Nach Einsicht
in die (vom Obergericht des Kantons Bern zuständigkeitshalber dem Bundesgericht übermittelte und von diesem als Verfassungsbeschwerde behandelte) Eingabe des Beschwerdeführers gegen den Entscheid vom 27. April 2016 des Obergerichts des Kantons Bern, das eine Beschwerde des Beschwerdeführers gegen die erstinstanzliche Erteilung der definitiven Rechtsöffnung an den Beschwerdegegner für Fr. 6'000.-- nebst Zins und Kosten abgewiesen hat, soweit es darauf eingetreten ist,
in das Gesuch des Beschwerdeführers um aufschiebende Wirkung,

in Erwägung,
dass gegen den in einer vermögensrechtlichen Angelegenheit ergangenen Entscheid des Obergerichts mangels Erreichens der Streitwertgrenze (<ref-law>) und mangels Vorliegens einer Ausnahme gemäss <ref-law> allein die subsidiäre Verfassungsbeschwerde nach <ref-law> offen steht, weshalb die Eingabe des Beschwerdeführers als solche entgegengenommen worden ist,
dass die Verfassungsbeschwerde von vornherein unzulässig ist, soweit der Beschwerdeführer Anträge stellt und Rügen erhebt, die über den Gegenstand des obergerichtlichen Entscheids vom 27. April 2016 hinausgehen,
dass sodann in einer subsidiären Verfassungsbeschwerde die Rüge der Verletzung verfassungsmässiger Rechte vorzubringen und zu begründen (Art. 117 i.V.m. <ref-law> sowie <ref-law>), d.h. anhand der Erwägungen des kantonalen Entscheids klar und detailliert darzulegen ist, welche verfassungsmässigen Rechte und inwiefern sie durch diesen Entscheid verletzt sein sollen (<ref-ruling> E. 3.1 S. 399), ansonst auf die Beschwerde nicht eingetreten wird (Art. 117 i.V.m. <ref-law>),
dass das Obergericht im Entscheid vom 27. April 2016 erwog, der Beschwerdeführer habe an seinem gemeldeten Wohnsitz in U._ betrieben werden können, die Betreibungsforderung beruhe auf einem rechtskräftigen und vollstreckbaren Entscheid des Richteramts Bucheggberg-Wasseramt, zulässige Einwendungen nach <ref-law> erhebe der Beschwerdeführer keine, der materielle Bestand der Betreibungsforderung sei im Rechtsöffnungsverfahren nicht zu überprüfen, auf die Durchführung einer Parteiverhandlung mit Zeugeneinvernahme habe verzichtet werden dürfen (<ref-law> i.V.m. <ref-law>), nachdem der Beschwerdeführer seinen Gehörsanspruch durch Einreichung einer schriftlichen Stellungnahme habe wahren können, die Begehren auf Wiedergutmachung und Genugtuung gingen über den Gegenstand des Rechtsöffnungsverfahrens hinaus,
dass der Beschwerdeführer in seiner dem Bundesgericht übermittelten Eingabe nicht rechtsgenüglich auf die obergerichtlichen Erwägungen eingeht,
dass er erst recht nicht anhand dieser Erwägungen nach den gesetzlichen Anforderungen, d.h. klar und detailliert aufzeigt, welche verfassungsmässigen Rechte und inwiefern sie durch den Entscheid des Obergerichts vom 27. April 2016 verletzt sein sollen,
dass der Beschwerdeführer ausserdem missbräuchlich prozessiert (<ref-law>) und die Verfassungsbeschwerde auch aus diesem Grund unzulässig ist,
dass somit auf die - offensichtlich unzulässige bzw. keine hinreichende Begründung enthaltende und überdies missbräuchliche - Verfassungsbeschwerde in Anwendung von Art. 117 i.V.m. Art. 108 Abs. 1 lit. a bis c BGG nicht einzutreten ist,
dass mit dem Beschwerdeentscheid das Gesuch des Beschwerdeführers um aufschiebende Wirkung gegenstandslos wird,
dass ausnahmsweise von der Erhebung von Gerichtskosten abzusehen ist,
dass in den Fällen des Art. 117 i.V.m. <ref-law> das vereinfachte Verfahren zum Zuge kommt und das präsidierende Abteilungsmitglied zuständig ist,
dass sich das Bundesgericht in dieser Sache vorbehält, allfällige weitere Eingaben in der Art der bisherigen, namentlich missbräuchliche Revisionsgesuche ohne Antwort abzulegen,

erkennt das präsidierende Mitglied:
1.
Auf die Verfassungsbeschwerde wird nicht eingetreten.
2.
Es werden keine Gerichtskosten erhoben.
3.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Bern schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 24. Mai 2016
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Das präsidierende Mitglied: Escher
Der Gerichtsschreiber: Füllemann