Sachverhalt:
A.
Die Obwaldner Kantonalbank stellte am 11. Mai 2010 ein Baugesuch für den Neubau eines Bankgebäudes mit Einstellhalle auf der Parzelle Gbbl. Nr. 303 in Sarnen. Mit Eingabe vom 26. Januar 2011 reichte sie eine Projektänderung für die Baugrubensicherung ein.
A._ erhob gegen das Bauvorhaben und gegen die Projektänderung fristgerecht Einsprache. Mit Beschluss vom 16. Mai 2011 wies der Einwohnergemeinderat Sarnen die Einsprachen ab und erteilte die Baubewilligung mit Auflagen. Integrierender Bestandteil der Baubewilligung bildet die vom Amt für Landwirtschaft und Umwelt des Kantons Obwalden am 21. Februar 2011 erteilte Gewässerschutzbewilligung für das Bauen im Gewässerschutzbereich Au.
Mit Eingabe vom 10. Juni 2011 führte A._ gegen den Beschluss der Einwohnergemeinde Beschwerde beim Regierungsrat des Kantons Obwalden und beantragte die Aufhebung der Baubewilligung. Mit Beschluss vom 15. November 2011 wies der Regierungsrat die Beschwerde ab.
Diesen Beschluss focht A._ mit Beschwerde vom 9. Januar 2012 beim Verwaltungsgericht des Kantons Obwalden an. Mit Entscheid vom 22. August 2012 wies dieses die Beschwerde ab.
Die von A._ am 24. September 2012 erhobene Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten an das Bundesgericht hiess dieses mit Urteil 1C_482/2012 vom 14. Mai 2014 (in: URP 2014 S. 637) gut. Es hob den angefochtenen Entscheid auf und wies die Angelegenheit zu neuer Beurteilung an das Verwaltungsgericht zurück.
B.
Das Verwaltungsgericht holte in der Folge ein weiteres hydrogeologisches Gutachten und ein Gutachten bei der Eidgenössischen Natur- und Heimatschutzkommission (ENHK) und der Eidgenössischen Kommission für Denkmalpflege (EKD) ein. Am 18. März 2015 führte das Verwaltungsgericht einen Augenschein mit Vertretern der ENHK/EDK, der Parteien, des Regierungsrats, der Gemeinde und des Frauenklosters St. Andreas durch. Am 29. Juni 2015 reichte die ENHK/EDK ihr Gutachten ein. Am gleichen Tag wurde auch das hydrogeologische Gutachten erstattet.
Mit Entscheid vom 26. Januar 2016 hiess das Verwaltungsgericht die Beschwerde von A._ im Sinne der Erwägungen gut, soweit es darauf eintrat. Es hob den Beschluss des Regierungsrats vom 15. November 2011 auf und wies die Sache zur weiteren Behandlung an den Einwohnergemeinderat Sarnen zurück. Die Kosten der Verfahren vor dem Regierungsrat (Fr. 5'000.--) und vor dem Verwaltungsgericht (Fr. 24'268.75) wurden der Obwaldner Kantonalbank auferlegt. Diese wurde zudem verpflichtet, A._ für die Verfahren vor dem Regierungsrat (Fr. 4'500.--) und vor dem Verwaltungsgericht (Fr. 15'000.--) zu entschädigen.
C.
Mit Eingabe vom 7. März 2016 führt A._ Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten an das Bundesgericht. Sie beantragt in der Hauptsache, den angefochtenen Entscheid aufzuheben und dem Bauprojekt den Bauabschlag zu erteilen.
Die Vorinstanz beantragt, auf die Beschwerde sei nicht einzutreten, eventualiter sei diese abzuweisen. Der Regierungsrat, die Einwohnergemeinde Sarnen und die Obwaldner Kantonalbank beantragen, die Beschwerde sei abzuweisen, soweit darauf eingetreten werden könne.
Die Bundesämter für Umwelt (BAFU) und Kultur (BAK) haben Stellungnahmen zur Beschwerde eingereicht, ohne Anträge zu stellen.
Die Parteien halten in weiteren Eingaben an ihren Anträgen und Standpunkten fest.

Erwägungen:
1.
1.1. Angefochten ist ein letztinstanzlicher kantonaler Entscheid in einer öffentlich-rechtlichen Angelegenheit (vgl. Art. 82 lit. a, Art. 86 Abs. 1 lit. d sowie Abs. 2 BGG). Ein Ausschlussgrund gemäss <ref-law> liegt nicht vor. Die Beschwerdeführerin hat am vorinstanzlichen Verfahren teilgenommen, ist durch das angefochtene Urteil besonders berührt und hat ein schutzwürdiges Interesse an dessen Aufhebung oder Änderung (<ref-law>). Die Beschwerde wurde form- und fristgerecht erhoben (Art. 42 und Art. 100 Abs. 1 BGG).
1.2. Mit dem angefochtenen Erkenntnis hat das Verwaltungsgericht die Angelegenheit nicht abschliessend beurteilt, sondern einen Rückweisungsentscheid gefällt. Dem Einwohnergemeinderat Sarnen verbleibt bei der weiteren Behandlung ein erheblicher Entscheidungsspielraum. Ein solcher Rückweisungsentscheid stellt keinen Endentscheid im Sinne von <ref-law>, sondern einen Zwischenentscheid dar (vgl. <ref-ruling> E. 1.3 S. 127). Ein Zwischenentscheid ist - von den hier nicht gegebenen Ausnahmen gemäss <ref-law> abgesehen - beim Bundesgericht nur unter den Voraussetzungen von <ref-law> anfechtbar, d.h. wenn er einen nicht wieder gutzumachenden Nachteil bewirken kann (lit. a) oder wenn die Gutheissung der Beschwerde sofort einen Endentscheid herbeiführen und damit einen bedeutenden Aufwand an Zeit oder Kosten für ein weitläufiges Beweisverfahren ersparen würde (lit. b). Nach Meinung der Beschwerdeführerin sind die Voraussetzungen von <ref-law> erfüllt.
Dies ist zutreffend. Der Beschwerdeführerin geht es darum, dass dem Bauprojekt - in den vorgesehenen Dimensionen (Höhe und Volumina) mit drei Baukörpern - der Bauabschlag erteilt wird. Mit dem Rückweisungsentscheid wurde die Beschwerdegegnerin zwar angewiesen, die Baugrubenpläne zu überarbeiten. In ortsbildlicher Hinsicht wurde das Bauvorhaben von der Vorinstanz indessen als zulässig beurteilt; der Hochbau könnte mithin grundsätzlich in den geplanten Gebäudeausmassen errichtet werden. Einerseits würde ein gutheissendes Erkenntnis des Bundesgerichts somit unmittelbar zum von der Beschwerdeführerin angestrebten Endentscheid (Verweigerung der Baubewilligung) führen. Andererseits würde sich hierdurch ein neuerliches langwieriges Bewilligungs- und allenfalls Rechtsmittelverfahren für ein Grossbauvorhaben mit den damit verbundenen Beweismassnahmen erübrigen (vgl. zum Ganzen auch Urteil 1C_180/2012 vom 13. Juni 2012 E. 1.2). Auf die Beschwerde ist daher einzutreten. Die Anträge der Beschwerdeführerin bewegen sich im Rahmen des Streitgegenstands und sind zulässig.
2.
2.1. In Bezug auf die Grundwasserproblematik hat die Vorinstanz ausgeführt, gemäss Gutachten vom 29. Juni 2015 schränke das geplante Bauprojekt die Durchflusskapazität im ungünstigsten Schnitt um 13,4 % ein. Durch eine Hinterfüllung mit sehr gut durchlässigem, kiesigem Material sowie einem unter der Bodenplatte des Nordteils der Einstellhalle angeordneten Kieskoffer oder einzelnen Kiesbahnen könne die Einschränkung gemäss Gutachter auf unter 10 % reduziert werden, was Voraussetzung für die Erteilung einer Gewässerschutzbewilligung sei. Das Gutachten sei überzeugend. Die Beschwerdegegnerin habe die im Gutachten als notwendig beschriebene Hinterfüllung und Unterkofferung in die neu zu erstellenden Pläne miteinzubeziehen, die Pläne entsprechend auszuarbeiten sowie anhand der im Gutachten festgehaltenen Messungen zur Mächtigkeit des Grundwasserstroms den rechnerischen Nachweis zu erbringen, dass die Durchflusskapazität durch die Massnahmen um weniger als 10 % verringert werde (vgl. angefochtenes Urteil E. 2).
2.2. Betreffend den geplanten Ab- und Wiederaufbau der Klostermauer hat die Vorinstanz auf das Gutachten der ENHK/EDK vom 29. Juni 2015 abgestellt. Gemäss Gutachten kann die Klostermauer nicht als denkmalpflegerisches Einzelobjekt bewertet werden, sondern sie stellt ein integrales Element des Klosterensembles dar. Durch den geplanten Ab- und Wiederaufbau könne die Mauer zwar in ihrer optischen Erscheinung originalgetreu erhalten werden, die wieder aufgebaute Mauer entspreche aber in ihrem Substanzwert nicht mehr dem Original. Dieser Substanzwert sei es jedoch, welcher die Mauer aus denkmalpflegerischer Sicht so wertvoll mache, daher müsse ein Ab- und Wiederaufbau des alten Teils der Mauer um jeden Preis verhindert werden. Die Vorinstanz hat gestützt auf diese Einschätzung der Gutachter geschlossen, der alte Teil der Klostermauer müsse ungeschmälert erhalten bleiben. Die geplante Baute könne auch ohne Beeinträchtigung der Klostermauer erstellt werden, hingegen müssten neue Pläne für die Baugrubensicherung ausgearbeitet werden (vgl. angefochtenes Urteil E. 5).
2.3. In Bezug auf die Mauer entlang der Grossgasse hat die Vorinstanz unter Hinweis auf das Gutachten der ENHK/EDK vom 29. Juni 2015 ausgeführt, die Mauer sei primär im Sinne des Bundesinventars der historischen Verkehrswege (IVS) schutzwürdig. Durch den Rück- und Wiederaufbau der Mauer würde die historische Bausubstanz zerstört, da die Mauer zwar optisch gleichwertig, aber nicht in ihrer Substanz wieder aufgebaut werden könne. Das öffentliche Interesse am ungeschmälerten Erhalt der Mauer sei sehr hoch. Die Baugrubenpläne müssten angepasst werden, da die Spundwand entlang der Grossgasse nicht wie vorgesehen gesetzt werden könne. Hingegen sei davon auszugehen, dass das geplante Bauprojekt mit einer Anpassung der Baugrubenpläne auch ohne Einbezug der Mauer entlang der Grossgasse realisiert werden könne (vgl. angefochtenes Urteil E. 6).
2.4. Zusammenfassend ist die Vorinstanz zum Schluss gekommen, die Beschwerdegegnerin müsse die Baupläne überarbeiten. Sowohl der historische Teil der Klostermauer wie auch die Mauer entlang der Grossgasse dürften nicht demontiert und wieder aufgebaut werden, da ansonsten ihre historische Substanz und damit ihr Zeugniswert verloren gingen. Mit der Anpassung der Baugrubenpläne habe die Beschwerdegegnerin auch die Auflagen gemäss Gutachten vom 29. Juni 2015 in Sachen Grundwasserschutz zu erfüllen und eine neue Gewässerschutzbewilligung einzuholen. Aufgrund der nicht nur marginalen Anpassung der Baupläne sei der Beschluss des Regierungsrats aufzuheben und die Sache zur Überarbeitung der Baupläne durch die Beschwerdegegnerin und zur neuen Bewilligung an den Einwohnergemeinderat Sarnen als Baubewilligungsbehörde zurückzuweisen (vgl. angefochtenes Urteil E. 8).
In diesen Punkten (Grundwasser, Klostermauer und Mauer entlang der Grossgasse) ist die Vorinstanz damit den Auffassungen der Gutachter gefolgt, was zur Gutheissung der Beschwerde (im Sinne der Erwägungen) geführt hat.
3.
Im Verfahren vor Bundesgericht umstritten ist die Frage des Ortsbildschutzes.
3.1. Die ENHK/EDK haben sich im Gutachten vom 29. Juni 2015 zu den Auswirkungen des Vorhabens auf das Ortsbild von nationaler Bedeutung geäussert. Sie haben eingangs betont, die Kommissionen hielten ganz generell eine Verdichtung aus ortsbildlicher Sicht für möglich. Auf dem für Sarnen höchst wichtigen Bauplatz könne durchaus ein Neubaukomplex zu stehen kommen; allerdings nur einer, der mit höchster ortsbaulicher Sorgfalt in die komplexe Situation hinein komponiert werde. Dies verlange insbesondere grösste Rücksichtnahme auf die wertvolle umgebende Bausubstanz. Der geplante dreiteilige Neubaukomplex überschreite aus Sicht der beiden Kommissionen die an diesem Ort verträglichen Gebäudemasse bezüglich Höhe und Volumen allerdings bei weitem. Er entspreche nicht der Körnung des Gebiets, wie sie im ISOS und in diesem Gutachten ausführlich dargelegt werde. Durch die grossen, dominant und monumental wirkenden Volumina verliere das Quartier seine Durchlässigkeit, welche in besonderem Masse gefordert sei. Der Neubaukomplex verletze die Schutzziele schwer. Varietät und Dichte des Gebiets, dessen baulicher Charakter sowie der Massstab der historischen Quartierbebauung gingen verloren. Die Realisierung des Bauvorhabens hätte eine schwerwiegende Beeinträchtigung des national bedeutenden Ortsbildes von Sarnen zur Folge (Gutachten S. 13 f.). Zudem würde das Neubauvorhaben auch die regional bedeutenden Schutzobjekte Kantonalbankgebäude und Salzherrenhaus schwerwiegend beeinträchtigen (Gutachten S. 17).
Die Kommissionen haben weiter festgestellt, das Ortsbild werde auch durch die solitäre, in ihrer streng kubischen Form fremde Erscheinung und die dominante Vertikalität des Gebäudes beeinträchtigt, was vor allem in der Fassadengestaltung mit den durchgehenden vertikalen Betonlamellen und der grossflächigen Verglasung augenfällig werde. Ob gleich- oder höherwertige Interessen ausserhalb des Bundesgesetzes über den Natur- und Heimatschutz vom 1. Juli 1966(NHG; SR 451) einem Schutz des ISOS-Objekts entgegenstünden, müsse das Verwaltungsgericht beurteilen. Die Kommissionen seien für diese Interessenabwägung nicht zuständig (Gutachten S. 21).
Die Kommissionen haben abschliessend festgehalten, die Volumina, die Höhen und die Architektursprache des Neubauprojekts führten zu einer Massstabslosigkeit, einer Dominanz und einer Monumentalität, die an diesem Standort nicht einen adäquaten Ausdruck darstellten. Für einen Neubau bräuchte es eine Konzeption, die von massiv geringeren Volumina sowie einer anderen ortsbaulichen Disposition ausgehen und eine subtile, den örtlichen Verhältnissen angepasste architektonische Formensprache mit entsprechender Materialisierung aufweisen würde. Das Bauvorhaben führe zusammenfassend zu einer schwerwiegenden Beeinträchtigung des Ortsbildes und stehe damit in Widerspruch zu <ref-law>.
Obwohl sich die Kommissionen zu Recht als nicht zuständig für die Interessenabwägung im Sinne von <ref-law> erachten, stellen sie abschliessend den Antrag, die Baubewilligung aufzuheben (Gutachten S. 22 f.).
3.2. Die Vorinstanz hat unter Bezugnahme auf das Gutachten der ENHK/EDK vom 29. Juni 2015 erwogen, die Kommissionen hätten trotz des bereits bestehenden Störfaktors (bisheriger Anbau) die Beeinträchtigung des Ortsbildes durch das Neubauprojekt und damit das dagegen sprechende öffentliche Interesse als sehr hoch bezeichnet. In Anwendung von <ref-law> bleibe zu prüfen, ob gleich- oder höherwertige Interessen von ebenfalls nationaler Bedeutung an der Erstellung der geplanten Baute bestünden.
Ziel des am 1. Mai 2014 in Kraft getretenen revidierten RPG (SR 700) sei die Verdichtung der Ortschaften gegen innen (Art. 1 Abs. 2 lit. a bis RPG). Mit der Schliessung der Baulücke auf der fraglichen Parzelle plane die Beschwerdegegnerin genau dies. Sollte die geplante Baute nicht in der erwünschten/benötigten Grösse erstellt werden können, werde die Beschwerdegegnerin die Parzelle voraussichtlich nicht wie vorgesehen überbauen, sondern die geplante Baute am Ortsrand erstellen, was zur weiteren Zersiedlung führen und das Ziel des RPG verfehlen würde. Die Erstellung des Neubaus am fraglichen Ort erfülle daher ein nationales öffentliches Interesse. Dieses öffentliche Interesse an der Verdichtung gegen innen allein vermöge jedoch das Interesse am Ortsbildschutz nicht zu überwiegen, da sich der Ortsbildschutz naturgemäss auf die Zentren und Ortskerne beziehe. Würde das Interesse an der Verdichtung gegen innen automatisch überwiegen, würde der Ortsbildschutz obsolet, das ISOS könnte aufgehoben werden. Daher seien noch weitere öffentliche Interessen notwendig, um von überwiegenden nationalen Interessen ausgehen zu können.
In Sarnen bestünden in Bahnhofsnähe zurzeit nur wenige Parkplätze, die über längere Zeit hinweg genutzt werden könnten. Die Kombination der Verkehrsmittel Auto und Bahn sei daher momentan nur erschwert möglich. Um der Bevölkerung den Umstieg auf die öffentlichen Verkehrsmittel nahe zu bringen, seien Parkplätze in unmittelbarer Bahnhofsnähe, die ein längerfristiges Parken des Fahrzeugs erlaubten, zwingend notwendig. Die mit dem Projekt geplante Erstellung einer Tiefgarage zur Nutzung von Park+Ride würde eine grosse Anzahl Parkplätze zur Verfügung stellen. Das bedeutende nationale öffentliche Interesse an einem gut ausgebauten Verkehrsnetz, wozu auch die Verbindung von Bahn und Strasse gehöre (vgl. Art. 3 Abs. 3 lit. a, Art. 6 Abs. 3 lit. b und Art. 8a Abs. 1 lit. b RPG), werde durch den geplanten Bau gefördert.
Zusammenfassend sei das öffentliche Interesse am Erhalt des heutigen Ortsbildes zwar gross, das Interesse werde indes durch die bereits vorhandenen Störfaktoren relativiert. Insbesondere bestünden aber gewichtige öffentliche Interessen von nationaler Bedeutung, die für die Überbauung der Baulücke im Dorfzentrum mit dem in Frage stehenden Bauprojekt sprächen. Zum einen könne der raumplanungsrechtliche Auftrag der Verdichtung der Ortschaften gegen innen erfüllt werden; zum andern werde die Nutzung des öffentlichen Verkehrs gefördert. Unter diesen Umständen überwiege das nationale öffentliche Interesse an der Erstellung der geplanten Baute das Interesse an einem Bauabschlag aus Gründen des Ortsbildschutzes (vgl. zum Ganzen angefochtenes Urteil E. 7).
3.3. Die Beschwerdeführerin rügt eine Verletzung von <ref-law> und wirft der Vorinstanz eine fehlerhafte Interessenabwägung vor. Vorliegend seien die beiden Kommissionen zu Recht der Auffassung, dass das Neubauprojekt eine schwerwiegende Beeinträchtigung des Ortsbildes von nationaler Bedeutung in Sarnen darstelle. Dies werde auch von der Vorinstanz im Wesentlichen nicht in Frage gestellt.
Im zu beurteilenden Fall fehle es entgegen der Auffassung der Vorinstanz an gleich- oder höherwertigen Eingriffsinteressen von nationaler Bedeutung. Selbst wenn der Bau zur inneren Verdichtung beitrage, so sei er jedenfalls nicht von nationaler Bedeutung. Ebenso wenig vermöge eine Park+Ride-Anlage für einen Hauptort ein nationales Interesse im Sinne von <ref-law> zu begründen. Zusammenfassend hätte die Vorinstanz dem angefochtenen Neubauprojekt den Bauabschlag erteilen müssen. Anders hätte nur entschieden werden dürfen, wenn dem Bauvorhaben der Beschwerdegegnerin im Sinn von <ref-law> gleich- oder höherwertige Interessen von ebenfalls nationaler Bedeutung entgegengestanden hätten (vgl. zum Ganzen Beschwerde S. 21 ff.).
3.4. Die Beschwerdegegnerin weist in ihrer Stellungnahme im bundesgerichtlichen Verfahren vom 26. April 2016 darauf hin, dass gemäss den Unterlagen des durchgeführten Architektur-Wettbewerbs ausdrücklich die "gute Integration der Erweiterung in die bestehende, teilweise denkmalgeschützte städtebauliche Umgebung" gefordert worden sei. Der Jurybericht habe in Bezug auf das Siegerprojekt, welches die Grundlage des Bauvorhabens bilde, unter anderem festgehalten, dass die beiden leicht schiefwinkligen Neubauteile in ihrer Grösse zwischen dem kleinmassstäblichen Dorfkern im Norden und den grösseren Bauten des Frauenklosters, des Gemeindehauses und des Dorfschulhauses im Süden vermittelten. Dem Jurybericht zufolge würden die vertikalen Betonlamellen den Fassaden eine dem geschützten Ortsbild entsprechende Feingliedrigkeit verleihen und in einen Dialog mit der rekonstruierten Seitenfassade des historischen Bankgebäudes treten. Die Bausubstanz des denkmalgeschützten Altbaus werde weitestgehend respektiert. Damit gehe das Projekt den Weg einer versöhnlichen und unspektakulären Verbindung von Alt und Neu, was der Aufgabe und der Lage im historischen Ortskern durchaus angemessen erscheine. Tradition und Innovation würden zu einer ausdrucksstarken Einheit verschmelzen und damit das Unternehmen in seinem eigenen Selbstverständnis repräsentieren (vgl. Bericht des Preisgerichts, Projektwettbewerb, vom 20. Juni 2007 S. 22 f.).
Die Beschwerdegegnerin hebt weiter hervor, auch die kantonale Kulturpflegekommission sei zum Schluss gekommen, es sei gegen das Bauvorhaben aus Sicht des Ortsbild-, Denkmal- und Umgebungsschutzes nichts einzuwenden. Zusammenfassend betont die Beschwerdegegnerin, es bestünden somit fachkompetente und sachverständige Auffassungen, die ein Abweichen vom Standpunkt gemäss Gutachten der ENHK/EDK rechtfertigen würden (Stellungnahme der Beschwerdegegnerin vom 26. April 2016 S. 12 f.).
3.5. Das Bundesamt für Kultur BAK hat in seiner Stellungnahme an das Bundesgericht vom 14. Juni 2016 festgehalten, es erachte die von der Vorinstanz vorgenommene Interessenabwägung als methodisch nicht korrekt. Der Umstand, dass Aufgaben grundsätzlich eine nationale Bedeutung zuerkannt werde - wie hier allenfalls der Siedlungsentwicklung nach innen und der Förderung des öffentlichen Verkehrs als sog. Aufgabeninteressen -, führe noch nicht dazu, dass auch jedes konkrete Vorhaben zur Verwirklichung der Aufgaben - hier das Neubauprojekt der Beschwerdegegnerin - automatisch ebenfalls von nationaler Bedeutung sei. Dieser Unterscheidung werde im angefochtenen Urteil fälschlicherweise kaum Beachtung geschenkt. Zusammenfassend sei das BAK der Ansicht, dass im vorliegenden Fall kein Eingriffsinteresse von nationaler Bedeutung vorliege (Stellungnahme BAK vom 14. Juni 2016 S. 2 f.).
4.
4.1. Im zu beurteilenden Fall liegt eine Bundesaufgabe im Sinne von <ref-law> vor (eingehend Urteil 1C_482/2012 vom 14. Mai 2012 E. 3.4 und 3.5 in der gleichen Sache). Bei der Erfüllung von Bundesaufgaben sorgen der Bund, seine Anstalten und Betriebe sowie die Kantone dafür, dass das heimatliche Landschafts- und Ortsbild, geschichtliche Stätten sowie Natur- und Kulturdenkmäler geschont werden und, wo das allgemeine Interesse an ihnen überwiegt, ungeschmälert erhalten bleiben (<ref-law>). Hierfür erstellt der Bundesrat nach Anhören der Kantone Inventare von Objekten nationaler Bedeutung (<ref-law>). Dazu zählen namentlich das Bundesinventar der schützenswerten Ortsbilder von nationaler Bedeutung und das Bundesinventar der historischen Verkehrswege der Schweiz gemäss den entsprechenden Verordnungen vom 9. September 1981 (VISOS; SR 451.12) und vom 14. April 2010 (VIVS; SR 451.13). Durch die Aufnahme eines Objekts von nationaler Bedeutung in ein Inventar des Bundes wird dargetan, dass es in besonderem Masse die ungeschmälerte Erhaltung, jedenfalls unter Einbezug von Wiederherstellungs- oder angemessenen Ersatzmassnahmen die grösstmögliche Schonung verdient (<ref-law>). Ein Abweichen von der ungeschmälerten Erhaltung im Sinne der Inventare darf bei Wahrnehmung einer Bundesaufgabe nur in Erwägung gezogen werden, wenn ihr bestimmte gleich- oder höherwertige Interessen von ebenfalls nationaler Bedeutung entgegenstehen (<ref-law>).
4.2. Beeinträchtigungen im Sinne eines Abweichens von der ungeschmälerten Erhaltung als schwere Eingriffe in ein geschütztes Objekt sind mithin nur unter den Voraussetzungen von <ref-law> zulässig. Diese Bestimmung stellt eine sachgesetzliche Konkretisierung des Verfahrens zur Interessenabwägung dar. Der Abwägungsprozess wird formell vorstrukturiert und materiell eingeschränkt. Damit statuiert <ref-law> strengere Anforderungen an das Abwägungsprozedere als z.B. Art. 3 der Raumplanungsverordnung vom 28. Juni 2000 (RPV; SR 700.1) über die allgemeine Interessenabwägung oder Art. 24 RPG und Art. 5 des Bundesgesetzes über den Wald vom 4. Oktober 1991 (Waldgesetz, WaG; SR 921.0) mit ihren Abwägungsvorbehalten (Pierre Tschannen / Fabian Mösching, Nationale Bedeutung von Aufgaben- und Eingriffsinteressen im Sinne von <ref-law>, Gutachten im Auftrag des BAFU, 7. November 2012, S. 18).
Durch die Aufnahme eines Objekts in das Bundesinventar ISOS ist das nationale öffentliche Schutzinteresse erstellt. Auf der Gegenseite dürfen konsequenterweise nur Eingriffsinteressen von ebenfalls nationaler Bedeutung in die Abwägung einbezogen werden. Die Prüfung der nationalen Bedeutung hat zweistufig zu erfolgen. Zunächst muss die Aufgabe als solche einem öffentlichen Interesse von nationaler Bedeutung dienen. Sodann muss feststehen, dass auch das zu beurteilende Einzelprojekt ausreichend zur Verwirklichung dieser Aufgabe beiträgt. Die abstrakte Zuerkennung einer nationalen Bedeutung heisst somit nicht ohne Weiteres, dass auch jedes konkrete Vorhaben zur Verwirklichung der Aufgabe von nationaler Bedeutung ist (Tschannen / Mösching, a.a.O., S. 23 ff.).
5.
Das Gericht darf in Fachfragen nicht ohne triftige Gründe von Gutachten abweichen und muss Abweichungen begründen (<ref-ruling> E. 5.4.2 S. 345 f.).
Vorliegend haben die beiden zuständigen Fachkommissionen in ihrem ausführlichen Gutachten vom 29. Juni 2015 begründet, weshalb das geplante Bauprojekt aus ihrer Sicht zu einer schwerwiegenden Beeinträchtigung des Ortsbildes von nationaler Bedeutung führt (vgl. E. 3.1 hiervor). Zwar fällt auf, dass dabei - wie von der Beschwerdegegnerin zutreffend dargelegt (vgl. E. 3.4 hiervor) - eine grosse Diskrepanz zu den Einschätzungen der Wettbewerbs-Jury und der kantonalen Kulturpflegekommission besteht, welche das Bauvorhaben als mit den Anliegen des Ortsbildschutzes vereinbar qualifiziert haben. Auch vermag das Gutachten der ENHK/EDK kaum in allen Punkten zu überzeugen. So wird etwa die Aussage, der neu geplante Kundentrakt wirke nicht als Annex zum geschützten Altbau und einstigen Hauptbau der Bank, sondern spiele diesen in Umkehrung der Situation zum Annex herunter (Gutachten ENHK/EDK vom 20. Juni 2015 S. 13), nicht weiter begründet und liegt angesichts der nicht sehr grossen Unterschiede hinsichtlich der Gebäudemasse auch nicht auf der Hand.
Die Vorinstanz hat das Gutachten der ENHK/EDK indes nicht grundsätzlich in Frage gestellt, sondern folgt diesem, indem sie in Anwendung von <ref-law> geprüft hat, ob gleich- oder höherwertige Interessen von ebenfalls nationaler Bedeutung an der Erstellung der geplanten Baute bestünden (vgl. E. 3.2 hiervor). Auch für das Bundesgericht besteht unter diesen Umständen keine Veranlassung, von der bei einer Gesamtbetrachtung und im Ergebnis nachvollziehbaren Meinung der ENHK/EDK als Fachkommissionen abzuweichen.
6.
Konkret umstritten ist, ob die Vorinstanz <ref-law> verletzt hat, indem sie gefolgert hat, im zu beurteilenden Fall stellten die Interessen der Verdichtung der Ortschaften gegen innen (Art. 1 Abs. 2 lit. a bis RPG) und die Förderung des öffentlichen Verkehrs (vgl. Art. 3 Abs. 3 lit. a, Art. 6 Abs. 3 lit. b und Art. 8a Abs. 1 lit. b RPG) gleich- oder höherwertige Interessen von "ebenfalls nationaler Bedeutung" dar, so dass das Interesse an der Erstellung der geplanten Baute jenes an einem Bauabschlag aus Gründen des Ortsbildschutzes überwiege.
Wie dargelegt (E. 4.2 hiervor), hat die Prüfung der nationalen Bedeutung eines Interesses zweistufig zu erfolgen hat. Erstens hat die Bundesaufgabe als solche grundsätzlich eine nationale Bedeutung aufzuweisen. Zweitens muss auch das Eingriffsinteresse im konkreten Fall von nationaler Bedeutung sein. Zu fragen ist, ob das geplante Projekt mit dem damit verbundenen schweren Eingriff ausreichend zur Verwirklichung des Aufgabeninteresses von nationaler Bedeutung beiträgt.
Die Aufgabeninteressen der Siedlungsentwicklung nach innen und der Förderung des öffentlichen Verkehrs, welchen der Gesetzgeber im RPG grosses Gewicht beimisst, sind von nationaler Bedeutung, wie die Vorinstanz zu Recht unter Verweis auf Art. 1 Abs. 2 lit. a bis und Art. 3 Abs. 3 lit. a RPG erkannt hat. Indes kann dem Interesse an einer Verdichtung auch mit einem redimensionierten Projekt Rechnung getragen werden, und eine unterirdische Park+Ride-Anlage bedingt von vornherein keine oberirdische Baute in den vorgesehenen Gebäudemassen (Höhe und Volumen). Jedenfalls wird von den kantonalen Instanzen nicht dargetan und ist nicht ersichtlich, dass den genannten nationalen Interessen allein mit dem vorgelegten Projekt entsprochen werden kann. Die blosse Mutmassung, dass die Obwaldner Kantonalbank bei Ablehnung des Bauprojekts die Erstellung eines Neubaus ausserhalb des Ortskerns in Betracht zöge, lässt entgegen der Vorinstanz nicht den Schluss zu, dass die gewünschte Siedlungsverdichtung und die Schaffung zusätzlicher Parkplätze in Bahnhofsnähe nicht auch mit einem neuen, redimensionierten Projekt erreicht werden könnte. Das Gutachten der ENHK/EDK schliesst denn auch eine verdichtete Überbauung am fraglichen Ort nicht kategorisch aus, ebenso wenig die Erstellung einer Parkierungsanlage, wenn dem Ortsbildschutz mehr Beachtung geschenkt wird. Zu betonen bleibt jedoch ebenfalls, dass die Anforderungen an die Eingliederung nicht so weit getrieben werden dürfen, dass der Beschwerdegegnerin bei einer allfälligen Neuprojektierung praktisch überhaupt kein Spielraum verbleibt. Insbesondere muss es ihr auch erlaubt sein, mit einem Neubau moderne Akzente zu setzen, wie dies in vielen historischen Ortskernen geschehen ist.
Zusammenfassend hat die Vorinstanz demnach die Bestimmung von <ref-law> in bundesrechtswidriger Weise angewendet. Da das geplante Bauprojekt zu einer schwerwiegenden Beeinträchtigung eines Ortsbildes von nationaler Bedeutung führt, ohne dass dem gleich- oder höherwertige Interessen von ebenfalls nationaler Bedeutung entgegenstehen, hätte die Baubewilligung nicht erteilt werden dürfen.
7.
Die Beschwerde ist folglich gutzuheissen, die Ziffer 1 des angefochtenen Entscheids aufzuheben und die Baubewilligung zu verweigern (<ref-law>).
Bei diesem Ausgang des Verfahrens sind die Kosten des bundesgerichtlichen Verfahrens der unterliegenden Beschwerdegegnerin aufzuerlegen (<ref-law>). Diese hat der Beschwerdeführerin eine angemessene Parteientschädigung auszurichten (Art. 68 Abs. 1 und 2 BGG). Eine Neuregelung der Kosten- und Entschädigungsfolgen für das kantonale Verfahren erübrigt sich (vgl. Sachverhalt lit. B. hiervor).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird gutgeheissen. Die Ziffer 1 des Entscheids des Verwaltungsgerichts des Kantons Obwalden vom 26. Januar 2016 und die Baubewilligung des Einwohnergemeinderats Sarnen vom 16. Mai 2011 werden aufgehoben.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 4'000.-- werden der Beschwerdegegnerin auferlegt.
3.
Die Beschwerdegegnerin hat die Beschwerdeführerin für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 4'000.-- zu entschädigen.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien, dem Einwohnergemeinderat Sarnen, dem Regierungsrat des Kantons Obwalden, dem Verwaltungsgericht des Kantons Obwalden, dem Bundesamt für Umwelt und dem Bundesamt für Kultur schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 21. März 2017
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Merkli
Der Gerichtsschreiber: Stohner