Faits :
A.
A._, ressortissante de la Côte d'Ivoire née en 1971, est entrée illégalement en Suisse en septembre 2005. Elle a vécu sans autorisation chez B._, ressortissant portugais titulaire d'une autorisation d'établissement UE/AELE. En 2006, l'intéressée a donné naissance à une fille, C._, de nationalité portugaise, qui a été reconnue par son père B._. Les parents se sont mariés le 8 août 2007. En avril 2008, l'intéressée a été mise au bénéfice d'une autorisation de séjour UE/AELE au titre de regroupement familial.
Par décision de mesures protectrices du 30 juin 2011, les époux ont été autorisés à vivre séparés. La garde de l'enfant a été attribuée à A._. Le père a été condamné à verser une contribution d'entretien mensuelle à l'enfant.
B.
Par courrier du 13 février 2012, le Service des migrations du canton de Neuchâtel a informé A._ qu'il soumettait le dossier à l'Office fédéral des migrations (depuis le 1er janvier 2015: le Secrétariat d'Etat aux migrations; ci-après: le SEM).
Par décision du 20 juin 2013, le SEM a refusé de donner son approbation à la prolongation de l'autorisation de séjour en faveur de l'intéressée et prononcé son renvoi de Suisse.
Par arrêt du 15 septembre 2015, le Tribunal administratif fédéral a admis le recours formé par l'intéressée contre la décision du SEM susmentionnée.
C.
Agissant par la voie du recours en matière de droit public, le Département fédéral de justice et police (ci-après: le Département fédéral) demande au Tribunal fédéral, sous suite de frais, d'annuler l'arrêt rendu le 15 septembre 2015 par le Tribunal administratif fédéral. L'intimée conclut au rejet du recours, sous suite de frais et dépens.
Le Tribunal administratif fédéral a produit le dossier de la cause et renoncé à prendre position. Le SEM a déposé des observations et conclu à l'admission du recours.

Considérant en droit :
1.
Le Tribunal fédéral examine d'office sa compétence (<ref-law>). Il contrôle donc librement la recevabilité des recours qui sont déposés devant lui (<ref-ruling> consid. 1 p. 133).
1.1. Selon l'art. 83 let. c ch. 2 LTF, le recours en matière de droit public est irrecevable contre les décisions relatives à une autorisation de droit des étrangers à laquelle ni le droit fédéral, ni le droit international ne donnent droit. Selon la jurisprudence, il suffit, sous l'angle de la recevabilité, qu'il existe un droit potentiel à l'autorisation, étayé par une motivation soutenable, pour que cette clause d'exclusion ne s'applique pas et que, partant, la voie du recours en matière de droit public soit ouverte. La question de savoir si les conditions d'un tel droit sont effectivement réunies relève du fond (<ref-ruling> consid. 2.5 p. 315; <ref-ruling> consid. 1.1 p. 179).
En l'occurrence, en sa qualité de ressortissante portugaise, la fille de l'intimée peut prétendre à l'octroi d'une autorisation de séjour en Suisse, en vertu du droit à la libre circulation que lui confère l'ALCP (cf. ATF <ref-ruling> consid. 1.1 p. 179; <ref-ruling> consid. 1.2 p. 343). L'intimée qui a la garde de sa fille peut également faire valoir un droit dérivé à séjourner en Suisse sur la base de l'ALCP. Il s'ensuit que le recours échappe au motif d'irrecevabilité de l'art. 83 let. c ch. 2 LTF (cf. <ref-ruling> consid. 1.3 p. 68).
1.2. Pour le surplus, dirigé contre une décision finale (<ref-law>), rendue par le Tribunal administratif fédéral (<ref-law>), le présent recours, déposé en temps utile (<ref-law>) et dans les formes prescrites (<ref-law>) par le Département fédéral de justice et police, qui a un intérêt digne de protection à l'annulation de la décision attaquée (<ref-law>), est en principe recevable.
2.
Le Département fédéral se plaint d'une violation des art. 6 et 16 par. 2 ALCP ainsi que des art. 3 et 24 par. 1 Annexe I ALCP. Il soutient que les <ref-law> et 24 Annexe I ALCP ne permettent pas à un ressortissant européen mineur de se prévaloir d'un droit originaire à l'octroi d'une autorisation de séjour. Il estime ensuite qu'un droit dérivé de la mère de cet enfant n'est pas prévu par l'ALCP.
2.1. Aux termes de l'<ref-law>, dans la mesure où l'application de l'Accord implique des notions de droit communautaire, il sera tenu compte de la jurisprudence pertinente de la Cour de justice des Communautés européennes antérieure à la date de sa signature. Dans un arrêt de principe du 26 novembre 2015 (arrêt 2C_716/2014 du 26 novembre 2015 destiné à la publication), le Tribunal fédéral a rappelé que, de jurisprudence constante, dans le but d'assurer une situation juridique parallèle entre les États membres de la Communauté européenne, d'une part, et entre ceux-ci et la Suisse, d'autre part, il s'inspire des arrêts rendus par la Cour de justice de l'Union européenne après la date de signature de l'ALCP, pour autant que des motifs sérieux ne s'y opposent pas (cf. <ref-ruling> consid. 3.2 p. 117; <ref-ruling> consid.. 4.1.1 p. 397 s.; <ref-ruling> consid. 3.4 p. 12 s.; arrêt 2C_375/2014 du 4 février 2015 consid. 3.3). Le Tribunal fédéral a précisé que le nouvel article 121a de la Constitution fédérale, selon lequel la Suisse gère de manière autonome l'immigration des étrangers, n'est pas directement applicable. Cette disposition n'entraîne aucune modification de l'interprétation de l'ALCP, lequel demeure applicable aussi longtemps qu'il n'a pas été renégocié ou dénoncé. En outre, cet article ne constitue pas un motif sérieux permettant de s'écarter du principe selon lequel le Tribunal fédéral s'inspire de la jurisprudence rendue par la Cour de justice de l'Union européenne en matière d'ALCP postérieure à la date de signature de l'accord (cf. arrêt 2C_716/2014 précité, consid. 3 et les références citées).
Le Tribunal fédéral a dès lors confirmé qu'il convenait de tenir compte de l'arrêt Zhu et Chen rendu par la Cour de Justice des Communautés européennes (arrêt du 19 octobre 2004 C-200/02, Rec. 2004 I-9925), conformément à sa jurisprudence constante (arrêt 2C_716/2014 précité, consid. 5.2; cf. not. <ref-ruling> consid. 3.3 p. 269; arrêts 2C_375/2014 du 4 février 2015 consid. 3.1 à 3.3; 2C_470/2014 du 29 janvier 2015 consid. 3.3 et 2C_574/2010 du 15 novembre 2010 consid. 2.2.2). Selon cette jurisprudence, le parent qui a effectivement la garde d'un enfant mineur de nationalité d'un Etat membre, a le droit de séjourner avec lui dans l'Etat membre d'accueil, à condition en particulier que lui-même et son enfant disposent de ressources suffisantes pour ne pas devenir une charge pour les finances publiques de l'Etat membre d'accueil.
2.2. En l'espèce, il découle de ce qui précède que, contrairement à ce que soutient le recourant, c'est à bon droit que le Tribunal administratif fédéral a jugé que la fille de l'intimée, de nationalité portugaise et habitant en Suisse, pouvait se prévaloir d'un droit de séjour originaire conféré par les <ref-law> et 24 Annexe I ALCP pour autant que les conditions soient remplies (cf. <ref-ruling> consid. 3.3 p. 269; arrêts 2C_470/2014 du 29 janvier 2015 consid. 3.1; 2C_190/2011 du 23 novembre 2011 consid. 4.2.1 et 2C_574/2010 du 15 décembre 2010 consid. 2). Si tel est le cas, et afin d'éviter de priver de tout effet utile le droit de séjour de l'enfant (cf. arrêt 2C_716/2014 précité, consid. 5.2 et les références citées), sa mère, intimée, qui a effectivement la garde de son enfant, peut se prévaloir d'un droit dérivé, à condition qu'elle dispose elle aussi de ressources suffisantes.
Compte tenu de ce qui précède, le grief du recourant doit être rejeté.
3.
Pour le surplus, c'est à bon droit également que l'instance précédente a jugé que l'intimée et sa fille disposaient de moyens financiers suffisants au sens des <ref-law> et 24 Annexe I ALCP et de la jurisprudence. Le Département fédéral ne le conteste d'ailleurs pas.
3.1. Selon l'<ref-law>, une personne ressortissante d'une partie contractante n'exerçant pas d'activité économique dans le pays de résidence reçoit un titre de séjour d'une durée de cinq ans au moins, à condition qu'elle prouve aux autorités nationales compétentes qu'elle dispose pour elle-même et les membres de sa famille de moyens financiers suffisants pour ne pas devoir faire appel à l'aide sociale pendant son séjour (let. a) et d'une assurance-maladie couvrant l'ensemble des risques (let. b). Le paragraphe 2 de l'<ref-law> précise que les moyens financiers nécessaires sont réputés suffisants s'ils dépassent le montant en-dessous duquel les nationaux, eu égard à leur situation personnelle, peuvent prétendre à des prestations d'assistance. Selon l'<ref-law>, tel est le cas si ces moyens dépassent les prestations d'assistance qui seraient allouées en vertu des directives "Aide sociale: concepts et normes de calcul" de la Conférence suisse des institutions d'action sociale (CSIAS), à un ressortissant suisse, éventuellement aux membres de sa famille, sur demande de l'intéressé et compte tenu de sa situation personnelle. En d'autres termes, on considère que la condition de l'<ref-law> est remplie si les moyens financiers d'un citoyen suisse, dans la même situation, lui fermeraient l'accès à l'aide sociale (<ref-ruling> consid. 3.3 p. 269; arrêts 2C_375/2014 du 4 février 2015 consid. 3.2 et 2C_470/2014 du 29 janvier 2015 consid. 3.2). Il importe peu, pour apprécier la situation économique de l'intéressé, que ce dernier génère lui-même ses moyens financiers ou que ceux-ci lui soient procurés par un tiers (arrêt 2C_716/2014 précité, consid. 5.1; <ref-ruling> consid. 3.3 p. 269 s.; arrêts 2C_375/2014 du 4 février 2015 consid. 3.2 et 2C_470/2014 du 29 janvier 2015 consid. 3.2).
3.2. En l'espèce, il ressort des faits constatés par l'autorité précédente que l'intimée est au bénéfice d'un contrat de durée indéterminée et travaille pour le même employeur depuis le 1er janvier 2011 au taux de 80%. Elle perçoit un salaire mensuel moyen net, allocation pour enfant comprise, de 3'593 fr. Le montant de ses revenus excède le montant de ses charges, lesquelles s'élèvent à un montant mensuel total d'environ 2'849 fr. Au demeurant, l'arrêt attaqué n'indique pas quel est le montant que verse, le cas échéant, le père pour son enfant. Le Tribunal administratif fédéral a encore relevé que l'intimée ne bénéficiait plus de l'aide sociale depuis 2011, ne faisait pas l'objet de poursuites et n'avait pas de dettes. Par ailleurs, aucun élément du dossier ne laissait "entrevoir l'éventualité d'une détérioration subite et prochaine de la situation professionnelle et financière" de celle-ci. Au contraire, selon une attestation produite par son employeur, en août 2015, l'intimée a commencé une formation d'aide en soins et accompagnement d'une durée de deux ans, à raison d'un jour par semaine. Cet élément améliorerait la situation financière de l'intimée à l'avenir, ainsi que sa position sur le marché de l'emploi.
Il s'ensuit que l'intimée et sa fille disposent de ressources suffisantes au sens des <ref-law> et 24 Annexe I ALCP et de la jurisprudence précitée. Il n'est par ailleurs pas contesté que celles-ci disposent d'une assurance-maladie.
Il découle de ce qui précède que l'intimée peut se prévaloir d'un droit dérivé de celui de sa fille, conformément à la jurisprudence susmentionnée (cf. supra consid. 2.1).
4.
Les considérants qui précèdent conduisent au rejet du recours. Il n'est pas perçu de frais judiciaires (<ref-law>). L'intimée, qui obtient gain de cause avec l'assistance d'un mandataire professionnel, a droit à des dépens à la charge du Département fédéral de justice et police (art. 68 al. 1 et 2 LTF).

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce :
1.
Le recours est rejeté.
2.
Il n'est pas perçu de frais judiciaires.
3.
Le Département fédéral de justice et police versera à l'intimée la somme de 2'500 fr. à titre de dépens pour la procédure devant le Tribunal fédéral.
4.
Le présent arrêt est communiqué au Département fédéral de justice et police, au mandataire de l'intimée, au Tribunal administratif fédéral, Cour III, au Service de la population du canton de Neuchâtel, ainsi qu'au Secrétariat d'Etat aux migrations.
Lausanne, le 16 mars 2016
Au nom de la IIe Cour de droit public
du Tribunal fédéral suisse
Le Président : Zünd
La Greffière : Thalmann