Erwägungen:
1.
Der 1969 geborene kosovarische Staatsangehörige A._ reiste 1996 illegal ein erstes Mal in die Schweiz ein und ersuchte hier erfolglos um Asyl.
Am 23. Februar 1998 reiste er erneut in die Schweiz ein und stellte hier abermals ein Asylgesuch. Am 28. November 1998 heiratete er eine Schweizer Bürgerin, worauf ihm eine Aufenthaltsbewilligung erteilt wurde. Spätestens am 15. November 2000 lebten die Ehegatten bereits getrennt, weswegen die Verlängerung der Aufenthaltsbewilligung von A._ verweigert wurde; in der Folge wurde die Ehe im Jahr 2003 geschieden. Ungeachtet einer rechtsgültig angeordneten Wegweisung verblieb A._ illegal im Land, bis er am 21. Januar 2004 verhaftet und vier Tage später in den Kosovo ausgeschafft werden konnte. Wegen rechtswidrigem Verweilen in der Schweiz wurde er mit Strafbefehl der Bezirksanwaltschaft Hinwil vom 22. Januar 2004 zu einer bedingt vollziehbaren Gefängnisstrafe von 30 Tagen verurteilt.
Am 25. Juni 2005 reiste A._ ein weiteres Mal in die Schweiz ein und heiratete hier am 25. August 2005 abermals eine schweizerische Staatsangehörige, worauf er erneut eine Aufenthaltsbewilligung erhielt. Das eheliche Zusammenleben wurde mehrfach aufgegeben und später wieder aufgenommen. Mit Eheschutzurteil vom 3. März 2011 wurde den Ehegatten das Getrenntleben gestattet. Kontakte zwischen den Gatten fanden offenbar noch bis zum 20. August 2013 statt. Mit Urteil vom 16. März 2016 wurde die Ehe geschieden. Die Aufenthaltsbewilligung von A._ war letztmals bis zum 24. August 2013 verlängert worden.
Am 19. Februar 2015 wurde A._ in Winterthur angetroffen und verhaftet. Die Staatsanwaltschaft Winterthur/Unterland bestrafte ihn mit Strafbefehl vom 20. Februar 2015 wegen rechtswidrigem Aufenthalt in der Schweiz mit einer bedingten Geldstrafe von 75 Tagessätzen und entliess ihn gleichentags aus der Haft.
Am 27. März 2015 ersuchte A._ um Wiedererteilung der Aufenthaltsbewilligung. Mit Verfügung vom 19. Oktober 2015 wurde das Gesuch vom Migrationsamt des Kantons Zürich abgewiesen. Die vom Betroffenen hiergegen ergriffenen Rechtsmittel wurden kantonal letztinstanzlich mit Urteil des Verwaltungsgerichts des Kantons Zürich vom 14. Dezember 2016 abgewiesen.
Mit Eingabe vom 1. Februar 2017 beschwert sich A._ beim Bundesgericht und beantragt im Wesentlichen die Erteilung der Aufenthaltsbewilligung bzw. eventualiter den Verzicht auf die Wegweisung. Während die Sicherheitsdirektion des Kantons Zürich auf Vernehmlassung verzichtet, schliesst das Verwaltungsgericht auf Abweisung der Beschwerde, soweit darauf einzutreten sei. Mit Schreiben vom 19. April 2017 nimmt der Beschwerdeführer zum Vernehmlassungsergebnis Stellung. Mit Verfügung vom 2. Februar 2017 hat der Präsident der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung des Bundesgerichts der Beschwerde aufschiebende Wirkung zuerkannt.
2.
Soweit sich der Beschwerdeführer eventualiter gegen die Wegweisung wendet, ist die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten unzulässig (<ref-law>), weswegen darauf in diesem Umfang nicht einzutreten ist. Soweit er in der Hauptsache die Wiedererteilung der Aufenthaltsbewilligung verlangt, ist die Beschwerde offensichtlich unbegründet, so dass sie gemäss <ref-law> mit summarischer Begründung und unter Verweis auf den angefochtenen Entscheid zu erledigen ist:
2.1. Die Vorinstanz hat zutreffend erwogen, dass die Aufenthaltsbewilligung mit Ablauf ihrer Gültigkeit von Gesetzes wegen erlischt (Art. 61 Abs. 1 lit. c AuG) und dass ein Gesuch um Verlängerung spätestens 14 Tage vor Ablauf der Gültigkeitsdauer gestellt werden muss (<ref-law>). Sie hat ebenfalls richtig erkannt und darauf hingewiesen, dass aus Gründen der Verhältnismässigkeit und zur Vermeidung von überspitztem Formalismus bei fahrlässig verspäteter Gesuchseinreichung die Wiedererteilung der Bewilligung geboten sein kann, wenn bei rechtzeitiger Gesuchstellung die Verlängerung bewilligt worden wäre (Urteil 2C_1050/2012 vom 6. Dezember 2013 E. 2.3/2.4). Ebenso zutreffend hat sie schliesslich aber auch erwogen, dass dieser Grundsatz nicht dazu führen kann, dass ein Ausländer, der einmal über eine Aufenthaltsbewilligung verfügt hat, noch unbeschränkte Zeit nach deren Ablauf wieder ein Verlängerungsgesuch stellen kann, und zwar auch dann nicht, wenn ursprünglich, nach Auflösung der Ehegemeinschaft, auf die Verlängerung der Aufenthaltsbewilligung ein Anspruch gemäss Art. 50 AuG bestanden hätte, da dieser an die bisher bestehende Berechtigung anknüpft und keinen Anspruch auf Wiedererteilung einer erloschenen Bewilligung verschafft (<ref-ruling> E. 3.2.3 S. 349 f.; Urteile 2C_906/2015 vom 22. Januar 2016 E. 3.1; 2C_483/2014 vom 26. Mai 2014 E. 2.4).
2.2. Im vorliegenden Fall stellte das Verwaltungsgericht für das Bundesgericht grundsätzlich verbindlich fest (Art. 97 Abs. 1 sowie Art. 105 Abs. 1 und Abs. 2 BGG), dass dem Beschwerdeführer am 4. Oktober 2013 am Schalter der Einwohnerkontrolle Winterthur die Verfallsanzeige bezüglich seiner Aufenthaltsbewilligung persönlich ausgehändigt und er gemäss Bericht der Stadtpolizei Winterthur am 10. Dezember 2013 um 14:40 Uhr ausdrücklich zur Verlängerung der Bewilligung aufgefordert wurde. Weiter stellte die Vorinstanz in sachverhaltlicher Hinsicht fest, dass der Beschwerdeführer trotz Kenntnisnahme dieser Aufforderungen erst am 27. März 2015 - d.h. rund eineinhalb Jahre nach dem Erlöschen seiner Aufenthaltsbewilligung - um deren Verlängerung ersucht hat.
2.3. Was der Beschwerdeführer hiergegen vorbringt, überzeugt nicht und vermag die Anforderungen an eine Sachverhaltsrüge nicht zu erfüllen. Während er im vorinstanzlichen Verfahren noch explizit anerkannte, das Verlängerungsgesuch erst am 27. März 2015 gestellt zu haben und hierfür gesundheitliche Beschwerden geltend machte (Akten des Verwaltungsgerichts, act. 2 S. 5 f.), wendet er nun ein, er habe ein erstes, mündliches Verlängerungsgesuch bereits am 10. Dezember 2013 gestellt, doch sei dieses nicht behandelt worden. Dabei belässt es der Beschwerdeführer jedoch bei einer pauschalen, unbelegten Behauptung. Ebenso wenig legt er dar, weshalb er trotz angeblich gestelltem Gesuch nicht bei der Behörde nachgefragt hat, als die Bewilligungsverlängerung ausblieb.
2.4. Somit steht fest, dass es der Beschwerdeführer trotz ausdrücklicher Aufforderung während rund anderthalb Jahren unterlassen hat, sich um die Verlängerung seiner Aufenthaltsbewilligung zu kümmern und er erst im Anschluss an seine Verhaftung im Frühjahr 2015 ein entsprechendes Gesuch stellte. Selbst dann liess er sich jedoch nach seiner Haftentlassung noch mehr als einen Monat Zeit hierfür. Bei dieser Sachlage kann von einer fahrlässig verspäteten Gesuchseinreichung im Sinne der bundesgerichtlichen Rechtsprechung keine Rede mehr sein. Entsprechend erscheint die Schlussfolgerung der Vorinstanz, dass die Bewilligung des Beschwerdeführers erloschen ist, auch nicht als überspitzt formalistisch. Dies hatte der Beschwerdeführer im Übrigen noch im vorinstanzlichen Verfahren selbst ausdrücklich eingeräumt (Akten des Verwaltungsgerichts, act. 2 S. 6). Damit fällt nach dem Ausgeführten eine Anrufung von Art. 50 Abs. 1 AuG von vornherein ausser Betracht, selbst wenn die in dieser Bestimmung genannten Voraussetzungen ursprünglich erfüllt gewesen wären (vgl. E. 2.1 hiervor).
2.5. Entgegen seiner Auffassung hat der Beschwerdeführer auch keinen Bewilligungsanspruch aufgrund des grundrechtlichen Schutzes des Privatlebens (Art. 8 Ziff. 1 EMRK) : Aus dieser Bestimmung ergibt sich ein Recht auf Verbleib im Land nur unter besonderen Umständen. Eine lange Anwesenheit und die damit verbundene normale Integration genügen hierzu nicht; erforderlich sind vielmehr besonders intensive, über eine gewöhnliche Integration hinausgehende private Beziehungen beruflicher oder gesellschaftlicher Natur (<ref-ruling> E. 3.2.1 S. 286; <ref-ruling> E. 2c S. 384 ff.; <ref-ruling> E. 3b S. 22), woran es im vorliegenden Fall fehlt: Der Beschwerdeführer verbrachte die ersten 26 Lebensjahre im Kosovo. In der Schweiz wurde er insgesamt dreimal straffällig: Neben den obenstehend aufgezeigten Verurteilungen vom 22. Januar 2004 zu einer bedingt vollziehbaren Gefängnisstrafe von 30 Tagen und vom 20. Februar 2015 zu einer bedingten Geldstrafe von 75 Tagessätzen, jeweils wegen rechtswidrigem Aufenthalt in der Schweiz, wurde er mit Strafbefehl der Staatsanwaltschaft Limmattal/Albis vom 27. August 2015 auch des vorsätzlichen Missbrauchs von Ausweisen und Schildern schuldig erklärt und zu einer bedingten Geldstrafe von 15 Tagessätzen, als Zusatzstrafe zum Strafbefehl vom 20. Februar 2015, verurteilt. Sodann bezog der Beschwerdeführer in der Schweiz Sozialhilfe in Höhe von rund Fr. 18'000.--. Gegenüber dem Beschwerdeführer bestehen Verlustscheine in Höhe von insgesamt Fr. 34'346.80. Besondere Integrationsleistungen des Beschwerdeführers sind keine ersichtlich und es werden solche von ihm auch nicht behauptet.
3.
Nach dem Ausgeführten ist die Beschwerde abzuweisen, soweit darauf eingetreten werden kann.
Bei diesem Ausgang des Verfahrens trägt der Beschwerdeführer die Gerichtskosten (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.
Die Gerichtskosten in Höhe von Fr. 2'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten, dem Verwaltungsgericht des Kantons Zürich, 2. Abteilung, sowie dem Staatssekretariat für Migration schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 29. Mai 2017
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Seiler
Der Gerichtsschreiber: Zähndler