Sachverhalt:
A.
A.a. Mit Klageschrift vom 6. August 2013 machten C.B._ (geb. 2010) und D.B._ (geb. 2012) und ihre Mutter B.B._ eine Vaterschafts- und Unterhaltsklage gegen A._ anhängig. Das Verfahren wurde zweigeteilt. Die Vaterschaftsklage ist in der Zwischenzeit erledigt worden. Es wurde festgestellt, dass A._ der Vater der Kinder C.B._ und D.B._ ist (Urteil des Bundesgerichts 5A_794/2014 vom 6. Mai 2015). Nach wie vor offen ist die Unterhaltsfrage.
A.b. Am 2. Oktober 2015 verfügte das für die Beurteilung der Unterhaltsforderung zuständige Bezirksgericht Meilen, dass C.B._ und D.B._ im Prozess durch ihre Mutter B.B._ vertreten werden, und nicht durch die Kinderbeiständin oder, wie von A._ beantragt, durch einen noch zu bezeichnenden Prozessbeistand.
A.c. Auf die vom Beschwerdeführer dagegen erhobene Beschwerde trat das Obergericht des Kantons Zürich mit Beschluss vom 16. Dezember 2015 nicht ein.
B.
B.a. Mit Beschwerde in Zivilsachen vom 20. Januar 2016 (Postaufgabe) wendet sich A._ (Beschwerdeführer) an das Bundesgericht. Er verlangt, dass im Rahmen der bisherigen Beistandschaft ein Beistand damit betraut wird, C.B._ und D.B._ (Beschwerdegegnerinnen) im Unterhaltsprozess zu vertreten (Rechtsbegehren Ziff. 2.a). Eventualiter sei den Beschwerdegegnerinnen ein über ein Rechtsanwaltspatent verfügender Beistand zur Wahrung des Unterhaltsanspruchs neu zu bestellen und hierzu eventuell eine entsprechende Beistandschaft durch die KESB Zürich neu zu errichten (Ziff. 2.b). Die elterliche Sorge der Kindsmutter sei entsprechend zu beschränken (Ziff. 2.c). (Sub-) Eventualiter sei die Sache an die Vorinstanz zur neuerlichen Entscheidung im Sinne seiner Anträge zurückzuweisen (Ziff. 3). Zudem sei Vormerk zu nehmen, dass er bereit sei, die Kosten der externen Kinderanwältin basierend auf einem Stundenansatz von Fr. 200.-- zu übernehmen (Ziff. 4). Der Beschwerde sei aufschiebende Wirkung zu erteilen.
B.b. Das Bundesgericht erteilte der Beschwerde mit Verfügung vom 22. Januar 2016 superprovisorisch aufschiebende Wirkung in Bezug auf Dispositiv-Ziffer 4 der Verfügung des Bezirksgerichts Meilen vom 2. Oktober 2015 (Ansetzung einer 20-tägigen Frist an den Beschwerdeführer zur Stellungnahme zum Gesuch der Beschwerdegegnerinnen um Erlass vorsorglicher Massnahmen). Mit Verfügung vom 9. Februar 2016 hat das Bundesgericht der Beschwerde antragsgemäss im selben Umfang die aufschiebende Wirkung erteilt, nachdem sich die Beschwerdegegnerinnen einer aufschiebenden Wirkung nicht widersetzten (Eingabe vom 27. Januar 2016) und die Vorinstanz diesbezüglich auf eine Vernehmlassung verzichtete.
B.c. Am 7. März 2016 (Datum der Postaufgabe) informierte der Beschwerdeführer das Bundesgericht darüber, dass B.B._ am 10. Januar 2016 Mutter zweier weiterer Kinder geworden ist. Er reichte weitere Beweismittel ein.
C.
Das Bundesgericht hat die vorinstanzlichen Akten, in der Sache aber keine Vernehmlassungen eingeholt.

Erwägungen:
1.
Das Bundesgericht prüft von Amtes wegen und mit freier Kognition, ob die Eintretensvoraussetzungen gegeben sind (<ref-ruling> E. 1 S. 116).
2.
2.1. Beim angefochtenen Beschluss geht es um die Frage, ob die Kindsmutter als Sorgerechtsinhaberin und gesetzliche Vertreterin (<ref-law>) die Beschwerdegegnerinnen im Unterhaltsstreit gegen den Beschwerdeführer vertreten darf oder ob den Beschwerdegegnerinnen zu diesem Zweck ein Beistand zu bestellen ist. Die Vorinstanz ist auf das Rechtsmittel des Beschwerdeführers gegen die Verfügung des Bezirksgerichts, welches die Vertretung durch die Kindsmutter für zulässig erklärt hatte, nicht eingetreten. Angesichts der nachfolgenden Erwägungen kann offen gelassen werden, ob dem Beschwerdeführer ein schutzwürdiges Interesse an der Beschwerdeführung im Sinne von <ref-law> zukommt.
Wird einzig über die Vertretungsbefugnis entschieden, handelt es sich um einen Vor- bzw. Zwischenentscheid, der weder die Zuständigkeit noch den Ausstand betrifft. Gegen einen solchen ist die Beschwerde nur zulässig, wenn der Entscheid einen nicht wieder gutzumachenden Nachteil bewirken kann (Art. 93 Abs. 1 Bst. a BGG) oder wenn die Gutheissung der Beschwerde sofort einen Endentscheid herbeiführen und damit einen bedeutenden Aufwand an Zeit oder Kosten für ein weitläufiges Beweisverfahren ersparen würde (Art. 93 Abs. 1 Bst. b BGG).
2.2. Der Beschwerdeführer macht ausschliesslich nicht wieder gutzumachende Nachteile im Sinne von Art. 93 Abs. 1 Bst. a BGG geltend. Er behauptet also zu Recht nicht, dass die Voraussetzungen von Art. 93 Abs. 1 Bst. b BGG erfüllt wären. Letztgenannte Bestimmung fällt im zu beurteilenden Fall von vornherein ausser Betracht. Der Entscheid des Bundesgerichts kann - unabhängig davon, wie er ausfällt - das erstinstanzliche Verfahren nicht beenden.
2.3. Der nicht wieder gutzumachende Nachteil gemäss Art. 93 Abs. 1 Bst. a BGG muss rechtlicher Natur sein. Ein rein tatsächlicher Nachteil, der als natürliche Folge des Verfahrensfortgangs erscheint, genügt nicht (<ref-ruling> E. 1.2 S. 80 f.; <ref-ruling> E. 1.3 S. 525). Der Nachteil muss überdies irreparabel sein. Diese Voraussetzung ist nicht erfüllt, soweit ein für den Beschwerdeführer günstiger Endentscheid den Nachteil vollumfänglich behöbe (<ref-ruling> E. 1.2 S. 80 f.; <ref-ruling> E. 3.1 S. 47; <ref-ruling> E. 1.3 S. 525; Urteil 5A_910/2015 vom 9. Februar 2016 E. 2.1). Ob ein nicht wieder gutzumachender Nachteil vorliegt, bemisst sich an den Auswirkungen des Zwischenentscheids auf die Hauptsache bzw. das Hauptverfahren (<ref-ruling> E. 1.2 S. 80 f.; <ref-ruling> E. 1.2.2 S. 383). Es obliegt dem Beschwerdeführer darzutun, dass die Eintretensvoraussetzungen gemäss Art. 93 Abs. 1 Bst. a BGG erfüllt sind, es sei denn, deren Vorliegen springe geradezu in die Augen (<ref-ruling> E. 2.3.1 S. 632 und E. 2.4.2 S. 633; vgl. zuletzt Urteil 5A_910/2015 vom 9. Februar 2016 E. 2.1). Die Möglichkeit, einen Zwischenentscheid aus prozessökonomischen Gründen selbständig anzufechten, stellt eine Ausnahme dar, die restriktiv auszulegen ist (<ref-ruling> E. 1.3.2 S. 430). Dies gilt umso mehr, als die Parteien keiner Rechte verlustig gehen, wenn sie einen Zwischenentscheid nicht selbständig anfechten, können sie ihn doch mit dem Endentscheid anfechten, soweit er sich auf dessen Inhalt auswirkt (<ref-law>; Urteil 4A_109/2007 vom 30. Juli 2007 E. 2.4).
3.
3.1. Den nicht wieder gutzumachenden Nachteil gemäss Art. 93 Abs. 1 Bst. a BGG sieht der Beschwerdeführer in erster Linie darin, dass zwischen der Kindsmutter und den Beschwerdegegnerinnen ein Interessenkonflikt bestehe. Durch das Nichteintreten auf seine Beschwerde und die Nichteinsetzung einer notwendigen Kindesvertretung habe die Vorinstanz Bundesrecht (<ref-law>, Art. 9 und Art. 30 BV) sowie Völkerrecht (Art. 3 Abs. 1 und 2, Art. 27 KRK) verletzt. Die geltend gemachten überzogenen Unterhaltsansprüche von Fr. 30'000.-- im Monat (geforderter Mindestbetrag, hinzu käme eine zuzüglich verlangte Kostenbeteiligung an ausserordentlichen Auslagen) bzw. Fr. 42'955.-- (behaupteter monatlicher Bedarf) würden belegen, dass es der Kindsmutter nicht um die körperliche, geistige und sittliche Entfaltung der Kinder gehe, sondern sie sich von ihm, dem Beschwerdeführer, aushalten lassen wolle. Ein hoher Kinderunterhalt könne keinesfalls per se mit dem Kindeswohl gleichgesetzt werden. Ziel sei die Finanzierung des exorbitanten Lebensstils der Kindsmutter. Weiter hindere die Wiederaufnahme eines Strafverfahrens betreffend ihn und die Kindsmutter letztere an einer angemessenen Vertretung der Beschwerdegegnerinnen, was die Vorinstanz zu würdigen verweigert habe. Werde die Prozessgeschichte der Parteien mit herangezogen, könne zudem nicht ausgeschlossen werden, dass er mit der Unterhaltsklage bestraft werden solle.
Die Ausführungen des Beschwerdeführers sind nicht geeignet, einen nicht wieder gutzumachenden Nachteil darzutun. Ob zwischen der Kindsmutter und den Kindern möglicherweise ein Interessenkonflikt besteht bzw. die Kindsmutter mit ihrer Prozessführung das Wohl der Kinder ausser Acht lässt, ist eine Frage der korrekten Rechtsanwendung in der Sache. Damit gehen auch alle Vorwürfe des Beschwerdeführers ins Leere, wonach die Vorinstanz diesen Interessenkonflikt bzw. das Kindswohl zu wenig gewürdigt und ihren Entscheid nicht genügend substanziiert begründet habe. Selbst wenn die Vorwürfe zutreffen sollten, vermöchte dies für sich allein keinen nicht wieder gutzumachenden Nachteil zu begründen, sondern könnte zusammen mit der Hauptsache gerügt werden.
3.2. Der Beschwerdeführer sieht einen nicht wieder gutzumachenden Nachteil ferner darin, dass die Kindsmutter im Unterhaltsprozess zu Informationen gelange, die ihr in einem (Straf-) Verfahren wegen Nötigung und Erpressung nützlich sein könnten, das er gegen die Kindsmutter angestrengt habe. Er führt aus, welche Nachteile er durch eine Preisgabe hätte resp. dass er bei Nichtpreisgabe die prozessualen Folgen wegen Beweislosigkeit tragen müsste. Auch drohe eine Verletzung seiner Persönlichkeit, wenn er im anstehenden Unterhaltsprozess seine finanziellen Verhältnisse offen legen müsse.
Bereits die Vorinstanz wies den Beschwerdeführer darauf hin, dass im Augenblick noch gar nicht feststehe, ob und in welchem Umfang er im Unterhaltsstreit seine Einkommens- und Vermögensverhältnisse offen legen müsse bzw. welches die Konsequenzen wären, falls er dies nicht täte. Die blosse Möglichkeit einer Offenlegungspflicht resp. die Angst, die der Beschwerdeführer davor hat, vermag noch keinen nicht wieder gutzumachenden Nachteil zu begründen. Entsprechend fällt auch die behauptete Verletzung der Persönlichkeit als Grund für einen nicht wieder gutzumachenden Nachteil ausser Betracht.
3.3. Schliesslich macht der Beschwerdeführer eine Verfahrensverlängerung und -verteuerung geltend, die durch einen späteren günstigen Entscheid nicht wettgemacht werden könne.
Auch damit lässt sich kein nicht wieder gutzumachender Nachteil im Sinne von Art. 93 Abs. 1 Bst. a BGG begründen. Der vom Beschwerdeführer für den gegenteiligen Standpunkt erwähnte <ref-ruling> ist in einem andern Zusammenhang ergangen (baurechtliche Vor- und Zwischenentscheide) und für das vorliegende Verfahren nicht einschlägig. Richtig ist zwar, dass das Bundesgericht in der Verfügung, mit der eine vertretungsbefugte Person nicht als Vertreter zugelassen wird, einen nicht wieder gutzumachenden Nachteil erblickt hat (<ref-ruling> E. 1.2 - 1.4 S. 80 ff. mit Hinweisen). Daraus kann nun aber nicht der Umkehrschluss gezogen werden, dass dem Beschwerdeführer ein nicht wieder gutzumachender Nachteil droht, wenn er einen Prozess gegen die möglicherweise nicht zur Prozessführung befugte Kindsmutter führen muss. Entsprechend hat das Bundesgericht einen nicht wieder gutzumachenden Nachteil in einem Fall verneint, in dem sich die Beschwerdegegner im kantonalen Verfahren von einem Anwalt vertreten liessen, der nach Auffassung der Beschwerdeführerin in den Ausstand hätte treten müssen (Urteil 5A_47/2014 vom 27. Mai 2014 E. 4.3; mit Hinweis auf <ref-ruling> E. 2.3.1 S. 632, wonach rein tatsächliche Nachteile keine Anfechtbarkeit nach Art. 93 Abs. 1 Bst. a BGG zu begründen vermögen). Im Übrigen ist es im vorliegenden Fall offensichtlich, dass der Beschwerdeführer selbst alle Register zieht, den Unterhaltsprozess in die Länge zu ziehen.
Soweit sich der Beschwerdeführer mit seiner Rüge auf Art. 93 Abs. 1 Bst. b BGG beziehen wollte, war dies zum vornherein zum Scheitern verurteilt (vgl. vorstehende E. 2.2).
3.4. Darüber hinaus argumentiert der Beschwerdeführer mit einer Voreingenommenheit der Vorinstanz ihm gegenüber. Da er aber kein Ausstandsgesuch stellt, ist hierauf nicht einzugehen.
4.
Auf die Beschwerde in Zivilsachen kann auch dann nicht eingetreten werden, wenn sich, wie der Beschwerdeführer behauptet, eine Rechtsfrage von grundsätzlicher Bedeutung stellt. Das Vorliegen einer Rechtsfrage von grundsätzlicher Bedeutung macht den Weg dafür frei, dass das Bundesgericht auf eine Beschwerde in Zivilsachen eintritt, obwohl der dafür nötige Streitwert nicht erreicht ist (Art. 74 Abs. 2 Bst. a BGG). Die Rechtsfrage von grundsätzlicher Bedeutung eröffnet hingegen weder den Weg der Beschwerde in Zivilsachen (<ref-law>) noch jenen der subsidiären Verfassungsbeschwerde (<ref-law>), wenn dem Beschwerdeführer im Fall eines Vor- oder Zwischenentscheids kein nicht wieder gutzumachender Nachteil droht.
5.
Wie die vorstehenden Erwägungen zeigen, kann das Bundesgericht auf die Beschwerde gegen den selbständig eröffneten Zwischenentscheid nicht eintreten. Bei diesem Verfahrensausgang unterliegt der Beschwerdeführer. Er muss deshalb für die Gerichtskosten aufkommen (<ref-law>). Den Beschwerdegegnerinnen ist mangels Einholung einer Vernehmlassung in der Sache nur insoweit ein entschädigungspflichtiger Aufwand erwachsen, als sie sich zum Gesuch des Beschwerdeführers um aufschiebende Wirkung geäussert haben, ohne dagegen Einwände zu äussern (Art. 68 Abs. 1 und 2 BGG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 3'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3.
Der Beschwerdeführer hat die Beschwerdegegnerinnen mit Fr. 300.-- zu entschädigen.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Zürich, I. Zivilkammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 1. April 2016
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: von Werdt
Die Gerichtsschreiberin: Friedli-Bruggmann