Sachverhalt:
A.
A._ beantragte mit Schreiben vom 8. September 2016 die Bestrafung von B._ wegen Ehrverletzung anlässlich eines am 12. Juni 2016 ausgestrahlten Radiointerviews. B._ ist Kulturdirektor der Stadt Zürich. Die Staatsanwaltschaft Zürich-Limmat überwies die Sache dem Obergericht des Kantons Zürich zum Entscheid über die Ermächtigung zur Eröffnung einer Strafuntersuchung und beantragte, die Ermächtigung sei zu verweigern.
Am 13. Dezember 2016 beschloss das Obergericht, der Staatsanwaltschaft die Ermächtigung nicht zu erteilen.
B.
Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten vom 1. Februar 2017 beantragt A._, der Beschluss des Obergerichts sei aufzuheben und die Ermächtigung zur Strafverfolgung zu erteilen. Eventualiter sei die Sache mit einer entsprechenden Anweisung an die Vorinstanz zurückzuweisen.
Die Oberstaatsanwaltschaft und das Obergericht haben auf eine Vernehmlassung verzichtet. Die Staatsanwaltschaft hat sich nicht vernehmen lassen. Der Beschwerdegegner stellt keinen förmlichen Antrag. Er macht geltend, dass er sich in seinen Aussagen auf die Beschwerdeführerin als Geschäftsperson bezogen habe. Die Beschwerdeführerin hält in ihrer Stellungnahme dazu an ihren Anträgen und Rechtsauffassungen fest.

Erwägungen:
1.
1.1. Die Ermächtigung zur Strafverfolgung stellt eine Prozessvoraussetzung für das Strafverfahren dar, wird jedoch in einem davon getrennten Verwaltungsverfahren erteilt. Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten ist deshalb das zutreffende Rechtsmittel (<ref-ruling> E. 1.3.1 S. 272 mit Hinweisen).
1.2. Angefochten ist ein Entscheid einer letzten kantonalen Instanz, der das Verfahren abschliesst (Art. 86 Abs. 1 lit. d und Art. 90 BGG). Eine Ausnahme von der Zulässigkeit der Beschwerde nach <ref-law> besteht nicht. Lit. e dieser Bestimmung, wonach Entscheide über die Verweigerung der Ermächtigung zur Strafverfolgung von Behördenmitgliedern oder von Bundespersonal von der Beschwerdemöglichkeit ausgenommen sind, ist nur auf die obersten Vollziehungs- und Gerichtsbehörden anwendbar, denn nur bei diesen dürfen politische Gesichtspunkte in den Entscheid einfliessen (<ref-ruling> E. 1.3.2 S. 272 f. mit Hinweis).
1.3. Die Beschwerdeführerin hat am Verfahren vor dem Obergericht teilgenommen und ist von der behaupteten Ehrverletzung potenziell direkt betroffen (vgl. Urteil 1C_382/2012 vom 10. Oktober 2012 E. 2.6). Sie ist nach <ref-law> grundsätzlich zur Beschwerde legitimiert.
1.4. Die übrigen Sachurteilsvoraussetzungen geben zu keinen Bemerkungen Anlass. Auf die Beschwerde ist einzutreten.
2.
2.1. Nach <ref-law> sind die Strafbehörden verpflichtet, im Rahmen ihrer Zuständigkeit ein Verfahren einzuleiten und durchzuführen, wenn ihnen Straftaten oder auf Straftaten hinweisende Verdachtsgründe bekannt werden. Gemäss <ref-law> können die Kantone allerdings vorsehen, dass die Strafverfolgung der Mitglieder ihrer Vollziehungs- und Gerichtsbehörden wegen im Amt begangener Verbrechen oder Vergehen von der Ermächtigung einer nicht richterlichen oder richterlichen Behörde abhängt. Diese Möglichkeit steht den Kantonen für sämtliche Mitglieder ihrer Vollziehungs- und Gerichtsbehörden offen. Dazu gehören, entgegen der Auffassung der Beschwerdeführerin, auch Gemeindeangestellte und somit auch der Beschwerdegegner als Kulturdirektor der Stadt Zürich (<ref-ruling> E. 2.7 S. 278 ff. mit Hinweisen). Das Bundesgericht hat diese Auslegung von <ref-law> im zitierten Urteil ausführlich begründet und seither bestätigt (vgl. etwa Urteil 1C_421/2014 vom 13. April 2015 E. 3.1). Die Kritik der Beschwerdeführerin gibt keinen Anlass, darauf zurückzukommen. Das Obergericht hat somit kein Bundesrecht verletzt, wenn es ein Ermächtigungsverfahren durchführte. Dessen kantonalgesetzliche Grundlage ist § 148 des Gesetzes des Kantons Zürich vom 10. Mai 2010 über die Gerichts- und Behördenorganisation im Zivil- und Strafprozess (GOG; LS 211.1).
2.2. Im Ermächtigungsverfahren dürfen - ausser bei obersten Vollziehungs- und Gerichtsbehörden - nur strafrechtliche Gesichtspunkte berücksichtigt werden (<ref-ruling> E. 2.4 S. 277 f. mit Hinweis). Das schliesst aber nicht aus, für die Erteilung der Ermächtigung minimale Hinweise auf strafrechtliches Verhalten zu verlangen. Nicht jeder behördliche Fehler begründet eine Pflicht, die Ermächtigung zur Strafverfolgung zu erteilen. Vielmehr darf dafür vorausgesetzt werden, dass ein strafrechtlich relevantes Verhalten in minimaler Weise glaubhaft erscheint, mithin genügende Anhaltspunkte für eine strafbare Handlung vorliegen (Urteil 1C_421/2014 vom 13. April 2015 E. 3.3 mit Hinweisen).
3.
3.1. Das Obergericht führte aus, der Gesuchsgegner habe im erwähnten Radiointerview über die (vertragliche) Beziehung zwischen der Beschwerdeführerin und der Stadt Zürich gesprochen. Die Äusserungen zum Geschäftsgebaren beträfen ausschliesslich die Geltung der Beschwerdeführerin als Geschäftsfrau und fielen nicht in den strafrechtlich geschützten Persönlichkeitsbereich. Die Beschwerdeführerin behaupte, es sei unwahr, was der Beschwerdegegner im Zusammenhang mit der Leihgabe von Möbeln und Kunstwerken gesagt habe. Unklar sei jedoch, inwiefern sie dadurch in ihrer Ehre verletzt worden sei. Der Schluss, sie sei gierig oder habe sich unrechtmässig bereichern wollen, dränge sich einem unbefangenen Zuhörer nicht auf. Die Aussagen, wonach man einen Vertrag normalerweise einhalte und dass sich die Beschwerdeführerin in ihrem Leben mit sehr vielen Leuten ein bisschen verkracht habe, bezögen sich durchwegs auf deren Geschäftsgebaren. Auch die Verwendung des Ausdrucks "Hähneschiss" stelle noch keine Herabwürdigung dar. Gesamthaft gesehen habe sich der Beschwerdegegner auf die Beschwerdeführerin als Geschäftsfrau bezogen und habe sich weder unnötig verletzend noch offensichtlich unverhältnismässig geäussert. Dass er Antworten gegen besseres Wissen gegeben habe, sei auch nicht ersichtlich. Es gebe somit keine Anhaltspunkte für ein im Sinne von <ref-law> strafrechtlich relevantes Verhalten.
3.2. Die Beschwerdeführerin ist der Auffassung, sie sei durch das Interview in ihrem Ruf, ein ehrbarer Mensch zu sein, betroffen worden. Sie habe das X._-Haus in Zürich als Privatperson initiiert, finanziert, gebaut und über 50 Jahre betrieben. Wenn ihr implizit ein Vertragsbruch unterstellt werde, so sei sie deshalb als Privatperson angesprochen und nicht als Geschäftsfrau. Dasselbe gelte für die weiteren Äusserungen des Beschwerdegegners, darunter die Behauptung, sie habe sich im Laufe ihres Lebens mit sehr vielen Leuten leider ein bisschen verkracht. Im Übrigen sei sie bereits seit Jahren nicht mehr als Geschäftsfrau tätig. Bei der Gesamtbeurteilung der Aussagen des Beschwerdegegners hätte das Obergericht zudem berücksichtigen müssen, dass sich dieser öffentlich am Radio geäussert habe und zudem von ihm als Amtsperson eine grössere, professionelle Zurückhaltung zu erwarten sei. Die Ehrverletzungen gingen eindeutig aus dem Inhalt, aber auch aus der Art und Weise der Äusserungen hervor. Keine Rolle spiele es hingegen, ob Letztere unnötig verletzend seien, wie das Obergericht meine.
3.3. Die Ehrverletzungstatbestände gemäss <ref-law> schützen nach ständiger Rechtsprechung den Ruf, ein ehrbarer Mensch zu sein, d.h. sich so zu benehmen, wie nach allgemeiner Anschauung ein charakterlich anständiger Mensch sich zu verhalten pflegt. Äusserungen, die sich lediglich eignen, jemanden in anderer Hinsicht, zum Beispiel als Geschäfts- oder Berufsmann, als Politiker oder Künstler in der gesellschaftlichen Geltung herabzusetzen, sind nicht ehrverletzend im Sinne von <ref-law>. Voraussetzung ist aber, dass die Kritik an den strafrechtlich nicht geschützten Seiten des Ansehens nicht zugleich die Geltung der Person als ehrbarer Mensch trifft (zum Ganzen: <ref-ruling> E. 2a S. 46 f.; Urteil 6B_8/2014 vom 22. April 2014 E. 2.1; je mit Hinweisen).
Welcher Sinn einer Äusserung zukommt, ist eine Rechtsfrage. Bei Äusserungen in Medienerzeugnissen ist auf den Eindruck des unbefangenen Durchschnittslesers bzw. -zuschauers oder -hörers mit durchschnittlichem Wissen und gesunder Urteilskraft abzustellen. Dabei ist die Äusserung in dem für den Leser erkennbaren Gesamtzusammenhang zu würdigen (<ref-ruling> E. 3.3.3 S. 164 ff.; <ref-ruling> E. 2c S. 29 f.; je mit Hinweisen). Gegenstand eines Strafverfahrens wegen übler Nachrede sind Tatsachenbehauptungen, nicht ein Gesamtbild, welches durch mehrere Tatsachenbehauptungen gezeichnet wird. Ein solches Gesamtbild kann aber für die Auslegung der einzelnen eingeklagten Äusserungen im Gesamtzusammenhang von Bedeutung sein (Urteil 6B_8/2014 vom 22. April 2014 E. 2.1 mit Hinweisen). Bei der Auslegung der Tatbestandsvoraussetzungen der Ehrverletzungsdelikte spielt es keine Rolle, ob eine Äusserung via Medien verbreitet wurde oder nicht (BGE <ref-ruling> E. 2c S. 29 mit Hinweis), es ist also nicht eher von einer Ehrverletzung auszugehen, weil der Adressatenkreis bei einer Verbreitung über Medien grösser ist.
3.4. Die Beschwerdeführerin zitiert zur Begründung ihrer Auffassung verschiedene Passagen aus dem Radiointerview (vgl. E. 3.4.1-3.4.4 hiernach). Aus ihren Ausführungen geht hervor, dass sie annimmt, der Beschwerdegegner habe sie bei den Radiohörern eines unehrenhaften Verhaltens oder anderer Tatsachen, die geeignet sind, ihren Ruf zu schädigen, beschuldigt oder verdächtigt (<ref-law>).
3.4.1. Die Beschwerdeführerin macht zunächst geltend, der Beschwerdegegner habe ihr Vertragsbruch vorgeworfen und sie so als charakterlich nicht integre Person dargestellt. Sie bezieht sich dabei auf die folgende Stelle des Interviews:
Journalist: "... mit Ausrufen wüster Lieder hat sie ihr Zeug rausgenommen und hat gesagt, die wollen mir eine Million zahlen für das Ganze, das Ganze ist aber 45 oder 70 Millionen wert."
Beschwerdegegner: "Ja, ja, du sagst ja vielleicht auch, dein Radio ist, wenn Du es verkaufst, ich weiss nicht wieviel wert. Es ist so: Frau A._ hat mit der Stadt Zürich einen Vertrag abgeschlossen, sie hat den Vertrag unterschrieben. Was ist, wenn man einen Vertrag abschliesst, C._? Normalerweise hält man ihn ein. Und in diesem Vertrag stand, dass wenn das Baurecht an die Stadt Zürich zurückfällt, sie entschädigt wird mit eins Komma ungrad Millionen. Die Stadt Zürich hat ihr das bezahlt, hat den Vertrag eingehalten und damit ist die Geschichte eigentlich fertig."
Entgegen der Auffassung der Beschwerdeführerin warf ihr der Beschwerdegegner keine Vertragsverletzung vor. Vielmehr rechtfertigte er, weshalb die Stadt Zürich eine Heimfallentschädigung von etwas mehr als einer Million (Schweizerfranken) zahlte und nicht mehr. Er nahm damit Bezug auf die vertraglichen Pflichten der Stadt und nicht diejenigen der Beschwerdeführerin. Dass im Baurechtsvertrag nicht ein fixer Betrag genannt werde und die Aussage des Beschwerdegegners insofern wahrheitswidrig sei, wie die Beschwerdeführerin in dieser Hinsicht weiter anführt, ist unbeachtlich. Der Ruf, ein ehrbarer Mensch zu sein, ist aufgrund einer allfälligen Uneinigkeit über das vertraglich Geschuldete offensichtlich nicht betroffen.
3.4.2. Weiter beanstandet die Beschwerdeführerin folgende Interviewpassage:
Journalist: "... aber was passiert jetzt dort? Das Haus steht jetzt dort und ist leer."
Beschwerdegegner: "Das stimmt überhaupt nicht..."
Journalist: "Was? Wurden die Sachen nicht abgezügelt?"
Beschwerdegegner: "Doch, sie hat Sachen abgezügelt. Wir haben schon lange, schon lange vom ersten Tag an, als wir das Haus offen hatten, haben wir das Haus wieder wunderschön gefüllt."
Die Beschwerdeführerin ist der Auffassung, der Beschwerdegegner behaupte hier implizit, dass sie sich nicht an die Abmachung gehalten und daher die "Sachen" "abgezügelt" habe. Richtig sei, dass der vereinbarte Leihvertrag abgelaufen und keine Vereinbarung betreffend die Sammlungsobjekte getroffen worden sei. Der unbefangene Hörer erhalte ein schlechtes Bild von ihr, weil der Beschwerdegegner die Situation so darstelle, als hätte sie vorzeitig und gegen die bestehende Vereinbarung der Stadt die Werke weggenommen bzw. "abgezügelt".
Entgegen der Auffassung der Beschwerdeführerin lässt sich auch dieser zweiten Passage kein Vorwurf des Vertragsbruchs entnehmen. Der Beschwerdegegner beantwortete lediglich die Frage des Journalisten, ob die Beschwerdeführerin Sachen aus dem Haus weggenommen habe. Dass dies in Verletzung vertraglicher Pflichten geschehen war, wird damit klarerweise nicht unterstellt, auch nicht durch die Verwendung des umgangssprachlichen Ausdrucks "abzügeln".
3.4.3. Die Beschwerdeführerin macht geltend, der Beschwerdegegner habe sie im weiteren Verlauf des Interviews wahrheitswidrig als penetranten Störenfried und als Person dargestellt, die nicht wisse, was sie wolle und die jede Verhältnismässigkeit vermissen lasse. Zudem werde sie als eitle Person dargestellt, der es ausschliesslich um ihr Ego gehe. Sie bezieht sich dabei auf folgende Aussagen:
Beschwerdegegner: "... Tatsache ist, dass Frau A._ - auch nachdem das Haus an die Stadt zurückgefallen ist und wir ja das Haus betrieben haben - uns immer wieder dreinreden wollte. Sie hat zum Beispiel gesagt: 'Alles, was ihr an Führungen sagt, will ich vorher gesehen haben.'... Sie hat leider nichts mehr mit dem Haus zu tun und wir machen das gut. Und man kann nicht bei jedem kleinsten Hähneschiss immer wieder Frau A._ in Y._ fragen, dürfen wir jetzt diesen Satz sagen oder dürfen wir diesen Satz nicht sagen. Dann hat sie uns gesagt - plötzlich - wir dürfen den Namen 'Centre X._ - A._ Museum' nicht mehr benützen."
Journalist: "Sie wollte einen anderen Namen, bei dem sie noch ein bisschen wichtiger ist."
Beschwerdegegner: "Sie wollte einen anderen Namen, bei dem sie noch ein bisschen wichtiger ist. Sie hat uns vorschreiben wollen, wie das Haus heissen soll. Wir haben das Haus so benannt, wie es die letzten 50 Jahre geheissen hat. Das ist dann plötzlich auch nicht mehr recht gewesen."
Gemäss <ref-law> ist der Beschuldigte nicht strafbar, wenn er beweist, dass die von ihm vorgebrachte oder weiterverbreitete Äusserung der Wahrheit entspricht, oder dass er ernsthafte Gründe hatte, sie in guten Treuen für wahr zu halten. Die zitierte Interviewpassage enthält verschiedene Tatsachenbehauptungen: Die Beschwerdeführerin soll gesagt haben, sie wolle alles (vorgängig) sehen, was an den Führungen gesagt werde; weiter soll sie der Stadt die Zustimmung entzogen haben, den Namen "Centre X._ - A._ Museum" zu verwenden; und schliesslich soll sie versucht haben, der Stadt den Namen des Hauses vorzuschreiben, wobei ihre Person darin stärker zur Geltung kommen sollte. In diesem Kontext ist auch der Begriff "Hähneschiss" zu sehen. Der Beschwerdeführer brachte damit - wenn auch in salopper Weise - zum Ausdruck, die Beschwerdeführerin könne nicht wegen jeder Lappalie um ihre Erlaubnis gefragt werden.
Die Beschwerdeführerin kritisiert das Bild, das aufgrund dieser Aussagen evoziert wird - gemäss ihren eigenen Worten wird sie fälschlicherweise als penetranter Störenfried und eitle Person dargestellt -, sie behauptet jedoch nicht, dass die erwähnten Tatsachenbehauptungen nicht der Wahrheit entsprächen. Dafür sind in den Akten auch keine Hinweise ersichtlich. Selbst wenn man mit der Beschwerdeführerin annimmt, ihre Ehre sei durch die Aussagen tangiert worden, ist jedenfalls davon auszugehen, dass dem Beschwerdegegner der in <ref-law> vorgesehene Wahrheitsbeweis gelingen würde, zumal auch ohne Weiteres anzunehmen ist, dass er dazu gemäss Ziff. 3 derselben Bestimmung zuzulassen wäre.
3.4.4. Schliesslich beanstandet die Beschwerdeführerin den letzten Wortwechsel des Radiointerviews:
Journalist: "Nach 50 Jahren sollte man doch versuchen, dass das einigermassen in Minne abläuft und dass es nicht passiert."
Beschwerdegegner: "Ja, das haben wir, das haben wir. Ich kann Dir einfach sagen: Wir haben alles dafür gemacht. Wie du ja auch weisst, hat sich Frau A._ im Lauf ihres Lebens mit sehr vielen Leuten leider ein bisschen verkracht. Ich kann Dir einfach sagen: Sowohl C._ wie auch ich, wir achten das Werk von Frau A._ sehr. Frau A._ ist eine ganz eindrückliche Person..."
Die Beschwerdeführerin macht geltend, mit diesen Worten habe der Beschwerdegegner versucht, sie für alles, was schlecht gelaufen sei, persönlich verantwortlich zu machen. Zu diesem Zweck werde wahrheitswidrig behauptet, sie habe seit jeher Streit mit zahlreichen Personen. Der Beschwerdegegner bringt dagegen vor, er habe sich mit sämtlichen Aussagen auf die Beschwerdeführerin als Geschäftsfrau bezogen und nicht auf ihre Person.
Wie bereits dargelegt, ist bei Äusserungen am Radio auf den Eindruck des unbefangenen Durchschnittshörers mit durchschnittlichem Wissen und gesunder Urteilskraft abzustellen und hat die Würdigung in dem für den Hörer erkennbaren Gesamtzusammenhang zu erfolgen. Insoweit ist Folgendes zu berücksichtigen: Die relevanten Stellen des Interviews beziehen sich hauptsächlich auf die Auseinandersetzungen zwischen der Beschwerdeführerin und der Stadt Zürich, deren Kulturdirektor der Beschwerdegegner ist. Die Aussage, wonach sich die Beschwerdeführerin im Lauf ihres Lebens mit sehr vielen Leuten leider ein bisschen verkracht habe, geht jedoch über diesen Rahmen hinaus. Aus der Warte eines unbefangenen Durchschnittshörers betrachtet, bezieht sich diese Aussage auch auf die Beschwerdeführerin als Privatperson bzw. auf ihren Charakter. Zudem legt die Verwendung der Formulierung "im Lauf ihres Lebens" nahe, dass es nicht um einzelne Ereignisse geht, sondern um einen sehr langen Zeitraum. Inhaltlich lässt sich die Aussage zudem nicht dahingehend verstehen, die Beschwerdeführerin sei eine streitbare Person, die sich für ihre Anliegen einsetzt und deshalb mit anderen Menschen zum Teil in Konflikt gerät. Dies ergibt sich aus der Verwendung des Worts "leider", wonach der Umstand, dass es immer wieder zu Konflikten im Leben der Beschwerdeführerin gekommen sein soll, zu bedauern ist. Dadurch wird ihr Charakter in ein ungünstiges Licht gerückt. Indem die Vorinstanz mit der unzutreffenden Begründung, die Aussagen hätten sich durchwegs auf den geschäftlichen Bereich bezogen, eine Ehrverletzung von vornherein ausschloss, verletzte sie Bundesrecht.
3.5. Zusammenfassend ist festzuhalten, dass hinreichende Anhaltspunkte für eine strafbare Handlung vorliegen und die Strafanzeige nicht als mutwillig erscheint. Weitere Ausführungen sind nicht angezeigt. Insbesondere ist auf das mögliche Gelingen des Wahrheits- oder Gutglaubensbeweises im Sinne von <ref-law> bzw. das Vorliegen von Rechtfertigungsgründen mangels klarer Hinweise nicht im vorliegenden Ermächtigungsverfahren einzugehen. Dies wird Gegenstand des weiteren Strafverfahrens sein.
Die Ermächtigung zur Eröffnung eines Strafverfahrens gegen den Beschwerdegegner ist deshalb zu erteilen. Der spätere Entscheid der Staatsanwaltschaft über die Erhebung einer Anklage oder die Einstellung des Strafverfahrens bleibt vorbehalten.
4.
Die Beschwerde ist gutzuheissen, der angefochtene Entscheid aufzuheben und die Ermächtigung zur Eröffnung eines Strafverfahrens gegen den Beschwerdegegner zu erteilen.
Bei diesem Verfahrensausgang sind keine Kosten zu erheben (<ref-law>). Der Kanton Zürich hat die obsiegende Beschwerdeführerin für das bundesgerichtliche und das vorinstanzliche Verfahren angemessen zu entschädigen (Art. 68 Abs. 2 und 5 BGG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird gutgeheissen und der Beschluss des Obergerichts des Kantons Zürich vom 13. Dezember 2016 aufgehoben. Die Ermächtigung zur Eröffnung eines Strafverfahrens gegen den Beschwerdegegner wird erteilt.
2.
Der Kanton Zürich hat der Beschwerdeführerin für das kantonale Verfahren eine Entschädigung von Fr. 2'000.-- zu bezahlen.
3.
Es werden keine Gerichtskosten erhoben.
4.
Der Kanton Zürich hat der Beschwerdeführerin für das Verfahren vor Bundesgericht eine Entschädigung von Fr. 2'000.-- zu bezahlen.
5.
Dieses Urteil wird den Parteien, der Staatsanwaltschaft Zürich-Limmat, der Oberstaatsanwaltschaft und dem Obergericht des Kantons Zürich, III. Strafkammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 22. Mai 2017
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Das präsidierende Mitglied: Karlen
Der Gerichtsschreiber: Dold