Nach Einsicht
in die Verfassungsbeschwerde gegen den Beschluss vom 4. April 2016 des Obergerichts des Kantons Zürich, das eine Beschwerde des Beschwerdeführers (betreffend Rechtsvorschlag mangels neuen Vermögens) als nicht erfolgt geltend qualifiziert hat,

in Erwägung,
dass gegen den in einer vermögensrechtlichen Angelegenheit ergangenen Beschluss des Obergerichts mangels Erreichens der Streitwertgrenze (<ref-law>) und mangels Vorliegens einer Ausnahme gemäss <ref-law> allein die subsidiäre Verfassungsbeschwerde nach <ref-law> offen steht, weshalb die Eingabe des Beschwerdeführers als solche entgegengenommen worden ist,
dass das Gesuch des Beschwerdeführers um vorgängige Bekanntgabe der Namen der am vorliegenden Verfahren mitwirkenden Gerichtspersonen abzuweisen ist, weil diese Namen den amtlichen Publikationen entnommen werden können,
dass sich die Ausstandsbegehren des Beschwerdeführers gegen "alle vorbefassten... Bundes-Richterinnen" als missbräuchlich erweisen, weshalb darauf nicht einzutreten ist,
dass die Verfassungsbeschwerde von vornherein unzulässig ist, soweit der Beschwerdeführer Anträge stellt und Rügen erhebt, die über den Gegenstand des vorliegend allein anfechtbaren Beschlusses des Obergerichts vom 4. April 2016 hinausgehen oder damit in keinem Zusammenhang stehen,
dass sodann in einer subsidiären Verfassungsbeschwerde die Rüge der Verletzung verfassungsmässiger Rechte vorzubringen und zu begründen (Art. 117 i.V.m. <ref-law> sowie <ref-law>), d.h. anhand der Erwägungen des kantonalen Entscheids klar und detailliert darzulegen ist, welche verfassungsmässigen Rechte und inwiefern sie durch diesen Entscheid verletzt sein sollen (<ref-ruling> E. 3.1 S. 399), ansonst auf die Beschwerde nicht eingetreten wird (Art. 117 i.V.m. <ref-law>),
dass das Obergericht im Beschluss vom 4. April 2016 erwog, trotz Aufforderung zur Verbesserung habe der Beschwerdeführer erneuteine Beschwerde mit ungebührlichen Passagen eingereicht, weshalb die Beschwerde androhungsgemäss als nicht erfolgt zu gelten habe (Art. 132 Abs. 1 und 2 ZPO),
dass der Beschwerdeführer in seiner Eingabe an das Bundesgericht nicht rechtsgenüglich auf die obergerichtlichen Erwägungen eingeht,
dass er erst recht nicht anhand dieser Erwägungen nach den gesetzlichen Anforderungen, d.h. klar und detailliert aufzeigt, welche verfassungsmässigen Rechte und inwiefern sie durch den Beschluss des Obergerichts vom 4. April 2016 verletzt sein sollen,
dass der Beschwerdeführer ausserdem einmal mehr missbräuchlich prozessiert (<ref-law>),
dass somit auf die - offensichtlich unzulässige bzw. keine hinreichende Begründung enthaltende und überdies missbräuchliche - Verfassungsbeschwerde in Anwendung von Art. 117 i.V.m. Art. 108 Abs. 1 lit. a bis c BGG nicht einzutreten ist,
dass mit dem Beschwerdeentscheid das Gesuch des Beschwerdeführers um aufschiebende Wirkung gegenstandslos wird,
dass dem Beschwerdeführer in Anbetracht der Aussichtslosigkeit der Verfassungsbeschwerde die unentgeltliche Rechtspflege (einschliesslich Rechtsvertretung) nicht gewährt werden kann (<ref-law>),
dass der unterliegende Beschwerdeführer kostenpflichtig wird (<ref-law>) und keine Parteientschädigung zugesprochen erhält,
dass in den Fällen des Art. 117 i.V.m. <ref-law> das vereinfachte Verfahren zum Zuge kommt und das präsidierende Abteilungsmitglied zuständig ist,
dass sich das Bundesgericht in dieser Sache vorbehält, allfällige weitere Eingaben in der Art der bisherigen, namentlich missbräuchliche Revisionsgesuche ohne Antwort abzulegen,

erkennt das präsidierende Mitglied:
1.
Das Gesuch um vorgängige Bekanntgabe der Namen der Gerichtspersonen wird abgewiesen.
2.
Auf die Ausstandsbegehren wird nicht eingetreten.
3.
Auf die Verfassungsbeschwerde wird nicht eingetreten.
4.
Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege (einschliesslich Rechtsvertretung) wird abgewiesen.
5.
Die Gerichtskosten von Fr. 300.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
6.
Dem Beschwerdeführer wird keine Parteientschädigung zugesprochen.
7.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Zürich schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 26. April 2016
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Das präsidierende Mitglied: Escher
Der Gerichtsschreiber: Füllemann