Erwägungen:
1.
A._ erhob gegen die Nichtanhandnahmeverfügung der Regionalen Staatsanwaltschaft Bern-Mittelland vom 19. Juli 2016 Beschwerde. Die Beschwerdekammer in Strafsachen des Obergerichts des Kantons Bern forderte ihn mit Verfügung vom 9. August 2016 auf, innert 10 Tagen eine Sicherheit von Fr. 500.-- zu leisten. Mit Schreiben vom 12. August 2016 ersuchte A._ um Erteilung der unentgeltlichen Rechtspflege. Die Beschwerdekammer in Strafsachen des Obergerichts des Kantons Bern wies das Gesuch mit Verfügung vom 15. August 2016 ab. Zur Begründung führte die Beschwerdekammer zusammenfassend aus, dass der Privatklägerschaft die unentgeltliche Rechtspflege erteilt werde, wenn u.a. die Zivilklage nicht als aussichtslos erscheine. Vorliegend seien bezüglich der geltend gemachten Ehrverletzungstatbestände die Antragsfristen längstens abgelaufen. Hinsichtlich der behaupteten falschen Anschuldigung, Irreführung der Rechtspflege und Nötigung seien die Tatbestände offensichtlich nicht erfüllt. Die Beschwerde sei daher aussichtslos.
2.
A._ führt mit Eingabe vom 16. August 2016 (Postaufgabe 17. August 2016) Beschwerde in Strafsachen gegen die Verfügung der Beschwerdekammer in Strafsachen des Obergerichts des Kantons Bern. Das Bundesgericht hat davon abgesehen, Stellungnahmen zur Beschwerde einzuholen.
3.
Nach <ref-law> ist in der Begründung einer Beschwerde in gedrängter Form darzulegen, inwiefern der angefochtene Entscheid Recht verletzt.
Entgegen der Auffassung des Beschwerdeführers ging die Beschwerdekammer nicht davon aus, dass die angezeigten Straftaten verjährt seien. Die Beschwerdekammer hielt lediglich fest, dass die Antragsfristen bezüglich der geltend gemachten Ehrverletzungstatbestände längst abgelaufen seien. Damit setzt sich der Beschwerdeführer in seiner Beschwerde überhaupt nicht auseinander. Gleich verhält es sich, soweit die Beschwerdekammer die übrigen vom Beschwerdeführer angerufenen Straftatbestände (falsche Anschuldigung, Irreführung der Rechtspflege und Nötigung) als offensichtlich nicht erfüllt beurteilte. Der Beschwerdeführer unterlässt es somit, sich mit der Begründung der Beschwerdekammer, die zur Abweisung des Gesuchs um unentgeltliche Rechtspflege führte, auseinanderzusetzen. Er vermag daher nicht aufzuzeigen, inwiefern diese Begründung bzw. die Verfügung der Beschwerdekammer selbst im Ergebnis rechts- bzw. verfassungswidrig sein soll. Demgemäss ist mangels einer genügenden Begründung im Sinne von <ref-law> auf die Beschwerde nicht einzutreten. Der Begründungsmangel ist offensichtlich, weshalb über die Beschwerde im vereinfachten Verfahren nach <ref-law> entschieden werden kann.
4.
Auf eine Kostenauflage kann verzichtet werden (<ref-law>).

Demnach erkennt der Präsident:
1.
Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2.
Es werden keine Kosten erhoben.
3.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Bern, Beschwerdekammer in Strafsachen, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 24. August 2016
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Fonjallaz
Der Gerichtsschreiber: Pfäffli