Sachverhalt:
A.
Die Staatsanwaltschaft des Kantons Solothurn führt gegen A._ eine Strafuntersuchung wegen des Verdachts auf Geldwäscherei, mehrfachen Pfändungsbetrugs und Widerhandlungen gegen das Bundesgesetz betreffend die Lotterien und die gewerbsmässigen Wetten (LG; SR 935.5). Ihm wird vorgeworfen, dass Gelder deliktischer Herkunft in der Höhe von Fr. 400'000.-- auf seine Konten bar einbezahlt und grösstenteils wieder bar bezogen worden seien. Ausserdem soll er gegenüber dem Betreibungsamt Vermögenswerte verheimlicht und als Restaurantbetreiber in seinem Lokal gewerbsmässig Wetten vermittelt und zu ihrer Eingehung Gelegenheit geboten haben.
B.
Am 2. Juni 2016 verfügte die Staatsanwaltschaft gestützt auf <ref-law> die Abtrennung des Verfahrens wegen Widerhandlungen gegen das LG und dessen Überführung in ein separates Übertretungsstrafverfahren. Auf eine dagegen von A._ erhobene Beschwerde trat das Obergericht des Kantons Solothurn mangels genügender Begründung bzw. mangels offensichtlichen Vorliegens der Beschwerdebefugnis nicht ein (Dispositiv Ziff. 1). Zudem wies es das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege ab (Ziff. 2). Zur Begründung führte es aus, der Beschwerdeführer habe sich zu seiner Legitimation gemäss <ref-law> nicht geäussert. Zwar habe er darauf hingewiesen, dass es der Staatsanwaltschaft bei der Verfahrenstrennung um die bevorstehende Verjährung gehe. Er habe aber nicht ausgeführt, inwiefern seinerseits ein rechtlich geschütztes Interesse an der Aufhebung der angefochtenen Verfügung bestehe. Dabei sei zu bemerken, dass ein allfälliger Strafbefehl, gegen den Einsprache erhoben werde, die Verjährungsfrist weiter laufen lasse. Würde wegen der Übertretungen eine Anklage erhoben, könnten die hier gegen die Verfahrenstrennung vorgebrachten Einwendungen auch beim Sachgericht geltend gemacht und die Vereinigung beantragt werden. Da das rechtlich geschützte Interesse damit keineswegs offensichtlich sei, hätte er es darlegen müssen. Überdies sei das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege wegen Aussichtslosigkeit abzuweisen.
C.
Mit Beschwerde in Strafsachen vom 12. September 2016 gelangt A._ an das Bundesgericht und beantragt, Ziffer 1 des angefochtenen Beschlusses des Obergerichts sei aufzuheben und die Sache zur materiellen Beurteilung an die Vorinstanz zurückzuweisen. Eventualiter sei diese anzuweisen, eine kurze Nachfrist von fünf Arbeitstagen gemäss <ref-law> zu gewähren. Zudem sei Ziffer 2 des angefochtenen Beschlusses aufzuheben und die unentgeltliche Rechtspflege für das obergerichtliche Verfahren zu bewilligen. In prozessualer Hinsicht ersucht er auch für das bundesgerichtliche Verfahren um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung.
Das Obergericht schliesst auf Abweisung der Beschwerde. Die Staatsanwaltschaft hat auf eine Vernehmlassung verzichtet.

Erwägungen:
1.
Dem angefochtenen Entscheid einer letzten kantonalen Instanz liegt ein Beschwerdeverfahren über eine Verfahrenstrennung zugrunde. Dagegen ist die Beschwerde in Strafsachen zulässig (Art. 78 Abs. 1, Art. 80 BGG). Als Partei des kantonalen Verfahrens ist der Beschwerdeführer berechtigt, die Verletzung von Verfahrensrechten geltend zu machen, deren Missachtung eine formelle Rechtsverweigerung darstellt (vgl. <ref-ruling> E. 1.1 S. 5). Hierzu gehört die vorliegend erhobene Rüge, die Vorinstanz sei zu Unrecht nicht auf die Beschwerde eingetreten. Der Streitgegenstand vor Bundesgericht beschränkt sich auf diese Frage. Trifft die Erwägung des Obergerichts zu, dass der Beschwerdeführer nicht dargelegt hat, inwiefern er zur StPO-Beschwerde befugt ist und die Legitimationsvoraussetzungen auch nicht offensichtlich vorliegen, hat es damit sein Bewenden. Andernfalls ist die Sache zu weiterer Beurteilung des Falles an das Obergericht zurückzuweisen. Soweit der Beschwerdeführer über eine reine Rückweisung hinausgehende Rügen erhebt, die im Ergebnis auf eine materielle Überprüfung des angefochtenen Entscheids abzielen (z.B. hinsichtlich der Verjährung oder des Beschleunigungsgebots), ist auf die Beschwerde nicht einzutreten (<ref-ruling> E. 1.2 S. 41).
Der angefochtene Entscheid schliesst das Strafverfahren nicht ab. Es handelt sich um einen Zwischenentscheid, gegen welchen die Beschwerde grundsätzlich nur unter den Voraussetzungen von <ref-law> zulässig ist. Das Bundesgericht verzichtet allerdings bei Beschwerden wegen formeller Rechtsverweigerung grundsätzlich auf das Erfordernis eines nicht wieder gutzumachenden Nachteils im Sinne von <ref-law> (Urteil 1B_7/2013 vom 14. März 2013 E. 1.4, nicht publiziert in: <ref-ruling> mit Hinweisen).
2.
2.1. Im angefochtenen Entscheid wird auf die StPO-Beschwerde mangels ausreichender Substanziierung bzw. mangels offensichtlichen Vorliegens der Beschwerdebefugnis gemäss Art. 382 Abs. 1 i.V.m. <ref-law> nicht eingetreten. Nach diesen Bestimmungen kann jede Partei, die ein rechtlich geschütztes Interesse an der Aufhebung oder Änderung eines Entscheids hat, ein Rechtsmittel nach der StPO ergreifen (<ref-law>). Die Beschwerde ist dabei zu begründen (Art. 396 Abs. 1 i.V.m. <ref-law>).
Nach der Rechtsprechung muss der Beschwerdeführer die Tatsachen darlegen, aus denen sich namentlich seine Beschwerdeberechtigung ergeben soll, sofern dies nicht offensichtlich ist (<ref-law>; <ref-ruling> E. 1.3 S. 292 mit Hinweisen). Dieses Erfordernis gilt auch auf kantonaler Ebene für die StPO-Beschwerde (Urteil 1B_324/2016 vom 12. September 2016 E. 3.1). Im Urteil 1B_242/2015 vom 22. Oktober 2015, auf das sowohl der Beschwerdeführer als auch das Obergericht Bezug nehmen, hielt das Bundesgericht fest, dass zu den Substanziierungsobliegenheiten der beschwerdeführenden Partei (Art. 396 Abs. 1 i.V.m. <ref-law>) grundsätzlich auch das sinngemässe Darlegen der Beschwerdelegitimation gehört; dies gilt jedenfalls für juristisch versierte oder anwaltlich verbeiständete Rechtsuchende (E. 4.2).
2.2. Unstreitig ist, dass sich der anwaltlich vertretene Beschwerdeführer nicht ausdrücklich zu seiner Beschwerdebefugnis nach <ref-law> geäussert hat. Seiner Ansicht nach war dies aber auch nicht erforderlich, da sich das rechtlich geschützte Interesse offensichtlich bereits aus seiner Stellung im Strafverfahren ergebe. Er sei als Beschuldigter und Verfügungsadressat durch die angeordnete Verfahrenstrennung beschwert; das separate Übertretungsstrafverfahren binde ausserdem zusätzliche Ressourcen und sei kostspielig. Er habe daher aus rechtsstaatlicher Sicht klar ein Interesse an einer korrekten Rechtsanwendung. Selbst wenn aber sein rechtlich geschütztes Interesse nicht offensichtlich sei, habe er seine Beschwerdelegitimation jedenfalls sinngemäss bzw. zwischen den Zeilen in der Rechtsschrift vom 16. Juni 2016 dargelegt.
In dieser führte er im Wesentlichen aus, aufgrund des Grundsatzes der Verfahrenseinheit nach <ref-law> seien die Übertretungen (Widerhandlungen gegen das LG) grundsätzlich gemeinsam mit den anderen ihm zur Last gelegten Straftaten zu beurteilen. Zwischen diesen bestehe entgegen der Auffassung der Staatsanwaltschaft ein Zusammenhang, denn den angeblich aus deliktischer Herkunft stammenden Geldern liege derselbe Lebenssachverhalt zugrunde wie den Wetteinnahmen. Der in der Literatur für eine ausnahmsweise Zulässigkeit einer Verfahrenstrennung nach <ref-law> anerkannte sachliche Grund der bevorstehenden Verjährung gelte nur, sofern diese nicht auf organisatorische Aspekte auf Seiten der Strafbehörden zurückzuführen sei. Letzteres sei hier der Fall, weshalb im Sinne einer korrekten Rechtsanwendung auf eine Verfahrenstrennung verzichtet werden müsse. Er dürfe sich darauf verlassen, dass nur in Ausnahmefällen vom Grundsatz der Verfahrenseinheit abgewichen werde.
2.3. <ref-law>, wonach Straftaten gemeinsam verfolgt und beurteilt werden, wenn eine beschuldigte Person mehrere davon verübt hat (Abs. 1 lit. a), statuiert nach seiner ausdrücklichen Marginalie den Grundsatz der Verfahrenseinheit. Dieser bildet gemäss der Rechtsprechung des Bundesgerichtes schon seit Langem ein Wesensmerkmal des schweizerischen Strafprozessrechts. Er bezweckt die Verhinderung sich widersprechender Urteile, sei dies bei der Sachverhaltsfeststellung, der rechtlichen Würdigung oder der Strafzumessung. Er gewährleistet insofern das Gleichbehandlungs- und Fairnessgebot (<ref-law>, <ref-law>) und dient überdies der Prozessökonomie (<ref-law>). Eine Verfahrenstrennung ist gemäss <ref-law> nur bei Vorliegen sachlicher Gründe zulässig und muss die Ausnahme bleiben. Die sachlichen Gründe müssen objektiv sein. Getrennte Verfahren sollen vor allem der Verfahrensbeschleunigung dienen bzw. eine unnötige Verzögerung vermeiden helfen. Als sachlicher Trennungsgrund gilt etwa die länger dauernde Unerreichbarkeit einzelner Mitbeschuldigter oder die bevorstehende Verjährung einzelner Straftaten (<ref-ruling> E. 3.2 S. 31; 214 E. 3.2 S. 219; Urteile 1B_124/2016 vom 12. August 2016 E. 4.4; 1B_11/2016 vom 23. Mai 2016 E. 2.2; je mit Hinweisen).
2.4. Die Beschwerdebefugnis nach <ref-law> verlangt eine unmittelbare persönliche Betroffenheit der rechtsuchenden Person in den eigenen rechtlich geschützten Interessen (Urteil 1B_242/2015 vom 22. Oktober 2015 E. 4.3.1 mit Hinweisen). Der Beschwerdeführer wird durch die Abtrennung der mutmasslich durch das Anbieten und die Vermittlung gewerbsmässiger Wetten begangenen Übertretungen von den anderen Vorwürfen unmittelbar tangiert. Er sieht sich dadurch als Beschuldigter auf zwei parallel geführte Strafverfahren verwiesen und mit zwei verschiedenen Behörden konfrontiert, welche über die - aus seiner Sicht zusammenhängenden - Sachverhalte zu befinden haben. Aus dem vorerwähnten Prinzip der Verfahrenseinheit ergibt sich, dass mehrere Straftaten einer einzelnen Person grundsätzlich in einem einzigen Verfahren verfolgt und beurteilt werden (<ref-law>; <ref-ruling> E. 3.2 S. 219). Wird nun von diesem gesetzlichen Regelverfahren abgewichen und die Verfahrenstrennung als Ausnahme davon verfügt, ist der Beschwerdeführer unmittelbar in seinen eigenen rechtlich geschützten Interessen betroffen. Aus der konzentrierten Beurteilung und Verfolgung mehrerer Straftaten in einem einzigen Verfahren lässt sich das schutzwürdige Interesse des Beschuldigten ableiten, von dem mit der Verfahrenstrennung regelmässig verbundenen Mehraufwand verschont zu bleiben (vgl. Urteile 1B_11/2016 vom 23. Mai 2016 E. 2.3; 1B_187/2015 vom 6. Oktober 2015 E. 2.6) und Änderungen in der Prozessstrategie vornehmen zu müssen. Insoweit kann er direkt mit der Ergreifung der StPO-Beschwerde Nachteile beseitigen und einen für seine Rechtsstellung günstigeren Entscheid erwirken.
Der Vorinstanz kann nicht gefolgt werden, soweit sie erwog, der Beschwerdeführer habe kein rechtlich geschütztes Interesse, weil er seine Einwendungen gegen die Verfahrenstrennung auch noch vor dem Sachgericht vorbringen könne, falls wegen der Widerhandlungen gegen das LG Anklage erhoben werde. Das Obergericht scheint sich hiermit an der vor Bundesgericht für selbstständig eröffnete Zwischenentscheide geltenden Sachurteilsvoraussetzung des nicht wieder gutzumachenden Nachteils gemäss <ref-law> zu orientieren, der im Bereich der Beschwerde in Strafsachen rechtlicher Natur sein muss (vgl. Urteil 1B_226/2015 vom 20. Januar 2016 mit Hinweisen). Dieses Eintretenserfordernis gilt aber für die StPO-Beschwerde grundsätzlich nicht (vgl. <ref-law> e contrario; Urteil 1B_50/2016 vom 22. Februar 2016 E. 2.1 mit Hinweisen) und es kann auch nicht mit dem rechtlich geschützten Interesse gemäss <ref-law> gleichgesetzt werden, denn dieses stellt vergleichsweise eine weniger strenge Voraussetzung dar und liegt damit eher vor.
Ausserdem führt eine Verfahrenstrennung entgegen der Auffassung der Vorinstanz dazu, dass sich verschiedene Gerichte bzw. zumindest verschiedene Spruchkörper mit den Strafvorwürfen befassen müssen. Der Beschwerdeführer könnte dabei auch in der erstinstanzlichen Gerichtsverhandlung im Strafverfahren wegen Geldwäscherei und Pfändungsbetrug seine Einwände gegen die Trennungsverfügung geltend machen. Insoweit entsteht die Gefahr widersprüchlicher Entscheide, die der Grundsatz der Verfahrenseinheit gerade zu verhindern bezweckt. So könnte das erste Gericht die Verfahrenstrennung als rechtmässig ansehen und den Beschuldigten verurteilen. Das zweite Gericht könnte umgekehrt entscheiden und die Sache zur Erhebung einer einzigen Anklage an die Staatsanwaltschaft zurückweisen. Eine derartige verworrene prozessuale Situation widerspricht dem berechtigten Interesse des Beschwerdeführers, dass die Beschwerdeinstanz über die Zulässigkeit der Verfahrenstrennung vorweg entscheidet (vgl. Urteil 1B_187/2015 vom 6. Oktober 2015 E. 2.6). Dieses Vorgehen erscheint denn auch unter prozessökonomischen Gesichtspunkten als zweckmässig.
Nach dem Gesagten hält es nicht vor Bundesrecht stand, wenn die Vorinstanz die Rechtsmittelbefugnis des Beschwerdeführers zur Ergreifung der StPO-Beschwerde nicht als offensichtlich vorliegend bzw. als ungenügend substanziiert einstufte.
3.
Die Beschwerde erweist sich daher als begründet und ist gutzuheissen, soweit darauf einzutreten ist. Es erübrigt sich, auf die weiteren Vorbringen und Sachanträge des Beschwerdeführers einzugehen. Der Nichteintretensentscheid des Obergerichts ist aufzuheben und die Angelegenheit an dieses zurückzuweisen, damit es auf die Beschwerde eintritt und deren Begründetheit prüft. Die Vorinstanz wird dabei erneut über das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege bzw. über die Kosten- und Entschädigungsfolgen des obergerichtlichen Verfahrens befinden müssen.
Bei diesem Verfahrensausgang sind keine Gerichtskosten zu erheben (Art. 66 Abs. 1 und 4 BGG). Der Kanton Solothurn hat der Rechtsvertreterin des Beschwerdeführers für das bundesgerichtliche Verfahren eine angemessene Parteientschädigung auszurichten (<ref-law>). Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung wird gegenstandslos.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird gutgeheissen, soweit darauf einzutreten ist, und der angefochtene Beschluss vom 7. Juli 2016 des Obergerichts des Kantons Solothurn aufgehoben. Die Angelegenheit wird zur weiteren Behandlung im Sinne der Erwägungen an die Vorinstanz zurückgewiesen.
2.
Es werden keine Gerichtskosten erhoben.
3.
Der Kanton Solothurn hat der Vertreterin des Beschwerdeführers, Rechtsanwältin Stephanie Selig, für das bundesgerichtliche Verfahren eine Entschädigung von Fr. 2'000.-- auszurichten.
4.
Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer, der Staatsanwaltschaft und dem Obergericht des Kantons Solothurn, Beschwerdekammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 17. November 2016
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Fonjallaz
Die Gerichtsschreiberin: Pedretti