Sachverhalt:
A.
Die Staatsanwaltschaft Bern-Mittelland führt gegen A._ eine Strafuntersuchung wegen Vergewaltigung, sexuellen Handlungen mit einem Kind und Pornografie. Am 13. Januar 2015 teilte sie den Parteien (dem Beschuldigten und der Privatklägerin B._) mit, dass sie beabsichtige, das Verfahren hinsichtlich des Vorwurfs der Vergewaltigung einzustellen.
A._ hatte vom 1. August 2014 bis zum 31. Juli 2015 im Rahmen einer Stellvertretung eine befristete Stelle als Musiklehrer an der Schule X._. Am 16. Februar 2015 ersuchte die Erziehungsdirektion des Kantons Bern die Staatsanwaltschaft um Einsicht in die Strafakten. Sie führe gegen A._ ein Verfahren auf Einstellung im Amt. In diesem Zusammenhang habe sie Kenntnis von einem Strafverfahren wegen 16-facher Vergewaltigung erhalten. Die Staatsanwaltschaft hiess das Akteneinsichtsgesuch gut. Das Obergericht des Kantons Bern bestätigte diesen Entscheid, worauf A._ Beschwerde ans Bundesgericht erhob. Mit Verfügung vom 25. November 2015 schrieb das Bundesgericht die Beschwerde als gegenstandslos geworden vom Geschäftsverzeichnis ab, weil die Anstellung des Beschwerdeführers als Musiklehrer mittlerweile geendet hatte und damit kein aktuelles Interesse an der Akteneinsicht mehr bestand (Verfahren 1B_261/2015).
Am 7. Dezember 2015 stellte die Erziehungsdirektion erneut ein Akteneinsichtsgesuch, diesmal für ein Verfahren betreffend den Entzug der Unterrichtsberechtigung. Die Staatsanwaltschaft hiess das Gesuch mit Verfügung vom 1. März 2016 gut. Eine von A._ dagegen erhobene Beschwerde wies das Obergericht des Kantons Bern mit Beschluss vom 1. Juni 2016 ab.
B.
Mit Beschwerde in Strafsachen ans Bundesgericht vom 4. Juli 2016 beantragt A._, der Beschluss des Obergerichts sei aufzuheben und das Akteneinsichtsgesuch abzuweisen. Eventuell sei die Akteneinsicht erst nach Abschluss des erstinstanzlichen Verfahrens, subeventualiter nach Abschluss des Untersuchungsverfahrens zu gewähren.
Das Obergericht, die Staatsanwaltschaft, die Generalstaatsanwaltschaft und die Geschädigte haben auf eine Vernehmlassung verzichtet.
Mit Präsidialverfügung vom 29. Juni 2016 hat das Bundesgericht der Beschwerde die aufschiebende Wirkung zuerkannt.

Erwägungen:
1.
1.1. Beim angefochtenen Beschluss handelt es sich um einen kantonal letztinstanzlichen Entscheid über ein Gesuch um Akteneinsicht in einem Strafverfahren gestützt auf <ref-law>. Dieser Beschluss unterliegt der Beschwerde in Strafsachen (<ref-law>).
1.2. Die beantragte Akteneinsicht dient dem Verwaltungsverfahren betreffend den Entzug der Unterrichtsberechtigung. Sie hat neben diesem bzw. neben dem hängigen Strafverfahren keine selbständige Bedeutung, vielmehr ist sie vom Bestand dieser beiden Verfahren abhängig. Wie aus den nachfolgenden Erwägungen hervorgeht, werden denn auch keine Rechtsfragen entschieden, welche im späteren Verlauf des Verfahrens nicht mehr zur Diskussion gestellt werden könnten. Der Entscheid, die Akteneinsicht zu gewähren, hat somit keinen verfahrensabschliessenden Charakter (<ref-law>; anders verhält es sich, wenn die Akteneinsicht nicht für die Bearbeitung hängiger Zivil-, Straf- oder Verwaltungsverfahren verlangt wird, vgl. Urteil 6B_590/2007 vom 19. Dezember 2007 E. 1). Es liegt ein Zwischenentscheid im Sinne von <ref-law> vor (vgl. Urteil 1B_530/2012 vom 12. November 2012 E. 2, in SJ 2013 I S. 77, wo die Frage noch offen gelassen wurde, sowie Urteil 2C_909/2008 vom 2. November 2009, E. 1.5, nicht publ. in <ref-ruling>, wo das Bundesgericht im Rahmen eines Amtshilfeverfahrens gestützt auf Art. 112 des Bundesgesetzes vom 14. Dezember 1990 über die direkte Bundessteuer [DBG; SR 642.11] von einem Endentscheid ausging).
1.3. Genauer zu prüfen ist, ob die Sachurteilsvoraussetzungen von <ref-law> erfüllt sind. Sofern sich diese nicht ohne Weiteres aus den Akten ergeben, obliegt es dem Beschwerdeführer darzulegen, inwiefern sie gegeben sind (<ref-ruling> E. 1.1 S. 328 f.; <ref-ruling> E. 2.3.1 und 2.4.2 S. 632 f.; je mit Hinweisen). Vorliegend fällt von vornherein ausschliesslich die Variante von <ref-law> in Betracht. Danach ist die Beschwerde gegen einen Zwischenentscheid zulässig, wenn dieser einen nicht wieder gutzumachenden Nachteil bewirken kann.
Als oberste rechtsprechende Behörde des Bundes soll sich das Bundesgericht in der Regel nur einmal mit der gleichen Streitsache befassen müssen. Nach ständiger Praxis zu <ref-law> ist ein Vor- oder Zwischenentscheid daher nur ausnahmsweise anfechtbar, sofern ein konkreter rechtlicher Nachteil droht, der auch durch einen (für die rechtsuchende Partei günstigen) Endentscheid nachträglich nicht mehr behoben werden könnte (<ref-ruling> E. 3.6 S. 326 f.; <ref-ruling> E. 1 S. 115; je mit Hinweisen).
1.4. Der Beschwerdeführer bringt vor, es drohe ihm insofern ein nicht wieder gutzumachender Nachteil, als die Untersuchungsakten geeignet seien, seine berufliche Existenz zu zerstören. Zudem macht er geltend, die strafrechtlichen Vorwürfe beträfen intime Bereiche seiner Persönlichkeit. Der Hinweis der Vorinstanz auf das Amtsgeheimnis helfe nicht weiter. Wenn die Akten kopiert würden und in sein Personaldossier Eingang fänden, habe praktisch jedermann in der Erziehungsdirektion Zugriff darauf.
1.5. Gemäss der Rechtsprechung begründet die Durchführung eines Strafverfahrens allein keinen Nachteil rechtlicher Natur (<ref-ruling> E. 4 S. 141; <ref-ruling> E. 2c S. 315; Urteil 1B_100/2013 vom 29. Mai 2013 E. 1.3; je mit Hinweisen). Dasselbe gilt für die Durchführung eines Verwaltungsverfahrens. Falls jenes Verfahren zum Entzug der Unterrichtsberechtigung führen sollte, wird der Beschwerdeführer dagegen Beschwerde ans Bundesgericht erheben können. In diesem Rahmen wird er die Möglichkeit haben vorzubringen, die Akten der Strafuntersuchung rechtfertigten den Entzug der Unterrichtsberechtigung nicht und kämen einer Verdachtskündigung gleich, wie er dies in seiner Beschwerde behauptet. Ebenso wenig führen im Allgemeinen Beweismassnahmen zu einem nicht wieder gutzumachenden Nachteil (Urteil 6S.488/2004 vom 12. Mai 2005 E. 2.2 mit Hinweisen). Dass es vorliegend anders wäre, ist nicht ersichtlich: Zu Recht weist die Vorinstanz darauf hin, dass für die Erziehungsdirektion das Amtsgeheimnis gilt, sodass eine Weiterverbreitung der betreffenden Informationen ebenso unzulässig wäre wie im Strafverfahren selbst. Die Sachurteilsvoraussetzung von <ref-law> ist somit nicht erfüllt.
2.
Auf die Beschwerde ist aus den genannten Gründen nicht einzutreten.
Bei diesem Verfahrensausgang trägt der Beschwerdeführer die Gerichtskosten (<ref-law>). Er hat keinen Anspruch auf eine Parteientschädigung (Art. 68 Abs. 1 und 2 BGG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 1'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer, der Staatsanwaltschaft Bern-Mittelland, der Generalstaatsanwaltschaft des Kantons Bern, B._ und dem Obergericht des Kantons Bern, Beschwerdekammer in Strafsachen, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 11. Oktober 2016
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Fonjallaz
Der Gerichtsschreiber: Dold