Faits :
A.
Y._ et X._, avocat dans le canton du Valais, ont, les 8 respectivement 23 août 2005, conclu une convention de fiducie aux termes de laquelle celui-ci encaissait les montants revenant à celui-là sur la base de contrats conclus et percevait des honoraires de 5 % sur chaque montant encaissé. L'activité de X._ s'est ultérieurement élargie à la détention d'actions, à la gestion de la société Z._ SA (ci-après : la Société) et d'autres sociétés dont Y._ était l'actionnaire majoritaire, de même qu'au développement d'affaires en général. Pour concrétiser cette relation de partenaires, Y._ a cédé à X._ 15 % du capital-actions de X._ SA.
Ensuite de la résiliation de la convention de fiducie par Y._ le 19 novembre 2010, X._ a revendiqué le paiement de ses honoraires et la propriété des 15 % du capital-actions de X._ SA. Y._ n'a pas donné suite à ces demandes. X._ a dès lors exercé un droit de rétention sur les actions qu'il détenait à titre fiduciaire (85 %) respectivement comme propriétaire (15 %).
Dans ces circonstances, Y._ a mandaté l'avocat A._, en vue d'obtenir, par le biais d'une poursuite, le paiement d'environ 850'000 fr. par X._. A la suite de la dénonciation déposée par le précité à l'encontre de A._ auprès de la Commission du barreau de la République et canton de Genève le 16 janvier 2013, celle-ci a estimé que les démarches entreprises par le dénoncé n'étaient pas constitutives d'une violation de l'art. 12 let. a de la loi fédérale du 23 juin 2000 sur la libre circulation des avocats (LLCA ou la loi sur les avocats; RS 935.61).
Le 28 mai 2013, A._ a saisi la Chambre de surveillance des avocats du canton du Valais (ci-après: la Chambre de surveillance des avocats) d'une dénonciation à l'encontre de X._. Le premier reprochait notamment au second d'avoir étayé la dénonciation du 16 janvier 2013 précitée avec de la correspondance transactionnelle frappée des réserves d'usage, ce qui constituait une violation de l'art. 12 let. a LLCA. Dans une écriture complémentaire du 3 juillet 2013, A._ a encore affirmé que X._ avait également enfreint ses devoirs professionnels en révélant, lors d'une séance devant le Tribunal du district de Sion le 14 juin 2013, le contenu des principaux échanges intervenus entre eux, lesquels faisaient état des réserves d'usage.
Dans ses déterminations des 9 juillet et 20 novembre 2013, X._ a soutenu qu'il n'avait pas violé l'art. 12 let. a LLCA, dès lors qu'il n'avait jamais agi en qualité d'avocat mais en celle d'administrateur et/ou de fiduciaire, plus particulièrement de partenaire d'affaires de Y._.
B.
Par décision du 26 août 2016, la Chambre de surveillance des avocats a reconnu X._ coupable d'une violation de l'art. 12 let. a LLCA et lui a infligé une amende de 7'000 fr.
Le Tribunal cantonal du canton du Valais, en sa qualité d'Autorité cantonale de surveillance des avocats (ci-après : le Tribunal cantonal), a rejeté le recours interjeté par l'intéressé contre cette décision par jugement du 2 février 2017.
C.
Agissant par la voie du recours en matière de droit public, X._ demande en substance au Tribunal fédéral, sous suite de frais et dépens, d'annuler la décision attaquée, subsidiairement de la renvoyer à l'autorité précédente pour nouvelle décision au sens des considérants.
Le Tribunal cantonal se réfère aux considérants de son jugement du 2 février 2017. La Chambre de surveillance des avocats conclut au rejet du recours. Le recourant n'a pas déposé d'observations finales.

Considérant en droit :
1.
Le Tribunal fédéral examine d'office sa compétence (art. 29 al. 1 LTF). Il contrôle librement la recevabilité des recours qui lui sont soumis (<ref-ruling> consid. 1 p. 116).
Le présent litige concerne une sanction disciplinaire infligée à un avocat sur la base de la loi sur les avocats, qui relève du droit public au sens de l'art. 82 let. a LTF. Le recours est dirigé contre une décision finale (art. 90 LTF), rendue en dernière instance cantonale par un tribunal supérieur (art. 86 al. 1 let. d et al. 2 LTF) dans une cause ne tombant pas sous le coup de l'une des exceptions prévues à l'art. 83 LTF. La voie du recours en matière de droit public est partant ouverte. Au surplus, le recours a été déposé en temps utile (art. 100 al. 1 LTF) et dans les formes requises (art. 42 LTF) par le destinataire de l'arrêt attaqué qui a qualité pour recourir au sens de l'art. 89 al. 1 LTF. Il est par conséquent recevable.
2.
Le recourant se plaint de la "constatation inexacte" des faits sur différents points.
2.1. Saisi d'un recours en matière de droit public, le Tribunal fédéral examine librement la violation du droit fédéral (cf. art. 95 let. a et 106 al. 1 LTF). Il statue sur la base des faits établis par l'autorité précédente (art. 105 al. 1 LTF), sous réserve des cas prévus à l'art. 105 al. 2 LTF. La partie recourante ne peut critiquer les constatations de fait ressortant de la décision attaquée que si celles-ci ont été effectuées en violation du droit au sens de l'art. 95 LTF ou de manière manifestement inexacte, c'est-à-dire arbitraire (<ref-ruling> consid. 1.4.1 p. 100), et si la correction du vice est susceptible d'influer sur le sort de la cause (art. 97 al. 1 LTF; <ref-ruling> consid. 6 p. 358; <ref-ruling> consid. 5.4 p. 324).
Conformément à l'art. 106 al. 2 LTF, la partie recourante doit expliquer de manière circonstanciée en quoi ces conditions seraient réalisées. Les faits et les critiques invoqués de manière appellatoire sont irrecevables (<ref-ruling> consid. 2.4 p. 368; <ref-ruling> consid. 2.3 p. 266). Aucun fait nouveau ni preuve nouvelle ne peut être présenté à moins de résulter de la décision de l'autorité précédente (art. 99 al. 1 LTF). Il appartient, le cas échéant, au recourant d'exposer les raisons pour lesquelles il considère être en droit de présenter exceptionnellement des faits ou des moyens de preuve nouveaux (<ref-ruling> consid. 3 p. 395).
2.2. Le recourant soutient que l'autorité précédente a omis de tenir compte du fait que la convention de fiducie est "devenue caduque de plein droit" le 30 août 2006 d'une part et que Y._ n'est devenu actionnaire majoritaire de la Société qu'à partir du 8 septembre 2006 d'autre part. Or, ces éléments de fait démontreraient que, contrairement à ce qu'a retenu le Tribunal cantonal, le recourant n'était plus l'avocat de Y._ lorsqu'il est devenu administrateur unique de la Société.
L'argumentation du recourant ne répond pas aux exigences de motivation en lien avec l'arbitraire (cf. supra consid. 2.1), de sorte qu'il n'y a pas lieu de l'examiner plus avant. Quoi qu'il en soit, une éventuelle modification de l'état de fait dans le sens évoqué par l'intéressé ne justifierait de toute façon pas à elle seule de trancher différemment la question de savoir si le recourant a violé ou non l'art. 12 let. a LLCA (cf. infra consid. 3 et 4).
2.3. Le recourant fait également valoir que Y._ aurait le premier révélé le contenu des pourparlers transactionnels en cause, lors de l'audience du 14 juin 2013 devant le Tribunal du district de Sion, sans que son avocat ne s'y oppose; le recourant, pour sa part, se serait limité à répéter et à préciser ces propos. Ce serait par ailleurs Y._ qui aurait induit certaines questions posées par le juge impliquant que le recourant doive procéder de la sorte.
A nouveau, le recourant ne fait que relater des évé nements que l'autorité précédente n'a pas retenus dans l'état des faits, sans expliquer de la manière exigée (consid. 2.1) en quoi l'état de fait retenu par le Tribunal cantonal serait manifestement inexact ou violerait le droit. En particulier, le recourant ne mentionne pas (et démontre encore moins) l'arbitraire et ne cite pas non plus l'art. 9 Cst. Le recourant se réfère à l'art. 12 LLCA en relation avec la "constatation inexacte" des faits susmentionnés; il ressort néanmoins de l'arrêt attaqué que les juges précédents ont correctement déterminé le droit applicable, à savoir l'art. 12 LLCA, et compris ladite disposition. Partant, à supposer que le recourant avait invoqué les faits en cause dans son recours devant l'autorité précédente (ce qu'il ne prétend pas), le fait que celle-ci ne les ait pas retenus dans l'arrêt attaqué relève de l'appréciation des preuves. Or, s'il entendait contester cette appréciation, le recourant devait montrer en quoi le Tribunal cantonal était tombé dans l'arbitraire à cet égard, ce qu'il ne fait pas. Le grief est ainsi insuffisamment motivé au regard de l'art. 106 al. 2 LTF. Par conséquent, il n'y a pas lieu de s'écarter des faits constatés dans l'arrêt attaqué sur ce point.
2.4. Quant aux questions de savoir si, d'une part, l'exercice de la fonction d'administrateur unique de la Société par le recourant tombe ou non sous le coup de l'art. 12 let. a LLCA et, d'autre part, si le recourant a violé ou non cette disposition par les actes dénoncés, elles ne relèvent pas de l'établissement des faits mais de leur appréciation juridique. Il s'agit donc là de questions de droit que le Tribunal fédéral examinera ci-après (cf. infra consid. 3 et 4).
2.5. Au surplus, dans la mesure où le recourant présente, tout au long de son écriture, une argumentation partiellement appellatoire, en opposant sa propre version des faits à celle du Tribunal cantonal, sans cependant invoquer ni l'arbitraire, ni une constatation manifestement inexacte des faits, le Tribunal fédéral ne peut pas en tenir compte. La Cour de céans statuera donc sur la base des faits tels qu'ils ressortent de l'arrêt attaqué.
3.
Le recourant, contrairement à ce qu'a retenu le Tribunal cantonal, considère que son activité d'administrateur unique de la Société n'est pas soumise à la loi sur les avocats.
3.1. La loi sur les avocats s'applique aux titulaires d'un brevet d'avocat qui pratiquent, dans le cadre d'un monopole, la représentation en justice en Suisse (art. 2 al. 1 LLCA). Elle régit l'ensemble de leur activité professionnelle, que celle-ci relève de la représentation ou du conseil. Les avocats y sont également soumis lorsqu'ils agissent dans le cadre d'un contrat de fiducie, comme exécuteurs testamentaires, gérants de fortune ou mandataires à l'encaissement ou encore comme membres d'un conseil d'administration (cf. arrêts 2C_257/2010 du 23 août 2010 consid. 3.1 et les auteurs cités; 2C_889/2008 du 21 juillet 2009 consid. 2.1 et la doctrine citée). De telles activités sortent certes du cadre strict du monopole concédé aux avocats et peuvent être exercées par tout un chacun. Celles-ci ne sont néanmoins pas, de par leur nature, soustraites à l'exercice de la profession d'avocat. Elles peuvent ainsi entraîner la responsabilité disciplinaire de la personne mise en cause lorsqu'elle a fonctionné en sa qualité d'avocat (cf. arrêt 2C_257/2010 du 23 août 2010 consid. 3.2).
Encore faut-il, en principe, que ces activités soient en lien direct avec la profession d'avocat. Le caractère onéreux de la prestation est à cet égard un indice de la nature professionnelle du service rendu. Selon certains auteurs, l'usage du titre d'avocat constitue également un critère (BOHNET/MARTENET, Droit de la profession d'avocat, 2009, n° 1116 et 1119). D'après un autre auteur, l'avocat agit dans l'exercice de sa profession lorsqu'il est fait appel à lui en vue d'accéder au droit (KASPAR SCHILLER, Schweizerisches Anwaltsrecht, 2009, n° 330 ss). De manière très générale, l'activité extra-professionnelle des avocats n'est pas soumise à la LLCA. Il en va ainsi non seulement des comportements qui relèvent de leur vie privée, mais aussi des activités politiques et associatives ainsi que de la participation à des organismes poursuivant un but économique, lorsque l'intéressé n'en fait pas partie en sa qualité d'avocat et cherche à promouvoir des intérêts étrangers à sa profession. En principe, les comportements relevant de ce champ d'activités ne tombent sous le coup de la loi sur les avocats que s'ils donnent lieu à des condamnations pénales incompatibles avec la profession d'avocat ou si, en raison d'une telle activité, l'intéressé fait l'objet d'un acte de défaut de biens (cf. art. 8 al. 1 let. b et c LLCA; cf. arrêts 2C_257/2010 du 23 août 2010 consid. 3.1 et les auteurs cités; 2C_889/2008 du 21 juillet 2009 consid. 2.1 et les auteurs cités).
3.2. En l'espèce, il ressort des constations de fait du jugement entrepris que le recourant, dans le litige impliquant la Société dont il était l'administrateur unique, a fait usage de son papier-en-tête professionnel et s'est expressément prévalu de son titre d'avocat. De tels éléments sont à eux seuls suffisants pour considérer que le recourant a agi comme avocat et soumettre son activité d'administrateur unique de la Société à la surveillance instituée par la loi sur les avocats (cf. arrêt 2C_257/2010 du 23 août 2010 consid. 3.3), ceci indépendamment du nombre de fois où cette façon de procéder est survenue. La jurisprudence retient en effet une définition très large du concept d'exercice de la profession d'avocat en matière disciplinaire, afin de protéger le public et de préserver la réputation et la dignité de la profession. C'est dans ce sens que le Tribunal fédéral a jugé que l'administration de patrimoines, notamment immobiliers, était bien soumise au régime de la surveillance (cf. arrêts 2C_257/2010 du 23 août 2010 consid. 3.3; 4P.275/2004 du 22 décembre 2004 consid. 3).
Cela étant, comme retenu par le Tribunal cantonal, les éléments suivants viennent confirmer que le recourant a effectivement agi comme avocat dans l'exercice de son mandat d'administrateur unique de la Société. Premièrement, le siège social de celle-ci était sis à l'étude sédunoise du recourant et la plupart des courriers concernant la Société ont été expédiés par le recourant de ses adresses professionnelles à Lausanne ou à Sion; il en va de même de la correspondance reçue par l'intéressé dans ce cadre. Deuxièmement, les 14 et 16 février 2012, le recourant et l'avocat de Y._ ont échangé des courriers soumis aux réserves d'usage, ce qui est caractéristique des échanges entre avocats. C'est ainsi à raison que le Tribunal cantonal a considéré que le recourant était soumis à la loi sur les avocats. Le fait que l'avocat de Y._ ait adressé le courrier du 14 février 2012 au recourant en tant que président de la Société et que celui-ci ait rédigé un courrier du 16 février 2012 sur le papier en-tête de la Société (art. 105 al. 2 LTF) ne saurait modifier cette conclusion.
4.
Le recourant conteste avoir violé une règle professionnelle, à savoir celle énoncée à l'art. 12 let. a LLCA.
4.1.
4.1.1. L'art. 12 LLCA énonce les règles professionnelles auxquelles l'avocat est soumis. Celui-ci doit notamment exercer sa profession avec soin et diligence (art. 12 let. a LLCA). Cette disposition constitue une clause générale (<ref-ruling> consid. 3.2 p. 276; arrêt 2C_1060/2016 du 13 juin 2017 consid. 4.1) qui permet d'exiger de l'avocat qu'il se comporte correctement dans l'exercice de sa profession (FF 1999 5331, 5368; cf. dans ces sens: <ref-ruling> consid. 1.3.2 p. 158). L'art. 12 let. a LLCA suppose l'existence d'un manquement significatif aux devoirs de la profession (arrêts 2C_1060/2016 du 13 juin 2017 consid. 4.1; 2C_452/2011 précité, consid. 5.1; 2C_379/2009 du 7 décembre 2009 consid. 3.1). L'art. 17 al. 1 let. c LLCA prévoit qu'en cas de violation d'une règle professionnelle, l'autorité de surveillance (cantonale) peut prononcer à l'encontre d'un avocat, entre autres mesures disciplinaires, une amende.
Les règles professionnelles (" Berufsregeln"; énumérées à l'art. 12 LLCA) ont été édictées, afin de réglementer, dans l'intérêt public, l'exercice d'une profession. Elles se distinguent des règles déontologiques (ou us et coutumes; "Standesregeln"), qui sont adoptées par les organisations professionnelles (<ref-ruling> consid. 2.1 p. 300). La loi sur les avocats définit de manière exhaustive les règles professionnelles auxquelles les avocats sont soumis. Les règles déontologiques conservent toutefois une portée juridique en permettant de préciser ou d'interpréter les règles professionnelles, mais uniquement dans la mesure où elles expriment une opinion largement répandue au plan national. Dans le but d'unifier les règles déontologiques sur tout le territoire de la Confédération, la Fédération Suisse des Avocats (FSA) a édicté le Code suisse de déontologie ([ci-après: CSD] <ref-ruling> consid. 3.1 p. 8 ss et les arrêts cités).
Selon l'art. 6 du CSD, l'avocat ne porte pas à la connaissance du tribunal des propositions transactionnelles, sauf accord exprès de la partie adverse. Après avoir posé que le caractère confidentiel d'une communication adressée à un confrère doit être clairement exprimé, l'art. 26 CSD répète qu'il ne peut être fait état en procédure "de documents ou du contenu de propositions transactionnelles ou de discussions confidentielles". Ces dispositions servent à préciser la portée de l'art. 12 let. a LLCA, qui prescrit à l'avocat d'exercer sa profession avec soin et diligence. Selon la jurisprudence, le non-respect d'une clause de confidentialité et l'utilisation en procédure du contenu de pourparlers transactionnels constituent une violation de l'obligation résultant de l'art. 12 let. a LLCA (arrêt 2C_900/2010 du 17 juin 2011 consid. 1.4; RtiD 2005 II p. 288 ss, 2A.658/2004 consid. 3.4). Le Tribunal fédéral a relevé que l'interdiction pour l'avocat de se prévaloir en justice de discussions transactionnelles confidentielles est fondée sur l'intérêt public à favoriser le règlement amiable des litiges, les parties devant pouvoir s'exprimer librement lors de la recherche d'une solution extrajudiciaire (<ref-ruling> consid. 3.1 p. 8 ss; arrêt 2A.658/2004 susmentionné consid. 3.3).
En présence d'un courrier désigné expressément comme confidentiel, dont les propositions transactionnelles avaient été caviardées, le Tribunal fédéral a jugé que la règle de confidentialité doit être interprétée dans un sens absolu et appliquée strictement (arrêt 2A.658/2004 susmentionné consid. 4.3). A ce propos, il faut admettre qu'un courrier confidentiel ne peut pas être déposé en justice, même caviardé, à moins que, manifestement, seule une partie du texte n'ait un caractère confidentiel (<ref-ruling> consid. 3.1 p. 8 ss et la doctrine citée).
4.1.2. Le Tribunal fédéral revoit librement (cf. supra consid. 2.1) le point de savoir s'il y a eu violation des règles professionnelles en fonction du comportement concret de la personne mise en cause au regard de la situation qui se présentait à elle au moment des faits (arrêts 2C_1060/2016 du 13 juin 2017 consid. 4.1; 2C_782/2015 du 19 janvier 2016 consid. 2).
4.2. En l'espèce, le Tribunal cantonal a constaté que, dès le 16 décembre 2011, le recourant et l'avocat de Y._ étaient entrés en pourparlers transactionnels pour mettre un terme amiable à leurs différends en lien avec la résiliation de la convention de fiducie et la propriété du capital-actions de la Société. Dans ce contexte, le recourant et l'avocat de Y._ avaient expressément indiqué, dans les plis qu'ils avaient échangés les 14 et 16 février 2012, que la teneur de leurs discussions actuelles et futures était soumise aux réserves d'usage. Or, c'était précisément ce processus transactionnel, destiné à demeurer confidentiel, que le recourant avait dévoilé, devant le Tribunal du district de Sion le 14 juin 2013, en fournissant des détails sur les enjeux principaux.
Le recourant ne conteste pas ces constatations de faits. Il estime toutefois s'être trouvé dans un cas particulier justifiant de déroger au principe de confidentialité lui incombant en vertu de l'art. 12 let. a LLCA mis en lien avec les art. 6 et 26 CSD, ce qu'il convient d'examiner.
4.3.
4.3.1. La règle de confidentialité découlant de l'art. 12 let. a LLCA mis en lien avec les art. 6 et 26 CSD porte à la fois sur l'existence et la teneur de pourparlers transactionnels. C'est pourquoi, contrairement à ce que semble croire le recourant, l'avocat est seul en mesure de décider si la révélation d'informations à une autorité judiciaire peut intervenir ou non en respect des dispositions précitées. Aucune autorité n'est d'ailleurs habilitée à lever l'obligation de confidentialité de l'avocat relevant des dispositions précitées, au contraire du secret professionnel. Cette obligation de confidentialité imposée à l'avocat a, compte tenu de son caractère strict et absolu d'une part et de son but d'autre part, comme corollaire qu'un tribunal ne peux exiger de l'avocat qu'il révèle l'existence de pourparlers transactionnels ou leur teneur. Ceci signifie en d'autres termes que la règle de confidentialité en question prime sur les art. 160 ss CPC relatifs à l'obligation de collaborer des parties, et ce même lorsque celles-ci sont exhortées à répondre conformément à la vérité et rendues attentives aux conséquences pénales d'une fausse déclaration conformément à l'art. 192 CPC. Cette conclusion suffit à sceller le sort du grief, sous cet angle. Point n'est donc besoin d'examiner si le recourant bénéficiait de la protection des art. 160 al. 1 let. b et 163 al. 1 let. b CPC relative au secret professionnel de l'avocat (cf. arrêt 4P.275/2004 du 22 décembre 2004 consid. 3).
4.3.2. Le recourant soutient également que l'art. 717 CO l'obligeait, en sa qualité d'administrateur unique de la Société, à préserver les intérêts de celle-ci en révélant l'existence et la teneur des pourparlers transactionnels en cause. On cherche en vain quels intérêts de la Société auraient, en l'occurrence, dû concrètement être protégés, étant précisé que le recourant ne les mentionne pas. Peu importe au demeurant, car l'intérêt public à favoriser le règlement amiable des litiges doit, en vertu de la jurisprudence susmentionnée, prévaloir de manière stricte et absolue sur les intérêts des avocats ou de ceux des parties qu'il représente à la divulgation des informations couvertes par la règle de confidentialité découlant des art. 12 let. a LLCA mis en lien avec les art. 6 et 26 CSD.
4.4. Dans ces circonstances, c'est à bon droit que le Tribunal cantonal a jugé que le recourant avait transgressé l'art. 12 let. a LLCA.
5.
Le recourant invo que dans son recours le principe de la bonne foi et celui de l'égalité de traitement, sans toutefois développer son argumentation à cet égard. Dès lors qu'il s'agit de droits et principes fondamentaux, le Tribunal fédéral n'entre en matière que si le grief a été invoqué et motivé par le recourant (art. 106 al. 2 LTF). Tel n'est pas le cas en l'espèce, dès lors que le recours ne contient même pas un exposé succinct de ces droit et principe constitutionnels, ni ne précise en quoi consiste la violation (<ref-ruling> consid. 1.5 p. 144; <ref-ruling> consid. 1.3 p. 41; <ref-ruling> consid. 2.2 p. 232).
6.
Le recourant a été sanctionné par une amende de 7'000 fr., ce qui constitue une sanction disciplinaire d'importance moyenne (cf. art. 17 LLCA). Dans la mesure où l'intéressé a deux fois fait l'objet, à savoir en 2009 (amende de 3'000 fr.) et 2013 (amende de 500 fr.), de condamnations par la Chambre des avocats vaudois pour violation de l'art. 12 let. a LLCA, le Tribunal cantonal a considéré à raison que l'amende de 7'000 fr. n'apparaissait ni disproportionnée ni exagérée. Le recourant ne s'en prend au demeurant pas à cette appréciation.
7.
Les considérants qui précèdent conduisent au rejet du recours.
Succombant, le recourant doit supporter les frais judiciaires (art. 66 al. 1 LTF). Il n'est pas alloué de dépens (art. 68 al. 1 et 3 LTF).

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce :
1.
Le recours est rejeté.
2.
Les frais judiciaires, arrêtés à 2'000 fr., sont mis à la charge du recourant.
3.
Le présent arrêt est communiqué à la mandataire du recourant, à la Chambre de surveillance des avocats et au Tribunal cantonal du canton du Valais, Autorité de surveillance des avocats.
Lausanne, le 4 décembre 2017
Au nom de la IIe Cour de droit public
du Tribunal fédéral suisse
Le Président : Seiler
La Greffière : Jolidon