Sachverhalt:
A.
A.a. G._ (geb. 1923; Erblasserin) verfasste insgesamt fünf eigenhändige letztwillige Verfügungen. In der Verfügung vom 10. Mai 1999 nannte sie D.C._ und F._ als Erben. Ausserdem richtete sie verschiedene Vermächtnisse aus und setzte die Bank B._ AG als Willensvollstreckerin ein. In der Verfügung vom 12. Dezember 2002 waren A._ und F._ als Erben vorgesehen. Die drei Verfügungen vom 31. Juli 2003 sowie vom 15. April und vom 6. November 2004 bezeichneten A._ als Alleinerben. Am xx.xx.2010 verstarb G._.
A.b. Auf Klagen der Bank B._ AG, von D.C._ und von F._ erklärte das Richteramt Olten-Gösgen, Zivilabteilung, mit Urteil vom 28. Oktober 2015 die Verfügungen vom 12. Dezember 2002, vom 31. Juli 2003 sowie vom 15. April und vom 6. November 2004 für ungültig.
B.
Hiergegen reichte A._ am 18. Februar 2016 beim Obergericht des Kantons Solothurn, Zivilkammer, Berufung ein. Er beantragte die Aufhebung des Urteils vom 28. Oktober 2015 und Klageabweisung. Ausserdem stellte er ein Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege und Beiordnung einer unentgeltlichen Rechtsbeiständin. In der jeweiligen Berufungsantwort ersuchten die Bank B._ AG, D.C._ und F._ um Sicherheitsleistung für ihre Parteientschädigungen. Mit Verfügung vom 13. Juli 2016 (eröffnet am 14. Juli 2016) wies der Präsident der Zivilkammer des Obergerichts das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung ab. Ausserdem verpflichtete er A._ unter Androhung der Nichteintretensfolge im Berufungsverfahren zur Zahlung eines Kostenvorschusses von Fr. 25'000.-- und zur Sicherstellung der Parteikosten der Bank B._ AG, von D.C._ und von F._ im Umfang von insgesamt Fr. 23'321.65.
C.
Mit Beschwerde in Zivilsachen vom 29. August 2016 gelangt A._ ans Bundesgericht. Er beantragt, es sei ihm in Aufhebung der Verfügung des Obergerichts vom 13. Juli 2016 die unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung für das Berufungsverfahren zu gewähren und er sei von der Pflicht zur Leistung eines Kostenvorschusses sowie der Parteikostensicherheiten zu befreien. Ausserdem stellt er für das bundesgerichtliche Verfahren ein Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege und ersucht er um Erteilung der aufschiebenden Wirkung der Beschwerde.
Am 5., 8. und 9. September 2016 beantragen das Obergericht, die Bank B._ AG (Beschwerdegegnerin 1), D.C._ und F._ (Beschwerdegegnerin 4) die Abweisung des Gesuchs um aufschiebende Wirkung. Mit Verfügung vom 12. September 2016 hat der Präsident der II. zivilrechtlichen Abteilung der Beschwerde die aufschiebende Wirkung zuerkannt.
Am 25. Januar 2017 hat die Bank B._ AG weitere Unterlagen eingereicht. Am xx.xx.2017 ist D.C._ verstorben. Mit Eingabe vom 5. April 2017 haben dessen Erbinnen, C.C._ (Beschwerdegegnerin 2) sowie E.C._ (Beschwerdegegnerin 3), erklärt, das Verfahren fortsetzen zu wollen (vgl. <ref-law> i.V.m. Art. 17Abs. 3 BZP [SR. 273]) und sinngemäss die Abweisung der Beschwerde beantragt. Die Bank B._ AG und das Obergericht beantragen am 5. und am 21. April 2017 ebenfalls die Beschwerdeabweisung.
Im Übrigen hat das Bundesgericht die Akten des kantonalen Verfahrens eingeholt.

Erwägungen:
1.
Die Beschwerde richtet sich gegen die Verfügung einer letzten kantonalen Instanz (<ref-law>), mit der die unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung für das kantonale Berufungsverfahren verweigert und der Beschwerdeführer zur Leistung eines Kostenvorschusses und von Parteikostensicherheiten verpflichtet wurde. Das Obergericht hat die Verfügung im Rahmen eines Berufungsverfahrens erlassen. Daher bleibt unerheblich, dass es nicht auf Rechtsmittel hin, sondern als einzige kantonale Instanz entschieden hat (<ref-ruling> E. 1.1; <ref-ruling> E. 2.2). Der angefochtene Entscheid ist praxisgemäss als Zwischenentscheid zu qualifizieren. Dieser kann einen nicht wieder gutzumachenden Nachteil bewirken, weil dem aktenkundig mittellosen Beschwerdeführer im Fall der Nichtleistung des Vorschusses und der Parteikostensicherheiten das Nichteintreten auf das bei der Vorinstanz erhobene Rechtsmittel droht (vorne Bst. B; Art. 93 Abs. 1 Bst. a BGG; <ref-ruling> E. 2a; Urteil 4A_660/2015 vom 9. Juni 2016 E. 1.3). Bei Zwischenentscheiden folgt der Rechtsweg jenem der Hauptsache (<ref-ruling> E. 1.1). Dort steht eine Ungültigkeitsklage nach <ref-law> und damit eine vermögensrechtliche Zivilsache in Frage. Der Streitwert übersteigt Fr. 30'000.-- (Art. 72 Abs. 1 und Art. 74 Abs. 1 Bst. b BGG). Die Beschwerde in Zivilsachen ist damit auch gegen die Zwischenverfügung gegeben. Der Beschwerdeführer ist nach <ref-law> zur Beschwerde berechtigt. Auf die auch fristgerecht eingereichte Beschwerde (Art. 100 Abs. 1 und Art. 46 Abs. 1 Bst. b BGG) ist einzutreten.
2.
2.1. Anlass zur Beschwerde gab die Abweisung des Gesuchs des Beschwerdeführers um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung im vorinstanzlichen Verfahren wegen Aussichtslosigkeit und damit verbunden die Verpflichtung zur Leistung eines Kostenvorschusses und von Sicherheiten für die Parteikosten der Beschwerdegegnerinnen.
2.2. Eine Person hat gemäss <ref-law> Anspruch auf unentgeltliche Rechtspflege, wenn sie nicht über die erforderlichen Mittel verfügt (Bst. a) und ihr Rechtsbegehren nicht aussichtslos erscheint (Bst. b). Die unentgeltliche Rechtspflege umfasst die Befreiung von Vorschuss- und Sicherheitsleistungen, die Befreiung von Gerichtskosten und die gerichtliche Bestellung einer Rechtsvertretung, wenn dies zur Wahrung der Rechte notwendig ist (<ref-law>).
Für die Auslegung von Art. 117 Bst. b ZPO ist die Rechtsprechung des Bundesgerichts zu <ref-law> zu berücksichtigen (<ref-ruling> E. 2.2; zur Frage der Mittellosigkeit vgl. <ref-ruling> E. 4.1). Demnach sind Begehren als aussichtlos anzusehen, bei denen die Gewinnaussichten beträchtlich geringer sind als die Verlustgefahren und die deshalb kaum als ernsthaft bezeichnet werden können. Dagegen gilt ein Begehren dann nicht als aussichtslos, wenn sich Gewinnaussichten und Verlustgefahren ungefähr die Waage halten oder jene nur wenig geringer sind als diese. Ob im Einzelfall genügende Erfolgsaussichten bestehen, beurteilt sich aufgrund einer vorläufigen und summarischen Prüfung der Prozessaussichten, wobei die Verhältnisse im Zeitpunkt der Einreichung des Gesuchs massgebend sind (<ref-ruling> E. 5.1; <ref-ruling> E. 1.2, 475 E. 2.2).
2.3. Geht es wie hier um die Frage, ob die unentgeltliche Rechtspflege für das Rechtsmittelverfahren gewährt wird, ist massgebend, ob das Rechtsmittel aus Sicht einer vernünftigen Partei hinreichend erfolgversprechend war (Urteile 5A_550/2016 vom 3. Februar 2017 E. 6.3; 5A_543/2016 vom 19. Dezember 2016 E. 3.2). Die Prognose ist vom Inhalt des angefochtenen Entscheids sowie davon abhängig, in welchen Punkten sowie mit welchen Rügen und (allenfalls neuen) Tatsachen die gesuchstellende Person sich gegen diesen Entscheid wendet und ob die Vorbringen im Rechtsmittel zulässig sind (Urteil 5D_164/2015 vom 11. Januar 2016 E. 5). Dabei darf ihr die Überprüfung eines Urteils, mit dem sie nicht einverstanden ist, nicht geradezu verunmöglicht werden (Urteile 6B_1093/2010 vom 24. Mai 2011; 5A_145/2010 vom 7. April 2010 E. 3.3). Nur wenn die gesuchstellende Partei dem erstinstanzlichen Entscheid nichts Wesentliches entgegensetzen kann, läuft sie Gefahr, dass das Rechtsmittel als aussichtslos eingestuft wird (Urteile 4A_375/2016 vom 8. Februar 2017 E. 3.1; 5A_572/2015 vom 8. Oktober 2015 E. 4.1). Es ist allerdings nicht Aufgabe des Bundesgerichts, dem Sachgericht vorgreifend zu prüfen, ob das von der beschwerdeführenden Partei im kantonalen Verfahren gestellte Begehren zu schützen sei oder nicht. Die prognostische Beurteilung der Erfolgsaussichten eröffnet dem Sachgericht einen Beurteilungsspielraum, in den das Bundesgericht nur mit Zurückhaltung eingreift (Urteile 4A_375/2016 vom 8. Februar 2017 E. 3.2; 4A_484/2015 vom 1. April 2016 E. 3; vgl. auch <ref-ruling> E. 3a).
2.4. Strittig ist die Aussichtslosigkeit der Berufung vom 18. Februar 2016. Eine Berufung kann wegen Rechtsverletzung (Art. 310 Bst. a ZPO) und wegen unrichtiger Tatsachenfeststellung (Art. 310 Bst. b ZPO) eingelegt werden. Die Berufungsinstanz verfügt über volle Ermessensfreiheit in tatsächlicher wie in rechtlicher Hinsicht. Sie kontrolliert insbesondere die Beweiswürdigung des erstinstanzlichen Gerichts frei (Art. 157 i.V.m. Art. 310 Bst. b ZPO) und prüft, ob dieses die Tatsachen, die es feststellte, auch als erwiesen betrachten konnte (<ref-ruling> E. 4.3.1).
3.
3.1. In der Hauptsache steht vorab die Verfügungsfähigkeit der Erblasserin in den Jahren 2002 bis 2004 und damit die Gültigkeit der vier in diesem Zeitraum getroffenen letztwilligen Verfügungen in Streit (vgl. vorne Bst. A.a).
Wer urteilsfähig ist und das 18. Altersjahr zurückgelegt hat, ist befugt, unter Beobachtung der gesetzlichen Schranken und Formen über sein Vermögen letztwillig zu verfügen (<ref-law>). Urteilsfähig ist jede Person, der nicht wegen ihres Kindesalters, infolge geistiger Behinderung, psychischer Störung, Rausch oder ähnlicher Zustände die Fähigkeit mangelt, vernunftgemäss zu handeln (<ref-law>). Der Begriff der Urteilsfähigkeit enthält zwei Elemente: Die intellektuelle Komponente ist die Fähigkeit, Sinn, Zweckmässigkeit und Wirkungen einer bestimmten Handlung zu erkennen. Das Willens- bzw. Charakterelement besteht im Vermögen, gemäss der vernünftigen Erkenntnis nach freiem Willen zu handeln und allfälliger fremder Willensbeeinflussung in normaler Weise Widerstand zu leisten (<ref-ruling> E. 4.3.2). Die Urteilsfähigkeit ist die Regel. Sie wird vermutet. Folglich hat diejenige Person, die ihr Nichtvorhandensein behauptet, die Tatsachen zu beweisen, aus denen auf Urteilsunfähigkeit zu schliessen ist. Die Vermutung der Urteilsfähigkeit ist dann umgestossen, wenn die betreffende Person ihrer allgemeinen Verfassung nach aufgrund der Lebenserfahrung im Normalfall und mit überwiegender Wahrscheinlichkeit als urteilsunfähig gelten muss, wie dies bei bestimmten Geisteskrankheiten oder auch dann der Fall sein kann, wenn sich der Erblasser in einem dauernden Zustand alters- und krankheitsbedingten geistigen Abbaus befindet. Der Gegenpartei steht in diesem Fall der Gegenbeweis offen, dass die betreffende Person trotz ihrer grundsätzlichen Urteilsunfähigkeit im massgeblichen Zeitpunkt in einem luziden Intervall gehandelt hat (<ref-ruling> E. 4.3.3; <ref-ruling> E. 1b).
3.2. Das Richteramt sah den Beweis als erbracht an, dass die Erblasserin im fraglichen Zeitraum mit grosser Wahrscheinlichkeit nicht urteilsfähig war und erklärte dementsprechend die damals getroffenen letztwilligen Verfügungen für ungültig. Nach Ansicht des Obergerichts sind die tatsächlichen Feststellungen des Richteramts und die daraus gezogenen Schlüsse wohlbegründet und nicht zu beanstanden. Es verwies wörtlich auf die erstinstanzlichen Erwägungen, wonach die Erblasserin sich seit dem Jahre 2002 in einem "dauerhaften Zustand des fortgeschrittenen alters- und krankheitsbedingten Abbaus" befunden habe. Sie habe an Gedächtnisstörungen gelitten und es sei eine Hirnatrophie infolge Marklagerischämie unklarer Aetiologie bzw. ein delirantes Syndrom diagnostiziert worden. Ab Mai 2002 sei ein psychoorganisches Syndrom (POS) mit Frischgedächtnisstörungen, Affektlabilität, Affektinkontinenz und Urteilsschwäche hinzu gekommen. Im Verlaufe des Jahres 2002 sei schliesslich Alzheimer diagnostiziert worden. Dies habe sich insbesondere in einer starken Vergesslichkeit und Verwirrtheit geäussert. Die weitschweifige und weitgehend appellatorischen Ausführungen des Beschwerdeführers überzeugten demgegenüber nicht. Die Gesamtwürdigung des Richteramts könne durch die vorab punktuelle Kritik nicht umgestossen werden. Die Berufung sei daher aussichtslos.
3.3. Nachfolgend ist zu klären, ob das Obergericht die Berufung vom 18. Februar 2016 als aussichtlos ansehen durfte. In sachverhaltlicher Hinsicht ist dabei unbestritten, dass die Erblasserin am 15. Oktober 2001 in das Spital H._ eingewiesen wurde. Am 8. November 2001 trat sie in die Klinik I._ über, wo sie sich bis am 1. März 2002 aufgehalten hat. Danach lebte sie bis zu ihrem Tod im Jahre 2010 im Altersheim J._.
3.3.1. Der Beschwerdeführer rügt es als rechtsfehlerhaft, dass das Richteramt kein alterspsychologisches Gutachten eingeholt hat (vgl. Akten Richteramt, pag. 339). Dem Gericht habe die Sachkunde zum Verständnis der medizinischen Akten gefehlt.
Feststellungen über den geistigen Zustand einer Person, über die Art und Tragweite möglicher Störungen und betreffend die Frage, ob und inwieweit die betroffene Person zur Beurteilung der Folgen ihres Handelns und zur Leistung von Widerstand gegenüber Versuchen der Willensbeeinflussung befähigt war, sind tatsächlicher Natur. Rechtsfrage ist, ob von diesen Feststellungen auf Urteilsunfähigkeit zu schliessen ist (BGE <ref-ruling> E. 4; Urteil 5A_71/2014 vom 30. April 2014 E. 4 und 5). Wie das Obergericht richtig anmerkt, ist es nicht Sache der Fachperson sondern des Gerichts, die Rechtsfrage nach der Urteilsunfähigkeit zu klären (Urteil 5A_439/2012 vom 13. September 2012 E. 4.1). Allerdings kann die Einholung eines Gutachtens zur Feststellung der tatsächlichen Grundlagen geboten sein, namentlich wenn das Gericht nicht selbst über ausreichende Sachkenntnisse verfügt. Das Gutachten kann dem Gericht aufzeigen, wie sich psychopathologische Zustände auf die Willensfähigkeit und die Fähigkeit der verstorbenen Person zu Einsicht in Wesen, Zweck und Folgen der in Frage stehenden letztwilligen Verfügung ausgewirkt haben. Weiter kann die Fachperson darlegen, ob die verstorbene Person in einem adäquaten Gemütszustand gehandelt hat (Urteil 5A_748/2008 vom 16. März 2009 E. 3.2).
Das Richteramt stellte bei der Beurteilung des Geisteszustands der Erblasserin auf verschiedene Fachberichte ab, insbesondere den Austrittsbericht des Spitals H._ vom 11. November 2011 (in den Akten Obergericht, Beilage 10; nachfolgend: Austrittsbericht Spital H._) und den Überweisungsrapport vom 28. Februar 2002 sowie den Austrittsbericht vom 5. März 2002 der Klinik I._ (in den Akten Obergericht, Beilage 6/6 und Beilage 10; nachfolgend: Überweisungsrapport sowie Austrittsbericht Klinik). Zur Klärung der Auswirkungen der dort gestellten Diagnosen stützte es sich auf Einträge auf der Internetplattform Wikipedia (https://de.wikipedia.org; vgl. z.B. Urteil vom 28. Oktober 2015, Ziff. III/4.4.2 S. 18). Die sich auf dieser Plattform findenden Informationen sind indessen wenig aussagekräftig und stellen keine verlässlichen medizinischen Entscheidgrundlagen dar (Urteil 9C_434/2015 vom 11. Mai 2016 E. 4.2.3). Die Aufarbeitung der Entscheidgrundlagen durch das Richteramt ist daher nicht über jeden Zweifel erhaben und es ist fraglich, ob das Gericht auf diese Weise die nötigen Fachkenntnisse verfügbar machen konnte. Unter diesen Umständen erscheint die Rüge, das Richteramt hätte ein alterspsychologisches Gutachten einholen müssen, nicht völlig aus der Luft gegriffen.
3.3.2. Das Richteramt stützte sich sodann wesentlich auf verschiedenen Pflegeberichte betreffend die Erblasserin sowie die Unterlagen von deren Hausarzt und die dort beschriebene Symptomatik. Der Beschwerdeführer verweist diesbezüglich auf verschiedene Umstände, welche jedenfalls für das Jahr 2002 - aus diesem Jahr datiert die erste der hier strittigen letztwilligen Verfügungen - Zweifel an den Schlüssen der Erstinstanz zulassen:
Zwar ist richtig, dass der Eintritt der Erblasserin ins Spital H._ "mit delirantem Zustandsbild" erfolgte und sie zunehmend verwirrt, unruhig und aufgeregt war (Austrittsbericht Spital H._, S. 1). Im Verlauf des Spitalaufenthalts zeigte sich indessen "unter der Behandlung mit Neuroleptika eine starke Regredienz des deliranten Syndroms", wenn auch "mit weiter bestehenden Residuen in Form von Verwirrtheit und Schlafstörungen" (Austrittsbericht Spital H._, S. 2). Im Zeitpunkt des Übertritts von der Klinik I._ in das Altersheim J._ im März 2002 ist einzig eine "leichtgradige Verwirrtheit" bzw. eine zeitliche und örtliche Desorientierung dokumentiert (Überweisungsrapport, S. 1 und 2; Austrittsbericht Klinik, S. 2). Die noch Anfangs des Klinikaufenthalts beobachteten Verwirrtheitszustände traten nicht mehr auf. Auch hat die Erblasserin bei einem Mini Mental Status Test (25 von 30 Punkten) sowie bei einem Uhrentest (7 von 7 Punkten) gut abgeschnitten. Die Klinik I._ vermerkte denn auch, die Erblasserin sei in "ordentlichem Allgemeinzustand" ins Altersheim J._ entlassen worden (Austrittsbericht Klinik, S. 2). Jedenfalls für das Frühjahr 2002 ist damit kein andauernder schwerer Verwirrtheitszustand oder ähnliches dokumentiert. Der Beschwerdeführer weist denn auch zu Recht darauf hin, dass die Erblasserin nicht in die Gerontopsychiatrie verlegt worden ist, obgleich das Spital H._ dies für den Fall des Andauerns des schweren Verwirrtheitszustands angeregt hatte (Austrittsbericht Spital H._, S. 2). Soweit die Vorinstanzen anderes aus den Pflegeberichten des Spitals H._ und der Klinik ableiten möchten, verkennen sie, dass sich die Situation im Laufe des Aufenthalts der Beschwerdeführerin in diesen Institutionen wie dargelegt verbesserte.
Für die Zeit des Aufenthalts der Erblasserin im Altersheim J._ ging das Richteramt von einer stetigen Verschlechterung des Gesundheitszustands der Erblasserin und einer andauernden Verwirrtheit aus. Diesbezüglich verwies es insbesondere auf den Pflege- und Verlaufsrapport des Altersheims. Der Beschwerdeführer wendet diesbezüglich in der Berufungsschrift zu Recht ein, dass sich für das Jahr 2002 nur vereinzelte Einträge finden, die auf eine stärkere Verwirrtheit der Erblasserin schliessen lassen könnten. Derartige Vermerke häufen sich erst in den nachfolgenden Jahren (vgl. dazu die Zitate aus dem Pflege- und Verlaufsrapport im Urteil vom 28. Oktober 2015, Ziff. III/4.4.2 S. 20 f.). Für den frühen Aufenthalt der Erblasserin im Altersheim überzeugt es daher kaum, wenn das Richteramt aus der Häufigkeit der Einträge auf eine dauernde starke Verwirrtheit schliessen will. Die weitern Akten, auf welche das Richteramt sich ansonsten bezieht, betreffen sodann zumeist den späteren Aufenthalt der Erblasserin im Altersheim.
Die Erstinstanz verweist weiter auf die Berichte des früheren Hausarztes der Erblasserin vom 21. Mai und vom 3. November 2002 (in den Akten Obergericht, Beilage 1). Dieser hält fest, die Erblasserin sei bereits im Jahr 2002 nicht hinreichend urteilsfähig gewesen, um ein Testament zu verfassen. Insoweit bringt der Beschwerdeführer zu Recht vor, dass es nicht Aufgabe der Fachperson sondern des Gerichts ist, die Rechtsfrage nach der Urteilsunfähigkeit zu klären (E. 3.3.1 hiervor). Soweit sie sich zur Urteilsfähigkeit der Erblasserin äussern, kann folglich nicht auf diese Berichte abgestellt werden. Dem spricht allerdings nicht entgegen, diese insoweit in eine Gesamtwürdigung einfliessen zu lassen, als sie sich zum geistigen Zustand der Erblasserin äussern.
3.3.3. Das Richteramt verweist sodann auf den Inhalt der strittigen letztwilligen Verfügungen. Es sei nicht nachvollziehbar, dass die Erblasserin entgegen ihrer ursprünglichen Anordnung D.C._, sel., und die Beschwerdegegnerin 4 nicht mehr berücksichtigt und die Vermächtnisse an ein Tierheim sowie die Römisch-Katholische Kirchgemeinde U._ aufgehoben habe. Zwar trifft zu, dass im Zweifel auch die Vernünftigkeit einer letztwilligen Verfügung Hinweise auf das Vorliegen oder Fehlen der Urteilsfähigkeit geben kann (BGE <ref-ruling> E. 4c/cc und zuletzt Urteil 5A_16/2016 vom 26. Mai 2016 E. 4.1.1). Freilich hat der Beschwerdeführer in der Berufungsschrift dargelegt, wie sich die Anordnungen der Erblasserin vernünftig erklären lassen könnten. Aus der Abänderung der ersten Verfügung vom 10. Mai 1999 kann daher nicht ohne Weiteres auf Urteilsunfähigkeit der Erblasserin geschlossen werden. Zumal die Erstinstanz nicht anzunehmen scheint, dass die Erblasserin entgegen ihren gewohnheitsmässigen Überzeugungen und Einstellungen gehandelt hätte. Unter diesen Umständen überzeugt auch der Einwand des Obergerichts nicht, die Ausführungen des Beschwerdeführers zu den Motiven der Erblasserin für die Änderung zielten ins Leere.
Das Richteramt verweist zur Begründung seines Standpunkts ausserdem darauf, dass die Erblasserin sich beim Verfassen der letztwilligen Verfügungen von einer Vorlage habe leiten bzw. sich juristisch habe beraten lassen. Tatsächlich spricht der Umstand allein, dass jemand sich bei der Verfassung einer letztwilligen Verfügung hat helfen oder beraten lassen, noch nicht für Urteilsunfähigkeit. Vielmehr lässt das Erkennen der eigenen Hilfsbedürftigkeit und die Fähigkeit, entsprechend dieser Erkenntnis zu handeln, eher auf Urteilsfähigkeit schliessen (<ref-ruling> E. 3b S. 237; PETER BREITSCHMID, in: Basler Kommentar zum ZGB, Band 2, 5. Aufl. 2015, N. 12 zu Art. 467 und 468 ZGB).
3.4. Zusammenfassend vermögen die Überlegungen des Richteramts nicht in allen Punkten zu überzeugen. Zwar werden damit seine tatsächlichen Feststellungen zur geistigen Gesundheit der Erblasserin und deren Würdigung insgesamt nicht zwingend umgestossen. Der Beschwerdeführer vermag dem erstinstanzlichen Urteil aber, jedenfalls was die letztwillige Verfügung vom 12. Dezember 2002 betrifft, Wesentliches entgegenzusetzen. Da der Beschwerdeführer in dieser Verfügung berücksichtigt worden ist, hat er ein Interesse an einer nur diese betreffende Änderung des Erkenntnisses des Richteramts. Die Berufung kann daher nicht als geradezu aussichtlos angesehen werden, ohne dass auf die weiteren strittigen Punkte einzugehen wäre.
4.
Nach dem Ausgeführten hat das Obergericht die Berufung vom 18. Februar 2016 zu Unrecht als aussichtslos im Sinne von Art. 117 Bst. b ZPO eingestuft. Die Bedürftigkeit des Beschwerdeführers (Art. 117 Bst. a ZPO) wird von der Vorinstanz sodann nicht in Abrede gestellt und ist aktenkundig (Beschwerdebeilage 10; act. 11/1). Die Abweisung des Gesuchs um unentgeltliche Rechtspflege im kantonalen Verfahren erweist sich damit als bundesrechtswidrig. Die Beschwerde ist folglich begründet und die angefochtene Verfügung aufzuheben. Dem Beschwerdeführer ist antragsgemäss die unentgeltliche Rechtspflege für das Berufungsverfahren zu erteilen, soweit die Befreiung von Vorschuss- und Sicherheitsleistungen und von den Gerichtskosten in Frage steht (Art. 118 Abs. 1 Bst. a und b ZPO).
Strittig ist weiter die gerichtliche Bestellung einer Rechtsvertretung. Diese setzt neben den genügenden Erfolgschancen und der Mittellosigkeit voraus, dass die Vertretung zur Wahrung der Rechte des Beschwerdeführers notwendig ist (vorne E. 2.1; Art. 118 Abs. 1 Bst. c ZPO). Das Obergericht hatte keinen Anlass, diese Frage zu klären, und der anwaltlich nicht vertretene Beschwerdeführer hat sich entsprechend vor Bundesgericht hierzu nicht geäussert. Insoweit ist die Sache daher an die Vorinstanz zur Prüfung und gegebenenfalls zur Bestellung einer Rechtsvertretung zurückzuweisen (<ref-law>).
5.
Bei diesem Ausgang des Verfahrens ist die Beschwerde teilweise gutzuheissen. Hinsichtlich der Verlegung der Kosten des bundesgerichtlichen Verfahrens gilt der Beschwerdeführer dennoch als vollständig obsiegend (Urteil 5A_577/2016 vom 13. Februar 2017 E. 4 mit Hinweisen). Entsprechend sind die Gerichtskosten den Beschwerdegegnerinnen aufzuerlegen, wobei sie untereinander solidarisch haften (Art. 65 sowie Art. 66 Abs. 1 und 5 BGG). Parteientschädigung ist keine zuzusprechen, da der obsiegende Beschwerdeführer anwaltlich nicht vertreten ist (<ref-law> und Art. 15 Abs. 1 Bst. a sowie <ref-law> i.V.m. Art. 1 des Reglements vom 31. März 2006 über die Parteientschädigung und die Entschädigung für die amtliche Vertretung im Verfahren vor Bundesgericht [SR 173.111.210.3]). Das Gesuch des Beschwerdeführers um unentgeltliche Rechtspflege wird gegenstandslos und ist abzuschreiben.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird teilweise gutgeheissen und die Verfügung des Obergerichts des Kantons Solothurn, Zivilkammer, vom 13. Juli 2016 wird aufgehoben. Das Gesuch des Beschwerdeführers um unentgeltliche Rechtspflege im Berufungsverfahren vor dem Obergericht wird gutgeheissen, soweit die Befreiung von Vorschuss- und Sicherheitsleistungen und von den Gerichtskosten betreffend. Die Sache wird zur Prüfung der gerichtlichen Bestellung einer Rechtsvertretung an das Obergericht zurückgewiesen. Weitergehend wird die Beschwerde abgewiesen.
2.
Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege im bundesgerichtlichen Verfahren wird als gegenstandslos abgeschrieben.
3.
Die Gerichtskosten von Fr. 3'000.-- werden den Beschwerdegegnerinnen unter solidarischer Haftung auferlegt.
4.
Parteikosten werden keine zugesprochen.
5.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Solothurn, Zivilkammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 24. Mai 2017
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: von Werdt
Der Gerichtsschreiber: Sieber