Sachverhalt:
A.
A.a. X._ war Ende der achtziger und zu Beginn der neunziger Jahre Beirat nach aArt. 395 Abs. 2 ZGB der inzwischen verstorbenen A._ (Betroffene). Y._ ist ihr Sohn.
A.b. Am 23. Oktober 2008 fasste die Commissione tutoria regionale 11, sede di Losone (Vormundschaftsbehörde), Beschluss betreffend die "Tassazione note di onorario per mercede e rimborso spese dell'ex-assistente legale avv. X._". Die vorliegend einzig interessierende Dispositivziffer 1 lautet wie folgt:
"L'istanza è parzialmente accolta.
Di conseguenza, sono tassati ed approvati nella seguente misura mercede e spese relative all'attività di assistente legale dell'avv. X._ per il periodo dal 1.1.1991, importo dal quale andranno dedotti gli eventuali acconti già incassati.
Mercede 1.1.1991 - 31.12.1991 fr. 120'000.--
Mercede 1.1.1992 - 04.06.1992 (5 mesi) fr. 50'000.--
Rimborso spese 1.1.1991 - 04.06.1992 fr. 20'772.--
Totale fr. 190'772.--."
A.c. Die gegen diesen Beschluss von X._ und Y._ erhobenen Rekurse wies die Autorità di vigilanza sulle tutele (Aufsichtsbehörde) am 27. Februar 2009 ab. Der Entscheid ist rechtskräftig.
B.
Mit Zahlungsbefehl des Betreibungsamts Kreis Klosters (Betreibungs-Nr. xxxx) vom 1. Februar 2010 forderte X._ von Y._ die Zahlung von insgesamt Fr. 360'537.10 (Fr. 190'772.-- sowie aufgelaufene Zinsen und Spesen) zuzüglich Zinsen. Als Forderungsurkunde gab er den Entscheid der Aufsichtsbehörde vom 27. Februar 2009 an. Y._ erhob Rechtsvorschlag. Das Gesuch von X._ vom 26. April 2010 um definitive Rechtsöffnung wies das Bezirksgericht Prättigau/Davos am 9. Juni 2010 ab. Dagegen beschwerte sich X._ beim Kantonsgericht Graubünden und beim Bundesgericht. Der Beschwerde war kein Erfolg beschieden, weil die Verfügung der Vormundschaftsbehörde einen Vorbehalt hinsichtlich allfällig bereits geleisteter Akontozahlungen enthielt und somit der tatsächlich geschuldete Betrag nicht behördlich festgestellt war (Urteil 5A_866/2010 vom 4. Februar 2011).
C.
Mit Klage vom 7. August 2013 gelangte X._ an das Bezirksgericht Prättigau/Davos. Er verlangte von Y._ die Bezahlung von ausstehenden Honoraren und Spesen aus der Beiratschaft im Umfang von Fr. 190'772.-- nebst Zins zu 5 % seit dem 4. Juni 1992. Mit Entscheid vom 4. September 2014 (mitgeteilt am 27. Januar 2015) hiess das Bezirksgericht die Klage teilweise gut und verpflichtete Y._ zur Zahlung von Fr. 190'772.-- nebst Zins zu 5 % seit dem 23. Oktober 2008. Die Gerichtskosten von Fr. 10'000.-- auferlegte es im Umfang von Fr. 6'000.-- Y._ und im Umfang von Fr. 4'000.-- X._. Ausserdem verpflichtete es Y._, X._ mit Fr. 2'669.75 zu entschädigen.
D.
Gegen diesen Entscheid reichte Y._ am 27. Februar 2015 beim Kantonsgericht von Graubünden Berufung ein. Mit Urteil vom 2. Juni 2016 (eröffnet am 7. Juni 2016) wies das Kantonsgericht das Rechtsmittel ab. Dagegen hiess es eine von X._ erhobene Anschlussberufung teilweise gut. In Abänderung des vorinstanzlichen Kostenentscheids auferlegte es die erstinstanzlichen Gerichtskosten im Umfang von Fr. 9'000.-- Y._ und im Umfang von Fr. 1'000.-- X._. Weiter verurteilte es Y._ zur Zahlung einer Entschädigung von Fr. 10'679.05 (inkl. MWSt) an X._. Ausserdem auferlegte das Kantonsgericht die oberinstanzlichen Gerichtskosten von Fr. 10'000.-- Y._ und verpflichtete diesen, X._ für das Berurungsverfahren mit Fr. 4'000.-- (inkl. Spesen und MWSt) zu entschädigen.
E.
Mit Beschwerde in Zivilsachen vom 6. Juli 2016 gelangt Y._ (Beschwerdeführer) mit den folgenden Anträgen an das Bundesgericht:
"1. Das Urteil des Kantonsgerichts von Graubünden vom 2. Juni 2016 sei vollumfänglich aufzuheben und auf die Klage von X._ sei nicht einzutreten.
2. Evt. sei das Urteil des Kantonsgerichts von Graubünden vom 2. Juni 2016 vollumfänglich aufzuheben und die Klage von X._ sei abzuweisen.
3. Subevt. sei das Urteil des Kantonsgerichts von Graubünden vom 2. Juni 2016 aufzuheben und zur Neubeurteilung an das Kantonsgericht von Graubünden zurückzuweisen.
4. Die Gerichtskosten von CHF 10'000.00 für das Verfahren vor Bezirksgericht Prättigau-Davos sowie die Gerichtskosten von CHF 10'000.00 für das Berufungsverfahren vor dem Kantonsgericht von Graubünden seien X._ aufzuerlegen.
5. X._ sei zu verpflichten, Y._ für das Verfahren vor dem Bezirksgericht Prättigau-Davos ausseramtlich mit CHF 12'000.00 zuzüglich MWST von 8 % und für das Berufungsverfahren vor dem Kantonsgericht von Graubünden mit CHF 5'000.00 zuzüglich MWST von 8 % zu entschädigen.
6. Unter voller gerichtlicher und aussergerichtlicher Kosten- und Entschädigungsfolge für das Beschwerdeverfahren zulasten von X._."
Das Bundesgericht hat die Akten des kantonalen Verfahrens eingeholt. Mit Vernehmlassungen vom 5. September 2016 und vom 27. Oktober 2016 beantragen das Kantonsgericht und X._ (Beschwerdegegner), die Beschwerde sei abzuweisen, soweit darauf einzutreten sei.

Erwägungen:
1.
1.1. Strittig ist die Einforderung der von der Vormundschaftsbehörde festgelegten Entschädigung (inkl. Spesen) des Beschwerdegegners für seine Tätigkeit als Beirat. Unbesehen darum, ob damit ein zivil- oder ein öffentlich-rechtlicher Anspruch im Streit steht (vgl. hinten E. 2.1), ist jedenfalls das Gebiet des Erwachsenenschutzes betroffen. Auch wenn keine Zivilsache vorliegen sollte, ist folglich eine öffentlich-rechtliche Angelegenheit in unmittelbarem Zusammenhang mit dem Zivilrecht gegeben. Die Beschwerde in Zivilsachen ist somit das zutreffende Rechtsmittel (Art. 72 Abs. 1 und Abs. 2 Bst. b Ziff. 6 BGG). Die Beschwerde richtet sich gegen einen Endentscheid einer letzten kantonalen Instanz, die als oberes Gericht entschieden hat (Art. 75 und 90 BGG). Der Streitwert übersteigt Fr. 30'000.-- (Art. 74 Abs. 1 Bst. b BGG). Der Beschwerdeführer ist gemäss Art. 76 Abs. 1 BGG zur Beschwerde berechtigt und die Beschwerdefrist ist eingehalten (Art. 100 Abs. 1 BGG). Auf die Beschwerde kann daher eingetreten werden.
1.2. Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (Art. 106 Abs. 1 BGG). Immerhin prüft es, unter Berücksichtigung der allgemeinen Begründungspflicht der Beschwerde (Art. 42 Abs. 2 BGG), grundsätzlich nur die geltend gemachten Rügen, sofern die rechtlichen Mängel nicht geradezu offensichtlich sind. Es ist jedenfalls nicht gehalten, wie eine erstinstanzliche Behörde alle sich stellenden rechtlichen Fragen zu untersuchen, wenn diese vor Bundesgericht nicht mehr vorgetragen werden (<ref-ruling> E. 2 S. 116). Wird eine Rechtsfrage aufgeworfen, ist das Bundesgericht weder an die von den Parteien geltend gemachten Gründe noch an die rechtliche Würdigung der Vorinstanz gebunden. Es kann die Beschwerde aus einem anderen als dem von der Beschwerde führenden Person angerufenen Grund gutheissen und es kann sie mit einer von der Argumentation der Vorinstanz abweichenden Begründung abweisen (<ref-ruling> E. 2.4 S. 429; <ref-ruling> E. 1.1 S. 137 f.).
2.
2.1. Der vorliegenden Streitsache liegt die Frage zugrunde, ob der Beschwerdeführer den Beschwerdegegner für die Tätigkeit als Beirat der Betroffenen in der von der Vormundschaftsbehörde festgelegten Höhe entschädigen muss. Der Beschwerdeführer macht vorab geltend, die fragliche Entschädigung sei öffentlich-rechtlicher Natur. Die Zivilgerichte seien daher nicht zur Beurteilung der strittigen Frage zuständig und die Vorinstanzen hätten auf die Klage des Beschwerdegegners nicht eintreten dürfen. Sowohl die Vorinstanz als auch der Beschwerdegegner gehen demgegenüber von einer zivilrechtlichen Streitigkeit aus, die vor den Zivilgerichten auszutragen sei. Umstritten und nachfolgend zu prüfen ist demnach die sachliche Zuständigkeit der Zivilgerichte zur Beurteilung der Klage vom 7. August 2013.
2.2. Gemäss Art. 1 Bst. a ZPO sind die Zivilgerichte zur Beurteilung zivilrechtlicher Streitigkeiten berufen. Selbst bei Vorliegen einer zivilrechtlichen Streitigkeit gilt die Regelung von Art. 1 Bst. a ZPO indessen nur unter dem Vorbehalt abweichender bundesrechtlicher Vorschriften (BERNHARD BERGER, in: Berner Kommentar, 2012, N. 24 zu Art. 1 ZPO; MARKUS SCHOTT, in: Paul Oberhammer und andere [Hrsg.], Kurzkommentar ZPO, 2. Aufl. 2014, N. 15a zu Art. 1 ZPO). Für die Festlegung der Entschädigung und Spesen von Beistandspersonen enthält das ZGB eine eigene Zuständigkeitsregelung. Dabei ist das Erwachsenenschutzrecht in der heute geltenden Fassung massgebend: Der Beschwerdegegner hat die hier interessierende Klage am 7. August 2013 und damit nach Inkrafttreten des neuen Rechts am 1. Januar 2013 (AS 2011 725 ff., S. 767) eingereicht, womit dieses anwendbar ist (Art. 14 Abs. 1 SchlT ZGB und hierzu RUTH E. REUSSER, in: Basler Kommentar, Zivilgesetzbuch II, 5. Aufl. 2015, N. 4 zu Art. 14 SchlT ZGB).
2.3. Gemäss Art. 404 Abs. 1 ZGB hat die Beistandsperson Anspruch auf eine angemessene Entschädigung und auf Ersatz der notwendigen Spesen aus dem Vermögen der betroffenen Person. Die Erwachsenenschutzbehörde legt die Höhe der Entschädigung fest (Art. 404 Abs. 2 Satz 1 ZGB). Diese Regelung knüpft an die altrechtliche Bestimmung zur Entschädigung des Vormunds an (aArt. 416 ZGB; Botschaft vom 28. Juni 2006 zur Änderung des Schweizerischen Zivilgesetzbuches [Erwachsenenschutz, Personenrecht und Kindesrecht], BBl 2006 7001, S. 7051 Ziff. 2.2.5; PHILIPPE MEIER, Droit de la protection de l'adulte, 2016, Rz. 982 S. 471). Zum Verständnis von Art. 404 ZGB kann daher auf die Rechtsprechung und Lehre zu dieser Regelung zurückgegriffen werden (vgl. <ref-ruling> E. 2.3.2 S. 360, 550 E. 2.7 S. 553). Demnach ist die Erwachsenenschutzbehörde zur Festlegung der Entschädigung und des Spesenersatzes der Beistandsperson ausschliesslich (sachlich) zuständig (<ref-ruling> E. 2 S. 396; <ref-ruling> E. 2f S. 110; Urteil 5D_215/2011 vom 12. September 2012 E. 3.2 am Ende). Ihr Entscheid ist ein definitiver Rechtsöffnungstitel (Art. 80 Abs. 2 Ziff. 2 SchKG; <ref-ruling> E. 2 S. 395; RUTH E. REUSSER, in: Basler Kommentar, Zivilgesetzbuch I, 5. Aufl. 2014, N. 41 zu Art. 404 ZGB; MEIER, a.a.O., S. 471 Fn. 1588; BIDERBOST/AFFOLTER-FRINGELI, Beistandschaft, in: Christina Fountoulakis und andere [Hrsg.], Fachhandbuch Kindes- und Erwachsenenschutzrecht, 2016, Rz. 8.222 S. 261; STEINAUER/FOUNTOULAKIS, Droit des personnes physiques et de la protection de l'adulte, 2014, Rz. 1185 S. 528). Der Beistandsperson ist es damit möglich, ihre Entschädigung und den Spesenersatz nach der Festsetzung durch die Erwachsenenschutzbehörde auf dem Weg der Schuldbetreibung durchzusetzen (vgl. Art. 38 Abs. 1 SchKG und dazu <ref-ruling> E. 2.6 S. 21; <ref-ruling> E. 3.2 S. 296). Nicht nötig ist dieses Vorgehen dort, wo die Beistandsperson das Vermögen der verbeiständeten Person noch verwaltet. Diesfalls kann sie den festgesetzten Betrag direkt diesem Vermögen entnehmen (REUSSER, Zivilgesetzbuch I, a.a.O., N. 41 zu Art. 404 ZGB; vgl. auch Urteil 5C.162/2002 vom 28. Januar 2003).
2.4. Vorliegend umstritten ist freilich nicht die erstmalige Festsetzung der Entschädigung und des Spesenersatzes. Vielmehr steht die Geltendmachung des bereits festgesetzten Entschädigungsanspruchs in Frage, der nicht auf dem Betreibungsweg erhältlich gemacht werden konnte, weil der Entscheid der zuständigen Behörde nicht als Rechtsöffnungstitel taugte (vorne Bst. B; Urteil 5A_866/2010 vom 4. Februar 2011 E. 2.4). Allein die erfolglose Schuldbetreibung ändert indessen nichts an der Zuständigkeit zum Entscheid über die Entschädigung und den Spesenersatz: Wird einem Gläubiger die Rechtsöffnung verweigert, so bleibt ihm die Möglichkeit, beim Sachgericht auf Anerkennung der Forderung und Beseitigung des Rechtsvorschlags zu klagen (vgl. Art. 79 SchKG; <ref-ruling> E. 2.6 S. 321; Urteil 5A_487/2011 vom 2. September 2011 E. 4.2.3). Die sachliche Zuständigkeit bestimmt sich dabei nach den allgemeinen zivilprozessualen und verwaltungsrechtlichen Regeln (<ref-ruling> E. 3.2 S. 118 f.; DANIEL STAEHELIN, in: Basler Kommentar, Bundesgesetz über Schuldbetreibung und Konkurs I, 2. Aufl. 2010, N. 13 zu Art. 79 SchKG; DOMINIK VOCK, in: Daniel Hunkeler [Hrsg.], Kurzkommentar SchKG, 2. Aufl. 2014, N. 5 zu Art. 79 SchKG). Sachlich (ausschliesslich) zuständig zur Beurteilung der Entschädigung und der Spesen der Beistandsperson ist aufgrund der Regelung des ZGB wie ausgeführt die Erwachsenenschutzbehörde.
2.5. Damit ergibt sich Folgendes: Nach Art. 404 ZGB setzt die Erwachsenenschutzbehörde die Entschädigung der Beistandsperson und den Spesenersatz fest. Die Beistandsperson kann den ihr geschuldeten Betrag entweder dem Vermögen der betroffenen Person entnehmen oder ihn auf dem Weg der Schuldbetreibung erhältlich machen. Falls die Schuldbetreibung scheitert, etwa weil der Entscheid der Behörde (wie hier) nicht als definitiver Rechtsöffnungstitel taugt, kann die Beistandsperson sich an die Erwachsenenschutzbehörde wenden und gegebenenfalls einen erneuten Entscheid und die Beseitigung des Rechtsvorschlags erwirken (vgl. betreffend nacheheliche Unterhaltsbeiträge: <ref-ruling> E. 2.5 f. S. 320 f.; Urteil 5A_487/2011 vom 2. September 2011 E. 4.2.3). Hierbei ist allerdings die Rechtskraft des ersten Erkenntnisses zu beachten (vgl. STAEHELIN, a.a.O., N. 6 f. zu Art. 79 SchKG; PIERRE-ROBERT GILLIÉRON, Commentaire de la loi fédérale sur la poursuite pour dettes et la faillite, 1999, N. 20 zu Art. 79 SchKG). Für alle sich im vorliegenden Fall stellenden Fragen sind somit die Erwachsenenschutzbehörden zuständig. Eine Zuständigkeit der Zivilgerichte besteht demgegenüber nicht. Keine Rolle spielt dabei, ob eine zivilrechtliche Streitigkeit nach Art. 1 Bst. a ZPO vorliegt (vgl. E. 2.2 hiervor). Auf die Überlegungen der Verfahrensbeteiligten zur Rechtsnatur des strittigen Anspruchs ist daher nicht einzugehen.
2.6. Zusammenfassend hätte der Beschwerdegegner die (auch örtlich zuständige; Art. 442 Abs. 1 ZGB) Erwachsenenschutzbehörde anrufen müssen. Die Zivilgerichte sind zur Beurteilung des strittigen Anspruchs sachlich nicht zuständig. Die Vorinstanzen hätten dementsprechend auf die Klage nicht eintreten dürfen.
3.
3.1. Nach dem Ausgeführten ist die Beschwerde gutzuheissen und der angefochtene Entscheid aufzuheben. Auf die Klage vom 7. August 2013 ist nicht einzutreten. Unter diesen Umständen braucht auf die weiteren Vorbringen des Beschwerdeführers nicht eingegangen zu werden. Der Antrag auf Einholung eines gerichtlichen Gutachtens über die Buchhaltung des Beschwerdegegners sowie anderer (natürlicher und juristischer) Personen wird abgewiesen.
3.2. Bei diesem Ausgang des Verfahrens hat der Beschwerdegegner für die Gerichtskosten aufzukommen und den Beschwerdeführer für das bundesgerichtliche Verfahren zu entschädigen (Art. 66 Abs. 1 und 68 Abs. 2 BGG). Die Festsetzung und Verteilung der Prozesskosten der kantonalen Verfahren entsprechend dem neuen Verfahrensausgang ist vom Kantonsgericht vorzunehmen (Art. 67 und 68 Abs. 5 BGG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird gutgeheissen und das Urteil des Kantonsgerichts von Graubünden, I. Zivilkammer, vom 2. Juni 2016 wird aufgehoben. Auf die Klage vom 7. August 2013 wird nicht eingetreten.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 8'000.-- werden dem Beschwerdegegner auferlegt.
3.
Der Beschwerdegegner hat den Beschwerdeführer für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 9'000.-- zu entschädigen.
4.
Die Sache wird zur neuen Festsetzung und Verteilung der Kosten der kantonalen Verfahren an das Kantonsgericht von Graubünden zurückgewiesen.
5.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Kantonsgericht von Graubünden, I. Zivilkammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 23. Dezember 2016
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: von Werdt
Der Gerichtsschreiber: Sieber