Sachverhalt:
A.
D._ (geb. 2005) ist das gemeinsame Kind von A._ und C._. Die Eltern waren nicht miteinander verheiratet und trennten sich nach der Geburt des Kindes. Seit der Trennung lebt D._ bei ihrer Mutter, der das Sorgerecht zusteht.
Aufgrund einer Gefährdungsmeldung wegen möglichen sexuellen Missbrauchs D._s durch den Vater wurden im Februar 2011 durch den Fürsorgeverband Münchenbuchsee Abklärungen in Auftrag gegeben und der Kontakt zum Vater begleitet durch die Grossmutter väterlicherseits angeordnet.
Nachdem der Rechtsvertreter der Mutter mitgeteilt hatte, weder sie noch die Tochter würden an Gutachtengesprächen bzw. einer Interaktionsbeobachtung teilnehmen, und die Mutter mit der Tochter vom Kanton Bern in den Kanton Solothurn umgezogen war, verfügte der Fürsorgeverband Münchenbuchsee am 15. September 2011 einen Obhutsentzug und die Fremdplatzierung von D._. Auf Beschwerde hin wurde der Obhutsentzug am 25. Oktober 2011 durch die Rekurskommission für fürsorgerische Freiheitsentziehungen aufgehoben.
Nach Vorliegen eines psychologisch-psychiatrischen Teilgutachtens des Kinder- und Jugendpsychiatrischen Dienstes Solothurn (KJPD) vom 4. April 2012 wurde am 31. Mai 2012 durch den Fürsorgeverband Münchenbuchsee eine Beistandschaft errichtet und eine Therapie angeordnet. Auf die Sistierung des Besuchsrechts wurde verzichtet, da der Vater für die nächsten vier Monate freiwillig auf Besuche verzichtete.
Ein Glaubhaftigkeitsgutachten vom 28. November 2012 kam zum Schluss, dass D._ die Aussagen betreffend sexuellen Missbrauchs auch gemacht haben könnte, ohne dass diese auf einem realen Hintergrund basierten. Das Strafverfahren gegen den Vater wurde im Juli 2013 eingestellt.
Mit Entscheid vom 21. Juni 2013 hob das Obergericht des Kantons Bern die Beistandschaft auf und sistierte das Besuchsrecht des Vaters vorläufig. Der KJPD wurde beauftragt, im Rahmen der laufenden Begutachtung eine Beratung im Hinblick auf den Aufbau des persönlichen Verkehrs durchzuführen.
Am 18. November 2014 wurde D._ durch die KESB Region Solothurn angehört. Sie sagte aus, sie wolle Papi und alle, die zu Papi gehörten, nie mehr sehen. Das zweite Teilgutachten der KJPD vom 18. Dezember 2014 erachtete die Voraussetzungen für Besuchskontakte im Interesse des Kindeswohls, nämlich minimale Kooperation und Frieden zwischen den Eltern, als nicht ausreichend gegeben. Für D._ und die Vater-Tochter-Beziehung sei es besser, wenn zunächst weiter deeskaliert würde, wozu eine vorübergehende Sistierung der Besuche gehöre. Zur Vermittlung zwischen den Eltern und zwischen Vater und Tochter sowie als neutrale Ansprechperson wurde die Anordnung einer Erziehungsbeistandschaft empfohlen.
Nach Gewährung des rechtlichen Gehörs lehnte die Mutter die Errichtung einer Beistandschaft ab und begrüsste die Sistierung des Besuchsrechts. Der Vater verlangte die sofortige Wiederaufnahme des Besuchsrechts.
Auf Ergänzungsfragen des Vaters hin erläuterte die Gutachterin der KJPD am 28. Mai 2015 unter anderem, ein Kontakt zwischen D._ und ihrem Vater wäre zwar grundsätzlich wünschenswert. Aufgrund der chronifizierten Entfremdung und der Konfliktsituation zwischen den Eltern sei D._ psychisch stark belastet. Von einer Wiederaufnahme des begleiteten Besuchsrechts gegen D._s Willen sei derzeit abzuraten. Es sei ratsam abzuwarten, ob sie mit zunehmendem Alter von sich aus Kontakt mit ihrem Vater aufnehmen möchte.
Mit Entscheid der KESB Region Solothurn vom 16. Februar 2016 wurde die Sistierung der Besuche um mindestens ein weiteres Jahr fortgesetzt, womit sie frühestens ab 31. Januar 2017 stattfinden könnten (Ziff. 3.1). Es wurde eine Beistandschaft nach <ref-law> errichtet (Ziff. 3.2) und die Beistandsperson unter anderem damit beauftragt, den Kontakt, die geeignete Kommunikation und den Austausch zwischen den Eltern von D._ zu unterstützen und zu überwachen sowie regelmässig gemeinsame Gespräche der Eltern mit der Beistandsperson oder mit einer geeigneten Drittperson durchzuführen (Ziff. 3.3). Die angeordneten Kindesschutzmassnahmen wurden an die KESB am Bezirksgericht Zofingen übertragen (Ziff. 3.4). Die Mutter wurde angewiesen, die Kinderpsychotherapie von D._ fortzusetzen (Ziff. 3.5). Die Eltern wurden angewiesen, kooperativ mit der Beistandsperson zusammenzuarbeiten (Ziff. 3.6) sowie in geeigneten, regelmässigen Abständen Informationen betreffend D._ und Briefe für und (falls vorhanden) von D._ auszutauschen (Ziff. 3.7). Die Mutter wurde angewiesen, das Notwendige zu unternehmen, damit das Informationsrecht des Vaters gegenüber Drittpersonen ausgeübt werden könne (Ziff. 3.8). Zudem wurde sie ermahnt, das Thema des sexuellen Missbrauchs bei D._ oder deren Bezugspersonen nicht mehr zu thematisieren (Ziff. 3.9). Die Kosten von Fr. 1'392.-- wurden den Eltern hälftig auferlegt (Ziff. 3.10).
B.
Mit (40-seitiger) Beschwerde vom 16. März 2016 an das Verwaltungsgericht des Kantons Solothurn verlangte die Mutter, vertreten durch Rechtsanwalt B._, die Aufhebung des gesamten Entscheids der KESB, allenfalls der Ziff. 3.2, 3.3, 3.4, 3.6, 3.9 und 3.10. Zudem ersuchte sie um unentgeltliche Rechtspflege.
Mit Verfügung vom 23. März 2016 wies das Verwaltungsgericht die Beschwerde wegen Weitschweifigkeit zur Verbesserung zurück. Am 1. April 2016 reichte die Beschwerdeführerin eine auf 25 Seiten gekürzte Beschwerde mit verkleinertem Zeilenabstand ein und beantragte, die Beschwerde vom 16. März 2016 sei im Recht zu belassen.
Der Vater beantragte am 13. April 2016 die Abweisung der Beschwerde, ebenso die KESB mit Eingabe vom 10. Mai 2016. Die Mutter nahm am 23. Mai 2016 erneut Stellung.
Mit Urteil vom 5. August 2016 wies das Verwaltungsgericht die Beschwerde ab (Ziff. 1). Das Gesuch von A._ um unentgeltliche Rechtspflege wurde gutgeheissen und Rechtsanwalt B._ als unentgeltlicher Rechtsbeistand eingesetzt (Ziff. 2). A._ wurden die Kosten des verwaltungsgerichtlichen Verfahrens von Fr. 1'500.-- auferlegt, jedoch vorläufig - unter Vorbehalt des Rückzahlungsanspruchs - auf die Staatskasse genommen (Ziff. 3). A._ wurde verpflichtet, C._ eine Parteientschädigung von Fr. 2'227.95 zu bezahlen (Ziff. 4). Die Entschädigung des unentgeltlichen Rechtsbeistands wurde auf Fr. 3'024.-- (inkl. MwSt und Auslagen) festgesetzt (unter Vorbehalt des Rückforderungsanspruchs des Kantons und des Nachforderungsanspruchs des Rechtsbeistands im Umfang von Fr. 1'050.--) (Ziff. 5).
C.
Am 9. September 2016 hat A._ (Beschwerdeführerin), vertreten durch Rechtsanwalt B._, Beschwerde in Zivilsachen an das Bundesgericht erhoben. Sie verlangt die Aufhebung von Ziff. 1, 3 und 4 des Urteils des Verwaltungsgerichts. Zudem ersucht sie um aufschiebende Wirkung und um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung.
B._ hat am selben Tag in eigenem Namen Ziff. 5 des Urteils des Verwaltungsgerichts angefochten (Verfahren 5A_657/2016).
Das Verwaltungsgericht und die KESB haben auf Stellungnahme zum Gesuch um aufschiebende Wirkung verzichtet. C._ (Beschwerdegegner) hat um Abweisung des Gesuchs ersucht. Mit Präsidialverfügung vom 29. September 2016 hat das Bundesgericht das Gesuch um aufschiebende Wirkung abgewiesen.
Mit Entscheid vom 22. November 2016 hat das Bezirksgericht Zofingeneinen Beistand eingesetzt.
Das Bundesgericht hat die Akten beigezogen, in der Sache aber keine Vernehmlassungen eingeholt.

Erwägungen:
1.
1.1. Die Beschwerde richtet sich gegen ein Endurteil einer auf Rechtsmittel hin entscheidenden oberen kantonalen Instanz, das eine nicht vermögensrechtliche Angelegenheit des Kindesschutzes betrifft. Die Beschwerde in Zivilsachen ist grundsätzlich zulässig (Art. 72 Abs. 2 lit. b Ziff. 6, Art. 75, Art. 76, Art. 90, Art. 100 Abs. 1 BGG).
Die Beschwerdeführerin stellt einzig einen Aufhebungsantrag und keinen Hauptantrag in der Sache, wie dies grundsätzlich erforderlich wäre (<ref-law>; <ref-ruling> E. 3.1 S. 489 f.). Aus der Beschwerde geht jedoch hervor, dass die Beschwerdeführerin die Aufhebung der Beistandschaft und der dazugehörigen Weisungen anstrebt. Sinngemäss wendet sie sich auch gegen die - von der Beistandschaft unabhängige Weisung - den sexuellen Missbrauch nicht mehr zu thematisieren. Insoweit erweist sich die Beschwerde als zulässig. Dies entspricht in der Sache ihren Eventualanträgen, wie sie sie vor Verwaltungsgericht gestellt hat (oben lit. B). Ihr Hauptantrag vor Verwaltungsgericht umfasste zusätzlich die Aufhebung der Weisung zur Gewährleistung des Informationsflusses und zur Weiterführung der Kinderpsychotherapie. Obschon formell angefochten, stellte bereits das Verwaltungsgericht fest, dass diese Punkte unbestritten seien. Mangels Einwänden der Beschwerdeführerin dagegen ist davon auszugehen, dass diese auch vor Bundesgericht nicht Beschwerdegegenstand sind.
1.2. Mit Beschwerde in Zivilsachen können Rechtsverletzungen gemäss Art. 95 f. BGG geltend gemacht werden. Zwar wendet das Bundesgericht das Recht grundsätzlich von Amtes wegen an (<ref-law>; vgl. für Ausnahmen Abs. 2 dieser Norm) und prüft mit freier Kognition, ob der angefochtene Entscheid Recht verletzt. Es befasst sich aber nur mit formell ausreichend begründeten Rügen (<ref-law>; <ref-ruling> E. 1.1 S. 104 f.; <ref-ruling> E. 1.3 S. 584 mit Hinweisen). In der Begründung ist in gedrängter Form darzulegen, inwiefern der angefochtene Akt Recht verletzt. Allgemein gehaltene Einwände, die ohne aufgezeigten oder erkennbaren Zusammenhang mit bestimmten Entscheidungsgründen vorgebracht werden, genügen nicht (Urteil 5A_963/2014 vom 9. November 2015 E. 2, nicht publ. in: <ref-ruling>).
Der vorinstanzlich festgestellte Sachverhalt ist für das Bundesgericht grundsätzlich verbindlich (<ref-law>). Die Feststellung des Sachverhalts kann nur gerügt werden, wenn die Feststellung offensichtlich unrichtig - d.h. willkürlich (<ref-ruling> E. 1.5 S. 130 mit Hinweis) - ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruht und die Behebung des Mangels für den Verfahrensausgang entscheidend sein kann (<ref-law>). Will die Beschwerdeführerin die Sachverhaltsfeststellungen der Vorinstanz anfechten, muss sie darlegen, inwiefern die genannten Voraussetzungen erfüllt sein sollen (<ref-ruling> E. 4.2 S. 234; <ref-ruling> E. 5.1 S. 356). Bei der Rüge der offensichtlich unrichtigen Sachverhaltsfeststellung gilt das strenge Rügeprinzip (<ref-law>) und es ist demnach anhand der Erwägungen des angefochtenen Entscheids klar und detailliert darzulegen, inwiefern die vorinstanzliche Sachverhaltsfeststellung willkürlich sein soll. Demzufolge genügt es nicht, einen von den tatsächlichen Feststellungen der Vorinstanz abweichenden Sachverhalt zu behaupten. Auf solche rein appellatorische Kritik am Sachverhalt tritt das Bundesgericht nicht ein (<ref-ruling> E. 1.4.2 und 1.4.3 S. 254 f.; <ref-ruling> E. 2.2 S. 246; <ref-ruling> E. 5.1 S. 356).
2.
Das Verwaltungsgericht ist auf die ursprüngliche Beschwerde vom 16. März 2016 wegen Weitschweifigkeit nicht eingetreten. Die Beschwerdeführerin macht geltend, die Rückweisung sei zu Unrecht erfolgt, da der Entscheid der KESB ungefähr gleich lang gewesen sei wie die Beschwerde vom 16. März 2016. Mit diesem Argument hat sich bereits das Verwaltungsgericht befasst, indem es ausgeführt hat, es wäre zur Wahrung der Ansprüche der Beschwerdeführerin nicht nötig gewesen, auf sämtliche Punkte des Entscheides der KESB einzeln einzugehen, den Sachverhalt ebenfalls noch einmal aus der Perspektive der Beschwerdeführerin umfassend wiederzugeben und frühere Eingaben an Behörden, die sich in den Akten befänden, über mehrere Seiten 1:1 zu wiederholen. In die Rechte der Beschwerdeführerin und ihrer Tochter werde durch den Entscheid der KESB nur sehr schwach eingegriffen, was es nicht rechtfertige, das Gericht mit einer derart umfangreichen Beschwerde zu bemühen. Auf diese Erwägungen des Verwaltungsgerichts geht die Beschwerdeführerin vor Bundesgericht nicht ein, so dass die Frage der Rückweisung wegen Weitschweifigkeit nicht weiter zu behandeln ist.
3.
Vor Verwaltungsgericht stellte sich die Beschwerdeführerin im Wesentlichen auf den Standpunkt, es werde und dürfe nie zu einem Kontakt zwischen D._ und ihrem Vater kommen. Wo kein Besuchsrecht angeordnet werden könne, erübrige sich eine Besuchsrechtsbeistandschaft. Der sexuelle Missbrauch habe stattgefunden. D._ sei heute urteilsfähig und wolle ihren Vater nicht sehen.
Das Verwaltungsgericht hat erwogen, das Verfahren sei von einer Verweigerungshaltung der Beschwerdeführerin geprägt, die überzeugt davon erscheine, dass D._ durch den Vater sexuell missbraucht worden sei. Der Vater hingegen habe stets seine Unschuld beteuert, allerdings auch Druck ausgeübt, indem er das Besuchsrecht notfalls auch unter Zwang habe ausüben wollen. Es sei deshalb nachvollziehbar, dass sich D._ in einem Loyalitätskonflikt befinde und sich dem daraus entstehenden grossen Druck nur dadurch zu entziehen vermöge, dass sie sich für den ihr näher stehenden Elternteil entscheide, sich dessen Haltung unterziehe und sich vom andern Elternteil distanziere. Durch den Loyalitätskonflikt und den daraus folgenden Ausschluss eines Elternteils aus dem Leben des Kindes sei das Kindeswohl gefährdet.
Die Massnahmen der KESB stützten sich auf die Empfehlungen im Gutachten des KJPD. Die Behörde habe mit sehr grossem Aufwand umfangreiche Abklärungen getroffen und einen detaillierten Entscheid getroffen, der auf das Kindeswohl bestmöglich Rücksicht nehme und aufgrund der weiteren Sistierung des Besuchsrechts D._ auch nicht zusätzlich belasten wolle. Die Beschwerdeführerin befasse sich damit auf äusserst destruktive Weise. Sie bzw. ihr Rechtsvertreter gössen immer wieder Öl ins Feuer, um den Konflikt aufrechtzuerhalten. Dies zeige deutlich, wie D._ instrumentalisiert werde. Ähnlich verhalte es sich mit dem Thema des sexuellen Missbrauchs. Dieses Thema scheine trotz jahrelanger Therapie und Sistierung des persönlichen Verkehrs zum Vater einen grossen Platz im Leben von D._ einzunehmen, obwohl gar nicht klar sei, ob jemals etwas Derartiges vorgefallen sei. Ausser den Aussagen des damals fünfjährigen Kindes gebe es dafür keine Indizien; das Glaubhaftigkeitsgutachten spreche sich eher dagegen aus.
Heute spiele es für das Kindeswohl keine Rolle mehr, ob ein Missbrauch stattgefunden habe oder nicht, da D._, wie ihre Mutter, davon überzeugt sei, durch ihren Vater sexuell missbraucht worden zu sein. Sie habe dadurch eine starke Aversion gegen ihn entwickelt. Unter diesen Umständen erscheine die Anordnung eines persönlichen Kontakts zu ihrem Vater gegen ihren ausdrücklichen Willen nicht zumutbar. Das Recht auf persönlichen Kontakt sei mithin zu Recht sistiert worden.
Die Kindswohlgefährdung bestehe nicht in der Gefahr des sexuellen Missbrauchs, da das Besuchsrecht sistiert bleibe, sondern im Loyalitätskonflikt, in dem sich D._ befinde. Vorliegend erscheine die Einsetzung einer Beistandsperson als sinnvolles Mittel, indem der Familie eine neutrale Person zur Verfügung gestellt werde, die sowohl zwischen den Eltern als auch zwischen D._ und ihrem Vater werde vermitteln können. Dadurch solle versucht werden, den Konflikt zwischen den Eltern etwas zu neutralisieren und D._ zu ermöglichen, ein anderes Bild von ihrem Vater zu erhalten. Für die Identitätsentwicklung sei es wichtig, dass ein Kind beide Elternteile kenne. Würde von sämtlichen Kindesschutzmassnahmen abgesehen, so wie dies die Beschwerdeführerin verlange, müsste aufgrund ihrer Verweigerungshaltung damit gerechnet werden, dass sie den Beschwerdegegner vollkommen aus ihrem Leben und dem von D._ verbannen würde. Das Verwaltungsgericht hat in der Folge die Beschwerde abgewiesen, soweit sie sich gegen die gesamte Verfügung bzw. die Errichtung einer Beistandschaft richtete.
Das Verwaltungsgericht hat sodann erwogen, die Weisung sei sinnvoll, wonach die Beschwerdeführerin den sexuellen Missbrauch nicht mehr thematisieren solle. Indem sie dieses Thema aufwerfe, werde die Aversion von D._ gegen ihren Vater immer weiter zementiert und der Vater dämonisiert. Durch die Weisung soll D._ ermöglicht werden, sich auf andere Dinge zu konzentrieren, damit dieses Thema nicht mehr soviel Platz in ihrem Leben beanspruche.
4.
Die angeordnete Beistandschaft stellt eine Kindesschutzmassnahme im Sinne von <ref-law> dar. Nach <ref-law> kann die Kindesschutzbehörde dem Kind einen Beistand ernennen, der die Eltern in ihrer Sorge um das Kind unterstützt, wenn es die Verhältnisse erfordern. Gemäss <ref-law> kann sie dem Beistand besondere Befugnisse übertragen, unter anderem im Zusammenhang mit dem persönlichen Verkehr des Kindes mit dem nicht sorge- oder obhutsberechtigten Elternteil. Die Anordnung einer Beistandschaft hat den im Kindesschutz geltenden Grundsätzen zu genügen. Vorausgesetzt ist somit eine Gefährdung der Entwicklung des Kindes (<ref-ruling> E. 1 S. 373), welcher nicht durch die Eltern und auch nicht durch weniger einschneidende Massnahmen gemäss <ref-law> begegnet werden kann (Grundsatz der Verhältnismässigkeit). Die Errichtung einer Beistandschaft muss zudem zur Erreichung des angestrebten Zwecks als geeignet erscheinen (Grundsatz der Geeignetheit; <ref-ruling> E. 2.1 S. 242; Urteile 5A_732/2014 vom 26. Februar 2015 E. 4.3; 5A_404/2015 vom 27. Juni 2016 E. 5.2.1; zum Ganzen Urteil 5A_7/2016 vom 15. Juni 2016 E. 3.3.1).
Gemäss <ref-law> haben Eltern, denen die elterliche Sorge oder Obhut nicht zusteht, und das minderjährige Kind gegenseitig Anspruch auf angemessenen persönlichen Verkehr. Dabei handelt es sich um ein gegenseitiges Pflichtrecht, wobei es in erster Linie dem Interesse des Kindes dient und oberste Richtschnur für seine Ausgestaltung das Kindeswohl ist, welches anhand der konkreten Umstände des Einzelfalls zu beurteilen ist (<ref-ruling> E. 5 S. 212; <ref-ruling> E. 2.1 S. 587 f.; Urteil 5A_200/2015 vom 22. September 2015 E. 7.2.3, in: FamPra.ch 2016 S. 302). Der aus <ref-law> fliessende Anspruch kann gestützt auf <ref-law> verweigert oder entzogen werden, wenn das Wohl des Kindes durch den persönlichen Verkehr gefährdet wird, wenn ihn der betreffende Elternteil pflichtwidrig ausgeübt hat, wenn sich dieser nicht ernstlich um das Kind gekümmert hat oder wenn andere wichtige Gründe vorliegen. Eine Gefährdung des Wohls des Kindes im genannten Sinn liegt dann vor, wenn dessen ungestörte körperliche, seelische oder sittliche Entwicklung durch ein auch nur begrenztes Zusammensein mit dem nicht obhutsberechtigten Elternteil bedroht ist (<ref-ruling> E. 3b S. 407; Urteil 5A_200/2015 vom 22. September 2015 E. 7.2.3.1, in: FamPra.ch 2016 S. 302). Auf der anderen Seite ist zu berücksichtigen, dass das Besuchsrecht dem nicht obhutsberechtigten Elternteil um seiner Persönlichkeit willen zusteht und ihm daher nicht ohne wichtige Gründe ganz abgesprochen werden darf. Eine Gefährdung des Kindeswohls ist daher unter diesem Gesichtspunkt nicht leichthin anzunehmen und kann nicht schon deswegen bejaht werden, weil beim betroffenen Kind eine Abwehrhaltung gegen den nicht obhutsberechtigten Elternteil festzustellen ist (Urteile 5A_932/2012 vom 5. März 2013 E. 5.1, in: FamPra.ch 2013 S. 816; 5A_404/2015 vom 27. Juni 2016 E. 5.2.3). Der gänzliche Ausschluss eines Elternteils vom persönlichen Verkehr kommt nur als ultima ratio in Frage; er ist einzig statthaft, wenn sich die nachteiligen Auswirkungen eines Besuchsrechts nicht anderweitig in für das Kind vertretbaren Grenzen halten lassen (<ref-ruling> E. 3b S. 407; Urteil 5A_200/2015 vom 22. September 2015 E. 7.2.3.1, in: FamPra.ch 2016 S. 302).
Was die Weigerung des Kindes anbelangt, so kann diese mit einer der drei in <ref-law> aufgeführten Fallkonstellationen zusammenhängen oder aber gegebenenfalls selbständig unter die "anderen wichtigen Gründe" subsumiert werden. Bezüglich Wille des Kindes ist zunächst dessen Alter zu berücksichtigen bzw. dessen Fähigkeit zu autonomer Willensbildung, welche ungefähr ab dem 12. Altersjahr anzunehmen ist. Das Kind kann indes nicht in Eigenregie bestimmen, ob und zu welchen Bedingungen es Umgang mit dem nicht sorge- oder obhutsberechtigten Elternteil haben möchte. Zudem gilt die kinderpsychologische Erkenntnis als anerkannt, dass in der Entwicklung des Kindes die Beziehung zu beiden Elternteilen sehr wichtig ist und bei dessen Identitätsfindung eine entscheidende Rolle spielen kann (vgl. füreine Zusammenfassung der Rechtsprechung: Urteil 5A_200/2015 vom 22. September 2015 E. 7.2.3.1, in: FamPra.ch 2016 S. 302). Solche Überlegungen sind in die Gesamtwürdigung miteinzubeziehen.
Bei der Anordnung von Kindesschutzmassnahmen besteht ein grosser Ermessensspielraum (<ref-law>). Das Bundesgericht hält sich bei der Überprüfung deshalb zurück und schreitet nur ein, wenn die kantonale Behörde auf Gesichtspunkte abstellt, die nach dem Gesetz keine Rolle spielen, oder wenn sie wesentliche Umstände ausser Acht gelassen hat (<ref-ruling> E. 5.1 S. 183; Urteile 5A_7/2016 vom 15. Juni 2016 E. 3.3.3; 5A_840/2010 vom 31. Mai 2011 E. 3.1.2, in: SJ 2012 I S. 20).
5.
Vor dem Hintergrund der dargestellten Rechtsprechung ist die Errichtung einer Beistandschaft mit dem Zweck, den Kontakt zwischen D._ und ihrem Vater wieder anzubahnen, nicht zu beanstanden. Was die Beschwerdeführerin vor Bundesgericht dagegen einwendet, genügt zum grössten Teil den Begründungsanforderungen an eine Beschwerde in Zivilsachen nicht (vgl. oben E. 1.2) : Sie schildert in erster Linie ausführlich den Sachverhalt und das bisherige Verfahren aus ihrer eigenen Warte, erhebt damit aber keine rechtsgenügliche Willkürrüge (<ref-law>). Sie wirft Behörden und ins Verfahren involvierten Einzelpersonen Rechtsverletzungen oder sonstiges Fehlverhalten vor. In diesem Zusammenhang erhobene Sachverhaltsbehauptungen finden im angefochtenen Urteil keine Stütze und bleiben rein appellatorisch. Der Bezug zum vorliegenden Verfahrensgegenstand bzw. zum angefochtenen Urteil bleibt oftmals unklar. Soweit die Beschwerdeführerin nicht das angefochtene Urteil, sondern vorangegangene Entscheide oder Verfügungen kritisiert, kann darauf ohnehin nicht eingetreten werden (<ref-law>).
Im Ergebnis beharrt die Beschwerdeführerin auf ihrer Haltung, dass dem Beschwerdegegner kein Besuchsrecht eingeräumt werden darf und deshalb auch die Beistandschaft überflüssig sei. Sie übergeht aber, dass es nach den Erwägungen des Verwaltungsgerichts nicht zur Anordnung eines persönlichen Kontakts zwischen D._ und ihrem Vater gegen den Willen D._s kommen wird und dass der Zweck der Beistandschaft nicht darin besteht, einen solchen Kontakt zu erzwingen, sondern darauf hinzuwirken, dass D._ ein realistisches Bild ihres Vaters erhält. D._ soll mit anderen Worten ein Stück weit aus der Instrumentalisierung durch die Beschwerdeführerin befreit werden, damit sie sich in Kenntnis aller Tatsachen ein eigenes Bild machen kann. Ob es im Gefolge der Errichtung der Beistandschaft je wieder zur Anordnung eines Besuchsrechts kommt, ist offen. Soweit die Beschwerdeführerin die vorinstanzliche Beurteilung bestreitet, den Kontakt zwischen dem Beschwerdegegner und D._ verhindern zu wollen, und soweit sie den Entscheid darüber ihrer Tochter überlassen will, besteht - was den letzten Punkt anbetrifft - keine Differenz zum angefochtenen Urteil. Es liegt nicht zuletzt an der Beschwerdeführerin selber, ihrer Tochter den tatsächlichen Inhalt und die tatsächliche Tragweite des angefochtenen Entscheids zu erläutern, insbesondere, dass es eben nicht gegen D._s Willen zur Anordnung eines Besuchsrechts kommen wird. Dass D._ in diesem Punkt als urteilsfähig gelten kann, ist unbestritten. Die Beschwerdeführerin übergeht aber, dass D._ ihren Willen derzeit weitgehend unter ihrem (d.h. der Mutter) Einfluss bildet. Auch eine urteilsfähige Person bedarf jedoch mitunter verschiedener Quellen, um wohlinformiert urteilen zu können, und es kann einem urteilsfähigen Kind auch zugemutet werden, andere Quellen zumindest zur Kenntnis zu nehmen. Wie das Verwaltungsgericht festgehalten hat, wird es zu den Aufgaben des Beistands gehören, zu versuchen, D._ ein Bild ihres Va ters zu vermitteln, das nicht ausschliesslich von der Beschwerdeführerin geprägt ist. Dies ist nicht zu beanstanden.
Die Beschwerdeführerin hält weiterhin daran fest, dass der Beschwerdegegner D._ sexuell missbraucht habe, bzw. in etwas abgeschwächter Form, dass nicht bewiesen werden konnte, dass kein sexueller Missbrauch stattgefunden habe und damit der Beschwerdegegner so behandelt werden müsse, als ob ein solcher Missbrauch stattgefunden hätte. D._ leide entgegen dem Verwaltungsgericht nicht unter einem Loyalitätskonflikt, sondern wolle einfach kein Opfer sexueller Übergriffe mehr sein. Soweit die Beschwerdeführerin dem Verwaltungsgericht sogar vorwirft, davon auszugehen, es habe kein Missbrauch stattgefunden und dass D._ sich diesbezüglich irre, geht sie fehl. Solche Feststellungen hat das Verwaltungsgericht nicht getroffen. Das Verwaltungsgericht hat vielmehr offen gelassen, ob D._ je missbraucht worden ist. Indem die Beschwerdeführerin nunmehr darauf besteht, der Beschwerdegegner sei zumindest so zu behandeln, als habe der Missbrauch stattgefunden, überspielt sie, dass das Verwaltungsgericht den Aspekt des allfälligen früheren Missbrauchs als derzeit für die Beurteilung des Kindeswohls nicht relevant erachtet hat, sondern die aktuelle Gefährdung im Loyalitätskonflikt gesehen hat. Die Beschwerdeführerin genügt ihren Begründungsobliegenheiten nicht, wenn sie sich darauf beschränkt, diesen Loyalitätskonflikt (bzw. die dahinter stehende einseitige Beeinflussung des Kindes durch sie selber) einfach zu bestreiten. Einen solchen Konflikt kann die Beschwerdeführerin bei D._ im Übrigen auch bei Verfolgung der (aus ihrer Sicht) besten Absichten auslösen. Das Verwaltungsgericht hat sein Ermessen nicht überschritten, wenn es auf die einseitige Beeinflussung von D._ durch die Beschwerdeführerin mit der Einsetzung einer Beistandschaft reagiert hat. Entgegen dem, was die Beschwerdeführerin zu befürchten scheint, geht es dabei nicht darum, D._ auszureden, sie sei sexuell missbraucht worden, sondern bloss darum, ihr ein nicht bloss von der Beschwerdeführerin geprägtes Bild ihres Vaters zu vermitteln und ihr zu ermöglichen, sich auch anderen Dingen als dem Missbrauchsthema zuzuwenden, so dass sie - wie bereits ausgeführt - dereinst umfassender informiert über den allfälligen Kontakt zu ihrem Vater entscheiden kann. Die Beschwerdeführerin berücksichtigt bei all ihren Einwänden zudem nicht, dass der Kontakt des Kindes zu beiden Elternteilen, also auch zum Vater, für dessen Entwicklung wichtig ist. Inwiefern der angefochtene Entscheid eine psychische Belastung und eine Gefährdung der Entwicklung von D._ darstellen soll, wie die Beschwerdeführerin geltend macht, ist mit ihren Ausführungen weder genügend dargetan noch ersichtlich.
Im Übrigen kritisiert die Beschwerdeführerin in verschiedener Hinsicht die eingeholten Gutachten. So macht sie geltend, das Verwaltungsgericht beziehe sich teilweise auf den ersten Teil des psychologisch-psychiatrischen Gutachtens vom 4. April 2012. Dieses Gutachten sei nicht in den der Beschwerdeführerin zugestellten Akten gewesen und es treffe über grosse Teile auch nicht zu. Die Beschwerdeführerin behauptet nicht, dass sie die Aktenunvollständigkeit bereits vor Verwaltungsgericht gerügt hätte. Sie legt weder dar, inwiefern sich das Verwaltungsgericht auf dieses Gutachten bezieht, noch erläutert sie rechtsgenüglich, weshalb allfällige, auf dieses Gutachten gestützte Feststellungen des Verwaltungsgerichts willkürlich sein sollen. Die Beschwerdeführerin hält sodann das Gutachten von Frau Dr. E._ (gemeint ist offenbar das zweite Gutachten vom 18. Dezember 2014) nicht für genügend und möchte stattdessen auf die Ausführungen der behandelnden Psychotherapeutinnen (F._ und G._) zurückgreifen. Die Beschwerdeführerin beharrt dadurch einfach auf ihrer Sicht der Dinge (die durch die Psychotherapeutinnen angeblich gestützt wird), ohne aufzuzeigen, welche konkreten Erwägungen des angefochtenen Entscheids auf dem kritisierten Gutachten beruhen und weshalb diese willkürlich sein sollen. Im Übrigen haben die behandelnden Psychotherapeutinnen eine andere Rolle als eine neutrale Gutachterin.
Die Beschwerde ist damit abzuweisen, soweit auf sie eingetreten werden kann.
6.
Bei diesem Ausgang des Verfahrens trägt die Beschwerdeführerin die Gerichtskosten (<ref-law>). Wie die vorstehenden Ausführungen zeigen, war die Beschwerde von Anfang an aussichtslos. Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung für das bundesgerichtliche Verfahren ist abzuweisen (<ref-law>). Die Beschwerdeführerin hat den obsiegenden Beschwerdegegner für seine Stellungnahme zum Gesuch um aufschiebende Wirkung angemessen zu entschädigen (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.
Das Gesuch der Beschwerdeführerin um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung für das bundesgerichtliche Verfahren wird abgewiesen.
3.
Die Gerichtskosten von Fr. 2'000.-- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
4.
Die Beschwerdeführerin hat den Beschwerdegegner mit Fr. 300.-- zu entschädigen.
5.
Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten und dem Verwaltungsgericht des Kantons Solothurn schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 14. März 2017
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: von Werdt
Der Gerichtsschreiber: Zingg