Sachverhalt:
A.
A._ war seit 2000 bei verschiedenen Firmen angestellt. Im Rahmen dieser Anstellungen war sie nacheinander bei der Pensionskasse B._ AG, bei der Sammelstiftung BVG der Allianz Suisse Lebensversicherungs-Gesellschaft und bei der CPV/CAP Pensionskasse Coop berufsvorsorgeversichert.
Im August 2012 hatte sich A._ (nach 2004 ein zweites Mal) bei der Invalidenversicherung zum Leistungsbezug angemeldet. Mit Verfügung vom 6. Juni 2014 sprach ihr die IV-Stelle Luzern eine ganze Rente ab 1. Juni 2013 zu. Die Sammelstiftung BVG der Allianz Suisse Lebensversicherungs-Gesellschaft, die Pensionskasse B._ AG und die CPV/CAP Pensionskasse Coop verneinten der Reihe nach eine Leistungspflicht (Schreiben vom 16. Februar, 19. Februar und 30. März 2015).
B.
Am 10. April 2015 reichte A._ beim Kantonsgericht Luzern Klage ein mit den Rechtsbegehren, die Sammelstiftung BVG der Allianz Suisse Lebensversicherungs-Gesellschaft, eventualiter die Pensionskasse B._ AG, subeventualiter die CPV/CAP Pensionskasse Coop seien zu verpflichten, ihr eine volle Invalidenrente auszurichten, jeweils zuzüglich 5 % Zins seit dem 10. April 2015.
Das Gericht holte die Klageantworten ein, führte einen zweiten Schriftenwechsel durch und liess die IV-Akten edieren. Mit Entscheid vom 23. März 2016 hiess die 3. Abteilung des Kantonsgerichts die Klage gegen die CPV/CAP Pensionskasse Coop gut und verpflichtete diese, der Klägerin gestützt auf einen Invaliditätsgrad von 100 % ab dem 1. Juni 2013 eine Invalidenrente im Umfang einer ganzen Rente auszurichten, zuzüglich Verzugszins im Sinne der Erwägungen (Dispositiv-Ziffer 1). Die Klage gegen die Sammelstiftung BVG der Allianz Suisse Lebensversicherungs-Gesellschaft und die Pensionskasse B._ AG wurde abgewiesen (Dispositiv-Ziffer 2).
C.
Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten beantragt die CPV/CAP Pensionskasse Coop zur Hauptsache, Dispositiv-Ziffer 1 des Entscheids vom 23. März 2016 sei aufzuheben, und in Abänderung von Dispositiv-Ziffer 2 sei die Klage gegen die Sammelstiftung BVG der Allianz Suisse Lebensversicherungs-Gesellschaft, eventualiter die Pensionskasse B._ AG unter Rückerstattung der von ihr erbrachten Vorleistungen gutzuheissen; subeventualiter sei A._ zu verpflichten, die Vorleistungen zurückzuerstatten.
A._ (Beschwerdegegnerin 1), die Sammelstiftung BVG der Allianz Suisse Lebensversicherungs-Gesellschaft (Beschwerdegegnerin 2) und die Pensionskasse B._ AG (Beschwerdegegnerin 3) ersuchen im Hauptstandpunkt um Abweisung der Beschwerde.

Erwägungen:
1.
Streitgegenstand bildet die Frage, ob die Beschwerdeführerin nach Gesetz und Vorsorgereglement verpflichtet ist, der Beschwerdegegnerin 1 ab 1. Juni 2013 eine Invalidenrente in der Höhe von 100 % auszurichten, wie die Vorinstanz entschieden hat, oder ob die Beschwerdegegnerin 2 oder die Beschwerdegegnerin 3 grundsätzlich leistungspflichtig sind. Dabei stellt sich in erster Linie die Frage nach der Bindungswirkung der Verfügung vom 6. Juni 2014, womit der Beschwerdegegnerin 1 ab diesem Zeitpunkt eine ganze Rente der Invalidenversicherung (Invaliditätsgrad: 100 %) zugesprochen wurde.
2.
2.1. Invalidenleistungen der (obligatorischen) beruflichen Vorsorge werden von derjenigen Vorsorgeeinrichtung geschuldet, bei welcher die ansprechende Person bei Eintritt der Arbeitsunfähigkeit, deren Ursache zur Invalidität geführt hat, versichert war (Art. 23 lit. a BVG; <ref-ruling> E. 6.2 S. 419). Der Anspruch setzt einen engen zeitlichen und sachlichen Zusammenhang zwischen der während des Vorsorgeverhältnisses (einschliesslich Nachdeckungsfrist nach Art. 10 Abs. 3 BVG) bestandenen Arbeitsunfähigkeit und der allenfalls erst später eingetretenen Invalidität voraus (<ref-ruling> E. 3.1 S. 68 mit Hinweisen).
Für den Beginn des Anspruchs auf Invalidenleistungen gelten sinngemäss die entsprechenden Bestimmungen des Bundesgesetzes vom 19. Juli 1959 über die Invalidenversicherung (<ref-law>; Art. 26 Abs. 1 BVG). Der Anspruch auf eine Invalidenrente der obligatorischen beruflichen Vorsorge entsteht grundsätzlich mit dem Beginn der Rente der Invalidenversicherung nach <ref-law>, d.h. frühestens sechs Monate seit der Anmeldung bei der Invalidenversicherung zum Rentenbezug (<ref-ruling>).
2.2. Unter bestimmten, in E. 4.1 des angefochtenen Entscheids richtig wiedergegebenen Voraussetzungen sind der im invalidenversicherungsrechtlichen Verfahren ermittelte Invaliditätsgrad und der Beginn der einjährigen Wartezeit nach <ref-law> (bis 31. Dezember 2007: <ref-law>) im Streit um Invalidenleistungen der beruflichen Vorsorge bzw. darum, ob die ins Recht gefasste Vorsorgeeinrichtung nach Gesetz (Art. 23 lit. a BVG) und Reglement leistungspflichtig ist, grundsätzlich verbindlich, sofern die betreffenden Festlegungen aufgrund einer gesamthaften Prüfung der Akten nicht als offensichtlich unhaltbar erscheinen (vgl. <ref-ruling> E. 4.3.2 S. 69; Urteil 9C_656/2014 vom 16. Dezember 2015 E. 5.2; Urteil 9C_491/2015 vom 19. Januar 2016 E. 1.2).
3.
3.1. Das Kantonsgericht ist davon ausgegangen, der von der IV-Stelle in der Verfügung vom 6. Juni 2014 auf den 21. Juni 2012 festgesetzte Beginn der Wartezeit nach <ref-law> sei für die ordnungsgemäss ins IV-Verfahren einbezogene Beschwerdeführerin grundsätzlich verbindlich in dem Sinne, dass vorbehältlich offenbarer Unhaltbarkeit die nach Art. 23 lit. a BVG relevante Arbeitsunfähigkeit (von dauerhaft mindestens 20 Prozent; Urteil 9C_656/2014 vom 16. Dezember 2015 E. 5.1.1 mit Hinweisen) in diesem Zeitpunkt als eingetreten zu gelten hat. Zur Begründung hat es ausgeführt, die Klägerin habe sich am 2. August 2012 (erneut) bei der Invalidenversicherung zum Leistungsbezug angemeldet. Ihr Rentenanspruch habe frühestens sechs Monate danach entstehen können, also im Februar 2013 (vgl. <ref-law>). Die IV-Stelle habe somit die Arbeitsfähigkeit bis ein Jahr vor diesem Zeitpunkt, also ab 1. Februar 2012 zu prüfen gehabt (vgl. <ref-law>). Sie habe den Beginn der Arbeitsunfähigkeit auf den 21. Juni 2012 festgelegt und der Klägerin ab 1. Juni 2013 eine ganze Rente zugesprochen. Damit habe sie klar und konkret über die Frage des Beginns der Arbeitsunfähigkeit entschieden. Die ins Verfahren einbezogene Beklagte 3 (heutige Beschwerdeführerin) habe sich gegen die Verfügung nicht gewehrt, welche daher für sie bindend sei, falls die invalidenversicherungsrechtliche Betrachtungsweise nicht offensichtlich unhaltbar erscheine.
Die Beschwerdeführerin bestreitet eine Bindungswirkung der Verfügung vom 6. Juni 2014 mit Bezug auf den Beginn der Wartezeit nach <ref-law> als im Sinne von Art. 23 lit. a BVG massgebender Zeitpunkt für die Bestimmung der grundsätzlich leistungspflichtigen Vorsorgeeinrichtung (E. 2.1 hiervor). Sie bringt u.a. vor, die IV-Stelle habe grundsätzlich kein Interesse gehabt an einer weiter zurückgehenden Abklärung betreffend Beginn des "Wartejahres", da die gesundheitliche Einschränkung zwischen 20 % und 40 % variiert habe "und somit von der IV nicht mit Relevanz belegt werden musste".
3.2. Nach nicht offensichtlich unrichtiger, für das Bundesgericht verbindlicher Feststellung der Vorinstanz (Art. 105 Abs. 1 und 2 BGG) bestand ab 25. Juni 2012 eine Arbeitsunfähigkeit von 100 %. Somit konnte die einjährige Wartezeit nach <ref-law> bei einer Arbeitsunfähigkeit von wenigstens 20 % ohne wesentlichen Unterbruch (<ref-law>) schon im September 2011 beginnen (9/12 x 20 % + 3/12 x 100% = 40 %; <ref-law>). Aufgrund der Anmeldung bei der Invalidenversicherung im August 2012 konnte indessen nach <ref-law> ein Rentenanspruch frühestens im Februar 2013 entstehen, sofern in diesem Zeitpunkt die Wartezeit erfüllt war. Somit war für die IV-Stelle lediglich der Verlauf der gesundheitlich bedingten Arbeitsunfähigkeit ab 1. Februar 2012 von Interesse. Da die Beschwerdegegnerin 1 seit 1. Januar 2012 bei der Beschwerdeführerin berufsvorsorgeversichert war, blieben bei der Festsetzung des Beginns der Wartezeit nach <ref-law> die Zeiten unberücksichtigt, in denen die Beschwerdegegnerin 1 anderen Vorsorgeeinrichtungen angehörte.
In der Verfügung vom 6. Juni 2014 wurde nicht nur gesagt, dass seit 21. Juni 2012 eine Arbeitsunfähigkeit von 100 % bestand, sondern mit der Festsetzung des Beginns der einjährigen Wartezeit auf diesen Zeitpunkt wurde gleichzeitig - implizite, aber zwangsläufig - auch festgehalten, dass davor seit 1. Februar 2012 entweder die Arbeitsfähigkeit durchgehend weniger als 20 % betrug oder an mindestens 30 aufeinanderfolgenden Tagen volle Arbeitsfähigkeit bestand (<ref-law>). Diese Festlegungen betrafen die Beschwerdeführerin unmittelbar, da die Beschwerdegegnerin 1 im gesamten Zeitraum bei ihr vorsorgeversichert war. Gleichwohl können sie im Hinblick auf einen allfälligen Streit um berufsvorsorgerechtliche Invalidenleistungen nur insoweit Verbindlichkeit erlangen, als die Vorsorgeeinrichtung ein schutzwürdiges Interesse nach <ref-law> hatte bzw. gehabt hätte, die Verfügung vom 6. Juni 2014 anzufechten mit dem Begehren, es sei festzustellen, dass bereits bei Beginn des Vorsorgeverhältnisses am 1. Januar 2012 eine auf dem invalidisierenden Gesundheitsschaden beruhende Arbeitsunfähigkeit von mindestens 20 % bestanden und ohne wesentlichen Unterbruch bis zum Beginn der Wartezeit am 21. Juni 2012 angedauert hatte. Diese Fragestellung ist zwar auch auf einen Zeitpunkt gerichtet, der vor dem für die Invalidenversicherung massgeblichen Zeitraum liegt (Urteil 9C_12/2014 vom 30. Mai 2014 E. 2.3, in: SVR 2014 IV Nr. 40 S. 141). Entscheidend ist indessen, dass mit dem erwähnten Feststellungsbegehren die IV-rechtliche Leistungszusprechung an sich beanstandet wird, was Voraussetzung für die Rechtsmittelbefugnis einer Vorsorgeeinrichtung ist (Urteil des Eidg. Versicherungsgerichts I 349/05 vom 21. April 2006 E. 2.3), und zwar hinsichtlich des Rentenbeginns (<ref-law>). Die Begründetheit des Begehrens bedeutete, dass die Wartezeit früher beginnt und der Rentenanspruch entsprechend früher entsteht.
Focht die Beschwerdeführerin die Verfügung vom 6. Juni 2014 nicht an, obschon sie hierzu berechtigt gewesen wäre, muss sie sich den IV-rechtlichen Beginn der Wartezeit nach <ref-law> am 21. Juni 2012, soweit nicht offensichtlich unhaltbar, als im Sinne von Art. 23 lit. a BVG massgebender Zeitpunkt für die Bestimmung der leistungspflichtigen Vorsorgeeinrichtung entgegenhalten lassen.
4.
4.1. Die Vorinstanz ist im Wesentlichen gestützt auf die Berichte der behandelnden Psychiaterin vom 23. August 2012, der Psychiatrischen Klinik F._ vom 19. Oktober 2012 und 14. Juni 2013 sowie die zeitechten Arztzeugnisse ab 2011 zum Ergebnis gelangt, es sei zwischen dem 29. Oktober 2011 und dem 25. Juni 2012 von keinem behandelnden Arzt eine Arbeitsunfähigkeit attestiert worden. Der Psychiater des Regionalen Ärztlichen Dienstes (RAD) habe übereinstimmend mit der behandelnden Psychiaterin den Beginn der Arbeitsunfähigkeit am 25. Juni 2012 festgehalten. Unter diesen Umständen erscheine es nicht als offensichtlich unhaltbar, wenn die IV-Stelle auf diesen Zeitpunkt abgestellt habe. Daran sei die Beklagte 3 (bzw. die heutige Beschwerdeführerin) gebunden. Wenn sie vorbringe, die Klägerin sei schon bei Versicherungsbeginn am 1. Januar 2012 mindestens 20 % arbeitsunfähig gewesen, könne ihr nicht gefolgt werden.
4.2. Die Beschwerdeführerin rügt eine offensichtlich unrichtige Sachverhaltsfeststellung durch das Kantonsgericht, welches wesentliche Fakten unberücksichtigt gelassen habe. Sie zeigt indessen nicht auf, inwiefern die betreffenden Umstände das Ergebnis der vorinstanzlichen Beweiswürdigung, wonach der enge zeitliche Zusammenhang zwischen einer vor Beginn des Vorsorgeverhältnisses mit der Beschwerdegegnerin 1 am 1. Januar 2012 bestandenen Arbeitsunfähigkeit von mindestens 20 % und dem im Juni 2013 entstandenen Rentenanspruch der Invalidenversicherung unterbrochen wurde, offensichtlich unhaltbar ist. Ihre Vorbringen nehmen denn auch keinen Bezug auf die massgeblichen Erwägungen im angefochtenen Entscheid, sondern geben lediglich die eigene Sichtweise wieder, wie die Beweise zu würdigen und welche rechtlichen Folgerungen daraus zu ziehen sind, womit sie ihrer Rügepflicht nicht genügt (<ref-law>; <ref-ruling> E. 2.2 S. 246; <ref-ruling> E. 1.3 S. 261; Urteil 9C_842/2014 vom 9. März 2015 E. 3.1).
5.
Im Übrigen ist der vorinstanzliche Entscheid nicht angefochten. Die Beschwerde ist unbegründet.
6.
Ausgangsgemäss hat die Beschwerdeführerin die Gerichtskosten zu tragen (<ref-law>) und der Beschwerdegegnerin 1 eine u.a. nach dem anwaltlichen Vertretungsaufwand bemessene Parteientschädigung zu bezahlen (<ref-law>). Die Beschwerdegegnerinnen 2 und 3 haben keinen Anspruch auf Parteientschädigung (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 800.- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
3.
Die Beschwerdeführerin hat die Beschwerdegegnerin 1 mit Fr. 1'000.- für das bundesgerichtliche Verfahren zu entschädigen.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien, dem Kantonsgericht Luzern, 3. Abteilung, und dem Bundesamt für Sozialversicherungen schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 10. August 2016
Im Namen der II. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Das präsidierende Mitglied: Meyer
Der Gerichtsschreiber: Fessler