Sachverhalt:
A.
A._ (Beschwerdeführer) und die heutige B._ AG (Beschwerdegegnerin) schlossen gestützt auf ein von der B._ AG gemachtes Angebot vom 22. Juni 2009 und auf ein von ihr überarbeitetes Angebot vom 4. September 2009 einen Werkvertrag ab. Der Vertrag betraf die Sanierung der bestehenden Wärmeeinrichtungen und den Anschluss an die Wärmeversorgung der Liegenschaft GB U._ Nr. xxx an der Strasse X._ in U._. Die Parteien haben für diesen Werkvertrag die Gültigkeit der SIA-Norm 118 vereinbart.
Ziffer 23 der Offertbedingungen hält fest:
"Regiearbeiten werden nur anerkannt, wenn sie von der Bauleitung vorgängig angeordnet werden. Die Rapporte sind der Bauleitung laufend, jedoch spätestens nach einer Woche zur Unterschrift vorzulegen. Differenzen sind umgehend zu bereinigen. Die Abrechnung hat jeweils per Ende Monat zu erfolgen."
Am 11. November 2010 übermittelte die B._ AG A._ die Schlussrechnung.
B.
Mit Urteil vom 24. September 2015 verurteilte der Einzelrichter des Kantonsgerichts Schaffhausen A._, der B._ AG den Betrag von Fr. 9'838.25 nebst Zins zu 5 % seit 11. August 2011 zu bezahlen. Gleichzeitig stellte er fest, dass der B._ AG am Grundstück GB U._ Nr. xxx, Strasse X._, U._, ein Grundpfandrecht (Bauhandwerkerpfandrecht) gemäss <ref-law> in Höhe von Fr. 9'838.25 zusteht. Der Einzelrichter wies das Grundbuchamt Schaffhausen daher an, das gemäss Verfügung des Kantonsgerichts vom 9. Februar 2011 auf dem betreffenden Grundstück zu Gunsten der B._ AG vorläufig vorgemerkte Bauhandwerkerpfandrecht im Umfang von Fr. 13'495.15 im auf Fr. 9'838.25 reduzierten Betrag definitiv im Grundbuch einzutragen. Die Kosten des Verfahrens in Höhe von Fr. 10'000.-- auferlegte er zu 30 % der B._ AG und zu 70 % A._. Im gleichen Verhältnis verteilte er die Kosten des Verfahrens betreffend Eintragung eines provisorischen Bauhandwerkerpfandrechts. Sodann verpflichtete er A._ für beide Verfahren, die B._ AG im Umfang von 40 % ihrer Anwaltskosten von Fr. 15'976.10, mithin mit Fr. 6'390.40, zu entschädigen.
Gegen dieses Urteil erhob A._ Berufung, die B._ AG Anschlussberufung an das Obergericht des Kantons Schaffhausen. Dieses wies sowohl Berufung als auch Anschlussberufung mit Urteil vom 30. Dezember 2016 ab. Es auferlegte die Kosten des Berufungsverfahrens von Fr. 8'000.-- A._ im Umfang von Fr. 6'000.-- und der B._ AG im Umfang von Fr. 2'000.--.
C.
A._ verlangt mit subsidiärer Verfassungsbeschwerde, das Urteil des Obergerichts des Kantons Schaffhausen vom 30. Dezember 2016 sei aufzuheben, insoweit die Berufung abgewiesen wurde. Das Urteil des Kantonsgerichts Schaffhausen vom 24. September 2015 sei dergestalt abzuändern, dass er zu verurteilen sei, der B._ AG Fr. 6'037.75 nebst Zins zu 5 % seit 11. August 2011 zu bezahlen, und festzustellen sei, dass der B._ AG ein Bauhandwerkerpfandrecht in entsprechender Höhe zustehe. Das Grundbuchamt Schaffhausen sei anzuweisen, dieses im auf Fr. 6'037.75 reduzierten Betrag definitiv im Grundbuch einzutragen.
Unabhängig vom Erfolg der in der Beschwerde materiell erhobenen Rügen beantragt A._, die Gerichtsgebühren des erst- und zweitinstanzlichen Verfahrens sowie die vom Kantonsgericht festgesetzte Parteientschädigung seien "auf das zulässige Mass zu reduzieren".
Die B._ AG beantragt, die Beschwerde sei abzuweisen. Sie verzichtete auf eine Antragstellung betreffend Reduktion der Gerichtsgebühren. Das Obergericht hielt am angefochtenen Urteil fest und nahm zur gerügten Höhe der Gerichtsgebühren und der Parteientschädigung Stellung.
D.
Das in der Beschwerde gestellte Gesuch um aufschiebende Wirkung wurde mit Präsidialverfügung vom 21. Februar 2017 abgewiesen.

Erwägungen:
1.
Der angefochtene Entscheid des Obergerichts ist ein Endentscheid (<ref-law>) einer Vorinstanz im Sinne von <ref-law>. Die Beschwerde in Zivilsachen ist aufgrund des Streitwertes von weniger als Fr. 30'000.-- (<ref-law>) nicht zulässig, weshalb die vom Beschwerdeführer erhobene subsidiäre Verfassungsbeschwerde im Sinne der Art. 113-119 BGG offen steht. Da auch die übrigen Sachurteilsvoraussetzungen erfüllt sind, ist auf die Beschwerde einzutreten, unter Vorbehalt einer Art. 42 Abs. 1 und 2 BGG genügenden Beschwerdeschrift (Erwägungen 2 und 4).
2.
Mit der Verfassungsbeschwerde kann die Verletzung von verfassungsmässigen Rechten gerügt werden (<ref-law>). Diesbezüglich gilt eine qualifizierte Rügepflicht. Das Bundesgericht prüft die Verletzung verfassungsmässiger Rechte nur, wenn diese Rüge gemäss den Anforderungen von <ref-law> (in Verbindung mit <ref-law>) ausdrücklich vorgebracht sowie klar und detailliert begründet wird (<ref-ruling> E. 2.3 S. 266; <ref-ruling> E. 1.4; <ref-ruling> E. 1.6; <ref-ruling> E. 2.1; <ref-ruling> E. 3.2 S. 444).
Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (<ref-law>). Es kann davon nur abweichen, wenn die Sachverhaltsfeststellung unter Verletzung eines verfassungsmässigen Rechts zustande gekommen ist (Art. 118 Abs. 2 und <ref-law>), was die beschwerdeführende Partei mit einer genügenden Begründung geltend zu machen hat (<ref-ruling> E. 2.2; <ref-ruling> E. 3.2 S. 445 mit Hinweis).
Macht die beschwerdeführende Partei eine Verletzung des Willkürverbots geltend, genügt es nicht, wenn sie einfach behauptet, der angefochtene Entscheid sei willkürlich (<ref-ruling> E. 3 S. 352; <ref-ruling> E. 5.5). Willkür liegt nicht schon dann vor, wenn eine andere Lösung ebenfalls in Betracht zu ziehen oder gar vorzuziehen wäre, sondern nur, wenn der angefochtene Entscheid offensichtlich unhaltbar ist, mit der tatsächlichen Situation in klarem Widerspruch steht, eine Norm oder einen unumstrittenen Rechtsgrundsatz krass verletzt oder in stossender Weise dem Gerechtigkeitsgedanken zuwiderläuft (<ref-ruling> E. 4.1; <ref-ruling> E. 2.1; <ref-ruling> E. 3.2.5 S. 339). Dass die von Sachgerichten gezogenen Schlüsse nicht mit der eigenen Darstellung der beschwerdeführenden Partei übereinstimmen, belegt keine Willkür (<ref-ruling> E. 2.3 S. 266 mit Hinweisen). Erforderlich ist zudem, dass der Entscheid nicht nur in der Begründung, sondern auch im Ergebnis willkürlich ist (BGE <ref-ruling> E. 2.1 S. 19 mit Hinweisen).
3.
3.1. Vor der Vorinstanz waren drei Positionen der Schlussrechnung umstritten, nämlich die Versetzung des Warmwassererwärmers (Boiler), der Ersatz der Zirkulationspumpe sowie das Ersatzexpansionsgefäss. Die Beschwerdegegnerin hatte behauptet, im Auftrag des Beschwerdeführers beziehungsweise dessen Stellvertreters diese Zusatz- respektive Mehrleistungen erbracht zu haben. Der Beschwerdeführer hatte bestritten, zusätzliche Arbeiten in Auftrag gegeben zu haben.
3.2. Die Vorinstanz erwog, der Beschwerdeführer sei stillschweigend damit einverstanden gewesen, dass der Boiler versetzt und die Pumpe sowie das Expansionsgefäss ersetzt werden. Dadurch sei der ursprüngliche Werkvertrag im Einvernehmen der Parteien abgeändert worden und von der entsprechenden Anordnung gemäss Ziffer 23 der Offertbedingungen auszugehen. Der Beschwerdeführer rügt diese Auffassung als verfassungswidrig.
3.3. Der Vorwurf, die Vorinstanz habe das rechtliche Gehör verletzt, indem sie "diese klare Vertragsklausel nicht, bzw. nicht korrekt in die Beweiswürdigung hat einfliessen lassen", stellt rein appellatorische Kritik am angefochtenen Urteil dar und vermag den genannten Begründungsanforderungen (Erwägung 2) nicht zu genügen. Der Beschwerdeführer bringt insbesondere nicht vor, welche seiner Vorbringen inwiefern von der Vorinstanz nicht gehört und geprüft worden sein sollen. Auf diese Rüge ist nicht einzutreten.
3.4. Der Beschwerdeführer stellt im bundesgerichtlichen Verfahren nicht in Abrede, dass er mit der Ausführung dieser Arbeiten stillschweigend einverstanden war (vgl. auch Urteil 4D_75/2011 vom 9. Dezember 2011 E. 3.6.2). Er macht aber geltend, diese in Regie erbrachten Arbeiten seien nur zu bezahlen, wenn dem in Ziffer 23 der Offertbedingungen festgehaltenen Mechanismus entsprochen worden wäre. Dies sei nicht der Fall: Die Arbeiten seien nicht vorgängig durch die Bauleitung angeordnet, die Rapporte der Bauleitung nicht laufend zur Unterschrift vorgelegt, die Differenzen nicht umgehend bereinigt und die Arbeiten nicht jeweils per Ende Monat abgerechnet worden. Die Vorinstanz sei in Willkür verfallen, weil sie verkannt habe, dass der Anspruch des Beschwerdeführers nur dann bestünde, wenn diese vertraglichen Voraussetzungen eingehalten worden wären.
Es erscheint fraglich, ob der Beschwerdeführer in diesem Punkt den Begründungsanforderungen (Erwägung 2) gerecht wird. Er zeigt nicht auf, welche unumstrittenen Rechtsgrundsätze der Vertragsauslegung die Vorinstanz mit ihren Erwägungen offensichtlich verletzt haben soll, sondern beschränkt sich darauf, seine eigene Sicht der Dinge zu präsentieren. Er legt auch nicht dar, inwiefern der übereinstimmende wirkliche Wille der Parteien oder der gestützt auf das Vertrauensprinzip ermittelte mutmassliche Parteiwille auf ein Verständnis von Ziffer 23 der Offertbedingungen gerichtet gewesen wäre, welches die Vertragsauslegung der Vorinstanz als unhaltbar erscheinen liesse. Jedenfalls vermag er mit seinen Vorbringen keine Willkür auszuweisen. Wenn die Vorinstanz Ziffer 23 der Offertbedingungen so auslegte, dass das Erfordernis der vorgängigen Anordnung auch stillschweigend erfüllt werden kann, ist dies zumindest haltbar (siehe namentlich Urteile 4D_75/2011 vom 9. Dezember 2011 E. 3.5; 4C.189/1999 vom 19. April 2000 E. 2b und 2c in fine).
Auch hinsichtlich des übrigen in Ziffer 23 der Offertbedingungen vereinbarten Vorgehens (Vorlage der Rapporte, Differenzbereinigung und monatliche Abrechnung) greifen die Argumente des Beschwerdeführers nicht: Die Vorinstanz durfte ohne in Willkür zu verfallen schliessen, dass die Parteien an die Nichteinhaltung des Rapport- und Abrechnungsprozederes im Sinne von Ziffer 23 der Offertbedingungen nicht die Folge knüpfen wollten, die Beschwerdegegnerin dürfe ihren Aufwand überhaupt nicht mehr in Rechnung stellen. Abweichendes ergibt sich insbesondere auch nicht aus dem Wortlaut dieser Vertragsbestimmung. In diesem Sinne hat das Bundesgericht festgehalten, dass nicht unterzeichnete Regierapporte nicht die Vergütungspflicht des Bestellers entfallen lassen, sondern die Beweisführungslast beschlagen (Urteile 4C.385/2005 vom 31. Januar 2006 E. 9; 4C.227/2002 vom 24. Januar 2003 E. 4). Es liegt demnach auch keine Willkür vor, wenn die Vorinstanz aus dem Umstand, dass die Beschwerdegegnerin nicht gemäss dem in Ziffer 23 der Offertbedingungen vorgesehenen Prozedere rapportierte und fakturierte, nicht auf einen Rechtsverlust schloss.
Im Ergebnis durfte die Vorinstanz somit willkürfrei annehmen, dass Ziffer 23 der Offertbedingungen der zusätzlichen Vergütung, welche die Beschwerdegegnerin für die Versetzung des Boilers sowie den Ersatz der Zirkulationspumpe und des Expansionsgefässes verlangte, nicht entgegensteht.
4.
4.1. Der Beschwerdeführer beanstandet die Höhe der kantonalen Gerichtsgebühren sowie der Parteientschädigung.
4.2. Die Beschwerde hat ein Rechtsbegehren zu enthalten (<ref-law>). Da die Beschwerde an das Bundesgericht ein reformatorisches Rechtsmittel darstellt (Art. 107 Abs. 2 i.V.m. <ref-law>), ist grundsätzlich ein materieller Antrag erforderlich. Rechtsbegehren, die auf einen Geldbetrag lauten, müssen beziffert werden (<ref-ruling> E. 2). Dies gilt auch, wenn die Kosten- und Entschädigungsfolgen des kantonalen Verfahrens selbständig angefochten werden (<ref-ruling> E. 1.2; Urteile 4A_724/2016 vom 19. Juli 2017 E. 1.1; 4A_13/2016 vom 19. Januar 2016; 4A_225/2011 vom 15. Juli 2011 E. 2.6.2; je mit Hinweisen). Daran ändert nichts, dass das Bundesgericht Gerichtskosten und Parteientschädigungen für das kantonale Verfahren im Fall der Aufhebung des vorinstanzlichen Entscheids in der Regel nicht selbst gestützt auf kantonale Gebührenverordnungen festlegt. Denn das Bundesgericht hat jedenfalls die Kompetenz, reformatorisch zu entscheiden, was der Beschwerdeführer vorliegend denn auch beantragt (Urteile 4A_13/2016 vom 19. Januar 2016; 4A_226/2014 vom 6. August 2014 E. 1.2; 4A_89/2014 vom 25. Februar 2014; je mit Hinweisen).
Den Beschwerdeanträgen kann lediglich entnommen werden, dass der Beschwerdeführer die Reduktion der Gerichtsgebühren und der Parteientschädigung "auf das zulässige Mass" verlangt. Das stellt keine exakte Bezifferung dar. Indessen genügt, wenn aus der Beschwerdebegründung klar hervorgeht, in welchem Sinne der angefochtene Entscheid abgeändert werden soll (<ref-ruling> E. 6.2 S. 622; <ref-ruling> E. 2; Urteile 4A_93/2015 vom 22. September 2015 E. 1.3.2.3, nicht publ. in: <ref-ruling>; 4A_35/2015 vom 12. Juni 2015 E. 3.2).
Keine Ausführungen erfolgen mit Blick auf die Bemessung der zweitinstanzlichen Gerichtsgebühr. Auf das entsprechende Begehren kann daher von Vornherein nicht eingetreten werden.
Demgegenüber ergibt sich aus der Begründung, dass sich die erstinstanzliche Gerichtsgebühr nach Auffassung des Beschwerdeführers "am Gerichtskostenvorschuss von CHF 3'000.-- zu orientieren" habe und dass der Beschwerdeführer eine Reduktion der Parteientschädigung "um mindestens 2/3" anstrebt. Es erscheint ungewiss, ob der Beschwerdeführer damit ein rechtsgenügliches Rechtsbegehren gestellt hat (vgl. Urteil 4A_693/2012 vom 17. Januar 2013 E. 2; siehe immerhin Urteile 4A_360/2012 vom 3. Dezember 2012 E. 5.3.2; 4A_375/2012 vom 20. November 2012 E. 1.2, nicht publ. in: <ref-ruling>). Mit Blick auf die nachfolgende materielle Beurteilung kann die Frage allerdings offen gelassen werden.
4.3.
4.3.1. Der Beschwerdeführer meint, die für das erstinstanzliche Verfahren erhobene Gerichtsgebühr von Fr. 10'000.-- sei übermässig hoch und verletze das Äquivalenzprinzip.
4.3.2. Gemäss <ref-law> setzen die Kantone die Tarife für die Prozesskosten fest. Nach Art. 81 Abs. 1 des Justizgesetzes vom 9. November 2009 des Kantons Schaffhausen (JG/SH; SHR 173.200) bilden der Streitwert, der Aufwand der Justizbehörden und die Schwierigkeit des Falls Grundlage für die Festsetzung der Gebühren. Laut Art. 83 Abs. 1 lit. b JG/SH wird im gerichtlichen Verfahren bei einem Streitwert bis Fr. 30'000.-- die Pauschalgebühr im Rahmen von Fr. 200.-- bis Fr. 10'000.-- festgesetzt. Das Obergericht führte aus, allein mit Blick auf den Streitwert von "knapp Fr. 14'000.--" scheine die vom Kantonsgericht erhobene Gebühr von Fr. 10'000.-- "tatsächlich als eher hoch". Sie lasse sich aber rechtfertigen, weil ein Beweisverfahren erforderlich gewesen sei, in dem eine Partei und mehrere Zeugen befragt worden seien. Sodann habe das Kantonsgericht einen ausführlich begründeten schriftlichen Vergleichsvorschlag erarbeitet und ein über 30 Seiten umfassendes Urteil verfasst.
4.3.3. Gerichtsgebühren sind Kausalabgaben, weshalb sie dem Kostendeckungs- und Äquivalenzprinzip genügen müssen. Das Äquivalenzprinzip konkretisiert das Verhältnismässigkeitsprinzip und das Willkürverbot für den Bereich der Kausalabgaben (Art. 5 Abs. 2 und Art. 9 BV). Es bestimmt, dass eine Gebühr nicht in einem offensichtlichen Missverhältnis zum objektiven Wert der Leistung stehen darf und sich in vernünftigen Grenzen halten muss. Der Wert der Leistung bemisst sich nach dem wirtschaftlichen Nutzen, den sie dem Pflichtigen bringt, oder nach dem Kostenaufwand der konkreten Inanspruchnahme im Verhältnis zum gesamten Aufwand des betreffenden Verwaltungszweigs, wobei schematische, auf Wahrscheinlichkeit und Durchschnittserfahrungen beruhende Massstäbe angelegt werden dürfen. Es ist nicht notwendig, dass die Gebühren in jedem Fall genau dem Verwaltungsaufwand entsprechen; sie sollen indessen nach sachlich vertretbaren Kriterien bemessen sein und nicht Unterscheidungen treffen, für die keine vernünftigen Gründe ersichtlich sind (<ref-ruling> E. 3.3.2; <ref-ruling> E. 3.2.4 S. 337; Urteile 4A_76/2016 vom 30. August 2016 E. 5.1; 4A_624/2014 vom 9. Juli 2015 E. 6.1; je mit Hinweisen). Gerichtsgebühren dürfen die Inanspruchnahme der Justiz zur Wahrung der Rechtsweggarantie gemäss <ref-law> nicht verunmöglichen oder übermässig erschweren (<ref-ruling> E. 5.1; <ref-ruling> E. 3.3.2 S. 109).
Bei der Festsetzung der Gerichtsgebühr verfügt das Gericht über einen grossen Ermessensspielraum. Das Bundesgericht greift bei der Auslegung kantonaler Normen nicht bereits dann ein, wenn sich die Gebühr als unangemessen erweist, sondern nur, wenn das Ermessen über- beziehungsweise unterschritten oder missbraucht und damit Bundesrecht verletzt wird (<ref-ruling> E. 3.3.2 S. 109 mit Hinweisen).
4.3.4. Der Beschwerdeführer macht nicht geltend, die Gebühr von Fr. 10'000.-- überschreite den Gebührenrahmen von Art. 83 Abs. 1 lit. b JG/SH. Er bringt aber vor, bei einem Streitwert von Fr. 13'495.-- verletze es das Äquivalenzprinzip, die bei Streitwerten von bis zu Fr. 30'000.-- mögliche Maximalgebühr von Fr. 10'000.-- zu erheben. Das Kantonsgericht habe von der Beschwerdegegnerin (als Klägerin) lediglich einen Gerichtskostenvorschuss von Fr. 3'000.-- verlangt, was ebenfalls zeige, dass die Gebühr übermässig sei. Es sei - so der Beschwerdeführer weiter - nichts Ungewöhnliches, dass in einem Zivilprozess eine Beweisverhandlung durchgeführt werden muss. Auch der Vergleichsvorschlag und das 30 Seiten umfassende Urteil rechtfertigten die Ausschöpfung der Maximalgebühr nicht. Vielmehr habe sich das Gericht den entstandenen Aufwand selbst zuzuschreiben, weil fast vier Jahre nach Prozessbeginn ein Richterwechsel stattgefunden habe.
4.3.5. Es ist nachvollziehbar, dass der vorliegende Fall - im Vergleich zu anderen Verfahren mit einem ähnlichen Streitwert - angesichts der zahlreichen umstrittenen Positionen einen grossen Aufwand verursachte. Es kann vor diesem Hintergrund nicht gesagt werden, dass die Gerichtsgebühr geradezu in keinem vernünftigen Verhältnis zum Aufwand des Gerichts steht (vgl. allgemein zum Aufwandkriterium BGE <ref-ruling> E. 3.2.4 S. 338). Ein offensichtliches Missverhältnis zwischen der Höhe der Gebühr und dem objektiven Wert der Leistung liegt im Ergebnis nicht vor, sodass kein Anlass besteht, unter dem Gesichtspunkt des Äquivalenzprinzips in den Ermessensentscheid der Vorinstanz einzugreifen. Die Rüge gegen die Höhe der erstinstanzlichen Gerichtskosten ist unbegründet.
4.4.
4.4.1. Hinsichtlich der Parteientschädigung gilt Folgendes: Die Beschwerdegegnerin machte im erstinstanzlichen Verfahren Anwaltskosten in Höhe von Fr. 15'976.10 (inklusive Mehrwertsteuer) geltend. Das Kantonsgericht stellte fest, dass sie mit ihrer Klage zu 70 % obsiegt hatte. Sie verurteilte den Beschwerdeführer daher, die Beschwerdegegnerin in der Höhe von 40 % ihrer Anwaltskosten, mithin mit Fr. 6'390.40, zu entschädigen.
4.4.2. Der Beschwerdeführer rügt, bei einem Streitwert von Fr. 13'495.-- sei es willkürlich, eine Parteientschädigung von insgesamt Fr. 15'976.10 zuzusprechen. Dieser Betrag stehe nicht in einem angemessenen Verhältnis zur Bedeutung der Sache und habe eine von den legitimen Rechtsschutzbedürfnissen her nicht gerechtfertigte Belastung zur Folge. Er rügt eine willkürliche Anwendung von Art. 86 JG/SH. Diese Rüge ist zulässig (vgl. <ref-ruling> E. 1.3 S. 60; <ref-ruling> E. 1.2).
Gemäss Art. 86 Abs. 1 JG/SH setzt das Gericht die Parteientschädigung der obsiegenden Partei im Rahmen der geltenden Vorschriften nach Ermessen fest. Abs. 2 statuiert sodann, dass das Gericht vom Betrag ausgeht, welcher der entschädigungsberechtigten Partei für die anwaltliche Vertretung in Rechnung gestellt wird, soweit: der vereinbarte Ansatz üblich ist und keine Erfolgszuschläge enthält (lit. a); der geltend gemachte Aufwand angemessen und für die Prozessführung erforderlich ist (lit. b); der Rechnungsbetrag in einem angemessenen Verhältnis zur Bedeutung der Sache steht (lit. c); und die geforderte Entschädigung nicht eine von der Sache beziehungsweise von den legitimen Rechtsschutzbedürfnissen her nicht gerechtfertigte Belastung der unterliegenden Partei zur Folge hat (lit. d).
Die Vorinstanzen haben die Parteientschädigung ausschliesslich gestützt auf den zeitlichen Aufwand des Rechtsvertreters bemessen. Dies erscheint angesichts der Regelung in Art. 86 Abs. 2 JG/SH nicht offensichtlich unhaltbar. Dass die Parteientschädigung auf den Betrag des Streitwerts beschränkt wäre, ergibt sich aus dieser Vorschrift - wie bereits die Vorinstanz festhielt und auch der Beschwerdeführer anerkennt - nicht. Entsprechend durfte die Vorinstanz ohne Willkür davon ausgehen, dass Art. 86 Abs. 2 lit. c JG/SH - der vorschreibt, dass der Rechnungsbetrag in einem angemessenen Verhältnis zur Bedeutung der Sache stehen muss - nicht allein deshalb zu einer Reduktion der Parteientschädigung führen muss, weil diese den Streitwert (um knapp Fr. 2'500.--) überschreitet. Der Einwand schliesslich, die Entschädigung habe eine von der Sache beziehungsweise von den legitimen Rechtsschutzbedürfnissen her nicht gerechtfertigte Belastung des Beschwerdeführers zur Folge, begründet dieser ausschliesslich damit, dass "sich der Kläger um fast CHF 4'000.-- überklagt hat". Auch damit kann der Beschwerdeführer keine Willkür ausweisen: Die Vorinstanzen haben die Prozesskosten entsprechend <ref-law> nach dem Ausgang des Verfahrens verteilt. Der vom Beschwerdeführer geltend gemachte Umstand wurde durch eine entsprechende Reduktion der Parteientschädigung, welche der Beschwerdegegnerin zugesprochen wurde, berücksichtigt. Entsprechend verurteilte das Kantonsgericht den Beschwerdeführer, die Beschwerdegegnerin in der Höhe von 40 % ihrer Anwaltskosten, mithin mit Fr. 6'390.40, zu entschädigen. Es ist unter Willkürgesichtspunkten nicht zu beanstanden, dass Art. 86 Abs. 2 lit. d JG/SH in diesem Zusammenhang nicht zusätzlich Anwendung fand.
4.4.3. Zudem rügt der Beschwerdeführer, die Vorinstanz habe willkürlich festgestellt, dass er den Aufwand von 53.84 Stunden nicht bestritten habe, den der Rechtsvertreter der Beschwerdegegnerin für das erstinstanzliche Verfahren geltend gemacht hatte.
Der Beschwerdeführer verweist diesbezüglich auf seine Berufungsschrift. Darin hat er die Höhe der erstinstanzlich zugesprochenen Parteientschädigung wie folgt gerügt:
"Die Höhe der Parteientschädigung, welche die Vorinstanz in Ziff. 6 ausgefällt hat, steht in keinem Verhältnis zu den Vorgaben gemäss Art. 86 des Justizgesetzes. Gemäss dieser Bestimmung hat der Rechnungsbetrag in einem angemessenen Verhältnis zur Bedeutung der Sache zu stehen. Berücksichtigt man den Streitwert, so ist ein Betrag von fast CHF 16'000.-- an Parteikosten keinesfalls in einem angemessenen Verhältnis zur Bedeutung der Sache. Es kann nicht angehen, dass die Parteientschädigung mehr als CHF 2'500.-- höher angesetzt wird, als die eingeklagte Streitsumme."
Entgegen dem Beschwerdeführer stellen diese Ausführungen keine rechtsgenügliche Bestreitung des vom Rechtsvertreter der Beschwerdegegnerin geleisteten Aufwands dar. Vielmehr scheint sich der Beschwerdeführer darin mit dem Rechnungsbetrag abgefunden zu haben und sich auf den Standpunkt stellen zu wollen, die Parteientschädigung sei in Anwendung von Art. 86 Abs. 2 lit. c JG/SH zu kürzen. Die vorinstanzliche Feststellung des Prozesssachverhalts ist daher jedenfalls nicht willkürlich, zumal eine Bestreitung, damit sie als substanziiert gelten kann, eine klare Äusserung darstellen muss, dass der Wahrheitsgehalt einer bestimmten und konkreten gegnerischen Behauptung infrage gestellt wird (<ref-ruling> E. 2.6 S. 438; siehe auch Urteil 5A_710/2009 vom 22. Februar 2010 E. 2.3.1, nicht publ. in: <ref-ruling>).
4.4.4. Schliesslich meint der Beschwerdeführer, es sei willkürlich, dass er der Beschwerdegegnerin die auf das Anwaltshonorar zu leistende Mehrwertsteuer ersetzen müsse. Die Beschwerdegegnerin könne die Mehrwertsteuer als Vorsteuer in Abzug bringen und sei daher durch diese wirtschaftlich nicht belastet.
Ob im kantonalen Verfahren die Mehrwertsteuer in der Parteientschädigung enthalten ist oder zusätzlich zu dieser ausgerichtet wird, ergibt sich aus dem kantonalen Recht. Die Regelung dieser Frage liegt nach <ref-law> in der Kompetenz der Kantone (Urteile 4A_465/2016 vom 15. November 2016 E. 3.2.1; 4A_552/2015 vom 25. Mai 2016 E. 4.5).
Der Rechtsvertreter der Beschwerdegegnerin hat die Mehrwertsteuer in seiner Honorarnote zuhanden des Kantonsgerichts ausgewiesen. Weder vor der ersten noch vor der zweiten Instanz hat der Beschwerdeführer diese Position bestritten oder geltend gemacht, die Beschwerdegegnerin könne die Mehrwertsteuer als Vorsteuer abziehen. Unter diesen Umständen ist es jedenfalls nicht geradezu willkürlich, wenn die Vorinstanzen der Beschwerdegegnerin die auf das Anwaltshonorar geleistete beziehungsweise zu leistende Mehrwertsteuer zugesprochen haben.
4.4.5. Die angefochtene Entschädigungsregel hält somit vor dem Willkürverbot stand.
5.
Die Beschwerde ist abzuweisen, soweit darauf eingetreten werden kann. Dem Ausgang des Verfahrens entsprechend wird der Beschwerdeführer kosten- und entschädigungspflichtig (siehe Art. 66 Abs. 1 und Art. 68 Abs. 2 BGG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 1'500.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3.
Der Beschwerdeführer hat die Beschwerdegegnerin für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 2'000.-- zu entschädigen.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Schaffhausen schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 30. Oktober 2017
Im Namen der I. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Kiss
Der Gerichtsschreiber: Kölz