Erwägungen:
1.
Die Volkswirtschaftsdirektion des Kantons Bern wies am 6. März 2015 eine Beschwerde von A._ gegen die Verfügung des Veterinärdienstes des Amts für Landwirtschaft und Natur des Kantons Bern vom 3. November 2014 betreffend die Beschlagnahmung von Katzen bzw. Katzenhalteverbot ab. Dagegen gelangte A._ am 17. März 2015 mit Beschwerde an das Verwaltungsgericht des Kantons Bern. Dieses nahm mit Verfügung vom 19. März 2015 das Verfahren auf. Gemäss Ziffer 2 des Verfügungsdispositivs verzichtete es aufgrund der eingereichten Unterlagen auf die Erhebung eines Kostenvorschusses und stellte in Aussicht, über das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege später zu entscheiden. Es wies das Gesuch schliesslich am 22. Mai 2015 wegen Aussichtslosigkeit der Beschwerde ab und forderte den Betroffenen auf, bis zum 15. Juni 2015 entweder die Beschwerde zurückzuziehen oder einen Kostenvorschuss von Fr. 3'000.-- zu leisten. Die unter anderem gegen diese sowie eine weitere Zwischenverfügung erhobenen Beschwerden in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten wies das Bundesgericht mit Urteil 2C_465/2015 und 2C_507/2015 vom 8. September 2015 ab, soweit es darauf eintrat. Es lud das Verwaltungsgericht ein, die während des bundesgerichtlichen Verfahrens abgelaufene Frist zur Leistung des Vorschusses neu anzusetzen. Unter Bezugnahme auf dieses Urteil räumte der Instruktionsrichter des Verwaltungsgerichts A._ mit Verfügung vom 28. September 2015 Gelegenheit ein, bis 28. Oktober 2015 entweder seine Beschwerde zurückzuziehen oder einen Gerichtskostenvorschuss von Fr. 3'000.-- zu bezahlen. A._ stellte dem Verwaltungsgericht am 27. Oktober 2015 ein Gesuch um Erläuterung der Verfügung vom 28. September 2015. Mit Verfügung vom 4. November 2015 trat der verwaltungsgerichtliche Instruktionsrichter auf das Erläuterungsgesuch nicht ein und setzte unter Androhung des Nichteintretens im Säumnisfall eine Nachfrist zur Leistung des Vorschusses von Fr. 3'000.-- bis zum 16. November 2015 an. Da innert Nachfrist weder der Vorschuss geleistet noch die Beschwerde zurückgezogen worden war, trat das Verwaltungsgericht mit Urteil des Einzelrichters vom 24. November 2015 auf die Verwaltungsgerichtsbeschwerde vom 17. März 2015 nicht ein.
Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten vom 8. Januar 2016 beantragt A._ dem Bundesgericht hauptsächlich, das Urteil des Verwaltungsgerichts vom 24. November 2015 aufzuheben und sein Urteil 2C_507/2015 und 2C_465/2015 vom 8. September 2015 wegen Verletzung von Verfahrensvorschriften in Revision zu ziehen.
Mit dem vorliegenden instanzabschliessenden Urteil werden die Gesuche um vorsorgliche Massnahmen und aufschiebende Wirkung gegenstandslos.
2.
2.1. Nebst um Aufhebung des Nichteintretensurteils wird auch um Revision des bundesgerichtlichen Urteils vom 8. September 2015 ersucht, womit die die unentgeltliche Rechtspflege verweigernde Zwischenverfügung des Verwaltungsgerichts vom 22. Mai 2015 bestätigt worden war. Der Beschwerdeführer erwähnt zunächst Revisionsgründe nach <ref-law>. Diese hätte er innert 30 Tagen seit Eröffnung des vollständigen bundesgerichtlichen Urteils geltend machen müssen (<ref-law>). Die Frist ist längst abgelaufen. Weiter beruft er sich auf <ref-law>. Er übersieht dabei, dass hierfür nach dem klaren Wortlaut der Bestimmung (lit. a) eine Feststellung des Europäischen Gerichtshofs für Menschenrechte vorausgesetzt wäre, dass im konkreten Fall die EMRK oder die Protokolle dazu verletzt worden seien; an dieser Voraussetzung fehlt es, sodass auch <ref-law> von vornherein als Revisionsgrund ausser Betracht fällt.
Soweit die Eingabe als Revisionsgesuch gegen das Urteil 2C_465/2015 und 2C_507/2015 vom 8. September 2015 erhoben wird, ist darauf ohne Schriftenwechsel oder andere Weiterungen nicht einzutreten.
2.2. Gemäss Art. 42 Abs. 1 und 2 BGG haben Rechtsschriften die Begehren und deren Begründung zu enthalten. In der Begründung ist in gedrängter Form darzulegen, inwiefern der angefochtene Akt Recht (schweizerisches Recht, <ref-law>) verletze. Die Begründung hat sachbezogen zu sein; die Beschwerde führende Partei hat in gezielter Auseinandersetzung mit den für das Ergebnis des angefochtenen Entscheids massgeblichen Erwägungen plausibel aufzuzeigen, welche Rechte bzw. Rechtsnormen die Vorinstanz verletzt haben soll (<ref-ruling> E. 2 S. 88 f. mit Hinweisen).
Das Verwaltungsgericht ist auf die Beschwerde vom 17. März 2015 darum nicht eingetreten, weil der Beschwerdeführer nach Rechtskraft der Verweigerung der unentgeltlichen Rechtspflege den festgesetzten Kostenvorschuss auch innert der ihm hierfür angesetzten Nachfrist nicht geleistet hat. Das Nichteintretens-Urteil stützt sich auf kantonales Verfahrensrecht. Mit seinen Ausführungen, die teilweise über den beschränkten verfahrensrechtlichen Prozessgegenstand hinausgehen, vermag er nicht aufzuzeigen, inwiefern das Verwaltungsgericht dabei schweizerisches Recht (s. <ref-law>) verletzt hätte. Nicht nachvollziehbar ist namentlich der Einwand, das Verwaltungsgericht habe mit der verfahrensleitenden Verfügung vom 19. März 2015 Vertrauen erweckend in Aussicht gestellt, definitiv auf eine Vorschusserhebung verzichtet zu haben, stellte es doch ausdrücklich einen späteren Entscheid über die unentgeltliche Rechtspflege in Aussicht. Im Übrigen war er schon mit der entsprechenden Zwischenverfügung vom 22. Mai 2015 zur Bezahlung eines Vorschusses aufgefordert worden; auch diese Anordnung wurde mit dem bundesgerichtlichen Urteil vom 8. September 2015 rechtskräftig.
Soweit die Eingabe als Beschwerde gegen das Nichteintretensurteil zu betrachten ist, kann darauf mangels hinreichender Begründung, ohne Schriftenwechsel oder andere Instruktionsmassnahmen, nicht eingetreten werden.
2.3. Dem Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege kann schon darum nicht entsprochen werden, weil die Rechtsbegehren aussichtslos erschienen.
Damit sind die Gerichtskosten dem Beschwerdeführer als unterliegende Partei aufzuerlegen (Art. 65 und 66 Abs. 1 erster Satz BGG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Auf das Revisionsgesuch wird nicht eingetreten.
2.
Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
3.
Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege wird abgewiesen.
4.
Die Gerichtskosten von Fr. 500.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
5.
Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten, dem Verwaltungsgericht des Kantons Bern, Verwaltungsrechtliche Abteilung, Einzelrichter, und dem Eidgenössischen Departement für Wirtschaft, Bildung und Forschung schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 13. Januar 2016
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Zünd
Der Gerichtsschreiber: Feller