Sachverhalt:
A.
Der 2009 geborene C.A._ wohnt mit seinen Eltern, deren Hauptsprache Serbisch ist, in U._. In einem ersten Bericht des Schulpsychologischen Dienstes vom 16. Mai 2013 wurde festgestellt, dass C.A._ von den Eltern überbehütet und verwöhnt werde und deshalb von vielen wichtigen Erfahrungen im Umgang mit Kindern, von der (nur rudimentär beherrschten) deutschen Sprache, von Spiel, Gefahren alltäglichen Gegenständen und Situationen ferngehalten werde. Der Schulrat der Politischen Gemeinde U._ verfügte den Aufschub der Einschulung in den Kindergarten um ein Jahr.
Gestützt auf Feststellungen der Logopädin wurde C.A._ im Mai/Juni 2014 erneut schulpsychologisch abgeklärt (Berichte des Schulpsychologischen Dienstes vom 10. Juni und 11. Juli 2014). Die Untersuchung ergab Entwicklungsrückstände im kognitiven, sprachlichen und emotionalen Bereich sowie insgesamt deutlich unterdurchschnittliche nonverbale intellektuelle Fähigkeiten; Entwicklungsbedarf wurde insbesondere im Bedürfnisaufschub, in der Regelbefolgung und in der Arbeitseinstellung geortet. Trotz des Entwicklungsrückstands besuchte C.A._ gemäss Empfehlung der Schulpsychologin ab dem Schuljahr 2014/15 den Regelkindergarten, allerdings mit integriertem schulischem Förderunterricht (ISF) in der Kleingruppe; zusätzlich erhielt C.A._ im Verlauf des ersten Kindergartenjahres heilpädagogische Früherziehung von wöchentlich zwei Stunden und Deutschunterricht für Kinder mit Migrationshintergrund. Eine dritte schulpsychologische Standortbestimmung fand am 19. Mai 2015 statt. Gemäss dem entsprechenden Bericht vom 12. Juni 2015 ergaben sich wiederum für die Altersstufe deutlich unterdurchschnittliche nonverbale intellektuelle Fähigkeiten, Schwierigkeiten beim Ziehen von Schlussfolgerungen und beim Erkennen von komplexeren Zusammenhängen und eine tiefe Verarbeitungsgeschwindigkeit. Im sprachlichen Denken lagen die Leistungen drei Standardabweichungen unterhalb des Altersdurchschnitts, u.a. zurückzuführen auf geringen, weit unterdurchschnittlichen Wortschatz, weshalb es C.A._ schwerfalle, sprachliche Informationen zu verstehen und sich mit Worten auszudrücken. Weit unterdurchschnittliche Leistungen wurden auch im Umgang mit Zahlen und beim mathematisch logischen Denken festgestellt. Weiter erschien die motorische Entwicklung zurückgeblieben, was sich bei der unsicheren Stiftführung und beim Treppensteigen bemerkbar mache. Es wurde erkannt, dass C.A._ einen kleinen Klassenverband, viel Einzelbetreuung und seinen Bedürfnissen angepasste Schulstrukturen benötige. Der Schulrat der Politischen Gemeinde U._ verfügte am 16. Juni 2015 für C.A._ die externe Sonderschulung in der Heilpädagogischen Schule (HPS) U._ "ab dem Schuljahr 2015/16".
Gegen diese Verfügung wurde durch die Eltern von C.A._ Rekurs an den Erziehungsrat des Kantons St. Gallen erhoben. Dieser betraute ein Mitglied der vorbereitenden Arbeitsgruppe für Rekursentscheide mit weiteren Sachverhaltsabklärungen. Das Mitglied besuchte und beobachtete C.A._ im Kindergarten und führte Gespräche mit seiner Lehrerin, der Schulischen Heilpädagogin, der Lehrperson für Deutsch für Kinder mit Migrationshintergrund, der Schulpsychologin, der Schulleitung, dem Schulrat und den Eltern. Er empfahl gestützt auf seine Beobachtungen die Abweisung des Rekurses. Der Erziehungsrat wies den Rekurs mit Entscheid vom 16. Dezember 2015 ab. Die gegen diesen Rekursentscheid erhobene Beschwerde wies das Verwaltungsgericht des Kantons St. Gallen mit Entscheid vom 28. Juni 2016 ab.
B.
Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten vom 14. August 2016 beantragt C.A._, handelnd durch seine Eltern als gesetzliche Vertreter, dem Bundesgericht, der Entscheid des Verwaltungsgerichts sei aufzuheben und es sei festzustellen, dass er in eine Kleinklasse umgeschult werde.
Die Akten des Verwaltungsgerichts sind eingeholt, ein Schriftenwechsel ist nicht angeordnet worden.
Mit dem vorliegenden instanzabschliessenden Urteil wird das Gesuch um aufschiebende Wirkung bzw. vorsorgliche Massnahmen gegenstandslos.

Erwägungen:
1.
1.1. Gemäss Art. 89 Abs. 1 lit. b und c BGG ist zur Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten berechtigt, wer durch den angefochtenen Entscheid besonders berührt ist und ein schutzwürdiges Interesse an dessen Aufhebung oder Änderung hat. Erforderlich ist in der Regel ein aktuelles praktisches Interesse; davon sieht das Bundesgericht ausnahmsweise ab, wenn sich die aufgeworfenen Fragen unter gleichen oder ähnlichen Umständen jederzeit wieder stellen können, eine rechtzeitige Überprüfung im Einzelfall kaum je möglich wäre und deren Beantwortung wegen deren grundsätzlichen Bedeutung im öffentlichen Interesse liegt (Art. 139 I 206 E. 1.1 S. 208 mit Hinweisen).
Ausgangspunkt des vorliegenden Beschwerdeverfahrens ist der Entscheid über die Schulzuweisung ab dem Schuljahr 2015/16, welches abgelaufen ist. Aus den vom Verwaltungsgericht eingereichten Akten ergibt sich, dass C.A._ gestützt auf die aufschiebende Wirkung während der Dauer der Rechtsmittelverfahren gegen den Entscheid des Schulrats offenbar im Regelkindergarten verblieb. Zudem hat die Schulleitung der Kindergärten U._ unter Berücksichtigung eines Berichts der von den Eltern beigezogenen privaten Psychologin/Sonderpädagogin, Dr. D._, vom 18. Februar 2016 am 7. April 2016 unter Hinweis auf das Einverständnis der Eltern entschieden, dass C.A._ auf den Schuljahresbeginn 2016/17 ins Einschulungsjahr im U._ übertrete (Schreiben des Schulleiters der Kindergärten U._ vom 7. April 2016). Andererseits stellt das Verwaltungsgericht in E. 6 fest, dass das Schreiben der Kindergärten-Schulleitung, deren Zuständigkeit sie in Zweifel zieht, nichts daran ändere, dass C.A._ ab dem Schuljahr 2016/17 die HPS U._ besuche (dazu nachfolgend E. 4). Unter diesen Umständen besteht ein hinreichendes schutzwürdiges Interesse des Beschwerdeführers an der Beurteilung seiner Rügen.
1.2. Gemäss Art. 42 Abs. 1 und 2 BGG haben Rechtsschriften die Begehren und deren Begründung zu enthalten. In der Begründung ist in gedrängter Form darzulegen, inwiefern der angefochtene Akt schweizerisches Recht (<ref-law>) verletze. Die Begründung muss sachbezogen sein; die Beschwerde führende Partei hat in gezielter Auseinandersetzung mit den für das Ergebnis des angefochtenen Entscheids massgeblichen Erwägungen plausibel aufzuzeigen, welche Rechte bzw. Rechtsnormen die Vorinstanz verletzt haben soll (<ref-ruling> E. 2 S. 88 f. mit Hinweisen). Diesen Anforderungen genügt die Beschwerdeschrift nur knapp und bloss teilweise.
2.
2.1. Für das Schulwesen sind die Kantone zuständig (<ref-law>). Sie sorgen für einen ausreichenden, an öffentlichen Schulen unentgeltlichen Grundschulunterricht, der obligatorisch ist und allen Kindern offen steht (Art. 19 und Art. 62 Abs. 2 BV). Die Kantone sorgen sodann für eine ausreichende Sonderschulung aller behinderten Kinder und Jugendlichen bis längstens zum vollendeten 20. Lebensjahr (<ref-law>). Gemäss Art. 20 des Bundesgesetzes vom 13. Dezember 2002 über die Beseitigung von Benachteiligungen von Menschen mit Behinderungen (Behindertengleichstellungsgesetz [BehiG; SR 151.3]) sorgen die Kantone dafür, dass behinderte Kinder und Jugendliche eine Grundausbildung erhalten, die ihren besonderen Bedürfnissen entspricht (Abs. 1). Die Kantone fördern, soweit dies möglich ist und dem Wohl des behinderten Kindes oder Jugendlichen dient, mit entsprechenden Schulungsformen die Integration behinderter Kinder und Jugendlicher in die Regelschule (Abs. 2). Aus der Verfassung und der Bundesgesetzgebung ergibt sich ein Anspruch gegenüber dem Kanton auf eine den individuellen Fähigkeiten des Kindes und seiner Persönlichkeitsentwicklung entsprechende und im Interesse des Kindswohls stehende unentgeltliche Grundschulausbildung an einer öffentlichen Schule. Die Kantone haben zur Umsetzung dieses Anspruchs Bestimmungen über sonderpädagogische Massnahmen und Sonderschulen aufzustellen.
Der Kanton St. Gallen konkretisiert diesen Auftrag mit Art. 34 ff. des Volksschulgesetzes vom 13. Januar 1983 (VSG). Gemäss Art. 34 und Art. 35 Abs. 1 VSG unterstützen sonderpädagogische Massnahmen schulpflichtige Kinder mit besonderem Bildungsbedarf, namentlich mit Schulschwierigkeiten, Verzögerungen oder Beeinträchtigungen in der Entwicklung, Behinderungen oder besonderen Begabungen. Sonderpädagogische Massnahmen orientieren sich gemäss Art. 35 VSG am Bedarf der Kinder in Erfüllung des Erziehungs- und Bildungsauftrags, unter Berücksichtigung des Aufwandes von Schulgemeinde und Kanton (Abs. 1). Die Abgrenzung zwischen Regelschule oder Sonderschule regelt Art. 35bis VSG: Gemäss Abs. 1 besuchen Schüler mit besonderem Bildungsbedarf die Regelklasse oder Kleinklasse, wenn sie vom Unterricht profitieren und das soziale Gefüge der Klasse wahrnehmen können (lit. a); der Besuch für die Erfüllung des Erziehungs- und Bildungsauftrags geeignet, erforderlich und zumutbar ist (lit. b); nicht überwiegende Interessen der Klasse oder des Umfeldes entgegenstehen (lit. c). Sind diese Voraussetzungen nicht erfüllt, besuchen Schüler mit besonderem Bildungsbedarf eine Sonderschule (Abs. 3).
2.2. Vorliegend wird nicht grundsätzlich bestritten, dass besonderer Bildungsbedarf besteht. Der Beschwerdeführer ist indessen der Auffassung, dem könne mit der Zuweisung in eine Kleinklasse begegnet werden, während die Behörden den Besuch einer Sonderschule für notwendig erachten. Ob der Beschwerdeführer die Voraussetzungen für den Besuch einer Kleinklasse erfüllt, hängt von der Beurteilung seiner Fähigkeiten und Beeinträchtigungen ab, wofür ein Fachgutachten einzuholen ist, wie dies Art. 36bis Abs. 1 VSG vorschreibt (Gutachten der Abklärungsstelle, Schulpsychologischer Dienst). Die Behörden haben im Falle des Beschwerdeführers insgesamt drei Berichte des Schulpsychologischen Dienstes eingeholt. Die Eltern des Beschwerdeführers haben ihrerseits in Serbien drei kinderärztliche und psychologische Gutachten von zwei spezialisierten Ärzten beschafft, die sie im Verlaufe des Rekursverfahrens dem Erziehungsrat vorlegten. Zudem reichten sie im vorinstanzlichen Verfahren einen Kurzbericht der privat konsultierten Psychologin, Dr. D._, vom 18. Februar 2016 vor. Das Verwaltungsgericht zieht aus den verschiedenen Fachberichten sowie aus den Beobachtungen des Mitglieds der vorbereitenden Arbeitsgruppe für Rekursentscheide des Erziehungsrats insgesamt den Schluss, dass der Beschwerdeführer dem Regelunterricht nicht zu folgen vermöge. Dabei handelt es sich vorab um eine auf Beweiswürdigung beruhende Sachverhaltsfeststellung. Sachverhaltsfeststellungen sind für das Bundesgericht verbindlich, es sei denn, die Partei zeige auf, dass sie qualifiziert falsch oder in Verletzung von Verfahrensvorschriften getroffen worden sind; entsprechende Mängel sind spezifisch geltend zu machen und zu begründen, sofern sie nicht ins Auge springen (vgl. Art. 105 Abs. 1 und Art. 97 Abs. 1 sowie Art. 105 Abs. 2 BGG; dazu <ref-ruling> E. 2.3 S. 266; <ref-ruling> E. 4.1.2 S. 62 mit Hinweisen). Ausgehend von dieser Feststellung erkennt das Verwaltungsgericht, dass der Besuch der Heilpädagogischen Sonderschule U._ bedarfsgerecht sei und sich aus der Sicht des Kindeswohls aufdränge. Diese auf kantonalem Recht beruhende Erkenntnis kann das Bundesgericht primär nur auf Willkür prüfen; frei prüft es bloss, ob das entsprechende Resultat den bundesrechtlichen Mindestgrundsätzen (Behindertengleichstellungsgesetz, Art. 19 und Art. 62 BV) entspricht (<ref-ruling> E. 3.3 S. 166 mit Hinweisen).
3.
3.1. Der Beschwerdeführer rügt, die Behörden hätten den Fall nicht rechtsgenügend abgeklärt; das Verwaltungsgericht habe diesen Mangel übersehen und somit einen Entscheid unter rechtsungenügender Abklärung des Sachverhalts getroffen und das Bundesrecht verletzt. Dabei macht er geltend, die Abklärungen des Schulpsychologischen Dienstes erfüllten die Voraussetzungen einer Begutachtung nicht, weil dabei kein Bericht des Hausarztes - dieser behaupte, dass er völlig normal entwickelt und in der Lage sei, den Schulunterricht zu verfolgen - eingeholt worden sei. Weiter wird bemängelt, dass der Bericht von Prof. E._ aus Belgrad vom 28. Juli 2015 vom Verwaltungsgericht nur erwähnt, hingegen zu wenig berücksichtigt worden sei, wobei es versuche, ihn zu bagatellisieren. Weiter wird erwähnt, dass die Psychologin Dr. D._ in ihrem Bericht vom 18. Februar 2016 festgestellt habe, der Beschwerdeführer solle nicht die Sonderschule besuchen. Nach Auffassung des Beschwerdeführers hätte angesichts der "extrem unterschiedliche (n) Berichte der Fachleute" nicht nur auf die Meinung des Schulpsychologischen Dienstes abgestellt werden dürfen, sondern wäre eine (weitere) Begutachtung anzuordnen gewesen; alle anderen Meinungen seien abgewertet worden; insofern habe das Verwaltungsgericht eine Überschreitung des freien Ermessens begangen.
3.2. Das Verwaltungsgericht schildert die Wesenszüge der Sonderpädagogik im Kanton St. Gallen und den von den Behörden einzuschlagenden Weg, namentlich die Bedeutung der schulpsychologischen Abklärung. Zu den entsprechenden Darlegungen (E. 3 des angefochtenen Entscheids) lässt sich der Beschwerdeschrift nichts entnehmen, und es ist nicht ersichtlich, inwiefern dadurch schweizerisches Recht verletzt worden wäre. Dasselbe gilt für die Frage der beschränkten Kognition des Verwaltungsgerichts (E. 4). Ebenso wenig lassen sich die Erwägungen des Verwaltungsgerichts über das Gewicht von Gutachten und das Verhältnis zwischen behördlichen Gutachten und privaten Expertisen (E. 5.2) beanstanden. In E. 5.3 und 5.4 wie auch im Sachverhaltsteil (Buchstabe A) schildert das Verwaltungsgericht die behördlichen Abklärungen; namentlich werden die eigenen Wahrnehmungen des Mitglieds der vorbereitenden Arbeitsgruppe für Rekursentscheide des Erziehungsrats (ein weiterer Experte) dargestellt. In E. 5.5 setzt sich das Verwaltungsgericht im Einzelnen mit den Berichten der serbischen Ärzte auseinander und relativiert diese schon aufgrund der zu schmalen Untersuchungsbasis und zusätzlich angesichts von deren Unkenntnis des St. Galler Schulsystem (E. 5.6); insgesamt findet es, dass diese Berichte den Befunden des schulpsychologischen Dienstes nicht widerprächen. Dasselbe lasse sich zum - knappen - Bericht von Dr. D._ sagen, deren Schlüsse über die Entwicklung des Beschwerdeführers nur verhalten positiver ausfielen als diejenigen des Schulpsychologischen Dienstes. Insgesamt lässt sich die Schlussfolgerung des Verwaltungsgerichts, dass die vorgelegten Privatgutachten nicht geeignet seien, die Auffassungen und Schlussfolgerungen des Schulpsychologischen Dienstes zu erschüttern und Anlass für eine vom Beschwerdeführer verlangte andere bzw. erneute Beurteilung zu geben, nicht beanstanden. Die Zuweisung des Beschwerdeführers in die Heilpädagogische Sonderschule hält rechtlicher Prüfung offensichtlich stand. Namentlich beruht sie nicht auf einer willkürlichen Anwendung von Art. 35bis VSG; die bundesrechtlichen Mindestgrundsätze sind eingehalten. Dass die konkret bezeichnete Schule, die HPS U._, bei ausgewiesenem Sonderschulbedarf für den Beschwerdeführer ungeeignet wäre, wird nicht behauptet und ist im Lichte von E. 5.7. des angefochtenen Entscheids auch nicht ersichtlich.
4.
Das Verwaltungsgericht erklärt in E. 6 seines Entscheids, dass der Beschwerdeführer nun ab dem Schuljahr 2016/17 die HPS U._ besuche. Die Ausgangsverfügung des Schulrats der Politischen Gemeinde U._ vom 16. Juni 2015 nimmt die entsprechende Schulzuweisung "ab" dem Schuljahr 2015/16 vor und scheint insofern nicht auf dieses eine Schuljahr begrenzt. Daran ändert nach Vorliegen des Endentscheids gemäss Erkenntnis des Verwaltungsgerichts das Schreiben des Schulleiters der Kindergärten U._ vom 7. April 2016 nichts, welches es als vorsorgliche Massnahme wertet, für die im Lichte von Art. 64 in Verbindung mit Art. 18 Abs. 1 und 2 des St. Galler Gesetzes vom 16. Mai 1965 über die Verwaltungsrechtspflege wohl keine Zuständigkeit gegeben wäre. Darüber hinaus dürfte dem Schulleiter der Kindergärten U._ angesichts von Art. 36 VSG von vornherein die Entscheidkompetenz für einen definitiven Schulzuweisungsentscheid fehlen. Jedenfalls enthält die Beschwerde keine Begründung zu E. 6 des angefochtenen Entscheids. Damit besteht für das Bundesgericht keine Handhabe um sich mit der Frage zu befassen, ob bei einem Kind, das sich wie der Beschwerdeführer in der Phase des Übergangs vom Kindergarten zur Grundschule befindet, für die Schulzuweisung ohne neue Abklärungen auf einen im Hinblick auf das vorausgehende (an sich noch der Kindergarten-Periode zuzurechnenden) Schuljahr getroffenen Entscheid abgestellt werden kann, der aus prozessualen Gründen (aufschiebende Wirkung) während eines Jahres nicht umgesetzt wurde.
5.
Die Beschwerde ist abzuweisen, soweit darauf einzutreten ist.
Die Gerichtskosten (<ref-law>) sind dem Beschwerdeführer aufzuerlegen (Art. 66 Abs. 1 erster Satz BGG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 2'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten und dem Verwaltungsgericht des Kantons St. Gallen schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 29. August 2016
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Seiler
Der Gerichtsschreiber: Feller