Sachverhalt:
A.
B._ (Mutter) und C._ (Vater) sind die miteinander verheirateten Eltern von A._ (geb. 2006).
B.
B.a. Am 18. Februar 2014 errichtete die Kindes- und Erwachsenenschutzbehörde des Kantons Schaffhausen (KESB Schaffhausen) für A._ eine Beistandschaft gemäss Art. 308 Abs. 1 und 2 ZGB. Zur Beiständin wurde D._ ernannt.
B.b. Am 19. November 2014 hob die KESB Schaffhausen gestützt auf <ref-law> superprovisorisch das elterliche Aufenthaltsbestimmungsrecht auf und platzierte A._ im U._ (V._).
B.c. Mit Verfügung vom 20. Mai 2015 stellte die Eheschutzrichterin des Kantonsgerichts Schaffhausen fest, dass die Voraussetzungen zur Aufhebung des gemeinsamen Haushalts von B._ und C._ erfüllt seien. Sie wies die eheliche Wohnung der Ehefrau zur alleinigen Benutzung zu. Sodann ordnete sie an, das Aufenthaltsbestimmungsrecht über das Kind bis auf weiteres bei der KESB Schaffhausen zu belassen.
B.d. Mit Beschluss vom 2. Juni 2015 bestätigte die KESB Schaffhausen die vorsorglich verfügte Aufhebung des elterlichen Aufenthaltsbestimmungsrechts und die Fremdplatzierung des Kindes (s. Bst. B.b).
C.
C.a. Am 6. Juli 2015 erhoben A._ und B._ Beschwerde an das Obergericht des Kantons Schaffhausen. Sie beantragten, den Beschluss der KESB Schaffhausen vom 2. Juni 2015 (Bst. B.d) aufzuheben, die Sache zu neuer Prüfung der Aufhebung des Aufenthaltsbestimmungsrechts und zur Rückplatzierung per neues Schuljahr an die Vorinstanz zurückzuweisen und die KESB bzw. die Beiständin zu beauftragen, die geeignete Einschulung von A._ in W._ sowie die engmaschige Familienbegleitung am Wohnsitz der Mutter zu organisieren.
C.b. Das Obergericht wies die Beschwerde am 22. April 2016 ab, soweit es darauf eintrat (Dispositiv-Ziffer 1). Es gewährte B._ für das Beschwerdeverfahren die unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung (Dispositiv-Ziffer 2) und befreite sie einstweilen von der Bezahlung der Gerichtskosten von Fr. 600.-- (Dispositiv-Ziffer 3). Parteientschädigungen wurden keine zugesprochen (Dispositiv-Ziffer 4).
D.
Mit Eingabe vom 25. Mai 2016 wenden sich A._ (Beschwerdeführer) und B._ (Beschwerdeführerin) an das Bundesgericht. Sinngemäss verlangen sie, die Ziffern 1-4 des obergerichtlichen Urteils aufzuheben, das Aufenthaltsbestimmungsrecht über den Beschwerdeführer der Beschwerdeführerin allein zu übertragen und den Beschwerdeführer im Haushalt der Beschwerdeführerin zu platzieren. Im Sinne eines Eventualantrags beantragen sie, die Sache zur Prüfung der Rückplatzierung des Beschwerdeführers an die KESB Schaffhausen zurückzuweisen. Für das Verfahren vor dem Bundesgericht verlangen die Beschwerdeführer die unentgeltliche Rechtspflege.
Das Bundesgericht hat die vorinstanzlichen Akten, aber keine Vernehmlassungen eingeholt.

Erwägungen:
1.
Angefochten ist ein kantonal letztinstanzlicher Endentscheid (Art. 75 Abs. 1 und 90 BGG) über eine Kindesschutzmassnahme, mithin über eine öffentlich-rechtliche Angelegenheit in unmittelbarem Zusammenhang mit Zivilrecht (Art. 72 Abs. 2 Bst. b Ziff. 6 BGG) ohne Vermögenswert. Die Beschwerdeführerin ist als Kindsmutter gemäss <ref-law> zur Beschwerde berechtigt. Die Beschwerdefrist ist eingehalten (<ref-law>). Insofern ist die Beschwerde in Zivilsachen zulässig. Fraglich erscheint allerdings, ob der zirka zehnjährige Beschwerdeführer sich im vorliegenden Prozess durch seine Mutter gesetzlich vertreten lassen kann. Dem angefochtenen Entscheid lässt sich nicht entnehmen, dass die elterliche Sorge über den Beschwerdeführer entgegen der gesetzlichen Grundordnung (<ref-law>) nur der Mutter allein zusteht, diese das Kind also ohne Zustimmung des Vaters vertreten kann. Soweit die elterliche Sorge beiden Eltern gemeinsam zusteht, kann eine Justizbehörde in einem vor Gericht ausgetragenen Streit über den Entzug des Aufenthaltsbestimmungsrechts auch nicht gemäss <ref-law> voraussetzen, dass der eine Elternteil das Kind im Einvernehmen mit dem andern vertritt (vgl. INGEBORG SCHWENZER/MICHELLE COTTIER, in: Basler Kommentar, Zivilgesetzbuch I, 5. Aufl. 2014, N 11 zu Art. 304/305 ZGB). Ausserdem gilt es auch den möglichen Interessenkonflikt zwischen dem Kind und seinen Eltern im Auge zu behalten. Was es damit auf sich hat, kann aber offenbleiben. Das zeigen die nachfolgenden Erwägungen.
2.
Auch im ordentlichen Beschwerdeverfahren befasst sich das Bundesgericht nur mit formell ausreichend begründeten Rügen (<ref-ruling> E. 1.1 S. 104 f.; s. auch Urteil 5A_92/2008 vom 25. Juni 2008 E. 2.3). Nach <ref-law> ist in der Begründung in gedrängter Form darzulegen, inwiefern der angefochtene Akt Recht verletzt. Der Beschwerdeführer muss auf den angefochtenen Entscheid eingehen und im Einzelnen aufzeigen, worin eine Verletzung von Bundesrecht liegt; er soll im Schriftsatz mit seiner Kritik an den Erwägungen der Vorinstanz ansetzen, die er als rechtsfehlerhaft erachtet (vgl. <ref-ruling> E. 2a S. 400; Urteil 4A_22/2008 vom 10. April 2008 E. 1). Allgemein gehaltene Einwände, die er ohne aufgezeigten oder erkennbaren Zusammenhang mit bestimmten Entscheidungsgründen vorbringt, genügen nicht (<ref-ruling> E. 3 S. 749). Strengere Anforderungen gelten, wenn die Verletzung von Grundrechten und von kantonalem und interkantonalem Recht geltend gemacht wird. Diesen Vorwurf prüft das Bundesgericht nicht von Amtes wegen, sondern nur insoweit, als eine entsprechende Rüge in der Beschwerde vorgebracht und begründet worden ist (<ref-law>; <ref-ruling> E. 2.2 S. 246; <ref-ruling> E. 1.4 S. 254; je mit Hinweisen). Das Gleiche gilt, soweit die Beschwerdeführerin der Vorinstanz vorwirft, den Sachverhalt nicht richtig festgestellt zu haben (vgl. BGE <ref-ruling> E. 1.2.2 S. 252; <ref-ruling> E. 7.1 S. 398).
3.
Kann der Gefährdung des Kindes nicht anders begegnet werden, so hat die Kindesschutzbehörde es den Eltern oder, wenn es sich bei Dritten befindet, diesen wegzunehmen und in angemessener Weise unterzubringen (<ref-law>). Diese Kindesschutzmassnahme hat zur Folge, dass das Recht, den Aufenthaltsort des Kindes zu bestimmen, den Eltern bzw. einem Elternteil entzogen und der Kindesschutzbehörde übertragen wird, die nunmehr für die Betreuung des Kindes verantwortlich ist (Urteil 5A_335/2012 vom 21. Juni 2012 E. 3.1). Die Gefährdung des Kindes, die Anlass zum Entzug des Aufenthaltsbestimmungsrechts gibt, muss darin liegen, dass das Kind im Umfeld der Eltern bzw. des Elternteils nicht so geschützt und gefördert wird, wie es für seine körperliche, geistige und sittliche Entfaltung nötig wäre (Urteile 5A_875/2013 vom 10. April 2014 E. 3.1; 5A_729/2013 vom 11. Dezember 2013 E. 4.1; 5A_238/2010 vom 11. Juni 2010 E. 4, in: FamPra.ch 2010 S. 715). Unerheblich ist, auf welche Ursachen die Gefährdung zurückzuführen ist: Sie können in den Anlagen oder in einem Fehlverhalten des Kindes, der Eltern oder der weiteren Umgebung liegen. Desgleichen spielt es keine Rolle, ob die Eltern ein Verschulden an der Gefährdung trifft. Massgebend sind die Verhältnisse im Zeitpunkt der Entziehung. An die Würdigung der Umstände ist ein strenger Massstab zu legen. Die Entziehung ist nur zulässig, wenn andere Massnahmen ohne Erfolg geblieben sind oder von vornherein als ungenügend erscheinen (Urteile 5A_401/2015 vom 7. September 2015 E. 5.2; 5A_212/2013 vom 5. September 2013 E. 3.1; 5A_238/2010 vom 11. Juni 2010 E. 4, in: FamPra.ch 2010 S. 715). Der Entzug des Rechts, den Aufenthaltsort des Kindes zu bestimmen, ist somit nur zulässig, wenn der Gefährdung des Kindes nicht durch andere Massnahmen gemäss Art. 307 und Art. 308 ZGB begegnet werden kann (Grundsätze der Verhältnismässigkeit und der Subsidiarität; dazu die nicht veröffentliche Erwägung E. 6.3 des zur Publikation bestimmten Urteils 5A_724/2015 vom 2. Juni 2016; ferner die Urteile 5A_70/2016 vom 25. April 2016 E. 3.1 und 5A_548/2015 vom 15. Oktober 2015 E. 4.3).
4.
4.1. Die Vorinstanz stellt unter Hinweis auf Abklärungen der KESB Schaffhausen fest, die behandelnden Ärzte und die Kindesschutzgruppe des Kinderspitals X._ seien zur Auffassung gelangt, dass die Eltern aufgrund ihrer fehlenden Einsicht in die Krankheit ihres Kindes eine adäquate Betreuung ihres Sohnes nicht gewährleisten können. A._ werde vom Vater geschlagen, ohne dass die Mutter ihn ausreichend schützen könne. Die Eltern hätten sich schliesslich mit der empfohlenen täglichen Fremdbetreuung ihres Sohnes, dem täglichen Erscheinen der Spitex zur Sicherstellung der Medikamenteneinnahme und einer sozialpädagogischen Familienbegleitung einverstanden erklärt. Der Vater habe jedoch in der Folge den Auftrag zur Familienbegleitung gekündigt und auch die Beschwerdeführerin habe sich gegen die Weiterführung der Familienbegleitung ausgesprochen. Die KESB Schaffhausen sei nach weiteren Anhörungen der Eltern zum Schluss gelangt, das Kind bedürfe aufgrund seiner schweren, nicht eindeutig geklärten Erkrankung (mit epileptischen Anfällen) der besonderen medizinischen Versorgung. Diese beschränke sich nicht auf die Abgabe der Medikamente, sondern verlange auch nach einer genauen Beobachtung des Verhaltens des Kindes und seiner Reaktionen. Aufgrund seines Entwicklungsstands und seiner kognitiven Einschränkungen sei das Kind zudem auf eine strukturierte Betreuung und klare Regeln angewiesen. Die Eltern seien mit der medizinischen Versorgung und der Bereitstellung einer geeigneten Betreuung überfordert und hätten insbesondere die Zusammenarbeit mit einer sozialpädagogischen Familienbegleitung abgelehnt.
Neben dieser Überforderung sei auch die psychische Erkrankung des Vaters als Gefährdung zu gewichten. Die Krankheit des Vaters, wegen der sich die Fremdplatzierung aufgedrängt habe, bestehe aufgrund der Akten nach wie vor. Die eheschutzrichterliche Trennung habe sodann nicht dazu beigetragen, dass der Vater eine eigene Wohnung bezogen hätte. Vielmehr halte er sich im Wesentlichen im Psychiatriezentrum auf, zeitweise freiwillig, zeitweise im Rahmen einer fürsorgerischen Unterbringung. Sein Gesundheitszustand sei auch nach Meinung der Beschwerdeführerin sehr instabil und seine Kooperationsbereitschaft schwankend.
Die KESB Schaffhausen weise zudem darauf hin, dass der Vater erklärt habe, sich nur deshalb von seiner Ehefrau getrennt zu haben, um die Voraussetzungen dafür zu schaffen, dass der Sohn nach Hause zurückkehren kann. Auch die Beschwerdeführerin räume ein, dass die Eheleute an sich - losgelöst von den Problemen, welche die schweren gesundheitlichen Probleme des Ehemanns mit sich brächten - nicht den Wunsch gehabt hätten, sich zu trennen bzw. fortan getrennt zu leben. Der Ehemann verbringe denn auch die ihm von der Klinik gewährte tägliche Freizeit von 16 bis 20 bzw. 21 Uhr bei der Beschwerdeführerin. Er möchte sodann am Sonntag - und damit auch an den Besuchstagen des Kindes - jeweils mehr Zeit "zu Hause" bei seiner Familie verbringen. Angesichts der regelmässigen mehrstündigen Aufenthalte des Ehemanns bei seiner Familie sei nachvollziehbar, dass die KESB Schaffhausen annehme, dass sich trotz formeller eheschutzrichterlicher Trennung de facto nichts verändert habe.
Auch die Eltern seien sich offenbar bewusst, dass die Verhältnisse in der Familie bei einer Rückplatzierung des Sohns problematisch wären. Nach ihrer Auffassung hätte eine engmaschige Familienbegleitung die nötige Kontrolle sicherzustellen. Dem halte die KESB Schaffhausen zu Recht entgegen, dass die Kontrolle der Wohnverhältnisse der Eltern nicht der Zweck einer Familienbegleitung sei und nicht im Rahmen ihrer Möglichkeiten liegen würde. Auch würden begründete Zweifel bestehen, ob bei den Eltern die erforderliche Vertrauensbasis für eine solche Familienbegleitung geschaffen werden könnte. Zumindest beim Vater sei dies jedenfalls kaum vorstellbar.
4.2. Die Beschwerdeführerin wirft der Vorinstanz vor, ihre rechtliche und faktische Trennung vom Ehemann nicht zur Kenntnis nehmen zu wollen und deshalb fälschlicherweise davon auszugehen, dass die Sicherheit des Sohns nicht anders gewährt werden könne als durch die angeordnete Fremdplatzierung. Dadurch verletze die Vorinstanz Art. 5 Abs. 2 und 4, Art. 9, 13 Abs. 1 BV, <ref-law>, Art. 8 EMRK sowie Art. 7 Abs. 1 [Verhältnismässigkeitsprinzip], Art. 7 Abs. 2 [Willkürverbot], Art. 12 Abs. 1 Bst. c [Recht auf Familienleben] und Art. 22 Bst. c [Sozialziel der Förderung Familiengemeinschaft von Eltern mit ihren Kindern] der Verfassung des Kantons Schaffhausen.
Die Beschwerdeführerin räumt ein, dass der Vater des Kindes krank sei und immer wieder schwere psychotische Schübe habe. In solchen Momenten sei er strikte dagegen, dass sein Sohn die benötigten Medikamente einnehme. Ausgehend davon sei sie damit einverstanden gewesen, dass ihr Sohn superprovisorisch fremdplatziert werde. Sie lehne aber eine "Zementierung" dieses Zustandes ab. Ihr Ehemann lebe seit der Einleitung des Eheschutzverfahrens nicht mehr in ihrem Haushalt. Wie sich aus einem Schreiben der psychiatrischen Klinik Y._ vom 23. Mai 2016 ergebe, habe sich sein Zustand in letzter Zeit verschlechtert, sodass er seit vier Monaten die Klinik nicht mehr verlassen habe und auch nicht mehr auf Besuch komme. Eine Familienbegleitung sei seit der Trennung der Ehegatten installiert und werde von ihr nicht in Frage gestellt. Ebenso wenig bestreite sie die Notwendigkeit einer besonderen Beschulung sowie der Medikamenteneinnahme. Seit der Trennung vom Kindsvater, der sehr dominant aufgetreten sei, könne sie ihre eigene Meinung frei artikulieren und sich so verhalten, wie sie möchte. Die ergriffenen Massnahmen hätten gewirkt und sämtliche Elemente einer Gefährdung des Kindeswohls seien heute beseitigt. Die Zusammenarbeit mit ihr werde auch von der Beiständin und der KESB Schaffhausen sehr positiv gewürdigt. Sie sei eine starke Persönlichkeit, die den besonderen Herausforderungen, welche die Erziehung ihres Sohnes stelle, gewachsen sei. Notfalls sei die Distanz des Kindsvaters zum Rest der Familie mit polizeilicher Gewalt durchzusetzen.
4.3. In rechtlicher Hinsicht gilt es vorweg festzustellen, dass über die Rechtmässigkeit einer Fremdplatzierung zu entscheiden ist und nicht darüber, ob die Voraussetzungen für eine solche mittlerweile dahingefallen sind (<ref-law>). Daran ändert nichts, dass der Sohn zur Zeit bereits fremdplatziert ist. Soweit diese Platzierung nicht im Einvernehmen mit den Eltern erfolgte, beruht sie auf einer vorerst nicht in Rechtskraft erwachsenen Anordnung der KESB Schaffhausen. Im Übrigen geht die Kritik der Beschwerdeführerin aber an der Sache vorbei. Die Vorinstanz hat den Eheschutzentscheid, der die Ehegatten zum Getrenntleben berechtigt, nicht ignoriert. Sie ist aber der Meinung, dass dieser Entscheid keine Gewähr dafür bietet, dass es zu keinen weiteren schädlichen Kontakten zwischen Vater und Sohn kommt. Soweit die Beschwerdeführerin geltend macht, dass sie nach ihrer Trennung vom Ehemann selbstbewusster auftreten könne, übt sie appellatorische Kritik am von der Vorinstanz festgestellten Sachverhalt. Darauf ist nicht einzutreten (E. 2). Ebenso wenig ist die Beschwerdeführerin mit dem Hinweis zu hören, dass es in Zukunft in ihrem Haushalt zu weniger oder sogar zu gar keinen Vater-Sohn-Kontakten mehr kommt, weil sich der Ehemann und Vater in einer Klinik aufhält. Das Schreiben der Klinik, auf das sich die Beschwerdeführerin dabei stützt, stammt vom 23. Mai 2016 und wurde damit nach dem angefochtenen Urteil vom 22. April 2016 verfasst. Es ist als echtes Novum im bundesgerichtlichen Verfahren unbeachtlich (<ref-law>; <ref-ruling> E. 2.1 S. 343 f.). Schliesslich setzt sich die Beschwerdeführerin nicht mit den Grenzen auseinander, die einer Familienbegleitung gesetzt sind. Die Tatsache, dass den Eltern ein Kind nur als letzte Massnahme (ultima ratio) weggenommen werden kann, bedeutet nicht, dass der Staat einen beliebigen Aufwand treiben müsste, um der Wegnahme eines Kindes zuvorzukommen. Aus dem gleichen Grund kann die Beschwerdeführerin auch nicht darauf zählen, dass die Polizei jeweils sicherstellt, dass der Vater nicht zur Familie zurückkehrt, während sich der Sohn im Haushalt der Beschwerdeführerin aufhält.
5.
Gestützt auf die vorigen Erwägungen ist die Beschwerde abzuweisen, soweit darauf eingetreten werden kann. Bei diesem Ausgang des Verfahrens unterliegt die Beschwerdeführerin. Sie hat für die gesamten Gerichtskosten aufzukommen (<ref-law>); dem Beschwerdeführer werden keine Gerichtskosten auferlegt (<ref-law>). Dem Gesuch der Beschwerdeführer um unentgeltliche Rechtspflege im Verfahren vor Bundesgericht kann nicht entsprochen werden, da die Beschwerde als von Anfang an aussichtslos gelten muss (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.
Das Gesuch der Beschwerdeführer um unentgeltliche Rechtspflege für das bundesgerichtliche Verfahren wird abgewiesen.
3.
Die Gerichtskosten von Fr. 2'000.-- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
4.
Dieses Urteil wird den Beschwerdeführern, der Kindes- und Erwachsenenschutzbehörde (KESB) des Kantons Schaffhausen und dem Obergericht des Kantons Schaffhausen schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 10. November 2016
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: von Werdt
Der Gerichtsschreiber: Monn