Erwägungen:
1.
A._ (geb. 1977) ist nigerianischer Staatsangehöriger. Er heiratete 2016 in Zürich die in der Schweiz aufenthaltsberechtigte kamerunische Staatsangehörige B._. Am 14. Oktober 2016 ersuchte A._ gestützt auf seine Ehe zu B._ um Erteilung einer Aufenthaltsbewilligung. Das Migrationsamt des Kantons Zürich wies das Gesuch mit Verfügung vom 2. November 2016 ab. Dagegen gelangte A._ an die Sicherheitsdirektion des Kantons Zürich, die sein Rechtsmittel mit Rekursentscheid vom 30. Januar 2017 abwies.
Gegen den Rekursentscheid reichte A._ am 27. Februar 2017 Beschwerde beim Verwaltungsgericht des Kantons Zürich ein. Ein Gesuch von A._ um Erteilung der unentgeltlichen Rechtspflege und -vertretung wies das Verwaltungsgericht mit Verfügung vom 2. März 2017 ab. Gleichzeitig setzte es ihm unter Androhung des Nichteintretens eine Frist von 20 Tagen, um einen Kostenvorschuss von Fr. 2'060.-- zur Sicherstellung der Verfahrenskosten zu leisten. Alsdann trat das Verwaltungsgericht mit Verfügung des Einzelrichters vom 9. Mai 2017 auf die Beschwerde von A._ nicht ein und auferlegte ihm Gerichtskosten von Fr. 1'100.--. Das Verwaltungsgericht begründete das Nichteintreten mit dem Umstand, dass der geforderte Kostenvorschuss erst am 29. März 2017 und damit nach Ablauf der Zahlungsfrist am 27. März 2017 geleistet worden sei.
Mit Beschwerde vom 31. Mai 2017 gelangt A._ an das Bundesgericht. Er beantragt die Aufhebung der Verfügung vom 9. Mai 2017 und die Rückweisung der Angelegenheit zur materiellen Beurteilung an das Verwaltungsgericht. Ausserdem ersucht er um Erteilung der unentgeltlichen Rechtspflege für das bundesgerichtliche Verfahren.
Während sich das Migrationsamt nicht vernehmen liess, verzichtet die Sicherheitsdirektion auf eine Vernehmlassung. Das Verwaltungsgericht beantragt die Gutheissung der Beschwerde.
Der Beschwerde wurde mit Verfügung des Abteilungspräsidenten vom 2. Juni 2017 antragsgemäss die aufschiebende Wirkung erteilt.
2.
2.1. Dem Verfahren liegt ein Gesuch des Beschwerdeführers um Erteilung einer Aufenthaltsbewilligung zugrunde. Damit betrifft die Beschwerde eine Angelegenheit des öffentlichen Rechts (<ref-law>). Auf dem Gebiet des Ausländerrechts ist die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten jedoch unzulässig gegen Entscheide betreffend Bewilligungen, auf die weder das Bundesrecht noch das Völkerrecht einen Anspruch einräumt (<ref-law>). Gestützt auf das Ausländergesetz (SR 142.20) steht dem Beschwerdeführer, der mit einer hier aufenthaltsberechtigten Kamerunerin verheiratet ist, kein Anspruch auf Erteilung einer Aufenthaltsbewilligung zu (Art. 44 AuG; <ref-ruling> E. 1.2 S. 286 f.; Urteil 2C_947/2016 vom 17. März 2017 E. 4.1). Ein möglicher Anspruch des Beschwerdeführers auf Erteilung einer Aufenthaltsbewilligung könnte sich allerdings gestützt auf <ref-law> und Art. 8 EMRK ergeben. Voraussetzung dafür wäre unter anderem, dass die Ehefrau des Beschwerdeführers aufgrund (anderer) familiärer Verbindungen über einen Anspruch auf Verlängerung ihrer Aufenthaltsbewilligung und damit ein gefestigtes Anwesenheitsrecht verfügt (vgl. <ref-ruling> E. 1.3 S. 287 und E. 2.6 S. 292 f.; Urteil 2C_947/2016 vom 17. März 2017 E. 4.1). Wie es sich damit verhält, lässt sich gestützt auf die Sachverhaltsfeststellungen des vorinstanzlichen Urteils und die Ausführungen des Beschwerdeführers nicht abschliessend beurteilen. Die Frage nach der Zulässigkeit der Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann im Ergebnis aber dahingestellt bleiben, weil die Eingabe jedenfalls als subsidiäre Verfassungsbeschwerde entgegenzunehmen wäre: Die (strengeren) Eintretensvoraussetzungen für eine Behandlung des Rechtsmittels als subsidiäre Verfassungsbeschwerde sind erfüllt. Namentlich war der Beschwerdeführer bereits am vorinstanzlichen Verfahren beteiligt und hat er gestützt auf <ref-law> einen rechtlich geschützten Anspruch auf Behandlung seiner Beschwerde durch die Vorinstanz, sofern diese ordnungsgemäss eingereicht wurde (<ref-law>; vgl. <ref-ruling> E. 2.1 S. 9). Weiter richtet sich die innert der gesetzlichen Frist von 30 Tagen eingereichte Beschwerde gegen den kantonal letztinstanzlichen Endentscheid eines oberen Gerichts (Art. 86 Abs. 1 lit. d und Abs. 2 [i.V.m. Art. 114], Art. 90 [i.V.m. Art. 117], Art. 100 Abs. 1 [i.V.m. Art. 117] BGG). Umstritten ist sodann die Anwendung kantonalen Verfahrensrechts, die das Bundesgericht sowohl im Verfahren der Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten als auch in jenem der subsidiären Verfassungsbeschwerde hauptsächlich unter dem Gesichtswinkel der Verletzung verfassungsmässiger Rechte prüft (vgl. Art. 95 lit. a-c, <ref-law>). Entsprechend erweist sich die Frage nach der Zulässigkeit der Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten auch mit Blick auf die bundesgerichtliche Kognition nicht als entscheiderheblich.
2.2. Nach den unbestrittenen Erwägungen der Vorinstanz endete die Frist zur Leistung des Kostenvorschusses am 27. März 2017. Die Frist für eine Zahlung an das Gericht ist nach § 70 i.V.m. § 11 Abs. 2 des Verwaltungsrechtspflegegesetzes des Kantons Zürich vom 24. Mai 1959 (VRG; LS 175.2) und § 71 VRG i.V.m. <ref-law> eingehalten, wenn der Betrag spätestens am letzten Tag der Frist zugunsten des Gerichts der Schweizerischen Post übergeben oder einem Post- oder Bankkonto in der Schweiz belastet worden ist. Gemäss einer der Beschwerde beigelegten Postquittung (Empfangsschein) wurde der verlangte Kostenvorschuss von Fr. 2'060.-- am 27. März 2017 bei der Poststelle Selnau im Namen des Beschwerdeführers zugunsten des Verwaltungsgerichts einbezahlt. Bei diesem Beweismittel handelt es sich um ein vor Bundesgericht zulässiges Novum, gab doch erst die angefochtene Nichteintretensverfügung dem Beschwerdeführer Anlass, es ins Verfahren einzubringen (Art. 99 Abs. 1 [i.V.m. Art. 117] BGG). Das Verwaltungsgericht räumt im bundesgerichtlichen Verfahren seinerseits ein, dass ihm ein Fehler unterlaufen sei und die vom Beschwerdeführer eingereichte Postquittung (Empfangsschein) die Rechtzeitigkeit der Leistung des Kostenvorschusses nachweise. Bei dieser Ausgangslage ist davon auszugehen, dass der Kostenvorschuss entgegen den Feststellungen im angefochtenen Urteil am 27. März 2017 und nicht erst am 29. März 2017 geleistet wurde. Die Eintretensvoraussetzung der rechtzeitigen Vorschussleistung im verwaltungsgerichtlichen Verfahren ist damit erfüllt und der Nichteintretensentscheid der Vorinstanz mit der Begründung, der Kostenvorschuss sei zu spät erfolgt, stellt eine formelle Rechtsverweigerung (<ref-law>; <ref-ruling> E. 2.1 S. 9) dar.
2.3. Nach dem Dargelegten erweist sich die Beschwerde als offensichtlich begründet (<ref-law>). Sie ist im vereinfachten Verfahren nach <ref-law> gutzuheissen, soweit darauf einzutreten ist. Das angefochtene Urteil ist entsprechend aufzuheben und die Sache zur weiteren Behandlung an das Verwaltungsgericht zurückzuweisen. Gerichtskosten sind nicht zu erheben (<ref-law>). Der Kanton Zürich hat dem Beschwerdeführer eine Parteientschädigung auszurichten (<ref-law>). Bei diesem Verfahrensausgang wird das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege gegenstandslos.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird gutgeheissen, soweit darauf einzutreten ist. Die Verfügung des Einzelrichters der 4. Abteilung des Verwaltungsgerichts des Kantons Zürich vom 9. Mai 2017 wird aufgehoben und die Sache zur weiteren Behandlung an das Verwaltungsgericht zurückgewiesen.
2.
Es werden keine Kosten erhoben.
3.
Der Kanton Zürich hat den Beschwerdeführer für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 1'200.-- zu entschädigen.
4.
Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten, dem Verwaltungsgericht des Kantons Zürich, 4. Abteilung, und dem Staatssekretariat für Migration schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 9. Oktober 2017
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Seiler
Der Gerichtsschreiber: Fellmann