Sachverhalt:
A.
A.a. A._ (Versicherter, Kläger, Beschwerdeführer), geboren xxx, war ab April 1992 als Mitarbeiter im Aussendienst bei der B._ AG (Versicherung, Beklagte, Beschwerdegegnerin) angestellt und bei dieser im Rahmen einer kollektiven Krankentaggeldversicherung versichert.
A.b. Am 15. März 2012 meldete der Versicherte seiner Versicherung eine seit dem 9. März 2012 bestehende Erwerbsunfähigkeit. Die Versicherung veranlasste daraufhin eine internistische und psychiatrische Begutachtung des Versicherten. Ab dem 25. Mai 2012 zahlte die Versicherung keine Taggeldleistungen mehr aus.
A.c. Mit Schreiben vom 25. Juni 2012 kündigte die Versicherung als Arbeitgeberin das Arbeitsverhältnis mit dem Versicherten auf den nächstmöglichen Kündigungstermin.
B.
Am 6. Oktober (Poststempel vom 12. November) 2013 erhob der Versicherte beim Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich Klage gegen die Versicherung und beantragte, diese sei zur Zahlung von Taggeldern in der Höhe von Fr. 135'704.40 nebst Zins zu verpflichten. Eventuell sei ein Obergutachten zu veranlassen. Der Versicherte macht geltend, er sei bis zum 31. März 2013 weiter zu 100 % arbeitsunfähig gewesen.
Mit Urteil vom 28. September 2015 wies das Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich die Klage ab. Es kam zum Schluss, der Versicherte sei ab dem 24. Mai 2012 zu 100 % arbeitsfähig gewesen. Das Sozialversicherungsgericht stützte sich dabei auf das von der Versicherung eingeholte Privatgutachten von Dr. med. C._, Facharzt für Psychiatrie und Psychotherapie, mitunterzeichnet von Prof. D._. Als wenig überzeugend würdigte das Gericht demgegenüber mehrere Arztberichte von med. pract. E._ und ein vom Versicherten eingeholtes Privatgutachten von med. pract. F._, Assistenzärztin, visiert von Dr. med. G._, Facharzt für Psychiatrie und Psychotherapie.
C.
Mit Beschwerde in Zivilsachen vom 13. November 2015 beantragt der Versicherte dem Bundesgericht, das Urteil des Sozialversicherungsgerichts des Kantons Zürich sei aufzuheben und die Versicherung sei zur Zahlung von Taggeldern von Fr. 135'704.40 nebst Zins zu verpflichten; eventualiter sei ein Obergutachten unter Berücksichtigung der Vorschläge des Beschwerdeführers betreffend Gutachter zu veranlassen; subeventualiter sei die Sache an die Vorinstanz zur Veranlassung eines Obergutachtens unter Berücksichtigung der Vorschläge des Beschwerdeführers betreffend Gutachter zurückzuweisen.
Die Beschwerdegegnerin beantragt die Abweisung der Beschwerde. Die Vorinstanz hat auf Vernehmlassung verzichtet.
Der Beschwerdeführer hat eine Replik eingereicht.

Erwägungen:
1.
Zu beurteilen ist die Leistungspflicht aus einer Zusatzversicherung zur sozialen Krankenversicherung. Derartige Zusatzversicherungen unterstehen gemäss Art. 12 Abs. 2 und 3 des Bundesgesetzes vom 18. März 1994 über die Krankenversicherung (KVG; SR 832.10) dem Bundesgesetz vom 2. April 1908 über den Versicherungsvertrag (VVG; SR 221.229.1). Streitigkeiten aus solchen Versicherungen sind privatrechtlicher Natur, womit als Rechtsmittel an das Bundesgericht die Beschwerde in Zivilsachen gemäss <ref-law> in Betracht kommt (<ref-ruling> E. 1.1 S. 3; <ref-ruling> E. 2.1 S. 441 f. mit Hinweis).
Die Beschwerde richtet sich gegen einen Endentscheid (<ref-law>). Das Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich hat als einzige kantonale Instanz im Sinne von <ref-law> und <ref-law> entschieden, weshalb die Beschwerde in vermögensrechtlichen Angelegenheiten gemäss <ref-law> unabhängig vom Erreichen der Streitwertgrenze nach <ref-law> zulässig ist (vgl. <ref-ruling> E. 1.2.2 S. 4 ff., 799 E. 1.1 S. 800). Die Beschwerdefrist ist eingehalten (<ref-law>). Da auch die übrigen Sachurteilsvoraussetzungen erfüllt sind, ist unter Vorbehalt rechtsgenügend begründeter Rügen auf die Beschwerde einzutreten.
2.
Der Beschwerdeführer rügt, die Vorinstanz sei zu Unrecht zum Schluss gekommen, er sei ab dem 24. Mai 2012 zu 100 % arbeitsfähig gewesen. Die Vorinstanz habe zudem in willkürlicher antizipierter Beweiswürdigung die Einholung eines Obergutachtens abgelehnt.
2.1. Die Vorinstanz kam zum Schluss, die Vorbringen des Beschwerdeführers seien nicht geeignet, Zweifel an der Qualität des (von der Beschwerdegegnerin eingeholten) Gutachtens C._/D._ zu begründen. Das Gutachten erweise sich weder als unklar noch als widersprüchlich. Vielmehr überzeuge es sowohl betreffend die Diagnose einer leichten depressiven Episode als auch betreffend die Einschätzung, wonach eine Arbeitsfähigkeit zu 100 % für die angestammte sowie für vergleichbare Tätigkeiten vorliege. Die durch Dr. C._ erhobenen Befunde, die Tatsache, dass keine antidepressive Medikation eingenommen werde und das beachtliche Aktivitätsniveau des Beschwerdeführers liessen die Schlussfolgerungen von Dr. C._ als nachvollziehbar und plausibel erscheinen. Daran würden die Ausführungen von med. pract. F._ und Dr. G._ zur therapeutischen Wirkung sportlicher Aktivität nichts ändern. Ausserdem stelle der Umstand, dass der Beschwerdeführer in der Lage gewesen sei, zwei Mal kurz hintereinander eine Ferienreise nach Spanien zu unternehmen und durchzustehen, ein deutlicher Hinweis auf eine lediglich leichte depressive Erkrankung dar, hätten hierfür doch Vorbereitungen getroffen, jeweils eine mehrstündige Reise absolviert und Situationen fernab von zuhause gemeistert werden müssen. Dabei könne offenbleiben, ob die Reise auf Anraten des Arztes erfolgt sei.
Demgegenüber bestünden Vorbehalte in Bezug auf das Privatgutachten F._/G._. Das Gutachten sei von Dr. G._ lediglich visiert worden, mithin von med. pract. F._ verfasst worden, die zum Zeitpunkt der Begutachtung ihre Facharztausbildung noch nicht abgeschlossen habe. Die Gutachter C._/D._ hätten sich denn auch gegen die wenig überzeugende These von med. pract. F._ und Dr. G._ gewandt, wonach es durch die Einstellung der Krankentaggelder zu einer zweiten (zweistufigen) Zurücksetzung des Beschwerdeführers durch die Beschwerdegegnerin gekommen sei. Hinsichtlich der Berichte von med. pract. E._ sei darauf hinzuweisen, dass dieser die von ihm gestellte Diagnose einer Anpassungsstörung und einer Arbeitsunfähigkeit von 100 % nicht ausreichend begründet habe.
Zusammenfassend sei erstellt, dass sowohl aus somatischer wie auch aus psychiatrischer Sicht gestützt auf das Gutachten von Dr. C._ in der angestammten wie auch in einer Verweistätigkeit ab dem 24. Mai 2012 eine Arbeitsfähigkeit von 100 % bestanden habe. Angesichts der Würdigung der medizinischen Akten und der geschilderten Umstände sei von der Veranlassung eines Obergutachtens abzusehen, da nicht ersichtlich sei, inwiefern die vom Beschwerdeführer geforderte Anordnung eines Gutachtens neue, für die Beurteilung des vorliegenden Falls entscheidende Erkenntnisse liefern könnte.
2.2. Nach Ansicht des Beschwerdeführers zeigt sich die einseitige Haltung der Vorinstanz bereits darin, dass sie vom "Gutachten" C._/D._, demgegenüber aber vom "Privatgutachten" F._/G._ ausgehe, obwohl auch das Gutachten C._/D._ von einer Partei, nämlich der Beschwerdegegnerin, eingeholt worden sei. Die Vorinstanz habe einseitig die Position des Gutachtens C._/D._ übernommen. Die Einholung eines Obergutachtens habe sie willkürlich abgelehnt; da das Gutachten D._/C._ unvollständig sei, wäre sie dazu aber verpflichtet gewesen, wenn das Gutachten F._/G._ nach Ansicht der Vorinstanz nicht als Entscheidgrundlage genüge.
2.3. Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (<ref-law>). Es ist somit weder an die in der Beschwerde geltend gemachten Argumente noch an die Erwägungen der Vorinstanz gebunden; es kann eine Beschwerde aus einem anderen als dem angerufenen Grund gutheissen und es kann eine Beschwerde mit einer von der Argumentation der Vorinstanz abweichenden Begründung abweisen (vgl. <ref-ruling> E. 1.4.1 S. 254; <ref-ruling> E. 2.5 S. 262; <ref-ruling> E. 1.4 S. 140).
2.4. Der Anspruch auf rechtliches Gehör (<ref-law> und <ref-law>) verlangt, dass das Gericht die Vorbringen des vom Entscheid in seiner Rechtsstellung Betroffenen auch tatsächlich hört, prüft und in der Entscheidfindung berücksichtigt (<ref-ruling> E. 4.1 S. 88 mit Hinweisen). Er umfasst als Mitwirkungsrecht alle Befugnisse, die einer Partei einzuräumen sind, damit sie in einem Verfahren ihren Standpunkt wirksam zur Geltung bringen kann (<ref-ruling> E. 3.2 S. 272 mit Hinweisen). Der Anspruch auf rechtliches Gehör schliesst indessen die antizipierte Beweiswürdigung nicht aus. Das Gericht darf auf die Abnahme beantragter Beweise verzichten, wenn es aufgrund bereits abgenommener Beweise seine Überzeugung gebildet hat und ohne Willkür in vorweggenommener Beweiswürdigung annehmen kann, dass seine Überzeugung durch weitere Beweiserhebungen nicht geändert würde (<ref-ruling> E. 5.3 S. 236; <ref-ruling> E. 5.3 S. 148; <ref-ruling> E. 3 S. 157). Das Bundesgericht greift in eine antizipierte Beweiswürdigung nur ein, wenn sie willkürlich und damit offensichtlich unhaltbar ist (<ref-law>; <ref-ruling> E. 5.3 S. 236; <ref-ruling> E. 5.3 S. 148; <ref-ruling> E. 3 S. 157).
2.5. Im vorinstanzlichen Verfahren war die ZPO die massgebliche Verfahrensordnung (vgl. <ref-ruling> E. 2.4 S. 436; <ref-ruling> E. 3.2 S. 561). Nach der bundesgerichtlichen Rechtsprechung stellt ein Privatgutachten kein Beweismittel i.S.v. <ref-law> dar (dazu ausführlich <ref-ruling> E. 2 S. 433 ff. mit Hinweisen). Wird eine Tatsachenbehauptung einer Partei von der Gegenpartei substanziiert bestritten, so vermögen Parteigutachten als reine Parteibehauptungen diese allein nicht zu beweisen (<ref-ruling> E. 2.6 S. 438; vgl. auch <ref-ruling> E. 3.5 S. 88). Als Parteibehauptungen mögen sie allenfalls zusammen mit - durch Beweismittel nachgewiesenen - Indizien den Beweis zu erbringen. Werden sie aber nicht durch Indizien gestützt, so dürfen sie als bestrittene Behauptungen nicht als erwiesen erachtet werden (<ref-ruling> E. 2.6 S. 438).
Diese Grundsätze hat die Vorinstanz verkannt, indem sie die beiden Privatgutachten C._/D._ und F._/G._ wie Beweismittel gewürdigt und schliesslich gestützt auf das Privatgutachten C._/D._ zum Schluss kam, die Beschwerdegegnerin habe (sogar) den Beweis des Gegenteils erbracht, wonach der Beschwerdeführer ab dem 24. Mai 2012 voll arbeitsfähig gewesen sei. Wohl hat sie sich neben dem Privatgutachten C._/D._ auch auf die Indizien der Ferienreisen, der sportlichen Aktivität des Beschwerdeführers und auf die fehlende Verschreibung von Psychopharmaka gestützt. Die Vorinstanz liess indessen offen, ob diese Reisen - wie vom Beschwerdeführer geltend gemacht - auf ärztlichen Rat durchgeführt worden seien. Gemäss den vorinstanzlichen Feststellungen wiesen med. pract. F._ und Dr. G._ auch in Bezug auf die sportliche Aktivität auf deren therapeutische Wirkung hin. Auf die Abgabe von Psychopharmaka ist nach Angaben des Beschwerdeführers wegen seines Magengeschwürs verzichtet worden. Dass der Beschwerdeführer an einem schweren Magengeschwür litt, lässt sich auch den vorinstanzlichen Feststellungen entnehmen.
Die drei genannten unbestrittenen Tatsachen (Reisen nach Spanien, sportliche Aktivität, keine Psychopharmaka) sind vor diesem Hintergrund offensichtlich ungenügend, um als alleinige Indizien zusammen mit den Parteibehauptungen (Privatgutachten C._/D._) den Beweis des Gegenteils zu erbringen, wonach der Beschwerdeführer ab dem 24. Mai 2012 voll arbeitsfähig gewesen sei. Die Vorinstanz hätte bei dieser ungenügenden Beweislage und angesichts der substanziierten Behauptungen (namentlich Privatgutachten F._/ G._) und Bestreitungen (Privatgutachten C._/ D._) nicht auf die Einholung eines beantragten gerichtlichen Gutachtens verzichten dürfen. Die Abweisung des entsprechenden Antrags - welchen der Beschwerdeführer entgegen der Ansicht der Beschwerdegegnerin bereits vor der Vorinstanz gestellt hat - stellt somit eine willkürliche antizipierte Beweiswürdigung dar und verletzt das rechtliche Gehör des Beschwerdeführers. Der angefochtene Entscheid ist daher aufzuheben und die Sache ist zur Einholung eines gerichtlichen Gutachtens, zur anschliessenden Ergänzung des Sachverhalts und zu neuer Entscheidung an die Vorinstanz zurückzuweisen.
3.
Nach dem Dargelegten ist die Beschwerde teilweise gutzuheissen, das Urteil des Sozialversicherungsgerichts des Kantons Zürich vom 28. September 2015 ist aufzuheben und die Sache ist zur Ergänzung des Sachverhalts und zu neuer Entscheidung an die Vorinstanz zurückzuweisen.
Der Beschwerdeführer dringt mit seinen Begehren nur teilweise durch. Da zum jetzigen Zeitpunkt zudem noch ungewiss ist, ob und in welchem Umfang er in der Sache obsiegen wird, erscheint es gerechtfertigt, die Kosten für das bundesgerichtliche Verfahren den Parteien je zur Hälfte aufzuerlegen (<ref-law>) und die Parteikosten wettzuschlagen (Art. 68 Abs. 1 und 2 BGG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird teilweise gutgeheissen und das Urteil des Sozialversicherungsgerichts des Kantons Zürich vom 28. September 2015 wird aufgehoben. Die Sache wird zur Ergänzung des Sachverhalts und zu neuer Entscheidung an die Vorinstanz zurückgewiesen.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 5'000.-- werden den Parteien je zur Hälfte auferlegt.
3.
Es wird keine Parteientschädigung zugesprochen.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich, II. Kammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 24. Mai 2016
Im Namen der I. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Kiss
Die Gerichtsschreiberin: Marti-Schreier