Sachverhalt:
A.
A.a. D.B._ (geb. 1977) und A._ (geb. 1979; Beschwerdeführer) sind die unverheirateten Eltern von B.B._ (geb. 2003; Beschwerdegegner 1) und C.B._ (geb. 2004; Beschwerdegegnerin 2). Die Eltern leben seit März 2005 getrennt. Die Kinder stehen unter der gemeinsamen elterlichen Sorge. Die Obhut übt die Kindsmutter aus. Mutter und Kinder wohnen zusammen im Kanton Wallis. Seit Abschluss des Studiums im Jahr 2005 lebt und arbeitet A._ in London (GB). Im Frühjahr 2008 zog er dort mit seiner heutigen Lebenspartnerin zusammen.
A.b. Mit Unterhaltsverträgen vom 1. Februar 2005 verpflichtete sich A._ für die Kinder bis zum vollendeten 6. Altersjahr monatlichen Unterhalt von Fr. 700.-- zu bezahlen. Ab dem 7. bis zum vollendeten 12. Altersjahr sollte der Unterhalt Fr. 850.-- und vom 13. Altersjahr bis zum ordentlichen Abschluss einer angemessenen Ausbildung Fr. 1'000.-- pro Monat betragen. Die Vormundschaftsbehörde der Einwohnergemeinde U._ genehmigte diese Vereinbarung am 24. Februar 2005. Seit dem Auszug aus der gemeinsamen Wohnung bezahlt A._ diese Unterhaltsbeiträge.
A.c. Im Jahr 2008 ersuchte D.B._ erstmals vergeblich um Anpassung des Kindesunterhalts. Am 16. Januar 2012 klagte sie erneut im Namen der Kinder beim Bezirksgericht V._ auf Abänderung der Unterhaltsbeiträge. Mit Urteil vom 11. Juni 2014 verpflichtete das Bezirksgericht A._ für jedes Kind zur Zahlung folgender indexierter Unterhaltsbeiträge pro Monat: Fr. 1'680.-- ab dem 16. Januar 2011 bis zum 5. April 2013; Fr. 1'325.-- ab dem 6. April 2013 bis zur Vollendung des 12. Lebensjahres; Fr. 1'625.-- ab dem 13. Lebensjahr bis zum ordentlichen Abschluss einer angemessenen Ausbildung. Zusätzlich verpflichtete es A._, allfällige Kinderzulagen, Sozialversicherungsrenten und ähnliche für den Unterhalt der Kinder bestimmte Leistungen zusätzlich zum Unterhalt zu bezahlen.
B.
Hiergegen reichten B.B._ und C.B._ am 8. September 2014 Berufung beim Kantonsgericht Wallis ein. Sie beantragten eine Erhöhung des ihnen zugesprochenen Unterhalts ab dem 6. April 2013. Mit Urteil vom 22. Dezember 2016 (eröffnet am 24. Dezember 2016) verpflichtete das Kantonsgericht A._ in Abänderung des erstinstanzlichen Urteils zur Zahlung von folgenden monatlichen Unterhaltsbeiträgen an jedes seiner Kinder: Fr. 1680.-- ab dem 6. April 2013 bis zum 6. Oktober 2013; Fr. 1'615.-- ab dem 7. Oktober 2014 bis zum 31. Dezember 2014; Fr. 1'560.-- ab dem 1. Januar 2015 bis zur Vollendung des 12. Lebensjahres; Fr. 1'950.-- ab dem 13. Lebensjahr bis zum ordentlichen Abschluss einer angemessenen Ausbildung. Dies unter Anrechnung des bisher bezahlten Unterhalts. Die Unterhaltsbeiträge vom 16. Januar 2011 bis 5. April 2013 beurteilte es nicht, da das erstinstanzliche Urteil insoweit mangels Anfechtung in Rechtskraft erwachsen sei. Im Übrigen verlegte es die Kosten der kantonalen Verfahren.
Mit Entscheid vom 2. Februar 2017 ergänzte das Kantonsgericht das Urteil vom 22. Dezember 2016 im Kostenpunkt.
C.
Mit Beschwerde in Zivilsachen vom 1. Februar 2017 (Postaufgabe) ist A._ mit folgenden Anträgen an das Bundesgericht gelangt:
"1. Es sei das Urteil [...] des Kantonsgerichtes Wallis vom 22. Dezember 2016 mit Ausnahme des Dispositivs 1 (Nicht-Entfernung der Akten), des Dispositivs 2 (Nichteintreten auf Begehren 7 der Berufungskläger), sowie des Dispositivs 3 Unterpunkt 1.4 (Anrechnung der bereits bezahlten Unterhaltsbeiträge) aufzuheben.
2. Es sei der Unterhaltspflichtige bei seiner Bereitschaft zu behaften, den Beschwerdegegnern ab 16. Januar 2011 folgende Unterhaltbeiträge zu bezahlen: 1'300 Fr. bis zur Vollendung des 12. Lebensjahres, 1'500 Fr. ab dem 13. Lebensjahr bis zum ordentlichen Abschluss einer angemessenen Ausbildung.
3. Eventualiter sei der Unterhaltspflichtige bei seiner Bereitschaft zu behaften, den Beschwerdegegnern ab 16. Januar 2011 folgende Unterhaltsbeiträge zu bezahlen: 1'680 Fr. bis zum 5. April 2013, danach 1'300 Fr. bis zur Vollendung des 12. Lebensjahres und 1'500 Fr. ab dem 13. Lebensjahr bis zum ordentlichen Abschluss einer Ausbildung.
4. Subeventualiter sei der Unterhaltspflichtige bei seiner Bereitschaft zu behaften, den Beschwerdegegnern ab 16. Januar 2011 folgende Unterhaltsbeiträge zu bezahlen: 1'680 Fr. bis zum 5. April 2013, danach 1'325 Fr. bis zur Vollendung des 12. Lebensjahres und 1'625 Fr. ab dem 13. Lebensjahr bis zum ordentlichen Abschluss einer angemessenen Ausbildung.
5. Sub-subeventualiter sei die Sache zwecks Neuberechnung der Unterhaltsbeiträge an das Kantonsgericht zurückzuweisen.
6. Die vom Kantonsgericht festgelegte Verteilung der Gerichtskosten und Parteientschädigungen sowohl für das erstinstanzliche, als auch für das zweitinstanzliche Urteil seien aufzuheben und neu festzusetzen.
7. Eventualiter sei die Sache zwecks Neufestsetzung der Verteilung der Gerichtskosten und Parteientschädigungen sowohl für das erstinstanzliche, als auch für das zweitinstanzliche Urteil an die Vorinstanz zurückzuweisen.
8. Die ordentlichen und ausserordentlichen Kosten von Verfahren und Entscheid seien vollumfänglich den Beschwerdegegnern aufzuerlegen. Dem Beschwerdeführer sei eine angemessene Umtriebsentschädigung zuzusprechen."
Ausserdem ersucht A._ darum, der Beschwerde die aufschiebende Wirkung zu erteilen, sofern ihr diese nicht ohnehin zukomme.
Mit Eingaben vom 9. und vom 20. Februar 2017 haben das Kantonsgericht sowie B.B._ und C.B._ auf eine Stellungnahme zum Gesuch um aufschiebende Wirkung verzichtet. Mit Verfügung vom 22. Februar 2017 hat der Präsident der II. zivilrechtlichen Abteilung der Beschwerde für die verfallenen, nicht aber für die ab Januar 2017 fällig gewordenen oder fällig werdenden Unterhaltsbeiträge die aufschiebende Wirkung zuerkannt.
Am 3. Juli 2017 hat das Kantonsgericht auf eine Vernehmlassung verzichtet und am 20. Juli 2017 beantragen B.B._ und C.B._ die Abweisung der Beschwerde. Diese Eingabe wurde A._ zur Wahrung des rechtlichen Gehörs zur Kenntnis gebracht.
Im Übrigen hat das Bundesgericht die Akten des kantonalen Verfahrens eingeholt.

Erwägungen:
1.
1.1. Die Beschwerde richtet sich gegen einen letztinstanzlichen kantonalen Endentscheid (Art. 75 und 90 BGG) betreffend die Abänderung von Kindesunterhalt. Dabei handelt es sich um eine Zivilsache (<ref-law>) vermögensrechtlicher Natur (<ref-ruling> E. 2a; jüngst Urteil 5A_399/2016 vom 6. März 2017 E. 2). Der Streitwert übersteigt den Betrag von Fr. 30'000.-- (Art. 74 Abs. 1 Bst. b und Art. 51 Abs. 1 Bst. a und Abs. 4 BGG). Die Beschwerde in Zivilsachen ist damit das zutreffende Rechtsmittel. Der Beschwerdeführer ist sodann nach <ref-law> zur Beschwerde berechtigt. Auf die fristgerecht eingereichte Beschwerde (Art. 100 Abs. 1 und Art. 46 Abs. 1 Bst. c BGG) ist grundsätzlich einzutreten.
1.2. Mit der Beschwerde in Zivilsachen können Rechtsverletzungen gemäss Art. 95 f. BGG gerügt werden. Unter Vorbehalt der Verletzung verfassungsmässiger Rechte wendet das Bundesgericht das Recht von Amtes wegen an (<ref-law>) und prüft mit freier Kognition, ob der angefochtene Entscheid Recht verletzt. Es ist allerdings nicht gehalten, wie eine erstinstanzliche Behörde alle sich stellenden rechtlichen Fragen von sich aus zu untersuchen, wenn die beschwerdeführende Person diese nicht mehr thematisiert (<ref-ruling> E. 2.4; <ref-ruling> E. 2). Deshalb ist in der Beschwerde in gedrängter Form und in Auseinandersetzung mit den Erwägungen des angefochtenen Entscheids darzulegen, inwiefern der angefochtene Akt Recht verletzt (<ref-law>; <ref-ruling> E. 1.1).
Das Kantonsgericht hat im angefochtenen Urteil (Dispositivziffer 4) ein Gesuchsverfahren betreffend die Verpflichtung des Beschwerdeführers zur vorsorglichen Zahlung von monatlichem Unterhalt an seine Kinder abgeschrieben und die entsprechenden Kosten verlegt. Der Beschwerdeführer beantragt zwar auch diesbezüglich die Aufhebung des kantonalen Erkenntnisses. Den entsprechenden Antrag begründet er jedoch nicht, weshalb auf die Beschwerde insoweit nicht einzutreten ist.
1.3. Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (<ref-law>). Es kann deren Sachverhaltsfeststellungen nur berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig sind oder auf einer Rechtsverletzung nach <ref-law> beruhen (<ref-law>). Offensichtlich unrichtig bedeutet dabei willkürlich (<ref-ruling> E. 2.3 S. 266). Überdies muss die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein (<ref-law>).
2.
2.1. Der Beschwerdeführer rügt vorab die Verletzung des Anspruchs auf rechtliches Gehör (<ref-law>). Der Gehörsanspruch ist formeller Natur und seine Verletzung führt ungeachtet der materiellen Begründetheit der Beschwerde grundsätzlich zur Aufhebung des angefochtenen Entscheids. Diese Rüge ist daher vorweg zu prüfen (<ref-ruling> E. 2.8.1; <ref-ruling> E. 5.1).
2.2. Eine Gehörsverletzung erblickt der Beschwerdeführer vorab darin, dass das Kantonsgericht nicht begründet habe, weshalb die Kinderzulagen nicht von den festgesetzten Unterhaltsbeiträgen in Abzug gebracht worden seien (vgl. zur Begründungspflicht als Teil des rechtlichen Gehörs <ref-ruling> E. 6.2; <ref-ruling> E. 5.2).
Zu den Kinderzulagen hat sich die Vorinstanz im Zusammenhang mit dem Einkommen der Kindsmutter geäussert. Letztere erhalte insgesamt Fr. 550.-- unter diesem Titel. Dies sei im Abänderungsverfahren aber nicht von Bedeutung, da die obhutsberechtigte Mutter ihre Unterhaltsleistungen im Regelfall in der Form von Naturalleistungen erbringe und eine Verbesserung den Kindern zukommen solle. Weiter hielt das Kantonsgericht in anderem Zusammenhang fest, der Kindsvater hätte die Kinderzulagen ohnehin zusätzlich zum Unterhalt zu bezahlen, falls er solche beziehen würde. Die Vorinstanz hat damit mit hinreichender Klarheit ausgeführt, dass und weshalb die Kinderzulagen ihrer Ansicht nach zusätzlich zu den Unterhaltsbeiträgen geschuldet und vorliegend nicht weiter beachtlich seien. Ob diese Begründung überzeugt, ist eine Frage der (inhaltlichen) Begründetheit des angefochtenen Urteils (Urteil 5A_460/2016 vom 11. Januar 2017 E. 2.2). Eine Verletzung der Begründungspflicht kann aber nicht festgestellt werden.
2.3. Nach Ansicht des Beschwerdeführers hat die Vorinstanz den Anspruch auf rechtliches Gehör sodann dadurch verletzt, dass sie nicht auf sein Anerbieten eingegangen sei, den Beschwerdegegnern bis zum 12. Lebensjahr Fr. 1'300.-- und danach Fr. 1'500.-- an Unterhalt zu bezahlen.
Das Kantonsgericht hat ausführlich begründet, weshalb es den Beschwerdegegnern Unterhalt in der verfügten Höhe zugesprochen hat, was nicht bestritten wird. Damit hat es auch dargelegt, dass und aus welchen Gründen es die vom Beschwerdeführer vorgeschlagenen Unterhaltsbeiträge als zu niedrig angesehen hat. Weshalb es vor diesem Hintergrund hätte notwendig sein sollen, weiter auf die Vorbringen des Beschwerdeführers einzugehen, ist nicht ersichtlich. Eine Verletzung des Anspruchs auf rechtliches Gehör kann auch insoweit nicht festgestellt werden.
3.
3.1. In der Sache strittig ist die Unterhaltspflicht des Beschwerdeführers, der in London Wohnsitz hat, gegenüber den in der Schweiz ansässigen Beschwerdegegnern (vorne Bst. A.a). Die schweizerischen Gerichte sind zur Beurteilung dieser Streitsache zuständig (Art. 5 Abs. 2 Bst. a LugÜ [SR 0.275.12]). Die Vorinstanz hat für die Beurteilung der Unterhaltspflicht sodann zu Recht das schweizerische Recht zur Anwendung gebracht (Art. 1 Abs. 1 und Art. 83 Abs. 1 IRPG i.V.m. Art. 4 Abs. 1 des Haager Übereinkommens vom 2. Oktober 1973 über das auf die Unterhaltspflichten anzuwendende Recht [HUÜ; SR 0.211.213.01]).
Auf den 1. Januar 2017 ist eine Änderung der Bestimmungen zum Kindesunterhalt in Kraft getreten (vgl. AS 2015 4299, 4304). Das Bundesgericht entscheidet allerdings nach bisherigem Recht, wenn der angefochtene Entscheid vor dem Inkrattreten dieser Änderung ergangen ist (<ref-law>). Da der angefochtene Entscheid vom 22. Dezember 2016 datiert, gelangt vorliegend noch das alte Recht zur Anwendung.
3.2. Die Eltern haben für den Unterhalt des Kindes aufzukommen, inbegriffen die Kosten von Erziehung, Ausbildung und Kindesschutzmassnahmen (aArt. 276 Abs. 1 ZGB [in der Fassung vom 25. Juni 1976; AS 1977 237]). Der Unterhalt wird durch Pflege und Erziehung oder, wenn das Kind nicht unter der Obhut der Eltern steht, durch Geldzahlung geleistet (aArt. 276 Abs. 2 ZGB). Der Unterhaltsbeitrag soll den Bedürfnissen des Kindes sowie der Lebensstellung und Leistungsfähigkeit der Eltern entsprechen und ausserdem Vermögen und Einkünfte des Kindes sowie den Beitrag des nicht obhutsberechtigten Elternteils an der Betreuung des Kindes berücksichtigen (aArt. 285 Abs. 1 ZGB).
3.3. Bei erheblicher Veränderung der Verhältnisse (Bedürfnisse des Kindes, Leistungsfähigkeit der Eltern, Lebenskosten; vgl. <ref-law>) setzt das Gericht den Unterhaltsbeitrag auf Antrag eines Elternteils oder des Kindes neu fest oder hebt ihn auf (<ref-law>). Die Änderung setzt damit voraus, dass neue erhebliche und dauerhafte Tatsachen eintreten, welche eine Neuregelung des Unterhalts notwendig machen. Die Abänderungsklage dient jedoch nicht der Korrektur (Revision) eines allenfalls fehlerhaften Urteils (<ref-ruling> E. 4.1.1). Absehbare Veränderungen der massgeblichen Verhältnisse, die bei der Festsetzung des Unterhaltsbeitrags bereits berücksichtigt worden sind, bilden ebenfalls keinen Grund zur Anpassung (Urteil 5A_253/2016 vom 24. November 2016 E. 4.1 mit Hinweise auf <ref-ruling> E. 3.3.1). Liegt eine erhebliche und dauerhafte Änderung vor, führt dies nicht automatisch zu einer Neufestsetzung des Unterhaltsbeitrags. Eine solche ist nur vorzunehmen, wenn ansonsten mit Blick auf die ursprüngliche Regelung ein unzumutbares Ungleichgewicht zwischen den Eltern entsteht. Zur Beurteilung dieser Voraussetzung gilt es die Interessen der Kinder und jedes Elternteils gegeneinander abzuwägen. Sind diese Voraussetzungen erfüllt, hat das Gericht den Unterhalt neu festzulegen, nachdem es alle Berechnungsparameter aktualisiert hat (<ref-ruling> E. 4.1.1; Urteile 5A_253/2016 vom 24. November 2016 E. 4.1; 5A_199/2013 vom 30. April 2013 E. 4.2; betreffend nachehelicher Unterhalt vgl. <ref-ruling> E. 11.1.1).
Dem Sachgericht kommt bei der Unterhaltsfestsetzung ein weites Ermessen zu (<ref-law>; Urteile 5A_253/2016 vom 24. November 2016 E. 6.2; 5A_336/2015 vom 3. März 2016 E. 2; zum nachehelichen Unterhalt vgl. <ref-ruling> E. 4.4; <ref-ruling> E. 4). Das Bundesgericht übt bei der Überprüfung von Ermessensentscheiden Zurückhaltung. Es schreitet nur ein, wenn das kantonale Gericht von dem ihm zustehenden Ermessen falschen Gebrauch gemacht hat. Das ist namentlich der Fall, wenn es grundlos von in Rechtsprechung und Lehre anerkannten Grundsätzen abgewichen ist, wenn es Gesichtspunkte berücksichtigt hat, die für den Entscheid im Einzelfall keine Rolle hätten spielen dürfen, oder wenn es Umstände nicht in Betracht gezogen hat, die hätten beachtet werden müssen. Das Bundesgericht greift ausserdem in Ermessensentscheide ein, die sich im Ergebnis als offensichtlich unbillig, als in stossender Weise ungerecht erweisen (<ref-ruling> E. 3.2.5; <ref-ruling> E. 1).
3.4. Diese Grundsätze gelten auch für die Abänderung eines Unterhaltsvertrags, der durch die Kindesschutzbehörde genehmigt wurde, wobei die Anpassung ausgeschlossen werden kann (<ref-law>; Urteile 5A_253/2016 vom 24. November 2016 E. 4.2; 5A_513/2014 vom 1. Oktober 2015 E. 5.1).
4.
Die Parteien sind sich darin einig, dass aufgrund der seit dem Abschluss der Unterhaltsvereinbarung veränderten Verhältnisse, namentlich der veränderten beruflichen Situation des Beschwerdeführers, eine Anpassung der vereinbarten Unterhaltsleistungen zu erfolgen hat. Der Beschwerdeführer beantragt im bundesgerichtlichen Verfahren denn auch nicht die Aufhebung der Unterhaltspflicht, sondern eine Reduktion der vom Kantonsgericht festgesetzten Beiträge. Strittig ist freilich die Höhe des neu festzulegenden Unterhalts bzw. die einzelnen Berechnungsparameter (hinten E. 5 bis 10). Der Beschwerdeführer rügt ausserdem eine Verletzung der Offizialmaxime (hinten E. 11).
5.
5.1. Streitpunkt ist vorab die wirtschaftliche Leistungsfähigkeit des Beschwerdeführers. Diese ergibt sich aus der Gegenüberstellung von dessen Eigenbedarf, der auf der Basis des betreibungsrechtlichen Existenzminimums zu ermitteln ist (<ref-ruling> E. 4.2.1), und dem Nettoeinkommen. Auszugehen ist grundsätzlich vom Einkommen, dass der Beschwerdeführer tatsächlich erzielt (vgl. Urteil 5A_399/2016 vom 6. März 2017 E. 4.2). Soweit dieses Einkommen nicht ausreicht, um den ausgewiesenen Bedarf der Kinder zu decken, kann dem Beschwerdeführer ein hypothetisches Einkommen angerechnet werden, sofern es ihm möglich und zumutbar ist, dieses zu erzielen. Die Zumutbarkeit und die tatsächliche Erzielbarkeit müssen als Voraussetzungen kumulativ erfüllt sein: Damit ein Einkommen überhaupt oder ein höheres als das erzielte Einkommen angerechnet werden kann, genügt es nicht, dass dem Beschwerdeführer weitere Anstrengungen zugemutet werden können; vielmehr muss es auch effektiv möglich sein, aufgrund dieser Anstrengungen ein höheres Einkommen zu erzielen (vgl. zu dieser Frage Urteil 5A_297/2016 vom 2. Mai 2017 E. 3, zur Publikation vorgesehen). Mit Bezug auf das hypothetische Einkommen ist Rechtsfrage, welche Tätigkeit aufzunehmen als zumutbar erscheint. Tatfrage ist hingegen, ob die als zumutbar erkannte Tätigkeit möglich und das angenommene Einkommen effektiv realisierbar ist (<ref-ruling> E. 2.3; jüngst etwa Urteil 5A_187/2016 vom 30. Mai 2017 E. 2.2.4).
5.2. Das Obergericht hat dem Beschwerdeführer ein hypothetisches Einkommen angerechnet. Hierbei hat es erwogen, der Beschwerdeführer verfüge über eine gute Ausbildung und er habe jahrelang "auf einem ganz speziellen Bankensektor" gearbeitet. Ausserdem erfreue er sich bester Gesundheit. Mit Blick auf das durchschnittliche schweizerische Lohnniveau im Sektor "Finanzen und Versicherungen" sei es dem Beschwerdeführer möglich und zumutbar, ein monatliches Nettoeinkommen von Fr. 12'200.-- zu erwirtschaften.
Der Beschwerdeführer rügt, es dürfte ihm kein hypothetisches Einkommen auf der Basis des Lohnniveaus in der Schweiz angerechnet werden. Er sei nie in siner Heimat erwerbstätig gewesen. Vielmehr habe er immer in London gearbeitet, wo er seit 2005 auch seinen Lebensmittelpunkt habe. Heute sei er Mitinhaber einer eigenen Unternehmung und seit 2008 wohne er mit seiner langjährigen Lebenspartnerin zusammen. Ebenso befinde sich sein soziales Netzwerk in London. Ein Wohnortswechsel zur Erzielung eines höheren Einkommens sei ihm nicht zumutbar. Ihm könne auch nicht vorgeworfen werden, mit dem Umzug nach London auf ein (höheres) Einkommen in der Schweiz verzichtet zu haben. Es dürfe ihm daher einzig ein hypothetisches Einkommen auf der Basis des Lohnniveaus in London angerechnet werden, welches wesentlich tiefer als das Lohnniveau in der Schweiz sei.
5.3. Nicht bestritten ist, dass dem Beschwerdeführer grundsätzlich ein hypothetisches Einkommen angerechnet werden kann. Hierauf ist daher nicht weiter einzugehen (<ref-ruling> E. 2). Zu prüfen ist aber, auf welcher Grundlage dieses Einkommen zu berechnen ist. Das Kantonsgericht hat dem in England wohnhaften Beschwerdeführer ein hypothetisches Einkommen auf der Grundlage des Lohnniveaus in der Schweiz angerechnet. Dazu ist Folgendes festzuhalten:
5.3.1. Im Verhältnis zu unmündigen Kindern sind besonders hohe Anforderungen an die Ausnützung der Erwerbskraft zu stellen, besonders in engen wirtschaftlichen Verhältnissen (<ref-ruling> E. 3.1; jüngst Urteil 5A_806/2016 vom 22. Februar 2017 E. 4.2). Die Eltern müssen sich daher in beruflicher und unter Umständen auch örtlicher Hinsicht so ausrichten, dass sie ihre Arbeitskapazität maximal ausschöpfen können. Nach der Rechtsprechung kann insbesondere ein (an sich zulässiger) Wegzug ins Ausland unbeachtlich bleiben, wenn eine weitere Arbeitstätigkeit in der Schweiz zumutbar wäre. Dem unterhaltspflichtigen Elternteil steht es insofern nicht frei, nach Belieben ganz oder teilweise auf ein bei zumutbarer Anstrengung erzielbares Einkommen zu verzichten, um sich andere persönliche oder berufliche Wünsche zu erfüllen. Dass solche Wünsche der Unterhaltspflicht hintanzustehen haben, ergibt sich zwangsläufig aus dem Wesen des hypothetischen Einkommens. Dessen Anrechnung bedeutet auch keine Verletzung verfassungsmässiger Rechte, sofern die Erzielung eines entsprechenden Einkommens - nebst der tatsächlichen Möglichkeit, die sich anhand von Faktoren wie Alter, Gesundheit, Ausbildung, Berufserfahrung, Arbeitsmarktlage, Erziehungspflichten, usw. bestimmt - zumutbar im vorgenannten Sinne ist (zum Ganzen Urteil 5A_513/2012 vom 17. Oktober 2012 E. 4, in: FamPra.ch 2013 S. 236; vgl. auch Urteile 5A_280/2016 vom 18. November 2016 E. 4.4.1; 5A_196/2013 vom 25. September 2013 E. 5; 5A_587/2013 vom 26. November 2013 E. 6.6.1; 5A_636/2013 vom 21. Februar 2014 E. 3.4).
5.3.2. In tatsächlicher Hinsicht hat das Kantonsgericht festgestellt und ist nicht bestritten, dass der Beschwerdeführer nach Studienabschluss im Jahre 2005 nach London zog und dort bei der Bank E._ AG als "Executive Director (Trader) " im Bereich "Investmentbanking (Emerging Markets) " arbeitete. Seit Frühjahr 2008 lebt er zusammen mit seiner langjährigen Lebenspartnerin. Im April 2013 hat die Arbeitgeberin das Arbeitsverhältnis mit dem Beschwerdeführer aufgelöst. Nach den Feststellungen des Kantonsgerichts stand die Kündigung im Zusammenhang mit der "massenhaften" Entlassung von Angestellten von Bankinstituten aufgrund von Strukturproblemen bzw. Strukturänderungen weltweit. Dem Beschwerdeführer ist es nach der zwischenzeitlich erfolgten Konsolidierung der Bankenbranche aufgrund seiner Spezialisierung kaum mehr möglich, eine Anstellung in seinem früheren Tätigkeitsbereich zu finden. Der Beschwerdeführer war nach seiner Entlassung zwischenzeitlich arbeitslos. Im Oktober 2013 gründete er zusammen mit seiner Lebenspartnerin eine eigene Gesellschaft, für welche er nunmehr tätig ist.
5.3.3. Der Beschwerdeführer arbeitet nach dem Ausgeführten in Ausübung der ihm zustehenden Freizügigkeitsrechte (vgl. Art. 4 und Art. 2 Anhang I FZA [SR 0.142.112.681]) seit nunmehr über zehn Jahren und während seines gesamten Erwerbslebens im Vereinigten Königreich. Wie er zu Recht vorbringt, ist seine Situation damit nicht mit derjenigen einer unterhaltspflichtigen Person vergleichbar, die ihr Einkommen durch den Wegzug aus der Schweiz verringert hat (vgl. dazu etwa Urteil 5A_662/2013 vom 24. Juni 2014 E. 3.2 und 3.3, in: FamPra.ch 2014 S. 1110). Der Aufenthalt des Beschwerdeführers in London entspricht vielmehr dessen seit Jahren gelebtem Lebensplan; dort befindet sich denn auch sein sozialer Lebensmittelpunkt (soziales Umfeld, Lebenspartnerin). Die Lebensumstände des Beschwerdeführers in London sind verfestigt. Demgegenüber sind mit Ausnahme der Kinder, von denen er getrennt lebt und auch weiterhin leben wird, und allfälligen (weiteren) Familienmitgliedern keine stärkeren Bindungen zur Schweiz dargelegt oder erkennbar. Unter diesen Umständen ist es auch mit Blick auf das Ermessen der Vorinstanz nicht haltbar, wenn sie es als dem Beschwerdeführer zumutbar angesehen hat, sein derzeitiges Leben aufzugeben, um in der Schweiz ein höheres Einkommen zu erzielen. Abgesehen davon hat die Vorinstanz auch in keiner Weise dargelegt, dass es dem Beschwerdeführer in tatsächlicher Hinsicht möglich wäre, nach einer derart langen Abwesenheit und mit Blick auf den angesprochenen Strukturwandel im Bankbereich, sich in den hiesigen Arbeitsmarkt zu integrieren. Der blosse Hinweis auf statistische Werte und die gute Ausbildung des Beschwerdeführers reicht in einem Fall wie dem vorliegenden nicht aus.
5.4. Die Vorinstanz hat dem Beschwerdeführer damit zu Unrecht ein hypothetisches Einkommen angerechnet, wie er es in der Schweiz erzielen könnte. Anzurechnen ist dem Beschwerdeführer vielmehr ein Einkommen, welches zu erzielen ihm in London zumutbar und möglich ist. Die Vorinstanz hat sich nicht dazu geäussert, welches Einkommen der Beschwerdeführer an seinem Wohnort erwirtschaften kann und muss. Es ist nicht Sache des Bundesgerichts, sich gegebenenfalls unter Vervollständigung des Sachverhalts hiermit als erste und einzige Instanz auseinanderzusetzen. Die Sache ist daher zur erneuten Festsetzung der Unterhaltsbeiträge an das Bezirksgericht zurückzuweisen, welches sich zur hier interessierenden Frage ebenfalls nicht geäussert hat (<ref-law>; Urteil vom 11. Juni 2014, E. 3d S. 15 [Akten Kantonsgericht, Band III, pag. 568]). Unter diesen Umständen ist auf die weiteren Rügen des Beschwerdeführers nachfolgend nur noch insoweit einzugehen, als eine Beurteilung losgelöst von der Frage nach der Höhe des (hypothetischen) Einkommens des Beschwerdeführers möglich ist.
6.
6.1. Umstritten ist, ab wann dem Beschwerdeführer ein hypothetisches Einkommen angerechnet werden kann. Seine Anstellung bei der Bank E._ AG verlor er im April 2013 (vorne E. 5.3.2). Das Kantonsgericht rechnete ihm ab 6. Oktober 2013 ein hypothetisches Einkommen an. Der Beschwerdeführer ist demgegenüber der Ansicht, ein solches Einkommen könne ihm erst ab Oktober 2014 angerechnet werden. Es sei ihm eine angemessene Übergangsfrist zur Wiederaufnahme einer Arbeit einzuräumen.
6.2. Einer Person, die vom Gericht zur Aufnahme oder Ausweitung einer Erwerbstätigkeit verpflichtet und von der durch die Anrechnung eines hypothetischen Einkommens eine Umstellung ihrer Lebensverhältnisse verlangt wird, ist hinreichend Zeit zu lassen, die rechtlichen Vorgaben in die Tat umzusetzen. Die Dauer der Übergangsfrist beurteilt sich nach den Umständen des Einzelfalls (Urteil 5A_224/2016 vom 13. Juni 2016 E. 3.3 mit Hinweis auf <ref-ruling> E. 2.2; <ref-ruling> E. 5). Ging die betroffene Person schon bis anhin einer vollzeitlichen Erwerbstätigkeit nach und hat sie ihre vorbestehende Unterhaltspflicht erfüllt, bedarf sie in der Regel allerdings keiner Übergangs- oder Anpassungsfrist, um eine neue Erwerbstätigkeit aufzunehmen oder die bestehende auszuweiten. Diesfalls ist eine Umstellung der Lebensverhältnisse nicht notwendig. Die betroffene Person muss vielmehr alles in ihrer Macht Stehende tun, um ihrer Unterhaltspflicht nachzukommen. Dies gilt auch im Falle des unfreiwilligen Stellenwechsels (vgl. Urteile 5A_782/2016 vom 31. Mai 2017 E. 5.3; 5A_224/2016 vom 13. Juni 2016 E. 3.3; 5A_59/2016 vom 1. Juni 2016 E. 3.2, in: FamPra.ch 2016 S. 1059).
6.3. Der zuvor voll erwerbstätige Beschwerdeführer macht geltend, er benötige ein bis zwei Jahre, um sich wieder in den Erwerbsalltag zu integrieren. Er legt indessen nicht dar, weshalb ihm die Wiederaufnahme einer Erwerbstätigkeit nach dem 6. Oktober 2013 - ab diesem Datum rechnete die Vorinstanz ihm ein hypothetisches Einkommen an - nicht möglich gewesen sein sollte, zumal eine Umstellung seiner Lebensumstände hierzu nicht notwendig war. Der pauschale Hinweis auf die schwierige Arbeitsmarktlage reicht hierzu nicht aus. Ebenfalls nicht ausreichend ist es, wenn der Beschwerdeführer auf Eingaben vor den kantonalen Instanzen verweist (<ref-law>; <ref-ruling> E. 1d; Urteil 5A_442/2017 vom 21. Juli 2017 E. 1.2.1). Die Beschwerde erweist sich insoweit als unbegründet.
7.
7.1. Strittig ist weiter die Höhe des vom Beschwerdeführer während seiner Arbeitslosigkeit im Jahr 2013 erzielten Einkommens. Diese tatsächliche Frage prüft das Bundesgericht nicht mit voller Kognition (vorne E. 1.3).
Die Vorinstanz stellte fest, der Beschwerdeführer habe zwischen dem 6. April und dem 6. Oktober 2013 ein tatsächliches Einkommen von Fr. 166'540.-- erzielt. Der Beschwerdeführer rügt, die Arbeitslosigkeit habe nicht bis zum 6. Oktober 2013, Datum der Eintragung der von ihm gegründeten Gesellschaft im Handelsregister, sondern bis zur Aufnahme der Geschäftstätigkeit durch die Gesellschaft im Oktober 2014 gedauert. Der Beschwerdeführer arbeitet seit dem Ende der Arbeitslosigkeit unbestritten für seine eigene Gesellschaft. Unter diesen Umständen ist es nicht geradezu unhaltbar, dass die Vorinstanz zur Bestimmung der Dauer der Arbeitslosigkeit auf die Eintragung dieser Gesellschaft im Handelsregister abgestellt hat.
7.2. Zur Höhe des Einkommens des Beschwerdeführers hielt die Vorinstanz fest: "Mithin ist von einem Einkommen (...) von 115'653.-- Pfund (1'864.-- Pfund Arbeitslosengeld, 55'240.-- Pfund Entlassungsentschädigung, 58'549.50 Pfund [1/2 Transfer der gevesteten Aktien]) auszugehen, was einem "Einkommen" von Fr. 166'540.-- entspricht, mithin monatlich Fr. 27'756.-- ausmacht".
7.2.1. Nicht strittig ist die Höhe der vom Beschwerdeführer bezogenen Arbeitslosenentschädigung. Nicht weiter einzugehen ist sodann auf die Kritik des Beschwerdeführers, er habe eine wesentlich tiefere Auszahlung für "Resturlaub" erhalten, als die Vorinstanz dies angenommen habe. Das Kantonsgericht hat die entsprechende Entschädigung zwar erwähnt, nicht aber als Einkommen angerechnet. Sie bleibt daher unerheblich.
7.2.2. Der Beschwerdeführer rügt sodann die Anrechnung der Aktien als willkürlich. Diese seien im März 2013 und damit vor der Arbeitslosigkeit und vor Ende des englischen Steuerjahres "gevested" worden. Bei ihnen handle es sich ausserdem um variable Vergütungen für die Jahre 2009-2011 und damit nicht um Einkommen der Jahre 2012 und 2013.
Vorab ist nicht zu beanstanden, dass die Vorinstanz in ihrer Berechnung (anteilsmässig) auf die im Jahr 2013 angefallenen Entschädigungen abgestellt hat. Vorliegend gelangt schweizerisches Recht zur Anwendung (vorne E. 3.1). Somit ist nicht massgebend, wann das englische Steuerjahr endet. Unter einer Vestingperiode versteht man sodann den Zeitraum, während dem ein Mitarbeiter die ihm übertragene Aktie "verdienen" muss. Werden bestimmte Leistungsziele nicht erreicht oder verlässt der Mitarbeiter das Unternehmen, kann er seinen Titel verlieren. Das Ende dieses Zeitraums wird als "Vesting" bezeichnet. Bis zum Ablauf der Vestingperiode ist der Rechtserwerb aufschiebend bedingt (Urteile 2C_236/2010 vom 14. Oktober 2010 E. 2.3, in: StE 2011 B 22.2 Nr. 24; 2C_138/2010 und 2C_139/2010 vom 2. Juni 2010 E. 2.2, in: StE 2010 B 22.2 Nr. 21). Entsprechend werden die Aktien erst mit dem "Vesting" erworben und steuerbar (Urteil 2C_397/2015 vom 26. Januar 2016 E. 3; vgl. auch <ref-law>; 7d StHG). Vorliegend wurden die fraglichen Aktien unbestritten im Jahr 2013 gevested. Die Vorinstanz konnte den entsprechenden Vermögenszufluss damit in diesem Jahr anrechnen ohne in Willkür zu verfallen.
7.2.3. Schliesslich rügt der Beschwerdeführer es als willkürlich, die Entlassungsentschädigung über £ 55'240.-- nur auf den Zeitraum der Arbeitslosigkeit anzurechnen.
Unbestritten erfolgte die dem Beschwerdeführer als Abgangsentschädigung ausgerichtete Zahlung im Jahr 2013. Das Kantonsgericht legt nicht dar, weshalb die Entschädigung allein für die Zeit der Arbeitslosigkeit angerechnet werde sollte. Dies wäre nur gerechtfertigt, falls die Zahlung zur Überbrückung einer der Kündigung nachfolgenden Arbeitslosigkeit erfolgte. Ob dem so ist, lässt sich dem angefochtenen Urteil nicht entnehmen. Ohenhin wäre zu beachten, dass im Zeitpunkt der Auszahlung nicht vorhersehbar war, wie lange eine allfällige Arbeitslosigkeit andauern würde. Das Vorgehen der Vorinstanz ist damit offensichtlich unrichtig. Vielmehr hätte sie die im Jahre 2013 angefallene Leistung der Arbeitgeberin als Einkommen dieses Jahres anrechnen müssen. Der Einwand des Beschwerdeführers, bei der Entschädigung habe es sich nicht um Einkommen, sondern um eine Zahlung an das Kapital bzw. Vermögen gehandelt, ändert hieran nichts. Auf die halbjährige Periode der Arbeitslosigkeit entfällt damit einzig die Hälfte der Abgangsentschädigung, mithin £ 27'620.--.
7.2.4. Wird der ansonsten nicht zu beanstandenden Berechnung der Vorinstanz nur die hälftige Abgangsentschädigung zugrunde gelegt, ergibt dies ein monatliches Einkommen des Beschwerdeführers zwischen 6. April und 6. Oktober 2013 von Fr. 21'127.90. Die Vorinstanz wird bei der Neuberechnung der Unterhaltsleistung diesen Betrag zu berücksichtigen haben.
8.
8.1. Umstritten ist weiter die Leistungsfähigkeit der Kindsmutter. Die Vorinstanz hat dieser ein hypothetisches Einkommen in der Höhe von monatlich Fr. 2'500.-- (exkl. der Kinderzulagen) angerechnet. Gleichzeitig hat sie festgehalten, die Entwicklung der finanziellen Verhältnisse des obhutsberechtigten Elternteils im Abänderungsverfahren sei nicht von Bedeutung, da dieses seine Unterhaltsleistung in der Regel durch Naturalleistungen erbringe und eine Verbesserung seiner finanziellen Verhältnisse den Kindern zugute kommen solle. Der Beschwerdeführer anerkennt den Standpunkt der Vorinstanz zwar im Grundsatz. Es sei indessen davon abzuweichen und die finanzielle Situation der Kindsmutter zu berücksichtigen, weil die Kinder ganztägig ausser Hauses seien und daher weniger Betreuungsaufwand anfalle und weil die neue Arbeitstätigkeit der Mutter zu einer signifikanten Veränderung der Einkommenssituation der Eltern geführt habe. Das Kantonsgericht habe zu Unrecht nicht effektiv abgeklärt, welches Einkommen die Kindsmutter erziele oder erzielen könne.
8.2. Für den Unterhalt des Kindes haben beide Elternteile aufzukommen (aArt. 276 Abs. 1 ZGB; vgl. <ref-ruling> E. 3c; Urteil 5C.53/2005 vom 31. Mai 2005 E. 4.1, in: FamPra.ch 2005 S. 969). Er wird durch Pflege und Erziehung, oder, wenn das Kind nicht unter der Obhut der Eltern steht, durch Geldzahlung geleistet (vgl. aArt. 276 Abs. 2 ZGB; vorne E. 3.2). Der obhutsberechtigte Elternteil leistet dabei vielfach unmittelbaren Unterhalt durch Pflege und Erziehung, der nicht obhutsberechtigte mittelbaren Geldunterhalt (vgl. Urteile 5A_488/2016 vom 4. April 2017 E. 2.2; 5A_1017/2014 vom 12. Mai 2015 E. 4.4, in: FamPra.ch 2015 S. 680; 5A_705/2013 vom 29. Juli 2014 E. 3.2). Dies schliesst allerdings nicht aus, das unter Umständen auch der obhutsberechtigte Elternteil einen Teil der Unterhaltsleistung durch Geld erbringt (vgl. dazu HAUSHEER/SPYCHER, in: Handbuch des Unterhaltsrechts, 2. Aufl. 2010, Rz. 06.162 und 06.165 ff.). In den Unterhaltsverträgen vom 1. Februar 2005 sind die Beteiligten davon ausgegangen, dass die nicht erwerbstätige Mutter sich um die Kinder kümmert. Eine Wiederaufnahme der Erwerbstätigkeit wird einzig als Absicht für die Zukunft erwähnt (vgl. Akten Kantonsgericht, Band I, pag. 20 und 23). Auch wenn die Kindsmutter nach den Feststellungen des Kantonsgerichts jedenfalls ab April 2012 wieder einer Erwerbstätigkeit nachging, hat sie ihren Unterhalt in der Folge unbestritten vorab durch Pflege und Erziehung erbracht.
8.3. Das Kantonsgericht hält richtig fest, dass in dieser Situation eine Verbesserung der finanziellen Verhältnisse des obhutsberechtigten Elternteils für das Abänderungsverfahren grundsätzlich ohne Bedeutung bleibt. Es sind in erster Linie die Kinder, welche von dieser Verbesserung profitieren sollen. Nichtsdestotrotz muss die Unterhaltslast unter den beiden Elternteilen ausgeglichen sein und soll insbesondere für den (geld-) unterhaltspflichtigen Teil nicht zu einer besonders schweren Last werden, wenn er selbst in bescheidenen Verhältnissen lebt (vorne E. 3.3; <ref-ruling> E. 2.2.2; <ref-ruling> E. 2c; Urteil 5A_260/2016 vom 14. Oktober 2016 E. 2.3; HAUSHEER/SPYCHER, a.a.O., Rz. 09.48 f.). Der Beschwerdeführer rügt zwar, es komme aufgrund seiner neuen beruflichen Situation und der "neuen Arbeitstätigkeit" der Kindmutter zu einer "signifikanten Veränderung der Einkommensverhältnisse der Eltern". Er bringt aber nicht hinreichend substanziiert vor (<ref-law>), dass hierdurch die Unterhaltslast unter den beiden Elternteilen in ein untragbares Ungleichgewicht geraten würde. Der Beschwerdeführer macht sodann in pauschaler Weise geltend, die Kinder seien ganztägig ausser Haus und die Kindsmutter erbringe entsprechend weniger Naturalunterhalt. Soweit dieses Vorbringen überhaupt zu hören ist (<ref-law>), ist darauf zu verweisen, dass der obhutsberechtigte Elternteil, der seinen Unterhalt nicht durch Pflege und Erziehung erbringt und die Kinder stattdessen Dritten zur Betreuung überlässt, für die daraus entstandenen Kosten aufkommen muss (Urteil 5A_336/2015 vom 3. März 2016 E. 4.3.1, in: FamPra.ch 2016 S. 506). Allfällige entsprechende Kosten wären also durch die Kindsmutter zu tragen und würden deren Leistungsfähigkeit wiederum beschränken.
8.4. Zusammenfassend rechtfertigt sich eine Reduktion des Unterhaltsbeitrags des Beschwerdeführers aufgrund einer Veränderung des Einkommens der Kindsmutter nach dem Ausgeführten nicht. Damit brauchte das Kantonsgericht auch keine weitere Abklärungen zu diesem Einkommen zu treffen.
9.
9.1. Strittig ist weiter der den Beschwerdegegnern angerechnete Bedarf. Das Gesetz sieht keine Methode zur Bemessung des Kindesunterhalts vor. Sind die Verhältnisse gut, sollen der Kindesunterhalt und der Bedarf des Kindes auf Grund der massgeblichen Lebenshaltung des Unterhaltspflichtigen konkret ermittelt werden. Die Berechnung der "tatsächlich gelebten Lebenshaltung" bzw. die konkrete Bedarfsermittlung kommt freilich nicht ohne gewisse Pauschalisierungen aus, sodass das Abstellen auf vorgegebene Bedarfszahlen unumgänglich und auch ohne weiteres zulässig ist, soweit die erforderlichen Anpassungen vorgenommen werden. Die Festsetzung des Unterhaltsbeitrags bleibt ein Ermessensentscheid, bei dem alle bedeutsamen Umstände berücksichtigt werden müssen (Urteil 5A_142/2013 vom 8. August 2013 E. 3.1).
9.2. Das Kantonsgericht ging bei der Bedarfsbemessung von den "Empfehlungen zur Bemessungen von Unterhaltsbeiträgen für Kinder" des Amtes für Jugend und Berufsberatung des Kantons Zürich (nachfolgend: Zürcher Tabellen) aus, was der Beschwerdeführer nicht beanstandet. Seiner Ansicht nach darf über den so berechneten Bedarf hinaus indessen nicht noch ein monatlicher Zuschlag von je Fr. 350.-- für Hobbykosten angerechnet werden. Das Kantonsgericht hielt diesbezüglich fest, die Erstinstanz habe einen entsprechenden Zuschlag gewährt und so einen Unterhaltsbeitrag von Fr. 1'680.-- pro Monat bis zum 12. Lebensjahr der Kinder errechnet. Ein solcher Zuschlag rechtfertige sich nicht, da in den Zürcher Tabellen unter der Rubrik "weitere Kosten" die Kosten für Verkehrsausgaben, Sport inkl. Sportbekleidung und für Bildung, Kultur und Erholung bereits aufgenommen seien. Zudem erscheine ein derart ausgeprägtes Programm für Sport und Bildung, wie die Beschwerdegegner dies geltend machten, nicht notwendig. In der Folge beliess das Kantonsgericht den Unterhalt für den Zeitraum von 6. April bis 5. Oktober 2013 freilich bei monatlich Fr. 1'680.--, und zwar aufgrund der vom Beschwerdeführer in dieser Zeit erzielten hohen Einnahmen und des beträchtlichen Vermögens.
Anders als der Beschwerdeführer meint, hat das Kantonsgericht den Unterhaltsbeitrag damit nicht in doppelter Berücksichtigung der "Hobbykosten" gewährt, sondern aufgrund seines hohen Einkommens in diesem Zeitraum (vgl. dazu vorne E. 7) und der nicht bestrittenen Vermögensverhältnisse. Da in die Bemessung des Unterhalts auch die Leistungsfähigkeit der Eltern einzubeziehen ist (aArt. 285 Abs. 1 ZGB), ist dies grundsätzlich nicht zu beanstanden. Allerdings hat die Vorinstanz das Einkommen in diesem Zeitraum willkürlich ermittelt (vorne E. 7). Die Vorinstanz muss daher erneut prüfen, ob für Hobbykosten auch dann noch ein Betrag von Fr. 350.-- eingesetzt werden darf, wenn sie das Einkommen des Beschwerdeführers für den betroffenen Zeitraum korrekt berücksichtigt.
9.3. Hinsichtlich des ab dem 1. Januar 2014 bis zum 12. Lebensjahr und ab dem 13. Lebensjahr der Kinder geschuldeten Unterhalts verzichtete das Kantonsgericht auf eine Anpassung des Bedarfspostens der "weiteren Kosten" an die Verhältnisse im Kanton Wallis und erhöhte es diesen Betrag um 18 % aufgrund des hohen (hypothetischen) Einkommens des Beschwerdeführers sowie der "erhöhten ausserschulischen Tätigkeiten der Kinder". Der Beschwerdeführer rügt dieses Vorgehen als rechtswidrig, da tatsächlich keine erhöhten "Hobbykosten" vorhanden seien und ein entsprechender Zuschlag nicht gerechtfertigt sei.
9.3.1. Wie dargelegt ist das Abstellen auf vorgegebene Bedarfzahlen, wie sie in den Zürcher Tabellen enthalten sind, ohne weiteres zulässig, soweit die notwendigen Anpassungen vorgenommen werden (E. 9.1 hiervor). Die Zürcher Tabellen enthalten dabei gesamtschweizerische Durchschnittswerte und es soll eine Anpassung vorgenommen werden, wenn etwa die Lebenshaltungskosten am Wohnort des Kindes tiefer sind. Unzulässig ist allerdings eine pauschale Kürzung ohne Rücksicht auf die tatsächlichen Verhältnisse (vgl. Urteile 5A_61/2015 vom 20. Mai 2015 E. 3.2.1.1; 5A_797/2012 vom 18. März 2013 E. 5.2; 5A_100/2012 vom 30. August 2012 E. 6.2; 5A_690/2010 vom 21. April 2011 E. 2.1 und 2.3). Was den hier strittigen Bedarfsposten der "weiteren Kosten" betrifft, so hat das Kantonsgericht in einem früheren Verfahren festgehalten, die konkreten Verhältnisse im Kanton Wallis erlaubten grundsätzlich eine Reduktion von 15 % gegenüber den Zürcher Tabellen (Urteil vom 9. November 2011, in: ZWR 2012 S. 149 E. 2c/aa S. 154). Zur Berücksichtigung besonders guter finanzieller Verhältnisse ist es sodann zulässig, einen Aufschlag auf die in den Tabellen enthaltenen Werte vorzunehmen (Urteil 5A_751/2016 vom 6. April 2017 E. 3.3.1).
9.3.2. Das Kantonsgericht begründet sein Vorgehen einerseits mit den erhöhten ausserschulischen Tätigkeiten der Beschwerdegegner. Wie in E. 9.2 hiervor dargelegt, führte die Vorinstanz andernorts indessen selbst aus, weshalb ein derart ausgeprägtes Programm für Sport und Bildung, wie die Beschwerdegegner dies geltend machen, nicht notwendig erscheine. Soweit das Kantonsgericht unter Hinweis auf eben diese Aktivitäten der Beschwerdegegner nunmehr auf die Anpassung der Werte gemäss Zürcher Tabelle an die tatsächlichen Verhältnisse im Kanton Wallis verzichtet und gar einen Zuschlag von 18 % auf diese Werte gewährt, dies ist widersprüchlich und damit willkürlich (vgl. Urteil 9C_873/2014 vom 25. Februar 2015 E. 2.3). Aus diesen Grund lässt sich die vom Kantonsgericht getroffene Lösung nicht rechtfertigen.
9.3.3. Sodann verweist das Kantonsgericht auf die Höhe des dem Beschwerdeführer anrechenbaren (hypothetischen) Einkommens. Dieses Einkommen wird neu zu berechnen sein (vorne E. 5). Auf die Frage, ob sich die Berechnung des Bedarfsposten der "weiteren Kosten" durch die Vorinstanz aufgrund des Einkommens des Beschwerdeführers rechtfertigt, ist daher an dieser Stelle nicht weiter einzugehen.
9.4. Die Beschwerdegegner wohnen gemäss den unbestrittenen Feststellungen der Vorinstanz derzeit mit der Kindsmutter in einer 5 1/2-Zimmer Wohnung in W._, die im Eigentum des Vaters der Kindsmutter steht. Der Mietzins beträgt inkl. Nebenkosten Fr. 1'500.--. Von Frühjahr bis Mitte Dezember 2013 hat der damalige Freund der Kindsmutter mit der Familie zusammen gewohnt und einen Viertel der Wohnungsmiete übernommen. Ausgehend hiervon berechnete das Kantonsgericht den von den Beschwerdegegnern zu übernehmenden Anteil an den Wohnkosten, wobei es diesen für die Periode vom 6. Oktober 2013 bis Ende 2014 wegen des Zusammenlebens mit dem Freund der Kindsmutter reduzierte.
9.4.1. Der Bedarf der Beschwerdegegner ist grundsätzlich konkret zu ermitteln (E. 9.1 hiervor). Es ist damit nicht zu beanstanden, dass die Vorinstanz von den tatsächlichen Wohnkosten ausgegangen ist und den Beschwerdegegnern je einen Anteil an diesen angerechnet hat. Soweit der Beschwerdeführer demgegenüber ohne Berücksichtigung der effektiven Kosten auf die in den Zürcher Tabellen enthaltenen Durchschnittswerte (inkl. eines pauschalen Abzuges für den Kanton Wallis) abstellen möchte, überzeugt dies nicht.
9.4.2. Weil die Familienwohnung im Eigentum des Vaters der Kindsmutter steht, bezweifelt der Beschwerdeführer, dass die effektive Wohnungsmiete Fr. 1'500.-- beträgt. Dies habe er bereits vor der Vorinstanz vorgebracht, welche indessen hierauf nicht eingegangen sei. Der Beschwerdeführer hat diese Rüge in der Berufungsantwort vom 7. November 2014 (S. 9) sowie im "Mitteilungsrechtbot" vom 6. Januar 2015 (S. 3) erhoben (vgl. Anhang II zur Beschwerde). Im angefochtenen Urteil geht das Kantonsgericht auf diese Problematik ohne Begründung nicht ein. Vielmehr nimmt es den in seiner nominalen Höhe unbestrittenen Mietzins in die Bedarfsberechnung auf. Hierin ist ein Verletzung des Anspruchs auf rechtliches Gehör zu sehen, der die Vorinstanz dazu verpflichtet, die Parteivorbringen tatsächlich zu hören, zu prüfen und in der Entscheidfindung zu berücksichtigen (statt vieler <ref-ruling> E. 2.1). Das Kantonsgericht wird daher bei der Neufestsetzung des Unterhalts auf das entsprechende Vorbringen des Beschwerdeführers einzugehen haben.
9.4.3. Der Beschwerdeführer rügt weiter, eine Wohnung von 5 1/2 Zimmern sei für eine alleinstehende Mutter mit zwei Kindern zu gross und die (nominalen) Mietkosten von Fr. 1'500.-- im Monat seien entsprechend überhöht. Der Beschwerdeführer macht nicht geltend, diesen Einwand bereits im vorinstanzlichen Verfahren vorgebracht zu haben. Solches ist auch nicht ersichtlich. Auf das entsprechende Vorbringen ist mangels Ausschöpfung des kantonalen Instanzenzugs daher nicht einzutreten (vgl. <ref-ruling> E. 4.4.5; <ref-ruling> E. 2). Ebenfalls nichts für sich abzuleiten vermag der Beschwerdeführer aus der Rüge, das Kantonsgericht nehme widerrechtlich auf den Wohnkosten einen Aufschlag von 18 % vor. Wie gesehen geht das Kantonsgericht grundsätzlich von den effektiven Wohnkosten aus. Den fraglichen Zuschlag gewährte es den Beschwerdegegnern nicht bei den Wohnkosten, sondern den "weiteren Kosten" (vgl. dazu E. 9.3 hiervor).
9.4.4. Zuletzt rügt der Beschwerdeführer, das Kantonsgericht sei zwar davon ausgegangen, der Freund der Kindsmutter habe bereits ab Frühjahr 2013 bei der Familie gewohnt. Die daraus folgende Reduktion bei den Mietkosten habe die Vorinstanz indessen erst ab Oktober 2013 gewährt, was nicht haltbar sei. Dies trifft zu. Obgleich die Vorinstanz ab Frühjahr 2013 von verringerten Mietkosten ausging, hat es diesem Umstand erst ab dem 6. Oktober 2013 Rechnung getragen. Nachdem das Kantonsgericht bei der Berechnung der Wohnkosten richtigerweise von den effektiven Verhältnissen ausging, liegt hierin eine fehlerhafte Ermessensausübung. Die Beschwerde erweist sich insoweit als begründet und das Kantonsgericht wird dem bei der Neuberechnung des Unterhalts Rechnung zu tragen haben.
9.5. Soweit der Beschwerdeführer zuletzt in allgemeiner und pauschaler Art und Weise vorbringt, der (Bar) Bedarf der Beschwerdegegner insgesamt sei nicht genügend nachgewiesen, erfüllt er die an die Begründung der Beschwerde zu stellenden Anforderungen (vorne E. 1.2) nicht. Hierauf ist nicht weiter einzugehen.
10.
10.1. Umstritten ist sodann die Behandlung der Kinderzulagen, die von der Kindsmutter bezogen werden. Das Kantonsgericht hielt insoweit fest, deren genaue Höhe sei unerheblich, da sie zusätzlich zur Unterhaltsleistung des Beschwerdeführers ausbezahlt würden. Es rechnete diese Zulagen beim Einkommen der Kindsmutter an, welchem es für die Berechnung des strittigen Unterhalts keine Bedeutung beimass (vgl. auch vorne E. 2.2 und 8). Bei der Unterhaltsberechnung berücksichtigte es die Kinderzulagen soweit ersichtlich nicht. Es stellte aber die Rechtskraft von Ziffer 3 des erstinstanzlichen Entscheid fest, in welcher das Bezirksgericht ausdrücklich festhielt, die Kinderzulagen seien zusätzlich zum Unterhalt geschuldet. Der Beschwerdeführer rügt dieses Vorgehen als unhaltbar. Die Kinderzulagen seien für den Unterhalt des Kindes bestimmt und von der geschuldeten Unterhaltsleistung in Abzug zu bringen.
10.2. Gemäss aArt. 285 Abs. 2 ZGB sind Kinderzulagen, Sozialversicherungsrenten und ähnliche für den Unterhalt des Kindes bestimmte Leistungen, die dem Unterhaltspflichten zustehen, zusätzlich zum Unterhaltsbeitrag zu zahlen, soweit das Gericht nichts anderes bestimmt (sog. Grundsatz der Kumulation). Bei dieser Bestimmung handelt es sich in erster Linie um eine Anweisung an das Gericht, die erwähnten Sozialleistungen bei der Bemessung des Unterhaltsbeitrags vorweg abzuziehen (<ref-ruling> E. 4b). Daher sind Kinderzulagen in jedem Fall vom Bedarf des unterhaltsberechtigten Kindes abzuziehen. Diese Leistungen, die ausschliesslich für den Unterhalt des Kindes bestimmt sind, werden entsprechend nicht zum Einkommen des bezugsberechtigten Elternteils hinzugezählt, sondern sind bei der Ermittlung des durch den Unterhaltsbeitrag zu deckenden Bedarfs des Kindes vorweg in Abzug zu bringen (<ref-ruling> E. 4.2.3; jüngst Urteile 5A_751/2016 vom 6. April 2017 E. 3.4; 5A_442/2016 vom 7. Februar 2017 E. 4.4.4, in: FamPra.ch 2017 S. 591). Die von der Kindsmutter bezogenen Kinderzulagen hätte das Kantonsgericht folglich nicht bei deren Einkommen berücksichtigen dürfen, sondern beim Bedarf der Beschwerdegegner in Abzug bringen müssen. Soweit es dies nicht getan hat, hat es in Abweichung eines in ständiger Rechtsprechung anerkannten Grundsatzes entschieden und sein Ermessen fehlerhaft ausgeübt. Es wird auch diesen Punkt in der Neuberechnung des strittigen Unterhalts zu berücksichtigen haben.
11.
11.1. Zu prüfen bleibt, ob das Kantonsgericht gehalten gewesen wäre, auch über die den Beschwerdegegnern zwischen dem 16. Januar 2011 und dem 5. April 2013 zugesprochenen Unterhaltsbeiträge zu befinden. Diesbezüglich hielt die Vorinstanz fest, das erstinstanzliche Urteil sei insoweit unangefochten in Rechtskraft erwachsen und nicht mehr zu überprüfen. Der Beschwerdeführer rügt eine Verletzung der Offizialmaxime. In deren Anwendungsbereich sei das Kantonsgericht nicht an die Parteianträge gebunden. Es hätte daher den vor dem 5. April 2013 zugesprochenen Unterhalt prüfen müssen, auch wenn die Beschwerdegegner das erstinstanzliche Urteil insoweit nicht angefochten hätten. Ausserdem habe der Beschwerdeführer die entsprechenden Beiträge im vorinstanzlichen Verfahren ausdrücklich in Frage gestellt.
11.2. Im Berufungsverfahren bestimmt sich der Streitgegenstand nach den in der Berufung und (gegebenenfalls) der Anschlussberufung gestellten Anträgen. Es ist den Parteien insbesondere unbenommen, den Streitgegenstand im Berufungsverfahren einzuschränken. Entsprechend erwächst der angefochtene Entscheid nach <ref-law> (im Umkehrschluss) in Rechtskraft und wird vollstreckbar, soweit er nicht angefochten wird (vgl. Urteil 5A_438/2012 vom 27. August 2012 E. 2.4; MARTIN H. STERCHI, Berner Kommentar, Schweizerische Zivilprozessordnung, Band II, 2012, N. 3 zu <ref-law>). Der Grundsatz, wonach es in der Disposition der Parteien steht, ob ein Rechtsmittel ergriffen werden soll und in welchem Umfang, gilt nach der Rechtsprechung auch im Geltungsbereich der Offizialmaxime (vgl. <ref-ruling> E. 4.5.3). Auch wenn das Berufungsgericht über die Festlegung des Kindesunterhalts ohne Bindung an die Parteianträge entscheidet (vgl. <ref-law>), kann es hierbei folglich nicht über den durch die Parteianträge festgelegten Streitgegenstand hinausgehen. Eine Ausnahme gilt von Gesetzes wegen im Ehescheidungsverfahren. Wird der Unterhaltsbeitrag für einen Ehegatten angefochten, kann die Rechtsmittelinstanz nach <ref-law> auch die nicht angefochtenen Unterhaltsbeiträge für die Kinder neu beurteilen. Anlass für eine Ausdehnung dieser Sonderregelung besteht indessen nicht (vgl. <ref-ruling> E. 2.2.2; <ref-ruling> E. 2.2).
11.3. Gegen das Urteil des Bezirksgericht haben unbestritten allein die Beschwerdegegner Berufung eingerecht. Dabei haben sie die Unterhaltsbeiträge zwischen dem 16. Januar 2011 und dem 5. April 2013 ausdrücklich vom Rechtsmittel ausgenommen. Der Beschwerdeführer hat keine Anschlussberufung erhoben. Streitgegenstand des vorinstanzlichen Verfahrens war damit einzig der Kindesunterhalt ab dem 6. April 2013 und das Kantonsgericht hat auch unter Berücksichtigung der Offizialmaxime zu Recht über die früheren Unterhaltsbeiträge nicht mehr befunden. Die Beschwerde erweist sich insoweit als unbegründet.
12.
Zusammenfassend ist die Beschwerde gutzuheissen, soweit darauf einzutreten ist. Die Ziffer 3, Unterpunkte 1.2 und 1.3, des angefochtenen Urteils ist aufzuheben und die Sache ist zur erneuten Festlegung des Kindesunterhalts an das Bezirksgericht zurückzuweisen. Das Bezirksgericht wird ebenfalls über die Kosten der kantonalen Verfahren neu zu entscheiden haben (vgl. Urteil 5A_314/2016 vom 2. Februar 2017 E. 5.1), weshalb auch die diese betreffenden Ziffern 5 und 6 des angefochtenen Urteils sowie der Entscheid vom 2. Februar 2017 (zu diesem vorne Bst. B) aufzuheben sind.
Bei diesem Ausgang des Verfahrens obsiegt der Beschwerdeführer. Die Gerichtskosten sind den Beschwerdegegnern aufzuerlegen (Art. 66Abs. 1 BGG), wobei sie solidarisch haften (<ref-law>). Parteikosten sind keine zu sprechen. Der obsiegende Beschwerdeführer ist nicht anwaltlich vertreten und die Voraussetzungen für die (ausnahmsweise) Zusprechung der beantragten Umtriebsentschädigung sind nicht erfüllt (<ref-law> sowie Art. 1 und 11 des Reglements vom 31. März 2002 über die Parteientschädigung und die Entschädigung für die amtliche Vertretung im Verfahren vor dem Bundesgericht [SR 173.110.210.3]; vgl. <ref-ruling> E. 4.1; <ref-ruling> E. 4d).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Soweit auf sie eingetreten wird, wird die Beschwerde gutgeheissen und die Ziffer 3, Unterpunkte 1.2 und 1.3, sowie die Ziffern 5 und 6 des Urteils des Kantonsgerichts Wallis vom 22. Dezember 2016 und der Entscheid des Kantonsgerichts Wallis vom 2. Februar 2017 werden aufgehoben. Die Sache wird zum erneuten Entscheid über den Kindesunterhalt sowie die Kosten des kantonalen Verfahrens an das Bezirksgericht Leuk und Westlich-Raron zurückgewiesen. Weitergehend wird die Beschwerde abgewiesen.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 3'000.-- werden den Beschwerdegegnern unter solidarischer Haftbarkeit auferlegt.
3.
Parteientschädigung wird keine zugesprochen.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien, dem Kantonsgericht Wallis, I. Zivilrechtliche Abteilung, sowie dem Bezirksgericht Leuk und Westlich-Raron schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 24. August 2017
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: von Werdt
Der Gerichtsschreiber: Sieber