Faits :
A.
Le 30 avril 2015, X._ a déposé plainte pénale contre inconnu des chefs de diffamation et calomnie. Engagée en qualité de co-directrice du Secteur Petite Enfance de Z._, elle a fait l'objet de plaintes de certains collaborateurs, adressées au comité du secteur petite enfance de Z._, à la fin de l'année 2013-2014, au sujet de sa gestion et de son comportement. Son employeur l'a alors libérée de son obligation de travailler. Une procédure prud'homale a conduit à ce qu'elle reprenne son poste en février 2015. Le 1er février 2015, X._ a été informée qu'une pétition, signée par 53 collaborateurs de crèches et membres de leur famille, serait remise au comité de l'association de Z._, afin de s'opposer à son retour au poste de responsable du secteur de la petite enfance. Le 5 février 2015, elle a reçu un courrier l'informant de la résiliation immédiate de son contrat de travail, laquelle était notamment motivée par la pétition signée par 53 personnes. La pétition faisait notamment état des "abondants manques de professionnalisme " de la recourante, des " nombreuses humiliations de sa part, subies par le personnel durant ces dernières années ", " de fréquents et réguliers abus d'autorité ", d'un " comportement préjudiciable à la sécurité et au bon fonctionnement des crèches "et mentionnait la démission de huit collaborateurs en une année, en raison de son " attitude malhonnête ". Dans le cadre d'une procédure prud'homale, il a été convenu que le licenciement immédiat serait retiré et remplacé par un congé ordinaire.
B.
Par ordonnance du 28 juillet 2015, après l'audition par la police d'un collaborateur de la recourante, le Ministère public a décidé de ne pas entrer en matière sur les faits visés par la plainte pénale, les éléments constitutifs de la diffamation (art. 173 CP) et de la calomnie (art. 174 CP) n'étant pas réalisés (art. 310 al. 1 let. a CPP). En substance, le Ministère public a relevé que la pétition litigieuse, rédigée par le personnel du secteur petite enfance de Z._ pour s'opposer au retour de X._ à son poste de directrice de crèche, attaquait cette dernière uniquement sur le plan professionnel, de sorte que les propos n'étaient pas de nature à porter atteinte à son honneur. En outre, il ressortait du courrier de licenciement de X._ et d'un courrier adressé par un syndicat à son employeur, qu'elle faisait preuve de manquements dans le cadre de la gestion du personnel.
C.
Par arrêt du 25 janvier 2016, la Cour de justice, Chambre pénale de recours de la République et canton de Genève, a rejeté le recours formé par X._ contre l'ordonnance de non-entrée en matière.
D.
X._ forme un recours en matière pénale auprès du Tribunal fédéral contre l'arrêt cantonal et conclut, avec suite de frais et dépens, à son annulation et au renvoi de la cause au Ministère public pour qu'il ouvre une instruction pénale sur les infractions dénoncées.

Considérant en droit :
1.
1.1. Selon l'art. 81 al. 1 let. a et b ch. 5 LTF, la partie plaignante qui a participé à la procédure de dernière instance cantonale est habilitée à recourir au Tribunal fédéral, si la décision attaquée peut avoir des effets sur le jugement de ses prétentions civiles. Constituent de telles prétentions celles qui sont fondées sur le droit civil et doivent en conséquence être déduites ordinairement devant les tribunaux civils. Il s'agit principalement des prétentions en réparation du dommage et du tort moral au sens des art. 41 ss CO. En particulier, l'allocation d'une indemnité pour tort moral fondée sur l'art. 49 al. 1 CO suppose que l'atteinte présente une certaine gravité objective et qu'elle ait été ressentie par la victime, subjectivement, comme une souffrance morale suffisamment forte pour qu'il apparaisse légitime qu'une personne, dans ces circonstances, s'adresse au juge pour obtenir réparation (<ref-ruling> consid. 12.1 p. 29).
En vertu de l'art. 42 al. 1 LTF, il incombe à la partie recourante d'alléguer les faits qu'elle considère comme propres à fonder sa qualité pour recourir. Lorsque le recours est dirigé contre une décision de non-entrée en matière ou de classement de l'action pénale, la partie plaignante n'a pas nécessairement déjà pris des conclusions civiles. Quand bien même la partie plaignante aurait déjà déclaré des conclusions civiles (cf. art. 119 al. 2 let. b CPP), il n'en reste pas moins que le procureur qui refuse d'entrer en matière ou prononce un classement n'a pas à statuer sur l'aspect civil (cf. art. 320 al. 3 CPP). Dans tous les cas, il incombe par conséquent à la partie plaignante d'expliquer dans son mémoire au Tribunal fédéral quelles prétentions civiles elle entend faire valoir contre l'intimé. Comme il n'appartient pas à la partie plaignante de se substituer au ministère public ou d'assouvir une soif de vengeance, la jurisprudence entend se montrer restrictive et stricte, de sorte que le Tribunal fédéral n'entre en matière que s'il ressort de façon suffisamment précise de la motivation du recours que les conditions précitées sont réalisées, à moins que l'on puisse le déduire directement et sans ambiguïté compte tenu notamment de la nature de l'infraction alléguée (<ref-ruling> consid. 1.1 p. 4 s.).
Les mêmes exigences sont requises à l'égard de celui qui se plaint d'infractions attentatoires à l'honneur, la jurisprudence rendue avant l'entrée en vigueur de la LTF (<ref-ruling>) qui dispensait celui qui était lésé par une prétendue atteinte à l'honneur de faire valoir des prétentions civiles n'ayant plus cours (arrêt 6B_94/2013 du 3 octobre 2013 consid. 1.1).
1.2. La recourante fait valoir des prétentions en indemnisation de son tort moral à hauteur de 10'000 fr., avec intérêts à 5% dès le 1er mai 2015, au regard des importantes souffrances psychiques subies en raison de la pétition qu'elle qualifie de diffamatoire. A l'appui de ses prétentions, elle produit un certificat de son psychiatre, lequel atteste qu'à la suite des événements de février 2015, la recourante " a sombré dans un état dépressif réactionnel profond, avec ruminations, baisse de l'élan vital, insomnie, anxiété généralisée, pleurs et effondrement de l'estime de soi ". Compte tenu de ces explications, la recourante dispose de la qualité pour recourir contre le refus d'entrer en matière sur sa plainte pénale (cf. sur la recevabilité d'une pièce permettant d'établir que les conditions de recevabilité du recours sont remplies, (BERNARD CORBOZ, in Commentaire de la LTF, 2 ème éd., 2014, n° 20 ad art. 99 LTF).
2.
La recourante reproche à la cour cantonale d'avoir confirmé l'ordonnance de non-entrée en matière et estime que les conditions de réalisation des infractions dénoncées sont réalisées. Elle invoque une violation des art. 310 CPP en lien avec les art. 173 et 174 CP.
2.1.
2.1.1. Conformément à l'art. 310 al. 1 let. a CPP, le ministère public rend immédiatement une ordonnance de non-entrée en matière s'il ressort de la dénonciation ou du rapport de police que les éléments constitutifs de l'infraction ou les conditions à l'ouverture de l'action pénale ne sont manifestement pas réunis. L'entrée en matière peut encore être refusée au terme des investigations policières (art. 306 et 307 CPP) - même diligentées à l'initiative du procureur - si les conditions de l'art. 310 al. 1 let. a CPP sont réunies (arrêt 1B_183/2012 du 20 novembre 2012 consid. 3). Selon la jurisprudence, cette disposition doit être appliquée conformément à l'adage in dubio pro duriore (arrêt 6B_127/2013 du 3 septembre 2013 consid. 4.1). Celui-ci découle du principe de la légalité (art. 5 al. 1 Cst. et 2 al. 1 CPP en relation avec les art. 309 al. 1, 319 al. 1 et 324 CPP; <ref-ruling> consid. 4.2 p. 91) et signifie qu'en principe un classement ou une non-entrée en matière ne peuvent être prononcés par le ministère public que lorsqu'il apparaît clairement que les faits ne sont pas punissables ou que les conditions à la poursuite pénale ne sont pas remplies. Le ministère public et l'autorité de recours disposent, dans ce cadre, d'un pouvoir d'appréciation que le Tribunal fédéral revoit avec retenue. La procédure doit se poursuivre lorsqu'une condamnation apparaît plus vraisemblable qu'un acquittement ou lorsque les probabilités d'acquittement et de condamnation apparaissent équivalentes, en particulier en présence d'une infraction grave (<ref-ruling> consid. 4.1.2 p. 91; 186 consid. 4.1 p. 190; <ref-ruling> consid. 2.5 p. 288 s.).
2.2. L'art. 173 ch. 1 CP réprime le comportement de celui qui, en s'adressant à un tiers, aura accusé une personne, ou jeté sur elle le soupçon de tenir une conduite contraire à l'honneur, ou de tout autre fait propre à porter atteinte à sa considération, ou aura propagé une telle accusation ou un tel soupçon. La calomnie (art. 174 CP) est une forme qualifiée de diffamation (art. 173 CP) dont elle se distingue en cela que les allégations attentatoires à l'honneur sont fausses, que l'auteur doit avoir eu connaissance de la fausseté de ses allégations et qu'il n'y a dès lors pas place pour les preuves libératoires prévues dans le cas de la diffamation. Ces comportements peuvent être réalisés sous n'importe quelle forme d'expression, notamment par l'écriture ou l'image (cf. art. 176 CP; <ref-ruling> consid. 2.1 p. 315 et la jurisprudence citée).
Ces dispositions protègent la réputation d'être un individu honorable, c'est-à-dire de se comporter comme une personne digne a coutume de le faire selon les conceptions généralement reçues. Il faut donc que l'atteinte fasse apparaître la personne visée comme méprisable (<ref-ruling> consid. 2.1.1 p. 315 et la jurisprudence citée). L'honneur protégé par le droit pénal est conçu de façon générale comme un droit au respect, qui est lésé par toute assertion propre à exposer la personne visée au mépris en sa qualité d'être humain (<ref-ruling> consid. 2.1 p. 115 et la jurisprudence citée). En revanche, la réputation relative à l'activité professionnelle ou au rôle joué dans la communauté n'est pas pénalement protégée; il en va ainsi des critiques qui visent comme tels la personne de métier, l'artiste, le politicien ou la politicienne, même si elles sont de nature à blesser et à discréditer (<ref-ruling> consid. 2a p. 47).
Dans le domaine des activités socio-professionnelles, il ne suffit pas de dénier à une personne certaines qualités, de lui imputer des défauts ou de l'abaisser par rapport à ses concurrents. En revanche, il y a atteinte à l'honneur, même dans ces domaines, si on évoque une infraction pénale ou un comportement clairement réprouvé par les conceptions morales généralement admises (BERNARD CORBOZ, Les infractions en droit suisse, vol. 1, 3ème éd., 2010, n° 11 ad art. 173 CP; cf. <ref-ruling> consid. 2 p. 207 et 103 IV 161 consid. 2 p. 161).
Pour apprécier si une déclaration est attentatoire à l'honneur, il faut se fonder non pas sur le sens que lui donne la personne visée, mais sur une interprétation objective selon la signification qu'un destinataire non prévenu doit, dans les circonstances d'espèce, lui attribuer. S'agissant d'un texte, l'analyse ne doit pas s'opérer exclusivement en fonction des expressions utilisées, prises séparément, mais selon le sens général qui se dégage du texte pris dans son ensemble (<ref-ruling> consid. 2.1.3 p. 315 s.). Si le contenu d'un message relève de la constatation de fait, la détermination du sens qu'il convient d'attribuer audit message (en se plaçant dans la perception que devrait en avoir le destinataire non prévenu) constitue une question de droit (<ref-ruling> consid. 2.1.3 p. 316). La diffamation suppose une allégation de fait, et non pas un simple jugement de valeur (<ref-ruling> consid. 2.1.2 p. 315 et la jurisprudence citée).
Du point de vue subjectif, il suffit que l'auteur ait eu conscience du caractère attentatoire à l'honneur de ses propos et qu'il les ait néanmoins proférés; il n'est pas nécessaire qu'il ait eu la volonté de blesser la personne visée (<ref-ruling> consid. 2.1.6 p. 317 et la jurisprudence citée).
2.3. La cour cantonale a notamment retenu que la pétition présentait la recourante comme une personne ayant fait preuve de manque de professionnalisme et d'humiliation envers le personnel. Elle a considéré que ces critiques étaient certes de nature à toucher la recourante dans son estime d'elle-même. Toutefois, l'interprétation objective de la pétition démontrait que seules ses qualités professionnelles étaient visées, sans l'exposer au mépris en sa qualité d'être humain, au sens de la jurisprudence. Par ailleurs, l'accusation " d'abus d'autorité " dans ses relations professionnelles, donnée à titre d'exemple des autres griefs, sans précision des abus reprochés, n'avait, dans ce contexte, pas de portée propre distincte des précédentes.
En définitive, la cour cantonale a confirmé l'ordonnance de non-entrée en matière, dès lors que l'un des éléments constitutifs des infractions n'était pas réalisé.
2.4. La recourante reprend certaines expressions figurant dans la pétition et affirme qu'elles sont attentatoires à son honneur en livrant sa propre appréciation de ces dernières. Ce faisant, elle omet que, pour apprécier le caractère attentatoire à l'honneur d'un texte, il ne faut pas se fonder sur le sens que donne la personne visée de certaines expressions prises séparément mais sur une interprétation objective du texte pris dans son ensemble, dans les circonstances d'espèce. En ce sens, c'est en vain qu'elle isole certains propos en se référant à leur définition dans le dictionnaire.
En l'espèce, il est établi et non contesté que la pétition émanait de collaborateurs de la recourante, qu'elle s'adressait à son employeur et qu'elle visait à marquer leur opposition à son retour au poste de directrice de crèches. Aussi, en tant que la pétition fait état de " nombreuses humiliations (...) subies par le personnel durant des années ", de " fréquents et réguliers abus d'autorité " du " comportement préjudiciable à la sécurité et au bon fonctionnement des crèches "et de l' "attitude malhonnête " de la recourante ayant conduit à la démission de huit collaborateurs en une année, le document contient une série de reproches visant exclusivement sa réputation professionnelle. La recourante échoue à démontrer une violation du droit quant à la détermination du sens qu'il faut donner au texte incriminé, en reprenant certains passages de la pétition et en leur prêtant une portée attentatoire à son honneur. Certes ces critiques relatives à l'attitude professionnelle de la recourante (humiliation et abus d'autorité) et ses répercussions sur les institutions et leurs employés (sécurité et fonctionnement des crèches; démission de huit collaborateurs) mettent en cause sa gestion et ses relations avec le personnel, de sorte qu'elle se voit rabaissée dans ses aptitudes en qualité de dirigeante d'un établissement; toutefois, elles ne portent pas atteinte à son honorabilité et ne la font pas apparaître comme méprisable en qualité d'être humain. S'agissant en particulier du passage faisant état de " fréquents et réguliers abus d'autorité ", c'est à bon droit que la cour cantonale l'a apprécié dans son contexte. Dans la mesure où les pétitionnaires reprochent à la recourante, par cette expression, d'avoir abusé de son autorité de cadre vis-à-vis du personnel, la cour cantonale pouvait exclure qu'il s'agissait d'une accusation du chef d'abus d'autorité au sens de l'art. 312 CP et considérer qu'il s'agissait d'une critique d'ordre professionnel parmi d'autres. En ce sens, la pétition ne contient aucun élément permettant de retenir qu'elle dénonce une infraction pénale ou un comportement clairement réprouvé par les conceptions morales généralement admises.
La recourante ne saurait rien déduire en sa faveur des arrêts publiés aux <ref-ruling> et 132 IV 112, dont il ressort que les intéressés étaient atteints au-delà de leur réputation professionnelle par des propos diffamatoires laissant entendre que l'un s'était enrichi de manière illicite au détriment d'une manifestation populaire (président de comité d'une Fête des vendanges; <ref-ruling>), le second ayant entrepris des actions téméraires et abusives en extorquant 60'000 fr. (président de commission d'urbanisme; <ref-ruling>). La recourante ne saurait davantage se fonder sur l'arrêt publié aux <ref-ruling>, lequel exclut le caractère diffamatoire de reproches adressés à des architectes dans le cadre de leur profession. Au demeurant, s'il ressort de ces arrêts que l'accusation de tenir un comportement malhonnête constitue une diffamation, il n'en demeure pas moins que cette accusation doit atteindre la personne dans son honneur en qualité d'être humain pour réaliser l'infraction.
Il n'y a pas lieu d'entrer en matière sur l'appréciation à laquelle se livre la recourante des propos relatifs au bien-être des enfants accueillis et du personnel qui en dépend, dans la mesure où ces derniers ne ressortent pas de la décision entreprise et la recourante ne soulève ni ne démontre l'arbitraire de leur omission (cf. art. 97 al. 1, 105 al. 1 et 106 LTF; <ref-ruling> consid. 1.3.1 p. 253). En tout état, elle s'écarte à nouveau du contexte et de l'interprétation objective globale du texte, selon laquelle les manquements professionnels reprochés à la recourante auraient des répercussions sur les collaborateurs des crèches, et, par voie de conséquence, sur les bénéficiaires.
Au vu de ce qui précède, dans la mesure où l'appréciation de la pétition incriminée ne permettait pas de retenir de propos diffamatoires susceptibles d'atteindre la recourante dans son honneur, la cour cantonale pouvait, à l'instar du Ministère public, considérer que les chances d'acquittement étaient supérieures à la probabilité d'une condamnation pour diffamation, a fortiori, de calomnie.
3.
Il s'ensuit que le recours est rejeté dans la mesure où il est recevable. La recourante, qui succombe, supporte les frais judiciaires (art. 66 al. 1 LTF).

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce :
1.
Le recours est rejeté dans la mesure où il est recevable.
2.
Les frais judiciaires, arrêtés à 2'000 fr., sont mis à la charge de la recourante.
3.
Le présent arrêt est communiqué aux parties et à la Cour de justice de la République et canton de Genève, Chambre pénale de recours.
Lausanne, le 3 janvier 2017
Au nom de la Cour de droit pénal
du Tribunal fédéral suisse
Le Président : Denys
La Greffière : Klinke