Sachverhalt:
Mit Verfügung vom 25. Oktober 2011 verneinte die IV-Stelle des Kantons St. Gallen zum wiederholten Mal einen Anspruch von A._ (geboren 1971) auf eine Rente der Invalidenversicherung. Dies wurde auf die von A._ eingereichte Beschwerde hin mit Entscheid des Versicherungsgerichts des Kantons St. Gallen vom 18. Oktober 2012 bestätigt. Die von A._ hiegegen erhobene Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten wies das Bundesgericht mit Urteil 8C_979/2012 vom 15. März 2013 ab.
Mit Gesuch vom 21. Juni 2016 beantragt A._, es sei das Urteil 8C_979/2012 vom 15. März 2013 revisionsweise aufzuheben und ihm eine Rente basierend auf einem Invaliditätsgrad von 100 % ab 1. Oktober 2009 zuzusprechen. Eventualiter sei die "Rechtssache an die Vorinstanz zurückzuweisen und die Gesuchsgegnerin zu verpflichten, die Angelegenheit neu anhand zu nehmen." Weiter wird um einen zweiten Schriftenwechsel und um eine öffentliche Verhandlung sowie um unentgeltliche Rechtspflege ersucht.
Das Bundesgericht weist mit Verfügung vom 8. Juli 2016 das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege ab.

Erwägungen:
1.
Entscheide des Bundesgerichts erwachsen am Tag ihrer Ausfällung in Rechtskraft (<ref-law>). Rechtskräftige Entscheide können - mit einer hier nicht interessierenden Ausnahme - einzig auf dem Weg der Revision im Sinne von <ref-law> aufgehoben werden (Urteil 8F_5/2015 vom 13. Juli 2015 E. 1 mit Hinweis).
2.
2.1. Der Gesuchsteller ruft den Revisionsgrund von <ref-law> an. Nach dieser Bestimmung kann die Revision in Zivilsachen und öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten verlangt werden, wenn die ersuchende Partei nachträglich erhebliche Tatsachen erfährt oder entscheidende Beweismittel auffindet, die sie im früheren Verfahren nicht beibringen konnte, unter Ausschluss der Tatsachen und Beweismittel, die erst nach dem Entscheid entstanden sind.
2.2. Der Gesuchsteller übersieht, dass das zur Begründung der Revision neu eingereichte Gutachten des Dr. med. B._, Facharzt für Psychiatrie und Psychotherapie FMH, vom 26. März 2016 erst nach Ausfällung des Urteils, das revidiert werden soll, entstanden ist und damit als unzulässiges echtes Novum von vornherein keine Berücksichtigung findet (E. 2.1). Ausserdem betrifft das neue Gutachten nicht die Sachverhaltsermittlung. Es ist kein Revisionsgrund gegeben, wenn einzig ein anderer medizinischer Experte zu einem abweichenden Ergebnis gelangt. Im Hauptverfahren unerkannte und unerkennbare gesundheitliche, somit andere als die damals berücksichtigten Beeinträchtigungen und deren Auswirkungen auf die Arbeitsfähigkeit werden mit dem Gutachten des Dr. med. B._ nicht nachgewiesen (SVR 2016 IV Nr. 7 S. 21, 8F_15/2015 E. 2; vgl. zudem ELISABETH ESCHER, in: Basler Kommentar, Bundesgerichtsgesetz, 2. Aufl. 2011, N. 5 ff. zu <ref-law>). Die Voraussetzungen einer Revision nach <ref-law> sind nicht erfüllt und das Revisionsgesuch ist unbegründet.
3.
Dem vor Bundesgericht gestellten Begehren um Durchführung einer öffentlichen Verhandlung (mit der Anhörung des Dr. med. B._ als sachverständiger Zeuge) ist somit nicht stattzugeben. Da das Revisionsgesuch offensichtlich unbegründet ist, wird es ohne Schriftenwechsel abgewiesen (<ref-law>).
4.
Die Kosten des Verfahrens (<ref-law>) sind vom unterliegenden Gesuchsteller zu tragen (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Das Revisionsgesuch wird abgewiesen.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 800.- werden dem Gesuchsteller auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird den Parteien, dem Bundesamt für Sozialversicherungen und dem Versicherungsgericht des Kantons St. Gallen schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 16. August 2016
Im Namen der I. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Maillard
Die Gerichtsschreiberin: Polla