Sachverhalt:
A.
A._ war von 1992 bis 2002 bei der B._ AG und anschliessend bis im November 2002 bei der C._ und Co. AG angestellt. In der Folge bezog er einige Monate Taggelder der Arbeitslosenversicherung und arbeitete im Rahmen eines Beschäftigungsprogrammes. Anfang März 2004 trat A._ bei der D._ AG eine Stelle als Hauswart an und war bei der UWP Sammelstiftung für berufliche Vorsorge (nachfolgend: UWP) berufsvorsorgeversichert. Die Auflösung des Arbeitsverhältnisses und der Austritt aus der Vorsorgeeinrichtung erfolgten am 2. August 2004. Im Februar 2005 meldete sich A._ wegen Rücken- und Hüftbeschwerden bei der Invalidenversicherung zum Leistungsbezug an. Die IV-Stelle Basel-Landschaft veranlasste eine rheumatologische und später eine psychiatrische Begutachtung (Gutachten der Dres. med. E._ und F._ vom 11. August 2005/8. Dezember 2006). Im Sommer 2007 wurde beim Versicherten ein Gehirntumor (Glioblastom) festgestellt, worauf er sich einer Operation mit anschliessender Radio- und Chemotherapie unterziehen musste. Die IV-Stelle sprach A._ nach Durchführung des Vorbescheidverfahrens mit Verfügung vom 27. Dezember 2007 ab 1. August 2005 eine ganze Invalidenrente zu (Invaliditätsgrad: 100 %).
Die UWP verneinte eine Leistungspflicht, weil die Krankheit, die zur späteren Invalidität geführt habe, bereits 2003 eingetreten sei und eine Leistungseinschränkung von mindestens 20 % zur Folge gehabt habe (Schreiben vom 14. November 2012).
B.
Am 24. April 2014 erhob A._ Klage gegen die UWP mit dem Rechtsbegehren, diese sei zu verpflichten, ihm rückwirkend ab 1. August 2005 eine ganze Invalidenrente zuzüglich Zins zu 5 % auszurichten. Mit Entscheid vom 28. April 2015 wies das Sozialversicherungsgericht des Kantons Basel-Stadt die Klage ab.
C.
Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten macht A._ geltend, der Entscheid vom 28. April 2015 sei aufzuheben und erneuert das vorinstanzliche Klagebegehren; eventualiter sei ein Gerichtsgutachten einzuholen; subeventualiter sei die Angelegenheit zu neuer Entscheidung an die Vorinstanz zurückzuweisen.
Die Stiftung Abendrot beantragt als Vorsorgeeinrichtung der C._ und Co. AG, es sei festzustellen, dass der Beschwerdeführer nie bei ihr versichert gewesen sei und sie keine Leistungspflicht treffe; eventualiter sei ihr für den Fall, dass das Bundesgericht vom Gegenteil ausgehe, eine weitere Frist zur materiellen Stellungnahme zu gewähren. Die UWP schliesst auf Abweisung der Beschwerde; eventualiter sei festzustellen, dass bereits vor Mai 2004 eine Arbeitsunfähigkeit des Beschwerdeführers im Umfang von mindestens 20 % bestanden habe. Das Bundesamt für Sozialversicherungen verzichtet auf eine Vernehmlassung.

Erwägungen:
1.
Mit der Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann u.a. die Verletzung von Bundesrecht gerügt werden (<ref-law>). Die Feststellung des Sachverhalts kann nur gerügt werden, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von Artikel 95 beruht und wenn die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein kann (<ref-law>). Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (<ref-law>). Es kann die Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz von Amtes wegen berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von Artikel 95 beruht (<ref-law>).
2.
Die Anschlussbeschwerde ist dem bundesgerichtlichen Verfahren fremd (<ref-ruling> E. 2.1 S. 110), weshalb auf die von der Beschwerdegegnerin und der Stiftung Abendrot gestellten Feststellungsbegehren nicht einzutreten ist. Die Anträge in der Vernehmlassung können, abgesehen vom Nichteintreten auf die Beschwerde, nicht mehr und nichts anderes als auf die ganze oder teilweise Abweisung der Beschwerde schliessen, einschliesslich der Möglichkeit, sich ihr zu unterziehen (wo die Parteien über den Streitgegenstand verfügen können [Meyer/Dormann, in: Basler Kommentar, Bundesgerichtsgesetz, 2. Aufl. 2011, N 2 zu <ref-law>]).
3.
3.1. Neue Tatsachen und Beweismittel dürfen nur soweit vorgebracht werden, als erst der vorinstanzliche Entscheid dazu Anlass gibt (<ref-law>). Der Beschwerdeführer legt ein ärztliches Zeugnis des Neurochirurgen Prof. Dr. med. I._ vom 8. Juni 2015 sowie zwei Berichte des Universitätsspitals J._ vom 10. und 17. Juni 2015 ins Recht. Diese Beweismittel sind nach dem angefochtenen Entscheid entstanden; sie bleiben aufgrund des absoluten Verbots, im Beschwerdeverfahren vor Bundesgericht echte Noven beizubringen (statt vieler Urteil 8C_721/2014 vom 27. April 2015 E. 2), unbeachtlich.
3.2. Die Vorinstanz hat die gesetzlichen Bestimmungen zu den Invalidenleistungen der obligatorischen beruflichen Vorsorge (Art. 23 lit. a BVG) und zu Beginn und Ende der Versicherungspflicht (Art. 10 Abs. 2 lit. b und Abs. 3 BVG) korrekt wiedergegeben. Richtig sind auch die Ausführungen zur massgeblichen Einbusse an funktionellem Leistungsvermögen von mindestens 20 % sowie zum sachlichen und zeitlichen Konnex zwischen einer allfälligen Arbeitsunfähigkeit während des Vorsorgeverhältnisses und der späteren Invalidität bzw. zur Unterbrechung des engen zeitlichen Zusammenhangs (vgl. <ref-ruling> E. 4.1 in fine S. 275; <ref-ruling>). Schliesslich hat das kantonale Gericht auch die Grundsätze in Bezug auf den Zeitpunkt des Eintritts einer relevanten Arbeitsunfähigkeit zutreffend dargelegt (Urteile 9C_91/2013 vom 17. Juni 2013 E. 4.1.2 und 9C_915/2013 vom 3. April 2014 E. 5.2, je mit Hinweisen). Darauf wird verwiesen.
4.
Das kantonale Gericht ist aufgrund der medizinischen Akten zum Schluss gelangt, dass die Symptome des beim Beschwerdeführer diagnostizierten Gehirntumors frühestens Ende Jahr 2004 aufgetreten sind. Gestützt darauf hat es eine Arbeitsunfähigkeit von mindestens 20 % ab Stellenantritt bei der D._ AG am 10. Mai 2004 bis Ablauf der Nachdeckungsfrist (Art. 10 Abs. 3 BVG) Anfang September 2004 als nicht überwiegend wahrscheinlich erachtet und eine Leistungspflicht der Beschwerdegegnerin verneint. Im Streit liegt einzig, ob beim Beschwerdeführer während des Vorsorgeverhältnisses mit der UWP eine Arbeitsunfähigkeit von mindestens 20 % eintrat.
Eine Bindung der Vorsorgeeinrichtung (vgl. <ref-ruling> E. 4.3.2 S. 69; <ref-ruling> E. 3.1 S. 273) an die Verfügung der IV-Stelle vom 27. Dezember 2007 besteht unbestritten nicht.
4.1. Entscheiderhebliche Feststellungen der Vorinstanz zur Art des Gesundheitsschadens (Befund, Diagnose etc.) und zur Arbeitsfähigkeit, die Ergebnis einer Beweiswürdigung sind, binden das Bundesgericht, soweit sie nicht offensichtlich unrichtig sind oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruhen (E. 1). Dies gilt auch für den Zeitpunkt des Eintritts der Arbeitsunfähigkeit, deren Ursache zur Invalidität geführt hat (Art. 23 lit. a BVG; SVR 2008 BVG Nr. 31 S. 126, 9C_182/2007 E. 4.1.1).
Eine Beweiswürdigung ist nicht bereits dann willkürlich (zum Begriff der Willkür: <ref-ruling> E. 2.1 S. 18 f. mit Hinweisen), wenn eine andere Lösung ebenfalls vertretbar erscheint oder gar vorzuziehen wäre, sondern erst dann, wenn der Entscheid offensichtlich unhaltbar ist, zur tatsächlichen Situation in klarem Widerspruch steht oder auf einem offenkundigen Fehler beruht (<ref-ruling> E. 2b S. 56; <ref-ruling> E. 1.3 S. 4 f.).
4.2.
4.2.1. Die Vorinstanz hat festgestellt, Prof. Dr. med. I._, Neurochirurgie des Universitätsspitals J._, habe mit Bericht vom 30. Mai 2007 ausgeführt, der Beschwerdeführer habe im Dezember 2004 offenbar keinen Schlaganfall, sondern einen erstmaligen epileptischen Anfall infolge des jetzt objektivierten mutmasslichen Glioms links parieto-occipital erlitten. Das EEG vom 14. Mai 2007 sei ohne epilepsie-typische Potentialabläufe gewesen. Das MRI vom 23. April 2007 zeige einen relativ kleinen Befund. Im Bericht vom 23. August 2007sei dargetan worden, dass (erst) Anfang April 2007 mehrfach epileptische Anfälle aufgetreten seien. Die onkologische Abteilung des Universitätsspitals J._ habe mit Bericht vom 27. August 2007 angegeben, der Patient berichte seit Ende 2004 über rezidivierende neurologische Störungen.
4.2.2. Der Beschwerdeführer verweist in Bezug auf seine Anstellung bei der D._ AG vorab auf die vorinstanzliche Eingabe der UWP vom 5. Dezember 2014. Die darin enthaltene Formulierung, er sei "den Belastungen des ersten Arbeitsmarktes nicht gewachsen" gewesen (vgl. Stellungnahme vom 5. Dezember 2014, S. 2), lässt für sich alleine nicht den Schluss zu, dass das Arbeitsverhältnis aufgrund gesundheitlicher Ursachen beendet worden wäre. Dagegen spricht vor allem, dass der Beschwerdeführer gemäss Auszug aus dem individuellen Konto nach der Kündigung durch die D._ AG im August 2004 Taggelder der Arbeitslosenversicherung bezog und demzufolge als (voll) vermittlungsfähig galt. Dass dieser Taggeldbezug bis im November 2004 andauerte, stützt die vorinstanzliche Auffassung, wonach der Beschwerdeführer erst gegen Ende Jahr relevant eingeschränkt war. Insoweit ist nicht auszuschliessen, dass die Gründe für die Kündigung auf Seiten der Arbeitgeberin oder im Stellenprofil als solchem lagen (E. 4.1). Das Arbeitszeugnis der D._ AG vom 2. August 2004, woraus hervorgeht, der Arbeitnehmer habe die Aufgaben (lediglich) "zu unserer Zufriedenheit" erfüllt, führt - entgegen der Ansicht des Beschwerdeführers - zu keinem anderen Schluss. Diese Angaben sind vielmehr so zu interpretieren, dass der Beschwerdeführer in der Lage war, als Hauswart eine zumindest genügende Arbeitsleistung zu erbringen, wurde doch immerhin bestätigt, dass er mit grossem Fleiss gearbeitet habe und im Umgang mit Vorgesetzten und Arbeitskollegen stets korrekt war. Die Arbeitgeberin wies denn auch explizit darauf hin, dass eine umfassende Qualifikation (einzig) an der Kürze des Arbeitsverhältnisses scheitere, ohne die Ursachen zu benennen. Dass eine Leistungseinbusse aus gesundheitlichen Gründen zu dessen Beendigung geführt haben soll (zum Erfordernis der sinnfälligen Auswirkung auf das Arbeitsverhältnis vgl. BGE <ref-ruling> E. 5.3 S. 27), erscheint - auch wenn Arbeitszeugnisse grundsätzlich wohlwollend formuliert sein müssen (vgl. Stellungnahme vom 5. Dezember 2014, S. 2) - demnach nicht überwiegend wahrscheinlich; krankheitsbedingte Absenzen sind nicht belegt und der Beschwerdeführer vermag auch keine anderen Umstände darzutun, die in diese Richtung deuten.
4.2.3. Ferner rügt der Beschwerdeführer eine willkürliche Beweiswürdigung, weil sich die Vorinstanz in Bezug auf das diagnostizierte Glioblastom massgeblich auf einen selbst recherchierten Wikipedia-Eintrag gestützt habe. Zwar trifft zu, dass solche Informationen im Zusammenhang mit sozialversicherungsrechtlichen Leistungsansprüchen für sich allein nicht aussagekräftig sind. Dazu bedarf es verlässlicher medizinischer Entscheidungsgrundlagen (<ref-ruling> E. 5.1 S. 232). Der Beschwerdeführer übersieht jedoch, dass das kantonale Gericht den fraglichen Eintrag nur ergänzend ("im Übrigen") konsultiert, einen Leistungsanspruch indessen zur Hauptsache aufgrund der medizinischen Akten verneint hat. Somit stellt der fragliche Wikipedia-Eintrag kein wesentliches Element der vorinstanzlichen Begründung dar, sodass von einem willkürlichen Vorgehen keine Rede sein kann. Aus diesem Grund fällt auch eine Verletzung des Anspruchs auf rechtliches Gehör (<ref-law>) - soweit eine solche durch einen öffentlich zugänglichen und jederzeit veränderbaren Wikipedia-Eintrag überhaupt bewirkt werden kann - ausser Betracht (vgl. <ref-ruling> E. 5.1 S. 293 mit Hinweisen). Im Übrigen hat sich das kantonale Gericht detailliert mit der medizinischen Aktenlage auseinandergesetzt und insbesondere die abweichenden Angaben des Dr. med. K._ einbezogen, der den Beschwerdeführer im relevanten Zeitraum (seit Januar 2003) behandelte (vgl. Bericht vom 31. März 2014). Diesbezüglich hat es gewürdigt, dass die Einschätzung des Dr. med. K._, wonach sich die Arbeitsunfähigkeit des Versicherten ab 1. August 2004 auf 100 % belief, nicht nachvollziehbar ist und den (fachärztlichen) Stellungnahmen des Universitätsspitals J._ widerspricht. Im Weiteren hat die Vorinstanz der Erfahrungstatsache Rechnung getragen, dass Hausärzte in der Regel aufgrund ihrer auftragsrechtlichen Vertrauensstellung eher zu Gunsten ihrer Patienten aussagen (<ref-ruling> E. 4.5 S. 470 mit Hinweisen). Eine Verletzung der Beweiswürdigungsregeln ist auch vor diesem Hintergrund nicht ersichtlich, zumal der Beschwerdeführer dazu nichts vorbringt. Der Einwand, der rheumatologische Gutachter Dr. med. E._ (Gutachten vom 11. August 2005) habe die Angaben des Exploranden, wonach dieser an täglichen "Hirnschlägen" leide, ins Lächerliche gezogen, mag mit Blick auf die spätere Diagnose und deren Folgen eine gewisse Berechtigung haben. Inwiefern daraus hervorgehen soll, dass vor Ende 2004 eine Arbeitsunfähigkeit von mindestens 20 % bestand, legt der Beschwerdeführer jedoch nicht dar und ist aufgrund der kaum begründeten retrospektiven Beurteilung des rheumatologischen Experten auch nicht ersichtlich.
4.3. Insgesamt hat die Vorinstanz die Gegebenheiten des konkreten Einzelfalles berücksichtigt und eine korrekte Beweiswürdigung vorgenommen. Die vorinstanzliche Schlussfolgerung, wonach gestützt auf die medizinischen Erhebungen davon auszugehen ist, dass die Symptome des Gehirntumors frühestens Ende 2004 aufgetreten sind, ist weder willkürlich noch sonstwie bundesrechtswidrig (E. 1). Da es somit an einer Arbeitsunfähigkeit von mindestens 20 % während des hier zu beurteilenden Vorsorgeverhältnisses fehlt, kann offen bleiben, wie es sich mit dem engen sachlichen und zeitlichen Zusammenhang verhält. Nach dem Gesagten erübrigt sich die Rückweisung der Sache an die Vorinstanz. Die Beschwerde ist unbegründet.
5.
Dem Ausgang des Verfahrens entsprechend hat der unterliegende Beschwerdeführer die Gerichtskosten zu tragen (<ref-law>). Die UWP und die Stiftung Abendrot haben keinen Anspruch auf eine Parteientschädigung (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Auf die Anschlussbeschwerden werden nicht eingetreten.
2.
Die Beschwerde wird abgewiesen.
3.
Die Gerichtskosten von Fr. 800.- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien, der BVG-Stiftung der B._ AG, der Stiftung Abendrot, dem Sozialversicherungsgericht des Kantons Basel-Stadt und dem Bundesamt für Sozialversicherungen schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 11. Mai 2016
Im Namen der II. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Glanzmann
Der Gerichtsschreiber: Grünenfelder