Sachverhalt:
A.
A.A._ (Beschwerdeführerin) und B.A._ (Beschwerdegegner) sind die geschiedenen Eltern von C.A._ (geb. 2008). Gemäss Scheidungsurteil vom 3. Dezember 2013 hat die Mutter die alleinige elterliche Sorge und der Vater ein Besuchs- und Ferienrecht.
B.
B.a. Am 17. Juni 2016 reichte die Beschwerdeführerin eine Gefährdungsmeldung bei der Kindes- und Erwachsenenschutzbehörde (KESB) Olten-Gösgen ein und verlangte, dem Beschwerdegegner sei das Besuchs- und Ferienrecht zu entziehen, eventualiter dieses nur begleitet zu gewähren.
B.b. Die KESB entzog dem Beschwerdegegner am 22. Juni 2016 superprovisorisch das Recht auf persönlichen Verkehr und beauftragte die Sozialregion U._ mit einer Abklärung. Am 8. August 2016 beantragte der Beschwerdegegner die Aufhebung der superprovisorischen Massnahme; auf das Begehren der Beschwerdeführerin sei nicht einzutreten, eventualiter dieses abzuweisen. Der Abklärungsbericht datiert vom 10. August 2016. Weder die Stellungnahme des Beschwerdegegners noch der Bericht wurden der Beschwerdeführerin zugestellt.
B.c. Am 30. September 2016 wies die KESB die Anträge der Beschwerdeführerin ab.
C.
C.a. Gegen diesen Entscheid erhob die Beschwerdeführerin Beschwerde beim Verwaltungsgericht des Kantons Solothurn. Sie hielt an den erstinstanzlichen Begehren fest. Eventualiter sei die Sache zwecks neuer Abklärungen an die KESB zurückzuweisen. Der Beschwerdegegner schloss auf Abweisung der Beschwerde.
C.b. Mit Urteil vom 14. Februar 2017 wies das Verwaltungsgericht die Beschwerde ab, nachdem bereits vorab die Gesuche der Beschwerdeführerin um aufschiebende Wirkung und um unentgeltliche Rechtspflege abgewiesen worden waren.
D.
Mit Beschwerde in Zivilsachen vom 20. März 2017 gelangt die Beschwerdeführerin an das Bundesgericht. Sie beantragt unter Kosten- und Entschädigungsfolgen, die Sache sei "zur Heilung des rechtlichen Gehörs" an die Vorinstanz zurückzuweisen. Eventualiter sei dem Beschwerdegegner der persönliche Kontakt zum Sohn i.S.v. <ref-law> zu entziehen. Subeventualiter sei ein begleitetes Besuchsrecht in einer eigens dafür vorgesehenen Institution anzuordnen und das Ferienrecht zu entziehen. Sie beantragt die Gewährung der aufschiebenden Wirkung, was mit Verfügung des Bundesgerichts vom 21. März 2017 abgewiesen wurde. Mit separater Eingabe ebenfalls vom 20. März 2017 ersucht sie um unentgeltliche Rechtspflege inkl. Verbeiständung.
E.
Am 11. Mai 2017 stellte die KESB dem Bundesgericht ihre Verfügung vom 11. Mai 2017 zu, woraus hervorgeht, dass der Beschwerdegegner am 20. April 2017 vor der KESB ein Erziehungsfähigkeitsgutachten und die Erteilung der gemeinsamen elterlichen Sorge, eventualiter der alleinigen elterlichen Sorge verlangt hat. Der Präsident der II. zivilrechtlichen Abteilung des Bundesgerichts teilte daraufhin der KESB mit, dass das Verfahren unabhängig vom bundesgerichtlichen Verfahren seinen Fortgang nehmen solle. Am 17. Mai 2017 stellte die KESB dem Bundesgericht eine Verfügung vom 16. Mai 2017 zu, worin die Parteien eingeladen wurden, zur geplanten Errichtung einer Vertretungsbeistandschaft und zur Einsetzung von D._ als Verfahrensbeiständin Stellung zu nehmen.
F.
In sei ner Vernehmlassung vom 25. September 2017 beantragt der Beschwerdegegner sinngemäss die Abweisung der Beschwerde. Insbesondere sei auf eine Anhörung des Sohnes zu verzichten. Weiter reicht er eine Kopie seiner Gefährdungsmeldung vom 30. April 2017 ein. Vorinstanz und KESB beantragen die Abweisung der Beschwerde. Die Vernehmlassungen wurden der Beschwerdeführerin zugestellt.

Erwägungen:
1.
Angefochten ist ein kantonal letztinstanzlicher Entscheid (<ref-law>) betreffend den persönlichen Verkehr zwischen dem Beschwerdegegner und dem Sohn der Parteien (<ref-law>). Die Angelegenheit unterliegt der Beschwerde in Zivilsachen (Art. 72 Abs. 2 lit. b Ziff. 6 BGG) und ist nicht vermögensrechtlicher Natur (<ref-law>; Urteil 5A_830/2010 vom 30. März 2011 E. 1.1). Die Beschwerdeführerin ist nach <ref-law> zur Beschwerde berechtigt. Die Beschwerdefrist gemäss <ref-law> ist eingehalten. Auf die Beschwerde ist somit einzutreten.
2.
Das Bundesgericht ist an den von den kantonalen Instanzen festgestellten Sachverhalt gebunden (<ref-law>). Diesbezüglich kann einzig vorgebracht werden, der Sachverhalt sei offensichtlich unrichtig festgestellt worden (<ref-law>).
Das Bundesgericht berücksichtigt keine Tatsachen und Beweismittel, die erst nach dem vorinstanzlichen Urteil entstanden sind (echte Noven). Unechte Noven werden berücksichtigt, soweit der Entscheid der Vorinstanz dazu Anlass gibt (<ref-law>; zum Ganzen vgl. zuletzt anstatt Vieler Urteil 5A_627/2016 vom 28. August 2017 E. 2.2). Das vorinstanzliche Urteil datiert vom 14. Februar 2017 (vgl. Sachverhalt Bst. C.b). Aus dem Recht zu weisen ist damit insbesondere die vom Beschwerdegegner als Beilage zur Beschwerdeantwort eingereichte Kopie der Gefährdungsmeldung vom 30. April 2017, die als echtes Novum zu gelten hat. Ebenso nicht zu hören ist der Beschwerdegegner, soweit er selbst eine Verletzung seines rechtlichen Gehörs durch die KESB behauptet und verschiedene andere Vorwürfe erhebt gegen teils namentlich genannte Mitarbeiter der KESB und auch gegen den Anwalt der Beschwerdeführerin. Die Ausführungen erfolgen zu spät und zielen am Gegenstand vorliegenden Verfahrens vorbei.
3.
In rechtlicher Hinsicht hat das Bundesgericht freie Kognition (<ref-law>). Indes kommt den kantonalen Behörden bei der Regelung und Ausgestaltung des persönlichen Verkehrs ein Ermessen zu. Das Bundesgericht übt eine gewisse Zurückhaltung in der Überprüfung solcher Urteile (<ref-ruling> E. 3 S. 210; <ref-ruling> E. 4a S. 235). Es greift nur ein, wenn die kantonale Instanz von dem ihr zustehenden Ermessen falschen Gebrauch gemacht hat, das heisst, wenn sie grundlos von in Lehre und Rechtsprechung anerkannten Grundsätzen abgegangen ist, wenn sie Gesichtspunkte berücksichtigt hat, die keine Rolle hätten spielen dürfen, oder wenn sie umgekehrt rechtserhebliche Umstände ausser Acht gelassen hat. Aufzuheben und zu korrigieren sind ausserdem Ermessensentscheide, die sich als im Ergebnis offensichtlich unbillig, als in stossender Weise ungerecht erweisen (<ref-ruling> E. 2 S. 123 f.; <ref-ruling> E. 1 S. 99).
Verfassungsverletzungen und Verletzungen von kantonalem und interkantonalem Recht werden nur geprüft, wenn sie gerügt und gehörig begründet werden (<ref-law>; <ref-ruling> E. 2.2.1 S. 389; <ref-ruling> E. 3.2 S. 88 mit Hinweisen).
4.
4.1. Die Beschwerdeführerin rügt die Verletzung von <ref-law> und Art. 12 KRK sowie eine mangelnde Sachverhaltsfeststellung, weil ihr Sohn nicht angehört worden sei. Sie habe bereits im kantonalen Verfahren eine Anhörung resp. Befragung des Kindes verlangt. Es sei von den Vorinstanzen sowohl dessen persönliches Recht auf Anhörung verletzt wie auch die Pflicht zur Abklärung des Sachverhalts nicht wahrgenommen worden. Sie macht damit Ansprüche geltend, die zumindest teilweise formeller Natur sind, d.h. die im Falle ihrer Begründetheit unabhängig vom Einfluss auf das Ergebnis zur Aufhebung des angefochtenen Urteils und Rückweisung der Sache an die Vorinstanz führen würden. Diese Rügen sind vorab zu behandeln.
Nicht (mehr) Ge genstand dieses Verfahrens ist die Verletzung des rechtlichen Gehörs der Beschwerdeführerin im Zusammenhang mit der Nicht-Zustellung der Stellungnahme des Beschwerdegegners und des Abklärungsberichts vor Urteilsfällung durch die KESB (vgl. Sachverhalt Bst. B.b). In diesem Punkt hat die Vorinstanz eine Gehörsverletzung, aber auch eine nachträgliche Heilung bejaht, was die Beschwerdeführerin vor Bundesgericht nicht mehr thematisiert.
4.2. Die Kindesanhörung wird für das Verfahren vor der Kindesschutzbehörde in <ref-law> und für eherechtliche Verfahren, in welchen die schweizerische Zivilprozessordnung anwendbar ist, in <ref-law> geregelt. <ref-law> und <ref-law> konkretisieren die Ansprüche aus <ref-law>, Art. 6 Ziff. 1 EMRK und Art. 12 KRK (Übereinkommen vom 20. November 1989 über die Rechte des Kindes, Kinderrechtskonvention; SR 0.107). Die Beschwerdeführerin bringt nicht in rechtsgenüglicher Weise vor (E. 2), dass Art. 12 KRK über das Bundesrecht hinausgehende Rechte verleihen würde, weshalb auf den Vorwurf, die Vorinstanz verletze in diesem Punkt Völkerrecht, nicht einzutreten ist. Zu prüfen bleibt der Vorwurf, <ref-law> sei verletzt worden.
Die Anhörung des Kindes ist zum einen Ausfluss seiner Persönlichkeit und dient zum anderen der Sachverhaltsfeststellung. In seinem Leitentscheid zur Kindesanhörung ist das Bundesgericht davon ausgegangen, dass diese im Sinn einer Richtlinie ab dem vollendeten sechsten Altersjahr möglich ist, wobei es nicht ausgeschlossen ist, je nach den konkreten Umständen auch ein etwas jüngeres Kind anzuhören, etwa wenn bei Geschwistern das jüngere kurz vor dem genannten Schwellenalter steht (<ref-ruling> E. 1.2.3 S. 557). Während bei älteren Kindern der persönlichkeitsrechtliche Aspekt im Vordergrund steht und das Kind ein eigenes Mitwirkungsrecht hat, ist die Anhörung bei kleineren Kindern im Sinn eines Beweismittels zu verlangen (<ref-ruling> E. 1.1 S. 554 f.). Soweit aber entsprechende Anträge vorhanden sind, besteht unter Vorbehalt der vom Gesetz genannten wichtigen Gründe eine Verpflichtung zur Durchführung der Anhörung (<ref-ruling> E. 1.2.3 S. 557 und E. 1.4 S. 559; Urteile 5A_43/2008 vom 15. Mai 2008 E. 4.1; 5A_821/2013 vom 16. Juni 2014 E. 4; zuletzt zum Ganzen auch Urteil 5A_2/2016 vom 28. April 2016 E. 2.3).
Unabhängig von der Anspruchsgrundlage des Anhörungsrechts kann eine mehrmalige Anhörung dort unterbleiben, wo sie einzig um der Anhörung willen stattfände, namentlich wenn sie für das Kind eine unnötige Belastung bedeuten würde, wie etwa bei akuten Loyalitätskonflikten, und überdies keine neuen Erkenntnisse zu erwarten wären (<ref-ruling> E. 4 S. 554 f.; zuletzt Urteil 5A_821/2013 vom 16. Juni 2014 E. 4, in: FamPra.ch 2014 S. 1115). Um eine solche Anhörung um der Anhörung willen zu vermeiden, besteht daher die Pflicht, ein Kind anzuhören, in der Regel nur einmal im Verfahren (Urteil 5A_299/2011 vom 8. August 2011 E. 5.2, in: FamPra.ch 2011 S. 1026 [Kindesschutz, Besuchsrecht]) und zwar grundsätzlich nicht nur auf die einzelne Instanz gesehen, sondern einschliesslich Instanzenzug (vgl. Urteile 5A_160/2011 vom 29. März 2011 E. 5.2.1, in: FamPra.ch 2011 S. 740 [Besuchsrecht]; 5A_352/2009 vom 8. September 2009 [Ehescheidung]; so auch YVO BIDERBOST, in: Peter Breitschmid/Alexandra Rumo-Jungo, Handkommentar zum Schweizer Privatrecht, Personen- und Familienrecht inkl. Kindes- und Erwachsenenschutzrecht, N. 4 zu <ref-law>). Ein Verzicht auf eine erneute Anhörung setzt allerdings voraus, dass das Kind zu den entscheidrelevanten Punkten befragt worden und das Ergebnis der Anhörung noch aktuell ist (<ref-ruling> E. 4 S. 555; Urteile 5A_821/2013 vom 16. Juni 2014 E. 4, in: FamPra.ch 2014 S. 1115; 5A_505/2013 vom 20. August 2013 E. 5.2.2; 5A_138/2012 vom 26. Juni 2012 E. 4; alle mit weiteren Hinweisen).
4.3. Vorliegend wird im angefochtenen Urteil erwogen, dass gemäss Abklärungsbericht vom 10. August 2016 ein "Kontakt" mit dem Kind stattgefunden habe, ohne dass sich der Bericht dazu äussere, in welcher Art und Weise. Die Vorinstanz befand dann aber, auch wenn aus den Akten nicht hervorgehe, dass eine Kindesanhörung stattgefunden habe, so könne auf eine solche verzichtet werden, da es sowieso keinerlei Hinweise darauf gebe, dass die Gefährdungsmeldung begründet gewesen sei. Für die Beantwortung der Frage, ob zwischen den Kindseltern ein Konflikt bestehe, bedürfe es jedenfalls keiner Anhörung des Kindes. Diesbezüglich befinde sich dieses ohnehin in einem Loyalitätskonflikt, was die Durchführung einer Anhörung ausschliesse. An anderer Stelle kommt die Vorinstanz auf den Abklärungsbericht zurück, der erwähne, dass der Sohn auf den Loyalitätskonflikt und die ihm übertragene Verantwortung (wie der Kontakt zum Kindsvater zu geschehen habe) reagiere, indem er über körperliches Unwohlsein klage. Woher diese Feststellung kommt, ergründet die Vorinstanz nicht.
Der Blick in den Abklärungsbericht vom 10. August 2016 erhellt die Angelegenheit nicht weiter. Der knapp drei Seiten umfassende Bericht äussert sich weder zur Ausgestaltung des angeblichen "Kontakts" mit dem Kind, noch wird ersichtlich, aus welcher Quelle auf den grossen Loyalitätskonflikt und die vorgeschobenen körperlichen Beschwerden geschlossen wird. Der im Abklärungsbericht wiedergegebenen Auskunft des Hausarztes lässt sich nichts solches entnehmen. Die Schlussfolgerungen des Berichts (Empfehlung eines Beistands mit besonderen fachlichen Kenntnissen, sozialtherapeutische Familienbegleitung) werden in den Raum gestellt, ohne dass begründet wird, welche gewonnen Erkenntnisse dies rechtfertigen würden. Darüber hinaus befassen sich weder der Bericht noch das Urteil auch nur ansatzweise mit den von der Beschwerdeführerin geschilderten Gründen, die sie zur Gefährdungsmeldung bewogen haben sollen.
4.4. Die Beschwerdeführerin beschrieb insbesondere Vorfälle, in denen der Sohn an Besuchswochenenden beim Vater mitten in der Nacht aus dem Schlaf gerissen und quasi verhört worden sei. Der Junge sei danach so traumatisiert gewesen, dass sie eine Zeit lang mit ihm bei den Grosseltern habe wohnen und bei sich zu Hause eine Alarmanlage habe installieren müssen, bis sich der Junge wieder sicher genug gefühlt habe. Er fürchte sich vor dem Vater und leide noch immer an Albträumen.
Der Beschwerdegegner bestreitet in der Vernehmlassung, dass sich solches ereignet habe. Die geschilderten Ereignisse hätten sich im Laufe der Eingaben der Beschwerdeführerin verändert. Dass die Beschwerdeführerin die wechselnden Angaben des Kindes als real übernommen habe, lässt ihn auf einen psychisch labilen Gesundheitszustand der Beschwerdeführerin schliessen. Die geschilderte Situation habe nie stattgefunden und entspringe der Fantasie eines von Loyalitätskonflikt und Entfremdung gezeichneten achtjährigen Jungen.
4.5. Angesichts der sich widersprechenden Aussagen der Kindseltern hätte nur das Kind darüber Auskunft geben können, ob und was passiert ist und inwiefern das Kindswohl gefährdet ist.
Nach der bereits zitierten Lehre und Rechtsprechung (vgl. E. 4.2) steht das Recht des Kindes auf Anhörung nicht unter dem Vorbehalt, dass es sich nicht in einem Loyalitätskonflikt zwischen den Eltern befindet. Sonst würde das Anhörungsrecht zur blossen Hülle, sind Loyalitätskonflikte Trennungssituationen doch bis zu einem gewissen Ausmass inhärent. Sind die Voraussetzungen für eine Anhörung gegeben, ist die Abweisung eines Antrags auf Kindesanhörung allein aufgrund einer antizipierten Beweiswürdigung sodann unzulässig (Urteile 5A_821/2013 vom 16. Juni 2014 E. 4, in: FamPra.ch 2014 S. 1115; 5A_160/2011 vom 29. März 2011 E. 5.2.1; 5A_536/2007 vom 24. Januar 2008E. 2.1). Mit genau diesen Argumenten hat die Vorinstanz allerdings die Anhörung verweigert, womit sie gegen Bundesrecht verstossen hat.
Das vorliegend betroffene Kind war zum Zeitpunkt des Entscheids der Vorinstanz 8-jährig, womit das Alter einer Anhörung nicht entgegen gestanden hätte. Indem es nie angehört wurde, resp. es die Vorinstanz abzuklären unterliess, ob es rechtsgenüglich angehört worden ist, wurde die Pflicht zur Kindesanhörung (E. 4.2) verletzt.
Indem die Vorinstanz dafür hielt, die Beschwerde sei von Beginn weg aussichtslos gewesen, obwohl sie das Kind nie dazu angehört hat (oder hat anhören lassen) und damit also nicht abgeklärt hat, ob die von der Mutter behaupteten Vorfälle stattgefunden haben und inwiefern dadurch die Befindlichkeit des Kindes beeinträchtigt worden ist, wurde sodann auch das Sachverhaltsermittlungselement des Anhörungsrechts verletzt.
In Gutheissung der Beschwerde ist die angefochtene Verfügung daher aufzuheben und die Sache zur Anhörung des Kindes und neuem Entscheid an die KESB sowie betreffend Kosten und Entschädigungen für das kantonale Beschwerdeverfahren an das Verwaltungsgericht zurückzuweisen (<ref-law>). Die weiteren von der Beschwerdeführerin geltend gemachten Rechtsverletzungen in der Sache sind demnach nicht zu prüfen (<ref-ruling> E. 2.3. S. 191). Die Anhörung kann gemäss <ref-law> durch die KESB oder eine beauftragte Drittperson vorgenommen werden. Findet die Anhörung im Rahmen eines anderen Verfahrens statt, ist sicherzustellen dass die Anhörung vorliegender Fragestellung angepasst erfolgt.
5.
Dem Verfahrensausgang entsprechend sind die Gerichtskosten dem Beschwerdegegner aufzuerlegen (<ref-law>). Der Beschwerdegegner hat die Beschwerdeführerin für das bundesgerichtliche Verfahren zu entschädigen (Art. 68 Abs. 1 und 2 BGG). Das Gesuch der Beschwerdeführerin um unentgeltliche Rechtspflege für das bundesgerichtliche Verfahren wird somit gegenstandslos.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird gutgeheissen, der Entscheid des Verwaltungsgerichts des Kantons Solothurn vom 14. Februar 2017 aufgehoben und die Sache an die KESB resp. bezüglich Kosten und Entschädigungen für das kantonale Beschwerdeverfahren an das Verwaltungsgericht zurückgewiesen.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 1'500.-- werden dem Beschwerdegegner auferlegt.
3.
Der Beschwerdegegner hat die Beschwerdeführerin für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 2'000.-- zu entschädigen.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien, der Kindes- und Erwachsenenschutzbehörde (KESB) Olten-Gösgen und dem Verwaltungsgericht des Kantons Solothurn schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 25. Oktober 2017
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: von Werdt
Die Gerichtsschreiberin: Friedli-Bruggmann