Sachverhalt:
A.
Das Bezirksgericht Bülach sprach A._ am 11. November 2015 der mehrfachen qualifizierten Widerhandlung gegen das Betäubungsmittelgesetz (Art. 19 Ziff. 1 und 2 lit. a aBetmG) sowie der Vorbereitungshandlungen zu Raub im Sinne von Art. 260bis Abs. 1 lit. d StGB schuldig und auferlegte ihm eine Freiheitsstrafe von 8 Jahren. Von den weiteren zur Anklage gebrachten Vorwürfen sprach es ihn frei. Gegen dieses Urteil meldeten sowohl A._ als auch die Staatsanwaltschaft II des Kantons Zürich Berufung an.
A._ war am 8. Februar 2011 verhaftet worden. Er befand sich in der Folge in Untersuchungs- und Sicherheitshaft, bis er am 24. März 2015 den vorzeitigen Strafvollzug antrat. Am 20. Mai 2016 verfügte das Bezirksgericht seine Entlassung per 6. Juni 2016. Weiter ordnete es eine Probezeit von 2 2/3 Jahren mit Bewährungshilfe an, erteilte A._ für die Dauer der Probezeit Weisungen (Gespräche mit der Bewährungshilfe, Drogenkonsumverbot, Verbot der Kontaktaufnahme zu einer Reihe namentlich aufgeführter Personen). Es machte den Beschuldigten schliesslich darauf aufmerksam, dass er in den Strafvollzug zurückversetzt werden könne, wenn er während der Probezeit ein Verbrechen oder Vergehen begehe, sich der Bewährungshilfe entziehe oder die Weisungen missachte.
Die Staatsanwaltschaft beantragte mit Eingabe vom 24. Mai 2016 beim Bezirksgericht zuhanden der Berufungsinstanz die Fortsetzung der Haft. Am 30. Mai 2016 überwies das Bezirksgericht den Antrag dem Obergericht des Kantons Zürich. Mit Präsidialverfügung vom 7. Juni 2016 hob dieses die Verfügung des Bezirksgerichts auf und hiess den Antrag der Staatsanwaltschaft auf Fortsetzung des vorzeitigen Strafvollzugs gut.
B.
Mit Beschwerde in Strafsachen ans Bundesgericht vom 11. Juli 2016 beantragt A._, die Präsidialverfügung des Obergerichts sei aufzuheben und er selbst sofort aus dem vorzeitigen Strafvollzug zu entlassen, eventuell unter Anordnung von Ersatzmassnahmen.
Die Staatsanwaltschaft und das Obergericht haben auf eine Vernehmlassung verzichtet.

Erwägungen:
1.
Der angefochtene Entscheid betrifft die Entlassung aus dem vorzeitigen Strafvollzug. Dagegen ist die Beschwerde in Strafsachen nach Art. 78 ff. BGG gegeben. Der Beschwerdeführer ist nach Art. 81 Abs. 1 BGG zur Beschwerde berechtigt. Auf sein Rechtsmittel ist einzutreten.
2.
2.1. Der Beschwerdeführer befindet sich im vorzeitigen Strafvollzug. Dies hindert ihn nicht daran, ein Gesuch um Haftentlassung zu stellen. Auf Gesuch um Entlassung aus dem vorzeitigen Strafvollzug hin ist zu prüfen, ob die Haftvoraussetzungen gegeben sind (<ref-ruling> E. 4.1 f. S. 194; <ref-ruling> E. 1d S. 79 f.; Urteil 1B_223/2015 vom 9. Juli 2015 E. 2.1; je mit Hinweisen).
2.2. Nach Art. 221 StPO sind Untersuchungs- und Sicherheitshaft unter anderem zulässig, wenn die beschuldigte Person eines Verbrechens oder Vergehens dringend verdächtig ist und ernsthaft zu befürchten ist, dass sie sich durch Flucht dem Strafverfahren oder der zu erwartenden Sanktion entzieht (Abs. 1 lit. a). An ihrer Stelle sind Ersatzmassnahmen anzuordnen, wenn sie den gleichen Zweck wie die Haft erfüllen (Art. 212 Abs. 2 lit. c und Art. 237 ff. StPO).
2.3. Der Beschwerdeführer bestreitet das Vorliegen eines dringenden Tatverdachts nicht. Er ist jedoch der Auffassung, dass keine Fluchtgefahr bestehe bzw. dass einer allfälligen Fluchtgefahr mit Ersatzmassnahmen begegnet werden könnte. Zudem macht er geltend, die in Art. 231 Abs. 2 StPO vorgesehene Frist von fünf Tagen für die Entscheidfällung sei missachtet worden und die Staatsanwaltschaft habe mit ihrer Beschwerde ans Obergericht gegen Treu und Glauben verstossen, denn am Verfahren vor Bezirksgericht habe sie sich nicht beteiligt.
3.
Ob die Staatsanwaltschaft im Verfahren vor Bezirksgericht gehalten gewesen wäre, eine Stellungnahme abzugeben, kann vorliegend offen bleiben. Entgegen der Auffassung des Beschwerdeführers war es ihr jedenfalls nicht verwehrt, gegen die aus ihrer Sicht ungerechtfertigte Entlassung aus dem vorzeitigen Strafvollzug ein Rechtsmittel zu ergreifen. Das Vorbringen des Beschwerdeführers, er sei aufgrund einer Verletzung des Grundsatzes von Treu und Glauben (Art. 9 BV) sofort zu entlassen, ist deshalb unbegründet.
4.
4.1. Der Beschwerdeführer macht eine Verletzung von Art. 231 Abs. 2 StPO geltend. Danach entscheidet die Verfahrensleitung des Berufungsgerichts über den Antrag der Staatsanwaltschaft innert 5 Tagen seit Antragstellung. Der Beschwerdeführer bringt vor, er habe bis zum Entscheid der Vorinstanz mehr als doppelt so lange warten müssen, nämlich 12 Tage, weshalb er sofort aus der Haft zu entlassen sei.
4.2. Die Vorinstanz legt dar, in der Tat habe die Übermittlung des Antrags der Staatsanwaltschaft an das Berufungsgericht durch das Bezirksgericht Bülach zu lange gedauert, sei der Antrag der Staatsanwaltschaft doch bereits am 26. Mai 2016 dort eingegangen, aber erst am 30. Mai 2016 weitergeleitet worden. Weil jedoch die Gewährung des rechtlichen Gehörs des Beschwerdeführers wichtiger sei als die Einhaltung der Ordnungsvorschrift von Art. 231 Abs. 2 StPO, hätten vor der Entscheidfällung zunächst die notwendigen Stellungnahmen eingeholt werden müssen. Dies sei mit Verfügung vom 2. Juni 2016 geschehen. Auch wenn dadurch die Frist von fünf Tagen nicht habe eingehalten werden können, führe dies entgegen der Auffassung des Beschwerdeführers nicht automatisch zu einer Haftentlassung.
4.3. Die dem Wortlaut nach die Sicherheitshaft regelnde Bestimmung von Art. 231 Abs. 2 StPO ist auch anwendbar, wenn sich der Betroffene im vorzeitigen Straf- oder Massnahmenvollzug befindet (Art. 236 StPO; <ref-ruling> E. 2 S. 275, E. 3.2.1 S. 277 mit Hinweisen; vgl. auch MARC FORSTER, in: Basler Kommentar, Schweizerische Strafprozessordnung, 2. Aufl. 2014, N. 3 zu Art. 231 StPO). Sie ist Ausdruck des strafprozessualen Beschleunigungsgebots in Haftsachen (Art. 31 Abs. 4 BV, Art. 5 Ziff. 4 EMRK, Art. 5 Abs. 2 StPO). Bereits daraus ergibt sich, dass es sich nicht um eine reine Ordnungsfrist handelt, aus deren Überschreitung der Betroffene in der Regel nichts zu seinen Gunsten ableiten könnte (vgl. <ref-ruling> E. 3.2.1 S. 97).
4.4. Der Antrag der Staatsanwaltschaft auf Fortsetzung der Haft datiert vom 24. Mai 2016. Am 26. Mai 2016 ging er beim Bezirksgericht Bülach ein und wurde am 30. Mai 2016 ans Obergericht weitergeleitet. Dieses entschied am 7. Juni 2016. Die Frist von fünf Tagen wurde somit nicht respektiert und deshalb das Beschleunigungsgebot in Haftsachen verletzt. Die klare Missachtung der Frist lässt sich auch nicht durch die Gewährung des rechtlichen Gehörs rechtfertigen. Offensichtlich war nicht dies ausschlaggebend gewesen, sondern in erster Linie der Umstand, dass der Antrag der Staatsanwaltschaft mehrere Tage schlicht liegen blieb.
4.5. Die Verletzung des Beschleunigungsgebots kann jedoch nur zur Haftentlassung führen, wenn die Verfahrensverzögerung geeignet ist, die Rechtmässigkeit der Untersuchungshaft in Frage zu stellen. Das ist nur der Fall, wenn sie besonders schwer wiegt und die Strafverfolgungsbehörden erkennen lassen, dass sie nicht gewillt oder in der Lage sind, das Verfahren nunmehr mit der für Haftfälle verfassungs- und konventionsrechtlich gebotenen Beschleunigung voranzutreiben (<ref-ruling> E. 3.1 S. 96 mit Hinweis; <ref-ruling> E. 2.2 S. 121). Ansonsten erfolgt - in teilweiser Gutheissung der Beschwerde - eine Feststellung der Verletzung des Beschleunigungsgebots im Dispositiv (BGE <ref-ruling> E. 2.2 S. 121 f. mit Hinweisen). Vorliegend kann trotz der klaren Verletzung des Beschleunigungsgebots nicht gesagt werden, sie wiege besonders schwer und die Strafverfolgungsbehörden liessen erkennen, dass sie nicht gewillt oder in der Lage sind, das Verfahren nunmehr mit der für Haftfälle verfassungs- und konventionsrechtlich gebotenen Beschleunigung voranzutreiben. Die Verletzung des Beschleunigungsgebots ist somit im Dispositiv festzustellen. Damit wird dem Beschwerdeführer eine hinreichende Wiedergutmachung (vgl. Art. 41 EMRK) verschafft (<ref-ruling> E. 2.2 S. 278 mit Hinweisen).
4.6. Nicht vertieft einzugehen ist hier auf den Umstand, dass das Bezirksgericht in seiner Verfügung vom 20. Mai 2016 den Beschwerdeführer nicht sofort, sondern erst per 6. Juni 2016 aus dem vorzeitigen Strafvollzug entliess. Fälschlicherweise ging das Bezirksgericht davon aus, dass es neben den Haftgründen - welche es verneinte - zusätzlich auch noch die Voraussetzungen der bedingten Entlassung nach Art. 86 StGB zu prüfen habe und eine Entlassung erst nach Ablauf von zwei Dritteln der erstinstanzlich ausgesprochenen Freiheitsstrafe von 8 Jahren möglich sei. Zur Vermeidung künftiger Fehler in diesem Sinne, welche im Einzelfall eine ungerechtfertigte Verzögerung der Entlassung aus dem vorzeitigen Strafvollzug bewirken könnten, ist auf die in Erwägung 2.1 hiervor zitierte, ständige Rechtsprechung hinzuweisen. Mangels einer entsprechenden Rüge durch den Beschwerdeführer hat es vorliegend bei diesem Hinweis sein Bewenden.
5.
5.1. Das Obergericht führte zur Fluchtgefahr aus, der Beschwerdeführer verfüge über einen festen Wohnsitz und gefestigte familiäre Beziehungen in der Schweiz. Auch hätte er gemäss eigenen Angaben die Möglichkeit, bei einem seiner Schwäger eine Arbeitstätigkeit aufzunehmen. Andererseits sei zu berücksichtigen, dass er Italiener sei, ein Ferienhaus in Italien besitze und auch seine Eltern sowie weitere Verwandte dort lebten. Die Staatsanwaltschaft werde im Berufungsverfahren wohl wie vor dem Bezirksgericht eine Freiheitsstrafe von 14.5 Jahren beantragen. Diese drohende Erhöhung der Freiheitsstrafe fördere die Fluchtgefahr. Für den Beschwerdeführer wäre es ein Leichtes, sich in sein Heimatland abzusetzen. Aufgrund der Nähe wäre es ihm auch dort möglich, den Kontakt zu seiner Familie aufrecht zu erhalten, zumal seine Familie ihn in Italien problemlos besuchen könnte. Die somit bestehende Fluchtgefahr könne auch nicht mit Ersatzmassnahmen gebannt werden. Eine Pass- und Schriftensperre verhindere nicht, dass die Vertretung des Heimatlands ein Ersatzdokument oder einen Laissez-passer ausstelle. Betreffend die angebotene Kaution von Fr. 40'000.-- könne auf den Beschluss des Obergerichts vom 27. Oktober 2014 verwiesen werden, wo selbst die damals angebotene Sicherheitsleistung, bestehend aus einer Kaution von Fr. 50'000.-- sowie der Liegenschaft in X._, als ungeeignete Ersatzmassnahme eingestuft worden sei. In Anbetracht der auch heute noch in Aussicht stehenden Freiheitsstrafe erschienen Fr. 40'000.-- als ungenügend, zumal sie nicht einmal annähernd die dem Beschuldigten im erstinstanzlichen Urteil auferlegten Kosten deckten.
5.2. Der Beschwerdeführer bringt vor, seine italienische Staatsangehörigkeit, das Ferienhaus in Italien und dort lebende Eltern bzw. von der Vorinstanz nicht näher bezeichnete Verwandte könnten für die Annahme von Fluchtgefahr nicht ausreichend sein. Eine Flucht in sein Ferienhaus oder zu seinen Eltern wäre von vornherein zum Scheitern verurteilt. Das Obergericht vernachlässige seine starke Verwurzelung in der Schweiz. Er lebe hier seit 40 Jahren, habe in X._ mit seiner Ehefrau ein Haus, und auch seine erwachsenen Kinder lebten im Raum Zürich. Der Kontakt zu seiner Familie sei denn auch während seiner Inhaftierung sehr eng gewesen. Zudem könnte er nach einer Entlassung sofort in den Betrieben seiner Schwäger zu arbeiten beginnen. Es komme hinzu, dass er sich während den fünfeinhalb Jahren Haft immer tadellos verhalten habe. Dies gehe aus dem Bericht der Justizvollzugsanstalt Pöschwies vom 3. Mai 2016 und dem undatierten Führungsbericht des Gefängnisses Winterthur hervor. Nie habe er Anstalten zur Flucht getroffen. Anlässlich der Teilnahme an der Beerdigung seiner Enkelin im März 2016 habe er auch gezeigt, dass er sich an Abmachungen bzw. Anweisungen halte. Hinsichtlich der zu erwartenden Strafe stelle das Obergericht ohne weitere Begründung auf den Strafantrag ab, den die Staatsanwaltschaft im erstinstanzlichen Verfahren gestellt habe. Indessen habe auch er Berufung angemeldet und die Strafe könne deshalb ebenso kürzer als acht Jahre ausfallen. Selbst wenn unter diesen Umständen ein gewisser Fluchtanreiz bejaht werden könnte, so würden jedenfalls Ersatzmassnahmen ausreichen. Er habe eine Kaution von Fr. 40'000.-- angeboten, worauf das Obergericht auf den Beschluss vom 27. Oktober 2014 verwiesen habe. Damit habe es die Begründungspflicht verletzt, denn im Rahmen der Haftprüfung hätte es sich mit der aktuellen Situation auseinandersetzen müssen. Insbesondere sei dem Umstand Rechnung zu tragen, dass nach weiteren zwei Jahren Haft die Fluchtgefahr weiter abgenommen habe.
5.3. Die Annahme von Fluchtgefahr setzt ernsthafte Anhaltspunkte dafür voraus, dass die beschuldigte Person sich dem Strafverfahren oder der zu erwartenden Sanktion durch Flucht entziehen könnte (Art. 221 Abs. 1 lit. a StPO). Im Vordergrund steht dabei eine mögliche Flucht ins Ausland, denkbar ist jedoch auch ein Untertauchen im Inland. Bei der Bewertung, ob Fluchtgefahr besteht, sind die gesamten konkreten Verhältnisse zu berücksichtigen. Es müssen Gründe bestehen, die eine Flucht nicht nur als möglich, sondern als wahrscheinlich erscheinen lassen. Die Schwere der drohenden Strafe ist zwar ein Indiz für Fluchtgefahr, genügt jedoch für sich allein nicht, um den Haftgrund zu bejahen (<ref-ruling> E. 3a S. 62 mit Hinweisen). Miteinzubeziehen sind die familiären und sozialen Bindungen, die berufliche und finanzielle Situation und die Kontakte zum Ausland. Selbst bei einer befürchteten Reise in ein Land, welches die beschuldigte Person grundsätzlich an die Schweiz ausliefern bzw. stellvertretend verfolgen könnte, ist die Annahme von Fluchtgefahr nicht ausgeschlossen (zum Ganzen: Urteile 1B_157/2015 vom 27. Mai 2015 E. 3.1; 1B_325/2014 vom 16. Oktober 2014 E. 3.1; je mit Hinweisen). Die Wahrscheinlichkeit einer Flucht nimmt in der Regel mit zunehmender Verfahrens- bzw. Haftdauer ab, da sich auch die Dauer des allenfalls noch abzusitzenden strafrechtlichen Freiheitsentzugs mit der bereits geleisteten prozessualen Haft, die auf die mutmassliche Freiheitsstrafe anzurechnen wäre (Art. 51 StGB), kontinuierlich verringert (Urteil 1B_281/2015 vom 15. September 2015 E. 2.2 mit Hinweis).
5.4.
5.4.1. Der Beschwerdeführer befindet sich seit dem 8. Februar 2011 und damit bereits seit fünfeinhalb Jahren in Haft bzw. im vorzeitigen Strafvollzug. Mit Blick auf die erstinstanzlich ausgesprochene Freiheitsstrafe von acht Jahren hat die Fluchtgefahr, soweit sie mit der drohenden Strafe begründet wird, erheblich abgenommen. Unter Berücksichtigung der übrigen konkreten Verhältnisse (vgl. E. 5.4.3 hiernach), liesse sich die Aufrechterhaltung der Haft vor diesem Hintergrund kaum rechtfertigen.
5.4.2. Angesichts des Umstands, dass die Staatsanwaltschaft Berufung angemeldet hat, ist indessen auch zu untersuchen, ob die Berufungsinstanz eine höhere Strafe aussprechen könnte. Die pauschale Vermutung der Vorinstanz, die Staatsanwaltschaft werde im Berufungsverfahren wohl wie vor dem Bezirksgericht eine Freiheitsstrafe von 14.5 Jahren beantragen, ist dafür jedoch nicht ausreichend. Ob dem Beschwerdeführer tatsächlich eine längere als die erstinstanzlich ausgefällte Freiheitsstrafe droht, ist vielmehr konkret zu prüfen. Die Beurteilung der Höhe der zu erwartenden Strafe kann freilich keine umfassende sein, denn dem Urteil des Berufungsgerichts ist nicht vorzugreifen; immerhin ist aber eine summarische Einschätzung der Erfolgsaussichten der Berufung vorzunehmen (<ref-ruling> E. 3.1 S. 275 mit Hinweisen). Dies gilt auch dann, wenn wie hier die Begründung des erstinstanzlichen Urteils noch aussteht (vgl. Urteil 1B_353/2013 vom 4. November 2013 E. 5.2). Vorliegend hat dazu weder die Staatsanwaltschaft in ihrem Antrag vom 24. Mai 2016 konkrete Ausführungen gemacht, noch das Obergericht in der angefochtenen Verfügung. Insbesondere legt es nicht dar, dass bezüglich der Anklagepunkte, in denen der Beschwerdeführer erstinstanzlich freigesprochen worden war, trotz dieses Freispruchs von einem dringenden Tatverdacht auszugehen wäre (vgl. E. 3 des zitierten Urteils). Es ist nicht Aufgabe des Bundesgerichts, dies als erste Instanz nachzuholen, weshalb der angefochtene Entscheid aufzuheben und die Sache an die Vorinstanz zurückzuweisen ist.
5.4.3. Die Vorinstanz wird im Rahmen der erneuten Beurteilung ausserdem Folgendes zu berücksichtigen haben: Die Annahme, dass der Beschwerdeführer neben seinen gefestigten Beziehungen in der Schweiz auch über enge Beziehungen in sein Heimatland verfügt und es für ihn ein Leichtes wäre, sich dorthin abzusetzen, ist zwar nicht zu beanstanden. Zu berücksichtigen ist indessen auch, dass er offenbar seit 40 Jahren in der Schweiz wohnt und neben seiner Frau auch seine Kinder hier leben. Es wäre ihm im Falle einer Flucht nach Italien zwar möglich, den Kontakt zu seiner Familie grundsätzlich aufrecht zu erhalten, doch erscheint die Annahme der Vorinstanz, seine Familie könne ihn problemlos besuchen, als übertrieben. Stattdessen ist davon auszugehen, dass die Aufrechterhaltung der Beziehung zu seiner Familie stark erschwert würde, was den Fluchtanreiz mindert. Schliesslich lässt der Umstand, dass der Beschwerdeführer ein Ferienhaus in der Stadt Y._ (Süditalien) besitzt, eine Flucht kaum als aussichtsreicher erscheinen.
Weiter wird das Obergericht die auch bei einer allfälligen Strafschärfung bestehende Möglichkeit der bedingten Entlassung aus dem Strafvollzug (Art. 86 StGB) zu berücksichtigen und vor diesem Hintergrund gegebenenfalls erneut zu prüfen haben, ob eine Fluchtgefahr mit Ersatzmassnahmen gebannt werden könnte (Urteile 1B_281/2015 vom 15. September 2015 E. 4.3; 1B_223/2015 vom 9. Juli 2015 E. 3.4). In diesem Zusammenhang ist auch daran zu erinnern, dass ein Verweis auf einen früheren Entscheid betreffend Ersatzmassnahmen (im vorliegenden Fall ein Beschluss des Obergerichts vom 27. Oktober 2014) eine Auseinandersetzung mit den aktuellen Verhältnissen nicht zu ersetzen vermag (vgl. Urteil 1B_281/2015 vom 15. September 2015 E. 4.3).
6.
Die Beschwerde ist somit insoweit gutzuheissen, als die angefochtene Präsidialverfügung aufzuheben und die Sache zur neuen Beurteilung im Sinne der obigen Erwägungen an die Vorinstanz zurückzuweisen ist. Da Haftgründe nicht offensichtlich fehlen, kommt die Entlassung aus dem vorzeitigen Strafvollzug durch das Bundesgericht nicht in Betracht. Zudem ist festzustellen, dass das Beschleunigungsgebot in Haftsachen verletzt worden ist.
Bei diesem Verfahrensausgang sind keine Kosten zu erheben (Art. 66 Abs. 4 BGG). Der Kanton Zürich hat dem Beschwerdeführer für das bundesgerichtliche Verfahren eine angemessene Parteientschädigung zu bezahlen (Art. 68 Abs. 1 und 2 BGG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird gutgeheissen, die Präsidialverfügung des Obergerichts des Kantons Zürich vom 7. Juni 2016 aufgehoben und die Sache ans Obergericht zurückgewiesen zur neuen Beurteilung im Sinne der Erwägungen.
Es wird festgestellt, dass das Beschleunigungsgebot in Haftsachen verletzt worden ist.
2.
Es werden keine Gerichtskosten erhoben.
3.
Der Kanton Zürich hat den Beschwerdeführer für das Verfahren vor Bundesgericht mit Fr. 2'500.-- zu entschädigen.
4.
Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer, der Staatsanwaltschaft II des Kantons Zürich und dem Obergericht des Kantons Zürich, Präsident der I. Strafkammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 28. Juli 2016
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Das präsidierende Mitglied: Eusebio
Der Gerichtsschreiber: Dold