Sachverhalt:
A.
A._ (Beklagter, Beschwerdeführer) war einziger Aktionär der C._ AG. B._ (Kläger, Beschwerdegegner) ist Verwaltungsratspräsident der D._ AG. Zwischen A._ und B._ bzw. der D._ AG bestand angeblich ein Treuhandverhältnis.
Mit Kaufvertrag vom 1. Juli 1999 erwarb die E._ AG von A._ 89 Namenaktien der C._ AG. B._ bzw. die D._ AG waren am Verkaufsprozess beteiligt. Mit Schreiben vom 29. November 2007 kündigte A._ das Vertragsverhältnis mit der D._ AG per 31. Dezember 2007.
A._ betrieb B._ mit Zahlungsbefehl Nr. xxx des Betreibungsamts Dietikon vom 9. Juni 2008 für einen Betrag von Fr. 1 Mio. nebst Zins zu 5 % seit 6. Juni 2008. Als Forderungsgrund wurde angegeben: "Kaufpreis- und Schadenersatzansprüche im Zusammenhang mit dem Verkauf der C._ AG an die E._ AG unter allen Titeln, insbesondere deliktischer und auftragsrechtlicher Natur, dies alles unter dem Vorbehalt der Nachforderung". Der Betriebene erhob Rechtsvorschlag.
B.
B.a. Am 29. April 2011 klagte B._ beim Bezirksgericht Höfe mit den folgenden Rechtsbegehren:
"1. Es sei festzustellen, dass die vom Beklagten in der Betreibung Nr. xxx des Betreibungsamtes Dietikon (Zahlungsbefehl vom 9.6.08) geltend gemachte Schuld des Kläger von Fr. 1'000'000.00 nicht besteht.
2. Es sei das Betreibungsamt Dietikon/ZH anzuweisen, die Betreibung Nr. xxx gegen den Kläger aus dem Register zu löschen, alles unter Kosten- und Entschädigungsfolgen zu Lasten des Beklagten. "
Mit Urteil vom 21. Mai 2014 stellte das Bezirksgericht Höfe fest, dass die vom Beklagten in der Betreibung Nr. xxx des Betreibungsamts Dietikon geltend gemachte Schuld des Klägers von Fr. 1 Mio. nicht bestehe (Dispositiv-Ziff. 1). Zudem wies es das Betreibungsamt Dietikon an, den Registereintrag in der Betreibung Nr. xxx gegen den Kläger gemäss <ref-law> keinem Dritten bekannt zu geben (Dispositiv-Ziff. 2). Die Gerichtskosten von insgesamt Fr. 16'119.40 auferlegte es dem Beklagten (Dispositiv-Ziff. 3), den es zudem zu einer Parteientschädigung von Fr. 25'000.-- an den Kläger verpflichtete (Dispositiv-Ziff. 4).
B.b. Der Beklagte focht den bezirksgerichtlichen Entscheid beim Kantonsgericht Schwyz mit Berufung an. Mit Beschluss vom 29. Juni 2015 hob das Kantonsgericht Dispositiv-Ziffern 1 und 2 des Urteils des Bezirksgerichts Höfe vom 21. Mai 2014 auf und schrieb das Verfahren zufolge Gegenstandslosigkeit ab (Dispositiv-Ziff. 1 Abs. 1); im Übrigen ( "Kostenfolgen in Dispositiv-Ziffer 3 und 4") bestätigte es das erstinstanzliche Urteil (Dispositiv-Ziff. 1 Abs. 2). Die Kosten des Berufungsverfahrens von Fr. 10'000.-- auferlegte das Kantonsgericht dem Kläger (Dispositiv-Ziff. 2), den es zudem zur Zahlung einer Parteientschädigung von Fr. 5'000.-- an den Beklagten verurteilte (Dispositiv-Ziff. 3).
Das Kantonsgericht erwog, das Feststellungsinteresse sei eine Prozessvoraussetzung, die auch im Zeitpunkt des Entscheids noch bestehen müsse und von Amtes wegen zu prüfen sei. Der Kläger habe sein Feststellungsinteresse in sämtlichen Rechtsschriften mit einer aufgrund des Betreibungsregistereintrags eingeschränkten wirtschaftlichen Bewegungsfreiheit bzw. Kreditwürdigkeit begründet. Nachdem das Einsichtsrecht Dritter in den erwähnten Betreibungsregistereintrag nach <ref-law> inzwischen infolge Zeitablaufs per 11. Juni 2014 weggefallen sei, könnte dieses nicht mehr zur Begründung eines im Berufungsverfahren aktuellen Feststellungsinteresses dienen. Entsprechend sei aufgrund des nachträglichen Wegfalls des Feststellungsinteresses (nach Ergehen des erstinstanzlichen Urteils) das Verfahren abzuschreiben.
C.
Mit Beschwerde in Zivilsachen beantragt der Beklagte dem Bundesgericht, es sei Dispositiv-Ziffer 1 Abs. 2 des Beschlusses des Kantonsgerichts Schwyz vom 29. Juni 2015 aufzuheben. Zudem seien Dispositiv-Ziffern 3 und 4 des Urteils des Bezirksgerichts Höfe vom 21. Mai 2014 aufzuheben und die Kostenverlegung der Erstinstanz an die Vorinstanz zur Neuverlegung zurückzuweisen. Eventualiter seien die erstinstanzlichen Gerichtskosten dem Beschwerdegegner aufzuerlegen, der zudem zu verpflichten sei, dem Beschwerdeführer die Parteikosten im festgesetzten Betrag zu ersetzen.
Auf die Einholung von Vernehmlassungen wurde verzichtet. In einer unaufgefordert eingereichten Beschwerdeantwort beantragt der Beschwerdegegner die Abweisung der Beschwerde.
D.
Mit Verfügung vom 13. Oktober 2015 erteilte das Bundesgericht der Beschwerde die aufschiebende Wirkung.

Erwägungen:
1.
Auf die beantragte Sistierung des Verfahrens 4A_440/2015 bis zur Erledigung des Verfahrens 4A_438/2015 wurde verzichtet. Die angeführte Begründung des Beschwerdeführers, wonach er sich damit auf einen Prozess konzentrieren könne, was kostensparend sei, rechtfertigt ein solches Vorgehen nicht (vgl. <ref-law> [SR 273] in Verbindung mit <ref-law>).
Die Beschwerden in den Verfahren 4A_438/2015 und 4A_440/2015 richten sich ausserdem nicht gegen dasselbe Anfechtungsobjekt und an den jeweiligen vorinstanzlichen Verfahren waren nicht dieselben Parteien beteiligt, weshalb entgegen dem eventualiter gestellten Verfahrensantrag des Beschwerdeführers auf eine Vereinigung der Beschwerdeverfahren verzichtet wird.
2.
Das Bundesgericht prüft von Amtes wegen und mit freier Kognition, ob ein Rechtsmittel zulässig ist (<ref-law>; <ref-ruling> E. 2 S. 59; <ref-ruling> E. 1 S. 133; je mit Hinweisen).
2.1. Angefochten ist ein Endentscheid einer letzten kantonalen Instanz (Art. 75 Abs. 1 und Art. 90 BGG). Das Streitwerterfordernis (<ref-law>) ist erfüllt, der Beschwerdeführer hat ein schutzwürdiges Interesse an der Änderung des Entscheids über die Prozesskosten (<ref-law>) und die Beschwerde ist innert der Beschwerdefrist eingereicht worden (<ref-law>).
2.2. Die Beschwerdeschrift hat ein Rechtsbegehren zu enthalten (<ref-law>). Da die Beschwerde in Zivilsachen ein reformatorisches Rechtsmittel ist (<ref-law>), darf sich die beschwerdeführende Partei grundsätzlich nicht darauf beschränken, die Aufhebung des angefochtenen Entscheids zu beantragen, sondern sie muss einen Antrag in der Sache stellen. Anträge auf Rückweisung der Sache an die Vorinstanz zu neuer Entscheidung oder blosse Aufhebungsanträge genügen nicht und machen die Beschwerde unzulässig (<ref-ruling> E. 3.1). Namentlich müssen Rechtsbegehren, die auf einen Geldbetrag lauten, beziffert werden (<ref-ruling> E. 2 mit Hinweis). Ein blosser Rückweisungsantrag reicht ausnahmsweise aus, wenn das Bundesgericht im Falle der Gutheissung nicht selbst in der Sache entscheiden könnte (<ref-ruling> E. 1.2; <ref-ruling> E. 1.3 S. 383; <ref-ruling> E. 3.1).
Der Eventualantrag, es seien nach Aufhebung von Dispositiv-Ziffer 1 Abs. 2 des angefochtenen Beschlusses die erstinstanzlichen Gerichtskosten dem Beschwerdegegner aufzuerlegen, der zudem zur Zahlung einer Parteientschädigung im festgesetzten Betrag zu verpflichten sei, genügt den Anforderungen an ein reformatorisches Rechtsbegehren. Nicht einzutreten ist hingegen auf die Beschwerde, soweit der Beschwerdeführer eventualiter rügt, bei der Festsetzung der Höhe der erstinstanzlichen Gerichtskosten sei das Äquivalenzprinzip missachtet und die Parteientschädigung an die Beschwerdegegnerin sei zu hoch angesetzt worden. Diesbezüglich geht auch aus der Beschwerdebegründung kein hinreichend bezifferter Eventualantrag hervor (vgl. Urteile 4A_341/2011 vom 21. März 2012 E. 6.2; 4A_164/2011 vom 10. November 2011 E. 1.3.2).
Da ansonsten auch die übrigen Sachurteilsvoraussetzungen erfüllt sind, ist auf die Beschwerde in Zivilsachen unter Vorbehalt einer hinreichenden Begründung (Art. 42 Abs. 2 und <ref-law>) einzutreten.
2.3. Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (<ref-law>). Es ist somit weder an die in der Beschwerde geltend gemachten Argumente noch an die Erwägungen der Vorinstanz gebunden; es kann eine Beschwerde aus einem anderen als dem angerufenen Grund gutheissen oder eine Beschwerde mit einer von der Argumentation der Vorinstanz abweichenden Begründung abweisen. Mit Blick auf die Begründungspflicht der beschwerdeführenden Partei (Art. 42 Abs. 1 und 2 BGG) behandelt es aber grundsätzlich nur die geltend gemachten Rügen, sofern die rechtlichen Mängel nicht geradezu offensichtlich sind; es ist jedenfalls nicht gehalten, wie eine erstinstanzliche Behörde alle sich stellenden rechtlichen Fragen zu untersuchen, wenn diese vor Bundesgericht nicht mehr vorgetragen werden (<ref-ruling> E. 2 S. 116; <ref-ruling> E. 1.3; <ref-ruling> E. 1.4). Eine qualifizierte Rügepflicht gilt hinsichtlich der Verletzung von Grundrechten und von kantonalem und interkantonalem Recht. Das Bundesgericht prüft eine solche Rüge nur insofern, als sie in der Beschwerde präzise vorgebracht und begründet worden ist (<ref-law>).
Unerlässlich ist im Hinblick auf Art. 42 Abs. 2 und <ref-law>, dass die Beschwerde auf die Begründung des angefochtenen Entscheids eingeht und im Einzelnen aufzeigt, worin eine Rechtsverletzung liegt. Die beschwerdeführende Partei soll in der Beschwerdeschrift nicht bloss die Rechtsstandpunkte, die sie im kantonalen Verfahren eingenommen hat, erneut bekräftigen, sondern mit ihrer Kritik an den als rechtsfehlerhaft erachteten Erwägungen der Vorinstanz ansetzen (<ref-ruling> E. 2 S. 89, 115 E. 2 S. 116). Die Begründung hat ferner in der Beschwerdeschrift selbst zu erfolgen und der blosse Verweis auf Ausführungen in anderen Rechtsschriften oder auf die Akten reicht nicht aus. Für die Beschwerdeantwort gelten dieselben Begründungsanforderungen (<ref-ruling> E. 2 S. 116).
2.4. Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (<ref-law>). Dazu gehören sowohl die Feststellungen über den Lebenssachverhalt, der dem Streitgegenstand zugrunde liegt, als auch jene über den Ablauf des vor- und erstinstanzlichen Verfahrens, also die Feststellungen über den Prozesssachverhalt, namentlich die Anträge der Parteien, ihre Tatsachenbehauptungen, rechtlichen Erörterungen, Prozesserklärungen und Beweisvorbringen, der Inhalt einer Zeugenaussage, einer Expertise oder die Feststellungen anlässlich eines Augenscheins (<ref-ruling> E. 1.3.1 mit Hinweisen). Das Bundesgericht kann die Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz nur berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruht (<ref-law>). "Offensichtlich unrichtig" bedeutet dabei "willkürlich" (<ref-ruling> E. 2 S. 117, 264 E. 2.3 S. 266; <ref-ruling> E. 1.5). Überdies muss die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein (<ref-law>).
Die Partei, welche die Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz anfechten will, muss klar und substanziiert aufzeigen, inwiefern diese Voraussetzungen erfüllt sein sollen; andernfalls kann ein Sachverhalt, der vom im angefochtenen Entscheid festgestellten abweicht, nicht berücksichtigt werden (<ref-ruling> E. 1.3.1 S. 18, 264 E. 2.3 S. 266 mit Hinweisen). Wenn sie den Sachverhalt ergänzen will, hat sie zudem mit Aktenhinweisen darzulegen, dass sie entsprechende rechtsrelevante Tatsachen und taugliche Beweismittel bereits bei den Vorinstanzen prozesskonform eingebracht hat (<ref-ruling> E. 2 S. 90).
Zu beachten ist, dass das Bundesgericht in die Beweiswürdigung des Sachgerichts nur eingreift, wenn diese willkürlich ist. Willkür liegt nicht schon dann vor, wenn eine andere Lösung ebenfalls in Betracht zu ziehen oder gar vorzuziehen wäre, sondern nur, wenn der angefochtene Entscheid offensichtlich unhaltbar ist, mit der tatsächlichen Situation in klarem Widerspruch steht, eine Norm oder einen unumstrittenen Rechtsgrundsatz krass verletzt oder in stossender Weise dem Gerechtigkeitsgedanken zuwiderläuft (<ref-ruling> E. 2.1, 167 E. 2.1; <ref-ruling> E. 3.2.5 S. 339; je mit Hinweisen). Dass die von Sachgerichten gezogenen Schlüsse nicht mit der eigenen Darstellung der betreffenden Partei übereinstimmen, belegt keine Willkür (<ref-ruling> E. 2.3 S. 266 mit Hinweisen).
2.5. Der Beschwerdeführer verkennt diese Grundsätze in verschiedener Hinsicht. Er stellt seinen rechtlichen Vorbringen eine ausführliche Sachverhaltsdarstellung voran, in der er unter Hinweis auf zahlreiche Aktenstücke des kantonalen Verfahrens den Ablauf und die Hintergründe des Verfahrens aus eigener Sicht schildert und dabei verschiedentlich von den tatsächlichen Feststellungen der Vorinstanz abweicht oder diese erweitert, ohne substanziiert Ausnahmen von der Sachverhaltsbindung geltend zu machen. Die entsprechenden Ausführungen haben unbeachtet zu bleiben.
3.
Der Beschwerdeführer wirft der Vorinstanz eine ungerechte und willkürliche (<ref-law>) Verteilung der Prozesskosten vor und rügt diesbezüglich eine ungleiche Behandlung der Parteien (<ref-law>).
3.1. Die Vorinstanz führte hinsichtlich der Prozesskosten aus, werde das Verfahren infolge Gegenstandslosigkeit abgeschrieben, seien die Prozesskosten nach Ermessen des Gerichts zu verteilen (<ref-law> [SR 272]). Dabei sei im konkreten Einzelfall zu berücksichtigen, welche Partei Anlass zur Klage gegeben habe, welches der mutmassliche Prozessausgang gewesen wäre, bei welcher Partei die Gründe eingetreten seien, die zur Gegenstandslosigkeit führten, und welche Partei unnötigerweise Kosten verursacht habe.
Anlass zur negativen Feststellungsklage habe die vom Beschwerdeführer eingereichte Betreibung des Beschwerdegegners über einen namhaften Betrag gegeben. Unter Annahme eines hinreichenden Feststellungsinteresses hätte die Klage aufgrund einer summarischen Prüfung gutgeheissen werden müssen. Der Beschwerdeführer habe seine angeblichen Teilforderungen weitgehend unsubstanziiert vorgetragen; die Ausführungen seien teilweise widersprüchlich und nicht rechtsgenügend nachgewiesen. Die erstinstanzliche Feststellung des Nichtbestehens der betriebenen Forderung erweise sich damit als mutmasslich zu erwartender Prozessausgang. Hingegen sei es dem Beschwerdegegner zuzuschreiben, dass er sein Feststellungsinteresse lediglich auf den Betreibungsregisterauszug gestützt habe, ohne weitere Gründe für ein Rechtsschutzinteresse anzufügen; damit sei er das Risiko eingegangen, durch Zeitablauf sein Rechtsschutzinteresse zu verlieren, zumal er nach der Ausstellung des Zahlungsbefehls fast drei Jahre mit der Einleitung der Klage zugewartet habe. Während des Verfahrens hätten beide Parteien den Zeitablauf mit diversen zum Teil sehr ausführlichen Rechtsschriften und etlichen Fristerstreckungsbegehren in etwa gleichem Masse verursacht. Aus diesen Gründen rechtfertige es sich, die Prozesskosten des Berufungsverfahrens dem Beschwerdegegner und diejenigen des erstinstanzlichen Verfahrens dem Beschwerdeführer aufzuerlegen.
3.2.
3.2.1. Der Beschwerdeführer stellt die von der Vorinstanz verwendeten Kriterien der Verteilung der Prozesskosten (<ref-law>) im Falle der Abschreibung des Verfahrens als gegenstandslos (<ref-law>) zu Recht nicht grundsätzlich in Frage (vgl. Urteil 5A_885/2014 vom 19. März 2015 E. 2.4 mit Hinweis auf die Botschaft vom 28. Juni 2006 zur Schweizerischen Zivilprozessordnung, BBl 2006 7297 Ziff. 5.8.2 zu Art. 105 E-ZPO). Er zeigt keine Bundesrechtsverletzung, geschweige denn Willkür (<ref-law>) auf, indem er lediglich in appellatorischer Weise vorbringt, der Beschwerdegegner habe selbst Anstoss zur Betreibung gegeben, indem er sich geweigert habe, seiner Rechenschafts- und Herausgabepflicht nachzukommen und auf die Erhebung der Verjährungseinrede zu verzichten sowie dem Beschwerdegegner "obstruktives Verhalten" bzw. "eine reine und unbegreifliche und durch nichts gerechtfertigte Schikane" vorwirft.
3.2.2. Unbegründet ist zudem der Vorwurf, es könne nicht sein, dass der Beschwerdeführer im zweitinstanzlichen Verfahren gewinne und dafür eine Parteientschädigung erhalte, die bei weitem tiefer sei als diejenige, welche dem Beschwerdegegner für das erstinstanzliche Verfahren zugesprochen werde. Die Vorinstanz hat nachvollziehbar begründet, dass die vom Beschwerdeführer erhobene Berufung aufgrund der Gegenstandslosigkeit des Verfahrens zwar im Ergebnis durchdringe, dass jedoch die Klage (aufgrund einer summarischen Prüfung) wohl hätte gutgeheissen werden müssen, womit diese im erstinstanzlichen Verfahren zu Recht geschützt worden war. Entsprechend erscheint es folgerichtig, die Prozesskosten des erstinstanzlichen Verfahrens dem Beschwerdeführer und diejenigen des Berufungsverfahrens dem Beschwerdegegner aufzuerlegen. Dass die Höhe der Kosten des erstinstanzlichen Verfahrens und des Rechtsmittelverfahrens je unterschiedlich ausfallen können, liegt in der Natur der Sache. Entgegen der in der Beschwerde vertretenen Ansicht kann im blossen Umstand der unterschiedlichen Höhe der Gerichtskosten im erstinstanzlichen und im zweitinstanzlichen Verfahren keine rechtsungleiche (<ref-law>) Behandlung der Parteien erblickt werden.
3.2.3. Der Beschwerdeführer bringt weiter vor, die Prozessvoraussetzungen für die negative Feststellungsklage nach <ref-law> wie auch das Feststellungsinteresse für eine allgemeine negative Feststellungsklage hätten entgegen dem angefochtenen Entscheid bereits im erstinstanzlichen Verfahren gefehlt, weshalb die Erstinstanz auf die Klage nicht hätte eintreten dürfen. Er wirft der Vorinstanz zu Unrecht vor, sie hätte das Klagebegehren, das auf die Feststellung des Nichtbestehens der in Betreibung gesetzten Forderung und auf die Löschung der Betreibung lautete, ausschliesslich nach <ref-law> beurteilen dürfen. Die Vorinstanz erwog zutreffend, dass das betreffende Begehren sowohl Gegenstand einer betreibungsrechtlichen als auch einer allgemeinen negativen Feststellungsklage sein könne und das Gericht die massgebende Rechtsgrundlage nach <ref-law> von Amtes wegen zu prüfen habe, ohne dabei an die rechtliche Qualifikation des Klägers gebunden zu sein. Eine Verletzung der Dispositionsmaxime liegt entgegen der in der Beschwerde vertretenen Ansicht nicht vor.
Soweit der Beschwerdeführer vorbringt, die Eintretensvoraussetzungen einer ordentlichen Feststellungsklage seien nicht erfüllt gewesen, sind seine Ausführungen rein appellatorisch, indem er dem Bundesgericht unter Verweis auf verschiedene Beweisstücke des kantonalen Verfahrens seine Sicht der Dinge unterbreitet, wonach es an einem Feststellungsinteresse gefehlt habe. Zudem verfehlt er die Begründungsanforderungen an eine hinreichende Gehörsrüge (<ref-law>), wenn er in allgemeiner Weise und ohne Aktenhinweise behauptet, er habe "gleich mehrere Gründe aufgeführt", weshalb es an dieser Prozessvoraussetzung gefehlt habe.
3.2.4. Appellatorisch sind auch die Ausführungen in der Beschwerde unter dem Titel "Fehlende Durchführung der Hauptverhandlung", in denen der Beschwerdeführer ohne Bezug zu den Feststellungen im angefochtenen Entscheid behauptet, er habe nur unter bestimmten Bedingungen auf eine Hauptverhandlung verzichtet und bei deren Einhaltung hätte "mit Sicherheit bis am 10. Juni 2014" (d.h. dem Tag vor dem von der Vorinstanz angenommenen Zeitpunkt des Erlöschens des Einsichtsrechts Dritter) kein Urteil ergehen können. Abgesehen davon zeigt er nicht einmal für diesen Fall auf, inwiefern der Vorinstanz eine Verletzung der massgebenden Bestimmungen über die Verteilung der Prozesskosten (Art. 106 f. ZPO) vorzuwerfen wäre.
Letzteres gilt auch für die Ausführungen unter dem Titel "Ermessensmissbrauch", in denen er verschiedene seiner Vorbringen, die sich als nicht stichhaltig erwiesen haben, wiederholt und ohne Bezug zu den vorinstanzlichen Erwägungen behauptet, der Beschwerdegegner sei als alleiniger Kostenverursacher zu betrachten.
4.
Die Beschwerde erweist sich als unbegründet und ist abzuweisen, soweit darauf eingetreten werden kann. Dem Ausgang des Verfahrens entsprechend wird der Beschwerdeführer kostenpflichtig (<ref-law>). Der Beschwerdegegner, der sich mit der Erteilung der aufschiebenden Wirkung einverstanden erklärte und dem Bundesgericht seine Beschwerdeantwort unaufgefordert einreichte, hat keinen Anspruch auf eine Parteientschädigung (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 2'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3.
Es wird keine Parteientschädigung zugesprochen.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Kantonsgericht Schwyz, 1. Zivilkammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 22. Februar 2016
Im Namen der I. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Kiss
Der Gerichtsschreiber: Leemann