Faits :
A.
La société genevoise X._ Sàrl (ci-après: X._) est inscrite au registre du commerce depuis le 17 février 2009 et a pour but l'exploitation d'une entreprise de services de voiturier et d'exécution de tous travaux sur véhicule automobile.
Depuis le 24 mai 2012, l'Aéroport International de Genève (ci-après: l'Aéroport) a invité sans succès et à plusieurs reprises X._ à cesser ses activités de valet de parking sur les différents parkings du site aéroportuaire en l'absence de concession délivrée. La rencontre des clients et l'encaissement des prestations à l'intérieur des parkings créaient de nombreux attroupements et gênaient la bonne exploitation du site.
Le 4 juin 2012, X._ a informé l'Aéroport qu'elle mettait en place un système de paiement en ligne, travaillait depuis plus de trois ans, avait une quinzaine de voituriers, un parking de mille places et trente mille clients. Elle souhaitait obtenir une concession et une rencontre pour en discuter. Le 21 juin 2012, l'Aéroport a répondu qu'une discussion n'était pas opportune.
B.
Par décision du 23 septembre 2013, l'Aéroport a fait interdiction à X._, ainsi qu'à ses organes, collaborateurs et autres auxiliaires d'accéder au site aéroportuaire, sous la menace des sanctions prévues à l'<ref-law>. Cette décision était déclarée immédiatement exécutoire nonobstant recours.
X._ a recouru contre cette décision auprès de la Chambre administrative de la Cour de justice du Tribunal cantonal genevois (ci-après: la Cour de justice) en demandant son annulation et, à titre préalable, la restitution de l'effet suspensif.
B.a. Le 23 octobre 2013, la requête en restitution de l'effet suspensif a été rejetée. A la suite d'un arrêt du Tribunal fédéral du 27 février 2014 rendu dans une procédure parallèle et qui avait admis le recours d'un autre voiturier contre le refus de restituer l'effet suspensif (cause 2C_1161/2013), la Cour de justice a donné suite à une nouvelle requête X._ et restitué l'effet suspensif en sa faveur le 22 décembre 2014.
B.b. Par arrêt au fond du 23 juin 2015 notifié le 30 juin, la Cour de justice a rejeté le recours de X._.
C.
Contre cet arrêt, X._ forme un recours en matière de droit public et un recours constitutionnel subsidiaire au Tribunal fédéral. Sur le fond, elle conclut à son annulation et à ce qu'il soit dit qu'elle peut exercer son activité sans concession ni autorisation de l'Aéroport, subsidiairement au renvoi de la cause à l'instance cantonale pour qu'elle statue dans le sens des considérants, avec suite de frais et dépens. Elle reprend les même conclusions dans le cadre du recours constitutionnel, au cas où le recours en matière de droit public serait déclaré irrecevable.
Par ordonnance du 3 septembre 2015, le Président de la IIe Cour de droit public a admis la requête d'effet suspensif formée par X._.
La Cour de justice a déclaré s'en rapporter à justice quant à la recevabilité du recours et persister dans les considérants et le dispositif de son arrêt. L'Aéroport a déposé des observations, en concluant au rejet du recours en matière de droit public et à l'irrecevabilité du recours constitutionnel subsidiaire, avec suite de frais et dépens.

Considérant en droit :
1.
1.1. Relevant du droit public (<ref-law>), l'arrêt attaqué constitue une décision finale (<ref-law>), rendue par une autorité judiciaire supérieure cantonale de dernière instance (art. 86 al. 1 let. d et al. 2 LTF), de sorte que la voie du recours en matière de droit public est en principe ouverte, aucune des exceptions de l'<ref-law> n'étant réalisée. Le recours a par ailleurs été formé en temps utile compte tenu des féries (art. 46 al. 1 let. b et 100 al. 1 LTF) et dans les formes requises (art. 42 al. 1 et 2 LTF), par la société qui, en tant que destinataire de l'arrêt attaqué lui interdisant de continuer à exercer son activité sur le site de l'Aéroport, a qualité pour recourir (<ref-law>). Il est partant recevable en tant que recours en matière de droit public.
1.2. Par conséquent, le recours constitutionnel subsidiaire également formé par la recourante doit être déclaré irrecevable (cf. <ref-law> a contrario).
2.
2.1. Saisi d'un recours en matière de droit public, le Tribunal fédéral contrôle librement le respect du droit fédéral, qui comprend les droits de nature constitutionnelle (cf. art. 95 let. a et 106 al. 1 LTF), sous réserve des exigences de motivation figurant à l'<ref-law>. Aux termes de cet alinéa, le Tribunal fédéral n'examine les droits fondamentaux que si le grief a été invoqué et motivé par le recourant (cf. <ref-ruling> consid. 1.3 p. 41; <ref-ruling> consid. 2.5 p. 314).
Sauf exceptions non pertinentes en l'espèce (cf. art. 95 let. c, d et e LTF), l'on ne peut invoquer la violation du droit cantonal ou communal en tant que tel devant le Tribunal fédéral (<ref-law> e contrario). Il est néanmoins possible de faire valoir que son application consacre une violation du droit fédéral, comme la protection contre l'arbitraire (art. 9 Cst.) ou la garantie d'autres droits constitutionnels (<ref-ruling> consid. 2.3 p. 387; <ref-ruling> consid. 2.2 p. 69). Le Tribunal fédéral n'examine de tels moyens que s'ils sont formulés conformément aux exigences de motivation qualifiée prévues à l'<ref-law> (<ref-ruling> consid. 1.3 p. 41; <ref-ruling> consid. 2.5 p. 314).
2.2. Pour statuer, le Tribunal fédéral se fonde sur les faits constatés par l'autorité précédente (cf. <ref-law>), à moins que ceux-ci n'aient été établis de façon manifestement inexacte - notion qui correspond à celle d'arbitraire (<ref-ruling> consid. 2.3 p. 266) - ou en violation du droit au sens de l'<ref-law> (cf. <ref-law>). Si le recourant entend s'écarter des constatations de l'autorité précédente (cf. <ref-law>), il doit expliquer de manière circonstanciée en quoi les conditions d'une exception prévue par l'<ref-law> seraient réalisées. Sinon, il n'est pas possible de tenir compte d'un état de fait divergeant de celui qui est contenu dans l'acte attaqué (<ref-ruling> consid. 3.1.2 p. 34; <ref-ruling> consid. 5.1 p. 356; <ref-ruling> consid. 5.2.2 p. 322 s.).
3.
Selon la jurisprudence, l'objet du litige soumis au Tribunal fédéral est déterminé par la décision attaquée (objet de la contestation), elle-même délimitée par les conclusions des parties (<ref-law>; sur les notions d'objet de la contestation et du litige, cf. <ref-ruling> consid. 1.1 p. 502 et les références).
En l'espèce, l'Aéroport, dans sa décision du 23 septembre 2013, a fait interdiction à la recourante, de même qu'à ses organes, collaborateurs et autres auxiliaires, d'accéder au site aéroportuaire dans le but d'y exercer une quelconque activité commerciale et/ou financière. L'activité visée dans les motifs de cette décision était toutefois exclusivement celle de valet de parking. Dans l'arrêt attaqué, la Cour de justice n'a également envisagé que cette activité. Il en découle que, malgré la formulation très large du dispositif de la décision du 23 septembre 2013, la contestation porte sur l'interdiction d'exercer une activité de valet de parking. La recourante, dans ses conclusions devant la Cour de céans, ne s'y trompe pas en demandant à pouvoir accéder au site aéroportuaire en vue d'y exercer "son" activité, qui consiste précisément en l'offre de services de valet de parking. Partant, le litige porte exclusivement sur cette activité.
Cette interdiction repose sur le droit cantonal et les règles d'organisation édictées par l'Aéroport sur cette base. Par conséquent, le Tribunal fédéral examinera la cause dans les limites des droits constitutionnels invoqués d'une manière conforme à l'<ref-law> (cf. supra consid. 2.1).
4.
L'arrêt attaqué retient en substance que les parkings font partie du patrimoine administratif de l'Aéroport, affectés à une tâche publique. Comme l'usage qu'en fait la société recourante au travers de son activité constitue un usage extraordinaire, il n'est admissible qu'en présence d'un acte spécial l'y autorisant, qui n'existe pas en l'espèce. En outre, dès lors que les parkings de l'Aéroport ne sont pas des biens publics susceptibles d'un usage commun, la société intéressée ne peut se prévaloir de sa liberté économique. Le fait que l'Aéroport ait concédé à A._ un service de voiturier contre rémunération n'y change rien, l'Aéroport ayant fait le choix d'un concessionnaire unique. Quant à l'inégalité de traitement invoquée par la recourante au motif que l'Aéroport tolérerait des activités de tiers à l'intérieur de son site, la Cour de justice considère que les règlements adoptés par l'Aéroport expriment clairement la volonté de l'intimé d'exclure les activités commerciales non autorisées dans les parkings et autres locaux du site et que rien n'indique que celui-ci entendrait tolérer ou continuer à tolérer de telles activités.
5.
Dans un grief de nature formelle qu'il convient d'examiner en premier lieu (<ref-ruling> consid. 3 p. 563; <ref-ruling> consid. 3 p. 191;<ref-ruling> consid. 2.2), même s'il a été formulé en dernier lieu, la recourante se plaint d'une violation de son droit d'être entendue au sens de l'art. 29 al. 2 Cst., reprochant à la Cour de justice de n'être pas entrée en matière sur la critique qu'elle avait invoquée sur le plan cantonal en lien avec la protection de sa bonne foi.
5.1. Le droit d'être entendu, garanti par l'art. 29 al. 2 Cst., implique notamment pour l'autorité l'obligation de motiver sa décision, afin que le destinataire puisse la comprendre, l'attaquer utilement s'il y a lieu et que l'autorité de recours puisse exercer son contrôle. Pour répondre à ces exigences, il suffit que le juge mentionne, au moins brièvement, les motifs qui l'ont guidé et sur lesquels il a fondé sa décision, de manière à ce que l'intéressé puisse se rendre compte de la portée de celle-ci et l'attaquer en connaissance de cause. L'autorité n'a pas l'obligation d'exposer et de discuter tous les faits, moyens de preuve et griefs invoqués par les parties, mais peut au contraire se limiter à ceux qui lui paraissent pertinents (<ref-ruling> consid. 4.2 p. 157; <ref-ruling> consid. 5.1 p. 237; <ref-ruling> consid. 3.2 p. 270). La motivation peut pour le reste être implicite et résulter des différents considérants de la décision (<ref-ruling> consid. 3.2.1 p. 565; arrêts 2C_931/2015 du 12 octobre 2016 consid. 2.1; 6B_1237/2014 du 24 mars 2015 consid. 3.1).
5.2. En l'occurrence, les juges cantonaux n'ont effectivement pas abordé expressément le grief de la recourante tiré de la bonne foi. Il ressort toutefois suffisamment clairement de l'arrêt attaqué que ce principe n'avait pas sa place dans le raisonnement suivi. En effet, selon la Cour de justice, l'Aéroport était en droit de soumettre les activités de voituriers à concession et avait pris l'option d'un concessionnaire unique, ce qui l'autorisait à exclure des activités parallèles de voituriers d'entreprises concurrentes, même s'il les avait tolérées auparavant. Sur cette base, on peut admettre que les juges ont implicitement considéré que la bonne foi de la recourante n'était pas propre à lui permettre de continuer son activité sur le site. Une telle motivation, même si on peut regretter qu'elle ne soit pas plus explicite s'agissant de la bonne foi, n'a pas empêché la recourante de comprendre la position des juges et de l'attaquer en connaissance de cause, ce qui exclut une violation de l'art. 29 al. 2 Cst. En revanche, le point de savoir si la Cour de justice pouvait à juste titre considérer que la recourante n'était pas fondée à invoquer sa bonne foi pour continuer à exercer son activité sur le site est une question de droit qui relève du fond et qui sera examinée ci-après (cf. infra consid. 9), la recourante soulevant à cet égard une violation du principe de la confiance d'une manière conforme à l'<ref-law>.
6.
La recourante commence par se plaindre d'un établissement manifestement inexact et arbitraire des faits.
6.1. Le Tribunal fédéral ne peut s'écarter que des faits établis de façon manifestement inexacte et si la correction du vice est susceptible d'influer sur le sort de la cause (cf. art. 97 al. 1 et 105 al. 2 LTF), étant rappelé que la notion de constatation manifestement inexacte des faits correspond à celle d'arbitraire (cf. supra consid. 2.2).
L'arbitraire ne résulte pas du seul fait qu'une autre solution que celle retenue par l'autorité cantonale paraisse concevable, voire même préférable; le Tribunal fédéral ne s'écarte de la décision attaquée que lorsque celle-ci est manifestement insoutenable, se trouve en contradiction claire avec la situation de fait, viole gravement une norme ou un principe juridique indiscuté ou heurte de manière choquante le sentiment de la justice et de l'équité (<ref-ruling> consid. 3.4 p. 53; <ref-ruling> consid. 2.1 p. 168; <ref-ruling> consid. 6.1 p. 379). En matière d'appréciation des preuves et d'établissement des faits, il n'y a arbitraire que si le juge a manifestement méconnu le sens et la portée d'un moyen de preuve, si, sur la base des éléments recueillis, il a fait des déductions insoutenables, ou encore s'il a omis, sans raison sérieuse, de tenir compte d'un moyen important propre à modifier la décision attaquée (<ref-ruling> consid. 2.3 p. 266; <ref-ruling> consid. 4.1.2 p. 62; <ref-ruling> consid. 4.2 p. 560).
6.2. La recourante reproche à la Cour de justice d'avoir retenu de manière arbitraire que ses collaborateurs, sur le site du parking, prenaient contact avec le client en s'identifiant au moyen d'une pancarte par exemple, vérifiaient l'état du véhicule et les objets laissés par le client à l'intérieur, consignaient ces éléments sur une fiche électronique et faisaient signer le contrat au client, en lui remettant un double. Elle soutient que les juges ont fait un amalgame, car ces activités se rapportent à des entreprises concurrentes, mais ne ressortent aucunement des moyens de preuves qu'elle a versés ni aux déclarations de ses associés lors de l'audience de comparution personnelle qui s'est tenue le 28 février 2014. La recourante soutient que ses employés sont uniquement présents au niveau des caisses des parkings, lieu où ses clients lui remettent les clés et se les voient restituer. Aucune activité n'a lieu dans l'enceinte du parking et ne peut donc y occasionner de gêne.
6.3. La recourante oppose sa propre version des faits, qu'elle avait déjà fait valoir devant l'instance cantonale, à celle retenue dans l'arrêt attaqué, ce qui ne suffit toutefois pas à établir l'arbitraire. Il lui appartenait en particulier de présenter les pièces qui feraient apparaître comme insoutenable la description de son activité par les juges cantonaux, un simple renvoi global aux moyens de preuves déjà présentés et aux déclarations de ses associés n'est à cet égard pas assez précis. Il n'appartient en effet pas au Tribunal fédéral d'aller rechercher dans les pièces du dossier pour trouver d'éventuels éléments en faveur de la thèse de la recourante (cf. arrêt 6B_585/2014 du 2 avril 2015 consid. 2.2).
Au demeurant, même à suivre la version de la recourante, celle-ci implique une reconnaissance préalable des clients et de ses employés et un échange de documents, que ce soit aux caisses ou à l'endroit où se trouvent les véhicules; en outre, la recourante n'explique pas pourquoi un contrôle du véhicule avant et après la remise serait inexistant. Il convient au surplus de relever que l'arrêt attaqué retient que des enregistrement vidéo datant des 11 et 13 juin 2013 ont été effectués, qui montraient les employés de X._ agiter des panneaux publicitaires, afin de se faire reconnaître de ses clients parmi la foule, échanger avec plusieurs clients des tickets de parking et faire signer divers documents contractuels, préalablement extraits de fourres plastiques. A deux reprises, un véhicule était garé de manière illicite.
6.4. En résumé, la recourante n'a pas démontré que la description de son activité figurant dans l'arrêt attaqué serait manifestement inexacte; quoi qu'il en soit, même s'il fallait la suivre et retenir que les échanges de clés et divers documents interviendraient au niveau des caisses du parking, la description qui précède se réfère aussi à une gêne pour les usagers ordinaires des parkings, étant rappelé que la recourante elle-même a fait état de trente mille clients et d'une équipe de quinze voituriers (arrêt attaqué consid. 3 p. 2), qu'elle réduit à 25'000 dans son recours (recours p. 37), ce qui reste toutefois un nombre important. Partant, même si l'arrêt attaqué comportait une méprise, celle-ci ne serait pas de nature à modifier l'arrêt attaqué, ce qui exclut l'arbitraire.
Les critiques concernant les faits doivent ainsi être rejetées.
7.
Avant d'examiner les autres griefs de nature constitutionnelle invoqués par la recourante, il convient de qualifier juridiquement les lieux où, sur le site de l'Aéroport, l'exercice de l'activité de voiturier s'effectue (consid. 7.1-7.3), puis d'examiner l'usage qui en est fait par la recourante (consid. 7.4). En effet, selon que les parkings relèvent du domaine public ou du patrimoine administratif et en fonction de l'usage que l'activité litigieuse nécessite, la possibilité d'interdire ladite activité en lien notamment avec les droits constitutionnels invoqués sera soumise à des exigences différentes (cf. <ref-ruling> consid. 2.3.2 p. 284; <ref-ruling> consid. 4b p. 89).
7.1. Ce qui différencie l'appartenance d'un bien au domaine public ou au patrimoine administratif est fondamentalement le cercle des utilisateurs. Le domaine public comprend l'ensemble des biens qui peuvent être utilisés librement par tout un chacun (<ref-ruling> consid. 2.3.2 p. 284). Il est donc ouvert à tous, en principe de manière libre, égale et gratuite (THIERRY TANQUEREL, Manuel de droit administratif, 2011, n. 199). Appartiennent au domaine public les espaces naturels publics, tels les cours d'eau et les ouvrages affectés à un but d'intérêt général, comme les routes et les places (cf. <ref-law>; TSCHANNEN/ ZIMMERLI/MÜLLER, Allgemeines Verwaltungsrecht, 4e éd. 2014, p. 469). Le patrimoine administratif vise pour sa part un cercle d'utilisateurs plus limité (<ref-ruling> consid. 2.3.2 p. 284). Relèvent du patrimoine administratif les biens des collectivités publiques qui sont directement affectés à la réalisation d'une tâche publique. En font parties les immeubles qui abritent les écoles, les hôpitaux, les gares (avec des nuances concernant les zones commerciales ou les parois des couloirs cf. <ref-ruling> consid. 2.3.2), les musées, les bibliothèques et, de manière générale, les établissements publics et les services administratifs de l'État (arrêt 4A_250/2015 du 21 juillet 2015 consid. 4.1; 1C_379/2014 du 29 janvier 2015 consid. 5.3, in SJ 2015 I 322).
Lorsque le patrimoine administratif est affecté à des fins particulières d'intérêt public au bénéfice des citoyens, il est le plus fréquemment séparé du patrimoine administratif ordinaire et est institué en patrimoine distinct sous la forme d'un établissement public (par ex. les établissements scolaires ou universitaires, les hôpitaux, les théâtres municipaux, les musées, etc.). Dans ces cas, l'utilisation du patrimoine administratif se confond avec l'usage de l'établissement public en cause, lequel est en principe défini par son affectation spécifique et par les conditions mises à son accès par une loi (arrêts 2C_167/2012 du 1er octobre 2012 consid. 4.2, in SJ 2013 I 341; 1C_312/2010 du 8 décembre 2010 consid. 3.2 et les références, in RDAF 2011 I 48). Le patrimoine administratif est régi par le principe selon lequel l'autorité concernée accorde la priorité à une utilisation ordinaire (conforme au droit) par rapport à une utilisation extraordinaire par des personnes privées, cette dernière utilisation n'entrant en considération que si elle est compatible avec la destination de l'ouvrage ou de l'installation en question (ATF <ref-ruling> consid. 4b p. 89). L'établissement de droit public chargé de gérer le patrimoine administratif est donc en droit de refuser que des activités qui ne sont pas conformes à un usage ordinaire s'y développent ou d'en limiter l'ampleur par un système d'autorisation et/ou de concession (cf. sur la nature juridique de ces restrictions, qui dépasse l'objet du présent litige, MARKUS HEER, Die ausserordentliche Nutzung des Verwaltungsvermögens durch Private, 2006, p. 124 ss).
7.2. L'exploitation d'un aéroport à titre commercial est soumise à concession octroyée par le Département fédéral compétent (cf. art. 36a al. 1 de la loi fédérale du 21 décembre 1948 sur l'aviation [LA]; RS 748.0). Selon l'art. 36a al. 2 LA, le concessionnaire a notamment l'obligation de mettre à la disposition des usagers une infrastructure répondant aux impératifs d'une exploitation sûre et rationnelle (cf. art. 36a al. 2 LA). L'exploitation des aérodromes est réglée, sur le plan fédéral, par l'ordonnance du Conseil fédéral sur l'infrastructure aéronautique du 23 novembre 1994 (OSIA; RS 748.131.1). L'<ref-law> prévoit que le règlement d'exploitation régit tous les aspects opérationnels de l'aérodrome. Il contient notamment des prescriptions sur l'utilisation des installations de l'aérodrome par les passagers, les aéronefs et les véhicules terrestres ainsi que par les autres usagers (let. d).
Le canton de Genève a confié la gestion et l'exploitation de l'Aéroport, dans les limites de la concession fédérale, à un établissement de droit public autonome et doté de la personnalité juridique, à savoir l'intimé (cf. art. 1 de la loi cantonale genevoise du 10 juin 1993 sur l'Aéroport international de Genève [LAIG]; RS/GE H 3 25). Celui-ci a pour mission de gérer et d'exploiter l'Aéroport et ses installations en offrant, au meilleur coût, les conditions optimales de sécurité, d'efficacité et de confort pour ses utilisateurs (art. 2 al. 1 LAIG). Il doit prendre toutes les mesures propres à remplir sa mission (cf. art. 30 LAIG). Les bâtiments, installations et aménagements extérieurs compris dans le périmètre aéroportuaire sont propriété de l'Aéroport (art. 4 al. 1 LAIG). Celui-ci peut donner en location ou en concession les locaux techniques, administratifs et commerciaux dont il est propriétaire et dont il n'a pas lui-même l'usage (art. 31 LAIG). L'art. 3 let. b du règlement d'application de la loi sur l'Aéroport international de Genève du 13 décembre 1993 (RAIG; RS/GE H 3 25.01) précise que, dans le cadre de la gestion de l'établissement, le conseil d'administration de l'Aéroport édicte notamment un règlement général sur l'organisation de l'Aéroport.
Faisant usage de cette compétence, le conseil d'administration a adopté un règlement d'exploitation de l'Aéroport international de Genève le 31 mai 2001 (ci-après: le règlement d'exploitation). Son article 15 prévoit qu'aucune activité commerciale, financière, industrielle ou artisanale ne peut être exercée à l'Aéroport sans une concession accordée par l'exploitant. En outre, il découle de l'art. 12 al. 1 et 2 let. d du règlement d'exploitation que l'exploitant édicte et publie des prescriptions complémentaires d'utilisation de l'Aéroport, qui portent notamment sur la circulation et le stationnement des véhicules dans l'enceinte aéroportuaire. Sur cette base, l'intimé a adopté, le 21 mai 2013, un nouveau règlement d'utilisation des parkings publics du site aéroportuaire (ci-après: le règlement d'utilisation des parkings), qui prévoit notamment, à son article 12 ch. 3, que les transactions commerciales et/ou financières ne sont admises ni au sein des Parkings et/ou de la (des) zone (s) de dépose-rapide ni à leur proximité immédiate, sauf autorisation préalable et écrite de l'Aéroport.
7.3. Il découle de cette réglementation que les parkings situés sur le site aéroportuaire ne remplissent pas les caractéristiques propres au domaine public. Leur accès n'est pas libre, égal et gratuit. Leur utilisation est limitée, car l'exploitation d'un aéroport international implique que les utilisateurs de l'Aéroport, en particulier le personnel, les voyageurs et les personnes venant amener des passagers, puissent accéder dans des conditions optimales au site, ce qui suppose en particulier que les parkings leur soient accessibles en priorité; dans ce contexte, le rôle des parkings de courte durée consiste à offrir suffisamment de places pour permettre en permanence aux personnes amenant ou recherchant des voyageurs d'y laisser leur véhicule pour une courte période. Ces parkings sont en ce sens affectés à des fins particulières d'intérêt public. Le canton de Genève a du reste, de manière caractéristique, créé un établissement de droit public doté de la personnalité juridique à qui il a conféré la propriété de l'ensemble des bâtiments, installations et aménagements extérieurs compris dans le périmètre aéroportuaire, dont les parkings font parties, à charge pour celui-ci de gérer et de réglementer l'ensemble en offrant aux utilisateurs les meilleures conditions possibles. Les parkings de l'Aéroport apparaissent ainsi comme des biens appartenant à un établissement de droit public autonome qui sont directement affectés à la réalisation d'une tâche publique. Il convient donc de considérer, à l'instar de la Cour de justice et ce que ne conteste du reste pas la recourante, que ces parkings relèvent du patrimoine administratif, propriété de l'Aéroport, et que celui-ci a la compétence et aussi l'obligation, en vertu de la législation fédérale et cantonale, de les gérer dans le respect des impératifs d'intérêt public poursuivis; il peut donc, dans le cadre de ces impératifs, poser des conditions à leur usage et limiter une utilisation qui n'est pas conforme à leur but premier. Dans ce cadre, l'intimé a, d'une part, soumis l'exercice d'une activité commerciale, financière, industrielle ou artisanale sur le siège de l'Aéroport à concession (cf. art. 15 du règlement d'utilisation) et, d'autre part, subordonné les transactions commerciales et/ou financières dans les parkings, les zones de dépose-rapide et leur proximité immédiate, à l'octroi d'une autorisation préalable (cf. art. 12 ch. 3 du règlement d'utilisation des parkings).
7.4. Pour savoir si les restrictions posées par l'Aéroport, conformément aux règlements précités, à l'usage du parking par la recourante sont admissibles, il convient d'examiner quelle est la nature de cette utilisation.
Selon les juges cantonaux, la recourante, par son activité exercée sur le site, consistant à réceptionner et à remettre des véhicules, fait un usage qui ne correspond pas à l'utilisation des parkings de courte durée de l'Aéroport.
La recourante conteste en vain cette appréciation sous l'angle de l'arbitraire. En effet, dès lors que ses critiques concernant le caractère manifestement inexact ou arbitraire des constatations de fait sur ce point ont été rejetées (cf. supra consid. 6), le Tribunal fédéral est lié par les faits retenus dans l'arrêt attaqué (<ref-law>). Or, il en découle que la recourante, par l'entremise de ses employés, prend contact avec le client en s'identifiant au moyen d'une pancarte, vérifie l'état du véhicule, le kilométrage, ainsi que les objets laissés par le client à l'intérieur, puis consigne ces éléments par écrit, fait signer le contrat au client et lui remet un double de ces documents. Ensuite, l'employé réceptionne les clefs et sort du parking à l'aide du ticket remis par le client pour amener le véhicule sur un parking extérieur au site. A la restitution du véhicule, les formalités nécessaires sont réalisées. Même si, comme l'admettent du reste les juges cantonaux, ces activités ne prennent pas forcément beaucoup de temps, elles consistent en l'exercice d'une activité de nature commerciale, qui ne correspond pas à l'usage ordinaire des parkings de courte durée de l'Aéroport, destinés avant tout à permettre aux accompagnants des voyageurs de parquer leur véhicule pour un bref moment, le temps d'amener ou de rechercher les voyageurs. L'activité litigieuse, si elle comprend matériellement le parcage d'un véhicule pour une brève durée dans le parking de l'Aéroport, ne se limite pas à cet aspect. Elle implique parallèlement la présence des employés de la recourante, qui doivent s'identifier auprès des clients, ainsi que des démarches de type commercial en amont tel que décrites ci-dessus et une occupation des places destinées en priorité aux accompagnants des voyageurs à d'autres fins. Du reste, il ressort aussi des constatations cantonales qu'hormis les employés de la recourante, d'autres entreprises exercent aussi cette activité, en sorte que l'utilisation du parking de courte durée par les personnes qui souhaitent en faire l'emploi prévu par sa destination est compromise.
Il en découle que l'on est en présence d'une utilisation du patrimoine administratif qui n'est pas conforme à sa destination. Comme l'a admis la Cour de justice, la recourante exerce dans les parkings de l'Aéroport, soit dans des lieux relevant du patrimoine administratif appartenant à l'intimé, une activité de valet de parking qui entre dans la catégorie des activités commerciales et qui implique une sollicitation des infrastructures qui dépassent celle de leur utilisation ordinaire. Dès lors que la recourante n'est pas titulaire d'une concession ni d'une autorisation écrite, l'interdiction qui lui a été faite s'insère dans le cadre de la législation applicable et est conforme aux dispositions réglementaires fixées par l'intimé, contrairement à ce que la recourante le soutient dans son écriture.
Encore faut-il vérifier que cette interdiction ne viole pas les autres droits constitutionnels invoqués dans le recours (<ref-law>).
8.
Se prévalant simultanément les art. 9 et 27 Cst., la recourante soutient que la violation de sa liberté économique ne pouvait être écartée, dès lors qu'elle faisait un usage ordinaire du patrimoine administratif et non un usage extraordinaire, comme l'avait retenu arbitrairement la Cour de justice.
8.1. Un établissement de droit public assumant une tâche de l'État est lié par les droits fondamentaux en vertu de l'art. 35 al. 2 Cst. (<ref-ruling> consid. 5 p. 204 et 6.4.1 p. 208; arrêt 2C_167/2012 du 1er octobre 2012 consid. 4.4, in SJ 2013 I 341). Tel est en particulier le cas lorsqu'il décide de l'utilisation du patrimoine administratif qui lui est confié. Même s'il dispose d'une certaine liberté d'appréciation dans l'exercice de sa tâche, il doit respecter les principes généraux du droit public, dont font notamment partie l'interdiction de l'arbitraire, l'égalité de traitement et la proportionnalité, de même que le devoir de l'autorité d'adopter une attitude neutre et objective (cf. <ref-ruling> consid. 6.4.1 p. 208; <ref-ruling> consid. 2.2.2 p. 283).
8.2. Selon la jurisprudence en lien avec l'art. 27 Cst. et contrairement à l'usage accru du domaine public (cf. <ref-ruling> consid. 2.2 p. 100; <ref-ruling> consid. 4b p. 88; arrêts 2C_819/2014 du 3 avril 2015 consid. 5.2 et les références, in PJA 2015 1301; 1C_35/2013 du 16 mai 2014 consid. 7.1), la liberté économique ne permet toutefois pas d'exiger de bénéficier d'un usage du patrimoine administratif à d'autres fins que le but d'intérêt général recherché par l'État (arrêt 2C_1161/2013 du 27 février 2014 consid. 4.2 qui concernait l'octroi à la recourante de l'effet suspensif; ATF <ref-ruling> consid. 4b p. 89 s.; ETIENNE GRISEL, Liberté économique: Libéralisme et droit économique en Suisse, 2006, p. 444); en effet, l'utilisation du patrimoine administratif conforme à son but d'intérêt public est considérée comme prioritaire sur un usage extraordinaire par les particuliers, qui doit d'ailleurs toujours être compatible avec le but d'intérêt public recherché (cf. ATF <ref-ruling> consid. 4b p. 89 s.).
8.3. La recourante admet à juste titre que les parkings de l'Aéroport font partie du patrimoine administratif. En outre, il a été retenu sans arbitraire par les juges précédents que l'usage auquel procédait la recourante dépassait l'utilisation ordinaire conforme à leur destination première desdits parking (cf. supra consid. 7.4). La recourante ne peut se prévaloir de l'art. 27 Cst. dès lors qu'elle entend utiliser ces parkings pour exercer son activité à d'autres fins que le but d'intérêt public poursuivi par l'Aéroport en relation avec les parkings de courte durée du site aéroportuaire (cf. aussi, dans le contexte aéroportuaire, <ref-ruling> consid. 5b p. 199; <ref-ruling> consid. 6c/bb p. 394 s. et l'arrêt 2C_488/2012 du 1er avril 2013 consid. 4.1, qui retiennent que la liberté économique ne confère pas de droit à utiliser un aéroport dans un but commercial). Partant, la recourante ne peut invoquer valablement sa liberté économique pour s'opposer au refus prononcé par les autorités cantonales de la laisser exercer son activité économique, afin de donner la priorité aux usagers visés par la destination du parking. Le fait que l'activité déployée par la recourante n'empêche pas toute utilisation du parking conforme à son but ne change rien au fait que l'entité gérant le patrimoine administratif en cause est en droit de le réserver en priorité à l'usage prévu.
8.4. La recourante ne pouvant se prévaloir de sa liberté économique pour s'opposer à l'interdiction litigieuse, il n'y a pas lieu d'examiner plus avant si les conditions permettant de justifier une restriction à l'art. 27 Cst. au sens de l'art. 36 Cst. sont réalisées, ce que le recours conteste.
8.5. En revanche, dans la mesure où la recourante invoque d'une manière suffisante (<ref-law>) une violation du principe de la proportionnalité (sur cette notion, cf. <ref-ruling> consid. 6.2.1 p. 32; <ref-ruling> consid. 4.2.1 p. 173) et qu'il remet en cause l'intérêt public de la décision prise à son encontre, il convient d'examiner ces griefs non pas sous l'angle, invoqué, de l'art. 36 al. 2 et 3 Cst. en lien avec la liberté économique, mais en application de l'art. 5 al. 2 Cst., disposition qui prévoit que l'activité de l'Etat doit répondre à un intérêt public et être proportionnée au but visé et que l'Aéroport se doit de respecter dans l'exercice de sa tâche (cf. supra consid. 7.1 et <ref-ruling> consid. 8.2 p. 393). Toutefois, lorsqu'il s'agit de droit cantonal et que les droits fondamentaux ne sont pas en cause, le Tribunal fédéral ne contrôle le respect des principes de l'art. 5 al. 2 Cst. que sous l'angle restreint de l'arbitraire (<ref-ruling> consid. 5.3.1 p. 7 s.; <ref-ruling> consid. 7.3 p. 28; <ref-ruling> consid. 8.2 p. 393; <ref-ruling> consid. 7.3.2 p. 182; <ref-ruling> consid. 4 p. 156).
8.5.1. Il ressort des constatations cantonales, dont il n'est pas admis qu'elles seraient arbitraires (cf. supra consid. 6), que la recourante a plusieurs employés qui exercent conjointement leur activité sur les parkings (que celle-ci se déroule au niveau des caisses, comme le soutient la recourante n'y change au demeurant rien) et que cette même activité est déployée par de nombreux concurrents, de sorte que l'utilisation des parkings par les personnes qui souhaitent en faire l'emploi prévu par sa destination est compromise. La Cour de justice a également retenu que la recourante pourrait exercer son activité selon des modalités différentes, sans utilisation des parkings de l'Aéroport, en accueillant ses clients et leur véhicule en-dehors du site, en procédant aux différents contrôles, signature et encaissements nécessaires, puis en acheminant les clients vers le terminal d'embarquement en navette ou même dans leur véhicule en utilisant la zone de dépose rapide (cf. arrêt attaqué p. 12). Sur la base de ces éléments de fait, qui lient le Tribunal fédéral (<ref-law>), on ne voit pas qu'en prononçant l'interdiction litigieuse l'intimé ait arbitrairement contrevenu à l'art. 5 al. 2 Cst., dès lors qu'il existe un intérêt public évident à ce que l'utilisation des parkings de courte durée par ses usagers ordinaires soit sauvegardée et que l'activité accrue déployée par les entre- prises de valets de parking, dont fait partie la recourante, sur le site de l'Aéroport pourraient aussi être exercée ailleurs que sur le site de l'Aéroport.
8.5.2. La recourante n'apporte pas d'arguments propres à modifier cette appréciation. Lorsqu'elle soutient qu'elle n'engendre aucune gêne sur le site, elle s'écarte des constatations cantonales selon lesquelles l'utilisation des parkings conforme à leur destination est compromise par les activités des valets de parkings et les attroupements qu'elles génèrent, de sorte que, n'en déplaise à la recourante, la mesure prise poursuit un intérêt public. Lorsque la recourante suggère qu'il suffirait à l'intimé de réguler le nombre d'entreprises de valet de parking, plutôt que de toutes les supprimer (en sous-entendant que son intérêt privé commanderait qu'elle fasse partie des entreprises pouvant continuer à exercer sur le site), elle préconise précisément la solution que l'Aéroport tente de mettre en place avec un système de concession.
Certes, il est vrai que, comme le soutient la recourante, son activité a pour résultat de désengorger les parkings aéroportuaires en permettant un stationnement de longue durée à l'extérieur du site, ce qui est dans l'intérêt des voyageurs et de l'Aéroport. Celle-ci perd toutefois de vue que le litige ne porte pas sur la façon dont l'intimé gère le problème du stationnement de longue durée, notamment son choix d'octroyer une concession à une seule entreprise en lien avec ce service, mais sur le maintien d'un usage conforme à leurs buts des parkings de l'Aéroport, en particulier de courte durée; la mesure ne supprime du reste pas la possibilité de parquer hors du site. L'intimé reconnaît d'ailleurs lui-même la nécessité de fournir des moyens de parkings longue durée suffisants.
9.
Hormis la liberté économique, la recourante se plaint d'une violation du principe de la bonne foi et d'arbitraire (art. 9 Cst.). Elle soutient en substance que l'Aéroport a modifié, au fil des échanges qu'il a eus avec elle en vue de la faire cesser son activité, le règlement d'utilisation des parkings, dans le seul but de l'empêcher d'exercer son activité, ce qui constitue un abus de droit. En outre, l'intimé a adopté un comportement contradictoire, acceptant de nombreuses sociétés de valet de parking externes depuis de très nombreuses années, avant de soumettre cette activité à concession. Ainsi, la recourante a pu exercer son activité de février 2009 à mai 2012 sans aucune difficulté, puis s'est vu signifier une interdiction, alors qu'elle n'occasionnait aucune gêne. Enfin, l'Aéroport aurait dans un premier temps donné l'assurance que la recourante pourrait participer à une procédure en vue d'obtenir une concession, pour lui dire ensuite que cette procédure n'aurait pas lieu.
9.1. Dans la mesure où la recourante reproche à la Cour de justice d'être tombée dans l'arbitraire en n'examinant pas la cause sous l'angle de la bonne foi, elle perd de vue que les juges n'ont certes pas développé ce point, mais considéré implicitement le grief comme infondé en retenant que le fait que si l'Aéroport avait toléré auparavant des activités de voituriers, il était en droit de choisir la voie d'un concessionnaire unique (cf. supra consid. 5.2 en lien avec la violation du droit d'être entendu également invoquée par la recourante à ce sujet).
9.2. Reste à examiner si le refus de tenir compte de la bonne foi de la recourante constitue, dans les circonstances d'espèces, une violation de l'art. 9 Cst.
9.2.1. Découlant directement de l'art. 9 Cst. et valant pour l'ensemble de l'activité étatique, le principe de la bonne foi protège le citoyen dans la confiance légitime qu'il met dans les assurances reçues des autorités, lorsqu'il a réglé sa conduite d'après des décisions, des déclarations ou un comportement déterminé de l'administration. Selon la jurisprudence, un renseignement ou une décision erronés de l'administration peuvent obliger celle-ci à consentir à un administré un avantage contraire à la réglementation en vigueur, à condition que l'autorité soit intervenue dans une situation concrète à l'égard de personnes déterminées, qu'elle ait agi ou soit censée avoir agi dans les limites de ses compétences et que l'administré n'ait pas pu se rendre compte immédiatement de l'inexactitude du renseignement obtenu. Il faut encore qu'il se soit fondé sur les assurances ou le comportement dont il se prévaut pour prendre des dispositions auxquelles il ne saurait renoncer sans subir de préjudice et que la réglementation n'ait pas changé depuis le moment où l'assurance a été donnée (cf. <ref-ruling> consid. 6.2 p. 538; <ref-ruling> consid. 2.5.1 p. 72 s.; <ref-ruling> consid. 6.1 p. 636 s.). Une violation du principe de la bonne foi n'est réalisée que lorsque la modification du droit porte atteinte aux droits acquis en contredisant, sans raisons valables, des assurances précédemment données par le législateur, ou lorsqu'une modification est décidée de façon imprévisible dans le dessein d'empêcher l'exécution d'un projet qui serait réalisable (<ref-ruling> consid. 4b/bb p. 358; arrêt 2C_507/2011 du 16 janvier 2012 consid. 9.3, in RNRF 95/2014 p. 250). Il découle uniquement des droits acquis une certaine "stabilité" de la loi dans le sens que de tels droits ne peuvent pas être annulés ou restreints par des changements de loi ultérieures sans indemnités (<ref-ruling> consid. 3b p. 145). Le principe de la bonne foi peut, en outre, imposer un régime transitoire (<ref-ruling> consid. 7.6.1 p. 40; <ref-ruling> consid. 8.1 p. 60). Ce régime doit permettre aux administrés de s'adapter à la nouvelle réglementation et non pas de profiter le plus longtemps possible de l'ancien régime plus favorable (<ref-ruling> consid. 7.6.1 p. 40; <ref-ruling> consid. 9 p. 395).
Sous l'angle de la bonne foi, il est possible de se prévaloir d'une situation acquise, s'agissant de l'exercice d'activités qui, avant leur interdiction faisaient l'objet d'une autorisation administrative ou qui étaient à tout le moins tolérées (arrêts 2C_547/2015 du 7 janvier 2016 consid. 1.3.3, in SJ 2016 I 260; 2C_18/2015 du 23 juillet 2015 consid. 3.1 s.; <ref-ruling> consid. 9.5 concernant une position juridique similaire à un concessionnaire). A cet égard, il convient de préciser que la possibilité pour un justiciable d'obtenir, par le biais de l'effet suspensif, la possibilité de continuer à exercer une activité, parce que celle-ci avait été tolérée par l'autorité, durant la procédure, ne comporte pas, de facto, s'agissant du fond la reconnaissance d'une situation acquise lui conférant un droit à l'exercice durable de ladite activité (cf. arrêt 2C_1161/2013 du 27 février 2014 consid. 5.4).
9.2.2. En l'espèce, l'invocation du principe de la bonne foi n'est d'aucun secours pour la recourante. Premièrement, on ne se trouve pas dans une situation où l'on peut reprocher à l'Aéroport d'avoir modifié de façon imprévisible sa législation. En effet, l'interdiction litigieuse repose en premier lieu sur l'art. 15 du règlement d'exploitation de l'Aéroport, qui date du 31 mai 2001 et qui proscrit toute activité commerciale, financière, industrielle ou artisanale exercée à l'Aéroport sans qu'une concession ait été accordée; il s'agit donc d'une règle bien antérieure au début de l'activité de la recourante, créée en 2009 et dont l'activité sur le site date au plus tôt de cette année-là. Le fait qu'alors qu'il tentait de faire cesser les activités de valets de parking exercées par des entreprises non concessionnaires, mais avant de rendre la décision litigieuse, l'Aéroport ait aussi édicté, le 23 septembre 2013, un nouveau règlement d'utilisation des parkings, dont l'art. 12 ch. 3 soumet toutes transactions commerciales dans les zones de parkings à autorisation préalable et écrite de l'intimé, ne constitue donc pas un changement de circonstance juridique imprévisible, mais une précision de l'art. 15 du règlement d'exploitation. On ne saurait y discerner un comportement abusif, comme le soutient la recourante. Le reproche de comportement contradictoire de l'Aéroport est également infondé. En effet, celui-ci a certes toléré les activités de valet de parking d'entreprises non concessionnaires durant plusieurs années. Toutefois, le nombre d'entreprises actives sur ce marché augmentant, ce qui engendrait des nuisances pour les usagers ordinaires des parkings, il a changé d'optique. A partir de mai 2012, il a avisé l'ensemble des entreprises non concessionnaires qu'il ne tolérerait plus de telles activités sur son site. On ne voit pas que ce comportement serait contradictoire. Enfin, la recourante ne peut se prévaloir d'aucune assurance donnée par l'intimé. Lorsqu'elle affirme que l'Aéroport lui aurait donné l'assurance qu'elle pourrait participer à une procédure en vue de l'octroi d'une concession, la recourante s'écarte des faits constatés. En effet, il ressort de l'arrêt attaqué que, depuis mai 2012, l'Aéroport a prié l'entreprise de cesser ses activités sur les différents parkings du site aéroportuaire. Le 4 juin 2012, la recourante a notamment indiqué à l'intimé qu'elle travaillait depuis plus de trois ans à un service de valet de parking et qu'elle souhaitait obtenir une concession, demandant une rencontre pour en discuter. Le 21 juin 2012, l'intimé lui a répondu qu'une rencontre n'était pas opportune et a par la suite réitéré ses demandes en vue de la cessation de l'activité de la recourante.
En outre, avisée depuis mai 2012 que l'activité litigieuse ne serait plus tolérée, alors que la décision de l'Aéroport la lui interdisant formellement date du 23 septembre 2013, la recourante a disposé de suffisamment de temps pour s'organiser, en particulier pour trouver un système lui permettant de continuer à exercer son activité depuis un site situé à l'extérieur de l'Aéroport, comme évoqué par la Cour de justice. Par conséquent, la bonne foi ne justifie pas de la faire bénéficier d'une période transitoire supplémentaire.
Enfin, le fait que l'Aéroport ait toléré l'activité de la recourante de sa création en février 2009 à mai 2012 ne confère pas à celle-ci, s'agissant d'une utilisation du patrimoine administratif dépassant le cadre ordinaire, une situation acquise qu'elle pourrait faire valoir sous l'angle de l'art. 9 Cst. (cf. arrêt du 18 juin 2002 consid. 3.4 s'agissant d'un usage accru du domaine public).
Dans ces circonstances, le recours en matière de droit public doit être rejeté.
10.
Compte tenu de ce qui précède, les frais seront à la charge de la recourante (<ref-law>). En sa qualité d'entreprise de droit public chargée d'accomplir les tâches de droit public consistant à gérer et exploiter l'Aéroport de Genève et ses installations, l'Aéroport, qui obtient gain de cause dans l'exercice de ses attributions officielles, n'a en principe pas droit à des dépens (cf. <ref-law>; arrêts 2C_203/2014 du 9 mai 2015 consid. 3.2; 2C_1019/2013 du 2 juin 2014 consid. 10).

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce :
1.
Le recours constitutionnel subsidiaire est irrecevable.
2.
Le recours en matière de droit public est rejeté.
3.
Les frais judiciaires, arrêtés à 3'000 fr., sont mis à la charge de la recourante.
4.
Il n'est pas alloué de dépens.
5.
Le présent arrêt est communiqué aux mandataires des parties et à la Cour de justice de la République et canton de Genève, Chambre administrative, 2ème section.
Lausanne, le 11 novembre 2016
Au nom de la IIe Cour de droit public
du Tribunal fédéral suisse
Le Président : Seiler
La Greffière : Vuadens