Sachverhalt:
A.
A.a. Verschiedene Treuhänder/Promotoren beabsichtigten den Erwerb der Grundstücke D._-Strasse/E._-Strasse xxx, yyy und zzz in U._. Dabei sahen sie vor, dass deutsche Anleger "ihr Eigenkapital" auf ein Treuhandkonto einbezahlen würden und die "Restfinanzierung" durch die Bank F._ erfolgen sollte. Die Zahlungen der Anleger gingen im Wesentlichen an den G._-Pool, der Grundlage für das weitere Projekt bildete, wobei die Verwendung der Gelder durch Treuhand- und Geschäftsbesorgungsverträge geregelt wurde. Bis Ende 2002 sind praktisch alle Einzahlungen der deutschen Anleger, d.h. rund Fr. 1'928'800.--, über die H._ GmbH (inzwischen liquidiert) als Darlehen an die am 30. November 2001 in U._ gegründete B._ AG gegangen. Am 18. Februar 2002 beschloss eine ausserordentliche Generalversammlung deren Aktienkapital von Fr. 100'000.-- auf Fr. 500'000.-- zu erhöhen, wozu offenbar auf Gelder des G._-Pool zurückgegriffen wurde. Der Kaufbetrag für die Immobilien betrug Fr. 5,9 Mio., wovon Fr. 4 Mio. über eine Hypothek der Bank F._ und der Restbetrag durch deutsche Investoren und Gelder aus den durch die H._ GmbH der B._ AG zur Verfügung gestellten Mitteln gedeckt wurden. Sämtliche Gelder bzw. Eigenmittel, mit denen die B._ AG den Kauf finanzierte, hätten - so das Präsidialdepartement des Kantons Basel-Stadt - im Wesentlichen aus dem G._-Pool und damit fast ausschliesslich von deutschen Anlegern gestammt. Die Liegenschaften E._-Strasse yyy und zzz wurden am 25. April 2014 für Fr. 3'310'000.-- veräussert (vgl. Ziff. 6.2 der Verfügung des Präsidialdepartements vom 18. Juni 2015, S. 10 letzter Abschnitt).
A.b. In ähnlicher Weise gingen die Promotoren/Investoren im Zusammenhang mit dem Kauf der Liegenschaft I._-Strasse in U._ vor. Die C._ AG ist am 10. August 2004 mit Sitz in U._ gegründet worden. Das Aktienkapital von Fr. 250'000.-- stammte nach den Angaben des Präsidialdepartements des Kantons Basel-Stadt wiederum im Wesentlichen von deutschen Investoren. Am 12. November 2004 ist die Liegenschaft I._-Strasse für Fr. 1'432'369.25 gekauft worden, wobei die Transaktion im Umfang von Fr. 432'369.25 durch ausländische Mittel und im Übrigen durch ein hypothekarisch gesichertes Darlehen von Fr. 1 Mio. finanziert wurde. Die Liegenschaft ist am 31. März 2014 für Fr. 2'252'800.-- veräussert worden (vgl. Ziff. 6.3 der Verfügung des Präsidialdepartements vom 18. Juni 2015).
A.c. Die am 9. November 2005 gegründete J._ AG, die über ein Aktienkapital von Fr. 100'000.-- (100 Inhaberaktien zu je Fr. 1'000.--, voll liberiert) verfügte, erwarb am 21. Dezember 2005 für Fr. 1,8 Mio. das Doppelmehrfamilienhaus K._-Strasse in V._. Die Gelder hierfür stammten aus einem Hypothekarkredit im Umfang von Fr. 1'464'000.-- und von der B._ AG erhältlich gemachten Eigenmitteln von insgesamt Fr. 336'000.--. Am 21. Juni 2012 hat die B._ AG die J._ AG mit Aktiven und Passiven übernommen. Das Doppelmehrfamilienhaus wurde offenbar vorgängig verkauft (vgl. Ziff. 6.4 der Verfügung des Präsidialdepartements vom 18. Juni 2015).
A.d. Die am 12. Dezember 2002 gegründete A._ Holding AG bezweckt im Wesentlichen den Erwerb und die Verwaltung von Beteiligungen an Unternehmen, welche sich direkt oder indirekt mit dem Erwerb und Halten sowie der Verwaltung und Finanzierung von Liegenschaften befassen. Das Aktienkapital von Fr. 100'000.-- war in 100 Inhaberaktien zu Fr. 1'000.-- aufgeteilt und voll liberiert. Ab dem 1. Januar 2007 übernahm die A._ Holding AG für rund Fr. 4,3 Mio. die Immobilien-Aktiengesellschaften B._ AG (inkl. J._ AG) und die C._ AG. Am 6. März 2007 wurde ihr Aktienkapital auf Fr. 4,4 Mio. erhöht (4,4 Mio. Inhaberaktien zu je Fr. 1.--). Die Inhaberaktien wurden offenbar zu 100 % durch die L._ AG (heute liquidiert) liberiert, wobei dies "durch Verrechnung von Forderungen über Fr. 4,3 Mio. der Aktionäre gegenüber der Gesellschaft" geschah. Alle 4'300'000 Inhaberaktien im Nennwert von je Fr. 1.-- wurden von der L._ AG gezeichnet und zu pari gegen Verrechnung übernommen. Die deutschen Investoren erhielten die Möglichkeit, ihre Kapitalbeteiligung am G._-Pool in Inhaberaktien der A._ Holding AG umzuwandeln, die an der BX Berne eXchange kotiert werden sollte. Hierzu kam es indessen nie. In der Folge wurden den deutschen Anlegern Inhaberaktien der A._ Holding AG im Umfang ihrer Kapitalbeteiligung (insbesondere am G._-Pool) abgegeben (vgl. Ziff. 6.5 der Verfügung des Präsidialdepartements vom 18. Juni 2015).
B.
B.a. Im Zusammenhang mit einem Strafverfahren gegen mehrere Personen gelangte die Staatsanwaltschaft Basel-Stadt (Abteilung Wirtschaftsdelikte) am 31. Januar 2013 an die Staatliche Schlichtungsstelle für Mietstreitigkeiten bzw. an das Präsidialdepartement des Kantons Basel-Stadt als zuständige kantonale Bewilligungsbehörde gemäss dem Bundesgesetz vom 16. Dezember 1983 über den Erwerb von Grundstücken durch Personen im Ausland (BewG; SR 211.412.41). Abklärungsgegenstand bildete die Gründung bzw. die Finanzierung der Grundstückkäufe der Firmen B._ AG, der C._ AG und der J._ AG sowie deren Übernahme durch die A._ Holding AG mit weitgehend aus Geldern des im Wesentlichen durch deutsche Anleger mit Sitz in Deutschland geäufneten G._-Pool. Bei den Grundstückkäufen durch die genannten Firmen sei jeweils über eine direkte oder indirekte Finanzierung aus dem G._-Pool gleich vorgegangen worden. Die betroffenen natürlichen Personen hätten die Aktien der B._ AG für die ausländischen Investoren treuhänderisch gehalten, bevor sie anfangs 2007 in die A._ Holding AG eingebracht worden seien. Nach der Kapitalerhöhung der A._ Holding AG von Fr. 100'000.-- auf Fr. 4,4 Mio. sei den deutschen Anlegern angeboten bzw. ermöglicht worden, ihre Darlehen - also im Wesentlichen ihre ursprünglichen Einzahlungen auf das Konto des "Investment Pools" - im Verhältnis 1:1 in Aktien der nicht börsenkotierten A._ Holding AG umzutauschen (vgl. Ziff. 6.1 und 6.5 der Verfügung des Präsidialdepartements vom 18. Juni 2015).
B.b. Nach weiteren Abklärungen ersuchte die Staatsanwaltschaft des Kantons Basel-Stadt am 11. November 2013 das Präsidialdepartement darum, eine nachträgliche Verfügung hinsichtlich der A._ Holding AG zu erlassen und die Bewilligungspflicht der Aktienzuteilung an die Anleger in Deutschland festzustellen (vgl. Art. 15 Abs. 3 lit. c der Verordnung vom 1. Oktober 1984 über den Erwerb von Grundstücken durch Personen im Ausland [BewV; SR 211.412.411]). Das Präsidialdepartement entsprach dem Begehren und entschied am 18. Juni 2015 wie folgt (Hervorhebungen durch das Bundesgericht) :
"1. Es wird festgestellt, dass die Gründung der B._ AG, die Kapitalerhöhung der B._ AG und der Erwerb der Grundstücke D._-Strasse/E._-Strasse xxx, yyy, zzz, gelegen in U._ (Grundbuch Basel-Stadt, Sektion 1, Parzellen-Nr. aaa, bbb und ccc), durch die B._ AG bewilligungspflichtig waren. Die Voraussetzungen für die Erteilung einer Bewilligung sind in allen Fällen nicht gegeben. Daher können die Gründung der B._ AG, die Kapitalerhöhung der B._ AG und der Erwerb der Grundstücke D._-Strasse/E._-Strasse xxx durch die B._ AG nicht nachträglich bewilligt werden und der Erwerb der nunmehr veräusserten Grundstücke E._-Strasse yyy und zzz durch die B._ AG hätte nicht nachträglich bewilligt werden können.
2. Es wird festgestellt, dass die Gründung der C._ AG und der Erwerb des Grundstückes I._-Strasse, gelegen in U._ (Grundbuch Basel-Stadt, Sektion 4, Parzelle-Nr. ddd), durch die C._ AG bewilligungspflichtig waren. Die Voraussetzungen für die Erteilung einer Bewilligung sind in beiden Fällen nicht gegeben. Daher kann die Gründung der C._ AG nicht nachträglich bewilligt werden und der Erwerb des nunmehr veräusserten Grundstücks I._-Strasse durch die C._ AG hätte nicht nachträglich bewilligt werden können.
3. Es wird festgestellt, dass die Gründung der J._ AG und der Erwerb des Grundstückes K._-Strasse, gelegen in V._ (Grundbuch St. Gallen, Plan Nr. 58, Liegenschafts-Nr. eee) durch die J._ AG bewilligungspflichtig waren. Die Voraussetzungen für die Erteilung einer Bewilligung sind in beiden Fällen nicht gegeben. Daher hätte die Gründung der nunmehr aufgelösten J._ AG und der Erwerb des nunmehr veräusserten Grundstückes K._-Strasse durch die J._ AG nicht nachträglich bewilligt werden können.
4. Es wird festgestellt, dass der Erwerb sämtlicher Aktien der B._ AG, der C._ AG und der J._ AG durch die vormalige M._ AG, heute A._ Holding AG, die Kapitalerhöhung der A._ Holding AG sowie der Erwerb von Aktien der A._ Holding AG durch ausländische Investoren bewilligungspflichtig waren. Die Voraussetzung für die Erteilung einer Bewilligung sind in allen Fällen nicht gegeben. Daher können der Erwerb sämtlicher Aktien der B._ AG, der C._ AG und der J._ AG durch die vormalige M._ AG, heute A._ Holding AG, die Kapitalerhöhung der A._ Holding AG, sowie der Erwerb von Aktien der A._ Holding AG durch ausländische Personen nicht nachträglich bewilligt werden."
[Ziff. 5 bis 9: Kosten- und Entschädigungsregelung sowie Eröffnung]
B.c. Das Präsidialdepartement des Kantons Basel-Stadt ging davon aus, dass die B._ AG eine nicht börsenkotierte Immobiliengesellschaft im engeren Sinn bzw. eine Wohnimmobiliengesellschaft (im Sinne von <ref-law>) sei und schon vor ihrer Gründung beabsichtigt war, die Wohnliegenschaften D._-Strasse/E._-Strasse xxx, yyy und zzz zu erwerben. Praktisch alle Mittel für die Gründung und die Kapitalerhöhung der B._ AG seien aus dem G._-Pool gekommen. Bei der Kapitalerhöhung vom 18. Februar 2002 habe die ausländische Finanzierung klar 80% überschritten, womit eine Stärkung der Erwerber verbunden gewesen sei (vgl. Art. 1 Abs. 1 lit. a und lit. b [Fassung vom 21. April 2004] sowie Abs. 2 lit. b BewV i.V.m. <ref-law>). Hinsichtlich der anderen Firmen bestünden ähnliche Situationen. Bezüglich des Aktienerwerbs an den drei Wohnimmobiliengesellschaften durch die A._ Holding AG hielt das Präsidialdepartement fest, dass diese als Treuhänderin dazu gedient habe, für die ausländischen Investoren Aktien, d.h. Grundstücke im Sinne von <ref-law>, zu erwerben. Die gesamte Finanzierung der Kapitalerhöhung der A._ Holding AG per 6. März 2007 sei durch die drei Wohnimmobiliengesellschaften - d.h. die B._ AG, die C._ AG und die J._ AG -, die alle als Personen im Ausland zugehörig zu gelten hätten, erbracht worden, wobei es wiederum zu einer Stärkung der Stellung der Erwerber gekommen sei (<ref-law>). Da sich praktisch die gesamten Aktiven der A._ Holding AG aus den Aktien an diesen Gesellschaften zusammensetzten, sei die Holding ebenfalls als Wohnimmobiliengesellschaft bzw. als Immobiliengesellschaft im engeren Sinn zu qualifizieren; sie sei an keiner Börse kotiert, weshalb der Aktienerwerb durch ausländische Investoren bewilligungspflichtig sei, ohne dass Bewilligungsgründe bestünden (Art. 4 Abs. 1 lit. e i.V.m. Art. 5 Abs. 1 lit. c und lit. d sowie <ref-law>). Die Feststellung in Bezug auf die vorgängigen Rechtsgeschäfte, welche die Aktienzuteilung an die deutschen Anleger erst ermöglicht hätten, erfolge, um aufzuzeigen, dass auch diese bewilligungspflichtig, aber nicht bewilligungsfähig gewesen wären.
C.
C.a. Gegen den Entscheid des Präsidialdepartements gelangten die A._ Holding AG, die B._ AG und die C._ AG sowie verschiedene Privatpersonen an das Appellationsgericht (als Verwaltungsgericht) des Kantons Basel-Stadt. Dieses vereinigte die Verfahren und entschied wie folgt (Hervorhebungen durch das Bundesgericht) :
"2. In teilweiser Abweisung der Beschwerden wird Ziff. 4der angefochtenen Verfügungen des Präsidialdepartements vom 18. Juni 2015 insoweit bestätigt, als festgestellt wird, dass der Erwerb sämtlicher Aktien der B._ AG durch die vormalige M._ AG, heute A._ Holding AG, und der Erwerb von Aktien der A._ Holding AG durch ausländische Investoren bewilligungspflichtig waren, die Voraussetzungen für die Erteilung einer Bewilligung in diesen Fällen nicht gegeben waren und der Erwerb sämtlicher Aktien der B._ AG durch die vormalige M._ AG, heute A._ Holding AG, und der Erwerb von Aktien der A._ Holding AG durch ausländische Personen daher nicht nachträglich bewilligt werden können.
3. In teilweiser Gutheissung der Beschwerden wird Ziff. 4der angefochtenen Verfügung des Präsidialdepartements vom 18. Juni 2015 insoweit aufgehoben, als darin festgestellt wird, dass der Erwerb sämtlicher Aktien der C._ AG durch die vormalige M._ AG, heute A._ Holding AG, bewilligungspflichtig gewesen sei, die Voraussetzungen für die Erteilung einer Bewilligung in diesem Fall nicht gegeben gewesen seien und der Erwerb sämtlicher Aktien der C._ AG durch die vormalige M._ AG, heute A._ Holding AG, daher nicht nachträglich bewilligt werden könne. Diesbezüglich wird die Sache zur Neubeurteilung i m Sinn der Erwägungen an das Präsidialdepartement zurückgewiesen.
4. In teilweiser Gutheissung der Beschwerden wird Ziff. 4der angefochtenen Verfügungen des Präsidialdepartements vom 18. Juni 2015 insoweit aufgehoben, als darin festgestellt wird, dass der Erwerb sämtlicher Aktien der J._ AG durch die vormalige M._ AG, heute A._ Holding AG, bewilligungspflichtig gewesen sei, die Voraussetzungen für die Erteilung einer Bewilligung in diesem Fall nicht gegeben gewesen seien und der Erwerb sämtlicher Aktien der J._ AG durch die vormalige M._ AG, heute A._ Holding AG, daher nicht nachträglich bewilligt werden könne. Diesbezüglich wird das Verfahren auf Feststellung der Bewilligungspflicht eingestellt.
5. In teilweiser Gutheissung der Beschwerden werden die Ziff. 1, 2 und 3 der angefochtenen Verfügung des Präsidialdepartements vom 18. Juni 2015 aufgehoben und das Verfahren auf Feststellung der Bewilligungspflicht diesbezüglich eingestellt. "
[Ziff. 6 bis 11: Kosten- und Entschädigungsregelung sowie Eröffnung]
C.b. Das Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt ging davon aus, dass, da eine Klage auf Wiederherstellung des ursprünglichen Zustands, eine Strafverfolgung wegen Widerhandlung gegen das BewG, eine Einziehung sowie eine rechtliche Rückabwicklung weitgehend ausgeschlossen seien, das Präsidialdepartement mangels eines individuellen und konkreten öffentlichen Feststellungsinteresses in Ziff. 1 seines Entscheids nicht hätte festhalten dürfen, dass die Gründung der B._ AG, deren Kapitalerhöhung und der Erwerb der Grundstücke D._-Strasse/E._-Strasse xxx, yyy und zzz bewilligungspflichtig und nicht bewilligungsfähig gewesen seien. Dasselbe gelte bezüglich des Erwerbs des Grundstücks I._-Strasse durch die C._ AG und des Erwerbs des Grundstücks K._-Strasse durch die J._ AG, zumal ihm hinsichtlich der J._ AG die örtliche Zuständigkeit gefehlt habe. Einzig bezüglich des Erwerbs der Aktien der B._ AG und der C._ AG durch die A._ Holding AG und des Erwerbs von Aktien der A._ Holding AG durch die ausländischen Investoren gemäss Ziffer 4 der angefochtenen Verfügung könne eine Klage der Behörde auf Wiederherstellung des ursprünglichen Zustands, eine Strafverfolgung wegen Widerhandlung gegen das BewG und eine Einziehung für den Fall, dass die Rechtsgeschäfte bewilligungspflichtig und nicht bewilligungsfähig gewesen seien, derzeit nicht ausgeschlossen werden. In diesem Zusammenhang bestehe ein aktuelles sowie individuelles und konkretes öffentliches Feststellungsinteresse und sei der Entscheid in Ziffer 4 der Verfügung des Präsidialdepartements (teilweise) zu bestätigen. In den Fällen, in denen eine Registerbehörde gehandelt habe, fehle es an den qualifizierten gesetzlichen Voraussetzungen (unrichtige oder unvollständige Angaben über Fakten dem Handelsregisterführer gegenüber [<ref-law>]), um die Bewilligungspflicht bzw. -möglichkeit nachträglich prüfen zu können, weshalb die Verfahren in Ziffer 1 bis 3 des Dispositivs der Verfügung des Präsidialdepartements einzustellen seien.
D.
D.a. Die A._ Holding AG, die B._ AG und die C._ AG beantragen vor Bundesgericht:
"1. Es sei die Ziffer 2 des Dispositivs des angefochtenen Entscheids insoweit aufzuheben, als darin die angefochtenen Verfügungen des Präsidialdepartements vom 18. Juni 2015 insoweit bestätigt werden, als festgestellt wird, dass der Erwerb sämtlicher Aktien der B._ AG, durch die M._ AG, heute die A._ Holding AG, bewilligungspflichtig war, die Voraussetzungen für die Erteilung einer Bewilligung in diesem Fall nicht gegeben waren und der Erwerb sämtlicher Aktien der B._ AG durch die M._ AG, heute A._ Holding AG, daher nicht nachträglich bewilligt werden kann.
2. Es sei die Ziffer 3 des Dispositivs des angefochtenen Entscheids aufzuheben.
3. Es sei gestützt auf die teilweise Aufhebung der Ziffer 2 des angefochtenen Entscheids und die Aufhebung der Ziffer 3 des angefochtenen Entscheids das Verfahren auf Feststellung der Bewilligungspflicht hinsichtlich des Erwerbs sämtlicher Aktien der B._ AG und der C._ AG durch die vormalige M._ AG, heute A._ Holding AG und Beschwerdeführerin 1, einzustellen."
[Ziffern 4 bis 7: Kosten- und Entschädigungsfolgen].
D.b. Die beschwerdeführenden Gesellschaften ersuchen das Bundesgericht darum, direkt in der Sache selber zu entscheiden, soweit das Appellationsgericht hinsichtlich der C._ AG die Sache zur Ergänzung des Sachverhalts an das Präsidialdepartement zurückgewiesen hat, da mit der Gutheissung ihrer Beschwerde im Hauptpunkt (auch) der diesbezügliche Zwischenentscheid entfalle. Der Rückweisungsentscheid beruhe auf der von ihnen grundsätzlich zur Diskussion gestellten Frage nach den Voraussetzungen, unter denen überhaupt ein nachträgliches Bewilligungsverfahren durchgeführt werden dürfe. Dies sei vorliegend umfassend - und nicht nur in den von der Vorinstanz gutgeheissenen Punkten - unzulässig gewesen, da der Handelsregisterführer über sämtliche erforderlichen Informationen hinsichtlich des Kaufs der Immobiliengesellschaften durch die A._ Holding AG und der damit verbundenen Kapitalerhöhung verfügt habe, ohne dass er sein Verfahren bis zum Entscheid über die Bewilligungspflicht und -möglichkeit im Rahmen des BewG ausgesetzt hätte (Art. 18 Abs. 1 und 2 sowie <ref-law>).
E.
Das Appellationsgericht und das Präsidialdepartement des Kantons Basel-Stadt beantragen, die Beschwerde abzuweisen. Das Bundesamt für Justiz als beschwerdeberechtigte Bundesbehörde hat sich den Ausführungen des Appellationsgerichts und des Präsidialdepartements des Kantons Basel-Stadt angeschlossen. Die beschwerdeführenden Gesellschaften hielten am 2. März 2017 an ihren Anträgen und Ausführungen fest.

Erwägungen:
1.
1.1. Gegen den letztinstanzlichen kantonalen Entscheid im Zusammenhang mit der Verweigerung einer Bewilligung gemäss dem Bundesgesetz über den Erwerb von Grundstücken durch Personen im Ausland bzw. der Feststellung, dass ein entsprechender Erwerb bewilligungspflichtig ist, kann mit der Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten an das Bundesgericht gelangt werden (Art. 82 lit. a, Art. 83 e contrario, Art. 86 Abs. 1 lit. d und Art. 90 BGG). Auf die frist- (<ref-law>) und (im Wesentlichen) formgerecht (Art. 42 und <ref-law>; vgl. hierzu jedoch E. 1.2.3) eingereichte Eingabe der durch den angefochtenen Entscheid unmittelbar betroffenen Gesellschaften ist einzutreten (<ref-law>). Dies gilt auch, soweit der angefochtene Entscheid bezüglich der Rückweisung als Zwischenentscheid zu qualifizieren ist, da mit einer allfälligen Gutheissung der Beschwerde sofort ein Endentscheid herbeigeführt und damit ein bedeutender Aufwand an Zeit und Kosten für ein weitläufiges Beweisverfahren erspart würde (vgl. <ref-law>).
1.2.
1.2.1. Das Bundesgericht prüft unter Berücksichtigung der allgemeinen Rüge- und Begründungspflicht grundsätzlich nur die geltend gemachten Vorbringen, sofern die rechtlichen Mängel nicht geradezu offensichtlich sind (<ref-ruling> E. 1.4.1 S. 254). Es ist nicht gehalten, wie eine erstinstanzliche Behörde alle sich potentiell stellenden Fragen zu erörtern, wenn diese durch die Parteien nicht mehr zur Diskussion gestellt werden (<ref-ruling> E. 1.4.1 S. 254). Den Sachverhalt legt das Bundesgericht seinem Urteil so zugrunde, wie die Vorinstanz ihn festgestellt hat (<ref-law>). Es berichtigt oder ergänzt ihn lediglich - soweit entscheidrelevant -, wenn er offensichtlich unrichtig oder in Verletzung von Bundesrecht ermittelt wurde (Art. 105 Abs. 2 i.V.m. <ref-law>). Die betroffene Person muss rechtsgenügend - d.h. in Auseinandersetzung mit den Ausführungen der Vorinstanz - dartun, dass und inwiefern der Sachverhalt bzw. die beanstandete Beweiswürdigung klar und eindeutig mangelhaft ist (<ref-law>; vgl. <ref-ruling> E. 1.4.3; <ref-ruling> E. 1.3). Obwohl nicht ausdrücklich im Gesetz erwähnt, beruht auch die unvollständige Sachverhaltsfeststellung auf einer Rechtsverletzung: Was als rechtserheblich zu gelten hat, bestimmt das materielle Recht; eine in Verkennung der Rechtserheblichkeit unvollständige Erstellung der für die rechtliche Beurteilung massgeblichen Tatsachen kommt einer Verletzung der anzuwendenden Sachnorm gleich (<ref-law>; <ref-ruling> E. 1.4 S. 68; <ref-ruling> E. 4.3 S. 62).
1.2.2. Verfahrensgegenstand vor Bundesgericht bildet ausschliesslich noch die Frage, ob die Vorinstanz nachträglich die Bewilligungspflicht und das Fehlen einer Bewilligungsmöglichkeit bezüglich der Aktienkäufe der B._ AG und der C._ AG durch die A._ Holding AG (im Rahmen der durch Verrechnungsliberierung erfolgten Kapitalerhöhung) sowie die Abgabe von deren Aktien an die ausländischen Investoren bejahen bzw. hinsichtlich der C._ AG diesbezüglich weitere Abklärungen anordnen durfte. Im Übrigen beanstanden die Beschwerdeführerinnen den Entscheid des Appellationsgerichts nicht weiter: Sie stellen nicht mehr infrage, dass es sich bei ihnen um Immobiliengesellschaften im engeren Sinn handelt; einzig hinsichtlich der C._ AG steht dies noch nicht abschliessend fest, da die Sache von der Vorinstanz diesbezüglich an das Präsidialdepartement zurückgewiesen wurde.
1.2.3. Die vorliegende Eingabe genügt den gesetzlichen Begründungsanforderungen nicht in allen Punkten: Die Beschwerdeführerinnen unterlassen es teilweise darzulegen, inwiefern die Vorinstanz bei der Sachverhaltsfeststellung bzw. der Beweiswürdigung Verfassungsrecht verletzt bzw. den Sachverhalt offensichtlich unvollständig oder fehlerhaft festgestellt hätte. Soweit sie lediglich in appellatorischer Weise ihre Sicht der Dinge und Wertungen derjenigen der Vorinstanz gegenüberstellen, ohne auszuführen, inwiefern diese Bundesrecht verletzt, ist auf ihre Darlegungen nicht weiter einzugehen. Dass der von der Vorinstanz festgestellte Sachverhalt nicht mit der Darstellung der beschwerdeführenden Person übereinstimmt, begründet für sich allein noch keine Willkür (<ref-ruling> E. 2.3 S. 266 mit Hinweisen).
2.
Die Beschwerdeführerinnen erblicken im Umstand eine unvollständige Feststellung des Sachverhalts, dass die Vorinstanz dem Kontoblatt 1180, woraus sich im Zusammenhang mit der Kapitalerhöhung ergeben habe, dass die A._ Holding AG drei Immobiliengesellschaften (B._ AG, C._ AG und die J._ AG) hielt, keine Rechnung trug. Der Einwand ist unberechtigt: Die von den Beschwerdeführerinnen angerufenen Dokumente und insbesondere das Kontoblatt 1180 lagen der Vorinstanz vor, wurden von dieser indessen nicht als entscheidwesentlich erachtet. Umstritten ist nicht, ob sie den Sachverhalt offensichtlich unvollständig bzw. falsch festgestellt hat, sondern die Rechtsfrage, ob sie die Tragweite der rechtlichen Bedeutung der eingereichten Papiere in Bezug auf die Möglichkeit des Präsidialdepartements, die Bewilligungspflicht nachträglich zu beurteilen, verkannt hat.
3.
3.1. Das BewG beschränkt den Erwerb von Grundstücken durch Personen im Ausland, um die Überfremdung des einheimischen Bodens zu verhindern. Es soll sicherstellen, dass dieser in erster Linie den Einwohnern der Schweiz vorbehalten bleibt und der Umfang des ausländisch beherrschten Grundeigentums dauerhaft auf einem tragbaren Mass stabilisiert werden kann (Urteil 4C.14/2003 vom 22. April 2003 E. 2.1). Nach <ref-law> bedürfen Personen im Ausland für den Erwerb von Grundstücken einer Bewilligung der zuständigen kantonalen Behörde. Die Bewilligungspflicht hat (kumulativ) eine objektive (<ref-law>: "Erwerb eines Grundstücks") und eine subjektive Seite (Art. 5 f. BewG: "Person im Ausland"); zudem sieht das Gesetz selber Ausnahmen von der Bewilligungspflicht vor (Art. 2 Abs. 2 und Art. 7 BewG: Hauptwohnung, Erbschaft usw.). Es enthält (alternativ) spezifische, bundesrechtliche Bewilligungsgründe (<ref-law>: Versicherungsgesellschaft, Personalvorsorgeeinrichtungen, gemeinnützige Zwecke usw.); daneben sind die Kantone befugt, im Rahmen des Bundesrechts weitere Bewilligungsgründe vorzusehen (<ref-law>: Zweit- und Ferienwohnung usw.). Es bestehen zudem (alternativ) bundesrechtlich vorgegebene Sachverhalte, welche die Bewilligungserteilung zwingend ausschliessen (<ref-law>). Hierzu gehören etwa die unzulässige Kapitalanlage (lit. a), die übermässige Fläche (lit. b), der Umgehungsversuch (lit. c), das vorbestehende Eigentum (lit. d) und die allenfalls entgegenstehenden staatspolitischen Interessen (lit. f). Die Kantone und Gemeinden können weitere Verweigerungsgründe festlegen (<ref-law>: z.B. Bewilligungssperren; vgl. die Übersicht über das Gesetz bzw. dessen Entstehungsgeschichte: GIAN SANDRO GENNA, § 19 Personen im Ausland und schweizerisches Grundeigentum, in: Uebersax/Rudin/Hugi Yar/Geiser [Hrsg.], Ausländerrecht, 2. Aufl. 2009, S. 935 ff., dort S. 981; FELIX SCHÖBI, Schweizerischer Grundstückkauf und europäisches Recht, 1999, S. 152 ff.; ders., § 8 Das Bundesgesetz über den Grundstückerwerb durch Personen im Ausland, in: Alfred Koller [Hrsg.], Der Grundstückkauf, 2. Aufl. 2001, S. 405 ff.; RALPH MALACRIDA, Unternehmensübernahme im Lichte der Lex Koller, in: AJP 10/98 S. 1187 ff., dort Ziff. 2).
3.2. Von der Bewilligungspflicht ist gestützt auf die Gesetzesänderung vom 30. April 1997 ("Lex Koller") ein Erwerb ausgenommen, wenn das Grundstück als ständige Betriebsstätte eines Handels-, Fabrikations- oder eines anderen nach kaufmännischer Art geführten Gewerbes, eines Handwerkbetriebs oder eines freien Berufs dient (<ref-law>; vgl. zum Wegfall der Bewilligungspflicht für Betriebsstättengrundstücke: FELIX SCHÖBI, in: Der Grundstückkauf, a.a.O., S. 411 N. 11 ff.; GEISSMANN/HUBER/WETZEL, Grundstückerwerb in der Schweiz durch Personen im Ausland, Von der Lex Friedrich zur Lex Koller, 1998, N. 130 ff., 166, 168; RALPH MALACRIDA, a.a.O., S. 1189 Ziff. 2; Botschaft des Bundesrats vom 26. März 1997 über besondere konjunkturpolitische Massnahmen zur Substanzerhaltung der öffentlichen Infrastruktur und zur Förderung privater Investitionen im Energiebereich [Investitionsprogramm] sowie zur Erleichterung ausländischer Investitionen, BBl 1997 II 1221 ff., dort S. 1244 f. und 1262 ff.). Die Gesetzesrevision erleichtert nicht nur den direkten Erwerb bestimmter Kategorien von Grundstücken, sondern auch den Erwerb von Beteiligungen an Gesellschaften, welche bezwecken, Betriebsstättengrundstücke als Kapitalanlage zu erwerben bzw. zu halten und Dritten zur Verfügung zu stellen. Nach wie vor bewilligungspflichtig ist der Erwerb von Beteiligungen an Immobiliengesellschaften im engeren Sinn, d.h. an Gesellschaften, deren tatsächlicher Zweck ausschliesslich oder hauptsächlich im Kauf von Grundstücken liegt, die nicht als Betriebsstätten bzw. Hauptwohnungen dienen (vgl. BAUMGARTNER/HAUSER, Erwerb von Beteiligungen an Gesellschaften mit Immobilienbesitz durch Ausländer, Bemerkungen zur Revision der Lex Friedrich vom 30. April 1997, in: Schweizerische Zeitschrift für Wirtschaftsrecht [SZW] 2/99 S. 86 ff.; RALPH MALACRIDA, a.a.O., S. 1190 Ziff. 3.2; GEISSMANN/HUBER/WETZEL, a.a.O., S. 47 ff. N. 130 ff.). Grundstücke für die Erstellung oder gewerbsmässige Vermietung von Wohnraum, der nicht zu einem Hotel oder Apparthotel gehört, begründen keine Betriebsstätten. Wohnungen können als Betriebsstättengrundstücke dann miterworben werden, wenn sie in Wohnanteilvorschriften vorgeschrieben sind, betriebsnotwendig erscheinen, vom Betriebsstättengrundstück praktisch nicht abgetrennt werden können oder räumlich bzw. dem Wert nach von untergeordneter Bedeutung sind (vgl. FELIX SCHÖBI, in: Der Grundstückkauf, a.a.O., S. 413 f. N. 18 ff.; BAUMGARTNER/HAUSER, a.a.O., S. 88; GEISSMANN/HUBER/WETZEL, A.A.O., S. 60 FF. N. 167 FF.; ZU HOLDINGGESELLSCHAFTEN: N. 178).
3.3. Als Erwerb eines Grundstückes gilt die Übernahme des Eigentums oder der Nutzniessung an einem Anteil an einer juristischen Person, deren tatsächlicher Zweck der Erwerb von Grundstücken bildet (Immobiliengesellschaften im engeren Sinn), sofern ihre Anteile nicht an einer Börse in der Schweiz kotiert sind (<ref-law>; GEISSMANN/HUBER/WETZEL, a.a.O., N. 166 und 168) sowie - als Auffangtatbestand zur Verhinderung von Gesetzesumgehungen - der Erwerb anderer Rechte, die dem Erwerber eine ähnliche Stellung wie jene des Eigentümers eines Grundstücks verschaffen (<ref-law>). Als tatsächlicher Zweck hat das Geschäft mit Grundstücken zu gelten, wenn dieses wirtschaftlich gesehen den Hauptteil der Gesellschaftsaktivitäten ausmacht (MALACRIDA, a.a.O., S. 1189 ff. Ziff. 3). Als Personen im Ausland gelten (auch) juristische Personen oder vermögensfähige Gesellschaften ohne juristische Persönlichkeit, die ihren statutarischen oder tatsächlichen Sitz in der Schweiz haben und in denen Personen im Ausland eine beherrschende Stellung einnehmen (<ref-law>) sowie natürliche und juristische Personen bzw. vermögensfähige Gesellschaften ohne juristische Persönlichkeit, die nicht Personen im Ausland nach der lit. a (Wohnsitz in der Schweiz von EU-Bürgern), lit. a bis (Niederlassungsberechtigte) oder lit. c (ausländisch beherrschte vermögensfähige Gesellschaft) sind, wenn sie bewilligungspflichtige Grundstücke auf Rechnung von Personen im Ausland erwerben (<ref-law>).
3.4. Erwerber, deren Bewilligungspflicht sich im Zusammenhang mit einem Grundstückkauf nicht ohne weiteres ausschliessen lässt, haben spätestens nach dem Abschluss des Rechtsgeschäfts oder, mangels eines solchen, nach dem Erwerb um die Bewilligung oder die Feststellung nachzusuchen, dass sie keiner Bewilligung bedürfen (<ref-law>; vgl. zur entsprechenden Pflicht: MÜHLEBACH/GEISSMANN, Lex F., Kommentar zum Bundesgesetz über den Erwerb von Grundstücken durch Personen im Ausland, 1986, N. 2 zu <ref-law>). Kann der Grundbuchverwalter die Bewilligungspflicht nicht ohne weiteres ausschliessen, so setzt er das Verfahren aus und räumt dem Erwerber eine Frist von 30 Tagen ein, um die Bewilligung oder die Feststellung einzuholen, dass er keiner solchen bedarf; er weist die Anmeldung ab, wenn der Erwerber nicht fristgerecht handelt oder die Bewilligung verweigert wird (<ref-law>). Der Handelsregisterführer verfährt wie der Grundbuchverwalter (<ref-law>). Die Bewilligung wird von Amtes wegen widerrufen, falls der Erwerber sie durch unrichtige Angaben erschlichen hat oder eine Auflage trotz Mahnung nicht einhält (<ref-law>). Die Bewilligungspflicht wird nachträglich festgestellt, wenn der Erwerber einer zuständigen Behörde, dem Grundbuchverwalter oder dem Handelsregisterführer über Tatsachen, die für die Bewilligungspflicht von Bedeutung waren, unrichtige oder unvollständige Angaben gemacht hat (<ref-law>, in der Fassung vom 30. April 1997, in Kraft seit 1. Oktober 1997).
4.
4.1. Nach der Auffassung der Vorinstanz gilt der Vorbehalt unrichtiger oder unvollständiger Angaben nicht, wenn sich keine Behörde vorgängig mit dem Erwerb befasst hat, also kein Registereintrag nötig war (vgl. BAUMGARTNER/HAUSER, a.a.O., S. 90 Ziff. 6). In diesem Fall sei die zuständige Behörde ausserhalb der Vorgaben von <ref-law> (unrichtige bzw. unvollständige Angaben über bewilligungspflichtig relevante Tatsachen) berechtigt, die Bewilligungspflicht und die Bewilligungsfähigkeit gestützt auf ihre Kompetenz in der Sache von Amtes wegen zu prüfen (vgl. MÜHLEBACH/GEISSMANN, a.a.O., N. 11 zu <ref-law>). Der Vollzug der in Ziff. 1, 2 und 3 der angefochtenen Verfügung des Präsidialdepartements beurteilten Rechtsgeschäfte sowie jener der in Ziff. 4 beurteilten Kapitalerhöhung der A._ Holding AG sei unter notwendiger Mitwirkung des Handelsregisterführers oder Grundbuchverwalters erfolgt, ohne dass unrichtige oder unvollständige Angaben gemacht worden seien. Das Präsidialdepartement habe - ausser über den Erwerb der Aktien der B._ AG und der C._ AG durch die Holding und den Erwerb von deren Aktien durch ausländische Investoren - mangels unrichtiger oder unvollständiger Angaben deshalb keine Feststellung zur Bewilligungspflicht mehr treffen dürfen und hätte die Verfahren insoweit einstellen müssen. Anders verhalte es sich bezüglich des Erwerbs der Aktien der B._ AG und der C._ AG durch die Holding und der Übertragung von deren Aktien an die ausländischen Investoren; an den entsprechenden Rechtsgeschäften sei keine Behörde beteiligt gewesen; es bestehe diesbezüglich deshalb kein Schutz in ein durch behördliches Verhalten begründetes, berechtigtes Vertrauen (hierzu: BAUMGARTNER/HAUSER, a.a.O., S. 90 f. Ziff. 6); in diesem Fall dürfe die Bewilligungsbehörde gestützt auf ihre Sachzuständigkeit die Bewilligungspflicht und -fähigkeit - bei Vorliegen eines schutzwürdigen privaten oder öffentlichen Interesses an der Feststellung - nachträglich vorbehaltlos prüfen (vgl. <ref-ruling> E. 3a S. 114 f., wonach die absolute Nichtigkeit der Rechtsgeschäfte im Sinne des BewG jederzeit festgestellt werden kann, und dies unabhängig davon, ob die Klage auf Wiederherstellung des ursprünglichen Rechtszustands verjährt ist oder nicht; eher kritisch hierzu im Hinblick auf die Rechtssicherheit: BAUMGARTNER/HAUSER, a.a.o., S. 90 f. Ziff. 6)
4.2. Die Beschwerdeführerinnen gehen davon aus, dass der Handelsregisterführer, der die entscheidenden Vorgänge bei der Kapitalerhöhung und der Verrechnungsliberierung im Jahr 2007 im Handelsregister eingetragen habe, über sämtliche relevanten Tatsachen informiert worden sei; sie hätten ihm gegenüber nichts verschwiegen und keine unrichtigen Angaben gemacht. Ein nachträgliches Bewilligungsverfahren sei gestützt auf <ref-law> in Bezug auf Ziffer 4 der Verfügung vom 18. Juni 2015 vollumfänglich ausgeschlossen, weil die Erwerberin der Aktien (1) keine unrichtigen und keine unvollständigen Angaben gemacht und (2) die zuständige Behörde ihrerseits keinen Zweifel an der Bewilligungsfreiheit geäussert habe, weshalb der Handelsregisterführer sich denn auch nicht veranlasst sah, sein Verfahren auszusetzen (<ref-law>). Der entscheidende Vorgang sei die Kapitalerhöhung vom 6. März 2007 gewesen, die mittels Verrechnungsliberierung erfolgt sei. Aus dem Kontoblatt, das dem Handelsregisteramt des Kantons Schwyz vorgelegt worden sei, habe sich der Erwerb der Beteiligungen an der B._ AG (inkl. der J._ AG) und der C._ AG klar ergeben. Dem Handelsregisteramt des Kantons Schwyz gegenüber sei bei der Anmeldung die öffentliche Urkunde sowie die Stampa- und Lex-Friedrich-Erklärung eingereicht und der Registerführer darauf hingewiesen worden, dass der Saldo per 6. März 2007 Fr. 4'300'000.00 zu Gunsten der Aktionärin (L._ AG, U._) betrage. Nachdem aufgrund der offen deklarierten und dem Handelsregisterführer bekannten Umstände kein Zweifel an der Bewilligungsfreiheit habe bestehen können, sei eine nachträgliche Feststellung der Bewilligungspflicht nur im Rahmen von <ref-law> zulässig gewesen; weil es an einem täuschenden Verhalten gefehlt habe - wie die Vorinstanz dies zutreffend im Zusammenhang mit der Ziff. 1, 2 und 3 der Verfügung des Präsidialdepartements vom 18. Juni 2015 ausgeführt habe - hätte konsequenterweise auch das Verfahren auf Feststellung der Bewilligungspflicht in Bezug auf die Übernahme der drei Immobiliengesellschaften durch die A._ Holding AG und auf den Erwerb von deren Aktien durch die ausländischen Investoren eingestellt werden müssen.
5.
5.1. Die Regelung von <ref-law> wurde mit der Revision vom 30. April 1997 in das Gesetz aufgenommen. Dabei hielt der Bundesrat fest, dass nach den neuen Bestimmungen jeglicher Grundstückerwerb im Bereich der Betriebsstätten sowie der Erwerb von Hauptwohnungen keiner Bewilligung mehr bedürfe, weshalb die Verweisung des Erwerbers von Grundbuchverwalter oder Handelsregisterführer an die Bewilligungsbehörde nur noch ausnahmsweise erfolgen werde. <ref-law> solle jene bewilligungspflichtigen Rechtsgeschäfte erfassen, die ohne vorgängigen Entscheid der Bewilligungsbehörde in das Grundbuch oder das Handelsregister eingetragen worden seien, weil der Grundbuchverwalter oder der Handelsregisterführer aufgrund vorsätzlich oder fahrlässig gemachter unrichtiger oder unvollständiger Angaben des Erwerbers von einem nicht bewilligungspflichtigen Rechtsgeschäft habe ausgehen dürfen. Zu denken sei etwa an den Fall, wo über den Zweck des Grundstückerwerbs getäuscht und in Wahrheit eine verbotene Kapitalanlage getätigt worden sei. Angesichts der fortdauernden und unübersehbaren Krise auf dem Arbeitsmarkt erachte er es als angezeigt, mit einer begrenzten Revision der "Lex Friedrich" ausländische Investitionen zu ermöglichen, welche die Chance zur Schaffung neuer Produktions- und Dienstleistungsbetriebe böten; der Erwerb von Grundstücken "nur zum Zweck der Kapitalanlage oder des Immobilienhandels" blieben bewusst ausgeklammert und unterlägen weiterhin der Bewilligungspflicht (vgl. BBl 1997 II 1245, 1264 f.; vgl. BAUMGARTNER/HAUSER, a.a.O. S. 86 Ziff. 1).
5.2. Die Beschwerdeführerinnen gehen davon aus, entscheidend sei vorliegend die Kapitalerhöhung der A._ Holding AG gewesen. In diesem Zusammenhang habe der Handelsregisterführer von allen relevanten Unterlagen Kenntnis erhalten, weshalb er als Behörde hätte einschreiten können und müssen. Da er dies nicht getan habe, gälten diesbezüglich die gleichen Überlegungen zu <ref-law>, wie sie das Appellationsgericht zur Situation der anderen Gesellschaften angestellt habe. Die Argumentation überzeugt nicht: Die Kapitalerhöhung bildet vor Bundesgericht nicht mehr Verfahrensgegenstand, nachdem die Vorinstanz in diesem Punkt die angefochtene Verfügung korrigiert hat. Sie hielt diesbezüglich fest, dass der Vollzug der in Ziff. 4 der angefochtenen Verfügung beurteilten Kapitalerhöhung der Beschwerdeführerin 1 unter notwendiger Mitwirkung des Handelsregisterführers oder Grundbuchverwalters erfolgt sei und die nachträgliche Feststellung in Ziff. 4 der angefochtenen Verfügung, dass die Kapitalerhöhung der Beschwerdeführerin 1 bewilligungspflichtig sei, "mangels unrichtiger oder unvollständiger Angaben der Erwerber im Sinne von <ref-law> unzulässig" sei (E. 5.4.5). Ihr Entscheid wurde diesbezüglich durch keine beschwerdeberechtigte Behörde angefochten, weshalb das Bundesgericht die Frage der Kapitalerhöhung und der damit allenfalls verbundenen Pflichten nicht zum Gegenstand seines Verfahrens machen kann (vgl. <ref-law>). Den Beschwerdeführerinnen fehlt diesbezüglich ein schutzwürdiges Anfechtungsinteresse. Im angefochtenen Entscheid wird zwar der Erwerb der Aktien durch die Investoren als bewilligungspflichtig erklärt, dieser bildet seinerseits indessen nicht Gegenstand einer Eintragungspflicht; der Einwand der Beschwerdeführerinnen, gegenüber dem Handelsregisterführer immer korrekte Angaben geliefert zu haben bzw. dieser allenfalls selber weitere Abklärungen hätte vorkehren müssen, falls er Zweifel hatte, geht damit an der Sache vorbei.
5.3. Mit einem Grundstückerwerb im Sinne des Bewilligungsgesetzes befasst sich der Handelsregisterführer nur dann, wenn es zum Vollzug dieses Erwerbs einer Eintragung im Handelsregister bedarf. Bezüglich eines Erwerbs, der wie hier hinsichtlich der Übernahme der Aktien durch die Investoren unabhängig von einer Handelsregistereintragung erfolgen kann und nicht unmittelbar Gegenstand eines entsprechenden Verfahrens bildet, besteht kein schutzwürdiges Vertrauen hinsichtlich der Bewilligungsfreiheit des Erwerbs. Der Problematik liegen - wie das Präsidialdepartement zu Recht ausführt - zwei unterschiedliche Rechtsgeschäfte zugrunde, nämlich der Erwerb der Aktien der Immobiliengesellschaften durch die A._ Holding AG einerseits (<ref-law>) und deren Kapitalerhöhung als solche andererseits (<ref-law>). Die Kapitalerhöhung beruhte auf dem Beschluss des Verwaltungsrats vom 6. März 2007 und bedurfte des Eintrags ins Handelsregister. Die anschliessende Zuteilung der Aktien auf die Investoren bildete hingegen nicht Gegenstand des Handelsregistereintrags und den im Bewilligungsgesetz bzw. der entsprechenden Verordnung für den Registerführer vorgesehenen Pflichten. Ergänzend kann mit dem Präsidialdepartement darauf hingewiesen werden, dass dem Handelsregisteramt die drei Aktienkaufverträge zwischen dem G._-Pool und der Beschwerdeführerin 1 vom 28. Dezember 2006 nicht vorgelegt wurden. Das Handelsregisteramt hatte somit keine Kenntnis von der Verkäuferschaft der Aktien, da bei der Kapitalerhöhung nicht der G._-Pool (und auch nicht die Treuhänder N._, O._ und P._), sondern die L._ AG als Verrechnungsgegnerin auftrat.
5.4. Zwar war der Handelsregisterführer am Kapitalerhöhungsverfahren der A._ Holding AG beteiligt, diesem Umstand hat das Appellationsgericht indessen Rechnung getragen: Es hielt zusammenfassend fest, dass die nachträgliche Feststellung in Ziff. 4 der angefochtenen Verfügung, dass die Kapitalerhöhung der Beschwerdeführerin 1 bewilligungspflichtig sei, "mangels unrichtiger oder unvollständiger Angaben der Erwerber im Sinn von <ref-law> unzulässig" sei (E. 5.4.5). Es entschied diesbezüglich zugunsten der A._ Holding AG und korrigierte den angefochtenen Departementsentscheid in diesem Punkt in Übereinstimmung mit den Ausführungen zu den anderen Gesellschaften; die Problematik des Kapitalerhöhungsverfahrens bildet mangels Anfechtung durch eine beschwerdebefugte Behörde - wie dargelegt - deshalb nicht Verfahrensgegenstand vor Bundesgericht. Der umstrittene Aktienumtausch zugunsten der ausländischen Anleger nach Massgabe ihrer Zahlungen an den G._-Pool sowie die Finanzierung und der Erwerb der von der A._ Holding AG gehaltenen Gesellschaften wurden nicht im Handelsregister eingetragen, weshalb diesbezüglich zum Vornherein kein Vertrauensschutz in ein behördliches Handeln bestehen konnte, wie die Beschwerdeführerinnen dies geltend machen. Unter diesen Umständen rechtfertigt es sich nicht, die im Wesentlichen sachverhaltsbedingte Frage, ob die C._ AG im Hinblick auf die Coop-Verkaufsstelle in der entsprechenden Liegenschaft als Geschäfts- oder Immobiliengesellschaft im engeren Sinn zu gelten hat, im bundesgerichtlichen Verfahren zu beurteilen. Da nach dem Dargelegten ein nachträglicher Bewilligungsentscheid im Umfang des im vorinstanzlichen Entscheid Festgestellten ergehen durfte und die Sache gestützt auf der bisher vorliegenden Grundlage diesbezüglich nicht definitiv entschieden werden konnte, ist es auch dem Bundesgericht verwehrt, der entsprechenden Problematik (bereits) im vorliegenden Verfahren Rechnung zu tragen.
6.
6.1. Unter diesen Umständen kann dahingestellt bleiben, welches die Tragweite von <ref-law> wäre, müsste, wie die Beschwerdeführerinnen geltend machen, von einer behördlichen Prüfung im Sinne des BewG ausgegangen werden; prima vista ist nicht auszuschliessen, dass aufgrund der konkreten Umstände - abweichend von der Auffassung des Appellationsgerichts - unrichtige oder unvollständige Angaben vorlagen: Immerhin haben die Beschwerdeführerinnen bzw. ihre Organe dem Handelsregisteramt gegenüber keine Erklärungen über die Hintergründe und den starken Auslandsbezug der Kapitalerhöhung im Zusammenhang mit einer allfälligen Bewilligungspflicht gemacht. Sie haben insbesondere nicht auf die über den G._-Pool gesamthaft bestehenden engen Bindungen zwischen den Gesellschaften und der A._ Holding AG hingewiesen und auch nicht offengelegt, dass es bei der Kapitalerhöhung darum ging, die ausländischen Investoren proportional zu ihren Zahlungen in den Pool oder auf die Treuhandkonti am Erwerb von schweizerischen Immobiliengesellschaften im engeren Sinn bzw. an den von diesen als Kapitalanlage gehaltenen Grundstücken massgeblich zu beteiligen.
6.2. Die Beschwerdeführerinnen haben eine unzutreffende Lex-Koller-Erklärung abgegeben, wonach "das vorliegende Geschäft keiner Bewilligung im Sinne der Vorschriften über den Erwerb von Grundstücken durch Personen im Ausland" bedarf. Zwar geht es bei einer Verkennung der Bewilligungspflicht nicht direkt um eine Tatsache, über die mittels der Lex-Koller-Erklärung getäuscht wird, sondern um eine rechtliche Würdigung; dies macht die Erklärung indessen nicht bedeutungslos: Der Beurteilung der Bewilligungspflicht nach der Lex Koller liegen sachverhaltliche Elemente zugrunde; der Erwerber sichert mit seiner Erklärung der Behörde implizit zu, dass die bewilligungsrelevanten Elemente geprüft worden sind und keine Bewilligungspflicht ausgemacht werden konnte.
6.3. Nach <ref-law> wird nicht nur bestraft, wer vorsätzlich handelt, sondern auch, wer den Behörden gegenüber fahrlässig unrichtige oder unvollständige Angaben macht, was belegt, dass die Erwerber nach BewG eine Mitwirkungspflicht trifft, die über die Abgabe eines von ihnen (allenfalls ungeprüft) unterzeichneten Formulars hinausgeht. Eine vorsätzlich oder fahrlässig eingereichte, täuschende Lex-Koller-Erklärung genügt je nach den Umständen, um eine umfassende nachträgliche Prüfung der Bewilligungspflicht bzw. -fähigkeit gemäss BewG zu rechtfertigen. Die Beschwerdeführerinnen könnten somit nichts daraus ableiten, dass der Handelsregisterführer im Zusammenhang mit der Kapitalerhöhung der A._ Holding AG, wo die Vorinstanz in ihrem Sinn entschieden hat, sein Verfahren nicht aussetzte. Die unrichtigen oder unvollständigen Angaben müssen sich zwar auf Tatsachen beziehen; diese können vergangene oder gegenwärtige Geschehnisse oder Zustände betreffen, nicht aber künftige Ereignisse; auch über innere Tatsachen kann indessen unrichtig oder unvollständig informiert werden (GEISSMANN/HUBER/WETZEL, a.a.O., N. 226).
6.4. Nach <ref-law> ist die Bewilligung "auf jeden Fall" zu verweigern, wenn das Grundstück einer nach diesem Gesetz "unzulässigen Kapitalanlage" in Immobiliengesellschaften im engeren Sinn dient; bewilligungspflichtig ist der Erwerb eines Grundstücks direkt oder treuhänderisch für ausländische Investoren über eine massgebende Beteiligung an vermögensfähigen Gesellschaften oder juristischen Personen. Die tatsächlichen Hintergründe des von den Treuhändern bzw. Promotoren ursprünglich - im Hinblick auf einen allfälligen Wegfall der Anforderungen des BewG für EU- und EFTA-Angehörige gestützt auf das Freizügigkeitsabkommen (FZA; SR 0.142.112.681) - geplanten Projekts und die danach geschaffenen verschachtelten Strukturen und Finanzflüsse, waren nur den Beschwerdeführerinnen bekannt bzw. ersichtlich; sie ergab sich nicht aus den dem Handelsregisterführer im Zusammenhang mit der Kapitalerhöhung zugänglich gewordenen Unterlagen. Es wäre, wie das Präsidialdepartement zu Recht einwendet, aufgrund der konkreten Umstände an den Beschwerdeführerinnen bzw. ihren Organen gewesen, spätestens nach dem Kauf der Immobiliengesellschaften die Bewilligungspflicht im Rahmen von <ref-law> bei der hierfür zuständigen Behörde abklären zu lassen. Sie konnten aufgrund ihres Wissens über den Zweck der verschiedenen Gesellschaften, deren Bezug zum G._-Pool und den Finanzflüssen - anders als der Handelsregisterführer - die Bewilligungspflicht nicht ohne weiteres ausschliessen.
7.
7.1. Was die Beschwerdeführerinnen weiter einwenden, überzeugt nicht: Entgegen ihrer Auffassung kommt es nicht zu einem unzulässigen Methodenpluralismus, wenn die Vorinstanz geltend macht, dass die verschiedenen Grundstückserwerbe über Immobiliengesellschaften im engeren Sinn und die Kapitalerhöhung der A._ Holding AG auf unterschiedlichen Rechtsgeschäften beruhten und nicht vermischt werden dürften. Die A._ Holding AG hat die Aktien der Immobiliengesellschaften per 1. Januar 2007 (Kaufverträge vom 28. Dezember 2006) erworben; ihre Kapitalerhöhung ist vom Verwaltungsrat am 6. März 2007 beschlossen und beim Handelsregister angemeldet worden. Gegenstand der Anmeldung und der Prüfung durch den Handelsregisterführer bildete ausschliesslich die Kapitalerhöhung als solche, auch wenn diese mit einer Verrechnungsliberierung verbunden war; der Kauf der Aktien der Immobiliengesellschaften im engeren Sinn durch die Holding und deren Übertragung an die ausländischen Anleger ist weder durch den Handelsregisterführer noch die Bewilligungsbehörde geprüft worden. Die Auffassung der Vorinstanz, dass das Präsidialdepartement diesbezüglich deshalb nicht an die einschränkenden gesetzlichen Gründe für eine nachträgliche Prüfung der Bewilligungspflicht und -fähigkeit gebunden gewesen sei, verletzt deshalb kein Bundesrecht.
7.2. Auch der treuhänderische oder fiduziarische Erwerb bzw. das entsprechende Halten von Grundstücken durch Schweizer Bürger oder Gesellschaften für Personen im Ausland wird vom Gesetz erfasst (<ref-law>). Vorliegend stammten die Mittel zum Erwerb von Immobiliengesellschaften im engeren Sinn aus den Zahlungen ausländischer Investoren an den G._-Pool bzw. auf entsprechende Treuhandkonti, wobei die Investoren über die Umwandlung der Beteiligungen/Gelder in Aktien der A._ Holding AG indirekt Wohnimmobilien zu Anlagezwecken in der Schweiz erwarben. Die A._ Holding AG hat selber als Immobiliengesellschaft im engeren Sinn zu gelten, nachdem sich ihre Mittel ausschliesslich bzw. grossmehrheitlich wiederum aus dem Wert der übernommenen, aus dem G._-Pool finanzierten Immobiliengesellschaften im engeren Sinn bzw. den von diesen gehaltenen Wohngrundstücken zusammensetzen (vgl. Art. 4 Abs. 1 lit. g i.V.m. <ref-law>).
7.3. Nach <ref-law> sind als Grundstückserwerb - neben dem Erlangen des Eigentums, eines Baurechts, eines Wohnrechts oder der Nutzniessung an einem Grundstück - auch der Erwerb anderer Rechte bewilligungspflichtig, die dem Erwerber im Resultat eine ähnliche Stellung wie dem Eigentümer eines Grundstücks verschaffen. Der Gesetzgeber hat damit zum Ausdruck gebracht, dass für die Bewilligungspflicht die wirtschaftliche Realität und nicht die gewählte rechtliche Konstruktion ausschlaggebend sein soll. Das Bundesgericht stellt dementsprechend auslegungsweise jeweils auf die gesamtheitlich zu würdigende wirtschaftliche Tragweite des jeweiligen Geschäfts im Hinblick auf den Gesetzeszweck des BewG ab, was die Vorinstanz vorliegend ihrerseits somit ebenfalls zu Recht getan hat (so das Urteil 2C_854/2012 vom 12. März 2013 E. 5.2; <ref-ruling> E. 3.3 in fine S. 485; <ref-ruling> E. 4 S. 18; <ref-ruling> E. 3a S. 14 mit weiteren Hinweisen).
8.
8.1. Die Beschwerde erweist sich in den (noch) umstrittenen Punkten als unbegründet und ist deshalb abzuweisen, soweit darauf einzutreten ist.
8.2. Dem Ausgang des Verfahrens entsprechend sind die bundesgerichtlichen Kosten den unterliegenden Beschwerdeführerinnen solidarisch aufzuerlegen (<ref-law>). Es sind keine Parteientschädigungen geschuldet (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 4'000.-- werden den Beschwerdeführerinnen unter solidarischer Haftbarkeit auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten, dem Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt als Verwaltungsgericht (Dreiergericht) und dem Bundesamt für Justiz BJ schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 28. September 2017
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Seiler
Der Gerichtsschreiber: Hugi Yar