Erwägungen:
1.
A._ wurde mit Strafbefehl vom 20. April 2016 wegen einfacher Verletzung von Verkehrsregeln schuldig erklärt und mit einer Busse von Fr. 500.-- bestraft. Nach erfolgter Einsprache überwies die Staatsanwaltschaft Berner Jura-Seeland die Akten dem Regionalgericht Berner Jura-Seeland. Dieses wies am 17. August 2016 das Gesuch von A._ um Beiordnung einer amtlichen Verteidigung ab. Gegen diese Verfügung erhob A._ Beschwerde und stellte ein Ausstandsgesuch gegen Oberrichterin B._. Die Beschwerdekammer in Strafsachen des Obergerichts des Kantons Bern trat mit Beschluss vom 27. September 2016 auf das Ausstandsgesuch nicht ein und wies die Beschwerde ab, soweit sie darauf eintrat. Zur Begründung führte die Beschwerdekammer hinsichtlich des Ausstandsgesuchs aus, dass A._ keine Umstände geltend mache, die einen Ausstand von Oberrichterin B._ begründen könnten. Mangels Begründung sei daher auf das Ausstandsgesuch nicht einzutreten.
2.
A._ führt mit Eingabe vom 24. Oktober 2016 Beschwerde in Strafsachen gegen den Beschluss der Beschwerdekammer in Strafsachen des Obergerichts des Kantons Bern. Das Bundesgericht hat davon abgesehen, Stellungnahmen zur Beschwerde einzuholen.
3.
Der Beschwerdeführer beanstandet einzig, dass die von ihm abgelehnte Oberrichterin am Nichteintretensentscheid über das Ausstandsgesuch mitgewirkt hatte.
Nach ständiger Praxis des Bundesgerichts zu <ref-law> braucht das Bundesgericht bei nicht begründeten Ausstandsbegehren kein Verfahren nach <ref-law> durchzuführen; am Entscheid darüber können die abgelehnten Gerichtspersonen mitwirken (vgl. Urteil 5A_309/2016 vom 4. Oktober 2016 E. 1.2 mit Hinweisen). Im vorliegend angefochtenen Beschluss ist die Beschwerdekammer mangels Begründung auf das Ausstandsgesuch nicht eingetreten. Damit setzt sich der Beschwerdeführer nicht auseinander und legt nicht dar, inwiefern dieser Schluss der Beschwerdekammer rechts- bwz. verfassungswidrig sein soll. Demnach ist es nicht zu beanstanden, dass die Beschwerdekammer unter Mitwirkung der abgelehnten Oberrichterin auf das unbegründete Ausstandsgesuch nicht eingetreten ist. Die Beschwerde ist daher abzuweisen, soweit darauf einzutreten ist.
4.
Dem Verfahrensausgang entsprechend sind die Gerichtskosten dem Beschwerdeführer aufzuerlegen (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 500.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird den Parteien, der Regionalen Staatsanwaltschaft Berner Jura-Seeland, der Generalstaatsanwaltschaft des Kantons Bern und dem Obergericht des Kantons Bern, Beschwerdekammer in Strafsachen, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 10. Januar 2017
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Merkli
Der Gerichtsschreiber: Pfäffli