Sachverhalt:
A.
Mit Entscheid vom 20. August 2015 hiess das Bezirksgericht Plessur eine Klage der B._ AG (Beschwerdegegnerin) gegen A._ (Beschwerdeführerin) gut und verurteilte letztere zur Zahlung von Fr. 40'000.-- zuzüglich Zins. Dagegen erhob A._ Berufung an das Kantonsgericht von Graubünden, womit sie in der Sache verlangte, die Klage der B._ AG sei vollumfänglich abzuweisen.
Am 9. Dezember 2015 forderte das Kantonsgericht A._ auf, bis zum 12. Januar 2015 einen Kostenvorschuss in Höhe von Fr. 5'000.-- zu bezahlen. Nachdem sie dieser Aufforderung nicht innert Frist nachgekommen war, setzte ihr das Kantonsgericht mit Verfügung vom 18. Januar 2016 eine Nachfrist bis zum 3. Februar 2016 an, unter Hinweis, dass für eine fristgerechte Bezahlung des Kostenvorschusses der Betrag bis zum 3. Februar 2016 zugunsten des Kantonsgerichts der Schweizerischen Post zu übergeben sei oder einem Post- oder Bankkonto in der Schweiz belastet worden sein müsse, und mit der Androhung, dass auf das Rechtsmittel nicht eingetreten würde, sollte der Vorschuss nicht innert der Nachfrist geleistet werden. In der Folge wurde der Betrag mit Valuta vom 4. Februar 2016 dem Postkonto des Kantonsgerichts gutgeschrieben.
Das Kantonsgericht forderte A._ mit Schreiben vom 23. Februar 2016 auf, nachzuweisen, dass der Vorschuss spätestens am 3. Februar 2016 einem Post- oder Bankkonto in der Schweiz belastet worden sei. Innert erstreckter Frist nahm A._ schriftlich Stellung. Sie machte zusammengefasst geltend, sie habe ihrer Bank, der C._ AG in Deutschland, am 2. Februar 2016 einen Auftrag zu einer Eilüberweisung an das Kantonsgericht erteilt, mit der Anweisung, der Betrag müsse mit Valuta vom 3. Februar 2016 dem Empfänger gutgeschrieben werden. Die Verantwortung für die verspätete Gutschrift liege alleine bei der Postfinance, und die Zahlung habe daher als rechtzeitig erfolgt zu gelten.
Mit Entscheid vom 19. Juli 2016 trat das Kantonsgericht auf die Berufung - wie von der B._ AG beantragt - wegen verspäteter Leistung des Kostenvorschusses in Anwendung von <ref-law> nicht ein.
B.
A._ verlangt mit Beschwerde in Zivilsachen, der Entscheid des Kantonsgerichts sei aufzuheben, und die Sache sei "zur Neubeurteilung an die Vorinstanz zurückzuweisen".
Die B._ AG beantragt, die Beschwerde abzuweisen. Die Vorinstanz begehrt ebenfalls die Abweisung der Beschwerde, soweit darauf einzutreten sei, unter Hinweis auf den angefochtenen Entscheid und Verzicht auf Gegenbemerkungen.

Erwägungen:
1.
Das angefochtene Urteil des Kantonsgerichts ist ein Endentscheid (<ref-law>) einer Vorinstanz im Sinne von <ref-law>. Weiter übersteigt der Streitwert den nach Art. 74 Abs. 1 lit. b geltenden Mindestbetrag von Fr. 30'000.--. Das Rückweisungsbegehren der Beschwerdeführerin ist seinem Sinn nach ohne Weiteres so zu verstehen, dass die Vorinstanz auf die Berufung einzutreten und die darin gestellten materiellen Begehren in der Sache zu beurteilen habe. Der dahingehende Antrag ist im vorliegenden Beschwerdeverfahren vor Bundesgericht einzig zulässig und genügend (vgl. <ref-ruling> E. 1.3 S. 383; <ref-ruling> E. 3.1 mit Hinweisen). Da auch die übrigen Sachurteilsvoraussetzungen erfüllt sind, ist - unter Vorbehalt zulässiger und hinlänglich begründeter Rügen (siehe Erwägung 2) - auf die Beschwerde einzutreten.
2.
2.1. Mit Beschwerde in Zivilsachen können Rechtsverletzungen nach Art. 95 und 96 BGG gerügt werden. Die Beschwerde ist hinreichend zu begründen, ansonsten darauf nicht eingetreten werden kann (<ref-ruling> E. 2 S. 116; <ref-ruling> E. 2.1). In der Beschwerdeschrift ist in gedrängter Form darzulegen, inwiefern der angefochtene Akt Recht verletzt (<ref-law>). Unerlässlich ist dabei, dass auf die Begründung des angefochtenen Entscheids eingegangen und im Einzelnen aufgezeigt wird, worin eine vom Bundesgericht überprüfbare Rechtsverletzung liegt (<ref-ruling> E. 2 S. 116, 86 E. 2 S. 89).
2.2. Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (<ref-law>). Dazu gehören sowohl die Feststellungen über den streitgegenständlichen Lebenssachverhalt als auch jene über den Ablauf des vor- und erstinstanzlichen Verfahrens, also die Feststellungen über den Prozesssachverhalt (<ref-ruling> E. 1.3.1 mit Hinweisen). Es kann die Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz nur berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruht (<ref-law>). "Offensichtlich unrichtig" bedeutet dabei "willkürlich" (<ref-ruling> E. 2 S. 117; <ref-ruling> E. 1.5). Überdies muss die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein können (<ref-law>). Neue Tatsachen und Beweismittel dürfen nur so weit vorgebracht werden, als erst der Entscheid der Vorinstanz dazu Anlass gibt (<ref-law>).
Die Partei, welche die Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz anfechten will, muss klar und substanziiert aufzeigen, inwiefern diese Voraussetzungen erfüllt sein sollen (<ref-ruling> E. 1.3.1 S. 18 mit Hinweisen). Wenn sie den Sachverhalt ergänzen will, hat sie zudem mit präzisen Aktenhinweisen darzulegen, dass sie entsprechende rechtsrelevante Tatsachen und taugliche Beweismittel bereits bei den Vorinstanzen prozesskonform eingebracht hat (<ref-ruling> E. 2 S. 90). Genügt die Kritik diesen Anforderungen nicht, können Vorbringen mit Bezug auf einen Sachverhalt, der vom angefochtenen Entscheid abweicht, nicht berücksichtigt werden (<ref-ruling> E. 1.3.1 S. 18).
3.
Die Beschwerdeführerin rügt, das Kantonsgericht sei zu Unrecht zum Schluss gelangt, sie habe den Kostenvorschuss verspätet geleistet. Dadurch habe es "Art. 98 i.V. mit <ref-law>" verletzt und eine Rechtsverweigerung begangen.
3.1.
3.1.1. Gemäss <ref-law> ist die Frist für eine Zahlung an das Gericht eingehalten, wenn der Betrag spätestens an ihrem letzten Tag "zugunsten des Gerichts der Schweizerischen Post übergeben oder einem Post- oder Bankkonto in der Schweiz belastet worden ist". Die Vorinstanz machte die Beschwerdeführerin ausdrücklich auf diese - <ref-law> entsprechende - Regelung aufmerksam. Massgebend sind nach ihr alternativ zwei Kriterien: Entweder der Zeitpunkt, in welchem der Betrag der Schweizerischen Post zu Gunsten des Gerichts übergeben wurde (sei dies am Postschalter oder anlässlich einer Überweisung im Ausland), oder der Zeitpunkt, in welchem der Zahlungsauftrag zu Gunsten des Gerichts dem Post- oder Bankkonto des Rechtsuchenden oder seines Vertreters belastet worden ist. Die Beweislast für die Rechtzeitigkeit der Bezahlung des Kostenvorschusses trägt der Rechtsuchende. Bei einer Post- oder Banküberweisung muss im Fall, dass der Kostenvorschuss nicht innert der angesetzten Frist dem Gericht gutgeschrieben worden ist, das Gericht den Vorschusspflichtigen zum Nachweis auffordern, dass der Betrag am letzten Tag der Frist seinem Post- oder Bankkonto in der Schweiz (oder desjenigen seines Vertreters) belastet worden ist (<ref-ruling> E. 3.1 und 3.2.2 mit Hinweisen; Urteile 5A_61/2014 vom 13. März 2014 E. 2.1; 2C_250/2009 vom 2. Juni 2009 E. 4.1; 9C_94/2008 vom 30. September 2008 E. 5.2).
3.1.2. Bei Überweisungen aus dem Ausland trägt nach der bundesgerichtlichen Rechtsprechung der Rechtsuchende überdies das Risiko dafür, dass der Kostenvorschuss (innert Frist) auf dem Konto der Behörde eintrifft und dementsprechend auf sein Rechtsmittel eingetreten werden kann. Somit ist nicht alleine massgeblich, ob das ausländische Konto vor Ablauf der Frist belastet wurde, sondern darüber hinaus erforderlich, dass der geforderte Betrag rechtzeitig dem Konto der Behörde gutgeschrieben wurde oder zumindest in den Einflussbereich der von der Behörde bezeichneten Hilfsperson (Bank oder Schweizerische Post) gelangte (siehe im Einzelnen Urteil 2C_1022/2012 und 2C_1023/2012 vom 25. März 2013 E. 6.3 mit weiteren Hinweisen).
3.1.3. Wird der Betrag dem Konto der Behörde in der Folge nicht gutgeschrieben, ist nach der Gerichtspraxis ferner zu berücksichtigen, ob das Misslingen der Überweisung an den Endbegünstigten dem Rechtsuchenden respektive dessen Bank oder aber der Behörde respektive deren Hilfsperson zuzuschreiben ist. In diesem Sinne hatte das Bundesgericht einen Fall zu beurteilen, in dem der Kostenvorschuss sechs Tage vor dem Fristablauf der Schweizerischen Post zugunsten des Gerichts überwiesen, anschliessend aber wegen des Fehlens der letzten Ziffer der IBAN nicht dem Konto des Gerichts gutgeschrieben worden war. Das Bundesgericht hob den Nichteintretensentscheid der Vorinstanz (unter anderem) in Erwägung auf, von der Post habe erwartet werden dürfen, dass sie sich vor der Rücksendung des Geldes nach der genauen Kontonummer erkundige, zumal ihr sowohl der Absender als auch der Empfänger bekannt gewesen seien (Urteil 9C_94/2008 vom 30. September 2008 E. 6). In einem anderen Fall wies das Bundesgericht die Sache an die Vorinstanz zurück, weil die notwendigen Feststellungen insbesondere zur entsprechenden Frage fehlten (Urteil 2C_1022/2012 und 2C_1023/2012 vom 25. März 2013 E. 7). In einem dritten Fall führte das Bundesgericht schliesslich aus, aufgrund der korrekten Kontonummer und Adresse sei das Gericht als Zahlungsempfängerin identifizierbar gewesen. In einem solchen Fall dürfe von der Empfängerbank erwartet werden, dass sie die Zahlung korrekt zuordne (Urteil 5A_61/2014 vom 13. März 2014 E. 2.4).
3.2. Im kantonalen Verfahren brachte die Beschwerdeführerin im Einzelnen vor, in ihrem Auftrag (an die Bank) vom 2. Februar 2016 sei ausdrücklich enthalten gewesen, dass der Betrag von Fr. 5'000.-- mit Valuta vom 3. Februar 2016 dem Empfänger gutgeschrieben werden müsse. Die Zahlung sei ihr dann auch mit Valuta vom 2. Februar 2016 belastet worden. Gemäss Auskunft ihrer Bank sei die Wertstellung aufgrund eines Versehens der Postfinance erst am 4. Februar 2016 vorgenommen worden.
Das Kantonsgericht berücksichtigte diese Parteivorbringen, das von der Beschwerdeführerin eingereichte Schreiben der C._ AG sowie die von ihm eingeholte Auskunft der Postfinance und stellte - für das Bundesgericht verbindlich (Erwägung 2.2) - fest, die Beschwerdeführerin habe am 2. Februar 2016 bei ihrer Bank in Deutschland einen Zahlungsauftrag über Fr. 5'000.-- zugunsten des Postkontos des Kantonsgerichts erteilt. Die Postfinance habe diesen Auftrag noch am selben Tag via SWIFT-Meldung erhalten. Aus der von der Postfinance eingereichten SWIFT-Meldung ergebe sich klar, dass die Gutschrift "per 4. Februar 2016 erfolgen sollte". Dies sei in der Folge denn auch geschehen und der Betrag dem Postkonto des Kantonsgerichts mit Valuta vom 4. Februar 2016 gutgeschrieben worden.
Ausgehend vom Grundsatz, dass bei Überweisungen von einem ausländischen Konto auf die Valuta der Gutschrift auf dem Gerichtskonto abzustellen sei, folgerte die Vorinstanz, die Leistung des Kostenvorschusses sei verspätet erfolgt, da die Nachfrist am 3. Februar 2016 geendet habe und der fragliche Betrag demzufolge spätestens an jenem Tag dem Postkonto des Kantonsgerichts "hätte gutgeschrieben werden müssen". Massgebend für die Fristwahrung sei nicht, "wann die Valutierung hätte erfolgen sollen", sondern einzig, dass die Gutschrift tatsächlich rechtzeitig erfolge. Wenn die Postfinance den Auftrag den Angaben der SWIFT-Meldung zufolge ausgeführt habe, sei darin kein Fehlverhalten zu erblicken. Keine Rolle spielen könne in diesem Zusammenhang die zwischenzeitlich auf Wunsch der Beschwerdeführerin "von der Postfinance stattgefundene Rückvalutierung der Gutschrift auf dem Konto des Kantonsgerichts auf den 3. Februar 2016", sei doch hierfür nicht die (schriftliche) Zustimmung des Kantonsgerichts eingeholt worden.
3.3. Die Beschwerdeführerin vermag diese Würdigung nicht als bundesrechtswidrig auszuweisen:
Ihre Kritik geht am angefochtenen Entscheid vorbei, soweit sie unter Bezugnahme auf die bundesgerichtliche Rechtsprechung zu Überweisungen von Konten in der Schweiz davon ausgeht, der Zeitpunkt der Belastung ihres ausländischen Bankkontos sei (alleine) massgebend für die Fristeinhaltung. Auf die Erwägung der Vorinstanz, dass bei Überweisungen aus dem Ausland nicht die gleichen Kriterien anwendbar sind, geht die Beschwerdeführerin mit keinem Wort ein und verfehlt damit bereits die Begründungsanforderungen im Beschwerdeverfahren vor Bundesgericht (Erwägung 2.1). Die Rechtsauffassung der Vorinstanz ist auch nicht zu beanstanden (siehe Erwägung 3.1.2).
Sodann weicht die Beschwerdeführerin vom vorinstanzlich festgestellten Sachverhalt ab, indem sie es als unklar darstellt, weshalb der Betrag "tatsächlich erst am 4. Februar 2016 auf dem Konto der Vorinstanz gutgeschrieben" worden sei. Wenn sie dadurch unterstellen möchte, die verspätete Gutschrift sei der Postfinance anzulasten, setzt sie sich - ohne entsprechend begründete Rüge (Erwägung 2.2) - in Widerspruch zu den gegenteiligen Feststellungen im angefochtenen Entscheid (vgl. Erwägung 3.2). Die in der Beschwerde gezogene Parallele zum Fall, dass das Scheitern der Überweisung der Behörde respektive deren Hilfsperson zuzuschreiben ist (siehe Erwägung 3.1.3), liegt somit nicht vor. Die Postfinance hatte nach dem von der Vorinstanz festgestellten Sachverhalt keinen Anlass, den Betrag vor dem 4. Februar 2016 und damit innert Frist dem Konto des Kantonsgerichts gutzuschreiben.
Der Schluss der Vorinstanz, der Kostenvorschuss sei verspätet eingetroffen, erweist sich als bundesrechtskonform.
4.
Die Beschwerdeführerin moniert weiter, die Vorinstanz hätte die Frist zur Leistung des Kostenvorschusses wiederherstellen müssen.
4.1. Gemäss <ref-law> kann das Gericht auf Gesuch einer säumigen Partei eine Nachfrist gewähren oder zu einem Termin erneut vorladen, wenn die Partei glaubhaft macht, dass sie kein oder nur ein leichtes Verschulden trifft.
4.2. Die Vorinstanz verneinte das Vorliegen der Voraussetzungen für die Wiederherstellung. Sie erwog zusammengefasst, die Beschwerdeführerin nenne keine Gründe, warum es ihr nicht möglich gewesen sein solle, die Zahlung bereits früher vorzunehmen. Sie habe die erste Frist zur Zahlung des Kostenvorschusses unbenutzt und die Nachfrist beinahe vollständig verstreichen lassen, ehe sie die Zahlung in Auftrag gegeben habe. Aus dem Umstand, dass sie den Zahlungsauftrag per Eilüberweisung aufgegeben habe, könne sie nichts zu ihrer Entlastung ableiten. Die falsche Valutierung in der SWIFT-Meldung (4. Februar 2016 statt richtigerweise 3. Februar 2016) sei auf ein Fehlverhalten der C._ (oder allenfalls deren Korrespondenzbank, die ebenso als Erfüllungsgehilfin der Beschwerdeführerin anzusehen sei) zurückzuführen, das sich die Beschwerdeführerin anrechnen lassen müsse. Sie könne nicht als bloss leichtes Verschulden angesehen werden, und eine Wiederherstellung der Frist für die Leistung des Kostenvorschusses falle ausser Betracht.
4.3. Die Beschwerdeführerin hält den nachvollziehbaren Erwägungen der Vorinstanz lediglich ihre eigene Würdigung gegenüber, es liege, wenn überhaupt, bloss ein leichtes Verschulden vor, weil das Ausschöpfen einer Frist "nichts Verbotenes" sei, die Erteilung des Zahlungsauftrages einen Tag vor Fristablauf genügt hätte, "sofern der Auftrag fehlerfrei ausgeführt worden wäre", und weiter sie ohne anwaltliche Vertretung nicht habe wissen können, dass sie die Frist verpasse, wenn der Bank ein Fehler unterlaufe, obwohl sie fristgerecht den Auftrag habe ausführen lassen und ihr Konto noch vor Ablauf der Zahlungsfrist belastet worden sei. Dass letzteres für die Fristwahrung bei Überweisungen aus dem Ausland nicht ausreicht (Erwägung 3.1.2), hätte die Beschwerdeführerin ohne Weiteres in Erfahrung bringen können. Für die Frage der Fristwiederherstellung ist ausserdem nach der Rechtsprechung das Verhalten des Rechtsvertreters oder von Hilfspersonen wie etwa einer Bank der Partei selbst zuzurechnen (Urteil 5A_927/2015 vom 22. Dezember 2015 E. 5.1 mit weiteren Hinweisen). Die Beschwerdeführerin muss sich also das Verschulden ihrer Bank anrechnen lassen und trägt mithin das Risiko, dass letztere die Zahlung nicht rechtzeitig ausführt (vgl. Urteil 2C_1096/2013 vom 19. Juli 2014 E. 3 und 4). Wie das Kantonsgericht zutreffend erwog, hätte sie bei einer so kurz vor Ende der (Nach-) Frist in Auftrag gegebenen grenzüberschreitenden Zahlung vergewissern müssen, ob diese noch rechtzeitig eintreffen würde, zumal ihr aufgrund der entsprechenden Androhung in der Verfügung 18. Januar 2016 bekannt war, dass die verspätete Bezahlung des Kostenvorschusses das Nichteintreten auf ihre Berufung zur Folge haben würde. Die falsche Datierung der Gutschrift stellt unter diesen Umständen kein leichtes Verschulden mehr dar.
4.4. Die Beschwerdeführerin hat nicht glaubhaft gemacht, dass sie kein oder nur ein leichtes Verschulden trifft. Der Nichteintretensentscheid der Vorinstanz ist auch unter dem Aspekt der Fristwiederherstellung nicht zu beanstanden. Eine Verletzung von <ref-law> oder gar überspitzter Formalismus respektive Rechtsverweigerung liegt nicht vor.
5.
Die Beschwerde ist abzuweisen, soweit darauf eingetreten werden kann. Dem Ausgang des Verfahrens entsprechend wird die Beschwerdeführerin kosten- und entschädigungspflichtig (Art. 66 Abs. 1 und Art. 68 Abs. 2 BGG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 2'000.-- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
3.
Die Beschwerdeführerin hat die Beschwerdegegnerin für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 2'500.-- zu entschädigen.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Kantonsgericht von Graubünden, II. Zivilkammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 6. Januar 2017
Im Namen der I. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Kiss
Der Gerichtsschreiber: Kölz