Sachverhalt:
A.
A.a. Am 19. November 2012 verbeiständete das Bezirksgericht Aarau, Familiengericht, als Erwachsenenschutzbehörde die am 2. März 1934 geborene B._ (Betroffene). Zum Beistand ernannte es deren Sohn A._. Mit Entscheid vom 17. Juli 2014 überführte es die altrechtliche Beistandschaft in eine Vertretungsbeistandschaft mit Vermögensverwaltung gemäss Art. 394 und 395 ZGB. Gleichzeitig bestätigte es A._ in seinem Amt und übertrug ihm unter anderem die Aufgabe, B._ bei der Erledigung ihrer administrativen Angelegenheiten, insbesondere auch im Verkehr mit Behörden und Ämtern, sowie bei der Erledigung ihrer finanziellen Angelegenheiten zu vertreten und ihr Einkommen und Vermögen zu verwalten.
A.b. Mit Entscheid vom 13. Oktober 2015 (nachträglich begründet und eröffnet am 4. Februar 2016) führte das Familiengericht die Beistandschaft weiter, bestätigte A._ in seinem Amt, legte dessen Entschädigung fest und genehmigte den Bericht für die Rechnungsperiode vom 1. November 2012 bis 30. November 2014. Gleichzeitig hielt es in Ziffer 4 des Dispositivs fest, was folgt:
"Es wird festgestellt, dass das in Gold angelegte Vermögen nicht den Bestimmungen der Verordnung über die Vermögensverwaltung im Rahmen einer Beistandschaft oder Vormundschaft [VBVV] entspricht. Zudem wäre für die Käufe von Gold vom 5. Juli 2013 die Zustimmung der Kindes- und Erwachsenenschutzbehörde erforderlich gewesen [...].
Der Beistand wird aufgefordert, das Vermögen von B._ gemäss den Bestimmungen der VBVV anzulegen. Der Beistand hat den Nachweis der ordnungsgemässen Vermögensanlage bis zum 15. November 2015 gegenüber dem Familiengericht Aarau zu erbringen."
B.
Am 7. März 2016 erhob A._ gegen Ziffer 4 des Entscheids des Familiengerichts Beschwerde beim Obergericht des Kantons Aargau. Dieses wies die Beschwerde mit Entscheid vom 24. Mai 2016 (eröffnet am 8. Juni 2016) ab. Die Frist zum Nachweis einer vorschriftsmässigen Anlage des Vermögens von B._ verlängerte es bis zum 31. Juli 2016.
C.
Mit Beschwerde in Zivilsachen vom 6. Juli 2016 gelangt A._ (Beschwerdeführer) ans Bundesgericht. Er beantragt, der Entscheid des Obergerichts vom 24. Mai 2016 sei aufzuheben und es sei die Frist zum Nachweis der vorschriftsmässigen Vermögensanlage neu zu bestimmen. Eventuell sei die Sache in Aufhebung des angefochtenen Entscheids zur Neubestimmung der Frist an das Obergericht zurückzuweisen. Ausserdem ersucht A._ darum, der Beschwerde die aufschiebende Wirkung beizumessen.
Das Bundesgericht hat die Akten des Verfahrens eingeholt. Mit Verfügung vom 21. Juli 2016 hat es der Beschwerde die aufschiebende Wirkung zuerkannt. Mit Eingaben vom 21. November 2016 verzichten das Bezirksgericht und das Obergericht auf eine Vernehmlassung.

Erwägungen:
1.
1.1. Umstritten ist die Frist zur Erbringung des Nachweises der vorschriftsgemässen Anlage des Vermögens der Betroffenen und damit der zeitliche Aspekt der angeordneten Massnahme im Bereich des Erwachsenenschutzes. Angefochten ist damit ein Endentscheid einer letzten kantonalen Instanz, die als oberes Gericht in einer öffentlich-rechtlichen Angelegenheit in unmittelbarem Zusammenhang mit dem Zivilrecht entschieden hat (Art. 72 Abs. 2 Bst. b Ziff. 6, Art. 75 und 90 BGG). Die Beschwerde verfolgt einen wirtschaftlichen Zweck, womit die Streitsache vermögensrechtlicher Natur ist (vgl. <ref-ruling> E. 6.1 S. 149 mit zahlreichen Hinweisen). Nach Darstellung des Beschwerdeführers droht dem verwalteten Vermögen ein Verlust von Fr. 44'000.--, erwächst der angefochtene Entscheid in Rechtskraft (Beschwerde, Ziff. I.3 S. 3). Das Streitwerterfordernis von Art. 74 Abs. 1 Bst. b BGG ist damit erfüllt (Art. 51 Abs. 1 Bst. a und Abs. 2 BGG, vgl. auch angefochtener Entscheid, S. 11).
1.2. Auf die Beschwerde kann nur eingetreten werden, wenn der Beschwerdeführer zur Beschwerde berechtigt ist. Ob dies der Fall ist, prüft das Bundesgericht von Amtes wegen und mit freier Kognition (<ref-law>; <ref-ruling> E. 2.1 S. 397; <ref-ruling> E. 1 S. 133). Gleichwohl obliegt es dem Beschwerdeführer, seine Eingabe auch bezüglich der formellen Eintretensvoraussetzungen zu begründen, wenn deren Erfüllung unklar oder nicht sofort feststellbar ist (<ref-law>; <ref-ruling> E. 4 S. 95).
1.2.1. Die Frage der Beschwerdeberechtigung beurteilt sich im Verfahren vor Bundesgericht auch im Bereich des Erwachsenenschutzes allein nach <ref-law> (Urteile 5A_787/2015 vom 3. März 2016 E. 1.2 und 5A_729/2015 vom 17. Juni 2016 E. 2.2.2). Demnach ist zur Beschwerde in Zivilsachen berechtigt, wer vor der Vorinstanz am Verfahren teilgenommen oder keine Möglichkeit zur Teilnahme erhalten hat (Bst. a) und durch den angefochtenen Entscheid besonders berührt ist und ein schutzwürdiges Interesse an dessen Aufhebung oder Änderung hat (Bst. b). Das schutzwürdige Interesse setzt voraus, dass die Beschwerde führende Person einen praktischen Nutzen an der Gutheissung der Beschwerde hat, wobei dieser Nutzen materieller oder ideeller Natur sein kann (<ref-ruling> E. 1.2.2 S. 539).
1.2.2. Der Beschwerdeführer hat am vorinstanzlichen Verfahren teilgenommen, sodass die erste Voraussetzung von <ref-law> erfüllt ist. Fraglich ist allerdings, ob er ein schutzwürdiges Interesse an der Beschwerdeführung geltend zu machen vermag. Der Beschwerdeführer verweist diesbezüglich auf sein Amt als (Vertretungs-) Beistand der Betroffenen (Beschwerde, Ziff. I.4 S. 3). In dieser Stellung ist ihm die Verwaltung des Vermögens der Betroffenen und deren Vertretung in administrativen Angelegenheiten übertragen (vorne Bst. A.a; Art. 391 Abs. 2, Art. 394 und 395 ZGB). Er ist damit in dem hier interessierenden Bereich gesetzlicher Vertreter der Betroffenen und kann auch gegen ihren Willen mit Wirkung für diese handeln (HELMUT HENKEL, in: Basler Kommentar, Zivilgesetzbuch I, 5. Aufl. 2014, N. 1, 18 und 20 zu <ref-law> sowie N. 1 f. zu <ref-law>; PHILIPPE MEIER, Droit de la protection de l'adulte, 2016, S. 405 f. Rz. 818 ff. und S. 411 ff. Rz. 837 ff.). Die umstrittene Anordnung betrifft folglich einen zentralen Bereich der Aufgabe des Beschwerdeführers als Beistand für die Vermögensverwaltung. Weiter widerspricht die derzeitige Anlagesituation unbestritten den geltenden Vorschriften und hat der Beschwerdeführer diese Vermögenslage ohne die notwendige Zustimmung der Erwachsenenschutzbehörde herbeigeführt (vorne Bst. A.b und hinten E. 2.1). Sollte für das verwaltete Vermögen ein Verlust entstehen (vgl. E. 1.1 hiervor sowie hinten E. 2.4), hätte daher der Beschwerdeführer hierfür gegebenenfalls einzustehen (<ref-law> i.V.m. § 31 des Gesetzes [des Kantons Aargau] vom 16. Mai 2000 über die Grundzüge des Personalrechts [Personalgesetz, PersG; SAR 165.100]). Unter diesen Umständen vermag der Beschwerdeführer ein hinreichendes schutzwürdiges Interesse an der Beschwerdeführung geltend zu machen (vgl. dagegen Urteil 5A_787/2015 vom 3. März 2016 E. 1.2.2 bezüglich einer nicht im übertragenen Aufgabenbereich betroffenen Beistandsperson).
1.3. Auf die auch fristgerecht erhobene Beschwerde (<ref-law>) ist nach dem Ausgeführten einzutreten.
2.
2.1. Die Vorinstanz hielt fest, rund drei Viertel des Vermögens der Betroffenen seien in Gold angelegt. Diese Vermögensanlage entspreche nicht den geltenden Vorschriften, weshalb die Erstinstanz zu Recht ihre Umwandlung in vorschriftsmässige Anlagen angeordnet habe. Die erstinstanzlich angesetzte Frist zur Umwandlung sei aufgrund der aufschiebenden Wirkung des Rechtsmittels neu anzusetzen. Angemessen sei eine Frist bis zum 31. Juli 2016, mithin von rund zwei Monaten (angefochtener Entscheid, E. 5 S. 7 ff.). Der Beschwerdeführer bestreitet nicht, dass die derzeitige Vermögenssituation der Betroffenen den geltenden Bestimmungen widerspricht. Er wendet aber ein, der Verkauf des Goldes innert der von der Vorinstanz angesetzten Frist sei mit erheblichen Verlusten verbunden. Die Vorinstanz verlange daher eine Umwandlung zur Unzeit, womit sie Bundesrecht verletze (Beschwerde, Ziff. II S. 6 ff.).
2.2. Strittig und nachfolgend zu prüfen ist damit nicht die Anordnung der Umwandlung der Vermögenswerte der Betroffenen, sondern die Frist, innert der diese Umwandlung vorzunehmen ist. Die entsprechende Anweisung der Erwachsenenschutzbehörde stützt sich auf <ref-law>. Demnach trifft die Behörde im Zusammenhang mit der Prüfung der Rechnung und des Berichts der Beistandsperson nötigenfalls Massnahmen, die zur Wahrung der Interessen der betroffenen Person angezeigt sind. Die Wahl der richtigen Massnahme hängt von den Umständen des Einzelfalls ab (URS VOGEL, in: Basler Kommentar, Zivilgesetzbuch I, 5. Aufl. 2014, N. 18 zu <ref-law>; ERNST LANGENEGGER, in: Rosch/Büchler/Jakob [Hrsg.], Erwachsenenschutzrecht, 2. Aufl. 2015, N. 5 zu <ref-law>), womit der Behörde ein weiter Ermessensspielraum zukommt (<ref-law>). Das Bundesgericht auferlegt sich bei der Prüfung von Ermessensentscheiden Zurückhaltung. Es schreitet nur ein, wenn die Behörde von dem ihr zustehenden Ermessen falschen Gebrauch gemacht hat. Das ist namentlich der Fall, wenn sie grundlos von in Rechtsprechung und Lehre anerkannten Grundsätzen abgewichen ist, wenn sie Gesichtspunkte berücksichtigt hat, die für den Entscheid im Einzelfall keine Rolle hätten spielen dürfen, oder wenn sie Umstände nicht in Betracht gezogen hat, die hätten beachtet werden müssen. Das Bundesgericht greift ausserdem in Ermessensentscheide ein, die sich im Ergebnis als offensichtlich unbillig, als in stossender Weise ungerecht erweisen (<ref-ruling> E. 1 S. 99; <ref-ruling> E. 4.2 S. 15; Urteil 5A_904/2015 vom 29. September 2016 E. 3.2.5, zur Publikation vorgesehen).
2.3. Gemäss <ref-law> verwaltet die Beistandsperson die Vermögenswerte der verbeiständeten Person sorgfältig und nimmt alle Rechtsgeschäfte vor, die mit der Verwaltung zusammenhängen. Der Bundesrat erlässt Bestimmungen über die Anlage und die Aufbewahrung des Vermögens (<ref-law>). Erfüllen Vermögensanlagen, die im Zeitpunkt der Errichtung der Beistandschaft bestehen, und Vermögenswerte, die der betroffenen Person nach diesem Zeitpunkt zufliessen, die gesetzlichen Anlagevoraussetzungen nicht, so müssen sie innert angemessener Frist in zulässige Anlagen umgewandelt werden (vgl. Art. 8 Abs. 1 der Verordnung vom 4. Juli 2012 über die Vermögensverwaltung im Rahmen einer Beistandschaft oder Vormundschaft [VBVV; SR 211.223.11]). Bei der Umwandlung sind die Wirtschaftsentwicklung, die persönlichen Verhältnisse und soweit möglich der Wille der betroffenen Person zu berücksichtigen (<ref-law>). Hierdurch soll insbesondere sichergestellt werden, dass die Umwandlung nicht zur Unzeit erfolgt, sondern unter Wahrung der Interessen der betroffenen Person. Damit knüpft der Verordnungsgeber an aArt. 402 Abs. 2 ZGB (in der Fassung vom 10. Dezember 1907 [AS 1908 233 ff., 338]) an, der eben diesen Wortlaut aufwies (Eidgenössisches Justiz- und Polizeidepartement, Begleitbericht zur VBVV, 2011, S. 5; CHRISTOPH HÄFELI, in: Büchler/Häfeli/Leuba/Stettler [Hrsg.], FamKomm Erwachsenenschutz, 2013, N. 16 zu <ref-law>; derselbe, in: Rosch/Büchler/Jakob [Hrsg.], Erwachsenenschutzrecht, 2. Aufl. 2015, N. 16 zu <ref-law>; MEIER, a.a.O., Rz. 1027 und 1040). Zum Verständnis von <ref-law> kann daher auf die Rechtsprechung und Lehre zu aArt. 402 Abs. 2 ZGB zurückgegriffen werden. Demnach erfolgt eine Umwandlung insbesondere dann zur Unzeit, wenn sie zu einem Zeitpunkt vorgenommen wird, in dem eine bestehende Anlage nur mit Verlust veräussert werden kann. Jedenfalls bei sicheren Anlagen ist in dieser Situation ein Zuwarten geboten. Anderes kann demgegenüber bei unsicheren Anlagen gelten: Hier rechtfertigt sich gegebenenfalls auch ein "Verkauf um jeden Preis", mithin ein Verkauf mit Verlust. Der Entscheid über den richtigen Zeitpunkt hängt damit von der Beurteilung der Marktentwicklung ab; ein sofortiger Verkauf ist eher geboten, wenn bei einer späteren Veräusserung höhere Verluste zu erwarten sind (BGE 48 II 428 E. 2 S. 431 und E. 3 S. 433; Konferenz der kantonalen Vormundschaftsbehörden [VBK], Empfehlungen für die Vermögensanlage im Rahmen von vormundschaftlichen Mandaten, Ziff. 5, in: ZVW 2001 S. 332 ff., 335; AUGUST EGGER, in: Zürcher Kommentar, 2. Aufl. 1948, N. 4 zu aArt. 402 ZGB; JOSEPH KAUFMANN, in: Berner Kommentar, 2. Aufl. 1924, N. 8 zu aArt. 402 ZGB; ALBERT GULER, in: Basler Kommentar, Zivilgesetzbuch I, 4. Aufl. 2010, N. 4 zu aArt. 402 ZGB; MEIER, a.a.O., Rz. 1040; vgl. auch BGE 78 II 338 E. 6 S. 347).
2.4. Wie bereits vor Obergericht bringt der Beschwerdeführer auch vor Bundesgericht vor, dass der Verkauf des Goldes innert der von den kantonalen Behörden angesetzten Fristen zu einem erheblichen Verlust führen würde. Bei einem Verkauf per 1. Juli 2016 würde dieser Verlust Fr. 36'280.-- betragen, was 8,25 % des Gesamtvermögens der Betroffenen bzw. 9,82 % des ursprünglichen Anlagewerts entspreche (Beschwerde, Ziff. II.14 S. 8; Beschwerde vom 7. März 2016, Ziff. II.18 f. S. 11 f. [act. 10]). Die Vorinstanz geht im Ergebnis ebenfalls davon aus, dass die Umwandlung der Goldanlage derzeit nur unter (nicht unerheblichen) Verlusten möglich ist (angefochtener Entscheid, E. 2.2 S. 4 und E. 5.2 S. 9). Trotz dieser Ausgangslage beleuchtet das Obergericht die erstinstanzliche Fristbestimmung nicht weiter und beschränkt sich bei der Neufestsetzung der Frist auf die Feststellung, die Umwandlung des Vermögens bis zum 31. Juli 2016 sei "angemessen". Mit <ref-law> und der Frage, ob der Verkauf gegebenenfalls zur Unzeit erfolgt, setzt es sich nicht auseinander. Hierzu hätte umso mehr Anlass bestanden, als die Vorinstanz selbst ausführt, eine Vermögensanlage in Gold scheine sich aufgrund der Wirtschaftslage derzeit zu empfehlen. Auch habe sich die Kursentwicklung im Laufe des bisherigen Verfahrens zugunsten des verwalteten Vermögens ausgewirkt (zum Ganzen angefochtener Entscheid, E. 5.2 S. 9). Von einer unsicheren Anlage, die einen Verkauf um jeden Preis nahelegen würde, ist demnach nicht auszugehen. Damit hat das Obergericht die massgebende Bestimmung und die einschlägigen Grundsätze zur Umwandlung nicht vorschriftsmässiger Vermögenswerte nicht beachtet und folglich ihr Ermessen rechtsfehlerhaft ausgeübt.
3.
3.1. Die Beschwerde erweist sich nach dem Ausgeführten als begründet. Im Gegensatz zum vorinstanzlichen Verfahren war vor Bundesgericht nur die Frist zur Umwandlung der Vermögensanlage und nicht die Umwandlungspflicht als solche bestritten (vorne E. 2.1 und 2.2). Anders als der Beschwerdeführer beantragt, ist damit nicht der gesamte angefochtene Entscheid, sondern sind einzig die Ziffer 1, soweit die Fristansetzung betroffen ist, sowie die Ziffern 2-4 aufzuheben. Weiter ist es nicht Aufgabe des Bundesgerichts, die Umwandlungsfrist unter erstmaliger Berücksichtigung der vorstehend dargelegten Grundsätze und falls notwendig unter Vervollständigung des Sachverhalts neu zu bestimmen. Die Sache ist daher entsprechend dem Eventualantrag des Beschwerdeführers zum erneuten Entscheid über die Frist an die Vorinstanz zurückzuweisen (<ref-law>).
3.2. Die Beschwerde ist damit nur teilweise gutzuheissen. In der Sache obsiegt der Beschwerdeführer aber vollständig. Entsprechend sind keine Gerichtskosten zu erheben (Art. 66 Abs. 1 und 4 BGG) und hat der Kanton Aargau dem Beschwerdeführer die Parteikosten zu ersetzen (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird teilweise gutgeheissen, die Ziffer 1, soweit die Frist zur Umwandlung der Goldanlage betroffen ist, sowie die Ziffern 2-4 des Entscheids des Obergerichts des Kantons Aargau, Kammer für Kindes- und Erwachsenenschutz, vom 24. Mai 2016 werden aufgehoben und die Sache wird zum erneuten Entscheid über die Umwandlungsfrist an dieses zurückgewiesen. Weitergehend wird die Beschwerde abgewiesen.
2.
Es werden keine Gerichtskosten erhoben.
3.
Der Kanton Aargau hat den Beschwerdeführer für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 3'000.-- zu entschädigen.
4.
Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten und dem Obergericht des Kantons Aargau, Kammer für Kindes- und Erwachsenenschutz, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 19. Dezember 2016
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: von Werdt
Der Gerichtsschreiber: Sieber