Sachverhalt:
A.
Am 13. September 2016 verurteilte das Strafgericht des Kantons Basel-Stadt A._ wegen vollendeten und versuchten Diebstahls, mehrfacher Sachbeschädigung sowie vollendeten und versuchten Hausfriedensbruchs zu neun Monaten Freiheitsstrafe unter Einrechnung der Untersuchungs- und Sicherheitshaft seit dem 12. Mai 2016. Gleichentags verlängerte das Strafgericht die Sicherheitshaft um die vorläufige Dauer von zwölf Wochen.
B.
A._ erklärte gegen das Strafurteil die Berufung. Gegen den Haftverlängerungsbeschluss erhob er am 23. September 2016 Beschwerde an das Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt mit dem Antrag auf umgehende Haftentlassung, eventuell unter Auflagen. Mit Entscheid vom 11. Oktober 2016 wies der Einzelrichter am Appellationsgericht die Beschwerde ab.
C.
Mit Beschwerde in Strafsachen vom 24. Oktober 2016 an das Bundesgericht beantragt A._, den Entscheid des Appellationsgerichts aufzuheben und die Haftentlassung anzuordnen, unter Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege und Verbeiständung.
Die Staatsanwaltschaft des Kantons Basel-Stadt stellt Antrag auf Abweisung der Beschwerde. Sie weist ergänzend darauf hin, in einem Schreiben vom 21. September 2016 habe A._ sinngemäss erklärt, die Berufung gegen das Strafurteil zurückzuziehen und das Urteil anzunehmen, was er am 19. Oktober 2016 gegenüber einer Mitarbeiterin des Strafgerichts zu Protokoll bestätigt habe; weiter wurde darauf verwiesen, dass das Strafgericht mit Verfügung vom 20. Oktober 2016 den Rückzug der Berufung förmlich festgestellt hatte, weshalb das Strafurteil in Rechtskraft erwachsen sei und eine Haftentlassung ausser Betracht falle. Das Appellationsgericht schliesst auf Abweisung der Beschwerde, soweit darauf einzutreten sei.
Der Rechtsvertreter von A._ teilte mit Eingaben vom 5. und 9. November 2016 dem Bundesgericht mit, erst am 29. Oktober 2016 habe A._ ihm gegenüber von der Berufungsanmeldung Abstand genommen. Die Rechtsmittel im Zusammenhang mit der Sicherheitshaft seien in erster Linie deshalb nicht zurückgezogen worden, um eine rasche Haftentlassung von A._ zu erwirken.
D.
Mit Entscheid vom 31. Oktober 2016 gab das Amt für Justizvollzug des Kantons Basel-Stadt einem Entlassungsgesuch von A._ vom 6. Oktober 2016 statt und verfügte, dieser sei am 11. November 2016 bedingt aus dem Strafvollzug zu entlassen, nachdem er zwei Drittel seiner Strafe verbüsst und sich im Strafvollzug wohl verhalten habe.

Erwägungen:
1.
Gegen den letztinstanzlichen kantonalen Endentscheid über die Sicherheitshaft nach dem erstinstanzlichen Urteil (vgl. <ref-law>) steht grundsätzlich die Beschwerde in Strafsachen an das Bundesgericht nach <ref-law> offen.
2.
2.1. Nachdem der Beschwerdeführer seine Berufung gegen den materiellen Strafentscheid zurückgezogen und den Strafvollzug angetreten hat, ist die Grundlage für die prozessuale Sicherheitshaft dahingefallen. Mit dem Wechsel von Sicherheitshaft zu Strafvollzug bzw. der entsprechenden Feststellung des Strafgerichts vom 20. Oktober 2016 endete die Sicherheitshaft.
2.2. Nach der Rechtsprechung fällt mit dem Ende der prozessualen Haft nicht zwingend auch das Interesse des Häftlings an der Beschwerdeführung dahin. Er kann unter Umständen weiterhin über ein schutzwürdiges Interesse an der Haftprüfung verfügen (<ref-ruling> E. 1.3 S. 276 f.; <ref-ruling> E. 4b S. 397). Im vorliegenden Fall bestritt er vor Bundesgericht allerdings einzig den dringenden Tatverdacht. Andere Gründe für die allfällige Unzulässigkeit der Haft, namentlich das Fehlen eines Haftgrunds oder eine angebliche Unverhältnismässigkeit, trug er nicht vor. Im Regelfall wird in der Rechtsprechung im Übrigen aus einer noch nicht rechtskräftigen erstinstanzlichen Strafverurteilung ein ausreichender dringender Tatverdacht abgeleitet. Wie es sich hier damit aufgrund der vom Rechtsvertreter des Beschwerdeführers geltend gemachten besonderen Umstände verhält, kann offenbleiben. Seit der Rechtskraft des Strafurteils, die spätestens am 20. Oktober 2016 eingetreten ist, kann der dringende Tatverdacht so oder so nicht mehr in Frage gestellt werden, da die Tatbegehung nunmehr als rechtskräftig bewiesen gilt. Der Beschwerdeführer verfügt mithin über kein schutzwürdiges Interesse an der Beschwerde an das Bundesgericht. Weil dies bereits im Zeitpunkt der Beschwerdeeinreichung am 24. Oktober 2016 zutraf, kann auf die Beschwerde daher nicht eingetreten werden.
3.
Unter diesen Umständen ist die Beschwerde als aussichtslos zu beurteilen und dem Beschwerdeführer deswegen die unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung zu verweigern (vgl. <ref-law>). Indessen rechtfertigt es sich, dem offenkundig bedürftigen Beschwerdeführer für das bundesgerichtliche Verfahren keine Kosten aufzuerlegen.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2.
Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung für das bundesgerichtliche Verfahren wird abgewiesen.
3.
Es werden keine Gerichtskosten erhoben.
4.
Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer, der Staatsanwaltschaft des Kantons Basel-Stadt und dem Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt, Einzelgericht, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 17. November 2016
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Fonjallaz
Der Gerichtsschreiber: Uebersax