Fatti:
A.
A._ è proprietario dei fondi confinanti part. xxx e part. yyy di Mendrisio. Essi presentano una superficie di 6'073 m2, rispettivamente di 5'007 m2, e sono situati ad ovest dell'autostrada A2. Il 25 gennaio 1991, il Municipio di Mendrisio gli ha rilasciato la licenza edilizia per costruire uno stabile industriale sulla particella xxx. Il progetto prevedeva pure la realizzazione di un posteggio per 91 veicoli sul terreno a nord dell'edificio.
Nei primi anni '90, il fondo part. yyy, situato in gran parte ad un livello inferiore rispetto al primo, è stato sistemato senza permesso per essere utilizzato come posteggio dai dipendenti dello stabilimento industriale e per gli utenti del vicino bagno pubblico.
B.
Il 4 febbraio 2013, A._ ha presentato al Municipio di Mendrisio una domanda di costruzione per edificare un autosilo per 200 auto sull'area occupata dal posteggio, a cavallo del confine tra i due fondi. La relazione tecnica allegata alla domanda prevedeva di utilizzare una parte delle capacità edificatorie della particella yyy, che sarebbe stata lasciata quasi interamente verde. Il 29 maggio 2013 il Municipio ha rilasciato la licenza edilizia per un autosilo di 190 posti, alla condizione che fosse iscritto a registro fondiario un trasferimento di quantità edificatorie a favore del fondo part. xxx ed a carico della particella yyy.
C.
Constatato che la superficie della particella yyy non occupata dall'autosilo era utilizzata, senza autorizzazione, come posteggio e che erano in corso lavori di sistemazione, l'esecutivo comunale ha ordinato il 29 agosto 2014 al proprietario di sospendere i lavori e l'uso quale posteggio della porzione autorizzata dalla licenza edilizia come area verde. Il Municipio ha contestualmente rilevato che l'uso quale posteggio presupponeva l'inoltro di una nuova domanda di costruzione per cambiamento di destinazione.
D.
A._ ha impugnato l'ordine municipale dinanzi al Consiglio di Stato, chiedendone l'annullamento, e postulando il conferimento dell'effetto sospensivo al gravame. Con decisione del 3 ottobre 2014 il Presidente del Consiglio di Stato ha respinto la domanda di effetto sospensivo. Contro il diniego di questa misura cautelare, il proprietario ha adito il Tribunale cantonale amministrativo. Il Governo ha in seguito statuito nel merito del ricorso con decisione del 29 aprile 2015, respingendolo e confermando l'ordine municipale di sospensione dell'uso quale posteggio della porzione del fondo part. yyy riservata ad area verde. Anche questa decisione governativa è stata impugnata dal proprietario dinanzi alla Corte cantonale.
E.
Con sentenza del 7 gennaio 2016 il Tribunale cantonale amministrativo ha statuito su entrambi i ricorsi, dichiarando irricevibile quello contro la decisione governativa del 29 aprile 2015 e stralciando dai ruoli, siccome divenuto privo d'oggetto, quello avverso la decisione presidenziale di diniego dell'effetto sospensivo del 3 ottobre 2014.
F.
A._ impugna questa sentenza con un ricorso in materia di diritto pubblico e un ricorso sussidiario in materia costituzionale al Tribunale federale. Chiede di annullarla e di rinviare gli atti alla Corte cantonale per un nuovo giudizio. Il ricorrente fa valere l'accertamento manifestamente inesatto dei fatti, la violazione di diritti costituzionali e di norme del diritto cantonale.
Non sono state chieste osservazioni sul ricorso.

Diritto:
1.
Il Tribunale federale esamina d'ufficio se e in che misura un ricorso può essere esaminato nel merito (<ref-ruling> consid. 1.1 e rinvii).
2.
2.1. Presentato tempestivamente dal proprietario del fondo oggetto del contestato provvedimento e diretto contro una decisione pronunciata in una causa di diritto pubblico da un'autorità di ultima istanza cantonale, il ricorso in materia di diritto pubblico è ammissibile sotto il profilo degli art. 82 lett. a, 86 cpv. 1 lett. d, 89 cpv. 1 e 100 cpv. 1 LTF. Non vi è pertanto spazio per un ricorso sussidiario in materia costituzionale (<ref-law>).
2.2. Problematica appare per contro la ricevibilità del ricorso rispetto ai requisiti posti dall'<ref-law>, disposizione sulla quale il ricorrente non si esprime.
2.2.1. Secondo detta norma, il ricorso contro una decisione incidentale è ammissibile se può causare un pregiudizio irreparabile (lett. a) o se l'accoglimento del ricorso comporterebbe immediatamente una decisione finale consentendo di evitare una procedura probatoria defatigante o dispendiosa (lett. b).
Sono incidentali le decisioni che non pongono termine alla lite e riguardano soltanto una fase del procedimento, assumendo una funzione strumentale rispetto alla pronuncia destinata a concludere la vertenza; queste decisioni possono avere indifferentemente per oggetto una questione formale o materiale, giudicata anteriormente alla decisione finale (<ref-ruling> consid. 4.1.3). Se il Tribunale cantonale statuisce su una decisione incidentale di un'istanza inferiore, anche la decisione su ricorso è di regola di carattere incidentale, nella misura in cui costituisce una tappa verso il giudizio finale (<ref-ruling> consid. 2.1).
Un pregiudizio è poi irreparabile nel senso dell'<ref-law> quando è suscettibile di provocare un danno che una decisione favorevole nel merito non permetterebbe di eliminare completamente. Il semplice prolungamento della procedura o l'aumento dei costi collegati alla causa non basta di massima a fondare un simile pregiudizio (<ref-ruling> consid. 1.2.1 e rinvii).
Le condizioni di ammissibilità poste dall'<ref-law>, il cui adempimento deve di principio essere dimostrato dal ricorrente (<ref-ruling> consid. 1.2 e rinvii), mirano a sgravare il Tribunale federale, che di massima deve potersi esprimere sull'oggetto del litigio con un'unica decisione, evitando di pronunciarsi parzialmente, senza un esaustivo accertamento della fattispecie, nell'ambito di una prima fase della procedura. Se eventuali pregiudizi possono essere eliminati in modo adeguato anche nel contesto di un esame successivo all'emanazione del giudizio finale, questo Tribunale non entra quindi nel merito di impugnative contro decisioni pregiudiziali e incidentali (<ref-ruling> consid. 1.3.2).
2.2.2. In concreto, la Corte cantonale ha rilevato che l'ordine municipale del 29 agosto 2014 di sospendere i lavori di sistemazione e di cessare l'uso come posteggio della porzione della particella yyy destinata ad area verde costituisce una misura cautelare. Ha accertato che il provvedimento è fondato sull'art. 42 cpv. 1 della legge edilizia cantonale, del 13 marzo 1991 (LE), secondo cui il Municipio deve fare sospendere i lavori eseguiti senza o in contrasto con la licenza edilizia. La precedente istanza ha stabilito che, con il citato provvedimento, l'autorità comunale non ha (ancora) adottato una misura volta a ristabilire una situazione conforme al diritto materiale, fondata sull'art. 43 LE, che disciplina i provvedimenti di ripristino delle opere realizzate o utilizzate in contrasto con il diritto materiale, ma ha semplicemente voluto inibire l'ulteriore utilizzazione del terreno quale posteggio, destinazione che non era mai stata formalmente autorizzata. La Corte cantonale ha quindi precisato che il Municipio non ha escluso la possibilità di autorizzare tale uso mediante il rilascio di una licenza edilizia in sanatoria, riservando anzi espressamente tale evenienza.
2.2.3. Nelle esposte circostanze, risulta quindi che l'ordine litigioso di sospensione dei lavori e di uso del sedime come posteggio non nega definitivamente al ricorrente la possibilità che sia autorizzata una simile utilizzazione e non pone pertanto fine alla procedura volta all'eventuale rilascio della relativa licenza edilizia. La presentazione di una domanda di costruzione secondo quanto prospettato dal Municipio nell'ordine contestato, permetterà di verificare compiutamente, con la collaborazione del proprietario, gli aspetti di legittimità materiale dell'utilizzazione litigiosa e si risolverà nel rilascio o nel diniego dell'autorizzazione edilizia. In tali circostanze, ritenuto che il quesito del rilascio definitivo della licenza è stato lasciato aperto in sede cantonale, il gravame è diretto contro una decisione di natura incidentale (cfr. sentenza 1C_54/2011 del 19 aprile 2011 consid. 1.2.2 e 1.2.3, in: RtiD II-2011 pag. 145 segg.). Confermando il provvedimento municipale, anche la sentenza della Corte cantonale, oggetto dell'impugnativa in esame, rimane infatti di carattere incidentale (cfr. <ref-ruling> consid. 2.1).
Il ricorrente riconosce che l'ordine municipale costituisce una misura cautelare. Non sostiene tuttavia, né tantomeno dimostra, di subire un pregiudizio irreparabile ai sensi dell'<ref-law>, il quale come visto non è ravvisabile nel semplice prolungamento della procedura o nell'aumento dei costi collegati alla causa. Ricordato ch'egli potrà fare valere i suoi diritti nel quadro della nuova procedura, un simile pregiudizio non è seriamente reso verosimile in concreto.
Né si è chiaramente in presenza, e il ricorrente non lo sostanzia, della condizione prevista dall'<ref-law>. In mancanza di chiari accertamenti vincolanti sull'intervento edilizio e di una sua valutazione approfondita nell'ambito dell'esame della domanda di costruzione, un giudizio immediato nel merito da parte di questa Corte non entra infatti in considerazione (cfr. <ref-ruling> consid. 5.1). L'eventuale accoglimento del presente gravame non porrebbe fine al litigio nel merito.
Contro un'eventuale decisione dell'ultima istanza cantonale, che dovesse negare definitivamente la licenza edilizia o comunque risultare sfavorevole al ricorrente, egli potrà se del caso proporre le sue contestazioni nell'ambito di un nuovo ricorso al Tribunale federale (cfr. <ref-law>).
2.3.
2.3.1. Con la sentenza impugnata, la Corte cantonale ha contestualmente stralciato dai ruoli, siccome divenuto privo d'oggetto, il ricorso interposto dal ricorrente contro la decisione del 3 ottobre 2014 del Presidente del Consiglio di Stato di diniego dell'effetto sospensivo al gravame pendente dinanzi al Governo. Ha infatti rilevato che il provvedimento presidenziale aveva perso ogni effetto pratico a seguito dell'emanazione della decisione governativa del 29 aprile 2015.
2.3.2. Pure la decisione sull'effetto sospensivo non termina la procedura ed è parimenti di natura meramente incidentale (cfr. <ref-ruling> consid. 1; <ref-ruling> consid. 1.3). Al riguardo, il ricorrente lamenta un ritardo ingiustificato della Corte cantonale a statuire sul suo ricorso contro la decisione presidenziale di diniego dell'effetto sospensivo. Ritiene tuttavia tale ritardo "non suscettibile di ingenerare conseguenze dirette". In sostanza, riconosce implicitamente che un eventuale indugio della precedente istanza a pronunciarsi sulla decisione provvisionale è andato a suo favore. In tali circostanze, non fa quindi valere pregiudizio alcuno. Non risulta peraltro ch'egli abbia sollecitato la Corte cantonale a statuire sull'impugnativa contro il rifiuto della misura provvisionale o che abbia adito l'istanza superiore con un ricorso per denegata o ritardata giustizia (cfr. art. 94 in relazione con l'<ref-law>).
3.
Ne segue che il ricorso deve essere dichiarato inammissibile. Le spese giudiziarie seguono la soccombenza e sono quindi poste a carico del ricorrente (<ref-law>).

Per questi motivi, il Tribunale federale pronuncia:
1.
Il ricorso è inammissibile.
2.
Le spese giudiziarie di fr. 2'000.-- sono poste a carico del ricorrente.
3.
Comunicazione al patrocinatore del ricorrente, al Municipio di Mendrisio, al Consiglio di Stato e al Tribunale amministrativo del Cantone Ticino.