Sachverhalt:
A.
A.A._ (geb. xx.xx.1961; Beschwerdeführerin) und B.A._ (geb. xx.xx.1960; Beschwerdegegner 2) sind die verheirateten Eltern von C.A._ (geb. xx.xx.2006; Betroffener). A.A._ und B.A._ trennten sich im Dezember 2009 und seit September 2012 ist das Scheidungsverfahren hängig. C.A._ verblieb nach der Trennung unter der alleinigen Obhut der Kindsmutter. Mit Verfügung vom 7. April 2016 ordnete das Bezirksgericht Zürich im Rahmen des Scheidungsverfahrens superprovisorisch den Entzug der Obhut und des Aufenthaltsbestimmungsrechts über C.A._ an und brachte diesen in der Institution D._ unter. Mit Verfügung vom 15. Juli 2016 bestätigte das Bezirksgericht diese Anordnungen als vorsorgliche Massnahmen.
B.
Am 28. Juli 2016 reichte A.A._ hiergegen Berufung beim Obergericht Zürich ein und beantragte die Aufhebung der vorsorglichen Massnahmen. Ausserdem ersuchte sie darum, B.A._ zu verpflichten, ihr für das Berufungsverfahren einen Prozesskostenvorschuss von Fr. 8'000.-- (zzgl. MWSt) zu leisten. Eventuell sei ihr die unentgeltliche Rechtspflege zu gewähren und ihr ihr Rechtsvertreter als unentgeltlicher Rechtsbeistand beizuordnen.
Mit Beschluss vom 16. August 2016 (eröffnet am 18. August 2016) trat das Obergericht auf die Anträge auf Zusprechung eines Prozesskostenvorschusses und Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege nicht ein (Dispositivziffer 1). Ausserdem setzte sie A.A._ eine Frist von zehn Tagen zur Leistung eines Kostenvorschusses von Fr. 5'500.-- an, unter Androhung des Nichteintretens auf die Berufung für den Fall, dass dieser nicht bezahlt wird (Dispositivziffer 2).
C.
Mit Beschwerde in Zivilsachen vom 19. September 2016 gelangt A.A._ an das Bundesgericht und stellt folgende Anträge:
"1. Die Dispositivziffern 1 und 2 des angefochtenen Entscheids seien aufzuheben.
2. Die Vorinstanz sei zu verpflichten, der Beschwerdeführerin Frist zur Einreichung der Begründung zu den Anträgen betreffend Prozesskostenvorschuss und unentgeltliche Rechtspflege anzusetzen.
3. Der Beschwerdegegner [2] sei zu verpflichten, der Beschwerdeführerin für das Beschwerdeverfahren vor Bundesgericht einen Prozesskostenvorschuss von CHF 3'000.00 zuzüglich MwSt zu bezahlen.
4. Eventuell sei der Beschwerdeführerin für das Beschwerdeverfahren vor Bundesgericht die unentgeltliche Rechtspflege zu gewähren, und es sei ihr in der Person des Unterzeichners ein unentgeltlicher Rechtsbeistand zu bestellen."
Das Bundesgericht hat die kantonalen Akten, indessen keine Vernehmlassung eingeholt.

Erwägungen:
1.
1.1. Angefochten ist der Entscheid einer letzten kantonalen Instanz (<ref-law>), mit dem auf das Gesuch um Zusprechung eines Prozesskostenvorschusses und eventuell Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege nicht eingetreten wurde. Hierbei handelt es sich um einen Zwischenentscheid, der einen nicht wieder gutzumachenden Nachteil bewirken kann (Art. 93 Abs. 1 Bst. a BGG; vgl. <ref-ruling> E. 1.1; <ref-ruling> E. 2a). Weil das Obergericht über die strittigen Gesuche im Rahmen eines Berufungsverfahrens befunden hat, steht der Zulässigkeit der Beschwerde nicht entgegen, dass es nicht als Rechtsmittelinstanz nach <ref-law> entschieden hat (<ref-ruling> E. 1.1; <ref-ruling> E. 2.2). Bei Zwischenentscheiden folgt der Rechtsweg jenem der Hauptsache (<ref-ruling> E. 1.1). In dieser geht es um im Rahmen einer Ehescheidung getroffene vorsorgliche Massnahmen nicht vermögensrechtlicher Natur (Entzug der Obhut und des Aufenthaltsbestimmungsrechts), die der Beschwerde in Zivilsachen unterliegen (Art. 72 Abs. 1 und Abs. 2 Bst. b Ziff. 6 BGG). Dieses Rechtsmittel ist damit auch gegen den Zwischenentscheid gegeben. Die Beschwerdeführerin ist nach <ref-law> zur Beschwerde berechtigt und die Beschwerde wurde fristgerecht eingereicht (<ref-law>).
1.2. In der Hauptsache sind vorsorgliche Massnahmen im Scheidungsverfahren umstritten. Diese fallen unter den Anwendungsbereich von <ref-law> (Urteil 5A_58/2014 vom 17. Oktober 2014 E. 2.1). Auch mit der vorliegenden Beschwerde betreffend den Prozesskostenvorschuss und die unentgeltliche Rechtspflege kann daher einzig die Verletzung verfassungsmässiger Rechte gerügt werden (vgl. Urteile 5A_577/2016 vom 13. Februar 2017 E. 1.2; 5A_213/2016 vom 7. Juli 2016 E. 1). Hierbei gilt das Rügeprinzip nach <ref-law>. Die rechtsuchende Partei muss daher präzise angeben, welches verfassungsmässige Recht durch den angefochtenen Entscheid verletzt wurde, und im Einzelnen darlegen, worin die Verletzung besteht. Das Bundesgericht prüft nur klar und detailliert erhobene und, soweit möglich, belegte Rügen, während es auf ungenügend begründete Rügen und rein appellatorische Kritik am angefochtenen Entscheid nicht eintritt (<ref-ruling> E. 2.3 S. 266; <ref-ruling> E. 2.2).
2.
2.1. Das Obergericht trat auf die Gesuche der Beschwerdeführerin um Leistung eines Prozesskostenvorschusses und um unentgeltliche Rechtspflege nicht ein, weil die Beschwerdeführerin diese nicht begründet habe. Die Beschwerdeführerin rügt eine Verletzung der Ansprüche auf rechtliches Gehör (<ref-law>) und auf unentgeltliche Rechtspflege (<ref-law>) sowie des Willkürverbots und des Gebots des Handelns nach Treu und Glauben (<ref-law>). Zwar treffe zu, dass die streitbetroffenen Gesuche noch keine Begründung enthalten hätten. Die Beschwerdeführerin habe aber darauf vertrauen dürfen, dass das Gericht ihr eine Nachfrist zur Vervollständigung der Gesuche ansetzte. Das Obergericht habe sich willkürlich und in treuwidriger Weise über Gesetz, Lehre und Rechtsprechung hinweggesetzt. Es dürfe ihr den Zugang zur richterlichen Beurteilung der vorsorglichen Massnahmen nicht durch einen Nichteintretensentscheid abschneiden.
2.2. Die Beschwerde in Zivilsachen genügt den Begründungsanforderungen nach <ref-law> nicht:
Die Beschwerdeführerin macht zwar die Verletzung verschiedener verfassungsmässiger Rechte geltend. Sie äussert sich indessen nicht im Einzelnen zu diesen (angeblichen) Verfassungsverletzungen. So beruft sie sich auf den Schutz von Treu und Glauben, ohne darzulegen, weshalb sie darauf habe vertrauen dürfen, dass die Vorinstanz ihr eine Frist zur Begründung der Gesuche ansetzen werde. Der alleinige Hinweis (in Klammern) auf <ref-law> bzw. einen ihrer Ansicht nach aus dieser Bestimmung ableitbaren, nicht näher erläuterten Untersuchungsgrundsatz reicht hierzu nicht (vgl. betreffend die willkürliche Anwendung des kantonalen Rechts <ref-ruling> E. 2a; Urteil 5A_480/2016 vom 21. Februar 2017 E. 1.4). Sodann beschränkt die Beschwerdeführerin sich darauf, die von ihrem Standpunkt abweichende Ansicht der Vorinstanz als willkürlich zu bezeichnen, was den an Willkürrügen zu stellenden Anforderungen nicht genügt (vgl. etwa Urteil 4A_49/2017 vom 9. Juni 2017 E. 4.3). Ebenfalls nicht ausreichend ist es, dem Obergericht vorzuwerfen, sich "über Gesetz, Lehre und Praxis zur unentgeltlichen Rechtspflege" hinweggesetzt zu haben, ohne diese zu benennen und zu begründen, inwiefern sie verletzt sein sollten. Was zuletzt die Rüge der Verletzung des rechtlichen Gehörs und des Anspruchs auf unentgeltliche Rechtspflege betrifft, so wirft die Beschwerdeführerin der Vorinstanz einzig vor, ihr in einer Sache, welche ein "überragendes Rechtsgut" betreffe, den Zugang zur richterlichen Beurteilung abzuschneiden. Auch hiermit bringt die Beschwerdeführerin letztlich einzig zum Ausdruck, dass sie mit dem Vorgehen des Obergerichts nicht einverstanden ist, führt aber nicht aus, weshalb dieses im Einzelnen die angerufenen Verfassungsbestimmungen verletzt haben soll.
3.
Nach dem Ausgeführten ist auf die Beschwerde nicht einzutreten. Bei diesem Ausgang des Verfahrens wird die Beschwerdeführerin kostenpflichtig (<ref-law>) und hat sie keinen Anspruch auf Ersatz der Parteikosten. Dem Beschwerdegegner 2 sind, da keine Vernehmlassung eingeholt wurde, keine ersatzpflichtigen Kosten entstanden (<ref-law>). Der Kanton Zürich hat keinen Anspruch auf Parteikostenersatz (<ref-law>).
Die ungenügend begründete Beschwerde muss als von Anfang an aussichtslos betrachtet werden, weshalb das Gesuch der Beschwerdeführerin um unentgeltliche Rechtspflege abzuweisen ist (<ref-law>). Für die Beurteilung des Gesuchs um Ausrichtung eines Prozesskostenvorschusses ist das Bundesgericht (funktionell) nicht zuständig, sodass auf dieses nicht einzutreten ist (Urteile 5A_315/2016 vom 7. Februar 2017 E. 11; 5A_793/2008 vom 8. Mai 2009 E. 6.2).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2.
Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege wird abgewiesen.
3.
Auf das Gesuch um Ausrichtung eines Prozesskostenvorschusses wird nicht eingetreten.
4.
Die Gerichtskosten von Fr. 1'000.-- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
5.
Es werden keine Parteikosten zugesprochen.
6.
Dieses Urteil wird den Parteien schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 19. Juli 2017
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: von Werdt
Der Gerichtsschreiber: Sieber