Sachverhalt:
A.
A.a. A.A._ (geb. 1953) und B.A._ (1959) haben 1987 geheiratet. 1988 wurde die gemeinsame Tochter C.A._ geboren. Die Eheleute lebten seit Mai 2006 getrennt.
Mit Urteil vom 4. Juli 2013 schied das Bezirksgericht Baden die Ehe auf gemeinsamen Antrag der Parteien hin. Bezüglich des nachehelichen Unterhalts entschied das Gericht was folgt:
2. Der Gesuchsteller wird verpflichtet, der Gesuchstellerin ab Rechtskraft des Scheidungsurteils bis zur Pensionierung des Gesuchstellers einen nachehelichen Unterhaltsbeitrag von Fr. 4'440.00 monatlich vorschüssig zu bezahlen.
3. Die Unterhaltsbeiträge basieren auf folgenden Werten:
- monatliches hypothetisches Nettoeinkommen des Gesuchstellers: Fr. 8'600.00
- monatliches Nettoeinkommen der Gesuchstellerin (türkische Rente) : Fr. 475.00
4. Die Unterhaltsbeiträge gemäss Ziff. 2 hievor werden wie folgt indexiert: [...]"
A.A._ legte gegen dieses Urteil Berufung beim Obergericht des Kantons Aargau ein. Er stellte, soweit vor Bundesgericht noch relevant, die Anträge, Dispositiv-Ziff. 2 des bezirksgerichtlichen Urteils sei aufzuheben; er sei neu zu verpflichten, der Berufungsgegnerin ab Rechtskraft des Scheidungsurteils bis zu seinem ordentlichen Pensionsalter, längstens jedoch bis 31. März 2018, einen nachehelichen Unterhaltsbeitrag von monatlich Fr. 1'100.-- vorschüssig zu bezahlen. Weiter seien die Dispositiv-Ziff. 3 und 4 des angefochtenen Urteils aufzuheben; die in Ziff. 3 angegebenen Daten seien durch in der Berufungsschrift näher spezifizierte zu ersetzen.
Das Obergericht wies die Berufung ab, soweit es darauf eintrat und das Verfahren nicht (hinsichtlich eines zufolge teilweisen Rückzugs der Berufung rechtskräftig gewordenen Punktes) als erledigt abschrieb (Urteil vom 19. November 2014).
Dagegen erhob A.A._ am 13. Januar 2015 beim Bundesgericht Beschwerde in Zivilsachen sowie subsidiäre Verfassungsbeschwerde mit den Anträgen, das angefochtene Urteil sei vollumfänglich aufzuheben; die Akten seien zu neuer Entscheidung an das Obergericht des Kantons Aargau zurückzuweisen. Eventuell sei er zu verpflichten, B.A._ mit Wirkung ab 4. Juli 2013 bis und mit 14. Juli 2018 einen monatlichen Unterhaltsbeitrag von Fr. 1'618.80 (nicht indexiert) zu bezahlen.
A.b. Das Bundesgericht hob den obergerichtlichen Entscheid vom 19. November 2014 auf und wies die Sache nach <ref-law> an die Vorinstanz zurück. Im Übrigen wies es die Beschwerde ab, soweit es darauf eintrat. Auf die subsidiäre Verfassungsbeschwerde trat es nicht ein (Urteil 5A_34/2015 vom 29. Juni 2015).
B.
Das Obergericht des Kantons Aargau hiess die Berufung von A.A._ teilweise gut und setzte den Unterhaltsbeitrag auf Fr. 3'840.-- fest (Urteil vom 16. Dezember 2015).
C.
Mit Beschwerde in Zivilsachen vom 1. Februar 2016 beantragt A.A._ die Aufhebung des angefochtenen Urteils im Unterhalts-, Kosten- und Entschädigungspunkt (Ziff. 1) und die Rückweisung an das Obergericht mit der Anweisung, ein neues Urteil "im Sinne der nachfolgenden Rügen" zu fällen und die Unterhalts-, Kosten- und Entschädigungsfolgen neu zu regeln (Ziff. 2). Eventuell sei er auf einen Unterhaltsbeitrag von Fr. 1'618.80 für den Zeitraum 4. Juli 2013 bis 4. Juli 2018 zu verpflichten (Ziff. 3). Zudem stellt er ein Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege.
B.A._ beantragt, auf die Beschwerde sei nicht einzutreten. Eventuell sei sie abzuweisen. Ausserdem ersucht sie um unentgeltliche Rechtspflege. A.A._ liess darauf replizieren. Das Obergericht verzichtete auf eine Vernehmlassung.

Erwägungen:
1.
Da die Beschwerde in Zivilsachen ein reformatorisches Rechtsmittel ist (<ref-law>), muss grundsätzlich ein materieller Antrag gestellt werden. Rechtsbegehren, die nur auf Aufhebung des angefochtenen Urteils und Rückweisung der Sache an die Vorinstanz zu neuer Entscheidung lauten, genügen in der Regel nicht. Davon ausgenommen sind Fälle, in denen das Bundesgericht bei Gutheissung in der Sache ohnehin nicht selber entscheiden könnte, weil die erforderlichen Sachverhaltsfeststellungen der Vorinstanz fehlen (<ref-ruling> E. 1.3 S. 383; <ref-ruling> E. 3.1 S. 490). Vorliegend ist der Sachverhalt an sich nach wie vor unvollständig (unten E. 3.3.1). Der Umstand, dass der Regel der materiellen Beweislast folgend reformatorisch zu entscheiden ist (E. 3.3.3), ändert nichts daran, dass der Ausnahmefall gegeben und auf das Hauptbegehren einzutreten ist, zumal dieses ausdrücklich auf die Begründung des Rechtsmittels verweist (vgl. <ref-ruling> E. 1.2 S. 136; <ref-ruling> E. 2 S. 236; Urteil 4A_24/2016 vom 7. März 2016 E. 3). Im Eventualbegehren stellt der Beschwerdeführer zudem einen materiellen Antrag, den er auch begründet. Auf die Beschwerde ist insgesamt einzutreten.
2.
2.1. Im Rückweisungsentscheid 5A_34/2015 vom 29. Juni 2015 hob das Bundesgericht den angefochtenen Entscheid auf und wies die Sache an die Vorinstanz zurück, damit diese das massgebende Einkommen des Beschwerdeführers feststelle und gestützt darauf über den Unterhaltsbeitrag befinde. Zur Begründung hielt das Bundesgericht zunächst fest, es sei unklar, ob das Obergericht von einem effektiven Einkommen von Fr. 8'600.-- ausgehe, oder ob es ein hypothetisches Einkommen in dieser Höhe aufrechne (E. 7.3.3). Falls ein hypothetisches Einkommen angerechnet worden sein sollte, sei die vorinstanzliche Begründung nicht mit den Grundsätzen vereinbar, wonach die Anrechnung nicht pönal motiviert sein kann (<ref-ruling> S. 6), und es nicht genügt, dass Anstrengungen zur Erzielung eines solchen Einkommens zumutbar sind. Vielmehr müsse es auch tatsächlich möglich sein, ein höheres Einkommen zu erzielen. Dazu fänden sich im angefochtenen Entscheid keine Ausführungen, auch nicht im erstinstanzlichen Urteil, auf welches das Obergericht verweise. Unbeantwortet sei insbesondere die vom Beschwerdeführer aufgeworfene Tatfrage nach der effektiven Möglichkeit, bei einer verbleibenden Aktivitätsdauer von noch dreieinhalb Jahren und mit Blick auf die arbeitsmarktlichen Verhältnisse eine (Vollzeit-) Arbeit zu finden, die wesentlich besser entlöhnt wird (E. 7.3.3.1). Falls hingegen ein (vermutetes) effektives Einkommen angerechnet worden sein sollte, stünden die im Einzelnen umschriebenen nötigen Abklärungen aus (schriftliche Auskunft des Arbeitgebers oder förmliche Aufforderung an den Beschwerdeführer, einschlägige Urkunden einzureichen; E. 7.3.3.2). Feststellungen über das anrechenbare (effektive oder hypothetische) Einkommen seien notwendige Grundlage für die Anwendung von <ref-law>. Dem angefochtenen Urteil könne nicht entnommen werden, welches die den Entscheid tragenden tatsächlichen und rechtlichen Gründe seien (E. 7.3.4-7.3.6).
2.2. Das Obergericht des Kantons Aargau erliess am 16. Dezember 2015 einen neuen Entscheid. Es stellte klar, es gehe um die Feststellung eines hypothetischen Einkommens; die Frage laute nicht, ob der Beschwerdeführer effektiv mehr verdiene, als er vorgebe (E. 3.2). Der Ehemann habe zu beweisen, dass es ihm nach einem Stellenwechsel trotz ernsthafter und ausreichender Bemühungen nicht gelungen sei, eine neue Anstellung mit ähnlicher Entlöhnung zu finden (E. 3.6.1). In der Berufung habe er der Begründung des Bezirksgerichts indessen nur seine eigene Sicht der Dinge gegenübergestellt. Als beweisbelastete Partei gehe er nicht ausreichend substantiiert auf die Thematik ein. Es bestünden erhebliche Zweifel an seiner Behauptung, er werde bloss noch Nettoeinkünfte von Fr. 4'300.-- erwirtschaften können, dies vor allem mit Blick darauf, dass er im Alter von 58 Jahren sein Arbeitsverhältnis gekündigt habe, ohne eine neue Anstellung zu haben. Unklar sei insbesondere, weshalb er aktuell bloss zu 80 % angestellt sei. An der tatsächlichen Möglichkeit, eine Vollzeitarbeit zu finden, ändere das Alter von bald 62 1⁄2 Jahren nichts. Auf den 1. Juni 2009 habe er als 56-Jähriger jedenfalls noch eine neue Stelle gefunden. Später sei es zu drei weiteren Stellenwechseln gekommen. Seine Chancen im Arbeitsmarkt bezeichne er lediglich in allgemeiner Form als notorisch stark reduziert. Diese pauschale Aussage werde nicht genügend belegt und greife in Anbetracht des beruflichen Werdegangs seit der Trennung 2006 zu kurz. Insgesamt könne weder davon gesprochen werden, er habe ausreichende Bemühungen für die Erhaltung seiner wirtschaftlichen Leistungsfähigkeit (wie sie im Zeitpunkt der Kündigung 2011 war) dargelegt, noch werde ausreichend substantiiert, dass das Finden einer Vollzeitarbeit unter Berücksichtigung der verbleibenden Aktivitätsdauer sowie mit Blick auf die arbeitsmarktlichen Verhältnisse nicht möglich sei. Die Anrechnung des hypothetischen Einkommens sei somit nicht zu beanstanden (E. 3.6.2). Mit Blick auf die Einkommensentwicklung und gestützt auf statistische Werte seien die hypothetisch anrechenbaren Einkünfte auf monatlich Fr. 8'000.-- netto zu veranschlagen (E. 3.6.3 und 3.6.4). Bei im Übrigen unveränderten Parametern resultiere ein Unterhaltsbeitrag von Fr. 3'840.-- (E. 3.7).
2.3. Der Beschwerdeführer weist auf die Bestätigung der D._ hin (Schreiben vom 12. September 2015), wonach eine Erhöhung des Arbeitspensums von 80 auf 100 % aus betrieblichen Gründen nicht möglich sei. Ihm ein hypothetisches Einkommen von Fr. 8'000.-- anzurechnen sei bundesrechtswidrig. Dies hätte ohnehin eine Übergangsfrist vorausgesetzt. Den Eventualantrag begründet der Beschwerdeführer damit, der Unterhaltsbeitrag dürfe höchstens der Differenz zwischen dem Einkommen von Fr. 4'392.80 und dem Notbedarf von Fr. 2'772.--, also Fr. 1'620.80, entsprechen.
2.4. Die Beschwerdegegnerin hält in ihrer Beschwerdeantwort dagegen, der Beschwerdeführer habe im Alter von 58 Jahren und ohne eine neue Stelle in Aussicht zu haben sein bisheriges Arbeitsverhältnis nur deswegen gekündigt, um ihren Unterhaltsanspruch zu schmälern. Die Vorinstanz habe unter anderem mit Hinweis auf diverse Stellenwechsel, die ohne grösseren Suchaufwand möglich gewesen seien, festgestellt, dass ein besserer Verdienst tatsächlich möglich sei. Der Beschwerdeführer habe sich mit diesen Erwägungen nicht einmal ansatzweise auseinandergesetzt, weshalb sein Rechtsmittel nicht an die Hand genommen werden könne. Bei der Frage nach der Anrechenbarkeit eines hypothetischen Einkommens gehe es nicht um die zuletzt tatsächlich erzielten Einkommen des Beschwerdeführers, welche in der Beschwerde dargetan würden, sondern um die effektiven Verdienstmöglichkeiten.
3.
Strittig ist allein, ob und in welchem Umfang dem Beschwerdeführer ein hypothetisches Einkommen angerechnet werden kann, das heisst, ob er effektiv in der Lage ist, bei zumutbarer Anstrengung ein Einkommen in der vorinstanzlich unterstellten Höhe zu erzielen. Dabei handelt es sich um eine entscheidungswesentliche Tatfrage (vgl. <ref-ruling> E. 2.3 S. 121).
3.1. Nach <ref-law> hat, wo es das Gesetz nicht anders bestimmt, derjenige das Vorhandensein einer behaupteten Tatsache zu beweisen, der aus ihr Rechte ableitet. Demgemäss hat die Partei, die einen Anspruch geltend macht, die rechtsbegründenden Tatsachen zu beweisen, während die Beweislast für die rechtsaufhebenden bzw. rechtsvernichtenden oder rechtshindernden Tatsachen bei der Partei liegt, die den Untergang des Anspruchs behauptet oder dessen Entstehung oder Durchsetzbarkeit bestreitet (<ref-ruling> E. 3.1 S. 242). Geht es um die Festsetzung des Unterhalts, obliegt es demnach grundsätzlich der fordernden Partei zu beweisen, wie gross die wirtschaftliche Leistungskraft der pflichtigen Partei ist; nur bei einer Abänderungsklage liegt die Beweislast hinsichtlich anspruchserheblich veränderter Tatsachen bei jener Partei, welche die Abänderung fordert. Gewisse Informationen über das tatsächliche oder hypothetische Leistungsvermögen sind allerdings nur für die unterhaltsverpflichtete Person greifbar. Den nach den allgemeinen Regeln (bei der erstmaligen Festsetzung) nicht beweisbelasteten Unterhaltsverpflichteten trifft daher eine Behauptungs- und Substantiierungsobliegenheit, wenn er bestreitet, das strittige hypothetische Einkommen tatsächlich erzielen zu können (Urteil 5A_129/2015 vom 22. Juni 2016 E. 5.4.2). Insoweit ist die Beweisführungslast, welche (gleich wie die materielle Beweislast) bei der (erstmaligen) Festsetzung des Unterhalts bei der fordernden Partei liegt, einzuschränken (zu den Folgen der Beweislosigkeit vgl. unten E. 3.3.3).
3.2. Der Beschwerdeführer hatte mit Berufung geltend gemacht, bei einem über 60-jährigen Aussendienstmitarbeiter, der seit 2011 einen deutlich tieferen Lohn beziehe, könne man nicht davon ausgehen, er sei in der Lage, sein tatsächliches Einkommen für die verbleibende kurze Erwerbszeit zu verdoppeln (vgl. den Rückweisungsentscheid 5A_34/2015 vom 29. Juni 2015 E. 7.3.2). Unter dem Gesichtspunkt der Mitwirkungspflicht genügen diese Vorbringen. Das Obergericht verkennt die Beweisanforderungen, wenn es den Unterhaltsschuldner als beweisbelastete Partei bezeichnet (E. 3.6.2 des angefochtenen Urteils) und ausführt, dieser habe darzutun, weshalb er nach seiner Kündigung keine gleich gut bezahlte Stelle mehr gefunden habe (E. 3.6.1).
3.3.
3.3.1. Im Rückweisungsentscheid hat das Bundesgericht festgehalten, das Obergericht lasse die vom Beschwerdeführer aufgeworfene Tatfrage nach den tatsächlichen Verdienstmöglichkeiten unbeantwortet. Es wies daher die Sache an das Obergericht zurück, damit dieses namentlich Feststellungen über die effektiven Möglichkeiten des Beschwerdeführers treffe, bei der verbleibenden kurzen Aktivitätsdauer und mit Blick auf die arbeitsmarktlichen Verhältnisse eine (Vollzeit-) Arbeit zu finden, die wesentlich besser entlöhnt wird. Anschliessend sei die Sache gestützt hierauf rechtlich zu beurteilen (vgl. oben E. 2.1).
Im neuen Urteil vom 16. Dezember 2015 hat das Obergericht zu den aktuellen Anstellungs- und Verdienstaussichten wiederum keine Feststellungen getroffen, stattdessen hauptsächlich frühereerwerbliche Dispositionen des Beschwerdeführers gewürdigt (S. 20 ff.). Mit solchen auf die Erwerbsbiographie bezogenen Erwägungen hält die Vorinstanz dem Beschwerdeführer der Sache nach vor, seine wirtschaftliche Leistungsfähigkeit bewusst niedrig zu halten. Wie bereits im Rückweisungsentscheid 5A_34/2015 ausgeführt (E. 7.1.1), hat die Anrechnung eines hypothetischen Einkommens indessen keinen pönalen Charakter; entscheidend sind die tatsächlichen Möglichkeiten, eine allfällige Verminderung der Leistungskraft rückgängig machen zu können. Massgeblich ist somit, ob der Beschwerdeführer sein Einkommen ausgehend von seiner jetzigen Arbeitssituation tatsächlich steigern könnte. Angesichts des nahenden Pensionsalters sind die einschlägigen Verhältnisse, wie sie sich vor einigen Jahren dargestellt haben, nicht auf die aktuellen Erwerbsaussichten übertragbar. Insoweit ist der Sachverhalt zur strittigen Tatfrage nach wie vor unvollständig.
3.3.2. Ein Vollzeitpensum ist dem Beschwerdeführer unbestrittenermassen zumutbar. Mit Bezug auf die Stelle, die der Beschwerdeführer aktuell besetzt, stellt sich die Frage, ob er in der Lage sei, das derzeitige Arbeitspensum von 80 % auf eine Vollzeitstelle aufzustocken. Der Arbeitgeber attestierte ihm am 12. September 2015, eine Erhöhung des Arbeitspensums von 80 auf 100 % sei aus betrieblichen Gründen nicht möglich. Der Beschwerdeführer reichte das Schreiben mit Eingabe vom 5. Oktober 2015 dem Obergericht ein. Zu Recht rügt er unter diesen Umständen als willkürlich, dass die Vorinstanz dies unberücksichtigt gelassen hat, als sie feststellte, er habe seine Einkommenssituation nicht rechtsgenüglich dargetan. Nicht zu beanstanden ist hingegen, wenn die Vorinstanz den zumutbaren und dem Fähigkeitsprofil entsprechenden hypothetischen Lohn aus den Ansätzen gemäss der Schweizerischen Lohnstrukturerhebung (LSE) des Bundesamts für Statistik ableitet. Der Nachweis eines hypothetischen Einkommens gestaltet sich naturgemäss schwierig. Eine Beweiserleichterung drängt sich auf. Daher ist es zulässig, auf statistische Angaben zurückzugreifen und im Sinne einer tatsächlichen Vermutung zu schliessen, der betreffende Lohn sei im Einzelfall tatsächlich erzielbar (vgl. <ref-ruling> E. 3.2 S. 122); vorausgesetzt ist freilich, dass dem Vermutungsgegner auch tatsächlich entsprechend entlöhnte Stellen offen stehen (Urteil 5A_751/2011 vom 22. Dezember 2011 E. 4.3.3; vgl. <ref-ruling> E. 4c/cc S. 8). Gelingt der Gegenbeweis, so greift die tatsächliche Vermutung nicht mehr und der Beweis ist gescheitert. Es liegt Beweislosigkeit vor; deren Folgen treffen die beweisbelastete Partei (<ref-ruling> E. 3.2.2 S. 244).
3.3.3. Dem Beschwerdeführer ist es gelungen, die erwähnte Vermutung zu erschüttern, indem er auf die grosse zeitliche Nähe zum Pensionsalter hinweist (oben E. 3.2; erwähntes Urteil 5A_129/2015 E. 5.4.2). Dem stehen keine einschlägigen Feststellungen des Obergerichts zu den tatsächlichen Aussichten des Beschwerdeführers im Arbeitsmarkt entgegen (oben E. 3.3.1). Daher ist davon auszugehen, dass eine weitere Prüfung keine hinreichend klaren Anhaltspunkte für Anstellungschancen zu einem Lohn im Bereich des Medianlohns gemäss LSE ergeben würde. Somit besteht Beweislosigkeit hinsichtlich der Frage, ob es dem Beschwerdeführer möglich sei, ein höheres hypothetisches Einkommen zu erzielen. Der fehlende Nachweis eines Sachverhaltselements, das für die Forderung unerlässlich ist, wirkt sich in dieser Konstellation zu Lasten der Unterhaltsansprecherin aus. Für die Festsetzung des Unterhaltsbeitrags ist daher auf das tatsächliche Nettoeinkommen abzustellen.
3.4. Dieses ist wie im obergerichtlichen Entscheid vom 24. Januar 2014 (betreffend Schuldneranweisung an den Arbeitgeber) auf Fr. 4'392.80 festzusetzen (vgl. auch das Schreiben des Arbeitgebers vom 12. September 2015). Nach Deckung des Existenzminimums von Fr. 2'772.-- bleibt für den Unterhaltsbeitrag ein Betreffnis von rund Fr. 1'620.-- verfügbar. Der Beschwerdeführer ist verpflichtet, diesen Betrag monatlich als (zu indexierenden) nachehelichen Unterhaltsbeitrag an die Beschwerdegegnerin zu leisten.
4.
Das Obergericht wird die Kosten und Entschädigungen für das kantonale Berufungsverfahren neu verlegen (<ref-law>). Für das bundesgerichtliche Verfahren ist den Parteien antragsgemäss die unentgeltliche Rechtspflege zu gewähren, unter Beigabe der jeweiligen Rechtsvertreter (Art. 64 Abs. 1 und 2 BGG). Die Gerichtskosten sind der Beschwerdegegnerin aufzuerlegen (<ref-law>); sie werden einstweilen aber auf die Bundesgerichtskasse genommen. Ferner sind für das bundesgerichtliche Verfahren beide Rechtsvertreter aus der Bundesgerichtskasse zu entschädigen (<ref-law>; vgl. Urteil 5A_945/2015 vom 7. Juli 2016 E. 6).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird gutgeheissen. Das Urteil des Obergerichts des Kantons Aargau vom 16. Dezember 2015 wird mit Bezug auf die Höhe des Ehegattenunterhaltsbeitrages aufgehoben. Der Beschwerdeführer wird verpflichtet, der Beschwerdegegnerin einen monatlichen Unterhaltsbeitrag von Fr. 1'620.-- zu bezahlen.
2.
Die Sache wird zur Neuverlegung der kantonalen Gerichts- und Parteikosten an das Obergericht des Kantons Aargau zurückgewiesen.
3.
Die Gesuche der Parteien um unentgeltliche Rechtspflege für das bundesgerichtliche Verfahren werden gutgeheissen. Dem Beschwerdeführer wird Rechtsanwalt Renzo Guzzi und der Beschwerdegegnerin Rechtsanwältin Sabine Bezel Martin je als amtlicher Rechtsbeistand bestellt.
4.
Die Gerichtskosten von Fr. 1'000.-- werden der Beschwerdegegnerin auferlegt, einstweilen aber auf die Bundesgerichtskasse genommen.
5.
Der Rechtsvertreter des Beschwerdeführers wird für das bundesgerichtliche Verfahren aus der Bundesgerichtskasse mit Fr. 2'500.-- entschädigt, die Rechtsvertreterin der Beschwerdegegnerin mit Fr. 2'000.--.
6.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Aargau, Zivilgericht, 2. Kammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 18. November 2016
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: von Werdt
Der Gerichtsschreiber: Traub