Erwägungen:
1.
Der 1977 geborene A._, Kosovar, stellte 1998 ein Asylgesuch, das 2000 abgewiesen wurde. Ab Juli 2003 hielt er sich mehrmals illegal in der Schweiz auf. Am 10. Juni 2006 heiratete er in Serbien eine in der Schweiz niedergelassene 1966 geborene Spanierin, die aus einer früheren Beziehung drei Kinder hat und stark verschuldet ist. Im August 2007 reiste A._ illegal in die Schweiz ein; gestützt auf die Ehe mit einer EU-Bürgerin wurde ihm indessen eine Aufenthaltsbewilligung EU/EFTA erteilt, die zuletzt bis zum 14. Januar 2015 verlängert wurde. Mit Verfügung vom 2. März 2015 wies das Migrationsamt des Kantons Zürich sein Gesuch um Verlängerung der Aufenthaltsbewilligung ab und verfügte seine Wegweisung. Ein Rekurs an die Sicherheitsdirektion des Kantons Zürich blieb erfolglos, und mit Urteil vom 23. März 2016 wies das Verwaltungsgericht des Kantons Zürich die gegen den Rekursentscheid vom 25. Januar 2016 erhobene Beschwerde ab, soweit es darauf eintrat.
Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten und subsidiärer Verfassungsbeschwerde vom 6. Mai 2016 beantragt A._ dem Bundesgericht, das Urteil des Verwaltungsgerichts sei vollumfänglich aufzuheben und seine Aufenthaltsbewilligung EU/EFTA sei zu verlängern.
Es ist weder ein Schriftenwechsel noch sind andere Instruktionsmassnahmen angeordnet worden.
2.
2.1. Der Beschwerdeführer ist mit einer Spanierin verheiratet. Er hat damit gestützt auf Art. 3 Abs. 1 und 2 lit. a Anhang I FZA grundsätzlich einen vom Anwesenheitsrecht der Ehefrau abgeleiteten Anspruch auf Bewilligung des Aufenthalts. Ein gleicher Anspruch ergibt sich auch aus Art. 43 AuG. Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten gegen das die Verweigerung der Bewilligung bestätigende Urteil des Verwaltungsgericht ist damit zulässig (<ref-law>). Ob sich die Bewilligungsverweigerung rechtfertigt, ist Frage der materiellen Prüfung.
2.2. Das Verwaltungsgericht nimmt wie seine Vorinstanzen an, dass es sich bei der Ehe des Beschwerdeführers um eine Schein- bzw. Ausländerrechtsehe handelt. Es wertet die Berufung auf die Ehe als rechtsmissbräuchlich, was die sich aus dem Völkerrecht oder dem innerstaatlichen Recht ergebenden Bewilligungsansprüche erlöschen lässt (vgl. dazu <ref-ruling> E. 4.2 S. 117; <ref-ruling> E. 2.2 und 2.3 S. 151 f; <ref-ruling> E. 5 S. 56 ff.; Urteil 2C_398/2014 vom 7. Mai 2014 E. 2.2). Auf das Fehlen einer wirklichen, gewollten Ehegemeinschaft schliesst das Verwaltungsgericht aufgrund verschiedener Indizien. Die entsprechenden Sachverhaltsfeststellungen sind dabei für das Bundesgericht verbindlich (<ref-law>), es sei denn, der Beschwerdeführer lege dar, inwiefern sie offensichtlich unrichtig seien, oder deren Unrichtigkeit springe ins Auge (Art. 97 Abs. 1 und Art. 105 Abs. 2 BGG), was vorliegend nicht der Fall ist. Zu beurteilen bleibt, ob sich bei gegebenem Sachverhalt der Schluss rechtfertigt, es liege eine Ausländerrechtsehe vor. Das Verwaltungsgericht hat die diesbezügliche Rechtsprechung zutreffend dargestellt (E. 2.3) und die persönlichen Verhältnisse des Beschwerdeführers an den sich daraus ergebenden Grundsätzen gemessen (E. 2.4). Seine diesbezüglichen Ausführungen, auf die vollumfänglich verwiesen werden kann (vgl. <ref-law>), halten bundesgerichtlicher Prüfung stand. Die Ausführungen des Beschwerdeführers, womit punktuell versucht wird, die vom Verwaltungsgericht herangezogenen Indizien zu relativieren, sind nicht geeignet, die Bewilligungsverweigerung im Falle des Beschwerdeführers als (materiell oder in verfahrensrechtlicher Hinsicht) rechtsverletzend erscheinen zu lassen.
Soweit die Beschwerde sich gegen die Bewilligungsverweigerung richtet, ist sie im Sinne von <ref-law> offensichtlich unbegründet und abzuweisen.
2.3. Der Beschwerdeführer erhebt zusätzlich subsidiäre Verfassungsbeschwerde, dies in Bezug auf die Wegweisung und entsprechende behauptete Vollzugshindernisse; diesbezüglich ist die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten unzulässig (<ref-law>) und steht nur die Verfassungsbeschwerde zur Verfügung (<ref-law>). Auf die Verfassungsbeschwerde ist schon darum nicht einzutreten, weil spezifisch in Bezug auf die Wegweisung keine verfassungsmässigen Rechte als verletzt gerügt werden (vgl. aber Art. 116 und Art. 106 Abs. 2 in Verbindung mit <ref-law> sowie <ref-ruling> E. 3.3 S. 310 f.).
2.4. Die Gerichtskosten (<ref-law>) sind entsprechend dem Verfahrensausgang dem Beschwerdeführer aufzuerlegen (Art. 66 Abs. 1 erster Satz BGG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten wird abgewiesen.
2.
Auf die subsidiäre Verfassungsbeschwerde wird nicht eingetreten.
3.
Die Gerichtskosten von Fr. 1'500.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
4.
Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten, dem Verwaltungsgericht des Kantons Zürich, 4. Abteilung, und dem Staatssekretariat für Migration schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 23. Mai 2016
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Das präsidierende Mitglied: Zünd
Der Gerichtsschreiber: Feller