Faits :
A.
A.a. X._ (ci-après: le lésé), ancien employé de banque né en 1936 et retraité depuis 2003, a été victime, le 13 février 2006, d'un (premier) accident de la route: alors qu'il marchait au bord de la chaussée, un véhicule l'a percuté. Légèrement blessé, il a été hospitalisé jusqu'au 15 février 2006.
Le 27 septembre 2008, le lésé, qui était au volant de sa voiture, a à nouveau été percuté par un véhicule (une camionnette) qui, venant en sens inverse, s'est soudain déportée sur sa voie. Le véhicule fautif était assuré auprès de Z._ Société d'Assurances (ci-après: Z._ ou la compagnie d'assurances ou l'assureur). Le lésé, légèrement blessé, a été conduit à la Clinique U._ (Genève) et pris en charge par la Dresse A._. Il souffrait de douleurs au niveau de la nuque et du dos. Il présentait également un état de stress post-traumatique (déjà présent au moins en partie depuis son premier accident), était dans un état d'agitation, de confusion et souffrait d'une anxiété importante. Quant au conducteur de la camionnette, il a été reconnu coupable de diverses infractions aux règles de la circulation routière.
A.b. Le lésé a été suivi par plusieurs spécialistes à la suite de ses deux accidents, en particulier par le Dr B._ et la Dresse C._, tous deux psychiatres et psychothérapeutes. A la suite du second accident, il a en outre consulté le Dr C._, dermatologue.
Le 11 novembre 2008, l'assureur a reconnu l'entière responsabilité de son assuré dans l'accident survenu le 27 septembre 2008. Il a pris en charge les frais médicaux du lésé non couverts et lui a versé, le 16 décembre 2008, 5'000 fr. pour la réparation de son tort moral et 5'000 fr. pour le remboursement de ses frais de défense.
A.c. Un rapport daté du 13 décembre 2013 a été établi en cours d'instruction par la Dresse D._, psychiatre. Celle-ci s'est entretenue deux fois avec le lésé, ainsi qu'avec la Dresse C._, le Dr B._, et le Dr E._, médecin interniste, qui ont tous été déliés de leur secret médical par le lésé. Elle a également pris contact par téléphone avec le Dr F._ et le Dr G._, sans avoir préalablement demandé son consentement au lésé, ces deux psychiatres et psychothérapeutes ayant déjà suivi le lésé pour divers motifs avant les événements dommageables.
En substance, le rapport - suivi par les instances cantonales - révèle que le lésé est profondément atteint dans son psychisme et qu'il vit une très grande souffrance. Cette dernière était toutefois déjà présente avant les deux accidents. Ceux-ci n'avaient certes pas aidé le lésé à récupérer, mais son état clinique actuel ne pouvait pas être imputé exclusivement aux accidents et au seul état de stress post-traumatique en résultant. La persistance des symptômes de l'état de stress post-traumatique (flash-back, cauchemars et attitudes d'évitement) avait un impact limité sur la vie quotidienne du lésé. Selon l'experte, celui-ci, qui ne prenait plus d'antidépresseurs depuis longtemps, souhaitait garder sa symptomatologie traumatique, car elle lui permettait d'éviter d'avoir accès à la souffrance qui était propre à son histoire de vie. Ce mécanisme de défense, qui lui donnait la possibilité de fuir la réalité en se fixant sur les événements subis lors des accidents, le maintenait dans une dépression mélancolique dont il n'arrivait pas à guérir. Le déficit de mémoire du lésé n'avait aucun lien avec les accidents de 2006 et 2008. Enfin, selon le rapport, le lésé n'avait aucun handicap physique et il pouvait se déplacer en bus.
B.
B.a. Au bénéfice d'une autorisation de procéder, le lésé a ouvert action contre l'assureur de l'auteur de l'accident le 2 novembre 2011, concluant à ce qu'il soit condamné à lui verser le montant de 197'544 fr.85 ( recte : 192'484 fr.65), intérêts en sus, sous déduction de la somme de 10'000 fr. versée le 16 décembre 2010. Ses prétentions portaient sur les différents dommages prétendument causés par l'accident de 2008, soit un dommage ménager de 143'769 fr.60, des frais de défense de 18'775 fr.05 et un tort moral de 30'000 fr.
L'assureur a conclu au rejet de la demande.
Diverses expertises ont été sollicitées, notamment sur le plan psychiatrique (cf. supra let. A.c), neurologique et dermatologique.
Le 21 mars 2014, le lésé a critiqué le rapport d'expertise et sollicité une seconde expertise. Cette demande a été rejetée par ordonnance du 25 mars 2014 du Tribunal de première instance.
Lors de son audition du 12 mai 2014, l'experte psychiatre, qui a confirmé le contenu de son rapport, a répondu aux questions posées par les parties.
Par lettre du 21 mai 2014, le lésé a encore sollicité des éclaircissements au sujet du rapport d'expertise et des compléments donnés oralement par l'experte en se fondant sur les art. 187 et 188 CPC. Il a requis une contre-expertise, subsidiairement une nouvelle expertise portant sur le diagnostic de son état de stress post-traumatique, et encore plus subsidiairement un délai pour se déterminer sur un complément d'expertise.
B.b. Le Tribunal de première instance n'a pas directement répondu à ce courrier, mais il a statué sur la demande de contre-expertise dans son jugement du 10 juin 2015. Il a indiqué qu'il n'y avait pas lieu d'ordonner une contre-expertise pour réexaminer les questions soumises à l'experte psychiatre, celle-ci ayant fourni un rapport " parfaitement clair et circonstancié " et expliqué, lors de son audition du 12 mai 2014, pourquoi elle n'avait pas examiné certaines questions posées par le Tribunal.
Le Tribunal de première instance du canton de Genève a débouté le demandeur de toutes ses conclusions.
B.c. Le 18 août 2015, le demandeur a formé appel contre ce jugement, sollicité son annulation, conclu à ce qu'une nouvelle expertise soit réalisée et à ce que son adverse partie soit condamnée à lui verser le montant de 245'227 fr.85, intérêts en sus, sous déduction du montant de 10'000 fr. déjà payé par l'assureur.
Par arrêt du 12 février 2016, communiqué aux parties le 18 février 2016, la Cour de justice du canton de Genève a rejeté sur le fond l'appel formé par le recourant et, après avoir admis très partiellement une des critiques du recourant, elle a réduit de 650 fr. les frais de justice mis à sa charge (une erreur ayant été commise quant à la facturation des frais liés à l'expertise).
Le 23 février 2016, la défenderesse a observé que l'arrêt cantonal contenait un oubli manifeste dans son dispositif: si celui-ci fixait le montant des frais de première instance, il ne condamnait pas explicitement le demandeur - comme cela était le cas dans le premier jugement - à les prendre en charge, alors même que les magistrats cantonaux l'avaient clairement prévu dans le considérant correspondant. Elle a sollicité une rectification.
La Cour de justice a procédé à la " rectification d'erreur matérielle " et elle a à nouveau communiqué l'arrêt aux parties le 22 mars 2016.
C.
Contre l'arrêt cantonal du 12 février 2016, le lésé exerce un recours en matière civile au Tribunal fédéral. Il conclut à son annulation et, principalement, à ce que l'assureur soit condamné à lui verser la somme de 245'227 fr.85, intérêts en sus, sous déduction d'un montant de 10'000 fr. versé le 16 décembre 2010, subsidiairement, au renvoi de la cause à l'autorité cantonale, encore plus subsidiairement, à ce qu'une nouvelle expertise médicale soit ordonnée. Le recourant, qui est d'avis que la cour cantonale aurait dû écarter l'expertise psychiatrique, se plaint d'une violation de l'<ref-law>; en tant que l'autorité précédente n'a pas donné suite aux questions additionnelles qu'il a pourtant posées en rapport avec cette expertise, il soutient qu'elle a violé son droit d'être entendu, l'interdiction du déni de justice (art. 29 al. 1 et 2 Cst.) et les art. 187 s. CPC; renvoyant à l'<ref-law> (sic), il évoque une constatation manifestement inexacte des faits quant à la qualité médicale, selon lui médiocre, de l'expertise; enfin, en rapport avec les frais d'expertise, il fait état d'une violation crasse de son droit d'être entendu, d'une transgression de l'<ref-law> et des art. 375 et 394 CO.
La compagnie d'assurances (intimée) conclut au rejet du recours et à la confirmation de l'arrêt entrepris.
Le 24 mai 2016, le recourant a informé la Cour de céans qu'il avait déposé, devant la Cour de justice du canton de Genève, une demande de révision contre l'arrêt rendu le 12 février 2016.
Par ordonnance présidentielle du 25 mai 2016, la procédure devant la Cour de céans a été suspendue jusqu'à droit connu sur la demande de révision cantonale.
Par arrêt du 2 décembre 2016, la Cour de justice de Genève a déclaré irrecevable la demande de révision et, le 24 janvier 2017, le recourant a sollicité la reprise de la procédure fédérale.
La demande d'effet suspensif déposée par le recourant a été rejetée par ordonnance présidentielle du 3 mars 2017.

Considérant en droit :
1.
1.1. Interjeté en temps utile (art. 48 al. 1 et 100 al. 1 LTF) par le demandeur qui a succombé dans ses conclusions en paiement (<ref-law>), dirigé contre un arrêt final (<ref-law>) rendu en matière civile (<ref-law>) par un tribunal supérieur statuant sur recours (<ref-law>) dans une affaire de responsabilité civile dont la valeur dépasse largement le seuil de 30'000 fr. (<ref-law>), le recours en matière civile est en principe recevable.
1.2. Le recours en matière civile est recevable notamment pour violation du droit fédéral (<ref-law>). Saisi d'un tel recours, le Tribunal fédéral applique d'office le droit (<ref-law>), sous réserve de la violation des droits constitutionnels (<ref-law>). Cependant, eu égard à l'exigence de motivation contenue à l'art. 42 al. 1 et 2 LTF, il n'examine en principe que les griefs invoqués. Il ne peut pas entrer en matière sur la violation d'un droit constitutionnel si le grief n'a pas été invoqué et motivé de manière précise par la partie recourante (<ref-law>).
1.3. Le Tribunal fédéral statue sur la base des faits établis par l'autorité précédente (<ref-law>). Relèvent de ces faits tant les constatations relatives aux circonstances touchant l'objet du litige que celles ayant trait aux faits procéduraux (<ref-ruling> consid. 1.3.1 et les références).
Le Tribunal fédéral ne peut s'écarter des faits ainsi retenus par l'autorité cantonale que s'ils ont été établis de façon manifestement inexactes, ce qui correspond à la notion d'arbitraire au sens de l'art. 9 Cst. (<ref-ruling> consid. 2 p. 117; <ref-ruling> consid. 1.5). Encore faut-il que la correction du vice soit susceptible d'influer sur le sort de la cause (<ref-law>).
En matière de constatation des faits et d'appréciation des preuves, l'autorité verse dans l'arbitraire lorsqu'elle ne prend pas en compte, sans raison sérieuse, un élément de preuve propre à modifier la décision, lorsqu'elle se trompe manifestement sur son sens et sa portée, ou encore lorsqu'elle tire des conclusions insoutenables à partir des éléments recueillis (<ref-ruling> consid. 2.3 p. 265; <ref-ruling> consid. 4.2 p. 234). La critique de l'état de fait retenu est soumise au principe strict de l'allégation énoncé par l'<ref-law>. La partie qui entend attaquer les faits constatés par l'autorité précédente doit expliquer clairement et de manière circonstanciée, en partant de la décision attaquée, en quoi ces conditions seraient réalisées. Si la critique ne satisfait pas à ces exigences, les allégations relatives à un état de fait qui s'écarterait de celui de la décision attaquée ne pourront pas être prises en considération (<ref-ruling> consid. 1.3.1 p. 18 et les références).
2.
Dans un premier grief, le lésé revient sur la demande de rectification du 23 février 2016 déposée par la compagnie d'assurances en se plaignant de n'en avoir jamais reçu de copie. Il invoque une violation de son droit d'être entendu, qui résulte aussi bien de la Constitution que, de manière plus spécifique, de l'<ref-law>.
Le droit d'être entendu est certes une garantie constitutionnelle de caractère formel, dont la violation entraîne en principe l'annulation de la décision attaquée, indépendamment des chances de succès du recours sur le fond. Toutefois, ce droit n'est pas une fin en soi; il constitue un moyen d'éviter qu'une procédure judiciaire ne débouche sur un jugement vicié en raison de la violation du droit des parties de participer à la procédure. Lorsqu'on ne voit pas quelle influence la violation du droit d'être entendu a pu avoir sur la procédure, il n'y a pas lieu d'annuler la décision attaquée. Ainsi, le recourant qui se contente de dénoncer une violation de son droit d'être entendu sans contester le fond de la décision n'a aucun intérêt à procéder et son moyen devra être déclaré irrecevable (arrêt 4A_141/2016 du 26 mai 2016 consid. 1.2 et les arrêts cités).
En l'occurrence, force est de constater que, en l'absence de tout reproche visant la rectification de l'arrêt cantonal, le recourant conçoit son droit à se déterminer sur la demande de l'assureur du 23 février 2016 comme une fin en soi. On ne voit d'ailleurs pas quelle critique il pourrait émettre puisque, même si l'on prend en compte la version du dispositif antérieure à la rectification (arrêt cantonal communiqué aux parties le 18 février 2016), il n'y a (à la lumière des considérants de l'arrêt cantonal et du dispositif du jugement de première instance) aucun doute que les frais arrêtés par la cour cantonale (en tant qu'accessoire procédural de la décision rendue au principal) doivent être supportés par le lésé.
Le moyen est irrecevable.
3.
Dans un deuxième grief, le recourant reproche à la cour cantonale d'avoir constaté les faits " en violation des règles d'admissibilité des preuves, en particulier l'<ref-law> sur les preuves illicites ". Il signale à cet égard que tant le Dr G._ que le Dr F._ ont, lors d'un entretien téléphonique avec la Dresse D._, révélé à celle-ci des faits le concernant, alors même qu'il ne les avait pas déliés du secret médical.
3.1. Aux termes de l'<ref-law>, le tribunal ne prend en considération les moyens de preuve obtenus de manière illicite que si l'intérêt à la manifestation de la vérité est prépondérant.
Contrairement à la preuve irrégulière, recueillie en violation d'une règle de procédure, la preuve illicite est obtenue en violation d'une norme de droit matériel, laquelle doit protéger le bien juridique lésé contre l'atteinte en cause (<ref-ruling> consid. 3.1 et les auteurs cités). La preuve est illicite, au sens de l'<ref-law>, parce qu'elle a été obtenue par la commission d'un délit (BENOÎT CHAPPUIS, Les moyens de preuve collectés de façon illicite ou produit de façon irrégulière, in Le procès en responsabilité civile, Werro/Pichonnaz [éd.], 2011, p. 137 et l'auteur cité).
De nombreuses règles - pénales, civiles ou administratives - sont susceptibles de trouver application en matière de collecte de preuves (cf. CHAPPUIS, op. cit., p. 113 ss). C'est le cas en particulier de la disposition pénale, dont l'application est envisagée ici, réprimant le secret professionnel (<ref-law>).
3.2. En l'occurrence, même si la motivation de la cour cantonale n'est pas dénuée de toute ambiguïté, on comprend qu'elle s'est fondée sur l'expertise judiciaire en faisant abstraction des témoignages recueillis par l'experte auprès des deux médecins n'ayant pas été déliés du secret professionnel (cf. arrêt entrepris consid. 2.3.2 p. 21 in fine). Autrement dit, pour se forger une conviction, elle n'a utilisé que les moyens de preuve licites recueillis par l'expert, et le moyen soulevé par le recourant tombe à faux.
Dans ces conditions, le recourant ne peut être suivi lorsqu'il prétend que le simple fait pour l'expert d'avoir entendu, parmi de nombreux spécialistes, ces deux médecins devait nécessairement conduire les juges précédents à écarter complètement le contenu de l'expertise. Il lui incombait plutôt de contester, sous l'angle de l'arbitraire, le constat - auquel est parvenu la cour cantonale après avoir apprécié les éléments licites à sa disposition (en faisant abstraction des témoignages contestés) - selon lequel le recourant se trouvait déjà, avant l'accident de 2008, dans un état de dépression grave. Ce point n'est toutefois pas contesté par le recourant et il n'y a donc pas lieu de s'y attarder.
Le grief est infondé.
4.
Dans un troisième moyen, le recourant se plaint d'une violation de l'interdiction du déni de justice (art. 29 al. 1 Cst.), de son droit d'être entendu (art. 29 al. 2 Cst.) et des art. 187 et 188 CPC.
4.1. Il se limite à évoquer l'interdiction du déni de justice, sans toutefois reprendre ensuite ce moyen dans son argumentation. Le grief est irrecevable (cf. supra consid. 1.2).
Il n'explique pas non plus en quoi la protection qui lui est conférée par l'art. 29 al. 2 Cst. (droit d'être entendu) irait au-delà de celle qui découle des art. 187 et 188 CPC, dispositions sur la base desquelles il motive l'ensemble de sa critique. Il n'y a donc pas lieu de s'arrêter sur le moyen tiré de la violation de cette règle constitutionnelle.
4.2. S'agissant des art. 187 s. CPC, le recourant soutient qu'ils confèrent aux parties le droit d'intervenir en cours de procédure (avant les plaidoiries finales) et que le Tribunal de première instance les a vidés de leur sens en ne traitant sa demande (questions additionnelles portant sur l'expertise judiciaire) qu'au stade du jugement, soit après les plaidoiries finales (acte de recours ch. 4.2.2 p. 9 ss).
En l'occurrence, il résulte des constatations cantonales que, lors de l'audition du 12 mai 2014, le demandeur a eu l'occasion de requérir des explications et de poser des questions complémentaires à l'experte (cf. <ref-law>). Celle-ci a alors confirmé son rapport, soulignant en particulier que le lésé souffrait d'une dépression grave antérieure aux deux accidents; le demandeur lui a alors demandé sur quelle base le diagnostic d'état de stress post-traumatique était posé et quels étaient, selon elle, les critères qu'il remplissait. De l'avis du lésé, l'experte n'a pas su répondre à cette question.
Force est de constater que, lors de l'audition de l'experte, le tribunal a donné l'occasion au demandeur de solliciter des explications avant que les plaidoiries finales soient déposées. Au terme de l'audience, le demandeur a alors requis un délai de cinq jours pour se déterminer sur l'audition des deux autres experts (neurologue et dermatologue), mais il n'est pas revenu sur l'audition de l'experte psychiatre (complètement d'office selon l'<ref-law>). Le premier juge lui a alors accordé un délai au 19 mai 2014. Dans ce délai, le demandeur n'a toutefois pas requis l'audition des deux autres experts, ni communiqué la moindre réaction.
La procédure probatoire, à tout le moins en ce qui concerne l'examen psychiatrique du demandeur, était donc close et celui-ci a agi tardivement et contrairement à la bonne foi en revenant à la charge et en sollicitant, le 21 mai 2014, des éclaircissements sur le rapport écrit et l'audition de la Dresse D._, ainsi qu'en réclamant une nouvelle expertise et, subsidiairement, une nouvelle expertise " portant sur le diagnostic de son état de stress post-traumatique " (cf. <ref-ruling> consid. 4.3.2 p. 376).
On ne saurait donc reprocher à l'autorité cantonale d'avoir transgressé le droit fédéral en refusant de donner suite à la requête du demandeur.
5.
Le recourant considère ensuite que la cour cantonale n'aurait pas dû s'appuyer sur une expertise de " qualité médiocre ", mais que celle-ci, dénuée de toute force probante, devait être écartée. Évoquant l'<ref-law>, il lui reproche une " constatation manifestement inexacte des faits ".
Le lésé se fourvoie lorsqu'il se fonde sur l'<ref-law> pour se plaindre, devant la Cour de céans, d'une constatation inexacte des faits (cf. supra consid. 1.3). Il ne démontre en outre pas en quoi la motivation de la cour cantonale serait insoutenable ou arbitraire, selon les exigences strictes posées aux art. 97 al. 1 et 106 al. 2 LTF, mais se limite à contester de manière appellatoire l'appréciation faite par l'autorité précédente (" la Cour de justice prétend... ", " la Cour a erré ", " la référence médicale... n'a pas été correctement utilisée ", " sa réflexion tombe à faux ",...).
Le moyen est irrecevable.
6.
Enfin, le recourant revient sur les frais d'expertise. Il nie avoir su, comme l'a retenu la cour cantonale, qu'une seconde avance de frais de 6'000 fr. avait été sollicitée par l'experte, étant ici précisé que la première avance de frais avait été fixée à 6'000 fr. Il invoque une constatation manifestement inexacte, une violation crasse du droit d'être entendu, de l'<ref-law> et des art. 375 et 394 CO.
Il se borne à citer ces trois dernières dispositions légales sans fournir la moindre explication qui permettrait de comprendre en quoi elles auraient été transgressées. Il n'y a donc pas lieu d'entrer en matière à ce sujet.
6.1. Concernant la constatation manifestement inexacte (portant sur le fait que le lésé savait qu'une seconde avance de frais avait été sollicitée par l'experte), la brève argumentation présentée par le recourant est impropre à démontrer l'arbitraire de la cour cantonale.
Le demandeur admet lui-même qu'il savait que l'experte avait demandé une nouvelle avance de frais le 25 octobre 2013 (mais il nie en avoir connu le montant) et il ne conteste pas avoir reçu la décision du Tribunal de première instance du 6 novembre 2013 impartissant un délai à l'assureur au 21 novembre 2013 pour fournir une (nouvelle) avance de frais de 6'000 fr.
Le moyen est mal fondé.
6.2. Quant à la violation du droit d'être entendu, elle tombe d'emblée à faux.
D'une part, comme le relève la cour cantonale, le lésé savait qu'un montant de 12'000 fr. avait été requis par l'experte judiciaire au titre d'avances de frais et il connaissait donc l'ordre de grandeur des honoraires qui seraient versés à l'experte. Attendre que le jugement de première instance soit rendu pour remettre en question les frais de l'expertise en appel n'est, dans ces conditions, pas compatible avec la règle de la bonne foi (<ref-law>).
D'autre part, on peut quoi qu'il en soit observer, comme l'a fait la cour cantonale, que le lésé a eu l'occasion de faire valoir ses arguments à cet égard devant la Cour de justice et que celle-ci a pu réexaminer le montant et la répartition des frais de première instance avec une pleine cognition. On peut dès lors considérer que la transgression du droit d'être entendu a été réparée en appel.
7.
Il résulte des considérations qui précèdent que le recours en matière civile doit être rejeté dans la mesure où il est recevable.
Les frais judiciaires et les dépens sont mis à la charge du recourant, qui succombe (art. 66 al. 1 et 68 al. 1 et 2 LTF).

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce :
1.
Le recours est rejeté dans la mesure où il est recevable.
2.
Les frais judiciaires, arrêtés à 6'000 fr., sont mis à la charge du recourant.
3.
Le recourant versera à l'intimée une indemnité de 7'000 fr. à titre de dépens.
4.
Le présent arrêt est communiqué aux parties et à la Cour de justice du canton de Genève, Chambre civile.
Lausanne, le 5 octobre 2017
Au nom de la Ire Cour de droit civil
du Tribunal fédéral suisse
La Présidente : Kiss
Le Greffier : Piaget