Sachverhalt:
A.
Am 7. März 2014 erstattete A._ Strafanzeige gegen X._ wegen schwerer, eventuell einfacher Körperverletzung durch Unterlassung sowie eventuell wegen Gefährdung des Lebens und der Gesundheit sowie weiterer Delikte. A._ warf X._ vor, die Mitwirkung bei der Diagnosestellung betreffend die schweren medizinischen Probleme ihrer gemeinsamen Tochter unterlassen zu haben. Durch die Unterlassung der Hilfeleistung an seine Tochter sei diese mit grosser Wahrscheinlichkeit nachhaltig und lebenslänglich in ihrer körperlichen Entwicklung geschädigt. Die Staatsanwaltschaft IV des Kantons Zürich stellte das Strafverfahren betreffend Körperverletzung sowie Gefährdung des Lebens am 14. Oktober 2014 ein, mangels Erfüllung eines Straftatbestands.
Daraufhin erstattete X._ am 11. September 2014 Strafanzeige gegen A._ wegen falscher Anschuldigung sowie wegen Betrugs.
Die Staatsanwaltschaft des Kantons Zürich nahm das Strafverfahren am 17. Oktober 2014 nicht an die Hand, wogegen X._ Beschwerde erhob.
B.
Das Obergericht des Kantons Zürich wies die Beschwerde mit Beschluss vom 17. September 2015 ab.
C.
X._ führt Beschwerde in Strafsachen mit den Anträgen, der Beschluss des Obergerichts vom 17. September 2015 sowie die Nichtanhandnahmeverfügung der Staatsanwaltschaft vom 17. Oktober 2014 seien aufzuheben. Die Staatsanwaltschaft sei anzuweisen, gegen A._ eine Strafuntersuchung zu eröffnen. Eventualiter sei das Verfahren zur ergänzenden Sachverhaltsfeststellung und anschliessender Neubeurteilung an die Vorinstanz zurückzuweisen.

Erwägungen:
1.
1.1. Vorerst ist zu prüfen, ob der Beschwerdeführer zur Beschwerde in Strafsachen gegen die Bestätigung der Nichtanhandnahme legitimiert ist. Zur Beschwerde ist berechtigt, wer vor der Vorinstanz am Verfahren teilgenommen und ein rechtlich geschütztes Interesse an der Aufhebung oder Änderung des angefochtenen Entscheids hat (<ref-law>). Bei der Privatklägerschaft wird das Anfechtungsinteresse nur insoweit geschützt, als sich der angefochtene Entscheid auf die Beurteilung der Zivilansprüche auswirken kann (Art. 81 Abs. 1 lit. b Ziff. 5 BGG). In erster Linie geht es um Ansprüche auf Schadenersatz und Genugtuung gemäss <ref-law>, die üblicherweise vor den Zivilgerichten geltend gemacht werden müssen. Richtet sich die Beschwerde gegen die Einstellung oder Nichtanhandnahme eines Verfahrens, hat die Privatklägerschaft nicht notwendigerweise bereits vor den kantonalen Behörden Zivilansprüche geltend gemacht. Selbst wenn sie bereits adhäsionsweise privatrechtliche Ansprüche geltend gemacht hat, werden in der Einstellungsverfügung keine Zivilklagen behandelt (<ref-law>). In jedem Fall muss der Privatkläger im Verfahren vor Bundesgericht darlegen, aus welchen Gründen sich der angefochtene Entscheid inwiefern auf welche Zivilforderung auswirken kann.
Als Privatklägerschaft gilt die geschädigte Person, die ausdrücklich erklärt, sich am Strafverfahren als Straf- oder Zivilkläger zu beteiligen (<ref-law>). Geschädigt ist, wer durch die Straftat in seinen Rechten unmittelbar verletzt worden (<ref-law>), d.h. wer Träger des durch die verletzte Strafnorm geschützten oder zumindest mitgeschützten Rechtsgutes ist. Das Bundesgericht stellt an die Begründung der Legitimation strenge Anforderungen. Genügt die Beschwerde diesen nicht, kann darauf nur eingetreten werden, wenn aufgrund der Natur der untersuchten Straftat ohne Weiteres ersichtlich ist, um welche Zivilforderung es geht (<ref-ruling> E. 1.1 mit Hinweisen; Urteil 6B_1259/2015 vom 22. Dezember 2015 E. 2).
1.2. Zur Begründung seiner Legitimation beruft sich der Beschwerdeführer auf eine Persönlichkeitsverletzung und macht geltend, der Vorwurf der schweren Kindsmisshandlung wiege schwer. Zudem habe die Beschwerdegegnerin ihre Anschuldigungen gegenüber Dritten wie etwa diversen Ärzten, dem Bezirksgericht Meilen sowie der Erwachsenenschutzbehörde kundgetan. Damit habe sie seine Persönlichkeitsrechte wiederholt und materiell qualifiziert verletzt. Ihm sei ein unbelasteter Umgang mit den erwähnten Personen nicht mehr möglich. Zu den immateriellen Schäden träten materielle Schäden in Form von Anwaltskosten sowie Honoraren für psychologische Beratungen zur Bewältigung der durch die Vorwürfe ausgelösten psychischen Folgen. Er beabsichtige, die erwähnten Ansprüche gegenüber der Beschwerdegegnerin auf dem Prozessweg geltend zu machen.
Hinsichtlich des Betrugs macht der Beschwerdeführer geltend, die Beschwerdegegnerin habe am 6. August 2013 eine Vaterschafts- und Unterhaltsklage anhängig gemacht und konfrontiere ihn mit "abartigen Unterhaltsforderungen". Die der Betrugsanzeige zugrunde liegende konstruierte Bedarfsaufstellung der Beschwerdegegnerin werde von ihr im Unterhaltsprozess missbraucht, um überrissene Wohnkosten zu rechtfertigen. Dies könne sie ungestraft tun, solange die Anzeige wegen Betrugs nicht anhand genommen werde.
1.3. Nicht jede noch so geringfügige Beeinträchtigung der Persönlichkeit kann als rechtlich relevante Verletzung verstanden werden (<ref-ruling> E. 5.1; <ref-ruling> E. 3a; Urteil 6B_780/2015 vom 6. Januar 2016 E. 1.5; je mit Hinweisen). Die Verletzung muss eine gewisse Intensität erreichen. Auf die subjektive Empfindlichkeit des Betroffenen kommt es dabei nicht an (Urteil 1B_21/2012 vom 27. März 2012 E. 2.4; <ref-ruling> E. 4.4; je mit Hinweis). Leichte Persönlichkeitsverletzungen, wie beispielsweise unbedeutende Ehrverletzungen, rechtfertigen deshalb von vornherein keine finanzielle Genugtuung. Inwiefern die Persönlichkeitsverletzung objektiv und subjektiv schwer wiegt, ist in der Beschwerde darzulegen (Urteil 6B_925/2015 vom 9. Februar 2016 E. 3 mit Hinweisen).
Hinsichtlich des Tatbestands der falschen Anschuldigung ist zumindest fraglich, ob die behauptete Persönlichkeitsverletzung die erforderliche Schwere erreicht und ob dem Beschwerdeführer diesbezüglich Beschwerdelegitimation zukommt. Nicht einzutreten ist auf die Beschwerde, soweit sie sich gegen die Nichtanhandnahme des Strafverfahrens wegen Betrugs richtet. Der Beschwerdeführer legt nicht dar, inwiefern er aufgrund der im Vaterschafts- und Unterhaltsprozess von der Beschwerdegegnerin geltend gemachten angeblich überhöhten Unterhaltsforderungen finanziell geschädigt sein soll oder weshalb ihm daraus andere Ansprüche, wie etwa eine Genugtuungsforderung, erwachsen sein sollen. Dies genügt den strengen Begründungsanforderungen nicht.
2.
Der Beschwerdeführer wendet sich gegen die Nichtanhandnahme des Strafverfahrens betreffend falsche Anschuldigung und rügt eine Verletzung des Grundsatzes "in dubio pro duriore".
2.1. Nach <ref-law> eröffnet die Staatsanwaltschaft eine Untersuchung, wenn sich aus den Informationen und Berichten der Polizei, aus der Strafanzeige oder aus ihren eigenen Feststellungen ein hinreichender Tatverdacht ergibt. Sie verzichtet auf die Eröffnung, wenn sie sofort eine Nichtanhandnahmeverfügung oder einen Strafbefehl erlässt (<ref-law>). Gemäss <ref-law> verfügt die Staatsanwaltschaft die Nichtanhandnahme der Untersuchung, sobald aufgrund der Strafanzeige oder des Polizeirapports feststeht, dass die fraglichen Straftatbestände oder die Prozessvoraussetzungen eindeutig nicht erfüllt sind (lit. a), wenn Verfahrenshindernisse bestehen (lit. b) oder wenn aus den in <ref-law> genannten Gründen auf eine Strafverfolgung zu verzichten ist (lit. c).
Die Frage, ob ein Strafverfahren über eine Nichtanhandnahme erledigt werden kann, beurteilt sich nach dem aus dem Legalitätsprinzip abgeleiteten Grundsatz "in dubio pro duriore" (<ref-law> und <ref-law> i.V.m. Art. 319 Abs. 1 und Art. 324 Abs. 1 StPO; <ref-ruling> E. 4.2). Danach darf eine Nichtanhandnahme durch die Staatsanwaltschaft gestützt auf <ref-law> nur in sachverhaltsmässig und rechtlich klaren Fällen ergehen. Im Zweifelsfall, wenn die Gründe der Nichtanhandnahme nicht mit absoluter Sicherheit gegeben sind, muss das Verfahren eröffnet werden (vgl. <ref-ruling> E. 2.3). Der Grundsatz "in dubio pro duriore" ist unter Würdigung der im Einzelfall gegebenen Umstände zu handhaben. Die Staatsanwaltschaft und die Beschwerdeinstanz verfügen insoweit über einen gewissen Spielraum, den das Bundesgericht nur mit Zurückhaltung überprüft (<ref-ruling> E. 4.1.1 f./4.2 und 186 E. 4.1; je mit Hinweisen).
2.2. Gemäss <ref-law> wird mit Freiheitsstrafe oder Geldstrafe bestraft, wer einen Nichtschuldigen wider besseres Wissen bei der Behörde eines Verbrechens oder Vergehens beschuldigt, in der Absicht, eine Strafverfolgung gegen ihn herbeizuführen. Der Tatbestand der falschen Anschuldigung schützt in erster Linie die Zuverlässigkeit der Rechtspflege. Die Tathandlung führt zu einem unnützen Einsatz öffentlicher Mittel. Darüber hinaus schützt die Bestimmung aber auch die Persönlichkeitsrechte von zu Unrecht angeschuldigten Personen mit Bezug auf deren Ehre, Freiheit, Privatsphäre, Vermögen usw. (<ref-ruling> E. 2.1; <ref-ruling> E. 4.1; Urteil 6B_243/2015 vom 12. Juni 2015 E. 2/2.4; je mit Hinweisen). Der subjektive Tatbestand erfordert Vorsatz und in Bezug auf die Unwahrheit der Beschuldigung Handeln wider besseres Wissen. Das Bewusstsein, die Behauptung könnte möglicherweise falsch sein, genügt mithin nicht. Der Täter muss vielmehr sicher darum wissen, dass die Anschuldigung unwahr ist. Insofern scheidet Eventualvorsatz aus (<ref-ruling> E. 2.1 mit Hinweisen).
2.3. Der Beschwerdeführer beanstandet vorab die vorinstanzliche Sachverhaltsfeststellung. Konkret macht er geltend, die Vorinstanz stelle einzig auf die unbelegten subjektiven Behauptungen der Beschwerdegegnerin ab, ohne deren Glaubwürdigkeit zu prüfen. Die Beschwerdegegnerin habe bereits vor der Anzeigeerstattung gesicherte und fundierte Hinweise auf einen Gendefekt bei ihrer Tochter gehabt, womit ihr klar gewesen sein müsse, dass eine Heilung nicht durch die Bestimmung des genauen Defekts beim Beschwerdeführer herbeigeführt werden könne. Weiter sei im Vaterschaftsverfahren eine DNA-Analyse erstellt worden, auf welche die Beschwerdegegnerin hätte zurückgreifen können. Schliesslich sei weder erstellt, dass die medizinische Abklärung dringlich, noch dass seine Mitwirkung unabdingbar gewesen sei. Das Kinderspital habe lediglich empfohlen, dass er bei der gesundheitlichen Abklärung mitwirke. Die vorinstanzliche Sachverhaltsfeststellung sei offensichtlich unhaltbar, einseitig und willkürlich.
2.3.1. Für das Bundesgericht ist der vorinstanzlich festgestellte Sachverhalt massgebend (<ref-law>). Die Sachverhaltsfeststellung kann vor Bundesgericht nur gerügt werden, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruht und wenn die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein kann (<ref-law>). Offensichtlich unrichtig ist die Sachverhaltsfeststellung, wenn sie willkürlich ist (<ref-ruling> E. 2.3 mit Hinweis). Für die Anfechtung gilt das strenge Rügeprinzip (Art. 42 Abs. 2 i.V.m. Art. 97 Abs. 1 und Art. 106 Abs. 2 BGG). Das Bundesgericht prüft in diesem Fall nur anhand der angefochtenen Beweiswürdigung detailliert erhobene und aktenmässig belegte Rügen. Auf appellatorische Kritik tritt es nicht ein, denn es überprüft die Beweiswürdigung nicht wie ein Appellationsgericht frei (<ref-ruling> E. 1.3.1 mit Hinweis).
2.3.2. Die Vorinstanz erwägt, bei der Tochter der Beschwerdegegnerin sei gemäss dem Bericht des Kinderspitals Zürich vom 23. Januar 2014 ein schwerer globaler Entwicklungsrückstand unklarer Ätiologie festgestellt worden. Die vorläufige Diagnose habe Lhermitte-Duclos Syndrom gelautet. Es sei davon auszugehen, dass die Beschwerdegegnerin im Zeitpunkt der Anzeigeerstattung Kenntnis von der vorläufigen Diagnose gehabt habe. Indessen gehe aus dem ärztlichen Bericht hervor, dass die Ursache des schweren Entwicklungsrückstandes unklar gewesen sei. Die Beschwerdegegnerin habe ausgeführt, dass sowohl ein Gendefekt als auch eine Stoffwechselerkrankung nicht auszuschliessen gewesen seien. Für eine umfassende Diagnose sei die Mitwirkung des biologischen Vaters empfohlen worden. Gemäss Vorinstanz fänden sich weder Hinweise in den Akten noch lege der Beschwerdeführer dar, weshalb die Beschwerdegegnerin nicht der festen Überzeugung gewesen sei, seine Mitwirkung bei der Diagnosestellung helfe, diese zu beschleunigen bzw. erst möglich zu machen. Der Beschwerdegegnerin könne nicht nachgewiesen werden, im Zeitpunkt der Anzeigeerstattung wider besseres Wissen gehandelt zu haben. Wenn sie lediglich den aus ihrer Sicht gegebenen Sachverhalt rechtlich falsch einschätzte, erfülle sie den Tatbestand der falschen Anschuldigung nicht.
2.3.3. Die Sachverhaltsfeststellung im angefochtenen Entscheid ist nicht zu beanstanden. Die Vorinstanz erwägt, im Zeitpunkt der Anzeigeerstattung sei die Ursache der gesundheitlichen Beeinträchtigung der gemeinsamen Tochter nicht bekannt gewesen. Dabei stützt sie sich insbesondere auf den Bericht des Kinderspitals vom 23. Januar 2014. Die Argumentation des Beschwerdeführers ist bereits deshalb nicht stichhaltig, weil sie weniger darauf abzielt, den effektiven Wissensstand der Beschwerdegegnerin im Zeitpunkt der Anzeigeerstattung anzuzweifeln. Vielmehr führt er aus, was die Beschwerdegegnerin hätte wissen können und müssen. Dies ist beispielsweise der Fall, wenn er auf die bereits vorhandene DNA-Probe verweist oder geltend macht, seine Mitwirkung sei nicht dringend gewesen. Allerdings wurde seine Mitwirkung gemäss Vorinstanz immerhin ärztlich empfohlen. Schliesslich lassen selbst die Belege, auf die der Beschwerdeführer verweist, darauf schliessen, dass die Beschwerdegegnerin hinsichtlich der Ursache der Beeinträchtigung ihrer Tochter keine gesicherten Kenntnisse hatte. So habe sie gemäss Beschwerdeführer in einem Schreiben vom 18. Oktober 2013 erwähnt, dass die gesundheitlichen Probleme "möglicherweise" auf eine genetische Veranlagung beim Vater zurückzuführen seien. Im Weiteren spricht der Beschwerdeführer von Mutmassungen seitens der Beschwerdegegnerin. Damit zeigt er gerade nicht auf, dass die vorinstanzliche Feststellung, die Beschwerdegegnerin habe die genaue Ursache der Erkrankung ihrer Tochter im Zeitpunkt der Anzeige nicht gekannt, willkürlich ist. Der Beschwerdeführer kritisiert im Weiteren, dass keine weiteren Beweise abgenommen wurden. Inwiefern dies erforderlich gewesen sein soll, legt er allerdings nicht substanziiert dar und dies ist auch nicht ersichtlich. Eine Bundesrechtsverletzung liegt nicht vor.
2.4. Gestützt auf den von der Vorinstanz willkürfrei festgestellten Sachverhalt ist die Nichtanhandnahme des Verfahrens nicht zu beanstanden. Die Beschwerdegegnerin hat den Sachverhalt gemäss ihrem damaligen Wissensstand geschildert und zur Anzeige gebracht. Was die rechtliche Würdigung des angezeigten Sachverhalts betrifft, unterliegt diese grundsätzlich nicht dem Anzeigeerstatter, weshalb sich die Beschwerdegegnerin nicht durch die eigene falsche Würdigung des den tatsächlichen Gegebenheiten entsprechenden Sachverhalts der falschen Anschuldigung schuldig machen kann. Es liegt somit kein Verstoss gegen Bundesrecht, insbesondere den Grundsatz "in dubio pro duriore" vor.
3.
Die Beschwerde ist abzuweisen, soweit darauf eingetreten werden kann. Bei diesem Ausgang des Verfahrens hat der Beschwerdeführer die bundesgerichtlichen Kosten zu tragen (<ref-law>). Der Beschwerdegegnerin ist keine Entschädigung zuzusprechen, da ihr im bundesgerichtlichen Verfahren keine Umtriebe entstanden sind.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 2'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Zürich, III. Strafkammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 8. März 2016
Im Namen der Strafrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Denys
Der Gerichtsschreiberin: Schär