Sachverhalt:
A.
A.A._ und B.A._ führten ein Restaurant und ein Hotel in U._ AR. Gemäss einem bis Ende 2010 laufenden Liquidationsabkommen vom 29. Mai 2009 mit den Eheleuten verzichtete die X._ AG (nachfolgend: die Bank) als Hypothekargläubigerin auf einen allfälligen Pfandausfall aus der Verwertung der beiden Liegenschaften. Am 3. bzw. 7. März 2011 wurden diese zu Preisen veräussert, die deutlich unter den ausstehenden Hypothekarbeträgen lagen.
Ende April 2012 gaben die Eheleute A._ ihre selbständige Erwerbstätigkeit auf. Für die Staats- und die direkte Bundessteuer 2012 besteuerte die Steuerverwaltung des Kantons Appenzell Ausserrhoden gegenüber den Pflichtigen den Forderungsverzicht der Bank aus dem Pfandausfall separat vom übrigen Einkommen.
B.
Dagegen erhoben die Ehegatten A._ Einsprache, da die beiden Liegenschaften erst nach Ablauf des Liquidationsabkommens verkauft worden seien, unter Fortbestand der Schuld bzw. des Pfandausfalls gegenüber der Bank. Die Steuerverwaltung wies die Einsprache am 2. Oktober 2014 ab, weil nicht nachgewiesen worden sei, dass die Hypothekarforderung der Bank zum massgeblichen Zeitpunkt weiterbestanden habe.
Die Eheleute A._ gelangten daraufhin an das Obergericht Appenzell Ausserrhoden, das ihre Beschwerde mit Urteil vom 11. November 2015 guthiess und erwog, es sei vom Fortbestand der Schuld auszugehen.
C.
Am 3. Mai 2016 hat die Steuerverwaltung des Kantons Appenzell Ausserrhoden beim Bundesgericht Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten erhoben. Sie stellt den Antrag, das obergerichtliche Urteil vom 11. November 2015 aufzuheben und ihren Einspracheentscheid vom 2. Oktober 2014 zu bestätigen.
Die Eheleute A._ und das Obergericht des Kantons Appenzell Ausserrhoden schliessen auf Abweisung der Beschwerde. Die Eidgenössische Steuerverwaltung hat auf eine Stellungnahme verzichtet.

Erwägungen:
I. Prozessuales
1.
1.1. Angefochten ist ein kantonal letztinstanzlicher Endentscheid betreffend die direkten Steuern des Kantons und des Bundes. Dagegen steht gemäss <ref-law> in Verbindung mit Art. 73 ff. des Bundesgesetzes vom 14. Dezember 1990 über die Harmonisierung der direkten Steuern der Kantone und Gemeinden (StHG, SR 642.14) und mit Art. 146 des Bundesgesetzes vom 14. Dezember 1990 über die direkte Bundessteuer (DBG, SR 642.11) die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten an das Bundesgericht offen. Die Beschwerdeführerin ist zur Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten legitimiert (<ref-law> i.V.m <ref-law> u. Art. 73 Abs. 2 StHG). Auf das form- und fristgerecht eingereichte Rechtsmittel ist somit einzutreten.
1.2. Das gilt auch insoweit, als die Beschwerdeführerin das vorinstanzliche Urteil mit einer einzigen Beschwerdeeingabe anficht (vgl. dazu im Einzelnen das Urteil 2C_603/2012, 2C_604/2012 vom 10. Dezember 2012 E. 1). Für die Staats- und die direkte Bundessteuer eröffnet das Bundesgericht zwei getrennte Verfahren (2C_388/2016 und 2C_389/2016), die jedoch praxisgemäss vereinigt werden.
1.3. Das Bundesgericht legt seinem Urteil den von der Vorinstanz festgestellten Sachverhalt zugrunde (<ref-law>), sofern die diesbezüglichen Feststellungen nicht offensichtlich unrichtig sind oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruhen (<ref-law>).
1.4. Neue Tatsachen und Beweismittel dürfen vor Bundesgericht nur so weit vorgebracht werden, als erst der Entscheid der Vorinstanz dazu Anlass gibt (<ref-law>). Die Beschwerdeführerin hat dem Bundesgericht E-Mails mit dem Grundbuch Heiden eingereicht, ohne aufzuzeigen, wieso erst der Entscheid der Vorinstanz dazu Anlass gegeben haben soll. Die E-Mails sind daher im bundesgerichtlichen Verfahren nicht zu berücksichtigen.
II. Direkte Bundessteuer
2.
2.1. Verzichtet eine Bank gegenüber einem Privatkunden auf Forderungen, handelt es sich um einen Einkommenszufluss gemäss <ref-law> (<ref-ruling> E. 2.2 S. 355). Soweit Schulden geschäftlich sind, ist ihr Erlass vom Begünstigten als Einkommen aus selbständiger Erwerbstätigkeit im Sinne von <ref-law> zu versteuern (Urteile 2C_910/2014 vom 17. März 2016 E. 5.1 und 2C_120/2008 vom 13. August 2008 E. 2.2).
2.2. Diese Rechtslage steht zwischen den Verfahrensbeteiligten ausser Streit. Umstritten ist dagegen, ob die Bank gegenüber den Beschwerdegegnern auf ihre Forderungen im Umfang des Pfandausfalls verzichtet hat, den sie aus der Veräusserung der beiden hier massgeblichen Liegenschaften erlitt.
2.2.1. Die Beweislast für den Nachweis steuerbegründender oder -erhöhender Tatsachen obliegt der Veranlagungsbehörde, während diejenige für steueraufhebende oder -mindernde Umstände grundsätzlich den Pflichtigen trifft (<ref-ruling> E. 3.5 S. 352; <ref-ruling> E. 4.3 S. 158 f.; <ref-ruling> E. 4c/aa S. 266 und 273 E. 3c/aa S. 284 mit Hinweisen; Urteile 2C_164/2013 vom 28. März 2014 E. 3.5 und 2C_1082/2012 vom 25. Oktober 2013 E. 2.3). Vorbehalten bleiben Ausnahmen aufgrund der mitwirkungsorientierten Beweislastverteilung, die namentlich im Bereich geldwerter Leistungen von Belang ist (Urteil 2C_15/2015 vom 6. August 2015 E. 2.5.4, mit Hinweis).
2.2.2. Hier muss somit die Beschwerdeführerin die Tatsachen nachweisen, die einen Forderungsverzicht durch die Bank nahelegen. Kann sie dafür ausreichende Indizien vorbringen, so haben die Beschwerdegegner Umstände darzutun, die für den Fortbestand der Schuld sprechen (vgl. Urteile 2C_42/2015 vom 10. September 2015 E. 2.3; 2C_1036/2014 vom 21. April 2015 E. 4.3.2; 2A.105/2007 vom 3. September 2007 E. 4.4).
2.3. Im vorinstanzlichen Verfahren hat die Beschwerdeführerin zwei gewichtige Indizien zugunsten des Forderungsverzichts dargetan:
2.3.1. Für einen solchen Verzicht spricht einerseits die Pfandausfallklausel im (allerdings bis Ende 2010 befristeten) Liquidationsabkommen zwischen der Bank und den Beschwerdegegnern. In diesem Abkommen erklärte die Gläubigerin - unter dem Vorbehalt, dass die Schuldner ihrerseits ihre Verpflichtungen aus der Vereinbarung erfüllen -, auf jeglichen Pfandausfall zu verzichten, der sich aus der Veräusserung der massgeblichen Liegenschaften ergeben würde. Die Beschwerdegegner verpflichteten sich im Gegenzug namentlich dazu, den operativen Betrieb in den beiden Liegenschaften bestmöglich aufrecht zu erhalten (vgl. dazu auch unten E. 2.4.2).
2.3.2. Andererseits steht im Einklang mit der Annahme der Beschwerdeführerin, die Gläubigerin habe auf ihre Forderung verzichtet, dass die Beschwerdegegner in ihrer am 24. September 2012 eingereichten Steuererklärung 2011 ihre - angeblich unvermindert weiterbestehende - Schuld gegenüber der Bank nicht deklarierten. Das Indiz wird nicht dadurch entkräftet, dass die Beschwerdegegner die Nichtdeklaration der Schuld nachträglich als einen eigenen Fehler einräumen.
2.4. Angesichts der von der Veranlagungsbehörde zugunsten ihres Standpunkts vorgelegten Indizien hätte es den Beschwerdegegnern oblegen, ihrerseits den Gegenbeweis anzutreten und den Fortbestand der Schuld darzulegen (vgl. oben E. 2.2); eine entsprechende Mitwirkungspflicht hält auch <ref-law> fest, wonach natürliche Personen der Steuererklärung insbesondere Verzeichnisse über sämtliche Wertschriften, Forderungen und Schulden beilegen müssen. Das Obergericht hat erwogen, selbst nach dem Verkauf der beiden Liegenschaften müsse vom Fortbestand der Schuld bzw. des Pfandausfalls ausgegangen werden. Dieser Aussage der Vorinstanz kann indessen nicht gefolgt werden.
2.4.1. Einen Beleg dafür, dass die Schuld per Ende 2011 noch bestanden hätte, haben die Beschwerdegegner nie eingereicht. Sie behaupten lediglich, dass sie ihre Gläubigerin mehrfach um Aufklärung gebeten hätten, ob die Forderung noch bestehe, und diese sich bis heute dazu nicht ausgesprochen habe. Aus dem von ihnen eingereichten Schreiben der Bank vom 11. September 2014 ist - wie sie selbst einräumen - nicht ersichtlich, ob das Darlehen noch gültig oder erlassen war.
Dass eine Schweizer Grossbank nicht imstande sein soll, ihren Standpunkt zu einer solchen Frage rechtsverbindlich darzutun, ist nicht nachvollziehbar. Gemäss <ref-law> sind Gläubiger verpflichtet, gegenüber dem Steuerpflichtigen schriftliche Bescheinigungen auszustellen über Bestand, Höhe, Verzinsung und Sicherstellung von Forderungen.
2.4.2. Ein rechtsgenüglicher Gegenbeleg für den Fortbestand der Hypothekarschuld liegt auch nicht darin, dass das Liquidationsabkommen bis am 31. Dezember 2010 befristet war. Daraus schliessen die Beschwerdegegner und nach ihnen das Obergericht, dass die Bank nur bis zu diesem Zeitpunkt bereit gewesen sei, im Verkaufsfall auf einen Pfandausfall zu verzichten, weshalb der Verzicht für die beiden anfangs März 2011 erfolgten Veräusserungen nicht mehr gelten könne.
Gegen eine solche Sichtweise spricht aber, dass die Laufdauer des Liquidationsabkommens nur um gut zwei Monate überschritten wurde. Die Umstände legen nahe, dass sich die Bank trotz geringfügiger - möglicherweise von ihr selbst verursachter - Zeitüberschreitung weiterhin an die Vereinbarung gebunden fühlte und daher die Zusicherung, im Falle der Veräusserung der beiden Liegenschaften auf den Pfandausfall zu verzichten, einlöste. Wie es sich damit verhält, muss aber nicht weiter geprüft werden. Es genügt festzuhalten, dass die Beschwerdegegner nicht imstande waren bzw. sind, entgegen den gewichtigen Indizien zugunsten eines Forderungsverzichts Belege vorzulegen, aus welchen sich der Fortbestand ihrer Schuld ergeben würde.
2.4.3. Gesamthaft beruht die Aussage der Vorinstanz, es sei der Fortbestand der Schuld bzw. des Pfandausfalls anzunehmen, somit auf ungenügenden Tatsachen und ist rechtsverletzend im Sinne von <ref-law> (vgl. oben E. 1.3). Vielmehr ist dieser Fortbestand nicht belegt und herrscht ein Zustand der Beweislosigkeit, der sich nach dem Gesagten (vgl. oben E. 2.2 u. 2.4) zulasten der Beschwerdegegner auswirkt.
2.5. Wenn sich aber nicht nachweisen lässt, dass die Schuld per 31. Dezember 2011 noch bestand, so folgt daraus, dass den Beschwerdegegnern in der hier massgeblichen Periode 2012 ein entsprechendes Einkommen aus selbständiger Erwerbstätigkeit zukam.
Gegen die Berechnung des steuerbaren Liquidationsgewinns infolge definitiver Aufgabe der selbständigen Erwerbstätigkeit (<ref-law>) machen die Beschwerdegegner keine Einwände geltend. Dies führt zur Gutheissung der Beschwerde hinsichtlich der direkten Bundessteuer.
III. Staats- und Gemeindesteuern
3.
Die für die kantonalen Steuern massgebenden Bestimmungen (vgl. namentlich die Einkünfte aus selbständiger Erwerbstätigkeit in Art. 8 Abs. 1 StHG bzw. Art. 21 des Steuergesetzes des Kantons Appenzell Ausserrhoden vom 21. Mai 2000; StG/AR; bGS 621.11) entsprechen inhaltlich jenen der direkten Bundessteuer. Gleiches gilt für die Regeln zur Beweislastverteilung und den Mitwirkungspflichten (Art. 42 Abs. 2 und Art. 43 Abs. 1 StHG; Art. 162 Abs. 1 lit. c und Art. 165 Abs. 1 lit. b StG/AR), weshalb der Forderungsverzicht hinsichtlich der kantonalen Steuern gleich zu behandeln ist wie bei der direkten Bundessteuer. Demnach ist die Beschwerde auch hinsichtlich der Staats- und Gemeindesteuern gutzuheissen.
IV. Kosten- und Entschädigungsfolgen
4.
Bei diesem Verfahrensausgang sind die Kosten des bundesgerichtlichen Verfahrens den unterliegenden Beschwerdegegnern unter Solidarhaft aufzuerlegen (Art. 66 Abs. 1 u. 5 BGG). Über die Kosten- und Entschädigungsfolgen im kantonalen Verfahren hat die Vorinstanz neu zu befinden (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Verfahren 2C_388/2016 und 2C_389/2016 werden vereinigt.
2.
Die Beschwerde betreffend die direkte Bundessteuer (2C_389/2016) wird gutgeheissen, das Urteil des Obergerichts Appenzell Ausserrhoden vom 11. November 2015 aufgehoben und der Einspracheentscheid der Steuerverwaltung des Kantons Appenzell Ausserrhoden vom 2. Oktober 2014 bestätigt.
3.
Die Beschwerde betreffend die Staats- und Gemeindesteuern (2C_388/2016) wird gutgeheissen, das Urteil des Obergerichts Appenzell Ausserrhoden vom 11. November 2015 aufgehoben und der Einspracheentscheid der Steuerverwaltung des Kantons Appenzell Ausserrhoden vom 2. Oktober 2014 bestätigt.
4.
Die Gerichtskosten von insgesamt Fr. 3'000.-- werden den Beschwerdegegnern unter solidarischer Haftbarkeit auferlegt.
5.
Die Sache wird zur Neufestlegung der Kosten- und Entschädigungsfolgen des kantonalen Verfahrens an das Obergericht Appenzell Ausserrhoden zurückgewiesen.
6.
Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten, dem Obergericht Appenzell Ausserrhoden, 2. Abteilung, und der Eidgenössischen Steuerverwaltung schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 23. Februar 2017
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Seiler
Der Gerichtsschreiber: Matter