Sachverhalt:
A.
A._ und B._ heirateten 2001in Liestal. Sie sind die Eltern von C._ (geb. 2002). Die Parteien leben seit dem 1. August 2011 getrennt.
B.
B.a. Am 20. März 2013 reichte der Ehemann am Bezirksgericht Liestal (seit 1. April 2014: Zivilkreisgericht Basel-Landschaft Ost) die Scheidungsklage ein.
B.b. In der Einigungsverhandlung vom 2. Oktober 2013 schlossen die Parteien eine Teilvereinbarung über den Scheidungspunkt, die elterliche Sorge, das Besuchs- und Ferienrecht, das Güterrecht, den Rückzug des Strafantrags des Ehemannes gegen die Ehefrau und die hälftige Teilung der Pensionskassenguthaben. Was die elterliche Sorge angeht, einigten sie sich darauf, dass C._ unter die elterliche Sorge der Mutter gestellt wird (Ziffer 2). Bezüglich der beruflichen Vorsorge verpflichtete sich A._, den Betrag von Fr. 38'435.-- von seiner Pensionskasse auf das Freizügigkeitskonto von B._ zu überweisen (Ziffer 5). Streitig blieben der Kinderunterhalt und der nacheheliche Unterhalt.
B.c. Mit Urteil vom 20. August 2015 schied das Zivilkreisgericht Basel-Landschaft Ost die Ehe der Parteien. Es genehmigte die Teilvereinbarung der Ehegatten über die Scheidungsfolgen vom 2. Oktober 2013 (Bst. B.b) mit Vorbehalt bezüglich der güterrechtlichen Auseinandersetzung und des aus der Pensionskassenteilung zu überweisenden Betrages. Soweit für das Verfahren vor dem Bundesgericht noch von Interesse, teilte das Zivilkreisgericht die elterliche Sorge über C._ der Mutter alleine zu. Weiter wies es die Pensionskasse des Ehemannes an, den Betrag von Fr. 50'383.90 auf das Freizügigkeitskonto der Ehefrau zu überweisen.
B.d. A._ legte gegen den Entscheid des Zivilkreisgerichts beim Kantonsgericht Basel-Landschaft Berufung ein. Dieses hiess das Rechtsmittel teilweise gut (hinsichtlich der Kinder- und Frauenalimente). In Bezug auf die elterliche Sorge und den Vorsorgeausgleich bestätigte es das erstinstanzliche Urteil (Entscheid vom 15. März 2016).
C.
C.a. Mit Beschwerde in Zivilsachen vom 9. Mai 2016 wendet sich A._ (Beschwerdeführer) an das Bundesgericht. Er stellt das Begehren, C._ unter die gemeinsame elterliche Sorge mit ausschliesslicher Obhut von B._ (Beschwerdegegnerin) zu stellen. Ferner verlangt er, "dass dem massgeblichen Vorsorgeausgleich per 25.6.2014 berechnete Austrittsleistung zugrunde zu legen seien". Eventualiter beantragt er, die Sache "zu neuer und vollständiger Beurteilung" zurückzuweisen. Schliesslich ersucht der Beschwerdeführer für das bundesgerichtliche Verfahren um unentgeltliche Rechtspflege.
C.b. Am 18. Mai 2016 ergänzte der Beschwerdeführer sein Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege.
C.c. Das Bundesgericht hat die Beschwerdegegnerin und das Kantonsgericht Basel-Landschaft zur Vernehmlassung eingeladen. Das Kantonsgericht beantragt, die Beschwerde abzuweisen, und verweist im Wesentlichen auf die Begründung im angefochtenen Entscheid (Schreiben vom 17. Januar 2017). Die Beschwerdegegnerin beantragt, die Beschwerde "vollumfänglich abzuweisen", soweit darauf einzutreten wird. Zudem stellt sie ein Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege (Eingabe vom 10. Februar 2017). Die Vernehmlassungen wurden dem Beschwerdeführer zur Wahrung des rechtlichen Gehörs zur Kenntnis gebracht.
Das Bundesgericht hat die Sache am 29. Juni 2017 öffentlich beraten (Art. 58 Abs. 1 und Art. 59 Abs. 1 BGG).

Erwägungen:
1.
Die Beschwerde richtet sich gegen den Endentscheid einer letzten kantonalen Instanz, die als oberes Gericht über eine Zivilsache entschieden hat (Art. 72 Abs. 1, 75 und 90 BGG). Wie schon vor dem Kantonsgericht stehen vor Bundesgericht sowohl vermögensrechtliche als auch nicht vermögensrechtliche Fragen im Streit. Die Beschwerde unterliegt deshalb keinem Streitwerterfordernis (Urteil 5A_667/2011 vom 23. Januar 2012 E. 1.1 mit Hinweis). Der Beschwerdeführer ist gemäss <ref-law> zur Beschwerde berechtigt und die Beschwerdefrist ist eingehalten (<ref-law>). Von daher ist die Beschwerde grundsätzlich zulässig.
2.
2.1. Die Beschwerde an das Bundesgericht ist ein reformatorisches Rechtsmittel (<ref-law>). Der Beschwerdeführer muss deshalb grundsätzlich einen Antrag in der Sache stellen, das heisst angeben, welche Punkte des kantonalen Entscheids er anficht und inwiefern das Bundesgericht den angefochtenen Entscheid abändern soll. Rechtsbegehren, die eine Geldsumme zum Gegenstand haben, sind daher zu beziffern (<ref-ruling> E. 1.2 S. 112; <ref-ruling> E. 2 S. 236 f.). Auch der Streit darüber, welcher Anteil von der Austrittsleistung des einen Ehegatten aufgrund des scheidungsbedingten Vorsorgeausgleichs der beruflichen Vorsorge bzw. einem Freizügigkeitskonto des andern Ehegatten gutzuschreiben ist, hat eine Geldforderung zum Gegenstand. Für die Auslegung der Rechtsbegehren kann das Bundesgericht die Begründung der Beschwerde heranziehen (<ref-ruling> S. 1.2 S. 136). Auf nicht bezifferte Anträge tritt es deshalb ausnahmsweise ein, sofern sich aus der Beschwerdebegründung, allenfalls in Verbindung mit dem angefochtenen Entscheid, ohne Weiteres ergibt, was der Beschwerdeführer in der Sache verlangt (BGE <ref-ruling> E. 2. S. 236 f.). Ansonst reicht ein nicht bezifferter Antrag nur aus, wenn das Bundesgericht im Falle der Gutheissung der Beschwerde in der Sache naturgemäss nicht selbst entscheiden könnte (vgl. <ref-ruling> E. 1.3 S. 383).
2.2. Was die Teilung der beruflichen Vorsorge angeht, begnügt sich der Beschwerdeführer vor Bundesgericht mit dem Antrag, dem Vorsorgeausgleich "per 25.6.2014 berechnete Austrittsleistungen" zugrunde zu legen (s. Sachverhalt Bst. C.a). Welcher Geldbetrag von der Pensionskasse des Beschwerdeführers auf das Freizügigkeitskonto der Beschwerdegegnerin überwiesen werden soll, lässt sich der Beschwerde jedoch nicht entnehmen. Wie sich aus seinem Schriftsatz ergibt, will der Beschwerdeführer mit dem besagten Antrag von der Regelung abweichen, die für die zu teilenden Austrittsleistungen auf die Ehedauer abstellt (<ref-law>, in Kraft bis zum 31. Dezember 2016, i.V.m. <ref-law>), und die Teilung auf ein früheres Datum verschieben, da sich das erstinstanzliche Verfahren mit für ihn unerträglichen Folgen in die Länge gezogen habe. Allein damit ist hinsichtlich der erforderlichen Bezifferung des diesbezüglichen Rechtsbegehrens freilich nichts gewonnen. Will der Beschwerdeführer der Beschwerdegegnerin im Streit um den Vorsorgeausgleich gewissermassen ex aequo et bono, das heisst im Sinne einer Kompromisslösung eine bestimmte Summe Geldes zugestehen, so ist es nicht Aufgabe des Bundesgerichts, zur Ermittlung der konkreten Höhe dieses Betreffnisses von sich aus Recherchen anzustellen - ganz gleich, wie sich der Beschwerdeführer die Ermittlung dieses Betrages vorstellt. Wäre der Geldbetrag beziffert, könnte das Bundesgericht ohne Weiteres auch reformatorisch entscheiden und den involvierten Stellen Anweisungen zur Überweisung erteilen. Mangels eines genügenden Rechtsbegehrens tritt das Bundesgericht deshalb auf die Beschwerde nicht ein, soweit der Beschwerdeführer den Vorsorgeausgleich beanstandet.
3.
Zulässig sind im hiesigen Verfahren rechtliche Vorbringen im Sinne von Art. 95 f. BGG. Hingegen ist die obergerichtliche Sachverhaltsfeststellung für das Bundesgericht grundsätzlich verbindlich (<ref-law>). Will der Beschwerdeführer die vorinstanzliche Sachverhaltsfeststellung beanstanden, so muss er in der Beschwerdeschrift mit klar und detailliert erhobenen und soweit möglich belegten Rügen (<ref-ruling> E. 2.2 S. 246) dartun, inwiefern diese Feststellung offensichtlich unrichtig und damit willkürlich ist und inwiefern die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein kann (<ref-law>; <ref-ruling> E. 4.2 S. 234; <ref-ruling> E. 1.5 S. 129 f.). Zum Sachverhalt gehören sowohl die Feststellungen über den streitgegenständlichen Lebenssachverhalt als auch jene über den Ablauf des vor- und erstinstanzlichen Verfahrens, also die Feststellungen über den Prozesssachverhalt (<ref-ruling> E. 1.3.1 S. 17 f. mit Hinweisen).
4.
Was den Streit um die Zuweisung der elterlichen Sorge angeht, erinnert das Kantonsgericht an Ziffer 2 der Teileinigung vom 2. Oktober 2013, wonach der Sohn C._ unter die elterliche Sorge der Mutter gestellt wird (s. Sachverhalt Bst. B.b). Es stellt fest, dass diese Teileinigung unter dem alten Recht abgeschlossen wurde. Dieses habe bei einer Scheidung als Grundsatz die alleinige elterliche Sorge eines Elternteils vorgesehen; nur gestützt auf eine genehmigungsfähige Vereinbarung über die Betreuungsanteile und die Verteilung der Unterhaltskosten habe die elterliche Sorge beiden Eltern belassen werden können, sofern dies mit dem Kindeswohl vereinbar war. Mit dem neuen Recht (in Kraft seit 1. Juli 2014) sei die gemeinsame Sorge nun der Regelfall, von dem nur ausnahmsweise abgewichen werden dürfe, wenn dies aus Gründen des Kindeswohls erforderlich ist.
Das Kantonsgericht betont, dass der Begriff der elterlichen Sorge mit dieser Gesetzesänderung keine grundlegende Änderung erfahren habe. Den Ausführungen des Beschwerdeführers, dass der Ausdruck "unter die elterliche Sorge gestellt" unter dem alten Recht als "Obhut" verstanden worden sei, könne nicht gefolgt werden. Ziffer 2 der Teileinigung stelle einen gemeinsamen Antrag der Eltern auf Zusprechung der alleinigen elterlichen Sorge an die Beschwerdegegnerin dar. Die Vorinstanz stellt fest, dass der Beschwerdeführer die besagte Vereinbarung im Nachgang zum Abschluss der Vereinbarung vom 2. Oktober 2013 nicht in Frage gestellt habe, weder in der Klageantwort noch im Rahmen der Duplik anlässlich der Instruktionsverhandlung vom 14 April 2014, obwohl das Inkrafttreten der revidierten Gesetzesartikel damals unmittelbar bevorstand. Auch an der Hauptverhandlung vom 20. August 2015 habe er keine Ausführungen hinsichtlich der gemeinsamen elterlichen Sorge gemacht bzw. sich nicht dahingehend geäussert, dass Ziffer 2 der Teilvereinbarung aufgrund der Gesetzesrevision nicht mehr zu beachten sei. Im Gegenteil sei dem erstinstanzlichen Protokoll die Antwort des Beschwerdeführers zu entnehmen, betreffend "Kinderbelange soll alles so bleiben, obwohl [das] Recht geändert hat". Dies könne nicht anders verstanden werden, als dass der Beschwerdeführer im Wissen um die geänderte Rechtslage an der Zuteilung der elterlichen Sorge an die Mutter festhielt. Bei dieser Sachlage, namentlich angesichts des weiterhin aufrecht erhaltenen gemeinsamen Antrags der Eltern auch nach Kenntnis der neuen Rechtslage, treffe das Zivilkreisgericht kein Vorwurf, wenn es das Kind unter die elterliche Sorge der Ehefrau stellte. Schliesslich führt das Kantonsgericht aus, dass angesichts der übereinstimmenden Anträge eine Begründung nicht erforderlich gewesen sei, so dass auch keine Gehörsverletzung vorliege. Ein Willensmangel sei "ebenfalls nicht erkennbar", nachdem der Begriff der elterlichen Sorge sowie die Unterscheidung zur Obhut dem anwaltlich vertretenen Beschwerdeführer klar sein mussten.
5.
5.1. Der Beschwerdeführer rügt vorab eine Verletzung von Art. 29 und Art. 29a BV. Er macht geltend, dass die erste Instanz keinerlei Begründung für ihren Sorgerechtsentscheid geliefert habe. Angesichts dessen hätte die Vorinstanz allein gestützt auf den "rudimentären Protokollvermerk" der erstinstanzlichen Hauptverhandlung und ohne neue Parteiverhandlung nicht zum Schluss kommen dürfen, dass sich die Parteien über die Zuteilung der alleinigen elterlichen Sorge an die Beschwerdegegnerin einig gewesen seien. Vielmehr hätte sie ihn, den Beschwerdeführer, nochmals anhören müssen, "um zu klären und zu erforschen, wie diese Protokollnotiz tatsächlich/wirklich zu verstehen sei". Dieses Versäumnis ist nach der Meinung des Beschwerdeführers "mit den Grundsätzen des rechtlichen Gehörs unvereinbar"; es verletze sein Recht auf Teilnahme an der Beweiserhebung und auf Stellungnahme zum Beweisergebnis. Der Beschwerdeführer sieht sich mit einer Begründung konfrontiert, die sich "aus dem erstinstanzlichen Urteil nicht herleiten lässt". Er beteuert, die Verletzung der Begründungspflicht durch die erste Instanz schon vor dem Kantonsgericht gerügt zu haben. Anstatt sich damit zu befassen, wende sich die Vorinstanz einer eigenen Begründung zu und verkenne, dass der "erstinstanzliche Begründungsmangel" nicht geheilt werden konnte. Indem das Kantonsgericht von einer Anhörung abgesehen und die Sache auch nicht an die erste Instanz zurückgewiesen habe, laufe der angefochtene Entscheid ausserdem auf eine Verkürzung des Instanzenzugs hinaus.
5.2. Die Vorwürfe gehen fehl. So irrt sich der Beschwerdeführer, wenn er aus <ref-law> einen absoluten Anspruch auf eine persönliche (mündliche) Anhörung herleiten will. Auch nach Art. 6 Ziff. 1 EMRK besteht ein solcher Anspruch nur, wenn die Partei, die sich darauf beruft, selbst darlegt, warum es unter den gegebenen Umständen entscheidend ist, dass das Gericht einen persönlichen Eindruck von ihr gewinnen kann (<ref-ruling> E. 3.3 S. 193). Im konkreten Fall behauptet der Beschwerdeführer nicht einmal, dass er im vorinstanzlichen Verfahren eine persönliche Anhörung verlangt und sich das Kantonsgericht darüber hinweggesetzt hätte. Er täuscht sich auch, wenn er meint, dass ihn die Vorinstanz zur Erforschung des Parteiwillens, welcher der streitigen Teileinigungsklausel zugrunde lag, im Berufungsverfahren von Amtes wegen persönlich hätte anhören müssen. Der Untersuchungsgrundsatz (<ref-law>) verbietet es dem Richter nicht, im Sinne einer vorweggenommenen Beweiswürdigung auf weitere Beweiserhebungen - und damit auf die Durchführung einer mündlichen Verhandlung zu diesem Zweck - zu verzichten, wenn er über genügende Grundlagen für eine sachgerechte Entscheidung verfügt (<ref-ruling> E. 2.2.3 S. 735). Inwiefern die Durchführung eines Parteiverhörs in diesem Sinne trotzdem unabdingbar war, tut der Beschwerdeführer nicht dar. Insbesondere zeigt er auch nicht auf, warum es mit Blick auf den fraglichen Streitpunkt darauf ankam, dass sich das Kantonsgericht von ihm - nicht aber von der Beschwerdegegnerin - einen persönlichen Eindruck verschafft. Das erstinstanzliche Protokoll als "rudimentär" zu bemängeln, genügt nicht. Damit fällt auch der weitere Vorwurf in sich zusammen, wonach sich der angefochtene Entscheid nicht mit dem Grundsatz der "double instance" vertrage. Unbegründet ist schliesslich die Befürchtung des Beschwerdeführers, dass sich die Vorinstanz nicht mit seiner Gehörsrüge befasse. Das Kantonsgericht nimmt in Erwägung 8.1 des angefochtenen Entscheids sehr wohl zur Kenntnis, dass der Beschwerdeführer hinsichtlich der Sorgerechtsfrage im erstinstanzlichen Urteil eine Begründung vermisst. Es erklärt aber, dass eine Begründung angesichts der übereinstimmenden Anträge der Parteien entbehrlich gewesen sei, so dass auch keine Gehörsverletzung vorliege (s. oben E. 4). Ob das Kantonsgericht mit dieser Erklärung richtig liegt, ist - mit Bezug auf seinen eigenen Entscheid - keine Frage der hinreichenden Begründung als eines Teilgehalts des verfassungsmässigen Gehörsanspruchs, sondern eine solche der korrekten Handhabung des Gesetzes (vgl. zum Ganzen <ref-ruling> E. 5.2 S. 70 f.; <ref-ruling> E. 4.1 S. 88; <ref-ruling> E. 3.3 S. 445).
6.
6.1. Weiter stört sich der Beschwerdeführer daran, dass das Kantonsgericht seinem Entscheid das Protokoll der erstinstanzlichen Hauptverhandlung zugrunde legt. Dem Protokoll könne allein schon deshalb nichts Schlüssiges entnommen werden, weil nur seine Antwort, nicht aber die entsprechende Frage des Richters protokolliert worden sei. Indem die Vorinstanz zum Schluss komme, dass er am alleinigen Sorgerecht der Beschwerdegegnerin festgehalten habe (vgl. oben E. 4), stelle sie in Verletzung von <ref-law> (in Verbindung mit <ref-law>) den wirklichen Willen der Parteien nicht fest. Die Interpretation/ Würdigung der fraglichen Aktenstelle halte auch vor dem Willkürverbot (<ref-law>) nicht stand. Der Beschwerdeführer beteuert, sich tatsächlich in dem Sinne ausgedrückt zu haben, dass er trotz Rechtsänderung keine geteilte Obhut gewollt habe und in Sachen "Obhut (Belange der Kinder) " alles beim Alten bleiben sollte, nämlich bei der ausschliesslichen Obhut der Mutter. Zur elterlichen Sorge als Pflichtrecht habe er sich gar nicht zu äussern gehabt, da diese "neurechtlich bereits zu seinen Gunsten normiert" gewesen sei. Warum er auf das gemeinsame Sorgerecht verzichtet und angeblich das alleinige Sorgerecht der Mutter beantragt haben sollte, sei den Prozessakten nicht zu entnehmen.
6.2. Unbestritten ist, dass sich die Parteien in der Teileinigung vom 2. Oktober 2013 darauf verständigt haben, dass der Sohn C._ unter die elterliche Sorge der Ehefrau und Mutter gestellt werde (s. Sachverhalt Bst. B.b). Umstritten ist, ob der Beschwerdeführer im erstinstanzlichen Verfahren an dieser Vereinbarung festhielt, nachdem am 1. Juli 2014 die revidierten Bestimmungen über die gemeinsame elterliche Sorge in Kraft traten. Dieser Streit betrifft nicht die Ermittlung des Inhalts der mit übereinstimmendem Willen abgeschlossenen Teileinigung nach Massgabe von <ref-law>. Das Kantonsgericht beschäftigt sich vielmehr mit der Frage, ob angesichts der besagten Gesetzesnovelle überhaupt noch ein (im Sinne von <ref-law> übereinstimmender) gemeinsamer Antrag der Eltern auf Zusprechung der alleinigen elterlichen Sorge an die Mutter vorlag. Indem es die Frage gestützt auf den streitigen Passus im Protokoll der Hauptverhandlung bejaht, macht es eine Feststellung über den tatsächlichen, gegenüber dem Zivilkreisgericht erklärten Willen des Beschwerdeführers. Dagegen kommt der Beschwerdeführer nicht auf. Die vorinstanzliche Annahme, dass er vom Zivilkreisgericht auf die Gesetzesänderung hingewiesen und zu den Kinderbelangen ausdrücklich nochmals befragt wurde, stellt er nicht in Abrede. Ebenso wenig vermag er zu erklären, weshalb die Vorinstanz zwingend auf eine explizite Niederschrift der gestellten Fragen angewiesen war, um die protokollierten Antworten verstehen zu können. Schliesslich behauptet der Beschwerdeführer auch nicht, dass seine Antwort dem Inhalt nach unrichtig protokolliert worden wäre. Soweit er beteuert, die aufgezeichnete Aussage beziehe sich lediglich auf die Obhut und nicht auf das Sorgerecht, übt er sich in appellatorischer Kritik am angefochtenen Entscheid. Warum er trotz anwaltlicher Vertretung schlechterdings ausserstande war, elterliche Sorge und elterliche Obhut als zwei verschiedene Kategorien von Kinderbelangen (vgl. Art. 133 Abs. 1 Ziff. 1 und 2 ZGB) ohne Irrtum auseinander zu halten, tut er nicht dar. An der Sache vorbei geht im Übrigen auch der Vorwurf des Beschwerdeführers, dass das Kantonsgericht zwischen den Ausdrucksweisen "Obhut" und "elterliche Sorge an sich" begrifflich nicht unterscheide und die altrechtlich formulierte Konventionsklausel "undifferenziert" interpretiere. Das Kantonsgericht hält fest, dass der Begriff der elterlichen Sorge mit der am 1. Juli 2014 in Kraft getretenen Gesetzesänderung keine grundlegende Änderung erfahren habe. Dass diese Sichtweise dem Bundesrecht zuwiderläuft, behauptet der Beschwerdeführer nicht und ist auch nicht ersichtlich.
7.
Streitig ist schliesslich die Frage, ob und gegebenenfalls unter welchen Voraussetzungen der Scheidungsrichter den Eltern die gemeinsame elterliche Sorge belassen muss, wenn diese ihm zur Genehmigung eine Vereinbarung unterbreiten, in der sie sich darauf geeinigt haben, dass ein Elternteil die elterliche Sorge allein ausüben soll.
7.1. Der Beschwerdeführer argumentiert, der angefochtene Entscheid verletze <ref-law> in Verbindung mit <ref-law>, Art. 133 Abs. 1 Ziff. 1 und 2, Art. 275 Abs. 2 und <ref-law> sowie <ref-law>. Zusammengefasst stellt er sich auf den Standpunkt, eine Zuteilung der elterlichen Sorge allein an einen Elternteil, angeblich auf seinen Antrag, sei "inhaltlich" bereits mit der vergleichbaren Norm von <ref-law> "unvereinbar". Der Entzug der elterlichen Sorge trotz eines Antrags der Eltern dürfe nur erfolgen, wenn dafür wichtige Gründe vorliegen. Fehle es an dieser Voraussetzung, sei ein Verzicht auf das Pflichtrecht der elterlichen Sorge "von Gesetzes wegen nicht zulässig". Auch <ref-law> setze der gerichtlichen Regelungskompetenz Schranken, indem das Gericht in einem Scheidungs- oder Eheschutzverfahren einem Elternteil die alleinige elterliche Sorge nur zuteile, wenn dies zur Wahrung des Kindeswohls nötig ist. Der gerichtlichen Regelungskompetenz seien damit Schranken gesetzt, die der Offizialmaxime folgend der Parteidisposition entzogen sind; ein davon abweichender Konsens könnte das Gericht "per se nicht binden", was auch in <ref-law> zum Ausdruck komme. Der Beschwerdeführer folgert daraus, dass ein "grundloser/unbegründeter" Verzicht auf die gemeinsame elterliche Sorge gegen zwingendes Recht verstosse und ein entsprechender Konsens der Eltern widerrechtlich sei. Zuletzt verweist der Beschwerdeführer im Sinne eines "Hilfsarguments" auf die übergangsrechtliche Regelung in <ref-law>, wonach ein Elternteil binnen Jahresfrist die gemeinsame elterliche Sorge beantragen kann, wenn bei Inkrafttreten der Gesetzesänderung die elterliche Sorge nur einem Elternteil zusteht. Folge man diesem Gedanken, dann wäre bei der Interpretation altrechtlicher Klauseln "eben gerade in dubio pro lege lata" zu verfahren, so die Überlegung des Beschwerdeführers.
7.2. Die Beschwerdegegnerin wendet ein, dass die Eltern dem Gericht auch unter der Herrschaft des neuen Sorgerechts einen gemeinsamen Antrag betreffend die Zuteilung der elterlichen Sorge unterbreiten können, der vom Gericht zu berücksichtigen sei (<ref-law>). Ausserdem könne das Gericht im Scheidungsverfahren die elterliche Sorge einem Elternteil auch allein zuteilen (<ref-law>). Von einem Konsens widerrechtlichen Inhalts könne daher nicht die Rede sein. Die Beschwerdegegnerin betont ausserdem, dass die Alleinzuteilung der elterlichen Sorge unter Berücksichtigung des Kindeswohls durchaus angezeigt sei. Im Übrigen verfange der Verweis des Beschwerdeführers auf <ref-law> nicht, seien die Voraussetzungen für den Erlass einer Kindesschutzmassnahme, mit welcher die elterliche Sorge entzogen werde, doch nicht dieselben wie bei der Zuteilung der elterlichen Sorge an einen Elternteil im Scheidungsfall. Auch aus <ref-law> lasse sich nichts zugunsten des Beschwerdeführers ableiten.
7.3.
7.3.1. Nach Art. 279 Abs. 1 erster Halbsatz ZPO genehmigt das Gericht die Vereinbarung über die Scheidungsfolgen, wenn es sich davon überzeugt hat, dass die Ehegatten sie aus freiem Willen und nach reiflicher Überlegung geschlossen haben und sie klar, vollständig und nicht offensichtlich unangemessen ist. Wie sich aus der Systematik des Zivilgesetzbuchs ergibt, zählen zu den "Scheidungsfolgen" - so die Überschrift des dritten Abschnitts im vierten Titel "Die Ehescheidung und die Ehetrennung" - auch die Belange der Kinder (Art. 133 f. ZGB). Nun entscheidet das Gericht über Kinderbelange in familienrechtlichen Angelegenheiten aber ohne Bindung an die Parteianträge (Offizialgrundsatz; <ref-law>). Daraus folgt, dass eine Übereinkunft der Eheleute über die Kinderbelange das Gericht nicht verpflichtet, sondern bloss den Charakter eines gemeinsamen Antrages hat (s. Art. 285 Bst. d ZPO; vgl. Botschaft zu einer Änderung des Schweizerischen Zivilgesetzbuches [Elterliche Sorge] vom 16. November 2011, BBl 2011 9103) - auch wenn sie in Gestalt einer Scheidungskonvention daherkommt. Einen solchen gemeinsamen Antrag hat der Scheidungsrichter nach der ausdrücklichen Anordnung von <ref-law> zu berücksichtigen, wenn er die Elternrechte und -pflichten regelt. Das Scheidungsrecht will einvernehmliche Regelungen zwischen den Eltern also unterstützen. Weil von den Parteien getragene Lösungen regelmässig besser reüssieren als autoritative Anordnungen, soll sich der Richter nicht ohne ernsthaften Grund über eine Regelung hinwegsetzen, welche die Zustimmung beider Eltern geniesst (DENIS TAPPY, in: Bohnet et al. [Hrsg.], CPC, Code de procédure civile commenté, 2011, N 7 zu <ref-law>; PETER BREITSCHMID, in: Honsell et al. [Hrsg], Basler Kommentar, Zivilgesetzbuch I, 5. Aufl. 2014, N 23 zu <ref-law>; ANDREA BÜCHLER/ SANDRO CLAUSEN, in FamKomm Scheidung, Bd. I, 3. Aufl. 2017, N 15 zu <ref-law>; NOÉMIE HELLE, in: Bohnet/Guillod [Hrsg.], Droit matrimonial, Fond et procédure, 2016, N 16 ff. zu <ref-law>; ähnlich PHILIPPE MEIER/ MARTIN STETTLER, Droit de la filiation, 5. Aufl. 2014, Rz. 512). Der Berücksichtigung des gemeinsamen Antrags der Eltern stellt das Gesetz im ersten Satz von <ref-law> allerdings die Vorschrift voran, dass der Scheidungsrichter bei der Regelung der Elternrechte und -pflichten alle für das Kindeswohl wichtigen Umstände zu beachten hat. Nichts anderes besagt der auch unter dem neuen Recht anwendbare (Urteil 5A_46/2015 vom 26. Mai 2015 E. 4.4.2) Grundsatz, dass beim Entscheid über die elterliche Sorge das Wohl des Kindes Vorrang vor allen anderen Überlegungen hat, insbesondere vor den Wünschen den Eltern (<ref-ruling> E. 5.3 S. 180 f.). Allein ein gemeinsamer Antrag der Eltern genügt demnach nicht für die Übertragung der elterlichen Sorge an einen Elternteil (INGEBORG SCHWENZER/MICHELLE COTTIER, in: Honsell et al. [Hrsg], Basler Kommentar, Zivilgesetzbuch I, 5. Aufl. 2014, N 17 zu <ref-law>). In jedem Fall muss eine solche Regelung mit dem Kindeswohl vereinbar sein.
7.3.2. Auch <ref-law> hindert den Scheidungsrichter nicht daran, die elterliche Sorge unter Beachtung aller für das Kindeswohl wichtigen Umstände gestützt auf einen gemeinsamen Antrag der Eltern einem Elternteil allein zuzuweisen. Der zitierten Vorschrift zufolge überträgt das Gericht in einem Scheidungs- oder Eheschutzverfahren einem Elternteil die alleinige elterliche Sorge, wenn dies zur Wahrung des Kindeswohls nötig ist. Das Bundesgericht hat unter Hinweis auf diese und eine Reihe anderer Normen (s. Art. 296 Abs. 2, Art. 298a Abs. 1, Art. 298b Abs. 2 und Art. 298d Abs. 1 ZGB) erklärt, dass die gemeinsame elterliche Sorge im neuen, seit 1. Juli 2014 geltenden Sorgerecht den Grundsatz bildet, von dem nur dann abgewichen werden soll, wenn das Kindeswohl sie gebietet. Dieser Grundsatz fusst auf der Annahme, dass dem Wohl der minderjährigen Kinder am besten gedient ist, wenn die Eltern das Sorgerecht gemeinsam ausüben. Davon soll nur abgewichen werden, wenn eine andere Lösung die Interessen des Kindes ausnahmsweise besser wahrt (<ref-ruling> E. 3.3 S. 5; S. 62 f. E. 3; S. 201 E. 3.7). Diese Rechtsprechung erging freilich in Fällen, in denen ein Elternteil das alleinige Sorgerecht für sich beanspruchte, während der andere auf der gemeinsamen elterlichen Sorge beharrte. Vor dem Hintergrund solcher Streitfälle hat die bundesgerichtliche Praxis Kriterien entwickelt, anhand derer der Scheidungs- oder Eheschutzrichter im konkreten Fall nach Massgabe von <ref-law> zu prüfen hat, ob die elterliche Sorge aus Gründen des Kindeswohls einem Elternteil allein zu übertragen ist (vgl. z.B. Urteil 5A_903/2016 vom 17. Mai 2017 E. 4 mit Hinweisen).
In der Tat ist <ref-law> von seinem Sinn her auf Fälle zugeschnitten, in denen die Eltern über die elterliche Sorge entzweit sind (vgl. in diesem Sinne MEIER/STETTLER, a.a.O., Rz. 498, 532, 533 und 885). Ausgangspunkt dieser Erkenntnis ist <ref-law>. Danach kann sich das Gericht auch auf eine Regelung der Obhut, des persönlichen Verkehrs oder der Betreuungsanteile beschränken, wenn keine Aussicht besteht, dass sich die Eltern diesbezüglich einigen. Anstatt einem Elternteil die elterliche Sorge zu entziehen, hat das Gericht also die Möglichkeit, seine autoritative Regelung auf Fragen des Aufenthalts und der Betreuung des Kindes zu begrenzen, falls die Eltern ihre Differenzen in diesen Angelegenheiten voraussichtlich nicht überwinden können. Damit trägt der Gesetzgeber den Maximen der Subsidiarität, Komplementarität und Proportionalität Rechnung, an die sich der Scheidungsrichter zu halten hat (Botschaft, a.a.O.). Im Hinblick auf diese Grundsätze ist auch der Wortlaut von <ref-law> auszulegen, der besagt, dass das Gericht den gemeinsamen Antrag der Eltern "berücksichtigt" (so SCHWENZER/COTTIER, a.a.O., N 3 zu <ref-law>). Das bedeutet nichts anderes, als dass der Scheidungsrichter elterlichen Entscheiden in Kinderbelangen nur dann entgegentreten muss, wenn die übereinstimmenden Absichten der Eltern das Kindeswohl gefährden. Daran ändert auch <ref-law> nichts, der dem Scheidungsrichter aufträgt, die Elternrechte und -pflichten nach den Bestimmungen über die Wirkungen des Kindesverhältnisses zu regeln. Zwar erfasst dieser Verweis auch <ref-law>. Aber selbst wenn dieser Vorschrift die Annahme zugrunde liegt, dass die gemeinsame elterliche Sorge dem Kindeswohl am besten gerecht wird, folgt daraus nicht der Umkehrschluss, dass die Eltern dem Kindeswohl zuwiderhandeln, wenn sie im Rahmen eines Scheidungs- oder Eheschutzverfahrens übereinstimmend die Alleinsorge beantragen. In diesem Sinne lässt sich in <ref-law> auch nicht die Vermutung hineinlesen, dass ein gemeinsamer Antrag auf Alleinsorge dem Kindeswohl von vornherein zuwiderläuft. Eine solche Vermutung ergäbe schon deshalb keinen Sinn, weil <ref-law> dem Scheidungsrichter ausdrücklich vorschreibt, bei der Regelung der Elternrechte und -pflichten den gemeinsamen Antrag der Eltern zu berücksichtigen. Vielmehr lässt sich <ref-law> im Verhältnis zu <ref-law>, also für das Scheidungsverfahren, nur dann eine selbständige Bedeutung zuordnen, wenn diese Norm in ihrem Tatbestand stillschweigend voraussetzt, dass sich die Eltern hinsichtlich der elterlichen Sorge gerade nicht auf einen gemeinsamen Antrag haben einigen können. Denn soweit dem Scheidungsrichter ein gemeinsamer Antrag der Eltern vorliegt, ist er schon nach Massgabe von <ref-law> verpflichtet, aus Gründen des Kindeswohls von diesem Antrag abzuweichen (s. oben E. 7.3.1) - sei es, dass er die elterliche Sorge entgegen dem Wunsch der Eltern einem Elternteil allein zuteilt, sei es, dass er es bei der gemeinsamen elterlichen Sorge belässt, obwohl die Eltern die Alleinsorge beantragten.
7.4.
7.4.1. Was den konkreten Fall angeht, ist dem Beschwerdeführer zunächst zu widersprechen, soweit er gegen den angefochtenen Entscheid die "wichtigen Gründe" ins Feld führt, von denen in <ref-law> die Rede ist. Diese Argumentation scheitert schon daran, dass die zitierte Norm nicht von der Zuteilung der elterlichen Sorge an einen Elternteil auf einen gemeinsamen Antrag der Eltern, sondern vom Fall handelt, da die Eltern gemeinsam darum nachsuchen, dass die Kindesschutzbehörde ihnen die elterliche Sorge insgesamt entzieht. Das Bundesgericht hat in einem jüngeren Entscheid ausführlich dargelegt, dass die Alleinzuteilung des Sorgerechts mit dem als Kindesschutzmassnahme verfügten Entzug der elterlichen Sorge nicht gleichzusetzen ist (vgl. <ref-ruling> E. 4 S. 474 ff.).
7.4.2. Von vornherein unbehelflich ist auch der Hinweis des Beschwerdeführers auf das Übergangsrecht. Zunächst ist klarzustellen, dass hier nicht <ref-law>, sondern - wie schon das Kantonsgericht zutreffend vermerkt - <ref-law> zur Anwendung kommt. Auch so vermag der Vorschlag, die "altrechtliche" Klausel - gemeint ist damit wohl Ziffer 2 der Teileinigung vom 2. Oktober 2013 (s. Sachverhalt Bst. B.b) - nach einer angeblichen Regel "in dubio pro lege lata" auszulegen, nicht zu überzeugen. Der Beschwerdeführer unterstellt damit, dass sich der Begriff der elterlichen Sorge im neuen Recht wesentlich von demjenigen im früheren Recht unterscheidet. Dies ist nach dem Gesagten aber gerade nicht der Fall (E. 6.2). Entsprechend ist auch nicht ersichtlich, weshalb die Auslegung der fraglichen Klausel in der Teilkonvention im Verhältnis zwischen altem und neuem Recht Anlass zu Zweifeln geben könnte.
7.4.3. Vor allem aber missversteht der Beschwerdeführer das Gesetz, wenn er meint, dass <ref-law> es dem Kantonsgericht im Sinne einer zwingenden Vorschrift von vornherein verboten hat, gestützt auf die Teilvereinbarung vom 2. Oktober 2013 (s. Sachverhalt Bst. B.b) der Beschwerdegegnerin die Alleinsorge für C._ zuzuteilen. Gewiss konnte der in dieser Vereinbarung enthaltene gemeinsame Antrag der Parteien das Kantonsgericht nicht binden. Allein daraus folgt nach dem Gesagten aber nicht, dass das Kantonsgericht im Sinne einer "beschränkten Regelungskompetenz" gezwungen war, entgegen dem übereinstimmenden Antrag der Eltern die gemeinsame elterliche Sorge anzuordnen. Im Gegenteil hatten die kantonalen Instanzen diesen gemeinsamen Antrag zu berücksichtigen (<ref-law>) und zu prüfen, ob er mit dem Kindeswohl vereinbar ist (<ref-law>). In seinem Urteil vom 20. August 2015 kam das Zivilkreisgericht zum Schluss, die Teilvereinbarung vom 2. Oktober 2013 sei bezüglich der geregelten Nebenfolgen "grundsätzlich vollständig und nicht unangemessen". Zu den Nebenfolgen der Scheidung zählen - wie oben erläutert (E. 7.3.1) - auch die Kinderbelange. Das Zivilkreisgericht genehmigte die Teilkonvention und nahm sie - unter Vorbehalt bzw. mit Ausnahme gewisser finanzieller Aspekte (s. Sachverhalt Bst. B.c) - in seinen Urteilsspruch auf. Der Beschwerdeführer macht nicht geltend, dass die kantonalen Instanzen es versäumt hätten zu prüfen, ob der in der Teilkonvention enthaltene gemeinsame Antrag mit C._s Wohl vereinbar ist. Er behauptet auch nicht, dass er sich gegen die Genehmigung der Teilkonvention im Berufungsverfahren mit dem Argument gewehrt hätte, die Zuteilung der Alleinsorge sei mit dem Kindeswohl nicht vereinbar, und dass er damit vom Kantonsgericht nicht gehört worden wäre. Auch in seiner Beschwerde an das Bundesgericht macht der Beschwerdeführer nicht geltend, dass eine alleinige elterliche Sorge der Beschwerdegegnerin das Wohl seines Sohnes gefährdet. Soweit er sich damit rechtfertigen will, dass er sich im erstinstanzlichen Verfahren nur zur Obhut, nicht aber zum Sorgerecht geäussert habe, lag es an ihm, dem Gericht im Wissen um das Inkrafttreten des neuen Sorgerechts mitzuteilen, dass er mit dem gemeinsamen Antrag in der Teilvereinbarung vom 2. Oktober 2013 nicht mehr einverstanden war (E. 6.2).
7.4.4. Nach alledem sind konkrete Anzeichen dafür, dass das Kindeswohl mit der getroffenen Lösung gefährdet sein könnte, weder geltend gemacht noch ersichtlich. Unter diesen Voraussetzungen hält es vor Bundesrecht stand, wenn das Kantonsgericht die elterliche Sorge über das Kind C._ gestützt auf die Teilvereinbarung vom 2. Oktober 2013 der Beschwerdegegnerin zuteilt.
8.
Im Ergebnis erweist sich die Beschwerde als unbegründet. Sie ist abzuweisen, soweit darauf eingetreten werden kann. Bei diesem Ausgang des Verfahrens unterliegt der Beschwerdeführer. Er hat deshalb für die Gerichtskosten aufzukommen (<ref-law>) und die Beschwerdegegnerin für das bundesgerichtliche Verfahren zu entschädigen (Art. 68 Abs. 1 und 2 BGG). Den Gesuchen der Parteien um unentgeltliche Rechtspflege für das bundesgerichtliche Verfahren kann entsprochen werden. Die gesetzlichen Voraussetzungen dafür sind erfüllt (Art. 64 Abs. 1 und 2 BGG). Da die Beschwerdegegnerin keine Verfahrenskosten zu tragen hat, ist ihr Gesuch gegenstandslos geworden (<ref-ruling> E. 5 S. 11), soweit es die Befreiung von den Gerichtskosten betrifft. Hingegen ist es nicht gegenstandslos geworden, soweit es die Bestellung eines unentgeltlichen Rechtsbeistands zum Gegenstand hat. Zwar wird der obsiegenden Beschwerdegegnerin eine Parteientschädigung zugesprochen. Angesichts der wirtschaftlichen Verhältnisse des Beschwerdeführers ist indessen nicht anzunehmen, dass die Beschwerdegegnerin die ihr zustehende Entschädigung beim Beschwerdeführer erhältlich machen kann. Deshalb ist auch die Anwältin der Beschwerdegegnerin direkt aus der Bundesgerichtskasse zu entschädigen (vgl. <ref-ruling> E. 3d S. 326 f.). Beide Parteien sind darauf hinzuweisen, dass sie der Bundesgerichtskasse Ersatz zu leisten haben, falls sie später dazu in der Lage sind (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.
2.1. Das Gesuch des Beschwerdeführers um unentgeltliche Rechtspflege für das bundesgerichtliche Verfahren wird gutgeheissen und es wird dem Beschwerdeführer Advokat Dieter Troxler als Rechtsbeistand beigegeben.
2.2. Das Gesuch der Beschwerdegegnerin um unentgeltliche Rechtspflege für das bundesgerichtliche Verfahren wird gutgeheissen und es wird der Beschwerdegegnerin Advokatin Sabrina Stoll als Rechtsbeiständin beigegeben.
3.
Die Gerichtskosten von Fr. 2'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt, indes vorläufig auf die Bundesgerichtskasse genommen.
4.
Der Beschwerdeführer hat die Beschwerdegegnerin für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 2'500.-- zu entschädigen. Die Entschädigung wird indes vorläufig auf die Bundesgerichtskasse genommen und Advokatin Sabrina Stoll wird aus der Bundesgerichtskasse mit Fr. 2'000.-- entschädigt.
5.
Advokat Dieter Troxler wird aus der Bundesgerichtskasse eine Entschädigung von Fr. 2'000.-- ausgerichtet.
6.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Kantonsgericht Basel-Landschaft, Abteilung Zivilrecht, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 29. Juni 2017
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: von Werdt
Der Gerichtsschreiber: Monn