Sachverhalt:
A.
A.a. A.A._ und B.A._ sind seit 2008 verheiratet. Sie haben gemeinsam eine minderjährige Tochter, C.A._, die 2007 geboren wurde.
A.b. Ein erstes Eheschutzverfahren zwischen den Parteien endete im Urteil des Bezirksgerichts U._ vom 4. Februar 2015. Darin wurde den Parteien die Obhut über ihre Tochter je zur Hälfte zugeteilt. C.A._ wurde zudem eine Beiständin bestellt.
A.c. Mit Faxschreiben vom 15. April 2015 stellte B.A._ bei der Kindes- und Erwachsenenschutzbehörde (KESB) V._ den Antrag, es sei A.A._ superprovisorisch die Obhut über C.A._ zu entziehen, und C.A._ sei unter seine alleinige Obhut zu stellen. Die KESB wies den Antrag auf superprovisorischen Obhutsentzug mit Verfügung vom 16. April 2015 ab. Nach einer Anhörung durch die KESB einigten sich die Parteien darauf, dass B.A._ einstweilen die alleinige Obhut übernehmen soll. Ferner vereinbarten sie ein Besuchsrecht von A.A._, nach dem diese berechtigt war, C.A._ an zwei Nachmittagen pro Woche zu sehen, wobei sie vorher einen Alkoholschnelltest zu absolvieren hatte.
A.d. Mit Eingabe vom 20. Mai 2015 beantragte B.A._ die Abänderung des Eheschutzurteils vom 4. Februar 2015. Insbesondere ersuchte er um Zuteilung der alleinigen Obhut, Gewährung eines begleiteten Besuchsrechts für A.A._ und um Aufhebung seiner Unterhaltspflicht. In diesem Abänderungsverfahren fällte das Bezirksgericht U._ am 14. September 2015 ein erstinstanzliches Urteil, mit dem die gemeinsame Tochter unter die alleinige Obhut von B.A._ gestellt, das Besuchsrecht von A.A._ neu geregelt, der Auftrag für die Beistandschaft ergänzt und die Kinder- bzw. Ehegattenunterhaltsbeiträge geändert wurden. Ferner teilte es die elterliche Sorge über C.A._ B.A._ allein zu (Ziffer 3).
B.
B.a. Gegen das Abänderungsurteil erhoben beide Parteien Berufung ans Obergericht des Kantons Zürich, B.A._ für die Anordnung eines begleiteten Besuchsrechts, die Ergänzung der Aufgaben der Beistandschaft und die Abänderung der Unterhaltsregelung, A.A._ demgegenüber für die Beibehaltung der gemeinsamen elterlichen Sorge. Die beiden Berufungsverfahren wurden vereinigt.
B.b. Im vereinigten Berufungsverfahren holte die Vorinstanz bei den behandelnden Ärzten in der Tagesklinik W._ eine schriftliche Auskunft über den Gesundheitszustand und die psychische Verfassung von A.A._ ein. Diese Auskunft wurde mit Schreiben vom 20. Mai 2016 erteilt und den Parteien zur Stellungnahme zugestellt. Im Rahmen seiner Stellungnahme vom 19. Juli 2016 beantragte B.A._ vorsorgliche Massnahmen zum Ersatz des geltenden Besuchsrechts. Mit Eingabe vom 12. September 2016 beantragte A.A._ die Abweisung des Antrags.
B.c. Mit Beschluss und Urteil vom 7. Oktober 2016 nahm die I. Zivilkammer des Obergerichts des Kantons Zürich (Vorinstanz) zunächst Vormerk von den in Rechtskraft erwachsenen Ziffern des erstinstanzlichen Urteils, schrieb den Antrag von B.A._ auf Erlass vorsorglicher Massnahmen als gegenstandslos ab und gewährte ihm die unentgeltliche Rechtspflege für das Berufungsverfahren. In der Sache änderte die Vorinstanz das Eheschutzurteil des Bezirksgerichts U._ vom 4. Februar 2015 in diversen Punkten. Soweit hier von Bedeutung, führte sie ein begleitetes Besuchsrecht ein und regelte den Auftrag an die Beistandschaft. Hingegen bestätigte die Vorinstanz das Eheschutzurteil in Bezug auf die elterliche Sorge, die es B.A._ allein zuwies.
C.
Dagegen erhob A.A._ (Beschwerdeführerin) am 9. November 2016 Beschwerde. Sie beantragt, die Dispositivziffer 1.3 (elterliche Sorge) des angefochtenen Urteils sei aufzuheben und die elterliche Sorge über C.A._ beiden Eltern gemeinsam zuzuweisen. Eventualiter sei die Dispositivziffer 1.3 des angefochtenen Urteils aufzuheben und die Sache zur Neubeurteilung an die Vorinstanz zurückzuweisen. Ihre Begehren stellt sie unter Kosten- und Entschädigungsfolgen zu Lasten von B.A._ (Beschwerdegegner). Für sich beantragt sie sodann die unentgeltliche Rechtspflege im Beschwerdeverfahren, unter Beiordnung der unterzeichnenden Anwältin als unentgeltliche Rechtsvertreterin.
Es wurden die vorinstanzlichen Akten eingeholt, nicht jedoch eine Beschwerdeantwort des Beschwerdegegners.
Mit Eingabe vom 26. März 2017 gab die Beschwerdeführerin dem Gericht den Inhalt der rechtskräftigen Erledigung des gegen sie eingeleiteten Strafverfahrens bekannt. Sie stützt sich auf ein Urteil des Bezirksgerichts U._ vom 25. Januar 2017, das sie dem Gericht in Kopie vorlegte (act. 13 und 14).

Erwägungen:
1.
1.1. Die Beschwerde richtet sich gegen den Endentscheid einer letzten kantonalen Instanz in einem Eheschutzverfahren (<ref-ruling> E. 4), die als oberes Gericht unter anderem über die hier noch streitige Zuteilung der elterlichen Sorge, eine nicht vermögensrechtliche Zivilsache, befunden hat (Art. 72 Abs. 1, 75 Abs. 1 und 90 BGG). Als betroffene Mutter, die am vorinstanzlichen Verfahren teilgenommen hat, ist die Beschwerdeführerin gemäss <ref-law> zur Beschwerde berechtigt, und die Beschwerdefrist ist eingehalten (<ref-law>). Insofern kann auf die Beschwerde eingetreten werden.
1.2. Das mit Eingabe der Beschwerdeführerin vom 26. März 2017 vorgelegte Strafurteil vom 25. Januar 2017 und die Ausführungen hierzu enthalten echte Noven, die nach <ref-law> unzulässig sind (<ref-ruling> E. 5.2.4 S. 229; <ref-ruling> E. 2.1 S. 343 f.). Diese sind im vorliegenden Verfahren nicht zu beachten.
1.3. Die streitige Sorgerechtszuteilung erging in einem Eheschutzentscheid, der eine vorsorgliche Massnahme im Sinne von <ref-law> darstellt (<ref-ruling> E. 5; für den Abänderungsentscheid vgl. Urteil 5A_336/2007 vom 5. Oktober 2007 E. 1.3). In ihrer Beschwerde kann die Beschwerdeführerin daher nur die Verletzung verfassungsmässiger Rechte rügen; dazu zählt auch die Verletzung des Willkürverbots nach <ref-law> (<ref-ruling> E. 3.3 und 4.1). Willkür liegt nicht schon dann vor, wenn eine andere Lösung ebenfalls als vertretbar oder gar zutreffender erscheint, sondern erst, wenn der angefochtene Entscheid offensichtlich unhaltbar ist, mit der tatsächlichen Situation in klarem Widerspruch steht, eine Norm oder einen unumstrittenen Rechtsgrundsatz krass verletzt oder in stossender Weise dem Gerechtigkeitsgedanken zuwiderläuft. Dabei ist erforderlich, dass der Entscheid nicht nur in der Begründung, sondern auch im Ergebnis willkürlich ist (<ref-ruling> E. 2.1, 167 E. 2.1).
Für die Beschwerdebegründung gilt die Rügepflicht nach <ref-law> (<ref-ruling> E. 6 und <ref-ruling> E. 1.4.2). Das betrifft auch die Rüge der Willkür bei der Sachverhaltsfeststellung (<ref-ruling> E. 2.2). Das Bundesgericht wendet das Recht mithin nicht von Amtes wegen an, sondern prüft die Verletzung verfassungsmässiger Rechte nur insofern, als eine solche Rüge in der Beschwerde vorgebracht und hinreichend begründet worden ist (zit. Urteil 5A_336/2007 E. 1.3).
1.4. Beruht das Urteil auf zwei selbstständigen, voneinander unabhängigen Begründungen, so müssen unter Nichteintretensfolge beide angefochten werden (zuletzt: <ref-ruling> E. 2.4). Ficht die Beschwerdeführerin nur eine von zwei selbstständigen Begründungen an, bleibt der angefochtene Entscheid gestützt auf die unangefochtene Begründung im Ergebnis auch dann bestehen, wenn die in der Beschwerde erhobenen Einwände begründet sind. Die Beschwerde läuft in diesem Fall auf einen blossen Streit über Entscheidungsgründe hinaus, die für sich allein keine Beschwer bedeuten (<ref-ruling> E. 1b).
Zur Frage, ob der seinerzeitige Eheschutzentscheid überhaupt abgeändert werden könne, erwog das Obergericht, die Verhältnisse hätten sich insofern geändert, als dass die dem ursprünglichen Entscheid zu Grunde liegende Prognose über die Entwicklung der Situation sich nicht realisiert habe. Darüber hinaus erwog es, dass die elterliche Sorge auch sonst gestützt auf Art. 298 Abs. 1 bzw. <ref-law> entzogen werden könne. Mit dieser Zweitbegründung befasst sich die Beschwerdeführerin nicht. Soweit sie die Voraussetzungen für die Abänderung des Eheschutzurteils vom 4. Februar 2015 bestreitet, kann auf ihre Beschwerde nicht eingetreten werden. Das gilt auch für die in diesem Zusammenhang erhobene Behauptung, bei fehlendem Abänderungsgrund hätte die Sache an die Vorinstanz zurückgewiesen werden müssen; es liege eine Verletzung des Gehörsanspruchs vor.
2.
Die Beschwerdeführerin hält die Alleinzuteilung der elterlichen Sorge für willkürlich und behauptet eine Verletzung des Gleichheitsgrundsatzes.
2.1. Das Obergericht erkannte mehrere Gründe, die - vor allem in Kombination - für eine Alleinzuteilung der elterlichen Sorge an den Vater sprächen. Zunächst führt es gestützt auf eine neu eingeholte Auskunft den Gesundheitszustand der Mutter ins Feld, wonach eine rezidivierende depressive Störung, ADHS, Verdacht auf akzentuierte Persönlichkeitszüge, eine psychosoziale Belastungssituation und schädlicher Gebrauch von Alkohol diagnostiziert worden seien. Insgesamt sei es fraglich, ob die Mutter überhaupt genügend stabilisiert und in der Lage sei, die elterliche Sorge über die Tochter adäquat auszuüben (angefochtenes Urteil E. III. A. 6.1). Ferner stellte sie darauf ab, dass die Mutter die Tochter im Zeitraum von Oktober 2011 bis Oktober 2014 an ihrer Brust habe saugen und nuckeln lassen, obwohl sie schon abgestillt habe. Wenn die Mutter finde, es sei die natürlichste Sache der Welt, wenn ein Kind auch nach dem Abstillen noch an den Brüsten der Mutter nuckle, scheine sie ein verzerrtes Bild über die Bedürfnisse und Anliegen eines Kindes im Vorschulalter zu haben. Es sei vielmehr Aufgabe der Mutter, ein solches Verhalten zu unterbinden und dem Kind einen adäquaten Umgang mit dem eigenen Körper und dem Körper der Mitmenschen beizubringen. Es sei nicht kindesgerecht und für die frühkindliche Entwicklung auch nicht förderlich, wenn ein Kind bei Krankheit oder Traurigkeit zum Trost die Brüste seiner Mutter streichle. Ein solch intimer Körperkontakt sei für ein Kind in diesem Alter nicht normal und mit dem Kindeswohl nicht vereinbar (angefochtenes Urteil E. III. A. 6.2). Weiter erwog das Obergericht, ein ähnliches Bild ergebe sich im Zusammenhang mit der Behandlung des Stuhlganges der Tochter, indem die Mutter der Tochter mit rund viereinhalb Jahren wieder Windeln angezogen, erst mit rund sieben Jahren damit aufgehört und an Stelle der Windeln der Tochter zwei Lager Küchenpapier in die Unterhose gelegt habe. Es sei auch unter diesem Gesichtspunkt zweifelhaft, ob die Mutter in der Lage sei, die Bedürfnisse der Tochter richtig einzuschätzen und entsprechende Entscheidungen zu deren Wohl zu treffen (angefochtenes Urteil E. III. A. 6.3). Sodann sei es im Juni 2015 zwischen den Parteien zu einem kompletten Kontaktabbruch gekommen. Dieser verunmögliche es den Eltern, zum Wohl der Tochter gemeinsam notwendige Entscheide zu treffen, und die Ausübung des elterlichen Sorge erfordere auf jenen Fall, dass der Sorgerechtsinhaber Zugang zu aktuellen Informationen über das Kind habe. Wo das Sorgerecht den Eltern gemeinsam zustehen soll, sei zudem erforderlich, dass diese in Bezug auf die grundsätzlichen Kinderbelange ein Mindestmass an Übereinstimmung aufweisen und wenigstens im Ansatz einvernehmlich und gemeinsam handelt könnten. Sei dies nicht der Fall, führe dies fast zwangsläufig zu einer Belastung des Kindes, welche anwachse, sobald dieses das fehlende Einvernehmen der Eltern selbst wahrnehme. Im Übrigen drohten auch Gefahren wie die Verschleppung wichtiger Entscheidungen. Unter den gegebenen Verhältnissen sei es zur Zeit nicht vorstellbar, dass die Parteien in der Lage seien, gemeinsam und einvernehmlich die wichtigen Entscheide im Leben von C.A._ zeit- und sachgerecht zu treffen (angefochtenes Urteil E. III. A. 6.4). Schliesslich erwog das Obergericht, dass die Mutter seit über einem Jahr keinen persönlichen Kontakt mehr zur Tochter gehabt habe. Lediglich telefonisch habe jene mit dieser Kontakt. Es falle namentlich auf, dass die Termine für die Telefongespräche jeweils über die Beiständin hätten vereinbart werden müssen. Diese Vorkommnisse zeigten auf, dass die Eltern nicht einmal in der Lage seien, einen reibungslosen telefonischen Kontakt zwischen der Mutter und der Tochter aufrecht zu erhalten. Für eine sinnvolle Ausübung des Sorgerechts sei in der Regel der persönliche Kontakt zum Kind unabdingbar. Durch den Kontaktabbruch habe die Mutter momentan keinen vertieften Einblick in den Alltag bzw. die Sorgen und Nöte der Tochter. Folglich sei es ihr auch kaum möglich, diesbezüglich adäquate Entscheidungen zu treffen (angefochtenes Urteil E. III. A. 6.5). Der ausgeprägte Elternkonflikt, die Alkoholproblematik, die psychische Erkrankung, die fragwürdigen Erziehungsmethoden wie auch der Kontaktabbruch zur Tochter rechtfertigten, in ihrer Kombination, eine Alleinzuteilung der elterlichen Sorge (angefochtenes Urteil E. III. A. 7).
2.2. Was den Sachverhalt angeht, beschränkt sich die Beschwerdeführerin im Wesentlichen darauf, die eigene Sicht der Dinge darzulegen. Eine den Begründungsanforderungen genügende Sachverhaltsrüge trägt sie insgesamt nicht vor; insofern ist darauf nicht einzutreten.
Das gilt auch für die Ausführungen der Beschwerdeführerin zur vorinstanzlichen Würdigung der Stabilität, die sich beim Sorgerecht und beim Besuchsrecht nach unterschiedlichen Kriterien und Massstäben richtet. Die Beschwerdeführerin setzt sich damit nicht auseinander, sondern beschränkt sich auf eine selektive Wiedergabe einzelner Erwägungen. Sie legt auch nicht dar, dass die elterliche Sorge bei anderer Würdigung der Stabilität, die nur einer von mehreren kombinierten Entscheidgründen war, beiden Parteien zu belassen wäre.
2.3. Die Beschwerdeführerin beanstandet sodann, es fehle jegliche Begründung, worin eigentlich die Kindeswohlgefährdung konkret liegen soll; mit keinem Wort werde erwähnt oder erwogen, wie es dem Kind früher gegangen sei oder heute gehe. Niemand habe in diesem Verfahren je vorgebracht, dem Kind gehe es nicht gut oder es sei in irgendeiner Weise je belastet gewesen. Ausserdem sei der Entzug der elterlichen Sorge unverhältnismässig. Der Entzug der elterlichen Sorge sei eine ultima ratio. Eine Verhältnismässigkeitsprüfung sei hier nie erfolgt.
2.4. Die Beschwerdeführerin setzt sich nicht bzw. nur selektiv mit den vorinstanzlichen Erwägungen auseinander. Es trifft zwar zu, dass sich dem angefochtenen Urteil keine Feststellung über den allgemeinen oder besonderen Gesundheitszustand der Tochter entnehmen lässt. Indes hat das Obergericht erwogen, aufgrund der gemachten Erfahrungen (Streichen, Saugen und Nuckeln der Brüste der Mutter; Windeln bzw. Papiereinlagen in den Unterhosen für den Stuhlgang) sei zweifelhaft, ob die Mutter in der Lage sei, die Bedürfnisse der Tochter richtig einzuschätzen und entsprechende Entscheidungen zu deren Wohl zu treffen. Damit hat das Obergericht gestützt auf festgestellte Tatsachen der Gegenwart und der Vergangenheit eine sachverhaltsbasierte Prognose über das zukünftige Kindeswohl gestellt, was namentlich in einem Verfahren, bei dem es um eine vorläufige Regelung der Eltern-Kind-Verhältnisse geht, unter Willkürgesichtspunkten nicht beanstandet werden kann. Hinsichtlich der Verhältnismässigkeit ist darauf hinzuweisen, dass die Vorinstanz auf den Kontaktabbruch zwischen den Eltern sowie den Abbruch des persönlichen Kontaktes zwischen Mutter und Kind Bezug genommen hat, weshalb einerseits die Eltern von vornherein nicht gemeinsam handeln könnten und andererseits die Mutter gar nicht (mehr) in der Lage sei, die Sorgen und Nöte der Tochter zu kennen oder zu beurteilen. Wenn von vornherein feststeht, dass die Mutter sich weder um das Kind sorgen geschweige denn das Sorgerecht gemeinsam wahrnehmen kann, scheint die - vorübergehende - Alleinzuteilung der elterlichen Sorge geradezu auf der Hand zu liegen; von Unverhältnismässigkeit kann hier keine Rede sein.
2.5. Schliesslich behauptet die Beschwerdeführerin, die Alleinzuteilung der elterlichen Sorge an den Beschwerdegegner verletze den Gleichheitsgrundsatz. Sie erwähnt den Grundsatz im Zusammenhang mit dem Verhalten des Beschwerdegegners, das im Entscheid über die Sorge nicht berücksichtigt sei, begründet aber die behauptete Verletzung nicht. Darauf ist nicht einzutreten.
3.
Auf Grund der vorangehenden Erwägungen ist die Beschwerde abzuweisen, soweit darauf einzutreten ist.
Hervorzuheben ist, dass die Vorinstanz das Sorgerecht "einstweilen" dem Beschwerdegegner zugewiesen hat, die Regelung als "nicht zwingend dauerhaft und endgültig" bezeichnet und eine Neubeurteilung der Situation nach einer Stabilisierung der Beschwerdeführerin und Wiederherstellung ihres Kontaktes zur Tochter erwähnt (angefochtenes Urteil, S. 33 f.). Damit wird sich das zuständige Sachgericht - spätestens im Scheidungsverfahren - zu befassen haben.
4.
Bei diesem Verfahrensausgang hat die Beschwerdeführerin die Gerichtskosten zu tragen (<ref-law>). Dem Beschwerdegegner ist kein entschädigungspflichtiger Aufwand entstanden (<ref-law>).
Wie die vorangehenden Erwägungen zeigen, muss die Beschwerde als von Anfang an aussichtslos betrachtet werden. Damit mangelt es an einer materiellen Voraussetzung für die unentgeltliche Rechtspflege (<ref-law>). Das entsprechende Gesuch der Beschwerdeführerin ist abzuweisen.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.
Das Gesuch der Beschwerdeführerin um unentgeltliche Rechtspflege wird abgewiesen.
3.
Die Gerichtskosten von Fr. 1'000.-- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Zürich, I. Zivilkammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 9. Juni 2017
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: von Werdt
Der Gerichtsschreiber: Leu