Sachverhalt:
A.
Am 25. August 2014 reichte A._ (Kläger, Beschwerdeführer) beim Bezirksgericht Dietikon eine Forderungsklage aus einem Personenschaden im Zusammenhang mit einem Verkehrsunfall gegen die B._ AG (Beklagte, Beschwerdegegnerin) ein. Gleichzeitig ersuchte er um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege und um Bestellung von Rechtsanwalt Massimo Aliotta als unentgeltlichen Rechtsbeistand. Mit Beschluss vom 25. September 2014 bewilligte das Bezirksgericht beides unter der Voraussetzung, dass der Kläger innert 20 Tagen eine Abtretungserklärung unterzeichne, mit der er einen allfälligen Prozessgewinn - ausgenommen Genugtuungsansprüche - im vorliegenden Forderungsprozess gegen die Beklagte bis zur Höhe der auf ihn entfallenden Gerichtskosten und der Kosten der anwaltlichen Vertretung der Kasse des Bezirksgerichts abtrete. Bei Nichtunterzeichnung bzw. Nichteinhaltung der Frist werde die unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung verweigert.
B.
Eine gegen diesen Beschluss erhobene Beschwerde des Klägers wies das Obergericht des Kantons Zürich mit Urteil vom 21. Mai 2015 ab und setzte ihm eine Frist von 10 Tagen ab Zustellung des Entscheids an, um dem Bezirksgericht die Abtretungserklärung einzureichen. Für das Beschwerdeverfahren sprach es dem Rechtsvertreter des Klägers eine Entschädigung in der Höhe von Fr. 800.-- zu (Ziffer 4). Mit Beschluss gleichen Datums hiess das Obergericht das Gesuch des Klägers um Bestellung eines unentgeltlichen Rechtsbeistands für das Beschwerdeverfahren gut und schrieb dessen Gesuch um Befreiung von den zweitinstanzlichen Gerichtskosten, mangels Erhebung solcher Kosten, ab.
C.
Gegen das Urteil des Obergerichts erhob der Kläger Beschwerde in Zivilsachen und subsidiäre Verfassungsbeschwerde und stellte die folgenden Anträge:
"1. Es sei das Urteil des Obergerichtes des Kantons Zürich vom 21. Mai 2015 aufzuheben.
2. Es sei der vor dem Obergericht des Kantons Zürich angefochtene Beschluss des Bezirksgerichtes Dietikon vom 25. September 2014 ebenfalls aufzuheben.
3. Es sei das Bezirksgericht Dietikon zu verpflichten, dem Kläger und Beschwerdeführer für das zivilrechtliche Verfahren vor dem Bezirksgericht Dietikon die unentgeltliche Prozessführung zu gewähren und in der Person von RA lic.iur. Massimo Aliotta ein unentgeltlicher Rechtsvertreter zu bestellen, ohne Auferlegung der Bedingung der Unterzeichnung einer Abtretungserklärung.
4. Es sei dem Kläger und Beschwerdeführer auch für das vorliegende Beschwerdeverfahren in Zivilsachen sowie Verfahren betreffend subsidiäre Verfassungsbeschwerde vor dem Bundesgericht die unentgeltliche Prozessführung zu gewähren und in der Person von RA lic.iur. Massimo Aliotta ein unentgeltlicher Rechtsvertreter zu bestellen.
5. Es sei die Sache lediglich betreffend Ziffer 4 des Dispositivs des Urteils des Obergerichtes des Kantons Zürich vom 21. Mai 2015 an die Vorinstanz zurückzuweisen, damit diese dem Rechtsvertreter des Klägers und Beschwerdeführers eine separate Frist ansetzt zwecks Einreichung der Kostennota.
Die Vorinstanz ist zu verpflichten, die entsprechenden anwaltlichen Aufwendungen des unentgeltlichen Rechtsvertreters gestützt auf die einzureichende Kostennota zu bezahlen.
6. [...]."
Mit Präsidialverfügung vom 21. Juli 2015 wurde der Beschwerde die aufschiebende Wirkung erteilt.
Die Beschwerdegegnerin und die Vorinstanz verzichteten auf eine Vernehmlassung zur Beschwerde.
D.
Am 9. Februar 2016 führte das Bundesgericht eine öffentliche Urteilsberatung durch.

Erwägungen:
1.
1.1. Das Bundesgericht prüft von Amtes wegen und mit freier Kognition, ob ein Rechtsmittel zulässig ist (<ref-law>; <ref-ruling> E. 2; <ref-ruling> E. 1; je mit Hinweisen).
1.2. Soweit sich die Beschwerde gegen den Beschluss des Bezirksgerichts richtet, kann darauf nicht eingetreten werden, denn die Beschwerde in Zivilsachen und die subsidiäre Verfassungsbeschwerde sind nur gegen Entscheide letzter kantonaler Instanzen zulässig (Art. 75 Abs. 1 und Abs. 2 sowie Art. 114 BGG).
1.3. Beim Urteil des Obergerichts vom 21. Mai 2015 handelt es sich um einen Zwischenentscheid. Gegen selbstständig eröffnete Zwischenentscheide, die weder die Zuständigkeit noch den Ausstand betreffen, ist die Beschwerde nur zulässig, wenn sie einen nicht wieder gutzumachenden Nachteil bewirken können (<ref-law>) oder wenn die Gutheissung der Beschwerde sofort einen Endentscheid herbeiführen und damit einen bedeutenden Aufwand an Zeit oder Kosten für ein weitläufiges Beweisverfahren ersparen würde (<ref-law>).
Der Beschwerdeführer beruft sich auf einen nicht wieder gutzumachenden Nachteil im Sinne von <ref-law>, da die Kasse des Bezirksgerichts nach Rechtskraft eines entsprechenden Forderungstitels des Beschwerdeführers gegenüber der Beschwerdegegnerin über eine rechtsgültig unterzeichnete Abtretungserklärung verfügen würde, ohne dass die finanzielle Situation des Beschwerdeführers im Zeitpunkt des Eintritts der Rechtskraft des letztinstanzlichen Gerichtsurteils erneut überprüft werden würde.
1.4. Dem Beschwerdeführer wurde die unentgeltliche Rechtspflege für den Forderungsprozess gegen die Beschwerdegegnerin vollumfänglich gewährt. Die Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege wurde aber davon abhängig gemacht, dass der Beschwerdeführer vorweg die besagte Abtretungserklärung unterzeichne. Damit wurde ihm die unentgeltliche Rechtspflege zwar bewilligt, jedoch nicht bedingungslos. Darin kann ein nicht wieder gutzumachender Nachteil im Sinne von <ref-law> erblickt werden.
1.5. Bei Zwischenentscheiden folgt der Rechtsweg jenem der Hauptsache (<ref-ruling> E. 1.1 S. 382; <ref-ruling> E. 2.2 S. 647 f.). In der Hauptsache geht es um einen Forderungsprozess, der den für die Beschwerde in Zivilsachen erforderlichen Streitwert von Fr. 30'000.-- (<ref-law>) übersteigt. Da auch die übrigen Sachurteilsvoraussetzungen erfüllt sind, ist unter Vorbehalt rechtsgenüglich begründeter Rügen (Art. 42 Abs. 2 und Art. 106 Abs. 2 BGG) auf die Beschwerde einzutreten. Damit fällt die ebenfalls erhobene subsidiäre Verfassungsbeschwerde ausser Betracht (<ref-law>). Auf diese ist nicht einzutreten.
2.
Im Streit liegt die Rechtsfrage, ob die Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege davon abhängig gemacht werden darf, dass der Beschwerdeführer einen allfälligen Prozessgewinn im Forderungsprozess gegen die Beschwerdegegnerin bis zur Höhe der auf ihn entfallenden Gerichtskosten und der Kosten seiner anwaltlichen Vertretung an die Gerichtskasse des Bezirksgerichts abtritt.
2.1. Vor Inkrafttreten der Schweizerischen Zivilprozessordnung (SR 272; nachfolgend ZPO) bestand zumindest in den Kantonen Zürich und St. Gallen eine gefestigte Praxis, wonach die Bewilligung der unentgeltlichen Rechtspflege davon abhängig gemacht werden konnte, dass die gesuchstellende Partei die strittigen Ansprüche bis zu einem bestimmten Höchstbetrag dem Staat abtrat (vgl. Urteil der Präsidentin der III. Zivilkammer des Kantonsgerichts St. Gallen vom 22. Mai 1998, in: SGGVP 1998 Nr. 66 E. 3; Urteile des Obergerichts des Kantons Zürich vom 6. April 1987, in: ZR 86 [1987], Nr. 94 E. 1, vom 25. Februar 1956, in: ZR 55 [1956] Nr. 106 S. 220 und vom 19. Oktober 1950, in: ZR 53 [1954] Nr. 45 S. 117 f.). Dabei wurde teilweise ausdrücklich festgehalten, dass die genannte Abtretung dem Staat nur in den Schranken des gesetzlichen Rückforderungsanspruchs zustehe, d.h. nur rechtswirksam werde, wenn das Rückforderungsrecht entstehe und die Rückforderung vom zuständigen Gericht angeordnet werde (Urteil der Präsidentin der III. Zivilkammer des Kantonsgerichts St. Gallen, a.a.O., E. 3b S. 171 f.; Urteil des Obergerichts des Kantons Zürich vom 6. April 1987, a.a.O., E. 1; vgl. Alfred Bühler, Die Prozessarmut, in: Gerichtskosten, Parteikosten, Prozesskaution, unentgeltliche Prozessführung, 2001, S. 183 f.; Christoph Leuenberger/Beatrice Uffer-Tobler, Kommentar zur Zivilprozessordnung des Kantons St. Gallen, 1999, N. 7 zu <ref-law>/SG).
2.2. Die Vorinstanz erwog, dass es auch unter der Geltung der ZPO zulässig sei, die Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege von der Abtretung eines allfälligen Prozessgewinns abhängig zu machen. Die Auflage, einen allfälligen Prozessgewinn abzutreten, stehe im Einklang mit dem öffentlichen Interesse des haushälterischen Umgangs mit den Staatsfinanzen. Sie stelle für den Beschwerdeführer keinen ungerechtfertigten Eingriff dar, denn die Prozesspartei, der die unentgeltliche Rechtspflege bewilligt werde, fahre damit nicht schlechter als diejenige Partei, die den Prozess selber finanziere, da ihr der Nettoprozessgewinn verbleibe, der sich aus der zugesprochenen Forderung abzüglich der von der Partei zu tragenden Prozesskosten ergebe. Für diese Abtretung spreche auch, dass dem Gesuchsteller, der die unentgeltliche Rechtspflege anbegehre, im Allgemeinen zugemutet werde, sämtliche Möglichkeiten zur Liquiditätsbeschaffung auszuschöpfen, bevor ihm die unentgeltliche Rechtspflege gewährt werde. Es sei ihm daher auch zumutbar, die genannte Abtretung vorzunehmen.
2.3. Der Beschwerdeführer rügt eine Verletzung von <ref-law>, <ref-law>, <ref-law> und von Art. 6 EMRK. Er bringt vor, die Abtretung des Prozessgewinns sei seit Inkrafttreten der ZPO bundesrechtswidrig, weil die unentgeltliche Rechtspflege nicht mehr ein kantonales Institut der Justizverwaltung sei und sich deren Umfang und Entzug ausschliesslich nach der ZPO richte. Die Art. 117 - 123 ZPO sähen keine solche Abtretung vor. Die Nachzahlungspflicht sei bundesrechtlich vielmehr abschliessend in <ref-law> geregelt. Danach entstehe die Nachzahlungspflicht erst, sobald die unentgeltlich prozessierende Partei dazu in der Lage sei, was vor der Anordnung der Nachzahlung zu prüfen sei. Er und seine Familie lebe seit neun Jahren vom Sozialamt der Stadt Winterthur. Gestützt auf § 19 des Sozialhilfegesetzes des Kantons Zürich vom 14. Juni 1981 (LS 851.1) sei die Leistung wirtschaftlicher Hilfe von der Abtretung künftiger Ansprüche gegen Dritte an die Fürsorgebehörde abhängig gemacht worden. Sollte er im Forderungsprozess gegen die Beschwerdegegnerin obsiegen, würden die Ansprüche der Stadt Winterthur und der Gerichtskasse konkurrenzieren. Die Vorinstanz beschränke sich daher lediglich auf das öffentliche Interesse der Gerichtskasse des Bezirksgerichts Dietikon, nicht jedoch auf dasjenige der Stadt Winterthur.
3.
3.1. Mit Inkrafttreten der ZPO werden die Voraussetzungen und Wirkungen der unentgeltlichen Rechtspflege vor kantonalen Instanzen in Zivilrechtsprozessen (<ref-law>) abschliessend durch Art. 117 - 123 ZPO geregelt (Alfred Bühler, in: Berner Kommentar, Schweizerische Zivilprozessordnung, 2012, N. 5 zu Vorb. zu Art. 117 - 123 ZPO [nachfolgend Bühler, Berner Kommentar]; Frank Emmel, in: Kommentar zur Schweizerischen Zivilprozessordnung [ZPO], Sutter-Somm/Hasenböhler/Leuenberger [Hrsg.], 2. Aufl. 2013, N. 1 zu <ref-law>; Denis Tappy, in: CPC, Code de procédure civile commenté, Bohnet und andere [Hrsg.], 2011, N. 4 f. zu Art. 117 CPC). Die Verpflichtung zur Unterzeichnung einer entsprechenden Abtretungserklärung ist daher nur statthaft, soweit die ZPO dies zulässt. Die ZPO enthält keine ausdrückliche gesetzliche Grundlage für ein solches Abtretungserfordernis. Daraus folgt aber nicht zwingend dessen Unzulässigkeit. Vielmehr ist zu prüfen, ob sich die Zulässigkeit des Abtretungserfordernisses implizit aus den Bestimmungen über die unentgeltliche Rechtspflege ableiten lässt, namentlich aus deren Sinn und Zweck.
3.2. In der Lehre bestehen unterschiedliche Meinungen. Ein Teil der Autoren hält die Verpflichtung zur Abtretung des Prozessgewinns seit Inkrafttreten der ZPO für bundesrechtswidrig (Bühler, Berner Kommentar, a.a.O., N. 135 zu <ref-law>; Viktor Rüegg, in: Basler Kommentar, Schweizerische Zivilprozessordnung, 2. Aufl. 2013, N. 3 zu <ref-law>; wohl auch Lukas Huber, in: Schweizerische Zivilprozessordnung [ZPO], Kommentar, Brunner/Gasser/Schwander [Hrsg.], Online Ausgabe [Stand: 16. April 2012], N. 22 zu <ref-law>). Begründet wird diese Auffassung damit, dass die unentgeltliche Rechtspflege zu einem Institut des Bundeszivilprozessrechts geworden sei, für deren Voraussetzungen und Einschränkungsmöglichkeiten nunmehr ausschliesslich Bundesrecht gelte. Das Bundesrecht sehe weder eine Legalzession für die streitige oder andere Forderungen der unentgeltlich prozessführenden Partei vor, noch sei die Sicherstellung der Nachzahlungsforderung vor ihrer Fälligkeit durch ein anderes als das Sicherungsmittel des Arrests vorgesehen. Es fehle damit an einer gesetzlichen Grundlage für ein solches Abtretungserfordernis (Bühler, Berner Kommentar, a.a.O., N. 135 zu <ref-law>; Rüegg, a.a.O., N. 3 zu <ref-law>).
Ein anderer Teil der Lehre ist demgegenüber der Auffassung, dass es auch unter der Geltung der ZPO möglich sei, die Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege von der Abtretung des Prozessgewinns abhängig zu machen (Emmel, a.a.O., N. 4 zu <ref-law>; Ingrid Jent-Sørensen, in: Kurzkommentar zur ZPO, Oberhammer/Domej/Haas [Hrsg.], 2. Aufl. 2014, N. 5 zu <ref-law>; Adrian Staehelin/Daniel Staehelin/Pascal Grolimund, Zivilprozessrecht, 2. Aufl. 2013, § 16 N. 74; Daniel Wuffli, Die unentgeltliche Rechtspflege in der Schweizerischen Zivilprozessordnung, Diss. 2015, Rz. 138; Rz. 594 f., Rz. 600 ff. und Rz. 961). Einschränkend wird von diesen Autoren aber gefordert, dass die Abtretung nur zulässig sei, sofern sie unter die Suspensivbedingung gestellt werde, dass eine Pflicht zur Nachzahlung entstehe (Emmel, a.a.O., N. 4 zu <ref-law>; Staehelin/Staehelin/Grolimund, a.a.O., § 16 N. 74; wohl auch Wuffli, a.a.O, Rz. 961) bzw. die Voraussetzungen der Nachzahlungspflicht nicht unterlaufen würden (Jent-Sørensen, a.a.O., N. 5 zu <ref-law>).
3.3. Die Zulässigkeit der Abtretung lässt sich nicht aus <ref-law> ableiten (a.A. Jent-Sørensen, a.a.O., N. 5 zu <ref-law>; Wuffli, a.a.O, Rz. 604 f.). Mit <ref-law> wird der Unteilbarkeit der unentgeltlichen Rechtspflege eine Absage erteilt und gesetzlich geregelt, dass die unentgeltliche Rechtspflege nicht nur vollständig gewährt oder abgewiesen, sondern auch teilweise gewährt werden kann. In diesem Sinn hat sich das Bundesgericht kürzlich dazu geäussert, wie bei teilweiser Bedürftigkeit (vgl. <ref-ruling> E. 4.2 ff. mit Hinweisen) bzw. teilweiser Aussichtslosigkeit (vgl. Urteil 4D_62/2015 vom 9. März 2016 E. 5 mit Hinweisen, zur Publ. vorgesehen) zu verfahren ist.
Dem Beschwerdeführer wurden für den Forderungsprozess gegen die Beschwerdegegnerin die einzelnen Teilansprüche der unentgeltlichen Rechtspflege nach Art. 118 Abs. 1 lit. a - c ZPO vollständig gewährt. Dieser Umfang der Ansprüche der unentgeltlichen Rechtspflege ändert sich mit dem Abtretungserfordernis nicht. Entsprechend kann die Verpflichtung zur Unterzeichnung der Abtretungserklärung nicht als Teilgewährung der unentgeltlichen Rechtspflege im Sinne von <ref-law> aufgefasst werden.
4.
4.1. Nach <ref-law> hat jede Person, die nicht über die erforderlichen Mittel verfügt, Anspruch auf unentgeltliche Rechtspflege, wenn ihr Rechtsbegehren nicht aussichtslos erscheint. Soweit zur Wahrung ihrer Rechte notwendig, hat sie ausserdem Anspruch auf unentgeltlichen Rechtsbeistand. Mit <ref-law> wird der als verfassungsrechtliche Minimalgarantie in <ref-law> verankerte Anspruch auf unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung auf Gesetzesstufe geregelt (<ref-ruling> E. 2.2.3). Die Voraussetzungen der unentgeltlichen Rechtspflege gemäss Art. 117 f. ZPO stimmen dabei mit denjenigen der Minimalgarantie von <ref-law> überein, deren Einhaltung das Bundesgericht in rechtlicher Hinsicht mit freier Kognition prüft (Urteil 4D_62/2015 vom 9. März 2016 E. 3 mit Hinweisen, zur Publ. vorgesehen).
Die unentgeltliche Rechtspflege nach <ref-law> und <ref-law> dient dem Zugang zum Gericht. Mit dem Anspruch auf unentgeltliche Rechtspflege soll eine nicht über genügend finanzielle Mittel verfügende Partei in den Stand versetzt werden, zur Durchsetzung ihrer Rechte einen Prozess zu führen. Es soll ihr, gleich wie einer vermögenden Partei, der Zugang zum Gericht ungeachtet ihrer Bedürftigkeit gewährleistet sein (<ref-ruling> E. 3.3.1; <ref-ruling> E. 4.2; <ref-ruling> E. 2.4.2.3; je mit Hinweisen).
Die unentgeltliche Rechtspflege garantiert der bedürftigen Person aber keine definitive Übernahme der Kosten des Prozesses durch den Staat (BGE <ref-ruling> E. 2.4.2.2 ff.; <ref-ruling> E. 2c S. 324; <ref-ruling> E. 4a S. 6; je mit Hinweisen). Vielmehr hat die bedürftige Person die Prozesskosten selbst zu tragen, soweit es ihre wirtschaftliche Situation zulässt. So kann der Partei, der die unentgeltliche Rechtspflege gewährt wurde, diese wieder entzogen werden, wenn sie während des Verfahrens zu den erforderlichen finanziellen Mitteln kommt (<ref-law>; vgl. <ref-ruling> E. 3). Sodann ist die Partei, der die unentgeltliche Rechtspflege gewährleistet wurde, nach Erledigung des Verfahrens gemäss <ref-law> zur Nachzahlung der Prozesskosten verpflichtet, "sobald sie dazu in der Lage ist". Die Kosten des Verfahrens können demnach vom Staat zurückverlangt werden, wenn die finanzielle Leistungsfähigkeit des Begünstigten erst nach Erledigung des Prozesses eintritt (BGE <ref-ruling> E. 2c S. 324; <ref-ruling> E. 4a S. 6). Es bleibt aber garantiert, dass die bedürftige Partei nicht zur Nachzahlung der staatlich bevorschussten Prozesskosten herangezogen wird, solange sie dazu wirtschaftlich nicht in der Lage ist (vgl. <ref-law>; BGE <ref-ruling> E. 2.4.2.3; <ref-ruling> E. 2c S. 324; <ref-ruling> E. 4a S. 6).
Aus dem Zweck, dass der Staat bei der unentgeltlichen Rechtspflege die Prozesskosten lediglich bevorschusst und die bedürftige Person diese Kosten im Rahmen ihrer wirtschaftlichen Leistungsfähigkeit selbst zu tragen hat, ergibt sich die Zulässigkeit der Abtretung. Sie erleichtert die Durchsetzung des staatlichen Nachzahlungsanspruchs, indem schon bei Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege geregelt wird, dass der Staat für seine mögliche Nachzahlungsforderung nach <ref-law> statt auf die bedürftige Partei direkt auf deren Prozessgegner, in casu eine Versicherungsgesellschaft, greifen kann.
4.2. Soweit der Beschwerdeführer meint, mit der vorliegenden Abtretung werde <ref-law> umgangen, sind seine Bedenken unbegründet. Die Abtretung bezweckt nicht, dass der Staat die Nachzahlung fordern könnte, obschon der Beschwerdeführer zur Nachzahlung wirtschaftlich nicht in der Lage wäre. Vielmehr soll die Abtretung die Nachforderung der staatlich bevorschussten Prozesskosten erleichtern, wenn die Voraussetzungen nach <ref-law> gegeben sind und die bedürftige Partei zur Nachzahlung der bevorschussten Prozesskosten rechtskräftig verpflichtet wurde. Die Abtretung steht damit in den Schranken von <ref-law>. Dass dies in der Abtretungserklärung nicht ausdrücklich vorbehalten wird, schadet nicht, ergibt sich dies doch aus dem gesetzlichen Rahmen, in dem die Abtretung erfolgt.
4.3. Die unentgeltliche Rechtspflege wurde dem Beschwerdeführer vollständig gewährt. Er ist somit trotz seiner finanziellen Bedürftigkeit im Stande, zur Durchsetzung seiner Rechte den Prozess gegen die Beschwerdegegnerin zu führen. Sein Zugang zum Gericht wird durch die Unterzeichnung der Abtretungserklärung nicht beeinträchtigt. Ungeachtet der Abtretung kann die Nachforderung der vom Staat bevorschussten Prozesskosten sodann nur unter den Voraussetzungen von <ref-law> gefordert werden. Vor diesem Hintergrund verletzt das Abtretungserfordernis die Rechte des Beschwerdeführers nicht.
4.4. Es ist nach dem Gesagten auch unter der Geltung der ZPO zulässig, die Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege von der Abtretung eines allfälligen Prozessgewinns bis zur Höhe der auf den Gesuchsteller entfallenden Gerichtskosten und der Kosten der anwaltlichen Vertretung abhängig zu machen.
5.
5.1. Der Beschwerdeführer moniert sodann, die Abtretung würde gegen <ref-law>, <ref-law> sowie Art. 6 Abs. 1 EMRK verstossen. Dabei behauptet er nicht, zumindest nicht hinreichend, die genannten Verfassungsbestimmungen würden ihm einen weitergehenden Schutz als die von ihm angerufenen Normen der ZPO bieten, sodass die Frage unter diesem Gesichtspunkt nicht weiter erörtert werden braucht.
5.2. Weiter rügt der Beschwerdeführer eine Verletzung von <ref-law>, weil ihm die Vorinstanz für die Unterzeichnung der genannten Abtretungserklärung eine Frist von 10 Tagen angesetzt habe, obschon eine 30-tägige Frist zur Einreichung der Beschwerde ans Bundesgericht bestehe. Er habe sich an den zuständigen Bezirksrichter der Erstinstanz wenden müssen, um schriftlich bestätigt zu erhalten, dass ihm durch eine Nichteinhaltung der kurzen 10-tägigen Frist kein Rechtsnachteil entstehen würde.
Nach <ref-law> ist zur Beschwerde in Zivilsachen berechtigt, wer ein schutzwürdiges Interesse an der Aufhebung oder Änderung des angefochtenen Entscheids hat. Die Beschwerdebefugnis setzt ein aktuelles und praktisches Interesse an der Gutheissung der Beschwerde voraus, das auch im Zeitpunkt des bundesgerichtlichen Urteils noch vorhanden sein muss. Ausnahmsweise verzichtet das Bundesgericht auf das Erfordernis des aktuellen praktischen Interesses, wenn die gerügte Rechtsverletzung sich jederzeit wiederholen könnte und eine rechtzeitige gerichtliche Überprüfung im Einzelfall kaum je möglich wäre (sog. virtuelles Interesse; <ref-ruling> E. 1.1 mit Hinweisen).
Der erstinstanzliche Richter bestätigte dem Beschwerdeführer mit Schreiben vom 26. Mai 2015, dass ihm durch die Nichteinhaltung der 10-tägigen Frist kein Rechtsnachteil entstehe. Nach Ablauf der Beschwerdefrist ans Bundesgericht bzw. nach einer allfälligen Abweisung einer allfälligen Beschwerde würde ihm eine neue Frist zur Einreichung der Abtretungserklärung angesetzt werden. Damit fehlt es vor Bundesgericht an einem aktuellen und praktischen Rechtsschutzinteresse, die allfällige Verletzung von <ref-law> prüfen zu lassen. Dass ein virtuelles Interesse im beschriebenen Sinn vorliegen würde, zeigt der Beschwerdeführer nicht auf, sodass darauf nicht einzutreten ist.
5.3. Schliesslich moniert der Beschwerdeführer, dass die Vorinstanz seinem Rechtsvertreter eine pauschale Entschädigung von Fr. 800.-- zugesprochen habe. Sie wäre indes gehalten gewesen, dem Rechtsvertreter eine Frist anzusetzen, damit dieser eine Kostennote hätte einreichen können.
Es besteht grundsätzlich keine Pflicht für ein Gericht, die Partei oder deren Rechtsvertreter zur Einreichung der Kostennote aufzufordern (Urteil 9C_327/2014 vom 10. September 2014 E. 4 mit Hinweisen). Wie der Beschwerdeführer selbst ausführt, hat die Vorinstanz seinem Rechtsvertreter am 27. April 2015 mitgeteilt, dass der Beschwerdeentscheid voraussichtlich nicht vor dem 11. Mai 2015 gefällt werde. Damit hätte der Rechtsvertreter Zeit gehabt, von sich aus eine Kostennote einzureichen. Dies hat er nicht getan. Das Vorgehen der Vorinstanz, die den Rechtsvertreter des Beschwerdeführers nicht zur Nachreichung der Kostennote aufforderte, sondern die Entschädigung von Amtes wegen festsetzte, ist damit nicht zu beanstanden. Inwiefern dem Beschwerdeführer bzw. seinem Rechtsvertreter ausnahmsweise Frist zur Einreichung einer Kostennote hätte angesetzt werden müssen, legt der Beschwerdeführer nicht dar, zumindest nicht rechtsgenüglich. Die Rüge geht daher fehl.
6.
Nach dem Gesagten ist die Beschwerde in Zivilsachen abzuweisen, soweit auf sie eingetreten werden kann.
Bei diesem Ausgang des Beschwerdeverfahrens unterliegt der Beschwerdeführer und er wird damit kostenpflichtig (<ref-law>). Er hat jedoch auch für das bundesgerichtliche Verfahren um Bewilligung der unentgeltlichen Rechtspflege ersucht. Diese kann ihm bewilligt werden, da die Voraussetzungen nach <ref-law> erfüllt sind. Auch die Notwendigkeit einer rechtlichen Verbeiständung ist zu bejahen (<ref-law>). Insbesondere erschien seine Beschwerde mit Blick auf die Lehrmeinungen, die seine Ansicht stützten, nicht aussichtslos. Die Gerichtskosten sind demnach vorläufig auf die Bundesgerichtskasse zu nehmen und dem Rechtsvertreter des Beschwerdeführers ist ein Honorar aus der Bundesgerichtskasse auszurichten. Der Beschwerdeführer wird darauf hingewiesen, dass er der Bundesgerichtskasse für die Gerichtskosten und die Entschädigung des unentgeltlichen Rechtsbeistands Ersatz zu leisten hat, sofern er später dazu in der Lage ist (<ref-law>).
Die Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege befreit die Partei nicht von der Pflicht zur Leistung einer Parteientschädigung an die Gegenpartei (Urteil 4A_622/2013 vom 26. Mai 2014 E. 7). Nach <ref-law> wird dem Kanton Zürich jedoch keine Parteientschädigung zugesprochen. Die formelle Beschwerdegegnerin des Verfahrens kann sodann nicht als obsiegende Partei im Sinne <ref-law> qualifiziert werden, da sie mit Bezug auf die Sach- und Rechtsfrage der Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege nicht materiell am Verfahren beteiligt war und auch keine eigenen Anträge gestellt hat (<ref-ruling> E. 3.1 mit Hinweisen). Es wird damit keine Parteientschädigung zugesprochen.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Auf die subsidiäre Verfassungsbeschwerde wird nicht eingetreten.
2.
Die Beschwerde in Zivilsachen wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
3.
Dem Beschwerdeführer wird für das bundesgerichtliche Verfahren die unentgeltliche Rechtspflege bewilligt, und es wird ihm in der Person von Rechtsanwalt Massimo Aliotta, Winterthur, ein Rechtsbeistand beigegeben.
4.
Die Gerichtskosten von Fr. 2'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt, indes vorläufig auf die Gerichtskasse genommen.
5.
Rechtsanwalt Massimo Aliotta wird aus der Bundesgerichtskasse eine Entschädigung von Fr. 2'500.-- ausgerichtet.
6.
Es wird keine Parteientschädigung zugesprochen.
7.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Zürich, II. Zivilkammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 9. Februar 2016
Im Namen der I. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Kiss
Der Gerichtsschreiber: Brugger