Sachverhalt:
A.
Im Frühjahr 2014 eröffnete das Familiengericht Kulm als Kindes- und Erwachsenenschutzbehörde (KESB) aufgrund einer Gefährdungsmeldung ein Verfahren zur Prüfung von Erwachsenenschutzmassnahmen für A._ (geb. 1962). Eine in diesem Zusammenhang am 15. Dezember 2014 von A._ erhobene "Beschwerde/Aufsichtsanzeige" blieb erfolglos (vgl. Urteil 5A_1011/2014 vom 5. Januar 2015). Am 13. Januar 2015 stellte A._ beim Familiengericht gegen die verfahrensleitende Fachrichterin B._ ein Ausstandsgesuch. Ausserdem ersuchte er um Auskunft über ihn betreffende Massnahmen. Mit Beschluss vom 22. Januar 2015 wies das Familiengericht das Ablehnungsbegehren ab und stellte die Errichtung einer Vertretungsbeistandschaft nach <ref-law> in Aussicht. Die von A._ gegen diesen Beschluss erhobene Beschwerde wies das Bundesgericht letztinstanzlich mit Entscheid vom 9. Dezember 2015 ab, soweit es darauf eintrat (Urteil 5A_706/2015). Mit Entscheid vom 18. Februar 2016 errichtete das Familiengericht über A._ die in Aussicht gestellte Vertretungsbeistandschaft.
B.
Bereits a m 8. Februar 2016 war A._ ans Obergericht des Kantons Aargau, Kammer für Kindes- und Erwachsenenschutz, gelangt und hatte beantragt, es sei die Befangenheit der Präsidentin des Familiengerichts, C._, festzustellen. Eventuell sei eine Rechtsverweigerung oder Rechtsverzögerung festzustellen und die Angelegenheit an das Familiengericht zurückzuweisen. Weiter sei das Familiengericht anzuweisen, ihm Auskunft über getroffene Massnahmen zu erteilen. Ausserdem hätten die Mitglieder der Kammer für Kindes- und Erwachsenenschutz in den Ausstand zu treten und sei ihm die unentgeltliche Rechtspflege zu gewähren. Mit Entscheid vom 28. April 2016 (eröffnet 20. Mai 2016) wies das Obergericht die Beschwerde ab, soweit es darauf eintrat. Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege wies es ebenfalls ab.
C.
Mit Beschwerde in Zivilsachen vom 20. Juni 2016 (Postaufgabe) gelangt A._ (Beschwerdeführer) an das Bundesgericht. Er beantragt die Aufhebung des Entscheids vom 28. April 2016 und die Rückweisung der Angelegenheit an eine "unbefangene, zuständige Instanz". Ausserdem ersucht er um unentgeltliche Rechtspflege.
Das Bundesgericht hat die Akten des Verfahrens indessen keine Vernehmlassungen eingeholt. Am 10. August 2016 hat A._ eine ergänzende Eingabe eingereicht.

Erwägungen:
1.
1.1. Angefochten ist ein Zwischenentscheid einer letzten kantonalen Instanz (<ref-law>), die über eine Rechtsverweigerungs- bzw. Rechtsverzögerungsbeschwerde (vgl. hinten E. 6.2) sowie ein Ausstandsgesuch entschieden hat. Soweit das Ausstandsbegehren betreffend unterliegt der Entscheid nach <ref-law> der Beschwerde. Betreffend die Rechtsverweigerung bzw. Rechtsverzögerung droht ein nicht wieder gutzumachender Nachteil im Sinne von Art. 93 Abs. 1 Bst. a BGG, weil die geltend gemachte Rechtsverweigerung bzw. Rechtsverzögerung selbst mit einem für den Beschwerdeführer günstigen Endentscheid nicht behoben würde (Urteile 5A_638/2016 vom 2. Dezember 2016 E. 1.1; 5A_330/2015 vom 6. April 2016 E. 2). Die Beschwerde ist auch insoweit zulässig. Bei Zwischenentscheiden folgt der Rechtsweg jenem der Hauptsache (<ref-ruling> E. 1.1 S. 382). Dort geht es um eine Vertretungsbeistandschaft sowie die Auskunft über Massnahmen des Erwachsenenschutzes und damit um nicht vermögensrechtliche öffentlich-rechtliche Angelegenheiten in unmittelbarem Zusammenhang mit dem Zivilrecht (Art. 72 Abs. 2 Bst. b Ziff. 6 BGG). Die Beschwerde in Zivilsachen ist damit auch gegen den Zwischenentscheid gegeben. Der Beschwerdeführer ist nach <ref-law> zur Beschwerde berechtigt. Die Beschwerdefrist ist eingehalten (<ref-law>). Auf die Beschwerde kann daher unter Vorbehalt der nachfolgenden Ausführungen eingetreten werden.
1.2. In der Beschwerde ist in Auseinandersetzung mit den Erwägungen des angefochtenen Entscheids in gedrängter Form darzulegen, welche Rechte der Beschwerde führenden Person durch das kantonale Gericht verletzt worden sind (<ref-law>; <ref-ruling> E. 2 S. 89; <ref-ruling> E. 2.1 S. 245 f.). Eine allfällige Verletzung verfassungsmässiger Rechte wird vom Bundesgericht dabei nicht von Amtes wegen, sondern nur dann geprüft, wenn solche Rügen in der Beschwerde ausdrücklich erhoben und begründet werden (<ref-law>; <ref-ruling> E. 3.3 S. 310; <ref-ruling> E. 1.2 S. 234). Die Anwendung von kantonalem Recht prüft das Bundesgericht, von hier nicht interessierenden Ausnahmen abgesehen, nur auf die Verletzung verfassungsmässiger Rechte, namentlich auf Willkür hin, wenn und soweit entsprechende Rügen erhoben und begründet werden (<ref-ruling> E. 2.3 S. 387; Urteil 5A_724/2015 vom 2. Juni 2016 E. 2.2). Wird die Feststellung des Sachverhalts beanstandet, muss in der Beschwerde dargelegt werden, inwiefern diese Feststellung offensichtlich unrichtig, d.h. willkürlich, oder durch eine andere Rechtsverletzung im Sinn von <ref-law> zustande gekommen ist und inwiefern die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein kann (<ref-law>; <ref-ruling> E. 2.2.2 S. 22; <ref-ruling> E. 1.2.2 S. 252 und E. 1.4.3 S. 255). Auf rein appellatorische Kritik am angefochtenen Entscheid tritt das Bundesgericht nicht ein (<ref-ruling> E. 2.3 S. 266).
Die Eingabe des Beschwerdeführers vermag diesen Anforderungen über weite Strecken nicht zu genügen. Dies gilt namentlich hinsichtlich der ausführlichen allgemeinen rechtlichen Erörterungen ohne Bezug zum angefochtenen Entscheid (z.B. zur Bildung des Spruchkörpers des Bundesgerichts). Den Begründungsanforderungen vermag die Beschwerde insbesondere auch insoweit nicht zu genügen, als der Beschwerdeführer im Zusammenhang mit der Rüge der Verletzung von Art. 34 EMRK auf mehr als zehn Seiten kaum verständlich angebliche Äusserungen von Drittpersonen wiedergibt. Soweit der Beschwerdeführer die unrichtige Feststellung des Sachverhalts rügt, übt er sodann über weite Strecken rein appellatorische Kritik am angefochtenen Entscheid. Auf die Beschwerde ist in diesem Umfang nicht einzutreten.
1.3. Die Beschwerde ist nur im Rahmen des Streitgegenstands zulässig. Gegenstand des Beschwerdeverfahrens vor Bundesgericht kann nur sein, was bereits Gegenstand des vorinstanzlichen Verfahrens war (<ref-ruling> E. 4.4.2 S. 156). Thema des vorinstanzlichen Verfahrens waren der Ausstand der Präsidentin des Familiengerichts und der Mitglieder der Kammer für Kindes- und Erwachsenenschutz des Obergerichts sowie eine Rechtsverzögerung bzw. Rechtsverweigerung im Zusammenhang mit dem Auskunftsgesuch vom 13. Januar 2015 (vgl. vorne Bst. B und hinten E. 6.2). Nicht Gegenstand des Verfahrens vor dem Obergericht waren demgegenüber der Ausstand weiterer Mitglieder des Familiengerichts, die Errichtung der Vertretungsbeistandschaft über den Beschwerdeführer, die Aufsicht über das Familiengericht sowie die Haftung des Kantons Aargau. Auf die Beschwerde ist auch insoweit nicht einzutreten, als sie sich auf diese Themen bezieht.
2.
2.1. Der Beschwerdeführer rügt zahlreiche Verletzungen des Anspruchs auf rechtliches Gehör (<ref-law>). Insbesondere wirft er dem Obergericht vor, es habe den angefochtenen Entscheid nicht hinreichend begründet und sei nicht ausreichend auf seine Vorbringen eingegangen.
2.2. Der Anspruch auf rechtliches Gehör verlangt, dass das Gericht die Vorbringen der vom Entscheid in ihrer Rechtsstellung betroffenen Person tatsächlich hört, prüft und in der Entscheidfindung berücksichtigt. Daraus folgt die Verpflichtung des Gerichts, seinen Entscheid zu begründen. Dabei ist es nicht erforderlich, dass es sich mit allen Parteistandpunkten einlässlich auseinandersetzt und jedes einzelne Vorbringen ausdrücklich widerlegt. Vielmehr kann es sich auf die für den Entscheid wesentlichen Punkte beschränken. Die Begründung muss so abgefasst sein, dass sich die betroffene Person über die Tragweite des Entscheids Rechenschaft geben und ihn in voller Kenntnis der Sache an die höhere Instanz weiterziehen kann. In diesem Sinne müssen wenigstens kurz die Überlegungen genannt werden, von denen sich das Gericht hat leiten lassen und auf die sich sein Entscheid stützt (<ref-ruling> E. 6.2 S. 274; <ref-ruling> E. 5.2 S. 236; <ref-ruling> E. 4.1 S. 88).
Der angefochtene Entscheid genügt diesen Anforderungen. Die Vorinstanz hat dargelegt, weshalb sie keine Befangenheit der Präsidentin des Familiengerichts feststellen konnte und weshalb dem Familiengericht auch keine Rechtsverweigerung oder -verzögerung vorzuwerfen ist. Weiter hat das Obergericht ausgeführt, warum auf das gegen die Mitglieder der Kammer für Kindes- und Erwachsenenschutz gestellte Ausstandsbegehren und auf weitere Anträge nicht einzutreten ist und dem Beschwerdeführer unter Abweisung des Gesuchs um unentgeltliche Rechtspflege die Kosten des Verfahrens aufzuerlegen sind. Dies ist ausreichend, damit der Beschwerdeführer den angefochtenen Entscheid sachgerecht anfechten konnte. Es war nicht notwendig, auf weitere Vorbringen einzugehen. Soweit der Beschwerdeführer mit den rechtlichen Würdigungen der Vorinstanz nicht einverstanden ist, ist die Begründetheit und nicht die Begründung des angefochtenen Erkenntnisses betroffen. Letzteres ist damit ausreichend begründet und Anzeichen, dass die Vorbringen des Beschwerdeführers ungenügend berücksichtigt worden wären, bestehen nicht. Eine Verletzung des Gehörsanspruchs kann damit nicht festgestellt werden.
2.3. Soweit die weiteren Ausführungen des Beschwerdeführers überhaupt nachvollziehbar sind und den Begründungsanforderungen genügen (vgl. vorne E. 1.2), lassen auch sie keine Gehörsverletzung erkennen.
3.
Der Beschwerdeführer setzt sich ausführlich mit der im angefochtenen Entscheid enthaltenen Rechtsmittelbelehrung auseinander und rügt diese als mangelhaft (vgl. Art. 112 Abs. 1 Bst. d BGG). Gemäss <ref-law> darf einer Partei wegen einer unrichtigen oder unvollständigen Rechtsmittelbelehrung kein Nachteil erwachsen (vgl. <ref-ruling> E. 8.3.2 S. 53 f.; <ref-ruling> E. 1.2.2.1 S. 376). Der Beschwerdeführer war aufgrund der beanstandeten Belehrung in der Lage, den angefochtenen Entscheid rechtzeitig und bei der zuständigen Instanz anzufechten (vgl. vorne E. 1.1). Selbst wenn die Rechtsmittelbelehrung des Obergerichts mangelhaft sein sollte, ist dem Beschwerdeführer hieraus folglich kein Nachteil erwachsen. Hierauf ist nicht weiter einzugehen.
4.
4.1. Der Beschwerdeführer beanstandet weiter, dass die Vorinstanz das gegen die Präsidentin des Familiengerichts gestellte Ausstandsgesuch abgewiesen hat. Die Präsidentin sei befangen, weil sie sein Auskunftsgesuch nicht behandelt habe. Ausserdem wirft der Beschwerdeführer ihr zahlreiche Fehler in der Führung der ihn betreffenden Verfahren vor.
4.2. Aus den von einer Gerichtsperson getroffenen Entscheidungen kann nach der Rechtsprechung grundsätzlich kein objektiver Verdacht der Voreingenommenheit abgeleitet werden. Weder prozessuale Fehler noch falsche materielle Entscheide vermögen im Allgemeinen den Verdacht der Befangenheit zu begründen. Anders verhält es sich nur, wenn besonders krasse oder wiederholte Irrtümer vorliegen, die als schwere Verletzung der Pflichten einer Gerichtsperson beurteilt werden müssen (<ref-ruling> E. 3a S. 138; <ref-ruling> E. 3b S. 404; Urteile 5A_461/2016 vom 3. November 2016 E. 7.3; 5A_309/2016 vom 4. Oktober 2016 E. 4.2).
Eine solche Ausnahmesituation ist vorliegend nicht gegeben: Die weitschweifigen Vorbringen des Beschwerdeführers verweisen, soweit sie den Begründungsanforderungen zu genügen vermögen (vorne E. 1.2), einzig auf einfache prozessuale Fehler, nicht aber auf schwere Verletzungen der Pflichten einer Gerichtsperson. Sie sind daher zur Begründung einer Befangenheit der Präsidentin des Familiengerichts nicht geeignet und das Obergericht hat das Ausstandsgesuch zu Recht abgewiesen. Unter diesen Umständen braucht nicht weiter auf die Zuständigkeit zur Beurteilung das Ablehnungsbegehrens eingegangen zu werden (vgl. § 60c Abs. 1 des Einführungsgesetzes [des Kantons Aargau] vom 27. März 1911 zum Schweizerischen Zivilgesetzbuch und Partnerschaftsgesetz [EG ZGB; SAR 210.100] i.V.m. <ref-law>).
5.
5.1. Die Kammer für Kindes- und Erwachsenenschutz des Obergerichts hat sodann ein gegen sämtliche Mitglieder der Kammer gerichtetes Ausstandsbegehren als unzulässig beurteilt und ist nicht darauf eingetreten. Nach den nicht rechtsgenüglich bestrittenen Feststellungen des Obergerichts hat der Beschwerdeführer im vorinstanzlichen Verfahren als Ablehnungsgrund lediglich die Mitwirkung an früheren Entscheiden zu seinen Ungunsten geltend gemacht. Diese Mitwirkung allein bildet für sich genommen keinen Ausstandsgrund (<ref-ruling> E. 1 S. 278 f.; Urteil 6B_1297/2016 vom 6. Dezember 2016 E. 5). Da sich das gegen die ganze Kammer gerichtete Ausstandsbegehren von vornherein als offensichtlich unzulässig bzw. unbegründet erwies, ist das Vorgehen der Vorinstanz nicht zu beanstanden (<ref-ruling> E. 4.2.2 S. 464 f.; <ref-ruling> E. 1 S. 278 f.).
5.2. Vor Bundesgericht lehnt der Beschwerdeführer die Mitglieder der Kammer für Kindes- und Erwachsenenschutz aufgrund deren Verhaltens in den ihn betreffenden Verfahren und, im Falle des Präsidenten, aufgrund einer allfälligen Verwandtschaft als befangen ab. Dieses Gesuch ist insoweit zulässig, als die Ausstandsgründe nicht bereits früher vorgebracht werden konnten; so wenn erst der angefochtene Entscheid Anlass zur Ablehnung gegeben hat (vgl. <ref-ruling> E. 8.4.3 S. 275; <ref-ruling> E. 2 S. 121 f. und E. 3.2.1 S. 124; 466 E. 3.4 S. 468 f.). Auch in diesem Zusammenhang verweist der Beschwerdeführer, soweit nachvollziehbar, freilich einzig auf (angebliche) einfache prozessuale Fehler der abgelehnten Mitglieder der Kammer. Seine Ausführungen zu einer möglichen Verwandtschaft zwischen ihm und dem Präsidenten der Kammer für Kindes- und Erwachsenenschutz sind sodann blosse Spekulationen. Soweit auf das Ausstandsgesuch einzutreten ist, erweist es sich daher als unbegründet (vgl. auch vorne E. 4.2).
6.
6.1. Das Obergericht hat die Eingabe vom 8. Februar 2016 als Rechtsverweigerungs- bzw. Rechtsverzögerungsbeschwerde entgegengenommen und abgewiesen. Der Beschwerdeführer habe am 13. Januar 2015 um Auskunft über gegen ihn ergriffene Massnahmen ersucht. Mit Beschluss vom 22. Januar 2015 habe das Familiengericht dem Beschwerdeführer in Aussicht gestellt, ihn zu verbeiständen (vgl. vorne Bst. A). Damit sei dem Beschwerdeführer implizit mitgeteilt worden, dass noch keine Massnahme ergriffen worden, eine solche aber absehbar sei. Das Auskunftsgesuch sei damit abschlägig behandelt worden.
6.2. Der Beschwerdeführer wirft dem Obergericht vor, er habe gar keine Rechtsverweigerungs- oder Rechtsverzögerungsbeschwerde erhoben, sondern (inhaltlich) die Verletzung der Auskunftspflicht gerügt. Er selbst führt auf S. 52 der Beschwerde allerdings aus, dem Familiengericht sei "verfassungsrechtlich" eine Rechtsverweigerung vorzuwerfen. Der Beschwerdeführer widerspricht sich damit selbst. Seine Ausführungen sind ohnehin aktenwidrig: Im vorinstanzlichen Verfahren hat der Beschwerdeführer beantragt, es sei "Rechtsverweigerung oder -verzögerung festzustellen und die Angelegenheit [an das Familiengericht] zurückzuweisen". Ausserdem sei die Präsidentin des Familiengerichts anzuweisen, ihm "Auskunft über getroffene Massnahmen zu erteilen". Zur Begründung führte der Beschwerdeführer aus, ihm werde "eine Auskunft über getroffene Massnahmen ohne einen Entscheid durch Untätigkeit verweigert". Die Präsidentin des Familiengerichts habe das Auskunftsgesuch "nicht erfüllt und sich dazu auch in keiner Weise vernehmen lassen" (Gesuch vom 8. Februar 2015, Rechtsbegehren Ziffer 1 und 2 sowie S. 2). Damit ist nicht zu beanstanden, dass die Vorinstanz die Eingabe des Beschwerdeführers als Rechtsverweigerungs- oder Rechtsverzögerungsbeschwerde behandelt hat.
6.3. Das Obergericht hat die Beschwerde unter Hinweis auf den Beschluss vom 22. Januar 2015 abgewiesen, in welchem dem Beschwerdeführer die Errichtung einer Beistandschaft in Aussicht gestellt wurde (vgl. E. 6.1 hiervor). Eine förmliche Behandlung des Auskunftsersuchens liegt hierin nicht. Aus dem Beschluss des Familiengerichts hat sich allenfalls implizit ergeben, dass (noch) keine Massnahme ergriffen worden ist. Der Beschwerdeführer hat aber jedenfalls im Laufe des vorliegenden Verfahrens die gewünschte Antwort erhalten (vgl. angefochtener Entscheid, E. 2 S. 4), sodass sich Weiterungen zum Auskunftsbegehren erübrigen. Der Einwand des Beschwerdeführers, das Gesuch habe einzig durch die Präsidentin des Familiengerichts, nicht jedoch durch das Gericht als solches beantwortet werden dürfen, ist nicht ausreichend begründet. Der Beschwerdeführer zeigt nicht auf, welche kantonale Vorschrift über die (funktionelle) Zuständigkeit willkürlich angewendet worden sein könnte (vgl. vorne E. 1.2).
7.
7.1. Der Beschwerdeführer beanstandet weiter, dass ihm die Kosten des vorinstanzlichen Verfahrens auferlegt wurden und ihm das Obergericht keine Parteientschädigung zugesprochen hat.
7.2. Nach dem angefochtenen Entscheid ist der Beschwerdeführer vollständig unterlegen. Das Obergericht hat die beanstandete Kosten- und Entschädigungsregelung in Anwendung von § 65a Abs. 4 EG ZGB i.V.m. <ref-law> getroffen. Soweit das Obergericht die ZPO angewendet hat, handelt es sich kraft des Verweises in <ref-law> um subsidiäres kantonales Recht (<ref-ruling> E. 2.3 S. 387). Beruht die Kostenregelung ausschliesslich auf kantonalem Recht, kann nur die Verletzung eines verfassungsmässigen Rechts gerügt werden (vorne E. 1.2). Der Beschwerdeführer rügt zwar namentlich die Verletzung des Rechts auf Hilfe in Notlagen (<ref-law>). Indessen legt er nicht in rechtsgenüglicher Weise dar, weshalb diese Garantie vorliegend anwendbar und warum sie im Einzelnen verletzt sein sollte. Insoweit vermag die Beschwerde den Begründungsanforderungen nicht zu genügen. Abgesehen davon ist auch nicht ersichtlich, weshalb der angefochtene Entscheid willkürlich sein oder gegen sonstige verfassungsmässige Rechte verstossen sollte.
7.3. Auf die Beschwerde ist sodann insoweit nicht einzutreten, als der Beschwerdeführer die fehlerhafte Anwendung von Art. 106 und 107 ZPO sowie weiterer Bestimmungen der Zivilprozessordnung rügt (E.1.2 hiervor).
8.
8.1. Die Beschwerde ist damit unbegründet und abzuweisen, soweit auf sie einzutreten ist. Der angefochtene Entscheid erweist sich nach dem Ausgeführten entgegen der Ansicht des Beschwerdeführers auch nicht als nichtig (vgl. zur Nichtigkeit <ref-ruling> E. 3.1 S. 503 f.).
8.2. Bei diesem Ausgang des Verfahrens wird der Beschwerdeführer kostenpflichtig (<ref-law>). Parteientschädigung ist keine zu sprechen (Art. 68 Abs. 1 und 3 BGG). Das Gesuch des Beschwerdeführers um unentgeltliche Rechtspflege ist abzuweisen. Wie vorstehende Ausführungen zeigen, hatte die Beschwerde von Anfang an keine Aussicht auf Erfolg und war daher aussichtslos (vgl. <ref-ruling> E. 9.1 S. 537 mit Hinweisen). Damit fehlt es an einer der kumulativen Voraussetzungen der unentgeltlichen Rechtspflege (nicht aussichtslose Rechtsbegehren; <ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf eingetreten wird.
2.
Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege wird abgewiesen.
3.
Die Gerichtskosten von Fr. 2'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
4.
Es wird keine Parteientschädigung zugesprochen.
5.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Aargau, Kammer für Kindes- und Erwachsenenschutz, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 11. Januar 2017
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: von Werdt
Der Gerichtsschreiber: Sieber