Faits :
A.
A.a. Au mois de novembre 2014, l'Assemblée primaire de la commune de Port-Valais a décidé d'accorder à la Fondation interprofessionnelle sanitaire de prévoyance (ci-après: la Fondation interprofessionnelle), un droit de superficie de 70 ans sur une surface de 6861 m 2en vue de la construction d'immeubles de logement, d'un bâtiment destiné à accueillir des activités parascolaires (crèche, nurserie) et de parkings. Il a été convenu que la Fondation interprofessionnelle verserait pour ce droit de superficie une rente à la commune, que cette dernière serait locataire des structures d'accueil, puis deviendrait propriétaire de l'ensemble des constructions à l'échéance du droit de superficie. La commune de Port-Valais et la Fondation interprofessionnelle ont également convenu que le bâtiment réservé aux activités parascolaires serait soumis aux marchés publics.
A.b. En mars 2015, une procédure sur invitation a été lancée par la Fondation interprofessionnelle en vue de réaliser un mandat d'étude parallèle pour la construction du bâtiment. Cinq candidats, parmi lesquels la société X._ SNC (ci-après: la Société), atelier d'architecture sis dans le canton du Valais, ont présenté un dossier. A teneur du règlement de concours, les candidats devaient présenter leur projet sous forme anonyme. Il était en outre précisé que les délibérations du collège d'experts auraient lieu le 12 juin 2015 et que l'auteur de la proposition retenue par le collège serait, sous réserve de l'approbation du conseil de fondation de la Fondation interprofessionnelle, mandaté pour la suite des démarches.
A.c. Dans sa séance du 12 juin 2015, le collège d'experts a retenu à l'unanimité le projet "A._" de la société Y._ Sàrl. Le nom du lauréat a été annoncé par le président du collège d'experts par courriel du 24 juin 2015 adressé aux candidats, à la commune de Port-Valais ainsi qu'à la Fondation interprofessionnelle. Par courriel du même jour, la société X._ a demandé si cette communication faisait office de décision. Le président du collègue d'experts n'aurait pas donné suite à ce courriel.
Le rapport du collège d'experts, accompagné d'un courrier, a été adressé à la société X._ le 19 août 2015. Ce courrier, signé par le président de la commune de Port-Valais ainsi que par deux membres du conseil de fondation de la Fondation interprofessionnelle, rappelait que le collège d'experts avait choisi le projet "A._" de la société Y._ Sàrl. Il précisait en outre que cette décision pouvait faire l'objet d'un recours dans les dix jours dès notification auprès du Tribunal cantonal du canton du Valais (ci-après: le Tribunal cantonal), que les plans et maquettes des projets non retenus pouvaient être retirés le 21 septembre à l'Administration communale de Port-Valais et que le vernissage officiel de l'exposition aurait lieu le 17 septembre 2015. Pour le surplus, la lettre renvoyait les concurrents au rapport du collège d'experts, lequel contenait "plus de détails concernant le jugement". Daté du 17 août 2015, ce rapport commandait au maître d'ouvrage, soit la Fondation interprofessionnelle, de confier à l'auteur du projet "A._" la poursuite des études en vue de sa réalisation, tout en rappelant que l'auteur de la proposition retenue par le collège d'experts serait mandaté pour la suite des démarches, sous réserve de l'approbation du conseil de fondation de la Fondation interprofessionnelle.
A.d. Le 31 août 2015, la Société a contesté le rapport du collège d'experts, tout en indiquant partir du principe que le Conseil municipal n'avait pas encore décidé de suivre la recommandation du collège d'experts, ni procédé à l'adjudication du marché. Elle invita en outre le Conseil municipal à rendre une décision d'adjudication.
Le 1er septembre 2015, le Président de la commune de Port-Valais ainsi que le Secrétaire municipal ont informé la Société que leur courrier du 31 août 2015 avait été transmis à la Fondation interprofessionnelle "pour examen et suite utile". Par courrier du 16 septembre 2015, la commune a informé la Société que le conseil de fondation avait validé la recommandation du collège d'experts lors de sa séance du 13 août 2015. Dans la mesure où le nom du lauréat ainsi que le rapport du collège d'experts avaient été transmis aux candidats le 19 août 2015, la commune considérait que le délai de recours était échu.
B.
Le 28 septembre 2015, la Société a saisi le Tribunal cantonal d'un recours contre la décision d'adjudication. S'agissant de la recevabilité de son recours, la Société a indiqué que le courrier du 19 août 2015 ne comportait qu'une recommandation du collège d'experts ainsi que l'invitation à un vernissage, ce qui ne constituait pas une décision sujette à recours. D'après l'intéressée, le délai de recours avait commencé à courir le 17 septembre 2015, date à laquelle la recourante avait été informée de l'approbation de la recommandation du collège d'experts par la Fondation interprofessionnelle.
Par arrêt du 19 février 2016, le Tribunal cantonal a déclaré le recours irrecevable au motif qu'il était tardif. Il a considéré que le courrier du 19 août 2015 devait être considéré comme une décision. Les juges cantonaux ont néanmoins reconnu que sa notification avait été irrégulière, mais ils ont considéré que la décision avait néanmoins atteint son but, à savoir la communication de l'issue du concours. Le recours de l'intéressée, déposé le 28 septembre 2015, soit plus de dix jours après la notification de la décision du 19 août 2015, était partant hors délai.
C.
Agissant par la voie du recours constitutionnel subsidiaire, la Société demande au Tribunal fédéral, sous suite de frais et dépens, d'annuler l'arrêt du 19 février 2016 du Tribunal cantonal. Elle invoque la protection de la bonne foi ainsi qu'une application arbitraire du droit cantonal de procédure.
Le Tribunal cantonal et la commune de Port-Valais renoncent à se déterminer sur le recours. La Fondation interprofessionnelle conclut à son rejet.
Par ordonnance présidentielle du 26 avril 2016, le Tribunal fédéral a rejeté la requête d'effet suspensif formée par la recourante.

Considérant en droit :
1.
Le Tribunal fédéral examine d'office sa compétence (<ref-law>). Il contrôle librement la recevabilité des recours qui lui sont soumis (<ref-ruling> consid. 2.1 p. 397).
1.1. La décision entreprise, qui prononce l'irrecevabilité du recours, a laissé ouverte la question de savoir si la présente cause concernait les marchés publics. Dans l'affirmative, le recours en matière de droit public ne serait recevable qu'à la double condition que la valeur estimée du mandat à attribuer soit égale ou supérieure aux seuils déterminants prévus à cet effet et que la décision attaquée soulève une question juridique de principe (art. 83 let. f LTF), ce qu'il appartient au recourant de démontrer (cf. <ref-ruling> consid. 1.2 p. 20 s.).
En l'occurrence, du moment que la recourante a déposé un recours constitutionnel subsidiaire et qu'elle invoque uniquement la violation de droits constitutionnels, il n'est pas nécessaire d'examiner si l'on est en présence d'une décision en matière de marchés publics au sens de l'art. 83 let. f LTF. En effet, déposé en temps utile (<ref-law>; <ref-law>) pour violation des droits constitutionnels (<ref-law>) contre une décision finale (art. 90 et 117 LTF) rendue par une dernière instance supérieure cantonale (art. 86 al. 1 let. d et al. 2 LTF et 114 LTF ainsi que 113 LTF a contrario), le présent recours est recevable, sous réserve de ce qui suit.
1.2. Le recours doit contenir des conclusions (<ref-law>). Comme le recours au Tribunal fédéral est une voie de réforme (cf. <ref-law>), le recourant ne peut en principe pas se borner à demander l'annulation de la décision attaquée, mais il doit prendre des conclusions sur le fond du litige. En cas de contestation d'une décision d'irrecevabilité, ces conclusions peuvent consister à demander le renvoi de l'affaire à l'autorité précédente pour qu'elle statue sur le fond (<ref-ruling> consid. 1.3 p. 317; arrêt 2C_684/2012 du 5 mars 2013 consid. 1.3). En l'occurrence, la recourante conclut uniquement à l'annulation de l'arrêt attaqué. Il ressort cependant de la motivation du recours, qui peut être prise en considération dans l'interprétation des conclusions, que la recourante demande le renvoi à l'autorité précédente afin que celle-ci entre en matière et statue sur le fond. Le recours est par conséquent recevable sans qu'il y ait lieu de s'interroger sur la réalisation des exigences de l'art. 83 let. f LTF.
2.
Invoquant l'art. 9 Cst., la recourante se prévaut d'une lecture arbitraire du courrier du 19 août 2015 par l'instance cantonale.
2.1. Selon l'art. 9 Cst. toute personne a le droit d'être traitée par les organes de l'État sans arbitraire et conformément aux règles de la bonne foi. Une décision est arbitraire lorsqu'elle viole gravement une norme ou un principe juridique clair et indiscuté, ou lorsqu'elle contredit d'une manière choquante le sentiment de la justice et de l'équité. Le Tribunal fédéral ne s'écarte de la solution retenue par l'autorité cantonale de dernière instance que si elle apparaît insoutenable, en contradiction manifeste avec la situation effective, adoptée sans motifs objectifs ou en violation d'un droit certain. Il ne suffit pas que la motivation de la décision critiquée soit insoutenable; encore faut-il que celle-ci se révèle arbitraire dans son résultat. En outre, il n'y a pas arbitraire du seul fait qu'une autre solution que celle adoptée par l'autorité intimée serait concevable, voire préférable (<ref-ruling> consid. 4.3 p. 319; <ref-ruling> consid. 2.4 p. 5).
2.2. S'agissant de l'appréciation des preuves et des constatations de fait, il y a arbitraire lorsque l'autorité ne prend pas en compte, sans raison sérieuse, un élément de preuve propre à modifier la décision, lorsqu'elle se trompe manifestement sur son sens et sa portée, ou encore lorsque, en se fondant sur les éléments recueillis, elle en tire des constatations insoutenables (<ref-ruling> consid. 2.3 p. 266; <ref-ruling> consid. 4.1.2 p. 62; arrêt 2D_73/2015 du 30 juin 2016 consid. 3.1). L'appréciation des preuves doit être arbitraire non seulement en ce qui concerne les motifs invoqués par la juridiction cantonale pour écarter un moyen de preuve, mais également dans son résultat (<ref-ruling> consid. 4.3 et 4.3.1 p. 176 s.; <ref-ruling> consid. 2.4 p. 5; arrêt 2C_682/2012 du 7 février 2013 consid. 3.1).
2.3. La recourante reproche aux juges précédents d'avoir retenu que le courrier du 19 août 2015 permettait de comprendre que l'entité adjudicatrice avait suivi la recommandation du jury et décidé d'adjuger le mandat au bureau recommandé par le collège d'experts. Dans la décision attaquée, le Tribunal cantonal a admis que la date de l'approbation de la recommandation du collège d'experts par la Fondation interprofessionnelle ne figurait pas dans le courrier du 19 août 2015. Toutefois, l'instance précédente a constaté que la recourante connaissait le choix du collège d'experts depuis le 24 juin 2015, soit la date du courriel adressé par le président du collège d'experts à tous les concurrents. Partant, si la recourante éprouvait encore un doute quant à l'issue du concours à cette date, elle ne pouvait plus en avoir dès réception du courrier du 19 août 2015, accompagné du rapport du collège d'experts. D'après le Tribunal cantonal, cette lettre permettait clairement de "constater la clôture de la procédure d'attribution du marché, le nom de l'adjudicataire et l'échec de l'offre de la recourante" (cf. arrêt attaqué, p. 10). Le courrier comportait en outre la mention de décision avec l'indication de la voie et du délai de recours, l'invitation des participants malheureux à venir retirer leurs plans et maquettes, ainsi que la convocation au vernissage officiel de l'exposition. Enfin, les juges précédents ont relevé que le courrier était cosigné par le président de la Commune de Port-Valais ainsi que par deux membres du conseil de fondation de la Fondation interprofessionnelle. L'instance précédente en a conclu que la recourante ne pouvait de bonne foi douter de l'existence de l'approbation tant par la commune que par la Fondation interprofessionnelle de la recommandation du collège d'experts. Une telle appréciation n'est pas insoutenable. Quoi qu'en dise la recourante, le Tribunal cantonal pouvait sans arbitraire considérer qu'au vu de l'ensemble des éléments figurant dans le courrier du 19 août 2015 (soit l'invitation à retirer les plans et les maquettes, la convocation au vernissage officiel de l'exposition, la mention de décision et l'indication de la voie et du délai de recours), la signature des deux membres du conseil de fondation de la Fondation interprofessionnelle permettait de comprendre que celle-ci avait approuvé la recommandation du collège d'experts. Cette appréciation se justifie d'autant plus que le collège d'experts avait déjà informé la recourante de son choix dans un courriel précédent et que la lettre du 19 août 2015 visait notamment, sous la plume du Président de la commune et de la Fondation interprofessionnelle, à confirmer sa recommandation sous la forme d'une décision formelle. Le grief d'arbitraire dans l'appréciation des preuves doit ainsi être rejeté.
3.
Invoquant à nouveau l'art. 9 Cst. et le droit à la protection de la bonne foi, la recourante se plaint de l'application arbitraire (sur cette notion: cf. consid. 2.1) de l'art. 31 de la loi valaisanne du 6 octobre 1976 sur la procédure et la juridiction administratives (LPJA; RS/VS 172.6).
3.1. L'art. 31 LPJA prévoit qu'une notification irrégulière ne peut entraîner aucun préjudice pour les parties. Le principe énoncé à l'art. 31 LPJA est un principe général du droit, déduit de l'art. 9 Cst. protégeant la bonne foi du citoyen dans ses relations avec l'Etat (cf. arrêts 1C_15/2016 du 1er septembre 2016 consid. 2.2; 2C_708/2015 du 7 mars 2016 consid. 3.3; 2C_857/2012 du 5 mars 2013 consid. 3.1). Ainsi, une décision irrégulièrement notifiée n'est pas nulle, mais simplement inopposable à ceux qui auraient dû en être les destinataires; une telle décision ne peut donc pas les lier, mais la protection des parties est suffisamment garantie lorsque la notification irrégulière atteint son but malgré cette irrégularité (arrêt 8C_130/2014 du 22 janvier 2015 consid. 2.3.2 publié in SJ 2015 I 293). Il y a lieu d'examiner, d'après les circonstances du cas concret, si les parties intéressées ont réellement été induites en erreur par l'irrégularité de la notification et ont, de ce fait, subi un préjudice. Ce principe comporte toutefois une réserve: l'art. 5 al. 3 in fine Cst. impose au citoyen d'agir de manière conforme aux règles de la bonne foi (<ref-ruling> consid. 8.3.2 p. 53 s.).
3.2. Dans l'arrêt attaqué, le Tribunal cantonal a considéré que le courrier du 19 août 2015, accompagné du rapport du collège d'experts, permettait clairement de constater la clôture de la procédure d'attribution du marché, le nom de l'adjudicataire et l'échec de l'offre de la recourante. Admettant que le courrier comportait des irrégularités, les juges cantonaux ont néanmoins considéré qu'il avait atteint son but, à savoir la communication de l'issue du concours. Compte tenu des circonstances, l'instance précédente a estimé qu'au lieu de réclamer une correction de la notification de la décision, la recourante aurait dû s'efforcer de déposer son recours dans le délai de dix jours dès réception du courrier litigieux.
En l'occurrence, il n'est pas contesté que le courrier du 19 août 2015 comporte des irrégularités. En effet, contrairement à ce que prévoit le droit cantonal de procédure, le courrier n'est pas couvert par la signature du secrétaire municipal (cf. art. 97 al. 1 de la loi du 5 février 2004 sur les communes [LCo; RS/VS 175.1]) et la décision ne mentionne pas l'approbation des recommandations du collège d'experts par le Conseil municipal (cf. art. 97 al. 2 LCo). L'instance précédente a par ailleurs relevé que la Fondation interprofessionnelle ne constituait vraisemblablement pas un pouvoir adjudicateur au sens de l'art. 8 de l'accord intercantonal sur les marchés publics du 25 novembre 1994 (AIMP; RS/GE L 6 05). Il s'agit donc d'examiner si la recourante a été induite en erreur par ces irrégularités et a, de ce fait, subi un préjudice.
D'après l'intéressée, les irrégularités contenues dans le courrier du 19 août 2015 l'ont amenée à la conclusion que ce document servait uniquement à informer les concurrents de la recommandation du collège d'experts. La recourante n'aurait donc eu aucune raison d'attaquer cet acte en justice, puisqu'elle s'attendait à recevoir une décision formelle sur ce point. Elle expose que ce n'est qu'à partir du 16 septembre 2015, date de la réception du courrier de la commune lui indiquant que la recommandation du collège d'experts avait été approuvée par la Fondation interprofessionnelle, qu'elle aurait pu se rendre compte que le courrier du 19 août 2015 constituait une décision. Ce raisonnement n'emporte pas la conviction. D'une part, comme l'a constaté l'autorité précédente, le courrier permettait clairement de constater la clôture de la procédure d'attribution du marché, le nom de l'adjudicataire et l'échec de l'offre de la recourante (cf. arrêt attaqué, p. 10). C'est également sans arbitraire que l'instance précédente a considéré que la recourante ne pouvait de bonne foi douter de l'existence de l'approbation tant par la commune que par la Fondation interprofessionnelle (cf. supra consid. 2.3). D'autre part, et de manière plus déterminante, il ressort de l'arrêt attaqué (cf. <ref-law>) que le courrier du 19 août 2015 mentionnait expressément qu'il s'agissait d'une "décision" sujette à "recours dans les 10 jours dès la présente notification auprès de la Cour de droit public du Tribunal cantonal à Sion". Le courrier précisait ainsi non seulement le nom de l'adjudicataire retenu dans le cadre de la procédure sur invitation mais indiquait également qu'il s'agissait d'une décision sujette à recours. En pareilles circonstances, il appartenait à la destinataire du courrier d'agir, si elle entendait contester le choix de l'adjudicataire, dans le délai imparti. La recourante ne pouvait, sans manquer à l'attention commandée par les circonstances, se borner à informer le Conseil municipal que son courrier du 19 août 2015 contenait des irrégularités et attendre la notification d'une nouvelle décision. Dans ces conditions, l'intéressée, qui ne prétend du reste pas que son courrier du 31 août 2015 aurait dû être considéré comme un recours par l'autorité communale, ne peut se réclamer d'une protection fondée sur la bonne foi.
3.3. Il s'ensuit que les griefs d'application arbitraire du droit cantonal et de violation du principe de la protection de la bonne foi sont infondés.
4.
Dans un dernier grief invoqué en lien avec l'art. 9 Cst., la recourante se plaint d'une attitude contraire au principe de la bonne foi de la part de l'autorité communale.
4.1. Ancré à l'art. 9 Cst., et valant pour l'ensemble de l'activité étatique, le principe de la bonne foi exige que l'administration et les administrés se comportent réciproquement de manière loyale. En particulier, l'administration doit s'abstenir de tout comportement propre à tromper l'administré et ne saurait tirer aucun avantage des conséquences d'une incorrection ou insuffisance de sa part. A certaines conditions, le citoyen peut ainsi exiger de l'autorité qu'elle se conforme aux promesses ou assurances qu'elle lui a faites et ne trompe pas la confiance qu'il a légitimement placée dans celles-ci (cf. <ref-ruling> consid. 6.2 p. 538; <ref-ruling> consid. 3.6.2 p. 193 et les références citées). Entre autres conditions, l'autorité doit être intervenue à l'égard du citoyen dans une situation concrète et celui-ci doit avoir pris, en se fondant sur les promesses ou le comportement de l'administration, des dispositions qu'il ne saurait modifier sans subir de préjudice (cf. <ref-ruling> consid. 7.1 p. 381 et les références). A l'instar de tous les griefs d'ordre constitutionnel, la protection de la bonne foi est soumise aux conditions de motivation accrues découlant de l'<ref-law>, également applicable au recours constitutionnel subsidiaire (cf. <ref-law>) : le recourant doit exposer, de manière claire et détaillée, en quoi consiste la violation du droit constitutionnel invoqué (cf. <ref-ruling> consid. 2.2 p. 232 et les références citées).
4.2. La recourante prétend que la commune de Port-Valais a adopté un comportement contraire à la bonne foi en omettant d'indiquer à l'intéressée, dans son courrier du 1er septembre 2015, que la Fondation interprofessionnelle avait déjà approuvé la recommandation du collège d'experts. En l'occurrence, il est douteux que le grief du recourant réponde aux exigences de motivation accrue de l'art. 106 al 2 LTF. Quoi qu'il en soit, on ne voit pas quelles dispositions la recourante aurait pu prendre et auxquelles elle ne saurait renoncer sans subir de préjudice. En effet, le courrier de la commune a été notifié à la recourante alors que le délai de recours contre la décision du 19 août 2015 était déjà arrivé à échéance (cf. supra consid. 3.2). La critique de la recourante doit partant être rejetée.
5.
Au vu de ce qui précède, le recours doit être rejeté dans la mesure où il est recevable.
Succombant, la recourante doit supporter les frais judiciaires (<ref-law>) et n'a pas droit à des dépens (<ref-law>). Elle versera en outre une indemnité à titre de dépens à la Fondation interprofessionnelle, représentée par un avocat, qui s'est déterminée dans la procédure de recours engagée devant la Cour de céans (art. 68 al. 1 et 2 LTF). Aucune indemnité à titre de dépens ne sera en revanche accordée à la commune de Port-Valais (<ref-law>; cf. <ref-ruling> consid. 7 p. 118 s.).

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce :
1.
Le recours est rejeté dans la mesure où il est recevable.
2.
Les frais judiciaires, arrêtés à 2'000 fr., sont mis à la charge de la recourante.
3.
La recourante versera à la Fondation interprofessionnelle sanitaire de prévoyance une indemnité de 2'000 fr. à titre de dépens.
4.
Le présent arrêt est communiqué au mandataire de la recourante, à la Commune de Port-Valais, au mandataire de la Fondation interprofessionnelle sanitaire de prévoyance, à Y._ Sàrl, et au Tribunal cantonal du canton du Valais, Cour de droit public.
Lausanne, le 14 novembre 2016
Au nom de la IIe Cour de droit public
du Tribunal fédéral suisse
Le Président : Seiler
La Greffière : McGregor