Faits :
A.
A.a. A._, née en 1976, a été employée par la société B._ SA en qualité de serveuse du 1 er juin 2006 au 31 mai 2007. En février 2006, elle a subi une intervention chirurgicale au niveau de la colonne cervicale (discectomie C6-C7 avec mise en place d'une prothèse cervicale). Victime d'une chute dans les escaliers le 20 juillet suivant, elle a subi un traumatisme crânien avec perte de connaissance et des douleurs cervicales post-traumatiques.
A.b. Le 9 octobre 2009, A._ a présenté une demande de prestations de l'assurance-invalidité. L'Office cantonal genevois de l'assurance-invalidité (ci-après: l'office AI) a requis une copie du dossier médical constitué par l'assureur-accidents et recueilli de nombreux avis médicaux. Il a confié une expertise pluridisciplinaire (rhumatologique, neurologique et psychiatrique) à la Clinique romande de réadaptation (CRR), laquelle a été mise en oeuvre les 25 et 26 octobre 2011.
Dans leur rapport d'expertise du 29 novembre 2011, les médecins de la CRR ont posé les diagnostics - avec répercussion sur la capacité de travail - de personnalité histrionique (F60.4), épisode de troubles dissociatifs moteur et sensoriel (F44.4-44.6), cervico-brachialgies gauches chroniques (M53.1), status après discectomie C6-C7 et mise en place d'une prothèse cervicale le 7 février 2006 et status après ablation de la prothèse cervicale et spondylodèse en 2009. Ils ont également fait état d'un trouble dépressif récurrent en rémission (F33.4) et d'hyperprolactinémie, lesquels n'avaient toutefois pas d'influence sur la capacité de travail. En ce qui concerne la capacité de travail, les experts ont retenu, sur le plan somatique, que l'activité habituelle n'était plus exigible et que, dans une activité adaptée, la capacité de travail était entière dès le 1 er janvier 2010. Sur le plan psychiatrique, la capacité de travail était nulle depuis le mois de juillet 2011 mais, sous la forme de mesures de réinsertion socio-professionnelles dans un environnement protégé, elle serait de 50 % au moins.
En réponse à des questions complémentaires de l'office AI, les docteurs C._ et D._, du service de psychosomatique de la CRR, ont précisé que c'étaient les manifestations du trouble dissociatif qui étaient responsables de l'incapacité de travail mais que le trouble de la personnalité prédisposait à ces manifestations. En outre, les critères de gravité établis par la jurisprudence en cas de troubles somatoformes douloureux n'étaient selon eux pas transposables à un autre diagnostic (lettre du 21 mars 2012). Par la suite, la doctoresse D._ a confirmé que le trouble de la personnalité seul n'était pas incapacitant mais que son association au trouble de conversion conférait à celui-ci sa valeur incapacitante (lettre du 23 novembre 2012).
A.c. Après consultation du Service médical régional de l'assurance-invalidité, l'office AI a reconnu le droit de l'assurée à une rente entière d'invalidité pour la période du 1 er avril 2010 au 31 janvier 2012 (décision du 12 juin 2014). Il a retenu que depuis le 21 juillet 2006 la capacité de travail de l'assurée était nulle dans son activité habituelle et que, dans une activité adaptée, elle était de 60 % depuis le 2 novembre 2011 (date du rapport des experts psychiatres). Cela correspondait à un taux d'invalidité (de 37 %) insuffisant pour le maintien de la rente.
B.
L'assurée a déféré cette décision à la Chambre des assurances sociales de la Cour de Justice de la République et canton de Genève, laquelle a admis le recours et annulé la décision du 12 juin 2014 dans le sens des considérants (jugement du 1 er juillet 2015). En résumé, la juridiction cantonale a considéré que l'office AI devait poursuivre le versement de la rente entière d'invalidité au-delà du 31 janvier 2012.
C.
L'office AI interjette un recours en matière de droit public contre ce jugement, dont il demande l'annulation. Il conclut principalement à la confirmation de sa décision du 12 juin 2014 et, subsidiairement, au renvoi de la cause à la juridiction cantonale pour nouvel examen. Préalablement, il a requis l'attribution de l'effet suspensif à son recours.
L'intimée conclut au rejet du recours et requiert l'octroi de l'assistance judiciaire. La juridiction cantonale déclare renoncer à se déterminer. Quant à l'Office fédéral des assurances sociales (OFAS), il conclut à l'admission du recours.
D.
Par ordonnance du 11 décembre 2015, le Juge instructeur a accordé l'effet suspensif au recours de l'office AI.

Considérant en droit :
1.
1.1. Le recours est dirigé contre un arrêt final (<ref-law>) rendu en matière de droit public (<ref-law>) par une autorité cantonale de dernière instance (art. 86 al. 1 let. d LTF). Il a été déposé dans le délai (<ref-law>) et la forme (<ref-law>) prévus par la loi. Il est donc recevable.
1.2. Le Tribunal fédéral conduit son raisonnement juridique sur la base des faits établis par l'autorité précédente (<ref-law>). Il ne peut s'en écarter que si les faits ont été établis de façon manifestement inexacte - notion qui correspond à celle d'arbitraire au sens de l'art. 9 Cst. (<ref-ruling> consid. 1.3.1 p. 253 et les arrêts cités) - ou en violation du droit au sens de l'<ref-law> (<ref-law>), et pour autant que la correction du vice soit susceptible d'influer sur le sort de la cause (<ref-law>).
2.
En l'espèce, il n'est pas contesté que l'intimée peut prétendre le versement d'une rente entière d'invalidité pour la période du 1 er avril 2010 au 31 janvier 2012. Le litige porte sur le maintien de la rente au-delà du 31 janvier 2012, singulièrement, sur le point de savoir si les circonstances relatives à l'état de santé de l'intimée ont changé de manière à entraîner une modification notable du degré d'invalidité au sens de l'<ref-law> (RS 830.1). On rappellera que cette disposition est applicable par analogie lorsque l'administration rend une décision par laquelle elle accorde une rente avec effet rétroactif et prévoit, en même temps, la réduction ou la suppression de cette rente (<ref-ruling> consid. 2d p. 417 s.).
3.
3.1. Se fondant sur l'appréciation des médecins de la CRR, les juges cantonaux ont retenu que, depuis juillet 2011, l'atteinte à la santé psychique de l'intimée entraînait une incapacité de travail totale sur le marché ordinaire du travail. Aussi ont-ils considéré qu'en novembre 2011, la capacité de gain de celle-ci était restée inchangée, de sorte que l'office AI n'était pas fondé à limiter le droit à une rente d'invalidité au 31 janvier 2012 (<ref-law> a contrario [RS 831.201]).
L'autorité cantonale a retenu en particulier que la doctoresse D._ avait indiqué à deux reprises que, de son point de vue médical, les critères développés par la jurisprudence en matière de troubles somatoformes douloureux n'étaient pas transposables à un autre diagnostic psychiatrique (lettres des 21 mars 2012 et 20 février 2015). A cet égard, les premiers juges ont relevé que le Tribunal fédéral avait laissé la question ouverte dans deux arrêts concernant des cas de troubles dissociatifs de conversion mixtes (9C_676/2008 du 12 janvier 2009 et 9C_573/2009 du 16 décembre 2009). Dans le premier arrêt, il avait même indiqué qu'il était douteux que tel soit le cas, au regard notamment d'avis médicaux se prononçant contre une application par analogie. Certes, le Tribunal fédéral avait admis l'applicabilité de cette jurisprudence aux troubles moteurs dissociatifs dans l'arrêt 9C_903/2007 du 30 avril 2008 (consid. 3.4), ainsi qu'aux cas d'anesthésie dissociative et atteintes sensorielles dans l'arrêt I 9/07 du 9 février 2007 (consid. 4). Ces causes se différenciaient toutefois du cas d'espèce par l'absence de comorbidité psychiatrique. Relevant enfin que la nouvelle jurisprudence - en matière de troubles somatoformes douloureux - consacrée à l'<ref-ruling> pointe du doigt des schématismes incompatibles avec la libre appréciation des preuves et l'application du droit d'office, la juridiction cantonale a considéré qu'il se justifiait de renoncer à l'application par analogie des critères jurisprudentiels régissant l'évaluation des symptomatologies douloureuses sans substrat organique objectivable.
3.2. De son côté, le recourant fait valoir que la cour cantonale a violé le droit fédéral en s'abstenant d'examiner le caractère invalidant des troubles dissociatifs au regard des critères susmentionnés. Il soutient en particulier que l'<ref-ruling> n'a pas la portée que lui prête la juridiction cantonale et que cette nouvelle jurisprudence, tout comme l'ancienne, s'applique également aux troubles dont souffre l'intimée.
4.
4.1. En l'occurrence, la juridiction cantonale ne pouvait relativiser la portée des arrêts 9C_903/2007 et I 9/07, dans la mesure où l'application des critères développés en matière de troubles somatoformes douloureux aux cas de troubles moteurs dissociatifs (F44.4) et d'anesthésie dissociative et atteintes sensorielles (F44.6) a été confirmée à de nombreuses reprises et notamment dans plusieurs arrêts de principe (cf. <ref-ruling> consid. 2.2.1.3 p. 13 s.; <ref-ruling> consid. 4.2 p. 68; <ref-ruling> consid. 3.2.1 p. 282). Même si dans les arrêts 9C_676/2008 et 9C_573/2009 (cités par la juridiction cantonale) il n'a pas été nécessaire de se prononcer sur la question, il n'en reste pas moins que, dans les arrêts invoqués, celle-ci n'a pas été tranchée dans un sens contraire à la jurisprudence constante.
4.2.
4.2.1. Dès lors que la juridiction cantonale a fait sienne l'appréciation de la doctoresse D._ sur le caractère invalidant des troubles dissociatifs (le trouble de la personnalité n'ayant de caractère invalidant qu'en tant qu'il prédispose aux manifestations de ces troubles), il se pose la question de savoir si l'application de la jurisprudence en matière d'affections psychosomatiques est susceptible de conduire à un autre résultat dans le cas particulier.
4.2.2. Dans l'<ref-ruling>, le Tribunal fédéral a revu et modifié en profondeur le schéma d'évaluation de la capacité de travail, respectivement de l'incapacité de travail, en cas de syndrome douloureux somatoforme et d'affections psychosomatiques comparables. Il a notamment abandonné la présomption selon laquelle les troubles somatoformes douloureux ou leurs effets pouvaient être surmontés par un effort de volonté raisonnablement exigible (<ref-ruling> consid. 3.4 p. 291 ss et 3.5 p. 294) et introduit un nouveau schéma d'évaluation au moyen d'un catalogue d'indicateurs (<ref-ruling> consid. 4 p. 296). Il a en revanche maintenu, voire renforcé la portée des motifs d'exclusion définis dans l'<ref-ruling>, aux termes desquels il y a lieu de conclure à l'absence d'une atteinte à la santé ouvrant le droit aux prestations d'assurance, si les limitations liées à l'exercice d'une activité résultent d'une exagération des symptômes ou d'une constellation semblable, et ce même si les caractéristiques d'un trouble somatoforme douloureux - respectivement d'une affection psychosomatique comparable - au sens de la classification sont réalisées. Des indices d'une telle exagération apparaissent notamment en cas de discordance entre les douleurs décrites et le comportement observé, l'allégation d'intenses douleurs dont les caractéristiques demeurent vagues, l'absence de demande de soins, de grandes divergences entre les informations fournies par le patient et celles ressortant de l'anamnèse, le fait que des plaintes très démonstratives laissent insensible l'expert, ainsi que l'allégation de lourds handicaps malgré un environnement psycho-social intact.
4.2.3. En principe, il n'appartient pas au Tribunal fédéral d'établir les faits (cf. <ref-law>). Il peut cependant les constater et les apprécier d'office aux conditions de l'<ref-law>.
4.2.4. Les médecins de la CRR ont fait état de nombreuses observations allant clairement dans le sens d'une exagération. On peut mentionner les éléments suivants: selon l'expert rhumatologue, la douleur alléguée paraît démesurée au regard du comportement que l'assurée adopte en sa présence. Il estime également que pour une personne autonome dans sa vie, ses déplacements et la gestion de son ménage, les projets professionnels de l'assurée paraissent peu investis (en ce sens qu'il ne comprend pas pourquoi elle pourrait, selon ses propres dires, travailler au plus trois heures par jour mais de façon discontinue dans la gestion d'un établissement public). En outre, selon l'experte psychiatre, l'assurée frappe par son côté démonstratif, l'entretien étant ponctué de soupirs profonds, de grimaces, de mouvements mal coordonnés et brusques de " pantin désarticulé " qui concourent à une impression de théâtralité.
Ces éléments plaident en faveur d'un motif d'exclusion au sens de la jurisprudence (cf. consid. 2.2 de l'<ref-ruling>).
4.2.5. On ajoutera que dans son rapport du 2 novembre 2011, la doctoresse D._ a préconisé des mesures de réinsertion socio-professionnelles, lesquelles auraient pu contribuer à interrompre le processus de chronicisation et entraîner une évolution favorable de la capacité de travail de l'assurée. L'office AI n'a toutefois pas pu mettre en oeuvre de telles mesures, étant donné que l'intimée, se déclarant inapte à une quelconque activité, a fait valoir qu'elle rejetterait toute proposition que celui-ci pourrait lui faire sur le plan professionnel (lettre du 30 janvier 2014). Par ailleurs et comme le souligne l'OFAS, le traitement suivi par l'assurée a été jugé adéquat par l'experte; le lien établi avec son psychiatre semble lui permettre d'approcher progressivement " les liens entre corps et esprit ". On peut en déduire que le traitement a un effet positif et qu'il existe des possibilités thérapeutiques permettant d'éviter une évolution vers un état chronique. On notera enfin que les résultats obtenus lors des évaluations dans les ateliers professionnels de la CRR, dans des activités ne comportant pas de contraintes posturales majeures ni de contraintes d'exercice de force de préhension majeures sont qualifiés de " très satisfaisants, tant en terme de qualité d'exécution qu'en terme de vitesse d'exécution "; les temps d'exécution sont même supérieurs aux normes. Les experts médicaux de la CRR soulignent le paradoxe à se prévaloir de l'impossibilité d'exercer une quelconque activité professionnelle et à démontrer en même temps une capacité d'exercer les activités proposées. Ils ne font pas état d'une incapacité fonctionnelle, mais attribuent les difficultés d'adhérer à un processus de réadaptation professionnelle au comportement très démonstratif de l'assurée et à son attitude de victimisation.
4.2.6. De l'ensemble de ces éléments on peut déduire que l'atteinte à la santé ne présente pas un degré de gravité suffisant pour lui reconnaître un caractère invalidant justifiant le versement d'une rente (voir <ref-ruling> consid. 4.3 p. 298 ss).
5.
5.1. Dans sa réponse au recours, l'intimée s'en prend au jugement attaqué en tant qu'il concerne l'aspect somatique. Elle fait valoir que, sur ce plan également, l'autorité cantonale aurait dû retenir une incapacité totale de travail dans toute activité. Elle lui reproche en particulier de n'avoir pas suivi l'avis du docteur E._, spécialiste en rhumatologie et médecine interne générale et médecin traitant, lequel faisait état de cervicalgies, d'irradiations douloureuses dans le bras gauche, de douleurs dorsales et de lombalgies dans un rapport médical du 24 juin 2014.
5.2. Sur le plan somatique, les premiers juges ont retenu que les rapports médicaux versés au dossier, dont le rapport susmentionné du docteur E._, ne faisaient pas mention d'éléments médicaux objectivables qui auraient été ignorés par les médecins de la CRR. Cela étant, le recourant ne démontre pas en quoi ces constatations seraient arbitraires. On notera par ailleurs que dans une cause parallèle opposant l'intimée à son assureur-accidents, le Tribunal fédéral a retenu, sous l'angle purement somatique et sur la base du même rapport d'expertise de la CRR, que l'assurée disposait d'une capacité de travail entière dans une activité adaptée, excluant le droit à une rente d'invalidité de l'assurance-accidents (arrêt 8C_383/2013 du 1 er avril 2014).
Sur cet aspect également, on doit conclure à l'absence d'atteinte à la santé invalidante justifiant le maintien de la rente d'invalidité.
6.
Le recours doit par conséquent être admis, le jugement attaqué annulé et la décision litigieuse confirmée.
7.
L'intimée, qui succombe, doit supporter les frais judiciaires (<ref-law>). Cependant, elle a déposé pour la procédure fédérale une demande d'assistance judiciaire visant à la dispense des frais judiciaires et à la désignation d'un avocat d'office. Les conditions d'octroi étant réalisées (art. 64 al. 1 et 2 LTF), celle-ci lui est accordée. Son attention est toutefois attirée sur le fait qu'elle devra rembourser la caisse du Tribunal si elle devient en mesure de le faire ultérieurement (<ref-law>).

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce :
1.
Le recours est admis. Le jugement de la Chambre des assurances sociales de la Cour de justice de la République et canton de Genève du 1 er juillet 2015 est annulé et la décision de l'Office de l'assurance-invalidité du canton de Genève du 12 juin 2014 confirmée.
2.
L'assistance judiciaire est accordée et M e Gilbert Bratschi est désigné comme avocat d'office.
3.
Les frais judiciaires, arrêtés à 800 fr., sont mis à la charge de l'intimée. Ils sont toutefois supportés provisoirement par la Caisse du Tribunal fédéral.
4.
Une indemnité de 2'800 fr., supportée par la Caisse du Tribunal fédéral, est allouée à M e Gilbert Bratschi à titre d'honoraires.
5.
La cause est renvoyée à la Chambre des assurances sociales de la Cour de justice de la République et canton de Genève pour nouvelle décision sur les frais et les dépens de la procédure antérieure.
6.
Le présent arrêt est communiqué aux parties, à la Chambre des assurances sociales de la Cour de justice de la République et canton de Genève et à l'Office fédéral des assurances sociales.
Lucerne, le 3 février 2016
Au nom de la Ire Cour de droit social
du Tribunal fédéral suisse
Le Président : Maillard
La Greffière : Castella