Sachverhalt:
A.
Der 1973 geborene A._, mazedonischer Staatsangehöriger, meldete sich im Februar 2002 unter Hinweis auf einen im Mai 2000 erlittenen Unfall bei der Invalidenversicherung zum Leistungsbezug an. Die IV-Stelle des Kantons Thurgau sprach ihm eine halbe Invalidenrente (nebst Zusatzrenten für Ehefrau und Kinder) ab 1. Mai 2001 zu (Verfügungen vom 30. April 2004 und Einspracheentscheid vom 21. Juli 2004; bestätigt mit Urteil I 135/05 des Eidg. Versicherungsgerichts vom 12. September 2005). Mit Mitteilung vom 11. Oktober 2006 wurde ein unveränderter Rentenanspruch bestätigt. Im Oktober 2008 machte A._ eine Verschlechterung seines Gesundheitszustandes geltend. Nachdem die mittlerweile zuständig gewordene IV-Stelle für Versicherte im Ausland (IVSTA) zunächst von einem unveränderten Rentenanspruch ausgegangen war (Verfügung vom 25. Januar 2010; aufgehoben mit Rückweisungsentscheid des Bundesverwaltungsgerichts vom 1. Juli 2011), traf sie weitere Abklärungen. Nach Durchführung des Vorbescheidverfahrens hob die IVSTA mit Verfügung vom 7. Juli 2014 die bisherige (halbe) Rente auf Ende August 2014 auf.
B.
Die dagegen erhobene Beschwerde wies das Bundesverwaltungsgericht mit Entscheid vom 10. Oktober 2016 ab.
C.
A._ lässt mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten beantragen, unter Aufhebung des Entscheids vom 10. Oktober 2016 sei die Sache an die IVSTA zurückzuweisen. Es sei nach zusätzlichen medizinischen und erwerblichen Abklärungen und unter Beachtung der intertemporalen Rechtslage über den ganzen Zeitraum ab Oktober 2008 neu zu verfügen. Eventualiter sei ihm rückwirkend ab Oktober 2008 bis 30. April 2012 eine ganze Rente auszurichten. In prozessualer Hinsicht ersucht er um Durchführung eines zweiten Schriftenwechsels und um unentgeltliche Rechtspflege.
Die IVSTA schliesst auf Abweisung der Beschwerde. Das Bundesamt für Sozialversicherungen verzichtet auf eine Vernehmlassung. A._ lässt eine weitere Eingabe und eine Kostennote einreichen.

Erwägungen:
1.
1.1. Der Beschwerdeführer lässt ein Bestätigungsschreiben des medizinischen Zentrums B._ vom 28. November 2016 einreichen. Dieses ist als echtes Novum von vornherein unzulässig (<ref-ruling> E. 3.2.2.2 S. 548; MEYER/DORMANN, in: Basler Kommentar, Bundesgerichtsgesetz, 2. Aufl. 2011, N. 43 zu <ref-law>).
1.2. Aus der Begründung, die zur Auslegung der Rechtsbegehren heranzuziehen ist (vgl. Urteil 9C_454/2016 vom 9. März 2017 E. 4.2.2; Anwaltsrevue 2009 8 S. 393, 9C_251/2009 E. 1.3 mit Hinweisen), ergibt sich, dass der Beschwerdeführer sinngemäss die Ausrichtung einer ganzen Invalidenrente ab Oktober 2008, mindestens aber die Weiterausrichtung der bisherigen halben Rente über den 31. August 2014 hinaus verlangt.
1.3. Ein weiterer Schriftenwechsel ist nicht erforderlich (vgl. <ref-law>).
1.4. Mit der Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann u.a. die Verletzung von Bundesrecht gerügt werden (<ref-law>). Die Feststellung des Sachverhalts kann nur gerügt werden, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von Artikel 95 beruht und wenn die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein kann (<ref-law>). Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (<ref-law>). Es kann die Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz von Amtes wegen berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von Artikel 95 beruht (<ref-law>).
2.
2.1. Ändert sich der Invaliditätsgrad eines Rentenbezügers erheblich, so wird die Rente von Amtes wegen oder auf Gesuch hin für die Zukunft entsprechend erhöht, herabgesetzt oder aufgehoben (<ref-law> [SR 830.1]). Anlass zur Rentenrevision gibt jede wesentliche Änderung in den tatsächlichen Verhältnissen seit Zusprechung der Rente (zum massgeblichen Vergleichszeitpunkt vgl. E. 4.2.2), die geeignet ist, den Invaliditätsgrad und damit den Anspruch zu beeinflussen. Insbesondere ist die Rente bei einer wesentlichen Änderung des Gesundheitszustandes revidierbar. Weiter sind, auch bei an sich gleich gebliebenem Gesundheitszustand, veränderte Auswirkungen auf den Erwerbs- oder Aufgabenbereich von Bedeutung; dazu gehört die Verbesserung der Arbeitsfähigkeit aufgrund einer Angewöhnung oder Anpassung an die Behinderung. Hingegen ist die lediglich unterschiedliche Beurteilung eines im Wesentlichen gleich gebliebenen Sachverhalts im revisionsrechtlichen Kontext unbeachtlich (<ref-ruling> E. 2.3 S. 10 f. mit Hinweisen).
2.2. Nach <ref-law> kann die IV-Stelle jederzeit auf formell rechtskräftige Verfügungen oder Einspracheentscheide zurückkommen, wenn diese zweifellos unrichtig sind und wenn ihre Berichtigung von erheblicher Bedeutung ist. Mit der gleichen (substituierten) Begründung kann die Beschwerdeinstanz die zunächst auf <ref-law> gestützte Rentenaufhebung schützen (SVR 2011 IV Nr. 20 S. 53, 9C_303/2010 E. 4; Urteil 9C_770/2015 vom 24. März 2016 E. 2.1).
Eine wiedererwägungs- oder revisionsweise verfügte Rentenherabsetzung oder -aufhebung lässt sich sodann in Anwendung der Schlussbestimmungen der Änderung des IVG vom 18. März 2011 (6. IV-Revision, erstes Massnahmenpaket; nachfolgend: SchlBest.; AS 2011 5670 f.) schützen (Urteile 9C_766/2016 vom 3. April 2017 E. 1.1.2; 9C_880/2015 vom 21. Mai 2016 E. 3.1). Die Zulässigkeit einer substituierten Begründung gilt konsequenterweise auch umgekehrt resp. in jedem möglichen Verhältnis unter den in Betracht fallenden Rückkommenstiteln (Revision nach SchlBest., materielle Revision nach <ref-law>, prozessuale Revision nach <ref-law> [vgl. auch <ref-law>; Art. 45 ff. VGG und <ref-law>] und Wiedererwägung nach <ref-law>).
3.
Das Bundesverwaltungsgericht hat dem Gutachten des Swiss Medical Assessment- and Business-Centers (SMAB) vom 30. Juli 2013 Beweiskraft beigemessen und gestützt darauf eine uneingeschränkte Arbeitsfähigkeit seit vielen Jahren, sicher aber seit April 2012 festgestellt.
Weiter hat die Vorinstanz die Rentenaufhebung gestützt auf die SchlBest., wie sie die Verwaltung vorgenommen hatte, für unzulässig gehalten. Indessen hat sie im Vergleich zum Zeitpunkt der Rentenzusprache (Einspracheentscheid vom 21. Juli 2004) eine erhebliche Änderung des Gesundheitszustandes festgestellt und die Voraussetzungen für eine Rentenrevision nach <ref-law> als erfüllt betrachtet. Folglich hat sie die Rentenaufhebung mit dieser substituierten Begründung geschützt. Schliesslich hat sie einen Anspruch auf Eingliederungsmassnahmen verneint.
4.
4.1.
4.1.1. Der Beschwerdeführer macht im Zusammenhang mit der substituierten Begründung eine Verletzung des Anspruchs auf rechtliches Gehör geltend. Zudem beanstandet er, dass die Vorinstanz nicht im Sinne der Einschätzung des Dr. med. C._, Facharzt für Psychiatrie und Psychotherapie beim Regionalen Ärztlichen Dienst (RAD), vom 3. Oktober 2013 entschieden - resp. nicht die Sache zu solchem Entscheid an die Verwaltung zurückgewiesen - hat. Laut Dr. med. C._ wäre entweder in Anwendung der SchlBest. ("Fall 6a") von einer uneingeschränkten Arbeitsfähigkeit ab 30. Juli 2013 oder aber (kein "Fall 6a") von einem unveränderten Gesundheitszustand und damit einer Arbeitsunfähigkeit von 50 % seit 13. Mai 2000 auszugehen gewesen.
4.1.2. Die Vorinstanz durfte grundsätzlich für die Bestätigung der Rentenaufhebung eine substituierte Begründung heranziehen (E. 2.2). Nachdem bereits im Verwaltungsverfahren die Anwendung nicht nur von <ref-law>, sondern auch der SchlBest. thematisiert worden war, musste das Bundesverwaltungsgericht diesbezüglich nicht explizit (erneut) das rechtliche Gehör gewähren (vgl. Urteil 9C_766/2016 vom 3. April 2017 E. 3.2 und 3.3). Zudem lag es in der Kompetenz der Vorinstanz, als zuständige Beschwerdeinstanz selber und frei - mithin ohne Bindung an die Auffassung des RAD - über den umstrittenen Rentenanspruch zu entscheiden.
4.2.
4.2.1. Der Beschwerdeführer erachtet mit Blick auf <ref-law> nicht die Rentenzusprache, sondern den Erlass der Mitteilung vom 11. November 2006 als massgeblichen Vergleichszeitpunkt.
4.2.2. Als Vergleichsbasis für die Beurteilung der Frage, ob bis zum Abschluss des aktuellen Verwaltungsverfahrens eine anspruchserhebliche Änderung des Invaliditätsgrades eingetreten ist, dient die letzte rechtskräftige Verfügung, welche auf einer materiellen Prüfung des Rentenanspruchs mit rechtskonformer Sachverhaltsabklärung, Beweiswürdigung und Durchführung eines Einkommensvergleichs (bei Anhaltspunkten für eine Änderung in den erwerblichen Auswirkungen des Gesundheitszustands) beruht (<ref-ruling>; vgl. auch SVR 2010 IV Nr. 54 S. 167, 9C_899/2009 E. 2.1). Dabei braucht es sich nicht um eine formelle Verfügung (<ref-law>) zu handeln (Urteil 9C_599/2016 vom 29. März 2017 E. 3.1.2).
4.2.3. Die Verwaltung leitete im April 2006 ein Revisionsverfahren ein. Dass vor Erlass der Mitteilung vom 11. November 2006 eine materielle Prüfung des Rentenanspruchs erfolgt sein soll, ist nicht ersichtlich und wird auch nicht geltend gemacht. Damit hat die Vorinstanz zu Recht den Sachverhalt bei Erlass der angefochtenen Verfügung (7. Juli 2014) mit jenem bei der Rentenzusprache (30. April 2004) verglichen. In Bezug auf die gesundheitliche Entwicklung in diesem Zeitraum hat sie auf die Ausführungen im SMAB-Gutachten verwiesen.
4.3. Das Eidg. Versicherungsgericht ging für die Rentenzusprache von einer um 50 % eingeschränkten Arbeitsfähigkeit und einem Invaliditätsgrad von 57,5 % aus (Urteil I 135/05 vom 12. September 2005 E. 3.5). Die Vorinstanz hat festgestellt, im Zeitpunkt der ursprünglichen Rentenzusprache habe keine somatoforme Schmerzstörung vorgelegen. Die Rente sei tatsächlich wegen einer "langgezogenen depressiven Angststörung" (ICD-10: F.43.2) und einer "psychischen Überlagerung der körperlichen Beschwerden" (ICD-10: F54) resp. aufgrund des Gutachtens des Dr. med. D._ vom 25. Februar 2003 zugesprochen worden.
Dass diese Feststellungen offensichtlich unrichtig sein oder auf einer Rechtsverletzung beruhen sollen, wird nicht geltend gemacht und ist auch nicht ersichtlich (vgl. auch Urteil I 135/05 vom 12. September 2005 E. 2). Sie bleiben daher für das Bundesgericht verbindlich (E. 1.3).
4.4. Bei der Beurteilung der Arbeits (un) fähigkeit stützt sich die Verwaltung und im Beschwerdefall das Gericht auf Unterlagen, die von ärztlichen und gegebenenfalls auch anderen Fachleuten zur Verfügung zu stellen sind. Ärztliche Aufgabe ist es, den Gesundheitszustand zu beurteilen und dazu Stellung zu nehmen, in welchem Umfang und bezüglich welcher Tätigkeiten die versicherte Person arbeitsunfähig ist. Hinsichtlich des Beweiswertes eines Arztberichtes ist entscheidend, ob dieser für die streitigen Belange umfassend ist, auf allseitigen Untersuchungen beruht, auch die geklagten Beschwerden berücksichtigt, in Kenntnis der Vorakten (Anamnese) abgegeben worden ist, in der Beurteilung der medizinischen Zusammenhänge sowie der medizinischen Situation einleuchtet und ob die Schlussfolgerungen der Experten begründet sind (<ref-ruling> E. 5.1 S. 232; <ref-ruling> E. 3a S. 352 mit Hinweis).
Den im Rahmen des Verwaltungsverfahrens eingeholten Gutachten von externen Spezialärzten, welche aufgrund eingehender Beobachtungen und Untersuchungen sowie nach Einsicht in die Akten Bericht erstatten und bei der Erörterung der Befunde zu schlüssigen Ergebnissen gelangen, ist bei der Beweiswürdigung volle Beweiskraft zuzuerkennen, solange nicht konkrete Indizien gegen die Zuverlässigkeit der Expertise sprechen (BGE <ref-ruling> E. 3b/bb S. 353).
4.5. Bei den vorinstanzlichen Feststellungen zum Gesundheitszustand und zur Arbeitsfähigkeit der versicherten Person handelt es sich grundsätzlich um Entscheidungen über eine Tatfrage (<ref-ruling> E. 3.2 S. 397 ff.), welche das Bundesgericht seiner Urteilsfindung zugrunde zu legen hat (E. 2). Die konkrete Beweiswürdigung stellt ebenfalls eine Tatfrage dar. Dagegen ist die Beachtung des Untersuchungsgrundsatzes und der Beweiswürdigungsregeln Rechtsfrage (<ref-ruling> E. 3.2 und 4 S. 397 ff.; Urteil I 865/06 vom 12. Oktober 2007 E. 4 mit Hinweisen), die das Bundesgericht im Rahmen der den Parteien obliegenden Begründungs- bzw. Rügepflicht (<ref-law> und <ref-law>; <ref-ruling> E. 1.4.1 und 1.4.2 S. 254) frei überprüfen kann (<ref-law>).
4.6. Der Beschwerdeführer stellt die Beweiskraft des SMAB-Gutachtens in Abrede. Zudem macht er geltend, die Vorinstanz habe zu Unrecht einen verbesserten Gesundheitszustand angenommen. Die SMAB-Experten hätten keine Verbesserung festgestellt, sondern höchstens den unveränderten Sachverhalt anders bewertet. Hinzu komme, dass er im Oktober 2008 einen Suizidversuch unternommen resp. unter einer schweren Depression gelitten habe und seither zu 100 % arbeitsunfähig (gewesen) sei. Mindestens von Oktober 2008 bis April 2012 habe er daher Anspruch auf eine ganze Rente.
4.7.
4.7.1. Das Bundesverwaltungsgericht ordnete im Rückweisungsentscheid vom 1. Juli 2011 weitere Abklärungen an, weil es sich "kein hinreichendes Bild machen [konnte], ob sich der Gesundheitszustand des Beschwerdeführers in rentenrelevanter Weise verändert" hatte (E. 6.3.2 des genannten Entscheids). Inwiefern das SMAB-Gutachten "gestützt auf einen anderen Hintergrund veranlasst" worden sein und deshalb im Widerspruch zu diesen Vorgaben stehen soll, leuchtet nicht ein und wird auch nicht (substanziiert) dargelegt. Weiter unterliegt die Durchführung von psychiatrischen Tests grundsätzlich der Fachkenntnis und dem Ermessensspielraum des Experten (Urteile 9C_275/2016 vom 19. August 2016 E. 4.3.2; I 305/06 vom 22. Mai 2007 E. 3.2). Sodann berücksichtigten die SMAB-Ärzte die Einschätzungen des Dr. med. D._ gemäss dessen Gutachten vom 25. Februar 2003 und damit umfassend; ein "Nachtrag vom 9. Oktober 2003" ist nicht dem genannten Experten zuzuschreiben, sondern einer Sachbearbeiterin der IV-Stelle.
Im Rahmen der Beweiswürdigung hat die Vorinstanz nachvollziehbar dargelegt, weshalb die Berichte des medizinischen Zentrums B._ vom 30. April 2014 sowie des Dr. med. E._ vom 29. Mai 2013 und 27. Dezember 2014 die Beweiskraft des SMAB-Gutachtens nicht erschüttern (vgl. E. 4.4). Hinzu kommt Folgendes: Einerseits sprechen keine konkreten Anhaltspunkte dafür, dass die Angaben des Beschwerdeführers ungenügend berücksichtigt wurden resp. dass die psychiatrische Untersuchung nicht lege artis erfolgt sein soll. Anderseits trägt die ärztliche Beurteilung von der Natur der Sache her unausweichlich Ermessenszüge, die es zu respektieren gilt (<ref-ruling> E. 3.4.2.3 S. 253; Urteil 9C_397/2015 vom 6. August 2015 E. 5.3).
Schliesslich enthält das SMAB-Gutachten einleuchtende und nachvollziehbare (retrospektive) Ausführungen über die Entwicklung des Gesundheitszustandes: In Bezug auf die Einschätzung des Dr. med. D._ wurde dargelegt, dass die Anpassungsstörung zwar "von den Zeitfaktoren her gerade noch zu diagnostizieren" war (zwei Jahre nach dem Unfall), aber für die Beurteilung "wenig Sinn" gemacht habe. Bezüglich "Überlagerung des Beschwerdebildes" decke sich die aktuelle Einschätzung mit jener des Dr. med. D._. Nach heutigen Kriterien sei aber keine über 20 % hinausgehende anhaltende Beeinträchtigung der Arbeitsfähigkeit medizinisch zu begründen. Im September 2008 scheine der Beschwerdeführer einen Suizidversuch unternommen und an einer depressiven Episode gelitten zu haben. Im November 2009 habe die Psychiatrie des Allgemeinen Krankenhauses in F._ eine Depression nach ICD-10 F33.3 (rezidivierende depressive Störung, gegenwärtig schwere Episode mit psychotischen Symptomen) diagnostiziert. Entgegen dem üblichen Zustand bei schwerer Depression sei im Befund eine "schwankende Laune mit oft schlechten Gedanken" beschrieben; die übrigen erwähnten Symptome seien allenfalls mit einer mittelschweren depressiven Episode vereinbar. Der Beschwerdeführer sei antidepressiv behandelt worden und zeige keine diagnosewürdige depressive Symptomatik mehr. Mit Ausnahme einer "möglicherweise vorübergehenden verstärkten Depression mit erhöhter Beeinträchtigung der Arbeitsfähigkeit" könne weder für den zu beurteilenden Zeitraum noch für die Jahre davor eine anhaltende Arbeitsunfähigkeit nachvollzogen werden.
4.7.2. Nach dem Gesagten erfüllt das SMAB-Gutachten die Anforderungen an die Beweiskraft (E. 4.4). Ohnehin beschränkt sich der Beschwerdeführer auf weiten Strecken darauf, lediglich die medizinischen Unterlagen abweichend von der Vorinstanz zu würdigen und daraus andere Schlüsse zu ziehen, was nicht genügt (Urteile 9C_494/2016 vom 19. Dezember 2016 E. 3.5; 9C_794/2012 vom 4. März 2013 E. 4.1; 9C_65/2012 vom 28. Februar 2012 E. 4.3 mit Hinweisen).
4.8.
4.8.1. Die Vorinstanz hat aus dem Umstand, dass der Beschwerdeführer (mindestens) seit April 2012 zu 100 % arbeitsfähig ist, eine erhebliche Verbesserung des Gesundheitszustandes abgeleitet. Indessen lässt eine neue diagnostische Einordnung des Leidens (vgl. E. 4.3) und/oder eine veränderte Einschätzung der Arbeitsfähigkeit nicht per se auf einen veränderten Sachverhalt schliessen.
4.8.2. Aus dem SMAB-Gutachten (E. 4.7.1 Abs. 3) ergibt sich, dass es im Herbst 2008 zu einer vorübergehenden Verschlechterung des Gesundheitszustandes und der Arbeitsfähigkeit kam. Anschliessend erholte sich der Beschwerdeführer, so dass die Situation bei Erlass der angefochtenen Verfügung wieder vergleichbar war mit jener bei der Rentenzusprache. Hinsichtlich dieser beiden Zeitpunkte liegt lediglich eine unterschiedliche Einschätzung eines im Wesentlichen gleich gebliebenen medizinischen Sachverhalts vor.
Eine zwischenzeitliche vorübergehende Verschlechterung ist für den Rentenanspruch nur von Belang, wenn sie anspruchsrelevant ist (E. 2.1). In concreto träfe dies zu, wenn sie mit einer Arbeitsunfähigkeit von deutlich über 50 % verbunden wäre (vgl. E. 4.3). Zudem müsste die verschlechterte Situation länger als drei Monate gedauert haben (vgl. <ref-law> [SR 831.201]). Solches lässt sich den medizinischen Unterlagen nicht mit überwiegender Wahrscheinlichkeit (vgl. <ref-ruling> E. 6 S. 221 f.; <ref-ruling> E. 3.3 S. 396; <ref-ruling> E. 2c S. 150 mit Hinweisen; Urteil 9C_406/2011 vom 9. Juli 2012 E. 5.1) entnehmen (ebenso die Einschätzung des RAD-Arztes vom 3. Oktober 2013).
4.8.3. Nach dem Gesagten hat das kantonale Gericht die vorübergehende Verschlechterung des Gesundheitszustandes zu Recht nicht als anspruchsrelevant betrachtet. Indessen lässt sich die vorinstanzliche Feststellung eines (im Vergleich zum Zeitpunkt der Rentenzusprache) verbesserten Gesundheitszustandes mangels medizinischer Grundlage nicht halten. Dass ein anderer Aspekt des massgeblichen Sachverhalts erheblich verändert sein soll, ist nicht ersichtlich und wird auch nicht geltend gemacht. Damit fehlt es an einem Revisionsgrund im Sinne von <ref-law>.
4.9. Die Vorinstanz hat zutreffend dargelegt, dass die der Rentenzusprache zugrunde liegenden Leiden nicht unter die sogenannte Schmerzrechtsprechung fallen (Urteile 9C_646/2015 vom 19. Mai 2016 E. 4.6; 9C_614/2015 vom 21. Juni 2016 E. 5.2) und daher eine Rentenaufhebung in Anwendung der SchlBest. unzulässig ist. Die mit Urteil I 135/05 vom 12. September 2005 bestätigte Rentenzusprache war nicht zweifellos unrichtig. Eine prozessuale Revision des genannten Urteils fällt ausser Betracht. Damit fehlt es an einem Rückkommenstitel (vgl. E. 2.2 in fine), weshalb es bei der bisherigen Rente bleibt. In diesem Sinn ist die Beschwerde begründet. Mit der Aufhebung des angefochtenen Entscheids und der rentenaufhebenden Verfügung hat es sein Bewenden.
5.
Die Gerichtskosten sind grundsätzlich entsprechend dem Ausmass des Obsiegens und Unterliegens aufzuteilen (<ref-law>). Der teilweise obsiegende Beschwerdeführer hat Anspruch auf eine reduzierte Parteientschädigung (Art. 68 Abs. 1 und 2 BGG). Soweit dadurch nicht gegenstandslos geworden, kann seinem Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege entsprochen werden (<ref-law>). Er hat der Bundesgerichtskasse Ersatz zu leisten, wenn er später dazu in der Lage ist (<ref-law>).
Was die Höhe der Parteikosten anbelangt, kann auf die den jeweiligen Zeitaufwand detailliert ausweisende Honorarnote der Rechtsvertreterin des Beschwerdeführers abgestellt werden (vgl. Art. 12 Abs. 2 des Reglements vom 31. März 2006 über die Parteientschädigung und die Entschädigung für die amtliche Vertretung im Verfahren vor dem Bundesgericht [SR 173.110.210.3]; Urteile 9C_184/2016 vom 27. Mai 2016 E. 6.2; 9C_162/2013 vom 8. August 2013 E. 4.3.2; 9C_178/2011 vom 20. Mai 2011 E. 3.4.3).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird teilweise gutgeheissen. Der Entscheid des Bundesverwaltungsgerichts vom 10. Oktober 2016 und die Verfügung der IV-Stelle für Versicherte im Ausland IVSTA vom 7. Juli 2014 werden aufgehoben. Im Übrigen wird die Beschwerde abgewiesen.
2.
Dem Beschwerdeführer wird die unentgeltliche Rechtspflege gewährt und Rechtsanwältin Dr. Barbara Wyler wird als unentgeltliche Anwältin bestellt.
3.
Die Gerichtskosten von insgesamt Fr. 800.- werden zu Fr. 300.- dem Beschwerdeführer und zu Fr. 500.- der Beschwerdegegnerin auferlegt. Der Anteil des Beschwerdeführers wird vorläufig auf die Bundesgerichtskasse genommen.
4.
Die Beschwerdegegnerin hat die Rechtsvertreterin des Beschwerdeführers für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 2'229.50 zu entschädigen.
5.
Der Rechtsvertreterin des Beschwerdeführers wird aus der Bundesgerichtskasse eine Entschädigung von Fr. 1'000.- ausgerichtet.
6.
Die Sache wird zur Neuverlegung der Kosten und der Parteientschädigung des vorangegangenen Verfahrens an das Bundesverwaltungsgericht zurückgewiesen.
7.
Dieses Urteil wird den Parteien, dem Bundesverwaltungsgericht und dem Bundesamt für Sozialversicherungen schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 9. Mai 2017
Im Namen der II. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Pfiffner
Die Gerichtsschreiberin: Dormann