Erwägungen:
1.
1.1. Für die Staats- und die direkte Bundessteuer der Perioden 2010 sowie 2011 veranlagte die Steuerverwaltung des Kantons Bern den mit B.B._ im Konkubinat lebenden A._ gemäss dem Grundtarif 1 und verweigerte dem Betroffenen den in Zusammenhang mit Unterhaltsleistungen zugunsten des Sohns C.B._ beantragten vergünstigten Tarif 2 (für 2010: "Verheiratetentarif", ab 2011: "Einelterntarif").
1.2. Dagegen ergriff A._ vergeblich die ihm auf kantonaler Ebene zur Verfügung stehenden Rechtsmittel. Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten beantragt er nun vor Bundesgericht im Wesentlichen, das kantonal letztinstanzliche Urteil des Verwaltungsgerichts des Kantons Bern vom 21. März 2016 aufzuheben.
1.3. Die Beschwerde ist im vereinfachten Verfahren gemäss <ref-law> zu behandeln. Deshalb sind auch keine Vernehmlassungen eingeholt worden und rechtfertigt es sich, auf die ansonsten gebotene Trennung zwischen Staats- und direkter Bundessteuer zu verzichten.
2.
Angefochten ist ein einziger, sowohl für die Staats- als auch die direkte Bundessteuer kantonal letztinstanzlich ergangener Endentscheid. Auf die dagegen gerichtete Beschwerde ist einzutreten (vgl. <ref-law>; siehe zu den sich dabei stellenden Fragen u.a. das Urteil 2C_371/2013 vom 18. Juli 2014 E. 1.2 in: StR 69/2014 S. 800), wobei das Bundesgericht zwei Verfahren eröffnet (hier: 2C_334/2016 für die Staats- und 2C_335/2016 für die direkte Bundessteuer).
3.
Sowohl bei der Staats- als auch der direkten Bundessteuer (vgl. für die anwendbaren Gesetzesbestimmungen E. 2.1.1 u. 2.2.2 des angefochtenen Urteils) besteht neben dem Grundtarif u.a. ein vergünstigter Tarif, der auf ledige Steuerpflichtige Anwendung findet, die mit Kindern im gleichen Haushalt zusammenleben, deren Unterhalt sie zur Hauptsache bestreiten. Diesen vergünstigten Tarif nimmt der Beschwerdeführer hier für sich in Anspruch, was die Vorinstanz aber zu Recht verweigert hat.
3.1. Das gilt zum Einen für die Steuerperiode 2011, für welche das Verwaltungsgericht zutreffend festgehalten hat, dass der Beschwerdeführer und sein Sohn nicht im gleichen Haushalt zusammenlebten. Vielmehr mietete der Sohn zusammen mit einem Studienkollegen eine 4-Zimmer-Wohnung in Zürich, wo er rechtskräftig veranlagt wurde.
Diese Begründung des Verwaltungsgerichts erweist sich als vollumfänglich überzeugend. Daran vermögen auch die zahlreichen Einwendungen des Beschwerdeführers nichts zu ändern, mit denen sich die Vorinstanz sorgfältig und differenziert auseinander gesetzt hat (vgl. E. 2.1.3 des angefochtenen Urteils). Den Ausführungen des Verwaltungsgerichts ist nichts hinzuzufügen; es kann ohne weiteres auf sie verwiesen werden.
3.2. Ebenso wenig rechtfertigt es sich, dem Beschwerdeführer den vergünstigten Tarif für die Steuerperiode 2010 zu gewähren, nachdem er sich für diese Periode rechtskräftig mit dem Grundtarif veranlagen liess. In jeder Hinsicht überzeugend hat die Vorinstanz dargelegt, weshalb es sich unter den gegebenen Umständen nicht rechtfertigt, auf die rechtskräftige Veranlagung zurückzukommen. Einmal mehr kann hier auf die Ausführungen des Verwaltungsgerichts verwiesen werden (vgl. E. 2.2 u. 2.3 des Urteils vom 21. März 2016). Was der Beschwerdeführer vor Bundesgericht dagegen einwendet, vermag nicht zu einem anderen Ergebnis zu führen. Insbesondere ist in der konkret zu beurteilenden Einzelsituation kein Verstoss gegen <ref-law> oder gegen irgendwelche Verfahrensgrundsätze zu erkennen.
4.
Nach dem Gesagten sind die beiden Verfahren zu vereinigen und die Beschwerden gemäss <ref-law> abzuweisen. Bei diesem Ausgang der Verfahren wird der Beschwerdeführer kostenpflichtig (Art. 65 f. BGG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Verfahren 2C_334/2016 und 2C_335/2016 werden vereinigt.
2.
Betreffend die Staats- und Gemeindesteuern (Verfahren 2C_334/ 2016) wird die Beschwerde abgewiesen.
3.
Betreffend die direkte Bundessteuer (Verfahren 2C_335/2016) wird die Beschwerde abgewiesen.
4.
Die Gerichtskosten von insgesamt Fr. 2'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
5.
Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten, dem Verwaltungsgericht des Kantons Bern, Verwaltungsrechtliche Abteilung, Einzelrichter, und der Eidgenössischen Steuerverwaltung schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 18. Juli 2016
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Seiler
Der Gerichtsschreiber: Matter