Faits :
A.
A.a. A._ a travaillé en qualité de serrurier auprès de la société B._ SA, à U._ (du 1er janvier 1991 au 31 mai 1995), radiée du registre du commerce en décembre 1999. A ce titre, il était affilié pour la prévoyance professionnelle auprès de Pax Fondation collective LPP (ci-après: la caisse de prévoyance).
Le 30 décembre 1993, A._ a subi une entorse au genou droit qui a nécessité trois interventions chirurgicales (des 24 février, 2 juin 1994 et 8 juin 1995). Le cas a été tout d'abord pris en charge par la Caisse nationale suisse d'assurance en cas d'accidents (ci-après: la CNA). Elle a alloué à l'assuré une rente d'invalidité de l'assurance-accidents de 33,33 % dès le 1er décembre 1998, ainsi qu'une indemnité pour atteinte à l'intégrité correspondant à un taux de 10 % (décision sur opposition du 29 octobre 1999). Statuant le 29 août 2000, le Tribunal administratif de la République et canton de Neuchâtel a rejeté le recours formé par l'assuré contre cette décision.
La caisse de prévoyance a, en se fondant sur la décision de la CNA, octroyé à l'assuré une rente d'invalidité de la prévoyance professionnelle de 33,33 % dès le 1er décembre 1998.
A.b. En arrêt de travail depuis le 30 décembre 1993, A._ a déposé une demande de prestations de l'assurance-invalidité le 24 juillet 1995. L'Office de l'assurance-invalidité du canton de Neuchâtel (ci-après: l'office AI) a confié une expertise rhumatologique aux docteurs C._, médecin chef, D._, médecin adjoint, et E._, médecin assistant auprès du service de rhumatologie et de médecine physique de l'Hôpital F._ (rapport du 15 juillet 1998), et une expertise psychiatrique aux docteurs G._, médecin chef adjoint, et H._, médecin assistant auprès du Centre I._ (rapport du 1er septembre 1999). Les médecins ont conclu que l'assuré souffrait de gonalgies à prédominance droite sur arthrose fémoro-patellaire débutante, d'une légère chondropathie, d'une lésion du ménisque interne, d'un status après distorsion du genou droit (en 1993), d'un status après trois arthroscopies du genou droit (en 1994 et en 1995), d'un status post résection d'une synovite villo-nodulaire pigmentée du genou droit (en 1995), de cervicalgies chroniques, de lombalgies basses sur troubles statiques, d'un syndrome douloureux somatoforme persistant et d'un trouble de l'adaptation avec réaction dépressive prolongée.
Après une première décision (du 30 octobre 2000), qui a été annulée en dernière instance par le Tribunal fédéral (arrêt I 129/02 du 29 janvier 2003), l'office AI a tout d'abord alloué à l'assuré une demi-rente de l'assurance-invalidité dès le 1er octobre 1998, fondée sur un degré d'invalidité de 61 %, puis trois quarts de rente dès le 1er janvier 2004, en raison de l'entrée en vigueur de la 4ème révision de la loi sur l'assurance-invalidité (décisions du 3 février et du 25 mars 2004).
A.c. Initiant une procédure de révision, l'office AI a confié la réalisation d'une expertise psychiatrique au docteur J._, spécialiste en psychiatrie et psychothérapie (rapport du 30 juin 2004). Par décision du 4 août 2004, confirmée sur opposition le 26 mars 2007, l'office AI a supprimé le droit de l'assuré à une rente d'invalidité. Statuant le 22 juillet 2009, le Tribunal administratif de la République et canton de Neuchâtel, Cour des assurances sociales, a admis le recours formé par l'assuré et renvoyé la cause à l'administration pour instruction complémentaire et nouvelle décision au sens des considérants.
Reprenant l'instruction, l'office AI a tout d'abord demandé un complément d'expertise psychiatrique au docteur J._, qui a fait état d'une dysthymie associée à des perturbations physiologiques sans effet sur la capacité de travail (rapport du 20 août 2010). Il a ensuite confié la réalisation d'une expertise rhumatologique au docteur K._, spécialiste en médecine interne générale et en rhumatologie. Le médecin a diagnostiqué - avec effet sur la capacité de travail - une oligarthrite inclassable, des rachialgies chroniques, une gonarthrose droite et une arthrose de la cheville droite; l'assuré présentait une incapacité de travail totale dans n'importe quel domaine d'activité professionnelle depuis février 2005 (rapport du 10 septembre 2010). Par décisions du 24 juin et du 12 juillet 2011, l'office AI a octroyé à l'assuré trois quarts de rente d'invalidité dès le 1er octobre 2004, puis une rente entière dès le 1er mai 2005.
A.d. En se fondant sur les décisions de l'office AI (du 24 juin et du 12 juillet 2011), A._ a demandé à Pax Fondation collective LPP un nouvel examen de sa situation le 11 juillet 2011. La caisse de prévoyance a tout d'abord confirmé le versement d'une rente d'invalidité de la prévoyance professionnelle de 33,33 %, associée à une rente d'enfant, puis invité l'assuré à s'adresser à la caisse de pension auprès de laquelle il était assuré en mai 2005 pour faire valoir l'augmentation de son incapacité de travail (courrier du 6 février 2012). Au vu du désaccord exprimé, la caisse a recueilli des informations complémentaires auprès des docteurs L._, spécialiste en médecine interne générale et médecin-conseil (avis du 29 juin 2012), K._ (avis du 21 décembre 2012) et M._, spécialiste en médecine physique et réadaptation, en rhumatologie et médecin traitant (avis du 23 janvier 2013). De son côté, l'assuré a requis l'avis de la doctoresse N._, spécialiste en médecine interne générale et en rhumatologie (du 28 mars 2014). Par courrier du 17 avril 2014, la caisse de prévoyance a maintenu sa position.
B.
Statuant le 23 août 2016, le Tribunal cantonal de la République et canton de Neuchâtel, Cour de droit public, a rejeté l'action ouverte par l'assuré contre la caisse de prévoyance, par laquelle celui-ci demandait notamment qu'elle lui versât une rente correspondant à un taux de 61 % dès le 1er octobre 1998, puis une rente entière dès le 1er mai 2005.
C.
A._ forme un recours en matière de droit public contre ce jugement dont il demande l'annulation. Il conclut principalement et en substance à l'octroi d'une rente d'invalidité de la prévoyance professionnelle, fondée sur un taux d'invalidité de 61 % (du 1er octobre 1998 au 30 avril 2005), puis de 100 % (dès le 1er mai 2005), avec libération des primes y relatives, à l'octroi d'une rente pour enfant d'invalide (jusqu'au 31 janvier 2007) et au versement des montants représentant l'adaptation à l'évolution des prix - non retenue par la caisse de prévoyance et en fonction des rentes à fixer - pour la période de janvier 2002 au jugement à intervenir. Subsidiairement, il demande le renvoi de la cause à l'autorité précédente pour qu'elle ordonne le versement des prestations d'assurance auxquelles il a droit au sens des considérants.

Considérant en droit :
1.
Le recours en matière de droit public peut être formé pour violation du droit, tel qu'il est délimité par les art. 95 et 96 LTF. Le Tribunal fédéral applique le droit d'office (<ref-law>), n'étant limité ni par les arguments de la partie recourante, ni par la motivation de l'autorité précédente. Le Tribunal fédéral n'examine en principe que les griefs invoqués, compte tenu de l'exigence de motivation prévue à l'<ref-law>, et ne peut aller au-delà des conclusions des parties (<ref-law>). Il fonde son raisonnement sur les faits retenus par l'autorité précédente (<ref-law>) sauf s'ils ont été établis de façon manifestement inexacte ou en violation du droit au sens de l'<ref-law> (<ref-law>). La partie recourante qui entend s'écarter des faits constatés doit expliquer de manière circonstanciée en quoi les conditions de l'<ref-law> sont réalisées, sinon un état de fait divergent ne peut être pris en considération (<ref-law>).
2.
2.1. Est litigieux en l'espèce le droit du recourant à des prestations d'invalidité de la prévoyance professionnelle supérieures à celles qui lui sont versées par l'intimée depuis le 1er décembre 1998 et leur adaptation à l'évolution des prix.
2.2. Le jugement entrepris expose de manière complète les dispositions légales et les principes jurisprudentiels relatifs au droit à des prestations d'invalidité de la prévoyance professionnelle ainsi qu'à la notion de survenance de l'incapacité de travail, en relation avec la double condition de la connexité matérielle et temporelle nécessaire pour fonder l'obligation de prester d'une institution de prévoyance (<ref-ruling> consid. 6.2 p. 419; <ref-ruling> consid. 3.1 p. 68; <ref-ruling> consid. 3.2 p. 22; <ref-ruling> consid. 4.1 p. 275 et les références). Il suffit d'y renvoyer.
3.
3.1. S'estimant suffisamment renseignés sur la base du dossier, les premiers juges ont rejeté les conclusions en paiement prises par le recourant envers l'intimée. Ils ont tout d'abord constaté que le recourant n'avait présenté aucune incapacité de travail pour des raisons psychiques à la suite de l'accident du 30 décembre 1993. Sur le plan somatique, les premiers juges ont retenu que le recourant souffrait du genou droit depuis le 30 décembre 1993, de douleurs à la cheville droite, de cervicalgies, de lombalgies depuis 1997 et d'un rhumatisme inflammatoire inclassé mis en évidence pour la première fois par le docteur M._ (avis du 22 avril 2007). Puis, ils ont constaté que les médecins de l'Hôpital F._ n'avaient pas fait état de stigmate inflammatoire en 1998 (rapport du 15 juillet 1998). Aussi, selon les premiers juges, il n'y avait pas lieu de s'écarter des conclusions du docteur K._, entérinées par l'office AI, selon lesquelles le rhumatisme inflammatoire généralisé avait vraisemblablement débuté en février 2005, mois à partir duquel le docteur M._ avait pris en charge l'assuré.
Les docteurs L._, K._ et M._ avaient par ailleurs exclu l'existence d'un lien de causalité naturelle entre l'accident survenu le 30 décembre 1993 et le rhumatisme inflammatoire. Quant à la doctoresse N._, elle avait uniquement émis l'hypothèse qu'un traumatisme pût déclencher un rhumatisme inflammatoire, mais ne s'était pas montrée catégorique quant à l'existence d'un lien de causalité naturelle entre l'accident (du 30 décembre 1993) et l'apparition d'un rhumatisme inflammatoire généralisé. En conséquence, les premiers juges ont retenu que le rhumatisme inflammatoire était apparu à une époque où le recourant n'était plus affilié à la caisse intimée, respectivement en février 2005, et qu'il n'existait aucun lien entre l'événement assuré et l'apparition de cette affection inflammatoire.
3.2. Le recourant reproche en substance à la juridiction cantonale d'avoir omis de constater de façon arbitraire le fait que le rhumatisme inflammatoire avait certainement débuté après 1998 selon le docteur K._. Il soutient que cette affection avait toutefois débuté "avant 1998, à tout le moins au degré de la vraisemblance prépondérante, si l'on se réfère à d'autres avis médicaux (voir expertise du docteur K._ et les rapports cités dans celle-ci, voir expertises de la doctoresse N._ et du docteur O._) ".
4.
4.1. La juridiction cantonale a retenu à bon droit et de manière convaincante qu'il ne suffit pas de constater la persistance d'une incapacité de gain et d'une incapacité de travail qui a débuté durant l'affiliation à l'institution de prévoyance pour justifier le droit à une prestation de la prévoyance professionnelle. Il convient au contraire, conformément à l'<ref-law>, qui se réfère à la cause de l'incapacité de travail, d'examiner séparément, en relation avec chaque atteinte à la santé, si l'incapacité de travail qui en résulte est survenue durant l'affiliation à l'institution de prévoyance et est à l'origine d'une invalidité. Aussi, pour que l'intimée soit tenue à des prestations, il faut non seulement que l'incapacité de travail ait débuté à une époque où l'assuré lui était affilié, soit jusqu'à fin juin 1995 selon les faits constatés par les premiers juges (avis de départ du 6 septembre 1995), et non pas à fin novembre 1998, mais encore qu'il existe entre cette incapacité de travail et l'invalidité une relation d'étroite connexité matérielle et temporelle.
4.2. On ne trouve en l'occurrence pas dans l'argumentation développée par le recourant sur quels points il reproche réellement à la juridiction cantonale - sinon par de simples affirmations ou oppositions - d'avoir commis une erreur manifeste ou de s'être livrée à une appréciation insoutenable des pièces versées au dossier. Les médecins consultés n'ont certes pas été en mesure de se prononcer précisément sur le moment de la survenance de son rhumatisme inflammatoire généralisé. Il est ainsi possible que la capacité de travail du recourant ait diminué progressivement en raison de cette affection inflammatoire jusqu'à devenir inexistante dès février 2005. Cependant, la juridiction cantonale a rappelé à juste titre qu'elle ne devait pas fonder sa décision sur des faits qui pouvaient être considérés seulement comme des hypothèses possibles. Dans le domaine des assurances sociales, et sauf dispositions contraires de la loi, le juge doit bien plutôt se fonder sur les faits qui, faute d'être établis de manière irréfutable, apparaissent comme les plus vraisemblables, c'est-à-dire qui présentent un degré de vraisemblance prépondérante (<ref-ruling> consid. 5.3 p. 186 et les références).
Or, dans le cas particulier, le recourant ne fait état d'aucun élément clinique ou diagnostique concret et objectif susceptible de mettre en cause les conclusions médicales qui ont conduit les premiers juges à retenir que le rhumatisme inflammatoire était apparu à une époque où il n'était plus affilié à la caisse intimée. En se fondant sur l'expertise du docteur K._ (rapport du 10 septembre 2010), le recourant souligne en particulier que le rhumatisme inflammatoire a "certainement" débuté après 1998, soit plusieurs années après la fin de son affiliation à la caisse intimée (juin 1995). On ajoutera que le docteur K._ a en réalité indiqué qu'il n'avait trouvé dans le dossier aucun élément objectif susceptible de l'orienter sur le début de l'affection inflammatoire avant février 2005; les médecins de l'Hôpital F._ n'ayant notamment trouvé aucun stigmate inflammatoire en 1998 (voir rapport du 15 juillet 1998). En se fondant sur l'avis de la doctoresse N._ (du 28 mars 2014), le recourant s'écarte par ailleurs des faits constatés dans le jugement entrepris lorsqu'il affirme avoir connu ses premières crises articulaires en 1995, sans démontrer en quoi la cour cantonale les aurait arbitrairement retenus. Qui plus est, cet avis se fonde essentiellement sur les renseignements anamnestiques donnés par l'assuré - soit qu'il avait commencé à souffrir de douleurs dans la cheville droite et au niveau de la nuque "en 1997" - pour fixer en 1995, a posteriori, le début des premières crises articulaires au niveau des articulations des chevilles et des pieds. Il n'y a dès lors pas lieu de s'écarter de l'appréciation des preuves opérée par la juridiction cantonale.
4.3. Dans un avis du 13 décembre 2012 et du 23 janvier 2013, les docteurs K._ et M._ ont par ailleurs nié l'existence d'un lien de causalité naturelle entre l'accident (du 30 décembre 1993) et l'affection inflammatoire (invalidante dès 2005). Quant à la doctoresse N._, elle a affirmé que la chronologie des événements la portait à croire que le traumatisme de 1993 avait pu jouer un rôle déclencheur dans le rhumatisme. Elle ne pouvait toutefois établir de façon certaine une relation de cause à effet entre ce traumatisme et l'apparition d'une affection inflammatoire invalidante dès 2005 (avis du 28 mars 2014). Aussi, comme l'ont constaté les premiers juges, aucun médecin n'a affirmé de manière catégorique l'existence d'un lien de causalité entre le traumatisme survenu le 30 décembre 1993 et le rhumatisme inflammatoire généralisé mis en évidence pour la première fois par le docteur M._ en 2007 (avis du 22 avril 2007). Bien au contraire, les docteurs K._ et M._ l'ont nié de manière convaincante. L'extrême brièveté de leur avis s'explique par ailleurs aisément. On peut en effet d'emblée douter qu'un traumatisme (modéré) au genou droit survenu fin 1993, sans phénomène inflammatoire intra-articulaire en 1998 (IRM du 12 mai 1998), puisse causer des atteintes inflammatoires débutant à la cheville gauche et à la base du gros orteil gauche plusieurs années plus tard (rapport du 15 juillet 1998, p. 3 ss).
4.4. Enfin, le recourant se limite à contester "qu'aucun rapport médical ne retient une incapacité de travail pour des raisons psychiques suite à l'accident du 30 décembre 1993". Ce faisant, il ne cherche nullement à démontrer, par une argumentation précise et étayée, que l'expertise (du 1er septembre 1999) sur laquelle se sont fondés les premiers juges comporterait des contradictions manifestes ou ignorerait des éléments cliniques ou diagnostiques essentiels, et encore moins à expliquer en quoi son point de vue serait objectivement mieux fondé que celui des psychiatres ou justifierait la mise en oeuvre d'un complément d'instruction. Il n'y a pas lieu de prendre en considération sa critique appellatoire.
4.5. Ensuite de ce qui précède, il n'apparaît pas, au degré de la vraisemblance prépondérante, que les troubles psychiques ou le rhumatisme inflammatoire généralisé du recourant soient survenus durant l'affiliation de celui-ci à l'institution de prévoyance (jusqu'à fin juin 1995). Et ils ne constituent ni une rechute ni une aggravation d'un événement assuré. Ces nouveaux cas d'assurance ne sont par conséquent pas couverts par la caisse intimée, car ils sont survenus à une époque où le recourant n'était plus assuré auprès d'elle. Le fait que les décisions de l'assurance-invalidité fédérale lient, en principe, les institutions de prévoyance n'y change rien. Ce principe trouve en effet sa limite lorsque la décision des organes de l'assurance-invalidité est fondée sur des éléments sans pertinence pour la détermination du droit à des prestations de la prévoyance professionnelle. Le jugement entrepris n'est dès lors pas critiquable et le recours se révèle mal fondé. Il n'y avait pas lieu d'administrer les preuves requises par le recourant, en particulier la mise en oeuvre d'une expertise judiciaire.
5.
C'est en vain finalement que le recourant soutient que les rentes d'invalidité de la prévoyance professionnelle allouées par l'intimée devaient être adaptées - en vertu de l'<ref-law> - à l'évolution des prix dès le 1er janvier 2002. La juridiction cantonale a retenu à bon droit que l'intimée est une institution de prévoyance de droit privé pratiquant la prévoyance obligatoire et plus étendue (comp <ref-ruling> consid. 6.1 p. 173). Une telle institution est libre de définir, dans les limites des dispositions expressément réservées à l'<ref-law> en matière d'organisation, de sécurité financière, de surveillance et de transparence, le régime de prestations, le mode de financement et l'organisation qui lui convient, pour autant qu'elle respecte les principes d'égalité de traitement et de proportionnalité ainsi que l'interdiction de l'arbitraire (<ref-ruling> consid. 5.3 p. 180 et la référence). Or, comme l'ont rappelé à juste titre les premiers juges, seules les rentes de la prévoyance obligatoire en cours depuis plus de trois ans sont adaptées à l'évolution des prix, jusqu'à l'âge ordinaire de la retraite, conformément aux prescriptions du Conseil fédéral (<ref-law>).
Dans la prévoyance plus étendue, en vertu de l'<ref-law> (entré en vigueur le 1er janvier 2005), il a ppartient à l'organe paritaire ou à l'organe suprême de l'institution de prévoyance de décider chaque année si et dans quelle mesure les rentes doivent être adaptées (art. 36 al. 2 et 3 LPP). Dans son recours, l'assuré ne soutient toutefois nullement que l'intimée aurait décidé d'adapter à l'évolution des prix les rentes de la prévoyance plus étendue ces dernières années. Il ne fait au demeurant pas valoir que l'autorité précédente aurait refusé d'ordonner des moyens de preuve qu'il aurait sollicités.
6.
Mal fondé, le recours doit être rejeté. Le recourant, qui succombe, supportera les frais judiciaires afférents à la présente procédure (art. 66 al. 1, 1ère phrase LTF).

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce :
1.
Le recours est rejeté.
2.
Les frais judiciaires, arrêtés à 800 fr., sont mis à la charge du recourant.
3.
Le présent arrêt est communiqué aux parties, au Tribunal cantonal de la République et canton de Neuchâtel, Cour de droit public, et à l'Office fédéral des assurances sociales.
Lucerne, le 30 juin 2017
Au nom de la IIe Cour de droit social
du Tribunal fédéral suisse
La Présidente : Pfiffner
Le Greffier : Bleicker