Faits :
A.
Z._ SA, dont le siège social est à V._, a pour but l'exploitation d'un commerce de fer et métaux, papier et matières recyclables diverses, importation et exportation de ces matières ainsi que toutes opérations commerciales, financières, industrielles et immobilières convergentes. Le capital-actions de cette société est détenu majoritairement par A._ SA, à W._, propriétaire d'un groupe d'entreprises fournissant des solutions de recyclage complètes.
Par contrat du 26 août 2005, Z._ SA (l'employeur) a engagé X._ (l'employé) en qualité de "responsable de [la] société" à partir du 12 septembre 2005. En tant que responsable de la "succursale" de V._, l'employé avait des tâches "tout autant stratégiques qu'opérationnelles". Son travail consistait en l'organisation et la gestion des activités pratiques, techniques et commerciales du site de V._. L'employé participait notamment au développement du chiffre d'affaires du marché valaisan par l'acquisition de nouveaux clients et le suivi personnalisé de la clientèle. Il répondait directement de ses actions auprès de la direction générale du groupe. Le contrat de travail prévoyait un salaire mensuel brut de 6'700 fr., auquel s'ajoutaient le remboursement des frais professionnels et un treizième salaire. Au moment de la cessation des rapports de travail, l'employé percevait un salaire mensuel net de 7'691 fr.30, treizième salaire en sus.
Le 13 décembre 2013, Z._ SA a signifié à X._ la rupture immédiate des relations de travail, en raison de manquements constatés dans la conduite de l'entreprise, plus particulièrement de son "étroite collaboration " avec un autre employé de la société, B._, constitutive à ses yeux de "concurrence déloyale ". En substance, l'employeur reprochait à l'employé d'avoir toléré que le prénommé se livre, durant son temps libre, au commerce de ferraille, concurrençant ainsi les autres fournisseurs de la société, qui s'en étaient plaints.
B.
Le 30 janvier 2014, X._ a saisi le Tribunal du travail du canton du Valais d'une requête de conciliation à l'encontre de Z._ SA, concluant au paiement de 25'457 fr.50 à titre de salaire et 4'542 fr.50 à titre d'indemnité pour licenciement immédiat injustifié. A la suite de l'échec de la conciliation, l'employé a déposé une demande tendant au paiement d'un montant de 27'283 fr.80, soit 19'000 fr.90 à titre de salaire et 8'282 fr.90 à titre d'indemnité pour licenciement immédiat injustifié.
Par jugement du 3 février 2015, le Tribunal du travail a admis la demande à concurrence de 24'126 fr.95. Il a considéré que le licenciement immédiat était injustifié.
Par jugement du 24 avril 2017, la Cour civile II du Tribunal cantonal du canton du Valais, par son Président statuant comme Juge unique, a admis l'appel déposé par Z._ SA et a rejeté la demande de X._. En substance, le juge a considéré que l'employé, vu la position qu'il occupait dans l'entreprise, avait commis un grave manquement justifiant un licenciement immédiat en omettant d'informer l'employeur de l'activité de récupération de ferraille déployée par B._ durant son temps libre.
C.
X._ interjette un recours en matière civile. Il demande au Tribunal fédéral d'annuler le jugement cantonal, puis de condamner Z._ SA à lui verser un montant net de 24'066 fr.95, soit 15'171 fr.85 à titre de salaire pendant le délai de congé, 7'631 fr.30 à titre d'indemnité pour licenciement immédiat injustifié et 1'263 fr.80 à titre de treizième salaire. Ses conclusions subsidiaires tendent au renvoi de la cause à l'autorité précédente pour nouveau jugement.
Z._ SA n'a pas été invitée à se déterminer sur le recours.

Considérant en droit :
1.
Les conditions de recevabilité du recours en matière civile sont réalisées sur le principe, notamment celle afférente à une valeur litigieuse minimale de 15'000 fr. pour les conflits de droit du travail (<ref-law>). Est réservé l'examen de la recevabilité des griefs particuliers.
2.
2.1. Le recours en matière civile peut être formé pour violation du droit fédéral (<ref-law>). L'autorité de céans applique d'office le droit (<ref-law>) à l'état de fait constaté dans l'arrêt cantonal. Cela n'implique pas qu'elle examine toutes les questions juridiques qui pourraient se poser, à l'instar d'un juge de première instance. Eu égard à l'obligation de motiver imposée par l'<ref-law>, l'autorité de céans ne traite que les questions qui sont soulevées devant elle par les parties, à moins que la violation du droit ne soit manifeste (<ref-ruling> consid. 2 p. 116; <ref-ruling> consid. 2).
2.2. Le Tribunal fédéral statue sur la base des faits établis par l'autorité précédente (<ref-law>). Il ne peut rectifier ou compléter les constatations de l'autorité précédente que si elles sont manifestement inexactes ou découlent d'une violation du droit au sens de l'<ref-law> (<ref-law>). «Manifestement inexactes» signifie ici «arbitraires» (<ref-ruling> consid. 2 p. 117; <ref-ruling> consid. 1.5). Encore faut-il que la correction du vice soit susceptible d'influer sur le sort de la cause (<ref-law>). La critique de l'état de fait retenu est soumise au principe strict de l'allégation énoncé par l'<ref-law> (<ref-ruling> consid. 2.3 p. 266 et les références).
La partie qui entend attaquer les faits constatés par l'autorité précédente doit expliquer clairement et de manière circonstanciée en quoi ces conditions seraient réalisées (<ref-ruling> consid. 1.3.1 p. 18 et les références). Si elle souhaite obtenir un complètement de l'état de fait, elle doit aussi démontrer, par des renvois précis aux pièces du dossier, qu'elle a présenté aux autorités précédentes en conformité avec les règles de procédure les faits juridiquement pertinents à cet égard et les moyens de preuve adéquats (ATF <ref-ruling> consid. 2 p. 90). Si la critique ne satisfait pas à ces exigences, les allégations relatives à un état de fait qui s'écarterait de celui de la décision attaquée ne pourront pas être prises en considération (<ref-ruling> consid. 1.3.1 p. 18). Aucun fait nouveau ni preuve nouvelle ne peut être présenté à moins de résulter de la décision de l'autorité précédente (<ref-law>).
3.
Sous le chiffre II de son mémoire, le recourant présente sa propre version des faits, sans se prévaloir d'un quelconque arbitraire de la part du juge cantonal. Comme cet exposé ne contient aucune critique satisfaisant aux exigences de l'<ref-law>, il n'y a pas à le prendre en considération.
Pour étayer sa motivation, le recourant se fonde également sur toute une série de faits qui ne ressortent pas du jugement entrepris, sans se plaindre d'arbitraire à cet égard. Il n'en sera pas davantage tenu compte, au même titre que les faits nouveaux qu'il allègue sans respecter les conditions de l'<ref-law>.
4.
Le recourant invoque une violation du droit fédéral. Pour satisfaire à son obligation de motiver (<ref-law>), il doit discuter les motifs de la décision entreprise et indiquer précisément en quoi il estime que l'autorité précédente a méconnu le droit (ATF <ref-ruling> consid. 2 et les arrêts cités). Or, à la lecture du recours, il apparaît que son auteur se contente essentiellement de développer un raisonnement juridique fondé sur sa propre version des faits, sans pour autant prétendre que le juge cantonal aurait violé le droit fédéral. La recevabilité de ce grief est dès lors douteuse. Cette question peut toutefois demeurer indé-cise, dès lors que le recours doit de toute manière être rejeté pour les motifs suivants.
4.1. L'<ref-law> autorise l'employeur comme le travailleur à résilier immédiatement le contrat de travail en tout temps pour de justes motifs (al. 1). Constituent notamment de justes motifs toutes les circonstances qui, selon les règles de la bonne foi, ne permettent pas d'exiger de celui qui a donné le congé la continuation des rapports de travail (al. 2).
Selon la jurisprudence, la résiliation immédiate pour justes motifs est une mesure exceptionnelle qui doit être admise de manière restrictive (<ref-ruling> consid. 2.1.1 p. 304). Seul un manquement particu-lièrement grave peut justifier une telle mesure (<ref-ruling> consid. 4.2). Par manquement, on entend généralement la violation d'une obligation découlant du contrat de travail, mais d'autres incidents peuvent aussi justifier une telle mesure (<ref-ruling> consid. 2.1.1 p. 304 s.; <ref-ruling> consid. 4.1 p. 31; <ref-ruling> consid. 2.2 p. 382). Ce manquement doit être objectivement propre à détruire le rapport de confiance essentiel au contrat de travail ou, du moins, à l'atteindre si profondément que la continuation des rapports de travail ne peut raisonnablement pas être exigée; de surcroît, il doit avoir effectivement abouti à un tel résultat (cf. cependant la remarque de STREIFF/VON KAENEL/RUDOLPH, Arbeitsvertrag, 7e éd. 2012, p. 1098). Lorsqu'il est moins grave, le manquement ne peut entraîner une résiliation immédiate que s'il a été répété malgré un avertissement (<ref-ruling> consid. 4.2; <ref-ruling> consid. 3.1 p. 220 s.).
Le juge apprécie librement s'il existe de justes motifs (<ref-law>); il applique les règles du droit et de l'équité (<ref-law>). Savoir si le comportement incriminé atteint la gravité nécessaire dépend des circonstances du cas concret (<ref-ruling> consid. 4.2 p. 580 et les arrêts cités). Il est donc difficile d'établir un catalogue de comportements susceptibles de justifier un congé immédiat (cf. arrêt 4A_397/2014 du 17 décembre 2014 consid. 3.1 in fine). Dans son appréciation, le juge doit notamment tenir compte de la position et de la responsabilité du travailleur, du type et de la durée des rapports contractuels, de la nature et de l'importance des manquements (<ref-ruling> consid. 2.1.1 p. 305; <ref-ruling> consid. 4.1 p. 32; <ref-ruling> consid. 4a p. 354), ou encore du temps restant jusqu'à l'échéance ordinaire du contrat (<ref-ruling> consid. 4.2 p. 579 s.). A cet égard, l'importance du manquement doit être d'autant plus grande que ce laps de temps est court (arrêts 4A_625/2016 du 9 mars 2017 consid. 3.2; 4C.95/2004 du 28 juin 2004 consid. 2). La réserve est ainsi de mise lorsque le congé immédiat est donné dans le temps d'essai - qui se caractérise par la brièveté du délai de congé - ou dans la période qui suit le congé ordinaire et l'échéance du contrat (STREIFF/VON KAENEL/RUDOLPH, op. cit., p. 1125). La position de l'employé, sa fonction et les responsabilités qui lui sont confiées peuvent entraîner un accroissement des exigences quant à sa rigueur et à sa loyauté (cf. ATF <ref-ruling> consid. 4.1; <ref-ruling> consid. 2b; arrêts 4A_177/2017 du 22 juin 2017 consid. 2.3; 4C.51/2006 du 27 juin 2006 consid. 2.2.3).
Le Tribunal fédéral ne revoit qu'avec réserve la décision d'appréciation prise en dernière instance cantonale. Il n'intervient que lorsque l'autorité précédente s'est écartée sans raison des règles établies par la doctrine et la jurisprudence en matière de libre appréciation, lorsqu'elle s'est appuyée sur des faits qui ne devaient jouer aucun rôle ou, à l'inverse, a méconnu des éléments qui auraient absolument dû être pris en considération; il sanctionnera en outre les décisions rendues en vertu d'un pouvoir d'appréciation lorsqu'elles aboutissent à un résultat manifestement injuste ou à une iniquité choquante (<ref-ruling> consid. 2.1.1 p. 305; <ref-ruling> consid. 3.1 p. 220).
4.2.
4.2.1. En l'espèce, l'employeur a licencié l'employé avec effet immédiat en raison des manquements constatés dans la conduite de l'entreprise, plus particulièrement de son "étroite collaboration" avec B._, l'un de ses subordonnés, laquelle serait constitutive de "concurrence déloyale". La collaboration dont il s'agit se rapporte en fait à l'activité que le prénommé pratiquait sur son temps libre, consistant à récupérer de la ferraille et à la vendre à la société intimée.
Il est constant que le recourant avait connaissance de l'activité exercée par son subordonné; c'est même lui qui le payait pour le matériau qu'il apportait et vendait à la société. Il est également établi que, ce faisant, B._ concurrençait les autres "clients " (selon le terme utilisé par les parties), soit plus exactement les autres fournisseurs de l'entreprise de récupération.
L'autorité précédente en a déduit que l'activité en cause était propre à porter préjudice aux intérêts légitimes de l'employeur. Il ressortait en effet des déclarations de l'un des administrateurs de la société, Dario Balmelli, que plusieurs fournisseurs avaient, pour ce motif, menacé de "quitter la société " et que l'un d'entre eux l'avait déjà fait. Le juge cantonal a considéré qu'en vertu de son devoir de fidélité et de loyauté, le recourant était tenu soit de porter ces faits à la connaissance de sa direction pour que celle-ci puisse agir en conséquence, soit d'intervenir lui-même auprès de B._ pour mettre un terme à cette activité. Ce manquement devait être qualifié de grave, considérant l'ampleur des dommages qu'il était de nature à créer, la position occupée par l'employé et la confiance que l'employeur lui accordait. La poursuite des relations de travail jusqu'au terme du délai de congé légal ne pouvait être exigée et la rupture abrupte du contrat de travail se révélait dès lors justifiée.
4.2.2. Il incombe au travailleur de sauvegarder fidèlement les intérêts légitimes de l'employeur (<ref-law>). Découlant de l'application du principe de la bonne foi, cette obligation impose au travailleur de s'abstenir de tout comportement susceptible de léser l'employeur dans ses intérêts légitimes. Elle comporte aussi, selon les circonstances et les responsabilités du travailleur, un devoir d'informer et de renseigner l'employeur afin que celui-ci puisse prendre toutes les mesures nécessaires au bon déroulement du travail.
En l'espèce, il convient de préciser tout d'abord que l'activité accessoire que l'employé tolérait chez son subordonné ne faisait pas concurrence à la société intimée, à laquelle ce dernier revendait la ferraille qu'il collectait, mais bien aux fournisseurs de celle-ci. On ne se trouve dès lors pas dans le cas, visé à l'<ref-law>, où un employé se livrerait à une activité rémunérée pour un tiers concurrençant son employeur lui-même, ce qui est le plus souvent perçu comme une grave violation du devoir de fidélité de nature à justifier une résiliation immédiate du contrat de travail (<ref-ruling> consid. 2 p. 30 ss; arrêt 4A_377/2010 du 11 octobre 2010 consid. 3.2 à 3.4; 4C.325/2006 du 28 novembre 2006 consid. 2.1; 4C.10/2004 du 29 avril 2004 consid. 8.4.4; pour une violation de ce genre ne présentant pas un degré de gravité suffisant à elle seule: arrêt 4C.85/1996 du 19 juillet 1996 consid. 3c). Cela ne signifie pas encore que le recourant soit exempt de tout reproche.
En effet, la pratique d'une activité parallèle de ferrailleur par l'un des subordonnés du recourant était susceptible de porter préjudice à l'employeur. Bien que le jugement attaqué soit muet sur ces points, on peut concevoir que la connaissance potentielle, par le subordonné, d'éléments liés aux fournisseurs de la société - par exemple les sites de collecte de ferraille exploités par les fournisseurs habituels ou les pratiques de ces derniers - ainsi que des éléments en rapport avec la société elle-même, tels que ceux relatifs à la formation du prix d'achat, ait pu offrir à l'intéressé un avantage tactique sur les autres fournisseurs, qu'il pouvait mettre à profit à leur détriment. A tout le moins les fournisseurs pouvaient-ils légitimement suspecter que tel soit le cas. Si, de surcroît, le subordonné pratiquait des prix plus bas que les leurs, il n'y a rien d'étonnant que d'aucuns s'en soient offusqués et aient menacé de rompre leurs relations avec la société, voire l'aient fait, comme le juge cantonal le retient sur la base des déclarations de l'un des administrateurs. En sa qualité de responsable de "succursale", chargé notamment du développement du chiffre d'affaires du marché valaisan par l'acquisition de nouveaux clients et du suivi personnalisé de la clientèle, l'employé ne pouvait ignorer que l'activité de son subordonné induisait le risque de nuire aux relations nouées par la société avec ses fournisseurs habituels dans une notable mesure, jusqu'à les remettre totalement en cause. C'est dès lors à bon droit que l'autorité précédente a jugé que l'employé avait violé son devoir de fidélité et de loyauté (<ref-law>) en ne mettant pas fin à l'activité incriminée de son subordonné ou, à tout le moins, en ne l'annonçant pas à sa direction.
Compte tenu de la retenue avec laquelle le Tribunal fédéral revoit la décision d'appréciation prise en dernière instance cantonale, la cour de céans n'a rien à redire au fait que l'autorité précédente ait jugé que cette violation revêtait un degré de gravité tel qu'elle justifiait un licenciement immédiat. En effet, il n'est pas interdit de penser, à l'instar du juge cantonal, que l'activité du subordonné en question ait fait courir le risque d'un grave dommage à la société. Même si l'employeur ne reproche pas au recourant d'avoir tiré un bénéfice personnel de l'activité de son subordonné - mais bien d'avoir manqué de clairvoyance en ne discernant pas l'impact important qu'elle pouvait avoir sur l'entreprise -, il n'est pas déraisonnable de considérer qu'un tel manquement de la part d'un responsable de "succursale " dans l'exercice de l'une de ses tâches fondamentales puisse remettre totalement en cause le lien de confiance entre les parties, au point que la continuation des rapports de travail jusqu'au terme du délai de congé ne pouvait être raisonnablement exigée.
En conclusion, l'autorité cantonale n'a pas fait une application erronée de la notion de justes motifs ancrée à l'<ref-law>, ni n'a excédé son pouvoir d'appréciation en jugeant que le manquement reproché au recourant justifiait une résiliation immédiate du contrat de travail. Les prétentions que le recourant déduit d'un licenciement immédiat prétendument injustifié sont mal fondées et elles ont été rejetées à bon droit.
5.
Sur le vu de ce qui précède, le recours doit être rejeté dans la mesure où il est recevable.
En conséquence, le recourant prendra à sa charge les frais judiciaires (<ref-law>). Leur montant sera fixé en application de l'art. 65 al. 4 let. c LTF puisque la valeur litigieuse - arrêtée selon les conclusions formulées en première instance par le demandeur - n'atteint pas 30'000 fr. Il n'est pas alloué de dépens à l'intimée qui n'a pas été invitée à se déterminer.

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce :
1.
Le recours est rejeté dans la mesure où il est recevable.
2.
Les frais judiciaires, arrêtés à 800 fr., sont mis à la charge du recourant.
3.
Le présent arrêt est communiqué aux mandataires des parties et à la Cour civile II du Tribunal cantonal du canton du Valais.
Lausanne, le 13 octobre 2017
Au nom de la Ire Cour de droit civil
du Tribunal fédéral suisse
La Présidente : Kiss
La Greffière : Godat Zimmermann