Erwägungen:
1.
Der Regierungsrat des Kantons Solothurn genehmigte mit Beschluss vom 29. Januar 2013 den Erschliessungsplan Erlinsbach, Gehwegausbau Stüsslingerstrasse, Dorfeinfahrt West bis Rebenweg. In der Folge liess das Amt für Verkehr und Tiefbau das Trottoir entlang der Stüsslingerstrasse in Erlinsbach ausbauen und gleichzeitig die Kantonsstrasse sanieren. Der Ausbau betraf unter anderem auch die Liegenschaften GB V._ Nr. xxx, im Alleineigentum von B.A._, und GB V._ Nr. yyy, im Alleineigentum von A.A._. Im Zusammenhang mit dem Trottoirausbau waren auch Anpassungsarbeiten an der privaten Grundstückszufahrt auf GB V._ Nr. xxx erforderlich.
2.
Am 16. März 2015 fand die Abnahme der vorgenommenen Arbeiten statt. Die dabei von A.A._ geäusserten Beanstandungen wurden in der Folge vom Amt für Verkehr und Tiefbau behoben. Bereits anlässlich des Augenscheins verlangte A.A._ eine Entschädigung für die während der Bauphase entstandenen Emissionen. Gleichzeitig verlangte er eine (weitere) Abnahme der Liegenschaft. Das Amt für Verkehr und Tiefbau verwies auf das bestehende Rissprotokoll und erklärte ihm, dass für die Reinigung von Fassaden und Storen der Kanton keine Entschädigung vorsehe.
A.A._ teilte mit Scheiben vom 23. April 2015 dem Amt für Verkehr und Tiefbau mit, dass an den Liegenschaften ein ausserordentlicher Unterhaltsaufwand entstanden sei. Er verlangte sinngemäss die formelle Abnahme und eine entsprechende Terminvereinbarung. Das Amt für Verkehr und Tiefbau führte mit Schreiben vom 12. Mai 2015 aus, man werde nach Abschluss der Deckbelagsarbeiten Ende Juni 2015 mit ihm Kontakt aufnehmen, um einen Besprechungstermin zu vereinbaren. Telefonisch sprach das Amt für Verkehr und Tiefbau A.A._ am 6. Juli 2015 eine Entschädigung von Fr. 100.-- für Stromverbrauch zu.
Am 23. Juli 2015 fand vor Ort eine Abnahme der Anpassungsarbeiten statt. A.A._ zeigte sich mit den Korrekturen einverstanden, das Abnahmeprotokoll wollte er indessen nicht unterzeichnen. Mit Schreiben vom 24. Juli 2015 stellte das Amt für Verkehr und Tiefbau A.A._ das Abnahmeprotokoll zu und bat ihn, ein unterschriebenes Exemplar zu retournieren. Mit Schreiben vom 2. September 2015 machte A.A._ geltend, die Gebäude und Bauten an der Stüsslingerstrasse hätten während der Bauzeit Schaden genommen, den es zu beheben gelte. Erneut verlangte er einen Termin für die "gemeinsame Erfassung des Reparaturaufwandes vor Ort". Das Amt für Verkehr und Tiefbau forderte ihn am 8. September 2015 auf, die nach seiner Sicht an seinen Liegenschaften entstandenen Schäden bis 19. Oktober 2015zu belegen und zu beziffern. Ein Augenschein sei zu diesem Zweck nicht zielführend. Mit Schreiben vom 17. September 2015 machte A.A._ sinngemäss geltend, die fehlende Bereitschaft des Amts zur Übernahme des Reinigungsaufwandes hindere ihn an der beabsichtigten Bewirtschaftung der Liegenschaft. In diesem Zusammenhang sei ihm bislang ein Ertragsausfall in der Höhe von Fr. 15'750.-- entstanden. Die zwei Wohneinheiten könnten bis zur geforderten gemeinsamen Abnahme nicht vermietet werden. Die für die beiden Mieteinheiten erforderlichen "prioritären Reparaturmassnahmen" (Reinigungsaufwand) schätze er auf ca. Fr. 5'000.--. Der genaue Umfang und die Kosten seien mittels gemeinsamer Aufnahme und entsprechenden Offerten zu bestimmen. Das Amt für Verkehr und Tiefbau lehnte mit Schreiben vom 22. Oktober 2015 die Forderung von A.A._ ab und erachtete die Angelegenheit als abgeschlossen.
Am 6. Januar 2016 beanstandete A.A._ den unrechtmässigen Rückbehalt einer Vergütung an seine Mutter für den Strombezug und verlangte erneut eine gemeinsame Abnahme vor Ort. Das Amt für Verkehr und Tiefbau verlangte mit Schreiben vom 15. Januar 2016 erneut die Zahlungskoordinaten, damit der für die Stromkosten seiner Mutter gesprochene Betrag von Fr. 100.-- überwiesen werden könne. Mit Eingabe vom 16. Januar 2016 machte A.A._ die Zustellung des gewünschten Einzahlungsscheins von der Erledigung seiner Forderung auf Schadenersatz abhängig. Das Amt für Verkehr und Tiefbau sicherte mit Schreiben vom 18. Januar 2016 zu, die Auszahlung des Betrages von Fr. 100.-- für Stromkosten könne ohne Unterzeichnung des Abnahmeprotokolls erfolgen. Am 19. Januar 2016 verlangte A.A._ erneut einen Abnahmetermin vor Ort zur Bezifferung des ihm entstandenen Schadens. Daraufhin teilte das Amt für Verkehr und Tiefbau A.A._ am 22. Januar 2016 erneut mit, dass ein weiterer Ortstermin nicht ziehlführend sei und lud ihn ein, einen Einzahlungsschein für den vereinbarten Betrag von Fr. 100.-- für Stromkosten einzureichen.
3.
A.A._ wandte sich mit einer als Rechtsverweigerungsklage bezeichneten Eingabe vom 23. Februar 2016 an das Verwaltungsgericht des Kantons Solothurn. Das Verwaltungsgericht nahm die Eingabe als Beschwerde entgegen und trat darauf mit Urteil vom 30. Mai 2016 nicht ein. Zur Begründung führte es zusammenfassend aus, dass der Beschwerdeführer sinngemäss Rechtsverweigerungsbeschwerde wegen Verweigerung des rechtlichen Gehörs erhebe. Er vermöge indessen nicht aufzuzeigen, worin die Verletzung des rechtlichen Gehörs konkret bestehe und inwiefern ihm diesbezüglich ein Rechtsschutzinteresse zustehe. Soweit es wie hier um Schadenersatzbegehren gehe, bestehe für das Amt für Verkehr und Tiefbau keine Pflicht, eine entsprechende Verfügung zu erlassen. Schadenersatzbegehren seien bei Verantwortlichkeit des Staates beim zuständigen Departement schriftlich und begründet einzureichen. Dem Verwaltungsgericht stehe es nicht zu, als erste Instanz über den geltend gemachten Haftungsanspruch von Fr. 25'000.- zu befinden, der im Übrigen bis anhin in keiner Weise belegt worden sei. Auch stehe dem Verwaltungsgericht nicht zu, die Arbeitsweise des Amts für Verkehr und Tiefbau - wie vom Beschwerdeführer beantragt - zu untersuchen. Dieses Anliegen sei auf dem Weg der Aufsichtsbeschwerde zu verfolgen.
4.
Mit Eingabe vom 29. Juni 2016 führt A.A._ gegen das Urteil des Verwaltungsgericht des Kantons Solothurn vom 30. Mai 2016 Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten. Das Bundesgericht hat davon abgesehen, Stellungnahmen zur Beschwerde einzuholen.
5.
Nach Art. 42 Abs. 2 BGG ist in der Begründung einer Beschwerde in gedrängter Form darzulegen, inwiefern der angefochtene Entscheid Recht verletzt. Die Bestimmungen von Art. 95 ff. BGG nennen die vor Bundesgericht zulässigen Beschwerdegründe. Hinsichtlich der Verletzung von Grundrechten gilt der in Art. 106 Abs. 1 BGG verankerte Grundsatz der Rechtsanwendung von Amtes wegen nicht; insofern besteht eine qualifizierte Rügepflicht (Art. 106 Abs. 2 BGG; <ref-ruling> E. 1.4.1 S. 53, 65 E. 1.3.1 S. 68 mit Hinweisen). Es obliegt dem Beschwerdeführer namentlich darzulegen, inwiefern der angefochtene Entscheid gegen die gerügten Grundrechte verstossen soll.
Der Beschwerdeführer vermag mit seinen Ausführungen nicht aufzuzeigen, inwiefern die Begründung der Verwaltungsgerichts, die zum Nichteintreten auf die Beschwerde führte, bzw. das Urteil des Verwaltungsgerichts selbst rechts- bzw. verfassungswidrig sein soll. Demgemäss ist mangels einer genügenden Begründung im Sinne von Art. 42 Abs. 2 BGG auf die Beschwerde nicht einzutreten. Der Begründungsmangel ist offensichtlich, weshalb über die Beschwerde im vereinfachten Verfahren nach Art. 108 Abs. 1 BGG entschieden werden kann.
6.
Auf eine Kostenauflage kann verzichtet werden (Art. 66 Abs. 1 BGG).

Demnach erkennt der Präsident:
1.
Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2.
Es werden keine Kosten erhoben.
3.
Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer, dem Bau- und Justizdepartement des Kantons Solothurn und dem Verwaltungsgericht des Kantons Solothurn schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 7. Juli 2016
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Fonjallaz
Der Gerichtsschreiber: Pfäffli