Erwägungen:
1.
Das Migrationsamt des Kantons Zürich lehnte am 30. Mai 2016 ein Gesuch des 1985 geborenen türkischen Staatsangehörigen A._ um Verlängerung der Aufenthaltsbewilligung bzw. Erteilung der Niederlassungsbewilligung ab. Die Sicherheitsdirektion des Kantons Zürich wies den gegen diese Verfügung erhobenen Rekurs am 27. Januar 2017 (in der Hauptsache) ab. Dagegen gelangte A._ am 1. März 2017 mit Beschwerde an das Verwaltungsgericht des Kantons Zürich. Mit Verfügung des Abteilungspräsidenten von dessen 4. Abteilung vom 2. März 2017 wurde dem Betroffenen unter Androhung des Nichteintretens eine Frist von 20 Tagen zur Bezahlung eines Kostenvorschusses von Fr. 2'060.-- zur Sicherstellung der Verfahrenskosten angesetzt.
Mit Verfügung des Einzelrichters vom 3. April 2017 trat das Verwaltungsgericht des Kantons Zürich auf die Beschwerde nicht ein. Die Gerichtskosten von Fr. 560.-- auferlegte es A._. Das Nichteintreten begründete es damit, dass die von ihm geforderte Sicherheitsleistung (Kostenvorschuss) erst am 28. März 2017, nach Ablauf der Zahlungsfrist am 27. März 2017, erbracht worden sei.
Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten, eventualiter subsidiärer Verfassungsbeschwerde vom 8. Mai 2017 beantragt A._ dem Bundesgericht, die Verfügung des Verwaltungsgerichts sei vollumfänglich aufzuheben, der Fall an die Vorinstanz zurückzuweisen und diese zu verpflichten, auf die Beschwerde vom 1. März 2017 einzutreten und diese materiell zu behandeln. Zur Begründung macht er geltend, er habe den Kostenvorschuss bereits am 24. März 2017 am Postschalter einbezahlt.
Die Sicherheitsdirektion (ausdrücklich) und das Migrationsamt (stillschweigend) haben auf Vernehmlassung verzichtet. Das Verwaltungsgericht stellt den Antrag, die Beschwerde sei, soweit auf sie einzutreten sei, alsdann unter allfälliger Kosten- und Entschädigungsfolge nur für das bundesgerichtliche Verfahren (über die Nebenfolgen der kantonalen gälte es bei Rückweisung der Sache durch das Bundesgericht und materiellem Entscheid durch das Verwaltungsgericht selber neu zu befinden) ausdrücklich zu Lasten des Verwaltungsgerichts gutzuheissen; diesem sei nämlich in der Tat ein - niemandem sonst vorwerfbarer - Fehler unterlaufen.
Dem Gesuch um aufschiebende Wirkung ist mit Verfügung vom 9. Mai 2017 entsprochen worden.
2.
2.1. Dem Beschwerdeführer wurde am 2. März 2017 eine Frist von 20 Tagen zur Bezahlung eines Kostenvorschusses angesetzt, unter Androhung des Nichteintretens; dies gestützt auf § 15 Abs. 2 lit. b (in Verbindung mit § 70) des Zürcher Verwaltungsrechtspflegegesetzes vom 24. Mai 1959 (VRG). Die Verfügung wurde seinem Rechtsvertreter am 6. März 2017 zugestellt; die Zahlungsfrist begann mithin am 7. März zu laufen (§ 22 Abs. 2 VRG) und endete am Montag 27. März 2017 (§ 11 Abs. 1 VRG).
Gemäss § 11 Abs. 2 VRG bzw. <ref-law>, der gestützt auf § 71 VRG ergänzend zur Anwendung kommt, ist die Frist für eine Zahlung an das Gericht eingehalten, wenn der Betrag spätestens am letzten Tag der Frist zugunsten des Gerichts der Schweizerischen Post übergeben oder einem Post- oder Bankkonto in der Schweiz belastet worden ist. Gemäss der der Beschwerde beigelegten Postquittung (Empfangsschein) hat der Beschwerdeführer den Vorschussbetrag von Fr. 2'060.-- am 24. März 2017 um 17 Uhr bei der Poststelle 8025 Zürich 25 Urania einbezahlt. Bei diesem Beweismittel handelt es sich um ein vor Bundesgericht zulässiges Novum, gab doch erst die angefochtene Nichteintretensverfügung dem Beschwerdeführer Anlass, es ins Verfahren einzubringen (<ref-law>). Die Vorschusszahlung wurde offensichtlich vor Fristablauf und damit rechtzeitig geleistet. Das Verwaltungsgericht räumt seinerseits ein, dass ihm mit der Feststellung, die Zahlung sei am 28. März 2017 erfolgt, ein Fehler unterlaufen sei. Die Eintretensvoraussetzung der rechtzeitigen Vorschussleistung im verwaltungsgerichtlichen Verfahren ist erfüllt.
2.2. Die Beschwerde erweist sich als offensichtlich begründet (<ref-law>). Sie ist im vereinfachten Verfahren nach <ref-law> gutzuheissen. Die Nichteintretensverfügung des Verwaltungsgerichts ist damit aufzuheben und die Sache zur weiteren Behandlung an dieses zurückzuweisen. Es wird, soweit sämtliche übrigen Eintretensvoraussetzungen erfüllt sind, die bei ihm eingereichte Beschwerde materiell zu prüfen haben.
2.3. Bei diesem Verfahrensausgang sind keine Gerichtskosten zu erheben (<ref-law>). Der Kanton Zürich ist zu verpflichten, dem Beschwerdeführer eine Parteientschädigung zu bezahlen (Art. 68 Abs. 1 und 2 BGG). Über die Kosten des kantonalen Verfahrens wird das Verwaltungsgericht in seinem neuen Entscheid zu befinden haben.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird gutgeheissen.
2.
Die Verfügung des Einzelrichters der 4. Abteilung des Verwaltungsgerichts des Kantons Zürich wird aufgehoben und die Sache an das Verwaltungsgericht zwecks Behandlung der Beschwerde vom 1. März 2017 im Sinne der Erwägungen zurückgewiesen.
3.
Es werden keine Kosten erhoben.
4.
Der Kanton Zürich hat den Beschwerdeführer für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 1'200.-- zu entschädigen.
5.
Dieses Urteil wird den Parteien, dem Verwaltungsgericht des Kantons Zürich, 4. Abteilung, Einzelrichter, und dem Staatssekretariat für Migration schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 7. Juni 2017
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Seiler
Der Gerichtsschreiber: Feller