Sachverhalt:
A.
A.a. C.A._ wurde 1997 als C.D._ in Marokko geboren. Am 24. April 1999 kam er zu seiner Tante E.E._ und deren Ehemann F.E._ in die Schweiz, welche ihn adoptieren wollten. Am 5. Oktober 1999 verbrachte die zuständige Behörde C.A._ aufgrund einer Gefährdungsmeldung ins "G._" in U._.
A.b. Am 29. Mai 2000 nahmen A.A._ und B.A._ das Kind C.A._ mit der Absicht bei sich auf, es zu adoptieren. Mit Beschluss vom 23. Oktober 2000 erteilte der Gemeinderat der Stadt Rheinfelden dem Ehepaar A._ die definitive Pflegeplatzbewilligung zur Aufnahme von C.A._ und stellte diesen nach aArt. 368 Abs. 1 ZGB unter Vormundschaft.
In der Erklärung vom 30. Januar 2001 verpflichtete sich das Ehepaar A._ zuhanden der Fremdenpolizei des Kantons Aargau, "für sämtliche Kosten des Unterhaltes und für alle öffentlich- rechtlichen Ansprüche, die aus dem Aufenthalt des Kindes C.A._ während der Anwesenheit in der Schweiz entstehen, voll und ganz aufzukommen und zwar ohne Rücksicht auf die Dauer und die spätere Entwicklung des Pflegeverhältnisses".
A.c. Von August bis Dezember 2013 befand sich C.A._ im Internat "H._" der Stiftung "I._" und von Januar bis Dezember 2014 im Jugendheim V._. Die Stadt Rheinfelden bevorschusste für diese Aufenthalte die im kantonalen Recht vorgesehenen Elternbeiträge von insgesamt Fr. 10'100.--. In der Folge stellte sie die Beiträge A.A._ und B.A._ in Rechnung.
A.d. Da sich das Ehepaar A._ weigerte, diese Kosten zu übernehmen, ersuchte die Stadt Rheinfelden am 18. März 2015 das Departement Bildung, Kultur und Sport des Kantons Aargau (BKS) darum, die Rückerstattung der Elternbeiträge zu verfügen. Mit Entscheid vom 25. September 2015 wies das BKS das Gesuch ab.
B.
Die gegen diesen Entscheid erhobene Beschwerde hiess der Regierungsrat des Kantons Aargau mit Beschluss vom 27. April 2016 gut. Er verpflichtete das Ehepaar A._, der Stadt Rheinfelden die Elternbeiträge über Fr. 10'100.-- zu erstatten.
C.
Die hiergegen von A.A._ und B.A._ am 10. Juni 2016 erhobene Beschwerde hiess das Verwaltungsgericht des Kantons Aargau mit Urteil vom 3. November 2016 (eröffnet am 8. November 2016) in Aufhebung des Regierungsratsbeschlusses gut.
D.
Am 8. Dezember 2016 ist die Stadt Rheinfelden (Beschwerdeführerin) mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten an das Bundesgericht gelangt. Sie beantragt, das Urteil des Verwaltungsgerichts sei aufzuheben und es seien A.A._ (Beschwerdegegnerin 1) und B.A._ (Beschwerdegegner 2) zu verpflichten, ihr den Betrag von Fr. 10'100.--- zu erstatten. Eventualiter sei die Sache an das Verwaltungsgericht zurückzuweisen.
Das Bundesgericht hat die Akten des kantonalen Verfahrens, jedoch keine Vernehmlassungen eingeholt.

Erwägungen:
1.
1.1. Angefochten ist ein Endentscheid (<ref-law>) einer letzten kantonalen Instanz, die als oberes Gericht (<ref-law>) über die Rückerstattung von bevorschussten Elternbeiträgen an die Unterbringung eines Kindes in ein Internat und ein Jugendheim entschieden hat. Die Unterbringung erfolgte im Rahmen von Kindesschutzmassnahmen (vgl. Akten Vorinstanz, Beschwerdebeilage 21 und 22), weshalb eine vermögensrechtliche öffentlich-rechtliche Angelegenheit in unmittelbarem Zusammenhang mit dem Zivilrecht vorliegt. Entgegen der Auffassung des Beschwerdeführers unterliegt diese nicht der Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten, sondern der Beschwerde in Zivilsachen (Art. 72 Abs. 2 Bst. b Ziff. 6 BGG). Angesichts des strittigen Betrags von Fr. 10'100.-- ist der für diese erforderliche Streitwert nicht erreicht (Art. 74 Abs. 1 Bst. b i.V.m. 51 Abs. 1 Bst. a BGG).
1.2. Erreicht der Streitwert den massgebenden Betrag nicht, so ist die Beschwerde dennoch zulässig, wenn sich eine Rechtsfrage von grundsätzlicher Bedeutung stellt (Art. 74 Abs. 2 Bst. a BGG; <ref-ruling> E. 1.3).
1.2.1. Nach Ansicht der Beschwerdeführerin stellen sich verschiedene Grundsatzfragen. Es sei zu klären, ob die Erklärung vom 30. Januar 2001 (vorne Bst. A.b) "jene gesetzliche Folge [habe], die sie abdecken solle", ob die bevorschussten Kosten verfügungsweise zurückverlangt werden könnten und ob künftig weitere Kosten auf die Beschwerdeführerin zukämen. Freilich waren im vorinstanzlichen Verfahren weder die Erklärung vom 30. Januar 2001 noch die Rückerstattungsforderung als solche ein Thema, was nicht bestritten ist. Das Verwaltungsgericht äusserte sich einzig dazu, ob die Rückerstattungsforderung verfügungsweise bzw. im Beschwerdeverfahren oder ob sie im Klageverfahren geltend zu machen ist (vgl. Beschwerde, Ziff. II/3.1 S. 12; angefochtenes Urteil, Ziff. II.2/2.1 S. 6 f.). Folglich ist von vornherein weder über die (inhaltliche) Tragweite der Erklärung vom 30. Januar 2001 noch darüber zu entscheiden, ob die Beschwerdeführerin in Zukunft weitere Kosten zu tragen haben wird. Rechtsfragen von grundsätzlicher Bedeutung stellen sich damit insoweit keine.
1.2.2. Auf welchem Rechtsweg die Beschwerdeführerin ihre Forderung geltend zu machen hat, bestimmt sich vorliegend sodann nach kantonalem Recht. Vor Verwaltungsgericht strittig war denn auch die Auslegung von § 27 Abs. 1 und § 31 des Gesetzes (des Kantons Aargau) vom 2. Mai 2006 über die Einrichtungen für Menschen mit besonderen Betreuungsbedürfnissen (Betreuungsgesetz; SAR 428.500). Die Beschwerdeführerin rügt zwar eine Verletzung von Art. 6 Abs. 3 der Verordnung über die Aufnahme von Pflegekindern (Pflegekinderverordnung, PAVO; SR 211.222.338). Weshalb diese Bestimmung verletzt sein sollte, weil das Verwaltungsgericht die Beschwerdeführerin mit ihrer Forderung auf den Klageweg verwies, legt sie jedoch nicht hinreichend dar (<ref-law>) und ist auch nicht offensichtlich. Die Anwendung des kantonalen Rechts prüft das Bundesgericht letztlich unter dem Gesichtswinkel der Verletzung verfassungsmässiger Rechte, vor allem des Willkürverbots (<ref-law>), auf welches die Beschwerdeführerin sich denn auch beruft (<ref-law>; <ref-ruling> E. 1.3; <ref-ruling> E. 2; ähnlich wie hier Urteil 2C_768/2012 vom 29. April 2013 E. 4.2 am Ende). Die Überprüfungsbefugnis entspricht somit derjenigen der subsidiären Verfassungsbeschwerde (<ref-law>). Reicht hier die Überprüfungsbefugnis des Bundesgerichts im Rahmen der Beschwerde in Zivilsachen somit nicht weiter als im Rahmen der subsidiären Verafssungsbeschwerde, besteht kein Raum für eine Grundsatzfrage, die nur im ordentlichen Beschwerdeverfahren beantwortet werden könnte (<ref-ruling> E. 1.3.3; Urteile 5A_209/2016 vom 12. Mai 2016 E. 1.2; 5A_157/2015 vom 12. November 2015 E. 1.2; 5A_39/2014 vom 12. Mai 2014 E. 1.2, nicht publiziert in: <ref-ruling>). Auf die Beschwerde in Zivilsachen kann nicht eingetreten werden.
1.3. Damit steht allein die subsidiäre Verfassungsbeschwerde zur Verfügung. Die Beschwerdeführerin bezeichnet und begründet ihre Eingabe zwar nicht als solche. Die unrichtige Bezeichnung des Rechtsmittels schadet indessen nicht, sofern sämtliche Prozessvoraussetzungen des stattdessen zulässigen Rechtsmittels erfüllt sind (<ref-ruling> E. 1.1).
1.3.1. Zur Verfassungsbeschwerde ist berechtigt, wer ein rechtlich geschütztes Interesse an der Aufhebung oder Änderung des angefochtenen Entscheids hat (Art. 115 Bst. b BGG). Der Begriff des rechtlich geschützten Interesses steht in enger Verbindung mit der Beschwerdeberechtigung nach <ref-law>, wonach mit der Verfassungsbeschwerde die Verletzung verfassungsmässiger Rechte gerügt werden kann. Zur Verfassungsbeschwerde ist nur berechtigt, wem ein solches Recht zusteht, dessen Verletzung geltend gemacht wird (<ref-ruling> E 4.2; <ref-ruling> E. 1.2). Über verfassungsmässige Rechte verfügen grundsätzlich nur Bürgerinnen und Bürger. Eine öffentlich-rechtiche Körperschaft wie die Beschwerdeführerin ist als Inhaberin der öffentlichen Gewalt nicht Trägerin derartiger Rechte und kann demnach mit einer subsidiären Verfassungsbeschwerde einen Entscheid, den sie als Behörde trifft, grundsätzlich nicht anfechten. Die Rechtsprechung lässt jedoch dort eine Ausnahme zu, wo die öffentlich-rechtliche Körperschaft nicht hoheitlich auftritt, sondern auf der Ebene des Privatrechts handelt oder in ihrer Privatsphäre gleich oder ähnlich wie eine Privatperson betroffen ist (<ref-ruling> E. 4.2; <ref-ruling> E. 2, S. 285 E. 1.2).
1.3.2. Die Befugnis zur Verfassungsbeschwerde ist enger gefasst als diejenige zur Beschwerde in Zivilsachen nach Art. 76 Abs. 1 Bst. b BGG, wonach ein schutzwürdiges Interesse an der Aufhebung oder Änderung des angefochtenen Entscheids vorausgesetzt ist. Fehlt die Berechtigung zur Beschwerde in Zivilsachen, kann folglich auch keine Verfassungsbeschwerde erhoben werden (Urteil 5A_668/2016 vom 27. Oktober 2016 E. 2.2 mit Hinweisen; vgl. auch <ref-ruling> E. 4.4 am Ende). Die Beschwerdeführerin macht einen vermögenswerten Anspruch gestützt auf (kantonales) öffentliches Recht geltend (vgl. vorne Bst. D und E. 1.1; §§ 27 und 31 Betreuungsgesetz). Ein Gemeinwesen ist nur in bestimmten Fällen zur Beschwerde in Zivilsachen gegen einen Entscheid mit finanziellen Auswirkungen befugt (ausführlich <ref-ruling> E. 2.3; zur Massgeblichkeit der Rechtsprechung zu Art. 89 Abs. 1 Bst. c BGG vgl. <ref-ruling> E. 5.2). Verneint hat das Bundesgericht etwa die Legitimation einer Kantonsregierung zur Beschwerde gegen einen Entscheid betreffend eine Rückerstattungsforderung aus unentgeltlicher Rechtspflege (<ref-ruling> E. 2.4). Ebenfalls abgesprochen hat es die Beschwerdeberechtigung einer Gemeinde, der die Kosten einer Beistandschaft auferlegt wurden (Urteil 5A_74/2015 vom 11. August 2015 E. 2).
1.3.3. Gemessen an dieser Rechtsprechung ist nicht offensichtlich, dass die Beschwerdeführerin vorliegend zur Beschwerde in Zivilsachen berechtigt wäre. Entsprechend bleibt auch die enger gefasste Legitimation zur subsidiären Verfassungsbeschwerde, die ein "rechtlich geschütztes Interesse" voraussetzt (Art. 115 Bst. b BGG), zweifelhaft. Ob die Beschwerdeberechtigung zu bejahen ist, prüft das Bundesgericht zwar von Amtes wegen und mit freier Kognition (<ref-law>; <ref-ruling> E. 2.1; <ref-ruling> E. 1). Gleichwohl hätte es der Beschwerdeführerin oblegen, ihre Eingabe auch bezüglich der formellen Eintretensvoraussetzungen zu begründen, da diese nicht zweifelsfrei gegeben sind (<ref-law>; <ref-ruling> E. 4; <ref-ruling> E. 2.3.1; jüngst etwa auch Urteil 5A_310/2016 vom 3. März 2017 E. 1.2). Die Beschwerdeführerin hat dies unterlassen und unter Berufung auf das allgemeine Beschwerderecht einzig festgehalten, dass sie ein "schutzwürdiges Interesse" an der Beschwerdeführung habe. Weshalb dem so sein solle, hat sie trotz der aufgezeigten Unklarheiten nicht dargelegt. Damit genügt die Beschwerde mit Blick auf die Beschwerdelegitimation den Begründungsanforderungen nicht. Auf die subsidiäre Verfassungsbeschwerde kann folglich ebenfalls nicht eingetreten werden.
2.
Nach dem Ausgeführten ist auf die Beschwerde nicht einzutreten. Bei diesem Ausgang des Verfahrens unterliegt die Beschwerdeführerin vollständig. Da sie Vermögensinteressen wahrnimmt, ha t sie entsprechend die Gerichtskosten zu tragen (Art. 66 Abs. 1 und 4 BGG). Den Beschwerdegegnern, die nicht zur Vernehmlassung eingeladen wurden, sind keine entschädigungspflichtigen Kosten entstanden.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 2'000.-- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Verwaltungsgericht des Kantons Aargau, 3. Kammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 19. Juni 2017
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: von Werdt
Der Gerichtsschreiber: Sieber