Faits :
A.
Le 28 juillet 2014, X._ a écrit et envoyé un courriel à Me A._, avec copie à Me B._, son défenseur d'office dans le cadre d'une procédure civile en cours, et à C._, médiateur de la police cantonale vaudoise, courriel dont la teneur était la suivante:
Tu trouveras en dossier joint mes certificats. Puisque tu t'intéresses à mon profil.
Et si tu continues à raconter des conneries sur moi, tu va-t'en rappeler.
D._, le fiancé de E._ est déjà informé de tes manquements aux devoirs de ta profession. Il était à la maison hier avec une partie de la famille. Que tu risques de ne plus exercer longtemps.
En dehors du fait que tu insultes ton fils en plein restaurant à lui mettre une honte monumentale, et que tu nous révèle les actes du Patron chez qui tu oses venir manger en toute amitié, de plus ton client, fais désordre et déshonore ta profession, montre ton délabrement d'esprit. Dommage pour tes enfants. Mais toi je ne vais pas te louper. Comme les autres contre lesquels tu n'as pas voulu me défendre.
Et que tu te sois attaqué à F._ dépasse les bornes.
J'adore que l'on me sous-estime.
Je ne te salue même pas CLOPORTE.
Par courrier du 28 juillet 2014, Me A._ a déposé plainte pénale.
B.
Par arrêt du 3 septembre 2015, le Tribunal de police de l'arrondissement de l'Est vaudois a libéré X._ de l'infraction de calomnie, a constaté qu'il s'était rendu coupable de diffamation, d'injure et de menaces et l'a condamné à une peine de 30 jours-amende à 30 fr., avec sursis pendant deux ans, et à une amende de 150 fr., peine convertible en 5 jours de peine privative de liberté de substitution.
C.
Par arrêt du 16 décembre 2015, la Cour d'appel pénale du Tribunal cantonal du canton de Vaud a partiellement admis l'appel formé par X._ et réduit la peine à 20 jours-amende à 30 fr., avec sursis pendant deux ans.
D.
X._ interjette un recours en matière pénale contre ce jugement dont il demande l'annulation. En substance, il conclut principalement à sa libération, en tout ou partie, des chefs d'accusation de diffamation, d'injure et de menaces, subsidiairement au renvoi de la cause à la juridiction cantonale d'appel pour complétement de l'état de fait. Il sollicite l'octroi de l'assistance judiciaire.

Considérant en droit :
1.
Le recourant conteste s'être rendu coupable de diffamation au sens de l'<ref-law>, au motif qu'il ne se serait pas adressé à des tiers au sens de cette disposition, Me B._ et C._ revêtant bien plutôt la qualification de "confidents nécessaires".
1.1. Pour qu'il y ait diffamation, il faut que l'auteur s'adresse à un tiers. Est en principe considérée comme tiers toute personne autre que l'auteur et l'objet des propos qui portent atteinte à l'honneur (<ref-ruling>). Toutefois, en doctrine, la majorité des auteurs estiment que le cercle des personnes considérées comme tiers doit être limité et que les propos attentatoires à l'honneur ne devraient pas être punissables lorsqu'ils sont énoncés dans un cercle familial étroit ou adressés à des personnes astreintes au secret professionnel au sens de l'<ref-law> (voir arrêt 6S.3/2007 du 13 février 2007 consid. 4.3 et les références citées). Dans un arrêt non publié du 11 juillet 1957 (cité dans l'<ref-ruling>), le Tribunal fédéral a examiné, sans la trancher, la question de savoir s'il n'y avait pas lieu d'exclure du cercle des tiers les confidents nécessaires. Il a admis qu'il n'y avait pas lieu de déroger à la règle en déniant à l'avocat la qualité de tiers par rapport à son client. Dans un arrêt 6S.608/1991 du 24 janvier 1992, le Tribunal fédéral a, en corrélation avec l'<ref-law> concernant la violation du secret professionnel, considéré un médecin comme un confident nécessaire et a admis qu'il n'était pas un tiers au sens de l'<ref-law>. Par ailleurs, certains auteurs notent que même un confident est un tiers envers lequel l'image de la victime peut être dégradée, de sorte que l'impunité doit être subordonnée à une pesée des intérêts dans le cadre de laquelle le besoin de communiquer ne sera prépondérant que si l'auteur ne connaissait pas la fausseté de ses allégations et avait de bonnes raisons de penser que son interlocuteur respecterait la confidentialité (STRATENWERTH/JENNY/BOMMER, Schweizerisches Strafrecht, Bes. Teil. I, 7e éd. 2010, § 11 n° 25; voir aussi MARTIN SCHUBARTH, Kommentar zum schweizerischen Strafrecht, Bes. Teil, 3. Band, 1984, n° 34 ss <ref-law>; STEFAN TRECHSEL ET AL., Schweizerisches Strafgesetzbuch, Praxiskommentar, 2008, n° 4 s. ad art. 173)
1.2. La juridiction cantonale d'appel a considéré que le fait d'indiquer que A._ avait manqué, en sa qualité d'avocat, aux devoirs de sa profession en révélant les actes qu'avait commis l'un de ses clients était attentatoire à l'honneur, dès lors que s'il avait effectivement adopté le comportement que le recourant lui prête, il se serait rendu coupable de violation du secret professionnel réprimé par l'<ref-law> et aurait violé les règles déontologiques de l'avocat. Il en allait également de même des autres accusations portées à l'encontre du plaignant, à savoir d'avoir insulté son propre fils et de s'être attaqué à la fille du recourant. Par ailleurs, la qualification de tiers devait être admise pour les personnes ayant reçu le courriel litigieux. Le recourant avait fait état à son avocat de propos d'ordre privé et familial, lesquels n'avaient aucun rapport avec des confidences nécessaires s'inscrivant dans la relation de mandat. Ce raisonnement valait également pour C._ qui, bien qu'il fût vraisemblablement soumis au secret de fonction, n'avait pas à connaître de prétendus agissements d'une autre personne sans lien avec sa mission de médiateur.
1.3. Contrairement à ce que soutient le recourant, il n'y a pas lieu de considérer que Me B._ et C._ avaient dans les circonstances du cas particulier qualité de "confidents nécessaires". Quand bien même ces deux personnes entretenaient avec le recourant des relations particulières fondées sur la confiance, rien n'indique - le recourant ne le prétend du moins pas - que la nature des propos tenus avait objectivement un lien avec les affaires qui justifiaient leur intervention à titre d'avocat ou de médiateur. Comme l'a mis à juste titre en évidence la juridiction cantonale d'appel, le recourant s'est, en portant à la connaissance de ces personnes le conflit strictement personnel qui l'opposait à la partie plaignante, écarté du cadre dans lequel il aurait été exceptionnellement possible d'admettre l'existence d'une situation de "confident nécessaire".
1.4. Dans ce contexte, c'est en vain que le recourant invoque une erreur sur l'illicéité au sens de l'<ref-law>. Il ne pouvait en effet ignorer qu'en rendant public - même si ce n'était que dans un cercle restreint - le conflit personnel qui l'opposait à la partie plaignante et en tenant des propos mettant en cause la probité et la réputation de celle-ci, il courrait le risque de faire l'objet de poursuites pénales. Le fait que le recourant se croyait pleinement autorisé à leur faire part de propos confidentiels en raison de leur statut particulier d'avocat tenu par le secret professionnel pour l'un et de médiateur tenu par le secret de fonction pour l'autre importe peu, le caractère attentatoire à l'honneur des propos formulés hors de tout contexte ne pouvant lui échapper.
1.5. De même, le recourant ne saurait prétendre que les autorités cantonales lui ont refusé la possibilité d'apporter la preuve de sa bonne foi au sens de l'<ref-law>. A l'appui de son grief, le recourant se limite en effet à affirmer qu'il a agi sur la base de motifs suffisants - la protection de son enfant en sa qualité de père de famille ainsi que la protection de l'intérêt public au respect du secret professionnel - et qu'il n'était pas animé par l'unique but de nuire à la partie plaignante. Ce faisant, il ne ressort pas des écritures du recourant qu'il ait offert ou manifesté la volonté au cours de la procédure d'apporter la preuve de la vérité des propos tenus, respectivement la preuve qu'il avait des raisons sérieuses de tenir de bonne foi les allégations contenues dans le courriel litigieux comme étant conformes à la vérité. C'est pourtant bien à l'auteur du comportement attentatoire à l'honneur de décider s'il veut apporter des preuves libératoires (cf. arrêt 6B_143/2011 du 16 septembre 2011 consid. 2.4.2). Dans ces conditions, on ne perçoit aucune violation de l'art. 173 ch. 2 et 3 CP. L'autorité précédente ayant retenu que le recourant avait agi par représailles et ne pouvait prétendre être de bonne foi (p. 13 du jugement attaqué), l'exclusion de la preuve libératoire ne prête pas le flanc à la critique.
2.
Le recourant conteste avoir violé l'<ref-law> en traitant A._ de "cloporte".
2.1.
2.1.1. Se rend coupable d'injure celui qui aura, par la parole, l'écriture, l'image, le geste ou par des voies de fait, attaqué autrui dans son honneur (<ref-law>). L'honneur que protège l'<ref-law> est le sentiment et la réputation d'être une personne honnête et respectable, c'est-à-dire le droit de ne pas être méprisé en tant qu'être humain ou entité juridique (<ref-ruling> consid. 1.1 p. 115; <ref-ruling> consid. 1a p. 58).
2.1.2. L'injure peut consister dans la formulation d'un jugement de valeur offensant, mettant en doute l'honnêteté, la loyauté ou la moralité d'une personne de manière à la rendre méprisable en tant qu'être humain ou entité juridique, ou celui d'une injure formelle, lorsque l'auteur a, en une forme répréhensible, témoigné de son mépris à l'égard de la personne visée et l'a attaquée dans le sentiment qu'elle a de sa propre dignité. La marque de mépris doit revêtir une certaine gravité, excédant ce qui est acceptable (arrêt 6B_557/2013 du 12 septembre 2013 consid. 1.1 et les références, in SJ 2014 I 293).
2.1.3. Pour apprécier si une déclaration est attentatoire à l'honneur, il faut se fonder non pas sur le sens que lui donne la personne visée mais procéder à une interprétation objective selon la signification qu'un auditeur ou un lecteur non prévenu doit, dans les circonstances d'espèce, lui attribuer (<ref-ruling> consid. 8.5.1 p. 312; <ref-ruling> consid. 1a p. 58; <ref-ruling> consid. 2a p. 47). Déterminer le contenu d'un message relève des constatations de fait. Le sens qu'un destinataire non prévenu confère aux expressions et images utilisées constitue en revanche une question de droit (<ref-ruling> consid. 2.1.3 p. 316; <ref-ruling> consid. 8.5.1 p. 312; <ref-ruling> consid. 2.1 p. 26).
2.1.4. Le juge pourra exempter le délinquant de toute peine si l'injurié a directement provoqué l'injure par une conduite répréhensible (<ref-law>). Le juge ne peut faire usage de cette faculté que si l'injure a consisté en une réaction immédiate à un comportement répréhensible de l'injurié, lequel peut consister en une provocation ou en tout autre comportement blâmable (<ref-ruling> consid. 2c p. 173). La notion d'immédiateté doit être comprise comme une notion de temps dans le sens que l'auteur doit avoir agi sous le coup de l'émotion provoquée par la conduite répréhensible de l'injurié, sans avoir eu le temps de réfléchir tranquillement (<ref-ruling>).
2.2. Le recourant estime en l'espèce que le critère de la gravité de la marque de mépris n'a pas été réalisée. Le terme "cloporte" n'avait pas été adressé à la partie plaignante de manière méprisante mais plutôt de manière à signifier à un ami cher sa déception en raison de son comportement. La portée que le recourant entendait donner à ce terme ne joue toutefois aucun rôle, dès lors que c'est la perception objective de l'injure proférée qui importe. Or, quel que soit le sens retenu, le terme de "cloporte" constitue, d'un point de vue objectif, une marque de mépris constitutif d'une injure au sens de l'<ref-law>.
2.3. Le recourant ne saurait se prévaloir de l'<ref-law>. Quels que soient le contexte et les motifs qui ont conduit concrètement le recourant à rédiger le courriel litigieux - question qui peut demeurer indécise en l'espèce -, l'irritation qu'il a pu concevoir envers la partie plaignante ne se trouvait pas dans le rapport d'immédiateté exigé par la jurisprudence pour excuser l'injure qu'il a formulée. Il apparaît en l'espèce que le recourant a choisi la forme d'un courriel afin de manifester son courroux. L'emploi de cette forme de communication écrite permet normalement de prendre la distance nécessaire par rapport aux événements et de canaliser ses émotions. Ainsi que l'a démontré la juridiction cantonale d'appel, l'emploi d'un terme tel que celui de "cloporte" ne résultait donc pas d'une réaction spontanée, mais bel et bien d'une volonté délibérée, mise notamment en évidence par l'emploi de lettres capitales, d'employer un terme à caractère méprisant.
2.4. C'est également en vain que le recourant invoque une erreur sur l'illicéité au sens de l'<ref-law>. Dans la mesure où il a été établi que l'emploi du terme "cloporte" résultait d'une volonté délibérée d'exprimer son mépris, on ne saurait admettre que le recourant se soit trompé sur le caractère illicite de son acte. Le fait qu'il ait entendu le terme litigieux de la bouche même de la partie plaignante ne saurait par ailleurs légitimer son acte.
3.
Le recourant estime pour finir ne pas s'être rendu coupable de menaces au sens de l'<ref-law>.
3.1.
3.1.1. L'<ref-law> réprime le comportement de celui qui, par une menace grave, aura alarmé ou effrayé une personne. Sur le plan objectif, la punition de l'infraction de menaces suppose la réalisation de deux conditions. Premièrement, il faut que l'auteur ait émis une menace grave, soit une menace objectivement de nature à alarmer ou à effrayer la victime. On tient compte de la réaction qu'aurait une personne raisonnable, dotée d'une résistance psychologique plus ou moins normale, face à une situation identique (<ref-ruling> consid. 2b p. 100). L'exigence d'une menace grave doit conduire à exclure la punissabilité lorsque le préjudice évoqué apparaît objectivement d'une importance trop limitée pour justifier la répression pénale (BERNARD CORBOZ, Les infractions en droit suisse, vol. I, 3e éd. 2010, n° 9 ad <ref-law>). En second lieu, il faut que la victime ait été effectivement alarmée ou effrayée.
3.1.2. Une simple mise en garde ne constitue pas la menace d'un dommage sérieux. Certes, celui qui met en garde et celui qui menace prédisent l'un et l'autre un désagrément. Mais le premier annonce un événement indépendant de sa volonté, tandis que le second fait savoir qu'il le provoquera. En d'autres termes, la survenance d'un dommage doit être présentée par l'auteur comme dépendant de sa volonté. Il n'est toutefois pas nécessaire que le dommage dépende réellement de la volonté de l'auteur. Il suffit qu'il en ait donné l'impression à sa victime. La loi n'exige pas davantage car, même dans ce cas, la menace peut être propre à entraver la liberté de décision et d'action de celui qui en est l'objet (<ref-ruling> consid. 2a p. 128).
3.2. La juridiction cantonale d'appel a considéré que le fait de faire redouter à A._, même s'il ne s'agissait que d'ennuis d'ordre administratif ou judiciaire, qu'il pourrait ne plus être autorisé à exercer sa profession parce qu'il avait manqué aux règles de celle-ci constituait une menace sous l'angle de la gravité objective et a effectivement alarmé A._. Compte tenu des termes employés et de la correspondance virulente du recourant versée au dossier, il était légitime que A._ et sa famille aient la crainte que le recourant agisse de manière exagérée et inadéquate.
3.3. Reprenant le grief soulevé devant la juridiction cantonale d'appel, le recourant soutient que les propos reprochés ("Et si tu continues à raconter des conneries sur moi, tu va-t'en rappeler", "Que tu ne risques de ne plus exercer longtemps" et "Dommage pour tes enfants. Mais toi je ne vais pas te louper") ne constituaient pas des menaces d'une gravité telle qu'elles étaient susceptibles d'alarmer ou d'effrayer objectivement une personne raisonnable face à une situation identique. Ce faisant, le recourant se borne pour l'essentiel à opposer son propre point de vue à celui de la juridiction cantonale, sans indiquer en quoi l'argumentation de cette dernière serait insoutenable. S'il est vrai qu'aucun acte de violence physique n'a été explicitement évoqué, le caractère vague et allusif des propos tenus en l'occurrence était susceptible de créer l'appréhension auprès de la personne à laquelle ils étaient destinés ainsi qu'auprès de sa famille. Il importe peu que le recourant n'envisageait en son for intérieur que des démarches administratives et juridiques à l'encontre de la partie plaignante, son intention précise n'étant guère perceptible à la lecture de ses propos.
3.4. Contrairement à ce que soutient le recourant, il n'y a pas lieu d'admettre que l'exécution de l'infraction ne serait restée qu'au stade de la tentative. La juridiction cantonale d'appel a retenu qu'il était légitime, compte tenu des circonstances, que la partie plaignante et sa famille aient eu la crainte que le recourant agisse de manière exagérée et inadéquate. Dans ces conditions, il ne suffit pas de prétendre qu'il était plus que douteux que la partie plaignante et son épouse aient été effrayés ou alarmés par le contenu du courriel litigieux pour remettre en cause cette constatation. Encore faut-il faire état d'éléments vérifiables qui auraient été ignorés ou mal appréciés par la juridiction cantonale d'appel. Or le recourant n'avance aucun fait susceptible d'étayer ce point de vue. En particulier, il n'explique pas les raisons pour lesquelles le fait que la partie plaignante ait déposé plainte le jour même de la réception du courriel ou le fait qu'il n'ait jamais eu un comportement violent durant le passé permettrait d'écarter l'existence d'un état de frayeur consécutif au courriel litigieux. Quant à l'allégation selon laquelle l'épouse de la partie plaignante aurait une sensibilité excessive, elle n'est nullement établie.
4.
Mal fondé, le recours doit être rejeté. Le recourant a requis le bénéfice de l'assistance judiciaire. Comme les conclusions étaient vouées à l'échec, celle-ci ne peut lui être accordée (<ref-law>). Le recourant devra donc supporter les frais (<ref-law>), dont le montant sera toutefois fixé en tenant compte de sa situation financière.

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce :
1.
Le recours est rejeté.
2.
La demande d'assistance judiciaire est rejetée.
3.
Les frais judiciaires, arrêtés à 800 fr., sont mis à la charge du recourant.
4.
Le présent arrêt est communiqué aux parties et à la Cour d'appel pénale du Tribunal cantonal du canton de Vaud.
Lausanne, le 8 juin 2016
Au nom de la Cour de droit pénal
du Tribunal fédéral suisse
Le Président : Denys
Le Greffier : Piguet