Erwägungen:
1.
Der Erste Staatsanwalt des Kantons St. Gallen liess am 2. August 2016 A._ festnehmen und stellte am 4. August 2016 einen Haftantrag. Der Haftrichter versetzte A._ in der Folge für drei Monate in Untersuchungshaft. Am 4. August 2016 führte der Erste Staatsanwalt mit A._ die Festnahmeeröffnung durch. Dabei stellte A._ ein Ausstandsgesuch gegen den Ersten Staatsanwalt. Dasselbe taten mit Eingabe vom 3. August 2016 auch die Ehefrau und die Tochter von A._. Die Anklagekammer des Kantons St. Gallen wies mit Entscheid vom 7. September 2016 die Ausstandsgesuche ab, soweit sie darauf eintrat.
2.
A._ führt mit Eingabe vom 25. Oktober 2016 (Postaufgabe 26. Oktober 2016) Beschwerde in Strafsachen gegen den Entscheid der Anklagekammer des Kantons St. Gallen. Das Bundesgericht hat davon abgesehen, Stellungnahmen zur Beschwerde einzuholen.
3.
Nach <ref-law> ist in der Begründung einer Beschwerde in gedrängter Form darzulegen, inwiefern der angefochtene Entscheid Recht verletzt. Die Bestimmungen von <ref-law> nennen die vor Bundesgericht zulässigen Beschwerdegründe. Hinsichtlich der Verletzung von Grundrechten gilt der in <ref-law> verankerte Grundsatz der Rechtsanwendung von Amtes wegen nicht; insofern besteht eine qualifizierte Rügepflicht (<ref-law>; <ref-ruling> E. 1.4.1 S. 53, 65 E. 1.3.1 S. 68 mit Hinweisen). Es obliegt dem Beschwerdeführer namentlich darzulegen, inwiefern der angefochtene Entscheid gegen die gerügten Grundrechte verstossen soll.
Der Beschwerdeführer übt hauptsächlich appellatorische Kritik am Vorgehen der kantonalen Behörden und setzt sich überhaupt nicht mit der Begründung des angefochtenen Entscheides auseinander. Mit seinen nicht sachbezogenen Ausführungen vermag er nicht ansatzweise aufzuzeigen, inwiefern die Begründung der Anklagekammer bzw. deren Entscheid im Ergebnis selbst rechts- bzw. verfassungswidrig sein soll. Somit ist mangels einer genügenden Begründung im Sinne von <ref-law> auf die Beschwerde nicht einzutreten. Der Begründungsmangel ist offensichtlich, weshalb über die Beschwerde im vereinfachten Verfahren nach <ref-law> entschieden werden kann.
4.
Auf eine Kostenauflage kann verzichtet werden (<ref-law>).

Demnach erkennt der Präsident:
1.
Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2.
Es werden keine Kosten erhoben.
3.
Dieses Urteil wird den Parteien und der Anklagekammer des Kantons St. Gallen schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 31. Oktober 2016
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Fonjallaz
Der Gerichtsschreiber: Pfäffli