Erwägungen:
1.
1.1.
Mit Eingabe vom 26. Januar 2017 an das Bundesgericht wandte sich A._ gegen einen Plenarentscheid des Obergerichts des Kantons Zürich vom 7. Dezember 2016 sowie gegen einen Beschluss der I. Strafkammer desselben Obergerichts vom 9. Dezember 2016 und erhob unter anderem verschiedene Rechtsverweigerungsrügen. Mit Urteil 1B_31/2017 vom 22. März 2017 behandelte das Bundesgericht die Eingabe als Beschwerde und wies diese ab, soweit es darauf eintrat.
1.2. Mit Schreiben vom 3. April 2017 an das Bundesgericht verlangt A._ den Ausstand der Bundesrichter Merkli, Chaix und Kneubühler sowie von Gerichtsschreiber Uebersax, weil sich diese in der Sache bereits in einem früheren Urteil 1B_473/2016 vom 13. März 2017 verbindlich festgelegt hätten und nicht mehr als unbefangen gelten könnten. Mit einer weiteren Eingabe vom 6. April 2017 an das Bundesgericht rügt A._, ohne ausdrücklich Antrag zu stellen, das Bundesgericht habe im Urteil mehrere von ihm gestellte Anträge, namentlich die Begehren um Feststellung, es sei ihm das Recht verweigert worden, nicht behandelt und in den Akten liegende massgebliche Unterlagen übersehen.
2.
Mit seinem Ausstandsgesuch vom 3. April 2017 scheint A._ auf das Verfahren 1B_31/2017 zu zielen, das bereits mit Urteil vom 22. März 2017 entschieden worden ist. Insofern kommt das Begehren zu spät, und es fragt sich, ob es nachträglich noch Beachtung finden kann oder ob es als Ausstandsgesuch für das vorliegende Verfahren zu behandeln wäre. Wie es sich damit verhält, kann jedoch offen bleiben. Denn so oder so bildet gemäss <ref-law> die Mitwirkung in einem früheren Verfahren des Bundesgerichts für sich allein keinen Ausstandsgrund. Dass die Gerichtspersonen, deren Ausstand A._ verlangt, einen massgeblichen Ausstandsgrund gesetzt hätten, wird nicht rechtsgenüglich dargetan, weshalb sich das Ausstandsbegehren als unzulässig erweist und darauf nicht eingetreten werden kann, soweit es nicht als gegenstandslos abzuschreiben ist.
3.
3.1. Das Bundesgericht kann seine Urteile nur revidieren, wenn einer der in den <ref-law> abschliessend aufgeführten Revisionsgründe vorliegt (<ref-law>). Der Gesuchsteller muss das Vorliegen eines solchen Revisionsgrundes dartun und gemäss den Anforderungen an die Begründung einer Rechtsschrift an das Bundesgericht mit der erforderlichen Dichte substanziieren (vgl. <ref-law>). Fehlt es an einer rechtsgenüglichen Begründung, tritt das Bundesgericht auf ein Revisionsbegehren nicht ein.
3.2. A._ stellt in seiner Eingabe vom 6. April 2017 zwar keinen ausdrücklichen Revisionsantrag. Sinngemäss lässt seine Argumentation aber darauf schliessen, dass er vom Bundesgericht verlangt, auf das Urteil 1B_31/2017 vom 22. März 2017 zurückzukommen. Die Eingabe ist daher als Revisionsgesuch zu behandeln. Angesichts der Anforderungen an eine rechtsgenügliche Begründung ist darauf aber nur im nachfolgenden Umfang einzutreten.
4.
4.1.
4.2. Nach <ref-law> kann die Revision eines Entscheids des Bundesgerichts verlangt werden, wenn einzelne Anträge unbeurteilt geblieben sind.
4.2.1. Vorweg ist festzuhalten, dass das Bundesgericht im Urteil vom 22. März 2017 nur soweit auf die Beschwerde des Gesuchstellers eingetreten ist, als sich dessen Rügen als zulässig erwiesen. Schon aus diesem Grund war das Bundesgericht nicht gehalten, auf alle Vorbringen des Gesuchstellers einzeln und detailliert einzugehen. Darin liegt keine massgebliche Nichtbehandlung von gestellten Anträgen, sondern ein (teilweises) Nichteintreten, das auf mangelhafte Einhaltung der formellen Prozessvoraussetzungen durch den Gesuchsteller bzw. damaligen Beschwerdeführer selbst zurückgeht.
4.2.2. Der Beschwerdeführer macht geltend, seine Begehren im Zusammenhang mit den behaupteten Rechtsverweigerungen seien vom Bundesgericht nicht behandelt worden. Er habe auch keine entsprechenden separaten Eingangsbestätigungen erhalten und das Bundesgericht habe keine entsprechenden Verfahrensnummern festgelegt. Indessen beurteilte das Bundesgericht die angeblichen Rechtsverweigerungen im Zusammenhang mit den übrigen Rügen, wie unmissverständlich aus verschiedenen Erwägungen des Urteils vom 22. März 2017 hervorgeht. Das Bundesgericht hielt insbesondere in E. 3.6 ausdrücklich fest, es liege keine Rechtsverweigerung vor. Die angeblichen Rechtsverweigerungsanträge blieben mithin nicht unbeurteilt.
4.2.3. Das Ausstandsgesuch gegen die Bundesrichter Merkli, Chaix und Kneubühler sowie Gerichtsschreiber Uebersax ging, wie bereits dargelegt (vgl. vorne E. 2), verspätet ein und konnte daher im Urteil vom 22. März 2017 gar nicht behandelt werden. Nachträgliche eingetretene Ereignisse oder eingegangene Eingaben begründen keinen Revisionsgrund.
4.3. Nach <ref-law> kann sodann die Revision eines Entscheids des Bundesgericht verlangt werden, wenn das Gericht in den Akten liegende erhebliche Tatsachen aus Versehen nicht berücksichtigt hat. Der Beschwerdeführer macht insofern geltend, er habe entgegen der Darstellung im Urteil vom 22. März 2017 bei den kantonalen Behörden die Aufhebung aller Amtshandlungen verlangt, an denen die Leitende Staatsanwältin Frauenfelder-Nohl beteiligt gewesen sei, und dabei die Frist von <ref-law> eingehalten; die Oberstaatsanwaltschaft habe daraufhin am 13. Juni 2016 einen Beschwerdeentscheid in Anwendung von <ref-law> gefällt. Das Bundesgericht habe beides übersehen. Erstens wäre es jedoch am Gesuchsteller gelegen, im Rahmen seiner Substanziierungspflicht auf diese Akten und ihre Bedeutung hinzuweisen. Das Bundesgericht ist mit Blick auf Art. 42 Abs. 2 sowie Art. 105 und 106 BGG nicht verpflichtet, von Amtes wegen in den Akten nach für den Beschwerdeführer günstigen Unterlagen zu suchen. Zweitens und vor allem handelt es sich bei E. 4 im Urteil vom 22. März 2017 nicht um eine entscheidwesentliche Begründung, sondern die Erwägung enthält lediglich ergänzende Bemerkungen, wie an deren Anfang ausdrücklich ausgeführt wird. Die vom Gesuchsteller angerufenen Unterlagen sind daher keine Tatsachen, die für die Beurteilung der damaligen Beschwerde erheblich im Sinne von <ref-law> waren. Eine Revision des Urteils entfällt demnach auch in diesem Zusammenhang.
4.4. Weitere massgebliche Revisionsgründe macht der Gesuchsteller nicht geltend. Soweit er ergänzende Erläuterungen zu den Erwägungen des Urteils vom 22. März 2017 verlangt, kann darauf nicht eingetreten werden. Darin liegt nämlich kein Revisionsgrund. Überdies kann sich gemäss <ref-law> ein Erläuterungsgesuch nur gegen Unklarheiten und Unstimmigkeiten im Dispositiv eines bundesgerichtlichen Entscheids und nicht gegen allfällige solche in den Erwägungen richten.
5.
Die Eingabe von A._ ist als Revisionsgesuch entgegenzunehmen. Das Revisionsgesuch erweist sich als unbegründet, soweit es zulässig ist, weshalb das Gesuch ohne weiteren Schriftenwechsel abzuweisen ist, soweit darauf eingetreten werden kann.
Es rechtfertigt sich, ausnahmsweise von der Erhebung von Gerichtskosten abzusehen (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Auf das Ausstandsbegehren vom 3. April 2017 wird nicht eingetreten, soweit es nicht als gegenstandslos abzuschreiben ist.
2.
Das Revisionsgesuch vom 6. April 2017 wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
3.
Es werden keine Gerichtskosten erhoben.
4.
Dieses Urteil wird dem Gesuchsteller, der Oberstaatsanwaltschaft des Kantons Zürich, dem Obergericht des Kantons Zürich und dem Obergericht des Kantons Zürich, I. Strafkammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 25. April 2017
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Merkli
Der Gerichtsschreiber: Uebersax