Sachverhalt:
A.
Die am 19. April 1931 geborene A._ war während den hier interessierenden Jahren 2009 und 2010 aus gesundheitlichen Gründen auf intensive Pflege angewiesen. Sie liess sich dazu auf eigene Kosten zu Hause betreuen. In der Folge beanspruchte sie für die Steuerperiode 2009 einen Abzug behinderungsbedingter Kosten in der Höhe von Fr. 323'028.--. Für die Steuerperiode 2010 machte sie behinderungsbedingte Kosten in der Höhe von Fr. 289'939.-- zum Abzug geltend.
B.
Mit Veranlagungsverfügungen vom 25. Oktober und 8. November 2012 liess die Steuerverwaltung des Kantons Basel-Stadt sowohl für die kantonale als auch für die direkte Bundessteuer nur je Fr. 100'000.-- pro Steuerperiode als Abzug für behinderungsbedingte Kosten zu. Die dagegen gerichteten Einsprachen von A._ wies die Steuerverwaltung mit Entscheid vom 17. Januar 2013 ab. Auf entsprechende Rechtsmittel von A._ hin bestätigte die Steuerrekurskommission des Kantons Basel-Stadt den Einspracheentscheid (Entscheide 2013-019 [kantonale Steuern] und 2013-020 [direkte Bundessteuer] vom 28. August 2014). Gegen die Entscheide der Steuerrekurskommission gelangte A._ an das Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt. Sie verstarb während des hängigen Verfahrens am 14. November 2015. Die Stiftung X._ als Alleinerbin hielt am Rechtsmittel fest; dieses wurde mit Urteil vom 15. April 2016 abgewiesen.
C.
Mit Eingabe vom 24. Mai 2016 erhebt die Stiftung X._ als Rechtsnachfolgerin von A._ Beschwerde an das Bundesgericht. Sie beantragt das vorinstanzliche Urteil aufzuheben und die geltend gemachten Abzüge in der Höhe von Fr. 323'028.-- (Steuerperiode 2009) und Fr. 289'939.-- (Steuerperiode 2010) vollumfänglich zuzulassen. Weiter verlangt sie eine Neuverlegung der Kosten und Entschädigungen im kantonalen Verfahren.
Die Steuerverwaltung des Kantons Basel-Stadt und das Appellationsgericht beantragen die Abweisung der Beschwerde. Die Eidgenössische Steuerverwaltung (ESTV) verzichtet hinsichtlich der kantonalen Steuern auf eine Stellungnahme. In Bezug auf die direkte Bundessteuer schliesst sie auf Abweisung der Beschwerde.

Erwägungen:
I. Prozessuales
1.
1.1. Die Vorinstanz hat die kantonalen Rechtsmittel betreffend die direkte Bundessteuer einerseits und die kantonalen Steuern andererseits in demselben Urteil behandelt, was zulässig ist, soweit die zu entscheidende Rechtsfrage im Bundesrecht und im harmonisierten kantonalen Recht gleich geregelt ist (vgl. <ref-ruling> E. 1.2 S. 296; <ref-ruling> E. 1.3.1 S. 262). Dies trifft hier zu: Die streitige Abzugsfähigkeit behinderungsbedingter Kosten bildet Gegenstand sowohl der harmonisierten Steuergesetzgebung als auch der direkten Bundessteuer (vgl. Art. 9 Abs. 2 lit. h bis des Bundesgesetzes vom 14. Dezember 1990 über die Harmonisierung der direkten Steuern der Kantone und Gemeinden [Steuerharmonisierungsgesetz; StHG; SR 642.14]; Art. 33 Abs. 1 lit. h bis des Bundesgesetzes vom 14. Dezember 1990 über die direkte Bundessteuer [DBG; SR 642.11]; vgl. <ref-ruling> E. 1.2 S. 296; <ref-ruling> E. 4b S. 71; Urteile 2C_258/ 2010 vom 23. Mai 2011 E. 6; 2C_154/2009 vom 28. September 2009 E. 7). Die Beschwerdeführerin ficht das vorinstanzliche Urteil mit nur einer Rechtsschrift an. Dieses Vorgehen ist nicht zu beanstanden, da aus ihrer Eingabe hinreichend klar hervorgeht, dass sie sich gegen die Verweigerung der geltend gemachten Abzüge im Rahmen beider Steuerarten wendet (vgl. <ref-ruling> E. 1.2 S. 296; <ref-ruling> E. 1.3.3 S. 264). Um die Fälle aller Kantone einheitlich zu erfassen, hat das Bundesgericht praxisgemäss gleichwohl zwei getrennte Verfahren eröffnet (vgl. <ref-ruling> E. 1.2 S. 296; Urteil 2C_483/ 2C_484/2016 vom 11. November 2016 E. 1). Beide Verfahren beruhen indes auf demselben Sachverhalt und es stellen sich dieselben Rechtsfragen. Aus diesem Grund rechtfertigt es sich, die beiden Verfahren (2C_479/2016 [betreffend kantonale Steuern] und 2C_480/ 2016 [betreffend direkte Bundessteuer]) zu vereinigen und in einem Urteil zu behandeln (<ref-law> i.V.m. <ref-law> [SR 273]; vgl. <ref-ruling> E. 1.2 S. 296; Urteil 2C_502/ 2C_508/2015 vom 29. Februar 2016 E. 1).
1.2. Das Rechtsmittel wurde form- und fristgerecht eingereicht (Art. 42 und Art. 100 Abs. 1 BGG). Es richtet sich gegen den Endentscheid eines kantonal letztinstanzlichen oberen Gerichts über die Kantons- und die direkte Bundessteuer (Art. 86 Abs. 1 lit. d und Abs. 2, Art. 90 BGG). Dagegen steht die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten offen (<ref-law> e contrario; Art. 73 Abs. 1 StHG; <ref-law>). Die Stiftung X._ trat kraft Universalsukzession in die verfahrensrechtliche Stellung der am 14. November 2015 verstorbenen A._ ein (vgl. <ref-law>; <ref-law>; § 11 Abs. 1 des Gesetzes des Kantons Basel-Stadt vom 12. April 2000 über die direkten Steuern [Steuergesetz, StG; SG 640.100]; <ref-law> i.V.m. Art. 6 Abs. 2 und Art. 17 Abs. 3 BZP). Als Alleinerbin ist sie wie die Erblasserin zur Erhebung der Beschwerde vor dem Bundesgericht berechtigt (<ref-law>; Urteil 2C_895/2008 vom 9. Juni 2009 E. 1.1). Auf die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten ist einzutreten.
2.
2.1. Mit der Beschwerde können Rechtsverletzungen nach Art. 95 und Art. 96 BGG geltend gemacht werden, wobei das Bundesgericht das Recht von Amtes wegen anwendet (<ref-law>). Im Bereich der direkten Steuern prüft das Bundesgericht vollständig harmonisiertes kantonales Recht gleich wie Bundesrecht mit freier Kognition (vgl. <ref-ruling> E. 2 S. 210; Urteil 2C_916/2014 vom 26. September 2016 E. 2.2 [zur Publikation vorgesehen]). Unter Berücksichtigung der allgemeinen Begründungspflicht (<ref-law>) behandelt das Bundesgericht jedoch nur die geltend gemachten Rügen, sofern der rechtliche Mangel nicht geradezu offensichtlich ist (vgl. <ref-ruling> E. 1.6 S. 280 f.; Urteil 2C_8/2016 vom 17. Oktober 2016 E. 2.1 [zur Publikation vorgesehen]). Die Verletzung von Grundrechten und von (nicht harmonisiertem) kantonalem Recht untersucht das Bundesgericht in jedem Fall nur insoweit, als eine solche Rüge in der Beschwerde vorgebracht und detailliert begründet worden ist (qualifizierte Rügepflicht gemäss <ref-law>; vgl. 140 II 141 E. 1.1 S. 145; <ref-ruling> E. 2.5 S. 314). Zu den Grundrechten in diesem Sinne zählen neben den in Art. 7-34 BV verankerten Ansprüchen die weiteren verfassungsmässigen Rechte der Bundesverfassung, im Steuerrecht insbesondere <ref-law> (<ref-ruling> E. 5.2 S. 180; Urteile 2C_8/2016 vom 17. Oktober 2016 E. 2.1 [zur Publikation vorgesehen]; 2C_403/2015 vom 1. April 2016 E. 1.3).
2.2. In Bezug auf den Sachverhalt stützt sich das Bundesgericht auf die Feststellungen der Vorinstanz (<ref-law>). Die Sachverhaltsfeststellungen der Vorinstanz können von Amtes wegen oder auf ausreichend begründete Rüge hin berichtigt oder ergänzt werden, wenn sie offensichtlich unrichtig sind oder sie auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruhen und wenn die Behebung des Mangels für den Verfahrensausgang entscheidend sein kann (Art. 105 Abs. 2, Art. 97 Abs. 1 BGG; zu den qualifizierten Begründungsanforderungen bei Sachverhaltsrügen vgl. <ref-ruling> E. 9.2.3.6 S. 97; Urteile 2C_508/2016 vom 18. November 2016 E. 2.2; 2C_655/2015 vom 22. Juni 2016 E. 2.2 [nicht publ. in: <ref-ruling>]).
II. Direkte Bundessteuer
3.
3.1. Im Rahmen der Beschwerde gegen die Veranlagung der direkten Bundessteuer ist umstritten, ob die von der Beschwerdeführerin geltend gemachten Auslagen in der Höhe von Fr. 323'028.-- (Steuerperiode 2009) bzw. Fr. 289'939.-- (Steuerperiode 2010) für die Pflege und Betreuung zu Hause vollumfänglich als behinderungsbedingte Kosten gemäss Art. 33 Abs. 1 lit. h bis DBG gelten und zum Abzug zuzulassen sind. Nicht umstritten ist hingegen, dass die Erblasserin aufgrund ihrer gesundheitlichen Beeinträchtigungen in den fraglichen Steuerperioden als Mensch mit Behinderung im Sinne von Art. 2 Abs. 1 des Bundesgesetzes vom 13. Dezember 2002 über die Beseitigung von Benachteiligungen von Menschen mit Behinderungen (Behindertengleichstellungsgesetz, BehiG; SR 151.3) galt.
3.2. Die Vorinstanz erwog, dass als behinderungsbedingte Kosten die medizinisch notwendigen Aufwendungen gelten, die als kausale Folge der Behinderung entstehen. Nicht abzugsfähig seien demgegenüber die gewöhnlichen Lebenshaltungskosten und Luxusausgaben. Als Kriterium zur Abgrenzung behinderungsbedingter Kosten von gewöhnlichen Lebenshaltungskosten greife die Unmittelbarkeit des Zusammenhangs zwischen Behinderung und Kosten; zur Abgrenzung von Luxusausgaben diene das Kriterium der medizinischen Notwendigkeit. Eine umfassende Betreuung im teuersten Pflegeheim des Kantons koste pro Jahr Fr. 125'000.--, abzüglich eines Anteils für gewöhnliche Lebenshaltungskosten seien Fr. 100'000.-- zum Abzug zuzulassen. Da nicht nachgewiesen sei, dass eine medizinische Notwendigkeit für die Pflege der Beschwerdeführerin zu Hause bestanden habe, rechtfertige sich eine Beschränkung des Abzugs auf die Höhe der Betreuungskosten in einem kantonalen Pflegeheim.
3.3. Demgegenüber macht die Beschwerdeführerin zusammengefasst geltend, dass die Vorinstanz den Abzug nach Art. 33 Abs. 1 lit. h bis DBG in unzulässiger Weise limitiere, was vom Gesetzgeber nicht gewollt sei. Welche Kosten als behinderungsbedingt zum Abzug zuzulassen seien, müsse nach den gesamten Einkommens- und Vermögensverhältnissen beurteilt werden, die hier mit einem Einkommen von Fr. 706'031.-- und einem Vermögen von Fr. 25'880'162.-- ausserordentlich gut seien. Weiter müsse der Beschwerdeführerin die freie Wahl zustehen, ob sie sich zu Hause oder in einem Pflegeheim betreuen lasse. Das Verwaltungsgericht lege einen unzulässigen Massstab an, wenn es die abzugsfähigen Kosten auf die Betreuungskosten in einem Pflegeheim beschränke.
3.4. Nach Art. 33 Abs. 1 lit. h bis DBG (für die Steuerperioden 2009 und 2010 im Kanton Basel-Stadt anwendbar gestützt auf Art. 41 und Art. 212 Abs. 3 DBG [in der bis 31. Dezember 2013 geltenden Fassung] i.V.m. § 9 Abs. 1 der Verordnung des Kantons Basel-Stadt vom 20. Dezember 1994 über den Vollzug der direkten Bundessteuer [DBStV; SG 660.100]) können die behinderungsbedingten Kosten von den Einkünften abgezogen werden, wenn die steuerpflichtige Person als behinderter Mensch im Sinne des Behindertengleichstellungsgesetzes gilt und sie die Kosten selber trägt. Die Bestimmung soll die Steuerbelastung für Menschen reduzieren, die Einkommen für Kosten aufwenden müssen, die im Zusammenhang mit ihrer Behinderung stehen (vgl. Botschaft vom 11. Dezember 2000 zur Volksinitiative "Gleiche Rechte für Behinderte" und zum Entwurf eines Bundesgesetzes über die Beseitigung von Benachteiligungen behinderter Menschen, BBl 2001 1715 ff., Ziff. 4.3.3 1788). Abzugrenzen sind die behinderungsbedingten Kosten gemäss Art. 33 Abs. 1 lit. h bis DBG von den Krankheits- und den Unfallkosten nach <ref-law>, da für diese im Unterschied zu den behinderungsbedingten Kosten ein Selbstbehalt besteht (vgl. Silvia Hunziker/Jsabelle Mayer-Knobel, in: Martin Zweifel/Michael Beusch [Hrsg.], Kommentar DBG, 3. Aufl. 2017, N. 32q zu <ref-law>; FELIX RICHNER/WALTER FREI/ STEFAN KAUFMANN/HANS ULRICH MEUTER, Handkommentar zum DBG, 3. Aufl. 2016, N. 140 f. zu <ref-law>). Aus dem Wortlaut von Art. 33 Abs. 1 lit. h bis DBG und der Entstehungsgeschichte ergibt sich, dass nicht alle Aufwendungen vom Einkommen abgesetzt werden können, die im Zusammenhang mit einer Behinderung getätigt werden. Steuerlich abzugsfähig sind nur jene Kosten, die durch eine Behinderung bedingt sind, d.h. grundsätzlich und masslich als direkte Folge der Behinderung im Sinne von <ref-law> entstehen (vgl. Urteile 2C_130/ 2C_131/2012 vom 9. Mai 2012 E. 5).
3.5. Zur Konkretisierung von Art. 33 Abs. 1 lit. h und lit. h bis DBG hat die ESTV das Kreisschreiben Nr. 11 vom 31. August 2005 über den Abzug von Krankheits- und Unfallkosten sowie von behinderungsbedingten Kosten erlassen (abrufbar unter www.estv.admin.ch; nachfolgend Kreisschreiben Nr. 11). Als Verwaltungsverordnung ist das Kreisschreiben Nr. 11 für die Gerichte rechtlich unverbindlich. Von einer rechtmässigen Verwaltungsverordnung weicht das Bundesgericht indes nicht ohne triftigen Grund ab, sofern sie eine dem Einzelfall angepasste und gerecht werdende Auslegung der anwendbaren gesetzlichen Bestimmungen zulässt und eine überzeugende Konkretisierung der gesetzlichen Vorgaben enthält (vgl. Urteile 2C_873/2014 vom 8. November 2015 E. 3.4.1 und E. 3.4.2; 2C_258/2010 vom 23. Mai 2011 E. 4.2, mit zahlreichen Hinweisen auf die publizierte Rechtsprechung des Bundesgerichts). Allgemein gelten nach Ziff. 4.2 des Kreisschreibens Nr. 11 die notwendigen Kosten als behinderungsbedingt, die in einem kausalen Zusammenhang zur Behinderung stehen und weder Lebenshaltungs- noch Luxusausgaben darstellen. Als Luxusausgaben gelten Aufwendungen, die den Rahmen üblicher und notwendiger Massnahmen übersteigen, nur aus Gründen der persönlichen Annehmlichkeiten anfallen oder besonders kostspielig sind. Diese können nicht zum Abzug gebracht werden (Kreisschreiben Nr. 11 Ziff. 4.2 S. 7). Die Kosten für den Aufenthalt in einem Wohnheim für Behinderte oder in einem Alters- und Pflegeheim sind grundsätzlich abzugsfähig, aber um denjenigen Betrag zu kürzen, der für Lebenshaltungskosten im eigenen Haushalt hätte aufgewendet werden müssen (Kreisschreiben Nr. 11 Ziff. 4.3.4 S. 8). In Anwendung dieser Grundsätze ist eine Kürzung auch im Umfang jener Kosten des externen Aufenthalts oder der Pflege zu Hause vorzunehmen, die das notwendige und übliche Mass übersteigen (vgl. Kreisschreiben Nr. 11 Ziff. 4.2 S. 7).
3.6. Diese massgeblichen Gesichtspunkte für die steuerliche Abzugsfähigkeit von behinderungsbedingten Kosten hat die Vorinstanz zutreffend dargelegt und angewendet (vgl. E. 3.2 hiervor). Was die Beschwerdeführerin dem entgegen hält, ist nicht stichhaltig. Insbesondere hat die Vorinstanz nicht verkannt, dass Art. 33 Abs. 1 lit. h bis DBG grundsätzlich keine betragliche Höchstgrenze für den Abzug behinderungsbedingter Kosten vorsieht. Die betragsmässige Beschränkung auf einen Abzug von Fr. 100'000.-- nahm die Vorinstanz gestützt auf die Kosten für das kantonal teuerste Pflegeheim und unter Berücksichtigung eines angemessenen Betrags für (nicht abzugsfähige) Lebenshaltungskosten vor. Zugleich stellte die Vorinstanz für das Bundesgericht verbindlich (vgl. E. 2.2 hiervor) fest, dass die Erblasserin zwar einer intensiven Betreuung bedurfte, diese aber im Umfang des medizinisch Gebotenen auch in jener Einrichtung hätte erbracht werden können, auf die zur Bestimmung des zulässigen Abzugs abgestellt wurde. Bei der Beschränkung des abzugsfähigen Betrags stellte die Vorinstanz somit in gesetzeskonformer Weise auf sachlich nachvollziehbare Kriterien ab. Soweit die anwaltlich vertretene Beschwerdeführerin dagegen behauptet, die Betreuung der Erblasserin im Pflegeheim wäre ihren Bedürfnissen nicht gerecht geworden, findet sich dafür in den vorinstanzlichen Erwägungen keine Stütze. Die Beschwerdeführerin nennt zudem weder konkrete Beweismittel zur Untermauerung dieser Behauptung, noch genügen ihre Ausführungen den qualifizierten Anforderungen an die Rüge von Sachverhaltsfeststellungen im bundesgerichtlichen Verfahren (vgl. E. 2.2 hiervor), sodass darauf nicht weiter einzugehen ist.
3.7. Für die Höhe des zulässigen Abzugs nach Art. 33 Abs. 1 lit. h bis DBG ist sodann nicht auf die Einkommens- und Vermögensverhältnisse der betroffenen Person abzustellen, wie das die Beschwerdeführerin geltend macht. Welche Aufwendungen als behinderungsbedingte Kosten vom Einkommen abgesetzt werden können, ist insoweit nicht nach subjektiven Kriterien zu entscheiden. Der Behinderungsbegriff, der Art. 33 Abs. 1 lit. h bis DBG zugrunde liegt, hat die soziale und berufliche Integration behinderter Menschen als vollwertige Mitglieder der Gesellschaft im Blick (vgl. <ref-law>; <ref-ruling> E. 5.3.1 S. 17). Aus dieser Perspektive ist zu beurteilen, ob die zum Abzug beantragten Kosten einer Massnahme der Integration von körperlich, geistig oder psychisch behinderten Menschen in die Gesellschaft dienen oder nicht (vgl. Urteil 2C_588/2011 vom 16. Dezember 2011 E. 3.2 mit Hinweisen). Der steuerrechtlich zu erleichternde Grad gesellschaftlicher Teilhabe ist dabei für alle behinderten Menschen gleich und nicht nach ihren Einkommens- oder Vermögensverhältnissen zu bestimmen. Andernfalls bestünde die Gefahr verfassungsrechtlich unstatthafter Privilegierungen, die über eine Beseitigung von behinderungsbedingten Benachteiligungen hinausgingen (Art. 8 Abs. 1 und Art. 127 Abs. 2 BV; vgl. auch MARKUS SCHEFER/CAROLINE HESS-KLEIN, Behindertengleichstellungsrecht, 2014, S. 28 f. und <ref-ruling> E. 3.3 S. 13 [schulische Betreuung behinderter Kinder]). Die ausserordentlich guten wirtschaftlichen Verhältnisse der Erblasserin haben demnach keinen Einfluss darauf, welche Kosten als behinderungsbedingt im Sinne der gesetzlichen Bestimmung gelten und nach Art. 33 Abs. 1 lit. h bis DBG steuerlich abzugsfähig sind.
3.8. Entgegen der Auffassung der Beschwerdeführerin stellt das Vorgehen der Vorinstanz auch keine unzulässige Beschränkung der Handlungsfreiheit dar. Die Erblasserin bzw. ihre Angehörigen waren zu jedem Zeitpunkt frei, den Ort und die Modalitäten ihrer Pflege zu wählen. Dass die damit verbundenen finanziellen Aufwendungen steuerlich nicht vollumfänglich berücksichtigt werden, mag geeignet sein, diese Wahl in die eine oder andere Richtung zu beeinflussen. Von einer eigentlichen Einschränkung in der Gestaltung der Lebensführung kann indes keine Rede sein.
3.9. Nach dem Dargelegten hat die Vorinstanz Art. 33 Abs. 1 lit. h bis DBG bundesrechtskonform ausgelegt und angewendet. Die Beschwerde ist hinsichtlich der direkten Bundesteuern unbegründet und daher abzuweisen.
III. Kantonale Steuern
4.
In Übereinstimmung mit Art. 33 Abs. 1 lit. h bis DBG schreibt Art. 9 Abs. 2 lit. h bis StHG die Abzugsfähigkeit behinderungsbedingter Kosten im Rahmen der kantonalen Einkommensteuer vor. Der Kanton Basel-Stadt hat die bundesrechtliche Vorgabe in § 32 Abs. 1 lit. h StG umgesetzt; der Wortlaut dieser Regelung entspricht inhaltlich jener des Bundesrechts. Damit kann in allen Teilen auf das zur direkten Bundessteuer Dargelegte verwiesen werden, zumal die Beschwerdeführerin in Bezug auf die kantonalen Steuern keine eigenständigen Rügen erhebt. Die Beschwerde ist auch hinsichtlich der kantonalen Steuern unbegründet und daher abzuweisen.
IV. Kosten und Entschädigung
5.
Nach dem Unterliegerprinzip trägt die Beschwerdeführerin die Kosten des bundesgerichtlichen Verfahrens (<ref-law>). Parteientschädigungen sind nicht geschuldet (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Verfahren 2C_480/2016 und 2C_479/2016 werden vereinigt.
2.
Die Beschwerde betreffend die direkte Bundessteuer (Verfahren 2C_480/2016) wird abgewiesen.
3.
Die Beschwerde betreffend die kantonalen Steuern (Verfahren 2C_479/2016) wird abgewiesen.
4.
Die Kosten des bundesgerichtlichen Verfahrens von Fr. 5'000.-- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
5.
Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten, dem Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt als Verwaltungsgericht und der Eidgenössischen Steuerverwaltung schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 12. Januar 2017
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Seiler
Der Gerichtsschreiber: Fellmann