Sachverhalt:
A.
Das Grundstück von X._ grenzt an das Grundstück von A._. Am 16. September 2011 schnitt B._, Mitarbeiter der C._ GmbH, zwei Birken auf dem Grundstück von A._.
B.
Die Staatsanwaltschaft Abteilung 2 Emmen sprach X._ mit Strafbefehl vom 10. Juli 2014 der Anstiftung zur Sachbeschädigung schuldig. Sie bestrafte ihn mit einer bedingten Geldstrafe von zehn Tagessätzen zu Fr. 300.-- bei einer Probezeit von zwei Jahren sowie mit einer Busse von Fr. 700.--.
Auf Einsprache hin sprach das Bezirksgericht Kriens am 13. Oktober 2014 X._ von Schuld und Strafe frei.
In Gutheissung der Berufung von A._ verurteilte das Kantonsgericht Luzern am 18. Mai 2015 X._ wegen Sachbeschädigung (begangen in mittelbarer Täterschaft) und auferlegte ihm eine bedingte Geldstrafe von zehn Tagessätzen zu Fr. 300.--.
C.
X._ führt Beschwerde in Strafsachen. Er beantragt, das Urteil des Kantonsgerichts sei aufzuheben, und er sei von Schuld und Strafe freizusprechen. Eventualiter sei die Sache zur Neubeurteilung an die Vorinstanz oder Staatsanwaltschaft zurückzuweisen. Zudem ersucht er um aufschiebende Wirkung, welche am 14. September 2015 superprovisorisch gewährt wurde.
D.
Das Kantonsgericht Luzern liess sich mit Schreiben vom 8. April 2016 zur Beschwerde vernehmen. Die Oberstaatsanwaltschaft des Kantons Luzern hat auf eine Vernehmlassung verzichtet. A._ beantragt die Abweisung der Beschwerde. Mit Eingaben vom 2. Mai 2016 und 10. Juni 2016 nahm der Beschwerdeführer sein Recht zur Replik wahr.

Erwägungen:
1.
1.1. Der Beschwerdeführer verweist auf den Strafbefehl der Staatsanwaltschaft Abteilung 2 Emmen vom 10. Juli 2014. Dieser genüge in mehrfacher Hinsicht nicht den gesetzlichen Anforderungen und sei ungültig. Den früheren Strafbefehl vom 14. März 2013 habe die Vorinstanz aufgehoben und den Fall zur Durchführung eines neuen Vorverfahrens an die Staatsanwaltschaft zurückgewiesen. Diese habe das zusammen mit dem früheren Strafbefehl verfasste Überweisungsschreiben in den neuen Strafbefehl kopiert. Zudem sei das Verfahren gegen den Haupttäter D._ bereits rechtskräftig eingestellt gewesen. Gleichwohl habe die Staatsanwaltschaft am Strafbefehl vom 10. Juli 2014 festgehalten, anstatt das Verfahren auf weitere Personen auszudehnen oder einen Strafbefehl wegen mittelbarer Täterschaft zu erlassen. Die Staatsanwaltschaft verstosse schliesslich gegen <ref-law> sowie gegen die Informations- und Umgrenzungsfunktion des Strafbefehls, indem sie ihn als Anstifter und eventualiter als mittelbaren Täter schuldig gesprochen habe (Beschwerde S. 5 ff.).
1.2. Die Vorinstanz erwägt, es sei zutreffend, dass der Strafbefehl nicht eine Alternativ- oder Eventualanklage enthalten dürfe. Indessen lasse der Strafbefehl vom 10. Juli 2014 keine Zweifel daran, dass die Staatsanwaltschaft den Beschwerdeführer der Anstiftung zur Sachbeschädigung schuldig gesprochen habe (Entscheid S. 7).
1.3. Inwiefern die Wiedergabe eines in einem früheren Überweisungsschreiben umschriebenen Sachverhalts die Gültigkeit des Strafbefehls tangieren und die Vorinstanz Bundesrecht verletzen sollte, indem sie auf den fraglichen Strafbefehl abstellt, wird vom Beschwerdeführer nicht näher dargelegt. Die Beschwerde genügt in diesem Punkt den bundesrechtlichen Anforderungen von <ref-law> nicht.
Der Beschwerdeführer vermag mit dem Hinweis auf das gegen D._ geführte und eingestellte Verfahren nichts für seinen Standpunkt abzuleiten. Laut Strafbefehl erfolgte das Zurückschneiden der Birken durch B._ im Auftrag des Beschwerdeführers. Selbst wenn gemäss Vorwurf im Strafbefehl D._ der Angestiftete sein sollte, wurde das gegen ihn geführte Verfahren wegen Rechtsirrtum im Sinne von <ref-law> eingestellt (vgl. vorinstanzliche Akten Register "Belege bp" Beilage 2). Wer bei der Begehung der Tat nicht weiss und nicht wissen kann, dass er sich rechtswidrig verhält, handelt nicht schuldhaft (<ref-law>). Der angestiftete Haupttäter muss tatbestandsmässig und rechtswidrig handeln, nicht unbedingt schuldhaft (TRECHSEL/JEAN-RICHARD, in: Schweizerisches Strafgesetzbuch, Praxiskommentar, 2. Aufl. 2013, N. 26 vor <ref-law>). Der Verbotsirrtum ist ein persönliches Merkmal im Sinne von <ref-law> (Marc Forster, in: Basler Kommentar, Strafrecht, Bd. I, 3. Aufl. 2013, N. 51 zu <ref-law>; TRECHSEL/JEAN-RICHARD, a.a.O., N. 2 zu <ref-law>). Die Einstellung der Strafuntersuchung gegen D._ bleibt damit hier unerheblich.
Der fragliche Strafbefehl bezeichnet den durch den Beschwerdeführer erfüllten Straftatbestand ("1. Sie haben sich schuldig gemacht der Anstiftung zur Sachbeschädigung"), wie das Art. 325 Abs. 1 lit. g und <ref-law> vorschreiben. In Ziffer 2 folgt unter anderem der Hinweis auf <ref-law>. Der nach Ansicht der Staatsanwaltschaft erfüllte Straftatbestand wird zudem optisch hervorgehoben. Der Schuldpunkt wird dadurch hinreichend klar, selbst wenn der Beschwerdeführer im Sachverhalt eventualiter als mittelbarer Täter bezeichnet wird. Der Strafbefehl genügt seiner Informations- und Umgrenzungsfunktion.
2.
2.1. Der Beschwerdeführer bringt vor, es sei (unter der Voraussetzung, dass der objektive Tatbestand von <ref-law> erfüllt sei) von einem Fr. 300.-- unterschreitenden Schaden auszugehen. In Anwendung von <ref-law> könne ihm deshalb nur eine Übertretung zur Last gelegt werden. Die Vorinstanz habe ihre Kognition überschritten. Sie hätte die Feststellung des Sachverhalts nur unter den eingeschränkten Voraussetzungen von <ref-law> überprüfen dürfen (Beschwerde S. 7 ff.).
2.2. Bildeten ausschliesslich Übertretungen Gegenstand des erstinstanzlichen Hauptverfahrens, kann mit der Berufung nur geltend gemacht werden, das Urteil sei rechtsfehlerhaft oder die Feststellung des Sachverhalts sei offensichtlich unrichtig oder beruhe auf einer Rechtsverletzung (<ref-law>). Dies ist hier nicht der Fall, und die Vorinstanz hatte entgegen der Rüge des Beschwerdeführers die erstinstanzliche Sachverhaltsfeststellung mit voller Kognition zu überprüfen. Der Beschwerdeführer wurde mit Strafbefehl vom 10. Juli 2014 einer Sachbeschädigung im Sinne von <ref-law> und damit eines Vergehens schuldig gesprochen, weshalb ihm eine Geldstrafe auferlegt wurde (vgl. <ref-law>). Der Strafbefehl respektive die Anklage enthält keinen Hinweis auf <ref-law>. Aus diesem Grund wirkten am erstinstanzlichen Entscheid drei Richter mit (vgl. § 34 Abs. 3 und § 35 Abs. 2 lit. a des Gesetzes des Kantons Luzern vom 10. Mai 2010 über die Organisation der Gerichte und Behörden in Zivil-, Straf- und verwaltungsgerichtlichen Verfahren [Justizgesetz, Nr. 260]). Gegenstand der Anklage und der vorinstanzlichen Verfahren war mithin zweifelsohne ein Vergehen. Dies wäre selbst der Fall gewesen, wenn das angeklagte Vergehen erstinstanzlich als Übertretung qualifiziert worden wäre. Auch in diesem Fall wäre die Berufung nach <ref-law> gegeben und hätte die Vorinstanz den Sachverhalt frei überprüft (LUZIUS EUGSTER, in: Basler Kommentar, Schweizerische Strafprozessordnung, 2. Aufl. 2014, N. 3 zu <ref-law>; HUG/SCHEIDEGGER, Kommentar zur Schweizerischen Strafprozessordnung, 2. Aufl. 2014, N. 21 f. zu <ref-law>). Die Rüge ist unbegründet.
3.
3.1. D._ wurde am 22. März 2012 durch die Staatsanwaltschaft als beschuldigte Person befragt. Der Beschwerdeführer bezeichnet dessen Aussagen als unverwertbar. Die Staatsanwaltschaft habe es unterlassen, ihn über die Einvernahme zu informieren und ihm Gelegenheit zu geben, bei dessen Befragung anwesend zu sein. Deshalb hätten die Aussagen von D._ gestützt auf <ref-law> nicht zur Verurteilung herangezogen werden dürfen. Zwar habe die Staatsanwaltschaft das Verfahren gegen ihn und D._ unter zwei verschiedenen Verfahrensnummern geführt. Eine formelle Trennung der Verfahren bei gleichem Lebenssachverhalt sei aber nicht zulässig. Selbst wenn die Trennung zu Recht erfolgt wäre, hätten die kantonalen Gerichte ihm wenigstens einmal die Gelegenheit einräumen müssen, D._ Fragen zu stellen. Dessen Aussagen stellten in der Argumentation der Vorinstanz einen zentralen Beweis dar. Die Vorinstanz habe erst gestützt darauf den Schluss gezogen, er habe D._ in einen Sachverhaltsirrtum versetzt (Beschwerde S. 9 ff.).
3.2. Die Vorinstanz erwägt, der Beschwerdeführer habe grundsätzlich Anspruch auf Befragung von D._ unter Wahrung der eigenen Teilnahmerechte. Indessen habe er im Berufungsverfahren eine Befragung von D._ nicht verlangt und deshalb darauf verzichtet (Entscheid S. 4 f.).
3.3.
3.3.1. Der Grundsatz der Verfahrenseinheit und die Ausnahmen dazu werden in Art. 29 f. StPO geregelt (vgl. dazu <ref-ruling> E. 3.2 S. 219 mit Hinweisen).
3.3.2. In getrennt geführten Verfahren kommt den Beschuldigten im jeweils anderen Verfahren keine Parteistellung zu. Ein gesetzlicher Anspruch auf Teilnahme an den Beweiserhebungen im eigenständigen Untersuchungs- und Hauptverfahren der anderen beschuldigten Person besteht folglich nicht (<ref-law> e contrario). Die Einschränkung der Teilnahmerechte von Beschuldigten in getrennten Verfahren im Vergleich zu Mitbeschuldigten im gleichen Verfahren ist vom Gesetzgeber implizit vorgesehen und hinzunehmen (<ref-ruling> E. 1.2.3 S. 176).
3.3.3. Sofern sich die Strafverfolgungsbehörden auf Aussagen eines Beschuldigten aus einem getrennt geführten Verfahren abstützen, ist dem Konfrontationsrecht Rechnung zu tragen. Diese können nur verwertet werden, wenn der Beschuldigte wenigstens einmal während des Verfahrens angemessene und hinreichende Gelegenheit hatte, die ihn belastenden Aussagen in Zweifel zu ziehen und Fragen an den Beschuldigten im getrennten Verfahren zu stellen (<ref-ruling> E. 1.3 S. 176 mit Hinweisen). Der Anspruch auf Befragung der Belastungszeugen nach Art. 6 Ziff. 3 lit. d EMRK ist ein besonderer Aspekt des Rechts auf ein faires Verfahren gemäss Art. 6 Ziff. 1 EMRK. Er wird als Konkretisierung des rechtlichen Gehörs gemäss <ref-law> auch durch <ref-law> geschützt (<ref-ruling> E. 3.1 S. 41; <ref-ruling> E. 2.2 S. 480; je mit Hinweisen).
3.3.4. Das Recht der Parteien, Beweisanträge zu stellen, ist in der Strafprozessordnung wiederholt verankert (vgl. etwa Art. 107 Abs. 1 lit. e, Art. 318 Abs. 1, Art. 331 Abs. 2, Art. 345, Art. 385 Abs. 1 lit. c, Art. 389 Abs. 3 und Art. 399 Abs. 3 lit. c StPO). Nach der Rechtsprechung kann der Beschuldigte den Behörden grundsätzlich nicht vorwerfen, gewissen Beweisen nicht nachgegangen zu sein, wenn er es unterlässt, rechtzeitig und formgerecht entsprechende Beweisanträge zu stellen (vgl. BGE <ref-ruling> E. 2.1 S. 477 ff.; <ref-ruling> E. 6c/bb S. 134 mit Hinweisen). Der Beschuldigte verwirkt sein Recht auf Ergänzungsfragen nicht dadurch, dass er es erst im Rahmen der Berufung geltend macht (Urteil 6B_529/2014 vom 10. Dezember 2014 E. 5.2 mit Hinweisen, nicht publ. in: <ref-ruling>).
3.4. Mit Schreiben vom 16. Juli 2013 ersuchte der Beschwerdeführer die erste Instanz ausdrücklich um Konfrontation mit D._. Diesen Antrag wiederholte er vor Schranken (kantonale Untersuchungsakten Register 4 pag. 72 f. und 89 f.). Die gegenteilige Behauptung des Beschwerdegegners 2 in der Vernehmlassung ist unzutreffend. Im vorinstanzlichen Verfahren hat der Beschwerdeführer seinen Antrag, wie er selbst einräumt, nicht erneuert. Hingegen unterstrich er vor Vorinstanz die Unverwertbarkeit der fraglichen Einvernahmen. Damit kann dem Beschwerdeführer nicht vorgeworfen werden, er habe nie respektive erstmals im bundesgerichtlichen Verfahren einen Antrag auf Durchführung einer Konfrontationseinvernahme gestellt (vgl. Urteile 6B_877/2014 vom 5. November 2015 E. 2.4, 6B_436/2014 vom 2. März 2015 E. 2.4 und 6B_484/2011 vom 13. Oktober 2011 E. 3.4). Unter Würdigung der konkreten Umstände kann deshalb nicht von einem Verzicht auf Konfrontation ausgegangen werden.
Die Vorinstanz stützt sich entgegen ihren Ausführungen in der Vernehmlassung auf die Aussagen von D._ (Entscheid S. 10), ohne dass der Beschwerdeführer angemessene und hinreichende Gelegenheit hatte, die Aussagen in Zweifel zu ziehen und Fragen an D._ zu stellen. Die Sache ist zur Wahrung der Parteirechte an die Vorinstanz zurückzuweisen, damit der Beschwerdeführer von seinem Konfrontationsrecht Gebrauch machen kann.
3.5. Inwiefern er im Übrigen (abgesehen von den Teilnahmerechten hinsichtlich der Befragung von D._) durch die gerügte Verfahrenstrennung beschwert sein sollte, legt der Beschwerdeführer nicht dar und ist nicht ersichtlich. Damit fehlt es aber am notwendigen Rechtsschutzinteresse, die (abstrakte) Rechtsfrage nach dem Grundsatz der Verfahrenseinheit respektive der Zulässigkeit der Verfahrenstrennung zu beantworten.
Selbst wenn das Rechtsschutzinteresse zu bejahen wäre, wäre diesbezüglich auf die Beschwerde aus einem weiteren Grund nicht einzutreten. Der Grundsatz von Treu und Glauben verbietet es, der Vorinstanz bekannte rechtserhebliche Einwände vorzuenthalten und diese erst nach einem ungünstigen Entscheid im anschliessenden Rechtsmittelverfahren zu erheben (<ref-ruling> E. 2.2 S. 336; <ref-ruling> E. 2.1 S. 93; <ref-ruling> E. 2 S. 640; <ref-ruling> E. 2a S. 495; Urteil 6B_300/2015 vom 3. Dezember 2015 E. 1.3; je mit Hinweisen). Die Rüge ist nicht Gegenstand des vorinstanzlichen Urteils. Der Beschwerdeführer macht weder eine Rechtsverweigerung geltend, noch legt er eine solche dar. Dass er die Verfahrenstrennung vor Vorinstanz gerügt hätte, geht auch aus der schriftlichen Berufungsantwort nicht hervor. Sein Verhalten bzw. sein Zuwarten widerspricht Treu und Glauben. Ausserdem ist insofern der kantonale Instanzenzug nicht erschöpft und der Entscheid nicht letztinstanzlich im Sinne von <ref-law>.
4.
4.1. Es stellt sich die Frage, ob das vorinstanzliche Sachverhaltsfundament eine Prüfung des einschlägigen Bundesrechts ermöglicht.
Mittelbarer Täter ist, wer einen anderen Menschen als sein willenloses oder wenigstens nicht vorsätzlich handelndes Werkzeug benutzt, um durch ihn die beabsichtigte strafbare Handlung ausführen zu lassen (<ref-ruling> E. 1.4 S. 76 mit Hinweisen). Der mittelbare Täter wird bestraft, wie wenn er die Tat eigenhändig ausgeführt hätte (<ref-ruling> E. 2d S. 22 f. mit Hinweisen).
Eine Sachbeschädigung begeht, wer eine Sache, an der ein fremdes Eigentums-, Gebrauchs- oder Nutzniessungsrecht besteht, beschädigt, zerstört oder unbrauchbar macht (<ref-law>). Nicht vorausgesetzt wird, dass die Sache einen Marktwert hat oder der Berechtigte eine Vermögensschädigung erleidet (BERNARD CORBOZ, Les infractions en droit suisse, Vol. I, 3. Aufl. 2010, N. 16 zu <ref-law>). Wer handelt, wie es das Gesetz gebietet oder erlaubt, verhält sich rechtmässig, auch wenn die Tat nach dem StGB oder einem anderen Gesetz mit Strafe bedroht ist (<ref-law>). Überragende Äste kann der Nachbar, wenn sie sein Eigentum schädigen und auf seine Beschwerde hin nicht binnen angemessener Frist beseitigt werden, kappen (<ref-law>). Schädigung im Sinne der genannten Bestimmung ist jede erhebliche, das heisst übermässige Beeinträchtigung des nachbarlichen Grundeigentums (REY/STREBEL, in: Basler Kommentar, Zivilgesetzbuch, Bd. II, 5. Aufl. 2015, N. 8 zu Art. 687/688 ZGB). Das Kapprecht stellt ein Selbsthilferecht dar, welches bestimmte Handlungen zu rechtfertigen vermag, die ansonsten als Sachbeschädigungen gemäss <ref-law> strafbar wären (Urteil 6S.545/2001 vom 27. November 2001 E. 2a).
4.2. Die tatsächlichen Feststellungen, welche die Vorinstanz unter dem Titel "Schuldbefund" gleichzeitig mit ihren rechtlichen Erwägungen bruchstückhaft trifft, lassen sich wie folgt zusammenfassen.
Die Vorinstanz geht davon aus, dass der "grösste Teil des Überhangs auf dem Grundstück des benachbarten Grundeigentümers E._ bestanden hat" und das Grundstück des Beschwerdeführers "zu einem kleineren Teil vom Überhang betroffen war". Das Grundstück von E._ war vom Überhang der Birkenäste "deutlich mehr betroffen", während für das Grundstück des Beschwerdeführers "keine eine Kappung rechtfertigende Schädigung" anzunehmen ist.
Der Rückschnitt erfolgte nach den vorinstanzlichen Feststellungen durch B._. In Bezug auf den Beschwerdeführer hält die Vorinstanz fest, dass die Kappung "im Wissen des Beschuldigten und von ihm gewollt" erfolgte und er davon ausging, zur Kappung berechtigt zu sein. Dass er D._ "etwas anderes kommunizierte, ist nicht anzunehmen". Der Beschwerdeführer befand sich betreffend das Grundstück E._ "hinsichtlich der Voraussetzungen der Fristansetzung [nicht] in einem Irrtum". D._ gelangte zur Überzeugung, dass die Voraussetzungen für das Kapprecht vorlagen. E._ erhob gegenüber A._ keine Beschwerde und setzte für die Beseitigung der überragenden Äste keine Frist an. Das Mass der Kappung ist "als nicht mehr ganz unerheblich zu bezeichnen".
4.3. Weitere Feststellungen fehlen. Insbesondere bleibt unklar, ob und gegebenenfalls welche Handlungen der Beschwerdeführer im Einzelnen vornahm. Der vorinstanzliche Entscheid geht in diesem und anderen Punkten nicht über bloss vage formulierte und in diesem Sinne interpretationsbedürftige Erwägungen hinaus. Unbeantwortet bleibt und darüber nur spekulieren lässt sich, was der Beschwerdeführer D._ mitteilte, ob er ihm den Auftrag zur Kappung erteilte, welche Informationen er ihm zukommen liess und gestützt auf welche Umstände D._ zur Auffassung gelangte, dass die Voraussetzungen für die Ausübung des Kapprechts vorlagen. Unklar ist weiter (nachdem die Vorinstanz dem Beschwerdeführer in Bezug auf das eigene Grundstück gestützt auf <ref-law> kein strafbares Verhalten vorwirft), in welchem Mass das Grundstück E._ durch die Birken beeinträchtigt und in welchem Mass das Kapprecht ausgeübt wurde. Unbeantwortet blieb auch die Frage, ob E._ den Beschwerdeführer mit der Wahrung seines nachbarlichen Abwehrrechts betraute respektive ob Beschwerde und Fristansetzung im Sinne von <ref-law> betreffend die Immissionen auf das Grundstück E._ durch den Beschwerdeführer in Vertretung seines Nachbarn erfolgten.
4.4. Nach <ref-law> müssen beim Bundesgericht anfechtbare Entscheide die massgebenden Gründe tatsächlicher und rechtlicher Art enthalten. Der vorinstanzliche Entscheid hat eindeutig aufzuzeigen, auf welchem festgestellten Sachverhalt und auf welchen rechtlichen Überlegungen er beruht (<ref-ruling> E. 1.2.1 S. 245 f. mit Hinweisen). Die Begründung ist insbesondere mangelhaft, wenn der angefochtene Entscheid jene tatsächlichen Feststellungen nicht trifft, die zur Überprüfung des eidgenössischen Rechts notwendig sind oder wenn die rechtliche Begründung des angefochtenen Entscheids so lückenhaft oder unvollständig ist, dass nicht geprüft werden kann, wie das eidgenössische Recht angewendet wurde. Die Begründung ist ferner mangelhaft, wenn einzelne Tatbestandsmerkmale, die für die Subsumtion unter eine gesetzliche Norm von Bedeutung sind, von der Vorinstanz nicht oder nicht genügend abgeklärt wurden (<ref-ruling> E. 5b S. 287 mit Hinweis).
4.5. Der angefochtene Entscheid genügt den Anforderungen von <ref-law> nicht. Das vorinstanzliche Sachverhaltsfundament ist unzureichend. Eine Prüfung des einschlägigen Bundesrechts ist nicht möglich. Es erübrigt sich, auf die weiteren Rügen des Beschwerdeführers (etwa einer willkürlichen Sachverhaltsfeststellung, einer Verletzung des Untersuchungsgrundsatzes und einer ungenügenden Begründung) näher einzugehen. Die Vorinstanz wird die Sachverhaltsfeststellung in wesentlichen Punkten ergänzen und neu darlegen müssen.
5.
Die Vorinstanz wird wie bereits ausgeführt dem Konfrontationsrecht des Beschwerdeführers gegenüber D._ Rechnung tragen müssen. Aus prozessökonomischen Gründen bleibt in Bezug auf die Sachverhaltsfeststellung Folgendes zu bemerken. An der Einvernahme von E._ vom 22. Februar 2013 war der Beschwerdeführer nicht anwesend (kantonale Untersuchungsakten Register 2 pag. 37). Dieser wandte sich mit Schreiben vom 28. Februar 2013 an die Staatsanwaltschaft und brachte vor, wegen Landesabwesenheit (Rückkehr am 26. Februar 2013) den Termin nicht wahrgenommen zu haben. Mit Eingabe vom 16. Juli 2013 sowie mündlich vor Schranken ersuchte der Beschwerdeführer das Bezirksgericht um erneute Einvernahme von E._ (kantonale Untersuchungsakten Register 2 pag. 37, Register 4 pag. 30 ff., 73 und 89 ff.). Die Partei kann die Wiederholung der Beweiserhebung verlangen, wenn sie aus zwingenden Gründen an der Teilnahme verhindert war (vgl. <ref-law>). Ein zwingender Grund kann in einer Auslandabwesenheit liegen (NIKLAUS SCHMID, Handbuch des schweizerischen Strafprozessrechts, 2. Aufl. 2013, N. 828). Die Vorinstanz wird sich mit dem Teilnahmerecht des Beschwerdeführers auseinandersetzen müssen. Gelangt sie zum Schluss, dass dem Beschwerdeführer ein Anspruch auf Wiederholung der besagten Einvernahme zusteht, wird sie seinem Fragerecht Rechnung tragen müssen, andernfalls dürfen die Aussagen von E._ nicht zulasten des Beschwerdeführers verwertet werden (<ref-law>).
6.
Der Beschwerdeführer obsiegt teilweise, soweit er eine Verletzung seiner Teilnahmerechte hinsichtlich der Befragung von D._ und eine unvollständige Sachverhaltsfeststellung rügt. Deshalb und in Anwendung von <ref-law> ist der angefochtene Entscheid aufzuheben. Die Sache ist an die Vorinstanz zurückzuweisen, damit diese einen Entscheid trifft, der den Anforderungen von <ref-law> genügt. Im Übrigen ist die Beschwerde abzuweisen, soweit darauf eingetreten werden kann.
Die Parteien werden im Umfang ihres Unterliegens kostenpflichtig (<ref-law>). Die Verfahrenskosten tragen der Beschwerdeführer und die Beschwerdegegner grundsätzlich je zur Hälfte, wobei dem Kanton Luzern keine Verfahrenskosten aufzuerlegen sind (<ref-law>). Demnach sind die Gerichtskosten zur Hälfte dem Beschwerdeführer und zu einem Viertel dem Beschwerdegegner 2 aufzuerlegen.
Der Kanton Luzern und der Beschwerdegegner 2 haben als teilweise unterliegende Parteien dem Beschwerdeführer eine reduzierte Parteientschädigung von je der Hälfte der auf Fr. 1'500.-- bestimmten Entschädigung zu bezahlen (Art. 68 Abs. 1 und 2 BGG). Der Beschwerdegegner 2 hat gegenüber dem Beschwerdeführer Anspruch auf eine reduzierte Parteientschädigung von Fr. 1'500.--. Diese ist mit dem Anspruch des Beschwerdeführers gegen den Beschwerdegegner 2 zu verrechnen.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird teilweise gutgeheissen. Das Urteil des Kantonsgerichts Luzern vom 18. Mai 2015 wird aufgehoben und die Sache zur neuen Entscheidung an die Vorinstanz zurückgewiesen. Im Übrigen wird die Beschwerde abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.
Die Gerichtskosten werden im Umfang von Fr. 2'000.-- dem Beschwerdeführer und im Umfang von Fr. 1'000.-- dem Beschwerdegegner 2 auferlegt.
3.
Der Kanton Luzern hat dem Beschwerdeführer eine Entschädigung von Fr. 750.-- zu bezahlen.
4.
Der Beschwerdeführer hat dem Beschwerdegegner 2 eine Entschädigung von Fr. 750.-- zu bezahlen.
5.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Kantonsgericht Luzern, 2. Abteilung, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 27. Juni 2016
Im Namen der Strafrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Denys
Der Gerichtsschreiber: Faga