Sachverhalt:
A.
A.a. Mit Urteil vom 22. November 2013 hiess das Bezirksgericht Zürich in der Betreibung Nr. xxx des Betreibungsamtes Zürich 5 das Begehren um definitive Rechtsöffnung der Y._ GmbH gegen die X._ AG über den Gesamtbetrag von Fr. 29'964'380.-- samt Zinsen und Kosten gut. Das Obergericht des Kantons Zürich wies die von der X._ AG dagegen erhobene Beschwerde am 23. Januar 2014 ab. Die X._ AG gelangte daraufhin an das Bundesgericht, welches ihre Beschwerde mit Urteil 5A_165/2014 vom 25. September 2014 ebenfalls abwies, soweit darauf einzutreten war.
A.b. Am 5. Juli 2013 verlegte die X._ AG ihren Sitz von U._ nach V._. Das nunmehr zuständige Betreibungsamt Höfe liess am 16. Januar 2015 in der bei ihm unter der Nr. yyy laufenden Betreibung die Konkursandrohung gegen die X._ AG im Schweizerischen Handelsamtsblatt (SHAB) öffentlich bekannt machen.
A.c. Die X._ AG beantragte daraufhin beim Bezirksgericht Höfe als untere Aufsichtsbehörde in Schuldbetreibung und Konkurs die Aufhebung der Konkursandrohung und die Publikation der Aufhebung im SHAB. Die Beschwerde wurde am 5. Mai 2015 abgewiesen.
B.
Die gegen die erstinstanzliche Verfügung von der X._ SA eingereichte Beschwerde wurde vom Kantonsgericht Schwyz als oberer kantonaler Aufsichtsbehörde in Schuldbetreibung und Konkurs mit Beschluss (BEK 2015 70) vom 23. Juli 2015 teilweise gutgeheissen und die Sache zur Ergänzung des Beweisverfahrens und Neubeurteilung an die untere kantonale Aufsichtsbehörde zurückgewiesen. Mit Verfügung vom 11. Dezember 2015 wies die untere kantonale Aufsichtsbehörde die Beschwerde erneut ab. Die daraufhin von der X._ AG bei der oberen kantonalen Aufsichtsbehörde eingereichte Beschwerde wurde mit Beschluss vom 18. April 2016 abgewiesen.
C.
Die X._ AG ist mit Beschwerde in Zivilsachen vom 9. Mai 2016 an das Bundesgericht gelangt. Die Beschwerdeführerin beantragt die Aufhebung des kantonsgerichtlichen Beschlusses sowie die Aufhebung der im SHAB öffentlich bekannt gemachten Konkursandrohung.
Die Beschwerdeführerin stellt das Gesuch um Gewährung der aufschiebenden Wirkung, welchem sich die Y._ GmbH (Beschwerdegegnerin) widersetzt. Das Kantonsgericht hat keine Einwände erhoben. Das Betreibungsamt hat sich nicht vernehmen lassen. Mit Verfügung des präsidierenden Mitgliedes vom 1. Juni 2016 ist der Beschwerde die aufschiebende Wirkung zuerkannt worden.
Es sind die kantonalen Akten, aber keine Vernehmlassungen in der Sache eingeholt worden. Die Beschwerdegegnerin hat sich unaufgefordert in der Sache geäussert, welche Eingabe der Beschwerdeführerin zur Wahrung des rechtlichen Gehörs übermittelt wurde. Auf eine Antwort zu deren Stellungnahme hat die Beschwerdegegnerin verzichtet.

Erwägungen:
1.
1.1. Angefochten ist ein Entscheid der oberen kantonalen Aufsichtsbehörde, die über die Publikation der Konkursandrohung befunden hat. Entscheide der kantonalen Rechtsmittelinstanz in Schuldbetreibungs- und Konkurssachen unterliegen der Beschwerde in Zivilsachen (<ref-law> i.V.m. <ref-law>, <ref-law>). Da auch die weiteren Sachurteilsvoraussetzungen erfüllt sind, ist - unter Vorbehalt zulässiger und hinlänglich begründeter Rügen - auf die Beschwerde einzutreten.
1.2. Mit der Beschwerde in Zivilsachen kann u.a. die Verletzung von Bundesrecht gerügt werden (<ref-law>). Das Bundesgericht wendet das Recht in diesem Bereich grundsätzlich von Amtes wegen und mit freier Kognition an (<ref-law>). In der Beschwerde ist in gedrängter Form darzulegen, inwiefern der angefochtene Akt Recht verletzt (<ref-law>; <ref-ruling> E. 1.1 S. 104). Die Verletzung verfassungsmässiger Rechte ist ebenfalls zu begründen (<ref-law>), wobei hier das Rügeprinzip gilt (<ref-ruling> E. 2 S. 591).
1.3. Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (<ref-law>). Neue Tatsachen und Beweismittel dürfen nur soweit vorgebracht werden, als erst der angefochtene Entscheid dazu Anlass gibt (<ref-law>). Dies ist hinsichtlich der nachträglichen Vorbringen der Beschwerdeführerin zu den mit der Beschwerdegegnerin unterhaltenen Geschäftsbeziehungen nicht der Fall.
2.
Anlass zur vorliegenden Beschwerde gibt die öffentliche Bekanntmachung einer Konkursandrohung.
2.1. Die Betreibungsurkunden sind dem Schuldner aufgrund ihrer Bedeutung in qualifizierter Weise zuzustellen. Damit soll die effektive Kenntnisnahme gewährleistet werden (<ref-ruling> E. 6.3 S. 574; JEANNERET/LEMBO, in: Commentaire romand, Poursuite et faillite, 2005, N. 3 zu Art. 64). Die Zustellung des Zahlungsbefehls erfolgt durch den Betreibungsbeamten, einen Angestellten des Amtes oder durch die Post (<ref-law>). Diese Regelung gilt auch für die Konkursandrohung (<ref-law>). Bei Betreibungen gegen eine natürliche Person wie auch gegen eine juristische Person, eine Kollektiv- oder Kommanditgesellschaft oder eine unverteilte Erbschaft ist eine Ersatzzustellung in bestimmten Fällen zulässig (vgl. Art. 64, Art. 65 Abs. 2 und 3 SchKG). Nur unter strengen Voraussetzungen kann schliesslich die Zustellung durch eine öffentliche Bekanntmachung im SHAB oder auf entsprechende Weise (andere Blätter, öffentlicher Ausruf) ersetzt werden (<ref-law>). Diese Möglichkeit besteht, wenn (als einer von drei Fällen) der Schuldner sich in beharrlicher Weise der Zustellung entzieht (<ref-law>). Erforderlich ist, dass der Schuldner zwar am Betreibungsort anwesend ist, sich aber absichtlich so verhält, dass eine Zustellung durch das Betreibungsamt oder die Polizei nicht erfolgen kann. Erst wenn alle Anstrengungen gemacht worden sind, den Schuldner persönlich zu erreichen, und diese zu keinem Erfolg geführt haben, ist die öffentliche Bekanntmachung - im Sinne einer Ausnahme - zulässig (<ref-ruling> E. 4 S. 558; <ref-ruling> E. 2a S. 62; JEANNERET/LEMBO, a.a.O., N. 21 zu Art. 66; ANGST, in: Kommentar, Bundesgesetz über Schuldbetreibung und Konkurs, 2. Aufl. 2010, N. 22 zu Art. 66).
2.2. Erachtet der Schuldner die Voraussetzungen für eine Publikation als nicht erfüllt, so kann er dagegen innert zehn Tagen ab Kenntnisnahme Beschwerde nach <ref-law> bei der Aufsichtsbehörde führen. Die Beschwerde ist indes nur zulässig, wenn dadurch eine verfahrensrechtliche Korrektur bewirkt werden kann. Daher genügt es nicht, lediglich die Rechtswidrigkeit der öffentlichen Bekanntmachung der Betreibungsurkunde feststellen zu lassen (<ref-ruling> E. 3.2 S. 267). Bezweckt die Beschwerde hingegen - wie im konkreten Fall - die Aufhebung der Konkursandrohung, so würde im Gutheissungsfall (im nach wie vor laufenden Betreibungsverfahren) eine erneute Zustellung erforderlich sein. Insoweit erweist sich die vorliegende Beschwerde als zulässig.
2.3. Die obere Aufsichtsbehörde ist zum Schluss gekommen, dass die Voraussetzungen für die öffentliche Bekanntmachung der Konkursandrohung im konkreten Fall erfüllt waren. Sie würdigte die von der unteren Aufsichtsbehörde vorgenommenen Abklärungen und erblickte darin hinreichende Anhaltspunkte, dass die Beschwerdeführerin sich der Zustellung der Konkursandrohung absichtlich und beharrlich entzogen hatte.
3.
Die Beschwerdeführerin wirft der Vorinstanz vorab vor, sich für den Beweis des zweimaligen Zustellungsversuchs einzig auf die Aussagen von C._ gestützt zu haben. Grundsätzlich seien Zeugeneinvernahmen nur zurückhaltend vorzunehmen. Im konkreten Fall seien diese ohnehin nicht nötig gewesen. Stattdessen hätte sich die Vorinstanz auf die Register des Betreibungsamtes - insbesondere das Betreibungsbuch - abstützen sollen, in welches unter anderem die Übersendung der Konkursandrohung zu verzeichnen sei. Mit dieser Sichtweise übergeht die Beschwerdeführerin die Pflicht der Aufsichtsbehörde, den Sachverhalt von Amtes wegen abzuklären; die erhobenen Beweise sind frei zu würdigen (Art. 20a Abs. 2 Ziff. 2 und 3 SchKG; <ref-ruling> E. 1 S. 50; Urteil 5A_781/2010 E. 2 vom 16. Februar 2011; Urteil 5A_57/2016 E. 3.2.1 vom 20. April 2016; LORANDI, Betreibungsrechtliche Beschwerde und Nichtigkeit, 2000, N. 55, 64 zu Art. 20a). Die Einvernahme der Zustellbeamtin des Betreibungsamtes zur Feststellung des Sachverhaltes ist daher nicht zu beanstanden. Der Hinweis der Beschwerdeführerin auf das Betreibungsbuch geht in diesem Zusammenhang an der Sache vorbei. Zwar sind darin sämtliche Betreibungen jeder Art in chronologischer Reihenfolge einzutragen und die einzelnen Vorgänge werden konkret erfasst; dazu gehört auch das Datum der Übersendung der Konkursandrohung (<ref-law>). Im konkreten Fall konnte die Konkursandrohung gerade nicht zugestellt werden, womit auch keine Eintragung ins Betreibungsbuch möglich war.
4.
In der Sache wirft die Beschwerdeführerin dem Betreibungsamt vor, nicht noch mindestens einen weiteren formellen Zustellversuch unternommen zu haben, bevor es die öffentliche Bekanntmachung der Konkursandrohung veranlasst hatte. Sie erblickt darin eine Verletzung von <ref-law>. Ihrer Ansicht nach hätte insbesondere ein Zustellversuch an die (bekannte) Privatadresse ihres Verwaltungsrates erfolgen müssen. Zudem betont die Beschwerdeführerin, dass den telefonischen Kontaktnahmen des Betreibungsamtes keinerlei Wirkungen zukomme, da niemand zur Abholung einer Betreibungsurkunde auf dem Amt gehalten sei. Auch der Einbezug der Kantonspolizei sei ihrer Ansicht nach nicht zulässig gewesen.
4.1. Mit ihren Vorbringen stellt die Beschwerdeführerin den tatsächlichen Ablauf des Geschehens nicht in Frage. Es ist daher von den verbindlichen Feststellungen der Vorinstanz auszugehen, wonach das Betreibungsamt gemäss den Aussagen der Zustellbeamtin im Februar 2014 zweimal versucht hatte, die Konkursandrohung dem einzelzeichnungsberechtigten Verwaltungsrat (D._) am Domizil der Aktiengesellschaft (beim Advokaturbüro D._) zuzustellen. Dass diese fruchtlosen Zustellversuche in Beachtung der gesetzlichen Anforderungen bei der Betreibung gegen eine juristische Person erfolgt sind, bestreitet sie im übrigen zu Recht nicht (<ref-law>), und die Vorinstanz hat zutreffend festgehalten, dass auch bei juristischen Personen die Zustellung durch Polizei möglich ist, wenn keine empfangsberechtigte Person angetroffen wird (ANGST, a.a.O., N. 10 zu Art. 65). Die Beschwerdeführerin wendet sich nicht gegen die vorinstanzliche Feststellung, dass die Zustellbeamtin mit ihrem Vertreter (D._) im Hinblick auf die Zustellung der Konkursandrohung am 14. Oktober 2014 per Telefon und E-Mail persönlich Kontakt aufgenommen hatte. Auch die anschliessende Einschaltung der Kantonspolizei, welcher die Zustellung trotz mehrmaliger Versuche nicht gelungen war, bleibt unbestritten.
4.2. Die Beschwerdeführerin sieht indes die Voraussetzungen für eine öffentliche Bekanntmachung der Konkursandrohung (noch) als nicht gegeben. Soweit sie eine weitere formelle Zustellung der Konkursandrohung für erforderlich hält, ist sie daran zu erinnern, dass das Betreibungsamt bereits zwei derartige Versuche gemacht hatte, die erfolglos geblieben waren. Was die geforderte Zustellung der Betreibungsurkunde an die Privatadresse des Verwaltungsrates betrifft, so lässt die Rechtsprechung diese Möglichkeit zwar zu (<ref-ruling> E. 3.1 S. 113; <ref-ruling> E. 2b S. 385). Indes lässt sich daraus kein Anspruch ableiten, welcher der Beurteilung, ob sich ein Schuldner beharrlich der Zustellung entzieht, entgegensteht.
Welche Vorkehren sich im konkreten Fall nach der fehlgeschlagenen Zustellung der Betreibungsurkunde als zweckmässig erweisen, hängt von den jeweiligen Umständen und auch den bisherigen Erfahrungen mit dem Schuldner ab (JEANNERET/LEMBO, a.a.O.). Das Betreibungsamt ist in diesem Stadium nicht mehr an einen bestimmten gesetzlichen Zustellungsweg gebunden; es muss aber insbesondere die Zustellung auf polizeilichem Weg versucht haben (Urteil 5A_542/2014 vom 18. September 2014 E. 5.1.2; JEANNERET/LEMBO, a.a.O.; KREN KOSTKIEWICZ, SchKG Kommentar, 19. Aufl. 2016, N. 18 zu Art. 66). Angesichts der mehrfachen Anstrengungen des Betreibungsamtes, die Konkursandrohung der Schuldnerin doch noch - unter Beizug der Kantonspolizei - zuzustellen, erwächst ihm diesbezüglich kein Vorwurf. Das gesamte Verhalten der Beschwerdeführerin lässt den vorinstanzlichen Schluss zu, dass es kein Zufall war, dass die Zustellung nicht erfolgen konnte, sondern sie sich beharrlich der Zustellung entzogen hatte. Damit erweist sich die öffentliche Bekanntmachung der Konkursandrohung im konkreten Fall als bundesrechtskonform.
5.
Der Beschwerde ist daher kein Erfolg beschieden. Ausgangsgemäss werden die Kosten der Beschwerdeführerin auferlegt (<ref-law>). Eine Parteientschädigung an die Beschwerdegegnerin wird nicht zugesprochen, da sie mit ihrem Begehren das Gesuch um aufschiebende Wirkung abzuweisen, unterlegen ist. In der Sache ist sie nicht zur Vernehmlassung eingeladen worden.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 2'000.-- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
3.
Eine Parteientschädigung ist nicht zu leisten.
4.
Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten und dem Kantonsgericht Schwyz, Beschwerdekammer, als oberer kantonaler Aufsichtsbehörde in Schuldbetreibung und Konkurs schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 20. Oktober 2016
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Das präsidierende Mitglied: Escher
Der Gerichtsschreiber: Levante