Erwägungen:
1.
A._ erhob mit Eingabe vom 10. Juli 2015 Beschwerde gegen den Entscheid des Obergerichts des Kantons Obwalden vom 9. Juni 2015. Mit Verfügung vom 15. Juli 2015 forderte ihn das Bundesgericht auf, bis spätestens am 20. August 2015 einen Kostenvorschuss von Fr. 3'000.-- einzuzahlen. Da innert Frist der Kostenvorschuss nicht geleistet wurde, setzte das Bundesgericht A._ mit Verfügung vom 28. August 2015 eine nicht erstreckbare Frist zur Vorschussleistung bis zum 8. September 2015, ansonsten auf das Rechtsmittel nicht eingetreten werde (<ref-law>). Da innert der Nachfrist der Kostenvorschuss nicht einging, trat das Bundesgericht mit Urteil vom 22. September 2015 (1B_241/2015) auf die Beschwerde nicht ein.
2.
A._ ersucht mit Eingabe vom 12. Oktober 2015 um Aufhebung des bundesgerichtlichen Urteils (1B_241/2015) vom 22. September 2015. Der Sache nach handelt es sich dabei um ein Gesuch um Wiederherstellung der Frist zur Bezahlung des Kostenvorschusses und Wiederaufnahme des Beschwerdeverfahrens. Das Bundesgericht verzichtet auf die Einholung von Vernehmlassungen.
3.
3.1. Gemäss <ref-law> erwachsen Entscheide des Bundesgerichts am Tag ihrer Ausfällung in Rechtskraft. Hat das Bundesgericht ein Nichteintretensurteil gefällt, weil eine Frist verpasst worden war, kann gemäss <ref-law> die Aufhebung des Urteils verlangt werden, wenn die Voraussetzungen der Fristwiederherstellung gemäss Absatz 1 dieser Bestimmung erfüllt sind.
3.2. Eine versäumte Frist kann gemäss <ref-law> wiederhergestellt werden, wenn eine Partei oder ihr Vertreter unverschuldeterweise abgehalten worden ist, fristgerecht zu handeln, sofern die Partei unter Angabe des Grundes innert 30 Tagen nach Wegfall des Hindernisses darum ersucht und die versäumte Rechtshandlung nachholt. Die Wiederherstellung ist nach der bundesgerichtlichen Praxis nur bei klarer Schuldlosigkeit zu gewähren. Bedient sich die Partei oder ihr Vertreter zur Erfüllung der Kostenvorschusspflicht eines Erfüllungsgehilfen, so ist ihr bzw. dem Anwalt das Verhalten der Hilfsperson wie ein eigenes zuzurechnen (<ref-law>); denn wer den Vorteil hat, Pflichten durch eine Hilfsperson erfüllen zu lassen, der soll auch die Nachteile daraus tragen (<ref-ruling> E. 2 und 3; <ref-ruling> E. 2a; vgl. auch Urteil 1C_520/2015 vom 13. Januar 2016 E. 2.2).
3.3. Der Gesuchsteller macht geltend, er hätte mit einem Geschäftspartner vertraglich vereinbart, dass dieser für ihn sämtliche Verfahrenskosten übernehmen sollte. Sein Anwalt habe die Kostenvorschussverfügung sowie die verfügte Nachfrist seinem Geschäftspartner überwiesen. Versehentlich hätte dessen Personal die Bezahlung nicht ausgeführt. Dies stellt indessen keinen Fristwiederherstellungsgrund dar, da - wie ausgeführt - der Gesuchsteller sich das Verhalten seines Vertreters bzw. von Hilfspersonen zurechnen lassen muss. Im Übrigen hat es der Gesuchsteller versäumt, innert 30 Tagen nach Wegfall des Hindernisses die versäumte Kostenvorschusszahlung nachzuholen.
3.4. Das Fristwiederherstellungsgesuch ist abzuweisen, und auf das Nichteintretensurteil kann nicht zurückgekommen werden.
4.
Bei diesem Ausgang des Verfahrens sind die Gerichtskosten dem Gesuchsteller aufzuerlegen (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Das Fristwiederherstellungsgesuch wird abgewiesen.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 1'000.-- werden dem Gesuchsteller auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Obwalden schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 1. März 2016
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Fonjallaz
Der Gerichtsschreiber: Pfäffli