Sachverhalt:
A.
A.a. Im Rahmen der von A._ gegen B._ angehobenen Betreibung Nr. xxx pfändete der Betreibungskreis Weesen-Amden am 7. April 2011 den dem Schuldner zustehenden Anteil an der einfachen Gesellschaft Baukonsortium B._-C._-D._. Am 21. Mai 2012 stellte A._ das Verwertungsbegehren. Der Einzelrichter am Kreisgericht See-Gaster, untere Aufsichtsbehörde für das Betreibungswesen, verfügte am 5. Juli 2013 die Verwertung des gepfändeten Anteils durch Auflösung und Liquidation der einfachen Gesellschaft. Nachdem eine gütliche Einigung mit den Gesellschaftern am 27. Februar 2014 ausgeblieben war, bot das Betreibungsamt A._ die Abtretung des schuldnerischen Anteils an der Gesellschaft an, wovon dieser nicht Gebrauch machte. In der Folge wurde am 4. Juli 2014 der gepfändete Anteil versteigert. A._ erhielt den Zuschlag für Fr. 13'000.--.
A.b. Am 6. November 2014 erstellte das Betreibungsamt den Kollokationsplan und die Verteilungsliste. Als Forderung von A._ kollozierte es den Betrag, einschliesslich Zinsen und Kosten, von insgesamt Fr. 164'100.10. Alsdann wies es dem Gläubiger vom Verwertungserlös (Liquidationsanteil) netto Fr. 98'085.-- zu. Über die Restforderung von Fr. 66'015.10 sollte ihm ein Verlustschein ausgestellt werden.
A.c. Gegen den Kollokationsplan und die Verteilungsliste erhob B._ bei der unteren Aufsichtsbehörde erfolglos Beschwerde. Auf seine Beschwerde hin hob das Kantonsgericht St. Gallen, obere Aufsichtsbehörde für Schuldbetreibung, am 11. Mai 2015 den Kollokationsplan sowie die Verteilungsliste auf und wies die Sache zur weiteren Behandlung im Sinne der Erwägungen an das Betreibungsamt zurück. Die obere Aufsichtsbehörde hielt im Urteil fest, dass der Versteigerungserlös Fr. 13'000.-- (abzüglich Verwertungskosten) zu verteilen sei, und dem Gläubiger (über die nicht gedeckte Forderung) ein Verlustschein auszustellen sei. Die Zahlung des Kantons Wallis in der Höhe von Fr. 103'310.10 an das Betreibungsamt betreffe indes das Verhältnis zwischen der einfachen Gesellschaft und dem Kanton Wallis. Es obliege dem Betreibungsamt, "mit dem Kanton Wallis Absprachen über eine allfällige Rückvergütung des Betrages zu treffen".
A.d. Daraufhin gelangte A._ an das Betreibungsamt. Er verlangte - unter Hinweis auf eine Vereinbarung mit B._ - die Vergütung des betreffenden Betrages von Fr. 103'310.10, welcher der Staat Wallis dem Betreibungsamt als Werklohn an das Baukonsortium B._-C._-D._ überwiesen hatte. Allenfalls sei eine Ergänzungs- bzw. Nachpfändung allfälliger Forderungen von B._ aus der Liquidation der einfachen Gesellschaft vorzunehmen. Mit Verfügung vom 26. Juni 2015 gab das Betreibungsamt diesen Anträgen keine Folge. Es hielt unter Hinweis auf die Erwägungen der oberen Aufsichtsbehörde im Urteil vom 11. Mai 2015 daran fest, den Betrag dem Kanton Wallis zurückzuzahlen.
B.
Hiergegen erhob A._ erfolglos Beschwerde bei der unteren Aufsichtsbehörde für das Betreibungswesen. Die obere Aufsichtsbehörde wies seine Beschwerde am 13. September 2015 ebenfalls ab.
C.
Mit Eingabe vom 28. September 2015 ist A._ an das Bundesgericht gelangt. Der Beschwerdeführer beantragt im Wesentlichen die Aufhebung des Entscheides der oberen Aufsichtsbehörde und (wie bereits im kantonalen Verfahren) die Anweisung an das Betreibungsamt, ihm den vom Staat Wallis bezahlten Betrag von Fr. 103'310.10 plus Zinsen zu überweisen.
Das Gesuch des Beschwerdeführers um Gewährung der aufschiebenden Wirkung ist am 30. September 2015 abgewiesen worden.
Es sind die kantonalen Akten, aber keine Vernehmlassungen eingeholt worden.

Erwägungen:
1.
1.1. Entscheide kantonaler Aufsichtsbehörden in Schuldbetreibungs- und Konkurssachen unterliegen unabhängig eines Streitwertes der Beschwerde in Zivilsachen (Art. 72 Abs. 2 lit. a, Art. 74 Abs. 2 lit. c BGG). Dem Beschwerdeführer steht ein schutzwürdiges Interesse an der Anfechtung des vorinstanzlichen Entscheides zu (Art. 76 Abs. 1 lit. b BGG). Auf die fristgerecht eingereichte Beschwerde ist einzutreten.
1.2. Mit der Beschwerde in Zivilsachen kann die Verletzung von Bundesrecht gerügt werden (Art. 95 BGG). Das Bundesgericht wendet das Recht in diesem Bereich grundsätzlich von Amtes wegen und mit freier Kognition an (Art. 106 Abs. 1 BGG). In der Beschwerde ist in gedrängter Form darzulegen, inwiefern der angefochtene Akt Recht verletzt (Art. 42 Abs. 2 BGG; <ref-ruling> E. 1.1 S. 104). Die Verletzung verfassungsmässiger Rechte ist ebenfalls zu begründen (Art. 106 Abs. 2 BGG), wobei hier das Rügeprinzip gilt (<ref-ruling> E. 2 S. 591). Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (Art. 105 Abs. 1 BGG). Neue Tatsachen und Beweismittel sind nicht zulässig (Art. 99 Abs. 1 BGG).
2.
Die Vorinstanz ist im Wesentlichen zum Schluss gekommen, der Beschwerdeführer habe aufgrund der von ihm geltend gemachten Zession keinen Anspruch, dass ihm das Betreibungsamt den vom Staat Wallis bezahlten Werklohn von Fr. 103'310.10 überweist. Vielmehr liege eine ungerechtfertigte Bereicherung des Betreibungsamtes vor, da sich dieses nicht mehr mit der Verwertung des schuldnerischen Anteils am Baukonsortium befasse. Am Forderungsverhältnis des Staates Wallis gegenüber dem Betreibungsamt sei weder der Schuldner noch der Beschwerdeführer beteiligt.
3.
Anlass zur vorliegenden Beschwerde bildet die Verwertung eines Anteils an einer einfachen Gesellschaft.
3.1. Für die Pfändung und Verwertung von Anteilen an Gemeinschaftsvermögen hat der Gesetzgeber ein eigenes Verfahren vorgesehen (Art. 132 SchKG). Die Einzelheiten sind in der Verordnung über die Pfändung und Verwertung von Gemeinschaftsvermögen geregelt (VVAG; SR 281.41). Dieses spezielle Verfahren ist auch auf den Anteil an einer einfachen Gesellschaft anwendbar, sofern die Gesellschafter nicht Miteigentum vereinbart haben (Art. 1 Abs. 2 VVAG). Wird die Verwertung eines Gesamthandanteils verlangt, so versucht das Betreibungsamt zunächst, zwischen dem pfändenden Gläubiger, dem Schuldner und den andern Teilhabern der Gemeinschaft eine gütliche Einigung herbeizuführen, sei es durch Abfindung des Gläubigers, sei es durch Auflösung der Gemeinschaft und Feststellung des auf den Schuldner entfallenden Liquidationsergebnisses (Art. 9 Abs. 1 VVAG). Gelingt eine gütliche Verständigung nicht, so fordert das Betreibungsamt die Teilnehmer der Einigungsverhandlung zur Einreichung von Anträgen über die weiteren Verwertungsmassnahmen auf. Es leitet nach Ablauf der angesetzten Frist die Akten an die zuständige Aufsichtsbehörde weiter (Art. 10 Abs. 1 VVAG).
3.2. Die Aufsichtsbehörde verfügt unter möglichster Berücksichtigung der gestellten Anträge, ob das gepfändete Anteilsrecht als solches versteigert wird, oder ob die Auflösung der Gemeinschaft und Liquidation des Gemeinschaftsvermögens herbeigeführt werden soll (Art. 10 Abs. 2 VVAG). Sie legt damit die Art der vom Betreibungsamt vorzunehmenden Verwertung verbindlich fest. Dabei handelt es sich um einen Ermessensentscheid (unter Berücksichtigung der Kriterien gemäss Art. 10 Abs. 3 und 4 VVAG), bei dessen Überprüfung sich das Bundesgericht Zurückhaltung auferlegt (<ref-ruling> E. 2.1 S. 181). Hält die Aufsichtsbehörde im konkreten Fall die Auflösung der Gemeinschaft für angebracht, so ordnet sie diese an. Mit Bezug auf eine einfache Gesellschaft handelt es sich um einen Anwendungsfall von Art. 545 Ziff. 3 OR, wonach die Gesellschaft augelöst wird, wenn der Liquidationsanteil eines Gesellschafters zur Verwertung gelangt. Durch den Auflösungsentscheid der Aufsichtsbehörde tritt die Gemeinschaft ohne Kündigung des Gesellschaftsvertrages in das Stadium der Liquidation (<ref-ruling> E. 1.5 S. 134). Über die Anordnung der Verwertungsart hinaus stehen der Aufsichtsbehörde keine weiteren Kompetenzen zu. Insbesondere hat sie nicht über die Verteilung eines allfälligen Erlöses und die Berücksichtigung einzelner Gläubiger und Pfändungsgruppen zu bestimmen (<ref-ruling> E. 1a S. 100).
3.3. Ordnet die Aufsichtsbehörde wie im vorliegenden Fall nicht die Versteigerung des Anteilsrechts an, sondern die Auflösung und Liquidation der einfachen Gesellschaft an (Lit. A.a), so übt das Betreibungsamt bei der Liquidation der (bereits durch Entscheid der Aufsichtsbehörde aufgelösten) Gesellschaft alle dem betriebenen Schuldner zustehenden Rechte aus (Art. 12 VVAG; <ref-ruling> E. 1.5 S. 134; BISANG, Die Zwangsverwertung von Anteilen an Gesamthandschaften, 1978, S. 193). Die Vorinstanz hat indes auf ihr Urteil vom 11. Mai 2015 hingewiesen, wo festgehalten wird, dass die Versteigerung des Anteilsrechts, welche das Betreibungsamt gestützt auf Art. 13 Abs. 1 VVAG am 4. Juli 2014 an den Beschwerdeführer vorgenommen habe, u.a. "unnötig" gewesen sei, aber dennoch in Rechtskraft erwachsen und gültig sei. Im konkreten Fall besteht in Anbetracht der Vorbringen des Beschwerdeführers kein Anlass, auf diesen Entscheid zurückzukommen. Der Beschwerdeführer stellt die vom Betreibungsamt durchgeführte, von der oberen Aufsichtsbehörde bereits beurteilte Verwertung in keiner Weise in Frage. Zudem hält er selber fest, dass er durch Versteigerung des Betreibungsamtes den Liquidationsanteil am Baukonsortium erworben habe.
4.
Bei Versteigerung des Anteilsrechts (Art. 13 Abs. 1 am Ende i.V.m. Art. 11 VVAG) erwirbt der Ersteigerer den Anspruch auf den Liquidationserlös; er tritt dadurch nicht anstelle des Schuldners in die einfache Gesellschaft ein (vgl. BETTSCHART, in: Commentaire romand, Poursuite et faillite, 2005, N. 14 zu Art. 132). Er erwirbt durch den Zuschlag auch keine Gegenstände des Gemeinschaftsvermögens (RUTZ/ROTH, in: Basler Kommentar, Bundesgesetz über Schuldbetreibung und Konkurs, 2. Aufl. 2010, N. 14 zu Art. 132). Der Beschwerdeführer zieht seine eigenen Schlüsse aus dem Zuschlag.
4.1. Der Beschwerdeführer meint, auf Grund des Zuschlages Anspruch auf das (offenbar einzige) Aktivum der einfachen Gesellschaft zu haben. Dieses besteht in einer Werklohnforderung in der Höhe von Fr. 103'310.10 plus Zinsen, welche der Staat Wallis als Besteller dem Baukonsortium schuldete und inzwischen an das Betreibungsamt überwiesen hat. Der Beschwerdeführer beruft sich zudem auf eine Vereinbarung mit dem Schuldner vom 25. Juli 2005/26. Dezember 2006 und macht nun die Abtretung dieser Forderung durch den Schuldner und Gesellschafter an ihn geltend. In diesem Zusammenhang weist er auf ein vor der Versteigerung durchgeführtes "Widerspruchsverfahren" hin, in welchem die Gesellschafter C._ und D._ keine Ansprüche geltend gemachten hätten.
4.2. Bei dieser Sichtweise blendet der Beschwerdeführer den Vorgang und die Grenzen der Verwertung eines Anteils an der einfachen Gesellschaft durch Versteigerung aus. Die Vorinstanz hat bereits in ihrem Entscheid vom 11. Mai 2015 entsprechende Erwägungen getroffen. Das Betreibungsamt hat nach der Versteigerung eines Liquidationsanteils dem Erwerber eine schriftliche Bescheinigung auszustellen, dass die Ansprüche des Schuldners auf Teilung der Gemeinschaft und auf Zuweisung des Liquidationserlöses auf ihn übergegangen sind (vgl. Art. 11 Abs. 2 VVAG). Hingegen kommt dem Betreibungsamt in diesem Fall bei der Liquidation der Gesamthandschaft keine weiter gehende Rolle zu. Es obliegt dem Erwerber, seinen Anspruch am anteiligen Liquidationsergebnis nach zivilrechtlichen Grundsätzen geltend zu machen (vgl. BISANG, a.a.O., S. 203).
5.
Die Vorinstanz hat alsdann das Begehren des Beschwerdeführers, womit er unter Hinweis auf eine Zession um Auszahlung des vom Staat Wallis an das Betreibungsamt geleisteten Werklohns verlangt, zu Recht abgelehnt. Dass sich das Betreibungsamt nicht mit der Liquidation des Baukonsortiums befasst, trifft ohne weiteres zu. Die Aufforderung der Vorinstanz an das Betreibungsamt, die erwähnte Geldsumme an den Kanton Wallis zurückzuzahlen, weil es zur Verteilung an einer zwangsvollstreckungsrechtliche Grundlage fehle ("Bereicherung"), ist eine aufsichtsrechtliche Anweisung (Art. 13 SchKG), die sie bereits im Entscheid vom 11. Mai 2015 ausgesprochen hat und dessen unmittelbare Folge ist. Ob B._ (als Zedent) über die Forderung verfügen oder der Beschwerdeführer (als Zessionar) die Rückerstattung an sich verlangen könne oder nicht, sprengt die Grenzen eines aufsichtsrechtlichen Verfahrens. Die Vorinstanz hätte sich nicht in dieser Weise zu einem materiellrechtlichen Aspekt zu äussern brauchen (vgl. <ref-ruling> E. 1 S. 108; <ref-ruling> E. 3b S. 42). Daher steht es auch dem Bundesgericht nicht zu, diese auf ihre Rechtmässigkeit zu prüfen. Am Ergebnis ändert sich insofern nichts, als dem Begehren des Beschwerdeführers um Auszahlung des vom Staat Wallis an das Betreibungsamt überwiesen Betrages nicht stattgegeben werden kann.
6.
Nach dem Gesagten ist der Beschwerde insgesamt kein Erfolg beschieden. Ausgangsgemäss trägt der Beschwerdeführer die Verfahrenskosten (Art. 66 Abs. 1 BGG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 3'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer, dem Betreibungskreis Weesen-Amden und dem Kantonsgericht St. Gallen, obere kantonale Aufsichtsbehörde für Schuldbetreibung, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 22. Februar 2016
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Das präsidierende Mitglied: Escher
Der Gerichtsschreiber: Levante