Sachverhalt:
A.
Am 29. Juli 2015 leitete der Verein B._ (Beschwerdegegner) mittels Notice of Arbitrationein Schiedsverfahren bei der Swiss Chambers' Arbitration Institution gegen den A._ (Beschwerdeführer), eine Gesellschaft mit Sitz in Lettland, ein. Letzterer erhob in seiner Antwort eine Widerklage.
Die Swiss Chambers' Arbitration Institution ernannte sodann eine Einzelschiedsrichterin. Diese erliess am 16. Dezember 2015 die Constitution Order sowie am 14. Januar 2016 eine Procedural Order No. 2, die nach Absprache und mit Zustimmung der Parteien bestimmte prozessuale Regeln und einen vorläufigen Zeitplan ( Provisional Timetable) enthielt.
Am 16. Februar 2016 reichte der Verein B._ sein Detailed Statement of Claimein. Der A._ beantragte dem Schiedsgericht daraufhin, das Verfahren betreffend die Klage zu beenden, weil der Verein B._ die Frist für seine Eingabe gemäss dem Zeitplan um einen Tag verpasst habe. Das Schiedsgericht wies diesen Antrag in einer Order No. 3vom 7. März 2016 mit der Begründung ab, dass es (befugtermassen) die Frist für die Eingabe um einen Tag erstreckt habe. In Randziffer 7 führte es wörtlich aus:
--..] With e-mail of 16 February 2016, the Sole Arbitrator has asked Claimant whether it had already filed its submission and whether it had by any chance not received such e-mail the day before. For the event, Claimant had not done so, the Sole Arbitrator has then explicitly requested Claimant to file its Statement of Claim still the same day and has, thus, granted an extension of 1 day to file such submission. Claimant thereafter filed its Statement of Claim on this 16 February 2016 and has complied with the extended deadline."
In der Folge wurde das Schiedsverfahren fortgesetzt. Mit Schiedsspruch ( Final Award) vom 8. Juni 2016 verurteilte das Schiedsgericht den A._, dem Verein B._ EUR 26'479.15 zuzüglich Zins zu bezahlen (Dispositiv-Ziffer 1). Im Übrigen wies es die Klagebegehren ab (Dispositiv-Ziffer 2), und ebenso sämtliche Widerklagebegehren (Dispositiv-Ziffer 3).
B.
Der A._ verlangt mit Beschwerde in Zivilsachen, der Schiedsspruch sei aufzuheben, und die Sache sei "zwecks Beurteilung einzig der Widerklage des Beschwerdeführers" an das Schiedsgericht zurückzuweisen.
Der Verein B._ und die Einzelschiedsrichterin beantragen, die Beschwerde abzuweisen. Der Beschwerdeführer replizierte.
Mit Präsidialverfügung vom 12. September 2016 wurde das Gesuch des Beschwerdeführers um Erteilung der aufschiebenden Wirkung abgewiesen.

Erwägungen:
1.
Nach Art. 54 Abs. 1 BGG ergeht der Entscheid des Bundesgerichts in einer Amtssprache, in der Regel jener des angefochtenen Entscheids. Wurde dieser wie vorliegend in einer anderen Sprache redigiert, verwendet das Bundesgericht die von den Parteien gewählte Amtssprache. Dementsprechend ergeht dieser Entscheid auf Deutsch.
2.
2.1. Der Sitz des Schiedsgerichts, dessen Entscheid beim Bundesgericht angefochten ist, befindet sich in Zürich. Der Beschwerdeführer hatte beim Abschluss der Schiedsvereinbarung seinen Sitz ausserhalb der Schweiz. Da die Parteien die Geltung des 12. Kapitels des IPRG nicht ausdrücklich ausgeschlossen haben, gelangen dessen Bestimmungen zur Anwendung (Art. 176 Abs. 1 und 2 IPRG). Die Beschwerde in Zivilsachen ist somit unter den Voraussetzungen der Art. 190-192 IPRG zulässig (Art. 77 Abs. 1 lit. a BGG).
2.2. Der Entscheid kann nur aus einem der in Art. 190 Abs. 2 IPRG abschliessend aufgezählten Gründe angefochten werden. Nach Art. 77 Abs. 3 BGG prüft das Bundesgericht nur die Rügen, die in der Beschwerde vorgebracht und begründet worden sind; dies entspricht der in Art. 106 Abs. 2 BGG für die Verletzung von Grundrechten und von kantonalem und interkantonalem Recht vorgesehenen Rügepflicht (<ref-ruling> E. 5 mit Hinweisen). Appellatorische Kritik ist unzulässig (siehe <ref-ruling> E. 3.1; <ref-ruling> E. 3b).
3.
3.1. Der Beschwerdeführer kritisiert, das Schiedsgericht habe gegen den Grundsatz der Gleichbehandlung der Parteien sowie den Grundsatz des rechtlichen Gehörs gemäss Art. 190 Abs. 2 lit. d IPRG verstossen, indem es trotz der Fristversäumnis des Beschwerdegegners dessen Klage zugelassen und das Verfahren mit Bezug auf diese fortgesetzt habe, statt es zu beenden. Gleichzeitig sei dieses Vorgehen mit dem prozessualen Ordre public im Sinne von Art. 190 Abs. 2 lit. e IPRG unvereinbar.
3.2. Art. 190 Abs. 2 lit. d IPRG lässt die Anfechtung allein wegen der zwingenden Verfahrensregeln gemäss Art. 182 Abs. 3 IPRG zu. Der darin festgeschriebene Anspruch der Parteien auf rechtliches Gehör entspricht grundsätzlich dem in Art. 29 Abs. 2 BV gewährleisteten Verfassungsrecht. Die Rechtsprechung leitet daraus insbesondere das Recht der Parteien ab, sich über alle für das Urteil wesentlichen Tatsachen zu äussern, ihren Rechtsstandpunkt zu vertreten, ihre entscheidwesentlichen Sachvorbringen mit tauglichen sowie rechtzeitig und formrichtig offerierten Mitteln zu beweisen, sich an den Verhandlungen zu beteiligen und in die Akten Einsicht zu nehmen (<ref-ruling> E. 4.1.1 S. 360; <ref-ruling> E. 5 S. 38; <ref-ruling> E. 2c; je mit Hinweisen). Der Grundsatz der Gleichbehandlung gebietet zudem, dass die Parteien während des gesamten Schiedsverfahrens gleich behandelt werden, so dass sie die gleichen Möglichkeiten haben, ihren Standpunkt vorzubringen (<ref-ruling> E. 4.1.1 S. 361; <ref-ruling> E. 6.1 S. 143). Ein Verstoss gegen den verfahrensrechtlichen Ordre public im Sinne von Art. 190 Abs. 2 lit. e IPRG schliesslich liegt vor bei einer Verletzung fundamentaler und allgemein anerkannter Verfahrensgrundsätze, deren Nichtbeachtung zum Rechtsempfinden in einem unerträglichen Widerspruch steht, so dass die Entscheidung als mit der in einem Rechtsstaat geltenden Rechts- und Wertordnung schlechterdings unvereinbar erscheint (<ref-ruling> E. 3.1; <ref-ruling> E. 2.1 mit Hinweisen).
3.3. Der Beschwerdeführer vermag mit seinen Ausführungen nicht aufzuzeigen, inwiefern die Parteien nicht in allen Verfahrensabschnitten gleich behandelt worden wären. Er macht nicht etwa geltend, er habe seinerseits die Frist für die Einreichung der Klageantwort verpasst und seine Eingabe sei aus diesem Grund - im Unterschied zu derjenigen des Beschwerdegegners - unbeachtet geblieben. Die Einzelschiedsrichterin führte in ihrer Vernehmlassung denn auch aus, selbstverständlich hätte sie "auch dem Beschwerdeführer - sofern er kein Fristerstreckungsgesuch eingereicht hätte und die Klageantwort nicht innert der Frist gemäss 'Provisional Timetable' versandt worden wäre - eine gleiche, kurze Nachfrist zur Einreichung der Klageantwort gewährt". Insofern liegt in der vom Schiedsgericht gewährten Erstreckung der Frist - oder genau besehen: Einräumung einer Nachfrist - an den Beschwerdegegner keine Ungleichbehandlung der Parteien (siehe Urteile 4A_636/2014 vom 16. März 2015 E. 4.2; 4A_539/2008 vom 19. Februar 2009 E. 4.2.1; 4A_468/2007 vom 22. Januar 2008 E. 7.1, nicht publ. in: <ref-ruling>). Ebensowenig behauptet der Beschwerdeführer, er habe zur fraglichen Eingabe des Beschwerdegegners keine Stellung nehmen können und sei dadurch in seinem Gehörsrecht verletzt worden.
Soweit der Beschwerdeführer dem Schiedsgericht vorwirft, die Swiss Rules of International Arbitration (nachfolgend: Swiss Rules) hätten eine Fristerstreckung nicht gestattet, sondern stattdessen zwingend eine Beendigung des Verfahrens mit Bezug auf die Klage vorgeschrieben, macht er eine unzutreffende Anwendung der vorliegend anwendbaren Schiedsordnung geltend. Der Umstand allein, dass eine im Schiedsreglement vorgesehene Verfahrensregel von den Parteien gewollt und für das Schiedsgericht verbindlich ist, macht diese Regel aber nicht zu einem zwingenden Verfahrensgrundsatz im Sinne von Art. 190 Abs. 2 lit. d IPRG (<ref-ruling> E. 1b/aa). Wenn der Beschwerdeführer darin eine Gehörsverletzung respektive Ungleichbehandlung erblickt, dass das Schiedsgericht dem Beschwerdegegner "Gehör eingeräumt hat, wo er keines hätte finden dürfen", erweist sich seine Kritik bereits aus dieser Überlegung als unbegründet. Eine falsche oder gar willkürliche Anwendung der schiedsgerichtlichen Verfahrensordnung reicht für sich allein aber auch nicht aus, um einen Verstoss gegen den verfahrensrechtlichen Ordre public zu begründen (<ref-ruling> E. 3b mit Hinweisen). Der - vom Beschwerdeführer beanstandete - Mangel an formaler Strenge des Schiedsgerichts gegenüber dem Beschwerdegegner verletzt für sich betrachtet keine fundamentalen und allgemein anerkannten Verfahrensgrundsätze.
Im Übrigen wies die Einzelschiedsrichterin zu Recht darauf hin, dass gemäss der Literatur zu den Swiss Rules bei (knapp) verspäteter Klageeinreichung nicht in jedem Fall zwingend die Verfahrensbeendigung angeordnet werden muss (siehe RADJAI/OETIKER, in: Zuberbühler und weitere [Hrsg.], Swiss Rules of International Arbitration, 2. Aufl. 2013, N. 9 und 14 zu Art. 28; vgl. allgemein auch SCHNEIDER/SCHERER, in: Basler Kommentar, Internationales Privatrecht, 3. Aufl. 2013, N. 87 zu Art. 182 IPRG). Ob die von der Einzelschiedsrichterin in der Vernehmlassung angeführte Interessenlage, so namentlich der Umstand, dass der Beschwerdeführer die Weiterführung der Widerklage verlangt habe, nach der anwendbaren Verfahrensordnung das vom Schiedsgericht gewählte Vorgehen, also die Fortsetzung des Schiedsverfahrens, konkret rechtfertigte, kann dagegen unter dem Aspekt von Art. 190 Abs. 2 lit. d und e IPRG nicht überprüft werden. Soweit der Beschwerdeführer Kritik an der entsprechenden Beurteilung des Schiedsgerichts übt, erweist sich die Beschwerde als unzulässig.
4.
Die Beschwerde ist abzuweisen, soweit darauf eingetreten werden kann. Ausgangsgemäss wird der Beschwerdeführer kosten- und entschädigungspflichtig (Art. 66 Abs. 1 und Art. 68 Abs. 2 BGG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 5'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3.
Der Beschwerdeführer hat den Beschwerdegegner für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 6'000.-- zu entschädigen.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Schiedsgericht mit Sitz in Zürich schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 2. März 2017
Im Namen der I. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Kiss
Der Gerichtsschreiber: Kölz