Faits :
A.
Ensuite de la rupture du contrat de travail entre Z._ et la société X._ GmbH, le premier, représenté par le syndicat A._, a ouvert action contre la seconde en paiement de 12'798 fr. et 62'044 fr. devant le Tribunal civil de... (NE). Selon la loi d'organisation judiciaire neuchâteloise, le Tribunal civil est juridiction spéciale en matière de contrat de travail et siège à juge unique (art. 15 et 17a OJN, RSN 161.1). Le mémoire de demande du 25 novembre 2014 est signé par B._, employée du syndicat A._ au bénéfice d'un brevet d'avocat. La défenderesse a immédiatement contesté la capacité d'une collaboratrice d'un syndicat à représenter le demandeur devant le Tribunal civil et exigé que le travailleur soit invité à signer lui-même le mémoire de demande ou à désigner un nouveau représentant satisfaisant aux conditions légales. Le demandeur a répondu être valablement représenté.
Par décision du 31 mars 2015, le Tribunal civil a rejeté la requête de la défenderesse, lui a imparti un délai pour déposer sa réponse au fond, a mis les frais judiciaires (400 fr.) à sa charge et l'a condamnée à verser une indemnité de dépens (300 fr.) au demandeur.
B.
Contre cette décision, la défenderesse a interjeté auprès du Tribunal cantonal neuchâtelois un appel adressé à la Cour d'appel civile et un recours (stricto sensu) adressé à l'Autorité de recours en matière civile.
Par arrêt du 27 juillet 2015, notifié le 10 août 2015, la Cour d'appel civile a déclaré l'appel irrecevable et mis les frais judiciaires (300 fr.) et les dépens (300 fr.) à la charge de la défenderesse. En résumé, la Cour a retenu que la décision attaquée n'était pas une décision susceptible d'appel (cf. <ref-law>).
Par arrêt du 31 août 2015, notifié le 2 septembre 2015, l'Autorité de recours en matière civile a déclaré le recours (stricto sensu) irrecevable et au surplus mal fondé. Elle a jugé que la décision attaquée n'était pas susceptible de causer un préjudice juridique difficilement réparable à la défenderesse (cf. <ref-law>), motif pour lequel le recours était irrecevable. A titre subsidiaire, elle a considéré qu'en droit neuchâtelois, une collaboratrice d'un syndicat pouvait représenter un travailleur dans une cause de droit du travail. Bien qu'elle ne fût pas paritaire, l'autorité désignée par le droit cantonal - soit le Tribunal civil - répondait à la notion de "juridiction spéciale" au sens de l'art. 68 al. 2 let. d CPC; il importait peu qu'il s'agisse du juge ordinaire en principe compétent pour trancher les affaires civiles contentieuses (art. 16 al. 1 OJN). Les frais judiciaires (800 fr.) et les dépens (1'000 fr.) ont été mis à la charge de la défenderesse.
C.
Par mémoire remis à la poste le 7 septembre 2015, la défenderesse (ci-après: la recourante) a interjeté un recours en matière civile contre les deux arrêts du Tribunal cantonal. La conclusion au fond a la teneur suivante: "Déclarer irrecevable la demande du 25 novembre 2014 faute de capacité de postuler de B._, étant réservée une ratification de l'acte par le demandeur, ou la désignation d'un nouveau représentant satisfaisant aux conditions légales".
Dans sa réponse, signée par un avocat indépendant (cf. <ref-law>), le demandeur (ci-après: l'intimé) conclut principalement à l'irrecevabilité du recours, subsidiairement à son rejet.
La Cour d'appel civile s'est déterminée; l'Autorité de recours en matière civile a renoncé à présenter des observations, se référant purement et simplement à son arrêt. Recourante et intimé ont déposé une seconde écriture.

Considérant en droit :
1.
L'intimé objecte que les arrêts attaqués sont des décisions incidentes non susceptibles d'un recours immédiat, au motif qu'elles ne causent aucun dommage irréparable et qu'une admission du recours ne mettrait pas fin à la procédure.
1.1. La décision selon laquelle une partie est valablement représentée en justice est une décision incidente qui ne porte ni sur la compétence ni sur une question de récusation. Elle peut faire l'objet d'un recours immédiat uniquement si elle est susceptible de causer un préjudice irréparable (<ref-law>) ou si l'admission du recours peut conduire immédiatement à une décision finale qui permet d'éviter une procédure probatoire longue et coûteuse (<ref-law>). Il convient d'examiner si l'une ou l'autre de ces conditions alternatives est réalisée.
1.2.
1.2.1. L'exigence d'un risque de préjudice irréparable est réalisée lorsque la partie recourante est exposée à un inconvénient de nature juridique qui ne puisse pas être ultérieurement réparé ou entièrement réparé par une décision finale qui lui serait favorable; un dommage économique ou de pur fait n'est pas considéré comme un dommage irréparable de ce point de vue. Cette condition s'apprécie par rapport à la décision de première instance, et non par rapport à la décision d'irrecevabilité du recours rendue par le tribunal supérieur. En particulier, si la question qui a fait l'objet de la décision incidente de première instance peut être soulevée à l'appui d'un recours contre la décision finale (<ref-law>), il n'y a pas de préjudice irréparable. Cette réglementation est fondée sur des motifs d'économie de procédure, le Tribunal fédéral ne devant en principe s'occuper d'une affaire qu'une seule fois, lorsqu'il est certain que la partie recourante subit effectivement un dommage définitif. Il incombe au recourant de démontrer l'existence d'un tel préjudice lorsque celui-ci n'est pas d'emblée évident (<ref-ruling> consid. 1.2 et les arrêts cités).
1.2.2. En l'occurrence, les deux décisions attaquées visent un jugement de première instance statuant sur la recevabilité de la demande en tant qu'elle a été déposée par un travailleur représenté par un syndicat. Cette question sur la validité de la représentation du demandeur pourra être revue avec la décision finale. Au demeurant, lorsque le juge nie l'existence d'un conflit d'intérêts et autorise l'avocat d'une partie à poursuivre sa représentation, la jurisprudence considère qu'une telle décision n'est en principe pas susceptible de causer un préjudice irréparable à la partie adverse; il est souligné que l'<ref-law> vise au premier chef à protéger les intérêts du client de l'avocat (cf. arrêts 5A_47/2014 du 27 mai 2014 consid. 4.4; 1B_420/2011 du 21 novembre 2011 consid. 1.2.2). Or, n'en déplaise à la recourante, tel est aussi le cas de l'<ref-law> relatif à la représentation professionnelle: cette disposition vise à garantir la qualité de la représentation, et protège donc au premier chef la partie assistée (<ref-ruling> consid. 2.3 p. 559).
Pour le surplus, la recourante pourra de toute façon contester sa condamnation aux dépens, cas échéant par un recours indépendant à interjeter après le prononcé du jugement final (cf. <ref-ruling> consid. 1.2.2)
En bref, les prévisions de l'<ref-law> ne sont pas réalisées.
1.3.
Il reste à examiner si la condition alternative de l'<ref-law> est remplie, à savoir si l'admission du recours peut conduire immédiatement à une décision finale permettant d'éviter une procédure probatoire longue et coûteuse.
1.3.1. La loi requiert la conjugaison de deux éléments: en premier lieu, le Tribunal fédéral doit pouvoir rendre une décision finale (<ref-law>), c'est-à-dire clore la procédure dans l'hypothèse où il admettrait le recours et retiendrait la solution inverse à celle retenue par l'autorité précédente (<ref-ruling> consid. 2.4.1). En second lieu, la décision finale doit permettre d'éviter une procédure longue et coûteuse. La partie recourante doit s'attacher à démontrer que cette exigence est réalisée, si cela n'est pas manifeste. Elle doit en particulier indiquer de manière détaillée quelles questions de fait sont encore litigieuses, quelles preuves, déjà offertes ou requises, doivent encore être administrées, et en quoi celles-ci entraîneraient une procédure probatoire longue et coûteuse (<ref-ruling> consid. 2.4.2). Tout complément d'instruction entraîne nécessairement des frais et un prolongement de la procédure; cela ne suffit pas pour ouvrir le recours immédiat. Encore faut-il que la procédure probatoire, par sa durée et son coût, s'écarte notablement des procès habituels. Si l'administration des preuves doit se limiter à entendre les parties, à leur permettre de produire des pièces et à procéder à l'interrogatoire de quelques témoins, un recours immédiat n'est pas justifié. Il en va différemment s'il faut envisager une expertise complexe, plusieurs expertises, l'audition de très nombreux témoins ou l'envoi de commissions rogatoires dans des pays lointains (arrêt 4A_464/2012 du 11 septembre 2012 consid. 2.2).
1.3.2. En l'espèce, la recourante évoque l'audition de plusieurs témoins. Elle fait en outre état, sans autre précision, d'une éventuelle expertise sur la question de savoir si l'intimé était malade lorsqu'il a pris un congé maladie; à supposer qu'une expertise soit effectivement nécessaire, rien ne permet de retenir qu'elle serait complexe. La recourante ne démontre ainsi pas que la décision à intervenir permettrait d'éviter une procédure longue et coûteuse. Cela suffit déjà à exclure l'application de l'<ref-law>.
Peut dès lors rester indécise la question de savoir si l'admission du recours permettrait de rendre immédiatement une décision finale. Tel ne serait pas le cas si le Tribunal fédéral devait suivre les conclusions de la recourante et déclarer la demande irrecevable sous réserve d'une correction du vice par le demandeur (soit qu'il ratifie l'acte accompli par le syndicat, soit qu'il désigne un nouveau représentant satisfaisant aux exigences légales). Se pose toutefois la question de savoir si le vice de représentation que le demandeur a refusé de corriger et contesté peut encore être réparé à ce stade.
2.
La recourante croit discerner une décision sur la compétence fonctionnelle ouvrant le recours immédiat de l'<ref-law> dès lors que la Cour d'appel civile a transmis l'appel jugé irrecevable à l'Autorité de recours en matière civile pour que cette section le traite en tant que recours stricto sensu. Sur le fond, elle plaide que ces deux sections du Tribunal cantonal ne sont pas prévues par la loi d'organisation judiciaire et que le droit cantonal a été arbitrairement violé.
La recourante a simultanément interjeté un appel et un recours stricto sensu qu'elle a adressés respectivement à la Cour d'appel civile et à l'Autorité de recours en matière civile (supra let. B); une décision sur la compétence n'était dès lors pas nécessaire. Au demeurant, sur le fond, la recourante n'est pas habilitée à dénoncer une violation des règles sur l'organisation judiciaire. En effet, il vient d'être rappelé que la recourante - assistée d'un avocat - a adressé deux mémoires distincts à la Cour d'appel civile et à l'Autorité de recours en matière civile. Elle ne saurait de bonne foi contester l'organisation du Tribunal cantonal à ce stade seulement, après avoir succombé (cf. <ref-ruling> consid. 3.2.1).
3.
Les considérations qui précèdent conduisent à déclarer le présent recours irrecevable. La recourante, qui succombe, supportera les frais de la présente procédure et versera une indemnité de dépens à la partie adverse (art. 66 al. 1 et art. 68 al. 1 et 2 LTF).

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1.
Le recours est irrecevable.
2.
Les frais judiciaires, arrêtés à 2'000 fr., sont mis à la charge de la recourante.
3.
La recourante versera à l'intimé une indemnité de 2'500 fr. à titre de dépens.
4.
Le présent arrêt est communiqué aux mandataires des parties et au Tribunal cantonal du canton de Neuchâtel.
Lausanne, le 17 mai 2016
Au nom de la Ire Cour de droit civil
du Tribunal fédéral suisse
La Présidente: Kiss
La Greffière: Monti