Faits :
A.
A.a. Entre 2005 et 2009, le Service cantonal des contributions du canton du Valais (ci-après: le Service cantonal) a envoyé à X._ plusieurs décisions de taxation en matière d'impôts cantonaux et communaux et d'impôt fédéral direct pour les années 2004 à 2007. Ces décisions de taxation n'ont pas fait l'objet d'une réclamation.
A.b. Le 3 novembre 2011, à la requête de la commune d'Evolène, l'Office des poursuites du district de Lausanne a notifié à X._ un commandement de payer concernant les impôts communaux relatifs aux années 2004 à 2007, contre lequel le contribuable a formé opposition. Le 20 février 2012, le Juge de paix du district de Lausanne a prononcé la mainlevée définitive de l'opposition (art. 105 al. 2 LTF). Le 28 septembre 2012 (recte: 26 septembre 2012), la Cour des poursuites et faillites du Tribunal cantonal du canton de Vaud a admis le recours formé par X._ contre la décision précitée et a maintenu l'opposition, au motif qu'il n'était pas établi que les factures des impôts en question avaient été notifiées au contribuable.
A.c. Le 18 octobre 2013, la commune d'Evolène a notifié sous pli recommandé à X._ les bordereaux communaux pour les périodes 2004 à 2007. Par écriture du 30 octobre 2013, le contribuable a contesté formellement devoir les montants d'impôts réclamés.
B.
Par décision du 14 novembre 2014, le Service cantonal a déclaré irrecevable la réclamation du 30 octobre 2013 au motif qu'elle était tardive. Le 16 décembre 2014, X._ a recouru contre cette décision devant la Commission de recours en matière fiscale du canton du Valais (ci-après: la Commission de recours). Par décision du 27 mai 2015, la Commission de recours a admis le recours, annulé la décision d'irrecevabilité du 14 novembre 2014 et renvoyé l'affaire au Service cantonal pour qu'il entre en matière. La Commission de recours a retenu, en substance, que les autorités fiscales ne pouvaient établir la preuve d'une notification des bordereaux qu'à partir du 18 octobre 2013, de sorte que la réclamation formée le 30 octobre 2013 n'était pas tardive.
C.
Agissant par la voie du recours en matière de droit public, le Service cantonal demande au Tribunal fédéral, sous suite de frais, d'admettre le recours et de confirmer sa décision sur réclamation du 14 novembre 2014. Subsidiairement, il requiert le renvoi de la cause à la Commission de recours pour "nouvelle décision au sens du présent recours".
Le contribuable et la Commission de recours concluent au rejet du recours. L'Administration fédérale des contributions propose l'admission du recours.

Considérant en droit :
1.
Le Tribunal fédéral examine d'office sa compétence (cf. art. 29 al. 1 LTF) et contrôle librement la recevabilité des recours qui lui sont soumis (<ref-ruling> consid. 1 p. 103).
1.1. Le recours en matière de droit public est recevable contre les décisions qui mettent fin à la procédure (art. 90 LTF) ou contre les décisions partielles (art. 91 LTF). En revanche, en vertu de l'art. 93 al. 1 LTF, les décisions incidentes notifiées séparément qui ne portent pas sur la compétence ou sur une demande de récusation ne peuvent faire l'objet d'un recours en matière de droit public que si elles peuvent causer un préjudice irréparable (let. a), ou si l'admission du recours peut conduire immédiatement à une décision finale qui permet d'éviter une procédure probatoire longue et coûteuse (let. b). A moins que ces conditions ne sautent aux yeux, il appartient au recourant d'en démontrer la réalisation sous peine d'irrecevabilité (<ref-ruling> consid. 4 p. 95).
La décision attaquée retient que c'est à tort que le Service cantonal a refusé d'entrer en matière sur la réclamation formulée le 30 octobre 2013 par le contribuable. Partant, elle admet le recours, annule la décision d'irrecevabilité du 14 novembre 2014 et renvoie la cause au Service cantonal pour décision au fond. Contrairement à l'avis du recourant, il s'agit donc d'une décision incidente, de sorte que le recours n'est ouvert que si l'une des hypothèses de l'art. 93 LTF est réalisée.
1.2. Selon la jurisprudence, une autorité qui devrait, à la suite d'une décision de renvoi, rendre une nouvelle décision qui, de son point de vue, serait contraire au droit sans pouvoir par la suite la remettre en cause devant l'instance supérieure, est réputée subir un préjudice irréparable au sens de l'art. 93 al. 1 let. a LTF (cf. arrêt 2C_533/2013 du 21 mars 2014 consid. 1.2, non publié in <ref-ruling>; <ref-ruling> consid. 1.3 p. 128).
En l'espèce, l'arrêt attaqué invite de manière contraignante le Service cantonal à entrer en matière, contre sa volonté, sur la réclamation formulée le 30 octobre 2013 par le contribuable. Le recours est donc recevable sous l'angle de l'art. 93 al. 1 let. a LTF.
1.3. La décision entreprise a par ailleurs été rendue par une autorité judiciaire supérieure ayant statué en dernière instance cantonale (art. 86 al. 1 let. d et al. 2 LTF), dans une cause de droit public (art. 82 let. a LTF) et qui ne tombe pas sous le coup d'une clause d'exception de l'article 83 LTF. Elle peut donc faire l'objet d'un recours en matière de droit public, voie de recours également ouverte par l'art. 73 al. 1 de la loi fédérale du 14 décembre 1990 sur l'harmonisation des impôts directs des cantons et des communes (LHID; RS 642.14), dès lors que le recours concerne la notification d'une décision de taxation et le délai de réclamation à son encontre, soit des matières harmonisées.
1.4. Déposé en temps utile, compte tenu des féries (art. 46 al. 1 let. b et 100 al. 1 LTF), et dans les formes prescrites (art. 42 LTF), le recours en matière de droit public est donc recevable, le Service cantonal ayant qualité pour recourir (art. 73 al. 2 LHID en lien avec l'art. 89 al. 2 let. d LTF).
2.
2.1. D'après l'art. 106 al. 1 LTF, le Tribunal fédéral applique le droit d'office. Il examine en principe librement l'application du droit fédéral ainsi que la conformité du droit cantonal harmonisé et de son application par les instances cantonales aux dispositions de la LHID. Conformément à l'art. 106 al. 2 LTF et en dérogation à l'art. 106 al. 1 LTF, le Tribunal fédéral ne connaît toutefois de la violation des droits fondamentaux que si un tel moyen a été invoqué et motivé par le recourant, à savoir exposé de manière claire et détaillée (<ref-ruling> consid. 3 p. 237).
2.2. Le Tribunal fédéral statue sur la base des faits établis par l'autorité précédente (cf. art. 105 al. 1 LTF). Le recours ne peut critiquer les constatations de fait que si les faits ont été établis de façon manifestement inexacte ou en violation du droit au sens de l'art. 95 LTF, et si la correction du vice est susceptible d'influer sur le sort de la cause (art. 97 al. 1 LTF). La notion de "manifestement inexacte" correspond à celle d'arbitraire au sens de l'art. 9 Cst. (cf. <ref-ruling> consid. 2.1 p. 450). Si le recourant entend s'écarter des constatations de fait de l'autorité précédente, il doit expliquer de manière circonstanciée en quoi les conditions d'une exception prévue par l'art. 105 al. 2 LTF seraient réalisées. En particulier, le Tribunal fédéral n'entre pas en matière sur des critiques de type appellatoire portant sur l'état de fait (cf. <ref-ruling> consid. 3 p. 104 s.).
Par conséquent,en tant que le recourant avance des éléments de fait ne ressortant pas de l'arrêt attaqué, notamment en relation avec la preuve de la notification des décisions de taxation litigieuses, sans exposer en quoi les conditions qui viennent d'être rappelées seraient réunies, il n'en sera pas tenu compte.
3.
Selon les constatations de la Commission de recours, qui lient le Tribunal fédéral (art. 105 al. 1 LTF, cf. consid. 2.2 ci-dessus), les autorités fiscales n'ont pu établir la preuve de la notification des bordereaux litigieux qu'à partir du 18 octobre 2013. Il ressort en revanche des faits retenus par ladite Commission que, le 3 novembre 2011, le contribuable a reçu un commandement de payer concernant les impôts communaux relatifs aux années 2004 à 2007.
Il s'agit ainsi de définir, à partir de ces éléments, si c'est à juste titre que la Commission de recours a considéré que la réclamation formulée le 30 octobre 2013 par le contribuable n'était pas tardive.
3.1. L'art. 41 al. 3 LHID dispose que les décisions de taxation sont notifiées au contribuable par écrit et doivent indiquer les voies de droit; les autres décisions et prononcés doivent en outre être motivés. Selon l'art. 48 al. 1 LHID, le contribuable peut adresser à l'autorité de taxation une réclamation écrite contre la décision de taxation dans les trente jours qui suivent sa notification.
L'art. 41 LHID ne mentionne pas de manière exhaustive les droits de procédure des contribuables (cf. MARTIN ZWEIFEL, ad art. 41 LHID, in ZWEIFEL/ATHANAS [éds], StHG-Kommentar, vol. I/1, 2e éd., 2002, n. 2 p. 704). Se pose ainsi la question de savoir s'il doit être complété par les normes ad hoc du droit cantonal, tout en relevant que la loi sur l'harmonisation a restreint les compétences des cantons pour la mise en oeuvre du droit cantonal de procédure, la procédure faisant partie des domaines harmonisés (art. 39 ss LHID; arrêt 2C_318/2009 du 10 décembre 2009 consid. 4.1; cf. déjà <ref-ruling> consid. 4.1 ss p. 70 ss, ainsi que les arrêts 2C_458/2012 du 15 mars 2013 consid. 4 et 2C_503/2010 du 11 novembre 2010 consid. 2.3.1).
Au demeurant, les garanties de procédure minimales de l'art. 29 Cst. complètent de manière subsidiaire une législation cantonale fragmentaire (cf. MARTIN ZWEIFEL, ad art. 41 LHID, op. cit., n. 1 p. 704).
3.2. Selon l'art. 139 al. 1 de la loi fiscale valaisanne du 10 mars 1976 (ci-après: LF/VS; RS/VS 642.1), le contribuable peut adresser à l'autorité de taxation une réclamation écrite contre la décision de taxation dans les trente jours qui suivent sa notification. La loi valaisanne du 6 octobre 1976 sur la procédure et la juridiction administratives (ci-après: LPJA/VS; RS/VS 172.6) règle la procédure de décision aux art. 29 ss LPJA/VS. En particulier, elle indique à l'art. 29 al. 1 LPJA/VS que l'autorité notifie sa décision à chaque partie par écrit. Enfin, l'art. 31 LPJA/VS prévoit qu'une notification irrégulière ne peut entraîner aucun préjudice pour les parties. Ce principe complète ainsi la règle générale de l'art. 41 al. 3 LHID, dans la mesure où cet article est sommaire (<ref-ruling> consid. 3.2 p. 116 a contrario) et ne parle pas de notification irrégulière.
3.3. Le principe énoncé à l'art. 31 LPJA/VS, qui est un principe général du droit (exprimé notamment à l'art. 49 LTF), découle des règles de la bonne foi, qui imposent des devoirs à l'autorité dans la conduite d'une procédure. Ainsi, le destinataire d'un prononcé administratif ou judiciaire déficient n'a pas à subir les conséquences d'un acte imputable aux seules autorités. En particulier, il n'a pas à être restreint dans l'une des multiples modalités de son droit d'être entendu à la suite d'un tel vice de notification (cf. arrêt 2C_318/2009 du 10 décembre 2009 consid. 3.3, in RDAF 2010 II 303).
Ce principe comporte toutefois une réserve: l'art. 5 al. 3 in fine Cst. impose au citoyen d'agir de manière conforme aux règles de la bonne foi (<ref-ruling> consid. 8.3.2 p. 53 s.). Il n'est ainsi pas contesté qu'une partie qui connaît ou doit connaître l'existence d'un prononcé la concernant mais qui n'entreprend aucune démarche pour en obtenir la communication agit de manière contraire à la bonne foi. Elle doit en effet faire preuve de diligence (cf. <ref-ruling> consid. 1 p. 197) et est tenue de se renseigner sur l'existence et le contenu de la décision dès qu'elle peut en soupçonner le prononcé, à défaut de quoi elle risque de se voir opposer l'irrecevabilité de son recours pour cause de tardiveté (cf. arrêts 2C_591/2014 du 29 septembre 2014 consid. 5.3; 1C_297/2014 du 19 juin 2014 consid. 2; 2C_318/2009 du 10 décembre 2009 consid. 3.3, in RDAF 2010 II 303).
Le principe de la bonne foi, en sa qualité de principe général du droit, s'applique également en droit cantonal. La jurisprudence du Tribunal fédéral le reprend d'ailleurs en matière d'impôts cantonaux et communaux dans le cadre de recours tardifs (cf. arrêt 2C_318/2009 du 10 décembre 2009 consid. 4.3 et les arrêts cités, in RDAF 2010 II 303).
3.4. En l'espèce, il ressort des faits retenus par la Commission de recours que, le 3 novembre 2011, l'intimé a reçu un commandement de payer concernant les impôts communaux relatifs aux années 2004 à 2007, contre lequel il a formé opposition. Par la suite, le 26 septembre 2012, la Cour des poursuites et faillites du Tribunal cantonal du canton de Vaud (ci-après: la Cour des poursuites et faillites) a maintenu cette opposition, au motif qu'il n'était pas établi que les factures des impôts en question avaient été notifiées au contribuable.
Dans ces circonstances, le contribuable - qui avait eu gain de cause dans la procédure de poursuite - pouvait, de bonne foi, s'attendre des autorités fiscales qu'elles lui notifient à nouveau les bordereaux litigieux. En effet, en faisant opposition au commandement de payer et en recourant contre la décision de mainlevée définitive, il n'est pas resté inactif et s'est donc conformé aux règles de la bonne foi (cf. supra consid. 3.3). Au demeurant, à la suite de la procédure de poursuite et de l'arrêt de la Cour des poursuites et faillites du 26 septembre 2012, les autorités de taxation ont été informées du fait que le contribuable contestait avoir reçu les bordereaux communaux pour les périodes 2004 à 2007 et qu'il n'était pas établi qu'il les avait reçus.
Il appartenait ainsi aux autorités fiscales de procéder à une nouvelle notification des bordereaux litigieux. C'est ce qu'a fait la commune d'Evolène le 18 octobre 2013. En déposant une réclamation le 30 octobre 2013, on ne peut reprocher à l'intimé d'avoir agi contrairement à la bonne foi. C'est dès lors à juste titre que la Commission de recours a considéré que la réclamation de l'intéressé n'était pas tardive.
Il sied encore de relever que la réclamation en question concerne uniquement les bordereaux communaux pour les périodes 2004 à 2007. Il se pose ainsi la question de savoir quels sont les éléments que le contribuable peut critiquer dans la procédure de réclamation. Cependant, du moment que cette question concerne le droit cantonal de procédure et qu'aucun grief n'a été soulevé à ce propos, il n'y a pas lieu de l'examiner plus avant.
4.
Les considérants qui précèdent conduisent au rejet du recours dans la mesure où il est recevable.
Succombant en tous points, le recourant, qui s'adresse au Tribunal fédéral dans l'exercice des ses fonctions officielles et dont l'intérêt patrimonial est en cause, doit supporter les frais judiciaires (art. 66 al. 1 et 4 LTF). L'intimé, représenté par un mandataire professionnel, a obtenu gain de cause; il a droit par conséquent à une indemnité à titre de dépens à charge du canton du Valais (art. 68 al. 1 et 2 LTF).

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce :
1.
Le recours est rejeté dans la mesure où il est recevable.
2.
Les frais judiciaires, arrêtés à 2'000 fr., sont mis à la charge du canton du Valais.
3.
Le canton du Valais versera à l'intimé une indemnité de 2'000 fr. à titre de dépens.
4.
Le présent arrêt est communiqué au Service cantonal des contributions du canton du Valais, au mandataire de l'intimé, à la Commission cantonale de recours en matière fiscale du canton du Valais et à l'Administration fédérale des contributions.
Lausanne, le 7 mars 2016
Au nom de la IIe Cour de droit public
du Tribunal fédéral suisse
Le Président : Zünd
Le Greffier : Ermotti