Faits :
A.
Par jugement du 15 février 2016, le Tribunal de police de l'arrondissement de Lausanne a reconnu X._ coupable de calomnie (<ref-law>) et l'a condamnée à une peine pécuniaire avec sursis de 70 jours-amende à 70 fr. le jour, ainsi qu'à une amende de 1'000 francs. Il l'a également condamnée à verser à A._ un montant de 1'500 fr. à titre d'indemnité pour tort moral et de 4'800 fr. à titre d'indemnité pour les dépenses occasionnées par la procédure de première instance.
B.
Statuant sur l'appel de X._, la Cour d'appel pénale du Tribunal cantonal du canton de Vaud l'a rejeté par jugement du 1er juillet 2016. Elle a également admis la requête d'indemnité déposée par A._ pour les dépenses occasionnées par la seconde instance fondée sur l'<ref-law> et lui a alloué 1'909 fr. 45 à ce titre.
En résumé, la cour cantonale a retenu les faits suivants:
Dans le courant de l'année 2014 et jusqu'au début de l'année 2015, X._, née en 1967, alors assistante en formation au Centre Social Régional de B._, a, sachant que cela était faux, déclaré à plusieurs personnes de son entourage professionnel, ainsi que dans le cadre de l'École sociale, qu'elle était victime de mobbing de la part de sa cheffe d'unité et supérieure hiérarchique, A._. Les actes de mobbing auraient débuté lorsque celle-ci lui aurait fait des avances d'ordre affectif et sentimental auxquelles elle n'aurait pas cédé.
A._ a déposé plainte pénale le 4 février 2015, après avoir appris de tiers que X._ l'accusait de mobbing et de harcèlement.
C.
Contre le jugement cantonal, X._ dépose un recours en matière pénale devant le Tribunal fédéral. Elle conclut, principalement, à sa libération de l'accusation de calomnie et au versement d'une indemnité en application de l'<ref-law>. Subsidiairement, elle conclut à ce que le jugement attaqué soit réformé en ce sens qu'un montant de 1'453 fr. soit alloué à A._, au titre de l'<ref-law>P, pour les dépenses occasionnées par la procédure cantonale d'appel.

Considérant en droit :
1.
La recourante se plaint d'arbitraire dans l'appréciation des preuves et dans l'établissement des faits (art. 9 Cst.). Elle en déduit une violation de l'<ref-law>.
1.1. Les constatations de fait de la décision entreprise lient le Tribunal fédéral (<ref-law>), sous les réserves découlant des art. 97 al. 1 et 105 al. 2 LTF, soit pour l'essentiel de l'arbitraire (art. 9 Cst.; sur cette notion, cf. <ref-ruling> consid. 2.1 p. 18 s. et 138 III 378 consid. 6.1 p. 379) dans la constatation des faits. La recevabilité de tels griefs, ainsi que de ceux déduits du droit constitutionnel et conventionnel, suppose l'articulation de critiques circonstanciées (<ref-ruling> consid. 3 p. 105), claires et précises, répondant aux exigences de motivation accrues déduites de l'<ref-law> (cf. <ref-ruling> consid. 1.3.1 p. 253). Les critiques appellatoires sont, en particulier, irrecevables (<ref-ruling> consid. 2.4 p. 368).
1.2. En vertu de l'<ref-law>, celui qui, connaissant la fausseté de ses allégations, aura, en s'adressant à un tiers, accusé une personne ou jeté sur elle le soupçon de tenir une conduite contraire à l'honneur, ou de tout autre fait propre à porter atteinte à sa considération, celui qui aura propagé de telles accusations ou de tels soupçons, alors qu'il en connaissait l'inanité, sera, sur plainte, puni d'une peine privative de liberté de trois ans au plus ou d'une peine pécuniaire (ch. 1). La peine sera une peine privative de liberté de trois ans au plus ou une peine pécuniaire de 30 jours-amende au moins si le calomniateur a, de propos délibéré, cherché à ruiner la réputation de sa victime (ch. 2).
La calomnie (<ref-law>) est une forme qualifiée de diffamation (<ref-law>), dont elle se distingue en cela que les allégations attentatoires à l'honneur sont fausses, que l'auteur doit avoir eu connaissance de la fausseté de ses allégations et qu'il n'y a dès lors pas place pour les preuves libératoires prévues dans le cas de la diffamation (arrêt 6B_1100/2014 du 14 octobre 2015 consid. 4.1 et 6S.6/2002 du 6 février 2002 consid. 2a).
Sur le plan objectif, la calomnie implique donc la formulation ou la propagation d'allégations de fait fausses, qui soient attentatoires à l'honneur de la personne visée (arrêts 6B_1100/2014 du 14 octobre 2015 consid. 4.1 et 6S.6/2002 du 6 février 2002 consid. 2a). Alors qu'en cas de diffamation, il appartient à l'auteur de prouver que les allégations propagées sont conformes à la vérité ou qu'il avait des raisons sérieuses de les tenir de bonne foi pour vraies, les autorités pénales doivent prouver en cas de calomnie que le fait allégué est faux (arrêts 6B_1100/2014 du 14 octobre 2015 consid. 4.1 et 6B_498/2012 du 14 février 2013 consid. 5.3.1).
1.3. En l'espèce, la recourante reproche d'abord à l'instance précédente d'avoir arbitrairement retenu que l'intimée ne lui avait pas soufflé à l'oreille les mots " Je t'aime fort toi, je ne suis pas avec toi comme je suis avec les autres ". D'après elle, le fait que l'intimée n'a pas été en mesure de dire clairement si elle avait prononcé ces mots tend plutôt à démontrer qu'elle les aurait dits. Il ressort toutefois du jugement attaqué et du dossier que, contrairement à ce que semble prétendre la recourante, lors de l'audition de l'intimée devant le ministère public, celle-ci a en tout cas clairement nié avoir soufflé ces mots à l'oreille de la recourante. Le grief est infondé.
1.4. La recourante reproche ensuite à l'instance précédente d'avoir retenu que les reproches qu'elle avait émis contre l'intimée étaient peu clairs.
Il ressort du jugement attaqué que lorsqu'elle a été interrogée devant le ministère public sur les pressions psychologiques dont elle prétendait être victime, elle n'a rien dit, à part le fait que l'intimée lui aurait soufflé les mots susmentionnés. Pour le surplus, au cours de la procédure pénale, la recourante n'a donné aucun détail chronologique dans lesquels s'inscriraient les faits allégués. Dans ces conditions, l'instance précédente n'a pas fait preuve d'arbitraire en retenant que les reproches émis étaient peu clairs.
1.5. La recourante reproche principalement à l'instance précédente d'avoir déduit que ses allégations étaient fausses.
L'instance précédente a retenu, en se fondant sur un faisceau d'indices, que les allégations de la recourante étaient fausses. Elle a constaté que, lorsque les témoins ont été interrogés sur la nature des relations entre la recourante et l'intimée, aucun de ceux qui travaillent avec les deux personnes concernées n'a constaté la moindre pression affective ou sentimentale ou un quelconque comportement répréhensible de l'intimée à l'égard de la recourante. Le chef de service, qui connaît bien l'intimée, a noté que les accusations de la recourante ne correspondaient pas à la personnalité de l'intimée. L'instance précédente a également relevé que lorsque la recourante était appelée, dans la présente procédure pénale, à préciser les pressions psychologiques qu'elle alléguait avoir subies, ses reproches étaient peu clairs. En outre, c'est en vain que la recourante considère que l'instance précédente a implicitement retenu que l'intimée n'avait pas prononcé les mots "Je t'aime fort toi, je ne suis pas avec toi comme je suis avec les autres". En effet, ces propos, fussent-ils établis, en dehors de toute précision sur le contexte dans lequel ils auraient été tenus, ne suffisent pas à établir une situation de harcèlement. Pour le surplus, l'on ne saurait reprocher à l'instance précédente d'avoir estimé que les certificats médicaux produits par la recourante ne faisaient que prouver qu'elle était suivie sur le plan médical, mais qu'ils n'attestaient pas de la véracité de ses propos, dans la mesure où ils se contentaient de relater ce que la recourante avait dit à son médecin. L'ensemble des indices pris en compte permettait à l'instance précédente de considérer sans arbitraire que les allégations de la recourante étaient fausses.
1.6. Enfin, la recourante ne saurait être suivie lorsqu'elle reproche à l'autorité précédente d'avoir arbitrairement omis de mentionner qu'elle n'avait pas eu besoin d'entamer une procédure de dénonciation ou de plainte, puisque, après un arrêt de travail, elle avait quitté le service et changé d'emploi. En effet, si ces éléments peuvent, le cas échéant, expliquer pourquoi elle n'a pas entamé une procédure de dénonciation ou de plainte contre l'intimée, ils ne sont pas en soi déterminants quant à la question de savoir si les allégations de la recourante étaient fausses. Le grief d'arbitraire est infondé.
1.7. Pour le surplus, la recourante discute l'interprétation des différents éléments de preuve retenus par l'instance précédente, se contentant d'opposer sa propre appréciation de preuves à celle de l'instance précédente, sans pour autant démontrer l'arbitraire de celle-ci. Son argumentation est ainsi largement appellatoire et, en conséquence, irrecevable.
1.8. Dès lors que la recourante fonde son grief de violation de l'<ref-law> sur l'admission de ses griefs d'arbitraire et ne discute pas les conditions d'application de la norme (<ref-law>), le grief est irrecevable.
2.
Invoquant une violation de l'<ref-law>P, la recourante estime que le montant de l'indemnité de 1'909 fr. 45, qu'elle a été condamnée à verser à l'intimée pour la procédure d'appel en application de cette disposition, est excessif. Selon elle, le temps allégué par le conseil de l'intimée et admis par l'instance précédente est excessif, voire injustifié pour certaines opérations.
2.1. Aux termes de l'<ref-law>P, la partie plaignante peut demander au prévenu une juste indemnité pour les dépenses obligatoires occasionnées par la procédure si elle obtient gain de cause (let. a). La partie plaignante adresse ses prétentions à l'autorité pénale et doit les chiffrer et les justifier (al. 2).
La partie plaignante obtient gain de cause au sens de l'<ref-law> si les prétentions civiles sont admises et/ou lorsque le prévenu est condamné. Dans ce dernier cas, la partie plaignante peut être indemnisée pour les frais de défense privée en relation avec la plainte pénale (arrêt 6B_864/2015 du 1er novembre 2016 consid. 3.2; <ref-ruling> consid. 4.1 et 4.3 p. 107 s).
La juste indemnité, notion qui laisse un large pouvoir d'appréciation au juge, couvre les dépenses et les frais nécessaires pour faire valoir le point de vue de la partie plaignante dans la procédure pénale. Il s'agit en premier lieu des frais d'avocat de la partie plaignante (arrêts 6B_864/2015 du 1er novembre 2016 consid. 3.2 et 6B_965/2013 du 3 décembre 2013 consid. 3.1.1). En particulier, les démarches doivent apparaître nécessaires et adéquates pour la défense raisonnable du point de vue de la partie plaignante (arrêts 6B_864/2015 du 1er novembre 2016 consid. 3.2 et 6B_159/2012 du 22 juin 2012 consid. 2.3).
2.2. En l'espèce, l'instance précédente a fixé l'indemnité due par la recourante à l'intimée pour la procédure d'appel. Pour ce faire, elle s'est fondée sur la note d'honoraires présentée par le mandataire de l'intimée, qui prenait en compte sept heures de travail à un tarif horaire de 250 fr. ainsi que 18 fr. de débours et 8% de TVA. Selon la recourante, le temps devrait être réduit de 1h40.
Contrairement à ce que soutient la recourante, un temps de 12, respectivement 15 minutes, pour la rédaction de correspondances ne paraît pas inadéquat et ne viole pas le large pouvoir d'appréciation du juge. On ne saurait davantage suivre la recourante lorsqu'elle soutient que l'envoi d'un courrier au syndicat de l'intimée ne constituait pas une opération nécessaire à la défense des intérêts de l'intimée, dans la mesure où l'envoi de cette correspondance n'aurait pas eu lieu si la recourante ne l'avait pas calomniée. Enfin, l'on ne voit pas en quoi une durée de 24 minutes pour l' "analyse arrêt et courriers de transmission cliente" est excessive.
Le grief tiré de la violation de l'<ref-law>P est infondé.
3.
Le recours doit être rejeté dans la mesure où il est recevable. La recourante qui succombe devra supporter les frais (<ref-law>). Il n'y a pas lieu d'allouer d'indemnité à l'intimée, qui n'a pas été invitée à se déterminer devant le Tribunal fédéral.

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce :
1.
Le recours est rejeté dans la mesure où il est recevable.
2.
Les frais judiciaires, arrêtés à 2'000 fr., sont mis à la charge de la recourante.
3.
Le présent arrêt est communiqué aux parties et à la Cour d'appel pénale du Tribunal cantonal du canton de Vaud.
Lausanne, le 15 août 2017
Au nom de la Cour de droit pénal
du Tribunal fédéral suisse
Le Président : Denys
La Greffière : Thalmann