Sachverhalt:
A.
Am 28. Juni 2013 führte das Veterinäramt des Kantons Thurgau auf dem Hof des Landwirts A._ eine unangemeldete Kontrolle durch. Dabei bemängelte das Amt u.a. folgende Punkte:
- A._ habe seinen Kühen während der Winterfütterungsperiode 2012/2013 nur 19 statt der vorgeschriebenen 30 Auslauftage gewährt;
- Er habe bei mindestens sieben Kühen die Klauenpflege völlig vernachlässigt;
- Er habe drei Rinder in einer Bucht ohne eingestreute Liegefläche gehalten;
- Er habe neun Rinder in einer Freilaufbucht gehalten, die eine Verletzungsgefahr für die Tiere darstelle und deren Laufbereich tief mit Mist bedeckt sei;
- Er habe defekte Betonspaltenelemente im Eingangsbereich zur Weide nicht entfernt, obwohl diese eine grosse Verletzungsgefahr darstellten;
- Er habe sechs Kühe nur mit einer einseitigen Markierung versehen, statt wie vorgeschrieben mit einer beidseitigen. Eine weitere Kuh habe zudem gar keine Ohrmarke getragen.
Als Folge hiervon erteilte das Veterinäramt A._ am 23. September 2013 detaillierte Handlungsanweisungen zur Behebung dieser Mängel resp. zur Sicherstellung eines künftigen regelkonformen Verhaltens.
B.
Hiergegen gelangte der Betroffene an das Departement für Inneres und Volkswirtschaft des Kantons Thurgau, welches den Rekurs mit Entscheid vom 31. Oktober 2014 vollumfänglich abwies.
In der Folge beschwerte sich A._ am 24. November 2014 beim Verwaltungsgericht des Kantons Thurgau. Dieses hiess die Beschwerde mit Urteil vom 30. September 2015 teilweise gut und modifizierte den Wortlaut der Verfügung des kantonalen Veterinäramtes antragsgemäss in verschiedenen Punkten. Betreffend die eingangs genannten Mängel wies das Verwaltungsgericht die Beschwerde jedoch ab.
C.
Mit Eingabe vom 7. Januar 2016 führt A._ Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten sowie subsidiäre Verfassungsbeschwerde beim Bundesgericht. Er beantragt im Wesentlichen die Aufhebung des vorinstanzlichen Entscheids, soweit damit seinen Anliegen nicht stattgegeben wurde. In prozessualer Hinsicht ersucht er um Sistierung des vorliegenden verwaltungsrechtlichen Verfahrens bis zum rechtskräftigen Abschluss eines durch die Staatsanwaltschaft Kreuzlingen geführten Strafverfahrens, welches denselben Sachverhalt zum Gegenstand habe.
Das Veterinäramt, das Departement für Inneres und Volkswirtschaft sowie das Verwaltungsgericht des Kantons Thurgau beantragen die Abweisung der Beschwerde. Sodann lässt sich auch das Bundesamt für Lebensmittelsicherheit und Veterinärwesen (BLV) zur Sache vernehmen und schliesst, dass der angefochtene Entscheid die Tierschutz- und die Tierseuchengesetzgebung des Bundes nicht verletze.
Mit Schreiben vom 8. April 2016 nimmt der Beschwerdeführer zum Vernehmlassungsergebnis Stellung.
Mit Verfügung vom 12. Januar 2016 entschied das Bundesgericht, das Verfahren vorläufig nicht zu sistieren.

Erwägungen:
1.
1.1. Angefochten ist ein kantonal letztinstanzlicher Endentscheid eines oberen Gerichts in einer Angelegenheit des öffentlichen Rechts, die unter keinen Ausschlussgrund gemäss <ref-law> fällt und daher mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten an das Bundesgericht weitergezogen werden kann (Art. 82 lit. a, Art. 86 Abs. 1 lit. d und Abs. 2 sowie Art. 90 BGG). Der Beschwerdeführer ist gestützt auf <ref-law> zur Ergreifung dieses Rechtsmittels legitimiert. Auf die form- und fristgerecht (Art. 42 und Art. 100 Abs. 1 BGG) eingereichte Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten ist daher einzutreten.
Die Zulässigkeit der Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten schliesst die subsidiäre Verfassungsbeschwerde aus, so dass auf diese nicht eingetreten werden kann.
1.2. Mit der Beschwerde können Rechtsverletzungen nach Art. 95 und Art. 96 BGG geltend gemacht werden. Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (<ref-law>). Dabei prüft es, unter Berücksichtigung der allgemeinen Rüge- und Begründungspflicht (<ref-law>), nur die geltend gemachten Vorbringen, falls allfällige weitere rechtliche Mängel nicht geradezu offensichtlich sind (<ref-ruling> E. 1.4.1 S. 254).
1.3. Das Bundesgericht stellt grundsätzlich auf den von der Vorinstanz festgestellten Sachverhalt ab (<ref-law>). Diese Sachverhaltsfeststellungen können vor Bundesgericht nur beanstandet werden, wenn sie offensichtlich unrichtig sind oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruhen (Art. 97 Abs. 1 und Art. 105 Abs. 2 BGG). Die Rüge, der Sachverhalt sei offensichtlich unrichtig festgestellt worden, muss gemäss den qualifizierten Anforderungen von <ref-law> in der Beschwerdeschrift begründet werden (<ref-ruling> E. 1.2.2 und E. 1.4.3 S. 252 ff.; <ref-ruling> E. 3 S. 351 f.). Vorausgesetzt ist zudem, dass die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein kann (<ref-law>). Auch hinsichtlich der Verletzung von Grundrechten gilt eine qualifizierte Rügepflicht: Das Bundesgericht prüft solche Rügen nur, wenn sie in der Beschwerde präzise vorgebracht und begründet worden sind (<ref-law>; vgl. <ref-ruling> E. 2.2 S. 232; <ref-ruling> E. 1.4.2 S. 254; <ref-ruling> E. 1.4 S. 287).
2.
2.1. Das Bundesgericht führt in seinem Urteil 2C_737/2010 vom 18. Juni 2011 aus, eine selbständige Feststellungsverfügung sei grundsätzlich nur zulässig, soweit ein schutzwürdiges, unmittelbares und aktuelles Interesse rechtlicher oder tatsächlicher Natur an der betreffenden Feststellung bestehe, das nicht durch eine rechtsgestaltende Verfügung gewahrt werden könne (E. 4.6). Namentlich diene die Verfügung nicht der blossen Feststellung vergangener Ereignisse, wenn damit keine konkreten Rechtsfolgen verbunden seien. Stünden konkrete Rechtsfolgen oder Anordnungen zur Diskussion, so seien Feststellungen nur ein Schritt auf dem Weg zur Verfügung und es bestehe kein Anlass, darüber eine gesonderte Verfügung zu erlassen (E. 4.7). Im genannten Fall waren alle ursprünglich beanstandeten Mängel bereits behoben worden, weshalb das Bundesgericht dort kein selbständiges Feststellungsinteresse mehr erblickte und zum Schluss gelangte, die Feststellung, es seien Tierschutzvorschriften verletzt worden, könne nicht Gegenstand einer selbständigen Feststellungsverfügung bilden, weshalb diese durch das kantonale Gericht hätte aufgehoben werden müssen (E. 4.8 und E. 4.9).
2.2. Im hier zu beurteilenden Fall präsentiert sich die Ausgangslage in wesentlichen Punkten anders: Zwar stellte das kantonale Veterinäramt in seinem Verfügungsdispositiv ebenfalls formell verschiedene Verletzungen von Tierschutz- und Tierseuchenvorschriften fest, und auch die Vorinstanz äussert sich im angefochtenen Entscheid jeweils explizit zur Rechtmässigkeit dieser getroffenen Feststellungen. Indes bildeten die Feststellungen nicht den alleinigen Inhalt der Verfügung des Veterinäramts: Vielmehr bildete die Feststellung der beanstandeten Mängel lediglich die Grundlage sowie die Konkretisierung der ebenfalls in der Verfügung enthaltenen Verhaltensanweisungen zur Beseitigung dieser Mängel. Im Gegensatz zum hiervor erwähnten Urteil 2C_737/2010 vom 18. Juni 2011 bildet hier demnach keine selbständige Feststellungsverfügung Gegenstand des Verfahrens, sondern eine Gestaltungsverfügung, mit der der Beschwerdeführer zur Vornahme konkreter Handlungen verpflichtet wird.
3.
Der Beschwerdeführer beantragt vor Bundesgericht in prozessualer Hinsicht eine Verfahrenssistierung bis zum rechtskräftigen Abschluss eines parallel geführten Strafverfahrens, welches im Zusammenhang mit dem hier zu beurteilenden Sachverhalt gegen ihn eingeleitet worden sei. Ebenso beanstandet der Beschwerdeführer, dass nicht bereits die Vorinstanz diesem Antrag entsprochen habe. Der Beschwerdeführer erblickt darin sowie im fehlenden Beizug der Strafakten eine unrichtige Sachverhaltsfeststellung, eine Verletzung des rechtlichen Gehörs sowie eine Verletzung der Untersuchungspflicht.
Die Rüge ist unbegründet. Wie das Verwaltungsgericht zutreffend ausgeführt hat, ist es für das vorliegende Verfahren nicht entscheidend, ob der Beschwerdeführer im Zusammenhang mit den vom Veterinäramt beanstandeten Mängeln im strafrechtlichen Sinne schuldig eklärt wird oder nicht; es ist einzig massgebend, ob die Beanstandungen und die Handlungsanweisungen des Amtes zu Recht erfolgten. Inwiefern hierfür die Strafakten oder das Abwarten der Strafuntersuchung unabdingbar sein sollten, ist nicht ersichtlich. Soweit der Beschwerdeführer auf beantragte Beweisabnahmen im Strafverfahren verweist, ist ihm entgegenzuhalten, dass er auch im Verwaltungsverfahren entsprechende Beweisanträge stellen konnte oder hätte stellen können. Da er im Strafprozess über ein Akteneinsichtsrecht verfügt, stand es ihm sodann frei, nach eigenem Gutdünken Aktenstücke zu kopieren und im Verwaltungsprozess als Belege für seine Behauptungen oder Anträge einzubringen. Seiner Beschwerdeschrift ist zu entnehmen, dass er im vorinstanzlichen Verfahren von dieser Möglichkeit denn auch mehrfach Gebrauch gemacht hat.
4.
Weiter beanstandet der Beschwerdeführer, dass bei der unangekündigten Kontrolle vom 28. Juni 2013 nicht von Anfang an ein Vertreter der Gemeinde dabeigewesen sei: Er erachte die Gemeinde, respektive deren Organe, als seine Rechtsvertreter gegenüber dem Veterinäramt. Bereits in früheren Verfahren betreffend Tierhalte- bzw. Tierschutzvorschriften sei ihm die Gemeinde zur Seite gestanden, da er gegenüber dem Kantonstierarzt "eine persönliche Unverträglichkeit" habe. Dies sei dem Veterinäramt auch bewusst gewesen. Indem die Kontrolle dennoch ohne Beizug eines Gemeindevertreters begonnen worden und es ihm erst in deren weiteren Verlauf gestattet worden sei, den Gemeindeammann und dessen Stellvertreterin herbeizurufen, habe das Veterinäramt die Verfahrensgarantien gemäss Art. 9 und Art. 29 BV verletzt und einen "Verstoss gegen rechtsstaatliches Handeln (<ref-law>) " begangen. Die während der Abwesenheit der Gemeindevertreter erhobenen Befunde seien daher schon aus formellen Gründen aus dem Recht zu weisen.
Den Ausführungen des Beschwerdeführers kann nicht gefolgt werden: Zwar ergibt sich aus dem Anspruch auf rechtliches Gehör (<ref-law>) grundsätzlich ein Anspruch, einen Rechtsvertreter oder Beistand beizuziehen, was auch die Teilnahme an Beweiserhebungen mitumfasst (<ref-ruling> E. 3.3 S. 445 m.w.H.; STEINMANN in: Ehrenzeller/Schindler/Schweizer/Vallender [Hrsg.], Die schweizerische Bundesverfassung - St. Galler Kommentar, 3. Aufl. 2014, Rz. 56 zu Art. 29). Vorliegend ist jedoch ein Mehrfaches zu beachten. Zum einen setzt eine wirksame Kontrolltätigkeit im Bereich Tierhaltung / Tierschutz auch unangemeldete Kontrollen voraus, was selbst der Beschwerdeführer nicht bestreitet. Zum andern kann vorliegend überhaupt nicht von einem eigentlichen, formellen Vertretungs- bzw. Verbeiständungsverhältnis zwischen dem Beschwerdeführer und der Gemeinde als solches gesprochen werden. Der Beschwerdeführer erhofft sich vielmehr von seiner Wohngemeinde bzw. von deren Organen eine generelle, nicht näher definierte Unterstützung im Umgang mit den Vertretern der sachlich alleine zuständigen kantonalen Behörden. Diesem Wunsch trug das Veterinäramt überdies Rechnung, indem es die Kontrolle bis zum Eintreffen des Gemeindeammanns und seiner Stellvertreterin unterbrochen hat. Der Beschwerdeführer hätte somit die Gelegenheit gehabt, gegebenenfalls bereits protokollierte Umstände durch die Gemeindevertreter direkt vor Ort verifizieren zu lassen. Bei dieser Sachlage kann von einer Verletzung des rechtlichen Gehörs oder anderer verfassungsmässiger Rechte keine Rede sein.
5.
Gemäss Art. 40 Abs. 1 der Tierschutzverordnung vom 23. April 2008 (TSchV; SR 455.1) müssen Rinder, die angebunden gehalten werden, regelmässig, mindestens jedoch an 60 Tagen während der Vegetationsperiode und an 30 Tagen während der Winterfütterungsperiode, Auslauf erhalten. Sie dürfen höchstens zwei Wochen ohne Auslauf bleiben. Der Auslauf ist in einem Auslaufjournal einzutragen. Art. 8 Abs. 1 der Verordnung des BLV vom 27. August 2008 über die Haltung von Nutztieren und Haustieren (SR 455.110.1) präzisiert, dass der Auslauf spätestens nach drei Tagen im Journal einzutragen ist.
Die Vorinstanz verweist auf das kantonale Veterinäramt, welches als massgebliche Winterfütterungsperiode die Zeit vom 15. November bis vom 15. März definierte, indes als Entgegenkommen zugunsten der Landwirte auch die in Anhang 4 Ziff. 1.1 lit. a der damals in Kraft gewesenen Verordnung des Eidgenössischen Departements für Wirtschaft, Bildung und Forschung (WBF) vom 25. Juni 2008 über Ethoprogramme (Ethoprogrammverordnung; AS 2008 3785; in Kraft gewesen bis zum 31. Dezember 2013) vorgesehene längere Periode vom 1. November bis zum 30. April akzeptierte. Sodann stellte das Verwaltungsgericht fest, dass der Beschwerdeführer gemäss dem von ihm geführten Auslaufjournal seinen Tieren selbst während dieser verlängerten Winterfütterungsperiode vom 1. November 2012 bis zum 30. April 2013 lediglich an 19 Tagen statt wie vorgeschrieben an mindestens 30 Tagen Auslauf gewährte.
Was der Beschwerdeführer hiergegen vorbringt, überzeugt nicht: So beanstandet er die vorinstanzlich geschützte Bemessung der Winterfütterungsperiode und behauptet, diese habe im Jahr 2012 faktisch bereits Mitte Oktober und nicht erst am 1. November begonnen. Indessen macht er nicht geltend, er habe seinen Tieren zwischen Mitte Oktober und dem 1. November zusätzliche Auslauftage gewährt, so dass nicht ersichtlich ist, was er in diesem Zusammenhang zu seinen Gunsten herleiten will. Im Übrigen stellt er jedoch selbst auf den Zeitraum vom 1. November 2012 bis zum 30. April 2013 ab und behauptet, er habe seinen Tieren nebst den 19 im Auslaufjournal ausgewiesenen Auslauftagen noch an 12 weiteren Tagen Auslauf gewährt, diese jedoch irrtümlicherweise nicht im Journal nachgeführt; es sei überspitzt formalistisch und verletze das rechtliche Gehör, wenn die Vorinstanz bloss einen Nachweis mittels Auslaufjournal akzeptiere. Diese Rüge geht bereits deshalb ins Leere, weil der Beschwerdeführer betreffend die 12 zusätzlichen Auslauftage blosse Behauptungen aufstellt und keinen Nachweis erbringt, bzw. überhaupt keine anderen Belege als das Auslaufjournal anbietet. Mit diesem Vorgehen vermag er weder eine offensichtlich unrichtige Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz darzutun noch die von ihm erhobene Verfassungsrüge zu begründen. Aus diesen Gründen ist es nicht zu beanstanden, wenn der Beschwerdeführer durch das kantonale Veterinäramt dazu verpflichtet wurde, ab sofort allem angebunden gehaltenen Rindvieh den vorschriftsgemässen Auslauf zu gewähren, der jeweils mindestens zwei Stunden dauert und dem Veterinäramt die Auslaufszeiten zwecks Ermöglichung einer Kontrolle vorab zu melden.
6.
<ref-law> auferlegt dem Tierhalter die Verpflichtung, Hufe, Klauen, Nägel und Krallen seiner Tiere soweit nötig regelmässig und fachgerecht zu pflegen und zu beschneiden.
Die Vorinstanz stellte aufgrund einer sich bei den Akten befindlichen Fotodokumentation fest, dass der Beschwerdeführer die Klauenpflege bei sieben seiner Kühe vernachlässigt habe: Die Klauen seien zu lang, zu flach und die Zehenspitzen würden sich bei einigen Tieren vom Boden abheben bzw. überkreuzen.
Hiergegen wendet der Beschwerdeführer ein, die Vorinstanz habe seinem Antrag auf Einholung einer Expertise betreffend die beanstandeten Klauen zu Unrecht nicht stattgegeben und damit sowohl seinen Anspruch auf rechtliches Gehör verletzt als auch den Sachverhalt willkürlich festgestellt. Die Einwendung ist jedoch unbegründet: Da die Beanstandungen des Veterinäramts durch die fotografische Dokumentation belegt werden, ist unerfindlich, welche weiteren Erkenntnisse durch eine Expertise gewonnen werden könnten. Dies umso mehr, als selbst der Beschwerdeführer ausdrücklich einräumt, die fotografisch festgehaltenen Klauen seien pflegebedürftig. Seine vor Bundesgericht erneut vorgebrachte unbelegte Behauptung, die betreffenden Tiere hätten sich kurz vor der ohnehin geplanten Klauenpflege befunden, ist unbehelflich. Vielmehr wäre es die Aufgabe des Tierhalters gewesen, die Pflegeintervalle dem Zustand der Klauen anzupassen und gegebenenfalls zu verkürzen.
Aus diesem Grund ist die Anweisung des Veterinäramtes nicht zu beanstanden, wonach der Beschwerdeführer die Klauen seiner Tiere ab sofort regelmässig durch eine Fachperson beschneiden lassen muss.
7.
7.1. <ref-law> schreibt vor, dass Unterkünfte und Gehege mit geeigneten Futter-, Tränke-, Kot- und Harnplätzen, Ruhe- und Rückzugsorten mit Deckung, Beschäftigungsmöglichkeiten, Körperpflegeeinrichtungen und Klimabereichen versehen sein müssen. Nach <ref-law> muss die Tierhalterin oder der Tierhalter das Befinden der Tiere und den Zustand der Einrichtungen so oft wie nötig überprüfen. Sie oder er muss Mängel an den Einrichtungen, die das Befinden der Tiere beeinträchtigen, unverzüglich beheben oder geeignete Massnahmen zum Schutz der Tiere treffen. Gemäss <ref-law> müssen Unterkünfte und Gehege zudem so gebaut und eingerichtet sein, dass (a) die Verletzungsgefahr für die Tiere gering ist, (b) die Gesundheit der Tiere nicht beeinträchtigt wird und (c) die Tiere nicht entweichen können. Böden müssen so beschaffen sein, dass die Gesundheit der Tiere nicht beeinträchtigt wird (<ref-law>). <ref-law> verlangt für die Haltung von Rindern, dass ein Liegebereich vorhanden sein muss, der mit ausreichend geeigneter Einstreu oder mit einem weichen, verformbaren Material versehen ist. Schliesslich müssen Standplätze, Boxen und Anbindevorrichtungen gemäss <ref-law> auch so gestaltet sein, dass sie nicht zu Verletzungen führen und die Tiere arttypisch stehen, sich hinlegen, ruhen und aufstehen können.
7.2. Das Verwaltungsgericht hält dem Beschwerdeführer vor, dass jene drei Liegeboxen, welche mit sog. Lospa-Matten ausgelegt sind, zusätzlich noch einmal eingestreut werden müssten, um den hiervor genannten Tierhaltevorschriften zu genügen. In sachverhaltlicher Hinsicht stellte die Vorinstanz nach Visionierung des bei der Kontrolle angefertigten Foto- und Videomaterials fest, dass auf den genannten Matten keinerlei Einstreu vorhanden war. Das Verwaltungsgericht bestätigte deshalb die Anordnung des Veterinäramts, dass der Beschwerdeführer die betreffende Liegefläche zukünftig mit Stroh einstreuen muss.
Der Beschwerdeführer wendet in diesem Zusammenhang ein, <ref-law> verlange anders als dies <ref-law> für Kälber bis vier Monate, für Kühe, für hochträchtige Rinder, für Zuchtstiere sowie für Wasserbüffel und Yaks tue, nicht zwingend die Verwendung von Einstreu, sondern gestatte alternativ dazu auch die Verwendung eines weichen und verformbaren Materials, was auf die streitbetroffenen Lospa-Matten zutreffe.
Obwohl die Tierschutzverordnung unbestrittenerweise den vom Beschwerdeführer angeführten Wortlaut aufweist, verfängt sein Einwand nicht: Das BLV legt in seiner Vernehmlassung nachvollziehbar dar, dass die vom Beschwerdeführer verwendeten Lospa-Matten allein nicht für Liegeboxen geeignet seien, weil sie perforiert, d.h. mit Schlitzen versehen sind. In Liegeboxen seien Gummimatten ohne Perforation einzusetzen. Lospa-Matten im Liegebereich könnten allenfalls dann akzeptiert werden, wenn sie mit einer dicken kompakten Einstreuschicht versehen seien. Die Vorinstanz verwies diesbezüglich im angefochtenen Entscheid auf die entsprechende Fachinformation Tierschutz des BLV betreffend Ausführungsbeispiele von Liegeboxen. Diesem Dokument ist zu entnehmen, dass Liegeboxen entweder als Hochbox oder als Tiefbox ausgeführt werden können. Während die Tiefbox mit einer Strohmatratze, mit Kompost, mit Sand oder mit anderen geeigneten Materialien eingestreut wird, könne die Liegefläche der Hochbox mit einer Matte (Gummi- oder Komfortmatte) bestückt werden; auch diese müsse jedoch etwas eingestreut werden.
Mit diesen Ausführungen der Vorinstanz, insbesondere aber mit dem Umstand, dass die Lospa-Matten für sich alleine den Boden der Liegefläche aufgrund ihrer Perforation nicht vollständig bedecken, setzt sich der Beschwerdeführer in seiner Stellungnahme zum Vernehmlassungsergebnis nicht substantiiert auseinander. Vielmehr behauptet er nun plötzlich, die Lospa-Matten würden auch in seinem Stall mit reichlich Stroh überdeckt, damit sie sich im Liegebereich eigneten. Dass dies im Moment der Kontrolle offenkundig nicht der Fall gewesen ist, sei einzig darauf zurückzuführen, dass die Kontrolle zu einem Zeitpunkt begonnen habe, als die Stallarbeiten noch nicht abgeschlossen gewesen seien. Da der Beschwerdeführer indes nicht nachweist und noch nicht einmal glaubhaft machen kann, dass er die streitbetroffenen Lospa-Matten entsprechend seiner neuen Behauptung grundsätzlich einstreut, sind seine Ausführungen nicht geeignet, um eine offensichtlich unrichtige Sachverhaltsfeststellung oder eine falsche Anwendung von Bundesrecht durch die Vorinstanz aufzuzeigen.
7.3. Weiter stellte das Verwaltungsgericht in sachverhaltlicher Hinsicht fest, dass im Tretmiststall vor dem Futterbereich in ganz erheblichem Umfang bis zu 20 cm hoher Mist vorhanden war. Es sei offensichtlich, das dort keine saubere Trennung zwischen Futter- und Kot-/Harnplätzen vorhanden sei, was gegen <ref-law> verstosse.
Diesbezüglich wendet der Beschwerdeführer ein, es sei unzutreffend, dass <ref-law> eine saubere Trennung zwischen Futter- und Kot-/Harnplätzen verlange; vielmehr sei es durchaus üblich, die Kot- und Harnplätze gleich am Fressplatz einzurichten. Im Übrigen verweist er erneut darauf, dass die Stallarbeiten bei Beginn der Kontrolle noch nicht abgeschlossen gewesen seien.
Die Ausführungen des Beschwerdeführers sind unbegründet: Wie gezeigt, verlangt <ref-law>, dass Unterkünfte und Gehege u.a. über geeignete Futter-, Tränke-, Kot- und Harnplätze sowie über Ruhe- und Rückzugsorte mit Deckung, Beschäftigungsmöglichkeiten, Körperpflegeeinrichtungen und Klimabereiche verfügen, was impliziert, dass diese unterschiedlichen Funktionen nicht allesamt am gleichen Ort stattfinden. Zudem hält das BLV in seiner Vernehmlassung klar fest, dass eine bis zu 20 cm hohe Mistschicht am Fressplatz in einem Tretmiststall die Gesundheit der Tiere auf jeden Fall beeinträchtige. Eine solche Mistschicht könne auch nicht an einem einzigen Tag entstanden sein. Probleme - vor allem bezüglich der Klauengesundheit - seien unter diesen Umständen vorprogrammiert. Bei dieser Sachlage ist es nicht zu beanstanden, wenn das kantonale Veterinäramt den Beschwerdeführer dazu verpflichtet hat, den entsprechenden Bereich sofort auszumisten und zukünftig sauber zu halten.
7.4. Sodann wurde von den Vorinstanzen beanstandet, bei der Haltungseinrichtung im Wagenschopf bestehe für die Tiere Verletzungsgefahr durch nicht eingepackte Holz- und Eisenpfosten mitten in der Bucht sowie durch beschädigte Betonelemente mit hervortretendem Eisen auf dem Vorplatz. Hierdurch verstosse der Beschwerdeführer gegen Art. 5 Abs. 1 sowie <ref-law>. Er wurde deshalb dazu verpflichtet, die verletzungsträchtigen Gegenstände zu entfernen.
Der Beschwerdeführer bestreitet pauschal die Verletzungsgefahr und behauptet, es seien keine Verletzungen dokumentiert, welche sich zweifelsfrei auf die beanstandeten Mängel zurückführen liessen. Dies gelte auch für die angebliche Hautverletzung eines Rindes im Tretmiststall, welche von der Kantonspolizei Thurgau fotografisch dokumentiert worden sei.
Mit diesen unsubstantiierten Bestreitungen vermag der Beschwerdeführer keine Bundesrechtsverletzung aufzuzeigen. Zudem ist ihm in diesem Zusammenhang entgegenzuhalten, dass es nicht erforderlich ist, dass eine Verletzung bereits effektiv eingetreten ist; das Vorhandensein der Gefahr einer Verletzung genügt. Diesbezüglich hielt das BLV in seiner Vernehmlassung ausdrücklich fest, die Schlussfolgerung des Verwaltungsgerichts sei nachvollziehbar, dass für die Kühe durch die beschädigten Betonelemente und durch die erwähnten Holz- und Eisenpfosten eine Verletzungsgefahr bestehe.
8.
Gemäss Art. 14 Abs. 1 des Tierseuchengesetzes vom 1. Juli 1966 (TSG; SR 916.40) muss jedes Tier der Rinder-, Schaf-, Ziegen- und Schweinegattung gekennzeichnet und registriert sein. Nach Art. 10 Abs. 1 der Tierseuchenverordnung vom 27. Juni 1995 (TSV; SR 916.401) muss die Kennzeichnung der Klauentiere einheitlich, eindeutig und dauerhaft sein und die Identifikation des einzelnen Tieres ermöglichen; das BLV erlässt Vorschriften technischer Art über die Art und die Durchführung der Kennzeichnung. Die technischen Weisungen des BLV über die Kennzeichnung von Klauentieren vom 12. September 2011 bestimmen in Ziff. III/12, dass Rinder im Geburtsbetrieb vom Tierhalter oder der Tierhalterin spätestens 20 Tage nach der Geburt mit zwei Ohrmarken dauerhaft zu kennzeichnen sind. Zur Kennzeichnung dürfen nur die vom Betreiber der Tierverkehrsdatenbank zugeteilten und abgegebenen Ohrmarken eingesetzt werden. Gemäss Art. 14 Abs. 2 lit. a TSV muss der Tierhalter der Tierverkehrsdatenbank innert drei Arbeitstagen den Zu- und Abgang und die Verendung von Tieren der Rindergattung sowie den Verlust von Ohrmarken melden.
Gemäss den Sachverhaltsfeststellungen der Vorinstanz waren bei der Kontrolle vom 28. Juni 2013 sechs Kühe des Beschwerdeführers nur mit einer statt wie vorgeschrieben mit zwei Ohrmarken gekennzeichnet; bei einer weiteren Kuh waren sogar beide Ohrmarken nicht vorhanden. Gemäss Erkundigung des Verwaltungsgerichts beim kantonalen Landwirtschaftsamt wurden nur für vier der betroffenen sieben Tiere innert der ersten zehn Tage nach der Kontrolle vom 28. Juni 2013 Ohrmarken nachbestellt. Für ein weiteres Tier wurde die Marke erst am 13. März 2014 nachbestellt und für zwei weitere Tiere wurde überhaupt keine Nachbestellung registriert.
Was der Beschwerdeführers dagegen ins Feld führt, erscheint nicht als bedeutsam: Er macht geltend, es sei unzutreffend von sieben unzureichend gekennzeichneten Tieren zu sprechen, zumal es während laufender Nachbestellfrist nicht illegal sei, über nicht vollständig oder überhaupt nicht gekennzeichnete Tiere zu verfügen. Die Existenz einer Nachbestellfrist ändert indes nichts am Umstand, dass insgesamt sieben Tiere im Zeitpunkt der Kontrolle nicht rechtskonform markiert waren. Zur fehlenden oder verspäteten Nachbestellung der Ohrmarken für drei Tiere äussert sich der Beschwerdeführer zudem überhaupt nicht.
Somit ist es nicht bundesrechtswidrig, wenn die Vorinstanzen zum Schluss gelangten, der Beschwerdeführer habe den Verlust der Ohrmarken nicht für alle betroffenen Tiere fristgerecht innerhalb von drei Arbeitstagen der Tierverkehrsdatenbank gemeldet. Aus diesem Grund ist auch die Anordnung des Veterinäramts nicht zu beanstanden, welches den Beschwerdeführer dazu verpflichtete, jede Kuh inskünftig mit zwei Ohrmarken zu markieren.
9.
Nach dem Ausgeführten ist die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten vollumfänglich abzuweisen. Auf die subsidiäre Verfassungsbeschwerde ist nicht einzutreten.
Bei diesem Verfahrensausgang trägt der Beschwerdeführer die Gerichtskosten (<ref-law>). Parteientschädigungen sind nicht geschuldet (Art. 68 Abs. 1-3 BGG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten wird abgewiesen.
2.
Auf die subsidiäre Verfassungsbeschwerde wird nicht eingetreten.
3.
Die Gerichtskosten in Höhe von Fr. 2'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
4.
Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten, dem Verwaltungsgericht des Kantons Thurgau sowie dem Bundesamt für Lebensmittelsicherheit und Veterinärwesen (BLV) schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 30. Dezember 2016
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Seiler
Der Gerichtsschreiber: Zähndler