Faits :
A.
A.a. A._ travaillait en qualité d'orthopédiste équin pour le compte de la société B._ Sàrl, dont elle est l'unique associée et gérante. A ce titre, elle était assurée obligatoirement contre le risque d'accident auprès de la Mobilière Suisse Société d'Assurances SA (ci-après: la Mobilière).
A.b. Le 19 décembre 2013, alors qu'elle était en incapacité de travail en raison d'un précédent accident, elle a glissé sur une plaque de glace en sortant de sa voiture et a chuté sur le côté droit du corps.
A.c. Le 28 février 2014, elle a consulté la doctoresse D._, spécialiste en médecine interne générale, laquelle a diagnostiqué des contusions multiples à l'épaule, au coude, à la hanche et à la main droites. L'incapacité totale de travail a été maintenue. La Mobilière a pris en charge le cas.
La Mobilière a mandaté le docteur C._, spécialiste en chirurgie orthopédique, pour une expertise. Ce médecin a rendu son rapport le 10 juillet 2014, dans lequel il a admis le rapport de causalité entre les troubles de l'assurée et l'accident et a préconisé la mise en oeuvre d'une arthro-IRM de l'épaule droite afin d'exclure une lésion de la coiffe des rotateurs ou du tendon du biceps. L'arthro-IRM a été réalisée le 6 août suivant par la doctoresse E._, spécialiste en radiologie, laquelle a conclu à une fissuration non transfixiante de la face inférieure du tendon du sus-épineux sans atrophie de son chef musculaire ainsi qu'une discrète bursite sous-acromiale. Dans un rapport du 10 septembre 2014, le docteur C._ a indiqué que cette lésion tendineuse partielle pouvait avoir une origine dégénérative ou traumatique et que dans tous les cas, le statu quo sine vel ante pouvait être arrêté à mi-septembre 2014.
Après avoir recueilli divers rapports médicaux, en particulier de la doctoresse F._, spécialiste en chirurgie orthopédique et traumatologie de l'appareil locomoteur, la Mobilière a sollicité l'avis du docteur G._, également spécialiste en chirurgie orthopédique et traumatologie de l'appareil locomoteur. Elle lui a soumis l'ensemble des pièces médicales, en lui demandant de prendre position par rapport aux avis exprimés.
Dans son rapport du 8 décembre 2014, le docteur G._ s'est distancé de l'avis des médecins consultés par l'assurée et a conclu que le statu quo sine avait été atteint un an après l'accident. Fondé sur ce rapport et sur l'avis du docteur C._, la Mobilière a supprimé le droit de l'assurée aux prestations avec effet au 31 décembre 2014 pour les frais de traitement et au 30 septembre 2014 pour l'indemnité journalière (décision du 16 décembre 2014, confirmée sur opposition le 3 mars 2015).
B.
Par jugement du 15 décembre 2015, la Cour des assurances de la République et canton du Jura a admis partiellement le recours formé par l'assurée. Elle a annulé la décision sur opposition du 3 mars 2015 en tant qu'elle mettait fin au versement des indemnités journalières au 30 septembre 2014 et a condamné la Mobilière à verser celles-ci jusqu'au 8 décembre 2014.
C.
A._ forme un recours en matière de droit public contre ce jugement en concluant principalement à son annulation et au maintien de son droit aux indemnités journalières et à la prise en charge des frais de traitement. Subsidiairement, elle demande le renvoi de la cause à la cour cantonale pour mise en oeuvre d'une expertise judiciaire et nouveau jugement, le tout sous suite de frais et dépens. Elle requiert également le bénéfice de l'assistance judiciaire.
La Mobilière et la juridiction cantonale concluent au rejet du recours, dans la mesure où il est recevable. L'Office fédéral de la santé publique ne s'est pas déterminé.

Considérant en droit :
1.
Le recours est dirigé contre un arrêt final (<ref-law>) rendu en matière de droit public (<ref-law>) par une autorité cantonale de dernière instance (art. 86 al. 1 let. d LTF). Il a été déposé dans le délai (<ref-law>) et la forme (<ref-law>) prévus par la loi. Il est donc recevable.
2.
Le litige porte sur le droit de la recourante aux prestations d'assurance au-delà du 8 décembre 2014 (respectivement du 31 décembre 2014 pour les frais de traitement), singulièrement sur l'existence d'un rapport de causalité entre l'accident et les troubles de l'épaule droite persistants à cette date.
Lorsque, comme en l'espèce, le jugement entrepris porte sur des prestations en espèces et en nature de l'assurance-accidents, le Tribunal fédéral dispose d'un pouvoir d'examen étendu en ce qui concerne les faits communs aux deux types de prestations (cf. arrêt 8C_584/2009 du 2 juillet 2010 consid. 4, in SVR 2011 UV n° 1 p. 2 s.).
3.
Le jugement entrepris a correctement exposé les dispositions légales et les principes jurisprudentiels applicables au cas d'espèce. Il suffit par conséquent d'y renvoyer.
4.
La cour cantonale a retenu que la fissuration non transfixiante de la face inférieure du tendon du sus-épineux révélé par l'arthro-IRM du 6 août 2014 constituait une déchirure de faisceaux individuels des fibres tendineuses, soit une lésion corporelle assimilée à un accident au sens de l'art. 9 al. 2 let. f OLAA (RS 832.202). Elle a considéré en résumé que le rapport du docteur G._ remplissait tous les critères jurisprudentiels en matière de valeur probante et que les conclusions de ce médecin n'étaient contredites par aucune autre pièce médicale. Aussi, a-t-elle considéré que le statu quo sine vel ante avait été atteint le 8 décembre 2014, date du rapport médical de ce médecin.
5.
5.1. Par un premier moyen, la recourante invoque la violation de l'art. 61 let. c LPGA (RS 830.1) en se plaignant de l'appréciation des preuves par la cour cantonale. Elle lui reproche d'avoir suivi l'avis du docteur G._, respectivement du docteur C._ sur lequel le premier se serait fondé, au détriment de l'avis de la doctoresse F._.
A l'appui de ce grief, la recourante soutient en particulier que l'avis du docteur G._ est contredit par tous les autres médecins au regard de ses diagnostics de "suspicion" de déchirure du tendon et de conflit sous-acromial, au lieu de bursite sous-acromiale. En outre, le docteur G._ n'était pas en mesure, selon elle, de se prononcer sur sa capacité de travail, vu qu'il admet ignorer en quoi consiste son métier et que les pièces médicales ne contenaient pas suffisamment d'informations à ce sujet. La recourante lui reproche également de ne pas s'être prononcé sur les éléments essentiels du dossier médical, en particulier sur les arthro-IRM réalisées, et de ne pas avoir expliqué les raisons pour lesquelles il s'écarte de l'avis de la doctoresse F._. Enfin, elle fait valoir qu'il est le seul médecin à ne pas l'avoir auscultée.
En ce qui concerne l'avis du docteur C._, il serait également critiquable. En effet, ce médecin aurait d'abord qualifié la lésion d'accidentelle (rapport du 10 juillet 2014) avant de changer d'avis en affirmant qu'elle pouvait être tant dégénérative que traumatique (rapport du 10 septembre 2014). Par ailleurs, la recourante soutient qu'il manque d'objectivité au regard des reproches qu'il lui aurait faits de tenir des propos mensongers en relation avec ses douleurs. L'échec du traitement préconisé par ce médecin (infiltration sous-acromiale) démontrerait le mauvais diagnostic posé par lui. Enfin, la recourante fait valoir que selon le docteur H._, médecin au Service médical régional de l'assurance-invalidité (SMR), le rapport du docteur C._ devait être écarté de la procédure, vu que la totalité des investigations n'était pas faite au moment de son rapport d'expertise (rapport du 24 septembre 2015).
5.2. Les griefs soulevés par la recourante à l'encontre des rapports des docteurs G._ et C._ ne sont pas de nature à remettre en cause l'appréciation des premiers juges. En particulier, le diagnostic de suspicion de déchirure partielle de la face profonde du tendon du sus-épineux de l'épaule droite posé par le premier n'est pas critiquable. En effet, celui-ci se réfère au rapport d'arthro-IRM du 6 août 2014 de la doctoresse E._, laquelle indique qu'il "semble exister" une fissuration, bien qu'elle conclue au final à la présence d'un telle lésion. A ce propos, l'existence d'une lésion corporelle assimilée au sens de l'<ref-law> peut prêter à discussion (cf. <ref-ruling> consid. 5c p. 306; arrêt 8C_763/2015 du 11 juillet 2016 consid. 4.3). Dans tous les cas, l'intimée ne la conteste pas et il n'y a pas lieu d'examiner plus avant cette question vu l'issue du litige. Pour le reste, l'argument de la recourante, selon lequel le conflit sous-acromial ne correspondrait pas à la bursite sous-acromiale attestée par d'autres médecins, n'est pas étayé sur le plan médical. Quant aux remarques sur sa capacité de travail, elles ne sont pas déterminantes au regard de l'objet du litige. Enfin, on ne voit pas sur quel élément essentiel du dossier médical, le docteur G._ aurait omis de se prononcer, étant précisé qu'au moment de la rédaction de son rapport seule l'arthro-IRM du 6 août 2014 avait été réalisée. Contrairement à ce que soutient la recourante, il a expliqué de manière circonstanciée les raisons pour lesquelles il s'écartait de l'avis de la doctoresse F._ (cf. rapport du 8 décembre 2014 p. 3 et 4).
En ce qui concerne le docteur C._, s'il a d'abord admis l'origine accidentelle des troubles, c'est uniquement en relation avec son diagnostic de "séquelles de contusion de l'épaule droite", avant même que l'arthro-IRM - qu'il a lui-même préconisé - ne révèle la lésion tendineuse (rapport d'expertise du 10 juillet 2014 p. 7). En outre, c'est dans un rapport du 12 novembre 2014 seulement, soit après la rédaction de son rapport d'expertise et de son complément du 10 septembre 2014, qu'il a reproché à la recourante de ne pas dire la vérité, non pas au sujet de ses douleurs, mais parce qu'elle s'était plainte auprès de l'intimée qu'il ne l'avait pas examinée. Enfin, il ne ressort pas du rapport du docteur H._ du 24 septembre 2015 que l'avis du docteur C._ devrait être écarté. Dans tous les cas, celui-ci a complété son rapport après avoir reçu les résultats de l'arthro-IRM.
6.
6.1. Par un second moyen, la recourante reproche à la juridiction précédente d'avoir violé les <ref-law>, 9 al. 2 OLAA et la jurisprudence y relative, en considérant que le lien de causalité entre l'accident et les troubles de l'épaule était rompu à partir du 8 décembre 2014. Elle fait valoir que ni le docteur G._, ni le docteur C._, n'ont attesté que l'origine dégénérative de la lésion était manifeste et exclusive, et que selon ce dernier, il n'est d'ailleurs pas possible de prouver l'origine dégénérative ou traumatique de la lésion. En outre, la fixation du statu quo sine vel ante par le docteur C._ ne serait pas motivée. Quant au docteur G._, elle lui reproche de considérer qu'à 47 ans elle entre dans la catégorie des personnes les plus sujettes à la lésion tendineuse présentée. Enfin, elle se prévaut de l'avis de la doctoresse F._, pour laquelle l'atteinte serait clairement accidentelle.
6.2. Le droit aux prestations pour une lésion assimilée à un accident prend fin lorsque le retour à un statu quo ante ou à un statu quo sine est établi, c'est-à-dire lorsque l'état de santé est similaire à celui qui existait immédiatement avant l'accident ou à celui qui serait survenu même sans l'accident par la suite d'un développement ordinaire. Toutefois, de telles lésions seront assimilées à un accident aussi longtemps que leur origine maladive ou dégénérative, à l'exclusion d'une origine accidentelle, n'est pas clairement établie. On ne se fondera donc pas simplement sur le degré de vraisemblance prépondérante pour admettre l'évolution d'une telle atteinte vers un statu quo sine (cf. notamment arrêt 8C_565/2015 du 15 juin 2016 consid. 3.2).
6.3. En l'occurrence, on ne saurait guère reprocher aux docteurs G._ et C._ de ne pas être en mesure de déterminer si la fissuration est due à un accident ou à une maladie. La qualification de lésion corporelle assimilée à un accident sert précisément à éviter, au profit de l'assuré, la distinction souvent difficile entre maladie et accident pour les lésions figurant à l'<ref-law>. Cela étant, le docteur G._ ne laisse planer aucun doute quand il explique que le statu quo sine a été atteint et les rapports de la F._, qui ne s'est pas clairement prononcée sur cette question, ne permettent pas de remettre en cause son opinion. De manière tout aussi claire, le docteur C._ estime que, à supposer que la lésion soit accidentelle, le statu quo sine serait atteint à la mi-septembre. Certes, son avis n'est que peu étayé mais cela n'est pas déterminant, dans la mesure où les juges cantonaux pouvaient se fonder sur le rapport du docteur G._ pour fixer le statu quo sine.
Il en résulte, sans qu'il soit nécessaire d'ordonner une instruction complémentaire comme le demande la recourante, que la juridiction cantonale n'a pas violé le droit fédéral en supprimant le droit de l'assurée au indemnités journalières à compter du 8 décembre 2014 et en confirmant la fin de la prise en charge du traitement médical au 31 décembre 2014.
7.
Vu ce qui précède, le recours se révèle mal fondé et doit être rejeté.
8.
Les frais afférents à la présente procédure seront supportés par la recourante qui succombe (<ref-law>). Elle a cependant déposé une demande d'assistance judiciaire visant à la dispense des frais judiciaires et à la désignation d'un avocat d'office. Dès lors que les conditions d'octroi sont réalisées (art. 64 al. 1 et 2 LTF), l'assistance judiciaire lui est accordée. La recourante est toutefois rendue attentive au fait qu'elle devra rembourser la Caisse du Tribunal fédéral, si elle retrouve ultérieurement une situation financière lui permettant de le faire (<ref-law>). L'avocate de la recourante a produit une note d'honoraires pour un montant total de 5'528 fr. 50. Il n'y a toutefois pas de motifs suffisants de s'écarter du montant forfaitaire alloué en règle ordinaire par le Tribunal fédéral à titre d'honoraires dus à l'avocat d'office pour ce type de procédure.
Bien qu'elle obtienne gain de cause, l'intimée n'a pas droit à des dépens (<ref-law>).

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce :
1.
Le recours est rejeté.
2.
L'assistance judiciaire est admise pour la procédure devant le Tribunal fédéral et M e Stéphanie Lang Mamie est désignée comme avocate d'office de la recourante.
3.
Les frais judiciaires, arrêtés à 800 fr., sont mis à la charge de la recourante. Ils sont toutefois supportés provisoirement par la Caisse du Tribunal fédéral.
4.
Une indemnité de 2'800 fr., supportée par la Caisse du Tribunal fédéral, est allouée à M e Stéphanie Lang Mamie à titre d'honoraires.
5.
Le présent arrêt est communiqué aux parties, au Tribunal cantonal de la République et canton du Jura, Cour des assurances, et à l'Office fédéral de la santé publique.
Lucerne, le 16 novembre 2016
Au nom de la Ire Cour de droit social
du Tribunal fédéral suisse
Le Président : Maillard
La Greffière : Castella