Sachverhalt:
A.
A.a. A.A._ und B.A._ haben am 6. August 1997 geheiratet. Sie sind die Eltern von C.A._ (geb. 1997). Die Eheleute leben seit dem Jahr 2003 getrennt. Am 19. September 2011 hatte die Ehefrau beim Bezirksgericht Horgen die Scheidung eingereicht. Mit Verfügung vom 11. Februar 2015 wurden die Parteien vom Bezirksgericht Horgen zur Hauptverhandlung auf den 8. Mai 2015 vorgeladen.
A.b. Am 2. März 2015 wandte sich A.A._ an das Obergericht des Kantons Zürich. Er stellte die folgenden Anträge:
"1. Zu entscheiden über den Inhalt meiner Gefährdungsmeldung an die KESB, mit dem Ziel zu ermöglichen, dass das Jugendamt eine Beratung ohne Zustimmung der Mutter durchführt.
2. Zu entscheiden, dass eine geeignete Begutachtung meines Sohnes umgehend durchgeführt wird.
3. Zu entscheiden, dass das Scheidungsverfahren umgehend an einem anderen Gericht verhandelt wird.
4. Zu entscheiden, dass diese Anträge nicht vom Bezirksgericht Horgen entschieden werden."
Das Obergericht nahm die Eingabe von A.A._ als Rechtsverzögerungsbeschwerde wie auch als Beschwerde gegen die Verfügung vom 11. Februar 2015entgegen und wies das Rechtsmittel ab, soweit es darauf eintrat.
B.
Mit Eingabe vom 26. April 2015 wendet sich A.A._ (Beschwerdeführer) an das Bundesgericht. Er hält sinngemäss an den Begehren fest, die er vor Obergericht gestellt hatte (Bst. A.b), und wirft der Vorinstanz unter anderem vor, seine Absicht auf Erlass einer superprovisorischen Verfügung zu verkennen und in diesem Zusammenhang wahrheitswidrige und verleumderische Behauptungen aufzustellen. Für das Verfahren vor dem Bundesgericht verlangt er die unentgeltliche Prozessführung. Das Bundesgericht hat die vorinstanzlichen Akten, aber keine Vernehmlassungen eingeholt.

Erwägungen:
1.
Das Bundesgericht prüft die Zulässigkeit der ihm unterbreiteten Rechtsmittel frei und von Amtes wegen (<ref-ruling> E. 1 S. 116).
2.
Soweit der Beschwerdeführer im vorinstanzlichen Verfahren die Verfügung vom 11. Februar 2015 betreffend Vorladung zur Hauptverhandlung anfocht, ist die Vorinstanz auf das kantonale Rechtsmittel nicht eingetreten. Dagegen setzt sich der Beschwerdeführer vor Bundesgericht nicht zur Wehr. Hingegen ficht er den obergerichtlichen Entscheid insofern an, als die Vorinstanz seine Rechtsverzögerungsbeschwerde abweist. Ist vor Bundesgericht einzig die Verneinung des Rechtsverzögerungsvorwurfs durch die Vorinstanz Prozessthema, so stellt der diesbezügliche kantonale Entscheid einen Zwischenentscheid dar, der einen nicht wieder gutzumachenden Nachteil im Sinne von Art. 93 Abs. 1Bst. a BGG bewirken kann. Denn die geltend gemachte Rechtsverzögerung und damit eine allfällige Verletzung des Anspruchs auf Beurteilung binnen angemessener Frist (<ref-law>) würde selbst mit einem für den Beschwerdeführer günstigen Endentscheid nicht behoben (Urteile 5A_499/2014 vom 18. November 2014 E. 1.1, 5A_208/2014 vom 30. Juli 2014 E. 1 und 5A_383/2014 vom 25. Juli 2014 E. 1). Allein von daher wäre die Beschwerde in Zivilsachen an sich gegeben, zumal das Obergericht als kantonale Rechtsmittelbehörde und oberes Gericht (<ref-law>) entschieden hat und die Beschwerde an das Bundesgericht beizeiten (Art. 100 Abs. 1 i.V.m. Art. 46 Abs. 1 Bst. a BGG) eingereicht wurde.
3.
Zur Beschwerde in Zivilsachen ist nur berechtigt, wer ein schutzwürdiges Interesse an der Aufhebung oder Änderung des angefochtenen Entscheides hat. Die Beschwerdebefugnis setzt ein aktuelles und praktisches Interesse an der Gutheissung der Beschwerde voraus, das auch im Zeitpunkt der Fällung des bundesgerichtlichen Urteils noch vorhanden sein muss (vgl. <ref-ruling> E. 1.2 S. 157). Am Erfordernis des praktischen Interesses fehlt es insbesondere dann, wenn der Rechtsstreit gegenstandslos geworden ist. Liegt das praktische Interesse im Zeitpunkt der Beschwerdeerhebung vor, fällt es aber nachträglich weg, ist der Rechtsstreit gemäss <ref-law> (SR 273) in Verbindung mit <ref-law> als gegenstandslos geworden abzuschreiben. Im vorliegenden Fall fällt auf, dass der Sohn C.A._, dessen Begutachtung der Scheidungsrichter in verfassungswidriger Weise verzögert haben soll (vgl. Sachverhalt Bst. A.b), am 1. September 2015, also während des vor Bundesgericht hängigen Verfahrens volljährig geworden ist. Mithin wird das Bezirksgericht Horgen im hängigen Scheidungsverfahren grundsätzlich keine Kinderbelange mehr zu beurteilen haben. Unter diesen Umständen kann nicht als sicher gelten, dass der Beschwerdeführer überhaupt noch ein schutzwürdiges Interesse an der Prüfung der Frage hat, ob die Vorinstanz eine verfassungswidrige Verzögerung des Antrags um Begutachtung des Sohnes C.A._ zu Recht verneint. Die Frage kann jedoch offenbleiben. Das zeigen die nachfolgenden Erwägungen.
4.
Auch im ordentlichen Beschwerdeverfahren befasst sich das Bundesgericht nur mit formell ausreichend begründeten Rügen (<ref-ruling> E. 1.1 S. 104 f.; s. auch Urteil 5A_92/2008 vom 25. Juni 2008 E. 2.3). Nach <ref-law> ist in der Begründung in gedrängter Form darzulegen, inwiefern der angefochtene Akt Recht verletzt. Die Begründung muss in der Beschwerde selbst enthalten sein; blosse Verweise auf die den Vorinstanzen eingereichten Rechtsschriften genügen den Anforderungen von <ref-law> nicht (Urteil 5A_512/2007 vom 17. April 2008 E. 1.5 mit Hinweisen, nicht publ. in: <ref-ruling>). Der Beschwerdeführer muss auf den angefochtenen Entscheid eingehen und im Einzelnen aufzeigen, worin eine Verletzung von Bundesrecht liegt; er soll im Schriftsatz mit seiner Kritik an den Erwägungen der Vorinstanz ansetzen, die er als rechtsfehlerhaft erachtet (vgl. <ref-ruling> E. 2a S. 400; Urteil 4A_22/2008 vom 10. April 2008 E. 1). Allgemein gehaltene Einwände, die er ohne aufgezeigten oder erkennbaren Zusammenhang mit bestimmten Entscheidungsgründen vorbringt, genügen nicht (<ref-ruling> E. 3 S. 749).
5.
5.1. Dem angefochtenen Entscheid zufolge liegt eine Rechtsverzögerung im Sinne von Art. 319 Bst. c ZPO vor, wenn ein anfechtbarer Entscheid vom dazu berufenen Gericht nicht gefällt wird, obwohl er gefällt werden könnte. Dabei ist, wie das Obergericht erklärt, der Gestaltungsspielraum des Gerichts zu berücksichtigen, dem die Verfahrensleitung zusteht. Eine eigentliche Pflichtverletzung und damit eine Rechtsverzögerung sollte deshalb nur in klaren Fällen angenommen werden. Was den konkreten Fall angeht, kommt die Vorinstanz zunächst zum Schluss, der Beschwerdeführer habe sich widersprüchlich verhalten. Er habe sich damit einverstanden erklärt, dass mit einem Gutachten abgeklärt werden soll, ob sein Sohn computersüchtig sei; von weiteren Themen sei nicht die Rede gewesen. Als die Vorinstanz ein Gutachten habe einholen wollen, habe er dagegen protestiert und verlangt, dass dieses zurückgestellt werde, bis über das Ausstandsbegehren entschieden worden sei, bzw. gefordert, seine Einwände betreffend Notwendigkeit einer Ausweitung des Gutachtens zu berücksichtigen. Das Obergericht hält ein solches Verhalten nicht für schützenswert. Ausserdem verweist es auf den Untersuchungsgrundsatz. Dieser verpflichte das Gericht, den Sachverhalt von Amtes wegen zu erforschen. Im Hinblick auf die Einholung eines Gutachtens sei es meist sinnvoll, dass das Gericht die betroffene Person persönlich anhört. Das Bezirksgericht habe C.A._s Anhörung auf den 17. April 2014 vereinbart, der Beschwerdeführer habe diese Anhörung aber verhindert. Bei dieser Sachlage könne dem Bezirksgericht nicht vorgeworfen werden, kein oder noch kein Gutachten eingeholt zu haben, so die Folgerung des Obergerichts. Mit Bezug auf den Vorwurf, dass das Scheidungsverfahren inzwischen wesentlich länger dauere als in Zürich üblich, vermag das Obergericht unter Hinweis auf die Prozessgeschichte keine relevanten Lücken oder Perioden unmotivierter Untätigkeit zu erkennen. Der Beschwerdeführer lege nicht konkret dar, wann bzw. in welchen Zeiträumen das Bezirksgericht untätig gewesen sein soll. Auch in dieser Hinsicht erweise sich die Beschwerde als unbegründet.
5.2. Was der Beschwerdeführer dem Bundesgericht in weitschweifigen, wenig kohärenten Ausführungen vorträgt, vermag den geschilderten Begründungsanforderungen (E. 4) nicht zu genügen. Der Beschwerdeführer gibt sich damit zufrieden, den Sachverhalt oder die Rechtslage aus eigener Sicht zu schildern oder blosse Behauptungen aufzustellen, ohne sich näher mit dem angefochtenen Entscheid auseinanderzusetzen. Im Zusammenhang mit den angeblichen Computerspielexzessen seines Sohnes und der Befürchtung einer depressiven Entwicklung besteht er darauf, dass sich das Bezirksgericht weder zu seiner Gefährdungsmeldung an die Kindes- und Erwachsenenschutzbehörde (KESB) des Bezirks Horgen noch zu seinem Beweisantrag betreffend C.A._s Begutachtung geäussert habe. Der Beschwerdeführer empört sich darüber, dass das Obergericht diese angeblichen Versäumnisse schütze bzw. gar keine Stellung dazu nehme und ihm stattdessen widersprüchliches und schuldhaftes Verhalten vorwerfe. Bei alledem übersieht er aber, dass das in <ref-law> garantierte Recht auf einen verzögerungsfreien Ablauf des Verfahrens voraussetzt, dass der Rechtsunterworfene im konkreten Fall auch einen Rechtsanspruch auf den Entscheid hat (LORENZ MEYER, Das Verzögerungsverbot nach <ref-law>, 1985, S. 28 f.; vgl. <ref-ruling> E. 2 S. 241 f.). Um sein Rechtsmittel an das Bundesgericht hinreichend zu begründen, müsste der Beschwerdeführer deshalb darlegen, welche Bestimmungen der Zivilprozessordnung ihm einen Rechtsanspruch darauf verschaffen, dass sich das Bezirksgericht bereits vorab, das heisst im Laufe des Verfahrens eigens zu seiner Gefährdungsmeldung an die KESB Bezirk Horgen und/oder zu seinem Beweisantrag äussert und zu diesem Zweck eine separate (prozessleitende) Verfügung erlässt. Dies aber tut der Beschwerdeführer in keiner Weise. Was die vorinstanzliche Beurteilung der bisherigen Dauer des Scheidungsprozesses bzw. des diesbezüglichen Verzögerungsvorwurfs anbelangt, begnügt sich der Beschwerdeführer mit dem Vorwurf, das Obergericht unterschlage die zwei erfolgreichen Ausstandsverfahren und übersehe damit, dass "die Richter auch die Verantwortung für diesen Teil der langen Prozessdauer" treffe. Allein damit vermag er gegen die vorinstanzliche Feststellung, dass die Prozessgeschichte keine Perioden der unmotivierten Untätigkeit erkennen lasse, nicht aufzukommen.
6.
Aufgrund des Gesagten kann das Bundesgericht auf die Beschwerde insgesamt nicht eintreten. Der Beschwerdeführer wird damit kostenpflichtig (<ref-law>). Seinem Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege für das bundesgerichtliche Verfahren kann nicht entsprochen werden, da die Beschwerde als von Anfang an aussichtslos zu gelten hat (<ref-law>). Dem Kanton Zürich ist keine Entschädigung geschuldet (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2.
Das Gesuch des Beschwerdeführers um unentgeltliche Rechtspflege für das bundesgerichtliche Verfahren wird abgewiesen.
3.
Die Gerichtskosten von Fr. 500.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
4.
Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer, dem Bezirksgericht Horgen und dem Obergericht des Kantons Zürich, I. Zivilkammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 6. April 2016
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: von Werdt
Der Gerichtsschreiber: V. Monn