Sachverhalt:
A.
A._ betrieb B._ mit Zahlungsbefehl Nr. xxx des Betreibungsamtes Baden vom 26. Mai 2015 für eine Forderung von Fr. 2'000.-- nebst Zins zu 5 % seit dem 20. April 2015. Als Grund der Forderung wurde angegeben: "Unterhaltsvertrag aus dem Jahre 1997, Mahnung vom 18.04.2015." B._erhob Rechtsvorschlag.
B.
B.a. Mit Klage vom 4. Januar 2016 verlangte A._ beim Gerichtspräsidium Baden die provisorische Rechtsöffnung für die betriebene Forderung und für Fr. 73.30 Betreibungskosten, unter Kosten- und Entschädigungsfolgen. Zudem beantragte er die unentgeltliche Rechtspflege.
B.b. Mit Entscheid vom 8. Februar 2016 wies das Gerichtspräsidium Baden das Rechtsöffnungsbegehren von A._ ab, auferlegte ihm die Spruchgebühr von Fr. 250.-- und verpflichtete ihn zur Bezahlung einer Parteientschädigung von Fr. 50.-- an B._. Das Gesuch um Bewilligung der unentgeltlichen Rechtspflege wurde ebenfalls abgewiesen.
C.
Auf die dagegen gerichtete Beschwerde trat das Obergericht des Kantons Aargau mit Entscheid vom 28. April 2016 nicht ein und auferlegte A._ die Spruchgebühr von Fr. 450.--; ferner wurde dem Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege für das Beschwerdeverfahren nicht entsprochen.
D.
A._ gelangt mit Eingabe vom 11. Juni 2016 an das Bundesgericht. Der Beschwerdeführer beantragt, den obergerichtlichen Entscheid vom 28. April 2016 aufzuheben und die Angelegenheit an die Vorinstanz zurückzuweisen. Ausserdem ersucht er um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege.
Es wurden die kantonalen Akten beigezogen, hingegen keine Vernehmlassungen eingeholt.

Erwägungen:
1.
1.1. Die Beschwerde richtet sich gegen den Endentscheid einer letzten kantonalen Instanz, die als oberes Gericht über eine vermögensrechtliche Schuldbetreibungs- und Konkurssache entschieden hat (Art. 113, Art. 72 Abs. 2 lit. a, Art. 114 i.V.m. Art. 75 und Art. 117 i.V.m. Art. 90 BGG). Der Streitwert erreicht Fr. 30'000.-- nicht (Art. 74 Abs. 1 lit. b BGG). Inwiefern sich im konkreten Fall eine Rechtsfrage von grundsätzlicher Bedeutung stellt, ist vom Beschwerdeführer darzutun, sofern eine solche nicht offensichtlich gegeben ist (Art. 74 Abs. 2 lit. a i.V.m. Art. 42 Abs. 2 BGG; <ref-ruling> E. 4 S. 342). Keine der beiden Voraussetzungen ist vorliegend erfüllt, womit die Eingabe des Beschwerdeführers als subsidiäre Verfassungsbeschwerde entgegenzunehmen ist (Art. 113 ff. BGG).
1.2. Da die Beschwerde an das Bundesgericht ein reformatorisches Rechtsmittel darstellt (Art. 117 i.V.m. Art. 107 Abs. 2 BGG), darf sich der Beschwerdeführer grundsätzlich nicht darauf beschränken, die Aufhebung des angefochtenen Entscheides zu beantragen, sondern muss ein Begehren in der Sache stellen. Der Beschwerdeführer stellt blosse Aufhebungs- bzw. Rückweisungsanträge. Nach der Beschwerdebegründung, die für die Auslegung der Begehren beizuziehen ist (<ref-ruling> E. 1.2 S. 136), verlangt er aber zumindest sinngemäss, dass die Rechtsöffnung für die in Betreibung gesetzte (behauptete) Forderung zu gewähren sei.
1.3. Die 50-seitige Beschwerde ist weitschweifig und teils in ungebührlichem Tonfall verfasst. Ob sie zulässig ist (Art. 42 Abs. 6 und 7 BGG), kann indes dahingestellt bleiben. Wäre auf die Beschwerde einzutreten, wäre sie jedenfalls abzuweisen.
1.4. Mit der Verfassungsbeschwerde kann nur die Verletzung von verfassungsmässigen Rechten gerügt werden (Art. 116 BGG). Der Beschwerdeführer muss angeben, welches verfassungsmässige Recht verletzt wurde, und substanziiert darlegen, worin die Verletzung besteht (<ref-ruling> E. 2.1 S. 143; <ref-ruling> E. 3.2 S. 444; je mit Hinweisen). Das Bundesgericht kann die Verletzung eines Grundrechtes nur insofern prüfen, als eine solche Rüge in der Beschwerde präzise vorgebracht und begründet worden ist (Art. 117 i.V.m. Art. 106 Abs. 2 BGG).
2.
Den dargelegten Begründungsanforderungen genügt die Beschwerde über weite Strecken nicht.
2.1. Die Vorinstanz ist auf die bei ihr erhobene Beschwerde nicht eingetreten, weil das Bezirksgericht weder das rechtliche Gehör noch das Recht auf ein verfassungsmässiges Gericht verletzt habe und es demnach an einem rechtsgenüglichen Begehren in der Sache gefehlt habe; ein blosses Rückweisungsbegehren genüge unter diesen Umständen nicht. Zudem wäre die Beschwerde ohnehin abzuweisen gewesen. In ihrer Eventualerwägung hat sie dazu näher ausgeführt, dass sich eine i.S.v. Art. 82 Abs. 1 SchKG zur Rechtsöffnung berechtigende Schuldanerkennung auch aus mehreren Aktenstücken ergeben könne, vorausgesetzt, die (unterzeichnete) Schuldanerkennung nehme auf die weiteren Aktenstücke klar Bezug und der Betrag (für welchen die provisorische Rechtsöffnung verlangt werde), sei schon im Zeitpunkt der Unterschrift für den Unterzeichnenden klar bestimmt oder ohne weiteres bestimmbar gewesen. Ebenso wie bereits die Erstinstanz hat sie erwogen, dass der 1997 geschlossene Vertrag diesen an eine Schuldanerkennung gestellten Anforderungen nicht gerecht werde, da die Höhe der Unterhaltszahlung von verschiedenen im Zeitpunkt der Unterschrift unbekannten Parametern abhänge. Der angefochtene Entscheid beruht mithin auf einer doppelten Begründung; erweist sich auch nur eine der Begründungen als rechtskonform, ist es der Entscheid selbst (vgl. <ref-ruling> E. 7 S. 228).
2.2. Der Beschwerdeführer rügt zunächst gegenüber beiden Begründungen eine Verletzung seines verfassungsmässigen Anspruchs auf rechtliches Gehör (Art. 29 Abs. 2 BV).
Die behaupteten Verletzungen des rechtlichen Gehörs sind nicht ersichtlich und die Rügen unbegründet. Während das Bezirksgericht dem Beschwerdeführer die Stellungnahme der Beschwerdegegnerin unbestrittenermassen zugestellt hat, hat das Obergericht gar keine Vernehmlassung eingeholt, weshalb kein Grund bestand, dem Beschwerdeführer noch Gelegenheit zur Stellungnahme einzuräumen. Der Beschwerdeführer ist darauf hinzuweisen, dass aus Art. 29 Abs. 2 BV kein Anspruch der Parteien folgt, zur rechtlichen Würdigung der durch sie in den Prozess eingeführten Tatsachen noch besonders angehört zu werden (<ref-ruling> E. 4c S. 295). Eine Ausnahme besteht für den Fall einer Rechtsanwendung, mit der eine Partei nicht gerechnet hat und auch nicht hat rechnen müssen (<ref-ruling> E. 2a S. 99; <ref-ruling> E. 3.5 S. 233), wovon vorliegend indes keine Rede sein kann. Auch eine Verletzung der Begründungspflicht liegt nicht vor. Das Obergericht hat genügend begründet, weshalb es auf die Beschwerde nicht eingetreten ist und weshalb der Beschwerde selbst wenn darauf hätte eingetreten werden können, kein Erfolg beschieden gewesen wäre. Hinreichend begründet hat die Vorinstanz auch, weshalb dem Beschwerdeführer im kantonalen Verfahren die Gerichtskosten auferlegt wurden (wegen Aussichtslosigkeit des Rechtsöffnungsgesuchs und der Beschwerde bzw. aufgrund des Ausgangs des Verfahrens).
2.3. Der Beschwerdeführer bringt vor, im erstinstanzlichen Verfahren sei sein Anspruch auf ein unabhängiges Gericht nach Art. 30 Abs. 1 BV verletzt worden, weil die gemäss Rubrum mitwirkende "Gerichtsschreiberin i.V.", Frau Keller, keine wirkliche Gerichtsschreiberin sondern eine Rechtspraktikantin gewesen sei, deren Hochschulabschluss (lic. iur. oder Master) nicht verurkundet worden sei. Das Obergericht habe namentlich § 42 Abs. 2 des Gerichtsorganisationsgesetzes des Kantons Aargau vom 6. Dezember 2011 (SAR 155.200; nachfolgend: GOG/AG) willkürlich angewendet, indem es einen Bachelorabschluss habe genügen lassen.
2.3.1. Art. 30 Abs. 1 BV statuiert den Anspruch des Einzelnen auf ein durch Gesetz geschaffenes, zuständiges, unabhängiges und unparteiisches Gericht. Ob ein Gericht in ordnungsgemässer Zusammensetzung i.S.v. Art. 30 Abs. 1 BV entschieden hat, beurteilt sich in erster Linie nach dem einschlägigen kantonalen Organisations- und Verfahrensrecht (Urteil 4A_271/2015 vom 29. September 2015 E. 5; vgl. dazu auch <ref-ruling> E. 3.1 S. 127 f.).
2.3.2. Die Vorinstanz hat erwogen gemäss § 42 Abs. 3 GOG/AG könnten (u.a.) Rechtspraktikanten als Vertretung der Gerichtsschreiber zugezogen werden. Sie hat für das Bundesgericht verbindlich festgestellt, dass Frau Keller in Erfüllung der Voraussetzungen von § 2 des Reglements der Justizleitung über die Praktikumsverhältnisse der Rechtspraktikantinnen und Rechtspraktikanten vom 22. Oktober 2012 (SAR 155.613) als Rechtspraktikantin zugelassen wurde und erwogen, dass sie als selbständige Rechtspraktikantin im Sinne von § 6 Abs. 1 und 2 dieses Reglements ohne weiteres befugt gewesen sei, im erstinstanzlichen Rechtsöffnungsverfahren als sogenannte Gerichtsschreiberin i.V. (in Vertretung) mitzuwirken. Eine willkürliche Anwendung der genannten kantonalen Bestimmungen legt der Beschwerdeführer nicht dar (Art. 106 Abs. 2 BGG); namentlich übersieht er, dass der von ihm angerufene § 42 Abs. 2 GOG/AG einzig die Anstellungsvoraussetzungen für Gerichtsschreiber und nicht die Anstellungsvoraussetzungen für bzw. den Aufgabenbereich von Rechtspraktikanten regelt.
2.4. Schliesslich rügt der Beschwerdeführer eine sinngemäss willkürliche Anwendung von Art. 82 SchKG. Gemäss dem Wortlaut des von den Parteien unterzeichneten Vertrags vom 7. September 1997 haben sich die Parteien auf Lebenszeit verpflichtet im Falle eines Auseinandergehens ihrer Beziehung der anderen Partei ihr erweitertes Existenzminimum im Sinne des Betreibungsrechts zu gewähren, sofern es die andere Partei nicht aus eigener Kraft erwirtschaften kann und sofern dabei das eigene erweiterte Existenzminimum im Sinne des Betreibungsrechts gewahrt bleibt. Ohne in Willkür zu verfallen durfte das Obergericht diesbezüglich annehmen, dass der Vertrag mangels Nennung eines bestimmten bzw. im Zeitpunkt der Unterzeichnung bereits bestimmbaren Betrags nicht als provisorischer Rechtsöffnungstitel dienen kann (vgl. dazu <ref-ruling> E. 2.3.1 S. 302). Dies macht die Prüfung der gegen die vorinstanzliche Hauptbegründung erhobenen Rügen überflüssig (vgl. oben E. 2.1).
2.5. Soweit der Beschwerdeführer darüber hinaus zahlreiche Gesetzes- und Verfassungsverletzungen beanstandet, ohne klar und detailliert anhand der Erwägungen des angefochtenen Entscheids darzulegen, welche verfassungsmässigen Rechte inwiefern durch den vorinstanzlichen Entscheid verletzt worden sein sollen, kann auf die den erwähnten Begründungsanforderungen (vgl. oben E. 1.4) nicht genügenden Rügen nicht eingetreten werden.
3.
Nach dem Gesagten erweist sich die Beschwerde als unbegründet und ist abzuweisen, soweit überhaupt darauf einzutreten ist. Den besonderen Umständen des Falles entsprechend wird darauf verzichtet, Gerichtskosten zu erheben (Art. 66 Abs. 1 zweiter Satz BGG). Das Gesuch um Befreiung von diesen Kosten wird damit gegenstandslos. Anspruch auf Entschädigung für das bundesgerichtliche Verfahren hat der Beschwerdeführer schon deshalb nicht, weil er unterliegt (Art. 68 Abs. 1 und 2 BGG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.
Es werden keine Gerichtskosten erhoben.
3.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Aargau, Zivilgericht, 3. Kammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 6. Juli 2016
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Das präsidierende Mitglied: Escher
Der Gerichtsschreiber: Buss