Sachverhalt:
A.
A.a. Mit Schreiben vom 18. August 2015 gelangte A.X._ an das Volkswirtschaftsdepartement des Kantons Solothurn, Zivilstand und Bürgerrecht, als kantonale Aufsichtsbehörde im Zivilstandswesen. Sie führte aus, dass sie auf die Vornamen "B.A._" getauft und dabei "A._" als Rufname unterstrichen worden sei. Die Bezeichnung des Rufnamens sei offenbar untergangen, da sie von den kantonalen Ämtern mit "B.A._" oder mit "B._" angeschrieben werde. Sie ersuchte ihrer Bitte nachzukommen, die Vornamen elektronisch in der Reihenfolge zu ändern.
A.b. Die Eingabe wurde als Gesuch um Bereinigung des Zivilstandsregisters entgegengenommen und als solches vom kantonalen Departement mit Verfügung vom 29. September 2015 abgewiesen. Zur Begründung hielt das Departement im Wesentlichen fest, dass ein Fehler, der auf offensichtlichem Versehen oder Irrtum beruhe, nicht vorliege.
B.
Gegen diese Verfügung wandte sich A.X._ mit Beschwerde vom 9. Oktober 2015 an das Verwaltungsgericht des Kantons Solothurn. Sie beantragte im Wesentlichen, "die für die Führung der Register verantwortlichen Behörden zu verpflichten, alle erforderlichen regulatorischen, organisatorischen und technischen Massnahmen zu veranlassen, damit der [...] Rufname 'A._' in den massgeblichen Registern und amtlichen Ausweisen geführt werde". Mit Urteil vom 11. Januar 2016 wies das Verwaltungsgericht die Beschwerde ab.
C.
Mit Eingabe vom 5. Februar 2016 hat A.X._ Beschwerde in Zivilsachen sowie subsidiäre Verfassungsbeschwerde erhoben. Die Beschwerdeführerin beantragt, das Urteil des Verwaltungsgerichts sei aufzuheben und es seien die zuständigen Behörden zu verpflichten, "alle erforderlichen Massnahmen zu veranlassen, damit der Rufname 'A._' als solcher wieder in der behördlichen Ansprache als massgeblicher Vorname verwendet werde". Eventuell sei die Sache zu neuer Entscheidung an die Vorinstanz zurückzuweisen.
Das Verwaltungsgericht hat auf eine Vernehmlassung verzichtet. Das kantonale Volkwirtschaftsdepartement, Zivilstand und Bürgerrecht, und das Bundesamt für Justiz (BJ) schliessen auf Abweisung der Beschwerde.

Erwägungen:
1.
1.1. Angefochten ist ein Entscheid einer kantonalen Rechtsmittelinstanz (Art. 75 BGG), welche die von der Beschwerdeführerin bei der Aufsichtsbehörde im Zivilstandswesen verlangte Registeränderung bzw. -eintragung durch Abweisung der Beschwerde beurteilt hat. Die Beschwerdeführerin ist in ihren schutzwürdigen Interessen berührt und hinreichend legitimiert (Art. 76 Abs. 1 lit. b BGG). Die Beschwerde in Zivilsachen gegen den Entscheid über die Führung des Zivilstandsregisters ist grundsätzlich zulässig (Art. 72 Abs. 2 lit. b Ziff. 2 BGG) und die Eingabe kann insgesamt als solche behandelt werden (vgl. Art. 113 BGG).
1.2. Mit der vorliegenden Beschwerde kann u.a. die Verletzung von Bundes- einschliesslich Verfassungsrecht sowie von Völkerrecht gerügt werden (Art. 95 lit. a und b BGG). In der Beschwerdeschrift ist in gedrängter Form darzulegen, inwiefern der angefochtene Akt Recht verletzt (Art. 42 Abs. 2 BGG). Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (Art. 106 Abs. 1 BGG). Die Verletzung von verfassungsmässigen Rechten ist in der Beschwerdeschrift vorzubringen und zu begründen (Art. 106 Abs. 2 BGG), wobei das Rügeprinzip gilt (<ref-ruling> E. 2 S. 591).
1.3. Die in der Beschwerde erhobene Rüge einer Gehörsverletzung (Art. 29 Abs. 2 BV) genügt den Begründungsanforderungen nicht. Mit den Ausführungen, dass das Verwaltungsgericht sich mit seinem Hinweis auf die Möglichkeit der Namensänderung begnüge, kritisiert die Beschwerdeführerin die Rechtsanwendung der Vorinstanz, wie sie im angefochtenen Entscheid ohne weiteres sichtbar wird und gegen welche die Beschwerdeführerin sich in ihrer Beschwerde im Einzelnen wendet. Sodann hat die Beschwerdeführerin bereits im erstinstanzlichen Verfahren vorgebracht, dass sie im Geburtsregister und im Personenstandsregister mit den Vornamen "B.A._" eingetragen sei. Inwiefern das Verwaltungsgericht ihren Anspruch auf rechtliches Gehör verletzt oder sonst auf einer Rechtsverletzung im Sinne von Art. 95 BGG beruhende Sachverhaltsfeststellungen getroffen habe, wenn es - wie die Erstinstanz - den Inhalt der Register festgestellt hat, legt die Beschwerdeführerin nicht dar. Auf die Rügen einer Verletzung der Begründungspflicht sowie des Rechts, sich zu Beweismitteln zu äussern, kann nicht eingetreten werden.
1.4. Das BJ ist am Verfahren zu beteiligen, da es eine zur Beschwerde berechtigte Behörde ist (Art. 102 Abs. 1 BGG; vgl. Art. 90 Abs. 4 und 5 ZStV).
1.5. Soweit die Beschwerdeführerin in ihrem Begehren auf andere "zuständige Behörden" Bezug nimmt, welche nicht Zivilstandsbehörden sind, aber "erforderliche Massnahmen" treffen sollen, richtet sich die Beschwerde nicht gegen den angefochtenen Entscheid. Gegenstand des vorliegenden Verfahren ist einzig der Entscheid des Verwaltungsgerichts über die Führung des Personenstandsregisters.
2.
Das Verwaltungsgericht hat im Wesentlichen festgehalten, dass die Beschwerdeführerin korrekt und in der richtigen Reihenfolge mit ihren beiden Vornamen "B.A._" im Personenstandsregister erfasst sei. Eine (administrative) Berichtigung des Registers durch die Zivilstandsbehörden falle ausser Betracht, da ein Fehler, der auf offensichtlichem Versehen oder Irrtum beruhe, nicht vorliege. Die Vorbringen, im Personenstandsregister fehle die Kennzeichnung des Rufnamens und die Reihenfolge der erfassten Namen sei nicht verbindlich, sei unbegründet und verletze Art. 8 EMRK nicht. Mit einer Namensänderung nach Art. 30 Abs. 1 ZGB könne die Reihenfolge der Vornamen geändert werden.
Die Beschwerdeführerin hält demgegenüber im Wesentlichen fest, dass der Rufname in den Papier-Registern unterstrichen gewesen, aber in dem durch Infostar geführten Personenstandsregister sowie anderen, sich darauf stützenden Registern nicht mehr erkennbar sei. Die Begründung der Vorinstanz, wonach der Rufname nicht gekennzeichnet werde, sei unzutreffend. Die Kennzeichnung im Register sei vielmehr obligatorisch, weil jede Person berechtigt sei, aus den amtlichen Vornamen einen Rufnamen auszuwählen, und "A._" ihr amtlicher und einzig zu verwendende Rufname sei. Der Rufname sei vom Persönlichkeitsschutz erfasst und die Nichtbeachtung stelle einen unzulässigen Grundrechtseingriff dar.
3.
Anlass zur vorliegende Beschwerde gibt die Eintragung der Vornamen der Beschwerdeführerin im Personenstandsregister sowie die Frage der Erfassung ihres Rufnamens. Nach dem angefochtenen Urteil (und den kantonalen Akten) steht fest, dass die Beschwerdeführerin im Personenstandsregister mit den Vornamen "B.A._" ohne Bezeichnung eines Rufnamens erfasst ist; das Gleiche gilt ferner für den Eintrag im Geburtsregister des Zivilstandsamtes U._ vom 3. Juni 1948, wie aus dem Auszug vom 17. November 2015 hervorgeht.
3.1. Das Verwaltungsgericht hat keinen Anlass zur Bereinigung des Eintrages im Personenstandsregister durch die Zivilstandsbehörden gesehen. Gemäss Art. 43 ZGB ist die (sog. administrative) Berichtigung durch die Zivilstandsbehörden von Amtes wegen möglich, um Fehler einer abgeschlossenen Eintragung zu beheben, die auf einem offensichtlichen Versehen oder Irrtum beruhen. Jeder Betroffene kann Fehler der Aufsichtsbehörde melden, welche über die administrative Bereinigung entscheidet (Art. 29 ZStV). Die Beschwerdeführerin bestätigt selber, dass ihre Vornamen "B.A._" richtig eingetragen sind. Sie legt nicht dar und es ist im Übrigen nicht ersichtlich, inwiefern das Verwaltungsgericht einen Fehler im Sinne von Art. 43 ZGB verkannt hätte.
3.2. Aus dem angefochtenen Urteil geht hervor, dass die Beschwerdeführerin im kantonalen Verfahren die fehlende Kennzeichnung des Rufnamens im Personenstandsregister gerügt hat. Die Vorinstanz hat keinen Grund zur Bezeichnung oder Erfassung des Rufnamens im Personenstandsregister erblickt. Die Beschwerde kann so verstanden werden, dass die Beschwerdeführerin eine Eintragung des Rufnamens im Personenstandsregister verlangt und die Verweigerung der betreffenden Eintragung bzw. Kennzeichnung rügt.
3.3. Gegen Verfügungen der Zivilstandsbeamten kann Beschwerde bei der Aufsichtsbehörde geführt werden; ebenso kann gegen Verfügungen und Beschwerdeentscheide der Aufsichtsbehörden bei den zuständigen kantonalen Instanzen Beschwerde geführt werden (Art. 90 Abs. 1 und 2 ZStV; vgl. Art. 45 Abs. 3 ZGB). Auf diesem Weg kann die Verweigerung einer Eintragung in das Personenstandsregister angefochten werden (vgl. <ref-ruling> E. 2 S. 211; Urteil 5A_756/2015 vom 16. Juni 2016 E. 3.1; STEINAUER/FOUNTOULAKIS, Droits des personnes physiques et de la protection de l'adulte, 2014, Rz. 810). Zu prüfen ist im Folgenden, ob die Verweigerung der verlangten Eintragung bzw. Kennzeichnung des Rufnamens im Personenstandsregister rechtswidrig ist.
3.3.1. Der amtliche bzw. gesetzliche Name einer natürlichen Person besteht aus ihrem Familiennamen und dem oder den Vornamen (<ref-ruling> E. 2a S. 61; u.a. BÜHLER, in: Basler Kommentar, Zivilgesetzbuch I, 5. Aufl. 2014, N. 1, 5 zu Art. 270-270b ZGB; SANDOZ, in: Commentaire romand I, 2010, N. 2 zu Art. 270 ZGB). Die Namen gehören zum Personenstand und werden im Personenstandsregister beurkundet (Art. 39 Abs. 1 und 2 Ziff. 3 ZGB; Art. 8 lit. c ZStV). Erfasst werden nur amtliche Namen (vgl. Art. 24 Abs. 3 ZStV). Bei der Erfassung dürfen Namen weder weggelassen noch übersetzt noch in ihrer Reihenfolge geändert werden (Art. 24 Abs. 4 ZStV). Der Vorname wird dem Kind von den Eltern gegeben (Art. 301 Abs. 4 ZGB); die Namensänderung ist im Verfahren nach Art. 30 Abs. 1 ZGB möglich (MEIER/DE LUZE, Droit des personnes, 2014, Rz. 281).
3.3.2. Vom Namen, der kraft rechtlicher Bestimmung erworben wird, ist der sich auf blossen Gebrauch stützende Name zu unterscheiden. Zu den Letzteren gehört der Rufname (prénom usuel, nome usuale), der z.B. aus mehreren Vornamen frei gewählt und - weil er keinen gesetzlichen Namen darstellt - auch jederzeit und formlos geändert oder abgelegt werden kann (SIEGENTHALER, Das Personenstandsregister, 2013, Rz. 246 und 247; BREITSCHMID, in: Handkommentar zum Schweizer Privatrecht, 3. Aufl. 2016, N. 9 zu Art. 301 ZGB). Weil Rufnamen frei variierbar sind und sich der Erwerb nicht auf das Zivilrecht stützt, kann die Erfassung oder Bezeichnung im Personenstandsregister - als öffentlichem Register (Art. 9 ZGB), dessen Zweck die Beurkundung des Personenstandes und des amtlichen Namens ist - insoweit keinen Beweis geben. Ob eine Person ihren Vornamen überhaupt oder nur einen von mehreren Vornamen als Rufnamen gebraucht, wird daher im Personenstandsregister nicht bezeichnet (SIEGENTHALER, a.a.O., Rz. 246; vgl. allgemein BUCHER, Natürliche Personen und Persönlichkeitsschutz, 4. Aufl. 2009, Rz. 753). Aus dem gleichen Grund werden übrigens auch andere nichtamtliche Namen wie z.B. Allianznamen, Pseudonyme, Künstlernamen, Beinamen, Kurzformen und Übersetzungen nicht in das Personenstandsregister aufgenommen (BUCHER, a.a.O., Rz. 753; SIEGENTHALER, a.a.O., Rz. 235, 246; MONTINI, in: Commentaire romand, Code Civil I, 2010, N. 4 zu Art. 39 ZGB).
3.3.3. Nach dem Dargelegten hat die Vorinstanz zu Recht gefolgert, dass die zum Personenstand gehörenden und gemäss Art. 39 Abs. 1 und 2 Ziff. 3 ZGB im Personenstandsregister zu beurkundenden Namen nur die amtlichen Namen erfassen, wie dies in der Verordnung des Bundesrates konkretisiert wird (Art. 48 Abs. 2 Ziff. 1 ZGB; Art. 8 lit. c i.V.m. Art. 24 Abs. 3 ZStV). Wenn das Verwaltungsgericht zum Ergebnis gelangt ist, die kantonale Aufsichtsbehörde im Zivilstandswesen habe die Bezeichnung des Rufnamens "A._" unter den beiden Vornamen "B.A._" im Personenstandsregister verweigern dürfen, ist dies nicht zu beanstanden. Ob der Rufname (wie die Beschwerdeführerin sinngemäss fordert) de lege ferenda im Personenstandsregister zu beurkunden sei, ist nicht Gegenstand des vorliegenden Verfahrens.
3.4. Was die Beschwerdeführerin in verschiedener Hinsicht vorbringt, vermag an diesem Ergebnis nichts zu ändern.
3.4.1. Zutreffend hält die Beschwerdeführerin zunächst fest, dass der Rufname Teil der rechtlich geschützten Persönlichkeit ist und seine Ausübung unter dem privatrechtlichen Namensschutz steht (vgl. Art. 29 ZGB; BUCHER, a.a.O., Rz. 753, 822). Ebenso trifft zu, dass die Achtung der persönlichen Identität einer Person, insbesondere die Achtung des Namens von der verfassungsrechtlich geschützten Privatsphäre erfasst wird (vgl. Art. 13 BV, Art. 8 EMRK; BREITENMOSER, in: Die schweizerische Bundesverfassung, St. Galler Kommentar, 3. Aufl. 2014, N. 21 zu Art. 13 BV).
3.4.2. Die Beschwerdeführerin legt allerdings nicht dar und es ist nicht ersichtlich, inwiefern sie im Gebrauch ihres Rufnamens durch das Personenstandsregister eingeschränkt wird. Dass die Rufnamen im betreffenden Register nicht bezeichnet werden, widerspiegelt gerade die Freiheit ihres Gebrauchs. Soweit die Beschwerdeführerin sinngemäss vorbringt, ohne eine Kennzeichnung ihres zweiten Vornamens im Personenstandsregister könne sie ihren Rufnamen und damit einen Aspekt ihrer Persönlichkeit gar nicht ausüben, führt dies nicht weiter, zumal sie selber betont, ebendiesen Rufnamen zu verwenden und in ihrem gesamten sozialen Umfeld entsprechend bekannt zu sein. Entgegen ihrer Darstellung enthält das Personenstandsregister keinen "falschen Rufnamen", sondern einzig und in korrekter Weise ihre (n) gestützt auf das ZGB erworbenen und damit amtlichen Namen. Wenn im Personenstandsregister - gestützt auf dessen gesetzlichen Zweck - die amtlichen Namen beurkundet werden, und der frei wähl- und jederzeit änderbare Rufname nicht besonders bezeichnet wird, kann nicht von einer verfassungs- oder EMRK-widrigen Einschränkung der persönlichen Freiheit gesprochen werden. Die Beschwerdeführerin stört, wenn "Behörden, Banken und andere Stellen" nicht oder erst auf Nachdruck hin ihren Rufnamen "A._" verwenden. Dass die Beschwerdeführerin die rechtliche Möglichkeit hat, ihre (n) amtlichen Namen dem tatsächlichen Gebrauch ihres Rufnamens im Verfahren nach Art. 30 Abs. 1 ZGB anzupassen, steht zu Recht ausser Frage.
3.4.3. Unbehelflich ist, wenn die Beschwerdeführerin (sowie die Vorinstanz) auf die Verordnung des EJPD über die Ausweise für Schweizer Staatsangehörige vom 16. Februar 2010 (SR 143.111) hinweist. Entgegen ihrer Darstellung erlaubt die Regelung über die Ausweise gerade, ihrem Rufnamen und ihrem Persönlichkeitsrecht Rechnung zu tragen. Nach den Bestimmungen (Art. 5 Abs. 1-3) der Verordnung wird der Rufname zwar nicht gekennzeichnet; er kann indes aus Platzgründen vorgezogen oder im Pass auf Verlangen der antragsstellenden Person in der Rubrik "amtliche Ergänzungen" sehr wohl eingetragen werden. Daraus kann nicht auf die Rechtswidrigkeit der ZStV geschlossen werden, weil sie eine derartige Rubrik nicht kennt. Zweck des Personenstandsregisters ist es, den nach Gesetz erworbenen Namen zu beurkunden (E. 3.3), währenddem für die Ausstellung von Ausweisen (Pass, Identitätskarte) besondere Vorschriften gelten, weil sie einem besonderen Zweck - als Identifikationsmittel - dienen (SIEGENTHALER, a.a.O., Rz. 236; vgl. Art. 2 Abs. 2 des Bundesgesetzes über die Ausweise für Schweizer Staatsangehörige vom 12. Juni 2001, SR 143.1).
3.4.4. Aus dem Bundesgesetz über die Harmonisierung der Einwohnerregister und anderer amtlicher Personenregister vom 23. Juni 2006 (RHG, SR 431.02) kann die Beschwerdeführerin keine Pflicht des Zivilstandamtes zur Bezeichnung des Rufnamens ableiten. Art. 4 Abs. 1 RHG bestimmt, dass sich die Eintragung von Daten des Personenstandes in den (anderen) Registern nach den Art. 39-49 ZGB richtet. Aus Gründen der Rechtssicherheit bleiben die zivilstandsbezogenen Bestimmungen des ZGB und die dazugehörigen Ausführungsbestimmungen über die Beurkundung vorbehalten; die Zuständigkeiten im Bereich des Zivilstandswesens haben somit durch das RHG keine Änderung erfahren (Botschaft zur Harmonisierung amtlicher Personenregister vom 23. November 2005, BBl 2006 427, Ziff. 2.2 ad Art. 4, S. 458). Wenn die Beschwerdeführerin ausführt, dass nach Art. 7 RHG im Einwohnerregister die Führung des Rufnamens möglich ist, hält sie einzig zutreffend fest, dass dieses Merkmal nach den Anforderungen des Kataloges des Bundesamtes für Statistik (Art. 4 Abs. 4 RHG) zu führen ist. Unbehelflich ist schliesslich, wenn die Beschwerdeführerin eine Verletzung des Datenschutzgesetzes rügt, weil sie durch die Bearbeitung ihrer Daten einen erheblichen Nachteil erleide. Entgegen ihrer Auffassung ist das Bundesgesetz über den Datenschutz vom 19. Juni 1992 (DSG, SR 235.1) auf öffentliche Register des Privatrechtsverkehrs - wie das Personenstandsregister - nicht anwendbar (Art. 1 Abs. 2 lit. d DSG).
3.5. Zusammenfassend stellt es keine Rechtsverletzung dar, wenn das Verwaltungsgericht sowohl die administrative Berichtigung einer Eintragung im Personenstandsregister als auch die anbegehrte Eintragung bzw. Bezeichnung des Rufnamens verweigert hat.
4.
Der Beschwerde ist kein Erfolg beschieden. Bei diesem Ausgang des Verfahrens wird die Beschwerdeführerin kostenpflichtig (Art. 66 Abs. 1 BGG). Eine Entschädigungspflicht entfällt (Art. 68 Abs. 3 BGG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 1'200.-- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird der Beschwerdeführerin, dem Volkswirtschaftsdepartement, Zivilstand und Bürgerrecht, und dem Verwaltungsgericht des Kantons Solothurn sowie dem Bundesamt für Justiz, EAZW, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 27. Oktober 2016
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: von Werdt
Der Gerichtsschreiber: Levante