Erwägungen:
1.
Mit Eingabe vom 20. April 2016 (Postaufgabe: 23. April 2016) wendet sich A._ an das Bundesgericht. Sinngemäss macht er geltend, er habe am 3. April 2016 bei der Gesundheits- und Fürsorgedirektion des Kantons Bern ein Gesuch um Opferhilfe eingereicht. Am 7. April 2016 sei ihm von der Direktion telefonisch mitgeteilt worden, das Gesuch werde abgelehnt, da kein Straftatbestand vorliege. Über eine noch am gleichen Tag beim Verwaltungsgericht des Kantons Bern eingereichte Beschwerde habe dieses noch nicht entschieden. A._ beantragt sinngemäss die sofortige Zusprechung von Opferhilfe und von Ergänzungsleistungen sowie Krankenkostenentschädigungen (Pflegegeld) für sich, seine Ehefrau und seine Tochter.
2.
2.1. Gemäss Art. 42 Abs. 1 und 2 BGG ist die Beschwerde mit einem (gültigen) Rechtsbegehren zu versehen und ist in der Begründung in gedrängter Form darzulegen, inwiefern der angefochtene Akt Recht verletzt. Zusätzliche Anforderungen gelten, wenn die Verletzung von Grundrechten geltend gemacht wird. Dies prüft das Bundesgericht grundsätzlich nur insoweit, als eine solche Rüge in der Beschwerde vorgebracht und begründet worden ist (<ref-law>). Das Bundesgericht prüft nur klar und detailliert erhobene und, soweit möglich, belegte Rügen (<ref-ruling> E. 1.4 S. 176; <ref-ruling> E. 1.6 S. 130; <ref-ruling> E. 1.4 S. 254 f.).
2.2. Die beim Bundesgericht eingereichte Eingabe enthält keinen geeigneten Antrag. Es ist dem Bundesgericht verwehrt, anstelle der Verwaltungsbehörden direkt über einen opferhilferechtlichen Vorschuss zu entscheiden.
2.3. Die Eingabe enthält auch keine ausreichende Begründung. Es ist nicht ersichtlich, ob der Beschwerdeführer sich gegen die ihm angeblich telefonisch mitgeteilte Auskunft der Direktion wendet und weshalb es sich dabei um einen beim Bundesgericht anfechtbaren Entscheid bzw. um Rechtsverzögerung handeln sollte oder ob er das Verhalten des Verwaltungsgerichts rügen will. So oder so wird nicht rechtsgenüglich dargetan, wer eine Rechtsverzögerung begangen haben und weshalb eine solche bereits nach lediglich 17 Tagen seit Gesuchstellung bei der Direktion und 13 Tagen seit angeblicher Beschwerdeerhebung beim Verwaltungsgericht eingetreten sein soll. Insbesondere ist nicht nachvollziehbar, welche Bestimmung des Bundesrechts und inwiefern eine solche verletzt worden sein sollte.
2.4. Auf die Beschwerde ist daher bereits mangels gültigen Antrags sowie mangels ausreichender Begründung im Verfahren nach <ref-law> nicht einzutreten. Weitere Prozessvoraussetzungen sind damit nicht zu prüfen.
3.
Angesichts der besonderen Umstände des Verfahrens rechtfertigt es sich, von der Erhebung von Kosten abzusehen (<ref-law>).

Demnach erkennt der Präsident:
1.
Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2.
Es werden keine Kosten erhoben.
3.
Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer, der Gesundheits- und Fürsorgedirektion des Kantons Bern und dem Verwaltungsgericht des Kantons Bern schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 29. April 2016
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Fonjallaz
Der Gerichtsschreiber: Uebersax