Faits :
A.
Dans une contestation pécuniaire portée devant les tribunaux vaudois, la société enregistrée en Italie U._ SRL s'est fait conseiller et représenter par Me X._, avocat à Lausanne. Celui-ci lui a adressé dix notes d'honoraires et de débours au total de 45'952 fr.35; il y indiquait les prestations exécutées mais il ne précisait pas le temps qu'il leur avait consacré. La cliente a versé des provisions au total de 11'000 francs.
B.
Le 5 mai 2015, la cliente a présenté une demande de modération des honoraires au Président du Tribunal civil de l'arrondissement de La Côte.
L'avocat a déposé des déterminations où il faisait état d'un temps de travail global de 125 h 30 et d'un tarif horaire moyen de 336 fr.83. Il y a joint des « rapports d'affaire » indiquant le temps consacré à chaque prestation. Le Président du Tribunal civil a considéré que certaines d'entre elles - surveillance et correction du travail d'un collaborateur; conférences avec ce collaborateur; démarches concernant la relation de l'avocat avec des confrères - ne donnaient pas lieu à honoraires; cela l'a conduit à retrancher « en équité » 25 h 00 d'activité et à réduire le total des honoraires de 42'273 fr.35 à 33'868 fr.50, soit 100 h 30 à 337 francs. Le Président a confirmé le montant des débours, soit 3'679 francs. Par prononcé du 27 octobre 2015, il a arrêté le total des honoraires et débours à 37'547 fr.50.
U._ SRL a saisi la Chambre des recours civile du Tribunal cantonal pour réclamer la réduction de ce total au montant de 11'000 fr. déjà versé par elle.
L'autorité de recours a statué le 5 février 2016. Sur les durées d'activité indiquées dans les « rapports d'affaire », elle a opéré quatre réductions supplémentaires totalisant 29 h 15 et elle a corrélativement réduit les honoraires à 24'011 fr.25, soit 71 h 15 à 337 francs. Elle a réduit les débours à 5% des honoraires admis, soit 1'200 fr.65. Le total des honoraires et débours admis s'élève ainsi à 25'211 fr.90.
C.
Agissant par la voie du recours constitutionnel, Me X._ requiert le Tribunal fédéral de fixer le total des honoraires et débours au montant de 37'547 fr.50 déjà arrêté par le Président du Tribunal civil.
L'intimée U._ SRL conclut au rejet du recours.
Les parties ont spontanément déposé une réplique et une duplique.

Considérant en droit :
1.
Les conditions de recevabilité du recours constitutionnel subsidiaire sont en principe satisfaites; en particulier, faute d'une valeur litigieuse suffisamment élevée d'après les conclusions articulées devant l'autorité précédente (37'547 fr.50 - 11'000 fr. = 26'547 fr.50; <ref-law>), le recours ordinaire en matière civile n'est pas disponible.
2.
L'avocat recourant invoque la protection contre l'arbitraire conférée par l'art. 9 Cst.
Une décision est arbitraire, donc contraire à cette disposition constitutionnelle, lorsqu'elle viole gravement une norme ou un principe juridique clair et indiscuté, ou contredit d'une manière choquante le sentiment de la justice et de l'équité. Le Tribunal fédéral ne s'écarte de la solution retenue par l'autorité cantonale de dernière instance que si sa décision apparaît insoutenable, en contradiction manifeste avec la situation effective, adoptée sans motifs objectifs ou en violation d'un droit certain. En outre, il ne suffit pas que les motifs de la décision soient insoutenables; il faut encore que celle-ci soit arbitraire dans son résultat. Il ne suffit d'ailleurs pas non plus qu'une solution différente de celle retenue par l'autorité cantonale puisse être tenue pour également concevable ou apparaisse même préférable (<ref-ruling> consid. 2.1 p. 168; <ref-ruling> consid. 3.2.5 p. 339; <ref-ruling> consid. 4.3 p. 319).
En matière d'appréciation des preuves et de constatation des faits, l'autorité tombe dans l'arbitraire lorsqu'elle ne prend pas en considération, sans aucune raison sérieuse, un élément de preuve propre à modifier la décision, lorsqu'elle se trompe manifestement sur son sens et sa portée, ou encore lorsque, sur la base des éléments recueillis, elle parvient à des constatations insoutenables (<ref-ruling> consid. 2.3 p. 266; <ref-ruling> consid. 4.1.2 p. 62; <ref-ruling> consid. 4.2 p. 560).
Selon la jurisprudence relative aux recours formés pour violation de droits constitutionnels (art. 106 al. 2 ou 116 LTF), celui qui se plaint d'arbitraire doit indiquer de façon précise en quoi la décision qu'il attaque est entachée d'un vice grave et indiscutable; à défaut, le grief est irrecevable (<ref-ruling> consid. 1.4.3 p. 254; <ref-ruling> consid. 3.2 p. 400; voir aussi <ref-ruling> consid. 2.3 p. 266).
3.
A teneur de l'art. 46 de la loi vaudoise du 9 juin 2015 sur la profession d'avocat (LPAv), entrée en vigueur le 1er janvier 2016, l'avocat peut exiger de son client des honoraires fixés d'après le temps consacré à l'exécution du mandat, les difficultés et les délais d'exécution de cette mission, l'importance des intérêts en cause, le résultat obtenu et sa propre expérience. En cas de contestation d'une note d'honoraires et de débours, les art. 49 al. 1 et 50 LPAv autorisent l'avocat ou son client à faire modérer la note par le juge devant lequel ils ont procédé. Ces dispositions ont remplacé les art. 45 al. 1 et 50 al. 1 de la loi sur la profession d'avocat précédemment en vigueur, du 24 septembre 2002, dont le libellé était semblable.
En tant que la modération des honoraires est une affaire civile contentieuse, aux termes de l'<ref-law>, entre un avocat et son client, la procédure à suivre semble actuellement régie exclusivement et exhaustivement par le droit fédéral. Néanmoins, selon la doctrine (Yero Diagne, La procédure de modération des honoraires de l'avocat, 2012, p. 76, avec références à d'autres auteurs) et le Message du Conseil fédéral du 28 juin 2006 (FF 2006 p. 6841, 6908), les cantons conservent la compétence d'instituer une procédure spécifique de modération. Dans la présente contestation, l'avocat recourant ne se plaint de toute manière pas d'une application éventuellement arbitraire du droit de procédure civile fédéral.
4.
L'avocat recourant fait valoir qu'il a établi et produit un décompte détaillé de ses prestations et du temps qu'il leur a consacré. Il soutient que ce décompte apporte la preuve du temps effectivement investi dans les prestations énumérées et que la Chambre des recours du Tribunal cantonal a méconnu arbitrairement cette preuve en réduisant certaines des durées d'activité indiquées. Il se réfère à l'arrêt du Tribunal fédéral 4A_212/2008 du 15 juillet 2008, consid. 3, relatif à la preuve des heures d'activité fournies par un avocat.
Contrairement à l'opinion ainsi développée, il ne ressort pas de cet arrêt qu'un décompte produit par l'avocat soit doté d'une force probante particulière et que l'autorité de modération doive impérativement s'y tenir, y compris lorsque d'autres éléments d'appréciation justifient de le mettre en doute. Dans cette affaire jugée en 2008, l'avocat n'avait précisément pas tenu le décompte détaillé de nombreux entretiens téléphoniques pour lesquels il prétendait à rémunération.
Ensuite, d'après le libellé de l'art. 46 LPAv, le temps investi par l'avocat n'est qu'un seul des critères pertinents dans l'évaluation des honoraires. La Chambre des recours pouvait et devait tenir compte des autres critères aussi. Elle aurait pu évaluer directement, en francs, la valeur de chacune des prestations en cause. Au lieu de cela, elle s'est référée aux durées d'activité alléguées par Me X._ et critiquées par la cliente, et elle les a réduites aux durées inférieures qu'elle tenait pour objectivement justifiées. Elle a ensuite réduit le total des honoraires en proportion de la réduction opérée sur le temps d'activité total. Ainsi, l'autorité a pu répondre spécifiquement et précisément aux critiques développées par la cliente sans mettre en cause l'ensemble des prestations de l'avocat; cette méthode ne saurait être jugée intrinsèquement arbitraire. Sur ce point, le recours constitutionnel est privé de fondement.
5.
L'avocat recourant discute les réductions opérées par la Chambre des recours.
Celle-ci a notamment retranché 1 h 30 sur une durée de 7 h 30 consacrée à la rédaction d'une demande en justice. Le recourant soutient que cette durée incluait aussi quatre entretiens téléphoniques avec le gérant de la cliente et que l'autorité de recours a arbitrairement omis d'en tenir compte. L'autorité a aussi retranché 6 h 30 sur une durée de 13 h 00 censément investie dans la rédaction d'une réponse; le recourant affirme n'avoir porté en compte que 11 h 30 pour ce travail.
Ces points sont invérifiables car la Chambre des recours et l'avocat recourant, celle-là dans l'arrêt attaqué et celui-ci dans le mémoire adressé au Tribunal fédéral, se réfèrent sans plus de précision à la « pièce 33 », laquelle est un document de six pages énumérant plus de cent dix prestations. Dans le cadre d'un contrôle régi par l'art. 9 Cst., il n'appartient pas au Tribunal fédéral d'accomplir lui-même un dépouillement de ces données pour élucider avec exactitude, si faire se peut, quel temps a été consacré à quelle tâche. Le grief d'arbitraire est ici insuffisamment motivé.
Pour le surplus, le recourant s'efforce de justifier point par point les durées d'activité que la Chambre des recours a réduites. Il fait état de recherches juridiques de grande ampleur. Il explique pourquoi s'opposer à une demande de prolongation de délai de l'adverse partie l'a occupé 0 h 30 plutôt que seulement 0 h 15. Il expose que la réponse ci-mentionnée, fruit de 11 h 30 d'activité, comprenait aussi une demande reconventionnelle. Il expose encore qu'il aurait pu appliquer à toutes les prestations un tarif supérieur à 337 fr. l'heure. Ces discussions sont inaptes à mettre en évidence une erreur certaine ou une appréciation absolument insoutenable des juges du deuxième degré; le recourant semble perdre de vue que le Tribunal fédéral, saisi d'un recours pour violation de l'art. 9 Cst., n'est pas un organe supérieur de modération des honoraires. L'argumentation présentée est irrecevable aussi dans la mesure où elle tend seulement à substituer une appréciation différente de celle de l'autorité précédente.
6.
Le recours se révèle privé de fondement, dans la mesure où les griefs présentés sont recevables. A titre de partie qui succombe, son auteur doit acquitter l'émolument à percevoir par le Tribunal fédéral et les dépens auxquels l'autre partie peut prétendre.

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce :
1.
Le recours est rejeté, dans la mesure où il est recevable.
2.
Le recourant acquittera un émolument judiciaire de 2'000 francs.
3.
Le recourant versera une indemnité de 2'500 fr. à l'intimée, à titre de dépens.
4.
Le présent arrêt est communiqué aux parties et au Tribunal cantonal du canton de Vaud.
Lausanne, le 20 octobre 2016
Au nom de la Ire Cour de droit civil
du Tribunal fédéral suisse
La présidente : Kiss
Le greffier : Thélin