Erwägungen:
1.
1.1. Die Eheleute A.A._ (geb. 1959) und B.A._ (geb. 1961) haben steuerrechtlichen Wohnsitz in U._/ZH. Aus früheren Steuerperioden bestehen beträchtliche Steuerausstände, namentlich Nachsteuern und Hinterziehungsbussen. Mit Eingabe vom 18. August 2016 stellten die Eheleute beim Kantonalen Steueramt Zürich (KStA/ZH) sinngemäss das Gesuch um Revision einer Erlassverfügung vom 20. August 2013, welche die Staats- und Gemeindesteuern des Kantons Zürich, Steuerperioden 2005 und 2006, betroffen hatte und worin das Erlassgesuch abgewiesen worden war. Das KStA/ZH nahm die Eingabe vom 18. August 2016 als erneutes Erlassgesuch entgegen, nunmehr betreffend Ausstände aus den Steuerperioden 2005 bis und mit 2011, und trat darauf mit Verfügung vom 26. November 2016 nicht ein. In einer zweiten Erlassverfügung vom selben Tag, deren Gegenstand nicht bezahlte direkte Bundessteuern, Nachsteuern und Hinterziehungsbussen der Steuerperioden 2005 und 2006 bildeten, über welche die Eidgenössische Erlasskommission am 31. August 2015 entschieden hatte, trat das KStA/ZH auf das neue Erlassgesuch ebenso nicht ein. Das KStA/ZH begründete die beiden Nichteintretensentscheide damit, dass Erlassgesuche von vornherein unzulässig seien, falls sie nach Zustellung des Zahlungsbefehls gestellt werden. Dies sei vorliegend - Zahlungsbefehle vom 4. Juli 2016 (Staats- und Gemeindesteuern) bzw. vom 2. August 2016 (direkte Bundessteuer) - aber der Fall.
1.2. Die Finanzdirektion des Kantons Zürich wies die dagegen gerichteten Rekurse mit Verfügungen vom 4. Juli 2017 ab. Die Steuerpflichtigen erhoben Beschwerde an das Verwaltungsgericht des Kantons Zürich und stellten überdies das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege. Mit einzelrichterlichen Verfügungen SB.2017.00091 / SB.2017.00092 vom 14. September 2017 trat die 2. Abteilung des Verwaltungsgerichts auf die beiden Beschwerden nicht ein, schrieb sie das Gesuch um unentgeltliche Prozessführung als gegenstandslos ab und wies sie das Gesuch um Beiordnung eines unentgeltlichen Rechtsbeistandes ab. Das Verwaltungsgericht erwog, Streitgegenstand vor Finanzdirektion sei einzig die Frage gewesen, ob das KStA/ZH mit Recht zwei Nichteintretensentscheide gefällt habe. Die Steuerpflichtigen hätten sich vor Verwaltungsgericht nur, aber immerhin zu dieser Frage zu äussern gehabt, was sie trotz eingeräumter Nachfrist unterlassen hätten. Deshalb sei auf die beiden Beschwerden nicht einzutreten.
1.3. Mit Eingabe vom 23. Oktober 2017 (Poststempel) erheben die Steuerpflichtigen beim Bundesgericht Beschwerde. Sie scheinen Antrag zu stellen, die streitbetroffenen Steuern, Nachsteuern und Hinterziehungsbussen seien ihnen zu erlassen. Mit gesonderter Eingabe vom selben Tag beantragen sie sinngemäss die Erteilung des Rechts zur unentgeltlichen Rechtspflege.
1.4. Der Abteilungspräsident hat von Instruktionsmassnahmen abgesehen (<ref-law> [SR 173.110]). Die Angelegenheit kann mit Blick auf die offensichtliche Unzulässigkeit einzelrichterlich im vereinfachten Verfahren nach <ref-law> entschieden werden.
2.
2.1. Die Steuerpflichtigen behaupten nicht, es stelle sich eine Rechtsfrage von grundsätzlicher Bedeutung oder es liege aus anderen Gründen ein besonders bedeutender Fall vor; solcherlei ist auch nicht ersichtlich. Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten steht mithin nicht zur Verfügung (<ref-law>).
2.2. Es bleibt zu prüfen, ob die Eingabe als subsidiäre Verfassungsbeschwerde entgegenzunehmen ist (<ref-law>). Mit diesem Rechtsmittel kann gemäss <ref-law> ausschliesslich die Verletzung verfassungsmässiger Individualrechte gerügt werden, wobei die qualifizierte Rüge- und Begründungsobliegenheit herrscht (Art. 117 in Verbindung mit <ref-law>). Dies bedingt eine detaillierte Auseinandersetzung mit dem angefochtenen Entscheid (Urteil 2D_34/2017 vom 7. September 2017 E. 2.2).
2.3. Nach den für das Bundesgericht grundsätzlich verbindlichen Feststellungen der Vorinstanz (<ref-law>; vgl. <ref-ruling> E. 4.4.3 S. 156 zu <ref-law>) reichten die Steuerpflichtigen ihre Beschwerde am 13. August 2017 ein, worauf sie mit Präsidialverfügung vom 15. August 2017 unter Androhung des Nichteintretens aufgefordert wurden, innerhalb einer zehntägigen Nachfrist eine den Begründungsanforderungen genügende verbesserte Beschwerdeschrift einzureichen. Am 28. August 2017 kamen die Steuerpflichtigen dieser Aufforderung nach. Die Vorinstanz würdigt die beiden Eingaben indes dahingehend, dass die Steuerpflichtigen auch in der verbesserten Beschwerdefrist "primär die materielle Seite des Falles [behandelt hätten], indem sie sich sinngemäss auf den Standpunkt stellen, die Existenzminimumberechnung in der Erlassverfügung vom 20. August 2013 sei fehlerhaft, eine finanzielle Notlage sei zu Unrecht verneint worden, weshalb ein Revisionsgrund vorliege".
2.4. Ficht die beschwerdeführende Partei vor Bundesgericht einen Nichteintretensentscheid oder einen Rechtsmittelentscheid an, der einen solchen bestätigt, haben ihre Rechtsbegehren und deren Begründung sich zwingend auf die vorinstanzlichen Erwägungen zu beziehen, die zum Nichteintreten bzw. zur Bestätigung des Nichteintretens geführt haben (<ref-law>; Urteil 2C_745/2015 vom 23. Oktober 2017 E. 1.2.3). Im Verfahren der subsidiären Verfassungsbeschwerde herrscht dabei, wie gezeigt, eine qualifizierte Rüge- und Begründungsobliegenheit (vorne E. 2.2). Diesen Anforderungen genügt die Eingabe nicht, auch dann nicht, wenn berücksichtigt wird, dass eine Laienbeschwerde vorliegt, an welche praxisgemäss weniger hohe formelle Anforderungen gestellt werden (Urteil 2C_704/2017 vom 6. September 2017 E. 2.2). Die Eingabe der Steuerpflichtigen vom 23. Oktober 2017 umfasst zwar 25 Seiten, sie ist aber schwer verständlich und trifft vor allem den Kern der Sache erneut nicht. Auf den einzig entscheidenden Punkt, dass und inwiefern die Vorinstanz nämlich mit ihren Nichteintretensentscheiden in verfassungsmässige Individualrechte eingegriffen haben soll, kann der Eingabe nichts entnommen werden. Ihre Kritik am angefochtenen Entscheid, soweit eine solche überhaupt ersichtlich ist, verharrt im Bereich des Appellatorischen. Selbst wenn der Drucker defekt gewesen sein sollte, wie die Steuerpflichtigen vorbringen, vermöchte dies nichts zu ändern. Tatsache ist, dass sie innert Frist und Nachfrist tätig geworden sind, aber in keiner Weise, die den Anforderungen des verwaltungsgerichtlichen Verfahrens genügen konnte. Der angefochtene Entscheid erwiese sich, falls er inhaltlich geprüft werden könnte, jedenfalls nicht als unhaltbar.
2.5. Mit Blick auf die offensichtlich fehlende hinreichende Begründung ist darauf nicht einzutreten (<ref-law>).
2.6. Nach dem Unterliegerprinzip (<ref-law>) sind die Kosten des bundesgerichtlichen Verfahrens an sich den Steuerpflichtigen aufzuerlegen. Angesichts der besonderen Umstände rechtfertigt es sich indes, vom Erheben der Gerichtskosten abzusehen (<ref-law>). Dadurch wird das Gesuch um Gewährung des Rechts zum unentgeltlichen Verfahren gegenstandslos (<ref-law> in Verbindung mit <ref-law> [SR 273]). Das Gesuch um Beiordnung eines unentgeltlichen Rechtsbeistandes, das die Steuerpflichtigen zu stellen scheinen, scheitert schon nur daran, dass eine Beiordnung nicht geboten ist (<ref-law>; Urteil 2C_546/2014 vom 24. November 2014 E. 3.2). Dem Kanton Zürich, der in seinem amtlichen Wirkungskreis obsiegt, steht keine Entschädigung zu (<ref-law>).

Demnach erkennt der Präsident:
1.
Auf die Beschwerde betreffend die direkte Bundessteuer, Erlass von Nachsteuern und Hinterziehungsbussen, Steuerperioden 2005 und 2006, wird nicht eingetreten.
2.
Auf die Beschwerde betreffend die Staats- und Gemeindesteuer des Kantons Zürich, Erlass von Nachsteuern und Hinterziehungsbussen, Steuerperioden 2005 bis 2011, wird nicht eingetreten.
3.
Für das bundesgerichtliche Verfahren werden keine Kosten erhoben.
4.
Das Gesuch um Erteilung des Rechts zur unentgeltlichen Rechtspflege wird abgewiesen, soweit es nicht gegenstandslos geworden ist.
5.
Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten, dem Verwaltungsgericht des Kantons Zürich, 2. Abteilung, Einzelrichter, und der Eidgenössischen Steuerverwaltung schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 27. November 2017
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Seiler
Der Gerichtsschreiber: Kocher