Das Bundesgericht zieht in Erwägung:
1.
Die Staatsanwaltschaft Zürich-Sihl nahm eine Strafuntersuchung gegen ein Sozialzentrum wegen Amtsmissbrauchs etc. am 5. September 2015 nicht an die Hand. Die Verfügung wurde dem Beschwerdeführer an die von ihm auf seiner Strafanzeige als Absender angegebene Adresse zugestellt. Die Sendung ging am 8. September 2015 bei der zuständigen Poststelle ein. Am selben Tag liess der Beschwerdeführer die Aufbewahrungsfrist bis am 21. September 2015 verlängern. Die Sendung konnte ihm schliesslich am 18. September 2015 zugestellt werden. In der Folge reichte er mit Eingabe vom 25. September 2015, die er allerdings erst am 27. September 2015 der Post übergab, beim Obergericht des Kantons Zürich eine Beschwerde gegen die Nichtanhandnahmeverfügung vom 5. September 2015 ein. Das Obergericht trat am 24. November 2015 auf das Rechtsmittel infolge Verspätung nicht ein. Ein Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege wies das Obergericht ab.
Der Beschwerdeführer wendet sich ans Bundesgericht und beantragt, der Entscheid des Obergerichts vom 24. November 2015 sei aufzuheben.
2.
Das Bundesgericht kann sich im vorliegenden Verfahren nur mit dem angefochtenen Entscheid befassen. Die meisten Ausführungen des Beschwerdeführers betreffen diesen nicht und sind unzulässig.
3.
In Anwendung von <ref-law> kann auf die zutreffenden Ausführungen der Vorinstanz verwiesen werden (vgl. Entscheid S. 2/3 zur Wahrung der Frist und S. 3 zur unentgeltlichen Rechtspflege). Was daran gegen das Recht verstossen könnte, ist der Beschwerde, soweit sie überhaupt sachgerecht ist, nicht zu entnehmen (vgl. insbesondere die abwegigen Ausführungen Beschwerde S. 13 - 15 zum Thema "Postlauf und Fristen"). Die Beschwerde ist im Verfahren nach <ref-law> abzuweisen, soweit darauf eingetreten werden kann.
4.
Die Gerichtskosten sind dem Beschwerdeführer aufzuerlegen (<ref-law>). Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege ist in Anwendung von <ref-law> abzuweisen, weil die Rechtsbegehren aussichtslos erschienen. Der finanziellen Lage des Beschwerdeführers ist bei der Bemessung der Gerichtskosten Rechnung zu tragen (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.
Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege wird abgewiesen.
3.
Die Gerichtskosten von Fr. 800.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Zürich, III. Strafkammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 16. Februar 2016
Im Namen der Strafrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Denys
Der Gerichtsschreiber: Monn