Sachverhalt:
A.
A.a. Am 29. April 2016 stellte B._ beim Bezirksgericht Zürich das Gesuch, die Liegenschaft von A._ an der U._strasse in V._ für die Forderungen von Fr. 58'752.-- und von Fr. 500.--, jeweils zuzüglich Zinsen und Kosten, zu verarrestieren. Bei den zu sichernden Forderungen handelt es sich um Parteientschädigungen, die das Bezirksgericht der Gesuchstellerin mit Urteil vom 25. August 2015 bzw. das Bundesgericht mit Urteil vom 7. Dezember 2015 zugesprochen hatte. Am 3. Mai 2016 bewilligte das Gericht den Arrest gestützt auf <ref-law>. Der Arrestbefehl wurde vom Betreibungsamt Zürich 7 am 17. Mai 2016 vollzogen.
A.b. A._ erhob am 20. Juni 2016 Einsprache gegen den Arrestbefehl, welche ebenso wie der Antrag auf Sicherheitsleistung am 8. August 2016 vom Bezirksgericht abgewiesen wurde.
Ac. Das Obergericht des Kantons Zürich wies die von A._ gegen das bezirksgerichtliche Urteil erhobene Beschwerde am 14. Februar 2017 ab.
B.
Mit Eingabe vom 24. März 2017 ist A._ an das Bundesgericht gelangt. Der Beschwerdeführer beantragt die Aufhebung des Urteils des Obergerichts, eventualiter die Rückweisung der Sache zu neuem Entscheid an die Vorinstanz.
Das Gesuch des Beschwerdeführers um Gewährung der aufschiebenden Wirkung wurde am 27. März 2017 abgewiesen. Es sind die kantonalen Akten, aber keine Vernehmlassungen in der Sache eingeholt worden.

Erwägungen:
1.
1.1. Angefochten ist das Urteil einer kantonalen Rechtsmittelinstanz über die Einsprache gegen einen Arrestbefehl, mithin eine Schuldbetreibungs- und Konkurssache mit Vermögenswert. Die gesetzliche Streitwertgrenze wird erreicht. Die Beschwerde in Zivilsachen ist gegeben, womit die ebenfalls erhobene subsidiäre Verfassungsbeschwerde entfällt (Art. 72 Abs. 2 lit. a, Art. 74 Abs. 1 lit. b, Art. 75 und Art. 113 BGG).
1.2. Gegenstand des vorinstanzlichen Verfahrens bildete ein Arresteinspracheentscheid, der wie der Arrest eine vorsorgliche Massnahme im Sinn von <ref-law> darstellt. Damit kann vorliegend einzig die Verletzung verfassungsmässiger Rechte gerügt werden, die das Bundesgericht nur soweit prüft, als eine entsprechende Rüge vorgebracht und begründet wird. Das bedeutet, dass anhand der Erwägungen des angefochtenen Entscheides vom Beschwerdeführer klar und detailliert darzulegen ist, inwiefern verfassungsmässige Rechte verletzt sein sollen (<ref-law>; <ref-ruling> E. 1.2).
1.3. Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (<ref-law>). Neue Tatsachen und Beweismittel dürfen nur soweit vorgebracht werden, als der Entscheid der Vorinstanz dazu Anlass gibt (<ref-law>).
1.4. Der Beschwerdeführer verlangt einzig, das obergerichtliche Urteil sei aufzuheben, allenfalls mit Rückweisung an die Vorinstanz zu neuem Entscheid. Mit diesem Antrag verkennt er die reformatorische Rechtsnatur der Beschwerde (<ref-law>). Auch wenn ein Antrag in der Sache fehlt, ergibt sich immerhin aus der Begründung, dass die Arresteinsprache gutgeheissen und der Arrestbefehl aufgehoben werden soll. Zudem strebt der Beschwerdeführer gemäss seinen Ausführungen eine Sicherheitsleistung zu Lasten der Gesuchstellerin (Beschwerdegegnerin) an.
2.
2.1. Gemäss den Feststellungen der Vorinstanz schuldet der Beschwerdeführer der Beschwerdegegnerin aufgrund von zwei rechtskräftigen Gerichtsurteilen eine Parteientschädigung von Fr. 58'752.-- bzw. von Fr. 500.--. Der Beschwerdeführer habe im kantonalen Verfahren nicht grundsätzlich in Frage gestellt, dass diese Forderungen auf zwei von einander unabhängigen definitiven Rechtsöffnungstiteln beruhen, die einen Arrestgrund im Sinn von <ref-law> darstellen. Strittig sei hingegen gewesen, ob die Vollstreckbarkeit der Gerichtsurteile nachträglich weggefallen sei und ob die Forderungen durch Verrechnung getilgt worden seien. Zudem erachte der Beschwerdeführer den Arrest als unverhältnismässig und verlange von der Beschwerdegegnerin eine Sicherheitsleistung.
2.2. Der Beschwerdeführer hält auch vor Bundesgericht an seiner Auffassung fest, dass die Arrestforderungen von einer mündlichen Stundungsvereinbarung zwischen ihm und der Beschwerdegegnerin erfasst werden und daher nicht mehr vollstreckbar seien. Zudem seien diese Forderungen durch Verrechnung mit seiner Gegenforderung nachträglich untergegangen. Der Beschwerdeführer wirft der Vorinstanz vor, diesen Sachverhalt unrichtig festgestellt zu haben. Insbesondere hätte die Beschwerdegegnerin zu seinen Einwendungen im Rahmen des Arresteinspracheverfahrens persönlich befragt werden müssen, wie er es beantragt hatte. Auf jeden Fall erweise sich die Belastung der Liegenschaft mit dem Arrest als unverhältnismässig, weshalb die Beschwerdegegnerin für den drohenden Schaden zu einer Sicherheitsleistung zu verpflichten sei.
3.
Anlass zur vorliegenden Beschwerde gibt die Einsprache gegen einen Arrestbefehl.
3.1. Wer durch einen Arrest in seinen Rechten betroffen ist, kann innert zehn Tagen beim Gericht Einsprache erheben (<ref-law>). Gegenstand der Arresteinsprache bilden die Voraussetzungen des Arrestes (<ref-law>; <ref-ruling> E. 4.2.3). Wird zur Glaubhaftmachung der Arrestforderung ein inländisches Urteil vorgelegt, so muss das Urteil vollstreckbar sein (<ref-law>) und sind dagegen alle Einwendungen gemäss <ref-law> zulässig (STOFFEL, in: Basler Kommentar, Bundesgesetz über Schuldbetreibung und Konkurs, 2. Aufl. 2010, N. 107 zu Art. 271). Die Prüfung erfolgt im summarischen Verfahren (<ref-law>). Das Gericht stellt den Sachverhalt nicht von Amtes wegen fest (<ref-law> e contrario). Zwar lässt das summarische Verfahren neben der Einreichung von Urkunden unter bestimmten Voraussetzungen andere Beweismittel zu (<ref-law>). Im Verfahren der Arresteinsprache kann der Beweis jedoch einzig mittels Urkunden erbracht werden (<ref-ruling> E. 4.3.2; JEANDIN, Point de situation sur le séquestre [...], SJ 2017 II S. 40). Dem Beschwerdeführer kann daher nicht gefolgt werden, wenn er auf der Parteibefragung der Beschwerdegegnerin anlässlich einer mündlichen Verhandlung und allenfalls auf einem zweiten Schriftenwechsel besteht. Sein Hinweis auf <ref-ruling> ist in diesem Zusammenhang wenig hilfreich, da er aus diesem bundesgerichtlichen Urteil nur die allgemeine Erwägung zum Beweisrecht im summarischen Verfahren zitiert (E. 4.3.1), hingegen die Beschränkung der Beweise in der Arresteinsprache (E. 4.3.2) übergeht. Der Vorinstanz kann daher keine Willkür in der gestützt auf die bundesgerichtliche Rechtsprechung erfolgten Anwendung der massgeblichen Prozessregeln vorgeworfen werden.
3.2. In der Sache hat die Vorinstanz vorab festgehalten, dass der Beschwerdeführer eine vor über zwanzig Jahren mit der Beschwerdegegnerin betreffend die gegenseitigen Forderungen aus dem Nachlass des gemeinsamen Vaters abgeschlossene Stundungsvereinbarung geltend mache. Diese sei jedoch nur mündlich erfolgt und werde von der Beschwerdegegnerin zumindest in Bezug auf die durch den strittigen Arrest zu sichernden Forderungen bestritten. Bei den in Frage stehenden Forderungen handle es sich um Prozessentschädigungen, die keine Aktiva/Passiva des väterlichen Nachlasses darstellen. Zudem sei nicht ersichtlich, ob diese Forderungen - wenn schon - überhaupt seit Erlass der entsprechenden Urteile gestundet wurden. Die Vorinstanz kam daher zum Ergebnis, dass der Beschwerdeführer den Einwand der Stundung nicht glaubhaft machen konnte (<ref-law>).
Der Beschwerdeführer wirft der Vorinstanz vor, den diesbezüglichen Sachverhalt unrichtig festgestellt zu haben. Seiner Ansicht nach besteht zwischen den Prozessparteien eine mündliche Stundungsvereinbarung, weshalb die der Beschwerdegegnerin gerichtlich zugesprochenen Parteientschädigungen nicht mehr vollstreckbar seien. Allerdings begnügt er sich mit einer solchen Behauptung, ohne darzutun, inwiefern die Vorinstanz die vorhandenen Beweise hier willkürlich gewürdigt haben sollte. Stattdessen wiederholt er (teilweise wörtlich) seine Darlegungen in der Arresteinsprache und in der Eingabe an die Vorinstanz, anstatt sich mit dem angefochtenen Urteil auseinanderzusetzen. Damit genügt er den Begründungsanforderungen an eine Beschwerde in keiner Weise (E. 1.2).
3.3. Sodann hat die Vorinstanz zu dem vom Beschwerdeführer erhobenen Einwand der Verrechnung Stellung genommen. Sie hat hierzu im Wesentlichen auf das erstinstanzliche Urteil verwiesen, wonach die Verrechnung mit einer Forderung, für welche ein definitiver Rechtsöffnungstitel besteht, nach der bundesgerichtlichen Rechtsprechung den strikten Beweis der Gegenforderung in Gestalt einer vorbehaltlosen und unbestrittenen Schuldanerkennung oder eines definitiven Rechtsöffnungstitels erfordert (<ref-ruling> E. 4.2). Nach Ansicht der Vorinstanz hat sich der Beschwerdeführer hier mit dem (mit der Rechtsprechung konformen) erstinstanzlichen Urteil inhaltlich nicht auseinandergesetzt.
Der Beschwerdeführer kritisiert vor Bundesgericht die Argumentation der Vorinstanz als rein formalistisch. Weshalb die Vorinstanz auf seine Argumente hätte eingehen sollen, begründet er nicht. Hingegen gibt er an dieser Stelle bloss seine Eingabe an die Vorinstanz wieder, die im Wesentlichen aus einem Schreiben besteht, mit dem er bei Weiterverfolgung des Arrestes durch die Beschwerdegegnerin die Verrechnung erkläre. Zu diesen Ausführungen hätte die Vorinstanz seiner Ansicht nach Stellung nehmen müssen, was sie nicht getan habe, weshalb der Sachverhalt nicht korrekt abgeklärt worden sei.
Inwieweit es sich beim Vorwurf des Beschwerdeführers um eine Kritik an der Beweiswürdigung oder an der Rechtsanwendung durch die Vorinstanz handelt, ist nicht auszumachen. Auf jeden Fall gelingt es dem Beschwerdeführer nicht darzutun, weshalb seine Argumentation und nicht diejenige der Erstinstanz überzeugender gewesen war und sich die Vorinstanz damit hätte befassen müssen. Mit dem pauschalen Vorwurf des Formalismus genügt er den Begründungsanforderungen an eine Willkürrüge in keiner Weise (E. 1.2).
3.4. Im Hinblick auf den Einwand der "Verhältnismässigkeit des Arrestes" hat die Vorinstanz betont, dass der seit dem 1. Januar 2011 geltende Arrestgrund des definitiven Rechtsöffnungstitels sich unter anderem dadurch auszeichne, dass er - im Gegensatz zu den bereits bestehenden Arrestgründen - keine Gefährdung voraussetze. Dies trifft zu und ergibt sich aus der Entstehungsgeschichte von <ref-law>, welche vor allem die Vollstreckbarkeit von Lugano-Urteilen regeln wollte; der neue Arrestgrund gilt für ein vollstreckbares Lugano-Urteil, ein Nicht-Lugano-Urteil (<ref-ruling> E. 4.4) sowie für ein vollstreckbares schweizerisches Urteil, wobei das Gesetz im ersten Fall ein gleichzeitiges Verfahren auf Vollstreckbarerklärung durch den Arrestrichter vorsieht (<ref-law>; vgl. STOFFEL, in: Basler Kommentar, Bundesgesetz über Schuldbetreibung und Konkurs, 2. Aufl. 2010, N. 102 f. zu Art. 271; BOVEY, La révision de la Convention de Lugano et le séquestre, JdT 2012 II S. 84/85; MARCHAND, Précis de droit des poursuites, 2. Aufl. 2013, S. 249/250; MEIER-DIETERLE, in: Kurzkommentar SchKG, 2. Aufl. 2014, N. 17i zu Art. 271). Die Vorinstanz hat den Beschwerdeführer zudem darauf hingewiesen, dass ungeachtet des nicht erforderlichen Gefährdungselementes die behauptete Anwartschaft aus dem unverteilten mütterlichen Nachlass keine Pfandsicherung darstelle, da eine unmittelbare Realisierung nicht möglich sei.
Der Beschwerdeführer widerspricht dieser Auffassung mit dem Hinweis, dass durch den Arrest ein unverhältnismässig grosser Vermögenswert blockiert werde und eine derartige Sicherung aufgrund seiner vor dem Bezirksgericht Meilen hängigen Erbteilungsklage bereits gesperrten Ansprüche nicht nötig sei. Inwieweit diese behauptete Blockierung eine Pfanddeckung gemäss <ref-law> darstellen sollte und es deshalb im konkreten Fall an einem Sicherungsbedürfnis mangelt, legt er nicht dar (vgl. dazu STOFFEL/ CHABLOZ, Voies d'exécution, 3. Aufl. 2016, § 8 Rz. 24 f.; STOFFEL, a.a.O., N. 37 zu Art. 271; BAUER, in: Basler Kommentar, Bundesgesetz über Schuldbetreibung und Konkurs, Erg. 2017, N. 37 zu Art. 271). Soweit der Beschwerdeführer schliesslich bestreitet, dass der Arrestgrund des definitiven Rechtsöffnungstitels kein Gefährdungsmoment voraussetze, begnügt er sich erneut mit einer praktisch wortgetreuen Wiedergabe seiner Ausführungen im kantonalen Verfahren. Dass er damit den Begründungsanforderungen an eine Beschwerde nicht genügt, ist bereits an anderer Stelle betont worden (E. 3.4).
3.5. Die Vorinstanz hat schliesslich die Ansicht des Bezirksgerichts geteilt, dass die Voraussetzungen für eine Sicherheitsleistung zu Lasten der Beschwerdegegnerin im konkreten Fall nicht gegeben sind. Sie hat auf den grundsätzlichen Anspruch des Gesuchstellers auf einen Arrest hingewiesen, von dem nur bei Gefahr eines ungerechtfertigten Gesuchs für den allenfalls drohenden Schaden eine Sicherheitsleistung anzuordnen sei (<ref-law>). Zudem könne sich die Beschwerdegegnerin auf zwei vollstreckbare Urteile stützen, in welchem Fall ihr gemäss Lehre und Rechtsprechung üblicherweise keine Kaution auferlegt werde (mit Hinw. auf STOFFEL, a.a.O., N. 20 f. zu Art. 273; Urteil 5A_165/2010 E. 2.3.1 vom 10. Mai 2010 E. 2.3.1, Pra 2011 Nr. 21 S. 144).
Der Beschwerdeführer setzt sich nicht einmal ansatzweise mit dieser zutreffenden Begründung auseinander (vgl. auch Urteil 5A_225/2009 vom 10. September 2009 E. 5.2; BOVEY, a.a.O., S. 85). So besteht er - ohne konkrete Begründung - auf einer Sicherheitsleistung, da im konkreten Fall die Arrestvoraussetzungen "mehr als unsicher qualifiziert werden müssen". Zudem gibt er bloss seine Ausführungen in der Arresteinsprache wieder, wonach er die Absicht habe, die verarrestierte Liegenschaft zu einem marktkonformen Preis zu verkaufen. Die Arrestlegung auf der Liegenschaft sei daher schädlich und behindere seine Pläne. Darin kann keine genügende Begründung erblickt werden, welche auf die Verletzung verfassungsmässiger Rechte hinweisen könnte.
4.
Nach dem Gesagten ist der Beschwerde insgesamt kein Erfolg beschieden. Ausgangsgemäss trägt der Beschwerdeführer die Verfahrenskosten (<ref-law>). Die Beschwerdegegnerin ist nicht zur Vernehmlassung eingeladen worden, womit ihr kein entschädigungspflichtiger Aufwand entstanden ist.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 3'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
Die Gerichtskosten von Fr. 3'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3. Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Zürich, II. Zivilkammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 26. Juni 2017
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Das präsidierende Mitglied: Escher
Der Gerichtsschreiber: Levante