Sachverhalt:
A.
Am 30. April 2014 reichten D.B._ und C.B._ beim Bau- und Gastgewerbeinspektorat des Kantons Basel-Stadt ein Baugesuch für den Umbau und die Sanierung ihrer neu erworbenen Liegenschaft an der Schweizergasse 7 in Basel ein. Mit Bauentscheid vom 3. September 2014 bewilligte das Bau- und Gastgewerbeinspektorat das Bauvorhaben unter Bedingungen und Auflagen. Gleichzeitig wies es eine von A._, Eigentümerin einer unmittelbar benachbarten Liegenschaft, dagegen erhobene Einsprache ab, soweit es darauf eintrat. A._ erhob gegen die Baubewilligung erfolglos Rekurs an die Baurekurskommission des Kantons Basel-Stadt und gegen deren Entscheid Rekurs an das Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt. Mit Urteil vom 22. September 2015 wies das Appellationsgericht den Rekurs ab.
B.
Gegen das Urteil des Appellationsgerichts hat A._ am 15. Januar 2016 Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten ans Bundesgericht erhoben. Sie beantragt die Aufhebung des angefochtenen Urteils und die Verweigerung der Baubewilligung. Eventualiter sei das angefochtene Urteil aufzuheben und die Angelegenheit zur neuen Entscheidfindung an die Vorinstanz zurückzuweisen. Am 11. Februar 2016 hat der Präsident der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung des Bundesgerichts ein Gesuch der Beschwerdeführerin um Erteilung der aufschiebenden Wirkung der Beschwerde im Sinne des Gegenantrags der Beschwerdegegner abgewiesen.
C.
Das Bau- und Gastgewerbeinspektorat hat auf Vernehmlassung verzichtet und sinngemäss Beschwerdeabweisung beantragt. Die Vorinstanz beantragt die Abweisung der Beschwerde. Das vom Bundesgericht zur Vernehmlassung eingeladene Bundesamt für Umwelt teilt mit, das angefochtene Urteil der Vorinstanz sei seines Erachtens konform mit der Lärmschutzgesetzgebung des Bundes. Am 18. April 2016 wurden den Verfahrensbeteiligten die eingegangenen Vernehmlassungsantworten zur Einreichung von allfälligen Bemerkungen bis zum 29. April 2016 zugestellt. Die per Einschreiben versandte Mitteilung wurde von der Beschwerdeführerin innert der Abholfrist nicht auf der Post abgeholt. Weitere Eingaben sind in der Sache beim Bundesgericht nicht eingegangen.

Erwägungen:
1.
Beim angefochtenen Entscheid des Appellationsgerichts handelt es sich um einen kantonal letztinstanzlichen Endentscheid, gegen den die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten grundsätzlich offen steht (vgl. Art. 82 lit. a, Art. 86 Abs. 1 lit. d und Abs. 2 sowie Art. 90 BGG). Die Beschwerdeführerin, welche am vorinstanzlichen Verfahren teilgenommen hat, ist als Eigentümerin einer zum Baugrundstück unmittelbar benachbarten Liegenschaft beschwerdelegitimiert (vgl. <ref-law>). Auf die Beschwerde ist vorbehältlich zulässiger und genügend begründeter Rügen (vgl. Art. 95 i.V.m. Art. 42 Abs. 2 und <ref-law>) einzutreten.
2.
Die Beschwerdeführerin rügt neben der Verletzung von Bundesrecht auch die willkürliche Anwendung von kantonalem Recht. Ob der angefochtene Entscheid kantonales Recht verletzt, prüft das Bundesgericht grundsätzlich nur auf Willkür hin und nur insoweit, als eine solche Rüge in der Beschwerde präzise vorgebracht und begründet worden ist (<ref-law> i.V.m. <ref-law> und <ref-law>). Willkürlich ist ein Entscheid, wenn er offensichtlich unhaltbar ist, zur tatsächlichen Situation in klarem Widerspruch steht, eine Norm oder einen unumstrittenen Rechtsgrundsatz krass verletzt oder in stossender Weise dem Gerechtigkeitsgedanken zuwiderläuft. Das Bundesgericht hebt einen Entscheid jedoch nur auf, wenn nicht bloss die Begründung, sondern auch das Ergebnis unhaltbar ist. Dass eine andere Lösung ebenfalls als vertretbar oder gar zutreffender erscheint, genügt nicht (<ref-ruling> E. 2.2 S. 72, 49 E. 3.4 S. 53; <ref-ruling> E. 6.1 S. 205; je mit Hinweisen).
3.
Die Beschwerdeführerin wirft der Vorinstanz eine Verletzung ihrer Begründungspflicht vor und rügt in diesem Zusammenhang eine Verletzung von <ref-law>, § 12 Abs. 1 der Verfassung des Kantons Basel-Stadt vom 23. März 2005 (KV BS; SR 131.222.1) sowie Art. 6 EMRK. Die Vorinstanz habe sich bei ihrem Urteil auf die ebenfalls unzureichend begründeten Entscheide der Vorinstanzen sowie die Stellungnahmen der Stadtbildkommission des Kantons Basel-Stadt gestützt, ohne zu begründen, weshalb sie sich den entsprechenden Ausführungen anschliesse.
Der Anspruch auf rechtliches Gehör (<ref-law>) verlangt, dass die Behörde die Vorbringen des vom Entscheid in seiner Rechtsstellung Betroffenen tatsächlich hört, prüft und in der Entscheidfindung berücksichtigt. Daraus folgt die Verpflichtung der Behörde, ihren Entscheid zu begründen. Dabei ist es nicht erforderlich, dass sie sich mit allen Parteistandpunkten einlässlich auseinandersetzt und jedes einzelne Vorbringen ausdrücklich abhandelt. Vielmehr kann sie sich auf die für den Entscheid wesentlichen Punkte beschränken. Die Begründung muss so abgefasst sein, dass sich der Betroffene über die Tragweite des Entscheids Rechenschaft geben und ihn in voller Kenntnis der Sache an die höhere Instanz weiterziehen kann. In diesem Sinne müssen wenigstens kurz die Überlegungen genannt werden, von denen sich die Behörde hat leiten lassen und auf die sich ihr Entscheid stützt (<ref-ruling> E. 5.1 S. 503 f.; <ref-ruling> E. 2.2 S. 183; <ref-ruling> E. 2.2 S. 84; <ref-ruling> E. 5.2 S. 236).
Diesen Anforderungen genügt das angefochtene Urteil. Soweit die Beschwerdeführerin gegen den ausreichend begründeten Entscheid der Baurekurskommission konkrete Rügen erhoben hat, hat sich die Vorinstanz mit ihnen in genügender Weise auseinandergesetzt. Die Beschwerdeführerin konnte sich über die Tragweite des angefochtenen Urteils Rechenschaft geben und es in voller Kenntnis der Sache an das Bundesgericht weiterziehen. Inwiefern § 12 Abs. 1 KV BS oder Art. 6 EMRK in diesem Zusammenhang eine über <ref-law> hinausgehende Bedeutung haben sollten, ist weder dargetan noch ersichtlich, zumal Art. 6 EMRK im vorliegenden Verfahren ohnehin nicht anwendbar ist.
4.
Die Beschwerdeführerin macht sinngemäss geltend, mit der Realisierung des Bauvorhabens würde ihr Wohnhaus, welches vom Wohnhaus der Beschwerdegegner lediglich durch eine alte Brandmauer abgetrennt sei, in unzulässiger Weise dem Lärm ausgesetzt, der vom umgebauten Wohnhaus der Beschwerdegegner ausgehe. Sie rügt in diesem Zusammenhang eine Verletzung von Art. 8 der Lärmschutz-Verordnung vom 15. Dezember 1985 (LSV; SR 814.41) sowie sinngemäss von <ref-law> i.V.m. <ref-law> (SR 814.01).
4.1. Wer ein Gebäude erstellen will, das dem längeren Aufenthalt von Personen dienen soll, muss gemäss <ref-law> einen angemessenen baulichen Schutz gegen Aussen- und Innenlärm sowie gegen Erschütterungen vorsehen. <ref-law> regelt die Begrenzung von Aussenlärmemissionen, die von bestehenden ortsfesten Anlagen ausgehen, wenn diese geändert werden sollen. Die <ref-law> hingegen äussern sich zum Schallschutz an Gebäuden. Der Bauherr eines neuen Gebäudes sorgt dafür, dass der Schallschutz bei Aussenbauteilen und Trennbauteilen lärmempfindlicher Räume sowie bei Treppen und haustechnischen Anlagen den anerkannten Regeln der Baukunde entspricht. Als solche gelten beim Lärm von ortsfesten Anlagen, die nicht vom Lärm der zivilen Flugplätze mit Verkehr von Grossflugzeugen betroffen sind, insbesondere die Mindestanforderungen nach der SIA-Norm 181 des Schweizerischen Ingenieur- und Architekten-Vereins (<ref-law>). Die gleichen Anforderungen gelten grundsätzlich für Aussenbauteile, Trennbauteile, Treppen und haustechnische Anlagen, die umgebaut, ersetzt oder neu eingebaut werden (<ref-law>).
Im Hinblick auf <ref-law> verband das Bau- und Gastgewerbeinspektorat die Bewilligung für das umstrittene Umbauprojekt unter anderem mit folgenden Auflagen:
"Der Anschluss von haustechnischen Anlagen an Scheidemauern hat so zu erfolgen, dass die Anforderungen an den Schallschutz gemäss LSV bzw. SIA-Norm 181 eingehalten sind (<ref-law>).
Um den Schallschutz lärmempfindlicher Räume, insbesondere auch bei den an die Scheidemauer/n angrenzenden Nachbarliegenschaften zu gewährleisten, sind durch die neuen Bauteile die Mindestschallschutz-Anforderungen der SIA-Norm 181 einzuhalten (<ref-law>)."
4.2. Die Beschwerdeführerin macht nicht geltend und es ist nicht ersichtlich, dass vom umgebauten Wohnhaus der Beschwerdegegner unzulässige Aussenlärmemissionen im Sinne von <ref-law> ausgehen würden. Beim von der Beschwerdeführerin befürchteten, vom Wohnhaus der Beschwerdegegner ausgehenden Lärm, dem ihr direkt angebautes Wohnhaus ausgesetzt werde, handelt es sich um Innenlärm, auf den <ref-law> nicht anwendbar ist. Soweit die Beschwerdeführerin eine Verletzung von <ref-law> überhaupt in genügender Weise rügt, kann ihr deshalb nicht gefolgt werden (vgl. auch Stellungnahme des BAFU vom 13. April 2016, Ziff. 3.2).
4.3.
4.3.1. Im Gegensatz dazu, wie die Beschwerdeführerin das angefochtene Urteil verstanden haben will, hat die Vorinstanz (wie schon das Bau- und Gastgewerbeinspektorat sowie die Baurekurskommission) durchaus anerkannt, dass die Beschwerdegegner als Bauherren gestützt auf Art. 32 Abs. 1 und 3 LSV i.V.m. <ref-law> dafür zu sorgen haben, dass der Schallschutz bei denjenigen Aussenbauteilen, Trennbauteilen, Treppen und haustechnischen Anlagen, die umgebaut, ersetzt oder neu eingebaut werden, den anerkannten Regeln der Baukunde und insbesondere den Mindestanforderungen nach der SIA-Norm 181 entspricht. Konkret gilt dies insbesondere für die von den Beschwerdegegnern neu geplante Dachterrasse sowie die neu platzierte Küche im Erdgeschoss.
Die Vorinstanz kam im angefochtenen Urteil zum Schluss, die von <ref-law> geforderte Einhaltung der Schallschutzvorschriften sei im Rahmen des geplanten Bauvorhabens möglich. Sie konnte sich insoweit unter anderem auf eine Stellungnahme der Abteilung Lärmschutz des Amts für Umwelt und Energie des Kantons Basel-Stadt im Einspracheverfahren sowie auf die Aussagen des Leiters der Abteilung Lärmschutz, der am von der Vorinstanz durchgeführten Augenschein teilgenommen hat, stützen. Bei der neu geplanten Dachterrasse können die Schallschutzvorschriften nach den Ausführungen der Vorinstanz eingehalten werden, weil die Terrasse nicht auf die Brandmauer, sondern auf die äussere Wand des Gebäudes abgestützt wird und der Boden der Dachterrasse nach unten isoliert wird. Was die neu platzierte Küche im Erdgeschoss angehe, werde eine Vormauer bzw. Vorsatzschale eingebaut, sodass die Küche nicht direkt an die Brandmauer zum Wohnhaus der Beschwerdeführerin gebaut werde. Mit der damit verbundene Entkoppelung der haustechnischen Geräte von der Brandmauer könnten die Lärmschutzvorschriften eingehalten werden.
4.3.2. Soweit die Beschwerdeführerin in diesem Zusammenhang eine Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> überhaupt in genügender Weise rügt, dringt sie damit nicht durch. Ihr Einwand, die bestehende Brandmauer müsse - für sich alleine - den Anforderungen an den Lärmschutz gemäss <ref-law> deshalb entsprechen, weil das Wohnhaus der Beschwerdegegner umfassend umgebaut werde, überzeugt nicht, zumal mit Blick auf das Baugesuch bzw. die Baupläne kein umfassender Umbau geplant ist. Soweit die Beschwerdeführerin sodann geltend machen will, nicht nur Bauteile und Anlagen, die umgebaut, ersetzt oder neu eingebaut würden, müssten den Anforderungen gemäss Art. 32 Abs. 1 und 3 LSV i.V.m. <ref-law> genügen, sondern auch bestehende Bauteile wie namentlich die bestehende Brandmauer, findet sich dafür keine rechtliche Grundlage im USG bzw. in der LSV. Die bestehende Brandmauer muss - für sich alleine - den erwähnten Anforderungen an den Schallschutz auch nicht deshalb genügen, weil zur Verbesserung des Schallschutzes vor ihr im Bereich der neu platzierten Küche eine zusätzliche Mauer bzw. eine sog. Vormauer eingebaut wird (vgl. Stellungnahme des BAFU vom 13. April 2016, Ziff. 3.1).
Wie die Vorinstanz überzeugend dargelegt hat und die Beschwerdeführerin nicht zu widerlegen vermag, können im Rahmen des geplanten Projekts bezüglich der Bauteile und haustechnischen Anlagen, die umgebaut, ersetzt oder neu eingebaut werden, die Anforderungen an den Lärmschutz gemäss Art. 32 Abs. 1 und 3 LSV i.V.m. <ref-law> eingehalten werden (vgl. E. 4.3.1 hiervor). Sichergestellt wird die Umsetzung der zur Einhaltung der Anforderungen an den Lärmschutz erforderlichen Massnahmen durch die zwei erwähnten Auflagen, welche mit der Baubewilligung verbunden wurden.
5.
Weiter macht die Beschwerdeführerin sinngemäss geltend, der geplante Ausbau des Dachgeschosses sei ästhetisch ungenügend. Die Bewilligung des Bauvorhabens verstosse in willkürlicher Weise (<ref-law> sowie § 10 KV BS) gegen § 58 des Bau- und Planungsgesetzes des Kantons Basel-Stadt vom 17. November 1999 (BPG; SG 730.100) und sei unverhältnismässig (<ref-law> sowie § 5 Abs. 2 KV BS).
5.1. Gemäss § 58 Abs. 1 BPG sind Bauten, Anlagen, Reklamen, Aufschriften und Bemalungen mit Bezug auf die Umgebung so zu gestalten, dass eine gute Gesamtwirkung entsteht.
Hinsichtlich der Ästhetik des geplanten Ausbaus des Dachgeschosses stützte sich das Bau- und Gastgewerbeinspektorat im Einspracheverfahren auf die folgende Beurteilung der Stadtbildkommission:
"Im Paulus- und Bachlettenquartier gibt es unterschiedliche Dachausbauten mit markanten Erscheinungen 'neuer' Dachgeschosse. Die Gestaltung dieser Ausbauten selbst kann aufgrund verschiedener Konzeptansätze entwickelt werden. Die Stadtbildkommission vertritt die Haltung, dass der Strassenseite im Bezug auf eine Einbindung eines Baukörpers mehr Sensibilität beigemessen werden soll als der Garten- oder Hofseite. Somit entsteht die Möglichkeit, dass sich dieser 'neue Wohnraum', dessen Belichtung und mögliche Aussenbereiche primär hofseitig orientieren können.
Beim vorliegenden Gesuch handelt es sich um einen architektonischen Eingriff, welcher dieser Sichtweise auf respektvolle Weise und dennoch eigenhändig folgt. Die strassenseitige Erscheinung orientiert sich an den für das Quartier niedrigen zweigeschossigen Fassaden der Häuser Nr. 9 und 11. Die Dachvolumetrie wird minimal verändert, die Trauflinie bleibt erhalten. Hofseitig wird die Erweiterung respektvoll in Bezug auf die bestehende Fassadengliederung und dennoch in einer neuen architektonischen Sprache weiterentwickelt. Die volumetrische Erscheinung vermittelt in ihrer Höhe zwischen den beiden Nachbarbauten. Auf den Ausbau einer Attika wird verzichtet. Der Gebäudeabschluss bildet die seitlich an die Liegenschaft Nr. 5 gelehnte Dachterrasse mit einem über die gesamte Gebäudebreite führenden Staketengeländer.
Für die Stadtbildkommission besitzt die Aufstockung einen auf verschiedenen Ebenen in die Zeile einfügenden Charakter. Bewusst wird gartenseitig weder die eine noch die andere Nachbarliegenschaft favorisiert. Der mit mächtigen Bäumen durchgrünte Innenhof wird heute von unterschiedlichen Gebäudehöhen und Bautiefen charakterisiert. Die Erweiterung wird Teil eines unterschiedlich gestalteten Innenhofs und trägt in seiner Gestaltung zu einem städtischen Hofraum bei."
Diese Einschätzungen hat die Stadtbildkommission in ihrer Stellungnahme im Verfahren vor der Baurekurskommission bestätigt und in Bezug auf die hofseitige Einbindung des Baukörpers in das bestehende Gebäudeensemble noch folgendermassen präzisiert:
"Hofseitig sind für die Stadtbildkommission unterschiedliche Faktoren bei der Beurteilung des Dachausbaus massgebend. Einerseits ist das Gebäudeensemble, welches sich strassenseitig über vier Liegenschaften erstreckt, nur noch über die Gebäude Nr. 7 bis Nr. 11 erkennbar. Die Liegenschaft Nr. 5 ist durch eine veränderte Volumetrie nicht mehr Teil des Ensembles. Die Gebäude Nr. 9 und 11 erscheinen in ihrer ursprünglichen Gestalt als Einzelbauten, im Dachgeschoss wird jedoch eine Zusammenlegung dieser beiden Bauten durch eine grosse und mittig zusammengefasste Dachgaube erkennbar. Aus Sicht der Stadtbildkommission tragen gerade diese Veränderungen an der Gestaltung einer Stadt Wesentliches bei. Sie sind hofseitig angebracht, stören das strassenseitige Ensemble nicht und sind dennoch Merkmale dafür, dass die Dachräume als vollwertige Lebensräume genutzt werden.
Die Neugestaltung der Liegenschaft Nr. 7 sucht hofseitig ein Maximum an Lebensqualität für die Innenräume und fügt sich gegenüber den beiden unterschiedlichen Nachbarbauten vermittelnd ein. Die Erweiterung nimmt Bezug auf die bestehende Fassadengliederung und generiert durch eine Neuinterpretation des dritten Geschosses neuen Wohnraum, ohne die vorhandene Bautiefe zu verändern."
5.2. Wie schon die Baurekurskommission führte die Vorinstanz im angefochtenen Urteil aus, Grundstücke in der Bauzone dürften grundsätzlich gemäss den für die zugewiesene Zone geltenden Vorschriften bebaut werden. Daneben komme § 58 BPG lediglich eine beschränkte Bedeutung zu. Für die Abweisung von zonenkonformen Bauprojekten aufgrund ästhetischer Kriterien bleibe wenig Raum. Dies gelte auch im vorliegenden Fall, zumal der Strassenzug, in welchem sich das Grundstück der Beschwerdegegner befindet, erst kürzlich einer zonenplanerischen Beurteilung unterzogen worden sei. Trotzdem haben sich die Baurekurskommission in ihrem Entscheid vom 17. Dezember 2014 und die Vorinstanz im angefochtenen Urteil mit den Ausführungen der Stadtbildkommission ausführlich auseinandergesetzt und sich - je nach Durchführung eines Augenscheins - deren Einschätzung zur Ästhetik des geplanten Ausbaus im Wesentlichen angeschlossen. Die Vorinstanz kam wie schon die Baurekurskommission zum Schluss, der geplante Ausbau des Dachgeschosses sei mit Bezug auf die Umgebung so gestaltet, dass eine gute Gesamtwirkung entstehe, womit das Bauvorhaben mit § 58 BPG vereinbar sei.
5.3. Die Beschwerdeführerin macht geltend, die Vorinstanz habe sich bei ihrer Beurteilung, ob das Bauvorhaben mit § 58 BPG vereinbar sei, auf die rechtlich ungenügende Einschätzung der Stadtbildkommission sowie der Vorinstanzen gestützt. Bei den Ausführungen der Stadtbildkommission sowie der Vorinstanzen handle es sich um subjektive Werturteile sowie Floskeln mit unklaren Begriffen. Unzulässig und willkürlich sei in diesem Zusammenhang der Verweis auf die generellen Bauvorschriften, die in der Zone gelten, in welcher das Grundstück der Beschwerdegegner liegt.
Soweit die Beschwerdeführerin damit eine willkürliche Anwendung kantonalen Rechts überhaupt in genügender Weise rügt, vermag sie nicht darzutun, dass die Vorinstanz kantonales Recht offensichtlich unrichtig angewandt hätte. Nicht unhaltbar ist zunächst die Schlussfolgerung, wonach den Behörden für die Abweisung von zonenkonformen Bauprojekten aufgrund ästhetischer Kriterien wenig Raum bleibt. Nachvollziehbar und jedenfalls nicht willkürlich ist sodann die Einschätzung, dass sich der geplante Ausbau des Dachgeschosses mit Bezug auf die Umgebung so gestalte, dass eine gute Gesamtwirkung bestehe. Dass sich die Vorinstanz insoweit auch auf die nachvollziehbaren Ausführungen der fachkundigen Stadtbildkommission sowie der Vorinstanzen gestützt hat, ist nicht zu beanstanden. Ohne im Ergebnis in Willkür zu verfallen, durfte die Vorinstanz zum Schluss kommen, das umstrittene Bauvorhaben sei mit § 58 BPG vereinbar. Inwiefern § 10 KV BS oder <ref-law> bzw. § 5 Abs. 2 KV BS in diesem Zusammenhang eine über <ref-law> hinausgehende Bedeutung haben sollten, ist weder dargetan noch ersichtlich.
6.
Nach dem Ausgeführten ist die Beschwerde abzuweisen, soweit darauf einzutreten ist. Bei diesem Ausgang des Verfahrens wird die Beschwerdeführerin kostenpflichtig (vgl. <ref-law>). Die Beschwerdeführerin hat den Beschwerdegegnern für das bundesgerichtliche Verfahren eine angemessene Parteientschädigung zu bezahlen, wobei zu berücksichtigen ist, dass die Beschwerdegegner lediglich zum Antrag auf Erteilung der aufschiebenden Wirkung Stellung genommen haben (vgl. Art. 68 Abs. 1 und 2 BGG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 3'000.-- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
3.
Die Beschwerdeführerin hat die Beschwerdegegner für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 1'000.-- zu entschädigen.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien, dem Bau- und Gastgewerbeinspektorat Basel-Stadt, dem Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt als Verwaltungsgericht und dem Bundesamt für Umwelt schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 6. Juli 2016
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Fonjallaz
Der Gerichtsschreiber: Mattle