Sachverhalt:
A.
Der türkische Staatsangehörige A._ (geb. 1977) reiste am 23. April 2001 zu seiner zum damaligen Zeitpunkt in der Schweiz aufenthaltsberechtigten ebenfalls türkischen Ehefrau B._, welche er zuvor in der Heimat geheiratet hatte. Am 4. Mai 2001 wurde ihm eine Aufenthaltsbewilligung erteilt; im Februar 2004 erhielt die Ehefrau die Niederlassungsbewilligung. In den Jahren 2002 und 2006 kamen zwei gemeinsame Söhne zur Welt.
Per 1. Dezember 2007 bewilligte das Zivilgericht den Eheleuten das Getrenntleben. Im Rahmen des Gesuchs um Verlängerung seiner Aufenthaltsbewilligung wurden A._ und seine Ehefrau zur ehelichen Situation befragt. Am 18. Oktober 2010 stellte ihm das Migrationsamt die Nichtverlängerung der Aufenthaltsbewilligung in Aussicht und gewährte ihm das rechtliche Gehör. Am 18. Februar 2011 verfügte das Amt wie angekündigt und wies A._ aus der Schweiz weg.
Die hiegegen erhobenen kantonalen Rechtsmittel blieben erfolglos (Entscheid des Justiz- und Sicherheitsdepartements vom 30. November 2012, Urteil des Appellationsgerichts des Kantons Basel-Stadt [als Verwaltungsgericht] vom 24. August 2015).
Die Ehe A._ - B._ war inzwischen, im Herbst 2011, geschieden worden.
B.
Mit Eingabe vom 2. Oktober 2015 führt A._ beim Bundesgericht Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten mit den Anträgen, das letztgenannte Urteil aufzuheben und ihm - dem Beschwerdeführer - die Aufenthaltsbewilligung zu erteilen bzw. zu verlängern. Eventuell sei die Angelegenheit zur Sachverhaltsergänzung und zu neuem Entscheid an die Vorinstanz zurückzuweisen.
Das Migrationsamt hat sich nicht vernehmen lassen. Das Justiz- und Sicherheitsdepartement beantragt, die Beschwerde abzuweisen. Das Appellationsgericht schliesst auf Abweisung der Beschwerde, soweit darauf einzutreten sei. Das Staatssekretariat für Migration (SEM) beantragt ebenfalls, die Beschwerde abzuweisen.
Mit Präsidialverfügung vom 8. Oktober 2015 wurde der Beschwerde - antragsgemäss - aufschiebende Wirkung zuerkannt.

Erwägungen:
1.
1.1. Gegen Entscheide über ausländerrechtliche Bewilligungen ist die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten nur zulässig, falls das Bundesrecht oder das Völkerrecht einen Rechtsanspruch auf deren Erteilung bzw. Verlängerung einräumt (<ref-law> e contrario). Für das Eintreten genügt, wenn die betroffene Person in vertretbarer Weise darlegt, dass potenziell ein solcher Anspruch besteht (<ref-ruling> E. 1.1 S. 179 f. mit Hinweisen). Im vorliegenden Fall beruft sich der Beschwerdeführer in vertretbarer Weise auf Art. 50 des Bundesgesetzes vom 16. Dezember 2005 über die Ausländerinnen und Ausländer (Ausländergesetz, AuG; SR 142.20) Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten erweist sich damit als zulässig und der Beschwerdeführer ist hierzu legitimiert (<ref-law>).
1.2. Das Bundesgericht prüft frei und von Amtes wegen die richtige Anwendung von Bundes- und Völkerrecht (Art. 95 lit. a und b, <ref-law>). Es legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, wie die Vorinstanz ihn festgestellt hat (<ref-law>). Die Feststellung des Sachverhalts kann nur gerügt bzw. vom Bundesgericht von Amtes wegen berichtigt oder ergänzt werden, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruht (<ref-law> bzw. <ref-law>). Eine entsprechende Rüge, welche rechtsgenüglich substanziiert vorzubringen ist (vgl. Art. 42 Abs. 2 und Art. 106 Abs. 2 BGG; <ref-ruling> E. 2.5 S. 314 mit Hinweisen), setzt zudem voraus, dass die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein kann (<ref-law>). Das Bundesgericht kann allerdings auch den Sachverhalt von Amtes wegen berichtigen (<ref-law>), vor allem wenn die Vorinstanz einen rechtserheblichen Sachverhalt nicht oder nicht vollständig festgestellt hat, sich dieser aber aus den Akten ergibt.
1.3. Neue Tatsachen und Beweismittel dürfen vor Bundesgericht nur soweit vorgebracht werden, als erst der Entscheid der Vorinstanz dazu Anlass gibt (<ref-law>). Echte Noven können von vornherein nicht berücksichtigt werden (<ref-ruling> E. 2.1 S. 343 f.; <ref-ruling> E. 5.2.4 S. 229).
2.
2.1. Ausländische Ehegatten von Schweizerinnen und Schweizern sowie von Personen mit Niederlassungsbewilligung haben unter Vorbehalt von Art. 51 AuG Anspruch auf Erteilung und Verlängerung der Aufenthaltsbewilligung, wenn sie mit ihrem Partner zusammenwohnen (Art. 42 Abs. 1 und Art. 43 Abs. 1 AuG). Gemäss Art. 50 Abs. 1 AuG besteht nach Auflösung der Ehe oder der Familiengemeinschaft der Anspruch nach den Artikeln 42 und 43 weiter, wenn die Ehegemeinschaft mindestens drei Jahre bestanden hat und eine erfolgreiche Integration besteht (lit. a) oder wenn wichtige persönliche Gründe einen weiteren Aufenthalt in der Schweiz erforderlich machen (lit. b, so genannter "nachehelicher Härtefall").
2.2. Nach den für das Bundesgericht grundsätzlich verbindlichen Feststellungen hat die Ehegemeinschaft des Beschwerdeführers mehr als drei Jahre bestanden. Er hat damit Anspruch auf Verlängerung seiner Aufenthaltsbewilligung, wenn er erfolgreich integriert ist, was die Vorinstanz mit Bezug auf die persönliche und sprachliche Integration bejaht, mit Bezug auf die berufliche und wirtschaftliche Integration aber verneint hat und was hier einzig noch zu prüfen ist.
3.
3.1. Berufliche Integration
3.1.1. Bei einem Ausländer, der in der Schweiz beruflich integriert ist und eine feste Anstellung hat, immer finanziell unabhängig war, sich korrekt verhält und die örtliche Sprache beherrscht, bedarf es ernsthafter besonderer Umstände, um eine erfolgreiche Integration zu verneinen (Urteile 2C_749/2011 vom 20. Januar 2012 E. 3.3; 2C_839/2010 vom 25. Februar 2011 E. 7.1.2). Nicht erforderlich ist eine besonders qualifizierte berufliche Karriere (Urteil 2C_430/2011 vom 11. Oktober 2011 E. 4.2). Keine erfolgreiche Integration liegt vor, wenn eine Person kein Erwerbseinkommen erwirtschaften kann, welches ihren Konsum zu decken vermag, und während einer substanziellen Zeitdauer von Sozialleistungen abhängig ist (Urteile 2C_ 1125/2014 vom 9. September 2015 E. 3.2.2; 857/2010 vom 22. August 2011 E. 2.3.1; 2C_546/2010 vom 30. November 2010 E. 5.2.3 f.). Gewisse geringe Erwerbsunterbrüche schliessen eine Integration nicht aus (vgl. als Grenzfall zit. Urteil 2C_1125/2014 E. 3.3.3).
3.1.2. Die Vorinstanz erwog, der Beschwerdeführer habe - soweit ersichtlich - erst am 1. August 2007 erstmals eine Stelle angetreten, obschon er bereits im April 2001 in die Schweiz eingereist sei. Triftige Gründe für diese mehrjährige Absenz vom Arbeitsmarkt würden nicht geltend gemacht und seien auch nicht erkennbar. Sodann stellte die Vorinstanz massgeblich darauf ab, dass der Beschwerdeführer innerhalb von elf Jahren nur vier Jahre gearbeitet habe (S. 7 und 8 des angefochtenen Entscheides).
Demgegenüber macht der Beschwerdeführer geltend, er sei seit seiner Einreise in die Schweiz regelmässig erwerbstätig gewesen. Er zählt seine früheren Arbeitseinsätze auf (S. 4 und 14 f. der Beschwerdeschrift), belegt sie auch mit seiner Beschwerdebeilage Nr. 4 und rügt in der Folge eine offensichtlich unrichtige Sachverhaltsermittlung. Im Lichte des grundsätzlichen Novenverbots vor dem Bundesgericht (vorne E. 1.3) ist zu prüfen, ob diese neuen Tatsachen und Beweismittel berücksichtigt werden können:
Im Entscheid des Justiz- und Sicherheitsdepartements vom 30. November 2012 (S. 10) werden beispielhaft frühere Arbeitstätigkeiten des Beschwerdeführers ab dem 1. August 2007 aufgezählt ("So trat er am 1. August 2007 eine Stelle als Bauisolator [...] an, seit dem 1. Juli 2008 arbeitete er bei der Firma [...] und seit dem 17. Mai 2010 war er für die Firma [...] tätig [....]" etc.). Das Departement kam alsdann zum Ergebnis, es sei dem Beschwerdeführer "zuzuerkennen, dass er immer wieder bemüht war, einer Erwerbstätigkeit nachzugehen und er auch zahlreiche Arbeitsstellen antrat" (Departementsentscheid, ebenda).
Das Departement stellte mithin die berufliche Integration des Beschwerdeführers nicht in Frage, und dieser hatte deshalb keinen Anlass, dies in seinem Rekurs an das Appellationsgericht näher zu thematisieren. Dessen Sachverhaltsfeststellung, er habe am 1. August 2007 erstmals eine Stelle angetreten, kam für ihn unerwartet, weshalb erst der angefochtene Entscheid der Vorinstanz dazu Anlass gab, dem Bundesgericht neue Beweismittel vorzulegen. Seine Beschwerdebeilage Nr. 4 ist daher als zulässiges Novum im vorliegenden Verfahren zu berücksichtigen. Daraus ergibt sich, dass er seit dem Jahre 2001 immer wieder gearbeitet hat. Insoweit ist der vorinstanzlich festgestellte Sachverhalt zu berichtigen (vorne E. 1.2).
Nach den im Übrigen für das Bundesgericht verbindlichen Feststellungen der Vorinstanz zur beruflichen Integration war der Beschwerdeführer sodann insgesamt "während knapp eines Jahres (....), im Wesentlichen zwischen Januar und Juli 2005 sowie von Oktober 2008 bis Januar 2009" von der Sozialhilfe abhängig (S. 7 des angefochtenen Entscheides). Dies ist im Verhältnis zu seiner gesamten Aufenthaltsdauer in der Schweiz aber nicht substanziell im Sinne der vorerwähnten Rechtsprechung.
Insgesamt ist die berufliche Integration des Beschwerdeführers - entgegen der vorinstanzlichen Auffassung - zu bejahen, zumal vorübergehende Phasen der Arbeitslosigkeit eine solche Integration nicht ausschliessen (Urteile 2C_ 352/2014 vom 18. März 2015 E. 4.4, 2C_749/2011 vom 20. Januar 2012 E. 4.4, 2C_427/2011 vom 26. Oktober 2011 E. 5.3).
3.2. Wirtschaftliche Integration
3.2.1. Die Vorinstanz hat dem Beschwerdeführer auch die wirtschaftliche Integration abgesprochen. Sie erwog, er habe "in der Zeit seiner Anwesenheit in der Schweiz einen beachtlichen Schuldenberg angehäuft". Das Gericht geht "per 27. November 2012" von 20 Betreibungen im Betrag von Fr. 75'375.60 und zusätzlich 22 Verlustscheinen über Fr. 85'209.10 aus, demzufolge von einer erheblichen Verschuldung.
3.2.2. Eine hohe und weiterhin zunehmende Verschuldung spricht gegen eine wirtschaftliche Integration (vgl. Urteil 2C_725/2014 vom 23. Januar 2015). Im Urteil 2C_ 352/2014 vom 18. März 2015 (E. 4.3) hat das Bundesgericht aber erwogen:
"L'impact de l'endettement dans l'appréciation de l'intégration d'une personne dépend du montant des dettes, de leurs causes et du point de savoir si la personne les a remboursées ou s'y emploie de manière constante et efficace (arrêt 2C_749/2011 du 20 janvier 2012 consid. 4.4; cf. également arrêt 2C_385/2014 du 19 janvier 2015 consid. 4.3). L'évolution de la situation financière doit ainsi être prise en considération à cet égard (...)."
Im selben Urteil kam das Bundesgericht zum Schluss (E. 4.5 und 4.6), Schulden von etwas über Fr. 100'000.-- seien noch kein Grund, die wirtschaftliche Integration zu verneinen, wenn ernsthafte erkennbare Bemühungen bestünden, das Geld zurückzubezahlen. Auch Verlustscheine in der Höhe von ungefähr Fr. 8'000.-- sprechen nicht gegen eine wirtschaftliche Integration (Urteil 2C_65/2014 vom 27. Januar 2015 E. 3.6). Hingegen hat das Bundesgericht im Urteil 2C_385/2014 vom 19. Januar 2015 die vorinstanzliche Auffassung, es liege keine wirtschaftliche Integration vor, geschützt: Dort hatte der Betroffene Schulden von ca. Fr. 55'000.--, zeigte keine ernsthaften Rückzahlungsbestrebungen und hatte (teilweise zusammen mit seiner früheren Ehefrau) Sozialhilfeleistungen von rund Fr. 100'000.-- bezogen.
3.2.3. Der Beschwerdeführer rügt auch hier zu Recht eine offensichtlich unrichtige Feststellung des rechtserheblichen Sachverhalts durch die Vorinstanz:
Gemäss Auszug aus der Datenbank "Kantonaler Datenmarkt" vom 27. November 2012, auf welchen die Vorinstanz offenbar entscheidwesentlich abgestellt hat, sind für diesen Stichtag 20 Betreibungen im Gesamtbetrag von Fr. 75'375.60 verzeichnet (detailliert aufgeführt) sowie 22 offene Verlustscheine (nicht einzeln bezeichnet) im Gesamtbetrag von Fr. 85'209.10. Im offiziellen Auszug aus dem Betreibungsregister vom 27. Juli 2015, den die Vorinstanz selber eingeholt hatte sind für diesen Stichtag noch vier Betreibungen aus den Jahren 2010 und 2011 im Gesamtbetrag von Fr. 6'908.05 verzeichnet sowie 21 offene Verlustscheine im Gesamtbetrag von Fr. 84'681.65. Die Betreibungsnummern der Verlustscheinforderungen im Betreibungsauszug vom 27. Juli 2015 stimmen weitgehend überein mit denjenigen Betreibungen, die im Auszug des "kantonalen Datenmarkts" vom 27. November 2012 enthalten sind.
Damit ist die Darstellung des Beschwerdeführers (S. 9 der Beschwerdeschrift) zutreffend, wonach der grösste Teil der im Jahre 2012 aufgeführten Betreibungen im Zeitpunkt des angefochtenen Entscheides bereits als Verlustscheine verzeichnet waren und nicht mit diesen zusammengerechnet werden dürfen.
In Berichtigung des vorinstanzlich festgestellten Sachverhalts (vorne E. 1.2) ist daher von einem Schuldenbetrag von gut Fr. 90'000.-- auszugehen, nicht von einem solchen von rund Fr. 160'000.--
3.2.4. Der grösste Einzelposten dieser Schulden ist ein Bankkredit der "X._", den der Beschwerdeführer gemäss den Feststellungen der Vorinstanz (S. 6/7 des angefochtenen Entscheides) bereits während der Ehe mit B._ aufgenommen hatte. Eine Darlehensaufnahme spricht nicht per se gegen eine wirtschaftliche Integration, so lange der Schuldendienst möglich bleibt. Dass es dann infolge der ehelichen Trennung zu Schwierigkeiten bei diesem Schuldendienst kommen kann - wie der Beschwerdeführer geltend macht -, die in eine Betreibung münden, erscheint plausibel. Der Vorwurf, der Beschwerdeführer hätte sich unter diesen Umständen um eine Reduktion der vom Zivilgericht festgesetzten Unterhaltsbeiträge kümmern müssen (S. 7 Mitte des angefochtenen Entscheides) ist in diesem Zusammenhang kleinlich; es liesse sich auch anführen, dass es eher für das Pflichtbewusstsein des Beschwerdeführers spricht, wenn er die Unterhaltszahlungen auch nach Aufgabe der Familiengemeinschaft weiter akzeptiert und mit kurzzeitigen Unterbrüchen auch geleistet bzw. dem bevorschussenden Amt zurückbezahlt hat (vgl. unten).
Die übrigen Schulden sind hauptsächlich Steuerschulden und Schulden gegenüber der Krankenkasse. In diesem Zusammenhang hatte der Beschwerdeführer vor der Vorinstanz eine ratenweise geleistete anteilmässige Rückzahlung der Steuerschulden belegt (Eingabe vom 13. April 2015, Beilage 9, und Eingabe vom 25. August 2015), worauf die Vorinstanz aber nicht eingeht. Seit November 2011 ist es ausserdem zu keinen weiteren Betreibungen mehr gekommen, was auch die Vorinstanz anerkennt.
Offensichtlich unrichtig ist aber deren Feststellung, es seien von der Sozialhilfe bevorschusste Alimente im Umfang von Fr. 17'500.-- offen und der Beschwerdeführer habe deren teilweise Rückzahlung nicht belegt. Das ist aktenwidrig: In der Beilage 2 zu seiner Rekursbegründung vom 15. Februar 2013 hatte der Beschwerdeführer belegt, dass die Alimentenschuld für die beiden Söhne ratenweise zurückbezahlt wurde und damals noch Fr. 1'071.-- ausmachte. Überdies bestätigte ihm das Amt für Sozialbeträge mit Schreiben vom 31. August 2012, dass sein Konto "nun einen Alimentenrückstand von Fr. 1671.--" aufweise; am 27. Januar 2015 bescheinigte es ihm sodann den Eingang von Fr. 12'867.-- an Kinderalimenten, die er für das Jahr 2014 geleistet hatte.
Damit ist die Darstellung in der Beschwerdeschrift (S. 7 oben) zutreffend und der rechtserhebliche Sachverhalt auch insoweit zu berichtigen.
3.2.5. Insgesamt ergibt sich folgendes Bild: Im Zeitpunkt der Trennung von Frau und Kindern hatte der Beschwerdeführer mit Ausnahme des erheblichen Bankkredites der "X._" von Fr. 50'000.-- kaum Schulden. Infolge der Trennung kam es dann zu schwer wiegenden finanziellen Schwierigkeiten, welche zu Betreibungen und Verlustscheinen geführt haben. Seit dem Jahr 2012 trat aber eine finanzielle Stabilisierung ein, es kamen weder neue Betreibungen noch neue Schulden dazu und der Schuldendienst bzw. die Rückzahlung finanzieller Altlasten erfolgte im Zeitpunkt des angefochtenen Entscheides nach Massgabe des Möglichen. Entsprechende ernsthafte Rückzahlungsbestrebungen des Beschwerdeführers sind deutlich erkennbar.
3.2.6. Damit reichen die von der Vorinstanz dem Beschwerdeführer zur Last gelegten Versäumnisse nach der bundesgerichtlichen Rechtsprechung (vorne E. 3.2.2) nicht aus, diesem die wirtschaftliche Integration abzusprechen.
4.
Der Beschwerdeführer ist mithin persönlich und sprachlich integriert (vorne E. 2.2), ebenso - nach Korrektur der offensichtlich unrichtigen vorinstanzlichen Feststellungen - in beruflicher und wirtschaftlicher Hinsicht. Er erfüllt damit die Voraussetzungen von Art. 50 Abs. 1 lit. a AuG und hat Anspruch auf Verlängerung seiner Aufenthaltsbewilligung.
Bei diesem Ergebnis erübrigt sich eine Prüfung des nachehelichen Härtefalles im Sinne von Art. 50 Abs. 1 lit. b AuG.
5.
Die Beschwerde ist begründet und gutzuheissen. Das angefochtene Urteil ist aufzuheben und das Migrationsamt des Kantons Basel-Stadt anzuweisen, die Aufenthaltsbewilligung des Beschwerdeführers zu verlängern.
Bei diesem Verfahrensausgang werden keine Kosten erhoben (<ref-law>). Der Kanton Basel-Stadt hat jedoch den Beschwerdeführer für das bundesgerichtliche Verfahren angemessen zu entschädigen (<ref-law>). Der in der Kostennote geltend gemachte Aufwand erscheint jedoch als überhöht, zumal der Beschwerdeführer bereits vor der Vorinstanz durch das gleiche Anwaltsbüro vertreten war.
Ebenso wird die Vorinstanz über die Kosten- und Entschädigungsfolgen des kantonalen Verfahrens neu zu befinden haben.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird gutgeheissen und das Urteil des Appellationsgerichts des Kantons Basel-Stadt (als Verwaltungsgericht) vom 24. August 2015 aufgehoben. Das Migrationsamt des Kantons Basel-Stadt wird angewiesen, die Aufenthaltsbewilligung des Beschwerdeführers zu verlängern.
2.
Es werden keine Gerichtskosten erhoben.
3.
Der Kanton Basel-Stadt hat dem Beschwerdeführer für das bundesgerichtliche Verfahren eine Parteienschädigung von Fr. 4'000.--auszurichten.
4.
Zur Regelung der Kosten- und Entschädigungsfolgen des kantonalen Verfahrens wird die Sache an die Vorinstanz zurückgewiesen.
5.
Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten, dem Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt (als Verwaltungsgericht) und dem Staatssekretariat für Migration schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 29. Februar 2016
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Zünd
Der Gerichtsschreiber: Klopfenstein