Sachverhalt:
A.
Mit Verfügung vom 12. Mai 2016 entzog das Strassenverkehrs- und Schifffahrtsamt des Kantons Bern A._ vorsorglich den Führerausweis für Motorfahrzeuge bis zur Abklärung der Fahreignung des Betroffenen (Art. 16 Abs. 1 und Art. 16d Abs. 1 Bst. c SVG sowie Art. 30 der Verordnung über die Zulassung von Personen und Fahrzeugen zum Strassenverkehr [Verkehrszulassungsverordnung; VZV; SR 741.51]). Die aufschiebende Wirkung einer allfälligen Beschwerde wurde entzogen.
Die von A._ dagegen erhobene Beschwerde wies die Rekurskommission des Kantons Bern für Massnahmen gegenüber Fahrzeugführerinnen und Fahrzeugführer mit Entscheid vom 21. Juni 2016 ab.
B.
A._ führt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten und beantragt die Aufhebung der angefochtenen Verfügung und die Rückweisung de1r Angelegenheit an die Vorinstanz zwecks Beurteilung seines Schadenersatzbegehrens. Der Beschwerde sei die aufschiebende Wirkung zuzusprechen. In verfahrensrechtlicher Hinsicht seien die Akten des Strafverfahrens hinzuzuziehen, und es sei eine mündliche Parteiverhandlung nach <ref-law> durchzuführen.
Mit Verfügung vom 23. August 2016 hat der Präsident der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung das Gesuch des Beschwerdeführers um Gewährung der aufschiebenden Wirkung abgewiesen.
Die Rekurskommission und das Strassenverkehrs- und Schifffahrtsamt haben sich je vernehmen lassen und beantragen die Abweisung der Beschwerde. Der Beschwerdeführer hat zu den Vernehmlassungen Stellung genommen und hält an seinen Begehren fest.

Erwägungen:
1.
1.1. Angefochten ist ein kantonal letztinstanzlicher Entscheid in einer Angelegenheit des öffentlichen Rechts. Dagegen steht die Beschwerde nach <ref-law> offen; ein Ausnahmegrund ist nicht gegeben (<ref-law>). Die kantonalen Instanzen haben dem Beschwerdeführer den Ausweis vorsorglich entzogen und die Abklärung seiner Fahreignung angeordnet. Der angefochtene Entscheid schliesst das Verfahren nicht ab; er stellt daher einen Zwischenentscheid dar, der nach der Rechtsprechung anfechtbar ist, da er einen nicht wieder gutzumachenden Nachteil im Sinn von <ref-law> bewirkt. Beim vorsorglichen Führerausweisentzug handelt es sich um eine vorsorgliche Massnahme nach <ref-law> (Urteile des Bundesgerichts 1C_328/2013 vom 18. September 2013 E. 1.2; 1C_233/2007 vom 14. Februar 2008 E. 1.2; je mit Hinweisen). Der Beschwerdeführer kann somit nur die Verletzung verfassungsmässiger Rechte rügen (Urteil 1C_264/2014 vom 19. Februar 2015 E. 2).
1.2. Der Rückweisungsantrag des Beschwerdeführers zwecks Beurteilung seines Schadenersatzbegehrens durch die Vorinstanz erfüllt die Anforderungen gemäss <ref-law> nicht. Mangels Begründung ist darauf nicht einzutreten.
1.3. Im bundesgerichtlichen Verfahren dürfen neue Tatsachen und Beweismittel nur so weit vorgebracht werden, als erst der Entscheid der Vorinstanz dazu Anlass gibt (<ref-law>). Dies ist in Bezug auf die Bedienungsanleitung des vorliegend verwendeten Messgeräts "Gatso RS-GS 11", die der Beschwerdeführer erstmals vor Bundesgericht ins Recht legt, nicht der Fall. Dieses Beweismittel hätte bereits vor der Vorinstanz eingereicht werden können und müssen. Es hat deshalb ausser Betracht zu bleiben.
Die Partei, die sich auf die Ausnahmeregel gemäss <ref-law> beziehen will, muss klar aufzeigen, dass die gesetzlichen Voraussetzungen erfüllt sind (Urteil des Bundesgerichts 2C_937/2012 vom 31. Mai 2013 E. 2.3). Weshalb die nach dem angefochtenen Entscheid ergangene Verfügung der Staatsanwaltschaft Bern-Oberland vom 21. Juli 2016, in der die Erstellung eines messtechnischen Gutachtens angeordnet und eine sachverständige Person (<ref-law>) ernannt wird, als echtes Novum (<ref-ruling> E. 3.1.2 S. 123; <ref-ruling> E. 2.1 S. 343 f.; je mit Hinweisen) zulässig sein soll, wird vom Beschwerdeführer nicht rechtsgenüglich begründet; es kann vom Bundesgericht nicht berücksichtigt werden.
1.4. Mündliche Parteiverhandlungen finden vor Bundesgericht nur ausnahmsweise statt und die Parteien haben grundsätzlich keinen Anspruch darauf (<ref-law>; Urteile 5A_293/2016 vom 8. August 2016 E. 1; 9C_593/2013 vom 3. April 2014 E. 3, nicht publ. in <ref-ruling>). Abgesehen davon, dass mit Verfügung vom 23. August 2016 das Gesuch des Beschwerdeführers um aufschiebende Wirkung bereits abgewiesen wurde (Bst. B hiervor), vermag die Begründung des Beschwerdeführers, dass "Fälle der vorliegenden Art (...) sehr von der betroffenen Person abhängen" würden, nicht zu überzeugen. Weitere Gründe benennt der Beschwerdeführer nicht und sind auch nicht ersichtlich. Die Sache kann somit ohne Weiteres aufgrund der Akten entschieden werden. Der entsprechende Verfahrensantrag ist abzuweisen.
2.
Nach der Sachdarstellung der Vorinstanz ist der Beschwerdeführer am 4. April 2016, um ca. 11.34 Uhr, mit seinem Personenwagen in Gstaad auf der Gsteigstrasse in Richtung Gsteig gefahren. Dabei habe er sein Fahrzeug rund 400 m vor der Ortsausfahrt stark beschleunigt und sei von einem Radar mit einer Geschwindigkeit von 122 km/h (statt der innerorts zulässigen Höchstgeschwindigkeit von 50 km/h) erfasst worden. Die Polizei habe ihn rund 500 m nach der Ortsausfahrt angehalten. Er habe erklärt, er habe mit seiner Schwester eine kurze Ausfahrt machen wollen, um ihr den neuen Wagen vorzuführen. Er habe Gas gegeben und dabei nur kurzfristig eine so hohe Geschwindigkeit erreicht. Im Dorfkern würde er nie so schnell fahren. Nach Absprache mit der zuständigen Staatsanwaltschaft habe die Polizei den Fahrzeugausweis sowie die Fahrzeugschlüssel beschlagnahmt und den Führerausweis des Beschwerdeführers vor Ort eingezogen. Der Beschwerdeführer habe das Abnahmeprotokoll, laut dem er die zulässige Höchstgeschwindigkeit um netto 66 km/h überschritten habe, unterzeichnet.
3.
3.1. Führerausweise werden entzogen, wenn die gesetzlichen Voraussetzungen zur Erteilung nicht oder nicht mehr bestehen (<ref-law>), u.a. wenn die Person auf Grund ihres bisherigen Verhaltens nicht Gewähr bietet, dass sie künftig beim Führen eines Motorfahrzeugs die Vorschriften beachten und auf Mitmenschen Rücksicht nehmen wird (<ref-law>). Wecken konkrete Anhaltspunkte ernsthafte Zweifel an der Fahreignung des Betroffenen, ist eine verkehrsmedizinische Untersuchung durch einen Arzt und/oder eine psychologische Abklärung durch einen Verkehrspsychologen anzuordnen (<ref-law>, <ref-law>). Wird eine verkehrsmedizinische Abklärung angeordnet, so ist der Führerausweis nach <ref-law> im Prinzip vorsorglich zu entziehen (<ref-ruling> E. 3 S. 401; Urteile des Bundesgerichts 1C_356/2011 vom 17. Januar 2012 E. 2.2; 1C_420/2007 vom 18. März 2008 E. 3.2 und 6A.17/2006 vom 12. April 2006 E. 3.2; vgl. auch 1C_256/2011 vom 22. September 2011 E. 2.5). Diesfalls steht die Fahreignung des Betroffenen ernsthaft in Frage, weshalb es unter dem Gesichtspunkt der Verkehrssicherheit grundsätzlich nicht zu verantworten ist, ihm den Führerausweis bis zum Vorliegen des Untersuchungsergebnisses zu belassen.
Der strikte Beweis für die Fahreignung ausschliessende Umstände ist nicht erforderlich; wäre dieser erbracht, müsste unmittelbar der Sicherungsentzug selbst verfügt werden. Können die notwendigen Abklärungen nicht rasch und abschliessend getroffen werden, soll der Ausweis schon vor dem Sachentscheid provisorisch entzogen werden können und braucht eine umfassende Auseinandersetzung mit sämtlichen Gesichtspunkten, die für oder gegen einen Sicherungsentzug sprechen, erst im anschliessenden Hauptverfahren zu erfolgen (<ref-ruling> E. 2b S. 495 f.; <ref-ruling> E. 3a S. 364 mit Hinweisen). Der vorsorgliche Entzug des Führerausweises bildet während eines Sicherungsentzugsverfahrens zum Schutz der allgemeinen Verkehrssicherheit die Regel (<ref-ruling> E. 5 S. 128; <ref-ruling> E. 3 S. 401).
3.2. Auch wenn es vom Beschwerdeführer anders empfunden wird, stellt der vorsorgliche Sicherungsentzug aus juristischer Sicht keine Sanktion dar (<ref-ruling> E. 4.2.1 S. 230 mit Hinweisen). Im Gegensatz zum Warnungsentzug, bei dem es um die Stichhaltigkeit einer strafrechtlichen Anklage gemäss Art. 6 Ziff. 1 EMRK geht (vgl. zuletzt Urteil des Europäischen Gerichtshofs für Menschenrechte i.S. Rivard gegen die Schweiz vom 4. Oktober 2016, 21563/12, Ziff. 23), ist der Sicherungsentzug nicht an ein strafrechtlich vorwerfbares schuldhaftes Verhalten geknüpft, sondern an die fehlende Fahreignung (vgl. <ref-ruling> E. 4 S. 250 mit Hinweisen; Urteil des Bundesgerichts 1C_497/2014 vom 10. Februar 2015 E. 4.1). Insoweit verfolgt der Sicherungsentzug eine andere Zielsetzung: Er bezweckt die Fernhaltung eines Fahrzeugführers vom Strassenverkehr aus Gründen der Verkehrssicherheit, und zwar unabhängig vom Verschulden. Dies verkennt der Beschwerdeführer, wenn er in seiner Eingabe den vorsorglichen Sicherungsentzug als "Strafe" bezeichnet (S. 6 f.), oder vorbringt, durch den seit dem 4. April 2016 dauernden vorsorglichen Entzug sei bereits eine "gewisse Erziehungsmassnahme" ausgesprochen worden (S. 3). Mit dem vorsorglichen Sicherungsentzug wird - entgegen der Auffassung des Beschwerdeführers - kein Schuldvorwurf begründet, weshalb die Minimalgarantien für strafrechtliche Anklagen gemäss Art. 6 EMRK und <ref-law> - insbesondere die hier von ihm als verletzt gerügte Unschuldsvermutung - keine Anwendung finden (BGE <ref-ruling> E. 2c S. 363 mit Hinweis; vgl. BERNHARD WALDMANN/SIMON HENSELER, Die Abnahme des Führerausweises durch die Polizei [<ref-law>], in: recht 1/2016, S. 61 mit Hinweisen; PHILIPPE WEISSENBERGER, Kommentar SVG, 2. Aufl. 2015, Rz. 19 zu <ref-law> mit Hinweisen). Die Beschwerde erweist sich in diesem Punkt als unbegründet und ist abzuweisen.
4.
Als Gericht im Sinne von Art. 6 Ziff. 1 EMRK bzw. von <ref-law> gilt eine Behörde, die nach Gesetz und Recht in einem justizförmigen, fairen Verfahren begründete und bindende Entscheidungen über Streitfragen trifft. Sie braucht nicht in die ordentliche Gerichtsstruktur eines Staates eingegliedert zu sein, muss jedoch organisatorisch und personell, nach der Art ihrer Ernennung, der Amtsdauer, dem Schutz vor äusseren Beeinflussungen und nach ihrem äusseren Erscheinungsbild sowohl gegenüber anderen Behörden als auch gegenüber den Parteien unabhängig und unparteiisch sein (vgl. <ref-ruling> E. 4.2 S. 104 und 126 I 228 E. 2a/bb S. 230 f.). Nebst den Merkmalen der Unabhängigkeit und Unparteilichkeit gehört zu seinem Wesen, dass ein Gericht die rechtserheblichen Tatsachen selber erhebt, die Rechtssätze auf diesen in einem rechtsstaatlichen Verfahren ermittelten Sachverhalt anwendet und für die Parteien bindende Entscheidungen in der Sache fällt (vgl. <ref-ruling> E. 5a S. 478; <ref-ruling> E. 1c S. 63). Es muss über umfassende Kognition in tatsächlicher und rechtlicher Hinsicht verfügen (vgl. <ref-ruling> E. 4.2 S. 104; <ref-ruling> E. 3a S. 90; <ref-ruling> E. 2a S. 34 und 144 E. 3c S. 152).
Soweit der Beschwerdeführer vorbringt, die Vorinstanz sei keine unabhängige richterliche Behörde, ist Folgendes zu bemerken: Gemäss Art. 3 des kantonalen Strassenverkehrsgesetzes des Kantons Bern vom 27. März 2006 (KSVG; BSG 761.11) entscheidet eine verwaltungsunabhängige Rekurskommission über Beschwerde betreffend Administrativmassnahmen gegenüber Fahrzeugführerinnen und Fahrzeugführern sowie betreffend das Ergebnis von Führerprüfungen und Kontrollfahrten. Sie ist ein Gericht, das kantonal letztinstanzlich mit voller Kognition über Sachverhalts- und Rechtsfragen entscheidet (vgl. Art. 2 Abs. 3 Bst. e, Art. 4 und Art. 74 Abs. 1 des Gesetzes über die Organisation der Gerichtsbehörden und der Staatsanwaltschaft vom 11. Juni 2009 [GSOG; BSG 161.1] sowie Art. 66 und Art. 76 Abs. 1 Bst. c des Gesetzes über die Verwaltungsrechtspflege vom 23. Mai 1989 [VRPG; BSG 155.21]). Die Richterinnen und Richter der Rekurskommission werden vom Grossen Rat des Kantons Bern für eine Amtsdauer von sechs Jahren gewählt, die Präsidentin oder der Präsident für drei Jahre (Art. 21 Abs. 1, Art. 24 Abs. 1, Art. 25 Abs. 4 GSOG). Sie dürfen weder dem Grossen Rat noch dem Regierungsrat noch der kantonalen Verwaltung angehören (Art. 27 Abs. 1 GSOG). Das Verfahren vor der Rekurskommission richtet sich nach dem VRPG (Art. 86, wobei die Art. 65-73 sinngemäss Anwendung finden). Entgegen der Auffassung des Beschwerdeführers sind nach dem Ausgeführten die konventions- und verfassungsrechtlichen Anforderungen an eine richterliche Behörde ohne Weiteres erfüllt (vgl. auch Art. 86 Abs. 2 und Art. 110 BGG).
5.
5.1. Der Beschwerdeführer rügt die Verletzung der Wirtschaftsfreiheit (<ref-law>). Diese umfasst insbesondere die freie Wahl des Berufes sowie den freien Zugang zu einer privatwirtschaftlichen Erwerbstätigkeit und deren freie Ausübung (<ref-law>). Beschränkungen sind unter den für Grundrechtseingriffe allgemein geltenden Voraussetzungen des <ref-law> zulässig.
Wie die Vorinstanz zutreffend festgehalten hat, stellt <ref-law>, der sich auf <ref-law> abstützt, eine hinreichende gesetzliche Grundlage i.S.v. <ref-law> dar, weshalb hier von einer akzessorischen Normenkontrolle abgesehen werden kann. Soweit der Beschwerdeführer sinngemäss vorbringt, die Massnahme sei unverhältnismässig (<ref-law>) und beeinträchtige ihn als Hotelier sehr, ist zunächst festzustellen, dass ihm die Berufsausübung nicht untersagt ist. Allerdings darf er keine Fahrzeuge während des vorsorglichen Sicherungsentzugs selber lenken und ist insoweit auf eine andere Person angewiesen. Diesbezügliche vom Beschwerdeführer vorgebrachte logistische Probleme lassen sich lösen. Im Übrigen legt er auch nicht substantiiert dar, dass er als Unternehmer im Tourismussektor in besonderer Weise auf ein Motorfahrzeug angewiesen ist (wie z.B. ein Berufschauffeur oder ein Taxifahrer). Dass er in seiner wirtschaftlichen Existenz bedroht ist, wird nicht vorgebracht. Damit ist eine Verletzung der Wirtschaftsfreiheit, die der vorliegenden Massnahme entgegenstehen könnte, nicht ersichtlich.
5.2. Da der Führerausweis, wie soeben ausgeführt, nicht unbedingt zur Berufsausübung notwendig ist und somit keine zivilrechtlichen Ansprüche und Verpflichtungen i.S.v. Art. 6 Ziff. 1 EMRK zur Disposition stehen (<ref-ruling> E. 3b und c; Urteil 1C_622/2014 vom 24. April 2015 E. 3.1.1 und 6A.48/2002 vom 9. Oktober 2002 E. 7.4.2 [nicht publiziert in <ref-ruling>]), bestand vor der Vorinstanz kein Anspruch auf eine mündliche Verhandlung. Mangels anderer einschlägiger spezialgesetzlicher Vorschriften konnte deshalb das Verfahren schriftlich durchgeführt werden (Art. 31 VRPG). Dies hat, wie das Strassenverkehrs- und Schifffahrtsamt in seiner Vernehmlassung zutreffend hervorhebt, den Beschwerdeführer nicht daran gehindert, sich zum Sachverhalt zu äussern, Beweismittel einzureichen und seine Zweifel an den polizeilichen Ermittlungsergebnissen vorzubringen. Entgegen der Auffassung des Beschwerdeführers liegt auch keine Gehörsverletzung (<ref-law>) vor, wenn ein Gericht auf die Abnahme beantragter Beweismittel verzichtet, weil es aufgrund der bereits abgenommenen Beweise seine Überzeugung gebildet hat und ohne Willkür in vorweggenommener Beweiswürdigung annehmen kann, dass seine Überzeugung durch weitere Beweiserhebungen nicht geändert würde (<ref-ruling> E. 5.2 und 5.3 S. 236 f.).
6.
Nach dem Gesagten ist die Beschwerde als unbegründet abzuweisen, soweit darauf eingetreten werden kann. Bei diesem Ausgang des Verfahrens wird der Beschwerdeführer kostenpflichtig (<ref-law>). Eine Parteientschädigung ist nicht zuzusprechen (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 3'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer, dem Strassenverkehrs- und Schifffahrtsamt des Kantons Bern und der Rekurskommission des Kantons Bern für Massnahmen gegenüber Fahrzeugführerinnen und Fahrzeugführern schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 7. November 2016
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Fonjallaz
Der Gerichtsschreiber: Misic