Sachverhalt:
A.
A.a. B._ (geb. 1984; Beschwerdegegnerin) und A._ (geb. 1976; Beschwerdeführer) heirateten 2006. Sie sind die Eltern von C._ (geb. 2007) und D._ (geb. 2009). Mit Entscheid vom 1. September 2014 schied das Regionalgericht Bern-Mittelland die Ehe. Die Kinder stellte es bei gemeinsamer elterlicher Sorge unter die Obhut der Mutter. Ausserdem errichtete es eine Beistandschaft. Der persönliche Verkehr zwischen dem Vater und den Kindern wurde mit gerichtlich genehmigter Vereinbarung folgendermassen geregelt:
"Grundsätzlich übernimmt A._ die Betreuung der beiden Kinder wie folgt:
- jedes zweite Wochenende von Freitag 17.00 Uhr bis Sonntag 17.00 Uhr.
- in den geraden Kalenderjahren über die Osterfeiertage von Gründonnerstag bis Ostermontag, über die Auffahrtstage sowie am 24. Dezember;
- in den ungeraden Kalenderjahren von Pfingstfreitag bis Pfingstmontag, am 25. Dezember sowie über Neujahr vom 31. Dezember bis 02. Januar;
- jährlich während vier Wochen in den Schulferien.
Alle weiteren Details im Zusammenhang mit den vorgenannten Betreuungszeiten (Übergabezeitpunkt und -ort; allfällige zusätzliche Betreuungstage oder Einschränkungen der Betreuungszeiten) werden in Zusammenarbeit mit dem Beistand/der Beiständin bestimmt."
A.b. Am 12. November 2015 ersuchte A._ den damaligen Beistand um Ausweitung des persönlichen Kontakts mit seinen Kindern. Im Einzelnen beantragte er, neu sei ihm die Betreuung der Kinder an jedem Mittwochnachmittag von 13.00 Uhr bis 17.00 Uhr sowie an jedem zweiten Wochenende bereits ab Freitag 13.30 Uhr anstatt ab 17.00 Uhr zu übertragen. Mit Entscheid vom 15. Dezember 2016 wies die Kindes- und Erwachsenenschutzbehörde Thun (KESB) das Gesuch ab.
B.
Gegen diesen Entscheid erhob A._ am 9. Januar 2017 Beschwerde beim Obergericht des Kantons Bern, Kindes- und Erwachsenenschutzgericht, und beantragte, in Aufhebung des Entscheids vom 15. Dezember 2016 sei der persönliche Verkehr im Sinne des Antrags an die KESB neu zu regeln. Mit Entscheid vom 29. März 2017 (eröffnet am 31. März 2017) wies das Obergericht die Beschwerde ab.
C.
Mit Beschwerde in Zivilsachen vom 8. Mai 2017 (Poststempel) gelangt A._ mit dem Antrag ans Bundesgericht, der Entscheid des Obergerichts sei aufzuheben und sein Besuchsrecht sei entsprechend dem Antrag an die KESB auszuweiten und neu zu regeln. Eventuell sei die Sache zur Neubeurteilung an das Obergericht zurückzuweisen. Ausserdem ersucht A._ für das bundesgerichtliche Verfahren um unentgeltliche Rechtspflege.
Das Bundesgericht hat die Akten des kantonalen Verfahrens, indessen keine Vernehmlassungen eingeholt.

Erwägungen:
1.
1.1. Angefochten ist ein Endentscheid einer letzten kantonalen Instanz, die als oberes Gericht (Art. 75 und 90 BGG) über die Änderung des persönlichen Verkehrs zwischen den minderjährigen Kindern und dem nicht obhutsberechtigten Elternteil und damit eine nicht vermögensrechtliche Zivilsache nach <ref-law> entschieden hat. Die Beschwerde in Zivilsachen ist das zutreffende Rechtsmittel. Der Beschwerdeführer ist gemäss <ref-law> zur Beschwerde berechtigt. Auf die auch fristgerecht eingereichte (Art. 100 Abs. 1 und Art. 46 Abs. 1 Bst. a BGG) Beschwerde ist grundsätzlich einzutreten.
1.2. Mit der Beschwerde in Zivilsachen können Rechtsverletzungen gemäss Art. 95 f. BGG gerügt werden. Ausserhalb der Teilbereiche von Art. 95 Bst. c-e BGG, welche hier keine Rolle spielen, kann mit Bezug auf kantonales Recht nur geltend gemacht werden, dessen Anwendung verletze Bundesrecht; im Vordergrund steht dabei die Verletzung verfassungsmässiger Rechte, insbesondere des Willkürverbots (<ref-law>; <ref-ruling> E. 2; <ref-ruling> E. 1).
In der Rechtsschrift ist in gedrängter Form darzulegen, inwiefern der angefochtene Akt Recht verletzt (<ref-law>). Die beschwerdeführende Partei muss daher auf den kantonalen Entscheid eingehen und aufzeigen, worin die Verletzung von Bundesrecht liegt (<ref-ruling> E. 2.4). Für das Vorbringen der Verfassungsverletzung gilt dagegen das Rügeprinzip nach <ref-law>. Die rechtsuchende Partei muss präzise angeben, welches verfassungsmässige Recht durch den angefochtenen kantonalen Entscheid verletzt wurde, und im Einzelnen darlegen, worin die Verletzung besteht. Das Bundesgericht prüft nur klar und detailliert erhobene und, soweit möglich, belegte Rügen. Auf ungenügend begründete Rügen und rein appellatorische Kritik am angefochtenen Entscheid tritt es nicht ein (<ref-ruling> E. 2.3 S. 266; <ref-ruling> E. 2.2).
2.
2.1. Der Beschwerdeführer bringt vor, das Obergericht habe in seinem Entscheid nicht alle seine Vorbringen berücksichtigt und damit sein Ermessen rechtsfehlerhaft ausgeübt. Damit rügt der Beschwerdeführer sinngemäss eine Verletzung des Anspruchs auf rechtliches Gehör (<ref-law>), der die Pflicht der Behörde beinhaltet, die Vorbringen der Beteiligten tatsächlich zu hören, zu prüfen und bei der Entscheidfindung zu berücksichtigen (<ref-ruling> E. 2.1). Der Gehörsanspruch ist formeller Natur. Seine Verletzung führt ungeachtet der materiellen Begründetheit der Beschwerde grundsätzlich zur Aufhebung des angefochtenen Entscheids (<ref-ruling> E. 2.8.1). Die Rüge der Gehörsverletzung ist daher vorab zu behandeln (<ref-ruling> E. 5.1).
2.2. Im Einzelnen bringt der Beschwerdeführer vor, das Obergericht habe die Ausführungen zum Wunsch der Kinder, mehr Zeit mit dem Vater zu verbringen, nicht berücksichtigt. Gleiches gelte für das Vorbringen, der schulfreie Mittwochnachmittag biete sich an, um den Kindeswunsch zu erfüllen. Weiter habe das Obergericht den Hinweis ausser Acht gelassen, dass er aufgrund der (neuen) beruflichen Verhältnisse die Kinder am Freitag jeweils bereits nach dem Mittagessen abholen könne und die bisherige Regelung aus diesem Grund nicht mehr zweck- und verhältnismässig sei.
Entgegen den Vorbringen des Beschwerdeführers hat das Obergericht den von den Kindern geäusserten Standpunkt in seinen Entscheid einbezogen. Zwar hat es nicht auf den angeblich dem Vater gegenüber geäusserten Wunsch abgestellt, sondern auf die Aussagen anlässlich der Anhörung der Kinder vor der KESB. Dies ändert aber nichts daran, dass es auf die entsprechende Problematik eingegangen ist. Ebenfalls hat sich die Vorinstanz mit der Frage auseinandergesetzt, ob die Mittwochnachmittage sich für eine Betreuung durch den Vater eignen. Zuletzt hat das Obergericht dargelegt, weshalb seiner Ansicht nach das Besuchsrecht nicht zu ändern ist, obgleich der Vater die Kinder an den Freitagen jeweils um 13.30 Uhr abholen könne (vgl. zum Ganzen angefochtener Entscheid, E. 12.7-9). Damit hat im angefochtenen Entscheid eine ausreichende Auseinandersetzung mit den Vorbringen des Beschwerdeführers stattgefunden. Eine Verletzung des Anspruchs auf rechtliches Gehör kann nicht festgestellt werden. Ob der angefochtene Entscheid in diesen Punkten auch inhaltlich überzeugt, ist sodann allein Frage der Begründetheit des vorinstanzlichen Erkenntnisses (vgl. Urteil 5A_780/2016 vom 9. Juni 2017 E. 3.3).
3.
3.1. Im vorinstanzlichen Verfahren war umstritten, ob die KESB zur Frage der Ausweitung des persönlichen Verkehrs ein Gutachten hätte einholen müssen. Das Obergericht warf dem Beschwerdeführer insoweit vor, sich nicht mit dem Standpunkt der Erstinstanz auseinandergesetzt zu haben, wonach der Sachverhalt aufgrund der bereits vorhandenen Beweismittel ausreichend abgeklärt sei. Der Beschwerdeführer habe nicht dargelegt, weshalb ein Gutachten zur weiteren Klärung des Sachverhalts notwendig sein solle, und mache auch nicht geltend, der Sachverhalt sei unvollständig erhoben. Der Beschwerdeführer sieht demgegenüber sein Anliegen, die Ausweitung der Besuchszeiten durch einen unbefangenen Gutachter beurteilen zu lassen, durch das Obergericht nicht genügend berücksichtigt. Es stehe nicht in der Verantwortung des Beschwerdeführers, den Entscheid der KESB über das Gutachten zu interpretieren oder den Sachverhalt abzuklären. Es könne ihm daher nicht vorgeworfen werden, die Beschwerde ungenügend begründet zu haben.
3.2. Strittig ist damit, ob das Obergericht an die Beschwerde vom 9. Januar 2017 überzogene Rüge- und Begründungsanforderungen stellte.
Zur Neuregelung des persönlichen Verkehrs war erstinstanzlich die Kindesschutzbehörde berufen (Art. 134 Abs. 4 und Art. 275 Abs. 1 ZGB). Auf das Verfahren vor den Kindesschutzbehörden sind die Bestimmungen über das Verfahren vor der Erwachsenenschutzbehörde anwendbar (<ref-law>). Diese enthalten indessen keine Regelung der hier interessierenden Frage (vgl. <ref-law>), womit das einschlägige kantonale Recht massgebend ist, vorliegend das Gesetz (des Kantons Bern) vom 23. Mai 1989 über die Verwaltungsrechtspflege (VRPG/BE; BSG 155.21; vgl. <ref-law> und Art. 72 des Gesetzes [des Kantons Bern] vom 1. Februar 2012 über den Kindes- und Erwachsenenschutz [KESG/BE; BSG 213.316]). Damit steht die Anwendung von kantonalem Recht in Frage, welche das Bundesgericht nur beschränkt und auf entsprechende Rüge hin prüft (vorne E. 1.2). Die Beschwerde genügt diesen Anforderungen nicht. Der Beschwerdeführer macht keine Verfassungsverletzung geltend und legt auch sonst nicht dar, weshalb durch den angefochtenen Entscheid ein verfassungsmässiges Recht verletzt sein sollte. Auf die Beschwerde ist insoweit nicht einzutreten.
4.
4.1. In der Sache ist strittig, ob die Regelung des persönlichen Verkehrs zwischen dem Vater und den Kindern anzupassen ist. Die Voraussetzungen für eine Änderung der in einem Scheidungsurteil getroffenen Anordnungen über den persönlichen Verkehr richten sich nach den Bestimmungen über die Wirkungen des Kindesverhältnisses (<ref-law>). Damit ist nach den in diesen Bestimmungen enthaltenen Kriterien zu entscheiden, wobei <ref-law> den Grundsatz und <ref-law> die Schranken regelt. Das Abänderungsverfahren kann allerdings nicht dazu dienen, das Scheidungsverfahren erneut aufzurollen; vielmehr muss eine wesentliche Änderung der Verhältnisse eingetreten sein, die eine Abänderung der im Scheidungsurteil getroffenen Ordnung im Interesse der Kinder zwingend erfordert. Dies bedeutet freilich nicht, dass die Änderung der Besuchsrechtsregelung an besonders strenge Voraussetzungen zu knüpfen ist. Vielmehr genügt, dass sich die Prognose des Scheidungsgerichts über die Auswirkungen des persönlichen Verkehrs zwischen dem nicht obhutsberechtigten Elternteil und den Kindern als eindeutig falsch erwiesen hat und die Beibehaltung der bisherigen Regelung zu einer Gefährdung des Kindeswohls führen würde (Urteile 5A_756/2013 vom 9. Januar 2014 E. 5.1.1; 5A_120/2013 vom 23. Mai 2013 E. 2.1.1; je mit Hinweisen).
Die Würdigung der für die Änderung des persönlichen Verkehrs massgebenden Tatsachen ist eine Rechtsfrage, welche das Bundesgericht grundsätzlich frei prüft (Art. 95 Bst. a BGG). Den kantonalen Behörden, welche die Parteien und Verhältnisse besser kennen als das Bundesgericht, kommt indessen ein weiter Ermessensspielraum zu (<ref-law>). Das Bundesgericht auferlegt sich bei der Prüfung von solchen Ermessensentscheiden Zurückhaltung. Es schreitet nur ein, wenn die Behörden von dem ihnen zustehenden Ermessen falschen Gebrauch gemacht haben. Das ist namentlich der Fall, wenn sie grundlos von in Rechtsprechung und Lehre anerkannten Grundsätzen abgewichen sind, wenn sie Gesichtspunkte berücksichtigt haben, die für den Entscheid im Einzelfall keine Rolle hätten spielen dürfen, oder wenn sie Umstände nicht in Betracht gezogen haben, die hätten beachtet werden müssen. Das Bundesgericht greift ausserdem in Ermessensentscheide ein, die sich im Ergebnis als offensichtlich unbillig, als in stossender Weise ungerecht erweisen (<ref-ruling> E. 3.2.5; <ref-ruling> E. 1).
4.2. Das Obergericht verneinte eine wesentliche Änderung der Verhältnisse, die eine Neuregelung des persönlichen Verkehrs erlauben würde. Der Beschwerdeführer verweise in diesem Zusammenhang auf seine veränderte berufliche Situation, welche es ihm erlaube, mehr Zeit für den persönlichen Verkehr mit seinen Kindern aufzuwenden. Zudem führe er an, den Kindern namentlich bei den Hausaufgaben und der Prüfungsvorbereitung helfen zu können. Dies seien zwar achtenswerte Beweggründe. Eine Abänderung der in der Scheidungsvereinbarung getroffenen und nunmehr eingespielten Besuchsregelung rechtfertigen die (beim Beschwerdeführer eingetretene) Veränderungen aber nicht. Die gewünschte Neuregelung sei zum Wohl der Kinder sodann nicht erforderlich. Das Kindswohl werde auch durch die aktuelle Regelung gewahrt.
4.3. Auch vor Bundesgericht verweist der Beschwerdeführer auf den Wunsch der Kinder, den Vater öfters zu sehen. Die neue berufliche Situation erlaube es ihm, die Kinder zusätzlich am Mittwochnachmittag und jeden zweiten Freitag bereits ab Mittag zu betreuen und dadurch diesem Wunsch gerecht zu werden. Die Verhältnisse hätten sich hierdurch wesentlich verändert und die bisherige Regelung sei deshalb nicht mehr zweck- und verhältnismässig. Mit diesen Ausführungen vermag der Beschwerdeführer keine rechtsfehlerhafte Ermessensausübung durch das Obergericht aufzuzeigen: Wie in E. 4.1 hiervor ausgeführt sind an die Änderung der Besuchsrechtsregelung zwar keine allzu hohen Anforderungen zu stellen. Eine Anpassung rechtfertigt sich aber dennoch nur bei Veränderungen von einem gewissen Gewicht, welche die Prognose des Scheidungsgerichts über die Auswirkungen des persönlichen Verkehrs als eindeutig falsch erscheinen lassen (für Beispiele siehe etwa die Hinweise in BÜCHLER/CLAUSEN, in: FammKomm Scheidung, Band I, 3. Aufl. 2017, N. 17 zu Art. 134 mit Art. 315a/b ZGB). Dass die Vorinstanz den vom Beschwerdeführer aufgezeigten Veränderungen kein solches Gewicht beigemessen hat, ist mit Blick auf das ihr zukommende Ermessen nicht zu beanstanden.
Soweit der Beschwerdeführer auf den Wunsch der Kinder auf Ausdehnung des Besuchsrechts verweist, ist ihm entgegen zuhalten, was folgt: Die Kinder sagten bei der Einvernahme vor der KESB unbestritten aus, sie wünschten keine Änderung des Besuchsrechts. Das Obergericht gelangte zum Schluss, diese Aussagen widerspiegelten den wahren Willen der Kinder. Hierbei berücksichtigte es, dass die Kinder in gewissem Masse durch vorgängige Gespräche mit der Beschwerdegegnerin beeinflusst worden sein dürften. Diese Feststellung vermag der Beschwerdeführer mit dem Hinweis auf nicht weiter belegte Äusserungen der Kinder ihm gegenüber nicht umzustossen. Ebenso wenig hilft ihm der Einwand, die Antworten seien nicht altersgerecht gewesen und liessen auf eine Beeinflussung von Aussen schliessen. Das Obergericht hat diese Möglichkeit, wie gesehen, gerade berücksichtigt. Soweit der Beschwerdeführer in diesem Zusammenhang ausserdem vorbringt, die Anhörung sei mit äusserster Zurückhaltung zu "interpretieren" und könne nicht als "wesentliche Entscheidgrundlage" dienen, ist darauf zu verweisen, dass das Obergericht die Aussagen aufgrund des Alters der Kinder nur "zurückhaltend berücksichtigte". Auch insoweit kann keine rechtsfehlerhafte Ermessensausübung festgestellt werden.
Von vornherein nichts für sich abzuleiten vermag der Beschwerdeführer zuletzt aus seinen Ausführungen zum Kindeswohl: Weder macht er geltend noch legt er dar, dass die Beibehaltung der bisherigen Regelung zu einer Gefährdung des Kindeswohls führen würde (<ref-law>; vgl. vorne E. 1.2 und E. 4.1).
5.
Nach dem Ausgeführten erweist sich die Beschwerde als unbegründet und ist abzuweisen, soweit darauf einzutreten ist. Bei diesem Ausgang des Verfahrens hat der Beschwerdeführer die Verfahrenskosten zu tragen (<ref-law>). Ersatzpflichtige Parteikosten sind keine angefallen (<ref-law>). Wie sich aus den vorstehenden Ausführungen ergibt, muss die Beschwerde als von Anfang an aussichtslos betrachtet werden. Das vor Bundesgericht gestellte Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege ist daher abzuweisen (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf eingetreten wird.
2.
Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege wird abgewiesen.
3.
Die Gerichtskosten von Fr. 1'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien, der Kindes- und Erwachsenenschutzbehörde Thun und dem Obergericht des Kantons Bern, Kindes- und Erwachsenenschutzgericht, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 30. August 2017
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: von Werdt
Der Gerichtsschreiber: Sieber