Faits :
A.
A._ et B._ sont les parents hors mariage de C._ (2007) et D._ (2008). La mère est seule titulaire de l'autorité parentale et de la garde.
Par décision du 8 octobre 2015, la Justice de paix de la Veveyse a notamment refusé d'instaurer une autorité parentale conjointe, réintroduit le droit de visite du père - qui avait été suspendu à compter du 10 septembre 2015 pour une durée indéterminée - à raison d'un week-end sur deux, le transfert des enfants se déroulant au Point Rencontre à Genève, la curatrice étant chargée de diverses tâches, une expertise étant au surplus ordonnée et confiée au centre pédopsychiatrique de Fribourg. Le dispositif de cette décision a été envoyé aux parties le 30 novembre 2015, la greffière précisant que la décision entièrement motivée serait prochainement adressée aux parties sans que celles-ci ne doivent formuler de demande expresse en ce sens.
Le 9 mars 2016, le père a abordé la Justice de paix, s'étonnant de n'avoir reçu aucune motivation écrite. Le 29 mars 2016, le Juge de paix a pris position sur diverses problématiques du dossier, notamment une requête de la mère tendant à l'instauration d'un droit de visite surveillé.
B.
Le 22 juin 2016, A._ a introduit un recours pour déni de justice et retard injustifié, se plaignant du fait que la décision du 8 octobre 2015 n'avait toujours pas été rédigée. Invité à se déterminer, le Juge de paix a relevé, par courrier du 4 juillet 2016, que ce recours était parfaitement compréhensible; il a mis en évidence sa surcharge de travail, aggravée par l'absence de la greffière titulaire de la Justice de paix de la Veveyse. Il a en outre relevé qu'il avait consacré beaucoup de temps à ce litige, notamment s'agissant de l'organisation du droit de visite, et que l'attitude des parties, en particulier du requérant, avait compliqué la gestion rapide du dossier.
Par arrêt du 20 juillet 2016, la Cour de protection de l'enfant et de l'adulte du Tribunal cantonal du canton de Fribourg a rejeté le recours, invitant cependant la Justice de paix de la Veveyse à procéder prioritairement à la rédaction de la décision du 8 octobre 2015 (I); elle a laissé les frais judiciaires à la charge de l'Etat (II) et accordé l'assistance judiciaire à A._ pour la procédure devant le Tribunal cantonal (III).
C.
Par acte du 14 septembre 2016, A._ forme un recours en matière civile au Tribunal fédéral, concluant, avec suite de frais et dépens, principalement à l'annulation de l'arrêt précité et au renvoi de la cause à la Justice de paix, avec ordre de notifier sans délai la motivation de sa décision du 8 octobre 2015. Subsidiairement, il demande que le Tribunal fédéral " constate que l'autorité cantonale a violé le droit fédéral en niant la violation du droit d'être entendu du recourant par l'autorité précédente " et qu'il renvoie la cause à la cour cantonale pour statuer dans le sens des considérants. Il sollicite le bénéfice de l'assistance judiciaire pour la procédure fédérale.
Invités à se déterminer, l'autorité cantonale et le Juge de paix ont tous deux indiqué, par courriers respectifs des 23 décembre 2016 et 23 janvier 2017, que la décision rendue le 8 octobre 2015 a désormais été rédigée et notifiée aux parties le 18 octobre 2016; elle fait l'objet d'un recours auprès de la Cour de protection de l'enfant et de l'adulte du Tribunal cantonal fribourgeois. Ces prises de position ont été communiquées au recourant.

Considérant en droit :
1.
Le recours a été déposé dans le délai légal (art. 100 al 1 LTF), contre une décision niant l'existence d'un retard injustifié à statuer par un tribunal de première instance, à savoir une décision prise par un tribunal supérieur (art. 75 al. 1 et al. 2 let. a LTF en lien avec l'art. 319 let. c CPC) et rendue dans le contexte d'une procédure de protection de l'enfant (<ref-law>). Selon la jurisprudence, la décision querellée constitue une décision incidente de nature à causer un préjudice irréparable au recourant, dès lors que le retard invoqué ne pourrait pas être réparé par une décision finale, quand bien même celle-ci lui serait favorable (parmi plusieurs, arrêts 5A_638/2016 du 2 décembre 2016 consid. 1.1; 5A_499/2014 du 18 novembre 2014 consid. 1.1; 5A_208/2014 du 30 juillet 2014 consid. 1) Enfin, la cause étant de nature non pécuniaire, le recours est ouvert indépendamment de la valeur litigieuse (arrêt 5A_549/2016 du 18 octobre 2016 consid. 1.1).
2.
La Justice de paix de la Veveyse ayant fait notifier aux parties, le 18 octobre 2016, la motivation de sa décision du 8 octobre 2015, le recours en matière civile déposé pour déni de justice a perdu son objet. En outre, les conditions auxquelles le Tribunal fédéral entre exceptionnellement en matière sur le fond d'une affaire malgré le défaut d'un intérêt juridique pratique et actuel du recours ne sont pas réunies en l'espèce (<ref-ruling> consid. 1.1 et les références; <ref-ruling> consid. 1.7). Le recourant ne peut dès lors se prévaloir d'aucun intérêt juridique - au sens de l'<ref-law> - à faire constater un éventuel retard à statuer. Cet intérêt ayant disparu après le dépôt du recours, celui-ci doit être déclaré sans objet et la cause rayée du rôle, le juge instructeur étant compétent pour statuer comme juge unique à cet effet (<ref-law>; <ref-ruling> consid. 2; arrêt 5A_18/2013 du 1er juillet 2013 consid. 1).
3.
Lorsqu'un procès devient sans objet ou que les parties cessent d'y avoir un intérêt juridique, le Tribunal fédéral statue sur les frais afférents à la procédure engagée par une décision sommairement motivée, en tenant compte de l'état de fait existant avant l'événement mettant fin au litige (<ref-law> applicable par renvoi de l'<ref-law>) et de l'issue probable de celui-ci (<ref-ruling> consid. 2a; arrêt 9C_160/2016 du 19 août 2016 consid. 8.2, dont la publication est prévue). Le Tribunal fédéral doit commencer par déterminer l'issue probable du litige. S'il n'est pas en mesure de le faire sur le vu du dossier, il doit appliquer les principes généraux du droit de procédure, lesquels commandent de mettre les frais et dépens à la charge de la partie qui a provoqué la procédure devenue sans objet ou chez qui résident les motifs pour lesquels elle a pris fin de la sorte (<ref-ruling> consid. 4a; arrêt 5A_18/2013 du 1er juillet 2013 consid. 3.1.1).
3.1. En l'occurrence, le recourant se plaignait de violation du principe de célérité consacré par l'art. 29 al. 1 Cst.
En vertu de l'art. 29 al. 1 Cst., toute personne a droit, dans une procédure judiciaire ou administrative, à ce que sa cause soit traitée équitablement et jugée dans un délai raisonnable. Cette disposition consacre le principe de la célérité, ou, en d'autres termes, prohibe le retard injustifié à statuer. Viole la garantie ainsi accordée, l'autorité qui ne rend pas une décision qu'il lui incombe de prendre dans le délai prescrit par la loi ou dans le délai que la nature de l'affaire et les circonstances font apparaître comme raisonnable. Le caractère raisonnable du délai s'apprécie selon les circonstances particulières de la cause, eu égard en particulier à la complexité de l'affaire, au comportement du requérant et à celui des autorités compétentes, ainsi qu'à l'enjeu du litige pour l'intéressé (<ref-ruling> consid. 4.4). A cet égard, il appartient au justiciable d'entreprendre ce qui est en son pouvoir pour que l'autorité fasse diligence, que ce soit en l'invitant à accélérer la procédure ou en recourant, le cas échéant, pour retard injustifié. Si on ne saurait lui reprocher quelques " temps morts ", l'autorité ne peut invoquer une organisation déficiente ou une surcharge structurelle pour justifier la lenteur de la procédure. Il appartient en effet à l'Etat d'organiser ses juridictions de manière à garantir aux citoyens une administration de la justice conforme aux règles (<ref-ruling> consid. 5.1 et 5.2 et les références).
3.2. L'autorité cantonale a considéré que la Justice de paix n'a pas tardé à statuer puisqu'elle a rendu sa décision le jour de l'audience et l'a adressée aux parties, par l'envoi de son dispositif, le 30 novembre 2015. En communiquant sa décision notamment sur la reprise du droit de visite, l'autorité de première instance a permis que celui-ci soit effectivement réinstauré. De même, l'expertise ordonnée le 8 octobre 2015 a pu être mise en route. Selon l'autorité cantonale, la situation du recourant n'était donc pas comparable à celle d'un père qui attend pendant des mois qu'une décision survienne, notamment sur son droit de visite. Après avoir rappelé que le père a toutefois droit à disposer dans un délai raisonnable d'une décision motivée pour pouvoir la contester devant l'autorité de recours, la cour cantonale a relevé qu'en l'espèce, environ neuf mois séparaient l'audience du 8 octobre 2015 et la détermination du Juge de paix du 4 juillet 2016, dont il ressort que la décision n'était toujours pas rédigée. Ce délai était certes important, mais se situait, de l'avis de l'autorité cantonale, dans les limites de l'acceptable, les délais cités par le recourant lui-même, où des dénis de justice ont été retenus, n'étant du reste pas atteints. La cour cantonale a ajouté que, si la surcharge structurelle de la Justice de paix n'est certes pas opposable au recourant, il ne pouvait être ignoré que la greffière qui a participé à la prise de décision le 8 octobre 2015 a dû s'absenter de son travail durant plusieurs mois. En outre, l'examen du dossier démontrait que le Juge de paix n'est pas resté inactif. Vu ce qui précède, la Cour de protection de l'enfant et de l'adulte a écarté le grief de déni de justice, invitant toutefois formellement la Justice de paix à procéder prioritairement à la rédaction de la décision précitée.
3.3. Quand bien même, en l'espèce, le droit de visite du père aurait été, de fait, déjà réinstauré - ce que le recourant conteste -, et l'expertise mise en oeuvre conformément à la décision prise le 8 octobre 2015, l'autorité cantonale ne pouvait tirer argument de ces faits pour rejeter le recours. Selon la jurisprudence, une décision dont seul le dispositif a été communiqué aux parties ne peut pas être exécutée avant sa notification en expédition complète, c'est-à-dire dûment motivée, sous réserve d'éventuelles sûretés qui pourraient être requises pour en assurer l'exécution future. Une décision n'acquiert force de chose jugée et ne devient exécutoire qu'une fois une expédition complète notifiée aux parties et le délai pour un éventuel recours échu (arrêt 5A_6/2016 du 15 septembre 2016 consid. 4.2.1, dont la publication est prévue). Il en résulte qu'en l'espèce, contrairement à ce qui ressort de l'arrêt entrepris, la situation du recourant était précisément celle d'un père qui attend durant plusieurs mois qu'une décision survienne, notamment sur son droit de visite. Par ailleurs, l'enjeu du litige était particulièrement important, dès lors qu'il portait notamment sur le droit de visite du père sur ses enfants, qui avait été suspendu pour une durée indéterminée par décision du 10 septembre 2015. Au surplus, on ne discerne pas pour quel motif l'attitude des parties aurait pu avoir un effet sur la rédaction de la décision motivée, comme invoqué par le Juge de paix dans ses déterminations du 4 juillet 2016. A compter du 8 octobre 2015, la décision était prise, de telle sorte que les éventuelles interventions des parties postérieures à cette date ne sauraient être prises en considération pour justifier un retard dans la rédaction de dite décision. Quant à l'absence, durant plusieurs mois, de la greffière ayant assisté à l'audience, elle ne constitue pas un motif opposable aux parties (cf. supra consid. 3.2). On notera que le recourant n'est pas resté inactif, puisqu'il s'est manifesté auprès de la Justice de paix afin d'obtenir une décision motivée. Enfin, il ne ressort pas de l'arrêt querellé - et le Juge de paix ne le prétend pas non plus - que la cause revêtait une complexité particulière.
En définitive, vu l'ensemble des circonstances, il apparaît prima facie qu'une durée de près de 9 mois entre l'audience et la notification de l'expédition complète du jugement était excessive, de sorte que des frais ne peuvent être mis à la charge du recourant.
4.
Les frais judiciaires ne peuvent être mis à la charge de l'Etat de Fribourg (<ref-law>); en revanche, celui-ci versera une indemnité de dépens au recourant, dont l'intervention était justifiée (art. 68 al. 1 et. 2 LTF). La demande d'assistance judiciaire de celui-ci est ainsi sans objet. En ce qui concerne les frais et dépens de la procédure cantonale, le Tribunal fédéral ne peut modifier leur répartition selon les art. 67 et 68 al. 5 LTF que s'il entre en matière sur le fond (arrêt 5A_136/2013 du 16 décembre 2013 consid. 4.2; cf. à propos des dispositions correspondantes de l'aOJ: <ref-ruling> consid. 3; arrêt 5C.265/2006 du 19 mars 2008 consid. 4.3). En l'occurrence, comme la cause est devenue sans objet, elle sera renvoyée à l'autorité cantonale pour qu'elle statue elle-même sur les frais et dépens.

Par ces motifs, le Juge instructeur prononce :
1.
Le recours est sans objet et la cause 5A_670/2016 est rayée du rôle.
2.
Il n'est pas perçu de frais judiciaires.
3.
L'Etat de Fribourg versera au recourant 1'000 fr. à titre de dépens pour la procédure fédérale.
4.
La requête d'assistance judiciaire du recourant est sans objet.
5.
La cause est renvoyée à l'autorité cantonale pour nouvelle décision sur les frais et dépens.
6.
Le présent arrêt est communiqué au recourant, à la Justice de paix de l'arrondissement de la Veveyse et à la Cour de protection de l'enfant et de l'adulte du Tribunal cantonal de l'Etat de Fribourg.
Lausanne, le 13 février 2017
Au nom de la IIe Cour de droit civil
du Tribunal fédéral suisse
Le Juge instructeur : Herrmann
La Greffière : Dolivo