Sachverhalt:
A.
Der 1959 geborene A._ erlitt am 15. Juni 2012 bei einem Sturz während seiner Arbeit als angelernter Plattenleger Verletzungen im unteren Rückenbereich. Die Schweizerische Unfallversicherungsanstalt (Suva) erbrachte die gesetzlichen Leistungen. Anfang Dezember 2012 meldete sich A._ aufgrund der Unfallfolgen (Schmerzen beim Treppensteigen, Bücken, Tragen und langen Stehen) bei der Invalidenversicherung zum Leistungsbezug an. Die IV-Stelle des Kantons Zürich zog die Akten der Krankenversicherung bei, in deren Auftrag der Versicherte bereits orthopädisch und später auch psychiatrisch begutachtet worden war, und holte ein ergänzendes bidisziplinäres Gutachten ein, das vom 25./30. Mai 2014 datiert. Gestützt darauf wies sie das Leistungsbegehren nach durchgeführtem Vorbescheidverfahren mit Verfügung vom 25. Juni 2015 ab, da kein invalidisierender Gesundheitsschaden vorliege.
B.
Dagegen erhob A._ Beschwerde beim Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich und beantragte die Zusprache einer ganzen Rente. Die IV-Stelle hob ihre Verfügung zwecks weiterer Abklärungen lite pendente auf (vgl. Verfügung vom 28. September 2015) und beantragte in der kantonalen Vernehmlassung die Abschreibung der Beschwerde infolge Gegenstandslosigkeit, eventualiter deren teilweise Gutheissung im Sinne einer Rückweisung zu weiteren Abklärungen. Mit Entscheid vom 26. Februar 2016 hiess das kantonale Gericht die Beschwerde des A._ teilweise gut und stellte fest, dass dieser ab Juli 2013 Anspruch auf eine ganze Invalidenrente (Invaliditätsgrad: 100 %) und ab Oktober 2014 bis und mit April 2015 auf eine halbe Invalidenrente (Invaliditätsgrad: 56 %) hat. Insoweit hob es die Verfügung vom 25. Juni 2015 auf. Im Übrigen wies es die Beschwerde ab.
C.
C.a. Die IV-Stelle führt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten mit dem Rechtsbegehren, der angefochtene Entscheid sei insoweit aufzuheben, als dem Versicherten ein befristeter Rentenanspruch zuerkannt werde (Verfahren 9C_233/2016).
C.b. A._ führt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten mit dem Rechtsbegehren, in teilweiser Aufhebung des angefochtenen Entscheids sei die IV-Stelle zu verpflichten, ihm ab Oktober 2014 weiterhin eine ganze Invalidenrente zuzusprechen (Verfahren 9C_274/2016).
C.c. A._ reicht im Verfahren 9C_233/2016 eine Stellungnahme ein und beantragt, auf die Beschwerde sei nicht einzutreten, eventualiter sei diese abzuweisen. Das Bundesamt für Sozialversicherungen verzichtet auf eine Vernehmlassung.

Erwägungen:
1.
Die Beschwerden richten sich gegen denselben letztinstanzlichen kantonalen Entscheid und es liegt ihnen der nämliche Sachverhalt zu Grunde. Es rechtfertigt sich daher, die Verfahren 9C_233/2016 und 9C_274/2016 zu vereinigen und in einem einzigen Urteil zu erledigen (<ref-law> in Verbindung mit <ref-law>; SVR 2013 BVG Nr. 49 S. 206, 9C_91/2013 E. 1; Urteil 9C_369/2012 vom 2. November 2012 E. 1).
2.
2.1. Fraglich ist vorab, ob der Antrag der IV-Stelle (im Verfahren 9C_233/2016) bezüglich der vom kantonalen Gericht zugesprochenen befristeten Invalidenrente ein unzulässiges neues Rechtsbegehren (<ref-law>) darstellt, wie dies der Versicherte im Rahmen seiner Beschwerdeantwort vom 29. April 2016 geltend macht.
2.2. Die Neuheit eines Begehrens bezieht sich auf den Streitgegenstand und bemisst sich im Verhältnis zu den vorinstanzlich gestellten Anträgen (<ref-ruling> E. 3.4.3 S. 365 und E. 4.2 S. 367). Der Streitgegenstand umfasst in concreto - nach dem Dispositiv des angefochtenen Entscheids (Zusprache einer befristeten ganzen bzw. halben Invalidenrente von Juli 2013 bis und mit April 2015; im Übrigen Abweisung der Beschwerde) - den Anspruch des Versicherten auf eine Invalidenrente. Der Antrag der IV-Stelle, wonach der vorinstanzliche Entscheid aufzuheben sei, soweit dem Versicherten ein befristeter Rentenanspruch zuerkannt wird, weitet ihn weder aus noch ändert er ihn ab. Indem die Verwaltung im kantonalen Beschwerdeverfahren auf die Wiedererwägung der Verfügung vom 25. Juni 2015 verwies und die Abschreibung der kantonalen Beschwerde, eventualiter deren teilweise Gutheissung im Sinne einer Rückweisung zwecks ergänzender Sachverhaltsabklärung beantragte, hat sie sich prozessrechtlich wohl nicht stringent verhalten. Streitig war und bleibt jedoch das Rechtsverhältnis Rentenanspruch (vgl. Urteil 9C_683/2009 vom 16. September 2009 E. 2.2.3 und die vorinstanzliche Erwägung 1.1). Ein neues Rechtsbegehren im Sinne von <ref-law> liegt entgegen der Auffassung des Versicherten nicht vor. Im Übrigen kann der (prozessrechtliche) Zick-Zack-Kurs der IV-Stelle auch nicht als rechtsmissbräuchlich (vgl. <ref-law>) oder mutwillig (<ref-law>; MATTHIAS HÄRRI, in: Basler Kommentar, Bundesgerichtsgesetz, 2. Aufl. 2011, N. 17 und 20 zu <ref-law>) angesehen werden.
3.
3.1. Mit der Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann u.a. die Verletzung von Bundesrecht gerügt werden (<ref-law>). Die Feststellung des Sachverhalts kann nur gerügt werden, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruht und wenn die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein kann (<ref-law>). Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (<ref-law>). Es kann die Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz von Amtes wegen berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruht (<ref-law>).
3.2. Neue Tatsachen und Beweismittel dürfen nur soweit vorgebracht werden, als erst der vorinstanzliche Entscheid dazu Anlass gibt (<ref-law>). Der Versicherte legt den Verlaufsbericht der Dr. med. B._ vom 13. April 2016 ins Recht; sodann beruft er sich (im Verfahren 9C_233/2016) auf die ärztliche Bestätigung der Dr. med. C._ vom 11. April 2016. Diese Beweismittel sind nach dem angefochtenen Entscheid entstanden. Sie bleiben aufgrund des absoluten Verbots, im Beschwerdeverfahren vor Bundesgericht echte Noven beizubringen, unbeachtlich (<ref-ruling> E. 3.2.2.2 S. 548; <ref-ruling> E. 3.1.2 S. 123; Urteil 8C_721/2014 vom 27. April 2015 E. 2). Überdies ist im Normalfall der Sachverhalt zu beurteilen, wie er sich bis zum Verfügungszeitpunkt entwickelt hat (<ref-ruling> E. 1b S. 366).
4.
4.1. Das kantonale Gericht hat der bidisziplinären Expertise vom 25./30. Mai 2014 Beweiskraft beigemessen und einen rentenbegründenden Gesundheitsschaden aus somatischer Sicht verneint (Invaliditätsgrad: 13 %). Den psychiatrischen Diagnosen einer erschwerten Schmerzbeschwerdeverarbeitung (ICD-10 F54) und einer sekundär entwickelten Benzodiazepin- (Temesta-) Abhängigkeit (ICD-10 F23.25) hat es keine Auswirkungen auf die Arbeitsunfähigkeit zuerkannt. Hingegen ist die Vorinstanz in Bezug auf die vom psychiatrischen Experten med. pract. D._ diagnostizierte (maximal) mittelgradige depressive Episode mit somatischem Syndrom (ICD-10 F32.11) ab Juli 2013 von einer vollumfänglichen Arbeitsunfähigkeit ausgegangen. Für den weiteren Verlauf hat das kantonale Gericht auf die gutachterliche Prognose abgestellt, wonach innerhalb von zwei Monaten seit der Begutachtung (August 2014) eine Arbeitsfähigkeit von 50 % in einer somatisch angepassten Tätigkeit und nach weiteren sechs Monaten (Februar 2015) eine solche von 100 % erreichbar ist. Gestützt darauf hat die Vorinstanz dem Versicherten ab Juli 2013 bis September 2014 eine ganze Invalidenrente und (unter Berücksichtigung des <ref-law>) ab Oktober 2014 bis und mit April 2015 eine halbe Invalidenrente zugesprochen. Im Hinblick auf die zu erwartende vollständige Remission der depressiven Störung hat sie einen Rentenanspruch ab Mai 2015 (wieder) verneint.
4.2. Streitig ist einerseits, ob die beim Versicherten vorliegende depressive Störung "mittels eine (s) intensiven Therapieprozess (es) heilbar (ist) ". Anderseits bestreitet die IV-Stelle, dass ein therapierbares Leiden, das keine Invalidität im Rechtssinne darstelle, einen vorübergehenden Rentenanspruch zu bewirken vermöge. Abgesehen davon habe ein Rentenanspruch nicht vor dem 1. Juli 2014 (bei der in der Beschwerde genannten Jahreszahl 2013 handelt es sich um einen offensichtlichen Verschrieb) entstehen können.
5.
Die Parteien ziehen nicht in Zweifel, dass die bidisziplinäre Expertise vom 25./30. Mai 2014 den Anforderungen an den Beweiswert ärztlicher Berichte und Gutachten genügt (vgl. <ref-ruling> E. 5.1 S. 232). Ob eine (maximal) mittelgradige depressive Episode mit somatischem Syndrom (ICD-10 F32.11) einen invalidisierenden Gesundheitsschaden im Sinne von <ref-law> darstellt, ist eine vom Bundesgericht frei überprüfbare Rechtsfrage (<ref-ruling> E. 3.1 und 3.2 S. 195 f.; Urteil 9C_140/2014 vom 7. Januar 2015 E. 3.2). Aus rechtlicher Sicht kann von einer medizinischen Einschätzung der Arbeitsunfähigkeit abgewichen werden, ohne dass diese ihren Beweiswert verliert (Urteil 9C_106/2015 vom 1. April 2015 E. 6.3 mit Hinweisen).
6.
6.1. Leichte bis mittelgradige depressive Störungen rezidivierender oder episodischer Natur fallen praxisgemäss einzig dann als invalidisierende Krankheiten in Betracht, wenn sie erwiesenermassen therapieresistent sind. Nur in dieser - seltenen, da nach gesicherter psychiatrischer Erfahrung Depressionen im Allgemeinen therapeutisch gut angehbar sind - gesetzlich verlangten Konstellation ist den normativen Anforderungen des Art. 7 Abs. 2 zweiter Satz ATSG für eine objektivierende Betrachtungs- und Prüfungsweise Genüge getan. Ein solcher Sachverhalt muss überwiegend wahrscheinlich und darf nicht lediglich nicht auszuschliessen sein. Zudem muss die Therapie in dem Sinne konsequent gewesen sein, als die aus fachärztlicher Sicht indizierten zumutbaren (ambulanten und stationären) Behandlungsmöglichkeiten in kooperativer Weise optimal und nachhaltig ausgeschöpft worden sind (vgl. statt vieler Urteil 9C_434/2016 vom 14. Oktober 2016 E. 6.3 mit Hinweisen).
6.2. Der Versicherte führt nicht näher aus, weshalb diese Rechtsprechung gegen das Gleichheitsgebot von <ref-law> verstossen soll. Indem er allgemein darauf hinweist, dass bei einer unfallbedingten befristeten Invalidität regelmässig Renten zugesprochen würden, kommt er seiner qualifizierten Begründungspflicht (vgl. <ref-law>) nicht nach. Es erübrigen sich daher Weiterungen. Anzufügen bleibt, dass das Bundesgericht eine Praxisänderung hinsichtlich der Auswirkungen leichter bis mittelgradiger depressiver Störungen wiederholt abgelehnt hat (beispielsweise Urteile 9C_125/20015 vom 18. November 2015 E. 7.2.1 und 9C_168/2015 vom 13. April 2016 E. 4.2).
6.3. Die Vorinstanz hat in ihrer Erwägung 5.3.3 einlässlich dargelegt, dass die Depressivität des Versicherten therapeutisch noch angehbar ist. Diese Sachverhaltsfeststellung ist für das Bundesgericht verbindlich (vgl. E. 3.1 vorne). Der Versicherte vermag auch in diesem Punkt nicht rechtsgenüglich aufzuzeigen, inwiefern sie offensichtlich unrichtig (unhaltbar, willkürlich; vgl. statt vieler Urteil 9C_655/2016 vom 31. Oktober 2016) sein soll. Seine Rügen erschöpfen sich zum einen in appellatorischer Kritik. Zum andern ist der Einwand unbehelflich, er habe sich bereits einem stationären Aufenthalt in der Reha Klinik E._ unterzogen, der keine Besserung gebracht habe, zumal dort keine psychiatrische Behandlung durchgeführt wurde (vgl. Kurz-Austrittsbericht vom 1. Dezember 2013).
Dem psychiatrischen Gutachten vom 30. Mai 2014 ist zu entnehmen, dass der Versicherte alle zwei Wochen, manchmal wöchentlich, von Dr. med. F._ oder der delegiert arbeitenden Psychotherapeutin ambulant psychotherapeutisch behandelt wurde, wobei eine antidepressive Medikation (Temesta, Cipralex, Surmontil) bestand. Sowohl med. pract. D._ als auch der psychiatrische Vorgutachter Dr. med. G._ (Gutachten vom 22. März 2014, S. 4 f.) hielten diese Behandlung für nicht ausreichend, sondern schlugen eine Therapieintensivierung im Rahmen eines Behandlungsprozesses in einer psychiatrischen Tagesklinik vor. Von einer Ausschöpfung der zumutbaren Behandlungsoptionen, wie sie für einen invalidisierenden Gesundheitsschaden aufgrund der diagnostizierten mittelgradigen depressiven Episode mit somatischem Syndrom (ICD-10 F32.11) vorausgesetzt ist (E. 6.1 vorne), kann vor diesem Hintergrund nicht gesprochen werden. Dies gilt umso mehr, als selbst die behandelnde Psychiaterin Dr. med. F._ ab 1. Juni 2014 bloss noch von einer Arbeitsunfähigkeit von 50 % ausging, wie die Vorinstanz willkürfrei festgehalten hat. Entsprechend gab der Versicherte in der psychiatrischen Exploration denn auch an, seine Psyche sei mit der Therapie viel besser geworden (Gutachten vom 30. Mai 2014, S. 7). Nachdem somit eine Verbesserung schon unter der bisherigen ambulanten Behandlung erzielt werden konnte, ist eine Therapieresistenz mit dem Beweisgrad der überwiegenden Wahrscheinlichkeit umso weniger erstellt. Inwiefern die von den Gutachtern empfohlene Behandlung objektiv unzumutbar sein soll, substanziiert der Versicherte nicht.
6.4. Was die Berichte der Dr. med. H._, Zentrum I._, vom 16. Dezember 2014 und 15./27. Januar 2015(Diagnosen: chronische Sinusitis maxillares beidseits, Lungenemphysem, zwei kontrollbedürftige Lungenherde links) anbelangt, hat das kantonale Gericht beweiswürdigend auf die Stellungnahme des Regionalen Ärztlichen Dienstes vom 16. Juni 2015 verwiesen und neue Gesichtspunkte verneint; sodann hat es berücksichtigt, dass Dr. med. H._ dem Versicherten zu keinem Zeitpunkt eine Arbeitsunfähigkeit attestierte. Dem ist nichts hinzuzufügen (vgl. E. 3.1 vorne). Fehlt es demnach in Bezug auf die von Dr. med. H._ erhobenen Befunde an Auswirkungen auf die Arbeitsfähigkeit, vermögen diese auch die Prognose in Bezug auf die depressive Störung nicht negativ zu beeinflussen. Die diesbezüglichen Vorbringen des Versicherten können daher nicht gehört werden.
6.5. Folglich erweist sich der vorinstanzliche Schluss, dass die depressive Störung des Versicherten mangels Invalidisierung keinen Rentenanspruch verleiht, nicht als bundesrechtswidrig. Die Beschwerde des Versicherten ist offensichtlich unbegründet und abzuweisen. Gleichzeitig steht fest, dass weder für die Durchführung eines Mahn- und Bedenkverfahrens, wie der Versicherte es fordert, noch für die Zusprechung einer befristeten Rente Raum verbleibt. Zwar trifft zu, dass die behandelnde Psychiaterin Dr. med. F._ dem Versicherten ab Behandlungsbeginn am 9. Juli 2013 eine vollumfängliche Arbeitsunfähigkeit attestierte (Bericht vom 24. Oktober 2013). Die Vorinstanz übersieht jedoch, dass vor diesem Zeitpunkt überhaupt keine (fach-) psychiatrische Behandlung stattgefunden hatte. Von einer konsequenten Depressionstherapie, die auf eine Ausschöpfung der therapeutischen und medikamentösen Möglichkeiten und damit auf die Resistenz des Leidens schliessen liesse, kann demnach zu keinem Zeitpunkt die Rede sein. Die Beschwerde der IV-Stelle ist gutzuheissen. Bei dieser Sach- und Rechtslage kann die Frage nach dem Beginn des Wartejahres offen bleiben.
7.
Abschliessend sei angefügt: Soweit das Bundesgericht in seinem Urteil 9C_1041/2010 vom 31. März 2011 eine leichte bis mittelgradige depressive Episode bei der Arbeitsfähigkeit berücksichtigt hat, lässt der Versicherte ausser Acht, dass es sich dort - anders als hier - um eine IV-relevante Erkrankung handelte.
8.
Dem Ausgang des Verfahrens entsprechend hat der unterliegende Versicherte die Gerichtskosten zu tragen (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Verfahren 9C_233/2016 und 9C_274/2016 werden vereinigt.
2.
Die Beschwerde der IV-Stelle des Kantons Zürich (9C_233/2016) wird gutgeheissen. Der Entscheid des Sozialversicherungsgerichts des Kantons Zürich vom 26. Februar 2016 wird aufgehoben und die Verfügung der IV-Stelle des Kantons Zürich vom 25. Juni 2015 bestätigt.
3.
Die Beschwerde des A._ (9C_274/2016) wird abgewiesen.
4.
Die Gerichtskosten von insgesamt Fr. 800.- werden dem Versicherten auferlegt.
5.
Die Sache wird zur Neuverteilung der Kosten und der Parteientschädigung des vorangegangenen Verfahrens an das Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich zurückgewiesen.
6.
Dieses Urteil wird den Parteien, dem Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich und dem Bundesamt für Sozialversicherungen schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 14. November 2016
Im Namen der II. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Glanzmann
Der Gerichtsschreiber: Grünenfelder