Sachverhalt:
A.
A._ meldete sich im August 2015 zum Bezug von Ergänzungsleistungen (EL) zu seiner IV-Rente an. Mit Schreiben vom 10. Februar 2016 forderte ihn die Ausgleichskasse des Kantons Bern auf, bis spätestens am 18. März 2016 Angaben zu seiner Liegenschaft im Kanton Tessin zu machen und diesbezügliche Unterlagen einzureichen. Andernfalls werde auf seine Anmeldung nicht eingetreten werden können. Am 23. März 2016 erliess die Ausgleichskasse eine Nichteintretensverfügung, welche sie mit Einspracheentscheid vom 14. April 2016 bestätigte.
B.
A._ erhob Beschwerde, welche das Verwaltungsgericht des Kantons Bern, Sozialversicherungsrechtliche Abteilung, nach zweifachem Schriftenwechsel mit Entscheid vom 28. Oktober 2016 abwies.
C.
A._ führt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten mit den Rechtsbegehren: Der Entscheid des Verwaltungsgerichts vom 28. Oktober 2016 und der Einsprachentscheid vom 14. April 2016 seien aufzuheben; die Ausgleichskasse sei zu verpflichten, auf sein EL-Gesuch einzutreten; es seien ihm die gesetzlichen Leistungen auszurichten, unter Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege.
Die Ausgleichskasse des Kantons Bern beantragt die Abweisung der Beschwerde. Das Bundesamt für Sozialversicherungen verzichtet auf eine Vernehmlassung.
D.
A._ hat nach Abschluss des Schriftenwechsels Unterlagen eingereicht, u.a. die Verfügung vom 8. Februar 2017 über persönliche Beiträge seiner Ehefrau als Nichterwerbstätige für 2015 und die Verfügung vom 8. Juni 2017 über seinen EL-Anspruch für die Zeit vom 1. bis 31. Dezember 2016.

Erwägungen:
1.
Die Beschwerdegegnerin trat auf die EL-Anmeldung des Beschwerdeführers vom 11. August 2015 wegen Verletzung der Mitwirkungspflicht bei der Abklärung, ob er über Grundeigentum im Kanton Tessin verfüge, nach Art. 28 Abs. 2 und <ref-law> nicht ein, was die Vorinstanz bestätigt hat. Aufgrund der neu eingereichten Unterlagen macht der Beschwerdeführer geltend, die Frage sei zu verneinen. Das ist für den EL-Anspruch ab 1. August 2015 (Art. 12 Abs. 1 ELG) von Bedeutung, welcher jedoch nicht Streitgegenstand ist (vgl. <ref-ruling> E. 1 S. 122). Auf das Rechtsbegehren des Beschwerdeführers, es seien ihm die gesetzlichen Leistungen auszurichten, ist demzufolge nicht einzutreten. Nicht zu hören ist er sodann mit seinem Vorbringen, damit sei der Tatbeweis erbracht, dass die Beschwerdegegnerin gar nicht auf seine Mitwirkung angewiesen war um festzustellen, dass er über kein Grundeigentum im Kanton Tessin verfüge, was zudem zeige, dass sie zu Unrecht von einer Verletzung der Mitwirkungspflicht ausging. Das wäre in einem Revisionsgesuch gegen den angefochtenen Entscheid geltend zu machen gewesen (<ref-law>; <ref-ruling>).
2.
2.1. Im Sozialversicherungsverfahren gilt der Untersuchungsgrundsatz. Danach haben der Versicherungsträger oder das Durchführungsorgan und im Beschwerdefall das kantonale Versicherungsgericht von sich aus für die richtige und vollständige Abklärung des rechtserheblichen Sachverhalts zu sorgen. Die Versicherten resp. die Parteien trifft eine Mitwirkungspflicht (<ref-law> und <ref-law>; <ref-ruling> E. 4.1.1 S. 377; <ref-ruling> E. 4a S. 52), vor allem in Bezug auf Tatsachen, die sie besser kennen als die (Verwaltungs- oder Gerichts-) Behörde und welche diese sonst gar nicht oder nicht mit vernünftigem Aufwand erheben könnte (Urteile 9C_669/2016 vom 20. Dezember 2016 E. 7.1 und 9C_238/2015 vom 6. Juli 2015 E. 3.2.1, je mit Hinweisen).
2.2. Kommen die versicherte Person oder andere Personen, die Ergänzungsleistungen beanspruchen, den Auskunfts- oder Mitwirkungspflichten in unentschuldbarer Weise nicht nach, so kann die EL-Durchführungsstelle aufgrund der Akten verfügen oder die Erhebungen einstellen und Nichteintreten beschliessen. Sie muss diese Personen vorher schriftlich mahnen und auf die Rechtsfolgen hinweisen; ihnen ist eine angemessene Bedenkzeit einzuräumen (<ref-law> i.V.m. <ref-law> und Art. 1 Abs. 1 ELG).
Von der Möglichkeit, auf ein Leistungsgesuch nicht einzutreten, ist nur mit grösster Zurückhaltung Gebrauch zu machen (<ref-ruling> E. 3 S. 47 mit Hinweisen). Nichteintreten kommt erst in Betracht, wenn eine Beurteilung des Leistungsbegehrens aufgrund der gesamten Aktenlage ohne Mitwirkung der Partei ausgeschlossen ist. Umgekehrt kann ein materieller Entscheid aufgrund der Akten erst ergehen, wenn sich der rechtserhebliche Sachverhalt unabhängig von der als notwendig und zumutbar erachteten Abklärungsmassnahme, der sich die versicherte Person ohne entschuldbaren Grund widersetzt hat, nicht weiter vervollständigen lässt (Urteil 9C_553/2016 vom 17. November 2015 E. 2.1 mit Hinweis).
3.
Die Vorinstanz hat erwogen, nach allgemeiner Regel habe der Beschwerdeführer zu beweisen, dass er kein Grundeigentum im Tessin habe. Gemäss den Akten der Suva habe er sich mehrfach in dem Sinne geäussert, dort ein eigenes (Ferien-) Haus zu besitzen, welches er daran sei umzubauen, bzw. einen Bauernbetrieb, den er verpachtet habe. Die Abklärungen der Beschwerdegegnerin hätten ergeben, dass er nicht namentlich als Eigentümer oder Miteigentümer einer Liegenschaft im Tessin eingetragen sei. Allfälliges Miteigentum als Mitglied einer Erbengemeinschaft könne laut behördlicher Auskunft nicht abschliessend beurteilt werden. Bei dieser Sachlage sei die Verwaltung zur abschliessenden Klärung des Sachverhalts zwingend auf seine Mitwirkung angewiesen gewesen. Dieser Pflicht sei der Beschwerdeführer in unentschuldbarer Weise nicht nachgekommen. Er habe es unterlassen, die notwendigen Angaben beizubringen. Die Auskunft zu seinem konkreten Aufenthaltsort im Tessin bzw. in welcher Liegenschaft er sich dort jeweils aufhalte, habe er unter Hinweis auf seine Privatsphäre verweigert. Die Beschwerdegegnerin habe daher nach Einräumen einer angemessenen Mahn- und Bedenkzeit und nach Darlegung der nachteiligen Rechtsfolgen für den Säumnisfall auf das EL-Gesuch nicht eintreten dürfen. Die im Beschwerdeverfahren eingereichten Beweismittel (Bestätigungen von Tessiner Grundbuchkreisen, Korrespondenz mit der Steuerbehörde der Stadt Lugano) datierten nach dem massgebenden Zeitpunkt des Einspracheentscheids vom 14. April 2016 und könnten daher nicht berücksichtigt werden.
4.
Die vorinstanzliche Argumentation überzeugt nicht und verletzt im Ergebnis (Bestätigung des Nichteintretens der Beschwerdegegnerin auf die EL-Anmeldung) Bundesrecht (<ref-law>) :
4.1. Vorab trifft nicht zu, dass der Beschwerdeführer die Beweislast dafür trägt, dass er kein Grundeigentum im Tessin hat. Die Vorinstanz verkennt mit ihrem Hinweis auf das Urteil 9C_934/2009 vom 28. April 2010 E. 4.2.2, dass diese Regel im Zusammenhang mit der Frage nach einem Vermögensverzicht nach Art. 11 Abs. 1 lit. g ELG gilt, wennein einmal bestehendes Vermögen nicht mehr vorhanden ist (<ref-ruling> E. 6a S. 208; Urteil 9C_732/2014 vom 12. Dezember 2014 E. 4.1.1). Ein solcher Sachverhalt ist nicht zu beurteilen. Abgesehen davon dürfen a us der Beweislastverteilung nicht Mitwirkungspflichten, um die es hier geht, abgeleitet werden, die sich nicht aus dem Gesetz oder nach Treu und Glauben ergeben (Urteil 9C_238/2015 vom 6. Juli 2015 E. 3.2.1 mit Hinweis).
4.2. Im Weitern sind die Voraussetzungen für ein Nichteintreten auf die EL-Anmeldung des Beschwerdeführers vom 11. August 2015 (E. 2.2 hiervor) nicht gegeben.
4.2.1. Nach für das Bundesgericht verbindlicher Feststellung der Vorinstanz (Art. 105 Abs. 1 und 2 BGG) hatten die Abklärungen der Beschwerdegegnerin - bei der Ausgleichskasse des Kantons Tessin, welche Zugriff auf die Daten der nach Zonen aufgeteilten Grundstücksregister hat (Aktennotiz vom 4. Februar 2016) - ergeben, dass der EL-Ansprecher nicht namentlich als Eigentümer oder Miteigentümer einer Liegenschaft im Tessin eingetragen war. In Betracht fiel somit einzig Miteigentum als Mitglied einer Erbengemeinschaft, was sich nicht abschliessend beurteilen liess. Unter diesen Umständen lag die Einholung einer Beweisauskunft bei den Steuerbehörden des Kantons Tessin als weitere Abklärungsmassnahme gestützt auf <ref-law> auf der Hand. Nach dieser Bestimmung geben u.a. die Verwaltungsbehörden der Kantone den einzelnen Sozialversicherungen auf schriftliche und begründete Anfrage im Einzelfall kostenlos diejenigen Daten bekannt, die für die Festsetzung von Leistungen erforderlich sind. Damit wäre kein übermässiger Aufwand verbunden gewesen, sodass die Beschwerdegegnerin ohne Weiteres dazu verpflichtet war. Im Übrigen hatte sich der Beschwerdeführer in einer Eingabe vom 14. Februar 2016 an die IV-Stelle - offenbar Bezug nehmend auf eine im Januar 2015 gemachte Aussage, wonach er ein Haus im Tessin habe - in dem Sinne geäussert, er habe "keine Steuerbelege vom Tessin".
4.2.2. Sodann sagt die Vorinstanz nicht, inwiefern der Beschwerdeführer "in unentschuldbarer Weise" seine Mitwirkungspflichten verletzt haben soll. Im Schreiben vom 10. Februar 2016 forderte ihn die Beschwerdegegnerin auf, bis spätestens am 18. März 2016 entweder die Festsetzung des amtlichen Wertes und der Mietwerte der fraglichen Liegenschaft durch die Steuerbehörde oder für den Fall, dass die Liegenschaft in der Zwischenzeit verkauft worden sein sollte, den betreffenden Verkaufsvertrag zuzustellen. Bei Säumnis werde auf die EL-Anmeldung nicht eingetreten werden können. Da der Beschwerdeführer über keine solchen Unterlagen verfügte, wovon aufgrund der Akten auszugehen ist, könnte ihm einzig vorgeworfen werden, er habe dies nicht als Antwort auf das Schreiben vom 10. Februar 2016 mitgeteilt. Darin kann indessen keine unentschuldbare Verletzung der Mitwirkungspflicht erblickt werden. Abgesehen davon ist nicht anzunehmen, dass die Beschwerdegegnerin anders verfügt hätte, wenn der Beschwerdeführer in diesem Sinne gehandelt hätte.
4.3. Nach dem Gesagten verletzt das Nichteintreten der Beschwerdegegnerin auf die EL-Anmeldung des Beschwerdeführers vom 11. August 2015 und damit der dieses Vorgehen schützende vorinstanzliche Entscheid Bundesrecht. Die Beschwerde ist im Hauptpunkt begründet.
5.
Ausgangsgemäss hat die Beschwerdegegnerin die Gerichtskosten zu tragen (<ref-law>) und dem Beschwerdeführer eine Parteientschädigung zu bezahlen (<ref-law>). Diese ist nach dem Normalansatz (Fr. 2'800.-) zu bemessen. Es sind keine aussergewöhnlichen Umstände ersichtlich noch werden solche geltend gemacht, die ein Abweichen davon rechtfertigten. Solche Gründe ergeben sich auch nicht aus der eingereichten Honorarnote vom 3. Januar 2017.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird gutgeheissen, soweit darauf einzutreten ist. Der Entscheid des Verwaltungsgerichts des Kantons Bern, Sozialversicherungsrechtliche Abteilung, vom 28. Oktober 2016 und der Einspracheentscheid der Ausgleichskasse des Kantons Bern vom 14. April 2016 werden aufgehoben. Die Sache wird an die Ausgleichskasse des Kantons Bern zurückgewiesen, damit sie auf die Anmeldung des Beschwerdeführers vom 11. August 2015 eintrete und über seinen EL-Anspruch ab 1. August 2015 verfüge.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 500.- werden der Beschwerdegegnerin auferlegt.
3.
Die Beschwerdegegnerin hat den Beschwerdeführer für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 2'800.- zu entschädigen.
4.
Die Sache ist zur Neuverlegung der Parteientschädigung für das vorangegangene Verfahren an das Verwaltungsgericht des Kantons Bern zurückzuweisen.
5.
Dieses Urteil wird den Parteien, dem Verwaltungsgericht des Kantons Bern und dem Bundesamt für Sozialversicherungen schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 9. Oktober 2017
Im Namen der II. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Pfiffner
Der Gerichtsschreiber: Fessler