Sachverhalt:
A.
A.a. A._ und B.B._ sind die unverheirateten Eltern von C.B._ (geb. 2010; Betroffener). Nach der Trennung der Eltern im Juni 2011 stand C.B._ unter der alleinigen elterlichen Sorge der Mutter, die ihn auch betreute. Mit Entscheid vom 3. Dezember 2014 verfügte die Kindes- und Erwachsenenschutzbehörde Bern (KESB) die gemeinsame elterliche Sorge. Gleichzeitig errichtete sie über C.B._ eine Beistandschaft nach Art. 308 Abs. 1 und 2 ZGB.
A.b. Am 6. April 2016 entzog die KESB A._ die elterliche Sorge im medizinischen Bereich superprovisorisch und mit Entschied vom 6. Juli 2016 übertrug sie die alleinige elterliche Sorge auf B.B._ und regelte das Besuchs- und Ferienrecht des Vaters.
B.
Am 17. August 2016 erhob A._ Beschwerde beim Obergericht des Kantons Bern, Kindes- und Erwachsenenschutzgericht. Er beantragte im Wesentlichen die Aufhebung des Entscheids der KESB vom 6. Juli 2016 sowie eine Neuregelung der Betreuung von C.B._ und des Besuchsrechts. Mit Entscheid vom 17. November 2016 (eröffnet am 28. November 2016) wies das Obergericht die Beschwerde ab.
C.
Mit Beschwerde in Zivilsachen vom 9. Januar 2017 (Postaufgabe) gelangt A._ (Beschwerdeführer) mit den folgenden Anträgen ans Bundesgericht:
"1. Die Entscheide vom 17. November 2016 der Vorinstanz seien aufzuheben.
2. Die Entscheide vom 17. November 2016 der Vorinstanz seien aufzuheben. Der vorliegenden Beschwerde sei eine aufschiebende Wirkung zu erteilen. Die [KESB und das Obergericht] seien anzuweisen, die schädigenden Massnahmen bis zum Entscheid des Bundesgerichts zu unterlassen.
3. Die Anordnungen gemäss Ziff. 1 und 2 seien superprovisorisch zu erlassen.
4. Die Beweisstücke seien bei einer mündlichen Verhandlung zu erbringen, Zeugen (alle Involvierten) zu befragen und neu zu beurteilen. Die Argumentation sei dem Gericht mündlich sowie schriftlich und mit genügender Beweiswürdigung und Ergänzungsmöglichkeit vor zu tragen (Art. 6 Ziff. 1 EMRK). Es sei eine mündliche Verhandlung zu verfügen.
5. Es sei eine mündliche Verhandlung zu verfügen. Und es sei eine Sonderkommission für die zeitaufwändige und erschöpfende (professionelle) Sachverhaltserhebung bezüglich der Akten und anderen Aufnahmen oder Aufzeichnungen einzusetzen (Art. 42 Abs. 2, Art. 43 b und Art. 111 BGG).
6. Unter Kosten- und Entschädigungsfolgen zu lasten [der KESB und des Obergerichts].
7. Es sei der beschwerdeführenden/ klagenden Partei unentgeltliche Rechtspflege sowie unentgeltlicher Rechtsbeistand (auf für das Kind) zu gewähren."
Mit Eingaben vom 24. und vom 25. Januar 2017 beantragen die KESB und B.B._ (Beschwerdegegnerin) die Abweisung des Gesuchs um aufschiebende Wirkung. Das Obergericht hat auf eine Stellungnahme verzichtet. Mit Verfügung vom 26. Januar 2017hat der Präsident der II. zivilrechtlichen Abteilung das Gesuch um aufschiebende Wirkung abgewiesen.
Mit Schreiben vom 1. und vom 14. Februar 2017 äussert sich der Beschwerdeführer zu dieser Verfügung, stellt ein Gesuch um superprovisorische Wiederherstellung des gemeinsamen Sorgerechts sowie (sinngemäss) auf Einleitung einer strafrechtlichen Untersuchung und wiederholt den Antrag auf unentgeltliche Verbeiständung. Am 16. Februar 2017 hat der Präsident der II. zivilrechtlichen Abteilung das Gesuch um Erlass superprovisorischer Massnahmen abgewiesen.
Im Übrigen hat das Bundesgericht die Akten des kantonalen Verfahrens, hingegen keine Vernehmlassungen eingeholt.

Erwägungen:
1.
Die Beschwerde richtet sich gegen den Endentscheid einer letzten kantonalen Instanz, die als oberes Gericht über die elterlichen Sorge und damit eine nicht vermögensrechtliche Zivilsache entschieden hat (Art. 72 Abs. 1, Art. 75 Abs. 1 und Art. 90 BGG). Der Beschwerdeführer hat am vorinstanzlichen Verfahren teilgenommen und ist durch den angefochtenen Entscheid besonders berührt und hat ein schutzwürdiges Interesse an dessen Aufhebung oder Änderung (<ref-law>). Die Beschwerdefrist ist eingehalten (Art. 100 Abs. 1 und Art. 46 Abs. 1 Bst. c BGG). Auf die Beschwerde kann unter Vorbehalt der nachfolgenden Ausführungen eingetreten werden.
2.
2.1. In der Beschwerde ist in Auseinandersetzung mit den Erwägungen des angefochtenen Entscheids darzulegen, welche Rechte der beschwerdeführenden Partei durch das kantonale Gericht verletzt worden sind (<ref-law>; <ref-ruling> E. 2.1), wobei eine allfällige Verletzung verfassungsmässiger Rechte vom Bundesgericht nicht von Amtes wegen geprüft wird, sondern nur dann, wenn solche Rügen in der Beschwerdeschrift ausdrücklich erhoben und begründet werden (<ref-law>; <ref-ruling> E. 1.2). Wird eine Sachverhaltsfeststellung beanstandet, muss in der Beschwerdeschrift dargelegt werden, inwiefern diese Feststellung willkürlich oder durch eine andere Rechtsverletzung im Sinn von <ref-law> (z.B. <ref-law>) zustande gekommen ist (<ref-ruling> E. 1.2.2 und 1.4.3) und inwiefern die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein kann (<ref-law>; <ref-ruling> E. 2.2.2). Das Bundesgericht prüft nur klar und detailliert erhobene Rügen; auf ungenügend begründete Rügen und rein appellatorische Kritik am angefochtenen Entscheid tritt es nicht ein (<ref-law>; <ref-ruling> E. 5.1; <ref-ruling> E. 2.2).
2.2. In der weitschweifigen und teilweise kaum verständlichen Beschwerdeschrift wirft der Beschwerdeführer dem Obergericht in verschiedener Hinsicht die unvollständige und unrichtige Feststellung des Sachverhalts sowie falsche Rechtsanwendung vor. Grösstenteils begnügt er sich allerdings damit, seine eigenen Sachverhaltsdarstellungen und Rechtsstandpunkte denjenigen der Vorinstanz in appellatorischer Art und Weise gegenüber zu stellen. Weder zeigt er mit hinreichender Klarheit auf, inwieweit der Sachverhalt offensichtlich unrichtig oder im Sinn von <ref-law> rechtsfehlerhaft festgestellt worden wäre, noch findet eine Auseinandersetzung mit den Erwägungen des angefochtenen Entscheids statt. Dies gilt nicht nur bezüglich der Frage der Neuzuteilung der elterlichen Sorge, sondern auch mit Blick auf das vom Beschwerdeführer vor Obergericht gestellte Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung. Auf die Beschwerde ist insoweit nicht einzutreten. Unter diesen Umständen besteht kein Anlass, vom Grundsatz abzuweichen, wonach das Bundesgericht gestützt auf den Sachverhalt entscheidet, den die Vorinstanz feststellt hat (<ref-law>). Die zahlreichen Beweisanträge des Beschwerdeführers werden abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.3. Die Beschwerdeschrift genügt den Begründungsanforderungen auch insoweit nicht, als der Beschwerdeführer verschiedentlich Verletzungen des Anspruchs auf rechtliches Gehör und anderer verfassungsmässiger Rechte (z.B. Diskriminierungsverbot, Menschenwürde, Recht auf Leben und auf persönliche Freiheit, Meinungs- und Informationsfreiheit) geltend macht. Er beschränkt sich auch diesbezüglich auf allgemeine Hinweise und unterlässt es, im Einzelnen darzulegen, welche Verfassungsverletzungen der Vorinstanz vorzuwerfen sein sollen. Auch insoweit ist auf die Beschwerde nicht einzutreten.
3.
Nicht eingetreten werden kann auf die Beschwerde sodann, soweit der Beschwerdeführer die Einleitung einer strafrechtlichen Untersuchung durch das Bundesgericht (gegebenenfalls unter Beizug der Bundesanwaltschaft) beantragt. Die Strafverfolgung liegt nicht in der Zuständigkeit des Gerichts, sondern in derjenigen der (ordentlichen) Strafverfolgungsbehörden (<ref-law>; Art. 2 Abs. 1 und Art. 12 ff. StPO). Hierauf wurde der Beschwerdeführer im Übrigen bereits durch die Vorinstanz hingewiesen.
4.
Der Beschwerdeführer beantragt eine öffentliche und mündliche Parteiverhandlung. Das Begehren um eine Parteiverhandlung vor Bundesgericht (<ref-law>) muss, wie alle Anträge, begründet werden (<ref-law>; Urteile 5D_7/2015 vom 13. August 2015 E. 2 und 5A_880/2011 vom 20. Februar 2012 E. 1.5, in: Pra 2012 Nr. 91 S. 606). Dies gilt auch mit Blick auf Art. 6 Ziff. 1 EMRK (Urteil 5A_461/2016 vom 3. November 2016 E. 4). Der Beschwerdeführer begnügt sich damit, die gewünschte Verhandlung zu beantragen, und zeigt nicht ansatzweise auf, weshalb es notwendig sein soll, eine solche durchzuführen. Ebenso wenig setzt er sich mit den Ausführungen der Vorinstanz dazu auseinander, weshalb vorliegend ausnahmsweise auf die Durchführung einer öffentlichen Verhandlung nach Art. 6 Ziff. 1 EMRK verzichtet werden kann (<ref-law>). Hierauf ist nicht weiter einzugehen.
5.
5.1. In der Sache umstritten ist die Übertragung der alleinigen elterlichen Sorge an die Beschwerdegegnerin. Gemäss <ref-law> regelt die Kindesschutzbehörde die Zuteilung der elterlichen Sorge auf Begehren eines Elternteils, des Kindes oder von Amtes wegen neu, wenn dies wegen wesentlicher Änderungen der Verhältnisse zur Wahrung des Kindeswohls nötig ist. Ausgehend von der nicht zu beanstandenden Sachverhaltsfeststellung des Obergerichts (vorne E. 2.2) ist keine bundesrechtswidrige Anwendung dieser Bestimmung feststellbar:
5.2. Vorab hat die Vorinstanz das Vorliegen veränderter Verhätnisse im Sinn von <ref-law> zutreffend bejaht. Diese liegen darin, dass sich, wie die Vorinstanz feststellt, nach der Übertragung der gemeinsamen elterlichen Sorge an die Parteien am 3. Dezember 2014 (vorne Bst. A.a) der Streit zwischen den Eltern entgegen den Erwartungen nicht entspannte, sondern deutlich verschärfte (vgl. <ref-ruling> E. 4.3).
5.3. Richtig hat das Obergericht sodann unter Hinweis auf den soeben zitierten Entscheid festgehalten, dass nach geltendem Recht die gemeinsame elterliche Sorge den Grundsatz und die Alleinzuteilung der elterlichen Sorge die eng begrenzte Ausnahme bildet, wenn auch nicht die Interventionsschwelle für eine Kindesschutzmassnahme nach <ref-law> erforderlich ist. Auch hat es die in jenem Entscheid für die Alleinzuteilung entwickelten Voraussetzungen richtig dargestellt. Diese können insbesondere bei einem schwerwiegenden elterlichen Dauerkonflikt oder bei anhaltender Kommunikationsunfähigkeit erfüllt sein, wenn sich der Mangel negativ auf das Kindeswohl auswirkt und die Alleinzuteilung diesem besser gerecht wird (<ref-ruling> E. 4.6). Überdies hat die Vorinstanz korrekt berücksichtigt, dass es - nachdem das Parlament einen entsprechenden Minderheitsantrag ausdrücklich verworfen hat (AB 2012 N. 1635) - nicht um eine freie Überprüfung gehen kann, ob dem Kindeswohl mit gemeinsamer oder alleiniger elterlicher Sorge besser gedient ist. Vielmehr darf die vom Gesetzgeber als Ausnahme vom Grundsatz konzipierte Alleinsorge nur dann angeordnet werden, wenn das gemeinsame Sorgerecht aufgrund des erstellten Sachverhalts eine erhebliche Beeinträchtigung des Kindeswohls mit sich bringt und die Alleinzuteilung eine Verbesserung der Lage verspricht (<ref-ruling> E. 3.7 S. 201).
Wie das Obergericht feststellte, streiten sich die Parteien seit Jahren in erheblichem Ausmass über verschiedenste Kinderbelange und haben sich diese Streitereien nach Erteilung des gemeinsamen Sorgerechts verschärft. Zwischen den Eltern besteht nicht einmal ein minimales Einvernehmen, was nicht zuletzt auf das auffällige Verhalten des Beschwerdeführers zurückzuführen ist. Er verweigerte insbesondere die Zusammenarbeit bei der Behandlung der beim Betroffenen diagnostizierten Aufmerksamkeits- und Hyperaktivitätsstörung (ADHS; ICD-10 F90.0). Diese Haltung betreffend die Behandlung der ADHS bringt der Beschwerdeführer auch vor Bundesgericht zum Ausdruck. Beim Betrof fenen lösten die Konfrontation mit dem Konflikt zwischen den Eltern und die wiederholt beobachtete Instrumentalisierung durch den Beschwerdeführer sodann einen Loyalitätskonflikt aus. Dieser Loyalitätskonflikt führt zu einer Belastung des Betroffenen, auf die dieser mit Verwirrung und Rückzug reagiert. Unter diesen Umständen konnte die Vorinstanz entgegen der Ansicht des Beschwerdeführers ohne Bundesrechtsverletzung zum Schluss gelangen, das gemeinsame Sorgerecht der Eltern beeinträchtige das Kindeswohl erheblich und es sei durch die Alleinzuteilung der elterlichen Sorge an die Beschwerdegegnerin - insbesondere werden notwendige Entscheide nicht mehr verzögert - eine Verbesserung der Situation zu erwarten (zu ähnlichen Sachlagen vgl. die Urteile 5A_923/2014 vom 27. August 2015 E. 2 und 5.5, nicht publiziert in <ref-ruling>, aber in FamPra.ch 2015 S. 960, und 5A_89/2016 vom 2. Mai 2016 E. 2 und 4). Demgegenüber geht der Einwand des Beschwerdeführers an der Sache vorbei, eine Verbesserung der Situation sei nicht zu erwarten, weil die Aufmerksamkeits- und Hyperaktivitätsstörung des Betroffenen bereits bestanden habe, bevor die gemeinsame elterliche Sorge verfügt worden sei (vorne Bst. A.a) : Es ist nicht die Störung als solche, welche die Neuregelung der elterlichen Sorge verlangt, sondern der Elternkonflikt, der ihre Behandlung behindert.
5.4. Angesichts der gegebenen Ausnahmesituation hat die Vorinstanz die in der bundesgerichtlichen Rechtsprechung entwickelten Kriterien für die Alleinzuteilung der elterlichen Sorge zu Recht als erfüllt angesehen. Der angefochtene Entscheid ist bundesrechtskonform.
6.
Damit erweist sich die Beschwerde als unbegründet und ist abzuweisen, soweit darauf eingetreten werden kann. Dementsprechend wird der Beschwerdeführer kostenpflichtig und hat er keinen Anspruch auf eine Parteientschädigung. Ebenfalls kostenpflichtig wird der Beschwerdeführer im Zwischenverfahren betreffend die aufschiebende Wirkung der Beschwerde. Die anwaltlich nicht vertretene Beschwerdegegnerin und die KESB haben keinen Anspruch auf Parteientschädigung, zumal in der Hauptsache keine Vernehmlassungen eingeholt worden sind (Art. 66 Abs. 1 und Art. 68 Abs. 1 und 3 BGG). Wie sich aus den vorstehenden Ausführungen ergibt, muss die Beschwerde als von Anfang an aussichtslos betrachtet werden. Das vor Bundesgericht gestellte Begehren um unentgeltliche Rechtspflege ist daher abzuweisen (Art. 64 Abs. 1 und 2 BGG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.
Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege wird abgewiesen.
3.
Die Gerichtskosten von insgesamt Fr. 2'500.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
4.
Parteikosten werden keine zugesprochen.
5.
Dieses Urteil wird den Parteien, der Kindes- und Erwachsenenschutzbehörde Bern und dem Obergericht des Kantons Bern, Kindes- und Erwachsenenschutzgericht, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 15. März 2017
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: von Werdt
Der Gerichtsschreiber: Sieber