Sachverhalt:
A.
B._ (geb. 2011) ist die Tochter von A._. Am 29. September 2014 ging bei der Kindes- und Erwachsenenschutzbehörde (KESB) Dorneck-Thierstein/Thal-Gäu (nachfolgend: KESB) eine Gefährdungsmeldung ein. Mit Verfügung vom 23. Oktober 2014 beauftragte die KESB die Sozialregion U._ mit der Abklärung von Massnahmen zum Schutz der Entwicklung von B._. Gestützt auf den Abklärungsbericht vom 27. August 2015 errichtete die KESB mit Entscheid vom 23. September 2015 für B._ eine Beistandschaft nach Art. 308 Abs. 1 und 2 ZGB und übertrug der Beiständin folgende Aufgaben: Unterstützung der Eltern mit Rat und Tat in der Sorge um B._; Förderung der Kindsmutter in erzieherischen Kompetenzen; Abklärung eines möglichen Förderungsbedarfs von B._ und falls notwendig, die Installation von geeigneten Fördermassnahmen; Vernetzung zwischen allen involvierten Fachpersonen, um das Wohl von B._ zu sichern. Zur Mandatsperson wurde C._, Sozialregion U._, ernannt. Verfahrenskosten wurden keine erhoben.
B.
Gegen diesen Entscheid erhob A._ am 23. Oktober 2015 beim Verwaltungsgericht des Kantons Solothurn Beschwerde und beantragte, den Entscheid vom 23. September 2015 aufzuheben und Dispositiv Ziff. 3.1 dahingehend abzuändern, dass für B._ keine Beistandschaft errichtet werde; eventualiter sei die Sache an die Vorinstanz zurückzuweisen. Ausserdem ersuchte sie um unentgeltliche Rechtspflege. Mit Urteil vom 27. Januar 2016 wies das Verwaltungsgericht des Kantons Solothurn die Beschwerde ab (Ziff. 1), gewährte A._ die unentgeltliche Rechtspflege (Ziff. 2), auferlegte ihr die Kosten des Verfahrens, welche zufolge unentgeltlicher Rechtspflege vom Staat getragen werden (Ziff. 3), und entschädigte den Rechtsvertreter von A._ (Ziff. 4).
C.
Mit Beschwerde in Zivilsachen vom 25. Februar 2016 beantragt A._ (nachfolgend: Beschwerdeführerin) dem Bundesgericht, den Entscheid des Verwaltungsgerichts des Kantons Solothurn vom 27. Januar 2016 aufzuheben. In Abänderung von Dispositiv Ziff. 1 sei die Beschwerde gutzuheissen und von einer Beistandschaft abzusehen. Eventualiter seien ihr Weisungen zur Teilnahme an Beratungsgesprächen und einer Paartherapie/Mediation mit ihrem Lebenspartner zu erteilen; subeventualiter sei eine Erziehungsaufsicht zu errichten. Weiter beantragt sie eine Änderung der vorinstanzlichen Kosten- und Entschädigungsregelung und ersucht um unentgeltliche Rechtspflege. Es sind die Akten, hingegen keine Vernehmlassungen eingeholt worden.

Erwägungen:
1.
Angefochten ist ein kantonal letztinstanzlicher Endentscheid (Art. 75 Abs. 1 und 90 BGG) über eine Kindesschutzmassnahme. Dabei handelt es sich um eine öffentlich-rechtliche Angelegenheit in unmittelbarem Zusammenhang mit Zivilrecht (Art. 72 Abs. 2 Bst. b Ziff. 6 BGG) ohne Vermögenswert. Die Beschwerdeführerin ist als sorgeberechtigte Mutter zur Beschwerde berechtigt (<ref-law>). Auf die fristgerecht (Art. 100 Abs. 1 i.V.m. Art. 46 Abs. 1 Bst. a BGG) erhobene Beschwerde ist grundsätzlich einzutreten.
2.
2.1. Mit der Beschwerde in Zivilsachen können Rechtsverletzungen gemäss Art. 95 f. BGG gerügt werden. Unter Vorbehalt der Verletzung verfassungsmässiger Rechte wendet das Bundesgericht das Recht von Amtes wegen an (<ref-law>) und prüft mit freier Kognition, ob der angefochtene Entscheid Recht verletzt. Es befasst sich aber nur mit formell ausreichend begründeten Einwänden, welche in gedrängter Form durch Auseinandersetzung mit den Erwägungen des angefochtenen Entscheides darlegen, welche Vorschriften und weshalb sie von der Vorinstanz verletzt worden sein sollen (<ref-law>; <ref-ruling> E. 1.1 S. 104 f.).
2.2. Das Bundesgericht ist an den festgestellten Sachverhalt grundsätzlich gebunden (<ref-law>). Die Feststellung des Sachverhalts kann nur gerügt werden, wenn sie offensichtlich unrichtig, d.h. willkürlich ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruht und wenn die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein kann (<ref-law>; <ref-ruling> E. 2 S. 116 f.; <ref-ruling> E. 4.2 S. 234). Es gilt das strenge Rügeprinzip (<ref-law>), d.h. das Bundesgericht prüft nur klar und detailliert erhobene und, soweit möglich, belegte Rügen, während es auf ungenügend substanziierte Rügen und rein appellatorische Kritik am Sachverhalt nicht eintritt (<ref-ruling> E. 6.3 S. 375; <ref-ruling> E. 2.3 S. 266).
3.
Gemäss den für das Bundesgericht verbindlichen Feststellungen der Vorinstanz gingen der Errichtung einer Erziehungsbeistandschaft für B._ verschiedene Ereignisse voraus: Zu erwähnen ist einmal die Gefährdungsmeldung vom 29. September 2014, in welcher die damalige Beiständin der Schwester von B._ auf mangelnde Erziehungskompetenzen der Beschwerdeführerin hingewiesen und zudem vorgebracht hatte, die Kindsmutter sei nicht in der Lage, ihren elterlichen Pflichten nachzukommen und B._ eine adäquate Betreuung zu gewährleisten. Ferner ging am 9. März 2015 bei der KESB ein Bericht der Polizei Basel-Landschaft ein, wonach B._ nach über einer Stunde allein im "Städtli" V._ aufgegriffen worden ist. Gemäss den am 10. Juni und am 6. Juli 2015 bei der KESB eingegangenen Meldungen der Mütterberatung U._ ist B._ des Öfteren bis 20.00 Uhr draussen, wirft mit Steinen und hat auch schon anderweitig randaliert. Hinzuweisen ist sodann auf den Abklärungsbericht vom 27. August 2015 der Sozialregion U._ resp. der Familienberatung D._ GmbH. Diesem Bericht zufolge übt die Beschwerdeführerin ihre Aufsichtspflicht nicht genügend aus, trägt den geistigen Bedürfnissen von B._ wie Anregung, Bildung, Identifikationsmöglichkeiten zu wenig Rechnung, beschäftigt sich nicht genug mit dem Kind und fördert es zu wenig; ferner sind Vernachlässigungstendenzen vorhanden; nach den weiteren Ausführungen des Berichts hat die Beschwerdeführerin Mühe, Tipps und Anregungen entgegen zu nehmen, anzuwenden und umzusetzen; sie fühlt sich sehr schnell angegriffen und nimmt eine Verteidigungshaltung ein; sie ist nicht bereit, die Aufsichtspflicht zu verbessern und unternimmt keine Schritte, um ihre persönliche Situation zu verändern.
Die Vorinstanz erwog deshalb, die von der Beschwerdeführerin sich im Rahmen der sozialpädagogischen Familienbegleitung angeeigneten erzieherischen Kompetenzen reichten nicht aus, um den Bedürfnissen von B._ gerecht zu werden. Die Aufsichtspflicht der Beschwerdeführerin werde des Öfteren nur unbefriedigend oder gar nicht wahrgenommen, was gravierende Folgen haben könne. Die Beschwerdeführerin sei nicht bereit, die Aufsichtspflicht besser wahrzunehmen, und sie unternehme keine notwendigen Schritte, um ihre persönliche Situation diesbezüglich zu verändern. B._ sei ausserdem einer sehr grossen Belastung durch den Konflikt und die Auseinandersetzungen der Beschwerdeführerin mit ihrem Lebenspartner ausgesetzt, da diese oftmals in ihrer Anwesenheit stattfänden. Indem die Beschwerdeführerin dermassen von ihren eigenen Beziehungsproblemen absorbiert sei, könne sie den geistigen Bedürfnissen ihrer Tochter zu wenig Rechnung tragen; Anregung, Bildung, Identifikationsmöglichkeiten kämen zu kurz. In rechtlicher Hinsicht zog die Vorinstanz den Schluss, die Errichtung einer Beistandschaft nach Art. 308 Abs. 1 und 2 ZGB sei sowohl aufgrund der ablehnenden Haltung und der nicht vorhandenen Kooperationsbereitschaft respektive Kritikfähigkeit der Beschwerdeführerin, als auch aufgrund der Tatsache, dass die bereits erfolgte sozialpädagogische Familienbegleitung nicht ausgereicht habe, um die Situation zu entschärfen, unabdingbar, um das Kindeswohl zu schützen.
4.
4.1. Die Beschwerdeführerin rügt eine Verletzung des bei der Errichtung von Kindesschutzmassnahmen nach <ref-law> zu beachtenden Verhältnismässigkeitsgrundsatzes und beantragt die Anordnung einer milderen Massnahme im Sinne einer Weisung, eventualiter Erziehungsaufsicht.
4.2. Die Beistandschaft gemäss Art. 308 Abs. 1 und 2 ZGB stellt eine Kindesschutzmassnahme im Sinne von <ref-law> dar. Ist das Wohl des Kindes gefährdet und sorgen die Eltern nicht von sich aus für Abhilfe oder sind sie dazu ausserstande, so trifft die Kindesschutzbehörde die geeigneten Massnahmen zum Schutz des Kindes (<ref-law>). Erfordern es die Verhältnisse, kann die Kindesschutzbehörde dem Kind einen Beistand ernennen, der die Eltern in ihrer Sorge um das Kind unterstützt und das Kind in genau definierten Bereichen vertritt. Diese Massnahme geht weiter als die Erteilung von Weisungen oder die Errichtung einer Erziehungsaufsicht im Sinne von <ref-law>, indem der Erziehungsbeistand nicht nur Weisungen erteilt oder die Aufsicht ausübt, sondern eine aktive Rolle zu übernehmen hat. Die Errichtung einer Erziehungsbeistandschaft setzt voraus, dass die Entwicklung des Kindes gefährdet ist (<ref-ruling> E. 1 S. 373) und dieser Gefahr nicht durch die Eltern bzw. durch weniger einschneidende Massnahmen gemäss <ref-law> begegnet werden kann (Grundsatz der Verhältnismässigkeit; Urteil 5C.109/2002 vom 11. Juni 2002 E. 2.1 in: FamPra.ch 2002 S. 851). Die Errichtung einer Beistandschaft muss zudem geeignet sein, den angestrebten Zweck zu erreichen (Grundsatz der Geeignetheit; <ref-ruling> E. 2.1 S. 242; Urteile 5A_732/2014 vom 26. Februar 2015 E. 4.3; 5A_793/2010 vom 14. November 2011 E. 5.1).
Die Behörde, die Kindesschutzmassnahmen anordnet, verfügt über grosses Ermessen (<ref-law>; Urteil 5A_656/2010 vom 13. Januar 2011 E. 3). Die Anordnung der geeigneten Massnahme setzt in einem gewissen Ausmass die Prognose über die künftige Entwicklung der massgebenden Umstände voraus (<ref-ruling> E. 4d S. 386). Es ist die sachlich richtige Massnahme nicht aufgrund bloss juristischer Klassifikation, sondern unter Würdigung der im Einzelfall bestimmenden sozialen, medizinischen und erziehungswissenschaftlichen Gesichtspunkten anzuordnen (Urteil 5A_840/2010 vom 31. Mai 2011 E. 3.1.2 mit Hinweisen). Wo absehbar ist, dass mit der Anordnung von Massnahmen im Sinne von <ref-law> und auch nicht mit ihrer Kombination die gebotene Wirkung nicht erreicht werden kann, sind die schärferen Behelfe von Art. 308, 310 bzw. 311 ZGB zu ergreifen. Ob Weisung und/oder Überwachung genügen oder eine Beistandschaft anzuordnen ist, hängt von der Intensität der Gefährdung, vor allem aber auch von der Kooperationsbereitschaft der Angesprochenen ab, da der Erziehungsaufsicht imperative Befugnisse abgehen und sie lediglich durch ihre persönliche und fachliche Überzeugungskraft zu wirken vermag (PETER BREITSCHMID, Basler Kommentar, Zivilgesetzbuch I, 5. Aufl. 2014, N. 24 zu <ref-law>). Das Bundesgericht greift in Ermessensentscheide nur ein, wenn die Vorinstanz grundlos von in Lehre und Rechtsprechung anerkannten Grundsätzen abgewichen ist, wenn sie Tatsachen berücksichtigt hat, die für den Entscheid im Einzelfall keine Rolle hätten spielen dürfen, oder wenn sie umgekehrt Umstände ausser Betracht gelassen hat, die zwingend hätten beachtet werden müssen. Ausserdem greift das Bundesgericht in Ermessensentscheide ein, falls sich diese als offensichtlich unbillig, als in stossender Weise ungerecht erweisen (<ref-ruling> E. 4.4.5 S. 57; <ref-ruling> E. 2.1.1 S. 305).
4.3. Die Vorinstanz hat dargelegt, weshalb aufgrund ihrer Feststellungen Weisungen oder eine Erziehungsaufsicht im Sinne von <ref-law> als mildere Massnahmen im vorliegenden als nicht (mehr) geeignet betrachtet werden können. Mit den entscheidrelevanten Erwägungen der Vorinstanz setzt sich die Beschwerdeführerin nicht auseinander, sondern begnügt sich mit der Darlegung ihrer Sicht, weshalb den einzelnen festgestellten Gefährdungssituationen von B._ dennoch mit Weisungen oder einer Erziehungsaufsicht begegnet werden sollen. Insoweit genügt die Beschwerde den Begründungsanforderungen nicht. Sie erweist sich aber auch als in der Sache unbegründet. Aufgrund des verbindlich festgestellten Sachverhalts ist die angeordnete Erziehungsbeistandschaft geeignet und erforderlich, mithin verhältnismässig, der aktuellen und drohenden Gefährdung von B._ entgegen zu wirken. Zum einen hat die sozialpädagogische Familienbegleitung und damit auf Beratung basierende Unterstützung nicht ausgereicht, die Situation zu entschärfen. Zum andern ergibt sich auch aus der Feststellung, dass die Beschwerdeführerin Mühe hat, Tipps und Anregungen entgegen zu nehmen bzw. es ihr an Kooperationsbereitschaft und Kritikfähigkeit mangelt, dass Weisungen oder eine Erziehungsaufsicht ohne imperative Befugnisse im Sinne von <ref-law> als von vornherein untauglich erscheinen. Die Erziehungsbeistandschaft hilft, die verbindlich festgestellten Erziehungsdefizite der Beschwerdeführerin zu kompensieren. Im Hinblick auf den Förderungsbedarf von B._ ist zudem die Handlungsfähigkeit einer aussenstehenden Person erforderlich, da aufgrund der mangelnden Kooperations- und Kritikfähigkeit der Beschwerdeführerin eine adäquate Förderung des Kindes nicht erwartet werden kann.
5.
Aus den dargelegten Gründen ist die Beschwerde abzuweisen, soweit darauf eingetreten werden kann. Die Beschwerdeführerin wird damit kostenpflichtig (<ref-law>). Die vorstehenden Erwägungen verdeutlichen, dass die gestellten Rechtsbegehren von Beginn an keinen Erfolg haben konnten. Das Gesuch der Beschwerdeführerin um unentgeltliche Rechtspflege ist deshalb abzuweisen (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.
Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege wird abgewiesen.
3.
Die Gerichtskosten von Fr. 2'000.-- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
4.
Dieses Urteil wird der Beschwerdeführerin, der Kindes- und Erwachsenenschutzbehörde KESB Dorneck-Thierstein/Thal-Gäu und dem Verwaltungsgericht des Kantons Solothurn schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 12. Mai 2017
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: von Werdt
Der Gerichtsschreiber: Zbinden