Sachverhalt:
A.
In der von der B._ AG angestrengten Betreibung Nr. xxx des Betreibungsamts Wetzikon über Fr. 2'260.-- erhob A._ Rechtsvorschlag wegen fehlenden neuen Vermögens. Mit Urteil vom 5. Januar 2016 bewilligte das Einzelgericht des Bezirksgerichts Hinwil den Rechtsvorschlag nicht.
B.
A._ reichte am 9. März 2016 beim Bezirksgericht Hinwil gegen die B._ AG Klage auf Bestreitung neuen Vermögens im Sinne von <ref-law> ein. Mit Urteil vom 7. September 2016 wies das Bezirksgericht die Klage ab. Das Obergericht des Kantons Zürich wies die von A._ dagegen erhobene Beschwerde mit Urteil vom 5. Januar 2017 ab, soweit es darauf eintrat.
C.
A._ ist mit Eingabe vom 15. Februar 2017 an das Bundesgericht gelangt. Der Beschwerdeführer beantragt namentlich, es sei das obergerichtliche Urteil aufzuheben und der Rechtsvorschlag in der Betreibung Nr. xxx zu bewilligen.
Das Bundesgericht hat die kantonalen Akten beigezogen, indes keine Vernehmlassungen eingeholt.

Erwägungen:
1.
Angefochten ist binnen Frist (<ref-law>) ein kantonal letztinstanzlicher Endentscheid (Art. 75 Abs. 1 und Art. 90 BGG) in einer Schuldbetreibungs- und Konkurssache (<ref-law>) mit Vermögenswert (Urteil 5A_283/2007 vom 15. November 2007 E. 1.2, in: Pra 2008 Nr. 57 S. 380). Da der Streitwert den für die Beschwerde in Zivilsachen erforderlichen gesetzlichen Mindestbetrag von Fr. 30'000.-- (<ref-law>) nicht erreicht und keine Ausnahme vom Streitwerterfordernis gemäss <ref-law> vorliegt, steht einzig die subsidiäre Verfassungsbeschwerde gemäss <ref-law> offen.
2.
Mit der Verfassungsbeschwerde kann nur die Verletzung von verfassungsmässigen Rechten gerügt werden (<ref-law>). Hierfür gilt das strenge Rügeprinzip (Art. 117 i.V.m. <ref-law>). Es ist anhand der Erwägungen des kantonalen Entscheids klar und detailliert darzulegen, welche verfassungsmässigen Rechte inwiefern durch den angefochtenen Entscheid verletzt worden sind (<ref-ruling> E. 3.2 S. 399).
3.
Das Obergericht hat zusammengefasst erwogen, der Beschwerdeführer habe es im bezirksgerichtlichen Verfahren unterlassen, seine Lebenshaltungskosten rechtsgenügend nachzuweisen. Dass Krankenkassenprämien, Arztkosten, Wohnkosten und Steuern vom Bezirksgericht nicht berücksichtigt worden seien, sei korrekt, denn der Kläger habe diese Kosten im bezirksgerichtlichen Verfahren für den massgeblichen Zeitraum nicht belegt, d.h. nicht nachgewiesen. Dies, obschon er vom Bezirksgericht mehrfach darauf hingewiesen worden sei, dass Belege zu seinem Bedarf fehlen würden.
4.
Der Beschwerdeführer geht in seiner Eingabe nicht auf die den Entscheid tragenden vorinstanzlichen Erwägungen ein und zeigt damit nicht den aufgezeigten Begründungsanforderungen entsprechend auf, inwiefern das Obergericht seine verfassungsmässigen Rechte verletzt haben soll. Zu seinem Antrag, den Rechtsvorschlag mangels neuen Vermögens zu bewilligen, findet sich keine Begründung. Von vornherein unzulässig ist die Verfassungsbeschwerde, soweit der Beschwerdeführer den Bestand der Forderung bestreitet, weil diese Frage weder Gegenstand des kantonalen Verfahrens bildete noch Gegenstand des bundesgerichtlichen Verfahrens sein kann.
5.
Nach dem Gesagten ist der Beschwerde kein Erfolg beschieden. Bei diesem Ausgang des Verfahrens wird der Beschwerdeführer kostenpflichtig (<ref-law>). Eine Parteientschädigung ist nicht zu bezahlen, da keine Vernehmlassungen eingeholt worden sind und der Beschwerdegegnerin kein entschädigungspflichtiger Aufwand entstanden ist.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 250.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Zürich, I. Zivilkammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 6. Juni 2017
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Das präsidierende Mitglied: Escher
Der Gerichtsschreiber: Buss