Sachverhalt:
A.
Der 1972 geborene A._ arbeitete seit Juni 2007 bei der B._ AG am Flughafen als Gepäcksortierer und war dadurch bei der Schweizerischen Unfallversicherungsanstalt (Suva) gegen die Folgen von Unfällen und Berufskrankheiten versichert. Am 6. Oktober 2013 erlitt er beim Verladen von Gepäckstücken in einen Container eine Kontusion am rechten Ellbogen. Die erstbehandelnde Ärztin diagnostizierte gleichentags eine Hämatobursa Olekranon (Ellbogenschleimbeutelentzündung) rechts. Die Suva anerkannte ihre Leistungspflicht und erbrachte die gesetzlichen Leistungen in Form von Heilbehandlung und Taggeld. Weil die Schmerzen fortbestanden und weder konservative Behandlungen noch Kortisoninfiltrationen dauerhafte Verbesserungen brachten, wurde A._ am 7. November 2014 am Ellbogen operiert. Am 13. Januar 2015 löste die Arbeitgeberin das Arbeitsverhältnis per 31. März 2015 auf. Vom 2. April bis 7. Mai 2015 hielt sich A._ zur stationären Rehabilitation in der Klinik C._ auf. Im Austrittsbericht vom 7. Mai 2015 führten deren Ärzte zur Arbeitsfähigkeit aus, dass die bisherige Tätigkeit als Gepäcksortierer ab dem 8. Mai 2015 ganztags zumutbar sei. Ebenso bestehe eine volle Arbeitsfähigkeit für andere schwere körperliche Tätigkeiten. Gestützt auf diesen Bericht schloss die Suva den Schadensfall mit Verfügung vom 1. Juni 2015 ab und stellte die Versicherungsleistungen per 30. Juni 2015 ein. Die von A._ erhobene Einsprache wies sie am 6. Oktober 2015 ab.
B.
Mit Entscheid vom 3. Oktober 2016 wies das Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich die gegen den Einspracheentscheid vom 6. Oktober 2015 erhobene Beschwerde ab.
C.
A._ lässt gegen diesen Entscheid Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten führen und beantragen, die Beschwerdegegnerin sei zu verpflichten, die gesetzlichen Versicherungsleistungen auszurichten.
Die Suva schliesst auf Beschwerdeabweisung. Das Bundesamt für Gesundheit verzichtet auf eine Vernehmlassung.
A._ hält in seiner Eingabe vom 24. Februar 2017 an seinen Anträgen fest.

Erwägungen:
1.
Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann wegen Rechtsverletzungen gemäss Art. 95 und 96 BGG erhoben werden. Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (<ref-law>), doch prüft es, unter Berücksichtigung der allgemeinen Rüge- und Begründungspflicht im Beschwerdeverfahren (Art. 42 Abs. 1 und 2 BGG), nur die geltend gemachten Vorbringen, falls allfällige weitere rechtliche Mängel nicht geradezu offensichtlich sind (<ref-ruling> E. 1 S. 236; <ref-ruling> E. 1.6 S. 280).
Im Beschwerdeverfahren um die Zusprechung oder Verweigerung von Geldleistungen der Militär- oder Unfallversicherung ist das Bundesgericht nicht an die vorinstanzliche Feststellung des rechtserheblichen Sachverhalts gebunden (Art. 97 Abs. 2 und Art. 105 Abs. 3 BGG). Betrifft der angefochtene Entscheid sowohl eine Geldleistung (Taggeld) als auch eine Sachleistung (Heilungskosten), prüft das Bundesgericht den Sachverhalt frei, soweit er für beide Rechtsverhältnisse erheblich ist, und stützt sich für die rechtlichen Schlüsse auf die eigenen Feststellungen. Die eingeschränkte Kognition gilt in solchen Fällen nur, soweit Tatsachen ausschliesslich die Sachleistung betreffen (Urteile 8C_160/2016 vom 2. März 2017 E. 2; 8C_584/2009 vom 2. Juli 2010 E. 4, in: SVR 2011 UV Nr. 1 S. 1).
2.
2.1. Streitig und zu prüfen ist, ob die Vorinstanz zu Recht entschieden hat, dass der Beschwerdeführer über den 30. Juni 2015 hinaus keinen Anspruch auf Leistungen der obligatorischen Unfallversicherung mehr hat. Insbesondere gilt es zu untersuchen, ob zum Zeitpunkt der Leistungseinstellung am 30. Juni 2015 noch Beschwerden bestanden, die auf den Unfall vom 6. Oktober 2013 zurückzuführen waren, und bei denen durch weitere Behandlungsmassnahmen eine namhafte Verbesserung des Gesundheitszustands erwartet werden konnte.
2.2. Die massgeblichen rechtlichen Bestimmungen und Grundsätze zum Gegenstand der Unfallversicherung (<ref-law>), zu den Voraussetzungen der Kostenübernahme für die Heilbehandlung (Art. 10 und 54 UVG) sowie des Anspruchs auf Taggeld (<ref-law>, <ref-law>), zur Schadenminderungspflicht (<ref-ruling> E. 4.2 S. 463; <ref-ruling> E. 4b S. 400), zum Beweiswert von Arztberichten (<ref-ruling> E. 4.1 S. 232; <ref-ruling> E. 3 S. 352 ff.) sowie zur Rechtsstellung versicherungsinterner Ärzte (<ref-ruling> E. 4 S. 467 ff.) sind im Einspracheentscheid vom 6. Oktober 2015 zutreffend wiedergegeben. Sodann hat das kantonale Gericht die Grundsätze des für die Leistungspflicht des Unfallversicherers unter anderem vorausgesetzten natürlichen und adäquaten Kausalzusammenhangs zwischen Unfall und eingetretenem Schaden (<ref-ruling> E. 3 S. 181 mit Hinweisen) richtig dargelegt. Darauf wird verwiesen.
Hervorzuheben ist, dass die versicherte Person so lange einen gesetzlich umschriebenen Anspruch auf Heilbehandlung hat, als von der Fortsetzung der ärztlichen Behandlung eine namhafte Verbesserung ihres Gesundheitszustands erwartet werden kann, mithin der medizinisch-therapeutische Endzustand noch nicht erreicht ist (vgl. <ref-law>; <ref-ruling> E. 2.2 S. 132 mit Hinweis). Trifft dies nicht mehr zu und sind allfällige Eingliederungsmassnahmen der Invalidenversicherung abgeschlossen, geht die Unfallversicherung zur Berentung über, wenn der Unfall eine Invalidität im Sinn von <ref-law> hinterlässt (<ref-law> e contrario; <ref-ruling> E. 2c). Dabei bedeutet der Begriff "namhaft", dass die durch weitere Heilbehandlungen zu erwartende Besserung ins Gewicht fallen muss und unbedeutende Verbesserungen nicht genügen (<ref-ruling> E. 4.3 S. 115). Der Anspruch auf Taggeld erlischt insbesondere mit der Wiedererlangung der vollen Arbeitsfähigkeit (<ref-law>).
3.
3.1. Nach Würdigung der medizinischen Aktenlage, welche im angefochtenen Entscheid weitgehend aufgezeigt wurde, gelangte die Vorinstanz zum Schluss, dass von einer Fortsetzung der ärztlichen Behandlung nach dem 30. Juni 2015 keine namhafte Verbesserung des Gesundheitszustands mehr erwartet werden könne und dem Beschwerdeführer sowohl die bisherige als auch jede andere körperlich schwere Tätigkeit, bei der selten mit Lasten von 25 bis 45 kg hantiert werden müsse, wieder zugemutet werden könne.
Die Vorinstanz stützte sich dabei im Wesentlichen auf die Beurteilung der Ärzte der Klinik C._ im Austrittsbericht vom 7. Mai 2015, die die bisherige, körperlich schwere Tätigkeit als Gepäcksortierer wie auch jede andere schwere Tätigkeit seit dem 8. Mai 2015 als zumutbar erachteten und ausdrücklich festhielten, dass von der Fortsetzung der Behandlung keine namhafte Besserung mehr erwartet werden könne. Das kantonale Gericht erachtete es insbesondere als zutreffend, dass die Ärzte die Tätigkeit als Gepäcksortierer bei der B._ AG als schwere körperliche Tätigkeit eingestuft hatten, bei der selten mit Gewichten zwischen 25 und 45 kg zu hantieren sei. Auch verweise der Austrittsbericht der Klinik C._, wo der Beschwerdeführer während fünf Wochen stationär behandelt worden sei, auf die blanden Resultate der klinischen und bildgebenden Untersuchungen und lege anschaulich dar, dass eine Muskelhypotrophie, die bei den angegebenen Beschwerden an sich zu erwarten sei, fast vollständig fehle. Sodann sei im Austrittsbericht festgehalten, dass der Beschwerdeführer ein auffälliges Schmerz- und Leistungsverhalten sowie ein Desinteresse an jeglichen Therapiemodalitäten zur Besserung der Beweglichkeit gezeigt habe.
3.2. Der Beschwerdeführer geht zwar ebenfalls davon aus, dass ihm die Ärzte der Klinik C._ eine volle Arbeitsfähigkeit attestiert hätten für schwere körperliche Tätigkeiten ("selten max. zu hantierenden Lasten": "25-45 kg"). Gemäss den klaren Angaben der Arbeitgeberin habe ein Gepäcksortierer aber oft Gewichte von über 25 kg zu heben und zu tragen. Die Vorinstanz habe diese aktenkundigen Aussagen der Arbeitgeberin jedoch ignoriert und sei stattdessen gestützt auf die Gewichtslimiten von Fluggepäck und die allgemeine Lebenserfahrung davon ausgegangen, dass die zu hantierenden Gepäckstücke in der Regel maximal 23 kg wiegen würden. Wenn aber die Vorinstanz die klaren Auskünfte der Arbeitgeberin nicht als überzeugend erachtet hätte, hätte sie eigene Ermittlungen anstellen oder die Sache zur weiteren Abklärung an die Beschwerdegegnerin zurückweisen müssen. Ihre Sachverhaltsfeststellung erweise sich somit als aktenwidrig und willkürlich.
3.3.
3.3.1. Den Akten lassen sich folgende Angaben der Arbeitgeberin zur Tätigkeit des Beschwerdeführers als Gepäcksortierer entnehmen: Anlässlich des Opening-Erstgesprächs vom 5. Mai 2014 zwischen dem Beschwerdeführer, einem Vertreter der Arbeitgeberin und einer Vertreterin der Beschwerdegegnerin wurde festgehalten, dass der Versicherte Gepäck mit Gewichten von 20 bis 30 kg, ca. 10 Tonnen pro Schicht, sortiere (repetitive Tätigkeit). Aus dem Fragebogen für Arbeitgebende der Invalidenversicherung, den die Arbeitgeberin am 1. Dezember 2014 ausgefüllt hatte, ergibt sich, dass der Beschwerdeführer "oft", das heisst zu "34-66 % oder 3 bis rund 5 1/4 h" die Anforderung "Heben oder Tragen (schwer: über 25 kg) " zu erfüllen hatte. Das Gleiche gilt allerdings auch für die Anforderung "Heben oder Tragen (mittelschwer: 10-25 kg) "; auch diese musste er "oft", d.h. zu "34-66 % oder 3 bis rund 5 1/4 h" erfüllen; nur die Frage nach der Anforderung "Heben oder Tragen (leicht: 0-10 kg) " beantwortete die Arbeitgeberin mit "manchmal", d.h. "6-33 % oder 1/2 bis ca. 3 h". Entgegen der Darstellung des Beschwerdeführers lassen die Auskünfte der Arbeitgeberin somit keine eindeutigen Aussagen darüber zu, wie oft er mit mittelschweren und wie häufig mit schweren Gewichten hantieren musste. Insbesondere kann daraus auch nicht abgeleitet werden, dass er mehrheitlich Gewichte von über 25 kg zu heben oder zu tragen hatte.
3.3.2. Mangels eindeutiger Angaben zum Anteil an Gepäckstücken mit einem Gewicht von mehr als 25 kg, welche vom Beschwerdeführer zu sortieren waren, stützte sich die Vorinstanz auf die allgemeine Lebenserfahrung, wonach die Gewichtslimiten für Gepäckstücke bei den meisten Fluggesellschaften in der Economy-Klasse 23 kg und 32 kg in der Business-Klasse betragen würden. Zudem entspreche es der Klassenaufteilung in den Flugzeugen, dass die überwiegende Zahl der Flugpassagiere Economy-Klasse fliegen und aufgrund der hohen Zuschläge für Übergepäck die geltenden Gewichtslimiten einhalten würde. Damit wiege ein zu hantierendes Gepäckstück in der Regel tatsächlich maximal 23 kg. Diese Einschätzung ist plausibel, insbesondere auch mit Blick auf den Umstand, dass die Gewichtslimiten gemäss den Ausführungen der International Air Transport Association (IATA) den internationalen Vorschriften entsprechen und dem Schutz der Gesundheit und Sicherheit der Gepäcksortierer dienen (s. http://www.iata.org/whatwedo/ops-infra/baggage/Pages/check-bag.aspx). Der Hinweis des Beschwerdeführers, dass die Gewichtslimiten je nach Fluggesellschaft und geflogener Strecke variieren können, legt - obwohl er grundsätzlich richtig ist - keinen anderen Schluss nahe, zeigt der Beschwerdeführer doch nicht auf, dass regelmässig höhere Gewichtslimiten gelten würden. Stellt ein Höchstgewicht von 23 kg aber die Regel dar, muss - wie die Beschwerdegegnerin zutreffend festhält - entsprechend weniger häufig mit Gepäckstücken mit einem Gewicht zwischen 23 und 32 kg hantiert werden. Zudem stellen Gepäckstücke mit einem Gewicht über 32 kg angesichts der Gewichtslimiten für Business-Passagiere die Ausnahme dar. Sodann bescheinigten die Ärzte der Klinik C._, dass der Beschwerdeführer (nebst der Tätigkeit als Gepäcksortierer) auch für andere schwere körperliche Tätigkeiten ganztags arbeitsfähig ist, wobei die Kategorien für die Arbeitsschwere ("selten max. zu hantierenden Lasten") wie folgt eingeteilt werden: "sehr leicht - vorwiegend sitzend (bis 5 kg) / leicht (5-10 kg, oder viel stehen/gehen, oder belastende Arm- oder Beinfunktion) / leicht bis mittelschwer (10-15 kg) / mittelschwer (15-25 kg) / schwer (25-45 kg) / sehr schwer (über 45 kg) ". Dies ist, entgegen der Darstellung des Beschwerdeführers, nicht so zu verstehen, dass bereits Lasten ab 25 kg nur selten zu hantieren wären; der Ausdruck "selten max. zu hantierende Lasten" bezieht sich vielmehr auf die obere Grenze von 45 kg: Solche Gewichte sollten nur selten gehoben oder getragen werden (und dieses Gewicht kommt - wie eben gezeigt - bei Fluggepäck selten vor). Auch folgt daraus, dass der Beschwerdeführer Lasten bis 32 kg, die noch im unteren Bereich des Zumutbaren (25 bis 45 kg) liegen, häufiger anheben oder tragen darf (zumal ihm ausdrücklich eine volle Arbeitsfähigkeit für die berufliche Tätigkeit als Gepäcksortierer attestiert wurde), worauf die Beschwerdegegnerin zu Recht hinweist. Die vorinstanzliche Beweiswürdigung ist somit nicht zu beanstanden.
3.4. Soweit der Beschwerdeführer auf verschiedene Arztberichte und Besprechungsprotokolle verweist, in denen eine Rückkehr in die angestammte Tätigkeit als schwierig oder ausgeschlossen erachtet wurde, ist ihm zu entgegnen, dass diese Einschätzungen allesamt aus der Zeit vor der Operation am 7. November 2014 und der stationären Therapie in der Klinik C._ im Frühling 2015 stammen. Sie wurden mithin zu einem Zeitpunkt abgegeben, als noch nicht alle medizinischen und therapeutischen Möglichkeiten ausgeschöpft waren und sind daher nicht geeignet, die Beurteilung der Ärzte der Klinik C._ zu widerlegen.
3.5. Der Vollständigkeit halber ist schliesslich festzuhalten, dass mangels einer unfallbedingten Arbeitsunfähigkeit auch kein Anspruch auf Invalidenrente besteht (<ref-law> i.V.m. Art. 6, 7 und 8 Abs. 1 ATSG; vgl. <ref-ruling> E. 2 S. 133).
3.6. Zusammenfassend durfte die Vorinstanz, ohne Bundesrecht zu verletzen, gestützt auf den Austrittsbericht der Klinik C._ vom 7. Mai 2015 davon ausgehen, dass der Beschwerdeführer in seiner angestammten oder jeder anderen körperlich schweren Tätigkeit zu 100 % arbeitsfähig ist und dass von weiteren ärztlichen Behandlungen nach dem 30. Juni 2015 keine namhafte Verbesserung des Gesundheitszustands mehr erwartet werden kann. Nicht zu beanstanden ist bei dieser Sachlage schliesslich, dass - in antizipierter Beweiswürdigung (<ref-ruling> E. 5.3 S. 236) - von zusätzlichen Abklärungen abgesehen wurde. Eine Bundesrechtswidrigkeit ist darin ebenso wenig zu sehen wie eine unvollständige Sachverhaltsfeststellung. Die Vorinstanz hat daher eine Leistungspflicht der Beschwerdegegnerin über den 30. Juni 2015 hinaus zu Recht verneint.
4.
Dem Ausgang des Verfahrens entsprechend trägt der Beschwerdeführer die Gerichtskosten (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 800.- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird den Parteien, dem Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich und dem Bundesamt für Gesundheit schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 4. April 2017
Im Namen der I. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Maillard
Die Gerichtsschreiberin: Betschart