Sachverhalt:
A.
Im März 2015 liess das "Überparteiliche Komitee Selbstbestimmung am Lebensende" anlässlich der Regierungsratswahlen im Kanton Zürich eine Broschüre verteilen, mit welcher die Stimmberechtigten überzeugt werden sollten, nicht die Regierungsratskandidatin B._ zu wählen. B._ erhob am 16. März 2015 wegen des Inhalts der Borschüre Strafanzeige gegen Unbekannt wegen Ehrverletzung. Durch Abklärungen bei der Post ermittelte die Kantonspolizei Zürich A._ als Inhaber der auf der Broschüre abgedruckten Zustelladresse. A._ wurde in der Folge von der Kantonspolizei zur Befragung als Auskunftsperson vorgeladen. Er teilte mit, er werde vollumfänglich von seinem Recht, die Aussage zu verweigern, Gebrauch machen, weshalb auf seine polizeiliche Befragung verzichtet wurde.
Am 10. April 2015 reichte A._ beim Regierungsrat des Kantons Zürich Strafanzeige gegen Unbekannt wegen Amtsmissbrauchs und unbefugten Beschaffens von Personendaten ein. Er wirft den Behörden zusammengefasst vor, sie hätten trotz Fehlen eines Anfangsverdachts ein Strafverfahren gegen ihn eingeleitet, das Vorgehen der Behörden habe einzig der politischen Unterstützung von B._ gedient und die vorgenommenen Abklärungen bei der Post seien widerrechtlich gewesen.
B.
Die mit der Strafanzeige von A._ befasste Staatsanwaltschaft Zürich-Sihl überwies die Sache am 25. April 2016 via Oberstaatsanwaltschaft des Kantons Zürich ans Obergericht des Kantons Zürich zum Entscheid über die Erteilung bzw. Nichterteilung der Ermächtigung zur Durchführung einer Strafuntersuchung gegen Unbekannt. Die Staatsanwaltschaft beantragte, die Ermächtigung nicht zu erteilen, weil nach summarischer Prüfung kein deliktsrelevanter Verdacht vorliege. Mit Beschluss vom 13. Juni 2016 erteilte die III. Strafkammer des Obergerichts der Staatsanwaltschaft die Ermächtigung zur Strafverfolgung gegen Unbekannt nicht.
C.
Gegen den Beschluss des Obergerichts hat A._ am 5. August 2016 Beschwerde ans Bundesgericht erhoben. Er beantragt, der angefochtene Beschluss sei aufzuheben und die Sache an die Vorinstanz zurückzuweisen mit der Auflage, es sei die Ermächtigung zur Eröffnung einer Strafuntersuchung zu erteilen. Die Vorinstanz sowie die Staatsanwaltschaft Zürich-Sihl haben auf eine Vernehmlassung verzichtet.

Erwägungen:
1.
Beim angefochtenen Entscheid handelt es sich um einen letztinstanzlichen kantonalen Endentscheid in einer öffentlich-rechtlichen Angelegenheit (vgl. <ref-ruling> E. 1.3.1 S. 272), gegen den die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten ans Bundesgericht nach Art. 82 lit. a, Art. 86 Abs. 1 lit. d sowie Art. 90 BGG grundsätzlich zulässig ist. Eine Ausnahme von der Zulässigkeit der Beschwerde nach <ref-law> besteht nicht, zumal <ref-law> nur auf die obersten Vollziehungs- und Gerichtsbehörden anwendbar ist (<ref-ruling> E. 1.3.2 S. 272 f. mit Hinweis) und die von der Strafanzeige des Beschwerdeführers mutmasslich betroffenen Personen nicht in diese Kategorie fallen. Der Beschwerdeführer hat am vorinstanzlichen Verfahren teilgenommen und könnte sich in einem allfälligen Strafverfahren gegen bestimmte Behördenmitglieder voraussichtlich als Privatkläger beteiligen (vgl. Art. 118 Abs. 1 i.V.m. <ref-law>), sodass ihm im Falle des Obsiegens vor Bundesgericht ein praktischer Nutzen entstünde. Damit ist er nach <ref-law> beschwerdeberechtigt. Da auch die übrigen Sachurteilsvoraussetzungen erfüllt sind, ist unter Vorbehalt der nachfolgenden Erwägung auf die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten einzutreten.
2.
Gegenstand des angefochtenen Beschlusses bildete lediglich die Frage, ob im Zusammenhang mit den vom Beschwerdeführer in seiner Strafanzeige vom 10. April 2015 erhobenen Vorwürfe an die Behörden eine Ermächtigung zur Eröffnung einer Strafuntersuchung zu erteilen war. Soweit der Beschwerdeführer in seiner Beschwerde ans Bundesgericht das spätere Vorgehen der Staatsanwaltschaft - namentlich seine Einvernahme als beschuldigte Person am 15. Januar 2016 - kritisiert, ist darauf nicht einzugehen, weil damit eine unzulässige Erweiterung des Streitgegenstands verbunden wäre.
3.
In tatsächlicher Hinsicht kann dem angefochtenen Beschluss sowie den von der Vorinstanz eingereichten Akten entnommen werden, dass die Kantonspolizei Zürich als Reaktion auf die Strafanzeige von B._ am 16. März 2015 Ermittlungen im Zusammenhang mit der verteilten Broschüre aufnahm, bei der Post den Beschwerdeführer als Inhaber der auf der Broschüre abgedruckten Zustelladresse eruierte, den Beschwerdeführer zur polizeilichen Einvernahme als Auskunftsperson vorlud, in der Folge auf eine polizeiliche Befragung allerdings verzichtete und die Sache am 1. April 2015 der Oberstaatsanwaltschaft übermittelte. Am 22. April 2015 überwies die Oberstaatsanwaltschaft die polizeilichen Akten der Staatsanwaltschaft I für den Kanton Zürich mit dem Ersuchen um Prüfung und weitere Veranlassung. Am 1. April 2016 wurde die Sache schliesslich der Staatsanwaltschaft Zürich-Sihl überwiesen.
Demgegenüber geht der Beschwerdeführer davon aus, die Staatsanwaltschaft I des Kantons Zürich habe der Kantonspolizei im Anschluss an die Strafanzeige von B._ offensichtlich Ermittlungsaufträge erteilt bzw. Untersuchungshandlungen angeordnet. Die Vorinstanz ging auf die tatsächliche Frage, ob die Kantonspolizei von sich aus oder im Auftrag der Staatsanwaltschaft handelte, nicht näher ein und kam zum Schluss, dass das Vorgehen der Strafverfolgungsbehörden jedenfalls nicht zu beanstanden war. Wie sich aus den nachfolgenden Erwägungen ergibt, ist die Frage, ob die Kantonspolizei von sich aus oder im Auftrag der Staatsanwaltschaft ermittelte, für das Ergebnis des vorliegenden Entscheid nicht wesentlich, weshalb sie offenbleiben kann (vgl. Art. 105 Abs. 1 und 2 BGG).
4.
Der Beschwerdeführer rügt sinngemäss eine Verletzung von <ref-law> i.V.m. <ref-law> sowie § 148 des Gesetzes vom 10. Mai 2010 des Kantons Zürich über die Gerichts- und Behördenorganisation im Zivil- und Strafprozess (GOG; LS 211.1).
4.1. Nach <ref-law> sind die Strafbehörden verpflichtet, im Rahmen ihrer Zuständigkeit ein Verfahren einzuleiten und durchzuführen, wenn ihnen Straftaten oder auf Straftaten hinweisende Verdachtsgründe bekannt werden. Gemäss <ref-law> können die Kantone allerdings vorsehen, dass die Strafverfolgung der Mitglieder ihrer Vollziehungs- und Gerichtsbehörden wegen im Amt begangener Verbrechen oder Vergehen von der Ermächtigung einer nicht richterlichen oder richterlichen Behörde abhängt.
Nach § 148 GOG setzt im Kanton Zürich die Eröffnung einer Strafuntersuchung gegen Beamte im Sinne von <ref-law> wegen im Amt begangener Verbrechen oder Vergehen eine Ermächtigung des Obergerichts voraus. Vorbehalten bleibt § 38 Abs. 1 des Kantonsratsgesetzes des Kantons Zürich vom 5. April 1981 (KRG; LS 171.1), wonach die Eröffnung einer Strafuntersuchung gegen ein Mitglied des Regierungsrats oder eines obersten kantonalen Gerichts wegen eines in Ausübung seines Amtes begangenen Verbrechens oder Vergehens eine Ermächtigung des Kantonsrats voraussetzt. Mit diesen kantonalen Bestimmungen, die gemäss bundesgerichtlicher Rechtsprechung den bundesrechtlichen Anforderungen (namentlich <ref-law>) Rechnung tragen, sollen Staatsbedienstete vor mutwilliger Strafverfolgung geschützt werden (<ref-ruling> E. 2.2 f. S. 276 f.).
In verfassungskonformer Auslegung von <ref-law> dürfen in solchen Ermächtigungsverfahren - ausser bei obersten Vollziehungs- und Gerichtsbehörden - nur strafrechtliche Gesichtspunkte berücksichtigt werden. Über die Ermächtigung zur Strafverfolgung darf insbesondere nicht nach Opportunität entschieden werden (<ref-ruling> E. 2.4 S. 277 f.). Das schliesst aber nicht aus, für die Erteilung der Ermächtigung genügende minimale Hinweise auf strafrechtliches Verhalten zu verlangen. Nicht jeder behördliche Fehler begründet eine Pflicht, die Ermächtigung zur Strafverfolgung zu erteilen. Vielmehr darf dafür vorausgesetzt werden, dass ein strafrechtlich relevantes Verhalten in minimaler Weise glaubhaft erscheint, mithin genügende Anhaltspunkte für eine strafbare Handlung vorliegen (Urteil 1C_323/ 2016 vom 15. November 2016 E. 2; 1C_443/2016 vom 11. November 2016 E. 2.2; 1C_206/2016 vom 3. August 2016 E. 2.1; je mit Hinweisen).
4.2. Zu prüfen ist nachfolgend, ob ein strafrechtlich relevantes Verhalten von Behördenmitgliedern im Sinne der Strafanzeige des Beschwerdeführers in minimaler Weise glaubhaft erscheint, mithin genügende Anhaltspunkte für eine strafbare Handlung vorliegen.
4.2.1. Mitglieder einer Behörde oder Beamte, die ihre Amtsgewalt missbrauchen, um sich oder einem andern einen unrechtmässigen Vorteil zu verschaffen oder einem andern einen Nachteil zuzufügen, werden mit Freiheitsstrafe bis zu fünf Jahren oder Geldstrafe bestraft (<ref-law>). Wer unbefugt besonders schützenswerte Personendaten oder Persönlichkeitsprofile, die nicht frei zugänglich sind, aus einer Datensammlung beschafft, wird auf Antrag mit Freiheitsstrafe bis zu drei Jahren oder Geldstrafe bestraft (<ref-law>). Nicht strafbar macht sich, wer handelt, wie es das Gesetz gebietet oder erlaubt, auch wenn die Tat nach dem StGB oder einem anderen Gesetz mit Strafe bedroht ist (<ref-law>).
4.2.2. Die Polizei stellt im Ermittlungsverfahren auf der Grundlage von Anzeigen, Anweisungen der Staatsanwaltschaft oder eigenen Feststellungen den für eine Straftat relevanten Sachverhalt fest (Art. 306 Abs. 1 i.V.m. Art. 15 Abs. 1 und 2 StPO). Voraussetzung für die Aufnahme eines polizeilichen Ermittlungsverfahren ist ein hinreichender Anfangsverdacht (vgl. <ref-law>). Die Staatsanwaltschaft eröffnet eine Strafuntersuchung, unter anderem wenn sich aus den Informationen und Berichten der Polizei, aus der Strafanzeige oder aus ihren eigenen Feststellungen ein hinreichender Tatverdacht ergibt (<ref-law>) oder verfügt die Nichtanhandnahme, unter anderem sobald aufgrund der Strafanzeige oder des Polizeirapports feststeht, dass die fraglichen Straftatbestände oder die Prozessvoraussetzungen eindeutig nicht erfüllt sind (<ref-law>). Nach dem Grundsatz "in dubio pro duriore", der aus dem Legalitätsprinzip fliesst, darf eine Nichtanhandnahme bzw. eine Einstellung des Verfahrens durch die Staatsanwaltschaft grundsätzlich nur bei klarer Straflosigkeit bzw. offensichtlich fehlenden Prozessvoraussetzungen angeordnet werden (vgl. <ref-ruling> E. 4.1 S. 190 mit Hinweisen).
Gemäss <ref-law> wird wegen übler Nachrede auf Antrag bestraft, wer jemanden bei einem andern eines unehrenhaften Verhaltens oder anderer Tatsachen, die geeignet sind, seinen Ruf zu schädigen, beschuldigt oder verdächtigt, oder wer eine solche Beschuldigung oder Verdächtigung weiterverbreitet. Nicht strafbar ist unter bestimmten Umständen der Beschuldigte, wenn er beweist, dass die von ihm vorgebrachte oder weiterverbreitete Äusserung der Wahrheit entspricht, oder dass er ernsthafte Gründe hatte, sie in guten Treuen für wahr zu halten (Art. 173 Ziff. 2 und 3 StGB). Gemäss <ref-law> wird wegen Verleumdung auf Antrag bestraft, wer jemanden wider besseres Wissen bei einem andern eines unehrenhaften Verhaltens oder anderer Tatsachen, die geeignet sind, seinen Ruf zu schädigen, beschuldigt oder verdächtigt, oder wer eine solche Beschuldigung oder Verdächtigung wider besseres Wissen verbreitet. Der mündlichen üblen Nachrede und der mündlichen Verleumdung ist die Äusserung durch Schrift, Bild, Gebärde oder durch andere Mittel gleichgestellt (<ref-law>). Gemäss <ref-law> wird wegen Beschimpfung auf Antrag bestraft, wer jemanden in anderer Weise durch Wort, Schrift, Bild, Gebärde oder Tätlichkeiten in seiner Ehre angreift. Der strafrechtliche Ehrbegriff umfasst die sogenannte sittliche Ehre, d.h. den Ruf als ehrbarer Mensch (<ref-ruling> E. 1c S. 44).
4.2.3. B._ wurde in der vom "Überparteilichen Komitee Selbstbestimmung am Lebensende" verteilten Broschüre als eine Frau mit charakterlichen Defiziten dargestellt. Sodann war der Broschüre unter anderem zu entnehmen, B._ sei nach nur drei Jahren aus der Stadtpolizei Zürich rausgeworfen worden, sie verunglimpfe schwerkranke bzw. verachte schwerleidende Menschen und habe im Kantonsrat entweder gelogen oder das Amtsgeheimnis verletzt. Es ist nicht zu beanstanden, wenn die Strafverfolgungsbehörden zum Zeitpunkt der vom Beschwerdeführer kritisierten Ermittlungen davon ausgingen, gewisse Äusserungen in der Broschüre könnten geeignet sein, den Ruf von B._ als ehrbarer Mensch zu beeinträchtigen. Es bestand der hinreichende Verdacht, dass mit der Verteilung der Broschüre ein Ehrverletzungsdelikt im Sinne von <ref-law> verbunden war. Daran ändert auch der Umstand nichts, dass in einer politischen Auseinandersetzung eine strafrechtlich relevante Ehrverletzung nur mit Zurückhaltung anzunehmen ist (vgl. <ref-ruling> E. 2.1.4 S. 316 f.).
Unter den gegebenen Umständen waren die Strafverfolgungsbehörden jedenfalls ermächtigt, als Reaktion auf die verteilte Broschüre bzw. die Strafanzeige von B._ Ermittlungen im Sinne von Art. 306 f. StPO zu führen. Dass die Staatsanwaltschaft wegen der Verteilung der Broschüre bis zum Zeitpunkt der Strafanzeige des Beschwerdeführers gegen Unbekannt eine Strafuntersuchung im Sinne von Art. 308 f. StPO eröffnet hätte, kann den Akten nicht entnommen werden. Ein entsprechendes Vorgehen wäre allerdings ebenfalls nicht als unrechtmässig einzustufen, zumal nach dem bereits Ausgeführten ein hinreichender Tatverdacht im Sinne von <ref-law> bestand und aufgrund der Strafanzeige oder des Polizeirapports jedenfalls nicht feststand, dass die fraglichen Straftatbestände oder die Prozessvoraussetzungen eindeutig nicht erfüllt seien.
4.2.4. Der Beschwerdeführer wendet ein, B._ habe nur eine bestimmte Passage der Broschüre zur Anzeige gebracht, nämlich die Aussage, eine Affäre um Trunkenheit am Steuer, bei der es um ihren damaligen Ehemann gegangen sei, habe nach nur drei Jahren zu ihrem Rauswurf aus der Stadtpolizei Zürich geführt. Diese Passage der Broschüre sei nicht geeignet gewesen, einen Verdacht auf eine strafbare Ehrverletzung zu begründen, selbst falls sie unwahr gewesen sein sollte. Insoweit ist darauf hinzuweisen, dass B._ in ihrer Strafanzeige nicht nur auf die besagte Passage, sondern auch in allgemeiner Weise auf die verteilte Broschüre Bezug nahm. Ob sie dennoch nur die erwähnte Passage zur Anzeige bringen wollte und ob diese für sich alleine geeignet war, einen hinreichenden Verdacht auf eine strafbare Ehrverletzung zu begründen, kann vorliegend indessen offenbleiben, zumal die Strafverfolgungsbehörden bei Vorliegen eines hinreichenden Tatverdachts grundsätzlich Ermittlungen aufzunehmen haben, ohne dabei an den Inhalt einer allfälligen Strafanzeige gebunden zu sein. Auch der Umstand, dass die besagten Ehrverletzungsdelikte nur auf Antrag hin strafbar sind, ändert nichts daran, dass das Vorgehen der Strafverfolgungsbehörden nicht zu beanstanden war, zumal die dreimonatige Frist zum Strafantrag erst mit dem Tag beginnt, an welchem dem Antragsberechtigten persönlich der Täter bekannt wird (vgl. <ref-law>).
4.3. Die Strafverfolgungsbehörden waren demzufolge ermächtigt, als tatverdächtige Personen den oder die Urheber der verteilten Broschüre zu ermitteln (vgl. <ref-law>). Dass sie sich zunächst bei der Post darüber erkundigten, wer der Inhaber der auf der Broschüre abgedruckten Zustelladresse sei, erscheint naheliegend und es ist nicht ersichtlich, inwiefern den Behörden insoweit ein unrechtmässiges Vorgehen vorzuwerfen wäre. Selbst wenn das Vorgehen der Strafverfolgungsbehörden entgegen der Einschätzung der Staatsanwaltschaft im vorinstanzlichen Verfahren unter den Straftatbestand von <ref-law> fallen würde, fiele eine Bestrafung mit Blick auf <ref-law> im vorliegenden Zusammenhang von vornherein ausser Betracht. Auch stellt das vom Beschwerdeführer kritisierte Vorgehen der Strafverfolgungsbehörden klarerweise keinen Amtsmissbrauch im Sinne von <ref-law> dar.
5.
Nach dem Ausgeführten durfte die Vorinstanz die Ermächtigung zur Eröffnung einer Strafuntersuchung verweigern, ohne Art. 7 Abs. 2 lit. b i.V.m. <ref-law> oder sonst im Sinne von <ref-law> Recht zu verletzen. Damit ist die Beschwerde abzuweisen, soweit darauf einzutreten ist. Bei diesem Ausgang des Verfahrens wird der Beschwerdeführer kostenpflichtig.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 2'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer, der Staatsanwaltschaft Zürich-Sihl, dem Obergericht des Kantons Zürich, III. Strafkammer, und der Oberstaatsanwaltschaft des Kantons Zürich schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 8. Dezember 2016
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Fonjallaz
Der Gerichtsschreiber: Mattle