Sachverhalt:
A.
A.a. Die A._ (Versicherte, Klägerin, Beschwerdeführerin), ist eine Kollektivgesellschaft mit Sitz in U._. Sie bezweckt hauptsächlich den Betrieb einer Handelsmühle und die Führung einer Kollektiv-Getreidesammelstelle.
Die B._ AG (Versicherung, Beklagte, Beschwerdegegnerin) ist eine Aktiengesellschaft mit Sitz in V._ und betreibt jede Art von Versicherung und Rückversicherung mit Ausnahme der direkten Lebensversicherung.
A.b. Die A._, hat bei der B._ AG eine Geschäftsversicherung abgeschlossen. Die Police datiert vom 17. August 2007. Die Versicherung beinhaltet eine Fahrhabe- und eine Betriebsunterbrechungsversicherung, beide gegen die Ereignisse "Feuer und Elementarschaden". Für die Betriebsunterbrechungsversicherung gelten neben der Police die Allgemeinen Versicherungsbedingungen und die Zusatzbedingungen, beide vom Januar 2007.
A.c. Am 13. Dezember 2009 ereignete sich in der von der Versicherten betriebenen Mühle ein Brand. Den dabei entstandenen Sachschaden (Fahrhabe) regelten die Parteien einvernehmlich: Die Versicherung zahlte per Saldo aller Ansprüche insgesamt Fr. 2'735'000.--. Die entsprechende Entschädigungsvereinbarung vom 24. Juni 2011 enthält den handschriftlichen Zusatz "excl BU".
A.d. Als Schadenersatz für den Betriebsunterbruch leistete die Versicherung vorerst eine Akontozahlung von Fr. 300'000.--. Da sich die Parteien nicht über die Höhe der Entschädigung für den Betriebsunterbruch einigen konnten, zeigte die Versicherung der Versicherten mit E-Mail vom 19. August 2011 an, sie mache von ihrem Recht auf die Durchführung eines Sachverständigenverfahrens Gebrauch. Die Versicherung informierte über die Wahl ihres Sachverständigen und forderte die Versicherte auf, ihren Sachverständigen zu bezeichnen.
B.
B.a. Am 2. April 2012 reichte die Versicherte beim Handelsgericht des Kantons Aargau Klage ein und beantragte, die Versicherung sei zur Zahlung von Fr. 792'883.-- nebst Zins zu verurteilen; weitere Schadenspositionen würden ausdrücklich vorbehalten. Eventualiter beantragte die Versicherte die Anordnung einer Expertise zum betriebswirtschaftlichen Betriebsunterbrechungsschaden. Die Versicherte begründete ihren Anspruch wie folgt: Maximale Versicherungsdeckung von Fr. 1'019'000.-- plus Zuschlag unter der Leistungskategorie "Besondere Sachen und Kosten" von Fr. 73'883.-- abzüglich Akontozahlung von Fr. 300'000.--.
B.b. Mit ihrer Klageantwort beantragte die Versicherung die Sistierung des Verfahrens. Sie führte aus, gemäss dem Versicherungsvertrag sei die Höhe des Betriebsunterbrechungsschadens durch ein Schiedsgutachten im Sinne von Art. 189 Abs. 3 ZPO festzustellen. Die Versicherte habe trotz mehrfacher Aufforderung ihren Sachverständigen noch nicht bestellt. Die Versicherung habe daher ein Summarverfahren gegen die Versicherte auf gerichtliche Ernennung von deren Sachverständigen eingeleitet. Bis zum Abschluss des vereinbarten Sachverständigenverfahrens sei der vorliegende Prozess zu sistieren.
Mit Verfügung vom 12. September 2012 sistierte der damalige Präsident des Handelsgerichts das Verfahren längstens bis zum Vorliegen des Schiedsgutachtens.
B.c. Im Summarverfahren wurde in der Folge ein Sachverständiger für die Versicherte ernannt. Dieser ernannte seinerseits zusammen mit dem Sachverständigen der Versicherung einen Obmann. Nach Zustellung des Berichts des Obmanns vom 24. März 2015 an das Handelsgericht hob der Vizepräsident des Handelsgerichts die Sistierung im ordentlichen Verfahren auf.
B.d. Mit mehrfach abgeändertem Rechtsbegehren beantragte die Versicherung schliesslich, es sei gerichtlich davon Vormerk zu nehmen, dass sie sich dem Entscheid des Obmanns unterzogen und der Versicherten Fr. 719'000.-- (Fr. 1'019'000.-- abzgl. Aktontozahlung Fr. 300'000.--) ohne Zins bezahlt habe. Das Verfahren sei in diesem Umfang als gegenstandslos abzuschreiben. Im Mehrbetrag von Fr. 73'883.-- sowie bezüglich des eingeklagten Zinses sei die Klage abzuweisen.
B.e. Mit Replik vom 25. September 2015 stellte die Versicherte das abgeänderte Rechtsbegehren, die Versicherung sei zur Zahlung von Fr. 73'883.-- nebst Zins sowie von Zins auf dem anerkannten Betrag von Fr. 719'000.-- zu verurteilen. Die Versicherte führte aus, der Versicherungsvertrag sehe (neben der Versicherungssumme betr. den Betriebsunterbruch) eine weitere Versicherungssumme von Fr. 500'000.-- für besondere Sachen und Kosten vor, worunter die Position "Marktpreisschwankungen, d.h. Preisdifferenz zwischen Schaden- und Wiederbeschaffungstag" falle. Diese Position sei mit der Entschädigungsvereinbarung vom 24. Juni 2011 nicht abgegolten worden, da diese den Betriebsunterbrechungsschaden explizit ausgeschlossen habe.
B.f. Mit ihrer Duplik machte die Versicherung geltend, es sei nun nicht mehr klar, ob die Versicherte die Fr. 73'883.-- als Fahrhabe- oder als Betriebsunterbrechungsschaden geltend mache. Der Fahrhabeschaden sei einvernehmlich mit der Entschädigungsvereinbarung vom 24. Juni 2011 per Saldo aller Ansprüche geregelt worden. Ein weiterer Anspruch unter dem Titel "Fahrhabe" sei nicht gegeben. Beim Betriebsunterbrechungsschaden sei mit der Akontozahlung von Fr. 300'000.-- und der nachträglichen Zahlung von Fr. 719'000.-- die maximale Versicherungssumme bereits vollständig ausbezahlt worden; es bestünden somit auch unter diesem Titel keine weiteren Ansprüche.
B.g. Mit Beweisverfügung vom 25. November 2015 setzte der Vizepräsident des Handelsgerichts eine Instruktionsverhandlung zwecks Versuchs einer Einigung auf den 5. Januar 2016 an. Nachdem die Versicherung das Handelsgericht informiert hatte, es bestehe kein Spielraum für Vergleichsverhandlungen mehr, setzte der Vizepräsident die Instruktionsverhandlung mit Verfügung vom 1. Dezember 2015 ab.
B.h. Am 19. Januar 2016 fand die Hauptverhandlung vor dem Handelsgericht statt, anlässlich welcher sich die Parteien je zwei Mal zum Beweisergebnis und zur Sache äussern konnten. Der Vizepräsident ergänzte zudem die Beweisverfügung vom 25. November 2015.
B.i. Mit Urteil vom 19. Januar 2016 wies das Handelsgericht des Kantons Aargau die Klage ab, soweit sie nicht als gegenstandslos abgeschrieben wurde. Das Handelsgericht kam zum Schluss, die Parteien hätten den Fahrhabeschaden einvernehmlich per Saldo aller Ansprüche mit der Entschädigungsvereinbarung vom 24. Juni 2011 bereinigt. Es sei nicht ersichtlich, weshalb diese Saldoklausel nicht auch den noch erhobenen Anspruch der Versicherten erfassen sollte, wenn dieser als Fahrhabeschaden qualifiziert würde. Auch unter dem Titel des Betriebsunterbrechungsschadens stehe der Versicherten nichts mehr zu, weil die Versicherung die maximale Versicherungssumme von Fr. 1'019'000.-- bereits ausbezahlt habe. Verzugszinsen seien keine geschuldet, weil sich die Versicherung im Zeitpunkt der Zahlung nicht in Verzug befunden habe.
C.
Mit Beschwerde in Zivilsachen vom 22. Februar 2016 beantragt die Versicherte dem Bundesgericht, das Urteil der Vorinstanz sei aufzuheben und die Klage sei gutzuheissen; eventualiter sei die Sache an die Vorinstanz zurückzuweisen "zwecks ordentlicher Bestellung des Handelsgerichts und entsprechender Beweisabnahme und Durchführung der entsprechenden Beweisverhandlung".
Die Beschwerdegegnerin und (sinngemäss) die Vorinstanz beantragen die Abweisung der Beschwerde. Die Beschwerdeführerin hat eine Replik eingereicht.
D.
Mit Präsidialverfügung vom 11. April 2016 wurde das Gesuch um Erteilung der aufschiebenden Wirkung abgewiesen.

Erwägungen:
1.
Das angefochtene Urteil betrifft eine Zivilsache (Art. 72 BGG) und ist von einem oberen kantonalen Gericht erlassen worden, das als Fachgericht für handelsrechtliche Streitigkeiten als einzige kantonale Instanz eingesetzt ist (Art. 75 Abs. 1 lit. b BGG). Die Beschwerdeführerin ist mit ihren Begehren im vorinstanzlichen Verfahren unterlegen (Art. 76 BGG), die Beschwerde richtet sich gegen einen Endentscheid (Art. 90 BGG) und ist innert der Beschwerdefrist eingereicht worden (Art. 100 Abs. 1 i.V.m. Art. 45 Abs. 1 BGG). Auf die Beschwerde ist somit - unter Vorbehalt einer hinreichenden Begründung (Art. 42 Abs. 2 und Art. 106 Abs. 2 BGG) - einzutreten.
2.
2.1. Mit Beschwerde in Zivilsachen können Rechtsverletzungen gemäss Art. 95 und 96 BGG gerügt werden. Gemäss Art. 42 Abs. 1 BGG hat die Rechtsschrift die Begehren und deren Begründung zu enthalten; im Rahmen der Begründung ist in gedrängter Form darzulegen, inwiefern der angefochtene Akt Recht verletzt (Art. 42 Abs. 2 BGG), andernfalls wird darauf nicht eingetreten. Unerlässlich ist im Hinblick auf Art. 42 Abs. 2 BGG, dass die Beschwerde auf die Begründung des angefochtenen Entscheids eingeht und im Einzelnen aufzeigt, worin eine Verletzung von Bundesrecht liegt. Die Beschwerdeführerin soll dabei mit ihrer Kritik an den als rechtsfehlerhaft erachteten Erwägungen der Vorinstanz ansetzen (vgl. <ref-ruling> E. 2.1 S. 245 f.).
2.2. Diesen Anforderungen genügt die Beschwerdeführerin nicht, wenn sie der Vorinstanz eine Verletzung von Art. 222 Abs. 2 ZPO mit der Begründung vorwirft, die Klageantwort genüge den formellen Anforderungen nicht. Die Beschwerdeführerin macht geltend, die Beschwerdegegnerin sei auf die Struktur und die Vorbringen der Klage nicht detailliert eingegangen. Gestützt auf den Verhandlungsgrundsatz würden nicht bestrittene Tatsachen das Gericht prinzipiell binden. Die Beschwerdeführerin begnügt sich mit allgemeinen Ausführungen und zeigt nicht auf, welche Tatsachen die Beschwerdegegnerin konkret nicht bestritten habe und inwiefern der Vorinstanz in diesem Zusammenhang eine Verletzung von Bundesrecht vorzuwerfen wäre. Darauf ist nicht einzutreten.
2.3. Dasselbe gilt für die Vorbringen der Beschwerdeführerin, wonach der "Anspruch unter der Position CHF 73'883.00" offensichtlich geschuldet sei. Die Beschwerdeführerin beschränkt sich darauf, das Bestehen eines Anspruchs zu behaupten. Dabei geht sie nicht auf die Erwägungen der Vorinstanz ein, weshalb ein solcher Anspruch nicht bestehe. Auch darauf ist somit nicht einzutreten.
3.
Die Beschwerdeführerin wirft der Vorinstanz eine Verletzung von Art. 30 Abs. 1 BV, Art. 6 Ziff. 1 EMRK und Art. 47 Abs. 1 lit. f ZPO vor.
3.1. Im Einzelnen macht die Beschwerdeführerin geltend, gestützt auf den Eindruck anlässlich der Hauptverhandlung vom 19. Januar 2016 habe sie das Verhältnis zwischen dem Vizepräsidenten des Handelsgerichts und dem Rechtsvertreter der Beschwerdegegnerin verifiziert; es habe sich herausgestellt, dass diese sich persönlich sehr gut kennen würden, da sie Mitglieder derselben Partei seien und bis 2014 zusammen Einsitz in der Geschäftsleitung der Kantonalpartei genommen hätten. Der Vizepräsident des Handelsgerichts sei gleichzeitig Präsident der Bezirkspartei Brugg gewesen, wo der Rechtsvertreter der Beschwerdegegnerin seinen Wohnsitz habe. Beide seien im Unterstützungskomitee für einen Stadtratskandidaten und einen als Brugger Stadtammann Kandidierenden gewesen.
Es müsse aufgrund folgender Tatsachen von einer Voreingenommenheit des Vizepräsidenten ausgegangen werden: Erstens habe das Handelsgericht zuerst eine Instruktionsverhandlung angesetzt, diese dann aber auf Wunsch der Gegenpartei wieder abgesetzt. Zweitens habe das Handelsgericht auf Antrag der Gegenpartei zunächst auf die Durchführung einer Hauptverhandlung verzichten wollen; gestützt auf den Antrag der Beschwerdeführerin habe die Verhandlung dann aber durchgeführt werden müssen. Drittens habe das Handelsgericht keine Beweiserhebungen getroffen, obwohl die Beschwerdeführerin verschiedene Beweise offeriert habe. Viertens sei das Protokoll der Hauptverhandlung vom 19. Januar 2016 auf den 5. Januar 2016 vordatiert worden; offensichtlich sei der Entscheid vor der Hauptverhandlung bereits gefällt worden.
Schliesslich sei auch der Handelsrichter Thomas Friedli Mitglied derselben Partei, habe in der Wohnsitzgemeinde des Rechtsvertreters der Beschwerdegegnerin als Finanzverwalter gearbeitet und mit diesem als Gemeindedelegierter in überkommunalen Organisationen geamtet. Es sei auch hier von einer übermässigen persönlichen Nähe auszugehen.
3.2. Die Vorinstanz macht in ihrer Vernehmlassung geltend, die Beschwerdeführerin habe ihren Anspruch auf Anrufung der Ausstandsbestimmungen verwirkt; ihr sei spätestens seit Erhalt der Verfügung vom 23. Dezember 2015 bekannt gewesen, dass der Vizepräsident als Vorsitzender der zweiten Kammer des Handelsgerichts im fünfköpfigen Spruchkörper Einsitz nehmen werde. Die Rüge sei aber auch inhaltlich nicht begründet: Zwischen dem Vizepräsidenten und dem Rechtsvertreter der Beschwerdegegnerin bestehe weder eine besondere Freundschaft noch eine sonstige Beziehungsnähe, sondern eine gewöhnliche soziale und gesellschaftsadäquate Beziehung. Der Handelsrichter Thomas Friedli habe gar nicht am Verfahren mitgewirkt, da er aufgrund einer Terminkollision durch einen anderen Handelsrichter ersetzt worden sei. Thomas Friedli habe zudem nie als Finanzverwalter und auch nie mit dem Rechtsvertreter der Beschwerdegegnerin in einer überkommunalen Organisation gearbeitet. Die falsche Datierung des Protokolls der Hauptverhandlung beruhe auf einem offensichtlichen Versehen. Die Behauptung, das Handelsgericht habe keine Beweismittel abgenommen, sei aktenwidrig. Mit Beweisverfügung vom 23. Dezember 2015 habe das Handelsgericht Akten eines anderen Verfahrens beigezogen und der Vizepräsident habe den Parteien an der Hauptverhandlung mitgeteilt, das Handelsgericht stelle ausschliesslich auf die mit den Rechtsschriften eingereichten Urkunden als Beweismittel ab.
Der Rechtsvertreter der Beschwerdegegnerin bestätigt, dass er dem Vizepräsidenten des Handelsgerichts ein paar Mal an den Geschäftsleitungssitzungen der Kantonalpartei begegnet sei. Er selbst sei in den Jahren 2010 bis 2015 Präsident des Forums Aargau und in dieser Funktion Mitglied der Geschäftsleitung der Kantonalpartei gewesen. Soweit er sich erinnere, habe der Vizepräsident des Handelsgerichts 2014 das Präsidium der Bezirkspartei Brugg übernommen und habe in dieser Funktion in der Geschäftsleitung Einsitz genommen. Es sei ihm indessen nicht bewusst gewesen, dass sie beide gemeinsam zwei für den Stadtrat Kandidierende unterstützt hätten. Über die parteipolitisch begründeten Kontakte hinaus gebe es zwischen ihnen keine weitere Bezugspunkte. Von einer langjährigen und aktiven Verbindung könne keine Rede sein. Eine Befangenheit des Gerichts könne auch nicht aus der Verfahrensführung abgeleitet werden. Die Instruktionsverhandlung habe die Vorinstanz abgesetzt, weil die Beschwerdegegnerin darüber informiert habe, dass kein Verhandlungsspielraum mehr bestehe. Die ZPO ziehe zudem keine scharfe Trennung zwischen Behauptungs- und Beweisverfahren; wenn ein Gericht zur Auffassung gelange, es könne aufgrund der im doppelten Schriftenwechsel vorgebrachten Argumente und der dort beigelegten Beweismittel entscheiden, so sei nicht erkennbar, wozu noch eine Beweisabnahme erforderlich sein sollte.
3.3. Nach Art. 30 Abs. 1 Satz 1 BV und Art. 6 Ziff. 1 EMRK hat jede Person, deren Sache in einem gerichtlichen Verfahren beurteilt werden muss, Anspruch auf ein durch Gesetz geschaffenes, zuständiges, unabhängiges und unparteiisches Gericht. Es soll garantiert werden, dass keine sachfremden Umstände, die ausserhalb des Prozesses liegen, in sachwidriger Weise zugunsten oder zulasten einer Partei auf das gerichtliche Urteil einwirken. Art. 30 Abs. 1 BV soll zu der für einen korrekten und fairen Prozess erforderlichen Offenheit des Verfahrens im Einzelfall beitragen und damit ein gerechtes Urteil ermöglichen (<ref-ruling> E. 4.1 S. 221; <ref-ruling> E. 2.1.2 S. 435 f.; <ref-ruling> E. 3.2.1 S. 124; <ref-ruling> E. 2.2 S. 3; je mit Hinweisen). Die Garantie des verfassungsmässigen Richters wird bereits verletzt, wenn bei objektiver Betrachtung Gegebenheiten vorliegen, die den Anschein der Befangenheit oder die Gefahr der Voreingenommenheit zu begründen vermögen. Voreingenommenheit und Befangenheit in diesem Sinne werden nach der Rechtsprechung angenommen, wenn im Einzelfall anhand aller tatsächlichen und verfahrensrechtlichen Umstände Gegebenheiten aufscheinen, die geeignet sind, Misstrauen in die Unparteilichkeit des Richters zu erwecken. Solche Umstände können in einem bestimmten Verhalten des betreffenden Richters oder in gewissen äusseren Gegebenheiten funktioneller und organisatorischer Natur begründet sein. Bei der Beurteilung solcher Umstände ist nicht auf das subjektive Empfinden einer Partei abzustellen. Das Misstrauen in die Unvoreingenommenheit muss vielmehr in objektiver Weise begründet erscheinen. Für die Ablehnung wird nicht verlangt, dass der Richter tatsächlich befangen ist. Ob diese Garantien verletzt sind, prüft das Bundesgericht frei (zum Ganzen <ref-ruling> E. 4.1 S. 222; <ref-ruling> E. 2.2 S. 242; <ref-ruling> E. 2.1.1 S. 436; <ref-ruling> E. 5.1 S. 125; <ref-ruling> E. 3.2.1 S. 124; <ref-ruling> E. 2.2 S. 3; <ref-ruling> E. 2.1 S. 229; je mit Hinweisen).
Art. 47 ZPO umschreibt die Ausstandsgründe auf Gesetzesebene. Neben den persönlichen Beziehungen gemäss Abs. 1 lit. b-e, die ohne weiteres einen Ausstand begründen, enthält Art. 47 Abs. 1 lit. f ZPO eine Generalklausel ("aus anderen Gründen"). Art. 47 Abs. 1 lit. f ZPO wird durch einen weiteren generalklauselartig umschriebenen Ausstandsgrund (Art. 47 Abs. 1 lit. a ZPO) ergänzt, für den Fall, dass ein "persönliches Interesse" auf Seiten der Gerichtsperson vorliegt. Vergleichbare Generalklauseln finden sich auch in Art. 34 Abs. 1 lit. a und lit. e BGG. Im Rahmen der Konkretisierung der Generalklauseln sind die aus Art. 30 Abs. 1 BV fliessenden Grundsätze zu beachten (<ref-ruling> E. 4.2 S. 222; <ref-ruling> E. 2.2 S. 441).
Wird ein besonders freundschaftliches oder besonders feindschaftliches Verhältnis zwischen Richter und Rechtsvertreter der Gegenpartei gerügt, kann nach der Rechtsprechung des Bundesgerichts nur bei Vorliegen spezieller Umstände und mit Zurückhaltung eine Voreingenommenheit des Richters angenommen werden. Erforderlich wäre, dass die Intensität und Qualität der beanstandeten Beziehung vom Mass des sozial Üblichen abweicht und bei objektiver Betrachtung geeignet ist, sich auf die Partei selbst und deren Prozess auszuwirken, und derart den Anschein der Befangenheit hervorzurufen (BGE <ref-ruling> E. 5.1 S. 125 mit Hinweisen). Die blosse Zugehörigkeit eines Richters zu einer politischen Partei, in der auch der Rechtsvertreter einer Verfahrenspartei Mitglied ist, bildet nach der Rechtsprechung des Bundesgerichtes grundsätzlich keinen Ablehnungsgrund (BGE <ref-ruling> E. 2.4 S. 5; Urteil 5P.160/2001 vom 13. September 2001 E. 2a mit Hinweisen; vgl. auch Urteil 5A_283/2014 vom 3. September 2014 E. 4.2 [politische Verbindung zwischen Richter und Verfahrenspartei kein Ausstandsgrund]).
3.4. Die Beschwerdeführerin beruft sich nicht einzig auf die Mitgliedschaft des Vizepräsidenten der Vorinstanz und des Rechtsvertreters der Beschwerdegegnerin in derselben Partei, sondern auch auf die gemeinsame Einsitznahme in der Geschäftsleitung der Kantonalpartei. Sie macht geltend, der Vizepräsident und der Rechtsvertreter seien bis 2014 gemeinsam Mitglied der Geschäftsleitung gewesen. Der Rechtsvertreter bringt demgegenüber vor, nach seiner Erinnerung habe der Vizepräsident erst 2014 das Präsidium der Bezirkspartei Brugg übernommen und in dieser Funktion Einsitz in die Geschäftsleitung genommen, weshalb sie sich "ein paar Mal" an den Geschäftsleitungssitzungen begegnet seien. Sowohl der Vizepräsident als auch der Rechtsvertreter geben an, es verbinde sie keine besondere Freundschaft und über die parteipolitisch begründeten Kontakte hinaus gebe es keine weiteren Bezugspunkte. Es bestehen keine Anhaltspunkte dafür, dass diese Angaben unwahr wären. Was die Unterstützungskomitees für zwei Kandidierende angeht, so ist notorisch, dass die Unterstützer auch lediglich ihren Namen auf die Liste des Unterstützungskomitees setzen lassen können, ohne aktiv am Wahlkampf teilzunehmen. Dabei wissen die Unterstützer auch nicht zwingend, wer dem Unterstützungskomitee sonst noch angehört, was der Rechtsvertreter der Beschwerdegegnerin denn auch geltend macht. Insgesamt weicht die Intensität und Qualität der beanstandeten Beziehung zwischen dem Vizepräsidenten der Vorinstanz und dem Rechtsvertreter der Beschwerdegegnerin nicht vom Mass des sozial Üblichen ab. Daran ändert auch nichts, dass der Vizepräsident der Vorinstanz die Bezirkspartei am Wohnort des Rechtsvertreters der Beschwerdegegnerin präsidierte. Da der Handelsrichter Thomas Friedli am Verfahren nicht mitgewirkt hat, wie auch die Beschwerdeführerin in ihrer Replik zugesteht, ist auf die Vorbringen gegen ihn nicht einzugehen.
3.5. Eine Befangenheit des Vizepräsidenten der Vorinstanz lässt sich auch nicht aus der Verfahrensführung ableiten. So bestehen keinerlei Anhaltspunkte dafür, dass die Datierung des Protokolls der Hauptverhandlung vom 19. Januar 2016 auf den 5. Januar 2016 nicht auf ein Versehen zurückzuführen wäre. Die Absetzung einer Instruktionsverhandlung mangels Verhandlungsspielraum auf Seiten einer Partei lässt in keiner Art und Weise auf eine Befangenheit des Vizepräsidenten schliessen (vgl. auch <ref-ruling> E. 3.2.3 S. 180). Dasselbe gilt in Bezug auf den Vorschlag des Gerichts, auf die Durchführung einer Hauptverhandlung zu verzichten. Aus den Akten ergibt sich weiter, dass die Vorinstanz - wie diese in ihrer Vernehmlassung vorbringt - den Parteien an der Hauptverhandlung mitgeteilt hat, sie stelle auf die mit den Rechtsschriften eingereichten Urkunden als Beweismittel ab. Es trifft somit nicht zu, dass die Vorinstanz keine Beweiserhebungen getroffen hat. Damit erweisen sich die Rügen der Beschwerdeführerin als unbegründet.
3.6. Es kann daher offenbleiben, ob die Beschwerdeführerin - wie von der Vorinstanz geltend gemacht - ihren Anspruch auf Anrufung der Ausstandsbestimmungen verwirkt hat (vgl. dazu Art. 49 Abs. 1 ZPO; BGE <ref-ruling> E. 2.4 S. 244; <ref-ruling> E. 3.2.1 S. 124; <ref-ruling> E. 2.2 S. 4; je mit Hinweisen).
4.
Die Beschwerdeführerin wirft der Vorinstanz weiter eine willkürliche antizipierte Beweiswürdigung vor. Die Vorinstanz habe gar keine Beweismittel abgenommen, womit sie die Rechte der Beschwerdeführerin willkürlich beschnitten habe. Damit liege gleichzeitig auch eine Verletzung der Beweisabnahmepflicht nach Art. 154 ZPO vor.
In E. 3.5 wurde soeben ausgeführt, dass die Behauptung der Beschwerdeführerin, die Vorinstanz habe keinerlei Beweise abgenommen, nicht zutrifft. Damit ist der Rüge der Beschwerdeführerin die Grundlage entzogen; sie erweist sich als unbegründet.
5.
Die Beschwerdeführerin rügt weiter, die Vorinstanz habe Art. 226 ZPO und das "generelle Willkürverbot der richterlichen Entscheidfindung" verletzt, indem sie keine Instruktionsverhandlung durchgeführt habe.
Nach Art. 226 Abs. 1 ZPO kann das Gericht jederzeit Instruktionsverhandlungen durchführen. Die Durchführung einer Instruktionsverhandlung liegt dabei im Ermessen des Gerichts; die Parteien haben darauf keinen Anspruch (THOMAS ENGLER, in: ZPO, Kommentar, Gehri/Jent-Sørensen/Sarbach [Hrsg.], 2. Aufl. 2015, N. 1 zu Art. 226 ZPO; CHRISTOPH LEUENBERGER, in: Kommentar zur Schweizerischen Zivilprozessordnung [ZPO], Sutter-Somm/Hasenböhler/Leuenberger [Hsrg.], 3. Aufl. 2016, N. 2 zu Art. 226 ZPO; ERIC PAHUD, in: Schweizerische Zivilprozessordnung, Kommentar, Brunner/Gasser/Schwander [Hrsg.], 2. Aufl. 2016, N. 2 zu Art. 226 ZPO; DENIS TAPPY, in: Code de procédure civile commenté, 2011, N. 6 zu Art. 226 ZPO; DANIEL WILLISEGGER, in: Basler Kommentar, Schweizerische Zivilprozessordnung, 2. Aufl. 2013, N. 5 zu Art. 226 ZPO).
Die Beschwerdeführerin zeigt nicht auf, inwiefern die Vorinstanz willkürlich auf eine Instruktionsverhandlung verzichtet hätte. Dies ist auch nicht ersichtlich, nachdem die Beschwerdegegnerin der Vorinstanz ausdrücklich erklärt hat, es bestehe kein Verhandlungsspielraum mehr. Die Rüge ist unbegründet.
6.
Die Beschwerdeführerin rügt weiter eine Verletzung von Art. 41 und 46 VVG, weil die Vorinstanz ihr keine Verzugszinsen zugesprochen habe.
6.1. Die Vorinstanz hat mit Verweis auf den Entscheid im Summarverfahren ausgeführt, es stehe fest, dass die Beschwerdeführerin ihre Mitwirkung am vorgesehenen Sachverständigenverfahren zu Unrecht verweigert habe. Gemäss den AVB werde die Zahlungspflicht aufgeschoben, solange durch Verschulden des Versicherungsnehmers oder Anspruchsberechtigten die Entschädigung nicht ermittelt oder bezahlt werden könne (AVB I 2, Ziff. 23 zweiter Absatz). Diese Bestimmung sei vorliegend anwendbar. Die Fälligkeit sei somit mit Ablauf von vier Wochen ab Zustellung des Berichts des Obmanns vom 24. März 2015 an die Beschwerdegegnerin eingetreten, mithin am 6. Mai 2015. Die Beschwerdegegnerin habe mit Schreiben vom 23. April 2015 die Zahlung von Fr. 719'000.-- in Aussicht gestellt und um Bekanntgabe der Zahlungsverbindung ersucht. Die Beschwerdeführerin habe mit Schreiben vom 25. Juni 2015 Zahlung bis Ende Juni 2015 auf das angegebene Konto verlangt. Es sei unbestritten, dass die Zahlung rechtzeitig auf Ende Juni 2015 erfolgt sei. Da sich die Beschwerdegegnerin mithin nie in Verzug befunden habe, schulde sie keine Verzugszinsen.
6.2. Die Beschwerdeführerin macht geltend, entgegen der Auffassung der Vorinstanz sei das Schiedsverfahren nicht notwendig gewesen, weil der Betriebsunterbrechungsschaden per 30. September 2011 festgestanden habe. Damals hätten die Vertreter der Beschwerdegegnerin mitgeteilt, alle Unterlagen lägen vor und der Schaden könne nun reguliert werden. In der Folge habe die Beschwerdeführerin Klage einreichen müssen, um die Verjährung nach Art. 46 VVG zu verhindern. Die Rechtsauffassung, wonach der Versicherungsanspruch erst nach Anerkennung durch den Versicherer oder nach rechtskräftigem Entscheid zu dessen Lasten fällig werde, sei offensichtlich falsch. Dadurch, dass der Anspruch bestanden habe, sei die Beschwerdegegnerin auch in Verzug gesetzt worden; die Regelung von Art. 41 VVG sei für beide Parteien gültig.
6.3. Die Ausführungen der Beschwerdeführerin sind nur schwer verständlich. Entgegen ihren Vorbringen hat die Vorinstanz nicht die Rechtsauffassung vertreten, der Versicherungsanspruch werde erst nach Anerkennung durch den Versicherer oder nach rechtskräftigem Entscheid zu dessen Lasten fällig. Vielmehr hat sie sich auf die zu Unrecht verweigerte Mitwirkung durch die Beschwerdeführerin und den gemäss den AVB für diesen Fall vorgesehenen Aufschub der Fälligkeit gestützt. Soweit die Beschwerdeführerin geltend macht, die Verweigerung ihrer Mitwirkung sei rechtmässig gewesen, erweitert sie den vorinstanzlich festgestellten Sachverhalt ohne diesbezüglich Sachverhaltsrügen vorzubringen. Darauf kann nicht eingetreten werden. Entgegen der sinngemässen Ansicht der Beschwerdeführerin tritt weiter mit der Fälligkeit des Anspruchs nicht gleichzeitig auch der Verzug ein. Die Erwägungen der Vorinstanz sind in jeder Hinsicht bundesrechtskonform. Soweit die Rüge den Begründungsanforderungen genügt, ist sie unbegründet.
7.
Nach dem Gesagten ist die Beschwerde abzuweisen, soweit darauf einzutreten ist. Bei diesem Verfahrensausgang wird die Beschwerdeführerin kosten- und entschädigungspflichtig (Art. 66 Abs. 1, Art. 68 Abs. 2 BGG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 3'500.-- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
3.
Die Beschwerdeführerin hat die Beschwerdegegnerin für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 4'000.-- zu entschädigen.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Handelsgericht des Kantons Aargau, 2. Kammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 15. August 2016
Im Namen der I. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Kiss
Die Gerichtsschreiberin: Marti-Schreier