Faits :
A.
A._ est propriétaire de la parcelle n° 322 de la Commune de Courgenay sur laquelle est notamment érigé un couvert de jardin.
Après avoir constaté que cet aménagement avait été réalisé sans bénéficier d'une autorisation de construire, le Conseil communal de Courgenay a, par décision du 17 septembre 2015, ordonné la suspension immédiate des travaux; il a par ailleurs imparti à la prénommée un délai de trente jours pour déposer une demande de régularisation; au chapitre des voies de droit, la décision indique qu'une opposition peut, dans ce même délai, être déposée auprès du conseil communal.
Le 11 octobre 2015, A._ a recouru contre cette décision auprès de la Juge administrative du Tribunal de première instance de la République et canton du Jura. Par ordonnance du 19 octobre 2015, celle-ci a déclaré le recours irrecevable et a transmis le dossier à la commune intimée afin qu'elle statue sur la cause en procédure d'opposition préalable.
Sur recours de l'intéressée, la Présidente de la Cour administrative du Tribunal cantonal de la République et canton du Jura a entériné cette ordonnance, par arrêt du 22 décembre 2015; les travaux litigieux étant achevés, la Présidente de la cour cantonale a estimé que la situation n'exigeait pas une intervention immédiate, de sorte que la décision communale aurait dû faire l'objet d'une opposition préalable, selon le droit cantonal de procédure administrative; la juge unique a enfin confirmé le bien-fondé du renvoi de la cause au conseil communal comme objet de sa compétence.
B.
Agissant par la voie du recours en matière de droit public, A._ demande au Tribunal fédéral d'annuler l'arrêt attaqué et de renvoyer la cause au Tribunal de première instance pour qu'il se prononce sur le fond du litige. Elle sollicite également d'être dispensée du paiement de l'avance de frais, ce qui lui a toutefois été refusé par avis du 28 janvier 2016.
La Présidente de la Cour administrative confirme son arrêt et conclut au rejet du recours. La Commune de Courgenay requiert du Tribunal fédéral qu'il confirme l'arrêt entrepris.

Considérant en droit :
1.
Le Tribunal fédéral examine d'office sa compétence (<ref-law>). Il contrôle librement la recevabilité des recours qui lui sont soumis (<ref-ruling> consid. 1 p. 116; <ref-ruling> consid. 1 p. 254).
L'arrêt attaqué est une décision rendue par une autorité cantonale de dernière instance dans une cause de droit public, qui ne tombe pas sous le coup des exceptions de l'<ref-law>. En tant qu'il confirme l'irrecevabilité du recours déposé devant la Juge administrative, au motif que la recourante n'a pas préalablement formé opposition auprès de la commune, ce jugement doit être assimilé à une décision incidente portant sur la compétence fonctionnelle (sur cette notion, cf. PIERRE MOOR ET AL., Droit administratif, vol. II, 2011, ch. 5.4.2.2, p. 670) des instances de la juridiction administrative cantonale; elle peut, à ce titre, en principe, faire l'objet d'un recours devant le Tribunal fédéral (<ref-law>; <ref-ruling> consid. 1.3 p. 559; <ref-ruling> consid. 2.1 p. 290); néanmoins, dans la mesure où l'arrêt entrepris confirme également le renvoi, respectivement le transfert de la cause à un autre stade de la procédure, en l'occurrence à celui de l'opposition devant le conseil communal, on peut douter de la recevabilité du recours (cf. BERNARD CORBOZ, Commentaire LTF, 2014, n. 9 ad <ref-law>). Cette question peut toutefois demeurer indécise, dans la mesure où le recours doit être écarté pour d'autres motifs.
Pour le surplus, la recourante a qualité pour recourir au sens de l'<ref-law>; cette dernière a pris part à la procédure de recours devant la Présidente de la Cour administrative du Tribunal cantonal et se trouve particulièrement atteinte par l'arrêt attaqué, qui confirme la décision communale lui intimant de procéder à la régularisation des travaux effectués sur son immeuble.
2.
Dans le cadre du présent recours, est seule litigieuse la question de savoir si l'instance précédente a violé le droit cantonal de procédure administrative en confirmant l'irrecevabilité du recours formé devant la Juge administrative contre la décision communale du 17 septembre 2015; à cet égard, la recourante se plaint d'une application arbitraire de l'art. 37 al. 1 de la loi cantonale sur les constructions et l'aménagement du territoire du 25 juin 1987 (LCAT; RS/JU 701.1) ainsi que des art. 94 ss et 118 let. e de la loi de procédure et juridiction administrative et constitutionnelle du 30 novembre 1978 (code de procédure administrative [Cpa; RS/JU 175.1]).
2.1. Sauf dans les cas cités expressément à l'<ref-law>, le recours ne peut pas être formé pour violation du droit cantonal en tant que tel. En revanche, il est toujours possible de faire valoir que la mauvaise application du droit cantonal constitue une violation du droit fédéral, en particulier qu'elle est arbitraire au sens de l'art. 9 Cst. ou contraire à d'autres motifs de droit constitutionnel (<ref-ruling> consid. 1.2 p. 145).
Appelé à revoir l'interprétation d'une norme cantonale ou communale sous l'angle restreint de l'arbitraire, le Tribunal fédéral ne s'écarte de la solution retenue par l'autorité cantonale de dernière instance que si celle-ci apparaît insoutenable, en contradiction manifeste avec la situation effective, adoptée sans motifs objectifs et en violation d'un droit certain. En revanche, si l'application de la loi défendue par l'autorité cantonale ne s'avère pas déraisonnable ou manifestement contraire au sens et au but de la disposition ou de la législation en cause, cette interprétation sera confirmée, même si une autre solution - même préférable - paraît possible (<ref-ruling> consid. 2.4 p. 5; <ref-ruling> consid. 4.2 p. 560). En outre, pour qu'une décision soit annulée au titre de l'arbitraire, il ne suffit pas qu'elle se fonde sur une motivation insoutenable; encore faut-il qu'elle apparaisse arbitraire dans son résultat (<ref-ruling> consid. 2.4 p. 5).
Les griefs de violation des droits fondamentaux et des dispositions de droit cantonal sont en outre soumis à des exigences de motivation accrues (<ref-law>). La partie recourante doit alors indiquer les principes constitutionnels qui n'auraient pas été respectés et expliquer de manière claire et précise en quoi ces principes auraient été violés; de même, elle doit citer les dispositions du droit cantonal dont elle se prévaut et démontrer en quoi ces dispositions auraient été appliquées arbitrairement ou d'une autre manière contraire au droit (cf. <ref-ruling> consid. 2.8 p. 494; <ref-ruling> consid. 1.4 p. 287).
2.2. Selon le code cantonal de procédure administrative, peuvent notamment faire l'objet d'un recours les décisions rendues sur opposition (art. 118 let. a Cpa), les décisions non sujettes à opposition au sens de l'art. 95 let. d Cpa (let. b), ainsi que d'autres actes dans les cas prévus par la législation (let. e); l'art. 165 let. a in initio Cpa précise à cet égard que le recours de droit administratif n'est pas recevable lorsque la voie de l'opposition préalable est ouverte. L'art. 94 Cpa prévoit que toute décision prise par une autorité administrative en première instance est sujette à opposition. La procédure d'opposition est la condition préalable en vue d'une procédure ultérieure de recours auprès des instances de la juridiction administrative (art. 96 Cpa). Font toutefois et notamment exception à cette règle les affaires administratives dont la nature exige qu'elles soient réglées sur-le-champ par une décision immédiatement exécutoire (art. 6 let. e et 95 let. d Cpa).
Aux termes de l'art. 36 al. 1 LCAT, lorsque les travaux de construction sont exécutés sans permis ou en violation des dispositions de celui-ci, l'autorité compétente en matière de police des constructions ordonne la suspension des travaux; cette décision est immédiatement exécutoire. Si le vice peut être éventuellement corrigé par un permis délivré ultérieurement, l'autorité de police des constructions impartit au propriétaire ou au titulaire du droit de superficie un délai pour présenter une demande de permis ou de modification en cours de travaux en l'informant que, si cette demande n'est pas présentée dans ce délai, elle ordonnera le rétablissement de l'état conforme à la loi (art. 36 al. 2 LCAT). Selon l'art. 37 al. 1 LCAT, les décisions prises notamment en vertu de l'art. 36 LCAT peuvent être attaquées dans les trente jours par voie de recours auprès du juge administratif.
2.3. En l'espèce, il est constant que les travaux effectués sans droit sur la parcelle dont est propriétaire la recourante étaient achevés lorsque la Juge administrative a rendu son ordonnance, le 19 octobre 2015; la suspension des travaux immédiatement exécutoire, ordonnée par la décision communale du 17 septembre 2015, se révèle ainsi sans objet, ce qui n'est d'ailleurs pas contesté. En ce qui concerne l'injonction portant sur le dépôt d'une demande de régularisation, l'instance précédente a jugé qu'elle ne revêtait pas un caractère d'urgence justifiant que la Juge administrative statue sur-le-champ au détriment de la procédure d'opposition prévue, de manière générale, à l'encontre d'une décision prise en première instance par une autorité administrative (art. 94 Cpa); se fondant sur la doctrine relative au code de procédure cantonal (PIERRE BROGLIN, Le contentieux en matière de permis de construire, de police des constructions et d'aménagement du territoire, en droit jurassien, in RJJ 1991 p. 295 ss n. 3.3 sv. p. 307 sv.), elle a estimé que la décision communale ne tombait pas sous le coup de l'exception prévue aux art. 6 let. e et 95 let. d Cpa, de sorte que la voie du recours immédiat de l'art. 37 LCAT n'était pas ouverte. Le Tribunal cantonal a par conséquent confirmé l'irrecevabilité du recours et le renvoi de la cause à la commune afin que cette dernière statue en procédure d'opposition.
2.4. La recourante ne prétend pas que la décision communale remplirait les conditions de l'exception des art. 6 let. e et 95 let. d Cpa; à la suivre, il n'en découlerait toutefois pas ipso iure que la procédure d'opposition serait en l'espèce ouverte à l'encontre de cette décision. La recourante soutient que la procédure de recours consacrée par l'art. 37 LCAT, applicable, selon elle, par renvoi de l'art. 118 let. e Cpa, constituerait - contrairement à ce qu'a retenu la juge unique - la seule voie de droit ouverte contre une décision de police des constructions fondée, comme en l'espèce, sur l'art. 36 LCAT. Ce faisant, elle soutient implicitement que l'art. 37 LCAT constituerait une lex specialis par rapport à la procédure ordinaire d'opposition prévue par le code de procédure administrative.
2.5. Il est peu compréhensible que la recourante n'ait en l'occurrence pas agi par la voie de l'opposition, pourtant expressément mentionnée au pied de la décision communale. Cela étant, à l'examen des art. 36 et 37 LCAT et 118 let. e Cpa, on peut, avec l'intéressée, s'interroger si le législateur cantonal n'a pas entendu introduire une voie de droit spéciale en matière de police des constructions, plus particulièrement dans le domaine de la mise en conformité de travaux effectués sans droit; cette question se pose également au regard de la postériorité de la LCAT par rapport au code cantonal de procédure administrative. Ces considérations ne suffisent cependant pas, à elles seules, à rendre arbitraire la solution de la Présidente de la cour cantonale, à l'examen duquel est restreinte la cognition du Tribunal fédéral. La détermination de la loi applicable ne saurait en effet être réduite aux seuls adages, tels que " lex specialis derogat generali " et " lex posterior derogat priori ", qui ne bénéficient pas d'une portée absolue (cf. JEAN-EMMANUEL ROSSEL, L'interprétation des normes contradictoires, in Les règles d'interprétation, principes communément admis par les juridictions, 1989, p. 55 ss, 73; PIERRE MOOR ET AL., Droit administratif, Vol. I, 3e éd. 2012, p. 130; DUBEY/ZUFFEREY, Droit administratif général, 2014, n. 400 p. 143); la jurisprudence impose une approche nuancée, faisant appel aux règles d'interprétation, pour déterminer le sens de la loi et si le législateur a souhaité maintenir la loi antérieure ou s'il a voulu, au contraire, la supprimer (cf. <ref-ruling> consid. 3.1 p. 266; sur la méthode appliquée par le Tribunal fédéral pour l'interprétation du droit fédéral, cf. également <ref-ruling> consid. 4.1 p. 254); sur le principe, il n'est ainsi pas exclu qu'une règle spéciale cède le pas à une règle générale, selon sa place dans l'ordre juridique, la date de son adoption ou encore les intentions de ses auteurs (ANDRÉ GRISEL, Traité de droit administratif, vol. I, 1984, p. 135).
En l'espèce, s'agissant de droit cantonal, il appartient à la recourante de démontrer que l'interprétation de la loi à laquelle a procédé la Présidente de la Cour administrative du Tribunal cantonal et le résultat auquel celle-ci est parvenue seraient arbitraires (art. 42 al. 2 et 106 al. 2 LTF). On cherche toutefois en vain dans le recours la présence d'éléments concrets - issus par exemple des travaux préparatoires - qui traduiraient la volonté du législateur cantonal de s'écarter du régime ordinaire limitant la voie du recours immédiat aux affaires dont la nature exige - comme en cas de suspension de travaux illicites en cours - un règlement imminent; l'approche suivie par la Présidente de la cour cantonale est au contraire soutenue par la doctrine cantonale récente (BROGLIN/WINKLER DOCOURT, Procédure administrative, principes généraux et procédure jurassienne, 2015, n. 356 p. 126 s.; PIERRE BROGLIN, Manuel de procédure administrative jurassienne, 2009, n. 242 p. 114 s.). Quoi qu'il en soit, cette interprétation n'apparaît pas insoutenable dans la mesure où, d'une part, elle se fonde sur le critère objectif de la nécessité de régler sur-le-champ une situation urgente et où, d'autre part, elle permet, dans les autres cas, aux administrés de bénéficier d'un degré de juridiction supplémentaire, renforçant par là même leur protection juridique. Dans son résultat, enfin, la solution à laquelle parvient l'instance précédente n'est pas non plus arbitraire. On ne discerne en particulier pas quel préjudice la recourante subirait du fait de l'arrêt attaqué: les instances judiciaires ont en effet, après avoir constaté l'irrecevabilité de son recours, transmis la cause à la commune comme objet de sa compétence (cf. art. 31 al. 2 et 45 al. 2 Cpa) pour qu'elle statue sur le fond, dans le cadre d'une procédure préalable d'opposition; il appartiendra, le moment venu, à la recourante - qui conserve à cet égard tous ses droits - de recourir contre la décision communale sur opposition à intervenir, si elle l'estime alors opportun.
2.6. Il s'ensuit que le grief d'application arbitraire du droit cantonal doit être écarté.
3.
Sur le vu de ce qui précède, le recours est rejeté dans la mesure de sa recevabilité. La recourante n'ayant pas formellement requis l'assistance judiciaire et les conditions de l'<ref-law> n'apparaissant pas réalisées, les frais de justice sont mis à sa charge (art. 65 et 66 al. 1 LTF); ceux-ci seront néanmoins réduits compte tenu de la nature particulière de l'affaire. Il n'est pas alloué de dépens (<ref-law>).

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce :
1.
Le recours est rejeté dans la mesure où il est recevable.
2.
Les frais judiciaires, arrêtés à 1'500 francs, sont mis à la charge de la recourante.
3.
Le présent arrêt est communiqué à la recourante, à la Commune mixte de Courgenay ainsi qu'au Tribunal cantonal de la République et canton du Jura, Présidente de la Cour administrative.
Lausanne, le 13 mai 2016
Au nom de la Ire Cour de droit public
du Tribunal fédéral suisse
Le Président : Fonjallaz
Le Greffier : Alvarez