Sachverhalt:
A.
Mit Entscheid vom 3. Mai 2016 hiess der Einzelrichter des Bezirksgerichts Luzern das Gesuch um definitive Rechtsöffnung der Einwohnergemeinde U._ gegen A._ in der Betreibung Nr. xxx des Betreibungsamts V._ vom 29. Dezember 2015 für ausstehende persönliche Unterhaltsbeiträge, welche sich die Einwohnergemeinde U._ von B._ hat abtreten lassen, im Betrag von Fr. 43'500.-- nebst Zins zu 5 % seit 23. Dezember 2015 gut.
B.
Hiergegen erhob A._ am 10 Juli 2016 (Postaufgabe) Beschwerde beim Kantonsgericht Luzern. Nach Erhalt der Aufforderung zur Leistung eines Gerichtskostenvorschusses von Fr. 600.-- stellte er ein Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege, welches das Kantonsgericht am 9. September 2016 abwies.
C.
A._ ist mit Eingabe vom 13. Oktober 2016 an das Bundesgericht gelangt. Der Beschwerdeführer beantragt die Aufhebung des kantonsgerichtlichen Entscheids vom 9. September 2016 und verlangt die Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege. Zudem stellt der Beschwerdeführer für das bundesgerichtliche Verfahren ein Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege. Das Kantonsgericht hat im Zusammenhang mit der bundesgerichtlichen Aufforderung zur Zustellung der Akten darauf hingewiesen, dass in absehbarer Zeit in der Hauptsache entschieden werden dürfte, nachdem der einverlangte Kostenvorschuss von Fr. 600.-- bezahlt worden sei. Der Beschwerdeentscheid des Kantonsgerichts ist dann am 20. Oktober 2016 ergangen.
D.
Am 24. November 2016 hat der Beschwerdeführer auch gegen den Entscheid des Kantonsgerichts vom 20. Oktober 2016 eine Beschwerde eingereicht, unter anderem mit den Anträgen, die definitive Rechtsöffnung zu verweigern und dem Beschwerdeführer die unentgeltliche Rechtspflege zu gewähren. Das Bundesgericht trat schliesslich auf die in der Hauptsache ergriffene Beschwerde im Verfahren nach <ref-law> nicht ein (Urteil 5A_904/2016 vom 28. November 2016).

Erwägungen:
1.
Das Bundesgericht prüft die Eintretensvoraussetzungen von Amtes wegen und mit freier Kognition (<ref-law>; <ref-ruling> E. 1 S. 133).
1.1. Die Beschwerde richtet sich gegen den Entscheid einer letzten kantonalen Instanz (<ref-law>), mit dem vorgängig des Sachentscheids die unentgeltliche Rechtspflege für das kantonale Rechtsmittelverfahren wegen Aussichtslosigkeit verweigert wurde. Dabei handelt es sich um einen Zwischenentscheid im Sinne von <ref-law> (dazu sogleich E. 1.2). Der Rechtsweg folgt jenem der Hauptsache (<ref-ruling> E. 1.1 S. 382). In der Hauptsache geht es um eine Zwangsvollstreckungssache (<ref-law>), welche den für die Beschwerde in Zivilsachen erforderlichen Streitwert (<ref-law>) erreicht.
1.2. Beim angefochtenen Entscheid vom 9. September 2016 handelt es sich um einen Zwischenentscheid im Sinne von <ref-law>, der das kantonale Rechtsmittelverfahren nicht abschliesst. Auf die Beschwerde kann daher nur eingetreten werden, wenn der Zwischenentscheid einen nicht wieder gutzumachenden Nachteil verursachen kann (<ref-law>), da die zweite in Art. 93 Abs. 1 lit. b vorgesehene Voraussetzung nicht zur Diskussion steht.
1.2.1. Beim "nicht wieder gutzumachenden Nachteil" im Sinne von <ref-law> muss es sich um einen Nachteil rechtlicher Natur handeln, der auch durch einen für die beschwerdeführende Partei günstigen Endentscheid nicht mehr behoben werden kann (<ref-ruling> E. 1.3.1 S. 335). Eine rein tatsächliche oder wirtschaftliche Erschwernis reicht in der Regel nicht, doch genügt die blosse Möglichkeit eines nicht wieder gutzumachenden Nachteils rechtlicher Natur (<ref-ruling> E. 2.2.1 S. 317; <ref-ruling> E. 1.2.1 S. 382). Soweit nicht offenkundig ist, dass der Zwischenentscheid einen nicht wieder gutzumachenden Nachteil bewirken könnte, hat der Beschwerdeführer in seiner Eingabe darzutun, inwiefern er einem solchen ausgesetzt ist und die Voraussetzungen der Zulässigkeit seiner Beschwerde erfüllt sind (<ref-law>; <ref-ruling> E. 1.2 S. 81; <ref-ruling> E. 1.2 S. 47; <ref-ruling> E. 1.3 S. 525).
1.2.2. Ein Zwischenentscheid über die unentgeltliche Rechtspflege kann unter bestimmten Voraussetzungen einen nicht wieder gutzumachenden Nachteil bewirken. Von einem nicht wieder gutzumachenden Nachteil ist auszugehen, wenn nicht nur die unentgeltliche Rechtspflege verweigert, sondern zugleich auch die Anhandnahme des Rechtsmittels von der Bezahlung eines Kostenvorschusses durch die gesuchstellende Partei abhängig gemacht wird (<ref-ruling> E. 1.2 S. 403; <ref-ruling> E. 2b S. 202; Urteil 2C_194/2013 vom 21. August 2013 E. 1.2 mit Hinweisen). Ausnahmsweise kann es sich anders verhalten, etwa wenn der Kostenvorschuss schon (oder gleichwohl) bezahlt wurde (Urteile 2C_1001/2013 vom 4. Februar 2014 E. 1.4.2; 5A_370/2012 vom 16. Juli 2012 E. 1.2.2; 2D_1/2007 vom 2. April 2007 E. 3) und wenn, im Falle des Beizugs eines Anwalts, dieser bereits alle nötigen Eingaben verfasst hat. Ein solcher Ausnahmefall liegt hier vor. Die Bestellung eines unentgeltlichen Rechtsbeistands steht nicht zur Diskussion und der Beschwerdeführer hat in seiner Beschwerdeschrift selbst ausgeführt, dass er den vom Kantonsgericht erhobenen Kostenvorschuss von Fr. 600.-- bezahlt hat, womit auch gleichzeitig die Anhandnahme der Beschwerde durch das Kantonsgericht gewährleistet war. Bei dieser Sachlage ist nicht ersichtlich und vom Beschwerdeführer auch nicht dargetan, inwiefern der Zwischenentscheid betreffend sein Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege (im Sinne der unentgeltlichen Prozessführung) einen nicht wieder gutzumachenden Nachteil bewirken könnte und die Voraussetzung von <ref-law> für die direkte Anfechtung des vorinstanzlichen Zwischenentscheids erfüllt sein soll. Der gesuchstellenden Partei verbleibt grundsätzlich die Möglichkeit, die Verweigerung der unentgeltlichen Rechtspflege im Rahmen einer Beschwerde gegen den Endentscheid anzufechten (<ref-law>; vgl. <ref-ruling> E. 2.3 S. 603 f. mit Hinweisen). Dass im bundesgerichtlichen Verfahren 5A_904/2016 auf die gegen den Endentscheid vom 20. Oktober 2016 gerichtete Beschwerde mangels hinreichender Begründung nicht eingetreten wurde, vermag am Fehlen der Eintretensvoraussetzungen von <ref-law> im vorliegenden Beschwerdeverfahren indes nichts zu ändern.
2.
Auf die Beschwerde kann deshalb nicht eingetreten werden. Angesichts der konkreten Umstände werden ausnahmsweise keine Gerichtskosten erhoben (<ref-law>). Damit wird das für das bundesgerichtliche Verfahren gestellte Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege gegenstandslos.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2.
Es werden keine Gerichtskosten erhoben.
3.
Dieses Urteil wird den Parteien schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 17. Juli 2017
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: von Werdt
Der Gerichtsschreiber: Buss