Faits :
A.
B._, agriculteur à La Baroche-Fregiécourt, est propriétaire des parcelles agricoles n os 285 et 290 sises sur le territoire de cette commune. Par décision du 17 juin 2008, la Section des permis de construire de la République et canton du Jura (ci-après: SPC) lui a délivré une autorisation portant sur la construction d'une halle de stockage de fourrages comprenant une aire bétonnée pour le conditionnement des déchets verts et des engrais de ferme, l'aménagement d'une place groisée circulaire pour l'entreposage des déchets ligneux, la réalisation d'une place bétonnée entre le bâtiment rural existant (4A) et la halle de stockage, la création d'un accès groisé longeant le silo en tranchée existant ainsi que la plantation de cinq arbres fruitiers le long de la façade ouest de la nouvelle halle de stockage.
D'après le dossier d'enquête, la distance prévue entre le rural existant et le projet de halle est de 15 m. Ces deux édifices se trouvent en outre dans le même alignement. Les plans joints à la demande de permis prévoient également le remblaiement du terrain naturel. La façade ouest du bâtiment projeté présente une hauteur, mesurée depuis le terrain naturel, de 8,67 m, au niveau du faîte, et de 6,37 m à la corniche. Les avant-toits au sud et nord sont d'une profondeur de 1 m. La surface de conditionnement des déchets verts est entourée de trois murs d'une hauteur de 3 m.
B.
A._ s'est opposée à ce projet. Le fonds n° 313, dont celle-ci est propriétaire, est également classé en zone agricole et se situe à environ 90 m à l'ouest des parcelles de B._.
Par décision du 17 juin 2008, le SPC a notamment levé l'opposition de la prénommée et à délivré le permis de construire requis. Saisie sur recours de A._, la Juge administrative du Tribunal de pre-mière instance a confirmé cette décision, le 8 mars 2010. Par arrêt du 12 janvier 2012, la Cour administrative du Tribunal cantonal de la République et canton du Jura a très partiellement admis le recours interjeté par A._ contre ce jugement; elle a confirmé l'octroi du permis de construire, restreignant néanmoins l'horaire durant lequel est autorisé le broyage des déchets ligneux et imposant que les mâchoires de la broyeuse soient orientées vers l'est. Sur recours, le Tribunal fédéral a confirmé l'arrêt cantonal, le 19 novembre 2012 (arrêt 1C_124/2012).
C.
Le 11 décembre 2012, A._ s'est adressée à la commune afin qu'elle lui communique le certificat de conformité des travaux réalisés par B._. Le 8 février 2013, elle a réitéré sa requête et a dénoncé une violation des dispositions du permis de construire. Après avoir procédé à différentes investigations, l'autorité communale a estimé que les aménagements réalisés par B._ étaient conformes à l'autorisation délivrée, sous réserve de la distance entre les bâtiments dépassant de 1,6 m celle prévue dans le dossier d'enquête. Considérant cependant que cette situation ne nuisait en rien à la recourante, la commune a écarté sa plainte, le 10 mars 2014; l'autorité a maintenu sa position par décision sur opposition du 7 juillet 2014.
Après avoir procédé à une inspection des lieux - à laquelle A._ a fait défaut - en présence d'un inspecteur de la police des constructions du SPC, la Juge administrative du Tribunal de première instance a confirmé la décision communale, par jugement du 1 er juin 2015. La juge unique a constaté que la distance séparant la nouvelle halle - longue de 42,2 m - du bâtiment préexistant (4A) - mesurant 60 m - s'élève effectivement à 16,6 m et non à 15 m, comme prévu dans les plans; elle a également retenu que la hauteur au faîte a été abaissée de 9 cm, ce qui engendre une surélévation des corniches d'environ 30 cm. Selon la première instance, ces modifications n'influencent ni la capacité ni le volume de la construction. La Juge administrative a encore relevé que l'avant-toit, sur la façade sud, dépasse de 50 cm la largeur de 1 m mise à l'enquête; elle a estimé que cette différence était sans conséquence pour A._. Par ailleurs, bien que trois engins agricoles se trouvassent stationnés dans la halle, lors de cette inspection, la juge unique a considéré que son affectation n'en était pas modifiée. D'après les constatations de la première instance, il n'existe pas non plus de second silo: il s'agit d'un silo existant assaini sans qu'une autorisation particulière ne soit nécessaire.
Par acte du 30 juin 2015, A._ a recouru contre ce jugement à la Cour administrative du Tribunal cantonal. Par arrêt du 29 février 2016, celle-ci a rejeté le recours, considérant, en substance, que les modifications apportées au projet pouvaient encore être qualifiées de minimes, qu'elles n'augmentaient pas la capacité de stockage de la halle et qu'elles demeuraient sans incidence sur la situation de la recourante.
D.
Par mémoire du 9 avril 2016 et mémoire complémentaire du même jour, A._ recourt contre cet arrêt cantonal et demande en substance au Tribunal fédéral de constater la mauvaise foi des autorités communales et de l'intimé; elle sollicite également qu'une étude d'impact soit ordonnée; elle requiert enfin que soient constatées les violations du permis de construire et que la mise en conformité soit exigée.
Le Tribunal cantonal propose le rejet du recours et la confirmation de son arrêt. La Commune de La Baroche conclut à l'irrecevabilité du recours, subsidiairement à son rejet. L'intimé en demande également le rejet. La recourante a répliqué.
Le 8 juillet 2016, A._ a notamment requis du Tribunal fédéral d'ordonner à l'intimé de mettre un terme à certaines activités nouvelles exercées sur ses parcelles (utilisation d'un séchoir, création d'un site de stockage à l'ouest). Par lettre du 12 juillet 2016, sur ordre du Président de la Ire Cour de droit public, cette requête a été transmise à la Commune de La Baroche comme objet de sa compétence.

Considérant en droit :
1.
Dirigé contre une décision finale (<ref-law>) prise en dernière instance cantonale (art. 86 al. 1 let. d LTF) dans le domaine du droit public des constructions (<ref-law>), le recours est en principe recevable comme recours en matière de droit public selon les <ref-law>, aucune des exceptions prévues à l'<ref-law> n'étant réalisée. La recourante a pris part à la procédure de recours devant le Tribunal cantonal. Elle est particulièrement touchée par l'arrêt attaqué, qui confirme le refus des autorités cantonales d'ordonner la mise en conformité de constructions agricoles réalisées sur deux parcelles sises à proximité de la sienne, qu'elle tient pour contraires au permis de construire délivré. Elle peut ainsi se prévaloir d'un intérêt digne de protection à l'annulation de l'arrêt attaqué; elle a donc qualité pour agir au sens de l'<ref-law>.
2.
Aux termes de l'<ref-law>, le mémoire doit contenir les conclusions et les motifs à l'appui de celles-ci. Le recourant doit indiquer les points sur lesquels la décision est attaquée et quelles sont les modifications demandées. Si les conclusions font défaut ou sont, dans leur ensemble, insuffisantes, le recours est irrecevable. Toutefois, l'interdiction du formalisme excessif impose de ne pas se montrer trop strict dans la formulation des conclusions si, à la lecture du mémoire, on comprend clairement ce que veut le recourant (arrêt 5A_827/2012 du 21 décembre 2012 consid. 1.2 et les arrêts cités); tel est en particulier le cas lorsque le but et l'objet du recours ressortent sans aucun doute des motifs invoqués (cf. <ref-ruling> consid. 2 p. 236 s.).
2.1. La recourante articule ses conclusions en quatorze points. La plupart d'entre elles dépassent l'objet du litige ou relèvent de la contestation des faits; elles sont partant irrecevables. Par ailleurs, en demandant au Tribunal fédéral d'ordonner une étude d'impact ou encore de constater la "non-application du principe dit de la proportionnalité", la recourante confond conclusions du recours, griefs de fond et mesures d'instruction. Néanmoins, on comprend de l'ensemble de ses conclusions, en particulier du point n° 9, et des motifs invoqués, que la recourante sollicite que l'arrêt attaqué soit réformé en ce sens que son recours cantonal est admis et une remise en état ordonnée; dans cette mesure le recours est en principe recevable.
2.2. Sont également irrecevables les conclusions prises par la recourante au terme de sa lettre du 8 juillet 2016; en tant que celle-ci demande à la Cour de céans d'interdire à l'intimé la poursuite d'aménagements postérieurs à l'arrêt attaqué et l'exploitation de nouvelles infrastructures, ses conclusions sont étrangères à l'objet du litige. La correspondance de la recourante a été transmise, le 12 juillet 2016, à l'autorité communale pour suites utiles.
3.
Le Tribunal fédéral applique le droit d'office (<ref-law>). Il appartient toutefois à la partie recourante d'exposer succinctement en quoi l'acte attaqué viole le droit (<ref-law>). Cela suppose que le mémoire de recours ne soit pas trop long et s'en tienne à l'essentiel (arrêts 1C_450/2012 du 7 août 2013 consid. 3; 2C_285/2013 du 23 avril 2013 consid. 1; cf. FLORENCE AUBRY GIRARDIN, in Commentaire de la LTF, 2014, n. 27 et 41 ad <ref-law>). Il n'appartient pas au Tribunal fédéral de dégager d'une argumentation prolixe et confuse les moyens susceptibles d'être recevables et pertinents (arrêts 1C_262/2012 du 20 septembre 2012 consid. 4; 1C_369/2009 du 25 février 2010 consid. 5). Or, la recourante présente ses récriminations - de nature essentiellement appellatoire - de façon désordonnée et répétitive; nombre de ses griefs sont en outre disséminées au gré du long exposé par lequel elle livre sa propre appréciation des faits (cf. également consid. 5). L'examen du recours se limitera donc aux critiques motivées de façon suffisamment compréhensible en une partie ou une autre du mémoire; s'agissant des griefs portant sur la violation des droits fondamentaux ou des dispositions de droit cantonal, ceux-ci devront en outre répondre aux exigences accrues de motivation de l'<ref-law>, sous peine d'irrecevabilité.
4.
A titre de mesure d'instruction, la recourante requiert l'édition du dossier cantonal et du dossier d'enquête. Le Tribunal a déposé l'ensemble du dossier cantonal, y compris celui relatif à la demande de permis de construire, le 20 avril 2016; sa requête est partant satisfaite. En revanche, savoir si une "étude d'impact" doit être ordonnée ne relève pas de l'instruction, mais du fond de la cause, de sorte que cette question n'a pas à être examinée à ce stade.
5.
Le Tribunal fédéral fonde son raisonnement sur les faits établis par l'autorité précédente (<ref-law>), sauf s'ils ont été établis de façon manifestement inexacte - notion qui correspond à celle d'arbitraire au sens de l'art. 9 Cst. (<ref-ruling> consid. 2.3 p. 266; <ref-ruling> consid. 4.1.2 p. 62) - ou en violation du droit au sens de l'<ref-law> (<ref-law>). Si le recourant entend s'écarter des constatations de fait de l'autorité précédente, il doit expliquer de manière circonstanciée en quoi les conditions de l'<ref-law> seraient réalisées et la correction du vice susceptible d'influer sur le sort de la cause (<ref-law>; ATF <ref-ruling> consid. 4.1.2 p. 62). A défaut, il n'est pas possible de tenir compte d'un état de fait divergent de celui qui est contenu dans l'acte attaqué. En particulier, le Tribunal fédéral n'entre pas en matière sur des critiques de type appellatoire portant sur l'état de fait ou sur l'appréciation des preuves (<ref-ruling> consid. 10.1 p. 444; <ref-ruling> consid. 5.1 p. 356 et les arrêts cités).
En l'espèce, la recourante présente, sur une vingtaine de pages, sa version des faits, ignorant que le Tribunal fédéral n'est pas une instance d'appel. La recourante remet ainsi notamment en cause l'alignement des constructions, la capacité de stockage de la nouvelle halle, l'existence d'un deuxième silo ou encore le caractère horizontal du mur entourant la place de conditionnement, sans que ses critiques ne trouvent la moindre assise dans le dossier cantonal. Elle se contente essentiellement de livrer sa propre appréciation et interprétation des photographies qu'elle a versées en cause; cette manière de procéder est impropre à démontrer en quoi les observations - au demeurant largement documentées (procès-verbal, photographies) - de la Juge administrative et de l'inspecteur du SPC, lors de l'inspection locale, seraient arbitraires. Sont enfin également irrecevables les considérations portant sur les dimensions de la place groisée et l'utilisation, à d'autres fins que celles projetées, de la place de contournement pour véhicules: ces éléments ne ressortent pas de l'arrêt attaqué et la recourante ne démontre pas qu'ils auraient été arbitrairement omis ni ne prétend qu'elle aurait été victime d'un déni de justice.
Sur le vu de ce qui précède, les griefs portant sur la constatation des faits doivent être déclarés irrecevables. Le Tribunal fédéral s'en tiendra à l'état de fait cantonal (<ref-law>).
6.
La recourante reproche à l'instance précédente de n'avoir pas condamné le refus de la Juge administrative de reporter l'inspection locale et l'audience du 24 février 2015 auxquelles elle affirme avoir été empêchée de prendre part.
6.1. L'arrêt attaqué rappelle qu'en vertu de l'art. 76 du Code de procédure administrative du 30 novembre 1978 (Cpa; RS/JU 175.1) les parties doivent être invitées aux visites des lieux et à l'audition des témoins. La convocation à une audience doit contenir le jour, l'heure et le lieu de la comparution, le nom des parties et l'objet de l'entretien ou des débats, ainsi que les conséquences éventuelles du défaut (cf. art. 55 al. 2 Cpa). En vertu de l'art. 147 du code de procédure civile du 19 décembre 2008 (CPC; RS 272), applicable par renvoi de l'art. 69 Cpa, une partie est défaillante lorsqu'elle omet d'accomplir un acte de procédure dans le délai prescrit ou ne se présente pas lorsqu'elle est citée à comparaître (al. 1). La procédure suit son cours sans qu'il soit tenu compte du défaut, à moins que la loi n'en dispose autrement (al. 2). Le tribunal rend les parties attentives aux conséquences du défaut (al. 3). Par ailleurs, conformément à l'art. 48 al. 2 Cpa, relatif à la restitution des délais, applicable par analogie, selon la jurisprudence cantonale (cf. RJJ 1994 p. 192) - non contestée en l'espèce -, au défaut de comparution en procédure administrative, si une partie peut établir qu'elle a été empêchée, sans faute de sa part, de comparaître, elle peut requérir, dans les dix jours dès la cessation de l'empêchement, à être relevée de son défaut en présentant une demande motivée.
6.2. En l'espèce, il n'est pas contesté que la recourante a été valablement citée à l'audience du 24 février 2015 par ordonnance du 4 novembre 2014, notifiée le 12 novembre 2014. Il ressort du dossier que la recourante a requis le report de cette audience par courrier du 10 février 2015, invoquant, sans autre précision, des "raisons familiales". La Juge administrative a jugé les motifs avancés insuffisants et en a informé la recourante par courrier recommandé du 16 février 2015; cette missive lui a été notifiée le jour de l'audience. A nouveau sous pli inscrit, la juge unique a, le jour même de l'audience, transmis à la recourante le procès-verbal établi à cette occasion et a fixé aux parties un délai au 15 mars 2015 pour déposer leur complément de preuves.
6.3. Par l'intermédiaire d'un avocat, consulté dans l'intervalle, la recourante a, par lettre du 10 mars 2015, sollicité une prolongation de ce délai; à cette occasion, elle n'a en revanche formulé aucune demande en vue d'être relevée de son défaut; une telle demande n'a d'ailleurs pas non plus été déposée ultérieurement, au cours de la procédure de première instance. La situation dans laquelle la recourante dit s'être trouvée, en raison de la maladie et du décès de sa mère, est certes regrettable; il faut néanmoins, avec la cour cantonale, reconnaître que l'empêchement a pris fin au plus tard lors de la signature de la procuration en faveur de son mandataire, le 9 mars 2015. A partir de cette date, il était loisible à ce dernier d'entreprendre, au nom de sa mandante, les démarches prévues par l'art. 48 al. 2 Cpa. La recourante ne remet pas réellement en cause cette appréciation; elle se borne en effet à reprocher aux autorités précédentes d'avoir été inconvenantes ou encore d'avoir fait preuve de partialité à son endroit en n'admettant pas le report de l'audience malgré l'importance du motif invoqué. Si devant la Cour de céans, la recourante explique abondamment la nature des "raisons familiales" alléguées, elle n'en a rien fait devant les instances inférieures, de sorte que son argumentation s'avère non pertinente.
Pour le surplus, la recourante ne prétend pas que les exigences définies par le droit cantonal pour obtenir une restitution de délai relèveraient du formalisme excessif (cf. art. 29 al. 1 Cst.; <ref-ruling> consid. 5.4.1 p. 183) ou violeraient les garanties minimales déduites de l'art. 29 al. 2 Cst. (droit d'être entendu) et il n'appartient pas au Tribunal fédéral d'examiner d'office ces questions (<ref-law>; cf. consid. 3).
6.4. Ce grief se révèle sans pertinence et doit être écarté.
7.
De manière particulièrement confuse, dans un grief intitulé "compétence de l'intimée en tant que police des constructions [...]", la recourante met en doute l'impartialité des autorités communales au motif que les parcelles de l'intimé abritent le site intercommunal de compostage. Elle formule le même reproche de partialité à l'endroit de la Juge administrative. Elle invoque, dans ce cadre, l'art. "42 LConstr.", dont rien ne permet de supposer qu'il corresponde à l'art. 42 de la loi cantonale sur les constructions et l'aménagement du territoire du 25 juin 1987 (LCAT; RS/JU 701.1). Tout aussi inintelligiblement, elle se prévaut encore d'une violation de son droit d'être entendue et d'un défaut de motivation de la décision communale, sans toutefois étayer son propos. Son grief est incompréhensible et doit, pour ce motif, être déclaré irrecevable (<ref-law>).
En tout état, on ne voit pas en quoi il serait critiquable d'avoir jugé tardifs - comme l'ont fait les juges précédents - les soupçons de partialité émis au stade de la dernière instance cantonale. Comme le précise l'arrêt attaqué, l'art. 40 al. 2 Cpa exige que de tels motifs fassent l'objet d'une demande de récusation motivée dès que le cas de récusation s'est produit. Or, on cherche en vain trace d'une telle demande dans le dossier cantonal.
8.
La recourante se prévaut d'une violation du principe de la proportionnalité et exige la mise en oeuvre d'une "étude d'impact".
8.1. Selon une jurisprudence bien établie, lorsque des constructions ou des installations illicites sont réalisées en dehors de la zone à bâtir, le droit fédéral exige en principe que soit rétabli un état conforme au droit. L'autorité renonce à une telle mesure, conformément au principe de la proportionnalité, si les dérogations à la règle sont mineures, si l'intérêt public lésé n'est pas de nature à justifier le dommage que la démolition causerait au maître de l'ouvrage, si celui-ci pouvait de bonne foi se croire autorisé à construire ou encore s'il y a des chances sérieuses de faire reconnaître la construction comme conforme au droit (<ref-ruling> consid. 6 p. 35; <ref-ruling> consid. 3a/bb p. 252).
En règle générale, le Tribunal fédéral examine librement si un ordre de remise en état, qui constitue une restriction du droit de propriété garanti par l'art. 26 al. 1 Cst., est justifié par un intérêt public suffisant et respecte le principe de la proportionnalité; il s'impose toutefois une certaine retenue lorsqu'il doit se prononcer sur de pures questions d'appréciation ou tenir compte de circonstances locales, dont les autorités cantonales ont une meilleure connaissance que lui (cf. <ref-ruling> consid. 6.1 p. 181; <ref-ruling> consid. 4.3 p. 416 et les arrêts cités).
8.2. Il ressort de l'état fait cantonal que la halle nouvelle est distante du rural préexistant de 16,6 m au lieu de 15 m, comme indiqué dans le dossier d'enquête; par rapport à l'autorisation de construire, la hauteur au faîte de la toiture a été abaissée de 9 cm, entraînant un rehaussement des corniches de 30 cm; enfin, l'avant-toit, côté sud, présente une largeur de 1,5 m au lieu de 1 m. La cour cantonale a retenu, se fondant à cet égard sur les observations de l'inspecteur de la police des constructions, que ces différences n'avaient aucun impact sur la situation de la recourante. Elle a par ailleurs jugé qu'il serait disproportionné d'ordonner le rétablissement d'un état conforme au permis de construire, les divergences constatées devant être qualifiées de minimes.
8.3. Pour peu qu'on la comprenne - son argumentation se révélant à nouveau redondante et confuse -, la recourante reproche à la cour cantonale de n'avoir pas ordonné la remise en état alors que les différences constatées auraient, selon elle, été réalisées de mauvaise foi et "dans un but égoïste", par l'intimé. Ce faisant, la recourante se contente d'opposer une nouvelle fois sa propre appréciation des faits à celle de l'instance précédente, ce qui n'est pas admissible. Quoi qu'il en soit, il faut, avec le Tribunal cantonal, reconnaître que les modifications constatées peuvent être tolérées au regard de leur faible importance. Tout d'abord, s'agissant de la distance entre les bâtiments, il n'apparaît pas critiquable d'avoir considéré qu'un dépassement de 1,6 m peut être qualifié de minime, tout particulièrement au regard des dimensions importantes des constructions en cause. S'agissant du dépassement de 50 cm de la longueur de l'avant-toit côté sud, celui-ci a été réalisé, d'après l'expert cantonal, afin de protéger le lamellé-collé, modification qui aurait, selon lui, également été nécessaire si la distance de 15 m avait été respectée; en outre, cet écart, au vu de l'ensemble du projet, apparaît objectivement minime. Il n'existe pas non plus de motif de s'écarter de l'appréciation de l'expert cantonal lorsqu'il affirme que l'abaissement du toit et le rehaussement des corniches n'entraînent pas une augmentation de la capacité de stockage de la halle litigieuse ni les caractéristiques essentielles de cette construction (cf. également consid. 5). Il n'apparaît ainsi pas que les contraventions au permis de construire porteraient atteinte au caractère inconstructible de la zone agricole dans une mesure supérieure au projet tel qu'autorisé. Dans ces circonstances, il n'y a pas non plus lieu de réserver un écho favorable à la réquisition portant sur la mise en oeuvre d'une étude d'impact, dont les conditions ne sont d'ailleurs pas réalisées (cf. art. 10a al. 2 et 3 de la loi fédérale sur la protection de l'environnement du 7 octobre 1983 [LPE; RS 814.01], art. 2 de l'ordonnance du 19 octobre 1988 relative à l'étude d'impact sur l'environnement [OEIE; RS 814.011] et son annexe). On ne comprend enfin pas en quoi le droit cantonal commanderait d'exclure le caractère minime des transformations; les références aux art. "46 al. 1 REL Constr." et "86 REL Constr.", mentionnées par la recourante à ce sujet, sont incompréhensibles et partant irrecevables: on ignore de quel loi ou règlement cantonal elle se prévaut, les numéros d'articles cités et leur teneur ne correspondant ni au texte de la LCAT ni à celui de son ordonnance d'application et il n'appartient pas au Tribunal fédéral de faire la lumière sur ce point (art. 42 al. 2 et 106 al. 2 LTF).
8.4. Entièrement mal fondé, ce grief doit être rejeté dans la faible mesure de sa recevabilité.
9.
Selon la recourante, le Tribunal cantonal aurait à tort nié que l'intimé a procédé à un changement d'affectation de la nouvelle halle en y stationnant des véhicules agricoles au lieu d'y entreposer du fourrage, conformément à l'autorisation de construire.
9.1. Selon l'article 22 de la loi fédérale sur l'aménagement du territoire du 22 juin 1979 (LAT; RS 700), aucune construction ou installation ne peut être créée ou transformée sans autorisation de l'autorité compétente. Au sens de cette disposition, il y a transformation lorsque, même sans modifier l'aspect extérieur, on procède à un changement d'affectation d'une construction ou d'une installation (ALEXANDER RUCH, Commentaire LAT, 2010, n. 34 ad art. 22 LAT; ZEN-RUFFINEN/GUY-ECABERT, Aménagement du territoire, construction, expropriation, 2001, n. 498 p. 220 s.; NICOLAS MICHEL, Droit public de la construction, 1996, n. 227, p. 51). En l'absence de travaux, un changement d'affectation peut être dispensé d'autorisation uniquement si la nouvelle affectation correspond à celle de la zone en question ou si son effet sur l'environnement et la planification est manifestement mineur (<ref-ruling> consid. 4d p. 223; arrêt 1C_395/2015 du 7 décembre 2015 consid. 3.1.1; cf. également <ref-ruling> consid. 5.2 p. 139 s.; ALEXANDER RUCH, op. cit., n. 34 ad art. 22 LAT; DFJP/OFAT, Etude relative à la LAT, 1981, n. 12 ad art. 22, p. 267). Les simples travaux d'entretien, rénovations, petites réparations ou changements d'affectation de moindre importance ne sont pas non plus soumis à autorisation (ALEXANDER RUCH, op. cit., n. 35 ad art. 22 LAT).
9.2. Lors de l'inspection locale, qui s'est déroulée en février 2015, la présence de trois véhicules agricoles dans la halle de fourrage a été constatée. Le Tribunal cantonal a estimé qu'il n'en découlait toutefois pas un changement d'affectation, considérant notamment qu'une halle de stockage de fourrage ne pouvait pas être remplie toute l'année, en particulier en hiver.
Cette appréciation n'est pas réellement critiquée par la recourante; celle-ci soutient en effet que l'intimé utiliserait en permanence la halle de stockage pour y stationner non pas seulement trois tracteurs, mais de nombreux et bruyants véhicules. Ce faisant, elle remet - une nouvelle fois - en cause les faits établis souverainement par l'instance précédente, sans en démontrer le caractère arbitraire. Rien au dossier ne permet au demeurant d'appuyer ses affirmations; la seule présence de machines agricoles sur le site d'une exploitation agricole, visibles sur les photographies prises par la recourante, ne permet pas d'exclure que l'utilisation de la halle à des fins de stationnement ne serait qu'épisodique, durant la saison froide. Dans ces circonstances, il n'y a pas lieu de s'écarter de l'appréciation de l'instance précédente: l'utilisation temporaire et occasionnelle d'une halle de plus 800 m 2, sise au sein d'une exploitation agricole, pour y stationner un petit nombre de véhicules n'est pas de nature à modifier la destination de cette construction, dont la nécessité pour l'entreposage du fourrage a du reste été dûment établie dans le cadre de la procédure d'autorisation de construire (cf. décision de conformité à l'affectation de la zone agricole rendue le 26 mai 2008 par le Département cantonal de l'environnement et de l'équipement). Cela étant, même à supposer qu'il s'agisse effectivement d'un changement (partiel) d'affectation, celui-ci se révélerait de moindre importance; on ne discerne en particulier pas en quoi cette utilisation marginale influencerait le régime d'utilisation du sol en créant notamment une charge supplémentaire pour le réseau d'équipement ou porterait une atteinte additionnelle à l'environnement.
Mal fondé, ce grief doit être écarté dans la mesure de sa recevabilité.
10.
10.1. La recourante se plaint d'une violation de l'art. 36 al. 4 LCAT; à la suivre, en reconnaissant que l'accès groisé situé à l'ouest du bâtiment préexistant (4A) et la place groisée entre les constructions ne bénéficient d'aucune autorisation de construire, le Tribunal cantonal aurait dû prononcer la remise en état de ces aménagements, la prescription applicable n'étant pas de cinq ans, mais de trente ans.
L'intimé estime pour sa part que cette problématique serait étrangère à l'objet du litige dès lors qu'elle porterait sur des aménagements ne relevant pas du permis de construire délivré en juin 2008. Ce point de vue ne saurait être partagé. En effet, dans la mesure où cette question est traitée dans l'arrêt attaqué et que l'intimé ne prétend pas que l'instance précédente s'en serait saisie en violation du droit cantonal de procédure, la recourante est fondée à s'en plaindre céans, ce d'autant plus qu'elle relève - comme on le verra - de l'application du droit fédéral.
10.2. Selon l'art. 36 al. 1 LCAT, lorsque des travaux de construction sont exécutés sans permis ou en violation des dispositions de celui-ci, l'autorité compétente en matière de police des constructions ordonne la suspension des travaux; cette décision est immédiatement exécutoire. A l'expiration d'un délai de cinq ans à compter de la date de l'achèvement des travaux illicites, le rétablissement de l'état conforme à la loi ne peut être exigé que s'il est dicté par des intérêts publics impérieux (art. 36 al. 4 LCAT).
10.3. Devant la cour cantonale, la recourante a soutenu que la route groisée sise du côté ouest du rural existant (4A) et la place groisée entre les constructions ne bénéficiaient d'aucune autorisation de construire. Constatant que ces aménagements apparaissaient déjà sur des orthophotos prises en 2004 (disponibles sur le géoportail SIT-Jura; https://geo.jura.ch/theme/Orthophoto), l'instance précédente a néanmoins jugé que le droit d'ordonner leur remise en état était prescrit, aucun intérêt public impérieux ne commandant de s'écarter du délai de cinq ans prévu par l'art. 36 al. 4 LCAT, largement échu.
10.4. Avec la recourante, il y a lieu de reconnaître que selon la jurisprudence fédérale, la compétence d'exiger la démolition d'une installation pour rétablir une situation conforme au droit est en principe soumise à un délai de péremption de trente ans; exceptionnellement, cette compétence peut être exercée au-delà du délai en question si des motifs de police au sens strict imposent une telle mesure et, inversement, l'autorité peut en être déchue avant l'écoulement des trente ans lorsque le principe de la bonne foi le commande (cf. <ref-ruling> consid. 6.3 p. 39; arrêt 1C_318/2013 du 10 décembre 2013 consid. 4.1.2 in: SJ 2014 I 280 et les références citées).
10.5. En appliquant à la route et à la place litigieuses la prescription quinquennale prévue par le droit cantonal, l'instance précédente a négligé le fait que ces aménagements ont été réalisés en zone agricole, laquelle doit, en principe, et autant que possible être maintenue libre de toute construction (cf. art. 16 al. 1 2ème phrase LAT et art. 16a LAT). Les possibilités de dérogations à ce principe sont définies par le droit fédéral aux art. 24 ss LAT (cf. CHRISTOPH JÄGER, Commentaire LAT, 2010, n. 6 ad art. 27a LAT; ZEN-RUFFINEN/GUY-ECABERT, op. cit., n. 573 p. 265). En vertu de l'art. 27a LAT, les cantons conservent la possibilité de restreindre ce régime dérogatoire, mais non de l'assouplir (cf. Message du Conseil fédéral du 2 décembre 2005 relatif à la révision partielle de la LAT in FF 2005 6629 p. 6647; CHRISTOPH JÄGER, ibid., n. 6 ad art. 27a LAT). Il s'ensuit que l'art. 36 al. 4 LCAT ne peut s'appliquer au présent état de fait, qui relève au premier chef du droit fédéral (cf. ZAUGG/LUDWIG, Baugesetz des Kantons Bern vom 9. Juni 1985 [BauG; RS/BE 721.0], Kommentar, vol. I, 2013, n. 11b ad art. 46 BauG, disposition dont la teneur est pour l'essentiel identique à celle de l'art. 36 al. 4 LCAT).
En définitive, c'est en violation du droit fédéral que l'instance précédente a appliqué le délai de prescription quinquennal prévu par le droit cantonal pour exclure la remise en conformité d'aménagements réalisés sans autorisation hors de la zone à bâtir. L'arrêt attaqué doit pour ce motif être annulé et la cause renvoyée au Tribunal cantonal afin qu'il examine si les conditions d'une remise en état sont réalisées (à ce propos cf. <ref-ruling> consid. 6 p. 35; <ref-ruling> consid. 3a/bb p. 252).
11.
Les considérants qui précèdent conduisent à l'admission partielle du recours dans la mesure de sa recevabilité. L'arrêt attaqué sera annulé en tant qu'il porte sur la remise en état de la route jouxtant le bâtiment préexistant (4A) et la place groisée située entre les deux hangars; il sera en revanche confirmé pour le surplus. Compte tenu du caractère marginale des aménagements précités, eu égard à l'ensemble du site, ainsi que de l'argumentation embryonnaire développée à ce propos devant l'instance précédente, il n'y a pas lieu de modifier la répartition des frais et dépens cantonaux. En ce qui concerne les frais de la procédure fédérale, ceux-ci seront répartis à hauteur de deux tiers à la charge de la recourante, et pour un tiers à la charge de l'intimé (<ref-law>). N'obtenant que très partiellement gain de cause, la recourante versera des dépens réduits à l'intimé, qui a agi avec l'assistance d'un avocat (<ref-law>). La Commune de La Baroche n'a pas droit à des dépens. (<ref-law>).

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce :
1.
Le recours est partiellement admis. L'arrêt attaqué est annulé en tant qu'il concerne la route à l'ouest du bâtiment existant (4A) et la place sise entre les constructions présentes sur les parcelles n os 285 et 290 de la Commune de La Baroche-Fregiécourt; il est confirmé pour le surplus. La cause est renvoyée au Tribunal cantonal pour nouvelle décision dans le sens des considérants.
2.
Les frais judiciaires, arrêtés à 3'000 fr., sont mis pour deux tiers (2'000 fr.) à la charge de la recourante et pour un tiers (1'000 fr.) à celle de l'intimé.
3.
Une indemnité de dépens de 1'000 fr. est allouée à l'intimé, à la charge de la recourante.
4.
Le présent arrêt est communiqué à la recourante et aux mandataires de l'intimé et de la Commune de La Baroche, à la Juge administrative du Tribunal de première instance de la République et canton du Jura ainsi qu'au Tribunal cantonal de la République et canton du Jura, Cour administrative.
Lausanne, le 20 septembre 2016
Au nom de la Ire Cour de droit public
du Tribunal fédéral suisse
Le Président : Fonjallaz
Le Greffier : Alvarez