Erwägungen:
1.
1.1. Der aus dem Kosovo stammende A._ (geb. 1976) reiste am 14. August 1994 erstmals in die Schweiz ein und ersuchte erfolglos um Asyl. Eine am 1. März 1996 mit einer Schweizer Bürgerin geschlossene Ehe wurde am 7. November 1996 geschieden, nachdem A._ am 23. Mai 1996 wegen Körperverletzung zum Nachteil seiner Ehefrau zu einer bedingten Gefängnisstrafe von fünf Monaten und zu einer Landesverweisung von fünf Jahren verurteilt und am 25. Mai 1996 aus der Schweiz ausgeschafft worden war.
Am 6. Juni 1997 kam A._ erneut in die Schweiz und ersuchte um Asyl. Das Verfahren endete am 9. Juni 1997 mit einem Nichteintretens- und Wegweisungsentscheid. Am 16. Oktober 1997 heiratete A._ eine in der Schweiz niederlassungsberechtigte portugiesische Staatsangehörige, kehrte jedoch im Oktober/November 1997 in den Kosovo zurück. Die Ehe wurde am 7. Juli 1998 geschieden.
Am 9. Mai 1999 reiste A._ wiederum in die Schweiz ein und stellte zum dritten Mal ein Asylgesuch. Dieses wurde am 19. Januar 2000 abgewiesen und A._ am 26. Juni 2000 in den Kosovo zurückgeführt. Nach einer weiteren illegalen Einreise am 19. November 2003 wurde gegen ihn am 12. Januar 2004 ein Einreiseverbot für zwei Jahre ausgesprochen.
Am 11. September 2008 heiratete A._ im Kosovo die in der Schweiz niederlassungsberechtigte dominikanische Staatsangehörige B._ (geb. 1984). Er reiste am 23. November 2009 in die Schweiz ein, worauf er die Aufenthaltsbewilligung zum Verbleib bei der Ehefrau erhielt. Aus einer früheren Beziehung hatte B._ die Tochter C._ (geb. 2001). Am 12. Januar 2010 gebar sie die Tochter D._ und am 11. April 2011 den Sohn E._. Die beiden jüngeren Kinder sind im Besitz der Niederlassungsbewilligung. Die Aufenthaltsbewilligung von A._ wurde letztmals bis am 22. November 2011 verlängert.
1.2. Am 7. März 2014 wies das Migrationsamt des Kantons Zürich das Gesuch um Verlängerung der Aufenthaltsbewilligung ab mit der Begründung, bei der Ehe von A._ und B._ handle es sich um eine Scheinehe. Die gegen diesen Entscheid erhobenen kantonalen Rechtsmittel blieben erfolglos (Entscheid der Sicherheitsdirektion des Kantons Zürich vom 3. August 2015; Urteil des Verwaltungsgerichts des Kantons Zürich vom 17. März 2016).
1.3. A._ erhebt am 18. Mai 2016 Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten mit den Anträgen, das angefochtene Urteil aufzuheben und die Aufenthaltsbewilligung zu verlängern. Eventualiter sei das Verfahren zur erneuten Prüfung an die Vorinstanz zurückzuweisen. Subeventualiter sei die Ausreisefrist auf sechs Monate zu verlängern. Am 20. Mai 2016 ist der Beschwerde antragsgemäss aufschiebende Wirkung beigelegt worden.
2.
2.1. Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten ist zulässig, soweit damit die Verlängerung der Aufenthaltsbewilligung beantragt wird (<ref-law> e contrario i.V.m. Art. 43 Abs. 1 AuG [SR 142.20]). Der Antrag auf Verlängerung der Ausreisefrist ist nicht zulässig, da er die Wegweisung betrifft (<ref-law>).
2.2. Die Beschwerde ist offensichtlich unbegründet, so dass sie im Verfahren nach <ref-law> mit summarischer Begründung zu erledigen ist.
3.
3.1. Gemäss Art. 43 Abs. 1 AuG haben ausländische Ehegatten von Personen mit Niederlassungsbewilligung Anspruch auf Erteilung und Verlängerung der Aufenthaltsbewilligung, wenn sie mit diesen zusammenwohnen. Die Ansprüche nach den Art. 43, 48 und 50 AuG erlöschen, wenn sie rechtsmissbräuchlich geltend gemacht werden, namentlich um Vorschriften dieses Gesetzes und seiner Ausführungsbestimmungen über die Zulassung und den Aufenthalt zu umgehen (Art. 51 Abs. 2 lit. a AuG).
3.2. Ob eine Scheinehe geschlossen wurde bzw. ob die Ehe bloss noch formell besteht, entzieht sich in der Regel dem direkten Beweis und kann nur durch Indizien erstellt werden (<ref-ruling> E. 4.2 S. 9 f.; <ref-ruling> E. 10.2 S. 135). Es handelt sich dabei um tatsächliche Feststellungen, welche das Bundesgericht nur auf offensichtliche Unrichtigkeit oder Rechtsverletzungen hin überprüft (<ref-law>). In die vorinstanzliche Beweiswürdigung greift es nur ein, wenn diese willkürlich ist (Urteile 2C_752/2016 vom 16. September 2016 E. 3.2; 2C_1141/2015 vom 18. Juli 2016 E. 2.2; <ref-ruling> E. 2.1 S. 9).
3.3. Die Vorinstanz hat die Rechtsprechung zum Vorliegen einer Scheinehe zutreffend wiedergegeben; es kann darauf verwiesen werden. Die Annahme, der Beschwerdeführer und seine Frau hätten die Ehe nur zum Schein geschlossen, erscheint zutreffend:
In der Kennenlernphase, welche anscheinend in Mailand stattfand, konnten sich der Beschwerdeführer und seine zukünftige Frau kaum miteinander verständigen, da sie keine gemeinsame Sprache hatten. Trotzdem gingen sie relativ rasch die Ehe ein. B._ reiste am Tag der Hochzeit am 11. September 2008 in den Kosovo und am Folgetag um 9 Uhr wieder zurück in die Schweiz. Seither hielt sie sich nie mehr im Kosovo auf. Die Begründung des Beschwerdeführers, seine Ehefrau verstehe sich nicht mit seinem Vater, erscheint dafür nicht stichhaltig. Er - der Beschwerdeführer - reiste erst ein Jahr und zwei Monate nach der Heirat, am 23. November 2009, in die Schweiz. Als das Migrationsamt in diesem Zusammenhang die Frage nach der Vaterschaft hinsichtlich D._ (geb. am 12. Januar 2010) aufwarf und ihn am 7. März 2012 aufforderte, die Vaterschaft hinsichtlich D._ und E._ mittels DNA-Analyse zu belegen, behauptete der Beschwerdeführer, im März und April 2009 (Zeitraum, in dem die Zeugung von D._ stattgefunden haben muss) seine Frau in Mailand getroffen zu haben, konnte dies aber nicht nachweisen. Der Aufforderung des Migrationsamts, einen DNA-Test einzureichen, kam er nicht nach.
Anlässlich der polizeilichen Befragungen vom 27. Juli 2011 und vom 28. Oktober 2011 machten die Ehegatten lückenhafte und widersprüchliche Angaben zum jeweiligen Partner und zum Eheleben. Die Ehefrau kannte zwar das Geburtsdatum, nicht aber den Geburtsjahrgang ihres Gatten. Das Datum des Kennenlernens konnte sie ebenfalls nicht angeben. Auch die Namen der Eltern und des in Genf lebenden Bruders des Beschwerdeführers kannte sie nicht. Von dessen Geschwistern kannte sie lediglich den Namen jenes Bruders, der - wie sie - in Winterthur lebte. Der Beschwerdeführer begründet diese "Gedächtsnislücken" damit, seine Frau sei im Jahr 2004 am Kopf operiert worden. Indessen bestätigt der Austrittsbericht des Universitätsspitals Zürich vom 3. März 2004, dass die Operation komplikationslos verlaufen sei. Es gibt auch keine Hinweise auf spätere Komplikationen mit Auswirkungen auf die Gedächtnisleistung der Ehefrau. Sodann verstrickten sich die Gatten in Bezug auf wichtige, das Eheleben betreffende Ereignisse in Widersprüche, so zum Heiratsantrag, zu den Trauzeugen, zu den Hochzeitsgeschenken, zum Hochzeitsfest und zu den Hochzeitsfotos, zu den (behaupteten) Treffen in Mailand in der Zeit nach der Eheschliessung und einem (ebenfalls nicht belegten) anschliessenden Aufenthalt des Beschwerdeführers in der Schweiz.
Schliesslich bestätigten auch die zahlreichen Kontrollbesuche der Polizeibehörden an den jeweiligen Wohnorten des Ehepaars die Vermutung, dass die Gatten nicht zusammenlebten. Insbesondere die Wohnungseinrichtung erweckte erhebliche Zweifel, dass dort ein ehelicher Haushalt mit drei Kindern geführt wurde. Die Beamten trafen die Ehefrau dort nie an, wobei der Beschwerdeführer jeweils nicht sagen konnte, wo sie sich aufhielt. Als sie mit den Kindern ferienhalber in der Dominikianischen Republik weilte, konnte er weder die Adresse noch die Telefonnummer der Familie seiner Frau angeben.
3.4. Angesichts der genannten, für das Bundesgericht grundsätzlich verbindlichen Feststellungen ist die Annahme, es liege eine Scheinehe vor, naheliegend und jedenfalls nicht zu beanstanden. Die weitschweifigen, rein appellatorischen Ausführungen des Beschwerdeführers vermögen diesen Schluss nicht zu entkräften. Lediglich auf zwei Punkte ist noch einzugehen:
3.4.1. Der Beschwerdeführer moniert, die Migrationsbehörden hätten die Wohnsituation des Paars schon im Jahr 2001 (recte: 2011) einlässlich geklärt und diese als "nicht genügend zur Annahme einer nichtbestehenden Wohngemeinschaft der Familie" beurteilt.
Daraus, dass die Migrationsbehörde in einem früheren Zeitpunkt zum Schluss gekommen ist, die Indizien würden für die Annahme einer Scheinehe nicht ausreichen, kann der Beschwerdeführer nichts ableiten. Handelt es sich nämlich - wie vorliegend - um die Verlängerung einer abgelaufenen Bewilligung, gelangen nicht die Regeln über den Widerruf rechtskräftiger Bewilligungen zur Anwendung, sondern die Behörde kann aufgrund einer Gesamtwürdigung - unter Einbezug bereits früher bekannter und zusätzlicher neuer Erkenntnisse - das Vorliegen einer Scheinehe bejahen (Urteile 2C_740/2015 / 2C_752/2015 vom 10. Februar 2016 E. 3.3; 2C_310/2014 vom 25. November 2014 E. 2.4.2; 2C_500/2011 vom 20. Dezember 2011 E. 2.5).
3.4.2. Schliesslich bringt der Beschwerdeführer sinngemäss vor, für den Fall, dass das Bundesgericht das Vorliegen einer Scheinehe bestätigen sollte, sei davon auszugehen, die ursprünglich nur zum Schein geschlossene Ehe sei durch einen "amor superveniens" (nachträglich eingetretene echte Lebensgemeinschaft, vgl. Urteil 2C_731/ 2015 vom 19. Februar 2016 E. 2.1) geheilt worden. Diese Eventualbegründung wurde im Verfahren vor der Vorinstanz nicht vorgebracht. Vor Bundesgericht ist die Rüge nicht genügend substanziiert; die eingereichten Fotos der Familie und Schreiben von Bekannten sind zudem echte Noven und damit unbeachtlich (<ref-ruling> E. 3.1.2 S. 123).
3.5. Zusammenfassend erweist sich der Entscheid der Vorinstanz als richtig und verhältnismässig.
4.
Nach dem Gesagten ist die Beschwerde abzuweisen, soweit darauf einzutreten ist. Der unterliegende Beschwerdeführer trägt die Gerichtskosten (<ref-law>). Eine Parteientschädigung ist nicht zuzusprechen (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 2'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten, dem Verwaltungsgericht des Kantons Zürich, 1. Abteilung, und dem Staatssekretariat für Migration schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 12. Oktober 2016
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Seiler
Die Gerichtsschreiberin: Genner