Sachverhalt:
A.
Die Jugendanwaltschaft des Kantons Basel-Stadt führte, gestützt auf eine Strafanzeige von A._ vom 17. Februar 2012, ein Jugendstrafverfahren gegen deren Tochter B._. Mit Strafbefehl vom 20. Februar 2014 erklärte die Jugendanwaltschaft die Beschuldigte des Hausfriedensbruches schuldig. Auf eine von der Strafanzeigerin dagegen erhobene Einsprache trat die Jugendanwaltschaft mit Verfügung vom 15. Mai 2014 mangels Legitimation nicht ein.
B.
Eine von der Strafanzeigerin gegen die Verfügung der Jugendanwaltschaft vom 15. Mai 2014 erhobene Beschwerde hiess das Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt mit Entscheid vom 15. Dezember 2014 teilweise gut. Es stellte fest, dass die angefochtene Verfügung aufgrund der funktionellen Unzuständigkeit der Jugendanwaltschaft nichtig sei und wies die Sache zur Beurteilung an das zuständige Jugendgericht des Kantons Basel-Stadt. Dieses trat seinerseits mit Entscheid vom 10. April 2015 auf die Einsprache (gegen die Verfügung vom 15. Mai 2014 der Jugendanwaltschaft) mangels Legitimation der Strafanzeigerin nicht ein.
C.
Auch gegen den Entscheid des Jugendgerichtes vom 10. April 2015 erhob die Strafanzeigerin am 27. April 2015 Beschwerde beim Appellationsgericht (Einzelgericht) wegen Rechtsverweigerung und Rechtsverzögerung. Dieses wies mit Entscheid vom 14. Juli 2015 die Beschwerde ab, soweit es darauf eintrat.
D.
Gegen den Entscheid des Appellationsgerichtes vom 14. Juli 2015 gelangte die Strafanzeigerin mit Beschwerde vom 14. September 2015 an das Bundesgericht. Sie beantragt die Aufhebung des angefochtenen Entscheides und die Feststellung einer Rechtsverzögerung bzw. Rechtsverweigerung im Jugendstrafverfahren.
Das Appellationsgericht beantragt mit Stellungnahme vom 23. September 2015 die Abweisung der Beschwerde, soweit darauf einzutreten ist. Die Jugendanwaltschaft liess sich am 2. Oktober 2015 vernehmen.

Erwägungen:
1.
Die Beschwerdelegitimation setzt unter anderem ein aktuelles praktisches Rechtsschutzinteresse der rechtsuchenden Person voraus (vgl. <ref-law>). Die Beschwerdeführerin macht geltend, sie sei von einer formellen Rechtsverweigerung betroffen, nachdem ein konnexes Bundesgerichtsurteil vom 12. November 2012 von den kantonalen Behörden nicht umgesetzt worden sei. Ausserdem stünden ihr Parteirechte zu. Wie sich aus den nachfolgenden materiellen Erwägungen ergibt, kann hier die Frage des aktuellen praktischen Rechtsschutzinteresses offenbleiben.
Die übrigen Sachurteilsvoraussetzungen von <ref-law> geben zu keinen Vorbemerkungen Anlass.
2.
Im angefochtenen Entscheid wird Folgendes erwogen:
2.1. In ihrer kantonalen Beschwerde vom 27. April 2015 habe die Beschwerdeführerin beantragt, es sei festzustellen, dass es im Jugendstrafverfahren zu einer Rechtsverzögerung und Rechtsverweigerung gekommen sei. Auf eine inhaltliche Überprüfung des Nichteintretensentscheides des Jugendgerichtes vom 10. April 2015 (Nichteintreten auf die Einsprache gegen den Strafbefehl mangels Aktivlegitimation) habe die Beschwerdeführerin hingegen ausdrücklich verzichtet.
2.2. Das Bundesgericht habe schon in seinem Urteil 1B_549/2012 vom 12. November 2012 festgestellt, dass die Jugendanwaltschaft eine Rechtsverzögerung begangen habe, indem sie der Aufforderung des Appellationsgerichtes vom 9. August 2012 zur unverzüglichen Vornahme von Ermittlungshandlungen nicht nachgekommen, sondern während mehreren Monaten untätig geblieben sei. Für den Zeitraum zwischen der Anzeigeerstattung (17. Februar 2012) und dem Bundesgerichtsurteil liege bereits eine "res iudicata" vor und fehle es an einem schutzwürdigen Interesse an der beantragten erneuten Feststellung einer Rechtsverzögerung. Insoweit sei auf die Beschwerde nicht einzutreten.
2.3. Was den übrigen Verfahrenszeitraum (ab 12. November 2012) betrifft, sei nicht ersichtlich, was für die Beschwerdeführerin mit einer allfälligen Feststellung einer erneuten Rechtsverzögerung bzw. Rechtsverweigerung gewonnen wäre. Die Strafverfolgungsverjährung sei bereits vor dem Entscheid des Jugendgerichtes vom 10. April 2015 eingetreten, worauf auch das Jugendgericht (in einem obiter dictum) schon ausdrücklich und zutreffend hingewiesen habe. Selbst wenn eine erneute Rechtsverzögerung (im Zeitraum ab 12. November 2012) zu bejahen wäre, müsste das Verfahren wegen der eingetretenen Verfolgungsverjährung eingestellt werden. Weitere Ermittlungshandlungen oder eine andere Verurteilung seien zum Vornherein ausgeschlossen. Es erscheine daher fraglich, ob ein aktuelles Rechtsschutzinteresse der Strafanzeigerin an einer erneuten Feststellung einer Rechtsverzögerung oder Rechtsverweigerung vorläge. Dies umso mehr, als eine Ausnahme von diesem Sachurteilserfordernis klarerweise nicht gegeben sei. Wie es sich damit verhalte, könne aber offenbleiben, da jedenfalls keine (weitere) Rechtsverzögerung dargetan sei:
2.4. Im Anschluss an das genannte Bundesgerichtsurteil vom 12. November 2012 habe die Jugendanwaltschaft in Zusammenarbeit mit der kantonalen Staatsanwaltschaft zahlreiche Abklärungen (im Rahmen mehrerer konnexer Verfahren) vorgenommen. Insbesondere seien (im November 2012 sowie März und April 2013) neben der Beschuldigten (der Tochter der Beschwerdeführerin) sieben weitere Personen aus dem Familien- und Bekanntenkreis der Beschwerdeführerin (teilweise mehrmals) einvernommen worden, welche die Beschwerdeführerin zusätzlich (u.a. wegen angeblicher unbefugter Datenbeschaffung) angeschuldigt habe. Zudem hätten zwei weitere (der Beschwerdeführerin nahestehende) Personen befragt werden müssen, welche die Beschuldigte und andere Personen belastet hätten. Im Februar 2014 habe eine Schlussbefragung mit fünf Beteiligten (darunter die Beschwerdeführerin, ihr Rechtsvertreter und die Beschuldigte) stattgefunden. In der Folge seien mehrere konnexe Strafverfahren durch die Staats- bzw. Jugendanwaltschaft eingestellt bzw. nicht an die Hand genommen worden. Die Beschuldigte sei von der Jugendanwaltschaft mit Strafbefehl vom 20. Februar 2014 wegen Hausfriedensbruchs verurteilt worden.
2.5. Darüber hinaus seien die Strafbehörden "durch zahllose Beschwerdeverfahren absorbiert" worden. Auch dem Jugendgericht könne (bezüglich des Einspracheverfahrens bis zu seinem Entscheid vom 10. April 2015) nicht der Vorwurf einer Verfahrensverschleppung gemacht werden. Zwischen dem Entscheid des Appellationsgerichtes vom 15. Dezember 2014 (mit dem die Zuständigkeiten im Einspracheverfahren geklärt wurden) und dem Einspracheentscheid des Jugendgerichtes seien lediglich vier Monate verstrichen. Haltlos bzw. aktenwidrig sei die Behauptung der Beschwerdeführerin, das Appellationsgericht habe die im Mai 2014 eingereichte Beschwerde (gegen die Verfügung der Jugendanwaltschaft vom 15. Mai 2014) während sieben Monaten untätig liegen lassen. Die Beschwerdeführerin habe ihre Replik erst am 20. Oktober 2014 eingereicht, worauf das Appellationsgericht am 15. Dezember 2014, und damit innert zwei Monaten, entschieden habe. Angesichts ihres prozessualen Verhaltens habe die Beschwerdeführerin es sich im Wesentlichen selbst zuzuschreiben, dass hinsichtlich des von ihr erhobenen Vorwurfes des Hausfriedensbruches unterdessen die Verfolgungsverjährung eingetreten sei.
3.
Die Beschwerdeführerin macht (im Wesentlichen zusammengefasst) geltend, zwischen ihrer Strafanzeige (vom 17. Februar 2012) und dem Strafbefehl der Jugendanwaltschaft (vom 20. Februar 2014) sei diese "über zwei Jahre untätig" geblieben. Das Bundesgerichtsurteil vom 12. November 2012 habe sie "ohne Gründe während 15 Monaten ignoriert". Es seien weniger Personen befragt worden, als im angefochtenen Entscheid dargelegt werde. Wegen Prozessverschleppung durch die kantonalen Strafbehörden sei am 14. Dezember 2014 die Strafverfolgungsverjährung eingetreten. Der angefochtene Entscheid verletze insbesondere das Beschleunigungsgebot in Strafsachen und das Willkürverbot.
4.
Jede Partei, die ein rechtlich geschütztes Interesse an der Aufhebung oder Änderung eines Entscheides hat, kann StPO-Beschwerde erheben (Art. 382 Abs. 1 i.V.m. Art. 379 und Art. 393 ff. StPO sowie Art. 3 Abs. 1-2 und <ref-law>).
Im Rahmen einer Rechtsverzögerungsbeschwerde (Art. 396 Abs. 2 i.V.m. Art. 5 Abs. 1 sowie Art. 393 Abs. 1 lit. a-b und Abs. 2 lit. a StPO) ist (materiell) die Verfahrensrüge zu prüfen, die von einer Partei verlangten Untersuchungs- bzw. Verfahrenshandlungen seien von der zuständigen Strafbehörde mit unbegründeter Verzögerung vorgenommen worden, das heisst, nicht innerhalb der Zeitspanne, die nach der Natur der Sache (und unter angemessener Berücksichtigung der Geschäftslast der Strafbehörde) bundesrechtskonform erschien, nachdem die rechtsuchende Partei zuvor bei der Strafbehörde entsprechend interveniert hatte (Urteil des Bundesgerichtes 1B_28/2016 vom 24. Februar 2016 E. 1.5; vgl. Patrick Guidon, in: Basler Kommentar StPO, 2. Aufl., Basel 2014, Art. 396 N. 17; Andreas Keller, in: Zürcher Kommentar StPO, 2. Aufl., Zürich 2014, Art. 396 N. 8). Bei der Prüfung, ob eine Verletzung des strafprozessualen Beschleunigungsgebotes (<ref-law>) vorliegt, ist den Umständen des Einzelfalles (in der Regel in einer Gesamtbetrachtung) Rechnung zu tragen. Zu berücksichtigen sind dabei namentlich die Komplexität der Strafsache sowie das prozessuale Verhalten der Parteien und der zuständigen Strafbehörden. Dass das Verfahren zwischen gewissen Prozessabschnitten zeitweise ruht oder dass einzelne Verfahrenshandlungen auch etwas früher hätten erfolgen können, begründet für sich alleine noch keine Bundesrechtswidrigkeit (<ref-ruling> E. 3.3.3 S. 56 f. mit Hinweisen).
5.
5.1. Zunächst ist zu prüfen, ob die Vorinstanz Bundesrecht verletzt hat, indem sie das rechtlich geschützte Interesse der Beschwerdeführerin an einer (erneuten) Feststellung der Verletzung des Beschleunigungsgebotes durch die Jugendanwaltschaft für den Zeitraum zwischen der Anzeigeerstattung am 17. Februar 2012 und dem Bundesgerichtsurteil vom 12. November 2012 verneinte:
Die Beschwerdeführerin bestreitet nicht, dass das Bundesgericht schon in seinem Urteil 1B_549/2012 vom 12. November 2012 rechtskräftig festgestellt hat, dass die Jugendanwaltschaft eine Rechtsverzögerung beging, indem sie der Aufforderung des Appellationsgerichtes vom 9. August 2012 zur unverzüglichen Vornahme von Ermittlungshandlungen nicht nachkam, sondern während mehreren Monaten untätig blieb. In der Erwägung der Vorinstanz, das Bundesgerichtsurteil sei in formeller und materieller Rechtskraft erwachsen, ist keine Bundesrechtswidrigkeit ersichtlich. Ebenso wenig verletzte sie das massgebliche Bundesrecht (Art. 382 Abs. 1 i.V.m. Art. 379 und Art. 393 ff. StPO sowie Art. 3 Abs. 1-2 und <ref-law>), indem sie diesbezüglich ein erneutes rechtlich geschütztes Feststellungsinteresse verneinte. Allfällige weitere Verfahrensverzögerungen in diesem Zeitraum (welche sie im kantonalen Verfahren rechtzeitig beanstandet hätte) behauptet die Beschwerdeführerin nicht.
5.2. Zu prüfen bleibt, ob das Appellationsgericht Bundesrecht verletzt hat, indem es die Rüge der Beschwerdeführerin als unbegründet abwies, wonach die kantonalen Strafbehörden sich im Zeitraum zwischen dem 12. November 2012 und dem Erlass des angefochtenen Entscheides einer (weiteren) Rechtsverzögerung bzw. Rechtsverweigerung verantwortlich gemacht hätten:
5.2.1. In der Begründung der Beschwerde ist darzulegen, inwiefern der angefochtene Akt Recht verletzt (<ref-law>). Gerügt werden kann namentlich die Verletzung von Bundesrecht (<ref-law>).
5.2.1.1. Zunächst fragt es sich, inwiefern eine allfällige (weitere) Rechtsverzögerung bzw. der von den kantonalen Behörden angeblich rechtswidrig herbeigeführte Eintritt der Strafverfolgungsverjährung für eine Strafanzeigerin überhaupt zu einem Rechtsnachteil (im Sinne von <ref-law>) hätte führen können. Nach den Feststellungen des Appellationsgerichtes ist die Beschwerdeführerin im Jugendstrafverfahren als Strafanzeigerin aufgetreten. Soweit sie weder Zivil- noch Strafklage erhoben hat (<ref-law> i.V.m. Art. 118 f. StPO), wäre sie von der eingetretenen Strafverfolgungsverjährung als Prozesshindernis weder in privatrechtlicher (allfällige Zivilansprüche) noch in strafrechtlicher Hinsicht (Strafklage) betroffen. Ebenso wenig hätte sie ein eigenes Parteiinteresse an einer zügigen Prozessführung.
5.2.1.2. Im Jugendstrafprozess wären darüber hinaus selbst die Rechte einer Privatklägerpartei eingeschränkt: Diese kann an der Untersuchung nur teilnehmen, wenn es den Interessen der oder des beschuldigten Jugendlichen nicht zuwiderliefe (<ref-law>). Zwar spricht die Beschwerdeführerin in ihrer Prozessschrift beiläufig von "Privatklägerschaft". Sie legt jedoch nicht dar, inwiefern die Ansicht des Appellationsgerichtes unzutreffend wäre, dass es sich bei ihr lediglich um eine Strafanzeigerin handle. Die Frage ihrer Parteistellung kann hier allerdings offenbleiben:
5.2.2. Es kommt hinzu, dass die Beschwerdeführerin (für den Zeitraum nach dem 12. November 2012) keinerlei konkrete Rechtsverzögerung darlegt: Die pauschale Rüge, die Jugendanwaltschaft sei bis zu ihrem Strafbefehl vom 20. Februar 2014 "untätig" geblieben und habe das Bundesgerichtsurteil vom 12. November 2012 "während 15 Monaten ignoriert", ist offensichtlich unbegründet und setzt sich mit den Erwägungen des angefochtenen Entscheides (vgl. dazu oben, E. 2.4) nicht nachvollziehbar auseinander. Nicht gesetzeskonform substanziiert ist (angesichts der anderslautenden Darlegungen der Vorinstanz) auch die beiläufige Behauptung der Beschwerdeführerin, es habe sich um eine unkomplizierte Strafsache gehandelt, die "innert wenigen Wochen zum Abschluss hätte gebracht werden müssen".
5.2.3. Der Vorinstanz ist darin beizupflichten, dass keine bundesrechtswidrigen Verfahrensverschleppungen (seit 12. November 2012) mehr ersichtlich sind. Dabei ist namentlich zu berücksichtigen, dass die zuständigen Strafbehörden verschiedene konnexe Verfahren des Erwachsenen- und Jugendstrafprozessrechts zu koordinieren und zahlreiche Befragungen durchzuführen und auszuwerten hatten, nachdem die Beschwerdeführerin diverse Personen in verschiedener Weise angeschuldigt hatte. Dass der gegen die Beschuldigte ausgefällte Strafbefehl vom 20. Februar 2014 nicht in Rechtskraft erwuchs, nachdem die Beschwerdeführerin dagegen Einsprache erhoben hatte, bzw. dass das der Beschuldigten vorgeworfene Vergehen während den von der Beschwerdeführerin eingeleiteten Rechtsmittelverfahren verjährte, kann nicht den Strafbehörden als prozessuales Versäumnis angelastet werden. Die blosse Behauptung der Beschwerdeführerin, es seien weniger Personen befragt worden als im angefochtenen Entscheid dargelegt werde, erfüllt die gesetzlichen Anforderungen an eine substanziierte Willkürrüge nicht (Art. 42 Abs. 2 Satz 1 i.V.m. Art. 97 Abs. 1 und Art. 105 Abs. 1 BGG).
5.2.4. Darüber hinaus behauptet die Beschwerdeführerin auch nicht, dass sie zwischen 12. November 2012 und 20. Februar 2014 bei der Jugendanwaltschaft oder bei der kantonalen Beschwerdeinstanz wegen angeblichen Verfahrensverzögerungen geeignet interveniert hätte. Die Rüge der Prozessverschleppung, etwa von unbegründeten Verzögerungen zwischen Einvernahmen und anderen Untersuchungshandlungen, muss bei den zuständigen Behörden rechtzeitig erhoben werden (vgl. Guidon, a.a.O., Art. 396 N. 17). Dementsprechend sind Rechtsverzögerungs- und Rechtsverweigerungsbeschwerden auch an keine Frist gebunden (<ref-law>). Was die am 14. Dezember 2014 eingetretene Verjährung betrifft, konnte die Beschwerdeführerin bereits dem von ihr mit Einsprache angefochtenen Strafbefehl vom 20. Februar 2014 entnehmen, dass der Beschuldigten lediglich ein Vergehen nach <ref-law> (Hausfriedensbruch, begangen am 14. Dezember 2011) vorgeworfen wurde. Damit lag nach den anwendbaren gesetzlichen Bestimmungen eine drohende Strafverfolgungsverjährung (am 14. Dezember 2014) auf der Hand (<ref-law> i.V.m. <ref-law>). Dass die Beschwerdeführerin dennoch den Strafbefehl mit Einsprache anfocht und eine angebliche (erneute) Rechtsverzögerung erst am 27. April 2015 beim Appellationsgericht geltend machte, ist nicht den kantonalen Instanzen anzulasten.
5.3. Die Rüge der Rechtsverzögerung und Rechtsverweigerung erweist sich nach dem Gesagten als unbegründet, soweit sie ausreichend substanziiert erscheint. Die weiteren Vorbringen der Beschwerdeführerin (etwa zum Willkürverbot) haben im vorliegenden Zusammenhang keine über das bereits Dargelegte hinausgehende selbstständige Bedeutung.
6.
Die Beschwerde ist abzuweisen, soweit darauf einzutreten ist.
Dem Ausgang des Verfahrens entsprechend, sind die Gerichtskosten der Beschwerdeführerin aufzuerlegen (<ref-law>). Eine Parteientschädigung ist nicht zuzusprechen (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit auf sie einzutreten ist.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 2'000.-- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten und dem Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt, Einzelgericht, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 4. März 2016
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Fonjallaz
Der Gerichtsschreiber: Forster