Sachverhalt:
A.
A._, geboren 1983, ist seit 1. August 2003 bei der B._ AG angestellt. Im Februar 2009 meldete sie sich zum Leistungsbezug bei der Invalidenversicherung an. Die IV-Stelle des Kantons Schwyz teilte am 15. April 2009 mit, es seien keine beruflichen Massnahmen notwendig, und lehnte am 13. November 2009 den Anspruch auf eine Invalidenrente ab. Anfang 2013 meldete sich A._ erneut zum Leistungsbezug an. Die nunmehr zuständige IV-Stelle des Kantons Zürich (nachfolgend: IV-Stelle) gewährte Frühinterventionsmassnahmen in Form von Berufsberatung und Jobcoaching, die sie im April 2014 beendete. Weiter veranlasste die IV-Stelle medizinische Abklärungen und verneinte am 22. Januar 2015 den Anspruch auf eine Invalidenrente. Die Pensionskasse der B._ AG richtete A._ bereits von 1. Januar 2010 bis 31. März 2011 resp. ab 1. September 2011 eine Rente bei einem Invaliditätsgrad von 25 % und ab 1. Januar 2014 eine solche bei einem Invaliditätsgrad von 50 % aus.
B.
Das Sozialversicherungsgericht das Kantons Zürich wies die gegen die Verfügung vom 22. Januar 2015 erhobene Beschwerde mit Entscheid vom 13. Mai 2016 ab.
C.
A._ lässt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten führen mit dem Antrag, es seien der vorinstanzliche Entscheid aufzuheben und ihr eine Invalidenrente zuzusprechen; eventualiter sei die Sache an die Vorinstanz zurückzuweisen, insbesondere zur Einholung eines Gutachtens einer auf ihre Erkrankung spezialisierten Stelle.
Die IV-Stelle schliesst auf Abweisung der Beschwerde. Das Bundesamt für Sozialversicherung (BSV) beantragt ebenfalls die Abweisung der Beschwerde.

Erwägungen:
1.
1.1. Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann wegen Rechtsverletzungen gemäss Art. 95 und 96 BGG erhoben werden. Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (<ref-law>). Es ist folglich weder an die in der Beschwerde geltend gemachten Argumente noch an die Erwägungen der Vorinstanz gebunden; es kann eine Beschwerde aus einem anderen als dem angerufenen Grund gutheissen und es kann sie mit einer von der Argumentation der Vorinstanz abweichenden Begründung abweisen. Immerhin prüft das Bundesgericht, unter Berücksichtigung der allgemeinen Pflicht zur Begründung der Beschwerde (Art. 42 Abs. 1 und 2 BGG), grundsätzlich nur die geltend gemachten Rügen, sofern die rechtlichen Mängel nicht geradezu offensichtlich sind (<ref-ruling> E. 1 S. 236 mit Hinweisen).
1.2. Nach <ref-law> legt das Bundesgericht seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (Abs. 1). Es kann diese Sachverhaltsfeststellung von Amtes wegen berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruht (Abs. 2). Die Voraussetzungen für eine Sachverhaltsrüge nach <ref-law> und für eine Berichtigung des Sachverhalts von Amtes wegen nach <ref-law> stimmen im Wesentlichen überein. Soweit es um die Frage geht, ob der Sachverhalt willkürlich oder unter verfassungswidriger Verletzung einer kantonalen Verfahrensregel ermittelt worden ist, sind strenge Anforderungen an die Begründungspflicht der Beschwerde gerechtfertigt. Entsprechende Beanstandungen sind vergleichbar mit den in <ref-law> genannten Rügen. Demzufolge genügt es nicht, einen von den tatsächlichen Feststellungen der Vorinstanz abweichenden Sachverhalt zu behaupten. Vielmehr ist in der Beschwerdeschrift nach den erwähnten gesetzlichen Erfordernissen darzulegen, inwiefern diese Feststellungen willkürlich bzw. unter Verletzung einer verfahrensrechtlichen Verfassungsvorschrift zustande gekommen sind. Andernfalls können Vorbringen mit Bezug auf einen Sachverhalt, der von den Feststellungen im angefochtenen Entscheid abweicht, nicht berücksichtigt werden. Vorbehalten bleiben offensichtliche Sachverhaltsmängel im Sinne von <ref-law>, die dem Richter geradezu in die Augen springen (<ref-ruling> E. 6.2 S. 288; <ref-ruling> E. 1.4.3 S. 255).
2.
Streitig ist der Anspruch auf eine Invalidenrente bzw. die Frage, ob Vorinstanz und Verwaltung mit dessen Verneinung Bundesrecht verletzt haben.
3.
Die Vorinstanz hat die Bestimmungen und Grundsätze über den Begriff der Invalidität (<ref-law> in Verbindung mit <ref-law>) und der Erwerbsunfähigkeit (<ref-law>) sowie den Anspruch auf eine Invalidenrente (Art. 28 Abs. 1 und 2 IVG) zutrefffend dargelegt. Dasselbe gilt für die Aufgabe der Ärzte bei der Invaliditätsermittlung (<ref-ruling> E. 3.2 S. 195; <ref-ruling> E. 4 S. 99) und die beweisrechtlichen Anforderungen an medizinische Berichte (<ref-ruling> E. 5.1 S. 232; <ref-ruling> E. 3a S. 352). Darauf wird verwiesen.
4.
Die Vorinstanz hat in E. 3 ihres Entscheid die massgebenden ärztlichen Berichte zutreffend wiedergegeben. Darauf wird ebenfalls verwiesen.
5.
5.1. Die Versicherte wendet sich im Wesentlichen gegen das von der Verwaltung veranlasste medizinische Gutachten, das im vorliegenden Fall als Entscheidungsgrundlage diente. Es handelt sich dabei um ein bidisziplinäres Gutachten, verfasst einerseits von Frau Dr. med. C._, Fachärztin für Innere Medizin, speziell Rheumaerkrankungen, vom 28. Mai 2014 sowie anderseits von Dr. med. D._, Facharzt für Psychiatrie und Psychotherapie, vom 2. Juni 2014, beides ergänzt um die bidisziplinäre Zusammenfassung vom 2. Juni 2014.
5.2. Die Einwände der Versicherten erfolgen zunächst auf der formalen Ebene des Verfahrens bzw. der personellen Auswahl der Gutachter. In dieser Hinsicht rügt die Beschwerdeführerin eine Verletzung von <ref-law>, da sie als nicht anwaltlich vertretene Versicherte von der IV-Stelle nicht auf die Möglichkeit hingewiesen worden sei, dass sie andere Gutachter vorschlagen könne.
Entgegen der Ansicht der Versicherten bedeutet die einvernehmliche Gutachterbestellung nicht, dass entsprechende Aufträge nur noch mit dem Einverständnis der versicherten Person vergeben werden dürften; selbst bei zulässigen begründeten Einwänden muss die IV-Stelle den Gegenvorschlägen der versicherten Person nicht einfach folgen (<ref-ruling> E. 5.2.1 S. 354). Da die Versicherte keine Einwände gegen die vorgesehenen Gutachter oder andere zulässigen Einwendungen erhoben hat, kam kein konsensorientiertes Vorgehen zum Zug (<ref-ruling> E. 5.2.2.3 S. 356; vgl. auch SVR 2015 IV Nr. 3 S. 6 E. 4, 9C_718/2013). Die Rechtsprechung verlangt denn auch nicht, die versicherte Person sei explizit auf die Möglichkeit von Gegenvorschlägen hinzuweisen (<ref-ruling> E. 5.2.2.2 S. 355). Somit liegt keine Verletzung von <ref-law> vor.
5.3.
Die Versicherte macht sodann vor Bundesgericht erneut geltend, Frau Dr. med. C._ sei befangen, da sie sich in ihrem Gutachten vom 28. Mai 2014 parteiisch äussere und ausschliesslich für die Invalidenversicherung tätig sei.
Nach der Rechtsprechung begründet das Auftrags- und Honorarvolumen für sich allein keine wirtschaftliche Abhängigkeit von den IV-Stellen, die als Ausstandsgrund des einzelnen Experten zu qualifizieren wäre (<ref-ruling> E. 1.3.3 S. 226). Im Übrigen kann auf die zutreffenden vorinstanzlichen Ausführungen in deren E. 4.5, die vom BSV in seiner Stellungnahme angeführte Rechtsprechung (SVR 2016 IV Nr. 8 S. 23 E. 6.3 [8C_599/2014] sowie Urteile 8C_624/2015 vom 25. Januar 2016 E. 3.2.1, 8C_740/2015 vom 11. Februar 2016 E. 4.2 und 9C_793/2015 vom 19. August 2016 E. 4.2) sowie das kürzlich ergangene, sich einlässlich mit den erhobenen Rügen auseinandersetzende Urteil 8C_354/2016 vom 25. Oktober 2016 E. 5 verwiesen werden. Das Bundesgericht hat dem nichts beizufügen.
6.
6.1. Vorinstanz und Verwaltung haben sich bei der Prüfung des Anspruchs auf eine Invalidenrente vollumfänglich auf die Gutachten der Frau Dr. med. C._ vom 28. Mai 2014 und des Dr. med. D._ vom 2. Juni 2014 resp. auf deren bidisziplinäre Zusammenfassung vom 2. Juni 2014 gestützt. Die Versicherte bringt verschiedene Einwände vor, weshalb nicht auf die Beurteilung durch Frau Dr. med. C._ abgestellt werden könne.
6.2. Streitig sind namentlich die Diagnose eines Ehlers-Danlos-Syndroms III und dessen Auswirkungen auf die Arbeitsfähigkeit.
6.2.1. Gestützt auf die Beurteilung von Frau Dr. med. E._, Oberärztin Stoffwechsel, Spital F._, und entgegen der Ansicht von Frau Dr. med. C._ ist davon auszugehen, dass ein Beighton Score von 5/9 vorliegt. Es kann diesbezüglich auf die vorinstanzlichen Feststellungen in ihrer E. 4.2 verwiesen werden.
6.2.2. Frau Dr. med. C._ erwähnt, Dr. med. G._, Facharzt für Innere Medizin, habe im Rahmen seiner Begutachtung im Auftrag der Pensionskasse am 5. November 2013 eine Skoliose - ein weiteres Indiz für das Ehlers-Danlos-Syndrom III (vgl. etwa Harrisons Innere Medizin, 16. Aufl. 2005, S. 2505) - konstatiert. Sie hält hingegen fest, eine ausgeprägte Skoliose mit Beckenschiefstand sei nicht vorhanden. Wie sich aus dem Bericht des PD Dr. med. H._, Facharzt für Radiologie, Medizinisch Radiologisches Institut, ergibt, konnte die Diagnose von Dr. med. G._ bestätigt werden. Die Vorinstanz trägt dieser Sachlage im Rahmen ihrer Beweiswürdigung jedoch nicht Rechnung.
6.2.3. Weiter erachten sämtliche behandelnden Ärzte (vgl. dazu die Stellungnahme vom 25. Juni 2014 des Dr. med. I._, Facharzt für Chirurgie, und Leitender Arzt, Schmerz- und Komplementärmedizin, Spital K._, sowie den Bericht der Frau Dr. med. E._ vom 3. Januar 2014) wie auch der im Auftrag der leistungserbringenden Pensionskasse begutachtende Dr. med. G._ die geltend gemachten Schmerzen als glaubhaft. Diese Einschätzung stimmt mit der Schlussfolgerung des psychiatrischen Gutachters Dr. med. D._ überein, der eine primäre psychogene Ätiologie für die geklagten Schmerzen und damit auch eine somatoforme Schmerzstörung ausschliesst. Zudem verneint Dr. med. D._ jegliche Hinweise auf Verdeutlichungstendenz, Aggravation oder Begehrlichkeit. Frau Dr. med. C._ setzt sich hingegen mit den geltend gemachten Schmerzen und der abweichenden Beurteilung zu deren Einfluss auf die zumutbare Arbeitsfähigkeit durch die übrigen Ärzte nicht einlässlich auseinander. Sie greift diesen massgebenden Aspekt zwar kurz auf, geht aber in ihrer Beurteilung der Leistungsfähigkeit nicht eigentlich darauf ein, was mit den erwähnten Aussagen des psychiatrischen Mitgutachters zu den Schmerzen nicht in Einklang gebracht werden kann. Eine eingehendere Befassung mit der Schmerzproblematik wäre nicht nur mit Blick auf die von den übrigen Ärzten als glaubhaft qualifizierten subjektiven Angaben der Versicherten, sondern auch auf Grund des von Frau Dr. med. C._ selbst erhobenen Schmerzmittelkonsums geboten gewesen.
6.3. Nach dem Gesagten liegen mehrere Differenzen in der Beurteilung der medizinischen Situation zwischen Frau Dr. med. C._ und den übrigen behandelnden (Frau Dr. med. E._, Dr. med. I._) oder ausschliesslich begutachtenden (Dr. med. G._; Dr. med. D._) Ärzten vor, welche die Erstere nicht überzeugend zu erklären vermag. Infolge dieser Unvereinbarkeiten kann der Einschätzung der Frau Dr. med. C._ gemäss Gutachten vom 28. Mai 2014 nicht gefolgt werden.
6.4. Da die bidisziplinäre Begutachtung durch Frau Dr. med. C._ und Dr. med. D._ nicht als Grundlage zur Bestimmung des Invaliditätsgrades dienen kann, ist die Sache unter Aufhebung des kantonalen Entscheids zur Einholung eines Gerichtsgutachtens und anschliessendem neuen Entscheid an die Vorinstanz zurückzuweisen.
7.
Das Verfahren ist kostenpflichtig. Die unterliegende IV-Stelle hat die Gerichtskosten zu tragen (<ref-law>). Die Versicherte hat Anspruch auf eine Parteientschädigung (Art. 68 Abs. 1 und 2 BGG). Die Vorinstanz wird entsprechend dem Ausgang dieses Prozesses über die Kostenregelung im kantonalen Verfahren mit ihrem erneuten Entscheid neu zu befinden haben (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird teilweise gutgeheissen und der Entscheid des Sozialversicherungsgerichts des Kantons Zürich vom 13. Mai 2016 aufgehoben. Die Sache wird zu neuer Entscheidung an die Vorinstanz zurückgewiesen. Im Übrigen wird die Beschwerde abgewiesen.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 800.- werden der Beschwerdegegnerin auferlegt.
3.
Die Beschwerdegegnerin hat die Beschwerdeführerin für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 2'800.- zu entschädigen.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien, dem Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich und dem Bundesamt für Sozialversicherungen schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 7. Februar 2017
Im Namen der I. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Maillard
Die Gerichtsschreiberin: Riedi Hunold