Sachverhalt:
A.
A._ (geb. 1949) hatte im Jahr 1977 das luzernische Anwaltspatent erworben.
B.
Am 13. Mai 2015 entzog ihm die Aufsichtsbehörde über die Anwältinnen und Anwälte des Kantons Luzern das Anwaltspatent mit der Begründung, er erfülle die Voraussetzungen für die Erteilung des Anwaltspatents nicht mehr, da gegen ihn am 18. Dezember 2014 beim Betreibungsamt U._ Verlustscheine in der Höhe von Fr. 46'392.95 und beim Betreibungsamt V._ Verlustscheine in der Höhe von Fr. 276'110.30 vorgelegen hätten. Mit dem Entscheid, das Anwaltspatent zu entziehen, wurden zwei hängige Disziplinarverfahren als gegenstandslos abgeschrieben.
Die gegen den Entzug des Anwaltspatents erhobene Beschwerde wies das Kantonsgericht Luzern am 10. August 2015 ab und bewilligte auch die unentgeltliche Rechtspflege nicht, da die Beschwerde aussichtslos sei.
C.
A._ erhebt am 5. Oktober 2015 Beschwerde beim Bundesgericht mit den Anträgen, das angefochtene Urteil aufzuheben und die Rechtswidrigkeit des Patententzugs festzustellen. Zudem ersucht er um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege.
Das Kantonsgericht und die Aufsichtsbehörde schliessen auf Abweisung der Beschwerde, soweit darauf einzutreten sei. Das Bundesamt für Justiz stellt keinen Antrag; es hält jedoch dafür, der Entzug des Anwaltspatents sei, sofern es sich um eine Disziplinarmassnahme handle, nicht mit dem Bundesrecht vereinbar. In ihrer Vernehmlassungsantwort weist die Aufsichtsbehörde darauf hin, es gehe nicht um einen disziplinarischen Entzug des Anwaltspatents. Der Entscheid stütze sich auf das kantonale Anwaltsgesetz, in dem der Patententzug geregelt sei. Der Erwerb und damit auch der Entzug des Anwaltspatents liege in der Kompetenz der Kantone.

Erwägungen:
1.
1.1. Der Entzug des Anwaltspatents durch die Aufsichtsbehörde betrifft ein öffentliches Rechtsverhältnis. Der verfahrensabschliessende, kantonal letztinstanzliche Gerichtsentscheid unterliegt der Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten (Art. 82 lit. a, Art. 86 Abs. 1 lit. d, Art. 90 BGG). Der Beschwerdeführer hat am Verfahren vor der Vorinstanz teilgenommen. Er ist durch den angefochtenen Entscheid besonders berührt und hat ein schutzwürdiges Interesse an dessen Aufhebung oder Änderung. Die Beschwerdelegitimation gemäss <ref-law> ist damit gegeben. Auf die frist und formgerecht eingereichte Beschwerde (vgl. Art. 42 und Art. 100 Abs. 1 BGG) ist einzutreten.
1.2. Mit der Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann eine Rechtsverletzung nach Art. 95 und Art. 96 BGG gerügt werden. Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (<ref-law>). Es ist folglich weder an die in der Beschwerde geltend gemachten Argumente noch an die Erwägungen der Vorinstanz gebunden (<ref-ruling> E. 3 S. 415). Die Verletzung von Grundrechten und von kantonalem und interkantonalem Recht wird nur geprüft, wenn eine entsprechende Rüge in substanziierter Weise vorgebracht worden ist (<ref-law>). Die Anwendung von kantonalem Gesetzes- und Verordnungsrecht wird nur auf ihre Vereinbarkeit mit dem Bundesrecht geprüft (<ref-ruling> E. 2.2.1 S. 318 mit Hinweisen).
Das Bundesgericht legt seinem Urteil den von der Vorinstanz festgestellten Sachverhalt zugrunde (<ref-law>). Es kann die Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz von Amtes wegen berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinn von <ref-law> beruht (<ref-law>).
2.
2.1. Die Vorinstanz erwog, der Patententzug habe eine klare Grundlage im Gesetz des Kantons Luzern vom 4. März 2002 über das Anwaltspatent und die Parteivertretung (AnwG/LU; SRL 280). Die Änderung des Anwaltsgesetzes vom 19. März 2012 (in Kraft seit 1. Juli 2012) sei aufgrund einer Kontroverse über die Möglichkeit des Patententzugs durch die Kantone erfolgt. Gemäss § 5a i.V.m. § 2 Abs. 1 AnwG/LU i.V.m. Art. 8 Abs. 1 lit. c des Bundesgesetzes vom 23. Juni 2000 über die Freizügigkeit der Anwältinnen und Anwälte (BGFA; SR 935.61) könne die Aufsichtsbehörde das Anwaltspatent entziehen, wenn Verlustscheine bestünden. Dies sei hier unzweifelhaft der Fall, weshalb eine der Voraussetzungen, das Anwaltspatent zu erteilen, nachträglich weggefallen sei. Das Luzerner Anwaltspatent sei seit jeher nie ein reiner Fähigkeitsausweis gewesen. Auch im Jahr 1977 sei für die Zulassung zum Rechtspraktikum und damit zur Anwaltsprüfung ein guter Leumund vorausgesetzt gewesen. Bei fehlender Vertrauenswürdigkeit sei das Patent nicht erteilt bzw. wieder entzogen worden. Allein mit dem Einwand, das Patent sei keine Polizeierlaubnis, komme der Beschwerdeführer seiner Begründungspflicht nicht nach. Der Entzug des Patents durch die Aufsichtsbehörde sei nicht zu beanstanden. Aufgrund des Entzugs sei es dem Beschwerdeführer fortan verboten, den Titel "Rechtsanwalt" bzw. "Anwalt" zu führen. Die Patenturkunde müsse er nicht zurückgeben, weil diese keine konstitutive Wirkung habe.
2.2. Der Beschwerdeführer vertritt den Standpunkt, das im Jahr 1977 erworbene Anwaltspatent stelle einen Fähigkeitsausweis dar, dessen Erwerb auch durch nachträglich eingetretene Zahlungsunfähigkeit nicht in Frage gestellt werden könne. Der Bundesgesetzgeber habe die persönlichen Voraussetzungen für die Ausübung des Anwaltsberufs in <ref-law> geregelt. Die Löschung des Registereintrags gemäss <ref-law> habe nicht den Verlust des Anwaltspatents zur Folge. Der im AnwG/LU vorgesehene Patententzug stimme nicht mit der bundesgesetzlichen Regelung überein. Dem kantonalen Gesetzgeber komme lediglich bei der Festlegung der Anforderungen für den Erwerb des Patents ein gewisser Spielraum zu. Wenn der Entzug des Patents im BGFA nicht geregelt sei, handle es sich um ein qualifiziertes Schweigen des Bundesgesetzgebers. Gerade weil dieser nur die Erteilung, nicht aber den Entzug des Anwaltspatents geregelt habe, müsse auf die Unzulässigkeit des Entzugs geschlossen werden. Eine Regelung zum Entzug des Anwaltspatents sei zudem willkürlich und unverhältnismässig.
3.
3.1. Das BGFA gewährleistet die Freizügigkeit der Anwältinnen und Anwälte und legt die Grundsätze für die Ausübung des Anwaltsberufs in der Schweiz fest (<ref-law>). Es gilt für Personen, die über ein Anwaltspatent verfügen und in der Schweiz im Rahmen des Anwaltsmonopols Parteien vor Gerichtsbehörden vertreten (<ref-law>). Das Recht der Kantone, im Rahmen dieses Gesetzes die Anforderungen für den Erwerb des Anwaltspatents festzulegen, bleibt gewahrt (<ref-law>). Das Gleiche gilt für das Recht der Kantone, Inhaberinnen und Inhaber ihres kantonalen Anwaltspatents vor den eigenen Gerichtsbehörden Parteien vertreten zu lassen (<ref-law>).
3.2. Jeder Kanton bezeichnet eine Behörde, welche die Anwältinnen und Anwälte beaufsichtigt, die auf seinem Gebiet Parteien vor Gerichtsbehörden vertreten (<ref-law>).
3.3. Anwältinnen und Anwälte, die in einem kantonalen Anwaltsregister eingetragen sind, können in der Schweiz ohne weitere Bewilligung Parteien vor Gerichtsbehörden vertreten (<ref-law>). Jeder Kanton führt ein Register der Anwältinnen und Anwälte, die über eine Geschäftsadresse auf dem Kantonsgebiet verfügen und die Voraussetzungen nach den Art. 7 und 8 BGFA erfüllen (<ref-law>). Es wird von der kantonalen Aufsichtsbehörde über die Anwältinnen und Anwälte geführt (<ref-law>). Anwältinnen und Anwälte, die über ein kantonales Anwaltspatent verfügen und Parteien vor Gerichtsbehörden vertreten wollen, lassen sich ins Register des Kantons eintragen, in dem sie ihre Geschäftsadresse haben (<ref-law>). Die Aufsichtsbehörde trägt sie ein, wenn sie festgestellt hat, dass die Voraussetzungen nach den Art. 7 und 8 BGFA erfüllt sind (<ref-law>). Für den Registereintrag müssen die Anwältinnen und Anwälte über ein Anwaltspatent verfügen. Ein solches kann von den Kantonen nur auf Grund folgender Voraussetzungen erteilt werden: ein juristisches Studium, das mit einem Lizentiat oder Master einer schweizerischen Hochschule oder einem gleichwertigen Hochschuldiplom eines Staates abgeschlossen wurde, der mit der Schweiz die gegenseitige Anerkennung vereinbart hat (<ref-law>); ein mindestens einjähriges Praktikum in der Schweiz, das mit einem Examen über die theoretischen und praktischen juristischen Kenntnisse abgeschlossen wurde (<ref-law>). Für den Registereintrag müssen die Anwältinnen und Anwälte folgende persönliche Voraussetzungen erfüllen: sie müssen handlungsfähig sein (<ref-law>); es darf keine strafrechtliche Verurteilung vorliegen wegen Handlungen, die mit dem Anwaltsberuf nicht zu vereinbaren sind, es sei denn, diese Verurteilung erscheine nicht mehr im Strafregisterauszug für Privatpersonen (<ref-law>); es dürfen gegen sie keine Verlustscheine bestehen (<ref-law>); sie müssen in der Lage sein, den Anwaltsberuf unabhängig auszuüben und können Angestellte nur von Personen sein, die ihrerseits in einem kantonalen Register eingetragen sind (<ref-law>). Anwältinnen und Anwälte, die eine der Voraussetzungen für den Registereintrag nicht mehr erfüllen, werden im Register gelöscht (<ref-law>). Sie verwenden diejenige Berufsbezeichnung, die ihnen mit ihrem Anwaltspatent erteilt worden ist, oder eine gleichwertige Berufsbezeichnung des Kantons, in dessen Register sie eingetragen sind (<ref-law>). Im Geschäftsverkehr geben sie ihren Eintrag in einem kantonalen Register an (<ref-law>).
4.
4.1. Der Kanton Luzern regelte den Erwerb des Anwaltspatents beim Erlass des AnwG/LU wie folgt: Anwältin oder Anwalt ist, wer das Anwaltspatent besitzt (§ 1 AnwG/LU). Die Prüfungskommission gemäss § 5 AnwG/LU erteilt das Anwaltspatent Bewerberinnen und Bewerbern, welche die Voraussetzungen von Art. 8 Abs. 1 lit. a-c BGFA erfüllen und die Anwaltsprüfung bestanden haben (§ 2 Abs. 1 AnwG/LU). Bewerberinnen und Bewerber, welche die Voraussetzungen der Art. 7 Abs. 1 lit. a und Art. 8 Abs. 1 lit. a-c BGFA erfüllen, haben vor der Zulassung zur Anwaltsprüfung ein Anwaltspraktikum von mindestens einem Jahr zu absolvieren (§ 3 Abs. 1 AnwG/LU).
4.2. Im Bereich des Aufsichts- und Disziplinarwesens machte der Kanton Luzern von den Kompetenzen, welche seiner Ansicht nach (vgl. E. 5.2.2 hiernach) das BGFA gewährt, folgendermassen Gebrauch: Die Anwältinnen und Anwälte unterstehen der Aufsicht der Aufsichtsbehörde über die Anwältinnen und Anwälte (§ 8 Abs. 1 AnwG/LU). Auf die nicht zur Parteivertretung zugelassenen Anwältinnen und Anwälte sind als kantonales Recht <ref-law> über die Berufsregeln, <ref-law> über das Berufsgeheimnis und Art. 14-20 BGFA über das Disziplinarwesen sinngemäss anwendbar (§ 8 Abs. 2 AnwG/LU). Die Aufsichtsbehörde ahndet Verletzungen der Berufsregeln nach <ref-law>. Sie kann Weisungen erteilen und die Anwältin oder den Anwalt mit Disziplinarmassnahmen belegen (§ 10 Abs. 1 AnwG/LU).
4.3. Am 19. März 2012 verabschiedete der Grosse Rat des Kantons Luzern eine Gesetzesnovelle folgenden Inhalts: Die Aufsichtsbehörde über die Anwältinnen und Anwälte kann das Anwaltspatent entziehen, wenn die Voraussetzungen gemäss § 2 Abs. 1 AnwG/LU nicht mehr gegeben sind (§ 5a lit. a AnwG/LU) oder ein dauerndes Berufsausübungsverbot gemäss <ref-law> oder eine offensichtliche Zahlungsunfähigkeit besteht und dadurch die Vertrauenswürdigkeit nicht mehr gegeben ist (§ 5a lit. b AnwG/LU). Der Inhaber oder die Inhaberin des Anwaltspatents kann mit schriftlicher Erklärung gegenüber der Aufsichtsbehörde über die Anwältinnen und Anwälte auf das Anwaltspatent verzichten (§ 5b AnwG/LU). Nach einem Entzug gemäss § 5a AnwG/LU kann die Aufsichtsbehörde über die Anwältinnen und Anwälte das entzogene Anwaltspatent wieder erteilen, wenn der Gesuchsteller oder die Gesuchstellerin nachweist, dass die Entzugsgründe nicht mehr gegeben sind und der Schutz des rechtsuchenden Publikums und der Rechtspflege dies zulässt (§ 5c Abs. 1 AnwG/LU). Diese Regel gilt sinngemäss auch für die Wiedererteilung des Anwaltspatents nach einem freiwilligen Verzicht gemäss § 5b AnwG/LU (§ 5c Abs. 2 AnwG/LU). Die § 5a-5c AnwG/LU sind zusammen mit den Folgeänderungen in § 13 und § 17 AnwG/LU am 12. Juli 2012 in Kraft getreten.
5.
5.1. Dem angefochtenen Urteil ist über eine allfällige Eintragung bzw. Löschung aus dem Anwaltsregister nichts zu entnehmen. Aus den Akten ist ersichtlich, dass der Beschwerdeführer am 10. Juni 2011 auf eigenes Gesuch hin aus dem Anwaltsregister gelöscht wurde, weil er die den Verlustscheinen zugrunde liegenden Forderungen nicht begleichen konnte.
Streitgegenstand ist somit einzig der Entzug des Anwaltspatents.
5.2. Im Bereich der reglementierten Berufe wird unterschieden zwischen administrativen und disziplinarischen Massnahmen (vgl. <ref-ruling> E. 7.2 S. 429; ferner Urteil 2C_853/2013 vom 17. Juni 2014 E. 5.3). Administrative Massnahmen sollen die schädliche Wirkung einer Tätigkeit für die Zukunft vermeiden und ihr - falls die Tätigkeit bereits ausgeübt wird - ein Ende setzen; sie haben einen Sicherungszweck. Sie werden verhängt, wenn gesetzliche Voraussetzungen für die Ausübung des Berufs nicht oder nicht mehr gegeben sind. Disziplinarische Massnahmen wirken dagegen repressiv; sie sanktionieren die Verletzung von gesetzlich normierten Berufsregeln. Disziplinarmassnahmen haben in der Regel keinen pönalen Charakter (<ref-ruling> E. 2.2 S. 348; <ref-ruling> E. 2a S. 419), sondern sollen den Bewilligungsinhaber von weiteren Verfehlungen abhalten. Dadurch wird mittelbar auch das Publikum geschützt (vgl. Urteil 2P.159/2005 vom 30. Juni 2006 E. 3.3). Die Zwecke von Administrativ- und Disziplinarmassnahmen überschneiden sich somit im Bereich des Publikumsschutzes.
5.2.1. Administrative Massnahmen gegen Rechtsanwälte, die dem BGFA unterstehen, sind die Verweigerung des Registereintrags und die Löschung aus dem Register. Dadurch wird verhindert, dass ein Rechtsanwalt, welcher die Voraussetzungen gemäss Art. 7 und 8 BGFA nicht oder nicht mehr erfüllt, Parteien berufsmässig vor Gerichtsbehörden vertritt. Diese Massnahmen dienen dem Schutz des rechtsuchenden Publikums im Bereich der berufsmässigen anwaltlichen Vertretung. Ausschliesslich beratend tätige Anwälte bzw. jene, die auf einen Registereintrag verzichten, werden von diesen Massnahmen nicht erfasst (vgl. <ref-law>). Demnach sind von Bundesrechts wegen Verlustscheine kein Hindernis für beratend tätige Anwälte.
5.2.2. Disziplinarische Massnahmen im Anwaltsrecht sind die Sanktionen, welche <ref-law> bei Verletzung von Berufsregeln gemäss Art. 12 und 13 BGFA vorsieht. Der Gesetzeswortlaut, wonach "bei Verletzung dieses Gesetzes" Disziplinarmassnahmen greifen, ist mit Blick auf die Systematik ("Dritter Abschnitt: Berufsregeln und Disziplinaraufsicht") und den Sinn von Disziplinarmassnahmen (vgl. E. 5.2) zu reduzieren auf den Tatbestand der Verletzung von Berufsregeln (vgl. auch TOMAS POLEDNA, in Fellmann/Zindel [Hrsg.], Kommentar zum Anwaltsgesetz, 2. Aufl. 2011 [im Folgenden: Kommentar zum Anwaltsgesetz], N. 16 zu <ref-law>). Disziplinarische Massnahmen können von Bundesrechts wegen ebenfalls nur gegen Anwälte ausgesprochen werden, welche dem BGFA unterstehen; der Kanton Luzern hat indessen diese Regeln auf die nicht zur Parteivertretung zugelassenen Anwältinnen und Anwälte ausgedehnt (vgl. E. 4.2). In der Lehre ist umstritten, ob diese Regelung bundesrechtskonform ist (vgl. HANS NATER, in: Kommentar zum Anwaltsgesetz, N. 8b zu <ref-law>).
5.3. Das BGFA regelt die Berufspflichten und das Disziplinarrecht - wie übrigens auch die Voraussetzungen für den Registereintrag und die damit verbundenen administrativen Massnahmen (vgl. STAEHELIN/ OETIKER, in: Kommentar zum Anwaltsgesetz, N. 18 zu <ref-law>) - abschliessend (<ref-ruling> E. 1.1 und E. 3.1.1; Urteil 2C_344/2007 vom 22. Mai 2008 E. 1). Dem Beschwerdeführer wurde das Anwaltspatent mit der Begründung entzogen, gegen ihn würden Verlustscheine in beträchtlicher Höhe vorliegen. Daraus folgt, dass der Entzug keine Disziplinarmassnahme darstellen kann. Denn erstens ist der Patententzug keine vom Bundesrecht vorgesehene Massnahme und zweitens stellt das Vorliegen von Verlustscheinen keine Verletzung von Berufsregeln dar. Vielmehr führt das Vorliegen von Verlustscheinen zur Verweigerung des Registereintrags bzw. - wie auch im vorliegenden Fall geschehen (vgl. E. 5.1) - zur Löschung aus dem Register. Es fragt sich daher, welchem Zweck der Entzug des Anwaltspatents dient und ob die Massnahme mit dem Bundesrecht vereinbar ist.
6.
6.1. Das BGFA stützt sich auf Art. 95 Abs. 1 und 2 BV. <ref-law> räumt dem Bund die Kompetenz ein, Vorschriften über die privatwirtschaftliche Tätigkeit zu erlassen. Dabei handelt es sich um eine konkurrierende Gesetzgebungskompetenz im Verhältnis zu den Kantonen. Bereiche oder Teilbereiche, die bundesrechtlich nicht geregelt sind, fallen weiterhin in die kantonale Kompetenz. <ref-law> verpflichtet den Bund, für einen einheitlichen schweizerischen Wirtschaftsraum zu sorgen und zu gewährleisten, dass Personen mit einer wissenschaftlichen Ausbildung oder mit einem eidgenössischen, kantonalen oder kantonal anerkannten Ausbildungsabschluss ihren Beruf in der ganzen Schweiz ausüben zu können.
6.2. <ref-law> erlaubt den Kantonen, im Rahmen des BGFA die Anforderungen für den Erwerb des Anwaltspatents (weiterhin) festzulegen. Es handelt sich um einen unechten Vorbehalt zugunsten der Kantone, wie auch aus dem Wortlaut hervorgeht ("Das Recht der Kantone [...] bleibt gewahrt"). Die Einschränkung "im Rahmen des BGFA" bedeutet, dass die Voraussetzungen für die Erteilung des Anwaltspatents gemäss <ref-law> eingehalten werden müssen. Darüber hinaus dürfen die Kantone weitere Voraussetzungen statuieren. Dies ist unumstritten, soweit es nur darum geht, im Bereich der fachlichen Voraussetzungen über das bundesrechtliche Minimum hinauszugehen. Umstritten ist jedoch, ob die Kantone den Erwerb des Anwaltspatents auch an persönliche Voraussetzungen knüpfen dürfen.
6.2.1. Von der Rechtsprechung und vom überwiegenden Teil der Lehre wird dies bejaht (vgl. <ref-ruling> E. 5.1 S. 332; HANS NATER, in: Kommentar zum Anwaltsgesetz, N. 3 zu <ref-law>; BOHNET/ OTHENIN-GIRARD/SCHWEIZER, in: Commentaire Romand, Loi sur les avocats, 2010, N. 16 zu <ref-law>; BRUNNER/HENN/KRIESI, Anwaltsrecht, 2015, S. 12; WALTER FELLMANN, Anwaltsrecht, 2010, Rz. 684 f.; BOHNET/ MARTENET, Droit de la profession d'avocat, 2009, Rz. 576 ff.).
6.2.2. Eine Lehrmeinung wendet sich dagegen mit der Begründung, aus den wenigen Materialien zu dieser Bestimmung (welche im Entwurf des Bundesrates noch nicht enthalten gewesen war) gehe hervor, dass es dem Bundesgesetzgeber nur um eine kantonale Zuständigkeit im Bereich der fachlichen Voraussetzungen gegangen sei. Dies ergebe sich auch aus der Systematik des BGFA, indem der Begriff des Anwaltspatents nur im Zusammenhang mit fachlichen Voraussetzungen (<ref-law>), nicht aber mit persönlichen Voraussetzungen (<ref-law>) verknüpft werde (DANIEL KETTIGER, Entzug des Anwaltspatents: Zur Frage der Rechtmässigkeit kantonaler Regelungen des Patententzugs, Jusletter 28. September 2009 S. 4). Dass es dem Gesetzgeber hinsichtlich des Anwaltspatents nur um die fachlichen Voraussetzungen gehen könne, zeige sich auch darin, dass gemäss <ref-law> von Anwältinnen und Anwälten mit Anwaltspatenten aus Mitgliedstaaten der EU und EFTA für die Eintragung in das kantonale Anwaltsregister an Stelle eines schweizerischen Anwaltspatents eine Eignungsprüfung (<ref-law>) oder ein Gespräch zu den beruflichen Fähigkeiten (<ref-law>) verlangt werde, also ausschliesslich der Nachweis von fachlichen Voraussetzungen (KETTIGER, a.a.O. S. 5).
6.2.3. Es trifft zu, dass in der Ständeratsdebatte zum heutigen <ref-law> (behandelt als Art. 2bis Abs. 1 der Gesetzesvorlage) lediglich die Vereinheitlichung der fachlichen Voraussetzungen angesprochen wurde (AB 1999 S 1158 ff., 1163, Votum Kommissionssprecherin Saudan). Dies bedeutet aber nicht, dass den Kantonen untersagt werden sollte, persönliche Voraussetzungen festzulegen, sondern nur, dass diesbezüglich kein Harmonisierungsbedarf bestand. So wurde gemäss dem Vorschlag der Kommission die Bestimmung verabschiedet, wonach die Kantone weiterhin die Anforderungen für den Erwerb des Anwaltspatents festlegen dürfen. Diese Anforderungen waren aber traditionell gerade nicht nur fachlicher Art (für ältere Beispiele vgl. BOHNET/OTHENIN-GIRARD/SCHWEIZER, in: Commentaire Romand, Loi sur les avocats, 2010, N. 16 zu <ref-law>). Hätte der Bundesgesetzgeber gewollt, dass das Anwaltspatent allein aufgrund fachlicher Qualifikationen erteilt wird und persönliche Voraussetzungen nur bei der Eintragung ins Register eine Rolle spielen sollen, hätte er dieses Anliegen im Rahmen des BGFA zu verwirklichen versucht. Beim Erlass des BGFA ging es jedoch nicht darum, was ein Kanton von seinen Anwärtern verlangen darf, sondern darum, unter welchen Voraussetzungen er die ausserkantonalen Anwälte zulassen muss (vgl. auch <ref-ruling> E. 3.1 S. 274 f.). Im Fokus der gesetzgeberischen Arbeiten stand der Registereintrag, nicht das kantonale Anwaltspatent. Dieses zu reformieren hat der Bundesgesetzgeber unterlassen mit der Folge, dass die Kantone - von den Mindestanforderungen gemäss <ref-law> abgesehen - frei sind, sowohl zusätzliche fachliche als auch persönliche Anforderungen an dessen Erwerb zu stellen (vgl. auch <ref-ruling> E. 5.1 S. 332).
Betreffend die Verwendung des Begriffs des Anwaltspatents in Art. 7 und 8 BGFA ist zu berücksichtigen, dass dieser Normkomplex die Voraussetzungen für den Registereintrag festlegt. Dementsprechend erscheint der Begriff des Anwaltspatents bei den fachlichen (<ref-law>), nicht aber bei den persönlichen Voraussetzungen (<ref-law>) für den Registereintrag. Daraus kann nicht abgeleitet werden, der Bundesgesetzgeber habe den Kantonen die Statuierung von persönlichen Voraussetzungen für die Erteilung des Anwaltspatents verbieten wollen. Wenngleich das Anwaltspatent in erster Linie ein Fähigkeitsausweis ist, werden von Bundesrechts wegen dennoch Elemente akzeptiert, die nicht die Fachkompetenz betreffen.
Im Verhältnis zu den Inhabern von Anwaltspatenten aus EU- und EFTA-Staaten verhält es sich ähnlich: Deren Anwaltsqualifikation gemäss <ref-law> bzw. <ref-law> wird akzeptiert, unabhängig davon, ob sie nur an fachliche oder auch an persönliche Voraussetzungen geknüpft ist. Wie bei den Kantonen standen aus Sicht des Gesetzgebers auch hier die Voraussetzungen für den Registereintrag im Zentrum, nicht die Anforderungen an das (ausländische) Anwaltspatent.
6.3. Ist es dem kantonalen Gesetzgeber gestattet, den Erwerb des Anwaltspatents von persönlichen Voraussetzungen abhängig zu machen, so kann er das Patent auch entziehen, wenn diese nicht mehr vorliegen (vgl. auch FELLMANN, a.a.O., Rz. 686). Dies entspricht den allgemeinen Voraussetzungen für den Widerruf formeller Verfügungen (vgl. TSCHANNEN/ZIMMERLI/MÜLLER, Allgemeines Verwaltungsrecht, 4. Aufl. 2014, S. 302 Rz. 19, S. 309 Rz. 41 f.). Weder bedarf es dafür einer gesetzlichen Grundlage im kantonalen Recht, noch kann darin, dass <ref-law> den Entzug des Anwaltspatents bei Wegfall der Voraussetzungen nicht erwähnt, ein qualifiziertes Schweigen erblickt werden. Der Widerruf ist grundsätzlich zulässig, unabhängig davon, ob das Anwaltspatent als Bewilligung oder als Feststellungsverfügung aufgefasst wird (vgl. E. 7.2-7.4 hiernach). Atypisch ist hier lediglich der Umstand, dass gemäss § 5a lit. a AnwG/LU nicht die Behörde, die das Patent erteilt hat, zuständig ist für den Widerruf, sondern die Aufsichtsbehörde (vgl. E. 4.1 und 4.3). Wenn das kantonale Recht dies vorsieht, ist dagegen nichts einzuwenden, denn die Kompetenzen der Aufsichtsbehörde sind bundesrechtlich nicht beschränkt.
6.4. Als Zwischenergebnis kann festgehalten werden, dass die luzernische Regelung der Patenterteilung und des Patententzugs (vgl. E. 4.1 und 4.3) mit dem BGFA vereinbar ist.
7.
7.1. Streitgegenstand ist der Entzug des Anwaltspatents des Beschwerdeführers. Das Bundesgericht darf somit keine abstrakte Normenkontrolle in Bezug auf die luzernische Regelung des Patententzugs vornehmen. Es hat aber zu prüfen, ob die Anwendung der betreffenden Bestimmungen im konkreten Fall mit dem Bundesrecht vereinbar ist (inzidente Normenkontrolle). Gemäss den Rügen des Beschwerdeführers betrifft dies die Frage, ob die Massnahme vor dem Willkürverbot gemäss <ref-law> standhält und verhältnismässig im Sinn von <ref-law> ist.
Im Rahmen der Verhältnismässigkeit ist zu prüfen, ob eine Massnahme geeignet, erforderlich und für die betroffene Person zumutbar ist; im Kern geht es darum, die Wirkungen der Massnahme in Beziehung zum öffentlichen Interesse zu setzen (<ref-ruling> E. 5.8.2 S. 199 f.). Deswegen muss zunächst geklärt werden, welche Rechtsnatur das Anwaltspatent hat und welches die Wirkungen des Patententzugs sind.
7.2. Nach traditioneller Auffassung der Lehre stellt das Anwaltspatent eine kantonale Polizeibewilligung dar (FELLMANN, a.a.O., Rz. 672 mit Literaturhinweisen). Auch das Bundesgericht hat das Anwaltspatent als Polizeibewilligung qualifiziert (Urteil 2P.159/2005 vom 30. Juni 2006 E. 3.2; ferner Urteil 6B_629/2015 vom 7. Januar 2016 E. 4.3.2). Es ist zu prüfen, ob diese Qualifikation zutrifft.
Mittels Bewilligung erteilt der Staat die Erlaubnis, eine bestimmte (unter einem Erlaubnisvorbehalt stehende) Tätigkeit auszuüben (TSCHANNEN/ZIMMERLI/MÜLLER, a.a.O., S. 414 Rz. 1). Mit der Polizeibewilligung wird bestätigt, dass eine beabsichtigte private Tätigkeit mit den gesetzlichen Vorschriften - namentlich solchen polizeilicher Natur - im Einklang steht (TSCHANNEN/ZIMMERLI/MÜLLER, a.a.O., S. 421 Rz. 24). Die Polizeierlaubnis hat konstitutiven Charakter: Indem sie dem Gesuchsteller erlaubt, eine an sich verbotene Tätigkeit unbehelligt auszuüben, wird sein individueller Rechtsbestand erweitert (TSCHANNEN/ZIMMERLI/MÜLLER, a.a.O., S. 422 Rz. 27). Das Anwaltspatent kann somit nur eine Polizeibewilligung sein, wenn es direkt zur Parteivertretung vor Gerichtsbehörden berechtigt.
7.2.1. Die klassische - wenn auch nicht die einzige - Tätigkeit des Rechtsanwalts ist die Vertretung von Parteien vor Gerichtsbehörden. Diese Tätigkeit bedarf - zumindest im interkantonalen Verhältnis - zwingend einer Bewilligung (<ref-law>). Dagegen ist die (nicht forensisch ausgerichtete) Beratungstätigkeit bewilligungsfrei; sie untersteht von Bundesrechts wegen auch nicht der Disziplinaraufsicht (vgl. auch Urteil 6B_629/2015 vom 7. Januar 2016 E. 4.4). Um Rechtsberatung anbieten zu können, ist weder eine juristische Grundausbildung noch ein Anwaltspatent erforderlich (FRANÇOIS BOHNET, Droit des professions judiciaires, 3. Aufl. 2014, S. 27 Rz. 29). Dennoch stellt gerade das Anwaltspatent für Rechtsberater einen starken Vorteil auf dem Markt dar. Ein drittes Betätigungsfeld bietet sich Rechtsanwälten in der Privatwirtschaft (vgl. dazu <ref-ruling> E. 4.1 S. 93 f.), Verwaltung oder Justiz; hier gilt das Anwaltspatent als reiner Fähigkeitsausweis (vgl. auch KELLER/KRUETTLI, Anmerkungen von Unternehmensjuristen zum Entwurf für ein Schweizerisches Anwaltsgesetz, ZBJV 2016 S. 59 ff., hier S. 63). Teilweise ist das Anwaltspatent auch Voraussetzung für die Wahl in ein richterliches Amt. Zusammenfassend hat es - ähnlich wie das Doktorat - die Funktion einer Zusatzausbildung zur juristischen Grundausbildung (Lizentiat oder Master) und verschafft dem Inhaber einen Wettbewerbsvorteil bei der Stellensuche.
Die rechtliche Tragweite des Anwaltspatents beschränkt sich somit auf die Parteivertretung vor Gerichtsbehörden, indem es Voraussetzung für den Registereintrag bildet. Auf kantonaler Ebene gilt der (echte) Vorbehalt gemäss <ref-law>, wonach ein Kanton die Inhaber des von ihm erteilten Anwaltspatents, welche nur in diesem Kanton Parteien vor Gerichtsbehörden vertreten wollen, vom Registereintrag dispensieren kann. Macht ein Kanton davon keinen Gebrauch, verlangt er - da bundesrechtlich vorgeschrieben - auch von seinen eigenen Anwälten den Eintrag ins Register mit der Folge, dass die nicht eingetragenen Anwälte auch in ihrem Stammkanton nicht berechtigt sind, Parteien vor Gerichtsbehörden zu vertreten (vgl. STAEHELIN/ OETIKER, in: Kommentar zum Anwaltsgesetz, N. 7 zu <ref-law>). Der Kanton Luzern hat den Vorbehalt im Gesetz ausdrücklich ausgeschlossen: Gemäss § 6 AnwG/LU ist, soweit die Rechtsordnung nichts anderes vorsieht, zur Parteivertretung vor den Gerichtsbehörden, den Strafverfolgungsbehörden sowie den Aufsichtsbehörden über Schuldbetreibung und Konkurs nur zugelassen, wer im kantonalen Anwaltsregister eingetragen ist oder Freizügigkeit nach dem BGFA geniesst.
7.2.2. Aus dem Vorstehenden erhellt, dass das luzernische Anwaltspatent den Inhaber weder bundesrechtlich noch kantonalrechtlich zur Vertretung von Parteien vor Gerichtsbehörden berechtigt. Es ist lediglich eine der Voraussetzungen, um die Zulassung für diese Tätigkeit zu erhalten (vgl. E. 3.3). Die Berufszulassung wird im interkantonalen Verhältnis durch den Registereintrag bewirkt; der Kanton Luzern hat diese Regelung ausdrücklich übernommen und damit darauf verzichtet, seine eigenen Anwälte zur Vertretung von Parteien vor Gerichtsbehörden zuzulassen, ohne dass diese im Anwaltsregister eingetragen sind. Daraus folgt, dass das luzernische Anwaltspatent keine Berufsausübungsbewilligung ist (so im Ergebnis auch KETTIGER, a.a.O., S. 4, allerdings ohne Differenzierung nach der jeweiligen kantonalen Ausgestaltung). Es ist eine Feststellungsverfügung, wonach die fachlichen und persönlichen Voraussetzungen für den Anwaltsberuf vorliegen (zu den Wirkungen der Feststellungsverfügung im Vergleich zur Bewilligung vgl. KIENER/RÜTSCHE/KUHN, Öffentliches Verfahrensrecht, 2. Aufl. 2015, Rz. 394).
7.3. Weil das luzernische Anwaltspatent seinen Inhaber nicht zur Parteivertretung vor Gerichtsbehörden berechtigt, beschränkt sich der mit dem Entzug beabsichtigte Schutz des Publikums auf Klienten, welche sich von einem Rechtsanwalt beraten lassen wollen und auf dessen Fachkompetenz und Seriosität vertrauen. Wie erwähnt (vgl. E. 7.2.1) kann Rechtsberatung auch von Personen angeboten werden, die nicht über ein Anwaltspatent verfügen, ja sogar von Personen, die keine juristische Ausbildung absolviert haben. Mit dem Entzug des Anwaltspatents wird somit nur - aber immerhin - das Vertrauen geschützt, welches durch die Verwendung des Titels "Rechtsanwalt" erweckt wird. Potenzielle Klienten assoziieren mit diesem Titel nicht nur Fachkompetenz, sondern auch Integrität und Unbescholtenheit (Urteil 6B_629/2015 vom 7. Januar 2016 E. 4.4; KASPAR SCHILLER, Schweizerisches Anwaltsrecht, 2009, Rz. 363). Deswegen besteht ein öffentliches Interesse daran, Empfänger von juristischen (nicht forensischen) Dienstleistungen, welche von Rechtsanwälten angeboten werden, in diesem Vertrauen zu schützen (vgl. BOHNET/MARTENET, a.a.O., Rz. 578).
Auf kantonaler Ebene kann die Titelanmassung unter Strafe gestellt werden, sei es (spezifisch auf den Rechtsanwaltstitel bezogen) im Rahmen des Anwaltsrechts oder (unspezifisch) im Übertretungsstrafrecht. Im Kanton Luzern wird gemäss § 25 des Übertretungsstrafgesetzes vom 14. September 1976 (SRL 300) mit Busse bestraft, wer unberechtigt einen Titel oder eine Berufsbezeichnung (einen akademischen Titel, Diplom, Patent usw.) führt, um den Anschein besonderer Auszeichnungen oder Fähigkeiten zu erwecken. Der Titel des Rechtsanwalts ist somit im Kanton Luzern durch diese Norm geschützt. Dagegen enthält § 1 AnwG/LU entgegen den Ausführungen der Vorinstanz keinen Titelschutz, sondern lediglich eine Legaldefinition; diese Bestimmung sanktioniert die unrechtmässige Verwendung des Rechtsanwaltstitels nicht.
Zur kantonalen Ausgestaltung des Titelschutzes tritt ergänzend der wettbewerbsrechtliche Schutz hinzu. Bundesrechtlich wird der Titel des Rechtsanwalts zwar nicht direkt geschützt - das BGFA enthält dazu keine Regelung - aber indirekt (vgl. auch BENOÎT CHAPPUIS, La profession d'avocat, Tome I, 2. Aufl. 2016, S. 22) : Gemäss <ref-law> gilt die Verwendung unzutreffender Titel oder Berufsbezeichnungen, die geeignet sind, den Anschein besonderer Auszeichnungen oder Fähigkeiten zu erwecken, als unlauterer Wettbewerb und wird bei vorsätzlicher Begehung auf Antrag mit Freiheitsstrafe bis zu drei Jahren oder Geldstrafe bestraft (<ref-law>).
Der Entzug des Anwaltspatents führt somit im vorliegenden Fall dazu, dass der Beschwerdeführer sich privat und beruflich nicht mehr "Rechtsanwalt" nennen und insbesondere keine Beratungstätigkeiten unter Verwendung dieses Titels anbieten darf, und dass er als Bewerber auf dem juristischen Stellenmarkt kein Anwaltspatent vorweisen kann.
7.4. Der Entzug des Anwaltspatents ist eine harte Massnahme, welche das berufliche Fortkommen der betroffenen Person empfindlich behindert und deren eigenständige Existenzsicherung in Frage stellen kann. Mit Blick auf die Bedeutung des Anwaltspatents auf dem Arbeitsmarkt kann sich der Patententzug - je nach den konkreten Umständen - als unverhältnismässig erweisen. Allerdings geht im Bereich der Rechtsberatung das öffentliche Interesse des Konsumentenschutzes dem privaten Interesse an der Verwendung des Rechtsanwaltstitels im Wettbewerb grundsätzlich vor. Auf dem juristischen Stellenmarkt hingegen ist das öffentliche Interesse geringer, weil hier nicht die Vertrauenswürdigkeit des Patentinhabers, sondern die durch das Anwaltspatent nachgewiesenen fachlichen Kompetenzen im Vordergrund stehen (vgl. E. 7.2.1). Zudem ist es einem Arbeitgeber unbenommen, von den Bewerbern einen Betreibungs- und/oder Strafregisterauszug zu verlangen, wenn das Profil der zu besetzenden Stelle es erfordert.
Der Beschwerdeführer legt indessen nicht dar, inwiefern der Entzug des Anwaltspatents in seinem Fall unverhältnismässig sein soll. Im Zeitpunkt des angefochtenen Urteils war er 66 Jahre alt. Er führt keine Nachteile an, die ihm aus dem Verlust des Anwaltspatents erwachsen. Dies führt zum Schluss, dass die Massnahme in diesem Fall nicht unverhältnismässig ist.
8.
Zusammenfassend ist Folgendes festzuhalten: Das BGFA ist das Resultat jahrzehntelanger Bemühungen um die Vereinheitlichung des Anwaltsrechts. Ausgangspunkt war - bereits zu Beginn des 20. Jahrhunderts - die Schaffung eines eidgenössischen Anwaltspatents gewesen; das Anliegen war indessen schon früh gescheitert (Botschaft vom 28. April 1999 zum Bundesgesetz über die Freizügigkeit der Anwältinnen und Anwälte, BBl 1999 6013 6019 Ziff. 114; MADELEINE VOUILLOZ, La nouvelle loi fédérale sur la libre circulation des avocats, SJZ 98/2002 S. 433 ff., hier S. 441). Die Kantone behielten die Kompetenz, die Anforderungen zum Erwerb des Anwaltspatents (unter Berücksichtigung der bundesrechtlichen Mindestanforderungen) festzusetzen mit der Folge, dass ein Patententzug nach dem Wegfall von persönlichen Voraussetzungen möglich wird. Diese Rechtslage läuft der im BGFA angestrebten Vereinheitlichung des Umgangs mit Verletzungen von Standards im Bereich der persönlichen Voraussetzungen zuwider. So entspricht es nicht dem Sinn und Geist des BGFA, dass Gründe für die Erteilung des Anwaltspatents mit den Voraussetzungen für den Registereintrag vermischt werden. Denn auf diese Weise führt ein Verhalten, dessen Rechtsfolgen bundesrechtlich geregelt sind, in einzelnen Kantonen zum Entzug des Anwaltspatents, in anderen aber nicht. Dieses Geflecht ist jedoch eine Folge des gesetzgeberischen Entscheids, nicht das gesamte Anwaltsrecht zu vereinheitlichen, sondern nur die Disziplinaraufsicht, die Berufszulassung in Form des Registereintrags und die damit verbundene interkantonale Freizügigkeit sowie die Zulassung von Anwälten aus den EU- und EFTA-Staaten. Es ist nicht Sache des Bundesgerichts, sondern des Bundesgesetzgebers, einer unerwünschten Zersplitterung des Rechts entgegenzuwirken. Der Vorentwurf für ein neues, umfassendes Anwaltsgesetz auf Bundesebene, welcher auf eine Motion Karl Vogler vom 3. Mai 2012 (Geschäftsnummer 12.3372) zurückgeht, ist in Vorbereitung. In der Fachwelt wird die klare Trennung zwischen Fähigkeitsausweis und Berufsausübungsbewilligung befürwortet (vgl. VINCENZO AMBERG, Das neue Anwaltsgesetz, ZBJV 2015 S. 629 ff., hier S. 635 und 640). Wird diese Trennung konsequent durchgeführt, bleibt für persönliche Voraussetzungen für die Erteilung des Anwaltspatents kein Raum mehr; der Publikumsschutz im Bereich der beratend tätigen Rechtsanwälte kann auf andere Weise erreicht werden. Nach geltendem Recht aber ist der Entzug des Anwaltspatents infolge Wegfalls persönlicher Voraussetzungen möglich. Im vorliegenden Fall hat die Prüfung ergeben, dass die Massnahme unter den gegebenen Umständen nicht unverhältnismässig ist.
9.
Dies führt zur Abweisung der Beschwerde.
9.1. Bei diesem Verfahrensausgang hätte der Beschwerdeführer die Gerichtskosten zu tragen (<ref-law>); er hat indessen um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege ersucht. Gemäss <ref-law> befreit das Bundesgericht eine Partei, die nicht über die erforderlichen Mittel verfügt, auf Antrag von der Bezahlung der Gerichtskosten und von der Sicherstellung der Parteientschädigung, sofern ihr Rechtsbegehren nicht aussichtslos erscheint. Praxisgemäss sind Prozessbegehren als aussichtslos anzusehen, bei denen die Gewinnaussichten beträchtlich geringer sind als die Verlustgefahren und die deshalb kaum als ernsthaft bezeichnet werden können; eine Partei soll einen Prozess, den sie auf eigene Rechnung und Gefahr nicht führen würde, nicht deshalb anstrengen können, weil er sie nichts kostet (<ref-ruling> E. 2.2.4 S. 218; <ref-ruling> E. 2.3.1 S. 135 mit Hinweisen).
9.2. Die Vorinstanz hat die Prozessarmut bejaht. Weil die wirtschaftlichen Verhältnisse im Zeitpunkt der Gesuchseinreichung massgeblich sind, wäre der Beschwerdeführer dennoch gehalten gewesen, vor Bundesgericht die Mittellosigkeit durch Vorlage entsprechender Unterlagen nachzuweisen. Aufgrund der Umstände ist allerdings nicht davon auszugehen, dass sich die finanzielle Situation des Beschwerdeführers seit der Einreichung der Beschwerde bei der Vorinstanz am 22. Juni 2015 wesentlich verbessert hat. Es kann daher auf die Einschätzung der Vorinstanz abgestellt werden, wonach die Voraussetzung der Prozessarmut erfüllt ist.
Sodann kann nicht gesagt werden, die Beschwerde sei aussichtslos. Die Vorinstanz hat sich weder mit der Funktion des Anwaltspatents nach Inkrafttreten des BGFA noch mit der Verhältnismässigkeit des Patententzugs auseinandergesetzt. Die Frage der Kompetenzausscheidung zwischen Bund und Kantonen hat die Vorinstanz (wenn auch sehr knapp) behandelt; eine andere Betrachtungsweise war aber nicht zum vornherein ausgeschlossen. Deswegen durfte der Beschwerdeführer dem höchsten Gericht die damit zusammenhängende Frage, ob die kantonale Regelung bundesrechtskonform ist, unterbreiten, ohne dass ihm vorgeworfen werden könnte, er führe einen Prozess, den er ohne Erlass der Verfahrenskosten nicht führen würde.
9.3. Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege ist gestützt auf <ref-law> gutzuheissen und der (nicht vertretene) Beschwerdeführer von der Bezahlung der Gerichtskosten zu befreien.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen.
2.
Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege wird gutgeheissen.
3.
Es werden keine Gerichtskosten erhoben.
4.
Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten, dem Kantonsgericht Luzern, 1. Abteilung, und dem Bundesamt für Justiz schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 25. Mai 2016
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Seiler
Die Gerichtsschreiberin: Genner