Sachverhalt:
A.
B.B._ (geb. 2014) ist die Tochter von A._ (geb. 1966) und C.B._ (geb. 1981). Die Eltern waren nie miteinander verheiratet.
B.
B.a. Gestützt auf die Klagebewilligung des Friedensrichteramts Kreis Schaffhausen vom 9. Juli 2014 verklagte die Tochter den Vater am 2. September 2014 vor dem Kantonsgericht Schaffhausen auf Unterhalt. Rückwirkend ab der Geburt und bis zum ordentlichen Abschluss einer angemessenen Ausbildung, mindestens aber bis zum Erreichen der Volljährigkeit forderte sie monatliche Alimente von Fr. 1'200.-- (Ziff. 1). Zudem sei A._ zur Bezahlung der Kinder- und/oder Ausbildungszulagen zu verurteilen, die ihm zustehen (Ziff. 2). Ausserdem verlangte sie, die Alimente nach der gerichtsüblichen Formel an den Landesindex der Konsumentenpreise zu koppeln (Ziff. 3). Mit Urteil vom 26. März 2015 hiess das Kantonsgericht die Klage in dem Sinne gut, dass es der Klägerin die Alimente in der verlangten Höhe zuzüglich allfälliger Kinder- oder Ausbildungszulagen ab Januar 2014 bis zur Volljährigkeit zusprach, die Unterhaltsbeiträge indexierte und den Vater zur Geltendmachung der ihm zustehenden gesetzlichen oder vertraglichen Kinderzulagen und dergleichen verpflichtete.
C.
A._ legte beim Obergericht des Kantons Schaffhausen Berufung ein. Er stellte das Begehren, die monatlichen Kinderalimente von Oktober bis und mit Juni 2015 auf Fr. 200.-- und von 1. Juli 2015 bis 31. Dezember 2019, eventuell bis 30. September 2031, auf Fr. 800.-- festzusetzen. Das Obergericht hiess die Berufung teilweise gut und bestimmte die monatlichen Unterhaltsbeiträge neu auf Fr. 1'000.-- für die Zeit von Januar 2014 bis April 2015 und auf Fr. 1'200.-- ab Mai 2015 bis zur Volljährigkeit des Kindes, je zuzüglich allfälliger Kinder- und Ausbildungszulagen (Urteil vom 4. Dezember 2015).
D.
Mit Beschwerde in Zivilsachen vom 22. Januar 2016 wendet sich A._ (Beschwerdeführer) an das Bundesgericht. Er beantragt, das Urteil des Obergerichts aufzuheben und die Sache zurück an die Vorinstanz zu weisen. Eventualiter sei er zu verurteilen, B.B._ (Beschwerdegegnerin) von Oktober 2014 bis und mit Mai 2015 monatliche Alimente von Fr. 200.-- und ab Juli 2015 solche von Fr. 1'000.-- zu bezahlen. Gestützt auf ein entsprechendes Gesuch des Beschwerdeführers erteilte der Präsident der II. zivilrechtlichen Abteilung der Beschwerde mit Verfügung vom 4. Februar 2016 die aufschiebende Wirkung für die bis und mit Dezember 2015 geschuldeten Unterhaltsbeiträge. Beide Parteien ersuchen für das bundesgerichtliche Verfahren um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege. Das Bundesgericht hat sich die kantonalen Akten überweisen lassen, in der Sache aber keine Vernehmlassungen eingeholt.

Erwägungen:
1.
Die Beschwerde richtet sich gegen den Endentscheid (<ref-law>) einer letzten kantonalen Instanz (<ref-law>), der den Kindesunterhalt (<ref-law>), also eine vermögensrechtliche Zivilsache (<ref-law>) zum Gegenstand hat. Die gesetzliche Streitwertgrenze (Art. 74 Abs. 1 Bst. b BGG) ist erreicht und der Beschwerdeführer zur Beschwerde legitimiert (<ref-law>). Auf die rechtzeitig (Art. 100 Abs. 1 i.V.m. Art. 46 Abs. 1 Bst. c BGG) eingereichte Beschwerde ist demnach einzutreten.
2.
Mit der Beschwerde in Zivilsachen können Rechtsverletzungen gemäss Art. 95 f. BGG geltend gemacht werden. Das Bundesgericht wendet das Recht grundsätzlich von Amtes wegen an (<ref-law>) und prüft mit freier Kognition, ob der angefochtene Entscheid Recht verletzt. Es befasst sich aber nur mit formell ausreichend begründeten Einwänden (<ref-law>; <ref-ruling> E. 1.1 S. 104 f.). Soweit die Festsetzung von Unterhalt in Frage steht, ist zu beachten, dass der Sachrichter in verschiedener Hinsicht auf sein Ermessen verwiesen ist (<ref-law>; <ref-ruling> E. 3a S. 141). Bei der Überprüfung solcher Entscheide auferlegt sich das Bundesgericht Zurückhaltung. Es schreitet nur ein, wenn die kantonale Instanz grundlos von in Lehre und Rechtsprechung anerkannten Grundsätzen abgewichen ist, wenn sie Gesichtspunkte berücksichtigt hat, die keine Rolle hätten spielen dürfen, oder wenn sie umgekehrt rechtserhebliche Umstände ausser Acht gelassen hat. Aufzuheben und zu korrigieren sind ausserdem Ermessensentscheide, die sich als im Ergebnis offensichtlich unbillig, als in stossender Weise ungerecht erweisen (<ref-ruling> E. 1 S. 99; <ref-ruling> E. 4.2 S. 15; <ref-ruling> E. 2c/aa S. 162). Was den Sachverhalt angeht, legt das Bundesgericht seinem Urteil die vorinstanzlichen Feststellungen zugrunde (<ref-law>). Diesbezüglich kann die rechtsuchende Partei nur vorbringen, die vorinstanzlichen Feststellungen seien offensichtlich unrichtig (<ref-law>), das heisst willkürlich (vgl. <ref-ruling> E. 4.3 S. 62; <ref-ruling> E. 1.2.2 S. 252), oder würden auf einer anderen Rechtsverletzung im Sinn von <ref-law> (z.B. <ref-law> oder <ref-law>) beruhen (Urteil 5A_374/2010 vom 9. Juli 2010 E. 1). In der Beschwerde ist überdies darzutun, inwiefern die Behebung der gerügten Mängel für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein kann (<ref-law>; <ref-ruling> E. 2.2.2 S. 22).
3.
Im Unterhaltsprozess dreht sich der Streit vor Bundesgericht ausschliesslich um das Erwerbseinkommen des Beschwerdeführers als beklagter Vater.
3.1. Der Anspruch auf Kindesunterhalt fusst auf <ref-law>. Der Unterhalt wird durch Pflege und Erziehung oder, wenn das Kind nicht unter der Obhut der Eltern steht, durch Geldzahlung geleistet (<ref-law>). Für die Bemessung des Geldunterhalts ist nach <ref-law> den Bedürfnissen des Kindes sowie der Lebensstellung und Leistungsfähigkeit der Eltern Rechnung zu tragen. Ausserdem sind das Vermögen und die Einkünfte des Kindes sowie der Beitrag des nicht obhutsberechtigten Elternteils an der Betreuung des Kindes zu berücksichtigen (<ref-ruling> E. 4 S. 70). Bei der Festsetzung der Kinderalimente ist grundsätzlich vom tatsächlich erzielten Einkommen des Unterhaltspflichtigen auszugehen. Soweit dieses Einkommen nicht ausreicht, um den ausgewiesenen Bedarf zu decken, kann der Richter von einem hypothetischen Einkommen ausgehen, falls und soweit der Pflichtige bei gutem Willen bzw. bei ihm zuzumutender Anstrengung mehr zu verdienen vermöchte, als er effektiv verdient. Wo die reale Möglichkeit einer Einkommenssteigerung fehlt, muss eine solche jedoch ausser Betracht bleiben (zum Ganzen: <ref-ruling> E. 4a S. 5 f.). Mit Bezug auf das hypothetische Einkommen ist Rechtsfrage, welche Tätigkeit aufzunehmen als zumutbar erscheint, Tatfrage hingegen, ob die als zumutbar erkannte Tätigkeit möglich und das angenommene Einkommen effektiv erzielbar ist (<ref-ruling> E. 2.3 S. 120 f. mit Hinweisen). Im Verhältnis zu einem minderjährigen Kind sind besonders hohe Anforderungen an die Ausnützung der Erwerbskraft zu stellen, vorab in jenen Fällen, wo wirtschaftlich enge Verhältnisse vorliegen (BGE a.a.O. E. 3.1 S. 121).
3.2. Die zitierte Rechtsprechung gilt für Sachverhalte, in denen der Richter die Pflicht zur Aufnahme oder Ausweitung der Erwerbstätigkeit bejaht und von der betreffenden Partei durch die Anrechnung eines hypothetischen Einkommens eine Umstellung ihrer Lebensverhältnisse verlangt (Urteil 5A_692/2012 vom 21. Januar 2013 E. 4.3). In diesen Fällen ist der verpflichteten Partei hinreichend Zeit zu lassen, die rechtlichen Vorgaben in die Tat umzusetzen. Die Dauer dieser Übergangsfrist bestimmt sich nach den Umständen des Einzelfalls (dazu <ref-ruling> E. 2.2 S. 421; <ref-ruling> E. 5 S. 17). Auch ein von diesen Grundsätzen abweichender Entscheid muss indes nicht zwangsläufig bundesrechtswidrig sein. Je nach den konkreten Gegebenheiten ist etwa von Bedeutung, ob die geforderte Umstellung für die betroffene Person voraussehbar war (Urteil 5A_636/2013 vom 21. Februar 2014 E. 5.1 mit weiteren Hinweisen). Anders verhält es sich, wenn der Unterhaltsschuldner schon bis anhin einer vollzeitlichen Erwerbstätigkeit nachgegangen ist und seine vorbestehende Unterhaltspflicht erfüllt hat. Denn in diesem Fall bedarf der Schuldner keiner Übergangs- oder Anpassungsfrist, um eine Erwerbstätigkeit aufnehmen oder ausweiten und hierzu seine Lebensverhältnisse umstellen zu können. Vielmehr muss der Alimentenschuldner alles in seiner Macht Stehende tun und insbesondere seine wirtschaftliche Leistungsfähigkeit voll ausschöpfen, um seiner Unterhaltspflicht nachzukommen. Begnügt er sich selbst bei einem unfreiwilligen Stellenwechsel wissentlich mit einer nur ungenügend einträglichen Erwerbstätigkeit, so hat er sich anrechnen zu lassen, was er unter den gegebenen Umständen zu erwirtschaften vermöchte (Urteile 5A_692/2012 vom 21. Januar 2013 E. 4.3; 5A_299/2012 vom 21. Juni 2012 E. 3.5; 5A_341/2011 vom 20. September 2011 E. 2.5.1). Versagt der Richter der unterhaltspflichtigen Partei aus den beschriebenen Gründen eine Übergangs- oder Anpassungsfrist, so muss sich diese ein höheres als das tatsächlich erzielte Einkommen gegebenenfalls von einem Zeitpunkt an anrechnen lassen, der - schon vom Datum der Erhebung der Unterhaltsklage aus gesehen - in der Vergangenheit liegt. Denn das Kind kann auf Leistung des Unterhalts nicht nur für die Zukunft klagen, sondern auch für ein Jahr vor Klageerhebung (<ref-law>; s. Urteil 5A_184/2015 vom 22. Januar 2016 E. 3.3).
3.3. Einer so verstandenen "rückwirkenden" Anrechnung eines höheren Einkommens steht nicht entgegen, dass die unterhaltspflichtige Partei die Verminderung ihrer Leistungsfähigkeit für eine bereits verstrichene Zeitspanne nicht rückgängig und die in der Vergangenheit unterbliebene Erzielung des ihr zumutbaren Einkommens nicht ungeschehen machen kann. Soweit Unterhaltsleistungen für eine bestimmte vergangene Zeitspanne streitig sind, steht mit dem rechtskräftigen Urteil über die Unterhaltsklage (oder mit dem rechtskräftig genehmigten Unterhaltsvertrag) nicht nur die Höhe der einzelnen monatlichen Unterhaltsbeiträge fest, sondern auch der Gesamtbetrag der geschuldeten Alimente. Ebenso liegt es in der Natur eines Dauerschuldverhältnisses mit periodischer Leistungspflicht, dass über die Erfüllung von einzelnen Obligationen, die während einer bestimmten Zeit entstanden sind, erst im Nachhinein abgerechnet werden kann. Je nachdem, ob und gegebenenfalls zu wessen Gunsten aus der Abrechnung ein Saldo resultiert, kann eine Partei von der anderen eine Summe Geldes nach- oder zurückfordern. Hat der Unterhaltspflichtige in einem bestimmten Abschnitt der Vergangenheit also nicht das Einkommen erzielt, das er bei gutem Willen zu erwirtschaften vermocht hätte, und lässt sich sein Versäumnis für diese konkrete Zeitperiode auch nicht mit einer Anpassung an veränderte Lebensverhältnisse rechtfertigen, so ist ihm zuzumuten, mit seinen künftig erzielten Einkünften nachzuholen, was er in der Vergangenheit zu erwirtschaften verpasst hat (s. zum Ganzen Urteil 5A_184/2015 vom 22. Januar 2016 E. 3.4).
4.
Anlass zur Beschwerde gibt zum einen die Beurteilung der Einkommensverhältnisse des Beschwerdeführers in der Zeit von Januar 2014 (Geburt der Beschwerdegegnerin) bis April 2015.
4.1. Das Obergericht geht davon aus, der Beschwerdeführer habe im Jahr 2014 ein durchschnittliches monatliches Nettoeinkommen von Fr. 3'500.-- erzielt. Diese Erkenntnis stützt sich zum einen auf die vom Beschwerdeführer eingereichten Unterlagen. Für die befristete Anstellung vom 26. Juni bis 31. Dezember 2015 als Gärtner bei der D._ ergebe sich ein monatlicher Nettolohn (inkl. Ferienzuschlag) von rund Fr. 5'000.--. Gemäss den Lohnausweisen der E._ AG für die Jahre 2013 und 2014 habe der Beschwerdeführer vom 28. Januar 2013 bis 20. Dezember 2013 ein Nettoeinkommen von Fr. 26'806.-- (zuzüglich Spesen von Fr. 779.--) und vom 22. September 2014 bis 28. November 2014 ein solches von Fr. 10'027.35 (zuzüglich Spesen von Fr. 555.--) ausbezahlt erhalten. Das Obergericht verweist ausserdem auf die Aussagen des Beschwerdeführers in der erstinstanzlichen Hauptverhandlung. Damals habe der Beschwerdeführer erklärt, seit den letzten zehn Jahren über die Temporärfirma E._ AG zu arbeiten, wobei der Vertrag Ende 2014 auslaufe. Zum damaligen Zeitpunkt habe er bei F._, einem Baugeschäft in U._, einen Bruttostundenlohn von Fr. 32.-- erzielt. Im Jahr 2013 habe er während rund acht Monaten zu 100 % gearbeitet. Letztes Jahr habe er im Gartenbau gearbeitet. Ein Arbeitslosengeld habe er nicht bezogen. Weiter habe der Beschwerdeführer ausgesagt, bis zur Geburt der Beschwerdegegnerin sei das auch so gegangen, dass er im Winter zwei, drei Monate nicht gearbeitet habe und dann wieder die ganze Saison durch erwerbstätig gewesen sei. Das Obergericht hält diese Aussagen für glaubwürdig und folgert daraus, dass der Beschwerdeführer "auch im Jahr 2014 mindestens 8 Monate voll gearbeitet" habe. Bei einem durchschnittlichen Stundenlohn von Fr. 32.-- (inkl. Ferienzuschlag) resultiere ein durchschnittliches monatliches Nettoeinkommen von mindestens rund Fr. 3'500.-- (8.5 h x 21.7 Tage x Fr. 32.-- = Fr. 5'902.40 x 8 Mt. / 12 Mt. = Fr. 3'934.95./. ca. 11 % Sozialabgaben = Fr. 3'502.10). Soweit der Beschwerdeführer vorbringe, er habe wegen der Vorkommnisse nicht arbeiten können, sei ihm entgegenzuhalten, dass er nicht substanziiert dargelegt habe, an welchen gesundheitlichen Problemen er gelitten haben soll und inwiefern er deshalb arbeitsunfähig gewesen sei. Auch habe er keine entsprechenden Belege eingereicht. Ebenso wenig habe er substanziiert dargelegt, dass er sich vergeblich um Stellen bemüht habe. Was die Zeitspanne Januar bis April 2015 angeht, findet das Obergericht, das hypothetische monatliche Nettoeinkommen von Fr. 4'500.-- für ein 100%-Pensum sei dem Beschwerdeführer erst ab Mai 2015 anzurechnen (dazu unten E. 5).
4.2. Der Beschwerdeführer bezeichnet die vorinstanzlichen Annahmen als willkürlich. Anstatt das effektive Einkommen zu ermitteln, rechne ihm das Obergericht anstelle eines hypothetischen Einkommens einfach ein angebliches Einkommen an. Was die Dauer seiner Erwerbstätigkeit im Jahre 2014 angeht, argumentiert der Beschwerdeführer, gemäss allgemeinen Beweisregeln habe nicht er das "Nichtarbeiten", sondern "umgekehrt" die Gegenpartei oder im Falle des Untersuchungsgrundsatzes das Gericht zu beweisen, dass er gearbeitet habe. In dieser Hinsicht seien im kantonalen Verfahren aber keinerlei Abklärungen getätigt worden. Vielmehr sei man offenbar stillschweigend von der Richtigkeit seiner Aussagen ausgegangen. Selbst unter der Annahme, dass er im Jahre 2013 tatsächlich während rund acht Monaten zu 100 % gearbeitet hätte, betrüge der monatliche Nettolohn Fr. 3'350.--. Auch in diesem Punkt habe die Vorinstanz völlig willkürlich und aktenwidrig einen angeblichen Lohn festgestellt. Der Beschwerdeführer beteuert, seine Einkommensverhältnisse ab 2012 umfassend belegt und immer alle seine Einkünfte offengelegt zu haben. Entgegen der Annahme des Obergerichts gebe es nicht den geringsten Anhaltspunkt dafür, dass er im Jahr 2014 monatlich netto Fr. 3'500.-- verdient habe. Es sei willkürlich, wenn ihm die Vorinstanz für die Monate Januar bis 22. September 2014 ein Einkommen anrechne, obwohl er stets erklärt habe, dass er während dieser Zeit nicht gearbeitet habe. Das Obergericht begnüge sich damit, das Einkommen von September bis Ende November 2014 zu erheben, und stelle fest, dass er zu einem Bruttostundenlohn von Fr. 25.30 arbeite. Auf seine Ausführungen, wonach er zwischen Januar und Mitte April 2015 durchschnittlich netto Fr. 2'200.-- verdient habe, gehe das Obergericht nicht ein. Ebenso wenig berücksichtige es, dass das aktuelle Arbeitspensum rund 60 % betrug mit einem Einkommen von weniger als Fr. 3'000.--. Den Akten lasse sich ohne weiteres entnehmen, dass er in der Periode von Oktober 2014 bis Mai 2015 netto maximal Fr. 2'600.-- pro Monat verdient habe. Bei einem Notbedarf von Fr. 2'416.-- seien die monatlichen Kinderunterhaltsbeiträge für diese erste Phase (Januar 2014 bis April 2015) somit auf Fr. 200.-- zu bestimmen.
4.3. Dem angefochtenen Entscheid zufolge soll dem Beschwerdeführer für die Zeit von Januar 2014 bis April 2015 gerade kein hypothetisches Einkommen angerechnet werden. Vielmehr macht es sich das Obergericht zur Aufgabe festzustellen, wie es in der besagten Zeitspanne tatsächlich um die wirtschaftliche Leistungsfähigkeit des Beschwerdeführers bestellt war. Allein mit Bezug auf den fraglichen Zeitabschnitt erschöpfen sich die tatsächlichen Feststellungen des Obergerichts in der Erkenntnis, dass der Beschwerdeführer vom 22. September bis 28. November 2014 (nebst ausbezahlten Spesen von Fr. 555.--) ein Nettoeinkommen von Fr. 10'027.35 erzielt und zur Zeit der erstinstanzlichen Hauptverhandlung (18. November 2014) beim Baugeschäft F._ zu einem Bruttostundenlohn von Fr. 32.-- arbeitete. Die weiteren Urkunden, auf die sich das Obergericht stützt, betreffen die Zeit vor Januar 2014 und nach April 2015. Dasselbe gilt für die erwähnten Aussagen zur Erwerbstätigkeit in der Zeit vor der Geburt der Beschwerdegegnerin. Dem Obergericht erscheinen diese Aussagen glaubwürdig, "so dass darauf abgestellt werden kann". Zu Recht vermisst der Beschwerdeführer eine nachvollziehbare Erklärung dafür, wie das Obergericht bei diesem Ergebnis der Beweiswürdigung trotzdem zur tatsächlichen Feststellung kommen kann, dass er (auch) im Jahr 2014 mindestens acht Monate voll gearbeitet habe:
4.4. Zwar gilt in Kinderbelangen unabhängig von der Art des Verfahrens die Untersuchungsmaxime (<ref-law>). Danach hat der Richter den Sachverhalt von Amtes wegen zu erforschen, bis über die Tatsachen, die für die Beurteilung des streitigen Anspruchs erforderlich sind, hinreichende Klarheit besteht (Urteil 5A_513/2014 vom 1. Oktober 2015 E. 4.1). Indessen ändert die Untersuchungsmaxime nichts an der formellen Beweislast. Kann der Richter trotz aller Untersuchungsanstrengungen das Bestehen einer entscheiderheblichen Tatsache - hier die tatsächlichen Erwerbseinkünfte des Beschwerdeführers in der Zeit von Januar 2014 bis April 2015 - weder bejahen noch verneinen, entscheidet er auch im Anwendungsbereich der Untersuchungsmaxime gemäss <ref-law> nach Beweislastgesichtspunkten (Urteil 4C.283/1999 vom 28. Juli 2000 E. 2b). Mit anderen Worten verschafft die Untersuchungsmaxime dem Richter nicht die Möglichkeit, seinem Urteil anstelle unbewiesen gebliebener Tatsachen eigene Annahmen zugrunde zu legen. Davon zu unterscheiden ist der Fall, da der Richter am Ende des Beweisverfahrens mit verschiedenen "Varianten" eines bestimmten Sachverhalts konfrontiert ist und dann in freier Würdigung der Beweise (<ref-law>) die eine Version als erwiesen erachtet und die andere als unglaubwürdig verwirft. Dabei darf er unter anderem auch den Umstand berücksichtigen, dass eine Partei die Mitwirkung bei der Beweiserhebung unberechtigterweise verweigert hat (<ref-law>). Auch einer vorweggenommenen (antizipierten) Beweiswürdigung steht der Untersuchungsgrundsatz nicht entgegen. Eine solche setzt allerdings voraus, dass das Gericht bezüglich der streitigen Tatsache über genügende Grundlagen für eine sachgerechte Entscheidung verfügt; diesfalls darf das Gericht auf weitere Beweiserhebungen verzichten (s. <ref-ruling> E. 2.2.3 S. 735).
4.5. Im konkreten Fall lässt sich dem angefochtenen Entscheid nicht entnehmen, dass der Beschwerdeführer seine wirtschaftlichen Verhältnisse im fraglichen Zeitabschnitt nicht hinreichend offengelegt, dazu widersprüchliche Angaben gemacht oder seine Mitwirkung bei der Beweiserhebung aus einem anderen Grund unberechtigterweise verweigert hätte. Ebenso wenig erklärt die Vorinstanz, derartige Umstände in ihrer Beweiswürdigung zu Ungunsten des Beschwerdeführers zu berücksichtigen. Ohne konkrete Feststellungen darüber treffen zu können, ob der Beschwerdeführer im Jahr 2014 tatsächlich acht Monate im Vollpensum erwerbstätig war und mehr als die erwiesenen Einkünfte von Fr. 10'027.35 erzielte, zieht die Vorinstanz diesen Schluss aus den Urkunden und Aussagen des Beschwerdeführers betreffend die Zeit davor und danach und trifft Annahmen über ein durchschnittliches monatliches Nettoeinkommen von Fr. 3'500.--. Diese Vorgehensweise lässt sich auch nicht unter dem Titel einer antizipierten Beweiswürdigung rechtfertigen. Vielmehr kommt der angefochtene Entscheid im Ergebnis der Anrechnung eines hypothetischen Einkommens gleich: Ohne festzustellen bzw. feststellen zu können, wie es um die wirtschaftliche Leistungsfähigkeit des Beschwerdeführers im erwähnten Zeitraum tatsächlich bestellt ist, stellt ihm die Vorinstanz losgelöst von den tatsächlichen Erhebungen für die fragliche Zeit als Erwerbseinkommen in Rechnung, was er ihrer Meinung nach tatsächlich hätte verdienen können, und impliziert damit zugleich, dass dem Beschwerdeführer die Erzielung eines Einkommens in dieser Höhe auch zumutbar war. Dies zeigt sich auch - und gerade - an der Art und Weise, wie die Vorinstanz den Einwand des Beschwerdeführers verwirft, er sei wegen gesundheitlicher Probleme in der fraglichen Zeit arbeitsunfähig gewesen und habe seine vergeblichen Bemühungen auf dem Arbeitsmarkt nicht hinreichend dargelegt. Diese Überlegungen machen nur Sinn, wenn man - im Sinn der Grundsätze über die Anrechnung eines hypothetischen Einkommens (s. E. 3) - voraussetzt, dass der Beschwerdeführer in der fraglichen Zeit mehr Einkommen erzielen konnte (und musste), als er tatsächlich erzielt hat. Welches Schicksal den angefochtenen Entscheid angesichts der vorigen Erkenntnisse in diesem Punkt ereilt, hängt davon ab, ob die Vorinstanz dem Beschwerdeführer für die Zeit von Januar 2014 bis April 2015 auf die beschriebene Art und Weise ein hypothetisches monatliches Nettoeinkommen von Fr. 3'500.-- anrechnen durfte.
4.6. Mit Blick auf die Rechtsfrage, welche Erwerbstätigkeit dem Beschwerdeführer zugemutet werden kann, sticht ins Auge, dass das Obergericht vom Beschwerdeführer für die fragliche Zeit weder eine Ausweitung seiner Erwerbstätigkeit noch eine Umstellung seiner Lebensverhältnisse fordert. Vielmehr gesteht es ihm - entsprechend seinen Angaben betreffend die Zeit davor - auch für das Jahr 2014 und das erste Drittel des Jahres 2015 seine bisher praktizierte "Winterpause" zu. Der Beschwerdeführer bestreitet nicht, anlässlich der erstinstanzlichen Hauptverhandlung ausgesagt zu haben, dass er bis zur Geburt der Beschwerdegegnerin jeweils im Winter zwei bis drei Monate pausiert habe und dann wieder die ganze Saison hindurch voll erwerbstätig gewesen sei. Auch seine im angefochtenen Entscheid zitierte Aussage, wonach er im Jahr 2013 "während rund acht Monaten zu 100 % gearbeitet" habe, stellt er vor Bundesgericht nicht in Abrede. Anstatt darauf einzugehen, inwiefern diese vorinstanzlichen Annahmen offensichtlich unrichtig sind, gibt sich der Beschwerdeführer im Wesentlichen damit zufrieden, dem Bundesgericht seine eigene Sicht zu präsentieren. Allein damit vermag er den angefochtenen Entscheid nicht zu erschüttern.
Was die tatsächlichen Verdienstmöglichkeiten des Beschwerdeführers in der Zeit von Januar 2014 bis April 2015 angeht, wurzelt die hypothetische Natur des angerechneten Erwerbseinkommens zum einen darin, dass das Obergericht die Einwände verwirft, mit denen der Beschwerdeführer seine wirtschaftliche Leistungsfähigkeit in dieser Zeit bestreitet. Die Vorinstanz kommt zum Schluss, der Beschwerdeführer habe weder eine gesundheitsbedingte Arbeitsunfähigkeit noch vergebliche Bemühungen auf dem Stellenmarkt substanziiert dargelegt. Dagegen kommt der Beschwerdeführer nicht auf, wenn er den angefochtenen Entscheid einfach als "willkürlich" bezeichnet. Nachdem in Tat und Wahrheit die Anrechnung eines hypothetischen Einkommens für einen bereits verstrichenen Zeitabschnitt in Frage steht (E. 4.5), ist auch sein Argument unbehelflich, er sei für das "Nichtarbeiten" nicht beweispflichtig: Mit Blick auf die tatsächlichen Verdienstmöglichkeiten des Beschwerdeführers ist nicht Beweisthema, in welchem Umfang der Beschwerdeführer effektiv gearbeitet hat, sondern inwiefern er im fraglichen Zeitabschnitt tatsächlich hätte arbeiten können. Auszugehen ist davon, dass er als Vater von Gesetzes wegen für den Unterhalt seines minderjährigen Kindes aufzukommen hat (<ref-law>; E. 3.1). Soweit er sich darauf beruft, dass er seine (an sich gegebene) Erwerbskraft in der fraglichen Zeit wegen besonderer Umstände (gesundheitsbedingte Arbeitsunfähigkeit; schlechte Arbeitsmarktsituation) tatsächlich nicht vollumfänglich habe ausschöpfen können, macht er den (teilweisen) Untergang seiner gesetzlichen Unterhaltspflicht geltend bzw. bestreitet er jedenfalls ihre Durchsetzbarkeit. In dieser Situation ist es nach der allgemeinen Regel von <ref-law> an ihm, die entsprechenden rechtsvernichtenden oder rechtshindernden Tatsachen zu beweisen (vgl. <ref-ruling> E. 2a/aa S. 273). Im Übrigen zeigt der Beschwerdeführer nicht auf, dass die Vorinstanz die Anforderungen an die Substanziierungspflicht in unzulässiger Weise überspannt oder sich bundesrechtswidrig über konkrete Vorbringen zu seiner Arbeitsunfähigkeit oder seinen Bemühungen auf dem Arbeitsmarkt hinweggesetzt hätte. Mit Blick auf die Frage, welches Erwerbseinkommen der Beschwerdeführer in der fraglichen Zeitspanne mit dem bisherigen Pensum effektiv erzielen konnte, geht die Vorinstanz von einem monatlichen Nettoeinkommen von Fr. 3'500.-- aus. Am durchschnittlichen Stundenlohn von Fr. 32.--, der diesem Betrag zugrunde liegt, übt der Beschwerdeführer keine substantielle Kritik. Auch mit den übrigen Parametern der vorinstanzlichen Berechnungen setzt er sich nicht auseinander. Allein mit dem Einwand, bei einem Vollzeitpensum während acht Monaten pro Jahr betrüge der monatliche Nettolohn nicht Fr. 3'500.--, sondern nur Fr. 3'350.--, ist eine bundesrechtswidrige Sachverhaltsfeststellung nicht darzutun (E. 2).
4.7. Nach dem Gesagten rechnet das Obergericht dem Beschwerdeführer in der Phase von Januar 2014 bis April 2015 zwar ein hypothetisches Einkommen von Fr. 3'500.-- an. Wie ausführlich erörtert, verlangt die Vorinstanz vom Beschwerdeführer damit aber nichts anderes, als dass er seine frühere Erwerbstätigkeit im bisherigen Umfang bis und mit April 2015 weiterführte. Bis April 2015 gesteht ihm das Obergericht mit anderen Worten eine Übergangs- bzw. Anpassungszeit zu. Diese Vorgehensweise ist angesichts der strengen Anforderungen an die Ausschöpfung der Erwerbskraft des Beschwerdeführers, wie sie hier gelten müssen (E. 3.1), nicht zu beanstanden - auch insofern nicht, als das Obergericht dem Beschwerdeführer damit für einen bereits vergangenen Zeitabschnitt ein höheres als das tatsächlich erzielte Einkommen anrechnet. Denn wie die vorigen Erwägungen zeigen, durfte die Vorinstanz willkürfrei zum Schluss kommen, dass der Beschwerdeführer die allenfalls ungenügende Ausschöpfung seiner wirtschaftlichen Leistungsfähigkeit in der fraglichen Zeit nicht zu rechtfertigen vermag. Als Folge davon muss sich der Beschwerdeführer auch für die Zeit vor Erhebung der Unterhaltsklage anrechnen lassen, was er unter den gegebenen Umständen zu erwirtschaften vermocht hätte (E. 3.2). Nachdem eine konkrete begrenzte Zeitperiode (Januar 2014 bis April 2015) in Frage steht und sich die Versäumnisse des Beschwerdeführers nicht mit einer Anpassung an veränderte Lebensverhältnisse rechtfertigen lassen, ist es ihm zuzumuten, mit seinen künftig erzielten Einkünften nachzuholen, was er in der Vergangenheit zu erwirtschaften verpasst hat (E. 3.3).
5.
Streitig ist sodann, welches Einkommen der Beschwerdeführer in der Zeit ab Mai 2015 (und bis zur Volljährigkeit der Beschwerdegegnerin) tatsächlich erzielen kann.
5.1. Dem angefochtenen Entscheid zufolge würde der Beschwerdeführer bei einem 100%-Pensum unbestrittenermassen einen monatlichen Nettolohn von Fr. 4'500.-- erzielen. Das Obergericht verweist auf den Umstand, dass der Beschwerdeführer in den vergangenen Jahren gerade so viel gearbeitet habe, um seinen Lebensunterhalt decken zu können, und dass er nun gehalten sei, seine Erwerbstätigkeit auszuweiten. Angesichts dessen habe ihm die erste Instanz ein hypothetisches Einkommen von Fr. 4'500.-- nicht rückwirkend anrechnen dürfen. Da der Beschwerdeführer mit Zustellung des erstinstanzlichen Urteils, das heisst am 27. März 2015 erfahren habe, dass ihm ein hypothetisches Einkommen von Fr. 4'500.-- monatlich angerechnet wird, und er gemäss seinen Angaben bisher jeweils im Winter zwei bis drei Monate pausierte, sei ihm ab Mai 2015 ein 100%-Pensum und somit ein Nettoeinkommen von Fr. 4'500.-- anzurechnen (vgl. auch E. 4.1).
5.2. Der Beschwerdeführer ist der Meinung, die Festsetzung eines monatlichen Einkommens von netto Fr. 4'500.-- für das Jahr 2015 sei "vollkommen widersprüchlich und in keiner Art und Weise auch nur im geringsten bewiesen". Er argumentiert, die Hochrechnung des Einkommens auf zwölf Monate wäre dann zutreffend, wenn er im Winter jeweils freiwillig nicht gearbeitet hätte; er habe jedoch nur deshalb pausiert, weil es keine Arbeit gegeben habe. Sodann verweist er auf seine Berufungsschrift, wo er angegeben habe, dass sein Einkommen in der Zeit vom 1. März bis 15. März 2015 durchschnittlich netto Fr. 2'200.-- betragen habe und er im April 2015 ein Nettoeinkommen von weniger als Fr. 3'000.-- erziele. Mit Eingabe vom 30. August 2015 habe er dem Obergericht mitgeteilt, dass seine 60%-Stelle bei der G._ GmbH wegen fehlender Auftragslage auf 30 % gesunken sei, er dort nur noch im befristeten Anstellungsverhältnis arbeite und sein Lohn je nach geleisteten Arbeitsstunden schwanke. Der Beschwerdeführer beteuert, sich immer um eine Anstellung bemüht zu haben. Er sei jedoch während des ganzen Jahres 2015 nicht in der Lage gewesen, eine Festanstellung über längere Zeit zu realisieren. Dem Obergericht wirft er vor, sich "mit keinem Wort" zur Problematik zu äussern, ob er überhaupt regelmässig ein volles Pensum erzielen könne. Damit verletze das Obergericht seine Begründungspflicht. Ausserdem verfalle es in Willkür, wenn es einfach auf ein theoretisch erzielbares Einkommen von Fr. 4'500.-- abstelle, ohne darauf einzugehen, ob die Erzielung dieses theoretischen Einkommens über ein volles Jahr auch praktisch möglich sei. Insbesondere vermisst der Beschwerdeführer im angefochtenen Entscheid Erwägungen darüber, ob es aufgrund seiner bisherigen beruflichen Tätigkeiten, seines Alters und der aktuellen Situation im Bau und Gartenbau effektiv möglich ist, ein Vollpensum über das gesamte Jahr hinweg zu erzielen. Dies habe er im vorinstanzlichen Verfahren bestritten, weshalb über diese Frage zwingend ein Beweisverfahren durchzuführen gewesen wäre. Weil die Vorinstanz dies unterlassen habe, sei ihr Urteil aufzuheben und die Sache zurückzuweisen. Sofern es indessen notorisch erschiene, dass er höchstens Fr. 3'500.-- pro Monat erzielen kann, könnte das Bundesgericht die Sache eventuell direkt entscheiden und den Kinderunterhaltsbeitrag auf Fr. 1'000.-- (zuzüglich Kinderzulagen) festsetzen.
5.3. Unbegründet ist die Rüge, der angefochtene Entscheid genüge den Anforderungen an die Begründungspflicht nicht und verletze deshalb den Anspruch des Beschwerdeführers auf rechtliches Gehör (<ref-law>). Aus dem Gehörsanspruch folgt nicht, dass sich der Richter zu allen Punkten einlässlich äussern und jedes einzelne Vorbringen widerlegen muss (zum Ganzen: <ref-ruling> E. 4.1 S. 88; <ref-ruling> E. 3.3 S. 445). Zu begründen ist vielmehr das Ergebnis des Entscheides, das im Urteilsspruch zum Ausdruck kommt und das allein die Rechtsstellung der betroffenen Partei berührt. Die Begründung ist also nicht an sich selbst, sondern am Rechtsspruch zu messen (Urteil 5A_382/2013 vom 12. September 2013 E. 3.1). Eingedenk dessen ist dem Obergericht keine Verfassungswidrigkeit vorzuwerfen. Der angefochtene Entscheid bringt zum Ausdruck, warum das Obergericht die Kinderalimente ab Mai 2015 bis zur Mündigkeit der Beschwerdegegnerin auf Fr. 1'200.-- festsetzt: Es hält den Beschwerdeführer für fähig, ein entsprechendes Einkommen zu erzielen. Ob es die wirtschaftliche Leistungsfähigkeit des Beschwerdeführers richtig beurteilt hat, ist nicht eine Frage des rechtlichen Gehörs, sondern - je nachdem - eine solche der Beweiswürdigung oder der Rechtsanwendung.
5.4. Der vorinstanzlichen Erwägung 2.3 lässt sich entnehmen, dass der Beschwerdeführer bei einem Vollzeitpensum "unbestrittenermassen" Fr. 4'500.-- pro Monat erzielen "würde" (E. 5.1). Dieser Satz gibt keinen Aufschluss darüber, ob die Vorinstanz damit eine Aussage zur Zumutbarkeit, das heisst darüber machen will, wie viel der Beschwerdeführer bei gutem Willen bzw. bei ihm zuzumutender Anstrengung zu verdienen vermöchte, oder ob sie die reale Möglichkeit einer Einkommenssteigerung anspricht. Der Ausdruck "unbestrittenermassen", der im Zivilprozess vor allem im Zusammenhang mit Tatfragen gebräuchlich ist, deutet auf die zweite Variante hin, bei der es um eine Frage der Sachverhaltsfeststellung geht (s. E. 3.1). Auch so vermag die Vorinstanz mit diesem einen Satz aber nicht zu erklären, weshalb als unbestritten gelten muss, dass der Beschwerdeführer unter Ausschöpfung seiner wirtschaftlichen Leistungsfähigkeit ab Mai 2015 tatsächlich während zwölf Monaten pro Jahr in einem 100%-Pensum arbeiten und dabei ein monatliches Nettoeinkommen von Fr. 4'500.-- erzielen kann. Allerdings zitiert das Obergericht im angefochtenen Entscheid auch die Ausführungen des Beschwerdeführers im Berufungsverfahren: Er soll unter anderem angegeben haben, bei einem vollen Pensum ein monatliches Nettoeinkommen von Fr. 4'500.-- erzielen zu können, falls man eine wöchentliche Arbeitszeit von 42.5 Stunden mit seinem damaligen Stundenlohn bei der Firma G._ GmbH auf 100 % hochrechne. Dem angefochtenen Entscheid zufolge erklärte der Beschwerdeführer im Berufungsverfahren auch, dass nicht vom Beginn seiner Anstellung beim erwähnten Arbeitgeber an ein 100%-Pensum geleistet werden könne und dass sich ein monatliches Nettoeinkommen von ca. Fr. 3'600.-- ergäbe, falls man "ab Juli 2015 von durchschnittlich (also auch in den Wintermonaten) 80 %" ausgehe.
5.5. Dass das Obergericht damit die von ihm selbst prognostizierten Entwicklungen nicht zutreffend wiedergibt, behauptet der Beschwerdeführer nicht. Er tut auch nicht dar, wo und wann er im Einzelnen konkret bestritten hat, unter Berücksichtigung seiner Qualifikationen, seines Alters und der aktuellen Lage in der fraglichen Branche effektiv eine - übers ganze Jahr betrachtet - vollzeitliche Anstellung finden zu können, und inwiefern sich das Obergericht über diese Bestreitungen in willkürlicher Weise hinwegsetzt. Soweit er sich auf seine Eingabe vom 30. August 2015 beruft, macht er nicht geltend, dass sich das Obergericht über novenrechtlichen Vorgaben im Berufungsverfahren hinwegsetzt, wenn es die dort präsentierten Veränderungen seiner beruflichen Situation bei der Beurteilung seiner wirtschaftlichen Leistungsfähigkeit ab Mai 2015 im Ergebnis nicht berücksichtigt. In seiner Beschwerde an das Bundesgericht geht der Beschwerdeführer selbst davon aus, durchschnittlich ca. Fr. 3'500.-- monatlich erzielen zu können. Dass das Obergericht seine monatlichen Lebenshaltungskosten mit Fr. 2'416.-- zu tief veranschlagt hätte, macht der Beschwerdeführer nicht geltend. Unter all diesen Umständen erweist sich der angefochtene Entscheid angesichts der Zurückhaltung, die sich das Bundesgericht bei der Unterhaltsbemessung auferlegt (E. 2), und der strengen Anforderungen an die Ausschöpfung der wirtschaftlichen Leistungsfähigkeit, wie sie hier gelten müssen (E. 3.1), jedenfalls im Ergebnis nicht als offensichtlich unbillig, noch als in stossender Weise ungerecht:
5.6. Ausgehend davon, wie der Beschwerdeführer seine effektiven Verdienstmöglichkeiten im vorinstanzlichen Verfahren (E. 5.4) bzw. vor Bundesgericht (E. 5.5) selbst einschätzt, beläuft sich seine wirtschaftliche Leistungsfähigkeit auf Fr. 1'184.-- (Fr. 3'600.--./. Fr. 2'416.--) bzw. Fr. 1'084.-- (Fr. 3'500.--./. Fr. 2'416.--) pro Monat. Auch das zuletzt erwähnte Betreffnis unterschreitet den Unterhaltsbeitrag von Fr. 1'200.--, den der Beschwerdeführer dem angefochtenen Entscheid zufolge ab Mai 2015 zu bezahlen hat, um weniger als zehn Prozent. Zwar erklärte der Beschwerdeführer vor der Vorinstanz noch, erst ab Juli 2015 effektiv ein monatliches Nettoeinkommen von Fr. 3'600.-- erzielen zu können. In seiner Beschwerde an das Bundesgericht äussert er sich aber allein unter diesem zeitlichen Aspekt nicht näher dazu, weshalb es sich nicht mit dem Bundesrecht vertrage, ihn schon ab Mai 2015 zu einem Unterhaltsbeitrag von Fr. 1'200.-- pro Monat zu verurteilen. Vielmehr stellt er dem angefochtenen Entscheid in dieser Hinsicht einfach seine eigene Sichtweise entgegen. Allein damit vermag er nichts auszurichten.
5.7. Allein vom Ergebnis her - und darauf kommt es im Verfahren vor Bundesgericht an - hält der angefochtene Entscheid auch hinsichtlich der Beurteilung der Frage, ob der Beschwerdeführer ab Mai 2015 tatsächlich im Umfang von Fr. 1'200.-- über seinen eigenen Lebensunterhalt hinaus ein monatliches Nettoeinkommen erzielen kann, vor Bundesrecht stand. Angesichts dessen braucht das Bundesgericht nicht näher zu erörtern, was es im Einzelnen mit dem monatlichen Nettoeinkommen von Fr. 4'500.-- auf sich hat, das die Vorinstanz ihrem Entscheid ohne nähere Erklärungen zugrunde legt.
6.
Die Beschwerde erweist sich also als unbegründet. Sie ist abzuweisen. Der Beschwerdeführer unterliegt. Er hat deshalb für die Gerichtskosten aufzukommen (<ref-law>). Der Beschwerdegegnerin, die im Streit um die Erteilung der aufschiebenden Wirkung mit ihren Anträgen nicht durchgedrungen ist und sich in der Hauptsache nicht zu vernehmen hatte, schuldet er keine Entschädigung. Dem Gesuch des Beschwerdeführers um unentgeltliche Rechtspflege für das bundesgerichtliche Verfahren kann entsprochen werden, ebenso demjenigen der Beschwerdegegnerin, was das Verfahren betreffend die aufschiebende Wirkung angeht (Art. 64 Abs. 1 und 2 BGG). Die Parteien haben der Gerichtskasse Ersatz zu leisten, wenn sie später dazu in der Lage sind (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen.
2.
2.1. Das Gesuch des Beschwerdeführers um unentgeltliche Rechtspflege für das bundesgerichtliche Verfahren wird gutgeheissen und es wird dem Beschwerdeführer Rechtsanwalt Jürg Tanner als Rechtsbeistand beigegeben.
2.2. Das Gesuch der Beschwerdegegnerin um unentgeltliche Verbeiständung für das bundesgerichtliche Verfahren wird gutgeheissen und es wird der Beschwerdegegnerin Rechtsanwalt Roger Gebhard als Rechtsbeistand beigegeben.
3.
Die Gerichtskosten von Fr. 2'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt, indes vorläufig auf die Gerichtskasse genommen.
4.
Rechtsanwalt Jürg Tanner wird aus der Bundesgerichtskasse mit Fr. 2'500.-- entschädigt.
5.
Rechtsanwalt Roger Gebhard wird aus der Bundesgerichtskasse mit Fr. 500.-- entschädigt.
6.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Schaffhausen schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 1. Juni 2016
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: von Werdt
Der Gerichtsschreiber: V. Monn