Sachverhalt:
A.
Die Ehegatten A.A._ und B.A._ (nachfolgend: die Steuerpflichtigen) deklarierten in ihren Steuererklärungen für die Steuerjahre 2011 und 2012 Dividenden der heute als X._ AG firmierenden damaligen Y._ AG in der Höhe von Fr. 150'000.-- resp. Fr. 200'000.--. Mit Veranlagungen vom 2. August 2012 für das Steuerjahr 2011 und vom 5. Dezember 2013 für das Steuerjahr 2012 folgte die Steuerverwaltung des Kantons Basel-Stadt diesbezüglich der Deklaration der Steuerpflichtigen.
B.
Mit Schreiben vom 21. Januar 2014 machten die Steuerpflichtigen eine irrtümlich unterbliebene Deklaration des qualifizierten Beteiligungsabzugs (recte: betreffend Teilbesteuerung) bezüglich der genannten Dividendeneinnahmen für die kantonalen Steuern und die direkte Bundessteuer 2012 geltend. Die Steuerverwaltung wies das Gesuch mit Revisionsentscheid vom 28. Februar 2014 ab. Mit Revisionsentscheid vom 24. April 2014 wies sie ein entsprechendes Gesuch vom 8. April 2014 bezüglich der kantonalen Steuern und der direkten Bundessteuer pro 2011 ebenfalls ab. Die dagegen erhobenen Rechtsmittel blieben erfolglos (Entscheid der Steuerrekurskommission des Kantons Basel-Stadt vom 5. Januar 2015, Urteil des Appellationsgerichts des Kantons Basel-Stadt als Verwaltungsgericht vom 5. Oktober 2015).
C.
Mit Eingabe vom 15. Januar 2016 erheben die Steuerpflichtigen Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten. Sie beantragen, das Urteil des Appellationsgerichts sei aufzuheben und die Sache zur revisionsweisen Neuveranlagung an die Steuerverwaltung zurückzuweisen.
Das Appellationsgericht beantragt die Abweisung der Beschwerde, soweit darauf einzutreten sei. Die kantonale und die Eidgenössische Steuerverwaltung - Letztere soweit die direkte Bundessteuer betreffend - schliessen ebenfalls auf Abweisung der Beschwerde.

Erwägungen:
I. Prozessuales
1.
1.1. Die Vorinstanz hat ein einziges Urteil für die Staatssteuer sowie die direkte Bundessteuer erlassen, was zulässig ist, soweit die zu entscheidende Rechtsfrage im Bundesrecht und im harmonisierten kantonalen Recht gleich geregelt ist (<ref-ruling> E. 1.3.1 S. 262 f.). Unter diesen Umständen ist den Beschwerdeführern nicht vorzuwerfen, nicht zwei getrennte Beschwerden eingereicht zu haben; aus ihrer Eingabe geht hervor, dass sie beide Steuerarten betrifft (<ref-ruling> E. 1.3.3 S. 264; Urteil 2C_1205/2013 / 2C_1206/2013 vom 18. Juni 2015 E. 1.1). Das Bundesgericht hat für die Staatssteuer (2C_47/ 2016) und die direkte Bundessteuer (2C_48/2016) getrennte Verfahren eröffnet. Da beide Verfahren auf demselben Sachverhalt beruhen und sich dieselben Rechtsfragen stellen, sind sie zu vereinigen und die Beschwerde ist in einem einzigen Urteil zu erledigen (vgl. Art. 71 BGG i.V.m. Art. 24 BZP [SR 273]; <ref-ruling> E. 1 S. 60 f. mit Hinweis).
1.2. Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten ist gemäss Art. 82 ff. BGG i.V.m. Art. 146 DBG (SR 642.11) sowie Art. 73 des Bundesgesetzes vom 14. Dezember 1990 über die Harmonisierung der direkten Steuern der Kantone und Gemeinden (StHG; SR 642.14) bzw. § 172 des Gesetzes des Kantons Basel-Stadt vom 12. April 2000 über die direkten Steuern (StG/BS; SG 640.100) zulässig und die Beschwerdeführer sind zur Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten legitimiert. Auf die frist- und formgerecht eingereichte Beschwerde ist einzutreten (Art. 42 und 100 Abs. 1 BGG).
2.
2.1. Mit der Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann eine Rechtsverletzung nach Art. 95 und Art. 96 BGG gerügt werden. Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (Art. 106 Abs. 1 BGG). Es ist folglich weder an die in der Beschwerde geltend gemachten Argumente noch an die Erwägungen der Vorinstanz gebunden; es kann die Beschwerde aus einem anderen als dem angerufenen Grund gutheissen, und es kann eine Beschwerde mit einer von der Argumentation der Vorinstanz abweichenden Begründung abweisen (Motivsubstitution: <ref-ruling> E. 3 S. 415; <ref-ruling> E. 2.2 S. 540; je mit Hinweisen). In Bezug auf die Verletzung von Grundrechten, insbesondere des Willkürverbots, gilt eine qualifizierte Rüge- und Substanziierungspflicht (Art. 106 Abs. 2 BGG; <ref-ruling> E. 2.2 S. 232; <ref-ruling> E. 1.6 S. 280).
Das Bundesgericht prüft die Anwendung des harmonisierten kantonalen Steuerrechts durch die kantonalen Instanzen gleich wie Bundesrecht mit freier Kognition. In den Bereichen, in denen das Steuerharmonisierungsgesetz den Kantonen einen gewissen Gestaltungsspielraum belässt oder keine Anwendung findet, beschränkt sich die Kognition des Bundesgerichts auf Willkür (<ref-ruling> E. 2 S. 209 f.; <ref-ruling> E. 3.1 S. 205 f.; Urteil 2C_837/2014 vom 23. Februar 2015 E. 2.2).
2.2. Das Bundesgericht legt seinem Urteil den von der Vorinstanz festgestellten Sachverhalt zugrunde (Art. 105 Abs. 1 BGG). Es kann die Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz von Amtes wegen berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von Art. 95 BGG beruht (Art. 105 Abs. 2 BGG). "Offensichtlich unrichtig" bedeutet dabei "willkürlich" (<ref-ruling> E. 2 S. 116).
2.3. In Bezug auf die Beweislast gilt Folgendes: Der Nachweis für steuerbegründende oder steuererhöhende Tatsachen obliegt der Steuerbehörde, der Nachweis für steueraufhebende oder steuermindernde Tatsachen der steuerpflichtigen Person; diese hat die entsprechenden Tatsachen also nicht nur zu behaupten, sondern auch zu belegen (<ref-ruling> E. 3.5 S. 252 mit Hinweisen).
II. Direkte Bundessteuer
3.
3.1. Die Beschwerdeführer haben die Steuererklärungen für die Jahre 2011 und 2012 selbständig ausgefüllt und eingereicht. Die ihnen eröffneten Veranlagungen gaben sie offenbar zusammen mit den Steuererklärungen ihrem Steuerberater zur Durchsicht. Dieser stellte fest, dass die fraglichen Dividenden voll besteuert worden waren. Dass nicht rechtzeitig Einsprachen erhoben wurden und das bezüglich der Steuern 2012 gestellte Wiederherstellungsgesuch abgewiesen werden musste, wird im vorliegenden Verfahren nicht mehr bestritten. Die Beschwerdeführer rügen einzig eine falsche Anwendung von Art. 147 DBG: Der Steuerverwaltung hätte auf den ersten Blick erkennbar sein müssen, dass das Aktienkapital der Y._ AG Fr. 150'000.-- betragen habe und aus 300 Aktien zu Fr. 500.-- zusammengesetzt gewesen sei. Sie hätte beachten müssen, dass der Beschwerdeführer zu 100% Aktionär der Gesellschaft gewesen sei und die Besteuerung der Dividenden daher reduziert hätte erfolgen müssen.
3.2. Gemäss Art. 147 Abs. 1 lit. b DBG kann eine rechtskräftige Verfügung oder ein rechtskräftiger Entscheid auf Antrag oder von Amtes wegen zugunsten des Steuerpflichtigen revidiert werden, wenn die erkennende Behörde erhebliche Tatsachen oder entscheidende Beweismittel, die ihr bekannt waren oder bekannt sein mussten, ausser Acht gelassen oder in anderer Weise wesentliche Verfahrensgrundsätze verletzt hat. Die Revision ist ausgeschlossen, wenn der Antragsteller als Revisionsgrund vorbringt, was er bei der ihm zumutbaren Sorgfalt schon im ordentlichen Verfahren hätte geltend machen können (Art. 147 Abs. 2 DBG). Dabei sind nach der bundesgerichtlichen Rechtsprechung hohe Anforderungen an das Mass der Sorgfalt zu stellen. Die Revision bezweckt nicht, vermeidbare Unterlassungen während des ordentlichen Verfahrens nachholen zu können (vgl. Urteile 2C_917/2015 / 2C_923/2015 vom 29. Oktober 2015 E. 2.1; 2C_581/2011 / 2C_582/2011 vom 27. März 2012 E. 3.1; 2A.55/2002 vom 30. Oktober 2002 E. 3, in: StR 59/2004 S. 193). So ist grundsätzlich davon auszugehen, dass der Steuerpflichtige seine eigenen finanziellen Verhältnisse kennt und dass er nach Erhalt der Veranlagungsverfügung diese überprüft und allfällige Mängel rechtzeitig rügt. Er kann nicht die Revision verlangen, um das im ordentlichen Rechtsmittelverfahren Versäumte nachzuholen (vgl. Urteil 2A.451/1996 vom 21. Mai 1997 E. 3d mit Hinweisen, in: ASA 67 S. 391, StE 1998 B 92.11 Nr. 14, RDAF 1999 II S. 440).
Die strengen Anforderungen an die Revision entsprechen deren Rechtsnatur als ausserordentliches Rechtsmittel. Die Revision dient nicht dazu, die Nachlässigkeit der Steuerpflichtigen im ordentlichen Verfahren nachträglich zu bereinigen, wenn diese beispielsweise den Sachverhalt nicht vollständig dargestellt oder Beweismittel nicht bezeichnet haben (RICHNER/FREI/KAUFMANN/MEUTER, Handkommentar zum DBG, 2. Aufl. 2009, N. 23 zu Art. 147 DBG). Gegen die strenge Auslegung des Begriffs der zumutbaren Sorgfalt wird in der Literatur vorgebracht, der steuerpflichtigen Person dürfe im gemischten Veranlagungssystem nicht einseitig das Risiko unrichtiger rechtlicher Subsumtionen überbürdet werden, zu deren Vornahme in erster Linie die von Amtes wegen rechtskundigen Steuerbehörden zuständig seien. Die Unsorgfalt der Steuerbehörde soll grundsätzlich nicht durch die mangelnde Sorgfalt der Steuerpflichtigen "geheilt" werden (vgl. RICHNER/FREI/KAUFMANN/MEUTER, Handkommentar, N. 38 zu Art. 147 DBG; RICHNER/FREI/KAUFMANN/MEUTER, Kommentar zum Zürcher Steuergesetz, 3. Aufl. 2013, N. 42 zu § 155 und N. 31 zu § 160; VALLENDER/ LOOSER, in: Zweifel/Athanas [Hrsg.], Kommentar zum Schweizerischen Steuerrecht, Bd. I/2b, DBG, 2. Aufl. 2008, N. 26b zu Art. 147 DBG). Gefordert wird deshalb - auch von den Beschwerdeführern im vorliegenden Verfahren - eine Einzelfallgerechtigkeit (nachfolgend E. 3.4).
3.3. Vorliegend haben die Beschwerdeführer die fraglichen Dividenden im Wertschriftenverzeichnis unter "Anteilscheine, Aktien (ausserbörslich) " deklariert anstatt unter "Qualifizierte Beteiligungen". Das offizielle Steuerprogramm BalTax weist an mehreren Stellen auf die privilegierte Besteuerung bzw. den Abzug bei qualifizierten Beteiligungen hin und die Wegleitung enthält entsprechende Erklärungen. Nachdem die Beschwerdeführer der Steuererklärung weder einen Handelsregisterauszug mit Angaben über die Anzahl der Aktien der Y._ AG beigelegt hatten noch sonstige Anhaltspunkte für die Unrichtigkeit oder Unvollständigkeit der Steuererklärung vorlagen, musste der Steuerverwaltung keineswegs klar ersichtlich sein, dass es sich bei den strittigen Dividendenerträgen um Erträge aus qualifizierter Beteiligung handelte - dies umso weniger, als ein steuermindernder Umstand betroffen war, dessen Nachweis den Steuerpflichtigen obliegt (vgl. E. 2.3). Spätestens bei einer sorgfältigen und rechtzeitigen Überprüfung der Veranlagungsverfügungen wäre den Beschwerdeführern zudem erkennbar gewesen, dass das Teilbesteuerungsverfahren auf die deklarierten Dividenden nicht angewendet worden war. Die Beschwerdeführer kannten somit die Tatsachen, die zur Revision Anlass geben sollen, bzw. hätten diese erkennen und - rechtzeitig - mit einem ordentlichen Rechtsmittel vorbringen müssen. Eine revisionsweise Bereinigung ihres Deklarationsfehlers ist damit schon gestützt auf Art. 147 Abs. 2 DBG ausgeschlossen.
3.4. Die Beschwerdeführer rügen auch eine Verletzung des Grundsatzes der Besteuerung nach der wirtschaftlichen Leistungsfähigkeit (Art. 127 Abs. 2 i.V.m. Art. 8 und 9 BV). Durch den Fehler der Steuerverwaltung habe sich bei der kantonalen Steuer die Steuerlast auf den Dividenden verdoppelt. Bei der direkten Bundessteuer seien die Auswirkungen aufgrund der Progression noch krasser. Insgesamt betrage der ungerechtfertigte Steuerbetrag rund Fr. 53'000.--.
Gemäss bundesgerichtlicher Rechtsprechung kann auf eine formell rechtskräftig gewordene Verfügung nur noch unter besonderen Voraussetzungen zurückgekommen werden. Das Steuerrecht kennt einen Numerus clausus von Rechtsgründen, die dies erlauben; bei diesen Gründen handelt es sich um die Revision (zugunsten der steuerpflichtigen Person; Art. 147 ff. DBG, Art. 51 StHG), die Berichtigung (zugunsten der steuerpflichtigen Person oder der öffentlichen Hand; Art. 150 DBG, Art. 52 StHG) und die Nachsteuer (zugunsten der öffentlichen Hand; Art. 151 ff. DBG, Art. 53 f. StHG). Weitere Aufhebungs- oder Abänderungsgründe sind ausgeschlossen (Urteile 2C_322/2015 / 2C_323/2015 vom 4. April 2016 E. 3.4; 2C_200/2014 vom 4. Juni 2015 E. 2.4.1; 2C_519/2011 vom 24. Februar 2012 E. 3.3). Im vorliegenden Fall kommen eine Berichtigung oder Nachsteuer nicht in Frage. Es bleibt daher einzig die Möglichkeit einer Revision, deren Voraussetzungen allerdings, wie gesehen (E. 3.3), nicht gegeben sind.
Dass ein Teil der Lehre aus Art. 8 und Art. 9 BV ableitet, eine Revision sei auch ohne ausdrückliche gesetzliche Grundlage zulässig, wenn deren Verweigerung unter dem Aspekt der Gerechtigkeit zu stossenden, schockierenden und unhaltbaren Ergebnissen führen würde (vgl. VALLENDER/LOOSER, N. 23 zu Art. 147 DBG; RICHNER/FREI/KAUFMANN/ MEUTER, Handkommentar, N. 32 ff. zu Art. 147 DBG; RICHNER/FREI/ KAUFMANN/MEUTER, Kommentar zum Zürcher Steuergesetz, N. 20 zu § 155; HUGO CASANOVA, in: Yersin/Noël [Hrsg.], Commentaire Romand, Impôt fédéral direct, 2008, N. 12 zu Art. 147 DBG; OLIVIER MARGRAF, Ausgewählte Aspekte des Revisionsverfahrens gemäss Art. 147-149 DBG, StR 69/2014 S. 76 ff., 81 f.; vgl. auch ZWEIFEL/BEUSCH, Ausgewählte Fragen zur Bedeutung der Handelsbilanz für die steuerliche Gewinnermittlung, in: Festschrift für Peter Böckli zum 70. Geburtstag, 2006, S. 61 ff., 68), beruht auf der Rechtsprechung zum früheren Bundesratsbeschluss über die Erhebung einer direkten Bundessteuer (BdBSt). Dieser kannte noch keine Regelung der Revision und folglich auch keinen Numerus clausus entsprechender Gründe. Auf das Problem weiter einzugehen rechtfertigt sich jedoch nicht, da der nach Meinung der Beschwerdeführer ungerechtfertigte Steuerbetrag in der Höhe von rund Fr. 53'000.-- zwar beachtlich ist, diese Mehrbesteuerung aber nicht etwa darauf beruht, dass die Beschwerdeführer das zugrundeliegende Einkommen nicht erzielt hätten, sondern auf der Teilbesteuerung, mit welcher der Gesetzgeber dem Umstand Rechnung tragen will, dass die Gewinne schon bei der ausschüttenden Gesellschaft erfasst wurden. Soweit die Beschwerdeführer daher eine Verletzung des Grundsatzes der Besteuerung nach der wirtschaftlichen Leistungsfähigkeit rügen, sind sie darauf hinzuweisen, dass sie für Einkommen besteuert werden, das ihnen tatsächlich zugeflossen ist.
3.5. Als nicht weiterführend erweisen sich schliesslich die Vorbringen der Beschwerdeführer, die Deklarationsfehler seien auf die unzutreffende, ungeeignete und täuschende Darstellung im Steuerprogramm BalTax zurückzuführen. Wie schon die Vorinstanz dargelegt hat, weist das Steuerprogramm, wie die Papierversion der Steuererklärung, im Wertschriftenverzeichnis auf den Abzug bei qualifizierten Beteiligungen hin. Zudem sind Ausführungen dazu in der Wegleitung zur Steuererklärung zu finden. Inwiefern die Beschwerdeführer insofern etwas aus dem Grundsatz von Treu und Glauben zu ihren Gunsten ableiten wollen, ist nicht ersichtlich.
Es ist damit festzuhalten dass es an ihnen gelegen hätte, die Steuererklärungen sorgfältig auszufüllen und die Veranlagungen zu überprüfen - oder rechtzeitig überprüfen zu lassen - und gegebenenfalls fristgerecht eine Einsprache dagegen zu erheben. Eine Revision ist daher unabhängig vom Vorliegen eines Revisionsgrundes bereits gestützt auf Art. 147 Abs. 2 DBG ausgeschlossen. Die Beschwerde betreffend die direkte Bundessteuer 2011 und 2012 ist folglich abzuweisen.
III. Staatssteuer
4.
Die massgeblichen Bestimmungen betreffend die Revision von rechtskräftigen Verfügungen oder Entscheiden im Steuerharmonisierungsgesetz (Art. 51 Abs. 1 lit. b und Abs. 2 StHG) und im kantonalen Steuerrecht (§ 173 Abs. 1 lit. b und Abs. 2 StG/BS) stimmen mit der Regelung von Art. 147 Abs. 1 lit. b und Abs. 2 DBG überein. Mit Bezug auf die kantonalen Steuern kann somit auf die Erwägungen zur direkten Bundessteuer verwiesen werden. Die Beschwerde betreffend die kantonalen Steuern 2011 und 2012 ist ebenfalls abzuweisen.
IV. Kosten und Entschädigung
5.
Bei diesem Verfahrensausgang sind die Gerichtskosten den Beschwerdeführern aufzuerlegen, wobei diese untereinander solidarisch haften (Art. 65, Art. 66 Abs. 1 und 5 BGG). Eine Parteientschädigung ist nicht auszurichten (Art. 68 BGG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Verfahren 2C_47/2016 und 2C_48/2016 werden vereinigt.
2.
Die Beschwerde betreffend die direkte Bundessteuer 2011 und 2012 wird abgewiesen.
3.
Die Beschwerde betreffend die kantonalen Steuern 2011 und 2012 wird abgewiesen.
4.
Die Gerichtskosten von Fr. 3'000.-- werden den Beschwerdeführern unter solidarischer Haftung auferlegt.
5.
Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten, dem Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt als Verwaltungsgericht und der Eidgenössischen Steuerverwaltung schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 22. August 2016
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Das präsidierende Mitglied: Zünd
Die Gerichtsschreiberin: Fuchs