Sachverhalt:
A.
A._ wurde am 28. Dezember 2007 von der Eidgenössischen Revisionsaufsichtsbehörde RAB unbefristet als Revisionsexperte zugelassen und in das Revisorenregister eingetragen. Er ist (direkt und indirekt über die von ihm beherrschte B._ AG) Alleininhaber der C._ GmbH, welche vom 21. Dezember 2010 bis 23. Juli 2015 die Revisionsstelle der D._ AG war. A._ war leitender Revisor für die Jahresrechnungen der D._ AG in den Geschäftsjahren 2010 bis 2013.
B.
Mit den Schreiben eines Dritten vom 20. und 26. Oktober 2014 wurde gegenüber der RAB unter Einreichung weiterer Unterlagen der Verdacht geäussert, dass die D._ AG im Geschäftsjahr 2013 überschuldet gewesen sei, ohne dass deren Verwaltungsrat die entsprechenden Massnahmen ergriffen hätte. Zudem habe die Revisionsstelle die Pflicht zur Anzeige der offensichtlichen Überschuldung verletzt. Ferner wurde der Verdacht geäussert, A._ habe gegen die Unabhängigkeit verstossen, indem er als leitender Revisor gleichzeitig eine enge Beziehung mit einem Verwaltungsrat des geprüften Unternehmens gepflegt habe.
C.
Die RAB teilte A._ nach mehrfachem Schriftenwechsel am 25. März 2015 mit, ein Verfahren gegen ihn zu eröffnen. Sie prüfe, ob er als leitender Revisor der D._ AG die Unabhängigkeit verletzt habe (Verdacht auf unzulässige Buchführungsarbeiten sowie enge Beziehung zu einem Verwaltungsrat des geprüften Unternehmens). Zudem sei im Lichte der einwandfreien Prüftätigkeit im Zusammenhang mit der D._ AG zu beurteilen, ob die Revisionsstelle bzw. A._ als leitender Revisor Anzeigepflichten nach dem Obligationenrecht verletzt habe. Müsse die einwandfreie Prüftätigkeit verneint werden, würde nachträglich eine Zulassungsvoraussetzung bzw. seine Zulassung dahinfallen. Es stehe daher die mögliche Erteilung eines Verweises bzw. der mögliche Entzug der persönlichen Zulassung als Revisionsexperte im Raum. Zwecks Komplettierung des Sachverhalts wurde A._ um weitere Auskünfte gebeten.
D.
Gegen das Schreiben vom 25. März 2015 erhob A._ Beschwerde beim Bundesverwaltungsgericht. Im Wesentlichen machte er geltend, die angefochtene Verfügung sei infolge formeller Mängel sowie Willkür, wegen fehlenden verfahrensrechtlichen und inhaltlichen Voraussetzungen zur Anhebung eines Verfahrens und schliesslich im Punkt betreffend Begehren um Akten- bzw. Informationsherausgabe aufzuheben.
Das Bundesverwaltungsgericht hat die Beschwerde mit Urteil vom 19. Januar 2016 abgewiesen, soweit es darauf eingetreten ist. Es verneinte in Bezug auf die Verfahrenseröffnung resp. das Informationsersuchen das Vorliegen einer anfechtbaren Verfügung, weshalb es insoweit nicht auf die Beschwerde eintrat. In Bezug auf die Frage der Zuständigkeit der RAB wies es die Beschwerde ab, soweit überhaupt darauf eingetreten werden könne.
E.
Mit Eingabe vom 22. Februar 2016 erhebt A._ Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten sowie Verfassungsbeschwerde "hinsichtlich aller als willkürlich bezeichneter Punkte" beim Bundesgericht. Er beantragt die Aufhebung des angefochtenen Urteils sowie der angefochtenen Verfügung.
Die RAB beantragt die Abweisung der Beschwerde, das Bundesverwaltungsgericht und das Eidgenössische Justiz- und Polizeidepartement haben auf eine Vernehmlassung verzichtet.

Erwägungen:
1.
1.1. Der Beschwerdeführer hat frist- (<ref-law>) und formgerecht (<ref-law>) eine Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten eingereicht. Sie richtet sich gegen einen Endentscheid (<ref-law>) des Bundesverwaltungsgerichts auf dem Gebiet der Revisionsaufsicht. Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten ist zulässig (Art. 82 lit. a, Art. 86 Abs. 1 lit. a BGG) und der Beschwerdeführer dazu legitimiert (<ref-law>). Auf die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten ist einzutreten.
1.2. Für die subsidiäre Verfassungsbeschwerde bleibt gemäss <ref-law> kein Raum, weshalb darauf nicht einzutreten ist. Die damit geltend gemachte Verletzung von <ref-law> ist gemäss <ref-law> im Rahmen der Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten zu prüfen.
1.3. Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann eine Rechtsverletzung nach Art. 95 und Art. 96 BGG gerügt werden. Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (<ref-law>), doch prüft es, unter Berücksichtigung der allgemeinen Rüge- und Begründungspflicht (Art. 42 Abs. 1 und 2 BGG), grundsätzlich nur die geltend gemachten Vorbringen, sofern allfällige weitere rechtliche Mängel nicht geradezu offensichtlich sind (<ref-ruling> E. 1.6 S. 280 f.). Die Verletzung von Grundrechten untersucht es in jedem Fall nur insoweit, als eine solche Rüge in der Beschwerde präzise vorgebracht und begründet worden ist (<ref-law>; <ref-ruling> E. 2.2 S. 232; <ref-ruling> E. 2.2 S. 246).
1.4. Das Bundesgericht legt seinem Urteil den von der Vorinstanz festgestellten Sachverhalt zugrunde (<ref-law>). Es kann die Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz von Amtes wegen berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruht (<ref-law>). "Offensichtlich unrichtig" bedeutet dabei "willkürlich" (<ref-ruling> E. 2 S. 116). Soweit der Beschwerdeführer vor Bundesgericht den neusten Schriftenwechsel zwischen der RAB und ihm einreicht (Schreiben vom 8. Februar und 30. Juni 2016 sowie E-Mail vom 13. Juli 2016 der RAB; Schreiben vom 11. Juli 2016 sowie E-Mail vom 14. Juli 2016 des Beschwerdeführers), sind diese Schreiben als echte Noven unbeachtlich (vgl. <ref-ruling> E. 3.1.2 S. 123; <ref-ruling> E. 2.1 S. 343 f.).
2.
2.1. Das strittige Schreiben vom 25. März 2015 liess die RAB dem Beschwerdeführer im Rahmen ihrer Aufsichtstätigkeit über Revisionsexperten zukommen. Als Aufsichtsbehörde unterzieht die RAB nur die staatlich beaufsichtigten Revisionsunternehmen, nicht aber die anderen Revisionsunternehmen und die natürlichen Personen einer eingehenden periodischen Überprüfung alle drei resp. fünf Jahre (vgl. Art. 16 Abs. 1 und Abs. 1bis des Bundesgesetzes vom 16. Dezember 2005 über die Zulassung und Beaufsichtigung der Revisorinnen und Revisoren [Revisionsaufsichtsgesetz, RAG; SR 221.302]). Natürliche Personen werden demgegenüber unbefristet zugelassen (<ref-law>). Indes ordnet <ref-law> in Bezug auf die natürlichen Personen explizit an, dass die Aufsichtsbehörde die Zulassung befristet oder unbefristet entziehen kann, wenn die Person die Zulassungsvoraussetzungen gemäss Art. 4-6 oder 9a RAG nicht mehr erfüllt. Hieraus ergibt sich zwangsläufig, dass die persönlichen Zulassungsvoraussetzungen dauerhaft erfüllt sein müssen und dass die Aufsichtsbehörde entsprechenden Hinweisen nachgehen und gegebenenfalls einen Entzug prüfen muss. Dass sie zur Erfüllung dieses gesetzlichen Auftrags darauf angewiesen ist, auch durch Personen ausserhalb der Verwaltungsorganisation auf ein Fehlverhalten der Beaufsichtigten hingewiesen zu werden, erscheint im Übrigen evident. Das jedermann zukommende Recht zur Einreichung einer Aufsichtsanzeige ergibt sich direkt aus der gesetzlichen Aufsichtskompetenz der Behörde und bedarf keiner weiteren gesetzlichen Grundlage (HÄFELIN/MÜLLER/UHLMANN, Allgemeines Verwaltungsrecht, 7. Aufl. 2016, Rz. 1202; zum Ganzen Urteil 2C_1026/2015 vom 18. Juli 2016 E. 2.2).
2.2. Die Zulassungsvoraussetzungen verlangen u.a. einen unbescholtenen Leumund und die Gewähr für eine einwandfreie Prüftätigkeit (vgl. <ref-law> und Art. 4 Abs. 1 der Verordnung vom 22. August 2007 über die Zulassung und Beaufsichtigung der Revisorinnen und Revisoren [Revisionsaufsichtsverordnung, RAV]). Zum beruflichen Leumund gehört auch die Einhaltung der gesetzlichen Unabhängigkeitsvorschriften gemäss Art. 728 und 729 OR (Urteil 2C_125/2015 vom 1. Juni 2015 E. 2.2). Eine einwandfreie Prüftätigkeit erfordert fachliche Kompetenz und ein korrektes Verhalten im Geschäftsverkehr, wobei unter Letzterem primär die Einhaltung der gesamten Rechtsordnung, namentlich des Revisionsrechts, aber auch des Zivil- und Strafrechts sowie die Beachtung des Grundsatzes von Treu und Glauben zu verstehen ist (Urteil 2C_834/2010 vom 11. März 2011 E. 3.2).
3.
Der Beschwerdeführer macht geltend, beim strittigen Schreiben handle es sich um eine Verfügung. Die RAB habe von Anfang an deutlich auf die Verpflichtung zur Erteilung von Auskünften und damit implizit auf die damit verbundenen Strafandrohungen bei Nichtbeachtung hingewiesen. Nachdem sie derart oft auf die Mitwirkungs- und Auskunftspflichten aufmerksam gemacht habe, könne nicht, wie die Vorinstanz schreibe, von einer blossen, unverbindlichen Bitte der Aufsichtsbehörde gesprochen werden. Diese vorinstanzliche Qualifikation verstosse offenkundig gegen die vorliegenden Tatsachen und sei willkürlich. Ausserdem erweise sich auch die Argumentation der Vorinstanz als widersprüchlich und damit willkürlich, da diese einerseits von einem materiellen Verfügungsbegriff ausgehe, andererseits im Widerspruch dazu die Unverbindlichkeit der ersuchten Aktenherausgabe annehme. Weiter bringt er vor, gemäss <ref-law> (in der zur Zeit der bemängelten Handlungsweisen gültig gewesenen Fassung) könne die Zulassung nur entzogen werden, wenn die Zulassungsvoraussetzungen nicht mehr gegeben seien. Nur bei staatlich beaufsichtigten Revisionsunternehmen, nicht aber bei Revisoren (natürliche Personen), sei ein Entzug gemäss Abs. 2 der Bestimmung auch möglich bei wiederholten oder groben Verletzungen der gesetzlichen Vorschriften. Im Übrigen lägen gar keine genügend konkreten Anhaltspunkte für grobe Verstösse vor. Schliesslich führt der Beschwerdeführer an, dass pendente Verfahren beispielsweise in Revisionsberichten an die Selbstregulierungsorganisationen gemäss dem Bundesgesetz vom 10. Oktober 1997 über die Bekämpfung der Geldwäscherei und der Terrorismusfinanzierung (Geldwäschereigesetz, GwG; SR 955.0) offengelegt werden müssten. Unter den neuen Bestimmungen des Geldwäschereigesetzes habe er sich nicht mehr als leitender Revisor bei den Selbstregulierungsorganisationen akkreditieren lassen können, weil dazu erforderlich gewesen wäre, dass keine offenen Verfahren hängig seien. Die Verfahrenseröffnung durch die RAB bringe somit sehr wohl erhebliche Nachteile hinsichtlich Einschränkungen in der Berufsausübung und der Rufschädigung mit sich.
3.1. Als Verfügungen gelten autoritative, einseitige, individuell-konkrete Anordnungen der Behörde, die in Anwendung von Verwaltungsrecht ergangen, auf Rechtswirkungen ausgerichtet sowie verbindlich und erzwingbar sind (vgl. <ref-law> [SR 172.021]; <ref-ruling> E. 3.1 S. 235; <ref-ruling> E. 1.2 S. 144 f.; je mit Hinweisen). Das Verfahrensstadium, in welchem ein Verwaltungsakt ergeht, präjudiziert dessen rechtliche Einordnung nicht (Urteile 2C_1097/2014 vom 6. Oktober 2015 E. 3.1; 2C_1184/2013 vom 17. Juli 2014 E. 3.3). In der Ausrichtung auf Rechtsverbindlichkeit unterscheidet sich die Verfügung vom tatsächlichen oder informellen Verwaltungshandeln, welches nicht auf die Herbeiführung eines Rechts-, sondern eines Taterfolgs ausgerichtet ist, indessen gleichwohl die Rechtsstellung von Privaten beeinträchtigen kann (<ref-ruling> E. 6.1 S. 379). Über solche (die Rechtsstellung tangierende) Realakte kann bei schutzwürdigem Interesse durch Gesuch eine Verfügung erwirkt werden (<ref-law>; zu den Voraussetzungen, unter denen ein Rechtsanspruch auf Erlass einer solchen Verfügung besteht, <ref-ruling> E. 3.1, 4.3-4.5 S. 322 ff.).
3.2. Mit Schreiben vom 25. März 2015 hat die RAB die einschlägige Rechtslage, mit Hinweisen auf die Rechtsprechung, dargelegt. Weiter informierte sie den Beschwerdeführer darüber, als Aufsichtsbehörde den Sachverhalt, insbesondere die Frage, ob eine einwandfreie Prüftätigkeit gegeben sei, abklären zu müssen. Gestützt auf die vermutete Verletzung der Unabhängigkeit und Sorgfaltspflichten werde die Eröffnung eines Verfahrens um mögliche Erteilung eines Verweises bzw. einen möglichen Entzug der persönlichen Zulassung mitgeteilt. Schliesslich wird der Beschwerdeführer gebeten, zur Komplettierung des Sachverhalts die im Schreiben vom 9. Januar 2015 gewünschten Auskünfte zu erteilen bzw. Unterlagen einzureichen. Insbesondere seien die Ziffern 1.1 und 1.3 nicht ausreichend sowie Ziffer 2 überhaupt nicht beantwortet worden.
3.3. Der Beschwerdeführer macht geltend, durch die Verfahrenseröffnung unmittelbar nachteilige Auswirkungen auf seine Rechtsstellung erfahren zu haben. Er beanstandet, dass die Vorinstanz in Bezug auf die Eröffnung des Verfahrens nicht vom Vorliegen einer Verfügung ausgegangen ist.
3.3.1. Es stellt sich die Frage nach der Rechtsnatur der Verfahrenseinleitung. Dem Revisionsaufsichtsgesetz lässt sich nicht entnehmen, ob der Verfahrenseröffnung bereits Verfügungscharakter zukommt. Dagegen sieht etwa das Kartellgesetz eine ausdrückliche Regelung vor, wonach die Eröffnung einer Untersuchung, und damit der Beginn eines Verwaltungsverfahrens, durch amtliche Publikation bekannt zu machen ist (vgl. Art. 28 KG [SR 251]). Das Bundesgericht hat dazu festgehalten, die Eröffnung bzw. Nichteröffnung der Vorabklärung (vgl. Art. 26 KG) stelle lediglich eine Vorstufe zum Entscheid der Wettbewerbskommission dar und begründe noch nicht unmittelbar Rechte und Pflichten. Sie bilde somit keine Verfügung im Sinne von <ref-law> (<ref-ruling> E. 3.1.2 S. 68; Frage noch offengelassen, aber mit weiteren Hinweisen <ref-ruling> E. 2.7.3 S. 528). Zudem ist weder der Schlussbericht, der die Vorabklärung abschliesst, noch der Beschluss, eine Untersuchung im Sinne von Art. 27 KG zu eröffnen, anfechtbar. Da kein Rechtsanspruch auf die Eröffnung eines verwaltungsrechtlichen Kartellverfahrens besteht, ist (auch) eine Rechtsverweigerungs- oder Rechtsverzögerungsbeschwerde in diesem Zusammenhang ausgeschlossen (vgl. <ref-ruling> E. 3.1.2 S. 68). Im Bundesgesetz vom 22. Juni 2007 über die Eidgenössische Finanzmarktaufsicht (Finanzmarktaufsichtsgesetz, FINMAG; SR 956.1) besteht mit Art. 30 ebenfalls eine spezialgesetzliche Bestimmung: Ergeben sich Anhaltspunkte für Verletzungen aufsichtsrechtlicher Bestimmungen, eröffnet die Eidgenössische Finanzmarktaufsicht (FINMA) ein Verfahren und zeigt dies den Parteien an. Gemäss Botschaft zum Finanzmarktaufsichtsgesetz soll mit der Anzeige der Eröffnung eines Verwaltungsverfahrens Transparenz geschaffen werden. Das Vorgehen der FINMA richtet sich nach den Grundsätzen des VwVG unter Einräumung sämtlicher Parteirechte. Die Eröffnung des Verfahrens an sich stellt aber eine verwaltungsinterne Handlung und damit keine anfechtbare Verfügung dar (Botschaft vom 1. Februar 2006 zum Finanzmarktaufsichtsgesetz, BBl 2006 2829, 2880 f. zu Art. 30; vgl. auch KATJA ROTH PELLANDA, in: Basler Kommentar Börsengesetz, Finanzmarktaufsichtsgesetz, 2. Aufl. 2011, N. 17 zu <ref-law>; KIENER/RÜTSCHE/KUHN, Öffentliches Verfahrensrecht, 2. Aufl. 2015, Rz. 462). Auch das Strafprozessrecht kennt eine ähnliche Regelung: Nach <ref-law> wird die Untersuchung zwar in einer Verfügung eröffnet. Die Verfügung braucht allerdings - gemäss dem Gesetzeswortlaut - weder begründet noch eröffnet zu werden und ist nicht anfechtbar.
3.3.2. Verwaltungsverfahren werden von Amtes wegen oder auf Gesuch hin eröffnet und beginnen häufig konkludent oder informell. Die Handlungen der Behörde bestehen etwa darin, Nachforschungen anzustellen und den verfügungsrelevanten Sachverhalt zu ermitteln, wobei Betroffene zu einer Stellungnahme aufgefordert werden können. Damit werden jedoch noch keine rechtsverbindlichen Regelungen aufgestellt; vielmehr geht die Behörde einzig ihren Pflichten - im vorliegenden Fall aufsichtsrechtlichen - nach. So wird auch in der Literatur die Ansicht vertreten, die Verfahrenseinleitung sei im Regelfall nicht darauf ausgerichtet, Rechte und Pflichten zu regeln, es sei denn, es würde in die Rechtsstellung der Betroffenen eingegriffen (KÖLZ/HÄNER/BERTSCHI, Verwaltungsverfahren und Verwaltungsrechtspflege des Bundes, 3. Aufl. 2013, Rz. 886). Mit Verweis auf das FINMAG wird ausgeführt, dem internen Entschluss der Behörde, ein Verwaltungsverfahren zu veranlassen, komme kein Verfügungscharakter zu, da dieser Entschluss nicht auf die rechtsverbindliche Regelung eines Rechtsverhältnisses gerichtet sei (BERNHARD WALDMANN, Das rechtliche Gehör im Verwaltungsverfahren, in: Häner/Waldmann [Hrsg.], Das erstinstanzliche Verwaltungsverfahren, 2008, S. 62). Erst mit gehöriger Eröffnung des Verwaltungsverfahrens gegenüber dem künftigen Verfügungsadressaten entstehe ein Prozessrechtsverhältnis zwischen diesem und dem Verwaltungsträger (WALDMANN/BICKEL, in: Praxiskommentar Verwaltungsverfahrensgesetz, 2. Aufl. 2016, N. 42 zu <ref-law>). Es wird, vor dem Hintergrund, dass der Verfügungsbegriff materieller Natur sei, aber auch vorgebracht, Akte, mit denen die Behörde ein Verwaltungsverfahren einleite, würden nicht bloss tatsächliches Verwaltungshandeln darstellen, sondern seien als Verfügungen zu qualifizieren (JÜRG BICKEL, Auslegung von Verwaltungsrechtsakten, 2014, S. 281 f.).
3.3.3. Aus dem Anspruch auf rechtliches Gehör folgt, dass der Betroffene über die Einleitung eines Verwaltungsverfahrens und dessen Gegenstand wissen muss. Dass dies mittels einer Verfügung zu geschehen hat, ist aber nur in Einzelfällen (vgl. soeben E. 3.3.1) gesetzlich vorgesehen; im Regelfall geschieht dies informell (vgl. auch KIENER/RÜTSCHE/KUHN, a.a.O., Rz. 460 ff.). Wie das Bundesgericht schon mehrfach festgehalten hat, kann sich eine Verfahrenseinleitung für die betroffene Person belastend darstellen (zu denken ist etwa an einen Beamten, gegen den ein Disziplinarverfahren eröffnet wird; vgl. <ref-ruling> E. 4.1.2). Die Eröffnung eines Verwaltungsverfahrens regelt für sich aber noch kein Rechtsverhältnis, sondern leitet bloss ein Verfahren auf den künftigen Erlass einer allenfalls belastenden Anordnung ein (Urteil 2P.49/2004 vom 18. Februar 2004 E. 2.2 mit Hinweis). So ist auch der Beschluss über die Eröffnung einer Straf- oder Disziplinaruntersuchung keine Massnahme, die Rechtsbeziehungen des Einzelnen zum Staat regelt und als solche ohne Weiteres Beschwerdeobjekt sein könnte (Urteil 2C_308/2015 vom 7. Juli 2015 E. 1.3.2 mit Hinweisen). Entgegen den Ausführungen des Beschwerdeführers gilt zudem die Regelung eines Rechtsverhältnisses im Einzelfall und nicht eine allfällige Beeinträchtigung der Rechtsstellung des Adressaten als Strukturmerkmal einer Verfügung (Urteil 2C_1097/2014 vom 6. Oktober 2015 E. 3.1). Sein Vorbringen, die Einleitung des Verfahrens habe unmittelbare nachteilige Auswirkungen auf seine Rechtsstellung, da er sich wegen des hängigen Verfahrens nicht mehr als leitender Revisor bei den Selbstregulierungsorganisationen akkreditieren lassen könne, ändert somit nichts an der Rechtsnatur der Verfahrenseröffnung. Selbst wenn aber vom Vorliegen einer Zwischenverfügung ausgegangen würde, wäre eine Beschwerde dagegen nur zulässig, wenn die Zwischenverfügung einen nicht wieder gutzumachenden Nachteil bewirken kann (<ref-law>; <ref-law>; vgl. auch WALDMANN/BICKEL, Praxiskommentar VwVG, N. 42 zu <ref-law>; WALDMANN, a.a.O., S. 62). Dies ist hier nicht der Fall, wird doch der Beschwerdeführer alle Rechte vollumfänglich im Verfahren vor der RAB wahrnehmen und sich gegebenenfalls gegen eine ihn belastende Massnahme mit Beschwerde gegen die Endverfügung zur Wehr setzen können. Allein die Belastung eines hängigen Verfahrens führt nicht dazu, einen nicht wieder gutzumachenden Nachteil anzunehmen, ansonsten jede Eröffnung eines Verwaltungsverfahrens, welches möglicherweise zu einem nachteiligen Endentscheid führen könnte, selbständig anfechtbar sein müsste (<ref-ruling> E. 4.1.2 S. 590 mit Hinweisen; Urteil 1P.555/2001 vom 3. Januar 2002 E. 5.2).
3.3.4. Etwas anderes betrifft die Frage, ob dem Betroffenen das Recht zustehen soll, bezüglich die Verfahrenseröffnung eine anfechtbare Verfügung zu verlangen (vgl. <ref-law>; vorstehend E. 3.1) Da der Beschwerdeführer dies vorliegend nicht getan hat und dies somit nicht Streitgegenstand des vorliegenden Verfahrens bildet, braucht an dieser Stelle freilich nicht weiter hierauf eingegangen zu werden.
3.4. Zugelassene natürliche Personen müssen der Aufsichtsbehörde alle Auskünfte erteilen und Unterlagen herausgeben, die diese für die Erfüllung ihrer Aufgaben benötigt (<ref-law>; vor dem 1. Januar 2015 war eine Meldepflicht für Tatsachen, die für die Beurteilung der Zulassungsvoraussetzungen von Belang sind, in Art. 13 Abs. 1 RAV [AS 2007 3989] vorgesehen). Die Botschaft nennt beispielhaft als solche Aufgaben die Beurteilung der Zulassungsvoraussetzungen, Beaufsichtigung und Amtshilfe (vgl. Botschaft vom 28. August 2013 zur Bündelung der Aufsicht über Revisionsunternehmen und Prüfgesellschaften, BBl 2013 6857, 6878). Die RAB benötigt die von ihr ersuchten Auskünfte und Unterlagen dafür, das Vorliegen der Zulassungsvoraussetzungen beim Beschwerdeführer zu überprüfen, zumal aufgrund zweier Schreiben eines Dritten der Verdacht auf Verletzung von Unabhängigkeitsbestimmungen und von Sorgfaltspflichten aufgekommen ist und damit die einwandfreie Prüftätigkeit in Frage stehen könnte und gegebenenfalls Massnahmen (Erteilung eines Verweises, Entzug der Zulassung) zu ergreifen wären. Es ist die Aufgabe und Pflicht der RAB, einem solchen Verdacht nachzugehen (vgl. oben E. 2). Mit der Aufforderung zur Mitwirkung und zur Auskunftserteilung hat die RAB den Beschwerdeführer somit zu dem angehalten, was ohnehin von Gesetzes wegen gilt. Das fragliche Schreiben ist auch insofern nicht auf Rechtswirksamkeit ausgerichtet, weshalb es nicht als Verfügung qualifiziert werden kann (vgl. E. 3.1; Urteil 2C_1097/2014 vom 6. Oktober 2015 E. 3.2). Ob es tatsächlich zu gewährsrelevanten Verstössen durch den Beschwerdeführer gekommen ist, wird somit Sache der Abklärungen der RAB sein. Dabei ist diese auf die Mitwirkung des Beschwerdeführers angewiesen. Dieser wird in diesem Rahmen die materiellen Einwände, die er teilweise bereits im vorliegenden Verfahren darlegt, einbringen können.
3.5. Das angefochtene Schreiben begründet somit kein Rechtsverhältnis und ist nicht auf Rechtswirksamkeit ausgerichtet. Die Voraussetzungen einer Verfügung sind damit nicht erfüllt. Des Weiteren enthalten weder das angefochtene Schreiben noch die weiteren vom Beschwerdeführer genannten Schreiben der RAB eine Strafandrohung - soweit in den Schreiben auf die gesetzliche Mitwirkungspflicht hingewiesen wird, ist darin keineswegs eine solche zu erblicken. Die Vorinstanz ist zu Recht nicht vom Vorliegen einer Verfügung ausgegangen und entsprechend auf die bei ihr erhobene Beschwerde nicht eingetreten.
4.
Nach dem Gesagten erweist sich die Beschwerde als unbegründet und ist abzuweisen. Die Gerichtskosten werden dem unterliegenden Beschwerdeführer auferlegt (<ref-law>). Der RAB ist keine Parteientschädigung auszurichten (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Auf die subsidiäre Verfassungsbeschwerde wird nicht eingetreten.
2.
Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten wird abgewiesen.
3.
Die Gerichtskosten von Fr. 2'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
4.
Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten, dem Bundesverwaltungsgericht, Abteilung II, und dem Eidgenössischen Justiz- und Polizeidepartement schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 17. März 2017
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Seiler
Die Gerichtsschreiberin: Fuchs