Sachverhalt:
A.
A.a. Die 2002 geborene A.A._ trat im August 2008 nach einem Jahr Kindergarten vorzeitig in die 1. Klasse der Primarschule U._/SG ein. Im Schuljahr 2011/12 besuchte sie die 4. Klasse.
A.b. Mit Blick auf eine allfällige Hochbegabung klärte der Schulpsychologische Dienst des Kantons St. Gallen (SPD) A.A._ am 21. und 23. Februar 2012 ab. Die untersuchende Psychologin stellte anhand zweier Testverfahren ("HAWIK-IV" bzw. "CFT 20-R") fest, es liege bei A.A._ zwar ein überdurchschnittliches Leistungspotenzial vor, aber es könne nicht von einer Hochbegabung ausgegangen werden. Bei diesem Befund könne kein Antrag auf Besuch einer Schule für Hochbegabte gestellt werden. Als Kind mit guter Begabung könne A.A._ grundsätzlich in der Regelklasse beschult und spezifisch gefördert werden.
A.c. Ab dem 23. April 2012 liessen die Eltern von A.A._, B.A._ und C.A._, ihre Tochter durch die Privatschule "X._" in V._/SG beschulen. Anfang September 2012 wechselte sie an die Privatschule "Y._" in W._/SG. Auf Wunsch ihrer Eltern untersuchte der SPD A.A._ am 3. September 2012 erneut auf Hochbegabung (mit dem Testverfahren "PSB-R-Horn"). Gemäss dem Bericht vom 11. September 2012 könne bei A.A._ zwar von intellektuellen Fähigkeiten im überdurchschnittlichen Bereich, jedoch nicht von einer Hochbegabung gesprochen werden.
A.d. Am 12. Februar 2013 liessen die Eltern A.A._ durch eine als Privatgutachterin beigezogene Psychologin auf Hochbegabung abklären. Diese kam zum Schluss, es liege Hochbegabung vor.
B.
B.a. Am 23. Februar 2013 beantragten B.A._ und C.A._ dem Schulrat der Primarschulgemeinde U._, u.a. die Kosten für die Beschulung ihrer Tochter an den Privatschulen "X._" bzw. "Y._" und die Fahrspesen ab dem 23. April 2012 zu übernehmen. Der Schulrat wies das Gesuch am 3. April 2013 ab.
B.b. Dagegen erhoben B.A._ und C.A._ am 15. April 2013 Rekurs beim Erziehungsrat des Kantons St. Gallen. Sie beantragten insbesondere, dem Rekursentscheid über A.A._s Hochbegabung sei ihr Privatgutachten vom 15. Februar 2013 und nicht die beiden Gutachten des SPD zu Grunde zu legen; eventualiter sei ein neues (Ober-) Gutachten zu erstellen. Während des Schriftenwechsels verfügte der Schulrat am 6. August 2013 die Zuweisung von A.A._ in die Privatschule "Y._" ab dem Schuljahr 2013/14 unter Kostengutsprache für Schulgeld und Materialkosten, nicht aber für die Kosten des Schulweges (sowie ohne Rückwirkung auf den bisherigen Schulbesuch an Privatschulen ab dem 23. April 2012). Soweit ersichtlich haben die Eltern diese Verfügung in Bezug auf die Frage der Schulwegkosten vor dem Bildungsdepartement angefochten.
B.c. Im März 2013 teilten die Eltern mit, A.A._ werde im Sommer 2014 ans Untergymnasium der Kantonsschule Burggraben in St. Gallen eintreten, was ein weiteres Indiz für ihre Hochbegabung sei. Nachdem die Parteien ihren Verzicht auf das beantragte (Ober-) Gutachten mitgeteilt hatten, wies der Erziehungsrat mit Entscheid vom 21. Mai 2014 den Rekurs ab, soweit er darauf eintrat. Die gegen diesen Entscheid von A.A._ erhobene Beschwerde wies das Verwaltungsgericht des Kantons St. Gallen mit Urteil vom 27. November 2015 ab.
C.
Mit Eingabe vom 4. Januar 2016 erhebt A.A._, vertreten durch ihre Eltern, Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten an das Bundesgericht. Sie beantragt, das angefochtene Urteil des Verwaltungsgerichts sei aufzuheben und der Kanton St. Gallen sei zu verpflichten, alle Kosten im Zusammenhang mit den Besuchen von Schulen für Hochbegabte zu bezahlen. Weiter sei festzustellen, dass die Beschwerdeführerin hochbegabt sei. Eventualiter sei die Sache an die Vorinstanz zurückzuweisen.
Das Verwaltungsgericht und das Bildungsdepartement des Kantons St. Gallen sowie die Primarschulgemeinde U._ schliessen auf Abweisung der Beschwerde. Die Beschwerdeführerin repliziert.

Erwägungen:
1.
1.1. Gegen den angefochtenen kantonal letztinstanzlichen Endentscheid des Verwaltungsgerichts kann Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten an das Bundesgericht erhoben werden (Art. 82 lit. a, Art. 86 Abs. 1 lit. d und Art. 90 BGG), da es vorliegend nicht um eine Fähigkeitsbewertung im Sinne von Art. 83 lit. t BGG geht, sondern um den Anspruch auf einen den Fähigkeiten angepassten Unterricht (Urteile 2C_249/2014 vom 27. März 2015 E. 1.1; 2C_971/2011 vom 13. April 2012 E. 1.1, nicht publiziert in: <ref-ruling>). Die Beschwerdeführerin, welche im 14. Altersjahr steht, ist - gesetzlich vertreten durch ihre Eltern (vgl. Art. 298 und Art. 304 ZGB) - gemäss <ref-law> zur Ergreifung dieses Rechtsmittels legitimiert.
Feststellungsbegehren sind dagegen nur dann zulässig, wenn ein gleichwertiger rechtsgestaltender Entscheid ausgeschlossen ist (<ref-ruling> E. 1.7 S. 123; <ref-ruling> E. 6.5 S. 218 f. mit Hinweisen), und setzen ein entsprechendes schutzwürdiges rechtliches oder tatsächliches Interesse voraus, das aktuell und praktisch ist (Urteile 2C_419/2015 vom 3. Juni 2016 E. 1.2, zur Publikation vorgesehen; 1C_273/2012 vom 7. November 2012 E. 2.2.2, nicht publ. in <ref-ruling>). Auf den Antrag, es sei festzustellen, dass die Beschwerdeführerin hochbegabt sei, ist damit nicht einzutreten. Vorliegend umfasst das Begehren um Kostenübernahme auch die mit dem Feststellungsantrag verlangte Qualifizierung der Beschwerdeführerin. Das Feststellungsbegehren hat damit keine selbständige Bedeutung und erweist sich daher als überflüssig.
1.2. Die Beschwerde kann wegen Rechtsverletzungen gemäss Art. 95 und Art. 96 BGG erhoben werden. Die Verletzung von kantonalem Recht prüft das Bundesgericht nur insofern, als eine solche Rüge in der Beschwerde vorgebracht und begründet worden ist (<ref-law>). Es prüft die Auslegung und Anwendung von kantonalen Gesetzesbestimmungen, unter Vorbehalt von hier nicht in Betracht fallenden Ausnahmen (siehe <ref-law>), nicht frei, sondern nur mit einer auf Willkür beschränkten Kognition. Die Feststellung des Sachverhalts kann nur gerügt werden, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruht und die Behebung des Mangels ausserdem für den Verfahrensausgang entscheidend sein kann (Art. 97 Abs. 1 und Art. 105 Abs. 2 BGG). Der Betroffene hat darzulegen, dass und inwiefern dies klar und eindeutig der Fall ist (<ref-law>; <ref-ruling> E. 1.2 S. 187 mit Hinweisen). Das Bundesgericht prüft, unter Berücksichtigung der allgemeinen Begründungspflicht (<ref-law>), grundsätzlich nur die geltend gemachten Rügen, sofern die rechtlichen Mängel nicht geradezu offensichtlich sind. Eine qualifizierte Rügepflicht gilt hinsichtlich der Verletzung von Grundrechten und von kantonalem und interkantonalem Recht. Das Bundesgericht behandelt eine solche Rüge nur insofern, als sie in der Beschwerde präzise vorgebracht und begründet worden ist (<ref-law>; <ref-ruling> E. 2.2 S. 246; Urteil 2C_594/2012 vom 22. November 2012 E. 1.5).
1.3. Neue Tatsachen und Beweismittel dürfen nur so weit vorgebracht werden, als erst der Entscheid der Vorinstanz dazu Anlass gibt (<ref-law>). Echte Noven, d.h. Tatsachen, die erst nach dem angefochtenen Urteil eingetreten sind, bleiben im bundesgerichtlichen Verfahren in jedem Fall unberücksichtigt (<ref-ruling> E. 5.2.4 S. 229; <ref-ruling> E. 2.1 S. 343 f.). Unzulässig sind sodann Tatsachenbehauptungen und Beweise, die bereits im vorinstanzlichen Verfahren hätten vorgebracht werden können und müssen, mit denen nachträglich belegt werden soll, dass die Sachverhaltsfeststellung offensichtlich unrichtig oder die Beweiswürdigung willkürlich vorgenommen worden ist (Urteil 2C_327/2010 und 2C_328/2010 vom 19. Mai 2011 E. 3.1, nicht publ. in: <ref-ruling>, mit Hinweis auf <ref-ruling> ff.).
2.
2.1. Die Vorinstanz hat unter zutreffender Bezugnahme auf Art. 19 und 62 BV und die hierzu ergangene bundesgerichtliche Rechtsprechung (vgl. etwa <ref-ruling>) erwogen, dass der verfassungsrechtliche Anspruch auf einen ausreichenden unentgeltlichen Grundschulunterricht nur ein angemessenes, erfahrungsgemäss ausreichendes Bildungsangebot an öffentlichen Schulen umfasst. Ein darüber hinausgehendes Mass an individueller Betreuung, das theoretisch immer möglich wäre, kann mit Rücksicht auf das staatliche Leistungsvermögen nicht gefordert werden. Der verfassungsmässige Anspruch auf unentgeltlichen Grundschulunterricht ist nicht gleichbedeutend mit dem Anspruch auf die optimale bzw. geeignetste Schulung eines Kindes (vgl. angefochtener Entscheid E. 2.1).
2.2. Nach der willkürfrei dargestellten Rechtslage im Kanton St. Gallen hat ein im Kanton wohnhaftes Kind das Recht, jene öffentliche Schule oder anerkannte private Sonderschule zu besuchen, die seinen Fähigkeiten entspricht und deren Anforderungen es erfüllt (Art. 51 des Volksschulgesetzes [des Kantons St. Gallen] vom 13. Januar 1983 [VSG/SG; sGS 213.1]). Gemäss Art. 53bis Abs. 1 VSG/SG gestattet der Schulrat den Besuch einer Schule für Hochbegabte, wenn a) eine Hochbegabung sich in der öffentlichen Schule am Aufenthaltsort nicht entfalten kann und b) die Schule den Erziehungs- und Bildungsauftrag erfüllt und am Standort öffentlich anerkannt ist. Die Regierung bezeichnet sodann durch Verordnung die Voraussetzungen für den Besuch einer Schule für Hochbegabte sowie die anerkannten Schulen und den Beitrag der Schulgemeinde an das Schulgeld (Art. 53bis Abs. 2 VSG/SG). Die Vorinstanz hat weiter festgestellt, dass die Regierung von ihrer Verordnungskompetenz nur unvollständig Gebrauch gemacht hat; aus Art. 11quater der Verordnung über den Volksschulunterricht vom 11. Juni 1996 (VVU/SG; sGS 213.12) ergibt sich einzig, dass das Bildungsdepartement den Schulrat im besonderen Fall ermächtigen oder verpflichten kann, einem intellektuell hochbegabten Schüler den Besuch einer Schule für Hochbegabte zu gestatten (Abs. 1) bzw. es den Beitrag der Schulgemeinde an das Schulgeld bestimmt (Abs. 2). Schliesslich hat die Vorinstanz festgehalten, dass sich der angefochtene Entscheid auf das vom Erziehungsrat am 23. November 2011 erlassene "Konzept Hochbegabtenförderung im Kanton St. Gallen" (im Folgenden: Konzept) stützt (vgl. angefochtener Entscheid E. 2.2). Unter dem Titel "Förderung im besonderen Fall" nennt das Konzept in Ziffer 3 die Bedingungen, unter denen der Schulrat Schülerinnen und Schülern, deren intellektuelle Hochbegabung mit Begabungsverzerrungen bzw. Schulschwierigkeiten einhergeht, einer besonderen (Privat-) Schule zuweisen kann. Dies ist möglich, wenn kumulativ:
- die dem öffentlichen Volksschulträger zur Verfügung stehenden niederschwelligen Möglichkeiten der Begabtenförderung ausgeschöpft worden sind;
-ein Klassenüberspringen durchgeführt wurde;
-ein Gutachten des Schulpsychologischen Dienstes dem Kind zum einen ein weit überdurchschnittliches Potenzial im Sinn einer Höchstbegabung attestiert und zum anderen bei einem Verbleib in der öffentlichen Volksschule die Gefahr von Lern-, Leistungs- oder Verhaltensstörungen prognostiziert.
2.3. Streitig ist im vorliegenden Fall konkret nur noch die Kostenübernahme für die Schulbesuche der Beschwerdeführerin in der Zeit vom 23. April 2012 bis zum Beginn der Schuljahres 2013/14 (inklusive allfälliger Kosten für den Schulweg), nachdem der Schulrat am 6. August 2013 eine Kostengutsprache ab dem Schuljahr 2013/14 verfügt hat (vgl. Sachverhalt Ziff. B.b). Da im Kanton St. Gallen nur die Schulgemeinden als Volksschulträgerinnen zur Kostenübernahme verpflichtet werden können (vgl. Art. 4 Abs. 1, 53bis Abs. 2 Ziff. 2 VSG/SG, Art. 11quater Abs. 2 VVU/SG; Ziff. 3 des Konzeptes), ist der Antrag der Beschwerdeführerin hier in dem Sinne zu verstehen, dass die zuständige Schulgemeinde (und nicht der Kanton St. Gallen) zur Übernahme aller Kosten im Zusammenhang mit den Besuchen von Schulen für Hochbegabte zu verpflichten sei.
3.
3.1. Die Beschwerdeführerin macht im Wesentlichen einen Verstoss gegen die Rechtsgleichheit, das Willkürverbot und das Gebot des fairen Verfahrens geltend. Hingegen bringt sie nicht vor, das massgebende kantonale Recht sei verletzt worden.
3.2. Im vorinstanzlichen Verfahren hatte die Beschwerdeführerin im Wesentlichen gerügt, dass ihr Intelligenzquotient nach dem beim ersten Untersuch verwendeten Verfahren "CFT 20-R" aufgrund der Klassennorm anstatt der Altersnorm und damit falsch bemessen worden sei. Dazu hat die Vorinstanz ausgeführt, dass das Verfahren "CFT 20-R" lediglich ergänzend zum für das Ergebnis entscheidenden Test "HAWIK-IV" zu verwenden war und damit auch das Abstellen auf die Altersnorm am Gesamtergebnis nichts geändert hätte (vgl. angefochtener Entscheid E. 2.4.2).
3.3. Damit setzt sich die Beschwerdeführerin indes nur am Rande auseinander. Vielmehr macht sie nun erstmals geltend, der Test "HAWIK-IV" sei aufgrund ihrer - zum damaligen Zeitpunkt - schlechten Verfassung nicht aussagekräftig gewesen; es sei willkürlich bzw. verstosse gegen die Rechtsgleichheit, auf einen Test abzustützen, der "nach Ansicht aller Beteiligter nicht aussagekräftig ist". Es handelt sich hier - im Geltungsbereich des Rügeprinzips - um neue unzulässige Tatsachenbehauptungen im Sinne von <ref-law> (vgl. E. 1.3 hiervor), die bereits im vorinstanzlichen Verfahren hätten vorgebracht werden können und müssen (vgl. Urteile 2C_1196/2013 vom 21. Februar 2014 E. 1.7; 1C_464/2010 vom 26. Mai 2011 E. 3.1). Selbst wenn auf die neue Argumentation der Beschwerdeführerin einzugehen wäre, könnte dieser nicht gefolgt werden, da ihr angeblich schlechter Zustand nicht näher belegt ist. Damit kann im Ergebnis von einer willkürlichen Beweiswürdigung bzw. einem Verstoss gegen die Untersuchungspflicht keine Rede sein.
3.4. Das Gleiche gilt auch in Bezug auf die Rüge der Beschwerdeführerin, wonach der am 3. September 2012 vorgenommene Test "PSB-R 4-6" nach herrschender Lehre nicht geeignet sein soll, die gestellten Fragen zu beantworten. Diese Rüge hätte die Beschwerdeführerin ohne Weiteres bereits vor der Vorinstanz vorbringen können und müssen. Soweit sie ausführt, die Untersuchungspflicht hätte die Vorinstanz veranlassen müssen, den Test "HAWIK-IV" zu wiederholen, ist ihr entgegen zu halten, dass sie vor der Vorinstanz keinen Antrag auf nochmalige Durchführung eines Tests gestellt hat. Vielmehr hat sie sogar im Verfahren vor dem Erziehungsrat explizit auf das beantragte (Ober-) Gutachten verzichtet.
3.5. Soweit die Beschwerdeführerin sodann sinngemäss rügt, die Nichtberücksichtigung des Privatgutachtens einer ausgewiesenen Expertin verstosse gegen den in <ref-law> enthaltenen Anspruch auf rechtliches Gehör, kann ihr ebenfalls nicht gefolgt werden. Gemäss den zutreffenden Feststellungen der Vorinstanz sind die kumulativen Kriterien für die Zuweisung der Beschwerdeführerin in eine Schule für Hochbegabte nicht erfüllt: Der SPD hat in zwei Gutachten festgestellt, dass diese zwar überdurchschnittlich begabt, aber nicht hochbegabt ist. Unter diesen Umständen ist der Schluss der Vorinstanz, wonach diese Feststellungen durch das eingereichte Privatgutachten nicht erschüttert werden können, nicht zu beanstanden. Dies gilt umso mehr, als den kantonalen Behörden bei der Regelung von Schulfragen praxisgemäss ein erheblicher Gestaltungsspielraum zusteht (<ref-ruling> E. 3.2 S.165; <ref-ruling> E. 3.1 S. 158; <ref-ruling> E. 3.2 S. 354). Sodann begründet die Beschwerdeführerin nicht näher, inwiefern <ref-law> verletzt sein soll, weshalb nicht weiter darauf einzugehen ist (vgl. E. 1.2 hiervor).
3.6. Weil sich die Beschwerdeführerin schliesslich auch nicht näher mit den Ausführungen der Vorinstanz auseinander setzt, wonach die dem öffentlichen Volksschulträger zur Verfügung stehenden niederschwelligen Möglichkeiten der Begabtenförderung im Zeitpunkt ihres Übertritts an die Privatschule (noch) nicht ausgeschöpft gewesen waren (vgl. angefochtener Entscheid E. 2.5), ist der angefochtene Entscheid auch in dieser Hinsicht nicht zu beanstanden.
3.7. Die Vorinstanzen haben damit im Ergebnis zu Recht einen weitergehenden Anspruch der Beschwerdeführerin auf finanzielle Leistungen der öffentlichen Hand an ihren Privatschulbesuch verneint.
4.
Nach dem Ausgeführten ist die Beschwerde unbegründet und somit abzuweisen, soweit darauf überhaupt eingetreten werden kann.
Die Kosten trägt die unterliegende Beschwerdeführerin (<ref-law>). Parteientschädigungen sind keine zu sprechen (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 2'000.-- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten und dem Verwaltungsgericht des Kantons St. Gallen schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 18. Juli 2016
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Seiler
Der Gerichtsschreiber: Winiger