Sachverhalt:
A.
Dr. sc. nat. A._ (nachfolgend: A._) erlitt am 9. August 1997 sowie am 22. Juni 2004 einen Unfall und wurde dreimal, am 5. September 2001, 30. August 2004 und 9. Mai 2007, von Prof. Dr. med. X._ (nachfolgend: X._) am Universitätsspital Basel an der Halswirbelsäule operiert.
B.
Am 24. Juni 2010 erstattete A._ Strafanzeige gegen X._ wegen vorsätzlicher schwerer Körperverletzung und Urkundenfälschung. Die Staatsanwaltschaft des Kantons Basel-Stadt holte ein Gutachten bei Prof. Dr. med. B._ ein und stellte das Verfahren am 22. Mai 2013 ein. Die dagegen von A._ geführte Beschwerde wies das Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt am 19. August 2014 ab, soweit es darauf eintrat. Dieser Entscheid erwuchs in Rechtskraft.
C.
Am 6. November 2014 erstattete A._ erneut Strafanzeige gegen X._ wegen mehrfachen Vergehens gegen das Bundesgesetz vom 15. Dezember 2000 über Arzneimittel und Medizinprodukte (Heilmittelgesetz, HMG; SR 812.21), vorsätzlicher, eventuell fahrlässiger schwerer Körperverletzung, Urkundenfälschung, eventuell Betrugs, und Warenfälschung, eventuell Betrugs. Mit Verfügung vom 12. Januar 2016 nahm die Staatsanwaltschaft des Kantons Basel-Stadt das Verfahren nicht an die Hand, da die fraglichen Straftatbestände und teilweise auch die Prozessvoraussetzungen eindeutig nicht erfüllt seien.
Das Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt, Einzelgericht, wies die Beschwerde von A._ gegen die Nichtanhandnahmeverfügung am 22. Dezember 2016 ab, soweit es darauf eintrat. Ferner leitete es die Akten zur Prüfung der Voraussetzungen einer Revision des Entscheids des Appellationsgerichts vom 19. August 2014 an das Berufungsgericht (ebenfalls das Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt) weiter. Dieses trat am 1. September 2017 nicht auf das Revisionsgesuch ein, da gegen eine Einstellungsverfügung nicht die Revision, sondern einzig die Wiederaufnahme im Sinne von <ref-law> zur Verfügung stehe.
D.
A._ beantragt mit Beschwerde in Strafsachen vom 28. Februar 2017 und Nachtrag vom 5. März 2017, der appellationsgerichtliche Entscheid vom 22. Dezember 2016 sei vollständig aufzuheben (Ziff. 1). Es seien ihre Anträge in der Beschwerde vom 30. Januar 2016, in der Replik vom 29. Juni 2016 und in den zugehörigen Beilagen sowie in der Triplik vom 1. September 2016 gutzuheissen, insbesondere auch die Anträge, wonach die dokumentierten Ungereimtheiten, die bei diversen Stellen aktenkundig seien, der jeweils zuständigen übergeordneten Stelle zur Prüfung zu übergeben seien, dabei handle es sich um die Bundesanwaltschaft (Ziff. 2). Es seien "ihr die vollständigen und unveränderten Krankenakten zu edieren" (Ziff. 3; Verfahren 6B_290/2017).
Mit Beschwerde vom 14. Oktober 2017 beantragt A._ zusammengefasst, der Beschluss des Appellationsgerichts vom 1. September 2017 sei "wegen offensichtlichen Rechtsmissbrauchs als ungültig sowie nichtig" zu erklären und statt des nicht anwendbaren Revisionsverfahrens zusätzlich auch die Wiederaufnahme des Strafverfahrens V100628 085 anzuordnen (Ziff. 3). Das Appellationsgericht sei zu verpflichten, die in den Verfahrensakten DG.2017.8 dokumentierten mutmasslichen Offizialdelikte umgehend der zuständigen Stelle - der Bundesanwaltschaft - zur vollständigen Abklärung gemäss Vorgaben der StPO weiterzuleiten und die Bundesanwaltschaft habe konkret umschriebene Prüfungen vorzunehmen (Ziff. 1 und 2). Sie sei mit Fr. 4'600.-- für das rechtsmissbräuchliche Verfahren zu entschädigen (Ziff. 4; Verfahren 6B_1187/2017).

Erwägungen:
1.
Das Bundesgericht vereinigt mehrere Verfahren, wenn diese in einem engen sachlichen Zusammenhang stehen, namentlich, wenn sie den gleich gelagerten Sachverhalt und die gleichen Parteien sowie ähnliche oder gleiche Rechtsfragen betreffen (vgl. <ref-ruling> E. 1 S. 217; <ref-ruling> E. 1 S. 285 mit Hinweisen). Diese Voraussetzungen sind erfüllt. Es rechtfertigt sich, die Beschwerden gestützt auf <ref-law> in sinngemässer Anwendung von <ref-law> zu vereinigen und in einem einzigen Entscheid zu beurteilen.
2.
2.1. Angesichts der umfangreichen und weitschweifigen Eingaben der Beschwerdeführerin, in denen sie unterschiedliche Vorwürfe gegen eine Vielzahl von Personen sowie Institutionen erhebt und zahlreiche Anträge stellt, rechtfertigt es sich, vorab darauf hinzuweisen, dass diese Vorwürfe grösstenteils nicht den Verfahrensgegenstand betreffen und daher von vornherein unzulässig sind. Gegenstand der vorliegenden Verfahren sind der Entscheid des Appellationsgerichts des Kantons Basel-Stadt, Einzelgericht, vom 22. Dezember 2016, das als Beschwerdeinstanz die Beschwerde der Beschwerdeführerin gegen die Nichtanhandnahmeverfügung der Staatsanwaltschaft beurteilte (Verfahren 6B_290/2017), und der Entscheid des Appellationsgerichts, Dreiergericht, vom 1. September 2017, das als Berufungsgericht auf das sinngemässe Gesuch der Beschwerdeführerin um Revision des Entscheids vom 19. August 2014 nicht eintrat (Verfahren 6B_1187/2017). In beiden vorinstanzlichen Entscheiden geht es einzig um Straftaten, welche die Beschwerdeführerin X._ vorwirft. Nicht Verfahrensgegenstand sind die Einstellungsverfügung der Staatsanwaltschaft vom 22. Mai 2013, der Entscheid des Appellationsgerichts vom 19. August 2014 und das Schreiben der Bundesanwaltschaft vom 15. Juni 2017. Soweit die Beschwerdeführerin die beiden vorgenannten Entscheide oder ihnen zugrunde liegende Beweise kritisiert, ist auf die Beschwerden nicht einzutreten. Auch allfällige "dokumentierte mutmassliche Offizialdelikte" weiterer Personen und Institutionen sind nicht Gegenstand des bundesgerichtlichen Verfahrens, denn dieses betrifft - wie bereits die vorinstanzlichen Verfahren - ausschliesslich mögliche Straftaten von X._. Damit ist auf die Rechtsbegehren Ziff. 1 und 2 im Verfahren 6B_1187/2017 und zumindest teilweise auf das Rechtsbegehren Ziff. 2 im Verfahren 6B_290/2017 nicht einzutreten, weshalb auch nicht weiter auf die diesbezüglichen Ausführungen der Beschwerdeführerin, die ihre Beschwerden dominieren, einzugehen ist. Nicht einzutreten ist auf die Beschwerde 6B_290/2017 auch insoweit, als die Beschwerdeführerin die Edition der vollständigen und unveränderten Krankenakten direkt im bundesgerichtlichen Verfahren beantragt. Das Bundesgericht ist grundsätzlich an den kantonal festgestellten Sachverhalt gebunden (<ref-law>) und führt keine eigenen Beweiserhebungen durch (vgl. <ref-ruling> E. 3.4.2 S. 295 f.; Urteile 6B_629/2015 vom 7. Januar 2016 E. 2.4; 2C_347/2012 vom 28. März 2013 E. 3.2, nicht publ. in: <ref-ruling>). Schliesslich ist auf die Beschwerde im Verfahren 6B_1187/2017 auch nicht einzutreten, soweit die Beschwerdeführerin das vorinstanzliche Beschwerdeverfahren (Verfahren 6B_290/2017) kritisiert; die entsprechenden Einwände sind verspätet (<ref-law>).
2.2. Die Privatklägerschaft ist zur Beschwerde in Strafsachen nur berechtigt, wenn der angefochtene Entscheid sich auf die Beurteilung ihrer Zivilansprüche auswirken kann (Art. 81 Abs. 1 lit. b Ziff. 5 BGG). Richtet sich die Beschwerde gegen die Einstellung eines Verfahrens, hat die Privatklägerschaft nicht notwendigerweise bereits vor den kantonalen Behörden eine Zivilforderung erhoben. In jedem Fall muss sie im Verfahren vor Bundesgericht darlegen, aus welchen Gründen sich der angefochtene Entscheid inwiefern auf welche Zivilforderungen auswirken kann. Das Bundesgericht stellt an die Begründung des Beschwerderechts strenge Anforderungen. Genügt die Beschwerde diesen nicht, kann darauf nur eingetreten werden, wenn aufgrund der Natur der untersuchten Straftat ohne Weiteres ersichtlich ist, um welche Zivilforderungen es geht (<ref-ruling> E. 1.1 S. 4 f. mit Hinweisen).
Als Zivilansprüche im Sinne von Art. 81 Abs. 1 lit. b Ziff. 5 BGG gelten solche, die ihren Grund im Zivilrecht haben und deshalb ordentlicherweise vor den Zivilgerichten durchgesetzt werden müssen. In erster Linie handelt es sich um Ansprüche auf Schadenersatz und Genugtuung nach <ref-law>. Nicht in diese Kategorie gehören Ansprüche, die sich aus öffentlichem Recht ergeben. Öffentlich-rechtliche Ansprüche, auch solche aus öffentlichem Staatshaftungsrecht, können nicht adhäsionsweise im Strafprozess geltend gemacht werden und zählen nicht zu den Zivilansprüchen im Sinne von Art. 81 Abs. 1 lit. b Ziff. 5 BGG (Urteile 6B_507/2017 vom 8. September 2017 E. 2.1; 6B_530/2013 vom 13. September 2013 E. 2.1 mit Hinweisen).
Die Beschwerdeführerin trägt zu ihrer Legitimation lediglich vor, sie sei Privatklägerin gemäss <ref-law> und durch die Vorfälle direkt betroffen, da sie durch die Vorgehensweise von X._ sowohl gesundheitlich als auch finanziell geschädigt worden sei. Diese Ausführungen genügen den strengen Begründungsanforderungen an die Legitimation nicht. Die Beschwerdeführerin legt damit nicht hinreichend dar, um welche Ansprüche es überhaupt gehen könnte und inwiefern diese zivilrechtlicher Natur im Sinne von Art. 81 Abs. 1 lit. b Ziff. 5 BGG sein sollten. Ebenso wenig spricht sie sich dazu aus, inwiefern sich die angefochtenen Entscheide negativ auf die Beurteilung solcher allfälliger Zivilansprüche auswirken könnten. Aufgrund der in Frage stehenden Vorwürfe ist auch nicht ohne weiteres ersichtlich, woraus sich gegebenenfalls Ansprüche ergeben könnten und inwiefern diese zivilrechtlicher und nicht vielmehr öffentlich-rechtlicher Natur sind. Die Beschwerdeführerin wurde von X._ am Universitätsspital Basel operiert, die ihm vorgeworfenen Delikte soll der Arzt im Rahmen seiner Tätigkeit am Universitätsspital Basel begangen haben. Dabei handelt es sich um eine selbständige öffentlich-rechtliche Anstalt mit eigener Rechtspersönlichkeit (§ 2 Abs. 1 des heute geltenden Gesetzes des Kantons Basel-Stadt vom 16. Februar 2011 über die öffentlichen Spitäler des Kantons Basel-Stadt, Öffentliche Spitäler-Gesetz, ÖSpG; SG 331.100). Gemäss § 3 des Gesetzes des Kantons Basel-Stadt vom 17. November 1999 über die Haftung des Staates und seines Personals (Haftungsgesetz; SG 161.100) haftet der Staat für den Schaden, den sein Personal in Ausübung seiner amtlichen Tätigkeit Dritten widerrechtlich zufügt (Abs. 1). Gegenüber dem fehlbaren Personal steht der geschädigten Person kein Anspruch zu (Abs. 2). Wo der Staat gemäss § 3 für Schaden haftet, hat die geschädigte Person Anspruch auf Genugtuung, wenn sie in ihren Persönlichkeitsrechten schwer verletzt worden ist (§ 4a). Handelte X._ als Angestellter des Universitätsspitals, beurteilen sich allfällige Schadenersatz- und Genugtuungsansprüche der Beschwerdeführerin gegen ihn ausschliesslich nach dem Haftungsgesetz und sind demnach öffentlich-rechtlicher Natur. Zwar wäre es möglich, dass X._ die Beschwerdeführerin privatärztlich behandelte (vgl. § 13 ÖSpG), jedoch wäre es an dieser gelegen, diesen Umstand in ihren Beschwerden darzulegen. Ein Verzicht auf solche Ausführungen ist vorliegend nicht möglich, da sich privatrechtliche Auswirkungen aufgrund der in Frage stehenden Vorwürfe und des Adressaten der Strafanzeigen gerade nicht ohne Weiteres aus den Akten ergeben.
Auf die Beschwerden kann demnach mangels hinreichender Begründung der Legitimation in der Sache nicht eingetreten werden. Damit kann vorliegend nicht überprüft werden, ob das vorinstanzliche Einzelgericht die Nichtanhandnahmeverfügung vom 12. Januar 2016 ohne Rechtsverletzung bestätigte und das vorinstanzliche Dreiergericht auf das sinngemässe Gesuch um Revision des Entscheids vom 19. August 2014 zu Recht nicht eintrat.
2.3. Die Beschwerdeführerin macht im Zusammenhang mit ihrer Legitimation nicht geltend, ihr Strafantragsrecht hinsichtlich der X._ vorgeworfenen Straftaten sei beeinträchtigt worden (vgl. Urteil 6B_365/2015 vom 17. Juni 2015 E. 7 mit Hinweis). Somit kann sie auch aus Art. 81 Abs. 1 lit. b Ziff. 6 BGG nichts für ihre Beschwerdebefugnis ableiten.
2.4. Unbekümmert um die fehlende Legitimation in der Sache selbst kann die Privatklägerschaft die Verletzung von Verfahrensrechten geltend machen, deren Missachtung eine formelle Rechtsverweigerung darstellt. Zulässig sind Rügen formeller Natur, die von der Prüfung der Sache getrennt werden können. Nicht zu hören sind Rügen, die im Ergebnis auf eine materielle Überprüfung des angefochtenen Entscheids abzielen (<ref-ruling> E. 1.1 S. 5; <ref-ruling> E. 2 S. 250; je mit Hinweisen). Eine in der Sache nicht legitimierte Privatklägerschaft kann deshalb weder die Beweiswürdigung kritisieren noch kann sie geltend machen, die Begründung sei materiell unzutreffend (<ref-ruling> E. 1.4 S. 44; <ref-ruling> E. 3.2 S. 436 f.; je mit Hinweisen). Sie kann hingegen vorbringen, auf ein Rechtsmittel sei zu Unrecht nicht eingetreten worden, sie sei nicht angehört worden, sie habe keine Gelegenheit erhalten, Beweisanträge zu stellen, oder sie habe keine Einsicht in die Akten nehmen können (sog. "Star-Praxis"; vgl. dazu <ref-ruling> E. 1.1 S. 5; <ref-ruling> E. 1.3 S. 80; <ref-ruling> E. 2a/bb S. 160; je mit Hinweisen).
Die Vorbringen der Beschwerdeführerin betreffen in weiten Teilen die Sache selbst, worauf nicht eingetreten werden kann (E. 2.2). Ebenso zielen ihre Rügen, die Krankenakten seien unvollständig und das medizinische Gutachten fehlerhaft auf eine materielle Überprüfung der angefochtenen Entscheide ab, was unzulässig ist. Zu prüfen sind daher im Folgenden nur jene formellen Einwände, die von der Sache getrennt werden können. Solche erhebt die Beschwerdeführerin einzig im Verfahren 6B_290/2017.
Die Beschwerdeführerin sieht das Gleichbehandlungsgebot von <ref-law> dadurch verletzt, dass die Vorinstanz im Verfahren 6B_290/2017 ihren akademischen Titel nicht aufführte, während sie den Beschuldigten stets als "Prof. Dr. med." bezeichnete. Die Rüge ist unbegründet. Weder aus dem vorinstanzlichen Entscheid noch aus der Beschwerde ergibt sich ein Hinweis dafür, dass die Nichterwähnung des akademischen Titels der Beschwerdeführerin zu deren Ungleichbehandlung in der Sache führte und sich für sie nachteilig auswirkte.
Die Beschwerdeführerin sieht ihren Anspruch auf rechtliches Gehör im Verfahren 6B_290/2017 in mehrfacher Hinsicht verletzt. Soweit sie dies damit begründet, die Staatsanwaltschaft habe keine Einvernahmen durchgeführt und sie nicht auf ihr Akteneinsichtsrecht hingewiesen, ist die Rüge unbegründet. Die Staatsanwaltschaft ist nicht verpflichtet, Einvernahmen durchzuführen, bevor sie ein Verfahren nicht an die Hand nimmt. Ebenso wenig muss sie den Parteien vor dem Erlass einer Nichtanhandnahmeverfügung rechtliches Gehör gewähren, da diesem mit der vorgesehenen Beschwerdemöglichkeit genügend Nachachtung verschafft wird (vgl. Urteil 6B_617/2016 vom 2. Dezember 2016 E. 3.3.1 mit Hinweisen; siehe jedoch auch a.a.O., E. 3.3.2). Kommt hinzu, dass die Beschwerdeführerin im Verfahren vor der Vorinstanz, die sowohl in rechtlicher als auch in tatsächlicher Hinsicht über eine volle Kognition verfügte (vgl. <ref-law>; Urteile 6B_617/2016 vom 2. Dezember 2016 E. 3.4; 6B_248/2015 vom 13. Mai 2015 E. 3.2; siehe zur Heilung des rechtlichen Gehörs: <ref-ruling> E. 2.8.1 S. 226; <ref-ruling> E. 2.3.2 S. 197 f.; je mit Hinweisen), sämtliche Einwände gegen die Nichtanhandnahme des Strafverfahrens geltend machen konnte. Eine allfällige Verletzung des rechtlichen Gehörs wäre daher spätestens im kantonalen Beschwerdeverfahren geheilt worden. Unzutreffend ist der Einwand der Beschwerdeführerin, die Vorinstanz sei auf den Verdacht, X._ habe Studienresultate gefälscht, nicht eingetreten. Die Vorinstanz setzt sich in ihrem Entscheid (E. 3.3 S. 10 f.) mit dem Vorwurf der Urkundenfälschung auseinander und erwägt, es fehle sowohl an einem hinreichenden Verdachtsmoment als auch - bei nachgewiesenem Sachverhalt - an mehreren objektiven Tatbestandsmerkmalen.
Damit sind die formellen Rügen der Beschwerdeführerin insgesamt unbegründet.
3.
Schliesslich argumentiert die Beschwerdeführerin in beiden Beschwerden, der jeweils angefochtene Entscheid sei nichtig. Da die Nichtigkeit eines Entscheids jederzeit und von sämtlichen rechtsanwendenden Behörden von Amtes wegen zu beachten ist (<ref-ruling> E. 3.1 S. 503; <ref-ruling> E. 3.1 S. 275; je mit Hinweisen), ist darauf unabhängig der Beschwerdelegitimation der Beschwerdeführerin einzugehen.
Im Verfahren 6B_290/2017 sieht die Beschwerdeführerin die Nichtigkeit "der Verfahrensentscheide" darin begründet, dass wichtige Beweismittel entfernt worden seien. Der vorinstanzliche Entscheid im Verfahren 6B_1187/2017 ist nach dem Dafürhalten der Beschwerdeführerin nichtig, weil sich die Vorinstanz rechtsmissbräuchlich auf eine formale Prüfung der Zulässigkeit des Revisionsverfahrens beschränkt habe.
Fehlerhafte Entscheide sind nach bundesgerichtlicher Rechtsprechung nichtig, wenn der ihnen anhaftende Mangel besonders schwer ist, wenn er sich als offensichtlich oder zumindest leicht erkennbar erweist und die Rechtssicherheit durch die Annahme der Nichtigkeit nicht ernsthaft gefährdet wird. Inhaltliche Mängel einer Entscheidung führen nur ausnahmsweise zur Nichtigkeit. Als Nichtigkeitsgründe fallen vorab funktionelle und sachliche Unzuständigkeit der entscheidenden Behörde sowie krasse Verfahrensfehler in Betracht (<ref-ruling> E. 3.1 S. 503; <ref-ruling> E. 3.1 S. 275; je mit Hinweisen).
Die vorinstanzlichen Entscheide sind nicht nichtig. Im Verfahren 6B_290/2017 ist kein offensichtlicher oder leicht erkennbarer Mangel ersichtlich. Im Verfahren 6B_1187/2017 ist es nicht rechtsmissbräuchlich, dass sich die Vorinstanz darauf beschränkte zu prüfen, ob auf das sinngemässe Revisionsgesuch eingetreten werden kann. Jedoch ist es angesichts der konkreten Umstände unverständlich, weshalb das Berufungsgericht die Akten nicht an die Staatsanwaltschaft zur Prüfung der Wiederaufnahme des Strafverfahrens im Sinne von <ref-law> weiterleitete. Dies hätte sich insbesondere deshalb aufgedrängt, weil die Beschwerdeinstanz und nicht die Beschwerdeführerin selbst das Berufungsgericht mit der Prüfung der Revisionsvoraussetzungen beauftragte. Die Weiterleitung ist vorliegend nachzuholen. Die kantonalen Akten im Verfahren 6B_290/2017 (BES.2016.22/V150107 189) sind zwecks Prüfung der Wiederaufnahme der Einstellungsverfügung vom 22. Mai 2013 an die Staatsanwaltschaft des Kantons Basel-Stadt weiterzuleiten. Damit werden der Staatsanwaltschaft auch die "dokumentierten mutmasslichen Offizialdelikte" weiterer Personen und Institutionen, die vorliegend nicht Verfahrensgegenstand sind (vgl. E. 2.1), zur Kenntnis gebracht.
4.
Die Beschwerde im Verfahren 6B_290/2017 ist abzuweisen, soweit darauf eingetreten werden kann. Auf die Beschwerde im Verfahren 6B_1187/2017 wird nicht eingetreten. Damit trägt grundsätzlich die Beschwerdeführerin die Gerichtskosten (<ref-law>). Da es sich rechtfertigt, im Verfahren 6B_1187/2017 ausnahmsweise keine Kosten zu erheben, sind ihr nur die Gerichtskosten für das Verfahren 6B_290/2017 aufzuerlegen.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Verfahren 6B_290/2017 und 6B_1187/2017 werden vereinigt.
2.
Die Beschwerde im Verfahren 6B_290/2017 wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
3.
Auf die Beschwerde im Verfahren 6B_1187/2017 wird nicht eingetreten.
4.
Die Gerichtskosten von Fr. 2'000.-- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
5.
Die kantonalen Akten im Verfahren 6B_290/2017 (BES.2016.22/ V150107 189) werden zwecks Prüfung der Wiederaufnahme der Einstellungsverfügung vom 22. Mai 2013 an die Staatsanwaltschaft des Kantons Basel-Stadt weitergeleitet.
6.
Dieses Urteil wird den Parteien, X._, dem Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt, Einzelgericht, und dem Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt, Dreiergericht, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 27. November 2017
Im Namen der Strafrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Denys
Die Gerichtsschreiberin: Andres