Sachverhalt:
A.
In der von B._ gegen A._ angehobenen Betreibung Nr. xxx des Betreibungsamtes Spreitenbach erteilte der Präsident des Bezirksgerichts Baden am 4. Februar 2016 antragsgemäss die definitive Rechtsöffnung für die Beträge von Fr. 322'558.--, Fr. 10'020.90 und Fr. 4'008.35 jeweils zuzüglich der laufenden und verfallenen Zinsen. Als Rechtsöffnungstitel wurde das Urteil des Tribunal de Grande Instance de Paris vom 12. September 2008, bestätigt durch das Urteil der Cour d'Appel de Paris vom 17. Juni 2011, eingereicht. Mit diesen Urteilen wurde A._ zur Rückzahlung des Kaufpreises für ein Bild, das sich als gefälscht erwiesen hatte, und zu einer Genugtuung sowie einer Prozessentschädigung an B._ verpflichtet.
B.
Gegen den Rechtsöffnungsentscheid wandte sich A._ an das Obergericht des Kantons Aargau, welches auf seine Beschwerde mit Entscheid vom 2. Mai 2016 nicht eintrat.
C.
Mit Beschwerde in Zivilsachen vom 23. Mai 2016 ist A._ an das Bundesgericht gelangt. Der Beschwerdeführer beantragt die Aufhebung des obergerichtlichen Entscheides und die Abweisung des Rechtsöffnungsgesuchs. Eventuell sei die Sache an die Vorinstanz zu neuem Entscheid zurück zu weisen.
Der Beschwerdeführer beantragt zudem die aufschiebende Wirkung. B._ als Beschwerdegegnerin widersetzte sich dem Gesuch. Das Obergericht hat auf eine Stellungnahme verzichtet. Mit Präsidialverfügung vom 8. Juni 2016 ist der Beschwerde die aufschiebende Wirkung zuerkannt worden.
In der Sache sind die kantonalen Akten, jedoch keine Vernehmlassungen eingeholt worden.

Erwägungen:
1.
1.1. Angefochten ist ein kantonal letztinstanzlicher Entscheid über ein Rechtsöffnungsbegehren mit vorfrageweiser Anerkennung eines Lugano-Urteils, mithin eine Zwangsvollstreckungssache (<ref-law>; STAEHELIN/BOPP, in: Dasser/Oberhammer, Lugano-Übereinkommen, 2. Aufl. 2011, N. 27 zu Art. 43). Die gesetzliche Streitwertgrenze wird erreicht (<ref-law>). Die Beschwerde in Zivilsachen ist aus dieser Sicht gegeben.
1.2. Mit vorliegender Beschwerde kann die Verletzung von Bundes- und Völkerrecht gerügt werden (Art. 95 lit. a und b BGG). In der Beschwerde ist in gedrängter Form darzulegen, inwiefern der angefochtene Entscheid Recht verletzt (<ref-law>). Die Verletzung verfassungsmässiger Rechte ist ebenfalls zu begründen (<ref-law>), wobei hier das Rügeprinzip gilt (<ref-ruling> E. 2 S. 591). Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (<ref-law>).
2.
2.1. Die Vorinstanz erachtete die gegen den erstinstanzlichen Rechtsöffnungsentscheid erhobene Beschwerde als ungenügend begründet. Ihrer Ansicht nach fehlt es an einer Auseinandersetzung mit dem angefochtenen Entscheid. Die rechtlichen Ausführungen des Beschwerdeführers bestünden im Wesentlichen aus einer Wiederholung des bereits gegenüber der Erstinstanz vorgebrachten Standpunktes. Zwar habe der Beschwerdeführer hinsichtlich der Gewährleistungspflicht für den Fall einer Fälschung des verkauften Bildes Aktenwidrigkeit geltend gemacht, ohne jedoch darzulegen, inwiefern sich dieser Vorwurf auf den Entscheid ausgewirkt haben sollte. Selbst wenn auf die Beschwerde eingetreten werden könnte, müsste sie abgewiesen werden. Die Vorinstanz verwies insbesondere auf die Grundsätze des zur Anwendung gelangenden revidierten Lugano-Übereinkommens (LugÜ), welche keine inhaltliche Prüfung des ausländischen Urteils zulassen, sowie auf die Bedeutung des Ordre public für den konkreten Fall.
2.2. Der Beschwerdeführer besteht darauf, sich in seiner Beschwerde eingehend mit dem Rechtsöffnungsentscheid auseinandergesetzt zu haben, weshalb die Vorinstanz darauf hätte formell eintreten müssen. Zudem vertritt er (rein vorsorglich) die Ansicht, dass die als Rechtsöffnungstitel vorgelegten französischen Urteile "eine Kumulation von gravierendsten Mängeln als qualifizierter Verstoss gegen den Ordre public" enthalten, womit die Vollstreckung ausgeschlossen sei.
3.
Anlass zum vorliegenden Verfahren bilden vorerst die Anforderungen an eine Beschwerde zu Handen der oberen kantonalen Rechtsmittelbehörde. Ausser Frage steht, dass das Bezirksgericht keinen selbständigen Exequaturentscheid gemäss <ref-law>, sondern einen Rechtsöffnungsentscheid gemäss <ref-law> erlassen hat, nachdem der Weg über die ordentliche Betreibung und die vorfrageweise Exequatur beschritten wurde (vgl. STOFFEL/CHABLOZ, Voies d'exécution, 3. Aufl. 2016, Rz. 197 ff., 210 ff.). Ist der ausländische Entscheid - wie hier - vorfrageweise im Rahmen der Rechtsöffnung anerkannt worden, kann der Rechtsöffnungsentscheid mittels der normalen Beschwerde gemäss <ref-law> angefochten werden (STAEHELIN/STAEHELIN/ GROLIMUND, Zivilprozessrecht, 2. Aufl. 2013, § 26 Rz. 47d).
3.1. Mit der Beschwerde kann die unrichtige Rechtsanwendung sowie die offensichtlich unrichtige Feststellung des Sachverhaltes geltend gemacht werden (<ref-law>). Neue Anträge, neue Tatsachen und neue Beweismittel sind ausgeschlossen (<ref-law>). Die Beschwerde ist - wie die Berufung - schriftlich und begründet einzureichen (Art. 321 Abs. 1 sowie Art. 311 Abs. 1 ZPO). Hinsichtlich der Begründungsdichte gelten für die Berufung und für die Beschwerde dieselben formellen Anforderungen. Das Bundesgericht hat es bisher offen gelassen, ob an die Beschwerde strengere Begründungsanforderungen als an die Berufung zu stellen sind, wie dies von der Lehre teils gefordert wird. Aus der Begründung muss in jedem Fall hervorgehen, inwiefern der angefochtene Entscheid als fehlerhaft erachtet wird. Dieser Anforderung genügt der Beschwerdeführer nicht, wenn er lediglich auf die vor der ersten Instanz gemachten Ausführungen verweist, sich mit Hinweisen auf frühere Prozesshandlungen zufrieden gibt oder den angefochtenen Entscheid in allgemeiner Weise kritisiert. Die Begründung muss hinreichend genau und eindeutig sein, um von der Rechtsmittelinstanz ohne weiteres verstanden werden zu können. Dies setzt voraus, dass der Beschwerdeführer im Einzelnen die erstinstanzlichen Erwägungen bezeichnet, die er anficht, und die Aktenstücke nennt, auf denen seine Kritik beruht (<ref-ruling> E. 4.3.1 S. 375; vgl. Urteil 5A_206/2016 vom 1. Juni 2016 E. 4.2.1).
3.2. Das Bezirksgericht ging in seinem ausführlich begründeten Entscheid auf die Anwendbarkeit des LugÜ gemäss <ref-law> für den konkreten Fall ein. Zudem nahm es Stellung zu den darin statuierten Anerkennungshindernissen gemäss Art. 34 f. LugÜ. Es betonte in diesem Zusammenhang, dass die internationale Zuständigkeit eines Gerichts nicht Bestandteil des Ordre public sei; ein ausländisches Urteil, das nach dem LugÜ anerkannt werden könne, dürfe auch keiner materiellen Prüfung unterzogen werden (Art. 35 Abs. 3, <ref-law>).
3.3. In seiner Eingabe an die Vorinstanz vom 9. März 2016 bemängelte der Beschwerdeführer, dass der Rechtsöffnungsrichter gegen den Grundsatz des Ordre public verstossen habe. Die Zuständigkeit der französischen Gerichte anzuerkennen, sei krass übereinkommenswidrig. In materieller Hinsicht enthält das Urteil des Tribunal de Grande Instance de Paris vom 12. September 2008, bestätigt durch das Urteil der Cour d'Appel de Paris vom 17. Juni 2011, nach Ansicht des Beschwerdeführers schwerste Mängel. Namentlich sei nicht schweizerisches Recht angewendet worden, der vertragliche Ausschluss der Gewährleistung sei ausgeblendet und eventuell dessen Verwirkung in aktenwidriger Weise übergangen worden. Mit diesen Ausführungen fasste der Beschwerdeführer seine im Rechtsöffnungsverfahren erhobenen Einwände zusammen. Inwiefern der Rechtsöffnungsrichter seinen Argumenten hätte folgen sollen, begründete er gegenüber der Vorinstanz jedoch nicht. Ob die Beschwerde den gesetzlichen Begründungsanforderungen genügte, kann im konkreten Fall offen bleiben. Die Vorinstanz ist auf die Beschwerde zwar formell nicht eingetreten, hat in der Sache zu den vom Beschwerdeführer erhobenen Rügen gleichwohl Stellung genommen.
4.
In der Sache ist strittig, unter welchen Voraussetzungen die Anerkennung eines Entscheides aus einem Vertragsstaat des Lugano-Übereinkommens in einem andern Vertragsstaat zulässig ist. Dass die als Rechtsöffnungstitel eingereichten und in einer Zivil- und Handelssache ergangenen Urteile aus Frankreich in der Schweiz grundsätzlich anerkenn- und vollstreckbar sind, wird hingegen zu Recht nicht mehr in Frage gestellt (<ref-law>; <ref-ruling> E. 3.1.1 S. 31/32).
4.1. Als Anerkennungshindernis steht im konkreten Fall die Beachtung des Ordre public im Vordergrund. Demnach wird eine Entscheidung nicht anerkannt, wenn diese der öffentlichen Ordnung des Staates, in dem sie geltend gemacht wird, offensichtlich widersprechen würde (<ref-law>). Nicht überprüft werden kann die Zuständigkeit der Gerichte des Ursprungsstaates, da die entsprechenden Vorschriften nicht zum Ordre public gehören (<ref-law>). Es obliegt dem Beklagten, sich im Ausland auf dem Rechtsmittelweg gegen die Zuständigkeit des urteilenden Gerichtes zur Wehr zu setzen (<ref-ruling> E. 4.1 S. 214). Eine materielle Überprüfung des ausländischen Entscheides ist keinesfalls zulässig (<ref-law>). Er ist hinsichtlich des Zustandekommens und seines Ergebnisses hinzunehmen. Die Anerkennung ermöglicht kein Wiederaufrollen des ausländischen Verfahrens (WALTHER, in: Dasser/Oberhammer, Lugano-Übereinkommen, 2. Aufl. 2011, N. 2 zu Art. 36; GAUDEMET-TALLON, Compétence et exécution des jugements en Europe, 4. Aufl. 2010, Ziff. 376).
4.2. Der Beschwerdeführer ist der Ansicht, dass die Anhäufung von Rechtsverletzungen durch die französischen Gerichte zu einem Ergebnis führe, das mit dem schweizerischen Ordre public nicht vereinbar sei. Damit fasst er eine Reihe von Rügen zusammen, die weder einzeln noch als Gesamtes eine Anerkennung eines ausländischen Urteils verhindern können. Im Wesentlichen bestreitet der Beschwerdeführer die Zuständigkeit des ausländischen Gerichts und macht verschiedene materiell-rechtliche Fehler des Urteils geltend. Da sie weder Bestandteil des verfahrensrechtlichen noch des materiell-rechtlichen Ordre public bilden (vgl. WALTHER, a.a.O., N. 4 zu Art. 34; BUCHER, Commentaire romand, LDIP/CR, 2011, N. 5 zu Art. 34), sind diese Vorwürfe im Rahmen einer Anerkennung nicht zu prüfen. Der angefochtene Entscheid ist daher nicht zu beanstanden.
5.
Nach dem Gesagten ist der Beschwerde kein Erfolg beschieden. Ausgangsgemäss trägt der Beschwerdeführer die Verfahrenskosten (<ref-law>). Eine Parteientschädigung wird der Beschwerdegegnerin nicht zugesprochen, da ihr kein ersatzpflichtiger Aufwand entstanden ist.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 3'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Aargau, Zivilgericht, 4. Kammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 7. September 2016
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Das präsidierende Mitglied: Escher
Der Gerichtsschreiber: Levante