Faits :
A.
A._ a travaillé en qualité d'opérateur au service de la société B._ SA à C._ du 11 septembre 2000 au 31 août 2012. Par décision du 24 avril 2013, l'Office de l'assurance-invalidité du canton du Jura (ci-après: l'Office AI) l'a mis au bénéfice d'un trois quarts de rente d'invalidité à compter du 1 er août 2012 en lui reconnaissant un taux d'incapacité de gain de 64 %.
Le 2 octobre 2013, A._ s'est inscrit à l'assurance-chômage en tant que demandeur d'emploi, en indiquant être disposé à travailler à un taux d'activité de 40 %.
Par décision du 21 février 2014, confirmée sur opposition le 21 juillet suivant, le Service des arts et métiers et du travail de la République et canton du Jura (devenu le Service de l'économie et de l'emploi dès le 1 er juin 2015 [ci-après: le SEE]) a déclaré l'assuré inapte au placement depuis le 2 octobre 2013.
B.
Saisie d'un recours contre la décision sur opposition du 21 juillet 2014, la Cour des assurances du Tribunal cantonal de la République et canton du Jura l'a admis et a annulé la décision attaquée par jugement du 20 octobre 2015.
C.
Le SEE interjette un recours en matière de droit public contre ce jugement dont il demande l'annulation en concluant à la confirmation de la décision sur opposition du 21 juillet 2014, sous suite de frais et dépens.
L'intimé et la cour cantonale concluent au rejet du recours dans la mesure de sa recevabilité. Le Secrétariat d'Etat à l'économie (SECO) ne s'est pas déterminé.

Considérant en droit :
1.
Le litige porte sur le droit éventuel de l'intimé à l'indemnité de chômage à compter du 2 octobre 2013, singulièrement sur son aptitude au placement.
2.
Le Tribunal fédéral conduit son raisonnement juridique sur la base des faits établis par l'autorité précédente (<ref-law>). Il ne peut s'en écarter que si les faits ont été établis de façon manifestement inexacte - notion qui correspond à celle d'arbitraire au sens de l'art. 9 Cst. (<ref-ruling> consid. 1.3.1 p. 253 et les arrêts cités) - ou en violation du droit au sens de l'<ref-law> (<ref-law>), et pour autant que la correction du vice soit susceptible d'influer sur le sort de la cause (<ref-law>). La violation peut consister en un état de fait incomplet, car l'autorité précédente viole le droit matériel en n'établissant pas tous les faits pertinents pour l'application de celui-ci. Il appartient au recourant de démontrer le caractère arbitraire par une argumentation répondant aux exigences de l'<ref-law>, respectivement de l'<ref-law> (<ref-ruling> consid. 4.1.2 p. 62 et la référence). En outre, aucun fait nouveau ni preuve nouvelle ne peuvent être présentés à moins de résulter de la décision de l'autorité précédente (cf. <ref-law>). Cette exclusion vaut non seulement pour les faits postérieurs à la décision attaquée, mais également pour ceux que les parties ont omis d'alléguer dans la procédure cantonale.
3.
3.1. L'assuré n'a droit à l'indemnité de chômage que si, entre autres conditions, il est apte au placement (art. 8 al. 1 let. f LACI [RS 837.0]). Est réputé apte à être placé le chômeur qui est disposé à accepter un travail convenable et à participer à des mesures d'intégration et qui est en mesure et en droit de le faire (<ref-law>).
3.2. L'aptitude au placement comprend deux éléments: la capacité de travail d'une part, c'est-à-dire la faculté de fournir un travail - plus précisément d'exercer une activité lucrative salariée - sans que l'assuré en soit empêché pour des causes inhérentes à sa personne, et d'autre part la disposition à accepter un travail convenable au sens de l'<ref-law>, ce qui implique non seulement la volonté de prendre un tel travail s'il se présente, mais aussi une disponibilité suffisante quant au temps que l'assuré peut consacrer à un emploi et quant au nombre des employeurs potentiels (<ref-ruling> consid. 6a p. 58).
3.3. Les exigences d'aptitude au placement sont réduites pour les chômeurs dont l'invalidité a été reconnue. Aux termes de l'art. 15 al. 2, première phrase, LACI, le handicapé physique ou mental est réputé apte à être placé lorsque, compte tenu de son infirmité et dans l'hypothèse d'une situation équilibrée du marché de l'emploi, un travail convenable pourrait lui être procuré sur ce marché. La réduction des exigences ne touche cependant que le critère de la capacité de travailler, non celui de la volonté de réintégrer le marché du travail (cf. THOMAS NUSSBAUMER, Arbeitslosenversicherung, in Soziale Sicherheit, SBVR vol. 14, 3e éd. 2016, n. 279 p. 2351; BORIS RUBIN, Commentaire de la loi sur l'assurance-chômage, 2014, n° 78 ad <ref-law>).
4.
Se fondant tant sur l'appréciation de l'Office AI que celle du médecin traitant de l'assuré, la cour cantonale a constaté que ce dernier disposait d'une capacité résiduelle de travail de 50 % dans une activité adaptée à ses limitations fonctionnelles. Cette activité était susceptible d'être exercée dans des domaines variés du marché de l'emploi, comme le contrôle de qualité, le montage dans l'électronique ou l'horlogerie et la surveillance, pour lesquels le recourant disposait d'une formation et d'une expérience professionnelles suffisantes et adéquates. Cela étant, l'intimé disposait de la capacité de travail nécessaire pour être placé.
En ce qui concerne l'élément subjectif de l'aptitude au placement, les premiers juges ont retenu que les doutes et les craintes exprimés par l'assuré en relation avec sa capacité effective à travailler ne suffisaient pas à établir un manque de volonté de retrouver un travail. Par ailleurs, s'agissant des recherches d'emploi, il n'était pas établi qu'elles avaient été continuellement insuffisantes. En outre, le recourant n'avait fait l'objet d'aucune sanction ou avertissement à ce sujet. Aussi bien l'autorité cantonale a-t-elle considéré que l'assuré était disposé à accepter un travail convenable et, partant, qu'il était apte au placement.
5.
5.1. Le SEE reproche à l'autorité cantonale d'avoir établi les faits de manière manifestement inexacte et d'avoir appliqué le droit fédéral de façon incorrecte.
5.2. Il invoque d'abord une aggravation de l'état de santé de l'intimé depuis le début de l'année 2014 et soutient que celui-ci était déjà en incapacité totale de travailler depuis 2011. A l'appui de son grief, il produit un questionnaire pour la révision de la rente d'invalidité, un rapport médical du médecin traitant de l'assuré du 20 avril 2015 ainsi qu'un courriel de l'Office AI du 24 février 2015. Il requiert également l'édition du dossier de l'intimé auprès de l'Office AI.
Le Tribunal ne procède qu'exceptionnellement à l'administration de preuves nouvelles (cf. JEAN-MAURICE FRÉSARD, in Commentaire de la LTF, 2 e éd. 2014, n° 9 ad <ref-law>). En l'espèce aucune circonstance exceptionnelle ne justifiant des mesures probatoires, il n'y a pas lieu de donner suite à la requête du recourant. Pour le surplus, le recourant se prévaut de faits et moyens de preuve nouveaux, lesquels sont inadmissibles en vertu de l'<ref-law>.
5.3. Le recourant reproche à l'autorité précédente de s'être fondée sur l'appréciation de l'Office AI pour admettre que l'intimé était capable de travailler à 50 %. Selon lui, les conclusions de cette autorité, de même que celles des médecins traitants, ne lieraient pas l'assurance-chômage. Le SEE soutient que la réinsertion de l'intimé sur le marché du travail est irréaliste compte tenu de ses limitations fonctionnelles et fait valoir que selon la responsable du placement des chômeurs dans des programmes d'emplois temporaires (PET), il n'est pas possible d'attribuer un PET à l'assuré et il sera très difficile pour lui de trouver un emploi (courriel du 21 février 2014). Par ailleurs, le SEE conteste que l'intimé dispose d'une formation et d'une expérience professionnelle suffisantes dans les domaines retenus par l'Office AI pour l'exercice d'une activité adaptée. En effet, il n'aurait travaillé qu'en qualité d'ouvrier depuis son arrivée en Suisse et, pour la période antérieure, il n'existerait aucune preuve de l'exercice des activités mentionnées dans son curriculum vitae. Enfin, le recourant formule une série de reproches à l'encontre de l'assuré, à titre de manquements aux devoirs de chômeur (notamment le manque de recherche d'emploi avant son inscription, le fait de n'avoir jamais présenté plus de recherches que le minimum fixé, de concentrer ses recherches dans les abords immédiats de son lieu de domicile et dans les mêmes entreprises, etc.).
Les critiques du recourant sont mal fondées. En effet, pour déterminer l'aptitude au placement des handicapés, les autorités cantonales et les caisses coopèrent avec les organes compétents de l'assurance-invalidité (art. 15 al. 1, première phrase, OACI [RS 837.02]). On ne voit donc pas que la cour cantonale aurait violé le droit fédéral en prenant en considération l'appréciation de l'Office AI ainsi que celle du médecin traitant de l'assuré pour examiner sa capacité de travail. En outre, s'il estimait qu'il existait un doute sérieux à ce sujet, le recourant pouvait ordonner qu'il soit à examiné par un médecin-conseil (<ref-law>). Pour le surplus, le recourant n'expose pas en quoi l'appréciation des preuves par la cour cantonale serait manifestement insoutenable mais se contente de substituer sa propre appréciation à celle de l'autorité précédente. En particulier, la remarque de la responsable des PET ne permet pas de qualifier d'arbitraire la constatation des premiers juges, selon laquelle l'intimé dispose d'une capacité résiduelle de travail suffisante pour être placé. A la lecture de son courriel, il ne semble d'ailleurs pas qu'elle aurait rencontré l'assuré. Concernant les manquements allégués aux devoirs de chômeur, il s'agit là aussi essentiellement de critiques de nature appellatoire sur lesquelles le Tribunal fédéral n'a pas à entrer en matière (<ref-ruling> consid. 3.1.2 p. 34; <ref-ruling> consid. 3 p. 104 s. et les arrêts cités). En effet, le recourant n'expose pas en quoi la juridiction précédente a constaté les faits de manière manifestement insoutenable en retenant que les recherches d'emploi n'avaient pas été continuellement insuffisantes et que l'intimé n'avait jamais fait l'objet d'un avertissement ou d'une sanction à cet égard. Il admet d'ailleurs que l'intimé a été rendu attentif aux manquements invoqués " au plus tard " dans sa décision sur opposition et qu'il n'a pas pu être sanctionné (au vu de son inaptitude au placement). Dans tous les cas, il n'appartient pas au Tribunal fédéral de rechercher lui-même dans les pièces versés au dossier les éléments de fait pertinents à l'appui des manquements invoqués.
5.4. Enfin, le recourant fait grief à l'autorité cantonale de n'avoir pas déterminé la perte de travail à prendre en considération.
Il est douteux que ce grief - qui n'est pas étayé - réponde aux exigences de motivation de l'<ref-law>. Quoi qu'il en soit, la critique est mal fondée, dans la mesure où la seule question de l'aptitude au placement était litigieuse devant la juridiction précédente.
6.
Vu ce qui précède, le jugement attaqué n'est pas critiquable et le recours se révèle mal fondé dans la mesure où il est recevable.
7.
Il n'y a pas lieu de prélever des frais judiciaires à la charge du recourant bien qu'il succombe (<ref-law>; <ref-ruling> consid. 4.5 p. 642).
L'intimé, qui est représenté par un avocat, a droit à une indemnité de dépens à la charge du recourant (<ref-law>).

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce :
1.
Le recours est rejeté dans la mesure où il est recevable.
2.
Il n'est pas perçu de frais judiciaires.
3.
Le recourant versera à l'intimé la somme de 2'800 fr. à titre de dépens pour la procédure devant le Tribunal fédéral.
4.
Le présent arrêt est communiqué aux parties, à la Cour des assurances du Tribunal cantonal de la République et canton du Jura et au Secrétariat d'Etat à l'économie (SECO).
Lucerne, le 26 février 2016
Au nom de la Ire Cour de droit social
du Tribunal fédéral suisse
Le Président : Maillard
La Greffière : Castella