Erwägungen:
1.
Das Stadtrichteramt Winterthur bestrafte A._ mit Strafbefehl vom 23. März 2016 wegen Verletzung des kantonalen Hundegesetzes mit einer Busse von Fr. 200.--. Dagegen erhob A._ Einsprache, worauf ihn das Stadtrichteramt zur Einvernahme auf den 12. Mai 2016 vorlud. A._ erschien nicht zum Einvernahmetermin und stellte am 13. Mai 2016 ein Fristwiederherstellungsgesuch. Das Stadtrichteramt Winterthur wies das Gesuch um Fristwiederherstellung mit Verfügung vom 26. Mai 2016 ab. Dagegen erhob A._ am 6. Juni 2016 Beschwerde, welche die III. Strafkammer des Obergerichts des Kantons Zürich mit Verfügung vom 4. Juli 2016 abwies. Die Strafkammer führte zur Begründung zusammenfassend aus, dass der Beschwerdeführer dem Stadtrichter gegenüber erklärt habe, den Einvernahmetermin falsch in seinen Kalender eingetragen zu haben. Damit gehe er selbst von einem Missgeschick seinerseits aus. Was er dagegen in seiner Beschwerde vorbringe, überzeuge nicht. Ungeachtet seines psychischen Zustandes sei nicht ersichtlich, weshalb er den Termin nicht hätte korrekt eintragen können. Auch aus dem eingereichten Arztzeugnis lasse sich solches nicht ableiten. Dort stehe, dass der Beschwerdeführer am 12. Mai 2016 nicht einvernahmefähig gewesen sei. Ein Fall klarer Schuldlosigkeit sei damit nicht glaubhaft gemacht. Der Stadtrichter habe das Wiederherstellungsgesuch zu Recht abgewiesen.
2.
A._ führt mit Eingabe vom 4. August 2016 Beschwerde in Strafsachen gegen die Verfügung der III. Strafkammer des Obergerichts des Kantons Zürich. Die Eingabe von A._ enthält keine eigene Beschwerdebegründung, sondern ein als "Ärztliches Zeugnis zur Unterstützung eines gerichtlichen Antrags" bezeichnetes Schreiben seines behandelnden Psychiaters vom 3. August 2016.
Das Bundesgericht hat davon abgesehen, Stellungnahmen zur Beschwerde einzuholen.
3.
Nach <ref-law> ist in der Begründung einer Beschwerde in gedrängter Form darzulegen, inwiefern der angefochtene Entscheid Recht verletzt. Die Bestimmungen von <ref-law> nennen die vor Bundesgericht zulässigen Beschwerdegründe. Hinsichtlich der Verletzung von Grundrechten gilt der in <ref-law> verankerte Grundsatz der Rechtsanwendung von Amtes wegen nicht; insofern besteht eine qualifizierte Rügepflicht (<ref-law>; <ref-ruling> E. 1.4.1 S. 53, 65 E. 1.3.1 S. 68 mit Hinweisen). Es obliegt dem Beschwerdeführer namentlich darzulegen, inwiefern der angefochtene Entscheid gegen die gerügten Grundrechte verstossen soll.
Das vom Beschwerdeführer eingereichte Schreiben seines behandelnden Psychiaters vom 3. August 2016 beschreibt den psychischen Zustand des Beschwerdeführers und beurteilt die angefochtene Verfügung aus Sicht des Psychiaters. Aus dem Schreiben ergibt sich indessen nicht, inwiefern die Strafkammer die Beschwerde und die ihr vorliegenden Arztzeugnisse in rechts- bzw. verfassungswidriger Weise gewürdigt haben sollte, als sie zum Schluss kam, das Stadtrichteramt habe das Wiederherstellungsgesuch zu Recht abgewiesen. Der Beschwerdeführer vermag jedenfalls nicht aufzuzeigen, inwiefern die Begründung der Strafkammer, die zur Abweisung der Beschwerde führte, bzw. deren Verfügung selbst im Ergebnis rechts- bzw. verfassungswidrig sein soll. Mangels einer genügenden Begründung im Sinne von <ref-law> auf ist daher auf die Beschwerde nicht einzutreten. Der Begründungsmangel ist offensichtlich, weshalb über die Beschwerde im vereinfachten Verfahren nach <ref-law> entschieden werden kann.
4.
Auf eine Kostenauflage kann verzichtet werden (<ref-law>).

Demnach erkennt der Präsident:
1.
Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2.
Es werden keine Kosten erhoben.
3.
Dieses Urteil wird den Parteien, dem Stadtrichteramt Winterthur und dem Obergericht des Kantons Zürich, III. Strafkammer, Präsident, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 16. August 2016
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Fonjallaz
Der Gerichtsschreiber: Pfäffli