Sachverhalt:
A.
Mit Urteil vom 15. Juni 2016 verurteilte das Bezirksgericht Zürich A._ wegen mehrfacher, teilweise versuchter Gewalt und Drohung gegen Behörden und Beamte (Art. 285 Ziff. 1 StGB, teilweise i.V.m. Art. 22 Abs. 1 StGB) zu einer Freiheitsstrafe von acht Monaten, wovon bis und mit Urteilsdatum 231 Tage durch Haft und vorzeitigen Strafantritt erstanden waren. Weiter wurde eine stationäre therapeutische Massnahme (Art. 59 StGB; Behandlung von psychischen Störungen) angeordnet und die Freiheitsstrafe zu diesem Zweck aufgeschoben. Gegen dieses Urteil erhob A._ am 24. Juni 2016 Berufung.
B.
Mit Beschluss vom 6. Juli 2016 wies das Bezirksgericht das Haftentlassungsgesuch von A._ ab. Es entliess ihn aus dem vorzeitigen Strafvollzug und versetze ihn sogleich in Sicherheitshaft. Diese wurde bis zum 6. Oktober 2016 befristet. Die dagegen von A._ am 20. Juli 2016 erhoben Beschwerde wies das Obergericht des Kantons Zürich, III. Strafkammer, mit Beschluss vom 29. Juli 2016 ab.
Seit anfangs August 2016 befindet sich A._ im vorzeitigen stationären Massnahmenvollzug in der Klinik N._.
C.
A._ erhebt Beschwerde in Strafsachen. Er beantragt die Aufhebung des angefochtenen Beschlusses und die umgehende Entlassung aus dem vorzeitigen Massnahmenvollzug. Als Ersatzmassnahme sei eine ambulante psychiatrische Behandlung anzuordnen.
Das Obergericht und das Bezirksgericht haben auf eine Vernehmlassung verzichtet. Die Staatsanwaltschaft beantragt die Abweisung der Beschwerde. Der Beschwerdeführer hat auf eine Stellungnahme verzichtet.

Erwägungen:
1.
1.1. Angefochten ist ein kantonal letztinstanzlicher Entscheid in einer strafrechtlichen Angelegenheit, gegen den die Beschwerde in Strafsachen offensteht (Art. 78 ff. BGG). Beim Entscheid der Vorinstanz handelt es sich um einen selbstständig eröffneten Zwischenentscheid, der einen nicht wieder gutzumachenden Nachteil im Sinne von Art. 93 Abs. 1 lit. a BGG bewirken kann. Der Beschwerdeführer hat am vorinstanzlichen Verfahren teilgenommen und hat ein aktuelles rechtlich geschütztes Interesse an der Aufhebung des angefochtenen Entscheids, da er sich weiterhin in Haft (nun in den Modalitäten des vorzeitigen Massnahmenvollzugs; dazu sogleich E. 2) befindet. Er ist nach Art. 81 Abs. 1 BGG zur Beschwerde berechtigt. Das Bundesgericht kann nach Art. 107 Abs. 2 BGG bei Gutheissung der Beschwerde in der Sache selbst entscheiden. Der Antrag auf Haftentlassung ist daher zulässig. Die übrigen Sachurteilsvoraussetzungen sind ebenfalls erfüllt, weshalb auf die Beschwerde grundsätzlich eingetreten werden kann.
1.2. Der angefochtene Entscheid betrifft Zwangsmassnahmen im Sinne von Art. 196 ff. StPO. Die Auslegung und Anwendung der in der StPO geregelten Voraussetzungen für Grundrechtsbeschränkungen prüft das Bundesgericht mit freier Kognition (Art. 95 lit. a BGG). Soweit jedoch reine Sachverhaltsfragen und damit Fragen der Beweiswürdigung zu beurteilen sind, greift das Bundesgericht nur ein, wenn die tatsächlichen Feststellungen der Vorinstanz offensichtlich unrichtig sind oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von Art. 95 BGG beruhen (Art. 97 Abs. 1 und Art. 105 Abs. 2 BGG; <ref-ruling> E. 2.5 S. 73 f.).
2.
Nach Art. 236 Abs. 1 StPO kann die Verfahrensleitung der beschuldigten Person unter anderem bewilligen, freiheitsentziehende Massnahmen vorzeitig anzutreten, sofern der Stand des Verfahrens es erlaubt. Der vorzeitige Massnahmenantritt stellt seiner Natur nach eine strafprozessuale Zwangsmassnahme auf der Schwelle zwischen Strafverfolgung und Strafvollzug dar (<ref-ruling> E. 3.2.1 S. 278). Damit soll schon vor Erlass des rechtskräftigen Strafurteils ein Haftregime ermöglicht werden, das auf die persönliche Situation des Angeschuldigten zugeschnitten ist; ausserdem können erste Erfahrungen mit der voraussichtlich sachlich gebotenen Vollzugsform gesammelt werden (<ref-ruling> E. 3a S. 174).
Die dem Wortlaut nach die Sicherheitshaft regelnde Bestimmung von Art. 231 Abs. 2 StPO ist auch anwendbar, wenn sich der Betroffene im vorzeitigen Massnahmenvollzug befindet (<ref-ruling> E. 2 S. 275, E. 3.2.1 S. 277 mit Hinweisen).
3.
3.1. Untersuchungs- und Sicherheitshaft kann unter anderem angeordnet werden, wenn ein dringender Tatverdacht in Bezug auf ein Verbrechen oder Vergehen sowie Flucht-, Kollusions- oder Wiederholungsgefahr besteht (Art. 221 Abs. 1 StPO).
3.2. Der Beschwerdeführer bestreitet den dringenden Tatverdacht nicht. Er macht jedoch geltend, es fehle an der Wiederholungsgefahr nach Art. 221 Abs. 1 lit. c StPO.
3.3. Wiederholungsgefahr liegt vor, wenn ernsthaft zu befürchten ist, dass die beschuldigte Person durch schwere Verbrechen oder Vergehen die Sicherheit anderer erheblich gefährdet, nachdem sie bereits früher gleichartige Straftaten verübt hat (Art. 221 Abs. 1 lit. c StPO). Drohende Verbrechen oder schwere Vergehen genügen (entgegen dem deutschen und dem italienischen Gesetzestext) für die Annahme von Wiederholungsgefahr (<ref-ruling> E. 3.2 S. 85 f.). Nach der Rechtsprechung stellt die Drohung gemäss Art. 180 Abs. 1 StGB ein schweres Vergehen dar (Urteil 1B_179/2016 vom 6. Juni 2016 E. 3.2 mit Hinweisen).
Die Wahrung des Interesses an der Verhütung weiterer schwerwiegender Delikte ist verfassungs- und grundrechtskonform. Art. 5 Ziff. 1 lit. c EMRK anerkennt ausdrücklich die Notwendigkeit, Beschuldigte an der Begehung strafbarer Handlungen zu hindern, somit Spezialprävention als Haftgrund (<ref-ruling> E. 3.2 S. 85; <ref-ruling> E. 2.2 S. 72 mit Hinweisen). Nach der Rechtsprechung kann die Anordnung bzw. Fortsetzung von strafprozessualer Haft wegen Wiederholungsgefahr dem Verfahrensziel der Beschleunigung dienen, indem verhindert wird, dass sich der Strafprozess durch immer neue Delikte kompliziert und in die Länge zieht (<ref-ruling> E. 3.2 S. 85; <ref-ruling> E. 2.2 S. 72). Bei der Annahme, dass ein Beschuldigter weitere schwere Delikte begehen könnte, ist allerdings Zurückhaltung geboten. Da Präventivhaft einen schwerwiegenden Eingriff in das Recht der persönlichen Freiheit darstellt, muss sie auf einer hinreichenden gesetzlichen Grundlage beruhen, im öffentlichen Interesse liegen und verhältnismässig sein.
Die Aufrechterhaltung von strafprozessualer Haft wegen Wiederholungsgefahr ist zulässig, wenn einerseits die Rückfallprognose sehr ungünstig und anderseits die zu befürchtenden Delikte von schwerer Natur (im Sinne von Art. 221 Abs. 1 lit. c StPO) sind. Die rein hypothetische Möglichkeit der Verübung weiterer Delikte sowie die Wahrscheinlichkeit, dass nur geringfügige Straftaten verübt werden, reichen dagegen nicht aus, um eine Präventivhaft zu begründen. Schliesslich gilt auch bei der Präventivhaft - wie bei den übrigen Haftarten - dass sie nur als "ultima ratio" angeordnet oder aufrechterhalten werden darf. Wo sie durch mildere Massnahmen ersetzt werden kann, muss von der Anordnung oder Fortdauer der Haft abgesehen und an ihrer Stelle eine dieser Ersatzmassnahmen verfügt werden (Art. 212 Abs. 2 lit. c StPO; <ref-ruling> E. 2.4-4 S. 17 ff.; <ref-ruling> E. 2.3 S. 73; je mit Hinweisen).
3.4. Der Beschwerdeführer ist bereits wegen versuchter Nötigung vorbestraft. Im vorliegenden Strafverfahren hat er gestanden, einem Oberarzt mit Gewalt sowie mit dessen Tötung gedroht zu haben, weiteren Pflegepersonen zumindest körperliche Gewalt angedroht und diese kurzzeitig eingesperrt zu haben sowie gegenüber einer Pflegerin Todesdrohungen geäussert zu haben. Das Vortatenerfordernis gemäss Art. 221 Abs. 1 lit. c StPO ist als erfüllt zu betrachten.
3.5. Gemäss dem aktuellen psychiatrischen Gutachten vom 10. März 2016 - dabei handelt es sich mittlerweile um die vierte Begutachtung - leidet der zur Tatzeit 22-jährige Beschwerdeführer seit mehreren Jahren an einer hebephrenen Schizophrenie (ICD-10: F20.1) mit schwerem Ausprägungsgrad und chronischem Verlauf. Diese Erkrankung beeinträchtige ihn in seiner psychosozialen Leistungsfähigkeit erheblich. Seine Lebensführung sei seit Jahren massiv in nachteiliger Weise durch diese Erkrankung beeinflusst und habe bereits vor einigen Jahren zu einer Berentung geführt (vgl. S. 55 des Gutachtens). In Bezug auf die Rückfallgefahr schätzt der Gutachter das Risiko als sehr hoch ein. Insbesondere sei die Wahrscheinlichkeit, dass er auch künftig, vor allem im unbehandelten oder nicht ausreichend behandelten Zustand, erneute Drohungen aussprechen werde, sehr hoch.
3.6. Dagegen wendet der Beschwerdeführer ein, das Gutachten werde den Anforderungen nicht gerecht. Die darin errechnete Rückfallwahrscheinlichkeit von 55 % (im Zeitraum von sieben Jahren) und von 64 % (in einem Zeitraum von zehn Jahren) sei mit Vorsicht zu würdigen. Zudem seien einige Bewertungen fraglich. Mit diesen Vorbringen vermag er die Einschätzungen des Gutachters jedoch nicht zu erschüttern, die schlüssig, nachvollziehbar und in sich geschlossen sind. Es liegt auch keine Verletzung der Unschuldsvermutung vor, wenn der Gutachter die Rückfallrate beim Beschwerdeführer - angesichts der Vorgeschichte mannigfacher Drohungen, die in diversen Arztberichten dokumentiert seien - sogar noch höher einschätzt. Die Vorinstanz konnte sich daher ohne Weiteres auf das Gutachten abstützen.
3.7. Angesichts der gutachterlichen Ausführungen muss die Rückfallgefahr in Bezug auf Drohungen als sehr hoch eingestuft werden. Da es sich dabei um schwere Vergehen handelt, verletzt es kein Bundesrecht, wenn die Vorinstanz Wiederholungsgefahr bejaht hat. Damit erweist sich die Beschwerde in diesem Punkt als unbegründet.
4.
4.1. Der Beschwerdeführer vertritt den Standpunkt, Ersatzmassnahmen, namentlich eine ambulante psychiatrische Betreuung, würden zur Bannung von Wiederholungsgefahr ausreichen.
4.2. Gemäss Art. 237 Abs. 1 StPO ordnet das zuständige Gericht an Stelle der Untersuchungs- oder der Sicherheitshaft eine oder mehrere mildere Massnahmen an, wenn sie den gleichen Zweck wie die Haft erfüllen.
4.3. Das psychiatrische Gutachten vom 10. März 2016 führt aus, die Krankheitszeichen für eine hebephrene Schizophrenie liessen sich bis in die Jugend des Beschwerdeführers zurückverfolgen. Im Zuge der vielen stationären Aufenthalte sei zu erkennen, dass er von einem beschützenden Umfeld profitiere und sich dadurch deutlich stabilisieren könne. Als sehr problematisch während der gesamten Erkrankungsdauer (und vor allem in den immer kürzer werdenden Intervallen zwischen den Hospitalisationen) habe sich jedoch die fehlende Krankheitseinsicht des Beschwerdeführers erwiesen und damit einhergehend eine mangelnde Compliance hinsichtlich der dringend notwendigen medikamentösen Behandlung. Der Beschwerdeführer setze meist kurz nach der Entlassung aus der Klinik die Medikamente wieder ab. In der Folge sei es zu wiederholten Krankheitsphasen und zu einem massiven Fortschreiten des sozialen Abstiegs bis hin zur Obdachlosigkeit gekommen, weil auch sehr wohlmeinende therapeutische Institutionen und solche mit sehr geduldigem Behandlungskonzept oft nach kurzer Zeit am Rande ihrer Kompensationsfähigkeit gewesen seien und die therapeutische Beziehung zum Beschwerdeführer abgebrochen hätten (vgl. S. 45 des Gutachtens). Hinzu komme, dass dieser zunehmend dissoziale Verhaltensweisen zeige und er "gelernt" habe, dass er damit insofern erfolgreich sei, als er sich nicht weiter mit seiner Erkrankung und der negativen Prognose (und auch nicht mit an ihn gestellte Handlungsaufforderungen) auseinandersetzen müsse.
Der Gutachter führt weiter aus, es sei "ausserordentlich fraglich", ob ein ambulantes Setting ausreichend sei, die Therapieziele zu erreichen. Aus gutachterlicher Sicht benötige der Beschwerdeführer am Anfang der Therapie, bis zumindest die medikamentöse Therapie ausreichend etabliert sei, einen geschlossenen Rahmen. Erst nach einer Stabilisierungsphase könne bei ihm die Rehabilitation im Rahmen einer therapeutischen Kette mit individueller Gewährung und Lockerung auf weniger gesicherte Stationen erfolgen. Sollte eine stationäre Massnahme nicht möglich sein, so könnte unter Umständen an eine Therapie nach Art. 63 StGB gedacht werden, wenn eine solche ambulante Massnahme stationär eingeleitet werde, wobei die entsprechende therapeutische Einrichtung über ein ausreichend engmaschiges Setting mit entsprechend hoher Personaldichte verfügen müsse. Angesichts der Anamnese bestünden hingegen Zweifel am Erfolg einer solchen Massnahme (S. 54 f. des Gutachtens).
4.4. Mit Blick auf die gutachterlichen Ausführungen ist es nicht zu beanstanden, wenn die Vorinstanz davon ausgegangen ist, dass die Weisung zur ambulanten Behandlung als Ersatzmassnahme die Wiederholungsgefahr nicht hinreichend zu bannen vermöge. Das Gutachten geht von langfristig bestehenden therapeutischen Erfordernissen aus und empfiehlt in erster Linie ein stationäres Setting. Eine ambulante Behandlung komme nur als Notlösung in Frage. Dagegen vermögen die Ausführungen des Beschwerdeführers, er habe einen Gesinnungswandel durchgemacht, weshalb er eine medikamentöse Behandlung im ambulanten Rahmen nun als zielbringend erachte, nicht zu überzeugen. Gleiches gilt in Bezug auf seine Behauptung, er würde durch die ambulante Massnahme besser diszipliniert, da er bei deren Scheitern die stationäre Massnahme antreten müsste. Wie dem Gutachten zu entnehmen ist, hat sich der Beschwerdeführer bereits oft in therapeutischen Einrichtungen, auch jenseits von stationären psychiatrischen Einrichtungen, befunden. Jedes Mal habe die Therapie aber aufgrund seines Verhaltens abgebrochen werden müssen. Im Übrigen ist auch seine Einsicht in die Notwendigkeit der medikamentösen Behandlung kritisch zu hinterfragen, zumal er anlässlich der Hauptverhandlung vor dem Bezirksgericht vom 15. Juni 2016 noch die Aussage machte, mit den Medikamenten aufhören zu wollen; er sei wirklich psychisch krank wegen dieser Medikamente (Protokoll S. 12 f.).
4.5. Soweit der Beschwerdeführer vorbringt, die Anordnung einer stationären therapeutischen Massnahme sei unverhältnismässig, ist darauf hinzuweisen, dass der Beschwerdeführer Berufung erhoben hat. Aufgrund der erstinstanzlichen Anordnung der stationären Massnahmen und den gutachterlichen Empfehlungen ist nicht auszuschliessen, dass das erstinstanzliche Urteil bestätigt werden könnte. Wie die Vorinstanz zutreffend ausführt, muss der Beschwerdeführer ernsthaft mit dem Vollzug einer freiheitsentziehenden Massnahme rechnen, deren Gesamtdauer bis zur probeweisen bzw. definitiven Entlassung deutlich über der bisher erlittenen Haftdauer liegen könnte, zumal das Gutachten von langfristigen bestehenden therapeutischen Erfordernissen ausgehe. Diese Ausführungen halten vor Bundesrecht stand, weshalb die Haft als noch verhältnismässig angesehen werden kann.
5.
Nach dem Gesagten ist die Beschwerde abzuweisen.
Die Bedürftigkeit des Beschwerdeführers kann angenommen werden. Da die Haft einen schweren Eingriff in die persönliche Freiheit darstellt, konnte er sich zur Beschwerde veranlasst sehen. Die unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung nach Art. 64 BGG wird daher bewilligt. Es werden keine Kosten erhoben und dem Vertreter des Beschwerdeführers wird eine Entschädigung ausgerichtet.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen.
2.
Das Gesuch um entgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung wird gutgeheissen.
3.
Es werden keine Gerichtskosten erhoben.
4.
Dem Vertreter des Beschwerdeführers, Rechtsanwalt Roger Vago, wird aus der Bundesgerichtskasse eine Entschädigung von Fr. 1'500.-- ausgerichtet.
5.
Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer, der Staatsanwaltschaft Zürich-Limmat, dem Bezirksgericht Zürich, 3. Abteilung, und dem Obergericht des Kantons Zürich, III. Strafkammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 21. September 2016
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Fonjallaz
Der Gerichtsschreiber: Misic