Sachverhalt:
A.
Die Staatsanwaltschaft See/Oberland führt ein Strafverfahren gegen A._ insbesondere wegen des Verdachts der Drohung. Sie wirft ihm vor, am 23. Dezember 2015, kurz nach Mitternacht, seine Schwester am Telefon massiv beschimpft und mit dem Tod bedroht zu haben. Überdies habe er in der Zeit vom 1. Oktober 2015 bis zum 23. Dezember 2015 in Telefongesprächen mit seinem Vater mehrfach Todesdrohungen gegen seine Schwester, seinen Bruder und seine Mutter ausgestossen. A._ habe dem Vater gesagt, er wolle die Schwester zerstückeln und vergraben. Am 19. Dezember 2015 habe A._ am Telefon dem früheren Ehemann der Schwester gesagt, er müsse diese und den Bruder "aus dem Weg räumen"; das sei seine - A._s - Aufgabe.
Am 23. Dezember 2015 nahm die Polizei A._ fest. Am 26. Dezember 2015 versetzte ihn das Zwangsmassnahmengericht des Bezirksgerichts Zürich in Untersuchungshaft.
B.
Am 6. März 2016 ersuchte A._ um Haftentlassung. Am 10. März 2016 beantragte die Staatsanwaltschaft die Abweisung des Gesuchs und die Verlängerung der Untersuchungshaft um drei Monate.
Am 18. März 2016 wies das Zwangsmassnahmengericht des Bezirksgerichts Meilen das Haftentlassungsgesuch ab und verlängerte die Untersuchungshaft bis längstens zum 18. Juni 2016.
Die von A._ dagegen erhobene Beschwerde wies das Obergericht des Kantons Zürich (III. Strafkammer) am 15. April 2016 ab. Es bejahte den dringenden Tatverdacht und Wiederholungsgefahr. Mildere Ersatzmassnahmen anstelle der Haft erachtete es zur Bannung der Wiederholungsgefahr als ungenügend. Die Dauer der Haft beurteilte es als verhältnismässig.
C.
A._ führt Beschwerde in Strafsachen mit dem Hauptantrag, den Entscheid des Obergerichts aufzuheben und ihn unverzüglich aus der Haft zu entlassen. Zudem stellt er Eventualanträge.
D.
Das Obergericht hat auf Vernehmlassung verzichtet; ebenso die Staatsanwaltschaft unter Hinweis auf zwei Eingaben im kantonalen Verfahren und den angefochtenen Entscheid.
A._ hat auf weitere Bemerkungen verzichtet.

Erwägungen:
1.
1.1. Gegen den angefochtenen Entscheid ist gemäss <ref-law> die Beschwerde in Strafsachen gegeben. Ein kantonales Rechtsmittel steht nicht zur Verfügung. Die Beschwerde ist somit nach <ref-law> zulässig.
1.2. Der Beschwerdeführer ist gemäss Art. 81 Abs. 1 lit. a und b Ziff. 1 BGG zur Beschwerde befugt.
Am 10. Mai 2016 hat die Staatsanwaltschaft beim Bezirksgericht Meilen Anklage erhoben und beim Zwangsmassnahmengericht die Anordnung von Sicherheitshaft beantragt. Mit Verfügung vom 24. Mai 2016 versetzte Letzteres den Beschwerdeführer in Sicherheitshaft und bewilligte diese vorerst bis zum 24. August 2016. Dabei verwies es im Wesentlichen auf den hier angefochtenen obergerichtlichen Entscheid vom 15. April 2016.
Zwar befindet sich der Beschwerdeführer heute formell nicht mehr aufgrund des obergerichtlichen Entscheids vom 15. April 2016 in Haft, sondern der Verfügung des Zwangsmassnahmengerichts vom 24. Mai 2016. Nach der Rechtsprechung hat er gleichwohl weiterhin ein aktuelles praktisches Interesse an der Behandlung der Beschwerde in Strafsachen (Urteile 1B_249/2014 vom 6. August 2014 E. 1; 1B_429/2013 vom 23. Dezember 2013 E. 1; HEINZ AEMISEGGER/MARC FORSTER, in: Bundesgerichtsgesetz, Basler Kommentar, 2. Aufl. 2011, N. 68 zu <ref-law>). Würde das Bundesgericht die Beschwerde in Fällen wie hier als gegenstandslos abschreiben, könnte es sich nie zur Rechtmässigkeit der Haft äussern, wenn in der Zwischenzeit immer wieder ein neuer kantonaler Haftverlängerungsentscheid erginge. An den sich stellenden Rechtsfragen hat sich mit der Verfügung des Zwangsmassnahmengerichts vom 24. Mai 2016 im Übrigen nichts geändert.
1.3. Die weiteren Sachurteilsvoraussetzungen geben zu keinen Bemerkungen Anlass. Auf die Beschwerde ist einzutreten.
2.
2.1. Der Beschwerdeführer beantragt, das Bezirksgericht, wo sich die Strafakten mittlerweile befänden, sei anzuweisen, für sich eine Kopie davon anzufertigen, damit während der Zeit, in welcher die Akten beim Bundesgericht lägen, das kantonale Strafverfahren ohne Verzögerung weitergeführt werden könne (Beschwerdeantrag 4).
In der Begründung der Beschwerde führt er aus, er ersuche um Beizug derjenigen Akten, welche für die Beurteilung der Beschwerde relevant seien. Um den weiteren Fortgang des Verfahrens nicht zu verzögern, werde das Bundesgericht gebeten, die erforderlichen Akten in Kopie einzufordern bzw. die Anfertigung von Kopien zu verlangen.
2.2. Am 18. Mai 2016 ging die Beschwerde in Strafsachen beim Bundesgericht ein. Gleichentags forderte es die Vorinstanz zur Zustellung der vorinstanzlichen Akten auf. Dem kam die Vorinstanz am 24. Mai 2016 nach.
Das Bundesgericht lud das Bezirksgericht nicht zur Zustellung der Akten der Strafuntersuchung ein. Am 24. Mai 2016 sandte das Bezirksgericht diese Akten dem Bundesgericht - zusammen mit den Entscheid des Zwangsmassnahmengerichts vom gleichen Tag zur Sicherheitshaft - unaufgefordert zu. Die Akten der Strafuntersuchung enthalten insbesondere das für die Beurteilung der Haft wichtige psychiatrische Gutachten vom 29. Februar 2016. Das Bundesgericht fertigte sich davon eine Kopie an und sandte die Akten der Strafuntersuchung umgehend an das Bezirksgericht zurück, damit es das Strafverfahren beförderlich fortführen konnte. Das Bundesgericht hat damit, soweit es ihm unter den gegebenen Umständen möglich war, dem Anliegen des Beschwerdeführers in der Sache entsprochen.
3.
3.1. Gemäss <ref-law> sind Untersuchungs- und Sicherheitshaft zulässig, wenn die beschuldigte Person eines Verbrechens oder Vergehens dringend verdächtig ist und ernsthaft zu befürchten ist, dass sie durch schwere Verbrechen oder Vergehen die Sicherheit anderer erheblich gefährdet, nachdem sie bereits früher gleichartige Straftaten verübt hat (lit. c).
Der Beschwerdeführer bestreitet den dringenden Tatverdacht nicht. Er macht geltend, es fehle an der Wiederholungsgefahr nach <ref-law>.
3.2. Nach der Rechtsprechung kann die Fortsetzung von Untersuchungshaft wegen Wiederholungsgefahr dem Verfahrensziel der Beschleunigung dienen, indem verhindert wird, dass sich der Strafprozess durch immer neue Delikte kompliziert und in die Länge zieht. Auch die Wahrung des Interesses an der Verhütung weiterer schwerwiegender Delikte ist nicht verfassungs- und grundrechtswidrig. Vielmehr anerkennt Art. 5 Ziff. 1 lit. c EMRK ausdrücklich die Notwendigkeit, Beschuldigte an der Begehung strafbarer Handlungen zu hindern, somit Spezialprävention, als Haftgrund (<ref-ruling> E. 3.2 S. 85; <ref-ruling> E. 2.2 S. 72 mit Hinweisen). Die Aufrechterhaltung von Untersuchungshaft wegen Wiederholungsgefahr ist zulässig, wenn einerseits die Rückfallprognose sehr ungünstig und anderseits die zu befürchtenden Delikte schwerer Natur sind. Die rein hypothetische Möglichkeit der Verübung weiterer Delikte sowie die Wahrscheinlichkeit, dass nur geringfügige Straftaten verübt werden, reichen dagegen nicht aus, um eine Präventivhaft zu begründen (BGE <ref-ruling> E. 2.3 S. 73 mit Hinweisen).
<ref-law> ist entgegen dem deutschsprachigen Gesetzeswortlaut dahin auszulegen, dass "Verbrechen oder schwere Vergehen" drohen müssen (<ref-ruling> E. 3.2 S. 85 f.).
Nach der Rechtsprechung stellt die Drohung gemäss <ref-law> ein schweres Vergehen dar (Urteile 1B_429/2013 vom 23. Dezember 2013 E. 2.2; 1B_238/2012 vom 16. Mai 2012 E. 2.2; vgl. auch Urteile 1B_106/2014 vom 3. April 2014 E. 2.2; 1B_52/2014 vom 21. Februar 2014 E. 3.3).
<ref-law> verlangt, dass die beschuldigte Person bereits früher gleichartige Vortaten verübt hat. Auch bei den Vortaten muss es sich um Verbrechen oder schwere Vergehen gegen gleiche oder gleichartige Rechtsgüter gehandelt haben. Die früher begangenen Straftaten können sich aus rechtskräftig abgeschlossenen Strafverfahren ergeben. Sie können jedoch auch Gegenstand eines noch hängigen Strafverfahrens bilden, in dem sich die Frage der Untersuchungs- und Sicherheitshaft stellt. Das Gesetz spricht von verübten Straftaten und nicht bloss einem Verdacht, so dass dieser Haftgrund nur bejaht werden kann, wenn mit an Sicherheit grenzender Wahrscheinlichkeit feststeht, dass die beschuldigte Person solche Straftaten begangen hat. Neben einer rechtskräftigen Verurteilung gilt der Nachweis auch bei einem glaubhaften Geständnis oder einer erdrückenden Beweislage als erbracht (<ref-ruling> E. 3.2 S. 86 mit Hinweisen).
3.3. Der Beschwerdeführer ist nicht vorbestraft. Im gegen ihn geführten Strafverfahren werden ihm jedoch zahlreiche Drohungen vorgeworfen. Weshalb ihn seine Familienangehörigen zu Unrecht belasten sollten, ist nicht erkennbar. Deren Aussagen sind in sich stimmig. Der Beschwerdeführer bestreitet die ihm vorgeworfenen Drohungen denn auch nicht substanziiert. Vielmehr macht er Erinnerungslücken geltend. Er räumt aber ein, jeweils "ausgerastet" zu sein. Dass er am 23. Dezember 2015 gegenüber der Schwester Todesdrohungen ausstiess, bezeichnet er selber als wahrscheinlich. Unter diesen Umständen muss von einer erdrückenden Beweislage ausgegangen werden. Das Vortatenerfordernis ist damit nach der dargelegten Rechtsprechung als erfüllt anzusehen.
3.4. Der psychiatrische Sachverständige, Dr. med. B._, diagnostiziert im Gutachten vom 29. Februar 2016 beim Beschwerdeführer eine wahnhafte Störung. Dieser glaube, seine Schwester, sein Bruder und seine Mutter gehörten einer Sekte an und wollten ihm schaden. Zur wahnhaften Störung hinzu trete ein hoch problematischer Konsum psychotroper Substanzen. Einerseits unterhalte der Konsum von Cannabis psychotische Phänomene, anderseits führe ein fortgesetzter Alkoholkonsum zu einer zunehmenden Enthemmung, insbesondere bei erheblicher Intoxikation, so dass die in nüchternem Zustand noch zu beherrschenden Wahninhalte Handlungsrelevanz entfalteten. Die Frage, ob beim Beschwerdeführer die Gefahr neuerlicher Straftaten bestehe, bejaht der Gutachter. Vor allem Drohungsdelikte erschienen für die Zukunft deutlich wahrscheinlich. Dafür, dass der Beschwerdeführer darüber hinaus in aggressiver Weise gegen andere Menschen vorgehen würde oder gar seine Drohungen in die Tat umsetze, gebe es zurzeit keine deutlichen Hinweise, so dass das Risiko diesbezüglich als eher gering eingeschätzt werden könne.
Angesichts dieser gutachterlichen Ausführungen muss die Rückfallgefahr in Bezug auf Drohungen als hoch eingestuft werden. Da es sich dabei um schwere Vergehen handelt (oben E. 3.2), verletzt es kein Bundesrecht, wenn die Vorinstanz Wiederholungsgefahr bejaht hat. Um den Haftgrund der Ausführungsgefahr gemäss <ref-law> geht es hier nicht.
Die Beschwerde ist im vorliegenden Punkt unbegründet.
4.
4.1. Der Beschwerdeführer bringt vor, Ersatzmassnahmen reichten zur Bannung von Wiederholungsgefahr aus.
4.2. Gemäss <ref-law> ordnet das zuständige Gericht an Stelle der Untersuchungs- oder der Sicherheitshaft eine oder mehrere mildere Massnahmen an, wenn sie den gleichen Zweck wie die Haft erfüllen.
4.3. Wie der Gutachter ausführt, lebt der Beschwerdeführer in sozial ungeordneten Verhältnissen. Dessen psychische Störung sei gravierend. Aufgrund des Zusammenspiels von paranoider Symptomatik und enthemmender Alkoholintoxikation sei eine massive Beeinträchtigung der Steuerungsfähigkeit zu konstatieren, die in ihrem Ausmass an deren Aufhebung heranreiche.
Die wahnhafte Störung des Beschwerdeführers dauert fort. Dasselbe gilt für seine starke Neigung zum Gebrauch psychotroper Substanzen. Konsumiert der Beschwerdeführer erheblich Alkohol, muss aufgrund des Gutachtens davon ausgegangen werden, dass dies nahezu zur Aufhebung der Steuerungsfähigkeit führen kann. Wenn die Vorinstanz vor diesem Hintergrund erwägt, es könnte nicht mit genügender Wahrscheinlichkeit davon ausgegangen werden, dass sich der Beschwerdeführer an ein Kontakt- und Rayonverbot halten würde, hält das vor Bundesrecht stand.
Auch ein dem Beschwerdeführer auferlegtes Verbot, Schuss- oder Stichwaffen zu erwerben, zu besitzen oder auf sich zu tragen, erscheint als untauglich, da damit keine weiteren Drohungen verhindert werden könnten.
Da nach dem Gutachten die psychische Störung des Beschwerdeführers schwer wiegt, er die Notwendigkeit einer Behandlung zurzeit nicht umfassend einsieht und die wahnhafte Störung psychiatrisch nicht leicht zu beeinflussen ist, dürften von einer ambulanten Therapie keine schnellen Erfolge erwartet werden. Wenn die Vorinstanz annimmt, eine derartige Therapie könne die Wiederholungsgefahr nicht hinreichend bannen, ist das daher ebenfalls nicht zu beanstanden.
Die Beschwerde erweist sich demnach auch insoweit als unbegründet.
5.
5.1. Der Beschwerdeführer macht geltend, die Dauer der Haft sei nicht mehr verhältnismässig.
5.2. Gemäss <ref-law> und Art. 5 Ziff. 3 EMRK hat eine in strafprozessualer Haft gehaltene Person Anspruch darauf, innerhalb einer angemessenen Frist richterlich beurteilt oder während des Strafverfahrens aus der Haft entlassen zu werden. Eine übermässige Haftdauer stellt eine unverhältnismässige Beschränkung dieses Grundrechts dar. Sie liegt dann vor, wenn die Haftfrist die mutmassliche Dauer der zu erwartenden freiheitsentziehenden Sanktion übersteigt. Entsprechend sieht <ref-law> vor, dass Untersuchungs- und Sicherheitshaft nicht länger dauern dürfen als die zu erwartende Freiheitsstrafe. Bei der Prüfung der Verhältnismässigkeit der Haftdauer ist namentlich der Schwere der untersuchten Straftaten Rechnung zu tragen. Der Richter darf die Haft nur so lange erstrecken, als sie nicht in grosse zeitliche Nähe der (im Falle einer rechtskräftigen Verurteilung) konkret zu erwartenden Dauer der freiheitsentziehenden Sanktion rückt. Im Weiteren kann eine Haft die zulässige Dauer auch dann überschreiten, wenn das Strafverfahren nicht genügend vorangetrieben wird, wobei sowohl das Verhalten der Justizbehörden als auch dasjenige des Inhaftierten in Betracht gezogen werden müssen. Nach der übereinstimmenden Rechtsprechung des Bundesgerichtes und des Europäischen Gerichtshofs für Menschenrechte ist die Frage, ob eine Haftdauer als übermässig bezeichnet werden muss, aufgrund der konkreten Verhältnisse des einzelnen Falles zu beurteilen. Für die Beurteilung der Verhältnismässigkeit der Haft spielt es jedoch grundsätzlich keine Rolle, dass für die in Aussicht stehende Freiheitsstrafe gegebenenfalls der bedingte oder teilbedingte Vollzug gewährt werden kann. Der grossen zeitlichen Nähe der konkret zu erwartenden Freiheitsstrafe ist aber auch besondere Beachtung zu schenken, weil der Strafrichter dazu neigen könnte, die Dauer der nach <ref-law> anrechenbaren Untersuchungshaft bei der Strafzumessung mitzuberücksichtigen (<ref-ruling> E. 3.1 S. 275; <ref-ruling> E. 3.4.2 S. 281 f.; je mit Hinweisen).
5.3. Der Beschwerdeführer befindet sich seit ca. 5 1⁄2 Monaten in Haft. Die Staatsanwaltschaft beantragt in der Anklageschrift vom 10. Mai 2016 seine Verurteilung zu einer Freiheitsstrafe von 9 Monaten und einer Busse von Fr. 300.--; überdies die Anordnung einer stationären Massnahme nach <ref-law> (Behandlung psychischer Störungen) unter Aufschub des Vollzugs der Freiheitsstrafe zugunsten der Massnahme.
Das Urteil des Bezirksgericht darf in keiner Weise präjudiziert werden. Aufgrund des Antrags des Staatsanwalts muss der Beschwerdeführer jedoch mit einer Freiheitsstrafe von 9 Monaten rechnen; ebenso mit einer stationären Massnahme, die ohne Weiteres länger als 9 Monate dauern könnte (vgl. <ref-ruling> E. 5e f. S. 178 f.). Die Haft kann daher noch als verhältnismässig angesehen werden.
Allerdings ist nicht zu verkennen, dass dem Beschwerdeführer keine besonders schwere Kriminalität zur Last gelegt wird. Die von ihm erstandene Haft erscheint in Anbetracht des gegen ihn erhobenen Tatvorwurfs bereits als lange. Umso mehr wird deshalb das Bezirksgericht dem besonderen Beschleunigungsgebot in Haftsachen (<ref-law>) Rechnung zu tragen und die Hauptverhandlung beförderlich anzusetzen haben. Der Fall ist weder in tatsächlicher noch rechtlicher Hinsicht komplex. Die Durchführung der Hauptverhandlung sollte deshalb demnächst möglich sein.
6.
Nach dem Gesagten ist die Beschwerde abzuweisen.
Die Bedürftigkeit des Beschwerdeführers kann angenommen werden. Da die Haft einen schweren Eingriff in die persönliche Freiheit darstellt, konnte er sich zur Beschwerde veranlasst sehen. Die unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung nach <ref-law> wird daher bewilligt. Es werden keine Kosten erhoben und dem Vertreter des Beschwerdeführers wird eine Entschädigung ausgerichtet.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen.
2.
Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung wird gutgeheissen.
3.
Es werden kein Gerichtskosten erhoben.
4.
Dem Vertreter des Beschwerdeführers, Rechtsanwalt Dr. Patrick Götze, wird aus der Bundesgerichtskasse eine Entschädigung von Fr. 2'000.-- ausgerichtet.
5.
Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer, der Staatsanwaltschaft See/Oberland und dem Obergericht des Kantons Zürich, III. Strafkammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 6. Juni 2016
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Fonjallaz
Der Gerichtsschreiber: Härri