Erwägungen:
1.
A._ erstattete mit Schreiben vom 9. und 17. April 2017 Strafanzeige u.a. gegen das "Bezirksgefängnis Zürich" wegen Körperverletzung. Die Staatsanwaltschaft I des Kantons Zürich überwies mit Verfügung vom 21. Juli 2017 die Akten dem Obergericht des Kantons Zürich mit dem Ersuchen, über die Erteilung bzw. Nichterteilung der Ermächtigung zur Durchführung einer Strafuntersuchung gegen unbekannte Funktionäre des Gefängnisses Zürich zu entscheiden. Die III. Strafkammer des Obergerichts des Kantons Zürich erteilte mit Beschluss vom 31. August 2017 die Ermächtigung zur Strafverfolgung (Untersuchungseröffnung/Nichtanhandnahme) nicht. Sie verneinte ein strafrechtlich relevantes Verhalten des Gefängnispersonals.
2.
A._ führt mit Eingabe vom 25. September 2017 (Postaufgabe 2. Oktober 2017) Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten gegen den Beschluss der III. Strafkammer des Obergerichts des Kantons Zürich. Das Bundesgericht verzichtet auf die Einholung von Vernehmlassungen.
3.
Nach <ref-law> ist in der Begründung einer Beschwerde in gedrängter Form darzulegen, inwiefern der angefochtene Entscheid Recht verletzt. Die Bestimmungen von <ref-law> nennen die vor Bundesgericht zulässigen Beschwerdegründe. Hinsichtlich der Verletzung von Grundrechten gilt der in <ref-law> verankerte Grundsatz der Rechtsanwendung von Amtes wegen nicht; insofern besteht eine qualifizierte Rügepflicht (<ref-law>; <ref-ruling> E. 1.4.1 S. 53, 65 E. 1.3.1 S. 68 mit Hinweisen). Es obliegt dem Beschwerdeführer namentlich darzulegen, inwiefern der angefochtene Entscheid gegen die gerügten Grundrechte verstossen soll.
Der Beschwerdeführer, der keinen zulässigen Beschwerdegrund nennt, setzt sich mit der Begründung der III. Strafkammer, die zur Verweigerung der Ermächtigung führte, nicht auseinander und vermag nicht aufzuzeigen, inwiefern diese Begründung bzw. der Beschluss der III. Strafkammer selbst rechts- bzw. verfassungswidrig sein soll. Die Beschwerde genügt den gesetzlichen Formerfordernissen offensichtlich nicht, weshalb auf sie im vereinfachten Verfahren nach <ref-law> nicht einzutreten ist.
4.
Auf eine Kostenauflage ist zu verzichten (<ref-law>).

Demnach erkennt der Präsident:
1.
Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2.
Es werden keine Kosten erhoben.
3.
Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer, der Staatsanwaltschaft I des Kantons Zürich, Abteilung A, der Oberstaatsanwaltschaft des Kantons Zürich und dem Obergericht des Kantons Zürich, III. Strafkammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 4. Oktober 2017
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Merkli
Der Gerichtsschreiber: Pfäffli