Sachverhalt:
A.
Die Steuerverwaltung Basel-Stadt (nachfolgend: Steuerverwaltung) leitete am 10. September 2010 gegen die Steuerpflichtige A._ wegen Verdachts auf Nichtdeklaration von Einkommens- und Vermögenswerten ein Nach- und Strafsteuerverfahren betreffend die Steuerperioden 2004 bis 2009 (kantonale Steuern und direkte Bundessteuer) ein. Mit Schreiben vom 12. April 2011 gewährte ihr die Steuerverwaltung das rechtliche Gehör zu den provisorischen Berechnungen der Nachsteuer- und Bussenverfügungen und präzisierte, es seien die Steuerperioden 2002 bis 2008 betroffen. Am 14. Juni 2011 und 11. Juli 2011 gewährte die Steuerverwaltung A._ das rechtliche Gehör zu den jeweils aktualisierten provisorischen Berechnungen. Am 16. April 2012 und 4. Juni 2012 erfolgten zwei persönliche Vorsprachen der Steuerpflichtigen und ihres damaligen Rechtsvertreters bei der Steuerverwaltung. In der Folge wurde A._ am 8. Juni 2012 zur Einreichung fehlender Unterlagen aufgefordert. Nach zweimaliger Fristerstreckung legte der Rechtsvertreter am 4. September 2012 sein Mandat nieder. Mit Schreiben vom 12. September 2012 setzte die Steuerverwaltung die Steuerpflichtige über die Berechnungen für die definitive Rechnungsstellung im Nach- und Strafsteuerverfahren in Kenntnis. Mit Nachsteuer- und Bussenverfügungen vom 13. September 2012 auferlegte sie der Steuerpflichtigen Nachsteuern (inklusive Zins) von Fr. 109'556.-- (kantonale Steuern) bzw. Fr. 40'462.90 (direkte Bundessteuer) und Hinterziehungsbussen von Fr. 87'943.-- (kantonale Steuern) bzw. Fr. 34'992.-- (direkte Bundessteuer).
B.
Mit Eingabe vom 27. März 2013 ersuchte die Steuerpflichtige um Wiederherstellung der Fristen zur Einreichung von Einsprachen gegen die Verfügungen vom 13. September 2012. Die Steuerverwaltung wies das Gesuch mit Entscheid vom 8. Mai 2013 ab.
Gegen diesen Entscheid erhob A._ am 11. Juni 2013 Rekurs und Beschwerde an die Steuerrekurskommission des Kantons Basel-Stadt. Mit Entscheiden vom 27. August 2015 wies die Steuerrekurskommission diese ab.
Den Rekurs und die Beschwerde, welche die Steuerpflichtige am 22. Oktober 2015 hiergegen erhob, wies das Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt als Verwaltungsgericht mit Urteil vom 20. Juli 2016 ab.
C.
Mit Eingabe vom 3. September 2016 (recte: 3. Oktober 2016) erhebt A._ beim Bundesgericht Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten. Sie beantragt, das Urteil des Appellationsgerichts des Kantons Basel-Stadt vom 20. Juli 2016 sei aufzuheben und es sei die Nichtigkeit der Veranlagungen vom 13. September 2012 festzustellen. Eventualiter sei die Rechtsmittelfrist wiederherzustellen. In prozessualer Hinsicht beantragt sie, der Beschwerde sei die aufschiebende Wirkung zuzuerkennen.
Der Präsident der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung des Bundesgerichts wies das Gesuch um Zuerkennung der aufschiebenden Wirkung am 11. Oktober 2016 ab. Es wurde kein Schriftenwechsel angeordnet.

Erwägungen:
1.
1.1. Die Vorinstanz hat zu den Steuerperioden 2002 bis 2008 betreffend die kantonalen Steuern einerseits und die direkte Bundessteuer anderseits ein einziges Urteil gefällt. Die Beschwerdeführerin ficht dieses Urteil mit einer einzigen Beschwerdeeingabe an. Nach ständiger Praxis hat das Bundesgericht zwei Verfahren eröffnet. Da die sich stellenden Fragen im Bundesrecht und im harmonisierten kantonalen Steuerrecht übereinstimmend geregelt sind, rechtfertigt es sich, die beiden Verfahren zu vereinigen und die Beschwerde in einem einzigen Urteil zu erledigen (<ref-law> i.V.m. <ref-law> [SR 273]; Urteile 2C_560/2014 und 2C_561/2014 vom 30. September 2015 E. 1.2.1, in: StE 2016 B 72.14.3 Nr. 1; 2C_309/2013 und 2C_310/2013 vom 18. September 2013 E. 1.2 mit Hinweisen).
1.2. Die Beschwerde richtet sich gegen den verfahrensabschliessenden Entscheid einer letzten kantonalen Instanz in einer Angelegenheit des öffentlichen Rechts. Die Voraussetzungen der Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten liegen vor (Art. 82 lit. a, Art. 83 e contrario, Art. 86 Abs. 1 lit. d und Abs. 2, Art. 89 Abs. 1 und Art. 90 BGG in Verbindung mit <ref-law> [SR 642.11] und Art. 73 des Bundesgesetzes vom 14. Dezember 1990 über die Harmonisierung der direkten Steuern der Kantone und Gemeinden [StHG; SR 642.14]). Auf die Beschwerde ist einzutreten.
1.3. Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (<ref-law>). Es prüft jedoch unter Berücksichtigung der allgemeinen Rüge- und Begründungspflicht (Art. 42 Abs. 1 und 2 BGG) grundsätzlich nur die geltend gemachten Vorbringen, es sei denn, weitere rechtliche Mängel seien geradezu offensichtlich. Hinsichtlich der Verletzung von Grundrechten, insbesondere des Willkürverbots, und von kantonalem und interkantonalem Recht gilt eine qualifizierte Rügepflicht (<ref-law>; <ref-ruling> E. 1.6 S. 280 f. mit Hinweisen).
I. Direkte Bundessteuer
2.
Die Beschwerdeführerin macht geltend, die Nachsteuer- und Bussenverfügungen vom 13. September 2012 seien nichtig, da sie an formellen und inhaltlichen Mängeln litten.
2.1. Fehlerhafte Verwaltungsakte sind in der Regel nicht nichtig, sondern nur anfechtbar, und sie werden durch Nichtanfechtung rechtsgültig. Nichtigkeit, d.h. absolute Unwirksamkeit, einer Verfügung wird nur angenommen, wenn sie mit einem tiefgreifenden und wesentlichen Mangel behaftet ist, wenn dieser schwerwiegende Mangel offensichtlich oder zumindest leicht erkennbar ist und wenn zudem die Rechtssicherheit durch die Annahme der Nichtigkeit nicht ernsthaft gefährdet wird. Inhaltliche Mängel haben nur in seltenen Ausnahmefällen die Nichtigkeit einer Verfügung zur Folge; erforderlich ist hierzu ein ausserordentlich schwerwiegender Mangel. Als Nichtigkeitsgründe fallen hauptsächlich funktionelle und sachliche Unzuständigkeit einer Behörde sowie schwerwiegende Verfahrensfehler in Betracht. Fehlt einer Verfügung in diesem Sinne jegliche Rechtsverbindlichkeit, so ist das durch jede Behörde, die mit der Sache befasst ist, jederzeit und von Amtes wegen zu beachten (<ref-ruling> E. 3.1 S. 503 f.; <ref-ruling> E. 3.1 S. 275; Urteil 2C_596/2012 vom 19. März 2013 E. 2.1; je mit Hinweisen).
2.2. Die Beschwerdeführerin macht geltend, es sei willkürlich und verstosse gegen das Recht auf gleiche und gerechte Behandlung im Verfahren, dass die Vorinstanz bezüglich formeller und inhaltlicher Mängel nicht auf eine Gesamtbetrachtung abstelle. Die Frage, ob eine Häufung von formellen und inhaltlichen Mängeln, welche je separat betrachtet nicht die Nichtigkeit der Verfügung zur Folge hätten, gesamthaft zu betrachten wären und in ihrer Summe zur Nichtigkeit der Verfügung führen könnten, braucht indessen vorliegend nicht geprüft zu werden. Wie im Folgenden (vgl. E. 2.3 - 2.7) aufzuzeigen ist, liegt keine Häufung von formellen und inhaltlichen Mängeln vor.
Es ist nicht ersichtlich, inwiefern die rechtliche Einschätzung der Vorinstanz den Anspruch auf gleiche und gerechte Behandlung im Verfahren gemäss <ref-law> verletzen oder gegen das Willkürverbot von <ref-law> verstossen soll. Willkürlich ist ein Entscheid nicht schon dann, wenn eine andere Lösung ebenfalls vertretbar erscheint oder gar vorzuziehen wäre, sondern erst, wenn er offensichtlich unhaltbar ist, zur tatsächlichen Situation in klarem Widerspruch steht, eine Norm oder einen unumstrittenen Rechtsgrundsatz krass verletzt oder in stossender Weise dem Gerechtigkeitsgedanken zuwiderläuft (<ref-ruling> E. 2.1 S. 18 f.; <ref-ruling> E. 2.2.2 S. 318 f., je mit Hinweisen). Dies ist vorliegend angesichts der klaren und nachvollziehbaren vorinstanzlichen Erwägungen nicht der Fall.
2.3. Die Beschwerdeführerin rügt in der Folge eine Verletzung der in Art. 6 Abs. 2 EMRK und <ref-law> verankerten Unschuldsvermutung. Die Steuerverwaltung habe ihr ohne jegliche Nachweise und ohne Abklärungen zum Sachverhalt ein unerklärliches Einkommen aufgerechnet. Sie habe nicht alle Untersuchungsmittel ausgeschöpft und den Grundsatz in dubio pro minus verletzt. Die Vorinstanz habe die ermessensweise Festsetzung von nicht deklariertem Einkommen im Steuerstrafverfahren willkürlich als zulässig erachtet.
2.3.1. Die rechtlichen Erwägungen der Vorinstanz bezüglich der Unschuldsvermutung und Ermessensveranlagung im Steuerstrafverfahren sind nicht zu beanstanden. Im Gegensatz zu den Veranlagungs- und Nachsteuerverfahren fällt das Strafverfahren betreffend die (vollendete oder versuchte) Steuerhinterziehung unter Art. 6 Ziff. 1 EMRK (<ref-ruling> E. 9.2 S. 74; <ref-ruling> E. 2.6.1 S. 51). Es gilt daher die Unschuldsvermutung. Auch im Steuerhinterziehungsverfahren ist es jedoch zulässig, die Höhe eines hinterzogenen Einkommens- oder Vermögensbestandteils zu schätzen (Urteil 2C_290/2011 und 2C_291/ 2011 vom 12. September 2011 E. 5.2.2). Sodann kann auch im Strafverfahren bei der Beweiswürdigung berücksichtigt werden, dass die steuerpflichtige Person Klärungen nicht liefert, die sich aufdrängen (Urteil 2C_214/2014 vom 7. August 2014 E. 3.6.2 mit Hinweisen).
2.3.2. Es ist unbestritten, dass die Beschwerdeführerin gewisse Einkommens- und Vermögensbestandteile nicht deklariert hat. Entgegen ihrer Auffassung war eine ermessensweise Festsetzung der Höhe des nicht deklarierten Einkommens bzw. Einkommens demnach zulässig. Eine Verletzung der Unschuldsvermutung ist nicht ersichtlich. Sodann legt die Beschwerdeführerin weder dar, welche weiteren Untersuchungen notwendig gewesen wären, noch zeigt sie auf, inwiefern die Schätzung der Steuerverwaltung zu ihren Ungunsten ausgefallen sei und zu einem überhöhten Aufrechnungsbetrag geführt haben soll. Die Nachsteuer- und Bussenverfügungen vom 13. September 2012 weisen diesbezüglich keinen Mangel auf. Angesichts der ausführlichen und stichhaltigen Erwägungen der Vorinstanz geht der Vorwurf, diese habe die ermessensweise Festsetzung von nicht deklariertem Einkommen im Steuerstrafverfahren willkürlich und ohne Weiteres als zulässig bezeichnet, ins Leere.
2.4. Weiter rügt die Beschwerdeführerin, die Steuerverwaltung habe bei der Eröffnung der Nach- und Strafsteuerverfahren für die Perioden 2007 und 2008 gegen Treu und Glauben verstossen. Sie habe die Beschwerdeführerin mit Schreiben vom 27. Juli 2009 mit einem nicht erklärbaren Vermögenszuwachs konfrontiert und intern ein Nach- und Strafsteuerverfahren eröffnet. Sie habe also von der Unvollständigkeit der Steuererklärungen bereits im Sommer 2009 und somit vor der definitiven Veranlagung für die Jahre 2007 und 2008 Kenntnis gehabt, so dass die nachträgliche Eröffnung eines Nach- und Strafsteuerverfahrens mangels neuer Tatsachen im Sinne von <ref-law> nicht mehr möglich gewesen sei. Die Vorinstanz verfalle in Willkür und lasse den relevanten Sachverhalt und die Beweismittel ausser Acht, wenn sie diesbezüglich zu einem anderen Schluss gelange.
2.4.1. Die Erwägungen im vorinstanzlichen Urteil sind indessen auch in diesem Punkt nachvollziehbar und schlüssig: Aus einer von der Beschwerdeführerin am 19. August 2009 abgegebenen Erklärung ergibt sich eine unvollständige Deklaration der Vermögenswerte betreffend die Veranlagung pro 2006. Dass auch die ordentlichen Veranlagungen pro 2007 und 2008 unvollständig waren, war in jenem Zeitpunkt nicht ersichtlich. Die dem Nach- und Strafsteuerverfahren zugrunde liegenden Tatsachen und Beweismittel sind damit als neu im Sinne von <ref-law> zu qualifizieren, und es liegt kein Verstoss gegen Treu und Glauben vor.
2.4.2. Entgegen der Behauptung in der Beschwerde ergeben sich keine Gründe für die Annahme, die Steuerverwaltung hätte mit der Eröffnung des Nach- und Strafsteuerverfahrens gegen Treu und Glauben verstossen und die Nachsteuer- und Bussenverfügungen würden deswegen an einem Mangel leiden. Es ist somit nicht ersichtlich, dass die Vorinstanz Tatsachen und Beweismittel ausser Acht gelassen hätte und in Willkür verfallen wäre.
2.5. Als weiteren Mangel der Nachsteuer- und Bussenverfügungen rügt die Beschwerdeführerin, diese seien ungenügend begründet, was den Anspruch auf rechtliches Gehör verletze. Aufgrund der Komplexität solcher Fälle, der erfolgten Schätzung der steuerbaren Faktoren, der Strafsteuer und des erheblichen Eingriffs in die individuellen Rechte sei eine hohe Begründungsdichte zu verlangen. Die ihr am 12. und 13. September 2012 zugestellten Dokumente und Verfügungen würden sich mit den einzelnen Sachverhaltselementen nicht befassen und der Begründungspflicht daher nicht genügen. Sie seien unverständlich und nicht nachvollziehbar. Es müsse davon ausgegangen werden, dass die von der Beschwerdeführerin während laufender Rechtsmittelfrist mandatierte Treuhandfirma ebenso wie die Vorinstanz aufgrund der Komplexität und der fehlenden Begründung überfordert gewesen seien. Die Vorinstanz habe die strengen Voraussetzungen der Begründungspflicht nicht geprüft und eine Gehörsverletzung in willkürlicher Art und Weise verneint.
2.5.1. Entgegen der Behauptung in der Beschwerde setzte sich die Vorinstanz in ihrem Entscheid in Erwägung 2.5 eingehend mit der gerügten Verletzung der Begründungspflicht auseinander. Sie gelangte zum Schluss, die Nachsteuer- und Bussenverfügungen seien ausreichend begründet und diesbezüglich nicht mit einem Mangel behaftet. Die vorinstanzliche Argumentation ist nachvollziehbar und verletzt das rechtliche Gehör nicht. Ihre Einschätzung kann nicht als willkürlich bezeichnet werden.
2.5.2. Gemäss <ref-law> setzt die Veranlagungsbehörde in der Veranlagungsverfügung die Steuerfaktoren, den Steuersatz und die Steuerbeträge fest. Kommt es zu Aufrechnungen oder sonstigen Korrekturen, hat die Veranlagungsbehörde der steuerpflichtigen Person (einzig) die "Abweichungen von der Steuererklärung" bekanntzugeben (<ref-law>). Im Fall der Veranlagung nach pflichtgemässem Ermessen sieht das Gesetz keine weiterreichende Begründungspflicht vor. Erscheint es der betroffenen steuerpflichtigen Person unklar, wie die Veranlagung nach pflichtgemässem Ermessen zustande gekommen ist, darf ihr zugemutet werden, während laufender Einsprachefrist tätig zu werden und Erkundigungen bei der Veranlagungsbehörde einzuziehen (Urteil 2C_372/2016 und 2C_374/2016 vom 7. Juni 2016 E. 3.3.4). Die Nachsteuer- und Bussenverfügungen vom 13. September 2012 wurden der Beschwerdeführerin unter Angabe der abweichenden Steuerfaktoren, Steuersätze und Steuerbeträge eröffnet. Im Schreiben vom 12. September 2012 wurde zudem erläutert, wie die Aufrechnungen für die Nachsteuer zustande kamen. Hinsichtlich der Bussen zitierte die Steuerverwaltung <ref-law>, wonach mit Busse bestraft wird, wer als steuerpflichtige Person vorsätzlich oder fahrlässig bewirkt, dass eine Veranlagung zu Unrecht unterbleibt oder eine rechtskräftige Veranlagung unvollständig ist, und sich die Höhe der Busse am Betrag der hinterzogenen Steuer bemisst. Entsprechend dem gesetzlichen Regelfall wurde die Busse auf das Einfache dieses Betrages festgesetzt. Eine Verletzung der Begründungspflicht liegt damit nicht vor.
2.6. Sodann macht die Beschwerdeführerin geltend, indem die Steuerverwaltung die Verfügungen wenige Tage nach der Mandatsniederlegung ihres langjährigen Rechtsvertreters eröffnet habe, habe sie gegen Treu und Glauben verstossen. Es scheine, dass angesichts der Hilflosigkeit der Beschwerdeführerin absichtlich schnell agiert worden sei. Zuvor sei die Steuerverwaltung sie über mehr als zwei Jahre mit belanglosen Nachfragen zur Vermögensentwicklung angegangen und zuletzt sei lange Zeit nichts mehr passiert.
In Übereinstimmung mit den vorinstanzlichen Erwägungen ist das Verhalten der Steuerverwaltung nicht als treuwidrig zu bezeichnen. Zwar erfolgte die Eröffnung der Verfügungen kurz nach der Mandatsniederlegung ihres vormaligen Rechtsvertreters. Die Beschwerdeführerin mandatierte indessen während der Einsprachefrist eine neue, steuerrechtlich spezialisierte Vertretung, deren Wissen sie sich anrechnen lassen muss. Die implizite Behauptung, sie habe nicht mit einer Verfügung rechnen müssen, da sie von der Steuerverwaltung eine lange Zeit nichts mehr gehört habe, ist sodann unzutreffend. Die Steuerverwaltung war vor dem Erlass der Verfügungen vom 13. September 2012 während geraumer Zeit um Abklärungen bemüht, und die letzte, zweimal verlängerte Frist zur Einreichung von Unterlagen war am 31. August 2012 abgelaufen.
2.7. Schliesslich rügt die Beschwerdeführerin, sie sei vor der Ermessensveranlagung nicht formell gemahnt worden. Die mehr als ein Jahr vor der Verfügung erfolgten Rückfragen könnten die erforderliche Mahnung nicht ersetzen, da kein direkter Zusammenhang mit der vorgenommenen ermessensweisen Schätzung ihres Einkommens bestehe. Ihr habe aufgrund der Nachfragen nicht klar sein können, dass eine Einschätzung nach Ermessen erfolgen werde.
2.7.1. Wie bereits festgehalten wurde, fällt das Strafverfahren betreffend Steuerhinterziehung im Gegensatz zu den Veranlagungs- und Nachsteuerverfahren unter Art. 6 Ziff. 1 EMRK (vgl. E. 2.3.1 hiervor). Die steuerpflichtige Person ist im verwaltungsrechtlichen Steuerveranlagungsverfahren zur Mitwirkung verpflichtet (<ref-law>) und macht sich unter Umständen wegen Verletzung von Verfahrenspflichten strafbar (<ref-law>), wenn sie ihrer Mitwirkungspflicht trotz Mahnung nicht nachkommt. Demgegenüber ist sie im Strafverfahren gemäss dem im Strafprozessrecht allgemein anerkannten sowie in Art. 14 Ziff. 3 lit. g UNO-Pakt II (SR 0.103.2) und Art. 6 Ziff. 1 EMRK verankerten Grundsatz "nemo tenetur se ipsum accusare" nicht gehalten, zu ihrer Belastung beizutragen (BGE <ref-ruling> E. 2.6.1 S. 51; <ref-ruling> E. 9.2 S. 74; je mit Hinweisen). Dies hat zur Folge, dass Beweismittel aus einem Nachsteuerverfahren in einem Strafverfahren wegen Steuerhinterziehung nur verwendet werden dürfen, wenn sie weder unter Androhung einer Veranlagung nach pflichtgemässem Ermessen (<ref-law>) mit Umkehr der Beweislast nach <ref-law> noch unter Androhung einer Busse wegen Verletzung von Verfahrenspflichten beschafft wurden (<ref-law>; BGE <ref-ruling> E. 2.6.2 S. 52; Urteil 2C_32/2016 vom 24. November 2016 E. 13). Die Ermessensveranlagung im Nachsteuerverfahren dagegen setzt voraus, dass die steuerpflichtige Person vorgängig gemahnt wurde, ihre Verfahrenspflichten zu erfüllen (Art. 130 Abs. 2 i.V.m. <ref-law>). Dies führt bei der kombinierten Durchführung von Nach- und Strafsteuerverfahren zu einem Spannungsfeld, kann indessen entgegen der Argumentation der Vorinstanz nicht dazu führen, dass die Ermessensveranlagung im Nachsteuerverfahren ohne Mahnung erfolgt. Die Mahnung ist gemäss <ref-law> eine gesetzliche Voraussetzung für eine Veranlagung nach pflichtgemässem Ermessen und gilt selbstredend auch dann, wenn gleichzeitig ein Steuerstrafverfahren durchgeführt wird. Aus dem Gesetzestext ergibt sich nicht, ob die Mahnung die Rechtsnachteile bei nicht gehöriger Erfüllung der Verfahrenspflichten zwingend enthalten muss (vgl. hierzu ALTHAUS-HOURIET, in: Commentaire Romand, Impôt fédéral direct, 2. Aufl. 2017, N. 18 zu <ref-law>). Diese Frage stellt sich vorliegend indessen nicht, da dieser allfällige Mangel in der Mahnung, wie hiernach aufzuzeigen ist, ohnehin nicht geeignet wäre, die Nichtigkeit der Verfügung zu bewirken.
2.7.2. Vorliegend wurde die Beschwerdeführerin im Rahmen der Gewährung des rechtlichen Gehörs vom 12. April 2011, 14. Juni 2011 und 11. Juli 2011 von der Steuerverwaltung jeweils ausdrücklich auf ihr Recht zur Aussageverweigerung im Strafverfahren hingewiesen. Ebenso wurde sie auf ihre Mitwirkungspflicht im Nachsteuerverfahren hingewiesen und es wurde angekündigt, die Verfügungen würden in Rechnung gestellt werden, sollte ihrerseits innert Frist keine Reaktion erfolgen. Aus den Schreiben ergibt sich zwar implizit, dass eine Ermessensveranlagung erfolgen könnte, zumal bereits gewisse Aufrechnungen vorgenommen und ihr zwecks Gewährung des rechtlichen Gehörs zugestellt wurden, die Ermessensveranlagung wurde jedoch nicht ausdrücklich angedroht. Mit Schreiben vom 6. März 2012 und 11. Mai 2012 wurde die Beschwerdeführerin zur Einreichung von in Aussicht gestellten Unterlagen beziehungsweise zur persönlichen Auskunftserteilung aufgefordert. Am 8. Juni 2012 setzte die Steuerverwaltung eine weitere Frist zur Einreichung von Unterlagen an und gab bekannt, anschliessend würden die aktuellen Kenntnisse in die Berechnungen aufgenommen und die aktuelle Aufrechnung werde der Beschwerdeführerin zur Begutachtung vorgelegt. Eine Ermessensveranlagung wurde auch in diesen Schreiben nicht explizit angedroht.
Insgesamt wurde die Beschwerdeführerin somit wiederholt gemahnt und auf ihre Mitwirkungspflicht im Nachsteuerverfahren aufmerksam gemacht. Es scheint fraglich, ob sie sich angesichts der mehrmaligen Zustellung von Berechnungen, welche die Steuerverwaltung zumindest teilweise nach Ermessen vorgenommen hatte und zu welchen ihr das rechtliche Gehör gewährt wurde, im Rahmen eines Einspracheverfahrens in guten Treuen hätte darauf berufen können, die Ermessensveranlagung sei ihr nicht explizit angedroht worden (vgl. Urteil 2C_463/2009 vom 21. Dezember 2009 E. 3). Dies kann vorliegend indessen offen bleiben. Der unterbliebene Hinweis auf die Rechtsnachteile bei nicht gehöriger Erfüllung der Verfahrenspflichten ist jedenfalls nicht als schwerwiegender Verfahrensmangel zu werten und daher nicht geeignet, die Nichtigkeit der erfolgten Ermessensveranlagung zu bewirken (vgl. BGE <ref-ruling> E. 3.5; TSCHANNEN, in: Klöti-Weber/Siegrist/Weber [Hrsg.], Kommentar zum Aargauer Steuergesetz, 4. Aufl. 2015, N. 21 zu § 191, welcher die Nichtigkeit der Ermessensveranlagung auch bei gänzlicher Unterlassung der Mahnung verneint).
2.8. Zusammenfassend weisen die Nachsteuer- und Bussenverfügungen vom 13. September 2013 keine Mängel auf, welche die Nichtigkeit zur Folge haben könnten.
3.
Eventualiter beantragt die Beschwerdeführerin die Wiederherstellung der Rechtsmittelfristen für die Nachsteuer- und Bussenverfügungen vom 13. September 2013. Es sei wegen der schwerwiegenden Mängel in den Veranlagungen objektiv unmöglich gewesen, die Einsprachefrist einzuhalten.
Auf verspätete Einsprachen kann gemäss <ref-law> nur eingetreten werden, wenn die steuerpflichtige Person nachweist, dass sie durch Militär- oder Zivildienst, Krankheit, Landesabwesenheit oder andere erhebliche Gründe an der rechtzeitigen Einreichung der Einsprache verhindert war und dass diese innert dreissig Tagen nach Wegfall der Hinderungsgründe eingereicht wurde. Die Beschwerdeführerin vermag nicht nachzuweisen, dass sie infolge Krankheit oder fehlender Urteilsfähigkeit an der rechtzeitigen Einreichung einer Einsprache verhindert gewesen wäre. Sie beauftragte während laufender Einsprachefrist eine Treuhandfirma mit der Wahrung ihrer Interessen. Mit der Vorinstanz ist davon auszugehen, dass diese in der Lage war, die geltend gemachten Mängel zu erkennen und im Rahmen einer Einsprache geltend zu machen.
4.
Somit erweist sich die Beschwerde betreffend direkte Bundessteuer als unbegründet und ist abzuweisen.
II. Kantonale Steuern
5.
5.1. Die Bestimmungen von §§ 153, 158 Abs. 2, 159, 160 Abs. 4, 177, 179 Abs. 4, 208, 209 und 218 Abs. 3 des Gesetzes des Kantons Basel-Stadt vom 12. April 2000 über die direkten Steuern (StG/BS; SG 640.100) entsprechen inhaltlich Art. 126, 130 Abs. 2, Art. 131 Abs. 1 und 2, Art. 132 Abs. 3, Art. 151 Abs. 1, Art. 153 Abs. 3, Art. 174, Art. 175 und Art. 183 Abs. 1 bis DBG (vgl. E. 1.1 hiervor). Daraus folgt, dass die Erwägungen zur direkten Bundessteuer analog massgebend sind. Damit ergibt sich für die kantonalen Steuern dasselbe Ergebnis wie bei der direkten Bundessteuer.
5.2. Die Wiederherstellung der Frist kann nach der kantonalrechtlichen Bestimmung (§ 147 Abs. 5 StG/BS) verlangt werden, wenn die säumige Person von ihrer Einhaltung durch ein unverschuldetes Hindernis abgehalten war. Das Begehren muss binnen dreissig Tagen nach Wegfall des Hindernisses gestellt werden. Wie bereits in den Erwägungen zur direkten Bundessteuer festgestellt, gelingt es der Beschwerdeführerin nicht, nachzuweisen, dass sie an der rechtzeitigen Einreichung einer Einsprache verhindert gewesen wäre (vgl. E. 3 hiervor).
5.3. Demnach erweist sich die Beschwerde auch hinsichtlich der Kantonssteuern als unbegründet, weshalb sie abzuweisen ist.
III. Kosten- und Entschädigungsfolgen
6.
Bei diesem Ausgang des Verfahrens sind die Kosten des bundesgerichtlichen Verfahrens der Beschwerdeführerin aufzuerlegen (Art. 65 i.V.m. <ref-law>). Eine Parteientschädigung ist nicht auszurichten (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Verfahren 2C_938/2016 und 2C_939/2016 werden vereinigt.
2.
Die Beschwerde betreffend die direkte Bundessteuer (2C_939/2016) wird abgewiesen.
3.
Die Beschwerde betreffend die kantonalen Steuern (2C_938/2016) wird abgewiesen.
4.
Die Gerichtskosten von insgesamt Fr. 6'000.-- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
5.
Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten, dem Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt als Verwaltungsgericht und der Eidgenössischen Steuerverwaltung schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 15. Februar 2017
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Seiler
Die Gerichtsschreiberin: Straub