Sachverhalt:
A.
A.a. A._ (Kläger, Beschwerdeführer) war seit einigen Jahren Patient in der Zahnarztpraxis von B._ (Beklagte, Beschwerdegegnerin). Am 13. August 2007 unterbreitete ihm B._ Kostenschätzungen für die Extraktion zweier Zähne, eine provisorische Zahnprothese und die Einsetzung einer Implantatbrücke für die Zähne 34/35/36. Am 16. Oktober 2007 extrahierte B._ die zwei Zähne (34 und 37).
A.b. Am 15. Mai 2008 wurden A._ vom Spezialisten Dr. med. dent. C._ - an welchen ihn B._ zwecks Implantation überwiesen hatte - drei Replace-Implantate 34/35/36 (worauf Kronen aufgesetzt werden) mit Knochenaugmentation gesetzt.
A.c. Am 27. Oktober 2009 erstellte B._ einen Ober- und Unterkieferabdruck von A._ mit Bissnahme. Am nächsten Tag meldete sich A._ als Akutpatient in der Praxis von B._ und brachte vor, die Krone des Zahns 21 sei wegen der durchgeführten Abformung abgebrochen. In Absprache mit A._ entschied sich B._ für die Extraktion des Zahns 21 und für eine provisorische Prothese, welche am 3. November 2009 eingesetzt wurde. In der gleichen Sitzung fand eine Gerüsteinprobe der Verblend-Metall-Keramik-Kronen 34/35/36 (VMK-Kronen bzw. -Brücke) statt. Die definitive Einzementierung der VMK-Brücke nahm B._ am 9. November 2009 vor.
A.d. Mit Schreiben vom 28. Januar 2010 teilte A._ B._ u.a. mit, ihm sei es mit der von ihr eingesetzten VMK-Brücke 34/35/36 nicht möglich, "etwas definitiv zu zerbeissen". Am 23. Februar 2010 nahm B._ dazu Stellung. Mit Schreiben vom 12. März 2010 legte A._ seine Sicht der Dinge bezüglich Zahnabbruch, Implantatbrücke und Provisorium dar ("Mängelrüge" bzw. "Richtigstellungen und Darstellung der Tatsachen").
A.e. Da die Parteien keine einvernehmliche Lösung fanden, ersuchte A._ am 6. April 2010 um eine zahnärztliche Beurteilung durch die Zahnärzte-Gesellschaft SSO. Am 11. August 2010 untersuchte die Begutachtungskommission der SSO (Dres. med. D._ und E._) A._. Die Begutachtungskommission erstellte am 29. September 2010 einen Bericht u.a. zur VMK-Brücke 34/35/36, zur Fraktur des Zahns 21 und zu den Beanstandungen von A._ im Zusammenhang mit der Rechnungsstellung von B._ (SSO-Gutachten).
B.
B.a. Am 25. Mai 2012 reichte A._ beim Bezirksgericht Kulm Klage ein und beantragte, B._ sei zur Zahlung von Fr. 31'774.50 nebst Zins seit Klageeinleitung als Schadenersatz sowie zur Zahlung einer Genugtuung von Fr. 3'000.-- nebst Zins seit dem 27. Oktober 2009 zu verurteilen. Die Schadenersatzforderung setzt sich wie folgt zusammen: Fr. 10'000.-- Schaden VMK-Brücke, Fr. 10'091.35 Schaden Zahn 21, Fr. 500.-- Kosten SSO-Gutachten, Fr. 4'811.95 Kostenüberschreitung Offerte und Fr. 6'371.20 vorprozessuale Anwaltskosten.
Mit Verfügung vom 30. September 2013 holte die Gerichtspräsidentin von Kulm bei der Universität Zürich ein zahnärztliches Gutachten ein. Prof. Dr. med. F._ erstattete dieses am 18. März 2014.
Mit Entscheid vom 9. Dezember 2014 wies das Bezirksgericht Kulm die Klage ab.
B.b. Gegen diesen Entscheid erhob A._ Berufung an das Obergericht des Kantons Aargau. Er beantragte die Aufhebung des erstinstanzlichen Entscheids und wiederholte seine Klagebegehren.
Mit Entscheid vom 19. Januar 2016 wies das Obergericht des Kantons Aargau die Berufung ab.
C.
Mit Beschwerde in Zivilsachen vom 11. April 2016 beantragt A._ dem Bundesgericht, es sei der Entscheid des Obergerichts aufzuheben und die Beschwerdegegnerin sei zur Zahlung von Fr. 31'774.50 nebst Zins von 5 % seit dem 25. Mai 2012 und zur Zahlung einer Genugtuung von Fr. 3'000.-- nebst Zins von 5 % seit dem 27. Oktober 2009 zu verurteilen.
Die Beschwerdegegnerin beantragt die Abweisung der Beschwerde. Die Vorinstanz hat auf Vernehmlassung verzichtet.
Der Beschwerdeführer hat eine Replik eingereicht.

Erwägungen:
1.
Die Beschwerde betrifft eine privatrechtliche Streitigkeit (<ref-law>), richtet sich gegen den Endentscheid (<ref-law>) eines oberen kantonalen Gerichts, das als Rechtsmittelinstanz entschieden hat (<ref-law>) und wird von der mit ihren Begehren unterlegenen Partei erhoben (<ref-law>). Der Streitwert erreicht Fr. 30'000.-- (<ref-law>) und die Beschwerdefrist ist eingehalten (Art. 100 Abs. 1 i.V.m. <ref-law>). Auf die Beschwerde ist somit - unter Vorbehalt einer hinreichenden Begründung (Art. 42 Abs. 2 und Art. 106 Abs. 2 BGG) - einzutreten.
2.
2.1. Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (<ref-law>). Dazu gehören sowohl die Feststellungen über den streitgegenständlichen Lebenssachverhalt als auch jene über den Ablauf des vor- und erstinstanzlichen Verfahrens, also die Feststellungen über den Prozesssachverhalt (<ref-ruling> E. 1.3.1 mit Hinweisen). Es kann die Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz nur berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruht (<ref-law>). "Offensichtlich unrichtig" bedeutet dabei "willkürlich" (<ref-ruling> E. 2 S. 117, 264 E. 2.3 S. 266; <ref-ruling> E. 1.5). Entsprechende Rügen sind überdies bloss zulässig, wenn die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein kann (<ref-law>). Die Partei, welche die Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz anfechten will, muss klar und substanziiert aufzeigen, inwiefern diese Voraussetzungen erfüllt sein sollen (<ref-ruling> E. 1.3.1 S. 18, 264 E. 2.3 S. 266 mit Hinweisen). Soweit die Partei den Sachverhalt ergänzen will, hat sie zudem mit Aktenhinweisen darzulegen, dass sie entsprechende rechtsrelevante Tatsachen und taugliche Beweismittel bereits bei den Vorinstanzen prozesskonform eingebracht hat (<ref-ruling> E. 2 S. 90). Die beschwerdeführende Partei soll in der Beschwerdeschrift zudem nicht bloss die Rechtsstandpunkte, die sie im kantonalen Verfahren eingenommen hat, erneut bekräftigen, sondern mit ihrer Kritik an den als rechtsfehlerhaft erachteten Erwägungen der Vorinstanz ansetzen (<ref-ruling> E. 2 S. 89, 115 E. 2 S. 116). Auf eine Kritik an den tatsächlichen Feststellungen der Vorinstanz, die diesen Anforderungen nicht genügt, ist nicht einzutreten (<ref-ruling> E. 1.4.3 S. 255).
Zu beachten ist, dass das Bundesgericht in die Beweiswürdigung des Sachgerichts nur eingreift, wenn diese willkürlich ist. Willkür liegt nicht schon dann vor, wenn eine andere Lösung ebenfalls in Betracht zu ziehen oder gar vorzuziehen wäre, sondern nur, wenn der angefochtene Entscheid offensichtlich unhaltbar ist, mit der tatsächlichen Situation in klarem Widerspruch steht, eine Norm oder einen unumstrittenen Rechtsgrundsatz krass verletzt oder in stossender Weise dem Gerechtigkeitsgedanken zuwiderläuft (<ref-ruling> E. 5.1 S. 22; <ref-ruling> E. 4.1 S. 133; <ref-ruling> E. 2.1 S. 211). Dass die von Sachgerichten gezogenen Schlüsse nicht mit der eigenen Darstellung der Beschwerdeführerin übereinstimmen, belegt keine Willkür (<ref-ruling> E. 2.3 S. 266 mit Verweisen).
2.2. Soweit der Beschwerdeführer in seiner Beschwerde den festgestellten Sachverhalt erweitert, ohne entsprechende Sachverhaltsrügen zu erheben, müssen seine Ausführungen unbeachtet bleiben.
3.
Der Beschwerdeführer rügt, die Vorinstanz habe zu Unrecht eine Sorgfaltspflichtverletzung der Beschwerdegegnerin verneint. Er wirft der Vorinstanz eine offensichtlich unrichtige Feststellung des Sachverhalts und eine Verletzung von <ref-law> und <ref-law> vor.
3.1. Die Vorinstanz hat ausgeführt, die privatzahnärztliche Arbeit sei nach <ref-ruling> dem Auftragsrecht unterstellt. Als Beauftragte hafte die Zahnärztin gemäss <ref-law> für getreue und sorgfältige Ausführung des ihr übertragenen Geschäfts. Obwohl die Besonderheit der ärztlichen Kunst darin liege, dass die Ärztin mit ihrem Wissen und Können auf einen erwünschten Erfolg hinzuwirken habe, heisse dies nicht, dass sie diesen auch herbeiführen oder sogar garantieren müsse, denn der Erfolg als solcher gehöre nicht zu ihren Pflichten. Es obliege dem Geschädigten, die Verletzung der Regeln der ärztlichen Kunst zu beweisen. Das Bundesgericht habe in <ref-ruling> festgehalten, eine durch eine medizinische Behandlung verursachte gesundheitliche Beeinträchtigung sei vom Ausbleiben der erwarteten therapeutischen Wirkung zu unterscheiden; ein solches Ergebnis könne nicht an sich schon als Vertragsverletzung qualifiziert werden, da medizinische Behandlungen und Eingriffe in einem gewissen Mass mit Risiken verbunden seien, die auch bei Anwendung aller notwendigen Sorgfalt nicht vermeidbar seien. Soweit die Möglichkeit negativer Auswirkungen der Behandlung aber erkennbar sei, müsse die Ärztin alle Vorkehrungen treffen, um deren Eintritt zu verhindern. Deren Eintritt begründe dann eine tatsächliche Vermutung, dass nicht alle gebotenen Vorkehrungen getroffen worden seien und somit eine objektive Sorgfaltsverletzung vorliege. Das Bundesgericht habe dieses Urteil später relativiert und ausdrücklich auf die dort in Frage stehende konkrete Art der Injektion beschränkt. In späteren Entscheiden habe das Bundesgericht offengelassen, ob der Geschädigte von einer Tatsachenvermutung profitieren könne.
Vorliegend sei unbestritten, dass die Kronen 34/35/36 der von der Beschwerdegegnerin im Gebiss des Beschwerdeführers eingesetzten VMK-Brücke eine Infraokklusion von etwa 1 mm und damit keinen Kontakt zur Gegenzahnreihe aufwiesen. Im vom Beschwerdeführer eingeholten SSO-Gutachten werde dazu ausgeführt, die bestehende Bisslage müsse korrigiert werden, um zum Beispiel möglichen Kiefergelenkproblemen vorzubeugen. Demgegenüber habe der Gutachter im vom Gericht eingeholten Gutachten ausgeführt, aus medizinischer Sicht bestehe kein hinreichender Grund, die Infraokklusion der eingegliederten Brücke durch eine Neuversorgung zu beheben, weil eine Infraokklusion nach heutigen wissenschaftlichen Erkenntnissen nicht in kausalem Zusammenhang mit eventuell eintretenden Problemen des Kiefergelenks stünden. Das Gerichtsgutachten erscheine nachvollziehbar und schlüssig, weshalb davon auszugehen sei, das Einsetzen der VMK-Brücke habe beim Beschwerdeführer keine gesundheitliche Beeinträchtigung hervorgerufen und eine solche sei auch in Zukunft nicht zu befürchten. Ein allfälliges subjektives Unwohlsein, zu welchem es laut Gutachter kommen könne, wenn kein gleichmässiger Kontakt zwischen allen Zähnen des Oberkiefers und des Unterkiefers bestehe, könne jedenfalls nicht einer gesundheitlichen Beeinträchtigung gleichgesetzt werden. Die Beweiserleichterung gemäss <ref-ruling> sei auf Fälle wie diesen, in denen lediglich der erwartete (therapeutische) Erfolg (in Form einer optimalen Okklusion) ausbleibe, hingegen keine gesundheitliche Beeinträchtigung durch die Behandlung eingetreten sei, nicht anwendbar. Der Beschwerdeführer könne sich demnach nicht auf eine natürliche Vermutung berufen, dass der Infraokklusion eine Sorgfaltspflichtverletzung zugrunde liege. Er habe mit dem Regelbeweismass nachzuweisen, dass die Beschwerdegegnerin nicht lege artis vorgegangen sei.
Entgegen der Ansicht des Beschwerdeführers habe der Gerichtsgutachter keine Sorgfaltspflichtwidrigkeit durch einen "Platzierungsfehler" festgestellt. Im Gutachten werde die Frage, ob die Brücke mangelhaft platziert worden sei, dahingehend beantwortet, dass ein Zementierungsfehler nicht vorzuliegen scheine. Die Kronen passten bündig und ohne Spalten auf die Implantatunterstrukturen; ein Platzierungsfehler im Sinne eines fehlerhaften Befestigens liege folglich nicht vor. Die Kronen wiesen aber keinen Kontakt zur Gegenzahnreihe auf; in diesem Sinne könne von einem Platzierungsfehler gesprochen werden, da neue Rekonstruktionen üblicherweise einen Kontakt zur Gegenzahnreihe aufweisen sollten. Aus diesen Ausführungen im Gutachten erhelle, dass der Gutachter mit dem Begriff "Platzierungsfehler" an letztgenannter Stelle kein unsorgfältiges Vorgehen, sondern lediglich ein unbefriedigendes Arbeitsresultat (in Form einer nicht optimalen Okklusion) beschreibe, für welches die Beschwerdegegnerin nur haftbar gemacht werden könne, wenn ihm seinerseits eine Sorgfaltspflichtverletzung zugrunde liege. Diesbezüglich werde im Gutachten ausgeführt, es könne angenommen werden, dass bei der Bissnahme ein Übertragungsfehler entstanden sei und das zu niedrige Niveau des Zahnes 37 (ohne Kontakt zur Gegenbezahnung) als Okklusionshöhe für die anzufertigende Implantatbrücke übernommen worden sei. Es könne vermutet werden, dass dadurch die neue Brücke ebenfalls zu niedrig eingestellt worden sei. Der Gerichtsexperte habe jedoch ausdrücklich angemerkt, dass diese retrospektiven Überlegungen nur hypothetischer Natur seien. Als solche seien sie nicht geeignet, den vollen Beweis einer dahingehenden Sorgfaltspflichtverletzung zu erbringen. Zudem setze sich der Beschwerdeführer nicht mit der Feststellung des erstinstanzlichen Gerichts auseinander, wonach die Beschwerdegegnerin schlüssig dargelegt habe, dass ihr der Zahn 37 nicht als Referenzhöhe gedient habe. Dem Beschwerdeführer sei der Nachweis einer Sorgfaltspflichtverletzung nicht gelungen.
3.2. Dagegen bringt der Beschwerdeführer vor, die Vorinstanz habe willkürlich einen Gesundheitsschaden verneint. Der Gerichtsgutachter habe ein Abweichen des Behandlungsresultats vom zu erwartenden Standard bestätigt, was per definitionem einem Gesundheitsschaden gleichkomme. Fehle der direkte Kontakt mit der Gegenzahnreihe, erfülle die Brücke ihre Grundfunktion gerade nicht. Eine Zahnfehlstellung stelle gemäss ICD-10 K.07 einen Gesundheitsschaden dar. Es sei daher willkürlich, wenn die Vorinstanz gestützt auf das Gutachten einen Gesundheitsschaden verneine. Die Beschwerdegegnerin sei zudem Mitglied der Standesorganisation "Schweizerische Zahnärztegesellschaft" SSO. In den Leitlinien dieser Organisation sei aufgeführt, welche Resultate eine mangelhafte Behandlung implizierten: "Kronen und Brücken, welche zu nennenswerten, irreversiblen Nachteilen im Bereiche von Funktion, Parodont, Pulpa, Okklusion, Nachbarzahn oder Aussehen führen oder bereits geführt haben. Misserfolg, der auf ungenügende Diagnose, inadäquate Planung, mangelhafte Durchführung oder technische Fehler zurückgeführt wird. Eine Neu- oder Alternativversorgung ist unabdingbar." Auch nach diesen Leitlinien liege mithin ein Gesundheitsschaden beim Beschwerdeführer vor.
Die Vorinstanz habe zudem <ref-law> und <ref-law> verletzt, indem sie dem Beschwerdeführer die in <ref-ruling> vorgesehene Beweiserleichterung nicht gewährt habe. Der Gerichtsgutachter habe festgehalten, dass es verschiedene mögliche Gründe für das schlechte Behandlungsresultat gebe. Er habe keine abschliessende Erklärung dafür abgeben können, wie es ohne einen Behandlungsfehler dazu habe kommen können. Welches der konkrete Fehler der Beschwerdegegnerin gewesen sei, der von verschiedenen möglichen Fehlern ausgewählt werden müsse, dürfe für den Nachweis der Sorgfaltspflichtverletzung keine Rolle spielen. Es müsse hier die tatsächliche Vermutung greifen, dass nicht alle gebotenen Vorkehren getroffen worden seien und somit eine objektive Sorgfaltspflichtverletzung vorliege. Hätte die Vorinstanz das richtige Beweismass mit der Erleichterung für den Patienten angewendet, so hätte es eine Sorgfaltspflichtverletzung der Beschwerdegegnerin bejahen müssen.
3.3. Die Vorinstanz hat den zwischen den Parteien geschlossenen Vertrag zutreffend als Auftrag qualifiziert. Während das Bundesgericht die technischen Verrichtungen des Zahnarztes (u.a. Einbau von Kronen und Brücken) in BGE 61 II 106 E. 2 S. 112 noch unter das Werkvertragsrecht subsumierte, änderte es in <ref-ruling> seine Rechtsprechung und unterstellte den Vertrag zwischen dem Zahnarzt und seinem Patienten insgesamt dem Auftragsrecht. Die Herstellung von allfälligen Werken im Rahmen der Behandlung bildet Teil des Auftrags; dazu gehört auch der Einbau von Brücken und Kronen (<ref-ruling> E. 1b S. 378 f. und E. 2 S. 379; vgl. auch WALTER FELLMANN, Berner Kommentar, 1992, N. 396 zu <ref-law>; THOMAS GRIEDER, Zahnarzt - Recht und Risiko, HAVE 2006 S. 210).
Als Beauftragter schuldet der Arzt dem Patienten nicht die Wiederherstellung der Gesundheit, sondern lediglich eine darauf ausgerichtete Behandlung nach den Regeln der ärztlichen Kunst (<ref-ruling> E. 3.1 S. 124; <ref-ruling> E. 2c S. 250). Das Bundesgericht hat in <ref-ruling> E. 2c S. 250 ausgeführt, eine durch die Behandlung verursachte neue gesundheitliche Beeinträchtigung sei indessen vom blossen Ausbleiben des Behandlungserfolgs zu unterscheiden. Zwar könne ein solches Ergebnis nicht an sich schon als Vertragsverletzung qualifiziert werden, da medizinische Behandlungen und Eingriffe in einem gewissen Mass mit Risiken verbunden seien, die auch bei Anwendung aller notwendigen Sorgfalt nicht vermeidbar seien. Soweit die Möglichkeit negativer Auswirkungen der Behandlung aber erkennbar sei, müsse der Arzt alle Vorkehren treffen, um deren Eintritt zu verhindern. Deren Eintritt begründe dann eine tatsächliche Vermutung, dass nicht alle gebotenen Vorkehren getroffen worden seien und somit eine objektive Sorgfaltspflichtverletzung vorliege. In einem späteren Urteil (4C.53/2000 vom 13. Juni 2000 E. 2b) schränkte das Bundesgericht diese Rechtsprechung allerdings ein. In <ref-ruling> E. 3.1 S. 124 f. und E. 3.4 S. 127 f. (Verletzung eines Nervs durch einen Wundhaken) und im Urteil 4A_137/2015 vom 19. August 2015 E. 6.3.1 (nicht publ. in: <ref-ruling>) liess es schliesslich offen, ob die Geschädigte von einer solchen Tatsachenvermutung profitieren könnte. In jedem Fall dient die Vermutung der Beweiserleichterung, hat aber keine Umkehr der Beweislast zur Folge (<ref-ruling> E. 2c S. 250 mit Hinweis). Es obliegt mithin in jedem Fall dem Geschädigten, eine Verletzung der Sorgfaltspflicht zu beweisen (<ref-ruling> E. 3.4 S. 127).
3.4. Auch im vorliegenden Fall kann offenbleiben, ob die Rechtsprechung gemäss <ref-ruling> anwendbar wäre. Denn die Vorinstanz hat zutreffend ausgeführt, dass keine durch die Behandlung verursachte neue gesundheitliche Beeinträchtigung vorliegt, sondern ein blosses Ausbleiben des Behandlungserfolgs. Dies schliesst nicht aus, dass beim Beschwerdeführer ein Gesundheitsschaden vorliegt; entscheidend ist aber, dass der Kontakt der Brücke zur Gegenzahnreihe keine neue gesundheitliche Beeinträchtigung des Beschwerdeführers darstellt, sondern das Einsetzen einer Brücke mit bestehendem Kontakt zur Gegenzahnreihe gerade Gegenstand des Auftrags war und den gewünschten Behandlungserfolg darstellt, der ausgeblieben ist. Damit sind selbst nach dem vom Beschwerdeführer angerufenen <ref-ruling> die Voraussetzungen für eine tatsächliche Vermutung, dass nicht alle gebotenen Vorkehren getroffen worden sind und somit eine objektive Sorgfaltspflichtverletzung vorliegt, nicht erfüllt.
Gemäss den vorinstanzlichen Sachverhaltsfeststellungen hat der Gerichtsgutachter weiter nicht festgehalten, dass die Infraokklusion nur auf einen von mehreren möglichen Fehlern der Beschwerdegegnerin zurückgeführt werden könne. Vielmehr hat er nach den verbindlichen Feststellungen lediglich ausgeführt, es könne angenommen werden, dass bei der Bissnahme ein Übertragungsfehler entstanden sei und das zu niedrige Niveau des Zahnes 37 zu einer zu tiefen Einstellung der Brücke geführt habe. Die Vorinstanz hat in dieser Hinsicht auf die Feststellung des erstinstanzlichen Gerichts verwiesen, wonach die Beschwerdegegnerin schlüssig dargelegt habe, dass ihr der Zahn nicht als Referenzgrösse gedient habe. Dagegen bringt der Beschwerdeführer nichts vor. Die Vorinstanz durfte daher ohne Verletzung von Bundesrecht zum Schluss kommen, das Behandlungsresultat befriedige zwar nicht, doch der Nachweis einer Sorgfaltspflichtverletzung der Beschwerdegegnerin sei nicht gelungen.
4.
4.1. Der Beschwerdeführer rügt weiter, die Vorinstanz habe den Sachverhalt im Zusammenhang mit der Fraktur des Zahns 21 offensichtlich unrichtig festgestellt. Beim Abdrucknehmen für die Brücke habe sich die Abdruckmasse vom Unterkiefer nicht wie gewünscht lösen lassen. Beim ruckartigen Ablösen der Masse sei die Beschwerdegegnerin mit dem Abdrucklöffel an den Zahn 21 gestossen. Entgegen der Ansicht der Vorinstanz habe die Beschwerdegegnerin diesen Sachverhalt auch im Prozess nicht substanziiert bestritten. Es sei daher willkürlich, wenn die Vorinstanz von einem anderen Sachverhalt ausgehe. Die willkürliche Sachverhaltsfeststellung habe Auswirkungen auf den Ausgang des Verfahrens. Hätte die Vorinstanz auf die glaubhafte Aussage des Beschwerdeführers abgestellt, so hätte sie eine Sorgfaltspflichtverletzung der Beschwerdegegnerin bejahen müssen. Da sich die Abdruckmasse nicht wie gewünscht habe lösen lassen, sei diese zu lange ausgehärtet worden. Im Wissen um die Vorschädigung des Zahns 21 hätte die Beschwerdegegnerin darauf achten müssen, die Abdruckmasse rechtzeitig herauszulösen. Sie hafte dem Beschwerdeführer für den Schaden, der durch die Fraktur des Zahns entstanden sei.
4.2. Die Vorinstanz hat ausgeführt, gemäss dem erstinstanzlichen Gericht habe der Beschwerdeführer nicht nachgewiesen, dass die Beschwerdegegnerin beim Abdrucknehmen unsorgfältig vorgegangen sei, indem etwa das falsche Material verwendet oder die Abdruckmasse zu lange ausgehärtet worden sei. Nach den Feststellungen des erstinstanzlichen Gerichts sei auch nicht erstellt, dass es einen Kontakt zwischen dem Abdrucklöffel und dem Zahn 21 gegeben habe. Dieser Beurteilung halte der Beschwerdeführer einzig entgegen, dass die Beschwerdegegnerin seine Schilderung der Abdrucknahme im Schreiben vom 12. März 2010 vorprozessual nicht bestritten habe. Dazu sei die Beschwerdegegnerin indessen nicht verpflichtet gewesen.
Die Vorinstanz fasste die Vorbringen des Beschwerdeführers in der Berufung in E. 4.2.2 zusammen: Der Beschwerdeführer habe geltend gemacht, er habe in seinem Schreiben vom 12. März 2010 der Beschwerdegegnerin gegenüber festgehalten, wie sich der Vorfall aus seiner Sicht abgespielt habe. Er habe dort ausgeführt, es habe plötzlich ein klar hörbares, knackendes Geräusch gegeben und die Anwesenden hätten sich fragend angeschaut, ohne etwas zu sagen. Diese Darstellung habe die Beschwerdegegnerin im Laufe der Jahre nie bestritten. Dass sie das erst im Prozess getan habe, müsse entsprechend gewürdigt werden und spreche nicht für ihre Glaubwürdigkeit.
4.3. Der Beschwerdeführer rügt nicht, die Vorinstanz habe seine Vorbringen in der Berufung falsch zitiert. Die Feststellungen der Vorinstanz zum Prozesssachverhalt sind somit für das Bundesgericht verbindlich (vgl. oben E. 2.1). Gestützt auf die zitierten Vorbringen in der Berufung durfte die Vorinstanz ohne Willkür feststellen, der Beschwerdeführer habe den Erwägungen des erstinstanzlichen Gerichts einzig entgegengehalten, die Beschwerdegegnerin habe seine Schilderung der Abdrucknahme im Schreiben vom 12. März 2010 vorprozessual nicht bestritten. Die Erwägung der Vorinstanz, die Beschwerdegegnerin sei dazu nicht verpflichtet gewesen, rügt der Beschwerdeführer zu Recht nicht als bundesrechtswidrig. Seine Rüge erweist sich damit als unbegründet.
5.
Schliesslich rügt der Beschwerdeführer, die Vorinstanz habe im Zusammenhang mit der geltend gemachten Offertüberschreitung Art. 97 Abs. 1 i.V.m. <ref-law> verletzt und den Sachverhalt offensichtlich unrichtig festgestellt.
5.1. Die Vorinstanz hat ausgeführt, die geltend gemachte Offertüberschreitung von Fr. 4'811.95 sei aus den vorinstanzlichen Akten nicht nachvollziehbar. Ohnehin setze ein Anspruch auf Schadenersatz oder Honorarminderung voraus, dass der Auftraggeber dartue, er hätte bei richtiger Prognose der Kosten Einsparungen vorgenommen oder auf das Mandat verzichtet. Hätte er nämlich bei richtiger Information den Auftrag unverändert weitergeführt, d.h. die über die Kostenschätzung hinausgehenden Kosten ohnehin in Kauf genommen, sei ihm kein Schaden entstanden. Der Beschwerdeführer habe jedoch im erstinstanzlichen Verfahren nicht einmal behauptet, geschweige denn nachgewiesen, dass er bei richtiger Kostenschätzung auf die Zahnbehandlung oder Teile derselben verzichtet hätte. Damit könne er aus der geltend gemachten Kostenüberschreitung nichts zu seinen Gunsten ableiten.
5.2. Dagegen bringt der Beschwerdeführer vor, die Offerte enthalte den ausdrücklichen Hinweis, dass er über die nötige Neuplanung orientiert werde, wenn sich während der Behandlung bei den Kosten Abweichungen von mehr als 15 % ergeben würden. Damit sei eine Toleranzgrenze von 15 % vertraglich vereinbart worden. Hätte die Beschwerdegegnerin ihre Informationspflicht erfüllt, wären zwar diejenigen Kosten entstanden, welche sich noch innerhalb der vertraglich vereinbarten Toleranzgrenze von 15 % befänden, da der Beschwerdeführer diesfalls vom Auftragsverhältnis nicht Abstand genommen hätte. Bei Kenntnis der später anfallenden Mehrkosten von insgesamt 28 % zum Zeitpunkt des Vertragsschlusses wäre der Beschwerdeführer aber das Auftragsverhältnis nach dem gewöhnlichen Lauf der Dinge gar nicht erst eingegangen, sondern hätte anderweitig Offerten eingeholt und mit einem anderen Anbieter einen Vertrag abgeschlossen. Entsprechend sei dem Beschwerdeführer ein Schaden im Umfang von 13 % der Ausgangsofferte entstanden, wofür die Beschwerdegegnerin aufzukommen habe.
5.3. Die Vorinstanz hat die Kausalität der behaupteten Vertragsverletzung zum Schaden verneint. Feststellungen zum hypothetischen Kausalzusammenhang sind entsprechend der allgemeinen Regel über die Verbindlichkeit der Feststellungen zum natürlichen Kausalzusammenhang für das Bundesgericht bindend und beruhen auf Beweiswürdigung; nur wenn die hypothetische Kausalität ausschliesslich gestützt auf die allgemeine Lebenserfahrung - und nicht gestützt auf Beweismittel - festgestellt wird, unterliegt sie der freien Überprüfung durch das Bundesgericht (vgl. <ref-ruling> E. 3.5 S. 311; <ref-ruling> E. 5a S. 447 f.; je mit Hinweisen).
Die Vorinstanz hat aus den fehlenden Behauptungen und Beweismitteln geschlossen, der Beschwerdeführer habe den Verzicht auf die Zahnbehandlung oder Teile derselben und damit den hypothetischen Kausalzusammenhang nicht nachgewiesen. Diese Feststellung stellt Beweiswürdigung dar, an welche das Bundesgericht grundsätzlich gebunden ist. Der Beschwerdeführer erklärt zwar in seiner Beschwerde, dass und weshalb er bei Kenntnis der Mehrkosten den Vertrag mit der Beschwerdegegnerin nicht abgeschlossen hätte. Er zeigt jedoch nicht auf, dass er diese Behauptungen bereits im kantonalen Verfahren vorgebracht hätte. Die Vorinstanz durfte daher ohne Verletzung von Bundesrecht den hypothetischen Kausalzusammenhang und damit den wegen Offertüberschreitung geltend gemachten Anspruch des Beschwerdeführers verneinen. Damit kann offenbleiben, ob die Vorinstanz - wie vom Beschwerdeführer ebenfalls gerügt - den Sachverhalt im Zusammenhang mit der Berechnung der Höhe der Überschreitung offensichtlich unrichtig festgestellt hat.
6.
Nach dem Gesagten ist die Beschwerde abzuweisen, soweit darauf einzutreten ist. Bei diesem Verfahrensausgang wird der Beschwerdeführer kosten- und entschädigungspflichtig (Art. 66 Abs. 1, Art. 68 Abs. 2 BGG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 2'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3.
Der Beschwerdeführer hat die Beschwerdegegnerin für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 2'500.-- zu entschädigen.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Aargau, Zivilgericht, 1. Kammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 26. September 2016
Im Namen der I. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Kiss
Die Gerichtsschreiberin: Marti-Schreier