Sachverhalt:
A.
X._ übergab der Kantonspolizei Basel-Stadt am 11. Dezember 2015 bei einer Personenkontrolle 0.5 Gramm Marihuana und 0.1 Gramm Haschisch, welche er mit sich geführt hatte. Die Kantonspolizei übersandte die sichergestellten Betäubungsmittel zusammen mit einem Rapport über den Sachverhalt an die Staatsanwaltschaft des Kantons Basel-Stadt, worauf diese ein Strafverfahren eröffnete. Am 28. Dezember 2015 stellte die Staatsanwaltschaft das Verfahren in Anwendung von <ref-law> (SR 812.121) ein (Dispositiv-Ziff. 1), zog gestützt auf <ref-law> das Marihuana sowie Haschisch ein (Dispositiv-Ziff. 2) und auferlegte X._ unter Verweis auf <ref-law> die "Verfahrenskosten" von Fr. 105.30 sowie eine "Verfahrensgebühr" von Fr. 200.-- (Dispositiv-Ziff. 3).
B.
Die dagegen gerichtete Beschwerde von X._ hiess das Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt am 6. Juni 2016 teilweise gut. Es hob Dispositiv-Ziff. 3 der Einstellungsverfügung auf und verpflichtete X._, die "Verfahrenskosten" von Fr. 105.30 zu tragen, während es von der Auferlegung einer "Verfahrensgebühr" von Fr. 200.-- absah.
C.
Die Staatsanwaltschaft beantragt mit Beschwerde in Strafsachen, der appellationsgerichtliche Entscheid sei aufzuheben und X._ zu verpflichten, die Kosten gemäss Dispositiv-Ziff. 3 der Einstellungsverfügung zu tragen.

Erwägungen:
1.
1.1. Die Vorinstanz erwägt, es sei unbestritten, dass der Beschwerdegegner 0.5 Gramm Marihuana und 0.1 Gramm Haschisch auf sich getragen habe. Dafür sei er in Anwendung von <ref-law> zu Recht nicht bestraft worden. Gleichwohl sei der Besitz von Marihuana und Haschisch im Grundsatz verboten. Ausnahmen seien nur vorgesehen für Medizinalpersonen gemäss <ref-law>, Krankenanstalten und Institute nach <ref-law> sowie Organisationen und Behörden im Sinne von <ref-law>. <ref-law> statuiere einzig eine Straflosigkeit im Rahmen des Opportunitätsprinzips, wobei allerdings anders als bei einem Verzicht auf eine Strafverfolgung gemäss <ref-law> der Strafbehörde kein Ermessensspielraum zustehe in Bezug auf die Frage, ob sie auf eine Strafverfolgung verzichte. Vielmehr sei, soweit <ref-law> zur Anwendung komme, zwingend von einer Bestrafung abzusehen. Die Auferlegung von Verfahrenskosten erweise sich damit grundsätzlich als rechtens, da in Bezug auf den Marihuana- und Haschischbesitz ein verbotenes Handeln vorliege. Da der Besitz von bis zu 10 Gramm Betäubungsmittel des Wirkstoffs Cannabis nicht strafbar sei, sei grundsätzlich ein Strafverfahren gar nicht erst zu eröffnen. Anderes habe allenfalls zu gelten, wenn die Straflosigkeit nicht von vornherein feststehe. Im zu beurteilenden Fall seien dem Polizeirapport vom 15. Dezember 2015 keine Hinweise zu entnehmen, wonach ein über den Tatbestand des <ref-law> hinausgehendes Verhalten abzuklären gewesen wäre. Die Eröffnung eines Strafverfahrens erscheine deshalb als unverhältnismässig. Vor diesem Hintergrund rechtfertigten sich zwar die Auferlegung der Verfahrenskosten für die unumgängliche Lagerung, Verwaltung und Vernichtung der sichergestellten Betäubungsmittel sowie die Portokosten von zusammen Fr. 105.30. Ungerechtfertigt sei hingegen die Auferlegung einer Verfahrensgebühr von Fr. 200.-- für weiteren Aufwand.
1.2. Die Beschwerdeführerin macht geltend, durch den Besitz von Marihuana und Haschisch habe der Beschwerdegegner gegen das Betäubungsmittelgesetz verstossen. Die kontrollierenden Beamten der Kantonspolizei seien verpflichtet gewesen, ein Verfahren einzuleiten (<ref-law>) und den Sachverhalt bei der Staatsanwaltschaft zu rapportieren (<ref-law>). Für eine anders geartete Erledigung biete die Strafprozessordnung keine Grundlage. Die Polizei sei bereits bei der Feststellung des relevanten Sachverhalts an die strafprozessualen Bestimmungen gebunden (<ref-law>) und habe ihre Feststellungen einschliesslich der sichergestellten Gegenstände und Vermögenswerte der Staatsanwaltschaft zu übermitteln (<ref-law>). Die Staatsanwaltschaft sei für die gleichmässige Durchsetzung des staatlichen Strafanspruchs verantwortlich und ihr obliege die Leitung des Vorverfahrens. Sie verfolge Straftaten im Rahmen der Untersuchung und schliesse das Vorverfahren mit Erlass eines Strafbefehls, Anklageerhebung oder Einstellungsverfügung ab (Art. 16 und 318 StPO). Mit dieser gesetzlichen Regelung und Systematik sei die in <ref-law> statuierte Justizförmigkeit des Strafverfahrens gewährleistet.
Im Bereich der Betäubungsmitteldelinquenz treffe die Kantonspolizei die zur Feststellung des Sachverhalts und der Täterschaft sowie zur Auffindung und Sicherung der Beweismittel notwendigen Massnahmen, soweit diese ohne nachteilige Folgen für die Abklärung der Tat nicht verschoben werden könnten. Für die Führung des strafprozessualen Vorverfahrens in allen Fällen von Betäubungsmitteldelinquenz liege die Zuständigkeit jedoch ausschliesslich bei den Abteilungen der Staatsanwaltschaft.
Die eidgenössischen und kantonalen Regelungen liessen der Kantonspolizei keinen Spielraum für selbständiges Handeln nach dem Opportunitätsprinzip, wenn ihr eine Widerhandlung gegen das Betäubungsmittelgesetz bekannt werde. Vielmehr habe sie den festgestellten Sachverhalt der Kriminalpolizei bei der Staatsanwaltschaft zur Anzeige zu bringen. Diese führe dann das strafprozessuale Vorverfahren durch. Mit der polizeilichen Feststellung eines deliktischen Verhaltens und dessen Rapportierung werde das strafprozessuale Vorverfahren eröffnet, welches in der Folge nur durch Strafbefehl, Anklageerhebung oder Einstellung beendet werden könne.
Der Beschwerdegegner habe sich durch den Besitz von Marihuana und Haschisch tatbestandsmässig im Sinne von Art. 19 Abs. 1 lit. d i.V.m. <ref-law> verhalten. Es sei daher nicht nachvollziehbar, wie die Vorinstanz zum Schluss kommen könne, es sei kein Strafverfahren zu eröffnen gewesen. Ohne ein strafprozessuales Vorverfahren gäbe es keine Grundlage für die Anordnung von weiteren Beweiserhebungen, für die Beschlagnahme von Betäubungsmitteln und schliesslich die Entscheidung über den Verfahrensabschluss. Ohne Strafverfahren wäre keine Einstellungsverfügung samt Einziehungsanordnung betreffend die Betäubungsmittel möglich. Den Erwägungen der Vorinstanz liessen sich keine Hinweise entnehmen, wie der vorliegende Fall ohne Strafverfahren hätte gesetzeskonform erledigt werden können.
Dass <ref-law> Straflosigkeit statuiere, bedeute nicht, dass das Verhalten des Beschwerdegegners rechtmässig gewesen sei und deswegen kein Strafverfahren hätte eröffnet werden sollen. Der unbefugte Besitz von Cannabisprodukten sei gemäss <ref-law> tatbestandsmässig und rechtswidrig. <ref-law> stelle lediglich eine Maximalprivilegierung in Bezug auf die strafrechtliche Reaktion auf dieses deliktische Verhalten dar. Entsprechend bestimme auch <ref-law>, dass die Staatsanwaltschaft die Einstellung des Verfahrens zu verfügen habe, wenn nach gesetzlicher Vorschrift auf Bestrafung verzichtet werden könne, und gemäss <ref-law> sei sie berechtigt, in der Einstellungsverfügung die Einziehung von Gegenständen anzuordnen.
Die Rapportierung von strafrechtlich relevantem Verhalten löse unweigerlich ein strafprozessuales Vorverfahren in Form einer polizeilichen Ermittlung aus. Ein Vorverfahren könne nur durch Strafbefehl, Anklage oder Einstellung beendet werden. Bei der Kostenrechnung seien sämtliche in diesen Verfahrensschritten angefallenen Kosten (<ref-law>) für den abschliessenden Kostenentscheid relevant. Im vorliegenden Verfahren sei die Abschlussgebühr in der Einstellungsverfügung vom 28. Dezember 2015 auf den Minimalbetrag von Fr. 200.-- festgesetzt und zusammen mit den Auslagen von Fr. 105.30 dem Beschwerdegegner auferlegt worden. Die Vorinstanz blende die gesetzliche Verpflichtung der Staatsanwaltschaft aus, den Fall zu beurteilen, die Einziehung der sichergestellten Betäubungsmittel anzuordnen und schliesslich die formelle Verfahrenseinstellung zu verfügen. Indem die Vorinstanz diese Leistungen der Staatsanwaltschaft gewissermassen als vermeidbaren Aufwand qualifiziere und deshalb die hierfür erhobenen Kosten als ungerechtfertigt bezeichne, stelle sie sich in offenen Widerspruch zu sämtlichen genannten bundesrechtlichen Vorschriften, die exakt diese Verfahrensabläufe zwingend vorschrieben. Ferner übersehe sie auch, dass die Staatsanwaltschaft in ihrer Einstellungsverfügung dem Bagatellcharakter Rechnung getragen habe, indem sie dem Beschwerdegegner lediglich die Mindestabschlussgebühr auferlegt habe, welche nicht dem effektiv entstandenen Aufwand entspreche.
1.3. Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (<ref-law>). Es ist weder an die in der Beschwerde vorgetragene Begründung noch an die Erwägungen der Vorinstanz gebunden. Es kann eine Beschwerde aus einem anderen als dem angerufenen Grund gutheissen oder sie mit einer von den rechtlichen Überlegungen der Vorinstanz abweichenden Begründung abweisen (<ref-ruling> E. 2.3 S. 23 f.; <ref-ruling> E. 2.4 S. 429; je mit Hinweisen).
1.4. Gemäss <ref-law> können der beschuldigten Person bei Einstellung des Verfahrens die Verfahrenskosten ganz oder teilweise auferlegt werden, wenn sie rechtswidrig und schuldhaft die Einleitung des Verfahrens bewirkt oder dessen Durchführung erschwert hat. Unter den gleichen Voraussetzungen kann nach <ref-law> eine Entschädigung herabgesetzt oder verweigert werden. In diesen Fällen besteht gestützt auf <ref-law> ein Entschädigungsanspruch der Privatklägerschaft gegenüber der beschuldigten Person.
Nach der Rechtsprechung des Bundesgerichts verstösst eine Kostenauflage bei Freispruch oder Einstellung des Verfahrens gegen die Unschuldsvermutung (<ref-law>, <ref-law> und Art. 6 Ziff. 2 EMRK), wenn der beschuldigten Person in der Begründung des Kostenentscheids direkt oder indirekt vorgeworfen wird, es treffe sie ein strafrechtliches Verschulden. Damit käme die Kostenauflage einer Verdachtsstrafe gleich. Dagegen ist es mit Verfassung und Konvention vereinbar, einer nicht verurteilten beschuldigten Person die Kosten zu überbinden, wenn sie in zivilrechtlich vorwerfbarer Weise, d.h. im Sinne einer analogen Anwendung der sich aus <ref-law> ergebenden Grundsätze, eine geschriebene oder ungeschriebene Verhaltensnorm, die sich aus der Gesamtheit der schweizerischen Rechtsordnung ergeben kann, klar verletzt und dadurch das Strafverfahren veranlasst oder dessen Durchführung erschwert hat. In tatsächlicher Hinsicht darf sich die Kostenauflage nur auf unbestrittene oder bereits klar nachgewiesene Umstände stützen (<ref-ruling> E. 3b S. 155; <ref-ruling> E. 1b S. 334; <ref-ruling> E. 2a S. 374; Urteile 6B_170/2016 vom 5. August 2016 E. 1.1; 6B_1247/2015 vom 15. April 2016 E. 1.3; je mit Hinweisen).
Zwischen dem zivilrechtlich vorwerfbaren Verhalten sowie den durch die Untersuchung entstandenen Kosten muss ein adäquater Kausalzusammenhang bestehen (<ref-ruling> E. 2c S. 170; Urteile 6B_877/2016 vom 13. Januar 2017 E. 3.2; 6B_1247/2015 vom 15. April 2016 E. 1.3; 6B_241/2015 vom 26. Januar 2016 E. 1.3.2) und das Sachgericht muss darlegen, inwiefern die beschuldigte Person durch ihr Handeln in zivilrechtlich vorwerfbarer Weise gegen eine Verhaltensnorm klar verstossen hat (Urteile 6B_170/2016 vom 5. August 2016 E. 1.1; 6B_1247/2015 vom 15. April 2016 E. 1.3).
Das Bundesgericht prüft frei, ob der Kostenentscheid direkt oder indirekt den Vorwurf strafrechtlicher Schuld enthält und ob die beschuldigte Person in zivilrechtlich vorwerfbarer Weise gegen geschriebene oder ungeschriebene Verhaltensnormen klar verstiess und dadurch das Strafverfahren veranlasste. Unter Willkürgesichtspunkten prüft es die diesbezügliche Sachverhaltsfeststellung sowie gegebenenfalls kantonales Recht (Urteile 6B_414/2016 vom 29. Juli 2016 E. 2.4; 6B_894/2015 vom 13. Januar 2016 E. 1.2; vgl. zur Willkür: <ref-ruling> E. 2.4 S. 368; <ref-ruling> E. 4.1 S. 566).
1.5.
1.5.1. Wer unbefugt Betäubungsmittel vorsätzlich konsumiert oder wer zum eigenen Konsum eine Widerhandlung im Sinne von <ref-law> begeht, wird mit Busse bestraft (<ref-law>). In leichten Fällen kann das Verfahren eingestellt oder von einer Strafe abgesehen werden. Es kann eine Verwarnung ausgesprochen werden (<ref-law>).
Wer nur eine geringfügige Menge eines Betäubungsmittels für den eigenen Konsum vorbereitet oder zur Ermöglichung des gleichzeitigen und gemeinsamen Konsums einer Person von mehr als 18 Jahren unentgeltlich abgibt, ist nicht strafbar (<ref-law>). 10 Gramm eines Betäubungsmittels des Wirkungstyps Cannabis gelten als geringfügige Menge (<ref-law>).
1.5.2. Nach der Praxis des Bundesgerichts fällt der Konsum von geringfügigen Drogenmengen unter <ref-law>, der blosse Besitz von geringfügigen Drogenmengen zu Konsumzwecken hingegen unter <ref-law> (<ref-ruling> E. 2 f. S. 185 ff.; <ref-ruling> E. 1c S. 198 f.; Urteil 6B_630/2016 vom 25. Januar 2017 E. 2.3; vgl. auch Gustav Hug-Beeli, Kommentar zum Betäubungsmittelgesetz [BetmG], 2016, N. 5 zu <ref-law>; Peter Albrecht, Die Strafbestimmungen des Betäubungsmittelgesetzes [Art. 19-28l BetmG], 3. Aufl. 2016, N. 10 zu <ref-law>).
1.6.
1.6.1. Im vorliegenden Fall stand nie der Konsum von Betäubungsmitteln im Raum. Dem Beschwerdegegner wurde von Anfang an ausschliesslich die Vorbereitung des Konsums vorgeworfen, weshalb sein Fall klarerweise unter <ref-law> fällt (vgl. Urteil 6B_852/2008 vom 2. Dezember 2008 E. 5), womit eine straflose Vorbereitungshandlung vorliegt (Urteil 1A.109/2003 vom 3. Juni 2003 E. 4.5).
1.6.2. Die Vorinstanz erwägt daher zu Recht, der Beschwerdegegner sei nicht strafbar, soweit er eine geringfügige Menge Marihuana und Haschisch für den eigenen Konsum vorbereitete. Dagegen verletzt sie Bundesrecht und Konventionsrecht, indem sie ihm vorwirft, der Besitz von Marihuana und Haschisch sei im Grundsatz verboten. Wie oben dargelegt, fällt der blosse Besitz von geringfügigen Drogenmengen zu Konsumzwecken unter <ref-law> und ist straflos. Entgegen der Auffassung der Vorinstanz kann somit nicht gesagt werden, der Beschwerdegegner habe sich rechtswidrig und schuldhaft im Sinne von <ref-law> verhalten, indem er geringfügige Drogenmengen zu Konsumzwecken besass. <ref-law> nimmt derartigen Besitz vom Anwendungsbereich des <ref-law> aus (vgl. auch Fingerhuth/Schlegel/Jucker, Kommentar zum Betäubungsmittelgesetz, 3. Aufl. 2016, N. 2 ff. zu <ref-law>; Gustav Hug-Beeli, a.a.O., N. 41 zu <ref-law>).
Dass der Beschwerdegegner in anderer Weise rechtswidrig und schuldhaft die Einleitung des Verfahrens bewirkt oder dessen Durchführung erschwert hätte, legen weder die Beschwerdeführerin noch die Vorinstanz dar und ist auch nicht ersichtlich.
Daraus folgt, dass dem Beschwerdegegner die Verfahrenskosten nicht einmal teilweise hätten auferlegt werden dürfen. Der weitergehende Antrag der Beschwerdeführerin, er hätte sämtliche Verfahrenskosten tragen müssen, ist damit unbegründet, weshalb die Beschwerde abzuweisen ist.
1.7.
1.7.1. Bei diesem Ausgang kann offenbleiben, ob ein Strafverfahren überhaupt hätte an die Hand genommen werden dürfen (vgl. dazu Fingerhuth/Schlegel/Jucker, a.a.O., N. 15 zu <ref-law>; Gustav Hug-Beeli, a.a.O., N. 58 zu <ref-law>). Fest steht, dass von allem Anfang an kein Straftatbestand erfüllt war (vgl. <ref-law>). Überdies ist entgegen der Auffassung der Beschwerdeführerin für die Anwendung der eidgenössischen Strafprozessordnung bedeutungslos, dass im Kanton Basel-Stadt "aufgrund der besonderen Behördenorganisation" die Kriminalpolizei bei der Staatsanwaltschaft angesiedelt ist.
1.7.2. Ebenso kann dahingestellt bleiben, ob die geringfügigen Mengen von Marihuana und Haschisch tatsächlich einzuziehen waren. Entgegen den Ausführungen der Beschwerdeführerin ist die Frage umstritten (vgl. dazu Peter Albrecht, a.a.O., N. 1 Fn. 1 zu <ref-law> mit Hinweisen; Fingerhuth/Schlegel/Jucker, a.a.O., N. 16 zu <ref-law>; Gustav Hug-Beeli, a.a.O., N. 59 zu <ref-law>).
2.
Die Beschwerde ist abzuweisen, soweit darauf eingetreten werden kann. Es sind keine Gerichtskosten zu erheben (<ref-law>). Dem Beschwerdegegner ist keine Parteientschädigung zuzusprechen, weil ihm im bundesgerichtlichen Verfahren keine Umtriebe entstanden sind.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.
Es werden keine Gerichtskosten erhoben.
3.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt, Einzelgericht, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 6. September 2017
Im Namen der Strafrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Denys
Die Gerichtsschreiberin: Andres