Sachverhalt:
A.
Am 29. Juli 2016 stellte die B._ AG beim Regionalgericht Bern-Mittelland ein Ausweisungsbegehren im Verfahren um Rechtsschutz in klaren Fällen gegen A._ (Beschwerdeführer). Nachdem A._ die Mieträumlichkeiten am 15. August 2016 verlassen hatte, schrieb das Regionalgericht das Verfahren mit Verfügung vom 23. August 2016 als gegenstandslos ab.
Mit Kostenentscheid vom 9. Februar 2017 wurde A._ verpflichtet, die Gerichtskosten des Ausweisungsverfahrens, bestimmt auf Fr. 1'000.--, zu bezahlen sowie der B._ AG eine Parteientschädigung von Fr. 4'166.65 auszurichten.
Gegen diesen Kostenentscheid erhob A._ mit Eingabe vom 20. Februar 2017 Beschwerde an das Obergericht des Kantons Bern (Verfahren Nr. ZK 17 85), wobei er beantragte, der Entscheid sei aufzuheben, die erstinstanzlichen Gerichtskosten seien der B._ AG aufzuerlegen und diese sei zu verpflichten, ihm eine Parteientschädigung von Fr. 2'429.90 zu bezahlen. Eventualiter sei die Sache an die Vorinstanz zurückzuweisen. Oberrichter Christian Trenkel (Beschwerdegegner) amtet in diesem Verfahren als Instruktionsrichter.
B.
Mit Eingabe vom 14. September 2016 klagte A._ beim Regionalgericht Bern-Mittelland gegen die B._ AG auf Feststellung, dass "die Kündigung des Mietvertrags vom 14. August 2014 nichtig ist". Am 4. November 2016 ersuchte er um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege für dieses Verfahren. Dieses Gesuch wurde vom Regionalgericht mit Entscheid vom 8. März 2017 zufolge Aussichtslosigkeit abgewiesen. Hiergegen erhob A._ mit Eingabe vom 16. März 2017 Beschwerde beim Obergericht des Kantons Bern (Verfahren Nr. ZK 17 116). Für dieses Beschwerdeverfahren beantragte A._ zudem mit separater Eingabe vom 16. März 2017 wiederum die Erteilung der unentgeltlichen Rechtspflege (Verfahren Nr. ZK 17 117). Oberrichter Christian Trenkel amtet in den Verfahren ZK 17 116 und ZK 17 117 als Instruktionsrichter.
Mit Eingabe vom 27. März 2017 stellte A._ betreffend die Verfahren ZK 17 116 und ZK 17 117 ein Ausstandsgesuch und beantragte, Oberrichter Christian Trenkel habe in den Ausstand zu treten.
Mit Eingabe vom 4. Mai 2017 ersuchte der Rechtsanwalt von A._ zudem "mit Einverständnis von Herrn A._ um Beiladung des 'Federation des Barreaux d'Europe (FBE) ' [...] sowie um Beiladung des CCBE [...] zu diesem Verfahren".
Das Obergericht des Kantons Bern wies sowohl das Ausstandsgesuch vom 27. März 2017 als auch den Verfahrensantrag vom 4. Mai 2017 mit Entscheid vom 15. Mai 2017 ab.
C.
A._ begehrt mit Beschwerde in Zivilsachen, der Entscheid des Obergerichts vom 15. Mai 2017 sei aufzuheben und das Dispositiv dahingehend abzuändern, dass Oberrichter Christian Trenkel in den Verfahren ZK 17 116 und ZK 17 117 in den Ausstand zu treten habe. Eventualiter sei die Sache an die Vorinstanz zurückzuweisen.
Sodann stellt A._ den verfahrensrechtlichen Antrag, es seien "mit Einverständnis des Beschwerdeführers im vorliegenden Beschwerdeverfahren der Europäische Anwaltsverband FBE sowie der CCBE diesem Verfahren beizuladen".
Es wurden keine Vernehmlassungen zur Beschwerde eingeholt.
Mit Eingabe vom 19. Juli 2017 stellte A._ ein Gesuch um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege und Beiordnung eines unentgeltlichen Rechtsvertreters für das bundesgerichtliche Verfahren.

Erwägungen:
1.
Das Bundesgericht prüft von Amtes wegen und mit freier Kognition, ob ein Rechtsmittel zulässig ist (<ref-law>; <ref-ruling> E. 2.1; <ref-ruling> E. 1; <ref-ruling> E. 1; <ref-ruling> E. 1).
1.1. Der angefochtene Entscheid des Obergerichts ist ein selbständig eröffneter Vor- und Zwischenentscheid über ein Ausstandsbegehren. Gegen einen solchen ist die Beschwerde zulässig (<ref-law>).
1.2. Nach dem Grundsatz der Einheit des Verfahrens sind Vor- und Zwischenentscheide mit dem in der Hauptsache zulässigen Rechtsmittel anzufechten (<ref-ruling> E. 1.4; <ref-ruling> E. 2.2). Die Verfahren ZK 17 116 und ZK 17 117 betreffen die Erteilung der unentgeltlichen Rechtspflege in einer mietrechtlichen Streitigkeit mit einem Streitwert von über Fr. 15'000.--. In der Hauptsache ist demnach gemäss <ref-law> die Beschwerde in Zivilsachen gegeben, womit diese auch gegen den angefochtenen Vor- und Zwischenentscheid offen steht. Dass die Vorinstanz nicht als Rechtsmittelinstanz im Sinne von <ref-law> entschieden hat, steht der Zulässigkeit der Beschwerde an das Bundesgericht nicht entgegen (<ref-ruling> E. 1.1 S. 42; <ref-ruling> E. 2.2 S. 426).
Auf die Beschwerde ist demnach einzutreten, unter Vorbehalt zulässiger Anträge (Erwägung 2) und einer hinlänglichen Begründung (Erwägung 3).
2.
Die vom Beschwerdeführer verlangte Beiladung des "Europäischen Anwaltsverbands FBE" sowie der "CCBE" ist für das bundesgerichtliche Verfahren nicht vorgesehen. <ref-law> legt fest, dass das Bundesgericht die Beschwerde soweit erforderlich der Vorinstanz sowie den allfälligen anderen Parteien, Beteiligten oder zur Beschwerde berechtigten Behörden zustellt und ihnen Frist zur Einreichung einer Vernehmlassung ansetzt. Der Beschwerdeführer führt zur Begründung seines Antrags einzig aus, es sei in den letzten Monaten zu zahlreichen (nicht näher spezifizierten) "Ungereimtheiten" in Bezug auf die gegen ihn bzw. seinen Rechtsvertreter ergangenen Urteile einiger Gerichtsinstanzen gekommen. Inwiefern dies die verlangte Beiladung rechtfertigen soll, ist nicht erkennbar.
3.
3.1. Mit Beschwerde in Zivilsachen können Rechtsverletzungen nach Art. 95 und 96 BGG gerügt werden. Die Beschwerde ist hinreichend zu begründen, ansonsten darauf nicht eingetreten werden kann (<ref-ruling> E. 2 S. 116; <ref-ruling> E. 2.1). In der Beschwerdeschrift ist in gedrängter Form darzulegen, inwiefern der angefochtene Akt Recht verletzt (<ref-law>). Unerlässlich ist dabei, dass auf die Begründung des angefochtenen Entscheids eingegangen und im Einzelnen aufgezeigt wird, worin eine vom Bundesgericht überprüfbare Rechtsverletzung liegt. Die beschwerdeführende Partei soll in der Beschwerde an das Bundesgericht nicht bloss die Rechtsstandpunkte, die sie im kantonalen Verfahren eingenommen hat, erneut bekräftigen, sondern mit ihrer Kritik an den als rechtsfehlerhaft erachteten Erwägungen der Vorinstanz ansetzen (<ref-ruling> E. 2 S. 116, 86 E. 2 S. 89).
Die Verletzung von Grundrechten und von kantonalem und interkantonalem Recht prüft das Bundesgericht nur insofern, als eine solche Rüge in der Beschwerde vorgebracht und begründet worden ist (<ref-law>). Das bedeutet, dass klar und detailliert anhand der Erwägungen des angefochtenen Entscheides darzulegen ist, inwiefern verfassungsmässige Rechte verletzt worden sein sollen (<ref-ruling> E. 1.2 mit Hinweisen).
3.2. Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (<ref-law>). Dazu gehören sowohl die Feststellungen über den streitgegenständlichen Lebenssachverhalt als auch jene über den Ablauf des vor- und erstinstanzlichen Verfahrens, also die Feststellungen über den Prozesssachverhalt (<ref-ruling> E. 1.3.1). Es kann die Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz nur berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruht (<ref-law>). "Offensichtlich unrichtig" bedeutet dabei "willkürlich" (<ref-ruling> E. 2 S. 117; <ref-ruling> E. 1.5).
4.
4.1. Der Beschwerdeführer begründete sein Ausstandsgesuch (unter anderem) mit einer Mehrfach- bzw. Vorbefassung von Oberrichter Christian Trenkel, weil dieser sowohl im Beschwerdeverfahren ZK 17 85 betreffend Kostenentscheid als auch in den Verfahren ZK 17 116 und ZK 17 117 als Instruktionsrichter amte. In "beiden Beschwerdeverfahren [sei] exakt der gleiche Sachverhalt mit den gleichen Parteien zu beurteilen". Beide Verfahren benötigten eine summarische Prüfung der Erfolgsaussichten des Zivilverfahrens. Es stellten sich also ähnliche oder qualitativ gleiche Rechtsfragen. Er berief sich auf <ref-law>.
4.2. Das Obergericht hielt zusammengefasst fest, dass sich in den Beschwerdeverfahren ZK 17 85 und ZK 17 116 "faktisch" die gleichen Parteien gegenüberstünden, nicht jedoch im Gesuchsverfahren ZK 17 117. Weiter erwog es, dass beiden Beschwerdeverfahren der gleiche Lebenssachverhalt zugrunde liege, nämlich die Kündigung des Miet- bzw. Pachtverhältnisses zwischen dem Beschwerdeführer und der B._ AG betreffend Räumlichkeiten an der Strasse X._ in U._. Zudem seien auch vor Obergericht "zumindest teilweise die gleichen Rechtsfragen zu beantworten", da das Regionalgericht in beiden Verfahren (Ausweisungsverfahren und Feststellungsklage) summarisch geprüft habe, ob das Vertragsverhältnis mit Kündigung vom 29. April 2016 gültig aufgelöst worden war.
Das Obergericht führte aus, <ref-law> stelle in gewissen Fällen der Vorbefassung die Vermutung auf, dass die Gerichtspersonen innerlich frei blieben, bei einem folgenden Entscheid die zuvor bereits beurteilten Fragen aufgrund neuer Prüfung anders zu beurteilen. Dazu gehöre die Mitwirkung beim Entscheid über die unentgeltliche Rechtspflege in der gleichen Sache (lit. a). Dasselbe - so die Vorinstanz - müsse auch gelten "für die Mitwirkung beim Entscheid über die unentgeltliche Rechtspflege in einem anderen Verfahren zwischen den gleichen Parteien, in welchem sich bloss teilweise die gleichen Rechtsfragen stellen".
5.
5.1. Der Beschwerdeführer rügt eine Verletzung von Art. 6 EMRK. Er meint, die Tatsache, dass Oberrichter Christian Trenkel in den beiden Beschwerdeverfahren jeweils den gleichen Lebenssachverhalt zwischen den gleichen Parteien mit teilweise gleichen Rechtsfragen beurteile, bilde einen absoluten Ausstandsgrund im Sinne dieser Bestimmung. Vorliegend sei "gerade nicht ein Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege zu beurteilen, sondern eine Rechtskontrolle in einem Beschwerdeverfahren". Anders, als dies die Vorinstanz annehme, werde "der Entscheid in dem Beschwerdeverfahren ZK 17 116 nicht neu beurteilt werden, sondern wäre instanzabschliessend".
5.2. Nach <ref-law> und Art. 6 Ziff. 1 EMRK, denen in dieser Hinsicht dieselbe Tragweite zukommt, hat der Einzelne Anspruch darauf, dass seine Sache von einem unparteiischen, unvoreingenommenen und unbefangenen Richter ohne Einwirken sachfremder Umstände entschieden wird. Diese Garantie ist verletzt, wenn Umstände vorliegen, die bei objektiver Betrachtung den Anschein der Befangenheit und Voreingenommenheit erwecken (<ref-ruling> E. 5.1 S. 328; <ref-ruling> E. 4.1 mit Hinweisen). <ref-law> umschreibt die Ausstandsgründe für die Zivilgerichte auf Gesetzesebene.
Eine gewisse Besorgnis der Voreingenommenheit und damit Misstrauen in das Gericht kann bei den Parteien immer dann entstehen, wenn einzelne Gerichtspersonen in einem früheren Verfahren mit der konkreten Streitsache schon einmal befasst waren. In einem solchen Fall sogenannter Vorbefassung stellt sich die Frage, ob sich ein Richter durch seine Mitwirkung an früheren Entscheidungen in einzelnen Punkten bereits in einem Mass festgelegt hat, die ihn nicht mehr als unvoreingenommen und dementsprechend das Verfahren als nicht mehr offen erscheinen lassen (<ref-ruling> E. 3.4 S. 116; <ref-ruling> E. 3c; je mit Hinweisen). Ob eine unzulässige, den Verfahrensausgang vorwegnehmende Vorbefassung eines Richters vorliegt, kann nicht generell gesagt werden; es ist vielmehr in jedem Einzelfall - anhand aller tatsächlichen und verfahrensrechtlichen Umstände - zu untersuchen, ob die konkret zu entscheidende Rechtsfrage trotz Vorbefassung als noch offen erscheint (<ref-ruling> E. 3.2 S. 92; <ref-ruling> E. 3.4 S. 117; <ref-ruling> E. 3d S. 59; Urteile 4F_11/2013 und 4F_12/2013 vom 16. Oktober 2013 E. 1; je mit Hinweisen).
Allein der Umstand, dass Oberrichter Christian Trenkel in den beiden Beschwerdeverfahren jeweils den gleichen Lebenssachverhalt zwischen den gleichen Parteien mit zumindest teilweise gleichen Rechtsfragen zu beurteilen haben wird, bildet nach dem Gesagten entgegen der Auffassung des Beschwerdeführers keinen Ausstandsgrund im Sinne von Art. 6 EMRK. Die Rüge des Beschwerdeführers ist in diesem Punkt unbegründet. Er müsste präzise darlegen, dass und aus welchen Gründen das Verfahren aufgrund der Vor- bzw. Parallelbefassung als nicht mehr offen erscheint, unter Berücksichtigung etwa der Umstände, unter denen sich der Richter im früheren Zeitpunkt mit der Sache befasste oder in bestimmter Weise äusserte, der Fragen, die sich in den jeweiligen Verfahren stellen (und deren Ähnlichkeit bzw. Zusammenhang), des Umfangs des Entscheidungsspielraums bei der Beurteilung der sich stellenden Rechtsfragen und der Bedeutung der Entscheidungen für den Fortgang des Verfahrens (vgl. <ref-ruling> E. 4.2.1 S. 429; Urteil 5A_600/2014 vom 12. Dezember 2014 E. 2.2 mit Hinweisen). Dies unterlässt der Beschwerdeführer. Seine Rüge ist insofern auch nicht hinreichend begründet (siehe Erwägung 3.1).
6.
6.1. Der Beschwerdeführer rügt die Art und Weise der Zuteilung des Beschwerdeverfahrens an Oberrichter Christian Trenkel zur Instruktion als Verletzung von Art. 6 EMRK.
6.2. Der Beschwerdeführer hatte vor der Vorinstanz ausgeführt, falls sich Oberrichter Christian Trenkel "das Beschwerdeverfahren ausserhalb der vorgesehenen Fallzuweisungsregeln zugewiesen haben" sollte, wäre dies "nach der Rechtsprechung des EGMR ein Beweis gegen die Vermutung einer subjektiven Unparteilichkeit". Das Obergericht führte unter Bezugnahme darauf aus, dass das instruierende Behördenmitglied nach dem Zufallsprinzip mit Hilfe einer von der Sekretariatsleitung bewirtschafteten Excel-Tabelle bestimmt werde. Eingehende Fälle würden auf der Basis eines Vergleichs der Soll- und Ist-Zuteilungen dem Gerichtsmitglied mit der grössten Negativdifferenz zur Instruktion zugeteilt. Die Oberrichterinnen und Oberrichter seien an der Zuteilung nicht beteiligt. Was der Beschwerdeführer gegen dieses Vorgehen vorbringt, genügt den bundesgerichtlichen Begründungsanforderungen für Verfassungsrügen (siehe Erwägung 3.1) nicht. Er zeigt namentlich nicht auf, inwiefern die Zuweisung eines Falles mittels einer Excel-Tabelle an dasjenige Gerichtsmitglied, das die grösste Differenz zwischen Soll- und Ist-Zuteilungen aufweist, eine Verletzung von Art. 6 EMRK darstellt. Vielmehr beschränkt er sich auf die (unbelegten) Aussagen, bei der Excel-Tabelle handle es sich nicht um einen "durch das Parlament beschlossenen gesetzlichen Verteilungsplan" und nicht einmal die Verwendung einer solchen Excel-Tabelle scheine ihre Stütze "in einem förmlichen Parlamentsgesetz zu haben". Inwiefern die Besetzung des Spruchkörpers im vorliegenden Fall auf verfassungs- oder konventionswidrige Weise erfolgt sein soll, wird vom Beschwerdeführer nicht hinreichend dargetan und ist auch nicht erkennbar (vgl. Urteile 4A_473/2014 vom 11. Dezember 2014 E. 4.2; 4A_194/2007 vom 16. Oktober 2007 E. 6.1).
7.
Nach dem Gesagten ist die Beschwerde abzuweisen, soweit darauf eingetreten werden kann. Die Beschwerde erweist sich als aussichtslos, weshalb das Gesuch um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege für das bundesgerichtliche Verfahren abzuweisen ist (siehe Art. 64 Abs. 1 und 2 BGG). Ausgangsgemäss wird der Beschwerdeführer gemäss <ref-law> kostenpflichtig.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.
Das Gesuch um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege wird abgewiesen.
3.
Die Gerichtskosten von Fr. 1'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Bern, 1. Zivilkammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 31. August 2017
Im Namen der I. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Kiss
Der Gerichtsschreiber: Kölz