Erwägungen:
1.
Mit Ausstandsgesuch vom 12. Mai 2016 beantragte A._ dem Kantonsgericht Basel-Landschaft, die Fallführung in dem von der Staatsanwaltschaft Basel-Landschaft gegen ihn wegen unbefugten Aufnehmens von Gesprächen geführten Strafverfahren auf einen anderen Untersuchungsbeauftragten zu übertragen.
Mit Beschluss vom 16. August 2016 hat die Abteilung Strafrecht des Kantonsgerichts das Gesuch abgewiesen, soweit sie darauf eingetreten ist.
Mit Beschluss vom 16. August 2016 hat die Abteilung Strafrecht des Kantonsgerichts das Gesuch abgewiesen, soweit sie darauf eingetreten ist.
2. Mit Eingabe vom 13. Dezember (Postaufgabe: 14. Dezember) 2016 führt A._ gegen diesen ihm laut Aktenlage am 17. Oktober 2016 zugestellten Beschluss Beschwerde ans Bundesgericht. Dieses hat davon abgesehen, Stellungnahmen zur Beschwerde einzuholen.
3.1 Das Bundesgericht prüft von Amtes wegen und mit freier Kognition, ob bzw. inwieweit ein bei ihm eingereichtes Rechtsmittel zulässig ist (s. etwa <ref-ruling> E. 1.1 S. 197, 140 I 252 E. 1 S. 254, 138 I 367 E. 1 S. 369 mit weiteren Hinweisen).
3.2 Nach <ref-law> ist die Beschwerde innert 30 Tagen nach der Eröffnung der vollständigen Ausfertigung des angefochtenen Entscheids beim Bundesgericht einzureichen. Diese gesetzliche Frist ist nicht erstreckbar (<ref-law>).
3.3 Gemäss den vorliegenden postalischen Angaben, die der Beschwerdeführer selber seiner Eingabe beigelegt hat, ist ihm der angefochtene Beschluss am 17. Oktober 2016 schriftlich begründet zugestellt worden.
Somit begann die Beschwerdefrist vorliegend am Dienstag, 18. Oktober 2016 zu laufen (<ref-law>). Entsprechend fiel der letzte Tag der Frist auf den 16. November 2016 (Mittwoch).
Die erst am Mittwoch, 14. Dezember 2016 der Schweizer Post übergebene Beschwerde ist daher als verspätet eingereicht zu erachten (vgl. <ref-law> Abs. 1 BGG), weshalb auf sie nicht einzutreten ist.
Das vom Beschwerdeführer eingereichte Arztzeugnis vermag nichts daran zu ändern. Es belegt lediglich für einen am 15. November 2016 stattgefundenen Spitalaufenthalt eine Arbeitsunfähigkeit für die Zeit vom 15. bis am 20. November 2016. Dass bzw. inwiefern der Beschwerdeführer bei der ins Feld geführten Arbeitsunfähigkeit während der gesamten, wie ausgeführt bereits ab 18. Oktober 2016 laufenden Beschwerdefrist selbst vom Einreichen der Beschwerde abgehalten worden sein soll, geht daraus nicht hervor, so dass das Wiederherstellungsgesuch nach <ref-law> abzuweisen ist.
Der Mangel ist offensichtlich, weshalb über die Beschwerde im vereinfachten Verfahren nach <ref-law> entschieden werden kann.
Der Mangel ist offensichtlich, weshalb über die Beschwerde im vereinfachten Verfahren nach <ref-law> entschieden werden kann.
4. Bei den gegebenen Verhältnissen kann davon abgesehen werden, für das vorliegende Verfahren Kosten zu erheben.

Demnach wird erkannt:
1.
Das Wiederherstellungsgesuch wird abgewiesen.
2.
Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
3.
Es werden keine Kosten erhoben.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Kantonsgericht Basel-Landschaft, Abteilung Strafrecht, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 19. Dezember 2016
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Fonjallaz
Der Gerichtsschreiber: Bopp