Sachverhalt:
A.
Die Gemeindeversammlung der Einwohnergemeinde Dornach/SO vom 9. Dezember 2015 behandelte unter anderem unter Traktandum 1 die Kosten des "Sanierungsprojektes Apfelseestrasse" und unter Traktandum 7 das "Budget 2016". Der Kredit für das Projekt zur Instandstellung der Apfelseestrasse von drei Millionen Franken wurde zuhanden der Urnenabstimmung verabschiedet, und in der Folge beschloss die Gemeindeversammlung das Budget 2016, das den genannten Kredit mit enthielt.
B.
Gegen den Kredit- und Budgetentscheid der Gemeindeversammlung vom 9. Dezember 2015 führte Max Rumpel als Stimmberechtigter der Einwohnergemeinde Dornach Beschwerde beim Regierungsrat des Kantons Solothurn. Im Wesentlichen machte er geltend, der Beschluss über das Budget 2016 sei mit der gleichzeitigen Festsetzung des Steuerfusses verbunden und als unrechtmässig aufzuheben, weil der Kredit für das Sanierungsprojekt Apfelseestrasse nicht vorgängig durch Urnenabstimmung bestätigt worden sei. Überdies sei eine neutrale Fachperson mit einer Untersuchung gegenüber dem Amt für Gemeinden des Kantons Solothurn zu betrauen, weil dieses offenbar dem Gemeindepräsidenten von Dornach vor der Gemeindeversammlung auf Anfrage hin falsche Auskünfte erteilt habe. Am 23. Februar 2016 wies der Regierungsrat die Beschwerde ab.
C.
Mit Beschwerde vom 24. März 2016 beantragt Max Rumpel, den Beschluss des Regierungsrates vom 23. Februar 2016 aufzuheben und festzustellen, dass einmalige Ausgabenbeschlüsse, die nach dem Budgetbeschluss erfolgen, erst in das Budget des folgenden Jahres eingestellt werden dürfen; zudem sei gegen den Leiter des Amts für Gemeinden ein administrativer Verweis auszusprechen wegen Kompetenzüberschreitung und gesetzwidriger Auskunftserteilung; auch gegenüber dem Gemeinderat Dornach sei ein Verweis auszusprechen, weil dieser wiederholt gegen die Gemeindeordnung verstossen habe.
Die Einwohnergemeinde Dornach verzichtete auf eine Vernehmlassung. Das Amt für Gemeinden des Kantons Solothurn schliesst für den Regierungsrat auf Abweisung der Beschwerde, soweit darauf einzutreten sei.
Max Rumpel äusserte sich am 12. Juni 2016 nochmals zur Sache.

Erwägungen:
1.
1.1. Beim angefochtenen Urteil handelt es sich um einen kantonal letztinstanzlichen Endentscheid, gegen den beim Bundesgericht gestützt auf Art. 82 lit. c i.V.m. Art. 86 Abs. 1 lit. d und Art. 90 BGG Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten in Form der Stimmrechtsbeschwerde erhoben werden kann. Von der Stimmrechtsbeschwerde werden sowohl eidgenössische als auch kantonale und - wie im zu beurteilenden Fall - kommunale Stimmrechtssachen erfasst. Eine richterliche Vorinstanz ist nicht zwingend erforderlich (vgl. <ref-law>).
1.2. Der Beschwerdeführer ist als Stimmberechtigter der fraglichen Gemeinde zur Beschwerde legitimiert (<ref-law>). Nicht zulässig ist allerdings sein genereller Antrag auf Feststellung, dass einmalige Ausgabenbeschlüsse, die nach dem Budgetbeschluss erfolgen, erst in das Budget des folgenden Jahres eingestellt werden dürfen. Da dem Bundesgericht mit der potentiellen Aufhebung des angefochtenen Entscheides eine konkrete Gestaltungsmöglichkeit im Sinne des Anliegens des Beschwerdeführers offen steht, fehlt es diesem am erforderlichen Feststellungsinteresse für sein allgemeines Feststellungsbegehren. Insofern kann auf die Beschwerde mithin nicht eingetreten werden.
1.3. Der Beschwerdeführer rügt in erster Linie einen Verstoss gegen kantonale und kommunale Bestimmungen über die Zuständigkeiten der Gemeindeorgane, insbesondere über die den Stimmberechtigten an der Gemeindeversammlung oder Urnenabstimmung zu unterbreitenden Geschäfte. Diese stehen in einem engen Zusammenhang mit dem Stimmrecht, weshalb sich die Stimmrechtsbeschwerde insofern als zulässig erweist.
1.4. Streitgegenstand vor dem Bundesgericht bilden einzig Entscheide unterer Instanzen. Soweit der Beschwerdeführer beantragt, dass das Bundesgericht selbst einen Verweis gegenüber dem solothurnischen Amt für Gemeinden und dem Gemeinderat Dornach aussprechen soll, verlangt er direkt die Anordnung einer aufsichtsrechtlichen Massnahme, für die das Bundesgericht nicht zuständig ist. Insoweit ist auf die Beschwerde nicht einzutreten. Streitgegenstand kann in diesem Zusammenhang allenfalls die Weigerung des Regierungsrates sein, gegenüber dem kantonalen Amt für Gemeinden eine Untersuchung einzuleiten. Insofern handelt es sich allerdings nicht um eine Stimmrechtssache, sondern um eine aufsichtsrechtliche Streitigkeit, die grundsätzlich strengeren Eintretensvoraussetzungen unterliegt.
1.5. Mit Blick auf die politischen Rechte prüft das Bundesgericht nicht nur die Auslegung von Bundesrecht und kantonalem Verfassungsrecht frei, sondern auch diejenige anderer kantonaler Vorschriften unter Einschluss des kommunalen Rechts, die den Inhalt des Stimm- und Wahlrechts normieren oder mit diesem in engem Zusammenhang stehen (<ref-law>; <ref-ruling> E. 2 S. 190, 392 E. 2.1 S. 394). Die Anwendung anderer kantonaler und kommunaler Vorschriften, namentlich aufsichtsrechtlicher Natur, und die Feststellung des Sachverhalts sowie die Beweiswürdigung prüft das Bundesgericht hingegen nur unter dem Gesichtswinkel des Willkürverbots (vgl. <ref-ruling> E. 2.1 S. 394; <ref-ruling> E. 2d/aa mit Hinweisen). Tatfragen sind hier allerdings nicht strittig.
1.6. Das Bundesgericht prüft die bei ihm angefochtenen Entscheide grundsätzlich nur auf Rechtsverletzungen hin, die von den Beschwerdeführern gerügt und begründet werden (vgl. <ref-law>). Erhöhte Anforderungen an die Begründung gelten, soweit die Verletzung von Grundrechten unter Einschluss der Rüge, kantonales und kommunales Recht sei willkürlich angewandt worden, geltend gemacht wird (<ref-law>; <ref-ruling> E. 1.4.2 S. 254 mit Hinweisen). Im Umfang, in dem der Beschwerdeführer zur Stimmrechtsbeschwerde zugelassen ist, genügen seine Ausführungen den Anforderungen an eine ausreichende Beschwerdebegründung, weshalb sich die Beschwerde insofern als zulässig erweist. Soweit er allerdings aufsichtsrechtliche Rügen erhebt, legt er nicht rechtsgenüglich dar, inwiefern damit Bundesrecht verletzt bzw. insbesondere kantonales oder kommunales Recht willkürlich angewandt worden sein sollte. Insoweit kann auf die Beschwerde nicht eingetreten werden. Zu prüfen ist demnach nur die Frage, ob der angefochtene Entscheid gegen das Stimmrecht des Beschwerdeführers verstösst.
2.
2.1. Nach § 142 des solothurnischen Gemeindegesetzes vom 16. Februar 1992 (GG; BGS 131.1) sind nicht gebundene einmalige und jährlich wiederkehrende Ausgaben, die einen in der Gemeindeordnung zu bestimmenden Betrag übersteigen, vom zuständigen Organ unter einem besonderen Traktandum zu beschliessen, bevor über das Budget beschlossen wird (Abs. 1); die übrigen nicht gebundenen Ausgaben können in das Budget aufgenommen und gleichzeitig mit der Schlussabstimmung über das Budget beschlossen werden (Abs. 2). Mit dem Budget ist festzulegen, wie die Ausgaben finanziert werden (§ 143 GG). Gemäss § 144 GG ist im Budget der Steuerfuss für das nächste Jahr festzusetzen (Abs. 1); dieser ist so zu bemessen, dass der voraussichtliche Steuerertrag mit dem übrigen Ertrag mittelfristig den Aufwand der laufenden Jahresrechnung einschliesslich der notwendigen Abschreibungen finanziert (Abs. 2).
Nach § 55 der Gemeindeordnung der Einwohnergemeinde Dornach vom 13. Dezember 2000 (genehmigt gemäss dem Departement des Innern vom 24. Januar 2001) sind in Umsetzung von § 142 GG nicht gebundene einmalige Ausgaben, die Fr. 200'000.-- übersteigen, und jährlich wiederkehrende Ausgaben, die Fr. 50'000.-- übersteigen, von der Gemeindeversammlung unter einem besonderen Traktandum zu beschliessen.
2.2. Die §§ 142 f. GG bezwecken, dass das Gemeindebudget die tatsächlich zu erwartenden Ausgaben möglichst vollständig wiedergibt und gleichzeitig deren Finanzierung festlegt. Dies dient der Vorhersehbarkeit und Wahrhaftigkeit des Voranschlags. Nur geringfügige nicht gebundene Ausgaben sollen direkt ins Budget aufgenommen werden. Über gewichtigere nicht gebundene Ausgaben soll vorweg separat entschieden werden, damit sie je nach Ausgang des Entscheides in den Budgetbeschluss aufgenommen oder weggelassen werden können. Es bleibt den Gemeinden überlassen, den Betrag festzulegen, der die Grenze bestimmt zwischen den nicht gebundenen Ausgaben, über die separat vorweg zu befinden ist, und den anderen, die direkt ins Budget aufgenommen werden. Für die Gemeinde Dornach liegt dieser Betrag für einmalige Ausgaben bei Fr. 200'000.--.
2.2.1. § 142 Abs. 1 GG besagt, dass das zuständige Organ vor dem Budgetbeschluss über eine nicht gebundene Ausgabe entscheidet, wenn diese den dafür massgeblichen Betrag übersteigt. Nach Auffassung des Beschwerdeführers handelt es sich dabei um die Stimmbürgerinnen und Stimmbürger der Einwohnergemeinde Dornach, da der Ausgabenbeschluss für das fragliche Strassenrenovationsprojekt dem obligatorischen Referendum unterstehe. Die Gemeinde und der Regierungsrat sind insofern der Ansicht, es genüge, dass die Gemeindeversammlung das Traktandum separiert und über die Projektausgabe vor dem Budget entschieden habe.
2.2.2. Nach § 50 GG ist unter anderem dann über eine von der Gemeindeversammlung beratene Vorlage an der Urne abzustimmen, wenn es die Gemeindeordnung bestimmt (Abs. 1 lit. b); diesfalls unterbleibt die Schlussabstimmung an der Gemeindeversammlung (Abs. 2). Gemäss § 18 Abs. 1 lit. c GO ist in Umsetzung von § 50 GG über eine von der Gemeindeversammlung beratene Ausgabe an der Urne abzustimmen, wenn sie zwei Millionen Franken übersteigt, in welchem Fall die Schlussabstimmung an der Gemeindeversammlung unterbleibt (§ 18 Abs. 2 GO). Nach § 51 GG kann überdies an jeder Gemeindeversammlung von einem Teil der anwesenden Stimmberechtigten verlangt werden, dass die Schlussabstimmung in einer Sachfrage an der Urne stattfindet, wobei der in der Gemeindeordnung zu bestimmende Teil 1/3 nicht übersteigen darf. Soweit ersichtlich, enthält die Gemeindeordnung von Dornach dazu keine weitere Konkretisierung.
2.2.3. Übersteigt ein Projektkredit den kommunal bestimmten Grenzwert, fallen die Zuständigkeiten auseinander: Über den Kredit hat die Stimmbürgerschaft an einer Urnenabstimmung zu befinden, während die Gemeindeversammlung das Budget genehmigt, in das die Projektausgabe aufzunehmen ist. Weder das Gemeindegesetz noch die Gemeindeordnung regeln ausdrücklich, wie das Verfahren diesfalls ablaufen soll. Der Beschwerdeführer will aus dem Wortlaut von § 142 Abs. 1 GG ableiten, dass es sich beim "zuständigen Organ", das vor der Annahme des Budgets durch die Gemeindeversammlung über eine nicht gebundene Ausgabe zu entscheiden hat, um das Organ handelt, das den abschliessenden endgültigen Entscheid fällt, also um die Stimmbürgerschaft, falls eine Urnenabstimmung durchgeführt werden muss. Dies hätte allerdings zur Folge, dass die Gemeindeversammlung im gleichen Zusammenhang zweimal tätig werden müsste: In einer ersten Sitzung hätte sie über den besonderen Ausgabenposten zu entscheiden und diesen der Urnenabstimmung zu unterstellen, um danach in einer zweiten Sitzung das Budget zu verabschieden, je nach Ausgang der Volksabstimmung unter Einschluss oder Ausschluss des fraglichen Postens. Ein solcher Ablauf erscheint schwerfällig und zeitaufwändig. Er kann sogar dazu führen, dass eine im Budgetentwurf vorgesehene Ausgabe aus dem Voranschlag gestrichen werden muss, wenn etwa die Gemeindeversammlung eine Krediterhöhung über den Grenzwert für das obligatorische Referendum oder die Unterstellung unter das Referendum beschliesst. Diesfalls könnte der Ausgabenposten erst im nächsten Voranschlag wieder budgetiert werden, wie es der Beschwerdeführer auch im vorliegenden Fall vorschlägt, und es käme zu einer Verzögerung um ein Jahr. Das kann nicht der Sinn des Gesetzes sein. Mit den Vorinstanzen sind die einschlägigen Bestimmungen daher so zu verstehen, dass mit dem zuständigen Organ die Gemeindeversammlung gemeint ist, die über beide Geschäfte an einer Sitzung zu befinden hat, wobei sie zwingend vorweg über den Ausgabenposten und erst danach über das Budget entscheiden darf. Dabei ist dann allerdings sicherzustellen, dass die Annahme des im Budget enthaltenen Ausgabepostens, über den im Nachhinein noch eine Urnenabstimmung abzuhalten ist, lediglich unter dem Vorbehalt der Annahme in der Volksabstimmung erfolgt. Unterstrichen wird dieser Zusammenhang durch das gesetzlich vorgesehene Ausbleiben der Schlussabstimmung in der Gemeindeversammlung, die durch die Urnenabstimmung ersetzt wird. Bis zur Beschlussfassung an der Urne darf die Gemeinde über den entsprechenden Budgetkredit nicht verfügen. Dieser Ablauf entspricht im Übrigen Ziff. 11.10 des vom Amt für Gemeinden des Kantons Solothurn zu Handen der Gemeinden herausgegebenen Handbuchordners (HBO) HRM2, ohne dass dies für die Gesetzesauslegung bindend wäre.
2.3. Der Beschwerdeführer stellt den Budgetbeschluss sodann in einen unmittelbaren Zusammenhang zur Festlegung des Steuerfusses.
2.3.1. Gemäss der gesetzlichen Regelung ist der Steuerfuss im Budget zu bestimmen (§ 144 Abs. 1 GG). Er gilt jeweils für ein Jahr (§ 144 Abs. 1 GG), ist aber so zu bemessen, dass der voraussichtliche Steuerertrag mit dem übrigen Ertrag mittelfristig den Aufwand der laufenden Jahresrechnung finanziert (§ 144 Abs. 2 GG). Der Steuerfuss beruht demnach auf einer etwas längeren ("mittelfristigen") Perspektive, soll jedoch gleichzeitig die Finanzierung der kommunalen Ausgaben des laufenden Jahres sicherstellen. Der Wortlaut ist nicht ganz klar, lässt sich aber so verstehen, dass mit den Einnahmen die Ausgaben zwar im laufenden Jahr, namentlich im Sinne der notwendigen Liquiditäten, beglichen werden sollen, nicht zwingend jedes Jahr aber auch ausgeglichen zu sein haben, sondern dieser Ausgleich über mehrere Jahre hinweg erfolgen kann. Gemäss Ziff. 10.4 des Handbuchordners (HBO) HRM2 des solothurnischen Amts für Gemeinden muss ein allfälliger Bilanzfehlbetrag, der auf Aufwandüberschüsse der Erfolgsrechnung zurückgeht, innert fünf Jahren abgeschrieben werden. Gewisse Unklarheiten im Budget sind mithin nicht ausgeschlossen, wie es ohnehin dem Charakter eines Voranschlags entspricht. Unsicherheiten über die Realisierung oder Realisierbarkeit eines einzelnen Postens sind in diesem Sinne in Kauf zu nehmen und kommen in der Praxis bei der Erstellung von Budgets auf allen Ebenen immer wieder vor. Ein Voranschlag ist kein mathematisch gesicherter und unveränderlich umzusetzender Rechtsakt, sondern entspricht einem Leitfaden oder Programm, das zu einem grossen Teil auf Schätzungen beruht und teilweise auch ungesicherte Einnahmen- oder Ausgabenposten enthält. Es dient aber der Budgetwahrheit und entspricht dem Grundsatz der Vollständigkeit eines Voranschlags, wenn vorerst noch nicht völlig gesicherte, aber vorgesehene Ausgabenposten darin aufgenommen und in die Planung einbezogen werden, um auf alle möglichen Entwicklungen vorbereitet zu sein.
2.3.2. An der rechtlichen Natur des Budgets ändert auch dessen Verknüpfung mit dem Steuerfuss im solothurnischen Gemeinderecht nichts. Dieser soll zwar dem Budget entsprechen, lässt sich aber nicht so festlegen, dass ein Ausgleich der Ausgaben und Einnahmen am Ende des Jahres garantiert ist. Ergeht ein Ausgaben- oder Kreditbeschluss über eine ungebundene Ausgabe, kann die Gemeinde die Ausgabe unabhängig davon tätigen, ob das im Budget vorgesehen ist oder nicht. Allein die Beschlussfassung durch das zuständige Organ und nicht die Budgetierung ermächtigt die Gemeinde insofern zur Ausgabe. Ergibt sich Ende Jahr ein Ausgaben- oder Einnahmenüberschuss, kann das in den nachfolgenden Jahren wieder ausgeglichen werden. Im Übrigen besteht für die Gemeinden des Kantons Solothurn offenbar, ohne dass dies hier ausschlaggebend wäre, die Möglichkeit einer rückwirkenden Steuersenkung, sollten Einnahmen und Ausgaben zu stark auseinanderfallen, wie das Amt für Gemeinden in seiner Stellungnahme an das Bundesgericht ausführt und wie es in Ziff. 20.3 des Handbuchordners (HBO) HRM2 des solothurnischen Amts für Gemeinden zu Handen der Gemeinden beschrieben wird.
2.4. Da im vorliegenden Fall der Projektkredit drei Millionen Franken beträgt, war darüber an der Gemeindeversammlung der Gemeinde Dornach nicht nur in einem separaten Traktandum vorweg zu entscheiden, sondern die Ausgabe unterlag auch dem obligatorischen Referendum. Daraus ergab sich eine aufgeteilte Zuständigkeit: Über den Strassensanierungskredit hatte die Stimmbürgerschaft an einer Urnenabstimmung zu befinden, während die Gemeindeversammlung das Budget genehmigte, in dem die Projektausgabe enthalten war. Die Gemeindeversammlung vom 9. Dezember 2015 verabschiedete den Sanierungskredit unter Vorbehalt der obligatorischen Urnenabstimmung als Traktandum 1, bevor sie unter dem Traktandum 7 in eigener abschliessender Kompetenz das Budget bewilligte. Eine Schlussabstimmung durch die Gemeindeversammlung fand in Anwendung von § 50 Abs. 2 GG sowie § 18 Abs. 2 GO nicht statt. Die gesetzlichen Vorschriften wurden im vorliegenden Fall durch die Gemeindeversammlung vom 9. Dezember 2015 eingehalten. In der Volksabstimmung vom 28. Februar 2016 wurde der Strassensanierungskredit später im Übrigen genehmigt, was allerdings für die zu beurteilende Rechtsfrage nicht von Belang ist.
2.5. Der angefochtene Entscheid ist demnach nicht rechtswidrig.
3.
Die Beschwerde erweist sich als unbegründet und ist abzuweisen, soweit darauf eingetreten werden kann.
Bei diesem Verfahrensausgang wird der unterliegende Beschwerdeführer für das bundesgerichtliche Verfahren kostenpflichtig (Art. 66 Abs. 1, Art. 65 BGG). Eine Entschädigung ist nicht zuzusprechen.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 1'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer, der Einwohnergemeinde Dornach und dem Regierungsrat des Kantons Solothurn schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 13. September 2016
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Fonjallaz
Der Gerichtsschreiber: Uebersax