Sachverhalt:
A.
A._ und B._ sind die unverheirateten Eltern von C._ (geb. 2010). Die Eltern haben nie in einem gemeinsamen Haushalt gelebt und C._ stand von Anfang an unter der alleinigen elterlichen Sorge der Mutter.
Seit den ersten Lebensmonaten von C._ lag das Besuchs- und Ferienrecht des Vaters im Streit und beschäftigte viele Behörden und Instanzen in materieller wie vollstreckungsrechtlicher Hinsicht. Am 11. März 2013 errichtete die Kindes- und Erwachsenenschutzbehörde (KESB) eine Beistandschaft nach <ref-law>. Auch in der Folge blieb die Umsetzung des Besuchsrechts konfliktreich, wobei die Eltern gegenseitig auch das Strafrecht bemüht haben.
B.
Am 29. Juli 2014 stellte der Vater bei der KESB den Antrag auf Erteilung der gemeinsamen elterlichen Sorge mit der Begründung, mangels einer Sorgerechtsposition sei ihm mehrmals die Einsicht in die Patientenakten seiner Tochter verweigert worden.
Mit Entscheid vom 17. Dezember 2014 stellte die KESB das Kind unter die gemeinsame elterliche Sorge.
Mit Entscheid vom 2. November 2015 wies das Kantonsgericht Graubünden die hiergegen von der Mutter erhobene Beschwerde ab. Demgegenüber hiess es eine im gleichen Entscheid behandelte Beschwerde gegen einen in einem separaten Verfahren ergangenen Besuchsrechtsentscheid gut und wies diesbezüglich die Sache an die KESB zurück.
C.
Soweit der kantonsgerichtliche Entscheid die Sorgerechtsfrage betrifft, hat die Mutter am 29. Januar 2016 eine Beschwerde erhoben mit den Begehren um diesbezügliche Aufhebung und Belassung von C._ unter ihrer Alleinsorge. Mit Präsidialverfügung vom 18. Februar 2016 wurde die aufschiebende Wirkung gewährt. In der Sache selbst wurden keine Vernehmlassungen eingeholt.

Erwägungen:
1.
Angefochten ist ein kantonal letztinstanzlicher Entscheid über eine auf <ref-law> i.V.m. <ref-law> gestützte Erteilung der gemeinsamen elterlichen Sorge; die Beschwerde in Zivilsachen ist gegeben (Art. 72 Abs. 1, Art. 75 Abs. 1 und Art. 90 BGG).
Das Bundesgericht legt seinem Urteil den von der Vorinstanz festgestellten Sachverhalt zugrunde (<ref-law>). In diesem Bereich kann lediglich eine offensichtlich unrichtige, d.h. willkürliche Sachverhaltsfeststellung gerügt werden, wobei das strenge Rügeprinzip gilt (Art. 97 Abs. 1 und Art. 106 Abs. 2 BGG). Das Bundesgericht prüft in diesem Fall nur klar und detailliert erhobene und, soweit möglich, belegte Rügen, während es auf ungenügend substanziierte Rügen und rein appellatorische Kritik am Sachverhalt nicht eintritt; ausserdem ist aufzuzeigen, inwiefern die Behebung der aufgezeigten Mängel für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein kann (<ref-ruling> E. 2.3 S. 266).
2.
Nach den Sachverhaltsfeststellungen des Kantonsgerichts dokumentieren die in den Akten liegenden Berichte einen heftigen und chronischen Konflikt der Eltern, welcher sich in erster Linie um das Besuchsrecht dreht. Gemäss Schreiben der Berufsbeistandschaft vom 9. Januar 2015 erfordert das Mandat aufgrund der grossen Differenzen zwischen den Eltern überdurchschnittliche Ressourcen. Sodann geht aus dem Verlaufsbericht der JKBE vom 12. Januar 2015 hervor, dass es den Anschein habe, die Mutter wolle das Besuchsrecht aus Sorge um die Tochter verhindern, obschon sich diese beim Vater wohl fühlt und er einen liebevollen Umgang mit ihr pflegt. Seitens der Besuchsbegleiterin bestehe der Eindruck, dass die Mutter kein Interesse daran habe, Vater und Tochter reibungslose Besuche zu ermöglichen. Nach jedem Besuch würde sie in ihren zahlreichen E-Mails jeweils diverse Vorwürfe gegen den Vater und die Begleiterin erheben. Die Mutter traue dem Vater die Betreuung nicht zu und bekunde grosse Mühe, die Tochter loszulassen, obschon beim Vater im Umgang mit C._ keine Mängel festgestellt werden könnten. Dem Bericht der kjp Graubünden vom 27. Januar 2015 lässt sich entnehmen, dass C._ mit der derzeitigen Besuchssituation überfordert ist, zumal sie einem massiven Interessengemenge ausgesetzt wird. Sie kann sich bei einem Zugehen auf den Vater nicht der wohlwollenden Zustimmung der Mutter rückversichern, womit die Reaktion einer tiefgreifenden Bindungs- und Trennungsangst einhergeht. Die Weiterführung der Besuche sei aus entwicklungspsychologischer Sicht notwendig und eine Unterbrechung könnte die Trennungssymptome verstärken, während die Trennungsangst durch regelmässige Besuche mutmasslich gemildert werden könne. Weiter hat das Kantonsgericht festgestellt, dass in der letzten Zeit einigermassen regelmässige Besuche hätten stattfinden können, insbesondere aufgrund der Begleitung der Übergabe des Kindes. Angesichts des Umstandes, dass sich der elterliche Konflikt primär um das Besuchsrecht drehe und eine interventionsorientierte Begutachtung in die Wege geleitetet worden sei, welche eine Art Kombination von Begutachtung und Pflichtmediation darstelle, dürfe davon ausgegangen werden, dass sich die Konfliktsituation mit zunehmendem Alter von C._ mildere und die Eltern fähig seien, die im Zusammenhang mit der gemeinsamen Sorge zu treffenden Entscheide zu fällen. Jedenfalls sei das Kindeswohl durch die Alleinsorge der Mutter nicht besser gewahrt und trage die Alleinsorge auch nicht zur Konfliktentschärfung bei.
3.
In ihrer fast 50-seitigen, wenig strukturierten Beschwerde wirft die Beschwerdeführerin dem Kantonsgericht schwergewichtig eine willkürliche Sachverhaltsfeststellung sowie ferner eine Verletzung der Untersuchungsmaxime und des rechtlichen Gehörs vor (fehlender Beizug sämtlicher Akten aller bisheriger Verfahren vor der KESB und sämtlicher Akten der Beiständin; fehlende Abklärung in Bezug auf angeblich ausgebliebene Unterhaltsbeiträge; fehlender Gutachtensauftrag zur Interessenlage von C._ bei gemeinsamer Sorge; angebliche Ausblendung wesentlicher Teile des Berichtes der kjp Graubünden). Die Beschwerdeführerin verkennt in diesem Zusammenhang die Tragweite der Untersuchungsmaxime; es geht vorliegend um die Frage des Sorge-, nicht des Besuchsrechts, und es wird nicht aufgezeigt, inwiefern die zahlreich vorhandenen Berichte und Abklärungen keine Entscheidgrundlagen liefern, sondern spezifisch ein Gutachten über die Frage des Sorgerechtes nötig wäre. Was sodann das vorhandene Aktenmaterial anbelangt, kann es die Beschwerdeführerin nicht bei allgemeinen Behauptungen und pauschalen Aussagen bewenden lassen; vielmehr müsste sie detailliert aufzeigen, inwiefern sie die betreffenden Vorbringen bereits in der Beschwerde an das Kantonsgericht erhoben hat und inwiefern die Behebung der angeblichen Mängel, insbesondere welche der von ihr in pauschaler Weise ("gesamte Akten sämtlicher Verfahren") angerufenen Aktenstücke die Beantwortung der Sorgerechtsfrage entscheidend in eine andere Richtung gelenkt hätten. Indem sie dies nicht tut, bleiben die Ausführungen appellatorisch und kann auf sie nicht eingetreten werden.
Zum grössten Teil stehen die an das Kantonsgericht, die KESB und den Vater gerichteten Vorwürfe ohnehin spezifisch im Zusammenhang mit dem Besuchsrecht (die Verlaufsberichte betreffend die begleiteten Besuche seien völlig einseitig und parteilich; bei C._ sei eine emotionale Störung mit Trennungsangst (ICD10 F93.0) festgestellt worden [im Zusammenhang mit der Erwägung des Kantonsgerichts, davon sei im Bericht der kjp Graubünden nicht die Rede und erst auf Drängen der Mutter hin habe der behandelnde Psychologe eine solche Diagnose per SMS abgegeben]; auch der leitende Arzt habe Betreuungsbedarf für das Kind gesehen; es sei eine Limitierung der Besuchszeit empfohlen worden; der Vater habe sich nicht an die Therapiesitzungen gehalten; es gebe keine Aktenhinweise, dass C._ gerne zum Vater gehe, weshalb die betreffende Feststellung des Kantonsgerichtes willkürlich sei; die Besuchsrechtssituation habe sich nicht beruhigt [inkl. ausführliche Bemerkungen zu sämtlichen Besuchskontakten der letzten Zeit]; insbesondere gebe es keine ersten Anzeichen für eine positive Entwicklung, zumal die betreffende telefonische Auskunft des Leiters der KESB nicht protokolliert worden sei; die Kontakte zum Vater seien unregelmässig und C._ habe die notwendige Vertrauensbasis zum Vater nicht schaffen können; es sei aktenwidrig, dass sie [die Mutter] konsequent die Kooperation verweigere). Es ist unbestritten und vom Kantonsgericht auch festgestellt, dass das Besuchsrecht konfliktreich ist, schlecht funktioniert und auch zu Strafanzeigen geführt hat. Vor diesem Hintergrund stösst die Willkürrüge der Beschwerdeführerin, ihre aktenkundigen Aufzeichnungen über die einzelnen Besuche, mit welchen sie jeweils deren Echtzeit festgehalten und den jeweiligen Verlauf kommentiert habe, würden das schlechte Funktionieren des Besuchsrechts dokumentieren, ins Leere und geht auch das Vorbringen an der Sache vorbei, zum Nachweis der Intensität und Qualität sowie Dauer des Konfliktes und dessen Facetten wäre die Edition sämtlicher Verfahrensakten unumgänglich.
Insbesondere ergibt sich auch keine Willkür im Zusammenhang mit der spezifischen Feststellung, der Konflikt beschränke sich im Wesentlichen auf das Besuchs- und Ferienrecht. Die Beschwerdeführerin hält selbst fest, die "Auseinandersetzungen der Eltern fokussierten sich neben dem eigentlichen Besuchs- und Ferienrecht auf die Person des Beistandes, Begleitpersonen, Vollzugs- und aufsichtsrechtliche Fragen im Zusammenhang mit dem Besuchs- und Ferienrecht, Ausstandsfragen sowie eine streitige Kostenregulierung der KESB Engadin/Südtäler im Zusammenhang mit einer Gefährungsmeldung der Mutter der Beschwerdeführerin" (Beschwerde, S. 24). Als "Beleg" für das an anderen Stellen behauptete Gegenteil, wonach der Elternkonflikt das Kind in umfassender Weise betreffe, führt die Mutter einzig Dinge an, welche in keinem direkten Zusammenhang mit der Sorgerechtsfrage stehen (angeblich ausgebliebene Unterhaltszahlungen; gestellte Ablehnungsbegehren gegen Behördenmitglieder). Zwar behauptet die Beschwerdeführerin beiläufig, die Verfahrensakten würden sich auch auf Therapiefragen beziehen (Beschwerde, S. 27); sie bleibt aber im Abstrakten und bezeichnet das betreffende Verfahren nicht, geschweige denn zeigt sie konkrete Aktenstellen auf. Folglich kann darauf mangels genügender Substanziierung nicht eingetreten werden, obwohl in diesem Punkt ein potenzieller Zusammenhang mit der Sorgerechtsfrage gegeben sein könnte. Insgesamt ist keine Willkür dargetan im Zusammenhang mit der kantonsgerichtlichen Feststellung, der Konflikt drehe sich um das Besuchsrecht.
Nicht mehr vorgebracht wird vor Bundesgericht, der Vater weise nicht rechtsgenüglich eine eigene Wohnung in der Schweiz nach und habe seinen Lebensmittelpunkt zumindest partiell in Luxemburg, wo er mit einem Pensum von acht Stunden pro Woche als Lehrer tätig sei, so dass weder eine stabile Arbeits- bzw. Wohnsituation noch eine soziale Vernetzung in der Schweiz ausgewiesen sei. Das Kantonsgericht hatte dazu - zutreffend (vgl. E. 5) - festgehalten, dass dies wenn schon die Ausübung des Besuchs- und nicht des Sorgerechts betreffen würde und nicht ersichtlich sei, weshalb der Beschwerdegegner nicht in der Lage sein sollte, seine Verantwortung als Vater wahrzunehmen. Ebenfalls nicht mehr beanstandet werden die - in Bezug auf die kantonal erhobenen Einwände - vom Kantonsgericht getroffenen Feststellungen, wonach der Beschwerdegegner im Umgang mit Kindern erfahren sei, zumal er noch eine andere Tochter habe, und er ärztliche Hilfe gesucht habe, um die Besuchsrechtsproblematik zu verarbeiten und die Mutter besser verstehen zu können, nicht weil eine psychische Beeinträchtigung vorliegen würde, welche ihn an der Ausübung eines gemeinsamen Sorgerechtes hindern würde.
4.
In rechtlicher Hinsicht ist vorweg festzuhalten, dass im Zusammenhang mit dem Vorwurf, das Kantonsgericht habe den Begriff der elterlichen Sorge bundesrechtswidrig ausgelegt, kein direkter Konnex mit dem Streitgegenstand besteht; es ist nicht zu sehen, inwiefern die Frage, ob ein einzelner Punkt der gemeinsamen Entscheidung bedarf oder ob er zu dem gehört, was durch die faktische Obhut abgedeckt ist, den vorliegend zu treffenden Entscheid determinieren könnte. Eine andere Frage ist, was für eine Bedeutung die (unbestrittenermassen) bestehende heftige und chronische Konfliktsituation rund um das Besuchsrecht für die Zuteilung des Sorgerechts bedeutet; darauf wird in E. 5 einzugehen sein.
Keine Bundesrechtswidrigkeit, aber auch keine besondere Entscheidrelevanz ist ferner zu sehen im Zusammenhang mit der kantonsgerichtlichen Aussage, dass der Vater mit der gemeinsamen Sorge ein Mitbestimmungsrecht in Bezug auf Angelegenheiten erhalte, in denen ihm nach <ref-law> ohnehin bereits ein Recht auf Information und Auskunft zustehe.
Unzutreffend ist schliesslich die Ansicht, <ref-law> sei verletzt, weil C._ nicht befragt worden sei (Beschwerde, S. 14 und 20). Für die Anhörung von Kindern gilt nach bundesgerichtlicher Rechtsprechung ein Schwellenalter von sechs Jahren (<ref-ruling> E. 1.2.3 S. 557), welches C._ noch nicht erreicht hat.
Soweit die Beschwerdeführerin in verschiedener Hinsicht geltend macht, sie selbst hätte durch das Kantonsgericht angehört werden müssen (Beschwerde, S. 29 unten), zeigt sie nicht durch konkrete Aktenhinweise auf, dass und an welcher Stelle sie im kantonsgerichtlichen Verfahren einen entsprechenden Antrag gestellt hätte.
5.
Ausgehend von den willkürfreien Sachverhaltsfeststellungen des Obergerichtes ist keine falsche Anwendung des gestützt auf <ref-law> zur Anwendung gelangenden <ref-law> ersichtlich. Das Obergericht hat unter Hinweis auf <ref-ruling> zutreffend festgehalten, dass aufgrund der am 1. Juli 2014 in Kraft getretenen Gesetzesnovelle die gemeinsame elterliche Sorge den Grundsatz und die Alleinzuteilung der elterlichen Sorge bzw. die Belassung der alleinigen elterlichen Sorge die eng begrenzte Ausnahme bildet, wenn auch nicht die Interventionsschwelle für eine Kindesschutzmassnahme nach <ref-law> erforderlich ist, und es hat die in jenem Entscheid hierfür entwickelten Voraussetzungen richtig dargestellt. Diese können insbesondere bei einem schwerwiegenden elterlichen Dauerkonflikt oder bei anhaltender Kommunikationsunfähigkeit erfüllt sein, wenn sich der Mangel negativ auf das Kindeswohl auswirkt und die Alleinzuteilung diesem besser gerecht wird (<ref-ruling> E. 4.6 S. 478). Überdies ist zu beachten, dass es - nachdem das Parlament einen entsprechenden Minderheitsantrag ausdrücklich verworfen hat (AB 2012 N 1635) - nicht um eine freie Überprüfung gehen kann, ob dem Kindeswohl mit gemeinsamer oder alleiniger elterlicher Sorge besser gedient ist. Vielmehr darf die vom Gesetzgeber als Ausnahme vom Grundsatz konzipierte Alleinsorge dann belassen werden, wenn das gemeinsame Sorgerecht aufgrund einer tatsachenbasierten Sachverhaltsprognose eine erhebliche Beeinträchtigung des Kindeswohl befürchten lässt und die Belassung der Alleinsorge die Abwendung einer voraussehbaren Verschlechterung verspricht (vgl. zur Publ. bestimmtes Urteil 5A_400/2015 vom 25. Februar 2016 E. 3.7).
Die Voraussetzungen für die Alleinzuteilung des Sorgerechtes an die Mutter bejahte das Bundesgericht für Eltern, bei denen sich ein heftig geführter Nachtrennungskonflikt zunehmend verstärkte, chronifizierte und auf die verschiedensten Lebensbereiche des Kindes erstreckte (als Beispiel auf die Religionszugehörigkeit, wobei schliesslich die Mutter die reformierte Taufe durchführte, ohne den Vater zu fragen oder auch nur zum Anlass einzuladen) und sich die Eltern gegenseitig mit Anzeigen und Strafklagen im Zusammenhang mit dem Kind eindeckten, unter beidseitiger Einräumung der Tatsache, dass man nicht gemeinsam kommunizieren und sich über grundlegende Fragen in Bezug auf das Kind einigen könne; die schliesslich errichtete Beistandschaft brachte keine Verbesserung und die Beiständin schilderte das Mandat als angesichts der Emotionalität der Eltern fast nicht führbar (vgl. in <ref-ruling> nicht publ. E. 2 des Urteils 5A_923/2014 vom 27. August 2015). Als erfüllt erachtete das Bundesgericht die Voraussetzungen für die Belassung des alleinigen Sorgerechtes sodann bei einer inzwischen fast 15-jährigen Tochter, welche seit vielen Jahren überhaupt keinen Kontakt mit ihrem Vater mehr hatte und diesen auch für die Zukunft strikt ablehnte, wobei gleichermassen von der Mutter eine vollständige Blockade ausging, so dass sich der bislang in jeder Hinsicht aus dem Leben der Tochter ausgeschlossene Vater die zur Ausübung der elterlichen Sorge notwendigen Informationen nur durch ein äusserst invasives Vorgehen überhaupt erst hätte verschaffen können (Urteil 5A_926/2014 vom 28. August 2015 E. 3.4). Die Alleinzuteilung einer bisher gemeinsam ausgeübten Sorge an die Mutter schützte das Bundesgericht weiter, wobei ein Grenzfall vorgelegen haben mag, bei einem ausserordentlich heftigen, seit Jahren über die Kinder ausgetragenen und zunehmend akzentuierten Nachscheidungskonflikt mit fehlender Kommunikations- und Kooperationsbereitschaft, der sich längst von der Besuchsrechtsproblematik und vom familienrechtlichen Verfahren gelöst hatte, und in dessen Zug die Kinder den Kontakt zum Vater zunehmend ablehnten, "Ruhe vor dem Elternkonflikt" haben wollten und durch den chronischen Elternkonflikt unmittelbar negativ beeinflusst waren (Urteil 5A_412/2015 vom 26. November 2015). Als erfüllt sah das Bundesgericht die Voraussetzungen für die Belassung der Alleinsorge der Mutter auch an bei einem Vater, welcher zufolge kompletter mütterlicher Blockade seit Jahren vollständig aus dem Leben der inzwischen 6-jährigen Tochter ausgeschlossen ist und der sich nicht einmal mit Hilfe der Beiständin physischen oder informationellen Zugang zur Tochter verschaffen konnte, so dass er ein Sorgerecht nicht ansatzweise hätte ausüben können (zur Publ. bestimmtes Urteil 5A_400/2015 vom 25. Februar 2016 E. 3.5 und 3.6). Die gleiche Ansicht vertritt das Bundesgericht schliesslich in einem Entscheid heutigen Datums, bei welchem die Kommunikation zwischen den Eltern komplett blockiert ist und sich der chronifizierte Konflikt auf verschiedene Lebensbereiche des Kindes erstreckt, in welchen ein Zusammenwirken erforderlich wäre, so dass in verschiedener Hinsicht anstehende Entscheide nicht möglich waren, insbesondere auch in Bezug auf eine notwendige Therapie; erwiesenermassen leidet das Kind, welches namentlich durch den Vater instrumentalisiert wird - indem er es für einen Machtkampf mit der Mutter missbraucht, deren Verhalten er geradezu obsessiv verfolgt und bewertet (Aushorchen über das Verhalten der Mutter, Einspannen des Kindes als "Zeuge", etc.) -, stark unter dem Elternkonflikt und es wurde bei ihm eine darauf zurückzuführende psychische Störung diagnostiziert (Urteil 5A_89/2016 vom 2. Mai 2016).
Demgegenüber erachtete das Bundesgericht die Voraussetzungen für eine Alleinzuteilung als nicht gegeben in einem Fall, bei welchem der elterliche Konflikt insbesondere im Zusammenhang mit dem geplanten Wegzug der Mutter und ihrem neuen Partner nach Katar entbrannte, weil der Vater verständlicherweise um den Kontakt zur Tochter fürchtete. Die relativ abstrakt geäusserte Befürchtung der Mutter, der Konflikt könnte sich bei der Belassung des gemeinsamen Sorgerechtes ausweiten, sah das Bundesgericht nicht als Grund für ein Abweichen vom gesetzlichen Prinzip der gemeinsamen elterlichen Sorge an (zur Publ. bestimmtes Urteil 5A_202/2015 vom 26. November 2015 E. 3.5). Unausgesprochen, weil nicht thematisiert, lag diesem Entscheid auch zugrunde, dass grössere Distanzen dem gemeinsamen Sorgerecht nicht per se entgegenstehen müssen; soweit die Eltern in Bezug auf die Eckpunkte der Lebensplanung einigermassen kooperieren können, ferner im Rahmen des Besuchsrechts ab und zu physischer Kontakt besteht und der nicht die Obhut innehabende Elternteil auch nicht systematisch vom Informationsfluss über das Kind abgeschnitten ist, lässt sich die gemeinsame Sorge angesichts der heutigen Kommunikationskanäle durchaus auch auf Distanz ausüben. Dies ist beispielsweise bei sämtlichen Gastarbeitern ohne Familiennachzug der Fall, und die Lage sieht auch nicht wesentlich anders aus, wenn ein Kind auf Distanz in einem Internat oder bei Grosseltern untergebracht ist. Dass die Entfernung für sich genommen kein Grund für eine Alleinzuteilung des Sorgerechts ist, wurde schliesslich im zur Publ. bestimmten Urteil 5A_331/2015 vom 20. Januar 2016 E. 3 in Bezug auf eine mit den Kindern in Tunesien lebende Mutter ausdrücklich festgehalten. Als weiteres Beispiel für eine Konstellation, in welcher das Bundesgericht die Voraussetzungen für die Belassung der Alleinsorge nicht als erfüllt ansieht, kann auf einen Entscheid heutigen Datums hingewiesen werden, bei welchem ein heftiger Elternkonflikt mit chronischer Kommunikationsunfähigkeit besteht, in dessen Rahmen sich die Eltern gegenseitig mit Vorwürfen überhäufen und gegeneinander auch eine Gefährdungsmeldung bzw. ein Strafanzeige eingereicht haben. Sie konnten sich aber in Bezug auf das Besuchsrecht einigen, so dass dieses nunmehr ohne nennenswerte Probleme ausgeübt werden kann; die Kinder gehen auch gerne zum Vater. Die Mutter behauptet in erster Linie stark divergierende Erziehungsansichten bzw. Erziehungsstile, was sich aber primär auf die Kindesbetreuung bezieht und für sich genommen keinen Grund zur Alleinsorge darstellt. Ferner ist nicht davon auszugehen, dass der aufgrund der Streitereien auf Elternebene bestehende Loyalitätskonflikt der Kinder bei gemeinsamem Sorgerecht in entscheidender Weise verstärkt würde (Urteil 5A_186/2016 vom 2. Mai 2016 E. 4).
Für den vorliegenden Fall ergibt sich aus den kantonalen Sachverhaltsfeststellungen, dass die Mutter dem Vater die Betreuung nicht zutraut und sie das Kind dergestalt nicht loslassen kann, dass es im Zusammenhang mit den Besuchen beim Vater eine erhebliche Trennungsangst entwickelt hat. Es lässt sich nicht sagen, ob es damit sein Bewenden hat, oder ob die Persönlichkeitsstruktur der Mutter auf generelle Obstruktion ausgelegt ist und sie deshalb auch die Ausübung des gemeinsamen Sorgerechtes boykottieren würde, so dass die anstehenden Entscheidungen chronisch nicht getroffen werden könnten. Das Kantonsgericht weist diesbezüglich auf die Aussage im Entscheid der KESB hin, wonach sich die diesbezügliche Entwicklung heute nicht voraussagen lasse. Immerhin lässt die Grundsätzlichkeit, mit welcher die Mutter auch den vorliegenden Prozess führt, und die Art und Weise, wie sie eine konsequente Ausweitung des Konfliktes behauptet, die Befürchtung aufkommen, dass ihr tatsächlich mehr an Obstruktion denn am Kindeswohl gelegen ist. Auf der anderen Seite ist Tatsache, dass sich der Konflikt bislang im Wesentlichen auf das Besuchsrecht konzentriert hat. Dies lässt sich zwar bis zu einem gewissen Grad damit erklären, dass die Mutter ansonsten alle Entscheidungen über die wesentlichen Fragen im Leben des Kindes alleine treffen und sich insofern jedenfalls im technischen Sinn keine Reibungsfläche ergeben konnte. Indes ist eher schwer vorstellbar, dass konträre Ansichten über Fragen rund um die Lebensplanung nicht längst im ansonsten heftig und in grundsätzlicher Weise ausgetragenen elterlichen Konflikt Eingang gefunden hätten, auch wenn schliesslich die rechtliche Entscheidzuständigkeit allein bei der Mutter lag.
Insgesamt liegt der vorliegende Fall nahe an der Grenze, wo auch die Belassung der Alleinsorge vertretbar wäre. Dennoch hebt er sich insofern von den vorgenannten Fällen ab, in denen die Voraussetzungen für eine Alleinzuteilung bzw. Belassung der alleinigen Sorge bejaht wurden, als es dort entweder um einen sich bereits manifest auf verschiedene Lebensbereiche des Kindes erstreckenden Konflikt ging, bei welchem nötige Entscheidungen nicht getroffen oder verschleppt wurden und erwiesenermassen eine auf der Uneinigkeit beruhende negative Auswirkung für das Kind bestand, oder aber die Konstellation vorlag, dass der nicht die Obhut innehabende Elternteil über lange Zeit in einer Weise physisch und informationell vom Kind abgeschnitten war, dass ihm die Ausübung des Sorgerechtes gar nicht möglich wäre. Demgegenüber hat der Vater vorliegend einigermassen regelmässig, wenn aufgrund des mütterlichen Verhaltens auch unter schwierigen Umständen mit dem Kind Kontakt, und es ist nirgends die Rede davon, dass er nicht über dessen Belange auf dem Laufenden wäre. Er ist mithin, zumal ihm dies nach den kantonalen Sachverhaltsfeststellungen in positiver Weise attestiert wird, grundsätzlich in der Lage, die elterliche Sorge wahrzunehmen. Im Übrigen besteht in Bezug auf das Sorgerecht die Verpflichtung der Eltern, ein kooperatives Verhalten an den Tag zu legen, die zumutbaren Anstrengungen bei der gegenseitigen Kommunikation zu unternehmen und das Kind aus dem elterlichen Konflikt herauszuhalten (zur Publ. bestimmtes Urteil 5A_202/2015 vom 26. November 2015 E. 3.4); der Mutter, welche als selbständig praktizierende Anwältin tätig ist, muss dies eigentlich nicht näher erläutert werden.
Aus dem Gesagten ergibt sich, dass der angefochtene Entscheid bundesrechtskonform ist, wenn das Kantonsgericht zum Schluss kommt, vorliegend seien die in <ref-ruling> entwickelten Kriterien für die Belassung der alleinigen elterlichen Sorge nicht erfüllt und komme folglich das Prinzip der gemeinsamen elterlichen Sorge zum Tragen.
6.
Die Beschwerde ist abzuweisen, soweit auf sie eingetreten werden kann. Die Gerichtskosten sind folglich der Beschwerdeführerin aufzuerlegen (<ref-law>) und sie hat die Gegenpartei für die Stellungnahme zur aufschiebenden Wirkung zu entschädigen (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit auf sie einzutreten ist.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 2'500.-- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
3.
Die Beschwerdeführerin hat den Beschwerdegegner für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 600.-- zu entschädigen.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien, der KESB Engadin/Südtäler und dem Kantonsgericht von Graubünden, I. Zivilkammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 2. Mai 2016
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: von Werdt
Der Gerichtsschreiber: Möckli