Sachverhalt:
A.
B.A._ (geb. 1994) ist die Tochter von A.A._ und C.A._. Die Ehe der Eltern wurde am 18. Juni 1999 vom Obergericht des Kantons Aargau geschieden. A.A._ wurde verurteilt, seinen Töchtern D.A._, E.A._ und B.A._ folgende monatliche indexierte Unterhaltsbeiträge zu bezahlen:
- Fr. 450.-- zuzüglich allfällig bezogene Kinderzulagen bis zum vollendeten 6. Altersjahr;
- Fr. 550.-- zuzüglich allfällig bezogene Kinderzulagen ab dem 7. bis zum vollendeten 12. Altersjahr;
- Fr. 600.-- zuzüglich allfällig bezogene Kinderzulagen ab dem 13. Altersjahr bis zum Eintritt der Kinder in die volle wirtschaftliche Selbständigkeit, mindestens aber bis zum 18. Altersjahr. Ausbildungsbeiträge gemäss <ref-law> bleiben vorbehalten."
B.
B.a. Mit Eingabe vom 7. Juni 2013 gelangte B.A._ an das Bezirksgericht Uster mit dem Rechtsbegehren, A.A._ zu verpflichten, ihr rückwirkend seit 1. Mai 2012 angemessene Unterhaltszahlungen zu leisten.
B.b. In seiner Stellungnahme vom 29. August 2013 (Datum der Postaufgabe) stellte A.A._ das Begehren, die Klage abzuweisen.
B.c. Anlässlich der Verhandlung vom 18. Juni 2014 stellte B.A._ folgendes Rechtsbegehren:
"In Abänderung der mit Urteil des Obergerichts des Kantons Aargau vom 18. Juni 1999 festgelegten Unterhaltszahlungen sei der Beklagte rückwirkend seit dem 1. Mai 2012 zu verpflichten, der Tochter B.A._ folgende Unterhaltsbeiträge zu leisten, zahlbar monatlich im Voraus auf den 1. eines jeden Monats:
- 1. Mai 2012 bis 30. Juli 2013: Fr. 1'250.--
- 1. August 2013 bis 28. Februar 2015: Fr. 1'500.--
- 1. März 2015 bis zum Abschluss der Lehre: Fr. 1'000.--
- während Besuch der BMS [Berufsmittelschule] Fr. 1'500.--"
B.d. In seinem Urteil vom 2. Oktober 2014 kam das Bezirksgericht Uster zum Schluss, dass für den beklagten Vater auch die Leistung eines reduzierten Unterhaltsbeitrages an die volljährige Tochter nicht zumutbar sei. Unter dem Titel "Wirkungen" hielt es in der Urteilsbegründung fest, es erscheine trotz Vorliegens eines Abänderungsverfahrens verfehlt, einer allfälligen im Scheidungsurteil über die Mündigkeit hinaus geregelten Unterhaltsverpflichtung den Vorrang gegenüber dem Erfordernis der persönlichen Zumutbarkeit von <ref-law> zuzusprechen. Der erstinstanzliche Urteilsspruch lautete: "Die Klage wird vollumfänglich abgewiesen."
C.
C.a. B.A._ legte Berufung beim Obergericht des Kantons Zürich ein. Sie hielt an ihrem Begehren fest, A.A._ "in Abänderung der mit Urteil des Obergerichts des Kantons Aargau vom 18. Juni 1999 festgelegten Unterhaltszahlungen" zur Bezahlung der erwähnten Unterhaltsbeiträge zu verurteilen (s. Bst. B.c). A.A._ liess in seiner Berufungsantwort vom 25. März 2015 beantragen, die Berufung "vollumfänglich abzuweisen".
C.b. Das Obergericht pflichtete dem Bezirksgericht darin bei, dass es A.A._ persönlich nicht zuzumuten sei, Unterhaltsbeiträge an seine volljährige Tochter zu leisten. Es stellte aber fest, dass A.A._ keine Widerklage erhoben habe. Daraus folgerte es, dass die im Scheidungsurteil vom 18. Juni 1999 über die Volljährigkeit der Tochter hinaus festgesetzten Unterhaltsbeiträge in der Höhe von monatlich Fr. 600.-- (Bst. A) nach wie vor Bestand hätten. Diesbezüglich habe das Bezirksgericht die Dispositionsmaxime verletzt. Im Ergebnis wies das Obergericht die Klage ab (Urteil vom 7. Juli 2015).
D.
D.a. Mit Beschwerde in Zivilsachen vom 14. August 2015 wendet sich A.A._ (Beschwerdeführer) an das Bundesgericht. Er verlangt, das Urteil des Obergerichts des Kantons Zürich vom 7. Juli 2015 wie folgt zu ergänzen: "Es wird festgestellt, dass die Unterhaltspflicht des Beschwerdeführers der Beschwerdegegnerin gegenüber mit deren 18. Geburtstag erloschen ist." Eventualiter sei das Urteil wie folgt zu ergänzen: "In Abänderung der mit Urteil des Obergerichts des Kantons Aargau vom 18. Juni 1999 festgelegten Unterhaltszahlungen wird festgehalten, dass die Unterhaltspflicht des Kindsvaters mit dem 18. Altersjahr von Tochter B.A._ erloschen ist." oder: "In Abänderung der mit Urteil des Obergerichts des Kantons Aargau vom 18. Juni 1999 festgelegten Unterhaltszahlungen wird die Unterhaltspflicht des Kindesvaters per 18. Altersjahr von Tochter B.A._ aufgehoben." Eventualiter stellt der Beschwerdeführer den Antrag, die Sache zur Neubeurteilung zurückzuweisen.
D.b. Entgegen dem Antrag von B.A._ (Beschwerdegegnerin) hat der Präsident der II. zivilrechtlichen Abteilung der Beschwerde mit Verfügung vom 31. August 2015 hinsichtlich der gemäss Scheidungsurteil bis und mit Juli 2015 aufgelaufenen Unterhaltsbeiträge die aufschiebende Wirkung zuerkannt.
D.c. Eingeladen, sich auch zur Sache vernehmen zu lassen, beantragt die Beschwerdegegnerin mit Eingabe vom 22. Oktober 2015, auf die Beschwerde nicht einzutreten, da der Beschwerdeführer nicht beschwert sei. Sie weist darauf hin, dass dieser am 27. Juli 2015 und damit noch vor Einreichung seiner Beschwerde an das Bundesgericht auf Abänderung des Scheidungsurteils geklagt habe. Als Beleg reicht sie ein entsprechendes Schreiben des Beschwerdeführers an das Friedensrichteramt U._ vom 27. Juli 2015 ein. Die Vorinstanz erklärte am 6. Oktober 2015, auf eine Vernehmlassung zu verzichten. Die Vernehmlassungsantworten sind dem Beschwerdeführer zur Wahrung des rechtlichen Gehörs zur Kenntnis gebracht worden.

Erwägungen:
1.
Angefochten ist der Endentscheid einer letzten kantonalen Instanz, die als oberes Gericht auf Rechtsmittel hin in einer Zivilsache entschieden hat (Art. 72 Abs. 1, 75 und 90 BGG). Der Streit dreht sich um Unterhaltsleistungen. Die Angelegenheit ist vermögensrechtlicher Natur. Die gesetzliche Streitwertgrenze (Art. 74 Abs. 1 Bst. b und <ref-law>) ist erreicht, die Beschwerdefrist (<ref-law>) gewahrt.
2.
2.1. Nach Art. 76 Abs. 1 Bst. b BGG ist zur Beschwerde nur berechtigt, wer durch den angefochtenen Entscheid besonders berührt ist und ein schutzwürdiges Interesse daran hat, dass das Bundesgericht den angefochtenen Entscheid aufhebt oder abändert. Die Beschwerdebefugnis setzt ein aktuelles und praktisches Interesse an der Gutheissung der Beschwerde voraus, das auch im Zeitpunkt der Fällung des bundesgerichtlichen Urteils noch vorhanden sein muss (vgl. <ref-ruling> E. 1.2 S. 157). Der Beschwerdeführer muss vor der Vorinstanz Anträge gestellt haben, die vollständig oder teilweise abgewiesen worden sind (vgl. <ref-ruling> E. 1.1 S. 426). Ob die rechtsuchende Person im beschriebenen Sinne beschwert ist, beurteilt sich grundsätzlich nach dem Dispositiv des angefochtenen Entscheids, es sei denn, die Beschwer lasse sich überhaupt nur erst unter Berücksichtigung der Urteilserwägungen feststellen. Als Beispiel nennt die Literatur den Fall, da sich erst aus der Urteilsbegründung ergibt, ob die Forderungsklage wegen Tilgung durch Verrechnung oder deshalb abgewiesen wurde, weil sie gar nicht bestand. (BERNARD CORBOZ, in: Commentaire de la LTF, 2. Aufl. 2014, N 17 und 21 zu <ref-law>; NICOLAS VON WERDT/ANDREAS GÜNGERICH, in: Bundesgerichtsgesetz [BGG], Bundesgesetz über das Bundesgericht, 2. Aufl. 2015, N 6 zu <ref-law>).
2.2. Das Obergericht weist die Klage ab. Es entspricht damit im Ergebnis dem Berufungsantrag des Beschwerdeführers, der das Begehren gestellt hatte, die Berufung vollumfänglich und unter Kosten- und Entschädigungsfolgen zu Lasten der Beschwerdegegnerin abzuweisen (s. Sachverhalt Bst. C). Allein vom Urteilsspruch her betrachtet hat der Beschwerdeführer im vorinstanzlichen Verfahren also ohne Einschränkung obsiegt: Keiner seiner Anträge wurde abgewiesen oder nur teilweise gutgeheissen. Der Beschwerdeführer anerkennt selbst, das Verfahren vor der Vorinstanz "vollumfänglich gewonnen" zu haben. Bei diesem Ausgang des vorinstanzlichen Verfahrens kann der Beschwerdeführer nach dem Gesagten nur dann eine Berechtigung zur Beschwerde an das Bundesgericht für sich beanspruchen, wenn sich erst aus den vorinstanzlichen Urteilserwägungen ergibt, dass er durch die Abweisung der Klage beschwert ist. Dies ist hier der Fall. Zu Recht beruft sich der Beschwerdeführer auf die Diskrepanz zwischen den Begründungen der beiden kantonalen Urteile: Das Urteil des Bezirksgerichts ist so zu verstehen, dass die Unterhaltspflicht des Beschwerdeführers auf den Zeitpunkt der Volljährigkeit der Beschwerdegegnerin insgesamt weggefallen ist (s. Sachverhalt Bst. B.d). Demgegenüber erklärt das Obergericht, die im Scheidungsurteil über die Volljährigkeit hinaus festgesetzten Unterhaltsbeiträge hätten nach wie vor Bestand (s. Sachverhalt Bst. C.b). Zu Ungunsten des Beschwerdeführers geht das Obergericht mit seiner Klageabweisung also weniger weit als das Bezirksgericht. Deshalb ist der Beschwerdeführer im Sinne von <ref-law> zur Beschwerde berechtigt.
2.3. Am Gesagten ändert nichts, dass das Bezirksgericht (anders als das Obergericht) die Klage "vollumfänglich" abwies. Im Grunde genommen hat der Richter mit Blick auf die Formulierung seines Urteilsspruchs keine Wahl zwischen verschiedenen Abstufungen von Klageabweisungen. Will er die Klage nicht abweisen, so muss er sie (gegebenenfalls teilweise) gutheissen. Hier durfte der Beschwerdeführer aber annehmen, das Bezirksgericht habe mit dem Zusatz "vollumfänglich" zum Ausdruck bringen wollen, dass vom Zeitpunkt der Volljährigkeit der Beschwerdegegnerin an überhaupt kein Unterhalt mehr geschuldet sei. Entsprechend musste sich der Beschwerdeführer nicht veranlasst sehen, schon vor dem Obergericht über die Abweisung der Berufung hinaus ein Feststellungsbegehren von der Art zu stellen, wie er es nun vor Bundesgericht formuliert (s. Sachverhalt Bst. D.a). Mit anderen Worten kann ihm nicht vorgeworfen werden, er habe mit seinem Feststellungsantrag vor Bundesgericht ein neues und damit unzulässiges Begehren (<ref-law>) gestellt oder den Streitgegenstand auf unstatthafte Weise ausgeweitet.
3.
In der Sache dreht sich der Streit um die Frage, wie das Scheidungsurteil vom 18. Juni 1999 (s. Sachverhalt Bst. A) zu verstehen ist.
3.1. Dem angefochtenen Entscheid zufolge wurden die Unterhaltsbeiträge von monatlich Fr. 600.-- im Scheidungsurteil vom 18. Juni 1999 über die Volljährigkeit der Beschwerdegegnerin hinaus festgesetzt. Das Obergericht behandelt die Klage der Beschwerdegegnerin als eine solche auf Abänderung des Unterhalts in Folge veränderter Verhältnisse nach <ref-law> (vgl. Sachverhalt Bst. C.b). Demgegenüber meint der Beschwerdeführer, das Obergericht des Kantons Aargau habe im Urteil vom 18. Juni 1999 nur über den Unterhalt bis zur Volljährigkeit der Beschwerdegegnerin befunden. Die Klage der Beschwerdegegnerin vom 7. Juni 2013 auf Unterhalt über die Volljährigkeit hinaus ziele deshalb darauf, ihr erstmals für diese Zeit gestützt auf <ref-law> Unterhalt zuzusprechen.
3.2. Die Rechtskraftwirkung eines Entscheids geht nur so weit, als über den geltend gemachten Anspruch entschieden worden ist. Inwieweit dies der Fall ist, ergibt die Auslegung des Urteils, zu der dessen ganzer Inhalt heranzuziehen ist. Der Entscheid erwächst nur in jener Form in Rechtskraft, wie er im Urteilsdispositiv zum Ausdruck kommt. Freilich ergibt sich die Tragweite des Entscheids vielfach erst aus einem Beizug der Urteilserwägungen, namentlich im Falle einer Klageabweisung (<ref-ruling> E. 4a S. 478). Urteilssprüche sind deshalb anhand der Urteilsgründe auszulegen (<ref-ruling> E. 2.3 S. 17; <ref-ruling> E. 5.1 S. 630 mit Hinweisen).
3.3. Der Begründung des Scheidungsurteils vom 18. Juni 1999 lässt sich nichts entnehmen, was zur Klärung der hier streitigen Frage beitragen könnte. In der fraglichen Ziffer 1./4. des Urteilsspruchs hält das Obergericht des Kantons Aargau fest, dass der Beschwerdeführer den Unterhalt bis zum Eintritt der Kinder in die volle wirtschaftliche Selbständigkeit schuldet. Dem angehängten Satzteil "mindestens aber bis zum 18. Altersjahr" kann keine eigenständige rechtliche Tragweite zukommen, denn bis zur Volljährigkeit des Kindes dauert die Unterhaltspflicht der Eltern ohnehin von Gesetzes wegen (<ref-law>). Einen selbständigen Sinn ergibt dieser Passus erst dann, wenn man ihn im Sinne einer Klarstellung dahingehend versteht, dass der Unterhalt auch über das 18. Altersjahr hinaus geschuldet ist, falls das Kind bei Vollendung des 18. Altersjahrs noch nicht die volle wirtschaftliche Selbständigkeit erlangt hat. Dieser Sinn wird durch den nachfolgenden Satz, wonach Ausbildungsbeiträge gemäss <ref-law> "vorbehalten" bleiben, nicht in Frage gestellt, sondern bestätigt. Dieser zweite Satz lässt verschiedene Deutungen zu, die auch nebeneinander bestehen können: So kann man den "Vorbehalt" als blossen Hinweis auf die gesetzlichen Voraussetzungen verstehen, wonach die Eltern für den Unterhalt eines volljährigen Kindes nur aufkommen müssen, falls es noch keine angemessene Ausbildung hat und soweit es ihnen nach den gesamten Umständen zugemutet werden darf (vgl. <ref-ruling> E. 3.2.2 S. 404). Ebenso kann damit gemeint sein, dass das Kind bis zum Eintritt in die volle wirtschaftliche Selbständigkeit Anspruch auf Fr. 600.-- hat, dies aber nicht ausschliesst, dass es nach Massgabe von <ref-law> dereinst auch mehr verlangen kann.
3.4. Der Beschwerdeführer will den Vorbehalt der Ausbildungsbeiträge gemäss <ref-law> nun aber so verstanden wissen, dass damit seine Unterhaltspflicht insgesamt nur bis zur Vollendung des 18. Altersjahrs des Kindes festgelegt sei. Allein diese Lesart gerät in einen unauflöslichen Widerspruch mit dem vorangehenden Satz, wonach der Unterhaltsbeitrag von Fr. 600.-- gegebenenfalls auch über die Volljährigkeit bis zum Eintritt in die volle wirtschaftliche Selbständigkeit geschuldet ist. Was für einen Sinn es machen würde, im selben Federzug einen bestimmten Unterhaltsbeitrag über die Volljährigkeit hinaus festzusetzen und den Volljährigenunterhalt generell vorzubehalten, vermag der Beschwerdeführer nicht zu erklären. Die überzeugende Auslegung des Scheidungsurteils durch die Vorinstanz wird auch nicht dadurch erschüttert, dass Gerichtsschreiber F._ vom Obergericht des Kantons Aargau, der am Urteil vom 18. Juni 1999 mitwirkte, die fraglichen Stellen anders auslegt und davon ausgeht, der Beschwerdeführer sei mit diesem Urteil nur zu Unterhaltsleistungen bis zur Volljährigkeit der Kinder verpflichtet worden, weil sich ein Unterhalt darüber hinaus kaum sinnvoll hätte bestimmen lassen. Wie soeben erläutert, spricht der Wortlaut der fraglichen Ziffer 1./4. des Scheidungsurteils gegen eine derartige Interpretation. Darüber hinaus kann keine Rede davon sein, dass die Festlegung von Unterhaltsbeiträgen über die Volljährigkeit hinaus nicht sinnvoll sein kann. Im Gegenteil hat das Bundesgericht erkannt, dass die Festsetzung von Unterhalt über die Volljährigkeit hinaus für die Kinder generell von Vorteil ist und deshalb auch bei kleinen Kindern durchaus in Frage kommt (<ref-ruling> E. 3.2.2 S. 403 f.). Zu Recht geht die Vorinstanz deshalb davon aus, dass die Beschwerdegegnerin mit dem am 7. Juni 2013 eingeleiteten Prozess nicht erstmals auf Leistung von Volljährigenunterhalt, sondern auf Abänderung der mit dem Scheidungsurteil vom 18. Juni 1999 festgesetzten Unterhaltsbeitrags geklagt hat.
3.5. Schliesslich vermisst der Beschwerdeführer im vorinstanzlichen Urteil eine Antwort auf die Frage, ob <ref-law> gegenüber dem Scheidungsurteil "Vorrang zukommen kann". Mit der Ansicht des Bezirksgerichts, wonach die Unzumutbarkeit im Sinne von <ref-law> auch eine im Scheidungsurteil über die Volljährigkeit hinaus festgesetzte Unterhaltspflicht dahinfallen lasse (s. Sachverhalt Bst. B.d), setze sich das Obergericht nicht auseinander. Der Vorwurf geht fehl. Die Vorinstanz beantwortet die Frage sehr wohl. Sie erklärt zum einen, dass Streitigkeiten um Volljährigenunterhalt der Dispositionsmaxime nach <ref-law> unterliegen, der Richter einer Partei also nicht mehr und nichts anderes zusprechen darf, als sie verlangt, und nicht weniger, als die Gegenpartei anerkannt hat. Zum andern stellt das Obergericht fest, der Beschwerdeführer habe im Prozess, den die Beschwerdegegnerin anstrengte, keine Widerklage erhoben. Daraus zieht es den Schluss, dass im Rahmen des vorliegenden Abänderungsprozesses nur über die Anträge der Beschwerdegegnerin befunden und nicht zugunsten des Beschwerdeführers in das Scheidungsurteil vom 18. Juni 1999 eingegriffen werden könne. Das Obergericht folgt damit der Rüge der Beschwerdeführerin, wonach der bezirksgerichtliche Entscheid die Dispositionsmaxime verletze. Mit all dem setzt sich der Beschwerdeführer nicht auseinander. Insbesondere behauptet er nicht, dass sich diese Begründungslinie auch dann nicht mit dem Bundesrecht verträgt, wenn die Klage vom 7. Juni 2013 nicht als Erstklage, sondern als Abänderungsbegehren zu gelten hat.
Nach dem Gesagten folgt aus dem angefochtenen Entscheid also nicht, dass den Unterhaltsbeiträgen von monatlich Fr. 600.--, die im Scheidungsurteil über die Volljährigkeit hinaus festgesetzt worden waren, gegenüber der Unzumutbarkeit im Sinne von <ref-law> in jedem Fall "der Vorrang zukommt", wie sich der Beschwerdeführer ausdrückt. Vielmehr erklärt das Obergericht, dass der Beschwerdeführer in Gestalt einer Widerklage ein selbständiges Abänderungsbegehren hätte stellen müssen, um die gänzliche Aufhebung seiner Unterhaltspflicht zu erwirken.
4.
Anlass zur Beschwerde geben in prozessualer Hinsicht die Klagebegehren der Beschwerdegegnerin im erstinstanzlichen Verfahren.
4.1. Der Beschwerdeführer erinnert zunächst an die Klage vom 7. Juni 2013. Darin habe die Beschwerdegegnerin beantragt, ihn zu verpflichten, ihr rückwirkend seit 1. Mai 2012 angemessene Unterhaltszahlungen zu leisten (s. Sachverhalt Bst. B.a). Anlässlich der Verhandlung vom 18. Juni 2014 habe die Beschwerdegegnerin ihr Rechtsbegehren geändert und auf Abänderung des Scheidungsurteils im Sinne einer Erhöhung der Unterhaltsbeiträge geklagt (s. Sachverhalt Bst. B.c). In diesem Vorgang erblickt der Beschwerdeführer eine unzulässige Klageänderung. Er beruft sich auf <ref-law>. Die dort verankerten Voraussetzungen für eine Klageänderung in der Hauptverhandlung seien nicht erfüllt. Weder sei "die gleiche Verfahrensart gegeben" gewesen noch habe die Klageänderung auf neuen Tatsachen und Beweismitteln beruht. Die Vorinstanz habe dies übersehen; sie hätte das Verfahren an die erste Instanz zurückweisen müssen.
4.2. Die Rüge ist unbegründet. Dem angefochtenen Entscheid zufolge fand am 18. Juni 2014 vor dem Bezirksgericht die "Haupt- und Instruktionsverhandlung (mit Replik/Duplik, Novenstellungnahme und Parteibefragung) " statt. Zu den tatsächlichen Feststellungen der Vorinstanz, an die das Bundesgericht gebunden ist (<ref-law>), zählen auch diejenigen über den Ablauf des vor- und erstinstanzlichen Verfahrens, also die Feststellungen über den Prozesssachverhalt (<ref-ruling> E. 1.3.1 S. 17 f.). Dass die vorinstanzliche Feststellung, wonach am 18. Juni 2014 (auch) eine Instruktionsverhandlung stattfand, im Sinne von <ref-law> offensichtlich unrichtig ist, sich also als willkürlich erweist (<ref-ruling> E. 4.3 S. 62; <ref-ruling> E. 1.2.2 S. 252), macht der Beschwerdeführer nicht geltend. Ebenso wenig behauptet er, dass die angebliche Klageänderung im Rahmen einer Instruktionsverhandlung nicht zulässig gewesen wäre. Damit kann offenbleiben, ob die beanstandete Vorgehensweise der Beschwerdegegnerin überhaupt eine Klageänderung im Rechtssinne darstellt. Ins Leere läuft auch die weitere Rüge des Beschwerdeführers, wonach es dem Grundsatz der Gleichbehandlung und demjenigen des Handelns nach Treu und Glauben widerspreche, wenn die kantonalen Instanzen einerseits eine Klageänderung der Beschwerdegegnerin tolerieren und anderseits seine, des Beschwerdeführers Ausführungen nicht als Widerklage werten und ihm auch nicht im Rahmen der richterlichen Fragepflicht helfen.
5.
Streitig ist weiter, ob es dem Beschwerdeführer im erstinstanzlichen Verfahren erlaubt und möglich gewesen wäre, eine Widerklage zu erheben.
5.1. Der Beschwerdeführer wehrt sich gegen den Vorhalt des Obergerichts, im erstinstanzlichen Verfahren die Möglichkeit vertan zu haben, eine Abänderung des Scheidungsurteils zu seinen Gunsten zu erwirken (vgl. E. 3.5). Er beteuert, dass es ihm im erstinstanzlichen Verfahren gar nicht mehr erlaubt gewesen sei, dem Abänderungsbegehren mit einer Widerklage zu begegnen. Nach <ref-law> müsse die Widerklage in der Klageantwort erhoben werden. Seine Klageantwort habe er im August 2013 eingereicht (s. Sachverhalt Bst. B.b). Ihr Abänderungsbegehren habe die Beschwerdegegnerin aber erst am 18. Juni 2014 (s. Sachverhalt Bst. B.c) und damit zu einem Zeitpunkt gestellt, als eine Widerklage gar nicht mehr möglich war. Zu seinen Gunsten sei davon auszugehen, dass ihm bei einem korrekten Verfahrensablauf bewusst geworden wäre, dass er formell eine Widerklage erheben muss, so die Forderung des Beschwerdeführers.
5.2. Nach <ref-law> kann die beklagte Partei in der Klageantwort Widerklage erheben, wenn der geltend gemachte Anspruch nach der gleichen Verfahrensart wie die Hauptklage zu beurteilen ist. Mit Blick auf die Frage, bis wann Widerklage erhoben werden kann, ist die zitierte Norm nach verbreiteter Auffassung so zu verstehen, dass eine Widerklage jedenfalls nach Erstattung der Klageantwort nicht mehr möglich ist (CHRISTOPH LEUENBERGER, in: Sutter-Somm/Hasenböhler/Leuenberger, Kommentar zur Schweizerischen Zivilprozessordnung [ZPO], 3. Aufl. 2016, N 20 zu <ref-law>; DANIEL WILLISEGGER, in: Basler Kommentar, Schweizerische Zivilprozessordnung, 2. Aufl. 2013, N 31 ff. zu <ref-law>). Angesichts des klaren Wortlauts und mangels eines entsprechenden Vorbehalts soll dies auch dann gelten, wenn die klagende Partei danach die Klage noch ändert oder neue Tatsachen vorbringt (ERIC PAHUD, in: Brunner/Gasser/Schwander, ZPO, Schweizerische Zivilprozessordnung, Kommentar, 2011, N 12 zu <ref-law>; ähnlich LAURENT KILLIAS, in: Berner Kommentar, 2012, N 45 f. zu <ref-law>).
5.3. Anerkennt der Beschwerdeführer selbst, dass eine Widerklage zu einem späteren Zeitpunkt als demjenigen der Klageantwort nicht mehr zulässig war, so verstrickt er sich in Widersprüche, wenn er zugleich argumentiert, es müsse als Widerklage genügen, wenn sein Rechtsbeistand anlässlich der Verhandlung vom 18. Juni 2014 klargestellt habe, dass gemäss dem Urteil vom 18. Juni 1999 "klar keine Unterhaltsbeiträge geschuldet" sind. Darauf ist nicht einzutreten. Sodann unterstellt der Beschwerdeführer, dass er eine allfällige Widerklage erst erheben konnte, als er vom Abänderungsbegehren erfuhr, das die Beschwerdegegnerin anlässlich der Gerichtsverhandlung vom 18. Juni 2014 formulierte. Er will dem Bundesgericht aber nicht erklären, warum es ihm nicht erlaubt oder sonstwie geradezu unmöglich gewesen sein soll, in seiner Stellungnahme zur Klage vom 29. August 2013 ein selbständiges (Feststellungs-) Begehren in dem Sinne zu stellen, dass er der Beschwerdegegnerin keine Unterhaltsbeiträge schulde. Ein solches Hindernis tatsächlicher oder rechtlicher Natur ist auch nicht ersichtlich. Von daher erweist sich der Einwand des Beschwerdeführers als unbegründet.
6.
Der Streit dreht sich auch um die Frage, ob die Vorinstanz in den Prozesshandlungen des Beschwerdeführers vor erster Instanz eine Widerklage hätte erkennen müssen.
6.1. Der Beschwerdeführer stellt sich auf den Standpunkt, vor dem Bezirksgericht "sinngemäss bzw. materiell" eine Widerklage erhoben zu haben. Anlässlich der Gerichtsverhandlung habe er als Laie nicht mit einer Klageänderung der Beschwerdegegnerin rechnen müssen. Dass er der Beschwerdegegnerin ab Volljährigkeit keinen Unterhalt mehr bezahlen will, habe er "immer ganz klar deutlich gemacht"; "materiell" sei immer "absolut klar" gewesen, was er in der Sache verlangte und dass er Widerklage erheben wollte. Seine Ausführungen müssten daher als Widerklage genügen. Die Formstrenge des Obergerichts sei exzessiv und durch kein schutzwürdiges Interesse gerechtfertigt. In den Augen des Beschwerdeführers verletzt das Obergericht das Verbot des überspitzten Formalismus und auch das Gebot des Handelns nach Treu und Glauben (Art. 5, 9 und 29 BV und <ref-law>), wenn es ihm vorwirft, er hätte wissen müssen, dass es nur um die Erhöhung der Unterhaltspflicht gegangen sei und der Unterhalt gemäss Scheidungsurteil nach wie vor gelte.
6.2. <ref-law> garantiert dem Rechtsunterworfenen vor Gerichts- und Verwaltungsinstanzen ein faires Verfahren (<ref-ruling> E. 3.2.1 S. 274 f.). Gegen <ref-law> verstösst eine Behörde insbesondere, wenn sie in überspitzten Formalismus verfällt. Überspitzter Formalismus als besondere Form der Rechtsverweigerung liegt vor, wenn für ein Verfahren rigorose Formvorschriften aufgestellt werden, ohne dass die Strenge sachlich gerechtfertigt wäre, wenn die Behörde formelle Vorschriften mit übertriebener Schärfe handhabt oder an Rechtsschriften überspannte Anforderungen stellt und damit dem Bürger den Rechtsweg in unzulässiger Weise versperrt (<ref-ruling> E. 2.1 S. 9 mit Hinweisen). Prozessuale Formen sind unerlässlich, um die ordnungsgemässe Abwicklung des Verfahrens und die Durchsetzung des materiellen Rechts zu gewährleisten. Nicht jede prozessuale Formstrenge stellt daher überspitzten Formalismus dar, sondern nur jene, die durch keine schutzwürdigen Interessen gerechtfertigt ist, zum blossen Selbstzweck wird und die Verwirklichung des materiellen Rechts in unhaltbarer Weise erschwert oder verhindert (<ref-ruling> E. 2.4.2 S. 248; <ref-ruling> E. 3a S. 170). Das Verbot des überspitzten Formalismus weist einen engen Bezug zum Grundsatz von Treu und Glauben (<ref-law>) auf (Urteil 1C_236/2014 vom 4. Dezember 2014 E. 3.5) : Prozesserklärungen dürfen nicht buchstabengetreu ausgelegt werden, ohne zu fragen, welcher Sinn ihnen vernünftigerweise beizumessen sei (<ref-ruling> E. 2 S. 96 f.). Ein solches oder in anderer Hinsicht treuwidriges Verhalten einer Behörde kann nur <ref-law> zugeordnet werden. Davon zu unterscheiden ist der in <ref-law> verankerte Vertrauensschutz. Dort geht es um die Frage, ob die Behörde beim Privaten Erwartungen begründete, die sein Verhalten beeinflussen und auf die er sich verlassen durfte (Urteile 1C_302/2008 vom 18. März 2009 E. 2.3.1; 1P.701/2004 vom 7. April 2005 E. 4.2). Vorausgesetzt ist, dass die Person, die sich auf den Vertrauensschutz beruft, berechtigterweise auf diese Grundlage vertrauen durfte und gestützt darauf nachteilige Dispositionen getroffen hat, die sie nicht mehr rückgängig machen kann. Im Übrigen scheitert die Berufung auf Treu und Glauben dann, wenn ihr überwiegende öffentliche Interessen gegenüberstehen (<ref-ruling> E. 6.1 S. 636 f.). <ref-law> schliesslich besagt, dass alle am Verfahren beteiligten Personen nach Treu und Glauben zu handeln haben. Soweit hier nicht das Verhalten einer Prozesspartei, sondern der Schutz des Beschwerdeführers vor missbräuchlichem Verhalten der Justiz in Frage steht, folgt aus dieser Norm nichts, was über die erwähnten Inhalte von Art. 5 Abs. 3 und Art. 29 BV hinausgeht (s. MYRIAM A. GEHRI, in: Basler Kommentar, Schweizerische Zivilprozessordnung, 2. Aufl. 2013, N 18 ff. zu <ref-law>).
6.3. Im konkreten Fall beruft sich der Beschwerdeführer vergeblich darauf, auch die Anwältin der Beschwerdegegnerin habe in ihrer Klage geschrieben, dass seine Unterhaltspflicht mit dem 18. Altersjahr der Beschwerdegegnerin zu Ende gegangen sei. Solcherlei lässt sich der Klageschrift vom 7. Juni 2013 (s. Sachverhalt Bst. B.a) nicht entnehmen. Dort steht, gemäss dem Scheidungsurteil vom 18. Juni 1999 sehe sich der Beklagte nicht mehr verpflichtet, für seine volljährige, noch in Ausbildung befindliche Tochter weiterhin Unterhaltsbeiträge zu bezahlen. Das ist keine Aussage über die Einschätzung der Rechtslage aus Sicht der Beschwerdegegnerin, sondern eine Beschreibung der Weigerung des Beschwerdeführers, weitere Unterhaltsbeiträge zu bezahlen. Der Beschwerdeführer kann deshalb auch nicht für sich in Anspruch nehmen, von der Beschwerdegegnerin dieselbe schriftliche Auskunft erhalten zu haben wie vom Gerichtsschreiber des Obergerichts des Kantons Aargau, der in einem Schreiben vom 15. März 2010 erklärt, im Urteil vom 18. Juni 1999 sei der Unterhalt nur bis zum 18. Altersjahr der Beschwerdegegnerin festgelegt worden. Dass diese Sichtweise des Gerichtsschreibers die klare Formulierung im Scheidungsurteil nicht in ihr Gegenteil verkehren kann, wurde bereits ausführlich erläutert (vgl. E. 3.4).
6.4. Sodann lässt sich in das besagte Schreiben vom 15. März 2010, das rund drei Jahre vor der Klageanhebung verfasst wurde, auch nicht hineinlesen, dass das Obergericht des Kantons Aargau dem Beschwerdeführer konkret versprochen hätte, auf eine allfällige Klage der Beschwerdegegnerin nicht mit einer Widerklage reagieren zu müssen, falls er seiner Tochter über die Volljährigkeit hinaus gar keinen Unterhalt mehr bezahlen will. Um überhaupt beurteilen zu können, ob das Obergericht des Kantons Aargau beim Beschwerdeführer im beschriebenen Sinne eine Vertrauenslage geschaffen hat, müsste erstellt sein, auf welche konkrete "Anfrage" des Beschwerdeführers der aargauische Gerichtsschreiber antwortete. Darüber gibt der angefochtene Entscheid keine Auskunft. Der Beschwerdeführer rügt nicht, dass die Vorinstanz den Sachverhalt diesbezüglich offensichtlich unvollständig festgestellt hätte. Losgelöst von den konkreten Umständen erschöpft sich die Bedeutung des Schreibens vom 15. März 2010 in einer informellen Meinungsäusserung des Gerichtsschreibers über die Lesart des Scheidungsurteils vom 18. Juni 1999. Verbindliche Zusicherungen über die Notwendigkeit prozessualer Vorkehren in einem späteren Prozess lassen sich daraus umso weniger ableiten, als das Verfahren vor den kantonalen Instanzen der Schweizerischen Zivilprozessordnung unterstand, die am 15. März 2010 noch gar nicht in Kraft war. Die Rüge, das Obergericht setze sich über den verfassungsmässigen Vertrauensschutz (<ref-law>) hinweg, ist deshalb unbegründet.
6.5. Das Obergericht trifft auch nicht der Vorwurf des überspitzten Formalismus, wenn es die Ausführungen in der Stellungnahme vom 29. August 2013 nicht als Widerklage gelten lässt. Der Beschwerdeführer besteht darauf, bereits in dieser Eingabe geltend gemacht zu haben, dass die rückwirkend geforderten angemessenen Unterhaltszahlungen in voller Höhe "abzulehnen" sind; er habe immer - schriftlich und mündlich - zum Ausdruck gebracht, dass er überhaupt keinen Unterhalt mehr bezahlen will. Es kann offenbleiben, ob allein damit hinreichend präzise dargetan ist, inwiefern die Vorinstanz ein angebliches sinngemässes Widerklagebegehren hätte erkennen müssen. Die Widerklage ist eine selbständige Klage der beklagten gegen die klagende Partei in einem hängigen Verfahren. Sie ist ein Gegenangriff, mit dem die beklagte Partei ein selbständiges Ziel verfolgt, indem sie einen von der Hauptklage nicht erfassten Anspruch geltend macht (<ref-ruling> E. 3a S. 208; <ref-ruling> E. 3c S. 47). Deshalb muss die Widerklage genau wie die Klage (Art. 221 Abs. 1 Bst. b ZPO) ein Rechtsbegehren enthalten. Das Rechtsbegehren umschreibt zusammen mit dem behaupteten Lebensvorgang den Streitgegenstand. Es ist nicht nur deshalb unabdingbar, weil der Richter nach dem Dispositionsgrundsatz, wie er im Streit um den Volljährigenunterhalt gilt (vgl. <ref-ruling> E. 1a S. 95 f.), nicht mehr und nichts anderes zusprechen darf, als eingeklagt wurde (<ref-law>). Auch die Gegenpartei - hier die Beschwerdegegnerin - muss zur Wahrung ihres rechtlichen Gehörs wissen, gegen was sie sich zu verteidigen hat (s. CHRISTOPH LEUENBERGER, a.a.O., N 25 und 29 zu <ref-law>). Darin findet die Formstrenge ihre sachliche Rechtfertigung. Ein blosses Begehren auf Klageabweisung, wie es der Beschwerdeführer in seiner Eingabe vom 29. August 2013 formuliert, lässt sich deshalb auch bei grosszügiger Berücksichtigung der Begründung der Klageantwort nicht in einen selbständigen Gegenangriff umdeuten, mit dem der Beklagte im Vergleich zur Klage etwas Neues fordert. Daran ändert nichts, dass Rechtsbegehren wie alle Prozesshandlungen nach Treu und Glauben auszulegen sind, insbesondere im Lichte der dazu gegebenen Begründung (Urteil 5A_474/2013 vom 10. Dezember 2013 E. 6.2.3). Fehlt ein selbständiges (Widerklage-) Begehren - wie hier - ganz und gar und von Anfang an, so gibt es auch nichts auszulegen.
6.6. Die vorigen Ausführungen gelten sinngemäss, soweit sich der Beschwerdeführer auf die richterliche Fragepflicht beruft und meint, die Vorinstanz übersehe in bundesrechtswidriger Weise, dass sich das Bezirkgsgericht unter den gegebenen Umständen bei ihm hätte erkundigen müssen, ob er formell Widerklage erheben wolle. Die Fragepflicht kommt dort zum Zug, wo das Vorbringen einer Partei unklar, widersprüchlich, unbestimmt oder offensichtlich unvollständig ist (<ref-law>). Sie nimmt den Parteien die Verantwortung für die zeitgerechte Prozessführung jedoch nicht ab: Soweit unter der Herrschaft der Verhandlungsmaxime grundsätzlich die Parteien die Verantwortung für die Beibringung des Tatsachenfundaments tragen, ist die richterliche Fragepflicht nicht dazu bestimmt, Sach behauptungen in den Prozess einzuführen, die weder vorgebracht noch belegt sind (Urteil 5A_921/2014 vom 11. März 2015 E. 3.4.2; 4A_78/2015 und 4A_80/2014 vom 23. September 2014 E. 3.3.3). Dasselbe gilt für die Rechtsfolgebehauptungen, die zusammen mit einem entsprechenden Rechtsschutzantrag das Rechtsbegehren ausmachen (s. STEPHEN V. BERTI, Einführung in die Schweizerische Zivilprozessordnung, 2011, S. 13 ff.) : Verfügen - wie hier (s. E. 6.5) - allein die Parteien über den Streitgegenstand (Dispositionsmaxime; <ref-law>), so ist es nicht Sache des Richters, nach Rechtsfolgebehauptungen zu forschen, bezüglich derer die Partei überhaupt keinen entsprechenden Antrag gestellt hat. Dies übersieht der Beschwerdeführer, soweit er sinngemäss argumentiert, dass er sich allein aufgrund der Klage vom 7. Juni 2013 gar nicht zu einer förmlichen Widerklage habe veranlasst sehen müssen. Soweit der Beschwerdeführer schliesslich argumentiert, seine Vorbringen seien "offensichtlich unvollständig" gewesen, begnügt er sich mit einem pauschalen Verweis auf mündliche oder schriftliche Ausführungen. Gestützt auf welche konkreten Elemente das Bezirksgericht zur Nachfrage aufgerufen gewesen sein soll, zeigt er nicht auf. Damit übersieht der Beschwerdeführer erneut, dass die Frage, was er im erstinstanzlichen Verfahren an welcher Stelle und mit welchen Worten vorgetragen hat, eine solche des Prozesssachverhalts ist (E. 4.2). Diesbezüglich ist es nicht Aufgabe des Bundesgerichts, von sich aus Nachforschungen in den kantonalen Akten anzustellen und zu Gunsten des Beschwerdeführers nach Anhaltspunkten zu suchen.
6.7. Zuletzt stellt sich der Beschwerdeführer auf den Standpunkt, angesichts der komplexen prozessualen Situation hätte man ihn gestützt auf <ref-law> wenigstens dazu auffordern müssen, einen Anwalt beizuziehen. Ist eine Partei offensichtlich nicht imstande, den Prozess selbst zu führen, so kann das Gericht sie auffordern, einen Vertreter zu beauftragen (<ref-law>). Wie der zitierte Wortlaut zeigt, ist die Norm als Kann-Vorschrift ausgestaltet. Nach der bundesgerichtlichen Rechtsprechung ist ein Prozessführungsunvermögen nicht leichthin anzunehmen. Dass die Eingabe eines Laien als lückenhaft erscheint, rechtfertigt die Annahme einer Postulationsunfähgkeit für sich allein genommen nicht (Urteil 5A_618/2012 vom 27. Mai 2013 E. 3.1). Ist die Eingabe der rechtsuchenden Partei strukturiert und enthält sie sowohl verständliche Rechtsbegehren als auch eine Begründung, sind die Voraussetzungen für die Bestellung eines Rechtsanwalts nach <ref-law> nicht gegeben (Urteil 4A_45/2014 vom 19. Mai 2014 E. 2.2.1). Die Klageantwort des Beschwerdeführers vom 29. August 2013 genügt diesen Anforderungen. Auch unter diesem Blickwinkel kann dem Obergericht kein überspitzter Formalismus vorgeworfen werden, wenn es die Sache nicht an das Bezirksgericht zurückweist.
7.
Nach alledem bleibt es dabei, dass der Beschwerdeführer seiner Tochter gestützt auf das Scheidungsurteil vom 18. Juni 1999 weiterhin die monatlichen Unterhaltszahlungen von Fr. 600.-- bezahlen muss, bis sie die volle wirtschaftliche Selbständigkeit erlangt hat. Wie das Obergericht zutreffend klarstellt, bleibt es dem Beschwerdeführer unbenommen, selbständig auf Abänderung des Scheidungsurteils zu klagen, um die gänzliche Aufhebung seiner Zahlungspflicht zu erwirken. Im hiesigen Verfahren erweist sich seine Beschwerde aber als unbegründet. Sie ist abzuweisen. Bei diesem Ausgang des Verfahrens müsste der Beschwerdeführer an sich für die Gerichtskosten aufkommen (<ref-law>). Angesichts der konkreten Umstände erscheint es aber gerechtfertigt, auf die Erhebung von Gerichtskosten zu verzichten (<ref-law>). Die Beschwerdegegnerin hat beantragt, auf die Beschwerde nicht einzutreten. Sie ist mit diesem Antrag gescheitert. Angesichts dessen kann sie für das bundesgerichtliche Verfahren keine Entschädigung beanspruchen (Art. 68 Abs. 1 und 2 BGG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen.
2.
Es werden keine Gerichtskosten erhoben.
3.
Es werden keine Parteientschädigungen zugesprochen.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien, dem Obergericht des Kantons Zürich, I. Zivilkammer, und dem Bezirksgericht Uster schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 2. März 2016
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: von Werdt
Der Gerichtsschreiber: V. Monn