Faits :
A.
A._, ressortissante suisse et française, résidait et travaillait sur le territoire suisse. Elle a averti l'Office cantonal genevois de la population, le 28 mars 2006, qu'elle entendait s'établir en France à compter du 15 avril 2006, mais maintenir son activité professionnelle en Suisse. Elle a également informé le Service de l'assurance-maladie du canton de Genève (ci-après le SAM), le 8 septembre 2006, qu'en tant que travailleuse frontalière, elle optait pour l'assurance dans son pays de résidence. Elle a encore produit l'attestation d'un assureur privé corroborant son choix.
Au début de l'année 2015, l'intéressée a requis du SAM qu'il l'affilie au système d'assurance-maladie suisse avec effet immédiat, à cause des difficultés qu'elle rencontrait en France pour se faire assurer auprès de la Caisse Primaire d'Assurance Maladie (CPAM) lors d'une redéfinition des conditions d'affiliation à la branche "assurance maladie" du régime français de la sécurité sociale (transfert des frontaliers bénéficiant d'un contrat privé dans le régime de Couverture maladie universelle [CMU]; courriels des 20 et 27 janvier ainsi que 4 février 2015).
Le SAM a rejeté cette demande dès lors que A._ avait opté de façon irrévocable pour l'assurance de son pays de résidence et que les difficultés invoquées ne relevaient nullement de la compétence des autorités administratives suisses (décision du 5 février 2015).
L'intéressée a persisté à exiger son affiliation au système d'assurance-maladie suisse, dès lors que certains cantons (Bâle ou même Genève) avaient autorisé certains frontaliers à réintégrer le régime de la LAMal, qu'elle n'avait pas été correctement informée sur les conséquences de son choix, que le délai de trois mois pour exercer le droit d'option avait été dépassé, que la CPAM n'avait pas visé le formulaire par lequel elle avait fait son choix ou que les régimes suisse et français n'accordaient pas une couverture équivalente (courriels et courriers des 8 et 12 mars, 30 avril, 17 juin ainsi que 16 et 22 août 2015).
Le SAM a écarté ces différents arguments et entériné sa décision du 5 février 2015 (décision sur opposition du 27 octobre 2015).
B.
Le 23 novembre 2015, A._ a interjeté recours contre cette décision auprès de la Chambre des assurances sociales de la Cour de justice de la République et canton de Genève, concluant à l'annulation de la décision litigieuse et au renvoi de la cause à l'administration pour nouvelle décision. Le SAM a conclu au rejet du recours et à la confirmation de sa décision le 22 décembre 2015.
A l'issue d'échanges ultérieurs d'écritures, les parties ont confirmé leur position (écritures des 2 et 28 janvier, 8 et 22 février ainsi que 12 et 30 mars 2016); l'intéressée a particulièrement nié avoir reçu le document informatif sur le droit d'option et a produit une correspondance adressée par l'administration genevoise à un tiers qui avait pu réintégrer le régime suisse d'assurance-maladie à cause d'un possible défaut de transmission dudit document.
Le tribunal cantonal a débouté A._ de ses conclusions par jugement du 16 juin 2016.
C.
L'intéressée a saisi le Tribunal fédéral d'un recours en matière de droit public et d'un recours constitutionnel subsidiaire. Elle requiert dans chacun de ses recours l'annulation du jugement cantonal et conclut en substance à ce qu'on lui reconnaisse la possibilité de réexercer le droit d'option et de s'affilier à l'assurance obligatoire des soins en Suisse ou à ce que la cause soit renvoyée aux premiers juges afin qu'ils statuent à nouveau.
Le Département genevois de l'emploi, des affaires sociales et de la santé (DEAS), a conclu au rejet des recours. L'Office fédéral de la santé publique (OFSP) ne s'est pas déterminé. A l'issue d'une ultime prise de position, A._ a confirmé ses conclusions.

Considérant en droit :
1.
En l'occurrence, l'intéressée fait grief au tribunal cantonal d'avoir établi les faits d'une façon manifestement inexacte et d'avoir violé le principe de l'interdiction de l'arbitraire en relation avec son obligation d'informer sur la portée et l'irrévocabilité du droit d'option, l'accusation d'abus de droit, ainsi que la compétence des autorités administratives françaises. Elle prétend également que celui-ci a contrevenu aux principes de l'égalité de traitement (art. 8 Cst.) et de l'activité de l'Etat régi par le droit (art. 5 Cst.).
Le recours est par conséquent formé pour violation du droit fédéral, au sens de l'art. 95 let. a LTF qui inclut aussi les droits fondamentaux. De surcroît, il est dirigé contre une décision finale (art. 90 LTF) rendue par l'autorité judiciaire genevoise compétente en dernière instance (art. 86 al. 1 let. d LTF) en matière d'assurance-maladie (art. 82 let. a LTF). En outre, il ne tombe pas sous le coup de l'art. 83 LTF. La voie du recours en matière de droit public est ainsi ouverte tandis que celle du recours constitutionnel subsidiaire ne l'est pas (art. 113 LTF).
2.
Le recours en matière de droit public (au sens des art. 82 ss LTF) peut être formé pour violation du droit (circonscrit par les art. 95 et 96 LTF). Le Tribunal fédéral applique le droit d'office (art. 106 al. 1 LTF). Il n'est limité ni par l'argumentation de la partie recourante ni par la motivation de l'autorité précédente. Il statue sur la base des faits établis par celle-ci (art. 105 al. 1 LTF), mais peut les rectifier et les compléter d'office si des lacunes et des erreurs manifestes apparaissent d'emblée (art. 105 al. 2 LTF). En principe, il n'examine que les griefs motivés (art. 42 al. 2 LTF), surtout s'ils portent sur la violation des droits fondamentaux (art. 106 al. 2 LTF). Il ne peut pas aller au-delà des conclusions des parties (art. 107 al. 1 LTF). Le recourant peut critiquer la constatation des faits qui ont une incidence sur le sort du litige seulement s'ils ont été établis en violation du droit ou de manière manifestement inexacte (art. 97 al. 1 LTF).
3.
Le litige s'inscrit dans le cadre du droit de la recourante à s'affilier à un assureur-maladie suisse. Il porte particulièrement sur le bien-fondé du rejet par le service intimé et la juridiction cantonale de la demande de l'intéressée relative à la possibilité de réexercer le droit d'option, au motif que celui-ci avait été valablement et irrévocablement utilisé. L'acte attaqué expose les règles nécessaires à la résolution du cas. Il suffit d'y renvoyer.
4.
Les premiers juges ont concrètement constaté que, comme frontalière, la recourante avait exercé son droit d'option ou, en d'autres termes, de choisir l'Etat dans lequel elle voulait être assurée contre les risques de maladie et qu'elle avait en définitive été exemptée de l'obligation d'être assurée en Suisse puisqu'elle bénéficiait d'une couverture d'assurance équivalente en France. Ils ont en particulier estimé que, même si le droit d'option avait été exercé plus de trois mois après l'établissement de l'intéressée en France, le choix était valable dans la mesure où le dépassement du délai constituait un "cas justifié" d'après la législation applicable. Ils ont aussi considéré que les autorités suisses n'avaient pas violé leur devoir d'information à propos du caractère irrévocable du choix ou provisoire de la possibilité de contracter une assurance, privée, dans le système français dès lors que l'irrévocabilité du droit d'option était explicitement indiquée dans le formulaire signé par la recourante ainsi que dans les explications qui y étaient annexées et que le droit de sous-option entre CMU et assureur privé relevait de la compétence de l'administration française. Ils ont encore expliqué que la notion "d'équivalence dans la couverture d'assurance", parfois utilisée pour justifier l'exemption de l'obligation d'assurance en Suisse, ne concerne aucunement la qualité des prestations mais seulement l'existence d'une couverture "maladie" privée ou universelle en France. Ils ont enfin relevé que le fait pour l'intéressée de soutenir que le choix effectué hors délai ne serait pas valable constituerait un abus de droit.
5.
5.1. La recourante conteste en premier lieu que le fait d'avoir exercé le droit d'option après l'échéance du délai de trois mois à compter de son installation en France constitue un "cas justifié" au sens de l'annexe XI du Règlement (CE) n° 883/2004 du Parlement européen et du Conseil, du 29 avril 2004, portant sur la coordination des systèmes de sécurité sociale (ci-après le règlement n° 883/2004; RS 0.831.109.268.1). Elle considère que, contrairement à ce qu'à retenu le tribunal cantonal, l'absence d'informations sur le site internet de l'administration liée au fait que celle-ci soit tributaire des renseignements communiqués par l'Office cantonal genevois de la population ne saurait aucunement justifier un prolongement du délai. Elle en déduit que le choix opéré en 2006 n'était pas valable.
5.2. Cet argument est infondé. Il ne démontre effectivement pas que la juridiction cantonale a fait preuve d'arbitraire (sur la notion d'arbitraire en relation avec la constatation des faits et l'appréciation des preuves, cf. <ref-ruling> consid. 3.2.5 p. 339) lorsqu'elle est parvenue à la conclusion que le droit d'option avait été valablement exercé, dans la mesure où une information tardive du frontalier concernant ce droit est justement selon la lettre d'information de l'OFSP citée par les premiers juges un cas justifiant un dépassement de délai à certaines conditions. L'important est donc que l'intéressée a pu rapidement choisir le régime d'assurance auquel elle entendait se soumettre et que les différentes autorités ont entériné ce choix; que ce dernier ait été bénéfique ou non ne change rien à ce qui précède et n'est en tout cas pas un élément pertinent pour juger de la validité de l'exercice du droit d'option.
On ajoutera que, conformément à ce que le tribunal cantonal a indiqué, le fait de se prévaloir du dépassement du délai de trois mois pour se départir du choix du régime d'assurance effectué quelques neuf ans auparavant en toute connaissance de cause est un comportement contradictoire constitutif d'un abus de droit (à cet égard, cf. <ref-ruling> consid. 4.1 p. 76 par analogie).
6.
6.1. La recourante conteste cependant avoir été dûment renseignée et d'avoir ainsi exercé le droit d'option en toute connaissance de cause. Substantiellement, elle prétend qu'elle n'a pas reçu le document informatif censé être joint au formulaire concernant le droit d'option et que les quelques indications qui lui avaient été données par son courtier en assurances étaient lacunaires et orientées.
6.2. Ce grief n'est d'aucune utilité à l'intéressée. Peu importe de savoir si celle-ci a concrètement reçu le document évoqué, si les explications des autorités administratives et judiciaires à ce sujet sont convaincantes, ou pas, ou si les informations transmises par le courtier en assurances étaient complètes, ou pas, puisque les premiers juges ont établi que la recourante avait opté pour l'assurance dans son pays de résidence en signant le 8 septembre 2006 un formulaire sur lequel l'irrévocabilité de son choix était en outre expressément mentionnée. La seule signature de ce formulaire permet assurément de retenir que l'intéressée a exercé son droit d'option en étant renseignée sur les implications de son choix. Le fait que la législation française applicable à l'époque autorisait, à titre provisoire (cf. <ref-ruling> consid. 3.4.3 p. 197), la conclusion d'un contrat avec un assureur privé relevait de la compétence exclusive des autorités françaises, comme mentionné par le tribunal cantonal sur la base de la récente jurisprudence du Tribunal fédéral (cf. <ref-ruling> consid. 5.2 p. 199 s.). Il n'appartenait donc pas à l'administration genevoise de renseigner la recourante sur le "droit de sous-option", au contraire de ce que celle-ci soutient. S'il est exact que les notes conjointes relatives à l'exercice du droit d'option en matière d'assurance maladie dans le cadre de l'Accord du 21 juin 1999 entre la Confédération suisse, d'une part, et la Communauté européenne et ses Etats membres, d'autre part, sur la libre circulation des personnes (ci-après l'ALCP; RS 0.142.112.681) mentionnent cette problématique depuis 2008 et si cet effort conjoint de la Suisse et de la France est positif, il n'en demeure pas moins que tel n'était pas le cas auparavant et que cet élément ne faisait pas - et ne fait toujours pas - partie du devoir d'information des autorités suisses. On ne peut dès lors faire grief à la juridiction cantonale d'avoir fait preuve d'arbitraire en considérant que l'intéressée avait eu assez d'informations pour faire un choix éclairé et que celle-ci abusait de son droit en contestant son droit d'option neuf ans après l'avoir valablement et sciemment exercé.
7.
7.1. La recourante conteste également le caractère irrévocable du droit d'option, dans la mesure où le service intimé a permis à des frontaliers qui se trouvaient dans une situation identique à la sienne de réintégrer le régime suisse d'assurance-maladie, et produit une lettre censée attester ce fait. En outre, elle prétend que la réintégration de certains frontaliers contrevient au principe d'égalité de traitement.
7.2. Ce nouveau grief n'est pas plus fondé que les griefs déjà soulevés précédemment. On notera effectivement que les législations suisses et françaises ont été adaptées afin de prendre en compte le droit d'option instauré par la réglementation européenne (à ce propos, cf. <ref-ruling> consid. 3 p. 194 ss). Dans ce cadre juridique, il a été convenu que le droit d'option ne pouvait être exercé qu'une seule fois à moins qu'un "nouveau fait générateur" n'intervienne. Cette notion de fait générateur a été interprétée de concert par les autorités suisses et françaises, qui en ont dressé la liste exhaustive dont ne fait pas partie le transfert des frontaliers bénéficiant d'un contrat d'assurance privé dans le régime de la CMU (cf. GHISLAINE RIONDEL, La prise en charge des soins de santé dans un contexte transfrontalier européen, 2016, nos 676 s. p. 344 s.). Qu'il existe des situations dans lesquelles comme l'allègue l'intéressée un frontalier particulier a pu réintégrer le régime suisse d'assurance ne change rien au système du droit d'option dit "irrévocable" mis en place d'autant moins que, même si en l'occurrence un courrier passablement détaillé a été produit, on ignore beaucoup des circonstances concrètes dans lesquelles la réintégration évoquée s'est passée.
On ajoutera que, de toute façon, la recourante ne peut valablement se prévaloir du principe de l'égalité de traitement en l'espèce dès lors que ce principe cède - en général - le pas à celui de la légalité de l'activité administrative. Or, afin de pouvoir se prétendre victime d'une inégalité devant la loi, alors que celle-ci a été correctement appliquée à son cas mais pas à d'autres, encore faut-il démontrer que l'administration a fait de l'inobservation de la loi une pratique constante sur laquelle elle n'a pas l'intention de revenir (sur le principe d'égalité dans l'illégalité, cf. p. ex. <ref-ruling> consid. 7.1 p. 61), ce qui n'est de toute évidence pas le cas en l'espèce.
8.
8.1. Toujours en lien avec le caractère irrévocable du droit d'option, la recourante reproche enfin aux premiers juges d'avoir violé l'art. 5 Cst. Substantiellement, elle soutient qu'il n'existe pas de base légale qui lui interdirait de réintégrer le régime suisse de l'assurance obligatoire des soins ou qu'une telle interdiction serait contraire aux buts de l'ALCP.
8.2. Ce grief est infondé. On relèvera effectivement que si les annexes de l'ALCP et des règlements en découlant prévoient le droit d'option (cf. RIONDEL, op. cit., nos 658 ss p. 336 ss), les modalités d'exercice de ce droit (dont le caractère relativement irrévocable, dès lors que celui-ci peut être exercé une nouvelle fois dès qu'un nouveau fait générateur se produit) ont été arrêtées par les autorités compétentes en Suisse et en France dès 2002 et figurent dès 2008 dans une note conjointe plusieurs fois modifiée par la suite afin d'unifier la procédure d'exercice dudit droit (cf. RIONDEL, op. cit., no 675 p. 344). Le caractère irrévocable du droit d'option était ainsi connu depuis l'origine (puisqu'il est mentionné dans le formulaire signé par l'intéressée le 8 septembre 2009) et tous les frontaliers en étaient dûment informés. Si la notion d'irrévocabilité pouvait leur sembler vague et discutable, rien ne les empêchait de requérir des précisions à ce propos. On ajoutera que, contrairement à ce qu'affirme la recourante, le caractère irrévocable du droit d'option et ses implications, résultat de la collaboration interinstitutionnelle franco-suisse, ne sauraient être qualifiés de contraires aux buts de l'ALCP puisque l'entente évoquée a justement permis d'aboutir à la coordination des systèmes de sécurité sociale dans le respect notamment du principe d'égalité de traitement. On rappellera à ce sujet que les difficultés consécutives à l'abrogation du droit de sous-option par la France ont été réglées conformément aux modalités d'exercice du droit d'option qui avaient été discutées par les deux Etats et précisées par l'Accord des 30 juin et 7 juillet 2016 entre les autorités compétentes de la Confédération suisse et de la République française concernant la possibilité d'exemption de l'assurance-maladie suisse.
9.
Etant donné l'issue du litige, les frais judiciaires doivent être supportés par la recourante (art. 66 al. 1 LTF).

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce :
1.
Le recours constitutionnel subsidiaire est irrecevable.
2.
Le recours en matière de droit public est rejeté.
3.
Les frais judiciaires, arrêtés à 500 fr., sont mis à la charge de la recourante.
4.
Le présent arrêt est communiqué aux parties, à la Cour de justice de la République et canton de Genève, Chambre des assurances sociales, et à l'Office fédéral de la santé publique.
Lucerne, le 27 mars 2017
Au nom de la IIe Cour de droit social
du Tribunal fédéral suisse
La Présidente : Pfiffner
Le Greffier : Cretton