Sachverhalt:
A.
Mit Gesuch vom 2. Mai 2016 gegen A._ beantragte der Kanton Basel-Stadt beim Zivilgericht Basel-Stadt, es sei ihm in der Betreibung Nr. xxx des Betreibungsamts Basel-Stadt definitive Rechtsöffnung zu erteilen für einen Betrag von Fr. 19'950.-- nebst 5 % Zins seit dem 16. Februar 2016, für den bis zum 16. Februar 2016 aufgelaufenen Zins von Fr. 6'397.-- und die Zahlungsbefehlskosten von Fr. 103.30. Das Gesuch stützte sich auf eine rechtskräftige Verfügung der Sozialhilfe Basel-Stadt vom 16. Mai 2011 über die Rückforderung von Sozialhilfeleistungen, einen Kontoauszug vom 2. Mai 2016 über den Ausstand von A._ und die Übernahme der Forderungen zum Inkasso durch die Steuerverwaltung des Kantons Basel-Stadt.
Nachdem A._ binnen erstreckter Frist ihren Rechtsvorschlag nicht begründet hatte, erteilte das Zivilgericht mit Entscheid vom 17. Juni 2016 definitive Rechtsöffnung im verlangten Umfang.
B.
Gegen diesen Entscheid erhob der Ehemann von A._, B._, am 14. August 2016 Beschwerde beim Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt. Auf Verfügung des Instruktionsrichters hin unterzeichnete A._ die Beschwerde eigenhändig. In der Beschwerde brachte sie zum Ausdruck, den angefochtenen Entscheid abzulehnen. Am 19., 25. und 29. August hat B._ "nachträgliche Hinweise" und eine "zusätzliche Orientierung" eingereicht.
Mit Entscheid vom 28. September 2016 hiess das Appellationsgericht die Beschwerde teilweise gut. Es erteilte die definitive Rechtsöffnung für Fr. 19'950.-- nebst Zins zu 5 % seit 16. Februar 2016 und aufgelaufenen Zins von Fr. 4'738.10.
C.
Am 3. November 2016 (Postaufgabe) hat A._ (Beschwerdeführerin), vertreten durch ihren Ehemann B._, gegen den Entscheid des Appellationsgerichts Beschwerde in Zivilsachen an das Bundesgericht erhoben. Sinngemäss wendet sie sich gegen die Erteilung der definitiven Rechtsöffnung.
Am 6. November 2016 ersuchte A._ (vertreten durch B._) darum, die Beschwerde verbessern zu dürfen. Am 7. November 2016 hat das Bundesgericht darauf hingewiesen, dass eine Beschwerdeverbesserung nur innert der nicht erstreckbaren Beschwerdefrist möglich sei.
Das Bundesgericht hat die Akten beigezogen, aber keine Vernehmlassungen eingeholt.

Erwägungen:
1.
1.1. Die vorliegende Beschwerdesache erreicht den für eine Beschwerde in Zivilsachen erforderlichen Streitwert nicht (<ref-law>) und die Beschwerdeführerin macht keine Rechtsfrage von grundsätzlicher Bedeutung geltend (<ref-law>). Die Eingabe ist deshalb als subsidiäre Verfassungsbeschwerde entgegenzunehmen (<ref-law>).
1.2. Der Ehemann der Beschwerdeführerin, B._, ist nicht berechtigt, seine Ehefrau vor Bundesgericht zu vertreten (<ref-law>; <ref-ruling> E. 1.2 und 1.5 S. 522 ff.). Die Beschwerdeführerin hat die Beschwerde jedoch ebenfalls unterschrieben, so dass die Eingabe insofern nicht zu beanstanden ist.
1.3. Mit der Verfassungsbeschwerde kann einzig die Verletzung verfassungsmässiger Rechte gerügt werden (<ref-law>). Diesen Vorwurf prüft das Bundesgericht nicht von Amtes wegen, sondern nur insoweit, als eine entsprechende Rüge in der Beschwerde vorgebracht und begründet worden ist (Art. 117 i.V.m. <ref-law>). Dies bedeutet, dass klar und detailliert anhand der Erwägungen des angefochtenen Entscheids darzulegen ist, inwiefern verfassungsmässige Rechte verletzt worden sein sollen (<ref-ruling> E. 1.2 S. 234; <ref-ruling> E. 3.2 S. 88).
2.
Gemäss den Erwägungen des Appellationsgerichts vermochte die kantonale Beschwerde den Begründungsanforderungen nur knapp zu genügen. Die Beschwerdeführerin habe geltend gemacht, ihre Schuld sei niemals "definiert zusammengerechnet" worden. Das Appellationsgericht hat dazu erwogen, mit der rechtskräftigen Verfügung der Sozialhilfe Basel-Stadt vom 16. Mai 2011 liege ein definitiver Rechtsöffnungstitel über die Forderung von Fr. 19'950.-- vor. Nachdem die Beschwerdeführerin weder Tilgung, Stundung noch Verjährung eingewendet habe, sei die Erteilung der Rechtsöffnung für diesen Betrag und die Verzugszinsen seit 16. Februar 2016 nicht zu beanstanden. Hinsichtlich der aufgelaufenen Verzugszinsen könne die Rechtsöffnung nur für den Zeitraum vom 16. Mai 2011 bis 16. Februar 2016 (ausmachend Fr. 4'738.10) erteilt werden, nicht aber für die Zeit vom 1. Januar 2010 bis 15. Mai 2011. Die Beschwerdeführerin habe sodann kritisiert, dass dem Zivilgericht das Betreibungsbegehren vom 16. Februar 2016 und der Rechtsvorschlag vom 1. März 2016 nicht vorgelegen hätten. Gemäss den Erwägungen des Appellationsgerichts habe der Kanton Basel-Stadt (Beschwerdegegner) unter anderem den Rechtsöffnungstitel und den Zahlungsbefehl eingereicht. Es sei nicht ersichtlich, weshalb er dem Zivilgericht das Betreibungsbegehren hätte einreichen müssen. Der Rechtsvorschlag sei sodann auf dem eingereichten Zahlungsbefehl vermerkt. Schliesslich rügte die Beschwerdeführerin eine Verletzung des rechtlichen Gehörs, da ihr das Zivilgericht keine zweite Fristerstreckung zur Begründung des Rechtsvorschlags gewährt habe. Das Appellationsgericht hat erwogen, das Rechtsöffnungsverfahren sei ein summarisches, rasches Verfahren, weshalb Fristerstreckungsgesuche restriktiv zu behandeln seien. Das rechtliche Gehör sei nicht verletzt worden.
3.
Die Beschwerdeführerin setzt sich mit diesen Erwägungen kaum auseinander. Soweit die Beschwerde überhaupt verständlich ist, stört sich die Beschwerdeführerin in erster Linie daran, dass ihr der Beschwerdegegner angeblich keine Akteneinsicht gewährt hat. Die Rüge steht im Zusammenhang mit dem von der Vorinstanz behandelten Einwand, der Beschwerdegegner habe den Rechtsvorschlag nicht eingereicht. Bei der Erhebung des Rechtsvorschlags will die Beschwerdeführerin eine Notiz angebracht haben, die nun dem Gericht nicht zugänglich gewesen sei. Der Beschwerdegegner habe auch weitere Akten verheimlicht, die für die Begründung des Rechtsvorschlags erforderlich gewesen wären.
Die Verweigerung der Akteneinsicht durch den Beschwerdegegner findet im angefochtenen Urteil keine Stütze. Dieser Umstand kann mangels einer genügenden Sachverhaltsrüge nicht berücksichtigt werden (<ref-law>). Die Rüge richtet sich ausserdem nicht gegen das Verhalten der kantonalen Gerichte oder deren Schlussfolgerungen, sondern gegen den Beschwerdegegner. Obschon die Beschwerdeführerin eine Vielzahl von Normen nennt (Art. 52 und 53 ZPO, Art. 7, 8, 9 und 29 Abs. 2 BV, Art. 6 Abs. 1 und Art. 14 EMRK), die durch das Verhalten des Beschwerdegegners verletzt worden sein sollen, genügt dies nicht für eine rechtsgenügliche Begründung, weshalb im vorliegenden Rechtsöffnungsverfahren verfassungsmässige Rechte verletzt worden sein sollen. Insbesondere genügt dazu die pauschale Behauptung nicht, der Schuldner sei berechtigt, alle Akten des Gläubigers einzusehen. Die Beschwerdeführerin macht insbesondere nicht geltend, sie hätte vom Zivil- oder Appellationsgericht erfolglos verlangt, Urkunden beim Beschwerdegegner edieren zu lassen. Ebenso übergeht sie, dass die Beweislast für allfällige Einreden und Einwendungen gegen den Rechtsöffnungstitel bei ihr liegt (<ref-law>). Was die angeblich erfolgte Notiz zum Rechtsvorschlag betrifft, so ist nicht ersichtlich, weshalb die Beschwerdeführerin ihren Inhalt in ihrer Stellungnahme zuhanden des Zivilgerichts nicht einfach wiederholt und damit dem Gericht bekannt gemacht hat.
Die Beschwerdeführerin wirft sodann dem Appellationsgericht vor, dass sie vor ihm nicht zu Wort gekommen sei und ihre Vorbringen verkürzt und falsch wiedergegeben worden seien. Auch dies belegt die Beschwerdeführerin nicht näher. Es ist nicht Aufgabe des Bundesgerichts, den Vorwurf anhand der zahlreichen von der Beschwerdeführerin genannten Aktenstücke zu untersuchen, auf die die Beschwerdeführerin pauschal verweist. Sie wendet sich auch dagegen, dass das Appellationsgericht die Eingaben vom 19., 25. und 29. August 2016 nicht berücksichtigt hat, setzt sich aber nicht damit auseinander, dass diese erst nach Ablauf der Beschwerdefrist eingereicht wurden. Am Rande beruft sich die Beschwerdeführerin schliesslich noch auf Verjährung. Sie behauptet und belegt aber nicht, dass sie dies rechtzeitig vor den kantonalen Gerichten eingewendet hätte. Soweit sie die Ansicht vertritt, ihre Schuld bestehe nicht oder hätte neu verfügt werden müssen, verkennt sie den Zweck des Verfahrens auf definitive Rechtsöffnung: In diesem ist einzig zu prüfen, ob ein Rechtsöffnungstitel im Sinne von <ref-law> vorliegt und ob allenfalls Einreden oder Einwendungen nach <ref-law> erhoben wurden. Das Rechtsöffnungsgericht hat weder über den materiellen Bestand der Forderung zu befinden, noch sich mit der materiellen Richtigkeit des Urteils bzw. der Verfügung zu befassen. Dass Art. 80 oder <ref-law> in verfassungswidriger Weise angewendet worden wären, legt die Beschwerdeführerin nicht dar.
Auf die Beschwerde kann somit insgesamt nicht eingetreten werden.
4.
Bei diesem Ausgang des Verfahrens trägt die Beschwerdeführerin die Gerichtskosten (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde in Zivilsachen wird als subsidiäre Verfassungsbeschwerde entgegengenommen.
2.
Auf die Verfassungsbeschwerde wird nicht eingetreten.
3.
Die Gerichtskosten von Fr. 1'000.-- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 22. Dezember 2016
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Das präsidierende Mitglied: Escher
Der Gerichtsschreiber: Zingg