Erwägungen:
1.
Gestützt auf eine schriftliche Mitteilung des Inselspitals Bern vom 9. März 2015, wonach die Fahreignung von A._ nicht mehr gegeben sei, entzog das Strassenverkehrs- und Schifffahrtsamt des Kantons Bern mit Verfügung vom 24. März 2015 A._ vorsorglich den Führerausweis für Motorfahrzeuge. Einer allfälligen Beschwerde wurde die aufschiebende Wirkung entzogen. Eine dagegen von A._ erhobene Beschwerde wies der Präsident der Rekurskommission des Kantons Bern für Massnahmen gegenüber Fahrzeugführerinnen und Fahrzeugführern mit Entscheid vom 10. April 2015 ab. Gegen den Entscheid der Rekurskommission erhob A._ Beschwerde ans Bundesgericht, welches mit Urteil vom 20. Mai 2015 darauf nicht eintrat (Verfahren 1C_202/2015).
2.
Das Strassenverkehrs- und Schifffahrtsamt des Kantons Bern entzog mit Verfügung vom 23. Februar 2016 A._ den Führerausweis für Motorfahrzeuge auf unbestimmte Zeit. Die Wiederzulassung zum motorisierten Strassenverkehr wurde von einem Gutachten einer anerkannten Fachstelle, welches die Fahreignung bejaht, abhängig gemacht. Gegen diese Verfügung erhob A._ Beschwerde. Mit Entscheid vom 11. Mai 2016 wies die Rekurskommission des Kantons Bern für Massnahmen gegenüber Fahrzeugführerinnen und Fahrzeugführern die Beschwerde ab, soweit sie darauf eintrat.
3.
Gegen den Entscheid vom 11. Mai 2016 wandte sich A._ mit Eingabe vom 28. Mai 2016 an das Bundesamt für Strassen. Dieses überwies mit Schreiben vom 7. Juni 2016 die Eingabe dem Bundesgericht zur weiteren Behandlung. Da der angefochtene Entscheid erst im Urteilsdispositiv vorlag, teilte das Bundesgericht A._ mit Schreiben vom 10. Juni 2016 mit, dass er seine Beschwerde innert 30 Tagen nach Erhalt des begründeten Entscheids noch ergänzen könne. Nach Erhalt der vollständigen Ausfertigung des angefochtenen Entscheids ergänzte A._ seine Beschwerde mit Eingabe vom 2. August 2016.
Das Bundesgericht hat davon abgesehen, Stellungnahmen zur Beschwerde einzuholen.
4.
Nach Art. 42 Abs. 2 BGG ist in der Begründung einer Beschwerde in gedrängter Form darzulegen, inwiefern der angefochtene Entscheid Recht verletzt. Die Bestimmungen von Art. 95 ff. BGG nennen die vor Bundesgericht zulässigen Beschwerdegründe. Hinsichtlich der Verletzung von Grundrechten gilt der in Art. 106 Abs. 1 BGG verankerte Grundsatz der Rechtsanwendung von Amtes wegen nicht; insofern besteht eine qualifizierte Rügepflicht (Art. 106 Abs. 2 BGG; <ref-ruling> E. 1.4.1 S. 53, 65 E. 1.3.1 S. 68 mit Hinweisen). Es obliegt dem Beschwerdeführer namentlich darzulegen, inwiefern der angefochtene Entscheid gegen die gerügten Grundrechte verstossen soll.
Der Beschwerdeführer kritisiert das zugrunde liegende Verfahren und vor allem das Inselspital Bern ganz allgemein, indem er auf appellatorische Weise seine Sicht der Dinge vorträgt. Er unterlässt es jedoch, sich mit der Begründung der Rekurskommission, welche zur Abweisung seiner Beschwerde führte, im Einzelnen auseinanderzusetzen. Er zeigt daher nicht auf, inwiefern diese Begründung bzw. der Entscheid der Rekurskommission selbst im Ergebnis rechts- bzw. verfassungswidrig sein soll. Demgemäss ist mangels einer genügenden Begründung im Sinne von Art. 42 Abs. 2 BGG auf die Beschwerde nicht einzutreten. Der Begründungsmangel ist offensichtlich, weshalb über die Beschwerde im vereinfachten Verfahren nach Art. 108 Abs. 1 BGG entschieden werden kann.
5.
Auf eine Kostenauflage kann verzichtet werden (Art. 66 Abs. 1 BGG).

Demnach erkennt das präsidierende Mitglied:
1.
Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2.
Es werden keine Kosten erhoben.
3.
Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer, dem Strassenverkehrs- und Schifffahrtsamt des Kantons Bern und der Rekurskommission des Kantons Bern für Massnahmen gegenüber Fahrzeugführerinnen und Fahrzeugführern schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 4. August 2016
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Das präsidierende Mitglied: Merkli
Der Gerichtsschreiber: Pfäffli