Erwägungen:
1.
1.1. A.A._ ist Alleingesellschafter und seine Gattin, B.A._ geb. C._, zuständig für das Rechnungswesen der X._ GmbH, deren Sitz sich im hier interessierenden Zeitraum in U._/AG befand. Am 20. November 2012 beschloss die Gesellschafterversammlung die Ausrichtung einer Dividende von Fr. 800'000.--, fällig am 31. Dezember 2012. Die X._ GmbH deklarierte die Dividende in ihrer Steuererklärung, füllte das Formular 110 ordnungsgemäss aus und überwies die Verrechnungssteuer von Fr. 280'000.-- (ausmachend 35 Prozent) an die ESTV. Die Restanz schrieb sie dem Kontokorrent des Alleingesellschafters gut. Die Eheleute A._-C._ (nachfolgend: die Steuerpflichtigen) deklarierten die 100-prozentige Beteiligung des Ehemannes an der X._ GmbH ordnungsgemäss im Wertschriftenverzeichnis zur Steuererklärung 2012 (mit dem massgebenden Vermögenssteuerwert). Dagegen liessen sie das Feld, in welchem die empfangene Dividende von Fr. 800'000.-- einzusetzen gewesen wäre, leer.
1.2. Mit Schreiben vom 28. Mai 2015 erkundigte sich das Steueramt des Kantons Aargau (nachfolgend: KStA/AG) bei den Steuerpflichtigen hinsichtlich des Steuerjahrs 2012 nach Erträgen aus der Beteiligung. Nach Eingang der verlangten Auskünfte erliess das KStA/AG am 25. Juni 2015 einen Entscheid, worin es die Rückerstattung der Verrechnungssteuer verweigerte. Das KStA/AG begründete dies mit der unterlassenen Deklaration der empfangenen Dividende. Die Einsprache der Steuerpflichtigen vom 8. Juli 2015 wies das KStA/AG am folgenden Tag ab. Dagegen gelangten die Steuerpflichtigen an das Spezialverwaltungsgericht des Kantons Aargau, Abteilung Steuern. Mit Entscheid 3-BV.2015.6 vom 25. Februar 2016 wies dieses die Beschwerde ab, wobei es sich hauptsächlich auf die jüngste bundesgerichtliche Rechtsprechung zu <ref-law> berief.
1.3. Mit Eingabe vom 14. April 2016 erheben die Steuerpflichtigen beim Bundesgericht Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten. Sie beantragen, das angefochtene Urteil sei aufzuheben und die Verrechnungssteuer von Fr. 280'000.-- sei ihnen zurückzuerstatten. Der Abteilungspräsident als Instruktionsrichter hat weder einen Schriftenwechsel noch andere Instruktionsmassnahmen angeordnet.
2.
2.1. Die Beschwerde richtet sich gegen den verfahrensabschliessenden Entscheid einer letzten kantonalen Instanz in einer Angelegenheit des öffentlichen Rechts. Die Voraussetzungen der Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten liegen vor (Art. 82 lit. a, Art. 86 Abs. 1 lit. d und Abs. 2, Art. 89 Abs. 1, Art. 90 BGG i. V. m. <ref-law> [SR 642.21]). Auf die Beschwerde ist einzutreten.
2.2.
2.2.1. Mit der Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann insbesondere die Verletzung von Bundes- und Völkerrecht gerügt werden (Art. 95 lit. a und b BGG). Bei der Prüfung verfügt das Bundesgericht über uneingeschränkte (volle) Kognition und wendet es das Recht von Amtes wegen an (<ref-law>).
2.2.2. Die Verletzung von Grundrechten prüft das Bundesgericht in jedem Fall nur, falls eine solche Rüge in der Beschwerde überhaupt vorgebracht und ausreichend begründet worden ist (qualifizierte Rüge- und Begründungspflicht gemäss <ref-law>; <ref-ruling> E. 2.2 S. 60). Auf bloss allgemein gehaltene, appellatorische Kritik am vorinstanzlichen Entscheid tritt das Bundesgericht nicht ein (<ref-ruling> E. 5.4 S. 324; <ref-ruling> E. 6.3 S. 375).
2.2.3. Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (<ref-law>). Es kann die tatsächlichen Feststellungen der Vorinstanz, wozu auch die Beweiswürdigung zählt (BGE <ref-ruling> E. 6.3 S. 375; <ref-ruling> E. 2.3 S. 266), nur berichtigen oder ergänzen, soweit sie offensichtlich unrichtig, das heisst willkürlich, sind oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruhen (<ref-law>; <ref-ruling> E. 2.1 S. 659 f.).
3.
3.1. Streitig und zu prüfen ist die Frage nach dem Anspruch auf die Rückerstattung der Verrechnungssteuer in Höhe von Fr. 280'000.--. Im Zentrum steht die Anwendung und Auslegung von <ref-law> (Verwirkung des Anspruchs von natürlichen Personen auf Rückerstattung der Verrechnungssteuer auf Kapitalerträgen und Lotteriegewinnen). Der "Deklarationsklausel" (so BERNHARD ZWAHLEN, in: Zweifel/Beusch/ Bauer-Balmelli [Hrsg.], Kommentar zum VStG, 2. Aufl. 2012, N. 1 zu <ref-law>) zufolge verwirkt den Anspruch auf Rückerstattung, wer "mit der Verrechnungssteuer belastete Einkünfte oder Vermögen, woraus solche Einkünfte fliessen, entgegen gesetzlicher Vorschrift der zuständigen Steuerbehörde nicht angibt".
3.2.
3.2.1. Das Bundesgericht legt die tatbeständliche Formulierung "... entgegen gesetzlicher Vorschrift der zuständigen Steuerbehörde nicht angibt" in langjähriger Praxis folgendermassen aus: Der Anspruch einer natürlichen Person auf Rückerstattung der Verrechnungssteuer auf Kapitalerträgen und Lotteriegewinnen ist verwirkt, wenn die steuerpflichtige Person die verrechnungssteuerbelasteten Einkünfte nicht spontan in der nächstfolgenden Steuererklärung nach Fälligkeit der Leistung deklariert oder aber zumindest die eingereichte Steuererklärung spontan so frühzeitig ergänzt, dass die Einkünfte von der Veranlagungsbehörde noch vor der definitiven Veranlagung berücksichtigt werden können (<ref-ruling> E. 2b S. 130; <ref-ruling> E. 6c/cc S. 327). Diese langjährige, ausserordentlich gefestigte Praxis hat das Bundesgericht gerade in jüngster Zeit immer wieder bestätigt (Urteile 2C_1083/2014 vom 20. November 2015 E. 2.2.1 [Kanton Basel-Stadt]; 2C_85/2015 vom 16. September 2015 E. 2.2 [Kanton Aargau]); 2C_172/2015 vom 27. August 2015 E. 4.1 [Kanton Genf], in: RDAF 2015 II S. 495, StR 70/2015 S. 1000; 2C_949/2014 vom 24. April 2015 E. 3.1 (Kanton Tessin), in: RtiD 2015 II S. 497).
3.2.2. Die bundesgerichtliche Praxis verlangt damit eine spontane Erstmeldung (im Rahmen der Steuererklärung) bzw. zumindest eine spontane Nachmeldung, die so rechtzeitig erfolgt, dass die bislang noch nicht deklarierte verrechnungssteuerbelastete Einkunft in der Veranlagungsverfügung auch tatsächlich noch berücksichtigt werden kann. Ausschlussgründe einer Rückerstattung bilden im Umkehrschluss etwa die Veranlagung nach pflichtgemässem Ermessen (<ref-law> bzw. Art. 46 Abs. 3 StHG; dazu erstmals <ref-ruling> E. 2b S. 130), ebenso aber auch abklärende Massnahmen, welche die hierfür zuständige Behörde trifft, um zu erfahren, ob überhaupt verrechnungssteuerbelastete Einkünfte angefallen sind (siehe dazu die Konstellation im zit. Urteil 2C_85/2015 vom 16. September 2015 [Kanton Aargau]). Sowohl bei einer Veranlagung nach pflichtgemässem Ermessen als auch bei der "überholenden" steueramtlichen Abklärung fehlt es an einer ursprünglichen Selbstdeklaration des betreffenden Vermögenswerts bzw. der verrechnungssteuerbelasteten Einkunft. So oder anders genügt die steuerpflichtige Person ihrer direktsteuerlichen Mitwirkungspflicht nicht (so insbesondere Art. 124 Abs. 2 und Art. 125 Abs. 1 lit. c DBG bzw. Art. 42 Abs. 1 StHG). Von einer anspruchsbegründenden "spontanen" Deklaration im Sinne von <ref-law> kann unter solchen Umständen keine Rede sein.
3.3.
3.3.1. Die Vorinstanz gibt die herrschende bundesgerichtliche Praxis in allen Teilen zutreffend wieder. Entsprechend folgert sie, dass eine "spontane Nachdeklaration der Dividende (...) nach der Aufforderung der Vorinstanz ohnehin nicht mehr möglich gewesen" wäre (Entscheid E. 8.1). Ob es überhaupt zu einer Nachdeklaration (beim hierfür zuständigen Gemeindesteueramt, nicht beim für die Rückerstattung zuständigen KStA/AG) gekommen ist, konnte die Vorinstanz unter diesen Umständen berechtigterweise offen lassen. Ebenso wenig zu beanstanden ist die beweiswürdigende Feststellung, wonach beide fachkundigen Eheleute Kenntnis vom Dividendenbeschluss haben mussten, was - soweit überhaupt von Belang - zumindest als fahrlässiges Verhalten zu qualifizieren wäre (Entscheid E. 8.2).
3.3.2. Die Steuerpflichtigen holen in ihrer Begründung zwar weit aus und präsentieren eine grosse Zahl von Argumenten, ohne aber die vorinstanzliche Auslegung und Anwendung des massgebenden Bundesrechts erschüttern zu können. Von vornherein keine Rolle spielen kann der Umstand, dass es sich bei der ausschüttenden Kapitalgesellschaft um eine GmbH - und nicht eine AG - handelt. Wenn auch die Transparenz hinsichtlich der Beteiligungsverhältnisse bei einer GmbH naturgemäss höher ist, ändert dies an den gesetzlichen Vorgaben nichts. Die Annahme, dass die Deklaration des verminderten "Net Asset Value" auf eine Dividende hätte schliessen lassen, trifft sodann in dieser Form nicht zu. Welche Faktoren letztlich zur Anhebung oder Verminderung des Substanzwerts führen, kann der Steuererklärung nicht ohne Weiteres entnommen werden. Ebenso wenig von Bedeutung ist die Art der Verbuchung der Dividende auf Stufe der GmbH (konkret: Passivierung als Kreditor) oder der Umstand, dass die Dividende in der privaten Steuererklärung "eben nicht mit Null angegeben, sondern einfach das entsprechende Feld leergelassen wurde". Abgesehen davon, dass der Tatbestand von <ref-law> objektiviert gehalten ist, hätte es den sachkundigen Eheleuten wohl bei minimaler Sorgfalt auffallen können, dass eine Einkunft in Höhe von Fr. 800'000.-- undeklariert geblieben ist.
3.4. Die sorgfältige vorinstanzliche Auslegung und Anwendung von <ref-law> erweist sich als bundesrechtskonform, weshalb die Beschwerde zufolge offensichtlicher Unbegründetheit abzuweisen ist. Für alles Weitere kann auf den angefochtenen Entscheid verwiesen werden (<ref-law>). Nach dem Unterliegerprinzip haben die Steuerpflichtigen die Kosten des bundesgerichtlichen Verfahrens zu tragen (Art. 65 und 66 Abs. 1 BGG), dies je hälftig und unter solidarischer Haftbarkeit (<ref-law>). Dem in seinem amtlichen Wirkungskreis obsiegenden Kanton Aargau steht keine Parteientschädigung zu (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen.
2.
Die Kosten des bundesgerichtlichen Verfahrens von Fr. 5'000.-- werden je hälftig und unter solidarischer Haftbarkeit den Beschwerdeführern auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten, dem Spezialverwaltungsgericht des Kantons Aargau, Steuern, und der Eidgenössischen Steuerverwaltung schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 23. Mai 2016
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Seiler
Der Gerichtsschreiber: Kocher