Sachverhalt:
A.
Die 1973 geborene A._ meldete sich im August 2008 bei der Invalidenversicherung zum Leistungsbezug an. Die IV-Stelle des Kantons Solothurn sprach ihr erstmals mit Verfügungen vom 28. Juni und 19. Juli 2010 eine ganze Invalidenrente und eine Kinderrente ab 1. März 2009 zu. Dagegen führte die GastroSocial Pensionskasse, bei der A._ für die berufliche Vorsorge versichert war, Beschwerde, welche das Versicherungsgericht des Kantons Solothurn mit Rückweisungsentscheid vom 8. Juni 2011 teilweise guthiess. Die Rentenzahlungen wurden auf Ende Oktober 2011 eingestellt. Nach weiteren Abklärungen und Durchführung des Vorbescheidverfahrens sprach die IV-Stelle der Versicherten mit Verfügungen vom 20. Mai 2014 eine ganze, vom 1. März bis 30. November 2009 befristete Invalidenrente zu und verneinte einen Anspruch auf berufliche Massnahmen. Zudem verpflichtete sie A._, zu viel ausgerichtete Renten im Betrag von Fr. 45'142.60 und Fr. 7'237.40, d.h. insgesamt Fr. 52'380.- zurückzuerstatten.
B.
Das Versicherungsgericht des Kantons Solothurn hiess die dagegen erhobene Beschwerde der A._ in dem Sinne teilweise gut, als es ihr eine ganze Invalidenrente vom 1. März 2009 bis 30. September 2010 zusprach, die Rückforderungsverfügung betreffend die Leistungen von Dezember 2009 bis März 2010 aufhob und die Rückforderungsverfügung betreffend Leistungen von April 2010 bis Oktober 2011 dahingehend abänderte, dass die Versicherte der IV-Stelle für die Zeit von Oktober 2010 bis Oktober 2011 unrechtmässig bezogene Renten im Betrag von Fr. 29'780.- zurückzuerstatten hat (Entscheid vom 24. August 2015).
C.
A._ lässt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten führen mit folgenden Rechtsbegehren:
"1. Das Urteil des Versicherungsgerichts des Kantons Solothurn vom 24. August 2015 sei aufzuheben.
2. a) Es seien der Beschwerdeführerin ab wann rechtens, spätestens jedoch mit Wirkung ab 1. März 2009 und über den 30. September 2010 hinaus die versicherten Leistungen nach dem IVG (berufliche Eingliederungsmassnahmen, Invalidenrente) nach Massgabe einer Erwerbsunfähigkeit von mindestens 40 % zuzusprechen.
b) Eventualiter: Es sei die Beschwerdesache zur Einholung eines psychiatrischen Gerichtsgutachtens, zur Durchführung erwerblich-berufsbezogener Abklärungen und zum Neuentscheid an die Vorinstanz zurück zu weisen. Dabei sei gemäss Urteil 9C_492/2014 vom 3. Juni 2015 ein ergebnisoffenes, strukturiertes Beweisverfahren und eine Indikatorenprüfung unter Wahrung der Teilnahmerechte der versicherten Person (<ref-ruling>, <ref-ruling>) durchzuführen.
3. Es sei festzustellen, dass ein allfälliger Rückforderungsanspruch auf jeden Fall verjährt ist.
4. Die Beschwerdegegnerin sei zu verpflichten, der Beschwerdeführerin die ihr im Zusammenhang mit der Einholung der Expertise von Dr. med. B._ entstandenen Kosten im Rahmen von <ref-law> (dem Grundsatze nach) zurück zu erstatten."
Die IV-Stelle und das Bundesamt für Sozialversicherungen verzichten auf eine Vernehmlassung.

Erwägungen:
1.
Soweit Antrag Ziff. 2a auf eine Versicherungsleistung für die Zeit vor dem 1. März 2009 zielt oder damit eine berufliche (Eingliederungs-) Massnahme verlangt wird, ist darauf nicht einzutreten: Der Beschwerdeführer begründet diese Begehren mit keinem Wort (vgl. Art. 42 Abs. 1 und 2 BGG). Zudem bildete nur der Anspruch auf eine Rente resp. auf die entsprechende Rückerstattung, nicht aber jener auf eine berufliche Massnahme (vgl. Art. 14a und 15 ff. IVG) Gegenstand des vorinstanzlichen Verfahrens (<ref-law>; MEYER/DORMANN, in: Basler Kommentar, Bundesgerichtsgesetz, 2. Aufl. 2011, N. 60 zu <ref-law>; vgl. auch vgl. <ref-law>; <ref-ruling> E. 2.1 S. 164 f.; <ref-ruling> E. 1 S. 414 f.).
Sodann ist Antrag Ziff. 3 als (zulässiges) rein kassatorisches Begehren aufzufassen, zumal ein spezifisches Feststellungsinteresse nicht ersichtlich ist (vgl. MEYER/DORMANN, in: Basler Kommentar, Bundesgerichtsgesetz, 2. Aufl. 2011, N. 2a zu <ref-law>).
2.
Mit der Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann unter anderem die Verletzung von Bundesrecht gerügt werden (<ref-law>). Die Feststellung des Sachverhalts kann nur gerügt werden, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von Artikel 95 beruht und wenn die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein kann (<ref-law>). Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (<ref-law>). Es kann die Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz von Amtes wegen berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von Artikel 95 beruht (<ref-law>).
3.
Das kantonale Gericht hat dem Gutachten des Dr. med. C._, Facharzt für Psychiatrie und Psychotherapie, vom 27. März 2012 (samt Stellungnahme vom 13. September 2012) Beweiskraft beigemessen und gestützt darauf festgestellt, dass sich der Gesundheitszustand der Versicherten seit dem Beginn einer schweren depressiven Episode im März 2008 erheblich verbessert habe. Eine relevante Arbeitsunfähigkeit bestehe spätestens seit Juni 2010 nicht mehr. In Bezug auf diesen Zeitpunkt ist die Vorinstanz - zu Gunsten der Versicherten - von der Einschätzung des Dr. med. C._ abgewichen und hat auf die Untersuchungsergebnisse des Dr. med. D._ (vgl. Gutachten vom 12. Juni 2010) abgestellt. Folglich hat sie, in analoger Anwendung von <ref-law> (SR 831.201), die Rente bis Ende September 2010 befristet und die Rückforderung der Rentenbetreffnisse ab Oktober 2010 im Betrag von insgesamt Fr. 29'780.- bestätigt.
4.
4.1. Bei der Beurteilung der Arbeits (un) fähigkeit stützt sich die Verwaltung und im Beschwerdefall das Gericht auf Unterlagen, die von ärztlichen und gegebenenfalls auch anderen Fachleuten zur Verfügung zu stellen sind. Ärztliche Aufgabe ist es, den Gesundheitszustand zu beurteilen und dazu Stellung zu nehmen, in welchem Umfang und bezüglich welcher Tätigkeiten die versicherte Person arbeitsunfähig ist. Hinsichtlich des Beweiswertes eines Arztberichtes ist entscheidend, ob dieser für die streitigen Belange umfassend ist, auf allseitigen Untersuchungen beruht, auch die geklagten Beschwerden berücksichtigt, in Kenntnis der Vorakten (Anamnese) abgegeben worden ist, in der Beurteilung der medizinischen Zusammenhänge sowie der medizinischen Situation einleuchtet und ob die Schlussfolgerungen der Experten begründet sind (<ref-ruling> E. 5.1 S. 232; <ref-ruling> E. 3a S. 352 mit Hinweis).
4.2. Bei den vorinstanzlichen Feststellungen zum Gesundheitszustand und zur Arbeitsfähigkeit der versicherten Person handelt es sich grundsätzlich um Entscheidungen über eine Tatfrage (<ref-ruling> E. 3.2 S. 397 ff.), welche das Bundesgericht seiner Urteilsfindung zugrunde zu legen hat (E. 2). Die konkrete Beweiswürdigung stellt ebenfalls eine Tatfrage dar. Dagegen ist die Beachtung des Untersuchungsgrundsatzes und der Beweiswürdigungsregeln Rechtsfrage (<ref-ruling> E. 3.2 und 4 S. 397 ff.; Urteil I 865/06 vom 12. Oktober 2007 E. 4 mit Hinweisen), die das Bundesgericht im Rahmen der den Parteien obliegenden Begründungs- bzw. Rügepflicht (<ref-law> und <ref-law>; <ref-ruling> E. 1.4.1 und 1.4.2 S. 254) frei überprüfen kann (<ref-law>).
4.3. Entgegen der Auffassung der Beschwerdeführerin ist eine Privatexpertise nicht gleichrangig zu einem lege artis erstellten Administrativgutachten; sie ist aber bei der Frage nach der Beweiskraft des von der Verwaltung eingeholten Gutachtens zu berücksichtigen (BGE <ref-ruling> E. 3c S. 354). Die Vorinstanz hat sich denn auch in einlässlicher Beweiswürdigung mit der medizinischen Aktenlage auseinandergesetzt. Sie hat überzeugend dargelegt, weshalb sie auf die Einschätzungen des Dr. med. C._ und nicht auf jene des Dr. med. B._ abgestellt hat. Es ist nicht ersichtlich, dass Dr. med. C._ die (subjektiven) Angaben der Versicherten ungenügend berücksichtigt haben soll; seine Ausführungen zu "allfälligen somatischen subjektiven und objektiven Befunden" (S. 20 des Gutachtens) sind offensichtlich so zu verstehen, dass er sich nur im Rahmen des eigenen medizinischen Fachgebietes äusserte. Eine Verbesserung der gesundheitlichen Situation bis zur Begutachtung leitete er nicht nur aus der Einschätzung des behandelnden med. pract. E._, sondern insbesondere auch aus jener der Psychiatrischen Dienste und des Dr. med. D._ ab (S. 16 des Gutachtens). Das kurze Schreiben des med. pract. E._ vom 28. Juli 2011, das erst nach der Begutachtung in die Akten der IV-Stelle einging, enthält im Vergleich zu seinem Bericht vom 25. September 2009 nichts Neues. Sodann ist der hier interessierende Sachverhalt nicht vergleichbar mit jenem gemäss Urteil I 625/05 vom 6. Februar 2006 E. 4.2.1; das Einholen fremdanamnestischer Auskünfte unterliegt denn auch grundsätzlich der Fachkenntnis und dem Ermessenspielraum des Experten (Urteile 9C_794/2012 4. März 2013 E. 4.1; 9C_65/2012 vom 28. Februar 2012 E. 4.3 mit Hinweisen). Weiter leuchtet nicht ein, weshalb die Diagnose einer Dysthymie als Folge einer remittierten depressiven Episode (und einer Verdeutlichungstendenz sowie psychosozialer Faktoren) nicht hätte gestellt werden dürfen. Ohnehin beschränkt sich die Beschwerdeführerin auf weiten Strecken darauf, lediglich die medizinischen Unterlagen abweichend zu würdigen und daraus andere Schlüsse zu ziehen, was nicht genügt (Urteile 9C_794/2012 vom 4. März 2013 E. 4.1; 9C_65/2012 vom 28. Februar 2012 E. 4.3 mit Hinweisen). Das Gutachten des Dr. med. C._ erfüllt die bundesrechtlichen Anforderungen an die Beweiskraft (E. 4.1). Es ist - mangels einer anhaltenden somatoformen Schmerzstörung (mit diagnoseinhärentem Schweregrad; <ref-ruling> E. 2.1.1 S. 285) oder eines anderen, damit vergleichbaren Leidens - auch nicht an der Rechtsprechung von <ref-ruling> zu messen.
4.4. Bei diesem (Zwischen-) Ergebnis bleiben die vorinstanzlichen Feststellungen betreffend die Arbeitsfähigkeit verbindlich (E. 2). Folglich ist die Rentenaufhebung auf Ende September 2010 zu bestätigen.
4.5. Auf Antrag Ziff. 4 ist nicht weiter einzugehen, wird doch die Erstattung der Kosten für die Expertise des Dr. med. B._ (zu Recht) nur verlangt, falls weitere Abklärungen erforderlich sein sollten, was hier nicht zutrifft (E. 4.3 und 4.4).
5.
5.1. Unrechtmässig bezogene Leistungen sind zurückzuerstatten (<ref-law>). Der Rückforderungsanspruch erlischt mit dem Ablauf eines Jahres, nachdem die Versicherungseinrichtung davon Kenntnis erhalten hat, spätestens aber mit dem Ablauf von fünf Jahren nach der Entrichtung der einzelnen Leistung (<ref-law>).
Zu prüfen bleibt einzig die Frage, ob die Rückforderung der zu viel bezahlten Renten verwirkt (vgl. <ref-ruling> E. 2 S. 7; <ref-ruling> E. 4.1 S. 582) ist.
5.2. Die Vorinstanz ist der Auffassung, dass erst durch einen rechtskräftigen Entscheid über den Leistungsanspruch, mithin mit diesem Urteil des Bundesgerichts, definitive Gewissheit über die Rückerstattungspflicht bestehe. Somit sei bei Erlass der Verfügungen vom 20. Mai 2014 weder die einjährige relative noch die fünfjährige absolute Frist abgelaufen gewesen.
Die Beschwerdeführerin macht geltend, die Frist habe spätestens zu laufen begonnen, als die IV-Stelle das Gutachten des Dr. med. C._ erhalten oder den Vorbescheid erlassen habe; sie sei unbenutzt abgelaufen.
5.3. Der Fristenlauf beginnt, wenn alle im konkreten Einzelfall erheblichen Umstände zugänglich sind, aus deren Kenntnis sich der Rückforderungsanspruch dem Grundsatze nach und in seinem Ausmass gegenüber einem bestimmten Rückerstattungspflichtigen ergibt (<ref-ruling> E. 7.2.2 S. 107 [vgl. auch die nicht veröffentlichte E. 4 des nämlichen Urteils 9C_454/2012]).
Spricht die IV-Stelle eine Rente zu und richtet Leistungen aus, bevor die betreffende Verfügung rechtskräftig geworden ist, beginnt im Falle eines gerichtlich festgestellten zusätzlichen Abklärungsbedarfs die relative einjährige Verwirkungsfrist für die Geltendmachung des Rückforderungsanspruchs frühestens zu laufen, wenn sie um das definitive Ergebnis der Abklärungen weiss, auf denen der das Renten (streit) verfahren abschliessende Entscheid beruht (SVR 2015 IV Nr. 5 S. 10, 9C_195/2014 E. 4.2 Abs. 2).
5.4. Zwar trifft zu, dass das Bundesgericht in den (von der Vorinstanz angeführten) Urteilen 8C_642/2014 vom 23. März 2015 E. 3.2; 9C_399/2013 vom 30. November 2013 E. 3.1.1-3.1.3 und 9C_68/2011 vom 16. Mai 2011 E. 4.2 die Rechtskraft der Rentenaufhebung als fristauslösendes Moment betrachtete. Anders als in diesen Fällen geht es hier aber nicht um eine Rückforderung infolge einer Rentenaufhebung: Die hier interessierenden Rentenbetreffnisse beruhten auf einer rückwirkenden und nachträglich befristeten Rentenzusprache, die indessen bis heute nicht rechtskräftig geworden ist. Auch aus dem Hinweis des kantonalen Gerichts auf das Urteil 8C_316/2014 vom 26. August 2014 lässt sich für den konkreten Fall nichts ableiten: Die dortige Rückforderung ergab sich erst daraus, dass das kantonale Versicherungsgericht im Beschwerdeverfahren eine reformatio in peius (vgl. <ref-law>) zu Lasten der Versicherten vornahm.
Somit begann die Verwirkungsfrist in concreto zu laufen, als die IV-Stelle keine weiteren Abklärungen mehr zu treffen hatte (vgl. E. 5.3 Abs. 2). Das war spätestens nach Ablauf der Frist (bis 12. März 2013), welche die IV-Stelle dem Versicherten gesetzt hatte, um substanziierte Einwendungen gegen den Vorbescheid vom 14. Januar 2013 vorzubringen, zumal die Frist unbenutzt ablief. Die Rückforderung, die erstmals mit der Verfügung vom 20. Mai 2014 geltend gemacht wurde, war somit verspätet. In diesem Punkt ist die Beschwerde begründet.
6.
Die Parteien haben die Kosten entsprechend dem Ausgang des Verfahrens zu tragen (<ref-law>). Die Beschwerdeführerin hat Anspruch auf eine reduzierte Parteientschädigung (Art. 68 Abs. 1 und 2 BGG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird teilweise gutgeheissen. Der Entscheid des Versicherungsgerichts des Kantons Solothurn vom 24. August 2015 wird insoweit abgeändert, als die Beschwerdeführerin keine Rückerstattung zu leisten hat und die Rückforderungsverfügung der IV-Stelle des Kantons Solothurn vom 20. Mai 2014 betreffend Leistungen von April 2010 bis Oktober 2011 aufgehoben wird. Im Übrigen wird die Beschwerde abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.
Die Gerichtskosten von insgesamt Fr. 800.- werden der Beschwerdeführerin und der Beschwerdegegnerin je zu Fr. 400.- auferlegt.
3.
Die Beschwerdegegnerin hat die Beschwerdeführerin für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 1'400.- zu entschädigen.
4.
Die Sache wird zur Neuverlegung der Kosten und der Parteientschädigung des vorangegangenen Verfahrens an das Versicherungsgericht des Kantons Solothurn zurückgewiesen.
5.
Dieses Urteil wird den Parteien, dem Versicherungsgericht des Kantons Solothurn und dem Bundesamt für Sozialversicherungen schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 29. April 2016
Im Namen der II. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Glanzmann
Die Gerichtsschreiberin: Dormann