Sachverhalt:
A.
Am 8. Januar 2015 entzog das Strassenverkehrs- und Schifffahrtsamt des Kantons Bern (SVSA) A._ wegen des Verdachts auf Trunksucht bzw. charakterlicher Nichteignung den Führerausweis auf unbestimmte Zeit (Sicherungsentzug). Am 26. Januar 2015 stellte A._ ein Wiederzulassungsgesuch und unterzog sich in der Folge einer Fahreignungsuntersuchung durch das Institut für forensische Psychiatrie und Psychotherapie (IFPP) Langenthal. Dieses erstattete sein Gutachten am 16. Juni 2015 und verneinte darin die Fahreignung von A._ wegen Trunksucht im strassenverkehrsrechtlichen Sinn. Gestützt darauf verweigerte das Verkehrsamt (SVSA) mit Verfügung vom 9. Juli 2015 die Wiederzulassung.
B.
Dagegen beschwerte sich A._ am 10. August 2015 bei der Rekurskommission des Kantons Bern für Massnahmen gegenüber Fahrzeugführern (Rekurskommission). Diese wies sein Rechtsmittel am 21. Oktober 2015 ab. Sie kam zum Schluss, bei A._ habe jedenfalls bis in den Januar 2015 hinein ein Trinkverhalten vorgelegen, das eine Fahreignung ausschliesse. Inzwischen habe er seinen Alkoholkonsum stark reduziert, doch sei die seither vergangene Zeitspanne zu kurz, um die Fahreignung im gegenwärtigen Zeitpunkt zu bejahen.
C.
Gegen diesen Entscheid erhob A._ am 5. April 2016 beim Bundesgericht Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten. Er ersucht um Aufhebung der vorinstanzlichen Entscheide und um Wiederzulassung zum motorisierten Strassenverkehr.
Die Rekurskommission und das Bundesamt für Strassen (ASTRA) beantragen, die Beschwerde abzuweisen. Das kantonale Verkehrsamt (SVSA) stellt Antrag auf Nichteintreten, eventuell auf Abweisung der Beschwerde. A._ hat sich nochmals zur Sache geäussert.

Erwägungen:
1.
1.1. Angefochten ist ein kantonal letztinstanzlicher Entscheid über die Wiedererteilung des Führerausweises nach einem Sicherungsentzug. Dagegen steht die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten nach Art. 82 ff. BGG an das Bundesgericht offen. Ein Ausnahmetatbestand liegt nicht vor (vgl. Art. 83 f. BGG).
1.2. Der Entscheid der Rekurskommission vom 21. Oktober 2015 wurde dem Beschwerdeführer (erst) am 25. Februar 2016 eröffnet. Die am 5. April 2016 der Post übergebene Beschwerde ist unter Berücksichtigung des Fristenstillstands an Ostern (Art. 46 Abs. 1 lit. a BGG) und des Fristenlaufs an Samstagen und Sonntagen (Art. 45 Abs. 1 BGG) rechtzeitig eingereicht worden.
1.3. Das kantonale Verkehrsamt (SVSA) beantragt, es sei auf die Beschwerde nicht einzutreten, weil der Beschwerdeführer bloss auf unzulässige Weise appellatorische Kritik an den vorinstanzlichen Sachverhaltsfeststellungen übe. Dies trifft nicht zu. Der Beschwerdeführer unterscheidet in seiner Rechtsmitteleingabe zwar in der Tat kaum zwischen Rügen, welche die vorinstanzliche Sachverhaltsfeststellung betreffen, und Rechtsrügen. Immerhin lässt sich die Beschwerde sinngemäss dahin verstehen, die Vorinstanz habe rechtlich unzulässige Schlüsse aus den vorliegenden ärztlichen Stellungnahmen gezogen. Zudem macht er eine Verletzung seines rechtlichen Gehörsanspruchs geltend. Damit rügt der Beschwerdeführer die Verletzung von Bundesrecht (Art. 95 lit. a, Art. 97 Abs. 1 BGG). Auf das Rechtsmittel ist daher einzutreten.
2.
Die Beschwerde erweist sich als offensichtlich unbegründet, ist dementsprechend im vereinfachten Verfahren nach Art. 109 BGG zu behandeln und auch bloss summarisch zu begründen (Art. 109 Abs. 3 BGG).
2.1. Ausweise und Bewilligungen sind zu entziehen, wenn festgestellt wird, dass die gesetzlichen Voraussetzungen zur Erteilung nicht oder nicht mehr bestehen (Art. 16 Abs. 1 SVG). Der auf unbestimmte Zeit entzogene Führerausweis kann bedingt und unter Auflagen wieder erteilt werden, wenn eine allfällige Sperrfrist abgelaufen ist und die betroffene Person die Behebung des Mangels nachweist, der die Fahreignung ausgeschlossen hat (Art. 17 Abs. 3 SVG).
2.2. Nach den für das Bundesgericht grundsätzlich verbindlichen vorinstanzlichen Feststellungen (Art. 105 Abs. 2 BGG) wurde dem Beschwerdeführer der Führerausweis bisher drei Mal wegen Fahrens in angetrunkenem Zustand entzogen, nämlich in den Jahren 2004, 2011 und 2013, wobei jeweils eine Blutalkoholkonzentration von zwischen 1,61 und 1,83 Gewichtspromille gemessen wurde; die dritte Trunkenheitsfahrt führte - nachdem sich der Beschwerdeführer der angeordneten Fahreignungsuntersuchung nicht unterzogen hatte - zum Entzug auf unbestimmte Zeit, der am 8. Januar 2015 verfügt wurde und der dem vorliegenden Verfahren zugrunde liegt. Im März 2015 erfolgte dann eine Eignungsabklärung durch eine Fachstelle (IFPP). Wie die Vorinstanz erwogen hat, hält das Gutachten fest, beim Beschwerdeführer habe eine "phasenweise übermässige Substanzeinnahme vorgelegen", und er scheine wiederholt in gesellschaftlichem Rahmen übermässig Alkohol konsumiert zu haben. Die diagnostischen Kriterien eines Abhängigkeitssyndroms seien eindeutig erfüllt. Der Beschwerdeführer gebe an, seit Januar 2015 abstinent zu sein, doch lasse sich dies labortechnisch noch nicht vorbehaltlos bestätigen. Diese Feststellungen bestreitet der Beschwerdeführer nicht.
2.3. Die Vorinstanz ist in Übereinstimmung mit dem Gutachten zum Schluss gelangt, jedenfalls bis Januar 2015 habe die Fahreignung des Beschwerdeführers aufgrund seines Trinkverhaltens verneint werden müssen. Ergänzend dazu hat sie erwogen, bei Personen, die - wie der Beschwerdeführer - im Strassenverkehr mit 1,6 Promille und mehr auffällig würden, liege eine Missbrauchstoleranz oder auch robuste Alkoholgewöhnung vor. Ausserdem hat sie auf einen "ambulanten Erstbericht" des Inselspitals Bern vom 26. Februar 2015 (Prof. B._) verwiesen. Dort sei mit Bezug auf den Beschwerdeführer von einer "Zirrhose bei regelmässigem Aethylkonsum" die Rede. Der Patient trinke nicht täglich, es bestehe keine Sucht, weswegen der Arzt dem Beschwerdeführer empfohlen habe, seinen Konsum zu reduzieren. Auch im Austrittsbericht des Spitals D._ vom 8. Januar 2015 (Dr. C._) werde, so die Vorinstanz, "chronischer C2 Abusus" festgestellt.
2.4. Der Beschwerdeführer hält dem entgegen, dem ambulanten Erstbericht lasse sich entnehmen, dass er nicht täglich trinke und keine Sucht bestehe, da keine klare Ursache für die Lebererkrankung habe gefunden werden können. Damit könne nicht von einer Alkoholsucht ausgegangen werden. Auch mit dem Austrittsbericht lasse sich kein chronischer Alkoholmissbrauch belegen, denn der behandelnde Arzt habe keine entsprechende Untersuchung durchgeführt. Aussserdem weist der Beschwerdeführer darauf hin, er habe bereits vor der Vorinstanz geltend gemacht, der Gutachter habe ihn als Kriminellen angesehen und sei deshalb als voreingenommen anzusehen. Die Rekurskommission sei auf diese Rüge nicht eingegangen, womit sie sein rechtliches Gehör in willkürlicher Weise verletzt habe.
2.5. Was den letztgenannten Punkt betrifft, weisen die Vorinstanzen zu Recht darauf hin, dass der Beschwerdeführer diesen Einwand erstmals vor der Rekurskommission - und nicht bereits vor dem kantonalen Verkehrsamt (SVSA) - erhoben und damit verspätet vorgebracht hat, weshalb er als verwirkt gilt (<ref-ruling> E. 2.2; <ref-ruling> E. 4.3.1; <ref-ruling> E. 4.3). Ausserdem würde das rein subjektive Empfinden des Beschwerdeführers, der Gutachter habe eine Abneigung gegen ihn, ohnehin keinen Ausstandsgrund darstellen, verlangt die Rechtsprechung doch eine gewisse Objektivierung eines derartigen, persönlichen Eindrucks. Ausserdem nennt der Beschwerdeführer selbst keine Feststellungen oder Aussagen im Gutachten, die durch die (angeblich) negative Haltung des Gutachters tatsachenwidrig verfälscht sein sollten.
2.6. In der Sache verkennt der Beschwerdeführer die Beweislastverteilung im Verfahren der Wiedererteilung des Führerausweises. Nach dem klaren Wortlaut von Art. 17 Abs. 3 SVG obliegt es dem Gesuchsteller, die Behebung des Mangels nachzuweisen, der die Fahreignung ausgeschlossen hat (so schon Urteil 2A.401/1997 vom 21. Januar 1998 E. 3d; vgl. HANS GIGER, SVG, Kommentar, 8. Aufl., 2014, Art. 17 Rz. 17; BERNHARD RÜTSCHE/DENISE WEBER, in: Niggli/Probst/Waldmann [Hrsg.], Strassenverkehrsgesetz, Basler Kommentar, 2014, Art. 17 N. 22). Die Beweisführungslast obliegt mit andern Worten demjenigen, welcher den Führerausweis wieder erlangen möchte. Es ist im vorliegenden Verfahren mithin nicht Sache des kantonalen Verkehrsamts (SVSA), das Fehlen der Fahreignung des Beschwerdeführers zu beweisen. Vielmehr müsste dieser belegen, dass diese Voraussetzung für die Wiederteilung des entzogenen Führerausweises nunmehr gegeben ist. Dies gelingt ihm offensichtlich nicht, wird doch im Gutachten des fachkundigen Instituts (IFPP) vom 26. Januar 2015 seine Fahreignung verneint. Wenn der Beschwerdeführer vorbringt, es sei nicht erwiesen, dass die mutmassliche Leberzirrhose auf Alkoholmissbrauch zurückzuführen sei, da keine entsprechende Untersuchung erfolgt sei, ändert dies nichts am massgeblichen Sachverhalt: Auch wenn die Kausalität zwischen Alkoholabusus und Leberzirrhose nicht feststehen sollte, stellt diese Krankheit doch - neben den diversen weiteren, für ihn ungünstigen gutachterlichen Feststellungen - ein zusätzliches Indiz dar für die Trunksucht des Beschwerdeführers und wirkt sich insofern nicht zu seinen Gunsten, sondern, im Gegenteil, zu seinen Ungunsten aus. Der Beschwerdeführer hat die Behebung des Mangels, der zur Verneinung der Fahreignung geführt hat, nicht bewiesen. Die Vorinstanz hat ihm daher die Wiederzulassung zu Recht verweigert.
3.
Da die Beschwerde abzuweisen ist, hat der unterliegende Beschwerdeführer die Gerichtskosten zu tragen (Art. 66 Abs. 1 BGG). Parteientschädigungen sind nicht zu sprechen (Art. 68 BGG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 2'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer, dem Strassenverkehrs- und Schifffahrtsamt des Kantons Bern (SVSA), der Rekurskommission des Kantons Bern für Massnahmen gegenüber Fahrzeugführerinnen und Fahrzeugführern und dem Bundesamt für Strassen ASTRA, Sekretariat Administrativmassnahmen, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 14. September 2016
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Fonjallaz
Der Gerichtsschreiber: Uebersax