Faits :
A.
Le 12 mai 2015, le Tribunal criminel des Montagnes et du Val-de-Ruz a reconnu A._ coupable d'actes d'ordre sexuel avec des enfants (<ref-law>), de contrainte sexuelle (<ref-law>), de viol (<ref-law>) et d'inceste (<ref-law>) en lien avec les faits reprochés à l'égard de deux des trois enfants concernés; il l'a condamné à une peine privative de liberté de quatre ans. Le prévenu, ainsi que la troisième victime présumée ont formé appel contre ce jugement. Le 17 juillet 2015, le Ministère public du Parquet régional de La Chaux-de-Fonds a déposé un appel joint.
Au cours de la procédure d'appel, le Procureur a demandé la mise en détention pour motifs de sûreté du prévenu, requête rejetée le 14 avril 2016 par la direction de la procédure de la Cour pénale du Tribunal cantonal de la République et canton de Neuchâtel. Cette autorité a, par arrêt du 30 mai 2016, condamné A._ à une peine privative de liberté de cinq ans et prononcé son internement au sens de l'<ref-law>. Ce même jour, elle a ordonné l'arrestation immédiate du prévenu et son placement en détention pour des motifs de sûreté, retenant, notamment au vu des rapports d'expertise psychiatrique établis par le docteur B._ les 27 décembre 2011 et 29 mars 2016, l'existence d'un risque de récidive.
B.
Par acte du 9 juin 2016, A._ forme un recours en matière pénale contre cet arrêt, concluant à son annulation et à sa libération immédiate. A titre subsidiaire, il demande le renvoi de la cause à l'autorité précédente pour nouvelle décision. Le recourant sollicite aussi l'octroi de l'assistance judiciaire.
Invitée à se déterminer, l'autorité précédente s'est référée à sa décision. Quant au Ministère public, il a conclu au rejet du recours. Le 21 juin 2016, le recourant a persisté dans ses conclusions.

Considérant en droit :
1.
Selon l'<ref-law>, le recours en matière pénale est ouvert contre les décisions relatives à la détention provisoire ou pour des motifs de sûreté au sens des <ref-law> (<ref-ruling> consid. 1 p. 23). Le recourant - prévenu actuellement détenu - a qualité pour recourir (art. 81 al. 1 let. a et b ch. 1 LTF). Pour le surplus, le recours a été formé en temps utile (<ref-law>) contre une décision rendue par une autorité cantonale contre qui le recours direct au Tribunal fédéral est ouvert (art. 232 al. 2, 380 CPP et 80 al. 2 in fine LTF; arrêt 1B_219/2013 du 16 juillet 2013 consid. 1.1). Les conclusions prises par le recourant sont en outre recevables au regard de l'<ref-law>. Partant, il y a lieu d'entrer en matière.
2.
Le recourant reproche tout d'abord à l'autorité précédente une violation de l'<ref-law>. Il soutient à cet égard que cette disposition - certes applicable devant l'autorité d'appel - n'autoriserait pas son placement en détention en raison d'un risque de récidive, mais uniquement en présence de dangers de fuite ou de collusion; or, ceux-ci ne seraient pas réalisés.
2.1. Lors du prononcé du jugement en appel, la juridiction doit, à l'instar du tribunal de première instance, se prononcer sur la question de la détention. En effet, si l'autorité d'appel entre en matière, son jugement se substitue à celui de première instance (<ref-law>); il y a lieu dès lors d'appliquer mutatis mutandis l'<ref-law> et de décider si le condamné doit être placé ou maintenu en détention pour garantir l'exécution de la peine ou de la mesure (cf. <ref-law>) ou en prévision d'un éventuel recours (cf. <ref-law>), pour autant que les conditions de l'<ref-law> soient satisfaites. La juridiction d'appel peut ainsi prononcer le maintien de la détention pour des motifs de sûreté ou ordonner une mise en détention en se fondant sur l'<ref-law>. La jurisprudence considère en effet qu'une éventuelle condamnation en appel peut constituer un motif de détention apparu en cours de procédure au sens de l'alinéa premier de cette disposition (<ref-ruling> consid. 2.2 p. 280).
Les cas de figure posés à l'<ref-law> ne constituent pas des motifs de détention proprement dits au sens de l'art. 31 al. 1 Cst., mais apportent des précisions d'ordre procédural : l'<ref-law> désigne l'autorité compétente pour ordonner la détention à titre de sûreté et les motifs de détention demeurent ceux de l'<ref-law> (arrêts 1B_244/2013 du 6 août 2013 consid. 3.1; 1B_43/2013 du 1er mars 2013 consid. 3.1). La mise en détention en vertu de cette disposition n'exclut ainsi pas en soi l'application de l'art. 221 al. 1 let. c CPP (risque de récidive; cf. pour un exemple, arrêt 1B_427/2015 du 5 janvier 2016 consid. 2; MARC FORSTER, in Basler Kommentar, Schweizerische Strafprozessordnung, Art. 195-457 StPO, 2014, n° 5 ad <ref-law>; FRANZ RICKLIN, StPO Kommentar, Schweizerische Strafprozessordnung, 2e éd. 2014, n° 2 ad <ref-law>; MOREILLON/ PAREIN-REYMOND, Petit commentaire, Code de procédure pénale, 2013, nos 4 et 12 ad <ref-law>P). Tel est également le cas lorsque la direction de la procédure de la juridiction d'appel ordonne ou prolonge cette mesure en application de l'<ref-law> (cf. par exemple, arrêts 1B_181/2015 du 29 mai 2015 consid. 2 et 3; 1B_5/2015 du 26 janvier 2015 consid. 3.1 et 5; 1B_367/2013 du 7 novembre 2013 consid. 2.1 et 3; FORSTER, op. cit., n° 2 ad <ref-law>).
2.2. En l'occurrence, on ne voit pas quels arguments justifieraient de se distancer de cette solution. Celle-ci permet, notamment en cas d'infractions graves, d'assurer la sécurité publique (cf. consid. 3.1 ci-après) jusqu'à l'entrée en force du jugement de condamnation, respectivement le début de l'exécution de la peine. En effet, si un risque de récidive paraît avéré - par exemple à la suite d'une expertise psychiatrique -, l'intérêt public à la sécurité des potentielles prochaines victimes impose de ne pas attendre la réalisation de ce risque et la procédure pénale y relative pour pouvoir l'invoquer dans ce cadre (cf. a priori dans ce sens, DANIEL LOGOS, in Commentaire romand, Code de procédure pénale, 2011, n° 7 ad <ref-law>). Un tel raisonnement vaut d'ailleurs d'autant plus quand la nouvelle condamnation constitue déjà un cas de récidive pour des faits similaires.
Il découle de ces considérations qu'un placement en détention pour des motifs de sûreté à l'issue de la procédure d'appel peut aussi se fonder sur l'existence d'un risque de récidive au sens de l'art. 221 al. 1 let. c CPP. Par conséquent, ce premier grief doit être rejeté.
3.
Le recourant ne remet pas en cause l'existence de charges suffisantes à son encontre (cf. <ref-law>).
Il reproche en revanche à l'autorité précédente d'avoir considéré que le risque de récidive retenu dans les expertises psychiatriques de décembre 2011 et mars 2016 permettrait son placement en détention en mai 2016.
3.1. Conformément à l'art. 221 al. 1 let. c CPP, la détention pour des motifs de sûreté peut être ordonnée lorsqu'il y a lieu de craindre que le prévenu compromette sérieusement la sécurité d'autrui par des crimes ou des délits graves après avoir déjà commis des infractions du même genre.
Selon la jurisprudence, il convient de faire preuve de retenue dans l'appréciation du risque de récidive : le maintien en détention ne peut se justifier pour ce motif que si les délits dont l'autorité redoute la réitération sont graves et si le pronostic est très défavorable (<ref-ruling> consid. 4.5 p. 21). A cet égard, entrent notamment en compte la fréquence, ainsi que l'intensité des infractions constatées et le casier judiciaire (<ref-ruling> consid. 3.2 p. 85 s.; arrêts 1B_68/2016 du 15 mars 2016 consid. 4.1; 1B_50/2013 du 25 février 2013 consid. 4.3). La jurisprudence se montre toutefois moins sévère dans l'exigence de vraisemblance lorsqu'il s'agit de délits de violence graves, car le risque à faire courir aux victimes potentielles est alors considéré comme trop important; en pareil cas, il convient de tenir compte de l'état psychique du prévenu, de son imprévisibilité ou de son agressivité (<ref-ruling> consid. 2.1.1 p. 21 s.; <ref-ruling> consid. 5.2 p. 129 s.; <ref-ruling> consid. 2e p. 271).
Bien qu'une application littérale de l'art. 221 al. 1 let. c CPP suppose l'existence d'antécédents, le risque de réitération peut être également admis dans des cas particuliers alors qu'il n'existe qu'un antécédent, voire aucun dans les cas les plus graves. La prévention du risque de récidive doit en effet permettre de faire prévaloir l'intérêt à la sécurité publique sur la liberté personnelle du prévenu (<ref-ruling> consid. 3-4 p. 18 ss). Le risque de récidive peut aussi se fonder sur les infractions faisant l'objet de la procédure pénale en cours, si le prévenu est fortement soupçonné - avec une probabilité confinant à la certitude - de les avoir commises (<ref-ruling> consid. 3.2 p. 86). En revanche, une possibilité hypothétique de réitération, ainsi que la probabilité que des infractions de peu d'importance soient à nouveau perpétrées ne suffisent pas pour justifier la détention provisoire (<ref-ruling> consid. 2.1.1 p. 22.; <ref-ruling> consid. 2.3 p. 73).
3.2. En l'occurrence, il n'est pas contesté que les deux rapports d'expertise retiennent un risque de récidive élevé. Selon le recourant, l'existence de ce danger n'aurait cependant pas justifié son placement en détention à l'issue du jugement de première instance (mai 2015) ou au cours de la procédure d'appel (avril 2016); il n'y aurait dès lors aucune nouvelle circonstance qui permettrait actuellement d'avoir une appréciation différente.
Le recourant omet toutefois de prendre en compte le jugement sur appel rendu le 30 mai 2016. Il y est reconnu coupable d'actes d'ordre sexuel avec des enfants, d'actes d'ordre sexuel commis sur une personne incapable de discernement ou de résistance, de contraintes sexuelles, ainsi que d'inceste au préjudice, non plus de deux enfants tel que retenu en première instance, mais de trois victimes. La durée de la peine privative de liberté à laquelle il est condamné est également supérieure à celle prononcée par le tribunal de première instance et un internement au sens de l'<ref-law> a de plus été ordonné. La situation a ainsi manifestement évolué - au demeurant de manière défavorable - depuis le prononcé de première instance, respectivement le rejet le 14 avril 2016 de la demande de mise en détention. Ces circonstances imposaient une nouvelle appréciation du risque de récidive et c'est donc à juste titre que la juridiction précédente y a procédé. Lors de son examen, elle a ainsi pris en considération la condamnation en 2001 du recourant à trois ans de réclusion pour des infractions similaires (art. 187 et 189 CP; cf. aussi le jugement sur appel p. 29), le pronostic défavorable relevé dans les rapports d'expertise sur la question du risque de récidive et les infractions retenues - notamment celles nouvelles en lien avec une troisième victime - dans l'arrêt du 30 mai 2016. Les arguments mentionnés par le recourant (en particulier le complot allégué des mères et la présence d'un tiers lors de ses contacts avec les enfants) ne permettent pas de modifier cette appréciation; le recourant pourra, le cas échéant, les faire valoir lors d'un recours au Tribunal fédéral contre le jugement sur appel.
Au vu de ces considérations, c'est à juste titre que la Cour pénale a retenu l'existence d'un risque de récidive (art. 221 al. 1 let. c CPP).
3.3. Le recourant ne soutient pas, à juste titre, que des mesures de substitution (<ref-law>) permettraient de pallier le danger de récidive existant et ne conteste pas que la durée de la détention subie respecte le principe de proportionnalité (<ref-law>). Partant, la décision attaquée ordonnant la détention pour des motifs de sûreté en raison d'un risque de récidive peut être confirmée.
4.
Il s'ensuit que le recours est rejeté.
Le recourant a demandé l'octroi de l'assistance judiciaire et les conditions en paraissent réunies (<ref-law>). Il y a lieu de désigner Me Marine Dugon en qualité d'avocate d'office et de fixer ses honoraires, qui seront supportés par la caisse du Tribunal fédéral (<ref-law>). Le recourant est en outre dispensé des frais judiciaires (<ref-law>). Il n'est pas alloué de dépens (<ref-law>).

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce :
1.
Le recours est rejeté.
2.
La demande d'assistance judiciaire est admise; Me Marine Dugon est désignée comme avocate d'office du recourant et une indemnité de 1'500 fr. lui est allouée à titre d'honoraires, à payer par la caisse du Tribunal fédéral. Il n'est pas perçu de frais judiciaires.
3.
Le présent arrêt est communiqué à la mandataire du recourant, au Ministère public de la République et canton de Neuchâtel, Parquet régional de La Chaux-de-Fonds, et à la Cour pénale du Tribunal cantonal de la République et canton de Neuchâtel.
Lausanne, le 24 juin 2016
Au nom de la Ire Cour de droit public
du Tribunal fédéral suisse
Le Président : Fonjallaz
La Greffière : Kropf