Fatti:
A.

A._ era impiegato dal novembre 2003 quale human resources manager presso la B._SA. Il rapporto di lavoro è stato disdetto con scritto del 30 marzo 2012 per il 31 maggio 2012. Dal 2 aprile 2012 il dipendente è stato dichiarato inabile al lavoro. Considerando che l'inabilità fosse cessata il 1° luglio 2012, e che il termine di disdetta si fosse perciò prolungato fino al 31 agosto 2012, il datore di lavoro ha versato lo stipendio dei mesi di luglio e agosto; ha però dispensato il dipendente dal presentarsi sul posto di lavoro affinché scontasse i giorni di vacanza non goduti e le ore di lavoro straordinario effettuato.
B.
Il 19 febbraio 2013 A._ ha convenuto la B._SA davanti al Pretore di Lugano chiedendo che fosse condannata a pagargli fr. 18'899.25 per vacanze non godute e lavoro straordinario e fr. 992.70 a titolo di rimborso di contributi LPP trattenuti indebitamente. Sosteneva di essere stato inabile al 100% fino al termine del rapporto di lavoro.
Il Pretore si è pronunciato il 9 agosto 2013; ha respinto l'azione e rifiutato nel contempo l'assunzione delle prove offerte dalle parti. Il succes sivo appello presentato dall'attore è stato respinto, nella misura in cui era ricevibile, dalla II Camera civile del Tribunale di appello ticinese con sentenza del 16 maggio 2016.
C.
A._ insorge davanti al Tribunale federale con ricorso in materia civile del 20 giugno 2016. Chiede in via principale che la sentenza cantonale sia annullata e che la B._SA sia condannata a pagargli le somme fatte valere davanti alle istanze cantonali; in via subordinata che gli atti siano rinviati al Tribunale di appello per nuovo giudizio.
La B._SA ha proposto di respingere il ricorso con risposta del 29 agosto 2016. L'autorità cantonale non ha presentato osser vazioni. Ricorrente e opponente hanno replicato e duplicato con scritti del 15 settembre e 3 ottobre 2016. Il ricorrente ha inoltrato ancora una breve presa di posizione il 17 ottobre 2016.
Diritto:
1.
Il ricorso è presentato dalla parte soccombente nella procedura cantonale (<ref-law>), è tempestivo (<ref-law>) ed è volto contro una sentenza finale (<ref-law>) emanata su ricorso dall'autorità ticinese di ultima istanza (<ref-law>) in una causa civile (<ref-law>) in materia di diritto del lavoro con valore litigioso superiore a fr. 15'000.-- (<ref-law>). Sotto questo profilo esso è ammissibile.
2.
Il Tribunale federale applica d'ufficio il diritto federale (<ref-law>). Tuttavia, tenuto conto dell'onere di allegazione e motivazione imposto dall'art. 42 cpv. 1 e 2 LTF, di regola esso considera solo gli argomenti proposti nell'atto di ricorso (<ref-ruling> consid. 2; <ref-ruling> consid. 1.1).
In linea di massima il Tribunale federale fonda il suo ragionamento giuridico sull'accertamento dei fatti svolto dall'autorità inferiore (<ref-law>). Può scostarsene o completarlo solo se è stato effettuato in violazione del diritto ai sensi dell'<ref-law> o in modo ma nifestamente inesatto (<ref-law>). L'accertamento dei fatti contenuto nella sentenza impugnata può essere censurato alle stesse condizioni. Se rimprovera all'autorità cantonale un accertamento dei fatti manifestamente inesatto - che significa arbitrario (<ref-ruling> consid. 2; <ref-ruling> consid. 4.2; <ref-ruling> consid. 1.5) - il ricorrente deve sollevare la censura e motivarla in modo preciso, come esige l'<ref-law> (<ref-ruling> consid. 1.3.1; <ref-ruling> consid. 2.2); deve inoltre dimostrare che l'eliminazione dell'asserito vizio può influire in maniera determinante sull'esito della causa (<ref-law>).
3.
In sede di appello l'attore si è lamentato del fatto che il Pretore, non assumendo le prove da lui offerte per accertare l'effettuazione di lavoro straordinario, ha " annichilito il suo diritto alla prova " e violato i " fondamenti procedurali del diritto svizzero ". Il primo giudice aveva in effetti stabilito che l'attore non aveva dimostrato con documenti né le ore effettuate, né la loro necessità oggettiva, né l'informazione del datore di lavoro richiesta dalla giurisprudenza, e aveva perciò ritenuto superfluo assumere le prove testimoniali proposte dall'attore.
3.1. La sentenza impugnata affronta la questione in due momenti. Nel considerando 3 la Corte cantonale ha ricordato, richiamando giurisprudenza e dottrina, che il diritto alla prova, codificato all'<ref-law> come componente del diritto di essere sentiti, non è assoluto; è " controbilanciato " dalla facoltà del giudice di effettuare un apprezzamento anticipato delle prove. Fatte queste premesse, essa ha dichiarato le critiche d'appello irricevibili in applicazione degli art. 310 e 311 cpv. 1 CPC, poiché l'attore, invece di confrontarsi con le argomentazioni precise del Pretore, si è limitato " a contestare in maniera del tutto generica la violazione del diritto alla prova e a ribadire le finalità delle singole prove richieste ". Quest'ultima costatazione è ripetuta al considerando 10.
3.2. Il ricorrente obietta di avere indicato alle pagine da 16 a 19 dell'appello " per ogni prova assunta l'errore del Pretore nella sua decisione di non procedere con l'assunzione e l'importanza di ogni prova con riferimento al relativo fatto da provare ". Più avanti precisa ancora di avere contestato nel dettaglio dalle pagine da 17 a 19 dell'appello le valutazioni del primo giudice, per cui l'autorità cantonale doveva " chinarsi sulla censura sollevata dal ricorrente secondo il quale il Pretore ha violato i fondamenti procedurali del diritto svizzero, segnatamente l'<ref-law> fed, nonché gli art. 52 segg. e 150 segg. CPC ". La Corte cantonale avrebbe perciò dovuto esaminare le sue critiche e dargli atto che l'intimo convincimento del primo giudice, che aveva considerato solo le prove documentali, era viziato.
3.3. Di fronte al giudizio d'appello d'irricevibilità per difetto di motivazione, l'unica censura proponibile sarebbe stata la violazione dell'<ref-law> da parte della Corte ticinese, ad esclusione di qualsiasi considerazione riguardante l'assunzione o l'apprezzamento (anche anticipato) delle prove. Il ricorrente non formula esplicitamente una censura del genere.
Volendo concedergli che lo faccia perlomeno implicitamente, la censura andrebbe comunque disattesa. Per tacere del fatto che nelle pagine dell'atto di appello alle quali il ricorrente rinvia non sta scritto ciò cheegli asserisce, le sue critiche sono comunque troppo generiche anche davanti al Tribunale federale; non adempiono le esigenze minime di motivazione (cfr. consid. 2). Il ricorrente avrebbe dovuto specificare con chiarezza quali erano le contestazioni d'appello che l'autorità cantonale aveva ignorato, con riferimento all'apprezzamento anticipato delle prove effettuato nella sentenza di primo grado.
La censura di violazione del diritto di essere sentiti è pertanto inammissibile.
4.
Il Tribunale cantonale ha stabilito che l'appellante non aveva motivato correttamente nemmeno l'asserzione secondo cui il Pretore avrebbe " manifestamente violato i principali fondamenti giuridici che regolano il regime dell'inabilità al lavoro, delle vacanze e del lavoro straordinario nell'ambito del contratto individuale di lavoro e il diritto alla liberazione dai contributi LPP dopo tre mesi di inabilità al lavoro ". Il ricorrente spiega di avere formulato inizialmente delle contestazioni generiche, che avrebbe però " successivamente sviscerato e dettagliato ".
In realtà, come si vedrà nei considerandi che seguono, la Corte cantonale ha in seguito esaminato le argomentazioni dell'appellante, pre scindendo dalla dichiarazione d'irricevibilità iniziale. È perciò superfluo approfondire la questione.
5.
La Corte ticinese ha costatato che agli atti vi sono i pareri del medico curante (C._), in particolare il certificato 30 luglio 2012 che ha attestato un'incapacità al 100% fino al 31 agosto 2012, e la valutazione 18 maggio 2012 del medico di fiducia dell'assicurazione (D._), secondo il quale la malattia che rendeva il lavoratore inabile alle dipendenze della convenuta non si sarebbe "attivata" presso un altro datore di lavoro. Sebbene il medico curante abbia di regola una visione più completa dello stato di salute del paziente - hanno proseguito i giudici ticinesi - nel caso specifico egli si è limitato ad attestare un'inabilità generica del 100%, mentre il medico assicurativo ha spiegato nel dettaglio il motivo per cui era possibile la ripresa completa del lavoro dal 1° luglio 2012 presso un nuovo datore di lavoro. Il Tribunale di appello ha ritenuto che in tali circostanze l'attore avrebbe dovuto chiedere maggiori precisazioni al proprio medico, oppure farlo citare come testimone. Non avendolo fatto, andava confermato il giudizio del Pretore, secondo il quale l'attore non aveva provato l'incapacità lavorativa.
5.1. Il ricorrente ritiene arbitrari gli accertamenti effettuati dall'autorità cantonale in merito al suo stato di salute. Richiama la giurisprudenza in materia di apprezzamento delle attestazioni mediche e sostiene che andava attribuita maggiore attendibilità ai certificati del medico curante e che in ogni caso, se il giudice avesse avuto dei dubbi, avrebbe dovuto indagare e assumere prove d'ufficio.
Al ricorrente sfugge un passaggio determinante della sentenza impugnata, ove è riprodotta e recepita la considerazione del medico D._, secondo cui era "esigibile, come peraltro discusso in dettaglio con l'interessato (e da lui accettato) la ripresa completa di un'attività lavorativa come quella precedentemente svolta a partire dal 1° luglio 2012 ma presso un nuovo datore di lavoro ".
In altre parole, la sentenza cantonale accerta in fatto che davanti al medico dell'assicurazione il ricorrente stesso aveva riconosciuto che dal 1° luglio 2012 in poi avrebbe potuto riprendere la sua attività a tempo pieno per un altro datore di lavoro, ovvero che l'inabilità residua era limitata all'impiego presso la convenuta. L'attore non contesta nel ricorso di avere discusso e accettato la valutazione conclusiva del me dico assicurativo, per cui l'accertamento della sentenza è vincolante per il Tribunale federale (cfr. consid. 2).
5.2. Così stando le cose, non è affatto arbitrario concludere, come ha fatto la Corte ticinese, che nei mesi di luglio e agosto 2012 l'attore era " pronto a un nuovo impiego ", non avendo provato la sua inabilità in quel periodo, ad esclusione soltanto del lavoro presso la convenuta. Di fronte a un accertamento reso possibile dal comportamento chiaro del ricorrente davanti al medico dell'assicurazione, non occorreva assumere d'ufficio altre prove né approfondire la valenza del certificato del medico curante.
6.
In diritto occorre stabilire se, nelle predette circostanze di fatto, le vacanze arretrate e le ore di lavoro straordinario potessero essere scontate nei mesi di luglio e agosto 2012, durante i quali il ricorrente era stato pagato ma non aveva lavorato.
6.1. A conferma del giudizio del Pretore il Tribunale di appello ha stabilito che, posto l'accertamento di cui s'è detto sopra, "non si intravvede il motivo per cui il lavoratore, pronto a un nuovo impiego, non fosse invece nella condizione di poter godere del riposo conseguente all'esenzione dall'impiego durante il termine di disdetta e, pertanto, il motivo per cui non siano state compensate in tal modo le vacanze arretrate e le eventuali ore straordinarie ".
6.2. Il ricorrente definisce " illegittima " questa conclusione, che ignorerebbe in primo luogo l'inabilità totale attestata dai medici e sarebbe comunque errata anche considerando soltanto il rapporto di lavoro presso l'opponente; durante il periodo di disdetta tale rapporto sussisteva ancora ed egli era esonerato dal prestare la propria attività "ex lege " non per volontà del datore di lavoro ma per malattia, ciò che gli impediva di fruire delle vacanze.
Queste censure sono inammissibili nella misura in cui poggiano su fatti diversi da quelli chiariti poc'anzi (consid. 5); per il resto sono infondate. Il ricorrente osserva con ragione che la malattia che si mani festa durante le vacanze può vanificare il periodo di riposo e recupero al quale il lavoratore ha diritto. Tuttavia, secondo gli accertamenti vincolanti, la malattia dell'attore era in relazione soltanto con l'attività presso la convenuta. Di conseguenza, con la liberazione dall'obbligo di presentarsi sul posto di lavoro - poco importa se per prescrizione medica o dispensa dell'opponente - il ricorrente era da considerarsi ristabilito, tant'è ch'egli stesso si era detto pronto a lavorare per altri. Non viola il diritto federale dedurre da questi fatti che nel caso specifico lo stato particolare d'inabilità non aveva impedito al ricorrente di godere le vacanze.
6.3. In sede di appello l'attore ha sostenuto di avere avuto 32,67 giorni di vacanze arretrate, che non potevano in ogni caso essere compensati interamente durante i due mesi di preavviso della disdetta, poiché occorreva tenere conto del tempo necessario per le visite mediche e per la ricerca di un nuovo lavoro, al quale aveva diritto in applicazione dell'<ref-law>. L'appello è stato respinto su questo punto, a prescindere dal calcolo dei giorni, perché l'attore non aveva allegato nulla a tale riguardo davanti al Pretore; non aveva dimostrato di essersi sottoposto a delle visite mediche e aveva ammesso di non volersi impiegare altrove, ciò che gli precludeva la possibilità di prevalersi dell'<ref-law>.
Il ricorrente taccia d'arbitrio questi accertamenti dell'autorità cantonale; afferma che l'intenzione di cercare un impiego e di lavorare l'aveva, ma che la malattia glielo aveva impedito. Queste sue argomentazioni sono inammissibili, perché, oltre ad essere appellatorie (cfr. consid. 2), si scontrano contro gli accertamenti vincolanti concernenti lo stato di malattia, dei quali s'è detto.
7.
L'ultimo punto controverso riguarda la pretesa di restituzione dei contributi della previdenza professionale di fr. 992.70. A mente del ricorrente l'opponenteli avrebbe trattenuti indebitamente sul salario dei mesi di luglio e agosto 2012, oltre tutto senza riversarli all'istituto di previdenza.
Il Tribunale cantonale ha respinto la pretesa con un'argomentazione articolata in due considerandi, con ampi riferimenti al giudizio di prima istanza. Le censure che il ricorrente formula contro di essa sono inam missibili, perché sono del tutto avulse dalla motivazione della sentenza cantonale. Sono inoltre fondate ancora su fatti diversi da quelli accertati per quanto riguarda lo stato di malattia.
8.
Ne viene che, in quanto ammissibile, il ricorso è infondato. Le spese (art. 65 cpv. 4 lett. c LTF) e le ripetibili seguono la soccombenza (66 cpv. 1 e 68 cpv. 1 LTF).

Per questi motivi, il Tribunale federale pronuncia:
1.
Nella misura in cui è ammissibile, il ricorso è respinto.
2.
Le spese giudiziarie di fr. 1'000.-- sono poste a carico del ricorrente, che rifonderà all'opponente fr. 1'500.-- a titolo di ripetibili per la procedura innanzi al Tribunale federale.
3.
Comunicazione ai patrocinatori delle parti e alla II Camera civile del Tribunale d'appello del Cantone Ticino.