Sachverhalt:
A.
Die X._ mit Sitz in U._ bezweckt namentlich den Erhalt, Ausbau, Unterhalt, Betrieb und die Verwaltung des Flugfeldes Y._. Am 16. Dezember 2009/31. Mai 2012 ersuchte sie das Bundesamt für Zivilluftfahrt (BAZL) um Erteilung einer Betriebsbewilligung für das Flugfeld Y._.
B.
B.a. Das BAZL wies das Gesuch der X._ mit Verfügung vom 7. Januar 2016 ab. Gleichzeitig verweigerte es die Genehmigung des Betriebsreglements. Die X._ erhob dagegen mit Eingabe vom 17. Februar 2016 Beschwerde an das Bundesverwaltungsgericht. Dieses verlangte mit Zwischenverfügung vom 22. Februar 2016 die Leistung eines Kostenvorschusses in der Höhe von Fr. 4'000.-- bis 14. März 2016 und drohte für den Säumnisfall an, auf die Beschwerde nicht einzutreten.
B.b. Mit Schreiben vom 14. März 2016 ersuchte die X._ um Verzicht auf die Erhebung eines Kostenvorschusses, eventualiter um Reduktion desselben. Zudem beantragte sie eine Erstreckung der Frist zur Leistung eines allfälligen Kostenvorschusses um 30 Tage.
Das Bundesverwaltungsgericht hiess das Fristerstreckungsgesuch mit Verfügung vom 16. März 2016 teilweise gut und erstreckte die Frist zur Leistung des Kostenvorschusses bis 22. März 2016. Gleichzeitig wies es darauf hin, dass eine weitere Fristerstreckung ausgeschlossen sei und auf die Beschwerde im Säumnisfall nicht eingetreten werde. Gemäss Sendungsverfolgung der Schweizerischen Post traf die Verfügung am 17. März 2016 bei der Abhol-/Zustellstelle ein. Aufgrund eines Nachsendeauftrags wurde die Verfügung indes erst am 18. März 2016 mit Abholfrist bis 26. März 2016 (Ostersamstag) in das Postfach der X._ avisiert.
B.c. Nachdem sie die Verfügung des Bundesverwaltungsgerichts am 29. März 2016 abgeholt hatte, gelangte die X._ mit Schreiben vom 1. April 2016 an das Bundesverwaltungsgericht und ersuchte um Fristwiederherstellung.
Mit Urteil vom 20. April 2016 trat das Bundesverwaltungsgericht auf die Beschwerde gegen die Verfügung des BAZL nicht ein, da der Kostenvorschuss nicht geleistet worden war und Gründe für eine Fristwiederherstellung nicht vorlagen.
C.
Gegen das Urteil des Bundesverwaltungsgericht erhebt die X._ mit Eingabe vom 27. Mai 2016 (Postaufgabe: 30. Mai 2016) Beschwerde an das Bundesgericht. Sie beantragt die Aufhebung des Urteils "samt der Kostenverfügung". Das Bundesverwaltungsgericht sei anzuweisen, eine neue Frist zur Bezahlung des Kostenvorschusses anzusetzen.
Während das BAZL auf Abweisung der Beschwerde schliesst, verzichten das Eidgenössische Departement für Umwelt, Verkehr, Energie und Kommunikation (UVEK) sowie das Bundesverwaltungsgericht auf eine Vernehmlassung. Die X._ nimmt mit Eingabe vom 5. September 2016 zu den Vernehmlassungsantworten Stellung.

Erwägungen:
1.
Das Bundesgericht prüft seine Zuständigkeit und die weiteren Eintretensvoraussetzungen von Amtes wegen (<ref-law>) und mit freier Kognition (<ref-ruling> E. 1 S. 116).
1.1. Dem Nichteintretensentscheid vom 20. April 2016 liegt eine Angelegenheit des öffentlichen Rechts zugrunde (Erteilung der Betriebsbewilligung für einen Flugplatz und Genehmigung des Betriebsreglements; <ref-law>). Er unterliegt als Endentscheid in einem Verfahren des Bundesverwaltungsgerichts der Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten (<ref-law> e contrario; Art. 86 Abs. 1 lit. a und Art. 90 BGG). Abgesehen von den in <ref-law> genannten Fällen sind im Rahmen der Beschwerde gegen den Endentscheid auch selbständig eröffnete Vor- und Zwischenentscheide des vorinstanzlichen Verfahrens anfechtbar, soweit sie sich auf dessen Inhalt auswirken und sie nicht bereits Gegenstand eines Beschwerdeverfahrens bildeten (<ref-law>; <ref-ruling> E. 2 S. 94 ff.).
1.2. Der rein kassatorische Antrag der Beschwerdeführerin auf Aufhebung des vorinstanzlichen Urteils und Rückweisung der Angelegenheit an das Bundesverwaltungsgericht ist zulässig, da dieses auf das Rechtsmittel nicht eintrat, ohne die Sache in einer Eventualbegründung auch materiell zu beurteilen (vgl. zum grundsätzlich reformatorischen Charakter der Rechtsmittel vor Bundesgericht <ref-law>; weiter <ref-ruling> E. 3.2 S. 235 f.; <ref-ruling> E. 1.2 S. 41; Urteile 2C_139/2016 vom 14. Juni 2016 E. 1.1; 2C_300/2014 vom 9. Februar 2015 E. 1.5.2.3 [nicht publ. in: <ref-ruling>]).
1.3. Die Beschwerdeführerin hat am Verfahren vor der Vorinstanz teilgenommen, ist durch das angefochtene Urteil besonders berührt und hat an dessen Aufhebung ein schutzwürdiges Interesse (<ref-law>). Auf die im Übrigen form- (<ref-law>) und fristgerecht (Art. 100 Abs. 1 i.V.m. <ref-law>) erhobene Beschwerde ist einzutreten.
2.
2.1. Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann insbesondere die Verletzung von Bundes- und Völkerrecht gerügt werden (<ref-law>). Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (<ref-law>), doch prüft es im Rahmen der allgemeinen Begründungspflicht (<ref-law>) nur die geltend gemachten Rügen, sofern die rechtlichen Mängel des angefochtenen Entscheids nicht offensichtlich sind (<ref-ruling> E. 2 S. 116). Die Verletzung von Grundrechten prüft das Bundesgericht nur insofern, als eine solche Rüge in der Beschwerde vorgebracht und begründet worden ist (qualifizierte Rügepflicht gemäss <ref-law>; vgl. <ref-ruling> E. 1.6 S. 280 f.; <ref-ruling> E. 2.5 S. 314).
2.2. Seinem Urteil legt das Bundesgericht den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (<ref-law>). Dazu zählen auch die Feststellungen über den Prozesssachverhalt (<ref-ruling> E. 1.3.1 S. 17 f.). Von Amtes wegen oder auf ausreichend begründete Rüge hin (vgl. zu den Anforderungen an Sachverhaltsrügen <ref-ruling> E. 9.2.3.6 S. 96; <ref-ruling> E. 1.4.3 S. 254 f.) korrigiert das Bundesgericht die vorinstanzlichen Sachverhaltsfeststellungen, wenn diese offensichtlich unrichtig sind oder sie auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruhen. Die Behebung des Mangels erfolgt nur, sofern er für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein kann (vgl. Art. 97 Abs. 1 und Art. 105 Abs. 2 BGG).
3.
Zu prüfen ist die Frage, ob das Bundesverwaltungsgericht auf das Rechtsmittel der Beschwerdeführerin zu Recht nicht eingetreten ist.
Die Beschwerdeführerin macht diesbezüglich geltend, dass die (erstreckte) Frist zur Leistung des Kostenvorschusses von der Vorinstanz nicht korrekt angeordnet worden sei. Entgegen der Argumentation der Vorinstanz sei sie nicht verpflichtet gewesen, die Verfügung vom 16. März 2016 bereits am 21. März 2016 auf der Post abzuholen, weil "das Postverkehrsgesetz jedem Empfänger eine Abholungsfrist von 7 Tagen gewährt". Damit sei sie in unverschuldeter Weise von der rechtzeitigen Zahlung des Kostenvorschusses abgehalten worden und ihr Fristwiederherstellungsgesuch hätte gutgeheissen werden müssen.
In ihrer Eingabe beruft sich die Beschwerdeführerin stellenweise auf grundrechtliche Ansprüche (Art. 4, Art. 9 BV), ohne jedoch substantiiert darzulegen, inwiefern diese verletzt sein sollen. Darauf ist mangels ausreichender Begründung nicht weiter einzugehen (<ref-law>; vgl. zu den Rügeanforderungen E. 2.1). Hingegen ist im Rahmen bundesgerichtlicher Rechtsanwendung von Amtes wegen (<ref-law>) der Frage nachzugehen, ob andere bundesrechtliche Bestimmungen verletzt sind.
3.1. Das Verfahren vor dem Bundesverwaltungsgericht richtet sich nach dem Verwaltungsverfahrensgesetz (VwVG; SR 172.021), soweit das Verwaltungsgerichtsgesetz (VGG; SR 173.32) nichts anderes bestimmt (Art. 37 VGG). Gemäss <ref-law> ist das Beschwerdeverfahren grundsätzlich kostenpflichtig; vom Beschwerdeführer wird ein Kostenvorschuss in der Höhe der mutmasslichen Verfahrenskosten erhoben. Zu dessen Leistung ist dem Beschwerdeführer eine angemessene Frist anzusetzen unter Androhung des Nichteintretens (<ref-law>). Solche behördlich angesetzten Fristen können aus zureichenden Gründen erstreckt werden, wenn die Partei vor Ablauf der Frist darum ersucht (<ref-law>).
3.2. Abgesehen von hier nicht interessierenden Ausnahmen (vgl. etwa <ref-law>) bedarf die Aufforderung zur Leistung des Kostenvorschusses und die Androhung der Säumnisfolgen einer Mitteilung an die betroffene Partei. Die Beweislast für die Zustellung der Mitteilung und deren Zeitpunkt trägt die Behörde (vgl. <ref-ruling> E. 4.3 S. 128; <ref-ruling> E. 5.9 S. 309 f.; <ref-ruling> E. 2.2 S. 9 f.; Urteil 2C_128/2012 vom 29. Mai 2012 E. 2.2). Bedient sich die Behörde einer Form der Zustellung, bei der die Mitteilung nur gegen Unterschrift des Adressaten oder einer anderen berechtigten Person überbracht wird, gilt die Mitteilung spätestens am siebten Tag nach dem ersten erfolglosen Zustellversuch als erfolgt (vgl. Art. 20 Abs. 2 bis VwVG). Diese Zustellfiktion findet ihre Rechtfertigung in der Verpflichtung der Parteien, sich im Rahmen eines bestehenden Prozessrechtsverhältnisses nach Treu und Glauben zu verhalten. Die Parteien haben unter anderem dafür zu sorgen, dass ihnen Entscheide, die das Verfahren betreffen, zugestellt werden können (Empfangspflicht; vgl. zum Ganzen <ref-ruling> E. 1.1 S. 230 f.; <ref-ruling> E. 3.1 S. 227; Urteil 2C_139/2016 vom 14. Juni 2016 E. 3.3).
3.3. Das vom 14. März 2016 datierende Gesuch um Erstreckung der Zahlungsfrist begründete die Beschwerdeführerin mit dem kürzlich erfolgten Einbau einer neuen Brandmeldeanlage, der eine ausserordentliche finanzielle Belastung bedeutet habe. Die Vorinstanz hiess das Fristerstreckungsgesuch mit Verfügung vom 16. März 2016 teilweise gut. Mithin erachtete sie den von der Beschwerdeführerin angeführten Grund für eine Fristerstreckung als zureichend (<ref-law>). Dies entspricht der grosszügigen Praxis der Bundesbehörden bei einem erstmaligen Fristerstreckungsgesuch, wenn das Verfahren seiner Natur nach nicht besonders dringlich ist, der Fristerstreckung keine überwiegenden öffentlichen oder privaten Interessen entgegen stehen und die Frist nicht von vorneherein als nicht erstreckbar bezeichnet worden ist (vgl. PATRICIA EGLI, in: Bernhard Waldmann/Philippe Weissenberger [Hrsg.], Praxiskommentar Verwaltungsverfahrensgesetz [VwVG], 2. Aufl. 2016, N. 23 zu <ref-law>; ANDRÉ MOSER/ MICHAEL BEUSCH/LORENZ KNEUBÜHLER, Prozessieren vor dem Bundesverwaltungsgericht, 2. Aufl. 2013, Rz. 2.137 [je mit Hinweis auf Urteil 1A.94/2002 vom 2. Juli 2002 E. 3.4]; ähnlich URS PETER CAVELTI, in: Christoph Auer/Markus Müller/Benjamin Schindler, Kommentar zum Bundesgesetz über das Verwaltungsverfahren [VwVG], N. 12 ff. zu <ref-law>; nicht anders zu verstehen Entscheid 12T_4/2010 vom 2. August 2010 E. 3.2 [nicht publ. in: <ref-ruling>], der den Fall einer verweigerten Fristverlängerung betrifft, nachdem die angesetzte Frist als nicht erstreckbar bezeichnet worden war).
3.4. Die Vorinstanz erstreckte die Frist zur Leistung des Kostenvorschusses bis 22. März 2016 und damit nur um wenige Tage. Dies ist nicht grundsätzlich zu beanstanden, verfügt sie doch bei deren Ansetzung und Erstreckung über einen erheblichen Ermessensspielraum (vgl. Urteil 2C_703/2009 / 2C_22/2010 vom 21. September 2010 E. 4.3; EGLI, a.a.O., N. 22 zu <ref-law>; CAVELTI, a.a.O., N. 14 zu <ref-law>). Zu beachten ist jedoch, dass die Vorinstanz im vorliegenden Fall mit dem 22. März 2016 eine Zahlungsfrist ansetzte, für die von vorneherein feststand, dass die Beschwerdeführerin nach einem ersten, möglicherweise erfolglosen Zustellversuch mit der Sendungsabholung nicht würde sieben Tage zuwarten können (Versand der Verfügung am 16. März 2016; erster Zustellversuch frühestens 17. März 2016; Eintritt der Zustellfiktion frühestens 24. März 2016).
3.4.1. Dies widerspricht der Wertung des Gesetzgebers in Art. 20 Abs. 2 bis VwVG: Die genannte Bestimmung normiert die Pflichten der Prozessparteien im Zusammenhang mit Mitteilungen, die nur gegen Unterschrift überbracht werden, indem die Zustellung am siebten Tag nach dem ersten erfolglosen Zustellversuch fingiert wird (vgl. E. 3.2 hiervor). Die Zustellfiktion tritt dabei unabhängig davon ein, ob der siebte Tag nach dem erfolglosen Zustellversuch auf einen Samstag, Sonntag, auf einen anerkannten Feiertag (<ref-law>) oder in den Fristenstillstand fällt (<ref-law>; vgl. <ref-ruling> E. 3.3 S. 433; <ref-ruling> E. 2b S. 35). Damit steht fest, dass solche Mitteilungen innerhalb von sieben Tagen nach einem ersten Zustellversuch abzuholen wären, nicht aber, wann genau die Abholung in diesem Zeitraum zu erfolgen hat. Die Partei, die eine Sendung erst am Ende der Frist nach Art. 22 Abs. 2 bis VwVG abholt, nimmt zwar in Kauf, dass ihr zur Einhaltung einer Frist, die auf einen bestimmten Kalendertag festgesetzt ist, weniger Zeit zur Verfügung steht. Sie muss nach Treu und Glauben aber nicht damit rechnen, dass die Frist bereits verstrichen ist.
3.4.2. Etwas anderes kann nur gelten, wenn sich eine Partei aus besonderen Gründen verpflichtet sieht, mit der Abholung einer zunächst erfolglos zugestellten Sendung nicht bis zum Ende des Zeitraums nach Art. 20 Abs. 2 bis VwVG zuzuwarten. Derartige besonderen Gründe können sich aus dem Gesetz oder allenfalls der Natur des bestehenden Prozessrechtsverhältnis ergeben und namentlich bei objektiver, für die Partei erkennbarer Dringlichkeit bestehen. Im vorliegenden Fall sind jedoch keine solchen Gründe ersichtlich, zumal das Verfahren vor dem BAZL bereits während rund fünf Jahren hängig war und die Sache aus Sicht der Behörden damit nicht als dringlich bezeichnet werden kann.
3.5. Nach dem soeben Dargelegten ist die Kostenvorschussverfügung vom 16. März 2016 mängelbehaftet. Daraus resultiert indes nicht die Nichtigkeit der verfügten Fristansetzung, da der Mangel weder besonders schwer, noch leicht erkennbar ist (vgl. zu den Voraussetzungen der Nichtigkeit von Verwaltungsakten <ref-ruling> E. 3.1 S. 503 f.; Urteile 2C_634/2014 vom 24. April 2015 E. 4.1; 2C_49/2014 vom 30. Januar 2015 E. 4). Auch die Beschwerdeführerin ging offenbar nicht von der absoluten Unwirksamkeit der Kostenvorschussverfügung aus, ersuchte sie doch die Vorinstanz mit Schreiben vom 1. April 2016 um Wiederherstellung der Frist.
3.5.1. Eine Fristwiederherstellung bedingt nach <ref-law>, dass die betroffene Prozesspartei unverschuldeterweise davon abgehalten wurde, fristgemäss zu handeln (materielle Voraussetzung). Darüber hinaus muss das Wiederherstellungsgesuch innert 30 Tagen nach Wegfall des Hindernisses gestellt und die versäumte Rechtshandlung innert derselben Frist nachgeholt werden (formelle Voraussetzungen; vgl. <ref-law>; zum Ganzen auch Urteile 2C_451/2016 vom 8. Juli 2016 E. 2.2; 2C_699/2012 vom 22. Oktober 2012 E. 3.1, je mit Hinweisen).
Im vorliegenden Fall ist entgegen der Auffassung der Vorinstanz von einer unverschuldeten Fristversäumnis auszugehen. Es gibt keinen Grund, wieso die Beschwerdeführerin mit der Sendungsabholung nicht bis zum siebten Tag nach dem ersten Zustellversuch hätte zuwarten dürfen (vgl. Art. 20 Abs. 2 bis VwVG; E. 3.4.2 hiervor). War die Beschwerdeführerin nicht gehalten, die Sendung bis spätestens 22. März 2016 abzuholen, kann ihr nicht zum Vorwurf gemacht werden, die Bezahlung des Kostenvorschusses bis zu diesem Datum unterlassen zu haben. Daran ändert nichts, dass die Zustellfiktion gemäss Art. 20 Abs. 2 bis VwVG bereits am 25. März 2016 eintrat (erster Zustellversuch/Avisierung ins Postfach: 18. März 2016) und die Beschwerdeführerin die Verfügung erst am 29. März 2016 (Osterdienstag) abholte. Entscheidend ist einzig, dass die Beschwerdeführerin auch bei pflichtgemässem Verhalten - Abholung der Sendung nach dem 22. März 2016, aber vor dem 25. März 2016 - nicht mehr fristgerecht hätte handeln können.
3.5.2. Damit sind die formellen Voraussetzungen für eine Fristwiederherstellung zu prüfen. Nach der gesetzgeberischen Konzeption von Art. 20 Abs. 2 bis VwVG war die Sendung vom 16. März 2016 bis spätestens 25. März 2016 abzuholen (vgl. E. 3.4.1 hiervor). Ab diesem Zeitpunkt ist zu fingieren, dass die Beschwerdeführerin über die Verfügung im Bild war und sie nichts an der Einreichung eines Fristwiederherstellungsgesuchs und der Nachholung der versäumten Handlung hinderte (<ref-law>). Dabei bleibt zu beachten, dass der 25. März 2016 in die Gerichtsferien über Ostern fiel, sodass die 30-tägige gesetzliche Frist nach <ref-law> erst am 4. April 2016 zu laufen begann und am 3. Mai 2016 endete (<ref-law>; PATRICIA EGLI, a.a.O., N. 8 zu <ref-law>; vgl. zum Beginn des Fristenlaufs bei Mitteilungen während des Fristenstillstands <ref-ruling> E. 4.1 S. 158; Urteil 2C_429/2007 vom 4. Oktober 2007). Bis zu diesem Datum stellte die Beschwerdeführerin zwar ein Gesuch um Fristwiederherstellung. Sie unterliess es jedoch, die versäumte Handlung (Bezahlung des Kostenvorschusses) innert derselben Frist vorzunehmen, was die Beschwerdeführerin im bundesgerichtlichen Verfahren anerkennt. Dazu war die Beschwerdeführerin ungeachtet der Tatsache gehalten, dass die Vorinstanz das Fristwiederherstellungsgesuch bereits mit Urteil vom 20. April 2016 (zugestellt am 28. April 2016) abgewiesen hatte. Es ist an der Beschwerdeführerin sicherzustellen, dass die gesetzlichen Voraussetzungen für eine Fristwiederherstellung erfüllt sind, auch wenn im Einzelfall eine höhere Instanz darüber zu befinden hat, ob Gründe für eine Wiederherstellung der Frist vorliegen. Im Übrigen brachte das Urteil der Vorinstanz die 30-tägige Frist nach <ref-law> nicht zum Stillstand. Auch die Beschwerde an das Bundesgericht, die keine aufschiebende Wirkung hat (<ref-law>) und deutlich nach Ablauf der Wiederherstellungsfrist eingereicht wurde, hatte keinen Einfluss auf deren unbenützten Ablauf. Mangels Nachholung der versäumten Rechtshandlung sind die Voraussetzungen für eine Fristwiederherstellung nicht erfüllt.
4.
Die Beschwerde ist abzuweisen. Bei diesem Verfahrensausgang trägt die Beschwerdeführerin die Gerichtskosten (<ref-law>). Parteientschädigungen sind nicht geschuldet (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 1'000.-- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten, dem Bundesverwaltungsgericht, Abteilung I, und dem Eidgenössischen Departement für Umwelt, Verkehr, Energie und Kommunikation (UVEK), schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 18. November 2016
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Seiler
Der Gerichtsschreiber: Fellmann