Faits :
A.
X._ était assuré contre les accidents professionnels et non-professionnels auprès de U._ SA (ci-après: U._), au sein de laquelle il était responsable de service. Il était assuré auprès du même assureur par un contrat d'assurance collective complémentaire à l'assurance-accidents selon la LAA (RS 832.20), régi par les conditions générales d'assurance, édition N 05 (ci-après: CGA). L'art. 8A CGA prévoit l'octroi d'un capital-invalidité; sa teneur est la suivante:
" Lorsqu'un accident a pour conséquence une invalidité présumée permanente survenant dans un délai de 5 ans à compter du jour de l'accident, la Compagnie paie le capital d'invalidité déterminé en fonction du degré d'invalidité, de la somme d'assurance convenue et de la variante de prestation choisie. Peu importe dans ce cas qu'il en résulte ou non une perte de gain et quelle que soit l'importance de celle-ci. Le calcul s'effectue selon les mêmes critères que ceux utilisés dans l'assurance selon la LAA pour la fixation de l'indemnité pour atteinte à l'intégrité. "
Le 15 janvier 2003, X._ a été victime d'un accident alors qu'il circulait en scooter. Les médecins des HUG ont diagnostiqué une fracture du col fémoral droit et une fracture sous-capitale de l'humérus droit. Le même jour, l'assuré a subi une ostéosynthèse par trois vis parallèles de la fracture du col fémoral. L'opération de l'épaule droite a eu lieu le 21 janvier 2003. Du 27 janvier au 26 mars 2003, X._ a séjourné dans le service de médecine physique et rééducation de l'hôpital M._. Il a pu reprendre son travail à 100% en juillet 2003. La prise en charge médicale s'est alors poursuivie essentiellement par des séances de physiothérapie.
En février 2006, U._ a mandaté le Dr A._, spécialiste FMH en chirurgie orthopédique, pour une expertise de l'état de santé de l'assuré; il s'agissait notamment de se prononcer sur un éventuel dommage permanent anatomique (invalidité médico-théorique) à indemniser selon les CGA. Dans son rapport du 10 juillet 2006, l'expert a relevé, au niveau de la hanche droite, un début de coxarthrose, susceptible de s'aggraver dans les années à venir; il a évalué le taux d'invalidité permanente partielle (IPP) à 4% au niveau de la hanche et à 3% au niveau de l'épaule, soit un taux global de 7%.
Le 28 novembre 2006, U._ a adressé au conseil de X._ une déclaration d'indemnisation dans le cadre de l'assurance complémentaire à la LAA. Sur la base du taux IPP déterminé par l'expert, il était prévu le versement d'un capital de 25'494 fr.90, représentant 7% du montant assuré de 364'213 fr.20; formulée en rapport avec l'indemnité pour atteinte à l'intégrité au sens de la LAA, la réserve liée à la coxarthrose de la hanche droite était également valable pour le taux IPP.
L'assuré n'a pas signé ni renvoyé la déclaration. En effet, il était d'avis que toutes les séquelles de l'accident n'étaient pas encore connues; il se référait à cet égard à une radiographie du coude droit effectuée le 30 novembre 2006, mettant en évidence une fracture de la tête radiale passée inaperçue jusqu'alors.
Le 16 octobre 2007, le matériel d'ostéosynthèse de l'épaule et de la hanche a été enlevé.
En février 2008, U._ a confié une deuxième expertise au Dr A._. Dans son rapport du 20 juin 2008, l'expert mentionne une évolution favorable au niveau de l'épaule droite, mais une symptomatologie comparable à celle de juin 2006 au niveau de la hanche droite; il précise que la fracture de la tête radiale du coude droit n'entraîne pas de troubles dégénératifs; pour le surplus, le taux IPP retenu dans l'expertise du 10 juillet 2006 n'est pas modifié.
Sur cette base, U._ a confirmé à X._, par pli du 30 juin 2008, la teneur de la déclaration d'indemnisation du 28 novembre 2006; elle restait dans l'attente du retour de ce document, à signer par l'assuré. Sur demande de ce dernier, U._ lui renverra la quittance d'indemnisation le 26 novembre 2008, l'invitant à y apposer la date, sa signature et ses coordonnées bancaires. L'assuré ne s'exécutera pas.
Par décision datée également du 30 juin 2008, U._ a alloué à X._ une indemnité pour atteinte à l'intégrité selon la LAA de 7%, soit 7'476 fr.; les cas de rechute ou de séquelles tardives étaient réservés.
Une IRM de la hanche droite réalisée le 24 septembre 2009 a mis en évidence une coxarthrose. Dans des rapports échelonnés entre décembre 2009 et septembre 2010, le Professeur B._ a indiqué que cette affection, clairement liée à une séquelle post-traumatique de l'accident de 2003, était assez sévère et nécessiterait une arthroplastie totale de la hanche à moyen terme.
En mars 2011, U._ a informé le nouveau conseil de X._ de son intention de mettre en oeuvre une troisième expertise médicale; elle lui demandait de justifier de ses pouvoirs. La réponse du mandataire de l'assuré est intervenue en avril 2012. U._ lui a alors soumis une liste d'experts. Après plusieurs rappels, le conseil de X._ finira par répondre en janvier 2013.
Le 12 mars 2013, U._ a confié une expertise au Dr C._, spécialiste FMH en chirurgie orthopédique. Dans son rapport du 18 mars 2013, l'expert a fixé l'atteinte à l'intégrité de l'épaule à 5% et celle de la hanche à 30%, compte tenu d'une arthrose de moyenne à grave, et retenu ainsi un taux global de 35%.
X._ a invité U._, d'une part, à compléter, sur la base de ce taux, l'indemnité pour atteinte à l'intégrité fondée sur la LAA et, d'autre part, à verser le capital-invalidité dû en vertu de l'assurance complémentaire, calculé selon le même taux.
Par décision du 3 juin 2013 rendue en application de la LAA, U._ a admis la prise en charge du traitement médical futur, consistant dans la pose d'une prothèse totale de la hanche, et fixé l'indemnité pour atteinte à l'intégrité à 38'380 fr., correspondant à un taux de 35%. Invoquant la prescription, elle a refusé en revanche d'entrer en matière sur une indemnisation de l'invalidité médico-théorique sur la base de l'assurance complémentaire à la LAA.
B.
Par demande du 11 mars 2015, X._ a ouvert action contre U._, concluant à ce que celle-ci soit condamnée à lui payer un capital-invalidité de 129'347 fr.70 avec intérêts à 5% l'an dès le 10 juin 2013.
U._ a conclu au rejet de la demande.
En cours de procédure, Z._ SA (ci-après: Z._) a succédé à U._.
Par jugement du 6 octobre 2015, le Tribunal administratif de première instance du canton de Genève a rejeté la demande en paiement. Il a jugé que les prétentions de X._ étaient prescrites.
Statuant le 2 mars 2016, la Chambre des assurances sociales de la Cour de justice du canton de Genève a rejeté l'appel déposé par l'assuré contre le jugement de première instance.
C.
X._ forme un recours en matière civile. Il conclut principalement à ce que Z._ soit condamnée à lui verser 127'474 fr.60 avec intérêts à 5% l'an dès le 10 juin 2013; à titre subsidiaire, il demande le renvoi de la cause à la cour cantonale.
Dans sa réponse, Z._ propose le rejet du recours.
Par la suite, les parties ont chacune déposé des observations supplémentaires.

Considérant en droit :
1.
L'assurance-accidents complémentaire à l'assurance LAA, sur laquelle la recourante fonde sa prétention, est soumise à la LCA (RS 221.229.1) (arrêt 4A_644/2014 du 27 avril 2015 consid. 2.2; ROLAND BREHM, L'assurance privée contre les accidents, 2001, n° 673 p. 305). La contestation opposant les parties est dès lors de nature civile (<ref-law>).
Le recours est dirigé contre une décision finale (<ref-law>) rendue par un tribunal supérieur désigné comme autorité cantonale de dernière instance, lequel a statué sur recours (<ref-law>). La cause atteint la valeur litigieuse de 30'000 fr. ouvrant le recours en matière civile dans les affaires ne relevant ni du droit du travail ni du droit du bail à loyer (<ref-law>). Au surplus, le recours est exercé par la partie qui a succombé dans ses conclusions condamnatoires et qui a donc qualité pour recourir (<ref-law>); il a été déposé dans le délai (art. 46 al. 1 let. a et art. 100 al. 1 LTF) et la forme (<ref-law>) prévus par la loi.
2.
Invoquant le principe de la fidélité contractuelle, le recourant reproche à la cour cantonale d'avoir violé le droit fédéral en admettant l'exception de prescription soulevée par l'intimée. Il souligne que, selon les CGA, le taux d'invalidité retenu dans l'assurance sociale s'applique également dans l'assurance privée. Ainsi, en décidant de mettre en oeuvre une troisième expertise médicale en mars 2011, puis en reconsidérant sa décision rendue sur la base de la LAA, l'intimée se serait engagée à revoir également les prestations dues en vertu du contrat d'assurance, indépendamment d'une éventuelle prescription de celles-ci.
A titre subsidiaire, le recourant est d'avis que l'assureur commet un abus de droit. Opposer la prescription aux prétentions déduites du contrat d'assurance serait en parfaite contradiction avec l'attitude de l'intimée depuis mars 2011, laquelle se serait déclarée prête à reconsidérer sa position selon le résultat de la troisième expertise, sans émettre aucune réserve ni distinction entre les prestations de l'assurance obligatoire LAA et celles de l'assurance complémentaire.
2.1. Aux termes de l'<ref-law>, les créances qui dérivent du contrat d'assurance se prescrivent par deux ans à dater du fait d'où naît l'obligation. Cette dernière notion ne se confond pas nécessairement avec la survenance du sinistre, même s'il s'agit de la cause première de l'obligation d'indemnisation. Selon le type d'assurance envisagée, la prestation de l'assureur n'est due que si le sinistre engendre un autre fait précis. Ainsi, en matière d'assurance-accidents, le contrat peut prévoir une couverture en cas d'invalidité; ce n'est alors pas l'accident comme tel, mais la survenance de l'invalidité qui donne lieu à l'obligation de base ( grundsätzliche Leistungspflicht) de l'assureur de verser des prestations. Dans ce cas-là, la prescription court donc dès le jour où l'invalidité est acquise (<ref-ruling> consid. 1.2 p. 265 s. et les arrêts cités), à savoir généralement lorsque les mesures thérapeutiques destinées à conjurer le mal ou, du moins, à limiter les effets de l'atteinte dommageable ont échoué (<ref-ruling> consid. 2b p. 454 s.; arrêt précité du 27 avril 2015 consid. 2.3). Il n'est pas nécessaire que le taux d'invalidité soit fixé définitivement; c'est l'invalidité dans son principe, et non dans son ampleur, qui doit être acquise, sauf si le contrat d'assurance prévoit, par exemple, qu'un taux minimal d'invalidité doit être atteint pour que le cas d'assurance soit réalisé (arrêt précité du 27 avril 2015 consid. 2.3; arrêt 5C.61/2003 du 23 octobre 2003 consid. 3.5; CHRISTOPH K. GRABER, Basler Kommentar, Versicherungsvertragsgesetz, Nachführungsband, 2012, n° 6 à 18 ad <ref-law> p. 163). Peu importe enfin le moment où l'assuré a eu connaissance de son invalidité, le point de départ du délai de prescription de l'<ref-law> étant fixé de manière objective (<ref-ruling> consid. 1.2 p. 266; <ref-ruling> consid. 2b p. 455).
Au surplus, la LCA renvoie au code des obligations pour toutes les questions qu'elle ne règle pas (<ref-law>).
2.2. La cour cantonale a retenu comme point de départ du délai de prescription le 10 juillet 2006, date du premier rapport du premier expert chargé de se prononcer notamment sur une invalidité médico-théorique à indemniser selon les CGA. Dans ce document, l'expert a constaté une invalidité permanente au niveau de la hanche et de l'épaule - évaluée à un taux global de 7% - et relevé un début de coxarthrose de la hanche, susceptible de s'aggraver. Comme la cour cantonale l'a bien vu, une invalidité présumée permanente, selon les termes de l'art. 8A CGA, était alors acquise, quand bien même son ampleur pouvait encore augmenter en raison du début de coxarthrose; l'obligation d'indemniser de l'assureur a donc pris naissance à ce moment-là. Par la suite, le délai de prescription a été interrompu à trois reprises par l'intimée (<ref-law>), qui a formulé une déclaration d'indemnisation le 28 novembre 2006, l'a confirmée le 30 juin 2008, puis l'a renvoyée au recourant le 26 novembre 2008. Après cette dernière date, aucun acte interruptif n'est intervenu de sorte que la prétention déduite du contrat d'assurance était prescrite en mars 2011, lorsque l'intimée a décidé de mettre en oeuvre une troisième expertise.
2.3. Sous l'angle de l'abus de droit, l'attitude du débiteur après l'écoulement du délai de prescription est sans importance, puisqu'elle ne saurait désormais empêcher le créancier d'agir à temps (<ref-ruling> consid. 2e p. 269; arrêt 4A_97/2014 du 26 juin 2014 consid. 7.3). La seule question qui se pose est de savoir si le comportement de l'assureur, à partir de mars 2011, peut être interprété comme une renonciation à invoquer la prescription et une reconnaissance sans réserve d'une partie au moins de la prétention déduite du contrat d'assurance (cf. <ref-ruling> consid. 2e p. 269).
Contrairement à ce que le recourant prétend, aucun élément constaté dans l'arrêt attaqué ne plaide dans ce sens. En mars 2011, l'intimée a proposé une troisième expertise après des examens et rapports médicaux établis en 2009 et 2010, qui mettaient en évidence une aggravation des séquelles de l'accident imposant une intervention orthopédique à plus ou moins long terme. Cette mesure se justifiait pleinement dans le cadre de l'assurance-accidents obligatoire, dès lors que, par décision du 30 juin 2008, l'intimée avait alloué au recourant une indemnité pour atteinte à l'intégrité tout en réservant notamment les séquelles tardives. Le seul fait que les CGA se réfèrent au taux d'invalidité applicable dans l'assurance LAA n'implique nullement que, une fois la prétention contractuelle prescrite, l'assureur privé, qui est également l'assureur LAA, accepte implicitement de reconnaître sans condition sa dette calculée sur la base du nouveau taux et de renoncer par là-même à l'exception de prescription. L'absence de précision ou de réserve de la part de l'intimée lors de la mise en oeuvre de la troisième expertise ne saurait de bonne foi être interprétée comme une telle renonciation. A cet égard, la situation est bien différente de celle qui se serait présentée si le recourant avait interrompu la prescription avant novembre 2010 ou avait signé la déclaration d'indemnisation établie dans le cadre de l'assurance complémentaire, laquelle comportait la même réserve que celle formulée dans la décision fondée sur la LAA.
Il s'ensuit que la cour cantonale n'a pas violé le droit fédéral en admettant l'exception de prescription soulevée par l'intimée.
3.
Sur le vu de ce qui précède, le recours doit être rejeté.
Le recourant, qui succombe, prendra à sa charge les frais judiciaires (<ref-law>) et versera des dépens à l'intimée (art. 68 al. 1 et 2 LTF).

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce :
1.
Le recours est rejeté.
2.
Les frais judiciaires, arrêtés à 5'000 fr., sont mis à la charge du recourant.
3.
Le recourant versera à l'intimée une indemnité de 6'000 fr. à titre de dépens.
4.
Le présent arrêt est communiqué aux mandataires des parties et à la Chambre des assurances sociales de la Cour de justice du canton de Genève (4ème Chambre).
Lausanne, le 16 janvier 2017
Au nom de la Ire Cour de droit civil
du Tribunal fédéral suisse
La Présidente : Kiss
La Greffière : Godat Zimmermann