Sachverhalt:
A.
A.a. A._ (geb. 1965) stammt aus Afghanistan. Er reiste 1986 in die Schweiz ein, wurde rund drei Jahre später als Flüchtling anerkannt und erhielt die Niederlassungsbewilligung. A._ wurde namentlich am 8. November 2000 vom Bezirksgericht U._ wegen sexueller Nötigung, sexuellen Handlungen mit einem Kind sowie versuchter Nötigung zu einer Gefängnisstrafe von sechzehn Monaten verurteilt. Am 9. Juli 2010 erfolgte durch das Obergericht Zürich eine weitere Verurteilung wegen mehrfacher Vergewaltigung, mehrfacher sexueller Nötigung, mehrfachen sexuellen Handlungen mit Kindern sowie Pornographie zu einer Freiheitsstrafe von acht Jahren.
A.b. Das Bundesverwaltungsgericht bestätigte mit Urteil E-1249/2012 am 28. Oktober 2013 den Widerruf des Asyls durch das Staatssekretariat für Migration (SEM). Mit Amtsbericht vom 20. Februar 2013 teilte das SEM den zürcherischen Behörden mit, der Vollzug der Wegweisung sei zulässig. Daraufhin widerrief das Migrationsamt des Kantons Zürich am 9. Oktober 2015 die Niederlassungsbewilligung von A._. Den Widerruf bestätigte die Sicherheitsdirektion des Kantons Zürich. Auf eine gegen deren Rekursentscheid vom 23. November 2015 erhobene Beschwerde trat das Verwaltungsgericht des Kantons Zürich infolge Nichtleistung des Kostenvorschusses nicht ein. Eine gegen den Nichteintretensentscheid des Verwaltungsgerichts vom 20. Januar 2016 geführte Beschwerde ist beim Bundesgericht hängig (Verfahren 2C_139/2016).
B.
Am 26. November 2015 verfügte das Migrationsamt die Überführung von A._ vom Strafvollzug in die Ausschaffungshaft bis zum 2. März 2016 zwecks Sicherstellung des Wegweisungsvollzugs. Am 3. Dezember 2015 wurde die angeordnete Ausschaffungshaft angetreten. Das Zwangsmassnahmengericht des Bezirksgerichts Zürich bestätigte die Rechtmässigkeit der angeordneten Ausschaffungshaft am 4. Dezember 2015. Hiergegen erhob A._ am 22. Dezember 2015 (eingegangen am 29. Dezember 2015) Beschwerde an das Verwaltungsgericht des Kantons Zürich und beantragte sinngemäss die Bestellung eines unentgeltlichen Rechtsbeistands sowie die sofortige Haftentlassung und eine Entschädigung infolge unrechtmässig verbüsster Haft. Mit Präsidialverfügung vom 29. Dezember 2015 wurde er darauf hingewiesen, dass es ihm obliege, bei Bedarf einen Rechtsvertreter zu beauftragen. Mit Eingabe vom 11. Januar 2016 ersuchte A._ zur Hauptsache erneut um sofortige Haftentlassung. Mit Schreiben vom 17. Januar 2016 ersuchte er wieder um amtliche Bestellung eines unentgeltlichen Rechtsanwalts. Das Verwaltungsgericht hat die Eingaben vom 22. Dezember 2015 und vom 11. Januar 2016 vereinigt und mit Urteil vom 19. Januar 2016 abgewiesen.
C.
Mit Eingabe vom 30. Januar 2016 beantragt A._ dem Bundesgericht, es sei ihm ein unentgeltlicher Pflichtverteidiger beizugeben. Sodann sei er aus der Haft zu entlassen. Schliesslich sei ihm eine Entschädigung für die erstandene Haft auszurichten.
Das Verwaltungsgericht des Kantons Zürich beantragt, die Beschwerde sei abzuweisen, soweit darauf einzutreten sei. Das SEM beantragt, die Beschwerde sei abzuweisen. Der Beschwerdeführer hält sinngemäss an seinen Anträgen fest.

Erwägungen:
1.
Gegen letztinstanzliche kantonale richterliche Entscheide betreffend die Zwangsmassnahmen im Ausländerrecht steht die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten offen, soweit der Betroffene am vorinstanzlichen Verfahren teilgenommen hat, durch den angefochtenen Entscheid besonders berührt ist und an der Beurteilung seiner Eingabe ein aktuelles praktisches Interesse hat (Art. 86 Abs. 1 und 2, <ref-law>). Der Beschwerdeführer befindet sich gestützt auf den hier angefochtenen Entscheid bis zum 2. März 2016 in Ausschaffungshaft. Er hat ein aktuelles Interesse, entlassen zu werden. Ein Ausschlussgrund ist nicht ersichtlich (<ref-law>). Auf die frist- und formgerecht eingereichte Beschwerde ist einzutreten.
2.
2.1. Wurde ein erstinstanzlicher Weg- oder Ausweisungsentscheid eröffnet, kann die zuständige Behörde den betroffenen Ausländer zur Sicherstellung von dessen Vollzug unter anderem in Ausschaffungshaft nehmen bzw. in dieser belassen, wenn er andere Personen ernsthaft bedroht oder an Leib und Leben erheblich gefährdet und deshalb strafrechtlich verfolgt wird oder er wegen eines Verbrechens verurteilt worden ist (Art. 76 Abs. 1 lit. b Ziff. 1 in Verbindung mit Art. 75 Abs. 1 lit. g und lit. h AuG; Urteile 2C_749/2012 vom 28. August 2012 E. 1; 2C_304/2012 vom 1. Mai 2012 E. 2.2.1; 2C_455/2009 vom 5. August 2009 E. 2.1, je mit Hinweisen). Der Wegweisungsentscheid muss dabei nicht bereits rechtskräftig sein; es genügt, dass sein Vollzug (z.B. wegen fehlender Papiere) noch nicht möglich, jedoch absehbar erscheint. Der Vollzug der Weg- oder Ausweisung darf sich nicht aus rechtlichen oder tatsächlichen Gründen als undurchführbar erweisen (vgl. Art. 80 Abs. 6 lit. a AuG) und muss mit dem nötigen Nachdruck verfolgt werden (Art. 76 Abs. 4 AuG: "Beschleunigungsgebot"). Die ausländerrechtliche Festhaltung hat zudem als Ganzes verhältnismässig zu sein (<ref-ruling> E. 2.3.2 S. 97; Urteile 2C_765/2015 vom 18. September 2015 E. 5.3; 2C_334/2015 vom 19. Mai 2015 E. 2.2; 2C_218/2013 vom 26. März 2013 E. 5.1).
2.2. Vorliegend ist unbestritten, dass die gesetzlichen Haftvoraussetzungen grundsätzlich erfüllt sind (Art. 75 Abs. 1 lit. h und Art. 76 Abs. 1 lit. b Ziff. 1 AuG) und die maximale Haftdauer von 18 Monaten noch nicht erreicht wurde (Art. 79 Abs. 2 AuG). Der Beschwerdeführer stellt den angefochtenen Entscheid indessen bezüglich der von ihm beantragten unentgeltlichen anwaltlichen Vertretung in Frage. Bestritten wird sodann die Rechtmässigkeit der Ausschaffungshaft mit Blick auf die tatsächliche und rechtliche Durchführbarkeit der Wegweisung (vgl. Art. 80 Abs. 6 lit. a AuG). Er bringt sinngemäss vor, die Rückkehr in sein Heimatland sei ihm infolge seiner gesundheitlichen Situation sowie aufgrund von Kriegsgeschehen in Afghanistan unzumutbar.
2.2.1. Gemäss <ref-law> hat jede Person, die nicht über die erforderlichen Mittel verfügt, Anspruch auf unentgeltliche Rechtspflege, wenn ihr Rechtsbegehren nicht aussichtslos erscheint. Soweit es zur Wahrung ihrer Rechte notwendig ist, hat sie ausserdem Anspruch auf unentgeltlichen Rechtsbeistand. Nach <ref-law> muss jede Person, welcher die Freiheit entzogen wird, die Möglichkeit haben, ihre Rechte - in einer den Umständen angemessenen, wirksamen Weise - geltend zu machen (<ref-ruling> E. 3.2.3 S. 100). Nicht aussichtslos ist im Bereich der ausländerrechtlichen Administrativhaft namentlich ein Fall, der in rechtlicher und tatsächlicher Hinsicht schwierig ist (Urteil 2C_906/2008 vom 28. April 2009 E. 2.2.2 f.). Unabhängig von den Erfolgsaussichten der Begehren darf einem bedürftigen Häftling spätestens nach drei Monaten Haft auf Gesuch hin der unentgeltliche Rechtsbeistand regelmässig nicht (mehr) verweigert werden (<ref-ruling> E. 3.3.1 S. 214; <ref-ruling> E. 3.2.2 und 3.2.3 S. 100; Urteile 2C_332/2012 vom 3. Mai 2012 E. 2.3.1; 2C_548/2011 vom 26. Juli 2011 E. 4.2.2).
2.2.2. Es stellt sich die Frage, ob die Vorinstanz dem Beschwerdeführer einen unentgeltlichen Rechtsbeistand hätte beigeben müssen. Die Vorinstanz hat in ihrem Urteil vom 19. Januar 2016 festgestellt, der Beschwerdeführer sei nicht mittellos. Er selbst weist in seiner Eingabe an die Vorinstanz auf Ersparnisse im Umfang von Fr. 11'000.-- hin. Im Rahmen der Überprüfung des Widerrufs der Niederlassungsbewilligung geht das Verwaltungsgericht nur einen Tag nach dem hier angefochtenen Urteil in einem Nichteintretensentscheid davon aus, der Beschwerdeführer sei erheblich verschuldet (Verfahren 2C_139/2016). Es stellte zahlreiche offene Verlustscheine im Betrag von über Fr. 45'000.-- fest, wobei der Beschwerdeführer "alleine der Zürcher Justiz Fr. 25'551.70" schulde. Indem die Vorinstanz die Mittellosigkeit verneinte, hat sie den Sachverhalt offensichtlich unrichtig festgestellt (<ref-law>); die Vorinstanz hätte die Bedürftigkeit des Beschwerdeführers bejahen müssen. Die kantonale Beschwerde liess sich sodann angesichts der besonderen Schwierigkeiten in rechtlicher oder tatsächlicher Natur nicht zum Vornherein als aussichtslos bezeichnen (vgl. hiervor E. 2.2.1 in fine). Dies ergibt sich namentlich aus dem Umstand, dass der Beschwerdeführer im Rahmen des Strafverfahrens lange inhaftiert war. Die Behörden sind bereits während des Strafvollzugs verpflichtet, eine anschliessende Wegweisung beförderlich vorzubereiten, um die Entstehung eines Haftgrundes im Sinne von Art. 75 f. AuG und damit eine weitere Freiheitsbeschränkung möglichst zu vermeiden oder die Dauer einer allfälligen Administrativhaft kurz zu halten (<ref-ruling> E. 4.1 S. 492; <ref-ruling> E. 3a S. 51 mit Hinweisen). Vorliegend fällt zudem ins Gewicht, dass der Beschwerdeführer nach Afghanistan - einem Land mit prekärer Sicherheitslage - weggewiesen werden soll. Schliesslich wurde dem Beschwerdeführer das Asyl widerrufen, es bestehen jedoch keine Hinweise darauf, dass er die Flüchtlingseigenschaft verloren hätte; dies weist auf eine komplexe verfahrensrechtliche Situation hin (vgl. Urteil 2C_906/2008 vom 28. April 2009 E. 2.2.2 f.; Urteil des Bundesverwaltungsgerichts E-1249/2012 vom 28. Oktober 2013 Sachverhalt lit. D und E. 6). Vor diesem Hintergrund durfte es die Vorinstanz nicht bei der Aussage bewenden lassen, es obliege dem Beschwerdeführer selbst, einen Rechtsvertreter beizuziehen. Vielmehr wäre sie verpflichtet gewesen, das rechtzeitig eingereichte Gesuch sorgfältig zu prüfen und dem Beschwerdeführer den beantragten Rechtsbeistand zu bestellen. Der Beschwerdeführer dringt mit seiner sinngemässen Rüge der formellen Rechtsverweigerung in Bezug auf die unentgeltliche Verbeiständung durch (Art. 29 Abs. 1 in Verbindung mit <ref-law>).
3.
3.1. Nach dem Gesagten ist die Beschwerde begründet. Das Urteil des Verwaltungsgerichts des Kantons Zürich, Einzelrichterin, vom 19. Januar 2016 wird aufgehoben. Die festgestellte formelle Rechtsverweigerung rechtfertigt es nicht, den Beschwerdeführer sofort aus der Haft zu entlassen (vgl. Urteil 2C_1089/2012 vom 22. November 2012 E. 4.1 mit Hinweis auf <ref-ruling> E. 2c S. 109). Hingegen hat die Vorinstanz dem Beschwerdeführer einen unentgeltlichen Rechtsbeistand zu bestellen und die Streitsache - unter Berücksichtigung seiner Beschwerdeergänzung - neu zu beurteilen. Die Streitsache wird in diesem Sinne zur Fortführung des Verfahrens an die Vorinstanz zurückgewiesen. Der beantragte Entschädigungsanspruch aufgrund ungerechtfertigt angeordneter Ausschaffungshaft bildet nicht Gegenstand des Verfahrens.
3.2. Bei diesem Ausgang sind keine Gerichtskosten zu erheben (<ref-law>). Dem Beschwerdeführer sind keine Vertretungskosten entstanden. Das auch für das bundesgerichtliche Verfahren gestellte Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung wird gegenstandslos.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird gutgeheissen, und das Urteil des Verwaltungsgerichts des Kantons Zürich, Einzelrichterin, vom 19. Januar 2016 wird aufgehoben. Die Sache wird zur Fortführung des Verfahrens und zur Neubeurteilung im Sinne der Erwägungen an die Vorinstanz zurückgewiesen.
2.
Es werden keine Kosten erhoben.
3.
Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung wird als gegenstandslos abgeschrieben.
4.
Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten, dem Verwaltungsgericht des Kantons Zürich, 1. Abteilung, Einzelrichterin, und dem Staatssekretariat für Migration schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 19. Februar 2016
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Zünd
Die Gerichtsschreiberin: Hänni