Sachverhalt:
A.
Die Mutter von A._ meldete ihren Sohn im November 2014 mit dem Vermerk "POS 404" bei der Invalidenversicherung zum Leistungsbezug an. Der Anmeldung beigelegt war der Untersuchungs-Report des "ADHD-Kompetenzzentrum Ostschweiz" erstellt am 28. März 2014. Als Autoren wurden Dr. med. B._ (Chefarzt) und Dr. phil. C._ genannt, welcher das Dokument allein unterzeichnet hatte. Letzterer, Fachpsychologe FSP sowie Kinder- und Jugendpsychologe SKJP, behandelte A._ ab 9. Januar 2015. Gestützt auf die Stellungnahme des Regionalen Ärztlichen Dienstes Ostschweiz vom 26. und 30. März 2015 teilte die IV-Stelle des Kantons St. Gallen mit Vorbescheid vom 20. April 2015 mit, dass das Gesuch um medizinische Massnahmen wegen Fehlens einer ärztlich gestellten Diagnose, einer Verordnung sowie der Psychotherapieindikation abgelehnt werden müsse. Dagegen opponierten die Eltern des Versicherten und der obligatorische Krankenversicherer (SWICA Krankenversicherung AG; nachfolgend: SWICA), welcher Vorleistungen erbracht hatte. Nach ergänzenden Abklärungen verfügte die IV-Stelle am 2. November 2015 im Sinne des Vorbescheids.
B.
Die SWICA und auch A._ erhoben je Beschwerde, welche das Versicherungsgericht des Kantons St. Gallen nach Vereinigung der Verfahren und zweifachem Schriftenwechsel mit Entscheid vom 24. Mai 2016 teilweise guthiess, soweit darauf eingetreten werden konnte, indem es die Sache zur weiteren Abklärung und zur anschliessenden neuen Verfügung im Sinne der Erwägungen an die IV-Stelle zurückwies.
C.
Die IV-Stelle des Kantons St. Gallen führt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten mit dem Rechtsbegehren, der Entscheid vom 24. Mai 2016 sei aufzuheben und die Verfügung vom 2. November 2015 zu bestätigen.
Die SWICA, A._ (Beschwerdegegner) und auch das kantonale Versicherungsgericht beantragen die Abweisung der Beschwerde, das Bundesamt für Sozialversicherungen (BSV) deren Gutheissung.

Erwägungen:
1.
1.1. Dispositiv-Ziffer 2 (i.V.m. E. 4.4 und 4.5) des angefochtenen Entscheids weist die Sache an die IV-Stelle zur weiteren Abklärung und zur anschliessenden neuen Verfügung betreffend die Vergütung der am 9. Januar 2015 begonnenen Psychotherapie als medizinische Massnahme bei Geburtsgebrechen nach Art. 13 Abs. 1 und <ref-law> zurück. Das kantonale Versicherungsgericht hat festgestellt, beim Beschwerdegegner sei vor der Vollendung des 9. Altersjahres eine Aufmerksamkeitsdefizit-/Hyperaktivitätsstörung (ADHS) diagnostiziert worden. Es blieben die übrigen Anspruchsvoraussetzungen des Geburtsgebrechens Ziff. 404 Anhang GgV (vgl. E. 4 hinten) zu prüfen, u.a. ob das Leiden angeboren oder erworben sei.
Es kann offenbleiben, ob es sich beim vorinstanzlichen Rückweisungsentscheid um einen End- oder Teilentscheid nach Art. 90 f. BGG bzw. um einen Vor- oder Zwischenentscheid nach <ref-law> handelt. Wie die Beschwerde führende IV-Stelle vorbringt, wäre sie bei Nichteintreten auf das Rechtsmittel gezwungen, die Psychotherapie (und allenfalls weitere Therapien) zu übernehmen, sofern es sich dabei um eine anerkannte Behandlung der ADHS handelt (Art. 2 Abs. 1 letzter Satz IVV und Art. 2 Abs. 3 GgV; <ref-ruling> E. 2b/cc S. 60), obschon nach ihrer Auffassung die Diagnosestellung die invalidenversicherungsrechtlichen Anforderungen nicht erfülle, ohne dass sie sich dagegen wehren könnte. Dies stellt einen nicht wieder gutzumachenden Nachteil im Sinne von <ref-law> dar (<ref-ruling> E. 4.2 S. 285 mit Hinweisen). Die Beschwerde ist somit unabhängig von der Qualifikation als End-, Teil- oder Zwischenentscheid zulässig.
1.2. Der Beschwerdegegner bestreitet in seiner Vernehmlassung die Notwendigkeit der Rückweisung der Sache an die IV-Stelle zur weiteren Abklärung und zu neuer Verfügung. Dazu ist er indessen nicht berechtigt. Auf seine diesbezüglichen Vorbringen ist daher nicht einzutreten.
1.3. Die Beschwerdelegitimation der SWICA als obligatorischer Krankenversicherer des Beschwerdegegners, welche Vorleistungen für die am 15. Januar 2015 begonnene Psychotherapie erbracht hat (vgl. <ref-law>), im Verfahren vor dem kantonalen Versicherungsgericht steht ausser Frage (vgl. Art. 49 Abs. 4 und <ref-law> sowie aArt. 88quater Abs. 2 IVV, in Kraft gestanden bis 31. Dezember 2002 und <ref-ruling> E. 3d S. 99; AHI 2002 S. 200; Ueli Kieser, ATSG-Kommentar, 3. Aufl. 2015, Rz. 48 zu <ref-law>). Ihr kommt somit auch Parteistellung im Verfahren vor dem Bundesgericht zu (<ref-law>).
2.
Mit der Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann unter anderem die Verletzung von Bundesrecht gerügt werden (<ref-law>). Die Feststellung des Sachverhalts kann nur gerügt werden, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von Artikel 95 beruht und wenn die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein kann (<ref-law>). Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat. Es kann die Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz von Amtes wegen berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von Artikel 95 beruht (Art. 105 Abs. 1 und 2 BGG).
3.
Streitgegenstand bildet die Leistungspflicht der Beschwerdeführerin für die am 15. Januar 2015, somit zwei Wochen vor Vollendung des 9. Altersjahres begonnene Therapie des Beschwerdegegners gestützt auf Art. 13 Abs. 1 und <ref-law>. Dabei stellt sich in erster Linie die Frage, ob das Geburtsgebrechen Ziff. 404 Anhang GgV gegeben ist. Nicht zu prüfen ist, da weder im vorinstanzlichen noch in diesem Verfahren geltend gemacht, ob <ref-law> als Anspruchsgrundlage in Betracht fällt (vgl. <ref-ruling> E. 2 S. 38).
4.
4.1. Versicherte haben bis zum vollendeten 20. Altersjahr Anspruch auf die zur Behandlung von Geburtsgebrechen (<ref-law>) notwendigen medizinischen Massnahmen (<ref-law>). Die medizinischen Massnahmen umfassen u.a. die Behandlung, die vom Arzt selbst oder auf seine Anordnung durch medizinische Hilfspersonen in Anstalts- oder Hauspflege vorgenommen wird, mit Ausnahme von logopädischen und psychomotorischen Therapien (<ref-law>).
Als Geburtsgebrechen im Sinne von Artikel 13 IVG gelten Gebrechen, die bei vollendeter Geburt bestehen (Art. 1 Abs. 1 Satz 1 GgV). Geburtsgebrechen nach Ziff. 404 Anhang GgV (i.V.m. Art. 1 Abs. 2 GgV sowie <ref-law> und <ref-law>) sind Störungen des Verhaltens bei Kindern mit normaler Intelligenz, im Sinne krankhafter Beeinträchtigung der Affektivität oder Kontaktfähigkeit, bei Störungen des Antriebes, des Erfassens, der perzeptiven Funktionen, der Wahrnehmung, der Konzentrationsfähigkeit sowie der Merkfähigkeit [ADHS; früher "psychoorganisches Syndrom", POS], sofern sie mit bereits gestellter Diagnose als solche vor der Vollendung des 9. Altersjahres auch behandelt worden sind.
4.2. Nach der Rechtsprechung handelt es sich bei der objektiven Bedingung "mit bereits gestellter Diagnose als solche vor der Vollendung des 9. Altersjahres auch behandelt" um zwei kumulativ zu erfüllende Anspruchsvoraussetzungen im Sinne von Abgrenzungskriterien, um zu entscheiden, ob die Störung angeboren oder erworben ist. Das Fehlen von wenigstens einem der beiden Merkmale begründet die unwiderlegbare Rechtsvermutung, es liege kein Geburtsgebrechen im Rechtssinne vor (<ref-ruling> E. 3c/bb und E. 4c S. 122 ff.; Urteile 9C_435/2014 vom 10. September 2014 E. 4.1 und 8C_23/2012 vom 5. Juni 2012 E. 5.1.1).
Die Vorinstanz stellt diese Rechtsprechung im Rahmen ihres Rückweisungsentscheids insofern in Frage, als auch bei rechtzeitig gestellter Diagnose zu prüfen sei, ob es sich bei der ADHS um ein angeborenes oder ein erworbenes Leiden handelt. Darauf braucht mit Blick auf den Ausgang des Verfahrens indessen nicht weiter eingegangen zu werden.
5.
Das kantonale Versicherungsgericht hat erwogen, grundsätzlich müssten die Symptome einer Störung von der im ersten Teilsatz von Ziff. 404 Anhang GgV umschriebenen Art ärztlich festgestellt sein, damit die Anspruchsvoraussetzung "mit bereits gestellter Diagnose als solche vor der Vollendung des 9. Altersjahres" als gegeben betrachtet werden könne. Dies schliesse indessen den Beizug medizinischer Hilfspersonen mit spezifischen Fachkenntnissen durch den Arzt nicht aus. "Es sind keine Gründe ersichtlich, weshalb ein Arzt besser geeignet sein sollte, die für die Diagnose einer ADHD/ADHS entscheidenden Befunde zu erheben als ein in diesem Gebiet spezialisierter Psychologe". Sei an der Qualität der Abklärungen (Untersuchung, Befunderhebung) durch die medizinische Hilfsperson nichts zu bemängeln und die gestützt darauf vom Arzt persönlich gestellte Diagnose einleuchtend, könne darauf abgestellt werden. Diese Voraussetzungen seien vorliegend gegeben. Dr. phil. C._ habe im Auftrag von Dr. med. B._ im März und April 2014 die notwendigen Untersuchungen beim Versicherten durchgeführt. Es sei davon auszugehen, dass Dr. phil. C._ als Psychologe über ein grosses Fachwissen bei der Erhebung der relevanten Befunde verfüge. Dr. med. B._ seinerseits sei Facharzt für Kinder- und Jugendmedizin. Er habe anschliessend an die Untersuchungen in Zusammenarbeit mit Dr. phil. C._ die einzelnen POS-spezifischen Kriterien als ausreichend für das Vorliegen des Geburtsgebrechens Ziff. 404 Anhang GgV qualifiziert. Der Versicherte leide somit mit überwiegender Wahrscheinlichkeit an einer ADHS, wobei die Diagnose rechtzeitig vor der Vollendung des 9. Altersjahres gestellt worden sei.
6.
Die IV-Stelle bestreitet, dass für die Diagnosestellung im Sinne des zweiten Teilsatzes von Ziff. 404 Anhang GgV keine persönliche Untersuchung und Befunderhebung durch einen (Fach-) Arzt erforderlich sein soll. In den diese Verordnungsbestimmung konkretisierenden Rz. 404.5 und 404.8 des Kreisschreibens über die medizinischen Eingliederungsmassnahmen der Invalidenversicherung (KSME) werde denn auch mit Bezug auf die Diagnose bzw. Symptome von "ärztlich festgestellt" und "ärztlichen Feststellungen" gesprochen. Das Bundesgericht habe Rz. 404.5 KSME als verordnungskonform bezeichnet (Urteil 9C_932/2010 vom 11. Januar 2011 E. 2.2) und die Anforderung einer ärztlichen Diagnose Im Urteil 8C_23/2012 vom 5. Juni 2012 E. 5.1.2 nicht in Frage gestellt. Die Beschränkung auf eine Berufsgruppe für das Stellen von Diagnosen sowie die Verordnung und Durchführung von Behandlungen müsse möglich sein, um der Tatsache Rechnung zu tragen, dass es sich um ein komplexes Leiden handle. Auf die nicht ärztlich erfolgte Diagnosestellung des "ADHD-Kompetenzzentrum Ostschweiz" könne somit nicht abgestellt werden, ohne Bundesrecht zu verletzen.
7.
7.1. Als Krankheiten im Rechtssinne (<ref-law> [i.V.m. <ref-law>]) müssen Geburtsgebrechen grundsätzlich von einem (Fach-) Arzt diagnostiziert werden, um als solche anerkannt zu werden. Dementsprechend hält Rz. 404.5 KSME fest, dass die im ersten Teilsatz von Ziff. 404 Anhang GgV erwähnten Symptome (Krankheitszeichen) "ärztlich festgestellt" sein müssen, und nach Rz. 404.8 KSME sind in Zweifelsfällen die "ärztlichen Feststellungen" aus medizinischer Sicht sorgfältig zu überprüfen und allenfalls durch eine von der IV-Stelle angeordnete spezialärztliche Untersuchung zu ergänzen. Unbestritten hatte im vorliegenden Fall (auch) Dr. med. B._, Facharzt für Kinder- und Jugendmedizin, beim Beschwerdegegner die Diagnose einer ADHS ("ADHD DSM 4, 314, kombinierter Typ"; Schreiben vom 10. Januar 2015 an Dr. phil. C._ betreffend Zuweisung zur Psychotherapie) gestellt.
7.2. "Ärztlich festgestellt " bedeutet indessen auch, dass der Arzt den oder die Versicherte selber untersucht, die klinischen Befunde erhoben und allenfalls fremdanamnestische Auskünfte eingeholt hat. Die persönliche Befassung, der unmittelbare Kontakt mit der versicherten Person ist Wesensmerkmal einer medizinischen Diagnosestellung lege artis. Die Mitwirkung Dritter, insbesondere der Beizug nicht medizinischer Hilfspersonen, ist nur in engen Grenzen, die jedenfalls nicht weiter sein können als bei delegierter Psychotherapie (vgl. <ref-ruling> E. 2b S. 270), zulässig. Es kann sich grundsätzlich nicht anders verhalten als in der obligatorischen Krankenpflegeversicherung (vgl. Gebhard Eugster, Krankenversicherung, in: Soziale Sicherheit, SBVR Bd. XIV, 3. Aufl. 2016, S. 524 Rz. 385 mit Hinweisen auf die Rechtsprechung). Das BSV weist in seiner Vernehmlassung zu Recht darauf hin, dass die Neuropsychologen aufgrund ihrer Kompetenzen in der Durchführung von Testverfahren zwar eine zentrale Rolle bei der Diagnose des Geburtsgebrechens nach Ziff. 404 Anhang GgV einnehmen würden und dabei aktiv mitwirken könnten. Immer setze die Diagnosestellung jedoch die Erhebung der Anamnese und eine klinische Untersuchung durch den Facharzt ([Neuro-]Pädiater oder Kinder- und Jugendpsychiater) voraus, da es um eine komplexe gesundheitliche Entwicklungsstörung gehe, die darüber hinaus oftmals auch mit anderen psychischen Störungen kombiniert auftreten könne.
Wie Dr. med. B._ auf entsprechende Rückfrage der IV-Stelle im Schreiben vom 26. August 2015 festhielt, hatte Dr. phil. C._, Fachpsychologe FSP sowie Kinder- und Jugendpsychologe SKJP, im Rahmen delegierter Psychotherapie den Beschwerdegegner u.a. in Bezug auf Intelligenz, Wahrnehmungs- und Gedächtnisleistungen, Aufmerksamkeitsdefizite und Impulssteuerung untersucht. Aufgrund der Ergebnisse (wiedergegeben im Untersuchungs-Report des "ADHD-Kompetenzzentrum Ostschweiz", erstellt im April 2014) qualifizierte er in Zusammenarbeit mit diesem die einzelnen POS-spezifischen Kriterien als ausreichend für das Vorliegen eines Geburtsgebrechens. Auch wenn die Fachkompetenz von Dr. phil. C._ nicht anzuzweifeln ist, hätte Dr. med. B._ oder allenfalls ein anderer Facharzt den Beschwerdegegner persönlich untersuchen und die vom (Neuro-) Psychologen erhobenen Befunde verifizieren oder zumindest einer Plausibilitätsprüfung unterziehen müssen, was aufgrund der Akten indessen nicht geschehen ist. Unter diesen Umständen ist das Erfordernis einer fachärztlich gestellten Diagnose vor der Vollendung des 9. Altersjahres im Sinne des zweiten Teilsatzes von Ziff. 404 Anhang GgV nicht gegeben.
7.3. Die Beschwerde ist begründet.
8.
Ausgangsgemäss werden der Beschwerdegegner und die SWICA kostenpflichtig (<ref-law>). Die obsiegende IV-Stelle hat keinen Anspruch auf Parteientschädigung (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird gutgeheissen. Der Entscheid des Versicherungsgerichts des Kantons St. Gallen vom 24. Mai 2016 wird aufgehoben und die Verfügung der IV-Stelle des Kantons St. Gallen vom 2. November 2015 bestätigt.
2.
Von den Gerichtskosten von Fr. 3'000.- werden dem Beschwerdegegner Fr. 500.- und der SWICA Krankenversicherung AG Fr. 2'500.-auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird den Parteien, dem Versicherungsgericht des Kantons St. Gallen und dem Bundesamt für Sozialversicherungen schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 2. November 2016
Im Namen der II. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Glanzmann
Der Gerichtsschreiber: Fessler