Sachverhalt:
A.
A.a. In den gegen A._ laufenden Betreibungen Nr. xxx, Nr. yyy und Nr. zzz vollzog das Betreibungsamt U._ am 4. April 2016 in Abwesenheit des Schuldners die Pfändung Nr. qqq. Es pfändete diverse auf dem Kontokorrent des Betreibungsamtes liegende Guthaben des Schuldners (herkommend aus Kontosperren bei verschiedenen Banken, aus der Pfändung einer Forderung sowie aus einer Überweisung im Auftrag des Schuldners). Die Pfändungsurkunde wurde am 7. April 2016 versandt.
A.b. Am 25. April 2016 gelangte A._ an das Bezirksgericht Zürich als untere kantonale Aufsichtsbehörde über Betreibungsämter und beantragte, die Pfändung Nr. qqq für ungültig zu erklären und sämtliche damit zusammenhängenden Pfändungen gemäss der zugestellten Pfändungsurkunde aufzuheben. Die Beschwerde wurde am 16. August 2016 abgewiesen.
A.c. Die von A._ daraufhin an das Obergericht als obere kantonale Aufsichtsbehörde in Schuldbetreibungs- und Konkurssachen gerichtete Beschwerde wurde am 24. Oktober 2016 ebenfalls abgewiesen.
B.
A._ ist mit Beschwerde in Zivilsachen vom 7. November 2016 an das Bundesgericht gelangt. Der Beschwerdeführer beantragt die Aufhebung des obergerichtlichen Urteils und erneuert seine im kantonalen Verfahren gestellten Begehren; eventualiter sei die Angelegenheit zur Ergänzung des Sachverhaltes und zu neuem Entscheid an die Vorinstanz zurückzuweisen.
Das Obergericht und das Betreibungsamt haben auf eine Beschwerdeantwort verzichtet. Der Staat und die Stadt Zürich haben sich nicht vernehmen lassen.

Erwägungen:
1.
1.1. Der angefochtene Entscheid stammt von einer kantonalen Rechtsmittelinstanz und beschlägt eine Pfändung, mithin eine Schuldbetreibungs- und Konkurssache. Die Beschwerde in Zivilsachen ist vorliegend gegeben (Art. 72 Abs. 2 lit. a, Art. 75 BGG).
1.2. Mit der vorliegenden Beschwerde kann insbesondere die Verletzung von Bundesrecht gerügt werden (<ref-law>). In der Beschwerde ist in gedrängter Form darzulegen, inwiefern der angefochtene Entscheid Recht verletzt (<ref-law>; <ref-ruling> E. 1.1 S. 104). Die Missachtung verfassungsmässiger Rechte ist ebenfalls zu begründen (<ref-law>), wobei hier das Rügeprinzip gilt (<ref-ruling> E. 2 S. 591).
1.3. Das Bundesgericht wendet das Bundesrecht von Amtes wegen an, d.h. es ist nicht an die Begründung der Parteien gebunden. Es kann die Beschwerde aus anderen als den geltend gemachten Gründen gutheissen oder den Entscheid mit einer Begründung bestätigen, welche von jener der Vorinstanz abweicht (<ref-ruling> E. 2.4 S. 429 mit Hinweisen).
1.4. Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (<ref-law>). Neue Tatsachen und Beweismittel dürfen nur soweit vorgebracht werden, als erst der Entscheid der Vorinstanz dazu Anlass gibt (<ref-law>). Dies ist hinsichtlich der vom Beschwerdeführer eingereichten Abrechnung der Pfändung vom 21. September 2016 nicht der Fall.
2.
2.1. Die Vorinstanz hat festgestellt, dass der Beschwerdeführer unabhängig von einem allfälligen Mangel bei der Zustellung der Zahlungsbefehle Kenntnis von den Betreibungen Nr. xxx, Nr. yyy und Nr. zzz erlangt hatte, womit er - nach Rückzug des Rechtsvorschlags - mit weiteren Zustellungen habe rechnen müssen. Es rechtfertige sich eine analoge Anwendung von <ref-law> auch bei nichtgerichtlichen Verfahren des Schuldbetreibungs- und Konkursrechts, soweit es nicht um die Zustellung von Betreibungsurkunden gehe. Auch unter der genannten Zustellfiktion müsse der Zustellungsversuch jedoch an die korrekte Adresse erfolgen. Ob dies für die der Pfändungsankündigung vorangehenden Zahlungsbefehle der Fall war, kann nach Ansicht der Vorinstanz offen bleiben. Das Verhalten des Beschwerdeführers erweise sich nämlich als rechtsmissbräuchlich, da er sich erst im Rahmen des Pfändungsverfahrens auf die unrechtmässige Verwendung der von ihm in einer anderen Betreibung für den Zahlungsbefehl angegebenen Zustelladresse berufe. Die Pfändungsankündigung vom 9. und 10. Februar 2016 gelte dem Beschwerdeführer als zugestellt und die Pfändung sei somit rechtmässig angekündigt worden. Für die Gewährung eines Rechtsstillstandes bestehe zudem aufgrund der Vorbringen des Beschwerdeführers und der eingereichten Arztzeugnisse keine Veranlassung. Dass das Betreibungsamt keine Verfügung über die Gewährung des Rechtsstillstandes erlassen habe, sei daher ohne Relevanz. Damit ist die Pfändung vom 4. April 2016 nach Ansicht der Vorinstanz im Ergebnis nicht zu beanstanden.
2.2. Der Beschwerdeführer wehrt sich gegen den Vorwurf des Rechtsmissbrauches in Zusammenhang mit der Zustellung der Pfändungsankündigung. Zudem besteht er darauf, dass das Betreibungsamt mittels Verfügung über die Gewährung des Rechtsstillstandes hätte entscheiden müssen. Im Falle einer Abweisung des Gesuchs hätte er Gewissheit über den Fortgang des Verfahrens gehabt, weshalb die Vorinstanz hier nicht von fehlender Relevanz sprechen dürfe.
3.
Anlass zum vorliegenden Verfahren bildet die Ankündigung und der Vollzug einer Pfändung.
3.1. Dem Schuldner wird die Pfändung spätestens am vorhergehenden Tag unter Hinweis auf die Bestimmung des Art. 91 angekündigt (<ref-law>). Inhalt dieser Mitteilung ist, dass zu einem bestimmten Zeitpunkt an einem bestimmten Ort die Pfändung vollzogen wird. Es handelt sich bei der Pfändungsankündigung um eine anfechtbare Verfügung, die in der Regel durch eingeschriebene Postsendung oder auf andere Weise gegen Empfangsbestätigung zuzustellen ist (<ref-law>); ausnahmsweise kann sie auch mündlich erfolgen (Urteil 7B.97/2003 vom 6. Mai 2003 E. 2.2, Pra 2004 Nr. 11 S. 55). Gemäss ständiger Rechtsprechung stellt die rechtzeitige Ankündigung der Pfändung keine Ordnungsvorschrift dar, sondern sie soll dem Schuldner ermöglichen, seine Rechte geltend zu machen und insbesondere auf eine möglichst schonende Pfändung hinwirken zu können. Damit stellt die Anwesenheit bei der Pfändung nicht nur eine Pflicht, sondern auch ein Recht des Schuldners dar (FOËX, in: Commentaire romand, Poursuite et faillite, 2005, N. 1 zu Art. 90, mit Hinweisen auf die Lehre). Erweist sich die Pfändungsankündigung als mangelhaft, ist die Heilung denkbar, sofern der Schuldner davon wirksame Kenntnis erhalten hat, der Pfändung beiwohnen oder einen Vertreter bestimmen konnte, um seine Rechte geltend machen zu können (<ref-ruling> E. 1 S. 43 f.; LEBRECHT, in: Basler Kommentar, Bundesgesetz über Schuldbetreibung und Konkurs, 2. Aufl. 2010, N. 16 zu Art. 90). Im Allgemeinen besteht kein schützenswertes Interesse, auf Beschwerde hin zu überprüfen, ob die Zustellung einer Verfügung oder einer Betreibungsurkunde korrekt erfolgt ist, und eine neue Zustellung zu verlangen, falls die Kenntnisnahme erwiesen ist (<ref-ruling> E. 2 S. 104; Urteil 5A_843/2016 vom 31. Januar 2017 E. 4.4, betreffend Zustellung eines Zahlungsbefehls). Bei der Kenntnisnahme einer Pfändungsankündigung ist zu berücksichtigen, ob der angezeigte Pfändungstermin bereits verstrichen ist, ohne dass eine Pfändung in Anwesenheit des Schuldners stattgefunden hat (<ref-ruling> E. 1 S. 43 f.).
3.2. Im vorliegenden Fall kündigte das Betreibungsamt dem Beschwerdeführer am 9. Februar 2016 in den Betreibungen Nr. xxx und Nr. yyy sowie am 10. Februar 2016 in der Betreibung Nr. zzz die Pfändung an. Die Zustellung erfolgte mit eingeschriebener Postsendung an die Adresse von B._, welche als nicht abgeholt an den Absender zurückging. Am 23. Februar 2016 erliess das Betreibungsamt eine Vorladung an den Beschwerdeführer. Es hielt vorab fest, dass er an der auf den 22. Februar 2016 angekündigten Pfändung nicht anwesend gewesen war und sich nicht habe vertreten lassen. Daher werde er nun aufgefordert, "unverzüglich, bis spätestens jedoch am Freitag, 26.02.2016, bis 11.30 Uhr, persönlich in unserem Amt zu erscheinen und über Ihre Vermögens- und Erwerbsverhältnisse Auskunft zu geben". Die Zustellung der Vorladung erfolgte per A-Post an die Adresse von B._, welcher diese am 25. Februar 2016 an den Beschwerdeführer weiterleitete. Gleichentags setzte sich der Beschwerdeführer per E-Mail mit dem Betreibungsamt in Verbindung und teilte ihm mit, dass er die Pfändungsankündigung nicht erhalten habe, dass B._ ihn nicht mehr vertrete, dass er keinen anderen Vertreter habe und auch einen solchen nicht bezeichnen werde. Zudem befinde er sich aus gesundheitlichen Gründen nicht in U._. Er schilderte seine körperlichen Beschwerden, legte drei ärztliche Zeugnisse bei und verlangte die Gewährung eines Rechtsstillstandes. Mit E-Mails vom 17. März und 19. März 2016 teilte der Beschwerdeführer dem Betreibungsamt mit, dass er an seinen Ausführungen vom 25. Februar 2016 festhalte und "absolut keine rechtliche Grundlage für irgendwelche Massnahmen" bestünden. Das Betreibungsamt teilte ihm am 21. März 2016 per E-Mail mit, dass Eingaben auf dem Postweg zu erfolgen hätten und E-Mails weder gelesen noch zur Kenntnis genommen würden. Daraufhin wandte sich der Beschwerdeführer mit Schreiben vom 24. März 2016 an das Betreibungsamt und wiederholte im Wesentlichen seinen bisher per E-Mails geäusserten Standpunkt. Am 4. April 2016 fand schliesslich der Pfändungsvollzug in Abwesenheit des Beschwerdeführers statt.
3.3. Aus diesem zeitlichen Ablauf des Geschehens geht hervor, dass der Beschwerdeführer von der auf den 22. Februar 2016 angekündigten Pfändung spätestens mit der Vorladung vom 23. Februar 2016 Kenntnis erhalten hatte. Es kann offen bleiben, ob eine Zustellung dieser Verfügung an B._ rechtens war. Auch ist - entgegen der Auffassung der Vorinstanz - nicht abschliessend zu beurteilen, ob sich der Beschwerdeführer in vorangehenden und hängigen Betreibungen beharrlich der Zustellung von Zahlungsbefehlen entzogen und erst in Zusammenhang mit der Pfändungsankündigung auf die unrechtmässige Verwendung der Zustelladresse bestanden und somit rechtsmissbräuchlich verhalten hatte. Mit Kenntnisnahme der Pfändungsankündigung durch die Vorladung mit bevorstehendem Einvernahmetermin konnte der Beschwerdeführer seine Rechte wahren und sich insbesondere auf die - noch gar nicht vollzogene - Pfändung vorbereiten oder allenfalls einen Vertreter hierfür ernennen. Dass der in der Pfändungsankündigung erwähnte Pfändungstermin bereits verstrichen war, ändert nichts, da der Schuldner aufgrund der konkreten Umstände davon ausgehen durfte und musste, dass noch keine Pfändung vollzogen war; die (bevorstehende) Einvernahme des Schuldners soll gerade die Grundlage zum Pfändungsvollzug schaffen (LEBRECHT, a.a.O., N. 1, 9 zu Art. 91). Das Betreibungsamt hatte ihn in der Vorladung ausdrücklich auf <ref-law> hingewiesen, wonach er zur Mitwirkung verpflichtet und nicht ohne genügende Entschuldigung fernbleiben durfte. Der Beschwerdeführer hat sich denn auch verschiedentlich mit dem Betreibungsamt in Verbindung gesetzt und seine Ansicht zum anstehenden Pfändungsvollzug per E-Mail und per Schreiben geäussert. Mit seinen Ausführungen wirft er dem Betreibungsamt im Wesentlichen vor, ihm keine korrekte Vorladung zur Pfändung auf den 22. Februar 2016 zugestellt zu haben. Wie es sich damit verhält, kann angesichts der Kenntnisnahme - wie bereits ausgeführt - offen bleiben. Dass die Eingaben an das Betreibungsamt insoweit eine wirksame Beschwerde gemäss <ref-law> an die Aufsichtsbehörde hätten darstellen sollen, wird nicht geltend gemacht. Im Ergebnis ist die Pfändungsankündigung nicht zu beanstanden.
3.4. Es bleibt die Frage, ob die am 4. April 2016 vollzogene Pfändung aus einem weiteren Grund nicht rechtens war. Der Beschwerdeführer hatte sich nämlich nach Kenntnisnahme der Pfändungsankündigung an das Betreibungsamt gewandt und ist der Ansicht, dass er um die Gewährung eines Rechtsstillstandes ersucht habe und erst die Abweisung des Gesuchs den Fortgang der Zwangsvollstreckung erlaubt hätte.
3.4.1. Einem schwerkranken Schuldner kann das Betreibungsamt für eine bestimmte Zeit Rechtsstillstand gewähren (<ref-law>). Diese Rechtswohltat wird auf Gesuch oder von Amtes wegen eingeräumt und hat zur Folge, dass grundsätzlich keine Betreibungshandlungen im fraglichen Zeitraum vorgenommen werden dürfen (<ref-law>). Sie setzt voraus, dass der Schuldner infolge Krankheit oder Unfall nicht in der Lage ist, seine Rechte im Betreibungsverfahren selber wahrzunehmen oder einen Vertreter hierfür zu bestellen.
3.4.2. Die Vorinstanz hat sich nicht mit der Frage befasst, ob das Betreibungsamt mittels einer Verfügung über das Gesuch des Beschwerdeführers um Gewährung eines Rechtsstillstandes hätte befinden müssen. Sie ist stattdessen zum Schluss gelangt, dass ein solches Gesuch anhand der eingereichten Unterlagen nicht bewilligt werden könne, da die diesbezüglichen Voraussetzungen nicht erfüllt seien. Soweit sich die Vorinstanz als Aufsichtsbehörde für den Entscheid über die Gewährung des Rechtsstillstandes als sachlich zuständig erachtet hat, kann ihr nicht gefolgt werden. Die Kompetenz zum Erlass einer entsprechenden Verfügung liegt ausschliesslich beim Betreibungsamt (<ref-law>). Es hat auf Gesuch des Schuldners oder allenfalls von Amtes wegen die Voraussetzungen für die Gewährung eines Rechtsstillstandes zu prüfen und den hiefür notwendigen Sachverhalt abzuklären. Die Aufsichtsbehörde hat lediglich über eine nach <ref-law> gegen den entsprechenden Entscheid erhobene Beschwerde zu urteilen (vgl. Urteil 5A_815/2010 vom 27. Januar 2011 E. 3.1; BAUER, in: Basler Kommentar zum Bundesgesetz über Schuldbetreibung und Konkurs, 2. Aufl. 2010, N. 10, 11 zu Art. 61).
3.4.3. Mit Eingabe vom 24. März 2016 teilte der Beschwerdeführer dem Betreibungsamt mit, dass ihm die Pfändungsankündigung nicht zugegangen sei, und verlangt, die gegen ihn "in Gang gesetzten Massnahmen sofort zu stoppen, zurückzuziehen und die ursprünglichen Zustände umgehend wiederherzustellen". Er weist auf seine gesundheitlichen Probleme, namentlich die geschädigten Atemwege hin, welche ihm aufgrund der aktuellen Grippeepidemie keine Reise nach U._ erlauben würden. Als Beilage erwähnt er drei ärztliche Zeugnisse. Aus diesem Schreiben ergibt sich noch kein eigentliches Gesuch um Gewährung eines Rechtsstillstandes, bezieht es sich doch einzig auf die bereits erfolgte Pfändungsankündigung. Daran ändert auch der Hinweis auf die vorangegangenen E-Mails nichts, worin der Absender zwar den Rechtsstillstand verlangt, aber auch hier sich einzig auf bereits getroffene Massnahmen bezieht. Das Betreibungsamt kann dem Schuldner nicht rückwirkend Rechtsstillstand gewähren. Eine solche Rechtswohltat kann sich nur auf künftige Betreibungshandlungen auswirken (Urteil 5A_25/2011 vom 18. April 2011 E. 5.2, nicht publ. in: <ref-ruling>; BAUER, a.a.O., N. 13 zu Art. 61; FOËX/ JEANDIN, in: Commentaire romand, Poursuite et faillite, 2005, N. 16 zu Art. 61). Damit musste das Betreibungsamt über einen allfälligen Rechtsstillstand weder auf Gesuch noch von Amtes wegen befinden, bevor es die Pfändung am 4. April 2016 vollzogen hat. Ein Verstoss gegen Treu und Glauben ist nicht ersichtlich, und der Beschwerdeführer legt nicht dar, welchen vertrauensbegründenden Akt das Betreibungsamt gesetzt habe. Dem vorliegenden Fall ist ohnehin bereits ein Gesuch des Beschwerdeführers um Gewährung eines Rechtsstillstandes vorausgegangen. Damals hatte er eine schwere Erkrankung geltend gemacht und zwei ärztliche Zeugnisse vom 16. Dezember 2014 und 12. August 2015 eingereicht. Das Betreibungsamt wies das Gesuch am 26. Oktober 2015 ab und setzte dem Schuldner eine Frist von zehn Tagen zur Abholung des Zahlungsbefehls (Betreibung Nr. rrr) oder Bezeichnung eines Vertreters oder einer Zustelladresse. Diese Verfügung ist unangefochten geblieben. Vor diesem Hintergrund ist der Schuldner nicht ohne weiteres berechtigt, auf ein neues Gesuch hin um Gewährung des Rechtsstillstands mit teils gleichen Arztzeugnissen wiederum einen anfechtbaren Entscheid erwirken zu können. Unter welchen Voraussetzungen sich das Betreibungsamt mit einem erneuten Gesuch um Rechtsstillstand befassen muss, ist an dieser Stelle nicht zu entscheiden. Jedenfalls legt der Beschwerdeführer nicht dar, inwiefern neu eingetretene Umstände übergangen worden seien, welche die Bestellung eines Vertreters unmöglich oder unzumutbar erscheinen liessen (vgl. FOËX/JEANDIN, a.a.O., N. 9 zu Art. 61). Schliesslich geht er fehl, wenn er meint, sein neues Gesuch allein hindere einstweilen den Fortgang der Zwangsvollstreckung.
4.
Nach dem Gesagten ist der Beschwerde insgesamt kein Erfolg beschieden. Ausgangsgemäss trägt der Beschwerdeführer die Verfahrenskosten (<ref-law>). Parteientschädigungen werden keine zugesprochen.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 1'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten und dem Obergericht des Kantons Zürich, II. Zivilkammer, als oberer kantonaler Aufsichtsbehörde über Schuldbetreibung und Konkurs, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 6. März 2017
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Das präsidierende Mitglied: Escher
Der Gerichtsschreiber: Levante