Sachverhalt:
A.
A.A._ und B.A._ heirateten am 23. August 2002 vor dem Zivilstandsamt in U._. Sie sind die Eltern der Kinder C.A._ (geb. 2000) und D.A._ (geb. 2003).
B.
Am 29. September 2010 verfügte der Einzelrichter am Bezirksgericht Höfe gestützt auf eine Teileinigung der Parteien, die Kinder für die Dauer des Getrenntlebens unter die Obhut der Mutter zu stellen. A.A._ wurde ein Besuchsrecht eingeräumt und er wurde zu monatlichen Unterhaltszahlungen an die Kinder (je Fr. 800.--) und an die Ehefrau (Fr. 2'030.-- ab 2. Juli 2010) verpflichtet.
C.
C.a. Am 22. Juni 2012 machte B.A._ vor dem Einzelrichter am Bezirksgericht Höfe die Scheidungsklage anhängig. A.A._ erklärte sich mit der Scheidung einverstanden. Eine Einigung in Bezug auf die Nebenfolgen der Scheidung konnte aber nicht gefunden werden. Namentlich verlangte jede Partei die Zusprechung der alleinigen elterlichen Sorge an sich selbst. Mit Urteil vom 9. Januar 2014 unterstellte der Einzelrichter die beiden Kinder unter die elterliche Sorge der Mutter (Disp. Ziff. 2). A.A._ wurde ein Besuchs- und Ferienrecht eingeräumt (Disp. Ziff. 3). Er wurde zudem verpflichtet, B.A._ an den Unterhalt von C.A._ und D.A._ je Fr. 1'000.-- pro Monat zu bezahlen zuzüglich allfälliger Kinder- oder Ausbildungszulagen (Disp. Ziff. 4). B.A._ wurde ein bis 31. Dezember 2019 befristeter monatlicher Unterhaltsbeitrag von Fr. 2'460.-- zugesprochen (Disp. Ziff. 5).
C.b. Gegen dieses Urteil erhob A.A._ am 10. Februar 2014 Berufung beim Kantonsgericht Schwyz. Diesem beantragte er, ihm die elterliche Sorge zu übertragen und der Mutter ein Besuchs- und Ferienrecht einzuräumen. Gleichzeitig sei B.A._ zu verpflichten, an den Unterhalt der Kinder je Fr. 500.-- pro Monat beizusteuern. Von persönlichen Unterhaltsbeiträgen sei abzusehen. Eventualiter sei er zu verpflichten, B.A._ Unterhalt von Fr. 1'200.-- pro Monat zu bezahlen.
C.c. Am 24. November 2014 beantragte A.A._ neu, die Kinder seien unter die gemeinsame elterliche Sorge der Parteien zu stellen. B.A._ verlangte die Abweisung der Berufung. Eventualiter seien die Kinder unter die gemeinsame elterliche Sorge der Parteien, aber unter die Obhut der Mutter zu stellen.
C.d. Das Kantonsgericht hiess am 9. Juni 2015 die Berufung teilweise gut und stellte die Kinder C.A._ und D.A._ unter die gemeinsame elterliche Sorge von A.A._ und B.A._; die faktische Obhut wies es B.A._ zu (Disp. Ziff. 1 in Anpassung von Ziff. 2 des erstinstanzlichen Urteils). Zudem passte das Kantonsgericht die Indexklausel für die Kinderunterhaltsbeiträge an. Im Übrigen wurde die Berufung abgewiesen.
D.
Mit Eingabe vom 18. August 2015 wendet sich A.A._ (Beschwerdeführer) an das Bundesgericht. Er verlangt, das angefochtene Urteil teilweise aufzuheben und ihn von Unterhaltszahlungen an B.A._ zu befreien. Allenfalls seien diese auf Fr. 1'200.-- zu reduzieren und bis zum 31. Dezember 2019 zu befristen. Mit Eingabe vom 18. September 2015 reichte der Beschwerdeführer ein Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege nach.
Es sind die vorinstanzlichen Akten, aber keine Vernehmlassungen eingeholt worden.

Erwägungen:
1.
Die Beschwerde richtet sich gegen den Endentscheid (Art. 90 BGG) einer letzten kantonalen Instanz (Art. 75 Abs. 1 BGG), der die vermögensrechtlichen Folgen einer Ehescheidung, also eine Zivilsache im Sinne von Art. 72 Abs. 1 BGG zum Gegenstand hat. Die Streitwertgrenze gemäss Art. 74 Abs. 1 Bst. b BGG ist erreicht. Die rechtzeitig (Art. 100 Abs. 1 BGG) eingereichte Beschwerde ist zulässig.
2.
2.1. Im ordentlichen Beschwerdeverfahren sind in rechtlicher Hinsicht alle Rügen gemäss Art. 95 f. BGG zulässig. Das Bundesgericht wendet das Recht grundsätzlich von Amtes wegen an (Art. 106 Abs. 1 BGG) und urteilt mit freier Kognition. Es ist allerdings nicht gehalten, wie ein erstinstanzliches Gericht alle sich stellenden rechtlichen Fragen von sich aus zu untersuchen, wenn der Beschwerdeführer diese nicht mehr thematisiert (<ref-ruling> E. 1.3 S. 584; <ref-ruling> E. 2.2.1 S. 389). Deshalb ist in der Beschwerde in gedrängter Form darzulegen, inwiefern der angefochtene Akt Recht verletzt (Art. 42 Abs. 2 BGG; <ref-ruling> E. 1.1 S. 104 f.). Der Beschwerdeführer muss auf den angefochtenen Entscheid eingehen und aufzeigen, worin eine Verletzung von Bundesrecht liegt; er soll im Schriftsatz mit seiner Kritik an den Erwägungen der Vorinstanz ansetzen, die er als rechtsfehlerhaft erachtet (vgl. BGE <ref-ruling> E. 2.2.1 S. 389; <ref-ruling> E. 2a S. 400). Verfassungsverletzungen werden nur geprüft, wenn sie gerügt und gehörig begründet werden (Art. 106 Abs. 2 BGG; BGE <ref-ruling> E. 2.2.1 S. 389; <ref-ruling> E. 3.2 S. 88 mit Hinweisen).
Soweit es um die Überprüfung von Ermessensentscheiden (Art. 4 ZGB) wie namentlich bei der Festsetzung von Unterhalt geht, auferlegt sich das Bundesgericht Zurückhaltung. Es schreitet nur ein, wenn die kantonale Instanz grundlos von in Lehre und Rechtsprechung anerkannten Grundsätzen abgewichen ist, wenn sie Gesichtspunkte berücksichtigt hat, die keine Rolle hätten spielen dürfen, oder wenn sie umgekehrt rechtserhebliche Umstände ausser Acht gelassen hat. Aufzuheben und zu korrigieren sind ausserdem Ermessensentscheide, die sich als im Ergebnis offensichtlich unbillig, als in stossender Weise ungerecht erweisen (<ref-ruling> E. 1 S. 99; <ref-ruling> E. 4.2 S. 15; <ref-ruling> E. 2c/aa S. 162).
2.2. Ferner legt das Bundesgericht seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (Art. 105 Abs. 1 BGG). Der Beschwerdeführer kann die Feststellung des Sachverhalts rügen, wenn diese offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von Art. 95 BGG beruht und wenn die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein kann (Art. 97 Abs. 1 BGG; <ref-ruling> E. 1.2.2 S. 252). Auf eine Kritik an den tatsächlichen Feststellungen der Vorinstanz, die diesen Anforderungen nicht genügt, ist nicht einzutreten (vgl. <ref-ruling> E. 1.3 S. 351; <ref-ruling> E. 7.1 S. 398).
3.
3.1. Der Beschwerdeführer wehrt sich dagegen, der Beschwerdegegnerin weiterhin Unterhalt zahlen zu müssen. Er macht geltend, dass die Vorinstanz das erstinstanzliche Urteil abgeändert und neu das gemeinsame Sorgerecht der Parteien festgelegt habe, ohne daraus Konsequenzen zu ziehen. Obwohl er nun ebenfalls die elterliche Sorge habe, müsse er gleich hohe Unterhaltsbeiträge zahlen, wie wenn die Kindsmutter die alleinige Sorge hätte. Die Vorinstanz begründe dies zu Unrecht mit der faktischen Obhut seitens der Kindsmutter. Richtig sei zwar, dass es eine faktische Obhut geben müsse, diese solle aber nicht in Stein gemeisselt sein. Er fügt an, dass eine Abänderung der Obhut denn auch kein Abänderungsverfahren zur Folge haben würde. Seiner Ansicht nach sollten bezüglich der Finanzen grundsätzlich beide Parteien gleich gestellt werden. Nur so lasse sich auch ein vermehrtes Besuchsrecht etc. durchführen. Andernfalls könne er sein neues Recht gar nicht in Anspruch nehmen, hätte er doch Mehrkosten bei der Betreuung der Kinder zu leisten und müsste trotzdem der Beschwerdegegnerin gleich viel wie nach altem Recht (d.h. bei alleiniger Sorge der Mutter) bezahlen. Werde der Vorinstanz gefolgt, sei die faktische Obhut in Tat und Wahrheit die bisherige rechtliche Obhut. Damit "hätte man die ganze Gesetzesänderung auch sein lassen können".
3.2. Am 1. Juli 2014 sind die revidierten Bestimmungen über die elterliche Sorge in Kraft getreten (AS 2014 S. 357 ff.). Die Vorinstanz hat die Berufung zu Recht unter Zugrundelegung des neuen Rechts beurteilt (Urteil 5A_92/2014 vom 23. Juli 2014 E. 2.1 mit Hinweis auf das Übergangsrecht gemäss Art. 12 Abs. 1 und Art. 7b SchlT ZBG). Sie ist dabei zum Schluss gekommen, dass im vorliegenden Fall kein Grund besteht, vom Regelfall der gemeinsamen elterlichen Sorge abzuweichen. Entsprechend hat sie die elterliche Sorge den Parteien gemeinsam übertragen. Die Vorinstanz sah keinen Anlass, deswegen auch die Unterhalts- und Betreuungsregelung abzuändern. Damit hat die Vorinstanz kein Bundesrecht verletzt. Die Tatsache, dass die elterliche Sorge den Eltern gemeinsam zusteht, bedeutet nicht zwingend, dass sich die Eltern auch die Betreuungs- und Erziehungsaufgaben teilen. Nach wie vor ist es daher möglich (und üblich), dass trotz gemeinsamer elterlicher Sorge die Betreuungs- und Erziehungsarbeit hauptsächlich auf den Schultern eines Elternteils lastet und der andere Elternteil im Wesentlichen nur finanziell zum Wohl des Kindes beiträgt. Wie es sich damit im Einzelnen verhält, entscheidet im Konflikt der Scheidungsrichter gestützt auf das Kindeswohl (Urteil 5A_985/2014 vom 25. Juni 2015 E. 3.2).
Der Beschwerdeführer macht zu Recht nicht geltend, dass er wegen der von der Vorinstanz verfügten gemeinsamen elterlichen Sorge einen grösseren Anteil an der Betreuungs- und Erziehungsarbeit übernehmen müsse. Tatsächlich hat die Vorinstanz indes bloss die Besuchs- und Ferienzeiten bestätigt, welche die erste Instanz dem Beschwerdeführer bei alleiniger elterlicher Sorge der Mutter zugesprochen hatte. Es handelt sich dabei um nicht mehr als ein übliches Besuchsrecht, welches der Beschwerdeführer im Übrigen nicht anficht. Er macht auch nicht geltend, dass diese Lösung nicht im Wohl der Kinder liege. Letztlich will der Beschwerdeführer gar nicht mehr Betreuungsanteile übernehmen, sondern bloss weniger bezahlen. Bestätigt wird dieser Eindruck durch die Behauptung des Beschwerdeführers, dass es der Beschwerdegegnerin ohne Weiteres möglich wäre, ihre Erwerbstätigkeit um mindestens 20 Prozent zu erhöhen. Der Beschwerdeführer tut nicht dar, dass er vor Vorinstanz entsprechende Anträge gestellt hätte.
Schliesslich ist es keineswegs so, dass der vorinstanzliche Entscheid die erfolgte Revision der elterlichen Sorge zunichte machen würde. Die Tatsache, dass die Vorinstanz der Beschwerdegegnerin bloss die faktische Obhut überlassen hat, hat im Gegenteil zur Folge, dass auch nach der Scheidung sämtliche Entscheide, die die Kinder betreffen, von den Eltern gemeinsam zu fällen sind, soweit es dabei nicht um alltägliche und dringliche Angelegenheiten geht (Art. 301 Abs. 1bis Ziff. 1 ZGB) oder der andere Elternteil nicht mit vernünftigem Aufwand zu erreichen ist (Art. 301 Abs. 1bis Ziff. 2 ZGB). Namentlich kommt auch eine Verlegung des Aufenthaltsorts der Kinder grundsätzlich nur im Einvernehmen der Eltern in Frage (Art. 301a ZGB). Der Beschwerdeführer verfügt damit über eine wesentlich bessere Rechtsstellung, als er sie nach dem früheren Recht beim Verlust der elterlichen Sorge im Rahmen einer Scheidung hatte. Inwiefern die vom Beschwerdeführer angetönten terminologischen Bedenken - die Verwendung des im Gesetz nicht vorkommenden Begriffs der faktischen Obhut und die Rede von Besuchs- und Ferienrechten anstatt von Betreuungsanteilen - zu einer Rechtsverletzung im Sinne der Art. 95 f. BGG geführt haben sollten, führt der Beschwerdeführer nicht aus. Hierauf ist nicht einzutreten (E. 2.1; vgl. auch Urteil 5A_55/2015 vom 20. August 2015 E. 3.3 f.). In welchem Verfahren eine Abänderung der Obhut zu erfolgen hätte, kann vorliegend offen bleiben.
4.
Im Eventualbegehren verlangt der Beschwerdeführer zumindest eine Reduktion des der Beschwerdegegnerin geschuldeten Unterhaltsbeitrags auf Fr. 1'200.--. Er wehrt sich damit gegen die Höhe und die konkrete Berechnung des Unterhalts. Er macht geltend, dass der von der Vorinstanz angegebene Überschuss von Fr. 1'256.-- nicht zutreffe, da er neu in V._ lebe und höhere Wegkosten habe. Dabei tut der Beschwerdeführer allerdings nicht dar, dass er höhere Wegkosten bereits vor der Vorinstanz geltend gemacht hätte. Nicht einmal das Datum des Umzugs erwähnt er. Auf den Vorwurf ist daher mangels ausreichender Rüge nicht einzutreten (E. 2.2). In gleicher Weise appellatorisch ist der Hinweis des Beschwerdeführers, dass die Klägerin ihre Erwerbstätigkeit mindestens um 20 Prozent erhöhen könne, nicht zuletzt weil die Kinder älter würden und weniger Betreuung bräuchten. Eine rechtsgenügliche Auseinandersetzung mit der Unterhaltsberechnung findet sich in der Beschwerde nicht (E. 2.1 f.). Damit erübrigt es sich, auf das eventualiter gestellte Begehreneinzutreten.
5.
Zusammenfassend ergibt sich, dass die Beschwerde abzuweisen ist, soweit auf sie eingetreten werden kann. Die Gerichtskosten sind ausgangsgemäss dem Beschwerdeführer aufzuerlegen (Art. 66 Abs. 1 BGG), mangels Einholung von Vernehmlassungen wird er hingegen nicht entschädigungspflichtig. Weil die Beschwerde als von Anfang an aussichtslos bezeichnet werden muss, kann dem Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege für das bundesgerichtliche Verfahren nicht entsprochen werden (Art. 64 Abs. 1 BGG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.
Das Gesuch um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege im bundesgerichtlichen Verfahren wird abgewiesen.
3.
Die Gerichtskosten von Fr. 2'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Kantonsgericht Schwyz, 1. Zivilkammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 12. Januar 2016
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: von Werdt
Die Gerichtsschreiberin: Friedli-Bruggmann