Faits :
A.
Dans le cadre de l'instruction pénale ouverte contre A._, le Ministère public de la République et canton de Genève a ordonné la mise en oeuvre d'une expertise psychiatrique le 6 octobre 2015. Par requête du 30 novembre suivant, il a demandé au Tribunal des mesures de contrainte (Tmc) d'ordonner l'hospitalisation à des fins d'expertise de la prévenue pour une durée de deux semaines.
Le 1er décembre 2015, le Tmc a rejeté cette demande, considérant en substance que le droit d'être entendue de la prévenue avait été violé.
B.
Par acte du 23 décembre 2015, le Ministère public forme un recours en matière pénale contre cette ordonnance, concluant à son annulation et à l'hospitalisation à des fins d'expertise de A._ pour une durée de deux semaines. A titre subsidiaire, il demande le renvoi de la cause à l'autorité précédente pour nouvelle décision.
Invité à se déterminer, le Tmc a maintenu les termes de sa décision. Quant à l'intimée, elle a conclu à l'irrecevabilité du recours, subsidiairement à son rejet. L'autorité précédente, ainsi que le Ministère public ont renoncé à déposer des observations complémentaires, le second persistant cependant dans ses conclusions.

Considérant en droit :
1.
1.1. En vertu des art. 186 al. 2 et 393 al. 1 let. c CPP, le Tmc statue définitivement sur une demande d'hospitalisation du prévenu à des fins d'expertise. Par conséquent, le recours en matière pénale au Tribunal fédéral est directement ouvert (<ref-law>).
1.2. L'ordonnance attaquée ne met pas un terme à la procédure pénale ouverte à l'encontre de l'intimée et doit dès lors être qualifiée de décision incidente. Dès lors qu'elle n'entre pas dans le champ d'application de l'<ref-law>, elle ne peut faire l'objet d'un recours au Tribunal fédéral que si elle peut causer un préjudice irréparable (<ref-law>) ou si l'admission du recours peut conduire immédiatement à une décision finale qui permet d'éviter une procédure probatoire longue et coûteuse (<ref-law>). Cette dernière hypothèse n'entre pas en considération en l'espèce.
1.2.1. Dans la procédure de recours en matière pénale, la notion de préjudice irréparable au sens de l'<ref-law> se rapporte à un dommage de nature juridique qui ne puisse pas être réparé ultérieurement par un jugement final ou une autre décision favorable au recourant (<ref-ruling> consid. 2.2 p. 287). Un dommage de pur fait, comme la prolongation de la procédure ou un accroissement des frais de celle-ci, n'est pas considéré comme irréparable (<ref-ruling> consid. 4 p. 95). Les décisions relatives à l'administration des preuves ne sont en principe pas de nature à conduire à un dommage juridique irréparable (<ref-ruling> consid. 2.3 p. 191; <ref-ruling> consid. 1 p. 438), qu'il s'agisse de décisions refusant ou ordonnant la mise en oeuvre d'un moyen de preuve déterminé, telle une expertise psychiatrique (<ref-ruling> consid. 1 p. 295; arrêts 1B_414/2015 du 30 novembre 2015 consid. 2.3; 1B_200/2015 du 4 juin 2015 consid. 2; 1B_419/2012 du 17 août 2012 consid. 2; 1B_51/2009 du 3 juillet 2009 consid. 2.3).
Ces exigences valent également lorsque le recours est formé par le Ministère public (arrêt 1B_240/2011 du 28 juin 2011 consid. 1.3 et les arrêts cités). Dans une telle configuration, le Tribunal fédéral a notamment admis l'existence d'un préjudice irréparable lorsque la décision litigieuse est susceptible d'entraver le bon déroulement de l'instruction et de compromettre définitivement la recherche de la vérité (<ref-ruling> consid. 1 p. 27; arrêt 1B_238/2011 du 13 septembre 2011 consid. 1.2 et 1.3, non publiés aux <ref-ruling>, mais in Pra 2012 34 230 [extraits]).
1.2.2. En l'occurrence, le Ministère public soutient que l'ordonnance du Tmc lui causerait un préjudice irréparable puisque le refus d'hospitaliser l'intimée l'empêcherait de faire établir l'expertise psychiatrique que la loi lui impose (<ref-law>); il ne pourrait dès lors pas déterminer quelle procédure devrait être suivie pour obtenir le prononcé d'une mesure thérapeutique (art. 328 ss ou 374 ss CPP).
Contrairement cependant à ce que soutient le Procureur, le rejet d'une demande d'hospitalisation à des fins d'expertise ne cause en principe pas un préjudice au sens de l'<ref-law> puisqu'une nouvelle requête dans ce sens peut être déposée en tout temps; le magistrat recourant ne prétend d'ailleurs pas qu'il serait dans l'impossibilité de réitérer sa demande. Certes, il conteste le motif retenu par le Tmc, à savoir l'obligation d'entendre l'intimée préalablement au dépôt d'une telle demande (art. 224 al. 1 par renvoi de l'<ref-law>). Il n'explique toutefois pas quel préjudice irréparable cette obligation procédurale entraînerait pour lui (cf. <ref-law>; <ref-ruling> consid. 1.1 p. 4; 140 IV 284 consid. 2.3 p. 287). En particulier, tel n'est pas le cas de la possible prolongation que pourraient impliquer les mesures à prendre afin de respecter le droit d'être entendue de l'intimée. On ne voit pas non plus en quoi la mise en oeuvre de tels moyens pourrait compromettre de manière définitive l'instruction et/ou la recherche de la vérité. Il est ainsi douteux que la condition du préjudice irréparable soit satisfaite. Cependant, peu importe en l'occurrence puisque le recours doit être rejeté.
2.
Dans un premier grief, le recourant reproche à l'autorité précédente une constatation manifestement arbitraire des faits; elle n'aurait ainsi pas tenu compte de l'expertise psychiatrique du 25 juillet 2007, de la procédure pénale de 2009 durant laquelle l'intimée a été déclarée irresponsable, de ses absences non excusées à l'audience du Ministère public du 13 mai 2015, ainsi qu'aux entretiens des 3, 11 et 26 novembre 2015 de l'expert psychiatre et du courrier du 17 novembre 2015. Or, ces éléments permettraient de démontrer que le recourant pouvait déposer sa requête d'hospitalisation à des fins d'expertise sans entendre préalablement l'intimée.
Il ressort cependant du jugement attaqué que l'autorité précédente disposait du dossier de la procédure où figurent les documents susmentionnés. De plus, elle a fait expressément référence à la lettre du recourant du 17 novembre 2015 (cf. p. 2 de l'arrêt entrepris), dont la lecture permet de comprendre que l'intimée ne s'est pas présentée aux convocations de l'expert psychiatre; l'intimée ne le prétend d'ailleurs pas dans ses observations. Partant, ce grief doit être écarté.
3.
Le recourant se plaint ensuite de violations des art. 186 al. 2 et 5, ainsi que 224 al. 1 CPP. Il reproche en substance à l'autorité précédente d'avoir estimé qu'il aurait dû interpeller l'intimée préalablement au dépôt de sa requête d'hospitalisation à des fins d'expertise.
L'hospitalisation à des fins d'expertise au sens de l'<ref-law> concerne un prévenu ne se trouvant pas en détention provisoire. Dès lors, l'admission de cette mesure par le Tmc a comme effet de le priver de sa liberté. Cela explique le renvoi à la procédure applicable en matière de détention (<ref-law>). Dans la mesure où durant la procédure d'autorisation, le prévenu se trouve toujours en liberté, une certaine souplesse peut éventuellement être concédée s'agissant de la célérité de la procédure (cf. dans ce sens, ANDREAS DONATSCH, in DONATSCH/HANSJAKOB/LIEBER (édit.), Kommentar zur Schweizerischen Strafprozessordnung (StPO), 2e éd. 2014, n° 20 ad <ref-law>). En revanche, rien ne justifie de passer outre les dispositions relatives au droit d'être entendu (cf. notamment l'<ref-law>). Cela vaut d'autant plus que, devant le Tmc, la procédure se déroule uniquement par écrit (cf. art. 186 al. 2 2ème phrase CPP).
Il sied encore de relever que le Ministère public ne conteste pas que l'intimée n'a pas été entendue au cours de la procédure. Il ne soutient pas non plus avoir invité le mandataire de celle-ci à déposer des déterminations sur la question de l'hospitalisation; son courrier du 17 décembre 2015 tend uniquement à annoncer une éventuelle mise en oeuvre d'une telle mesure. Enfin, si le principe d'une expertise psychiatrique ne paraît pas contesté, il n'en résulte pas pour autant qu'une hospitalisation dans ce but serait de facto admise et l'unique moyen de la réaliser (cf. le principe de proportionnalité qui impose également dans ce cas d'envisager de possibles autres mesures moins invasives; MARIANNE HEER, in Basler Kommentar, Schweizerische Strafprozessordnung, 2e éd. 2014, n° 6 ad <ref-law>; DONATSCH, op. cit., n° 25 ad <ref-law>; MOREILLON/PAREIN, Petit commentaire, Code de procédure pénale, 2013, n° 13 ad <ref-law>).
Au vu de ces considérations, l'autorité précédente n'a pas violé le droit fédéral en rejetant la requête du Procureur tendant à l'hospitalisation à des fins d'expertise de l'intimée, faute pour le premier d'avoir entendu la seconde. Partant, ce grief doit être rejeté.
4.
Il s'ensuit que le recours est rejeté dans la mesure de sa recevabilité.
L'intimée, qui obtient gain de cause avec l'assistance d'un avocat, a droit à des dépens à la charge de la République et canton de Genève (<ref-law>). Il n'est pas perçu de frais judiciaires (<ref-law>).

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce :
1.
Le recours est rejeté dans la mesure de sa recevabilité.
2.
Une indemnité de dépens, fixée à 1'500 fr., est allouée à la recourante à la charge de la République et canton de Genève.
3.
Il n'est pas perçu de frais judiciaires.
4.
Le présent arrêt est communiqué aux parties et au Tribunal des mesures de contrainte de la République et canton de Genève.
Lausanne, le 5 février 2016
Au nom de la Ire Cour de droit public
du Tribunal fédéral suisse
Le Président : Fonjallaz
La Greffière : Kropf