Erwägungen:
1.
A.A._ und B.A._ erhoben am 10. Oktober 2016 "Strafantrag-Privatklage" gegen Gerichtspersonen des Kreisgerichts Werdenberg-Sarganserland bzw. des Versicherungsgerichts St. Gallen wegen "Amtsmissbrauch, Anstiftung zu Ehrverletzung, versuchter Betrug, Gehilfenschaft zur Nötigung, Gehilfenschaft zur Veruntreuung sowie Anstiftung zur Erpressung". Mit Eingabe vom 20. Oktober 2016 erstatteten sie sodann "Strafantrag-Privatklage" gegen den Leiter der kantonalen Arbeitslosenkasse sowie den Leiter des regionalen Arbeitsvermittlungszentrums (RAV) Sargans wegen "Verletzung der Garantenpflicht, Urkundenfälschung im Amt, gewerbsmässige Erpressung, versuchte Nötigung, Ehrverletzung durch Weiterverbreitung von unwahren Tatsachen sowie wegen Gebrauch falscher Urkunden".
Die Anklagekammer des Kantons St. Gallen erteilte mit Entscheid vom 7. Dezember 2016 keine Ermächtigung zur Eröffnung eines Strafverfahrens. Zur Begründung führte sie zusammenfassend aus, dass die Anzeiger erneut die minimalen Begründungsanforderungen nicht ansatzweise erfüllen würden. Die Vorwürfe seien mehrheitlich unverständlich sowie gänzlich unsubstantiiert und unbelegt. Es seien keine konkreten Anhaltspunkte ersichtlich, dass sich die Angezeigten in irgendeiner Weise strafbar verhalten hätten.
2.
A.A._ und B.A._ führen mit Eingabe vom 18. Februar 2017 Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten gegen den Entscheid der Anklagekammer des Kantons St. Gallen vom 7. Dezember 2016. Das Bundesgericht hat davon abgesehen, Stellungnahmen zur Beschwerde einzuholen.
3.
Nach <ref-law> ist in der Begründung einer Beschwerde in gedrängter Form darzulegen, inwiefern der angefochtene Entscheid Recht verletzt. Die Bestimmungen von <ref-law> nennen die vor Bundesgericht zulässigen Beschwerdegründe. Hinsichtlich der Verletzung von Grundrechten gilt der in <ref-law> verankerte Grundsatz der Rechtsanwendung von Amtes wegen nicht; insofern besteht eine qualifizierte Rügepflicht (<ref-law>; <ref-ruling> E. 1.4.1 S. 53, 65 E. 1.3.1 S. 68 mit Hinweisen). Es obliegt dem Beschwerdeführer namentlich darzulegen, inwiefern der angefochtene Entscheid gegen die gerügten Grundrechte verstossen soll.
Die Beschwerdeführer vermögen mit der Darstellung ihrer Sicht der Dinge nicht ansatzweise aufzuzeigen, inwiefern die Anklagekammer das Vorliegen eines hinreichenden Tatverdachts in rechts- bzw. verfassungswidriger Weise verneint haben sollte. Aus ihren Ausführungen ergibt sich nicht, inwiefern die Begründung der Anklagekammer, die zur Verweigerung der Ermächtigung führte, bzw. ihr Entscheid selbst rechts- bzw. verfassungswidrig sein soll. Demgemäss ist mangels einer genügenden Begründung im Sinne von <ref-law> auf die Beschwerde nicht einzutreten. Der Begründungsmangel ist offensichtlich, weshalb über die Beschwerde im vereinfachten Verfahren nach <ref-law> entschieden werden kann.
4.
Angesichts der Aussichtslosigkeit des Verfahrens ist dem sinngemäss gestellten Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege nicht zu entsprechen (<ref-law>). Auf eine Kostenauflage kann indessen verzichtet werden (<ref-law>).

Demnach erkennt der Präsident:
1.
Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2.
Das Gesuch um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege wird abgewiesen.
3.
Es werden keine Kosten erhoben.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien und der Anklagekammer des Kantons St. Gallen schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 21. Februar 2017
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Merkli
Der Gerichtsschreiber: Pfäffli