Erwägungen:
1.
Mit Verfügung vom 26. November 2015 stellte die Staatsanwaltschaft des Kantons Basel-Stadt das auf Anzeigen und Strafanträgen von X._ gegen A._ eröffnete Strafverfahren wegen mehrfacher Sachbeschädigung, geringfügigen Diebstahls, Nötigung, falscher Anschuldigung, Verleumdung und übler Nachrede ein. Hintergrund dieses Verfahrens sind zahlreiche Vorwürfe von X._ gegen A._, den vormaligen Mieter einer Wohnung in der Liegenschaft, in welcher X._ wohnhaft ist. Letzterer behauptet unter anderem, sein Nachbar habe seinen Türspion und sein Namensschild beschädigt, seinen Türvorleger gestohlen, den Hinter- sowie Vorderreifen seines Fahrrades beschädigt und seine Klingel im Sinne einer Dauerattacke betätigt.
Gegen die Einstellungsverfügung erhob X._ Beschwerde, welche das Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt am 16. August 2016 abwies, soweit es darauf eintrat.
X._ führt Beschwerde in Strafsachen und subsidiäre Verfassungsbeschwerde. Er beantragt im Hauptpunkt im Wesentlichen, die Nichtanhandnahmeverfügung der Staatsanwaltschaft vom 26. November 2015 und der Entscheid des Appellationsgerichts des Kantons Basel-Stadt vom 16. August 2016 seien aufzuheben. Die Sache sei zur Erhebung der Anklage, eventualiter zur weiteren Ermittlung, an die Staatsanwaltschaft zurückzuweisen.
2.
Mit der Beschwerde in Strafsachen kann auch die Verletzung von Verfassungsrecht gerügt werden (Art. 95 BGG). Für die subsidiäre Verfassungsbeschwerde besteht kein Raum (Beschwerde S. 1; Art. 113 ff. BGG).
Anfechtungsobjekt der vorliegenden Beschwerde ist der Entscheid des Appellationsgerichts des Kantons Basel-Stadt vom 16. August 2016 als letztinstanzlicher kantonaler Entscheid (vgl. Art. 80 Abs. 1 BGG). Auf die Beschwerde ist nicht einzutreten, sofern die Aufhebung der Nichtanhandnahmeverfügung der Staatsanwaltschaft vom 26. November 2015 beantragt wird (Beschwerde S. 2).
Der Beschwerdeführer verweist auf die Ausführungen in seinen im vorinstanzlichen Verfahren eingereichten Eingaben (Beschwerde S. 6). Damit ist er nicht zu hören. Die Begründung der Beschwerde muss in der Beschwerdeschrift selbst enthalten sein, und der blosse Verweis auf Ausführungen in anderen Rechtsschriften oder auf die Akten reicht nicht aus (<ref-ruling> E. 2; <ref-ruling> E. 3.2 mit Hinweisen).
Der Beschwerdeführer erhebt etliche Vorwürfe. Soweit im Folgenden auf seine Vorbringen nicht eingegangen wird, sind sie offensichtlich für die Entscheidfindung nicht relevant oder genügen den Begründungsanforderungen nicht (Art. 42 Abs. 2 und Art. 106 Abs. 2 BGG; vgl. <ref-ruling> E. 2; <ref-ruling> E. 1.6; je mit Hinweisen).
3.
Der Privatkläger ist zur Beschwerde in Strafsachen legitimiert, wenn der angefochtene Entscheid sich auf die Beurteilung seiner Zivilansprüche auswirken kann (Art. 81 Abs. 1 lit. b Ziff. 5 BGG). In erster Linie geht es um Ansprüche auf Schadenersatz und Genugtuung gemäss Art. 41 ff. OR, die üblicherweise vor den Zivilgerichten geltend gemacht werden müssen. Richtet sich die Beschwerde gegen die Einstellung oder Nichtanhandnahme eines Verfahrens, hat der Privatkläger nicht notwendigerweise bereits vor den kantonalen Behörden eine Zivilforderung geltend gemacht. In jedem Fall muss der Privatkläger im Verfahren vor Bundesgericht darlegen, aus welchen Gründen sich der angefochtene Entscheid inwiefern auf welche Zivilforderung auswirken kann. Das Bundesgericht stellt an die Begründung der Legitimation strenge Anforderungen. Genügt die Beschwerde diesen nicht, kann darauf nur eingetreten werden, wenn aufgrund der Natur der untersuchten Straftat ohne Weiteres ersichtlich ist, um welche Zivilforderung es geht (<ref-ruling> E. 1.1 mit Hinweisen).
Der Beschwerdeführer führt aus, er sehe von einer adhäsionsweisen Geltendmachung von Genugtuungsansprüchen ab. Indes erhebe er im Strafverfahren Schadenersatzansprüche wegen der zerstochenen Veloreifen und -schläuche (Fr. 100.--) sowie des gestohlenen Türvorlegers (Fr. 30.--) (Beschwerde S. 4 f.). Da er somit ausdrücklich einzig bezüglich des geringfügigen Diebstahls und der Sachbeschädigungen adhäsionsweise Zivilforderungen geltend macht, ist er hinsichtlich der weiteren zur Anzeige gebrachten Vorfälle bzw. Delikte (Nötigung, Drohung, falsche Anschuldigung, üble Nachrede, Verleumdung etc.) in der Sache nicht zur Beschwerde legitimiert. Soweit er den angefochtenen Entscheid insofern inhaltlich kritisiert und eine willkürliche Beweiswürdigung sowie eine Verletzung des Grundsatzes "in dubio pro duriore" rügt oder beanstandet, der Sachverhalt sei unvollständig abgeklärt und Beweisanträgen sei zu Unrecht keine Folge geleistet worden (z.B. Beschwerde S. 6 ff.), ist auf die Beschwerde nicht einzutreten. Ebenfalls nicht einzutreten ist auf formelle Rügen, die auf eine inhaltliche Prüfung der neben des geringfügigen Diebstahls und der Sachbeschädigungen beanzeigten Delikte abzielen.
4.
Der Beschwerdeführer kritisiert, Art. 147 Abs. 1 Satz 1 StPO sei verletzt, weil er zur Einvernahme des Beschwerdegegners nicht beigezogen worden sei (Beschwerde S. 6).
Auf diesen Einwand ist nicht einzutreten. Der Beschwerdeführer hätte diese Rüge bereits im kantonalen Verfahren vorbringen können und müssen. Dass er dies getan und die Vorinstanz seine Rüge nicht behandelt hat, zeigt er nicht auf. Der Grundsatz der Ausschöpfung des kantonalen Instanzenzugs und das Gebot von Treu und Glauben (Art. 5 Abs. 3 BV) verbieten es, formelle Rügen erst bei ungünstigem Verfahrensausgang zu erheben, wenn sie bereits früher hätten vorgebracht werden können (<ref-ruling> E. 2.1; <ref-ruling> E. 2.2; je mit Hinweis).
5.
Der Beschwerdeführer rügt eine Verletzung seines Akteneinsichtsrechts. Die Beschwerdegegnerin 1 habe ihm verweigert, die Akten zu kopieren (Beschwerde S. 5 f.).
Der Beschwerdeführer konnte im Verfahren vor der Vorinstanz, die in rechtlicher und in tatsächlicher Hinsicht über eine volle Kognition verfügte, sämtliche Einwände gegen die Einstellung des Strafverfahrens vorbringen. Die Vorinstanz setzt sich eingehend damit auseinander. In Bezug auf das Akteneinsichtsrecht erwägt sie, der Beschwerdeführer moniere, dieses sei ihm nicht ordnungsgemäss gewährt worden, da er die Akten in den Räumlichkeiten der Beschwerdegegnerin 1 zwar habe sichten, aber nicht habe kopieren können. Vorliegend würden die Akten grösstenteils aus Eingaben des Beschwerdeführers bestehen und seien ihm daher hinlänglich bekannt. Die wenigen verbleibenden Aktenstücke würden den Beschwerdegegner 2 betreffen (Entscheid S. 3 E. 1.2). Eine allfällige Verletzung des rechtlichen Gehörs des Beschwerdeführers ist damit nicht besonders schwerwiegend und wäre daher spätestens im kantonalen Beschwerdeverfahren geheilt worden (siehe <ref-ruling> E. 2.8.1; <ref-ruling> E. 2.3.2; je mit Hinweisen).
6.
Der Beschwerdeführer macht geltend, die Vorinstanz verkenne, dass sein Fahrrad jederzeit auf Fingerabdrücke und DNA-Spuren untersucht werden könne. Mittels Analyse seien durchaus auch Rückschlüsse auf den Tatzeitpunkt möglich (Beschwerde S. 8 f.).
Die Rüge ist unbegründet, soweit darauf eingetreten wird. Die Vorinstanz erwägt zutreffend, der Beschwerdeführer kritisiere, dass u.a. am Fahrrad keine DNA-Spuren oder Fingerabdrücke abgenommen und sichergestellt worden seien. Es könne auf eine Spurensicherung verzichtet werden, da allfällige auf den Beschwerdegegner zurückzuführende Spuren keinen Beweis dafür erbringen würden, zu welchem Zeitpunkt und unter welchen Umständen diese dorthin gelangt seien. Sowohl der Beschwerdeführer als auch der Beschwerdegegner würden den Veloabstellraum benützen und dort ihre Fahrräder abstellen. Allfällig sichergestellte Spuren lieferten mit anderen Worten keinen Beweis für die seitens des Beschwerdeführers behaupteten Sachverhalte. Für diese Vorfälle sei eine Dritttäterschaft nicht auszuschliessen (Entscheid S. 4 f. E. 2.3).
7.
Der Beschwerdeführer wendet sich gegen die Höhe der vorinstanzlichen Gerichtsgebühr von Fr. 1'000.--. Angemessen wären höchstens Fr. 400.-- bis Fr. 500.--. Die überhöhte vorinstanzliche Gerichtsgebühr verstosse gegen § 11 Abs. 1 Ziff. 4.1, 5.2, 6.1 der Verordnung des Kantons Basel-Stadt vom 4. März 1975 über die Gerichtsgebühren und stehe im Widerspruch zu Art. 9 BV sowie zu seinem Recht auf gleiche, gerechte und faire Behandlung (Beschwerde S. 15 f.).
Die Verfahrenskosten sind im kantonalen Recht geregelt (Art. 424 Abs. 1 StPO; § 11 der Verordnung des Kantons Basel-Stadt vom 4. März 1975 über die Gerichtsgebühren [SG 154.810]). Dass und inwiefern die Vorinstanz mit der Festsetzung ihrer Gebühr übergeordnetes Recht missachtet haben könnte (Entscheid S. 8 f.), legt der Beschwerdeführer nicht substanziiert dar. Das Bundesgericht greift nicht bereits ein, wenn sich die Gebühr als unangemessen erweist, sondern nur, wenn das Ermessen über- bzw. unterschritten oder missbraucht und damit Bundesrecht verletzt wird (<ref-ruling> E. 3.3.2 mit Hinweisen). Eine entsprechende Verletzung zeigt der Beschwerdeführer nicht auf und ist - nachdem die Vorinstanz ihre Gebühr im unteren Bereich ansetzt - auch nicht ersichtlich.
Die Rüge der Verletzung von Art. 428 Abs. 1 StPO ist unbegründet (Beschwerde S. 16). Der Beschwerdeführer hat das Rechtsmittelverfahren mit seiner Beschwerde gegen die Einstellungsverfügung eingeleitet und u.a. um deren Aufhebung ersucht. Die Vorinstanz wies die Beschwerde ab, soweit sie darauf eintrat. Der Beschwerdeführer trägt damit das volle Kostenrisiko.
8.
Die Beschwerde ist im Verfahren nach Art. 109 BGG abzuweisen, soweit darauf eingetreten werden kann. Bei diesem Ausgang sind die Gerichtskosten dem Beschwerdeführer aufzuerlegen (Art. 66 Abs. 1 BGG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 2'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt, Einzelgericht, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 23. Juni 2017
Im Namen der Strafrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Denys
Die Gerichtsschreiberin: Pasquini