Faits :
A.
Ressortissant camerounais né en 1977, A._ est entré en Suisse en 2003 muni d'un visa de tourisme, à l'échéance duquel il a poursuivi illégalement son séjour en Suisse.
En septembre 2010, il a sollicité du Service de la population du canton de Vaud (ci-après: le Service cantonal) la délivrance d'une autorisation de séjour, alléguant qu'il vivait depuis février 2006 en concubinage avec B._, ressortissante camerounaise née en 1974 et titulaire d'une autorisation d'établissement, et leur enfant commune C._, née en 2007 et également titulaire d'une autorisation d'établissement, dont il avait été reconnu comme étant le père par jugement du 27 août 2010 du Tribunal d'arrondissement de U._.
Le 9 février 2012, le Service cantonal a informé A._ qu'il était disposé à lui délivrer une autorisation de séjour en application de l'art. 30 al. 1 let. b de la loi fédérale sur les étrangers (LEtr; RS 142.20), sous réserve de l'approbation de l'Office fédéral des migrations (devenu le Secrétariat d'Etat aux migrations à compter du 1 er janvier 2015; ci-après: le Secrétariat d'Etat). A la suite de l'approbation de cette autorité, A._ s'est vu accorder une autorisation de séjour valable jusqu'au 5 février 2013.
Le 24 juillet 2012, B._ a fait savoir au Bureau des étrangers de la ville de U._ que A._ avait quitté leur domicile commun le 16 juillet 2012.
Le 8 janvier 2013, A._ a sollicité la prolongation de son autorisation de séjour. Le 3 juin 2013, le Service cantonal a informé A._ qu'il était disposé à renouveler son autorisation de séjour, sous réserve de l'approbation du Secrétariat d'Etat.
B.
Par décision du 30 mai 2014, le Secrétariat d'Etat a refusé d'approuver la prolongation de l'autorisation de séjour de A._ et a prononcé son renvoi de Suisse. Ce dernier a recouru contre cette décision auprès du Tribunal administratif fédéral, qui a rejeté le recours par arrêt du 1 er juillet 2016. A._ ne pouvait pas tirer un droit au séjour de l'art. 8 CEDH et ne se trouvait pas non plus dans un cas d'extrême gravité au sens de l'art. 30 al. 1 let. b LEtr.
C.
Agissant en personne par la voie du recours en matière de droit public, A._ demande au Tribunal fédéral, sous suite de frais, principalement, d'annuler l'arrêt du 1 er juillet 2016 du Tribunal administratif fédéral et de réformer la décision du 30 mai 2014 du Secrétariat d'Etat en ce sens que son autorisation de séjour est approuvée; subsidiairement, d'annuler la décision du 30 mai 2014 du Secrétariat d'Etat et de lui renvoyer la cause pour nouvelle décision dans le sens des considérants.
Par ordonnance du 8 septembre 2016, le Président de la IIe Cour de droit public a accordé l'effet suspensif au recours.
Le Tribunal administratif fédéral a renoncé à prendre position sur le recours. Le Service d'Etat a conclu à son rejet. L'intéressé n'a pas déposé d'observations complémentaires.

Considérant en droit :
1.
Le Tribunal fédéral examine d'office et avec une pleine cognition la recevabilité des recours qui lui sont soumis (<ref-ruling> consid. 1.1 p. 197; <ref-ruling> consid. 2.1 p. 397).
1.1. D'après l'art. 83 let. c ch. 2 LTF, le recours en matière de droit public est irrecevable contre les décisions en matière de droit des étrangers qui concernent une autorisation à laquelle ni le droit fédéral ni le droit international ne donnent droit. Selon la jurisprudence, il suffit qu'il existe un droit potentiel à l'autorisation, étayé par une motivation soutenable, pour que cette clause d'exclusion ne s'applique pas et, partant, que la voie du recours en matière de droit public soit ouverte. La question de savoir si les conditions d'un tel droit sont effectivement réunies relève du fond (<ref-ruling> consid. 1.1 p. 332 et les références; <ref-ruling> consid. 2.5 p. 315; <ref-ruling> consid. 1.1 p. 179).
Pour fonder son droit à une autorisation de séjour, le recourant se prévaut du droit au respect de la vie familiale garanti à l'art. 8 par. 1 CEDH en raison de la relation étroite et effective qu'il dit entretenir avec sa fille titulaire d'une autorisation d'établissement et qui vit auprès de sa mère. Cette relation familiale étant potentiellement de nature à lui conférer un droit à l'obtention d'une autorisation de séjour, son recours échappe au motif d'irrecevabilité prévu à l'art. 83 let. c ch. 2 LTF. Le recourant ne fonde en revanche pas, et à juste titre, son recours en matière de droit public sur l'<ref-law>, qui est une disposition de nature potestative ne conférant aucun droit de séjour (arrêt 2C_400/2011 du 2 décembre 2011 consid. 1.2.2).
1.2. Pour le surplus, l'arrêt attaqué est une décision finale (<ref-law>) rendue par le Tribunal administratif fédéral (<ref-law>) dans une cause de droit public (<ref-law>). Déposé en temps utile compte tenu des féries (art. 46 al. 1 let. b et 100 al. 1 LTF), et dans les formes prescrites (<ref-law>), par le destinataire de l'arrêt entrepris qui a qualité pour recourir (cf. <ref-law>), le recours est partant recevable, sous réserve des conclusions que le recourant prend à l'encontre de la décision du 30 mai 2014 du Secrétariat d'Etat, qui sont irrecevables en raison de l'effet dévolutif complet du recours auprès du Tribunal administratif fédéral (cf. art. 54 de la loi fédérale sur la procédure administrative du 20 décembre 1968 [PA; RS 172.021]; arrêts 2C_328/2016 du 14 novembre 2016 consid. 2.2; 2C_29/2016 du 3 novembre 2016 consid. 1.2).
2.
2.1. Le recourant soutient que le Tribunal administratif fédéral a retenu à tort qu'il ne contribuait pas à l'entretien de sa fille. Il allègue que si aucune convention écrite n'a été conclue sur ce point, il participe à l'éducation de sa fille en versant régulièrement à sa mère une contribution en fonction de ses revenus et en prenant à sa charge son entretien lorsqu'elle se trouve chez lui. Il allègue également que " si cela est nécessaire ", il a prévu avec son ex-concubine de conclure une convention alimentaire formalisant cette situation et prévoyant l'attribution de l'autorité parentale conjointe.
2.2. Le Tribunal fédéral conduit son raisonnement juridique sur la base des faits constatés par l'autorité précédente (<ref-law>). En vertu de l'<ref-law>, le recours ne peut critiquer les constatations de fait que si les faits ont été établis de façon manifestement inexacte - notion qui correspond à celle d'arbitraire (<ref-ruling> consid. 2 p. 117; <ref-ruling> consid. 4.1.2 p. 62) - ou en violation du droit au sens de l'<ref-law>, et si la correction du vice est susceptible d'influer sur le sort de la cause (<ref-ruling> consid. 4.2 p. 234; <ref-ruling> consid. 1.5 p. 129 s.). Le grief d'arbitraire dans l'appréciation des preuves et la constatation des faits est soumis à des règles de motivation accrues (<ref-law>; <ref-ruling> consid. 1.4.3 p. 254 s.). En particulier, le Tribunal fédéral n'entre pas en matière sur des critiques de type appellatoire (<ref-ruling> consid. 2.3 p. 266; <ref-ruling> consid. 4.1.2 p. 62). Par ailleurs, aucun fait nouveau ni preuve nouvelle ne peut être présenté à moins de résulter de la décision de l'autorité précédente (<ref-law>).
2.3. En tant qu'il allègue de manière appellatoire verser régulièrement à son ancienne concubine une contribution en fonction de ses revenus, il ne démontre ni n'allègue que les juges précédents seraient tombés dans l'arbitraire en retenant au contraire qu'il ne versait aucune contribution pour l'entretien de sa fille (arrêt attaqué consid. 5.2.2). S'agissant de la prise en charge de l'entretien lorsque l'enfant se trouve chez lui, les juges précédents ont estimé que celle-ci ne pouvait être assimilée à une contribution d'entretien versée au parent gardien et le recourant ne démontre pas non plus en quoi cette appréciation - pour autant qu'il s'agisse bien là d'une question relevant des faits - serait entachée d'arbitraire. Il n'y a donc pas lieu de remettre en cause les constatations de l'arrêt attaqué. Enfin, la déclaration du recourant selon laquelle il pourrait si nécessaire conclure avec son ex-concubine une convention alimentaire et instaurer une autorité parentale conjointe relève de propos appellatoires irrecevables et constitue par ailleurs un fait nouveau prohibé.
3.
D'après l'art. 50 al. 1 let. b LEtr, après dissolution de la famille, le droit du conjoint et des enfants à l'octroi d'une autorisation de séjour et à la prolongation de sa durée de validité en vertu des art. 42 et 43 subsiste si la poursuite du séjour en Suisse s'impose pour des raisons personnelles majeures. Comme le renvoi aux art. 42 et 43 l'indique, cette disposition vise à prolonger une autorisation de séjour qui a été octroyée dans le cadre du regroupement familial (cf. arrêt 2C_27/2016 du 27 novembre 2016 consid. 4.2.1 destiné à la publication). En l'espèce, le recourant n'a pas obtenu d'autorisation de séjour en vertu des dispositions régissant le regroupement familial, mais en application de l'art. 30 al. 1 let. b LEtr, qui prévoit qu'il est possible de déroger aux conditions d'admission afin de tenir compte des cas individuels d'une extrême gravité ou d'intérêts publics majeurs. Il ne peut donc invoquer l'art. 50 al. 1 let. b LEtr pour obtenir la prolongation de son autorisation de séjour en Suisse et il ne le fait au demeurant pas valoir.
Est en revanche litigieux le point de savoir si le recourant peut se prévaloir du droit à la vie familiale garanti à l'art. 8 CEDH pour obtenir le droit de séjourner en Suisse, en raison de la relation qu'il entretient avec sa fille qui est titulaire d'une autorisation d'établissement, sur laquelle il n'a pas l'autorité parentale et dont il n'a pas la garde.
3.1. Un étranger peut, selon les circonstances, se prévaloir de l'art. 8 par. 1 CEDH pour s'opposer à l'éventuelle séparation de sa famille. Pour qu'il puisse invoquer la protection de la vie familiale découlant de cette disposition, l'étranger doit entretenir une relation étroite et effective avec une personne de sa famille ayant le droit de résider durablement en Suisse (<ref-ruling> consid. 1.2 p. 287; <ref-ruling> consid. 1.3.1 p. 145; <ref-ruling> consid. 3.1 p. 286). La notion de résidence durable en Suisse suppose que la personne ait la nationalité suisse, une autorisation d'établissement ou un droit certain à une autorisation de séjour (<ref-ruling> consid. 3.1 p. 354; <ref-ruling> consid. 1.3.1 p. 145 s.; arrêt 2C_360/2016 du 31 janvier 2017 consid. 5.1; cf. aussi <ref-ruling> consid. 5. p. 402).
3.2. La protection découlant de l'art. 8 CEDH n'est cependant pas absolue. Une ingérence dans l'exercice du droit au respect de la vie privée et familiale est possible, selon l'art. 8 par. 2 CEDH , p our autant que cette ingérence soit prévue par la loi et qu'elle constitue une mesure qui, dans une société démocratique, est nécessaire à la sécurité nationale, à la sûreté publique, au bien-être économique du pays, à la défense de l'ordre et à la prévention des infractions pénales, à la protection de la santé ou de la morale, ou à la protection des droits et libertés d'autrui.
3.2.1. Selon la jurisprudence, le parent qui n'a ni l'autorité parentale ni un droit de garde sur l'enfant ayant le droit de résider durablement en Suisse ne peut d'emblée entretenir une relation familiale avec l'enfant que de manière limitée, en exerçant le droit de visite dont il bénéficie. Or, il n'est en principe pas nécessaire que, dans ce but, le parent étranger soit habilité à résider durablement dans le même pays que son enfant. Sous l'angle du droit à une vie familiale, il suffit en règle générale que le parent vivant à l'étranger exerce son droit de visite dans le cadre de séjours de courte durée, au besoin en aménageant ses modalités quant à la fréquence et à la durée (cf. <ref-ruling> consid. 2.2 p. 319; arrêt 2C_27/2016 précité consid. 5.3 destiné à la publication). Le droit de visite d'un parent sur son enfant ne doit en effet pas nécessairement s'exercer à un rythme bimensuel et peut également être organisé de manière à être compatible avec des séjours dans des pays différents (<ref-ruling> consid. 3.2 p. 147). Un droit plus étendu ne peut le cas échéant exister qu'en présence de liens familiaux particulièrement forts d'un point de vue affectif et économique, lorsque cette relation ne pourrait pratiquement pas être maintenue en raison de la distance qui sépare le pays de résidence de l'enfant du pays d'origine de son parent, et que l'étranger a fait preuve en Suisse d'un comportement irréprochable (<ref-ruling> consid. 6.1 et 6.2 p. 46 ss; <ref-ruling> consid. 3.2 p. 147; <ref-ruling> consid. 2.2 p. 319; arrêt 2C_27/2016 précité consid. 5.2 destiné à la publication).
S'agissant des liens affectifs, seul le caractère effectif des liens entre l'enfant et le parent est déterminant (ATF <ref-ruling> consid. 3.1 p. 148).
Quant aux liens économiques, ils supposent que l'étranger verse une contribution financière pour l'entretien de l'enfant. Le motif pour lequel un étranger ne verse pas de contribution d'entretien (par exemple, une situation financière précaire) n'est pas déterminant: seul compte le fait que la pension ne soit pas versée et cette question est appréciée de manière objective (arrêts 2C_555/2015 du 21 décembre 2015 consid. 5.3; 2C_797/2014 du 13 février 2015 consid. 4.4; 2C_794/2014 du 23 janvier 2015 consid. 3.3; 2C_173/2009 du 10 septembre 2009 consid. 4.2). Le Tribunal fédéral admet toutefois qu'il convient de distinguer la situation dans laquelle l'étranger ne contribue pas à l'entretien de l'enfant faute d'avoir été autorisé à travailler de celle dans laquelle il ne fait aucun effort pour trouver un emploi, et que les exigences relatives à l'étendue de la relation que l'étranger doit entretenir avec son enfant d'un point de vue affectif et économique doivent rester dans l'ordre du possible et du raisonnable (arrêt 2C_555/2015 précité, eo loco et les références citées).
Enfin, la condition de comportement irréprochable s'apprécie en principe de manière stricte (<ref-ruling> consid. 2.5 p. 321; 2C_728/2014 du 6 mars 2015 consid. 4.1). Un séjour sans autorisation en Suisse peut ainsi faire obstacle à ce qu'un étranger soit en mesure de se prévaloir d'un comportement irréprochable (cf. arrêts 2C_520/2016 du 13 janvier 2017 consid. 4.5; 2C_75/2011 du 6 avril 2011 consid. 3.3). La jurisprudence relativise la condition de comportement irréprochable dans des situations spécifiques. Ainsi, lorsque l'éloignement du parent étranger remettrait en cause le séjour de l'enfant de nationalité suisse en Suisse, la jurisprudence n'exige plus du parent qui entend se prévaloir de l'art. 8 CEDH un comportement irréprochable et seule une atteinte d'une certaine gravité à l'ordre et à la sécurité publics peut l'emporter sur le droit de l'enfant suisse à pouvoir grandir en Suisse (<ref-ruling> consid. 3.3 p. 148 et les références citées). Par ailleurs, en présence d'une atteinte de peu d'importance à l'ordre public et d'un lien affectif et économique particulièrement fort avec l'enfant, la contrariété à l'ordre public ne constitue plus une condition indépendante rédhibitoire de refus de prolongation de permis de séjour, mais un élément parmi d'autres à prendre en compte dans la pesée globale des intérêts (<ref-ruling> consid. 4.3 p. 150 s.; arrêts 2C_123/2015 du 30 septembre 2015 consid. 2.3; 2C_728/2014 du 3 juin 2015 consid. 4.1).
3.2.2. Dans le cadre de l'examen de la proportionnalité de la mesure au sens de l'art. 8 par. 2 CEDH, il faut aussi tenir compte de l'intérêt fondamental de l'enfant (art. 3 de la Convention relative aux droits de l'enfant [CDE; RS 0.107]) à pouvoir grandir en jouissant d'un contact étroit avec ses deux parents (arrêts 2C_860/2016 du 2 décembre 2016 consid. 3.3.2; 2C_27/2016 précité consid. 5.5.1 destiné à la publication; 2C_157/2016 du 13 octobre 2016 consid. 6.2; cf. aussi arrêt de la CourEDH El Ghatet c. Suisse du 8 novembre 2016 [requête n o 56971/10], par. 27 s. et 46 s.).
3.3. En l'espèce, l'enfant C._ est titulaire d'une autorisation d'établissement et elle a donc le droit de résider durablement en Suisse. Le recourant n'a pas l'autorité parentale sur cette enfant et n'en a pas non plus la garde, mais il bénéficie d'un droit de visite dont l'arrêt attaqué retient qu'il est fixé de manière régulière, les mercredis ainsi qu'un week-end sur deux et les vacances, voire parfois tous les week-ends. Le recourant peut donc invoquer le droit au respect de sa vie familiale au sens de l'art. 8 par. 1 CEDH. Dans la mesure toutefois où il ne dispose que d'un droit de visite sur C._, il ne peut faire valoir de droit au séjour fondé sur l'art. 8 CEDH que s'il remplit les conditions énumérées ci-dessus (cf. supra consid. 3.2.1).
3.3.1. S'agissant des relations personnelles, le recourant soutient dans son recours qu'il voit sa fille quotidiennement et qu'il est très impliqué dans sa scolarité. Il s'agit toutefois là de faits non constatés par l'arrêt attaqué, que le recourant présente de manière appellatoire et qui ne peuvent donc pas être pris en considération (cf. supra consid. 2). Selon l'arrêt attaqué, le recourant dispose d'un droit de visite régulier comme décrit ci-dessus et rien n'indique qu'il ne l'exercerait pas.
En revanche, il ressort de l'arrêt attaqué que le recourant n'assume pas ses obligations financières de père. Il ne verse aucune contribution pour l'entretien de sa fille. La justice de paix du district de U._ a certes constaté, dans un jugement du 1 er octobre 2014, qu'aucune convention alimentaire en faveur de C._ n'avait été conclue compte tenu de la situation administrative du recourant, qui l'empêchait de travailler. Toutefois, le recourant a effectué quarante-quatre missions temporaires pour une agence d'emploi d'août 2012 à décembre 2015, a obtenu deux contrats de travail de durée déterminée en 2015 et un en 2016 et a travaillé pour deux particuliers en 2014 et 2015. Les autorités vaudoises l'ont d'ailleurs autorisé à séjourner et à travailler dans le canton au cours de la procédure de renouvellement de son autorisation de séjour. Dans ces circonstances, et comme l'ont constaté à bon droit les juges précédents, l'absence de convention d'entretien n'a pas de lien avec un refus d'autorisation d'exercer une activité lucrative. Le recourant ne peut pas non plus invoquer sa situation financière et la difficulté de trouver une place de travail fixe pour justifier l'absence de toute contribution mensuelle d'entretien. Le nombre important de missions temporaires effectuées (étant précisé que le contrat de travail conclu avec la Commune de U._, qu'il invoque dans son recours, a été dûment pris en compte dans l'arrêt attaqué) montre qu'il pouvait, même très modestement, contribuer à l'entretien de sa fille, ce qu'il n'a pas fait. Partant, on ne peut reprocher au Tribunal administratif fédéral d'avoir admis l'absence de lien familial du point de vue économique. A cela s'ajoute que le recourant a vécu sans autorisation de séjour en Suisse durant sept ans, que l'arrêt attaqué constate aussi qu'il est au bénéfice d'un revenu d'insertion accordé par le Centre social régional de U._ depuis le mois d'octobre 2012 et qu'il fait l'objet de poursuites qui s'élevaient à 2'292 fr. 40 au 15 janvier 2016. Il ne peut donc se prévaloir d'un comportement irréprochable quand bien même il n'aurait, comme il l'allègue, jamais fait l'objet de condamnations pénales.
3.3.2. Le départ du recourant aura des conséquences indéniables pour C._, qui ne pourra plus entretenir autant de liens directs que par le passé avec son père. Il faut toutefois souligner que, du fait du départ du domicile du recourant en juillet 2012, cette enfant ne vit plus avec son père depuis près de cinq ans, et que celui-ci pourra maintenir des contacts réguliers avec elle par téléphone, lettres ou par le biais des nouveaux moyens de communication. On peut par ailleurs imaginer que C._ puisse voir son père lors de séjours de vacances au Cameroun avec sa mère, également ressortissante camerounaise. Dans ces circonstances, le retour du recourant au Cameroun n'affectera pas gravement l'intérêt de l'enfant C._. Son intérêt privé à pouvoir grandir en jouissant d'un contact étroit avec ses deux parents ne peut en conséquence suffire à faire passer au second plan l'intérêt public à mettre fin au séjour du recourant en Suisse en application de l'art. 8 par. 2 CEDH.
3.4. Ce qui précède conduit au constat que le recourant ne peut pas se prévaloir d'un droit de séjour en Suisse fondé sur l'art. 8 CEDH.
4.
Il s'ensuit que le recours doit être rejeté dans la mesure de sa recevabilité. Succombant, le recourant doit supporter les frais judiciaires, qui seront réduits compte tenu de sa situation (art. 65 al. 2 et 66 al. 1 LTF). Il n'est pas alloué de dépens (art. 68 al. 1 et 3 LTF).

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce :
1.
Le recours est rejeté dans la mesure de sa recevabilité.
2.
Les frais judiciaires, arrêtés à 1'000 fr., sont mis à la charge du recourant.
3.
Le présent arrêt est communiqué au recourant, au Secrétariat d'Etat aux migrations, au Tribunal administratif fédéral, Cour III, et au Service de la population du canton de Vaud.
Lausanne, le 5 avril 2017
Au nom de la IIe Cour de droit public
du Tribunal fédéral suisse
Le Président : Seiler
La Greffière : Vuadens