Sachverhalt:
A.
Mit ärztlicher Verfügung vom 12. April 2016 wurde A._ (geb. 1990; Betroffene) wegen einer psychischen Störung fürsorgerisch in die B._ AG, Privatklinik für Psychiatrie und Psychotherapie, eingewiesen. Während ihres Aufenthaltes wurde sie aufgrund physischer Beschwerden notfallmässig in das Kantonsspital Frauenfeld verlegt und dort operiert. In der Folge hielt sie sich zur Rehabilitation in der Klinik V._ auf. Mit ärztlicher Verfügung vom 4. Mai 2016 wurde sie in der B._ AG, Privatklinik für Psychiatrie und Psychotherapie, (nachfolgend: Klinik) bzw. in der Psychiatrischen Klinik W._ untergebracht. Mit Entscheid vom 23. Mai 2016 wies die Kindes- und Erwachsenenschutzbehörde U._ (nachfolgend: KESB) eine dagegen erhobene Beschwerde der Betroffenen ab.
B.
B.a. Am 2. Juni 2016 beschloss die KESB die Weiterführung der fürsorgerischen Unterbringung der Betroffenen und verlegte diese in die Klinik. Im Weiteren delegierte die Behörde die Entlassungskompetenz an die Einrichtung. In diesem Verfahren amtete Dr. C._ als Präsidentin der KESB.
B.b. Am 28. Juli 2016 ersuchte der Verein D._ die Klinik darum, die Betroffene sofort zu entlassen. Mit Entscheid vom 3. August 2016 wies die ärztliche Leitung das Entlassungsgesuch ab. Die Betroffene gelangte dagegen an die KESB, die ihre Beschwerde mit Entscheid vom 11. August 2016 abwies. Auch im Beschwerdeverfahren war Dr. C._ als Präsidentin eingesetzt. Mit Entscheid vom 29. August 2016 wies das Obergericht des Kantons Thurgau die Beschwerde der Betroffenen gegen den Entscheid der KESB ab, soweit darauf einzutreten war.
C.
Die Betroffene (Beschwerdeführerin) hat am 5. Oktober 2016 (Postaufgabe) beim Bundesgericht gegen den Entscheid des Obergerichts Beschwerde erhoben. Sie beantragt, es sei vorfrageweise festzustellen, dass durch "§ 16 Abs. 1 und § 58 Abs. 2 EG ZGB sowie die diese Artikel konkretisierende Verordnung des Obergerichts (KESV), insbesondere § 19 Abs. 2, §§ 70 ff. KESV, die Art. 6 Abs. 1 und 5 Abs. 4 EMRK sowie <ref-law> verletzt werden" (1). Der angefochtene Entscheid und die fürsorgerische Unterbringung seien aufzuheben (2). Eventuell sei das Verfahren zur Durchführung einer Anhörung/Hauptverhandlung an die Vorinstanz zurückzuweisen (3). Für das bundesgerichtliche Verfahren ersucht sie um unentgeltliche Rechtspflege.
D.
Das Obergericht hat auf Vernehmlassung verzichtet. Die KESB hat sich nicht vernehmen lassen.
E.
Die Beschwerde wurde an der Sitzung der II. zivilrechtlichen Abteilung des Bundesgerichts vom 17. November 2016 öffentlich beraten und das Urteil anschliessend an die Beratung und Abstimmung mündlich eröffnet.

Erwägungen:
1.
1.1. Angefochten ist vorliegend ein Endentscheid eines oberen kantonalen Gerichts in seiner Eigenschaft als Rechtsmittelinstanz (Art. 75 Abs. 1 und 2, <ref-law>) betreffend fürsorgerische Unterbringung. Es handelt sich um einen öffentlich-rechtlichen Entscheid in unmittelbarem Zusammenhang mit dem Zivilrecht (Art. 72 Abs. 2 lit. b Ziff. 6 BGG). Die Voraussetzungen von <ref-law> sind erfüllt und die Beschwerde wurde fristgerecht eingereicht (<ref-law>). Darauf ist grundsätzlich einzutreten.
1.2. Die Beschwerdeführerin beantragt, es sei vorfrageweise festzustellen, dass "durch § 16 Abs. 1 und § 58 Abs. 2 EG ZGB sowie die diese Artikel konkretisierende Verordnung des Obergerichts (KESV), insbesondere § 19 Abs. 2, §§ 70 ff. KESV, die Art. 6 Abs. 1 und 5 Abs. 4 EMRK sowie <ref-law> verletzt werden". Nach der Rechtsprechung des Bundesgerichts ist die Feststellungsklage zuzulassen, wenn der Kläger an der sofortigen Feststellung ein erhebliches schutzwürdiges Interesse hat, das kein rechtliches zu sein braucht, sondern auch bloss tatsächlicher Natur sein kann (<ref-ruling> E. 3.1; <ref-ruling> E. 2.2 S. 380; <ref-ruling> E. 2.2 S. 299; je mit Hinweisen). Ein Feststellungsinteresse fehlt in der Regel, wenn eine Leistungsklage zur Verfügung steht, mit der ein vollstreckbares Urteil erwirkt werden kann (BGE <ref-ruling> E. 2.2 S. 380; <ref-ruling> E. 1a S. 52). Die Beschwerdeführerin ist nach wie vor fürsorgerisch untergebracht und beantragt daher in ihrem zweiten Antrag die Entlassung. Erweist sich die fürsorgerische Unterbringung als bundesrechtswidrig, wird sie diesem Antrag entsprechend aufgehoben. Die Beschwerdeführerin verfügt damit über kein schützenswertes Interesse an der beantragten Feststellung.
2.
2.1. Im Kanton Thurgau ist die sachliche Zuständigkeit für Beschwerden gegen die Verweigerung der Entlassung aus der fürsorgerischen Unterbringung nicht einheitlich geregelt: Wird die Entlassung gestützt auf <ref-law> durch die KESB verweigert, bildet das Obergericht (einzige) kantonale Beschwerdeinstanz (<ref-law> i.V.m. § 11c Abs. 1 des Einführungsgesetzes zum Schweizerischen Zivilgesetzbuch vom 3. Juli 1991, RB 210.1, EGZGB/TG). Über Beschwerden gegen die Abweisung des Entlassungsgesuchs durch die Einrichtung (<ref-law>) befindet die KESB als (erste) Beschwerdeinstanz (§ 58 Abs. 2 EGZGB/TG). Deren Entscheid kann alsdann an das Obergericht weitergezogen werden (§ 11c Abs. 1 EGZGB/TG; HERMANN SCHMID, Kommentar Erwachsenenschutz, 2010, N. 4 zu <ref-law>; Art. 75 Abs. 1 und 2 BGG).
2.2. Die KESB hat am 2. Juni 2016 als verfügende Behörde beschlossen, die seinerzeit ärztlich verfügte fürsorgerische Unterbringung der Beschwerdeführerin fortzusetzen. Damit ist sie grundsätzlich auch für die Entlassung der Beschwerdeführerin zuständig (<ref-law>). Sie hat indes gestützt auf <ref-law> verfügt, über die Entlassung der Beschwerdeführerin entscheide die Einrichtung. Die Beschwerdeführerin hat am 28. Juli 2016 um Entlassung aus der Einrichtung ersucht und die Klinik hat dieses Begehren mit Entscheid vom 3. August 2016 abgewiesen. Im vorliegend zu beurteilenden Fall hat die KESB über die Beschwerde gegen die Abweisung des Entlassungsgesuchs durch die Klinik als erste Beschwerdeinstanz entschieden (Entscheid vom 11. August 2016).
3.
3.1. Die Beschwerdeführerin wendet sich gegen den Umstand, dass die KESB einerseits als verfügende Behörde, anderseits aber auch als Beschwerdeinstanz amtet und macht zusammengefasst - wie vor Obergericht - geltend, die KESB sei kein Gericht im Sinn von Art. 6 Ziff. 1 bzw. Art. 5 Ziff. 4 EMRK.
3.2. Nach Art. 439 Abs. 1 i.V.m. Abs. 1 Ziff. 3 ZGB kann die betroffene oder eine ihr nahestehende Person das zuständige Gericht anrufen, wenn ihr Entlassungsgesuch durch die Einrichtung abgewiesen worden ist. Die Rechtsprechung verlangt wenigstensein Gericht im materiellen Sinne (<ref-ruling> E. 3.3 S. 102 f; <ref-ruling> E. 4b S. 186 f.). Nach dem Willen des Gesetzgebers sind die Kantone berechtigt, ein zweistufiges gerichtliches Beschwerdeverfahren einzuführen (<ref-ruling> E. 3.2.2 S. 101). Eine kantonale Regelung, die zunächst die Überprüfung durch eine Verwaltungsbehörde und erst hernach den Zugang zum Gericht vorsieht, erweist sich nach dem Gesagten als bundesrechtswidrig. Angesichts dieser Rechtslage ist im Folgenden zu prüfen, ob es sich bei der KESB um ein (materielles) Gericht handelt.
3.3. Als Gericht im Sinne von <ref-law> bzw. von Art. 6 Ziff. 1 EMRK gilt eine Behörde, die nach Gesetz und Recht in einem justizförmigen, fairen Verfahren begründete und bindende Entscheidungen über Streitfragen trifft. Sie braucht nicht in die ordentliche Gerichtsstruktur eines Staates eingegliedert zu sein, muss jedoch organisatorisch und personell, nach der Art ihrer Ernennung, der Amtsdauer, dem Schutz vor äusseren Beeinflussungen und nach ihrem äusseren Erscheinungsbild sowohl gegenüber anderen Behörden als auch gegenüber den Parteien unabhängig und unparteiisch sein (vgl. <ref-ruling> E. 2a/bb S. 230 f.). Nebst den Merkmalen der Unabhängigkeit und Unparteilichkeit gehört zu seinem Wesen, dass ein Gericht die rechtserheblichen Tatsachen selber erhebt, die Rechtssätze auf diesen in einem rechtsstaatlichen Verfahren ermittelten Sachverhalt anwendet und für die Parteien bindende Entscheidungen in der Sache fällt (vgl. <ref-ruling> E. 5a S. 478; <ref-ruling> E. 1c S. 63). Es muss über umfassende Kognition in tatsächlicher und rechtlicher Hinsicht verfügen (vgl. <ref-ruling> E. 3a S. 90; <ref-ruling> E. 2a S. 34 und 144 E. 3c S. 152; zum Ganzen auch: <ref-ruling> E. 4.2 S. 104 f.).
3.4.
3.4.1. Nach § 16 Abs. 1 und 4 EGZGB/TG wählt der Regierungsrat die Mitglieder der KESB und bestimmt deren Präsidenten. Die Wahl durch den Regierungsrat statt durch den Grossen Rat bzw. durch das Volk genügt für sich allein genommen nicht, um der KESB die Eigenschaft des unabhängigen Gerichts abzuerkennen (siehe dazu die Urteile des Europäischen Gerichtshofs für Menschenrechte (EGMR) 23695/02 Clarke gegen Grossbritannien vom 25. August 2005 Ziff. 1; 10328/83 Belilos gegen die Schweiz vom 29. April 1988 Ziff. 66; 8790/79 Sramek gegen Österreich vom 22. Oktober 1984, Série A, Band 84, Ziff. 38; 7819/77; 7878/77 Campbell und Fell gegen Grossbritannien vom 28. Juni 1984, Série A, Band 80, Ziff. 79; siehe dazu auch: GEROLD STEINMANN, in: Kommentar zur schweizerischen Bundesverfassung, 3. Aufl. 2014, N. 15 zu <ref-law>). § 32 der Verfassung des Kantons Thurgau vom 16. März 1987 (KV/TG; RB 101) setzt die Amtsdauer der Personen und Behördenmitglieder, die vom Volk oder vom Grossen Rat gewählt werden oder für die das Gesetz die Wahl auf Amtsdauer vorsieht, auf vier Jahre fest. Zwar ist die Amtsdauer der Mitglieder der KESB nicht ausdrücklich im Gesetz erwähnt; doch ergibt sich aus den entsprechenden Wahlbeschlüssen des Regierungsrates, dass die Behördemitglieder der KESB auf eine Amtsdauer von vier Jahren gewählt sind (Rechenschaftsbericht des Obergerichts des Kantons Thurgau [RBOG] 2013 Nr. 1). § 16 Abs. 1 EGZGB/TG hält ausdrücklich fest, dass der KESB gerichtliche Unabhängigkeit im Sinn von Art. 6 Ziff. 1 EMRK zukommt. Um die gerichtliche Unabhängigkeit zu wahren, übt denn auch nicht der Regierungsrat, sondern das Obergericht die fachliche Aufsicht über die KESB aus und erlässt die nötigen Bestimmungen (§ 11c Abs. 2 EGZGB/TG). Einzig die administrative Aufsicht obliegt dem Regierungsrat (§ 11 Abs. 1 Ziff. 3 EGZGB/TG). Die Entlöhnung der Mitglieder der KESB richtet sich nach der Verordnung des Grossen Rates über die Besoldung des Staatspersonals (Besoldungsverordnung) vom 18. November 1998 (RB 177.2; §§ 34 ff.). Die KESB befasst sich nur mit den ihr durch das Bundesrecht zugewiesenen Bereichen, womit sich ihre sachliche Zuständigkeit im Wesentlichen auf den Kindes- und Erwachsenenschutz beschränkt (Art. 3 Abs. 1 EGZGB/TG). Sie erforscht den Sachverhalt von Amtes wegen (<ref-law>) und wendet das Recht von Amtes wegen an (<ref-law>). Diese Verfahrensgrundsätze gelten auch für das Verfahren vor der gerichtlichen Beschwerdeinstanz (Art. 450-450e ZGB; SCHMID, a.a.O., N. 5 zu <ref-law>; DANIEL STECK, Basler Kommentar, Zivilgesetzbuch I, 5. Aufl. 2014, N. 13 zu <ref-law>) und damit kraft des in <ref-law> enthaltenen Verweises auf diese Bestimmungen auch für das Beschwerdeverfahren gemäss <ref-law>.
3.4.2. Zusammenfassend ergibt sich demnach, dass die Kompetenz der KESB auf einem Gesetz beruht. Sie ist gegenüber anderen Behörden und den Parteien unabhängig und in der Rechtsprechung nicht weisungsgebunden. Der streitgegenständliche Entscheid fällt in ihre sachliche Zuständigkeit; das Verfahren ist justizmässig durchgeführt worden und war nicht per se unfair. Ausserdem beruht der Entscheid der KESB auf vollständiger Sachverhaltsermittlung und freier umfassender Rechtsanwendung, mithin auf einer umfassenden Kognition in tatsächlicher und rechtlicher Hinsicht. Schliesslich hat die KESB einen begründeten bzw. bindenden Entscheid über eine konkrete Streitfrage - hier: die Entlassung aus der Klinik - getroffen. Sie ist somit - entgegen der Auffassung der Beschwerdeführerin - ein Gericht im Sinn von <ref-law>, Art. 6 Ziff. 1 bzw. Art. 5 Ziff. 4 EMRK und <ref-law>.
4.
4.1. Die Beschwerdeführerin macht geltend, der angefochtene Entscheid vermöge nicht darüber hinwegzutäuschen, dass die Präsidentin der KESB, Frau Dr. C._, Dossierverwaltung übernommen habe. Das Dossier belege, dass sie keineswegs über die nötige Unabhängigkeit und Neutralität verfüge. Überdies sei die Verquickung von Verwaltungsbehörde und richterlicher Instanz durch das kantonale Recht generell und abstrakt vorgeschrieben. Insgesamt rügt die Beschwerdeführerin auch in diesem Zusammenhang eine Verletzung von Art. 6 Ziff. 1 bzw. Art. 5 Ziff. 4 EMRK.
4.2.
4.2.1. Auf den konkreten Fall bezogen erblickt die Beschwerdeführerin eine Verletzung der genannten Garantien im Umstand, dass die KESB sowohl als verfügende Behörde als auch als Beschwerdeinstanz gemäss <ref-law> in der gleichen (personellen) Besetzung amtet. In der Tat hat am Entscheid der KESB vom 2. Juni 2016, mit dem die Fortführung der fürsorgerischen Unterbringung beschlossen wurde, und am Entscheid der KESB als Beschwerdeinstanz in Sachen Verweigerung der Entlassung vom 11. August 2016 Dr. C._ als Präsidentin mitgewirkt. Im Folgenden ist somit zu prüfen, ob daraus auf eine verfassungswidrige Vorbefassung geschlossen werden muss.
4.2.2. Nach <ref-law> sowie Art. 6 Ziff. 1 EMRK hat jede Person Anspruch darauf, dass ihre Sache von einem unparteiischen, unvoreingenommenen und unbefangenen Richter unter Einschluss weiterer am Entscheid wesentlich beteiligter Gerichtspersonen (insbesondere Gerichtsschreibern) ohne Einwirken sachfremder Umstände entschieden wird. Die Garantie des verfassungsmässigen Richters soll zu der für einen korrekten und fairen Prozess erforderlichen Offenheit des Verfahrens im Einzelfall beitragen und damit ein gerechtes Urteil ermöglichen. Für eine Ablehnung gestützt auf die vorgenannten Bestimmungen braucht nicht nachgewiesen zu werden, dass die Person tatsächlich befangen ist (<ref-ruling> E. 4.2 S. 21; <ref-ruling> E. 6.2 S. 6; <ref-ruling> E. 3.4 S. 116). Die Garantie wird verletzt, wenn bei objektiver Betrachtung Gegebenheiten vorliegen, die den Anschein der Befangenheit oder die Gefahr der Voreingenommenheit zu begründen vermögen. Solche Umstände können entweder in einem bestimmten Verhalten der betreffenden Gerichtsperson oder in gewissen äusseren Gegebenheiten funktioneller und organisatorischer Natur begründet sein. Mit früherem Mitwirken des Richters in Angelegenheiten einer Partei allein lässt sich dessen Befangenheit und damit eine Verletzung von <ref-law> bzw. Art. 6 Ziff. 1 EMRK nicht begründen (BGE <ref-ruling> E. 3.4 f. S. 116 f.; <ref-ruling> E. 2c S. 374 mit Hinweisen). Entscheidendes Kriterium ist, ob bei objektiver Betrachtungsweise der Ausgang des Verfahrens als noch offen erscheint (zum Ganzen: <ref-ruling> E. 2.2 S. 242; <ref-ruling> E. 4.1 S. 221 f.; <ref-ruling> E. 2.1 S. 229; Urteil 1B_297/2013 vom 11. Oktober 2013 E. 2.2; je mit Hinweisen).
4.3.
4.3.1. Im vorliegenden Fall behauptet die Beschwerdeführerin zwar, das persönliche Verhalten von Dr. C._ lasse auf Befangenheit schliessen, ohne jedoch ihren Vorwurf mit konkreten Angaben zu untermauern. Die Prüfung beschränkt sich daher auf die Frage, ob aufgrund der "Verquickung" zweier verschiedener Funktionen der KESB in der gleichen Besetzung objektiv betrachtet auf Befangenheit geschlossen werden muss.
4.3.2. Die KESB hat am 2. Juni 2016 darüber befunden, ob die ärztlich fürsorgerisch untergebrachte Beschwerdeführerin in der Klinik zurückbehalten werden muss (vgl. <ref-law>); sie hat dies bejaht. Hierfür waren die tatsächlichen Verhältnisse im Zeitpunkt des Entscheides vom 2. Juni 2016 massgebend. Demgegenüber basierte der Entscheid vom 11. August 2016 auf den in jenem Zeitpunkt aktuellen tatsächlichen Verhältnissen. Ausserdem war die KESB als Beschwerdeinstanz verpflichtet, ein Gutachten einzuholen (Art. 439 Abs. 3 i.V.m. <ref-law>; PHILIPPE MEIER, Droit de la protection de l'adulte, Art. 360-456 CC, 2016, S. 651 Rz. 1352; GEISER/ETZENSBERGER, Basler Kommentar, a.a.O, N. 48 zu <ref-law>; in diesem Sinne auch SCHMID, a.a.O., N. 18 zu <ref-law>), was sie im vorliegenden Fall denn auch getan hat. Angesichts der unterschiedlichen tatsächlichen Verhältnisse, die im jeweiligen Verfahren zu beurteilen waren, und des gesetzlichen Beweiserfordernisses im Beschwerdeverfahren kann nicht gesagt werden, der Ausgang des Beschwerdeverfahrens sei aufgrund der identischen Besetzung nicht mehr offen gewesen. Auch die Mitwirkung der Präsidentin in früheren die Beschwerdeführerin betreffenden Verfahren vermag nach dem Gesagten eine Befangenheit nicht zu begründen (E. 4.2.2). Der Vorwurf der Verletzung von <ref-law> bzw. Art. 6 Ziff. 1 oder Art. 5 Ziff. 4 EMRK erweist sich als unbegründet.
5.
5.1. Die Beschwerdeführerin macht geltend, sie sei von der ersten gerichtlichen Beschwerdeinstanz, dem Obergericht, entgegen der Vorschrift von Art. 5 Ziff. 4 bzw. Art. 6 Ziff. 1 EMRK nicht angehört worden.
5.2. Wie unter E. 3.4 ausgeführt, handelt es sich bei der KESB um ein Gericht im Sinn von <ref-law>, 6 Ziff. 1 bzw. 5 Ziff. 4 EMRK und <ref-law>. Laut den verbindlichen Feststellungen des angefochtenen Entscheides wurde die Beschwerdeführerin am 8. August 2016 durch die KESB angehört. Die Beschwerdeführerin stellt diese Feststellung nicht als willkürlich bzw. als sonstwie Bundesrecht verletzend infrage. Der Vorwurf der Beschwerdeführerin erweist sich damit als unbegründet.
6.
Die Beschwerdeführerin beanstandet ferner die kantonale Regelung, die zwischen ärztlicher fürsorgerischer Unterbringung und der Unterbringung durch die KESB unterscheidet, als Verstoss gegen den Grundsatz rechtsgleicher Behandlung (<ref-law>) bzw. als Verstoss gegen Art. 29 Abs. 1 und Art. 6 Ziff. 1 EMRK. Sie rügt vor allem, dass gegen den ärztlichen Entscheid über das Entlassungsgesuch zwei Beschwerdeinstanzen vorgesehen sind, während gegen den entsprechenden Entscheid der KESB nur eine Beschwerdeinstanz besteht. Der kantonalen Beschwerde kann nicht entnommen werden, dass sie die entsprechenden Rügen bereits im Verfahren vor Obergericht geltend gemacht hat. Mangels Ausschöpfung des kantonalen Instanzenzuges ist insoweit auf die Beschwerde nicht einzutreten (<ref-ruling> E. 2 S. 639 f).
7.
Soweit die Beschwerdeführerin schliesslich den Entscheid der Vorinstanz mit Bezug auf die Bejahung der Voraussetzungen einer fürsorgerischen Unterbringung beanstandet, erschöpfen sich ihre Ausführungen im Wesentlichen in einer Behauptung anderer Tatsachen. Die Vorinstanz hat entgegen der Auffassung der Beschwerdeführerin geprüft, ob die Voraussetzungen der fürsorgerischen Unterbringung (<ref-law>) nach wie vor gegeben sind. Sie hat insbesondere gestützt auf ein Gutachten von Dr. med. E._ eine psychische Störung bejaht, die weiterhin eine akute, stationäre Behandlungsbedürftigkeit zur Folge hat. Im Weiteren hat sie ausgeführt, gleiches gelte hinsichtlich der Tumorerkrankung der Beschwerdeführerin. Sie könne ihren Gesundheitszustand nicht richtig einschätzen und sei diesbezüglich nicht urteilsfähig und ausser Stande, sich selbstständig um eine adäquate Behandlung ihrer psychischen Störung und der somatischen Erkrankung zu kümmern. Zur Zeit könnten mit der Beschwerdeführerin keine verbindlichen Abmachungen getroffen werden. Ein Austritt aus der Klinik habe auf ihren Gesundheitszustand verheerende Auswirkungen. Angesichts der fehlenden Krankheitseinsicht sei ausgeschlossen, dass sich die Beschwerdeführerin freiwillig einer stationären Behandlung unterziehe. Die Klinik decke ihre Bedürfnisse zumindest objektiv bestmöglich ab. Diesen Ausführungen schliesst sich eine weitere detaillierte Begründung an (E. 3f bis h), warum die Voraussetzungen von <ref-law> nach Auffassung des Obergerichts erfüllt sind. Die Beschwerdeführerin setzt sich mit diesen Erwägungen nicht rechtsgenügend auseinander (<ref-law>; <ref-ruling> E. 1.2 S. 234; <ref-ruling> E. 2.1 S. 245). Insoweit ist auf die Beschwerde nicht einzutreten.
8.
Damit ist die Beschwerde abzuweisen, soweit darauf eingetreten werden kann. Den Umständen des konkreten Falles entsprechend werden keine Gerichtskosten erhoben (<ref-law>).
9.
Die Beschwerdeführerin ersucht um unentgeltliche Rechtspflege. Sie gilt als bedürftig und die Beschwerde hat sich nicht als von Anfang an aussichtlos erwiesen (<ref-law>). Das Gesuch ist folglich gutzuheissen. Der Beschwerdeführerin ist ein amtlicher Rechtsbeistand zu bestellen, der für seine Bemühungen im bundesgerichtlichen Verfahren aus der Bundesgerichtskasse zu entschädigen ist (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.
Das Gesuch der Beschwerdeführerin um unentgeltliche Rechtspflege für das bundesgerichtliche Verfahren wird gutgeheissen. Ihr wird Rechtsanwalt Adriano Marti als amtlicher Beistand bestellt.
3.
Es werden keine Gerichtskosten erhoben.
4.
Rechtsanwalt Adriano Marti wird für seine Bemühungen mit Fr. 2'500.-- aus der Bundesgerichtskasse entschädigt.
5.
Dieses Urteil wird der Beschwerdeführerin, der Kindes- und Erwachsenenschutzbehörde (KESB) U._ und dem Obergericht des Kantons Thurgau schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 17. November 2016
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: von Werdt
Der Gerichtsschreiber: Zbinden