Sachverhalt:
A.
Dr. B._ (Kläger und Beschwerdegegner) war bei der A._ AG (Beklagte und Beschwerdeführerin) ab 1. März 2003 als leitender Arzt und ab 1. April 2005 als stellvertretender Chefarzt der Klinik in U._ angestellt. Das Arbeitsverhältnis wurde mit Anstellungsvertrag vom 14. Januar 2003 begründet. Mit Vertragsänderung vom 1. April 2005 wurde die Normalarbeitszeit von Dr. B._ bei einem Beschäftigungsgrad von 100% auf wöchentlich 48 Stunden festgesetzt. Nachdem sich die Parteien nicht auf eine weitere Vertragsänderung einigen konnten, kündigte Dr. B._ das Arbeitsverhältnis per 30. September 2011.
In der Folge verlangte Dr. B._ von der A._ AG eine Entschädigung für seine in der Zeit vom 14. Juni 2006 bis 31. Januar 2009 tatsächlich geleisteten Pikett-Einsätze als Überstunden bzw. Überzeit. Weiter machte er eine Entschädigung für geleistete Pikettdienste in der Zeit vom 7. Oktober 2009 bis 30. September 2011 geltend. Zur Begründung führte er aus, dass er sich während dieser Dienste in der Klinik habe aufhalten müssen, da er infolge seines Umzugs am 31. Juli 2009 von seinem bisherigen Wohnort U._ nach V._ die von der A._ AG verlangte Interventionszeit von 15 Minuten sonst nicht mehr habe einhalten können. Damit habe die Zeit des Pikettdienstes als Arbeitszeit bzw. als Überzeit zu gelten, soweit die gesetzliche Höchstarbeitszeit von 50 Stunden überschritten worden sei.
B.
B.a. Nachdem sich die Parteien nicht über die geforderten Entschädigungen einigen konnten, wandte sich Dr. B._ mit Klage vom 3. Dezember 2012 an das Arbeitsgericht Zurzach. Mit in der Replik vom 12. Juni 2013 angepassten Rechtsbegehren beantragte er, es sei die A._ AG zu verurteilen, ihm den Betrag von mindestens Fr. 614'262.-- nebst Zins zu 5 % seit dem 1. Oktober 2011 auf dem Betrag von mindestens Fr. 612'492.15 zu bezahlen, unter Vorbehalt allfälliger Rektifikation und Mehrforderung auf Grund des Beweisergebnisses.
Mit Urteil vom 16. Juli 2014 hiess das Arbeitsgericht die Klage teilweise gut und verurteilte die A._ AG zur Zahlung von Fr. 250'944.10 nebst Zins zu 5 % auf dem Betrag von Fr. 249'474.-- seit dem 1. Oktober 2011.
B.b. Dagegen erhob die A._ AG am 12. September 2014 Berufung beim Obergericht des Kantons Aargau mit dem Antrag, die Klage sei lediglich im Umfang von Fr. 42'857.70 gutzuheissen.
Dr. B._ beantragte in seiner Berufungsantwort die Abweisung der Berufung und erhob Anschlussberufung, mit der er die Gutheissung der Klage im Umfang von Fr. 356'000.-- beantragte.
Mit Urteil vom 18. August 2015 hiess das Obergericht die Berufung teilweise gut, hob den erstinstanzlichen Entscheid bis auf die Verlegung der Gerichtskosten auf und verurteilte die A._ AG zur Zahlung von Fr. 245'374.90 nebst Zins zu 5 % auf dem Betrag von Fr. 243'904.80 seit 1. Oktober 2011. Die Anschlussberufung wies das Obergericht ab.
C.
Mit Beschwerde in Zivilsachen beantragt die A._ AG dem Bundesgericht, es sei das Urteil des Obergerichts bis auf die Abweisung der Anschlussberufung aufzuheben und die Klage sei lediglich im Umfang von Fr. 42'857.70 gutzuheissen.
Dr. B._ beantragt in seiner Vernehmlassung die Abweisung der Beschwerde, soweit Eintreten. Die Vorinstanz hat auf Vernehmlassung verzichtet.
D.
Mit Präsidialverfügung vom 8. Februar 2016 wurde der Beschwerde die aufschiebende Wirkung erteilt.

Erwägungen:
1.
Die Beschwerde richtet sich gegen den Endentscheid (<ref-law>) eines kantonalen Obergerichts, das als Rechtsmittelinstanz entschieden hat (<ref-law>), die Beschwerdeführerin ist mit ihren Anträgen unterlegen (<ref-law>) und der Streitwert ist offensichtlich erreicht (<ref-law>). Die rechtzeitig (<ref-law> i.V.m. <ref-law>) eingereichte Beschwerde ist grundsätzlich zulässig und es ist darauf - unter Vorbehalt gehöriger Begründung (<ref-law> und <ref-law>) - einzutreten.
2.
Die kantonalen Instanzen kamen zum Schluss, dass der Beschwerdegegner bei der Beschwerdeführerin keine höhere leitende Tätigkeit i.S. von Art. 3 lit. d des Bundesgesetzes vom 13. März 1964 über die Arbeit in Industrie, Gewerbe und Handel (ArG; SR 822.11) und Art. 9 der Verordnung 1 vom 10. Mai 2000 zum Arbeitsgesetz (ArGV 1; SR 822.111) ausgeübt habe, womit vorliegend das Arbeitsgesetz zur Anwendung gelangt. Die Beschwerdeführerin bestreitet dies vor Bundesgericht - anders als noch vor der Vorinstanz - nicht mehr. Es ist deshalb im Folgenden von der Anwendbarkeit der öffentlich-rechtlichen Arbeitsgesetzgebung auszugehen.
3.
Unter dem Titel "Offensichtlich unrichtige Sachverhaltsfeststellung " wendet sich die Beschwerdeführerin zunächst gegen die Feststellung der Vorinstanz, wonach sich der Beschwerdegegner während seines Pikettdienstes in der Zeit vom 7. Oktober 2009 bis 30. September 2011 in der Klinik aufgehalten habe. Dies habe der Beschwerdegegner zwar behauptet, die Beschwerdeführerin jedoch bestritten. Den Beweis für seine Behauptung habe der Beschwerdegegner nicht erbracht, womit die Vorinstanz mit ihrer Feststellung die Beweislastregel von <ref-law> verletzt und eine offensichtlich unrichtige Sachverhaltsfeststellung getroffen habe.
Die Rüge ist unbegründet. <ref-law> regelt den Begriff und die Folgen der Beweislosigkeit (Urteil 4C.165/2003 vom 3. November 2003 E. 2.2.2, nicht publ. in: <ref-ruling>). Kommt das Gericht - wie vorliegend - zu einem Beweisergebnis, so erweist sich die Beweislastverteilung gemäss <ref-law> als gegenstandslos (<ref-ruling> E. 6.1 S. 202; <ref-ruling> E. 3 S. 282 m.w.H.). Die Beschwerdeführerin vermag aber auch keine offensichtlich unrichtige, d.h. willkürliche Beweiswürdigung aufzuzeigen: Die Vorinstanz stellte fest, dass der Beschwerdegegner ab dem 7. Oktober 2009 nicht mehr in U._ gewohnt habe; seine Behauptung, dass er demzufolge von diesem Zeitpunkt an den Pikettdienst in der Klinik geleistet habe, sei unbestritten geblieben. Die Beschwerdeführerin bestreitet dies mit dem Hinweis auf Klagebeilage 21 ("Regelung des ärztlichen Bereitschaftsdienstes "), wo stehe, dass sich "der diensthabende Arzt (...) mit dem 'Töff' in U._ frei bewegen " könne, "aber jederzeit mit dem Mobiltelefon erreichbar und innert spätestens 15 Minuten in der Klinik sein" müsse. Mit dem Hinweis auf diese Regelung mag die Beschwerdeführerin zwar zum Ausdruck gebracht haben, dass der Beschwerdegegner die Klinik während des Pikettdienstes vereinbarungsgemäss auch habe verlassen dürfen, um sich in U._ zu bewegen; aber die Behauptung, dass der nicht mehr in U._ wohnhafte Beschwerdegegner seinen Pikettdienst ab dem 7. Oktober 2009 tatsächlich in der Klinik geleistet hatte, hat sie damit keineswegs bestritten. Damit liegt weder eine Verletzung von <ref-law> noch eine willkürliche Sachverhaltsfeststellung vor.
4.
Im Zusammenhang mit der Frage, ob sich der Beschwerdegegner während seines Pikettdienstes in der Klinik aufhalten musste, rügt die Beschwerdeführerin sodann, die Vorinstanz habe zu Unrecht nicht Art. 8a Abs. 2 der Verordnung 2 zum Arbeitsgesetz (ArGV 2; SR 822.112) angewendet, wonach Pikettdienste mit einer Interventionszeit von weniger als 30 Minuten lediglich zu einer Zeitgutschrift von 10 % der inaktiven Zeit führen. Im vorliegenden Fall hätten die Parteien eine Interventionszeit von 15 Minuten vereinbart; der Beschwerdegegner habe sich während des Pikettdienstes somit nicht im Betrieb aufhalten müssen.
4.1. Gemäss Art. 15 ArGV 1 stellt die gesamte im Pikettdienst zur Verfügung gestellte Zeit Arbeitszeit dar, wenn der Dienst im Betrieb geleistet wird (Abs. 1). Wird der Pikettdienst hingegen ausserhalb des Betriebes geleistet, so ist die zur Verfügung gestellte Zeit soweit an die Arbeitszeit anzurechnen, als der Arbeitnehmer oder die Arbeitnehmerin tatsächlich zur Arbeit herangezogen wird. Die Wegzeit zu und von der Arbeit ist in diesem Fall an die Arbeitszeit anzurechnen (Abs. 2). Dieser Unterscheidung zwischen Pikettdienst inner- und ausserhalb des Betriebs liegt die Überlegung zugrunde, dass der Arbeitnehmer ausserhalb des Betriebs mehr Freizeit- und Erholungsmöglichkeiten hat. Gemäss dem Regelungsgedanken von Art. 15 ArGV 1 ist daher nur von ausserhalb des Betriebs geleistetem Pikettdienst auszugehen, wenn der Arbeitnehmer diese Möglichkeiten auch nutzen kann. Dies ist zu verneinen, wenn der Arbeitnehmer während des Pikettdienstes innert sehr kurzer Frist, z.B. innert 15 Minuten nach dem Anruf, intervenieren muss, den Betrieb daher unter den gegebenen Umständen kaum verlassen und somit auch nicht von seiner Freizeit profitieren kann (Urteile 4A_94/2010 vom 4. Mai 2010 E. 4.4; 4A_523/2010 vom 22. November 2010 E. 5.1). Entsprechend bestimmt der am 1. Januar 2010 in Kraft getretene Art. 8a Abs. 3 ArGV 2, dass die gesamte zur Verfügung gestellte Zeit als Arbeitszeit gilt, wenn der (inaktive) Pikettdienst wegen der kurzen Interventionszeit im Betrieb geleistet werden muss. Anders verhält es sich nur, wenn der Arbeitnehmer den Pikettdienst tatsächlich zu Hause erbringen kann, da ihm dies namentlich bezüglich des Sozialkontakts und der Freizeitbeschäftigungen verschiedene auf dem Betriebslokal ausgeschlossene Möglichkeiten bietet und deshalb keine Gleichstellung mit dem im Betrieb erbrachten Pikettdienst gerechtfertigt ist (Urteil 4A_94/2010 vom 4. Mai 2010 E. 4.4). Nach Art. 8a Abs. 2 ArGV 2 hat der Arbeitnehmer immerhin Anspruch auf eine Zeitgutschrift von 10 Prozent der inaktiven Pikettdienstzeit, wenn die Interventionszeit aus zwingenden Gründen weniger als 30 Minuten beträgt.
4.2. Die Vorinstanz bezog sich auf diese Grundsätze und erwog, dass der vom Beschwerdegegner ab dem 7. Oktober 2009 in der Klinik geleistete Pikettdienst unter Art. 15 Abs. 1 ArGV 1 falle, also einen Pikettdienst im Betrieb darstelle. Entgegen der Ansicht der Beschwerdeführerin spiele keine Rolle, ob der Beschwerdegegner während dieses Bereitschaftsdienstes "aktiv" geworden, d.h. tatsächlich eine Arbeitsleistung erbracht habe, oder nicht. Entscheidend sei, dass der Beschwerdegegner beim Pikettdienst innerhalb des Betriebes nicht mehr die Freizeit- und Erholungsmöglichkeiten hatte, wie wenn er denselben ausserhalb des Betriebs geleistet hätte.
4.3. Diese Erwägungen sind bundesrechtlich nicht zu beanstanden. Bei einer vereinbarten Interventionszeit von 15 Minuten war es dem Beschwerdegegner kaum möglich, die Klinik zu verlassen und von seiner Freizeit zu profitieren. Daran ändert auch nichts, dass ihm die Beschwerdeführerin zugestehen wollte, sich des Nachts in U._ "mit dem Töff" zu bewegen. Unter den gegebenen Umständen ist vielmehr von einem Pikettdienst im Betrieb i.S. von Art. 15 Abs. 1 ArGV 1 und Art. 8a Abs. 3 ArGV 2 auszugehen, bei dem die gesamte zur Verfügung gestellte Zeit als Arbeitszeit gilt. Art. 8a Abs. 2 ArGV 2 findet entgegen der Auffassung der Beschwerdeführerin keine Anwendung.
5.
Schliesslich rügt die Beschwerdeführerin eine Verletzung von <ref-law>, <ref-law>, <ref-law>, Art. 8a ArGV 2, Art. 15 ArGV 2 und <ref-law>, indem die Vorinstanz auf den vorliegenden Fall die mit <ref-ruling> begründete Rechtsprechung angewendet habe. Entgegen der Auffassung der Vorinstanz sei für die vom Beschwerdegegner geleisteten Pikettdienste nicht zwingend eine Entschädigung in der Höhe des normalen Jahresnettostundenlohns zuzüglich eines Zuschlags von 25 % geschuldet. Es könne nicht dem Willen des Gesetzgebers entsprochen haben, einen Arbeitnehmer für "Schlafstunden " zwingend mit dem ordentlichen Lohn samt Zuschlag von 25 % zu entschädigen.
5.1. Geleistete Arbeitszeit, welche die gesetzliche Höchstarbeitszeit nach <ref-law> überschreitet, ist sog. Überzeitarbeit (Art. 12 f. ArG; <ref-ruling> E. 6a S. 341 f.). Gemäss <ref-law> hat der Arbeitgeber den Arbeitnehmern für die Überzeitarbeit einen Lohnzuschlag von wenigstens 25 Prozent auszurichten. Dabei handelt es sich um eine zwingende Vorschrift, die jede abweichende Vereinbarung ausschliesst (<ref-ruling> E. 2.5.5; <ref-ruling> E. 5.4.5.1 S. 364; <ref-ruling> E. 2.5.1 S. 542; <ref-ruling> E. 6c S. 343). Denn wenn es zulässig wäre zu vereinbaren, die Entschädigung für Überzeitarbeit sei im Lohn bereits enthalten oder durch gewisse Sonderleistungen pauschal entschädigt, bestünde für den Arbeitgeber keinerlei Anreiz, auf Überzeitarbeit zu verzichten oder die geleistete Überzeit mit Freizeit auszugleichen (BGE <ref-ruling> E. 5.4.5.1; <ref-ruling> E. 2.5.3 S. 543). Nach der bundesgerichtlichen Rechtsprechung ist beim Ausgleich der Überzeitarbeit in Geld sodann zwingend der (anteilsmässige) Grundlohn und die im Gesetz vorgesehene Zusatzentschädigung geschuldet (BGE <ref-ruling> E. 2.5.1; <ref-ruling> E. 6c S. 343). Denn Überzeitarbeit soll den Arbeitgeber teurer zu stehen kommen als die im Rahmen der normalen Höchstarbeitszeit geleistete Arbeit. Daher wird der Arbeitgeber von seiner finanziellen Verpflichtung nur dann befreit, wenn die Überzeit im Einverständnis mit dem Arbeitnehmer durch Freizeit von gleicher Dauer ausgeglichen wird (<ref-law>; <ref-ruling> E. 6c S. 343).
5.2. Die Vorinstanz bezog sich auf diese Grundsätze und erwog, dass der vom Beschwerdegegner geleistete Pikettdienst in dem Umfang, in dem die wöchentliche Höchstarbeitszeit 50 Stunden überschritten und nicht innert angemessener Zeit durch Freizeit von gleicher Dauer kompensiert wurde, Überzeit darstelle, die von der Beschwerdeführerin gemäss <ref-law> mit dem Grundlohn samt einem Zuschlag von 25 % zu entschädigen sei. Beim Grundlohn handle es sich um denjenigen Lohn, der für die vertraglich vereinbarte Arbeitszeit geschuldet ist, und nicht etwa um einen allenfalls tieferen Stundenansatz, der in einer vertraglichen Abrede (bzw. einem gemäss Arbeitsvertrag auf das Arbeitsverhältnis anwendbaren Reglement des Arbeitgebers) für den Pikett- bzw. Bereitschaftsdienst vereinbart wurde. Der Einwand der Beschwerdeführerin, der vom Beschwerdegegner zwischen dem 7. Oktober 2009 und 30. September 2011 in ihrem Betrieb geleistete Bereitschaftsdienst sei mit den bereits ausgerichteten Entschädigungen beglichen, verfange somit nicht.
5.3. Diese Erwägungen sind zutreffend: Nachdem es sich beim umstrittenen Bereitschaftsdienst um Pikettdienst innerhalb des Betriebs i.S. von Art. 15 Abs. 1 ArGV 1 und Art. 8a Abs. 3 ArGV 2 handelt, bei dem die gesamte zur Verfügung gestellte Zeit als Arbeitszeit gilt, ist dieser gemäss <ref-law> als Überzeitarbeit entschädigungspflichtig, soweit die gesetzliche Höchstarbeitszeit überschritten worden ist. Mit Blick auf den Schutzgedanken von <ref-law> ist dabei der im Betrieb geleistete Pikettdienst nicht anders zu behandeln als ordentliche Arbeitszeit: Auch Pikett-Überzeit ist mit dem um 25 % erhöhten Grundlohn zu entschädigen, denn sonst würde der mit <ref-law> angestrebte Anreiz für den Arbeitgeber, auf Überzeitarbeit zu verzichten oder die geleistete Überzeit mit Freizeit auszugleichen, vereitelt, wenn im Betrieb geleistete Pikett-Überzeit weniger teuer zu stehen käme als "ordentliche" Überzeit. Die Rüge, die Vorinstanz habe die Rechtsprechung von <ref-ruling> zu Unrecht berücksichtigt, ist unbegründet.
6.
Damit erweist sich die Beschwerde als unbegründet.
Bei diesem Verfahrensausgang wird die Beschwerdeführerin kosten- und entschädigungspflichtig (Art. 66 Abs. 1 und Art. 68 Abs. 2 BGG).
7.
Die Ziffer 3 des Urteilsdispositivs, welches den Parteien am 7. Juni 2016 ohne Urteilsbegründung eröffnet worden ist, enthält einen offensichtlichen Redaktionsfehler (statt "Beschwerdegegner" steht "Beschwerdeführer"). Dieser wird hiermit gestützt auf <ref-law> von Amtes wegen berichtigt.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 6'000.-- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
3.
Die Beschwerdeführerin hat den Beschwerdegegner für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 7'000.-- zu entschädigen.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Aargau, Zivilgericht, 1. Kammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 7. Juni 2016
Im Namen der I. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Kiss
Der Gerichtsschreiber: Hurni