Sachverhalt:
A.
Der 1982 geborene A._ war zuletzt als Fenstermonteur bei der B._ GmbH tätig und dadurch bei der Schweizerischen Unfallversicherungsanstalt (SUVA) obligatorisch gegen Unfallfolgen versichert. Am 21. Dezember 2009 kündigte die Arbeitgeberin das Anstellungsverhältnis mit der Begründung, sie gebe den operativen Teil ihrer Tätigkeit auf, per 31. Januar resp. 28. Februar 2010. Am 27. Dezember 2009 stürzte A._ mit dem Snowboard und verletzte sich an der rechten Schulter. Die SUVA gewährte Heilbehandlung und richtete Taggeld aus. Mit Schreiben vom 2. Dezember 2013 teilte sie dem Versicherten mit, sie stelle die Heilbehandlungsleistungen und per 31. Dezember 2013 auch das Taggeld ein. Mit Verfügung vom 19. Dezember 2013 verneinte die SUVA einen Anspruch auf eine Invalidenrente, da die unfallbedingte Beeinträchtigung der Erwerbsfähigkeit lediglich 5.35 % betrage. Mit Verfügung vom 19. März 2014 sprach die SUVA A._ eine Integritätsentschädigung für eine unfallbedingte Integritätseinbusse von 15 % zu. Der Versicherte erhob gegen die Verfügung vom 19. Dezember 2013 Einsprache mit dem Antrag auf Ausrichtung weiteren Taggelds, eventuell einer Invalidenrente. Mit Entscheid vom 25. März 2014 wies die SUVA die Einsprache ab.
B.
Die von A._ hiegegen erhobene Beschwerde wies das Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich ab. Es erklärte überdies das vom Versicherten gestellte Gesuch um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege hinsichtlich der Gerichtskosten infolge Kostenlosigkeit des Verfahrens als gegenstandslos und wies es hinsichtlich unentgeltlicher Verbeiständung mangels ausgewiesener Bedürftigkeit ab (Entscheid vom 19. Januar 2016).
C.
A._ führt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten mit dem Rechtsbegehren, der kantonale Entscheid sei aufzuheben und ihm sei weiterhin ein volles Taggeld, eventuell ab 1. Januar 2014 eine Rente von mindestens 42 %, zuzusprechen; subeventuell sei die Sache in Aufhebung des vorinstanzlichen Entscheides zur Vornahme weiterer Abklärungen an die SUVA, allenfalls an das kantonale Gericht zurückzuweisen. Zudem sei für das vor- und das letztinstanzliche Verfahren die unentgeltliche Rechtspflege zu gewähren.
Die vorinstanzlichen Akten wurden eingeholt. Ein Schriftenwechsel wird nicht durchgeführt.
D.
Am Bundesgericht ist überdies ein Beschwerdeverfahren betreffend Rentenleistungen der Invalidenversicherung (IV) hängig (Verfahren 9C_95/2016).

Erwägungen:
1.
Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann wegen Rechtsverletzungen gemäss Art. 95 und 96 BGG erhoben werden. Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (<ref-law>), doch prüft es, unter Berücksichtigung der allgemeinen Rüge- und Begründungspflicht (Art. 42 Abs. 1 und 2 BGG), nur die geltend gemachten Vorbringen, falls allfällige weitere rechtliche Mängel nicht geradezu offensichtlich sind (<ref-ruling> E. 1.6 S. 280; vgl. auch <ref-ruling> E. 1 S. 236; <ref-ruling> E. 1.1 S. 137 f.).
Im Beschwerdeverfahren um die Zusprechung oder Verweigerung von Geldleistungen der Militär- oder Unfallversicherung ist das Bundesgericht nicht an die vorinstanzliche Feststellung des rechtserheblichen Sachverhalts gebunden (Art. 97 Abs. 2 und Art. 105 Abs. 3 BGG).
2.
Streitig und zu prüfen ist, ob der Beschwerdeführer aus dem Unfall vom 27. Dezember 2009 über den 31. Dezember 2013 hinaus Anspruch auf Taggeld resp. ab 1. Januar 2014 Anspruch auf eine Invalidenrente der obligatorischen Unfallversicherung hat.
Das kantonale Gericht hat die Bestimmungen und Grundsätze zum Anspruch auf Taggeld (<ref-law>) und auf eine Invalidenrente (<ref-law>), zur Bestimmung des Invaliditätsgrades mittels Einkommensvergleichs (<ref-law>) sowie zum Zeitpunkt des Fallabschlusses (<ref-law>; <ref-ruling>) zutreffend dargelegt. Gleiches gilt hinsichtlich der Regeln zur beweisrechtlichen Würdigung ärztlicher Berichte und Gutachten. Darauf wird verwiesen. Richtig ist auch, dass das Sozialversicherungsgericht bei der Beurteilung eines Falles grundsätzlich auf den bis zum Zeitpunkt des Erlasses des streitigen Einspracheentscheides (hier: 25. März 2014) eingetretenen Sachverhalt abstellt (vgl. <ref-ruling> E. 1.2 S. 446; SVR 2013 UV Nr. 9 S. 29, 8C_592/2012 E. 3.5.3).
3.
Nach Gesetz und Praxis ist der Fall unter Einstellung der vorübergehenden Leistungen (Heilbehandlung; Taggeld) und Prüfung des Anspruchs auf eine Invalidenrente und eine Integritätsentschädigung abzuschliessen, wenn von der Fortsetzung der ärztlichen Behandlung keine namhafte Besserung des Gesundheitszustandes der versicherten Person mehr erwartet werden kann und allfällige Eingliederungsmassnahmen der IV abgeschlossen sind (<ref-law>; <ref-ruling> E. 3 und 4 S. 112 ff.; vgl. auch <ref-ruling> E. 2.1 S. 201 f.).
3.1. Eingliederungsmassnahmen der IV stehen nicht zur Diskussion. Umstritten ist, ob von einer Fortsetzung der ärztlichen Behandlung noch eine namhafte Besserung des Gesundheitszustandes erwartet werden konnte. Das bestimmt sich insbesondere nach Massgabe der zu erwartenden Steigerung oder Wiederherstellung der Arbeitsfähigkeit, soweit diese unfallbedingt beeinträchtigt ist. Dabei verdeutlicht die Verwendung des Begriffes "namhaft" durch den Gesetzgeber, dass die durch weitere Heilbehandlung zu erwartende Besserung ins Gewicht fallen muss. Unbedeutende Verbesserungen genügen nicht (<ref-ruling> E. 4.3 S. 115). Sodann gilt, dass der Gesundheitszustand der versicherten Person prognostisch und nicht auf Grund retrospektiver Feststellungen zu beurteilen ist (RKUV 2005 Nr. U 557 S. 388, U 244/04 E. 3.1 mit Hinweisen).
3.2. Das kantonale Gericht ist in einlässlicher Würdigung der medizinischen Akten zum Ergebnis gelangt, dass weitere ärztliche Behandlung keine namhafte gesundheitliche Besserung erwarten liess. Was hiegegen vorgebracht wird, vermag diese Beurteilung nicht in Frage zu stellen. Ob einem künstlichen Schultergelenksersatz im Bericht der Klinik C._ vom 24. Mai 2013 geringe oder aber - wie vom Versicherten geltend gemacht - zweifelhafte Erfolgsaussichten beigemessen wurden, ist nicht relevant. Auch zweifelhafte Erfolgsaussichten genügen nicht, um auf eine zu erwartende namhafte Besserung zu schliessen. Entgegen der in der Beschwerde vertretenen Auffassung war der medizinische Sachverhalt, einschliesslich der Schmerzproblematik, im damaligen Zeitpunkt auch hinreichend abgeklärt, um die zu erwartende gesundheitliche Besserung beurteilen zu können. Sodann wurde zwar am 1. Juli 2015 an der rechten Schulter eine Hemiprothese implantiert. Es bestehen aber keine Anhaltspunkte, dass die Notwendigkeit dieses Eingriffs und eine davon zu erwartende Besserung im Zeitpunkt der Taggeldeinstellung vorhersehbar waren. Vielmehr wurde noch im Untersuchungsbericht des Orthopäden Dr. med. D._ vom 12. Januar 2015 als äusserst fraglich bezeichnet, dass weitere operative Massnahmen die Situation richtungweisend verbessern könnten. Der Fallabschluss unter Einstellung des Taggeldes ist mithin rechtens erfolgt.
3.3. Zu erwähnen bleibt, dass die SUVA dem Versicherten am 3. Juni 2015 mitgeteilt hat, sie könne für den von ihm gemeldeten Rückfall vom 22. November 2014 die gesetzlichen Versicherungsleistungen betreffend Behandlungskosten zusprechen und prüfe den Anspruch auf Taggeld. Daraus ergibt sich aber nichts Relevantes für den hier zu prüfenden Zeitraum.
4.
Das kantonale Gericht hat den im Weiteren streitigen Rentenanspruch mittels Einkommensvergleichs nach <ref-law> geprüft. Es ist zum Ergebnis gelangt, zur Bestimmung des ohne unfallbedingte Behinderung mutmasslich erzielten Einkommens (Valideneinkommen) wie auch des trotz dieser Behinderung zumutbarerweise erzielbaren Einkommens (Invalideneinkommen) sei auf den Tabellenlohn für Hilfsarbeiten (Zentralwert), Anforderungsniveau 4, gemäss der Schweizerischen Lohnstrukturerhebung (LSE) 2010 abzustellen. Der Invaliditätsgrad entspreche daher dem Grad der Arbeitsunfähigkeit unter Berücksichtigung eines allfälligen leidensbedingten Abzuges vom Tabellenlohn. Dem Versicherten werde von ärztlicher Seite eine 100%ige Arbeitsfähigkeit in einer angepassten Tätigkeit attestiert. Aufgrund der Einschränkungen des dominanten rechten Armes sei ein leidensbedingter Abzug von maximal 5 % gerechtfertigt. Damit ergebe sich keine Erwerbsunfähigkeit im Umfang der für einen Rentenanspruch vorausgesetzten 10 %.
Es ist nicht umstritten, dass beide Vergleichseinkommen mangels verlässlicher anderweitiger Berechnungsgrundlagen gestützt auf Tabellenlöhne zu bestimmen sind. Die Einwände des Versicherten richten sich gegen den vorinstanzlichen Umgang mit diesen Löhnen und die Beurteilung der Arbeitsfähigkeit.
4.1. Beim Valideneinkommen wird geltend gemacht, es sei auf das Anforderungsniveau 3 abzustellen.
Das Anforderungsniveau 3 der LSE 2010 umfasst Tätigkeiten, welche Berufs- und Fachkenntnisse voraussetzen, das Anforderungsniveau 4 demgegenüber einfache und repetitive Tätigkeiten. Das kantonale Gericht hat überzeugend dargelegt, weshalb aufgrund des Ausbildungsniveaus und der Berufsbiographie des Versicherten das Anforderungsniveau 4 gerechtfertigt ist. Es hat dabei namentlich erwogen, der Versicherte verfüge weder über einen nachgewiesenen Abschluss einer Berufsausbildung noch über eine langjährige Berufserfahrung in einer bestimmten Branche. Der Beschwerdeführer wendet zwar ein, er habe längere Zeit als Fenstermonteur gearbeitet. Das wird aber durch die Akten, insbesondere auch durch die Beschreibung des beruflichen Werdegangs im Lebenslauf, welcher anlässlich einer beruflichen Standortbestimmung in der Klinik E._ aufgelegt wurde, nicht gestützt. Geltend gemacht wird sodann, die Vorinstanz habe einen Lehrabschluss zu Unrecht verneint. Dies wird aber nicht belegt. Der Versicherte hat auch entgegen seiner Ankündigung in der Beschwerde kein Lehrabschlusszeugnis nachgereicht. Es kann daher offen bleiben, ob dies novenrechtlich (<ref-law>) überhaupt zulässig gewesen wäre.
4.2. Beim Invalideneinkommen macht der Versicherte geltend, auch bei einer adaptierten Tätigkeit sei die Arbeitsfähigkeit um mindestens 20 % eingeschränkt. Zudem sei der leidensbedingte Abzug auf 25 % anzusetzen.
4.2.1. Das kantonale Gericht hat bezüglich der unter Berücksichtigung von Unfallfolgen noch gegebenen Arbeitsfähigkeit namentlich auf den kreisärztlichen Untersuchungsbericht des Dr. med. F._, Facharzt FMH für Orthopädische Chirurgie und Traumatologie des Bewegungsapparates, vom 12. Juni 2013 abgestellt. Darin wird gestützt auf eine umfassende Untersuchung sowie unter Berücksichtigung der medizinischen Vorakten und der Angaben des Versicherten einlässlich und nachvollziehbar überzeugend dargelegt, weshalb bei einer der unfallbedingten Schulterproblematik angepassten Tätigkeit von einer vollen Arbeitsfähigkeit auszugehen ist. Der Beschwerdeführer beschränkt sich darauf, eine höhergradige Einschränkung zu postulieren. Damit vermag er keine Zweifel an der fachärztlichen Einschätzung des Dr. med. F._ zu begründen. Dieser hat auch die geltend gemachten Schmerzen berücksichtigt. Es bestehen zudem keine Widersprüche zu anderen medizinischen Akten. Die Vorinstanz hat daher den Untersuchungsbericht vom 12. Juni 2013 zu Recht als beweiswertig betrachtet und ihrer Beurteilung zugrunde gelegt. Entgegen der in der Beschwerde vertretenen Auffassung lassen weitere medizinische Abklärungen keinen entscheidrelevanten neuen Aufschluss erwarten, weshalb in antizipierter Beweiswürdigung zu Recht davon abgesehen wurde.
4.2.2. Praxisgemäss kann von dem anhand von LSE-Tabellenlöhnen ermittelten Invalideneinkommen unter bestimmten Voraussetzungen ein leidensbedingter Abzug vorgenommen werden. Dieser soll persönlichen und beruflichen Umständen (leidensbedingte Einschränkung, Alter, Dienstjahre, Nationalität/Aufenthaltskategorie und Beschäftigungsgrad) Rechnung tragen, welche negative Auswirkungen auf die Lohnhöhe der gesundheitlich beeinträchtigten Person haben können. Der Einfluss sämtlicher Merkmale auf das Invalideneinkommen ist nach pflichtgemässem Ermessen gesamthaft zu schätzen, wobei der Abzug auf höchstens 25 % zu begrenzen ist (<ref-ruling> und seitherige Entscheide). Ob ein leidensbedingter Abzug vorzunehmen sei, ist eine vom Bundesgericht frei überprüfbare Rechtsfrage. Die Höhe des vorgenommenen Abzuges hingegen kann das Bundesgericht lediglich auf Überschreitung, Missbrauch und Unterschreitung des vorinstanzlichen Ermessens überprüfen (vgl. <ref-ruling> E. 5.1 S. 72 mit Hinweis).
Als abzugsrelevanter Faktor kommt im vorliegenden Fall unbestrittenermassen einzig die leidensbedingte Einschränkung durch die unfallbedingte Schulterproblematik in Betracht. Das kantonale Gericht hat begründet, weshalb es einen Abzug von 5 % für angemessen erachtet. Was der Beschwerdeführer vorbringt, lässt diese Ermessensausübung nicht als qualifiziert unrichtig erscheinen. Das gilt auch für den Einwand, er könne seine rechte dominante Hand kaum einsetzen. Dr. med. F._ hat im Untersuchungsbericht vom 12. Juni 2013 dargelegt, dass zwar der Bewegungsumfang im rechten Schultergelenk deutlich eingeschränkt, die Gebrauchsfähigkeit der rechten Hand jedoch vollständig intakt ist.
4.3. Damit bleibt es bei einem Invaliditätsgrad unter den gemäss <ref-law> für eine Invalidenrente erforderlichen 10 %. Die Beschwerde ist daher im Rentenpunkt ebenfalls abzuweisen.
5.
Zu prüfen ist sodann, ob die Vorinstanz zu Recht die unentgeltliche Verbeiständung verweigert hat. Sie hat dies damit begründet, die hiefür nebst anderem erforderliche prozessuale Bedürftigkeit sei vom Versicherten trotz entsprechender Aufforderung nicht hinreichend substantiiert worden.
Das kantonale Gericht hat den Versicherten auf das von ihm gestellte Gesuch um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege hin mit Verfügung vom 14. Mai 2014 ausdrücklich aufgefordert, das Formular zur Abklärung der prozessualen Bedürftigkeit vollständig ausgefüllt und unter Beilage sämtlicher Belege zur finanziellen Situation (wie Lohnausweise, Bankauszüge, Mietverträge, Versicherungsverträge, Rechnungen, Quittungen, Steuererklärungen, zu Unterhaltsleistungen verpflichtende Gerichtsurteile, Fürsorgeentscheide samt Bedarfsberechnung etc.) einzureichen. Der Beschwerdeführer reichte hierauf, nach mehreren gewährten Fristerstreckungen, das Formular ein. Darin gab er an, er verfüge über kein Erwerbseinkommen, sei mittellos, obdachlos und verschuldet. Auf der Ausgabenseite machte er in der Rubrik Telefon/TV monatliche Kosten von Fr. 300.- und bevorstehende notwendige Auslagen von ca. Fr. 5000.- "z.B. für eine Wohnung" geltend. Die Frage, ob er wirtschaftliche Hilfe beziehe, bejahte er mit dem Vermerk "90 Tage RAV minimal Pauschale". Der Versicherte gab indessen mit dem ausgefüllten Fragebogen als einzige Belege einen Kontoauszug und eine Ermessens-Veranlagung der kantonalen Steuerbehörde zu den Akten. Er dokumentierte namentlich nicht, wie es sich mit dem unter der wirtschaftlichen Hilfe erwähnten Beitrag verhielt, obschon er im Fragebogen - wie schon in der Verfügung vom 14. Mai 2014 - ausdrücklich aufgefordert worden war, die Belege zur bezogenen Unterstützung einzureichen. Wenn das kantonale Gericht unter diesen Umständen geschlossen hat, dem Gesuch sei mangels hinreichender Substantiierung der Bedürftigkeit durch den Versicherten nicht stattzugeben, ist dies nicht bundesrechtswidrig. Daran ändert nichts, dass der Rechtsvertreter des Beschwerdeführers im Begleitschreiben vom 7. Juli 2014 zum eingereichten Formular das Gericht bat, bei Fragen oder Notwendigkeit weiterer Unterlagen mit ihm Kontakt aufzunehmen. Denn zumindest dem Anwalt musste schon aufgrund der Verfügung vom 14. Mai 2014 und der Hinweise im Formular bewusst sein, dass die eingereichten Unterlagen nicht genügten. Auch der Hinweis, die SUVA habe für das Einspracheverfahren die unentgeltliche Verbeiständung gewährt, rechtfertigt keine andere Betrachtungsweise, zumal der Unfallversicherer, wie sich aus den Akten ergibt, ganz offensichtlich aufgrund besonderer Umstände auf die Einreichung von Belegen verzichtet hat. Zudem haben sich die Verhältnisse seit dem Einspracheverfahren in mehrfacher Hinsicht verändert, weshalb der Versicherte erst recht gehalten gewesen wäre, die nunmehr aktuelle Situation darzutun. Zu erwähnen ist etwa, dass der Versicherte im Einspracheverfahren noch angab, in einer Wohngemeinschaft zu leben und Mietzins bezahlen zu müssen. Zudem war noch keine Rede von einer Pauschale des RAV. Die Beschwerde ist somit auch diesbezüglich abzuweisen.
6.
Die Gerichtskosten werden dem unterliegenden Beschwerdeführer auferlegt (<ref-law>). Dem Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege (im Sinne der vorläufigen Befreiung von den Gerichtskosten und der unentgeltlichen Verbeiständung) kann entsprochen werden, da die Bedürftigkeit aufgrund der letztinstanzlich eingereichten Bestätigung der Sozialhilfebehörde (knapp) hinreichend belegt ist, die Beschwerde nicht als aussichtslos zu bezeichnen und die Vertretung durch einen Rechtsanwalt geboten war (Art. 64 Abs. 1 und 2 BGG). Es wird indessen ausdrücklich auf <ref-law> aufmerksam gemacht, wonach die begünstigte Partei der Bundesgerichtskasse Ersatz zu leisten haben wird, wenn sie später dazu im Stande ist.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen.
2.
Dem Beschwerdeführer wird die unentgeltliche Rechtspflege gewährt und Rechtsanwalt Eugen Koller wird als unentgeltlicher Anwalt bestellt.
3.
Die Gerichtskosten von Fr. 800.- werden dem Beschwerdeführer auferlegt, indes vorläufig auf die Bundesgerichtskasse genommen.
4.
Dem Rechtsvertreter des Beschwerdeführers wird aus der Bundesgerichtskasse eine Entschädigung von Fr. 2'800.- ausgerichtet.
5.
Dieses Urteil wird den Parteien, dem Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich und dem Bundesamt für Gesundheit schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 17. Mai 2016
Im Namen der I. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Maillard
Der Gerichtsschreiber: Lanz