Faits :
A.
Par jugement du 19 août 2015, le Tribunal de police de la République et canton de Genève a reconnu X._ coupable de menaces (art. 180 al. 1 CP) et l'a condamné à une peine pécuniaire de 40 jours-amende, a fixé le montant du jour-amende à 30 fr., et mis le condamné au bénéfice du sursis avec un délai d'épreuve de deux ans, le tout avec suite de frais et dépens.
B.
Statuant sur appel de X._, la Chambre pénale d'appel et de révision de la Cour de justice de la République et canton de Genève l'a rejeté et a confirmé la décision de première instance.
En bref, l'arrêt se fonde sur les faits suivants.
Par téléphone, le 22 novembre 2013, X._ a menacé de mort A._, gestionnaire de dossiers auprès de l'Office cantonal des assurances sociales (ci-après: OCAS), après qu'une demande de prestations AI lui avait été refusée. En l'absence de A._, sa collaboratrice B._ avait répondu à l'appel. Lors de la conversation téléphonique, X._ avait notamment déclaré, s'agissant du médecin en charge d'une expertise sur sa personne, " Vous savez que le Dr C._ est décédé, j'ai eu un contact avec lui et je l'ai tapé ". Avant de raccrocher, il avait encore dit " Madame aaa, vous êtes morte ". B._ avait retranscrit ces propos dans une note interne qu'elle avait remise à A._, laquelle avait été effrayée.
C.
X._ forme un recours en matière pénale au Tribunal fédéral contre cet arrêt. Il conclut à l'octroi de l'assistance judiciaire, à l'annulation de l'arrêt cantonal et au prononcé de l'acquittement avec suite de frais et dépens. Subsidiairement, il requiert le renvoi de la cause à la cour cantonale, respectivement au tribunal de première instance, pour nouveau jugement.

Considérant en droit :
1.
Le recourant soutient que c'est en violation de la présomption d'innocence, en particulier du principe « in dubio pro reo » (art. 10 al. 3 CPP), que la cour cantonale a retenu la version des faits de l'intimée plutôt que la sienne.
1.1. Le Tribunal fédéral n'est pas une autorité d'appel, auprès de laquelle les faits pourraient être rediscutés librement. Il est lié par les constatations de fait de la décision entreprise (art. 105 al. 1 LTF), à moins qu'elles n'aient été établies en violation du droit ou de manière manifestement inexacte au sens des art. 97 al. 1 et 105 al. 2 LTF, soit pour l'essentiel de façon arbitraire au sens de l'art. 9 Cst. Il n'entre ainsi pas en matière sur les critiques de nature appellatoire (<ref-ruling> consid. 6.3 p. 375). En bref, une décision n'est pas arbitraire du seul fait qu'elle apparaît discutable ou même critiquable; il faut qu'elle soit manifestement insoutenable, et cela non seulement dans sa motivation mais aussi dans son résultat. Lorsque l'autorité cantonale a forgé sa conviction quant aux faits sur la base d'un ensemble d'éléments ou d'indices convergents, il ne suffit pas que l'un ou l'autre de ceux-ci ou même chacun d'eux pris isolément soit à lui seul insuffisant. L'appréciation des preuves doit en effet être examinée dans son ensemble. Il n'y a ainsi pas d'arbitraire si l'état de fait retenu pouvait être déduit de manière soutenable du rapprochement de divers éléments ou indices. De même, il n'y a pas d'arbitraire du seul fait qu'un ou plusieurs arguments corroboratifs sont fragiles, si la solution retenue peut être justifiée de façon soutenable par un ou plusieurs arguments de nature à emporter la conviction (arrêt 6B_563/2014 du 10 juillet 2015 consid. 1.1 et l'arrêt cité).
La présomption d'innocence, garantie par les art. 6 par. 2 CEDH, 32 al. 1 Cst. et 10 CPP, ainsi que son corollaire le principe «in dubio pro reo » concernent tant le fardeau de la preuve que l'appréciation des preuves. Lorsque, comme en l'espèce, l'appréciation des preuves et la constatation des faits sont critiquées en référence au principe « in dubio pro reo », celui-ci n'a pas de portée plus large que l'interdiction de l'arbitraire (<ref-ruling> consid. 7 p. 82).
1.2. La cour cantonale a retenu la version des faits apportée par le témoignage de B._, dans la mesure où son récit était modéré, constant et circonstancié. Au cours des divers interrogatoires, elle a toujours maintenu avoir indiqué au recourant qu'il disposait de voies de droit pour faire valoir ses arguments. Elle a également expliqué que le recourant s'était ensuite fâché pour enfin tenir les propos litigieux. Selon la cour cantonale, rien n'indiquait que ses déclarations étaient dictées par de l'animosité envers le recourant ni qu'elle était animée par un quelconque désir de vengeance.
1.3. Le mémoire de recours s'ouvre sur une présentation personnelle des faits, étayée d'offres de preuves. Une telle démarche est appellatoire, partant irrecevable.
Par ailleurs, pour autant qu'elle soit recevable, la critique que le recourant oppose à l'appréciation cantonale ne parvient pas à en démontrer l'arbitraire. Certes, le recourant a, tout au long de la procédure, nié avoir tenu de tels propos. Toutefois, il a commencé par démentir avoir appelé l'OCAS, puis l'a ensuite admis tout en niant l'avoir contesté devant la police la première fois. Il a prétendu que la police lui était hostile et, que, pour ce motif, elle avait indiqué, à tort, qu'il n'avait pas appelé l'OCAS. Finalement, il a avoué s'être énervé lors de l'entretien téléphonique avec B._. De plus, comme l'a souligné la cour cantonale, le recourant a également varié sur les circonstances d'un second appel du 14 janvier 2014 et sur la prise en charge de son dossier, afin de se conformer aux déclarations de la témoin. Enfin, il n'a pas produit d'acte de recours contre la décision de l'OCAS, quand bien même il soutient n'avoir pu s'énerver au téléphone parce qu'il en avait déposé un. Dans ces circonstances, c'est sans arbitraire que la cour cantonale a retenu la version des faits de B._ plutôt que celle, variable et contradictoire, du recourant.
En tant que le recourant prétend qu'il y aurait eu un malentendu s'agissant d'un des termes employés pendant la conversation téléphonique, à savoir " décider " au lieu de " décéder ", il procède de manière appellatoire partant irrecevable. En tout état, cette argumentation est dénuée de sens dans la mesure où la phrase concernant le Dr C._ serait alors incompréhensible (« vous savez que le Dr C._ est décédé »). Au demeurant, il est principalement reproché au recourant d'avoir utilisé le mot « morte » à l'égard de l'intimée, ce qu'il ne conteste pas.
Les griefs du recourant déduits d'une violation du principe in dubio pro reo en tant que règles d'appréciation des preuves doivent être rejetés, pour autant qu'ils soient recevables.
2.
Dans un second grief, le recourant soutient que l'intimée n'est pas lésée puisqu'il ignorait ce que signifiaient les lettres «GEaaa», figurant sur la correspondance de l'OCAS et comprenant les initiales de l'intimée, de sorte qu'il ne pouvait pas savoir à qui il s'adressait.
2.1. L'art. 180 al. 1 CP réprime le comportement de celui qui, par une menace grave, aura alarmé ou effrayé une personne. Sur le plan objectif, la punition de l'infraction de menaces suppose la réalisation de deux conditions. Premièrement, il faut que l'auteur ait émis une menace grave, soit une menace objectivement de nature à alarmer ou à effrayer la victime. On tient compte de la réaction qu'aurait une personne raisonnable, dotée d'une résistance psychologique plus ou moins normale, face à une situation identique (<ref-ruling> consid. 2b p. 100). En second lieu, il faut que la victime ait été effectivement alarmée ou effrayée. L'infraction est intentionnelle, le dol éventuel étant suffisant. Selon la jurisprudence, peu importe que les menaces aient été rapportées de manière indirecte à l'intimée (arrêts 6B_871/2014 du 24 août 2015 consid. 2.2.2; 6B_820/2011 du 5 mars 2012 consid. 3).
2.2. En l'occurrence, le recourant a téléphoné à deux reprises à l'OCAS. Il ressort des propos tenus qu'il croyait et voulait s'adresser à la personne qui avait pris la décision de refus des prestations AI et dont les initiales figuraient sur la décision. Il a d'ailleurs, lors du téléphone litigieux, désigné la personne qu'il menaçait de mort par le terme " Madame ", suivi de ses initiales. Dès lors, que le recourant sache ou non qui était son interlocutrice ce jour-là n'est pas pertinent, les menaces pouvant être rapportées par un intermédiaire. Le recourant a clairement désigné la personne visée par la menace en utilisant les initiales figurant dans la décision à l'origine de ses actes. Ces paroles ont d'ailleurs eu effectivement pour conséquence d'effrayer l'intimée. C'est donc à juste titre que la cour cantonale a confirmé la culpabilité du recourant du chef d'infraction de menaces au sens de l'art. 180 CP, les autres éléments de l'infraction n'étant pas remis en cause.
3.
Le recours doit être rejeté dans la mesure où il est recevable. Ses conclusions étaient dénuées de chances de succès de sorte que l'assistance judiciaire doit être refusée (art. 64 al. 1 LTF). Comme le recourant succombe, il supporte les frais de la procédure qui seront arrêtés en tenant compte de sa situation financière (art. 65 al. 2 et 66 al. 1 LTF).

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce :
1.
Le recours est rejeté dans la mesure où il est recevable.
2.
La requête d'assistance judiciaire est rejetée.
3.
Les frais judiciaires, arrêtés à 1'600 fr., sont mis à la charge du recourant.
4.
Le présent arrêt est communiqué aux parties et à la Cour de justice de la République et canton de Genève, Chambre pénale d'appel et de révision.
Lausanne, le 19 août 2016
Au nom de la Cour de droit pénal
du Tribunal fédéral suisse
Le Président : Denys
La Greffière : Klinke