Sachverhalt:
A.
A.a. C._ (geb. 2010) ist die Tochter der unverheirateten Eltern A._ und B._. A._ war die alleinige Inhaberin des elterlichen Sorgerechts.
A.b. Mit Entscheid der damaligen Vormundschaftsbehörde Basel-Stadt vom 27. April 2012 wurde eine Besuchsrechtsbeistandschaft errichtet.
A.c. Nach Eingang einer Gefährdungsmeldung beauftragte die Kindes- und Erwachsenenschutzbehörde des Kantons Basel-Stadt (KESB) am 1. Juli 2014 das Universitäts-Kinderspital beider Basel (UKBB), den somatischen und neuropädiatrischen Gesundheitszustand der Tochter abzuklären und gegebenenfalls Empfehlungen für eine Behandlung abzugeben. Der Mutter wurde die Prüfung einer Obhutsaufhebung angekündigt für den Fall, dass sie einen für ihre Tochter vorgesehenen Termin für die angeordneten ärztlichen Abklärungen nicht einhalte. Die von der Beschwerdeführerin dagegen ergriffene Beschwerde wies das Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt mit Urteil vom 18. Dezember 2014 ab, soweit es darauf eintrat. Die Durchführung der Abklärungen scheiterte.
A.d. Wegen Sorgen um die Gesundheit seiner Tochter ersuchte der Vater die KESB mit Gesuch vom 28. Januar 2015 um Errichtung der gemeinsamen elterlichen Sorge, eventuell um Zuteilung des alleinigen Sorgerechts an ihn.
A.e. Am 16. Juni 2015 wandte sich die Kinderschutzgruppe des UKBB mit einer Gefährdungsmeldung an die KESB. Mit Entscheid vom 31. August 2015 übertrug die KESB des Kantons Basel-Stadt, die bisher von der Mutter allein ausgeübte elterliche Sorge auf den Vater (Dispositiv-Ziff. 1) und bestimmte, dass das Kind im Haushalt des Vaters wohne (Dispositiv-Ziff. 2). Darüber hinaus behaftete die KESB den Vater bei seiner Bereitschaft, eine somatische, neuropädiatrische und entwicklungspsychologische Abklärung der Tochter im UKBB in Auftrag zu geben (Dispositiv-Ziff. 3).
B.
B.a. Auf Beschwerde der Mutter hin hob das Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt als Verwaltungsgericht nach Durchführung einer mündlichen Verhandlung mit Urteil vom 22. Juni 2016 den Entscheid der KESB vom 31. August 2015 auf und wies die Angelegenheit zu neuer Entscheidung über die Zuteilung der elterlichen Sorge, den Aufenthaltsort des Kindes, die Betreuungsanteile der Eltern, die Kontaktregelung sowie weitergehende Unterstützungsmassnahmen nach Vorliegen der Ergebnisse von zusätzlichen Abklärungen an die KESB zurück (Dispositiv-Ziff. 1). Ausserdem entzog es der Mutter das Aufenthaltsbestimmungsrecht über das Kind und ordnete dessen Unterbringung im Durchgangs- und Beobachtungsheim "D._" bis zum neuen Entscheid der KESB zur Durchführung der erforderlichen Abklärungen an (Dispositiv-Ziff. 2). Ferner beauftragte das Verwaltungsgericht das UKBB, eine somatische, neuropädiatrische und entwicklungspsychologische Abklärung der Tochter durchzuführen, der KESB darüber Bericht zu erstatten und gegebenenfalls Empfehlungen zur Behandlung zu geben (Dispositiv-Ziff. 3a). Schliesslich beauftragte es die Fachstelle Familienrecht der Kinder- und Jugendpsychiatrischen Klinik des Kantons Basel-Stadt (KJPK), ein Gutachten bezüglich Entwicklungsstand und Bedürfnisse der Tochter und Erziehungsfähigkeit ihrer Eltern zu erstellen und Empfehlungen betreffend Zuteilungen der elterlichen Sorge, Aufenthaltsort des Kindes, Betreuungsanteile der Eltern, Kontaktregelung sowie weitergehende Unterstützungsmassnahmen zu erstellen (Dispositiv-Ziff. 3b). Das Verwaltungsgericht erhob keine Verfahrenskosten (Dispositiv-Ziff. 4), schlug die Parteikosten wett (Dispositiv-Ziff. 5) und beauftragte den Psycho-Sozialen Dienst der Kantonspolizei Basel-Stadt mit dem Vollzug der mit Dispositiv-Ziff. 2 angeordneten Unterbringung der Tochter im Durchgangs- und Beobachtungsheim "D._" (Dispositiv-Ziff. 6).
B.b. Das Kind wurde am 23. Juni 2016 im Durchgangs- und Beobachtungsheim "D._" untergebracht.
B.c. Nachdem die KJPK dem Gericht mit Schreiben vom 28. Juni 2016 mitgeteilt hatte, sie könne den Auftrag aus Gründen der Vorbefassung und Befangenheit nicht annehmen, beauftragte das Verwaltungsgericht mit Urteil vom 20. Juli 2016 in Abänderung der Ziff. 3b des Dispositivs des Urteils vom 22. Juni 2016 Dr. E._ von der Universitätsklinik Kinder- und Jugendpsychiatrie und Psychotherapie Bern mit den besagten Abklärungen.
C.
Mit Eingaben je vom 14. September 2016 gelangt A._ (Beschwerdeführerin) an das Bundesgericht, dem es beantragt, die Ziffern 2, 3 und 6 des Urteils des Verwaltungsgerichtes vom 22. Juni 2016 und das Urteil vom 20. Juli 2016 aufzuheben. Ferner sei die Tochter neurologisch, neuropsychologisch und allergologisch bei von Dr. F._, Kinderarzt FMH, U._, vorzuschlagenden Ärzten - nicht jedoch bei Ärzten des UKBB - untersuchen zu lassen, und die allergologische Untersuchung sei an einem Universitätsspital durchzuführen. Eventualiter seien die Ziffern 2 und 3 des Urteils vom 22. Juni 2016 aufzuheben und zur Neubeurteilung an die Vorinstanz zurückzuweisen. Ausserdem ersucht die Beschwerdeführerin um Vereinigung der beiden Verfahren sowie um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege und Verbeiständung.
Mit Verfügung vom 5. Oktober 2016 hat das Präsident der II. zivilrechtlichen Abteilung das Gesuch um aufschiebende Wirkung abgewiesen.
Das Bundesgericht hat die kantonalen Akten, zur Hauptsache aber keine Vernehmlassungen eingeholt.

Erwägungen:
1.
Das Urteil vom 20. Juli 2016 (5A_672/2016) hat insofern keine eigenständige Bedeutung, als es einen bereits mit Urteil vom 22. Juni 2016 (5A_671/2016) erteilten Aufklärungsauftrag einer anderen Fachstelle überträgt. Im Übrigen betreffen die beiden Beschwerden die gleichen Parteien, den gleichen Sachverhalt und insgesamt die gleichen Rechtsfragen. Es rechtfertigt sich deshalb, antragsgemäss die Beschwerdeverfahren 5A_671/2016 und 5A_672/2016 in sinngemässer Anwendung von <ref-law> i.V.m. <ref-law> zu vereinigen.
2.
Das Bundesgericht prüft von Amtes wegen und mit freier Kognition, ob ein Rechtsmittel zulässig ist (<ref-ruling> E. 2.1).
2.1. Die Beschwerde richtet sich gegen einen Entscheid einer letzten kantonalen Instanz (<ref-law>), mit dem ein erstinstanzlicher Entscheid aufgehoben und die Sache zu neuem Entscheid an diese zurückgewiesen wurde, das Kind bei gleichzeitiger Aufhebung des Aufenthaltsbestimmungsrechts für die Dauer des Verfahrens fremdplatziert wurde und drei Beweisverfügungen ergangen sind. Weil das Verfahren vor der ersten Instanz damit nicht beendet wird (<ref-ruling> E. 1.1), liegt kein End-, sondern ein Zwischenentscheid vor (<ref-ruling> E. 1.2; <ref-ruling> E. 1.2; <ref-ruling> E. 1.1).
2.2. Gegen Zwischenentscheide, die weder die Zuständigkeit noch den Ausstand betreffen (<ref-law>), ist die Beschwerde an das Bundesgericht gemäss <ref-law> zulässig, wenn sie einen nicht wieder gutzumachenden Nachteil bewirken können (Bst. a) oder wenn die Gutheissung der Beschwerde sofort einen Endentscheid herbeiführen und damit einen bedeutenden Aufwand an Zeit oder Kosten für ein weitläufiges Beweisverfahren ersparen würde (Bst. b). Der nicht wieder gutzumachende Nachteil im Sinne von Art. 93 Abs. 1 Bst. a BGG muss rechtlicher Natur sein. Das setzt voraus, dass er sich auch mit einem späteren günstigen Endentscheid nicht oder nicht gänzlich beseitigen lässt. Die blosse Möglichkeit eines nicht wieder gutzumachenden Nachteils rechtlicher Natur genügt. Dagegen reichen rein tatsächliche Nachteile wie die Verfahrensverlängerung oder -verteuerung nicht aus (<ref-ruling> E. 6; <ref-ruling> E. 1.2.1, je mit Hinweisen). Nach der Rechtsprechung obliegt es der Beschwerdeführerin darzutun, dass eine dieser beiden Voraussetzungen erfüllt ist, es sei denn, deren Vorliegen springe geradezu in die Augen (<ref-ruling> E. 1.1; <ref-ruling> E. 1.2).
Die Beschwerdeführerin übersieht den Charakter der angefochtenen Entscheide und legt nicht dar, inwiefern eine der beiden Voraussetzungen für die Anfechtbarkeit der Zwischenentscheide erfüllt sein soll. Immerhin scheint der mit der Aufhebung des Aufenthaltsbestimmungsrechts und der Unterbringung des Kindes verbundene drohende, nicht wieder gutzumachende Nachteil geradezu in die Augen zu springen (Urteil 5A_60/2016 vom 25. April 2016 E. 1.1), so dass in diesem Punkt auf die Beschwerden einzutreten ist (dazu E. 6 unten).
2.3. Von Offensichtlichkeit des drohenden, nicht wieder gutzumachenden Nachteils kann hingegen bei den anderen Themen der Beschwerden (Rückweisungsentscheid als solcher, Gutachteraufträge) keine Rede sein, so dass insoweit darauf nicht einzutreten ist.
2.4. Bei Zwischenentscheiden folgt der Rechtsweg jenem der Hauptsache (BGE <ref-ruling> E. 1.1; <ref-ruling> E. 2.2). Als solche gilt hier die Zuteilung der elterlichen Sorge, der Regelung der Betreuungsanteile usw., d.h. nicht vermögensrechtliche Angelegenheiten des Kindesschutzes im Sinne von Art. 72 Abs. 2 Bst. b Ziff. 6 BGG. Der Beschwerdeführerin steht deshalb die Beschwerde in Zivilsachen offen (<ref-law>).
2.5. Die Beschwerdeführerin ist zur Beschwerde legitimiert (<ref-law>) und die Beschwerdefristen sind eingehalten (<ref-law>).
3.
Die Beschwerdeführerin rügt, drei der fünf Richter des Spruchkörpers des Verwaltungsgerichts, der den angefochtenen Entscheid gefällt hat, seien befangen gewesen.
3.1. Selbst wenn hier weder ein Endentscheid noch ein Zwischenentscheid im Sinne von <ref-law> vorliegt, ist auf diese Rüge einzutreten; denn der aus <ref-law> fliessende Anspruch einer Partei darauf, dass ihre Angelegenheit von einem unparteiischen, unvoreingenommenen und unbefangenen Richter ohne Einwirken sachfremder Umstände entschieden wird, gilt auch für die Fällung von Zwischenentscheiden im Sinne von <ref-law>, insbesondere wenn die Voraussetzungen für deren Anfechtung - wie hier jedenfalls teilweise (E. 2.2 oben) - erfüllt sind.
3.2.
3.2.1. Gegenüber Frau Dr. G._ macht die Beschwerdeführerin geltend, erst kürzlich erfahren zu haben, dass die Richterin Mitglied des Verwaltungsrates des mit der Erstellung eines Gutachtens beauftragten UKKB sei.
3.2.2. Nach der bundesgerichtlichen Rechtsprechung wird gestützt auf den auch für die Privaten geltenden Grundsatz von Treu und Glauben und das Verbot des Rechtsmissbrauchs (<ref-law>) verlangt, dass ein echter oder vermeintlicher Organmangel so früh wie möglich, d.h. nach dessen Kenntnis bei erster Gelegenheit, geltend gemacht wird. Es verstösst gegen Treu und Glauben, Einwände dieser Art erst im Rechtsmittelverfahren vorzubringen, wenn der Mangel schon vorher hätte festgestellt und gerügt werden können. Wer den Mangel nicht unverzüglich vorbringt, verwirkt den Anspruch auf spätere Anrufung der vermeintlich verletzten Ausstandsbestimmungen (<ref-ruling> E. 4.3.1; <ref-ruling> E. 4.3).
3.2.3. Die Behauptung, von der Eigenschaft von Dr. G._ als Mitglied des Verwaltungsrates des UKBB "erst kürzlich" erfahren zu haben, ist in zeitlicher Hinsicht unbestimmt, durch nichts belegt und insgesamt unglaubwürdig, zumal die Beschwerdeführerin seit Geburt der Tochter an mit dem UKBB zu tun gehabt hat. Ausserdem war der Beschwerdeführerin die Zusammensetzung des Spruchkörpers spätestens im Zeitpunkt der Eröffnung der Verhandlung bekannt. Wie sich aus dem Verhandlungsprotokoll (kant. act. 29) ergibt, hat sie keine Einwendungen gegenüber Dr. G._ erhoben, weder zu Beginn der Verhandlung, noch im Rahmen des Plädoyers oder anlässlich der mündlichen Urteilseröffnung vom 23. Juni 2016. Schliesslich ist zu berücksichtigen, dass das UKBB als Institut des öffentlichen Rechts im Handelsregister des Kantons Basel-Stadt eingetragen ist. Das Handelsregister mit Einschluss der Anmeldungen und der Belege ist öffentlich (<ref-law>). Gegenüber Dritten wird eine Eintragung im Handelsregister an dem nächsten Werktag wirksam, der auf den aufgedruckten Ausgabetag derjenigen Nummer des Schweizerischen Handelsamtsblattes (SHAB) folgt, in der die Eintragung veröffentlicht ist (<ref-law>). Die Einwendung, dass jemand eine Dritten gegenüber wirksam gewordene Eintragung nicht gekannt habe, ist ausgeschlossen (<ref-law>). Der erstmals vor Bundesgericht erhobene Einwand der Befangenheit erweist sich als treuwidrig und verspätet.
3.3.
3.3.1. Der Beschwerdeführerin erscheint Frau MLaw H._ befangen, weil diese in ihrer früheren Funktion der Kindes- und Erwachsenenschutzbehörde V._ im Nachbarkanton Basel-Landschaft vorgestanden sei.
3.3.2. Die Tatsache, dass MLaw H._ früher einer Kindes- und Erwachsenenschutzbehörde vorstand, begründet für sich allein noch keinen Anschein der Befangenheit. Hiezu bräuchte es weitere Umstände, die auf Voreingenommenheit bzw. Befangenheit schliessen lassen. Davon ist auszugehen, wenn im Einzelfall anhand aller tatsächlichen und verfahrensrechtlichen Umstände Gegebenheiten vorliegen, die geeignet sind, Misstrauen in die Unparteilichkeit des Richters zu erwecken (zum Ganzen <ref-ruling> E. 2.1 mit Hinweisen). Solche Umstände können entweder in einem bestimmten Verhalten des betreffenden Gerichtsperson oder in gewissen äusseren Gegebenheiten funktioneller und organisatorischer Natur begründet sein. Bei der Beurteilung solcher Umstände ist nicht auf das subjektive Empfinden einer Partei abzustellen. Das Misstrauen in die Unvoreingenommenheit muss in objektiver Weise begründet erscheinen.
Derartige Gegebenheiten macht die Beschwerdeführerin nicht geltend. Der Befangenheitsvorwurf gegenüber MLaw H._ ist unbegründet.
3.4.
3.4.1. Schliesslich beanstandet die Beschwerdeführerin die Verhandlungsführung des Vorsitzenden des Spruchkörpers. Er habe die Verhandlung vom 22. Juni 2016 emotional geführt und sei der Beschwerdeführerin in belehrendem, moralisierendem und rüdem Ton begegnet, was ihn auf subjektiver Ebene als befangen erscheinen lasse.
3.4.2. Belege für ihre Behauptungen liefert die Beschwerdeführerin nicht. Anhand des detailliert geführten Verhandlungsprotokolls vom 22. Juni 2016 (kant. act. 29), das von Amtes wegen konsultiert werden kann (<ref-law>), lassen sich die Vorbringen der Beschwerdeführerin freilich nicht substantiieren. Es mag sein, dass sie die Fragen des Vorsitzenden als belehrend, moralisierend oder rüde empfunden hat. Es kann aber auch sein, dass dieses Empfinden auf die besondere Berührtheit der Beschwerdeführerin von der ganzen Angelegenheit zurückzuführen ist, insbesondere weil mit dem erstinstanzlichen Entscheid massiv in ihre elterlichen Rechte eingegriffen wurde, sie sich dagegen zur Wehr setzte und letztlich subjektiv jede Frage, die ihr nicht in die richtige Richtung zu gehen schien, als belehrend oder moralisierend empfunden hat. Zutreffen mag schliesslich, dass die Beschwerdeführerin auf Grund ihrer selbst dargelegten kritischen Einstellung gegenüber der Institution KESB eine besondere Sensibilität gegenüber allen Personen, die mit der KESB in Verbindung stehen, entwickelt hat.
Wie bereits ausgeführt (E. 3.3.2), ist nicht auf das subjektive Empfinden einer Partei abzustellen. Die sich in blossen Behauptungen erschöpfenden Ausführungen der Beschwerdeführerin vermögen den Befangenheitsvorwurf nicht zu substantiieren. Die Rüge erweist sich als unbegründet.
4.
4.1. Die Beschwerdeführerin führt ferner an, der Auftrag, eine somatische, neuropädiatrische und entwicklungspsychologische Abklärung der Tochter durchzuführen (Dispositiv-Ziff. 3a), sei dem UKBB und damit einer befangenen Institution erteilt worden.
4.2.
4.2.1. Selbst wenn hier weder ein Endentscheid noch ein Zwischenentscheid im Sinne von <ref-law> vorliegt, ist auf diese Rüge einzutreten; denn sonst könnte die Beschwerdeführerin den Einwand der Befangenheit der gutachterlichen Institution erst im Rahmen einer Beschwerde gegen den Endentscheid erheben, was dem Zweck von <ref-law>, gerichtsorganisatorische Fragen in jedem Verfahren frühmöglichst zu bereinigen, widersprechen würde (vgl. Urteil 8C_276/2016 vom 23. Juni 2016 E. 1.1.2 mit Hinweisen).
4.2.2. Die Anforderungen an die Unbefangenheit eines Gutachters ergeben sich aus dem Anspruch auf ein faires Verfahren gemäss <ref-law> und Art. 6 Ziff. 1 EMRK und nicht etwa aus <ref-law>. Hinsichtlich der Unparteilichkeit und Unbefangenheit kommt <ref-law> indessen ein mit <ref-law> weitgehend übereinstimmender Gehalt zu (Urteil 9C_257/2016 vom 29. Juni 2016 E. 2, mit Hinweisen).
4.3. Bereits am 1. Juli 2014 hat die KESB das UKBB damit beauftragt, den somatischen und neuropädiatrischen Gesundheitszustand der Tochter abzuklären und gegebenenfalls Empfehlungen für eine Behandlung abzugeben (Sachverhalt A.c). Die Abklärungen konnten indes nicht zu Ende geführt werden. Gestützt auf eine Gefährdungsmeldung des UKBB vom 16. Juni 2015 stellte eine Mitarbeiterin der KESB am 16. Juli 2015 einen Antrag für weitere Abklärungen im UKBB. Dem Entscheid der KESB vom 31. August 2015 lässt sich nicht entnehmen, dass die Beschwerdeführerin eine irgendwie gerartete Befangenheit des UKBB geltend gemacht hätte. Diesbezügliches wird auch nicht behauptet. Gemäss Ziff. 3 des Entscheides der KESB vom 31. August 2015 wurde der Vater auf seiner Bereitschaft behaftet, eine somatische, neuropädiatrische und entwicklungspsychologische Abklärung der Tochter im UKBB in Auftrag zu geben. In ihrer Beschwerde an die Vorinstanz beantragte die Beschwerdeführerin, sie sei auf ihrer Bereitschaft zu behaften, die Tochter neurologisch, neuropsychologisch und allergologisch untersuchen zu lassen, jedoch nicht bei den Ärzten des UKBB (Rechtsbegehren Ziff. 3). Den Einwand gegen das UKBB begründete sie nicht mit Befangenheit des UKBB, sondern mit dem Argument, dass dieses die Befürchtungen der Mutter bezüglich allergischer Reaktionen der Tochter nicht ernst nähme, weshalb die von ihr selbst beantragten allergologischen Untersuchungen nicht vom UKBB vorzunehmen seien. In ihrer Vernehmlassung an die Vorinstanz beantragte die KESB, wie in der Gefährdungsmeldung vorgeschlagen, das Kind beim UKBB somatisch, neuropädiatrisch und entwicklungspsychologisch abklären zu lassen. Die Beschwerdeführerin wandte sich zwar insofern gegen die von der KESB vorgeschlagene medizinische Untersuchung, als diese keine allergologische Untersuchung umfassen sollte, machte aber gegenüber dem UKBB keine Befangenheit geltend (E. 7.6.5 des angefochtenen Urteils, S. 38 oben).
4.4. Wie bereits ausgeführt (E. 3.2.2), verstösst es gegen Treu und Glauben, Befangenheitseinwände erst im Rechtsmittelverfahren vorzubringen, wenn der Mangel schon vorher hätte festgestellt und gerügt werden können, und wer den Mangel nicht unverzüglich vorbringt, den Anspruch auf spätere Anrufung der vermeintlich verletzten Ausstandsbestimmungen verwirkt.
Die von der Beschwerdeführerin vorgetragenen Befangenheitsgründe waren bereits im erstinstanzlichen Verfahren bekannt. Weil sie diese weder im Verfahren vor der KESB noch vor der Vorinstanz vorgetragen hat, ist deren Geltendmachung erst im Verfahren vor Bundesgericht verspätet.
4.5. Unter den hiervor wiedergegebenen Umständen erscheint die Behauptung der Beschwerdeführerin, im vorinstanzlichen Verfahren sei die Frage, welche Institution die medizinische Untersuchung der Tochter durchzuführen habe, nicht behandelt worden, geradezu trölerisch und die in diesem Zusammenhang erhobene Rüge der Verletzung des rechtlichen Gehörs offensichtlich unbegründet.
5.
Die Beschwerdeführerin erachtet auch die mit Urteil vom 20. Juli 2016 mit der Abklärung der Erziehungsfähigkeit der Eltern beauftragte Dr. E._ von der Universitätsklinik Kinder- und Jugendpsychiatrie und Psychotherapie W._ als befangen, weil sie zufolge des Hinweises des vorinstanzlichen Gerichtspräsidenten auf ein mögliches, von ihr in jeder Hinsicht bestrittenes Münchhausen-by-proxy Syndrom falsch instruiert worden sei, der Vorsitzende damit die Untersuchung in eine vollständig falsche Richtung gelenkt habe und der bei den Experten dadurch entstandene Eindruck nicht wieder rückgängig gemacht werden könne.
Aus den in E. 4.2.1 genannten Gründen ist auch auf diese Rüge einzutreten. Sie ist indes unbegründet. Der vorinstanzliche Gerichtspräsident hat keinerlei Vorgaben für die Erstellung des Gutachtens gemacht. Vielmehr hat die Vorinstanz gemäss E. 2.4 des angefochtenen Entscheids die KESB angewiesen, den Gutachterauftrag, welcher als Grundlage für die Sorgerechtsfrage usw. dienen soll, nach deren besonderen Bedürfnisse zu konkretisieren. Damit ist die Fragestellung im jetzigen Zeitpunkt nicht festgelegt. Im Übrigen darf die Behörde (hier: die KESB) ein Fachfragen beantwortendes Gutachten nur beachten, wenn es schlüssig ist. Drängen sich auf Grund der übrigen Beweismittel und der Vorbringen der Parteien ernsthafte Einwände gegen die Schlüssigkeit der gutachterlichen Darlegungen auf und erscheint die Schlüssigkeit eines Gutachtens in wesentlichen Punkten als zweifelhaft, hat das Gericht ergänzende Beweise zur Klärung dieser Zweifel zu erheben. Das Abstellen auf eine nicht schlüssige Expertise bzw. der Verzicht auf die gebotenen zusätzlichen Beweiserhebungen kann gegen das Verbot willkürlicher Beweiswürdigung verstossen (vgl. <ref-ruling> E. 4.3.1; <ref-ruling> E. 3.2). Sollte sich herausstellen, dass die Gutachterin ohne eigene Abklärungen auf die Angaben des vorinstanzlichen Gerichtspräsidenten abstellt, wäre dieses zweifellos nicht schlüssig und als Entscheidgrundlage unbrauchbar.
6.
Zu behandeln bleibt noch die Rüge betreffend den Entzug des Aufenthaltsbestimmungsrechts verbunden mit der Unterbringung der Tochter im Durchgangs- und Beobachtungsheim "D._" bis zum neuen Entscheid der KESB.
6.1. Der Entzug des Aufenthaltsbestimmungsrechts und die Unterbringung des Kindes "D._" ist zeitlich bis zum neuen Entscheid der KESB limitiert (kant. Urteil Dispositiv-Ziff. 2). Damit handelt es sich um eine vorsorgliche Massnahme im Sinne von <ref-law>. Daher kann nur die Verletzung verfassungsmässiger Rechte gerügt werden (dazu <ref-ruling> E. 2.2; <ref-ruling> E. 4.1). Es gilt das strenge Rügeprinzip (<ref-law>). Das bedeutet, dass die rechtsuchende Partei in ihrer Eingabe dartun muss, welche verfassungsmässigen Rechte inwiefern durch den angefochtenen Entscheid verletzt worden sind. Eine Überprüfung von Amtes wegen, wie sie dem Bundesgericht hinsichtlich des Bundesrechts zusteht (<ref-law>), findet nicht statt. Das Bundesgericht untersucht deshalb nicht von sich aus, ob der angefochtene kantonale Entscheid verfassungsmässig ist, sondern prüft nur rechtsgenügend vorgebrachte, klar erhobene und soweit möglich belegte Rügen. Auf rein appellatorische Kritik am angefochtenen Entscheid tritt es nicht ein (<ref-ruling> E. 2.2; <ref-ruling> E. 3.2). Wird die Verletzung des Willkürverbots gerügt, reicht es nicht aus, wenn der Beschwerdeführer die Sach- oder Rechtslage aus seiner Sicht darlegt und den davon abweichenden angefochtenen Entscheid als willkürlich bezeichnet. Vielmehr muss er im Einzelnen darlegen, inwiefern das kantonale Gericht willkürlich entschieden haben soll und der angefochtene Entscheid deshalb an einem qualifizierten und offensichtlichen Mangel leidet (<ref-ruling> E. 2.2). Auch eine Berichtigung oder Ergänzung der Sachverhaltsfeststellungen kommt nur in Frage, wenn die kantonale Instanz verfassungsmässige Rechte verletzt hat (BGE <ref-ruling> E. 4.1), was die rechtsuchende Partei wiederum präzise geltend zu machen hat.
6.2. Soweit die Beschwerdeführerin auf den Seiten 5 bis 36 (Rz 8 bis 57) ihrer Beschwerde den Sachverhalt aus ihrer Sicht darstellt und unter dem Titel "Entwicklungen seit dem Urteil der Vorinstanz" echte Noven vorträgt, bleiben die Ausführungen unbeachtlich (Art. 99 und 105 Abs. 1 BGG).
6.3. Im Zusammenhang mit dem Vorwurf der Verletzung des Willkürverbots bei der Sachverhaltsfeststellung beschränkt sich die Beschwerdeführerin darauf, gewisse tatsächliche Feststellungen der Vorinstanz generell zu bestreiten (Vorwurf der mangelnden Kooperation mit den Behörden; Vorwurf, mit dem Auslandaufenthalt die angeordneten Abklärungen verhindert zu haben; Vorwurf, sie sei nicht in der Lage, die notwendigen Abklärungen in eigener Kompetenz in die Wege zu leiten; es bestehe keine Gefahr, dass sie wieder eine Auslandreise antreten werde) und ihr günstig erscheinende Umstände hervorzuheben (Lernbericht der Kindergärtnerin vom 21. April 2016; Aussagen des Kinderarztes Dr. F._). Damit lässt sich Willkür in der Sachverhaltsfeststellung nicht dartun.
6.4. Die Beschwerdeführerin hält die Wegnahme und Unterbringung der Tochter aber auch auf der Basis des von der Vorinstanz festgestellten Sachverhalts für willkürlich, indem die Fremdplatzierung nicht nur für die Zeit der Begutachtung, sondern bis zum neuen Entscheid angeordnet worden sei, was nicht notwendig und damit willkürlich sei. Dabei übersieht sie, dass die Vorinstanz den Entzug des Aufenthaltsbestimmungsrechts bzw. den Entzug der Obhut als solchen keineswegs nur mit der Begutachtung der Tochter begründet, sondern mit einer weitergehenden Gefährdung des Kindeswohls, wenn diese in der Obhut der Mutter verbleibt. Abgesehen von den erfolglosen Sachverhaltsrügen setzt sich die Beschwerdeführerin mit den diesbezüglichen Erwägungen der Vorinstanz nicht auseinander. Damit ist dem Einwand der Beschwerdeführerin, wonach die Unterbringung der Tochter nur für die Zeit der Begutachtung hätte angeordnet werden dürfen, nicht aber bis zum neuen Entscheid, die Grundlage entzogen.
7.
Gestützt auf die vorstehenden Erwägungen erweist sich die Beschwerde als unbegründet; sie ist abzuweisen, soweit darauf eingetreten werden kann. Bei diesem Ausgang des Verfahrens unterliegt die Beschwerdeführerin. Sie hat für die Gerichtskosten aufzukommen (<ref-law>) und den Beschwerdegegner für seine Stellungnahme zum Gesuch um aufschiebende Wirkung zu entschädigen (<ref-law>). Die Beschwerdeführerin ersucht um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege. Wie sich aus den vorstehenden Ausführungen ergibt, muss die Beschwerde indes als von Anfang an aussichtslos betrachtet werden. Daher ist das für das Verfahren vor Bundesgericht gestellte Begehren um unentgeltliche Rechtspflege abzuweisen (Art. 64 Abs. 1 und 2 BGG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Verfahren 5A_671/2016 und 5A_672/2016 werden vereinigt.
2.
Die Beschwerden werden abgewiesen, soweit auf sie einzutreten ist.
3.
Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege wird abgewiesen.
4.
Die Gerichtskosten von Fr. 2'000.-- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
5.
Die Beschwerdeführerin hat den Beschwerdegegner mit Fr. 500.-- zu entschädigen.
6.
Dieses Urteil wird den Parteien, der Kindes- und Erwachsenenschutzbehörde KESB Basel-Stadt und dem Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt als Verwaltungsgericht schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 20. März 2017
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: von Werdt
Der Gerichtsschreiber: Zbinden