Sachverhalt:
A.
D._ führt in den Gemeinden Weinfelden und Bussnang (Ortsteil Rothenhausen) einen Landwirtschaftsbetrieb mit Futter- und Ackerbau sowie Milchviehwirtschaft. Anfangs 2012 gehörten 119 Tiere zum Betrieb, davon waren 66 Milchkühe. Die bearbeitete Fläche umfasste damals insgesamt rund 42.79 ha: 18.2 ha Eigenland in Rothenhausen, knapp 8 ha Eigenland in Weinfelden und knapp 16.7 ha Pachtland an verschiedenen Standorten. Ende 2014 umfasste die bearbeitete Fläche rund 42.55 ha. D._ arbeitet mit einem Vollzeit- und einem Teilzeitangestellten.
Der Landwirtschaftsbetrieb hat zwei Standorte. Das Betriebszentrum (Sangenhof) befindet sich auf den Parzellen Nrn. 1'345 und 1'431 in Weinfelden, welche in der Wohnzone W3 und in der Landwirtschaftszone liegen. Der zweite Standort (Lindenhof) befindet sich in der Landwirtschaftszone von Rothenhausen auf der Parzelle Nr. 7'187. Gemäss dem Betriebskonzept vom 23. Januar 2012 will D._ das Betriebszentrum mittelfristig nach Rothenhausen verlegen.
Am 23. Dezember 2009 ersuchte D._ um die Baubewilligung für eine Remise (inkl. Werkstatt) auf der Parzelle Nr. 7'187 in Rothenhausen. Das kantonale Amt für Raumentwicklung (damals noch Amt für Raumplanung genannt) beurteilte das Vorhaben als zonenkonform, worauf die Politische Gemeinde Bussnang die Bewilligung erteilte. Das Departement für Bau und Umwelt (DBU) des Kantons Thurgau hiess die dagegen erhobenen Rekurse gut und hob die Baubewilligung auf. Dieser Entscheid erwuchs in Rechtskraft.
Am 12. Januar 2012 reichte D._ ein überarbeitetes Baugesuch für zwei kleinere Gebäude ein. Vorgesehen sind danach eine Remise und eine separate Werkstatt. Das kantonale Amt für Raumentwicklung erachtete das Vorhaben mit Entscheid vom 7. Juni 2012 als zonenkonform, worauf die Gemeinde Bussnang am 3. September 2012 die Baubewilligung erteilte und die erhobenen Einsprachen abwies. In der Folge legten unter anderen A. und B. C._ Rekurs ein. Mit Entscheid vom 30. Mai 2014 wies das DBU das Rechtsmittel ab. Zur Begründung führte es im Wesentlichen aus, die Remise und die Werkstatt seien zwar etwas zu gross, doch sei eine gewisse Reservebildung für die Zukunft zulässig. Auch scheine der Maschinenpark leicht überdotiert. Die Vermietung von Maschinen an Dritte über die E._ AG sei jedoch nicht zu beanstanden, zudem sei diese gewerbliche Tätigkeit untergeordneter Natur. Weiter ging das DBU davon aus, eine Erweiterung des Betriebs in Weinfelden sei wegen der angrenzenden Wohnzone nicht möglich. Zu berücksichtigen gelte es auch, dass in Rothenhausen bereits landwirtschaftliche Gebäude bestünden und der Standort durch die Gebäude der F._ erheblich vorbelastet sei.
Gegen diesen Entscheid erhoben A. und B. C._ Beschwerde ans Verwaltungsgericht des Kantons Thurgau. Mit Entscheid vom 2. September 2015 wies dieses die Beschwerde ab.
B.
Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten ans Bundesgericht beantragen A. und B. C._, der Entscheid des Verwaltungsgerichts sei aufzuheben und das Baugesuch abzuweisen.
Die Gemeinde hat auf eine Stellungnahme verzichtet. Das Verwaltungsgericht, das DBU und der Beschwerdegegner schliessen auf die Abweisung der Beschwerde. Das ebenfalls zur Vernehmlassung eingeladene Bundesamt für Raumentwicklung (ARE) beantragt, die Sache zur Klärung des Sachverhalts an die Vorinstanz zurückzuweisen. Der Beschwerdegegner und die Beschwerdeführer haben erneut Stellung genommen.
Mit Präsidialverfügung vom 20. November 2015 hat das Bundesgericht der Beschwerde die aufschiebende Wirkung zuerkannt.

Erwägungen:
1.
1.1. Angefochten ist ein letztinstanzlicher kantonaler Entscheid über eine öffentlich-rechtliche Angelegenheit (Art. 82 lit. a und Art. 86 Abs. 1 lit. d BGG). Die Beschwerdeführer sind Eigentümer einer dem Baugrundstück benachbarten Parzelle und deshalb zur Beschwerdeführung berechtigt (Art. 89 Abs. 1 BGG). Die weiteren Sachurteilsvoraussetzungen geben zu keinen Bemerkungen Anlass. Auf die Beschwerde ist grundsätzlich einzutreten.
1.2. Nicht einzutreten ist hingegen auf die Rüge, die Vorinstanz habe das rechtliche Gehör verletzt, indem sie es abgelehnt habe, Detailkonti der Geschäftsabschlüsse des Beschwerdegegners und der E._ AG offenzulegen. Die Beschwerdeführer bringen vor, dass "ein Blick auf einige Konti der Jahresabschlüsse" es erlaubt hätte, wesentliche Informationen zur Frage der bodenabhängigen Produktionsweise zu erhalten. Sie machen jedoch nicht konkret geltend, welche Zahlen bekanntgegeben werden müssten. Die Beschwerde genügt insofern den Begründungsanforderungen nicht (Art. 106 Abs. 2 BGG).
2.
In der Landwirtschaftszone zonenkonform sind Bauten und Anlagen, die zur landwirtschaftlichen Bewirtschaftung oder für den produzierenden Gartenbau nötig sind (Art. 16a Abs. 1 Satz 1 RPG [SR 700]). Diese Anforderungen präzisiert Art. 34 Abs. 1 RPV (SR 700.1). Danach sind insbesondere Bauten zonenkonform, die der bodenabhängigen Bewirtschaftung dienen (Abs. 1 erster Halbsatz), namentlich der Produktion verwertbarer Erzeugnisse aus Pflanzenbau und Nutztierhaltung (lit. a). Unter gewissen Voraussetzungen sind zudem Bauten und Anlagen zonenkonform, die der Aufbereitung, der Lagerung oder dem Verkauf landwirtschaftlicher oder gartenbaulicher Produkte dienen (Art. 34 Abs. 2 RPV). Voraussetzung für die Erteilung der Baubewilligung ist nach Art. 34 Abs. 4 RPV weiter, dass die Baute oder Anlage für die in Frage stehende Bewirtschaftung nötig ist (lit. a), der Baute oder Anlage am vorgesehenen Standort keine überwiegenden Interessen entgegenstehen (lit. b) und der Betrieb voraussichtlich längerfristig bestehen kann (lit. c).
3.
3.1. Das Verwaltungsgericht führte aus, der Maschinenpark des Beschwerdegegners sei offenkundig sehr gut dotiert, wobei es letztlich in dessen Ermessen stehe, wie er seine finanziellen Ressourcen einsetze. Zudem befänden sich unter den Fahrzeugen auch nicht mehr regelmässig eingesetzte Oldtimer und Traktoren, die das Ende ihrer Lebensdauer erreicht hätten. Diese Maschinen sollten nicht im Freien abgestellt werden. Vor diesem Hintergrund sei festzuhalten, dass die geplante Remise und die geplante Werkstatt mit dem Landwirtschaftsbetrieb in direktem Zusammenhang stünden. Aufgrund der Grösse der Remise sei auch die vorgesehene Werkstattfläche nicht zu beanstanden. Der Flächenbedarf für Werkstatt und Remise belaufe sich gemäss den Richtlinien der Forschungsanstalt Agroscope Reckenholz-Tänikon (FAT-Bericht Nr. 590/2002, "Raumbedarf für Remisen und Einzelmaschinen", «http://www.agroscope.admin.ch/publikationen» [besucht am 30. Mai 2016]) bei einer bewirtschafteten Fläche von 42.79 ha auf 925 m2. Bei den geplanten Neubauten seien lediglich 655 m2 als reine Remisenfläche zu qualifizieren. Zusammen mit der bereits bestehenden Remisenfläche von 409 m2 stünden somit 1'064 m2 zur Verfügung. Der Flächenbedarf gemäss den FAT-Richtlinien werde dadurch zwar um ca. 15 % überschritten. Gemäss der bundesgerichtlichen Rechtsprechung sei jedoch eine Reserve von bis zu 25 % zulässig, sofern bei objektiver Betrachtung in absehbarer Zeit ein Bedarf bestehe. Dies treffe vorliegend zu, solle doch der Betrieb gemäss Betriebskonzept weiter wachsen. Ausserdem sei der Trend zu immer grösseren Landwirtschaftsbetrieben und zu immer grösseren Landmaschinen zu berücksichtigen.
Die Tätigkeit der E._ AG, die Kalkstrohmatratzen herstelle, Lohnarbeiten ausführe und Agrarhandel (Kauf und Verkauf von Stroh und Mais) betreibe, stelle die Zonenkonformität nicht in Frage. Zwar gehörten diese Tätigkeiten nicht zur bodenabhängigen Produktion. Da die Gesellschaft jedoch in den Jahren 2011 bis 2013 nur einen geringen Beitrag zum Betriebserfolg beigetragen habe (im Jahr 2011 13 %, im Jahr 2012 12 % und im Jahr 2013 gar nichts), sei lediglich von einem untergeordneten Nebenerwerb auszugehen. Zu berücksichtigen sei auch, dass die E._ AG ihren Umsatz zum Teil mit dem landwirtschaftlichen Betrieb des Beschwerdegegners erziele. Dass die Maschinen nicht dem Beschwerdegegner gehörten, spiele keine Rolle. Massgebend sei, dass die in der geplanten Remise unterzubringenden Maschinen im Wesentlichen auf dem Betrieb des Beschwerdegegners verwendet würden bzw. keine davon auschliesslich auf Drittbetrieben eingesetzt werde. Vorliegend sei davon auszugehen, dass dies zutreffe, zumal für die gegenteilige Annahme keine Anhaltspunkte bestünden.
3.2. Die Beschwerdeführer rügen, die Werte der FAT-Richtlinien würden weit überschritten. Die Vorinstanz habe vergessen, die völlig überdimensionierte Werkstatt in ihre Berechnung miteinzubeziehen. Ohnehin habe der Beschwerdegegner den Bedarf auszuweisen, wenn er eine zusätzliche Reservefläche beanspruchen wolle. Ein solcher Nachweis fehle jedoch und insbesondere tauge das Betriebskonzept dafür nicht. Zudem fehlten im Betriebskonzept die geraden Seiten, was das rechtliche Gehör verletze (Art. 29 Abs. 2 BV). Auch sei ihr Antrag auf Beizug der Bewilligungsakten für die bestehenden Bauten abgelehnt worden, was ebenfalls das rechtliche Gehör verletze. Das Verwaltungsgericht habe sich stattdessen mit einer unvermassten Skizze des Beschwerdegegners begnügt. Aufgrund der bestehenden Angaben sei weder klar, welche Lohnmaschinenleistungen der Beschwerdegegner von der E._ AG in Anspruch nehme, noch, ob überhaupt eine bodenabhängige Produktion vorliege. Zu beachten sei auch, dass Oldtimer für den Bedarf nicht angerechnet werden dürften. Die Vorinstanz beschränke sich auf die "reine" Remisenfläche und lasse die weitere neu zu schaffende Fläche für einen Heustock und ein Futtermittellager unberücksichtigt. Ob dafür ein Bedarf bestehe, habe sie nicht geprüft.
3.3. Das ARE weist darauf hin, dass die Vorinstanz nicht abgeklärt habe, ob die bestehenden Bauten für die Unterbringung der Gerätschaften des Beschwerdegegners zu nutzen wären oder durch die neu erstellten Gebäude in Rothenhausen funktional ersetzt würden. Damit habe sie in Kauf genommen, dass faktisch Ersatzbauten bewilligt würden, ohne abzuklären, ob allenfalls die Beseitigung der funktional ersetzten Bauten anzuordnen wäre.
Weiter hält es das ARE für fraglich, ob der ganze heute vorhandene Fahrzeug- und Maschinenbestand zwingend notwendig sei und ob es der geplanten Remise in ihrer Grösse bedürfe. Gemäss dem Bericht des kantonalen Landwirtschaftsamts vom 10. September 2013 seien nicht alle Traktoren notwendig und würde zudem eine Ballenpresse genügen. Darüber hinaus seien noch weitere Maschinen nicht für die landwirtschaftliche Bewirtschaftung nötig und würden stattdessen möglicherweise für nicht zonenkonforme Lohnarbeiten verwendet. Selbst wenn nur eine Fläche der neuen Remise von 655 m2 zu beachten wäre, wie die Vorinstanz dies tue, würden die Richtmasse gemäss FAT-Bericht Nr. 590/2002 deutlich überschritten. Nach Angaben des DBU komme dazu noch ein Unterstand für vier Traktoren von 50 m2. Ein genügender Bedarfsnachweis fehle. Der fragliche Raumbedarf sei grundsätzlich neu zu ermitteln und allenfalls sei auch abzuklären, ob nicht in den Bauzonen ein geeignetes Mietobjekt vorhanden sei. Weiter sei eine Bewilligung allenfalls mit einem Rückbaurevers zu verbinden.
4.
4.1. Nach der Rechtsprechung beurteilt sich die Frage der Notwendigkeit der Erstellung oder der Veränderung einer Baute oder Anlage nach objektiven Kriterien. Sie hängt ab von der bestellten Oberfläche, von der Art des Anbaus und der Produktion sowie von der Struktur, Grösse und Erforderlichkeit der Bewirtschaftung (Urteil 1C_565/2008 vom 19. Juni 2009 E. 2 mit Hinweisen). An der betrieblichen Notwendigkeit eines Neubaus fehlt es, wenn die vorgesehene Nutzung (allenfalls nach Umbau) in einer bereits vorhandenen Baute möglich wäre (<ref-ruling> E. 3.2 S. 416 mit Hinweis). Ist eine Neubaute erforderlich, so muss diese den objektiven Bedürfnissen des Betriebs angepasst sein, namentlich mit Bezug auf ihre Grösse und ihren Standort; sie darf insbesondere nicht überdimensioniert sein (<ref-ruling> E. 3.2 S. 416; <ref-ruling> E. 3a S. 281; <ref-ruling> E. 3 S. 133 f.; zum Ganzen: Urteil 1C_482/2014 vom 4. September 2015 E. 5.4; je mit Hinweisen).
Bei Neubauten ist überdies zu prüfen, ob sie an der Stelle von bisherigen - inskünftig nicht mehr benötigten - Bauten errichtet werden können, um eine weitere Zersiedelung der Landschaft zu vermeiden. Ist dies nicht möglich, so muss schon im Bewilligungsverfahren für den Neubau geprüft werden, ob die Beanspruchung der Landschaft durch die Beseitigung bestehender, nicht mehr benötigter Bauten und Anlagen verringert werden kann (Urteil 1C_647/2012 vom 3. September 2014 E. 9 mit Hinweis, in: ZBl 116/2015 S. 544). Grundsätzlich sollte das gesamte Gebäudevolumen nicht grösser sein, als es dem ausgewiesenen Bedarf entspricht. Allerdings kann im Einzelfall ein öffentliches Interesse an der Erhaltung schutzwürdiger Bauten bestehen, oder der Abriss bestehender Bauten kann sich als unverhältnismässig erweisen (Urteil 1C_565/2008 vom 19. Juni 2009 E. 5.5.2; zum Ganzen: Urteil 1C_892/2013 vom 1. April 2015 E. 3.1 mit Hinweisen, in: RDAF 2015 I S. 453).
Bei der Beurteilung, ob eine geplante Baute den Bedürfnissen des Betriebs entspricht, ist primär auf die bestehenden Verhältnisse abzustellen. Gemäss bundesgerichtlicher Praxis dürfen aber auch künftige Bedürfnisse berücksichtigt werden, soweit sie mit einiger Sicherheit feststehen und sie durch ein Betriebskonzept oder eine vergleichbare Grundlage ausgewiesen sind; blosse Absichtsbekundungen reichen nicht (<ref-ruling> E. 4c S. 140 f.). Zulässig ist eine gewisse Betriebsreserve (Urteil 1C_647/2012 vom 3. September 2014 E. 9 mit Hinweisen, in: ZBl 116/2015 S. 544).
4.2. Aus dem Ausgeführten geht hervor, dass eine betriebliche Gesamtbetrachtung erforderlich ist. Eine solche ist insbesondere dann angezeigt, wenn neue Ökonomiebauten erstellt werden, die funktionell teilweise an die Stelle der bestehenden treten. Die Vorinstanz ging offenbar davon aus, dies treffe vorliegend nicht zu, wenn sie erwog, die Gesamtheit der bestehenden und der geplanten Remisen- und Werkstattflächen sei erforderlich. Dies steht jedoch im Widerspruch zum Betriebskonzept des Beschwerdeführers, wo dieser festhielt: "Mit dem jetzt geplanten Schritt soll der Maschinenpark zentral am Standort Lindenhof Rothenhausen unterstellt und gewartet werden können." Das ARE weist insofern zu Recht darauf hin, es sei nicht abgeklärt worden, ob die bestehenden Bauten für die Unterbringung der Gerätschaften funktional ersetzt würden. Das birgt die Gefahr, dass insgesamt mehr Bauvolumen geschaffen wird als für die Bewirtschaftung nötig.
4.3. Im Urteil 1C_482/2014 vom 4. September 2015 bezeichnete das Bundesgericht den Vergleich mit den Richtmassen des FAT-Berichts 590/2002 als grundsätzlich zulässig. Allerdings handelt es sich nur um Ausgangswerte, die regelmässig der Verfeinerung unter Berücksichtigung der betriebsspezifischen Gegebenheiten bedürfen (so ausdrücklich FAT-Bericht 590/2002 S. 4). In der Regel ist daher ein detailliertes Verzeichnis der Maschinen und Geräte und ein Einstellkonzept zu verlangen (vgl. beispielsweise FAT-Bericht 590/2002 Tab. 1 und Abb. 2 S. 2 f. und 9 ff.). Darauf kann nur ausnahmsweise verzichtet werden, wenn die Behörden vor Ort unter Beizug von Fachleuten die betrieblichen Bedürfnisse überprüft haben (Urteil 1C_482/2014 vom 4. September 2015 E. 5.5).
4.4. Die Vorinstanzen verzichteten darauf, vom Beschwerdegegner ein detailliertes Verzeichnis der Maschinen und Geräte und ein Einstellkonzept zu verlangen. Stattdessen kalkulierten sie den Bedarf an Remisenraum nach den genannten Standardwerten. Gemäss dem angefochtenen Entscheid beläuft sich der Flächenbedarf für die Werkstatt und Remise bei einer bewirtschafteten Fläche von 42.79 ha auf 925 m2. Dass sich der Standardwert auf Remise inklusive Werkstatt bezieht, ist zutreffend (vgl. FAT-Bericht 590/2002 S. 2). Bei der Berechnung der Flächen im konkreten Fall liess das Verwaltungsgericht freilich die Fläche für die Werkstatt unberücksichtigt. Dies fällt umso stärker ins Gewicht, als die geplante Werkstatt 486 m2 gross ist und zusammen mit der bestehenden Werkstatt im Sangenhof von 80 m2 ganze 566 m2 beansprucht. Das ARE führt dazu in seiner Vernehmlassung aus, dass gemäss den Richtwerten der Konferenz der Landwirtschaftsämter der Schweiz (KOLAS) für die Werkstattfläche grundsätzlich nur 40 m2erlaubt und Abweichungen nach oben zu begründen seien.
4.5. Hinzu kommt, dass nicht als hinreichend abgeklärt erscheint, inwiefern der vorhandene Fahrzeug- und Maschinenbestand für den landwirtschaftlichen Betrieb des Beschwerdegegners objektiv notwendig ist. Das Landwirtschaftsamt erwähnte in seinem Bericht vom 10. September 2013, der Betrieb sei überdurchschnittlich mit Traktoren ausgerüstet und nicht der ganze, heute vorhandene Fahrzeug- und Maschinenbestand werde für dessen Bewirtschaftung zwingend benötigt. Zwei der Traktoren hätten das Ende ihrer Lebensdauer bereits erreicht, bei einem weiteren handle es sich um einen Oldtimer. Einen objektiven Raumbedarf vermögen in der Landwirtschaftszone freilich nur jene Fahrzeuge zu begründen, die tatsächlich noch eingesetzt werden. Bei welchen Fahrzeugen dies zutrifft, ist nicht festgestellt worden.
4.6. Schliesslich können, wie bereits erwähnt, künftige Bedürfnisse nur insoweit berücksichtigt werden, als sie mit einiger Sicherheit feststehen und durch ein Betriebskonzept oder eine vergleichbare Grundlage ausgewiesen sind. Das Verwaltungsgericht hielt in dieser Hinsicht für genügend, dass der Beschwerdegegner in seinem Betriebskonzept bekundete, der Betrieb solle durch Pacht und Kauf von Land weiter wachsen. Eine derartige Absichtsbekundung reicht jedoch nicht aus, um im Rahmen von Art. 34 Abs. 4 lit. a RPV einen hinreichend gesicherten künftigen Bedarf darzutun (E. 4.1 hiervor). Zulässig ist indessen eine gewisse Betriebsreserve. Damit kann sichergestellt werden, dass der Beschwerdegegner auch bei einer leichten Erweiterung seines Betriebs die Bewirtschaftung mit der bestehenden Infrastruktur bewältigen kann. Zu berücksichtigen ist dabei jedoch, dass der Bedarf an Maschinen und Geräten nicht proportional mit dem Betrieb wächst (vgl. FAT-Bericht 590/2002 S. 2). Der vorliegende Fall lässt sich insofern nur beschränkt mit dem von der Vorinstanz zitierten Urteil 1A.130/2000 vom 16. November 2000 vergleichen. Die dort genannte Betriebsreserve von 25 % bezog sich auf die gehaltenen Grossvieheinheiten, nicht auf Maschinen und Geräte (a.a.O., E. 5, in: ZBl 103/2002 S. 136). Ein genereller "Bonus", der in Form einer Reserve von 25 % auf die Standardwerte gemäss FAT-Bericht 590/2002 geschlagen werden dürfte, lässt sich daraus nicht ableiten.
Soweit der Beschwerdegegner eine Verlegung seines Betriebszentrums von Weinfelden nach Rothenhausen vornehmen kann (siehe dazu nachstehend E. 6.2), ist allenfalls für eine Übergangszeit aus praktischen Gründen auch ein etwas grösseres Bauvolumen zulässig als betrieblich nötig. Doch muss in diesem Fall der spätere Rückbau von Gebäuden, die infolge der Umsiedlung nicht mehr benötigt werden, sichergestellt sein.
4.7. Die Rüge der Verletzung von Art. 16a Abs. 1 RPG i.V.m. Art. 34 Abs. 4 lit. a RPV erweist sich somit als begründet, was zur Aufhebung des angefochtenen Entscheids führt. Aus Gründen der Prozessökonomie ist auch auf weitere von den Beschwerdeführern vorgetragene Kritikpunkte einzugehen.
5.
5.1. Die Beschwerdeführer bringen im Zusammenhang mit der Voraussetzung von Art. 34 Abs. 4 lit. a RPV weiter vor, der Lohnmaschinenbetrieb und der Agrargüterhandel der E._ AG dürften nicht berücksichtigt werden. Es handle sich um bodenunabhängige Tätigkeiten einer Gesellschaft mit eigener Rechtspersönlichkeit, die mit dem Beschwerdegegner nicht gleichgesetzt werden dürfe. Um einen nichtlandwirtschaftlichen Nebenbetrieb im Sinne von Art. 24b RPG handle es sich schon aus diesem Grund nicht. Zudem sei der Beschwerdegegner nicht auf ein Zusatzeinkommen angewiesen, wie es diese Bestimmung voraussetze. Auch gehe es nicht an, diese bodenunabhängigen Aktivitäten als untergeordnet zu bezeichnen. Die Vorinstanz blende aus, dass die Umsätze der E._ AG schon im dritten Geschäftsjahr auf 29 % des Umsatzes des Landwirtschaftsbetriebs des Beschwerdegegners angestiegen seien. Darüber hinaus sehe das Betriebskonzept sogar vor, dass die Lohnarbeiten noch ausgebaut werden sollten. Ihren Gewinn könne die E._ AG schliesslich weitgehend steuern.
5.2. Nach der bundesgerichtlichen Rechtsprechung fehlt es an der unmittelbaren funktionalen Beziehung einer Baute zum Landwirtschaftsbetrieb, wenn die darin untergestellten Maschinen nicht für den eigenen Betrieb eingesetzt werden, sondern damit landwirtschaftliche Arbeiten für Dritte gegen Entgelt ausgeführt werden (Urteil 1A.110/2001 vom 4. Dezember 2001 E. 4.4, in: ZBl 103/2002 S. 615). Solche Lohnunternehmungen können allenfalls als nichtlandwirtschaftliche Nebenbetriebe in bestehenden Bauten und Anlagen in der Landwirtschaftszone gestützt auf Art. 24b RPG und Art. 40 RPV bewilligt werden, was jedoch vorliegend nicht zur Diskussion steht.
5.3. Das Verwaltungsgericht hielt zur Frage der Verwendung der einzustellenden Maschinen fest, es sei mangels anderweitiger Anhaltspunkte davon auszugehen, dass diese im Wesentlichen auf dem landwirtschaftlichen Betrieb des Beschwerdegegners zum Einsatz kommen. Zu Recht halten die Beschwerdeführer dem entgegen, es müsse vielmehr vom Baugesuchsteller dargelegt werden, welche Leistungen er von der E._ AG in Anspruch nehme. Reine Vergleiche des Betriebserfolgs dieser Gesellschaft, die daneben gemäss dem angefochtenen Entscheid noch im Agrarhandel und der Produktion von Kalkstrohmatratzen tätig ist, erscheinen dazu nicht geeignet. Hinzu kommt, dass der Beschwerdegegner in seinem Betriebskonzept festhielt, die Lohnarbeiten sollten zu einem wichtigen Standbein ausgebaut werden. Auch vor diesem Hintergrund erscheinen konkretere Angaben über die Verwendung der Maschinen als notwendig. Das Verwaltungsgericht wird im Rahmen der erneuten Beurteilung der Voraussetzungen von Art. 16a Abs. 1 RPG i.V.m. Art. 34 Abs. 4 lit. a RPV die notwendigen Sachverhaltsabklärungen zu treffen haben.
5.4. Hinsichtlich der weiteren wirtschaftlichen Tätigkeiten der E._ AG macht der Beschwerdegegner darüber hinaus in seiner Vernehmlassung ans Bundesgericht geltend, entgegen den Feststellungen des Verwaltungsgerichts werde kein Futtermittelhandel betrieben. Zudem habe die Herstellung von Kalkstrohmischungen aufgrund neuerer Entwicklungen in der Tierhaltung keine Zukunft mehr. Der Geschäftsbereich sei heute defizitär und müsse bald eingestellt werden. Diesen Einwänden des Beschwerdegegners ist vorliegend nicht weiter nachzugehen. Da die Sache ohnehin an die Vorinstanz zurückzuweisen ist, wird sich diese mit den betreffenden Vorbringen der Parteien auseinanderzusetzen haben.
6.
6.1. Umstritten ist weiter, ob den geplanten Bauten am vorgesehenen Standort in Rothenhausen überwiegende Interessen entgegenstehen.
Bei der Standortwahl für Bauten und Anlagen in der Landwirtschaftszone ist der Bauherr mit Blick auf Art. 34 Abs. 4 lit. a und b RPV nicht frei, sondern er muss nachweisen, dass die Baute oder Anlage am vorgesehenen Standort objektiv notwendig ist, d.h. ein schutzwürdiges Interesse daran besteht, die streitige Baute am gewählten Ort zu errichten und, nach Abwägung aller Interessen, kein anderer, besser geeigneter Standort in Betracht kommt (Urteil 1C_550/2009 vom 9. September 2010 E. 4.2 mit Hinweisen). Bei der Standortwahl für Bauten und Anlagen in der Landwirtschaftszone ist auf die rationelle Bewirtschaftung des Bodens, insbesondere die Einfügung in die bestehende Betriebsstruktur, die vorhandene Erschliessung, den raumplanerisch gebotenen Schutz des Orts- und Landschaftsbilds, die Erhaltung genügender Fruchtfolgeflächen, die Belange des Natur- und Heimatschutzes sowie allenfalls den Immissionsschutz Rücksicht zu nehmen (zum Ganzen: Urteile 1C_144/2013 vom 29. September 2014 E. 4.3, in: ZBl 116/2015 S. 210; 1C_17/2015 vom 16. Dezember 2015 E. 3.2, in: URP 2016 S. 37; A.213/2005 vom 27. März 2006 E. 3; je mit Hinweisen).
6.2. In der vorliegenden Situation kommen als Standorte für die geplanten Bauten zum einen der Sangenhof in Weinfelden, zum andern der Lindenhof in Rothenhausen in Betracht. An einer Konzentration der Ökonomiebauten unter Berücksichtigung des Standorts des Wohnhauses besteht sowohl ein öffentliches als auch ein privates, betriebliches Interesse (vgl. die zitierten Entscheide sowie Urteil 1C_372/2007 vom 11. August 2008 E. 3.3). Der Beschwerdegegner erklärt, das Betriebszentrum von Weinfelden nach Rothenhausen verlegen zu wollen, da die weitere Entwicklung seines Betriebs nur hier erfolgen könne. Nach dem Betriebskonzept vom 23. Januar 2012 soll die Milchproduktion mittelfristig an diesen Ort verlegt werden, während mit dem ersten - hier zu beurteilenden - Schritt der Maschinenpark zentral auf dem Lindenhof in Rothenhausen verwirklicht werden soll. Offen ist allerdings was mit dem Raum geschieht, der durch die Umsiedlung des Maschinenparks auf dem Sangenhof in Weinfelden frei wird.
Die geplante Umsiedlung ist aus raumplanerischen Gründen nicht von vornherein ausgeschlossen, zumal die Verlegung des Zentrums nach Rothenhausen - wie der Beschwerdegegner zur Recht betont - keine Aussiedlung darstellt (vgl. zum Prinzip der Konzentration der Bauten im Landwirtschaftsraum <ref-ruling> E. 2.5 S. 53 f.; Urteil 1C_892/2013 vom 1. April 2015 E. 3.1, in: RDAF 2015 I S. 453; je mit Hinweisen). Denn auch der Lindenhof schliesst an die Bauzone an. Es muss jedoch sichergestellt sein, dass durch die Verlegung nicht mehr Bauvolumen entsteht, als der Betrieb tatsächlich erfordert. Werden die Gebäude inskünftig auf dem Lindenhof konzentriert, müssen am alten Ort nicht mehr benötigte Bauten in der Landwirtschaftszone abgebrochen werden (vgl. E. 4.1 hiervor). Das ARE weist zu Recht darauf hin, dass der jetzt geplante erste Schritt zur Betriebsverlegung zudem nur bewilligt werden kann, wenn hinreichend sicher feststeht, dass zumindest mittelfristig auch die Umsiedlung der weiteren Betriebsteile erfolgen kann. Das erscheint mit Blick auf den Viehstall neueren Datums auf dem Sangenhof nicht klar. Für die Beurteilung der umstrittenen Bauten bedürfen auch diese Punkte der näheren Abklärung.
7.
Zusammenfassend ist festzuhalten, dass auf der Grundlage der bestehenden Unterlagen das Bauvorhaben nicht bewilligt werden kann. Damit erweist sich die Beschwerde im Wesentlichen als begründet. Gutzuheissen ist zwar nicht der Antrag auf Abweisung des Baugesuchs, wohl aber derjenige auf Aufhebung des angefochtenen Entscheids.
Bei diesem Ausgang des Verfahrens unterliegt der Beschwerdegegner im Wesentlichen. Er wird kosten- und entschädigungspflichtig, für das Verfahren vor Bundesgericht (Art. 66 und 68 BGG) wie für die vorinstanzlichen Verfahren. Die Korrektur der Kosten- und Entschädigungsfolgen im kantonalen Verfahren wird das Verwaltungsgericht im Rahmen der erneuten Beurteilung vornehmen.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird teilweise gutgeheissen. Der Entscheid des Verwaltungsgerichts des Kantons Thurgau vom 2. September 2015 wird aufgehoben. Die Sache wird zu ergänzender Abklärung und neuem Entscheid im Sinne der Erwägungen an das Verwaltungsgericht zurückgewiesen. Im Übrigen wird die Beschwerde abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 3'000.-- werden dem Beschwerdegegner auferlegt.
3.
Der Beschwerdegegner hat die Beschwerdeführer mit Fr. 3'000.-- zu entschädigen.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien, der Politischen Gemeinde Bussnang, dem Verwaltungsgericht und dem Departement für Bau und Umwelt des Kantons Thurgau sowie dem Bundesamt für Raumentwicklung schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 29. August 2016
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Fonjallaz
Der Gerichtsschreiber: Dold