Sachverhalt:
A.
Seit Anfang Juni 2010 ermittelte die Staatsanwaltschaft Kreuzlingen gegen den irakischen Staatsangehörigen A._ wegen qualifizierter Förderung der rechtswidrigen Ein- und Ausreise sowie des rechtswidrigen Aufenthalts. Am 20. November 2010 wurde B._ an seinem Wohnort in N._ getötet. Die Ermittlungen ergaben, dass A._ an diesem Tötungsdelikt beteiligt gewesen war. Zudem stand das Delikt in Bezug zu den von A._ organisierten Menschenschleusungen. Die nachfolgenden verdeckten Ermittlungen der Staatsanwaltschaft ergaben, dass A._ vermutlich Kopf einer organisierten kriminellen Gruppierung war, die den Lebensunterhalt ihrer Mitglieder durch den organisierten Betäubungsmittelhandel, qualifizierte Erpressungen und Menschenschleusungen bestritt.
A._ befand sich vom 13. März 2011 bis zum 23. März 2011, vom 19. Dezember 2011 bis zum 12. Januar 2012 und vom 9. Februar 2012 bis zum 5. Dezember 2014 insgesamt 1'065 Tage in Untersuchungshaft. Am 5. Dezember 2014 trat er den vorzeitigen Strafvollzug an.
Die Staatsanwaltschaft Kreuzlingen erhob am 23. Januar 2015 beim Bezirksgericht Kreuzlingen Anklage gegen A._ mit dem Antrag, ihn mit einer Freiheitsstrafe von 20 Jahren zu bestrafen und gemäss <ref-law> zu verwahren.
B.
Mit Entscheid vom 12./13. Mai 2016 wies das Zwangsmassnahmengericht des Kanton Thurgau das Gesuch von A._ um sofortige Entlassung aus dem vorzeitigen Strafvollzug und Prüfung von Ersatzmassnahmen ab. Die dagegen von A._ erhobene Beschwerde wies das Obergericht des Kantons Thurgau mit Entscheid vom 30. Juni 2016 ab.
C.
A._ erhebt Beschwerde in Strafsachen und beantragt, er sei unverzüglich aus dem vorzeitigen Strafvollzug zu entlassen. Allfällige Ersatzmassnahmen seien zu prüfen und gegebenenfalls anzuordnen.
Das Obergericht, das Bezirksgericht und die Staatsanwaltschaft haben auf eine Vernehmlassung verzichtet. Der Beschwerdeführer hält an seinen Anträgen fest.

Erwägungen:
1.
Der angefochtene Entscheid betrifft die Entlassung aus dem vorzeitigen Strafvollzug. Dagegen ist die Beschwerde in Strafsachen nach <ref-law> gegeben. Der Beschwerdeführer ist nach <ref-law> zur Beschwerde berechtigt. Auf sein Rechtsmittel ist einzutreten.
2.
2.1. Beim vorzeitigen Strafvollzug (<ref-law>) handelt es sich um eine strafprozessuale Zwangsmassnahme auf der Schwelle zwischen Strafverfolgung und Strafvollzug (<ref-ruling> E. 3.2.1 S. 277). Das Recht, Haftentlassungsgesuche zu stellen und eine richterliche Haftprüfung zu erwirken, steht auch Beschuldigten im vorzeitigen Strafvollzug zu (<ref-law> i.V.m. Art. 233 und <ref-law>; <ref-ruling> E. 4.1 S. 194; vgl. MATTHIAS HÄRRI, in: Basler Kommentar StPO, 2. Aufl. 2014, Rz. 20 zu <ref-law>; MARC FORSTER, a.a.O., Rz. 1 zu Art. 233). Dabei ist zu prüfen, ob die Haftvoraussetzungen gegeben sind (<ref-ruling> E. 4.1 f. S. 194 mit Hinweisen).
2.2. Der Beschwerdeführer bestreitet den dringenden Tatverdacht sowie das Vorliegen von Flucht- und Wiederholungsgefahr. Allenfalls seien Ersatzmassnahmen anzuordnen. Angesichts der langen Haft- und Verfahrensdauer sei die Haft zudem unverhältnismässig und das Beschleunigungsverbot verletzt.
3.
Wurde gegen einen in Haft befindlichen Angeschuldigten Anklage erhoben, so kann der Haftrichter in der Regel davon ausgehen, dass die allgemeine Haftvoraussetzung des dringenden Tatverdachts gegeben ist (so bereits Urteil des Bundesgerichts 1P.72/2002 vom 27. Februar 2002 E. 2.3; NIKLAUS SCHMID, Schweizerische Strafprozessordnung, Praxiskommentar, 2. Aufl. 2013, Rz. 4 zu <ref-law>; MARKUS HUG/ ALEXANDRA SCHEIDEGGER, in: Zürcher Kommentar zur Schweizerischen Strafprozessordnung, 2. Aufl. 2014, Rz. 6a zu <ref-law>). Davon wäre ausnahmsweise abzuweichen, wenn der Angeschuldigte im Haftprüfungs- oder Haftbeschwerdeverfahren darzutun vermöchte, dass die Annahme eines dringenden Tatverdachts unhaltbar ist.
Ein solcher Ausnahmefall ist hier, wie die Vorinstanz zutreffend erkannt hat, nicht gegeben. Es liegen genügend konkrete Anhaltspunkte für Straftaten vor. Der Beschwerdeführer kann den dringenden Tatverdacht angesichts der Untersuchungsergebnisse und der Anklage denn auch nicht ernsthaft bestreiten. Daran vermag das Urteil des Bundesgerichts, das den Ausstand der beiden leitenden Staatsanwälte nach Anklageerhebung zur Folge hatte, nichts zu ändern (vgl. <ref-ruling>). Gleiches gilt in Bezug auf die Nichtigkeit des Urteils vom 26. März 2016 des Bezirksgerichts Kreuzlingen im abgekürzten Verfahren gegen C._ (aufgrund der sachlich nicht gerechtfertigten Verfahrenstrennung durch die Staatsanwaltschaft; vgl. Urteil des Bundesgerichts 1B_11/2016 vom 23. Mai 2016 E. 3). Zur Frage des dringenden Tatverdachtes bzw. zur Schuldfrage hat das Bundesgericht grundsätzlich weder ein eigentliches Beweisverfahren durchzuführen, noch dem erkennenden Strafrichter vorzugreifen (vgl. <ref-ruling> E. 3.2 S. 126 f.; <ref-ruling> E. 3 S. 210 mit Hinweisen), was der Beschwerdeführer auch selber einräumt. Vorliegend konnte die Vorinstanz deshalb das Bestehen eines dringenden Tatverdachts mit vertretbaren Gründen bejahen.
4.
4.1. Der Beschwerdeführer bringt vor, es bestehe weder Flucht- noch Wiederholungsgefahr.
4.2. Nach <ref-law> sind Untersuchungs- und Sicherheitshaft unter anderem zulässig, wenn die beschuldigte Person eines Verbrechens oder Vergehens dringend verdächtig ist und ernsthaft zu befürchten ist, dass sie sich durch Flucht dem Strafverfahren oder der zu erwartenden Sanktion entzieht (lit. a) oder durch schwere Verbrechen und Vergehen die Sicherheit anderer erheblich gefährdet, nachdem sie bereits früher gleichartige Straftaten verübt hat (lit. c). An ihrer Stelle sind Ersatzmassnahmen anzuordnen, wenn sie den gleichen Zweck wie die Haft erfüllen (Art. 212 Abs. 2 lit. c und Art. 237 ff. StPO).
4.3.
4.3.1. Die Annahme von Fluchtgefahr setzt ernsthafte Anhaltspunkte dafür voraus, dass die beschuldigte Person sich dem Strafverfahren oder der zu erwartenden Sanktion durch Flucht entziehen könnte (<ref-law>). Im Vordergrund steht dabei eine mögliche Flucht ins Ausland, denkbar ist jedoch auch ein Untertauchen im Inland. Bei der Bewertung, ob Fluchtgefahr besteht, sind die gesamten konkreten Verhältnisse zu berücksichtigen. Es müssen Gründe bestehen, die eine Flucht nicht nur als möglich, sondern als wahrscheinlich erscheinen lassen. Die Schwere der drohenden Strafe ist zwar ein Indiz für Fluchtgefahr, genügt jedoch für sich allein nicht, um den Haftgrund zu bejahen (<ref-ruling> E. 3a S. 62 mit Hinweisen). Miteinzubeziehen sind die familiären und sozialen Bindungen, die berufliche und finanzielle Situation und die Kontakte zum Ausland.
4.3.2. Dem Beschwerdeführer, der in Deutschland bereits zweimal wegen gewerbs- und bandenmässiger Schleuserei verurteilt worden ist (er wurde in der Folge in die Schweiz ausgeliefert, wo er die Strafe bis April 2009 verbüsste; vgl. Anklageschrift, S. 12), werden schwere Gewaltverbrechen und viele weitere, zum Teil schwere Delikte vorgeworfen (vgl. Bst. A hiervor sowie nachfolgend E. 5.4). Die Staatsanwaltschaft beantragt eine Freiheitsstrafe von 20 Jahren mit anschliessender Verwahrung. Damit droht dem Beschwerdeführer im Fall eines Schuldspruchs eine langjährige und mithin unbedingte Freiheitsstrafe. Wie der Beschwerdeführer zutreffend hervorhebt, vermag die Höhe der zu erwartenden Strafe für sich allein noch keine Fluchtgefahr zu begründen. Sie stellt aber im vorliegenden Fall dennoch einen bedeutenden Hinweis für Fluchtgefahr dar. Zudem benennt die Vorinstanz noch weitere Anhaltspunkte, die sich im Verlauf der Untersuchung zunehmend verdichtet haben und daher eine Flucht als wahrscheinlich erscheinen lassen. Die Staatsanwaltschaft Kreuzlingen wirft dem Beschwerdeführer vor, Kopf einer Organisation zu sein, die Flüchtlinge nach Europa einschleust. Er habe nach seiner Freilassung im April 2009 die Führungsrolle in der Organisation unverzüglich übernommen und sämtliche erforderlichen Schritte koordiniert, die für Menschenschleusungen notwendig sind, darunter auch das Ausstellen gefälschter Ausweispapiere. Es wäre für ihn daher ohne Weiteres möglich (selbst nach Anordnung einer Ersatzmassnahmen wie Ausweis- und Schriftensperre), nach seiner Haftentlassung ins Ausland zu flüchten oder unterzutauchen.
4.3.3. Der Beschwerdeführer bringt dagegen hauptsächlich vor, angesichts des Gesundheitszustands seiner in M._ wohnhaften Ehefrau und seiner Tochter, der "alles andere als gut" sei, und der Tatsache, dass die dringend benötigte medizinische Versorgung weder im Irak noch sonst wo im Nahen Osten gewährleistet werden könne, spreche gegen eine Flucht. Dieser Argumentation kann nicht gefolgt werden. Abgesehen davon, dass der Beschwerdeführer keine konkreten Angaben zum aktuellen Gesundheitszustand von Frau und Tochter macht, ist nicht davon auszugehen, dass er in einem der zahlreichen Länder "offiziell" Wohnsitz nehmen wird, die ihn per internationalem Haftbefehl suchen. Dazu gäbe es jedoch genügend Alternativen. Mit Blick auf sein internationales und europaweites Beziehungsnetz ist nicht auszuschliessen, dass er in ein anderes europäisches Land oder sogar in seinen Heimatstaat flüchten könnte, wo er gemäss Anklageschrift (S. 16) einen Teil des aus den Menschenschleusungen erzielten Nettogewinns in Immobilien und Ländereien investiert haben soll. Zudem geht der Beschwerdeführer in seiner Beschwerdeschrift einzig von der Annahme aus, dass eine Flucht ohne seine Familie geradezu ausgeschlossen sei. Aufgrund seines Vorlebens, das dazu geführt hat, dass gegen ihn Anklage erhoben wurde, kann jedoch nicht ohne Weiteres davon ausgegangen werden, dass ihn die familiäre Situation von einer Flucht oder einem Untertauchen abhalten würde.
4.3.4. Dass die Vorinstanz bei der Berücksichtigung der weiteren fluchtbegünstigenden Faktoren (keine Verwandten in der Schweiz, kein Freundeskreis, keine feste Anstellung und nur knappe Sprachkenntnisse) in einen Schematismus verfallen sein soll, ist - entgegen der Auffassung des Beschwerdeführers - nicht ersichtlich. Vielmehr hat sie alle relevanten Umstände zur Fluchtgefahr gewürdigt. Insbesondere hat sie geprüft, ob neue Anhaltspunkte zur Rechtfertigung der Fortdauer der Haft des Beschwerdeführers vorliegen (anders als im Fall Erdem gegen Deutschland vom 5. Juli 2001, Nr. 38321/97, Ziff. 45 [nicht publiziert in ECHR 2001-VII], auf den sich der Beschwerdeführer erfolglos beruft). Damit erweist sich die Annahme der Fluchtgefahr durch die Vorinstanz als bundesrechtskonform.
4.4. Bei diesem Ergebnis kann offen bleiben, ob auch Wiederholungsgefahr besteht. Damit müssen die beiden psychiatrischen Gutachten, die sich nicht in den Akten befinden, aber gemäss den Vorinstanzen die Rückfall- bzw. Wiederholungsgefahr des Beschwerdeführers offenbar bejahen, nicht mehr beigezogen werden. Abgesehen davon enthält die Beschwerdeschrift auch keine Ausführungen, die für eine Verringerung der Wiederholungsgefahr sprechen würden.
4.5. Schliesslich hält auch die Einschätzung der Vorinstanz vor Bundesrecht stand, dass die hier zu beurteilende Fluchtgefahr mit blossen Ersatzmassnahmen für Haft (wie eine Schriftensperre sowie Weisungen zum Wohn- und Aufenthaltsort, die Auflage, sich regelmässig bei einer Polizeidienststelle zu melden, die Betreuung durch die Bewährungshilfe oder die Fachstelle der Polizei) nicht ausreichend gebannt werden kann. Entgegen der Auffassung des Beschwerdeführers kommen auch keine elektronischen Fussfesseln mit Monitoring in Betracht. Der Kanton Thurgau gehört nicht zu den sieben Kantonen, die am entsprechenden Pilotprojekt teilgenommen haben (vgl. dazu Urteil des EGMR i.S. Bolech gegen Schweiz vom 29. Oktober 2013, Nr. 30138/12, Ziff. 24 ff. und 66). Eine bundesweite Einführung der elektronischen Überwachung ist für den 1. Januar 2018 vorgesehen (AS 2016 1264) und kann insbesondere für den Vollzug einer Freiheitsstrafe oder einer Ersatzfreiheitsstrafe von 20 Tagen bis zu 12 Monaten angeordnet werden, wenn keine Fluchtgefahr besteht (vgl. Art. 79b Abs. 1 und Abs. 2 lit. a revStGB; AS 2016 1253). Die Voraussetzungen wären damit selbst gemäss der Revision des StGB nicht erfüllt.
5.
5.1. Der Beschwerdeführer bringt vor, er sei seit vier Jahren und sieben Monaten in Haft resp. im vorzeitigen Strafvollzug. Die Haft sei in zeitlicher Hinsicht unverhältnismässig und das Strafverfahren werde von den Behörden nicht genügend vorangetrieben. Die Haftdauer widerspreche der Rechtsprechung des Europäischen Gerichtshofs für Menschenrechte.
5.2. Gemäss <ref-law> und Art. 5 Ziff. 3 Satzteil 2 EMRK hat eine in strafprozessualer Haft gehaltene Person Anspruch darauf, innerhalb einer angemessenen Frist richterlich abgeurteilt oder während des Strafverfahrens aus der Haft entlassen zu werden. Der Inhaftierte hat wegen der bis zur rechtskräftigen Verurteilung geltenden Unschuldsvermutung (<ref-law>, Art. 6 Ziff. 2 EMRK, <ref-law>) Anspruch auf vorrangige und beschleunigte Bearbeitung seines Falls. Eine übermässige Haftdauer stellt eine unverhältnismässige Beschränkung von <ref-law> und Art. 5 Ziff. 3 Satzteil 2 EMRK dar. Sie liegt dann vor, wenn die Haftfrist die mutmassliche Dauer der zu erwartenden freiheitsentziehenden Sanktion übersteigt (vgl. auch <ref-law>). Bei der Prüfung der Verhältnismässigkeit der Haftdauer ist namentlich der Schwere der untersuchten Straftaten Rechnung zu tragen. Der Richter darf die Haft nur so lange erstrecken, als sie nicht in grosse zeitliche Nähe der (im Falle einer rechtskräftigen Verurteilung) konkret zu erwartenden Dauer der freiheitsentziehenden Sanktion rückt. Die Frage, ob eine Haftdauer als übermässig bezeichnet werden muss, ist aufgrund der konkreten Verhältnisse des einzelnen Falles zu beurteilen (<ref-ruling> E. 3.1 S. 275; <ref-ruling> E. 4.1 S. 170; 270 E. 3.4.2 S. 281; <ref-ruling> E. 4 S. 27 f.; je mit Hinweisen).
5.3. Im Weiteren kann eine Haft die bundesrechtskonforme Dauer auch dann überschreiten, wenn das Strafverfahren nicht genügend vorangetrieben wird (vgl. <ref-law>, Art. 5 Abs. 3 EMRK und <ref-law>). Eine Haftentlassung kommt allerdings nur bei besonders schwer wiegenden bzw. häufigen Versäumnissen in Frage, die erkennen lassen, dass die verantwortlichen Behörden nicht gewillt oder nicht in der Lage sind, dem Beschleunigungsgebot in Haftsachen Rechnung zu tragen (<ref-ruling> E. 3.1 S. 96; <ref-ruling> E. 2.2 S. 151 f.; je mit Hinweisen; NIKLAUS OBERHOLZER, Grundzüge des Strafprozessrechts, 3. Aufl. 2012, Rz. 937).
5.4. Die Staatsanwaltschaft stellt in ihrer Anklage vom 23. Januar 2015 den Antrag auf 20 Jahre Freiheitsstrafe und Verwahrung nach <ref-law>. Seitdem ist das Verfahren vor dem Bezirksgericht Kreuzlingen hängig. Abgesehen von zwei Unterbrüchen befindet sich der Beschwerdeführer, der keine Gründe geltend macht, dass der Strafantrag der Staatsanwaltschaft übersetzt sein soll, mittlerweile knapp vier Jahre und acht Monate in Untersuchungshaft bzw. im vorzeitigen Strafvollzug. Ihm wird unter anderem vorsätzliche Tötung (<ref-law>: Freiheitsstrafe nicht unter fünf Jahren), versuchte schwere Körperverletzung (<ref-law>: Freiheitsstrafe bis zu zehn Jahren oder Geldstrafe nicht unter 180 Tagessätzen, wobei das Gericht nach <ref-law> die Strafe mildern kann), mehrfache qualifizierte Erpressung (Art. 156 Ziff. 3 i.V.m. <ref-law>: Freiheitsstrafe bis zu zehn Jahren oder Geldstrafe nicht unter 180 Tagessätzen), mehrfache qualifizierte Widerhandlungen gegen das Betäubungsmittelgesetz (Art. 19 Ziff. 2 i.V.m. Art. 19 Ziff. 1 Abs. 2-7 aBetmG [AS 2006 3459; BBl 1999 1979]: Freiheitsstrafe von bis zu drei Jahren oder Geldstrafe; in schweren Fällen nicht unter einem Jahr, verbunden mit einer Geldstrafe), die qualifizierte Förderung der rechtswidrigen Ein-, Ausreise sowie des rechtswidrigen Aufenthalts (Art. 116 Abs. 3 lit. a und b AuG [SR 142.20]: Freiheitsstrafe bis zu fünf Jahren, verbunden mit einer Geldstrafe) vorgeworfen. Weiter steht der Antrag auf Verurteilung wegen Gefährdung durch Sprengstoffe und giftige Gase (<ref-law>), mehrfachen Hausfriedensbruchs (<ref-law>), der mehrfachen Sachbeschädigung (<ref-law>) sowie der Widerhandlung gegen das Waffengesetz und der groben Verletzung der Verkehrsregeln im Raum.
Beim jetzigen Untersuchungsstand muss der Beschwerdeführer daher ernsthaft mit einer empfindlich hohen Freiheitsstrafe rechnen. Die bisher erstandene strafprozessuale Haft ist noch nicht in grosse Nähe der (im Falle einer rechtskräftigen Verurteilung) zu erwartenden freiheitsentziehenden Sanktion gerückt. Damit droht noch keine Überhaft.
5.5. Nach der ständigen Rechtsprechung des EGMR lässt sich die Angemessenheit der Haftdauer nicht abstrakt bemessen, sondern hängt von den Umständen des Einzelfalls ab (vgl. zuletzt Urteil der Grossen Kammer des EGMR vom 5. Juli 2016 i.S. Buzadji gegen Moldavien, Nr. 23755/07, Ziff. 90 mit Hinweisen; WOLFGANG PEUKERT, in: Frowein/ Peukert, Europäische Menschenrechtskonvention, 3. Aufl. 2009, Rz. 114 zu Art. 5 EMRK; MARK E. VILLIGER, Handbuch der Europäischen Menschenrechtskonvention, 2. Aufl. 1999, Rz. 359). Bei schwierigen und aufwändigen Fällen hat der EGMR die Haftdauer von vier und mehr Jahren als konventionskonform erachtet (vgl. z.B. den Leitentscheid des EGMR vom 27. Juni 1968 i.S. Wemhoff gegen Deutschland, Nr. 2122/64, Rz. 17; sowie die Urteile des EGMR vom 26. Januar 1993 i.S. W. gegen Schweiz, Nr. 14379/88, Ziff, 42 = EuGRZ 1993, 384, und vom 5. November 2009 i.S. Shabani gegen Schweiz, Nr. 29044/06, Ziff. 58 [fünf Jahre]; vgl. für weitere Nachweise zur Rsp. PEUKERT, a.a.O., Rz. 114 zu Art. 5 EMRK, sowie HANS-ULRICH PAEFFGEN, in: SK-StPO, 4. Aufl. 2012, Rz. 58 zu Art. 5 EMRK).
Was als Dauer angemessen ist, lässt sich daher - entgegen der Auffassung des Beschwerdeführers - nicht mit einer absoluten Maximalfrist bemessen, sondern hängt von verschiedenen Faktoren ab, wie der Komplexität des Falls (insbesondere bei einer Vielzahl von Beschuldigten, vgl. bereits Urteil des EGMR vom 13. Juli 1995 i.S. Van der Tang gegen Spanien, Nr. 19382/92, Ziff. 75), dem Verhalten der inhaftieren Person, dem Verhalten der zuständigen Behörden (z.B. kein Verschleppen der Arbeiten oder gar Untätigkeit, dafür zügige Führung mit der notwendigen Sorgfalt ["diligence particulière"], vgl. den Leitentscheid der Grossen Kammer des EGMR vom 6. April 2000 i.S. Labita gegen Italien, Nr. 26772/95, Ziff. 153, ECHR 2000-IV]) und anderen fallspezifischen Umständen (z.B. erheblicher Auslandsbezug, Urteil EGMR vom 29. Juli 2004 i.S. Cevizovic gegen Deutschland, Nr. 49746/99, Ziff. 44; sowie im Bereich der organisierten Kriminalität oder des internationalen Terrorismus, vgl. Urteil EGMR vom 26. Oktober 2006 i.S. Chraidi gegen Deutschland, Nr. 65655/01, Ziff. 43 und 47 f.).
5.6.
5.6.1. In Bezug auf die Komplexität des Verfahrens kann mit der Vorinstanz festgehalten werden, dass es sich vorliegend um verschiedene, teilweise sehr komplexe Sachverhalte im Bereich der organisierten Kriminalität mit einem ausgeprägten Auslandsbezug handelt (insbesondere die Vorwürfe betreffend Heroinhandel und Menschenschleusungen). Das Strafverfahren umfasst mehrere Mitbeschuldigte (mittlerweile, soweit ersichtlich, 15 Personen, wobei zehn Verfahren eingestellt wurden, rund sechs Verfahren zu einem späteren Zeitpunkt zur Anklage gebracht werden und mehrere Verfahren an die Staatsanwaltschaft Schaffhausen abgetreten wurden bzw. von der Staatsanwaltschaft St. Gallen geführt werden). Die Privatklägerschaft besteht aus insgesamt elf Personen. Die Aussagen der Mitbeschuldigten müssen grösstenteils ins Deutsche übersetzt werden und widersprechen sich in mehreren zentralen Punkten. Zudem müssen Informationen auf dem Rechtsmittelweg (namentlich aus der Türkei) eingeholt werden. Das Vorliegen eines komplexen Verfahrens mit besonderen fallspezifischen Umständen kann daher ohne Weiteres bejaht werden.
5.6.2. Hinzu kommt, dass sich das Verfahren durch die zahlreichen Beschwerden der Mitbeschuldigten, die teilweise auch vom Bundesgericht zu beurteilen waren (vgl. <ref-ruling>; Urteil des Bundesgericht 1B_187/2015 vom 6. Oktober 2015; sowie die Urteile 1B_5/2016, 1B_11/2016, 1B_29/2016, 1B_33/2016, 1B_35/2016, 1B_37/2016, alle vom 23. Mai 2016), verlängert hat.
5.6.3. Die Kritik des Beschwerdeführers richtet sich vornehmlich gegen das Verhalten der Strafbehörden. Es ist unbestritten, dass die bisher eingetretene Verfahrensverlängerung auf die teilweise schweren Verfahrensfehler der Staatsanwaltschaft zurückzuführen ist. Das hatte, wie bereits erwähnt (E. 3 hiervor), den Ausstand der beiden verfahrensleitenden Staatsanwälte und die Aufhebung sowie Wiederholung von gewissen Verfahrenshandlungen zur Folge. Insbesondere musste die Staatsanwaltschaft auf Anweisung des Bundesgerichts ihre ursprüngliche Strategie, die Verfahren getrennt zu behandeln, aufgeben. Nach Massgabe des Grundsatzes der Verfahrenseinheit (<ref-law>) sind die Strafverfahren nunmehr gemeinsam zu behandeln. Indessen ist die Tragweite dieser Verfahrensfehler mit Blick auf das Beschleunigungsgebot in zweifacher Hinsicht zu relativieren. Zunächst ist die infolge der Verfahrensfehler eingetretene zeitliche Verzögerung nicht gross. Zudem weist die Behandlung des Falls durch die Staatsanwaltschaft keine massgeblichen, nicht erklärbaren Lücken auf, in denen die Behörde unnütz Zeit verstreichen liess (sog. "phases d'inactivité" vgl. FRANK SCHÜRMANN, in: Basler Kommentar BV, 2015, Rz. 41 zu <ref-law> mit Hinweis). Der Beschwerdeführer bringt deshalb auch nicht vor, die Staatsanwaltschaft sei untätig gewesen bzw. sie habe das Verfahren bewusst oder aus Nachlässigkeit verzögert. Das ist auch nicht ersichtlich. Vielmehr kann den Akten entnommen werden, dass die Staatsanwaltschaft das Verfahren stets vorangetrieben hat. Auch das Bezirksgericht Kreuzlingen hat unverzüglich, nachdem die letzten bundesgerichtlichen Entscheide ergangen waren, am 28. Juni 2016 eine Vorverhandlung mit den Verteidigern und der Staatsanwaltschaft durchgeführt und dabei über organisatorische Fragen und den geplanten Ablauf der Hauptverhandlung informiert. Danach ist von der Eröffnung der Hauptverhandlung bis zur Eröffnung des erstinstanzlichen Urteils mit neun Monaten zu rechnen. Dieser Zeitrahmen erscheint angesichts der Komplexität des Falls und der Umstände realistisch. Der vom Beschwerdeführer dagegen erhobene Einwand, aufgrund der aktuellen Situation in der Türkei sei mit weiteren Verzögerungen zu rechnen, ist hypothetischer Natur. Nötigenfalls sind die Ergebnisse des Rechtshilfegesuchs nicht abzuwarten.
5.7. Damit hält der angefochtene Entscheid unter dem Aspekt der Verhältnismässigkeit und des Beschleunigungsgebots vor Bundesrecht stand. Der Haftentlassungsantrag erweist sich als unbegründet und ist abzuweisen.
6.
Nach dem Gesagten ist die Beschwerde abzuweisen.
Der Beschwerdeführer bringt vor, aufgrund seiner derzeitigen Situation und der Haftdauer verfüge er über keine Mittel mehr, um die Verfahrenskosten zu bezahlen. Die Bedürftigkeit des Beschwerdeführers kann angenommen werden. Da für ihn viel auf dem Spiel steht, konnte er sich zur Beschwerde veranlasst sehen. Die unentgeltliche Rechtspflege wird deshalb bewilligt (<ref-law>). Dem Beschwerdeführer werden keine Kosten auferlegt. Er führt persönlich Beschwerde, weshalb keine Entschädigung zu entrichten ist.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen.
2.
Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege für das bundesgerichtliche Verfahren wird gutgeheissen.
3.
Es werden keine Gerichtskosten erhoben.
4.
Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer, der Generalstaatsanwaltschaft des Kantons Thurgau, dem Bezirksgericht Kreuzlingen und dem Obergericht des Kantons Thurgau schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 26. August 2016
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Fonjallaz
Der Gerichtsschreiber: Misic