Sachverhalt:
A.
Mit Urteil vom 20. Juni 2016 sprach das Bezirksgericht Zürich, 8. Abteilung, A._ der mehrfachen (qualifizierten) Widerhandlung gegen <ref-law> i.V.m. <ref-law> sowie der mehrfachen Geldwäscherei im Sinne von Art. 305 bis Ziff. 1 StGB schuldig und bestrafte ihn mit einer bedingten Freiheitsstrafe von 24 Monaten. Mit Beschluss vom gleichen Tag wurde er aus der Sicherheitshaft entlassen.
Gegen dieses Urteil meldete die Staatsanwaltschaft II des Kantons Zürich Berufung an und beantragte gleichzeitig die Fortsetzung der Sicherheitshaft.
Mit Präsidialverfügung vom 24. Juni 2016 verfügte die II. Strafkammer des Obergerichts des Kantons Zürichs die Sicherheitshaft.
B.
A._ führt Beschwerde in Strafsachen mit dem Antrag, die Präsidialverfügung des Obergerichts sei aufzuheben. Er sei umgehend aus der Haft zu entlassen.
Das Obergericht hat auf eine Vernehmlassung verzichtet. Die Staatsanwaltschaft hat eine verspätete Vernehmlassung eingereicht. Der Beschwerdeführer hat auf eine Stellungnahme verzichtet.

Erwägungen:
1.
1.1. Angefochten ist ein kantonal letztinstanzlicher Entscheid in einer strafrechtlichen Angelegenheit, gegen den die Beschwerde in Strafsachen offen steht (<ref-law>). Beim Entscheid der Vorinstanz handelt es sich um einen selbstständig eröffneten Zwischenentscheid, der einen nicht wieder gutzumachenden Nachteil im Sinne von <ref-law> bewirken kann. Der Beschwerdeführer hat am vorinstanzlichen Verfahren teilgenommen und hat ein aktuelles rechtlich geschütztes Interesse an der Aufhebung des angefochtenen Entscheids. Der Beschwerdeführer ist somit nach <ref-law> zur Beschwerde berechtigt. Das Bundesgericht kann nach <ref-law> bei Gutheissung der Beschwerde in der Sache selbst entscheiden. Der Antrag auf Entlassung aus der Sicherheitshaft ist daher zulässig. Die übrigen Sachurteilsvoraussetzungen sind ebenfalls erfüllt, weshalb auf die Beschwerde grundsätzlich eingetreten werden kann.
1.2. Bei Beschwerden, die gestützt auf das Recht der persönlichen Freiheit (Art. 10 Abs. 2, Art. 31 BV) wegen strafprozessualer Haft erhoben werden, prüft das Bundesgericht im Hinblick auf die Schwere des Eingriffes die Auslegung und Anwendung der StPO frei. <ref-law> gelangt bei strafprozessualen Zwangsmassnahmen nicht zur Anwendung (<ref-ruling> E. 2.2 S. 60; <ref-ruling> E. 1.2 S. 189; <ref-ruling> E. 2 S. 125; 340 E. 2.4 S. 346). Soweit jedoch reine Sachverhaltsfragen und damit Fragen der Beweiswürdigung zu beurteilen sind, greift das Bundesgericht nur ein, wenn die tatsächlichen Feststellungen der Vorinstanz offensichtlich unrichtig sind oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruhen (Art. 97 Abs. 1 i.V.m. <ref-law>; <ref-ruling> E. 2.5 S. 73 f.).
2.
2.1. Der Beschwerdeführer stellt den dringenden Tatverdacht aufgrund des erstinstanzlichen Urteils nicht in Frage. Hingegen bestreitet er das Vorliegen des besonderen Haftgrunds der Fluchtgefahr.
2.2. Die Annahme von Fluchtgefahr setzt ernsthafte Anhaltspunkte dafür voraus, dass die beschuldigte Person sich dem Strafverfahren oder der zu erwartenden Sanktion durch Flucht entziehen könnte (<ref-law>). Im Vordergrund steht dabei eine mögliche Flucht ins Ausland, denkbar ist jedoch auch ein Untertauchen im Inland. Bei der Bewertung, ob Fluchtgefahr besteht, sind die gesamten konkreten Verhältnisse zu berücksichtigen. Es müssen Gründe bestehen, die eine Flucht nicht nur als möglich, sondern als wahrscheinlich erscheinen lassen. Die Schwere der drohenden Strafe ist zwar ein Indiz für Fluchtgefahr, genügt jedoch für sich allein nicht, um den Haftgrund zu bejahen (<ref-ruling> E. 3a S. 62 mit Hinweisen). Miteinzubeziehen sind die familiären und sozialen Bindungen, die berufliche und finanzielle Situation und die Kontakte zum Ausland. Selbst bei einer befürchteten Reise in ein Land, welches die beschuldigte Person grundsätzlich an die Schweiz ausliefern bzw. stellvertretend verfolgen könnte, ist die Annahme von Fluchtgefahr nicht ausgeschlossen (zum Ganzen vgl. Urteil des Bundesgerichts 1B_237/2016 vom 13. Juli 2016 E. 3.3 mit Hinweisen).
2.3. Die Vorinstanz verfügte die Fortsetzung der Sicherheitshaft aus folgenden Gründen: Aufgrund der engen Bindung des Beschwerdeführers zu seinem Heimatland Mazedonien sei der Haftgrund der Fluchtgefahr weiterhin zu bejahen. Die Verhältnisse hätten sich in der Zwischenzeit nicht geändert. Überdies habe die Staatsanwaltschaft Berufung erhoben und beantrage eine Freiheitsstrafe im Bereich von insgesamt 5 Jahren. Nach Auffassung der Vorinstanz ergebe eine summarische Prüfung des Falls, dass eine deutlich höhere Strafe zumindest im Raume stehe. Es sei, so die Vorinstanz, zu berücksichtigen, dass dem Beschwerdeführer bei einer allfälligen Gutheissung der Berufung der Staatsanwaltschaft eine längere und unbedingt zu vollziehende Freiheitsstrafe drohe.
2.4. Der Beschwerdeführer verneint die Fluchtgefahr und verweist auf seine engen familiären Bindungen zur Schweiz. Er wendet im Wesentlichen ein, es sei nicht einzusehen, weshalb ein geerbtes und unbewohnbares Wohnhaus in Mazedonien sowie der Umstand, dass er in der Reisebranche tätig gewesen sei, alles aufwiege, was gegen eine Flucht spreche. Es sei zu fragen, was er mit einer Flucht gewinnen könnte. Der Balkan sei seit Jahrzehnten Ausgangspunkt einer grösseren Migrationsbewegung in Richtung Mitteleuropa. In der Schweiz beziehe er eine monatliche IV-Teilrente, auf die er angewiesen sei. Der albanisch-stämmige Beschwerdeführer gehöre einer unterdrückten Minderheit in Mazedonien an und sei staatlicher Willkür ausgesetzt. Zudem existiere zwischen der Schweiz und Mazedonien ein Auslieferungsabkommen. Es sei nicht nachvollziehbar, weshalb er eine derartige Situation (namentlich mit Blick auf die tiefere Lebensqualität und die geringen Berufschancen vor Ort) einem Leben in der Schweiz vorziehen könnte.
2.5.
2.5.1. Den Akten kann Folgendes entnommen werden: Der aus Mazedonien stammende Beschwerdeführer lebt seit ungefähr 35 Jahren in der Schweiz und ist seit ca. 10 Jahren auch Schweizer Bürger. Er ist zweimal geschieden und Vater einer Tochter sowie von zwei Söhnen, die alle volljährig sind, nicht bei ihm leben und auf seine Unterstützung nicht angewiesen sind. Die beiden Schwestern des Beschwerdeführers leben ebenfalls in der Schweiz. Die III. Strafkammer des Obergerichts hat in ihrem Beschluss vom 17. August 2015 (auf den die Vorinstanz verweist) im Wesentlichen festgestellt, dass der Beschwerdeführer nicht nur zur Schweiz, sondern auch zu seinem Heimatland Mazedonien eine enge Bindung pflegt. Er habe dort längere Zeit verbracht (u.a. zur Absolvierung seines Militärdienstes und nach der Scheidung von seiner ersten Ehefrau). Auch heute noch reise er regelmässig nach Mazedonien und das Vermitteln von Flugtickets nach Mazedonien sei sein Beruf. Er sei insoweit als "reisegewandt" zu bezeichnen. Auch in Mazedonien bestünden enge familiäre Bindungen (zwei Schwestern, zwei Brüder sowie ein Neffe, mit dem er gemäss den Erkenntnissen aus der Telefonüberwachung regen telefonischen Kontakt pflege). Er besitze in Mazedonien einen Teil eines vom Vater geerbten Einfamilienhauses (ein Stockwerk mit vier Zimmern). Zudem gehören ihm zwei Wohnungen bzw. unbewohnbare Räumlichkeiten, aus denen er später einmal, wenn er Geld habe, eine Art Cafeteria machen wolle. Schliesslich habe der Beschwerdeführer vor 15 Jahren in Mazedonien das Reisebüro "B._" gegründet und dort die ersten Jahre allein gearbeitet. Nach seiner Rückkehr in die Schweiz hätten sein Bruder, danach sein Neffe, auf eigene Rechnung die Geschäfte im Reisebüro weitergeführt. Der Beschwerdeführer selber scheine jedoch unter der Bezeichnung "B._ Schweiz" weiterhin für das Reisebüro tätig gewesen zu sein.
2.5.2. Im vorliegenden Fall verfügt der Beschwerdeführer offensichtlich über starke familiäre und soziale Bindungen nach Mazedonien, während die familiäre Bindung zur Schweiz aufgrund der Scheidung von seiner Ehefrau und der Tatsache, dass seine Kinder volljährig sind und auch nicht bei ihm wohnen, zu relativieren ist.
2.5.3. Zudem ist zu berücksichtigen, dass die Staatsanwaltschaft Berufung erhoben und eine unbedingte Freiheitsstrafe von insgesamt 5 Jahren beantragt hat.
In ihrem Antrag auf Fortsetzung der Sicherheitshaft vom 21. Juni 2016 führt sie aus, der Beschwerdeführer habe seit mehreren Jahren beim Verkauf von Heroin Unterstützung geleistet und für mehrere Drogenhändler hohe Geldbeträge aus dem Verkauf von Heroin aus der Schweiz nach Mazedonien transferiert. Dabei habe er das Geld, das er in Zürich von den Drogenhändlern entgegengenommen habe, jeweils in kleinen Tranchen am Flughafen Zürich an Flugpassagiere (denen er zuvor Flugtickets verkauft hatte) übergeben und diese dann angewiesen, das Geld in Mazedonien einer Kontaktperson zu übergeben. Diese Personen hätten das Geld wiederum dem Neffen des Beschwerdeführers übergeben, der in Mazedonien ein Reisebüro betreibe. Teilweise habe der Beschwerdeführer selber als Flugpassagier Bargeld nach Mazedonien transportiert. Zwischen Oktober 2013 und September 2014 soll der Beschwerdeführer auf diese Weise ungefähr Fr. 2'300'000.-- nach Mazedonien transferiert haben.
Die Staatsanwaltschaft bringt vor, bei zwei vom Beschwerdeführer vermittelten Drogengeschäften sei eine grössere Menge Heroin übergeben worden (nämlich je 500 Gramm und nicht - wie vom Bezirksgericht angenommen - ca. 120 Gramm). Deshalb müsse das Strafmass wesentlich höher sein, als die Einsatzstrafe von 16 Monaten, von welcher das Bezirksgericht ausgegangen sei; sodann seien die Geldtransporte des Beschwerdeführers entgegen der Auffassung des Bezirksgerichts als mehrfache schwere Geldwäscherei zu qualifizieren.
Die Vorinstanz hat die Erfolgsaussichten der auf die Erhöhung der Strafe gerichteten Berufung der Staatsanwaltschaft prima facie geprüft (<ref-ruling> E. 3.1 S. 275) und ist zum Ergebnis gelangt, dass eine deutlich höhere Strafe zumindest im Raume stehe.
2.5.4. Der Umstand, dass die Staatsanwaltschaft Berufung erhoben hat und dem Beschwerdeführer somit eine empfindlich höhere Strafe drohen kann, begründet auch unter Anrechnung der bereits erstandenen Haft weiterhin einen erheblichen Fluchtanreiz (vgl. Urteile des Bundesgerichts 1B_8/2016 vom 25. Januar 2016 E. 3.3 und 1B_325/ 2014 vom 16. Oktober 2014 E. 3.3). Unter diesem Blickwinkel vermögen die vom Beschwerdeführer gegen das Vorliegen der Fluchtgefahr vorgebrachten Argumente nicht zu überzeugen. Abgesehen von den starken familiären und sozialen Bindungen zu Mazedonien verfügt er dort über eine Liegenschaft. Dass das vom Vater geerbte Wohnhaus offenbar "unbewohnbar" sein soll, stellt eine nicht weiter belegte Parteibehauptung dar. Unter Berücksichtigung des Umstands, dass er bereits in der Vergangenheit in Mazedonien ein eigenes Reisebüro betrieben hat, für welches er auch von der Schweiz aus tätig war, erscheinen seine Berufschancen in Mazedonien nicht perspektivlos, zumal sein Unterhalt in der Schweiz mit einer IV-Teilrente von Fr. 700.-- bis Fr. 800.-- nicht abgesichert sein dürfte. Dass eine Flucht ausgeschlossen sein soll, weil er in Mazedonien aufgrund seiner albanischen Abstammung Repressionen oder staatlicher Willkür ausgesetzt wäre, wird von ihm nur beiläufig erwähnt und vermag nicht zu überzeugen, zumal er regelmässig nach Mazedonien reist und in seiner Beschwerde keine konkreten Vorfälle benennt. Mit Blick auf das vom Beschwerdeführer erwähnte Auslieferungsabkommen zwischen der Schweiz und Mazedonien ist festzuhalten, dass auch einem Staat, dem die Strafhoheit zusteht, nicht zuzumuten ist, auf die Sicherung eines Beschuldigten zu verzichten und dann im Falle einer Flucht den langwierigen Weg des Auslieferungsbegehrens beschreiten zu müssen (<ref-ruling> E. 3d S. 37). Unter diesen Umständen ist die Fluchtgefahr zu bejahen.
3.
3.1. Der Beschwerdeführer rügt, die Haft sei in zeitlicher Hinsicht unverhältnismässig. Er habe den grössten Teil der erstinstanzlich verfügten Freiheitsstrafe bereits verbüsst.
3.2. Gemäss <ref-law> und Art. 5 Ziff. 3 EMRK hat eine in strafprozessualer Haft gehaltene Person Anspruch darauf, innerhalb einer angemessenen Frist richterlich beurteilt oder während des Strafverfahrens aus der Haft entlassen zu werden. Eine übermässige Haftdauer stellt eine unverhältnismässige Beschränkung dieses Grundrechts dar. Der Gesetzgeber hat diesem Grundsatz in <ref-law> Rechnung getragen. Eine Verletzung des Verhältnismässigkeitsprinzips liegt insbesondere dann vor, wenn die Haft die Dauer der zu erwartenden Strafe übersteigt (<ref-law>). Der Richter darf die Haft nur so lange erstrecken, als sie nicht in grosse zeitliche Nähe der (im Falle einer rechtskräftigen Verurteilung) konkret zu erwartenden Dauer der freiheitsentziehenden Sanktion rückt. Dieser Grenze ist auch deshalb grosse Beachtung zu schenken, weil das erkennende Gericht dazu neigen könnte, die Dauer der erstandenen Haft bei der Strafzumessung mitzuberücksichtigen (<ref-ruling> E. 4.1 S. 170 f., 270 E. 3.4.2 S. 281 f.; je mit Hinweisen).
3.3. Der Beschwerdeführer befindet sich seit dem 24. Oktober 2014, mithin seit rund einem Jahr und neun Monaten in Haft. Das Bezirksgericht hat ihn zu einer bedingten Freiheitsstrafe von 24 Monaten verurteilt. Wie bereits ausgeführt, hat die Staatsanwaltschaft Berufung gegen das Urteil des Bezirksgerichts erhoben und eine unbedingte Freiheitsstrafe von 5 Jahren beantragt. Damit kommt eine deutliche Erhöhung des Strafmasses in Frage (vgl. <ref-law>). Auf diesen Umstand durfte die Vorinstanz abstellen, ohne dabei den Anspruch auf ein unparteiisches Gericht (<ref-law>) zu verletzen. Insoweit ist noch offen, wann die für die bedingte Entlassung massgebliche Grenze von zwei Dritteln erreicht wird. Es ist daher nicht zu beanstanden, wenn die Vorinstanz - nach einer summarischen Prüfung der Erfolgschancen der Berufung der Staatsanwaltschaft - ausführt, die Haft erscheine angesichts der vorinstanzlich ausgesprochenen Strafe als noch nicht unverhältnismässig, zumal dem Beschwerdeführer bei einer allfälligen Gutheissung der Berufung der Staatsanwaltschaft eine längere und unbedingt zu vollziehende Freiheitsstrafe drohe.
4.
Mithin lässt eine Gesamtwürdigung der Umstände eine Flucht als wahrscheinlich und eine Fortsetzung der Sicherheitshaft als verhältnismässig erscheinen. Damit hält der angefochtene Beschluss vor Bundesrecht stand.
5.
Die Beschwerde ist unbegründet und abzuweisen.
Bei diesem Verfahrensausgang wird der Beschwerdeführer grundsätzlich kostenpflichtig (<ref-law>). Er ersucht indes um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung. Da die Beschwerde nicht zum Vornherein aussichtslos war, seine Bedürftigkeit erstellt ist und er auf die Vertretung durch einen Anwalt angewiesen war, ist dem Gesuch stattzugeben (<ref-law>). Dem Vertreter des Beschwerdeführers ist eine angemessene Entschädigung auszurichten.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen.
2.
Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung wird gutgeheissen.
3.
Es werden keine Kosten erhoben.
4.
Dem Vertreter des Beschwerdeführers, Rechtsanwalt Franco Faoro wird aus der Bundesgerichtskasse eine Entschädigung von Fr. 1'500.-- ausgerichtet.
5.
Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer, der Staatsanwaltschaft II des Kantons Zürich und dem Obergericht des Kantons Zürich, II. Strafkammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 2. August 2016
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Das präsidierende Mitglied: Eusebio
Der Gerichtsschreiber: Misic