind unmittelbar vor dem Verbringen oder Zurückhalten seinen gewöhnlichen Aufenthalt hatte, und dieses Recht im Zeitpunkt des Verbringens oder Zurückhaltens allein oder gemeinsam tatsächlich ausgeübt wurde oder ausgeübt worden wäre, falls das Verbringen oder Zurückhalten nicht stattgefunden hätte (Art. 3 Abs. 1 HKÜ).
2.2. Das Gesuch um Rückführung ist abzuweisen, wenn die Person, Behörde oder sonstige Stelle, die sich der Rückgabe des Kindes widersetzt, nachweist, dass die Person, Behörde oder sonstige Stelle, der die Sorge für die Person des Kindes zustand, dem Verbringen oder Zurückhalten zugestimmt oder dieses nachträglich genehmigt hat (Art. 13 Abs. 1 Bst. a HKÜ). Die Beweislast für einen die Rückführung hindernden Umstand im Sinn von Art. 13 Abs. 1 HKÜ liegt bei der Person, die sich der Rückgabe des Kindes widersetzt, vorliegend also beim Beschwerdegegner (Urteile 5A_1003/2015 vom 14. Januar 2016 E. 5.1.1 mit Hinweisen). Mit Bezug auf die Zustimmung bzw. Genehmigung gilt nach Rechtsprechung und Lehre ein strenger Beweismassstab (Urteil 5A_822/2013 vom 28. November 2013 E. 3.3, in: FamPra.ch 2014 S. 471); der Wille des zustimmenden bzw. genehmigenden Sorgerechtsinhabers muss sich klar manifestiert haben (vgl. Urteile 5A_1003/2015 vom 14. Januar 2016 E. 5.1.1; 5A_705/2014 vom 15. Oktober 2014 E. 3.1, in: JdT 2015 II S. 224 f.), wobei er sich aus expliziten mündlichen oder schriftlichen Äusserungen wie auch aus den Umständen ergeben kann (Urteile 5A_822/2013 vom 28. November 2013 E. 3.3, in: FamPra.ch 2014 S. 471; 5A_436/2010 vom 8. Juli 2010 E. 3.1 und 5A_446/2007 vom 12. September 2007 E. 3, nicht publ. in: <ref-ruling>; RASELLI/HAUSAMMANN/MÖCKLI/URWYLER, Ausländische Kinder und andere Angehörige, in: Ausländerrecht, 2. Aufl., Basel 2009, Rz. 16.162 m.w.H.). Die Beweiswürdigung mit Bezug auf die Willensäusserung gehört zur Sachverhaltsfeststellung; in dieser Hinsicht können nur Willkürrügen vorgebracht oder andere verfassungsmässige Rechte als verletzt gerügt werden (Urteil 5A_822/2013 vom 28. November 2013 E. 3.3, in: FamPra.ch 2014 S. 471). Während es eine beschränkt überprüfbare Tatfrage ist, ob die vorgetragenen Sachverhaltselemente glaubhaft gemacht sind, ist Rechtsfrage, ob auf dieser Grundlage ein Verweigerungsgrund vorliegt. Letzteres prüft das Bundesgericht frei (Urteile 5A_1003/2015 vom 14. Januar 2016 E. 5.1.1; 5A_446/2007 vom 12. September 2007 E. 3 nicht publ. in: <ref-ruling>; je mit Hinweisen). Dem Gesuch um Rückführung ist ferner dann nicht stattzugeben, wenn in der Zwischenzeit im Herkunftsstaat des Kindes eine Entscheidung ergangen ist, wonach sich das Kind beim entführenden Elternteil aufhalten darf (Urteile 5A_1003/2015 vom 14. Januar 2016 E. 5.1.1; 5A_584/2014 vom 3. September 2014 E. 6.2.1; 5A_884/2013 vom 19. Dezember 2013 E. 4.2.2.2, in: SJ 2014 I S. 213-215; ANNA CLAUDIA ALFIERI, Enlèvement international d'enfants, Bern 2016, S. 45 f.).
3.
3.1. Die Parteien werfen sich gegenseitig vor, ihre Tochter entführt zu haben bzw. widerrechtlich dem andern Elternteil vorzuenthalten. Ausgehend davon, dass es die Beschwerdeführerin ist, die ein Rückführungsbegehren stellt, ist im vorliegenden Fall zu prüfen, ob der Beschwerdegegner seine Tochter entführt hat bzw. widerrechtlich in der Schweiz zurückhält. Die Antwort auf diese Frage hängt, wie die Vorinstanz zu Recht festgestellt hat, davon ab, wo C.A._ vor ihrem Verbringen in die Schweiz ihren gewöhnlichen Aufenthalt hatte (Art. 3 Abs. 1 Bst. a HKÜ).
3.2. Der gewöhnliche Aufenthalt im Sinne des HKÜ wird vertragsautonom ausgelegt. Darunter ist der tatsächliche Lebensmittelpunkt des Kindes zu verstehen, der sich aus der tatsächlichen Dauer des Aufenthaltes und den bestehenden Beziehungen oder aus der zu erwartenden Dauer des Aufenthaltes und der damit zu erwartenden Integration ergibt. Der gewöhnliche Aufenthalt bestimmt sich aufgrund der nach aussen erkennbaren tatsächlichen Umstände; innere Umstände sind nicht massgebend (Urteil 5A_257/2011 vom 25. Mai 2011 E. 2 mit Hinweisen, in: FamPra.ch 2011 S. 747).
4.
4.1. Die Vorinstanz ist davon ausgegangen, dass C.A._ ihren gewöhnlichen Aufenthalt vor ihrem Verbringen in die Schweiz in Italien (U._) hatte. Sie hat dabei erwogen, in den Akten fänden sich keine Hinweise, wonach die Parteien im Rahmen des Umzugs von den USA nach Europa abgemacht hätten, dass C.A._ nur vorübergehend in U._ leben und die Mutter die Tochter ein paar Monate später nach Frankreich mitnehmen würde. Die Tochter habe also mit dem Umzug nach Europa in U._ gewöhnlichen Aufenthalt begründet.
4.2. Zum Besuch in U._ anfangs November 2013, in dessen Anschluss die Beschwerdeführerin die Tochter nach Frankreich mitnahm (Sachverhalt A.b), erwog die Vorinstanz was folgt: Den Besuch habe die Beschwerdeführerin zwar angekündigt. Sie räume aber selber ein, sie habe dem Beschwerdegegner damals nicht vorgängig gesagt, dass sie komme, um C.A._ zu holen. Sie habe vielmehr ausgeführt, dass sie gedacht habe, das anlässlich ihres Besuchs mit dem Beschwerdegegner diskutieren zu können.
Gemäss den übereinstimmenden Ausführungen der Parteien sei es am 8. November 2013 zwischen den Parteien zu einem heftigen Streit gekommen. Dieser sei eskaliert, was erkläre, dass der Beschwerdegegner damit einverstanden gewesen sei, dass die Beschwerdeführerin die Tochter mit ins Hotel genommen habe. C.A._ sei während des Streits in der Wohnung gewesen und hätte zur Ruhe kommen und das Ganze verarbeiten müssen. Der Beschwerdegegner habe anschliessend geholfen, einen Flug der Tochter und der Beschwerdeführerin nach Frankreich zu buchen. Glaubhaft sei auch, dass der Beschwerdegegner Tochter und Mutter an den Flughafen gebracht habe. Daraus könne aber nicht abgeleitet werden, dass er einem dauerhaften Wechsel des Aufenthaltsorts von C.A._ zugestimmt habe. Für das Gericht sei vielmehr erstellt, dass der Beschwerdegegner überrumpelt worden sei. Die Ereignisse hätten sich am besagten Wochenende überschlagen. Die Beschwerdeführerin sei im vierten Monat schwanger in U._ angekommen, ohne dass der Beschwerdegegner etwas von der Schwangerschaft gewusst hätte. Vielmehr habe er gedacht, dass er und die Beschwerdeführerin wieder ein Paar werden könnten. Es sei zum Streit gekommen, der mit einer tätlichen Auseinandersetzung geendet habe. Die Parteien seien ins Spital und schliesslich am nächsten Tag auf den Polizeiposten gefahren. Der Beschwerdegegner sei Lehrer an einer internationalen Schule gewesen. Er habe befürchtet, die Beschwerdeführerin könnte eine Strafanzeige gegen ihn einreichen und er könnte seine Stelle verlieren. Die Tochter, die den Streit miterlebt habe, sei verängstigt gewesen. Deshalb habe der Beschwerdegegner eingewilligt, dass die Beschwerdeführerin die Tochter mit ins Hotel nehme und wohl auch, dass sie mit der Beschwerdeführerin nach Frankreich gehe.
Wie aus dem späteren E-Mail Verkehr hervorgehe, habe die Beschwerdeführerin bei ihrer Abreise weder die Schulbücher für die Tochter mitgenommen, noch sei abgesprochen worden, welche Schule C.A._ künftig besuchen werde. Eigenen Aussagen zufolge habe die Beschwerdeführerin gerade einmal zehn Minuten benötigt, um die Sachen der Tochter zu packen. Die Ausführungen der Beschwerdeführerin, wonach der Beschwerdegegner nach dem Gespräch mit der Polizei seine Meinung geändert und gesagt habe, die Tochter gehöre zur Mutter, ändere an diesem Ergebnis nichts. Zum einen gebe es in den Akten keine Anhaltspunkte dafür, und zum anderen erscheine ein solcher Meinungsumschwung in Anbetracht der Gesamtsituation nicht nachvollziehbar. Die Vorinstanz befand vor diesem Hintergrund, dass zu diesem Zeitpunkt keine Zustimmung des Beschwerdegegners zu einem (dauerhaften) Wechsel des Aufenthaltsorts der Tochter vorgelegen habe.
4.3. Die Vorinstanz prüfte sodann, ob der Beschwerdegegner den Wohnortswechsel nachträglich genehmigt hat. Sie erwähnte insbesondere eine von der Beschwerdeführerin ins Recht gelegte E-Mail vom 13. November 2013. Daraus könne keine Genehmigung abgeleitet werden. Die in der E-Mail enthaltenen Hinweise (mögliche Ermässigung für die E._-Schule in X._; C.A._ müsse lernen, ohne Zuhilfenahme der Finger zu zählen; C.A._ müsse zum Zahnarzt) und die Erkundigung, ob das Gesundheitswesen in Frankreich gratis sei, liessen zwar darauf schliessen, dass der Text vom Beschwerdegegner stamme. Aus der E-Mail könne aber höchstens abgeleitet werden, dass er sich um das Wohl seiner Tochter gesorgt habe und dass er zeitweilig den Aufenthaltsort von C.A._ bei der Beschwerdegegnerin hingenommen habe. Eine Zustimmung für einen dauerhaften Aufenthaltswechsel sei darin aber nicht zu sehen. Dasselbe gelte für das Nachsenden der Schulbücher.
Bezüglich einer E-Mail vom 1. Dezember 2013 samt zwei Anhängen, welche die Beschwerdeführerin als Beweis für eine nachträgliche Genehmigung vorlege, bestreite der Beschwerdegegner nicht, dass er die E-Mail geschrieben habe. Er mache aber geltend, dass der Entwurf der beiden Erklärungen im Anhang nicht von ihm stammten. In der Erklärung des Beschwerdegegners stehe, dass er mit der Einschulung der Tochter in Y._ einverstanden sei, ferner, dass die Parteien momentan getrennt lebten. Ferner würden Daten für Ferien genannt. Die für die Beschwerdeführerin zur Unterzeichnung vorbereite Erklärung enthalte denselben Text, jedoch ergänzt mit dem Passus, dass die Beschwerdeführerin den Beschwerdegegner vom 4. bis am 10. November 2013 in U._ besucht habe, dass am 8. November 2013 ein Streit stattgefunden habe, dass sie, die Beschwerdeführerin, aber bestätige, keine gesundheitlichen Schäden davongetragen zu haben und dass sie auch keine Strafanzeige wegen Tätlichkeiten ("physical aggression") oder aus anderen Gründen einreichen werde. Die Vorinstanz hielt fest, die Vorgeschichte, die zu dieser E-Mail geführte habe, sei dem Gericht nicht bekannt. Aus ihrem Inhalt könne aber geschlossen werden, dass die Parteien versucht hätten, die Situation zu klären. In der E-Mail vom 1. Dezember 2013 schreibe der Beschwerdegegner denn auch: "You can read my anche proposition for your permission and agreement." Aufgrund dieser Formulierung sei davon auszugehen, dass der Beschwerdegegner die Erklärung für die Beschwerdeführerin entworfen oder zumindest den zusätzlichen Passus mit dem Verzicht auf die Strafanzeige eingefügt habe. Der Beschwerdegegner sei also gewillt gewesen, den Wohnortswechsel von C.A._ zu genehmigen, dies aber unter der Bedingung, dass die Beschwerdeführerin ein Besuchsrecht gewährt und zugesichert hätte, keine Strafanzeige einzureichen. Keine der Parteien habe die Erklärung schliesslich unterzeichnet. Somit hätten sich die Parteien anfangs Dezember 2013 nicht geeinigt. Namentlich habe die Beschwerdeführerin auch die vom Beschwerdegegner für seine Zustimmung gestellten Bedingungen nicht erfüllt. Eine nachträgliche Genehmigung könne folglich der E-Mail vom 1. Dezember 2013 und den Anhängen nicht entnommen werden.
Daran ändere auch nichts, dass der Beschwerdegegner nur drei Tage später, d.h. am 4. Dezember 2013, das Formular "Notice of Withdrawal from E._ School" ausgefüllt und seine Tochter von der Schule in U._ abgemeldet habe. Wie soeben festgehalten, hätten sich die Parteien in diesem Zeitraum noch nicht geeinigt gehabt, ansonsten sie die vorgängig erwähnten Erklärungen unterzeichnet hätten. Daher könne auch aus diesem Formular keine Genehmigung des Wohnortswechsels abgeleitet werden. Die Abmeldung habe vielmehr einer administrativen Notwendigkeit entsprochen.
4.4. Die Vorinstanz fasste zusammen, mangels klar zum Ausdruck gebrachter Zustimmung oder nachträglicher Genehmigung des Vaters sei C.A._ somit von der Mutter widerrechtlich im Sinne von Art. 3 HKÜ nach Frankreich gebracht bzw. dort zurückgehalten worden und habe auch nachträglich bis zu deren Rückreise nach U._ im Mai 2014 keinen gewöhnlichen Aufenthalt in Frankreich begründet. Das Rückführungsgesuch sei daher abzuweisen.
5.
5.1. Die Beschwerdeführerin wirft der Vorinstanz vor, den Sachverhalt willkürlich festgestellt bzw. gewürdigt zu haben, soweit diese eine Genehmigung durch den Beschwerdegegner verneinte. In den E-Mails vom 13. November und 1. Dezember 2013 habe er bestätigt, dass er mit dem Umzug einverstanden gewesen sei. Es sei auffällig, dass der Beschwerdegegner bei allen Handlungen, die klar belegten, dass er einem dauerhaften Umzug zugestimmte habe, behaupte, er sei nicht deren Urheber. Dies ignoriere die Vorinstanz in unzulässiger Weise bzw. sie ziehe daraus den unzulässigen Schluss, der Beschwerdegegner sei nur mit einem vorübergehenden Aufenthaltswechsel einverstanden gewesen. Weiter habe sich der Beschwerdegegner in Widersprüche verstrickt, welche die Vorinstanz nicht beachtet habe. So behaupte der Beschwerdegegner in seiner Gesuchsantwort vom 23. November 2015, dass er seit der Abreise seiner Tochter im November 2013 täglich mit ihr über Skype telefoniert habe. Anlässlich der Anhörung vom 9. Dezember 2015 habe er dann aber ausgesagt, seine Tochter im Februar [2014] ein erstes Mal besucht zu haben. Bis zu diesem Zeitpunkt habe er nicht mit ihr sprechen dürfen.
Fakt sei ferner, dass der Beschwerdegegner am 4. Dezember 2013 das Formular "Notice of Withdrawal from E._ School" ausgefüllt und die Tochter von der Schule in U._ abgemeldet habe. Als Grund für die Abmeldung habe er angegeben "moving to another country". Der Beschwerdegegner habe in dieser Schule gearbeitet. Die Beschwerdeführerin ist der Ansicht, er hätte dies sicher mit der Schulleitung besprechen können, wenn es ihm lediglich um einen vorübergehenden Aufenthalt seiner Tochter in Frankreich gegangen wäre. Er hätte ein Urlaubsgesuch oder Ähnliches einreichen können. Der Vermerk "moving to another country" lasse klar nicht auf eine vorübergehende Situation schliessen. "Moving" bedeute Umzug und nicht etwa vorübergehender Aufenthalt in einem anderen Land. Zudem habe er seine Tochter nur wenige Tage nach ihrem Umzug nach Frankreich abgemeldet. Wäre die Situation vorübergehend gewesen, hätte er ihrer Ansicht nach noch zugewartet.
Ihr, der Beschwerdeführerin, könne auch nicht vorgehalten werden, so schnell aus U._ abgereist zu sein, nachdem sie vom Beschwerdegegner spitalreif geschlagen worden sei. Dass dabei die Einzelheiten bezüglich der Schule in U._ nicht besprochen werden konnten und dass das eine oder andere vergessen gegangen sei, sei aufgrund des Vorgefallenen ebenfalls klar und lasse keine Interpretation zu Gunsten des Beschwerdegegners zu. Zwar möge der Beschwerdegegner von der Tatsache überrumpelt worden sein, dass sie als Noch-Ehefrau von ihrem neuen Partner ein Kind erwartet habe. Dies sei jedoch noch lange kein Grund, um sie tätlich anzugreifen und anschliessend aus dieser Tatsache eine Verweigerung des Umzugs der Tochter nach Frankreich zu konstruieren. Zu beachten sei ferner, dass der Beschwerdegegner erst am 4. März 2014, d.h. rund vier Monate nach dem Umzug der Tochter nach Frankreich in Italien beim Strafgericht in U._ eine Anzeige wegen Kindesentführung gegen die Beschwerdeführerin erstattet habe. Er habe damit ein rein internes Verfahren eröffnet, nicht etwa ein Rückführungsverfahren gemäss dem HKÜ. Die Behauptungen des Beschwerdegegners, wonach er den Prozess nach seinem Besuch in Frankreich im Februar 2014 weitergeführt habe, seien aktenwidrig, habe er die Strafanzeige doch erst im März eingereicht. Fest stehe ferner, dass der Beschwerdegegner seine Tochter mehrfach in Frankreich besucht und dabei sogar im "Bed & Breakfast" logiert habe, welches vom Lebensgefährten der Beschwerdeführerin geführt werde. Aus den Akten ergäben sich keine Hinweise, dass der Beschwerdegegner anlässlich dieser Besuche erklärt habe, er sei mit dem Verbleib seiner Tochter in Frankreich nicht einverstanden.
5.2. Im Mai 2014, d.h. nachdem die Tochter während sieben Monaten in Frankreich bei ihr gelebt habe, habe sie, die Beschwerdeführerin, dem Beschwerdegegner erlaubt, die Tochter vom 17. bis 24. Mai 2014 nach U._ in die Ferien zu nehmen ("Ferien" in der Beschwerde hervorgehoben). Am 13. Mai 2014 habe er dies in einer E-Mail bestätigt. Aus diesen Ferien sei die Tochter bis heute nicht zurückgekehrt. Dass er die Tochter nur zu Ferienzwecken nach U._ habe verbringen wollen, habe der Beschwerdegegner anlässlich seiner Anhörung vor der Vorinstanz vom 9. Dezember 2015 bestätigt. Er sei dabei noch einen Schritt weiter gegangen und habe erklärt, seine Anwälte hätten ihm geraten, das Kind in Italien zurückzubehalten. Die Beschwerdeführerin schliesst daraus, der Beschwerdegegner habe schlicht Selbstjustiz geübt, um seine Position im von ihm in Italien angestrengten Trennungsverfahren (welches er fälschlicherweise als "Scheidungsverfahren") bezeichne, zu verbessern und sein Ziel zu erreichen, ihr, der Beschwerdeführerin, die Tochter wegzunehmen. Die Begründung und das Ergebnis des angefochtenen Entscheids seien offensichtlich unhaltbar. Sie fügt an, dass sie einem Ferienaufenthalt beim Beschwerdegegner nicht zugestimmt hätte, wenn klar gewesen wäre, dass der Beschwerdegegner nicht mit einem definitiven Verbleib der Tochter in Frankreich einverstanden gewesen sei.
Auch die weitere Chronologie der Ereignisse habe die Vorinstanz willkürlich nicht berücksichtigt. So habe der Beschwerdegegner am 2. Juni 2014 versucht, ihr glaubhaft zu machen, dass er die Tochter nach Frankreich zurückschicken werde. Zum Beweis habe er ihr ein Flugticket von U._ nach Z._, welches auf den 8. Juni 2014 datiert gewesen sei, geschickt. Er habe ihr erklärt, die Tochter dann mit dem Auto von Z._ nach Frankreich bringen zu wollen. Dass der Beschwerdegegner diesen Flug zwecks Diskussion über eine Scheidung gebucht haben solle, habe sie im vorliegenden Verfahren zum ersten Mal gehört. Es sei wenig erstaunlich, dass sich der Beschwerdegegner darüber ausschweige, weshalb er schlussendlich nicht nach Z._ geflogen bzw. nach Frankreich gekommen sei.
Fakt sei auch, dass die Tochter durch das widerrechtliche Verbringen des Beschwerdegegners von Frankreich nach U._ die letzten sieben Schulwochen in Frankreich und zwei Ballett-Soloauftritte im "Grand Théâtre de Y._" verpasst habe. Aus zwei Schreiben der Schule und der Académie de Y._ gehe hervor, dass C.A._ nach ihrem Ferienaufenthalt bei ihrem Vater zurück nach Frankreich hätte kommen müssen, wo sie ihren gewöhnlichen Aufenthalt gehabt habe. Beide hätten sich nach dem Verbleib von C.A._ erkundigt. Die Vorinstanz habe diese Beweise in keiner Weise gewürdigt. Der Beschwerdegegner habe die Tochter wenige Wochen vor Schulende und vor einer wichtigen Ballettaufführung in Italien zurückbehalten. Das zeige, dass er einem Wohnortwechsel zugestimmt gehabt habe, dann aber seine Meinung änderte und die Tochter in Selbstjustiz und mit Hilfe der Anwälte zurückholen wollte.
5.3. Auch das weitere Verhalten des Beschwerdegegners mache deutlich, dass er mit der Situation in Frankreich einverstanden gewesen sei und nun widerrechtlich alle Hebel in Bewegung setze, um ihr die Tochter wegzunehmen und vorzuenthalten. Am 7. Mai 2015 habe er seine Anzeige wegen Kindesentführung in Italien zurückgezogen, die Rückgabe der Tochter aber davon abhängig gemacht, dass sie, die Beschwerdeführerin, ihr Rückführungsgesuch gemäss HKÜ ebenfalls zurückziehe. Da sie nur ein Ziel gehabt habe, nämlich ihre Tochter raschmöglichst wieder in die Arme schliessen zu können, habe sie ihren Rückführungsantrag am 10. Mai 2015 tatsächlich auch zurückgezogen. Der Beschwerdegegner habe sich jedoch ein weiteres Mal nicht an seine Versprechungen gehalten; sein Ziel sei nur gewesen, das Haager Rückführungsverfahren zu stoppen. Die französische Zentralbehörde habe das Manöver durchschaut und die Information an Italien weitergeleitet. Das inzwischen eingestellte Rückführungsverfahren sei aufgrund der Interventionen der italienischen Zentralbehörde und schlussendlich des Staatsanwalts der Republik wieder eröffnet worden. Auf den 11. August 2015 sei eine Anhörung angesetzt worden. Allerdings habe die Vorladung vom 22. Juli 2015 dem Beschwerdegegner nicht mehr zugestellt werden können. Dieser habe das Kind ein zweites Mal - nun in die Schweiz - entführt. Über den Umzug habe der Beschwerdegegner sie erst im August informiert.
Zusammengefasst habe die Tochter in Frankreich gewöhnlichen Aufenthalt und ihren Lebensmittelpunkt gehabt. Sie, die Beschwerdeführerin, habe sich Vollzeit um das Kind und deren inzwischen geborene Schwester gekümmert. Der Beschwerdegegner habe die Tochter entführt und sie sei gemäss Art. 12 HKÜ nach Frankreich zurückzubringen. Ein Verweigerungsgrund gemäss Art. 13 HKÜ liege nicht vor. Der vorinstanzliche Entscheid verletze Bundes- und Völkerrecht (Art. 12 HKÜ, <ref-law>, Art. 8 Ziff. 1 EMRK).
6.
Der Beschwerdegegner bestreitet in seiner Vernehmlassung vom 5. Februar 2015 weiterhin, die Tochter bereits zwei Mal entführt zu haben, wie dies die Beschwerdeführerin behaupte. Sie habe hierfür keine Beweise. Ebensowenig beweise sie, inwiefern die Sachverhaltsfeststellungen im Entscheid des Obergerichts willkürlich sein sollten. Die Beschwerde sei unter Kosten- und Entschädigungsfolgen abzuweisen, soweit überhaupt darauf einzutreten sei.
7.
7.1. Vorab ist festzuhalten, dass die Beschwerdeführerin nicht bestreitet, dass die Parteien ursprünglich die Absicht hatten, die USA zu verlassen und sich in U._ niederzulassen. Die Frage, ob C.A._ beim Umzug nach Europa im Sommer 2013 (Sachverhalt A.b) in U._ gewöhnlichen Aufenthalt begründete, lässt sie offen resp. erklärt sie explizit für irrelevant. Die vorinstanzliche Feststellung, dass C.A._ im Moment des Verbringens nach Frankreich im November 2013 gewöhnlichen Aufenthalt in U._ gehabt hatte, bestreitet sie demnach nicht substanziiert. Ebenso verfährt sie mit der Frage der (gemäss Vorinstanz) fehlenden vorgängigen Zustimmung des Beschwerdegegners zu einem dauerhaften Umzug nach Frankreich. Damit hat das Bundesgericht vom von der Vorinstanz festgestellten Sachverhalt auszugehen (vgl. E. 1.3), dass erstens die Tochter ursprünglich in U._ gewöhnlichen Aufenthalt hatte und zweitens, der Beschwerdegegner dem Umzug der Tochter nach Frankreich nicht vorgängig zugestimmt hat.
Umstritten ist vor Bundesgericht damit einzig, ob der Beschwerdegegner der Beschwerdeführerin später (im Moment des Verbringens im November 2013 oder nachträglich) erlaubt hat, die Tochter nicht bloss vorübergehend, sondern zumindest bis zum Abschluss des Scheidungsverfahrens zu sich nach Frankreich zu nehmen.
7.2. Die Vorinstanz hat die Frage unter Berücksichtigung aller verfügbaren Beweismittel verneint. Die Beschwerdeführerin wirft der Vorinstanz eine willkürliche Sachverhaltsfeststellung resp. willkürliche Beweiswürdigung vor (vgl. E. 5). Sie beschränkt sich aber darauf, die nämlichen Beweismittel aus ihrer Sicht zu würdigen. Auf diese Weise lässt sich keine Willkür dartun (E. 1.3). Zwar ist es richtig, dass die Zustimmung zu einem Wechsel des Aufenthaltsorts der Tochter vom Vater in U._ zur Mutter in Frankreich kein formbedürftiges Rechtsgeschäft darstellt. Nichtsdestotrotz durfte die Vorinstanz berücksichtigen, dass die von der Beschwerdeführerin ins Feld geführte Erklärung von keiner Partei unterzeichnet worden ist. Willkürfrei durfte die Vorinstanz daraus ableiten, dass der Beschwerdegegner bis zur Unterzeichnung der Erklärung nicht gebunden sein wollte. Ebenso wenig ist zu beanstanden, dass die Abmeldung der Schule in U._ nicht auf den Willen des Beschwerdegegners schliessen lasse, dem Wohnortswechsel seiner Tochter zugestimmt zu haben. Auch aus den von der Beschwerdeführerin erwähnten E-Mails lässt sich kein unzweifelhafter Wille des Beschwerdegegners ableiten, die Tochter definitiv nach Frankreich ziehen lassen zu wollen (z.B. kann eine Einschulung in Frankreich auch bei einem vorübergehenden Aufenthalt aus rein praktischen Gründen sinnvoll sein). Schliesslich kann die Beschwerdeführerin auch aus den von ihr eingewandten Widersprüchen in den Aussagen und im Verhalten des Beschwerdegegners (insb. E. 5.1: tägliche Skypetelefonate versus Kontaktabbruch bis Februar 2014; Einreichung der Strafanzeige erst im März 2014 und Verzicht auf Einleitung eines Haager Rückführungsverfahrens; regelmässige Besuche in Frankreich; E. 5.2: Nicht angetretener Flug nach Z._; Nichtberücksichtigung einiger Schulwochen und zweier Ballett-Auftritte) nichts zu ihren Gunsten ableiten. Angesichts des anzuwendenden strengen Beweismassstabs (E. 2.2) ist insgesamt nicht willkürlich, eine klare Manifestation einer Genehmigung zu verneinen. Zwar wäre in mehreren Punkten auch eine andere Interpretation als diejenige der Vorinstanz denkbar gewesen. Dass auch eine andere Beweiswürdigung seitens der Vorinstanz nicht zu beanstanden gewesen wäre, führt aber infolge der auf Willkür (E. 1.3) beschränkten Kognition des Bundesgerichts nicht zu einer Aufhebung des Entscheids.
7.3. Ist davon auszugehen, dass der Beschwerdegegner dem Umzug seiner Tochter nach Frankreich weder zugestimmt, noch diesen später genehmigt hat, so ist ihm nicht vorzuwerfen, dass er seine Tochter nach den "Ferien" nicht mehr nach Frankreich ausreisen liess. Mag die Beschwerdeführerin dem Beschwerdegegner in diesem Zusammenhang auch mit einer gewissen Berechtigung Selbstjustiz vorwerfen, so hatte die Tochter damals in der Optik des HKÜ dennoch ihren gewöhnlichen Aufenthaltsort in Italien beim Vater. Daran ändert auch nichts, dass die französischen und italienischen Behörden auf das Rückführungsgesuch der Beschwerdeführerin eingetreten waren. In der Sache haben sie erklärtermassen nie einen Entscheid betreffend Rückführung von C.A._ nach Frankreich gefällt.
7.4. Im Ergebnis kann der Vorinstanz nicht vorgeworfen werden, den Sachverhalt willkürlich festgestellt zu haben. Sie hat damit auch weder Bundes- noch Völkerrecht verletzt, wenn sie davon ausgegangen ist, dass C.A._ vor ihrem Verbringen in die Schweiz ihren gewöhnlichen Aufenthalt in Italien (U._) hatte, dass der Beschwerdegegner seine Tochter nicht entführt hat, als er mit ihr im August 2015 in die Schweiz reiste, und er sie hier auch nicht widerrechtlich zurückhält. Dass der Beschwerdegegner die Tochter nur nicht von Italien in die Schweiz hätte mitnehmen dürfen, bringt die Beschwerdeführerin im übrigen nicht vor. Die Rügen einer Verletzung von Art. 12 HKÜ, <ref-law>, Art. 8 Ziff. 1 EMRK (E. 5.3) sind unbegründet. Die Beschwerde ist abzuweisen.
Bei diesem Ausgang des Verfahrens kann offen bleiben, ob eine Rückführung von C.A._ auch daran scheitern müsste, dass in der Zwischenzeit das Tribunale Ordinario di U._ dem Beschwerdegegner am 21. Juli 2015 (Sachverhalt Bst. B.c) vorläufig die alleinige elterliche Verantwortung für seine Tochter C.A._ übertragen hat ("affida la figlia minore C.A._ in via esclusiva al padre con esercizio esclusivo delle responsabilità genitoriale") und gleichzeitig verfügte, dass die Tochter beim Vater lebt, während der Mutter ein Kontaktrecht via Telefon und Skype zusteht ("dispone che la minore vivrà presso il padre con diritto per la madre di averla e tenerla con sé previo accordo con il padre; dispone che il padre assicuri almeno un contatto telefonico giornaliero o via skype tra la minore e la madre nella fascia oraria dalle 18.00 alle 21.00").
8.
Die Beschwerdeführerin verlangt zusätzlich, dass der Beschwerdegegner dazu verurteilt wird, ihr sämtliche durch das widerrechtliche Verbringen der gemeinsamen Tochter in die Schweiz entstandenen Kosten zu ersetzen. Es ist offensichtlich, dass die Beschwerdeführerin dieses Rechtsbegehren nur für den Fall gestellt hat, dass ihre Beschwerde gutgeheissen werden kann. Nachdem das Bundesgericht die Beschwerde abweist, ist darauf nicht einzutreten.
9.
Angesichts des Verfahrensausgangs hat die Beschwerdeführerin als unterliegende Partei ungeachtet von Art. 26 HKÜ i.V.m. <ref-law> für die Gerichtskosten aufzukommen (<ref-law>; Urteil 5A_1003/2015 vom 14. Januar 2016 E. 6 mit den dortigen Hinweisen zum Vorbehalt von Frankreich zu Art. 26 HKÜ und dessen Auswirkung auf die Entgeltlichkeit des schweizerischen Verfahrens). Zu entschädigen ist auch der zu den Gerichtskosten gehörende Aufwand für den Kindesvertreter (Urteil 5A_346/2012 vom 12. Juni 2012 E. 6; 5A_840/2011 vom 13. Januar 2012 E. 6). Im Hinblick auf die Besonderheiten des vorliegenden Falls werden die Parteikosten wettgeschlagen (<ref-law>). Dem Gesuch der Beschwerdeführerin um unentgeltliche Rechtspflege kann entsprochen werden (Art. 64 Abs. 1 und 2 BGG). Die Beschwerdeführerin hat der Gerichtskasse Ersatz zu leisten, wenn sie später dazu in der Lage ist (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.
Das Gesuch der Beschwerdeführerin um unentgeltliche Rechtspflege für das bundesgerichtliche Verfahren wird gutgeheissen und es wird ihr Rechtsanwältin Denise Wettstein als Rechtsbeiständin beigegeben.
3.
Die Gerichtskosten von Fr. 3'000.-- (einschliesslich der Kosten für die Vertretung des Kindes) werden der Beschwerdeführerin auferlegt, indes vorläufig auf die Gerichtskasse genommen.
4.
Die Parteientschädigungen werden wettgeschlagen.
5.
Rechtsanwältin Denise Wettstein wird aus der Bundesgerichtskasse mit Fr. 3'000.-- entschädigt.
6.
Rechtsanwalt Alain Pfulg wird aus der Bundesgerichtskasse mit Fr. 1'000.-- entschädigt.
7.
Dieses Urteil wird den Parteien, A.A._ und B.A._, Alain Pfulg, Kindesvertreter, dem Obergericht des Kantons Bern, Zivilabteilung, 2. Zivilkammer, und dem Bundesamt für Justiz, Zentralbehörde für Kindesentführungen, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 14. März 2016
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: von Werdt
Die Gerichtsschreiberin: Friedli-Bruggmann