Sachverhalt:
A.
A.a. Die Brüder A._ und C._ waren je zur Hälfte Miteigentümer der Grundstücke des landwirtschaftlichen Gewerbes "E._" und führten dieses miteinander. Auf entsprechendes Gesuch hin anerkannte das damalige Landwirtschaftsamt des Kantons Luzern mit Verfügung vom 22. Oktober 1992 zwei selbständige Betriebe mit Gemeinschaftsstall im Sinn der Verordnung vom 1. November 1989 über landwirtschaftliche Begriffe (AS 1989 2240). Zur Begründung führte das Landwirtschaftsamt an, die beiden Landwirte würden je einen selbständigen Betrieb führen; sie würden das Futter selbst gewinnen und ihre Produkte auf eigene Rechnung verwerten. Gestützt darauf wurden die Betriebe als BNr. x (A._) und BNr. 309 (C._) verwaltet und die Direktzahlungen separat ausgerichtet.
A.b. Nach einer "Oberkontrolle Anerkennung von Betrieben und Zusammenarbeitsformen nach landwirtschaftlicher Begriffsverordnung (LBV) " teilte das Bundesamt für Landwirtschaft (BLW) der Dienststelle Landwirtschaft und Wald des Kantons Luzern (lawa) am 11. Juni 2009 mit, die bisherige Handhabung (zwei Betriebe mit Gemeinschaftsstall) sei aus rechtlicher Sicht nicht nachvollziehbar. Es sei abzuklären, wie es dazu gekommen sei, und festzustellen, dass - rechtlich betrachtet - nur ein Betrieb vorliege. Die Dienststelle lawa werde gebeten, das BLW über entsprechende Massnahmen zu informieren. In der Folge vereinbarten die Dienststelle lawa und das BLW, zur Vermeidung eines Härtefalls von einer sofortigen Umsetzung der einschlägigen Bestimmungen abzusehen und A._ und C._ Gelegenheit für die Anpassung der Eigentumsverhältnisse im Rahmen der baldigen Betriebsübergabe an die nächste Generation zu geben.
A.c. Am 12. Februar 2012 schloss A._ mit seinem Sohn B._ einen Pachtvertrag ab betreffend die von ihm bewirtschafteten Parzellen und Gebäude des landwirtschaftlichen Gewerbes "E._". Gleichentags teilte er der Dienststelle lawa den Bewirtschafterwechsel mit.
A.d. In ihrer Antwort vom 7. Februar 2012 stellte die Dienststelle lawa in Aussicht, die Aufteilung des landwirtschaftlichen Gewerbes in zwei Betriebe nicht mehr zu anerkennen und die beiden Betriebe zu einem Betrieb zusammenzufassen. Dies bedeute, dass die Direktzahlungen ab dem Jahr 2012 an den Gesamtbetrieb "E._" ausgerichtet würden. Die Gesuche um Anerkennung des Bewirtschafterwechsels und um Ausrichtung von Direktzahlungen für die Betriebe BNr. x und BNr. y würden sistiert, bis eine Lösung betreffend die künftige Bewirtschaftung vorliege.
A.e. Am 1. Mai 2012 vereinbarten C._ und sein Sohn D._ mündlich, sich mit sofortiger Wirkung zu einer einfachen Gesellschaft in Form einer Generationengemeinschaft zusammenzuschliessen.
A.f. Ebenfalls am 1. Mai 2012 teilte die Dienststelle lawa A._, B._, C._ und D._ mit, eine Aufteilung der Liegenschaft "E._" (Realteilung) erscheine grundsätzlich möglich. Sobald ein schriftlicher Vorschlag zur Teilung der Liegenschaft "E._" vorliege, werde eine Vorprüfung samt Augenschein durchgeführt. Der endgültige Entscheid zu dieser Realteilung werde im Rahmen eines bodenrechtlichen Verfahrens fallen. Für die bestehenden beiden Betriebe würden die Direktzahlungen 2012 erst ausgerichtet, wenn mindestens Vorverträge zur Teilung der Liegenschaft vorlägen. Die effektive Teilung habe bis zum 1. November 2012 zu erfolgen; andernfalls blieben die Schlusszahlungen sistiert.
B.
B.a. Am 7. November 2012 teilte die Dienststelle lawa A._, B._, C._ und D._ mit, die Voraussetzungen für die Anerkennung von zwei Betrieben auf einem landwirtschaftlichen Gewerbe seien nicht mehr gegeben, und setzte eine Frist bis zum 7. Dezember 2012, um Informationen zu einer allfälligen "Betriebsteilung" (gemeint wohl: Teilung des Gewerbes) einzureichen. Andernfalls werde die administrative Zusammenlegung der Betriebe vorgenommen.
B.b. Am 9. September 2013 setzte die Dienststelle lawa eine letzte Frist bis zum 4. Oktober 2013, die Verträge betreffend die Teilung des landwirtschaftlichen Gewerbes "E._" einzureichen. Bei unbenutztem Ablauf der Frist werde die Zusammenlegung des Betriebs (recte: der Betriebe) per 1. Januar 2012 verfügt.
B.c. A._ und B._ informierten die Dienststelle lawa am 4. Oktober 2013, die Teilung der Liegenschaften in zwei funktional und organisatorisch unabhängige landwirtschaftliche Gewerbe sei vor dem Bezirksgericht Willisau hängig, und beantragten, von einer Zusammenlegung der Betriebe abzusehen.
B.d. Am 9. Dezember 2013 verfügte die Dienststelle lawa Folgendes:
"1. Die Betriebe BNr. x und BNr. y auf der Liegenschaft E._ werden rückwirkend ab 1. Januar 2012 nicht mehr als selbständige Betriebe anerkannt.
2. Das landwirtschaftliche Unternehmen auf der Liegenschaft E._ wird rückwirkend ab 1. Januar 2012 als einziger selbständiger Betrieb (...) anerkannt.
3. Als Bewirtschafter des als einziger selbständiger Betrieb anerkannten landwirtschaftlichen Unternehmens gelten A._ und C._.
4. [Rechtsmittelbelehrung]."
Die dagegen erhobenen Beschwerden wies das Bundesverwaltungsgericht mit Urteil vom 9. März 2016 ab, soweit es darauf eintrat. Das Sistierungsgesuch von A._ und B._ wies es ebenfalls ab.
C.
A._ und B._ erheben am 25. April 2016 Beschwerde beim Bundesgericht mit folgenden Anträgen: Das angefochtene Urteil sei aufzuheben und die Betriebe BNr. x und BNr. y auf der Liegenschaft "E._" seien weiterhin als selbständige Betriebe anzuerkennen und B._ - oder B._ und A._ gemeinsam - seien als Bewirtschafter des Betriebs BNr. x anzuerkennen. Eventuell sei das angefochtene Urteil insoweit aufzuheben und anzupassen, als dass a) nicht nur A._ und C._ als Bewirtschafter des zusammengelegten Betriebs gälten, sondern auch B._ und D._; und b) die Zusammenlegung der Betriebe BNr. x und BNr. y nicht rückwirkend ab dem 1. Januar 2012, sondern frühestens ab dem 1. Januar 2014 gelte. Subeventuell sei die ganze Sache für eine neue Beurteilung an das Bundesverwaltungsgericht oder an die Dienststelle Landwirtschaft und Wald (Iawa) des Kantons Luzern zurückzuweisen.
Das Bundesverwaltungsgericht verzichtet auf Vernehmlassung. Die Dienststelle lawa beantragt die Abweisung der Beschwerde, soweit darauf eingetreten werden könne. Das BLW schliesst sinngemäss auf Abweisung der Beschwerde. A._ und B._ haben am 28. August 2016 repliziert.
Mit Präsidialverfügung vom 13. Mai 2016 ist das Gesuch um aufschiebende Wirkung bzw. vorsorgliche Massnahmen abgewiesen worden.
Am 17. Mai 2016 stellen A._ und B._ ein Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege (Befreiung von den Gerichtskosten).
D.
Am 4. Oktober 2016 übersandte A._ dem Bundesgericht das Urteil des Kantonsgerichts Luzern vom 16. September 2016 betreffend Auflösung von Miteigentum. Im nachfolgenden Schriftenwechsel äusserten sich A._ und B._ ablehnend, die Dienststelle lawa zustimmend zur Frage der Gegenstandslosigkeit des Verfahrens vor dem Bundesgericht.

Erwägungen:
1.
1.1. Im Zeitpunkt der Einreichung der Beschwerde am 25. April 2016 waren die Eintretensvoraussetzungen für die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten erfüllt (zulässige Beschwerde gemäss Art. 82 lit. a, Art. 86 Abs. 1 lit. a und Art. 90 BGG; Legitimation gemäss <ref-law> gegeben). Indessen muss das Rechtsschutzinteresse im Sinn von <ref-law> nicht nur bei Einreichung der Beschwerde, sondern auch im Zeitpunkt des Urteils vorliegen (<ref-ruling> E. 1.1 S. 103). Fehlt das aktuelle Interesse bereits im Zeitpunkt der Beschwerdeeinreichung, wird auf die Beschwerde nicht eingetreten; fällt es hingegen erst im Verlauf des Verfahrens dahin, wird die Beschwerde als gegenstandslos abgeschrieben (<ref-ruling> E. 2.2 S. 414; <ref-ruling> E. 4.3.2 S. 165; <ref-ruling> E. 2.1 S. 500; BERNHARD WALDMANN, in: Basler Kommentar, Bundesgerichtsgesetz, 2. Aufl. 2011, N. 17 zu <ref-law>).
1.2. Die Dienststelle lawa verneint ein Rechtsschutzinteresse mit der Begründung, mit dem inzwischen rechtskräftigen Urteil des Kantonsgerichts Luzern vom 16. September 2016 sei eine neue rechtliche Situation der zugehörigen landwirtschaftlichen Betriebe eingetreten, weshalb deren Anerkennung unter den neuen Gesichtspunkten zu überprüfen sei. Die Beschwerdeführer vertreten dagegen den Standpunkt, das Beschwerdeverfahren sei mit dem Urteil des Kantonsgerichts nicht gegenstandslos geworden. Die Betriebe seien rückwirkend per 1. Januar 2012 zusammengelegt worden und seit diesem Zeitpunkt sei die Ausrichtung von Direktzahlungen pendent. Sie - die Beschwerdeführer - hätten daher ein Interesse an der Klärung der Frage, ob die "Anerkennung von nur gerade zwei Bewirtschaftern" auf jenen Zeitpunkt rechtens sei.
1.3. Die Dienststelle lawa widerrief am 9. Dezember 2013 die Anerkennung von zwei Betrieben auf dem landwirtschaftlichen Gewerbe "E._" mit Wirkung ab 1. Januar 2012 (Dispositiv Ziff. 1), anerkannte das dortige Unternehmen auf diesen Zeitpunkt hin als einzigen selbständigen Betrieb (Dispositiv Ziff. 2) und bezeichnete A._ (den heutigen Beschwerdeführer 1) und C._ als dessen Bewirtschafter (Dispositiv Ziff. 3). Die Vorinstanz schützte diese Anordnungen im Wesentlichen mit der Begründung, A._ und C._ seien Miteigentümer der Liegenschaften, die zum landwirtschaftlichen Gewerbe "E._" gehörten, weshalb insbesondere das Erfordernis der rechtlichen, wirtschaftlichen, organisatorischen und finanziellen Selbständigkeit der Betriebe gemäss Art. 6 Abs. 1 lit. c der Verordnung vom 7. Dezember 1998 über landwirtschaftliche Begriffe und die Anerkennung von Betriebsformen (LBV; SR 910.91) nicht erfüllt sei. Wegen fehlender Zustimmung von C._ (als Miteigentümer) zum Pachtvertrag zwischen A._ und dessen Sohn vom 12. Februar 2012 sei der Pachtvertrag nichtig. Da nur Eigentümer oder Pächter Bewirtschafter im Sinn von Art. 2 Abs. 1 LBV sein könnten, gälten einzig A._ und C._ als Bewirtschafter.
Mit Urteil des Kantonsgerichts Luzern, 1. Abteilung, vom 16. September 2016 wurde die Auflösung des Miteigentums an den Liegenschaften des landwirtschaftlichen Gewerbes "E._" - inzwischen rechtskräftig - entschieden. Das Kantonsgericht erwog in E. 6.2 des erwähnten Urteils, die Dienststelle lawa werde die gerichtliche Teilung unter dem Aspekt zu beurteilen haben, ob gemäss ihrem Schreiben vom 1. Mai 2012 (vgl. Sachverhalt lit. A.e) die Bedingungen für zwei unabhängige landwirtschaftliche Gewerbe im Sinn der Gesetzgebung zum bäuerlichen Bodenrecht erfüllt wären. Ferner erwog das Kantonsgericht in E. 8.1 des Urteils, die Aufteilung des Miteigentums diene als Grundlage für eine Bewilligung der Dienststelle lawa.
1.4. Die Beschwerdeführer weisen zutreffend darauf hin, dass die streitige Verfügung vom 9. Dezember 2013 die rückwirkende (administrative) Zusammenlegung der Betriebe ab 1. Januar 2012 betrifft und dass die Ausrichtung der seit diesem Zeitpunkt sistierten Direktzahlungen auch vom Ausgang des vorliegenden Verfahrens abhängt (vgl. Art. 2 LBV in der Fassung vom 7. Dezember 1998 [AS 1999 62] und Art. 6 Abs. 1 LBV i.V.m. Art. 2 Abs. 1 der Verordnung vom 7. Dezember 1998 über die Direktzahlungen an die Landwirtschaft [aDZV; AS 1999 229, in Kraft bis 31. Dezember 2013] bzw. Art. 3 Abs. 1 der Verordnung vom 23. Oktober 2013 über die Direktzahlungen an die Landwirtschaft [DZV; SR 910.13]). Wenngleich die Anerkennung als Bewirtschafter eines Betriebs nur eine notwendige und nicht hinreichende Bedingung für die Berechtigung zum Erhalt von Direktzahlungen darstellt (vgl. E. 2.2 hiernach), haben die Beschwerdeführer ein schutzwürdiges Interesse daran, dass die Rechtmässigkeit der streitigen Anordnungen gemäss vorstehender E. 1.3 für den Zeitraum zwischen dem 1. Januar 2012 (Beginn der Rechtswirkung) und dem 16. September 2016 (Auflösung des Miteigentums) überprüft wird. Eine Abschreibung des Verfahrens hätte den Eintritt der Rechtskraft des angefochtenen Urteils ohne materielle Prüfung zur Folge. Auf die Beschwerde ist daher einzutreten, ungeachtet der Ankündigung der Dienststelle lawa, nach Abschluss des Verfahrens vor dem Bundesgericht eine Neubeurteilung der Streitsache für die Zeit nach der Auflösung des Miteigentums vorzunehmen.
2.
2.1. Die streitige Verfügung datiert vom 9. Dezember 2013. In zeitlicher Hinsicht sind - auch bei einer Änderung der gesetzlichen Grundlage - grundsätzlich diejenigen Rechtssätze relevant, die bei der Verwirklichung des zu Rechtsfolgen führenden Sachverhalts in Geltung standen (<ref-ruling> E. 1.2.1). Die einschlägigen landwirtschaftsrechtlichen Bestimmungen, welche seit Verfügungserlass eine Änderung erfahren haben, werden daher in der jeweils bis am 31. Dezember 2013 gültig gewesenen Fassung zitiert.
2.2. Der Bund richtet Bewirtschaftern und Bewirtschafterinnen von bodenbewirtschaftenden bäuerlichen Betrieben unter der Voraussetzung des ökologischen Leistungsnachweises allgemeine Direktzahlungen, Ökobeiträge und Ethobeiträge aus (Art. 70 Abs. 1 des Bundesgesetzes vom 29. April 1998 über die Landwirtschaft [LwG; SR 910.1] in der Fassung vom 20. Juni 2003 [AS 2003 4223]). Direktzahlungen erhalten Bewirtschafter oder Bewirtschafterinnen, die einen Betrieb führen (Art. 2 Abs. 1 lit. a aDZV). Welche Anforderungen der Betrieb und dessen Bewirtschafter erfüllen müssen, damit Direktzahlungen ausgerichtet werden, wird in <ref-law> geregelt; dies bildet nicht Gegenstand des vorliegenden Verfahrens.
2.3. Die LBV umschreibt die Begriffe, welche für das LwG und die gestützt darauf erlassenen Verordnungen gelten (Art. 1 Abs. 1 LBV); zudem regelt sie das Verfahren für die Anerkennung von Betrieben und von Formen der überbetrieblichen Zusammenarbeit (Art. 1 Abs. 2 lit. a LBV). Die Kantone vollziehen die LBV, das Bundesamt für Landwirtschaft (BLW) beaufsichtigt den Vollzug (Art. 33 Abs. 1 und 2 LBV). Betriebe müssen von der zuständigen kantonalen Amtsstelle anerkannt sein (Art. 29a Abs. 1 LBV in der Fassung vom 26. November 2003 [AS 2003 4873]), wobei unter anderem die Voraussetzungen von Art. 6 LBV zu prüfen sind (Art. 30 Abs. 1 LBV in der Fassung vom 9. Juni 2006 [AS 2006 2495]). Auf einem landwirtschaftlichen Gewerbe nach dem Bundesgesetz vom 4. Oktober 1991 über das bäuerliche Bodenrecht (BGBB) kann nur ein Betrieb anerkannt werden (Art. 29a Abs. 2 LBV). Die Kantone überprüfen periodisch, ob die Betriebe die Voraussetzungen noch erfüllen; ist dies nicht der Fall, so widerrufen sie die ausdrückliche oder stillschweigende Anerkennung. Der Kanton entscheidet, ab welchem Datum der Widerruf gilt (Art. 30a Abs. 1 LBV).
2.4. Als Betrieb gilt gemäss Art. 6 Abs. 1 LBV ein landwirtschaftliches Unternehmen, das Pflanzenbau oder Nutztierhaltung oder beide Betriebszweige betreibt (lit. a), eine oder mehrere Produktionsstätten umfasst (lit. b), rechtlich, wirtschaftlich, organisatorisch und finanziell selbständig sowie unabhängig von anderen Betrieben ist (lit. c), ein eigenes Betriebsergebnis ausweist (lit. d) und während eines ganzen Jahres bewirtschaftet wird (lit. e). Gemäss Art. 6 Abs. 4 LBV ist die Anforderung von Art. 6 Abs. 1 lit. c LBV insbesondere nicht erfüllt, wenn der Bewirtschafter oder die Bewirtschafterin die Entscheide zur Führung des Betriebes nicht unabhängig von Bewirtschaftern anderer Betriebe treffen kann (lit. a), der Bewirtschafter oder die Bewirtschafterin eines anderen Betriebes, oder deren Gesellschafter, Genossenschafter, Aktionär oder Vertreter, zu 25 oder mehr Prozent am Kapital des Betriebes beteiligt ist (lit. b in der Fassung vom 7. Dezember 1998 [AS 1999 62]), oder die auf dem Betrieb anfallenden Arbeiten ohne anerkannte Gemeinschaftsform nach den Art. 10 oder 12 LBV mehrheitlich von anderen Betrieben ausgeführt werden (lit. c).
2.5. Gemäss Art. 6 Abs. 2 LBV gilt als Produktionsstätte eine Einheit von Land, Gebäuden und Einrichtungen, die räumlich als solche erkennbar und getrennt von anderen Produktionsstätten ist (lit. a), auf der eine oder mehrere Personen tätig sind (lit. b) und die eine oder mehrere Tierhaltungen nach Art. 11 LBV umfasst (lit. c). Umfasst ein Betrieb mehr als eine Produktionsstätte, so gilt als Betriebszentrum der Ort, an dem sich das Hauptgebäude oder das Schwergewicht der Betriebstätigkeit befinden (Art. 6 Abs. 3 LBV).
2.6. Als Bewirtschafter oder Bewirtschafterin gilt eine natürliche oder juristische Person oder Personengesellschaft, die einen Betrieb auf eigene Rechnung und Gefahr führt (Art. 2 Abs. 1 LBV in der Fassung vom 7. Dezember 1998 [AS 1999 62]). Führt ein Bewirtschafter oder eine Bewirtschafterin mehrere Produktionsstätten, so gelten diese zusammen als ein Betrieb (Art. 2 Abs. 2 LBV).
3.
3.1. Die Beschwerdeführer rügen in ihrer Replik, sie seien nicht auf die Überprüfung der stillschweigenden Anerkennung von zwei Betrieben aufmerksam gemacht worden. Sie nehmen damit Bezug auf den Oberkontrollbericht des BLW vom 11. Juni 2009, den die Dienststelle lawa in ihrer Vernehmlassung heranzieht, um den Handlungsbedarf hinsichtlich einer Überprüfung der stillschweigenden Anerkennung von zwei Betrieben auf dem landwirtschaftlichen Gewerbe "E._" zu rechtfertigen.
3.2. Als Gegenstück zur formellen Natur von Verfahrensrechten und in Berücksichtigung des Grundsatzes von Treu und Glauben gemäss <ref-law> gilt der Grundsatz, dass formelle Rügen bei ungünstigem Ausgang grundsätzlich nicht mehr vorgebracht werden können, wenn sie bereits in einem früheren Stadium hätten geltend gemacht werden können (<ref-ruling> E. 2.1 am Ende S. 93; <ref-ruling> E. 5a am Ende S. 228; vgl. auch Urteile 2C_389/2012 vom 12. November 2012 E. 4.2; 1C_494/2011 vom 31. Juli 2012 E. 4). Dies wäre hier ohne Weiteres möglich gewesen. Die Rüge ist daher verspätet, so dass nicht darauf einzugehen ist.
4.
Die streitige Verfügung enthält drei zusammenhängende Anordnungen:
- Widerruf der Anerkennung der Betriebe BNr. x und BNr. y mit Wirkung ab 1. Januar 2012 (Dispositiv Ziff. 1) gestützt auf Art. 30a Abs. 1 LBV;
- Anerkennung des landwirtschaftlichen Unternehmens als (einziger) selbständiger Betrieb mit Wirkung ab 1. Januar 2012 (Dispositiv Ziff. 2) gestützt auf Art. 29a Abs. 1 LBV in der Fassung vom 26. November 2003 (AS 2003 4873) und Art. 30 Abs. 1 zweiter Satz LBV;
- Feststellung, wonach der Beschwerdeführer 1 und dessen Bruder C._ als Bewirtschafter des (nunmehr) anerkannten Betriebs gelten (Dispositiv Ziff. 3), gestützt auf Art. 2 Abs. 1 LBV in der Fassung vom 7. Dezember 1998 (AS 1999 62).
Aufgrund des gesetzlich geregelten Anerkennungs- bzw. Aberkennungsverfahrens für landwirtschaftliche Betriebe können die Anordnungen gemäss Dispositiv Ziff. 1 und 2 als Gestaltungsverfügungen gelten, wenngleich die Rechtswirkung einer Feststellungsverfügung gleichkommt. Dispositiv Ziff. 2 ist akzessorisch zu Ziff. 1: Wird Ziff. 1 aufgehoben, fällt Ziff. 2 als Folge davon dahin; wird Ziff. 1 bestätigt, ist auch Ziff. 2 zu bestätigen. Die Anordnung gemäss Dispositiv Ziff. 3 ist als Feststellungsverfügung zu qualifizieren, denn damit wird (ohne "Anerkennung") lediglich festgelegt, wer Bewirtschafter im Sinn der LBV ist.
Nachfolgend ist zu prüfen, ob die Anerkennung der Betriebe BNr. x und BNr. y zu Recht mit Wirkung ab 1. Januar 2012 widerrufen wurde (E. 5). Sodann ist unabhängig von diesem Ergebnis zu prüfen, ob B._ zu Recht nicht als Bewirtschafter qualifiziert wurde: Entweder (bei Aufhebung von Dispositiv Ziff. 1) als Bewirtschafter des Betriebs BNr. x oder (bei Bestätigung von Dispositiv Ziff. 1) als Bewirtschafter des "zusammengelegten" Betriebs mit neuer Betriebsnummer (E. 6).
5.
5.1. In Bezug auf den Widerruf der Anerkennung per 1. Januar 2012 und die ab diesem Zeitpunkt geltende Anerkennung eines einzigen Betriebs mit einer noch zu bestimmenden Betriebsnummer sind die Voraussetzungen von Art. 6 Abs. 1 lit. a-e LBV massgeblich. Umstritten ist, ob das Erfordernis der rechtlichen, wirtschaftlichen, organisatorischen und finanziellen Selbständigkeit sowie der Unabhängigkeit von anderen Betrieben nach Art. 6 Abs. 1 lit. c LBV erfüllt ist. Art. 6 Abs. 4 LBV nennt drei exemplarische Auslegungen dieser Bestimmung (vgl. E. 2.4 hiervor). Ist eine dieser Varianten erfüllt, fehlt es am Erfordernis nach Art. 6 Abs. 1 lit. c LBV für die Anerkennung eines Betriebs.
5.2. Die Vorinstanz erwog, die landwirtschaftlichen Flächen und Gebäude stünden mangels Aufteilung im Sinn von <ref-law> je zur Hälfte im Miteigentum nach <ref-law> des Beschwerdeführers 1 und dessen Bruder C._. Die gegenseitigen Vorkaufsrechte seien nach wie vor gegeben. Grundbucheinträge, welche die Nutzung gemeinsamer Grundstücke einem einzelnen Bewirtschafter überlassen würden, seien nicht vorhanden. Zwar würden seit Februar 2012 nicht mehr alle betrieblichen Arbeiten gemeinsam erledigt. Vielmehr verrichte seither der (heutige) Beschwerdeführer 2 die landwirtschaftliche Arbeit auf dem betrieblichen Teil des (heutigen) Beschwerdeführers 1. Aufgrund des weiterhin bestehenden Miteigentums könnten sie jedoch ihre Entscheidungen nicht in jeden Fall unabhängig vom anderen Miteigentümer (C._) treffen. Bei wichtigen Verwaltungshandlungen sei dessen Zustimmung von Gesetzes wegen (<ref-law>) erforderlich. Die Tatbestände der Art. 6 Abs. 4 lit. a und b LBV seien klar gegeben, weshalb die Anforderung von Art. 6 Abs. 1 lit. c LBV nicht erfüllt sei.
5.3. Soweit sich die Schlussfolgerung der Vorinstanz auf Art. 6 Abs. 4 lit. b LBV bezieht, wird sie von den Beschwerdeführern nicht beanstandet, weshalb nicht darauf einzugehen ist. Mit Blick auf Art. 6 Abs. 4 lit. a LBV gelangt die Vorinstanz zum richtigen Ergebnis, dass die Entscheide zur Führung des Gesamtbetriebs in der vorliegenden Konstellation nicht unabhängig vom jeweils anderen Bewirtschafter getroffen werden können. Sie begründet dies einlässlich mit den rechtlichen Vorgaben, welche in wichtigen Fällen ein Zusammenwirken der Miteigentümer erfordern.
Was die Beschwerdeführer dagegen einwenden, überzeugt nicht. Insbesondere das Vorbringen, es seien keine für die operative Leitung eines Landwirtschaftsbetriebs notwendigen Handlungen erkennbar, welche wichtigere Verwaltungshandlungen im Sinn von <ref-law> darstellen würden, ist offensichtlich unzutreffend, nachdem der Beschwerdeführer 1 ohne Zustimmung des anderen Miteigentümers (vgl. E. 6.4.1 hiernach) einen Pachtvertrag mit dem Beschwerdeführer 2 abgeschlossen hat. Aus dem angefochtenen Urteil geht zudem hervor, dass die Policen der Gebäudeversicherung in Bezug auf die betroffenen Grundstücke unverändert auf die beiden Miteigentümer lauten und dass jene gemeinsam einen Investitionskredit abbezahlen. Auch ein Mietvertrag betreffend Wohnbauernhaus und Stall samt Umschwung, den der Beschwerdeführer 1 als Vertreter der beiden Miteigentümer am 31. Dezember 2013 abgeschlossen hatte, zeugt davon, dass wichtige Verwaltungshandlungen im Sinn von <ref-law> vorgenommen wurden. Die durch den Beschwerdeführer 1 replikweise vorgebrachte Tatsache, er habe sich notariell verpflichten müssen, "seinen" Betrieb BNr. x an seinen Sohn zu verkaufen, ändert daran nichts. Der Beschwerdeführer 1 konnte sich ohnehin nur verpflichten, seinen Anteil am gesamten Gewerbe zu verkaufen (vgl. <ref-law>). Die rechtliche Selbständigkeit der Betriebe im Sinn von Art. 6 Abs. 1 lit. c LBV ist zu verneinen.
Der Widerruf der Anerkennung der Betriebe BNr. x und BNr. y ist somit rechtens.
5.4. Zu befinden bleibt über den Eventualantrag, der Widerruf der Anerkennung sei nicht mit Wirkung ab 1. Januar 2012, sondern frühestens ab 1. Januar 2014 auszusprechen.
5.4.1. Die Beschwerdeführer machen geltend, sie hätten bereits vor der Vorinstanz gerügt, ein Widerruf, der mit grossen finanziellen Nachteilen verbunden sei, dürfe nicht rückwirkend erfolgen; dies widerspreche der Rechtssicherheit und dem Vertrauensschutz. Die Vorinstanz sei auf diese Rüge mit keinem Wort eingegangen und habe damit das rechtliche Gehör verletzt.
Es trifft zu, dass der Beschwerdeführer 1 die rückwirkende Aufhebung der Anerkennung bereits in seiner Beschwerde an das Bundesverwaltungsgericht beanstandet hat und dass das angefochtene Urteil keine Ausführungen dazu enthält. Indem die Vorinstanz sich mit dieser Rüge nicht befasst hat, hat sie ihre Begründungspflicht und damit das rechtliche Gehör des Beschwerdeführer s 1 verletzt (vgl. <ref-ruling> E. 2.1 S. 145; <ref-ruling> E. 5.1 S. 237; <ref-ruling> E. 3.2 S. 270; <ref-ruling> E. 5.2 S. 236). Die Verfahrensrüge erweist sich als begründet.
Nach der Rechtsprechung kann eine - nicht besonders schwerwiegende - Verletzung des rechtlichen Gehörs ausnahmsweise als geheilt gelten, wenn die betroffene Person die Möglichkeit erhält, sich vor einer Beschwerdeinstanz zu äussern, die in Bezug auf die streitige Frage über dieselbe Kognition verfügt (vgl. <ref-ruling> E. 2.8.1 S. 226; <ref-ruling> E. 2.6.1 S. 285). Diese Voraussetzung ist hier erfüllt, handelt es sich doch um die Rechtsfrage, ob die rückwirkende Aufhebung der Betriebsanerkennung zulässig sei. Das Bundesgericht kann diese Frage behandeln, so dass (unter der Voraussetzung, dass der Sachverhalt diesbezüglich vollständig erstellt ist) von einer Rückweisung der Sache abzusehen ist.
5.4.2. Es obliegt der kantonalen Behörde, den Zeitpunkt der Geltung des Widerrufs festzulegen (vgl. E. 2.3 am Ende). Art. 30a Abs. 1 letzter Satz LBV enthält keine Hinweise darauf, dass dieser Zeitpunkt in der Zukunft liegen muss; die Erläuterungen zur LBV (abrufbar unter https://www.blw.admin.ch/blw/de/home/instrumente/direktzahlungen.html) enthalten diesbezüglich keine Angaben. Wird die Anerkennung rückwirkend widerrufen, bildet der Vertrauensschutz gemäss <ref-law> grundsätzlich eine Schranke.
5.4.3. Die Beschwerdeführer sehen das Gebot von Treu und Glauben nach <ref-law> verletzt, weil sie durch den rückwirkenden Widerruf der Anerkennung zweier Betriebe ab dem Jahr 2012 nur noch Direktzahlungen für einen Betrieb erhalten werden. Die Dienststelle lawa hatte jedoch bereits mit Schreiben vom 7. Februar 2012 darauf hingewiesen, dass ab 2012 die Direktzahlungen an den Gesamtbetrieb "E._" ausgerichtet würden. Die Direktzahlungen wurden ab diesem Zeitpunkt sistiert. Mit Schreiben vom 1. Mai 2012 stellte die Dienststelle lawa eine Weiterausrichtung der Direktzahlungen für beide Betriebe nur für den Fall in Aussicht, dass bis zum 1. November 2012 Vorverträge zur Teilung der Liegenschaft vorliegen würden. Als diese Frist ungenutzt verstrich, teilte sie den Beschwerdeführern am 7. November 2012 mit, die beiden Betriebe würden administrativ zusammengelegt und ab dem Jahr 2012 würden (vorbehältlich des Ökologischen Leistungsnachweises) Direktzahlungen für einen Betrieb auf dem landwirtschaftlichen Gewerbe "E._" auf ein gemeinsames Konto überwiesen.
Aufgrund dieser Mitteilungen musste den Beschwerdeführern klar sein, dass der Anspruch auf Direktzahlungen für einen der zwei Betriebe ab 2012 dahinfallen würde, sofern nicht innert Frist das Miteigentum aufgelöst und zwei unabhängige Betriebe im Sinn von Art. 6 Abs. 1 LBV geschaffen würden. Es war somit keine Vertrauensgrundlage entstanden, wonach die Beschwerdeführer mit der Weiterausrichtung von Direktzahlungen für beide Betriebe bis zum Verfügungserlass hätten rechnen können. Eine Verletzung des Grundsatzes von Treu und Glauben seitens der Dienststelle lawa ist zu verneinen.
Der Eventualantrag, die Rechtswirkung des Widerrufs frühestens ab 1. Januar 2014 eintreten zu lassen, ist abzuweisen.
6.
6.1. Nachdem der Widerruf der Anerkennung der Betriebe BNr. x und BNr. y bestätigt worden ist, erübrigt sich die im Hauptantrag enthaltene Frage, ob zu Recht nur der Beschwerdeführer 1, nicht aber der Beschwerdeführer 2 als Bewirtschafter des Betriebs BNr. x qualifiziert wurde. Zu prüfen bleibt der Eventualantrag, der Beschwerdeführer 2 und D._ seien (zusammen mit dem Beschwerdeführer 1 und C._) als Bewirtschafter des zusammengelegten Betriebs zu qualifizieren.
6.2. Auf den Eventualantrag ist nicht einzutreten, soweit er D._ betrifft, denn dieser ist nicht Verfahrenspartei.
6.3. Entgegen dem Vorbringen der Beschwerdeführer hat die Vorinstanz die Frage der Bewirtschaftereigenschaft des (heutigen) Beschwerdeführers 2 geprüft (vgl. auch E. 1.3 hiervor). Ausgehend von der Prämisse, der Bewirtschafter sei immer Eigentümer oder Pächter des Betriebs (vgl. E. 7.3 des angefochtenen Urteils), erwog sie, der (heutige) Beschwerdeführer 2 sei nicht Pächter der von ihm bewirtschafteten Grundstücke, da der am 2. Februar 2012 abgeschlossene Pachtvertrag nichtig sei. Es fehle demzufolge an der Berechtigung zu einer selbständigen Bewirtschaftung in rechtlicher Hinsicht (E. 8.4.2 des angefochtenen Urteils).
Die sinngemäss erhobene Rüge der Rechtsverweigerung ist unbegründet.
6.4. Materiell ist zu prüfen, ob der Beschwerdeführer 2 als Bewirtschafter im Sinn von Art. 2 Abs. 1 LBV zu qualifizieren ist.
Die in dieser Bestimmung verlangte Führung eines Betriebs auf eigene Rechnung und Gefahr (vgl. E. 2.6 hiervor) impliziert, dass ein Rechtstitel zur Führung des Betriebs vorhanden ist; eine rein faktische Überlassung genügt dazu nicht. Nach der Rechtsprechung kann die privatrechtliche Berechtigung zur Bewirtschaftung nicht von vornherein unbeachtlich sein. Selbständige rechtliche Bewirtschaftung setzt notwendigerweise voraus, zur landwirtschaftlichen Nutzung eines Betriebs berechtigt zu sein, denn wer über diese Berechtigung nicht verfügt, kann auch nicht allein in zulässiger Weise die erforderlichen Entscheide und Massnahmen treffen. Faktische Verfügungsmacht über einen Betrieb ersetzt nicht die rechtliche Herrschafts- und Entscheidungsgewalt (<ref-ruling> E. 3.3 S. 292).
Um die Bewirtschaftereigenschaft des Beschwerdeführers 2 darzulegen, berufen sich die Beschwerdeführer in erster Linie auf den zwischen ihnen am 2. Februar 2012 abgeschlossenen Pachtvertrag. Gemäss <ref-law> gehören der Abschluss und die Auflösung von Miet- und Pachtverträgen zu den "wichtigeren Verwaltungshandlungen" (im Gegensatz zu den "gewöhnlichen Verwaltungshandlungen" nach <ref-law>), deren Durchführung der Zustimmung der Mehrheit aller Miteigentümer, die zugleich den grösseren Teil der Sache vertritt, bedarf.
6.4.1. Die Beschwerdeführer machen vor Bundesgericht erstmals geltend, A._ habe dem Pachtvertrag stillschweigend zugestimmt, indem er keine Einwendungen angebracht habe.
Gemäss <ref-law> dürfen neue Tatsachen und Beweismittel nur so weit vorgebracht werden, als erst der Entscheid der Vorinstanz dazu Anlass gibt. <ref-law> zielt auf Tatsachen ab, die erst durch das angefochtene Urteil rechtserheblich werden. So kann sich die beschwerdeführende Partei vor Bundesgericht auf Tatsachen stützen, die nicht Gegenstand des vorinstanzlichen Verfahrens gebildet hatten, wenn die Vorinstanz ein neues rechtliches Argument anführt, mit dem die Partei zuvor nicht konfrontiert worden war (vgl. Urteil 2C_53/2016 vom 23. Juni 2016 E. 2.3.2). Unzulässig sind hingegen neue Tatsachen, die bereits der Vorinstanz hätten vorgelegt werden können (<ref-ruling> E. 4.4.3 S. 129).
Nachdem schon die Dienststelle lawa in der Verfügung vom 9. Dezember 2013 erwogen hatte, es fehle an einer Zustimmung der beiden Miteigentümer nach <ref-law>, stellt das Vorbringen der Beschwerdeführerein unzulässiges unechtes Novum im Sinn von <ref-law> dar. Die Rüge hätte schon im Verfahren vor der Vorinstanz vorgetragen werden müssen; im Verfahren vor Bundesgericht ist sie unbeachtlich.
Es ist somit von der Feststellung der Vorinstanz auszugehen, wonach unbestritten ist, dass seitens des anderen Miteigentümers am Pachtgegenstand keine Zustimmung zum Pachtvertrag vorliegt.
6.4.2. In Anwendung von <ref-law> i.V.m. <ref-law> hat die Vorinstanz richtig erwogen, dass der Pachtvertrag vom 2. Februar 2012 nichtig ist. Es kann diesbezüglich auf E. 8.4.2 des angefochtenen Urteils verwiesen werden. Aus der fehlenden Pächtereigenschaft des Beschwerdeführers 2 ergibt sich - in Ermangelung eines anderen Rechtstitels, welcher diesem die rechtlich selbständige Nutzung erlauben würde - die Schlussfolgerung, dass keine in rechtlicher Hinsicht selbständige Bewirtschaftung durch den Beschwerdeführer 2 vorliegt. Es hilft den Beschwerdeführern nicht, wenn sie die Tatsache der faktischen Mitbewirtschaftung anführen, denn diese entspricht nicht der Führung eines Betriebs auf eigene Rechnung und Gefahr, wie es Art. 2 Abs. 1 LBV verlangt. Die Vorinstanz hat somit die Feststellungsverfügung der Dienststelle lawa, wonach der Beschwerdeführer 2 nicht als Bewirtschafter gilt - weder allein noch gemeinsam mit dem Beschwerdeführer 1 - zu Recht bestätigt.
6.5. Aus diesen Ausführungen ergibt sich, dass der Eventualantrag, wonach auch der Beschwerdeführer 2 und D._ als Bewirtschafter zu qualifizieren seien, abzuweisen ist, soweit darauf einzutreten ist.
7.
Die Beschwerde ist abzuweisen, soweit darauf einzutreten ist.
7.1. Bei diesem Ausgang des Verfahrens hätten die Beschwerdeführer die Gerichtskosten zu tragen (<ref-law>). Die (nicht vertretenen) Beschwerdeführer haben indessen die Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege beantragt. Aufgrund der eingereichten Unterlagen ist die prozessuale Bedürftigkeit zu bejahen. Angesichts der komplexen Sach- und Rechtslage kann das Rechtsmittel nicht von vornherein als aussichtslos gelten. Die Voraussetzungen für die Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege gemäss <ref-law> sind somit erfüllt. Die Beschwerdeführer sind von der Bezahlung der Gerichtskosten zu befreien.
7.2. Die obsiegende Dienststelle lawa hat keinen Anspruch auf Parteientschädigung (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.
Die Gesuche der Beschwerdeführer um unentgeltliche Rechtspflege werden gutgeheissen.
3.
Es werden keine Gerichtskosten erhoben.
4.
Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten, dem Bundesverwaltungsgericht, Abteilung II, dem Eidgenössischen Departement für Wirtschaft, Bildung und Forschung, und dem Bundesamt für Landwirtschaft schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 10. Februar 2017
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Seiler
Die Gerichtsschreiberin: Genner