Sachverhalt:
A.
Die 1965 geborene A._, Mutter von drei Kindern (geboren 1988, 1992 und 1994), war zuletzt bis 2003 bei der Genossenschaft B._ angestellt. Nachdem sie zwischenzeitlich Leistungen der Arbeitslosenversicherung und der Sozialhilfe bezogen hatte, meldete sie sich im Januar 2013 wegen einer schweren Depression bzw. wegen psychischer Krankheit bei der Invalidenversicherung zum Leistungsbezug an. Die IV-Stelle des Kantons Zürich tätigte verschiedene Abklärungen in erwerblicher und medizinischer Hinsicht; namentlich veranlasste sie eine psychiatrische Begutachtung bei Dr. med. C._, FMH Psychiatrie und Psychotherapie (Expertise vom 21. Juni 2014), sowie zwei "Abklärungen der beeinträchtigten Arbeitsfähigkeit in Beruf und Haushalt" (Berichte vom 16. September 2013 und vom 4. September 2014). Mit Verfügung vom 31. Juli 2015 verneinte die Verwaltung den Anspruch auf eine Invalidenrente mit der Begründung, A._ sei zwar in ihrem Aufgabenbereich Haushalt seit 2011 zu 50 % eingeschränkt, es sei den im gleichen Haushalt lebenden Familienmitgliedern indessen zumutbar, den restlichen Haushalt zu erledigen.
B.
Die dagegen erhobene Beschwerde wies das Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich ab, soweit es darauf eintrat (Entscheid vom 31. August 2016).
C.
A._ führt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten und beantragt, es seien ihr unter Aufhebung des angefochtenen Entscheids die gesetzlichen Leistungen, insbesondere eine Invalidenrente zuzusprechen. Eventualiter sei die Sache zu neuer Beurteilung an die Vorinstanz zurückzuweisen. Zudem ersucht sie um unentgeltliche Rechtspflege (Prozessführung, Verbeiständung).
Die IV-Stelle schliesst auf Abweisung der Beschwerde. Das Bundesamt für Sozialversicherungen (BSV) verzichtet auf eine Stellungnahme.

Erwägungen:
1.
Mit der Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann u.a. die Verletzung von Bundesrecht gerügt werden (Art. 95 lit. a BGG). Die Feststellung des Sachverhalts kann nur gerügt werden, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von Artikel 95 beruht und wenn die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein kann (Art. 97 Abs. 1 BGG). Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (Art. 105 Abs. 1 BGG). Es kann die Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz von Amtes wegen berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von Artikel 95 beruht (Art. 105 Abs. 2 BGG).
2.
2.1. Streitig und zu prüfen ist der Anspruch der Beschwerdeführerin auf eine Rente der Invalidenversicherung. Die Vorinstanz hat die gesetzlichen Bestimmungen und die von der Rechtsprechung dazu entwickelten Grundsätze, namentlich diejenigen zu den Begriffen der Invalidität (Art. 8 Abs. 1 ATSG in Verbindung mit Art. 4 Abs. 1 IVG) und der Erwerbsunfähigkeit (Art. 7 ATSG), zum Umfang des Rentenanspruchs (Art. 28 Abs. 2 IVG) sowie zum Beweiswert und zur Beweiswürdigung ärztlicher Berichte und Gutachten (<ref-ruling> E. 5.1 S. 232; <ref-ruling> E. 3 S. 352) zutreffend dargelegt. Darauf wird verwiesen.
2.2. Das kantonale Gericht äusserte sich nicht explizit zum Beweiswert der Expertise des Dr. med. C._ vom 21. Juni 2014. Es verneinte indessen eine invalidisierende Beeinträchtigung der psychischen Gesundheit der Beschwerdeführerin mit der Begründung, sie schöpfe ihre Behandlungsressourcen trotz grundsätzlicher Behandelbarkeit der psychischen Symptomatik nicht aus. Vor diesem Hintergrund komme der "fraglichen Diagnose" keine ergebnisrelevante Bedeutung zu, und es könne diese offen gelassen werden. Es sei überwiegend wahrscheinlich erstellt, dass es der Beschwerdeführerin bei Aufbietung allen guten Willens und in Nachachtung des im Sozialversicherungsrecht allgemein geltenden Grundsatzes der Schadenminderungspflicht zuzumuten sei, sich einer adäquaten therapeutischen und medikamentösen Behandlung zu unterziehen und ihre psychischen Leiden zu überwinden. In Anbetracht dessen würden sich auch Weiterungen zur Statusfrage und zur Invaliditätsbemessung erübrigen.
2.3. Die Beschwerdeführerin wendet im Wesentlichen ein, sie leide gemäss dem beweistauglichen Gutachten des Dr. med. C._ vom 21. Juni 2014 an einem objektivierbaren psychischen Gesundheitsschaden. Weil kein psychosomatisches Leiden vorliege, bilde weder die Behandelbarkeit noch die fehlende Chronifizierung eine Grundlage für die Entscheidung, ob ein Rentenanspruch bestehe. Die gegenteilige Ansicht der Vorinstanz halte vor Bundesrecht nicht Stand.
3.
3.1. Das Gutachten des Dr. med. C._ vom 21. Juni 2014 erfüllt die bundesgerichtlichen Anforderungen an den Beweiswert ärztlicher Berichte und Gutachten (vgl. E. 2.1 hievor), wovon auch die Verwaltung gestützt auf die Stellungnahme des Regionalen Ärztlichen Diensts (RAD) vom 9. Juli 2014 ausgegangen war. Davon, dass das Gutachten hinreichende objektive Befunde vermissen lasse und lediglich auf subjektiven Angaben der Beschwerdeführerin beruhe, wie die Vorinstanz beiläufig festhielt, kann keine Rede sein. Dies erhellt bereits aus den fremdanamnestischen Auskünften, welche der Gutachter bei dem Ehemann und den behandelnden Ärzten eingeholt hatte. Dr. med. C._ führte die reduzierte Arbeitsfähigkeit (0 % in der angestammten Tätigkeit und 50 % in einer angepassten Tätigkeit sowie im Haushalt) auf eine anhaltende wahnhafte Störung (ICD-10 Ziff. F22.0) zurück. Eine paranoide Schizophrenie (ICD-10 Ziff. F20.0) - wie sie zuvor Dr. med. D._, FMH Psychiatrie und Psychotherapie, im Bericht vom 7. März 2013 und der Hausarzt Dr. med. E._ im Bericht vom 11. Mai 2013 diagnostiziert hatten - zog Dr. med. C._ lediglich differenzialdiagnostisch in Betracht. Er wies aber auf generelle Schwierigkeiten bei der diagnostischen Abgrenzung einer anhaltend wahnhaften Störung von einer paranoid halluzinatorischen Schizophrenie hin.
3.2. Sowohl die anhaltende wahnhafte Störung (ICD-10 Ziff. F22.0) wie auch die paranoide Schizophrenie (ICD-10 Ziff. F20.0) gehören zu den Störungsbildern, die auf Grund klinischer psychiatrischer Untersuchungen medizinisch klar diagnostiziert werden können. Sie sind damit rechtlich überprüf- und objektivierbar. Anders als das kantonale Gericht anzunehmen scheint, gehören die genannten Störungsbilder nicht zu den pathogenetisch-ätiologisch unklaren syndromalen Beschwerdebildern ohne nachweisbare organische Grundlage (vgl. <ref-ruling> E. 7.1.4 S. 562). Entsprechend fehl geht der vorinstanzliche Hinweis auf <ref-ruling> und darauf, psychische Störungen würden grundsätzlich nur als invalidisierend gelten, wenn sie schwer und therapeutisch nicht (mehr) angehbar seien.
Im Gegenteil entschied das Bundesgericht mit <ref-ruling> E. 4c S. 298, die Behandelbarkeit einer psychischen Störung der hier interessierenden Art sage, für sich allein betrachtet, nichts über deren invalidisierenden Charakter aus. Für die Entstehung des Anspruchs auf eine Invalidenrente im Besonderen ist immer und einzig vorausgesetzt, dass während eines Jahres (ohne wesentlichen Unterbruch) eine mindestens 40%ige Arbeitsunfähigkeit bestanden hat und eine anspruchsbegründende Erwerbsunfähigkeit weiterhin besteht. Eine Leistungsverweigerung oder -kürzung mit der Begründung, die Versicherte schöpfe ihre Behandlungsressourcen nicht aus, setzt ein Vorgehen nach Art. 21 Abs. 4 ATSG voraus. Da hier die Verwaltung, welche seinerzeit nicht von inadäquaten Behandlungsbemühungen ausgegangen war, kein Mahn- und Bedenkzeitverfahren durchgeführt hat, kann der Beschwerdeführerin die Leistung nunmehr nicht einzig mit der Begründung verweigert werden, sie nehme keine adäquate therapeutische und medikamentöse Behandlung war (vgl. Urteil 9C_391/2016 vom 4. November 2016 E. 3).
3.3. Zusammenfassend hat die Vorinstanz Bundesrecht verletzt, indem sie einen psychischen Gesundheitsschaden mit Krankheitswert im Sinne von Art. 4 Abs. 1 IVG wegen unausgeschöpfter Behandlungsressourcen verneinte, gleichzeitig aber die Durchführung eines Mahn- und Bedenkzeitverfahrens als nicht erforderlich erachtete. Weil der Anspruch der Beschwerdeführerin auf eine Invalidenrente von weiteren, im kantonalen Verfahren noch nicht geprüften Voraussetzungen - namentlich von der im angefochtenen Entscheid explizit offen gelassenen Statusfrage - abhängt, ist die Sache an die Vorinstanz zurückzuweisen, damit diese über die vorinstanzliche Beschwerde, allenfalls nach weiteren Abklärungen, neu entscheide.
4.
Die Rückweisung der Sache zu weiterer Abklärung (mit noch offenem Ausgang) gilt für die Frage der Auferlegung der Gerichtskosten und den Anspruch auf Parteientschädigung als vollständiges Obsiegen im Sinne von Art. 66 Abs. 1 und Art. 68 Abs. 1 und 2 BGG, unabhängig davon, ob sie überhaupt beantragt oder ob das entsprechende Begehren im Haupt- oder Eventualantrag gestellt wird (vgl. <ref-ruling> E. 7.1 S. 271). Entsprechend dem Ausgang des Verfahrens sind die Gerichtskosten der unterliegenden Beschwerdegegnerin aufzuerlegen (Art. 66 Abs. 1 BGG). Sie hat der Beschwerdeführerin überdies eine Parteientschädigung zu entrichten (Art. 68 Abs. 1 und 2 BGG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird teilweise gutgeheissen. Der Entscheid des Sozialversicherungsgerichts des Kantons Zürich vom 31. August 2016 wird aufgehoben. Die Sache wird im Sinne der Erwägungen zu neuer Entscheidung an die Vorinstanz zurückgewiesen. Im Übrigen wird die Beschwerde abgewiesen.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 800.- werden der Beschwerdegegnerin auferlegt.
3.
Die Beschwerdegegnerin hat die Rechtsvertreterin der Beschwerdeführerin für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 2800.- zu entschädigen.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien, dem Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich und dem Bundesamt für Sozialversicherungen schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 16. Februar 2017
Im Namen der II. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Pfiffner
Der Gerichtsschreiber: Williner