Sachverhalt:
A.
Der 1957 geborene A._ war bis 2004als Betriebsmitarbeiter und anschliessend bei einem Versicherungsunternehmen als Vermittler tätig. Im Oktober 2005 meldete er sich unter Hinweis auf "Brüche, Rückenprobleme und Kopfschmerzen" als Folgen eines im November 2003 erlittenen Unfalls bei der Invalidenversicherung (IV) zum Rentenbezug an. Die IV-Stelle des Kantons Zürich zog nebst weiteren Sachverhaltsabklärungen die Akten des zuständigen Unfallversicherers bei und holte Berichte der behandelnden Ärzte sowie eine polydisziplinäre Expertise der Zentrum für Interdisziplinäre Medizinische Begutachtungen AG (nachfolgend: ZIMB) vom 14. April 2014 ein. Mit Verfügung vom 23. Juli 2014 verneinte die IV-Stelle einen Rentenanspruch mit der Begründung, aus medizinischer Sicht sei keine Diagnose mit dauerhafter Auswirkung auf die Arbeitsfähigkeit ausgewiesen.
B.
Die von A._ hiegegen erhobene Beschwerde hiess das Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich mit Entscheid vom 26. August 2015 teilweise gut und sprach dem Versicherten vom 1. November 2004 bis 30. April 2005 eine ganze und vom 1. Mai 2005 bis 28. Februar 2009 eine halbe Invalidenrente zu.
C.
A._ führt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten mit dem Rechtsbegehren, der vorinstanzliche Entscheid sei aufzuheben. Die IV-Stelle beantragt die Abweisung der Beschwerde, ohne sich weiter zur Sache zu äussern (Verfahren 8C_719/2015).
Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten beantragt die IV-Stelle ihrerseits, der kantonale Entscheid vom 26. August 2015 sei aufzuheben, die Verfügung vom 23. Juli 2014 sei zu bestätigen und es sei festzuhalten, dass kein Rentenanspruch bestehe. A._ schliesst auf Abweisung dieser Beschwerde (Verfahren 8C_718/2015).
Das Bundesamt für Sozialversicherungen verzichtet in beiden Verfahren auf eine Vernehmlassung.
D.
Mit Verfügung vom 19. November 2015 hat das Bundesgericht der Beschwerde der IV-Stelle die aufschiebende Wirkung zuerkannt.
E.
Mit heutigem Datum fällt das Bundesgericht auch das Urteil im Verfahren 8C_430/2015, in welchem es um den Anspruch des A._ auf Leistungen der obligatorischen Unfallversicherung (UV) geht.

Erwägungen:
1.
Die beiden Beschwerden richten sich gegen den gleichen kantonalen Gerichtsentscheid, es liegt ihnen derselbe Sachverhalt zugrunde und es stellen sich die gleichen Rechtsfragen. Die Verfahren sind daher zu vereinigen und in einem einzigen Urteil zu erledigen.
2.
Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann wegen Rechtsverletzungen gemäss Art. 95 und 96 BGG erhoben werden. Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (Art. 106 Abs. 1 BGG), doch prüft es, unter Berücksichtigung der allgemeinen Rüge- und Begründungspflicht (Art. 42 Abs. 1 und 2 BGG), nur die geltend gemachten Vorbringen, falls allfällige weitere rechtliche Mängel nicht geradezu offensichtlich sind (<ref-ruling> E. 1.6 S. 280 mit Hinweis; vgl. auch <ref-ruling> E. 1 S. 236; <ref-ruling> E. 1.1 S. 137 f.).
Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (Art. 105 Abs. 1 BGG). Es kann deren Sachverhaltsfeststellung nur berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von Art. 95 BGG beruht (Art. 105 Abs. 2 BGG).
3.
Der vorinstanzliche Entscheid lautet auf Zusprechung einer ganzen Invalidenrente vom 1. November 2004 bis 30. April 2005 und einer halben Invalidenrente vom 1. Mai 2005 bis 28. Februar 2009. Der Versicherte beantragt, wie sich aus Antrag und Begründung seiner Beschwerde ergibt, die weitere Ausrichtung der ganzen Invalidenrente über den 30. April 2005 und auch über den 28. Februar 2009 hinaus. Die IV-Stelle verneint jeglichen Rentenanspruch.
4.
Das kantonale Gericht hat die Bestimmungen und Grundsätze zu den Begriffen Invalidität und Erwerbsunfähigkeit, zum nach dem Invaliditätsgrad abgestuften Anspruch auf eine Invalidenrente der IV (mit den vorausgesetzten Mindestinvaliditätsgraden von 40 % für eine Viertelsrente, 50 % für eine halbe Rente, 60 % für eine Dreiviertelsrente und 70 % für eine ganze Rente), zur Invaliditätsbemessung mittels Einkommensvergleichs und zum Beginn des Rentenanspruchs zutreffend dargelegt. Auch hat es sich zur Beweiswürdigung, namentlich bezüglich ärztlicher Berichte und Gutachten, geäussert. Darauf wird verwiesen.
5.
Die Vorinstanz hat erkannt, aus thoraxchirurgischer Sicht sei der Versicherte ein Jahr nach dem Unfall, also per 26. November 2004, wieder voll arbeitsfähig gewesen. Die geklagten Rückenschmerzen würden massgeblich durch die allgemeine Dekonditionierung beeinflusst. Sie seien durch ein Haltungstraining angehbar und daher aus Sicht der Invalidenversicherung unbeachtlich. Gemäss den neurologischen Fachärzten sei davon auszugehen, dass der Versicherte aufgrund somatisch bedingter Kopfschmerzen ab Unfalldatum bis zum 17. Januar 2005 vollumfänglich arbeitsunfähig und danach bis zum 18. Juli 2005 in einer leidensangepassten Tätigkeit zu 50 % arbeitsfähig gewesen sei. Im Weiteren sei aufgrund einer mittelschweren depressiven Episode bis 30. November 2008 von einer 50%igen Arbeitsunfähigkeit auszugehen. Unter Berücksichtigung der erwerblichen Auswirkungen ergebe sich in Anwendung von Art. 88a IVV vom 1. November 2004 bis 30. April 2005 ein Anspruch auf eine ganze Invalidenrente und vom 1. Mai 2005 bis 28. Februar 2009 ein Anspruch auf eine halbe Invalidenrente.
6.
Die IV-Stelle macht in ihrer Beschwerde geltend, mangels eines ausgewiesenen invalidisierenden Gesundheitsschadens bestehe kein Rentenanspruch.
6.1. In Bezug auf die mit somatischen Leiden begründete Rentenzusprechung äussert sich die Verwaltung lediglich dahingehend, dass der Versicherte gemäss ZIMB-Gutachten vom 14. April 2014 seit Mitte 2004 wieder zu 100 % arbeitsfähig sei. Retrospektiv habe demnach kein invalidisierender Gesundheitsschaden vorgelegen. Die IV-Stelle setzt sich indessen weder mit den echtzeitlichen medizinischen Akten, auf welche die Vorinstanz abgestellt hat, auseinander, noch begründet sie, weshalb das ZIMB-Gutachten verlässlicher als die zeitnahen Arztberichte sein soll. Sie äussert sich auch nicht zu den erwerblichen Auswirkungen der somatischen Beschwerden. Ihre Vorbringen sind daher nicht geeignet, die vorinstanzliche Beurteilung als bundesrechtswidrig erscheinen zu lassen. Die Beschwerde der IV-Stelle ist, soweit sie sich gegen die Feststellung einer somatisch begründeten Arbeitsunfähigkeit bis 18. Juli 2005 und die darauf gestützte Rentenzusprechung bezieht, unbegründet.
6.2. Die vorinstanzliche Feststellung, wonach der Versicherte an einer mittelgradigen depressiven Episode gelitten hat, ist nicht offensichtlich unrichtig. Zu prüfen ist, ob sich daraus eine rentenrelevante Invalidität ergeben hat. Die IV-Stelle bestreitet dies. Nach der Rechtsprechung gelten leichte bis höchstens mittelschwere psychische Störungen grundsätzlich als therapeutisch angehbar und sind nicht invalidisierend (vgl. Urteile 9C_77/2015 vom 27. März 2015 E. 5.4 mit Hinweis; 9C_736/2011 vom 7. Februar 2012 E. 4.2.2.1 mit Hinweisen). Der Einwand der IV-Stelle ist daher stichhaltig, zumal sich der Versicherte gemäss unbestrittener Feststellung der Vorinstanz keiner konsequent durchgeführten Depressionstherapie unterzogen hat (vgl. <ref-ruling> E. 3.3 S. 197). Indem das kantonale Gericht gestützt auf die erwähnte Diagnose dennoch (bis 28. Februar 2009) eine Rente zugesprochen hat, entschied es bundesrechtswidrig. Diesbezüglich ist die Beschwerde der IV-Stelle begründet. Was der Versicherte in den beiden Verfahren einwendet, rechtfertigt keine andere Betrachtungsweise. Namentlich liegen keine verlässlichen Anhaltspunkte für eine den Schweregrad einer mittelgradigen depressiven Episode übersteigenden Depression vor. Der Kurzbericht des Allgemeinmediziners Dr. med. B._ vom 18. März 2005 genügt nicht, um entgegen den übrigen Akten auf eine solche Diagnose zu schliessen. Sodann mag zwar im ZIMB-Gutachten vom 14. April 2014 die für einen früheren Zeitpunkt gestellte Diagnose einer mittelgradigen depressiven Episode als nachvollziehbar betrachtet worden sein. Die ZIMB-Experten verneinten aber unter Berücksichtigung somatischer wie psychischer Diagnosen rückwirkend ab Juni 2004 jegliche Arbeitsunfähigkeit.
7.
Die Beschwerde des Versicherten zielt auf die weitere Ausrichtung der ganzen Invalidenrente über den 30. April 2005 und auch über den 28. Februar 2009 hinaus.
7.1. Geltend gemacht wird als erstes, es bestehe ein persistierender Kopfschmerz, welcher mit einer organischen Unfallfolge zu erklären sei. Das Bundesgericht hat sich mit diesem Vorbringen im heutigen Urteil 8C_430/2015 auseinandergesetzt und einen unfallbedingten organischen Gesundheitsschaden, welcher über den 18. Juli 2005 hinaus geklagte Beschwerden zu erklären vermöchte, verneint. Für das vorliegende Verfahren sind zwar auch nicht unfallbedingte Gesundheitsschäden relevant. Im Ergebnis ändert sich aber nichts, da kein organischer Befund - ob nun unfallkausal oder nicht - vorliegt, der eine Arbeitsunfähigkeit nach dem 18. Juli 2005 zu begründen vermöchte. Das hat die Vorinstanz in nicht offensichtlich unrichtiger Würdigung der medizinischen Akten dargelegt. Diese gesamthaft überzeugende Beurteilung wird auch durch die Vorbringen des Versicherten zu einzelnen ärztlichen Stellungnahmen nicht in Frage gestellt. Hervorzuheben ist, dass Dr. med. C._ im vom Versicherten hiezu angesprochenen Bericht vom 17. Februar 2005 bestätigt hat, unter adäquater Kopfwehbehandlung sei eine Steigerung der Arbeitsfähigkeit von mindestens 90 % zu erwarten. Sodann wurde im Gutachten der Klinik D._ vom 2. April 2007 offensichtlich nicht nur davon ausgegangen, der noch geklagte chronische Spannungskopfschmerz sei eher nicht organischer Genese. Vielmehr wurde mit dieser Diagnose auch keine Arbeitsunfähigkeit begründet. Die vorinstanzliche Beurteilung wird im Übrigen nicht nur durch den - vom Versicherten hauptsächlich beanstandeten - Bericht des Dr. med. E._ vom 27. Juli 2005, sondern darüber hinaus durch das ZIMB-Gutachten vom 14. April 2014, in welchem eine Arbeitsunfähigkeit ab 2004 verneint wurde, gestützt.
7.2. Dass für den Zeitraum der Rentenzusprechung (bis Februar 2009) kein invalidisierendes psychisches Leiden vorlag, wurde bereits erläutert. Nichts anderes ergibt sich für die Zeit danach. Es bestehen keine Anhaltspunkte dafür, dass sich bezüglich der psychischen Problematik und deren Einfluss auf die Arbeitsfähigkeit in der hier zu beurteilenden Zeit bis zur Verwaltungsverfügung vom 23. Juli 2014 (<ref-ruling> E. 2.1 S. 243) eine gegebenenfalls relevante Veränderung ergeben hat.
7.3. Entgegen der vom Versicherten vertretenen Auffassung ist in antizipierter Beweiswürdigung von weiteren medizinischen Abklärungen abzusehen, da davon keine entscheidrelevanten neuen Erkenntnisse zu erwarten sind. Der angefochtene Entscheid setzt sich auch hinreichend mit den Akten und den Vorbringen des Beschwerdeführers auseinander. Die Rüge der Verletzung des rechtlichen Gehörs ist daher ebenfalls nicht stichhaltig.
8.
Zusammenfassend ergibt sich, dass die Beschwerde des Versicherten (Verfahren 8C_719/2015) abzuweisen ist. Die Beschwerde der IV-Stelle (Verfahren 8C_718/2015) ist teilweise begründet, indem entgegen dem angefochtenen Entscheid ein rentenrelevanter psychischer Gesundheitsschaden verneint wird. Es bleibt aber dabei, dass aufgrund somatischer Gesundheitsschäden eine massgebliche Invalidität bestanden hat. Diese begründet - unter Berücksichtigung von Art. 88a Abs. 1 IVV - vom 1. November 2004 bis 30. April 2005 den Anspruch auf eine ganze Invalidenrente und vom 1. Mai 2005 bis 31. Oktober 2005 den Anspruch auf eine halbe Invalidenrente. Darüber hinaus besteht entgegen dem angefochtenen Entscheid kein Rentenanspruch. In diesem Sinn ist die Beschwerde der Verwaltung teilweise gutzuheissen.
9.
Der Prozessausgang rechtfertigt, die Gerichtskosten im Verfahren 8C_719/2015 dem Versicherten und im Verfahren 8C_718/2015 je hälftig den Parteien aufzuerlegen sowie dem Versicherten im Verfahren 8C_718/2015 eine reduzierte Parteientschädigung zuzusprechen (Art. 66 Abs. 1, Art. 68 Abs. 1 und 2 BGG). Bei der Verlegung von Kosten und Parteientschädigung im vorinstanzlichen Verfahren hat es mit dem angefochtenen Entscheid sein Bewenden.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Verfahren 8C_718/2015 und 8C_719/2015 werden vereinigt.
2.
Die Beschwerde des Versicherten wird abgewiesen.
3.
Die Beschwerde der IV-Stelle des Kantons Zürich wird teilweise gutgeheissen. Der Entscheid des Sozialversicherungsgerichts des Kantons Zürich vom 26. August 2015 wird insoweit abgeändert, als die ab 1. Mai 2005 zugesprochene halbe Invalidenrente bis 31. Oktober 2005 befristet wird. Im übrigen wird die Beschwerde abgewiesen.
4.
Die Gerichtskosten von Fr. 800.- im Verfahren 8C_719/2015 werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
5.
Die Gerichtskosten von Fr. 800.- im Verfahren 8C_718/2015 werden zu Fr. 400.- der Beschwerdeführerin und zu Fr. 400.- dem Beschwerdegegner auferlegt.
6.
Die Beschwerdeführerin hat den Beschwerdegegner für das bundesgerichtliche Verfahren 8C_718/2015 mit Fr. 1'000.- zu entschädigen.
7.
Dieses Urteil wird den Parteien, dem Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich und dem Bundesamt für Sozialversicherungen schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 3. März 2016
Im Namen der I. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Maillard
Der Gerichtsschreiber: Lanz