Faits :
A.
A.a. A._, né en 1949, travaillait au service de B._ SA, Compagnie d'assurance sur la vie (ci-après: B._ SA ou la société), sise à U._ et qui avait pour but "l'exploitation de l'assurance vie". A partir du 1 er janvier 2005, le portefeuille de la société a été mis en "run-off" (ou liquidation de portefeuille). Dans une note d'information à l'attention de l'ensemble des collaborateurs, le directeur adjoint de B._ SA a informé ces derniers que la direction leur demandait de se conformer aux délais de résiliation contractuels. Une résiliation anticipée pourrait toutefois être discutée pour les collaborateurs ayant un délai de congé de six mois. Cette note détaillait en outre les indemnités de départ qui seraient accordées aux employés en fonction de la durée des rapports de service. En 2008, la société C._ SA, société de droit luxembourgeois, a repris B._ SA, dont elle est devenue l'unique actionnaire.
A._ a donné sa démission pour le 31 décembre 2009. Par courriers des 21 et 28 décembre 2009, il a réclamé à son ex-employeur l'indemnité de départ à laquelle il estimait avoir droit. Il a réitéré sa demande par lettres des 15 février et 9 mars 2010. Le 23 mars 2010, la société a contesté le bien-fondé de sa prétention.
Le 7 juillet 2011, A._ a déposé une requête de conciliation à l'encontre de B._ SA tendant au paiement par la défenderesse de la somme de 64'800 fr. représentant huit mois de salaires au titre d'indemnité de départ. L'autorisation de procéder a été délivrée le 6 septembre 2011. Le 6 décembre 2011, A._ a déposé devant le Tribunal d'arrondissement de U._ une demande en paiement par la société du montant de 64'800 fr. plus intérêts à 5 % l'an dès le 1 er janvier 2010.
A.b. Par décision du 5 décembre 2014, l'Autorité fédérale de surveillance des marchés financiers FINMA a prononcé le transfert du portefeuille d'assurance de B._ SA, ainsi que des actifs de la fortune liée y afférente, à D._ SA. Par une nouvelle décision, du 12 décembre 2014, la FINMA a prononcé le retrait de l'autorisation d'exercer de B._ SA, ainsi que l'ouverture de la faillite de la société.
Par formulaire daté du 22 décembre 2014 et transmis le lendemain à la société liquidatrice de la faillite, A._ a produit dans celle-ci une créance s'élevant à 110'894 fr. 95, dont 64'800 fr. au titre "d'indemnité contractuelle de départ", 16'056 fr. au titre d'intérêts, plus le remboursement d'honoraires d'avocat et de frais de justice. La procédure pendante devant le Tribunal d'arrondissement a été suspendue.
A.c. Le 28 janvier 2015, A._ a présenté à la Caisse cantonale de chômage une demande d'indemnité en cas d'insolvabilité pour le montant de sa créance de 64'800 fr. Par décision du 12 février 2015, confirmée sur opposition le 11 août 2015, la caisse a rejeté sa demande. Elle a considéré, en bref, que l'indemnité en cause ne constituait pas un élément du salaire mensuel de l'intéressé et que, au demeurant, l'existence de la créance invoquée n'avait pas été rendue suffisamment vraisemblable.
B.
Par arrêt du 14 octobre 2016, la Cour des assurances sociales du Tribunal cantonal du canton de Vaud a rejeté le recours formé contre la décision sur opposition par A._.
C.
A._ forme un recours en matière de droit public dans lequel il conclut à l'annulation de l'arrêt attaqué et à la reconnaissance de son droit à l'indemnité en cas d'insolvabilité pour la créance invoquée dans sa demande du 28 janvier 2015.
La caisse n'a pas déposé d'observations.

Considérant en droit :
1.
Le recours est dirigé contre un arrêt final (<ref-law>) rendu en matière de droit public (<ref-law>) par une autorité cantonale de dernière instance (art. 86 al. 1 let. d LTF). Il a été déposé dans le délai (<ref-law>) et la forme (<ref-law>) prévus par la loi. Il est donc recevable
2.
Selon l'<ref-law> (RS 837.0), les travailleurs assujettis au paiement des cotisations, qui sont au service d'un employeur insolvable sujet à une procédure d'exécution forcée en Suisse ou employant des travailleurs en Suisse, ont droit à une indemnité pour insolvabilité notamment lorsqu'une procédure de faillite est engagée contre leur employeur et qu'ils ont, à ce moment-là, des créances de salaire envers lui (let. a). Selon l'<ref-law>, l'indemnité en cas d'insolvabilité couvre les créances de salaire portant sur les quatre derniers mois au plus d'un même rapport de travail, jusqu'à concurrence, pour chaque mois, du montant maximum selon l'article 3 al. 2.
3.
3.1. Les dispositions des <ref-law> ont introduit une assurance perte de gain en cas d'insolvabilité d'un employeur, destinée à combler une lacune dans le système de protection sociale. Pour le législateur, le privilège conféré par la LP aux créances de salaire (<ref-law>) ne donnait en effet pas une garantie suffisante au travailleur, si bien qu'il était nécessaire de lui assurer la protection par le droit public, à tout le moins pendant une période limitée et déterminée. Il s'est donc agi de protéger des créances de salaire du travailleur pour lui assurer les moyens d'existence et éviter que des pertes ne le touchent durement dans son existence (Message du Conseil fédéral concernant une nouvelle loi fédérale sur l'assurance-chômage obligatoire et l'indemnité en cas d'insolvabilité du 2 juillet 1980, FF 1980 III 532 sv.; voir aussi GABRIEL AUBERT, L'employeur insolvable, in: Journée 1992 de droit du travail et de la sécurité sociale, Zurich 1994, p. 128 ss).
3.2. Selon la jurisprudence, l'indemnité en cas d'insolvabilité ne couvre que des créances de salaire qui portent sur un travail réellement fourni (<ref-ruling> consid. 6.1 p. 99; <ref-ruling> consid. 3.1. p. 84). Par exemple, elle ne peut être octroyée pour des prétentions en raison d'un congédiement immédiat et injustifié du travailleur ou pour des indemnités de vacances qui n'ont pas été prises (ATF <ref-ruling> consid. 3.1 p. 84; <ref-ruling> consid. 3b p. 494; THOMAS NUSSBAUMER, Arbeitslosenversicherung, in: Soziale Sicherheit, SBVR, Volume XIV, 2016, n. 618 ss; pour une critique de cette jurisprudence, cf. THOMAS GÄCHTER, Keine Insolvenzentschädigung für nicht bezogene Ferien und geleistete Überstunden?: Gedanken an einer Schnittstelle von Arbeits- und Sozialversicherungsrecht, in: Festschrift zur Emeritierung von Jean-Fritz Stöckli, Zurich 2014, p. 211 ss, plus spécialement 223 ss).
3.3. Se fondant sur cette jurisprudence, la cour cantonale considère que l'indemnité de départ n'est pas une créance ouvrant droit à l'indemnité en cas d'insolvabilité, faute de pouvoir être rattachée à une prestation de travail effective. En outre, la créance sort du cadre temporel défini par l'<ref-law> (quatre derniers mois du rapport de travail, respectivement du rapport de travail qui a précédé la faillite).
3.4. Le recourant soutient au contraire que l'indemnité en cause est destinée à récompenser (après coup) un travail fourni, à la différence de l'indemnité punitive en cas de résiliation immédiate et injustifiée des rapports de service. Elle remplit la condition temporelle exigée par l'<ref-law>. Le recourant remet aussi en cause la jurisprudence susmentionnée en ce sens qu'elle limite le droit à l'indemnité aux créances de salaire pour un travail fourni. Il invoque enfin la Convention OIT n o 173 concernant la protection des créances des travailleurs en cas d'insolvabilité de leur employeur du 25 juin 1992, entrée en vigueur pour la Suisse le 16 juin 1996 (RS 0.822.727.3).
3.5.
3.5.1. La Suisse a ratifié l'ensemble de cette convention, avec une réserve toutefois, aux termes de laquelle elle entend faire usage de la possibilité d'exclusion prévue au titre de l'art. 4, par. 2 et 3, de la convention, plus spécialement pour les personnes ayant occupé une position assimilable à celle d'un employeur (Message sur la convention et la recommandation adoptées en 1992 par la Conférence internationale du Travail lors de sa 79 e session du 11 mai 1994, FF 1994 III 481, 485). Selon l'art. 12 let. d de la convention, invoqué par le recourant, les indemnités de départ dues aux travailleurs à l'occasion de la cessation de leur relation d'emploi font partie des "Créances protégées par une institution de garantie" énumérées à l'art. 12. Dans son message précité, le Conseil fédéral relevait à ce propos que la législation suisse ne s'opposait pas à la couverture des indemnités dues à ce titre (Message précité, p. 488).
3.5.2. La question de savoir ce qu'il en est de l'indemnité litigieuse, tant au regard du droit interne que sous l'angle de la convention invoquée, peut toutefois demeurer indécise. Les premiers juges ont fondé leur décision sur une motivation alternative, jugeant que la demande du recourant devait de toute façon être rejetée au motif que celui-ci n'avait pas satisfait à son obligation de réduire le dommage.
3.5.3. L'obligation pour l'assuré de réduire le dommage, selon l'<ref-law>, s'applique même lorsque le rapport de travail est dissout avant l'ouverture de la procédure de faillite. Après la résiliation, l'assuré ne peut attendre plusieurs mois avant d'intenter une action judiciaire contre son ex-employeur. Il doit en effet compter avec une éventuelle péjoration de la situation financière de l'employeur et donc avec une augmentation des difficultés, pour l'assurance-chômage, de récupérer les créances issues de la subrogation (arrêt 8C_66/2013 du 18 novembre 2013 consid. 4.4; BORIS RUBIN, Commentaire de la loi sur l'assurance-chômage, 2014, n° 11 ad <ref-law>). En l'espèce, le recourant a donné son congé pour la fin de l'année 2009. Il a requis de son employeur le versement de l'indemnité qui lui était due selon lui les 21 et 28 décembre 2009, sans apparemment obtenir de réponse. Il a relancé l'employeur par correspondances des 15 février et 9 mars 2010. L'employeur lui a finalement opposé un refus le 23 mars 2010. A partir de ce moment, le recourant a attendu plus d'un an avant d'engager une procédure en conciliation. Il n'apparaît pas qu'il ait introduit entre-temps des démarches concrètes (par exemple une poursuite). Qui plus est, il a encore attendu le dernier jour du délai de trois mois à compter de la délivrance de l'autorisation de procéder pour porter l'action devant le tribunal d'arrondissement (cf. <ref-law>). Compte tenu des circonstances et du fait que les parties n'étaient pas engagées dans des pourparlers (le contraire n'est pas allégué) et que le recourant ne pouvait donc s'attendre à ce que son ex-employeur modifie sa position, la durée de l'inaction dans son ensemble excède la limite encore admissible pour considérer que le recourant a satisfait à son obligation de diminuer le dommage.
3.5.4. Le recourant fait valoir que le reproche d'avoir agi tardivement n'a été invoqué pour la première fois que dans l'arrêt attaqué. Cet argument n'est pas pertinent. Lorsque le droit cantonal prévoit une seule autorité judiciaire précédent le Tribunal fédéral - c'est le cas ici - celle-ci doit disposer d'un libre examen des faits et est tenue d'appliquer le droit d'office (cf. BERNARD CORBOZ, Commentaire de la LTF, 2 ème éd., n° 13 ad <ref-law>). La cour cantonale pouvait donc adopter un raisonnement juridique qui n'avait pas été envisagé dans la procédure administrative. C'est en vain, d'autre part, que le recourant allègue que la procédure judiciaire à été longue, de sorte qu'il ne saurait être question selon lui "d'un quelconque dommage causé en raison d'une ouverture prétendument tardive de la procédure judiciaire". On peut certes s'étonner de la longueur de la procédure judiciaire (avant sa suspension) s'agissant d'une cause qui, a priori, n'était pas particulièrement complexe. Il n'est toutefois pas exclu qu'en agissant plus tôt le recourant ait eu des chances de récupérer sa créance avant la faillite. En tout cas le recourant - qui se contente d'une simple allégation, sans l'étayer par des explications satisfaisant aux exigences de motivation de l'<ref-law> - ne fait pas la démonstration du contraire.
3.5.5. Enfin, les motifs invoqués par le recourant pour justifier son inaction (soit un séjour de plusieurs mois à l'étranger à des fins privées, le changement de l'avocat chargé de la défense de ses intérêts, la nécessité de réunir une somme d'argent suffisante pour procéder) ne représentent pas un empêchement objectif d'engager une procédure et n'excusent donc pas son absence prolongée de réaction.
4.
Partant, c'est à bon droit que la juridiction cantonale a considéré, par une motivation alternative, que le recourant ne pouvait pas prétendre à l'indemnité en cause.
5.
Le recours doit donc être rejeté, sans qu'il soit nécessaire de compléter l'instruction, comme le voudrait le recourant, notamment par l'apport du dossier de la procédure civile l'opposant à son ancien employeur devant le Tribunal d'arrondissement de U._.
6.
Le recourant, qui succombe, supportera les frais judiciaires (<ref-law>).

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce :
1.
Le recours est rejeté.
2.
Les frais judiciaires, arrêtés à 500 fr., sont mis à la charge du recourant.
3.
Le présent arrêt est communiqué aux parties, au Tribunal cantonal du canton de Vaud, Cour des assurances sociales, et au Secrétariat d'Etat à l'économie (SECO).
Lucerne, le 22 novembre 2017
Au nom de la Ire Cour de droit social
du Tribunal fédéral suisse
Le Président : Maillard
La Greffière : Fretz Perrin