Sachverhalt:
A.
A.a. X._ wurde am 23. August 2006 verhaftet. Das Amtsgerichts Olten-Gösgen urteilte erstinstanzlich am 20. März 2009.
Das Obergericht des Kantons Solothurn verurteilte X._ im Berufungsverfahren am 14. April 2010 zweitinstanzlich wegen Vergewaltigung, sexueller Handlungen mit einem Kind (sowie unter Feststellung des erstinstanzlichen rechtskräftigen Schuldspruchs wegen mehrfacher Übertretung des BetmG) zu einer Freiheitsstrafe von 5 Jahren, unter Anrechnung der erstandenen Untersuchungshaft bzw. des vorzeitigen Massnahme- und Strafantritts seit dem 23. August 2006, und zu Fr. 200.-- Busse. Es ordnete eine stationäre therapeutische Massnahme gemäss <ref-law> an, schob den Vollzug der Freiheitsstrafe zugunsten der Massnahme auf und verfügte zur Sicherung des Massnahmevollzugs Sicherheitshaft.
Die von X._ gegen die Anordnung der Massnahme erhobene Beschwerde in Strafsachen wurde abgewiesen (Urteil 6B_710/2010 vom 25. November 2010).
A.b. X._ befand sich seit dem 23. August 2006 im Freiheitsvollzug, zunächst in Untersuchungshaft, vom 9. Januar bis 9. Mai 2007 im vorzeitigen Massnahmevollzug und anschliessend im vorzeitigen Strafvollzug. Ab dem 12. Mai 2009 befand er sich in den Anstalten Thorberg, seit dem 14. April 2010 formell in der stationären Massnahme nach <ref-law>, faktisch jedoch im Normalvollzug; am 16. Mai 2013 wurde er auf die Integrationsabteilung verlegt und am 8. August 2013 auf die Therapieabteilung TAT.
Das Departement des Innern des Kantons Solothurn verfügte am 18. August 2011, die Massnahme weiterzuführen und deren Weiterführung, bedingte Entlassung oder Aufhebung innert Jahresfrist zu prüfen. Das Verwaltungsgericht des Kantons Solothurn stellte im Urteil vom 21. Mai 2013 fest, X._ sei nach wie vor nicht bereit, sich wirklich auf eine Therapie zur Behandlung seiner Persönlichkeitsstörung und der Pädophilie einzulassen; sämtliche gruppentherapeutischen Angebote habe er abgelehnt, die Teilnahme am Sexualstraftäterprogramm sogar strikte; er habe sich geweigert, in die spezielle therapeutische Abteilung der Anstalten Thorberg verlegt zu werden. Seine Beschwerde in Strafsachen wies das Bundesgericht ab, soweit es darauf eintrat (Urteil 6B_603/2013 vom 18. Oktober 2013).
A.c. Am 9. Juli 2014 beantragte das Amt für Justizvollzug die Verlängerung der am 14. April 2010 angeordneten Massnahme um fünf Jahre und terminierte den Ablauf der Fünfjahresfrist (<ref-law>) auf den 14. Dezember 2014. Die Staatsanwaltschaft beantragte die Verlängerung um fünf Jahre sowie die Anordnung von Sicherheitshaft für den Fall, dass der Entscheid nach Ablauf der Fünfjahresfrist ergehen sollte. Der amtliche Anwalt beantragte am 17. September 2014 Nichteintreten, eventualiter Abweisung und subeventualiter die Verlängerung der Massnahme um zwei Jahre. Am 10. Oktober 2014 bewilligte das Haftgericht Sicherheitshaft bis Ende April 2015. Der amtliche Anwalt beantragte am 6. August 2014 die Versetzung in das Massnahmezentrum St. Johannsen, d.h. in den offenen Massnahmevollzug, was das Amt für Justizvollzug am 3. Oktober 2014 ablehnte.
Das Amtsgericht Olten-Gösgen beauftragte nach der (ersten) Hauptverhandlung vom 8. Januar 2015 und Stellungnahmen der Parteien am 3. Februar 2015 Prof. Dr. A._ mit einer neuen Begutachtung. Das Haftgericht verlängerte die Sicherheitshaft bis 30. Juli 2015. Ein Haftentlassungsantrag wurde letztinstanzlich von der Beschwerdekammer am 15. Juni 2015 abgewiesen. Die beantragte Versetzung in ein Untersuchungsgefängnis bis zum Vorliegen des neuen Gutachtens, da mit der Therapie nicht einverstanden, wies der Amtsgerichtspäsident ab. Aufgrund des ausstehenden Gutachtens verlängerte das Haftgericht die Sicherheitshaft bis 30. Oktober 2015. Am 30. Juli 2015 teilte die Vollzugsbehörde dem Amtsgericht mit, dass X._ sämtliche Therapien verweigerte und ein weiterer Aufenthalt in den Anstalten Thorberg nicht mehr als zielführend erachtet werde. In der Folge entsprach der Amtsgerichtspräsident am 31. Juli 2015 dem Gesuch um Versetzung ins Untersuchungsgefängnis Solothurn per 7. August 2015, wo er sich im Zeitpunkt der obergerichtlichen Entscheidung vom 16. September 2016 noch aufhielt (Bstn. B, C und D).
Die nach Eingang des Gutachtens vom 1. Oktober 2015 anberaumte Hauptverhandlung musste verschoben werden. Das Haftgericht verlängerte die Sicherheitshaft bis zum 30. Januar 2016. Das Amtsgericht Olten-Gösgen führte am 6. Januar 2016 die (zweite) Hauptverhandlung durch und eröffnete das Urteil am 14. Januar 2016 mündlich. Es verlängerte die stationäre Massnahme um fünf Jahre und ordnete zur Sicherung des Massnahmevollzugs Sicherheitshaft an.
B.
X._ führte Beschwerde bei der Beschwerdekammer des Obergerichts des Kantons Solothurn.
Aufgrund von Eingaben des amtlichen Verteidigers hielt der Instruktionsrichter mit Verfügung vom 9. Mai 2016 fest, der Entscheid des Amtsgerichts sei vollstreckbar (die aufschiebende Wirkung sei der Beschwerde am 13. April 2016 nicht erteilt worden); dass die Massnahme momentan faktisch - aufgrund des Gesuchs um Versetzung ins Untersuchungsgefängnis - nicht vollzogen werde, ändere nichts; der derzeitige Freiheitsentzug gelte als Massnahme.
Das Obergericht hob am 16. September 2016 den Entscheid des Amtsgerichts auf, verlängerte die Massnahme nicht und ordnete eine ambulante Behandlung verbunden mit Bewährungshilfe an. Es entschied, zur Einleitung der ambulanten Behandlung werde der stationäre Massnahmevollzug einstweilen aufrechterhalten, und wies den Antrag auf umgehende Entlassung aus dem Straf- und Massnahmevollzug in diesem Sinne ab. Es wies die Entschädigungsforderung für unrechtmässige Haft seit dem 23. August 2011 ab und auferlegte die Kosten des erst- und vorinstanzlichen Verfahrens zu je einem Drittel X._.
C.
X._ beantragt mit Beschwerde in Strafsachen:
1. das Urteil aufzuheben, soweit ihm die Haftentlassung und Entschädigung verweigert und Verfahrenskosten auferlegt wurden;
2. ihn aus dem Untersuchungsgefängnis Solothurn zu entlassen;
3. festzustellen, dass der Freiheitsentzug seit dem 23. August 2011, eventualiter seit dem 15. Dezember 2014, Art. 5 Ziff. 1 EMRK verletze;
4. den Kanton Solothurn zu verpflichten, ihm für den unrechtmässigen Freiheitsentzug eine Genugtuung Fr. 200.-- pro Tag seit dem 23. August 2011, eventualiter seit dem 15. Dezember 2014, bis zu seiner Haftentlassung zuzusprechen;
5. die Sache zur neuen Beurteilung und zu neuem Kostenentscheid an die Vorinstanz zurückzuweisen;
6. ihm die unentgeltliche Rechtspflege zu bewilligen.
D.
Das Obergericht und die Staatsanwaltschaft des Kantons Solothurn wurden vom Bundesgericht - insbesondere zum Haftentlassungsgesuch - zur Vernehmlassung eingeladen. Beide Behörden äussern sich (nur) zur Haftentlassung.
D.a. Das Obergericht führt in der Vernehmlassung aus: Der stationäre Massnahmevollzug zur Einleitung der ambulanten Behandlung sei am 16. September 2016 einstweilen aufrecht erhalten worden. Am 11. November 2016 habe das Amt für Justizvollzug verfügt, X._ habe sich im Rahmen der ambulanten Massnahme nach <ref-law> in einem geschützten Wohn- und Arbeitsrahmen aufzuhalten. Er werde am 15. November 2016 aus dem Untersuchungsgefängnis austreten und in Begleitung der Bewährungshilfe in das Wohnheim eintreten. Gleichzeitig seien eine Überwachung mittels GPS-Gerät, mindestens wöchentliche Gespräche mit der Bewährungshilfe, eine forensisch-psychiatrische Behandlung sowie eine Drogen- und Alkoholabstinenz angeordnet worden.
Bereits am 13. Oktober 2016 habe das Departement des Innern die im obergerichtlichen Urteil vom 14. April 2010 angeordnete Massnahme zufolge Aussichtslosigkeit rückwirkend per 14. Dezember 2014 aufgehoben, dem Amtsgericht die Verwahrung beantragt und für die Dauer des gerichtlichen Nachverfahrens die Anordnung von Sicherheitshaft empfohlen. Am 28. Oktober 2016 habe die Staatsanwaltschaft ebenfalls Verwahrung und Sicherheitshaft bis zum Vorliegen des entsprechenden Entscheids beantragt. Das Haftgericht habe den Antrag auf Sicherheitshaft in der Folge abgewiesen, was die Beschwerdekammer am 11. Januar 2017 bestätigt habe (Beilage des Obergerichts). X._ befinde sich weiterhin im Wohnheim. Das Verfahren betreffend Verwahrung sei beim Amtsgericht hängig.
D.b. Die Staatsanwaltschaft führt aus: X._ sei am 15. November 2016 aus dem Untersuchungsgefängnis entlassen worden und befinde sich nicht mehr im Freiheitsentzug (Verfügung vom 11. November 2016). Bei der Beschwerdeerhebung habe er sich nicht in strafprozessualer Haft befunden, sondern in der stationären Einleitungsphase der ambulanten Massnahme gemäss <ref-law>. Er habe die ambulante Massnahme nicht angefochten. Das Obergericht habe die Anordnung begründet. Es sei offensichtlich, dass ein solch komplexes ambulantes Setting nicht von heute auf morgen eingerichtet werden könne und Zeit brauche. Soweit sich die Beschwerde gegen die Verweigerung der (sofortigen) Haftentlassung richte, sei darauf nicht einzutreten (gegenstandslos/ungenügende Begründung der Beschwerde); allenfalls sei die Beschwerde abzuweisen.
D.c. X._ bezeichnet die vernehmlassungsweisen obergerichtlichen Ausführungen zum Sachverhalt als zutreffend. Insoweit sei das Entlassungsgesuch gegenstandslos geworden. Er weist zur staatsanwaltschaftlichen Vernehmlassung darauf hin, er sei im Zeitpunkt der Beschwerdeeinreichung nach <ref-law> inhaftiert gewesen. Er sei in dieser Zeit weder behandelt worden noch sei eine Behandlung vorgesehen gewesen. Der Aufenthalt im Untersuchungsgefängnis sei rechtswidrig gewesen.

Erwägungen:
1.
1.1. Das Bundesgericht prüft unter der Voraussetzung formgerechter Beschwerdeführung, "inwiefern der angefochtene Akt Recht verletzt" (Art. 42 Abs. 2 i.V.m. Art. 97 Abs. 1 und Art. 106 BGG; vgl. <ref-ruling> E. 1.7.1 f.; <ref-ruling> E. 2, 264 E. 2.3). Zur Beantwortung einer abstrakten Rechtsfrage kann das Bundesgericht nicht angerufen werden (<ref-ruling> E. 1c; Urteil 2C_1175/2016 vom 3. Januar 2017 E. 3.2).
1.2. Nach dem Beschwerdeführer ist der vorinstanzlich festgestellte Sachverhalt unbestritten (Beschwerde Ziff. 5). Diesen hat das Bundesgericht seinem Urteil zugrunde zu legen (<ref-law>).
1.3. Der Beschwerdeführer bringt vor, die Vorinstanz habe die stationäre Massnahme aufgehoben, sie aber unter Hinweis auf <ref-law> einstweilen aufrecht erhalten. Er fechte die Anordnung der ambulanten Massnahme mit Bewährungshilfe nicht an (die aber im offenen Widerspruch zur fehlenden Behandelbarkeit stehe), obwohl im Verlängerungsverfahren nach <ref-law> eine Änderung der Massnahme seines Erachtens nicht zulässig sei. Die Nichtanfechtung entspreche seiner Überzeugung, dass er nach über zehn Jahren Freiheitsentzug ohne jede Vollzugslockerung eine Begleitung durch die Bewährungshilfe brauche (Beschwerde Ziff. 10).
Gegenwärtig befinde er sich seit über zehn Jahren im Freiheitsentzug, obwohl er lediglich zu fünf Jahren Freiheitsstrafe verurteilt worden sei und die Massnahmedauer nicht verlängert worden sei. Mangels Verlängerung nach <ref-law> sei die Massnahme nicht rechtmässig i.S. v. Art. 5 Ziff. 1 lit. a EMRK gewesen, und indem die Vorinstanz eine Entschädigung verweigere, verletze sie Art. 5 Ziff. 5 EMRK.
1.4. Im Zentrum der Beschwerdeführung stehen Schadenersatzbegehren wegen nicht rechtmässiger Haft. Zu den diversen Haftanordnungen, Massnahmeentscheidungen und Statusänderungen in den mäandrierenden Haftregimen ist auf die Ausführungen im Sachverhalt (oben Bst. A-D) sowie das erstinstanzliche Urteil S. 9-14 zu verweisen.
2.
2.1. Der mit der stationären Behandlung verbundene Freiheitsentzug beträgt in der Regel höchstens fünf Jahre. Sind die Voraussetzungen der bedingten Entlassung nach fünf Jahren noch nicht gegeben und ist zu erwarten, durch die Fortführung der Massnahme lasse sich der Gefahr weiterer mit der psychischen Störung des Täters in Zusammenhang stehender Verbrechen und Vergehen begegnen, so kann das Gericht auf Antrag der Vollzugsbehörde die Verlängerung der Massnahme um jeweils höchstens fünf Jahre anordnen (<ref-law>).
Ihre Dauer hängt letztlich von den Auswirkungen der Massnahme auf die Gefahr weiterer Straftaten ab (<ref-ruling> E. 5.4 S. 112; <ref-ruling> E. 3.5). <ref-law> stellt sicher, dass die Massnahme regelmässig überprüft wird. Ab dem vollstreckbaren gerichtlichen Massnahmeentscheid liegt ein gültiger Vollzugstitel vor (<ref-ruling> E. 5.7). Der Aufenthalt in einer Straf- oder Haftanstalt stellt einen Freiheitsentzug dar und ist bei der Massnahmedauer zu berücksichtigen (<ref-ruling> E. 5.6 S. 114). Die Unterbringung in einer Straf- oder Haftanstalt ist an sich nur zur kurzfristigen Überbrückung einer Notlage mit Bundesrecht vereinbar. Die effektive Behandlungsdauer wird um die nach dem vollstreckbaren Entscheid ohne Behandlung in einer Straf- oder Haftanstalt verbrachte Zeit verkürzt (<ref-ruling> E. 5.8.1). Der mit der Massnahme verbundene Freiheitsentzug ist auf die (Freiheits-) Strafe anzurechnen (<ref-law>; BGE <ref-ruling> E. 3.5), und umgekehrt ebenso die Untersuchungs- und Sicherheitshaft auf die Massnahme (BGE <ref-ruling> E. 3.6 ff.; eine strafmassreduzierende Berücksichtigung rechtswidriger Haft im Sinne von <ref-law> scheidet in casu ohnehin aus, dazu etwa Urteil 6B_335/2016 vom 24. Januar 2017 E. 3.3.4.2 mit Hinweisen).
Über die Verlängerung der stationären Massnahme gemäss <ref-law> befindet das Gericht in einem selbständigen nachträglichen Entscheid im Sinne von <ref-law>. Das ursprüngliche Verfahren wird fortgesetzt. Es geht um die nachträgliche Abänderung oder Ergänzung der Sanktionsfolgen von rechtskräftigen Strafurteilen. Es soll damit einer späteren Entwicklung Rechnung getragen werden können. Die Grundlage dafür findet sich im materiellen Recht (<ref-ruling> E. 3.1). Bis zur Rechtskraft des neuen Massnahmeentscheids hat sich ein Freiheitsentzug auf strafprozessuale Sicherheitshaft zu stützen (Urteil 6B_834/2016 vom 16. August 2016 E. 1.2 mit Hinweisen). Die Anordnung von Sicherheitshaft muss in jedem Fall den strafprozessualen Voraussetzungen genügen (vgl. zur Veröffentlichung vorgesehenes Urteil 6B_73/2017 vom 16. Februar 2017).
2.2. Ausgangspunkt für die Berechnung der Fünfjahresfrist bildet das obergerichtliche Sachurteil vom 14. April 2010 (oben Bst. A.a). Denn ab diesem vollstreckbaren Massnahmeentscheid liegt ein gültiger (materiellrechtlicher) Vollzugstitel vor (<ref-ruling> E. 5.7). Die Fünfjahresfrist endete damit grundsätzlich am 13. April 2015.
Im Verlängerungsantrag terminierte das Amt für Justizvollzug die Fünfjahresfrist auf den 14. Dezember 2014 (oben Bst. A.c). Die Erstinstanz kam zum Ergebnis, mit dieser Terminierung werde der vorzeitige Massnahmevollzug (120 Tage oder 4 Monate) in einer spezialisierten Einrichtung und der gesamte Freiheitsentzug seit dem 14. April 2010 an die Massnahme angerechnet, obwohl sich der Beschwerdeführer tatsächlich erst seit dem 8. August 2013 in der Therapieabteilung aufgehalten habe (oben Bst. A.b). Die Terminierung sei richtig berechnet worden (erstinstanzliches Urteil S. 8 und 9). Die Vorinstanz übernimmt diese Beurteilung (Urteil S. 5, E. 5.1).
Dem Amt für Justizvollzug war anlässlich des Verlängerungsantrags vom 9. Juli 2014 insbesondere der am 23. April 2015 entschiedene einschlägige BGE <ref-ruling> nicht bekannt. Unter den Voraussetzungen dieses BGE sind sämtliche mit einer Massnahme verbundenen Freiheitsentzüge auf die Massnahme anzurechnen (bzw. gegebenenfalls die Massnahmedauer auf die Freiheitsstrafe; oben E. 2.1). Da das obergerichtliche Sachurteil rückwirkend auf den Tag des Urteilsdatums (<ref-law>) vollstreckbar wurde, bestand ab diesem Zeitpunkt grundsätzlich ein maximal für die Dauer der Fünfjahresfrist von <ref-law> gültiger materiellrechtlicher Vollzugstitel, unbesehen der Tatsache, dass Massnahmen zeitlich relativ unbestimmt angeordnet werden (BGE <ref-ruling> E. 3.5).
Es ist davon auszugehen, dass in casu sämtliche Freiheitsentzüge unter dem Gesichtspunkt der Gefahrenabwehr angeordnet und durchgeführt wurden. Es handelte sich sowohl bei der Untersuchungshaft und dem vorzeitigen Strafvollzug als auch bei der Unterbringung im Rahmen des vorzeitigen stationären therapeutischen Massnahmevollzugs letztlich um strafprozessualen Freiheitsentzug (vgl. <ref-ruling> E. 3.2.1; zur Veröffentlichung vorgesehenes Urteil 6B_73/2017 vom 16. Februar 2017 E. 2.1) zum Schutze der Allgemeinheit, sodass diese sämtlichen Freiheitsentzüge an die Massnahmedauer anzurechnen sind (BGE <ref-ruling> E. 3.8).
Im Sachurteil wurden eine (grundsätzlich maximal) fünfjährige stationäre Massnahme und eine fünfjährige Freiheitsstrafe angeordnet. Massnahme und Freiheitsstrafe können nicht kumuliert werden (<ref-law>). Folglich bestand in zeitlicher Hinsicht ein Vollzugstitel für maximal fünf Jahre, nämlich für den Zeitraum vom 14. April 2010 bis zum 13. April 2015. Der Freiheitsentzug vor und nach diesen Daten kann sich nicht auf ein rechtskräftiges und damit vollstreckbares Urteil abstützen, sondern stellt strafprozessuale Untersuchungs- oder Sicherheitshaft, allenfalls vollzogen in der Form des vorzeitigen Straf- oder Massnahmeantritts, dar.
Die auf strafprozessuale Zwangsmassnahmen gestützten Freiheitsentzüge sind nicht als rechtswidrig (<ref-law>) bzw. als im Sinne von Art. 5 Ziff. 1 EMRK unrechtmässig zu qualifizieren. Vielmehr erweisen sie sich im Nachhinein angesichts der nachfolgenden Erwägungen (unten E. 2.3) als ungerechtfertigt. Soweit dieser anrechenbare Freiheitsentzug in der Zeit vom 23. August 2006 (Anordnung der Untersuchungshaft) bis zum 14. April 2010 (Anordnung der stationären Massnahme) sowie ab 14. April 2015 (Ablauf der stationären Massnahme) die tatsächlich ausgefällte Sanktion (fünf Jahre) übersteigt, ist der Freiheitsentzug als Überhaft abzugelten (Art. 51 und 57 Abs. 3 StGB; <ref-law>; vgl. Urteile 6B_747/2016 vom 27. Oktober 2016 E. 3.2, 6B_1076/2016 vom 12. Januar 2017 E. 3.2 ff. sowie zur Veröffentlichung vorgesehenes Urteil 6B_1026/2015 vom 11. Oktober 2016 E. 5 zum Jugendstrafrecht). Im Umfang der Überhaft ist das Schadenersatz- oder Genugtuungsbegehren dem Grundsatz nach begründet.
Da im obergerichtlichen Sachurteil vom 14. April 2010 eine grundsätzlich maximal fünfjährige stationäre Massnahme ab Urteilsdatum angeordnet wurde, besteht nach dem Gesagten für diesen Zeitraum ein materiellrechtlicher Vollzugstitel, sodass dem Primärantrag des Beschwerdeführers nicht zu folgen ist, es sei festzustellen, der Freiheitsentzug seit dem 23. August 2011 (Ablauf der Fünfjahresfrist berechnet ab dem Tag der Verhaftung) verletze Art. 5 Ziff. 1 EMRK. Diese Argumentation des Beschwerdeführers hätte im Übrigen zur Folge, dass der Freiheitsentzug seit dem 23. August 2011 bis zur erstmaligen Anordnung von Sicherheitshaft durch das Haftgericht im Nachverfahren am 10. Oktober 2014 (nachfolgend E. 2.3) rechtswidrig im Sinne von <ref-law> wäre. Das trifft nach den vorangehenden Erwägungen nicht zu.
2.3. Am 9. Juli 2014 beantragte das Amt für Justizvollzug die Verlängerung im Nachverfahren. In der Folge beantragte die Staatsanwaltschaft Sicherheitshaft für den Fall, dass der erstinstanzliche Entscheid nach Ablauf der Fünfjahresfrist ergehen sollte. Am 10. Oktober 2014 bewilligte das Haftgericht Sicherheitshaft bis Ende April 2015 und verlängerte sie sukzessive bis zum 30. Januar 2016 (oben Bst. A.c). Im Zeitpunkt des Verlängerungsentscheids des Amtsgerichts Olten-Gösgen vom 14. Januar 2016 war die am 14. April 2015 endende Höchstdauer der Massnahme (oben E. 2.2) während des hängigen Nachverfahrens (wegen Abwartens des aktuellen Gutachtens) überschritten. Das Amtsgericht verlängerte die im Sachurteil vom 14. April 2010 angeordnete stationäre Massnahme. Der Verlängerungsentscheid bildete infolge Anfechtung mangels materieller Rechtskraftwirkung keinen vollstreckungsrechtlichen Hafttitel, weshalb das Amtsgericht strafprozessuale Sicherheitshaft anordnete und damit einen formellen Hafttitel für den Freiheitsentzug begründete (oben Bst. A.c).
Die Vorinstanz hob am 6. September 2016 den Entscheid des Amtsgerichts auf und verlängerte die am 14. April 2010 angeordnete Massnahme nicht (oben Bst. B). Mit der Aufhebung des amtsgerichtlichen Entscheids wurde der materiellrechtliche Vollzugstitel (<ref-law>) aufgehoben. Damit fiel auch der zur Sicherung des Massnahmevollzugs während des Rechtsmittelverfahrens amtsgerichtlich angeordnete strafprozessuale Hafttitel dahin.
Demnach erweist sich die Sicherheitshaft seit dem 13. April 2015 bis zum 6. September 2016 nachträglich als ungerechtfertigt im Sinne von <ref-law>. Schadenersatz- oder Genugtuungsbegehren nach ungerechtfertigter Sicherheitshaft sind in der Regel gemäss <ref-law> zu beurteilen (Urteile 6B_1076/2016 vom 12. Januar 2017 E. 3.2 ff. und 6B_20/2016 vom 20. Dezember 2016 E. 2). In diesem Umfang ist das Schadenersatz- oder Genugtuungsbegehren grundsätzlich begründet.
Es erübrigt sich daher, den Entschädigungsanspruch unter dem Titel von Art. 5 Ziff. 5 EMRK zu prüfen, da das Konventionsrecht, jedenfalls im hier zu beurteilenden Anwendungsbereich, keine weitergehenden Ansprüche gewährleistet.
3.
Der Beschwerdeführer ficht die vorinstanzliche Anordnung der ambulanten Massnahme ausdrücklich nicht an (oben E. 1.3), moniert aber, die Vorinstanz habe <ref-law> zweckentfremdet, indem sie ihn unter dem Titel der stationären Massnahme weiterhin im Untersuchungsgefängnis festhalte, ohne eine Behandlung auch nur in Erwägung zu ziehen, und verletze <ref-law>. Er beantrage die Entlassung aus dem Untersuchungsgefängnis.
3.1. Die zuständige Behörde kann gemäss <ref-law> verfügen, dass der Täter vorübergehend stationär behandelt wird, wenn dies zur Einleitung der ambulanten Behandlung geboten ist; die stationäre Behandlung darf insgesamt nicht länger als zwei Monate dauern. Die Regelung dient dazu, den Betroffenen vorübergehend zu internieren, "bis er therapeutisch ansprechbar wird" (Botschaft vom 21. September 1998 zur Änderung des Schweizerischen Strafgesetzbuches [...], BBl 1999 2091), d.h. zur Vorbereitung des Massnahmeantritts (MARIANNE HEER, in: Basler Kommentar, Strafrecht, 3. Aufl. 2013, N. 77 zu <ref-law>). Eine allfällige Freiheitsstrafe hat keinen Einfluss auf die Dauer der Massnahme. Die Massnahme kann den Strafvollzug überdauern (Urteil 6B_964/2015 vom 14. Oktober 2015 E. 3.5.5 mit Hinweisen) und ist gegebenenfalls nach der Entlassung fortzusetzen (HEER, a.a.O., N. 83 zu <ref-law>).
3.2. Die Vorinstanz führt aus: Der Beschwerdeführer verweigere sich wegen seiner Persönlichkeitsstörung im Innersten, sehr wahrscheinliche Konfliktsituationen könnten zur Erhöhung der Rückfallgefahr führen, er bedürfe einer engmaschigen Betreuung, zur Einrichtung dieses Netzes benötige die Vollzugsbehörde Zeit; er sei daher erst zu entlassen, wenn die Betreuung stehe (Urteil S. 22 und 23).
Das vorinstanzliche Vorgehen, die stationäre Massnahme zu diesem Zweck "einstweilen aufrechtzuerhalten" (Ziff. 4 des Dispositivs), erweist sich nach Aufhebung der Massnahme als nicht haltbar. Indessen kann Art. 63 Abs. 3 i.V.m. <ref-law> grundsätzlich als materiellrechtlicher Rechtstitel für den kurzfristigen Freiheitsentzug ab dem vorinstanzlichen Urteilsdatum bis zum Vollzug der ambulanten Massnahme gelten. Nach der bundesgerichtlichen Rechtsprechung rechtfertigt auch das Fehlen eines nach den gesetzlichen Vorschriften im Sinne von <ref-law> und Art. 5 Ziff. 1 EMRK ergangenen Hafttitels während einer gewissen Zeitdauer für sich allein eine Haftentlassung nicht, wenn und solange die materiellen Voraussetzungen eines Freiheitsentzugs erfüllt sind (Urteil 1B_458/2016 vom 19. Dezember 2016 E. 2.3). Die zuständigen Behörden haben inzwischen den Vollzug angeordnet. Der Beschwerdeführer trat bereits am 15. November 2016 aus dem Untersuchungsgefängnis aus und in das Wohnheim ein (oben Bst. D).
3.3. Der auf <ref-law> gestützte Freiheitsentzug bezweckte die Einleitung der unbestrittenen ambulanten Massnahme. Der kurzfristige, materiellrechtlich begründete Freiheitsentzug verletzt nicht <ref-law>, sodass das nicht weiter begründete Haftentlassungsgesuch abzuweisen ist. Im Übrigen stellt der Beschwerdeführer die Zuständigkeit der Vorinstanz nicht in Frage (Urteil S. 3; vgl. <ref-ruling> E. 3.1; zur Veröffentlichung vorgesehenes Urteil 6B_73/2017 vom 16. Februar 2017 E. 3.1) und ficht die Anordnung der Massnahme bewusst nicht an. Die Beschwerde hat in diesem Umfang keine aufschiebende Wirkung (<ref-law>). Die vorinstanzlichen Massnahmeentscheidungen wurden grundsätzlich mit Ablauf der Beschwerdefrist rechtskräftig, und zwar betreffend Aufhebung der Massnahme (<ref-law>) wie Anordnung der Massnahme (<ref-law>). Die Massnahmeentscheidungen als solche sind mangels Anfechtung (<ref-law>; vgl. <ref-ruling> E. 4.4.2) nicht Verfahrensgegenstand.
4.
Das vor dem Amtsgericht hängige Verfahren zwecks Verwahrung (oben Bst. D.a) ist nicht Beschwerdegegenstand. Dennoch kann angemerkt werden, dass die Vollzugsbehörde nicht berechtigt war, die im obergerichtlichen Urteil vom 14. April 2010 rechtskräftig angeordnete stationäre Massnahme "rückwirkend per 14. Dezember 2014" aufzuheben (Dispositiv Ziff. 1 der Verfügung des Departements vom 13. Oktober 2016). Die Verfügung erweist sich im Umfang der Ziff. 1 des Dispositivs als nichtig. Wie oben dargelegt, wurden die am 14. April 2010 angeordnete Massnahme vom Amtsgericht verlängert und der Verlängerungsentscheid von der Vorinstanz aufgehoben mit der Folge, dass seit dem 14. April 2015 kein materiellrechtlicher Vollzugstitel für den Freiheitsentzug zwecks Durchführung einer stationären Massnahme gemäss <ref-law> bestand (sondern lediglich Sicherheitshaft).
5.
Die Beschwerde ist teilweise gutzuheissen und im Übrigen abzuweisen, soweit darauf eingetreten werden kann. Das Urteil ist aufzuheben und die Sache zu neuer Entscheidung an die Vorinstanz zurückzuweisen (<ref-law>). Die Vorinstanz wird die Haftentschädigungen (oben E. 2.2 und 2.3) festzusetzen und die Kosten und Entschädigungen des kantonalen Verfahrens neu festzulegen haben. Der Beschwerdeführer obsiegt im Wesentlichen. Es sind keine Gerichtskosten zu erheben (<ref-law>). Der Kanton Solothurn hat den Beschwerdeführer zu entschädigen (<ref-law>); die Parteientschädigung ist bei Gesuchen um unentgeltliche Rechtspflege praxisgemäss dem Rechtsvertreter zuzusprechen. Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege ist damit gegenstandslos geworden.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Das Haftentlassungsbegehren wird abgewiesen.
2.
Die Beschwerde wird teilweise gutgeheissen, soweit darauf einzutreten ist, und im Übrigen abgewiesen. Das Urteil des Obergerichts des Kantons Solothurn vom 16. September 2016 wird aufgehoben und die Sache zu neuer Entscheidung an die Vorinstanz zurückgewiesen.
3.
Es werden keine Gerichtskosten erhoben.
4.
Der Kanton Solothurn wird verpflichtet, den Rechtsvertreter des Beschwerdeführers, Rechtsanwalt Konrad Jeker, mit Fr. 3'000.-- zu entschädigen.
5.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Solothurn, Beschwerdekammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 8. März 2017
Im Namen der Strafrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Denys
Der Gerichtsschreiber: Briw