Sachverhalt:
A.
Der 1957 geborene A._ war als Bauarbeiter tätig und über den Arbeitgeber bei der Schweizerischen Unfallversicherungsanstalt (SUVA) obligatorisch gegen Unfallfolgen versichert, als er sich am 23. April 2010 bei einem Unfall am rechten Knie verletzte. Er musste sich deshalb mehreren Operationen (u.a. Versorgung mit einer Knie-Totalprothese) unterziehen. Die SUVA erbrachte die gesetzlichen Leistungen (Heilbehandlung und Taggeld). Mit Verfügung vom 8. Mai 2012 schloss sie den Fall ab, indem sie dem Versicherten für die verbleibenden Unfallfolgen eine ab 1. April 2012 laufende Invalidenrente entsprechend einem Invaliditätsgrad von 11 % und eine Integritätsentschädigung für eine Integritätseinbusse von 18 % zusprach.
Im April 2013 meldete A._ der SUVA einen Rückfall. Diese gewährte erneut Heilbehandlung und richtete Taggeld aus. Sie leistete dabei auch Kostengutsprache für den am 9. Oktober 2014 vorgenommenen Ersatz der Knie-Totalprothese. Mit Verfügungen vom 2. und 30. Juli 2015 sprach die IV-Stelle des Kantons Aargau A._ ihrerseits eine abgestufte Rente der Invalidenversicherung zu, von April 2011 bis Dezember 2014 bei einem Invaliditätsgrad von 43 %, von Januar bis Juni 2015 bei einem Invaliditätsgrad von 100 % und ab Juli 2015 bei einem Invaliditätsgrad von 58 %.
Mit Verfügung vom 8. September 2015 eröffnete die SUVA dem Versicherten, nach dem medizinischen Befund liege am rechten Knie wieder der Endzustand vor und sei keine erhebliche Verschlimmerung der Unfallfolgen gegeben. Der nach Unfallversicherungsrecht bestehende Invalidenrentenanspruch könne somit nicht erhöht werden. Weitere Behandlungsmassnahmen seien nicht angezeigt. Die Taggeld- und Heilbehandlungsleistungen endeten daher am 30. September 2015. A._ erhob Einsprache. Er beantragte, ihm seien ab 1. Oktober 2015 eine Invalidenrente nach Massgabe eines Invaliditätsgrades von 58 % und eine Integritätsentschädigung nach Massgabe einer Integritätseinbusse von 25 % zuzusprechen. Mit Entscheid vom 12. Februar 2016 wies die SUVA die Einsprache im Rentenpunkt ab und trat bezüglich Integritätsentschädigung nicht auf sie ein.
B.
Beschwerdeweise erneuerte A._ die mit Einsprache gestellten Anträge. Das Versicherungsgericht des Kantons Aargau gewährte ihm die unentgeltliche Rechtspflege. Mit Entscheid vom 16. Juni 2016 wies es die Beschwerde bezüglich Rente ab und trat bezüglich Integritätsentschädigung nicht darauf ein.
C.
Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten stellt A._ wieder die gleichen Rechtsbegehren zu Rente und Integritätsentschädigung. Zudem beantragt er die unentgeltliche Rechtspflege für das letztinstanzliche Verfahren.
Die SUVA beantragt die Abweisung der Beschwerde, ohne sich weiter zur Sache zu äussern. Das Bundesamt für Gesundheit verzichtet auf eine Vernehmlassung.

Erwägungen:
1.
Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann wegen Rechtsverletzungen gemäss Art. 95 und 96 BGG erhoben werden. Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (<ref-law>), doch prüft es, unter Berücksichtigung der allgemeinen Rüge- und Begründungspflicht (Art. 42 Abs. 1 und 2 BGG), nur die geltend gemachten Vorbringen, falls allfällige weitere rechtliche Mängel nicht geradezu offensichtlich sind (<ref-ruling> E. 1.6 S. 280; vgl. auch <ref-ruling> E. 1 S. 236; <ref-ruling> E. 1.1 S. 137 f.).
Im Beschwerdeverfahren um die Zusprechung oder Verweigerung von Geldleistungen der Militär- oder Unfallversicherung ist das Bundesgericht nicht an die vorinstanzliche Feststellung des rechtserheblichen Sachverhalts gebunden (Art. 97 Abs. 2 und Art. 105 Abs. 3 BGG).
2.
Streitig ist zunächst, ob das kantonale Gericht Bundesrecht verletzte, indem es einen Anspruch aus dem 2013 gemeldeten Rückfall auf Erhöhung der seit April 2012 laufenden Invalidenrente nach <ref-law> verneinte.
2.1. Rückfälle und Spätfolgen sind besondere revisionsrechtliche Tatbestände (<ref-law>; <ref-ruling> E. 4b S. 457; <ref-ruling> E. 2d S. 297; Urteil 8C_747/2013 vom 18. März 2014 E. 3.1). Im angefochtenen Entscheid sind die Bestimmung (<ref-law>) und die Rechtsprechung zur revisionsweisen Erhöhung, Herabsetzung oder Aufhebung einer Invalidenrente wegen erheblicher Änderung des Invaliditätsgrades zutreffend dargelegt. Gleiches gilt für die Grundsätze zu den Anforderungen an beweiswertige ärztliche Berichte und Gutachten. Darauf wird verwiesen.
2.2. Das kantonale Gericht ist zum Ergebnis gelangt, seit Erlass der rentenzusprechenden Verfügung der SUVA vom 8. Mai 2012 sei keine massgebliche Veränderung eingetreten. Es liege immer noch eine 100%ige Arbeitsfähigkeit in angepasster Tätigkeit vor. Das Tätigkeitsprofil sei auch nicht weiter limitiert. Von zusätzlichen medizinischen Abklärungen sei in antizipierter Beweiswürdigung abzusehen.
2.2.1. Die vorinstanzlichen Sachverhaltsfeststellungen beruhen auf einer sorgfältigen Würdigung der medizinischen Akten. Das kantonale Gericht hat überzeugend dargelegt, weshalb es insbesondere auf den orthopädischen Untersuchungsbericht des Kreisarztes vom 27. August 2015 (mit Ergänzung vom 19. Oktober 2015) abstellt und sich durch die weiteren medizinischen Akten, namentlich durch den Untersuchungsbericht eines orthopädischen Chirurgen und Traumatologen vom Regionalen Ärztlichen Dienst der Invalidenversicherung (RAD) vom 27. März 2015, zu keiner anderen Beurteilung veranlasst sieht.
2.3. Was der Beschwerdeführer vorbringt, rechtfertigt keine andere Betrachtungsweise. Der RAD-Arzt hat im Bericht vom 27. März 2015 zunächst eine Arbeitsunfähigkeit aufgrund des rechten Knies bestätigt. Er hat sodann Beschwerden am linken Knie erwähnt und ausgeführt, dieses bislang nicht operierte Kniegelenk werde "im Schonraum der einschränkten Arbeitsfähigkeit nicht zusätzlich beansprucht, so dass Auswirkungen auf die Arbeitsfähigkeit nicht vorhanden" seien. Das kann durchaus so verstanden werden, dass ohne rechtsseitige Knieproblematik eine eigenständige Einschränkung der Arbeitsfähigkeit am linken Knie bestünde. Wenn die Vorinstanz geschlossen hat, der RAD-Arzt habe auch unfallfremde Beschwerden berücksichtigt, ist dies daher nicht bundesrechtswidrig. Das gilt erst recht, wenn mit dem kantonalen Gericht erwogen wird, dass der RAD-Arzt bei der Umschreibung des Zumutbarkeitsprofils auch den "durch jahrzehntelange harte Arbeit auffallend groben Händen" Rechnung getragen hat. Der RAD-Arzt hatte denn auch für die Belange der Invalidenversicherung Bericht zu erstatten. Diese ist als finale Versicherung leistungspflichtig, unabhängig davon, ob ein invalidisierender Gesundheitsschaden auf einen Unfall zurückzuführen ist oder nicht. Der RAD-Arzt hatte daher auch nicht zwischen unfallbedingten und unfallfremden Beschwerden zu unterscheiden, sondern den gesamten Gesundheitszustand und dessen Auswirkungen auf die Arbeitsfähigkeit zu würdigen. Das kantonale Gericht hat sodann zutreffend erkannt und gewürdigt, dass sich die Belastbarkeit des Versicherten nach dem RAD-Bericht vom 27. März 2015 schon bis zum Austrittsbericht der Rehaklinik B._ vom 21. Mai 2015 und in der Folge noch weiter verbessert hatte. Der Beschwerdeführer bestätigt auch selber, dass eine Besserung eintrat. Er vertritt zwar die Auffassung, dies sei nicht im von der Vorinstanz angenommenen Mass erfolgt. Damit vermag er aber keine Zweifel an der aufgrund der medizinischen Akten überzeugenden Beurteilung des kantonalen Gerichts zu begründen. Nicht nachvollziehbar ist auch, weshalb die vom Beschwerdeführer geltend gemachte Beschränkung der Gehstrecken ohne Gehstöcke auf 100 m entgegen der kreisärztlichen Einschätzung die Verrichtung angepasster leichter bis mittelschwerer Tätigkeiten ausschliessen soll. Mit dem kantonalen Gericht ist schliesslich die Notwendigkeit weiterer medizinischer Abklärungen zu verneinen. Die vorhandenen Akten geben genügend Aufschluss, um eine verlässliche Beurteilung zu ermöglichen. Insbesondere bestehen keine auch nur geringen Zweifel am Beweiswert der kreisärztlichen Einschätzung. Die Beschwerde ist demnach im Rentenpunkt abzuweisen.
3.
Das kantonale Gericht ist auf die bei ihm erhobene Beschwerde nicht eingetreten, soweit darin eine höhere Integritätsentschädigung beantragt wurde. Es begründet dies damit, die Beschwerdegegnerin habe noch nicht über den Anspruch auf Integritätsentschädigung nach Abschluss des Rückfalles entschieden. Deshalb liege kein Anfechtungsgegenstand vor.
3.1. Der Beschwerdeführer macht geltend, die SUVA habe in der Verfügung vom 8. September 2015 den Anspruch auf Integritätsentschädigung mitbehandelt. Im Einspracheentscheid habe sie sich dann aber trotz des von ihm gestellten Antrages nicht dazu geäussert und damit seinen Anspruch auf rechtliches Gehör verletzt.
Die Rügen sind unbegründet. Die SUVA hat die Integritätsentschädigung in der Verfügung vom 8. September 2015 nicht erwähnt. Sie ist sodann bezüglich Integritätsentschädigung nicht auf die Einsprache eingetreten. Das ergibt sich klar und unmissverständlich aus dem Einspracheentscheid vom 12. Februar 2016.
Weiterungen dazu wie auch zu der überdies geltend gemachten Rüge, das kantonale Gericht habe den Gehörsanspruch des Versicherten ebenfalls verletzt, erübrigen sich indessen. Denn abgesehen davon, dass der Beschwerdeführer die Frage des Anfechtungsgegenstandes weder in der Einsprache noch im vorinstanzlichen Verfahren in irgendeiner Weise thematisierte, macht er nunmehr ausdrücklich geltend, die Sache sei aus verfahrensökonomischen Gründen nicht an das kantonale Gericht zurückzuweisen. Dem kann unter den gegebenen Umständen ausnahmsweise entsprochen werden. Die Akten gestatten die Beurteilung des Leistungsanspruchs und die SUVA opponiert diesem Vorgehen nicht.
3.2. Laut <ref-law> hat der Versicherte, der durch den Unfall eine dauernde, erhebliche Schädigung der körperlichen, geistigen oder psychischen Integrität erleidet, Anspruch auf eine angemessene Integritätsentschädigung (Abs. 1). Diese wird mit der Invalidenrente festgesetzt oder, falls kein Rentenanspruch besteht, bei der Beendigung der ärztlichen Behandlung gewährt (Abs. 2). Gemäss <ref-law> sind Revisionen von rechtskräftig zugesprochenen Integritätsentschädigungen nur im Ausnahmefall möglich, wenn die Verschlimmerung von grosser Tragweite ist und nicht voraussehbar war (vgl. auch: Urteil 8C_408/2009 vom 25. Mai 2010 E. 3, nicht publ. in: <ref-ruling>, aber in: SVR 2010 UV Nr. 27 S. 109; Urteile 8C_885/2014 vom 17. März 2015 E. 2.2.1 und 8C_244/2012 vom 14. Januar 2013 E. 4.2).
Eine derartige Verschlimmerung ist hier nach Lage der Akten nicht eingetreten. Zwar war aufgrund zunehmender Beschwerden ein Ersatz der Knie-Prothese nötig. Die Verschlimmerung der Integritätseinbusse war aber nicht dauerhaft und von grosser Tragweite. Die geklagten Beschwerden zeigten denn auch nach dem Ersatz der Prothese und gleichermassen nach der RAD-Untersuchung eine stetige Besserungstendenz. Sodann bestand im Herbst 2015 wieder eine Arbeitsfähigkeit wie im Zeitpunkt der Rentenzusprache. Dementsprechend kann auch hier dem Kreisarzt gefolgt werden, welcher im Bericht vom 27. August 2015 zum Ergebnis gelangte, der Integritätsschaden habe sich nicht geändert. Die Beschwerde ist daher bezüglich Integritätsentschädigung ebenfalls abzuweisen.
4.
Die Gerichtskosten werden dem unterliegenden Beschwerdeführer auferlegt (<ref-law>). Dem Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege (im Sinne der vorläufigen Befreiung von den Gerichtskosten und der unentgeltlichen Verbeiständung) kann entsprochen werden, da die Bedürftigkeit ausgewiesen ist, die Beschwerde nicht als aussichtslos zu bezeichnen und die Vertretung durch einen Rechtsanwalt geboten war (Art. 64 Abs. 1 und 2 BGG). Es wird indessen ausdrücklich auf <ref-law> aufmerksam gemacht, wonach die begünstigte Partei der Bundesgerichtskasse Ersatz zu leisten haben wird, wenn sie später dazu im Stande ist.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen.
2.
Dem Beschwerdeführer wird die unentgeltliche Rechtspflege gewährt und Advokatin Monica Armesto wird als unentgeltliche Anwältin bestellt.
3.
Die Gerichtskosten von Fr. 800.- werden dem Beschwerdeführer auferlegt, indes vorläufig auf die Bundesgerichtskasse genommen.
4.
Der Rechtsvertreterin des Beschwerdeführers wird aus der Bundesgerichtskasse eine Entschädigung von Fr. 2800.- ausgerichtet.
5.
Dieses Urteil wird den Parteien, dem Versicherungsgericht des Kantons Aargau und dem Bundesamt für Gesundheit schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 28. November 2016
Im Namen der I. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Maillard
Der Gerichtsschreiber: Lanz