Sachverhalt:
A.
A._ und B.A._ sind die nicht miteinander verheirateten Eltern von B.B._ (geb. 30. Oktober 2012).
B.
B.a. Am 9. März 2015 reichte die Regionalpolizei Lenzburg beim als Kindes- und Erwachsenenschutzbehörde fungierenden Familiengericht Lenzburg eine Gefährdungsmeldung betreffend B.B._ ein, worauf dieses mit Schreiben vom 11. März 2015 die Jugend-, Ehe- und Familienberatung Lenzburg (JEFB Lenzburg) mit der Erstellung eines Sozialberichts beauftragte. Mit Schreiben vom 17. März 2015 nahm die JEFB Lenzburg Stellung. Mit Schreiben vom 19. März 2015 präzisierte das Familiengericht den Auftrag an die JEFB Lenzburg. Am 8. Juni 2015 erstattete die bereits früher für B.B._ eingesetzte Beiständin einen Zwischenbericht per 31. Mai 2015. Mit Eingabe vom 7. Juli 2015 reichte die JEFB Lenzburg den in Auftrag gegebenen Sozialbericht ein. In der Folge unterbreitete das Familiengericht den Sozialbericht der JEFB Lenzburg dem Kindsvater zur Stellungnahme (Verfügung vom 14. Juli 2015).
B.b. Mit superprovisorischer Verfügung vom 17. Juli 2015 wurde den Kindseltern das Aufenthaltsbestimmungsrecht nach <ref-law> entzogen und B.B._ im Kinderheim Brugg platziert.
B.c. Mit Eingabe vom 22. Juli 2015 nahm der Kindsvater zur superprovisorischen Verfügung vom 17. Juli 2015 Stellung. Er beantragte, seinen Sohn "ab sofort und bis auf weiteres" unter seine Obhut zu stellen. Mit Eingabe vom selben Tag verlangte er zusätzlich die elterliche Sorge. Der Kindsmutter sei ein praxisübliches Besuchs- und Ferienrecht einzuräumen.
B.d. Am 28. Juli 2015 wurde der Kindsmutter das rechtliche Gehör gewährt. Am 29. Juli 2015 wurde der Kindsvater durch die Gerichtspräsidentin und die Fachrichterin angehört.
B.e. Mit Entscheid vom 30. Juli 2015 übertrug das Familiengericht Lenzburg die elterliche Sorge über B.B._ auf die Kindsmutter und den Kindsvater gemeinsam. Die faktische Obhut wurde per 1. August 2015 dem Kindsvater übertragen, während der Kindsmutter ein Besuchs- und Ferienrecht eingeräumt wurde. Das Familiengericht ordnete ausserdem einen Mediationsversuch an, bestätigte die bereits früher errichtete Beistandschaft nach Art. 308 Abs. 1 und 2 ZGB und erteilte der Beiständin zusätzliche Aufgaben. Einer allfälligen Beschwerde entzog das Familiengericht die aufschiebende Wirkung.
B.f. Die von A._ gegen diesen Entscheid gerichtete Beschwerde wies das Obergericht des Kantons Aargau mit Entscheid vom 31. März 2016 ab.
C.
Mit Beschwerde in Zivilsachen vom 17. Mai 2016 wendet sich A._ (Beschwerdeführerin) an das Bundesgericht. Sie verlangt, B.B._ unter ihre Obhut zu stellen. Die Angelegenheit sei zur weiteren Sachverhaltsermittlung und Durchführung eines korrekten Verfahrens an die Vorinstanz, eventualiter an die erste Instanz zurückzuweisen. Zudem verlangt die Beschwerdeführerin für das Verfahren vor dem Bundesgericht die unentgeltliche Rechtspflege.
Die Vorinstanz, das Familiengericht Lenzburg und die Beiständin von B.B._ haben auf eine Vernehmlassung verzichtet. B.A._ (Beschwerdegegner) beantragt die Abweisung der Beschwerde, soweit auf diese einzutreten ist (Eingabe vom 15. Dezember 2016). Die Vernehmlassungen wurden der Beschwerdeführerin zur Wahrung des rechtlichen Gehörs zur Kenntnis gebracht.

Erwägungen:
1.
1.1. Das Bundesgericht prüft von Amtes wegen und mit voller Kognition, ob die Eintretensvoraussetzungen gegeben sind (<ref-ruling> E. 2.1 S. 397).
1.2. Angefochten ist der Endentscheid einer letzten kantonalen Instanz, die als oberes Gericht über ein Rechtsmittel befunden hat (Art. 75 und 90 ZGB). Der Streit dreht sich um Massnahmen auf dem Gebiet des Kindesschutzes. Das ist eine öffentlich-rechtliche Angelegenheit, die in unmittelbarem Zusammenhang mit dem Zivilrecht steht und der Beschwerde in Zivilsachen unterliegt (Art. 72 Abs. 2 Bst. b Ziff. 6 BGG). Die übrigen Eintretensvoraussetzungen sind erfüllt und geben zu keinen Bemerkungen Anlass.
2.
2.1. Im ordentlichen Beschwerdeverfahren sind in rechtlicher Hinsicht alle Rügen gemäss Art. 95 f. BGG zulässig. Das Bundesgericht wendet das Recht grundsätzlich von Amtes wegen an (<ref-law>) und urteilt mit voller Kognition. Es ist allerdings nicht gehalten, wie ein erstinstanzliches Gericht alle sich stellenden rechtlichen Fragen von sich aus zu untersuchen, wenn die Beschwerdeführerin diese nicht mehr thematisiert (<ref-ruling> E. 1.3 S. 584; <ref-ruling> E. 2.2.1 S. 389). Deshalb ist in der Beschwerde in gedrängter Form darzulegen, inwiefern der angefochtene Akt Recht verletzt (Art. 42 Abs. 1 und 2 BGG; <ref-ruling> E. 1.1 S. 104 f.). Die Beschwerdeführerin muss auf den angefochtenen Entscheid eingehen und aufzeigen, worin eine Verletzung von Bundesrecht liegt; sie soll im Schriftsatz mit ihrer Kritik an den Erwägungen der Vorinstanz ansetzen, die sie als rechtsfehlerhaft erachtet (vgl. BGE <ref-ruling> E. 2.2.1 S. 389; <ref-ruling> E. 2a S. 400). Verfassungsverletzungen und Verletzungen von kantonalem und interkantonalem Recht werden nur geprüft, wenn sie gerügt und gehörig begründet werden (<ref-law>; BGE <ref-ruling> E. 2.2.1 S. 389; <ref-ruling> E. 3.2 S. 88 mit Hinweisen). Soweit es um die Überprüfung von Ermessensentscheiden (<ref-law>) geht, schreitet das Bundesgericht nur ein, wenn die kantonale Instanz grundlos von in Lehre und Rechtsprechung anerkannten Grundsätzen abgewichen ist, wenn sie Gesichtspunkte berücksichtigt hat, die keine Rolle hätten spielen dürfen, oder wenn sie umgekehrt rechtserhebliche Umstände ausser Acht gelassen hat. Aufzuheben und zu korrigieren sind ausserdem Ermessensentscheide, die sich als im Ergebnis offensichtlich unbillig, als in stossender Weise ungerecht erweisen (<ref-ruling> E. 1 S. 99; <ref-ruling> E. 4.2 S. 15; <ref-ruling> E. 2c/aa S. 162).
2.2. Vorliegend ist sodann auf eine Besonderheit des Prozessrechts für Verfahren vor Kindes- und Erwachsenenschutzbehörden und die daraus folgende Einschränkung der Kognition des Bundesgerichts hinzuweisen. Das ZGB enthält nur wenige Regeln zum Verfahren vor den Kindes- und Erwachsenenschutzbehörden. Damit sind für die Regelung des Verfahrens die Kantone zuständig, soweit das ZGB nicht ausnahmsweise eine Frage abschliessend bundesrechtlich beantwortet. Wenn die Kantone nichts anderes bestimmen (<ref-law>), finden die Bestimmungen der (eidgenössischen) Zivilprozessordnung - sinngemäss - Anwendung. Das Bundesgericht überprüft die korrekte Handhabung der subsidiär als kantonales Recht zur Anwendung gelangenden Bestimmungen der ZPO in der Folge nicht frei, sondern nur auf Willkür (<ref-law>) und auf entsprechende Rüge hin (<ref-law>; Urteil 5A_254/2014 vom 5. September 2014 E. 2.1). Eine willkürliche Rechtsanwendung liegt vor, wenn der angefochtene Entscheid offensichtlich unhaltbar ist, mit der tatsächlichen Situation in klarem Widerspruch steht, eine Norm oder einen unumstrittenen Rechtsgrundsatz krass verletzt oder in stossender Weise dem Gerechtigkeitsgedanken zuwiderläuft. Das Bundesgericht hebt einen Entscheid jedoch nur auf, wenn nicht bloss die Begründung, sondern auch das Ergebnis unhaltbar ist. Dass eine andere Lösung ebenfalls als vertretbar oder gar als zutreffender erscheinen mag, genügt nicht (<ref-ruling> E. 2.2 S. 72; <ref-ruling> E. 5.1 S. 17 f. mit Hinweisen).
2.3. Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (<ref-law>). Die Beschwerdeführerin kann die Feststellung des Sachverhalts rügen, wenn diese offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruht und wenn die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein kann; "offensichtlich unrichtig" bedeutet dabei "willkürlich" (<ref-law>; <ref-ruling> E. 1.2.2 S. 252). Auf eine Kritik an den tatsächlichen Feststellungen der Vorinstanz, die diesen Anforderungen nicht genügt, ist nicht einzutreten (vgl. <ref-ruling> E. 1.3 S. 351; <ref-ruling> E. 7.1 S. 398).
3.
3.1. Die Beschwerdeführerin wirft der Vorinstanz eine Verletzung des rechtlichen Gehörs (<ref-law>; Art. 6 EMRK) vor. Sie habe keine Möglichkeit gehabt, sich zum Ergebnis der Anhörung des Beschwerdegegners vom 29. Juli 2016 zu äussern, bevor das Gesamtgericht einen Tag später sein Urteil fällte. Die Vorinstanz sei auch grundlos von der herrschenden Lehre abgewichen, wonach in einem Fall wie dem vorliegenden ihre Anhörung nicht an den Instruktionsrichter hätte delegiert werden dürfen.
3.2. Die Beschwerdeführerin irrt, wenn sie der Meinung ist, dass sie einen verfassungsrechtlichen Anspruch darauf hat, von allen Mitgliedern des Familiengerichts Lenzburg und nicht bloss vom Instruktionsrichter angehört zu werden. Es ist im Gegenteil üblich und nicht zu beanstanden, die Beweisaufnahme, zu der in einem weiteren Sinn auch die Anhörung der Parteien gehört, einem Instruktionsrichter zu überlassen (vgl. <ref-ruling> E. 3.3.2 S. 194 f.).
Ferner übersieht die Beschwerdeführerin bei ihrer Kritik an der Vorinstanz, dass diese das Vorgehen des Familiengerichts Lenzburg im Zusammenhang mit der Anhörung des Beschwerdegegners vom 29. Juli 2016 keineswegs gebilligt, sondern explizit bestätigt hat, dass dabei das rechtliche Gehör der Beschwerdeführerin verletzt worden ist. Die Vorinstanz ist nun aber zum Schluss gekommen, dass diese Verletzung des rechtlichen Gehörs im Beschwerdeverfahren geheilt werden kann. Mit diesem Argument setzt sich die Beschwerdeführerin in ihrer Beschwerde an das Bundesgericht nicht auseinander, weshalb darauf nicht eingetreten werden kann (E. 2.1). Ebensowenig begründet die Beschwerdeführerin, weshalb das Obergericht die Verfassung verletzt haben sollte, weil ihr trotz Aufforderung die Audio-Dateien und die Videoaufnahmen der erstinstanzlichen Verhandlung nicht zur Verfügung gestellt worden sind.
4.
4.1. Die Beschwerdeführerin wirft der Vorinstanz vor, den Sachverhalt nicht genügend abgeklärt zu haben. Es liege kein Gutachten vor und die Vorinstanz stelle Spekulationen an. Bei den angeblichen Zeugen handle es sich um Zeugen vom Hörensagen. Sie, die Beschwerdeführerin, habe nie die Möglichkeit gehabt, diese Zeugen zu befragen und ihnen Ergänzungsfragen zu stellen. Die Vorinstanz habe nicht berücksichtigt, dass die Aussagen das Resultat von Nachbarschaftsstreitigkeiten seien, und damit <ref-law> und das Unmittelbarkeitsprinzip krass verletzt. Keine einzige Aussage der Mitmieter, des Sozialpädagogen E._ und der Sozialarbeiterin D._ sei nach <ref-law> in der vorgeschriebenen Form protokolliert worden. Sowohl der Sozialpädagoge als auch die Sozialarbeiterin hätten eine therapeutische und psychologische Funktion. Sie seien daher Träger eines Berufsgeheimnisses und hätten darüber aufgeklärt werden müssen, dass ihnen ein Mitwirkungsverweigerungsrecht zustünde (<ref-law>). Dies habe das Familiengericht Lenzburg unterlassen; die Vorinstanz habe damit rechtswidrige Beweise verwendet.
Anstatt die Erziehungsfähigkeit selbst zu prüfen, habe die Vorinstanz bloss die Einschätzungen der Sozialarbeiterin D._ und des Sozialpädagogen E._ wiedergegeben. Entgegen der bundesgerichtlichen Rechtsprechung habe die Vorinstanz damit die Beantwortung einer Rechtsfrage an einen Gutachter ausgelagert. Entscheidend wären Fragen gewesen wie jene nach den Beziehungen der verschiedenen Personen zu B.B._. Diese Fragen seien von der Vorinstanz nicht untersucht worden. Die Vorinstanz verfalle in Esoterik, wenn sie die Energiereserven der Beschwerdeführerin anspreche. Sie, die Beschwerdeführerin, bestreite jede Impulsivität. Die befragende Richterin habe eine solche in der lediglich 20-minütigen Befragung nicht festgestellt und sie sei dazu auch nicht befragt worden.
Weiter reklamiert die Beschwerdeführerin, dass das Obergericht offen lasse, welche kindlichen Bedürfnisse sie nicht ausreichend wahrgenommen habe. Eine fehlende Konstanz und eine zu geringe Entwicklungsförderung würden bestritten. Die Vorinstanz beschränke sich auf das Aneinanderreihen von Adjektiven, die jedoch in den Akten keine Stütze fänden. Die Vorinstanz habe es umgekehrt auch unterlassen abzuklären, wie sich der Beschwerdegegner organisiert, wenn die Obhut ihm übertragen wird. Aufgrund der Arbeitszeiten des Beschwerdegegners sei davon auszugehen, dass dieser bis um 10.00 Uhr schlafe, während der Kindergarten oder die Schule bereits um 08.00 Uhr oder sogar früher beginne. Der Beschwerdegegner habe nicht dazu befragt werden können, wie er sicherstelle, dass das Kind am Abend rechtzeitig zu Bett gehe und nicht zu viel Fernsehen schaue, wenn er von 16.00 Uhr bis um Mitternacht arbeite. Bezüglich Grosseltern sei unklar, ob sie angesichts ihres Alters und ihrer Pflegebedürftigkeit überhaupt noch in der Kinderbetreuung eingesetzt werden könnten. Sie, die Beschwerdeführerin, bestreite dies. Zudem habe es die Vorinstanz versäumt, den ausländerrechtlichen Status und die Legalität der Betreuung von B.B._ durch die Grosseltern und die Freundin des Beschwerdegegners zu untersuchen. Letztere halte sich nur als Touristin in der Schweiz auf. Deshalb sei es ihr auch untersagt, sich ohne Arbeitsbewilligung zu betätigen, um dem Kindsvater ein höheres Arbeitspensum zu ermöglichen. Schliesslich habe die Vorinstanz ihr rechtliches Gehör auch dadurch verletzt, dass sie nicht auf den Vorwurf zu sprechen komme, dass der Beschwerdegegner geleugnet habe, Frau Niedermann zu kennen, und dass sie Beweisofferten zum vermehrten Pornokonsum des Beschwerdegegners abgelehnt habe.
5.
Die teils unverständlichen, teils übermässig weitschweifigen (<ref-law>) Ausführungen der Beschwerdeführerin sind nicht geeignet, der Vorinstanz Willkür in der Feststellung des Sachverhalts nachzuweisen (E. 2.3). Dies gilt namentlich hinsichtlich der Behauptung, dass der Beschwerdeführer mit der Betreuung von B.B._ überfordert ist, dass die Grosseltern keine Hilfe mehr sind und dass sich die Freundin des Beschwerdeführers gar nicht an der Betreuung von B.B._ beteiligen darf. Auch die Tatsache, dass sich die Beschwerdeführerin selbst nicht als impulsiv wahrnimmt und mit der Betreuung von B.B._ nicht überfordert wähnt, bedeutet nicht, dass die gegenteilige Einschätzung der Vorinstanz willkürlich wäre.
Entgegen dem, was die Beschwerdeführerin anzunehmen scheint, ist es im Verfahren vor den Vorinstanzen nicht darum gegangen, einen gegen sie gerichteten strafrechtlich relevanten Vorwurf abzuklären. Vielmehr galt es zu überprüfen, ob die Voraussetzungen für einen Obhutsentzug gegeben sind bzw. ob B.B._ bei seinem Vater platziert werden kann. Zwar trifft es zu, dass die Vorinstanz in diesem Zusammenhang Aussagen von Nachbarn und der Sozialarbeiterin als Zeugenaussagen bezeichnet hat. Daraus folgt nun aber nicht, dass diese Personen im Rahmen der <ref-law> hätten befragt werden müssen. Anwendbar ist vielmehr Art. 446 Abs. 2 i.V.m. 314 Abs. 1 ZGB, wonach die Kindes- und Erwachsenenschutzbehörde die erforderlichen Erkundigungen und notwendigen Beweise erhebt und dafür auch eine geeignete Person oder Stelle mit Abklärungen beauftragen darf. Nichts anderes ergibt sich, wenn die Frage unter Berücksichtigung der ZPO beantwortet werden müsste, die im konkreten Fall wie erwähnt (E. 2.2) nicht bzw. nur als subsidiäres kantonales Recht Anwendung findet. Soweit es um Kinderbelange geht, gilt die Offizialmaxime und sind auch andere Beweismittel zulässig als jene, die in <ref-law> erwähnt werden (vgl. Urteil 5A_991/2015 vom 29. September 2016 E. 6.2, nicht publ. in: <ref-ruling>). Deshalb durfte die Vorinstanz ohne Weiteres auf die Ausführungen der Sozialarbeiterin D._ und des Sozialpädagogen E._ abstellen. Weshalb es trotzdem unabdingbar gewesen sein soll, ein Gutachten einer (weiteren) sachverständigen Person einzuholen (Art. 446 Abs. 2, zweiter Satz ZGB), tut die Beschwerdeführerin nicht dar und ist auch nicht ersichtlich.
Unzutreffend ist schliesslich die Behauptung der Beschwerdeführerin, die Vorinstanz hätte ihren Entscheid an die Sozialarbeiterin D._ und den Sozialpädagogen E._ delegiert: Tatsache ist vielmehr, dass sich die Vorinstanz auf deren Aussagen stützt, wonach die Beschwerdeführerin mit der Betreuung von B.B._ überfordert bzw. dieser beim Beschwerdegegner besser aufgehoben ist. Dass bei dieser Einschätzung der Sachlage auch Beobachtungen Dritter, beispielsweise von Nachbarn, eingeflossen sind, ist unvermeidlich und führt nach dem Gesagten nicht dazu, dass die Kindesschutzbehörde die Erkenntnisse der Sozialarbeiterin D._ und des Sozialpädagogen E._ nicht berücksichtigen darf. Schliesslich war der Vorinstanz auch eine antizipierte Beweiswürdigung gestattet (<ref-ruling> E. 4.3.2 S. 376). Darauf hat die Vorinstanz in ihrem Entscheid hingewiesen. Dass sie dabei nicht explizit zu den einzelnen Beweisofferten der Beschwerdeführerin Stellung genommen hat, begründet keine offensichtlich unrichtige Sachverhaltsfeststellung im Sinne von <ref-law> (vgl. E. 2.3).
6.
Die Beschwerdeführerin rügt einzig die willkürliche Feststellung des Sachverhalts durch die Vorinstanz. Sie wirft der Vorinstanz hingegen keine falsche Anwendung der Bestimmungen über die elterliche Sorge und Obhut vor. Auch das Bundesgericht braucht sich deshalb mit diesen Fragen nicht zu beschäftigen (E. 2.1).
7.
Gestützt auf die vorigen Erwägungen ist die Beschwerde abzuweisen, soweit darauf eingetreten werden kann. Bei diesem Ausgang des Verfahrens unterliegt die Beschwerdeführerin. Sie hat für die Gerichtskosten aufzukommen (<ref-law>) und den Beschwerdegegner zu entschädigen (<ref-law>). Die Gerichtskosten werden einstweilen auf die Bundesgerichtskasse genommen, da dem Gesuch der Beschwerdeführerin um unentgeltliche Rechtspflege entsprochen werden kann (Art. 64 Abs. 1 und 2 BGG). Keine Entschädigung steht dem Kanton Aargau zu (<ref-law>). Auch die Beiständin des Kindes hat keinen Anspruch auf Entschädigung. Die Beschwerdeführerin hat der Gerichtskasse Ersatz zu leisten, wenn sie später dazu in der Lage ist (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.
Das Gesuch der Beschwerdeführerin um unentgeltliche Rechtspflege für das bundesgerichtliche Verfahren wird gutgeheissen und es wird der Beschwerdeführerin Rechtsanwalt Stefan Galligani als Rechtsbeistand beigegeben.
3.
Die Gerichtskosten von Fr. 2'000.- werden der Beschwerdeführerin auferlegt, vorerst aber auf die Bundesgerichtskasse genommen.
4.
Die Beschwerdeführerin hat den Beschwerdegegner mit Fr. 1'000.-- zu entschädigen.
5.
Rechtsanwalt Stefan Galligani wird aus der Bundesgerichtskasse mit Fr. 1'000.-- entschädigt.
6.
Dieses Urteil wird den Parteien, B.B._, dem Familiengericht Lenzburg und dem Obergericht des Kantons Aargau, Kammer für Kindes- und Erwachsenenschutz, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 6. Februar 2017
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: von Werdt
Der Gerichtsschreiber: Monn