Faits :
A.
A.a. B._ est un ressortissant... ayant exercé de hautes fonctions politiques dans son pays. Pendant quelques années, il a recherché des investisseurs pour le compte d'une banque. Il a en outre présidé un fonds d'investissements étatique.
Le 10 juin 1999, le prénommé (ci-après: le client) a ouvert un compte auprès de Banque A._ SA (ci-après: la banque) à Genève. Il a signé des documents préformulés rédigés en espagnol, en particulier les conditions générales de la banque et un acte de nantissement. Ceux-ci prévoient l'application du droit suisse aux relations entre la banque et le client, y compris celles en rapport avec le gage. Le for est fixé au siège de la banque ou auprès de sa succursale concernée.
En substance, l'art. 13 des conditions générales énonce que pour toutes les prétentions résultant des relations d'affaires avec le client, sans égard à leur échéance, la banque bénéficie d'un droit de gage et, pour ses créances, d'un droit de compensation sur tous les avoirs et valeurs du client reposant sous sa garde chez elle ou ailleurs pour le compte du client.
Selon l'art. 1 de l'acte de nantissement, le client déclare conférer à la banque un droit de gage sur tous ses biens et droits qui se trouvent actuellement ou qui pourraient être déposés ultérieurement auprès de la banque ou se trouver en sa possession, y compris sur les valeurs non incorporées dans un titre, ainsi que sur ses droits et créances à l'égard de la banque. En ce qui concerne les biens et droits que la banque a confiés, en son nom propre, en dépôt à des tiers en Suisse ou à l'étranger, le constituant déclare également nantir en faveur de la banque tous les droits s'y rattachant, notamment le droit de restitution et tous les droits de copropriété afférents à des dépôts collectifs en Suisse ou à l'étranger.
L'art. 5 du même acte précise que les gages ainsi que les créances et autres droits nantis et cédés garantissent toutes les créances actuelles ou futures de la banque envers le constituant notamment en capital, intérêts, commissions, frais de poursuite et de procédure d'exécution, ainsi que tous les autres frais y afférents ou en rapport avec la réalisation des sûretés.
A.b. Le client a effectué divers placements.
Le 19 juin 2001, il a ordonné à la banque d'acquérir des parts dans le fonds Fairfield Sentry Ltd (ci-après: Fairfield) pour un total de $ 100'000.-. Le même jour, il a signé un document préimprimé rédigé en anglais dans lequel il certifiait avoir donné l'instruction à la banque d'entreprendre cette opération pour son propre compte et à ses propres risques, caractérisés en particulier par les traits suivants: haut degré de volatilité, valeur influencée par la situation économique du pays, mauvaise évaluation, instabilité de la valeur, faible liquidité du marché, etc. Le signataire confirmait avoir entrepris ces opérations sur son initiative personnelle et non sur celle de la banque. Il attestait avoir une compréhension adéquate des mécanismes du marché financier susceptible d'être hautement spéculatif. Il déchargeait la banque de toute responsabilité pour les opérations couvertes par cette déclaration, sauf en cas de faute sérieuse.
A.c. En 2006, un collaborateur de la banque a conseillé au client de vendre complètement deux participations dont celle dans le fonds Fairfield. Le client n'a accepté de vendre que la moitié des parts de ce fonds qui lui donnait satisfaction. Il a ainsi ordonné à la banque de vendre 66,08 parts du fonds Fairfield, ce qui a été fait le 15 mai 2006 pour un montant total de $ 75'004,37. Après déduction de la commission de courtage de la banque ($ 1'245,10), le compte du client a été crédité de $ 73'759,27.
En 2008, le même collaborateur a conseillé au client de vendre tous ses investissements en hedge fund. L'intéressé, dans un courriel du 21 octobre 2008, a suggéré de ne pas vendre les parts dans Fairfield qui était "très bien même pendant la crise".
En décembre 2008, la découverte de la fraude de Bernard Madoff a révélé que les parts du fonds Fairfield n'avaient plus de valeur. La banque a informé le client que ledit fonds avait investi dans une société de Madoff et que son évaluation était suspendue.
A.d. Le 14 mai 2010, les liquidateurs du fonds Fairfield ont ouvert action aux Etats-Unis contre la banque et "les ayants droit économiques des comptes ouverts au nom de la banque 1-1000". Ils réclamaient la restitution des montants versés en contrepartie des ventes de parts; la valeur des parts aurait été surestimée, eu égard à la fraude sur laquelle le fonds reposait. Des actions similaires ont été introduites contre de nombreuses autres banques.
Le 26 juillet 2010, la banque a informé le client de cette action et a déclaré bloquer ses avoirs. Dans un courrier ultérieur, elle a fait valoir son droit de gage sur les avoirs du client en garantie de la créance qui pourrait naître de la procédure aux Etats-Unis, laquelle tendait au remboursement du prix qu'elle avait encaissé pour son compte en mai 2006 lors de la vente des parts Fairfield; la banque invoquait l'<ref-law>, les conditions générales et l'acte de nantissement.
Le client a pris un avocat étranger qui a émis entre octobre 2010 et juillet 2011 des notes d'honoraires d'un montant total de $ 6'238.-.
En date du 14 octobre 2011, les avoirs du client avaient la composition suivante:
- EUR 991,80 sur un compte en euros;
- $ 24'744,39 sur un compte en dollars américains;
- 433 parts du fonds F1._,
d'une valeur de $ 48'379.-;
- 85,9484 parts du fonds F2._,
d'une valeur de $ 90'231.-;
- 133,92 parts du fonds Fairfield,
d'une valeur de $ 0.-.
B.
B.a. Le client a saisi l'autorité de conciliation le 21 décembre 2011, puis déposé une demande le 2 mai 2012 devant le Tribunal de première instance du canton de Genève. Il requérait que la banque soit condamnée à lui verser EUR 991,80 et $ 30'983,21, et à lui restituer les titres énoncés ci-dessus sous la menace de peine prévue à l'<ref-law>. Subsidiairement à sa conclusion relative aux titres, il concluait au paiement de $ 57'610.-.
La banque a conclu au rejet.
Par jugement du 27 juin 2014, le Tribunal de première instance a condamné la banque à restituer au client les participations précitées et à lui payer les montants de EUR 991,80 et $ 24'744,39.
B.b. Statuant sur appel de la banque et appel joint du client, la Cour de justice genevoise a complété cette décision en ce sens que la banque doit de surcroît payer au client $ 6'238.- pour ses frais d'avocat avant procès. En substance, la cour a jugé que la banque ne pouvait pas se prévaloir du droit de libération conféré au mandataire par l'<ref-law>. Quant au droit de gage découlant de l'acte de nantissement et des conditions générales, il ne pouvait garantir que des créances auxquelles les parties pouvaient raisonnablement penser lors de la constitution du gage; or, celles-ci ne pouvaient imaginer que l'investissement dans le fonds Fairfield serait l'objet d'une escroquerie qui amènerait les liquidateurs du fonds à actionner la banque et les investisseurs. Une telle imprévisibilité excluait que la créance invoquée soit couverte par le droit de gage (cf. au surplus infra consid. 2.3.2 et 3.3.1).
C.
La banque a saisi le Tribunal fédéral d'un recours en matière civile dans lequel elle requiert que les conclusions du client soient entièrement rejetées. Elle a en outre déposé une requête d'effet suspensif qui a été admise par ordonnance du 10 novembre 2015.
Le client a conclu au rejet du recours. L'autorité précédente n'a pas déposé de déterminations.

Considérant en droit :
1.
Les conditions de recevabilité du recours en matière civile sont réalisées sur le principe, en particulier l'exigence d'une valeur litigieuse minimale de 30'000 fr. (<ref-law>).
2.
2.1. Le client prétend au paiement du solde de ses deux comptes bancaires, à la remise des parts acquises dans trois fonds et à l'indemnisation de ses frais d'avocat avant procès. La banque objecte que l'acte de nantissement signé par le client lui confère un droit de gage en garantie de la créance qu'elle détient ou pourrait détenir contre le client du fait de l'action intentée contre elle par les liquidateurs du fonds Fairfield.
2.2. L'applicabilité du droit suisse n'est pas contestée.
Le gage mobilier est régi par les <ref-law>. Sa constitution nécessite un contrat par lequel le débiteur manifeste la volonté de créer un droit de gage. La créance garantie doit être déterminable, tout comme l'objet du gage (cf. entre autres PAUL-HENRI STEINAUER, Les droits réels, t. III, 4 e éd. 2012, n os 3133, 3135, 3145 ss et 3208g).
Dans le cas présent, l'"acte de nantissement" signé par le client exprime la volonté de constituer un droit de gage. Il définit de manière large mais déterminable l'objet du gage. Servent en particulier de garantie les créances du client à l'égard de la banque, ce qui inclut la créance en remboursement du solde d'un compte courant; le débiteur peut effectivement constituer un gage sur une créance qu'il détient lui-même contre le créancier gagiste (cf. <ref-ruling> consid. 3 trad. in JT 1992 II 114; <ref-ruling> consid. 2a p. 120; cf. par ex. BÉNÉDICT FOËX, Sûretés bancaires et droits réels, in Sûretés et garanties bancaires, 1997, p. 137 i.f.-138; DIETER ZOBL, Berner Kommentar, 2 e éd. 1996, n° 44 ad <ref-law>). Au moment où cette créance devient exigible, le créancier gagiste peut retenir le montant dû, respectivement procéder à une compensation si sa propre créance garantie par le gage est aussi exigible (OFTINGER/BÄR, Zürcher Kommentar, 3 e éd. 1981, n° 32 ad art. 891 et n° 49 ad <ref-law>).
Quand bien même aucune précision n'est donnée quant à la nature des participations visées par la demande en restitution, il faut sans autre admettre qu'elles entrent dans la définition large de l'objet du gage, qui porte aussi sur les biens et droits que la banque a déposés en son nom propre auprès de tiers. Le client ne soutient du reste pas le contraire.
L'"acte de nantissement" ayant été signé par le client, il satisfait à l'exigence de forme écrite valant pour la constitution de gage sur des créances ou autres droits non incorporés dans un papier-valeur (art. 899-901 CC; cf. par ex. STEINAUER, op. cit., n° 3208a).
2.3.
2.3.1. Comme l'objet du gage, la créance garantie doit être suffisamment déterminée. L'<ref-law> s'oppose à ce qu'un débiteur constitue un droit de gage pour garantir toutes les créances futures que son créancier pourrait avoir contre lui, sans que celles-ci soient définies par une limite dans le temps, par le genre d'affaires dont elles résultent ou par la manière dont le créancier les a acquises; un tel engagement est une atteinte inadmissible à la liberté personnelle (<ref-ruling> consid. 5 p. 263; STEINAUER, op. cit., n° 3134). Le gage est admissible s'il garantit des créances auxquelles le constituant pouvait raisonnablement penser lors de la constitution du droit (ATF 51 II 273 consid. 4 p. 282). Est par exemple licite la clause prévoyant que la garantie s'étend à toutes les créances résultant des relations d'affaires entre une banque et son client (cf. arrêt 4A_435/2009 du 11 novembre 2009 consid. 3.3.1; STEINAUER, op. cit., n° 3134a.; ZOBL/THURNHERR, Berner Kommentar, 3 e éd. 2010, n° 457 ss ad <ref-law>; FOËX, op. cit., p. 143). En revanche, ne sont pas couvertes les prétentions résultant d'un acte illicite sans aucun rapport avec la relation d'affaires (<ref-ruling> consid. 2 p. 49 s.; ZOBL/THURNHERR, op. cit., n° 472 ad <ref-law>).
Lorsque le contrat de gage contient un engagement excessif, la couverture offerte par le droit de gage doit être ramenée à ce qui est admissible, que ce soit par une interprétation restrictive ou en vertu de l'<ref-law> (<ref-ruling> consid. 4a; <ref-ruling> consid. 2 p. 49; THOMAS BAUER, in Basler Kommentar, 5 e éd. 2015, n° 89 ad <ref-law>).
2.3.2. En l'occurrence, la Cour de justice a jugé que les parties, à la conclusion du contrat de gage, ne pouvaient pas imaginer que l'investissement opéré par le client sur les conseils de la banque, au moyen du compte ouvert chez elle, serait l'objet d'une escroquerie amenant les liquidateurs du fonds à ouvrir action contre la banque; une telle imprévisibilité excluait d'étendre le droit de gage à la créance invoquée, qui n'était par ailleurs ni exigible, "ni même née dans le cas d'un échec de l'action ouverte contre la banque".
L'on trouve la même analyse dans un ouvrage doctrinal (DANIEL A. ET ANATH GUGGENHEIM, Les contrats de la pratique bancaire suisse, 5 e éd. 2014, p. 204 n. 590 s.).
Ce point de vue ne saurait être suivi.
2.3.3. Le contrat de gage précise que sont garanties "toutes les créances actuelles ou futures de la banque envers le constituant". Que ce soit par l'interprétation ou par l'application de l'<ref-law>, il faut admettre qu'en réalité, cette formule ne peut englober que les créances résultant des relations d'affaires en cours ou envisageables entre la banque et le client. Tel est du reste ce que prévoit l'art. 13 des conditions générales signées par le client, qui institue également un droit de gage.
Le client a expliqué qu'il voulait déposer son argent dans une banque sérieuse et en même temps obtenir un rendement, ce que ne procure pas de façon significative un simple compte courant ou de dépôt. A cela s'ajoute que l'acte de nantissement utilise des termes tels que titres, papiers-valeurs, dépôts collectifs. Dans ce contexte, l'acquisition d'actions, d'obligations, de parts dans des fonds de placement ou autre investissement de ce type est une opération que pouvait et devait envisager le client à l'ouverture de son compte bancaire.
Le client a acquis des parts dans un fonds d'investissement, puis les a revendues et touché le produit de vente, que la banque a encaissé pour lui et reversé sur son compte; les liquidateurs du fonds réclament à la banque la restitution du produit de vente au motif que les parts ont été surévaluées. La créance dont se prévaut la banque est étroitement liée à une opération d'investissement s'inscrivant dans des relations d'affaires prévisibles. Contrairement à l'analyse de l'autorité précédente, il faut admettre qu'une telle créance est couverte par le droit de gage.
3.
3.1. Il faut encore examiner si la banque peut à ce stade exercer une prérogative de son droit de gage en refusant de restituer au client le solde de ses comptes et ses parts dans différents fonds. La Cour de justice a souligné que la créance n'était pas exigible et même hypothétique puisque l'action des liquidateurs était susceptible d'être rejetée.
3.2.
3.2.1. Tout d'abord, le client reproche à la banque de ne pas avoir allégué ni prouvé que la procédure ouverte aux Etats-Unis vise en particulier le produit de la vente de ses parts qu'il a touché en mai 2006. La banque a produit une pièce procédurale datée du 16 juillet 2012 prétendument accessible sur Internet, destinée à prouver que la procédure américaine porte notamment sur le montant de $ 75'000 versé le 15 mai 2006.
3.2.2. Dans sa réponse du 15 février 2013, la banque a allégué en substance que les liquidateurs du fonds Fairfield avaient ouvert action contre elle et les ayants droit économiques des remboursements de parts de fonds intervenus postérieurement au 17 mai 2004 (all. 21). A l'appui de cet allégué, elle a notamment produit l'acte du 14 mai 2010 ouvrant la procédure américaine, dont il ressort effectivement que celle-ci vise les remboursements accordés par le fonds depuis et après le 17 mai 2004. Le client a de toute façon admis cet allégué.
Il est par ailleurs constant que sur instruction du client, 66,08 parts du fonds Fairfield ont été vendues le 15 mai 2006 et le produit de vente ($ 75'004,37) crédité sur son compte après déduction d'une commission de courtage.
Ce remboursement s'inscrit clairement dans la période visée par la procédure américaine. Il est ainsi établi que cette procédure vise notamment le remboursement dont le client a bénéficié en 2006. Cas échéant, il incombait au client de rapporter la contre-preuve que la somme totale exigée par les liquidateurs du fonds n'incluait pas le remboursement de ses propres parts, ce qu'il n'a pas tenté de faire. Il s'ensuit le rejet du grief sans qu'il soit nécessaire de statuer sur la recevabilité de la pièce produite, qui est fortement sujette à caution au regard de l'<ref-law>.
3.3.
3.3.1. Se pose ensuite la question du fondement de la créance invoquée par la banque. En appel, celle-ci s'est prévalue de l'<ref-law>.
Selon cette disposition, le mandant doit rembourser au mandataire les avances et frais que celui-ci a faits pour l'exécution régulière du mandat, et le libérer des obligations par lui contractées (al. 1). Le mandant doit aussi l'indemniser du dommage causé par l'exécution du mandat, s'il ne prouve que ce dommage est survenu sans sa faute (al. 2).
La Cour de justice a exclu l'application du premier alinéa au motif déjà que l'issue de l'action intentée contre la banque était inconnue, et pour le moins incertaine; d'autres éléments faisaient en outre douter de son applicabilité. La cour n'a pas discuté de l'<ref-law> comme la banque elle-même ne l'invoquait pas.
A l'encontre de cette analyse, la banque plaide que sa créance découle de la relation fiduciaire entretenue avec le client, en vertu de laquelle elle a été amenée à acheter les parts Fairfield en son propre nom mais pour le compte du client; les parties auraient convenu que le client assumait seul les risques de cette opération financière, et donc notamment le risque d'une baisse de valeur ou d'une action en répétition portant sur le produit de la vente des parts. La situation serait la même que dans l'arrêt 4A_429/2014, où le Tribunal fédéral a admis un devoir de libérer la banque. La Cour de justice aurait méconnu cette jurisprudence et arbitrairement omis d'indiquer dans l'état de fait divers éléments permettant de conclure à l'existence d'une relation fiduciaire.
3.3.2. Le Tribunal fédéral a déjà été saisi d'une affaire très semblable dans laquelle une banque avait bloqué les comptes d'une cliente après l'ouverture d'une action en remboursement intentée par les liquidateurs du fonds Fairfield (arrêt 4A_429/2014 du 20 juillet 2015). La cliente avait fait revendre ses parts dans ledit fonds en septembre 2008 et avait touché un bénéfice substantiel, peu avant que l'escroquerie de Madoff soit découverte en décembre 2008.
Par jugement du 27 mai 2014, le Tribunal de commerce du canton de Zurich avait en substance jugé que l'<ref-law> conférait à la banque le droit d'être libérée par la cliente, que ce soit de façon externe vis-à-vis du fonds Fairfield ou de façon interne sous la forme d'une couverture suffisante. En conséquence, cette autorité avait rejeté l'action de la cliente tendant à ce que la banque lui restitue une partie du montant figurant sur ses comptes.
La cour de céans a rappelé que la portée des alinéas 1 et 2 de l'<ref-law> est discutée en doctrine et a évoqué la jurisprudence y relative. Elle a renoncé à se prononcer plus avant en soulignant que l'<ref-law> est de nature dispositive, ce qui permet aux cocontractants de lui donner une portée plus large ou plus étroite. Examinant la relation entre la banque et la cliente, elle a constaté que la banque avait agi en tant que fiduciaire, en son propre nom mais pour le compte de la cliente. L'accord conclu l'obligeait uniquement à exécuter les ordres de la cliente, qui retirait seule les profits et les risques des opérations demandées. De même que la cliente assumait les profits et les risques d'une hausse ou baisse de cours tant qu'elle conservait ses parts, de même retirait-elle les profits et les risques découlant de la vente de parts exécutée régulièrement par la banque sur la base de ses instructions. La cliente répondait ainsi du risque que la valeur des parts soit quasi nulle au moment de son ordre de vente. En bref, le devoir de libérer la banque pour la créance invoquée dans la procédure américaine découlait directement de l'accord convenu entre parties (consid. 6.2.5 et 6.3). Le Tribunal fédéral a donc confirmé le rejet de l'action, sans examiner la question des droits de gage et de rétention qui n'était plus discutée, ni le point de savoir si le devoir de libération existait nonobstant le fait que la dette de la mandataire était contestée et faisait l'objet d'une procédure pendante.
3.3.3. Comme dans l'affaire zurichoise, les liquidateurs ont agi contre la banque et contre les ayants droit économiques des remboursements de parts, mais sans désigner ceux-ci nommément; il n'apparaît pas que les demandeurs aient été en mesure d'identifier les clients pour le compte desquels la banque a agi. Il y a là un indice d'une relation fiduciaire.
Quoi qu'il en soit, l'élément déterminant dans l'arrêt 4A_429/2014 est que l'accord convenu faisait assumer entièrement par la cliente les profits et les risques de son investissement dans le fonds Fairfield, en particulier le risque de perte de valeur tant qu'elle conservait ses parts, et partant le risque d'une demande de remboursement en cas de surévaluation des parts revendues. Or, la lecture des décisions cantonales conduit à la conclusion que ces caractéristiques sont aussi réunies dans le cas présent.
Le jugement de première instance et l'arrêt sur appel mettent en exergue les éléments suivants: les parties étaient liées par une relation de compte courant/dépôt et conseil en placement ponctuel. La banque a touché une "commission de courtage" sur le prix de vente des parts du fonds Fairfield. Si elle a contribué à ce que le client prenne la décision d'acquérir ces parts, aucune violation contractuelle ne peut lui être reprochée. Elle n'était pas tenue de suivre l'évolution du fonds ni de conseiller au client de modifier l'affectation de ses capitaux en cas de changement de situation.
Au moment d'acquérir des parts du fonds litigieux, le client - qui avait exercé diverses fonctions politiques de haut niveau et dans le domaine financier - a signé une déclaration certifiant qu'il avait ordonné à la banque d'entreprendre cette opération pour son propre compte et à ses propres risques. Il a agi à sa guise lorsque le collaborateur de la banque lui a conseillé de revendre ses participations.
Tous ces éléments démontrent que les parties se sont accordées sur le fait que le client assumait entièrement les profits et les risques de l'investissement dans le fonds Fairfield. De même que le client doit supporter la perte de valeur des parts encore détenues, de même doit-il supporter le risque d'une répétition du produit touché pour la revente de certaines parts.
En bref, la banque peut déduire de sa relation contractuelle avec le client un droit d'être libérée de la prétention en remboursement formulée contre elle dans la procédure américaine.
3.4.
3.4.1. Le client objecte que la créance de la banque est incertaine. La Cour de justice a aussi relevé cet élément, en soulignant que le sort de la procédure américaine était plus incertain que dans l'affaire zurichoise précitée: en effet, la vente des parts litigieuse avait eu lieu plus de deux ans avant la découverte des fraudes, et rien n'indiquait qu'à ce moment-là, les parts du fonds n'avaient pas la valeur qui leur avait été attribuée. La cour ajoutait que l'on ne pouvait exclure la prescription d'éventuelles prétentions en enrichissement illégitime.
3.4.2. A l'instar de l'hypothèque (<ref-law>), le gage mobilier peut garantir une créance actuelle, future, conditionnelle ou simplement éventuelle (ATF 71 II 262 consid. 1 p. 264; BAUER, op. cit., n° 55 ad <ref-law>; ZOBL/THURNHERR, op. cit., n° 234 s. ad <ref-law> et les réf. citées). S'agissant du nantissement (<ref-law>), jurisprudence et doctrine majoritaire admettent que le gage est constitué et prend rang dès que la possession de l'objet grevé est transférée au créancier, et non pas quand la créance future prend naissance (ATF 51 II 273 consid. 2 p. 278 s.; STEINAUER, op. cit., n° 3132; ZOBL/THURNHERR, op. cit., n° 239 ad <ref-law>; OFTINGER/BÄR, op. cit., n° 123 ad art. 884 et n° 13 ad <ref-law>, qui réservent un accord spécial des parties; apparemment contra TUOR ET ALII, Das Schweizerische Zivilgesetzbuch, 14 e éd. 2015, p. 1333 n. 9; critique, FOËX, op. cit., p. 141 s.). Dans la pratique bancaire, certaines conditions générales prévoient que le droit de gage ne naît qu'avec la créance. Un auteur est d'avis que cette solution s'impose déjà par interprétation du contrat de gage préformulé; en effet, la banque n'entend pas d'emblée mettre la main sur les valeurs patrimoniales du client alors qu'aucune affaire de crédit n'est encore en vue (CHRISTIAN THALMANN, Das Pfand- und Verrechnungsrecht nach den Allgemeinen Geschäftsbedingungen der Banken, in SAS 1989 p. 141 s.). Un autre auteur opère une distinction entre le moment où le gage prend naissance du fait de la possession et le moment, ultérieur, où il peut être invoqué, soit lorsque la créance de la banque est née (BAUER, op. cit., n os 56 et 85 ad <ref-law>).
3.4.3. Les documents préformulés ne comprennent pas de clause selon laquelle le droit de gage ne naît qu'avec la créance. Sans doute la banque ne peut-elle pas d'emblée exercer les prérogatives de son droit de gage sur les avoirs du client en prévision d'hypothétiques créances futures. En l'occurrence toutefois, la banque est l'objet d'une procédure visant à obtenir la répétition du montant touché par le client pour la vente de ses parts, répétition que le client devra supporter économiquement si l'action aboutit (supra consid. 3.3.3). Il faut admettre que cet élément est suffisant pour que la banque puisse exercer ses prérogatives en retenant les participations du client dans divers fonds et en refusant de restituer le solde de ses comptes bancaires.
3.5. Le client ne plaide pas que les éléments retenus par la banque excèdent de façon injustifiée la valeur de la créance à garantir. Il ne fait pas non plus valoir que les parts dans le fonds Fairfield sont totalement dépourvues de valeur patrimoniale. Il n'y a dès lors pas à examiner ces questions (<ref-law>).
3.6. Pour les motifs qui précèdent, la banque était en droit de s'opposer à la demande du client en tant qu'elle visait à obtenir le solde de ses comptes bancaires et la restitution des parts dans différents fonds. La demande de dédommagement pour les frais d'avocat avant procès s'en trouve par-là même privée d'objet.
4.
En définitive, le recours doit être admis et l'arrêt attaqué doit être annulé. L'action intentée par le client est rejetée. La cause est renvoyée à l'autorité précédente pour qu'elle statue sur les frais et dépens de la procédure cantonale.
5.
La banque recourante obtient gain de cause. Par conséquent, le client intimé supportera les frais de la présente procédure et versera à la banque une indemnité de dépens pour ses frais d'avocat (art. 66 al. 1 et art. 68 al. 1 et 2 LTF).

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce :
1.
Le recours est admis. L'arrêt attaqué est annulé. L'action intentée par le demandeur est rejetée.
2.
Les frais judiciaires, fixés à 4'500 fr., sont mis à la charge du demandeur.
3.
Le demandeur versera à la défenderesse une indemnité de 5'500 fr. à titre de dépens.
4.
La cause est renvoyée à l'autorité précédente pour qu'elle rende une nouvelle décision sur les frais et dépens de la procédure cantonale.
5.
Le présent arrêt est communiqué aux mandataires des parties et à la Chambre civile de la Cour de justice du canton de Genève.
Lausanne, le 1er avril 2016
Au nom de la Ire Cour de droit civil
du Tribunal fédéral suisse
La Présidente: Kiss
La Greffière: Monti