Sachverhalt:
A.
Am Freitagnachmittag, 14. März 2014, patrouillierten die Polizeibeamten C._ und D._ in Zivilkleidung in der Luzerner Altstadt. Sie unterzogen den Schweizer Bürger A._ und den thailändischen Staatsangehörigen B._, welche in eingetragener Partnerschaft leben, einer Identitätskontrolle. Dabei kam es zu einer verbalen Auseinandersetzung. In der Folge führten die Polizeibeamten A._ und B._ zu Boden und legten ihnen Handschellen an. Nachdem inzwischen auch uniformierte Polizeibeamte eingetroffen waren, wurden A._ und B._ zum Polizeigebäude verbracht. Dort wurden sie einer Leibesvisitation unterzogen und es wurden ihnen Fingerabdrücke abgenommen. A._ wurde in einer Zelle untergebracht, deren Türe jedoch nicht verschlossen. Vor der Türe hielt der Polizeibeamte C._ Wache. B._ wurde während zehn Minuten in einer Zelle eingeschlossen und musste sich im Gegensatz zu A._ nackt ausziehen. A._ und B._ wurde in der Folge mitgeteilt, sie würden wegen Gewalt und Drohung gegen Beamte (<ref-law>) bzw. Hinderung einer Amtshandlung (<ref-law>) angezeigt und müssten sich an einem bestimmten Termin zur Einvernahme einfinden. Darauf wurden sie entlassen. Beim Vorfall erlitten A._ und B._ Schürfungen und Prellungen.
B.
Mit irrtümlich auf den 15. Februar 2014 datiertem Schreiben vom 15. März 2014 wandten sich A._ und B._ an das Kommando der Luzerner Polizei; ebenso mit gleichlautendem Schreiben vom 18. März 2014 an das Justiz- und Sicherheitsdepartement des Kantons Luzern (im Folgenden: Departement). Darin beschwerten sie sich über das Verhalten der Polizeibeamten C._ und D._ und machten geltend, sie hätten sich nichts zu Schulden kommen lassen. Trotzdem hätten die beiden Polizeibeamten sie wie gefährliche Schwerverbrecher behandelt. Der Polizeibeamte C._ habe B._ von Anfang an geduzt. A._ und B._ erwarteten eine Erklärung und Entschuldigung der Luzerner Polizei.
Die beiden Schreiben wurden zuständigkeitshalber an das Luzerner Kantonsgericht weitergeleitet.
Am 2. April 2014 teilte der Präsident der Abteilung 1 des Kantonsgerichts A._ und B._ mit, am Kantonsgericht werde ein Beschwerdeverfahren gemäss <ref-law> geführt. Falls sie kein formelles Beschwerdeverfahren wünschten, bitte das Kantonsgericht um eine schriftliche Mitteilung innert drei Tagen. In diesem Fall werde das Verfahren ohne Kostenfolgen abgeschrieben. A._ und B._ liessen dem Kantonsgericht darauf keine entsprechende Mitteilung zukommen.
C.
Am 18. März 2014 erstattete die Luzerner Polizei gegen A._ und B._ Strafanzeige wegen Gewalt und Drohung gegen Beamte bzw. Hinderung einer Amtshandlung.
Am 16. April 2014 sistierte das Kantonsgericht das Beschwerdeverfahren bis zum Abschluss der Strafuntersuchung gegen A._ und B._.
D.
Mit Strafbefehl vom 5. Januar 2015 auferlegte die Staatsanwaltschaft Abteilung 1 Luzern (im Folgenden: Staatsanwaltschaft) A._ wegen Hinderung einer Amtshandlung eine bedingte Geldstrafe von 20 Tagessätzen zu je Fr. 80.-- und eine Busse von Fr. 400.--; B._ wegen des gleichen Delikts eine bedingte Geldstrafe von 20 Tagessätzen zu je Fr. 30.-- und eine Busse von Fr. 300.--.
Dagegen erhoben A._ und B._ Einsprache.
Mit Urteil vom 20. August 2015 sprach das Bezirksgericht Luzern A._ und B._ vom Vorwurf der Hinderung einer Amtshandlung frei. Es befand, A._ und B._ hätten sich in einem Sachverhaltsirrtum (<ref-law>) befunden. Sie seien im Zeitpunkt der Identitätskontrolle davon ausgegangen, dass es sich bei C._ und D._ um keine echten Polizeibeamten handle. Das Urteil des Bezirksgerichts erwuchs in Rechtskraft.
E.
Am 14. Januar 2016 hob das Kantonsgericht die Sistierung des Beschwerdeverfahrens auf.
Mit Beschluss vom 21. März 2016 wies es die Beschwerden ab.
F.
A._ und B._ führen Beschwerde in Strafsachen mit dem Antrag, den Beschluss des Kantonsgerichts vom 21. März 2016 aufzuheben. Es sei festzustellen, dass das Verhalten der Luzerner Polizeibeamten gegenüber den Beschwerdeführern, deren Verhaftung sowie der Umstand, dass sich B._ in der Zelle vollständig habe ausziehen müssen, unverhältnismässig und widerrechtlich gewesen seien. Eventualiter sei die Sache zur Neubeurteilung an das Kantonsgericht zurückzuweisen. Subeventualiter sei die Sache zur Durchführung eines Beschwerdeverfahrens gemäss §§ 180 ff. des Gesetzes des Kantons Luzern über die Verwaltungsrechtspflege (VRG/LU; SRL Nr. 40) an den Kanton zurückzuweisen.
G.
Die Luzerner Polizei und die Staatsanwaltschaft haben auf Vernehmlassung verzichtet.
Das Kantonsgericht hat Gegenbemerkungen eingereicht. Es beantragt die Abweisung der Beschwerde, soweit darauf einzutreten sei.
Die Oberstaatsanwaltschaft des Kantons Luzern hat sich vernehmen lassen mit dem Antrag, die Beschwerde abzuweisen.
A._ und B._ haben eine Replik eingereicht.

Erwägungen:
1.
1.1. Gegen den angefochtenen Entscheid, der in Anwendung der Schweizerischen Strafprozessordnung ergangen ist, ist gemäss <ref-law> die Beschwerde in Strafsachen gegeben.
1.2. Ein kantonales Rechtsmittel steht nicht zur Verfügung. Die Beschwerde ist daher gemäss <ref-law> zulässig.
1.3. Die Beschwerdeführer haben am Verfahren vor der Vorinstanz teilgenommen. Sie haben - unter Vorbehalt der folgenden Erwägungen (unten E. 2.3) - ein rechtlich geschütztes Interesse an der Aufhebung oder Änderung des angefochtenen Entscheids. Die Zwangsmassnahmen richteten sich gegen sie als Beschuldigte. Sie sind deshalb gemäss Art. 81 Abs. 1 lit. a und b Ziff. 1 zur Beschwerde befugt.
Die Beschwerdeführer haben nach wie vor ein aktuelles praktisches Interesse an der Behandlung der Beschwerde. Sie haben gegen die Polizeibeamten C._ und D._ Strafanzeige wegen Tätlichkeit, Körperverletzung und Amtsmissbrauchs eingereicht. Dieses Verfahren ist bei der Staatsanwaltschaft offenbar noch hängig. Stellt das Bundesgericht hier - wie beantragt - die Rechtswidrigkeit des Vorgehens der Polizeibeamten fest, verbessert das die Stellung der Beschwerdeführer in jenem Verfahren.
Hinzu kommt Folgendes: Die Beschwerdeführer rügen unter anderem eine Verletzung von Art. 3 EMRK, wonach niemand erniedrigender Behandlung unterworfen werden darf. Liegt eine Verletzung dieser Bestimmung vor, haben die Beschwerdeführer Anspruch auf eine entsprechende Feststellung. Damit kann eine Verletzung der EMRK wiedergutgemacht werden (vgl. Art. 41 EMRK; <ref-ruling> E. 2.3 S. 278 mit Hinweisen).
1.4. Das Bezirksgericht schloss das Strafverfahren gegen die Beschwerdeführer mit Urteil vom 20. August 2015 rechtskräftig ab. Das Beschwerdeverfahren war damals sistiert und der angefochtene Entscheid erging danach. Er ist deshalb nicht als Zwischen-, sondern als Endentscheid zu betrachten. Die Beschwerde ist daher gemäss <ref-law> zulässig.
1.5. Die weiteren Sachurteilsvoraussetzungen sind ebenfalls erfüllt und geben zu keinen Bemerkungen Anlass.
2.
2.1. Die Vorinstanz behandelte die von den Beschwerdeführern persönlich verfassten Eingaben vom 15. und 18. März 2014 als Beschwerde. Die Luzerner Polizei liess sich dazu am 17. Februar 2016 vernehmen. Am 1. März 2016 reichte die Anwältin der Beschwerdeführer, welche diese im Mai 2014 mit der Wahrung ihrer Interessen beauftragt hatten, der Vorinstanz eine Replik ein.
Die Vorinstanz erwägt, die Replik enthalte neue Vorbringen. Streitgegenstand in der Beschwerde seien weder die erkennungsdienstliche Behandlung der Beschwerdeführer noch die Widerrechtlichkeit bzw. die Unverhältnismässigkeit der Leibesvisitation des Beschwerdeführers 2, sondern die in diesem Zusammenhang angeblich auf Rassismus und Ausländerfeindlichkeit hinauslaufende Ungleichbehandlung zwischen den Beschwerdeführern, da sich der Beschwerdeführer 2 im Gegensatz zum Beschwerdeführer 1 in der Zelle habe nackt ausziehen müssen. Die in der Replik erhobenen neuen Rügen hätten die Beschwerdeführer bereits in der Beschwerde vorbringen können und müssen. Auf diese Rügen könne daher nicht eingetreten werden (angefochtener Entscheid E. 2.1 f. S. 3 f.).
2.2. Die Beschwerdeführer machen geltend, der angefochtene Entscheid verletze insoweit das Verbot des überspitzten Formalismus (<ref-law>) sowie Art. 385 Abs. 2 und Art. 391 Abs. 1 StPO.
2.3. Zwar ist die Vorinstanz in ihren einleitenden Erwägungen auf die in der Replik enthaltenen, von ihr als neu eingestuften Vorbringen formell nicht eingetreten. In der Folge hat sie sich gleichwohl dazu geäussert. Das gilt sowohl für die Leibesvisitation des Beschwerdeführers 2 als auch die erkennungsdienstliche Behandlung der Beschwerdeführer (angefochtener Entscheid S. 13 f.). Damit ist diesen aus den von ihnen im vorliegenden Zusammenhang geltend gemachten Rechtsverletzungen im Ergebnis kein Nachteil entstanden. Sie sind insoweit nicht beschwert, weshalb auf die Beschwerde in diesem Punkt nicht einzutreten ist.
3.
3.1. Die Luzerner Polizei sandte der Vorinstanz mit der Eingabe der Beschwerdeführer vom 15. März 2014 das Polizeijournal vom 14. März 2014 zu. Am 16. April 2014 schickte die Vorinstanz das Polizeijournal an die Polizei zurück. Die Beschwerdeführer verlangten in der Folge den Beizug des Polizeijournals, was die Vorinstanz im angefochtenen Entscheid (E. 2.7. S. 17) ablehnte. Die Beschwerdeführer rügen, damit habe die Vorinstanz ihr rechtliches Gehör verletzt (Beschwerde S. 23).
3.2. Gemäss <ref-law> und <ref-law> haben die Parteien Anspruch auf rechtliches Gehör. Nach der Rechtsprechung liegt keine Verletzung des rechtlichen Gehörs vor, wenn ein Gericht auf die Abnahme beantragter Beweismittel verzichtet, weil es auf Grund der bereits abgenommenen Beweise seine Überzeugung gebildet hat und ohne Willkür in vorweggenommener (antizipierter) Beweiswürdigung annehmen kann, dass seine Überzeugung durch weitere Beweiserhebungen nicht geändert würde (<ref-ruling> E. 3.3 S. 64 mit Hinweis).
Willkürlich ist ein Entscheid nicht schon, wenn eine andere Lösung ebenfalls vertretbar erscheint oder gar vorzuziehen wäre, sondern erst, wenn er offensichtlich unhaltbar ist, zur tatsächlichen Situation in klarem Widerspruch steht oder in stossender Weise dem Gerechtigkeitsgedanken zuwiderläuft. Willkür liegt nur vor, wenn nicht bloss die Begründung eines Entscheides, sondern auch das Ergebnis unhaltbar ist (<ref-ruling> E. 4.3 S. 380 mit Hinweisen).
3.3. Die Vorinstanz hat den von den Beschwerdeführern verlangten Beizug des Polizeijournals in antizipierter Beweiswürdigung abgelehnt, da es am Beweisergebnis nichts Wesentliches ändern könnte.
Die Beschwerdeführer legen nicht dar, inwiefern die antizipierte Beweiswürdigung der Vorinstanz willkürlich sein soll. Sie genügen insoweit ihrer Begründungspflicht (<ref-law>) nicht, weshalb im vorliegenden Punkt auf die Beschwerde nicht eingetreten werden kann.
Hätte es sich anders verhalten, hätte das den Beschwerdeführern im Übrigen nicht geholfen. Das Polizeijournal bildete die Grundlage des Polizeirapports vom 18. März 2014, der in den Akten liegt und in den die Beschwerdeführer Einsicht hatten. Da die Polizei das Polizeijournal verfasst hat, kann sodann nicht angenommen werden, dass sich darin etwas für die beteiligten Polizeibeamten Nachteiliges finden könnte. Die antizipierte Beweiswürdigung der Vorinstanz hätte daher jedenfalls im Ergebnis nicht als willkürlich angesehen werden können.
4.
4.1. Die Beschwerdeführer bringen vor, die Sachverhaltsfeststellungen der Vorinstanz seien in verschiedener Hinsicht offensichtlich unhaltbar.
4.2. Gemäss <ref-law> kann die Feststellung des Sachverhalts nur gerügt werden, wenn sie offensichtlich unrichtig ist (...) und die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein kann.
Offensichtlich unrichtig bedeutet willkürlich. Rügt der Beschwerdeführer eine willkürliche Sachverhaltsfeststellung, trifft ihn eine qualifizierte Begründungspflicht (<ref-law>). Das Bundesgericht prüft nur klar und detailliert erhobene und, soweit möglich, belegte Rügen. Auf appellatorische Kritik an der vorinstanzlichen Beweiswürdigung tritt es nicht ein (<ref-ruling> E. 1.3.1 S. 253; <ref-ruling> E. 2.3 S. 266; <ref-ruling> E. 1.6 S. 280 f.; je mit Hinweisen).
4.3. Die Beschwerdeführer machen geltend, die Annahme der Vorinstanz, der Beschwerdeführer 1 habe bei der Anhaltung einen Polizeibeamten ungefähr einen halben Meter weggestossen, sei offensichtlich unrichtig.
Nach dem Polizeirapport vom 18. März 2014 stiess der Beschwerdeführer 1 den Polizeibeamten C._ gegen die Brust. Das bestätigte der Polizeibeamte C._ in seiner Einvernahme vom 10. Juni 2014. Der Beschwerdeführer 1 habe ihn "vielleicht ein halben Meter" weggestossen. Der Polizeibeamte D._ sagte in seiner Einvernahme vom 10. Juni 2014 aus, der Beschwerdeführer 1 habe den Polizeibeamten C._ weggestossen. Dieser sei nicht umgefallen, habe aber einen Schritt nach hinten machen müssen.
Der Beschwerdeführer 1 gab in seiner Einvernahme vom 7. August 2014 an, kurz bevor er am Boden gelegen sei, sei ihm der Polizeibeamte C._ sehr nahe gekommen; er habe diesen von sich abgewehrt. In der bezirksgerichtlichen Befragung vom 20. August 2015 sagte der Beschwerdeführer 1 aus, einer der Polizisten sei sehr nahe an ihn herangetreten und er habe diesen dann leicht weggeschoben.
Der Beschwerdeführer 2 gab in der bezirksgerichtlichen Einvernahme vom 20. August 2015 zu Protokoll, der Polizeibeamte C._ sei dem Beschwerdeführer 1 sehr nahe gekommen. Der Beschwerdeführer 1 habe den Polizeibeamten dann ein bisschen weggedrückt, um Abstand zu schaffen.
Die Beschwerdeführer räumen demnach ein, dass der Beschwerdeführer 1 den Polizeibeamten C._ körperlich angegangen hat. Die Sachverhaltsannahme der Vorinstanz kann daher nicht als offensichtlich unrichtig beurteilt werden.
4.4. Die Vorinstanz erachtet das Vorbringen der Beschwerdeführer als unglaubhaft, sie hätten angenommen, es mit falschen Polizisten zu tun gehabt zu haben. Die Beschwerdeführer rügen, auch damit verfalle die Vorinstanz in Willkür.
Die Vorinstanz erwägt, die Beschwerdeführer hätten im Verlauf ihrer Gegenwehr erkennen müssen, dass durch die zunehmende Zahl an Schaulustigen der Öffentlichkeit ausgesetzte falsche Polizisten nicht auf der Ausweiskontrolle beharrt, sondern sich rasch davongemacht hätten, um unerkannt zu bleiben. Hinzu komme, dass es einzig um eine Ausweiskontrolle gegangen sei, was eine typische Handlung der Polizei darstelle. Die Beschwerdeführer machten nicht geltend und es sei nicht aktenkundig, dass die Polizeibeamten von ihnen unter einem Vorwand Geld oder Wertsachen herausverlangt hätten. Bei vernünftiger Überlegung hätten die Beschwerdeführer daher erkennen müssen, dass es sich um echte Polizeibeamte gehandelt habe, auch wenn diese Zivilkleidung getragen hätten.
Diese Erwägungen sind nicht offensichtlich unhaltbar. Der angefochtene Entscheid ist auch insoweit nicht willkürlich.
4.5. Die Vorinstanz nimmt an, der Vorwurf der Beschwerdeführer, der Polizeibeamte C._ habe den Beschwerdeführer 2 geduzt, sei zu wenig erhärtet. Die Beschwerdeführer machen geltend, diese Auffassung sei offensichtlich unhaltbar.
Die Beschwerdeführer geben an, der Polizeibeamte C._ habe den Beschwerdeführer 2 geduzt. Die Polizeibeamten bestreiten das. Es besteht somit Aussage gegen Aussage. Bei einer derartigen Beweislage kommt den Beobachtungen unbeteiligter Dritter erhebliche Bedeutung zu.
Am Freitagnachmittag, 14. März 2014, herrschte schönes Wetter und es hielten sich entsprechend viele Menschen in der Luzerner Altstadt auf. Um die Beschwerdeführer und die beiden Polizeibeamten herum bildete sich eine Menschenmenge. Eine Person aus dieser Menge, E._, beschwerte sich am 14. März 2014 telefonisch bei der Luzerner Polizei über das Vorgehen der Polizeibeamten. Nachdem ihr gesagt worden war, sie solle sich schriftlich auf der Webseite der Luzerner Polizei äussern, tat sie das. Sie schrieb unter anderem, sie habe mit Erschütterung beobachtet, wie zwei angebliche Polizisten zwei andere Männer angehalten und verhaftet hätten. Die Situation sei sehr beunruhigend gewesen. Die Polizisten hätten keine Uniform getragen. Sie seien sehr aggressiv gewesen und hätten alle geduzt. Die beiden Polizeibeamten hätten sich nicht ausweisen können, weshalb niemand gewusst habe, ob sie tatsächlich Polizisten seien. Als sie, E._, die Polizeibeamten angesprochen habe, was los sei, habe sie einer der Beamten angeschrien. Dann sei die uniformierte Polizei eingetroffen und die zwei angehaltenen Männer seien mitgenommen worden. Im Nachhinein hätten einige Leute die beiden Polizeibeamten auf ihr arrogantes und aggressives Verhalten angesprochen. Deren Reaktion seien ein abwertendes Handzeichen und ein paar Schimpfwörter gewesen. Alle Personen, welche die Szene beobachtet hätten, seien empört gewesen.
Am 10. September 2014, also knapp ein halbes Jahr nach dem Vorfall, befragte die Staatsanwaltschaft E._ als Zeugin. An gewisse Einzelheiten konnte sich diese nicht mehr erinnern. Sie gab an, in der schriftlichen Mitteilung an die Polizei unmittelbar nach dem Vorfall habe sie ihrer Ansicht nach alles detailliert dargestellt. Die Zeugin sagte aus, sie und eine andere Frau hätten die beiden Polizeibeamten darauf angesprochen, dass es nicht fair gewesen sei, wie sie die Beschwerdeführer behandelt hätten. Die beiden Polizeibeamten hätten dann "hau ab" gesagt und dazu eine entsprechende Geste mit der Hand gemacht.
Die Aussagen der Zeugin stellen ein gewichtiges Indiz dafür dar, dass der Polizeibeamte C._ den Beschwerdeführer 2 geduzt hat. Wenn der Polizeibeamte "alle" und damit selbst eine unbeteiligte Passantin wie die Zeugin ("hau ab") geduzt hat, liegt der Schluss nahe, dass er das gegenüber dem Beschwerdeführer 2, mit dem er in eine heftige Auseinandersetzung verwickelt war, erst recht tat. Bei der Zeugin handelt es sich um eine heute 38-jährige Lehrerin. Gründe, die an der Glaubwürdigkeit ihrer Person oder an der Glaubhaftigkeit ihrer Aussagen Zweifel erwecken könnten, nennt die Vorinstanz nicht und sind nicht ersichtlich.
Unstreitig hat überdies der Polizeibeamte C._ bei der Auseinandersetzung mit den Beschwerdeführern - was die Vorinstanz als ungehörig bezeichnet - Kraftausdrücke verwendet ("Bullshit", "Rassismusscheisse"). Dies lässt die Aussagen der Zeugin betreffend das Duzen erst recht als glaubhaft erscheinen.
Unter diesen Umständen ist es unhaltbar, wenn die Vorinstanz annimmt, der Vorwurf der Beschwerdeführer, der Polizeibeamte C._ habe den Beschwerdeführer 2 geduzt, sei nicht genügend erhärtet. Die Beschwerde ist in diesem Punkt begründet.
4.6. Die Vorinstanz legt dar, aus den Akten gehe nicht hervor, dass die Beschwerdeführer bereits im Rahmen der Handfesselung vor Ort auf Gegenstände wie Diebesgut über den Kleidern abgetastet worden seien. Vielmehr habe die Leibesvisitation im Polizeigebäude stattgefunden.
Die Beschwerdeführer rügen auch diese Sachverhaltsfeststellung als willkürlich. Im Polizeirapport werde dargelegt, bei der Kontrolle der mitgeführten Effekten sei beim Beschwerdeführer 1 eine Identitätskarte und beim Beschwerdeführer 2 ein Ausländerausweis zum Vorschein gekommen. Die Formulierung "zum Vorschein gekommen" lege den Schluss nahe, dass die Polizeibeamten die auf dem Boden liegenden Beschwerdeführer abgetastet hätten.
Wie die Beschwerdeführer selber darlegen, haben nach dem Polizeirapport die beiden Polizeibeamten bei der Anhaltung die von den Beschwerdeführern mitgeführten Effekten kontrolliert. Dabei handelt es sich um Taschen, Reisegepäck und ähnliches (THOMAS HANSJAKOB, in: Donatsch und andere [Hrsg.], Kommentar zur Schweizerischen Strafprozessordnung, 2. Aufl. 2014, N. 4 zu <ref-law>). Die Kontrolle solcher Gegenstände erfordert kein Abtasten über den Kleidern. Das Vorbringen der Beschwerdeführer ist daher nicht geeignet, den angefochtenen Entscheid im vorliegenden Punkt als offensichtlich unhaltbar erscheinen zu lassen.
4.7. Die Vorinstanz führt aus, der Polizeibeamte habe beim Beschwerdeführer 1 im Polizeigebäude die Leibesvisitation noch nicht oder zumindest nicht vollständig durchführen können, weil er mit diesem kein vernünftiges Gespräch habe führen können.
Die Beschwerdeführer rügen auch insoweit Willkür. Aus dem Polizeirapport ergebe sich, dass sich der Beschwerdeführer 1 im Gegensatz zum Beschwerdeführer 2 nicht gegen das Verbringen zum Polizeigebäude gewehrt habe.
Das Vorbringen ist unbehelflich. Wenn sich der Beschwerdeführer 1 nicht gegen sein Verbringen zum Polizeigebäude gewehrt hat, schliesst das nicht aus, dass mit ihm dort kein vernünftiges Gespräch geführt werden konnte; dies umso weniger, als der Beschwerdeführer 1 über seine Behandlung durch die Polizeibeamten unstreitig aufgebracht war. Willkür ist auch insoweit zu verneinen.
4.8. Was die Beschwerdeführer gegen die vorinstanzliche Sachverhaltsfeststellung sonst noch vorbringen, erschöpft sich in appellatorischer Kritik. Darauf ist nicht einzutreten.
5.
5.1. Die Beschwerdeführer bringen vor, ihre "Verhaftung" sei unzulässig gewesen.
5.2. Gegen die Beschwerdeführer wurde keine Haft gemäss <ref-law> angeordnet. Sie wurden somit nicht im Rechtssinne verhaftet.
<ref-law> regelt die polizeiliche Anhaltung. Danach kann die Polizei im Interesse der Aufklärung einer Straftat eine Person anhalten und wenn nötig auf den Polizeiposten bringen, um (a) ihre Identität festzustellen, (b) sie kurz zu befragen, (c) abzuklären, ob sie eine Straftat begangen hat, oder (d) abzuklären, ob nach ihr oder nach Gegenständen, die sich in ihrem Gewahrsam befinden, gefahndet wird (Abs. 1). Die Polizei kann die angehaltene Person verpflichten, (a) ihre Personalien anzugeben, (b) Ausweispapiere vorzulegen, (c) mitgeführte Sachen vorzuzeigen oder (d) Behältnisse oder Fahrzeuge zu öffnen (Abs. 2).
Die polizeiliche Anhaltung dient der Ermittlung einer allfälligen Verbindung zwischen der angehaltenen Person und einer Straftat. Ziel der Anhaltung ist es, die Identität zu überprüfen und festzustellen, ob nach den Umständen der konkreten Situation ein Zusammenhang der betreffenden Person mit Delikten als möglich erscheint. Ein konkreter Tatverdacht ist nicht erforderlich (<ref-ruling> E. 2.2 S. 133; <ref-ruling> E. 1.2 S. 131).
Die Verbringung der angehaltenen Person auf den Polizeiposten kann dann nötig sein, wenn sich die erforderlichen Abklärungen an Ort und Stelle nicht oder bloss mit Schwierigkeiten vornehmen lassen (ALBERTINI/ARMBRUSTER, in: Schweizerische Strafprozessordnung, Basler Kommentar, 2. Aufl. 2014, N. 17 zu <ref-law>).
5.3. Die Beschwerdeführer legen nicht dar, inwiefern die Vorinstanz <ref-law> verletzt haben soll. Die Beschwerde dürfte daher im vorliegenden Punkt den Begründungsanforderungen von <ref-law> nicht genügen (vgl. BGE <ref-ruling> E. 1.6 S. 280 mit Hinweis). Wie es sich damit verhält, kann jedoch dahingestellt bleiben. Eine Verletzung von <ref-law> ist jedenfalls zu verneinen.
5.4.
5.4.1. Am Tag des Vorfalls herrschte, wie gesagt, schönes Wetter, weshalb sich viele Menschen in der Luzerner Altstadt aufhielten. In einer derartigen Situation kommen Taschendiebstähle gehäuft vor. Die beiden Polizeibeamten beobachteten die Beschwerdeführer, welche zusammen in der Altstadt unterwegs waren. Vor einem Warenhaus trennten sich die Beschwerdeführer. Der Beschwerdeführer 2 stellte sich vor den Eingang des Warenhauses hin und schaute Leute an, welche dieses betraten und verliessen. Dabei telefonierte er. Der Beschwerdeführer 1 stellte sich in einer gewissen Distanz zum Beschwerdeführer 2 hin. Vor einem weiteren Warenhaus wiederholte sich dasselbe Szenario. Da ein derartiges Verhalten typisch für Taschendiebe ist, wollten die Polizeibeamten wissen, ob die Beschwerdeführer allenfalls mit solchen Diebstählen in Verbindung stehen könnten. Die Polizeibeamten entschlossen sich deshalb, die Beschwerdeführer einer Personenkontrolle zu unterziehen und forderten diese auf, ihre Ausweispapiere vorzuzeigen. Dazu waren die Polizeibeamten gemäss Art. 215 Abs. 1 i.V.m. Abs. 2 lit. b StPO berechtigt.
5.4.2. Gemäss <ref-law> kann die Polizei eine angehaltene Person "wenn nötig" auf den Polizeiposten bringen. Diese Bestimmung verweist damit auf den Grundsatz der Verhältnismässigkeit (Art. 197 Abs. 1 lit. c und d StPO, <ref-law>).
Die Beschwerdeführer bestreiten nicht, dass sie sich bei der Anhaltung widerspenstig verhielten; dies, weil sie nach ihren Angaben glaubten, es mit falschen Polizisten zu tun zu haben. Nach den willkürfreien Darlegungen der Vorinstanz (oben E. 4.4) musste den Beschwerdeführern jedoch spätestens, als sich um sie herum eine Menschenmenge bildete und sich die Polizeibeamten dessen ungeachtet nicht davonmachten, bewusst sein, dass es sich um echte Polizisten handelte, zumal diese lediglich die Ausweispapiere sehen wollten und keine Wertsachen herausverlangten. Gleichwohl verhielten sich die Beschwerdeführer weiterhin renitent, schrien und wehrten sich körperlich. Unter diesen Umständen war es schon schwer möglich, die Identität der Beschwerdeführer verlässlich festzustellen (<ref-law>). Erst recht war eine sachliche kurze Befragung (<ref-law>) ausgeschlossen. Wenn die Polizeibeamten die Verbringung der Beschwerdeführer auf den Polizeiposten als nötig erachteten, verletzt das daher kein Bundesrecht.
Hinzu kommt Folgendes: Aufgrund des renitenten Verhaltens der Beschwerdeführer bei der Anhaltung ergab sich der Verdacht zumindest der Hinderung einer Amtshandlung gemäss <ref-law>. Dafür droht das Gesetz Geldstrafe an. Es handelt sich somit um ein Vergehen (<ref-law>). Gemäss <ref-law> kann die Polizei eine Person vorläufig festnehmen und auf den Polizeiposten bringen, die gestützt auf Ermittlungen oder andere zuverlässige Informationen unter anderem eines Vergehens verdächtig ist. Die Polizeibeamten waren auch gestützt auf diese Bestimmung zur Verbringung der Beschwerdeführer auf den Polizeiposten berechtigt.
6.
6.1. Die Beschwerdeführer bringen vor, der Beschwerdeführer 2 habe sich in der Zelle einer Leibesvisitation unterziehen und sich dabei nackt ausziehen müssen. Dies verletze Art. 241 und <ref-law>.
6.2. Art. 241-243 StPO enthalten allgemeine Bestimmungen zu Durchsuchungen und Untersuchungen. Gemäss <ref-law> kann die Polizei eine angehaltene oder festgenommene Person durchsuchen, namentlich um die Sicherheit von Personen zu gewährleisten.
Art. 249 f. StPO regeln die Durchsuchung von Personen und von Gegenständen. Gemäss <ref-law> dürfen Personen und Gegenstände ohne Einwilligung nur durchsucht werden, wenn zu vermuten ist, dass Tatspuren oder zu beschlagnahmende Gegenstände und Vermögenswerte gefunden werden können. Nach <ref-law> umfasst die Durchsuchung von Personen die Kontrolle der Kleider, der mitgeführten Gegenstände, Behältnisse und Fahrzeuge, der Körperoberfläche und der einsehbaren Körperöffnungen und Körperhöhlen (Abs. 1). Durchsuchungen, die in den Intimbereich der Betroffenen eingreifen, werden von Personen des gleichen Geschlechts oder von einer Ärztin oder einem Arzt durchgeführt, es sei denn, die Massnahme dulde keinen Aufschub (Abs. 2).
6.3. Gemäss <ref-law> ist die Würde des Menschen zu achten. Dies bekräftigt <ref-law>. Danach achten die Strafbehörden in allen Verfahrensstadien die Würde der vom Verfahren betroffenen Menschen. Gemäss <ref-law> und Art. 3 EMRK ist eine erniedrigende Behandlung verboten.
Bei der Beantwortung der Frage, ob eine Leibesvisitation mit vollständiger Entkleidung gegen die Menschenwürde verstösst und eine erniedrigende Behandlung darstellt, kommt es auf die Umstände an (<ref-ruling> E. 6.3.5 S. 147 ff. mit Hinweis auf die Rechtsprechung des Europäischen Gerichtshofs für Menschenrechte). Die Massnahme muss verhältnismässig sein (Art. 197 Abs. 1 lit. c und d StPO, <ref-law>). Sie muss somit geeignet sein, den damit verfolgten Zweck zu erreichen. Sodann muss sie erforderlich sein. An der Erforderlichkeit fehlt es, wenn mildere Massnahmen zur Erreichung des angestrebten Zwecks genügen. Schliesslich muss die Massnahme dem Betroffenen zumutbar sein (<ref-ruling> E. 4.1 S. 151; <ref-ruling> E. 6.5.3 S. 151; je mit Hinweisen). Auch der Europäische Gerichtshof betont, dass die Massnahme zur Erreichung des damit verfolgten Zwecks notwendig ("nécessaire") sein muss (Urteil Frérot gegen Frankreich vom 12. Juni 2007, § 38).
6.4. Das Bundesgericht hatte sich verschiedentlich mit Fällen zu befassen, in denen sich der Betroffene bei einer Leibesvisitation fast oder vollständig nackt ausziehen musste.
Im Fall, der dem Urteil 6B_391/2013 vom 27. Juni 2013 (publ. in Plädoyer 2013 Nr. 5 S. 53 f.) zugrunde liegt, nahm ein Polizeibeamter den Privatkläger, der sich in die polizeiliche Kontrolle eines Drogenkonsumenten eingemischt und das polizeiliche Vorgehen kritisiert hatte, fest und ordnete seine Verbringung zum Polizeiposten an. Dort wurde der Privatkläger einer Leibesvisitation unterzogen, bei der er sich nackt ausziehen musste. Das kantonale Obergericht befand, die Leibesvisitation sei mit Blick auf den konkreten Tatvorwurf (Nichtentfernen der Hände aus den Hosentaschen) unverhältnismässig gewesen. Es hätten keine Verdachtsmomente bestanden, dass der Privatkläger Drogen oder gefährliche Gegenstände auf sich tragen könnte, die nicht mit einem Abtasten über der Kleidung hätten gefunden werden können. Die Leibesvisitation sei daher unrechtmässig gewesen (E. 1.2). Dem pflichtete das Bundesgericht bei. Es erwog, der Polizeibeamte hätte die von ihm beim Privatkläger befürchteten gefährlichen Gegenstände wie Messer und Feuerwerk sowie allfällige Drogen durch Abtasten über der Kleidung finden können (E. 1.4).
Im Urteil 1P.323/1988 vom 15. Februar 1991 ging es um einen bei Krawallen Festgenommenen, der sich auf dem Polizeiposten einer Leibesvisitation unterziehen und sich dabei bis auf die Unterhose ausziehen musste. Das Bundesgericht führte aus, der Festgenommene solle jedenfalls Steine geworfen haben. Das Ziel der Leibesvisitation habe möglicherweise darin bestanden, festzustellen, ob er andere gefährliche Gegenstände auf sich trage. Dazu sei der Entkleidungszwang zwar geeignet, jedoch nicht notwendig gewesen. Ein Abtasten hätte genügt. Besondere Umstände könnte man höchstens in der Ausserordentlichkeit der Situation erblicken, d.h. in der vergangenen Krawallnacht mit einer grossen Zahl von Verhafteten. Das genüge aber nicht, um eine derart radikale Massnahme wie die im zu beurteilenden Fall angeordnete Entkleidung zu rechtfertigen. Die Massnahme sei unverhältnismässig gewesen (E. 5c).
In einem ähnlichen Fall hatte sich eine Frau, die anlässlich einer unbewilligten Demonstration festgenommen worden war, auf dem Polizeiposten einer Leibesvisitation durch eine Polizeibeamtin zu unterziehen. Dabei musste sich die Festgenommene bis auf den Slip ausziehen. Auch in diesem Fall erachtete das Bundesgericht die Massnahme als unrechtmässig. Es erwog, eine Leibesvisitation dürfe nur vorgenommen werden, wenn dafür besonderer Anlass bestehe und der Grundsatz der Verhältnismässigkeit müsse beachtet werden. Unter diesen Gesichtspunkten lasse sich das Vorgehen der kantonalen Behörde vor der Bundesverfassung nicht rechtfertigen. Als die Leibesvisitation durchgeführt worden sei, sei die mit Ausschreitungen verbundene Demonstration bereits zu Ende oder zumindest deutlich am Abklingen gewesen. Es werde nichts dafür vorgebracht, weshalb sich gerade gegenüber der Festgenommenen eine Leibesvisitation aufgedrängt hätte. Weder werde behauptet, es hätte die Vermutung bestanden, dass die Festgenommene an Gewaltakten beteiligt gewesen sei, noch würden Verdachtsmomente genannt, die auf den Besitz gefährlicher Gegenstände hätten schliessen lassen. Bei dieser Sachlage könne es klarerweise nicht mehr als verhältnismässig gelten, wenn die Festgenommene dazu verhalten worden sei, sich zu entkleiden. Eine Kontrolle durch Abtasten, eventuell unter Benützung gängiger technischer Hilfsmittel, hätte genügt (<ref-ruling> E. 8a S. 158 mit Hinweis auf das Urteil P.656/1980 vom 3. Juni 1981 E. 4).
6.5. Auch das Schrifttum hebt hervor, dass der Zwang zur Entkleidung unverhältnismässig ist, wenn das Abtasten über den Kleidern genügt (GUÉNIAT/HAINARD, in: Code de procédure pénale suisse, Commentaire Romand, 2011. N. 1 f. zu <ref-law>). Die verbreitete Praxis, von verdächtigen Personen zu verlangen, sich nackt auszuziehen, um allenfalls am Körper versteckte Beweismittel zu finden, sei nur dann zulässig, wenn solche Gegenstände bei blossem Abtasten über den Kleidern nicht aufgefunden werden könnten, weil sie entweder sehr klein seien oder die Vermutung bestehe, sie könnten mit besonderem Aufwand direkt am Körper versteckt, z.B. angeklebt und mit Klebbändern getarnt sein (HANSJAKOB, a.a.O., N. 9 zu <ref-law>).
6.6. Wie dargelegt (oben E. 5.2), bedarf es für eine Anhaltung keines konkreten Tatverdachts. Ein relativ vager Verdacht genügt (ULRICH WEDER, in: Donatsch und andere [Hrsg.], Kommentar zur Schweizerischen Strafprozessordnung, 2. Aufl. 2014, N. 8 zu <ref-law>). Aufgrund des von den Polizeibeamten beobachteten Verhaltens der Beschwerdeführer bestand gegen diese lediglich ein vager Verdacht auf Taschendiebstahl. Ein derartiger Verdacht genügt nicht, um den Betroffenen dazu anzuhalten, sich bei der Leibesvisitation vollständig nackt auszuziehen. Das ist dem Betroffenen unzumutbar und deshalb unverhältnismässig. Zur Klärung der dem Beschwerdeführer 2 vorgeworfenen Hinderung einer Amtshandlung war die Leibesvisitation ungeeignet und aus diesem Grund unverhältnismässig. Der Beschwerdeführer 2 war wegen seiner Anhaltung und Verbringung zum Polizeigebäude unstreitig aufgebracht. Eine Gefährdung der Polizeibeamten konnte daher nicht ausgeschlossen werden. Um festzustellen, ob der Beschwerdeführer 2 im Besitz von Waffen oder anderen gefährlichen Gegenständen sei, hätte es jedoch genügt, ihn über den Kleidern abzutasten. Die vollständige Entkleidung war dazu nicht erforderlich. Zwar schlossen die Polizeibeamten den Beschwerdeführer 2 für kurze Zeit in eine Zelle ein. Für den Ausschluss einer Selbstgefährdung hätte es jedoch ebenfalls genügt, den Beschwerdeführer 2 über den Kleidern abzutasten und ihm gegebenenfalls den Gürtel und die Schnürsenkel wegzunehmen (vgl. DIEGO R. GFELLER, in : Schweizerische Strafprozessordnung, Basler Kommentar, 2. Aufl. 2014, N. 45 zu <ref-law>).
Die Leibesvisitation mit Entkleidung war hier demnach, wie in den dargelegten Fällen (oben E. 6.4), unverhältnismässig und damit unrechtmässig. Die Beschwerde ist im vorliegenden Punkt begründet.
7.
Sollten die Beschwerdeführer das Einschliessen des Beschwerdeführers 2 in der Zelle für sich allein als erniedrigende Behandlung gemäss Art. 3 EMRK rügen (Beschwerde S. 25 Ziff. 13.13), wäre die Beschwerde insoweit unbegründet.
Art. 3 EMRK erfasst keine geringfügigen Misshandlungen. Damit eine Behandlung unter diese Bestimmung fällt, muss sie ein Mindestmass an Schwere erreichen. Bei der Würdigung dieses Mindestmasses kommt es auf die gesamten Umstände an, insbesondere die Dauer der Behandlung, ihre körperlichen und geistigen Auswirkungen sowie mitunter das Geschlecht, das Alter und den Gesundheitszustand des Betroffenen (Urteil Frérot, a.a.O., § 35 mit Hinweisen; STEFAN SINNER, in: Karpenstein/Mayer, EMRK, Kommentar, 2. Aufl. 2015, N. 6 zu Art. 3 EMRK; MEYER-LADEWIG/LEHNERT, in: Meyer-Ladewig/Nettesheim/ von Raumer [Hrsg.], EMRK, Handkommentar, 4. Aufl. 2017, N. 19 zu Art. 3 EMRK).
Der Beschwerdeführer 2 wurde unstreitig für ca. 10 Minuten und damit kurze Zeit in der Zelle eingesperrt. Dass darin menschenrechtswidrige Bedingungen geherrscht hätten, macht er nicht geltend und ist nicht ersichtlich; ebenso wenig, dass er aufgrund der Einsperrung eine ernsthafte körperliche oder psychische Beeinträchtigung erlitten hätte. Zwar hatte er nach seinen Angaben einige Zeit vor der Anhaltung einen Hirnschlag. Dass ihm deshalb allenfalls notwendige Medikamente entzogen bzw. vorenthalten worden wären, macht er nicht geltend. Unter diesen Umständen erreicht die Einschliessung des Beschwerdeführers 2, auch wenn sie für ihn unangenehm war, die Schwere nicht, welche für die Anwendung von Art. 3 EMRK erforderlich ist.
8.
8.1. Wie dargelegt (oben E. 4.5), ist davon auszugehen, dass der Polizeibeamte C._ den Beschwerdeführer 2 geduzt hat.
8.2. Wie im polizeirechtlichen Schrifttum ausgeführt wird, konkretisiert sich die Verletzung der Menschenwürde (<ref-law>, <ref-law>) unter anderem in mangelndem Respekt gegenüber anderen Menschen sowie in der Praxis auch einfach durch Missachtung der üblichen Anstandsregeln beispielsweise im kommunikativen Umgang. So kann das Duzen einer Person, die kein Kind mehr ist, während einer Identitätsüberprüfung bereits herabwürdigend sein (MARKUS H.F. MOHLER, Grundzüge des Polizeirechts in der Schweiz, 2012, S. 122 N. 325 f.).
8.3. Der Polizeibeamte hat den Angehaltenen anständig zu behandeln. Dazu gehört, dass er diesen siezt. Für das Duzen bestand hier weder Anlass noch Rechtfertigung. Ob darin bereits eine erniedrigende Behandlung gemäss <ref-law> und Art. 3 EMRK lag, kann dahingestellt blieben. Jedenfalls war das Duzen herabwürdigend. Dadurch wurde der Beschwerdeführer 2 als blosses Objekt des Verfahrens behandelt, was mit <ref-law> und <ref-law> unvereinbar ist (vgl. <ref-ruling> E. 5b S. 13/14; WOLFGANG WOHLERS, in: Donatsch und andere [Hrsg.], Kommentar zur Schweizerischen Strafprozessordnung, 2. Aufl. 2014, N. 3 zu <ref-law>; MARC THOMMEN, in: Schweizerische Strafprozessordnung, Basler Kommentar, 2. Aufl. 2014, N. 13 zu <ref-law>). Das Duzen war daher rechtswidrig.
9.
Die Beschwerde wird demnach, soweit darauf eingetreten werden kann, teilweise gutgeheissen und der angefochtene Entscheid aufgehoben. Es wird festgestellt, dass die Leibesvisitation mit vollständiger Entkleidung des Beschwerdeführers 2 und dessen Duzen durch den Polizeibeamten C._ widerrechtlich waren. Im Übrigen wird die Beschwerde abgewiesen.
10.
Dem Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung gemäss <ref-law> kann stattgegeben werden.
Die Beschwerdeführer tragen daher, auch soweit sie unterliegen, keine Gerichtskosten. Dem Kanton werden ebenso wenig Kosten auferlegt (<ref-law>).
Soweit die Beschwerdeführer obsiegen, hat der Kanton ihrer Anwältin eine Entschädigung zu bezahlen (Art. 68 Abs. 1 und 2 BGG). Diese wird auf Fr. 1'500.-- festgesetzt. Soweit die Beschwerdeführer unterliegen, wird ihrer Anwältin aus der Bundesgerichtskasse eine Entschädigung ausgerichtet (<ref-law>). Diese wird auf ebenfalls Fr. 1'500.-- festgesetzt.
Die Akten werden an die Vorinstanz überwiesen zur Neuregelung der kantonalen Kosten- und Entschädigungsfolgen.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird, soweit darauf eingetreten werden kann, teilweise gutgeheissen und der Beschluss des Kantonsgerichts Luzern vom 21. März 2016 wird aufgehoben. Es wird festgestellt, dass die Leibesvisitation mit vollständiger Entkleidung des Beschwerdeführers 2 und dessen Duzen durch den Polizeibeamten C._ widerrechtlich waren. Im Übrigen wird die Beschwerde abgewiesen.
2.
Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung wird gutgeheissen.
3.
Es werden keine Gerichtskosten erhoben.
4.
Der Kanton Luzern hat der Vertreterin der Beschwerdeführer, Rechtsanwältin Astrid David Müller, eine Parteientschädigung von Fr. 1'500.-- zu bezahlen.
5.
Der Vertreterin der Beschwerdeführer, Rechtsanwältin Astrid David Müller, wird aus der Bundesgerichtskasse eine Entschädigung von Fr. 1'500.-- ausgerichtet.
6.
Die Akten werden an die Vorinstanz überwiesen zur Neuregelung der kantonalen Kosten- und Entschädigungsfolgen.
7.
Dieses Urteil wird den Beschwerdeführern, der Luzerner Polizei, der Staatsanwaltschaft Abteilung 1 Luzern, der Oberstaatsanwaltschaft des Kantons Luzern und dem Kantonsgericht Luzern, 1. Abteilung, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 11. April 2017
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Merkli
Der Gerichtsschreiber: Härri