Sachverhalt:
A.
Mit Verfügung vom 29. September 2015 verneinte die IV-Stelle des Kantons Aargau einen Anspruch des 1953 geborenen A._ auf eine Invalidenrente der Invalidenversicherung.
B.
A._ erhob hiegegen mit Eingabe vom 30. Oktober 2015 Beschwerde beim Versicherungsgericht des Kantons Aargau. Er beantragte, die Verfügung vom 29. September 2015 sei aufzuheben und es sei ihm die unentgeltliche Rechtspflege zu gewähren. Zudem ersuchte er um Gewährung einer Frist bis 15. November 2015 zur Einreichung einer kompletten Beschwerdeschrift und der für die Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege erforderlichen Unterlagen.
Mit Schreiben vom 2. November 2015 forderte das Versicherungsgericht A._ auf, die angefochtene Verfügung einzureichen. Zudem hielt es fest, die Beschwerde genüge den formalen Anforderungen nicht. Die angefochtene Verfügung und eine verbesserte Beschwerdefrist seien innerhalb einer Nachfrist bis 15. November 2015 einzureichen, ansonsten auf die Beschwerde nicht eingetreten werde. Mit einem weiteren Schreiben vom 2. November 2015 stellte das Versicherungsgericht A._ das Formular betreffend unentgeltliche Rechtspflege zu und forderte ihn auf, dieses innert 30 Tagen auszufüllen und mit den erforderlichen Belegen einzureichen. Bis zur Einreichung bleibe das Verfahren betreffend unentgeltliche Rechtspflege sistiert. Im Unterlassungsfall werde das Gesuch abgewiesen.
Mit Eingabe vom 19. November 2015 (Datum Poststempel) reichte A._ eine verbesserte Beschwerde und - nebst weiteren Unterlagen zur Stützung des Beschwerdeantrages - die angefochtene Verfügung ein. Er ersuchte hiebei um "Wiedereinsetzung in den vorigen Stand", da es ihm nicht möglich gewesen sei, die Beschwerdeverbesserung innert der Nachfrist einzureichen.
Mit Entscheid vom 26. November 2015 trat das Versicherungsgericht auf die Beschwerde nicht ein, da die Eingabe vom 30. Oktober 2015 den gesetzlichen Anforderungen nicht genüge und die verbesserte Beschwerdeschrift erst nach Ablauf der Nachfrist eingereicht worden sei. Es auferlegte A._ die Verfahrenskosten von Fr. 200.-.
C.
A._ führt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten mit dem Rechtsbegehren, der Entscheid vom 26. November 2015 sei aufzuheben und die Sache sei "zur Durchführung eines sachlichen Verfahrens" (materielle Beurteilung) an die Vorinstanz zurückzuweisen. Zudem wird um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege für das bundesgerichtliche Verfahren ersucht.
Die IV-Stelle verweist auf die Erwägungen im angefochtenen Entscheid sowie auf ihre Verfügung vom 29. September 2015, ohne sich weiter zu äussern. Das kantonale Gericht und das Bundesamt für Sozialversicherungen verzichten auf eine Vernehmlassung.

Erwägungen:
1.
Streitig und zu prüfen ist, ob das kantonale Gericht zu Recht unter Auferlegung der Verfahrenskosten an den Beschwerdeführer auf die Beschwerde nicht eingetreten ist.
Der Beschwerdeführer verneint dies mit der Begründung, die Vorinstanz habe weder seinen Antrag auf Wiedereinsetzung in den vorherigen Stand und die von ihm hiezu abgegebene Begründung noch sein Gesuch um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege behandelt. Dadurch sei sein Recht verletzt worden.
2.
Der damit angerufene Anspruch auf rechtliches Gehör nach <ref-law> verlangt, dass die Behörde die Vorbringen des vom Entscheid in seiner Rechtsstellung Betroffenen auch tatsächlich hört, prüft und in der Entscheidfindung berücksichtigt. Daraus folgt die Verpflichtung der Behörde, ihren Entscheid zu begründen. Dabei ist es nicht erforderlich, dass sie sich mit allen Parteistandpunkten einlässlich auseinandersetzt und jedes einzelne Vorbringen ausdrücklich widerlegt. Vielmehr kann sie sich auf die für den Entscheid wesentlichen Punkte beschränken. Die Begründung muss so abgefasst sein, dass sich der Betroffene über die Tragweite des Entscheids Rechenschaft geben und ihn in voller Kenntnis der Sache an die höhere Instanz weiterziehen kann. In diesem Sinne müssen wenigstens kurz die Überlegungen genannt werden, von denen sich die Behörde hat leiten lassen und auf die sich ihr Entscheid stützt (<ref-ruling> E. 5.2 S. 236; vgl. auch <ref-ruling> E. 1.3.1 S. 253; <ref-ruling> E. 5.1 S. 503 f.; je mit Hinweisen). Der Anspruch auf rechtliches Gehör ist namentlich verletzt, wenn Parteivorbringen übersehen oder Anträge nicht behandelt werden (Urteil 9C_874/2014 vom 2. September 2015 E. 4.1; in Pra 2004 Nr. 31 S. 151 veröffentlichtes Urteil 4P.248/2002 vom 21. Februar 2003 E. 3.1; je mit Hinweisen).
3.
3.1. Ist die gesuchstellende Person oder ihre Vertretung unverschuldeterweise abgehalten worden, binnen Frist zu handeln, so wird diese wieder hergestellt, sofern sie unter Angabe des Grundes innert 30 Tagen nach Wegfall des Hindernisses darum ersucht und die versäumte Rechtshandlung nachholt (Art. 41 in Verbindung mit <ref-law>).
Die Vorinstanz hat dem Beschwerdeführer eine Nachfrist bis 15. November 2015 zur Einreichung einer verbesserten Beschwerdeschrift gestellt. Mit Eingabe vom 19. November 2015 hat der Beschwerdeführer mit dem Antrag auf "Wiedereinsetzung in den vorigen Stand" ein Gesuch um Wiederherstellung der angesetzten Frist gestellt und eine verbesserte Beschwerdeschrift nachgereicht. Das kantonale Gericht hat im angefochtenen Entscheid auf Nichteintreten erkannt, da die erste Beschwerdeschrift den gesetzlichen Anforderungen nicht genüge und die verbesserte Beschwerdeschrift erst nach Ablauf der Nachfrist eingereicht worden sei. Es hat sich aber nicht mit dem Fristwiederherstellungsgesuch befasst, obschon die Eintretensfrage offensichtlich auch von dessen Behandlung abhängt.
3.2. Im Weiteren hat die Vorinstanz im Entscheid vom 26. November 2015 dem Beschwerdeführer Verfahrenskosten auferlegt, ohne sich mit seinem auch auf die Befreiung von solchen Kosten gerichteten Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege zu befassen. Sie hat diesen Kostenentscheid überdies vor Ablauf der 30tägigen Frist erlassen, welche sie dem Beschwerdeführer für die Einreichung von Bedürftigkeitsbelegen gesetzt hatte. Dass sie allenfalls eine Behandlung des Gesuches um unentgeltliche Rechtspflege ausserhalb des Nichteintretensentscheides vom 26. November 2015 beabsichtigte, ist nicht ersichtlich. Es kann daher offen bleiben, ob ein solches Vorgehen zulässig gewesen wäre.
3.3. Nach dem Gesagten wurde der Anspruch des Versicherten auf rechtliches Gehör in zweifacher Hinsicht verletzt. Diese Verfahrensmängel sind im bundesgerichtlichen Verfahren nicht heilbar. Der angefochtene Entscheid ist aufzuheben und die Sache an das kantonale Gericht zurückzuweisen. Dieses hat die besagten Gesuche zu behandeln und neu zu entscheiden.
4.
Die Kosten des Verfahrens sind von der unterliegenden Beschwerdegegnerin zu tragen (<ref-law>). Das Gesuch um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege ist damit, soweit auf die Befreiung von solchen Kosten gerichtet, gegenstandslos. Da der Beschwerdeführer nicht anwaltlich oder sonstwie qualifiziert vertreten ist und auch keine anderen prozessbedingten Kosten ausgewiesen sind, hat er keinen Anspruch auf eine Parteientschädigung (<ref-law> in Verbindung mit Art. 1 und Art. 9 des Reglements vom 31. März 2006 über die Parteientschädigung und die Entschädigung für die amtliche Vertretung im Verfahren vor dem Bundesgericht [SR 173.110.210.3]). Mangels anwaltlicher Vertretung käme im Übrigen auch die Gewährung der unentgeltlichen Verbeiständung nicht in Frage (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird teilweise gutgeheissen und der Entscheid des Versicherungsgerichts des Kantons Aargau vom 26. November 2015 aufgehoben. Die Sache wird zu neuer Entscheidung an die Vorinstanz zurückgewiesen. Im Übrigen wird die Beschwerde abgewiesen.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 800.- werden der Beschwerdegegnerin auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird den Parteien, dem Versicherungsgericht des Kantons Aargau und dem Bundesamt für Sozialversicherungen schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 8. März 2016
Im Namen der I. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Maillard
Der Gerichtsschreiber: Lanz