Sachverhalt:
A.
Mit Verfügung vom 6. Oktober 2014 verneinte die IV-Stelle des Kantons St. Gallen einen IV-Rentenanspruch der 1967 geborenen A._ mit der Begründung, der mittels der sog. gemischten Methode berechnete Invaliditätsgrad liege bei lediglich 34 %.
B.
A._ erhob hiegegen Beschwerde. Das Versicherungsgericht des Kantons St. Gallen wies das mit dieser gestellte Gesuch um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege mangels prozessualer Bedürftigkeit ab. Mit Entscheid vom 31. Juli 2015 hiess es sodann die Beschwerde gut. Es ermittelte durch Einkommensvergleich einen Invaliditätsgrad von 50 % und sprach der Versicherten mit Wirkung ab 1. Juni 2011 eine halbe Invalidenrente zu.
C.
Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten beantragt die IV-Stelle, der Versicherten sei ab 1. Juni 2011 eine Viertelsrente anstelle einer halben Invalidenrente zuzusprechen.
A._ schliesst auf Abweisung der Beschwerde. Eventuell sei ihr die unentgeltliche Rechtspflege für das letztinstanzliche Verfahren zu gewähren. Das Bundesamt für Sozialversicherungen verzichtet auf eine Vernehmlassung.
D.
Mit Verfügung vom 27. Oktober 2015 hat das Bundesgericht der Beschwerde die aufschiebende Wirkung zuerkannt.

Erwägungen:
1.
Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann wegen Rechtsverletzungen gemäss Art. 95 und 96 BGG erhoben werden. Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (<ref-law>), doch prüft es, unter Berücksichtigung der allgemeinen Rüge- und Begründungspflicht (Art. 42 Abs. 1 und 2 BGG), nur die geltend gemachten Vorbringen, falls allfällige weitere rechtliche Mängel nicht geradezu offensichtlich sind (<ref-ruling> E. 1.6 S. 280 mit Hinweis).
Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (<ref-law>). Es kann deren Sachverhaltsfeststellung nur berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruht (<ref-law>).
2.
Streitig und zu prüfen ist, ob Anspruch auf eine halbe Invalidenrente oder bloss eine Viertelsrente der Invalidenversicherung besteht.
Das kantonale Gericht hat die namentlich interessierenden Bestimmungen und Grundsätze zu den Begriffen Invalidität und Erwerbsunfähigkeit, zum nach dem Invaliditätsgrad abgestuften Anspruch auf eine Invalidenrente (mit den vorausgesetzten Mindestinvaliditätsgraden von 40 % für eine Viertelsrente, 50 % für eine halbe Rente, 60 % für eine Dreiviertelsrente und 70 % für eine ganze Rente) sowie zur Invaliditätsbemessung mittels Einkommensvergleich oder mittels gemischter Methode zutreffend dargelegt. Darauf wird verwiesen.
3.
Die Vorinstanz hat erkannt, der Invaliditätsgrad sei nicht nach der gemischten Methode, sondern mittels Einkommensvergleich zu bestimmen, da die Versicherte entgegen der Auffassung der IV-Stelle im Gesundheitsfall vollzeitlich erwerbstätig wäre. Gemäss den medizinischen Akten sei die aktuell in einem 50 %-Pensum ausgeübte Tätigkeit im Reinigungsdienst des Spitals B._ in diesem Umfang zumutbar. Das hiebei erzielte Einkommen von Fr. 30'768.- sei als zumutbares Invalideneinkommen zu betrachten. Sodann sei davon auszugehen, dass die Versicherte diese Tätigkeit auch im Gesundheitsfall ausüben und bei einem Beschäftigungsgrad von 100 % demnach ein Valideneinkommen von Fr. 61'536.- (2 x Fr. 30'768.-) erzielen würde. Der gesundheitsbedingte Ausfall betrage damit Fr. 30'768.-, entsprechend 50 %. Bei diesem Invaliditätsgrad bestehe Anspruch auf eine halbe Rente.
4.
4.1. Die Einwände der Beschwerde führenden IV-Stelle betreffen einzig die Bestimmung des Valideneinkommens. Geltend gemacht wird, der angerechnete Jahreslohn aus dem 50 %-Pensum von Fr. 30'768.- enthalte einen Nachtzuschlag von Fr. 4'090.90, da die Versicherte von 17.45 Uhr bis 21.45 Uhr arbeite. Die Vorinstanz habe übersehen, dass sich der Nachtzuschlag bei einer Steigerung des Beschäftigungsgrads nicht linear vergrössere. Vielmehr sei das um den Nachtzuschlag reduzierte Einkommen aus dem 50 %-Pensum auf ein 100 %-Pensum hochzurechnen und zum Ergebnis der Nachtzuschlag zu addieren. Das kantonale Gericht habe somit den rechtserheblichen Sachverhalt offensichtlich unrichtig festgestellt. Zu berücksichtigen sei im Weiteren, dass die aktuell ausgeübte Stelle gemäss Arbeitgeber im Gesundheitsfall auf maximal 80 % ausgebaut werden könnte. Das Valideneinkommen für das restliche Arbeitspensum von 20 % sei daher gestützt auf Tabellenlöhne zu ermitteln. Bei richtigem Vorgehen resultiere ein Valideneinkommen von Fr. 57'063.-, was einen Invaliditätsgrad von 46 % ergebe. Demnach habe die Beschwerdegegnerin lediglich Anspruch auf eine Viertelsrente.
Die Versicherte postuliert, es sei den Erwägungen der Vorinstanz zu folgen.
4.2. Dass die Beschwerdegegnerin ihr 50 %-Pensum zu den genannten Zeiten ausübt und hiebei einen Lohn von Fr. 30'768.- einschliesslich eines Nachtzuschlages von Fr. 4'090.90 erzielt, ist nicht umstritten. Es ist indessen nicht davon auszugehen, dass sie bei einer Verdoppelung des Arbeitspensums auf 100 % ihre zusätzlichen Arbeitsstunden ausschliesslich in der nachtzuschlagsberechtigenden Zeit tätigen würde. Daran ändert ihr Einwand nichts, wonach die zuschlagspflichtigen Stunden bei höherem Pensum zunähmen. Wahrscheinlicher ist, dass bei einem vollen Arbeitspensum auch Arbeitsstunden während den nicht zuschlagspflichtigen Tagesschichten anfallen würden. Daher kann der im 50 %-Pensum erzielte Lohn, welcher auch Nachtzulagen enthält, für die Bemessung des Valideneinkommens nicht einfach linear aufgerechnet, mithin verdoppelt werden. Unter Berücksichtigung von nicht zuschlagsberechtigenden Arbeitsstunden fällt das Valideneinkommen der Versicherten niedriger aus. Das führt zu einem Invaliditätsgrad unter den für eine halbe Invalidenrente erforderlichen 50 %. Die Rüge, die Vorinstanz habe den rechtserheblichen Sachverhalt offensichtlich falsch festgestellt, ist daher begründet. Das Vorbringen der Versicherten, die IV-Stelle sei ursprünglich von anderen Lohnzahlen ausgegangen, rechtfertigt keine andere Betrachtungsweise. Die Verwaltung kann auf ihre früheren Berechnungen nicht behaftet werden, zumal sie damals von der Anwendbarkeit der gemischten Methode ausgegangen ist. Damit kann offen bleiben, wie es sich mit ihrem weiteren Einwand der teilweisen Verwendung von Tabellenlöhnen verhält. Denn unabhängig von seiner Berechtigung beträgt der Invaliditätsgrad weniger als 50 %. Die vorinstanzliche Invaliditätsbemessung wird im Übrigen nicht beanstandet. Es besteht kein Anlass für Weiterungen hiezu, zumal das Bundesgericht an die gestellten Anträge gebunden ist und die Berechtigung der Viertelsrente daher nicht zu prüfen hat (vgl. <ref-law>). Die Beschwerde ist gutzuheissen.
5.
Die Gerichtskosten werden der unterliegenden Beschwerdegegnerin auferlegt (<ref-law>). Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege ist abzuweisen. Die hiefür nebst anderem erforderliche prozessuale Bedürftigkeit (<ref-law>) ist nicht ausgewiesen, da die Beschwerdegegnerin die von ihr angekündigten Angaben nicht nachgereicht hat und die Akten des vorinstanzlichen Verfahrens dafür sprechen, dass die finanziellen Mittel zur Prozessführung vorhanden sind.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird gutgeheissen. Der Entscheid des Versicherungsgerichts des Kantons St. Gallen vom 31. Juli 2015 wird insoweit abgeändert, als der Leistungsanspruch auf eine Viertelsrente festgesetzt wird.
2.
Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege wird abgewiesen.
3.
Die Gerichtskosten von Fr. 800.- werden der Beschwerdegegnerin auferlegt.
4.
Die Sache wird zur Neuverlegung der Kosten und der Parteientschädigung des vorangegangenen Verfahrens an das Versicherungsgericht des Kantons St. Gallen zurückgewiesen.
5.
Dieses Urteil wird den Parteien, dem Versicherungsgericht des Kantons St. Gallen und dem Bundesamt für Sozialversicherungen schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 12. Januar 2016
Im Namen der I. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Maillard
Der Gerichtsschreiber: Lanz