Erwägungen:
1.
1.1. Der kosovarische Staatsangehörige A._ (geboren 1988) reiste am 19. November 1989 in die Schweiz ein. Er erhielt eine Aufenthaltsbewilligung, die letztmals bis zum 7. Februar 2012 verlängert wurde.
1.2. Am 6. Februar 1998 hatte A._ bei einem Schlittelunfall ein Schädelhirn-Trauma erlitten, das zu einer Jugendinvalidität und einer erheblichen Einschränkung der Arbeitsfähigkeit führte. Die Eidgenössische Invalidenversicherung sprach ihm Sonderschulmassnahmen und mit Verfügung vom 6. Januar 2010 rückwirkend per 1. Oktober 2006 eine ganze ausserordentliche Invalidenrente zu.
1.3. Seit Jugendalter wurde A._ kontinuierlich straffällig. Er wurde als Erwachsener wegen zahlreichen Delikten im Bagatellbereich (u.a. nicht schwerwiegende Widerhandlungen gegen das Betäubungsmittelgesetz, Benützen des öffentlichen Verkehrsmittels ohne gültigen Fahrausweis, geringfügige Diebstähle, Hausfriedensbruch), aber auch wegen Drohungen, Tätlichkeiten und einfacher Körperverletzungen verurteilt. Insgesamt ergingen 45 Verurteilungen, 23 davon erfolgten nach der ausländerrechtlichen Verwarnung vom 30. Mai 2008 durch das Amt für Migration des Kantons Luzern. Hinzu kamen zahlreiche Betreibungen und ein regelmässiger Drogenkonsum.
1.4. Nachdem A._ am 5. März 2012 verspätet ein Gesuch um Verlängerung der Aufenthaltsbewilligung eingereicht hatte, stellte das Amt für Migration mit Verfügung vom 28. Oktober 2013 das Erlöschen seiner Aufenthaltsbewilligung fest und wies ihn aus der Schweiz weg. Die dagegen erhobene Beschwerde wies das Justiz- und Sicherheitsdepartement des Kantons Luzern mit Entscheid vom 4. April 2014 ab. Das Kantonsgericht Luzern erachtete in seinem Urteil vom 19. März 2015 das Erlöschen der Aufenthaltsbewilligung allein aufgrund der verspäteten Gesuchseinreichung als unverhältnismässig, kam aber im Ergebnis zum Schluss, dass sowohl die Nichtverlängerung als auch die Verweigerung der Neuerteilung der Aufenthaltsbewilligung rechtens seien.
1.5. A._ erhebt am 13. Mai 2014 (recte: 2015) Beschwerde beim Bundesgericht und beantragt, das angefochtene Urteil sei aufzuheben. Es sei festzustellen, dass die Nichtverlängerung bzw. die Nichtwiedererteilung der Aufenthaltsbewilligung unverhältnismässig und eine Wegweisung nicht zumutbar seien und beides Bundesrecht bzw. die EMRK verletze. Es sei ihm die Aufenthaltsbewilligung zu verlängern bzw. diese aufgrund des schwerwiegenden Härtefalls wieder zu erteilen. Eventualiter sei die Sache zwecks Erteilung der Aufenthaltsbewilligung bzw. zur erneuten Prüfung an die Vorinstanz zurückzuweisen.
Das Kantonsgericht und das Staatssekretariat für Migration schliessen auf Abweisung der Beschwerde. Das Justiz- und Sicherheitsdepartement und das Amt für Migration haben sich nicht vernehmen lassen. Am 16. Mai 2015 ist der Beschwerde antragsgemäss aufschiebende Wirkung erteilt worden.
2.
2.1. Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten ist gegen Entscheide auf dem Gebiet des Ausländerrechts betreffend Bewilligungen nur zulässig, falls das Bundesrecht oder das Völkerrecht einen Anspruch auf deren Erteilung bzw. Verlängerung einräumt (Art. 83 lit. c Ziff. 2 e contrario). Der Beschwerdeführer beruft sich auf Art. 8 Ziff. 1 EMRK bzw. <ref-law> (Anspruch auf Schutz des Privat- und Familienlebens) und macht im Wesentlichen geltend, schon sehr lange in der Schweiz zu leben und seine Eltern und Bezugspersonen hier zu haben, womit eine besonders enge Bindung zur Schweiz bestehe. Ein besonderes Abhängigkeitsverhältnis zu seinen Eltern ist nicht auszumachen (vgl. nachstehend E. 2.4; <ref-ruling> E. 5.1 S. 402; <ref-ruling> E. 3.1 S. 148; <ref-ruling> E. 2 S. 13; <ref-ruling> E. 1d S. 260 f.). Ob er sich ausnahmsweise aufgrund der langen Anwesenheit und besonders intensiver Bindungen auf ein sich aus dem Anspruch auf Schutz des Privatlebens abgeleitetes Recht auf Verbleib zu berufen vermag (vgl. <ref-ruling> E. 3.2.1 S. 286; Urteil 2C_517/2014 vom 15. Februar 2015 E. 1.3; je mit Hinweisen), erscheint zweifelhaft, kann an dieser Stelle letztlich aber offen bleiben, da das angefochtene Urteil - wie sogleich zu sehen ist - so oder anders kein Bundesrecht verletzt und sich die Nichtverlängerung der Aufenthaltsbewilligung als konventionskonform erweist.
Auf den Antrag, entgegen dem vorinstanzlichen Urteil gestützt auf Art. 30 Abs. 1 lit. b AuG (SR 142.20) eine Aufenthaltsbewilligung aufgrund eines schwerwiegenden persönlichen Härtefalls zu erteilen, ist nicht einzutreten. Die Härtefallbewilligung kann von den Kantonen in Abweichung von den Zulassungsvoraussetzungen nach Art. 18 - 29 AuG erteilt werden; die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten gegen entsprechende Entscheide ist jedoch gemäss <ref-law> unzulässig.
Soweit der Beschwerdeführer den mit der Nichtverlängerung seiner Aufenthaltsbewilligung als gesetzliche Folge (vgl. Art. 64 Abs. 1 lit. c AuG) verbundenen Wegweisungsentscheid beanstandet, ist auf seine Eingabe ebenfalls nicht einzutreten, da er nicht dartut, dass und inwiefern dieser besondere verfassungsmässige Rechte verletzen würde (vgl. <ref-ruling> ff.). Er behauptet lediglich, eine Rückkehr in sein Heimatland sei ihm nicht zumutbar; er tut diesbezüglich indessen nicht in vertretbarer Weise dar, inwiefern ihm dort eine konkrete Gefahr im Sinne der Rechtssprechung zu Art. 3 EMRK drohen würde ("real risk").
2.2. Das kantonale Urteil gibt die Rechtslage und die bundesgerichtliche Praxis hinsichtlich der Nichtverlängerung der Aufenthaltsbewilligung zutreffend wieder. Angesichts der insgesamt 45 rechtskräftigen strafrechtlichen Verurteilungen hat der Beschwerdeführer erheblich und wiederholt gegen die öffentliche Sicherheit und Ordnung in der Schweiz verstossen und damit den Widerrufsgrund von Art. 62 lit. c AuG gesetzt. Selbst nach der ausländerrechtlichen Verwarnung musste er, gemäss den für das Bundesgericht verbindlichen vorinstanzlichen Sachverhaltsfeststellungen (<ref-law>), weitere 23 Male strafrechtlich belangt werden. Er bestreitet denn auch nicht grundsätzlich, den Widerrufsgrund nach Art. 62 lit. c AuG erfüllt zu haben; vielmehr bestreitet er im Wesentlichen die Verhältnismässigkeit des Widerrufs.
2.3. Mit der Vorinstanz ist von einem erheblichen öffentlichen Interesse an der Fernhaltung des Beschwerdeführers auszugehen. Die zahlreichen Verurteilungen zeigen, dass er unzählige Male gegen die öffentliche Sicherheit und Ordnung verstossen hat. Weniger entscheidend ist vorliegend die Schwere der Taten - wobei der Beschwerdeführer (als Erwachsener) nebst zahlreichen Delikten im Bagatellbereich auch mehrfach eine erhöhte Gewaltbereitschaft offenbarte (siehe vorstehend E. 1.3) - als deren Häufigkeit (vgl. Urteil 2C_851/2014 vom 24. April 2015 E. 3.3). Auch die ausdrückliche Verwarnung durch das Amt für Migration vom 30. Mai 2008 konnte ihn nicht von weiterem deliktischen Verhalten abhalten. Der Beschwerdeführer scheint offensichtlich nicht gewillt, sich an die hiesige Rechtsordnung zu halten (vgl. Urteil 2C_915/2010 vom 4. Mai 2011 E. 3.2.1; Botschaft vom 8. März 2002 zum AuG, BBl 2002 3709, 3809 zu Art. 61).
2.4. Das Interesse des Beschwerdeführers am Verbleib in der Schweiz ergibt sich vor allem aus der Tatsache, dass er im Alter von einem Jahr in die Schweiz gekommen und hier aufgewachsen ist und seine engsten Familienmitglieder hier leben. Immerhin kennt er sein Herkunftsland von Ferienaufenthalten her. Zudem besteht offenbar ein Kontakt zur dortigen Verwandtschaft und der Beschwerdeführer ist mit Kultur und Sprache - zumindest der gesprochenen - im Kosovo vertraut. Zudem dürften seine Eltern ihm behilflich sein können, sich im Kosovo zurechtzufinden, da sie offenbar ohnehin häufig aus familiären Gründen in ihre Heimat reisen. Zweifellos wird es für ihn nicht einfach sein, sich in seinem Herkunftsland ein neues Leben aufzubauen. Allerdings kann seine Integration in der Schweiz nicht - wie er vorbringt - als fortgeschritten bezeichnet werden. Er ist zwar des Schweizerdeutschen mächtig, eine weitergehende Integration ist aber nicht ersichtlich. Seit Jahren ist er drogenabhängig und die Möglichkeit, im Rahmen eines geschützten Arbeitsplatzes einer Beschäftigung nachzugehen, nahm er nicht wahr. Seit September 2013 nimmt er zwar freiwillig an einer methadongestützten Behandlung der Luzerner Psychiatrie und in diesem Rahmen in der Regel an monatlich ein bis zwei sozialpsychiatrischen Gesprächen teil. Angesichts der langjährigen Delinquenz und Drogenabhängigkeit ist aber nichts daran auszusetzen, dass die Vorinstanz (noch) keine langfristige positive Wende zu einem delikts- und drogenfreien Leben erkannt hat, zumal er auch nach Beginn der Behandlung wieder rückfällig wurde und sowohl Drogen konsumierte als auch wegen einer Tätlichkeit verurteilt werden musste. Immerhin ist ihm zugute zu halten, dass er die bezogene Sozialhilfe zurückbezahlt hat und infolge der ihm zustehenden Invalidenrente nicht mehr auf Sozialhilfe angewiesen ist.
Soweit der Beschwerdeführer geltend macht, dringend auf die Unterstützung seiner Familie angewiesen zu sein, zu der ein besonderes Abhängigkeitsverhältnis bestehe, unterlässt er es darzulegen, worin diese Abhängigkeit liegt. Auch widerspricht er den Feststellungen der Vorinstanz nicht, wonach er zwar aufgrund seines Unfalls im Kindesalter sowie der Drogensucht gesundheitlich angeschlagen sei, jedoch offenbar keiner besonderen Pflege und Betreuung durch Familienangehörige bedürfe. Ein besonderes Abhängigkeitsverhältnis ist daher, auch wenn der zum Zeitpunkt des angefochtenen Urteils 26-jährige, ledige und kinderlose Beschwerdeführer bei seinen Eltern wohnt, nicht auszumachen.
Weiter macht der Beschwerdeführer mit Eingabe vom 15. Juni 2015 geltend, seine ausserordentliche Invalidenrente würde ihm im Falle eines Wegzugs aus der Schweiz nicht mehr ausbezahlt werden und legt ein entsprechendes Schreiben der Ausgleichskasse Luzern vom 11. Juni 2015 bei. Dieses Schreiben ist als echtes Novum unbeachtlich (<ref-law>; <ref-ruling> E. 3.1.2 S. 123; <ref-ruling> E. 2.1 S. 343 f.). Entgegen dem Vorbringen des Beschwerdeführers gab nicht das vorinstanzliche Urteil Anlass zur Klärung der Frage. Bereits in der Verfügung vom 6. Januar 2010, mit der die ausserordentliche Rente zugesprochen wurde, war vermerkt, dass Anspruch auf eine solche in der Regel nur hat, wer zivilrechtlichen Wohnsitz bzw. tatsächlichen Aufenthalt in der Schweiz hat. Es wäre am Beschwerdeführer gelegen, eine entsprechende Rüge gegen das vorinstanzliche Urteil rechtzeitig innert Beschwerdefrist vorzubringen (vgl. Art. 42 i.V.m. <ref-law>).
Im Übrigen hat die Vorinstanz nebst den gesundheitlichen Einschränkungen und der erschwerten Entwicklung infolge des Unfalls auch dem aktuellen Gesundheitszustand des Beschwerdeführers Beachtung geschenkt. Aufgrund der vorliegenden Arztberichte hielt sie fest, dass zwar psychische Erkrankungen und eine Suchtmittelabhängigkeit vorlägen, eine akut lebensbedrohliche Situation und eine unmittelbare Behandlungsbedürftigkeit des Beschwerdeführers jedoch nicht auszumachen seien und er abgesehen von der Teilnahme am Methadonprogramm auf keine zwingende regelmässige Medikamenteneinnahme angewiesen sei. An der Feststellung, eine medizinische Grundversorgung im Kosovo sei sichergestellt, ist nichts auszusetzen (vgl. Urteil 2C_1130/2013 vom 23. Januar 2015 E. 3.3).
2.5. Die Vorinstanz hat sich in ihrem Entscheid ausführlich mit allen relevanten Aspekten auseinandergesetzt und die betroffenen Interessen unter Würdigung des Gesetzes und der Rechtsprechung des Bundesgerichts sorgfältig abgewogen. Die Nichtverlängerung der Aufenthaltsbewilligung erweist sich insgesamt als verhältnis- und rechtmässig.
3.
3.1. Die Beschwerde ist folglich abzuweisen, soweit überhaupt darauf einzutreten ist. Dies kann im Verfahren nach <ref-law> geschehen. Ergänzend wird auf die Darlegungen im angefochtenen Entscheid verwiesen (<ref-law>). Mit dem Sachentscheid wird das Gesuch um aufschiebende Wirkung gegenstandslos.
3.2. Der unterliegende Beschwerdeführer trägt die (umständehalber reduzierten) Gerichtskosten (<ref-law>). Angesichts der Aussichtslosigkeit der Beschwerde ist das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege abzuweisen (<ref-law>). Ausgangsgemäss ist keine Parteientschädigung zuzusprechen (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.
Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege wird abgewiesen.
3.
Die Gerichtskosten von Fr. 1'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
4.
Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten, dem Kantonsgericht Luzern, 4. Abteilung, und dem Staatssekretariat für Migration schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 7. Juni 2016
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Das präsidierende Mitglied: Zünd
Die Gerichtsschreiberin: Fuchs