Faits :
A.
B._, né en 1930, était affilié à Mutuel Assurance Maladie SA (ci-après: la Mutuel ou l'assureur-maladie) pour l'assurance obligatoire des soins. Il était marié à A._.
L'assuré a séjourné au Bélize au début de l'année 2013. Il y a consulté le docteur C._, gastroentérologue, pour des problèmes de déglutition l'empêchant de boire et de manger; le praticien a recommandé la pose d'une sonde gastrique sous contrôle radiologique; l'intéressé devait être opéré au plus tôt mais pouvait être rapatrié auparavant (rapport du 30 avril 2013). B._ a été hospitalisé deux fois à la D._ Clinic, à U._ aux Etats-Unis d'Amérique, du 2 au 9 mai 2013 en raison de ses difficultés à déglutir puis du 13 au 22 mai 2013 en raison de problèmes respiratoires. A._ a averti la Mutuel que son mari était décédé le 15 juin 2013 au terme d'une hospitalisation de dix-neuf jours à la Clinique E._, à V._ en France. Elle a produit les devis ou factures relatifs aux traitements suivis par son époux sur le continent américain. Elle en a sollicité le remboursement.
Selon les décomptes établis par l'assureur-maladie les 30 août et 6 septembre 2013, les 5'700 USD (5'411 fr.) avancés pour l'admission au F._ Hospital ne seraient pas pris en charge tandis que seuls 6'545 fr. 70 sur les 71'024 fr. 95 (76'428,45 USD) facturés par la D._ Clinic seraient remboursés. A l'issue d'un long échange de correspondances, la Mutuel a finalement indiqué à l'épouse de l'assuré qu'elle assumerait 9'060 fr. 70 sur les 71'024 fr. 95 facturés par la D._ Clinic (décision du 9 septembre 2014 confirmée sur opposition le 26 janvier 2015).
B.
A._, seule héritière de l'assuré, a déféré la décision sur opposition au Tribunal cantonal du Valais, Cour des assurances sociales. Elle se plaignait d'un défaut de motivation et concluait implicitement à la prise en charge des trois hospitalisations survenues sur le continent américain. L'assureur-maladie a conclu au rejet du recours. Ni les échanges ultérieurs d'écritures ni les résultats d'une instruction complémentaire relative à la tarification des hospitalisations n'ont infléchi la position des parties.
La juridiction cantonale a très partiellement admis le recours. Elle a annulé la décision sur opposition et condamné la Mutuel à verser 7'783 fr. à A._ (jugement du 23 décembre 2016).
C.
L'assureur-maladie a saisi le Tribunal fédéral d'un recours en matière de droit public. Il requiert l'annulation du jugement cantonal et conclut en substance à être libéré de l'obligation de prendre en charge les frais de la seconde hospitalisation de l'assuré à la D._ Clinic, fixés par les premiers juges à 7'623 fr. 10.
A._ a principalement conclu au rejet du recours et, à titre subsidiaire, au renvoi de la cause au tribunal cantonal pour qu'il en complète l'instruction. L'Office fédéral des assurances sociales a renoncé à se déterminer.

Considérant en droit :
1.
Le recours en matière de droit public (au sens des <ref-law>) peut être formé pour violation du droit (circonscrit par les art. 95 et 96 LTF). Le Tribunal fédéral applique le droit d'office (<ref-law>). Il n'est limité ni par l'argumentation de la partie recourante ni par la motivation de l'autorité précédente. Il statue sur la base des faits établis par celle-ci (<ref-law>), mais peut les rectifier et les compléter d'office si des lacunes et des erreurs manifestes apparaissent d'emblée (<ref-law>). En principe, il n'examine que les griefs motivés (<ref-law>), surtout s'ils portent sur la violation des droits fondamentaux (<ref-law>). Il ne peut pas aller au-delà des conclusions des parties (<ref-law>). Le recourant peut critiquer la constatation des faits qui ont une incidence sur le sort du litige seulement s'ils ont été établis en violation du droit ou de manière manifestement inexacte (<ref-law>).
2.
2.1. Le litige s'inscrit en l'espèce dans le cadre de la prise en charge par l'assureur recourant, au titre de l'assurance-maladie obligatoire des soins, des frais médicaux encourus par le mari défunt de l'intimée dans divers établissements hospitaliers à l'étranger. Compte tenu des critiques émises contre le jugement cantonal (concernant le devoir d'allégation et de motivation, cf. FLORENCE AUBRY GIRARDIN, in Commentaire de la LTF, 2e éd. 2014, n° 24 ad <ref-law> et les références jurisprudentielles citées), il porte singulièrement sur le remboursement des frais médicaux occasionnés par l'hospitalisation de l'assuré à la D._ Clinic du 13 au 22 mai 2013.
2.2. On relèvera que ni l'assureur recourant ni l'intimée ne contestent la prise en charge de la première hospitalisation auprès de la D._ Clinic du 2 au 9 mai 2013, dans la mesure admise dans le jugement entrepris, de sorte que celle-ci ne fait plus partie de l'objet du litige.
Le litige ne porte pas non plus sur les coûts du traitement dispensé par le docteur C._ ou le F._ Hospital dès lors que ceux-ci n'ont à ce jour fait l'objet d'aucune décision et ne font par conséquent pas partie de l'objet de la contestation (sur les notions d'objet de la contestation et d'objet du litige ainsi que leurs relations, cf. MEYER/VON ZWEHL, L'objet du litige en procédure de droit administratif, in Mélanges Pierre Moor, Berne 2005, p. 435 ss), comme l'a déjà indiqué la juridiction cantonale.
2.3. Le jugement entrepris expose les dispositions légales et les principes jurisprudentiels nécessaires à la solution du litige. Il suffit d'y renvoyer.
3.
Le tribunal cantonal a inféré des documents médicaux disponibles que la première hospitalisation de l'assuré à la D._ Clinic entre les 2 et 9 mai 2013 présentait un caractère d'urgence qui justifiait une prise en charge des frais en découlant à concurrence du double du montant qui aurait été versé si le traitement avait eu lieu en Suisse, conformément à l'<ref-law>. Il a en revanche considéré que le deuxième séjour de l'intéressé auprès du même établissement entre les 13 et 22 mai 2013 ne revêtait pas ce caractère d'urgence et qu'il devait dès lors être pris en charge au tarif simple d'une hospitalisation survenue pour la même pathologie dans le canton de domicile du mari défunt de la recourante, le Valais.
Il a aussi exposé le système de tarification des traitements hospitaliers (Système tarifaire de rémunération des prestations hospitalières en soins somatiques aigus [SwissDRG]) qu'il a jugé conforme au droit et applicable au cas d'espèce. Sur cette base, il a fixé la participation de l'assureur recourant à la première hospitalisation à 7'588 fr. 62 (traitement de 4'969 fr. 31 pris en charge à hauteur du double en raison du caractère d'urgence, soit 9'938 fr. 62, dont il fallait déduire une contribution journalière de 15 fr., la franchise de 1'500 fr. et la participation aux coûts de 700 fr.) et à la seconde hospitalisation à 7'623 fr. 10 (traitement de 7'773 fr. 10 dont il faillait déduire une contribution journalière de 15 fr.). Compte tenu du montant déjà remboursé (7'428 fr. 70), seuls 7'783 fr. étaient encore dus par la Mutuel (7'588 fr. 62 + 7'623 fr. 10 - 7'428 fr. 40).
Les premiers juges ont très partiellement admis le recours. Ils ont annulé la décision sur opposition et condamné l'assureur recourant à verser 7'783 fr. à l'intimée.
4.
4.1. L'assureur recourant reproche seulement à la juridiction cantonale d'avoir violé le droit fédéral en mettant à sa charge les frais de la seconde hospitalisation à la D._ Clinic alors qu'elle en niait le caractère d'urgence et admettait la possibilité d'un traitement équivalent en Suisse.
4.2. Son argumentation est fondée dans son principe. En effet, selon l'art. 36 al. 2 OAMAL, le coût des traitements effectués à l'étranger ne peuvent être pris en charge de l'assurance obligatoire que s'il y a urgence. La juridiction cantonale, après avoir constaté que la deuxième hospitalisation à la Cleveland Clinique entre les 13 et 22 mai 2013 n'était pas motivée par l'urgence, ne pouvait donc pas retenir que l'assureur-maladie devait prendre en charge les frais de cette hospitalisation. L'assuré n'a pas droit, en l'absence de raisons médicales justifiant une hospitalisation d'urgence, au remboursement d'un montant équivalent aux frais qui auraient été occasionnés si le traitement avait eu lieu en Suisse. En ce sens l'assuré ne peut pas se prévaloir du droit à la substitution de la prestation (<ref-ruling> consid. 3.2 in fine p. 275 et les références). En agissant de la sorte, la juridiction cantonale a violé le droit fédéral.
5.
5.1. La conclusion de la recourante visant à ce que les frais de la deuxième hospitalisation auprès de la D._ Clinic ne lui soient pas mis à charge ne peut toutefois être admise pour les raisons exposées ci-dessous. L'intimée soutient dans sa réponse que l'hospitalisation du 13 au 22 mai 2013 constituait un cas d'urgence, malgré ce que la juridiction cantonale a retenu. Elle rappelle que son époux était alors atteint de troubles respiratoires et avait contracté des staphylocoques susceptibles par définition de mettre la vie de celui-ci en danger. Elle affirme que le caractère urgent est ainsi établi. Elle prétend en outre que le voyage de retour était inapproprié dès lors qu'il était long, que son prix aurait été exorbitant et qu'il aurait contribué à détériorer l'état de santé de son mari, âgé et déjà gravement atteint.
5.2. Les premiers juges ont exclu le caractère urgent de la seconde hospitalisation au motif que celle-ci avait été justifiée par d'autres troubles que ceux ayant justifié la première (à savoir des difficultés respiratoires, une candidose et une bactériémie staphylocoque), que l'état de santé de l'assuré s'était amélioré en date du 9 mai 2013 dans la mesure où il avait pu quitter la D._ Clinic et que son épouse aurait eu le temps d'organiser son retour en Suisse depuis le 30 avril 2013. De plus, ces motifs établissaient selon eux le caractère exigible du rapatriement.
5.3. Le raisonnement développé par l'intimée met en évidence le fait que les premiers juges n'ont à aucun moment examiné si les atteintes à la santé présentées au début de la seconde hospitalisation à la D._ Clinic, qui a tout de même duré du 13 au 22 mai 2013, nécessitaient un traitement médical urgent, ou pas; leurs constatations à ce sujet font défaut. Par rapport aux motifs évoqués dans le jugement cantonal, on précisera que l'amélioration survenue le 9 mai 2013 et qui a permis la sortie de l'hôpital n'exclut en rien une dégradation soudaine ou progressive de la situation les jours suivants. On ajoutera que le temps qu'a duré la première hospitalisation, dont le caractère urgent a été admis tant par l'assureur recourant que par le tribunal cantonal, ne pouvait pas forcément être mis à profit par l'intimée pour organiser le rapatriement de son mari dans la mesure où elle ignorait le temps qui serait nécessaire au règlement de la situation d'urgence. On rappellera encore que l'absence de constatations médicales ne permet pas non plus de déterminer si un rapatriement juste après la première hospitalisation était approprié, ou pas.
Dans ces circonstances, il convient d'annuler le jugement cantonal et de renvoyer la cause à la juridiction cantonale pour qu'elle examine si les conditions de l'<ref-law> en relation avec la seconde hospitalisation à la D._ Clinic du 13 au 22 mai 2013 sont réalisées et rende un nouveau jugement sur le devoir de l'assureur recourant de rembourser à l'intimée au maximum 7'783 fr. (<ref-law>) à ce titre.
6.
Vu l'issue du litige, les frais judiciaires sont mis à la charge de l'intimée (<ref-law>).

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce :
1.
Le recours est admis. Le jugement du Tribunal cantonal du Valais, Cour des assurances sociales, du 23 décembre 2016 est annulé. La cause est renvoyée à cette autorité pour nouveau jugement dans le sens des considérants.
2.
Les frais judiciaires, arrêtés à 500 fr., sont mis à la charge de l'intimée.
3.
Le présent arrêt est communiqué aux parties, au Tribunal cantonal du Valais, Cour des assurances sociales, et à l'Office fédéral de la santé publique.
Lucerne, le 16 août 2017
Au nom de la IIe Cour de droit social
du Tribunal fédéral suisse
La Présidente : Pfiffner
Le Greffier : Cretton