Sachverhalt:
A.
A._ und B._ sind die unverheirateten und getrennt lebenden Eltern des C._ (geb. 2009), der von Gesetzes wegen unter der alleinigen elterlichen Sorge der Mutter stand.
Am 30. Juni 2014 stellte der Kindsvater bei der zuständigen Kindes- und Erwachsenenschutzbehörde (KESB) den Antrag auf Zusprechung der gemeinsamen elterlichen Sorge, die diesem Ansinnen gegen den Widerstand der Mutter mit Entscheid vom 13. August 2015 entsprach.
B.
Dagegen wandte sich die Mutter am 13. August 2015 an das Verwaltungsgericht des Kantons Solothurn, mit dem Antrag, ihr sei das alleinige Sorgerecht zu belassen. Mit Urteil vom 10. Februar 2016 wies das Verwaltungsgericht die Beschwerde ab.
C.
Am 17. März 2016 gelangt A._ (Beschwerdeführerin) an das Bundesgericht mit dem Antrag, es sei ihr die alleinige elterliche Sorge über den Sohn C._ zu belassen.
Mit Verfügung vom 15. April 2016 hat der Präsident der urteilenden Abteilung der Beschwerde die aufschiebende Wirkung zuerkannt.
Das Bundesgericht hat die Akten, zur Hauptsache aber keine Vernehmlassungen eingeholt.

Erwägungen:
1.
1.1. Angefochten ist der kantonal letztinstanzliche Endentscheid über eine auf <ref-law> i.V.m. <ref-law> gestützte Regelung der elterlichen Sorge; die Beschwerde in Zivilsachen ist gegeben (Art. 72 Abs. 1, Art. 75 Abs. 1 und Art. 90 BGG).
1.2. Zulässig sind rechtliche Vorbringen im Sinn von Art. 95 f. BGG. Hingegen ist die verwaltungsgerichtliche Sachverhaltsfeststellung für das Bundesgericht grundsätzlich verbindlich (<ref-law>). Wird eine Sachverhaltsfeststellung beanstandet, muss in der Beschwerdeschrift mit klar und detailliert erhobenen und soweit möglich belegten Rügen (<ref-ruling> E. 2.2 S. 246) dargetan werden, inwiefern diese Feststellung offensichtlich unrichtig und damit willkürlich ist und inwiefern die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein kann (Art. 97 Abs. 1 i.V.m. <ref-law>; <ref-ruling> E. 1.5 S. 129 f.; <ref-ruling> E. 4.2 S. 234).
2.
Aufgrund der am 1. Juli 2014 in Kraft getretenen Gesetzesnovelle (AS 2014 357) bildet die gemeinsame elterliche Sorge den Grundsatz und die Alleinzuteilung derselben bzw. die Belassung der alleinigen elterlichen Sorge die eng begrenzte Ausnahme. In seiner Rechtsprechung hat das Bundesgericht Kriterien aufgestellt, die erfüllt sein müssen, um ein Abweichen vom Grundsatz des gemeinsamen elterlichen Sorgerechts zu rechtfertigen (<ref-ruling> E. 4.6 und 4.7 S. 478; <ref-ruling> E. 3.3 S. 5; <ref-ruling> E. 3 S. 63; <ref-ruling>97 E. 3.5 und 3.7 S. 199; vgl. sodann Rechtsprechungsübersicht in den Urteilen 5A_81/2016 E. 5, 5A_89/2016 E. 4 und 5A_186/2016 E. 4, je vom 2. Mai 2016). Diese können insbesondere bei einem schwerwiegenden elterlichen Dauerkonflikt oder bei anhaltender Kommunikationsunfähigkeit erfüllt sein. Dabei muss sich der Konflikt oder die Kommunikationsunfähigkeit auf die Kinderbelange als Ganzes beziehen; ein Konflikt oder eine Kommunikationsunfähigkeit hinsichtlich einzelner Fragen genügt nicht und schon gar nicht genügt, wenn sich der Streit ausschliesslich um die Regelung des Sorgerechts dreht. Ausserdem muss sich der Dauerkonflikt und/oder die Kommunikationsunfähigkeit negativ auf das Kindeswohl auswirken. Die abstrakte Feststellung, das Kind befinde sich in einem Loyalitätskonflikt, genügt nicht, denn dieser führt nicht in jedem Fall zu einer Beeinträchtigung des Kindeswohls, welche ein Eingreifen erforderlich erscheinen lässt; vielmehr hängen die Auswirkungen des Loyalitätskonfliktes von der Konstitution des Kindes selbst (Ambivalenz- und Abgrenzungsfähigkeit) und vom Verhalten der Eltern diesem gegenüber ab. Erforderlich ist daher eine konkrete Feststellung, in welcher Hinsicht das Kindeswohl beeinträchtigt ist bzw. sein würde. Schliesslich ist die Alleinzuteilung nur dann zulässig, wenn diese geeignet ist, die festgestellte Beeinträchtigung des Kindeswohls zu beseitigen oder zumindest zu lindern. Geht es, wie hier, um die auf <ref-law> gestützte Anordnung des gemeinsamen Sorgerechts, ist unter diesem Gesichtspunkt nur dann davon abzusehen, wenn eine aufgrund der Streitereien auf Elternebene bestehende Beeinträchtigung des Kindeswohls in entscheidender Weise verstärkt würde (Urteil 5A_186/2016 vom 2. Mai 2016 E. 4).
3.
Bezogen auf die soeben dargelegten Grundsätze lassen sich dem angefochtenen Entscheid folgende Feststellungen tatsächlicher Art entnehmen: Die Eltern stehen in vielen den Sohn betreffenden Belangen in einem Dauerkonflikt, der bereits seit Geburt des Kindes bestehe. Indessen seien die Eltern grundsätzlich in der Lage, miteinander höflich zu kommunizieren, was sich aus den zahlreichen, aktenkundigen Briefwechseln und dem vom Vater eingereichten SMS-Verkehr ergebe. Daraus sei auch ersichtlich, dass sich die Eltern gegenseitig über spezifische Bedürfnisse des Sohnes und auftretende Probleme informierten. Auch wenn die Eltern gerade in Erziehungsfragen und beispielsweise betreffend Freizeitaktivitäten unterschiedliche Meinungen hätten, sollte das bestehende Fundament reichen, um ein gemeinsames Sorgerecht zum Wohl des Kindes ausüben zu können (angefochtener Entscheid E. 4.5 S. 13). Hinsichtlich der gesundheitlichen Verfassung des Sohnes verweist das Verwaltungsgericht auf ein kinderpsychiatrisches Gutachten vom 4. Juli 2012, wonach jener ein altersentsprechend entwickelter (dreijähriger) Knabe sei, weder eine psychiatrische oder anderweitige Entwicklungsstörung aufweise noch sonstwie aussergewöhnliche Erziehungsanforderungen stelle und schliesslich aufgrund des Beziehungsverhaltens davon auszugehen sei, dass zu beiden Elternteilen eine tragende und schützenswerte Bindung bestehe (angefochtener Entscheid E. 4.4). Zwei Jahre später wurde beim Sohn ein Asperger-Syndrom - eine Entwicklungsstörung (ICD 10 F84.5) - diagnostiziert; ein umfassendes Gutachten hiezu wurde mit Verfügung der KESB vom 22. September 2015 angeordnet und war im Zeitpunkt des angefochtenen Entscheids noch ausstehend. Schliesslich erwog das Verwaltungsgericht, dass sich die alleinige Sorge nicht bewährt habe (angefochtener Entscheid E. 4.5 in fine).
4.
Die Beschwerdeführerin macht in mehrfacher Hinsicht offensichtlich unrichtige bzw. auf einer Rechtsverletzung i.S.v. <ref-law> beruhende Sachverhaltsfeststellung geltend.
4.1. Zunächst kritisiert sie die auf antizipierter Beweiswürdigung beruhende Ablehnung von Beweisanträgen (Einholung von Erkundigungen bei Arzt-, Schul- und weiteren Fachpersonen sowie bei der Beiständin) durch das Verwaltungsgericht.
4.1.1. Die Vorinstanz erklärt in E. 2 des angefochtenen Entscheids, es sei nicht ersichtlich, welche zusätzlichen Erkenntnisse, die nicht bereits Eingang in Rechtsschriften und Akten gefunden haben, aus den amtlichen Erkundigungen und Befragungen hervorgehen könnten, weshalb auf deren Erhebung zu verzichten sei.
Die Beschwerdeführerin führt demgegenüber aus, es dürfe davon ausgegangen werden, dass die beantragten Befragungen bzw. die Berichte im Hinblick auf die Bindungstoleranz der Elternteile sowie für eine fundierte Prognose bezüglich der möglichen Auswirkungen der gemeinsamen elterlichen Sorge entscheidrelevante Sachverhalte ergeben hätten.
4.1.2. Lehnt das Gericht die Abnahme eines offerierten Beweises mit der Begründung ab, dieser sei zur Erhärtung des Standpunktes der antragstellenden Partei ungeeignet, so liegt eine antizipierte Beweiswürdigung vor. Diese kann lediglich wegen Willkür angefochten werden (<ref-ruling> E. 2.6 S. 24 f.; <ref-ruling> E. 4.3.2 S. 376). Der Beschwerdeführer muss demnach in einem ersten Schritt darlegen, inwiefern das Kantonsgericht den Sachverhalt unvollständig und daher offensichtlich falsch festgestellt hat. Ausserdem muss der Beschwerdeführer diejenigen Tatsachen behaupten, die das Gericht festzustellen bzw. abzuklären unterlassen hat. Schliesslich obliegt es ihm darzutun, inwiefern die behaupteten Tatsachen für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sind (s. Urteil 5A_574/2012 vom 17. Dezember 2012 E. 2.2.1).
4.1.3. Mit der blossen Behauptung, die Befragung von Zeugen und die Einholung von Berichten wären geeignet gewesen, zusätzliche entscheidrelevante Sachverhalte zu erschliessen, lässt sich keine Willkür dartun. Namentlich legt die Beschwerdeführerin nicht dar, in welcher Hinsicht die Vorinstanz den Sachverhalt unvollständig festgestellt haben soll; eben so wenig erläutert sie, inwiefern die zusätzlichen Sachverhaltselemente für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein könnten. Darauf ist nicht einzutreten.
4.2. Sodann wirft die Beschwerdeführerin dem Verwaltungsgericht Widersprüchlichkeit vor. Einerseits halte dieses fest, der elterliche Konflikt sei erheblich und dauernd, und andererseits führe es aus, die Eltern verfügten über ein solides Fundament, um das gemeinsame Sorgerecht zum Wohl des Kindes ausüben zu können. Bei der zweiten müsse es sich um eine irrige Feststellung handeln, welche zur Begründung des angefochtenen Entscheids nicht herangezogen werden könne.
Entgegen der Auffassung der Beschwerdeführerin sind die beiden Feststellungen keineswegs widersprüchlich, denn die eine beschlägt den Elternkonflikt als solchen und die andere die Kommunikation unter den Eltern. Wenn die Eltern unterschiedliche Auffassungen in Kinderbelangen haben und insofern in einem Konflikt stehen, folgt daraus nicht zwingend, dass sie auch nicht miteinander kommunizieren können. Willkür in der Sachverhaltsfeststellung ist nicht ersichtlich.
5.
Die Beschwerdeführerin wirft dem Verwaltungsgericht zumindest sinngemäss vor, ihre angeblich mangelnde Bindungstoleranz als Hauptargument für die Anordnung der gemeinsamen elterlichen Sorge verwendet zu haben.
Es trifft wohl zu, dass das Verwaltungsgericht ausführt, die Rechtsprechung messe der Bindungstoleranz eine wichtige Bedeutung zu, und dass es erwog, der Vater habe bis anhin etwas mehr Bereitschaft gezeigt, mit der Mutter in Kinderbelangen zusammenzuarbeiten als umgekehrt. Indes kann keine Rede davon sein, dass das Verwaltungsgericht gleichsam ausschliesslich auf diesen Umstand abgestellt hätte. Es kann hiezu auf die in E. 3 hiervor wiedergegebenen Sachverhaltsfeststellungen verwiesen werden.
Damit ist dem weiteren Vorhalt der Beschwerdeführerin, das Verwaltungsgericht habe zu Unrecht auf zwei Gutachten aus den Jahren 2011 und 2012, in denen von einer mangelnden Bindungstoleranz der Mutter die Rede ist, abgestellt, die Grundlage entzogen. Darauf ist nicht weiter einzugehen.
6.
Schliesslich beanstandet die Beschwerdeführerin die Feststellung des Verwaltungsgerichts, die Alleinsorge habe sich bisher nicht bewährt, insofern, als damit gemeint sei, die Alleinsorge mildere den Konflikt nicht und die gemeinsame elterliche Sorge könne sich positiv auf das Verhältnis der Eltern auswirken. Die gemeinsame elterliche Sorge würde sich im vorliegenden Fall gegenteils dazu führen, dass die KESB oder das Gericht andauernd Entscheidungen treffen müssten, für welche es bei gemeinsamer Sorge einer elterlichen Einigung bedarf. Ihre Prognose basiere auf der jahrelangen Erfahrung der Beiständin und den bisherigen Verfahren. Gerade die Auseinandersetzung im Zusammenhang mit der Gesundheit des Sohnes und der Schulsituation zeige, dass damit wichtige Entscheide verzögert würden.
Wie bereits ausgeführt (vgl. E. 3 oben) ist von einer auf <ref-law> gestützten Anordnung des gemeinsamen Sorgerechts nur dann abzusehen, wenn eine aufgrund der Streitereien auf Elternebene bestehende Beeinträchtigung des Kindeswohls in entscheidender Weise verstärkt würde (Urteil 5A_186/2016 vom 2. Mai 2016 E. 4). Die Beschwerdeführerin belässt es mit der Behauptung, der elterliche Streit würde durch die Anordnung der gemeinsamen Obhut nicht gemildert; es ist aber nicht einzusehen, inwiefern das Kindeswohl dadurch stärker beeinträchtigt würde. Der Einwand erweist sich als unbegründet.
7.
Zusammengefasst erweist sich die Beschwerde als unbegründet. Sie ist abzuweisen, soweit auf sie eingetreten werden kann. Die Gerichtskosten sind der Beschwerdeführerin aufzuerlegen (<ref-law>). Der Gegenpartei ist kein entschädigungspflichtiger Aufwand entstanden.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit auf sie einzutreten ist.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 2'000.-- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird den Parteien, der Kindes- und Erwachsenenschutzbehörde Dorneck-Thierstein/Thal-Gäu und dem Verwaltungsgericht des Kantons Solothurn schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 16. November 2016
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: von Werdt
Der Gerichtsschreiber: Möckli