Sachverhalt:
A.
X._ reichte mit Schreiben vom 8. Juni 2012 und zwei ergänzenden Eingaben vom 23. Dezember 2013 und 14. April 2015 Strafanzeige gegen A._ wegen Verleumdung und übler Nachrede ein. Am 28. August 2015 erhob die Staatsanwaltschaft II des Kantons Zürich Anklage. Mit Urteil vom 8. Januar 2016 sprach das Bezirksgericht Zürich A._ von allen Vorwürfen frei, soweit es das Verfahren nicht zufolge Verjährung einstellte.
Mit Schreiben vom 13. März 2014 zeigte A._ ihrerseits X._ an wegen Verleumdung, eventuell übler Nachrede oder Beschimpfung beziehungsweise falscher Anschuldigung. Die Staatsanwaltschaft II des Kantons Zürich stellte das Verfahren mit Verfügung vom 30. Oktober 2015 ein. Die von A._ dagegen erhobene Beschwerde wies das Obergericht des Kantons Zürich mit Beschluss vom 20. Juli 2016 ab.
B.
A._ führt Beschwerde in Strafsachen und subsidiäre Verfassungsbeschwerde. Sie beantragt, der obergerichtliche Beschluss und damit auch die staatsanwaltliche Einstellungsverfügung seien aufzuheben und es sei eine Strafuntersuchung gegen X._ zu eröffnen. Sie ersucht überdies um Beizug verschiedener Akten, im Einzelnen jenen des vorinstanzlichen Verfahrens, jenen des gegen sie geführten und zufolge Berufung beim Obergericht des Kantons Zürich hängigen Verfahrens sowie jenen des bundesgerichtlichen Verfahrens 1B_98/2016.

Erwägungen:
1.
Mit Beschwerde in Strafsachen kann auch die Verletzung von Verfassungsrecht gerügt werden (<ref-law>). Für die subsidiäre Verfassungsbeschwerde der Beschwerdeführerin besteht daher kein Raum (vgl. <ref-law>; Urteil 6B_516/2016 vom 4. August 2016 E. 1.1 mit Hinweis).
2.
2.1. Zur Beschwerde in Strafsachen ist nach <ref-law> berechtigt, wer ein rechtlich geschütztes Interesse an der Aufhebung oder Änderung des angefochtenen Entscheids hat. Gemäss Art. 81 Abs. 1 lit. b Ziff. 5 BGG hat die Privatklägerschaft ein rechtlich geschütztes Interesse, wenn sich der angefochtene Entscheid auf die Beurteilung ihrer Zivilansprüche auswirken kann. In erster Linie geht es um Ansprüche auf Schadenersatz und Genugtuung gemäss <ref-law>, die üblicherweise vor den Zivilgerichten geltend gemacht werden müssen. Richtet sich die Beschwerde gegen die Einstellung oder Nichtanhandnahme eines Verfahrens, hat die Privatklägerschaft nicht notwendigerweise bereits vor den kantonalen Behörden Zivilansprüche geltend gemacht. Selbst wenn sie bereits adhäsionsweise privatrechtliche Ansprüche geltend gemacht hat, werden in der Einstellungsverfügung keine Zivilklagen behandelt (<ref-law>). In jedem Fall muss die Privatklägerschaft im Verfahren vor Bundesgericht darlegen, aus welchen Gründen sich der angefochtene Entscheid inwiefern auf welche Zivilforderung auswirken kann. Das Bundesgericht stellt an die Begründung der Legitimation strenge Anforderungen. Genügt die Beschwerde diesen nicht, kann darauf nur eingetreten werden, wenn aufgrund der Natur der untersuchten Straftat ohne Weiteres ersichtlich ist, um welche Zivilforderung es geht (vgl. <ref-ruling> E. 1.1 S. 4 f. mit Hinweisen).
2.2. Ob die Beschwerdeführerin gegen den Beschwerdegegner 2 aus den angezeigten Delikten Zivilansprüche im Sinne der obigen Definition stellen könnte, ist fraglich. Geschütztes Rechtsgut von Art. 173, Art. 174 und Art. 177 StGB ist die Ehre. Die widerrechtliche Verletzung der Persönlichkeit kann einen Anspruch auf Genugtuung und damit einen Zivilanspruch im Sinne von Art. 81 Abs. 1 lit. b Ziff. 5 BGG begründen. Nach <ref-law> ist eine Genugtuung jedoch nur geschuldet, sofern die Schwere der Verletzung es rechtfertigt. Der Eingriff muss aussergewöhnlich schwer sein und in seinen Auswirkungen das Mass einer Aufregung oder einer alltäglichen Sorge klar übersteigen (Urteil 6B_94/2013 vom 3. Oktober 2013 E. 1.1 mit Hinweis). Leichte Persönlichkeitsverletzungen, wie beispielsweise unbedeutende Ehrverletzungen, rechtfertigen keine finanzielle Genugtuung. Inwiefern die Persönlichkeitsverletzung objektiv und subjektiv schwer wiegt, ist in der Beschwerde an das Bundesgericht darzulegen (<ref-ruling> E. 4.4 S. 725; Urteil 6B_925/2015 vom 9. Februar 2016 E. 3; je mit Hinweisen). Vorstehendes gilt auch mit Blick auf den von der Beschwerdeführerin allenfalls als erfüllt erachteten Tatbestand der falschen Anschuldigung. <ref-law> schützt in erster Linie die Zuverlässigkeit der Rechtspflege, darüber hinaus aber auch die Persönlichkeitsrechte von zu Unrecht angeschuldigten Personen mit Bezug auf deren Ehre, Freiheit, Privatsphäre, Vermögen usw. (<ref-ruling> E. 2.1 S. 175 f.; <ref-ruling> E. 4.1 S. 25 mit Hinweisen). Auch diesbezüglich ist indessen in der Beschwerde auszuführen, inwiefern die geltend gemachte Persönlichkeitsverletzung objektiv wie subjektiv schwer wiegt.
2.3. Die Beschwerdeführerin äussert sich in ihrer Beschwerde nicht zu den Zivilforderungen, die sie gestützt auf die angezeigten Delikte geltend macht. Aus ihrer Strafanzeige ergibt sich indessen, dass sie eine Genugtuung von Fr. 10'000.-- fordert. Inwiefern die angeblichen Ehrverletzungen objektiv und subjektiv derart schwer wiegen sollen, dass sie eine Genugtuung rechtfertigten, legt die Beschwerdeführerin in ihrer Beschwerde nicht dar. Dass die behaupteten Persönlichkeitsverletzungen die erforderliche Schwere im Sinne von <ref-law> erreicht haben sollen, ist auch nicht offensichtlich. Die Beschwerde genügt diesbezüglich den Begründungsanforderungen nicht, weshalb darauf grundsätzlich nicht einzutreten ist.
3.
3.1. Unbekümmert um die fehlende Legitimation in der Sache selbst kann die Privatklägerschaft mit Beschwerde in Strafsachen eine Verletzung ihrer Parteirechte rügen, die ihr nach dem Verfahrensrecht, der Bundesverfassung oder der EMRK zustehen und deren Missachtung auf eine formelle Rechtsverweigerung hinausläuft. Zulässig sind Rügen, die formeller Natur sind und von der Prüfung der Sache getrennt werden können. Das nach <ref-law> erforderliche rechtlich geschützte Interesse ergibt sich diesfalls aus der Berechtigung, am Verfahren teilzunehmen (<ref-ruling> E. 1.1 S. 5; <ref-ruling> E. 1.3 S. 79 f.; <ref-ruling> E. 1.9 S. 40; je mit Hinweisen). Die Privatklägerschaft kann beispielsweise geltend machen, auf ein Rechtsmittel sei zu Unrecht nicht eingetreten worden, sie sei nicht angehört worden, sie habe keine Gelegenheit erhalten, Beweisanträge zu stellen, oder sie habe nicht Akteneinsicht nehmen können. Hingegen kann sie weder die Würdigung der beantragten Beweise noch die Tatsache rügen, dass ihre Anträge wegen Unerheblichkeit oder aufgrund antizipierter Beweiswürdigung abgelehnt wurden. Die Beurteilung dieser Fragen kann von der Prüfung der materiellen Sache nicht getrennt werden (<ref-ruling> E. 7b S. 94; <ref-ruling> E. 2a/bb S. 160; Urteil 6B_1131/2015 vom 25. Mai 2016 E. 1.2; je mit Hinweisen).
3.2. Die Beschwerdeführerin rügt eine Vielzahl von Verfahrensrechten als verletzt. Allerdings bezieht sie sich dabei zumeist auf das Verfahren, in welches sie als beschuldigte Person involviert ist (vgl. vorne Sachverhalt lit. A.). Dies betrifft etwa die Rüge der Verletzung des Akteneinsichtsrechts, des rechtlichen Gehörs, der Rechtsverweigerung beziehungsweise Rechtsverzögerung, der Ungleichbehandlung sowie der Unzuständigkeit der fallführenden Staatsanwaltschaft. Darauf ist von vornherein nicht einzutreten, denn Anfechtungsobjekt der vorliegenden Beschwerde ist ausschliesslich der Beschluss des Obergerichts des Kantons Zürich vom 20. Juli 2016 als letztinstanzlicher kantonaler Entscheid (vgl. <ref-law>).
3.3.
3.3.1. Die Beschwerdeführerin bringt vor, der fallführende Staatsanwalt sei befangen, da dieser sowohl mit dem Verfahren gegen sie als beschuldigte Person als auch mit demjenigen gegen den Beschwerdegegner 2 als beschuldigte Person befasst gewesen sei und im ersteren trotz offenkundiger und frühzeitig gerügter Verjährung sowie rechtsgenügendem Wahrheitsbeweis Anklage erhoben habe, während er das Verfahren gegen den Beschwerdegegner 2 eingestellt habe.
3.3.2. <ref-law> zählt verschiedene Gründe auf, die zum Ausstand von in einer Strafbehörde tätigen Personen führen. Ein Ausstandsgrund liegt vor, wenn die betroffene Person in einer anderen Stellung, insbesondere als Mitglied einer Behörde, als Rechtsbeistand einer Partei, als Sachverständige oder Sachverständiger, als Zeugin oder Zeuge, in der gleichen Sache tätig war (lit. b) oder aus anderen Gründen, insbesondere wegen Freundschaft oder Feindschaft mit einer Partei oder deren Rechtsbeistand befangen sein könnte (lit. f). <ref-law> konkretisiert hinsichtlich der Staatsanwaltschaft in ihrer Funktion als Strafuntersuchungs- und Anklagebehörde den in <ref-law> und Art. 6 Ziff. 1 EMRK verankerten Anspruch jeder Partei auf ein faires Verfahren (Urteil 6B_411/2015 vom 9. September 2015 E. 4.2; vgl. auch <ref-ruling>78 E. 3.2.2 S. 179 f.).
Will eine Partei den Ausstand einer in einer Strafbehörde tätigen Person verlangen, so hat sie der Verfahrensleitung ohne Verzug ein entsprechendes Gesuch zu stellen, sobald sie vom Ausstandsgrund Kenntnis hat (<ref-law>). Nach der Rechtsprechung muss der Ablehnungsgrund unverzüglich nach dessen Kenntnisnahme geltend gemacht werden; andernfalls ist der Anspruch verwirkt (<ref-ruling> E. 8.4.3 S. 275; <ref-ruling> E. 2.2 S. 4; je mit Hinweisen). Der Ausstand ist mithin so früh wie möglich, d.h. in den nächsten Tagen nach Kenntnisnahme, zu verlangen. Ein Ablehnungsgesuch, das beispielsweise erst nach zwei Wochen gestellt wird, ist klarerweise verspätet (Urteile 6B_720/2015 vom 5. April 2016 E. 5.3; 1B_362/2015 vom 10. Dezember 2015 E. 2.1; je mit Hinweisen).
3.3.3. Ob vorliegend die Rüge der Befangenheit des fallführenden Staatsanwalts rechtzeitig erfolgt und mit dem Grundsatz von Treu und Glauben vereinbar ist, erscheint zweifelhaft. So hat die Beschwerdeführerin ihre Strafanzeige gegen den Beschwerdegegner 2 selber zu Handen des fraglichen Staatsanwalts bei derselben Staatsanwaltschaft eingereicht, bei der das Verfahren gegen sie als beschuldigte Person hängig war und um Verfahrensvereinigung ersucht. Den Vorwurf der Befangenheit des fallführenden Staatsanwalts erhob die Beschwerdeführerin im von ihr anhängig gemachten Verfahren - soweit ersichtlich - aber erst mit der Beschwerde gegen die Einstellungsverfügung. Die Frage der Rechtzeitigkeit kann indessen offengelassen werden, da auf die Rüge jedenfalls aus einem anderen Grund nicht einzutreten ist. Hinsichtlich der geltend gemachten Befangenheit lässt es die Beschwerdeführerin an einer eingehenden Auseinandersetzung mit dem Entscheid der Vorinstanz und ihren diesbezüglichen, sich über mehrere Seiten erstreckenden Erwägungen vermissen. Die Beschwerde genügt insoweit den Begründungsanforderungen von <ref-law> nicht (vgl. <ref-ruling> E. 2 S. 116 mit Hinweis; Urteil 6B_831/2016 vom 13. Februar 2017 E. 2.1.2).
Nicht zu behandeln ist die Mutmassung der Beschwerdeführerin, sie sei aufgrund ihres von der Staatsanwaltschaft und vom Beschwerdegegner 2 ins Spiel gebrachten ausländischen Ledignamens diskriminiert worden beziehungsweise sie habe sich deswegen diskriminiert fühlen müssen. Dass sie dies bereits im vorinstanzlichen Verfahren vorgebracht hätte, ist nicht ersichtlich. Der kantonale Instanzenzug ist insofern nicht ausgeschöpft (vgl. <ref-law>). Im Übrigen ist darauf hinzuweisen, dass die Beschwerdeführerin ihren ausländischen Ledignamen im kantonalen Verfahren selber wiederholt verwendet hat, so etwa in ihrer Strafanzeige und in ihrer Beschwerde gegen die Einstellungsverfügung.
3.4. Nicht zu hören ist die Beschwerdeführerin, soweit sie die Abweisung ihrer Beweisanträge rügt. Die Vorinstanz beurteilt die inkriminierten Äusserungen des Beschwerdegegners 2 als nicht strafbar. Sie erachtet deshalb die Abnahme von Beweisen, die diese Äusserungen allenfalls bestätigen könnten, als hinfällig. Zum einen setzt sich die Beschwerdeführerin mit der vorinstanzlichen Begründung zur Abweisung der Beweisanträge wiederum nicht genügend auseinander (vgl. <ref-law>). Zum andern kann die Beurteilung dieser Fragen nicht von der Prüfung der materiellen Sache getrennt werden, weshalb die Rüge sich als unzulässig erweist (vgl. vorne E. 3.1). Gleiches gilt für die Vorbringen der Beschwerdeführerin, mit welchen sie die vorinstanzliche Sachverhaltsfeststellung und dessen rechtliche Würdigung rügt.
Die Beschwerdeführerin beantragt, es seien verschiedene Akten beizuziehen (vorne Sachverhalt lit. B.). Inwiefern die fraglichen Akten für das vorliegende Verfahren von Relevanz sein sollen, vermag sie allerdings nicht darzulegen. Soweit die Beschwerdeführerin durch den Aktenbeizug ihren Standpunkt in tatsächlicher beziehungsweise rechtlicher Hinsicht untermauern will, läuft der Antrag auf eine unzulässige materielle Prüfung der Sache hinaus. Soweit sie mit den fraglichen Akten die angebliche Befangenheit des fallführenden Staatsanwalts belegen will, setzt sie sich nicht mit den zutreffenden Erwägungen der Vorinstanz auseinander, wonach die den Ausstand begründenden Tatsachen glaubhaft zu machen sind (vgl. <ref-law>) und es nicht Aufgabe der Behörden ist, das Verfahren von Amtes wegen zu überprüfen und in einer Vielzahl von Dossiers selber nach allfälligen Ausstandsgründen zu suchen. Auf den Antrag ist daher nicht einzutreten.
4.
Die Beschwerdeführerin begründet ihren Antrag zu den Kosten- und Entschädigungsfolgen nicht respektive einzig mit der beantragten Aufhebung des vorinstanzlichen Beschlusses. Bei diesem Verfahrensausgang erübrigt es sich, darauf einzugehen.
5.
Auf die Beschwerde ist nicht einzutreten. Bei diesem Ausgang des bundesgerichtlichen Verfahrens sind die Gerichtskosten der Beschwerdeführerin aufzuerlegen (<ref-law>). Dem Beschwerdegegner 2 ist keine Entschädigung auszurichten, da ihm vor Bundesgericht keine Umtriebe entstanden sind.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 2'000.-- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Zürich, III. Strafkammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 7. März 2017
Im Namen der Strafrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Denys
Der Gerichtsschreiber: M. Widmer