Erwägungen:
1.
Im Rahmen einer gegen ihn laufenden Strafuntersuchung wegen einer SVG-Widerhandlung stellte A._ das Gesuch um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege bzw. amtlichen Verbeiständung. Mit Verfügung vom 29. März 2016 wies die Staatsanwaltschaft Innerschwyz das Gesuch ab. Hiergegen gelangte A._ mit einer Beschwerde ans Kantonsgericht Schwyz. Dieses hat die Beschwerde mit Beschluss vom 10. Juni 2016 abgewiesen, soweit es darauf eingetreten ist.
2.
A._ führt mit Eingabe vom 19. Juli (Postaufgabe: 20. Juli) 2016 Beschwerde gegen den am 10. Juni 2016 ergangenen Beschluss des Kantonsgerichts.
Das Bundesgericht hat davon abgesehen, Stellungnahmen zur Beschwerde einzuholen.
3.
Nach <ref-law> ist in der Begründung einer Beschwerde in gedrängter Form darzulegen, inwiefern der angefochtene Entscheid Recht verletzt. Die Bestimmungen von <ref-law> nennen die vor Bundesgericht zulässigen Beschwerdegründe. Hinsichtlich der Verletzung von Grundrechten gilt der in <ref-law> verankerte Grundsatz der Rechtsanwendung von Amtes wegen nicht; insofern besteht eine qualifizierte Rügepflicht (<ref-law>; <ref-ruling> E. 1.4.1 S. 53, 65 E. 1.3.1 S. 68 mit Hinweisen). Es obliegt dem Beschwerdeführer namentlich darzulegen, inwiefern der angefochtene Entscheid gegen die gerügten Grundrechte verstossen soll.
Der Beschwerdeführer beanstandet den kantonsgerichtlichen Beschluss ganz allgemein und verlangt die Überprüfung des gesamten kantonalen Verfahrens. Dabei unterlässt er es jedoch, sich mit der ausführlichen Begründung, auf welcher der angefochtene Beschluss beruht, im Einzelnen auseinanderzusetzen. Namentlich zeigt er nicht auf, inwiefern diese Begründung bzw. der Beschluss selbst im Ergebnis rechts- bzw. verfassungswidrig sein soll.
Daher ist bereits mangels einer genügenden Begründung im Sinne von <ref-law> auf die vorliegende Beschwerde nicht einzutreten. Entsprechend erübrigt es sich, auch noch die weiteren Eintretensvoraussetzungen zu erörtern.
Der Begründungsmangel ist offensichtlich, weshalb über die vorliegende Beschwerde im vereinfachten Verfahren nach <ref-law> entschieden werden kann.
4.
Die Beschwerde erweist sich als offensichtlich aussichtslos, weshalb das vom Beschwerdeführer gestellte Gesuch um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege bzw. amtlichen Verbeiständung abzuweisen ist. Bei den gegebenen Verhältnissen kann indes davon abgesehen werden, für das bundesgerichtliche Verfahren Kosten zu erheben (<ref-law>).

Demnach wird erkannt:
1.
Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2.
Das Gesuch um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege bzw. amtlichen Verbeiständung wird abgewiesen.
3.
Es werden keine Kosten erhoben.
4.
Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer, der Staatsanwaltschaft Innerschwyz und dem Kantonsgericht Schwyz, Beschwerdekammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 22. Juli 2016
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Das präsidierende Mitglied: Eusebio
Der Gerichtsschreiber: Bopp