Sachverhalt:
A.
Am 20. März 2012 kam es zu einem verbalen Streit zwischen X._ und dessen Nachbarn B.A._ und C.A._ sowie deren Vater, A.A._. X._ zeichnete die Auseinandersetzung mit einer kleinen Handkamera auf. Am 23. März bzw. 30. April 2012 erstattete er Anzeige gegen C.A._ wegen Drohung, Nötigung und übler Nachrede. Er konstituierte sich als Privatkläger und machte eine Genugtuung von Fr. 7'000.-- geltend.
Am 6. August 2012 stellte die Staatsanwaltschaft Abteilung 1 Luzern die Strafuntersuchung gegen C.A._ein, wogegen X._ Beschwerde einreichte. Auf seinen Antrag hin sistierte das Kantonsgericht Luzern dieses Beschwerdeverfahren am 12. Juli 2013, bis das gegen ihn selbst laufende Strafverfahren betreffend Verletzung des Geheim- oder Privatbereichs durch Aufnahmegeräte rechtskräftig abgeschlossen wäre. Nachdem das Bundesgericht die Beschwerde von X._ in dieser Sache gutgeheissen und das fragliche Verfahren an das Kantonsgericht Luzern zurückgewiesen hatte (vgl. Urteil 6B_1149/2013 vom 13. November 2014), sprach ihn dieses frei vom Vorwurf der Verletzung des Privatbereichs durch Aufnahmegeräte nach <ref-law>. Daraufhin setzte das Kantonsgericht Luzern das Beschwerdeverfahren betreffend die Einstellung der Strafuntersuchung gegen C.A._ fort. Am 28. Oktober 2015 wies es die Beschwerde von X._ sowie dessen Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege ab.
B.
X._ führt Beschwerde in Strafsachen mit dem Antrag, der Beschluss des Kantonsgerichts Luzern vom 28. Oktober 2015 sei aufzuheben. Für das Beschwerdeverfahren vor dem Kantonsgericht Luzern sei ihm die unentgeltliche Rechtspflege zu gewähren und der unterzeichnende Anwalt als unentgeltlicher Rechtsbeistand zu ernennen. C.A._ sei der Drohung sowie der Beschimpfung schuldig zu sprechen und angemessen zu bestrafen sowie zu verpflichten, ihm eine Genugtuung von Fr. 3'000.-- nebst Zinsen zu entrichten. Ausserdem sei die Sache zur Neuverteilung der vorinstanzlichen Kosten an das Kantonsgericht Luzern zurückzuweisen. Eventualiter sei der angefochtene Beschluss aufzuheben und die Sache zur Neubeurteilung an die Vorinstanz zurückzuweisen. X._ersucht um unentgeltliche Rechtspflege.
C.
Das Kantonsgericht Luzern beantragt, die Beschwerde sei abzuweisen, soweit darauf einzutreten sei. Die Oberstaatsanwaltschaft des Kantons Luzern stellt Antrag auf Abweisung der Beschwerde.

Erwägungen:
1.
Zur Beschwerde in Strafsachen ist nach <ref-law> berechtigt, wer ein rechtlich geschütztes Interesse an der Aufhebung oder Änderung des angefochtenen Entscheids hat. Gemäss Art. 81 Abs. 1 lit. b Ziff. 5 BGG hat die Privatklägerschaft ein rechtlich geschütztes Interesse, wenn sich der angefochtene Entscheid auf die Beurteilung ihrer Zivilansprüche auswirken kann (vgl. <ref-ruling> E. 1.1 S. 4 f.).
Unbekümmert um die fehlende Legitimation in der Sache selbst kann die Privatklägerschaft mit Beschwerde in Strafsachen eine Verletzung ihrer Parteirechte rügen, die ihr nach dem Verfahrensrecht, der Bundesverfassung oder der EMRK zustehen und deren Missachtung auf eine formelle Rechtsverweigerung hinausläuft. Zulässig sind Rügen, die formeller Natur sind und von der Prüfung der Sache getrennt werden können. Das nach <ref-law> erforderliche rechtlich geschützte Interesse ergibt sich diesfalls aus der Berechtigung, am Verfahren teilzunehmen (<ref-ruling> E. 1.1 S. 5; <ref-ruling> E. 1.3 S. 79 f.; <ref-ruling> E. 1.9 S. 40; je mit Hinweisen).
Vorliegend macht der Beschwerdeführer eine Verletzung seiner Parteirechte geltend, indem die Vorinstanz ihre Kognition zu Unrecht eingeschränkt habe (vgl. nachfolgend E. 2). Auf die Beschwerde ist deshalb unabhängig von einer allfälligen Auswirkung des angefochtenen Entscheids auf die Zivilansprüche des Beschwerdeführers einzutreten.
2.
2.1. Der Beschwerdeführer rügt mehrfach (Beschwerde, S. 13 f., 20, 24 f., 28), die Vorinstanz verletze Bundesrecht, indem sie ihm wiederholt eine qualifizierte Rechtsrügeverpflichtung zuweise und damit ihre Kognition in unzulässiger Weise beschränke.
2.2. Die Vorinstanz gibt zunächst die staatsanwaltschaftliche Begründung der Einstellungsverfügung wieder und erwägt anschliessend zusammengefasst, was der Beschwerdeführer in seiner Beschwerde vom 20. August 2012 dagegen vortrage, sei keine Auseinandersetzung mit den entsprechenden Ausführungen. Zum einen bringe er nicht vor, welche Punkte der Einstellungsverfügung er anfechte und inwiefern diese zu ändern wäre. Zum anderen begründe er nicht substanziiert, dass und inwiefern die Staatsanwaltschaft den Sachverhalt falsch festgestellt oder Beweismittel zu Unrecht nicht abgenommen bzw. falsch gewürdigt habe. Er kritisiere zwar einzelne Ausführungen der Staatsanwaltschaft, doch stelle diese Kritik keine Auseinandersetzung mit der eigentlichen Begründung der Verfahrenseinstellung dar. Auch trage der Beschwerdeführer in seiner Beschwerde nicht vor, weshalb er durch die angebliche Drohung in Angst und Schrecken versetzt worden sein soll bzw. dass und inwieweit die Staatsanwaltschaft den entsprechenden Sachverhalt falsch festgestellt habe. Ebenso wenig mache er geltend, dass das fragliche Tatbestandselement anhand seiner Videoaufnahme nachgewiesen werden könne. Inwiefern die Einstellung betreffend üble Nachrede und Nötigung zu Unrecht erfolgt sei, lege der Beschwerdeführer ebenfalls nicht dar. Die Beschwerde sei deshalb abzuweisen, soweit darauf eingetreten werden könne (Beschluss, S. 6 ff.).
2.3. Mit diesen Ausführungen verkennt die Vorinstanz, dass sie Rechtsmittelbehörde mit umfassender Kognition in rechtlicher und tatsächlicher Hinsicht ist (vgl. Art. 398 Abs. 2 und 3 StPO; <ref-ruling> E. 1.3.3 mit Hinweisen; Urteil 6B_731/2015 vom 14. April 2016 E. 1.2.2). Tritt sie auf eine Berufung ein, fällt sie ein neues, den erstinstanzlichen Entscheid ersetzendes Urteil (vgl. <ref-law>) und kann sich nicht mit einer Überprüfung der erstinstanzlichen Sachverhaltsfeststellung und Rechtsanwendung begnügen. Daran ändert die Möglichkeit, im Rechtsmittelverfahren auf die Begründung der Erstinstanz zu verweisen, nichts (vgl. <ref-ruling> E. 1.3.3 mit Hinweisen). Indem die Vorinstanz ihre Kognition in unzulässiger Weise beschränkt, verweigert sie dem Beschwerdeführer das rechtliche Gehör (vgl. Urteil 6B_497/2014 vom 6. März 2015 E. 1.4 mit Hinweisen).
3.
Die Beschwerde ist gutzuheissen, der angefochtene Beschluss aufzuheben und die Sache zur neuen Entscheidung an die Vorinstanz zurückzuweisen. Diese wird unter Anwendung ihrer vollen Kognition zu beurteilen haben, ob die Einstellung des Verfahrens gegen den Beschwerdegegner 2 zu Recht erfolgt ist. Damit erübrigt sich ein Eingehen auf die übrigen Rügen und Einwände des Beschwerdeführers.
Bei diesem Ausgang des Verfahrens sind keine Kosten zu erheben (<ref-law>). Der Kanton Luzern hat den Beschwerdeführer für das bundesgerichtliche Verfahren angemessen zu entschädigen (Art. 68 Abs. 1 und 2 BGG). Sein Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege wird damit gegenstandslos. Die Entschädigung ist praxisgemäss seinem Rechtsvertreter auszurichten.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird gutgeheissen. Der Beschluss des Kantonsgerichts Luzern vom 28. Oktober 2015 wird aufgehoben und die Sache zur neuen Entscheidung an die Vorinstanz zurückgewiesen.
2.
Es werden keine Kosten erhoben.
3.
Der Kanton Luzern hat dem Rechtsvertreter des Beschwerdeführers, Rechtsanwalt Markus Bachmann, für das bundesgerichtliche Verfahren eine Parteientschädigung von Fr. 3'000.-- auszurichten.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Kantonsgericht Luzern, 1. Abteilung, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 17. Januar 2017
Im Namen der Strafrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Denys
Die Gerichtsschreiberin: Siegenthaler