Sachverhalt:
A.
A.A._ (geb. 1972), stammt aus Bosnien-Herzegowina. Aus einer ersten, am 22. Februar 1992 in U._ (Bosnien) geschlossenen Ehe mit D.D._ hat sie die Kinder E.D._ (geb. 1992) und F.D._ (geb. 1999). Nach der Scheidung am 22. Oktober 2002 wurde A.A._ das Sorgerecht für die Kinder zugesprochen. Seit 2008 lebte der Sohn F.D._ mit ihrem Einverständnis bei seinem Vater in U._; die volljährige Tochter E.D._ lebt in V._.
Am 14. August 2009 heiratete A.A._ in W._ (Kroatien) den kroatischen Staatsbürger B.A._ (geb. 1972), welcher seit Ende 1999 über eine Niederlassungsbewilligung in der Schweiz verfügte. Am 26. Juni 2011 reiste sie zu ihrem Mann in die Schweiz ein und erhielt die Aufenthaltsbewilligung (gültig bis zum 25. Dezember 2012). Der gemeinsame Sohn C.A._ wurde 2011 geboren. Er ist kroatischer Staatsangehöriger und im Besitz der Niederlassungsbewilligung.
Am 12. September 2012 intervenierte die Kantonspolizei St. Gallen bei der Familie A._ im häuslichen Bereich. Das Bezirksgericht Werdenberg-Sarganserland stellte am 6. November 2012 fest, dass die Eheleute A._ seit dem 12. September 2012 getrennt lebten. Der Sohn C.A._ wurde unter die alleinige Obhut von A.A._ gestellt, und B.A._ wurde ein begleitetes Besuchsrecht eingeräumt. Das Untersuchungsamt Altstätten stellte die Strafverfahren gegen B.A._ und A.A._ wegen Tätlichkeiten bzw. Drohung im häuslichen Bereich am 4. Dezember 2012 ein.
B.
Am 13. Dezember 2012 ersuchte A.A._ um Verlängerung der Aufenthaltsbewilligung. In der Folge scheiterte offenbar ein Versuch der Gatten, die eheliche Gemeinschaft wieder aufzunehmen. Am 5. Juli 2013 wies das Migrationsamt des Kantons St. Gallen das Gesuch um Verlängerung der Aufenthaltsbewilligung ab und wies A.A._ aus der Schweiz weg. Die dagegen erhobenen kantonalen Rechtsmittel blieben erfolglos (Entscheid des Sicherheits- und Justizdepartements des Kantons St. Gallen vom 26. September 2014, Entscheid des Verwaltungsgerichts des Kantons St. Gallen vom 22. Januar 2016).
C.
C.a. A.A._ erhebt am 15. Februar 2016 Beschwerde beim Bundesgericht mit den Anträgen, den angefochtenen Entscheid aufzuheben und das Migrationsamt anzuweisen, die Aufenthaltsbewilligung zu verlängern. Am 7. März 2016 reicht sie ein Schreiben des Beistands des Sohnes C.A._ mit Datum vom 1. März 2016 ein.
Das Sicherheits- und Justizdepartement schliesst auf Abweisung der Beschwerde, soweit darauf einzutreten sei. Das Verwaltungsgericht und das Staatssekretariat für Migration beantragen die Abweisung der Beschwerde.
Am 16. Februar 2016 ist der Beschwerde antragsgemäss aufschiebende Wirkung zuerkannt worden.
C.b. Am 14. April 2016 übersendet das Verwaltungsgericht eine Eingabe von B.A._ vom 4. April 2016, in dem dieser dem Verwaltungsgericht mitteilte, der Sohn C.A._ befinde sich mit ihm als Vater und Rechtsvertreter in der Republik Kroatien. Die Ehe zwischen ihm und A.A._ sei durch ein Urteil des Amtsgerichts in X._ geschieden und ihm - B.A._ - die Pflege und Erziehung des Sohnes C.A._ zugeteilt worden. Weil sich aufgrund dieses rechtskräftigen Urteils das Kind nicht mehr bei der Mutter, sondern gesetzmässig bei ihm als Vater in der Republik Kroatien befinde, schlage er vor, das Verfahren zu beschleunigen.
Am 25. April 2016 reicht A.A._, welche vom Verwaltungsgericht mit einer Kopie der Eingabe von B.A._ bedient worden war, unaufgefordert eine Stellungnahme ein, in der sie erklärt, B.A._ sei über die Ostertage ohne ihr und des Beistands Einverständnis mit C.A._ nach Kroatien gefahren und habe das Kind nicht mehr zurückgebracht. Deswegen sei bei der Zentralbehörde in Bern ein Antrag auf Rückführung gestellt worden. Während des Rückführungsverfahrens dürfe sie - A.A._ - nicht aus der Schweiz ausgewiesen werden. Auch deswegen sei die Beschwerde gutzuheissen. Der Beistand von C.A._ sei als Auskunftsperson bzw. als Zeuge einzuvernehmen.
C.c. Mit Replik vom 25. Mai 2016 hält A.A._ an ihren Anträgen fest und stellt weitere Beweisanträge. Zudem reicht sie den Entscheid des Kreisgerichts St. Gallen vom 17. Mai 2016 betreffend Anerkennung und Vollstreckung eines ausländischen Urteils/superprovisorische Massnahmen (Gesuchsteller: B.A._; Gesuchsgegnerin: A.A._) ein.

Erwägungen:
1.
1.1. Der angefochtene Entscheid unterliegt grundsätzlich der Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten (vgl. Art. 82 lit. a, Art. 86 Abs. 1 lit. d, Art. 90 BGG). Die Ausnahme gemäss <ref-law> greift nicht, denn die Beschwerdeführerin, die eine Ehe mit einem in der Schweiz niederlassungsberechtigten Mann geführt hatte, beruft sich auf Art. 50 Abs. 2 AuG (SR 142.20) und macht damit sinngemäss einen nachehelichen Härtefall im Sinn von Art. 50 Abs. 1 lit. b AuG geltend. Die Beschwerdeführerin ist zur Beschwerdeführung legitimiert, und auch die übrigen Sachurteilsvoraussetzungen sind erfüllt. Auf die Beschwerde ist einzutreten.
Das angefochtene Urteil ist der Beschwerdeführerin nach deren Angaben am 1. Februar 2016 zugegangen. Die Beschwerdefrist beträgt 30 Tage (<ref-law>). Sie hat am 2. Februar 2016 zu laufen begonnen und am 3. März 2016 geendet. Die Beschwerde vom 15. Februar 2016 wurde fristgerecht erhoben. Die Eingaben der Beschwerdeführerin vom 7. März 2016 und vom 25. April 2016 sind dagegen offensichtlich verspätet. Im bundesgerichtlichen Verfahren ist es nicht zulässig, die Beschwerde nach Ablauf der Beschwerdefrist noch zu ergänzen (Urteile 1C_476/2015 vom 3. August 2016 E. 1.4; 4A_116/2015 vom 9. November 2015 E. 2.3, nicht publ. in: <ref-ruling>; <ref-ruling> E. 3.3.4 S. 47). Die erwähnten Eingaben sind daher unbeachtlich.
1.2. Mit der Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann eine Rechtsverletzung nach Art. 95 und Art. 96 BGG gerügt werden. Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (<ref-law>). Immerhin prüft es, unter Berücksichtigung der allgemeinen Begründungspflicht der Beschwerde (Art. 42 Abs. 1 und 2 BGG), grundsätzlich nur die geltend gemachten Rügen, sofern die rechtlichen Mängel nicht geradezu offensichtlich sind. Es ist jedenfalls nicht gehalten, wie eine erstinstanzliche Behörde alle sich stellenden rechtlichen Fragen zu untersuchen, wenn diese vor Bundesgericht nicht mehr vorgetragen werden. Unerlässlich ist im Hinblick auf <ref-law>, dass die Beschwerde auf die Begründung des angefochtenen Entscheids eingeht und im Einzelnen aufzeigt, worin eine Verletzung von Bundesrecht liegt. Die beschwerdeführende Partei soll in der Beschwerdeschrift nicht bloss die Rechtsstandpunkte, die sie im kantonalen Verfahren eingenommen hat, erneut bekräftigen, sondern mit ihrer Kritik an den als rechtsfehlerhaft erachteten Erwägungen der Vorinstanz ansetzen (<ref-ruling> E. 2 S. 116). In Bezug auf die Verletzung von Grundrechten gilt eine qualifizierte Rüge- und Substanziierungspflicht (<ref-law>; <ref-ruling> E. 2.2 S. 232; <ref-ruling> E. 2.5 S. 314).
1.3. Das Bundesgericht legt seinem Urteil den von der Vorinstanz festgestellten Sachverhalt zugrunde (<ref-law>). Es kann die Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz von Amtes wegen berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinn von <ref-law> beruht (<ref-law>). "Offensichtlich unrichtig" bedeutet dabei "willkürlich" (<ref-ruling> E. 2). Die beschwerdeführende Partei kann die Feststellung des Sachverhalts unter den gleichen Voraussetzungen beanstanden, wenn die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein kann (<ref-law>).
1.4. Neue Tatsachen und Beweismittel dürfen nur so weit vorgebracht werden, als erst der Entscheid der Vorinstanz dazu Anlass gibt (<ref-law>).
Tatsachen oder Beweismittel, welche sich auf das vorinstanzliche Prozessthema beziehen, sich jedoch erst nach dem angefochtenen Entscheid ereignet haben oder entstanden sind, können von vornherein nicht durch das angefochtene Urteil veranlasst worden sein (vgl. Urteil 2C_833/2011 vom 6. Juni 2012 E. 1.2 mit Hinweis). Diese so genannten "echten Noven" sind im bundesgerichtlichen Verfahren in jedem Fall unzulässig (<ref-ruling> E. 3.1.2 S. 123; <ref-ruling> E. 2.1 S. 344).
Die mit der Beschwerde eingereichte Kurzstandortbestimmung des Horts Y._ vom 9. Februar 2016 betreffend den Sohn C.A._ und die Stellungnahme des Pflegeheims Z._ vom 8. Februar 2016 betreffend die Arbeitsstelle der Beschwerdeführerin datieren nach dem angefochtenen Urteil vom 22. Januar 2016. Sie sind somit als echte Noven im vorliegenden Verfahren unbeachtlich. Das Gleiche gilt für die mit der Replik vom 25. Mai 2016 zusätzlich eingereichten Beweismittel (Schreiben des Beistands des Sohnes C.A._ vom 1. März 2016, Entscheid des Kreisgerichts St. Gallen vom 17. Mai 2016).
2.
2.1. Gemäss Art. 43 Abs. 1 AuG haben ausländische Ehegatten und ledige Kinder unter 18 Jahren von Personen mit Niederlassungsbewilligung Anspruch auf Erteilung und Verlängerung der Aufenthaltsbewilligung, wenn sie mit diesen zusammenwohnen. Nach Auflösung der Ehe oder der Familiengemeinschaft besteht der Anspruch des Ehegatten und der Kinder auf Erteilung und Verlängerung der Aufenthaltsbewilligung weiter, wenn die Ehegemeinschaft mindestens drei Jahre gedauert hat und eine erfolgreiche Integration besteht (Art. 50 Abs. 1 lit. a AuG) oder wichtige persönliche Gründe einen weiteren Aufenthalt in der Schweiz erforderlich machen (Art. 50 Abs. 1 lit. b AuG). Wichtige persönliche Gründe im Sinn von Art. 50 Abs. 1 lit. b AuG können namentlich vorliegen, wenn die Ehegattin oder der Ehegatte Opfer ehelicher Gewalt wurde oder die Ehe nicht aus freiem Willen geschlossen hat oder die soziale Wiedereingliederung im Herkunftsland stark gefährdet erscheint (Art. 50 Abs. 2 AuG).
2.2. Bei der Auslegung von Art. 50 Abs. 1 lit. b AuG ist entscheidend, ob die persönliche, berufliche und familiäre Eingliederung der betroffenen ausländischen Person bei einer Rückkehr in ihre Heimat als stark gefährdet zu gelten hätte, und nicht, ob ein Leben in der Schweiz einfacher wäre und - aus welchen Gründen auch immer - vorgezogen würde. Ein persönlicher, nachehelicher Härtefall setzt aufgrund der gesamten Umstände eine erhebliche Intensität der Konsequenzen für das Privat- und Familienleben voraus, die mit der Lebenssituation nach dem Dahinfallen der abgeleiteten Anwesenheitsberechtigung verbunden sein muss (<ref-ruling> E. 6 S. 403; <ref-ruling> E. 3.2.3 S. 350). Hat der Aufenthalt nur kürzere Zeit gedauert und wurden keine engen Beziehungen zur Schweiz geknüpft, lässt sich der Anspruch auf weiteren Verbleib nicht begründen, wenn die erneute Integration im Herkunftsland keine besonderen Probleme bereitet (<ref-ruling> E. 3.1 S. 231 f. mit Hinweis auf die Botschaft zum AuG vom 8. März 2002, BBl 2002 3709, 3754 Ziff. 1.3.7.6).
3.
3.1. Die in der Schweiz gelebte Ehegemeinschaft währte nur ein Jahr und knapp drei Monate. Es ist denn auch unbestritten, dass die Dreijahresfrist nach Art. 50 Abs. 1 lit. a AuG nicht erfüllt ist.
3.2. Die Beschwerdeführerin macht einen nachehelichen Härtefall nach Art. 50 Abs. 1 lit. b und Abs. 2 AuG geltend und begründet dies wie folgt:
Bei einer Ausreise werde sie ihre Arbeit in der Schweiz verlieren. Als alleinerziehende Frau in Bosnien werde sie nicht wieder so viel arbeiten können, um zwei Personen zu ernähren. In Bosnien gebe es keine Strukturen zur familienergänzenden Betreuung von Kleinkindern. Diese Aufgabe werde vor allem von anderen Familienangehörigen wahrgenommen. Da sie - die Beschwerdeführerin - nicht über ein Familiennetz in Bosnien verfüge, werde sie C.A._ selbst betreuen müssen. Dadurch werde es ihr verwehrt sein, einer Erwerbsarbeit nachzugehen mit der Folge, dass sie und C.A._ finanziell nicht überleben könnten. Zudem werde C.A._ aus seinem Lebensmittelpunkt gerissen und in seiner Entwicklung gestoppt. Ein regelmässiger Kontakt insbesondere von Knaben zu ihren Vätern sei aus psychologischen Gründen ausserordentlich wichtig. Die Vorinstanz habe verkannt, dass C.A._ weder lesen noch schreiben könne und ein Brief- und Mailverkehr mit seinem Vater daher ausser Betracht falle. Ein Kind im Alter von viereinhalb Jahren werde von seinem Vater entfremdet, wenn der persönliche Kontakt nur noch durch Ferienbesuche stattfinden könne. C.A._s Recht auf Familienleben werde dadurch verletzt.
Schliesslich sei sie - die Beschwerdeführerin - ausgezeichnet integriert. Sie spreche mittlerweile fliessend Deutsch und verstehe Mundart problemlos. Mit ihrer Arbeit im Pflegeheim Z._ leiste sie einen wichtigen Beitrag zur Versorgung der älteren und hilfsbedürftigen Menschen. Für ihren Fleiss und ihre Pünktlichkeit werde sie sehr geschätzt. Sie habe immer gearbeitet und das soziale System der Schweiz nicht belastet. Die Schweiz habe weder in wirtschaftlicher noch in anderer Hinsicht ein Interesse an ihrer Ausreise.
3.3. Vorab ist darauf hinzuweisen, dass der Sohn C.A._ nicht Partei des Verfahrens ist und sich daher nicht auf Art. 8 EMRK berufen kann. Dies gilt sowohl für das Recht auf Achtung des Familienlebens in Bezug auf seinen Vater als auch für das Kindeswohl im Hinblick auf eine Ausreise nach Bosnien-Herzegowina.
Das unmündige Kind teilt grundsätzlich schon aus familienrechtlichen Gründen (Art. 25 Abs. 1 und Art. 301 Abs. 3 ZGB; <ref-ruling> E. 3.3 S. 306 ff.) das ausländerrechtliche Schicksal des sorge- bzw. obhutsberechtigten Elternteils und hat gegebenenfalls mit diesem das Land zu verlassen, wenn der Elternteil keine Bewilligung (mehr) hat (<ref-ruling> E. 4.2.3 S. 400; <ref-ruling> E. 4.2.3 S. 251; Urteile 2C_942/2014 vom 10. August 2015 E. 4.1; 2C_359/2014 vom 1. Dezember 2014 E. 5.4 mit Hinweisen). Ist dem Kind die Ausreise zumutbar (was grundsätzlich zu bejahen ist, wenn es sich in einem anpassungsfähigen Alter befindet), liegt gar kein Eingriff in das durch Art. 8 EMRK geschützte Recht auf Familienleben vor (<ref-ruling> E. 2.1 S. 155; <ref-ruling> E. 3c S. 298; Urteil 2C_656/2011 vom 8. Mai 2012 E. 3.2).
Die Vorinstanz hat vorfrageweise korrekt entschieden, dass das Urteil des Gemeindesgerichts X._ vom 27. Mai 2015, bestätigt durch das Urteil des Gespanschaftsgerichts X._ vom 7. Oktober 2015, mit dem B.A._ die alleinige elterliche Sorge zugeteilt und der Beschwerdeführerin ein Besuchsrecht eingeräumt worden war, in der Schweiz nicht anerkannt werden kann, weil die kroatischen Gerichte nicht zuständig waren, über die Zuweisung der elterlichen Sorge bzw. den persönlichen Verkehr eines Kindes zu befinden, welches seinen gewöhnlichen Aufenthalt in der Schweiz hat (vgl. Urteil 5A_40/2014 vom 17. April 2014 E. 4.2). Mit der Vorinstanz ist davon auszugehen, dass die Beschwerdeführer in gemäss dem Urteil des Bezirksgerichts Werdenberg-Sarganserland vom 6. November 2012 nach wie vor obhutsberechtigt war. Somit teilt C.A._, obwohl er über ein gefestigtes Anwesenheitsrecht verfügt, migrationsrechtlich das Schicksal seiner Mutter und hat aufgrund seines Alters mit ihr das Land zu verlassen, sollte die Aufenthaltsbewilligung nicht erneuert werden.
Auch die Beschwerdeführerin kann sich nicht auf Art. 8 EMRK berufen, weil sie durch eine Ausreise nicht von C.A._ getrennt wird; andere familiäre Bezugspersonen hat sie in der Schweiz nicht. Die Interessenabwägung erfolgt somit einzig gestützt auf Art. 96 Abs. 1 AuG und Art. 50 Abs. 1 lit. b AuG.
3.4. Was die Beschwerdeführerin in Bezug auf die Zumutbarkeit einer Rückkehr nach Bosnien-Herzegowina vorbringt, vermag keinen nachehelichen Härtefall zu begründen. Sie nennt keine wichtigen persönlichen Gründe, welche den Verbleib in der Schweiz erforderlich machen. Wenngleich es anerkennenswert ist, dass die Beschwerdeführerin erwerbstätig ist und an ihrem Arbeitsplatz geschätzt wird, ist die berufliche Verwurzelung dennoch nicht so stark, dass der weitere Aufenthalt in der Schweiz deswegen geboten wäre. Die Tatsache, dass eine gelungene Integration im Sinn von Art. 50 Abs. 1 lit. a AuG vorliegt, genügt nicht für die Erfüllung der Voraussetzungen nach Art. 50 Abs. 1 lit. b AuG (Urteile 2C_777/2015 vom 26. Mai 2016 E. 5.1; 2C_362/2014 vom 1. Mai 2014 E. 5.2; 2C_826/2011 vom 17. Januar 2012 E. 5.2). Vielmehr ist in der vorliegenden Konstellation darzutun, dass eine Wiedereingliederung stark gefährdet erscheint (vgl. Art. 50 Abs. 2 AuG). Die Vorbringen der Beschwerdeführerin, wonach die Betreuung von C.A._ in Bosnien-Herzegowina nicht sichergestellt werden könne, überzeugen nicht. Zwar soll nicht in Abrede gestellt werden, dass alleinerziehende Frauen in Bosnien nicht die gleichen Strukturen vorfinden wie in der Schweiz, sondern auf familiäre oder nachbarschaftliche Netze zurückgreifen müssen. Ein solches Netz aufzubauen dürfte auch der Beschwerdeführerin möglich sein, zumal der Sohn C.A._ im Zeitpunkt des angefochtenen Urteils viereinhalb Jahre alt und damit kein Kleinkind mehr war. Zudem hat die Beschwerdeführerin zwei Kinder, die in Bosnien-Herzegowina leben und im Zeitpunkt des angefochtenen Urteil erwachsen bzw. fast erwachsen waren. Dies ist ein wichtiger familiärer Anknüpfungspunkt. Vor diesem Hintergrund erscheint es keineswegs ausgeschlossen, dass die Beschwerdeführerin zumindest stundenweise einer Erwerbstätigkeit nachgeht. Dass sie nicht ein annähernd gleich hohes Einkommen erzielen wird wie in der Schweiz, liegt auf der Hand, begründet aber keinen Härtefall. Die Beschwerdeführerin lebte bis zum 39. Altersjahr in Bosnien-Herzegowina und hat nur wenige Jahre in der Schweiz verbracht. Trotz der Schwierigkeiten, mit denen sie als alleinerziehende Mutter konfrontiert sein mag, dürfte sie in ihrem Herkunftsland, allenfalls mit Hilfe der dort lebenden Familienangehörigen, rasch wieder Fuss fassen.
3.5. Nach dem Gesagten ist ein Härtefall nach Art. 50 Abs. 1 lit. b und Abs. 2 AuG zu verneinen. Dieser Entscheid ist verhältnismässig im Sinn von Art. 96 Abs. 1 AuG.
4.
Was die Beschwerdeführerin in der Replik vom 25. Mai 2016 vorbringt, bezieht sich ausschliesslich auf die Entwicklung, die nach dem angefochtenen Urteil eingetreten ist. Die entsprechenden Tatsachen können in materieller Hinsicht nicht Grundlage des Urteils bilden (vgl. E. 1.4), weshalb nicht weiter darauf einzugehen ist. Es obliegt der Migrationsbehörde zu entscheiden, ob sie allenfalls veränderten Verhältnissen bei der Festsetzung der Ausreisefrist Rechnung tragen will.
5.
Die Beschwerde ist abzuweisen. Die unterliegende Beschwerdeführerin trägt die Gerichtskosten (<ref-law>). Eine Parteientschädigung ist nicht zuzusprechen (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 2'000.-- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten, dem Verwaltungsgericht des Kantons St. Gallen und dem Staatssekretariat für Migration schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 3. Oktober 2016
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Seiler
Die Gerichtsschreiberin: Genner