Faits :
A.
A._, né en 1964, a été engagé le 1er février 1985 comme ouvrier (aide-jardinier) au service des parcs et promenades de la Ville de Genève. Il a été nommé fonctionnaire l'année suivante. A partir du 1er mars 2011, il a exercé la fonction de gardien d'animaux au service V._ après avoir obtenu le certificat fédéral de capacité dans cette profession. Son cahier des charges incluait l'encadrement d'apprentis et de stagiaires. Les rapports d'évaluation de son travail, effectués jusqu'en 2008, ont toujours été bons, soulignant sa compétence et son dévouement.
Dans le courant du mois d'août 2012, B._, âgée alors de dix-huit ans, a rejoint l'équipe d'agents du V._ qui s'occupait du zoo de X._ pour accomplir un apprentissage de gardienne d'animaux pour une durée de trois ans. C._, contremaître principal, était responsable de sa formation. A._ a été chargé d'encadrer l'apprentie dans ses activités sur le terrain.
Le matin du 3 novembre 2014, B._ a trouvé dans son casier du vestiaire un message écrit dont la teneur était la suivante:
" (SALE PUTE)
Petite, Moche, qui pue la MERDE de CHIEN. Si tu t'avise encore une seule fois de dire des Mensonges à ma femme à mon sujet, tu aurais à faire à moi et officiellement à la Justice ainsi que le Médecin traitant (Principale) de ma femme et tous les autres. Tu devrais te regarder dans un miroir saloppe de Merde. Evite de t'amuser avec les bougie salle Sorcière, ça ne te vas pas du tout et cela peut se retourner contre toi si tu ne sais pas manier la magie noir. Vas crever en Enfer Pourriture du Diable. Ne croise jamais mon chemin, y compris ma famille aussi bien à ONEX que Partout ailleur. Tu restera une Prostituée pour l'éternité."
A._ a reconnu être l'auteur de ce message. Dès le lendemain, il a été mis en arrêt maladie par son médecin traitant.
Par décision du 5 novembre 2014, le Conseil administratif a ouvert une enquête administrative à son encontre et prononcé la suspension de son activité jusqu'au prononcé d'une éventuelle sanction ou d'un licenciement. L'enquête a été confiée à D._ et E._ qui ont interrogé, outre l'intéressé et l'apprentie, C._ et F._, membres de l'équipe du V._, G._, responsable des ressources humaines (RH) au V._, ainsi que H._, chef de service.
On peut résumer les déclarations orales et écrites de A._ aux enquêteurs comme suit. Il connaissait depuis un certain temps des difficultés conjugales et des déceptions professionnelles - il n'avait pas été retenu à la fonction de contremaître principal et formateur à laquelle il avait postulé - et en avait fait une dépression. Cela l'avait amené à boire et à fumer. Lorsque l'apprentie était arrivée, elle avait commencé à se confier à lui et à lui révéler des choses intimes. Il se sentait attiré par elle, sans toutefois vouloir que cela aille plus loin. Il n'avait jamais eu de gestes déplacés envers elle. Vers la mi-mars 2014, il lui avait avoué ses sentiments. L'apprentie avait réagi en disant qu'il était marié et qu'elle "s'en foutait". Quelques jours plus tard, il s'était excusé auprès d'elle. La même semaine, ne supportant plus cette situation, il avait fait une crise de nerfs au travail et déclaré vouloir attenter à sa vie devant ses collègues. A la suite de cet épisode, il avait mis C._ dans la confidence. Peu après, il avait consulté son médecin traitant qui lui a prescrit un médicament anti-dépresseur et l'a mis en incapacité de travail dès le 7 avril 2014. En juin ou juillet 2014, alors qu'il était encore en arrêt maladie, sa femme avait appris par une amie que B._ prétendait avoir eu des relations sexuelles avec lui dans une chambre d'hôtel qu'il aurait payée, et pouvoir faire de lui ce qu'elle voulait. Cette rumeur avait bouleversé sa vie de famille, sa femme avait été proche du divorce et sa fille avait eu besoin d'un soutien psychologique. Lui-même avait tenté de se suicider. Lorsqu'il a commencé à aller un peu mieux, il a contacté G._ des RH et l'a mise au courant de ses sentiments envers l'apprentie. Il avait été convenu avec elle, et sur recommandation de son médecin traitant, qu'il reprenne le travail à 50 % du 3 novembre au 17 novembre 2014 au cimetière Y._, et puis encore ailleurs jusqu'au mois de mars 2015, date à laquelle le point serait fait sur sa situation. La nuit précédant sa reprise du travail, il avait peu dormi et s'était levé très tôt. Après avoir bu une cannette de bière et avalé six médicaments au lieu de deux, il s'était rendu dans le vestiaire du X._ pour prendre ses habits de travail. Une fois sur place, à la vue du casier de l'apprentie, il avait senti la colère le gagner car il trouvait injuste de devoir être affecté ailleurs à cause d'elle. Sur cette impulsion, il avait pris un papier et écrit le message d'injures contre elle sans même éprouver de soulagement. Ensuite de quoi, il s'était déplacé au cimetière Y._ pour commencer son travail. A ce jour, il avait encore l'impression que l'apprentie l'avait manipulé et qu'elle voulait prendre sa place de gardien d'animaux (voir le procès-verbal de comparution personnelle de A._ du 19 janvier 2015 et sa prise de position écrite du 20 mai 2015).
Quant à B._, elle a déclaré qu'elle connaissait A._ depuis longtemps car son frère avait à une époque fréquenté la même école que la fille du prénommé. A._ lui avait parlé de son travail et c'est ainsi qu'elle avait développé un intérêt pour le métier de gardienne d'animaux. A son arrivée au V._, A._ l'avait prise sous son aile et ils avaient beaucoup discuté ensemble. Elle le considérait un peu comme un père. Par la suite, elle avait passé plus de temps avec un nouvel arrivé plus jeune. Un jour du mois de mars 2014, A._ était venu vers elle un peu éméché. Il lui avait fait part de ses sentiments envers elle en lui demandant de l'aider à l'oublier. Elle s'était sentie mal puis avait rigolé pensant que cette confession était due aux effets de l'alcool. Il s'était excusé d'avoir bu quelques jours plus tard tout en réitérant sa déclaration. Elle lui avait suggéré qu'ils s'évitent. Quand elle avait trouvé le message dans son casier le 13 novembre 2014, elle avait assez vite compris que cela venait de lui. Elle avait été surprise mais pas particulièrement choquée par les insultes ("vu son enfance"), ni ne s'était sentie menacée. En revanche, elle n'avait pas apprécié le terme "mensonge" figurant dans le message. Elle a également précisé que le jour en question elle avait trouvé ses casiers vidés de ses affaires, des fiches techniques déchirées et des papiers jetés par terre, ainsi qu'un post-it avec l'inscription "je suis toujours gardien d'animaux" dessus. Elle confirmait n'avoir jamais eu de relation intime avec A._ et non plus prétendu que tel aurait été le cas à qui que ce soit. Elle ne s'opposait pas à ce que celui-ci conserve sa fonction au V._ car il aimait son métier (procès-verbal d'audition de B._ du 5 février 2015).
Les enquêteurs ont rendu leur rapport le 8 juin 2015. Pour évaluer la gravité de la violation des devoirs de service commis par A._, il convenait, selon eux, de prendre en considération le fait que les termes employés dans le message étaient forts et auraient pu conduire au prononcé d'une sanction pénale pour atteinte à l'honneur si B._ avait souhaité porter plainte. D'un autre côté, l'intéressé était employé depuis de trente ans à la Ville de Genève, n'avait jamais fait l'objet de sanction, et avait exprimé des excuses et regrets pour son acte qu'il disait avoir commis sous l'emprise de la colère et de médicaments combinés avec de l'alcool, alors qu'il était dépressif. Les enquêteurs relevaient également que plusieurs collaborateurs avaient été affectés par l'épisode au cours duquel il avait émis le souhait de mettre fin à sa vie. Enfin, le chef de service s'était exprimé négativement quant au retour de A._ dans la fonction dès lors que le V._ était constitué d'une petite équipe et qu'il estimait que les rapports de confiance ne pouvaient pas être réparés.
A._ s'est déterminé sur ce rapport. Il a été entendu le 28 juillet 2015 à sa demande par le Conseil administratif de la Ville de Genève. Il a recouvré une capacité de travail partielle à partir du 16 janvier 2016, puis entière dès le 1er avril 2016.
Par décision du 4 avril 2016, le Conseil administratif de la Ville de Genève a mis fin aux rapports de service de l'intéressé avec effet au 31 octobre 2016, et l'a libéré de son obligation de travail jusqu'au terme du délai de congé.
B.
Par arrêt du 27 septembre 2016, la Chambre administrative de la Cour de justice de la République et canton de Genève a rejeté le recours formé par A._ contre la décision de licenciement.
C.
A._ interjette un recours en matière de droit public. A titre principal, il conclut à ce qu'il soit dit que son licenciement est contraire au droit et à sa réintégration à son ancien poste de travail ou à un autre poste conforme à ses compétences au sein de la Ville de Genève, ou sinon au versement en sa faveur d'une indemnité correspondant à vingt-quatre mois de traitement brut, treizième salaire en sus. Subsidiairement, il conclut à ce qu'il lui soit donné acte qu'il s'en rapporte à justice quant à la nature de la sanction moins incisive qui devra lui être infligée. Plus subsidiairement, il demande le renvoi de la cause à la chambre administrative pour nouvelle décision au sens des considérants.
La Ville de Genève conclut au rejet du recours.

Considérant en droit :
1.
Le jugement entrepris a été rendu en matière de rapports de travail de droit public au sens de l'art. 83 let. g LTF. Dans la mesure où la contestation porte sur la résiliation de ces rapports, il s'agit d'une contestation de nature pécuniaire, de sorte que le motif d'exclusion de l'art. 83 let. g LTF n'entre pas en considération (p. ex.: arrêt 8C_67/2016 du 15 février 2017 consid. 1 et les arrêts cités). La valeur litigieuse dépasse largement le seuil de 15'000 fr. ouvrant la voie du recours en matière de droit public en ce domaine (art. 51 al. 2 et 85 al. 1 let. b LTF).
Pour le surplus, interjeté en temps utile et dans les formes requises contre une décision finale prise par un tribunal cantonal, le recours respecte les exigences des art. 42, 86 al. 1 let. d, 90 et 100 al. 1 LTF. Il est par conséquent recevable.
2.
2.1. Selon l'art. 34 al. 1 du Statut du personnel de la Ville de Genève (LC 21 151), après la période d'essai, un employé ou une employée peut être licenciée, par décision motivée du Conseil administratif, pour motif objectivement fondé pour la fin d'un mois, moyennant un délai de préavis de: six mois dès la onzième année de service (let. c). A teneur de l'alinéa 2 de cette disposition, le licenciement est contraire au droit s'il est abusif au sens de l'<ref-law> ou s'il ne repose pas sur un motif objectivement fondé. Est considéré comme objectivement fondé tout motif dûment constaté démontrant que les rapports de service ne peuvent pas se poursuivre en raison soit de: a) l'insuffisance des prestations; b) un manquement grave ou répété aux devoirs de service; c) l'inaptitude à remplir les exigences du poste; d) [...]; e) [...].
2.2. Le chapitre VI du statut précise les devoirs du personnel. Les membres du personnel sont tenus au respect des intérêts de la Ville de Genève et doivent s'abstenir de tout ce qui peut lui porter préjudice (art. 82). Ils doivent, par leur attitude, entretenir des relations dignes et respectueuses avec leurs collègues, leurs supérieures et supérieurs et leurs subordonnées et subordonnés et faciliter la collaboration entre ces personnes, de même que justifier et renforcer la considération et la confiance dont le personnel de la Ville de Genève doit être l'objet (art. 83 let. a et c).
3.
Par un premier moyen d'ordre formel, le recourant se plaint d'un établissement manifestement inexact et incomplet des faits.
3.1. Selon l'<ref-law>, le recours peut critiquer les constatations de fait à la double condition que les faits aient été établis de façon manifestement inexacte ou en violation du droit au sens de l'<ref-law> et que la correction du vice soit susceptible d'influer sur le sort de la cause, ce que le recourant doit rendre vraisemblable par une argumentation répondant aux exigences des art. 42 al. 2 et 106 al. 2 LTF. La notion de "manifestement inexacte" figurant à l'<ref-law> correspond à celle d'arbitraire au sens de l'art. 9 Cst. (<ref-ruling> consid. 1.3.1 p. 253; <ref-ruling> consid. 2.3 p. 266). S'agissant de constatations de fait, il y a arbitraire lorsque l'autorité ne prend pas en compte, sans raison sérieuse, un élément de preuve propre à modifier la décision, lorsqu'elle se trompe manifestement sur son sens et sa portée, ou encore lorsque, en se fondant sur les éléments recueillis, elle en tire des constatations insoutenables (ATF <ref-ruling> consid. 2.3 p. 266 et les arrêts cités).
3.2. Le recourant reproche tout d'abord aux juges précédents d'avoir retenu de manière erronée que le message qu'il avait rédigé contenait des menaces contre l'apprentie. Il reconnaît l'avoir offensée par des insultes, mais en aucun cas avoir exprimé des menaces de violences physiques à son encontre.
La cour cantonale a relevé le "caractère attentatoire à l'honneur et menaçant" des termes utilisés dans le message et le fait qu'ils exprimaient une volonté "de dénigrer sa destinatrice, de porter atteinte à son honneur, voire de la menacer [...]". En l'occurrence, on ne voit pas en quoi il est insoutenable de considérer que l'expression "Si tu t'avise encore une seule fois de dire des Mensonges à ma femme à mon sujet tu auras à faire à moi et officiellement à la Justice [...]" traduit une certaine volonté d'intimider la personne qui en est destinataire, ce qui est caractéristique d'une menace ou d'un ton menaçant. Cela étant, la cour cantonale n'a pas qualifié ces propos de menace grave à l'intégrité physique au sens du droit pénal.
3.3. Le recourant reproche également aux juges cantonaux de ne pas avoir relaté de manière complète les circonstances ayant précédé la rédaction de son message, à savoir l'existence d'une fausse rumeur lancée par B._ faisant état de rapports sexuels avec lui dans une chambre d'hôtel et les bouleversements que cette rumeur, parvenue aux oreilles de son épouse, avait provoqués sur sa vie de famille. Le jugement ne mentionnait pas non plus les regrets qu'il avait manifestés pour son comportement, en particulier lors de sa comparution personnelle devant les enquêteurs en date du 19 janvier 2015 et dans ses observations écrites du 20 mai 2015. Il en allait de même, enfin, des déclarations de B._, selon lesquelles elle ne s'était jamais sentie menacée par les propos qu'il avait écrits, et ne voyait pas d'inconvénient à ce qu'il reprenne son activité de gardien d'animaux au X._.
Le jugement ne reproduit certes pas in extenso le contenu des déclarations orales et écrites que le recourant a faites lors de l'enquête administrative. On trouve cependant l'essentiel de ce qu'il a dit sur les circonstances qui l'ont fait agir de la sorte, et dont il se prévaut dans son recours, aux chiffres 12 et 15 de l'état de fait de la décision attaquée. Par ailleurs, au chiffre 14, qui comporte un résumé des conclusions du rapport d'enquête, il est spécifié que A._ a présenté des regrets et des excuses pour son comportement. A ces égards, le grief du recourant est donc manifestement mal fondé. En revanche, il est vrai que l'instance précédente a passé sous silence le fait que B._ a déclaré ne pas avoir eu peur à la suite du message et ne pas s'opposer à ce qu'il fût maintenu dans sa fonction de gardien d'animaux (voir le procès-verbal de l'audition du 5 février 2015). Toutefois, la prise en compte de ces éléments ne sont pas décisifs pour l'issue du litige. D'une part, le caractère répréhensible du comportement du recourant n'a pas seulement consisté dans la rédaction d'une seule phrase menaçante mais d'un long message contenant une succession d'injures et d'insultes à caractère sexiste et attentatoire à l'honneur qui constituent indubitablement une atteinte à la personnalité de l'apprentie. D'autre part, il revient à l'employeur, qui a un devoir de protection de la personnalité de ses employés, de décider des mesures à prendre si la personnalité d'un travailleur fait l'objet d'une atteinte de la part d'un autre membre du personnel.
4.
Par un second moyen formel, le recourant invoque une violation de son droit d'être entendu garanti par l'art. 29 al. 2 Cst. en tant que la cour cantonale a refusé de procéder à l'audition de sa femme, I._.
4.1. Tel qu'il est garanti par l'art. 29 al. 2 Cst., le droit d'être entendu comprend en particulier le droit pour le justiciable d'obtenir qu'il soit donné suite à ses offres de preuves pertinentes, lorsque cela est de nature à influer sur la décision à rendre (cf. <ref-ruling> consid. 6.3.1 p. 299). Le droit de faire administrer des preuves suppose que le fait à prouver soit pertinent, que le moyen de preuve proposé soit nécessaire pour constater ce fait et que la demande soit présentée selon les formes et délais prescrits (cf. <ref-ruling> consid. 5.3 p. 148). Cette garantie constitutionnelle n'empêche pas l'autorité de mettre un terme à l'instruction lorsque les preuves administrées lui ont permis de former sa conviction et que, procédant d'une manière non arbitraire à une appréciation anticipée des preuves qui lui sont encore proposées, elle a la certitude qu'elles ne l'amèneraient pas à modifier son opinion (<ref-ruling> consid. 6.3.1 p. 299; <ref-ruling> consid. 4.3.2 p. 376).
4.2. Contrairement à ce que soutient le recourant, l'allégation que c'est B._ qui aurait propagé la fausse rumeur d'une relation sexuelle avec lui dans un hôtel - ce que l'apprentie a nié au cours de l'enquête - ne peut être établie par l'audition de son épouse. En effet, comme cela ressort de ses déclarations devant les enquêteurs (voir le procès-verbal de sa comparution personnelle du 19 janvier 2015), sa femme avait appris d'une amie qui avait eu une discussion avec B._ que cette dernière prétendait avoir eu des relations se-xuelles avec lui. I._ ne pourrait donc faire qu'un témoignage indirect sur qui était à l'origine de la rumeur. Or, le recourant n'a pas demandé que l'amie de sa femme soit entendue. Ensuite, même en admettant qu'il ait pu croire cela vrai, le recourant s'est déjà longuement expliqué sur les répercussions que cette rumeur avait eue sur sa vie familiale dans le cadre de l'enquête administrative. A ce sujet, le témoignage de sa femme ne pourrait rien apporter de plus, étant précisé que la cour cantonale a considéré que ces circonstances n'étaient de toute façon pas de nature à atténuer la gravité de son comportement, question qui ressortit à l'appréciation juridique des faits et non à leur constatation. Enfin, si le recourant entendait démontrer la gravité de son état psychique avant et pendant les faits, il lui appartenait de produire un rapport médical de son médecin traitant attestant l'existence d'une telle situation, ce dont il s'est abstenu.
5.
Dans un dernier grief formel, le recourant soutient que l'instance précédente a violé l'obligation de motiver sa décision. Celle-ci n'avait pas examiné sérieusement ses arguments et procédé à une analyse lacunaire de la question du respect du principe de proportionnalité de la décision de licenciement.
5.1. L'obligation de motiver, telle qu'elle découle du droit d'être entendu (art. 29 al. 2 Cst.), est respectée lorsque le juge mentionne, au moins brièvement, les motifs qui l'ont guidé et sur lesquels il a fondé sa décision, de manière à ce que l'intéressé puisse se rendre compte de la portée de celle-ci et l'attaquer en connaissance de cause (<ref-ruling> consid. 3.2.4 p. 41; <ref-ruling> consid. 2.2 p. 183). L'autorité n'a pas l'obligation d'exposer et de discuter tous les faits, moyens de preuve et griefs invoqués par les parties, mais elle peut au contraire se limiter à ceux qui lui paraissent pertinents (ATF <ref-ruling> consid. 2.2 p. 183; <ref-ruling> consid. 5.1 p. 237).
5.2. En substance, la cour cantonale a retenu que la violence, l'agressivité, le caractère attentatoire à l'honneur et menaçant des termes proférées par un homme de l'expérience et de l'âge du recourant à l'encontre de l'apprentie, qui plus est en la forme écrite, dans le seul but de la dénigrer et de l'humilier, constituent un comportement qui, quels qu'en avaient pu être les motifs, devait être qualifié de manquement grave. Ce d'autant plus grave que la victime était une personne jeune, en formation et, par définition, peu expérimentée dans le monde professionnel. Toujours selon la cour cantonale, de tels faits auraient même pu éventuellement tomber sous le coup d'une révocation disciplinaire. En choisissant de se séparer du recourant par la voie du licenciement ordinaire, l'employeur avait opté pour une issue moins lourde de conséquences pour l'intéressé, compte tenu de ses bons états de service. Au regard de toutes les circonstances du cas d'espèce, dont la gravité du manquement commis, le comportement de l'intéressé avant mais aussi après les faits - tendant à minimiser ceux-ci et à faire porter une part de responsabilité à la victime -, sa situation personnelle et son âge, cette mesure ne pouvait être qualifiée de disproportionnée. Elle était, en outre, propre à ramener une certaine sérénité au sein du service.
5.3. Une telle motivation suffit au regard des exigences posées par la jurisprudence. Le recourant pouvait en effet comprendre que la cour cantonale a considéré que son comportement atteignait en l'espèce un seuil de gravité suffisamment élevé pour être qualifié de manquement grave aux devoirs de service au sens de l'art. 34 al. 2 let. b du statut, et qu'elle n'a pas retenu l'existence de circonstances atténuantes en sa faveur justifiant que l'employeur soit tenu de le garder en fonction. Il était donc en mesure d'attaquer cette décision à bon escient, ce qu'il a d'ailleurs fait.
6.
Sur le fond, le recourant reconnaît que son comportement mérite d'être sanctionné. Il soutient en revanche que les conditions d'un licenciement pour manquement grave ne sont pas données dans son cas au regard du contexte de détresse psychologique dans lequel il se trouvait. Il rappelle qu'il venait de sortir d'une grave dépression qui avait occasionné plusieurs mois d'incapacité de travail. Il s'agissait d'un manquement unique alors qu'il était sous le coup d'une soudaine colère à la vue du casier de l'apprentie, ce qui lui avait remémoré les rumeurs humiliantes que celle-ci avait fait circuler à son propos. D'autres mesures auraient pu être ordonnées, étant précisé que l'apprentie n'avait soulevé aucune objection à sa réintégration et qu'on ne voyait pas en quoi le bon fonctionnement du V._ en serait perturbé.
6.1. Une mesure viole le principe de la proportionnalité notamment si elle excède le but visé et qu'elle ne se trouve pas dans un rapport raisonnable avec celui-ci et les intérêts, en l'espèce publics, compromis (<ref-ruling> consid. 9.1 p. 69; <ref-ruling> consid. 3.5.1 p. 69 et les arrêts cités). Le principe de la proportionnalité, bien que de rang constitutionnel, ne constitue pas un droit constitutionnel avec une portée propre (<ref-ruling> consid. 3.1 p. 51 et les arrêts cités). Aussi, lorsque, comme en l'espèce, ce principe est invoqué en relation avec l'application du droit cantonal (en dehors du domaine de protection d'un droit fondamental spécial), le Tribunal fédéral n'intervient-il, en cas de violation du principe de la proportionnalité, que si la mesure de droit cantonal est manifestement disproportionnée et qu'elle viole simultanément l'interdiction de l'arbitraire; autrement dit le grief se confond avec celui de l'arbitraire (<ref-ruling> consid. 6.1 p. 580; <ref-ruling> consid. 4.2.2 et 4.3 p. 158; arrêt 8C_13/2015 du 28 janvier 2016 consid. 5.2).
6.2. En l'espèce, il n'est pas discutable que le recourant a commis un manquement grave à son devoir d'entretenir des relations dignes et respectueuses au travail, en rédigeant à l'intention de l'apprentie un message dans laquelle il la traite de "sale pute", de "petite moche qui pue la merde de chien", de "sale sorcière", de "pourriture du diable" et de "prostituée pour l'éternité". Un tel comportement, qui constitue une atteinte manifeste aux droits de la personnalité de celle-ci, ne pouvait être toléré par l'intimée au regard de son devoir de protéger ses employés selon l'<ref-law> [RS 220], qui vaut pour les relations de travail fondées tant sur le droit privé que sur le droit public (voir JEAN-PHILIPPE DUNAND/SANDRINE TORNARE, L'obligation de l'employeur de prévenir les conflits interpersonnels (sources, concrétisation et responsabilité), in: Conflits au travail, Centre d'étude des relations de travail, 2015, p. 33). Surtout que l'acte visait une jeune femme en apprentissage et qu'il y a lieu d'attendre de l'employeur une vigilance particulière en matière de protection de la personnalité des jeunes en formation qui sont, en principe, confrontés pour la première fois à la vie professionnelle et se trouvent dans une situation de dépendance particulièrement marquée (cf. arrêt 2C_103/2008 du 30 juin 2008 consid. 6.2 in fine). Quoi qu'en dise le recourant, on ne saurait tenir pour arbitraire la décision prise par l'employeur de résilier de manière ordinaire les rapports de service à raison de ces faits. Il n'est en effet pas insoutenable de considérer que ni sa croyance que B._ était à l'origine de la rumeur, ni les difficultés personnelles qu'il connaissait depuis un certain temps déjà dans son couple, dont la prénommée n'était en rien responsable, ne constituaient pas des facteurs de nature à atténuer la gravité de son comportement. Le fait qu'il s'en est pris à elle plusieurs mois après avoir eu vent de l'existence cette rumeur alors qu'on aurait pu attendre de lui une prise de distance par rapport à cet événement, de même que la violence des qualificatifs qu'il a employés à son égard, montrent qu'il a agi par rancoeur avec une volonté délibérée de la rabaisser et de porter atteinte à sa dignité de femme. Une telle réaction à l'égard d'une jeune femme de la part d'un homme de l'âge et de l'expérience du recourant apparaît difficilement excusable dans les relations de travail, même en tenant compte du fait que sa carrière avait été jusque-là exempte de reproches. Ce d'autant que rien au dossier ne permet d'établir qu'il était privé de sa capacité de discernement au moment de rédiger sa lettre injurieuse et qu'une fois écrite et placée dans le casier de l'apprentie, il s'est rendu à son nouveau lieu de travail et n'a fait aucun mouvement pour la retirer avant l'arrivée des employés du V._.
Il s'ensuit que le jugement attaqué n'est pas critiquable et que le re-cours se révèle mal fondé.
7.
Le recourant, qui succombe, supportera les frais judiciaires (<ref-law>). Bien qu'elle obtienne gain de cause, l'intimée n'a pas droit aux dépens qu'elle prétend (<ref-law>).

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce :
1.
Le recours est rejeté.
2.
Les frais de justice, arrêtés à 3'000 fr., sont mis à la charge du recourant.
3.
Le présent arrêt est communiqué aux parties et à la Cour de justice de la République et canton de Genève, Chambre administrative.
Lucerne, le 26 septembre 2017
Au nom de la Ire Cour de droit social
du Tribunal fédéral suisse
Le Président : Maillard
La Greffière : von Zwehl