Sachverhalt:
A.
A.a. A._ und B._ (Beschwerdegegner) sind die unverheirateten Eltern von C._ (geb. 14. Januar 2009; Betroffener). Mit Entscheid vom 13. August 2015 erteilte die Kindes- und Erwachsenenschutzbehörde Thal-Gäu/Dorneck-Thierstein (KESB) den Eltern die gemeinsame Sorge über C._. Ausserdem ordnete sie die Erstellung eines Gutachtens an, damit die Obhut zugeteilt und eine angemessene Besuchs- und Ferienregelung getroffen werden könne. Dem Vater räumte die KESB ein provisorisches Besuchs- und Ferienrecht ein. Das Verwaltungsgericht des Kantons Solothurn sowie das Bundesgericht wiesen die von A._ gegen die Regelung der elterlichen Sorge erhobenen Rechtsmittel ab (vgl. Urteil 5A_222/2016 vom 16. November 2016).
A.b. Am 3. Mai 2016 ging das von der KESB in Auftrag gegebene Gutachten bei dieser ein. Mit Entscheid vom 17. Juni 2016 stellte die KESB den Sohn unter die Obhut der Mutter und regelte das Besuchs- und Ferienrecht des Vaters. Demnach verbringt der Sohn jedes zweite Wochenende von Freitag 16.30 Uhr bis Montagmorgen Schulbeginn sowie (ab 2017) die Hälfte der Ferien und Feiertage beim Vater. Einer allfälligen Beschwerde entzog die KESB die aufschiebende Wirkung.
B.
Gegen diesen Entscheid führte A._ am 30. Juni 2016 Beschwerde beim Verwaltungsgericht des Kantons Solothurn. Darin beantragte sie, das Besuchs- und Ferienrecht des Vaters gemäss ihren vor erster Instanz gestellten Anträgen festzulegen (jedes zweite Wochenende von Freitag 16.30 Uhr bis Sonntag 17.00 Uhr; die Hälfte der Feiertage sowie drei Ferienwochen pro Kalenderjahr) und der Beschwerde die aufschiebende Wirkung zu erteilen. Mit Verfügung vom 6. Juli 2016 wies das Verwaltungsgericht das Gesuch um Wiedererteilung der aufschiebenden Wirkung ab. Auf eine hiergegen erhobene Beschwerde trat das Bundesgericht nicht ein (Urteil 5A_526/2016 v om 25. August 2016). Mit Urteil vom 13. September 2016 (eröffnet am 15. September 2016) wies das Verwaltungsgericht die Beschwerde in der Hauptsache ab.
C.
Mit Beschwerde in Zivilsachen vom 17. Oktober 2016 gelangt A._ (Beschwerdeführerin) mit den folgenden Anträgen in der Sache an das Bundesgericht:
"1. Es sei das Urteil vom 13. September 2016 des Verwaltungsgerichts des Kantons Solothurn aufzuheben.
2. Es sei dem Kindsvater das Recht zuzusprechen und die Pflicht aufzuerlegen, C._ jedes zweite Wochenende am Freitagabend um 16:30 Uhr von der Schule resp. seinem dannzumaligen Aufenthaltsort abzuholen und ihn am Sonntagabend 17:00 Uhr zur Kindesmutter an deren Wohnsitz zu bringen.
3. Es sei dem Kindsvater das Recht zuzusprechen und die Pflicht aufzuerlegen, C._ an der Hälfte der Feiertage sowie während drei einzelnen Ferienwochen pro Kalenderjahr zu sich zu nehmen.
4. Es sei demgemäss die [KESB] mit der Detailregelung des Besuchs- und Ferienrechts zu betrauen, allenfalls unter Beizug der Beiständin.
5. Eventualiter sei die Angelegenheit zur Vornahme von vertieften Sachverhaltsabklärungen und zur darauf abgestützten Neubeurteilung an die Vorinstanz zurückzuweisen, wobei insbesondere eine Befragung von C._ durch die Gutachter Dr. D._ und Dr. E._, UPK Basel, gemäss dem Schreiben vom 10. Juni 2016, "Eventualantrag 1", Beschwerdebeilage 11, zu veranlassen sei[,] respektive dieselben Gutachter die Ergänzungsfragen gemäss dem Schreiben vom 10. Juni 2016, "Eventualantrag 2", Beschwerdebeilage 11, zu unterbreiten seien."
Das Bundesgericht hat die Akten des kantonalen Verfahrens, hingegen keine Vernehmlassung eingeholt.

Erwägungen:
1.
1.1. Die Beschwerde richtet sich gegen den Endentscheid einer letzten kantonalen Instanz, die als oberes Gericht über die Regelung des Besuchs- und Ferienrechts des nicht obhutsberechtigten Vaters und damit eine nicht vermögensrechtliche Zivilsache entschieden hat (Art. 72 Abs. 1, Art. 75 und 90 BGG). Die Beschwerdeführerin ist gemäss <ref-law> zur Beschwerde berechtigt. Auf die auch fristgerecht erhobene Beschwerde (<ref-law>) kann daher grundsätzlich eingetreten werden.
1.2. Mit der Beschwerde in Zivilsachen können Rechtsverletzungen gemäss Art. 95 f. BGG gerügt werden. Mit Ausnahme der Verletzung von Grundrechten und von kantonalem und interkantonalem Recht wendet das Bundesgericht das Recht von Amtes wegen an (<ref-law>). Es ist allerdings nicht gehalten, wie eine erstinstanzliche Behörde alle sich stellenden rechtlichen Fragen von sich aus zu untersuchen, wenn die Beschwerde führende Person diese nicht mehr thematisiert (<ref-ruling> E. 2.4 S. 367 f.; <ref-ruling> E. 2 S. 88). Deshalb ist in der Beschwerde in gedrängter Form darzulegen, inwiefern der angefochtene Akt Recht verletzt (<ref-law>; <ref-ruling> E. 1.1 S. 104 f.). Die Beschwerde führende Person muss auf den angefochtenen Entscheid eingehen und aufzeigen, worin eine Verletzung von Bundesrecht liegt; sie soll im Schriftsatz mit ihrer Kritik an den Erwägungen der Vorinstanz ansetzen, die sie als rechtsfehlerhaft erachtet (<ref-ruling> E. 2.2.1 S. 389; <ref-ruling> E. 2a S. 400). Allgemein gehaltene Einwände, die ohne aufgezeigten oder erkennbaren Zusammenhang mit bestimmten Entscheidgründen vorgebracht werden, genügen nicht. Strengere Anforderungen gelten, wenn die Verletzung von Grundrechten geltend gemacht wird. Diesen Vorwurf prüft das Bundesgericht nicht von Amtes wegen, sondern nur insoweit, als eine entsprechende Rüge in der Beschwerde vorgebracht und begründet worden ist (<ref-law>). In der Beschwerde ist klar und detailliert anhand der Erwägungen des angefochtenen Entscheids darzulegen, inwiefern verfassungsmässige Rechte verletzt worden sein sollen (<ref-ruling> E. 1.1 S. 144 f.; <ref-ruling> E. 1.2 S. 234).
Die Beschwerdeführerin kritisiert verschiedentlich die Verfahrensführung durch die Vorinstanzen als unzulässig. So insbesondere im Zusammenhang mit Gesprächen mit der Beiständin des Betroffenen und einem der Gutachter. Sie geht indessen in keiner Weise darauf ein, welche (verfassungsmässigen) Rechte hierdurch inwiefern im Einzelnen verletzt worden sein sollen (vgl. zu Telefongesprächen zwecks Klärung des Sachverhalts in Kinderbelangen Urteil 5A_991/2016 vom 29. September 2015 E. 6.2). Die Beschwerde genügt insoweit den Begründungsanforderungen nicht und auf sie ist in diesem Umfang nicht einzutreten.
1.3. Das Bundesgericht legt seinem Urteil den von der Vorinstanz festgestellten Sachverhalt zugrunde (<ref-law>). In diesem Bereich kann lediglich eine offensichtlich unrichtige, d.h. willkürliche Sachverhaltsfeststellung gerügt werden, wobei das strenge Rügeprinzip gilt (Art. 97 Abs. 1 und <ref-law>; <ref-ruling> E. 2.3 S. 266). Unter dem Titel "Grundlagen" nimmt die Beschwerdeführerin eine Schilderung des Sachverhalts vor, in welcher sie die tatsächlichen Feststellungen der Vorinstanz "ergänzt" bzw. "präzisiert", ohne eine Verletzung des Willkürverbots oder anderer Verfassungsbestimmungen geltend zu machen. Auch ansonsten wirft die Beschwerdeführerin der Vorinstanz verschiedentlich eine unvollständige und damit rechtsfehlerhafte Erhebung des Sachverhalts vor. Eine geradezu willkürliche Sachverhaltsfeststellung macht sie insofern jedoch ebenfalls nicht geltend. Auf die Beschwerde kann daher insoweit ebenfalls nicht eingetreten werden.
2.
2.1. Im Zusammenhang mit dem Gutachten der Universitären Psychiatrischen Kliniken Basel (UPK) vom 19. April 2016 zur Frage der Besuchsregelung (nachfolgend Gutachten UPK; Beschwerdebeilage 7; vorne Bst. A) rügt die Beschwerdeführerin eine Verletzung des Anspruchs auf rechtliches Gehör (<ref-law>) sowie die mangelhafte Feststellung des Sachverhalt. Die Vorinstanz habe es entgegen ihrem Antrag unterlassen, das Verhältnis des Gutachtens der UPK zu den Empfehlungen eines Gutachtens des Kinder- und Jugendpsychiatrischen Dienstes der Solothurner Spitäler AG (KJPD) vom 4. Juli 2012 zu klären. Die Vorinstanzen würden die Gutachten "je nach Situation und Ziel nach eigenem Gusto ausblenden oder uminterpretieren".
2.2. Die Kindesschutzbehörde erforscht den Sachverhalt von Amtes wegen. Sie zieht die erforderlichen Erkundigungen ein und erhebt die notwendigen Beweise. Sie kann eine geeignete Person oder Stelle mit Abklärungen beauftragen. Nötigenfalls ordnet sie das Gutachten einer sachverständigen Person an. Sie wendet das Recht von Amtes wegen an (Art. 314 Abs. 1 i.V.m. Art. 446 Abs. 1, 2 und 4 ZGB). Diese Grundsätze finden auch im Verfahren vor der gerichtlichen Beschwerdeinstanz Anwendung. Die Beschwerdeinstanz überprüft den erstinstanzlichen Entscheid in rechtlicher und tatsächlicher Hinsicht umfassend und beurteilt ihn neu (Urteil 5A_327/2013 vom 17. Juli 2013 E. 3.1; Botschaft vom 28. Juni 2006 zur Änderung des Schweizerischen Zivilgesetzbuches [Erwachsenenschutz, Personenrecht und Kindesrecht], BBl 2006 7001, S. 7083 Ziff. 2.3.3; PHILIPPE MEIER, Droit de la protection de l'adulte, 2016, S. 101 f. Rz. 202 und S. 125 Rz. 245). Die Vorinstanzen mussten damit sämtliche für den Entscheid über die Obhutszuteilung notwendigen Beweise erheben. Vor Verwaltungsgericht waren dabei die Verhältnisse bei Schluss des Beweisverfahrens massgebend (Art. 314 Abs. 1 und Art. 450f ZGB i.V.m. Art. 31bis Abs. 1 des Gesetzes [des Kantons Solothurn] vom 15. November 1970 über den Rechtsschutz in Verwaltungssachen [VRG; BSG 124.11]; vgl. auch Urteile 5A_821/2013 vom 16. Juni 2014 E. 4, in: FamPra.ch 2014 S. 1115; 5A_911/2012 vom 14. Februar 2012 E. 6.4.3). Unter diesen Umständen hat sich die Vorinstanz (wie bereits die KESB) zu Recht auf das Gutachten vom 19. April 2016 gestützt. Das Gutachten vom 4. Juli 2012 wurde verfasst, als der Betroffene dreieinhalb Jahre alt war, und war kaum mehr aktuell (vgl. <ref-ruling> E. 5 S. 555; Urteil 5A_88/2015 vom 5. Juni 2015 E. 2.3). Es war damit nicht mehr massgebend, weshalb die Vorinstanz nicht mehr darauf einzugehen brauchte. Die Beschwerdeführerin macht sodann nicht geltend, das Gutachten der UPK sei mangelhaft oder es komme ihm nicht voller Beweiswert zu (vgl. dazu <ref-ruling> E. 5.1 S. 232). Der Vorwurf der Gehörsverletzung und der mangelhaften Abklärung des Sachverhalts erweist sich damit als unbegründet.
3.
3.1. Die Beschwerdeführerin rügt als bundesrechtswidrig, dass die Vorinstanz einen Antrag auf Befragung des Betroffenen zur Dauer des Besuchsrechts des Vaters (bis Sonntagabend oder bis Montagmorgen) durch die Gutachter ablehnte. Der Betroffene sei zu dieser Frage nicht angehört worden, obgleich er alt genug sei und ihm die Befragung zuzutrauen und zuzumuten sei. Eine Gefährdung der Gesundheit des Betroffenen könne durch eine kindgerechte Anhörung ausgeschlossen werden. Die Vorinstanz sieht in der beantragten Befragung eine Instrumentalisierung des Kindes, die nicht dessen Wohl diene. Ob der Betroffene die Sonntagabende bei der Mutter oder beim Vater verbringe, sei nicht entscheidend. Auch könne der Betroffene in einen Loyalitätskonflikt geraten und hierdurch schwer belastet werden. Der Sachverhalt sei auch ohne diese Befragung hinreichend geklärt.
3.2. Das Kind wird durch die Kindesschutzbehörde oder durch eine beauftragte Drittperson in geeigneter Weise persönlich angehört, soweit nicht sein Alter oder andere wichtige Gründe dagegen sprechen (<ref-law>). Gespräche mit dem Betroffenen fanden im Rahmen der Begutachtung durch die UPK statt (Gutachten UPK, Ziff. 2 S. 1 und Ziff. 4.5 S. 6 ff.). Insbesondere mit Blick auf die beim Betroffenen diagnostizierte Autismusspektrumsstörung im Sinne eines Asperger-Syndroms ist nicht zu beanstanden, dass dieser durch Fachpersonen und nicht die Mitglieder der KESB angehört wurde (<ref-ruling> E. 5.2.3.1 S. 163; <ref-ruling> E. 4 S. 554; <ref-ruling> E. 2a S. 297; Urteil 5A_354/2015 vom 3. August 2015 E. 3.1, in: FamPra.ch 2015 S. 1004; Gutachten UPK, Ziff. 5.1 S. 13). Eine (generelle) Anhörung des Betroffenen im Zusammenhang mit der hier interessierenden Frage des Besuchsrechts des Vaters hat damit stattgefunden.
3.3. Die Pflicht zur Anhörung des Kindes besteht nur einmal im Verfahren, und zwar nicht nur auf eine Instanz gesehen, sondern einschliesslich des Instanzenzugs. Die mehrmalige Anhörung kann jedenfalls dort unterbleiben, wo sie einzig um der Anhörung willen stattfände, namentlich wenn sie für das Kind eine unnötige Belastung bedeuten würde und überdies keine neuen Erkenntnisse zu erwarten wären oder der erhoffte Nutzen in keinem vernünftigen Verhältnis zu der durch die erneute Befragung verursachten Belastung stünde (<ref-ruling> E. 4 S. 554 f.; Urteil 5A_724/2015 vom 2. Juni 2016 E. 4.3, in: FamPra.ch 2016 S. 1079).
Die Anhörung im Zusammenhang mit Obhuts- und Sorgerechtsfragen setzt keine Urteilsfähigkeit des Kindes voraus. Die Kindesanhörung ist nach der Rechtsprechung ab dem vollendeten sechsten Altersjahr möglich. Dieses Schwellenalter, ab dem eine Anhörung grundsätzlich in Frage kommt, ist jedoch zu unterscheiden von der kinderpsychologischen Erkenntnis, dass formallogische Denkoperationen erst ab ungefähr elf bis dreizehn Jahren möglich sind und auch die sprachliche Differenzierungs- und Abstraktionsfähigkeit erst ab diesem Alter entwickelt ist. Bei kleinen Kindern ist deshalb nicht nach konkreten Zuteilungswünschen zu fragen. Sie können sich hierüber noch nicht losgelöst von zufälligen gegenwärtigen Einflussfaktoren äussern (<ref-ruling> E. 2.4 S. 150; <ref-ruling> E. 1.2.2 S. 556 f.; Urteile 5A_971/2015 vom 30. Juni 2016 E. 5.1; 5A_354/2015 vom 3. August 2015 E. 3.1, in: FamPra.ch 2015 S. 1004).
Der Betroffene war bei Ausfällung des vorinstanzlichen Urteils etwas über siebeneinhalb Jahre alt. Eine Anhörung zur Frage, ob er sich an den Sonntagabenden lieber bei der Mutter oder dem Vater aufhält, war nach dem Ausgeführten nicht angezeigt. Von einer Anhörung zur Frage der genauen Dauer des Besuchsrechts des Vaters waren daher keine weiteren Erkenntnisse zu erwarten. Die Vorinstanz verletzte folglich kein Bundesrecht, indem sie auf die (zusätzliche) Anhörung verzichtete.
3.4. Die Beschwerdeführerin rügt im Zusammenhang mit dem Gutachten der UPK weiter, es sei "offenbar nie in Betracht gezogen" worden, für den Betroffenen eine Vertretung nach <ref-law> zu bestellen, obgleich die "Voraussetzungen vorliegend durchaus erfüllt sein könnten". Nach dieser Bestimmung ordnet die Kindesschutzbehörde wenn nötig eine Vertretung des Kindes an und bezeichnet als Beistandsperson eine in fürsorgerischen und rechtlichen Fragen erfahrene Person (Abs. 1). Aufgrund der Ausführungen der Beschwerdeführerin bleibt unklar, ob sie <ref-law> als verletzt ansieht. Sie scheint blosse Vermutungen hinsichtlich einer allfälligen Bundesrechtsverletzung anzustellen. Die Beschwerde genügt insofern den Begründungsanforderungen nicht (vorne E. 1.2).
4.
Strittig ist schliesslich die Ausgestaltung des Besuchs- und Ferienrechts des nicht obhutsberechtigten Vaters.
4.1. Nach <ref-law> haben Eltern, denen die elterliche Sorge oder Obhut nicht zusteht, und das minderjährige Kind gegenseitig Anspruch auf angemessenen persönlichen Verkehr. Bei der Ausgestaltung des persönlichen Verkehrs steht das Kindeswohl im Vordergrund; allfällige Interessen der Eltern haben zurückzutreten (<ref-ruling> E. 2.1 S. 587). Welche Ordnung des persönlichen Verkehrs zwischen Eltern und Kinder angemessen ist, lässt sich nicht objektiv und abstrakt umschreiben, sondern entscheidet sich im konkreten Einzelfall nach gerichtlichem Ermessen (Urteil 5A_450/2015 vom 11. März 2016 E. 3.3, nicht publ. in <ref-ruling>, aber in FamPra.ch 2016 S. 1036 [Auszug]; 5A_323/2015 vom 25. Februar 2016 E. 3.1, in: FamPra.ch 2016 S. 506). Ermessensentscheide dieser Art überprüft das Bundesgericht an sich frei; es greift allerdings nur ein, wenn die kantonale Instanz von dem ihr zustehenden Ermessen einen falschen Gebrauch gemacht hat, d.h. wenn sie grundlos von in Lehre und Rechtsprechung anerkannten Grundsätzen abgewichen ist, wenn sie Gesichtspunkte berücksichtigt hat, die keine Rolle hätten spielen dürfen, oder wenn sie umgekehrt rechtserhebliche Umstände ausser Acht gelassen hat. Aufzuheben und zu korrigieren sind ausserdem Ermessensentscheide, die sich als im Ergebnis offensichtlich unbillig, als in stossender Weise ungerecht erweisen (<ref-ruling> E. 11.2 S. 98; <ref-ruling> E. 2 S. 123).
4.2. Unter Verweis auf das Gutachten der UPK und auf Stellungnahmen der Beiständin des Betroffenen sowie eines der Gutachter kommt die Vorinstanz zum Schluss, die getroffene Regelung entspreche dem Kindeswohl. Es sei unproblematisch, wenn der Betroffene künftig etwas mehr Zeit mit seinem Vater verbringe als zuvor. Zwar komme für die Betreuung ein eigentliches Wechselmodell (d.h. eine Aufteilung der Betreuung zwischen den Eltern im Verhältnis 35 % zu 65 % bis 50 % zu 50 %) nicht in Frage. Dies sei aber allein auf die fehlende Kooperationsfähigkeit der Eltern zurückzuführen. Für den Betroffenen sei die Zeit mit dem Vater wichtig. Auch geniesse er diese. Die getroffene Ferienregelung bedeute eine kontinuierliche Ausdehnung der Ferien des Betroffenen bei seinem Vater. Mit der gefundenen Lösung müsse der Betroffene sodann nicht zu viel zwischen Vater und Mutter hin und her wechseln, was sachgerecht erscheine. Schliesslich könnten die Besuchswochenenden bis Montagmorgen dauern; negative Auswirkungen seien keine bekannt.
4.3. Die Beschwerdeführerin rügt vorab, das Verwaltungsgericht habe die zentrale Schlussempfehlung des Gutachtens der UPK missachtet. Demnach liege eine Regelung im Kindeswohl, nach welcher der Betroffene den Lebensmittelpunkt bei einem Elternteil habe und regelmässigen Kontakt zum anderen Elternteil pflegen könne (vgl. Gutachten UPK, Ziff. 5.4 S. 16). Dieser Einwand überzeugt nicht. Zwar verbringt der Betroffene künftig die Hälfte der Ferien und Feiertage (teilweise auch über einen längeren Zeitraum am Stück) beim Vater (angefochtenes Urteil, E. I.11 S. 3 f. und E. II.6.2.1 S. 9 f.). Ausserhalb der Ferienzeit sieht er seinen Vater aber nur jedes zweite Wochenende von Freitagabend bis Montagmorgen. Sein Lebensmittelpunkt befindet sich damit nach wie vor bei der Mutter. Dies scheint die Beschwerdeführerin in anderem Kontext denn auch anzuerkennen (Beschwerde, Ziff. III Bst. b S. 18 Rz. 62). Der Beschwerdeführerin kann sodann nicht gefolgt werden, soweit sie aus der beim Betroffenen diagnostizierten Autismusspektrumstörung über das Gutachten hinaus die Notwendigkeit einer besonderen Zurückhaltung bei der Änderung der Umgebungsbedingungen ableitet. Vielmehr zitiert die Vorinstanz das Gutachten korrekt, wenn sie ausführt, eine bis hälftige Betreuung durch den Vater sei nicht wegen des Betroffenen, sondern aufgrund der mangelnden Kooperationsfähigkeit der Eltern nicht empfehlenswert (Gutachten UPK, Ziff. 5.4 S. 15). Die Vorinstanz ist alles in allem nicht in unzulässiger Weise von den gutachterlichen Feststellungen abgewichen (zur Würdigung von Gutachten vgl. <ref-ruling> E. 2.1.3 S. 53; <ref-ruling> E. 4.3.1 S. 198 f.; Urteil 5A_322/2014 vom 14. Juli 2014 E. 2 am Ende). Hieran ändern auch die Ausführungen der Beschwerdeführerin zum Verständnis des Begriffs "Wechsel" in der Betreuungsregelung nichts. Ohnehin handelt es sich hierbei einzig um die Interpretation der Beschwerdeführerin selbst.
4.4. Nach dem Ausgeführten vermag die Beschwerdeführerin auch aus dem Umstand nichts zu ihren Gunsten abzuleiten, dass die vorgenommene Ausdehnung des Besuchs- und Ferienrechts des Vaters im Gutachten nicht explizit erwähnt wird. Die Beantwortung der Frage, welcher persönliche Verkehr angemessen ist, obliegt ohnehin nicht der Fachperson, sondern der Behörde bzw. dem Gericht (vgl. <ref-ruling> E. 4.4.1 S. 269; <ref-ruling> E. 5.4.1 S. 345; Urteil 5A_911/2012 vom 14. Februar 2013 E. 6.4.2). Ebenfalls unerheblich bleibt, ob die Beziehung des Betroffenen zu seinem Vater durch die Vorinstanzen als "sehr gut" oder als "gut" bezeichnet wurde. Die Vorinstanz hat ihr Ermessen auch dadurch nicht falsch ausgeübt, dass sie sich zusätzlich auf die Einschätzung der Situation durch die Beiständin des Betroffenen und ergänzende Angaben des Gutachters stützte (vgl. dazu auch vorne E. 1.2). Es ist weder geltend gemacht noch ersichtlich, dass hierdurch sachfremde Gesichtspunkte in die getroffene Regelung eingeflossen wären. Die Beiständin des Betroffenen ist bereits aufgrund ihres Amtes mit der Situation hinreichend vertraut. Anders als die Beschwerdeführerin meint, ist nicht entscheidend, ob die Beiständin im Einzelnen über das Funktionieren der bisherigen Besuchsregelung informiert war. Das Verwaltungsgericht hat ihre Aussage allein im Zusammenhang mit der Frage berücksichtigt, ob der Betroffene gerne Zeit bei seinem Vater verbringt.
4.5. Im Zusammenhang mit der Ferienregelung rügt die Beschwerdeführerin weiter, dem Betroffenen sei es nicht zumutbar, sich während mehreren Wochen ununterbrochen beim Vater aufzuhalten. Er werde hierdurch übermässig belastet. Dies überzeugt nicht: Die Beschwerdeführerin stützt sich auf länger zurückliegende Umstände sowie auf das nicht mehr aktuelle Gutachten aus dem Jahre 2012 (vgl. vorne E. 2.2). Demgegenüber wäre es gemäss dem Gutachten der UPK dem Betroffenen in grundsätzlicher Hinsicht sogar zumutbar, im Wechselmodell hälftig durch den Vater betreut zu werden. Diese Lösung scheitert einzig an der mangelnden Kooperation zwischen den Eltern (E. 4.2 hiervor). Auch insoweit ist daher keine fehlerhafte Ermessensausübung durch die Vorinstanz feststellbar.
4.6. Die Beschwerdeführerin ist schliesslich der Ansicht, die zweiwöchentlichen Besuchswochenenden beim Kindsvater sollten nicht bis Montagmorgen dauern. Der Betroffene werde nicht zusätzlich belastet, wenn er bereits am Sonntagabend zur Beschwerdeführerin zurückkehre und dann von dieser aus zur Schule gehe. Selbst wenn dieser Einschätzung zutreffend wäre, läge hierin keine fehlerhafte Ermessensausübung durch die Vorinstanz. Ausserdem hat sich diese Regelung gemäss den Feststellungen der Vorinstanz bisher bewährt, seien doch keine negativen Rückmeldungen bekannt. Entgegen dem Einwand der Beschwerdeführerin konnte die Vorinstanz sich in diesem Zusammenhang bereits auf erste Erfahrungen zu der hier umstrittenen Regelung stützen: Der Beschwerde gegen den Entscheid der KESB wurde die aufschiebende Wirkung entzogen (vorne Bst. A und B), sodass die neue Regelung seit Mai 2016 gelebt wird. Die Vorinstanz trifft unter diesen Umständen auch kein Versäumnis, wenn sie angesichts des Fehlens negativer Meldungen diesbezüglich keine weiteren Abklärungen getroffen hat.
4.7. Unter diesen Umständen ist die getroffene Regelung mit Blick auf das Ermessen des Verwaltungsgerichts (vorne E. 4.1) nicht zu beanstanden; zumal sie sich im Rahmen des vom Gutachten vorgeschlagenen Betreuungsmodells bewegt (vorne E. 4.3). Das Verwaltungsgericht hat bei der Ausgestaltung des Besuchs- und Ferienrechts des Beschwerdegegners damit kein Bundesrecht verletzt.
5.
Nach dem Ausgeführten erweist sich die Beschwerde als unbegründet und ist abzuweisen, soweit darauf einzutreten ist. Ebenfalls abgewiesen werden die Anträge auf Beizug weiterer Akten. Das Bundesgericht entscheidet gestützt auf den Sachverhalt, den die Vorinstanz festgestellt hat (<ref-law>; vorne E. 1.3), und führt kein Beweisverfahren durch. Die Beschwerdeführerin wird kosten-, nicht jedoch entschädigungspflichtig, da keine Vernehmlassung eingeholt wurde (Art. 66 Abs. 1 und Art. 68 Abs. 1 BGG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf eingetreten wird.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 2'000.-- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
3.
Parteientschädigung wird keine zugesprochen.
4.
Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten und dem Verwaltungsgericht des Kantons Solothurn schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 17. Januar 2017
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: von Werdt
Der Gerichtsschreiber: Sieber