Faits :
A.
C._, né en 2001, est le fils des parents non mariés A._ et B._. Les parents se sont séparés en 2004. Ils ont réglé le droit de visite du père sur C._ par une convention approuvée par la Chambre pupillaire de Vouvry.
Le 2 février 2016, le père a effectué un signalement, évoquant en particulier des mauvais traitements, des signes de détresse importants, des coups infligés et une maltraitance psychologique dont serait victime C._ au sein du foyer maternel. Par courrier du 8 février 2016 adressé à l'Autorité de protection de l'enfant et de l'adulte de la République et canton du Jura (APEA), l'enfant a fait état du comportement agressif de son beau-père et des menaces de sa mère, indiquant qu'il voulait déménager chez son père.
Dans un rapport du 4 mars 2016, D._, travailleur social à l'APEA, a proposé un placement de l'enfant à l'Institut E._, ainsi que l'institution d'une curatelle éducative, vu les difficultés personnelles et familiales rencontrées et la complexité de l'histoire familiale.
Par décision de mesures provisionnelles du 14 mars 2016, une curatelle éducative a été ordonnée, F._ étant nommé en qualité de curateur.
Le 20 mars 2016, la mère a décidé de placer l'enfant à l'Institut E._.
Dans son rapport d'évaluation du 12 avril 2016, D._ a notamment relevé que C._ avait rapporté à l'infirmière scolaire, puis à l'APEA, qu'il avait subi des mauvais traitement au domicile de sa mère. Dans son rapport du 14 juin 2016, F._ a notamment indiqué que les conflits du couple parental entravaient les chances d'une relation constructive et compromettaient l'intérêt psychologique de C._, et que celui-ci était au centre du conflit, ce qui générait chez lui un important conflit de loyauté. Le curateur a proposé la levée du placement volontaire et qu'il soit permis à C._ de vivre chez son père, en confiant à celui-ci la garde provisoire, ce qui permettrait de contribuer à éloigner l'enfant du contexte familial tendu vécu au sein du foyer maternel et à permettre la reconstruction d'une relation sereine entre l'enfant et sa mère.
Par courrier du 14 juillet 2016, l'APEA a indiqué que le placement de C._ se poursuivait sur un mode volontaire, sans décision de sa part. Elle a relevé que cette solution était gage de stabilité puisque l'enfant serait ainsi en mesure de terminer son année scolaire à l'Institut E._, et qu'il demeurerait ainsi dans un lieu neutre compte tenu des conflits parentaux importants et de leurs conséquences.
B.
Le 14 juillet 2016, le père a requis l'octroi de la garde et de l'autorité parentale sur C._. Par requête de mesures superprovisionnelles et provisionnelles du 18 août 2016, il a demandé à ce que la garde et l' " autorité parentale conjointe " sur C._ lui soient attribuées, qu'un droit de visite soit accordé à la mère et que l'enfant soit autorisé à poursuivre sa scolarité au Collège G._ à U._. Pour l'essentiel, il a exposé qu'il y avait urgence à ce que C._ vive auprès de lui au vu des violences physiques et psychologiques subies de la part de sa mère et de son beau-père, de l'inadéquation du placement en foyer et de la demande formulée par C._ en ce sens.
La requête de mesures superprovisionnelles a été rejetée le 23 août 2016.
C._ a été entendu le 7 septembre 2016. A cette occasion, il a notamment fait état du fait que son beau-père le frappait, qu'il ne voulait plus aller chez sa mère et souhaitait couper les ponts avec elle, et qu'il voulait vivre chez son père, ne pensant pas être bien en foyer sans père ni mère.
Ses parents, ainsi que le curateur, ont été auditionnés le 13 septembre 2016.
Par décision du 10 octobre 2016, l'APEA a rejeté la requête de mesures provisionnelles. Le même jour, elle a libéré F._ de ses fonctions de curateur et nommé H._ en cette qualité.
Le 20 décembre 2016, le Président de la Cour administrative du Tribunal cantonal de la République et canton du Jura a rejeté le recours interjeté par le père contre la décision rejetant la requête de mesures provisionnelles.
C.
Agissant le 20 janvier 2017 par la voie du recours en matière civile au Tribunal fédéral, A._ conclut à ce que la décision attaquée soit réformée en ce sens que la garde de C._ lui est confiée avec effet immédiat, que C._ est autorisé à poursuivre sa scolarité au Collège G._, à U._, que l'" autorité parentale conjointe sur C._ (...) est accordée à son père A._ ", et que B._ exerce son droit de visite à raison d'un week-end par mois, le premier week-end du mois. Subsidiairement, il sollicite l'annulation de l'arrêt cantonal et le renvoi de la cause à l'autorité précédente pour nouvelle décision, demande que C._ soit autorisé à participer à la procédure en qualité de partie, qu'il puisse à ce titre bénéficier d'une curatelle de représentation pour faire valoir ses droits, et qu'il puisse choisir l'avocat qui le représentera et fera valoir ses droits.
Invitées à se déterminer, l'autorité cantonale et l'intimée ont conclu au rejet du recours, l'intimée sollicitant en outre le bénéfice de l'assistance judiciaire pour la procédure fédérale.

Considérant en droit :
1.
1.1. Déposé en temps utile (art. 100 al. 1 et 46 al. 2 LTF) et dans la forme légale (<ref-law>), le recours est dirigé contre une décision qui statue en mesures provisionnelles (<ref-law> par renvoi de l'<ref-law>) sur la modification de l'attribution de l'autorité parentale et de la garde (<ref-law>), à savoir une décision finale (<ref-law>) rendue sur recours par une autorité supérieure statuant en dernière instance cantonale (art. 75 al. 1 et 2 LTF), dans une cause soumise au recours en matière civile (<ref-law>), de nature non pécuniaire. Le recourant a succombé dans ses conclusions devant l'autorité précédente et a un intérêt digne de protection à l'annulation ou à la modification de l'arrêt déféré (<ref-law>; sur la qualité pour recourir d'un parent s'agissant de la question des relations personnelles entre l'enfant et l'autre parent, cf. arrêt 5C.51/2005 du 2 septembre 2005 consid. 2.1 et les références). Le recours en matière civile est ainsi en principe recevable.
1.2. Contrairement à ce que prétend l'intimée, le recourant n'a pas omis de joindre l'arrêt entrepris à son recours. Au demeurant, une omission de joindre ce document n'aurait en principe pas entraîné d'emblée l'irrecevabilité du recours (cf. à ce sujet FLORENCE AUBRY GIRARDIN, Commentaire de la LTF, 2ème éd., 2014, n° 58 ad art. 42).
1.3. Les faits et pièces postérieurs à l'arrêt entrepris sont d'emblée irrecevables devant le Tribunal fédéral (<ref-ruling> consid. 3.1.2; <ref-ruling> consid. 2.1), indépendamment de leur pertinence pour la présente cause: il en va ainsi des copies de la décision de l'APEA du 6 février 2017 et du procès-verbal d'audience du 15 mai 2017 produites par l'intimée.
Selon l'<ref-law>, les faits et moyens de preuve nouveaux sont prohibés; il n'y a exception à cette règle que lorsque c'est la décision de l'autorité précédente qui, pour la première fois, a rendu pertinents ces faits ou moyens de preuve, ce qu'il appartient au recourant de démontrer (<ref-ruling> consid. 3). Il en résulte que les nombreux faits mentionnés par les parties, qui ne figurent pas dans l'arrêt entrepris et ne font pas l'objet d'un grief dûment motivé (cf. infra consid. 2.2), ne peuvent être pris en considération.
2.
2.1. Comme la décision entreprise porte sur des mesures provisionnelles au sens de l'<ref-law> (<ref-ruling> consid. 1.1; <ref-ruling> consid. 5; <ref-ruling> consid. 3.3), la partie recourante ne peut dénoncer que la violation de droits constitutionnels. Le Tribunal fédéral n'examine de tels griefs que s'ils ont été invoqués et motivés par le recourant (" principe d'allégation "; <ref-law>), c'est-à-dire s'ils ont été expressément soulevés et exposés de manière claire et détaillée (<ref-ruling> consid. 2.1; <ref-ruling> consid. 1.3 et les références).
En particulier, une décision ne peut être qualifiée d'arbitraire (art. 9 Cst.) que si elle est manifestement insoutenable, méconnaît gravement une norme ou un principe juridique clair et indiscuté, ou heurte de manière choquante le sentiment de la justice et de l'équité; il ne suffit pas qu'une autre solution paraisse concevable, voire préférable; pour que cette décision soit annulée, encore faut-il qu'elle se révèle arbitraire non seulement dans ses motifs, mais aussi dans son résultat (<ref-ruling> consid. 4.1 et les références). Partant, le recourant ne peut se borner à critiquer la décision attaquée comme il le ferait en procédure d'appel, où l'autorité de recours jouit d'une libre cognition, notamment en se contentant d'opposer sa thèse à celle de l'autorité précédente; les critiques de nature appellatoire sont irrecevables (<ref-ruling> consid. 2.8 et les références).
2.2. Le Tribunal fédéral statue sur la base des faits établis par l'autorité précédente (<ref-law>). Le recourant qui entend invoquer que les faits ont été établis de manière manifestement inexacte ne peut obtenir la rectification ou le complètement des constatations de fait de l'arrêt cantonal que s'il démontre la violation de droits constitutionnels, conformément au principe d'allégation susmentionné (cf. supra consid. 2.1). Le Tribunal fédéral ne corrige les constatations de fait que si elles sont arbitraires (art. 9 Cst.) et ont une influence sur le résultat de la décision (<ref-ruling> consid. 1.2.2). En matière d'appréciation des preuves et d'établissement des faits, il n'y a arbitraire que lorsque l'autorité ne prend pas en compte, sans aucune raison sérieuse, un élément de preuve propre à modifier la décision, lorsqu'elle se trompe manifestement sur son sens et sa portée, ou encore lorsque, en se fondant sur les éléments recueillis, elle en tire des constatations insoutenables (<ref-ruling> consid. 2.3 et les références). Le recourant ne peut pas se borner à contredire les constatations litigieuses par ses propres allégations ou par l'exposé de sa propre appréciation des preuves; il doit indiquer de façon précise en quoi ces constatations sont contraires au droit ou entachées d'une erreur indiscutable, c'est-à-dire arbitraires au sens de l'art. 9 Cst. (<ref-ruling> consid. 1.2.2). Une critique des faits qui ne satisfait pas à cette exigence est irrecevable (<ref-law>; <ref-ruling> consid. 1.4.3).
3.
En substance, l'autorité cantonale a retenu qu'au vu du conflit important et durable existant entre les parents et l'impossibilité absolue de ceux-ci de communiquer et de collaborer, il ne se justifiait pas de modifier l'attribution de l'autorité parentale, celle-ci devant rester attribuée exclusivement à la mère. Il n'était en effet guère vraisemblable, en l'état, que l'autorité parentale conjointe permette de rétablir un minimum de coopération entre les parents, a fortiori lorsque l'on sait que le père entend, d'une part, demander la garde et scolariser C._ dans le canton de Vaud et, d'autre part, réduire le droit aux relations personnelles de la mère. Dans ces circonstances, la cour cantonale a considéré que le droit de déterminer le lieu de résidence de C._ ne pouvait être octroyé au père, puisqu'il s'agit d'une composante de l'autorité parentale. A cela s'ajoutait qu'il n'y avait aucune urgence à modifier la situation actuelle, le développement de C._ ou sa santé n'étant pas prétérités par le placement en institution, l'enfant étant d'ailleurs, grâce au placement, mis à l'abri du conflit parental, étant rappelé que le père lui-même était d'avis, le 10 mars 2016, que la solution la plus adaptée consistait à placer temporairement son fils en foyer. La situation de C._ ne s'était pas dégradée entre-temps, de sorte qu'il ne se justifiait pas d'accorder l'autorité parentale au père à titre provisionnel, mais au contraire, de maintenir la situation actuelle jusqu'à ce que la décision au fond soit prise. Par ailleurs, la moitié de l'année scolaire était déjà écoulée et un changement d'établissement en cours d'année serait manifestement préjudiciable à l'enfant sur le plan éducatif. S'agissant de la volonté exprimée par C._, qui a demandé à vivre chez son père, elle n'était à elle seule pas déterminante, même s'il est âgé de 15 ans. Son souhait d'aller chez son père serait notamment motivé par un besoin de liberté et les avantages matériels qu'il pourrait y obtenir, ce qui permettrait de relativiser la portée de son choix. Vu sa relative fragilité psychologique, il aurait besoin de stabilité dans les rapports qu'il doit entretenir avec ses deux parents. Cette stabilité ne serait pas garantie en cas d'octroi de l'autorité parentale conjointe, puisqu'il serait alors possible que l'enfant déménage chez son père et ne voie plus sa mère. Pour ces motifs, la cour cantonale a expliqué que le placement de C._ devait nécessairement être maintenu pour son bien, quand bien même il exprime la volonté de vivre chez son père.
Enfin, la juridiction précédente a relevé que, bien qu'elle soit titulaire de l'autorité parentale exclusive, la mère avait décidé de placer l'enfant à l'Institut E._, se privant ainsi volontairement, de manière provisoire, du droit de déterminer le lieu de résidence de l'enfant. Partant, il fallait examiner le droit de la mère à entretenir des relations personnelles avec celui-ci. Alors que le père affirmait que l'enfant s'opposait à entretenir des relations personnelles avec sa mère, et que l'y contraindre plusieurs fois par mois pourrait aboutir à exacerber le conflit actuel, la cour cantonale a considéré qu'il ressortait des déclarations de C._ que, bien qu'il ne soit pas disposé à aller chez sa mère, il acceptait d'y aller pour pouvoir aller chez son père en contrepartie; on ne pouvait donc pas considérer que l'enfant avait exprimé une volonté ferme de ne plus aller chez sa mère. A fortiori, s'il était disposé à y aller pour autant qu'il puisse aussi se rendre chez son père, c'était que son bien n'y était pas mis en danger, à tout le moins que cette circonstance n'était pas vraisemblable. Considérant que les droits de visite respectifs de chacun des parents devaient être égaux, à savoir un week-end sur deux pour chacun d'eux, et qu'aucun motif ne justifiait de limiter le droit de visite de la mère, la cour cantonale a confirmé le droit de visite tel qu'actuellement prévu et exercé.
4.
Le recourant affirme que la décision entreprise est arbitraire, en tant qu'elle maintient l'autorité parentale exclusive et la garde en faveur de la mère.
4.1. Se référant à l'<ref-law>, il soutient que l'autorité parentale sur C._ devait lui être attribuée, compte tenu des rapports particulièrement difficiles entre l'enfant et sa mère, dont les difficultés de collaboration et de communication seraient établies. De manière insoutenable, la cour cantonale se serait limitée à considérer que l'enfant souhaite aller vivre chez lui pour avoir plus de liberté, alors qu'en réalité, aucun élément du dossier ne permettrait de constater qu'il aurait plus de liberté auprès de son père. Son audition révélerait d'ailleurs que chez son père, il est " encadré et puni ". La cour cantonale aurait aussi omis, en violation de l'art. 9 Cst., de constater les maltraitances subies par l'enfant de la part de sa mère et de son beau-père. Le recourant renvoie à cet égard à des passages de diverses pièces, notamment de l'audition de l'enfant, dans laquelle C._ aurait affirmé: " mon père me dit qu'il m'aime, ma mère dit que je ne suis plus son fils. Chez mon père, je sens de l'affection, chez ma mère ce n'est pas le cas et ce n'est pas seulement une impression. " L'enfant aurait au surplus indiqué dans son courrier du 8 février 2016 adressé à l'APEA, en parlant de son beau-père: " il me gifle et me donne des coups de pied. " Ces propos seraient confirmés par la soeur de C._, I._, dans un échange de sms entre eux (pièce 21). Pour le surplus, il ne ferait aucun doute que la situation est urgente, en raison de l'âge de l'enfant et de la rentrée scolaire encore récente. Le recourant soulève aussi les griefs de violation des art. 2, 3, 6 et 12 de la Convention du 20 novembre 1989 relative aux droits de l'enfant [CDE; RS 0.107], exposant que le point de vue de l'enfant devait forcément être suivi. Or C._, qui est âgé de 15 ans (soit largement plus que les 12 ans posés par la jurisprudence), aurait clairement manifesté sa volonté de vivre avec lui.
4.2.
4.2.1. A la requête de l'un des parents ou de l'enfant ou encore d'office, l'autorité de protection de l'enfant modifie l'attribution de l'autorité parentale lorsque des faits nouveaux importants le commandent pour le bien de l'enfant (<ref-law>). Elle peut aussi se limiter à statuer sur la garde de l'enfant, les relations personnelles ou la participation de chaque parent à sa prise en charge (<ref-law>). Toute modification dans l'attribution de l'autorité parentale ou de la garde suppose ainsi que la nouvelle réglementation soit requise dans l'intérêt de l'enfant en raison de la survenance de faits nouveaux essentiels. En d'autres termes, une nouvelle réglementation ne dépend pas seulement de l'existence de circonstances nouvelles importantes; elle doit aussi être commandée par le bien de l'enfant (<ref-ruling> consid. 3 [concernant l'art. 157 aCC]; arrêts 5A_943/2016 du 1er juin 2017 consid. 6.2.1 et 5A_30/2017 du 30 mai 2017 consid. 4.2 [concernant l'<ref-law>]; 5A_781/2015 du 14 mars 2016 consid. 3.2.2 [concernant l'<ref-law>]; 5A_428/2014 du 22 juillet 2014 consid. 6.2 [concernant les art. 134 al. 1 et 298a al. 2 aCC, dont la teneur correspond à celle de l'<ref-law>]; 5A_63/2011 du 1er juin 2011 consid. 2.4.1 [concernant l'<ref-law>]; 5C.63/2005 du 1er juin 2005 consid. 2 non publié aux <ref-ruling> [concernant l'<ref-law>]).
4.2.2. Lorsque l'autorité de protection de l'enfant est compétente pour modifier l'attribution de l'autorité parentale, de la garde, des relations personnelles ou de la participation de chaque parent à la prise en charge de l'enfant (<ref-law>), la procédure est réglée par les <ref-law>. En effet, ces dispositions ne visent pas uniquement les mesures de protection de l'enfant au sens strict, mais aussi les mesures de protection de l'enfant au sens large (KURT AFFOLTER-FRINGELI/ URS VOGEL, Berner Kommentar, 2016, n° 178 et 200 ad rem. prél. art. 307-327c CC et n° 9 et 16 ad <ref-law>; arrêt 5D_199/2015 du 5 avril 2016 consid. 4.3.1 et la référence [concernant l'application des <ref-law> aux mesures prévues par l'<ref-law>]). Aux termes de l'<ref-law>, les dispositions de la procédure devant l'autorité de protection de l'adulte sont applicables par analogie. Par renvoi de l'<ref-law>, l'<ref-law> permet ainsi à l'autorité de protection de l'enfant de prendre toutes les mesures provisionnelles nécessaires pendant la durée de la procédure.
Les mesures superprovisionnelles sont rendues en cas d'urgence particulière; elles se distinguent des mesures provisionnelles uniquement par le fait qu'elles sont rendues sans que la partie adverse soit entendue préalablement (<ref-law>). Si le juge rend de telles mesures, il doit ensuite rapidement entendre la partie adverse et statuer sans délai sur la requête de mesures provisionnelles proprement dites (<ref-law>). Il rend alors une décision sur mesures provisionnelles qui remplace la décision superprovisionnelle. Les mesures provisionnelles restent en principe en vigueur jusqu'à l'entrée en force de la décision au fond; elles peuvent toutefois être modifiées ou révoquées si les circonstances se sont modifiées après leur prononcé, ou s'il s'avère par la suite qu'elles sont injustifiées (<ref-law>). Ces principes valent également en matière de protection de l'enfant (<ref-law> par renvoi de l'<ref-law>; <ref-ruling>; arrêts 5A_211/2016 du 19 mai 2016 consid. 2; 5A_554/2014 du 21 octobre 2014 consid. 3.2).
Conformément au principe de la proportionnalité, qui est inhérent au but d'une mesure provisoire, les mesures provisionnelles doivent être adaptées aux circonstances de l'espèce: il s'agit de préférer la mesure qui préserve au mieux les intérêts des parties et donc, entre plusieurs solutions possibles, de choisir la moins incisive (arrêt 5A_943/2016 du 1er juin 2017 consid. 6.2.1 in fine).
4.3. En l'espèce, la cour cantonale a fondé sa décision, d'une part, sur le fait que, vu le placement de C._ en institution, il n'y avait pas d'urgence à modifier la situation actuelle, le développement de l'enfant ou sa santé n'étant pas prétérités par ce placement, l'enfant étant d'ailleurs, grâce à celui-ci, mis à l'abri du conflit parental; d'autre part, elle a considéré que vu l'impossibilité d'instituer une autorité parentale conjointe sur l'enfant, la mère devait rester seule titulaire de l'autorité parentale, de sorte que le droit de déterminer le lieu de résidence de l'enfant, qui en est une composante, ne pouvait de toute manière pas être attribué au père. De telles considérations relèvent d'une application arbitraire (art. 9 Cst.) de l'art. 298d, en lien avec l'<ref-law>, les faits et critères pertinents n'ayant pas été examinés.
Il ressort de l'arrêt entrepris que dans son signalement du 2 février 2016, le père a évoqué notamment des mauvais traitements dont serait victime l'enfant au sein du foyer maternel, que l'enfant, dans son courrier du 8 février 2016, a fait état du comportement agressif de son beau-père et des menaces de sa mère, indiquant qu'il voulait déménager chez son père, et que la requête de mesures provisionnelles fait état de l'urgence qu'il y aurait à y donner suite, vu les éléments précités. L'enfant a réitéré ses dires lors de son audition du 7 septembre 2016. Il appartenait à l'autorité cantonale d'établir les faits à cet égard afin de pouvoir décider, au vu de ceux-ci, si des mesures provisionnelles devaient être prises, ce qu'elle n'a pas fait, se contentant d'évoquer le placement de l'enfant pour nier toute urgence, sans établir si l'enfant a subi ou non des violences au sein du foyer maternel. On rappellera qu'en l'occurrence, le placement de l'enfant n'a pas été ordonné par l'autorité compétente, mais décidé par la mère qui, détenant seule l'autorité parentale - dont fait partie le droit de déterminer le lieu de résidence - et la garde sur C._, pouvait confier la prise en charge de celui-ci à des tiers (<ref-law> a contrario). Il en résulte qu'en vertu de ces mêmes prérogatives, elle demeure en principe libre de décider de l'opportunité de réintégrer l'enfant, confié par ses soins à des tiers, dans sa propre communauté domestique (PHILIPPE MEIER/MARTIN STETTLER, Droit de la filiation, 5ème éd., 2014, n° 1301 p. 854). En conséquence, il est insoutenable de tirer prétexte du placement en institution décidé par la mère pour retenir une absence de mise en péril du bien de l'enfant, sans instruire plus avant le point de savoir si le maintien de la situation actuelle - dans laquelle la mère est titulaire de l'autorité parentale exclusive et de la garde - présente un danger, en particulier s'il nuit plus au bien de l'enfant qu'un éventuel changement de réglementation et, spécialement, si des mesures urgentes sont nécessaires dans ce contexte (cf. supra consid. 4.2.1 et 4.2.2; arrêt 5A_943/2016 du 1er juin 2017 consid. 6.2.1). Dans l'hypothèse où un changement urgent de réglementation s'imposerait pour le bien de l'enfant, un transfert de la prise en charge effective de l'enfant, du droit de déterminer son lieu de résidence, voire de l'autorité parentale exclusive au père pourrait, selon les circonstances, être envisagé, voire encore un placement de l'enfant en foyer, mais décidé par l'autorité.
Vu ce qui précède, il s'impose de renvoyer la cause à l'autorité cantonale pour instruction et nouvelle décision.
5.
Le recourant expose que la décision entreprise ne tient pas compte de la demande de C._ d'être mis au bénéfice d'une curatelle de représentation dans la présente procédure et d'avoir son propre avocat, alors que l'<ref-law> le prévoirait. Il demande aussi que son fils soit autorisé à participer à la procédure en qualité de partie. Cela étant, il ne soulève aucun grief de nature constitutionnelle à cet égard, de sorte que sa critique est d'emblée irrecevable (cf. supra consid. 2.1). Il n'en demeure pas moins que la question se posera à nouveau suite au renvoi de la cause.
6.
Vu le renvoi de la cause à l'autorité cantonale, il n'y a pas lieu de statuer sur les autres griefs soulevés par le recourant. On relèvera tout de même, par économie de procédure, qu'il ne saurait être question de fixer un droit aux relations personnelles, en application de l'<ref-law>, en faveur du parent titulaire de l'autorité parentale exclusive et de la garde, quand bien même celui-ci aurait volontairement confié la prise en charge quotidienne de l'enfant à un tiers. Contrairement à ce qui ressort de l'arrêt querellé, on ne peut déduire du placement volontaire que ledit parent aurait renoncé à son droit de déterminer le lieu de résidence de l'enfant, ce droit n'étant sujet ni à renonciation, ni à aliénation (MEIER/STETTLER, op. cit., n° 873 p. 582). La question ne se posera que si l'autorité devait prendre une mesure contraignante à son égard (cf. supra consid. 4.3 in fine).
7.
En définitive, le recours est admis, aux frais de l'intimée (<ref-law>), qui versera en outre une indemnité de dépens au recourant (art. 68 al. 1 et 2 LTF). La demande d'assistance judiciaire de l'intimée est admise (<ref-law>). Les frais judiciaires lui incombant seront donc provisoirement supportés par la Caisse du Tribunal fédéral (<ref-law>); l'octroi de l'assistance judiciaire ne dispense cependant pas l'intimée du paiement de dépens (<ref-ruling> consid. 2c; arrêt 5C.5/2005 du 23 juin 2005 consid. 4 non publié in <ref-ruling>). La cause est renvoyée à l'autorité précédente pour instruction et nouvelle décision dans le sens des considérants. Il appartiendra à l'autorité cantonale de statuer à nouveau sur les frais et dépens de la procédure cantonale (<ref-law>).

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce :
1.
Le recours est admis, l'arrêt attaqué est annulé et la cause est renvoyée à l'autorité cantonale pour instruction et nouvelle décision dans le sens des considérants.
2.
La requête d'assistance judiciaire de l'intimée est admise et Me Mathias Eusebio lui est désigné comme avocat d'office.
3.
Les frais judiciaires, arrêtés à 1'500 fr., sont mis à la charge de l'intimée. Ils sont provisoirement supportés par la Caisse du Tribunal fédéral.
4.
Une indemnité de 2'500 fr., à verser au recourant à titre de dépens, est mise à la charge de l'intimée; au cas où les dépens ne pourraient pas être recouvrés, la Caisse du Tribunal fédéral versera au conseil du recourant une indemnité de 2'000 fr. à titre d'honoraires d'avocat d'office.
5.
Une indemnité de 2'000 fr., supportée par la Caisse du Tribunal fédéral, est allouée à Me Mathias Eusebio à titre d'honoraires d'avocat d'office.
6.
Le présent arrêt est communiqué aux parties, à C._ par l'intermédiaire de son curateur, et au Président de la Cour administrative du Tribunal cantonal de la République et canton du Jura.
Lausanne, le 19 juin 2017
Au nom de la IIe Cour de droit civil
du Tribunal fédéral suisse
Le Président : von Werdt
La Greffière : Dolivo