Faits :
A.
A.a. Les sociétés Clinique C._ SA, Clinique A._ SA) et Clinique B._ SA (ci-après: les cliniques) exploitent des établissements hospitaliers privés dans le canton de Genève. Ces établissements, qui sont membres de l'Association des cliniques privées de Genève, figurent sur la liste cantonale genevoise des hôpitaux admis à pratiquer à la charge de l'assurance-maladie obligatoire, établie par un arrêté du Conseil d'Etat du canton de Genève, du 23 novembre 2011. Cet arrêté, entré en vigueur le 1er janvier 2012, a été complété par un arrêté adopté par le Conseil d'Etat le 10 avril 2013 avec effet rétroactif au 1er janvier 2013. Pour la période courant dès cette date, les deux arrêtés prévoient des mandats de prestations pour les établissements exploités par les cliniques. Ces mandats sont limités en pôles d'activités et en volume ("nombre annuel maximum de cas").
A.b. Par lettre-circulaire du 3 mai 2012, le Service de la santé publique du canton de Vaud (ci-après: le SSP) a informé les cliniques des règles et des procédures adoptées par le canton de Vaud en matière d'hospitalisations extracantonales. Le 26 août 2013, il a demandé à chacune d'elles d'apporter la preuve que les cas de patients vaudois hospitalisés dans le canton de Genève mais facturés au canton de Vaud entraient dans leurs quotas d'hospitalisations en faisant contrôler et valider par la Direction générale de la santé du canton de Genève les factures qu'elles lui avaient transmises. L'Etat de Vaud n'honorerait les factures qu'une fois obtenue cette validation par le canton de Genève.
A la demande du SSP, la Direction générale de la santé du canton de Genève a attesté, le 16 janvier 2014, qu'aucune des factures concernant le séjour de patients vaudois dans les établissements concernés dont elle avait connaissance n'entrait dans leur mandat de prestations, dès lors que les cliniques avaient utilisé l'intégralité du budget alloué par l'Etat pour les patients genevois.
Par décision du 18 février 2014, le Département de la santé et de l'action sociale du canton de Vaud (ci-après: le DSAS) a refusé de prendre en charge la part cantonale des frais d'hospitalisation correspondant à une série de factures que lui avaient adressée les cliniques après le 30 avril 2013, au motif qu'elles portaient sur des hospitalisations n'entrant pas dans le mandat de prestations défini par l'Etat de Genève pour les établissements en question.
B.
B.a. Les cliniques ont recouru séparément contre cette décision auprès du Tribunal cantonal du canton de Vaud, Cour des assurances sociales, en concluant à la condamnation de l'Etat de Vaud à leur verser les montants facturés, avec intérêts à 5 % l'an à compter du 10 octobre 2013. Statuant le 14 juillet 2015, le Tribunal cantonal a joint les causes, partiellement admis les recours dans la mesure de leur recevabilité, annulé la décision du 18 février 2014 et renvoyé la cause au DSAS pour nouvelle décision au sens des considérants.
Le Tribunal fédéral n'est pas entré en matière sur le recours formé par les cliniques contre ce jugement (arrêt 9C_680/2015 du 15 octobre 2015).
B.b. Le 14 janvier 2016, le DSAS a rendu trois décisions séparées à l'encontre de chacune des cliniques. Il a annulé sa décision du 18 février 2014 dans la mesure où elle concernait des factures portant sur des coûts d'hospitalisation de patients vaudois au sein des établissements des cliniques dont la prise en charge avait débuté jusqu'au 10 septembre 2013 et confirmé s'être déjà acquitté, sans intérêts, des factures y relatives produites par celles-ci. En confirmant sa décision du 18 février 2014 pour le surplus, il a refusé de prendre en charge la part cantonale des frais d'hospitalisation de patients résidant dans le canton de Vaud et dont l'hospitalisation avait débuté après le 10 septembre 2013.
C.
C.a. Le 19 février 2016, les cliniques ont chacune saisi le Tribunal cantonal vaudois d'un recours contre les décisions du 14 janvier précédent, dont elles ont requis l'annulation dans la mesure où le canton de Vaud refusait le paiement de la part de financement cantonal pour les hospitalisations de patients résidant dans le canton de Vaud qui ne tombaient pas dans les quotas d'hospitalisations qui leur avaient été attribués par mandat de prestations du canton de Genève. Elles ont également conclu à ce que soit constaté leur droit de facturer à la charge de l'assurance obligatoire des soins et de percevoir la part cantonale de financement des prestations stationnaires fournies à des patients résidant dans le canton de Vaud dans le domaine de spécialités médicales prévues pour elles dans la liste hospitalière en vigueur. Clinique C._ SA, Clinique A._ SA et Clinique B._ SA ont conclu à ce que l'Etat de Vaud soit condamné à leur verser, respectivement 181'473 fr. 65, 134'877 fr. 60 et 101'147 fr. 12, chaque fois assorti d'intérêts à 5 % l'an à compter du 21 mars 2014.
Après avoir joint les causes, la juridiction cantonale a rejeté les recours dans la mesure où ils étaient recevables, par jugement du 7 juin 2016.
C.b. Parallèlement aux recours de droit administratif cantonaux, les cliniques ont également chacune interjeté un recours en matière de droit public contre la décision du 14 janvier 2016 correspondante. En substance, elles en demandent l'annulation dans la mesure où la décision confirme celle du 18 février 2014 en ce qu'elle refuse le paiement, par le canton de Vaud, de la part cantonale pour les hospitalisations en cause de patients résidant dans le canton de Vaud qui ne tombent pas dans les quotas d'hospitalisations qui leur ont été conférés par le canton de Genève. Elles prennent par ailleurs les mêmes conclusions qu'en instance cantonale, aussi bien constatatoires - droit de facturer à charge de l'assurance-maladie obligatoire et de percevoir la part cantonale de financement des prestations hospitalières - que condamnatoires, en paiement des montants de leurs factures impayées (causes 9C_151/2016, 9C_153/2016 et 9C_155/2016).
Dans chacune de ses réponses aux recours respectifs, le DSAS s'en remet à dire de justice à leur sujet. De son côté, l'Office fédéral de la santé publique (OFSP) se prononce en faveur du rejet du recours.
Les cliniques se sont toutes trois encore déterminées le 14 juillet 2016.
C.c. Le 10 août 2016, agissant par la voie du recours en matière de droit public, les cliniques demandent au Tribunal fédéral d'annuler le jugement cantonal du 7 juin 2016. Elles réitèrent par ailleurs leurs conclusions constatatoires et condamnatoires prises précédemment (cause 9C_507/2016).
Invités à répondre au recours, le DSAS y a renoncé, tandis que l'OFSP en a préconisé le rejet.
Les cliniques ont déposé une détermination relative à l'avis de l'OFSP, le 6 décembre 2016.

Considérant en droit :
1.
Le litige porte sur le refus de l'Etat de Vaud de prendre en charge la part cantonale des frais d'hospitalisation au sens de l'<ref-law> pour les patients résidant dans le canton de Vaud qui ont été hospitalisés auprès des établissements des trois cliniques recourantes après le 10 septembre 2013. Tant le Tribunal cantonal vaudois que la Cour de céans ont été saisies de trois recours émanant de chacune des cliniques contre les décisions correspondantes du DSAS du 14 janvier 2016. La juridiction cantonale a joint les causes et statué dans un seul jugement, le 7 juin 2016, que les cliniques ont également déféré au Tribunal fédéral.
En instance fédérale, les quatre recours portent sur la même problématique. Ils ont une motivation comparable et des conclusions similaires, sous réserve des actes attaqués - décisions du DSAS du 14 janvier 2016, jugement cantonal du 7 juin 2016 - dont l'annulation est demandée. Cette différence n'influence toutefois pas les questions juridiques soulevées, qui sont identiques. Il se justifie dès lors de joindre les causes 9C_151/2016, 9C_153/2016, 9C_155/2016 et 9C_507/2016, et de statuer dans un seul arrêt (cf. <ref-law> [RS 273] par renvoi de l'<ref-law>).
2.
2.1. L'arrêt rendu le 7 juin 2016 par la Cour des assurances sociales du Tribunal cantonal vaudois rend sans objet les recours formés par les cliniques devant la Cour de céans contre les décisions respectives du DSAS du 14 janvier précédent. Compte tenu de l'effet dévolutif attaché aux recours formés devant la Cour des assurances sociales du Tribunal cantonal vaudois, ces décisions ont été remplacées par l'arrêt cantonal, si bien qu'elles ne peuvent plus, comme telles, être portées devant le Tribunal fédéral.
2.2. Aux regard des motifs des recours formés contre les décisions correspondantes du 14 janvier 2016, les griefs soulevés par les recourantes en instance fédérale ont exclusivement trait aux considérations du jugement cantonal du 14 juillet 2015, par lesquelles la Cour des assurances sociales a tranché la question de principe relative à l'application de quotas d'hospitalisation fixés par les autorités genevoises pour les patients résidant dans le canton de Vaud. Les décisions du DSAS du 14 janvier 2016 se fondent entièrement sur ce jugement cantonal, que le Tribunal fédéral avait à l'époque qualifié de décision incidente qui ne pouvait lui être déférée immédiatement, faute d'entraîner un préjudice irréparable pour les cliniques recourantes (arrêt 9C_680/2015 du 15 octobre 2015). Dans ces circonstances, les recours dirigés contre les décisions du 14 janvier 2016 n'apparaissaient pas d'emblée irrecevables, malgré le principe de l'épuisement des voies de recours (cf. art. 86 al. 1 let. d LTF). On pouvait en effet se demander - sans qu'une réponse ne doive être donnée sur ce point - si l'utilisation une nouvelle fois de la voie de recours cantonale aurait alors constitué un détour inutile, parce que la juridiction cantonale s'était déjà prononcée sur la question qui demeure litigieuse devant le Tribunal fédéral (voir <ref-ruling> consid. 4 p. 236; arrêt 1C_519/2012 du 14 août 2013; cf. aussi NICOLAS VON WERDT, Bundesgerichtsgesetz, 2ème éd., n° 42 ad <ref-law>).
Aussi, comme l'intérêt pour recourir des cliniques au moment du dépôt de leur recours contre les décisions du 14 janvier 2016 ne semblait pas faire d'emblée défaut, il convient non pas de déclarer les recours y relatifs irrecevables, mais de rayer les causes du rôle, en considérant que le prononcé de l'arrêt cantonal du 7 juin 2016 a rendu sans objet une décision à leur sujet (cf. <ref-ruling> consid. 1.1 p. 208).
2.3. Lorsque la cause devient sans objet ou que les parties cessent d'y avoir un intérêt juridique, le Tribunal fédéral statue néanmoins sur les frais afférents à la procédure engagée par une décision sommairement motivée, en tenant compte de l'état de fait existant avant l'événement mettant fin au litige (<ref-law> applicable par renvoi de l'<ref-law>) et de l'issue probable de celui-ci (<ref-ruling> consid. 2a p. 374 s.; arrêt 8C_745/2011 du 6 juin 2013 consid. 2.1). Cette décision porte à la fois sur les frais judiciaires (cf. <ref-law>) et sur les dépens (cf. <ref-law>). La décision à prendre au sujet des frais de la procédure ne saurait toutefois conduire le Tribunal fédéral à rendre un arrêt de fond, voire à préjuger d'une question juridique sensible. Si l'issue probable de la procédure n'apparaît pas évidente, il y a lieu de recourir aux critères généraux de la procédure civile, d'après lesquels les frais et dépens seront supportés en premier lieu par la partie qui a provoqué la procédure devenue sans objet ou chez qui sont intervenues les causes qui ont conduit à ce que cette procédure devienne sans objet (cf. <ref-ruling> consid. 4a p. 494; arrêt 2C_45/2009 du 26 mai 2009 consid. 3.1).
Il n'est pas possible, en l'espèce, de dire d'emblée quelle eût été l'issue de la procédure. Compte tenu des principes ci-dessus exposés, il y aurait lieu en principe - sous réserve de ce qui suit (consid. 9 infra) - de mettre les frais à la charge des recourantes qui ont provoqué la procédure devenue sans objet, en interjetant des recours cantonaux et fédéraux en parallèle. L'intimé ne peut se voir allouer des dépens (<ref-law>).
3.
Vu ce qui précède, il n'y a pas lieu de donner suite à la requête en suspension de l'instruction de la cause 9C_507/2016 présentée par les recourantes, qui invoquent du reste uniquement la "situation procédurale particulière" relative à leurs trois recours "sautants" contre la décision du 14 janvier 2016. Il convient d'entrer en matière sur le recours du 10 août 2016, sous la réserve suivante.
Selon un principe général de procédure, les conclusions en constatation de droit ne sont recevables que lorsque des conclusions condamnatoires ou formatrices sont exclues. Sauf situations particulières, les conclusions constatatoires ont donc un caractère subsidiaire (cf. <ref-ruling> consid. 1.7 p. 123; <ref-ruling> consid. 4 p. 122 et les arrêts cités). Dans la mesure où les recourantes concluent, parallèlement à la condamnation de l'Etat de Vaud à leur verser à chacune le montant correspondant à la part cantonale pour les hospitalisations en cause, postérieures au 10 septembre 2013, à ce qu'il soit constaté qu'elles sont habilitées à facturer à la charge de l'assurance-maladie obligatoire et percevoir la part cantonale au sens de l'<ref-law>, elles prennent une conclusion constatatoire qui est irrecevable. Au demeurant, leur recours est dénué de toute motivation quant à l'irrecevabilité de ces mêmes conclusions prononcée par la juridiction cantonale, de sorte qu'il est, pour ce motif déjà, irrecevable sur ce point (art. 42 al. 1 et 2 LTF).
4.
Est litigieux le bien-fondé de la décision par laquelle les premiers juges ont nié l'obligation de l'Etat de Vaud de verser aux recourantes la part cantonale (au sens de l'<ref-law>) pour les hospitalisations dans les établissements genevois des recourantes, postérieures au 10 septembre 2013, de patients résidant dans le canton de Vaud, au motif que les limites quantitatives fixées par les mandats de prestations conférés par le canton de Genève étaient dépassées.
4.1.
4.1.1. Selon les considérants du jugement du 14 juillet 2015, auxquels elle renvoie en partie dans sa décision ultérieure du 7 juin 2016, la juridiction cantonale a constaté que le mandat de prestations attribué à chacune des recourantes par le canton de Genève comprenait une limitation du volume des prestations. Se fondant sur les objectifs de la planification hospitalière - éviter à la fois une sous-capacité et une surcapacité hospitalière - et la volonté du législateur d'une coordination intercantonale de celle-ci, elle a considéré que les limitations de volume définies par le canton de Genève pour les recourantes étaient applicables en cas d'hospitalisation extracantonale. De l'avis des premiers juges, à défaut d'appliquer ces limitations de volume cantonales aux patients en provenance d'autres cantons, la planification hospitalière intercantonale serait sérieusement entravée et des distorsions de concurrence pourraient survenir entre les établissements d'un canton en cas d'inscription sur sa liste, par un autre canton, d'un hôpital situé dans le canton voisin. Les cantons seraient incités à se coordonner pour éviter au maximum toute inscription d'établissements situés dans le canton voisin sur leurs listes hospitalières respectives, ce qui ne correspondrait pas au but poursuivi par la réforme relative au financement hospitalier.
Selon la juridiction cantonale, l'application des limites quantitatives aux hospitalisations intra- et extracantonales est en outre compatible avec la coordination intercantonale de la planification hospitalière, sans supprimer totalement le principe du libre choix de l'hôpital ni celui de la concurrence entre les établissements hospitaliers de part et d'autre des frontières cantonales. L'Etat de Vaud est ainsi tenu de prendre en considération, lors du réexamen périodique de sa propre planification (au sens de l'<ref-law>), le flux de patients domiciliés dans le canton de Vaud notamment vers les établissements hospitaliers genevois, ce qui pourrait le conduire à réduire l'offre hospitalière (cf. art. 58b al. 2 et 3 et 58d OAMal), l'inverse valant pour le canton de Genève. Ensuite, toujours selon les juges cantonaux, le principe même de la planification hospitalière, avec des listes hospitalières et des mandats de prestations comportant une limitation quantitative pour l'établissement hospitalier mandataire, implique potentiellement une limitation indirecte du libre choix de l'hôpital par le patient, pour une hospitalisation intracantonale comme extracantonale. Il en va de même d'une possible planification commune aux cantons de Vaud et Genève, qui aurait un effet identique sur le libre choix que l'application des limites de volume définies par le mandat de prestations genevois aux patients extracantonaux.
L'autorité judiciaire de première instance en a conclu que l'opposition entre, d'une part, le principe du libre choix de l'hôpital par le patient et, d'autre part, le mandat de planification confié aux cantons ne peut être totalement levée. Ce mandat implique toutefois une restriction du libre choix de l'hôpital par le patient, notamment lorsque les limitations de volume définies par les cantons sont atteintes pour l'établissement hospitalier. Aussi, les recourantes ne peuvent-elles pas demander le paiement d'un financement résiduel des frais d'hospitalisation de tous les patients domiciliés dans le canton de Vaud et hospitalisés dans leurs établissements lorsque les limites quantitatives fixées par le mandat de prestations genevois ont été atteintes. L'obligation de paiement, par l'Etat de Vaud, de la part cantonale n'entre en considération que pour les hospitalisations incluses dans les quotas de prestations en question.
4.1.2. Dans son arrêt du 7 juin 2016, l'autorité de recours de première instance a encore précisé qu'en tant que les recourantes contestaient la légalité des limitations quantitatives fixées dans les mandats de prestations définis par les autorités genevoises, il ne lui appartenait pas de revoir la liste hospitalière genevoise qui devait faire l'objet d'un recours devant le Tribunal administratif fédéral (<ref-law>). Dans deux arrêts (C-6266/2013 du 29 septembre 2015 et C-1966/2014 du 23 novembre 2015), celui-ci avait du reste constaté à la suite du Tribunal fédéral (<ref-ruling>) qu'un canton était en droit d'introduire des limitations quantitatives des prestations dans sa planification hospitalière.
Les premiers juges ont par ailleurs rejeté l'argumentation des recourantes fondée sur un avis de droit que le Professeur Rütsche de l'Université de Lucerne a rendu le 21 octobre 2015 à l'intention de l'association Cliniques privées suisses ("Application de la LAMal aux cliniques privées", publiée sous le titre "Planification hospitalière et cliniques privées: Questions juridiques actuelles relatives à l'application de la LAMal aux cliniques privées", 2016, p. 69 ss [ci-après: avis de droit]). Selon cet avis, les cantons violent le droit fédéral s'ils appliquent aussi les limitations quantitatives prévues dans les mandats de prestations conclu (par un autre canton) avec les hôpitaux répertoriés aux patients résidant hors du canton concerné. La Cour vaudoise des assurances sociales a retenu à cet égard que les principes de concurrence et de liberté de choix - notions développées dans leur premier jugement - ne valent pas de manière absolue, ni pour les patients hospitalisés dans le canton où ils résident ni pour les patients franchissant une frontière cantonale pour se faire soigner, et doivent être conciliés avec la notion de planification hospitalière.
4.2. Les recourantes invoquent une violation de l'<ref-law>: le principe du libre choix de l'hôpital que prévoit cette disposition vaut indépendamment des limitations de volume fixées par les autorités genevoises dans les mandats de prestations correspondant, qui visent à couvrir les besoins en soins de la seule population genevoise. Aussi, l'application de ces limitations aux hospitalisations extracantonales de patients résidant dans le canton de Vaud, telle que décidée par la juridiction cantonale, contrevient-elle à l'<ref-law>, dont les recourantes rappellent l'origine et le but en exposant, de leur point de vue, "l'historique de la révision de la LAMal sur le financement hospitalier" et les concepts introduits par la réforme.
Pour démontrer la violation du droit fédéral invoquée, les recourantes font valoir que l'obligation de coordonner les planifications hospitalières cantonales de l'<ref-law> ne concerne par définition que les planifications hospitalières; elle ne peut donc pas concerner "ce qui n'est pas planifiable", à savoir notamment le libre choix de l'hôpital prévu à l'<ref-law>, la liberté ne se planifiant pas. Par ailleurs, le libre choix de l'hôpital au sens de l'<ref-law> ne saurait constituer une "sérieuse entrave" - termes utilisés par la juridiction cantonale - à la planification hospitalière, puisque le libre choix ne touche qu'une quantité négligeable de patients, à tout le moins en comparaison du nombre de patients faisant l'objet de la planification hospitalière. S'il est possible, ensuite, qu'un flux non planifié de patients extracantonaux exerçant leur libre choix de l'hôpital puisse devenir significatif et se stabilise - devenant ainsi prévisible et planifiable -, tant le canton de Vaud que le canton de Genève devraient tenir compte de cette situation nouvelle au moment du réexamen périodique de leur planification exigée par l'<ref-law>. Il leur serait alors loisible, entre autres mesures, de considérer une planification hospitalière conjointe ou de placer l'hôpital concerné sur la liste hospitalière en tant qu'établissement extracantonal, de sorte que le flux non planifié de patients régi par l'<ref-law> serait transformé en flux planifié régi par l'<ref-law>. Toujours selon les recourantes, il n'existe pas de hiérarchie dans les objectifs poursuivis par la révision de la LAMal, de sorte que la juridiction cantonale a méconnu la volonté du législateur fédéral en retenant que le libre choix de l'hôpital devait céder le pas aux exigences de la planification hospitalière et des quotas que celle-ci aurait permis. Enfin, les cliniques soutiennent que la critique du Professeur Rütsche à l'égard du jugement cantonal du 14 juillet 2015 (avis de droit) reste pertinente, à l'inverse des arrêts du Tribunal administratif fédéral cités par la juridiction cantonale, qui ne concerneraient pas le point litigieux en l'espèce.
4.3. En plus d'observations sur l'admission des hôpitaux selon l'<ref-law> et la planification hospitalière des cantons, l'OFSP se réfère à l'arrêt C-6266/2013 du Tribunal administratif fédéral du 29 septembre 2015 - cité dans le jugement du 7 juin 2016 - pour contester le point de vue des recourantes. Il expose que le Tribunal administratif fédéral a retenu que la gestion des quantités par les cantons est admissible, dès lors que la limitation de la surcapacité hospitalière est l'un des objectifs poursuivis par la planification coordonnée entre les cantons. Ceux-ci doivent se coordonner afin que leurs planifications respectives s'imbriquent et n'entraînent aucune sous-capacité ou surcapacité et que les ressources financières soient utilisées de la façon la plus optimale possible. Selon l'autorité de surveillance, il en ressort que si le canton de Vaud est parvenu à la conclusion, sur la base de sa planification, qu'il n'avait pas besoin des capacités des hôpitaux genevois, il n'était pas nécessaire de prévoir des capacités dans les hôpitaux situés dans le canton de Genève. Le refus du financement des patients vaudois traités en dehors des quotas genevois de la part du canton de Vaud s'inscrivait dans le cadre de la jurisprudence du Tribunal administratif fédéral.
5.
5.1. L'<ref-law>, en relation avec l'<ref-law>, fixe les conditions, cumulatives, que doivent remplir les établissements et celles de leurs divisions qui servent au traitement hospitalier de maladies aiguës ou à l'exécution, en milieu hospitalier, de mesures médicales de réadaptation (hôpitaux) pour être admis à pratiquer à la charge de l'assurance obligatoire des soins. Ainsi, un hôpital doit garantir une assistance médicale suffisante (let. a), disposer du personnel qualifié nécessaire (let. b), disposer d'équipements médicaux adéquats et garantir la fourniture adéquate de médicaments (let. c). De plus, un hôpital doit correspondre à la planification établie par un canton ou, conjointement, par plusieurs cantons afin de couvrir les besoins en soins hospitaliers, les organismes privés devant être pris en considération de manière adéquate (let. d). Une fois qu'il remplit les conditions précitées, l'hôpital doit encore figurer sur la liste cantonale fixant les catégories d'hôpitaux en fonction de leurs mandats (let. e). Selon l'<ref-law> (dans sa teneur en vigueur à partir du 1er janvier 2009), les cantons coordonnent leurs planifications (al. 2). Par ailleurs, aux termes de l'<ref-law> (dans sa teneur en vigueur à partir du 1er janvier 2009), le Conseil fédéral édicte des critères de planification uniformes en prenant en considération la qualité et le caractère économique. Il consulte au préalable les cantons, les fournisseurs de prestations et les assureurs. Conformément à cette délégation de compétence, le Conseil fédéral a édicté les art. 58a à 58e OAMal (RS 832.102), entrés en vigueur au 1er janvier 2009, sur les critères de planification.
5.2. En ce qui concerne le choix du fournisseur de prestations et la prise en charge des coûts, l'<ref-law> (entré en vigueur au 1er janvier 2009) prévoit qu'en cas de traitement hospitalier, l'assuré a le libre choix entre les hôpitaux aptes à traiter sa maladie et figurant sur la liste de son canton de résidence ou celle du canton où se situe l'hôpital (hôpital répertorié). En cas de traitement hospitalier dans un hôpital répertorié, l'assureur et le canton de résidence prennent en charge leur part respective de rémunération au sens de l'art. 49a jusqu'à concurrence du tarif applicable pour ce traitement dans un hôpital répertorié du canton de résidence. Selon l'<ref-law> (dans sa teneur en vigueur à partir du 1er janvier 2009), si, pour des raisons médicales, l'assuré se soumet à un traitement hospitalier fourni par un hôpital non répertorié du canton de résidence, l'assureur et le canton de résidence prennent à leur charge leur part respective de rémunération au sens de l'art. 49a. A l'exception du cas d'urgence, une autorisation du canton de résidence est nécessaire.
S'agissant des hôpitaux répertoriés, une obligation d'admission a été prévue et introduite par la modification de la LAMal du 21 décembre 2007 (financement hospitalier), entrée en vigueur au 1er janvier 2009 (sous réserve des dispositions transitoires y relative). En vertu de l'<ref-law>, dans les limites de leurs mandats de prestations et de leurs capacités, les hôpitaux répertoriés sont tenus de garantir la prise en charge de tous les assurés résidant dans le canton où se situe l'hôpital (obligation d'admission). Pour les assurés résidant hors du canton où se situe l'hôpital répertorié, l'obligation d'admission ne s'applique que si elle est basée sur des mandats de prestations ainsi que dans les cas d'urgence (<ref-law>). Les cantons veillent au respect de l'obligation d'admission (<ref-law>).
Selon l'<ref-law> (entré en vigueur au 1er janvier 2009), les rémunérations au sens de l'art. 49 al. 1 - rémunération du traitement hospitalier au moyen de forfaits (conventions tarifaires avec les hôpitaux) - sont prises en charge par le canton et les assureurs, selon leur part respective (al. 1). Le canton fixe pour chaque année civile, au plus tard neuf mois avant le début de l'année civile, la part cantonale pour les habitants du canton. Celle-ci se monte à 55 % au moins (al. 2). Le canton de résidence verse sa part de la rémunération directement à l'hôpital. Les modalités sont convenues entre l'hôpital et le canton. L'assureur et le canton peuvent convenir que le canton paie sa part à l'assureur, et que ce dernier verse les deux parts à l'hôpital. La facturation entre l'hôpital et l'assureur est réglée à l'art. 42.
6.
6.1. Selon les constatations de la juridiction cantonale, qui ne sont pas remises en cause par les parties et lient le Tribunal fédéral (<ref-law> en relation avec l'<ref-law>), les prestations hospitalières en cause ont été fournies par des établissements hospitaliers genevois qui figurent sur la liste hospitalière du canton de Genève (cf. art. 39 al. 1 let. e LAMal), avec des mandats de prestations assortis d'une limitation du nombre des prestations hospitalières à la charge de l'assurance obligatoire des soins (volume maximal de prestations), mais non pas sur la liste hospitalière du canton de Vaud. Elles ont été prodiguées à des patients résidant dans le canton de Vaud qui avaient choisi ces établissements par "convenance personnelle". Il n'est dès lors pas contesté que les prestations ont été effectuées dans le cadre d'hospitalisations extracantonales auprès d'hôpitaux répertoriés au sens de l'<ref-law>, en dehors de toute raison médicale au sens de l'art. 41 al. 3 et 3bis LAMal. De tels traitements volontaires extracantonaux font partie des soins de base depuis l'entrée en vigueur au 1er janvier 2009 de la révision partielle de la LAMal dans le domaine du financement hospitalier et doivent être qualifiés de prestations de l'assurance-maladie obligatoire des soins (<ref-ruling>).
6.2. Le Tribunal fédéral s'est déjà prononcé sur la possibilité pour un canton de fixer le volume de prestations maximal dans le cadre de mandats de prestations attribués aux établissements hospitaliers qui figurent sur la liste cantonale au sens de l'art. 39 al. 1 let. e LAMal; il a jugé que la législation cantonale selon laquelle le canton inclut dans sa planification une limitation du volume des prestations, en octroyant des mandats de prestations fixant un nombre maximum de cas par année pour l'établissement hospitalier concerné ne contrevient pas au droit fédéral (<ref-ruling>). La participation cantonale aux frais hospitaliers peut être limitée ou refusée si la prestation en cause dépasse le volume maximal de prestations prévu pour le fournisseur de prestations hospitalier concerné (<ref-ruling> consid. 3.10.3 p. 436 s.). Le Tribunal fédéral a évoqué - sans devoir y répondre - la question du rapport entre le contrôle cantonal des quantités et les patients venant de l'extérieur du canton qui séjournent dans un établissement hospitalier cantonal (<ref-ruling> consid. 3.8.1.3 p. 424).
En tant que les recourantes qualifient cet arrêt de "particulièrement malheureux" en invoquant la légalité douteuse des quotas découlant des mandats de prestations, leur argumentation n'est pas pertinente dans le cadre du présent litige, qui ne porte pas sur la légalité des limitations quantitatives fixées dans les mandats de prestations définis par les autorités genevoises, ce que la juridiction cantonale a déjà retenu à juste titre (consid. 5a du jugement du 7 juin 2016). La pièce déposée à l'appui de leur thèse (observations de l'OFSP du 22 décembre 2015 à l'attention du Tribunal administratif fédéral), sans qu'elles n'exposent en quoi celle-ci résulterait du jugement attaqué (<ref-law>; <ref-ruling> consid. 3 p. 395), ni pourquoi elles n'ont objectivement pas été en mesure de la produire en instance cantonale, est irrecevable. La seule issue défavorable de la procédure précédente pour les recourantes ne suffit en tous les cas pas pour admettre des faits ou moyens de preuve nouveaux qui auraient pu être invoqués à l'époque ("faux nova"). Cela résulte de la portée contraignante, pour le Tribunal fédéral, des faits établis par la juridiction précédente (<ref-law>; <ref-ruling> consid. 2.2 p. 629; <ref-ruling> consid. 2.2.1 p. 226; arrêt 9C_952/2015 du 2 mai 2016 consid. 1 et les références).
6.3. C'est le lieu de préciser que l'arrêt du Tribunal administratif fédéral sur lequel l'OFSP fonde ses observations n'est pas pertinent pour répondre à la question litigieuse. Dans son arrêt C-6266/2013 du 29 septembre 2015, le Tribunal administratif fédéral s'est prononcé sur un recours dirigé contre une décision relative à une liste hospitalière au sens de l'<ref-law>. Il a retenu que la planification en vue de couvrir les besoins en soins au sens de l'art. 39 al. 1 let. d LAMal impliquait en principe que les besoins fussent couverts, mais pas davantage (consid. 4.1 de l'arrêt cité). En relation avec les mandats de prestation, il a retenu que la fixation du nombre minimal de cas devait servir non seulement à améliorer la qualité, mais également l'efficacité et le caractère économique des prestations et qu'il n'était pas possible de déduire du libre choix au sens de l'<ref-law> que tous les établissements hospitaliers devaient être admis sur la liste hospitalière (consid. 4.3.4 de l'arrêt cité). Par ailleurs, l'obligation pour les cantons de coordonner leur planification hospitalière prévue à l'<ref-law> et concrétisée à l'<ref-law> était valable de manière générale et non pas seulement pour empêcher une sous-capacité hospitalière (consid. 4.5 de l'arrêt cité). Le Tribunal administratif fédéral n'a en revanche pas traité - ne serait-ce que de manière indirecte - du point litigieux en l'espèce.
7.
Aucune des dispositions citées ci-avant (consid. 5 supra) ne permet de répondre directement à la question de savoir si un canton est en droit d'opposer à la demande de prise en charge de la part cantonale de prestations hospitalières, présentée par des hôpitaux répertoriés sis dans un autre canton, la limitation du nombre de cas prévue par le canton du lieu d'implantation dans le cadre des mandats de prestations que celui-ci leur a accordés. Les art. 39 al. 1 et 2, 41 al. 1biset 49a al. 1 et 2 LAMal ne font pas référence, ne serait-ce que de manière indirecte, à une limitation du volume de prestations.
7.1. Il convient tout d'abord d'examiner la notion de "mandat" prévue à l'art. 39 al. 1 let. e LAMal et précisée par l'<ref-law>. Selon cette disposition, les cantons inscrivent sur leur liste visée à l'art. 39, al. 1, let. e de la loi, les établissements cantonaux et extracantonaux nécessaires pour garantir l'offre déterminée conformément à l'art. 58b, al. 3 (al. 1). Les listes mentionnent pour chaque hôpital l'éventail de prestations correspondant au mandat de prestations (al. 2), et les cantons attribuent à chaque établissement sur leur liste un tel mandat, qui peut contenir notamment l'obligation de disposer d'un service d'urgence (al. 3).
Le mandat de prestations définit la palette de prestations qu'un hôpital doit (être en mesure de) proposer à ses patients afin de couvrir les besoins en soins de la population et, par voie de conséquence, d'être inscrit sur la liste LAMal. L'absence de plus amples précisions dans la loi et l'ordonnance permet aux hôpitaux de modifier leur offre à brève échéance, en fonction de l'évolution des besoins cantonaux. Le caractère indéterminé de la notion de "mandat" concède en outre une grande flexibilité aux cantons s'agissant des prestations à la disponibilité desquelles ils entendent conditionner la reconnaissance LAMal. Ainsi, ils restent libres, en confiant un mandat à un hôpital désireux d'accéder à la liste cantonale, de renoncer à requérir des services spécifiques et de définir, en les limitant, les secteurs médicaux dans lesquels l'hôpital concerné serait jugé utile à la planification et, de ce fait, autorisé à facturer ses prestations à l'assurance obligatoire des soins; une telle variante peut en effet également satisfaire aux besoins de planification rationnelle et économe prescrits par la LAMal (cf. son <ref-law> qui traduit un principe général du droit de l'assurance-maladie; <ref-ruling> consid. 4.3.1 et 4.3.2, p. 201 et les références).
7.2. En l'occurrence, pour la période ici en cause relative à des traitements hospitaliers prodigués dès le 11 septembre 2013, le Conseil d'Etat genevois a adopté l'arrêté déterminant la liste des hôpitaux admis par le canton de Genève au sens de la loi fédérale sur l'assurance-maladie (LAMal) du 23 novembre 2011, ainsi que l'arrêté modifiant la liste des hôpitaux admis par le canton de Genève au sens de la loi fédérale sur l'assurance-maladie (LAMal) du 10 avril 2013. Avec l'adoption de ces arrêtés, le gouvernement genevois a défini "les établissements admis à pratiquer à la charge de l'assurance obligatoire des soins dans le canton de Genève, en fonction de leurs mandats de prestations, et qui permettent de garantir une offre suffisante de prestations par rapport aux besoins des habitants du canton en matière d'hospitalisation" (art. 1 de l'arrêté du 23 novembre 2011). Il a prévu la possibilité d'adapter en tout temps, sous réserve des obligations contractuelles découlant des mandats de prestations, la liste aux besoins en soins de la population du canton (art. 3 dudit arrêté).
Le champ d'application des mandats de prestations conclus avec chacune des recourantes pour les années 2013 et 2014 est circonscrit de la manière suivante (art. 3) : "Le présent mandat se réfère aux prestations de la LAMal à l'égard des personnes domiciliées dans le canton de Genève: a. qui sont assurées à titre obligatoire contre la maladie auprès d'une assurance-maladie social suisse; b. pour lesquelles il existe une obligation d'admission au sens de l'article 41a LAMal". Selon l'art. 6, al. 1, "L'Etat de Genève, par l'intermédiaire du département, rémunère 55 % des tarifs forfaitaires LAMal des prestations hospitalières réalisées conformément à l'art. 5". Le nombre des cas par pôles d'activités est prévu à l'art. 5.
7.3. Compte tenu de l'arrêté du 23 novembre 2011, de son avenant du 10 avril 2013 et des mandats de prestations octroyés aux recourantes, il apparaît qu'en relation avec les établissements hospitaliers en cause, le gouvernement cantonal genevois a établi une planification et une liste hospitalière en fonction uniquement des personnes domiciliées dans le canton de Genève, sans la coordonner avec le canton de Vaud. Seuls les besoins en soins des habitants du canton de Genève ont été pris en considération, l'offre correspondante garantie par l'inscription des établissements hospitaliers ne concernant que ceux-ci (cf. art. 58aet 58b OAMal). Les mandats de prestations convenus entre l'Etat de Genève et les recourantes portent expressément sur les prestations fournies aux personnes assurées à l'assurance des soins obligatoire domiciliées dans le canton de Genève et pour lesquelles existe une obligation d'admission au sens de l'<ref-law>. Une telle obligation n'existait en l'occurrence que pour les assurés résidant dans le canton de Genève (lieu où se situent les hôpitaux), mais non pas pour les assurés résidant dans le canton de Vaud, aucun mandat de prestations ne liant les recourantes au canton de Vaud (cf. art. 41a al. 1 et 2 LAMal). Par ailleurs, le nombre de cas a été limité par chacun des mandats de prestations en relation avec leur prise en charge par l'Etat de Genève.
Par conséquent, telles qu'elles ont été fixées par le gouvernement cantonal genevois, les limites du nombre de cas prévues par les mandats de prestation en question ne peuvent pas concerner d'autres assurés que les personnes domiciliées dans le canton de Genève. De même, le nombre de cas défini ne peut s'appliquer qu'à la prise en charge par l'Etat de Genève des prestations fournies à sa population. Le volume des prestations défini n'a pas été conçu ni déterminé pour s'appliquer aux patients domiciliés dans le canton de Vaud ayant choisi de se faire hospitaliser hors de leur canton, en relation avec la prise en charge des prestations hospitalières par l'Etat de Vaud. Dès lors, la limitation du nombre de cas prévue par le canton de Genève, qui ne se réfère pas aux prestations fournies à des patients extracantonaux, ne peut pas être appliquée aux personnes assurées résidant dans le canton de Vaud en relation avec la prise en charge, par celui-ci, de la part cantonale au sens de l'<ref-law>.
8.
Il suit de ce qui précède que le canton de Vaud est tenu de prendre en charge la part cantonale de la rémunération des prestations hospitalières au sens de l'<ref-law>, en relation avec les art. 49 et 41 al. 1bis LAMal, fournies dans les établissements hospitaliers genevois en cause des recourantes en faveur des patients résidant dans le canton de Vaud, postérieurement au 10 septembre 2013. La question déjà laissée ouverte dans l'<ref-ruling> consid. 3.8.1.3 in fine p. 424 de savoir si un mandat de prestations peut prévoir des limitations quantitatives à l'égard de patients qui ne sont pas domiciliés dans le canton en cause n'a pas à être tranchée en l'espèce.
Cela étant, le jugement entrepris, qui doit être annulé, ne comprend aucune constatation quant aux montants auxquels s'élève ladite rémunération. Dès lors qu'il n'appartient pas au Tribunal fédéral d'établir les faits à cet égard, la cause sera renvoyée à la juridiction cantonale afin qu'elle examine les factures produites par les recourantes au cours de la procédure et détermine, par une nouvelle décision, les montants que l'Etat de Vaud est tenu de leur rembourser à chacune. Dans cette mesure, le recours est bien fondé.
9.
Vu l'issue du litige, les frais judiciaires doivent en principe être mis à la charge de l'intimé. Dès lors cependant que les causes ont été jointes, les frais judiciaires, qui sont fixés pour l'ensemble des quatre procédures, seront répartis par moitié entre les recourantes et l'intimé (<ref-law>), en fonction également du sort des causes introduites par les recours interjetés contre les décisions du 14 janvier 2016. Les recourantes ont droit à une indemnité de dépens de la part de l'intimé.

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce :
1.
Les causes 9C_151/2016, 9C_153/2016, 9C_155/2016 et 9C_507/2016 sont jointes.
2.
Les causes 9C_151/2016, 9C_153/2016 et 9C_155/2016, devenues sans objet, sont rayées du rôle.
3.
Le recours du 10 août 2016 (cause 9C_507/2016) est partiellement admis, dans la mesure où il est recevable. Le jugement du Tribunal cantonal du canton de Vaud, Cour des assurances sociales, du 7 juin 2016 est annulé. La cause est renvoyée à l'autorité judiciaire de première instance pour qu'elle procède selon le considérant 8 du présent arrêt. Le recours est rejeté pour le surplus.
4.
Les frais de justice, arrêtés à 10'000 fr., sont mis pour 5'000 fr. solidairement à la charge des recourantes et pour 5'000 fr. à la charge de l'intimé.
5.
L'intimé versera aux recourantes la somme de 8'000 fr. à titre de dépens pour la dernière instance.
6.
Le présent arrêt est communiqué aux parties, au Tribunal cantonal du canton de Vaud, Cour des assurances sociales, et à l'Office fédéral de la santé publique.
Lucerne, le 27 janvier 2017
Au nom de la IIe Cour de droit social
du Tribunal fédéral suisse
La Présidente : Pfiffner
Le Greffier : Cretton