Sachverhalt:
A.
Mit Verfügung vom 22. November 2013 verneinte die IV-Stelle des Kantons St. Gallen einen Rentenanspruch der 1950 geborenen A._ (aufgrund eines anhand der gemischten Methode ermittelten Invaliditätsgrades von 9 %).
B.
A._ liess Beschwerde führen und die Zusprache einer halben Invalidenrente sowie eventualiter die Rückweisung der Sache zur Neubeurteilung an die IV-Stelle beantragen. Mit Entscheid vom 19. Juli 2016 hiess das Versicherungsgericht des Kantons St. Gallen die Beschwerde teilweise gut, hob die Verfügung auf und wies die Sache zur weiteren Abklärung und zur Neuverfügung im Sinne der Erwägungen an die Verwaltung zurück.
C.
Die IV-Stelle führt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten mit dem Rechtsbegehren, der vorinstanzliche Entscheid sei aufzuheben, soweit er feststelle, dass der Invaliditätsgrad der Versicherten mittels eines reinen Einkommensvergleichs zu ermitteln sei.
A._ lässt die Abweisung der Beschwerde beantragen, soweit auf sie einzutreten sei. Die Vorinstanz schliesst ebenfalls auf Abweisung und das Bundesamt für Sozialversicherungen auf Gutheissung.

Erwägungen:
1.
1.1. Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten ist zulässig gegen Entscheide, die das Verfahren abschliessen (<ref-law>), sowie gegen selbständig eröffnete Vor- und Zwischenentscheide über die Zuständigkeit und über Ausstandsbegehren (<ref-law>). Gegen andere selbständig eröffnete Vor- und Zwischenentscheide ist die Beschwerde nach <ref-law> zulässig, sofern - alternativ - der Entscheid einen nicht wieder gutzumachenden Nachteil bewirken kann (lit. a) oder die Gutheissung der Beschwerde sofort einen Endentscheid herbeiführen und damit einen bedeutenden Aufwand an Zeit oder Kosten für ein weitläufiges Beweisverfahren ersparen würde (lit. b).
1.2. Beim vorinstanzlichen Entscheid, mit welchem die Sache zu weiteren Sachverhaltsabklärungen, zur Invaliditätsbemessung anhand der Einkommensvergleichsmethode und zur anschliessenden Neuverfügung an die IV-Stelle zurückgewiesen wurde, handelt es sich um einen Zwischenentscheid im Sinne von <ref-law>. Ein nicht wieder gutzumachender Nachteil ist zu bejahen, wenn der Versicherungsträger durch die Rückweisung gezwungen wird, eine seines Erachtens rechtswidrige Verfügung zu erlassen (<ref-ruling> E. 5.2 S. 483 ff.). Dies ist hier in dem von der IV-Stelle beschwerdeweise beanstandeten Punkt der Fall: Die Vorinstanz hat entschieden, der Invaliditätsgrad der Versicherten sei nicht anhand der gemischten, sondern anhand der Einkommensvergleichsmethode zu ermitteln. Insoweit hat sie materiellrechtliche Vorgaben getroffen, welche die IV-Stelle als untere Instanz binden (<ref-ruling> E. 4.2 S. 285 f. mit Hinweisen). Auf die Beschwerde ist einzutreten.
2.
Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann wegen Rechtsverletzung gemäss Art. 95 f. BGG erhoben werden. Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (<ref-law>), und kann deren Sachverhaltsfeststellung von Amtes wegen nur berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruht (<ref-law>; vgl. auch <ref-law>).
3.
Streitig und zu prüfen ist aufgrund der Vorbringen in der Beschwerde im jetzigen Verfahrensstadium allein, nach welcher Methode die Invalidität der Versicherten zu ermitteln ist: Während die IV-Stelle die gemischte Methode (<ref-law>) mit einem je hälftigen Anteil von Haushalt und Erwerb zugrunde legen will, hält die Vorinstanz die auf Vollerwerbstätige anwendbare Einkommensvergleichsmethode (<ref-law> in Verbindung mit <ref-law>) für massgebend.
4.
4.1. Die Vorinstanz erwog, die Frage nach dem hypothetischen Umfang der Erwerbstätigkeit im Gesundheitsfall könne offen bleiben, da sie (nach der entsprechenden St. Galler Praxis) irrelevant sei für die Beurteilung der Statusfrage. Mit Blick auf das inzwischen rechtskräftige Urteil des Europäischen Gerichtshofs für Menschenrechte (EGMR) Di Trizio gegen die Schweiz vom 2. Februar 2016 (7186/09) müsse die Gesetzes- und Verfassungskonformität der gemischten Methode erneut thematisiert werden. Denn es sei davon auszugehen, dass die im Urteil festgestellte "EMRK-Widrigkeit der bundesgerichtlichen Rechtsprechung" auf einer "Fehlinterpretation" der entsprechenden Gesetzesbestimmungen durch das Bundesgericht beruhe, wonach für die Beantwortung der Statusfrage darauf abzustellen sei, welche Tätigkeit die versicherte Person im Gesundheitsfall hypothetisch ausüben würde. Das Versicherungsgericht des Kantons St. Gallen habe die bundesgerichtliche Praxis bereits früher widerlegt und aufgezeigt, dass sie dem klaren Wortlaut sowie Sinn und Zweck der gesetzlichen Regelung widerspreche, sich weder mit den Gesetzesmaterialien noch mit dem System vereinbaren lasse und zu einer Ungleichbehandlung führe. Welche Invaliditätsbemessungsmethode Anwendung finde, richte sich gemäss der abweichenden St. Galler Praxis danach, ob und in welchem Ausmass der Versicherten als Gesunder eine Erwerbsarbeit objektiv zumutbar wäre. Ohnehin sei es de lege ferenda angezeigt, die Invalidenversicherung konsequent an einem einzigen, ausnahmslos für alle Versicherten geltenden rentenbegründenden Schaden - der Erwerbsunfähigkeit als Verlust an Erwerbsmöglichkeiten - auszurichten.
Da die hier am Recht stehende Versicherte den Zweipersonenhaushalt zusammen mit ihrem Ehemann nach Feierabend hätte besorgen können, wäre ihr im Gesundheitsfall im massgebenden Zeitraum objektiv zumutbar gewesen, vollzeitlich einer Erwerbstätigkeit nachzugehen. Die Einkommensvergleichsmethode sei aber auch deshalb anwendbar, weil die Versicherte nicht "zur gesetzlichen Ausnahmekategorie der gar nie erwerbstätigen Nur-Hausfrauen" zähle. Im Übrigen sei zu beachten, dass die Versicherte vor Eintritt der gesundheitlichen Beeinträchtigung jahrelang vollzeitlich erwerbstätig gewesen sei, womit ein weiteres Tatbestandsmerkmal von <ref-law> bzw. für die Qualifikation als (teilweise) Nichterwerbstätige nicht erfüllt sei.
4.2. Die IV-Stelle wendet in ihrer Beschwerde zu Recht ein, die vorinstanzliche Auffassung verstosse gegen die in diesem Zusammenhang ergangene ständige bundesgerichtliche Rechtsprechung (<ref-ruling> E. 3.1 S. 20; <ref-ruling> E. 3.2 S. 338; <ref-ruling> E. 2c S. 150; <ref-ruling> E. 3b S. 194 f.; je mit Hinweisen) : Danach ergibt sich die Antwort auf die Frage, ob und gegebenenfalls in welchem zeitlichen Umfang eine versicherte Person ohne gesundheitliche Beeinträchtigung erwerbstätig wäre, aus der hypothetischen Prüfung, was sie bei im Übrigen unveränderten Umständen täte, wenn keine gesundheitliche Beeinträchtigung bestünde. Entscheidend ist somit nicht, welches Ausmass der Erwerbstätigkeit der versicherten Person im Gesundheitsfall zugemutet werden könnte, sondern in welchem Pensum sie hypothetisch (unter Berücksichtigung der gesamten persönlichen, familiären, beruflichen und sozialen Situation) erwerbstätig wäre. Das Versicherungsgericht des Kantons St. Gallen will offen-sichtlich noch immer nicht zur Kenntnis nehmen, dass es nicht Sache der Invalidenversicherung ist, die Einbusse in einer Tätigkeit auszugleichen, welche im hypothetischen Gesundheitsfall nicht ausgeübt würde (ausführlich, mit einer eingehenden Auseinandersetzung mit der St. Galler Praxis: Urteil 9C_49/2008 vom 28. Juli 2008 E. 3.3; vgl. auch die dieselbe Vorinstanz betreffenden <ref-ruling> E. 6.3 S. 486 f. und 504 E. 3.3 S. 507 f. sowie Urteil 9C_491/2008 vom 21. April 2009 E. 4; vgl. auch MEYER/REICHMUTH, Bundesgesetz über die Invalidenversicherung [IVG], 3. Aufl. 2014, Rz. 5 f. zu <ref-law>). Es rechtfertigt sich daher, an dieser Stelle auf die noch immer geltende (vgl. dazu auch E. 4.3) bundesgerichtliche Rechtsprechung zu verweisen; Weiterungen erübrigen sich.
4.3. Beizupflichten ist der IV-Stelle auch, soweit sie sinngemäss vorbringt, das von der Vorinstanz angeführte EGMR-Urteil Di Trizio gegen die Schweiz vom 2. Februar 2016 (7186/09), welches am 4. Juli 2016 endgültig geworden ist, habe an der für den hier zu beurteilenden Fall einschlägigen Rechtslage nichts geändert:
4.3.1. Dem EGMR-Urteil vom 2. Februar 2016 lag der Fall einer Versicherten zugrunde, welche unter dem Status einer Vollerwerbstätigen eine Invalidenrente beanspruchen konnte, und diesen Anspruch allein aufgrund des Umstandes verlor, dass sie wegen der Geburt ihrer Kinder und der damit einhergehenden Reduktion des Erwerbspensums für die Invaliditätsbemessung neu als Teilerwerbstätige mit einem Aufgabenbereich qualifiziert wurde. Der EGMR betrachtete es als Verletzung von Art. 14 (Diskriminierungsverbot) in Verbindung mit Art. 8 EMRK (Recht auf Achtung des Familienlebens), dass die sich aus dem Statuswechsel ergebende Änderung in den Grundlagen der Invaliditätsbemessung - anstelle des auf Vollerwerbstätige anwendbaren Einkommensvergleichs gelangte nun die gemischte Methode zur Anwendung - zur Aufhebung der Invalidenrente führte und sich damit zu Ungunsten der Versicherten auswirkte.
4.3.2. In seinem zur Umsetzung des EGMR-Urteils vom 2. Februar 2016 ergangenen, zur Publikation in der Amtlichen Sammlung bestimmten Urteil 9F_8/2016 vom 20. Dezember 2016 (E. 4.1 und 4.2) entschied das Bundesgericht, dass zwecks Herstellung eines konventionskonformen Zustandes in derartigen Konstellationen fortan auf die Aufhebung der Invalidenrente im Sinne von <ref-law> allein zufolge eines Statuswechsels von "vollerwerbstätig" zu "teilerwerbstätig mit Aufgabenbereich" zu verzichten ist (was für die Versicherte, die damals am Recht stand, bedeutete, dass sie unverändert Anspruch auf die bisher ausgerichtete halbe Rente der Invalidenversicherung hatte). Gleichzeitig wies das Bundesgericht (in E. 4.4) darauf hin, dass das EGMR-Urteil vom 2. Februar 2016 unter der geltenden Rechtslage nichts daran ändert, dass die gemischte Methode auf ausserhalb der beschriebenen Konstellation liegende Fälle weiterhin Anwendung finden kann. Als Beispiel genannt wurde unter anderem die erstmalige Rentenzusprache an eine während des ganzen massgebenden Beurteilungszeitraums als teilerwerbstätig mit Aufgabenbereich zu qualifizierende versicherte Person (vgl. auch IV-Rundschreiben Nr. 355 des BSV vom 31. Oktober 2016), wie sie vorliegend zur Diskussion steht.
4.3.3. Der Anwendbarkeit der gemischten Methode der Invaliditätsbemessung auf den hier zu beurteilenden Sachverhalt steht somit auch das EGMR-Urteil Di Trizio gegen die Schweiz vom 2. Februar 2016 (7186/09) grundsätzlich nicht entgegen.
4.4. Die nach dem in E. 4.2 Gesagten entscheidende Frage, in welchem Umfang die Beschwerdegegnerin im Gesundheitsfall hypothetisch erwerbstätig wäre, liess das kantonale Gericht (als irrelevant) offen. Dementsprechend fehlen verbindliche tatsächliche Feststellungen im angefochtenen Entscheid. Da die Akten aber insoweit liquid sind, kann das Bundesgericht den Sachverhalt selber ergänzen (<ref-ruling> E. 5.4.5 S. 31 unten f.; <ref-ruling> E. 4.1 S. 366).
4.4.1. Als die Versicherte im Rahmen des ihr zugesandten Fragebogens zur Rentenabklärung betreffend Erwerbstätigkeit/Haushalt gefragt wurde, ob sie heute, ohne Behinderung, eine Erwerbstätigkeit ausüben würde, antwortete sie mit "Ja". Auf die Frage nach dem Ausmass gab sie an: "50 % Schulsekretärin" (Fragebogen vom 5. Dezember 2011). Anlässlich der Haushaltabklärung vom 29. Oktober 2012 protokollierte die Abklärungsperson sodann, die Versicherte sei darüber aufgeklärt worden, dass die Fragen der Aufteilung zwischen Haushalt und Erwerb dienten und die Einstufung Einfluss auf die Art der Invaliditätsbemessung habe. Des Weitern hielt die Abklärungsperson fest, die Versicherte würde nach ihren eigenen Angaben, wenn sie gesund wäre, einer 50%-igen Erwerbstätigkeit nachgehen und begründe dies mit "Freude am Arbeiten". In einer weiteren Stellungnahme vom 20. November 2012, in welcher sich die Versicherte nochmals einlässlich mit dem Haushaltbericht auseinandersetzte und, wo sie dies für nötig hielt, geringfügige Korrekturen anbrachte, ergänzte die Versicherte im hier interessierenden Punkt lediglich, dass für die Ausübung eines 50%-Pensums auch finanzielle Gründe sprächen.
Ihre übereinstimmenden, im Fragebogen am 5. Dezember 2011 gemachten und gegenüber der Abklärungsperson gemäss Haushaltbericht vom 29. Oktober 2012 bestätigten Angaben, wonach sie im Gesundheitsfall zu 50 % erwerbstätig wäre, hat die Versicherte nie - weder in ihrer Stellungnahme vom 20. November 2012 oder ihrem Einwand noch in den kantonalen Rechtsschriften oder in ihrer letztinstanzlichen Vernehmlassung - bestritten. Gründe, weshalb darauf nicht abgestellt werden könnte, sind, entgegen den vorinstanzlichen Spekulationen, nicht ersichtlich. Es liegen keinerlei Anhaltspunkte vor, dass die Versicherte die Frage falsch verstanden haben könnte. Dies gilt umso mehr, als die IV-Stelle in der Beschwerde ein entsprechendes Missverständnis explizit ausschloss und die anwaltlich vertretene Versicherte dagegen in ihrer vor Bundesgericht eingereichten Vernehmlassung nicht opponierte. Die Frage, ob ein Aufgabenbereich vorliege, was das kantonale Gericht verneinte (E. 4.1), wurde von den Parteien nicht aufgeworfen, weshalb sich Ausführungen hiezu erübrigen.
4.4.2. Bei dieser Sachlage hat die IV-Stelle die Invaliditätsbemessung zu Recht anhand der gemischten Methode mit einer je hälftigen Gewichtung von Haushalt- und Erwerbsbereich vorgenommen. Dementsprechend ist der kantonale Entscheid insoweit aufzuheben, als in ihm angeordnet wird, die IV-Stelle habe den Invaliditätsgrad der Beschwerdegegnerin im Rahmen ihrer neuen Verfügung nicht anhand der gemischten Methode, sondern anhand eines (reinen) Einkommensvergleichs zu ermitteln.
5.
Entsprechend dem Ausgang des Prozesses gehen die Gerichtskosten zu Lasten der Beschwerdegegnerin (<ref-law>). Die obsiegende IV-Stelle hat keinen Anspruch auf eine Parteientschädigung (<ref-law>).
Eine Neuverlegung der Gerichtskosten und der Parteientschädigung des kantonalen Verfahrens rechtfertigt sich nicht.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird gutgeheissen. Der Entscheid des Versicherungsgerichts des Kantons St. Gallen vom 19. Juli 2016 wird aufgehoben, soweit darin angeordnet wird, dass die IV-Stelle des Kantons St. Gallen den Invaliditätsgrad der Versicherten im Rahmen ihrer neuen Verfügung nicht anhand der gemischten Methode, sondern mittels Einkommensvergleichs zu ermitteln hat.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 800.- werden der Beschwerdegegnerin auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird den Parteien, dem Versicherungsgericht des Kantons St. Gallen und dem Bundesamt für Sozialversicherungen schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 9. März 2017
Im Namen der II. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Pfiffner
Die Gerichtsschreiberin: Keel Baumann