Sachverhalt:
A.
Der 1955 geborene A._ reiste 1990 zur Aufnahme einer unselbstständigen Erwerbstätigkeit in die Schweiz ein. Seit 1983 ist er bei der Deutschen Krankenversicherung AG (nachfolgend: DKV) versichert, wobei der Versicherungsschutz auch in der Schweiz gilt. Am 4. Mai 2015 forderte das Amt für Sozialversicherungen des Kantons Bern (nachfolgend: ASV) A._ auf, umgehend bei einer schweizerischen Krankenversicherung eine Grundversicherung nach KVG abzuschliessen. Im Juni 2015 ersuchte er um Befreiung von der Versicherungspflicht. Das ASV wies das Gesuch mit Verfügung vom 2. November 2015 ab und verpflichtete A._, eine Grundversicherung nach KVG abzuschliessen und ihm eine Kopie der Versicherungspolice einzureichen, andernfalls es ihn einer Krankenkasse zuweisen werde. Daran hielt das ASV mit Einspracheentscheid vom 19. April 2016 fest.
B.
Die dagegen erhobene Beschwerde wies das Verwaltungsgericht des Kantons Bern, nachdem es A._ aufgefordert hatte, den Nachweis einer privaten Pflegeversicherung "nach SGB XI" einzureichen, mit Entscheid vom 10. November 2016 ab.
C.
A._ beantragt mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten, der Entscheid vom 10. November 2016 sei aufzuheben, eventualiter sei die Sache zu neuer Beurteilung an die Verwaltung zurückzuweisen. "Für den Fall des Unterliegens" ersucht er um Ansetzung einer kurzen Frist, um selber eine Krankenversicherung abzuschliessen und so einem Zwangsanschluss zu entgehen. Ferner ersucht er um aufschiebende Wirkung des Rechtsmittels. Zudem reicht er eine Ergänzung der Beschwerde ein.
Das ASV schliesst auf Abweisung der Beschwerde. Das Bundesamt für Gesundheit (BAG) verzichtet auf eine Vernehmlassung.

Erwägungen:
1.
1.1. Der Beschwerdeführer stellte das Rechtsbegehren betreffend Ansetzung einer Frist weder im Verwaltungsverfahren noch bei der Vorinstanz. Es ist neu und daher unzulässig (Art. 99 Abs. 2 BGG).
1.2. Die in der Beschwerde vorgebrachte Behauptung betreffend die Einnahme eines Medikamentes, das nicht von der obligatorischen Krankenversicherung nach KVG, wohl aber von der bisherigen privaten Versicherung übernommen werde, findet sich weder in den Verwaltungsakten noch in den vorinstanzlichen Unterlagen. Sie ist neu und daher unzulässig (Art. 99 Abs. 1 BGG; Urteil 9C_61/2014 vom 23. Juli 2014 E. 2.3 mit Hinweisen).
1.3. Was die Rechtsmittelbelehrung im angefochtenen Entscheid anbelangt, so stellt der Beschwerdeführer weder einen zulässigen Antrag, noch begründet er (substanziiert), inwiefern sie eine Rechtsverletzung im Sinne von Art. 95 BGG darstellen soll (vgl. Art. 42 Abs. 1 und 2 BGG). Auf die entsprechenden Vorbringen ist daher nicht weiter einzugehen. Zu ergänzen ist immerhin, dass die Eingabe vom 9. Januar 2017 rechtzeitig erfolgte (Art. 100 Abs. 1 i.V.m. Art. 45, 46 und 48 BGG).
1.4. Mit der Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann unter anderem die Verletzung von Bundesrecht gerügt werden (Art. 95 lit. a BGG). Die Feststellung des Sachverhalts kann nur gerügt werden, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von Art. 95 beruht und wenn die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein kann (Art. 97 Abs. 1 BGG). Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zu Grunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (Art. 105 Abs. 1 BGG). Es kann die Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz von Amtes wegen berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von Art. 95 beruht (Art. 105 Abs. 2 BGG).
2.
2.1. Grundsätzlich muss sich jede Person mit Wohnsitz in der Schweiz innert drei Monaten nach der Wohnsitznahme in der Schweiz für Krankenpflege versichern lassen (Art. 3 Abs. 1 KVG). Der Bundesrat kann indessen Ausnahmen von der Versicherungspflicht vorsehen (Art. 3 Abs. 2 KVG). Nach Art. 2 Abs. 8 KVV (SR 832.102) sind insbesondere Personen, für welche eine Unterstellung unter die schweizerische Versicherung eine klare Verschlechterung des bisherigen Versicherungsschutzes oder der bisherigen Kostendeckung zur Folge hätte und die sich auf Grund ihres Alters und/oder ihres Gesundheitszustandes nicht oder nur zu kaum tragbaren Bedingungen im bisherigen Umfang zusatzversichern könnten, auf Gesuch hin von der Versicherungspflicht ausgenommen. Dem Gesuch ist eine schriftliche Bestätigung der zuständigen ausländischen Stelle mit allen erforderlichen Angaben beizulegen.
2.2.
2.2.1. Mit Blick auf die gesetzgeberisch gewollte Solidarität zwischen Gesunden und Kranken sind die Ausnahmen von der Versicherungspflicht generell eng zu halten, und es ist der Befürchtung des Gesetzgebers Rechnung zu tragen, dass sich das schweizerische Obligatorium unterlaufen liesse, wenn beispielsweise der Nachweis einer ausländischen freiwilligen privaten Versicherung allgemein als Befreiungsgrund akzeptiert würde (<ref-ruling> E. 8.5.6 S. 317). Für die Anwendung von Art. 2 Abs. 8 KVV sind daher strenge Massstäbe zu setzen. Insbesondere darf diese Bestimmung nicht dazu dienen, blosse Nachteile zu verhindern, die eine Person dadurch erleidet, dass das schweizerische System den Versicherungsschutz, den sie bisher unter dem ausländischen System genoss, überhaupt nicht oder nicht zu gleich günstigen Bedingungen vorsieht (SVR 2009 KV Nr. 10 S. 35, 9C_921/2008 E. 4.3). Sie soll aber immerhin den Nachteil vermeiden, der daraus resultiert, dass eine Person bis zum Erreichen ihres bisherigen ausländischen Versicherungsniveaus von in der Schweiz tatsächlich vorhandenen Angeboten wegen ihres Alters und/oder Gesundheitszustandes nicht oder nur zu kaum tragbaren Bedingungen Gebrauch machen kann (<ref-ruling> E. 8.5.6 S. 318; SVR 2012 KV Nr. 6 S. 18, 9C_510/2011 E. 2.2).
2.2.2. Es ist sachgerecht, für die Frage nach einer klaren Verschlechterung des Versicherungsschutzes gemäss Art. 2 Abs. 8 KVV auch die Nachteile der bisherigen Versicherung zu berücksichtigen, wenn dadurch die KVG-Versicherungsdeckung unterschritten wird. Für die Befreiungstatbestände der Art. 2 Abs. 2-5 und 7 KVV ist jeweils explizit ein mit jenem nach KVG "gleichwertiger Versicherungsschutz" (vgl. <ref-ruling> E. 5 S. 36 ff.; SVR 2011 KV Nr. 3 S. 13, 9C_313/2010 E. 4.3) erforderlich. Auch wenn mit dem Wortlaut von Art. 2 Abs. 8 KVV nicht ausdrücklich ein gleichwertiger Versicherungsschutz verlangt wird, ist die Tatsache dessen Fehlens schon aus gesetzessystematischen Gründen und mit Blick auf einen umfassenden (Mindest-) Versicherungsschutz relevant. Ausserdem ist eine Lücke in der Versicherungsdeckung (im Vergleich zu den Mindestvorschriften des KVG) - jedenfalls wenn sie erheblich ist - auch angesichts der mit dem Versicherungsobligatorium angestrebten Solidarität zwischen Gesunden und Kranken als klarer Mangel zu werten, der durch Unterstellung unter die Versicherungspflicht behoben wird. Die fehlende Deckung für Pflegekosten, wie sie in Art. 25a sowie Art. 25 Abs. 2 lit. a KVG und Art. 7 der Verordnung vom 29. September 1995 über Leistungen der obligatorischen Krankenpflegeversicherung (KLV; SR 832.112.31) vorgesehen ist, stellt einen schwerwiegenden Mangel der bisherigen Versicherung dar (SVR 2012 KV Nr. 6 S. S. 18, 9C_510/2011 E. 4.4.2 und 4.4.3; Urteil 9C_86/2016 vom 18. November 2016 E. 2.2).
2.3. Die Frage, ob eine Person auf Grund ihres Alters und/oder ihres Gesundheitszustandes nicht oder nur zu kaum tragbaren Bedingungen eine Zusatzversicherung im bisherigen Umfang abschliessen könnte, ist eine Tatfrage. Ob eine Verschlechterung des bisherigen Versicherungsschutzes oder der bisherigen Kostendeckung hinreichend erheblich ist, um eine Befreiung von der Versicherungspflicht zu rechtfertigen, und unter welchen Gesichtspunkten dies zu beantworten ist, sind hingegen vom Bundesgericht frei überprüfbare Rechtsfragen (SVR 2012 KV Nr. 6 S. 18, 9C_510/2011 E. 2.3).
3.
Die Vorinstanz hat festgestellt, dass der Beschwerdeführer bei der DKV in gewissen Bereichen über einen über das schweizerische Versicherungsobligatorium hinausgehenden Versicherungsschutz verfüge. Namentlich seien neben den Krankheitskosten ein Taggeld, eine Unterbringung in einem Ein- oder Zweibettzimmer mit freier Arztwahl bei stationärem Aufenthalt und die Zahnbehandlungskosten versichert. Weiter hat sie eine private Pflegeversicherung nach dem elften Buch des deutschen Sozialgesetzbuches vom 26. Mai 1994 (SGB XI) als gleichwertig zur schweizerischen Pflegeversicherung gemäss 25a sowie Art. 25 Abs. 2 lit. a KVG und Art. 7 f. betrachtet. Diesbezüglich hat sie festgestellt, der Beschwerdeführer habe keine Bestätigung, wonach der in der Schweiz gewährte Versicherungsschutz auch denjenigen der privaten Pflegeversicherung nach SGB XI einschliesse, eingereicht. Damit liege ein schwerwiegender Mangel der bisherigen Versicherung vor. Das kantonale Gericht hat erwogen, obwohl die Vorteile der bisherigen Versicherung nur sehr begrenzt kompensiert werden könnten, falle das Fehlen einer Pflegeversicherung ungleich schwerer ins Gewicht, so dass bei Unterstellung des Beschwerdeführers unter die schweizerische Versicherung nicht von einer klaren Verschlechterung des bisherigen Versicherungsschutzes oder der bisherigen Kostendeckung im Sinne von Art. 2 Abs. 8 KVV gesprochen werden könne. Folglich hat es eine Ausnahme von der Versicherungspflicht verneint.
4.
4.1. Das kantonale Gericht hat die als wesentlich und erstellt erachteten Tatsachen und die daraus gezogenen rechtlichen Schlüsse nachvollziehbar dargelegt, und eine sachgerechte Anfechtung des vorinstanzlichen Erkenntnisses war möglich (vgl. <ref-ruling> E. 4.1 S. 88; <ref-ruling> E. 3.3 S. 445; <ref-ruling> E. 1a S. 181). Daher kann - entgegen den Vorbringen des Beschwerdeführers - nicht von einer Verletzung der aus dem Anspruch auf rechtliches Gehör nach Art. 29 Abs. 2 BV sowie Art. 61 lit. h ATSG (SR 830.1) und Art. 112 Abs. 1 lit. b BGG abgeleiteten Prüfungs- und Begründungspflicht gesprochen werden (Urteil 5A_368/2007 vom 18. September 2007 E. 2; vgl. auch <ref-ruling> E. 5.3 S. 357 ff.).
4.2. Der Beschwerdeführer macht geltend, der Nachweis einer Pflegeversicherung (nach SGB XI) sei im Verwaltungsverfahren nicht thematisiert worden, weshalb er vom kantonalen Gericht nicht habe verlangt werden dürfen; er beruft sich dafür auf Art. 73 Abs. 1 des kantonalen Gesetzes vom 23. Mai 1989 über die Verwaltungsrechtspflege (VRPG; BSG 155.21). Diese Bestimmung regelt wie jene von Art. 61 lit. d ATSG die Änderung einer Verfügung zu Ungunsten der beschwerdeführenden Person (reformatio in peius). Der Beschwerdeführer verkennt, dass er mit dem vorinstanzlichen Entscheid nicht schlechter gestellt wurde als mit der angefochtenen Verfügung. Soweit in diesem Zusammenhang überhaupt kantonales Recht zum Tragen kommt (vgl. Art. 49 Abs. 1 BV und Art. 61 ATSG) und von einer genügend substanziierten Rüge auszugehen ist (vgl. Art. 95 i.V.m. Art. 106 Abs. 2 BGG; <ref-ruling> E. 2 S. 149 f.), kann daher nicht von willkürlicher (Nicht-) Anwendung der angerufenen kantonalen Bestimmung gesprochen werden.
Im Übrigen betrifft der Nachweis einer Pflegeversicherung die gerichtliche Beweiserhebung (auf der Grundlage von Art. 61 lit. c ATSG) innerhalb des Streitgegenstandes (vgl. <ref-ruling> E. 1 S. 414 f.). Inwiefern diese gesetzeswidrig erfolgt sein soll, ist nicht ersichtlich und wird auch nicht (substanziiert) dargelegt.
4.3. Angesichts der restriktiven Vorgaben des Gesetzes zum Versicherungsobligatorium liegt in der Regel keine klare Verschlechterung des bisherigen Versicherungsschutzes oder der bisherigen Kostendeckung im Sinne von Art. 2 Abs. 8 KVV vor, wenn die bestehende Versicherung Pflegekosten nicht so deckt, dass auch die Leistungen gemäss Art. 25a sowie Art. 25 Abs. 2 lit. a KVG und Art. 7 KLV (zumindest annähernd) gewährleistet sind (vgl. E. 2.2).
4.4. Wohl kennt das schweizerische System keine "eigentliche", d.h. eigenständige "soziale Pflegeversicherung" (HARDY LANDOLT, Plädoyer für die Einführung einer Pflegeversicherung, Pflegerecht 2014, S. 131). Dennoch sind - entgegen der Annahme des Beschwerdeführers - mit der obligatorischen Krankenpflegeversicherung nach KVG nicht nur Leistungen der Akut- und Übergangspflege (im Anschluss an einen Spitalaufenthalt), sondern auch solche der Langzeitpflege (ambulant oder im Pflegeheim) abgedeckt (vgl. Art. 25a KVG; LANDOLT, a.a.O.), und zwar zusätzlich zu den allgemeinen Leistungen bei Krankheit gemäss Art. 25 KVG. Ob Leistungen einer privaten Pflegeversicherung nach deutschem SGB XI mit jenen gemäss KVG (und KLV) vergleichbar sind, kann offenbleiben. Nicht von Belang ist auch das Vorbringen, der Abschluss einer privaten Pflegeversicherung könne jederzeit nachgeholt werden; entscheidend ist vielmehr, ob eine solche Versicherung bei Erlass der angefochtenen Verfügung bestand (SVR 2012 KV Nr. 6 S. 18, 9C_510/2011 E. 4.4.3).
4.5. Der Beschwerdeführer macht nicht geltend, über eine private Pflegeversicherung, die Leistungen gemäss Art. 25a sowie Art. 25 Abs. 2 lit. a KVG und Art. 7 f. KLV (zumindest annähernd) gewährleistet, zu verfügen. Soweit er vorbringt, ein Krankentaggeld in Höhe von EUR 182.62 versichert zu haben, kann er nichts für sich ableiten: Dadurch werden die im schweizerischen Obligatorium vorgesehenen Leistungen bei weitem nicht gedeckt (vgl. zu den Kosten Art. 25a Abs. 5 KVG und Art. 7a KLV; vgl. auch Urteil 9C_8/2017 vom 20. Juni 2017 E. 4.3). Somit bleiben die vorinstanzlichen Feststellungen betreffend das Fehlen einer Pflegeversicherung (E. 3) für das Bundesgericht verbindlich (E. 1.4).
4.6. Die Vorinstanz hat gewürdigt, dass die Vorteile der bisherigen Versicherung (Taggeld, Unterbringung im Ein- oder Zweibettzimmer mit freier Arztwahl bei stationärem Aufenthalt, Zahnbehandlungskosten) altersbedingt nur sehr begrenzt kompensiert werden könnten (E. 3). Dass sie die fehlende Deckung für Pflegekosten höher gewichtet hat, steht im Einklang mit der Rechtsprechung (E. 2.2 und 4.3; vgl. auch Urteil 9C_8/2017 vom 20. Juni 2017 E. 4.5). Daran ändert auch nichts, dass bei Auflösung des bisherigen Versicherungsverhältnisses Altersrückstellungen für Prämien verloren gehen und eine entsprechende Anwartschaftsvereinbarung nicht kostenlos zu haben ist. Schliesslich genügt ein Alter von rund 61 Jahren allein nicht, eine Person von der mit dem Obligatorium angestrebten Solidarität zwischen Gesunden und Kranken (E. 2.2) zu befreien. Der angefochtene Entscheid ist weder willkürlich noch unverhältnismässig oder sonstwie rechtswidrig. Die Beschwerde ist unbegründet.
5.
Mit dem Entscheid in der Sache wird das Gesuch um aufschiebende Wirkung der Beschwerde gegenstandslos.
6.
Dem Ausgang des Verfahrens entsprechend hat der Beschwerdeführer die Kosten zu tragen (Art. 66 Abs. 1 BGG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 500.- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird den Parteien, dem Verwaltungsgericht des Kantons Bern, Sozialversicherungsrechtliche Abteilung, und dem Bundesamt für Gesundheit schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 20. Juni 2017
Im Namen der II. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Pfiffner
Die Gerichtsschreiberin: Dormann