Sachverhalt:
A.
Am 17. Juni 2014 beschloss der Gemeinderat Tägerwilen den kommunalen Schutzplan "Kultur- und Naturobjekte" und wies die Einsprache der Genossenschaft A._ gegen die Unterschutzstellung der Liegenschaft B._ ab. Die Genossenschaft A._ focht diesen Entscheid beim Departement für Bau und Umwelt des Kantons Thurgau (DBU) an. Dieses eröffnete dem Verein Thurgauer Heimatschutz die Möglichkeit, sich am Verfahren zu beteiligen, welcher von der Einladung Gebrauch machte. Er nahm am Verfahren teil und beantragte die Abweisung des Rekurses unter Kosten- und Entschädigungsfolgen.
Das DBU wies den Rekurs am 22. September 2015 ab, auferlegte die Kosten der Genossenschaft A._ und sprach dem Thurgauer Heimatschutz keine Parteientschädigung (Dispositiv-Ziffer 3) zu.
Der Thurgauer Heimatschutz erhob gegen diesen Rekursentscheid Beschwerde ans Verwaltungsgericht des Kantons Thurgau mit dem Antrag, Dispositiv-Ziffer 3 aufzuheben und ihm für das Rekursverfahren eine angemessene Parteientschädigung zuzusprechen, unter Kosten- und Entschädigungsfolgen für das Beschwerdeverfahren.
Das Verwaltungsgericht wies die Beschwerde am 9. März 2016 ab und auferlegte die Gerichtskosten dem Thurgauer Heimatschutz.
B.
Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten beantragt der Thurgauer Heimatschutz, diesen Entscheid aufzuheben und die Sache zur Neuregelung der Kosten- und Entschädigungsfolgen an die Vorinstanz zurückzuweisen.
C.
Die Genossenschaft A._ beantragt, die Beschwerde abzuweisen, soweit darauf einzutreten sei. Das Verwaltungsgericht beantragt, die Beschwerde abzuweisen.

Erwägungen:
1.
1.1. Angefochten ist ein kantonal letztinstanzlicher (<ref-law>) Entscheid in einer Verwaltungssache und damit in einer öffentlich-rechtlichen Angelegenheit im Sinne von <ref-law>. Ein Ausschlussgrund nach <ref-law> besteht nicht, womit die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten gegeben ist. Der Entscheid schliesst das Verfahren ab, womit es sich um einen Endentscheid im Sinn von <ref-law> handelt. Der Beschwerdeführer, dem die Zusprechung einer Parteientschädigung verweigert wurde, ist befugt, ihn anzufechten. Er rügt die Verletzung von Bundesrecht, was zulässig ist (<ref-law>).
1.2. Die Beschwerdegegnerin macht unter Verweis auf <ref-ruling> E. 1.2 und 134 III 379 E. 1.3 geltend, die Beschwerde müsse nach <ref-law> einen Antrag enthalten, und zwar einen Antrag in der Sache, da die Beschwerde nach <ref-law> ein reformatorisches Rechtsmittel sei. Da sich die Beschwerdeführerin auf einen Rückweisungsantrag beschränke, sei darauf nicht einzutreten.
Auch wenn Fälle denkbar sind, in denen das Bundesgericht in der vorliegenden Konstellation selber einen materiellen Entscheid treffen könnte, ist es grundsätzlich nicht seine Sache, die Parteientschädigungen in einem vom kantonalen Recht beherrschten Rekursverfahren vor einem kantonalen Departement als erste Instanz festzulegen; insofern durfte sich die Beschwerdeführerin mit einem Rückweisungsantrag begnügen.
1.3. Die übrigen Sachurteilsvoraussetzungen geben zu keinen Bemerkungen Anlass, weshalb auf die Beschwerde einzutreten ist.
2.
2.1. § 80 des Thurgauer Gesetzes über die Verwaltungsrechtspflege (VRG) trägt den Titel "Ausseramtliche Kosten" und lautet:
" 1 Im Verfahren vor dem Verwaltungsgericht oder dem Regierungsrat besteht in der Regel Anspruch auf Ersatz der ausseramtlichen Kosten.
2 Stehen sich in einem Rekursverfahren Privatparteien gegenüber, hat die obsiegende Privatpartei in der Regel Anspruch auf Ersatz der ausseramtlichen Kosten durch die unterliegende Privatpartei. Im Übrigen wird Ersatz ausseramtlicher Kosten nur zugesprochen, wenn sich dies bei komplizierter Sachlage oder schwierigen Rechtsfragen rechtfertigt.
(...) "
2.2. Das DBU hat dem Beschwerdeführer die Zusprechung einer Parteientschädigung verweigert mit der Begründung, im Rekursverfahren könnten Parteientschädigungen nach § 80 Abs. 2 VRG nur zugesprochen werden, wenn sich Privatparteien gegenüberstünden, was vorliegend nicht zutreffe. Das Verwaltungsgericht hat diese Auslegung geschützt. Es erwog, im allgemeinen Sprachgebrauch werde unter einer Privatperson eine Person verstanden, die nicht im Auftrag einer Firma, Behörde oder ähnlichem handle. Privatrechtlich organisierte Vereinigungen wie der Beschwerdeführer, welche sich zur Verfolgung ideeller, nicht an eine einzelne natürliche Person gebundener Interessen verschrieben hätten, seien keine "Private" in diesem Sinne (angefochtener Entscheid E. 3.2 S. 6). Aus den Materialien ergebe sich zudem klar, dass der Gesetzgeber mit dem Begriff "Privatparteien" in § 80 VRG etwa Nachbarn, Hundehalter oder Eltern vor Augen gehabt habe, nicht aber privatrechtliche Organisationen (angefochtener Entscheid E. 3.3 S. 7). Aus Sinn und Zweck der Bestimmung ergebe sich nichts anderes: Nach § 80 Abs. 1 VRG bestehe im Regelfall und sozusagen voraussetzungslos Anspruch auf Ersatz der ausseramtlichen Kosten in Verfahren vor Regierungsrat und Verwaltungsgericht. Im Rekursverfahren vor dem Departement sei dies dagegen nach Abs. 2 nur der Fall, wenn sich Private gegenüberstünden oder wenn dies die Komplexität der Sach- oder Rechtslage rechtfertige. Dahinter stehe nicht nur der Wille des Gesetzgebers, Gemeinden in dem Sinn zu privilegieren, dass sie im Regelfall nicht mit Anwaltskosten belastet würden, sondern auch die Überlegung, dass die Teilnahme am Rekursverfahren im Normalfall kein juristisches Spezialwissen voraussetze; nur deshalb lasse sich rechtfertigen, dass Gemeinden im Rekursverfahren obsiegenden Privatpersonen nicht immer, sondern nur ausnahmsweise eine Parteientschädigung zu bezahlen hätten (angefochtener Entscheid E. 3.4 S. 7 f.).
2.3. Unter einer privaten Partei wird im Schweizer Verfahrensrecht aller Stufen regelmässig, beziehungsweise soweit ersichtlich ausnahmslos, eine natürliche oder juristische Person des Privatrechts verstanden. Es müssten sich damit klare Hinweise dafür finden lassen, dass der Thurgauer Gesetzgeber bewusst von dieser gefestigten Begrifflichkeit abweichen wollte oder überzeugende Gründe dafür, dass sich der Begriff der Privatpartei nach Sinn und Zweck der Bestimmung nur auf natürliche Personen beziehen kann. Beides ist offensichtlich nicht der Fall:
Wenn das Verwaltungsgericht ausführt, aus den einschlägigen Protokollen des Grossen Rates ergebe sich klar, dass weder der Regierungsrat noch die Parlamentarier bei der Formulierung der "sich gegenüber stehenden Privatpersonen" an privatrechtliche Organisationen wie den Beschwerdeführer gedacht hätten, mag das zutreffen. Wurde aber somit in der parlamentarischen Beratung der Gesetzesvorlage gar nicht diskutiert, ob mit "Privatpartei" in § 80 VRG natürliche und juristische Personen oder ausschliesslich erstere gemeint sein sollen, so spricht das dafür, dass man den Begriff in seiner im Verfahrensrecht allgemein üblichen Bedeutung verwenden wollte, wonach sowohl natürliche als auch juristische Personen des Privatrechts als Privatparteien bezeichnet werden. Dem steht auch der vom Verwaltungsgericht angenommene Zweck von § 80 Abs. 2 VRG, die Gemeinden im Rekursverfahren in dem Sinne zu privilegieren, als ihnen im Falle des Unterliegens in der Regel die Parteikosten der obsiegenden Gegenpartei nicht überbunden werden sollen, in keiner Weise entgegen. Sind an einem Rekursverfahren eine Gemeinde als Partei und eine oder mehrere Privatpersonen als Gegenpartei (en) beteiligt, stehen sich gerade nicht Privatparteien im Sinn von § 80 Abs. 2 Satz 1 VRG gegenüber, sondern eine öffentlich-rechtliche Körperschaft und Privatparteien; diesfalls wird die Gemeinde im Falle des Unterliegens nach § 80 Abs. 2 Satz 2 VRG nur ausnahmsweise entschädigungspflichtig. Die Argumentation des Verwaltungsgerichts, der Zweck von § 80 Abs. 2 VRG gebiete, nur natürliche Personen als Privatparteien zu behandeln, geht an der Sache vorbei. Seine Auffassung, wonach die unterliegende privatrechtliche Rekurrentin dem obsiegenden privatrechtlichen Rekursgegner keine Parteientschädigung schulde, ist sachlich nicht begründbar und damit willkürlich, die Rüge ist begründet.
3.
Die Beschwerde ist somit gutzuheissen, der angefochtene Entscheid aufzuheben und die Sache zu neuem Entscheid im Sinne der Erwägungen an die Vorinstanz zurückzuweisen. Diese wird die Entschädigungsfolgen des Rekursverfahrens (entweder selber oder durch Rückweisung ans DBU) neu zu regeln und die eigene Kosten- und Entschädigungsregelung dem Ausgang des bundesgerichtlichen Verfahrens anzupassen haben.
Ausgangsgemäss hat die Beschwerdegegnerin die Gerichtskosten zu tragen (<ref-law>) und dem Beschwerdeführer für das bundesgerichtliche Verfahren eine angemessene Parteientschädigung (Art. 68 Abs. 1 und 2 BGG) zu bezahlen.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird gutgeheissen, der angefochtene Entscheid des Verwaltungsgerichts des Kantons Thurgau vom 9. März 2016 aufgehoben und die Sache zu neuem Entscheid im Sinne der Erwägungen an die Vorinstanz zurückgewiesen.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 1'000.-- werden der Beschwerdegegnerin auferlegt.
3.
Die Beschwerdegegnerin hat dem Beschwerdeführer für das bundesgerichtliche Verfahren eine Parteientschädigung von Fr. 1'500.-- zu bezahlen.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien, der Politischen Gemeinde Tägerwilen, dem Departement für Bau und Umwelt des Kantons Thurgau und dem Verwaltungsgericht des Kantons Thurgau schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 3. August 2016
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Das präsidierende Mitglied: Merkli
Der Gerichtsschreiber: Störi