Sachverhalt:
A.
Der 1985 geborene A._ bezog eine ganze Invalidenrente vom 1. November 2007 bis 31. März 2009 (Verfügung vom 12. September 2012). Im Juli 2013 meldete er sich erneut bei der Invalidenversicherung zum Leistungsbezug an. Nach Abklärungen - insbesondere Einholung des Polydisziplinären Gutachens des BEGAZ Begutachtungszentrums vom 6. Juni 2014 - und Durchführung des Vorbescheidverfahrens ermittelte die IV-Stelle des Kantons Solothurn einen Invaliditätsgrad von 19 %; folglich verneinte sie mit Verfügung vom 10. März 2015 einen Leistungsanspruch.
B.
Die dagegen erhobene Beschwerde hiess das Versicherungsgericht des Kantons Solothurn mit Entscheid vom 31. März 2016 in dem Sinne gut, als es die Verfügung vom 10. März 2015 aufhob und die Sache an die IV-Stelle zurückwies, damit diese im Sinne der Erwägungen verfahre.
C.
Die IV-Stelle beantragt mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten, der Entscheid vom 31. März 2016 sei aufzuheben und die Sache sei zur Durchführung eines Gerichtsgutachtens an das kantonale Gericht zurückzuweisen.

Erwägungen:
1.
Beim angefochtenen Entscheid handelt es sich um einen Rückweisungsentscheid. Die Beschwerdeführerin wird darin angewiesen, ein neues psychiatrisches Gutachten einzuholen, welches sich namentlich zu den Indikatoren der im Bereich der anhaltenden somatoformen Schmerzstörungen und vergleichbarer psychosomatischer Leiden ergangenen neueren bundesgerichtlichen Rechtsprechung (<ref-ruling>) zu äussern habe, und hernach erneut über den Rentenanspruch des Beschwerdegegners zu befinden.
2.
Die Beschwerde an das Bundesgericht ist zulässig gegen Entscheide, die das Verfahren abschliessen (Endentscheide; <ref-law>). Beim angefochtenen Rückweisungsentscheid handelt es sich um einen Zwischenentscheid (<ref-ruling> E. 1.3 S. 101; <ref-ruling> E. 4.2 S. 481 f. und E. 5.1 S. 482 f.), gegen den die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten nur zulässig ist (<ref-law>), wenn er einen nicht wieder gutzumachenden Nachteil bewirken kann (lit. a), oder wenn die Gutheissung der Beschwerde sofort einen Endentscheid herbeiführen und damit einen bedeutenden Aufwand an Zeit und Kosten für ein weitläufiges Beweisverfahren ersparen würde (lit. b). Ein Zwischenentscheid bleibt im Rahmen einer Beschwerde gegen den Endentscheid anfechtbar, sofern er sich auf dessen Inhalt auswirkt (<ref-law>).
3.
3.1. Die Beschwerdeinstanz holt in der Regel ein Gerichtsgutachten ein, wenn sie im Rahmen der Beweiswürdigung zum Schluss kommt, ein bereits erhobener medizinischer Sachverhalt müsse (insgesamt oder in wesentlichen Teilen) noch gutachtlich geklärt werden oder eine Administrativexpertise sei in einem rechtserheblichen Punkt nicht beweiskräftig. Eine Rückweisung an die IV-Stelle bleibt hingegen möglich, wenn es darum geht, zu einer bisher vollständig ungeklärten Frage ein Gutachten einzuholen. Ebenso steht es dem Versicherungsgericht frei, eine Sache zurückzuweisen, wenn allein eine Klarstellung, Präzisierung oder Ergänzung von gutachterlichen Ausführungen erforderlich ist (<ref-ruling> E. 1.1 S. 100; <ref-ruling> E. 4.4.1.4 S. 264).
3.2. Auch der in diesem Sinn (E. 3.1) ungerechtfertigte Entscheid einer Beschwerdeinstanz, die Sache zur weiteren medizinischen Abklärung an die IV-Stelle zurückzuweisen, ist mangels Vorliegens der Eintretensvoraussetzungen von Art. 93 Abs. 1 lit. a und b BGG vor Bundesgericht regelmässig nicht anfechtbar (<ref-ruling> E. 2.4 S. 103 f.; vgl. auch SVR 2016 IV Nr. 4 S. 11, 9C_703/2015 E. 4 bis 6). Vom Grundsatz der Nichtanhandnahme direkter Beschwerden gegen ungerechtfertigte Rückweisungsentscheide wäre allenfalls eine Ausnahme zu machen, wenn sich inskünftig zeigen sollte, dass ein Gericht regelmässig entsprechend vorgeht (<ref-ruling> E. 2.5 S. 104 mit Hinweis auf <ref-ruling> E. 4 S. 280).
4.
4.1. Die Beschwerdeführerin macht geltend, das Versicherungsgericht des Kantons Solothurn habe in bisher zehn Fällen, die jeweils Versicherte mit psychosomatischen Beschwerden betreffen, die Sache zur Begutachtung im Lichte der Indikatoren gemäss <ref-ruling> an sie zurückgewiesen. Diese Rückweisungen seien nicht statthaft, da es - entgegen der jeweiligen vorinstanzlichen Begründung - nicht um die Beantwortung einer bisher gänzlich ungeklärten (Rechts-) Frage gehe. Bei diesem rechtswidrigen Vorgehen handle es sich um eine regelmässige Praxis des kantonalen Gerichts, weshalb sich eine höchstrichterliche Anweisung zum Vorgehen in solchen Fällen aufdränge und auf die Beschwerde einzutreten sei.
4.2. Ein medizinisches Gutachten, das im Lichte der seit dem 3. Juni 2015 geltenden Rechtsprechung gemäss <ref-ruling> erstellt wird, betrifft ebenso den Sachverhalt hinsichtlich Gesundheitszustand und Arbeitsfähigkeit der versicherten Person (vgl. Urteil 9C_714/2015 vom 29. April 2016 E. 4.1) wie eine früher, d.h. unter Berücksichtigung von <ref-ruling> erstellte Expertise. Ob deshalb die vorinstanzlichen Rückweisungen ungerechtfertigt sind (E. 3.1), braucht indessen nicht beantwortet zu werden. Ebenso kann die Frage nach der Regelmässigkeit der allenfalls ungerechtfertigten Rückweisungen offenbleiben. Auch wenn beide Punkte bejaht werden, ist auf die Beschwerde nicht einzutreten, wie sich aus dem Folgenden ergibt.
4.3. Die Grundsätze, nach welchen sich beurteilt, ob das Sozialversicherungsgericht selber eine Begutachtung anzuordnen hat oder ob es die IV-Stelle mit der (erneuten) Einholung einer Administrativexpertise betrauen darf (E. 3.1), beruhen auf Überlegungen der Verfahrensfairness und beziehen sich auf sämtliche Streitfälle, die der weiteren Abklärung bedürfen. Die IV-Stelle erhebt die Rüge einer regelmässigen rechtswidrigen Rückweisung jedoch ausschliesslich in Bezug auf Fälle, die im Zusammenhang mit einer somatoformen Schmerzstörung oder einem vergleichbaren Leiden stehen und deshalb an den Vorgaben gemäss <ref-ruling> zu messen waren, von der Verwaltung aber noch unter der bis zum 3. Juni 2015 geltenden Rechtsprechung (<ref-ruling>) abgeklärt und entschieden worden waren. Sie bringt nicht vor, dass das kantonale Gericht auch Streitsachen, in denen sie unter Berücksichtigung der neuen Rechtsprechung (<ref-ruling>) verfügte, oder wo diese aufgrund des Beschwerdebildes ohnehin keine Rolle spielt (e), systematisch in rechtswidriger Weise zur weiteren Abklärung zurückweise. Die beanstandete Praxis des kantonalen Gerichts ist somit lediglich vorübergehender Natur und wird in absehbarer Zeit nicht mehr zum Tragen kommen. Eine Öffnung des Rechtswegs an das Bundesgericht, um die Umsetzung der verfahrensmässigen Vorgaben gemäss BGE 137 V 2010 (vgl. E. 3.1) sicherzustellen (<ref-ruling> E. 4 S. 280; vgl. auch SVR 2016 IV Nr. 4 S. 11, 9C_703/2015 E. 7.1), ist daher nicht erforderlich. Auf die Beschwerde ist im vereinfachten Verfahren nach <ref-law> nicht einzutreten.
5.
Dem Ausgang des Verfahrens entsprechend hat die Beschwerdeführerin die Gerichtskosten zu tragen (<ref-law>).

Demnach erkennt der Einzelrichter:
1.
Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 800.- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird den Parteien, dem Versicherungsgericht des Kantons Solothurn und dem Bundesamt für Sozialversicherungen schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 4. Juli 2016
Im Namen der II. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Einzelrichter: Meyer
Die Gerichtsschreiberin: Dormann