Fatti:
A.
A.a. Il 20 agosto 2007 B._ ha stipulato con la A._ SA, per sé stesso e per sua moglie, un'assicurazione d'indennità giornaliera ospedaliera in caso di ricovero in ospedale con inizio dal 1° settembre 2007 e retta dalla LCA. L'indennità convenuta ammonta a fr. 250.-- al giorno.
A.b. B._ ha invano esatto dall'assicuratore la corresponsione delle indennità giornaliere per i ricoveri in ospedale dal 5 maggio al 25 giugno 2013 e dal 10 aprile all'8 maggio 2014.
B.
Con petizione 27 aprile 2015 B._ ha chiesto al Tribunale delle assicurazioni del Cantone Ticino di condannare la A._ SA al versamento di complessivi fr. 20'250.-- per le due predette degenze ospedaliere. Con risposta 22 giugno 2015 la convenuta ha eccepito la competenza del tribunale adito, ha asserito che in ogni caso la petizione andava respinta e ha postulato in via riconvenzionale la condanna dell'assicurato a restituirle fr. 71'500.-- per le indennità giornaliere pagate per precedenti ospedalizzazioni.
Con sentenza 16 novembre 2015 il Tribunale cantonale delle assicurazioni ha, in parziale accoglimento della petizione, condannato la A._ SA a versare all'attore fr. 19'250.--, mentre ha integralmente respinto l'azione riconvenzionale. La Corte cantonale ha stabilito la sua competenza indicando di essere stata adita nell'ambito di un litigio concernente un'assicurazione complementare all'assicurazione sociale contro le malattie. Ha poi ritenuto che l'assicurato avesse notificato alla convenuta entro il termine di 30 giorni previsto dalle CGA la degenza del maggio 2014, mentre il mancato rispetto di tale termine per la notifica della degenza del 2013 era intervenuto senza colpa dell'attore e non ha causato alcun nocumento alla convenuta. Ha infine negato che il contratto fosse parzialmente nullo in seguito al divieto dell'assicurazione retroattiva, perché il rischio assicurato era la degenza ospedaliera e nella fattispecie non vi sono stati ricoveri ospedalieri per patologie psichiche prima della stipula del contratto.
C.
Con ricorso in materia civile dell'8 gennaio 2016 la A._ SA chiede, previo conferimento dell'effetto sospensivo al gravame, di dichiarare in via preliminare nulla la sentenza cantonale per assenza di competenza per materia. Essa postula poi, in via principale, la riforma della sentenza cantonale nel senso che venga negato all'attore un diritto a prestazioni assicurative e, in via subordinata, l'annullamento del giudizio impugnato con il rinvio della causa all'autorità inferiore per nuova decisione. Afferma che il litigio non rientra nella competenza del Tribunale cantonale delle assicurazioni, ma della Pretura. Lamenta poi che l'autorità inferiore avrebbe compiuto un accertamento dei fatti manifestamente arbitrario riguardo all'incapacità dell'assicurato di tempestivamente segnalare la degenza ospedaliera del 2013. Sostiene inoltre che vi sarebbe un motivo di nullità parziale giusta l'art. 9 LCA, perché B._ era già affetto da una problematica d'origine psichica fin dal 1996. Ritiene infine che l'autorità cantonale abbia riconosciuto ripetibili a un rappresentante non autorizzato ad agire nella procedura in questione.
Con risposta 5 febbraio 2016 B._ propone la reiezione del ricorso.
La Presidente della Corte adita ha conferito effetto sospensivo al ricorso con decreto 9 febbraio 2016.

Diritto:
1.
Giusta l'<ref-law> i Cantoni possono designare un tribunale competente a decidere, in istanza cantonale unica, le controversie derivanti da assicurazioni complementari all'assicurazione sociale contro le malattie secondo la legge federale del 18 marzo 1994 sull'assicurazione malattie. Il Cantone Ticino ha fatto uso di tale facoltà, prevedendo nell'art. 75 della legge cantonale di applicazione della Legge federale sull'assicurazione malattie (LCAMal/TI) che le contestazioni degli assicuratori tra loro, con i loro membri o con terzi concernenti le assicurazioni complementari all'assicurazione sociale contro le malattie o altri rami d'assicurazione sono decise dal Tribunale cantonale delle assicurazioni.
1.1. La ricorrente non contesta che il Cantone Ticino abbia demandato i litigi concernenti le assicurazioni complementari all'assicurazione sociale contro le malattie fra assicuratori e assicurati al Tribunale cantonale delle assicurazioni, ma ritiene che la controversia con l'opponente non rientri fra le predette vertenze perché concernerebbe " un'assicurazione speciale secondo la LCA, non prettamente complementare alla LAMal e quindi estranea alle competenze del TCA ". Assevera che si tratta di un'assicurazione di somma, le cui prestazioni vengono versate direttamente all'assicurato indipendentemente da altre prestazioni assicurative e non sono destinate a risarcire altri costi di cura.
1.2. Nella fattispecie giova innanzi tutto rilevare che l'incontestato fatto che il rapporto assicurativo sia retto dalla LCA e non dalla LAMal è del tutto inidoneo per negargli la qualifica di assicurazione complementare all'assicurazione sociale contro le malattie. Tutte le controversie di cui all'<ref-law> concernono contratti sottoposti dalla LCA (cfr. fino al 31 dicembre 2015 l'<ref-law> e dal 1° gennaio 2016 l'art. 2 cpv. 2 della legge sulla vigilanza sull'assicurazione malattie; LVAMal). Nemmeno il fatto che la ricorrente non sia un assicuratore sociale appare rilevante (<ref-ruling> consid. 2.1) o che l'assicurazione non sia intesa a rimborsare ulteriori costi di cura: infatti anche le assicurazioni d'indennità giornaliera, che coprono la perdita di guadagno in caso di malattia e che per costante giurisprudenza rientrano fra le assicurazioni complementari (sentenze 4A_304/2012 del 14 novembre 2012; <ref-ruling> consid. 2 e 3; 4A_595/2011 del 17 febbraio 2012 consid. 2.1), non rifondono spese di cura. Determinante per la qualifica di assicurazione complementare nel senso dell'<ref-law> appare in concreto invece, come ritenuto dall'autorità inferiore, che il rischio assicurato è la degenza ospedaliera in caso di malattia, infortunio o maternità. Questi tre casi costituiscono infatti quelli in cui l'assicurazione sociale malattie accorda prestazioni (<ref-law>). La censura si rivela pertanto infondata.
2.
2.1. Con riferimento alla tempestività dell'annuncio del ricovero avvenuto fra il 5 maggio e il 25 giugno 2013, l'autorità inferiore ha dapprima richiamato le disposizioni contrattuali e legali applicabili. Essa ha indicato che, in base all'art. 10 delle condizioni generali d'assicurazione (CGA), per far valere il diritto alle prestazioni la persona assicurata è tenuta a inoltrare la dichiarazione di degenza ospedaliera al più tardi entro 30 giorni dal ricovero, altrimenti l'assicurazione non è obbligata a fornire le prestazioni. In virtù dell'art. 45 cpv. 1 LCA tuttavia, se fu convenuta una sanzione per il caso in cui lo stipulante o l'avente diritto manchi a un obbligo, questi non incorre nella sanzione quando risulti dalle circostanze che la mancanza non è imputabile a colpa. La Corte cantonale ha poi aggiunto che, giusta l'art. 38 cpv. 2 LCA, qualora l'assicurato non rispetti l'obbligo di avviso per sua colpa, l'assicuratore può ridurre l'indennità dell'importo che si troverebbe diminuita se l'avviso fosse stato dato in tempo.
Analizzando l'agire dell'opponente, l'autorità inferiore ha poi in primo luogo ritenuto - basandosi sulla dichiarazione del primario di psichiatria dell'istituto di cura - che l'attore, provvedendo ad avvisare la convenuta il 25 giugno 2013, ha eseguito la notifica non appena si era trovato in uno stato valetudinario tale da permettergli di effettuare tale operazione. Per questa ragione ha considerato che il mancato rispetto del termine di 30 giorni non era dovuto a colpa dell'assicurato. Ha poi soggiunto che la qui ricorrente non ha subito alcun nocumento dal ritardo nell'inoltro della notifica, vista la necessità, confermata dall'assicuratore di base facente parte del medesimo gruppo, del ricovero durato fino al 25 giugno 2013.
2.2. La ricorrente contesta, ritenendolo manifestamente errato, l'accertamento secondo cui l'opponente aveva omesso di effettuare la notifica entro 30 giorni senza sua colpa. Tralascia però di censurare l'altra motivazione - indipendente e alternativa - dei Giudici cantonali, secondo cui essa non avrebbe subito alcun danno dalla notifica tardiva e che quindi, anche qualora potesse essere imputata una colpa all'assicurato, avrebbe nondimeno dovuto erogare le medesime prestazioni in virtù dell'art. 38 LCA. Ne segue che la critica ricorsuale si rivela inammissibile. Infatti, quando, come nella fattispecie, la sentenza impugnata si fonda su più motivazioni indipendenti, alternative o sussidiarie, la parte ricorrente deve attaccarle tutte con censure appropriate, sotto pena d'inammissibilità del ricorso, l'impugnativa potendo unicamente essere accolta se le critiche volte contro ogni motivazione si rivelano fondate (<ref-ruling> consid. 3.4, con rinvio; <ref-ruling> consid. 4.1.4, con rinvii).
3.
3.1. La Corte cantonale ha infine negato che il contratto fosse parzialmente nullo nel senso dell'art. 9 LCA, perché il rischio assicurato è la degenza ospedaliera dovuta ad una malattia o ad un infortunio e non la malattia o l'infortunio stessi. Essa ha constatato che il rischio assicurato non è mai sopraggiunto prima della conclusione del contratto, atteso che non vi è stato alcun ricovero antecedente la stipula.
3.2. La ricorrente richiama la <ref-ruling> e lamenta una violazione dell'art. 9 LCA, perché l'assicurato soffre di una patologia psichiatrica dal 1996 e ritiene quindi che al momento della conclusione del contratto nel 2007 il rischio assicurato si fosse già realizzato.
3.3. In concreto, come risulta anche dalla più recente giurisprudenza di questo Tribunale (<ref-ruling> consid. 3.9; sentenza 4A_626/2016 del 22 marzo 2017 consid. 6) e contrariamente a quanto ritenuto dalla ricorrente, la Corte cantonale ha correttamente identificato il rischio assicurato (il sinistro), che non è costituito dalla malattia in sé, ma da una conseguente ospedalizzazione. Poiché i vincolanti accertamenti contenuti nella sentenza impugnata escludono un ricovero in una casa di cura anteriore alla stipula del contratto, la Corte cantonale non ha nemmeno violato l'art. 9 LCA, negando una parziale nullità del contratto di assicurazione.
4.
Infine, riferendosi all'indennità di patrocinio riconosciuta dall'autorità inferiore all'opponente, la ricorrente afferma che non si giustifica "assegnare a suo carico le ripetibili di CHF 3000, in assenza di un rappresentante autorizzato in una procedura come la presente, inerente a un'assicurazione non complementare ". Ora, per quanto concerne la natura dell'assicurazione in questione è sufficiente rinviare a quanto esposto al consid. 1.2, mentre il motivo per cui la ricorrente ritenga che la rappresentante dell'opponente nella sede cantonale non fosse autorizzata ad agire appare misterioso, atteso che nel ricorso viene esplicitamente indicato che la procura prodotta in tale sede menzionava espressamente che la rappresentanza valeva pure nei confronti del presente assicuratore. Anche questa censura va quindi disattesa.
5.
Da quanto precede discende che il ricorso, nella misura in cui risulta ammissibile, si palesa infondato e come tale va respinto. Le spese giudiziarie e le ripetibili seguono la soccombenza (art. 66 cpv. 1 e 68 cpv. 1 LTF).

Per questi motivi, il Tribunale federale pronuncia:
1.
Nella misura in cui è ammissibile, il ricorso è respinto.
2.
Le spese giudiziarie di fr. 2'000.-- sono poste a carico della ricorrente, che rifonderà all'opponente fr. 2'500.-- a titolo di ripetibili per la procedura innanzi al Tribunale federale.
3.
Comunicazione alle parti e al Tribunale delle assicurazioni del Cantone Ticino.