Faits :
A.
A._ a été engagée comme agente de police à plein temps à compter du 1 er mars 2006.
A partir de l'année 2013, elle a subi plusieurs périodes d'incapacité totale et partielle de travail, d'abord pour des problèmes de dos, puis dans le courant de l'année 2014 en raison d'une pathologie endocrinienne. Par lettre du 15 septembre 2015, l'adjoint du commandant de la police a informé l'employée qu'en cas de maintien d'une incapacité totale de travail, son droit au traitement durant une incapacité de travail expirerait le 23 novembre 2015.
Le 4 novembre 2015, un projet de décision portant sur la fin des rapports de service a été soumis à l'employée, qui disposait d'un délai de dix jours pour faire valoir d'éventuelles remarques. Dans ce projet, le Département de la formation et de la sécurité (DFS) du canton du Valais faisait état d'une interruption des rapports de service dès le 24 novembre, étant précisé que cette échéance serait prolongée au 22 décembre 2015 en cas de reprise d'activité à 25 %. Par lettre du 13 novembre 2015, l'employée s'est déterminée sur le projet en faisant valoir qu'elle disposait d'une capacité de travail de 25 % d'après ses médecins traitants et que les rapports de service n'étaient donc pas interrompus.
Le 23 novembre 2015, le DFS a rendu une décision, dans laquelle il autorisait l'intéressée à faire valoir, pour raison de santé, son droit aux prestations de la Caisse de prévoyance du personnel de l'État du Valais (CPVAL) et indiquait que de ce fait, les rapports de service étaient interrompus au 23 novembre 2015 (ch. 1 du dispositif). Demeurait réservé, par ailleurs, le réengagement de l'employée en cas de récupération de sa capacité de travail, et pour autant qu'une fonction adéquate fût disponible (ch. 5 du dispositif).
Par décision du 31 juillet 2016, le Conseil d'Etat valaisan a rejeté le recours formé par A._ contre cette décision. En résumé, il a confirmé la fin des rapports de service, au motif que le droit au traitement pendant une incapacité de travail, de 13 mois et demi en ce qui concernait la prénommée, avait expiré le 23 novembre 2015. En effet, cette dernière était en incapacité totale de travail depuis le 9 octobre 2014.
B.
Saisie d'un recours, la Cour de droit public du Tribunal cantonal du canton du Valais l'a rejeté par jugement du 2 février 2017.
C.
A._ interjette un recours en matière de droit public contre ce jugement en concluant, sous suite de frais et dépens, à son annulation ainsi qu'à l'annulation des décisions du Conseil d'Etat et du DFS. Elle demande également à ce qu'il soit constaté qu'elle est toujours au bénéfice d'un contrat de travail.
L'intimé conclut au rejet du recours, dans la mesure de sa recevabilité. La cour cantonale a renoncé à se déterminer.

Considérant en droit :
1.
1.1. Sous le titre "Résiliation par l'employeur d'un engagement de durée indéterminée en cas d'incapacité durable de travail", l'art. 59 de la loi cantonale du 19 novembre 2010 sur le personnel de l'Etat du Valais (LcPers; RS/VS 172.2) prévoit qu'en cas d'incapacité durable de travail par suite de maladie ou d'accident, l'autorité compétente résilie l'engagement pour une date correspondant à celle de l'extinction du droit au traitement (al. 1); demeure réservé, cas échéant, un éventuel réengagement total ou partiel, en cas de récupération totale ou partielle de la capacité de travail, pour autant qu'un poste correspondant au profil de l'employé soit disponible (al. 2).
1.2. Reprenant la teneur de l'art. 12 al. 2 de la loi cantonale du 12 novembre 1982 fixant le traitement des employés de l'Etat du Valais (LTrE; RS/VS 172.4), l'art. 19 al. 2 in fine de l'ordonnance du 20 décembre 1995 concernant le traitement des membres du corps de la police cantonale (RS/VS 550.110) prévoit que dès un an et trois mois ou treize mois et demi d'absence pour cause de maladie, il n'est plus servi de rétribution.
2.
Les juges cantonaux ont confirmé la fin des rapports de service. Ils ont retenu en particulier que l'art. 59 LcPers habilitait l'employeur à se séparer d'un collaborateur qui a épuisé son droit à percevoir son traitement pendant une incapacité durable de travail et que l'art. 12 LTrE "ne faisait pas varier ce droit en fonction de la plus ou moins grande amplitude que pouvait présenter l'incapacité de travail". Si l'employé arrivait à la date où il perdait son droit à la rétribution durant une incapacité de travail, il ne pouvait plus se prévaloir du recouvrement de sa capacité de travail pour faire annuler le licenciement, le recouvrement de la capacité pouvant tout au plus offrir à l'employé l'expectative d'être réengagé.
3.
3.1. Se plaignant d'arbitraire dans l'appréciation des preuves et l'établissement des faits, la recourante conteste qu'elle fût en incapacité totale de travail depuis le 9 octobre 2014 et fait valoir qu'elle avait repris son emploi à 25 % depuis le 13 octobre 2015 pour accomplir des tâches administratives. Elle fonde ses allégations sur des rapports d'entretien de l'assurance-invalidité des 12 novembre et 9 décembre 2015 ainsi qu'un rapport "d'assessment" du 9 juillet 2015. Selon elle, ces pièces nouvelles sont admissibles car c'est la cour cantonale qui fixe pour la première fois la date du 9 octobre 2014. Elle soutient également que les certificats médicaux de son médecin traitant figurant au dossier attestent une capacité partielle de travail à partir du mois d'octobre 2015. Selon elle, l'objet central du litige serait de savoir si elle avait une capacité de travail en octobre et novembre 2015.
3.2. Contrairement à ce que la recourante soutient, les pièces nouvelles qu'elle produit à l'appui de son recours ne rentrent pas dans le champ des exceptions à l'interdiction des faits et moyens de preuve nouveaux prévue à l'<ref-law> (à ce sujet voir notamment BERNARD CORBOZ, Commentaire de la LTF, 2 e éd. 2014, n os 19 ss ad <ref-law>). La date du 9 octobre 2014 n'a pas été constatée pour la première fois dans le jugement entrepris mais ressort de la décision de l'intimée du 31 juillet 2016. On notera qu'elle est également retenue dans un formulaire de détection précoce signée par la recourante le 30 avril 2015, lequel figure au dossier de la procédure cantonale. Pour le surplus, le Tribunal fédéral n'entre pas en matière sur les critiques de nature appellatoire portant sur l'appréciation des preuves ou l'établissement des faits par l'autorité précédente (<ref-ruling> consid. 1.3.1 p. 253; <ref-ruling> consid. 2.3 p. 266), telles que celles formulées par la recourante au sujet de son taux d'incapacité de travail. Au demeurant, le point de savoir si elle avait récupéré partiellement sa capacité de travail durant l'automne 2015 n'apparaît pas décisif, dans la mesure où les premiers juges ont retenu que le droit au traitement pendant une incapacité durable de travail, ancré à l'art. 12 LTrE, ne variait pas en fonction du taux d'incapacité. Dans ces conditions, il n'y a pas lieu non plus d'entrer en matière sur les allégations de la recourante - au demeurant non étayées - au sujet des pressions qu'aurait subies son médecin traitant de la part des ressources humaines de la police dans l'évaluation du taux d'incapacité de travail.
4.
4.1. La recourante reproche à la cour cantonale d'avoir fait preuve d'arbitraire en retenant au consid. 2 de son jugement qu'elle avait contesté le projet de décision du 4 novembre 2015, alors que dans sa détermination du 13 novembre 2015, elle n'avait fait que de simples remarques. Elle soutient également que le projet de décision constitue une véritable décision au sens de la loi valaisanne du 6 octobre 1976 sur la procédure et la juridiction administratives (LPJA/VS; RS/VS 172.6).
4.2. En l'occurrence, on ne voit pas - et la recourante ne l'expose pas - en quoi ces griefs seraient pertinents pour l'issue du litige. En tant que la recourante conteste s'être opposée au projet de décision, son argumentation relève d'ailleurs de la témérité, au regard de sa lettre du 13 novembre 2015, dans laquelle elle soutient que les rapports de service ne sont pas interrompus, contrairement au contenu du projet. Quant à la nature juridique du projet de décision, la recourante indique se référer à la motivation de son recours cantonal qu'elle reprend mot pour mot. Un tel procédé est d'emblée inadmissible sous l'angle de l'<ref-law>, car il n'y a pas de lien entre la motivation attaquée et le grief exposé dans le recours au Tribunal fédéral; ce dernier n'est donc pas recevable (<ref-ruling> consid. 2.3 p. 246 s.).
5.
Mal fondé, le recours doit être rejeté, dans la mesure où il est recevable.
La recourante, qui succombe, supportera les frais judiciaires (<ref-law>).

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce :
1.
Le recours est rejeté dans la mesure où il est recevable.
2.
Les frais judiciaires, arrêtés à 2'000 fr., sont mis à la charge de la recourante.
3.
Le présent arrêt est communiqué aux parties et à la Cour de droit public du Tribunal cantonal du canton du Valais.
Lucerne, le 20 octobre 2017
Au nom de la Ire Cour de droit social
du Tribunal fédéral suisse
Le Président : Maillard
La Greffière : Castella