Faits :
A.
Par jugement du 30 octobre 2015, le Tribunal de police de l'arrondissement de Lausanne a reconnu X._ coupable d'injure, d'utilisation abusive d'une installation de télécommunication, de faux dans les titres et d'induction de la justice en erreur. Il l'a condamnée à une peine privative de liberté de cinq mois avec sursis pendant quatre ans, à une peine pécuniaire de 30 jours-amende à 30 fr. le jour et à une amende de 800 fr. convertible en huit jours de peine privative de liberté en cas de non-paiement de l'amende.
B.
Par jugement du 2 mars 2016, la Cour d'appel pénale du Tribunal cantonal vaudois a admis partiellement l'appel formé par X._. Elle a réformé le jugement attaqué en ce sens qu'elle a condamné X._ pour injure, utilisation abusive d'une installation de télécommunication, faux dans les titres et induction de la justice en erreur à une peine pécuniaire de 180 jours-amende à 30 fr. le jour et à une amende de 800 fr. convertible en huit jours de peine privative de liberté en cas de non-paiement de l'amende, la peine pécuniaire étant suspendue avec un délai d'épreuve de quatre ans.
En bref, elle a retenu les faits suivants :
Dès la naissance de leur fils B._ en 2010, X._ et son époux ont consulté le Dr A._, spécialiste FMH en pédiatrie. L'enfant, souvent hospitalisé depuis sa naissance, a fait l'objet d'un signalement au Service de la protection de la jeunesse (SPJ) par le Service de pédiatrie de C._ en date du 3 janvier 2011, sur la base notamment des inquiétudes formulées par le praticien précité. Une enquête en limitation de l'autorité parentale a été diligentée. Le droit de garde a été provisoirement retiré aux parents du 3 janvier au 4 mai 2011. Après diverses mesures d'instruction, l'autorité a mis fin à cette enquête par décision du 18 septembre 2014, renonçant à toutes mesures de protection en faveur de l'enfant.
Entre le 6 décembre 2010 et les fêtes de la fin de l'année 2013 à tout le moins, X._ a envoyé ou remis en mains propres à A._ de nombreux SMS, courriels et courriers au contenu injurieux, ordurier et obscène, en prétendant que celui-ci en était l'auteur et les lui avait adressés, respectivement en prétendant qu'ils étaient le fait d'un inconnu cherchant à leur nuire à tous les deux. Elle a agi ainsi parce qu'elle était attirée par A._ et dans le dessein de le gêner, de jeter le discrédit sur lui, voire de le contraindre à oeuvrer pour que le SPJ revienne sur sa décision de lui retirer la garde de son enfant, retrait qu'elle lui impute. Le premier message à caractère pornographique a été envoyé le 20 décembre 2010. Il n'y a pas eu d'envois pornographiques après le 30 octobre 2012.
Par document manuscrit signé, non daté, destiné à A._, qu'elle admet avoir écrit, en précisant que cela remontait au 22 février 2012, X._ s'est positionnée comme il suit :
« Par cette lettre je vous présente mes excuses pour toute cette situation de mails dégradante et portant atteinte à votre intégrité morale (...).
Pour être honnête je n'ai pas le souvenir d'avoir envoyé ses (sic) courriers, je ne suis pas dans le déni mais plutôt dans l'incompréhension.
Mais je me souviens de toute cette période avec précision, de mon impuissance face à la fièvre de mon fils, de sa constipation récurrente, de ses vomissements, de même sentie coupable de ne pas pouvoir soulager mon enfant, de me sentir à bout psychologiquement et physiquement, d'avoir essayé de gérer l'ingérable, d'avoir refoulé tout ce que me faisait mal tant moralement que physiquement. (...).
Je ne suis en aucun cas en train de me chercher des circonstances atténuantes sur ces actes au demeurant graves je suis sincèrement désolée de vous avoir perturbé et déstabilisé moralement. Je pense que vous de l'extérieur vous avez vu le " dérapage " et c'est cela que j'essaie de comprendre. Je ne comprends pas car je n'ai aucune raison de m'en prendre à vous, et surtout en vous agressant sexuellement par le biais de mails car vous ne m'avez rien fait qui justifie un tel débordement, il est sûrement utile à ce stade de vous dire que je ne suis pas amoureuse de vous que je n'ai jamais souhaité avoir des relations intimes avec vous, que je n'éprouve pour vous aucun sentiment d'ordre amoureux à votre égard dans d'autres circonstances de tels propos pourraient être blessants mais dans ce cas de figure il se veulent rassurants. Je suis consciente d'avoir perdu votre confiance toutefois je souhaiterais si vous le permettez discuter de tout cela avec vous quand le moment vous semblera opportun. Avec toutes mes excuses, [...] ».
Le 24 mars 2011, à 16h38, X._ a adressé par courriel à A._ une fausse ordonnance de non-lieu datée du 8 mars 2011 et prétendument signée par la Juge d'instruction. Elle a agi dans le dessein de le convaincre qu'elle avait déposé une plainte pénale pour les messages litigieux reçus et que l'enquête excluait son implication. Elle a grossièrement contrefait ce document en se fondant sur une ordonnance de condamnation rendue le 5 novembre 2008 à son encontre.
Les 19 et 23 décembre 2011, à D._, X._ a déposé une plainte pénale auprès de la police, respectivement du Ministère public, dénonçant avoir reçu de nombreux SMS, courriels et courriers au contenu injurieux, ordurier et obscène, et des objets à caractère érotique de la part de A._, ainsi qu'avoir été cambriolée et avoir été agressée physiquement par un inconnu. Elle savait cependant que les infractions dénoncées n'avaient pas été commises. Elle a agi dans le dessein de faire ouvrir une enquête, de détourner les soupçons portés sur elle et, éventuellement, de diriger ceux-ci sur A._.
A._ a porté plainte pénale le 8 novembre 2011.
C.
Contre ce dernier jugement cantonal, X._ dépose un recours en matière pénale devant le Tribunal fédéral. En bref, elle conclut, principalement, à la réforme du jugement attaqué en ce sens qu'elle est acquittée du chef de toutes les infractions retenues contre elle et, à titre subsidiaire, à l'annulation du jugement attaqué et au renvoi de la cause à l'autorité précédente pour nouveau jugement. En outre, elle demande l'assistance judiciaire.
Par ordonnance du 22 septembre 2016, le Président de la Cour de droit pénal du Tribunal fédéral a rejeté la demande de sûretés en garantie des dépens, déposée par A._.

Considérant en droit :
1.
La recourante fait valoir que la cour cantonale a établi les faits de manière manifestement inexacte sur plusieurs points.
1.1. Le Tribunal fédéral n'est pas une autorité d'appel, auprès de laquelle les faits pourraient être rediscutés librement. Il ne peut revoir les faits établis par l'autorité précédente que si ceux-ci l'ont été de manière manifestement inexacte (<ref-law>), c'est-à-dire arbitraire (sur cette notion, cf. <ref-ruling> consid. 6.1 p. 205) et pour autant que la correction du vice soit susceptible d'influer sur le sort de la cause (<ref-law>). En bref, une décision n'est pas arbitraire du seul fait qu'elle apparaît discutable ou même critiquable; il faut qu'elle soit manifestement insoutenable, et cela non seulement dans sa motivation mais aussi dans son résultat.
Le grief d'arbitraire doit être invoqué et motivé de manière précise (<ref-law>). Le recourant doit exposer, de manière détaillée et pièces à l'appui, que les faits retenus l'ont été d'une manière absolument inadmissible, et non seulement discutable ou critiquable. Il ne saurait se borner à plaider à nouveau sa cause, contester les faits retenus ou rediscuter la manière dont ils ont été établis comme s'il s'adressait à une juridiction d'appel (<ref-ruling> consid. 3 p. 352; <ref-ruling>). Le Tribunal fédéral n'entre pas en matière sur les critiques de nature appellatoire (<ref-ruling> consid. 1.3.1 p. 253).
1.2. La présomption d'innocence, garantie par les <ref-law> et 32 al. 1 Cst., ainsi que son corollaire, le principe "in dubio pro reo", concernent tant le fardeau de la preuve que l'appréciation des preuves. Lorsque, comme en l'espèce, l'appréciation des preuves et la constatation des faits sont critiquées en référence au principe "in dubio pro reo", celui-ci n'a pas de portée plus large que l'interdiction de l'arbitraire (<ref-ruling> consid. 7 p. 82).
2.
La recourante fait grief à la cour cantonale d'avoir retenu, de manière arbitraire, qu'elle avait envoyé, entre le 6 décembre 2010 et les fêtes de fin d'année 2013, de nombreux SMS, courriels et courriers au contenu injurieux, ordurier et obscène. Cette constatation de fait serait inexacte, d'une part, en ce qui concerne la période, et, d'autre part, s'agissant de la nature et du contenu des envois.
La cour cantonale a retenu que la recourante avait transmis à l'intimé des messages injurieux, orduriers et obscènes en se fondant sur cinq éléments. Premièrement, des aveux de la recourante ressortent d'une lettre manuscrite destinée à l'intimé trouvée lors de la perquisition à son domicile. Deuxièmement, l'intervention d'un tiers n'est pas crédible, dès lors que le tiers en question aurait agi pour nuire simultanément à elle-même et au médecin, sans aucun intérêt ou motif discernables à lier ces deux personnes en les prenant toutes deux pour cible. Troisièmement, il y a identité d'IP entre un courriel du 27 décembre 2010 de la recourante à l'intimé et un message pornographique envoyé au même destinataire le 20 décembre 2010. Quatrièmement, la recourante n'est pas crédible, dès lors qu'elle a également nié être l'auteur et l'expéditeur de la fausse ordonnance de non-lieu. Cinquièmement elle a déjà été condamnée pour des faits similaires.
Les éléments exposés par la cour cantonale sont convaincants. La recourante se borne du reste à nier les faits, soutenant que la lettre retrouvée chez elle ne contient aucun aveu et qu'un tiers aurait envoyé les messages incriminés. Ce grief est infondé. La lettre contient des aveux explicites : « je vous présente mes excuses pour cette situation dégradante et portant atteinte à votre intégrité morale »; « je ne suis en aucun cas en train de me chercher des circonstances atténuantes sur ces actes au demeurant graves, je suis sincèrement désolée de vous avoir perturbé et déstabilisé moralement. Je pense que vous de l'extérieur vous avez vu le dérapage (...) je ne comprends pas car je n'ai aucune raison de m'en prendre à vous et surtout en vous agressant sexuellement par le biais de mails ». Quant à l'argumentation consistant à soutenir qu'un tiers aurait envoyé ces messages, elle n'est guère crédible et est purement appellatoire. La cour cantonale n'est donc pas tombée dans l'arbitraire en retenant que la recourante avait transmis à l'intimé des messages injurieux, orduriers et obscènes. Dans la mesure où la recourante dénonce une violation de son droit à la preuve, son grief est insuffisamment motivé et, donc, irrecevable (<ref-law>).
La recourante conteste également avoir envoyé des messages pendant la période de fin d'année 2013. Elle se borne toutefois à contester les faits au motif que cette constatation reposerait uniquement sur les déclarations de l'intimé. Les déclarations de l'intimé constituent toutefois un moyen de preuve valable, et la cour cantonale est libre de fonder sa conviction sur celles-ci, si l'intimé apparaît crédible. Dans la mesure de sa recevabilité (<ref-law>), le grief soulevé doit donc être rejeté.
3.
La recourante soutient que la plainte de l'intimé, déposée le 8 novembre 2011, est tardive.
3.1. Selon l'<ref-law>, le droit de porter plainte se prescrit par trois mois. Le délai court du jour où l'ayant droit a connu l'auteur de l'infraction. Le lésé doit avoir connaissance non seulement de l'auteur de l'infraction mais aussi de l'infraction elle-même. La connaissance exigée du lésé doit être sûre et certaine, lui permettant de considérer qu'il aurait de fortes chances de succès en poursuivant l'auteur, sans s'exposer au risque d'être attaqué pour dénonciation calomnieuse ou diffamation (<ref-ruling> consid. 2a p. 132; <ref-ruling> consid. 1 p. 116). De simples soupçons ne suffisent pas, mais il n'est pas nécessaire que le lésé dispose déjà de moyen de preuve (ATF <ref-ruling> consid. 1 p. 116).
3.2. Lors de son audition du 13 mai 2014, l'intimé a dit avoir « toujours pensé que c'était X._ (qui lui avait envoyé les messages incriminés, réd.) (PV aud. 5, ligne 108), ajoutant avoir « beaucoup hésité à porter plainte » (PV aud. 5, ligne 120), procédé qu'il avait dès lors délibérément différé. Il a précisé que c'était « à l'issue de la consultation du 6 décembre que les premiers messages avaient été portés à sa connaissance» (PV aud. 5, lignes 47-49), ajoutant en avoir par la suite reçu « presque tous les jours » (PV aud. 5, ligne 55).
Au vu des déclarations de l'intimé, celui-ci a pensé et non su que la recourante était à l'origine des courriers et autres messages. Il ne pouvait pas avoir une connaissance objective de l'implication de la recourante à la seule lecture des messages qui lui étaient adressés. En effet, la recourante niait en être l'auteur. En outre, pour égarer les soupçons, elle avait adressé à l'intimé une fausse ordonnance de non-lieu, lui faisant croire qu'elle avait déposé une plainte pénale pour les messages litigieux prétendument envoyés à son nom et que l'enquête avait exclu son implication. Certes, l'intimé a eu des doutes sur l'authenticité de cette ordonnance de non-lieu; il n'était toutefois pas certain que celle-ci était un faux. L'intimé a sollicité l'autorisation du médecin cantonal en ce qui concerne l'existence de la relation thérapeutique avec l'enfant B._ et ses parents, car il voulait porter plainte contre inconnu dans le cadre d'une usurpation de son identité destinée à lui nuire auprès de la recourante, mère de son patient B._; cela ne signifie pas qu'il ait su que c'était elle qui était l'auteur des messages. Du reste, l'intimé a déposé une plainte pénale contre inconnu et il ne résulte pas de la plainte qu'il avait à l'époque une certitude sur l'identité de l'auteur des messages.
En définitive, c'est à juste titre que la cour cantonale a admis que l'intimé ne connaissait pas l'auteur du message et que sa plainte n'était pas tardive.
4.
La recourante dénonce une mauvaise application de l'<ref-law>. En particulier, elle conteste que les pièces 10/3, 10/5, 10/7, 14/3, 27/2 et 50/2, citées par la cour cantonale, constituent des messages injurieux.
4.1. Se rend coupable d'injure celui qui aura, par la parole, l'écriture, l'image, le geste ou par des voies de fait, attaqué autrui dans son honneur. L'honneur que protège l'<ref-law> est le sentiment et la réputation d'être une personne honnête et respectable, c'est-à-dire le droit de ne pas être méprisé en tant qu'être humain ou entité juridique (<ref-ruling> consid. 2.1 p. 115; <ref-ruling> consid. 1a p. 58). En d'autres termes, l'honneur protégé par le droit pénal est conçu de façon générale comme un droit au respect, qui est lésé par toute assertion propre à exposer la personne visée au mépris en sa qualité d'homme (ATF <ref-ruling> consid. 1a p. 57/58).
4.2. En l'espèce, il est établi que la recourante est l'auteur des messages incriminés. Or ceux-ci mettent en scène l'intimé de manière dégradante et le présentent comme un acteur adoptant des comportements sexuels et tenant des propos vulgaires, de nature bassement sexuelle, agressive, injurieuse ou menaçante envers la recourante, sa prétendue partenaire sexuelle. Ces messages doivent être qualifiés d'injurieux. La cour cantonale n'a donc pas violé le droit fédéral en retenant l'injure.
5.
La recourante conteste sa condamnation pour utilisation abusive d'une installation de télécommunication (art. 179 septies CP).
5.1. L'art. 179 septies CP prévoit que celui qui, par méchanceté ou par espièglerie, aura utilisé abusivement une installation de télécommunication pour inquiéter un tiers ou pour l'importuner sera, sur plainte, puni de l'amende. Il y a méchanceté lorsque l'auteur commet l'acte répréhensible parce que le dommage ou les désagréments qu'il cause à autrui lui procurent de la satisfaction. Quant à l'espièglerie, elle signifie agir un peu follement, par bravade ou sans scrupule, dans le but de satisfaire un caprice momentané (<ref-ruling> consid. 5b p. 137).
5.2.
5.2.1. La cour cantonale a retenu, sur la base des déclarations de l'intimé, que la recourante a continué à lui adresser des messages, d'un contenu semblable aux messages produits en annexe de sa plainte, postérieurement au 30 octobre 2012 et sans discontinuer, jusque vers la fin du mois de décembre 2013. La recourante nie avoir adressé des messages postérieurement au 30 octobre 2012, faisant valoir que l'existence de ces messages ne repose que sur les seules déclarations de l'intimé; en outre, les messages reçus vers la période des « fêtes de fin d'année 2013 » ne laisseraient transparaître aucune méchanceté ou volonté d'importuner. Cette argumentation est appellatoire et, donc, irrecevable. La cour cantonale n'a fait preuve d'aucun arbitraire en se fondant sur les déclarations de l'intimé, dont la crédibilité n'a pas été remise en cause.
5.2.2. La recourante conteste que ces messages aient été adressés par méchanceté ou espièglerie et qu'ils aient créé une grave inquiétude chez l'intimé.
En adressant à l'intimé parfois plusieurs messages (SMS, messages électroniques) par jour contenant des propos obscènes durant plus d'un an longtemps après la fin de la relation thérapeutique, la recourante a utilisé abusivement une installation de télécommunication. Cela lui a permis à la fois de harceler l'intimé, pour le punir d'avoir oeuvré à protéger l'enfant de son milieu familial, puis de ne pas lui prêter l'attention qu'elle souhaitait, et de nouer un pseudo-lien avec lui dans un climat teinté d'érotisme ou de sexualité selon la teneur des écrits rédigés par la recourante, puisque tous deux étaient censés être victimes du même tiers qui les mettait en scène notamment sur un plan sexuel. La recourante ne démontre pas en quoi ces constatations de fait seraient arbitraires, de sorte qu'elles lient la cour de céans (<ref-law>). Sur le plan subjectif, la recourante a donc bien agi par méchanceté avec le dessein d'importuner l'intimé. Il n'est à cet égard pas nécessaire que l'intimé ait eu peur. La cour cantonale n'a donc pas violé le droit fédéral en condamnant la recourante pour utilisation abusive d'une installation de télécommunication.
6.
La recourante conteste sa condamnation pour faux dans les titres (<ref-law>).
6.1. La cour cantonale a retenu, en fait, qu'elle a adressé, par courriel, à l'intimé une fausse ordonnance de non-lieu, afin de le convaincre qu'elle avait déposé une plainte pénale pour les messages litigieux reçus et que l'enquête avait exclu son implication. La recourante conteste avoir établi cette ordonnance, au motif que d'autres personnes avaient accès à son ordinateur. Purement appellatoire, cette argumentation est irrecevable.
6.2. La recourante soutient que l'élément subjectif, à savoir le dessein de se procurer un avantage illicite, n'est pas réalisé.
La notion d'avantage illicite visé par l'auteur est large (cf. par ex. 6S.553/2001 du 11 avril 2002 consid. 3a). Il peut être matériel ou immatériel. Selon la jurisprudence, il peut consister notamment à créer un titre faux pour améliorer ou compléter des preuves (<ref-ruling>) ou encore à éviter une dénonciation, c'est-à-dire à échapper à la découverte d'une infraction (<ref-ruling> consid. 2d p. 364; <ref-ruling> consid. 5 p. 260; DUPUIS ET AL., Petit commentaire du Code pénal, 2e éd., 2012, n° 56 ad <ref-law> qui citent ces deux cas de figure).
La cour cantonale a retenu que la recourante avait confectionné et transmis cette fausse ordonnance à l'intimé pour le convaincre qu'elle avait elle-même porté plainte contre inconnu pour les messages litigieux et que la prétendue enquête avait établi les lieux où elle se trouvait lors des envois, ce qui implicitement excluait sa propre implication. La recourante conteste cette constatation de fait, affirmant que celle-ci est purement hypothétique; elle ne donne toutefois aucune autre explication. Purement appellatoire, son grief est irrecevable (<ref-law>). Au vu des faits retenus, la recourante a donc bien agi dans le dessein d'obtenir un avantage illicite, puisqu'elle apparaissait comme non impliquée et dissuadait l'intimé de déposer une plainte pénale. Les griefs soulevés sont donc infondés.
7.
La recourante nie s'être rendue coupable d'induction de la justice en erreur (<ref-law>).
La recourante se plaint d'un défaut de motivation. En l'espèce, la cour cantonale a renvoyé au chiffre 5.2 de son jugement, où elle explique les raisons qui l'ont amenée à retenir la culpabilité de la recourante s'agissant de la confection des écrits litigieux. Cette motivation est suffisante. Le grief soulevé est infondé.
La recourante conteste, en outre, être l'auteur de la plainte. Comme vu sous le considérant 2, la cour cantonale n'a pas versé dans l'arbitraire en retenant que la recourante était l'auteur des messages incriminés. La recourante a déposé une plainte pénale dans laquelle elle accusait l'intimé de lui avoir adressé de nombreux SMS, courriels et courriers au contenu injurieux, ordurier et obscène ainsi que des objets à caractère érotique et exposait avoir été cambriolée et agressée physiquement par un inconnu, ajoutant avoir aperçu ce prétendu agresseur casqué dans l'immeuble où se trouvait le pédiatre, citant nommément l'intimé. Elle savait que les infractions dénoncées n'avaient pas été commises, puisqu'elle était l'auteur des messages incriminés. Dans ces conditions, elle s'est bien rendue coupable d'induction de la justice en erreur.
8.
Le recours doit être rejeté dans la mesure où il est recevable.
Comme ses conclusions étaient vouées à l'échec, l'assistance judiciaire ne peut être accordée (<ref-law>). La recourante devra donc supporter les frais judiciaires (<ref-law>), dont le montant sera toutefois fixé en tenant compte de sa situation financière. Il ne se justifie pas non plus d'allouer de dépens à la recourante en raison du refus des sûretés requises par l'intimé.
Il n'y a pas lieu d'allouer d'indemnité à l'intimé qui n'a pas été invité à procéder dans la procédure devant le Tribunal fédéral.

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce :
1.
Le recours est rejeté dans la mesure où il est recevable.
2.
La demande d'assistance judiciaire est rejetée.
3.
Les frais judiciaires, arrêtés à 1600 fr., sont mis à la charge de la recourante.
4.
Le présent arrêt est communiqué aux parties et à la Cour d'appel pénale du Tribunal cantonal du canton de Vaud.
Lausanne, le 29 mars 2017
Au nom de la Cour de droit pénal
du Tribunal fédéral suisse
Le Président : Denys
La Greffière : Kistler Vianin