Sachverhalt:
A.
A.a. X._ und Z._ sind die Eltern von S._, geboren 1995, T._, geboren 1997, und U._, geboren 1999. Die Ehe wurde am 11. März 2004 vom Amtsgericht München geschieden. Am 4. Januar 2012 regelte das Bezirksgericht Aarau auf Begehren von Z._ in Abänderung des Scheidungsurteils vom 11. März 2004 und der Urteile des Amtsgerichts Luzern-Land vom 6. September 2006 und vom 17. September 2007 die Kinderbelange neu. Insbesondere passte das Bezirksgericht die monatlichen Unterhaltsbeiträge samt allfälliger Kinder- und Ausbildungszulagen an. X._ wurde verpflichtet, an Z._ für S._ Fr. 1'078.--, für T._ Fr. 835.-- bis Juli 2013 und alsdann Fr. 1'078.-- sowie für U._ Fr. 835.-- bis Januar 2015 und alsdann Fr. 1'078.--, jeweils bis zur Volljährigkeit bzw. bis zum vorzeitigen Eintritt in die volle Erwerbsfähigkeit zu bezahlen. Das Obergericht des Kantons Aargau wies die von X._ dagegen erhobene Berufung am 27. November 2012 ab. Einer Beschwerde an das Bundesgericht war kein Erfolg beschieden (Urteil 5A_29/2013 vom 4. April 2013).
A.b. Am 17. März 2014 erliess das Bezirksgericht Kriens auf Antrag von Z._ gegen X._ gestützt auf <ref-law> (Arrestgründe "fehlender Wohnsitz", "Verlustschein" und "definitiver Rechtsöffnungstitel") einen Arrestbefehl über Fr. 145'396.05; als Grund der Forderung wurden "ausstehende Unterhaltsbeiträge" bezeichnet. Verarrestiert wurde ein Bankkonto der X._ AG. Die von X._ und der X._ AG gegen den Arrest erhobenen Einsprachen sowie die anschliessenden Beschwerden an das Kantonsgericht Luzern wurden (mit Entscheid vom 25. September 2014) abgewiesen. Das Bundesgericht trat mit Urteil 5A_868/2014 vom 6. November 2014 auf eine Beschwerde der X._ AG nicht ein.
A.c. Am 19. März 2014 stellte das Betreibungsamt Meggen die Arresturkunde aus. Z._ liess X._ mit Zahlungsbefehl Nr. xxx des Betreibungsamtes Meggen vom 2. April 2014 für ausstehende Unterhaltsbeiträge in der Höhe von Fr. 147'227.95 samt Kosten betreiben. Der Schuldner erhob Rechtsvorschlag.
B.
Mit Entscheid vom 26. Januar 2015 erteilte die Einzelrichterin des Bezirksgerichts Kriens Z._ die definitive Rechtsöffnung für die bis Ende März 2014 fälligen Unterhaltsbeiträge für die drei Söhne von insgesamt Fr. 52'194.75 jeweils zuzüglich Zinsen sowie für die künftigen Unterhaltsbeiträge für T._ und U._ bis zu deren Volljährigkeit von insgesamt Fr. 51'470.--. X._ gelangte daraufhin an das Kantonsgericht des Kantons Luzern, welches seine Beschwerde gegen den Rechtsöffnungsentscheid am 27. Oktober 2015 abwies.
C.
X._ ist mit Beschwerde in Zivilsachen vom 1. Dezember 2015 an das Bundesgericht gelangt. Der Beschwerdeführer beantragt, den kantonsgerichtlichen Entscheid vom 27. Oktober 2015 aufzuheben und die Sache zur Neubeurteilung an die Vorinstanz zurückzuweisen.
Das Kantonsgericht hat auf eine Vernehmlassung zum Gesuch um aufschiebende Wirkung verzichtet. Z._ (Beschwerdegegnerin) hat sich dem Gesuch widersetzt. Mit Präsidialverfügung vom 21. Dezember 2015 ist der Beschwerde die aufschiebende Wirkung zuerkannt worden.
Es sind die kantonalen Akten, aber keine Vernehmlassungen in der Sache eingeholt worden.

Erwägungen:
1.
1.1. Angefochten ist ein kantonaler Rechtsmittelentscheid betreffend Rechtsöffnung, mithin eine Zwangsvollstreckungssache (<ref-law>). Die gesetzliche Streitwertgrenze wird erreicht (<ref-law>). Die Beschwerde in Zivilsachen ist gegeben.
1.2. Die Beschwerdeschrift hat ein Rechtsbegehren zu enthalten (<ref-law>). Da die Beschwerde ein reformatorisches Rechtsmittel ist (<ref-law>), muss grundsätzlich ein materieller, d.h. bezifferter Antrag gestellt werden. Es genügt allerdings, wenn aus der Begründung hervorgeht, in welchem Sinn der angefochtene Entscheid abgeändert werden soll (<ref-ruling> E. 2 S. 236 f.). Der Beschwerdeführer verlangt die Aufhebung des angefochtenen Entscheides und die Rückweisung der Sache an die Vorinstanz. Der Begründung lässt sich immerhin entnehmen, dass die der Beschwerdegegnerin erteilte definitive Rechtsöffnung im Teilbetrag von Fr. 51'470.-- aufgehoben werden soll.
1.3. Mit vorliegender Beschwerde kann die Verletzung von Bundesrecht gerügt werden (<ref-law>). In der Beschwerde ist in gedrängter Form darzulegen, inwiefern der angefochtene Entscheid Recht verletzt (<ref-law>). Die Verletzung verfassungsmässiger Rechte ist ebenfalls zu begründen (<ref-law>), wobei hier das Rügeprinzip gilt (<ref-ruling> E. 2 S. 591). Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (<ref-law>).
2.
Die Vorinstanz erachtete die Voraussetzungen für die Erteilung der definitiven Rechtsöffnung im Umfang der in Betreibung gesetzten Unterhaltsbeiträge als gegeben. Sie stützte ihren Entscheid auf die Neuregelung der Kinderbelange gemäss dem Abänderungsurteil des Bezirksgerichts Aarau vom 4. Januar 2012. Nach Ansicht der Vorinstanz liegt hier ein vollstreckbarer gerichtlicher Entscheid vor, der für sämtliche in Betreibung gesetzten Unterhaltsbeiträge als definitiver Rechtsöffnungstitel gilt. Gestützt darauf sei auch für die künftigen Unterhaltsbeiträge die definitive Rechtsöffnung zu erteilen, welche infolge der gestützt auf <ref-law> bewilligten Arrestlegung fällig geworden sind.
3.
Anlass zur Beschwerde gibt die definitive Rechtsöffnung für künftige Unterhaltsbeiträge.
3.1. Die Erteilung der definitiven Rechtsöffnung setzt nicht nur die gerichtliche Festsetzung der in Betreibung gesetzten Unterhaltsbeiträge voraus (<ref-ruling> E. 2.3 S. 318/319). Diese müssen zudem bei Anhebung der Schuldbetreibung, welche gemäss Lehre mit Zustellung des Zahlungsbefehls (<ref-law>) beginnt, fällig sein (u.a. SPÜHLER/INFANGER, Grundlegendes zur Rechtsöffnung, BlSchK 2000 S. 4; STAEHELIN, in: Basler Kommentar, Bundesgesetz über Schuldbetreibung und Konkurs, 2. Aufl. 2010, N. 39 zu Art. 80). Die Voraussetzung der Fälligkeit bei Anhebung der Betreibung kann der Betriebene durch die Erhebung des Rechtsvorschlages in Frage stellen (<ref-ruling> E. 5a S. 48).
3.2. Wann eine Arrestforderung fällig ist, ergibt sich aus dem materiellen Recht (STOFFEL, in: Basler Kommentar, Bundesgesetz über Schuldbetreibung und Konkurs, 2. Aufl. 2010, N. 33 zu Art. 271; STOFFEL/ CHABLOZ, in: Commentaire romand, Poursuite et faillite, 2005, N. 22 zu Art. 271). Der Arrest gemäss <ref-law> kann auch für eine nicht verfallene Forderung verlangt werden. Wird in den genannten Fällen der Arrest bewilligt, so bewirkt er gegenüber dem Schuldner die Fälligkeit der Forderung (<ref-law>; STOFFEL/CHABLOZ, a.a.O., N. 49 zu Art. 271, mit Hinw. auf <ref-law>). Diese Ausnahmeregelung beruht auf der mangelnden Glaubwürdigkeit des Schuldners, welche sich aus den konkreten Umständen ergibt. Sie verhindert, dass der Schuldner sich im anschliessenden Betreibungsverfahren oder in einem Prozessverfahren auf die noch nicht eingetretene Fälligkeit berufen kann. Ihr kommt indes keine vom Arrestverfahren losgelöste Bedeutung zu. Wird der Arrest aufgehoben oder nicht prosequiert, so tritt die Fälligkeit nicht ein bzw. fällt dahin (u.a. JAEGER, Bundesgesetz betreffend Schuldbetreibung und Konkurs, Bd. II, 1911, N. 17 zu Art. 271; GILLIÉRON, Commentaire de la loi fédérale sur la poursuite pour dettes et la faillite, Bd. IV, 2003, N. 41 zu Art. 271; STOFFEL, a.a.O., N. 36 zu Art. 271; MEIER-DIETERLE, in: Kurzkommentar SchKG, 2. Aufl. 2014, N. 3 f. zu Art. 271).
3.3. Der Arrest in den Fällen von <ref-law> bewirkt jedoch nicht die Fälligkeit erst künftig entstehender Unterhaltsforderungen (FRITZSCHE/WALDER, Schuldbetreibung und Konkurs, Bd. II, 1993, § 56 Rz. 10, mit Hinw. auf die Praxis, die sich auf die Rechtsprechung des Bundesgerichts stützt). Das Gesetz sieht mit <ref-law> von der Voraussetzung der Fälligkeit, nicht von derjenigen des Bestandes der Forderung ab (STOFFEL, a.a.O., N. 36 zu Art. 271). Familienrechtliche Unterhaltsansprüche, auch wenn sie in einem Urteil festgelegt sind, entstehen indes fortlaufend (HEGNAUER, Berner Kommentar, 1997, N. 7 zu <ref-law>, mit Hinw.), weshalb später zu leistende Alimente nicht Gegenstand einer schon bestehenden Forderung bilden (BGE 40 III 451 E. 3 S. 457/458). Gleichwohl können künftige Unterhaltsbeiträge eine Arrestforderung darstellen, denn die für einen Arrest vorausgesetzte Forderung kann auch ein auf Sicherheitsleistung in Geld gerichteter Anspruch sein (u.a. AMONN/WALTHER, Grundriss des Schuldbetreibungs- und Konkursrechts, 9. Aufl. 2013, § 51 Rz. 6a; BASTONS BULLETTI, in: Commentaire romand, Code civil I, 2010, N. 5 zu Art. 292).
3.4. Im vorliegenden Fall bewilligte das Bezirksgericht am 17. März 2014 den Arrest (gestützt auf <ref-law>) für die Unterhaltsbeiträge im Umfang von Fr. 145'396.05, welcher am folgenden 19. März durch das Betreibungsamt vollzogen wurde. Damit ist die Wirkung gemäss Pfändungsbeschlag erfolgt (<ref-law>); der Arrestbefehl wurde bestätigt, da das Gericht die Einsprache des Schuldners abgewiesen hat (MEIER-DIETERLE, a.a.O., N. 31 zu Art. 271). Als die Gläubigerin die Betreibung für die künftigen Unterhaltsbeiträge im Umfang von Fr. 57'598.-- angehoben hatte, waren diese noch nicht fällig. Das Betreibungsamt stellte den Zahlungsbefehl vom 2. April 2014 am 7. April 2014 zu. Das Bezirksgericht erteilte die definitive Rechtsöffnung indes nicht nur für die bereits verfallenen Unterhaltsbeiträge an die drei Kinder, sondern auch für die künftigen Unterhaltsbeiträge von insgesamt Fr. 51'470.-- für die beiden Söhne T._ und U._ bis zu deren Volljährigkeit.
4.
Der Beschwerdeführer wirft der Vorinstanz eine Verletzung von Bundesrecht vor, da sie die definitive Rechtsöffnung für eine "nicht bestehende Forderung" bestätigt hat. Es fehle an einer Forderung "im eigentlichen Sinn", auch wenn diese in Zukunft vermutlich noch entstehen werde. Damit konnten nach Ansicht des Beschwerdeführers die strittigen Unterhaltsbeiträge durch die Arrestlegung nicht fällig werden. Soweit der Beschwerdeführer in diesem Zusammenhang die Voraussetzungen des Arrestes in Frage stellt, der seiner Ansicht nach nicht hätte bewilligt werden dürfen, sind seine Ausführungen vorliegend ohne Belang. Über den Arrest ist bereits abschliessend entschieden worden. Dass künftige Unterhaltsbeiträge eine Arrestforderung (für einen Anspruch auf Sicherheitsleistung) darstellen können, ist - wie erwähnt - ohne weiteres möglich. Darauf ist im Rahmen der definitiven Rechtsöffnung nicht zurückzukommen. Die strittigen Unterhaltsbeiträge gehen auf das (rechtskräftige) Urteil des Bezirksgerichts Aarau vom 4. Januar 2012 zurück. Dabei wurden unter anderem die Kinderunterhaltsbeiträge für die Zukunft neu festgelegt. Ein solches Leistungsurteil stellt einen definitiven Rechtsöffnungstitel gemäss <ref-law> dar; die einzelnen periodischen fälligen Verpflichtungen berechtigen zur Schuldbetreibung (u.a. BASTONS BULLETTI, Les moyens d'exécution des contributions d'entretien [...], in: Droit patrimonial de la famille, 2004, S. 86; vgl. <ref-ruling> E. 3.7 S. 202). Nach einem Teil der Lehre genügt für den Anspruch auf Sicherstellung von künftigen Unterhaltsbeiträgen bereits das Urteil, das zur künftigen Zahlung verpflichtet, um definitive Rechtsöffnung zu erteilen (BREITSCHMID, Sicherstellung künftiger Unterhaltsbeiträge, ZVW 1990 S. 4); nach anderer Auffassung ist hingegen ein Urteil auf Sicherstellung einer Geldleistung erforderlich (STAEHELIN, a.a.O., N. 38 zu Art. 80; BASTONS BULLETTI, in: Commentaire romand, a.a.O.: "en général"). Die Frage muss vorliegend nicht erörtert werden, da der Beschwerdeführer insoweit nicht darlegt, inwiefern das Kantonsgericht entscheiderhebliche Vorbringen betreffend den Rechtsöffnungstitel übergangen habe. Im Weiteren sind die Unterhaltsbeiträge grundsätzlich bis zum Erreichen der Volljährigkeit der beiden jüngeren Söhne geschuldet. Dass einer von diesen vorzeitig voll erwerbsfähig geworden ist, wurde bereits im kantonalen Verfahren vom Beschwerdeführer nicht geltend gemacht (zu dieser Resolutivbedingung vgl. STAEHELIN, a.a.O., N. 47 zu Art. 80). Sein Hinweis, dass T._ am 2. August 2015 volljährig geworden ist, trifft durchaus zu. Dies ändert aber nichts an der Berechtigung der Beschwerdegegnerin, die bis zu diesem Zeitpunkt geschuldeten Unterhaltsbeiträge in Betreibung zu setzen. Sie tat dies bevor T._ volljährig geworden ist, datiert der Zahlungsbefehl doch vom 2. April 2014 (vgl. dazu das zur amtlichen Publikation bestimmte Urteil 5A_984/2014 vom 3. Dezember 2015 E. 3).
5.
Nach dem Gesagten ist der Beschwerde kein Erfolg beschieden. Ausgangsgemäss trägt der Beschwerdeführer die Gerichtskosten (<ref-law>). Er schuldet der Beschwerdegegnerin, die in der Sache nicht zur Vernehmlassung eingeladen worden war, keine Parteientschädigung.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 2'500.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Kantonsgericht Luzern, 1. Abteilung, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 22. März 2016
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Das präsidierende Mitglied: Escher
Der Gerichtsschreiber: Levante