Sachverhalt:
A.
Die 1951 geborene A._ war zuletzt vom 23. Mai 2005 bis 8. Januar 2012 (letzter Arbeitstag) als Montagemitarbeiterin in einem Pensum von 90 % bei der C._ AG tätig. Sie meldete sich am 8. Juni 2012 mit Hinweis auf dauernde Nacken- und Schultergürtelschmerzen, Schmerzen in allen Gelenken und Sehnen, Schlafstörungen, eine chronische Müdigkeit und Schweissausbrüche bei der Invalidenversicherung zum Leistungsbezug an. Die IV-Stelle des Kantons Zürich führte erwerbliche und medizinische Abklärungen durch; namentlich veranlasste sie eine interdisziplinäre Begutachtung durch das Zentrum für Medizinische Begutachtung (ZMB), Basel (Expertise vom 10. Juli 2014). Nach durchgeführtem Vorbescheidverfahren verneinte die IV-Stelle einen Leistungsanspruch mit Verfügung vom 29. Mai 2015.
B.
Die dagegen erhobene Beschwerde von A._ wies das Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich mit Entscheid vom 13. April 2016 ab.
C.
A._ führt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten und beantragt die Aufhebung des Entscheids vom 13. April 2016 sowie der Verfügung vom 29. Mai 2015. Ihr sei mit Wirkung ab 1. Januar 2013 eine ganze Rente, eventualiter eine halbe Rente der Invalidenversicherung zuzusprechen.
Die Vorinstanz und das Bundesamt für Sozialversicherungen verzichten auf eine Vernehmlassung, während die IV-Stelle auf Abweisung der Beschwerde schliesst.

Erwägungen:
1.
1.1. Mit der Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann unter anderem die Verletzung von Bundesrecht gerügt werden (<ref-law>). Die Feststellung des Sachverhalts kann nur gerügt werden, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruht und wenn die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein kann (<ref-law>). Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zu Grunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (<ref-law>). Es kann die Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz von Amtes wegen berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruht (<ref-law>).
1.2. Tatsächlicher Natur sind die Feststellungen zum Gesundheitszustand einer versicherten Person und der daraus resultierenden Arbeits (un) fähigkeit, die das Sozialversicherungsgericht gestützt auf medizinische Untersuchungen trifft. Soweit die Beurteilung der Zumutbarkeit von Arbeitsleistungen auf die allgemeine Lebenserfahrung gestützt wird, geht es um eine Rechtsfrage (<ref-ruling> E. 3.2 S. 397 ff.; Urteil 9C_133/2011 vom 29. April 2011 E. 1). Rechtsfrage ist auch, nach welchen Gesichtspunkten die Entscheidung über die Verwertbarkeit der Restarbeitsfähigkeit erfolgt (Urteil 9C_190/2009 vom 11. Mai 2009 E. 3.3).
2.
Im vorinstanzlichen Entscheid werden die gesetzlichen Bestimmungen und die Rechtsprechung zur Invalidität erwerbstätiger Versicherter (<ref-law>), zum Rentenanspruch (Art. 28 Abs. 1 und 2 IVG) sowie zur Bemessung des Invaliditätsgrades bei erwerbstätigen Versicherten nach der allgemeinen Methode des Einkommensvergleichs (<ref-law> in Verbindung mit <ref-law>) zutreffend dargelegt. Darauf wird verwiesen.
3.
3.1. Die Vorinstanz hat für das Bundesgericht verbindlich (vgl. E. 1.1 hievor) festgestellt, gestützt auf das interdisziplinäre Gutachten des ZMB vom 10. Juli 2014 könne die Beschwerdeführerin die von ihr zuletzt ausgeübte Tätigkeit als Mitarbeiterin Montage in Anbetracht der eingeschränkten Belastbarkeit aufgrund des chronischen Schmerzsyndroms und der psychiatrischen Faktoren nicht mehr ausüben. Körperlich leichte bis teilweise mittelschwere wechselbelastende Tätigkeiten ohne Zeitdruck und Hektik seien ihr vollumfänglich zumutbar. Das kantonale Gericht ermittelte einen Invaliditätsgrad von 28 %. Betreffend Verwertbarkeit der Restarbeitsfähigkeit kam es zum Schluss, die 1951 geborene Beschwerdeführerin sei zum Zeitpunkt der Anmeldung bei der Invalidenversicherung 60-jährig und nach Ablauf des Wartejahres 61 Jahre alt gewesen. Es kämen für sie selbst als ungelernte Arbeiterin noch diverse Hilfsarbeitertätigkeiten in Frage. Demnach habe ihr die Verwertung der Arbeitskraft nach dem Ausscheiden bei der C._ AG am 8. Januar 2012 zugemutet werden können.
3.2. Die Beschwerdeführerin wendet ein, die Vorinstanz hätte zur Beantwortung der Frage nach der Verwertbarkeit der noch vorhandenen Arbeitsfähigkeit auf den Zeitpunkt der Erstattung des Gutachtens im Juli 2014 abstellen müssen. Erst in diesem Zeitpunkt sei der medizinische Sachverhalt in genügendem Mass abgeklärt gewesen. Die Beschwerdeführerin sei damals im Alter von 62,5 Jahren 1,5 Jahre vor der Pensionierung gestanden. Es sei davon auszugehen, dass sie auf dem ausgeglichenen Arbeitsmarkt keine Stelle mehr gefunden hätte, weshalb sie mit Wirkung ab 1. Januar 2013 einen Anspruch auf eine ganze Invalidenrente habe. Die Versicherte wendet sich somit in erster Linie nicht gegen die für das Bundesgericht verbindliche Feststellung der verbliebenen Restarbeitsfähigkeit (vgl. E. 3.1 hievor), sondern gegen deren wirtschaftliche Verwertbarkeit.
4.
4.1. Das trotz der gesundheitlichen Beeinträchtigung zumutbarerweise erzielbare Einkommen ist bezogen auf einen ausgeglichenen Arbeitsmarkt zu ermitteln, wobei an die Konkretisierung von Arbeitsgelegenheiten und Verdienstaussichten keine übermässigen Anforderungen zu stellen sind (Urteil 9C_830/2007 vom 29. Juli 2008 E. 5.1, in: SVR 2008 IV Nr. 62 S. 203). Das fortgeschrittene Alter wird, obgleich an sich ein invaliditätsfremder Faktor, in der Rechtsprechung als Kriterium anerkannt, welches zusammen mit weiteren persönlichen und beruflichen Gegebenheiten dazu führen kann, dass die einer versicherten Person verbliebene Resterwerbsfähigkeit auf dem ausgeglichenen Arbeitsmarkt realistischerweise nicht mehr nachgefragt wird, und dass ihr deren Verwertung auch gestützt auf die Selbsteingliederungslast nicht mehr zumutbar ist. Fehlt es an einer wirtschaftlich verwertbaren Resterwerbsfähigkeit, liegt eine vollständige Erwerbsunfähigkeit vor, die einen Anspruch auf eine ganze Invalidenrente begründet (Urteile 9C_954/2012 vom 10. Mai 2013 E. 2, in: Plädoyer 2013/4 S. 57; I 831/05 vom 21. August 2006 E. 4.1.1 mit Hinweisen).
4.2. Der Einfluss des Lebensalters auf die Möglichkeit, das verbliebene Leistungsvermögen auf dem ausgeglichenen Arbeitsmarkt zu verwerten, lässt sich nicht nach einer allgemeinen Regel bemessen, sondern hängt von den Umständen des Einzelfalls ab. Massgebend können die Art und Beschaffenheit des Gesundheitsschadens und seiner Folgen, der absehbare Umstellungs- und Einarbeitungsaufwand und in diesem Zusammenhang auch Persönlichkeitsstruktur, vorhandene Begabungen und Fertigkeiten, Ausbildung, beruflicher Werdegang oder Anwendbarkeit von Berufserfahrung aus dem angestammten Bereich sein (<ref-ruling> E. 3.1 S. 460; Urteile 9C_153/2011 vom 22. März 2012 E. 3.1; 9C_918/2008 vom 28. Mai 2009 E. 4.2.2 mit Hinweisen). Somit hängt die Verwertbarkeit nicht zuletzt davon ab, welcher Zeitraum der versicherten Person für eine berufliche Tätigkeit und vor allem auch für einen allfälligen Berufswechsel noch zur Verfügung steht (<ref-ruling> E. 3.2 S. 460).
5.
5.1. Soweit das kantonale Gericht für die Beantwortung der Frage nach der Verwertbarkeit der Restarbeitsfähigkeit bei vorgerücktem Alter den Zeitpunkt des Ausscheidens der Beschwerdeführerin bei der C._ AG am 8. Januar 2012 heranzieht, stellt es sich in Widerspruch zur bundesgerichtlichen Rechtsprechung. Nach <ref-ruling> E. 3.4 S. 462 steht die medizinische Zumutbarkeit einer (Teil-) Erwerbstätigkeit fest, sobald die medizinischen Unterlagen diesbezüglich eine zuverlässige Sachverhaltsfeststellung erlauben. Das von der Verwaltung eingeholte interdisziplinäre Gutachten des ZMB vom 10. Juli 2014 bildete die medizinische Grundlage für den angefochtenen Entscheid. Für die Frage der Rentenberechtigung ist demnach die Verwertbarkeit der Restarbeitsfähigkeit ab 10. Juli 2014 entscheidend. Im massgeblichen Zeitpunkt war die 1951 geborene Versicherte bereits 62 Jahre und sechs Monate alt. Bis zum Erreichen des AHV-Alters verblieb nur noch eine kurze Aktivitätsdauer von eineinhalb Jahren. Die Beschwerdeführerin hatte keinen Beruf erlernt. Sie arbeitete seit 2005 als Montagemitarbeiterin am Fliessband, was ihr nun aus gesundheitlichen Gründen gemäss den Ausführungen der Vorinstanz (vgl. E. 3.1 hievor) nicht mehr zugemutet werden kann. Altersbedingt und aufgrund minimaler (Aus-) Bildung ist von einer geringen Anpassungsfähigkeit an eine neue Tätigkeit auszugehen. Unter den konkreten Umständen wäre die Arbeitskraft der Versicherten auf dem ausgeglichenen Arbeitsmarkt realistischerweise nicht mehr nachgefragt worden, weshalb die Restarbeitsfähigkeit nach dem Gesagten nicht verwertbar war.
5.2. Laut den verbindlichen Feststellungen des kantonalen Gerichts (vgl. E. 1.1 hievor) ist die Beschwerdeführerin in der angestammten Tätigkeit seit Januar 2012 100 % arbeitsunfähig. Das Wartejahr nach <ref-law> endete somit im Januar 2013. Unter Berücksichtigung, dass sich die Versicherte bereits im Juni 2012 bei der Invalidenversicherung anmeldete (vgl. <ref-law> in Verbindung mit <ref-law>), hat sie ab 1. Januar 2013 Anspruch auf eine ganze Invalidenrente (vgl. E. 4.1 hievor). Die Beschwerde ist begründet.
6.
Entsprechend dem Ausgang des Verfahrens sind die Gerichtskosten der Beschwerdegegnerin aufzuerlegen (<ref-law>). Die durch eine beim Rechtsdienst Inclusion Handicap angestellte Anwältin qualifiziert vertretene Beschwerdeführerin hat Anspruch auf eine Parteientschädigung (Art. 68 Abs. 1 und 2 BGG; vgl. Urteil 9C_650/2015 vom 11. August 2016 E. 6).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird gutgeheissen. Der Entscheid des Sozialversicherungsgerichts des Kantons Zürich vom 13. April 2016 und die Verfügung der IV-Stelle des Kantons Zürich vom 29. Mai 2015 werden aufgehoben. Die Beschwerdegegnerin hat der Beschwerdeführerin ab 1. Januar 2013 eine ganze Invalidenrente auszurichten.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 800.- werden der Beschwerdegegnerin auferlegt.
3.
Die Beschwerdegegnerin hat die Beschwerdeführerin für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 2'800.- zu entschädigen.
4.
Die Sache wird zur Neuverlegung der Kosten und der Parteientschädigung des vorangegangenen Verfahrens an das Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich zurückgewiesen.
5.
Dieses Urteil wird den Parteien, dem Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich und dem Bundesamt für Sozialversicherungen schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 14. Oktober 2016
Im Namen der II. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Glanzmann
Die Gerichtsschreiberin: Huber