Sachverhalt:
A.
A.a. Der Kanton Basel-Stadt plant die umfassende Sanierung der Verkehrsachse Äussere Baselstrasse zwischen Basel und Riehen. Für die Arbeiten an einem Teilstück (Lose 2 und 3) soll auf einer Grünfläche zwischen den beiden Strässchen Bäumlihofwegli und Im Hirshalm ein zentraler Installationsplatz erstellt und während mehreren Jahren betrieben werden; gerechnet wird mit ca. 66 Fahrten täglich, zu einem namhaften Teil auch nachts.
A.b. A. und B. C._ wohnen an der Ecke Äussere Baselstrasse/Im Hirshalm, d.h. direkt gegenüber der Einfahrt zum geplanten Installationsplatz. Ihre - gegen den Installationsplatz gerichtete - Einsprache gegen die Pläne zur Sanierung der Äusseren Baselstrasse hat der Regierungsrat des Kantons Basel-Stadt mit dem Plangenehmigungsentscheid vom 8./9. Dezember 2015 abgewiesen.
B.
Dagegen erhoben A. und B. C._ am 18. Dezember 2015 beim Appellationsgericht Basel-Stadt Rekurs und ersuchten dabei um aufschiebende Wirkung. Mit Verfügung vom 22. Dezember 2015 gab der Instruktionsrichter diesem Begehren provisorisch statt. In einer weiteren Zwischenverfügung vom 23. Februar 2016 entzog er auf Antrag des Regierungsrats dem Rekurs die aufschiebende Wirkung wieder.
C.
Gegen diesen Entscheid führen A. und B. C._ mit Eingabe vom 10. März 2016 Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten beim Bundesgericht. Sie beantragen dessen Aufhebung und die Bestätigung bzw. Wiederherstellung der aufschiebenden Wirkung ihres Rekurses. Sodann stellen sie den Prozessantrag, ihrer Beschwerde sei die aufschiebende Wirkung zu gewähren.
Das Bau- und Verkehrsdepartement des Kantons Basel-Stadt beantragt, auf die Beschwerde sei nicht einzutreten, eventuell sei sie abzuweisen. Der Präsident des Appellationsgerichts beantragt die Abweisung der Beschwerde. Die Beschwerdeführenden haben am 15. April 2016 repliziert.
D.
Mit Verfügung vom 31. März 2016 wies der Präsident der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung des Bundesgerichts das Gesuch um Erteilung der aufschiebenden Wirkung ab.

Erwägungen:
1.
1.1. Angefochten ist ein kantonal letztinstanzlicher Entscheid über eine Angelegenheit des öffentlichen Rechts. Dagegen steht nach <ref-law> die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten an das Bundesgericht offen, und die Beschwerdeführenden sind dazu legitimiert (<ref-law>). Ein kantonales Rechtsmittel steht nicht zur Verfügung. Die Beschwerdevoraussetzungen von Art. 86 Abs. 1 lit. d i.V.m. Abs. 2 BGG sind damit erfüllt.
1.2. Das angefochtene Urteil schliesst das Verfahren allerdings nicht ab. Es handelt sich um einen Zwischenentscheid nach <ref-law>, und zwar um einen solchen über die aufschiebende Wirkung. Ein Zwischenentscheid ist unter anderem dann anfechtbar, wenn er bei den Beschwerdeführenden einen nicht wieder gutzumachenden Nachteil bewirken kann (Tatbestandsvariante lit. a). Dies ist hier zu bejahen, da der Beschwerdegegner bei Fehlen der aufschiebenden Wirkung den strittigen Installationsplatz in Betrieb nehmen kann und die Beschwerdeführenden den damit verbundenen Lärmimmissionen ausgesetzt sind; dieser Nachteil liesse sich bei einer Gutheissung der Beschwerde nicht rückgängig machen.
2.
2.1. Bei einem Zwischenentscheid über die aufschiebende Wirkung handelt es sich um eine vorsorgliche Massnahme gemäss <ref-law> (<ref-ruling> E. 1.5 S. 197). Es kann mit der Beschwerde somit nur die Verletzung von verfassungsmässigen Rechten gerügt werden. Insoweit gelten die qualifizierten Begründungsanforderungen nach <ref-law>. Die Beschwerdeführenden müssen darlegen, welche verfassungsmässigen Rechte bzw. welche Rechtssätze der angefochtene Entscheid inwiefern verletzen soll. Das Bundesgericht prüft nur klar und detailliert erhobene und, soweit möglich, belegte Rügen (<ref-ruling> E. 4.1 S. 82; <ref-ruling> E. 1.3 S. 41; je mit Hinweisen).
2.2. Diesen Anforderungen genügen die Beschwerdeführenden grundsätzlich: sie machen Willkür bei der Feststellung des Sachverhalts und bei der Rechtsanwendung geltend (<ref-law>) sowie die Verletzung des Rechts auf ein faires Verfahren (<ref-law>) und ihres Gehörsanspruchs (<ref-law>) geltend. Soweit sie einen Verstoss gegen das Verhältnismässigkeitsprinzip (<ref-law>) rügen, berufen sie sich nicht auf ein verfassungsmässiges Recht, sondern bloss auf einen Verfassungsgrundsatz (<ref-ruling> E. 5.8.2. S. 199), der im vorliegenden Zusammenhang nur zusammen mit einem spezifischen Grundrecht angerufen werden kann. Immerhin rügen die Beschwerdeführenden dessen Verletzung im Zusammenhang mit der Eigentumsgarantie (<ref-law>).
3.
3.1. Gemäss § 17 Abs. 1 des Gesetzes über die Verfassungs- und Verwaltungsrechtspflege des Kantons Basel-Stadt vom 14. Juni 1928 (VRPG) hemmt die Einreichung des Rekurses die Vollstreckung der angefochtenen Verfügung nicht, es sei denn, der Präsident ordne dies ausdrücklich an. Dieser Zwischenentscheid gilt bis auf Widerruf oder bis zur Eröffnung des schriftlich begründeten (End-) Urteils (§ 17 Abs. 2 VRPG). Das kantonale Prozessrecht nennt die für die Gewährung der aufschiebenden Wirkung massgeblichen Aspekte nicht; es ist daher auf die in der Verwaltungsrechtsprechung üblichen und auch in der Bundesgerichtspraxis angewandten Kriterien abzustellen.
3.2. Die Beschwerdeführenden scheinen die Regelung von § 17 VRPG so zu verstehen, dass ein Entzug der aufschiebenden Wirkung (nach deren Gewährung bei Eingang des Rekurses) nur aus Gründen zulässig sei, die sich später ergeben hätten. Das Bundesgericht überprüft die Anwendung kantonalen Rechts nur auf Willkür hin. Willkür liegt hier offensichtlich nicht vor. Die Auslegung der Beschwerdeführenden ergibt sich nicht aus dem Wortlaut von § 17 VRPG und ist auch wenig plausibel. Wird nämlich einem Rechtsmittel bei dessen Eingang ohne Anhörung der Gegenpartei die nachgesuchte aufschiebende Wirkung gewährt, erscheint es vielmehr geradezu geboten, alle geltend gemachten Interessen in Betracht zu ziehen, wenn die Gegenpartei in einem späteren Zeitpunkt deren Entzug beantragt.
4.
4.1. Die (Nicht-) Gewährung der aufschiebenden Wirkung eines Rechtsmittels ist als vorsorgliche Massnahme zu qualifizieren (vgl. E. 2.1 hiervor), weil über die strittige Rechtsfrage nicht aufgrund einer vollständigen tatsächlichen und rechtlichen Beurteilung endgültig entschieden wird (<ref-ruling> E. 1 S. 590). Strittige Rechtsfrage ist vorliegend die Zulässigkeit des geplanten Installationsplatzes am vorgesehenen Standort. Darüber wird das Appellationsgericht im Entscheid in der Hauptsache befinden. Durch den Entzug der aufschiebenden Wirkung hat dessen Präsident und Instruktionsrichter dem Beschwerdegegner bloss erlaubt, Vorbereitungsarbeiten für die Inbetriebnahme des Installationsplatzes zu treffen bzw. diesen zu betreiben, bis das Gericht in seinem Endentscheid über dessen Zulässigkeit geurteilt hat.
4.2. Die Gewährung oder der Entzug der aufschiebenden Wirkung beruht auf einer bloss summarischen Prüfung der Sach- und Rechtslage. Sie ist zu gewähren, wenn sie zur Wahrung überwiegender öffentlicher oder privater Interessen notwendig und dringlich ist, um einen Nachteil zu verhindern, der nicht leicht wieder gutgemacht werden kann. Bei der entsprechenden Interessenabwägung kommt der Behörde praxisgemäss ein erheblicher Beurteilungsspielraum zu (<ref-ruling> E. 3 S. 289). Die Gründe, die für einen Aufschub sprechen, müssen wichtiger sein als jene, die nahe legen, den Entscheid sofort zu vollstrecken (Urteil des Bundesgerichts 2C_309/2008 vom 13. August 2008 E. 3.1). Die Hauptsachenprognose kann berücksichtigt werden, wenn sie eindeutig ist (<ref-ruling> E. 2.2 S. 155; <ref-ruling> E. 3 S. 289; Urteil des Bundesgerichts 2C_1130/2013 vom 23. Januar 2015 E. 2.4). Die Beschwerdebehörde ist jedoch nicht gehalten, für ihren Entscheid zeitraubende zusätzliche Abklärungen zu treffen, sondern darf auf die ihr zur Verfügung stehenden Akten abstellen (<ref-ruling> E. 2b S. 191; <ref-ruling> E. 5b S. 45; Urteil des Bundesgerichts 2C_1130/ 2013 vom 23. Januar 2015 E. 2.4).
4.3. Die Beschwerdeführenden werfen der Vorinstanz vor, sie habe den Sachverhalt insofern offensichtlich unrichtig festgestellt, als sie davon ausgegangen sei, sie hätten mit ihrer Einsprache teilweise Gehör gefunden. Darin scheinen sie auch einen Verstoss gegen das Fairnessprinzip von <ref-law> zu sehen.
Gemäss <ref-law> kann die Feststellung des Sachverhalts nur gerügt werden, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von Artikel 95 beruht und wenn die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein kann. Das zweitgenannte Kriterium ist vorliegend nicht erfüllt, denn für die Gewährung oder Verweigerung der aufschiebenden Wirkung ist nicht entscheidend, ob dem Anliegen der Beschwerdeführenden zufolge ihrer Einsprache teilweise nachgekommen wurde. Im übrigen wäre es auch nicht offensichtlich unrichtig, von einem teilweisen Obsiegen der Beschwerdeführenden auszugehen, auch wenn sie in erster Linie einen andern Standort des Installationsplatzes gefordert hatten; dessen Verlegung um 20 m von ihrem Wohnhaus weg lässt sich willkürfrei als Anpassung in ihrem Sinne verstehen.
4.4. Soweit die Beschwerdeführenden rügen, der angefochtene Entscheid enthalte keine Prüfung bzw. Abwägung der in Frage stehenden Rechtsgüter, was gegen den verfassungsrechtlichen Gehörsanspruch verstosse, kommt diesem Einwand keine selbständige Bedeutung zu. Er deckt sich mit dem Vorbringen, ihrem Rekurs sei die aufschiebende Wirkung in willkürlicher Weise entzogen worden, was sie damit begründen, die Vorinstanz habe die massgeblichen Rechtsgüter nicht gegeneinander abgewogen bzw. dies in krass falscher Weise getan.
4.5. Im Kern geht es den Beschwerdeführenden um die Interessenabwägung der Vorinstanz, die zu ihren Ungunsten ausgefallen ist.
4.5.1. Sie beanstanden zum einen, bei den Interessen, die für den Entzug der aufschiebenden Wirkung sprechen würden, habe die Vorinstanz die Interessen am Sanierungsprojekt als solches wesentlich gewichtet, obwohl dieses unbestritten sei; sie würden nicht das Projekt bekämpfen, sondern bloss den Standort des Installationsplatzes. Zum andern sind die Beschwerdeführenden der Auffassung, die Immissionen, die der Installationsplatz mit sich bringen werde, beeinträchtigten ihr Eigentum über Gebühr.
4.5.2. Wie bereits dargelegt (E. 4.2 hiervor), beruht der Entscheid über die Gewährung oder die Verweigerung der aufschiebenden Wirkung auf einer bloss summarischen Prüfung der Sach- und Rechtslage. Es handelt sich um einen prima facie-Entscheid, der auch ohne vertieftes Studium der Vorakten erfolgt. Vor diesem Hintergrund ist die vorinstanzliche Interessenabwägung nicht zu beanstanden. Namentlich hat der Präsident des Appellationsgerichts die Interessen der Beschwerdeführenden an einer Verschiebung des Installationsplatzes in Betracht gezogen und deren erhebliche Bedeutung erkannt. Er hat auch nicht übersehen, dass die Emissionen bei Entzug der aufschiebenden Wirkung eintreten werden, bis das Gericht in der Hauptsache entschieden hat. Des Weiteren ist nachvollziehbar, dass er die Bedeutung des Sanierungsvorhabens an sich in Betracht gezogen hat, weil dieses eine Verzögerung erfahren dürfte, wenn die Inbetriebnahme des strittigen Installationsplatzes vorerst nicht vorbereitet werden könnte. Ausserdem durfte die Vorinstanz das Vorbringen der Beschwerdegegnerin in Betracht ziehen, wonach keine der als Alternativstandorte für den Installationsplatz geprüften Örtlichkeiten in Betracht falle und bei einer Verzögerung des Projekts kostenintensive Sanierungsarbeiten an den Tramgleisen der Basler Verkehrsbetriebe vorgezogen werden müssten, was erhebliche Mehrkosten verursachen würde. Diese öffentlichen Interessen an einem raschen Start der Bauarbeiten sind - gleich wie diejenigen der Beschwerdeführenden - bedeutsam. Da dem Massnahmenrichter ein erhebliches Ermessen bei der Gewichtung der entgegenstehenden Anliegen zukommt, ist es aus verfassungsrechtlicher Sicht nicht zu beanstanden, wenn dieser nach summarischer Prüfung der Sach- und Rechtslage die öffentlichen Interessen höher gewichtet hat als die Privaten.
4.5.3. Indem sich die Beschwerdeführenden sehr einlässlich zum massgeblichen Sachverhalt sowie zu den auf dem Spiel stehenden Interessen auslassen, verkennen sie die Bedeutung des aktuellen Beschwerdeverfahrens vor Bundesgericht. Die von ihnen vorgetragenen Argumente sind nicht hier, sondern im Hauptprozess vor dem Appellationsgericht vertieft zu prüfen. Vorliegend geht es einzig darum, die provisorische Rechtslage zwischen Rechtshängigkeit des Rekurses und Hauptentscheid zu regeln. Angesichts der eingeschränkten Kognition des Bundesgerichts kann dieses keine eingehendere Prüfung vornehmen als der vorinstanzliche Massnahmenrichter, sondern bloss dessen Entscheid auf seine Verfassungsmässigkeit überprüfen.
4.6. Insgesamt ist die Interessenabwägung der Vorinstanz nicht zu beanstanden, weshalb der angefochtene Entscheid vor der Verfassung standhält. Bei einem allfälligen Obsiegen der Beschwerdeführenden in der Sache würde der Kanton Basel-Stadt allerdings das Risiko der Wiederherstellungskosten zu tragen haben.
5.
Damit erweist sich die Beschwerde als unbegründet. Sie ist abzuweisen, soweit darauf eingetreten werden kann. Bei diesem Verfahrensausgang werden die Beschwerdeführenden kostenpflichtig (<ref-law>). Sie haften solidarisch für die Gerichtskosten (<ref-law>). Parteientschädigungen sind keine zu sprechen (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 3'000.-- werden den Beschwerdeführenden unter Solidarhaft auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird den Beschwerdeführenden, dem Regierungsrat des Kantons Basel-Stadt und dem Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt, Appellationsgerichtspräsident, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 27. April 2016
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Fonjallaz
Der Gerichtsschreiber: Uebersax