Sachverhalt:
A.
Die Staatsanwaltschaft III des Kantons Zürich führt gegen B._ eine Strafuntersuchung wegen wirtschaftlichem Nachrichtendienst und weiterer Delikte. Am 24. August 2015 erstattete der Beschuldigte Strafanzeige wegen Amtsgeheimnisverletzung und Amtsmissbrauch gegen den untersuchungsführenden Staatsanwalt Dr. Peter Giger. Das Obergericht des Kantons Zürich erteilte am 1. Juni 2016 der Staatsanwaltschaft I die Ermächtigung zur Strafverfolgung wegen Amtsgeheimnisverletzung, nicht aber wegen Amtsmissbrauch. Am 29. Februar 2016 verlangte der Beschuldigte den Ausstand von Staatsanwalt Dr. Giger. Die Staatsanwaltschaft III überwies die Sache dem Obergericht des Kantons Zürich. Mit Schreiben vom 21. September 2016 teilte der Leitende Staatsanwalt der Staatsanwaltschaft III, Peter Pellegrini, Dr. Giger mit, dass er im Rahmen der Ressourcenplanung das Strafverfahren an ein noch zu bestimmendes Büro der Staatsanwaltschaft III umteilen werde. Diese Umteilung bezwecke ausschliesslich, dass die betroffenen Untersuchungen, die derzeit wegen Ausstandsbegehren blockiert seien, wieder aktiv vorangetrieben werden könnten. Mit Eingabe vom 23. September 2017 beantragte die Staatsanwaltschaft III dem Obergericht, das Ausstandsverfahren wegen Gegenstandslosigkeit abzuschreiben. Das Strafverfahren gegen B._ wurde Staatsanwalt Maric Demont zugeteilt.
Mit Eingabe vom 10. Oktober 2016 stellte B._ ein Ausstandsbegehren gegen den Leitenden Staatsanwalt und sämtliche diesem unterstellten Staatsanwälte. Die Staatsanwaltschaft III überwies das Gesuch am 7. November 2016 ans Obergericht und beantragte sinngemäss dessen Abweisung. Mit Beschluss vom 18. Januar 2017 wies das Obergericht das Ausstandsgesuch, soweit es den Leitenden Staatsanwalt betrifft, ab und trat im Übrigen darauf nicht ein.
B.
Mit Beschwerde in Strafsachen vom 27. Februar 2017 beantragt B._, der Beschluss des Obergerichts sei aufzuheben und das Ausstandsbegehren gegen den Leitenden Staatsanwalt gutzuheissen. Eventualiter sei die Sache zur neuen Beurteilung an die Vorinstanz zurückzuweisen. In prozessualer Hinsicht beantragt er zudem, das Verfahren sei mit dem Verfahren 1B_77/2017 zu vereinen.
Das Obergericht hat auf eine Stellungnahme verzichtet. Die Staatsanwaltschaft III hat sich nicht vernehmen lassen. Der Leitende Staatsanwalt beantragt, der angefochtene Beschluss sei zu bestätigen.

Erwägungen:
1.
1.1. Das bundesgerichtliche Verfahren 1B_77/2017 betrifft einen Beschluss des Obergerichts zu einem Ausstandsgesuch gegen Staatsanwalt Dr. Giger. Das Obergericht schrieb das Verfahren als gegenstandslos geworden ab, nachdem der Fall einem anderen Staatsanwalt zugeteilt worden war. Eine Vereinigung mit dem vorliegenden Verfahren ist aufgrund des unterschiedlichen Prozessgegenstands nicht angezeigt.
1.2. Beim angefochtenen Urteil handelt es sich um einen selbständig eröffneten Zwischenentscheid über ein Ausstandsbegehren in einer Strafsache (Art. 78 Abs. 1 und Art. 92 Abs. 1 BGG). Das Obergericht hat als letzte und einzige kantonale Instanz entschieden (<ref-law> i.V.m. <ref-law>). Der Beschwerdeführer ist gemäss Art. 81 Abs. 1 lit. a und lit. b Ziff. 1 BGG zur Beschwerde befugt. Die weiteren Sachurteilsvoraussetzungen geben zu keinen Bemerkungen Anlass. Auf die Beschwerde ist einzutreten.
1.3. Im Gegensatz zum vorinstanzlichen Verfahren verlangt der Beschwerdeführer im Verfahren vor Bundesgericht nur noch den Ausstand des Leitenden Staatsanwalts und nicht mehr auch sämtlicher diesem unterstellten Staatsanwälte.
2.
2.1. Der Beschwerdeführer macht geltend, im Zentrum seines Ausstandsbegehrens gegen den Leitenden Staatsanwalt stehe nicht der Vorwurf, jener selbst habe fehlerhafte Untersuchungshandlungen vorgenommen. Vielmehr werde der Anschein der Befangenheit damit begründet, dass er sich mit sämtlichen Vorbringen von Staatsanwalt Dr. Giger in dessen Eingabe vom 21. März 2016 explizit identifiziert habe. So habe er in seiner Stellungnahme vom 5. April 2016 geschrieben, die Vorbringen intensiv geprüft zu haben und sich ihnen vollumfänglich anzuschliessen. Vor diesem Hintergrund hätte das Obergericht prüfen müssen, ob die detailliert vorgebrachte Kritik an der Amtsführung von Staatsanwalt Dr. Giger berechtigt war. Dies habe es jedoch nicht getan und damit die Begründungspflicht verletzt (<ref-law>).
Dass sich der Leitende Staatsanwalt dem Standpunkt von Staatsanwalt Dr. Giger trotz der geäusserten Kritik angeschlossen habe, offenbare eine innere Haltung, welche sich auch auf die Strafuntersuchung auswirke. Es mache den Anschein, dass er sich in der Kontroverse zwischen dem Beschwerdeführer und Staatsanwalt Dr. Giger festgelegt habe und seine Funktionen in der weiteren Strafuntersuchung nicht unbefangen wahrnehmen werde. An der Sache vorbei gehe in dieser Hinsicht die Feststellung des Obergerichts, es bestünden keine Anhaltspunkte, dass der Leitende Staatsanwalt einzelfallbezogene Weisungen erteilt habe, solches beabsichtigte oder selbst Untersuchungshandlungen vornehmen wolle.
Der Grund für die Umteilung des Verfahrens erscheine vorgeschoben. Eine Verfahrensbeschleunigung sei kaum der Antrieb gewesen, nachdem das Verfahren seit dem 29. Februar 2016 pendent gewesen sei, das Obergericht im März 2016 eine Rechtsverzögerungsbeschwerde gegen Staatsanwalt Dr. Giger gutgeheissen habe, Staatsanwalt Dr. Giger durch das laufende Straf- und Ausstandsverfahren bereits im März/April 2016 erheblich absorbiert gewesen sei, das Obergericht das Ausstandsverfahren mehr als zwei Monate informell sistiert habe und dieses nun kurz vor dem Abschluss gestanden sei. Man erhalte vielmehr den Eindruck, der Leitende Staatsanwalt habe sich des unerfreulichen Ausstandsverfahrens mit der Fallumteilung entledigen wollen. Diese habe zu einer massiven Verfahrensverzögerung geführt.
2.2. Das Obergericht führte aus, es könne offenbleiben, ob Staatsanwalt Dr. Giger krasse und wiederholte Verfahrensfehler unterlaufen seien oder er aus anderen Gründen nach <ref-law> befangen erscheine. Zu prüfen sei, ob der Leitende Staatsanwalt den Anschein der Befangenheit erwecke. Seine Handlungen im Zusammenhang mit der vorliegenden Strafuntersuchung beschränkten sich indessen auf die Übermittlung des Ausstandsbegehrens gegen Staatsanwalt Dr. Giger mit Eingabe vom 5. April 2016 ans Obergericht und auf die am 21. September 2016 angekündigte Umteilung der Strafuntersuchung an einen anderen Staatsanwalt. Eigentliche Untersuchungshandlungen habe er nicht vorgenommen. Der Hinweis des Beschwerdeführers auf die gesetzlichen Pflichten und Einflussmöglichkeiten des Leitenden Staatsanwalts änderten daran nichts. Indem sich Letzterer in seiner Eingabe vom 5. April 2016 den Ausführungen in der Vernehmlassung von Staatsanwalt Dr. Giger angeschlossen habe, habe er sich zwar in Widerspruch zu den Ansichten des Gesuchstellers gesetzt. Das allein begründe jedoch noch keinen Anschein von Befangenheit. Dies gelte insbesondere, wenn der Leitende Staatsanwalt nicht die Untersuchungsleitung inne habe und sich deshalb innert kurzer Zeit aufgrund der Akten eines noch nicht weit fortgeschrittenen Verfahrens eine Meinung bilden müsse. Auch die Umteilung des Dossiers auf einen anderen Staatsanwalt lasse nicht auf eine Befangenheit schliessen. Die Zuteilung der Geschäfte bilde nach § 14 Abs. 2 lit. c der Verordnung des Kantons Zürich vom 27. Oktober 2004 über die Organisation der Oberstaatsanwaltschaft und der Staatsanwaltschaften (LS 213.21) Teil der Aufgaben des Leitenden Staatsanwalts. Ein bei der Zuteilung zu berücksichtigender Gesichtspunkt sei das Beschleunigungsgebot.
2.3. Das rechtliche Gehör nach <ref-law> verlangt, dass die Behörde die Vorbringen der betroffenen Person hört, prüft und in der Entscheidfindung berücksichtigt. Daraus folgt die Verpflichtung der Behörde, ihren Entscheid zu begründen. Dabei kann sie sich auf die für den Entscheid wesentlichen Punkte beschränken. Die Begründung muss so abgefasst sein, dass sich die betroffene Person über die Tragweite des Entscheids Rechenschaft geben und ihn in voller Kenntnis der Sache an die höhere Instanz weiterziehen kann. In diesem Sinn müssen wenigstens kurz die Überlegungen genannt werden, von denen sich die Behörde hat leiten lassen und auf die sich ihr Entscheid stützt (<ref-ruling> E. 2.2 S. 84; <ref-ruling> E. 5.2 S. 236; je mit Hinweisen).
Der angefochtene Entscheid genügt diesen Anforderungen. Es ergibt sich daraus, dass es das Obergericht als nicht massgeblich erachtete, ob die Kritik gegenüber der Amtsführung von Staatsanwalt Dr. Giger berechtigt war. Damit erübrigte es sich, auf die betreffenden Ausführungen des Beschwerdeführers einzugehen. Dessen Kritik ist insoweit unbegründet.
2.4. <ref-law> zählt verschiedene Gründe auf, die zum Ausstand von in einer Strafbehörde tätigen Personen führen. Nach <ref-law> trifft dies namentlich aus anderen (als den in lit. a-e der gleichen Bestimmung genannten) Gründen zu, insbesondere wenn die in der Strafverfolgung tätige Person wegen Freundschaft oder Feindschaft mit einer Partei oder deren Rechtsbeistand befangen sein könnte. <ref-law> konkretisiert die Verfassungsbestimmung von <ref-law> (für nicht richterliche Behörden) und von <ref-law> (für richterliche Behörden) sowie von Art. 6 Ziff. 1 EMRK. Hinsichtlich der Staatsanwaltschaft in ihrer Funktion als Strafuntersuchungs- und Anklagebehörde konkretisiert <ref-law> mithin den in <ref-law> und Art. 6 Ziff. 1 EMRK verankerten Anspruch jeder Person auf ein faires Verfahren. Die Garantie ist verletzt, wenn bei objektiver Betrachtungsweise Gegebenheiten vorliegen, die den Anschein der Befangenheit zu begründen vermögen. Vom Staatsanwalt als Untersuchungs- und Anklagebehörde ist dabei Sachlichkeit, Unbefangenheit und Objektivität namentlich insofern zu erwarten, als er sich vor Abschluss der Untersuchung grundsätzlich nicht darauf festlegen darf, dass dem Beschuldigten ein strafbares Verhalten zur Last zu legen sei (<ref-ruling> E. 3.2.1 f. S. 179 f. mit Hinweisen). Auch hat er den entlastenden Indizien und Beweismitteln ebenso Rechnung zu tragen wie den belastenden (<ref-law>). Materielle oder prozessuale Rechtsfehler stellen dagegen nur dann einen Ausstandsgrund dar, wenn sie besonders krass sind und wiederholt auftreten, sodass sie einer schweren Amtspflichtverletzung gleichkommen (<ref-ruling> E. 3.2.3 S. 180 mit Hinweisen).
2.5. Die beanstandete Stellungnahme des Leitenden Staatsanwalts zum Ausstandsgesuch ist durchwegs sachlich und objektiv. Aus dem Umstand, dass er den Standpunkt des Beschwerdeführers nicht teilt, entsteht noch kein Anschein der Befangenheit. Im Rahmen einer Vernehmlassung war er zudem nicht gehalten, auf alle Vorbringen des Beschwerdeführers einzugehen, sondern durfte selektiv die ihm wichtig erscheinenden Aspekte hervorheben. Die Begründungspflicht im Sinne von <ref-law> findet insoweit keine Anwendung. Ob die Umteilung des Verfahrens eine Verfahrensverzögerung zur Folge hatte, muss vorliegend nicht beurteilt werden. Das Obergericht hat dargelegt, dass das Verfahren noch nicht weit fortgeschritten gewesen sei, sodass die Einarbeitung des neu eingesetzten Staatsanwalts nicht übermässig lange Zeit in Anspruch genommen haben dürfte. Andererseits konnte der Leitende Staatsanwalt davon ausgehen, dass das Ausstandsverfahren selbst noch länger dauern würde. Selbst wenn insgesamt trotzdem eine gewisse Verzögerung des Verfahrens resultiert haben sollte, wäre darin jedenfalls keine krass fehlerhafte Verfahrenshandlung zu erblicken, welche den Anschein der Befangenheit zur Folge hätte.
3.
Das Obergericht hat somit kein Bundesrecht verletzt, wenn es einen Ausstandsgrund verneinte. Die Beschwerde ist abzuweisen.
Bei diesem Ausgang des Verfahrens trägt der Beschwerdeführer die Gerichtskosten (<ref-law>). Es ist keine Parteientschädigung zuzusprechen (Art. 68 Abs. 1-3 BGG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 3'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3.
Es wird keine Parteientschädigung zugesprochen.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien, der Staatsanwaltschaft III des Kantons Zürich und dem Obergericht des Kantons Zürich, III. Strafkammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 9. Mai 2017
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Merkli
Der Gerichtsschreiber: Dold