Sachverhalt:
A.
Die Staatsanwaltschaft Zofingen-Kulm führt gegen A._ ein Strafverfahren wegen versuchter Nötigung, Drohung und einfacher Körperverletzung, begangen im Wesentlichen im Zusammenhang mit den familiären Beziehungen des Beschuldigten. Er wurde am 30. November 2015 festgenommen und mit Verfügung des Zwangsmassnahmengerichts des Kantons Aargau vom 4. Dezember 2015 für drei Monate in Untersuchungshaft versetzt. In der Folge wurde die Haft am 2. März 2016 und am 2. Juni 2016 um jeweils drei weitere Monate bis zum 29. August 2016 verlängert (die gegen letztere Verfügung erhobene Beschwerde in Strafsachen wies das Bundesgericht mit Urteil 1B_281/2016 vom 5. September 2016 ab).
B.
Am 22. Februar erstattete Dr. med. B._, Facharzt für Psychiatrie und Psychotherapie, zuhanden der Staatsanwaltschaft ein fachärztliches Kurzgutachten (Gefährlichkeitsgutachten) über A._. Am 6. Mai 2016 erteilte die Staatsanwaltschaft demselben Gutachter den Auftrag zur Erstellung eines psychiatrischen Vollgutachtens. Nachdem sich die Parteien zur Person des Gutachters äussern und Ergänzungsfragen stellen konnten, wurde Dr. med. B._ von der Staatsanwaltschaft mit Verfügung vom 30. Mai 2016 mit der Erstellung des Vollgutachtens über den Beschuldigten förmlich beauftragt.
Dagegen erhob A._ am 13. Juni 2016 Beschwerde bei der Beschwerdekammer in Strafsachen des Obergerichts des Kantons Aargau mit dem Antrag, die Verfügung der Staatsanwaltschaft vom 30. Mai 2016 sei aufzuheben. Mit Entscheid vom 27. Juli 2016 wies das Obergericht die Beschwerde ab, soweit darauf eingetreten werden konnte.
C.
A._ erhebt Beschwerde in Strafsachen an das Bundesgericht und beantragt in der Hauptsache die Aufhebung des vorinstanzlichen Entscheids.
Die Staatsanwaltschaft Zofingen-Kulm schliesst auf Abweisung der Beschwerde. Die Oberstaatsanwaltschaft sowie das Obergericht des Kantons Aargau haben auf eine Stellungnahme verzichtet. A._ hat sich nicht mehr geäussert.

Erwägungen:
1.
1.1. Angefochten ist ein letztinstanzlicher kantonaler Entscheid in einer Strafsache. Dagegen ist die Beschwerde in Strafsachen nach <ref-law> grundsätzlich zulässig. Der vorinstanzliche Entscheid schliesst das Strafverfahren gegen den Beschwerdeführer nicht ab. Es handelt sich um einen Zwischenentscheid. Zu prüfen ist, ob dieser vor Bundesgericht angefochten werden kann.
1.2. Gegen selbständig eröffnete Vor- oder Zwischenentscheide über Ausstandsbegehren ist die Beschwerde in Strafsachen zulässig. Diese Entscheide können später nicht mehr angefochten werden (Art. 92 Abs. 1-2 BGG). Das rechtzeitig erhobene Ausstandsbegehren des Beschwerdeführers richtet sich gegen die Ernennung des Sachverständigen. Da auch die übrigen Sachurteilsvoraussetzungen erfüllt sind, ist insoweit auf die Beschwerde einzutreten (vgl. E. 2 hiernach).
1.3. Soweit der vorinstanzliche Entscheid die Auftragserteilung für ein Vollgutachten betrifft, handelt es sich um einen anderen Zwischenentscheid i.S.v. <ref-law>. Als oberste rechtsprechende Behörde des Bundes soll sich das Bundesgericht in der Regel nur einmal mit der gleichen Streitsache befassen müssen. Nach ständiger Praxis zu <ref-law> ist ein Vor- oder Zwischenentscheid mit Beschwerde in Strafsachen nur ausnahmsweise anfechtbar, sofern ein konkreter rechtlicher Nachteil droht, der auch durch einen (für die rechtsuchende Partei günstigen) Endentscheid nachträglich nicht mehr behoben werden könnte (<ref-ruling> E. 1 S. 115; <ref-ruling> E. 1.2 S. 263 mit Hinweisen). Der Beschwerdeführer muss - sofern das nicht offensichtlich ist - darlegen, weshalb ein Zwischenentscheid gemäss <ref-law> anfechtbar sein soll (<ref-ruling> E. 4 S. 95; <ref-ruling> E. 2.3.1 S. 632; Urteil des Bundesgerichts 1B_194/ 2011 vom 31. Mai 2011 E. 1.1).
Der Beschwerdeführer führt ungeachtet seiner Begründungspflicht nicht aus, welcher rechtliche Nachteil ihm durch die Anordnung eines psychiatrischen Gutachtens drohen könnte. Er räumt selber ein, dass er "in erster Linie" die Person des Gutachters ablehne (Beschwerdeschrift, S. 16), und belässt es dabei, zu behaupten, dass die Voraussetzungen gemäss <ref-law> erfüllt seien, und der Nachteil auch durch einen günstigen Endentscheid nachträglich nicht mehr behoben werden könne. Dabei berücksichtigt er jedoch nicht, dass die Parteien gemäss <ref-law> zu Beginn der erstinstanzlichen Hauptverhandlung Vorfragen insbesondere zu den erhobenen Beweisen aufwerfen können. Zu Letzteren gehören auch psychiatrische Gutachten. Der Beschwerdeführer kann deren Nichtberücksichtigung und Entfernung aus den Akten beantragen. Sollte das Gericht dem nicht folgen, könnte er dessen Urteil zunächst mit Berufung beim oberen kantonalen Gericht anfechten und anschliessend die Sache mit Beschwerde in Strafsachen an das Bundesgericht weiterziehen. Der geltend gemachte Nachteil, dass ein psychiatrisches Vollgutachten nach Auffassung des Beschwerdeführers zu Unrecht angeordnet wurde, könnte also noch behoben werden (vgl. Urteil 1B_346/2014 vom 17. Februar 2015 E. 1.4). Ein nicht wieder gutzumachender Nachteil im Sinne von <ref-law> ist deshalb zu verneinen. Auf die Beschwerde kann insoweit nicht eingetreten werden.
2.
2.1. Der Beschwerdeführer rügt eine Verletzung von <ref-law> i.V.m. Art. 56 lit. a-b und f StPO.
2.2. Gemäss <ref-law> ziehen Staatsanwaltschaft und Gerichte eine oder mehrere sachverständige Personen bei, wenn sie nicht über die besonderen Kenntnisse und Fähigkeiten verfügen, die zur Feststellung oder Beurteilung eines Sachverhalts erforderlich sind. Die Anforderungen an die sachverständige Person sowie die bei deren Ernennung und bei der Erstellung des Gutachtens zu beachtenden Vorschriften sind in <ref-law> geregelt.
2.3. Für Sachverständige gelten die Ausstandsgründe nach <ref-law> (<ref-law>). Danach tritt eine in einer Strafbehörde tätige Person namentlich in den Ausstand, wenn sie in der Sache ein persönliches Interesse hat (lit. a), wenn sie in einer anderen Stellung, insbesondere als Mitglied einer Behörde, als Rechtsbeistand einer Partei, als Sachverständige oder Sachverständiger, als Zeugin oder Zeuge, in der gleichen Sache tätig war (lit. b) oder aus anderen Gründen, insbesondere wegen Freundschaft oder Feindschaft mit einer Partei oder deren Rechtsbeistand, befangen sein könnte (lit. f). Gemäss <ref-law>, Art. 6 Ziff. 1 EMRK und Art. 14 Ziff. 1 UNO-Pakt II hat jede Person Anspruch darauf, dass ihre Sache von einem unparteiischen, unvoreingenommenen und unbefangenen Richter entschieden wird. Diese Verfahrensgarantie wird nach der Rechtsprechung sinngemäss auf das Erfordernis der Unabhängigkeit und Unparteilichkeit von Sachverständigen übertragen (<ref-ruling> E. 7.1 S. 109; <ref-ruling> E. 3c S. 253; je mit Hinweis), wobei sich die Anforderungen bei administrativ bestellten Hilfspersonen formell nach <ref-law> richten (vgl. GEROLD STEINMANN, in: St. Galler Kommentar BV, 3. Aufl. 2014, N. 35 zu <ref-law> mit weiteren Nachweisen). Hinsichtlich der Unparteilichkeit und Unbefangenheit kommt <ref-law> indessen ein mit <ref-law> weitgehend übereinstimmender Gehalt zu (<ref-ruling> E. 2b S. 198).
2.4. Voreingenommenheit bzw. Befangenheit werden bejaht, wenn Umstände vorliegen, die bei objektiver Betrachtung geeignet sind, Misstrauen in die Unparteilichkeit des Sachverständigen zu erwecken. Solche Umstände können in einem bestimmten Verhalten des betreffenden Sachverständigen oder in gewissen äusseren Gegebenheiten funktioneller und organisatorischer Natur begründet sein. Hierbei ist nicht auf das subjektive Empfinden einer Partei abzustellen, sondern das Misstrauen in die Unvoreingenommenheit muss vielmehr in objektiver Weise begründet erscheinen. Der Ausgang des Verfahrens muss aus Sicht aller Beteiligten als offen erscheinen (<ref-ruling> E. 5.1 S. 328 mit Hinweis). Für die Ablehnung wird nicht verlangt, dass der Sachverständige tatsächlich voreingenommen ist; es genügt, wenn die Gegebenheiten den Anschein der Befangenheit zu begründen vermögen (<ref-ruling> E. 2.2 S. 242; <ref-ruling> E. 2.1 S. 229; je mit Hinweisen).
2.5. Der Beschwerdeführer bringt vor, der Sachverständige sei vorbefasst (Art. 183 Abs. 3 i.V.m. <ref-law>). Mit dem Auftrag zur Erstellung des Vollgutachtens würde der Experte in derselben Angelegenheit erneut tätig werden. Deshalb müsse befürchtet werden, dass er im zu erstattenden Vollgutachten zum gleichen Ergebnis gelangen werde wie im Kurzgutachten.
Will die Staatsanwaltschaft in einer ersten Phase ein Kurzgutachten erstellen lassen, was durchaus zweckdienlich und ökonomisch sein kann, so muss sie die beigezogene sachverständige Person bereits in dieser Phase nach den Vorschriften der <ref-law> beauftragen, wenn ihr später die Ausarbeitung eines weiterführenden Gutachtens über dasselbe Geschehen übertragen werden soll. Es steht nichts entgegen, einen ordnungsgemäss bestellten Experten über den gleichen Sachverhalt mehrmals als Gutachter zu befragen bzw. auch für ergänzende oder vertiefende Arbeiten als Sachverständigen beizuziehen. Er gilt nach einer ersten Äusserung als Experte, wie in einem Kurz- oder Vorabgutachten (z.B. über die Gefährlichkeit eines Beschuldigten), nicht als vorbefasst i.S.v. <ref-law>, ebenso wenig wie im Allgemeinen der Richter, der im Laufe eines Verfahrens vor dem instanzabschliessenden Entscheid Verfahrenshandlungen vorgenommen hat und Vor- bzw. Zwischenentscheide gefällt hat (Urteil des Bundesgerichts 1B_196/2015 vom 17. Mai 2016 E. 4.4.4 mit Hinweisen).
Entgegen der Auffassung des Beschwerdeführers wird der Sachverständige nicht in einer "anderen Stellung" i.S.v. <ref-law> in der gleichen Sache tätig werden, wenn er den Beschwerdeführer im Rahmen des Vollgutachtens erneut exploriert. Den Akten kann entnommen werden, dass der Sachverständige bereits bei der Beauftragung zur Erstellung des Kurzgutachtens an die für den Beizug eines Experten geltenden Formen gebunden war und ordnungsgemäss in die Pflicht genommen wurde. Darauf hat der Experte im Kurzgutachten auch selber hingewiesen. Gegen die Person des Gutachters hat der Beschwerdeführer im Schreiben vom 4. Januar 2016 auch keine Einwendungen erhoben. Damit sind keine Gründe ersichtlich, weshalb der Experte nicht auch für das ausführliche forensisch-psychiatrische Gutachten als Sachverständiger beigezogen werden könnte. Mit Hinweis auf die bundesgerichtliche Rechtsprechung hat die Vorinstanz festgehalten, dass er trotz Verfassen des Kurzberichts betreffend die Gefährlichkeit des Beschwerdeführers nicht als vorbefasst i.S.v. <ref-law> gelten könne. Dies ist nicht zu beanstanden.
2.6. Der Beschwerdeführer rügt weiter, der Sachverständige sei befangen (Art. 183 Abs. 3 i.V.m. <ref-law>). Noch vor Beginn der eigentlichen Ausfertigung des Kurzgutachtens habe er im Schreiben vom 9. Januar 2016 vorgeschlagen, eine umfassendere psychiatrisch-forensische Begutachtung vorzunehmen, und sich sogleich selber als Sachverständigen empfohlen. Daraus könne nach Auffassung des Beschwerdeführers einzig der Schluss gezogen werden, der Gutachter sei, objektiv betrachtet, nicht mehr neutral, da er ein persönliches und finanzielles Interesse an der Sache habe.
Das Vorbringen des Beschwerdeführers wird vom besonderen Ausstandsgrund gemäss Art. 183 Abs. 3 i.V.m. <ref-law> erfasst. Art. 183 Abs. 3 i.V.m. <ref-law> (Befangenheit "aus anderen Gründen") gelangt subsidiär zur Anwendung (<ref-ruling> E. 2.1 S. 144).
Im Schreiben vom 9. Januar 2016 führt der Sachverständige unter anderem aus, er habe die Akten durchgesehen und ein erstes, rund dreistündiges Untersuchungsgespräch im Bezirksgefängnis geführt. Es handle sich um ein mittelschweres komplexes Gutachten, dass er bis Ende Februar 2016 erstatten werde. Auf Grund des Aktenstudiums und seiner ersten Einschätzung empfehle er, ein umfassendes forensisch-psychiatrisches Gutachten bei ihm in Auftrag zu geben, da er sich erst in Rahmen eines Vollgutachtens zur exakten psychiatrischen Diagnostik, zur Behandlungs- und Massnahmenfrage sowie zur langfristigen Prognose werde äussern können (vgl. Schreiben vom 9. Januar 2016). Im Kurzgutachten vom 22. Februar 2016 führt der Sachverständige nachvollziehbar und differenziert auf, weshalb sich seine erste Einschätzung bestätigt hat, und zur Beantwortung welcher Fragen er ein Vollgutachten für angezeigt hält. Im Übrigen empfiehlt sich der Sachverständige im Kurzgutachten auch nicht selber für die Erstellung des Vollgutachtens (vgl. Kurzgutachten, S. 38).
Nach dem Ausgeführten ist nicht ersichtlich, inwiefern dem Sachverständigen ein Eigeninteresse i.S.v. Art. 183 Abs. 3 i.V.m. <ref-law> zu Lasten des Beschwerdeführers unterstellt werden kann, weil dieser der Staatsanwaltschaft in einem Schreiben (nicht aber im Kurzgutachten) empfohlen hat, bei ihm ein umfassendes Gutachten zu erstellen. Ihm diesbezüglich Arbeitsbeschaffung vorzuwerfen, ist unredlich und entbehrt jeder Grundlage, zumal der Sachverständige auch nicht davon ausgehen bzw. damit rechnen konnte, dass die Staatsanwaltschaft ihn tatsächlich mit der Erstellung des Vollgutachtens beauftragen wird. Darauf ist nicht weiter einzugehen. Andere Gründe für eine Befangenheit i.S.v. Art. 183 Abs. 3 i.V.m. <ref-law> werden vom Beschwerdeführer nicht geltend gemacht. Wie die Vorinstanz zutreffend ausführt, sind solche auch nicht ersichtlich.
3.
Nach dem Gesagten erscheint der Ausgang des Verfahrens, objektiv betrachtet, weiterhin als offen. Die Beschwerde ist als unbegründet abzuweisen, soweit darauf eingetreten werden kann.
Damit würde der unterliegende Beschwerdeführer an sich kostenpflichtig (<ref-law>). Im Strafverfahren wird er amtlich verteidigt. Da seine Begehren vor Bundesgericht nicht als von vornherein aussichtslos gelten können und er darzutun vermag, dass seine finanzielle Lage durch das Strafverfahren inzwischen angespannt ist, ist seinem Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung stattzugeben. Mithin sind für das bundesgerichtliche Verfahren keine Kosten zu erheben und dem Rechtsvertreter des Beschwerdeführers ist aus der Bundesgerichtskasse eine angemessene Entschädigung auszurichten (vgl. <ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf eingetreten wird.
2.
Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege für das bundesgerichtliche Verfahren wird gutgeheissen und es wird dem Beschwerdeführer Rechtsanwalt Markus Härdi als unentgeltlicher Rechtsbeistand beigegeben.
3.
Es werden keine Gerichtskosten erhoben.
4.
Rechtsanwalt Markus Härdi wird aus der Gerichtskasse eine Entschädigung von Fr. 1'000.-- ausgerichtet.
5.
Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer, der Staatsanwaltschaft Zofingen-Kulm, der Oberstaatsanwaltschaft des Kantons Aargau und dem Obergericht des Kantons Aargau, Beschwerdekammer in Strafsachen, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 3. Oktober 2016
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Fonjallaz
Der Gerichtsschreiber: Misic