Sachverhalt:
A.
A._ (geb. 1931) beging am 25. April 2013 mit seinem Personenwagen eine (schwere) Widerhandlung gegen das SVG. Das Strassenverkehrs- und Schifffahrtsamt des Kantons St. Gallen entzog ihm daraufhin vorsorglich den Führerausweis und ordnete eine verkehrsmedizinische Untersuchung an. Mit Bericht vom 14. August 2013 teilte Dr. med. B._ dem Strassenverkehrs- und Schifffahrtsamt mit, die Fahreignung von A._ sei insbesondere aufgrund der festgestellten kognitiven Einschränkung sowie eines Parkinsonsyndroms nicht mehr gegeben. Infolgedessen wurde A._ der Führerausweis auf unbestimmte Zeit entzogen und es wurden eine Sperrfrist von drei Monaten sowie Bedingungen für die Wiedererlangung des Führerausweises festgelegt.
B.
A._ liess sich am 30. Dezember 2013 in der Klinik für Neurologie des Kantonsspitals St. Gallen untersuchen, wobei keine Hinweise auf eine Parkinsonerkrankung gefunden wurden. Zudem ergab eine am 9. Juli 2014 durchgeführte verkehrspsychologische Begutachtung eine positive Beurteilung seiner Fahreignung.
C.
Mit Eingabe vom 29. Juli 2015 reichte A._ bei der Staatsanwaltschaft, Untersuchungsamt St. Gallen, eine Strafanzeige gegen Dr. med. B._ "wegen falschem Arztzeugnis" ein. Er brachte vor, aufgrund der durch ihn veranlassten nachträglichen Untersuchungen seien die Diagnosen sowie die gestützt darauf erfolgte negative Beurteilung seiner Fahreignung im ärztlichen Bericht vom 14. August 2013 erwiesenermassen falsch.
Das Untersuchungsamt übermittelte die Strafanzeige der Anklagekammer zur Durchführung eines Ermächtigungsverfahrens. Dr. med. B._ liess sich am 12. August 2015 vernehmen und machte im Wesentlichen geltend, er habe A._ gründlich und sorgfältig untersucht sowie anerkannte und standardisierte Tests zur Prüfung des Gedächtnisses und der Reaktionsfähigkeit durchgeführt. Er halte an seiner Schlussfolgerung fest, dass die Fahreignung nicht mehr gegeben sei.
Die Anklagekammer erteilte mit Entscheid vom 15. September 2015 keine Ermächtigung zur Eröffnung eines Strafverfahrens.
D.
Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten vom 6. November 2015 gelangt A._ an das Bundesgericht und beantragt, der Entscheid der Anklagekammer sei aufzuheben und die Ermächtigung zur Eröffnung eines Strafverfahrens gegen Dr. med. B._ sei zu erteilen. Eventualiter sei der Entscheid der Anklagekammer aufzuheben, soweit er die Ermächtigung zur Eröffnung eines Strafverfahrens wegen Übertretungen betreffe.
Dr. med. B._ (Beschwerdegegner) schliesst auf Abweisung der Beschwerde. Die Staatsanwaltschaft hat sich vernehmen lassen, ohne einen förmlichen Antrag zu stellen. Die Anklagekammer verzichtet auf eine Stellungnahme. Der Beschwerdeführer hält in der Replik an seinen Anträgen fest.

Erwägungen:
1.
Gegen den angefochtenen Entscheid über die Verweigerung der Ermächtigung zur Strafuntersuchung steht die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten nach <ref-law> offen (<ref-ruling> E. 1.3.1 S. 272). Der Beschwerdegegner gehört nicht den obersten kantonalen Vollziehungs- und Gerichtsbehörden an, weshalb der Ausschlussgrund nach <ref-law> nicht greift (<ref-ruling> E. 1.3.2 S. 272 f. mit Hinweis). Der Beschwerdeführer, der am vorinstanzlichen Verfahren teilgenommen hat und dessen Strafanzeige nicht weiter behandelt wird, ist nach <ref-law> beschwerdeberechtigt. Auf die Beschwerde ist vorbehaltlich zulässiger und genügend begründeter Rügen einzutreten.
2.
2.1. Nach <ref-law> sind die Strafbehörden verpflichtet, im Rahmen ihrer Zuständigkeit ein Verfahren einzuleiten und durchzuführen, wenn ihnen Straftaten oder auf Straftaten hinweisende Verdachtsgründe bekannt werden. Gemäss <ref-law> können die Kantone allerdings vorsehen, dass die Strafverfolgung der Mitglieder ihrer Vollziehungs- und Gerichtsbehörden wegen im Amt begangener Verbrechen oder Vergehen von der Ermächtigung einer nicht richterlichen oder richterlichen Behörde abhängt. Diese Möglichkeit steht den Kantonen für sämtliche Mitglieder ihrer Vollziehungs- und Gerichtsbehörden offen (<ref-ruling> E. 2.1 S. 275).
2.2. Der Kanton St. Gallen hat von seiner gesetzlichen Kompetenz Gebrauch gemacht und ein Ermächtigungsverfahren eingeführt (Art. 17 Abs. 2 lit. b des Einführungsgesetzes des Kantons St. Gallen vom 3. August 2010 zur Schweizerischen Straf- und Jugendstrafprozessordnung [EG-StPO]; sGS 962.1). Der hier angezeigte Beschwerdegegner fällt in den Anwendungsbereich des Ermächtigungserfordernisses.
2.3. Im Ermächtigungsverfahren dürfen - ausser bei obersten Vollziehungs- und Gerichtsbehörden - nur strafrechtliche Gesichtspunkte berücksichtigt werden (<ref-ruling> E. 2.4 S. 277 f.). Das Ermächtigungserfordernis dient namentlich dem Zweck, Behördenmitglieder und Beamte vor mutwilliger Strafverfolgung zu schützen und damit das reibungslose Funktionieren staatlicher Organe sicherzustellen. Ein Strafverfahren soll daher erst durchgeführt werden können, wenn die Anklagekammer vorher ihre Zustimmung dazu erteilt hat. Gestützt darauf kann die Staatsanwaltschaft dann die Untersuchung eröffnen. Der förmliche Entscheid über die Eröffnung oder die Nichtanhandnahme obliegt kraft ausdrücklicher bundesrechtlicher Regelung (Art. 309 und 310 StPO) in jedem Fall der Staatsanwaltschaft (<ref-ruling> E. 2.3 S. 277).
2.4. Nach der Rechtsprechung ist für die Erteilung der Ermächtigung ein Mindestmass an Hinweisen auf strafrechtlich relevantes Verhalten zu verlangen (Urteil 1C_453/2015 vom 23. Oktober 2015 E. 2.3 mit Hinweis). Dabei müssen eine Kompetenzüberschreitung oder eine gemessen an den Amtspflichten missbräuchliche Vorgehensweise oder ein sonstiges Verhalten, das strafrechtliche Konsequenzen zu zeitigen vermag, in minimaler Weise glaubhaft erscheinen und hinreichende Anhaltspunkte für eine strafbare Handlung vorliegen (vgl. Urteil 1C_97/2015 vom 1. September 2015 E. 2.2 mit Hinweis).
3.
Nachfolgend ist demnach zu prüfen, ob genügend minimale Hinweise bestehen, dass das Verhalten, welches der Beschwerdeführer dem Beschwerdegegner vorwirft, strafbar sein könnte. Nicht in Frage gestellt wird dabei, dass es sich beim Beschwerdegegner um einen Beamten im Sinne von <ref-law> handelt (vgl. <ref-ruling> E. 3.3 S. 201 f.).
3.1. Der Beschwerdeführer bringt vor, es bestünde der erhebliche Verdacht, dass sich der Beschwerdegegner aufgrund seiner Fehldiagnosen der Urkundenfälschung im Amt nach <ref-law> schuldig gemacht habe. Dieser sei als Amtsarzt mit hoheitlichen Befugnissen betraut worden und habe den ärztlichen Bericht im Amt verfasst. Dieses Arztzeugnis sei als Urkunde zu qualifizieren, da es dem Zweck diene, rechtserhebliche Tatsachen zu beweisen und dazu auch geeignet sei. Da der Beschwerdegegner wahrheitswidrig kognitive Defizite und ein Parkinsonsyndrom attestiert habe, liege eine Falschbeurkundung vor, der, weil sie eine medizinische Fachfrage betreffe, erhöhte Glaubwürdigkeit zukomme. Der Beschwerdegegner habe dabei vorsätzlich gehandelt, weil er unwahre rechtserhebliche Tatsachen verurkundet habe. Falls das Vorliegen von Vorsatz verneint würde, wäre dem Beschwerdegegner - nach Auffassung des Beschwerdeführers - jedenfalls Fahrlässigkeit vorzuwerfen, da er die Parkinsondiagnose nicht mittels Tests überprüft habe, sondern diese vom Hausarzt übernommen und auf das eingenommene Parkinson-Medikament abgestellt habe. Ausserdem habe der Beschwerdegegner es unterlassen, die Diagnosen mit ihm zu besprechen und die Tests hätten gezeigt, dass seine kognitiven Fähigkeiten im Normbereich lägen.
3.2. Gemäss <ref-law> werden Beamte oder Personen öffentlichen Glaubens, die vorsätzlich eine Urkunde fälschen oder verfälschen oder die echte Unterschrift oder das echte Handzeichen eines andern zur Herstellung einer unechten Urkunde benützen (Abs. 1), oder die vorsätzlich eine rechtlich erhebliche Tatsache unrichtig beurkunden, namentlich eine falsche Unterschrift oder ein falsches Handzeichen oder eine unrichtige Abschrift beglaubigen (Abs. 2), wegen Urkundenfälschung im Amt mit Freiheitsstrafe bis zu fünf Jahren oder Geldstrafe bestraft. Handelt der Täter fahrlässig, so ist die Strafe Busse (<ref-law>).
Bei der Urkundenfälschung handelt es sich um ein abstraktes Gefährdungsdelikt. Geschütztes Rechtsgut ist das besondere Vertrauen, das im Rechtsverkehr einer Urkunde als Beweismittel entgegengebracht wird (<ref-ruling> E. 3.2 S. 58). Die Tathandlungen gemäss <ref-law> entsprechen der Urkundenfälschung im engeren Sinn (Abs. 1) und der Falschbeurkundung (Abs. 2) gemäss <ref-law> (vgl. <ref-ruling> E. 6b S. 290 f.). Die Urkundenfälschung im engeren Sinn erfasst das Herstellen einer unechten Urkunde, deren wirklicher Aussteller mit dem aus ihr ersichtlichen Urheber nicht identisch ist. Demgegenüber betrifft die Falschbeurkundung die Errichtung einer echten, aber unwahren Urkunde, bei der also der wirkliche und der in der Urkunde enthaltene Sachverhalt nicht übereinstimmen. Die Falschbeurkundung erfordert eine qualifizierte schriftliche Lüge. Eine solche wird nach der bundesgerichtlichen Rechtsprechung angenommen, wenn der Urkunde eine erhöhte Glaubwürdigkeit zukommt und der Adressat ihr daher ein besonderes Vertrauen entgegenbringt (<ref-ruling> E. 8.1 S. 14 f.; <ref-ruling> E. 2.1 S. 133 f.).
3.3. In subjektiver Hinsicht verlangt die Urkundenfälschung im Amt - anders als die Urkundenfälschung gemäss <ref-law> - keine Schädigungs- oder Vorteilsabsicht. Es genügt der Vorsatz hinsichtlich des tatbestandsmässigen Verhaltens. Doch muss der Täter mit dem Willen zur Täuschung im Rechtsverkehr handeln. Die Täuschungsabsicht ergibt sich aus dem Willen des Täters, die Urkunden als echt zu verwenden (<ref-ruling>, nicht publizierte E. 9.4). Dass eine Person tatsächlich getäuscht wird, ist nicht erforderlich (<ref-ruling> E. 4 S. 223 mit Hinweis). Der Täter muss eine Täuschung im Rechtsverkehr bezwecken oder zumindest in Kauf nehmen (<ref-ruling> E. 3a S. 182). Das Delikt ist bereits mit dem Inverkehrbringen der unechten Urkunden vollendet (vgl. <ref-ruling> E. 4 S. 82).
3.4. Zwar ist im hier zu beurteilenden Fall mit der Vorinstanz davon auszugehen, dass die vom Beschwerdeführer veranlassten neurologischen und verkehrspsychologischen Folgeuntersuchungen grundsätzlich Anhaltspunkte dafür liefern, dass der Gesundheitszustand des Beschwerdeführers und die daraus zu ziehenden Schlussfolgerungen für die Teilnahme am Strassenverkehr allenfalls anders als im Arztbericht vom 14. August 2013 beurteilt werden können. Indes sind keine Hinweise ersichtlich, die beim Beschwerdegegner auf ein vorsätzliches Handeln schliessen liessen. Insbesondere kann ihm nicht vorgeworfen werden, bewusst rechtlich erhebliche Tatsachen unwahr verurkundet zu haben, von denen er wusste, dass sie zum Beweis geeignet oder bestimmt sind (vgl. <ref-ruling> E. 3a S. 182). Vielmehr ist er der Ansicht, den Gesundheitszustand des Beschwerdeführers sorgfältig abgeklärt und im Bericht korrekt wiedergegeben zu haben. Selbst wenn angenommen werden müsste, er hätte sich hinsichtlich des Wahrheitsgehalts seiner Diagnosen geirrt, wäre ihm kein Vorsatz vorzuwerfen (vgl. MARKUS BOOG, in: Basler Kommentar zum StGB II, 3. Aufl. 2013, N. 18 zu <ref-law>). Ausserdem liegt beim Beschwerdegegner keine Täuschungsabsicht vor. Insoweit hat die Vorinstanz kein Bundesrecht verletzt, indem sie die Ermächtigung zur Strafverfolgung verweigert hat.
3.5. Fraglich ist jedoch, ob die Anklagekammer auch die fahrlässige Urkundenfälschung im Amt nach <ref-law> von der Ermächtigungserteilung abhängig machen durfte. Diesbezüglich wendet der Beschwerdeführer zu Recht ein, dass es sich hierbei lediglich um eine Übertretung handelt, die keiner Ermächtigung bedarf. Nach dem klaren Wortlaut von <ref-law> können die Kantone die Strafverfolgung der Mitglieder ihrer Vollziehungs- und Gerichtsbehörden wegen im Amt begangener Verbrechen und Vergehen von der Ermächtigung abhängig machen. Während das Bundesgericht in <ref-ruling> (noch unter Art. 366 Abs. 2 lit. b aStGB) offenliess, ob eine Ermächtigung zur Strafverfolgung bei Übertretungen bundesrechtskonform sei (E. 1a S. 81), sind vorliegend keine sachlichen Gründe dafür ersichtlich, die Begriffe des Verbrechens und Vergehens anders als im Sinne von <ref-law> zu verstehen. Insoweit fallen Übertretungen nach <ref-law> nicht unter den Ermächtigungsvorbehalt.
Auch in der Lehre wird grösstenteils die Auffassung vertreten, dass eine Ausdehnung des Strafverfolgungsprivilegs auf Übertretungen gegen <ref-law> verstiesse (vgl. RIEDO/FIOLKA, in: Basler Kommentar StPO, 2. Aufl. 2014, N. 89 zu <ref-law>; CORNELIA HÜRLIMANN, Die Eröffnung einer Strafuntersuchung im ordentlichen Verfahren gegen Erwachsene im Kanton Zürich, Diss. 2006, S. 115 Fn. 648; NICCOLÒ RASELLI, Die Ermächtigung zur Strafverfolgung gegen Mitglieder der obersten kantonalen Behörden, in: Aktuelle Probleme der Kriminalitätsbekämpfung, Festschrift 1992, S. 142 f.; a. M. ROBERT ROTH, Commentaire romand CPP, 2011, N. 28 zu <ref-law>). Ausser dem Kanton St. Gallen, der mit Ausnahme von Widerhandlungen gegen das SVG generell die Verfolgung "strafbarer Handlungen" von Behördenmitgliedern von einer Ermächtigung abhängig macht (vgl. Art. 17 Abs. 2 lit. b EG-StPO), beschränken andere Kantone dieses Erfordernis dem Wortlaut zufolge auf Verbrechen und Vergehen (vgl. § 148 des Gesetzes über die Gerichts- und Behördenorganisation im Zivil- und Strafprozess des Kantons Zürich [GOG; LS 211.1]; Art. 10 Abs. 1 Loi d'application du code pénal suisse et d'autres lois fédérales en matière pénale de l'Etat de Genève [LaCP; RS/GE E 4 10]; Art. 4 des Einführungsgesetzes zur Schweizerischen Strafprozessordnung des Kantons Appenzell I. Rh. [EG StPO; GS 312.000]). Insoweit kommt zum Ausdruck, dass mit der Eingrenzung des Ermächtigungsvorbehalts auf Verbrechen und Vergehen ausreichend Schutz vor ungerechtfertigter Strafverfolgung bzw. für das reibungslose Funktionieren der Behörden geboten wird (vgl. Botschaft zur Vereinheitlichung des Strafprozessrechts, BBl 2006 1085, S. 1131).
Vor diesem Hintergrund hat die Vorinstanz gegen Bundesrecht verstossen, indem sie das Ermächtigungsverfahren auf eine Übertretung ausgedehnt und hierfür keine Erlaubnis zur Strafverfolgung erteilt hat. Der angefochtene Entscheid ist somit aufzuheben und die Strafanzeige wegen fahrlässiger Urkundenfälschung im Amt nach <ref-law> ist an die hierfür zuständige kantonale Behörde zu übermitteln. Dieser obliegt es über die Eröffnung einer Untersuchung oder die Nichtanhandnahme zu entscheiden (vgl. E. 2.3 hiervor).
4.
Nach dem Gesagten ist die Beschwerde teilweise gutzuheissen und der angefochtene Entscheid insoweit aufzuheben, als er eine Übertretung vom Ermächtigungserfordernis abhängig macht. Im Übrigen ist die Beschwerde abzuweisen.
Bei diesem Verfahrensausgang würden der Beschwerdeführer und Beschwerdegegner je zur Hälfte kostenpflichtig (<ref-law>) und der Beschwerdegegner hätte dem anwaltlich vertretenen Beschwerdeführer eine Parteientschädigung auszurichten (<ref-law>; <ref-ruling> E. 4 S. 446). Unnötige Kosten hat indessen zu bezahlen, wer sie verursacht (Art. 66 Abs. 3 und Art. 68 Abs. 4 BGG). Vorliegend hat die Anklagekammer des Kantons St. Gallen in bundesrechtswidriger Weise das Ermächtigungserfordernis auf eine Übertretung ausgedehnt. Es ist deshalb gerechtfertigt, den Kanton St. Gallen zu verpflichten, dem Beschwerdeführer für das bundesgerichtliche Verfahren eine angemessene Entschädigung auszurichten. Aus demselben Grund ist ausserdem davon abzusehen, dem Beschwerdegegner Gerichtskosten aufzuerlegen.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird teilweise gutgeheissen und der angefochtene Entscheid der Anklagekammer vom 15. September 2015 wird insoweit aufgehoben, als er eine Übertretung vom Ermächtigungserfordernis abhängig macht. Die Strafanzeige wegen fahrlässiger Urkundenfälschung im Amt nach <ref-law> ist an die hierfür zuständige kantonale Behörde zu übermitteln. Im Übrigen wird die Beschwerde abgewiesen.
2.
Dem Beschwerdeführer werden für das bundesgerichtliche Verfahren reduzierte Gerichtskosten von Fr. 1'000.-- auferlegt.
3.
Der Kanton St. Gallen hat den Beschwerdeführer für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 1'000.-- zu entschädigen.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien, der Staatsanwaltschaft, Untersuchungsamt St. Gallen, und der Anklagekammer des Kantons St. Gallen schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 10. März 2016
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Fonjallaz
Die Gerichtsschreiberin: Pedretti