Sachverhalt:
A.
Die 1968 geborene kamerunische Staatsangehörige A._ reiste am 6. November 2005 in die Schweiz ein und durchlief erfolglos ein Asylverfahren. Sie kam ihrer Ausreisepflicht nicht nach und ihr Aufenthaltsort war den Behörden in der Folge nicht bekannt. Mit Antrag vom 4. Oktober 2016 ersuchte das Migrationsamt des Kantons Basel-Stadt das Staatssekretariat für Migration (SEM) um Zustimmung zur Erteilung einer Aufenthaltsbewilligung wegen Vorliegens eines schwerwiegenden persönlichen Härtefalls gestützt auf Art. 30 Abs. 1 lit. b AuG. Das SEM trat mit Verfügung vom 22. Februar 2017 auf diesen Antrag nicht ein.
B.
Am 30. März 2017 erhob A._ gegen den Entscheid des SEM Beschwerde beim Bundesverwaltungsgericht und beantragte, die Verfügung sei aufzuheben und das SEM sei anzuweisen, auf den kantonalen Antrag einzutreten. Am 10. April 2017 erliess das Bundesverwaltungsgericht eine Zwischenverfügung und forderte - unter Androhung des Nichteintretens im Unterlassungsfall - A._ auf, bis zum 9. Mai 2017 einen Kostenvorschuss von Fr. 1'000.-- zu leisten. Mit Eingabe vom 9. Mai 2017 ersuchte A._ um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung. Die zuständige Instruktionsrichterin des Bundesverwaltungsgerichts wies mit Verfügung vom 16. Mai 2017 das Gesuch um unentgeltliche Prozessführung und Verbeiständung ab und erstreckte die Frist zur Bezahlung des Kostenvorschusses zuerst bis zum 24. Mai 2017, danach bis zum 23. Juni 2017. Zur Begründung führte sie aus, dass sich nach summarischer Prüfung der Sach- und Rechtslage die Begehren von A._ als zum Vornherein aussichtslos erwiesen.
C.
A._ gelangt mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten vom 15. Juni 2017 an das Bundesgericht. Sie beantragt, die Zwischenverfügung sei aufzuheben und die Vorinstanz anzuweisen, ihr für das vor dem Bundesverwaltungsgericht hängige Verfahren die unentgeltliche Rechtspflege mit Guido Ehrler als Rechtsbeistand zu gewähren. Eventualiter sei ihr für das bundesgerichtliche Verfahren die unentgeltliche Rechtspflege und Guido Ehrler als Rechtsbeistand zu gewähren.
Am 16. Juni 2017 wurde der Beschwerde superprovisorisch aufschiebende Wirkung zuerkannt. Zudem holte das Bundesgericht die Akten ein. Im Übrigen verzichtete es auf die Anordnung weiterer Instruktionsmassnahmen.
Mit dem vorliegenden instanzabschliessenden Urteil wird das Gesuch um aufschiebende Wirkung gegenstandslos.

Erwägungen:
1.
1.1. Angefochten ist eine Zwischenverfügung des Bundesverwaltungsgerichts, mit welcher der Beschwerdeführerin die unentgeltliche Rechtspflege verweigert worden ist. Hierbei handelt es sich um einen selbstständig eröffneten Zwischenentscheid, welcher einen nicht wieder gutzumachenden Nachteil im Sinne von <ref-law> bewirken kann (<ref-ruling> E. 4 S. 338; Urteil 1C_75/2016 vom 11. April 2016 E. 1).
1.2. Bei Zwischenentscheiden folgt der Rechtsweg jenem der Hauptsache (<ref-ruling> E. 1.1 S. 382; <ref-ruling> E. 2.2 S. 647 f.). Gegen einen Endentscheid des Bundesverwaltungsgerichts in einer Angelegenheit des öffentlichen Rechts ist grundsätzlich die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten zulässig (Art. 82 lit. a, Art. 86 Abs. 1 lit. a und Art. 90 BGG). Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten ist unzulässig gegen Entscheide auf dem Gebiet des Ausländerrechts betreffend Bewilligungen, auf die weder das Bundesrecht noch das Völkerrecht einen Anspruch einräumen (<ref-law>). Für das Eintreten genügt, wenn die Betroffene in vertretbarer Weise dartut, dass potenziell ein Anspruch auf die Bewilligung besteht; ob die jeweiligen Voraussetzungen tatsächlich gegeben sind, bildet Gegenstand der materiellen Beurteilung (<ref-ruling> E. 1.1 S. 179 f., 497 E. 3.3 S. 500 f.). Die Beschwerdeführerin macht in vertretbarer Weise einen Anspruch nach Art. 8 EMRK geltend. Damit kann die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten sowohl gegen den Entscheid in der Sache als auch gegen den vorliegenden Zwischenentscheid ergriffen werden. Auf die form- und fristgerecht eingereichte Beschwerde ist einzutreten (Art. 42 Abs. 2 und Art. 100 Abs. 1 BGG).
2.
Die Beschwerdeführerin rügt eine Verletzung von <ref-law> bzw. <ref-law>. Das Bundesverwaltungsgericht hätte ihrer Beschwerde ausreichende Prozesschancen zugestehen und ihr die unentgeltliche Prozessführung gewähren müssen.
2.1. Als aussichtslos sind Begehren anzusehen, bei denen die Gewinnaussichten beträchtlich geringer sind als die Verlustgefahren und die deshalb kaum als ernsthaft bezeichnet werden können. Dagegen gilt ein Begehren nicht als aussichtslos, wenn sich Gewinnaussichten und Verlustgefahren ungefähr die Waage halten oder jene nur wenig geringer sind als diese. Massgebend ist, ob eine Partei, die über die nötigen Mittel verfügt, sich bei vernünftiger Überlegung zu einem Prozess entschliessen würde. Eine Partei soll einen Prozess, den sie auf eigene Rechnung und Gefahr nicht führen würde, nicht deshalb anstrengen können, weil er sie nichts kostet. Ob im Einzelfall genügende Erfolgsaussichten bestehen, beurteilt sich aufgrund einer vorläufigen und summarischen Prüfung der Prozessaussichten, wobei die Verhältnisse im Zeitpunkt der Einreichung des Gesuchs massgebend sind (<ref-ruling> E. 2.2.4 S. 218; <ref-ruling> E. 5 S. 616 mit Hinweisen).
2.2. Nach <ref-law> (SR 142.31) kann ab Einreichung des Asylgesuches bis zur Ausreise nach einer rechtskräftig angeordneten Wegweisung, nach einem Rückzug des Asylgesuches oder bis zur Anordnung einer Ersatzmassnahme bei nicht durchführbarem Vollzug eine asylsuchende Person kein Verfahren um Erteilung einer ausländerrechtlichen Aufenthaltsbewilligung einleiten, ausser es bestehe ein Anspruch auf deren Erteilung. Der Grundsatz des Vorrangs des Asylverfahrens wird durchbrochen, wenn ein konventionsrechtlicher Anspruch auf die Erteilung der beantragten ausländerrechtlichen Bewilligung offensichtlich besteht (vgl. <ref-ruling> E. 1.4.2 S. 335; Urteil 2C_459/2011 vom 26. April 2012 E. 1.1, nicht publ. in: <ref-ruling> ff.; <ref-ruling> E. 3.1; Urteil 2C_947/2016 vom 17. März 2017 E. 3.3 je mit Hinweisen). Wie die Vorinstanz zutreffend unter Verweis auf die aktuelle bundesgerichtliche Rechtsprechung ausführte, ist das grundsätzlich nicht der Fall, wenn sich die Gesuchstellerin, wie vorliegend, einzig auf ihr Recht auf Privatleben beruft (BGE <ref-ruling> E. 3.1 S. 354 f.; Urteil 2C_947/2016 vom 17. März 2017 E. 3.3).
2.3. Die von der Beschwerdeführerin gegen diese Rechtsprechung vorgebrachten Einwände laufen ins Leere.
2.3.1. Bei der Beurteilung von <ref-law> ist weder die grosszügigere Eintretenspraxis zu <ref-law> (vgl. zu deren Voraussetzungen E. 1.2) hilfsweise beizuziehen (Urteil 2C_947/ 2016 vom 17. März 2017 E. 3.4) noch folgt aus der positiven Beurteilung durch die Härtefallkommission des Kantons Basel-Stadt, welche gestützt auf Art. 30 Abs. 1 lit. b erfolgte, dass ein offensichtlicher Anspruch aus Art. 8 EMRK auf Erteilung einer Aufenthaltsbewilligung bestehen würde.
2.3.2. Ebensowenig führt der Verweis der Beschwerdeführerin auf Art. 17 Abs. 2 AuG sowie die E. 3.5 des soeben erwähnten Urteils 2C_947/2016 vom 17. März 2017 dazu, dass der Vorrang des AsylG im vorliegenden Fall aufzuheben wäre. Gemäss den dortigen Erwägungen äussert sich Art. 17 Abs. 2 AuG nur dazu, unter welchen Umständen ein Bewilligungsentscheid nicht im Ausland abgewartet werden muss, nämlich wenn die Zulassungsvoraussetzungen offensichtlich erfüllt sind. Wie im Falle von Art. 17 Abs. 2 AuG ist auch über den Aufenthaltsanspruch im Rahmen von <ref-law> nicht aufgrund einer umfassenden Prüfung, sondern nur in einer summarischen Würdigung der Erfolgsaussichten zu entscheiden. Dementsprechend prüft auch das Bundesgericht nicht vertieft und umfassend, ob ein Anspruch auf Bewilligung besteht, sondern nur, ob die Vorinstanz zu Recht erwogen hat, die Voraussetzungen seien nicht offensichtlich erfüllt. Der summarischen Würdigung der Erfolgsaussichten ist Genüge getan, wenn nur offensichtliche Ansprüche aus dem Schutz des Familienlebens gemäss Art. 8 Abs. 1 EMRK berücksichtigt werden, nicht aber solche einzig gestützt auf das Recht auf Privatleben. Diesen Vorgaben ist die Vorinstanz entgegen der Ansicht der Beschwerdeführerin nachgekommen. Es besteht kein Anlass, in Widerspruch zur kürzlich bestätigten Rechtsprechung vom gesetzlichen Vorrang des Asylverfahrens abzuweichen.
2.3.3. Dementsprechend gelangt das AuG gar nicht erst zur Anwendung. Es ist dem Kanton Basel-Stadt folglich nicht möglich, der Beschwerdeführerin eine Aufenthaltsbewilligung gestützt auf Art. 30 Abs. 1 lit. b AuG zu erteilen und das SEM ist nicht verpflichtet, auf den kantonalen Antrag einzutreten. Auch kann die Beschwerdeführerin aus <ref-ruling> E. 3 f., welcher sich ausführlich zu den Anforderungen an die Gesetzesdelegation im Anwendungsbereich des AuG (insb. Art. 99 AuG in Verbindung mit Art. 85 der Verordnung vom 24. Oktober 2007 über Zulassung, Aufenthalt und Erwerbstätigkeit [VZAE; SR 142.201]) äussert, nichts zu ihren Gunsten ableiten.
2.4. Gemäss <ref-law> kann ein Kanton mit Zustimmung des SEM einer ihm nach diesem Gesetz zugewiesene Personeine Aufenthaltsbewilligung erteilen. Gemäss verbindlicher Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz wurde die Beschwerdeführerin am 12. Dezember 2005 gemäss <ref-law> dem Kanton Solothurn zugeteilt. Aufgrund des eindeutigen Wortlauts von <ref-law> kann nur der Kanton Solothurn ein auf diese Bestimmung gestütztes Aufenthaltsverfahren durchführen, nicht aber der aktuelle Wohnsitzkanton. Aus den angeführten Beispielen der Beschwerdeführerin, wonach angeblich das SEM früher in vergleichbaren Fällen Anträgen des Wohnsitzkantons die Zustimmung zum Aufenthalt gegeben habe, kann die Beschwerdeführerin nichts zu ihren Gunsten ableiten. Es bestehen keine Hinweise darauf, dass die Voraussetzungen für einen Anspruch auf Gleichbehandlung im Unrecht (vgl. dazu <ref-ruling> E. 5.6 S. 78) bestehen würden.
2.5. Die Vorinstanz hat im angefochtenen Entscheid eine summarische Überprüfung vorgenommen und ist zum Schluss gekommen, dass aufgrund der eindeutigen gesetzlichen Regelung die Abgrenzung zwischen dem Härtefallverfahren nach <ref-law> und Art. 30 lit. b AuG keine Fragen aufwerfe. Die Voraussetzungen für die Erteilung einer Aufenthaltsbewilligung würden unter diesen Umständen nicht vorliegen, sodass die Beschwerde zur Aufhebung des Entscheides des SEM aussichtslos erscheine. Aus der Beschwerde ergibt sich nicht und es ist auch nicht ersichtlich, inwiefern die vorinstanzliche Begründung bzw. die angefochtene Zwischenverfügung selbst rechts- bzw. verfassungswidrig sein soll.
2.6. Die Beschwerde erweist sich als unbegründet und ist abzuweisen.
3.
3.1. Bei diesem Ausgang des Verfahrens wird die Beschwerdeführerin kostenpflichtig. Ihr sind den Umständen der vorliegenden Angelegenheit angemessene Gerichtskosten aufzuerlegen (<ref-law>).
3.2. Wie die oben stehenden Ausführungen zeigen, hat sich die Beschwerde als von Anfang an aussichtslos erwiesen. Es fehlt somit an einer der kumulativen Voraussetzungen für die Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege für das bundesgerichtliche Verfahren und das entsprechende Gesuch der Beschwerdeführerin ist abzuweisen (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen.
2.
Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege wird abgewiesen.
3.
Die Gerichtskosten von Fr. 500.-- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
4.
Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten und dem Bundesverwaltungsgericht, Abteilung VI, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 24. Juli 2017
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Seiler
Der Gerichtsschreiber: Mösching