Sachverhalt:
A.
A._ (geb. 1976; norwegischer Staatsangehöriger) und B._ (geb. 1979; US-amerikanische Staatsangehörige) sind die nicht miteinander verheirateten Eltern der Tochter C._ (geb. 2007). Die Eltern zogen im Juli 2009 von T._ (Niederlande) nach U._ (GE). Im Herbst 2009 trat die Mutter eine Stelle in V._ (Vereinigtes Königreich) an. Sie kehrte ein Jahr später in die Schweiz zurück und mietete in W._ (GE) eine Wohnung. C._ lebte von Oktober 2009 bis zu den Sommerferien 2011 bei ihrem Vater in U._ und danach bei ihrer Mutter in W._. Im Jahr 2012 vermählten sich beide Eltern mit je einem neuen Partner; aus der neuen Verbindung der Mutter ging C._s Halbbruder F._ (geb. 2012) hervor.
B.
Mit Entscheid vom 22. Dezember 2011 ordnete die Kindes- und Erwachsenenschutzbehörde X._ für C._ eine Beistandschaft nach Art. 308 Abs. 1 und 2 ZGB an. Ausserdem verfügte sie eine Weisung nach <ref-law>. Die Cour de Justice des Kantons Genf bestätigte diesen Entscheid am 30. Mai 2012. In der Folge versuchte A._ vergeblich zu erwirken, dass der Mutter die Obhut über C._ entzogen und das Kind bei ihm platziert wird. Das Bundesgericht bestätigte den Entscheid der Kindes- und Erwachsenenschutzbehörde X._ vom 21. Dezember 2012, wonach die Voraussetzungen für einen Entzug der Obhut nicht erfüllt seien (vgl. Urteil 5A_869/2013 vom 24. März 2014).
C.
Nachdem B._ nach Y._ (LU) umgezogen war, übernahm mit Entscheid vom 20. Mai 2014 die Kindes- und Erwachsenenschutzbehörde Z._ (im Folgenden KESB Z._) die für C._ geführten Kindesschutzmassnahmen. Die KESB Z._ setzte einen neuen Beistand ein, hob die Beistandschaft nach <ref-law> sowie die Weisung nach <ref-law> ersatzlos auf und definierte gestützt auf <ref-law> die Aufgaben des Beistandes neu.
D.
D.a. Am 18. Juli 2014 beantragte A._ die gemeinsame elterliche Sorge für C._, evtl. das alleinige Sorgerecht. Am 5. November 2014 ersuchte der Beistand um Erteilung der Prozessvollmacht für die klageweise Geltendmachung von Kinderunterhaltsbeiträgen für C._. Darauf reagierte A._ mit dem Antrag, einen anderen Beistand einzusetzen.
D.b. Mit Entscheid vom 30. Juni 2015 wies die KESB Z._ die Anträge von A._ ab.
D.c. Gegen diesen Entscheid erhob A._ Verwaltungsgerichtsbeschwerde beim Kantonsgericht Luzern. Dieses wies das Rechtsmittel mit Urteil vom 23. November 2015 ab, sowohl was das Begehren betreffend die gemeinsame elterliche Sorge angeht als auch mit Bezug auf das Eventualbegehren um Zuteilung des alleinigen Sorgerechts.
E.
E.a. Mit Beschwerde in Zivilsachen vom 13. Januar 2016 wendet sich A._ (Beschwerdeführer) an das Bundesgericht. Er beantragt, die elterliche Sorge über die gemeinsame Tochter C._ den Parteien gemeinsam zu erteilen. Eventualiter sei die Sache zur Neubeurteilung an das Kantonsgericht zurückzuweisen, damit dieses die gemeinsame elterliche Sorge für C._ den Parteien gemeinsam erteilt. Zudem verlangt der Beschwerdeführer, die Verfahrenskosten der KESB Z._ und des vorinstanzlichen Beschwerdeverfahrens B._ (Beschwerdegegnerin) aufzuerlegen.
E.b. Eingeladen, sich zur Beschwerde vernehmen zu lassen, beantragt die Beschwerdegegnerin, alle Anträge des Beschwerdeführers abzuweisen (Eingabe vom 20. Mai 2016). Das Kantonsgericht Luzern liess sich nicht vernehmen. Am 6. Juni 2016 liess der Beschwerdeführer eine Replik einreichen, in der er an seinen Beschwerdebegehren festhält. Im Übrigen hat sich das Bundesgericht die vorinstanzlichen Akten überweisen lassen.

Erwägungen:
1.
Die Beschwerde richtet sich gegen den Endentscheid einer letzten kantonalen Instanz, die als oberes Gericht geurteilt hat (Art. 75 und 90 BGG). Der angefochtene Entscheid stützt sich auf <ref-law> und nicht auf <ref-law>, weshalb eine Zivilsache im Sinn von <ref-law> und nicht eine öffentlich-rechtliche Angelegenheit in unmittelbarem Zusammenhang mit dem Zivilrecht gemäss Art. 72 Abs. 2 Bst. b Ziff. 6 BGG vorliegt. Die Eintretensvoraussetzungen geben im Übrigen zu keinen Bemerkungen Anlass. Auf die Beschwerde ist einzutreten.
2.
Im ordentlichen Beschwerdeverfahren sind in rechtlicher Hinsicht alle Rügen gemäss Art. 95 f. BGG zulässig. Das Bundesgericht wendet das Recht grundsätzlich von Amtes wegen an (<ref-law>) und prüft behauptete Rechtsverletzungen (<ref-law>) mit freier Kognition. Bei der Überprüfung von Ermessensentscheiden (<ref-law>) auferlegt es sich aber Zurückhaltung. Es schreitet nur ein, wenn die kantonale Instanz grundlos von in Lehre und Rechtsprechung anerkannten Grundsätzen abgewichen ist, wenn sie Gesichtspunkte berücksichtigt hat, die keine Rolle hätten spielen dürfen, oder wenn sie umgekehrt rechtserhebliche Umstände ausser Acht gelassen hat. Aufzuheben und zu korrigieren sind ausserdem Ermessensentscheide, die sich als im Ergebnis offensichtlich unbillig, als in stossender Weise ungerecht erweisen (<ref-ruling> E. 1 S. 99; <ref-ruling> E. 4.2 S. 15; <ref-ruling> E. 2c/aa S. 162). Weiter ist das Bundesgericht an den festgestellten Sachverhalt grundsätzlich gebunden (<ref-law>). Diesbezüglich kann die rechtsuchende Partei nur vorbringen, die vorinstanzlichen Feststellungen seien offensichtlich unrichtig (<ref-law>), das heisst willkürlich (vgl. <ref-ruling> E. 4.3 S. 62; <ref-ruling> E. 1.2.2 S. 252), oder würden auf einer anderen Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> (z.B. <ref-law> oder <ref-law>) beruhen (Urteil 5A_374/2010 vom 9. Juli 2010 E. 1). In der Beschwerde ist darzutun, inwiefern die Behebung der erwähnten Mängel für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein kann (<ref-law>; <ref-ruling> E. 2.2.2 S. 22).
3.
Umstritten ist vor Bundesgericht ausschliesslich, ob die KESB Z._ zu Recht an der alleinigen elterlichen Sorge der Beschwerdegegnerin festhält und sich weigert, die gemeinsame elterliche Sorge über C._ zu verfügen.
3.1. Das Kantonsgericht stellt fest, dass zwischen den Eltern seit Jahren eine "hoch konfliktreiche" Beziehung bestehe. Es erinnert namentlich an die erstinstanzliche Feststellung, wonach die Kinderpsychiaterin aufgrund des heftigen Elternkonflikts beim Kind verschiedene Symptome festgestellt habe. Die ärztliche Erkenntnis, dass das Kind im Konflikt der Eltern gefangen sei und - um zu schmerzhafte Gefühle der Ohnmacht zu vermeiden - nicht sachgemässe Aussagen mache, hält das Kantonsgericht für nachvollziehbar; sie zeige, wie sich C._ in Missachtung der eigenen Persönlichkeit verbiege und sich verleugnen müsse. Darin erblickt das Kantonsgericht eine "manifeste und damit bewiesene Verletzung des Kindeswohls". Anlässlich ihrer Anhörung vom 12. März 2015 habe C._ überdies selbst zu verstehen gegeben, dass ihr das gegenseitige Schlechtmachen der Eltern in ihrer Anwesenheit nicht gefalle. Das Kantonsgericht erklärt, die manifeste Gefährdung aus dem Elternkonflikt genüge für sich alleine bereits, um eine gemeinsame elterliche Sorge in Frage zu stellen. Zur Begründung verweist es auf seine Praxis, wonach für die Erteilung der gemeinsamen Sorge "unabdingbar" sei, dass von einem funktionierenden Besuchsrecht ausgegangen werden kann und das Kind zumindest in dieser Frage nicht einem Loyalitätskonflikt ausgesetzt ist. Davon könne bei C._s Eltern nicht die Rede sein. Als weitere Kindeswohlgefährdung nennt die Vorinstanz den Umstand, dass für C._ noch keine feste Unterhaltsregelung bestehe und sich der Beschwerdeführer dagegen wehre, dem Beistand eine entsprechende Prozessführungsbewilligung zu erteilen. Dass sich der Beschwerdeführer der Durchsetzung des Unterhaltsanspruchs widersetze und am Wechsel des Beistands festhalte, sei "geradezu stossend und unverständlich". Auch bezüglich der Unterhaltsbelange zeige sich eine ungelöste Streitsituation, was klarerweise gegen eine gemeinsame elterliche Sorge spreche.
Das Kantonsgericht anerkennt, dass die gemeinsame Ausübung der elterlichen Sorge hinsichtlich einzelner Teilgehalte das Kindeswohl nicht beeinträchtigen würde. Allerdings sei nicht auszumachen, inwiefern die behauptete Verweigerung der schulrelevanten Informationen durch die Beschwerdegegnerin ein Argument für das gemeinsame Sorgerecht darstellen soll. Der Beschwerdeführer räume selbst ein, dass Probleme mit Bezug auf Fragen von Pflege und Erziehung sowie Vertretungsrechte denkbar seien. Nachvollziehbar erinnere die Beschwerdegegnerin an das grosse Konfliktpotential, das darauf zurückzuführen sei, dass ihr der Beschwerdeführer seit längerem mangelnde Erziehungsfähigkeit vorwerfe. Der Konflikt, der sich aus den verschiedenen Ansichten zur Erziehungsfähigkeit ergebe, werde eindrücklich durch das bundesgerichtliche Verfahren 5A_869/2013 zur Obhuts- und Besuchsrechtsfrage und durch die gegenseitig erhobenen Gefährdungsmeldungen belegt. Entgegen der Auffassung des Beschwerdeführers könnten die Schwierigkeiten bei der Besuchsrechtsausübung nicht von der Sorgerechtsfrage getrennt werden. Das Gleiche gelte für die ungelöste Unterhaltsfrage. Denn in diesen Bereichen sei das Kind zentral vom chronisch andauernden Konflikt der Eltern betroffen; hier sei der Loyalitätskonflikt, der per se dem Kindeswohl Abbruch tue, manifest. Wenn der Beschwerdeführer bezüglich absehbarer Uneinigkeiten in medizinischen Fragen darauf hoffe, das die Parteien gestützt auf Expertenmeinungen zu einer übereinstimmenden Meinung kommen könnten, erscheine dies zu vage, was ebenfalls gegen ein gemeinsames Sorgerecht spreche. Schliesslich ist dem angefochtenen Entscheid zufolge auch nicht weiter von Bedeutung, dass früher thematisierte Entführungsängste aktuell offensichtlich keine Rolle mehr spielen würden.
Zum Schluss wirft das Kantonsgericht die Frage auf, ob die gemeinsame elterliche Sorge etwas an der "hochkonflikthaften Beziehung" zwischen den Eltern und an der "fehlenden Kommunikationskultur" ändern würde. Es hält eine "Wendung zum Guten" diesbezüglich für nicht absehbar. Aufgrund der Akten und der daraus erscheinenden "massiven Streitkultur zwischen den Parteien" geht die Vorinstanz davon aus, dass sich die Probleme mit der gemeinsamen Sorge verstärken würden, weil dem Beschwerdeführer "gleichsam ein zusätzliches Einfallstor in die Erziehungsaufgabe der Beschwerdegegnerin geöffnet würde", was deren Aufgaben zuwiderliefe. Auch wenn die Voraussetzungen von <ref-law> für die Begründung einer Alleinsorge der Beschwerdegegnerin nicht erfüllt seien, begründe sich diese doch aus dem schwerwiegenden chronischen Dauerkonflikt und der anhaltenden Kommunikationsunfähigkeit der Eltern. Deshalb sei zur Wahrung des Kindeswohls im Sinne von <ref-law> an der alleinigen Sorge der Beschwerdegegnerin festzuhalten.
3.2. Der Beschwerdeführer wirft dem Kantonsgericht vor, den Ausnahmecharakter der alleinigen elterlichen Sorge bundesrechtswidrig zu verkennen. Er argumentiert, ein Dauerkonflikt könne eine Alleinzuteilung nur rechtfertigen, wenn sich dadurch negative Auswirkungen auf das Kind verbessern. Diese Voraussetzung sei hier nicht erfüllt, denn die aktuell bestehenden Probleme und Auswirkungen auf C._ bestünden schon mit der alleinigen elterlichen Sorge der Beschwerdegegnerin. Dass sich die aktuelle Situation durch die Beibehaltung der alleinigen elterlichen Sorge der Beschwerdegegnerin verbessern würde, sei nicht ersichtlich und werde im angefochtenen Entscheid auch nicht begründet. Nachdem die Beschwerdegegnerin die alleinige elterliche Sorge seit mehreren Jahren innehabe, stehe die Frage im Zentrum, ob die gemeinsame elterliche Sorge eine Verschlechterung der aktuellen Situation bewirken würde. Dies sei zu verneinen. Entgegen den Vorgaben der bundesgerichtlichen Rechtsprechung begründe weder das Kantonsgericht noch die Beschwerdegegnerin, wie sich die gemeinsame elterliche Sorge negativ auswirken würde. Allein die abstrakte Behauptung, bei der Erteilung des gemeinsamen Sorgerechts sei eine Ausweitung des Konflikts vorprogrammiert, sei nach der Rechtsprechung kein genügender Grund für die Zuteilung der Alleinsorge. Das Bundesgericht verlange eine konkrete Begründung, wie sich die gemeinsame elterliche Sorge negativ auswirken wird. Indem das Kantonsgericht die bestrittene Ausweitung des Konflikts nicht begründe und selbst erhebliche Zweifel daran eingestehe, dass die Voraussetzung einer Verschlechterung der Situation erfüllt sei, verletze es das Bundesrecht.
Der Beschwerdeführer verwahrt sich auch gegen die vorinstanzliche Erkenntnis, wonach ihm die gemeinsame elterliche Sorge ein zusätzliches Einfallstor in die Erziehungsaufgaben der Beschwerdegegnerin öffnen würde. Zum einen lege das Kantonsgericht allein damit nicht konkret dar, inwiefern sich die gemeinsame elterliche Sorge negativ auswirken sollte. Zum andern könne eine solche Auswirkung auch nicht gesehen werden, da ihm die gemeinsame elterliche Sorge keine zusätzlichen Befugnisse verschaffen würde, mit denen er das Alltagsleben der Beschwerdegegnerin und der Tochter beeinflussen könnte. Bundesrechtswidrig sei auch die vorinstanzliche Forderung, dass für die Erteilung der gemeinsamen elterlichen Sorge zumindest das Besuchsrecht funktionieren müsse. Eine solche Voraussetzung ergebe sich weder aus dem Gesetz noch aus der Rechtsprechung. Das Bundesgericht verlange, dass durch die Zuteilung der Alleinsorge eine Verbesserung der Situation eintreten müsse. Entsprechend müssten die bei der Besuchsrechtsausübung bestehenden Probleme durch die Alleinsorge behoben oder verringert werden können. Dies sei hier "bewiesenermassen gerade nicht der Fall", da diese Probleme unter dem Regime der Alleinsorge entstanden seien. Indem das Kantonsgericht davon ausgehe, dass die alleinige elterliche Sorge eine Verbesserung brächte, würdige es die Beweise willkürlich, denn der Konflikt bestehe unabhängig von der Sorgerechtsregelung weiter.
Schliesslich bestreitet der Beschwerdeführer auch, dass die fehlende Unterhaltsregelung eine Kindeswohlgefährdung darstelle, welche die Zuteilung der alleinigen elterlichen Sorge an die Beschwerdegegnerin rechtfertige. Die Beschwerdegegnerin lebe unbestrittenermassen in sehr guten finanziellen Verhältnissen, weshalb eine Gefährdung "nicht gesehen werden" könne. Eine Unterhaltsregelung sei unter anderem deshalb nicht zustande gekommen, weil die Beschwerdegegnerin unter Schützenhilfe des Beistands ihre eigenen finanziellen Verhältnisse nicht offen lege. Die vorinstanzliche Schuldzuweisung gehe somit fehl. Hinzu komme, dass nach der bundesgerichtlichen Rechtsprechung prozessuale Auseinandersetzungen für sich genommen noch kein Grund für die Alleinzuteilung der elterlichen Sorge sind.
4.
4.1. Am 1. Juli 2014 ist die Gesetzesänderung betreffend das elterliche Sorgerecht in Kraft getreten. Demnach steht den Eltern die Sorge über ihre minderjährigen Kinder gemeinsam zu (Art. 296 Abs. 2, Art. 298a Abs. 1, Art. 298b Abs. 2 und Art. 298d Abs. 1 ZGB). Ausnahmen sind zulässig, wenn das Kindeswohl sie gebietet (vgl. Art. 298 Abs. 1 und <ref-law>). Streitig ist, ob die Beschwerdegegnerin die elterliche Sorge, die sie bisher allein innehatte, neu mit dem Beschwerdeführer gemeinsam ausüben muss. Gemäss <ref-law> ist die Streitfrage in sinngemässer Anwendung von <ref-law> zu beantworten.
4.2. Das neue Recht fusst auf der Annahme, dass dem Wohl der Kinder am besten gedient ist, wenn die Eltern das Sorgerecht gemeinsam ausüben. Von diesem Grundsatz soll nur dann abgewichen werden, wenn eine andere Lösung die Interessen ausnahmsweise besser wahrt. Die Zuteilung der elterlichen Sorge an einen Elternteil allein muss deshalb eine eng begrenzte Ausnahme bleiben. Eine solche Ausnahme fällt in Betracht, wenn die Eltern in einem schwerwiegenden Dauerkonflikt stehen oder in Kinderbelangen anhaltend kommunikationsunfähig sind. Vorausgesetzt ist weiter, dass die Probleme zwischen den Eltern das Kindeswohl konkret in einer negativen Weise beeinträchtigen. Drittens setzt die Abweichung vom Grundsatz der gemeinsamen elterlichen Sorge voraus, dass Aussicht darauf besteht, mit der Zuteilung der elterlichen Sorge an einen Elternteil allein eine Entlastung der Situation herbeizuführen (<ref-ruling> E. 3.5 S. 199; <ref-ruling> E. 3.3 S. 5 f.; <ref-ruling> E. 4.6 S. 478). Das Bundesgericht hat klargestellt, dass die zuletzt erwähnte Voraussetzung nicht nur in jenen Fällen gilt, in denen darüber zu befinden ist, ob die bisher gemeinsam ausgeübte elterliche Sorge durch ein alleiniges Sorgerecht zu ersetzen ist, weil die Alleinzuteilung eine Verbesserung der Lage verspricht. Auch in der gegenteiligen Konstellation, da sich der Streit um einen Wechsel von der Alleinsorge eines Elternteils zur gemeinsamen Sorge dreht, ist einem Elternteil das alleinige Sorgerecht nur zu belassen, wenn damit eine befürchtete Verschlechterung für das Kind abgewendet werden kann (<ref-ruling> E. 3.7 S. 201). Damit ist zwangsläufig eine Prognose darüber verbunden, wie sich das Verhältnis zwischen den Eltern entwickeln wird. Allein die Befürchtung, dass sich der verlangte Wechsel zur gemeinsamen elterlichen Sorge zu Lasten des Kindeswohls auswirken werde, genügt freilich nicht. Vielmehr müssen der Wahrscheinlichkeitsaussage über die künftige Entwicklung konkrete Anhaltspunkte zugrunde liegen, die aktenmässig erstellt sind. Mit anderen Worten muss aufgrund einer tatsachenbasierten Sachverhaltsprognose geprüft werden, ob der Wechsel zum gemeinsamen Sorgerecht eine erhebliche Beeinträchtigung des Kindeswohls befürchten lässt (vgl. Urteil 5A_186/2016 vom 2. Mai 2016 E. 4). Damit trägt die Rechtsprechung dem Willen des Gesetzgebers Rechnung, wonach die Alleinsorge nicht schon dort ausgesprochen werden darf, wo sie dem Kindeswohl am besten gerecht würde. Das Parlament hat das Konzept der freien richterlichen Sorgerechtszuteilung ausdrücklich verworfen (AB 2012 N 1635; vgl. <ref-ruling> E. 3.7 S. 201).
4.3. Vor diesem Hintergrund erachtete das Bundesgericht die Voraussetzungen für die Belassung des alleinigen Sorgerechts namentlich dort als erfüllt, wo das Kind zum nicht sorgeberechtigten Elternteil seit etlichen Jahren überhaupt keinen Kontakt mehr hatte, sei es, dass die ablehnende Haltung des 15-jährigen Kindes zur vollständigen Blockade des sorgeberechtigten Elternteils hinzutrat (Urteil 5A_926/2014 vom 28. August 2015 E. 3.4), sei es, dass der nicht sorgeberechtigte Vater zufolge kompletter mütterlicher Blockade seit Jahren vollständig aus dem Leben der inzwischen 6-jährigen Tochter ausgeschlossen war (<ref-ruling> E. 3.6 S. 200). Zum gleichen Schluss kam das Bundesgericht in einem Fall, in welchem die Kommunikation zwischen den Eltern komplett blockiert war und sich der chronifizierte Konflikt auf verschiedene Lebensbereiche des Kindes erstreckte, in denen ein Zusammenwirken erforderlich wäre, so dass in verschiedener Hinsicht anstehende Entscheide nicht möglich waren, insbesondere auch in Bezug auf eine notwendige Therapie. In tatsächlicher Hinsicht war in jenem Fall erstellt, dass der Vater einen gegen die Mutter gerichteten Machtkampf über das Kind austrug, dass das Kind unter diesem Missbrauch und allgemein unter dem Elternkonflikt stark litt und dass bei ihm eine darauf zurückzuführende psychische Störung diagnostiziert wurde. Das Bundesgericht räumte ein, dass in einer solchen Situation von der Alleinzuteilung des Sorgerechts an die Mutter keine Wunder erwartet werden dürfen, weil die väterliche Obsession in Bezug auf das mütterliche Verhalten dadurch nicht einfach verschwinden würde. Es befand aber, dass eine alleinige Entscheidzuständigkeit den Druck auf das Kind voraussichtlich doch mindern dürfte, weil mit der Alleinsorge weniger Boden für die dem Wohl des Kindes in hohem Mass abträgliche Instrumentalisierung besteht und nötige Entscheide nicht mehr verschleppt werden oder unterbleiben, sondern rasch gefasst und umgesetzt werden können (Urteil 5A_89/2016 vom 2. Mai 2016 E. 3 f.).
4.4. Demgegenüber verneinte das Bundesgericht die Voraussetzungen für eine Alleinzuteilung in einem Fall, wo sich die Eltern im Rahmen eines heftigen Dauerkonflikts mit chronischer Kommunikationsunfähigkeit zwar gegenseitig mit Vorwürfen überhäuften und gegeneinander auch eine Gefährdungsmeldung bzw. eine Strafanzeige eingereicht hatten, sich aber in Bezug auf das Besuchsrecht doch einigen konnten, so dass dieses ohne nennenswerte Probleme ausgeübt werden konnte. Das Bundesgericht erwog, die von der Mutter vorgebrachten stark divergierenden Erziehungsansichten bzw. Erziehungsstile bezögen sich primär auf die Kindesbetreuung und würden für sich genommen noch keinen Grund zur Alleinsorge darstellen. Ferner war nach Ansicht des Bundesgerichts nicht davon auszugehen, dass sich der Loyalitätskonflikt, dem die Kinder aufgrund der Streitereien zwischen den Eltern ausgesetzt waren, unter einer gemeinsamen Sorge in entscheidender Weise verstärken würde (Urteil 5A_186/2016 vom 2. Mai 2016 E. 4). In gleicher Weise widersprach das Bundesgericht einer Mutter, die trotz ersichtlichen Defiziten beim Vater die Tochter nicht loslassen und eine normale Ausübung des Besuchsrechts nicht zulassen konnte. Der Streit um das Besuchsrecht war in jenem Fall heftig und chronisch und die Eltern hatten Strafanzeigen gegeneinander eingereicht. Die Besuchsrechtsbeistandschaft war äusserst aufwändig; eine interventionsorientierte Begutachtung war im Gang. Der Vater sah die Tochter aber einigermassen regelmässig, wenn auch unter erschwerten Umständen. Eine Ausweitung des sich bislang auf das Besuchsrecht konzentrierenden Streites auf die Belange, welche sich aus einem gemeinsamen Sorgerecht ergeben, und eine zusätzliche Belastung für das Kind waren nicht unbedingt indiziert; allerdings ging das Bundesgericht angesichts der Grundsätzlichkeit, mit welcher die Mutter auch den Sorgerechtsprozess führte und eine Ausweitung des Konfliktes in Aussicht stellte, von einem Grenzfall aus (Urteil 5A_81/2016 vom 2. Mai 2016 E. 5).
5.
Was den konkreten Fall angeht, ergibt sich aus den dargelegten Grundsätzen und der einschlägigen Rechtsprechung, was folgt:
5.1. Dass das Verhältnis zwischen den Eltern seit Jahren in hohem Masse mit Konflikten belastet ist und die Eltern nicht oder nur mit Mühe bzw. mit Unterstützung des Beistandes miteinander kommunizieren können, kann als unbestritten gelten. Ferner steht fest, dass C._ unter der Konfliktsituation leidet. Die Kinderpsychiaterin hat beim Kind verschiedene Symptome ausgemacht, die sie auf den heftigen Elternkonflikt zurückführt. Dass diese tatsächlichen Erkenntnisse des Kantonsgerichts im Sinne von <ref-law> offensichtlich unrichtig (s. E. 2) wären, tut der Beschwerdeführer nicht dar.
5.2. Zu Recht legt der Beschwerdeführer aber den Finger auf die Art und Weise, wie die Vorinstanz den Wechsel von der alleinigen zur gemeinsamen elterlichen Sorge bundesrechtswidrig von bestimmten Bedingungen abhängig macht: Wie das erst vor kurzem ergangene Urteil 5A_81/2016 vom 2. Mai 2016 zeigt, setzt das gemeinsame elterliche Sorgerecht entgegen der Auffassung des Kantonsgerichts nicht gleichsam unabdingbar voraus, dass die Ausübung des Besuchsrechts reibungslos funktioniert (E. 4.3). Soweit Schwierigkeiten bei der Besuchsrechtsausübung das Kindeswohl - wie hier (E. 5.1) - beeinträchtigen, sind sie auf der entsprechenden Stufe, das heisst im Rahmen der Regelung des persönlichen Verkehrs (<ref-law>) zu lösen und nicht im Streit um die elterliche Sorge. Nichts anderes gilt, soweit das Kantonsgericht als Ursache der Konfliktsituation bzw. als Grund für die Fortführung der elterlichen Sorge bei der Beschwerdegegnerin die Differenzen ins Feld führt, welche die Eltern hinsichtlich ihrer jeweiligen Erziehungsfähigkeit entzweien. Diese Spannungen betreffen primär C._s alltägliche Pflege und Erziehung, also die elterliche Obhut (<ref-law>). Sie rechtfertigen für sich allein noch keine Ausnahme von der gemeinsamen elterlichen Sorge (E. 4.3). Dass die Eltern in Belangen, die nicht die tägliche Betreuung des Kindes, sondern die elterliche Sorge beschlagen, trotz Unterstützung durch den Beistand zu keinem gemeinsamen Nenner finden könnten, lässt sich dem angefochtenen Entscheid nicht entnehmen.
5.3. Weiter ist dem Beschwerdeführer darin beizupflichten, dass auch der Konflikt um den Kindesunterhalt kein Argument sein kann, um die elterliche Sorge ausnahmsweise bei der Beschwerdegegnerin zu belassen. Die Unterhaltsfrage betrifft ausschliesslich finanzielle Aspekte. Sie hat keinen Zusammenhang mit der Frage, ob die Eltern fähig sind, die elterliche Sorge zum Wohl des Kindes gemeinsam auszuüben. Der Unterhaltsstreit hängt mit der Sorgerechtsfrage auch nicht indirekt zusammen. Denn welcher Elternteil in welchem Umfang finanzielle Leistungen erbringen muss, bestimmt sich nach der Obhutsregelung bzw. den jeweiligen Anteilen der Eltern an der Betreuung (s. <ref-law>) und nicht danach, unter wessen elterlicher Sorge das Kind nach Massgabe von <ref-law> steht. Auch hier trifft das Kantonsgericht der Vorwurf, verschiedene Teilaspekte des Kindesverhältnisses (<ref-law>) miteinander zu vermengen, die gar nicht zusammengehören.
5.4. Mit gutem Grund besteht der Beschwerdeführer sodann auf einer konkreten Begründung, weshalb die gemeinsame elterliche Sorge eine Verschlechterung der aktuellen Situation mit sich brächte. Das Kantonsgericht begnügt sich mit der Mutmassung, dass die gemeinsame elterliche Sorge dem Beschwerdeführer ein zusätzliches Einfallstor in die Erziehungsaufgabe eröffne. Nicht nur bringt es damit erneut Elemente ins Spiel, die C._s alltägliche Pflege und Erziehung und nicht die elterliche Sorge betreffen. Dem Kantonsgericht scheint entgangen zu sein, dass die gemeinsame Erziehung in der heutigen Gesellschaft die Regel ist. Auch unter diesem Gesichtspunkt kann dem Beschwerdeführer als Vater nicht die abstrakte Befürchtung entgegengehalten werden, dass er sich in Erziehungsfragen "einmischen" könnte. Um eine Ausnahme vom Grundsatz der gemeinsamen elterlichen Sorge zu rechtfertigen, müssten nach dem Gesagten konkrete Feststellungen die Befürchtung nahelegen, dass sich der Elternkonflikt aller Wahrscheinlichkeit nach auf gemeinsam zu regelnde Kindesbelange ausweiten, der Wechsel zur gemeinsamen elterlichen Sorge also zu einer Verschlechterung der Situation führen würde, zum Beispiel weil sich der Konflikt bereits in so gravierender Weise auf verschiedene Lebensbereiche des Kindes ausgewirkt hat, dass nötige Entscheidungen nicht getroffen oder verschleppt wurden (E. 4.3). Zu Recht beklagt sich der Beschwerdeführer darüber, dass das Kantonsgericht seinem Entscheid entgegen den Vorgaben der bundesgerichtlichen Rechtsprechung keine tatsachenbasierte Sachverhaltsprognose zugrunde legt, also keine konkreten Feststellungen trifft, die Schlüsse auf die künftige Entwicklung ermöglichen.
5.5. Zusammengefasst folgt aus dem angefochtenen Entscheid zwar, dass sich C._ bereits jetzt, also auch ohne gemeinsame elterliche Sorge, in einem Loyalitätskonflikt befindet und dass sie stark unter diesem Konflikt leidet (E. 5.1). Hingegen ist aktenmässig weder erstellt, dass die Beibehaltung der alleinigen elterlichen Sorge bei der Beschwerdegegnerin eine wesentliche Verbesserung der Situation erwarten lässt, noch finden sich in tatsächlicher Hinsicht Anhaltspunkte dafür, dass der bestehende Loyalitätskonflikt und die dadurch verursachte Belastung des Kindes aller Wahrscheinlichkeit nach in entscheidender Weise verstärkt würde, falls die elterliche Sorge beiden Eltern gemeinsam übertragen wird. Auch wenn sich die Eltern im konkreten Fall heftig streiten, fehlt es an einem stichhaltigen Grund, die Alleinsorge der Mutter beizubehalten. Der Vorwurf des Beschwerdeführers, dass sich der angefochtene Entscheid mit dem Bundesrecht nicht verträgt, ist begründet. Das Kantonsgericht weicht in verschiedener Hinsicht ohne ersichtlichen Grund von den Beurteilungskriterien ab, anhand derer nach bundesgerichtlicher Praxis zu entscheiden ist, ob es bei der Regel der gemeinsamen elterlichen Sorge bleibt oder ausnahmsweise das Sorgerecht einem Elternteil allein zuzuteilen ist. Damit aber erweist sich die vorinstanzliche Ausübung des Ermessens als bundesrechtswidrig (s. E. 2), und der angefochtene Entscheid kann so, wie ihn das Kantonsgericht begründet hat, nicht stehen bleiben. Es liegt in der Verantwortung der Eltern, sich das Wohl ihrer Tochter C._ vor Augen zu halten und sich eingedenk dessen die Kooperation in Kinderbelangen zu Herzen zu nehmen, sowohl im Verhältnis untereinander als auch gegenüber den Behörden und Beiständen. Andernfalls laufen sie Gefahr, dass sich der Streit um das Sorgerecht früher oder später erneut entfacht.
6.
Die Beschwerde ist also gutzuheissen. Entsprechend dem Rechtsbegehren des Beschwerdeführers verfügt das Bundesgericht gestützt auf <ref-law> die gemeinsame elterliche Sorge über C._. Bei diesem Ausgang des Verfahrens unterliegt die Beschwerdegegnerin. Sie hat deshalb für die Verfahrenskosten aufzukommen (<ref-law>) und den Beschwerdeführer zu entschädigen (Art. 68 Abs. 1 und 2 BGG). Über die Kosten und Entschädigungen des kantonalen Verfahrens wird das Kantonsgericht neu zu befinden haben (Art. 67 und 68 Abs. 5 BGG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird gutgeheissen. Das Urteil des Kantonsgerichts Luzern, 2. Abteilung, vom 23. November 2015 wird aufgehoben. Die elterliche Sorge über C._, geb. 2007, wird der Mutter B._ und dem Vater A._ gemeinsam zugeteilt.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 2'000.-- werden der Beschwerdegegnerin auferlegt.
3.
Die Beschwerdegegnerin hat den Beschwerdeführer für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 3'000.-- zu entschädigen.
4.
Die Sache wird zur Neuverteilung der Kosten und der Parteientschädigungen des vorangegangenen Verfahrens an das Kantonsgericht Luzern, 2. Abteilung, zurückgewiesen.
5.
Dieses Urteil wird den Parteien, dem Kantonsgericht Luzern, 2. Abteilung, und der Kindes- und Erwachsenenschutzbehörde Z._ schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 2. September 2016
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: von Werdt
Der Gerichtsschreiber: Monn