Sachverhalt:
A.
Die 2014 geborene C._ ist die Tochter von A._ und B._. Das Kind steht unter der elterlichen Sorge der Mutter.
Veranlasst durch eine Meldung des Kindsvaters, wonach die Kindsmutter ihm die Tochter seit zehn Monaten vorenthalte, klärte die Kindes- und Erwachsenenschutzbehörde (KESB) Region Solothurn den Sachverhalt ab (vgl. den Bericht der Sozialen Dienste U._ vom 9. Oktober 2015). Mit Entscheid vom 21. April 2016 räumte die Behörde B._ unter anderem das Recht ein, C._ in einem näher umschriebenen zeitlichen Rahmen monatlich anlässlich begleiteter Besuchssonntage zu treffen. Ausserdem richtete die KESB mit sofortiger Wirkung eine Beistandschaft gemäss Art. 308 Abs. 1 und 2 ZGB ein.
B.
Das Verwaltungsgericht des Kantons Solothurn wies die gegen den Entscheid vom 21. April 2016 erhobene Beschwerde von A._ ab (Urteil vom 5. September 2016).
C.
A._ ist am 7. Oktober 2016 mit Beschwerde in Zivilsachen und subsidiärer Verfassungsbeschwerde an das Bundesgericht gelangt. Sie beantragt, das angefochtene Urteil sei aufzuheben und es sei B._ der persönliche Verkehr mit Tochter C._ zu untersagen. Eventuell sei ein Gutachten über den Beschwerdegegner, insbesondere über dessen Fähigkeit im Umgang mit Kindern und die von ihm ausgehende Gefahr für C._, einzuholen; gestützt auf dieses Gutachten sei der persönliche Verkehr zu untersagen. Subeventuell sei die Sache zur Einholung eines entsprechenden Gutachtens und zur Neubeurteilung an die KESB oder das Verwaltungsgericht zurückzuweisen. Der Beschwerde sei die aufschiebende Wirkung zuzuerkennen.
Das Bundesgericht holte beim Beschwerdegegner, bei der KESB und beim Verwaltungsgericht Stellungnahmen zum Gesuch um aufschiebende Wirkung des Rechtsmittels ein. Bei dieser Gelegenheit stellte der Beschwerdegegner ein Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege. Mit Verfügung vom 1. November 2016 erkannte das Bundesgericht der Beschwerde die aufschiebende Wirkung zu.
Der Beschwerdegegner reichte unaufgefordert eine Beschwerdeantwort ein. Die Beschwerdeführerin hält in ihrer Replik, der Beschwerdegegner in seiner Duplik an den gestellten Rechtsbegehren und den entsprechenden Begründungen fest.

Erwägungen:
1.
1.1. Angefochten ist ein kantonal letztinstanzlicher Entscheid betreffend ein begleitetes Besuchsrecht (vgl. <ref-law>) und eine damit einhergehende Kindesschutzmassnahme (Art. 308 Abs. 1 und 2 ZGB). Dagegen steht die Beschwerde in Zivilsachen offen (Art. 72 Abs. 2 lit. b Ziff. 6, Art. 75 Abs. 1 und Art. 90 BGG).
1.2. Ist die Beschwerde in Zivilsachen gegeben, bleibt für eine subsidiäre Verfassungsbeschwerde kein Raum (<ref-law>).
2.
Das kantonale Gericht erwog, nach den aktuellen Verhältnissen und gestützt auf den Bericht der Sozialen Dienste U._ vom 9. Oktober 2015 bestehe kein Grund, den persönlichen Verkehr zwischen dem Kindsvater und seiner Tochter gänzlich zu unterbinden und damit eine völlige Entfremdung in Kauf zu nehmen. Der Kindsvater bestreite resp. relativiere von der Kindsmutter erhobene Vorwürfe. Es sei davon auszugehen, dass C._ heute trotz der zwischen ihren Eltern bestehenden Spannungen in der Lage sei, ihrem Vater im Rahmen von Besuchen persönlich zu begegnen und zu diesem eine Beziehung aufzubauen, ohne dass dadurch ihr Wohl gefährdet werde. Das begleitete Besuchsrecht trage den Bedenken und Ängsten der Kindsmutter Rechnung. Dabei handle es sich um ein bewährtes und wirksames Mittel, um einer möglichen Gefährdung zu begegnen (E. 5.1 des angefochtenen Urteils). Die Beistandschaft nach Art. 308 Abs. 1 und 2 ZGB mit der Auflage, den persönlichen Verkehr zu regeln und zu überwachen, sei im Interesse und zum Schutz des Kindes angezeigt; nach Lage der Akten könnten sich die Eltern nicht einvernehmlich auf Besuche an einem bestimmten Ort in Anwesenheit Dritter einigen (E. 5.3). Den Antrag der Kindsmutter, es sei ein Gutachten insbesondere über die Fähigkeit des Kindsvaters im Umgang mit Kindern und eine von ihm ausgehende Gefahr für die Tochter zu erstellen, wies das Verwaltungsgericht ab. Der besuchsberechtigte Elternteil brauche nicht die strengen Voraussetzungen der Erziehungsfähigkeit zu erfüllen, sondern nur die milderen der Umgangsfähigkeit. Nach Lage der Akten liege dem Vater viel am Kontakt mit seiner Tochter. Es gebe keine Hinweise darauf, dass er im Rahmen eines begleiteten Besuchsrechts nicht in der Lage sein könnte, die Grundvoraussetzungen des Umgangs mit Kleinkindern zu gewährleisten (E. 6).
3.
Die Beschwerdeführerin rügt zunächst eine Verletzung des rechtlichen Gehörs (<ref-law>). Angesichts des beträchtlichen Ermessensspielraums der Vorinstanzen sei der angefochtene Entscheid nicht ausreichend begründet worden. Sie habe im kantonalen Verfahren dargelegt, welche Verhaltensweisen des Beschwerdegegners das Kind (und sie selbst) gefährdeten. Die Vorinstanz gehe darauf kaum ein. Es werde nicht ersichtlich, weshalb diese annehme, es bestehe keine Gefährdung. Die Beschwerdeführerin legt indessen ihrerseits nicht dar - und es geht auch nicht aus den Akten hervor -, inwiefern der angefochtene Entscheid mit Blick auf ihre Vorwürfe, der Beschwerdegegner habe seine Tochter in der Vergangenheit gefährlichen Situationen ausgesetzt, bundesrechtswidrig sein könnte: Das verfahrensgegenständliche begleitete Besuchsrecht in Verbindung mit der Beistandschaft nach Art. 308 Abs. 1 und 2 ZGB ist gerade auf einen das Kindeswohl bestmöglich schützenden Einstieg in den persönlichen Umgang von Tochter und Vater ausgerichtet (vgl. dazu das bei den Akten liegende Konzept der Begleiteten Besuchssonntage der Fachstelle Kompass, Stand Ende 2013). Ebensowenig kommen die von der Beschwerdeführerin angerufenen Schranken des persönlichen Verkehrs nach <ref-law> zum Tragen. Es ist nicht einsehbar, weshalb der von der Beschwerdeführerin behauptete Umstand, der Kindsvater habe sich zunächst ungenügend um das Kind gekümmert, oder ihr Vorbringen, er baue Cannabis an (und konsumiere solches), für die Durchführung eines begleiteten "Besuchssonntags" bedeutsam sein sollte. Schon aus diesem Grund nicht näher einzugehen ist auf das replicando erhobene Vorbringen der Beschwerdeführerin, die Vorinstanz habe sich in ihrem Entscheid zu Unrecht auf den Entscheid der Sozialen Dienste U._ bezogen; dieser beantworte die sich hier stellenden Fragen nicht. Dementsprechend bedarf es diesbezüglich auch keiner weitergehenden Feststellung des Sachverhalts. Das Verwaltungsgericht hat nicht auf Grundlage eines unvollständigen oder offensichtlich unrichtig festgestellten Sachverhalts (vgl. <ref-law>) entschieden, nachdem es die beantragte Begutachtung abgelehnt hat.
Im Hinblick auf das hier einzig interessierende begleitete Besuchsrecht besteht keine Notwendigkeit zu einer gutachterlichen Klärung der Fähigkeit zum Umgang mit Kindern. Erst recht bedarf es in diesem Zusammenhang keiner Expertise über die Erziehungsfähigkeit des Beschwerdegegners, der nicht über ein Obhutsrecht verfügt.
4.
4.1. Nach dem Gesagten ist die Beschwerde abzuweisen. Demgemäss sind die Gerichtskosten der Beschwerdeführerin aufzuerlegen (<ref-law>).
4.2. Die Rechtsvertreterin des in der Sache obsiegenden Beschwerdegegners hat unaufgefordert eine Beschwerdeantwort in der Sache eingereicht, obwohl das Bundesgericht in der Eingangsanzeige ausdrücklich festgehalten hat, eventuelle prozessleitende Anordnungen würden soweit nötig folgen (Mitteilung vom 11. Oktober 2016). Bei den Aufwendungen im Zusammenhang mit der Beschwerdeantwort handelt es sich folglich nicht um notwendige Parteikosten. Hingegen ist für die Duplik eine Parteientschädigung geschuldet (vgl. <ref-law>).
Der Beschwerdegegner ist mit seinem Antrag, das Gesuch der Beschwerdeführerin um aufschiebende Wirkung sei zu verweigern, nicht durchgedrungen. Zufolge Bewilligung der unentgeltlichen Rechtspflege für das bundesgerichtliche Verfahren (Art. 64 Abs. 1 und 2 BGG) wird der Rechtsvertreterin des Beschwerdegegners für die Stellungnahme zu dem betreffenden Gesuch eine Entschädigung zu Lasten der Bundesgerichtskasse zugesprochen. Im Übrigen ist das Gesuch des Beschwerdegegners um unentgeltliche Prozessführung gegenstandslos.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 1'000.-- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
3.
Die Beschwerdeführerin hat den Beschwerdegegner mit Fr. 400.-- zu entschädigen.
4.
Das Gesuch des Beschwerdegegners um unentgeltliche Rechtspflege für das bundesgerichtliche Verfahren wird gutgeheissen. Es wird Rechtsanwältin Claudia Heusi als amtliche Rechtsbeiständin bestellt.
5.
Die Rechtsvertreterin des Beschwerdegegners wird aus der Bundesgerichtskasse mit Fr. 600.-- entschädigt. Im Übrigen ist das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege gegenstandslos.
6.
Dieses Urteil wird den Parteien, der Kindes- und Erwachsenenschutzbehörde (KESB) Region Solothurn und dem Verwaltungsgericht des Kantons Solothurn schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 12. April 2017
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: von Werdt
Der Gerichtsschreiber: Traub