Sachverhalt:
A.
Die Staatsanwaltschaft Zürich-Limmat (im Folgenden: Staatsanwaltschaft) führt eine Strafuntersuchung gegen den rumänischen Staatsangehörigen A._ wegen des Verdachts des Diebstahls, der Sachbeschädigung und des Hausfriedensbruchs. Sie wirft ihm vor, er sei in der Nacht vom 24. auf den 25. März 2016 zusammen mit einem Mittäter in Zürich in ein Musikgeschäft eingebrochen, habe Saxophone im Wert von 51'610.-- gestohlen und einen Sachschaden von Fr. 42'230.-- verursacht.
Am 25. März 2016 hielt die Polizei in Frankreich A._ an und stellte die Saxophone sicher. In der Folge wurde er inhaftiert.
Die Schweiz ersuchte Frankreich um die Auslieferung von A._. Am 11. Oktober 2016 bewilligte der Premier ministre die Auslieferung. Am 9. Januar 2017 wurde A._ an die Schweiz überstellt.
B.
Mit Verfügung vom 11. Januar 2017 versetzte das Zwangsmassnahmengericht des Bezirks Zürich A._ in Untersuchungshaft. Es bejahte den dringenden Tatverdacht und Fluchtgefahr. Die Haft erachtete es als verhältnismässig.
Die von A._ hiergegen erhobene Beschwerde wies das Obergericht des Kantons Zürich (III. Strafkammer) am 6. Februar 2017 ab.
C.
A._ führt Beschwerde in Strafsachen mit dem Antrag, er sei unverzüglich aus der Haft zu entlassen; die Strafuntersuchung sei einzustellen.
D.
Das Obergericht hat auf Gegenbemerkungen verzichtet.
Die Staatsanwaltschaft hat sich vernehmen lassen mit dem Antrag, die Beschwerde abzuweisen.
A._ hat eine Replik eingereicht.

Erwägungen:
1.
Die Eintretensvoraussetzungen sind erfüllt und geben zu keinen Bemerkungen Anlass.
2.
Der Beschwerdeführer bestreitet weder den dringenden Tatverdacht noch die Fluchtgefahr. Er macht geltend, er sei wegen der ihm vorgeworfenen Tat in Frankreich rechtskräftig verurteilt worden. Der Grundsatz "ne bis in idem" stehe damit der erneuten Strafverfolgung in der Schweiz entgegen. Es bestehe insoweit ein Verfahrenshindernis, weshalb er unverzüglich aus der Haft zu entlassen sei.
2.1. <ref-law> verbietet die doppelte Strafverfolgung; ebenso Art. 4 des Protokolls Nr. 7 zur EMRK (SR 0.101.07) und Art. 14 Abs. 7 UNO-Pakt II (SR 0.103.2). Diese Bestimmungen verankern das Verbot "ne bis in idem" jedoch unstreitig lediglich für den innerstaatlichen Bereich und sind deshalb im vorliegenden Zusammenhang, wo sich der Beschwerdeführer auf eine rechtskräftige Verurteilung im Ausland beruft, nicht anwendbar.
Anders verhält es sich bei Art. 54-58 des Übereinkommens vom 19. Juni 1990 zur Durchführung des Übereinkommens von Schengen vom 14. Juni 1985 (im Folgenden: Schengener Durchführungsübereinkommen, SDÜ; ABl. der EU L 239 vom 22. September 2000 S. 19-62). Diese Bestimmungen sind gemäss Art. 2 Abs. 1 i.V.m. Anhang A Teil 1 des Abkommens vom 26. Oktober 2004 zwischen der Schweizerischen Eidgenossenschaft, der Europäischen Union und der Europäischen Gemeinschaft über die Assoziierung dieses Staates bei der Umsetzung, Anwendung und Entwicklung des Schengen-Besitzstandes (SR 0.362.31; im Folgenden: Schengen-Assoziierungsabkommen, SAA) in der Schweiz anwendbar. Art. 54-58 SDÜ regeln das Verbot der Doppelbestrafung. Dieses gilt auch im transnationalen Verhältnis (Urteil 1B_148/2012 vom 2. April 2012 E. 4; WOLFGANG WOHLERS, in: Donatsch und andere [Hrsg.], Kommentar zur Schweizerischen Strafprozessordnung, 2. Aufl. 2014, N. 6 zu <ref-law>; NIKLAUS SCHMID, Schweizerische Strafprozessordnung, Praxiskommentar, 2. Aufl. 2013, N. 1 zu <ref-law>). Gemäss Art. 54 SDÜ darf, wer durch eine Vertragspartei rechtskräftig abgeurteilt worden ist, durch eine andere Vertragspartei wegen derselben Tat nicht verfolgt werden, vorausgesetzt, dass im Fall einer Verurteilung die Sanktion bereits vollstreckt worden ist, gerade vollstreckt wird oder nach dem Recht des Urteilsstaats nicht mehr vollstreckt werden kann. Gemäss Art. 55 Abs. 1 lit. a SDÜ kann eine Vertragspartei bei der Ratifikation, der Annahme oder der Genehmigung dieses Übereinkommens erklären, dass sie (...) nicht durch Artikel 54 gebunden ist, wenn die Tat, die dem ausländischen Urteil zugrunde lag, ganz oder teilweise in ihrem Hoheitsgebiet begangen wurde; im letzteren Fall gilt diese Ausnahme jedoch nicht, wenn diese Tat teilweise im Hoheitsgebiet der Vertragspartei begangen wurde, in dem das Urteil ergangen ist. Die Schweiz hat eine entsprechende Erklärung zu Art. 55 Abs. 1 lit. a SDÜ abgegeben (vgl. die Erklärungen und Mitteilungen der Schweiz im Anhang des SAA).
Das Verbot der doppelten Strafverfolgung stellt ein Verfahrenshindernis dar, das in jedem Verfahrensstadium von Amtes wegen zu berücksichtigen ist (SCHMID, a.a.O., N. 3 zu <ref-law>; BRIGITTE TAG, in: Schweizerische Strafprozessordnung, Basler Kommentar, 2. Aufl. 2014, N. 6 zu <ref-law>).
2.2. Der Beschwerdeführer bringt vor, am 29. März 2016 habe ihn das Tribunal correctionnel in Nancy wegen Hehlerei ("recel") im Zusammenhang mit den gestohlenen Saxophonen zu 12 Monaten Freiheitsstrafe verurteilt. Dies habe das Berufungsgericht in Nancy mit Urteil vom 19. Juli 2016 bestätigt. Er verweist dazu auf eine von ihm ins Recht gelegte "Fiche pénale - volet 5" (act. 3/2) und einen Entscheid der französischen "Juge de l'application des peines" vom 14. Oktober 2016 (act. 3/3).
Die Staatsanwaltschaft hat die Urteile der Gerichte in Nancy von den französischen Behörden auf dem Rechtshilfeweg angefordert. Die Urteile waren zum Zeitpunkt des angefochtenen Entscheids noch nicht eingetroffen. Die Vorinstanz kommt zum Schluss, die Fortsetzung der Strafverfolgung und die Anordnung von Zwangsmassnahmen seien zumindest bis zur Kenntnisnahme des Inhalts der Urteile der französischen Gerichte nicht zu beanstanden.
Der Anwalt des Beschwerdeführers hat das Berufungsgericht in Nancy um Zusendung des Urteils vom 19. Juli 2016 gebeten und dieses dem Bundesgericht mit der Replik in Kopie eingereicht. Wie sich dem Urteil (S. 5 Ziff. II.) entnehmen lässt, standen dagegen Rechtsmittel ("voies de recours") zur Verfügung. Die Staatsanwaltschaft hat über den Beschwerdeführer unter anderem einen französischen Vorstrafenbericht eingeholt. Wie sich aus dem Bericht des französischen Justizministeriums (Casier judiciaire national) vom 1. Februar 2017 ergibt, ist der Beschwerdeführer im französischen Strafregister nicht verzeichnet ("néant"; Untersuchungsakten act. 29/5). Dies legt die Annahme nahe, dass das Urteil des Berufungsgerichts von Nancy nicht in Rechtskraft erwachsen ist. Zumindest eine rechtskräftige Verurteilung müsste im französischen Strafregister enthalten sein.
Das Verbot der Doppelbestrafung gemäss Art. 54 SDÜ kommt nur bei einer rechtskräftigen Aburteilung zur Anwendung (TAG, a.a.O., N. 6 und 8 zu <ref-law>). Nach dem Gesagten ist die Rechtskraft des Urteils des Berufungsgerichts in Nancy zweifelhaft. Die Staatsanwaltschaft wird beförderlich zu klären haben, wie es sich damit verhält.
2.3. Ist eine Person im Hoheitsgebiet einer Vertragspartei wegen einer Straftat angeschuldigt und haben die zuständigen Behörden dieser Vertragspartei Grund zu der Annahme, dass die Anschuldigung dieselbe Tat betrifft, derentwegen der Betreffende im Hoheitsgebiet einer anderen Vertragspartei bereits rechtskräftig verurteilt wurde, so ersuchen sie gemäss Art. 57 SDÜ, sofern sie es für erforderlich halten, die zuständigen Behörden der Vertragspartei, in deren Hoheitsgebiet die Entscheidung ergangen ist, um sachdienliche Auskünfte (Abs. 1). Die erbetenen Auskünfte werden sobald wie möglich erteilt und sind bei der Entscheidung über eine Fortsetzung des Verfahrens zu berücksichtigen (Abs. 2).
Die Staatsanwaltschaft wird mit Blick auf das Gebot der besonderen Beschleunigung in Haftsachen (<ref-law>) darauf hinzuwirken haben, dass die französischen Behörden - wie das Art. 57 Abs. 2 SDÜ vorschreibt - die Urteile der Gerichte in Nancy sobald wie möglich übermitteln und sich zur Rechtskraft äussern. Sollte das Urteil des Berufungsgerichts in Nancy rechtskräftig geworden (und der französische Strafregisterauszug vom 1. Februar 2017 somit falsch bzw. zumindest nicht auf dem aktuellen Stand) sein, wird sich die Staatsanwaltschaft in Auseinandersetzung mit den Erwägungen der Gerichte in Nancy dazu zu äussern haben, ob es im schweizerischen Strafverfahren um dieselbe Tat im Sinne von Art. 54 SDÜ geht. Es besteht hier kein Anlass, dazu gewissermassen auf Vorrat rechtliche Erwägungen anzustellen (zur Tatidentität gemäss Art. 54 SDÜ vgl. TAG, a.a..O, N. 17 zu <ref-law>, mit Hinweisen auf die Rechtsprechung des Gerichtshofs der Europäischen Union).
3.
Nach dem Gesagten kommt aufgrund der derzeitigen Aktenlage die Verfahrenseinstellung und Haftentlassung nicht in Betracht. Die Beschwerde ist daher abzuweisen.
Die Bedürftigkeit des Beschwerdeführers kann angenommen werden. Da die Untersuchungshaft einen schweren Eingriff in die persönliche Freiheit darstellt, konnte er sich zur Beschwerde veranlasst sehen. Die unentgeltliche Rechtpflege und Verbeiständung nach <ref-law> wird deshalb bewilligt. Es werden keine Gerichtskosten erhoben und dem Anwalt des Beschwerdeführers wird eine Entschädigung ausgerichtet.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen.
2.
Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung wird gutgeheissen.
3.
Es werden keine Gerichtskosten erhoben.
4.
Dem Vertreter des Beschwerdeführers, Rechtsanwalt Roger Föhn, wird aus der Bundesgerichtskasse eine Entschädigung von Fr. 2'000.-- ausgerichtet.
5.
Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer, der Staatsanwaltschaft Zürich-Limmat und dem Obergericht des Kantons Zürich, III. Strafkammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 8. März 2017
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Merkli
Der Gerichtsschreiber: Härri