Faits :
A.
A._ travaille au Centre C._ depuis 2003. Il a été engagé par un contrat de travail de droit privé soumis aux <ref-law>. Par un avenant du 11 septembre 2009, il est devenu le directeur de ce centre à partir du 1 er juillet 2009, après avoir assumé cette fonction par intérim depuis le 1 er septembre 2007. Il a alors été colloqué en classe 13, échelon 12 (actuellement classe 13, échelon 18). Le Centre C._ est l'un des quatre centres faisant partie de la Fondation B._, qui est elle-même membre de l'Association neuchâteloise des Maisons pour Enfants, Adolescents et Adultes (ANMEA).
L'ANMEA a signé une convention collective de travail (CCT-ES) entrée en vigueur le 1 er janvier 2011. Sont soumis à cette convention les employés des institutions membres de l'ANMEA, à l'exception toutefois des membres du collège de direction, dont A._ notamment.
A partir du 1 er juillet 2013, un nouveau directeur a été engagé au Centre D._, qui est également l'un des quatre centres de la Fondation B._. Ce directeur a été colloqué en classe 13, échelon 28, dès son entrée en fonction. A._ s'est plaint d'une inégalité de traitement auprès de la Fondation B._. Il a vainement demandé à cette dernière de faire le nécessaire pour que sa situation salariale soit régularisée et qu'un arriéré de salaire lui soit versé.
B.
Par écriture du 30 juin 2014, A._ a ouvert action devant la Cour de droit public du Tribunal cantonal de la République et canton de Neuchâtel en lui demandant de constater la discrimination salariale dont il se disait victime par rapport au directeur nouvellement engagé par le Centre D._, de condamner la Fondation B._ à lui verser un salaire mensuel brut de 11'831 fr., ainsi qu'un arriéré de salaire total de 13'048 fr. 55.
Statuant le 9 juin 2015, la Cour de droit public a déclaré la demande irrecevable, considérant que le litige relevait du droit privé et qu'en conséquence, elle n'était pas compétente pour en connaître.
C.
A._ exerce un recours en matière de droit public dans lequel il conclut à l'annulation de l'arrêt attaqué et reprend, sur le fond, ses précédentes conclusions. Subsidiairement, il conclut au renvoi de la cause à l'autorité cantonale pour nouvelle décision.
La Fondation B._ ne s'est pas déterminée sur le recours.

Considérant en droit :
1.
1.1. Le point de savoir si l'on est en présence d'une cause de droit public relevant du droit de la fonction publique au sens de l'art. 83 let. g LTF est une question qui constitue l'objet du litige porté devant le Tribunal fédéral. L'examen de la recevabilité du recours suppose donc de résoudre une question qui se recoupe avec le litige au fond. Dans un tel cas, il suffit, au stade de la recevabilité, que le recourant rende vraisemblable que, sur la question litigieuse, les conditions fondant la compétence du tribunal sont remplies, le point de savoir si tel est effectivement le cas étant ensuite tranché, pour autant que les autres conditions de recevabilité propres à la matière soient réunies, avec l'examen de la cause au fond (arrêt 8C_227/2014 du 18 février 2015 consid. 2.1).
1.2. En l'espèce, la contestation est de nature pécuniaire, de sorte que le motif d'exclusion de l'art. 83 let. g LTF n'entre pas en considération. La valeur litigieuse dépasse par ailleurs le seuil de 15'000 fr. ouvrant la voie du recours en matière de droit public en ce domaine (<ref-law>).
2.
Le Tribunal fédéral ne peut revoir les questions de droit cantonal que sous l'angle restreint de l'arbitraire, dans le cadre d'un moyen pris de la violation d'un droit constitutionnel (cf. art. 95 et 96 LTF, a contrario), expressément soulevé et développé conformément aux exigences de motivation accrues prévues à l'<ref-law>. Celles-ci imposent au recourant d'expliquer de manière claire et précise en quoi le droit constitutionnel aurait été violé (cf. <ref-ruling> consid. 2.3 p. 387; <ref-ruling> consid. 2.2 p. 69).
3.
Selon les premiers juges, il n'est pas exclu que des rapports de service avec une personne morale de droit privé puissent relever du droit public lorsque cet employeur a pour mandat d'exécuter des tâches d'intérêt public. Tel n'est toutefois pas le cas quand l'employeur accomplit seulement des tâches d'utilité publique, c'est-à-dire des tâches d'intérêt général en faveur de la collectivité (par exemple une fondation privée s'occupant d'établissements pour personnes âgées). Dans le cas d'espèce, les juges cantonaux retiennent que la Fondation B._ est une fondation de droit privé soumise aux <ref-law> et qui a pour but la promotion de la prévention, des traitements et de la réduction des risques dans le domaine des addictions et la création et la gestion de centres d'information, de consultation et de traitement. La CCT-ES, à laquelle sont soumises l'ANMEA et, partant, la Fondation B._, contient de nombreux renvois aux dispositions du Code des obligations, mais aucune référence au droit public. Elle soumet les litiges entre employeurs et employés résultant du contrat de travail aux juridictions civiles ordinaires. La juridiction cantonale relève par ailleurs que son annexe 6 détermine le traitement annuel des employés des institutions membres de l'ANMEA selon 14 classes de 36 échelons chacune. L'art. 10 de cette annexe prévoit que le traitement initial est fixé par l'employeur, sous réserve de l'aval de l'entité cantonale compétente. Aussi bien la juridiction cantonale retient-elle que les employés de la fondation sont clairement soumis au droit privé et qu'il en est de même des directeurs de l'institution, dans la mesure où ils sont liés à la fondation par un contrat de travail de droit privé et qu'aucune disposition légale ne les soumet au statut de la fonction publique. En définitive, conclut la juridiction cantonale, il n'existe aucun motif justifiant de soumettre au droit public les relations de travail liant le demandeur à la défenderesse.
4.
4.1. Le recourant se plaint tant d'un déni de justice formel (cf. art. 29 al. 1 Cst.) que d'un défaut de motivation du jugement attaqué (cf. art. 29 al. 2 Cst.). Il reproche à l'autorité cantonale de ne pas s'être prononcée sur des griefs, selon lui pertinents, qu'il a formulés devant elle. Si la cour cantonale a correctement identifié le problème posé, en admettant que des rapports de service avec un employeur revêtant la forme d'une personne morale de droit privé pourraient selon les cas être soumis au droit public, elle n'aurait pas examiné ce qu'il en était dans le cas concret. Ainsi, la cour cantonale n'aurait pas cherché à savoir si le Centre C._ accomplissait une tâche d'intérêt public, incombant en principe à la collectivité, ou simplement une activité d'utilité publique. Elle n'aurait attaché de l'importance qu'aux textes qui s'appliquent à l'engagement des directeurs des établissements faisant partie de la Fondation B._. La cour cantonale n'aurait pas non plus tenu compte d'une série d'éléments que le recourant avait invoqués pour tenter de démontrer que le Centre C._ accomplissait bien des tâches d'intérêt public, critère selon lui essentiel pour juger de la question de savoir si, comme il le prétend, ses rapports avec la Fondation B._ relèvent du droit public. En définitive, les premiers juges n'auraient pas traité de cette question, qui, aux yeux du recourant, constituait pourtant l'argument essentiel de sa demande.
4.2. Une autorité cantonale commet un déni de justice formel et viole l'art. 29 al. 1 Cst. lorsqu'elle n'entre pas en matière dans une cause qui lui est soumise dans les formes et délais prescrits, alors qu'elle devrait s'en saisir (<ref-ruling> consid. 5.2 p. 182; <ref-ruling> consid. 2.1 p. 9; <ref-ruling> consid. 2.3 p. 232). Elle viole en revanche le droit d'être entendu découlant de l'art. 29 al. 2 Cst. lorsqu'elle ne respecte pas son obligation de motiver ses décisions afin que le justiciable puisse les comprendre et exercer ses droits de recours à bon escient. Pour satisfaire à cette exigence, il suffit que l'autorité mentionne au moins brièvement les motifs qui l'ont guidée et sur lesquels elle a fondé sa décision. Elle n'a pas l'obligation d'exposer et de discuter tous les faits, moyens de preuve et griefs invoqués par les parties, mais peut au contraire se limiter à ceux qui, sans arbitraire, peuvent être tenus pour pertinents (<ref-ruling> consid. 5.1 p. 237; <ref-ruling> consid. 3.2 p. 270). L'essentiel est que la décision indique clairement les faits qui sont établis et les déductions juridiques qui sont tirées de l'état de fait déterminant (<ref-ruling> consid. 8.2 p. 153).
4.3. En l'espèce, l'autorité cantonale a été saisie de la demande et a statué sur les conclusions prises par le demandeur. Elle a par ailleurs motivé sa décision en exposant les raisons pour lesquelles elle considérait que le litige relevait du droit privé. Implicitement tout au moins, elle a retenu que le Centre C._ était une institution d'utilité publique (p. 2 du jugement attaqué, deuxième paragraphe). L'affirmation selon laquelle un grief n'est pas pertinent pour l'application d'une norme de droit constitue une motivation attaquable. Il en va de même du reproche selon lequel l'autorité précédente aurait tenu compte d'éléments décisifs à ses yeux, au détriment d'autres arguments jugés déterminants par le demandeur. Si celui-ci estime que, ce faisant, l'autorité précédente a méconnu le droit, il doit invoquer la violation des règles violées et non celle de la violation du droit d'être entendu (cf. arrêt 5A_409/2014 du 15 septembre 2014 consid. 3.2). Le grief tiré de la violation de l'art. 29 Cst. n'est dès lors pas fondé.
5.
5.1. Se fondant sur la distinction opérée par la juridiction cantonale, le recourant soutient que le Centre C._ accomplit une tâche d'intérêt public et non pas seulement une activité d'utilité publique. Il invoque l'art. 5 de la Constitution de la République et Canton de Neuchâtel du 24 septembre 2000 (RS/NE 101), qui confère à l'Etat la tâche d'assurer la promotion et la sauvegarde de la santé (let. e). Il se prévaut également de l'art. 50 de la loi de santé du 6 février 1995 (RS/NE 800.1), lequel prescrit à l'Etat d'organiser la lutte contre l'alcoolisme et les autres toxicomanies. Il souligne que le Centre C._ accomplit aujourd'hui des tâches qui étaient auparavant dévolues à un service de l'Etat, à savoir le Service médico-social. C'est donc à tort que la cour cantonale se serait fondée sur la qualification juridique utilisée par les parties pour qualifier leurs relations, au lieu d'analyser le contenu réel de celles-ci. L'Etat exercerait en outre, au travers du Service des institutions pour adultes et mineurs (SIAM) un contrôle sur les conditions d'engagement des directeurs des institutions faisant partie de la Fondation B._. En particulier, c'est lui qui fixerait, en réalité, leurs salaires. Aussi bien l'arrêt attaqué serait-il entaché d'arbitraire (art. 9 Cst.), dès lors qu'il ne reposerait pas sur des motifs sérieux et objectifs, qu'il serait insoutenable et heurterait gravement le sens de la justice.
5.2. Comme le Tribunal fédéral a déjà eu l'occasion de le constater, la Constitution fédérale ne règle pas la nature juridique des rapports de travail des employés des collectivités publiques. Les motifs qui plaident en faveur du rapport de droit public résident notamment dans la nature particulière de l'Etat et des tâches exercées par son personnel, les contraintes constitutionnelles qui pèsent sur l'Etat employeur, ainsi que l'absence de besoin d'un recours au droit privé. Aussi bien la doctrine majoritaire privilégie-t-elle le droit public pour régler les rapports de travail du personnel de l'Etat tout en admettant, avec plus ou moins de restrictions, la possibilité de recourir aux contrats de droit privé pour certains salariés (arrêt 8C_227/2014 du 18 février 2015 consid. 4.2.2 et les références de doctrine citées). Le Tribunal fédéral pour sa part n'exclut pas a priori la possibilité pour les collectivités publiques de soumettre au droit privé, sous certaines conditions toutefois, les rapports de travail qui les lient à certains collaborateurs (<ref-ruling> consid. 3 p. 217). Pour déterminer si un rapport juridique relève du droit privé ou du droit public, on ne peut pas se fonder sur la qualification juridique utilisée par les parties. Ce qui est décisif, c'est le contenu réel du rapport de droit. Si une autorité est partie audit rapport de droit, le droit public est présumé applicable (arrêts 2P.151/2005 du 9 février 2006 consid. 5; 2P.136/2005 du 14 décembre 2005 consid. 3.1.1). Il est cependant admis que si une tâche étatique est transférée à une personne morale de droit privé, celle-ci reste régie par le droit privé, lors même qu'elle exercerait des tâches publiques. Son personnel est donc régi par le droit privé. Il en est de même lorsqu'une tâche étatique est transférée à une entité de droit privé créée dans ce but (THIERRY TANQUEREL, Droit public et droit privé: unité et diversité du statut de la fonction publique, in Les réformes de la fonction publique, Tanquerel/Bellanger [éd.], 2012, p. 52; PETER HÄNNI, Personalrecht des Bundes, in Schweizerisches Bundesverwaltungsrecht [SBVR], Organisationsrecht, 2e éd., 2004, n. 40; PETER HELBLING, Folgen im Personalrecht, in Schaffhauser/Poledna [éd.], Auslagerung und Privatisierung von staatlichen und kommunalen Einheiten, St-Gall 2002, p. 98; voir aussi arrêt 2P.217/2003 du 22 octobre 2003 consid. 2.3).
5.3. Dans le cas particulier, il est incontesté que le recourant a été engagé sur la base d'un contrat de travail soumis au droit privé et non selon les règles applicables au personnel de l'Etat en général. La question d'une éventuelle requalification du contrat de droit privé en une relation de droit public ne se pose pas (voir au sujet d'une possible requalification, MAHON/ROSELLO, Les réformes en cours du droit de la fonction publique: tendances et perspectives, in: Les réformes de la fonction publique, op. cit., p. 30). En effet, la soumission au droit privé n'est en l'espèce pas contestable dès lors que celui-ci s'applique sans autre, ainsi qu'on vient de le voir, aux employés d'une personne morale de droit privé, même si cette dernière accomplit des tâches de droit public. Quant au fait que le SIAM exerce un droit de regard sur le traitement des personnes concernées, il n'est pas déterminant. Comme le relève la juridiction cantonale, cela découle des contraintes (contrôle de la gestion administrative et financière) imposées à la fondation du fait de son subventionnement. Ainsi qu'il ressort des constatations du jugement attaqué, c'est bien la fondation qui engage les membres du collège de direction et verse leurs salaires et non l'Etat, même si les fonds résultent en tout ou en partie de subventionnements publics et si l'Etat adresse aux employés intéressés une fiche de confirmation d'engagement, celle-ci ayant seulement pour but de reconnaître ces charges dans le contexte de la subvention. Enfin, il n'apparaît pas déterminant que les employés de la fondation exercent une tâche d'utilité publique ou d'intérêt public. Quoi qu'il en soit, les premiers juges pouvaient, sans tomber dans l'arbitraire, retenir que le recourant était soumis à une relation de travail de droit privé. Le recourant ne démontre pas, par ailleurs, que cette solution serait le résultat d'une application arbitraire du droit cantonal.
6.
Pour le reste, le recourant ne prétend pas que la cour cantonale aurait été compétente pour connaître du litige de droit privé qui l'oppose à la fondation.
7.
De ce qui précède, il résulte que le recours doit être rejeté.
Le recourant, qui succombe, supportera les frais judiciaires (<ref-law>).

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce :
1.
Le recours est rejeté.
2.
Les frais judiciaires, arrêtés à 1'500 fr., sont mis à la charge du recourant.
3.
Le présent arrêt est communiqué aux parties et à la Cour de droit public du Tribunal cantonal de la République et canton de Neuchâtel.
Lucerne, le 22 mars 2016
Au nom de la Ire Cour de droit social
du Tribunal fédéral suisse
Le Président : Maillard
Le Greffier : Beauverd