Sachverhalt:
A.
A.a. Die X._ AG (heute: in Liquidation) wurde am 12. August 1986 von A._ als Alleinaktionär gegründet. Mit Verfügung vom 1. November 2007 setzte die Eidgenössische Bankenkommission die X._ AG in Liquidation. Gleichzeitig löschte sie die Vertretungsbefugnis des einzigen Verwaltungsrats A._. Am 28. Juni 2010 eröffnete die Eidgenössische Finanzmarktaufsicht (FINMA) den Konkurs über die X._ AG in Liquidation per 29. Juni 2010. In ihrer Funktion als Konkursliquidatorin reichte die FINMA im Dezember 2012 für die bereits nach pflichtgemässem Ermessen eingeschätzte und rechtskräftig veranlagte X._ AG in Liquidation die Steuererklärungen für die Jahre 2007 und 2008 nach.
A.b. Der juristische Sekretär B._ von der Dienstabteilung V._ des Steueramts des Kantons Zürich leitete daraufhin am 26. Februar 2013 ein Nachsteuerverfahren für die Staats- und Gemeindesteuern 2007 und 2008 sowie für die direkte Bundessteuer der erwähnten Perioden ein. Zur Vertretung der X._ AG in Liquidation in diesem Nachsteuerverfahren bevollmächtigte die FINMA zunächst C._ von der Y._ AG. Die FINMA ersetzte diese ab Mitte Juni 2013 durch Dr. D._ von der Z._ AG.
Soweit hier interessierend fanden am 6. Juni 2013 und am 23. Oktober 2013 Besprechungen im Zusammenhang mit dem Nachsteuerverfahren statt. Unter den Teilnehmern befanden sich neben weiteren Personen jeweils auch B._ sowie C._ (am 6. Juni 2013) bzw. Dr. D._ (am 23. Oktober 2013) als Vertreter der X._ AG in Liquidation im Nachsteuerverfahren.
A.c. Mit Verfügung vom 8. November 2013 auferlegte das kantonale Steueramt der X._ AG in Liquidation Nachsteuern in der Höhe von Fr. 588'625.70 (Staats- und Gemeindesteuern 2007/2008) und Fr. 322'139.05 (direkte Bundessteuer 2007/2008). Die FINMA teilte den Gläubigern der X._ AG in Liquidation mit Zirkularschreiben vom 5. Dezember 2013 mit, dass sie auf eine Einsprache gegen die Nachsteuerverfügung verzichtet. Auf entsprechendes Verlangen von A._ ermächtigte ihn die FINMA mit Verfügung vom 18. Dezember 2013 zur Erhebung der Einsprache sowie zur Führung eines allfälligen Prozesses betreffend die Nachsteuerverfügung vom 8. November 2013.
B.
Mit Eingabe vom 31. Dezember 2013 erhob A._ beim kantonalen Steueramt Einsprache gegen die Nachsteuerverfügung vom 8. November 2013. Gleichzeitig verlangte er den Ausstand von B._ und einem weiteren Steuerkommissär. Das kantonale Steueramt trat auf das Ausstandsbegehren mit Verfügung vom 10. Juli 2015 nicht ein.
In Bezug auf den Ausstand von B._ legte A._ erfolglos Rekurs bei der Finanzdirektion des Kantons Zürich ein (Rekursentscheid vom 10. Februar 2016). Kantonal letztinstanzlich wies das Verwaltungsgericht des Kantons Zürich eine Beschwerde gegen den Rekursentscheid mit Urteil vom 1. Juni 2016 ab.
C.
A._ gelangt mit Eingabe vom 15. Juli 2016 an das Bundesgericht. Er beantragt, der juristische Sekretär B._ sei in Aufhebung des vorinstanzlichen Urteils zu verpflichten, in den Ausstand zu treten.
Mit Verfügung des Abteilungspräsidenten vom 22. Juli 2016 hat das Bundesgericht die vorinstanzlichen Akten beigezogen. Auf die Einholung von Vernehmlassungen wurde verzichtet.

Erwägungen:
I. Prozessuales
1.
Das vorliegende Verfahren über den Ausstand eines Mitarbeiters des kantonalen Steueramts steht im Zusammenhang mit der Nachsteuerverfügung vom 8. November 2013. Diese betrifft die Staats- und Gemeindesteuer sowie die direkte Bundessteuer für die Jahre 2007 und 2008. Stehen neben der direkten Bundessteuer auch die Kantons- und Gemeindesteuern zur Diskussion, so hat die letzte kantonale Instanz grundsätzlich zwei Entscheide zu fällen, wobei beide im gleichen Akt ergehen können (vgl. <ref-ruling> E. 1.3.1 S. 262, Urteil 2C_484/2015 vom 10. Dezember 2015 E. 1). Die beschwerdeführende Partei hat ihrerseits grundsätzlich zwei Beschwerden an das Bundesgericht zu richten, welche aber wiederum in der gleichen Rechtsschrift enthalten sein können (<ref-ruling> E. 1.3.2 S. 264 f.). Das Bundesgericht seinerseits eröffnet praxisgemäss zwei Verfahren, wenn neben den kantonalen Steuern auch die direkte Bundessteuer streitig ist. Entsprechend hat das Bundesgericht auch hier zwei Dossiers angelegt. Da sich bei beiden Steuerarten die gleichen Sach- und Rechtsfragen stellen, rechtfertigt es sich, die beiden Verfahren (2C_649/2016 [betreffend die Kantons- und Gemeindesteuern] und 2C_650/2016 [betreffend die direkte Bundessteuer]) zu vereinigen und in einem Urteil zu behandeln (<ref-law> i.V.m. <ref-law> [SR 273], vgl. <ref-ruling> E. 1.2 S. 465).
2.
Die Beschwerde wurde unter Einhaltung der gesetzlichen Form (<ref-law>) und Frist (<ref-law>) eingereicht. Sie richtet sich gegen den Entscheid eines kantonal letztinstanzlichen oberen Gerichts (<ref-law>) in einer Angelegenheit des öffentlichen Rechts (<ref-law> i.V.m. <ref-law> [SR 642.11] und Art. 73 Abs. 1, Abs. 2 StHG [SR 642.14]). Das vorinstanzliche Urteil ist ein selbständig eröffneter Zwischenentscheid über ein Ausstandsbegehren im Sinne von <ref-law>, gegen das die Beschwerde an das Bundesgericht zulässig ist. Auf das Rechtsmittel des bereits am kantonalen Verfahren beteiligten und zur Beschwerde berechtigten Beschwerdeführers ist unter Vorbehalt der nachfolgenden Ausführungen (vgl. E. 5) einzutreten (<ref-law>).
3.
3.1. Mit der Beschwerde können Rechtsverletzungen nach Art. 95 und Art. 96 BGG geltend gemacht werden. Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (<ref-law>). Immerhin prüft es, unter Berücksichtigung der allgemeinen Begründungspflicht (<ref-law>), grundsätzlich nur die geltend gemachten Rügen, sofern ein rechtlicher Mangel nicht geradezu offensichtlich ist. Die Verletzung von Grundrechten und von kantonalem Recht untersucht es in jedem Fall nur insoweit, als eine solche Rüge in der Beschwerde vorgebracht und begründet worden ist (<ref-law>; zum Ganzen <ref-ruling> E. 1.6 S. 280 f.; <ref-ruling> E. 2.2.1 S. 389; <ref-ruling> E. 1.4 S. 400; <ref-ruling> E. 1.4.1 f. S. 254).
3.2. Harmonisiertes kantonales Recht im Bereich der direkten Steuern prüft das Bundesgericht gleich wie Bundesrecht mit freier Kognition (<ref-law>). Soweit das Harmonisierungsrecht den Kantonen allerdings einen gewissen Gestaltungsspielraum belässt oder keine Anwendung findet, handelt es sich bei der kantonalen Norm um (rein) kantonales Recht. Dieses untersucht das Bundesgericht unter Vorbehalt von Art. 95 lit. c bis lit. e BGG nur auf seine Bundes- und Völkerrechtskonformität hin (<ref-law>). Wiederum mit freier Kognition zu prüfen ist demgegenüber, ob die Anwendung rein kantonalen Steuerrechts das harmonisierte Steuerrecht in seiner horizontalen oder vertikalen Harmonisierungsfunktion beeinträchtigt (vgl. zum Ganzen Urteile 2C_76/2015 / 2C_77/2015 vom 24. Mai 2016 E. 1.4.2 [nicht publ. in <ref-ruling>]; 2C_583/2014 vom 9. Februar 2015 E. 1.2.2 [nicht publ. in: <ref-ruling>]; 2C_198/2016 vom 20. Juli 2016 E. 2.2).
3.3. In sachverhaltsmässiger Hinsicht stellt das Bundesgericht auf die Feststellungen der Vorinstanz ab (<ref-law>). Eine Berichtigung der vorinstanzlichen Sachverhaltsfeststellung ist von Amtes wegen (<ref-law>) oder auf ausreichend begründete Rüge hin möglich (<ref-law>; vgl. zu den Anforderungen an Sachverhaltsrügen <ref-ruling> E. 9.2.3.6 S. 96; <ref-ruling> E. 1.4.3 S. 254 f.). Von den tatsächlichen Grundlagen des vorinstanzlichen Urteils weicht das Bundesgericht jedoch nur ab, wenn diese offensichtlich unrichtig sind oder sie auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruhen und die Behebung des Mangels für den Verfahrensausgang entscheidend sein kann (Art. 97 Abs. 1 und <ref-law>; <ref-ruling> E. 1.3.1 S. 17 f.; Urteil 2C_198/2016 vom 20. Juli 2016 E. 2.4).
II. Direkte Bundessteuer
4.
4.1. Den Anspruch auf gleiche und gerechte Behandlung durch nicht gerichtliche Behörden gewährleistet <ref-law>. Das Gebot der Unbefangenheit bildet einen Teilgehalt dieses Grundrechts. Im Kern der Garantie steht, dass sich Verwaltungsbeamte in Bezug auf die Beurteilung des Sachverhalts nicht bereits festgelegt haben (<ref-ruling> E. 5.2 S. 329 f. mit Hinweisen). Für Angehörige von Verwaltungsbehörden, die mit dem Vollzug des Bundesgesetzes über die direkte Bundessteuer betraut sind, stellt <ref-law> eigenständige Regeln über den Ausstand auf. In den Ausstand zu treten hat danach insbesondere, wer an einer Verfügung oder Entscheidung in massgeblicher Weise mitzuwirken hat und in der Sache befangen sein könnte (<ref-law>; vgl. Urteil 2C_811/2016 / 2C_812/2016 vom 6. Oktober 2016 E. 3.1; zum Verfahren vor Behörden der Steuerjustiz vgl. <ref-ruling> E. 2 S. 239 ff.). Ein Ausstandsgrund nach <ref-law> liegt nur vor, wenn bei objektiver Betrachtung Sachumstände vorliegen, die den Anschein der Befangenheit oder die Gefahr der Voreingenommenheit zu begründen vermögen (vgl. <ref-ruling> E. 3.2.2 S. 180; Urteile 2C_811/2016 / 2C_812/2016 vom 6. Oktober 2016 E. 3.2.6; 2C_590/2016 vom 23. August 2016 E. 2.2). Das Gesetz bestimmt in <ref-law> nicht, wann ein Ausstandsgrund geltend zu machen ist. Der Grundsatz von Treu und Glauben und das Verbot des Rechtsmissbrauchs (<ref-law>) verlangen indes, dass ein Ausstandsgrund unverzüglich geltend gemacht wird. Andernfalls verwirkt der Anspruch auf seine spätere Anrufung (vgl. <ref-ruling> E. 8.4.3 S. 275; <ref-ruling> E. 2.2 S. 4; <ref-ruling> E. 3.4 S. 211 f.; Urteil 2C_807/2015 vom 18. Oktober 2016 E. 2.1.2; PETER LOCHER, Kommentar zum DBG, III. Teil, 2015, N. 36 zu <ref-law>; FELIX RICHNER ET AL., Handkommentar zum DBG, 3. Aufl. 2016, N. 31 f. zu <ref-law>).
4.2. Der Beschwerdeführer bringt vor, der juristische Sekretär habe ihn anlässlich der Sitzung vom 6. Juni 2013 vor den Anwesenden als notorischen Querulanten bezeichnet, der jede ihm mögliche Gelegenheit ergreifen würde, um Prozesse zu führen, insbesondere gegen Steuerbehörden. Weiter habe der juristische Sekretär im Rahmen der Besprechung vom 23. Oktober 2013 mit der Einleitung eines Steuerhinterziehungsverfahren gedroht, falls sich die X._ AG in Liquidation gegen die bisherigen Aufrechnungen wehren sollte. Wie der juristische Sekretär in der Besprechung vom 23. Oktober 2013 mit Bilanzen von Schwestergesellschaften der X._ AG in Liquidation umgegangen sei, belege dessen vorgefasste Meinung ebenfalls. Bei dieser Sachlage liege ein Ablehnungsgrund gegen den juristischen Sekretär vor.
4.3.
4.3.1. Die Vorinstanz hat den Sachverhalt im Zusammenhang mit der Besprechung vom 23. Oktober 2013 in für das Bundesgericht verbindlicher Weise festgestellt (<ref-law>; vgl. angefochtenes Urteil E. 4.3.2). Soweit die Darstellung des Beschwerdeführers davon abweicht, ist nicht weiter darauf einzugehen, da sie sich in appellatorischer Kritik erschöpft. Unbeachtlich bleiben damit insbesondere die Vorbringen des Beschwerdeführers in Bezug auf die Interpretation der Bilanzen zweier Schwestergesellschaften der X._ AG in Liquidation durch den juristischen Sekretär des Steueramts. Das vorinstanzliche Urteil enthält dazu keinerlei Ausführungen und der Beschwerdeführer legt nicht dar, dass und inwiefern der Sachverhalt diesbezüglich in rechtsfehlerhafter Weise unvollständig festgestellt sein soll (vgl. zu den Anforderungen an Sachverhaltsrügen E. 3.3 hiervor; Urteil 2C_414/2014 vom 12. März 2015 E. 1.4 mit Hinweisen).
4.3.2. Die vorinstanzlichen Feststellungen zur Besprechung vom 23. Oktober 2013 geben sodann keinen objektiven Anlass zur Annahme, dass der juristische Sekretär im Hinblick auf das Einspracheverfahren befangen sein könnte: Zu beachten gilt es zunächst, dass die Notizen zur Besprechung vom 23. Oktober 2013 vom Steuervertreter der X._ AG in Liquidation stammen und es sich nicht um ein Wortprotokoll handelt, sondern um eine Zusammenfassung zuhanden der Konkursliquidatorin. Sodann geht aus den Notizen nicht hervor, dass der juristische Sekretär mit der Einleitung eines Steuerhinterziehungsverfahrens drohte. Vielmehr brachte der Steuervertreter der X._ AG in Liquidation zum Ausdruck, dass es als Entgegenkommen des Steueramts zu werten sei, wenn dieses bis zum damaligen Zeitpunkt noch kein Steuerhinterziehungsverfahren eingeleitet hatte. Weiter gelangten gemäss dem angefochtenen Urteil alle Anwesenden der Besprechung vom 23. Oktober 2013 gemeinsam zum Schluss, dass die Steuern und Bussen im Rahmen eines Steuerhinterziehungsverfahrens höher ausfallen würden, als die vom Steueramt vorgenommenen Aufrechnungen im Rahmen des Nachsteuerverfahrens.
4.3.3. Der Hinweis auf die mögliche Einleitung eines Steuerhinterziehungsverfahrens, den der Steuervertreter der X._ AG in Liquidation in seine Notiz aufnahm, ist im Hinblick auf die Entgegennahme der Steuererklärungen 2007 und 2008 als straflose Selbstanzeige zu würdigen. Eine straflose Selbstanzeige ist nur möglich, wenn die steuerpflichtige juristische Person die Verwaltung bei der Festsetzung der Nachsteuer vorbehaltlos unterstützt (<ref-law>). Nach Auffassung des juristischen Sekretärs, die er dem Steuervertreter der X._ AG in Liquidation unterbreitete, konnte die Einreichung von möglicherweise falschen Jahresrechnungen der X._ AG in Liquidation diese vorbehaltlose Unterstützung in Frage stellen (vgl. auch Ziff. 5 der Notiz zur Besprechung vom 23. Oktober 2013). Eine "Drohung", wie sie der Beschwerdeführer geltend macht, ist darin nicht zu erkennen. Ein Ausstandsgrund im Sinne von <ref-law> ergibt sich im Zusammenhang mit der Besprechung vom 23. Oktober 2013 nicht.
4.4. In Bezug auf die Besprechung vom 6. Juni 2013 und die Behauptung des Beschwerdeführers, der juristische Sekretär habe ihn als notorischen Querulanten bezeichnet, hat die Vorinstanz keine für das Bundesgericht verbindlichen Feststellungen getroffen (vgl. angefochtenes Urteil E. 4.3.2). Sie führte lediglich aus, dass die Verunglimpfung vom Rechtsvertreter des Beschwerdeführers und der damaligen Steuervertreterin der X._ AG in Liquidation bestätigt, vom juristischen Sekretär aber bestritten würde. Wie es sich damit verhält, kann im Ergebnis offen bleiben: Sollte der juristische Sekretär dem Beschwerdeführer anlässlich der Besprechung vom 6. Juni 2013 tatsächlich querulatorisches Verhalten zugeschrieben haben, erschiene dies zumindest ungeschickt und nicht unproblematisch.
Eine persönliche Geringschätzung oder gar Feindschaft, die eine Befangenheit gemäss <ref-law> nach sich zieht, braucht damit allerdings noch nicht unbedingt verbunden zu sein. Querulanz ist ein in der Verfahrenspraxis gängiger Begriff, der auch Eingang in die Gesetzgebung gefunden hat (vgl. etwa <ref-law>) und sich durchaus objektiv verwenden lässt. Damit von einer massgeblichen Geringschätzung und folglich einer Befangenheit im Sinne von <ref-law> (bzw. <ref-law>) auszugehen ist, müssen in der Regel zusätzliche Umstände hinzutreten (vgl. Urteil 1C_413/2012 vom 14. Juni 2013 E. 5.5). Das gilt jedenfalls vor Verwaltungsbehörden, an deren Unbefangenheit nicht die gleich strengen Anforderungen bestehen wie für Gerichte (vgl. <ref-ruling> E. 5.2 S. 329; Urteil 2C_807/2015 vom 18. Oktober 2016 E. 2.1.1). Im vorliegenden Fall sind keine derartigen Umstände erkennbar, die eine unbefangene Beurteilung der Einsprache ernsthaft und objektiv in Frage stellen würden. Selbst wenn sich der juristische Sekretär einmalig negativ über den Beschwerdeführer geäussert haben sollte, erweckt dies objektiv noch nicht den Anschein, dass er sich in Bezug auf den Ausgang des Einspracheverfahrens bereits festgelegt hat. Mit Blick auf die Besprechung vom 6. Juni 2013 liegt folglich kein Grund vor, den juristischen Sekretär in den Ausstand zu versetzen.
4.5. Weitere Gründe, die eine Verpflichtung zum Ausstand (<ref-law>) des juristischen Sekretärs nach sich ziehen könnten, werden nicht geltend gemacht und sind auch nicht ersichtlich. Bei dieser Sachlage kann dahingestellt bleiben, ob das Ausstandsbegehren am 31. Dezember 2013 verspätet erfolgte. Hinsichtlich der direkten Bundessteuer ist die Beschwerde bereits nach dem Dargelegten abzuweisen.
III. Staats- und Gemeindesteuer
5.
Das Steuerharmonisierungsgesetz kennt keine <ref-law> entsprechende Bestimmung, weshalb die Kantone insoweit frei sind, Ausstandsgründe ihrer Steuerbeamten eigenständig zu regeln (vgl. MARTIN ZWEIFEL, in: Martin Zweifel/Peter Athanas [Hrsg.], StHG, Kommentar, 2. Aufl. 2002, N. 1 zu Art. 46 StHG). Zu berücksichtigen haben sie dabei die Vorgaben von <ref-law> (vgl. E. 4.1 hiervor). Soweit hier interessierend enthält das kantonale Recht eine mit <ref-law> übereinstimmende Norm (vgl. § 119 des Steuergesetzes [des Kantons Zürich] vom 8. Juni 1997 [StG; LS 631.1]). Dies ändert jedoch nichts daran, dass es sich um (nicht harmonisiertes) kantonales Recht handelt. Dessen verfassungskonforme Anwendung prüft das Bundesgericht nur auf klar und detailliert erhobene Rüge hin (vgl. E. 3.1 und E. 3.2 hiervor). Der Beschwerdeführer erhebt mit Blick auf die Anwendung von § 119 StG indes keine verfassungsbezogenen Rügen, sodass es an einer rechtsgenüglichen Beschwerdebegründung hinsichtlich der Staats- und Gemeindesteuern mangelt. Auf das Rechtsmittel kann insoweit nicht eingetreten werden (<ref-law>; vgl. Urteil 2C_811/2016 / 2C_812/2016 vom 6. Oktober 2016 E. 4).
6.
Nach den vorstehenden Ausführungen ist die Beschwerde abzuweisen, soweit sie das Verfahren betreffend die direkte Bundessteuer betrifft (vgl. E. 4 hiervor). Auf die Beschwerde betreffend das Staats- und Gemeindesteuerverfahren ist mangels rechtsgenüglicher Begründung nicht einzutreten (vgl. E. 5 hiervor). Bei diesem Verfahrensausgang trägt der Beschwerdeführer die Kosten des bundesgerichtlichen Verfahrens (Art. 65 Abs. 1 i.V.m. <ref-law>). Parteientschädigungen sind nicht geschuldet (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Verfahren 2C_649/2016 und 2C_650/2016 werden vereinigt.
2.
Die Beschwerde im Verfahren 2C_650/2016 (Nachsteuerverfahren, direkte Bundessteuer 2007/2008) wird abgewiesen.
3.
Auf die Beschwerde im Verfahren 2C_649/2016 (Nachsteuerverfahren, Staats- und Gemeindesteuer 2007/2008) wird nicht eingetreten.
4.
Die Gerichtskosten von Fr. 2'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
5.
Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten, dem Verwaltungsgericht des Kantons Zürich, 2. Abteilung, und der Eidgenössischen Steuerverwaltung schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 15. Dezember 2016
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Seiler
Der Gerichtsschreiber: Fellmann