Sachverhalt:
A.
Die Stadt Zürich eröffnete mit Ausschreibung vom 3. Oktober 2014 ein offenes Vergabeverfahren für den Aufbau und den Betrieb eines Veloverleihsystems. Mit "Verfügung" vom 25. Februar 2015 stellte der Vorsteher des Tiefbau- und Entsorgungsdepartements der Stadt Zürich die Rangfolge fest, die sich aus der Bewertung der drei zugelassenen Angebote ergab. Die Offerte der Y._ AG belegte den ersten, jene der X._ SA den dritten Rang. Mit Schreiben vom 25. Februar 2015 teilte die Stadt Zürich den drei im Verfahren verbliebenen Anbietern das Resultat der Auswertung mit. Gleichzeitig setzte sie der erstplatzierten Y._ AG Frist zur Einreichung eines Finanzierungsnachweises an.
Die X._ SA erhob gegen die Mitteilung vom 25. Februar 2015 erfolglos Beschwerde an das Verwaltungsgericht des Kantons Zürich und gelangte alsdann an das Bundesgericht. Dieses trat auf die gegen das Urteil des Verwaltungsgerichts erhobene Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten mit Urteil 2C_1014/2015 vom 21. Juli 2016 nicht ein. Die gleichzeitig erhobene subsidiäre Verfassungsbeschwerde wies das Bundesgericht im selben Urteil ab.
B.
Mit Verfügung vom 4. April 2016 erteilte die Stadt Zürich der Y._ AG den Zuschlag für den Aufbau und den Betrieb des Veloverleihsystems. Die X._ SA gelangte dagegen mit Beschwerde vom 15. April 2016 erneut an das Verwaltungsgericht des Kantons Zürich. Sie beantragte die Aufhebung der Verfügung vom 4. April 2016 und die Erteilung des Zuschlags an sie selbst, eventualiter die Rückweisung der Sache zur neuen Entscheidung an die Stadt Zürich. In prozessualer Hinsicht ersuchte die X._ SA unter anderem um Sistierung des verwaltungsgerichtlichen Verfahrens bis zum rechtskräftigen Entscheid im damals noch vor Bundesgericht hängigen Verfahren 2C_1014/2015. Mit einzelrichterlicher Verfügung vom 7. Juni 2016 wies das Verwaltungsgericht des Kantons Zürich das Sistierungsgesuch ab und trat auf die Beschwerde wegen sachlicher Unzuständigkeit nicht ein.
C.
Gegen die Verfügung vom 7. Juni 2016 gelangt die X._ SA mit Eingabe vom 20. Juli 2016 (Posteingang: 22. Juli 2016) an das Bundesgericht. Sie beantragt die Aufhebung der Verfügung vom 7. Juni 2016 und die Rückweisung zu neuer Entscheidung an die Vorinstanz.
Während die Y._ AG auf eine Beteiligung am Verfahren vor Bundesgericht verzichtet, schliessen die Stadt Zürich und die Vorinstanz auf Abweisung der Beschwerde, soweit auf sie einzutreten ist. Mit Verfügung vom 22. Juli 2016 wurde der Beschwerde superprovisorisch die aufschiebende Wirkung zuerkannt.

Erwägungen:
1.
Das Bundesgericht prüft seine Zuständigkeit und die weiteren Eintretensvoraussetzungen von Amtes wegen (<ref-law>) und mit freier Kognition (<ref-ruling> E. 1 S. 116).
1.1. Die form- (<ref-law>) sowie fristgerecht (<ref-law> [i.V.m. <ref-law>]) eingereichte Beschwerde richtet sich gegen den kantonal letztinstanzlichen, verfahrensabschliessenden (<ref-law>) Entscheid des Verwaltungsgerichts des Kantons Zürich vom 7. Juni 2016 in einer Angelegenheit des öffentlichen Rechts (<ref-law>). Mangels entsprechender Grundlage in einem Bundesgesetz steht der Rechtsmittelweg an das Bundesverwaltungsgericht nicht offen (<ref-law>; Art. 33 lit. i VGG [SR 173.32]).
Der rein kassatorische Antrag der Beschwerdeführerin auf Aufhebung des vorinstanzlichen Urteils und Rückweisung der Angelegenheit an das Verwaltungsgericht ist zulässig, da dieses auf das Rechtsmittel nicht eintrat, ohne die Sache in einer Eventualbegründung auch materiell zu beurteilen (vgl. zum grundsätzlich reformatorischen Charakter der Rechtsmittel vor Bundesgericht <ref-law> [i.V.m. <ref-law>]; weiter <ref-ruling> E. 3.2 S. 235 f.; <ref-ruling> E. 1.2 S. 41; Urteile 2C_139/2016 vom 14. Juni 2016 E. 1.1; 2C_300/2014 vom 9. Februar 2015 E. 1.5.2.3 [nicht publ. in: <ref-ruling>]).
1.2. Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten ist auf dem Gebiet der öffentlichen Beschaffungen nur zulässig, wenn der geschätzte Wert des zu vergebenden Auftrags den massgeblichen Schwellenwert erreicht und sich überdies eine Rechtsfrage von grundsätzlicher Bedeutung stellt (<ref-law>; vgl. <ref-ruling> E. 1.2 S. 20 f.; <ref-ruling> E. 2.1 S. 398; Urteil 2C_919/2014 / 2C_920/2014 vom 21. August 2015 E. 2.2 [nicht publ. in: <ref-ruling>]).
1.2.1. In ihrem Entscheid vom 7. Juni 2016 verneinte die Vorinstanz die Anwendbarkeit von Beschaffungsrecht auf die Vergabe des Auftrags durch die Stadt Zürich für den Aufbau und den Betrieb eines Veloverleihsystems. Demgegenüber stellt sich die Beschwerdeführerin in Übereinstimmung mit dem Urteil des Bundesgerichts 2C_1014/2015 vom 21. Juli 2016 auf den Standpunkt, dass der streitgegenständliche Auftrag in den Anwendungsbereich der Interkantonalen Vereinbarung vom 15. März 2001 über das öffentliche Beschaffungswesen (nachfolgend: Interkantonale Vereinbarung, IVöB) fällt, der der Kanton Zürich mit Erlass des Gesetzes vom 15. September 2003 über den Beitritt zur revidierten Interkantonalen Vereinbarung über das öffentliche Beschaffungswesen vom 15. März 2001 (LS 720.1; nachfolgend: Beitrittsgesetz) beigetreten ist. Der angefochtene Entscheid vom 7. Juni 2016 erging folglich auf dem Gebiet der öffentlichen Beschaffungen im Sinne von <ref-law>, weshalb die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten nur unter den dort genannten Voraussetzungen zulässig ist (vgl. ausführlich zum Ganzen Urteil 2C_1014/2015 vom 21. Juli 2016 E. 2.2).
1.2.2. Als Rechtsfrage von grundsätzlicher Bedeutung (<ref-law>) möchte die Beschwerdeführerin im Verfahren der Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten zunächst beantwortet wissen, ob die Feststellung, dass sich ein Dienstleistungsauftrag nicht unter die Positivliste in Anhang I Annex 4 des Übereinkommens vom 15. April 1994 über das öffentliche Beschaffungswesen (SR 0.632.231.422; nachfolgend: GPA) subsumieren lässt, in jedem Fall die Nichtanwendung des öffentlichen Beschaffungsrecht zur Folge hat. Weiter stellt sich nach Ansicht der Beschwerdeführerin die grundsätzliche Rechtsfrage, ob die Übertragung der Aufgabe, ein öffentliches Veloverleihsystem zu errichten und zu betreiben, einen öffentlichen Auftrag darstellt und die Anwendbarkeit des öffentlichen Beschaffungsrechts nach sich zieht.
1.2.3. In der Rechtsprechung sind beide Fragen bereits beantwortet (vgl. auch E. 1.2.1 hiervor) : Die Nichtanwendbarkeit von Staatsverträgen aus dem Gebiet des öffentlichen Beschaffungswesens schliesst nicht aus, dass ein Auftrag der öffentlichen Hand gleichwohl in den Anwendungsbereich der Submissionsgesetzgebung im Nicht-Staatsvertragsbereich fällt (vgl. dazu ausführlich Urteil 2C_1014/2015 vom 21. Juli 2016 E. 2.2.1 und E. 2.2.2). Sodann ist gemäss bundesgerichtlicher Rechtsprechung anerkannt, dass die Einrichtung eines Veloverleihsystems ein Mittel zur Erfüllung einer öffentlichen Aufgabe darstellen kann. Sie fällt jedenfalls dann unter das öffentliche Beschaffungsrecht, wenn der Veloverleih den städtischen Langsamverkehr mit dem Ziel einer Begrenzung der mit dem motorisierten Verkehr verbundenen Immissionen fördert oder ähnliche Zielsetzungen verfolgt (vgl. <ref-ruling> E. 5.2.2 S. 58; Urteile 2C_1014/2015 vom 21. Juli 2016 E. 2.2.3; 2D_43/2015 vom 10. Dezember 2015 E. 4).
1.2.4. Rechtsfragen von grundsätzlicher Bedeutung, die einer Klärung durch das Bundesgericht harren, liegen nach dem Dargelegten nicht vor. Auf die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten ist nicht einzutreten. Zu prüfen bleibt die Zulässigkeit der gleichzeitig erhobenen subsidiären Verfassungsbeschwerde (Art. 113 und Art. 119 BGG).
1.3. Gemäss <ref-law> ist zur Verfassungsbeschwerde berechtigt, wer vor der Vorinstanz am Verfahren teilgenommen oder keine Möglichkeit zur Teilnahme erhalten hat (lit. a) und über ein rechtlich geschütztes Interesse an der Aufhebung oder Änderung des angefochtenen Entscheids verfügt (lit. b).
Im Bereich des öffentlichen Vergabewesens ist letzteres der Fall, wenn die Beschwerdeführerin als unterlegene Bewerberin eine reelle Chance hat, bei Gutheissung ihres Rechtsmittels den Zuschlag zu erhalten (vgl. <ref-ruling> E. 4.1 S. 27; Urteile 2C_665/2015 vom 26. Januar 2016 E. 1.4; 2D_19/2015 vom 31. Juli 2015 E. 1.1, je mit Hinweisen). Soweit nicht ohne weiteres ersichtlich ist, dass die gesetzlichen Legitimationsvoraussetzungen erfüllt sind, hat die Beschwerdeführerin im Rahmen ihrer allgemeinen Begründungspflicht (<ref-law>) darzulegen, weshalb sie zur Beschwerde zuzulassen ist (<ref-ruling> E. 1.2 S. 539; <ref-ruling> E. 2 S. 403 f.; Urteile 9C_284/2016 vom 19. Juli 2016 E. 3.1 [zur Publikation vorgesehen]; 8C_31/2013 vom 17. Juli 2013 E. 1.1 [nicht publ. in: <ref-ruling>]).
Die Beschwerdeführerin weist als drittplatzierte Anbieterin mit 2,885 von maximal 4 Punkten einigen Abstand auf die mit 3,382 und 3,006 Punkten erst- und zweitplatzierten Bewerberinnen auf. Ihre Legitimation in der Sache liegt somit nicht auf der Hand, wobei sich die Beschwerdeführerin zu ihren Chancen auf den Zuschlag nicht äussert.
Mit ihrem Rechtsmittel rügt die Beschwerdeführerin indes eine Verletzung verschiedener Verfahrensrechte, deren mögliche Missachtung eine formelle Rechtsverweigerung darstellt. Dazu ist sie als bereits im kantonalen Verfahren beteiligte Partei unbesehen ihrer allenfalls fraglichen Legitimation in der Sache berechtigt (sog. "Star-Praxis", vgl. <ref-ruling> E. 1.3 S. 79 f.; <ref-ruling> E. 2 S. 308; <ref-ruling> E. 1.3 S. 270; Urteil 2C_203/2014 vom 9. Mai 2015 E. 2.5). Auf die subsidiäre Verfassungsbeschwerde ist einzutreten.
2.
Mit der subsidiären Verfassungsbeschwerde kann ausschliesslich die Verletzung von verfassungsmässigen Rechten gerügt werden (<ref-law>). Die Rüge einer Missachtung von Gesetzes- und Konkordatsrecht ist ausgeschlossen (vgl. Urteile 2C_1014/2015 vom 21. Juli 2016 E. 4; 2C_1196/2013 vom 21. Februar 2013 E. 1.5; 2C_85/2007 vom 1. Oktober 2007, E. 3.1). Zulässig ist indes die Rüge einer gegen <ref-law> verstossenden Anwendung der massgebenden Submissionserlasse, da die Anbieter im öffentlichen Beschaffungsrecht ein rechtlich geschütztes Interesse an der Einhaltung der entsprechenden Gesetzgebung haben (vgl. <ref-ruling> E. 4 S. 95; Urteile 2C_1014/2015 vom 21. Juli 2016 E. 4; 2C_665/2015 vom 26. Januar 2016 E. 2.3; 2D_39/2014 vom 26. Juli 2014 E. 2.1; 2C_1196/2013 vom 21. Februar 2014 E. 1.5). Die Verletzung von verfassungsmässigen Rechten prüft das Bundesgericht jedoch nur, soweit eine entsprechende Rüge präzise vorgebracht und begründet worden ist (sog. Rügeprinzip; Art. 117 i.V.m. <ref-law>). Seinem Urteil legt das Bundesgericht den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (<ref-law>). Es kann die Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz von Amtes wegen berichtigen oder ergänzen, wenn sie auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruht (<ref-law>).
3.
3.1. Ohne die einschlägigen kantonalen Bestimmungen im Einzelnen darzulegen (vgl. zu den diesbezüglichen Anforderungen an kantonal letztinstanzliche Entscheide <ref-law>) erwog das Verwaltungsgericht im angefochtenen Urteil, dass es für Beschwerden gegen Vergabeentscheide kantonaler und kommunaler Auftraggeber zuständig sei. Teilweise unter Verweisung auf seinen Beschluss VB.2015.00158 vom 8. Oktober 2015, der Gegenstand des bundesgerichtlichen Verfahrens 2C_1014/2015 bildete, verneinte es jedoch im konkreten Fall die Anwendbarkeit öffentlichen Beschaffungsrechts und gestützt darauf seine sachliche Zuständigkeit.
3.2. Die Beschwerdeführerin stellt sich dagegen auf den Standpunkt, dass die Vergabe des Auftrags zum Aufbau und Betrieb des Veloverleihsystems klarerweise in den Anwendungsbereich der Interkantonalen Vereinbarung falle. Entsprechend sei die Vorinstanz sachlich zur Behandlung der Beschwerde zuständig. Mit ihrem Nichteintretensentscheid begehe sie eine formelle Rechtsverweigerung und verstosse sie gegen <ref-law>.
3.3. Gemäss <ref-law> hat jede Person in Verfahren vor Gerichtsinstanzen Anspruch auf gleiche und gerechte Behandlung sowie auf Beurteilung innert angemessener Frist. Als Teilgehalt fliesst aus der genannten Bestimmung das Verbot formeller Rechtsverweigerung. Eine formelle Rechtsverweigerung liegt vor, wenn eine Behörde auf eine ihr frist- und formgerecht unterbreitete Sache nicht eintritt, obschon sie darüber befinden müsste (vgl. <ref-ruling> E. 5 S. 181 f.; <ref-ruling> E. 2.1 S. 9 f.; <ref-ruling> E. 2.3 S. 232 f.; Urteile 8C_506/ 2015 vom 22. März 2016 E. 4.2 [zur Publikation vorgesehen]; 4A_116/ 2015 / 4A_118/2015 vom 9. November 2015 E. 7 [nicht publ. in: <ref-ruling>]). Ob eine solche formelle Rechtsverweigerung vorliegt, prüft das Bundesgericht mit freier Kognition. Die Auslegung und Anwendung des kantonalen Rechts, das die Zuständigkeit der Behörden regelt, untersucht es auf Willkür hin (vgl. BGE <ref-ruling> E. 2.1 S. 9 f. mit Hinweisen).
3.4. Nach dem bereits Dargelegten fällt der Auftrag zur Errichtung und zum Betrieb eines Veloverleihsystems in der Stadt Zürich entgegen der Auffassung der Vorinstanz in den Anwendungsbereich der Interkantonalen Vereinbarung (vgl. E. 1.2.1 hiervor sowie Urteil 2C_1014/ 2015 vom 21. Juli 2016 E. 2.2). Beim streitgegenständlichen Entscheid des Tiefbau- und Entsorgungsdepartements der Stadt Zürich vom 4. April 2016, dessen rechtsgestaltender Charakter von keiner Seite bestritten wird, handelt es sich um eine Verfügung im Sinne von Art. 15 IVöB. Über Beschwerden gegen Verfügungen gemäss Art. 15 IVöB entscheidet nach dem klaren Wortlaut von § 2 Abs. 1 des kantonalen Beitrittsgesetzes das Verwaltungsgericht des Kantons Zürich. Dies entspricht im Übrigen auch der Praxis der Vorinstanz selbst (vgl. angefochtener Entscheid E. 2.1; Beschluss des Verwaltungsgerichts des Kantons Zürich VB.2015.00158 vom 8. Oktober 2015 E. 1). Dass das Verwaltungsgericht seine sachliche Zuständigkeit zur Behandlung der Beschwerde gleichwohl verneint, erweist sich vor dem Hintergrund der geschilderten Zuständigkeitsordnung als unhaltbar. Mit ihrem auf willkürlicher Anwendung kantonalen Rechts (§ 2 Abs. 1 Beitrittsgesetz) beruhenden Nichteintretensentscheid verstiess die Vorinstanz gegen das Verbot der formellen Rechtsverweigerung (<ref-law>).
3.5. Die Beschwerdeführerin dringt mit ihrer Rüge einer Verletzung von <ref-law> durch, was zur vollumfänglichen Gutheissung der subsidiären Verfassungsbeschwerde und zur Aufhebung des angefochtenen Entscheids führt. Damit sind die übrigen Rügen der Beschwerdeführerin im bundesgerichtlichen Verfahren nicht weiter zu behandeln. Die Angelegenheit ist zur materiellen Beurteilung an die Vorinstanz zurückzuweisen, wobei das Gesuch um aufschiebende Wirkung mit dem vorliegenden Entscheid in der Hauptsache gegenstandslos wird.
4.
Zu regeln bleiben die Kosten- und Entschädigungsfolgen.
4.1. Vorab stellt sich die Frage, ob dem Kanton Zürich die Gerichtskosten des bundesgerichtlichen Verfahrens aufzuerlegen sind und der Beschwerdeführerin zu seinen Lasten eine Parteientschädigung zuzusprechen ist. Kosten und Parteientschädigungen können dem Gemeinwesen, dem die Vorinstanz angehört, nach dem Verursacherprinzip auferlegt werden, wenn letztere in qualifizierter Weise die Pflicht zur Justizgewährleistung verletzt und damit ein Verfahren erst verursacht hat (vgl. Art. 66 Abs. 3 und Art. 68 Abs. 4 BGG; <ref-ruling> E. 3 S. 248; Urteile 5A_579/2014 vom 18. August 2014 E. 5 [nicht publ. in: <ref-ruling>]; 9C_546/2011 vom 31. Oktober 2011 E. 3; 9C_251/ 2009 vom 15. Mai 2009 E. 2.1). Im vorliegenden Fall ist nicht leicht einzusehen, wieso die Vorinstanz dem Sistierungsantrag der Beschwerdeführerin im Hinblick auf die umstrittene Frage der sachlichen Zuständigkeit nicht stattgegeben hat, obwohl in derselben Angelegenheit bereits ein Verfahren vor Bundesgericht hängig war. Die Vorinstanz betrachtete es indes als ungewiss, ob das im damaligen Zeitpunkt noch ausstehende Urteil des Bundesgerichts im Verfahren 2C_1014/2015 mit Blick auf die sachliche Zuständigkeit präjudizierende Wirkung haben werde. Angesichts dieser Umstände erscheint eine Kostenverlegung nach dem Verursacherprinzip noch nicht als gerechtfertigt. Die Regelung der Kosten- und Entschädigungsfolgen richtet sich nach den allgemeinen Grundsätzen.
4.2. Im vorliegenden beschaffungsrechtlichen Verfahren gilt die Stadt Zürich als unterliegende Partei, die eigene Vermögensinteressen verfolgt (<ref-law>; vgl. <ref-ruling> E. 6 S. 268; <ref-ruling> E. 8 S. 103; Urteile 2C_553/2015 vom 26. November 2015 E. 3; 2C_1131/2013 vom 31. März 2015 E. 8.1 [nicht publ. in: <ref-ruling>]; 2D_58/2013 vom 24. September 2014 E. 8 [nicht publ. in: <ref-ruling>]). Ebenfalls als unterliegende Partei (<ref-law>) gilt die Y._ AG, da der Beschwerde superprovisorisch die aufschiebende Wirkung erteilt wurde und mit dem Ausgang des bundesgerichtlichen Verfahrens ein Eingriff in ihre Rechtsstellung weiterhin als möglich erscheint (diesbezüglich anders die prozessuale Sachlage bei <ref-ruling> E. 8 S. 103 sowie bei den Urteilen 2D_21/2011 / 2D_47/2011 vom 2. Juni 2012 E. 7; 2C_144/2009 vom 15. Juni 2009 E. 7; vgl. HANSJÖRG SEILER, in: Bundesgerichtsgesetz (BGG), 2. Aufl. 2015, N. 24 zu <ref-law>). An ihrer Kostenpflicht ändert nichts, dass die zur Vernehmlassung eingeladene Y._ AG auf eine Beteiligung im bundesgerichtlichen Verfahren verzichtet hat (vgl. Urteil 2C_785/2013 / 2C_786/2013 vom 28. Mai 2014 E. 6); sie ist im vorliegenden Vergabeverfahren notwendige Gegenpartei der Beschwerdeführerin (vgl. <ref-ruling> E. 3c S. 158; Urteil 2C_434/ 2013 vom 18. Oktober 2013 E. 2.4 und E. 2.5 mit Hinweisen; HANSJÖRG SEILER, a.a.O., N. 18 und N. 24 zu <ref-law>; BERNARD CORBOZ, in: Commentaire de la LTF, 2. Aufl. 2014, N. 38 zu <ref-law>). Der Stadt Zürich und der Y._ AG als unterliegende Parteien sind die Gerichtskosten (<ref-law>) und die Parteientschädigung zugunsten der Beschwerdeführerin (Art. 68 Abs. 1 und Abs. 4 i.V.m. <ref-law>) je zur Hälfte aufzuerlegen.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Auf die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten wird nicht eingetreten.
2.
Die subsidiäre Verfassungsbeschwerde wird gutgeheissen. Der angefochtene Entscheid des Verwaltungsgerichts des Kantons Zürich vom 7. Juni 2016 wird aufgehoben. Die Sache wird zu neuer Entscheidung an das Verwaltungsgericht zurückgewiesen.
3.
Die Gerichtskosten von Fr. 3'000.-- werden der Stadt Zürich und der Y._ AG je zur Hälfte, ausmachend je Fr. 1'500.--, auferlegt.
4.
Die Stadt Zürich und die Y._ AG werden verpflichtet, die X._ SA für das bundesgerichtliche Verfahren je mit Fr. 1'500.-- zu entschädigen.
5.
Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten und dem Verwaltungsgericht des Kantons Zürich, 1. Abteilung, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 25. August 2016
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Seiler
Der Gerichtsschreiber: Fellmann