Sachverhalt:
A.
Die 1977 geborene A._ bezog gestützt auf die Verfügungen der IV-Stelle Luzern vom 19. April 2007 bei einem IV-Grad von 57 % seit 1. März 2002 eine halbe Rente der Invalidenversicherung. Der Anspruch auf eine halbe Rente wurde mit Mitteilung vom 9. Juli 2009 bestätigt.
Im Rahmen der Überprüfung des Rentenanspruchs gestützt auf die per 1. Januar 2012 in Kraft getretenen Schlussbestimmungen der Änderung des IVG vom 18. März 2011 (6. IV-Revision, erstes Massnahmenpaket; nachfolgend: SchlB IVG) hob die IV-Stelle die Rente mit Verfügung vom 11. Februar 2013 auf Ende März 2013 auf. Die dagegen von der Versicherten erhobene Beschwerde hiess das Kantonsgericht Luzern mit Urteil vom 22. Oktober 2013 insofern gut, als es die Verfügung vom 11. Februar 2013 aufhob und die Sache zu weiteren Abklärungen und zur Neubeurteilung an die IV-Stelle zurückwies. In der Folge holte die IV-Stelle insbesondere das psychiatrische Gutachten des Dr. med. B._ vom 10. Juli 2014 ein. Nach durchgeführtem Vorbescheidverfahren bestätigte die IV-Stelle mit Verfügung vom 14. Januar 2015 die am 11. Februar 2013 ausgesprochene Rentenaufhebung.
B.
In Gutheissung der Beschwerde von A._ hob das Kantonsgericht Luzern die Verfügung vom 14. Januar 2015 auf und stellte fest, dass die Versicherte weiterhin Anspruch auf eine halbe Rente habe (Entscheid vom 20. April 2016).
C.
Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten beantragt die IV-Stelle Luzern, der Entscheid vom 20. April 2016 sei aufzuheben und die Verfügung vom 14. Januar 2015 sei zu bestätigen.
A._ ersucht um Abweisung des Rechtsmittels. Das Bundesamt für Sozialversicherungen (BSV) schliesst auf Gutheissung der Beschwerde und Bestätigung der Verfügung vom 14. Januar 2015.

Erwägungen:
1.
Mit der Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann eine Rechtsverletzung nach Art. 95 f. BGG gerügt werden. Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (<ref-law>). Dennoch prüft es - offensichtliche Fehler vorbehalten - nur die in seinem Verfahren beanstandeten Rechtsmängel (Art. 42 Abs. 1 f. BGG; <ref-ruling> E. 2.2.1 S. 389). Es legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (<ref-law>). Es kann ihre Sachverhaltsfeststellung von Amtes wegen berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruht und wenn die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein kann (<ref-law> i.V.m. <ref-law>).
2.
Streitig und zu prüfen ist, ob die Vorinstanz zu Recht die Verfügung der IV-Stelle vom 14. Januar 2015 aufhob und den Anspruch auf die weitere Ausrichtung der bisherigen halben Invalidenrente bejahte.
2.1. Die IV-Stelle stützte die Einstellung der Rentenleistungen einzig auf lit. a Abs. 1 SchlB IVG ab. Danach werden Renten, die bei pathogenetisch-ätiologisch unklaren syndromalen Beschwerdebildern ohne nachweisbare organische Grundlage gesprochen wurden, innerhalb von drei Jahren nach Inkrafttreten dieser Änderung überprüft. Sind die Voraussetzungen nach <ref-law> nicht erfüllt, so wird die Rente herabgesetzt oder aufgehoben, auch wenn die Voraussetzungen von <ref-law> nicht erfüllt sind.
2.2. Das kantonale Gericht hat hinsichtlich der Anwendbarkeit von lit. a Abs. 1 SchlB IVG unter Verweis auf <ref-ruling> E. 10.1 S. 568 f. festgehalten, dass diese Bestimmung nur zur Anwendung kommt, wenn die Rentenzusprache ausschliesslich aufgrund der Diagnose eines pathogenetisch-ätiologisch unklaren syndromalen Beschwerdebildes ohne nachweisbare organische Grundlage erfolgte. Es hat erwogen, die Rentenzusprache sei im Jahre 2007 ausschliesslich aufgrund eines unklaren Beschwerdebildes ohne organische Ursache erfolgt; bei der damals diagnostizierten depressiven Episode habe es sich um eine Begleiterscheinung zur somatoformen Schmerzstörung gehandelt, welche zudem keine Arbeitsunfähigkeit bewirkt habe; die IV-Stelle sei deshalb grundsätzlich befugt gewesen, eine Überprüfung der Rente nach den SchlB IVG einzuleiten. Im Zeitpunkt der Rentenaufhebung habe jedoch eine selbständige rezidivierende depressive Störung bestanden, eine somatoforme Schmerzstörung habe nicht (mehr) diagnostiziert werden können. Damit sei aus psychiatrischer Sicht kein rein unklares Beschwerdebild gegeben. Weil gestützt auf die medizinische Aktenlage rheumatologisch eine Trennung der unklaren und der erklärbaren Beschwerden sowohl in diagnostischer Hinsicht als auch in Bezug auf die funktionellen Folgen nicht möglich sei, bestehe kein Raum für eine Rentenaufhebung gemäss lit. a Abs. 1 SchlB IVG.
3.
3.1.
3.1.1. Die Auffassung des BSV, wonach sich die Frage des Vorhandenseins und der Trennung von unklaren und erklärbaren Beschwerden nur im Zeitpunkt der (ursprünglichen) Rentenzusprache stellt, wird schon durch den Wortlaut von lit. a Abs. 1 SchlB IVG bestätigt, sind doch Renten, welche wegen eines unklaren Beschwerdebildes gesprochen wurden ("rentes octroyées " resp. "rendite assegnate "), zu überprüfen.
3.1.2. Sie erweist sich aber auch inhaltlich als begründet. Nach <ref-ruling> E. 6.2.3 S. 200 ist lit. a Abs. 1 SchlB IVG bei kombinierten Beschwerden anwendbar, wenn und soweit die unklaren und die "erklärbaren" Beschwerden - sowohl diagnostisch als auch hinsichtlich der funktionellen Folgen - auseinandergehalten werden können. Dabei kann ein organisch begründeter Teil der Arbeitsunfähigkeit bei Anwendung von lit. a Abs. 1 SchlB IVG nur neu beurteilt werden, sofern eine Veränderung im Sinne von <ref-law> eingetreten ist. Der auf organisch nicht erklärbare Beschwerden zurückzuführende Teil der Arbeitsfähigkeit kann hingegen nach den Regeln der SchlB IVG beurteilt und gegebenenfalls die auf diesen Teil der Arbeitsfähigkeit fussende Rente aufgehoben werden. Insoweit wird im Anwendungsbereich der SchlB vom Grundsatz abgewichen, dass die Verwaltung im Rahmen einer materiellen Revision - um eine solche handelt es sich auch hier - den Rentenanspruch in tatsächlicher und rechtlicher Hinsicht umfassend prüft (SVR 2014 IV Nr. 39 S. 137, 9C_121/2014 E. 2.4.2 mit Hinweisen). Sind die Beschwerden nicht abgrenzbar, entfällt eine Rentenaufhebung gestützt auf lit. a Abs. 1 SchlB IVG, sofern die erklärbaren Beschwerden die ursprüngliche Rentenzusprache mitverursacht haben (Urteil 8C_34/2014 vom 8. Juli 2014 E. 6.2.3). Der Grund für die Nichtzulässigkeit einer Rentenaufhebung liegt bei dieser Konstellation darin, dass sonst eine Aufhebung auch der auf erklärbare Beschwerden fussenden Rente vorgenommen würde, ohne dass die Voraussetzungen einer Rentenrevision im Sinne von <ref-law> gegeben wären. Wenn bei der ursprünglichen Rentenzusprache keine erklärbaren Beschwerden vorhanden waren und demzufolge solche Beschwerden die ursprüngliche Rentenzusprache auch nicht mit verursachen konnten, stellt sich diese Problematik nicht; es besteht nicht die Gefahr, dass eine (teilweise) aufgrund erklärbarer Beschwerden zugesprochene Rente in Anwendung der Schlussbestimmungen IVG aufgehoben wird.
Ergibt sich im Beschwerdebild zwischen dem Zeitpunkt der ursprünglichen Rentenzusprache und dem Revisionszeitpunkt insofern eine Änderung, als anstelle der ursprünglich unklaren neu erklärbare Beschwerden treten, ist deshalb nicht, wie das kantonale Gericht unter Hinweis auf das nun gemischte Beschwerdebild annimmt, von einer Prüfung des Gesundheitsschadens und der sich daraus ergebenden Auswirkungen auf die Arbeitsfähigkeit abzusehen. Eine solche Prüfung hat vielmehr unter Berücksichtigung sowohl der erklärbaren wie auch der unklaren Beschwerden stattzufinden, wobei - worauf das BSV zu Recht hinweist - auf die aktuellen, für den Zeitpunkt der Rentenaufhebung geltenden Verhältnisse hinsichtlich des Gesundheitszustandes und der Rechtsprechung abzustellen ist. Die Ausführungen in <ref-ruling> E. 10.1.2 und 10.1.3 S. 569 können denn auch nur so verstanden werden, dass eine Rentenaufhebung resp. -herabsetzung im Rahmen von lit. a Abs. 1 SchlB IVG nur zulässig ist, wenn resp. soweit zu diesem Zeitpunkt keine rentenbegründende Erwerbsunfähigkeit im Sinne von <ref-law> vorliegt.
3.2. Dass die vorinstanzliche Feststellung, wonach die Rentenzusprache im Jahre 2007 ausschliesslich aufgrund eines unklaren Beschwerdebildes ohne organische Ursache erfolgt sei (E. 2.2), offensichtlich unrichtig sein oder auf einer Rechtsverletzung beruhen soll, ist nicht ersichtlich und wird auch nicht geltend gemacht. Sie bleibt daher für das Bundesgericht verbindlich (E. 1). Gleiches gilt für die Feststellungen, den medizinischen Unterlagen, welche der Rentenzusprache zugrunde lagen (insbesondere Berichte des behandelnden Hausarztes vom 13. November 2003, der behandelnden Rheumatologin Dr. med. C._ vom 6. Januar und 1. März 2006 sowie des SUVA-Kreisarztes vom 10. Mai 2006), hätten keine Anhaltspunkte für ein organisches Korrelat zu den angegebenen Schmerzen resp. für eine strukturelle Läsion enthalten.
Näher zu betrachten ist im Folgenden der Gesundheitszustand der Versicherten und dessen Auswirkungen auf die Arbeitsfähigkeit im Zeitpunkt der vorgesehenen Renteneinstellung (Ende März 2013).
3.3.
3.3.1. In Bezug auf die somatischen Gesichtspunkte hat die Vorinstanz im angefochtenen Entscheid auf ihren Entscheid vom 22. Oktober 2013 verwiesen, worin sie aufgrund der Berichte der Frau Dr. med. C._ vom 7. März 2012 und des Chiropraktors Dr. D._ vom 7. November 2012 weitere medizinische Abklärungen zur lumbalen Problematik angeordnet hatte. Weiter hat sie erwogen, die Ausführungen der behandelnden Rheumatologin Dr. med. C._ (Berichte vom 26. Februar 2013, 8. September und 25. November 2014) weckten Zweifel an den Einschätzungen des Dr. med. E._, Facharzt für Arbeitsmedizin und praktischer Arzt beim Regionalen Ärztlichen Dienst (RAD). Die versicherungsinterne ärztliche Aktenbeurteilung könne für eine Leistungseinstellung nicht genügen (angefochtener Entscheid E. 5.3.1).
3.3.2. Bereits vor der Rentenzusprache waren lumbale Beschwerden vorhanden, aber nicht somatisch erklärbar, wie aus dem ausführlichen Bericht des SUVA-Kreisarztes vom 10. Mai 2006, dem diesem beiliegenden Bericht des Dr. med. F._, Facharzt für Neurologie, vom 12. Oktober 2005 und dem Bericht der Frau Dr. med. C._ vom 6. Januar 2006 hervorgeht.
Während der Hausarzt im Bericht vom 21. Februar 2012 von einer "seit Jahren unveränderten Situation (AUF 100 %) " sprach, hielt Frau Dr. med. C._ in den Berichten vom 7. März 2012 und 26. Februar 2013 (subjektiv) zunehmende Beschwerden resp. eine Verschlechterung der Symptomatik fest. Eine übermässige degenerative Veränderung oder eine andere objektive Verschlechterung des Gesundheitszustandes lässt sich aber weder den Berichten der Rheumatologin und des Chiropraktors noch dem Bericht über eine MRT-Untersuchung vom 21./22. Oktober 2011 entnehmen, was denn auch der Auffassung des RAD-Arztes in seiner Stellungnahme vom 26. März 2013 (vgl. Art. 59 Abs. 2 bis IVG) entspricht.
Im Verlaufsbericht vom 8. September 2014 - mithin rund 17 Monate nach dem hier entscheidenden Zeitpunkt der Renteneinstellung (E. 3.2 in fine) - berichtete Frau Dr. med. C._ über eine weitere Symptomausweitung, nebst u.a. einer Schmerzverarbeitungsstörung, ohne diese somatisch zu objektivieren. Sie war der Meinung, die Versicherte könne die ihr "zugetraute" Willensanstrengung nicht erbringen und erblickte "in der psychopathologischen Entwicklung mit rezidivierenden Störungen und des langjährigen Krankheitsverlaufs klare medizinische Gründe für eine IV-Berechtigung zumindest zu 50 %". Sodann wies sie auch im Bericht vom 25. November 2014 kein somatisches Korrelat zu den bereits früher geklagten Beschwerden aus, sondern legte im Wesentlichen dar, dass die Versicherte (zunächst) einen sehr langen Krankheitsprozess "mit langsamer aber ersichtlicher Verbesserung" durchlitten und während der von August 2013 bis August 2014 durchgeführten Eingliederungsmassnahme zunehmend unter Schmerzen und depressiven Symptomen gelitten habe.
3.3.3. Nach dem Gesagten ist die vorinstanzliche Beweiswürdigung (zur Qualifizierung als Tatfrage vgl. statt vieler Urteil 8C_624/2016 vom 25. November 2016 E. 2.2 mit Hinweisen) betreffend die somatischen Gesichtspunkte des Gesundheitszustandes (E. 3.3.1) nicht haltbar: Sie steht in offenkundigem Widerspruch zu den vorinstanzlichen Feststellungen betreffend den Gesundheitszustand bei der Rentenzusprache (E. 3.2). Anders als die Vorinstanz anzunehmen scheint, ist ein konkreter Anhaltspunkt für eine gesundheitliche Veränderung in Form eines "zusätzlichen" somatischen Leidens (vgl. Entscheid vom 22. Oktober 2013 E. 7.4) nicht aktenkundig (vgl. E. 3.3.2). Die Aktenlage mit der dokumentierten engen medizinischen Betreuung erlaubt dem Bundesgericht die Feststellung (E. 1), dass die Beschwerden der Versicherten - entgegen deren Auffassung - nach wie vor nicht durch ein organisches Korrelat erklärbar sind. Bei diesen Gegebenheiten durfte die IV-Stelle von weiteren Abklärungen betreffend die lumbale Problematik absehen.
3.4.
3.4.1. Was die psychiatrischen Aspekte (zum hier interessierenden Zeitpunkt) anbelangt, so hat das kantonale Gericht dem Gutachten des Dr. med. B._ vom 10. Juli 2014 Beweiskraft (vgl. <ref-ruling> E. 3a S. 352) beigemessen. Der Experte diagnostizierte (mit Auswirkung auf die Arbeitsfähigkeit) eine rezidivierende depressive Störung, gegenwärtig leichte Episode (ICD-10: F33.0), stellte eine ausgeprägte Symptomausweitung sowie dysfunktionale Überzeugungs- und Verhaltensmuster fest und attestierte eine "leichtgradige" Einschränkung der Arbeits- resp. Leistungsfähigkeit von 25 %.
3.4.2. Die Versicherte stellt die Beweiskraft des Gutachtens des Dr. med. B._ nicht in Abrede. Die darauf beruhende vorinstanzliche Feststellung einer rezidivierenden depressiven Störung ist nicht offensichtlich unrichtig, weshalb sie für das Bundesgericht verbindlich bleibt (E. 1). Ob bei dieser Diagnose überhaupt von einer invalidenversicherungsrechtlich relevanten Einschränkung der Arbeitsfähigkeit auszugehen ist (vgl. Urteil 9C_13/2016 vom 14. April 2016 E. 4.2), kann offenbleiben (E. 3.5).
3.5. Weshalb die Arbeitsfähigkeit (auf dem ausgeglichenen Arbeitsmarkt; <ref-law>) nicht verwertbar sein soll, ist nicht ersichtlich. Zudem führte die IV-Stelle mit der Versicherten - unter Weiterausrichtung der bisherigen Rente - Massnahmen zur Wiedereingliederung nach <ref-law> durch (vgl. E. 3.3.2; vgl. auch lit. a Abs. 2 und 3 SchlB IVG). Selbst bei Annahme einer psychisch bedingt um 25 % reduzierten Leistungsfähigkeit im Zeitpunkt der Rentenaufhebung ist ein Invaliditätsgrad von mindestens 40 % (vgl. <ref-law> und <ref-law>) ausgeschlossen. Die Beschwerde ist begründet.
4.
Dem Ausgang des Verfahrens entsprechend hat die Beschwerdegegnerin die Gerichtskosten zu tragen (<ref-law>). Die obsiegende Beschwerdeführerin hat keinen Anspruch auf eine Parteientschädigung (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird gutgeheissen. Der Entscheid des Kantonsgerichts Luzern vom 20. April 2016 wird aufgehoben und die Verfügung der IV-Stelle Luzern vom 14. Januar 2015 bestätigt.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 800.- werden der Beschwerdegegnerin auferlegt.
3.
Die Sache wird zur Neuverlegung der Kosten und der Parteientschädigung des vorangegangenen Verfahrens an das Kantonsgericht Luzern zurückgewiesen.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien, dem Kantonsgericht Luzern, 3. Abteilung, und dem Bundesamt für Sozialversicherungen schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 13. Januar 2017
Im Namen der II. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Pfiffner
Die Gerichtsschreiberin: Dormann