Nach Einsicht
in die Beschwerde gemäss <ref-law> gegen das Urteil vom 25. Mai 2016 des Obergerichts des Kantons Zürich (II. Zivilkammer als obere kantonale SchK-Aufsichtsbehörde),

in Erwägung,
dass Beschwerden nach <ref-law>, die sich wie im vorliegenden Fall gegen Entscheide der kantonalen Aufsichtsbehörden in Schuldbetreibungs- und Konkurssachen richten, innert 10 Tagen nach der Eröffnung des kantonalen Entscheids beim Bundesgericht einzureichen oder zu dessen Handen der Schweizerischen Post zu übergeben sind (Art. 100 Abs. 2 lit. a, 48 Abs. 1 BGG),
dass das Urteil des Obergerichts vom 25. Mai 2016 dem Beschwerdeführer am 28. Mai 2016 eröffnet worden ist,
dass der Beschwerdeführer die Beschwerde an das Bundesgericht erst am 27. Juni 2016 und damit nach Ablauf der 10-tägigen Beschwerdefrist der Post übergeben hat,
dass sich somit die Beschwerde als verspätet und daher als offensichtlich unzulässig erweist, weshalb darauf im Verfahren nach <ref-law> nicht einzutreten ist,
dass der unterliegende Beschwerdeführer kostenpflichtig wird (<ref-law>),
dass in den Fällen des <ref-law> das vereinfachte Verfahren zum Zuge kommt und das präsidierende Abteilungsmitglied zuständig ist,

erkennt das präsidierende Mitglied:
1.
Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 300.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird den Parteien, dem Betreibungsamt U._ und dem Obergericht des Kantons Zürich schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 28. Juni 2016
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Das präsidierende Mitglied: Escher
Der Gerichtsschreiber: Füllemann