Faits :
A.
A.a. A._ est, depuis 2014, directeur d'établissement scolaire primaire dans le canton de Genève. Il est soumis au "cahier des charges du directeur d'établissement primaire" (ci-après: le cahier des charges). Selon ce document, il doit notamment:
- assurer le suivi et la qualité de la formation, de l'évaluation et de l'orientation des élèves;
- assurer le suivi de la carrière du personnel ainsi que le maintien et le développement des compétences professionnelles spécifiques;
- mettre en oeuvre les outils de pilotage institutionnels au sein de l'établissement;
- présider le Conseil d'établissement et assurer le suivi de ses décisions.
A.b. Le 17 septembre 2015, le Grand Conseil de la République et canton de Genève (ci-après: le Grand Conseil) a adopté la loi genevoise sur l'instruction publique (LIP/GE; RS/GE C 1 10), qui a remplacé l'ancienne loi homonyme du 6 novembre 1940. A cette occasion, il a notamment inséré dans la loi (au début du "Chapitre X - Degré primaire") un nouvel article, dont la teneur est la suivante:
"Art. 59
Les directeurs d'établissement consacrent une partie de leur temps de travail à l'enseignement."
La LIP/GE est entrée en vigueur le 1er janvier 2016.
A.c. Le 11 décembre 2015, l'Association genevoise des directeurs d'établissements primaires (ci-après: l'Association) et deux consorts ont recouru auprès de la Chambre constitutionnelle de la Cour de justice du canton de Genève (ci-après: la Cour de justice) contre l'art. 59 LIP/GE, en concluant à son annulation. Le 19 mai 2016, la Cour de justice a rejeté le recours. Saisi d'un recours contre cet arrêt, le Tribunal fédéral, après avoir refusé à deux reprises d'octroyer l'effet suspensif au recours, l'a rejeté par arrêt du 8 mars 2017 (cause 2C_589/2016).
B.
En parallèle, par décision du 21 décembre 2016, après plusieurs échanges de vue avec l'Association et après avoir donné à A._ l'occasion de consulter le dossier et de se déterminer personnellement sur la question, le Département de l'instruction publique, de la culture et du sport du canton de Genève (ci-après: le Département), mettant en application l'art. 59 LIP/GE, a modifié le cahier des charges de l'intéressé de la manière suivante:
"7. Domaine de l'enseignement.
Le/la directeur/trice d'établissement primaire s'acquitte de missions d'enseignement et d'actions pédagogiques face aux élèves. Dans ce cadre, il/elle définit les modalités et l'organisation de ces missions.
Volumétrie: une à deux périodes par semaine".
La décision indiquait que cette modification "prendrait effet au 1er janvier 2017". Le Département invitait A._ à "être prêt à assurer des missions d'enseignement et actions pédagogiques face aux élèves à hauteur d'une à deux périodes hebdomadaires à compter du 9 janvier 2016 (recte: 2017) ", soit le jour de la rentrée scolaire de la nouvelle année civile. La décision était déclarée exécutoire nonobstant recours.
Par acte du 30 décembre 2016, A._ a recouru contre cette décision auprès de la Cour de justice. Il concluait principalement à l'annulation de la décision attaquée; il sollicitait à titre préalable la restitution de l'effet suspensif au recours et la suspension de la cause "jusqu'à droit jugé au Tribunal fédéral dans la cause 2C_589/2010 (recte: 2C_589/2016) ".
Par décision du 8 février 2017 "sur mesures provisionnelles et suspension de la procédure", la Cour de justice a refusé de restituer l'effet suspensif au recours et a ordonné la suspension de la procédure jusqu'à droit jugé au Tribunal fédéral dans la cause 2C_589/2016.
C.
A l'encontre de la décision du 8 février 2017, A._ dépose un recours en matière de droit public et un recours constitutionnel subsidiaire auprès du Tribunal fédéral. Il conclut, "préalablement et à titre superprovisoire déjà", à l'octroi de l'effet suspensif au recours formé devant la Cour de céans. Au fond, il requiert la réforme de la décision attaquée en ce sens que "l'effet suspensif au recours cantonal interjeté le 30 décembre 2016 est restitué".
La Cour de justice a indiqué s'en rapporter à justice quant à la requête d'effet suspensif et persister pour le reste dans les considérants et le dispositif de sa décision. Le Département dépose des observations et conclut à l'irrecevabilité du recours, subsidiairement à son rejet. Le recourant a répliqué.

Considérant en droit :
1.
Le Tribunal fédéral examine d'office sa compétence (<ref-law>) et contrôle librement et avec une pleine cognition la recevabilité des recours portés devant lui (<ref-ruling> consid. 2 p. 59; <ref-ruling> consid. 1 p. 44).
1.1. La décision entreprise, qui refuse de restituer l'effet suspensif au recours de l'intéressé contre la décision du Département modifiant son cahier des charges et suspend la procédure y relative devant la Cour de justice, a été rendue dans une procédure fondée sur le droit public cantonal, plus particulièrement sur la LIP/GE. Le recourant a déposé, dans la même écriture (cf. <ref-law>), un recours en matière de droit public et un recours constitutionnel subsidiaire. Celui-ci n'étant ouvert qu'à la condition que la décision attaquée ne puisse faire l'objet d'un recours ordinaire (cf. <ref-law>), il convient d'examiner en premier lieu la recevabilité du recours en matière de droit public.
1.2. En tant qu'elle porte uniquement sur la demande de restitution de l'effet suspensif au recours formé par le recourant sur le plan cantonal et sur la suspension de la procédure, la décision attaquée constitue une décision incidente (<ref-ruling> consid. 1 p. 476; <ref-ruling> consid. 1.2 p. 524). La voie de recours contre une telle décision est déterminée par le litige principal (cf. <ref-ruling> consid. 1.4 p. 264), lequel concerne la modification du cahier des charges du recourant. Selon l'art. 83 let. g LTF, le recours en matière de droit public est irrecevable contre "les décisions en matière de rapports de travail de droit public qui concernent une contestation non pécuniaire, sauf si elles touchent à la question de l'égalité des sexes". Les mesures d'organisation, les ordres de service et les questions relatives au temps de travail et de repos, y compris l'obligation éventuelle d'effectuer des heures supplémentaires (sauf si le litige porte sur leur rémunération), sont de nature non pécuniaire (FLORENCE AUBRY GIRARDIN, in Commentaire de la LTF, 2e éd., 2014, n. 102 ad art. 83 let. g LTF p. 926 s.). Le recourant est lié à l'Etat par un rapport de travail de droit public régi notamment par la LIP/GE. La mesure litigieuse concerne le contenu de son activité et n'est donc pas de nature pécuniaire. Partant, le recours en matière de droit public est exclu en vertu de l'art. 83 let. g LTF. Seule la voie du recours constitutionnel subsidiaire peut ainsi entrer en considération (<ref-law>).
1.3. Avant de se pencher sur les conditions de recevabilité propres à cette voie de droit, il convient au préalable de vérifier si l'acte attaqué constitue une décision susceptible de faire l'objet d'un recours immédiat au Tribunal fédéral. En effet, conformément au renvoi de l'<ref-law>, s'agissant d'une décision incidente ne concernant ni la compétence ni une demande de récusation (cf. <ref-law>), elle ne peut faire séparément l'objet d'un recours au Tribunal fédéral qu'aux conditions - restrictives (cf. <ref-ruling> consid. 3.2 p. 292; arrêts 2C_547/2015 du 7 janvier 2016 consid. 1.2 et 2C_990/2013 du 25 mai 2014 consid. 2) - prévues à l'<ref-law>. Selon cette disposition, les décisions préjudicielles ou incidentes peuvent faire l'objet d'un recours immédiat au Tribunal fédéral dans deux cas de figure, à savoir si elles sont propres à causer un préjudice irréparable (let. a) ou si l'admission du recours peut conduire immédiatement à une décision finale qui permet d'éviter une procédure probatoire longue et coûteuse (let. b). Cette seconde hypothèse n'est à l'évidence pas remplie. En effet, le recours porte sur l'effet suspensif et sur la suspension de la cause devant la Cour de justice et ne concerne par conséquent pas le fond du litige, de sorte que l'admission du recours ne saurait mettre fin à la procédure au fond (cf. arrêt 2C_547/2015 du 7 janvier 2016 consid. 1.2); le recourant ne prétend du reste pas que les conditions de l'<ref-law> seraient réunies. La recevabilité du recours est donc subordonnée à l'existence d'un préjudice irréparable au sens de l'<ref-law>.
1.4. Selon la jurisprudence, le préjudice irréparable prévu par cet article doit être de nature juridique et ne pas pouvoir être ultérieurement réparé par une décision finale favorable au recourant (<ref-ruling> consid. 2.2.1 p. 317 et les arrêts cités). Un dommage de pur fait, comme la prolongation de la procédure ou un accroissement des frais de celle-ci, n'est pas suffisant (<ref-ruling> consid. 6 p. 192). Il appartient au recourant d'expliquer en quoi la décision incidente qu'il attaque remplit les conditions de l'<ref-law>, à moins que celles-ci ne fassent d'emblée aucun doute (<ref-ruling> consid. 4 p. 95).
1.4.1. Le recourant voit un préjudice irréparable dans le fait que la décision entreprise l'oblige à "donner chaque semaine, en plus de son cahier des charges actuel, deux heures supplémentaires d'enseignement, ce qui dans les faits correspond au minimum à cinq heures supplémentaires (préparation des leçons, etc.), lesquelles ne sont pas compensées". Selon l'intéressé, ce préjudice ne pourrait pas être ultérieurement réparé par une décision finale favorable, car "il ne sera plus possible de revenir en arrière sur le temps écoulé". Concernant la suspension de la procédure devant la Cour de justice avant que le Tribunal fédéral statue sur le recours déposé contre l'art. 59 LIP/GE, le recourant soutient que celle-ci serait également propre à lui causer un préjudice irréparable, car elle l'obligerait à "subir une décision dont le contrôle judiciaire est renvoyé à une date inconnue et incertaine".
1.4.2. Contrairement à ce qu'affirme le recourant, il ne ressort pas des faits constatés dans la décision entreprise, qui lient la Cour de céans (<ref-law>), que la modification du cahier des charges de l'intéressé impliquerait une augmentation de ses heures de travail. En effet, la Cour de justice a relevé à ce sujet que la conférence des directeurs de l'enseignement primaire avait entamé, en novembre 2015 déjà, une "réflexion" sur les possibilités d'optimiser le temps de travail des directeurs, en réduisant ou en déléguant certaines de leurs activités. La question est donc principalement de nature organisationnelle. Cela est confirmé par le fait que le cahier des charges du recourant est très souple, et ne prévoit pas - hormis en ce qui concerne la modification litigieuse - un pourcentage ou un nombre d'heures minimum que l'intéressé devrait consacrer à chacune de ses tâches (<ref-law>). En d'autres termes, le nouveau cahier des charges se limite à obliger le recourant à prévoir, dans son emploi du temps, "une à deux périodes par semaine" consacrées à des "missions d'enseignement et d'actions pédagogiques face aux élèves". Il ne contraint donc pas forcément le directeur à travailler plus, mais lui impose de s'organiser différemment. Par ailleurs, il ressort de la décision attaquée que des éventuelles heures supplémentaires seraient compensées, dans la mesure où elles devraient excéder cent heures par année. En outre, l'intéressé est totalement libre de définir "les modalités et l'organisation" de sa nouvelle tâche, qui peut notamment, selon la Cour de justice, prendre la forme d'un remplacement d'un enseignant malade, d'un cours de gymnastique ou d'une surveillance des devoirs pour les élèves en difficulté. Il ne s'agit donc en aucun cas d'une réorganisation fondamentale du travail de directeur, qui impliquerait des changements massifs de son activité sur lesquels il ne serait plus possible de revenir par la suite sans préjudice, mais uniquement d'une modification très modeste dans la gestion de son activité. Le fait de devoir consacrer une à deux périodes par semaine à des activités d'enseignant, sans pouvoir y revenir en cas de décision favorable au recourant sur le fond, ne saurait relever de l'<ref-law>.
Dans ces circonstances, on ne voit pas que la décision de la Cour de justice refusant la restitution de l'effet suspensif au recours de l'intéressé contre la décision du Département serait susceptible de causer au recourant un préjudice irréparable justifiant de lui permettre de recourir immédiatement au Tribunal fédéral.
1.4.3. Quant à la suspension de la procédure devant la Cour de justice, également contestée par le recourant, elle avait été ordonnée "jusqu'à droit jugé au Tribunal fédéral dans la cause 2C_589/2016". La cause en question ayant été close par arrêt du Tribunal fédéral du 8 mars 2017 (cf. supra let. A.c), le recours sur ce point est donc devenu sans objet (cf. <ref-ruling> consid. 1.3.1 p. 24 s.).
1.4.4. En pareilles circonstances, le recours constitutionnel subsidiaire doit être considéré comme irrecevable dans la mesure où il n'est pas sans objet.
1.5. Le présent arrêt rend par ailleurs aussi sans objet la demande d'effet suspensif formée sur le plan fédéral.
2.
Compte tenu de l'issue du litige, les frais seront mis à la charge du recourant, qui succombe (<ref-law>). Il ne sera pas alloué de dépens (<ref-law>).

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce :
1.
Le recours en matière de droit public est irrecevable.
2.
Le recours constitutionnel subsidiaire est irrecevable dans la mesure où il n'est pas sans objet.
3.
Les frais judiciaires, arrêtés à 2'000 fr., sont mis à la charge du recourant.
4.
Le présent arrêt est communiqué aux mandataires du recourant, au Département de l'instruction publique, de la culture et du sport du canton de Genève, et à la Cour de justice du canton de Genève, Chambre administrative.
Lausanne, le 19 avril 2017
Au nom de la IIe Cour de droit public
du Tribunal fédéral suisse
Le Président : Seiler
Le Greffier : Ermotti