Sachverhalt:
A.
Der 1963 geborene A._ war bei der Gemeinde B._ befristet vom 1. Dezember 2014 bis 31. Dezember 2015 als Berufsbeistand angestellt gewesen. Mit einem an die AHV-Zweigstelle gerichteten Schreiben vom 4. Januar 2016 wollte er sich zum Leistungsbezug bei der Arbeitslosenversicherung anmelden. Die Zweigstelle teilte ihm nach Erhalt des Schreibens am 6. Januar 2016 gleichentags schriftlich mit, sie sei hierfür seit 1. Juli 2014 nicht mehr zuständig. Er müsse sich persönlich beim Regionalen Arbeitsvermittlungszentrum (RAV) in Solothurn mit dem aus dem Internet herunterzuladenden Formular anmelden und legte ein Merkblatt mit den Öffnungszeiten und den benötigten Unterlagen bei. A._ kam dieser Aufforderung am 12. Januar 2016 nach. Unter Berücksichtigung von fünf Wartetagen richtete die Öffentliche Arbeitslosenkasse des Kantons Solothurn dem Versicherten für den Kontrollmonat Januar 2016 neun Taggelder aus und verrechnete im Kontrollmonat Februar 2016 die in diesem Monat zustehenden Taggelder mit einer Rückforderung aus einem früheren Verfahren in der Höhe von Fr. 343.70 (je mit Verfügung vom 29. April 2016). Mit zwei separaten Schreiben vom 7. Mai 2016 erhob A._ gegen beide Verfügungen Einsprache. Mit Einspracheentscheid vom 17. Juni 2016 wies die Arbeitslosenkasse die gegen die Taggeldabrechnung des Kontrollmonats Januar 2016 gerichtete Einsprache ab.
B.
Die gegen den Einspracheentscheid vom 17. Juni 2016 eingereichte Beschwerde hiess das Versicherungsgericht des Kantons Solothurn teilweise gut, hob den Einspracheentscheid vom 17. Juni 2016 auf und wies die Sache an die Arbeitslosenkasse zurück, damit dieses im Sinne der Erwägungen verfahre und danach neu entscheide. Auf die gegen die Verfügung vom 29. April 2016 betreffend die Taggeldabrechnung des Kontrollmonats Februar 2016 gerichtete Beschwerde trat das Versicherungsgericht mangels Anfechtungsobjekt nicht ein.
C.
Die Arbeitslosenkasse führt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten und beantragt, der vorinstanzliche Entscheid sei in dem Sinne teilweise aufzuheben, als die Sache an die Öffentliche Arbeitslosenkasse zurückzuweisen sei, damit diese die Anspruchsvoraussetzungen auf Arbeitslosenentschädigung ab 6. Januar 2016 neu prüfe.
Die Vorinstanz schliesst auf Abweisung der Beschwerde. A._ und das Staatssekretariat für Wirtschaft (SECO) verzichten auf eine Vernehmlassung.

Erwägungen:
1.
Die Vorinstanz hielt in Dispositiv-Ziffer 2 ihres Entscheids fest, dass die Sache an die Arbeitslosenkasse zurückgewiesen werde, damit dieses im Sinne der Erwägungen verfahre und hernach neu entscheide. Formell handelt es sich dabei um einen Rückweisungsentscheid, der nur unter den Bedingungen von Art. 92 oder 93 BGG angefochten werden kann. Aus den vorinstanzlichen Erwägungen (E. 4.4) ergibt sich aber, dass der Verwaltung kein Handlungsspielraum verbleibt und die Rückweisung nur noch der Umsetzung des oberinstanzlich Angeordneten dient, denn darin werden die entschädigungsberechtigten Tage im Monat Januar 2016 verbindlich auf 13 und die daraus resultierende Nachzahlung auf Fr. 976.- brutto festgelegt. Damit handelt es sich in Wirklichkeit um einen Endentscheid nach <ref-law> (SVR 2008 IV Nr. 39 S. 131, 9C_684/2007 E. 1.1 mit Hinweisen), weshalb auf die Beschwerde einzutreten ist.
2.
Die Beschwerde an das Bundesgericht ist grundsätzlich ein reformatorisches Rechtsmittel (<ref-law>), weshalb sie einen Antrag in der Sache (vgl. <ref-law>) enthalten muss; ein blosser Antrag auf Rückweisung genügt nicht, ausser wenn das Bundesgericht ohnehin nicht reformatorisch entscheiden könnte (<ref-ruling> E. 1.2 S. 135 f. mit Hinweis; Urteil 8C_673/2016 vom 10. Januar 2017 E. 1). Dass die Arbeitslosenkasse vorliegend kein Rechtsbegehren in der Sache stellt, schadet daher nicht, da das Bundesgericht ohnehin nicht reformatorisch entschieden hätte (MEYER/DORMANN, in: Basler Kommentar, Bundesgerichtsgesetz, 2. Aufl. 2011, N. 2a und 7 zu <ref-law>; <ref-ruling> E. 1.2 S. 135). Der Rückweisungsantrag ist zulässig.
3.
Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann wegen Rechtsverletzungen gemäss Art. 95 und 96 BGG erhoben werden. Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (<ref-law>). Es ist folglich weder an die in der Beschwerde geltend gemachten Argumente noch an die Erwägungen der Vorinstanz gebunden; es kann eine Beschwerde aus einem anderen als dem angerufenen Grund gutheissen und es kann sie mit einer von der Argumentation der Vorinstanz abweichenden Begründung abweisen. Immerhin prüft das Bundesgericht, unter Berücksichtigung der allgemeinen Pflicht zur Begründung der Beschwerde (Art. 42 Abs. 1 und 2 BGG), grundsätzlich nur die geltend gemachten Rügen, sofern die rechtlichen Mängel nicht geradezu offensichtlich sind (<ref-ruling> E. 1 S. 236 mit Hinweisen).
Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (<ref-law>). Es kann eine für den Ausgang des Verfahrens entscheidende (<ref-law>) Sachverhaltsfeststellung von Amtes wegen nur berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruht (<ref-law>).
4.
Streitig und zu prüfen ist, ob die Vorinstanz zu Recht für den Monat Januar 2016 von 13 entschädigungsberechtigten Tagen ausging und dem Versicherten eine Nachzahlung von Fr. 976.- (abzüglich der Sozialversicherungsbeiträge) zusprach. Die Argumentation der Arbeitslosenkasse, aufgrund der Vorbringen des Versicherten in seiner vorinstanzlichen Beschwerde sei seine Vermittlungsfähigkeit ab 6. Januar 2016 bis zu seiner persönlichen Vorsprache im RAV Solothurn am 12. Januar 2016 in Frage gestellt, ist eine im Rahmen des Streitgegenstands zulässige neue rechtliche Begründung, vorausgesetzt, sie vermag sich auf einen im angefochtenen Entscheid festgestellten Sachverhalt oder auf aktenkundige Tatsachen zu stützen (Art. 95 lit. a und <ref-law> sowie <ref-law>; <ref-ruling> E. 4.1 S. 366). Dies trifft vorliegend zu, wie sich aus den nachstehenden Darlegungen ergibt.
5.
5.1. Das kantonale Gericht erwog, werde eine Anmeldung nicht formgerecht oder bei der zuständigen Stelle eingereicht, sei für die Einhaltung der Fristen und für die an die Anmeldung geknüpften Rechtswirkungen dennoch der Zeitpunkt massgebend, in dem sie der Post übergeben oder bei der unzuständigen Stelle eingereicht werde. Alle mit der Sozialversicherung betrauten Stellen müssten versehentlich an sie gelangte Anmeldungen, Gesuche und Eingaben entgegennehmen und sie unter Festhaltung des Einreichedatums an die zuständige Stelle weiterleiten (<ref-law>). Im Kanton Solothurn habe die Anmeldung zum Leistungsbezug bei Arbeitslosigkeit beim Gemeindearbeitsamt der jeweiligen Wohngemeinde zu erfolgen. Im Falle der Gemeinde C._ sei dies - entgegen der Annahme des Versicherten - nicht (mehr) die AHV-Zweigstelle. Seit dem 30. Juni 2014 sei das RAV in Solothurn für die persönliche Entgegennahme der Anmeldung zuständig (vgl. <ref-law>). Mit Anmeldeschreiben vom 4. Januar 2016 (mit Eingang am 6. Januar 2016) habe er sich demnach nicht korrekt angemeldet. Die AHV-Zweigstelle habe ihrerseits insoweit fehlerhaft gehandelt, als sie die eingegangene Anmeldung nicht an das zuständige RAV weitergeleitet habe. Da jedoch hinsichtlich der Rechtswirkungen auf die mangelhafte Anmeldung vom 6. Januar 2016 abzustellen sei, erleide der Versicherte hieraus keinen Rechtsnachteil. Er sei aber nach dem Grundsatz von Treu und Glauben gehalten gewesen, sich innert nützlicher Frist korrekt anzumelden. Dies habe er getan, indem er angegeben habe, in der Woche vom 4. Januar 2016 in D._ gewesen zu sein, um sich um seine Kinder zu kümmern, und er in dieser Woche auch nicht mehr nach C._ zurückgekehrt sei, weshalb er erst am 11. Januar 2016 Kenntnis vom Antwortschreiben der AHV-Zweigstelle vom 6. Januar 2016 erhalten und sich Tags darauf persönlich beim RAV Solothurn angemeldet habe.
5.2. Die Vorinstanz führte weiter aus, der Anmeldezeitpunkt sei daher auf den 6. Januar 2016 zu legen und die kontrollierten Tage ab diesem Datum zu zählen. Für den Januar 2016 ergebe dies 18 kontrollierte Tage, hiervon seien fünf Wartetage abzuziehen, woraus 13 entschädigungsberechtigte Tage resultierten. Dies entspreche einer Bruttoentschädigung von Fr. 3'172.- und führe zu einer Nachzahlung von Fr. 976.- brutto.
6.
Die auf den 6. Januar 2016 datierte Anmeldung und die daraus resultierende Festsetzung auf 13 entschädigungsberechtigte Kontrolltage mit Anpassung der Rahmenfrist für den Leistungsbezug (6. Januar 2016 bis 5. Januar 2018) ficht die Beschwerdeführerin in grundsätzlicher Hinsicht nicht an. Sie macht jedoch eine Verletzung von Bundesrecht geltend, indem die Vorinstanz einen Anspruch des Versicherten auf Arbeitslosenentschädigung ab 6. Januar 2016 bejaht habe, ohne die weiteren Anspruchsvoraussetzungen nach <ref-law> geprüft zu haben. Namentlich müsse die versicherte Person, um einen Anspruch auf Arbeitslosenentschädigung zu erhalten, nach Art. 8 Abs. 1 lit. f und g AVIG vermittlungsfähig sein und die Kontrollvorschriften erfüllen. Der Beschwerdegegner habe ausgeführt, er habe Gründe für die schriftliche Anmeldung. So sei er dringend von seinen Kindern in D._ gebraucht worden, weshalb er sich schriftlich angemeldet habe. Es sei ihm auch nicht möglich gewesen, in dieser Woche wieder nach Solothurn zu reisen. Aus diesen Angaben sei zu schliessen, dass der Versicherte aufgrund der Betreuung seiner Kinder in D._ gar nicht in der Lage gewesen wäre, in dieser Woche eine Arbeit anzunehmen oder sich persönlich beim RAV Solothurn zu melden. Auch mit Blick auf die Vermittlungsfähigkeit müsse die versicherte Person in der Regel innert Tagesfrist erreichbar sein. Indem der Beschwerdegegner in seiner schriftlichen Anmeldung lediglich eine Korrespondenzadresse in C._ und weder Telefonnummer noch eine E-mail-Adresse angegeben und sich in dieser Woche gar nicht in C._ befunden habe, wäre er von der zuständigen Stelle nicht innert Tagesfrist erreichbar gewesen. Aus diesen Gründen sei seine Vermittlungsfähigkeit ab 6. Januar 2016 bis zu seiner persönlichen Vorsprache auf dem RAV Solothurn (12. Januar 2016) in Frage gestellt, weshalb ein Anspruch auf Arbeitslosenentschädigung ab 6. Januar 2016 nicht ohne Prüfung seiner Vermittlungsfähigkeit bejaht werden könne, was zur beantragten Rückweisung führe.
7.
Den Darlegungen der Beschwerdeführerin ist vollumfänglich beizupflichten. Eine mehrere Tage dauernde Unabkömmlichkeit tangiert die mit Blick auf die Kontrollvorschriften verlangte kurzfristige Verfügbarkeit innert Tagesfrist für arbeitsmarktliche Massnahmen sowie für Gesprächs- und Vorstellungstermine (Art. 21 Abs. 1 in Verbindung mit <ref-law>; SVR 2006 ALV Nr. 10 S. 36, C 171/05; ARV 2004 Nr. 19 S. 190, C 241/01; THOMAS NUSSBAUMER, Arbeitslosenversicherung, in: Soziale Sicherheit, SBVR Bd. XIV, 3. Auflage 2016, S. 2361 f., Rz. 319 mit Hinweisen). Ebenfalls bildet die kurzfristige Verfügbarkeit einen wesentlichen Bestandteil der Vermittlungsfähigkeit. Die arbeitslose Person muss jederzeit erreichbar und täglich zum Antritt einer Beschäftigung oder arbeitsmarktlichen Massnahme in der Lage sein (NUSSBAUMER, a. a. O, S. 2347, Rz. 268). Die zuständige Behörde wurde über die ab 4. bis 12. Januar 2016 dauernde, vom Beschwerdegegner eingeräumte Ortsabwesenheit nicht informiert. Ebenso wenig war er telefonisch erreichbar oder hinterliess er eine E-Mail-Adresse. Dass er während seines Aufenthalts in D._ dennoch täglich zur Annahme einer Beschäftigung oder einer arbeitsmarktlichen Massnahme bereit gewesen wäre, verneint er überdies mit dem Hinweis, er sei von seinen Kindern gebraucht worden und es sei ihm unmöglich gewesen, in dieser Woche nach Solothurn zu reisen. Damit stellt sich sowohl die Frage nach der Verletzung der Kontrollvorschriften als auch diejenige nach seiner Vermittlungsfähigkeit (Art. 8 Abs. 1 lit. f und g AVIG). Wenn die Vorinstanz bei der hier gegebenen Sachlage einen Anspruch auf Arbeitslosenentschädigung für 13 Kontrolltage mit entsprechender Nachzahlung vorbehaltlos bejahte, ohne die weiteren Anspruchsvoraussetzungen (<ref-law>) zu beurteilen, ist dies bundesrechtswidrig. Ein Anspruch auf Arbeitslosenentschädigung im Umfang von 13 Kontrolltagen ist erst gegeben, sofern die übrigen gesetzlichen Anspruchsvoraussetzungen erfüllt sind. Die Sache wird daher antragsgemäss zur Prüfung derselben mit anschliessender neuer Verfügung an die Arbeitslosenkasse zurückgewiesen.
8.
Dem Ausgang des Verfahrens entsprechend sind die Gerichtskosten dem Beschwerdegegner aufzuerlegen (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird gutgeheissen. Der Entscheid des Versicherungsgerichts des Kantons Solothurn vom 23. März 2017 wird insoweit aufgehoben, als darin ein Anspruch auf 13 entschädigungsberechtigte Tage mit Nachzahlung von Fr. 976.- brutto für den Monat Januar 2016 verbindlich festgestellt wurde. Die Sache wird an die Öffentliche Arbeitslosenkasse des Kantons Solothurn zurückgewiesen, damit sie die übrigen Anspruchsvoraussetzungen auf Arbeitslosenentschädigung prüfe und hernach über den Anspruch des Beschwerdegegners auf Taggelder der Arbeitslosenversicherung für den Monat Januar 2016 neu verfüge.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 500.- werden dem Beschwerdegegner auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird den Parteien, dem Versicherungsgericht des Kantons Solothurn und dem Staatssekretariat für Wirtschaft (SECO) schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 8. August 2017
Im Namen der I. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Maillard
Die Gerichtsschreiberin: Polla