Sachverhalt:
A.
Mit Eingabe vom 7. Februar 2011 verlangte X._ von der Gemeindeverwaltung Lachen eine anfechtbare Verfügung betreffend Einsicht in die Sporteleinnahmen des Betreibungsbeamten. In der gleichen Angelegenheit übermittelte X._ der Gemeindeverwaltung am 20. Februar 2011 ein weiteres Schreiben per Telefax. Darin führte er aus, beim Betreibungsamt liege krasse Misswirtschaft, Begünstigung und ungetreue Geschäftsbesorgung vor. Es sei der grösste je im Bezirk vorgekommene Beamtenbetrugsfall. Weiter bezeichnete er eine Aussage des Gemeindepräsidenten A._ als "glatte Lüge". Die beiden Schreiben liess A._ durch seinen Anwalt am 11. März 2011 der Staatsanwaltschaft zur Bestrafung von X._ wegen übler Nachrede und/oder Beschimpfung zukommen.
Am 7. November 2014 erstattete X._ Strafanzeige gegen A._, weil dieser durch die Offenlegung der Schreiben vom 7. und 20. Februar 2011 gegenüber der Staatsanwaltschaft das Amtsgeheimnis verletzt habe, ohne zuvor die schriftliche Einwilligung der vorgesetzten Behörde eingeholt zu haben. Die Staatsanwaltschaft verfügte am 26. Mai 2015 die Nichtanhandnahme des Strafverfahrens.
B.
Das Kantonsgericht Schwyz trat am 22. Dezember 2015 auf die von X._ gegen die Verfahrensnichtanhandnahme eingereichte Beschwerde aufgrund fehlender Beschwerdelegitimation nicht ein.
C.
X._ führt Beschwerde in Strafsachen. Er beantragt die Aufhebung der Verfügung des Kantonsgerichts Schwyz vom 22. Dezember 2015 sowie der Verfügung der Staatsanwaltschaft vom 26. Mai 2015. Die Vorinstanz sei anzuweisen, auf seine Beschwerde einzutreten, eventualiter sei die Strafsache an die Staatsanwaltschaft zurückzuweisen, mit der Weisung, die Strafuntersuchung gegen A._ im Sinne der Erwägungen des Bundesgerichts durchzuführen.

Erwägungen:
1.
1.1. Nach <ref-law> ist zur Beschwerde in Strafsachen berechtigt, wer vor der Vorinstanz am Verfahren teilgenommen oder keine Möglichkeit zur Teilnahme erhalten hat, sofern er ein aktuelles rechtlich geschütztes Interesse an der Aufhebung oder Änderung des angefochtenen Entscheids hat. Bei der Privatklägerschaft wird in Art. 81 Abs. 1 lit. b Ziff. 5 BGG zusätzlich verlangt, dass der angefochtene Entscheid sich auf die Beurteilung ihrer Zivilansprüche auswirken kann. Als Zivilansprüche gelten solche, die ihren Grund im Zivilrecht haben und deshalb ordentlicherweise vor den Zivilgerichten durchgesetzt werden müssen. In erster Linie handelt es sich um Ansprüche auf Schadenersatz und Genugtuung nach <ref-law>.
Unbekümmert um die fehlende Legitimation in der Sache selbst kann der Privatkläger die Verletzung von Verfahrensrechten geltend machen, deren Missachtung eine formelle Rechtsverweigerung darstellt. Zulässig sind Rügen formeller Natur, die von der Prüfung der Sache getrennt werden können. Nicht zu hören sind Rügen, die im Ergebnis auf eine materielle Überprüfung des angefochtenen Entscheids abzielen. Ein in der Sache nicht legitimierter Beschwerdeführer kann deshalb weder die Beweiswürdigung kritisieren, noch kann er geltend machen, die Begründung sei materiell unzutreffend. Er kann hingegen vorbringen, auf ein Rechtsmittel sei zu Unrecht nicht eingetreten worden, er sei nicht angehört worden, er habe keine Gelegenheit erhalten, Beweisanträge zu stellen, oder er habe keine Einsicht in die Akten nehmen können ("Star-Praxis"; <ref-ruling> E. 1.1; <ref-ruling> E. 1.4; Urteile 6B_827/2014 vom 1. Februar 2016 E. 1.1, zur Publikation vorgesehen; 6B_316/2015 vom 19. Oktober 2015 E. 1.1, nicht publiziert in: <ref-ruling>; je mit Hinweisen).
1.2. Der Beschwerdeführer macht geltend, die Vorinstanz sei zu Unrecht nicht auf seine Beschwerde eingetreten. Die Aberkennung seiner Parteistellung verstosse gegen <ref-law> sowie gegen Art. 6 Ziff. 1 und Art. 13 EMRK. Daneben rügt er eine Verletzung des rechtlichen Gehörs. Diese Beanstandungen sind gemäss "Star-Praxis" einer bundesgerichtlichen Überprüfung zugänglich. Auf die Beschwerde ist unter dem Gesichtswinkel der Legitimation einzutreten.
2.
2.1. Die Vorinstanz begründet den Nichteintretensentscheid damit, in einer Strafuntersuchung wegen Amtsgeheimnisverletzung sei eine private Person nur zur Beschwerde gegen die Nichtanhandnahme legitimiert, wenn sie unmittelbar geschädigt sei. Dies sei der Fall, wenn eine Tatsache aus ihrer Privatsphäre offenbart worden sei. In den Schreiben des Beschwerdeführers vom 7. und 20. Februar 2011 gehe es um dessen Bemühungen als Staatsbürger, Klarheit über die Einnahmen des Betreibungsbeamten zu erhalten. Im Schreiben vom 7. Februar 2011 verweise er diesbezüglich auf seine diversen Presseberichte und im Schreiben vom 20. Februar 2011 weise er ausdrücklich darauf hin, keine persönlich-privaten Interessen zu verfolgen. Die gemachten Äusserungen beträfen lediglich die Amtsführung und somit eine öffentliche Angelegenheit. Es seien keine Tatsachen aus dem Privatleben des Beschwerdeführers offengelegt worden. Der Beschwerdeführer sei durch die Weitergabe dieser Schreiben nicht unmittelbar geschädigt (<ref-law>) und daher nach <ref-law> auch nicht zur Beschwerde befugt.
2.2.
2.2.1. Gemäss <ref-law> kann jede Partei, die ein rechtlich geschütztes Interesse an der Aufhebung oder Änderung eines Entscheides hat, ein Rechtsmittel ergreifen. Die Privatklägerschaft kann den Entscheid hinsichtlich der ausgesprochenen Sanktion nicht anfechten (<ref-law>). Als Privatklägerschaft gilt die geschädigte Person, die ausdrücklich die Absicht ihrer Beteiligung am Strafverfahren als Straf- oder Zivilkläger erklärt hat (Art. 118 Abs. 1 und Art. 119 StPO). Geschädigt ist, wer durch die Straftat in seinen Rechten unmittelbar verletzt worden ist, d.h. wer Träger des durch die verletzte Strafnorm geschützten oder zumindest mitgeschützten Rechtsgutes ist (<ref-law>).
2.2.2. Gemäss <ref-law> macht sich der Verletzung des Amtsgeheimnisses schuldig, wer ein Geheimnis offenbart, das ihm in seiner Eigenschaft als Mitglied einer Behörde oder als Beamter anvertraut worden ist oder das er in seiner amtlichen oder dienstlichen Stellung wahrgenommen hat.
Ein Geheimnis offenbart, wer es einer dazu nicht ermächtigten Drittperson zur Kenntnis bringt oder dieser die Kenntnisnahme zumindest ermöglicht. <ref-law> schützt das Interesse der Allgemeinheit an der zur ungehinderten Erfüllung der staatlichen Aufgaben unabdingbaren Verschwiegenheit der Behördenmitglieder und Beamten. Der Tatbestand bezweckt damit in erster Linie die Wahrung öffentlicher Interessen, namentlich das reibungslose Funktionieren der Verwaltung und der Rechtspflege. Soweit das Amtsgeheimnis eine geheimhaltungsbedürftige Tatsache aus der Privatsphäre des Einzelnen betrifft, schützt <ref-law> auch das Geheimhaltungsinteresse des Einzelnen (Urteil 6B_851/2015 vom 7. März 2016 E. 5.1 mit Hinweisen, zur Publikation vorgesehen). Betrifft das Amtsgeheimnis eine Tatsache aus der Privatsphäre des Einzelnen, so ist dieser in Bezug auf die Straftat der Verletzung des Amtsgeheimnisses als Geschädigter anzusehen (Urteil 6B_28/2012 vom 11. Dezember 2012 E. 1.4.3 mit Hinweisen).
2.2.3. Der Beschwerdeführer macht geltend, er führe einen politischen Kampf gegen das Betreibungswesen der Gemeinde Lachen. Dies sei öffentlich bekannt. Mit diesem Kampf verfolge er keine persönlich-privaten Interessen. Sein Frust über die Untätigkeit des Gemeindepräsidenten bzw. des Beschwerdegegners sei allerdings sehr wohl persönlicher Natur gewesen und betreffe seine Privatsphäre. Da der Beschwerdegegner die Bezeichnung als Lügner offenbar persönlich genommen habe, könne daraus abgeleitet werden, dass dieser selber ebenfalls zwischen dem politischen Kampf und den an ihn persönlich gerichteten Worten unterschieden habe. Die Amtsgeheimnisverletzung habe den Beschwerdeführer sehr getroffen. Der Beschwerdegegner habe die Briefe weitergeleitet, um gegen ihn persönlich vorzugehen. Die relevanten Passagen aus den Schreiben seien auch in der Presse zu lesen gewesen, womit er in seiner Persönlichkeit und in seinem Ansehen verletzt worden sei.
2.2.4. Die Schreiben des Beschwerdeführers vom 7. und 20. Februar 2011 betreffen die gemäss seinen eigenen Angaben bereits öffentlich bekannte Tatsache, wonach er einen Kampf gegen das Betreibungswesen seiner Gemeinde führt. Er kritisierte die Untätigkeit des Beschwerdegegners und prangert Missstände an. Weiter finden sich darin Verunglimpfungen gegen den Beschwerdegegner. Dabei handelt es sich offensichtlich nicht um Informationen aus der Privatsphäre des Beschwerdeführers, geschweige denn um geheimhaltungswürdige Tatsachen. Unerheblich ist, ob der Beschwerdeführer in privatem oder öffentlichem Interesse gehandelt und ob sich der Beschwerdegegner persönlich angegriffen gefühlt hat. Der Beschwerdeführer gilt durch die Weitergabe seiner Schreiben jedenfalls nicht als unmittelbar verletzt. Die Vorinstanz geht zu Recht davon aus, dass die Voraussetzungen von <ref-law> i.V.m. <ref-law> nicht erfüllt sind.
2.3. Soweit der Beschwerdeführer in diesem Zusammenhang eine Verletzung des rechtlichen Gehörs sowie der Begründungspflicht rügt, ist die Beschwerde unbegründet. Die Vorinstanz musste sich nicht mit allen Parteistandpunkten einlässlich auseinandersetzen und jedes einzelne Vorbringen ausdrücklich widerlegen. Ausschlaggebend ist, dass sie die für ihren Entscheid wesentlichen Überlegungen nennt, von denen sie sich hat leiten lassen und auf welche sie sich stützt, sodass die betroffene Person den Entscheid in voller Kenntnis der Sache anfechten kann (<ref-ruling> E. 3.2.4; <ref-ruling> E. 2.2; je mit Hinweisen). Die Vorinstanz begründet, weshalb der Inhalt der fraglichen Schreiben nicht die Privatsphäre des Beschwerdeführers betrifft. Inwiefern der Beschwerdeführer den Entscheid nicht sachgerecht anfechten konnte, ist weder ersichtlich noch dargelegt.
2.4. Zu prüfen bleibt damit, ob der vorinstanzliche Entscheid gegen die Verfahrensgarantien von <ref-law>, Art. 6 Ziff. 1 und Art. 13 EMRK verstösst.
2.4.1. Gemäss <ref-law> (Rechtsweggarantie) hat jede Person bei Rechtsstreitigkeiten Anspruch auf Beurteilung durch eine richterliche Behörde. Sodann hat nach Art. 6 Ziff. 1 EMRK jede Person ein Recht darauf, dass über Streitigkeiten in Bezug auf ihre zivilrechtlichen Ansprüche und Verpflichtungen von einem unabhängigen Gericht entschieden wird.
Garantiert wird durch <ref-law> und Art. 6 Ziff. 1 EMRK der effektive Zugang zum Gericht. Dieser ist verletzt, wenn zu Unrecht auf ein Rechtsmittel nicht eingetreten bzw. dieses abgeschrieben wurde. Die Rechtsweggarantie besteht allerdings nur im Rahmen der jeweiligen Prozessordnung und verbietet insbesondere nicht, den gerichtlichen Sachentscheid von den üblichen Sachurteilsvoraussetzungen abhängig zu machen (<ref-ruling> E. 4.2; <ref-ruling> E. 4.3; Urteil 1C_663/2012 vom 9. Oktober 2013 E. 6.2; je mit Hinweisen). Dies gilt gleichermassen für den Anspruch auf gerichtliche Beurteilung gemäss Art. 6 Ziff. 1 EMRK (Urteil 2C_871/2015 vom 11. Februar 2016 E. 2.5.3 mit Hinweisen; Urteil des EGMR Ramos g. Schweiz vom 14. Oktober 2010 [10111/06] § 33 ff.).
2.4.2. Die Verfahrensregeln von <ref-law> und Art. 6 Ziff. 1 EMRK verleihen kein unbeschränktes Recht auf Beurteilung durch eine richterliche Behörde. Vielmehr kann der Zugang zu einem Gericht von der Einhaltung formeller Vorschriften abhängig gemacht werden. Dazu zählt neben der Beachtung der massgeblichen Fristen und der rechtzeitigen Leistung eines Kostenvorschusses auch die Erfüllung der Anforderungen an die Beschwerdelegitimation. Die formellen Voraussetzungen dürfen indessen das Recht auf Zugang zum Gericht nicht in seiner Substanz aushöhlen oder in unverhältnismässiger Weise einschränken (<ref-ruling> E. 2.2.3; <ref-ruling> E. 4d; je mit Hinweisen). Eine solche Folge hat der angefochtene Entscheid nicht. Die Beschränkung der Beschwerdebefugnis durch das Erfordernis eines rechtlich geschützten Interesses (<ref-law>) ist legitim. Wie bereits dargelegt, hat der Beschwerdeführer kein schützenswertes persönliches Interesse an der Verurteilung des Beschwerdegegners wegen Amtsgeheimnisverletzung. Von einer Verletzung der Verfahrensgarantien kann daher keine Rede sein. Zur Geltendmachung der behaupteten Schadenersatz- und Genugtuungsansprüche steht dem Beschwerdeführer der übliche Prozessweg weiterhin offen (vgl. JENS MEYER-LADEWIG, EMRK-Handkommentar, 3. Aufl. 2011, N. 41 zu Art. 6 EMRK).
2.4.3. Schliesslich rügt der Beschwerdeführer eine Verletzung von Art. 13 EMRK (Recht auf eine wirksame Beschwerde) und beruft sich in diesem Zusammenhang auf einen Verstoss gegen Art. 8 EMRK (Recht auf Achtung der Korrespondenz). Die genannten Bestimmungen haben im vorliegenden Zusammenhang allerdings keine über die Garantien von Art. 6 Ziff. 1 EMRK und <ref-law> hinausgehende Bedeutung, weshalb der Beschwerdeführer daraus nichts zu seinen Gunsten ableiten kann.
2.5. Dass die Vorinstanz das Rechtsmittel des Beschwerdeführers bei dieser Sachlage abschlägig entschied bzw. seine Legitimation verneinte, hält vor dem Bundesrecht stand.
3.
Die Beschwerde ist abzuweisen. Bei diesem Ausgang des Verfahrens sind dem Beschwerdeführer die Gerichtskosten aufzuerlegen (<ref-law>). Dem Beschwerdegegner ist keine Entschädigung zuzusprechen, da ihm im bundesgerichtlichen Verfahren keine Umtriebe entstanden sind.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 2'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Kantonsgericht Schwyz schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 13. Mai 2016
Im Namen der Strafrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Denys
Die Gerichtsschreiberin: Schär