Sachverhalt:
A.
Am 14. Mai 2013 schloss B._ als Verkäuferin mit A._ und C._ als Käufer einen Kaufvertrag über die D._ GmbH ab. Darin verpflichteten sich die Käufer insbesondere, B._ "die von ihr hinterlegte Kaution in der Höhe von Fr. 18'431.30 für die angemietete Liegenschaft ab 1. Juni 2013 in monatlichen Raten von Fr. 1'000.-- zurückzubezahlen."
B.
B._ betrieb B._ mit Zahlungsbefehl vom 5. Januar 2015 in der Betreibung Nr. xxx des Betreibungsamts Aadorf auf Fr. 18'431.30 zuzüglich Zins zu 5% seit 13. Juni 2013, Fr. 2'075.-- Verzugsschaden, Fr. 850.-- Mahngebühr sowie Fr. 23.90 für Adressverifizierung. A._ erhob am 26. Januar 2015 Rechtsvorschlag. Am 20. März 2015 verlangte B._ beim Bezirksgericht Münchwilen provisorische Rechtsöffnung für eine Grundforderung von Fr. 18'431.30 sowie Betreibungskosten von Fr. 103.--. Am 8. Juli 2015 erteilte das Bezirksgericht provisorische Rechtsöffnung für Fr. 18'431.30 zuzüglich 5% Zins seit 1. Dezember 2014. Die von A._ dagegen erhobene Beschwerde hiess das Obergericht des Kantons Thurgau am 10. September 2015 lediglich in geringer Weise - in Bezug auf die Zinsen - gut.
C.
Mit Beschwerde vom 29. Oktober 2015 (Postaufgabe) wendet sich A._ (Beschwerdeführer) an das Bundesgericht. Er verlangt, den angefochtenen Entscheid aufzuheben und die provisorische Rechtsöffnung zu verweigern.
Das Bundesgericht hat die Akten beigezogen, hingegen keine Vernehmlassungen eingeholt.

Erwägungen:
1.
1.1. Die rechtzeitig eingereichte Beschwerde richtet sich gegen den Endentscheid einer letzten kantonalen Instanz in einer vermögensrechtlichen Schuldbetreibungs- und Konkurssache (Art. 72 Abs. 2 lit. a, Art. 75, Art. 90 und Art. 100 BGG). Die gesetzliche Streitwertgrenze von Fr. 30'000.-- (Art. 74 Abs. 1 lit. b BGG) ist nicht erreicht. Zwar tönt der Beschwerdeführer an, es stelle sich eine Rechtsfrage von grundsätzlicher Bedeutung. Entgegen der Vorschrift von Art. 42 Abs. 2 BGG tut er jedoch in keiner Weise dar, warum die Voraussetzung von Art. 74 Abs. 2 lit. a BGG erfüllt sein soll. Die Eingabe ist daher als subsidiäre Verfassungsbeschwerde (Art. 113 ff. BGG) entgegenzunehmen.
1.2. Mit der Verfassungsbeschwerde kann einzig die Verletzung verfassungsmässiger Rechte gerügt werden (Art. 116 BGG). Diesen Vorwurf prüft das Bundesgericht nicht von Amtes wegen, sondern nur insoweit, als eine entsprechende Rüge in der Beschwerde vorgebracht und begründet worden ist (Art. 117 i.V.m. Art. 106 Abs. 2 BGG). Dies bedeutet, dass klar und detailliert anhand der Erwägungen des angefochtenen Entscheids darzulegen ist, inwiefern verfassungsmässige Rechte verletzt worden sein sollen (<ref-ruling> E. 1.2 S. 234; <ref-ruling> E. 3.2 S. 88).
1.3. Macht die beschwerdeführende Partei eine Verletzung des Willkürverbots von Art. 9 BV geltend, genügt es nicht, wenn sie einfach behauptet, der angefochtene Entscheid sei willkürlich (<ref-ruling> E. 3 S. 352; <ref-ruling> E. 5.5 S. 5). Willkür liegt nicht schon dann vor, wenn eine andere Lösung ebenfalls in Betracht zu ziehen oder gar vorzuziehen wäre, sondern nur, wenn der angefochtene Entscheid offensichtlich unhaltbar ist, mit der tatsächlichen Situation in klarem Widerspruch steht, eine Norm oder einen unumstrittenen Rechtsgrundsatz krass verletzt oder in stossender Weise dem Gerechtigkeitsgedanken zuwiderläuft (<ref-ruling> E. 2.1 S. 18 f. mit Hinweisen).
2.
Anlass zur Beschwerde gibt die Erteilung der provisorischen Rechtsöffnung gestützt auf einen GmbH-Kaufvertrag in Verbindung mit einem unterzeichneten Verfügungsgeschäft.
Das Obergericht hat erwogen, der Kaufvertrag vom 14. Mai 2013 zwischen der Beschwerdegegnerin (Verkäuferin) sowie dem Beschwerdeführer und C._ (Käufer) stelle einen gültigen Rechtsöffnungstitel dar. Die Parteien hätten in Ziff. 1 vereinbart, die Beschwerdegegnerin verkaufe die D._ GmbH den Käufern zu einem Preis von Fr. 1.--. In Ziff. 3 des Vertrages hätten der Beschwerdeführer und C._ mit ihren Unterschriften anerkannt, der Beschwerdegegnerin die von ihr hinterlegte Kaution von Fr. 18'431.30 für die gemietete Liegenschaft in U._ ab 1. Juni 2013 in monatlichen Raten von Fr. 1'000.-- zurückzuzahlen. Der gesamte Betrag von Fr. 18'431.30 sei zur Zahlung fällig geworden. Dass die Beschwerdegegnerin die Gegenleistung nicht oder nicht ordnungsgemäss erbracht hätte, hat der Beschwerdeführer unbestrittenermassen nicht behauptet. Sonstige Einwendungen im Sinne von Art. 82 Abs. 2 SchKG hat das Obergericht als nicht glaubhaft erachtet. Was der Beschwerdeführer gegen diese Beurteilung vorbringt, genügt den an die Begründung einer Rüge der Verletzung verfassungsmässiger Rechte (vgl. oben E. 1.2 und E. 1.3) gestellten Anforderungen nicht. Im Einzelnen ergibt sich dazu Folgendes:
2.1. Der Beschwerdeführer macht geltend, der GmbH-Kaufvertrag vom 14. Mai 2013 sei gemäss vorinstanzlicher Feststellung an sich nichtig. Das dem vorliegenden Verfahren zugrunde liegende Dokument leide massiv an formellen Mängeln. Keinesfalls habe er die Gültigkeit des Vertrages anerkannt. Die gegenteilige Annahme der Vorinstanz werde als willkürlich gerügt.
Dieses Vorbringen geht an der Sache vorbei. Der Beschwerdeführer missversteht das Obergericht, wenn er behauptet, es habe Rechtsöffnung gestützt auf eine nichtige Schuldanerkennung erteilt, weil es angenommen habe, dass er die Gültigkeit des Vertrags vom 14. Mai 2013 im Rechtsöffnungsverfahren anerkannt habe. Vielmehr hat das Obergericht die Frage einer allfälligen Formungültigkeit der Schuldanerkennung von Amtes wegen geprüft und im Ergebnis verneint. Das Obergericht hat dazu zusammenfassend erwogen, dass sowohl die Verpflichtung der Abtretung von Stammanteilen an einer GmbH als auch die Abtretung selbst, also das eigentliche Verfügungsgeschäft, zu ihrer Gültigkeit der Schriftlichkeit bedürften. Werde das Verpflichtungsgeschäft zwischen den Parteien bloss mündlich vereinbart, so werde dieser Formmangel indes geheilt, sofern das Verfügungsgeschäft schriftlich abgeschlossen worden sei (OERTLE/DU PASQUIER, Basler Kommentar, Obligationenrecht II, 4. Aufl. 2012, N. 2 zu Art. 785 OR; HANDSCHIN/TRUNIGER, Die neue GmbH, 2. Aufl. 2006, § 19 Rz. 30). Der Vertrag vom 14. Mai 2013 enthalte im Gegensatz zu demjenigen vom 26. Juni 2013 keine Bestimmungen über Konkurrenzverbote für die Gesellschafter und über Vorhand-, Vorkaufs- und Kaufsrechte der Gesellschafter oder der Gesellschaft. Folglich erfülle er die gesetzlichen Mindestanforderungen gemäss Art. 785 Abs. 2 OR nicht. Allerdings sei der Vertrag vom 14. Mai 2013 bloss das Verpflichtungsgeschäft gewesen, wohingegen die Abtretung vom 26. Juni 2013 das Verfügungsgeschäft darstelle, und dieses sei gültig. Mithin ist das Obergericht offensichtlich davon ausgegangen, dass der Formmangel des Vertrags vom 14. Mai 2013 durch das Verfügungsgeschäft vom 26. Juni 2013 geheilt worden ist. Darauf geht der Beschwerdeführer in seiner Beschwerde nicht ein, weshalb es insoweit an einer rechtsgenüglich begründeten Verfassungsrüge fehlt.
2.2. Sodann behauptet der Beschwerdeführer, die streitgegenständliche Verpflichtung sei durch den Vertrag vom 26. Juni 2013 obsolet geworden. Dabei legt er indes nicht im Einzelnen dar, inwiefern das Obergericht in Willkür verfallen sein soll, wenn es angenommen hat, die im Vertrag vom 14. Mai 2013 enthaltene Verpflichtung zur Rückzahlung der hinterlegten Kaution in Höhe von Fr. 18'431.30 ab 1. Juni 2013 in monatlichen Raten von Fr. 1'000.-- sei durch das Verfügungsgeschäft vom 26. Juni 2013 nicht aufgehoben worden. Der blosse Vorwurf der willkürlichen Anwendung von Bundesrecht reicht nicht aus.
2.3. Die Vorinstanz hat erwogen, weder in Ziff. 3 des Vertrags vom 14. Mai 2013 noch an einem anderen Ort werde die Pflicht des Beschwerdeführers zur Bezahlung von Fr. 18'431.30 an die Bedingung des Nachweises geknüpft, dass die Beschwerdegegnerin dieses Betreffnis aus ihrem eigenen Vermögen als Mietkaution hinterlegt habe. Es sei daher unerheblich, wer genau die Mietkaution einbezahlt habe. Einmal mehr lässt sich mit der blossen gegenteiligen Behauptung, es handle sich um eine rechtserhebliche Tatsache, ob die Einzahlung durch die Beschwerdegegnerin persönlich geleistet worden sei, Willkür nicht dartun.
2.4. Auch soweit der Beschwerdeführer an anderer Stelle das Willkürverbot (Art. 9 BV) erwähnt, begründet er eine Verletzung dieser Bestimmung nicht hinreichend, namentlich nicht mit der pauschalen Behauptung der Sittenwidrigkeit einer im Vertrag vom 14. Mai 2013 enthaltenen weiteren Verpflichtung gegenüber einer Drittperson.
2.5. Schliesslich ist dem - vom Beschwerdeführer ebenfalls als verletzt gerügten - Anspruch auf rechtliches Gehör Genüge getan, wenn der Entscheid gegebenenfalls sachgerecht angefochten werden kann. Es wird nicht verlangt, dass sich der Entscheid mit allen Parteistandpunkten einlässlich auseinandersetzt und jedes einzelne Vorbringen ausdrücklich widerlegt (<ref-ruling> E. 2.2.1 S. 188; <ref-ruling> E. 4.1 S. 88). Inwiefern dem Beschwerdeführer eine sachgerechte Anfechtung verunmöglicht wurde, legt er nicht rechtsgenüglich dar.
3.
Auf die Beschwerde kann demnach insgesamt mangels genügender Begründung nicht eingetreten werden. Bei diesem Verfahrensausgang trägt der Beschwerdeführer die Gerichtskosten (Art. 66 Abs. 1 BGG). Eine Parteientschädigung ist nicht geschuldet, da der Beschwerdegegnerin kein zu entschädigender Aufwand entstanden ist (Art. 68 Abs. 2 BGG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 2'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Thurgau schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 16. Februar 2016
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Das präsidierende Mitglied: Escher
Der Gerichtsschreiber: Buss