Sachverhalt:
A.
A.a. A._ (geb. 1979) stammt aus Nigeria. Er ersuchte im Oktober 2002 unter falscher Identität (B._, geb. 1. Januar 1985 bzw. 13. Oktober 1985) in der Schweiz erfolglos um Asyl. Am 15. November 2005 erhielt er eine Aufenthaltsbewilligung, nachdem er am 1. November 2005 eine Schweizer Bürgerin (geb. 1979) geheiratet hatte. Die Ehe wurde am 27. August 2007 geschieden, worauf das Migrationsamt Basel-Stadt es am 3. Dezember 2009 ablehnte, die Bewilligung von A._ zu verlängern; es hielt ihn an, das Land auf den Zeitpunkt seiner Entlassung aus dem Strafvollzug hin zu verlassen. Das Bundesgericht stellte am 4. Oktober 2010 fest, dass die kantonalen Behörden davon absehen durften, die entzogene aufschiebende Wirkung der hiergegen eingereichten Eingaben wiederherzustellen (Urteil 2C_517/2010). Die Verfügung vom 3. Dezember 2009 erwuchs in Rechtskraft, ohne dass A._ in seine Heimat zurückgekehrt wäre. Am 12. November 2010 wurde ihm ein bis zum 11. November 2019 gültiges Einreiseverbot auferlegt.
A.b. A._ ist in der Schweiz wiederholt straffällig geworden (vgl. den Sachverhalt des Urteils 2C_517/2010 vom 4. Oktober 2010). Vom 7. Mai 2009 bis 6. November 2010 befand er sich gestützt auf eine Gesamtstrafe von 3 1⁄2 Jahren Freiheitsentzug wegen qualifizierter Widerhandlungen gegen das Betäubungsmittelgesetz im Strafvollzug (Verkauf und Import von insgesamt über einem Kilogramm Kokaingemisch in hierarchisch "gehobener" Stellung, Umsatz von rund Fr. 102'664.--, mehrfache Geldwäscherei, Hinderung einer Amtshandlung usw.). Die für den 11. November 2010 organisierte Ausreise nach Nigeria trat A._ nicht an; er hielt sich in der Folge teilweise illegal in Frankreich auf.
B.
B.a. Nach seiner Rückkehr in die Schweiz verletzte sich A._ bei der Flucht vor der Polizei am 22. November 2011 am Knie. Die medizinischen Abklärungen ergaben, dass er an einem (Knie-) Tumor litt. Das Migrationsamt Basel-Stadt setzte den Wegweisungsvollzug deshalb vorübergehend aus. Im Juni 2014 wurde die Behandlung medizinisch für abgeschlossen erklärt (zwei Operationen [13. Dezember 2011 und 25. Juni 2013] und zahlreiche Physiotherapiesitzungen). Am 13. September 2014 hielt das Migrationsamt A._ an, das Land nunmehr zu verlassen; es erklärte seine Anordnung als sofort vollstreckbar und nahm A._ in Ausschaffungshaft. Die gegen die sofortige Wegweisung gerichteten kantonalen Rechtsmittel blieben ohne Erfolg. Mit Urteil vom 20. November 2015 bestätigte das Appellationsgericht Basel-Stadt als Verwaltungsgericht (im weiteren: Verwaltungsgericht) die entsprechende Anordnung. Es begründete seinen Entscheid mit der wiederholten Straffälligkeit, der problematischen finanziellen Lage sowie der ungenügenden Integration von A._. Der Vollzug der Wegweisung vom 3. Dezember 2009 sei - so die Vorinstanz - wegen seiner gesundheitlichen Probleme vorübergehend aufgeschoben worden; es sei indessen allen Beteiligten immer bewusst gewesen, dass er nach Ablauf des Aufschubs das Land würde verlassen müssen.
B.b. Am 16. Juni 2014 heiratete A._ seine in der Schweiz niederlassungsberechtigte ghanaische Lebenspartnerin. Aus der Beziehung gingen zwei Kinder (geb. 2008 und 2015) hervor. Am 25. Juni 2014 ersuchte die Gattin von A._ das Migrationsamt Basel-Stadt darum, ihrem Ehemann eine Aufenthaltsbewilligung im Familiennachzug zu erteilen, was dieses wegen dessen Straffälligkeit und der Sozialhilfeabhängigkeit der Familie am 20. Oktober 2014 ablehnte. Das Justiz- und Sicherheitsdepartement des Kantons Basel-Stadt bestätigte die entsprechende Verfügung mit analoger Begründung am 10. September 2015. Das Rekursverfahren um den Familiennachzug ist beim Verwaltungsgericht des Kantons Basel-Stadt derzeit noch hängig. Der Einzelrichter für Zwangsmassnahmen im Ausländerrecht am Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt entliess A._ mit Blick auf das Nachzugsverfahren am 29. Oktober 2014 aus der Ausschaffungshaft. A._ wurde ab dem 31. Oktober 2014 eine "Anwesenheitsbestätigung" ausgestellt, welche bescheinigt, dass sein Bewilligungsverfahren noch hängig ist und er sich während dessen Dauer "vorläufig" in Basel aufhalten darf. Das Papier wurde letztmals bis zum 12. Mai 2016 verlängert. Nach eigenen Angaben will A._ seit der Haftentlassung bei seiner Familie gelebt haben.
C.
C.a. A._ beantragt vor Bundesgericht, das Urteil des Verwaltungsgerichts vom 20. November 2015 vollumfänglich aufzuheben und auf seine Wegweisung zu verzichten. Das Verwaltungsgericht habe ursprünglich das Wegweisungsverfahren sistiert, um dieses mit dem Verfahren betreffend Familiennachzug zu koordinieren; die entsprechende Verfügung sei nach dem Entscheid des Departements im Nachzugsverfahren am 17. September 2015 aufgehoben worden, ohne dass ihm das rechtliche Gehör dazu gewährt worden wäre. Der Sachverhalt sei ungenügend bzw. fehlerhaft festgestellt. Er habe - so A._ weiter - ein Recht auf den Familiennachzug, da dessen Verweigerung seinen Anspruch auf Schutz des Privat- und Familienlebens sowie das Verbot von Folter und unmenschlicher Behandlung missachte. Das Staatssekretariat für Migration, das Justiz- und Sicherheitsdepartement sowie das Verwaltungsgericht des Kantons Basel-Stadt beantragen, die Beschwerde abzuweisen bzw. abzuweisen, soweit darauf einzutreten sei.
C.b. Der Abteilungspräsident hat der Beschwerde am 4. Februar 2016 antragsgemäss aufschiebende Wirkung beigelegt.

Erwägungen:
1.
1.1. Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten ist gegen Entscheide auf dem Gebiet des Ausländerrechts unzulässig, welche Bewilligungen betreffen, auf die weder das Bundes- noch das Völkerrecht einen Anspruch einräumen (Art. 83 lit. c Ziff. 2 BGG), sowie gegen die Wegweisung (Art. 83 lit. c Ziff. 4 BGG). Gegen den Entscheid, den Ausgang eines allfälligen Bewilligungsverfahrens nicht in der Schweiz abwarten zu dürfen (Art. 17 Abs. 2 AuG [SR 142.20]), ist die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten gegeben, falls in vertretbarer Weise ein potenzieller Anspruch auf die beantragte Bewilligung geltend gemacht werden kann (vgl. die Urteile 2C_76/2013 vom 23. Mai 2013 E. 1; 2C_117/2012 vom 11. Juni 2012 E. 1.1; 2C_483/2009 vom 18. September 2009 E. 2; 2D_98/2008 vom 12. Dezember 2008 E. 1).
1.2. Wird dem Betroffenen - wie hier - nach einem rechtskräftig abgeschlossenen Verfahren ein kantonaler Wegweisungsentscheid (nachträglich) selbständig eröffnet (Art. 64 i.V.m. Art. 64d Abs. 2 AuG), steht gegen diesen nur die subsidiäre Verfassungsbeschwerde (Art. 113 BGG) offen (<ref-ruling> E. 1). Das Bundesgericht prüft den entsprechenden Entscheid und die geltend gemachten Vollzugshindernisse ausschliesslich darauf hin, ob verfassungsmässige Rechte verletzt sind (<ref-ruling> ff.). Der Betroffene muss in sachbezogener Auseinandersetzung mit den Ausführungen im angefochtenen Entscheid im Einzelnen dartun, dass und inwiefern dies der Fall ist; auf rein appellatorische Kritik am angefochtenen Entscheid geht das Bundesgericht nicht weiter ein (Art. 106 Abs. 2 BGG; "qualifizierte Rügepflicht"; vgl. <ref-ruling> E. 3.3 S. 311; <ref-ruling> E. 4.1 mit Hinweisen; Urteil 2C_532/2015 vom 23. Dezember 2015 E. 1.3).
1.3. Nicht zu prüfen sind im Folgenden sämtliche Vorbringen, welche die Sache selber betreffen, d.h. den noch nicht definitiv entschiedenen Familiennachzug als solchen, soweit sie in keinem unmittelbaren Zusammenhang zur vor Bundesgericht einzig Streitgegenstand bildenden sofortigen Wegweisung stehen (<ref-ruling> E. 4.2 S. 463; <ref-ruling> E. 2 S. 38; Urteil 2C_961/2013 vom 29. April 2014 E. 3.3) :
1.3.1. Die Aufenthaltsbewilligung des Beschwerdeführers ist am 3. Dezember 2009 rechtskräftig nicht verlängert und er angehalten worden, das Land zu verlassen. Aus Rücksichtnahme auf seinen Gesundheitszustand schob das Migrationsamt den Vollzug der Wegweisung wiederholt auf; dabei wies es den Beschwerdeführer immer wieder daraufhin, dass dies nichts daran ändere, dass er das Land danach verlassen müsse. Der Beschwerdeführer seinerseits bestätigte wiederholt, sich dessen bewusst und zur Heimkehr bereit zu sein, jedoch hier zuvor noch seine Knieprobleme behandeln lassen zu wollen. Nachdem die medizinische Betreuung als weitgehend abgeschlossen gelten konnte, bestätigte das Migrationsamt am 13. September 2014, dass er nunmehr auszureisen habe; wegen seiner wiederholten Straffälligkeit (insbesondere als Drogenhändler) stelle er eine Gefahr für die öffentliche Sicherheit und Ordnung dar.
1.3.2. Parallel hierzu ersuchte die Gattin des Beschwerdeführers am 25. Juni 2014 das Migrationsamt darum, diesem den Familiennachzug zu ihr und den gemeinsamen Kindern zu gestatten (Art. 43 AuG). Dabei handelte es sich um ein neues Verfahren, das sachverhaltsmässig und rechtlich auf einer anderen Grundlage beruht (vgl. die Urteile 2C_1224/2013 vom 12. Dezember 2014 E. 4.2; 2C_876/2013 vom 18. November 2013 E. 3.1 und 3.7 mit Hinweisen). Das Beschwerdeverfahren gegen den entsprechenden negativen Rekursentscheid des Justiz- und Sicherheitsdepartements des Kantons Basel-Stadt vom 10. September 2015 ist derzeit beim Verwaltungsgericht hängig. Soweit der Beschwerdeführer diesbezüglich verschiedene formell- wie materiellrechtliche Rügen erhebt, er etwa geltend macht, mit der Bewilligungsverweigerung werde in unzulässiger Weise in sein Recht auf Familien- und Privatleben eingegriffen (Art. 13 BV und Art. 8 EMRK), verkennt er, dass insofern noch kein definitiver kantonaler Endentscheid vorliegt, der beim Bundesgericht angefochten werden könnte (vgl. Art. 86 Abs. 1 lit. d BGG). Auch wenn die Vorinstanz die verschiedenen Fragen nicht deutlich auseinander gehalten hat, kann das Bundesgericht nicht unter Verkürzung des Instanzenzugs direkt in der Sache selber entscheiden und damit das noch ausstehende Sachurteil der kantonalen richterlichen Behörde vorwegnehmen.
2.
Das Bundesgericht hat - im Rahmen der hinreichend begründeten Rügen - vorliegend einzig zu prüfen, ob der Wegweisungsentscheid (vgl. Art. 64 Abs. 1 lit. a und Art. 64d Abs. 2 lit. a AuG) bzw. die implizit damit verbundene Anordnung, den Ausgang des Bewilligungsverfahrens im Ausland abwarten zu müssen (vgl. Art. 17 AuG), sich als verfassungswidrig erweist oder nicht.
2.1. Nach Art. 17 AuG haben Ausländerinnen und Ausländer, die für einen vorübergehenden Aufenthalt rechtmässig eingereist sind und die nachträglich eine Bewilligung für einen dauerhaften Aufenthalt beantragen, den Entscheid im Ausland abzuwarten (Abs. 1). Dies gilt auch für illegal Anwesende, die ihren Aufenthalt nachträglich durch ein entsprechendes Bewilligungsgesuch legalisieren wollen (vgl. <ref-ruling> E. 2.1 S. 40). Während der bundesrätliche Entwurf in Art. 15 noch den Begriff "voraussichtlich" verwendete, hat der Gesetzgeber die Formulierung verschärft: Nach Art. 17 Abs. 2 AuG (prozeduraler Aufenthalt) kann die zuständige kantonale Behörde den Aufenthalt während des Verfahrens nur gestatten, wenn die Zulassungsvoraussetzungen offensichtlicherfüllt sind. Hiervon ist auszugehen, falls die eingereichten Unterlagen einen gesetzlichen oder völkerrechtlichen Anspruch auf die Erteilung einer Kurzaufenthalts- oder Aufenthaltsbewilligung belegen, keine Widerrufsgründe bestehen (Art. 62 AuG) und die betroffene Person ihren Mitwirkungspflichten nachgekommen ist (vgl. Art. 6 Abs. 1 VZAE [SR 142.201]).
2.2. Ziel des prozeduralen Aufenthalts ist, die grundsätzliche Ausreisepflicht nach Art. 17 Abs. 1 AuG dann zu mildern, wenn sie keinen Sinn macht, weil vermutlich die Bewilligung zu erteilen sein wird (<ref-ruling> E. 3.4.4 S. 46; MARC SPESCHA, in: Spescha et al. [Hrsg.], Kommentar Migrationsrecht, 4. Aufl. 2015, N. 2 zu Art. 17 AuG). Ob diese offensichtlich gewährt werden kann, ist in einer summarischen Würdigung der Erfolgsaussichten (sog. "Hauptsachenprognose") zu beurteilen, wie dies bei der Anordnung vorsorglicher Massnahmen regelmässig der Fall ist (<ref-ruling> E. 2.2 S. 40). Die Pflicht, nach Art. 17 AuG den Bewilligungsentscheid im Ausland abwarten zu müssen, ist dabei grundrechtskonform zu konkretisieren (<ref-ruling> E. 2.2 S. 41). Wenn Art. 17 Abs. 2 AuG verlangt, dass die Zulassungsvoraussetzungen offensichtlich erfüllt sein müssen, ist der betroffenen Person die Anwesenheit im Anwendungsbereich von Art. 8 EMRK bereits dann zu gestatten, wenn die Chancen, dass die Bewilligung zu gewähren sein wird, bedeutend höher einzustufen sind als jene, sie verweigern zu müssen (<ref-ruling> E. 4.1 S. 49; Urteil 2C_76/2013 vom 23. Mai 2013 E. 2.3.2). Die Bewilligungsbehörde ist dabei nicht verpflichtet, bereits vertiefte Abklärungen vorzunehmen; umgekehrt darf sie aber auch nicht schematisch entscheiden und im Rahmen von Art. 96 AuG die ihr bekannten Umstände des Einzelfalls übergehen. Bei Bewilligungen, auf deren Erteilung ein Anspruch besteht, bedarf es hinreichender konkreter Indizien für das Vorliegen von Verweigerungsgründen, um das Erfüllen der Zulassungsvoraussetzungen im Sinne von Art. 17 Abs. 2 AuG verneinen zu können; vage, nicht konkretisierte Annahmen genügen hierzu nicht (<ref-ruling> E. 4.2 S. 49 f.; Urteil 2C_76/2013 vom 23. Mai 2013 E. 2.3.2; vgl. SPESCHA, a.a.O., N. 3a zu Art. 17 AuG).
2.3. Aus Art. 8 EMRK bzw. Art. 13 BV ergibt sich weder ein Recht auf Einreise oder Aufenthalt in einem bestimmten Staat noch auf Wahl des für das partnerschaftliche Zusammenleben am geeignetsten erscheinenden Orts (vgl. das Urteil 2C_581/2014 vom 12. August 2014 E. 2.2 mit Hinweisen). Es lässt sich daraus grundsätzlich auch kein Anspruch darauf ableiten, den Ausgang eines ausländerrechtlichen Bewilligungs- oder Rechtsmittelverfahrens - entgegen der Grundsatzregelung in Art. 17 Abs. 1 AuG - im Land abwarten zu dürfen (<ref-ruling> E. 3.5.1 S. 47; Urteile 2C_483/2009 vom 18. September 2009 E. 4.2 S. 8 unten; 2C_476/2009 vom 3. August 2009 E. 2; 2C_11/2008 vom 21. Juni 2007 E. 2.3.3). Dennoch sind beim Bestehen eines potenziellen Bewilligungsanspruchs konkrete öffentliche Interessen erforderlich (Indizien für Scheinehe, Straffälligkeit, bestehende Sozialhilfeabhängigkeit usw.), um im Rahmen einer verfassungs- bzw. konventionskonformen Anwendung von Art. 17 AuG die betroffene ausländische Person zu verpflichten, den Ausgang des Bewilligungsverfahrens im Ausland abzuwarten; ein negativer Zwischenentscheid verstiesse andernfalls gegen das Verhältnismässigkeitsgebot (Art. 5 Abs. 2 BV: Erforderlichkeit und Übermassverbot im Hinblick auf das durch die Massnahme verfolgte öffentliche Interesse), den Grundsatz von Treu und Glauben (Art. 5 Abs. 3 BV) sowie die im Rahmen von Art. 8 EMRK bzw. 13 BV gebotene Interessenabwägung (vgl. <ref-ruling> E. 3.5 S. 47 ff.; Urteil 2C_76/2013 vom 23. Mai 2013 E. 2.2.3 in fine und E. 2.2.4).
2.4. Der Beschwerdeführer vertieft diese Fragen in seiner Beschwerde nicht weiter, sondern argumentiert vorab in der Sache selber bezüglich des im Kanton noch hängigen Nachzugsverfahrens. Er tut nicht dar, inwiefern die Annahme, dass er die Schweiz im Sinne des Grundsatzes von Art. 17 AuG verlassen muss, da er die Zulassungsvoraussetzungen derzeit nicht offensichtlicherfüllt, willkürlich wäre, d.h. mit der tatsächlichen Situation in klarem Widerspruch stehen oder auf einem offenkundigen Versehen beruhen würde bzw. sich anderweitig sachlich in keiner Weise rechtfertigen liesse (vgl. <ref-ruling> E. 7.1 S. 398; Urteil 2C_532/2015 vom 23. Dezember 2015 E. 1). Der Beschwerdeführer wurde in der Schweiz wiederholt straffällig und dies teilweise noch während einer laufenden Bewährungsfrist (2004: einfache Körperverletzung, Gewalt und Drohung gegen Behörden und Beamte [fünf Monate Freiheitsentzug bedingt], Missachten von Zwangsmassnahmen, Geldwäscherei usw.). Am 7. Mai 2009 ist er unter anderem der qualifizierten Widerhandlung gegen das Betäubungsmittelgesetz, der mehrfachen Geldwäscherei und der Hinderung einer Amtshandlung schuldig gesprochen und zu einer Freiheitsstrafe von 3 1⁄2 Jahren verurteilt worden, wobei ihn ausländer- wie strafrechtlich ein relativ schweres Verschulden traf. Die Beziehung zu seiner neuen Partnerin und dem gemeinsamen Sohn haben ihn 2008 nicht davon abhalten können, in gravierender Weise gegen die hiesige Rechtsordnung zu verstossen; im Übrigen sind er und seine Familie seit Jahren fürsorge- bzw. nothilfeabhängig (vgl. Art. 51 Abs. 2 lit. b i.V.m. Art. 62 lit. e AuG; die Ehefrau mit Kind am 15. September 2014 im Umfang von Fr. 217'339.70; der Beschwerdeführer zum selben Zeitpunkt in einem solchen von Fr. 40'448.--). Die bundesgerichtliche Praxis geht schliesslich bei kürzerem (legalem) Aufenthalt davon aus, dass bei einer Verurteilung zu einer Freiheitsstrafe von über zwei Jahren (als Richtwert) eine aufenthaltsbeendende Massnahme auch dann zulässig sein kann, wenn dem Ehegatten die Ausreise nicht oder nur schwer zumutbar erscheint (Urteil 2C_519/2014 vom 15. Januar 2015 E. 3.2 - 3.7 ["Reneja"-Praxis: <ref-ruling> E. 2.3 S. 148 f.; 135 II 477 E. 4.4 S. 482 f.; <ref-ruling> E. 4.1; <ref-ruling> ff.]).
2.5. Der vorliegende Fall kann nicht mit dem prozeduralen Aufenthalt verglichen werden, der in <ref-ruling> ff. zu beurteilen war, da dort - anders als hier - weder eine wiederholte Straffälligkeit, noch eine Bedürftigkeit der Familie zur Diskussion standen (dort E. 4). Im Urteil 2C_76/2013 vom 23. Mai 2013 war der betroffene Vater zwar straffällig geworden (13 Monate Gefängnis bedingt), doch hatte er sich in der Heimat in der Folge bewährt, sodass sich die Frage stellte, ob ihm gestützt auf den fortbestehenden gesetzlichen Nachzugsanspruch wieder eine Bewilligung erteilt und inzwischen der prozedurale Aufenthalt gewährt werden konnte.
2.6. Soweit der angefochtene Entscheid bzw. der Wegweisungsvollzug vorliegend implizit Auswirkungen auf das Verbleiberecht für die Dauer des hängigen Bewilligungsverfahrens hat, verletzt er Art. 17 AuG nicht, da der Beschwerdeführer die Zulassungsvoraussetzungen im Nachzugsverfahren nicht "offensichtlich" erfüllt. Die kantonalen Behörden haben dennoch erklärt, seinen Aufenthalt mit Blick auf das Nachzugsverfahren (vorerst) bis zum 12. Mai 2016 zu dulden. Soweit ersichtlich wurde in diesem die aufschiebende Wirkung bisher nicht entzogen bzw. kann im Rahmen einer vorsorglichen Massnahme dem Beschwerdeführer allenfalls der Aufenthalt durch die kantonalen Behörden im Rahmen ihres Ermessens weiterhin erlaubt werden (vgl. das Urteil 2C_1130/2013 vom 23. Januar 2015 E. 2 mit Hinweisen). Diesbezüglich hat sich das Bundesgericht nicht zu äussern; Gegenstand seiner Prüfung bildet - wie dargelegt - ausschliesslich die Verfassungsmässigkeit des Vollzugs des Wegweisungsentscheids im Nachgang zum im Jahr 2009 abgeschlossenen ersten Bewilligungsverfahren.
3.
Was der Beschwerdeführer in seiner Eingabe weiter vorbringt, überzeugt nicht:
3.1. Soweit er den Sachverhalt beanstandet (Opfer und nicht Täter eines Messerangriffs gewesen zu sein, Aufenthalt bei den Kindern seit Beendigung der Ausschaffungshaft usw.), ist dieser für das vorliegenden Verfahren hinreichend erstellt bzw. nicht entscheidrelevant; allfällige Fehler oder Ungenauigkeiten hat er im Nachzugsverfahren vor dem Verwaltungsgericht geltend zu machen. Der Einwand, dass ihm eine Rückkehr in die Heimat nicht zumutbar sei, verkennt, dass nach den ärztlichen Berichten seine medizinische Behandlung abgeschlossen ist und allfällige Nachkontrollen gemäss den Angaben des SEM vom 28. August 2014 auch in seiner Heimat erfolgen können. Die Pflicht zu einer Rückkehr nach Nigeria - um dort den Bewilligungsentscheid abzuwarten - kommt weder einer erniedrigenden noch einer unmenschlichen Behandlung gleich (Art. 3 EMRK), selbst wenn die ärztliche Versorgung in der Schweiz besser sein sollte und in Nigeria die Korruption ein weit verbreitetes Übel bildet. Für die Dauer des Bewilligungsverfahrens kann er die Beziehungen zu seiner Gattin und den Kindern gegebenenfalls über die Neuen Medien aufrecht erhalten.
3.2. In Bezug auf den Einwand, die Vorinstanz hätte ihm, bevor sie die ursprüngliche Sistierung des Beschwerdeverfahrens gegen die Wegweisung wegen des Gesuchs um Familiennachzug aufhob, das rechtliche Gehör gewähren müssen, ist tatsächlich nicht ganz klar, warum dies unterlassen wurde, obwohl das Verwaltungsgericht dadurch auf die von ihm ursprünglich geplante Verfahrenskoordination zurückgekommen ist. Dem Beschwerdeführer ist dadurch indessen kein nennenswerter Nachteil entstanden: Praxisgemäss bestimmt sich der Umfang des Anspruchs auf rechtliches Gehör (Art. 29 BV) nach der konkreten Situation und Interessenlage im Einzelfall; zwar ist der Anspruch formeller Natur, doch gilt er nicht um seiner selbst willen und verfolgt er auch keinen Selbstzweck; er ist vielmehr mit der Berechtigung in der Sache selber verbunden (<ref-ruling> E. 2b S. 103 f., 273 E. 2b S. 274; <ref-ruling> E. 2a S. 75; <ref-ruling> E. 3c S. 185). Deshalb kann eine untergeordnete Verletzung des Anspruchs auf rechtliches Gehör auch geheilt werden (vgl. <ref-ruling> E. 2.3.2 S. 197 f.; <ref-ruling> E. 2e S. 373 f.; <ref-ruling> E. 2d S. 138; <ref-ruling> E. 4 S. 87); es gilt formalistische Leerläufe zu vermeiden (vgl. 2P.352/2005 vom 24. April 2006 E. 3.4 mit Hinweisen). Der Beschwerdeführer konnte sich in die Verfahren einbringen, wobei das Hauptverfahren beim Verwaltungsgericht noch hängig ist. Unter diesen Umständen wäre der vorliegend angefochtene Entscheid auch dann nicht zu korrigieren, wenn in der Wiederaufnahme des Verfahrens ohne vorherige Anhörung des Betroffenen eine Verletzung seines Anspruchs auf rechtliches Gehör zu sehen wäre.
4.
4.1. Die Beschwerde ist nach dem Dargelegten im Rahmen des Verfahrensgegenstands unbegründet und deshalb abzuweisen, soweit darauf eingetreten werden kann.
4.2. Das Gesuch des Beschwerdeführers um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung wird wegen Aussichtslosigkeit der Eingabe abgewiesen (Art. 64 BGG). Der unterliegende Beschwerdeführer hat die bundesgerichtlichen Kosten zu tragen (Art. 66 Abs. 1 BGG). Es sind keine Parteientschädigungen geschuldet (vgl. Art. 68 Abs. 3 BGG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.
2.1. Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung wird abgewiesen.
2.2. Die Gerichtskosten von Fr. 1'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten, dem Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt als Verwaltungsgericht und dem Staatssekretariat für Migration schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 28. April 2016
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Seiler
Der Gerichtsschreiber: Hugi Yar