Sachverhalt:
A.
A.a. A._ ist seit dem 11. Juli 2007 verbeiständet. Am 30. Juni 2015 wies die Kindes- und Erwachsenenschutzbehörde U._ (KESB) ein Gesuch von A._ um Aufhebung der altrechtlichen Beistandschaft ab und überführte Letztere in eine Begleitbeistandschaft und eine Vertretungsbeistandschaft mit Vermögensverwaltung nach Art. 393 und 394 Abs. 1 i.V.m. <ref-law>. Gleichzeitig präzisierte sie die Aufgaben und Befugnisse der Beistandsperson. Weiter entliess die KESB die bisherige Beiständin aus ihrem Amt und wies den Abklärungsdienst der KESB sowie das Amt für Beistandschaften und Erwachsenenschutz (ABES) an, in Rücksprache mit A._ eine neue Beistandsperson vorzuschlagen. Dieser Entscheid ist unangefochten geblieben.
A.b. Mit Entscheid vom 7. Oktober 2015 stellte die KESB fest, dass am 30. Juni 2015 über A._ eine Begleitbeistandschaft und eine Vertretungsbeistandschaft mit Vermögensverwaltung errichtet worden war, und ernannte B._ zum Beistand. Ausserdem erläuterte sie den Entscheid vom 30. Juni 2015 bezüglich der Aufgaben und Befugnisse des Beistands in zwei Punkten und verfügte diese erneut.
B.
Gegen den Entscheid vom 7. Oktober 2015 haben sowohl A._ als auch B._ Beschwerde beim Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt erhoben. Mit Urteilen vom 13. April 2016 (A._ eröffnet am 27. April 2016) trat dieses auf die Beschwerde von B._ nicht ein und wies jene von A._ ab, soweit es darauf eintrat.
C.
Mit Beschwerde in Zivilsachen und subsidiärer Verfassungsbeschwerde vom 25. Mai 2016 ist A._ (Beschwerdeführerin) an das Bundesgericht gelangt und hat in der Sache folgende Anträge gestellt:
I. Es sei festzustellen, dass das Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt den Sachverhalt mangelhaft dargestellt hat [...].
2. Das Urteil des Appellationsgerichts Basel-Stadt [...] sei aufzuheben und wie folgt zu ändern:
2.1. Der Sachverhalt sei korrekt festzuhalten und die Zahlen seien zu überprüfen.
2.2. Es sei festzustellen, dass die Darstellungen der KESB irreführend und verfälscht sind.
II. Es sei festzustellen, dass der Entscheid der KESB vom 30. Juni 2015 nunmehr zum Sachverhalt gehört und als Bundesrecht und kantonales Verfassungsrecht verletzend [...] aufzuheben sei.
III. Die Verfügung der KESB vom 7. Oktober 2015 sei, als sich auf den Entscheid vom 30. Juni 2015 abstützend, nichtig zu erklären.
IV. Die faktische und juristische Entmündigung der Beschwerdeführerin sei aufzuheben.
V. Den Forderungen der Beschwerdeführerin gegen den Berufsbeistand B._ sei statt zu geben: Beistandsperson B._ habe der Beschwerdeführerin Fr. 1'385.-- zu leisten und habe ihr seit Amtsantritt am 1. September 2015 die monatlichen Kontoauszüge mit den jeweiligen Saldi vorzulegen.
VI. Der Forderung von Fr. 160'000.-- Schadenersatz und Schmerzensgeld gegen den Kanton Basel-Stadt sei statt zu geben [...].
VII. Die Beschwerdeführerin stellt hiermit den Antrag, es seien ihr die Gerichtskosten zu erlassen und es sei ihr die unentgeltliche Rechtspflege zu gewähren [...].
Das Bundesgericht hat die Akten des kantonalen Verfahrens, hingegen keine Vernehmlassungen eingeholt. Die Beschwerdeführerin hat weitere Belege eingereicht.

Erwägungen:
1.
1.1. Die Beschwerde richtet sich gegen den Endentscheid einer letzten kantonalen Instanz, die als oberes Gericht eine bestimmte Person zum Beistand ernannt und dessen Auftrag umschrieben und damit über eine nicht vermögensrechtliche Angelegenheit in unmittelbarem Zusammenhang mit dem Zivilrecht entschieden hat (Art. 72 Abs. 2 Bst. b Ziff. 6, Art. 75 Abs. 1 und Art. 90 BGG). Die Beschwerdeführerin hat am vorinstanzlichen Verfahren teilgenommen und ist durch den angefochtenen Entscheid besonders berührt. Sie ist damit zur Beschwerde berechtigt (<ref-law>). Die Beschwerdefrist ist eingehalten (<ref-law>). Auf die Beschwerde in Zivilsachen ist damit unter Vorbehalt der nachfolgenden Ausführungen einzutreten. Die ebenfalls erhobene subsidiäre Verfassungsbeschwerde ist unzulässig (<ref-law>).
1.2. Nicht einzutreten ist auf die Beschwerde insoweit, als sie sich auf die Wiederherstellung der Beschwerdefrist im vorinstanzlichen Verfahren bezieht und die Beschwerdeführerin ausführt, es sei ihr nicht möglich gewesen, eine umfassendere Beschwerdeschrift einzureichen (Beschwerde, Bst. B Ziff. II S. 9). Die Vorinstanz ist in Anwendung des Untersuchungsgrundsatzes soweit notwendig auch auf nachträgliche Vorbringen der Beschwerdeführerin eingegangen (angefochtenes Urteil, E. 1.3 S. 3 f. und E. 2.3 S. 5 f.). Letzterer ist damit kein Nachteil entstanden (Art. 76 Abs. 1 Bst. b BGG).
1.3. Die Beschwerdeführerin stellt vor Bundesgericht verschiedene Feststellungsbegehren (Beschwerde, Rechtsbegehren Ziff. I, I.2.2 und II). Diese Begehren sind im Lichte der Begründung der Beschwerde nach Treu und Glauben auszulegen (vgl. <ref-ruling> E. 1.3 S. 317; <ref-ruling> E. 6.2 S. 622; <ref-ruling> E. 2a S. 152; Urteil 4A_219/2016 vom 12. September 2016 E. 1.3). Der Beschwerdebegründung lässt sich entnehmen, dass die Beschwerdeführerin insbesondere mit der Errichtung der Beistandschaft sowie der Ernennung von B._ als Beistand nicht einverstanden ist. Damit ersucht sie um Aufhebung des angefochtenen Urteils und der Beistandschaft. Die Beschwerde ist entsprechend entgegen zu nehmen.
2.
Der vorinstanzlich festgestellte Sachverhalt ist für das Bundesgericht grundsätzlich verbindlich (<ref-law>). Die Feststellung des Sachverhalts kann nur gerügt werden, wenn sie offensichtlich unrichtig - d.h. willkürlich (<ref-ruling> E. 2.3 S. 266) - ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruht und die Behebung des Mangels für den Verfahrensausgang entscheidend sein kann (<ref-law>). Die Beschwerdeführerin rügt zwar die Feststellung des Sachverhalts durch das Appellationsgericht als unrichtig (Beschwerde, Rechtsbegehren Ziff. I und I.2.1; Bst. B Ziff. III.4 S. 15). Sie begnügt sich indes damit, ihren eigenen von den vorinstanzlichen Feststellungen abweichenden Sachverhalt zu behaupten, ohne auf den angefochtenen Entscheid einzugehen. Über weite Strecken betreffen ihre Tatsachenvorbringen und Beweisanträge sodann Umstände, die für das vorliegende Verfahren nicht relevant sind (vgl. Beschwerde, Bst. B Ziff. II S. 5 ff.). Auf die Beschwerde kann daher insoweit nicht eingetreten werden (<ref-law>; <ref-ruling> E. 5.1 S. 356; <ref-ruling> E. 2.2 S. 246) und die Anträge auf Einvernahme verschiedener Zeuginnen werden abgewiesen (vgl. Beschwerde, Bst. B Ziff. II S. 7 und 9).
3.
Die Beschwerde ist nur im Rahmen des Streitgegenstands zulässig. Dieser wird durch den Gegenstand des angefochtenen Entscheids und durch die Parteibegehren bestimmt, wobei der angefochtene Entscheid den möglichen Streitgegenstand begrenzt (<ref-ruling> E. 5 S. 174; <ref-ruling> E. 3.3 S. 189). Gegenstand des Beschwerdeverfahrens vor Bundesgericht kann nur sein, was bereits Gegenstand des vorinstanzlichen Verfahrens war oder richtigerweise hätte sein sollen (<ref-ruling> E. 4.4.2 S. 156; Urteil 2C_747/2013 vom 8. September 2014 E. 2.1; vgl. auch <ref-ruling> E. 4.2 S. 463). Das Appellationsgericht entschied insbesondere über die Einsetzung von B._ als Beistandsperson und umschrieb dessen Auftrag (angefochtenes Urteil, E. 1.4 S. 4). Nicht Gegenstand des vorinstanzlichen Verfahrens waren demgegenüber Ersatzforderungen gegen den Beistand oder den Kanton. Soweit die Beschwerdeführerin Schadenersatz- und Genugtuungsansprüche geltend macht (Beschwerde, Rechtsbegehren Ziff. V und VI; Bst. B Ziff. I.3 S. 4 f., Ziff. II S. 10 und Ziff. III.2 S. 12 f.), ist auf die Beschwerde daher nicht einzutreten. Ebenfalls nicht Gegenstand des vorinstanzlichen Verfahrens ist die Amtsführung durch die Erwachsenenschutzbehörde oder den Beistand. Soweit die Beschwerde sich gegen diese richten sollte (Bst. B Ziff. II S. 5 ff.), ist daher ebenfalls nicht darauf einzutreten.
4.
Die Beschwerde richtet sich weiter gegen die Einsetzung von B._ als Beistand (Bst. B Ziff. II S. 10 und 12). Auch diesbezüglich setzt die Beschwerdeführerin sich nicht mit den Erwägungen des Appellationsgerichts auseinander (angefochtenes Urteil, E. 2 S. 5 ff.). Vielmehr begnügt sie sich damit, in appellatorischer Weise ihre Sicht der Dinge darzulegen. Dies gilt insbesondere für den Umstand, dass B._ gegen den ausdrücklichen Willen der Beschwerdeführerin zum Beistand ernannt wurde, und für die behauptete Misswirtschaft durch den Beistand. Damit genügt die Beschwerde den Anforderungen von <ref-law> nicht, wonach in der Begründung in gedrängter Form darzulegen ist, inwiefern der angefochtene Akt Recht verletzt. Notwendig wäre, dass die Beschwerdeführerin auf den angefochtenen Entscheid eingeht und aufzeigt, worin die Verletzung von Bundesrecht liegt (<ref-ruling> E. 1.4 S. 176; <ref-ruling> E. 2.1 S. 245 f.). Auf die Beschwerde kann auch insoweit nicht eingetreten werden.
5.
Den Begründungsanforderungen vermag die Beschwerde auch insoweit nicht zu genügen, als die Beschwerdeführerin die Verletzung verschiedener verfassungsmässiger Rechte rügt, namentlich des Willkürverbots und des Anspruchs auf rechtliches Gehör (Beschwerde, Bst. A Ziff. I.4 S. 2 f. und Ziff. 1.6 S. 3, Bst. B Ziff. II S. 12 und Ziff. III.2 S. 14). Weder begründet die Beschwerdeführerin diese Rügen noch legt sie klar und detailliert dar, inwiefern der angefochtene Entscheid ihre verfassungsmässigen Rechte verletzen solle. Dies wäre indessen notwendig (<ref-law>; <ref-ruling> E. 1.5 S. 576; <ref-ruling> E. 2.2 S. 233; <ref-ruling> E. 2.2 S. 246; <ref-ruling> E. 1.4.3 S. 255). Auf die Beschwerde ist folglich auch insoweit nicht einzutreten.
6.
Die Beschwerdeführerin wendet sich zuletzt gegen die Errichtung der Beistandschaft (Beschwerde, Rechtsbegehren Ziff. II-IV sowie z.B. Bst. B Ziff. I.1 S. 4). Diesbezüglich ist die Vorinstanz nicht auf die Beschwerde eingetreten, da die Errichtung der Beistandschaft nicht Gegenstand des Verfahrens sei. Hierüber sei vielmehr mit Entscheid vom 30. Juni 2015 entschieden worden (angefochtenes Urteil, E. 1.4 S. 4). Da insoweit ein Nichteintretensentscheid angefochten ist, bildet Streitgegenstand im bundesgerichtlichen Verfahren nur die Frage, ob die Vorinstanz auf die Beschwerde hätte eintreten müssen (<ref-ruling> E. 1 S. 41; Urteil 2C_747/2013 vom 8. September 2014 E. 2.1). Dies ist nicht der Fall: Über die Errichtung der Beistandschaft hat die KESB bereits mit Entscheid vom 30. Juni 2015 entschieden. Dieser Entscheid ist unbestritten nicht angefochten worden (vorne Bst. A). Die KESB hat zwar im Entscheid vom 7. Oktober 2015 festgestellt, die Beistandschaft sei errichtet worden. Damit hat sie diese aber nicht erneut zum Verfahrensgegenstand gemacht. Sie hat einzig (deklaratorisch) auf die frühere Anordnung verwiesen (Entscheid vom 7. Oktober 2015 [Beschwerdebeilage 12], Bst. B Ziff. 8 S. 2; vgl. zur Auslegung von Urteilen <ref-ruling> E. 2.3 S. 17; <ref-ruling> E. 3.4 S. 74; <ref-ruling> E. 5.1 S. 630). Damit konnte die Errichtung der Beistandschaft nicht zum Gegenstand des vorinstanzlichen Verfahrens gemacht werden (vgl. zum Streitgegenstand vorne E. 3) und das Appellationsgericht ist zu Recht diesbezüglich auf die Beschwerde nicht eingetreten. Die Beschwerde in Zivilsachen erweist sich insoweit als unbegründet und ist abzuweisen. Soweit die Beschwerdeführerin geltend macht, sie sei unverschuldet davon abgehalten worden, gegen den Entscheid vom 30. Juni 2015 Beschwerde zu erheben, ist sie im Beschwerdeverfahren vor Bundesgericht nicht zu hören. Dieses neue Vorbringen ist nur unter den Voraussetzungen von <ref-law> zulässig, deren Erfüllung darzulegen die Beschwerdeführerin indessen unterlässt (<ref-ruling> E. 3.1.2 S. 123).
7.
Nach dem Ausgeführten ist die Beschwerde abzuweisen, soweit auf sie eingetreten werden kann. Damit unterliegt die Beschwerdeführerin vollständig und hätte die Gerichtskosten zu tragen. Aufgrund der Umstände des vorliegenden Falls und mit Rücksicht auf die wirtschaftlichen Verhältnisse der Beschwerdeführerin rechtfertigt es sich indes, auf die Erhebung von Gerichtskosten ausnahmsweise zu verzichten (<ref-law>). Parteientschädigung ist keine zu sprechen (Art. 68 Abs. 1 und 3 BGG). Das Gesuch der Beschwerdeführerin um unentgeltliche Rechtspflege (<ref-law>) wird damit gegenstandslos.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf eingetreten wird.
2.
Es werden keine Gerichtskosten erhoben.
3.
Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege wird als gegenstandslos abgeschrieben.
4.
Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten und dem Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt als Verwaltungsgericht schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 20. Oktober 2016
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: von Werdt
Der Gerichtsschreiber: Sieber