Faits :
A.
A.A._ (1963), de nationalité française, et B._ (1965), de nationalité américaine, se sont mariés le 2 octobre 1999. Une enfant est née de cette union, C.A._ (2003).
La vie séparée des parties a été réglée par plusieurs prononcés de mesures protectrices de l'union conjugale. En substance, la garde de l'enfant a été attribuée à la mère, un droit de visite étant dans un premier temps réservé au père, puis suspendu, une curatelle d'assistance éducative étant ordonnée, le père étant pour le surplus condamné à verser une contribution pour l'entretien des siens. Le 11 mars 2016, Me Axelle Prior a été désignée en qualité de curatrice de représentation de l'enfant C.A._, avec pour mission de la représenter dans le cadre de la procédure de mesures protectrices de l'union conjugale divisant ses parents.
Vraisemblablement au début juillet 2016, la mère a quitté le territoire suisse pour les Etats-Unis avec C.A._.
B.
Par ordonnance de mesures protectrices de l'union conjugale du 25 juillet 2016, le Président du Tribunal civil de l'arrondissement de La Côte a notamment attribué l'autorité parentale sur C.A._ exclusivement à l'épouse et réservé un droit de visite au père, à exercer par l'intermédiaire d'Espace Contact.
Le père a fait appel de cette ordonnance le 12 août 2016, requérant préalablement que son appel soit assorti de l'effet suspensif, en tant qu'il porte sur l'attribution de l'autorité parentale.
Par décision du 19 août 2016, le Juge délégué de la Cour d'appel civile du Tribunal cantonal du canton de Vaud a rejeté la requête d'effet suspensif.
C.
Par mémoire du 28 septembre 2016, A.A._ exerce un recours en matière civile et un recours constitutionnel subsidiaire au Tribunal fédéral, sollicitant principalement la réforme de la décision attaquée, en ce sens que l'effet suspensif est octroyé à son appel. Subsidiairement, il conclut à l'annulation de cette décision et au renvoi de la cause à l'autorité " inférieure ".
Invité à se déterminer, le Juge délégué a indiqué qu'il se référait à la décision attaquée. Il a précisé avoir invité le recourant, lors de l'audience du 6 décembre 2016, à saisir l'autorité compétente américaine afin que la procédure en enlèvement d'enfant que celui-ci a initiée puisse avancer. Il a ajouté qu'interpellé à ce sujet, le recourant avait clairement répondu qu'il n'avait toujours pas saisi l'autorité compétente au sens de la CLaH80, et que pour toute réponse, il avait indiqué qu'il allait y réfléchir.
L'intimée a conclu au rejet du recours.

Considérant en droit :
1.
1.1. La décision entreprise, qui refuse de suspendre l'exécution d'une ordonnance de mesures protectrices de l'union conjugale, est une décision incidente rendue en matière civile (<ref-law>; <ref-ruling> consid. 1 et les références). Le recours contre une décision incidente est soumis à la même voie de droit que celle qui est ouverte contre la décision principale (<ref-ruling> consid. 1.1). La cause pour laquelle l'effet suspensif est requis porte notamment sur l'attribution de l'autorité parentale, qui est contestée en appel; le litige a ainsi pour objet une affaire non pécuniaire dans son ensemble (arrêt 5A_825/2013 du 28 mars 2014 consid. 1). Le recours en matière civile est en principe recevable au regard des dispositions qui précèdent. Il s'ensuit que le recours constitutionnel subsidiaire est irrecevable (<ref-law>).
Le recours a en outre été interjeté en temps utile, par une partie qui a succombé dans ses conclusions en instance cantonale, de sorte qu'il est également recevable au regard des art. 76 et 100 al. 1 LTF.
1.2. Hormis les décisions mentionnées à l'<ref-law>, une décision préjudicielle ou incidente peut être entreprise immédiatement si elle peut causer un préjudice irréparable (<ref-law>) ou si l'admission du recours peut conduire immédiatement à une décision finale qui permet d'éviter une procédure probatoire longue et coûteuse (<ref-law>).
Le préjudice irréparable au sens de l'<ref-law> doit être de nature juridique et ne pas pouvoir être entièrement réparé ultérieurement par une décision finale favorable au recourant; un dommage économique ou de pur fait n'est pas considéré comme un préjudice de cette nature. En revanche, lorsque les mesures provisionnelles litigieuses concernent le sort des enfants, la décision qui les ordonne entraîne un préjudice irréparable, car même le succès du recours au fond ne pourrait pas compenser rétroactivement l'exercice des prérogatives parentales dont l'intéressé a été frustré pendant la période écoulée (arrêt 5A_641/2015 du 3 mars 2016 consid. 2.2 et les références). En l'espèce, le refus de l'effet suspensif concerne la question de l'attribution de l'autorité parentale dans le cadre de mesures protectrices de l'union conjugale; il est à l'évidence susceptible de causer au recourant un dommage irréparable au sens de l'<ref-law>, puisqu'il le prive d'exercer les prérogatives relevant de l'autorité parentale, aucune réparation n'étant possible pour la période écoulée s'il obtient finalement gain de cause au fond (cf. arrêt 5A_274/2016 du 26 août 2016 consid. 1.2, dans lequel la question du lieu de résidence des enfants faisait l'objet du prononcé de mesures provisionnelles). Il y a donc lieu d'entrer en matière sur le recours.
1.3. Selon l'<ref-law>, les faits et moyens de preuve nouveaux sont prohibés, à moins de résulter de la décision de l'autorité précédente (<ref-ruling> consid. 5.2.4; <ref-ruling> consid. 2.1), de même que les faits et pièces postérieurs à l'arrêt entrepris (ATF <ref-ruling> consid. 2.1). Il en résulte que les nombreux faits postérieurs à la décision attaquée que l'intimée a invoqués dans sa réponse, ainsi que l'ensemble des pièces qu'elle a produites à l'appui de celle-ci, sont d'emblée irrecevables, indépendamment de leur pertinence pour la présente cause. L'extrait d'un manuel juridique produit par le recourant, qui ne vise pas à établir un fait, mais uniquement à étayer son argumentation juridique, est en revanche recevable (<ref-ruling> consid. 5; <ref-ruling> consid. 1). Pour le surplus, il ne sera pas tenu compte du complément de motivation présenté par le Juge délégué dans ses observations, dès lors qu'il repose sur des éléments largement postérieurs à la décision entreprise, à savoir le procès-verbal d'une audience du 6 décembre 2016.
2.
2.1. La décision accordant l'effet suspensif, comme celle d'exécution provisoire ou de retrait de l'effet suspensif (<ref-ruling> consid. 2), est une décision de mesures provisionnelles au sens de l'<ref-law>, de sorte que seule la violation de droits constitutionnels peut être invoquée. Le Tribunal fédéral n'examine en outre les griefs de violation de droits constitutionnels que s'ils ont été invoqués et motivés (" principe d'allégation ", <ref-law>), à savoir expressément soulevés et exposés de manière claire et détaillée (<ref-ruling> consid. 1.4). Le recourant qui se plaint de la violation d'un droit fondamental ne peut donc se borner à critiquer la décision attaquée comme il le ferait en instance d'appel, où l'autorité de recours jouit d'une libre cognition; il ne peut, en particulier, se contenter d'opposer sa thèse à celle de l'autorité cantonale, mais doit démontrer ses allégations par une argumentation précise (<ref-ruling> consid. 3; <ref-ruling> consid. 3.2; arrêt 5A_99/2011 du 26 septembre 2011 consid. 2.1).
Selon la jurisprudence, l'arbitraire ne résulte pas du seul fait qu'une autre solution serait envisageable ou même préférable. Le Tribunal fédéral n'annule la décision attaquée que lorsque celle-ci est manifestement insoutenable, méconnaît gravement une norme ou un principe juridique clair et indiscuté, ou heurte de manière choquante le sentiment de la justice et de l'équité; il ne suffit pas qu'une autre solution paraisse concevable, voire préférable; pour que cette décision soit annulée, encore faut-il que le recourant démontre qu'elle se révèle arbitraire non seulement dans ses motifs, mais aussi dans son résultat (<ref-ruling> consid. 3.2.5; <ref-ruling> consid. 4.3; <ref-ruling> consid. 3.1).
2.2. Le Tribunal fédéral doit conduire son raisonnement juridique sur la base des faits constatés dans la décision attaquée (<ref-law>). Il peut compléter ou rectifier, même d'office, les constatations de fait qui se révèlent manifestement inexactes, c'est-à-dire arbitraires aux termes de l'art. 9 Cst. (<ref-ruling> consid. 4.1.2; <ref-ruling> consid. 1.2.2), ou établies en violation du droit (<ref-law>), si la correction du vice est susceptible d'influer sur le sort de la cause (<ref-law>). Cette partie ne peut toutefois pas se borner à contredire les constatations litigieuses par ses propres allégations ou par l'exposé de sa propre appréciation des preuves; elle doit indiquer de façon précise en quoi ces constatations sont contraires au droit ou entachées d'une erreur indiscutable, c'est-à-dire arbitraire au sens de l'art. 9 Cst. (ATF <ref-ruling> consid. 1.2.2). Une critique des faits qui ne satisfait pas au principe d'allégation susmentionné (cf. supra consid. 2.1) est irrecevable (ATF <ref-ruling> consid. 1.4.3 et les références).
3.
Le juge délégué a considéré que, le recourant n'ayant pas démontré subir un préjudice difficilement réparable au sens de l'<ref-law>, sa requête d'effet suspensif devait être rejetée.
En substance, il a relevé que contrairement à ce que soutenait le recourant, l'attribution exclusive de l'autorité parentale et de la garde à la mère par prononcé du 25 juillet 2016 ne pouvait justifier, en soi, le refus du retour de l'enfant en application de la Convention de La Haye du 25 octobre 1980 sur les aspects civils de l'enlèvement international d'enfants (CLaH80; RS 0.211.230.02). En effet, le déplacement de C.A._ aux Etats-Unis était intervenu vraisemblablement au début juillet 2016, alors qu'elle avait sa résidence habituelle en Suisse et que l'autorité parentale - soit le droit de garde au sens de l'art. 5 let. a CLaH80, qui comprend le droit de déterminer le lieu de résidence de l'enfant - était détenue conjointement par les deux époux. Selon les pièces produites par l'époux, celui-ci avait saisi l'Office fédéral de la justice (OFJ) d'une demande de retour de C.A._ au sens de l'art. 8 CLaH80 avant que le prononcé de mesures protectrices de l'union conjugale ne soit rendu. L'OFJ a transmis directement la demande à l'Autorité centrale des Etats-Unis, qui est entrée en matière et assiste actuellement l'époux dans ses démarches " afin d'interpeller l'autorité civile américaine et d'obtenir le retour de l'enfant ", comme il le relevait lui-même. Enfin, en prétendant qu'il serait essentiel, dans le cadre de la procédure de retour, qu'il détienne l'autorité parentale conjointe comme l'attesterait un courrier de l'OFJ du 15 juillet 2016, l'époux ferait une mauvaise lecture de ce courrier, celui-ci indiquant, - à juste titre - qu'une procédure de protection de l'union conjugale était en cours, mais qu'aucune décision définitive en limitation de l'autorité parentale n'avait été prise.
Le Juge délégué a encore relevé que les tentatives de suicide de C.A._ auxquelles faisait référence l'époux n'avaient pas été ignorées puisqu'elles ont fait l'objet, dans le cadre de la procédure de retour, d'une enquête menée par la police du département de X._ (Illinois), où résiderait l'enfant; celle-ci, après avoir fait part à l'inspecteur d'idées suicidaires, avait d'ailleurs été amenée à l'hôpital pour une évaluation. Ainsi, les craintes de l'époux pour la santé de sa fille ne justifiaient pas non plus d'assortir son appel de l'effet suspensif.
4.
Le recourant se plaint d'arbitraire dans l'application de l'<ref-law>.
En substance, il expose que si son épouse a vraisemblablement emmené C.A._ aux Etats-Unis au début juillet 2016, elle n'a confirmé par écrit au département d'état américain son intention de ne pas revenir en Suisse avec l'enfant qu'au mois d'août. Entre début juillet et le 11 août 2016, de nombreux événements pourraient être considérés comme une confirmation de son intention de non-retour. Or, se référant à l'extrait d'un commentaire juridique qu'il produit, il explique que selon la jurisprudence, la date déterminante pour savoir si l'enfant a été déplacée illicitement serait " la date à partir de laquelle le parent victime prend connaissance du fait que le parent ayant enlevé l'enfant ne ramènera pas l'enfant ". Comme, dans un premier temps, l'épouse avait prétendu être partie en vacances avec l'intention de rentrer le 1er août 2016, seul l'octroi de l'effet suspensif permettrait de clarifier la situation concernant le caractère illicite du déplacement.
5.
L'appel n'a en principe pas d'effet suspensif lorsqu'il a pour objet des décisions portant sur des mesures provisionnelles (<ref-law>). En vertu de l'<ref-law>, l'exécution des mesures provisionnelles peut toutefois être exceptionnellement suspendue si la partie concernée risque de subir un préjudice difficilement réparable.
Le préjudice difficilement réparable peut être de nature factuelle; il concerne tout préjudice, patrimonial ou immatériel, et peut même résulter du seul écoulement du temps pendant le procès. Le dommage est constitué, pour celui qui requiert les mesures provisionnelles, par le fait que, sans celles-ci, il serait lésé dans sa position juridique de fond et, pour celui qui recourt contre le prononcé de telles mesures, par les conséquences matérielles qu'elles engendrent (<ref-ruling> consid. 6.3; arrêt 5A_257/2016 du 6 juillet 2016 consid. 3.1). Saisie d'une demande d'effet suspensif au sens de l'<ref-law>, l'autorité cantonale d'appel doit ainsi procéder à une nouvelle pesée des intérêts entre les deux préjudices difficilement réparables, celui du demandeur à l'action si la mesure n'était pas exécutée immédiatement et celui qu'entraînerait pour le défendeur l'exécution de cette mesure (<ref-ruling> consid. 6.3; arrêt 5A_514/2012 du 4 septembre 2012 consid. 3.2).
6.
En l'espèce, la décision entreprise relève d'un abus manifeste du pouvoir d'appréciation (sur cette notion, cf. <ref-ruling> consid. 5.1), dès lors que l'autorité cantonale n'a pas procédé à la pesée des intérêts requise (cf. supra consid. 5), et s'est fondée essentiellement sur des critères dénués de pertinence dans le cadre de l'examen des risques de préjudice de l'époux.
En effet, cette décision a pour conséquence de priver l'époux, pendant toute la durée de la procédure d'appel, de la faculté d'exercer les prérogatives relevant de l'autorité parentale. A titre d'exemple, c'est seulement si l'autorité parentale est conjointe que son accord, celui du juge ou celui de l'autorité de protection de l'enfant constitue un préalable nécessaire pour déplacer le lieu de résidence de l'enfant à l'étranger, ou dans un endroit ayant un impact important pour les relations personnelles (art. 301a al. 1 à 3 CC; parmi plusieurs, cf. arrêt 5A_274/2016 du 26 août 2016 consid. 6). De même, son épouse se trouve notamment habilitée à prendre seule la décision de changer l'enfant d'établissement scolaire (FF 2011 8344 ad <ref-law>), ou de consentir à ce qu'un traitement médical lui soit administré, tant que l'arrêt sur appel n'est pas rendu (à propos des prérogatives relevant de l'autorité parentale, cf. notamment AFFOLTER/VOGEL, in Berner Kommentar ZGB, 2016, N 5 s. ad <ref-law>). Le refus d'effet suspensif a donc pour conséquence que des décisions importantes pour l'avenir de l'enfant risquent d'être prises par la mère, sans que le père n'ait son mot à dire, certaines d'entre elles ne pouvant d'ailleurs nullement être reconsidérées par la suite (par exemple, un traitement médical qui aurait été administré à l'enfant), même dans l'hypothèse où le recourant obtiendrait gain de cause sur le fond. Pour le surplus, contrairement à ce qui ressort de la décision querellée, on ne saurait préjuger de la décision que prendront les autorités américaines compétentes concernant une demande de retour de l'enfant au sens de la CLaH80. En particulier, on ne saurait déterminer à leur place la date pertinente pour le départ ou le non-retour de l'enfant. D'une part, l'autorité cantonale indique elle-même que le déplacement de C.A._ est intervenu " vraisemblablement " au début juillet 2016, de sorte qu'elle ne saurait tirer de conclusion quant à l'issue de la procédure de retour. D'autre part, il serait plus qu'hasardeux de fonder la décision relative à l'effet suspensif sur l'issue hypothétique d'une telle procédure, dès lors que l'on ignore, outre les éléments de fait pertinents pour en juger, quelle est la pratique desdites autorités en la matière. Vu ce qui précède, il est indubitable qu'il existe un risque de préjudice au sens de l'<ref-law> pour le recourant.
Le Juge délégué n'a pas indiqué quel préjudice difficilement réparable risquerait de subir l'intimée dans l'hypothèse où l'appel serait assorti de l'effet suspensif, n'expliquant pas pour quels motifs il serait indispensable qu'elle dispose immédiatement de l'autorité parentale exclusive. On ignore notamment si des décisions essentielles pour l'avenir de l'enfant devaient être prises rapidement et, le cas échéant, si l'attitude du père rendait impossible de telles prises de décisions, mettant ainsi en péril l'intérêt de l'enfant. Il en résulte que la cour cantonale n'a pas pu confronter le préjudice difficilement réparable que risquerait de subir l'intimée en cas d'admission de la requête d'effet suspensif, à celui que le recourant risquerait de subir en cas de refus de l'effet suspensif (cf. supra consid. 5).
Vu ce qui précède, la cause doit être renvoyée au Juge délégué pour nouvelle décision. Il lui appartiendra de déterminer les risques de préjudice difficilement réparable respectifs des parties et, sur cette base, de procéder à une pesée des intérêts, en tenant compte des circonstances concrètes du cas d'espèce. Ces considérations scellent le sort du présent recours, de sorte qu'il n'y pas lieu d'examiner les autres griefs soulevés par le recourant.
7.
En conclusion, le recours est admis, la décision attaquée est annulée et la cause renvoyée à l'autorité précédente pour nouvelle décision dans le sens des considérants. Les frais judiciaires sont mis à la charge de l'intimée, qui succombe (<ref-law>). Le recourant n'étant pas assisté d'un mandataire professionnel, il n'y a pas lieu de lui allouer des dépens. Il en résulte que sa requête d'assistance judiciaire est sans objet. Il appartiendra à l'autorité cantonale de statuer à nouveau sur les frais et dépens de la procédure cantonale (<ref-law>).

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce :
1.
Le recours constitutionnel subsidiaire est irrecevable.
2.
Le recours en matière civile est admis, la décision attaquée est annulée et la cause est renvoyée à l'autorité cantonale pour nouvelle décision dans le sens des considérants.
3.
Les frais judiciaires, arrêtés à 2'000 fr., sont mis à la charge de l'intimée.
4.
La requête d'assistance judiciaire du recourant est sans objet.
5.
Le présent arrêt est communiqué aux parties, à Me Axelle Prior et au Juge délégué de la Cour d'appel civile du Tribunal cantonal du canton de Vaud.
Lausanne, le 30 janvier 2017
Au nom de la IIe Cour de droit civil
du Tribunal fédéral suisse
Le Président : von Werdt
La Greffière : Dolivo