Sachverhalt:
A.
A.E._ (geb. 1974) und B.E._ (geb. 1968) haben am 2. Februar 2001 geheiratet. Sie sind die Eltern der beiden Söhne C.E._ (geb. 2001) und D.E._ (geb. 2004). Ein erstes gemeinsames Scheidungsbegehren hatte das Bezirksgericht Uster am 27. Januar 2010 abgewiesen. Seit dem 3. Mai 2010 leben die Parteien getrennt. Mit Verfügung vom 11. Juni 2010 stellte der Eheschutzrichter die Kinder unter die Obhut des Vaters und wies diesem die eheliche Liegenschaft zur alleinigen Benützung zu. Kinderunterhaltsbeiträge wurden mangels Leistungsfähigkeit der Mutter nicht festgesetzt, der Ehemann hingegen zur Bezahlung von Frauenalimenten von Fr. 1'500.-- pro Monat verpflichtet.
B.
B.a. Am 3. August 2011 reichte A.E._ beim Bezirksgericht Uster die Scheidungsklage ein. B.E._ stimmte der Auflösung der Ehe zu. In der Folge holte das Bezirksgericht zur Frage der Arbeitsfähigkeit der Frau verschiedene Gutachten bei Medizinern und einem Neuropsychologen ein. Die ärztlichen Gutachter kamen zum Schluss, dass A.E._ voraussichtlich bis zum Eintritt ins AHV-Alter aufgrund stark chronifizierter psychischer Störungsbilder keine Erwerbstätigkeit mehr ausüben könne.
B.b. Mit Verfügung vom 4. Februar 2015 sprach die Eidgenössische Invalidenversicherung A.E._ mit Wirkung ab 1. März 2013 eine Dreiviertel-Rente (Invaliditätsgrad 64 %) sowie zwei Invalidenkinderrenten zu. A.E._ legte darauf Beschwerde beim Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich ein und beantragte, ihr eine ganze IV-Rente zuzusprechen.
B.c. Am 30. September 2015 schied das Bezirksgericht die Ehe. Es teilte die Obhut über die Kinder dem Vater zu und genehmigte eine Vereinbarung der Parteien über den persönlichen Verkehr mit der Mutter und über die hälftige Teilung der Austrittsleistungen der beruflichen Vorsorge. Soweit vor Bundesgericht noch von Interesse, verurteilte es die Mutter, Kinderunterhaltsbeiträge in der Höhe der ihr zugesprochenen IV-Kinderrenten zu bezahlen, solange sie diese erhält. B.E._ wurde verpflichtet, A.E._ bis zum Übertritt in sein Pensionsalter, das heisst bis Ende Februar 2033, Frauenalimente in gestaffelter Höhe (monatlich zwischen Fr. 1'965.-- und Fr. 2'529.--) zu bezahlen.
C.
C.a. B.E._ legte beim Obergericht des Kantons Zürich Berufung ein und verlangte, ihn nicht zur Leistung nachehelicher Unterhaltsbeiträge zu verpflichten. A.E._ erhob Anschlussberufung. Sie beantragte, "es seien ihr vom 1. April 2016 bis 30. September 2017 ein Unterhaltsbeitrag von Fr. 2'345.-- und vom 1. Oktober 2017 bis 31. Januar 2020 ein Unterhaltsbeitrag von Fr. 2'395.-- zuzusprechen."
C.b. In der Folge teilte A.E._ dem Obergericht mit, dass ihr - nach Gutheissung ihrer Beschwerde durch das Sozialversicherungsgericht (Bst. B.b) - am 20. Juli 2016 von der Eidgenössischen Invalidenversicherung mit Wirkung ab 1. März 2013 eine ganze Rente (Invaliditätsgrad 100 %) zugesprochen wurde. Die 100 %-Rente beträgt (unter Berücksichtigung der Zivilstandsänderung) ab 1. Februar 2016 Fr. 1'880.--, die beiden Kinderrenten ab 1. Februar 2016 je Fr. 752.-- pro Monat.
C.c. Am 9. September 2016 entschied das Obergericht, dass B.E._ seiner früheren Ehefrau ab Rechtskraft des Berufungsentscheids und bis zum 31. Januar 2021 monatliche Alimente von Fr. 1'800.-- zu bezahlen hat. Das Urteil wurde am 21. September 2016 an die Parteien versandt.
D.
D.a. Mit Beschwerde vom 22. Oktober 2016 wendet sich A.E._ (Beschwerdeführerin) an das Bundesgericht. Sie stellt das Begehren, Ziffer 3 des Urteils des Obergerichts dahingehend abzuändern, dass B.E._ (Beschwerdegegner) verpflichtet wird, ihr persönlich ab Rechtskraft des obergerichtlichen Urteils bis zum 28. Februar 2033 monatliche Unterhaltsbeiträge von Fr. 1'800.-- zu bezahlen. In prozessualer Hinsicht ersucht die Beschwerdeführerin um unentgeltliche Rechtspflege.
D.b. Dazu eingeladen, zum Ausgang des Beschwerdeverfahrens Stellung zu nehmen, beantragt der Beschwerdegegner, die Beschwerde kostenfällig abzuweisen (Eingabe vom 12. Juni 2017). Das Obergericht hat auf eine Vernehmlassung verzichtet (Schreiben vom 24. Mai 2017). Die Eingaben wurden der Beschwerdeführerin zur Wahrung des rechtlichen Gehörs zur Kenntnis gebracht.

Erwägungen:
1.
Angefochten ist der Endentscheid einer letzten kantonalen Instanz, die als oberes Gericht auf Rechtsmittel hin über eine Zivilsache entschieden hat (Art. 72 Abs. 1, 75 und 90 BGG). Der Streit dreht sich um den nachehelichen Unterhalt, ist also vermögensrechtlicher Natur und erreicht hier die gesetzliche Streitwertgrenze (Art. 74 Abs. 1 Bst. b i.V.m. Art. 51 Abs. 1 Bst. a und Abs. 4 BGG). Auf die rechtzeitig (<ref-law>) erhobene Beschwerde ist einzutreten.
2.
Mit der Beschwerde in Zivilsachen können Rechtsverletzungen gemäss Art. 95 f. BGG geltend gemacht werden. Das Bundesgericht wendet das Recht grundsätzlich von Amtes wegen an (<ref-law>) und prüft mit freier Kognition, ob der angefochtene Entscheid Recht verletzt. Es befasst sich aber nur mit formell ausreichend begründeten Einwänden (<ref-law>; <ref-ruling> E. 1.1 S. 104 f.). Soweit die Festsetzung von Unterhalt in Frage steht, ist zu beachten, dass der Sachrichter in verschiedener Hinsicht auf sein Ermessen verwiesen ist (Art. ZGB; <ref-ruling> E. 3a S. 141). Bei der Überprüfung solcher Entscheide auferlegt sich das Bundesgericht Zurückhaltung. Es schreitet nur ein, wenn die kantonale Instanz grundlos von in Lehre und Rechtsprechung anerkannten Grundsätzen abgewichen ist, wenn sie Gesichtspunkte berücksichtigt hat, die keine Rolle hätten spielen dürfen, oder wenn sie umgekehrt rechtserhebliche Umstände ausser Acht gelassen hat. Aufzuheben und zu korrigieren sind ausserdem Ermessensentscheide, die sich als im Ergebnis offensichtlich unbillig, als in stossender Weise ungerecht erweisen (<ref-ruling> E. 2c/aa S. 162; <ref-ruling> E. 4.2 S. 15; <ref-ruling> E. 1 S. 99). Was den Sachverhalt angeht, legt das Bundesgericht seinem Urteil die vorinstanzlichen Feststellungen zugrunde (<ref-law>). Diesbezüglich kann die rechtsuchende Partei nur vorbringen, die vorinstanzlichen Feststellungen seien offensichtlich unrichtig (<ref-law>), das heisst willkürlich (vgl. <ref-ruling> E. 4.3 S. 62; <ref-ruling> E. 1.2.2 S. 252), oder würden auf einer anderen Rechtsverletzung im Sinn von <ref-law> (z.B. <ref-law> oder <ref-law>) beruhen (Urteil 5A_374/2010 vom 9. Juli 2010 E. 1). In der Beschwerde ist überdies darzutun, inwiefern die Behebung der gerügten Mängel für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein kann (<ref-law>; <ref-ruling> E. 2.2.2 S. 22).
3.
Nachdem sich der Beschwerdegegner mit dem angefochtenen Entscheid abgefunden hat, ist vor Bundesgericht nicht mehr bestritten, dass die Beschwerdeführerin grundsätzlich Anspruch auf nachehelichen Unterhalt in der Höhe von Fr. 1'800.-- pro Monat hat. Der Streit dreht sich nur noch um die Frage, wie lange der Beschwerdegegner der Beschwerdeführerin diesen Unterhaltsbeitrag zahlen muss.
4.
4.1. Das Obergericht stellt fest, dass die Ehe neun Jahre und vier Monate gedauert hat, dass daraus zwei Kinder hervorgegangen sind und dass die Beschwerdeführerin aufgrund eines gemeinsam getragenen Entscheids kurz vor der Geburt des ersten Kindes ihre Erwerbstätigkeit und ihren Verdienst von monatlich knapp Fr. 3'000.-- aufgab, um sich der Kinderbetreuung widmen zu können. Damit habe sich die Ehe konkret auf die finanzielle Situation der Beschwerdeführerin ausgewirkt. Weil die Kinder seit der Trennung beim Vater leben würden, sei das Vertrauen der Beschwerdeführerin auf den Weiterbestand der bisherigen Aufgabenteilung allerdings "gegenstandslos" geworden. Die im Zeitpunkt der Trennung gegebene Lebensprägung erscheine dadurch "in erheblich abgeschwächter Form". Der Verlust der wirtschaftlichen Selbständigkeit aufgrund des langjährigen Berufsunterbruchs sei jedoch eine nicht mehr zu ändernde Tatsache, weshalb der Wegfall der Betreuungspflichten die Lebensprägung der Ehe und den Anspruch auf Fortführung der ehelichen Lebenshaltung "nicht grundsätzlich" aufzuheben vermöge.
4.2. Unter Hinweis auf Textstellen in den Schriftsätzen des Beschwerdegegners konstatiert das Obergericht weiter als "unstrittig", dass dieser die Beschwerdeführerin in Kenntnis ihrer langjährigen Alkohol- und Drogenabhängigkeit geheiratet habe. Damit habe der Beschwerdegegner die Lebens- und Gesundheitssituation der Beschwerdeführerin implizit zur gemeinsamen gemacht, was ein "spezifisches Beistandsvertrauen" schaffe, auch wenn einzuräumen sei, dass sich der Zustand der Beschwerdeführerin im Zeitpunkt der Heirat insoweit verbessert habe, als sie in einem Methadonprogramm gestanden sei und eine Erwerbstätigkeit habe ausüben können. Das Obergericht verwirft den Einwand des Beschwerdegegners, wonach er bei Eheschluss nicht mit einem baldigen Rückfall der Beschwerdeführerin "in das alte Muster" habe rechnen müssen und darauf habe vertrauen dürfen, dass sie sich der Kinder wegen Mühe geben und gegebenenfalls professionelle Hilfe holen werde. Es hält dem Mann entgegen, dass die Frau im Zeitpunkt der Heirat ihre Drogenabhängigkeit keineswegs überwunden gehabt habe, was der Beschwerdegegner im Prinzip anerkenne. Im Übrigen dürfe "als allgemein bekannt" vorausgesetzt werden, dass auch nach Drogenentzug und Methadonsubstitution ein Rückfallrisiko bestehen bleibe und nach "langjährigen Drogenkarrieren" eine Langzeitbetreuung und ein schützender Rahmen umso wichtiger seien. Der Beschwerdegegner habe sich im Zeitpunkt der Heirat bewusst sein müssen, dass er die Ehe mit einer labilen und gesundheitlich angeschlagenen Person einging, die in besonderem Masse auf Beistand angewiesen ist. Die vorübergehend eingetretene Besserung des Gesundheitszustands zur Zeit der Heirat vermöge das mit dem Eingehen der Ehe begründete Vertrauen der Beschwerdeführerin, dass ihr der Beschwerdegegner gerade auch angesichts ihrer angeschlagenen Gesundheit Beistand leisten würde, nicht aufzuheben, sei aber bei der Festlegung der Dauer der Unterhaltspflicht in Rechnung zu stellen. Das Obergericht kommt zum Schluss, dass auch aus gesundheitlichen Gründen von einer lebensprägenden Ehe auszugehen und ein am zuletzt gemeinsam gelebten Lebensstandard orientierter Unterhaltsanspruch zu bejahen sei.
4.3. Mit Blick auf den lebensprägenden Charakter der Ehe zieht das Obergericht in Erwägung, dass die erhebliche Verschlechterung der gesundheitlichen Situation während der Ehe nicht übergangen werden könne. Eine während lebensprägender Ehe auftretende Krankheit oder eine Verschlechterung des Gesundheitszustandes sei bei der Festsetzung des Unterhalts unabhängig davon zu beachten, ob diese Gesundheitsbeeinträchtigung als ehebedingt anzusehen ist. Daher könne offenbleiben, worauf die Steigerung bzw. Wiederaufnahme des Kokain- und Alkoholkonsums bei der Beschwerdeführerin letztlich zurückzuführen sei. Insofern sei irrelevant, ob die Gesuchstellerin nach der Geburt des zweiten Kindes an Kindbettdepressionen litt und ob eheliche Probleme oder gar das Verhalten des Gesuchstellers für das Abgleiten in die Sucht mitverantwortlich sind.
4.4. Zum Schluss erklärt das Obergericht, dass angesichts der Ehedauer bzw. des unterhaltsrechtlich relevanten Zusammenlebens von bloss neun Jahren und vier Monaten das berechtigte Vertrauen der Beschwerdeführerin in die Versorgungsgemeinschaft bzw. den Beistand des Ehegatten nicht bis zum Eintritt des Beschwerdegegners in das AHV-Alter (1. März 2033) und somit während annähernd 23 Jahren ab Trennungsdatum geschützt werden könne, "zumal" die Beschwerdeführerin keine Kinder zu betreuen habe. Das Obergericht berücksichtigt "zudem" den Umstand, dass sich der Zustand der Beschwerdeführerin im Zeitpunkt der Eheschliessung insoweit stabilisiert habe, als sie sich bis vor der Geburt des ersten Kindes in einem Vollpensum mit einem eigenen Verdienst von Fr. 2'800.-- selbst habe über Wasser halten können, damals mit anderen Worten von einer Invalidisierung und einer Aussteuerung noch keine Rede gewesen sei, sondern vielmehr die "vage Hoffnung" bestanden habe, dass sie später einmal im Geschäft des Beschwerdegegners mitarbeiten könnte. Gestützt auf diese Überlegungen erachtet es das Obergericht als gerechtfertigt, die Unterhaltsdauer auf fünf Jahre ab Rechtskraft des Scheidungspunktes (23. Januar 2016), das heisst bis Ende Januar 2021 zu begrenzen.
5.
5.1. In den Augen der Beschwerdeführerin verletzt das Obergericht <ref-law>, wenn es ihr unter den gegebenen tatsächlichen Voraussetzungen lediglich bis Ende Januar 2021 und nicht bis zum Eintritt des Beschwerdegegners ins AHV-Alter nachehelichen Unterhalt zuspricht. Die bundesgerichtlichen Präjudizien, auf die sich der angefochtene Entscheid ihrer Lesart nach stützt, hält sie nicht für einschlägig. Von der Ausgangslage, mit der sich das Bundesgericht in BGE 137III 102 befasse, unterscheide sich ihr Fall dadurch, dass sie invalid sei und ihre Erwerbsfähigkeit nicht mehr erlangen werde. Deshalb dürfe ihr nachehelicher Unterhalt auch nicht zeitlich limitiert werden, solange der Beschwerdegegner leistungsfähig sei. Im Fall, der dem Urteil 5A_767/2011 vom 1. Juni 2012 zugrunde gelegen habe, hätten die Parteien neuneinhalb Jahre zusammengelebt und ein Kind gehabt. Die Frau sei in jenem Fall zwar ebenfalls nicht mehr erwerbsfähig gewesen, habe mit ihren Renten jedoch ihren Bedarf decken können. Demgegenüber könne sie, die Beschwerdeführerin, ihren monatlichen Notbedarf von Fr. 3'680.-- nicht selbst decken, da sie lediglich die Invalidenrente von Fr. 1'880.-- erhalte. Deshalb sei die besagte zeitliche Beschränkung der Frauenalimente in ihrem Fall nicht gerechtfertigt. Auch im Urteil 5A_856/2011 vom 24. Februar 2012 sei es um eine Ehefrau gegangen, die sich mit ihren Renteneinkünften nach der Scheidung nicht selbst unterhalten konnte. Das Bundesgericht schütze dort die Befristung des Unterhalts auf acht Jahre, beurteile aber lediglich eine Beschwerde des Mannes und befinde demzufolge gerade nicht über die hier streitige Frage, ob die Frau solange Anspruch auf Unterhalt hat, wie der Mann leistungsfähig ist.
5.2. Weiter wirft die Beschwerdeführerin der Vorinstanz vor, den "Ablauf der Ereignisse" - gemeint ist die Entwicklung ihrer gesundheitlichen Situation - falsch zu gewichten. Um eine lang dauernde Krankheitsentwicklung zeitlich zuzuordnen, seien die vom Bundesgericht entwickelten Grundsätze zur Regelung der Frage anzuwenden, wie die Zuständigkeit mehrerer Vorsorgeeinrichtungen gegeneinander abzugrenzen ist. Nachdem sie vor der Ehe während mehrerer Jahre erwerbstätig gewesen sei und am Anfang der Ehe die Kinder betreut habe, ohne dass sich die Krankheit in dieser Zeit gegen aussen manifestiert habe, sei der "zeitliche Konnex zu früheren Krankheitsschüben unterbrochen". Die Verschlechterung ihres Gesundheitszustands, die schliesslich zur Zusprechung einer Invalidenrente geführt habe, sei den vorinstanzlichen Feststellungen zufolge hingegen während der Ehe eingetreten. Der Verlust der Erwerbsfähigkeit sei dem ehelichen Verhältnis zuzuordnen, weshalb der zeitliche Ablauf für eine eherechtliche Pflicht spreche, den Verlust der Erwerbsfähigkeit auszugleichen. Falsch gewichtet das Obergericht nach der Meinung der Beschwerdeführerin auch die Tatsache, dass sie von der Pflicht zur Kinderbetreuung entbunden sei, denn dieser Umstand verbessere ihre Erwerbsfähigkeit nicht. Vielmehr sei es so, dass sie, die Beschwerdeführerin, während der Ehe nicht nur ihre Erwerbsfähigkeit, sondern auch ihre Fähigkeit zur Kinderbetreuung eingebüsst habe - dies im Gegensatz zur vollständig invaliden Frau aus dem erwähnten Urteil 5A_767/2011 vom 1. Juni 2012, die das gemeinsame Kind trotz ihrer Invalidität habe betreuen können. Auch dieses Element spreche dafür, die Unterhaltspflicht des Beschwerdegegners bis zu dessen AHV-Alter andauern zu lassen.
5.3. Schliesslich argumentiert die Beschwerdeführerin, ihr Fall unterscheide sich von den erwähnten Urteilen dadurch, dass der Beschwerdegegner bisher "wirtschaftlich betrachtet" gar keinen Unterhalt bezahlt habe, weil sie, die Beschwerdeführerin, ihm den Unterhalt "gleich wieder zurückerstattet" habe. Sie rechnet vor, dass ihr der Beschwerdegegner vorsorglich Frauenalimente von Fr. 1'500.-- pro Monat bezahle (s. Sachverhalt Bst. A), von ihr aber Kinderrenten der Invalidenversicherung im Betrag von Fr. 1'504.-- erhalte (s. Sachverhalt Bst. C.b). Auch mit einem nachehelichen Unterhalt von Fr. 1'800.-- pro Monat sei der Beschwerdegegner aufgrund ihrer eigenen Leistungen von Fr. 1'504.-- nicht erheblich belastet. Vorausgesetzt, dass der Anspruch auf Kinderrenten bis zum 20. Altersjahr der Kinder besteht, führe der angefochtene Entscheid zur absurden Situation, dass der Beschwerdegegner von 2021 bis 2024 keinen nachehelichen Unterhalt bezahle, aber monatlich für den jüngeren Sohn Fr. 752.-- an Kinderrenten erhalte, während sie, die Beschwerdeführerin, selbst von staatlicher Unterstützung abhängig sein werde. Dabei sei zu beachten, dass der Rentenanspruch für den älteren Sohn bis 2026 und jener für den jüngeren bis 2029 dauern könnte. Den Einwand, dass ihre Leistungen für die Kinder bestimmt seien, will die Beschwerdeführerin nicht gelten lassen. Sie verweist darauf, dass aufgrund der ehelichen Aufgabenteilung eigentlich der Vater den finanziellen Unterhalt der Kinder tragen müsse. Der Beschwerdegegner werde dank ihren IV-Kinderrenten entlastet und könne sein eigenes Einkommen für sich verbrauchen. Wirtschaftlich profitiere er also von ihren Leistungen. Soll er, wie die Vorinstanz meine, nur während 10,5 Jahren mit einer Unterhaltspflicht belastet werden, so dürfe diese Zeitdauer erst mit dem Ende des Anspruchs auf Kinderrenten beginnen, das heisst frühestens im Jahr 2022, wenn der jüngere Sohn volljährig wird. So gerechnet wäre die nacheheliche Unterhaltspflicht bis zum 28. Februar 2033 festzulegen, dies umso mehr, als der Anspruch auf Kinderrenten aller Voraussicht nach bis 2024 oder noch länger dauern wird.
6.
6.1. Wie lange ein Ehegatte dem andern einen angemessenen Beitrag an seinen Unterhalt zahlen muss, entscheidet der Richter insbesondere anhand der Beurteilungskriterien, die in Art. 125 Abs. 2 Ziff. 1-8 ZGB nicht abschliessend aufgezählt sind (<ref-ruling> E. 9.1 S. 600 mit Hinweisen). Von diesen Gesichtspunkten stehen hier - wie der angefochtene Entscheid (E. 4) und die Beschwerde (E.5) zeigen - die Aufgabenteilung während der Ehe (Ziff. 1), die Dauer der Ehe (Ziff. 2), die Lebensstellung während der Ehe (Ziff. 3), die Gesundheit der Ehegatten (Ziff. 4), ihr Einkommen (Ziff. 5) sowie der Umfang und die Dauer der von den Ehegatten noch zu leistenden Betreuung der Kinder (Ziff. 6) im Vordergrund. Wie die Beispiele aus der Rechtsprechung zeigen, spielen im Einzelfall jeweils verschiedene Beurteilungskriterien eine Rolle, die je nachdem auch auf unterschiedliche Weise miteinander zusammenhängen. Dementsprechend lässt sich losgelöst von den konkreten Umständen kaum eine allgemein gültige Aussage darüber machen, unter welchen Voraussetzungen und in welchem Ausmass eine zeitliche Beschränkung der nachehelichen Unterhaltspflicht am Platz ist. Ausgangspunkt bleibt aber in jedem Fall der Vorrang der Eigenversorgung, der sich direkt aus dem Wortlaut von <ref-law> ergibt. Auf Unterhaltsleistungen ist ein Ehegatte nur dann angewiesen, wenn es ihm nicht möglich bzw. nicht zumutbar ist, seinen gebührenden Unterhalt vorübergehend oder dauerhaft selbst zu finanzieren (<ref-ruling> E. 3.1 S. 468 f.; <ref-ruling> E. 4.1.2 S. 105; <ref-ruling> E. 7.2 S. 595 f.).
6.2. In <ref-ruling> hält das Bundesgericht als Grundsatz fest, dass <ref-law> keine Befristung des nachehelichen Unterhalts vorsehe, dass der nacheheliche Unterhalt meist zugesprochen werde, bis der Leistungspflichtige das Rentenalter erreiche, und dass ein (relevantes) Manko in der Eigenversorgung des unterhaltsberechtigten Ehegatten bis zum gebührenden Unterhalt auszugleichen ist. Diese Erwägungen beziehen sich freilich auf die in jenem Entscheid beurteilte Streitfrage, ob der Unterhaltsanspruch der zehn Jahre älteren Ehefrau, die sich bis zu ihrer Pensionierung selbst versorgen konnte, in der Zeit danach wieder auflebt, wenn ihr Erwerbseinkommen durch ein erheblich tieferes, den gebührenden Unterhalt nicht mehr deckendes Renteneinkommen abgelöst wird (BGE a.a.O., E. 3.2 S. 469 ff.). Sie schliessen nicht aus, einen Ehegatten auf unbestimmte Zeit zu nachehelichem Unterhalt zu verurteilen (BGE <ref-ruling> E. 7.2 S. 596; Urteil 5A_748/2012 vom 15. Mai 2013 E. 6.3.3). Ebenso wenig ist es dem Scheidungsrichter verwehrt, die nacheheliche Unterhaltspflicht in Anwendung von <ref-law> auf einen Zeitpunkt zu befristen, in welchem die verpflichtete Partei das Pensionsalter noch nicht erreicht hat.
So hat ein Ehegatte keinen Anspruch auf eine zeitlich unbegrenzte Unterhaltsrente, wenn die Ehe nicht von sehr langer Dauer war. In einem derartigen Fall kann sich der unterhaltsberechtigte Ehegatte nicht auf die durch die Eheschliessung geschaffene Vertrauensposition berufen, um einen Unterhaltsbeitrag für eine längere Zeitdauer zu beanspruchen, als es die Kinderbetreuung und der berufliche Wiedereinstieg erfordern (BGE <ref-ruling> E. 4.1.2 S. 106). Die Eheleute hatten sieben Jahre zusammengelebt und waren die Eltern zweier gemeinsamer Kinder. Die Frau war im Zeitpunkt der Trennung 37 Jahre alt und hatte das 43. Altersjahr erreicht, als ihr jüngstes Kind 10 Jahre alt wurde; sie verfügte über keine Ausbildung, arbeitete aber in einem Teilzeitpensum und konnte den ehelichen Lebensstandard während insgesamt zwölf Jahren aufrecht erhalten. Das Bundesgericht schützte den kantonalen Entscheid, wonach die Unterhaltspflicht des Mannes am 16. Geburtstag des jüngsten Kindes endete und die Frau ihre volle Erwerbsfähigkeit wiedererlangte (BGE a.a.O. E. 4.3.2 S. 112). Anders präsentierte sich die Situation im Urteil 5A_767/2011 vom 1. Juni 2012, auf das auch die Vorinstanz und die Beschwerdeführerin zu sprechen kommen: Die Frau war bei der Heirat zu hundert Prozent invalid, hatte mit dem Mann und Vater des gemeinsamen Kindes neuneinhalb Jahre zusammengelebt und konnte mit ihren Invalidenrenten von Fr. 3'240.-- ihren persönlichen Notbedarf von Fr. 3'100.-- selbst decken. Zur Streitfrage, wie lange der Mann von seinem monatlichen Einkommensüberschuss von Fr. 1'000.-- die Hälfte als nachehelichen Unterhalt zahlen muss, erwog das Bundesgericht ausserdem, dass das Kind Ende 2012 das 16. Altersjahr erreiche und der Mann für Frau und Kind während sechs Jahren seit der Aufhebung des gemeinsamen Haushalts monatlich Fr. 1'500.-- bezahlt habe. Es befristete die nacheheliche Unterhaltspflicht trotz des lebensprägenden Charakters der Ehe auf Ende 2012, womit der Frau genug Zeit geblieben sei, sich an die neue Situation anzupassen (a.a.O., E. 3, 5.3 und 7.3).
6.3. Im Zusammenhang mit dem Beurteilungskriterium des Gesundheitszustands (<ref-law>) hat das Bundesgericht klargestellt, dass ein Paar, das sich im Wissen um den bestehenden gesundheitlichen Schwächezustand des einen die Ehe verspricht, dieses Schicksal implizit zum gemeinsamen macht mit der Folge, dass das Vertrauen des schwächeren Teils in die Beibehaltung dieser Situation und in die Unterstützung durch den andern schutzwürdig ist und in die Gesamtabwägung mit einfliessen kann, auch wenn die Krankheit (Urteil 5A_856/2011 vom 24. Februar 2012 E. 2.3) oder die Invalidität infolge einer Halswirbelfraktur (Urteil 5A_767/2011 vom 1. Juni 2012 E. 7.3) nicht ehebedingt ist. Im zuerst zitierten Fall verwarf das Bundesgericht den Einwand des Mannes, die Ehe sei nicht lebensprägend gewesen. Angesichts des starken Leistungsgefälles zwischen den Parteien (Ehemann mit gut gehendem Geschäft und eigener Liegenschaft gegenüber einer vollinvaliden Ehefrau ohne geringste Erwerbsperspektiven und Altersvorsorge) sah es keinen Anlass, die Unterhaltsdauer wie vom Ehemann gefordert von acht auf fünf Jahre zu verkürzen, zumal die Invalidenrente der Frau klarerweise unter dem Existenzminimum lag (Urteil 5A_856/2011 E. 2.4). Das andere erwähnte Urteil betont, das Vertrauen in die Beibehaltung der Situation könne nicht ohne Rücksicht auf das Kriterium der Ehedauer (<ref-law>) auf unbestimmte Zeit geschützt werden (Urteil 5A_767/2011 a.a.O.).
Ebenso ist nach der bundesgerichtlichen Rechtsprechung auch eine Verschlechterung des Gesundheitszustandes, die erst während der lebensprägenden Ehe eintritt, als Faktor bei der Beurteilung von Anspruch und Umfang des nachehelichen Unterhalts zu berücksichtigen, und zwar ohne Rücksicht darauf, ob die Verschlechterung ehebedingt ist. Dabei spielt keine Rolle, in welchem Zeitpunkt während der lebensprägenden Ehe die gesundheitliche Beeinträchtigung eintritt; insbesondere kommt es auch nicht darauf an, ob sich die Gesundheit eines Ehegatten vor oder nach Aufnahme des Getrenntlebens verschlechtert hat, solange dies vor dem Urteil über die Scheidung geschieht (Urteile 5A_128/2016 vom 22. August 2016 E. 5.1.3.2; 5A_894/2011 vom 14. Mai 2012 E. 6.5.2; 5A_384/2008 vom 21. Oktober 2008 E. 5.2.2). Das Bundesgericht erinnert in diesem Kontext daran, dass die Eheleute aufgrund des Solidaritätsgedankens nicht nur gegenseitig die Verantwortung für die Auswirkungen tragen, welche die Aufgabenteilung während der Ehe auf die Erwerbsfähigkeit eines Ehegatten haben kann, sondern auch für die anderen Gründe, die einen Ehegatten daran hindern, seinen Unterhalt aus eigenen Kräften zu bestreiten (Urteil 5A_128/2016 a.a.O; vgl. auch die Botschaft über die Änderung des Schweizerischen Zivilgesetzbuches [Personenstand, Eheschliessung, Scheidung, Kindesrecht, Verwandtenunterstützungspflicht, Heimstätten, Vormundschaft und Ehevermittlung] vom 15. November 1995, BBl 1996 I 31).
7.
Mit Blick auf die Kritik, welche die Beschwerdeführerin am Ermessensentscheid des Obergerichts übt, ergibt sich aus den vorigen Erwägungen, was folgt:
7.1. Allein die Erkenntnis, dass sich die hier zu beurteilende Ausgangslage in verschiedener Hinsicht von Fällen unterscheidet, die das Bundesgericht früher beurteilt hatte, bedeutet nicht, dass die vorinstanzliche Ermessensausübung dem Bundesrecht zuwiderläuft. Entsprechend vermag die Beschwerdeführerin nichts auszurichten, wenn sie einfach beschreibt, wie sich ihr Fall von den vom Obergericht erwähnten Präjudizien unterscheidet, und daraus den Schluss zieht, dass ihr Unterhaltsanspruch "darum" nicht zeitlich limitiert werden dürfe, solange der Beschwerdegegner leistungsfähig ist (E. 5.1). Wie eingangs erwähnt, setzt eine solche Verletzung voraus, dass dem angefochtenen Entscheid selbst, so wie er von der Vorinstanz gefällt wurde, unsachliche Beurteilungskriterien zugrunde liegen, oder dass die Vorinstanz ihr Ermessen vom Ergebnis her in unbefriedigender Weise ausgeübt hat (s. E. 2).
7.2. Von vornherein unbehelflich ist sodann das Argument der Beschwerdeführerin, wonach ihr der Beschwerdegegner "wirtschaftlich betrachtet" überhaupt keinen bzw. nur in geringfügiger Höhe Unterhalt bezahle, solange sie die Kinderrenten der Invalidenversicherung abliefere (E. 5.3). Entgegen dem, was die Beschwerdeführerin glauben machen will, sind diese Versicherungsleistungen nicht dazu da, den Beschwerdegegner "finanziell zu unterstützen". Die IV-Kinderrenten gemäss <ref-law> fallen nach der bundesgerichtlichen Rechtsprechung vielmehr in den Anwendungsbereich von <ref-law> (Urteil 5A_496/2013 vom 11. September 2013 E. 2.3.4), sind also ausschliesslich für den Unterhalt der Kinder bestimmt (Urteil 5A_746/2008 vom 9. April 2009 E. 6.1; vgl. <ref-ruling> E. 3 S. 308). Deshalb kann die Beschwerdeführerin diese für die Kinder bestimmten Renten nicht mit ihrer eigenen Unterhaltsforderung gewissermassen zur Verrechnung stellen. Daran ändert auch der Einwand der Beschwerdeführerin nichts, wonach aufgrund der ehelichen Aufgabenteilung eigentlich der Beschwerdegegner den finanziellen Unterhalt der Kinder tragen muss. Nachdem die Kinder seit der Aufhebung des gemeinsamen Haushalts beim Vater wohnen, ist die eheliche Aufgabenteilung dahingefallen, worauf die Vorinstanz und der Beschwerdegegner zutreffend hinweisen.
7.3. Der Entscheid des Obergerichts, das Vertrauen der Beschwerdeführerin in die Versorgungsgemeinschaft bzw. in den Beistand des Beschwerdegegners nicht bis zu dessen Eintritt ins Pensionsalter zu schützen, fusst unter anderem auf der Überlegung, dass die Beschwerdeführerin nach der Scheidung keine Kinder zu betreuen hat (E. 4.4). Zu Recht beklagt sich die Beschwerdeführerin darüber, dass das Obergericht diesen Punkt falsch gewichte, weil der Umstand, dass sie die Kinder nicht mehr betreut, ihre Erwerbsfähigkeit nicht verbessere. Das Obergericht selbst erinnert mit Blick auf den lebensprägenden Charakter der Ehe zutreffend daran, dass das Vertrauen der Beschwerdeführerin auf den Weiterbestand der bisherigen Aufgabenteilung mangels weiterer Kinderbetreuungspflichten gegenstandslos geworden ist (vgl. E. 7.2). Es übersieht aber, dass die Frage der Kinderbetreuung auch im Streit um die Dauer der nachehelichen Unterhaltspflicht als Kriterium hinfällig geworden ist. Dem angefochtenen Entscheid zufolge steht nämlich fest, dass die Beschwerdeführerin aus gesundheitlichen Gründen voraussichtlich bis zum Eintritt ins Pensionsalter keine Erwerbstätigkeit mehr ausüben können wird (s. Sachverhalt Bst. B.a) und dass sie mit ihren monatlichen Renteneinkünften von Fr. 1'880.-- (s. Sachverhalt Bst. C.b) ihren Notbedarf von knapp Fr. 3'400.-- nicht bestreiten kann.
Wie die Rechtsprechung zeigt, steht bei der Beurteilung, wie lange ein Ehegatte auf nacheheliche Unterhaltsleistungen des andern zählen kann, die Aussicht dieses Ehegatten auf die (Wieder-) Erlangung der Eigenversorgungskapazität im Vordergrund (<ref-law>; E. 6.1 f.). Zwar kann der Wegfall der Kinderbetreuung als Beurteilungskriterium auch Berücksichtigung finden, um den Unterhaltsanspruch eines dauerhaft erwerbsunfähigen Ehegatten zu befristen. Im Unterschied zur hier fraglichen Konstellation war die zu hundert Prozent erwerbsunfähige Frau im erwähnten Urteil 5A_767/2011 aber nicht nur imstande, ihr Kind über die Aufhebung des gemeinsamen Haushalts hinaus weiterhin zu betreuen, sondern mit ihren Invalidenrenten auch in der Lage, zumindest ihren Notbedarf mit eigenen Mitteln zu bestreiten. Mithin rührte der Scheidungsrichter in jenem Fall - anders als hier - mit der vorzeitigen Aufhebung der nachehelichen Unterhaltspflicht nicht an die nacheheliche Existenzsicherung des unterhaltsberechtigten Ehegatten. Insofern beruft sich die Beschwerdeführerin zu Recht darauf, dass sie "in jeder Hinsicht bedürftig und daher auf die nacheheliche Solidarität des Beschwerdegegners angewiesen" sei. Steht - wie hier - losgelöst von der Frage der Kinderbetreuung bzw. der einvernehmlichen Aufgabenteilung während der Ehe (<ref-law>) die (nacheheliche) Existenz des unterhaltsberechtigten Ehegatten als solche auf dem Spiel und ist der unterhaltsberechtigte Ehegatte dauerhaft erwerbsunfähig, so kann der andere Teil nicht mit dem Argument vorzeitig aus seiner Unterhaltspflicht entlassen werden, dass sein früherer Ehegatte nach der Scheidung keine Kinder zu betreuen habe. In dieser Hinsicht legt das Obergericht seinem Entscheid ein offensichtlich sachfremdes Kriterium zugrunde. Zugleich übersieht es, dass das Vertrauen eines Ehegatten in den Weiterbestand der ehelichen Versorgungsgemeinschaft auch dort Schutz verdient, wo dieser Ehegatte aus einem anderen Grund als jenem der Aufgabenteilung während der Ehe (<ref-law>) ausserstande ist, seinen Unterhalt selbst zu finanzieren (E. 6.3).
7.4. Als weiteren Grund für die Befristung der Unterhaltspflicht des Beschwerdegegners nennt das Obergericht die Stabilisierung des (Gesundheits-) Zustands der Beschwerdeführerin zur Zeit der Eheschliessung bzw. den Umstand, dass die Beschwerdeführerin damals erwerbstätig und von ihrer Invalidisierung oder Aussteuerung noch keine Rede war (E. 4.4). Auch hinsichtlich dieser vorinstanzlichen Überlegungen zur Gesundheit (<ref-law>) und zu den Erwerbsaussichten (<ref-law>) ist der Beschwerdeführerin darin beizupflichten, dass aus dem angefochtenen Entscheid "nicht klar" wird, warum der erwähnte Geschehensablauf eine Limitierung der Unterhaltspflicht rechtfertigen soll.
Die vorinstanzlichen Überlegungen laufen darauf hinaus, dass das Obergericht das Vertrauen des Beschwerdegegners in die Gesundheit seiner Frau als schützenswerter erachtet als dasjenige der Beschwerdeführerin, aufgrund des (unbestritten) lebensprägenden Charakters ihrer Ehe bei gesundheitlichen Problemen, die während der Ehe auftreten, auch über das Scheitern der Ehe hinaus auf den Beistand ihres Mannes zählen zu können. Damit aber verkennt das Obergericht nicht nur den Gedanken der nachehelichen Solidarität, auf dem der Scheidungsunterhalt beruht (vgl. <ref-ruling> E. 4 S. 147 mit Hinweis). Vielmehr blendet es mit seiner Gewichtung im Ergebnis auch die (erneute) Verschlechterung des Gesundheitszustands aus, die sich bei der Beschwerdeführerin den vorinstanzlichen Feststellungen zufolge nach einer zwischenzeitlichen Stabilisierung ihrer Situation während der lebensprägenden Ehe einstellte. Damit aber stellt sich das Obergericht in einen Widerspruch zur (auch im angefochtenen Entscheid zitierten) Rechtsprechung, wonach eine während lebensprägender Ehe auftretende gesundheitliche Beeinträchtigung als Faktor bei der Beurteilung von Anspruch und Umfang des nachehelichen Unterhalts zu berücksichtigen ist (E. 6.3). Im Lichte der bundesgerichtlichen Rechtsprechung lässt sich dem angefochtenen Entscheid mithin keine nachvollziehbare Erklärung entnehmen, weshalb die während der Ehe eingetretene Verschlechterung des Gesundheitszustands und die daraus folgende dauerhafte Erwerbsunfähigkeit der Beschwerdeführerin eine Befristung der nachehelichen Unterhaltspflicht bis Ende Januar 2021 rechtfertigen soll. Anders ausgedrückt lässt das Obergericht einen Gesichtspunkt ausser Acht, den es hätte berücksichtigen müssen.
7.5. Nach dem Gesagten bleibt von der vorinstanzlichen Begründung, weshalb der Beschwerdegegner die Frauenalimente nicht bis zu seiner Pensionierung zahlen muss, nur noch das Argument übrig, dass das unterhaltsrechtlich relevante Zusammenleben der Parteien bloss neun Jahre und vier Monate gedauert habe. Dass das Beurteilungskriterium der Dauer der Ehe (<ref-law>) für sich allein genommen die fragliche Befristung der Unterhaltspflicht zu rechtfertigen vermag, lässt sich dem angefochtenen Entscheid aber gerade nicht entnehmen. Und entgegen dem, was der Beschwerdegegner glauben machen will, findet sich im Gesetz oder in der Rechtsprechung auch keine Regel, wonach der nacheheliche Unterhalt nicht länger geschuldet sein kann, als die Ehe gedauert hat. Wie sich aus dem angefochtenen Entscheid ohne Weiteres ergibt, verknüpft das Obergericht die Dauer des ehelichen Zusammenlebens ausdrücklich mit dem Element der Kinderbetreuung (dazu E. 7.3), indem es die kausale Konjunktion "zumal" verwendet (s. E. 4.4). Auch die Umstände rund um den Gesundheitszustand der Beschwerdeführerin (dazu E. 7.4) will das Obergericht offensichtlich nicht als von den anderen Begründungselementen unabhängige Rechtfertigung der Unterhaltsbefristung verstanden wissen, leitet es seine diesbezüglichen Erwägungen doch mit dem verbindenden Adverb "zudem" ein (s. E. 4.4). Unter diesen Voraussetzungen und mit Rücksicht darauf, dass die Vorinstanz ihrer Ausübung des Ermessens mit den zwei anderen Begründungselementen unsachliche Kriterien zugrunde legt, braucht sich das Bundesgericht hier nicht mit der Frage zu beschäftigen, ob der angefochtene Entscheid allein mit Blick auf die festgestellte Dauer der Ehe bzw. des Zusammenlebens vor Bundesrecht standhielte.
7.6. An diesem Ergebnis vermögen auch die weiteren Argumente nichts zu ändern, die der Beschwerdegegner zur Verteidigung des angefochtenen Entscheids ins Feld führt. So wirft er der Beschwerdeführerin vor, dass sie für ihre gesundheitlichen Probleme selbst "verantwortlich" sei bzw. diese "zumindest hätte abwenden können". Zwar kann ein Unterhaltsbeitrag gestützt auf <ref-law> ausnahmsweise versagt oder gekürzt werden, wenn er offensichtlich unbillig wäre, insbesondere weil die berechtigte Person ihre Bedürftigkeit mutwillig herbeigeführt hat. Der angefochtene Entscheid erschöpft sich in der Erkenntnis, dass die Beschwerdeführerin aus gesundheitlichen Gründen dauerhaft daran gehindert ist, eine Erwerbstätigkeit auszuüben (s. Sachverhalt Bst. B.a). Er äussert sich nicht zur Frage, ob die Beschwerdeführerin die Einbusse ihrer Eigenversorgungskapazität im Sinne der zitierten Vorschrift "mutwillig" herbeigeführt hat. Die diesbezüglichen Behauptungen des Beschwerdegegners sind deshalb vor Bundesgericht als Noven unbeachtlich (<ref-law>).
Weiter hält der Beschwerdegegner die vorinstanzliche zeitliche Begrenzung der Unterhaltsdauer auch deshalb für "sachgerecht", weil ihm seit der Trennung der Parteien "eine volle Doppelbelastung mit Beruf und Kinderbelangen auferlegt" sei. Während die Beschwerdeführerin keinerlei Verpflichtungen mehr habe, leiste er unter Berücksichtigung der Kinderbetreuung ein Arbeitspensum von weit über hundert Prozent. Auch dieser Einwand ist unbehelflich. Gewiss sind der Umfang und die Dauer der von den Ehegatten noch zu leistenden Betreuung der Kinder zu berücksichtigen, wenn der Entscheid ansteht, ob und gegebenenfalls in welcher Höhe und wie lange nachehelicher Unterhalt zu leisten ist (<ref-law>). Inwiefern es im Streit um die Dauer der nachehelichen Unterhaltspflicht des Beschwerdegegners aber auf die behauptete Doppelbelastung ankommt, ist nicht ersichtlich. Der Beschwerdegegner hat den obergerichtlichen Entscheid nicht angefochten, sich also damit abgefunden, der Beschwerdeführerin bis Ende Januar 2021 Unterhalt zahlen zu müssen. Zu jenem Zeitpunkt wird der ältere Sohn die Volljährigkeit erreicht und der jüngere das siebzehnte Altersjahr vollendet haben. Dass die Söhne über das Jahr 2021 hinaus auf wesentliche Betreuungsleistungen angewiesen wären, behauptet der Beschwerdeführer nicht. Entsprechend ist auch nicht einzusehen, weshalb eine zeitliche Begrenzung der nachehelichen Unterhaltspflicht unter dem Gesichtspunkt der betreuungsbedingten Doppelbelastung besonders sachgerecht sein soll.
8.
Wie die vorigen Erwägungen zeigen, verträgt sich die Art und Weise, wie das Obergericht die nacheheliche Unterhaltspflicht des Beschwerdegegners ermessensweise bis Ende Januar 2021 befristet, nicht mit dem Bundesrecht. Die Beschwerde erweist sich also als begründet. Sie ist gutzuheissen und Ziffer 3 des angefochtenen Urteils aufzuheben. Im Sinne des Begehrens der Beschwerdeführerin ist der Beschwerdegegner zu verurteilen, den nachehelichen Unterhalt bis zum 28. Februar 2033 zu bezahlen. Eine Rückweisung an die Vorinstanz zur Neuregelung der Prozesskosten des kantonalen Verfahrens erübrigt sich. Denn die Beschwerdeführerin hat nur Ziffer 3 des obergerichtlichen Entscheids angefochten (s. Sachverhalt Bst. D.a). Bei diesem Ausgang des Verfahrens unterliegt der Beschwerdegegner. Er hat deshalb für die Gerichtskosten aufzukommen und der Beschwerdeführerin für das hiesige Verfahren eine Parteientschädigung zu bezahlen. Das Gesuch der Beschwerdeführerin um unentgeltliche Rechtspflege für das bundesgerichtliche Verfahren wird damit gegenstandslos.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird gutgeheissen. Ziffer 3 des Urteils des Obergerichts des Kantons Zürich, I. Zivilkammer, vom 9. September 2016 wird aufgehoben. Der Beschwerdegegner wird verpflichtet, der Beschwerdeführerin persönlich monatliche Unterhaltsbeiträge von Fr. 1'800.-- zu bezahlen, zahlbar monatlich im Voraus jeweils auf den Ersten eines jeden Monats bis 28. Februar 2033.
2.
Das Gesuch der Beschwerdeführerin um unentgeltliche Rechtspflege für das bundesgerichtliche Verfahren wird als gegenstandslos abgeschrieben.
3.
Die Gerichtskosten von Fr. 3'000.-- werden dem Beschwerdegegner auferlegt.
4.
Der Beschwerdegegner hat die Beschwerdeführerin für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 3'500.-- zu entschädigen.
5.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Zürich, I. Zivilkammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 18. August 2017
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: von Werdt
Der Gerichtsschreiber: Monn