Faits :
A.
Z._ et X._ ont vécu une dizaine d'années en concubinage, de 1998 à 2008, période durant laquelle ils ont habité la villa dont Z._ était propriétaire à... (VD). Ils sont les parents d'un enfant né en 1998.
A la séparation des concubins au printemps 2008, X._ est restée dans la villa, en dépit des mises en demeure que lui a adressées Z._ de quitter celle-ci.
Dans le cadre de la procédure de mesures provisionnelles introduite par Z._, le Président du Tribunal civil de l'arrondissement de La Côte, au cours de l'audience tenue le 28 mai 2008, a ratifié pour valoir jugement la convention passée par les parties devant lui, dans laquelle X._ a pris " l'engagement irrévocable de quitter la villa de... " avec tous ses effets personnels d'ici au 15 septembre 2008 au plus tard. Cette convention valait ordonnance d'exécution forcée au sens des art. 512 ss du Code de procédure civile vaudois du 14 décembre 1966 (CPC/VD).
X._ n'a toutefois pas quitté la villa comme prévu, mais y est restée jusqu'au 10 mars 2009.
B.
Le 10 mars 2010, Z._ (demandeur) a ouvert action devant le Tribunal civil de l'arrondissement de La Côte, concluant à ce que X._ (défenderesse) soit reconnue sa débitrice et lui doive immédiat paiement de la somme de 67'057 fr. 50 avec intérêts à 5% l'an dès le 11 mars 2009.
Après avoir entendu sept témoins, le Tribunal d'arrondissement a rendu son jugement le 26 août 2015. Il a condamné la défenderesse à payer au demandeur les montants de 17'642 fr. 40 avec intérêts à 5% l'an dès le 11 mars 2009 au titre d'indemnité pour occupation illicite, ainsi que de 1'320 fr. 40 avec intérêts à 5% l'an dès le 5 juillet 2009 et de 2'230 fr. avec intérêts à 5% l'an dès le 19 août 2009 au titre de remboursement des dépens avancés par le demandeur dans deux procédures de preuve à futur.
Statuant par arrêt du 18 mai 2016, la Cour d'appel civile du Tribunal cantonal vaudois a rejeté l'appel de la défenderesse et a confirmé le jugement attaqué. Elle a également rejeté la requête d'assistance judiciaire de l'appelante.
C.
Contre cet arrêt, la défenderesse exerce un recours en matière civile et un recours constitutionnel subsidiaire au Tribunal fédéral. Dans les deux recours, elle conclut principalement en substance à la réforme de l'arrêt cantonal, en ce sens que la prétention en paiement de 17'642 fr. 30 avec intérêts à 5% l'an dès le 11 mars 2009 est rejetée. Subsidiairement, elle conclut à ce que la prétention du demandeur ne soit admise qu'à concurrence de 4'007 fr. 40 avec intérêts à compter de la même date, plus subsidiairement à concurrence de 7'037 fr. 40 avec les mêmes intérêts, et encore plus subsidiairement à concurrence de 10'067 fr. 40 sans intérêts; plus subsidiairement à ces conclusions déjà subsidiaires, elle requiert l'annulation de l'arrêt cantonal et, implicitement, le renvoi de la cause à la cour cantonale pour nouvelle décision. Elle demande également que l'assistance judiciaire pour l'appel lui soit accordée. Elle invoque la violation de l'art. 29 al. 2 Cst., l'arbitraire dans l'application de sept dispositions du droit fédéral, ainsi que des constatations factuelles manifestement inexactes.
La recourante sollicite l'assistance judiciaire pour la procédure fédérale.
L'effet suspensif a été attribué au recours par ordonnance présidentielle du 24 novembre 2016.
L'intimé n'a pas été invité à répondre.

Considérant en droit :
1.
1.1. La question du respect du délai de 30 jours pour déposer un recours au Tribunal fédéral (<ref-law>) peut demeurer ouverte, vu le sort qui est destiné au différend.
1.2. La présente cause ayant trait, comme on le verra, au paiement d'une indemnité d'occupation due en vertu des règles sur l'enrichissement illégitime ou sur la responsabilité délictuelle, la valeur litigieuse minimale entrant en considération pour que soit ouverte la voie du recours en matière civile est de 30'000 fr. (<ref-law>). Les conclusions restées litigieuses devant l'autorité précédente sont ainsi déterminantes, car l'arrêt attaqué est une décision finale (<ref-law>). Or celles-ci se montant à 21'192 fr.80 en capital (<ref-law>), le recours en matière civile est irrecevable ratione valoris.
1.3. En page 44 de son recours, la recourante soutient que le litige pose une question juridique de principe au sens de l'<ref-law>, car la " question de savoir si les rapports personnels noués entre les concubins, par exemple s'agissant d'enfants communs mineurs au moment de la séparation, ont des conséquences sur les délais de dénonciation de la société simple, sur la bonne ou la mauvaise foi de la dénonciation, sur le caractère opportun du temps où la dénonciation est donnée " doit impérieusement recevoir une réponse du Tribunal fédéral.
Mais, ainsi qu'on le découvrira ci-dessous, la question de la dénonciation d'une société simple ne se pose pas en l'espèce, de sorte que la présente cause ne soulève pas la prétendue question juridique de principe évoquée par la recourante.
1.4. Le recours en matière civile étant ainsi irrecevable, le recours constitutionnel subsidiaire de la recourante doit être examiné.
2.
Saisi d'un recours constitutionnel subsidiaire, le Tribunal fédéral statue sur la base des faits établis par l'autorité précédente (<ref-law>). Il ne peut rectifier les constatations de l'autorité précédente que si les faits ont été établis en violation de droits constitutionnels (<ref-law> en relation avec l'<ref-law>), soit en particulier s'ils ont été établis de manière arbitraire, ce qui correspond à la notion de "manifestement inexacte" figurant à l'<ref-law> (<ref-ruling> consid. 2 p. 117; <ref-ruling> consid. 1.5). La critique de l'état de fait retenu est soumise au principe strict de l'allégation énoncé par l'<ref-law> (renvoi de l'<ref-law>; cf. <ref-ruling> consid. 2.3 p. 266 et les références).
Le recours constitutionnel ne pouvant être formé que pour violation des droits constitutionnels (<ref-law>), le Tribunal fédéral ne corrige l'application des dispositions de droit matériel que si celle-ci est arbitraire au sens de l'art. 9 Cst. Une motivation n'est pas arbitraire du seul fait qu'une autre solution que celle de l'autorité cantonale apparaît concevable ou même préférable (<ref-ruling> consid. 2.1 p. 18 s.). Le Tribunal fédéral ne recherche pas quelle est l'interprétation correcte que l'autorité cantonale aurait dû donner de la disposition légale, mais il se borne à dire si l'interprétation qui a été faite est défendable (<ref-ruling> consid. 5.1 p. 18; <ref-ruling> consid. 2.1). Pour être qualifiée d'arbitraire, la décision doit également être insoutenable dans son résultat (<ref-ruling> consid. 2.1 déjà cité).
3.
Le Tribunal d'arrondissement avait considéré que la défenderesse avait occupé sans droit la villa appartenant au demandeur du 15 septembre 2008 au 10 mars 2009. Compte tenu d'une valeur locative de 3'030 fr. par mois, le tribunal a condamné la défenderesse à payer au demandeur le montant de 17'642 fr. 40 pour occupation illicite (15 jours en septembre, puis cinq mois complets et 10 jours sur les 31 jours de mars, soit 1'515 fr. + 15'150 fr. + 977 fr.40).
La défenderesse appelante ayant invoqué la clausula rebus sic stantibus, la cour cantonale a examiné la validité de la convention passée en audience de mesures provisionnelles comme un contrat et constaté que le demandeur n'avait pas exploité usurairement un déséquilibre créé postérieurement à la signature de la convention, ni abusé manifestement de son droit. La Cour d'appel en a inféré que la défenderesse ne disposait plus de titre d'occupation de la villa durant la période susrappelée.
Puis, examinant le grief de l'appelante en relation avec le montant de l'indemnité due, la cour cantonale a constaté que l'expert, qui a visité les lieux, a tenu compte de l'état de l'immeuble et retenu une moins-value de 17% en raison des travaux entrepris après le départ de la défenderesse. Elle a confirmé le montant alloué par les premiers juges, les critiques de la défenderesse ayant été jugées infondées.
4.
Dans son grief de motivation insuffisante de la décision attaquée (art. 29 al. 2 Cst.), la recourante reproche à l'autorité cantonale de n'avoir pas indiqué précisément quel fondement juridique elle retenait pour la condamner à payer cette indemnité.
Il est vrai que la cour cantonale a envisagé que l'indemnité d'occupation est due, soit en vertu des règles sur l'enrichissement illégitime (<ref-law>) ou sur l'acte illicite (<ref-law>), soit en raison d'une relation contractuelle de fait ("quasi-bail"). Dans la subsomption, elle a toutefois dit qu'il convenait de fixer une indemnité d'occupation en l'absence de bail et de loyer convenu (consid. 4.3 in fine de l'arrêt attaqué). Ce faisant, elle a clairement exclu la relation contractuelle de fait et retenu que la défenderesse devait une indemnité soit en vertu de l'enrichissement illégitime, soit en vertu d'un acte illicite. Il ne s'agit manifestement pas d'un simple renvoi à la décision de première instance.
Dès lors que la recourante est en mesure de critiquer le fondement alternatif retenu, il ne saurait être question de motivation insuffisante de l'arrêt attaqué (<ref-ruling> consid. 5.2; <ref-ruling> consid. 3.3).
5.
Invoquant ensuite une constatation manifestement inexacte des faits, la recourante soutient que le demandeur ne serait pas l'unique propriétaire de la villa, l'extrait du registre foncier de 1995 produit par celui-ci étant trop ancien pour être une preuve à cet égard.
Le jugement de première instance, en p. 2, constate que le demandeur est l'unique propriétaire de la villa. Il ne résulte pas de l'arrêt attaqué que la recourante aurait contesté en appel la qualité de propriétaire du demandeur. Le grief de fait de la recourante est donc irrecevable, faute d'épuisement des instances cantonales sur le plan matériel (cf. les art. 114 et 75 al. 1 LTF; <ref-ruling> consid. 1.3).
Il s'ensuit que son grief d'arbitraire dans l'application des <ref-law> et 8 CC en relation avec la qualité pour agir du demandeur est sans objet.
Le fait que l'enfant ait vécu avec la défenderesse dans la villa durant la période litigieuse ne change rien à cet égard.
6.
A l'appui de son grief d'arbitraire dans l'omission d'appliquer les <ref-law> et 546 al. 1 et 2 CO, la recourante soutient que la dénonciation de la société simple par son concubin est intervenue en cours d'année scolaire, ce qui constituerait un acte de mauvaise foi et donc une dénonciation en temps inopportun au sens de l'<ref-law>, ce qui justifierait un report au 31 juillet 2009.
Selon les constatations de l'arrêt attaqué, non remises en cause par la recourante, le Président du Tribunal d'arrondissement a ratifié pour valoir jugement la convention passée par les parties devant lui, dans laquelle la recourante a pris l'engagement irrévocable de quitter la villa de... avec tous ses effets personnels d'ici au 15 septembre 2008 au plus tard. Cette convention valait ordonnance d'exécution forcée au sens des <ref-law>/VD. Cette décision n'ayant pas été attaquée et étant en force (<ref-ruling> consid. 3), la question d'une société simple qui aurait perduré en relation avec l'utilisation de la villa après le 15 septembre 2008 ne se pose pas. La prise en charge de l'enfant par la recourante ne peut justifier qu'une contribution d'entretien de la part du père (cf. <ref-law> et 303 al. 1 CPC).
Partant, c'est également à tort que la recourante soutient que, dès l'instant où une décision provisionnelle du 17 novembre 2008 lui a ordonné de partir d'ici au 31 janvier 2009, elle n'aurait pas été de mauvaise foi en restant dans l'appartement jusqu'à cette date. Elle méconnaît à nouveau qu'à compter du 15 septembre 2008, elle n'avait plus le droit d'occuper - et en tout cas pas sans contre-partie - la villa.
7.
La cour cantonale n'ayant pas retenu que la défenderesse était débitrice d'une indemnité sur la base d'une relation contractuelle de fait, les griefs relatifs à l'arbitraire dans l'application des dispositions sur le bail à loyer sont sans objet. Il en va de même des griefs d'application arbitraire des <ref-law> et 940 CC, aucun trouble illicite de la possession n'entrant en ligne de compte.
8.
La recourante se plaint d'application arbitraire de l'<ref-law>. Elle reproche à la cour cantonale de n'avoir pas constaté un dommage, ni une faute - arguant au surplus de son droit de légitime défense (<ref-law>) -, ni un lien de causalité, avant d'allouer au propriétaire une indemnité pour occupation illicite. Elle invoque aussi l'arbitraire dans l'application des <ref-law>.
Dès lors que la recourante est restée dans la villa au-delà de la date fixée par décision judiciaire - ratifiant la convention passée entre parties -, elle n'avait plus aucun titre légitimant l'occupation de celle-ci, de sorte que, quel que soit le fondement juridique, la cour cantonale n'a en tout pas rendu une décision arbitraire dans son résultat en fixant une indemnité résultant de l'impossibilité pour le propriétaire d'utiliser la villa, soit en la louant, soit en l'occupant lui-même. Une décision n'est en effet arbitraire que si elle est insoutenable non seulement dans sa motivation, mais également dans son résultat (<ref-ruling> consid. 2.1, déjà cité), ce qu'il incombe au recourant de démontrer (<ref-law> en vertu du renvoi de l'<ref-law>).
Contrairement à ce que soutient la recourante, il importe peu que l'intimé aurait pu séjourner simultanément dans la villa, comme il est sans importance de savoir combien il a payé pour se loger ailleurs.
Le fait qu'elle ait vécu précédemment en ménage commun avec le demandeur (en société simple) et qu'elle ait continué à vivre dans la villa avec son fils mineur ne change rien au fait qu'après le prononcé rendu sur mesures provisionnelles, ratifiant la convention, elle ne disposait plus d'aucun titre à occuper la villa.
9.
Il s'ensuit que le recours constitutionnel doit être rejeté, dans la faible mesure de sa recevabilité.
Dès lors que ledit recours était manifestement voué à l'échec, la requête d'assistance judiciaire de la recourante doit être rejetée, en dépit de sa situation d'indigence.
Les frais de la procédure seront mis à la charge de la recourante (<ref-law>).
L'intimé n'ayant pas été invité à répondre, il n'y a pas lieu à allocation de dépens.

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce :
1.
Le recours en matière civile est irrecevable.
2.
Le recours constitutionnel subsidiaire est rejeté dans la mesure où il est recevable.
3.
La requête d'assistance judiciaire de la recourante est rejetée.
4.
Les frais judiciaires, arrêtés à 1'500 fr., sont mis à la charge de la recourante.
5.
Il n'est pas alloué de dépens.
6.
Le présent arrêt est communiqué aux parties et au Tribunal cantonal du canton de Vaud, Cour d'appel civile.
Lausanne, le 11 janvier 2017
Au nom de la Ire Cour de droit civil
du Tribunal fédéral suisse
La Présidente : Kiss
Le Greffier : Ramelet