Sachverhalt:
A.
In Sachen A._ (Ehefrau) und B._ (Ehemann) erliess das Bezirksgericht Kriens mit Entscheid vom 2. Juli 2015 Eheschutzmassnahmen. Es verpflichtete den Ehemann, an den Unterhalt der Ehefrau monatlich und im Voraus, erstmals per 1. September 2014 fällig gewesene und ab Verfall je zu 5% verzinsliche Unterhaltsbeiträge von Fr. 550.-- zu bezahlen. Die Kosten des Verfahrens wurden unter Vorbehalt der unentgeltlichen Rechtspflege der Ehefrau den Parteien je zur Hälfte auferlegt und die Parteikosten wettgeschlagen.
B.
Die Ehefrau gelangte gegen die erwähnten Punkte des erstinstanzlichen Entscheides mit Berufung an das Kantonsgericht des Kantons Luzern mit dem Begehren, den Ehemann zu verpflichten, ihr rückwirkend ab 1. Februar 2014 einen monatlichen, vorauszahlbaren und ab Verfall zu 5 % verzinslichen Unterhaltsbeitrag von Fr. 1'000.-- zu entrichten. Mit Entscheid vom 5. Januar 2016 änderte das Kantonsgericht die Unterhaltsregelung ab und verpflichtete den Ehemann, der Ehefrau monatliche und im Voraus, erstmals am 1. September 2014 und ab Verfall je zu 5% verzinsliche Unterhaltsbeiträge von Fr. 620.-- zu bezahlen. Der erstinstanzliche Kostenspruch wurde bestätigt. Die Gerichtskosten des erst- und zweitinstanzlichen Verfahrens von Fr. 2'300.-- (Bezirksgericht Fr. 1'300.-- und Kantonsgericht Fr. 1'000.--) wurden im Umfang von Fr. 650.-- unter Vorbehalt der unentgeltlichen Rechtspflege der Ehefrau und im Umfang von Fr. 1'650.-- dem Ehemann auferlegt.
C.
Die Ehefrau (Beschwerdeführerin) hat am 15. Februar 2016 (Postaufgabe) beim Bundesgericht gegen das Urteil des Kantonsgerichts Beschwerde erhoben. Sie wiederholt zur Hauptsache die vor Kantonsgericht gestellten Rechtsbegehren. Eventualiter beantragt sie, die Sache zur Neubeurteilung an die Vorinstanz zurückzuweisen. Für das bundesgerichtliche Verfahren ersucht sie um unentgeltliche Rechtspflege.
Das Kantonsgericht hat sich am 9. Mai 2016 vernehmen lassen. B._ (Beschwerdegegner) hat seine Vernehmlassung am 30. Mai 2016 (Postaufgabe) eingereicht. Die Beschwerdeführerin hat innert der ihr gesetzten Frist ihr Replikrecht nicht ausgeübt.

Erwägungen:
1.
Angefochten ist ein letztinstanzlicher kantonaler Entscheid eines oberen kantonalen Gerichts als Rechtsmittelinstanz (Art. 75 Abs. 1 und 2 BGG) betreffend Eheschutzmassnahmen, der das Verfahren abschliesst (<ref-law>; <ref-ruling> E. 4 S. 395 f.). Da vorliegend einzig finanzielle Aspekte strittig sind und der Streitwert von Fr. 30'000.-- (<ref-law> i.V.m. <ref-law>) erreicht ist, erweist sich die Beschwerde in Zivilsachen als zulässig. Die übrigen Eintretensvoraussetzungen geben zu keinen Bemerkungen Anlass.
2.
Eheschutzmassnahmen sind vorsorgliche Massnahmen im Sinn von <ref-law> (<ref-ruling> E. 5 S. 396 ff.). Liegen vorsorgliche Massnahmen im Streit, kann einzig die Verletzung verfassungsmässiger Rechte gerügt werden (<ref-law>). Das Bundesgericht wendet dabei das Recht nicht von Amtes wegen an, sondern prüft die Verletzung von verfassungsmässigen Rechten nur insofern, als eine solche Rüge in der Beschwerde vorgebracht und hinreichend begründet worden ist (<ref-law>). In der Beschwerde ist folglich klar und detailliert anhand der Erwägungen des angefochtenen Entscheids darzulegen, inwiefern verfassungsmässige Rechte verletzt worden sein sollen (<ref-law>; <ref-ruling> E. 6 S. 397; <ref-ruling> E. 3.2 S. 88 mit Hinweisen). Wird eine Sachverhaltsfeststellung beanstandet, muss in der Beschwerdeschrift dargelegt werden, inwiefern diese Feststellung willkürlich zustande gekommen ist (vgl. <ref-ruling> E. 1.2.2 und 1.4.3 S. 255) und inwiefern die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein kann (Art. 97 Abs. 1 in fine BGG; <ref-ruling> E. 2.2.2 S. 22). Auf rein appellatorische Kritik am Sachverhalt tritt das Bundesgericht nicht ein.
3.
3.1. Das Eheschutzgericht stützte seine Ermittlung des massgebenden Einkommens des Beschwerdegegners auf den in den bezirksgerichtlichen Akten enthaltenen amtlichen Beleg 34. Dabei handelt es sich um eine Aktennotiz über zwei geführte Telefongespräche der zuständigen Bezirksrichterin, nämlich jenes vom 28. Mai 2015 mit dem Beschwerdegegner und jenes mit den Arbeitgebern des Beschwerdegegners (Musikschule U._ und Musikschule V._) vom 10. Juni 2015. Auch das mit der Berufung befasste Kantonsgericht legte seinen Erwägungen zum massgebenden Einkommen des Beschwerdegegners dieses Dokument zu Grunde. Das besagte Dokument enthält handschriftliche Korrekturen der erstinstanzlichen Richterin bezüglich der Jahreszahl: Es wurde durchwegs handschriftlich die Jahreszahl 2016 durch 2015 ersetzt. Während das Kantonsgericht auf diese handschriftliche Korrekturen hinwies, enthält das bezirksgerichtliche Urteil keinen entsprechenden Hinweis.
Die Beschwerdeführerin legt neu eine Kopie des amtlichen Belegs 34 ins Recht, auf der keine handschriftlichen Korrekturen vermerkt sind, und macht geltend, die erste Instanz habe ihr eine Kopie von Beleg 34 ohne handschriftliche Korrekturen zugesandt. Erst durch das Urteil des Kantonsgerichts bzw. durch die nachträgliche Akteneinsicht habe sie von diesen Korrekturen erfahren. Weder das Bezirksgericht noch das Kantonsgericht habe ihr das abgeänderte Dokument zur Vernehmlassung zugestellt. Damit habe die Vorinstanz das rechtliche Gehör und insbesondere <ref-law> und Art. 6 Ziff. 1 EMRK verletzt.
Das Kantonsgericht macht geltend, bei der ursprünglichen Angabe der Jahreszahl 2016/17 auf dem Aktenstück 34 habe es sich um einen Schreibfehler gehandelt, den die Beschwerdeführerin ohne Weiteres habe erkennen können, zumal sich die protokollierten Angaben aus Gründen der Logik auf das Schuljahr 2015/16 bezogen hätten; zum fraglichen Zeitpunkt hätten noch keine Angaben zum Pensum und zum Lohn von Musiklehrern ab dem Schuljahr 2016/17 gemacht werden können. Der Beschwerdegegner nimmt zu diesem Punkt keine Stellung.
3.2. Die Beschwerdeführerin ist erst durch den Hinweis des Kantonsgerichts auf die handschriftliche Korrektur des Aktenstückes 34 hingewiesen worden. Unter diesen Umständen rechtfertigt es sich, das Aktenstück 3/3 der bundesgerichtlichen Akten (eine Kopie des nicht korrigierten amtlichen Belegs 34 der kantonalen Akten) als neues Beweismittel zuzulassen (<ref-law>).
3.3. Aus dem Anspruch auf ein faires Verfahren und auf rechtliches Gehör ergibt sich das Recht der Parteien, Einsicht in die Akten eines hängigen Verfahrens zu nehmen und sich dazu zu äussern (Art. 29 Abs. 1 und 2 BV, Art. 6 Ziff. 1 EMRK). Das Akteneinsichtsrecht bezieht sich grundsätzlich auf sämtliche verfahrensbezogenen Akten; ausgenommen sind praxisgemäss rein interne Akten, die ausschliesslich für die interne Meinungsbildung bestimmt sind und denen kein Beweischarakter zukommt (<ref-ruling> E. 4a S. 474 f. mit Hinweisen). Nicht erforderlich ist, dass die Akten den Entscheid in der Sache tatsächlich beeinflussen können (<ref-ruling> E. 3.2 S. 389). Die Möglichkeit der Beteiligten, ein Akteneinsichtsgesuch zu stellen, verlangt, dass sie über den Beizug neuer entscheidwesentlicher Akten informiert werden. Dies gilt jedenfalls für Akten, welche sie nicht kennen und auch nicht kennen können (<ref-ruling> E. 6.2 S. 391 mit Hinweisen; zum Ganzen: Urteil 1C_88/2011 vom 15. Juni 2011 E. 3.4 mit Hinweisen).
3.4. Dem neu ins Recht gelegten Beleg lässt sich entnehmen, dass der Beschwerdeführerin die Version ohne handschriftliche Korrekturen zugestellt worden ist. Dies wird vom Kantonsgericht, dem für seine Stellungnahme die Akten in der Sache überlassen worden sind, auch nicht infrage gestellt. Aus den Akten ergibt sich aber nicht, dass das Bezirksgericht den Parteien eine Kopie der abgeänderten Version des amtlichen Belegs 34 zugestellt oder die Korrektur auf andere Weise angezeigt hätte. Erst im kantonsgerichtlichen Urteil wurde die Beschwerdeführerin auf die besagte Korrektur aufmerksam gemacht. Es kann ihr somit nicht vorgeworfen werden, sie habe die Rüge der Verletzung des rechtlichen Gehörs nicht mit Berufung geltend gemacht und damit den kantonalen Instanzenzug nicht ausgeschöpft (dazu: <ref-ruling> E. 2). Überdies hat auch das Kantonsgericht in seinem Urteil auf die abgeänderte Version abgestellt, ohne das abgeänderte Dokument den Parteien vorgängig zuzustellen. Damit wurde ihnen auch verunmöglicht, dazu Stellung zu nehmen. Der Vorwurf der Verletzung von <ref-law> bzw. 6 Ziff. 1 EMRK erweist sich als begründet.
4.
4.1. Mit Bezug auf die Ermittlung des Einkommens des Beschwerdegegners macht die Beschwerdeführerin zusammengefasst geltend, die Vorinstanz habe in unzulässiger Weise telefonische Vorbringen berücksichtigt. Insbesondere führt sie aus, der Beschwerdegegner sei vor beiden kantonalen Instanzen säumig gewesen. Die Vorinstanz stelle fest, dass der Beschwerdegegner keine Berufungsantwort eingereicht habe und damit säumig sei. Dennoch berücksichtige sie die telefonische Aussage des Beschwerdegegners, wie sie in der Aktennotiz (Beleg 34) über das Gespräch vom 28. Mai 2015 enthalten sei. <ref-law> sehe indes die telefonische Eingabe nicht vor; das Vorgehen des Kantonsgerichts lasse sich auch mit der im Summarverfahren geltenden Untersuchungsmaxime nicht rechtfertigen. Denn Behauptungen und Bestreitungen einer Partei seien auch im Anwendungsbereich der Untersuchungsmaxime nur insoweit zu berücksichtigen, als diese frist- und formgerecht in einer Eingabe nach Massgabe des Gesetzes vorgetragen worden seien. Mit ihrem Vorgehen habe die Vorinstanz die im Summarverfahren geltende Untersuchungsmaxime willkürlich angewendet, weshalb der angefochtene Entscheid insoweit willkürlich sei. Die Vorinstanz stellt sich auf den Standpunkt, mit Blick auf den Schwächezustand des Beschwerdegegners müsse der Sachverhalt aufgrund einer grosszügig gehandhabten Untersuchungsmaxime festgestellt werden. Der Beschwerdegegner äussert sich nicht zu diesem Punkt.
4.2. Auf die hier strittigen Eheschutzmassnahmen ist das summarische Verfahren anwendbar (<ref-law>). Es gilt der Untersuchungsgrundsatz, wobei der Sachverhalt lediglich von Amtes wegen festzustellen, nicht aber zu erforschen ist (<ref-law>). <ref-law> sieht vor, dass Eingaben (der Parteien) in Papierform oder elektronisch einzureichen und zu unterzeichnen sind. Er bestimmt im Grundsatz für jedes Verfahren die Form, mit der Eingaben an das Gericht eingereicht werden können und müssen (GSCHWEND/BORNATICO, Basler Kommentar, Schweizerische Zivilprozessordnung, 2. Aufl. 2013, N. 1 zu <ref-law>). Im strittigen Summarverfahren führt das Gericht eine mündliche Verhandlung durch. Es kann darauf verzichten, wenn der Sachverhalt aufgrund der Eingaben der Parteien klar oder unbestritten ist (<ref-law>). Der Beschwerdegegner ist weder an der mündlichen Verhandlung erschienen, noch hat er sich der schriftlichen Eingabe bedient; er begnügte sich vielmehr damit, dem Gericht telefonisch Angaben zu seinem Lohn zu machen. Eine Berücksichtigung dieser Form der Eingabe durch die kantonalen Instanzen erweist sich nach dem Gesagten als unhaltbar. Nicht anders verhält es sich mit der telefonischen Auskunft der Arbeitgeber vom 10. Juni 2015 über den Lohn des Beschwerdegegners. <ref-law> zählt die zulässigen Beweismittel abschliessend auf und sieht in lit. e nur die schriftliche Auskunft vor (PETER HAFNER, Basler Kommentar, a.a.O., N. 1 zu <ref-law>; HANS SCHMID, Kurzkommentar ZPO, 2. Aufl. 2014, N. 1 zu <ref-law>), Mündliche Auskünfte, insbesondere auch telefonische gelten nicht als Beweismittel im Sinn der genannten Bestimmung (SVEN RÜETSCHI, Berner Kommentar, Schweizerische Zivilprozessordnung, 2012, N. 4 zu <ref-law>; vgl. auch WEIBEL/WALZ, Kommentar zur Schweizerischen Zivilprozessordnung, 3. Aufl. 2016, N. 9 zu <ref-law>). Entgegen ihren Ausführungen hat die Vorinstanz bei der Ermittlung des Einkommens des Beschwerdegegners auf die Aktennotiz über die Telefongespräche (amtlicher Beleg 34) abgestellt und das Ergebnis dieses Aktenstückes im angefochtenen Entscheid berücksichtigt (angefochtener Entscheid E. 4.2). Mit der Zulassung telefonischer Eingaben und Auskünfte unter Hinweis auf die Untersuchungsmaxime hat die Vorinstanz <ref-law> verletzt. Insofern erweist sich der angefochtene Entscheid als im Ergebnis unhaltbar.
4.3. Aus diesem Ergebnis schliesst die Beschwerdeführerin unter Hinweis auf <ref-law>, dass das Gericht mit Bezug auf den Lohn des Beschwerdegegners ausschliesslich auf ihre Angaben und Beweismittel bzw. die Akten abzustellen hatte. Zu Unrecht: Der Beschwerdegegner ist an der Hauptverhandlung des erstinstanzlichen Gerichts nicht erschienen. Nach <ref-law> berücksichtigt das Gericht grundsätzlich die Eingaben, die nach Massgabe des Gesetzes eingereicht worden sind. Im Übrigen kann es seinem Entscheid unter Vorbehalt von <ref-law> (Feststellung des Sachverhalts von Amtes wegen) die Akten sowie die Vorbringen der anwesenden Partei zu Grunde legen. Zwar ist es im Rahmen der sogenannten sozialen Untersuchungsmaxime in erster Linie Sache der Parteien, die nötigen Tatsachen und Beweismittel vorzutragen (<ref-ruling> E. 4a S. 238; <ref-ruling> E. 2.2 S. 107). Dennoch wirkt sich die Säumnis nicht zu Gunsten der Beschwerdeführerin aus: Aus der Säumnis einer Partei darf nicht abgeleitet werden, die von der anwesenden Partei behauptete Tatsache sei nicht streitig bzw. anerkannt. Im Rahmen seiner Pflicht zur Wahrheitsfindung kann und muss das Gericht vielmehr selbst Beweis über formell Unbestrittenes führen, wenn es an der Richtigkeit von Angaben der anwesenden Partei erheblich zweifelt. Ist dies der Fall, hat es von Amtes wegen den Beweis über die fragliche Tatsache abzunehmen (<ref-law>; LAURENT KILLIAS, Berner Kommentar, Schweizerische Zivilprozessordnung, N. 19 f. zu <ref-law>; zum Umfang der Beweisabnahme von Amtes wegen siehe auch: Urteil 4A_431/2015 vom 19. April 2016 E. 5.1.3). Im vorliegenden Fall hat sich das Gericht telefonisch bei den Arbeitgebern nach dem Lohn des Beschwerdegegners erkundigt. Damit aber sind erhebliche Zweifel an der Richtigkeit der Angaben der Beschwerdeführerin bzw. bezüglich der Schlüssigkeit der Akten zur Genüge erstellt.
5.
5.1. Die erste Instanz hat den Beginn der Unterhaltspflicht auf den 1. September 2014 festgesetzt. Die Vorinstanz hat dazu erwogen, die Beschwerdeführerin habe sich bezüglich der faktischen Trennung der Parteien in Widersprüche verstrickt. Anlässlich der Verhandlung vom 12. März 2015 betreffend den Erlass von Eheschutzmassnahmen habe sie ausgeführt, die Parteien würden seit dem 19. September 2013 getrennt leben. Aus den Vaterschaftsakten gehe jedoch hervor, dass die Parteien im Zeitpunkt des Anfechtungsverfahrens am 12. März 2014 noch im gleichen Haushalt gelebt haben. Dem Verhandlungsprotokoll sei unter dem Begriff Adressberichtigung zu entnehmen, dass beide Parteien an der C._strasse in W._ wohnen. Anlässlich der Beweisaussage unter Wahrheitspflicht habe die Beschwerdeführerin erklärt, sie lebe mit dem Beschwerdegegner zusammen; beide hätten weder die Absicht, sich zu trennen noch zu scheiden. Dass die Parteien im März 2014 noch im gleichen Haushalt gelebt hätten, sei glaubhafter bzw. eindeutig wahrscheinlicher. Es sei kein Grund ersichtlich, weshalb die Beschwerdeführerin anlässlich der Vaterschaftsanfechtung eine falsche Aussage gemacht haben könnte. Der Beschwerdegegner sei an der Verhandlung (betreffend Vaterschaftsanfechtung) anwesend gewesen und habe weder Bemerkungen noch Ergänzungen zum Protokoll vorgetragen. Sodann sei nicht nachvollziehbar, weshalb die Beschwerdeführerin angeblich vom 19. September 2013 bis und mit August 2014, mithin fast ein Jahr nach der angeblichen Trennung, die C._strasse in W._ als Postadresse angegeben haben sollte, wenn sie doch in X._ gewohnt habe. Die Beschwerdeführerin gebe keine Erklärung dazu ab. Bei der von ihr aufgelegten Steuererklärung 2013, die sie erst am 13. November 2014 ausgefüllt habe, handle es sich um ihre eigenen Angaben; gleich verhalte es sich bei der Steuerklärung des Beschwerdegegners. Das Trennungsdatum sei daraus nicht ersichtlich. Die erste Instanz habe daher zu Recht die Unterhaltspflicht ab September 2014 geprüft.
5.2. Die Beschwerdeführerin rügt willkürliche Anwendung der Untersuchungsmaxime bzw. willkürliche Feststellung des Sachverhalts. Zur Begründung macht sie im Wesentlichen geltend, bezüglich der vorhandenen Widersprüche sei zu beachten, dass sie thailändische Staatsangehörige sei, nur mässig Deutsch spreche und nicht anwaltlich vertreten gewesen sei. Zudem habe sie damals die Adresse an der C._strasse in W._ als Postadresse verwendet. Damit liessen sich ihre objektiv falschen Aussagen anlässlich der Verhandlung vom 12. März 2015 im Vaterschaftsanfechtungsprozess erklären, wonach sie mit dem Beschwerdegegner zusammenlebe bzw. an der C._strasse in W._ wohne. Gleichzeitig habe sie aber auch ausgeführt, dass Herr D._ der Vater und immer noch ihr Partner sei. Daher dürfe nicht ohne Weiteres auf ihre Aussagen abgestellt werden. Durch die Beweisaussage sei belegt, dass die Parteien des vorliegenden Verfahrens seit dem 19. September 2013 getrennt lebten. Die Beschwerdeführerin habe ihre Steuererklärung 2013 in X._ eingereicht. Zudem habe sie darin den Zivilstand getrennt angegeben. Auch der Beschwerdegegner sei im Jahr 2013 zum Alleinstehenden-Tarif besteuert worden. Die Feststellung der Vorinstanz, dass die Parteien am 1. September 2014 den gemeinsamen Haushalt aufgehoben hätten, sei willkürlich. Die Beschwerdeführerin habe die Adresse an der C._strasse in W._ nur bis und mit August 2014 als Postadresse verwendet. Aus dem Umstand, dass ihre Arbeitgeberin die Lohnabrechnung ab September 2014 an die Adresse im X._ gesandt habe, könne nicht gefolgert werden, die Parteien hätten erst am 1. September 2014 den gemeinsamen Haushalt ausgehoben.
Nach dem Gesagten sei unbestritten und durch die Beweisaussage vom 12. März 2015, die Steuerklärung 2013 der Beschwerdeführerin und die Veranlagungsverfügung vom 19. Februar 2015 betreffend Steuern 2013 des Beschwerdegegners bewiesen, dass die Parteien seit dem 19. September 2013 getrennt leben.
Die Vorinstanz bestreitet jegliche Willkür. Der Beschwerdegegner äussert sich nicht explizit zu diesem Punkt.
5.3. Die Ausführungen der Beschwerdeführerin sind nicht geeignet, die vorinstanzliche Beweiswürdigung als willkürlich hinzustellen (zum Begriff: <ref-ruling> E. 4.2; <ref-ruling> E. 4.2). Das Kantonsgericht hat ausführlich begründet, warum es den Aussagen der Beschwerdeführerin keinen Glauben schenkt und dies ist angesichts ihrer Widersprüchlichkeit nicht willkürlich. Im Übrigen erschöpfen sich die Aussagen in appellatorischer Kritik am angefochtenen Entscheid, indem die Beschwerdeführerin eine dem Kantonsgericht widersprechende Würdigung der Belege vorträgt; damit ist Willkür nicht zu belegen. Schliesslich kann die Beschwerdeführerin nicht plausibel erklären, warum sie angesichts des angeblich im September 2013 erfolgten Auszuges aus der ehelichen Wohnung und ihres Umzuges nach X._ immer noch die C._strasse in W._ als Postadresse angeben hat. Insgesamt erweist sich die Würdigung der Vorinstanz als mit <ref-law> vereinbar.
6.
6.1. Aus den Ausführungen unter E. 4.3 ergibt sich, dass das Bundesgericht derzeit nicht im Sinne des Hauptantrages entscheiden kann, zumal es weiterer Sachverhaltsabklärungen entsprechend den Vorgaben der ZPO bedarf. Der Ausgang des Verfahrens entspricht somit nicht dem Hauptantrag; die Beschwerde ist daher bloss teilweise gutzuheissen (Urteile 5A_40/2014 vom 17. April 2014 E. 5, in: FamPra.ch 2014 S. 759; 5A_740/2014 vom 1. Februar 2016 E. 11) und die Sache zur Ergänzung des Sachverhalts und zu neuem Entscheid an die Vorinstanz zurückzuweisen.
6.2. Die Vorinstanz ist nachfolgend auf folgendes aufmerksam zu machen: Die an die Adresse des Beschwerdegegners gesandten Akten, nämlich das Gesuch der Beschwerdeführerin um Eheschutzmassnahmen, die Aufforderung zur Stellungnahme, die Editionsaufforderung sowie die Vorladung zur Verhandlung (je vom 2. Februar 2015; kant. Akten Bezirksgericht 6-8) sind mit dem Vermerk "nicht abgeholt" an das Gericht zurückgesandt worden (Akten Bezirksgericht 9), sodass eine Zustellung dieser Dokumente nicht nachgewiesen ist. Gleich verhält es sich mit der Verfügung vom 6. März 2015 betreffend Nachfrist zur Editionsaufforderung und mit der Verfügung betreffend "Nachfrist Aufforderung zur Stellungnahme" (je vom 6. März 2015; Akten Bezirksgericht 10 und 11). In den Akten befindet sich im Übrigen der Vermerk, dass der Briefkasten nicht mehr geleert werde (Akten Bezirksgericht 27). Gemäss Telefonnotiz vom 26. März 2015 über ein Gespräch mit einem Beamten der Kindes- und Erwachsenenschutzbehörde soll der Beschwerdegegner gewisse Schreiben des Bezirksgerichts erhalten haben (Akten Bezirksgericht 25). Insgesamt kann aber nicht mit Sicherheit gesagt werden, dass der Beschwerdegegner das Gesuch um Eheschutzmassnahmen sowie die Vorladung zur Verhandlung tatsächlich erhalten hat, womit seine Säumnis im erstinstanzlichen Verfahren alles andere als erstellt ist. Wie das Kantonsgericht in seiner Vernehmlassung mitteilt, ist der Beschwerdegegner überdies verbeiständet. Das Gericht geht von einem Schwächezustand aus, sodass sich die Frage stellt, ob der Beschwerdegegner überhaupt in der Lage ist, den Prozess selbst zu führen (<ref-law>).
7.
Im vorliegenden Fall ist die teilweise Gutheissung der Beschwerde in einem der ZPO widersprechenden Verhalten der kantonalen Instanzen begründet. Der Beschwerdegegner hat sich zur Frage der Zulässigkeit der untauglichen Beweismittel nicht geäussert; insgesamt ist auch nicht erstellt, dass ihm ein Mitverschulden angelastet werden kann (E. 6.2). Unter diesen Umständen rechtfertigt es sich nicht, ihn mit Verfahrenskosten zu belasten. Gleiches gilt für die Beschwerdeführerin. Von der Erhebung von Gerichtskosten ist somit abzusehen (<ref-law>). Der Kanton Luzern hat indes die Kosten zu übernehmen, die der Beschwerdeführerin durch die Mandatierung eines Anwalts entstanden sind (Art. 66 Abs. 3 i.V.m. <ref-law>; vgl. Urteil 5A_61/2012 vom 23. März 2012 E. 4).
8.
Mit der vorstehenden Kostenregelung wird das Gesuch der Beschwerdeführerin um unentgeltliche Rechtspflege gegenstandslos.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird teilweise gutgeheissen, soweit darauf einzutreten ist, und der angefochtene Entscheid wird aufgehoben. Die Sache wird im Sinn der Erwägungen an die Vorinstanz zurückgewiesen.
2.
Es werden keine Gerichtskosten erhoben.
3.
Der Kanton Luzern hat Rechtsanwalt Michael Rüegg für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 3'000.-- zu entschädigen
4.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Kantonsgericht Luzern, 2. Abteilung, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 27. Juli 2016
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: von Werdt
Der Gerichtsschreiber: Zbinden