Fatti:
A.
A.a. Nel 2000 la Banca B._SA ha assunto A._, divenuto in seguito responsabile del settore ricerche. Il 10 dicembre 2008 la banca e il suo dipendente hanno stipulato una convenzione in cui quest'ultimo si è addossato parte dell'eventuale danno causato dalla sua gestione ad alcuni clienti. Il 29 dicembre seguente le parti hanno firmato un addendum, con cui è stata estesa la responsabilità del dipendente e un nuovo contratto di lavoro. Il 30 marzo 2009 la banca ha disdetto il rapporto di lavoro per il 30 settembre 2009 e il 4 maggio 2009 ha licenziato il dipendente con effetto immediato per motivi gravi.
A.b. Con petizione 6 settembre 2011 A._ ha convenuto in giudizio innanzi al Pretore del distretto di Lugano la Banca B._SA, chiedendo che questa fosse condannata a pagargli fr. 437'660.40 (fr. 60'000.-- per il prelievo effettuato sulla base della convenzione 10 dicembre 2008, fr. 40'000.-- a titolo di bonus per l'anno 2008, fr. 30'326.20 quale indennità per la differenza di salario da gennaio ad aprile 2009, fr. 1'170.-- d'interessi, fr. 75'529.20 di salario netto da maggio a settembre 2009, fr. 90'635.-- d'indennità ex <ref-law> e fr. 140'000.-- di risarcimento danni). Il 6 novembre 2012 il Pretore aggiunto ha respinto, in accoglimento dell'eccezione d'incompetenza materiale fondata sulla clausola compromissoria contenuta nella suddetta convenzione, l'azione limitatamente all'importo prelevato dal conto dell'attore e al bonus per il 2008. Con sentenza 5 giugno 2014 egli ha respinto la petizione anche con riferimento alle altre richieste.
B.
L'appello presentato da A._ è stato respinto, nella misura in cui era ammissibile, dalla II Camera civile del Tribunale di appello del Cantone Ticino con sentenza 2 febbraio 2016. La Corte cantonale ha ritenuto che il lavoratore aveva sollevato in modo irrito e non aveva provato di aver sottoscritto sotto minaccia il contratto di lavoro del 2008. Ha poi considerato che il licenziamento con effetto immediato è avvenuto per un motivo grave.
C.
Con ricorso in materia civile del 14 marzo 2016 A._ postula, previo conferimento dell'effetto sospensivo al gravame, in via principale la riforma della sentenza impugnata nel senso che la petizione sia interamente accolta. In via subordinata chiede che, dopo l'annullamento della sentenza cantonale, l'incarto sia ritornato all'autorità inferiore per nuova decisione. Afferma di aver sostanziato che la sottoscrizione del nuovo contratto era avvenuta sotto minaccia e ritiene il licenziamento in tronco ingiustificato. Termina sostenendo che i giudici di appello sono rimasti silenti con riferimento a due critiche.
La Banca B._SA ha proposto con risposta 21 aprile 2016 di respingere sia la richiesta di conferimento dell'effetto sospensivo che il ricorso.
Con decreto del 26 aprile 2016 la Presidente della Corte adita ha respinto la domanda di conferimento dell'effetto sospensivo.

Diritto:
1.
Il ricorso è presentato dalla parte soccombente nella procedura cantonale (<ref-law>), è tempestivo (<ref-law>) ed è volto contro una sentenza finale (<ref-law>) emanata su ricorso dall'autorità ticinese di ultima istanza (<ref-law>) in una causa civile (<ref-law>) in materia di diritto del lavoro con un valore litigioso superiore a fr. 15'000.-- (<ref-law>). Sotto questo profilo esso è ammissibile.
2.
Il Tribunale federale applica d'ufficio il diritto federale (<ref-law>). Tuttavia, tenuto conto dell'onere di allegazione e motivazione imposto dall'art. 42 cpv. 1 e 2 LTF, di regola esso considera solo gli argomenti proposti nell'atto di ricorso (<ref-ruling> consid. 2; <ref-ruling> consid. 1.1). Quest'ultimo dev'essere sufficientemente motivato, pena la sua inammissibilità. Indispensabile, con riferimento all'<ref-law>, si rivela il confronto con la motivazione della sentenza impugnata. Il ricorrente deve mostrare in che modo questa violerebbe il diritto federale (<ref-ruling> consid. 2). Il Tribunale federale esamina la violazione di diritti costituzionali soltanto se la parte ricorrente ha sollevato e partitamente motivato tale censura (<ref-law>). Ciò significa che essa deve spiegare in modo chiaro e dettagliato, alla luce dei considerandi della sentenza impugnata, in che misura sarebbero stati violati diritti costituzionali (<ref-ruling> consid. 2.2).
Il Tribunale federale fonda la sua sentenza sui fatti accertati dall'autorità inferiore (<ref-law>). A questi appartengono sia le constatazioni concernenti le circostanze relative all'oggetto del litigio sia quelle riguardanti lo svolgimento della procedura innanzi all'autorità inferiore e in prima istanza, vale a dire gli accertamenti che attengono ai fatti procedurali (<ref-ruling> consid. 1.3.1 con riferimenti). Il Tribunale federale può unicamente rettificare o completare l'accertamento dei fatti dell'autorità inferiore, se esso è manifestamente inesatto o risulta da una violazione del diritto ai sensi dell'<ref-law> (<ref-law>). "Manifestamente inesatto" significa in questo ambito "arbitrario" (<ref-ruling> consid. 2; <ref-ruling> consid. 1.5). L'eliminazione del vizio deve inoltre poter essere determinante per l'esito del procedimento (<ref-law>). La parte che critica la fattispecie accertata nella sentenza impugnata deve sollevare la censura e motivarla in modo preciso, come esige l'<ref-law> (<ref-ruling> consid. 2.3, con rinvii). Essa deve spiegare in maniera chiara e circostanziata in che modo queste condizioni sarebbero soddisfatte (<ref-ruling> consid. 1.3.1 con rinvii). Se vuole completare la fattispecie deve dimostrare, con precisi rinvii agli atti della causa, di aver già presentato alle istanze inferiori, rispettando le regole della procedura, i relativi fatti giuridicamente pertinenti e le prove adeguate (<ref-ruling> consid. 2). Se la critica non soddisfa queste esigenze, le allegazioni relative a una fattispecie che si scosta da quella accertata non possono essere prese in considerazione (<ref-ruling> consid. 1.3.1).
3.
3.1. Riferendosi al - nuovo - contratto di lavoro del 2008 la Corte cantonale ha ritenuto che l'attore non aveva indicato le prove da cui risulterebbe che egli l'avrebbe firmato sotto minaccia.
3.2. Il ricorrente afferma di aver sostanziato il rimprovero mosso al Pretore per non aver ritenuto dimostrata la sottoscrizione sotto minaccia del nuovo contratto. Il " contenuto decisamente peggiorativo del contratto medesimo " e le deposizioni agli atti attestano che egli non ha spontaneamente accettato di concludere il nuovo accordo.
3.3. La censura, manifestamente motivata in modo insufficiente, si rivela inammissibile. Il ricorrente omette infatti d'indicare, con precisi riferimenti, dove avrebbe formulato le censure che soddisfano le esigenze di motivazione dell'<ref-law> (v. con riferimento alle condizioni poste da questa norma <ref-ruling> consid. 4.3.1) e da quali passaggi delle deposizioni testimoniali risulterebbe quanto da lui affermato.
4.
4.1. La Corte cantonale ha poi indicato che il Pretore ha pertinentemente accertato che il motivo grave per cui è stato pronunciato il licenziamento con effetto immediato consiste nel fatto che, in vece dell'estratto patrimoniale della banca, l'attore aveva consegnato a un cliente di un conteggio "casereccio" (la stampa di un foglio elettronico) non veritiero, in cui era stata omessa la menzione dell'investimento che aveva causato al cliente le perdite più elevate e avente un saldo totale diverso da quello reale. I Giudici di appello hanno rilevato che lo stesso dipendente aveva riconosciuto i fatti in occasione della sua audizione.
4.2. Il ricorrente formula una serie di quesiti e lamenta una valutazione arbitraria dei fatti, affermando, riferendosi a deposizioni testimoniali, che la stampa del foglio di calcolo era stata consegnata al cliente, quale proposta d'investimento e su di lui richiesta, da un altro impiegato della banca e non era quindi un estratto conto farlocco.
4.3. In concreto la critica ricorsuale è basata su una fattispecie diversa da quella risultante dalla sentenza impugnata senza che siano dati i presupposti che permettono al Tribunale federale di scostarsene. Infatti, non spendendo una parola per contestare la constatazione della Corte cantonale secondo cui egli stesso aveva riconosciuto i fatti riguardanti il conteggio "casereccio", il ricorrente non riesce a far apparire arbitrari gli accertamenti effettuati dall'autorità inferiore. Occorre poi aggiungere che la formulazione di una serie di quesiti, per altro apoditticamente basati su una fattispecie diversa da quella riportata nella pronunzia cantonale, non soddisfa le esigenze di motivazione dell'<ref-law>.
5.
Infine il ricorrente sostiene apoditticamente che la Corte cantonale non si è occupata né di una non meglio precisata censura attinente a una violazione del principio della parità di trattamento delle parti né del fatto che il Pretore, nonostante l'assenza di una contestazione, non ha considerato pacifici " l'an e il quantum del danno lamentato ". Ora, questa argomentazione ricorsuale si rivela di primo acchito inammissibile in seguito alla sua carente motivazione, atteso che il ricorrente nemmeno indica dove avrebbe sollevato le menzionate lamentele.
6.
Da quanto precede discende che il ricorso si palesa, nella ridotta misura in cui si rivela ammissibile, infondato e come tale va respinto. Le spese giudiziarie e le ripetibili seguono la soccombenza (art. 66 cpv. 1 e 68 cpv. 1 LTF).

Per questi motivi, il Tribunale federale pronuncia:
1.
Nella misura in cui è ammissibile, il ricorso è respinto.
2.
Le spese giudiziarie di fr. 6'000.-- sono poste a carico del ricorrente, che rifonderà all'opponente fr. 7'000.-- a titolo di ripetibili per la procedura innanzi al Tribunale federale.
3.
Comunicazione ai patrocinatori delle parti e alla II Camera civile del Tribunale d'appello del Cantone Ticino.