Sachverhalt:
A.
B._ (geb. 1962; Beschwerdegegnerin) und A._ (geb. 1964; Beschwerdeführer) heirateten 2002. Sie sind die Eltern von C._ und D._ (beide geb. 2002).
Am 24. Januar 2013 ersuchte B._ das Bezirksgericht Horgen um Erlass von Eheschutzmassnahmen und am 13. März 2013 klagte A._ auf Scheidung der Ehe. Mit Urteil vom 14. Dezember 2015 schied das Bezirksgericht die Ehe und regelte die Folgen, unter Genehmigung und Einbezug der Teilvereinbarung vom 13./26. Mai 2015. Dabei beliess es soweit hier interessierend die Kinder unter der gemeinsamen elterlichen Sorge, unterstellte sie aber der Obhut der Kindsmutter und legte das Besuchs- und Ferienrecht des Vaters fest. Ausserdem verpflichtete es A._ zur Zahlung von monatlichen indexierten Unterhaltsbeiträgen für jedes der beiden Kinder von Fr. 1'020.-- zuzüglich allfälliger Familienzulagen bis zur Volljährigkeit oder zum ordentlichen Abschlusseiner angemessenen Erstausbildung. Hierbei bestimmte es, dass der Unterhalt auch über die Volljährigkeit der Kinder hinaus an die Kindsmutter zu bezahlen sei.
B.
Gegen dieses Urteil reichte A._ am 7. April 2016 Berufung beim Obergericht des Kantons Zürich ein. Mit Urteil vom 22. November 2016 (eröffnet am 25. November 2016) hiess dieses die Berufung teilweise gut. Die für jedes Kind monatlich nebst allfälligen Familienzulagen geschuldeten Unterhaltsbeiträge setzte es auf Fr. 615.-- ab Rechtskraft des Scheidungsurteils bis Juli 2017 und Fr. 1'020.-- ab August 2017 bis zur Volljährigkeit oder zum ordentlichen Abschluss einer angemessenen Erstausbildung fest. Die Zahlungsmodalitäten änderte es nicht. Ausserdem traf das Obergericht Feststellungen zu den Einkommens- und Vermögensverhältnissen der Parteien. Weitergehend wies es die Berufung ab.
C.
Mit Beschwerde vom 10. Januar 2017 gelangt A._ mit den folgenden Anträgen ans Bundesgericht:
"1. In Abänderung von Ziff. 1/6 des Dispositivs des Urteils des Obergerichts des Kantons Zürich vom 22. November 2016 sei der Beschwerdeführer zu verpflichten, der Beschwerdegegnerin ab August 2017 folgenden Unterhaltsbeitrag für die Kinder zu bezahlen:
CHF 450 je Kind, zuzüglich allfälliger Kinder- und Ausbildungszulagen bis zur Volljährigkeit, resp. auch darüber hinaus bis zum ordentlichen Abschluss einer angemessenen Erstausbildung.
2. Eventualiter - für den Fall der Anrechnung eines Betreuungsunterhalts - sei der Beschwerdeführer zu verpflichten, der Beschwerdegegnerin folgende Unterhaltsbeiträge für die Kinder zu bezahlen:
- ab August 2017 bis zur Volljährigkeit: CHF 550 je Kind, zuzüglich allfälliger Kinder- und Ausbildungszulagen;
- ab dem der Volljährigkeit folgenden Monat CHF 450 je Kind, zuzüglich allfälliger Kinder- und Ausbildungszulagen und bis zum ordentlichen Abschluss einer angemessenen Erstausbildung, falls bis zur Volljährigkeit kein solcher vorliegen sollte.
3. In Abänderung von Ziff. 1/6 seien die Unterhaltsbeiträge ab dem 1. Tag des der Volljährigkeit folgenden Monats den mündigen Kindern direkt zu bezahlen.
4. Die Angaben gemäss Ziff. 1/7 des Urteilsdispositivs seien entsprechend der tatsächlichen Situation anzupassen, insbesondere sei der tatsächliche Lohn der Beschwerdegegnerin auf CHF 8'530 einzusetzen.
5. In Abänderung von Ziff. 1/7 des Urteilsdispositivs seien die Gerichtskosten des erstinstanzlichen Verfahrens (Ziff. 16 des Urteils vom 14. Dezember 2015) dem Beschwerdeführer zu 1/3 und der Beschwerdegegnerin zu 2/3 aufzuerlegen.
6. In Abänderung von Ziff. 1/7 des Urteilsdispositivs (Ziff. 17 des erstinstanzlichen Urteils) sei die Beschwerdegegnerin zu verpflichten, dem Beschwerdeführer für das erstinstanzliche Verfahren eine reduzierte Parteientschädigung von CHF 5'000 (zuzügl. 8% MwSt) zu bezahlen.
7. In Abänderung von Ziff. 3 des Urteilsdispositivs seien die Gerichtskosten des zweitinstanzlichen Verfahrens dem Beschwerdeführer zu 1/6 und der Beschwerdegegnerin zu 5/6 aufzuerlegen.
8. In Abänderung von Ziff. 4 des Urteilsdispositivs sei die Beschwerdegegnerin zu verpflichten, dem Beschwerdeführer für das zweitinstanzliche Berufungsverfahren eine reduzierte Parteientschädigung von CHF 4'000.-- (zuzügl. 8% MwSt) zu bezahlen.
9. Die Kosten des Beschwerdeverfahrens seien der Beschwerdegegnerin aufzuerlegen.
10. Es sei die Beschwerdegegnerin zu verpflichten, dem Beschwerdeführer eine angemessene Parteientschädigung für das Beschwerdeverfahren zu entrichten."
Mit Eingabe vom 31. Oktober 2017 verzichtet das Obergericht auf eine Vernehmlassung und am 20. November 2017 beantragt B._ die Abweisung der Beschwerde.
Im Übrigen hat das Bundesgericht die Akten des kantonalen Verfahrens eingeholt.

Erwägungen:
1.
1.1. Die Beschwerde richtet sich gegen einen Endentscheid (<ref-law>) einer letzten kantonalen Instanz, die als oberes Gericht (<ref-law>) über die vermögensrechtlichen Folgen einer Ehescheidung und damit eine Zivilsache nach <ref-law> entschieden hat. Der Streitwert nach Art. 74 Abs. 1 Bst. b BGG ist erreicht (Art. 51 Abs. 1 Bst. a und Abs. 4 BGG). Die Beschwerde in Zivilsachen ist das zutreffende Rechtsmittel. Der Beschwerdeführer ist gemäss <ref-law> zur Beschwerde berechtigt und er hat diese fristgerecht erhoben (Art. 100 Abs. 1 und Art. 46 Abs. 1 Bst. c BGG). Auf die Beschwerde ist unter Vorbehalt der nachfolgenden Ausführungen einzutreten.
1.2. Anfechtungsobjekt im bundesgerichtlichen Beschwerdeverfahren ist allein der vorinstanzliche Entscheid (<ref-ruling> E. 4.2; Urteil 2C_84/2017 und 2C_130/2017 vom 14. Juli 2017 E. 4.3.2), mithin das Urteil des Obergerichts vom 22. November 2016. In der Beschwerdeschrift bezieht sich der Beschwerdeführer verschiedentlich auf das Urteil des Bezirksgerichts vom 14. Dezember 2015. Soweit er dieses anfechten sollte, ist auf die Beschwerde nicht einzutreten.
1.3. Mit Beschwerde in Zivilsachen können Rechtsverletzungen nach Art. 95 und 96 BGG gerügt werden. Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (<ref-law>). Dies entbindet den Beschwerdeführer jedoch nicht davon, die Beschwerde hinreichend zu begründen und in Auseinandersetzung mit den Erwägungen des angefochtenen Entscheids genau darzulegen, inwiefern der angefochtene Akt Recht verletzt (<ref-law>; <ref-ruling> E. 2.4).
2.
2.1. Das Bundesgericht legt seinem Urteil den von der Vorinstanz festgestellten Sachverhalt zugrunde (<ref-law>). In diesem Bereich kann lediglich gerügt werden, die Sachverhaltsfeststellung sei offensichtlich unrichtig, d.h. willkürlich, oder beruhe auf einer Rechtsverletzung nach <ref-law> (<ref-law>). Es gilt das strenge Rügeprinzip nach <ref-law>. Das Bundesgericht prüft nur klar und detailliert erhobene und, soweit möglich, belegte Rügen, während es auf ungenügend substanziierte Rügen und rein appellatorische Kritik am Sachverhalt nicht eintritt. Ausserdem ist aufzuzeigen, inwiefern die Behebung der aufgezeigten Mängel für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein kann (<ref-law>; <ref-ruling> E. 2.3 S. 266)
2.2. Neue Tatsachen und Beweismittel dürfen vor Bundesgericht nur so weit vorgebracht werden, als erst der Entscheid der Vorinstanz dazu Anlass gibt (<ref-law>). Hiervon erfasst sind unechte Noven, also neue Tatsachen, die im bisherigen Verfahren bereits hätten vorgebracht werden können, aber nicht vorgebracht wurden. Echte Noven, also Tatsachen, die erst nach dem angefochtenen Entscheid entstanden sind, sind im Verfahren vor dem Bundesgericht demgegenüber grundsätzlich unbeachtlich (<ref-ruling> E. 3.1.2; <ref-ruling> E. 2.1).
2.3. Der Beschwerdeführer bringt sowohl echte wie unechte Noven vor. Soweit er sich in der Beschwerdeschrift auf nach dem Entscheid des Obergerichts entstandene Umstände bezieht, also auf echte Noven wie beispielsweise die Krankenkassenprämien für das Jahr 2017, ist er nach dem Ausgeführten nicht zu hören. Demgegenüber handelt es sich um unechte Noven, soweit er ausführt, zwischenzeitlich erfahren zu haben, dass die Beschwerdegegnerin in den Jahren 2015 und 2016 höhere als vom Obergericht angenommen Erwerbsentschädigungen (Einkommen und Boni) erhalten und mittlerweile ihren Erwerbsgrad erhöht habe. Diese Vorbringen sind nach Massgabe von <ref-law> zulässig. Notwendig ist insoweit, dass vor Ausfällung des angefochtenen Entscheids keinerlei Anlass für die entsprechenden Vorbringen bestand, sich die Notwendigkeit vielmehr erst aufgrund der Entscheidbegründung ergab (vgl. Urteil 5A_603/2016 vom 19. Dezember 2016 E. 4 [auch zum Folgenden]). Da die fraglichen Umstände auch nach Ansicht des Beschwerdeführers bereits für das Urteil des Obergerichts entscheidwesentlich waren, ist diese Voraussetzung nicht erfüllt. Sollte der Beschwerdeführer demgegenüber in diesem Zusammenhang eine willkürliche oder sonstwie Bundesrecht verletzende Feststellung des Sachverhalts geltend machen, erhebt er die entsprechende Rüge nicht genügend klar und detailliert (vgl. E. 2.1 hiervor). Damit ist auf die Beschwerde soweit die Feststellungen des Obergerichts zum Einkommen der Beschwerdegegnerin betreffend nicht einzutreten.
3.
3.1. Der Beschwerdeführer beanstandet vorab, die Vorinstanz habe einen Wechsel der Methode für die Unterhaltsberechnung nicht begründet und sich nicht dazu geäussert, welcher Bedarf der Beschwerdegegnerin anzurechnen sei. Damit rügt er eine Verletzung der Begründungspflicht als Teilgehalt des Anspruchs auf rechtliches Gehör (<ref-law>). Demnach muss das Gericht seinen Entscheid begründen. Dabei kann es sich auf die für den Entscheid wesentlichen Punkte beschränken. Die Begründung muss so abgefasst sein, dass sich der Betroffene über die Tragweite des Entscheids Rechenschaft geben und ihn in voller Kenntnis der Sache an die höhere Instanz weiterziehen kann. In diesem Sinne müssen wenigstens kurz die Überlegungen genannt werden, von denen sich das Gericht hat leiten lassen und auf die sich sein Entscheid stützt (<ref-ruling> E. 6.2; <ref-ruling> E. 5.2).
3.2. Was die Wahl der Methode zur Unterhaltsberechnung angeht, so hat das Obergericht dargelegt, weshalb es das Vorgehen der Erstinstanz nicht als sachgerecht erachtete und wie es selbst vorzugehen gedenkt. Es sei vorab der Unterhaltsbedarf der Kinder zu ermitteln, danach die Leistungsfähigkeit des Beschwerdeführers zu bestimmen und so der Unterhaltsbetrag festzusetzen. Zuletzt sei zu prüfen, ob die finanziellen Verhältnisse des Beschwerdeführers eine Änderung der so ermittelten Zahl erfordere (angefochtenes Urteil, E. II.B.4 S. 29 f.). Damit begründete das Obergericht seine Methodenwahl und führte gleichzeitig aus, dass der Bedarf der Beschwerdegegnerin seiner Ansicht nach nicht entscheidwesentlich war. Eine Verletzung der Begründungspflicht kann damit nicht festgestellt werden. Keine Rolle spielt insoweit, ob die Überlegungen der Vorinstanz inhaltlich überzeugen (vgl. Urteil 5A_780/2016 vom 9. Juni 2017 E. 3.3).
4.
4.1. In der Sache strittig ist die Unterhaltspflicht des Beschwerdeführers gegenüber seinen beiden Kindern. Diese richtet sich nach den Bestimmungen über die Wirkungen des Kindesverhältnisses (<ref-law>). Auf den 1. Januar 2017 ist eine Änderung der Regelung des Kindesunterhalts in Kraft getreten (AS 2015 4299, 4304). Das Bundesgericht entscheidet allerdings nach bisherigem Recht, wenn der angefochtene Entscheid vor dem Inkrafttreten dieser Änderung ergangen ist (<ref-law>). Das angefochtene Urteil ist am 22. November 2016 und damit vor Inkrafttreten der Gesetzesrevision ausgefällt worden. Folglich gelangt das alte Recht (in der Fassung vom 25. Juni 1976; AS 1977 237) zur Anwendung. Entsprechend bleiben die Ausführungen des Beschwerdeführers zum neuen Recht und den zugehörigen Gesetzesmaterialien unbehelflich.
4.2. Gemäss aArt. 276 ZGB haben die Eltern für den Unterhalt des Kindes aufzukommen, inbegriffen die Kosten von Erziehung, Ausbildung und Kindesschutzmassnahmen (Abs. 1). Der Unterhalt wird durch Pflege und Erziehung oder, wenn das Kind nicht unter der Obhut der Eltern steht, durch Geldzahlung geleistet (Abs. 2). Der Unterhaltsbeitrag soll den Bedürfnissen des Kindes sowie der Lebensstellung und Leistungsfähigkeit der Eltern entsprechen und ausserdem Vermögen und Einkünfte des Kindes sowie den Beitrag des nicht obhutsberechtigten Elternteils an der Betreuung des Kindes berücksichtigen (aArt. 285 Abs. 1 ZGB). Die Unterhaltspflicht dauert bis zur Volljährigkeit des Kindes (<ref-law>). Hat es dann noch keine angemessene Ausbildung, so haben die Eltern, soweit es ihnen nach den gesamten Umständen zugemutet werden darf, für seinen Unterhalt aufzukommen, bis eine entsprechende Ausbildung ordentlicherweise abgeschlossen werden kann (<ref-law>).
Dem Sachgericht kommt bei der Unterhaltsfestsetzung ein weites Ermessen zu (<ref-law>; Urteile 5A_90/2017 vom 24. August 2017 E. 3.3; 5A_253/2016 vom 24. November 2016 E. 6.2; zum nachehelichen Unterhalt vgl. <ref-ruling> E. 4.4; <ref-ruling> E. 4). Das Bundesgericht übt bei der Überprüfung von Ermessensentscheiden Zurückhaltung. Es schreitet nur ein, wenn das kantonale Gericht von dem ihm zustehenden Ermessen falschen Gebrauch gemacht hat. Das ist namentlich der Fall, wenn es grundlos von in Rechtsprechung und Lehre anerkannten Grundsätzen abgewichen ist, wenn es Gesichtspunkte berücksichtigt hat, die für den Entscheid im Einzelfall keine Rolle hätten spielen dürfen, oder wenn es Umstände nicht in Betracht gezogen hat, die hätten beachtet werden müssen. Das Bundesgericht greift ausserdem in Ermessensentscheide ein, die sich im Ergebnis als offensichtlich unbillig, als in stossender Weise ungerecht erweisen (<ref-ruling> E. 3.2.5; <ref-ruling> E. 1).
5.
Der Beschwerdeführer beanstandet vorab die vom Obergericht gewählte Methode der Unterhaltsbemessung (vgl. dazu vorne E. 3). Es habe kein Grund bestanden, vom Vorgehen der Erstinstanz (Grundbedarfsberechnung mit Überschussverteilung) abzuweichen. Soweit die Beschwerde diesbezüglich überhaupt ausreichend begründet ist (vgl. vorne E. 1.3), ist auf Folgendes zu verweisen:
Das Gesetz schreibt keine Methode zur Bemessung des Kindesunterhalts vor. Sind die Verhältnisse wie hier gut, sollen der Kindesunterhalt und der Bedarf des Kindes auf Grund der massgeblichen Lebensstellung des Unterhaltspflichtigen konkret ermittelt werden (Urteile 5A_90/2017 vom 24. August 2017 E. 9.1; 5A_142/2013 vom 8. August 2013 E. 3.1; 5A_115/2011 vom 11. März 2011 E. 2.2, in: FamPra.ch 2011 S. 769). Von diesen Grundsätzen hat sich das Obergericht leiten lassen, womit sein Vorgehen mit Blick auf das ihm zukommende grosse Ermessen nicht zu beanstanden ist. Insbesondere hat es sein Ermessen auch nicht überschritten, indem es keine Grundbedarfsberechnung mit Überschussverteilung vorgenommen hat. In der Lehre findet sich zwar die Ansicht, jedenfalls bei dem im Rahmen einer Ehescheidung festzulegenden Kindesunterhalt sei grundsätzlich nach eben dieser auch für die Scheidung im Vordergrund stehenden Methode vorzugehen (vgl. HAUSHEER/SPYCHER, in: Handbuch des Unterhaltsrechts, 2. Aufl. 2010, Rz. 06.185). Nachehelicher Unterhalt wurde vorliegend indessen keiner gesprochen (vgl. angefochtenes Urteil, S. 10). Dieser konnte sich damit nicht auf den Kindesunterhalt auswirken. Entsprechend ist der Verweis des Beschwerdeführers auf die bundesgerichtliche Rechtsprechung zur Festlegung des nachehelichen Unterhalts ebenfalls unbehelflich. Dem Beschwerdeführer hilft auch der Einwand nicht weiter, das erstinstanzliche Vorgehen sei nicht beanstandet worden. Das Berufungsgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (<ref-law>). Damit ist es in der Rechtsanwendung frei und nicht an die rechtliche Würdigung seiner Vorinstanz gebunden (Urteile 4A_218/2017 vom 14. Juli 2017 E. 3.1.2; 4A_376/2016 vom 2. Dezember 2016 E. 3.2.2).
6.
6.1. Der Beschwerdeführer rügt sodann die "ungerechte und Recht verletzende einseitige Lastenaufteilung des Kindesunterhalts [...] unter Verweigerung des Einbezugs der Leistungsfähigkeit der Beschwerdegegnerin". Damit wendet er sich insoweit gegen den angefochtenen Entscheid, als das Obergericht ihn ab dem 1. August 2017 verpflichtete, von dem (unbestrittenen) Bedarf der beiden Kinder von monatlich insgesamt Fr. 2'830.-- einen Anteil von Fr. 2'040.-- (bzw. Fr. 1'020.-- pro Kind) oder 72,1 % zu übernehmen. Das Gericht rechnete dem Beschwerdeführer ab diesem Zeitpunkt ein hypothetisches (Netto) Einkommen von Fr. 6'750.-- pro Monat an, was nicht bestritten ist. Damit könne er einen Überschuss von Fr. 2'062.-- erwirtschaften und sei in der Lage, die Unterhaltsleistungen zu tragen. Für die Zeit vor dem 1. August 2017 verpflichtete die Vorinstanz den Beschwerdeführer zur Zahlung von Fr. 615.-- pro Kind und Monat. Die ungleiche Aufteilung des Barunterhalts unter den Eltern begründete das Obergericht damit, dass die obhutsberechtigte Beschwerdegegnerin durch die Kinderbetreuung bereits einen wesentlichen Unterhaltsbeitrag leiste und eine Doppelbelastung zu vermeiden sei. Dem Einkommen von Fr. 7'500.-- im Monat, das die Kindsmutter bei einem Erwerbsgrad von 70 % erziele, werde dadurch Rechnung getragen, dass diese ebenfalls einen "nicht unbedeutenden Teil" des Barunterhalts übernehmen müsse.
Der Beschwerdeführer sieht sich durch diese Aufteilung des Unterhalts im Verhältnis zur Beschwerdegegnerin übermässig belastet. Die Beschwerdegegnerin sei leistungsfähiger als er und erziele ein höheres Erwerbseinkommen. Unter diesen Umständen dürfe ihm nicht mehr oder weniger der gesamte Barunterhalt auferlegt und ihm einzig der familienrechtliche Grundbedarf belassen werden. Solches sei auch mit Blick darauf nicht zulässig, dass die Kinder bei der Beschwerdegegnerin lebten. Diese seien bald 15 Jahre alt, besuchten tagsüber das Gymnasium und seien ganztägig ausser Haus. Während der Arbeitszeit bestehe daher kein Betreuungsbedarf mehr, sodass von einer Doppelbelastung der Beschwerdegegnerin keine Rede sein könne.
6.2. Die Eltern haben zusammen für den Unterhalt des Kindes aufzukommen; jeder Elternteil nach seinen Kräften (vgl. aArt. 276 Abs. 1 ZGB; <ref-ruling> E. 4.1). Der Unterhalt wird durch Pflege und Erziehung oder durch Geldzahlung geleistet (vgl. aArt. 276 Abs. 2 ZGB; vorne E. 4.2). Die beiden Arten des Unterhalts sind gleichwertig (so bereits Urteil 5C.127/1995 vom 9. August 1995 E. 5c; vgl. ferner HAUSHEER/SPYCHER, a.a.O., Rz. 06.161; zu <ref-law> vgl. <ref-ruling> E. 4; <ref-ruling> E. 4b/aa; <ref-ruling> E. 5b). Bei der Festsetzung des Unterhalts ist der konkreten Situation Rechnung zu tragen: Kümmert sich nur ein Elternteil um die Kinder, leistet dieser seinen Unterhaltsbeitrag in der Regel allein durch Pflege und Erziehung, während der andere Elternteil Geldunterhalt leistet (Urteile 5A_488/2016 vom 4. April 2017 E. 2.2; 5A_705/2013 vom 29. Juli 2014 E. 3.2). Hilft der beitragspflichtige Elternteil bei der Betreuung mit, ist dieser Betreuungsbeitrag bei der Festsetzung des Geldunterhalts zu berücksichtigen (Urteil 5A_1017/2014 vom 12. Mai 2015 E. 4.4, in: FamPra.ch 2015 S. 680; STEFAN WULLSCHLEGER, in: FamKomm Scheidung, 2. Aufl. 2011 N. 45 f. zu aArt. 285 ZGB; TUOR/SCHNYDER/SCHMID/JUNGO, Das schweizerische Zivilgesetzbuch, 14. Aufl. 2015, § 42 Rz. 24 S. 480). Unter Umständen hat diesfalls der obhutsberechtigte Elternteil, der in der Betreuung entlastet ist, einen Teil seiner Unterhaltsleistung durch Geld zu erbringen (vgl. Urteile 5A_90/2017 vom 24. August 2017 E. 8.2; 5A_86/2016 vom 5. September 2016 E. 7.4.2). Dementsprechend hat der obhutsberechtigte Elternteil seiner Unterhaltspflicht auch dann teilweise durch Geldzahlung nachzukommen, wo der durch Pflege und Erziehung geleistete Anteil an seiner Unterhaltsleistung aus anderen Gründen reduziert ist. Zu denken ist vorab daran, dass das Kind aufgrund seines Alters nicht (mehr) auf umfassende Betreuung angewiesen ist (vgl. aArt. 285 Abs. 1 ZGB; HAUSHEER/SPYCHER, a.a.O., Rz. 10.162 ff.; ähnlich für den nachehelichen Unterhalt <ref-ruling> E. 4.2.2.2; zum Betreuungsbedarf vgl. die statistischen Angaben in den Empfehlungen zur Bemessung von Unterhaltsbeiträgen für Kinder des Amtes für Jugend und Berufsberatung des Kantons Zürich, 2. Aufl. 2007, Ziff. III.B S. 11). Der obhutsberechtigte Elternteil kann seiner Unterhaltspflicht diesfalls nur noch teilweise durch Betreuungsleistungen nachkommen. Müsste in dieser Situation der gesamte Barbedarf des Kindes durch den anderen Elternteil gedeckt werden, widerspräche dies dem Grundsatz, wonach die Eltern entsprechend ihren Kräften an den Unterhalt beitragen (vgl. zum Mündigenunterhalt auch Urteil 5A_643/2015 vom 15. März 2016 E. 7.1).
6.3. Die Kinder der Parteien kamen im Mai 2002 zur Welt (vorne Bst. A). Damit sind sie heute 15 Jahre alt. Sie besuchen unbestritten das Gymnasium und halten sich folglich nicht mehr ganztägig bei der Mutter auf. Diese geht heute denn auch zu 70 % einer Erwerbstätigkeit nach. Unter diesen Umständen hat das Obergericht der Beschwerdeführerin zu Recht einen Teil des Barunterhalts auferlegt. Sie kann ihrer Unterhaltspflicht nicht (mehr) nur durch Pflege und Betreuung allein nachkommen (vgl. E. 6.1 hiervor). Das Obergericht bezifferte den von der Beschwerdegegnerin zu übernehmenden Teil des Barunterhalts im Ergebnis auf 27,9 % des Bedarfs der Kinder, womit sie von der durch das Bezirksgericht vorgenommenen Aufteilung des Unterhalts auf die Eltern von zwei Dritteln zu einem Drittel abwich. Auch wenn das Obergericht damit dem verringerten Betreuungsbedürfnis Rechnung trug, lässt sich dem angefochtenen Urteil nicht entnehmen, dass es den konkret bestehenden Betreuungsbedarf für die schon fast volljährigen und tagsüber abwesenden Kinder festgestellt und berücksichtigt hat. Entsprechend äussert das Gericht sich auch nicht dazu, ob dieser Betreuungsbedarf es rechtfertigt, der Beschwerdegegnerin einen wesentlich kleineren Anteil des Barunterhalts als dem Beschwerdeführer aufzuerlegen. Insoweit bringt Letzterer zu Recht vor, dass die Beschwerdegegnerin einem sehr hohen Arbeitspensum nachgeht und in der Lage ist, ein höheres Einkommen als er selbst zu erzielen. Ob die Beschwerdeführerin einen höheren Anteil am Barunterhalt übernehmen kann, hängt freilich auch von ihrer Leistungsfähigkeit insgesamt ab, wobei ihr betreibungsrechtliches Existenzminimum zu schützen ist (<ref-ruling> E. 4.3). Auch den massgebenden Bedarf der Beschwerdegegnerin hat das Obergericht allerdings nicht festgestellt oder in seine Überlegungen einbezogen (vorne E. 3.2). Wäre der Beschwerdegegnerin ein höherer Anteil am Barunterhalt anzurechnen, würde sich der vom Beschwerdeführer zu übernehmende Anteil verringern. Damit hat das Obergericht bei der Festsetzung des Unterhalts des Beschwerdeführers wesentliche Gesichtspunkte nicht berücksichtigt und das ihm zukommende Ermessen fehlerhaft ausgeübt. Da das Obergericht bei der Unterhaltsberechnung in verschiedener Hinsicht anders als das Bezirksgericht vorging, ändert an diesem Ergebnis auch nichts, dass der Beschwerdeführer die Aufteilung des Unterhalts auf die Eltern seitens der Erstinstanz vor Obergericht nicht beanstandete.
6.4. Die Beschwerde erweist sich damit als begründet und der Kindesunterhalt ist neu festzusetzen. Es ist allerdings nicht die Aufgabe des Bundesgerichts, dies unter Vervollständigung des Sachverhalts zu tun. Die Sache ist damit zur erneuten Festsetzung der Unterhaltsbeiträge im Sinne der Erwägungen an die Vorinstanz zurückzuweisen (<ref-law>). Auch diese wird dabei in Anwendung des alten Rechts in der Fassung vom 25. Juni 1976 zu entscheiden haben (<ref-law>). Auf die weiteren zahlreichen vom Beschwerdeführer in diesem Zusammenhang erhobenen (Grundrechts) Rügen ist bei diesem Ergebnis nicht mehr einzugehen. Aus prozessökonomischen Gründen sind nachfolgend allerdings noch diejenigen Vorbringen zu behandeln, welche die Neufestsetzung des Unterhalts betreffen.
7.
Im Zusammenhang mit dem Bedarf und damit der Leistungsfähigkeit des Beschwerdeführers sind die diesem neben den Krankenkassenprämien für die Kosten medizinischer Behandlungen pro Monat anrechenbaren Kosten strittig. Die Vorinstanz führte diesbezüglich aus, die Kosten des Jahres 2015 von insgesamt Fr. 2'692.80 seien auf ausserordentliche Ausgaben zurückzuführen. Dass auch in Zukunft mit solch hohen Kosten zu rechnen sei, sei nicht nachgewiesen. Der Beschwerdeführer habe denn auch seine Maximalfranchise von Fr. 2'500.-- nicht gesenkt. Dies zeige auf, dass er selbst für die Zukunft nicht mehr mit entsprechend hohen Kosten rechne. Es seien dem Beschwerdeführer daher Fr. 50.-- im Monat anzurechnen und nicht wie geltend gemacht Fr. 200.--. Der Beschwerdeführer kritisiert zwar die vom Obergericht hinsichtlich der (unterlassenen) Senkung seiner Franchise angestellten Überlegungen. Er geht jedoch nicht auf das Argument ein, dass es am Nachweis künftiger Kosten in der geltend gemachten Höhe fehle. Damit setzt er sich nicht hinreichend mit dem angefochtenen Urteil auseinander (vorne E. 2.1), womit auf die Beschwerde insoweit nicht eingetreten werden kann.
8.
8.1. Der Beschwerdeführer bringt sodann vor, volljährige Personen bedürften keines Vormundes und keiner Betreuung. Es sei daher nicht nachvollziehbar, weshalb "eine nicht substantiierte Begründung der Zweitinstanz einen Rechtsanspruch auf einen Betreuungsunterhalt für die Zeit nach der Volljährigkeit [der Kinder] erheben soll". Niemand habe einen "gesetzlichen Anspruch auf einen 'Hotelbetrieb mit Betreuungsaufgaben'". Soweit der Beschwerdeführer damit bestreitet, auch nach Vollendung des 18. Lebensjahrs der Kinder unterhaltspflichtig zu sein, verkennt er <ref-law>: Nach dieser Bestimmung haben die Eltern über die Volljährigkeit hinaus für den Unterhalt ihrer Kinder aufzukommen, bis diese eine angemessene Ausbildung ordentlicherweise abschliessen können. Damit erweist es sich als rechtmässig, dass das Obergericht den Beschwerdeführer zur Zahlung von Kindesunterhalt bis zum ordentlichen Abschluss einer angemessenen Erstausbildung der Kinder verpflichtete. Dass die Kinder bereits eine solche Ausbildung abgeschlossen hätten, macht der Beschwerdeführer sodann nicht geltend.
8.2. Weiter rügt der Beschwerdeführer, ab der Volljährigkeit der Kinder könne er nur zur Zahlung eines ihm nach den gesamten Umständen zumutbaren Unterhalts verpflichtet werden. Damit müsse ihm nach der Ausrichtung der Unterhaltsleistungen noch ein Einkommen verbleiben, das den erweiterten Notbedarf um 20 % übersteigt. Die Voraussetzung für eine Herabsetzung des Prozentzuschlags (knappe wirtschaftliche Verhältnisse; beide Eltern seien unter Berücksichtigung des Zuschlags zur Deckung des Unterhalts nicht genügend leistungsfähig) seien nicht gegeben. Das Obergericht habe ihm den Zuschlag von 20 % nicht belassen, womit der angefochtene Entscheid Recht verletzte und sich als willkürlich erweise.
Für den Unterhalt mündiger Kinder haben die Eltern nur aufzukommen, soweit es ihnen nach den gesamten Umständen zugemutet werden kann (<ref-law>). Nach der Rechtsprechung ist dies grundsätzlich nur der Fall, wenn ihnen nach der Bezahlung der Unterhaltsleistungen noch ein Einkommen verbleibt, das den erweiterten Notbedarf um ungefähr 20 % übersteigt (<ref-ruling> E. 2.3; <ref-ruling> E. 3e; <ref-ruling> E. 4b/aa). Ab dem 1. August 2017 rechnete das Obergericht dem Beschwerdeführer ein seinen Grundbedarf um Fr. 2'062.-- übersteigendes hypothetisches Einkommen an. Gemäss dem angefochtenen Urteil hat er hiervon Fr. 2'040.-- für den Unterhalt seiner Kinder aufzuwenden, und zwar bis diese die Volljährigkeit erreichen oder eine angemessene Erstausbildung ordentlich abschliessen (vgl. vorne Bst. B und E. 6.1). Damit mutete das Obergericht es dem Beschwerdeführer zu, auch über die Volljährigkeit der Kinder hinaus sein gesamtes den erweiterten Notbedarf übersteigendes Einkommen für den Kindesunterhalt zu verwenden. Ob dies im konkreten Fall zulässig war, kann mit Blick darauf offen bleiben, dass die Vorinstanz aufgefordert ist, den den Kindern geschuldeten Barunterhalt neu auf die Parteien zu verteilen.
9.
Der Beschwerdeführer beantragt schliesslich, ihm sei zu gestatten, ab der Volljährigkeit der Kinder die Unterhaltsbeiträge an diese direkt zu bezahlen anstatt an die Beschwerdegegnerin. Vor Obergericht hat der Beschwerdeführer keinen entsprechenden Antrag gestellt (vgl. angefochtenes Urteil, S. 13 ff. [Berufungsanträge]). Etwas anderes macht er vor Bundesgericht auch nicht geltend. Auf die Beschwerde ist daher insweit mangels Ausschöpfung des kantonalen Instanzenzugs nicht einzutreten (vgl. <ref-ruling> E. 1.1; <ref-ruling> E. 4.4.5).
10.
Zusammenfassend ist die Beschwerde gutzuheissen, soweit darauf einzutreten ist, und die Ziffer 1 des angefochtenen Urteils ist soweit den Kindesunterhalt betreffend aufzuheben. Die Sache ist zur erneuten Festsetzung dieses Unterhalts an das Obergericht zurückzuweisen. Dieses wird ebenfalls über die Kosten der kantonalen Verfahren neu zu entscheiden haben, weshalb die Ziffer 1 auch bezüglich der erstinstanzlichen Kosten sowie die Ziffern 2-4 des angefochtenen Urteils aufzuheben sind. Weitergehend ist die Beschwerde abzuweisen.
Bei diesem Ausgang des Verfahrens obsiegt der Beschwerdeführer im Ergebnis vollständig. Dies gilt auch unter Berücksichtigung des Umstands, dass die Sache entgegen seinen Anträgen an die Vorinstanz zurückgewiesen wird (vgl. <ref-ruling> E. 11.1). Entsprechend sind die Gerichtskosten der Beschwerdegegnerin aufzuerlegen (<ref-law>). Parteikosten sind keine zu sprechen. Der obsiegende Beschwerdeführer ist nicht anwaltlich vertreten und die Voraussetzungen für die (ausnahmsweise) Zusprechung der beantragten Umtriebsentschädigung sind nicht erfüllt (<ref-law> sowie Art. 1 und 11 des Reglements vom 31. März 2006 über die Parteientschädigung und die Entschädigung für die amtliche Vertretung vor dem Bundesgericht [SR 173.110.210.3]; vgl. <ref-ruling> E. 4.1; <ref-ruling> E. 4d).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Soweit darauf eingetreten wird, wird die Beschwerde gutgeheissen und die Ziffer 1 soweit den Kindesunterhalt und die Kosten des Verfahrens vor dem Bezirksgericht Horgen betreffend sowie die Ziffern 2-4 des Urteils des Obergerichts des Kantons Zürich vom 22. November 2016 werden aufgehoben. Die Sache wird zum erneuten Entscheid über den Kindesunterhalt sowie die Kosten der kantonalen Verfahren an das Obergericht zurückgewiesen. Weitergehend wird die Beschwerde abgewiesen.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 3'000.-- werden der Beschwerdegegnerin auferlegt.
3.
Parteientschädigung wird keine zugesprochen.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Zürich, II. Zivilkammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 29. November 2017
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: von Werdt
Der Gerichtsschreiber: Sieber