Sachverhalt:
A.
Am 26. Januar 1976 genehmigte der Regierungsrat des Kantons Schwyz für die damals bereits in Betrieb stehende Kiesgrube Girendorf in Tuggen den Landschaftsplan (Abbau-, Sanierungs- und Rekultivierungsplan). Im Rahmen der Gesamtrevision der Nutzungsplanung der Gemeinde Tuggen Mitte der 90er-Jahre wurde das bewilligte Abbaugebiet der Sonderzone für Abbau und Deponie (SAD) zugeteilt.
Am 28. November 2002 erteilte der Gemeinderat Tuggen der Rechtsvorgängerin der G._ AG die Baubewilligung für die Endgestaltung des Kiesabbaugebiets Girendorf (Parzellen Nrn. 341, 342, 352, 353, 354, 358, 607, 626, 1003, 1005 und 1079). Integrierenden Bestandteil dieser Bewilligung bildete unter anderem die Verfügung des kantonalen Amts für Umweltschutz (AfU) vom 8. November 2002.
Am 11. November 2013 beantragten A., B., C., D. und E. F._ beim Gemeinderat Tuggen im Wesentlichen die Anordnung eines sofortigen Baustopps. Mit Beschluss vom 16. Januar 2014 wies der Gemeinderat Tuggen die gestellten Rechtsbegehren ab, soweit er darauf eintrat, und verpflichtete gleichzeitig die G._ AG, in genauer bezeichneten kritischen Bereichen einen Tieferabbau der Sohle zu unterlassen.
Am 18. Februar 2014 erhoben A., B., C. und E. F._ Verwaltungsbeschwerde beim Regierungsrat des Kantons Schwyz mit dem Hauptantrag, einen sofortigen Baustopp zu verfügen. Mit Zwischenentscheid vom 22. April 2014 verweigerte das federführende Sicherheitdepartement des Kantons Schwyz die Anordnung eines vorläufigen Baustopps. Eine dagegen erhobene Beschwerde beim Verwaltungsgericht des Kantons Schwyz blieb erfolglos. Am 24. Juni 2014 wies der Regierungsrat die Beschwerde auch in der Sache ab.
A., B., C. und E. F._ erhoben dagegen am 18. Juli 2014 Beschwerde beim Verwaltungsgericht des Kantons Schwyz. Sie beantragten in erster Linie, der Regierungsratsbeschluss sei aufzuheben und das Verwaltungsgericht habe den effektiven Sachverhalt betreffend die Einhaltung der Konzessionsvorschriften und der Vorgaben für die Endgestaltung des Kiesabbaugebiets Girendorf festzustellen. Gleichzeitig ersuchten sie das Gericht, einen vorsorglichen Baustopp zu verfügen. Mit Zwischenentscheid vom 29. Oktober 2014 wies das Verwaltungsgericht das Gesuch um Erlass eines vorläufigen Baustopps ab. Mit Eingabe vom 6. November 2014 ersuchten A., B., C. und E. F._ das Verwaltungsgericht mit dem Hinweis auf Bohrungen für eine oder mehrere Grundwasser-Messstellen in der Kiesgrube, die G._ AG superprovisorisch anzuweisen, die Bauarbeiten sofort einzustellen. Auf dieses Gesuch trat das Verwaltungsgericht mit Zwischenentscheid vom 27. November 2014 nicht ein.
Gegen die beiden Zwischenentscheide erhoben A., B., C. und E. F._ Beschwerde beim Bundesgericht. Dieses vereinigte die beiden Verfahren und trat auf die Beschwerden mit Urteil vom 2. März 2015 nicht ein (Verfahren 1C_572/2014 und 1C_632/2014).
Mit Eingabe vom 20. Februar 2015 teilten A., B., C. und E. F._ dem Verwaltungsgericht mit, sie hätten beim Regierungsrat Beschwerde erhoben gegen einen Beschluss des Gemeinderats Tuggen vom 28. Januar 2015, mit welchem ihr erneutes Gesuch um Erlass eines Baustopps abgewiesen worden sei.
Mit Entscheid vom 30. März 2016 wies das Verwaltungsgericht die Beschwerde vom 18. Juli 2014 ab, soweit es darauf eintrat.
B.
Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten ans Bundesgericht vom 17. Mai 2016 beantragen A. und B. F._, der Entscheid des Verwaltungsgerichts sei aufzuheben und die Sache zur Neubeurteilung an die erste Instanz, eventualiter an die Vorinstanz, zurückzuweisen. Diese sei anzuweisen, ein geologisch-hydrologisches Gutachten zur Frage einzuholen, ob in der Kiesgrube Girendorf die vorgeschriebene Materialschicht von 2 m über dem natürlichen, zehnjährigen Grundwasserhöchstspiegel belassen worden sei. Eventualiter sei sie anzuweisen, Massnahmen zum Schutz des Grundwassers anzuordnen (Baustopp). In prozessualer Hinsicht stellen die Beschwerdeführer das Gesuch, ihrer Beschwerde die aufschiebende Wirkung beizulegen.
Das kantonale Amt für Raumentwicklung hat auf eine Stellungnahme zur Sache verzichtet. Der Regierungsrat und das Verwaltungsgericht schliessen auf Abweisung der Beschwerde. Das AfU und die Beschwerdegegnerin beantragen, die Beschwerde abzuweisen, soweit darauf eingetreten werden könne. Das ebenfalls zur Vernehmlassung eingeladene Bundesamt für Umwelt kommt zum Schluss, es gebe keinen genügenden Hinweis auf eine Verletzung des Bundesumweltrechts, der einen Baustopp rechtfertigen würde. Die Beschwerdeführer halten in ihrer Stellungnahme dazu an ihren Anträgen und Rechtsauffassungen fest.
Mit Präsidialverfügung vom 16. Juni 2016 hat das Bundesgericht den Antrag der Beschwerdeführer auf aufschiebende Wirkung abgewiesen.

Erwägungen:
1.
Die Beschwerde richtet sich gegen einen kantonal letztinstanzlichen Entscheid in einer öffentlich-rechtlichen Angelegenheit (Art. 82 lit. a, Art. 86 Abs. 1 lit. d BGG). Das Gebot eines Baustopps wurde in einem selbständigen Verfahren geprüft, mithin nicht in Zusammenhang mit einem laufenden Verfahren. Der angefochtene Entscheid stellt deshalb einen Endentscheid im Sinne von <ref-law> dar (vgl. Urteil 1C_51/2015 vom 8. April 2015 E. 1.1 mit Hinweis). Die Beschwerdeführer haben am vorinstanzlichen Verfahren teilgenommen. Sie sind Eigentümer einer direkt an die Kiesgrube bzw. an die Sonderzone für Abbau und Deponie (SAD) angrenzenden Parzelle und machen insbesondere geltend, der Weiterbetrieb der Kiesgrube gefährde ihre Quellen. Sie sind gemäss <ref-law> zur Beschwerde berechtigt.
2.
Das Verwaltungsgericht führt im Wesentlichen aus, die Grundwasserspiegellage, die Schutzschicht und die Grundwasserqualität seien regelmässig überwacht worden und hätten keinen Anlass zu Beanstandungen gegeben. Das AfU habe zur Überprüfung der Rechtmässigkeit des Abbaus (d.h. der Einhaltung der Auflagen) den bewilligten Plan mit dem neusten Höhenkurvenplan verglichen und am 14. Januar 2014 festgestellt, dass in drei kleinen Teilbereichen eine geringfügige Unterschreitung der bewilligten Abbaukoten möglich sei. Eine relevante Kotenunterschreitung liege nach Auffassung des AfU jedoch nicht vor. Dennoch sei die Beschwerdegegnerin mit Gemeinderatsbeschluss vom 16. Januar 2014 verpflichtet worden, in den drei kritischen Bereichen einen Weiterabbau zu unterlassen.
Was die Beschwerdeführer dagegen vorbrächten, rechtfertige keinen Baustopp. Die Wasserqualität ihrer privaten Quelle sei gemäss dem Untersuchungsbericht der H._ AG vom 14. April 2014 einwandfrei. Bezüglich der beiden anderen Quellen der Beschwerdeführer sei davon auszugehen, dass diese bereits in den 1970er-Jahren versiegt seien. Beim aus der Grubenwand austretenden Wasser handle es sich gemäss dem AfU um Hangwasser, nicht um Grundwasser. Zudem gebe es auch keinen Anlass, von einer Gefährdung der Quellfassung Höpferen auszugehen. Beeinträchtigungen der Trinkwasserqualität bestünden nicht.
Offen bleiben könne grundsätzlich die Frage, ob durch frühere Betreiber die Bewilligungsauflagen in Bereichen verletzt wurden, welche bereits wieder aufgefüllt seien. Aus dem Bericht zum Landschaftsplan Kiesgrube Girendorf vom 30. Dezember 1975 ergäben sich solche unzulässigen Eingriffe. Ein Baustopp im jetzigen Zeitpunkt sei jedoch keine geeignete Massnahme, um dies zu ahnden. Damit würde vielmehr die fristgemässe Wiederauffüllung der Grube verhindert, die im öffentlichen Interesse sei.
Auch gebe es in der Kiesgrube, entgegen den Behauptungen der Beschwerdeführer, keine unbewilligten Zwischendeponien. Das Deponieren von unverschmutztem Aushub- und Abraummaterial sei gemäss den massgeblichen Bewilligungen klarerweise zulässig.
Letztlich sei darauf hinzuweisen, dass für den Abbau und die Wiederauffüllung die Bewilligung des AfU vom 8. November 2002 massgeblich sei. Diese bilde integrierenden Bestandteil der gemeinderätlichen Bewilligung vom 28. November 2002. Gemäss der Bewilligung des AfU seien Abbau und Wiederauffüllung gemäss dem technischen Bericht der I._ AG vom 9. Juli 2002 durchzuführen. Danach sei nur noch in einem kleinen Bereich auf Parzelle Nr. 358 (auf dem entsprechenden Plan mit "G" bezeichnet) ein Abbau vorgesehen, und zwar zeitlich beschränkt bis 2016. Ein dem technischen Bericht nicht entsprechender Abbau - mithin auch eine Abweichung vom zeitlich vorgegebenen Rahmen - würde grundsätzlich eine Änderung der Bewilligung erfordern, das heisst, es müsste zunächst ein entsprechendes Gesuch eingereicht und bewilligt werden.
Im jetzigen Zeitpunkt bestehe somit kein Anlass für einen Baustopp. Dies entbinde die Behörden jedoch nicht von weiteren Abklärungen und Kontrollen im Rahmen des noch bewilligten weiteren Abbaus.
3.
3.1. Die Beschwerdeführer rügen eine Verletzung der Begründungspflicht (<ref-law>). Das Verwaltungsgericht habe sich mit den behaupteten Kotenunterschreitungen nicht einlässlich genug auseinandergesetzt. Es fehle eine genügende Behandlung der in den Akten ersichtlichen, gravierenden Widersprüche. Zudem habe das Verwaltungsgericht ihre Vorbringen und jene des von ihnen beigezogenen Experten nicht genügend ernst genommen.
3.2. Im angefochtenen Entscheid wird dargelegt, weshalb ein Baustopp nicht angezeigt sei. Die betreffenden Ausführungen genügen der Begründungspflicht (<ref-law>). Dafür ist ausreichend, wenn das Gericht die wesentlichen Punkte für seinen Entscheid darlegt, so dass dieser gegebenenfalls sachgerecht angefochten werden kann (<ref-ruling> E. 6.2 S. 274; <ref-ruling> E. 5.2 S. 236 mit Hinweisen). Die Rüge ist somit unbegründet. Wenn das Verwaltungsgericht den Auffassungen der Beschwerdeführer bzw. des von ihnen beigezogenen Experten im Ergebnis nicht folgte, betrifft dies nicht die Begründungspflicht. Auf die inhaltliche Kritik am angefochtenen Entscheid ist nachfolgend einzugehen.
4.
4.1. Die Beschwerdeführer machen weiter geltend, das Verwaltungsgericht habe unbesehen die Feststellungen in der Vernehmlassung des AfU vom 8. August 2014 übernommen und deshalb den Sachverhalt willkürlich festgestellt. In jener Vernehmlassung hat das AfU ein Höhenprofil der Grundwassersohle (Isohypsenplan) mit einem Höhenprofil der aktuellen Abbaukote verglichen und dabei, wie bereits erwähnt, drei kritische Bereiche identifiziert. Die Beschwerdeführer kritisieren, das AfU habe die betreffenden Bereiche zu eng gefasst und zwei zusätzliche kritische Bereiche nicht ausgewiesen. Die Unterschreitungen seien zudem erheblich. In einem Bereich sei eine Kotenunterschreitung von deutlich mehr als 2 m erkennbar, womit die obere Grundwasserschicht wahrscheinlich freigelegt worden sei. Sie beanstanden zudem, dass die Profile gegen Norden nicht verlängert worden seien und sich das Höhenprofil der Grundwassersohle nicht bis zum nördlichen Grubenrand erstrecke. Es mangle an präzisen, aufschlussreichen Untersuchungen. Im Jahr 2009 seien zwar fünf Piezometer installiert worden, doch nicht im Bereich der kritischen Stellen. Unhaltbar erscheine es auch, wenn die Vorinstanz die Behauptungen des von ihnen beigezogenen Experten betreffend die Qualifizierung des austretenden Wassers ablehne. Dass es sich entgegen der Auffassung der Vorinstanz um Grundwasser handle, werde vom Höhenkurvenplan des AfU klar gestützt. Es erscheine wahrscheinlich, dass aufgrund dieser unzulänglichen Sachverhaltsfeststellungen die Vorschriften des Gewässerschutzrechts verletzt worden seien. Indem die Vorinstanz keine weiteren Abklärungen angeordnet habe, habe sie den Untersuchungsgrundsatz gemäss § 18 des Verwaltungsrechtspflegegesetzes des Kantons Schwyz vom 6. Juni 1974 (VRP; SRSZ 234.110) in willkürlicher Weise verletzt (<ref-law>).
4.2. Das umstrittene Kiesbbaugebiet liegt im Gewässerschutzbereich Au. Dieser umfasst die nutzbaren unterirdischen Gewässer sowie die zu ihrem Schutz notwendigen Randgebiete (Anhang 4 Ziff. 111 Abs. 1 der Gewässerschutzverordnung vom 28. Oktober 1998 [GSchV; SR 814.201]).
Wer Kies, Sand oder anderes Material ausbeuten oder vorbereitende Grabungen dazu vornehmen will, braucht eine Bewilligung (Art. 44 Abs. 1 des Bundesgesetzes vom 24. Januar 1991 über den Schutz der Gewässer [Gewässerschutzgesetz, GSchG; SR 814.20]). Bei einem Grundwasservorkommen, das sich nach Menge und Qualität für die Wassergewinnung eignet, kann die Ausbeutung oberhalb des Grundwasserspiegels bewilligt werden, wenn über dem höchstmöglichen Grundwasserspiegel eine schützende Materialschicht belassen wird. Diese ist nach den örtlichen Gegebenheiten zu bemessen (<ref-law>). Bei der Ausbeutung von Kies, Sand und anderem Material im Gewässerschutzbereich Au muss gemäss Anhang 4 Ziff. 211 GSchV eine schützende Materialschicht von mindestens 2 m über dem natürlichen, zehnjährigen Grundwasserhöchstspiegel belassen werden; liegt bei einer Grundwasseranreicherung der Grundwasserspiegel höher, so ist dieser massgebend (Abs. 3 lit. a). Die Ausbeutungsfläche muss so begrenzt werden, dass die natürliche Grundwasserneubildung gewährleistet ist (Abs. 3 lit. b). Schliesslich ist der Boden nach der Ausbeutung wieder so herzustellen, dass seine Schutzwirkung der ursprünglichen entspricht (Abs. 3 lit. c).
Gemäss Art. 31 Abs. 2 lit. a GSchV sorgt die Behörde dafür, dass bei bestehenden Anlagen in Gebieten nach Abs. 1 (wozu der Gewässerschutzbereich Au gehört), bei denen die konkrete Gefahr einer Gewässerverunreinigung besteht, die nach den Umständen gebotenen Massnahmen zum Schutz der Gewässer, insbesondere diejenigen nach Anhang 4 Ziffer 2, getroffen werden.
4.3. Das BAFU führt in seiner Vernehmlassung aus, gestützt auf die Piezometermessungen und die erwähnte Grafik des AfU ergäben sich keine genügenden Hinweise auf eine relevante grösserflächige Kotenunterschreitung. Bezüglich der Wasseransammlungen in der Grube lasse sich nicht sagen, dass es sich um das zu schützende Grundwasser handle. Es sei gut möglich, dass an den betreffenden Stellen aufgestautes Sickerwasser austrete. Die diesbezüglichen Aussagen des AfU erschienen plausibel. Auch gebe es keine Hinweise auf eine Verletzung der Lehmschicht (Aquiclud) zwischen den beiden Grundwasserkörpern. Auf Grund dieser Ausgangslage und da in der Kiesgrube Girendorf seit Mitte 2010 kein bzw. nur mehr ein geringfügiger Abbau stattgefunden habe und der Abbau zudem zeitlich bis 2016 beschränkt sei, erscheine nachvollziehbar, dass die Vorinstanz einen Baustopp nicht als zweckdienlich erachtet habe.
Zur Frage, ob bei der Wiederauffüllung der Kiesgrube eine Gefährdung des Grundwassers vorliege, die einen Baustopp rechtfertige, hielt das BAFU Folgendes fest: Nach der rechtskräftigen Verfügung des AfU vom 8. November 2002 dürfe zur Wiederauffüllung nur unverschmutztes Aushub- und Abraummaterial verwendet werden. Diese Auflage entspreche <ref-law>, welcher das Ausbringen oder Ablagern von Stoffen ausserhalb eines Gewässers untersage, falls die Stoffe das Wasser verunreinigen können und dadurch die konkrete Gefahr einer Verunreinigung des Wassers entsteht. Bei korrekter Durchführung der Wiederauffüllung (Einhaltung der Verfügung, insbesondere Abpumpen des Teichs zur Verhinderung von weiteren Materialverschwemmungen, keine Unfälle mit Baumaschinen, allenfalls Kontrolle der Wasserqualität bei der Quelle Grossrütihof etc.) könne eine Gefährdung des Grundwassers gut beherrscht bzw. ausgeschlossen werden. Ein Baustopp sei somit auch in dieser Hinsicht nicht notwendig.
4.4. Die Feststellung des Sachverhalts kann gemäss <ref-law> nur gerügt werden, wenn sie offensichtlich unrichtig - d.h. willkürlich - ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruht und die Behebung des Mangels ausserdem für den Verfahrensausgang entscheidend sein kann. Der Betroffene hat darzulegen, dass und inwiefern dies klar und eindeutig zutrifft (Art. 42 Abs. 2 und Art. 106 Abs. 2 BGG; <ref-ruling> E. 1.2 S. 187 mit Hinweisen).
Im vorliegenden Fall ist eine im Sinne von <ref-law> mangelhafte Sachverhaltsfeststellung nur insofern relevant, als sie sich mit Blick auf den von den Vorinstanzen verweigerten Baustopp als wesentlich erweist. Das Verwaltungsgericht hält dazu in seiner Vernehmlassung im bundesgerichtlichen Verfahren zu Recht fest, es sei nicht ersichtlich, inwiefern ein Baustopp dem Schutz des Grundwassers dienen könnte. Abbaumöglichkeiten bestehen nach den Ausführungen des Verwaltungsgerichts nur noch in einem nordöstlich der Grube liegenden Teil der Abbauzone (Etappe G), wo bis anhin noch kein Abbau stattgefunden habe. Der zeitliche Horizont laufe Ende 2016 auch für diesen Teil ab. Danach müsste ein Weiterabbau neu bewilligt werden, wie bereits im angefochtenen Entscheid dargelegt worden sei. Die Beschränkung auf unverschmutztes Aushubmaterial für die Wiederauffüllung biete den grösstmöglichen Schutz für das Grundwasser.
Aus den insofern von den Beschwerdeführern nicht beanstandeten Erwägungen der Vorinstanz geht hervor, dass in den Bereichen, wo in der Beschwerde eine Unterschreitung der Abbaukote geltend gemacht wird, kein weiterer Abbau mehr zulässig ist bzw. stattfindet. Für einen den Kiesabbau betreffenden Baustopp besteht damit von vornherein keine Grundlage und erscheinen auch weitere Sachverhaltsabklärungen unnötig. Der Gemeinderat Tuggen untersagte am 16. Januar 2014 in den vom AfU als kritisch bezeichneten Bereichen einen weiteren Abbau. Ob die erwähnten Bereiche damals hinreichend weit gefasst wurden, spielt angesichts des Umstands, dass die Beschwerdegegnerin gemäss den unbestrittenen Erwägungen der Vorinstanz ohne neuerliche Bewilligung keinen Abbau mehr vornehmen darf, mit Blick auf den beantragten Baustopp keine Rolle. Zudem betreffen die Beanstandungen der Beschwerdeführer nicht den Bereich "G", in welchem noch bis Ende 2016 ein Abbau möglich gewesen war. Auf ihre Kritik an der Sachverhaltsfeststellung durch die Vorinstanz ist deshalb nicht einzutreten (<ref-law>).
Die Vorinstanz hat eingehend dargelegt, dass die aktuelle Verwendung der Kiesgrube als Zwischenlager für unverschmutztes Aushub- und Abraummaterial zulässig ist. Die Beschwerdeführer bestreiten dies nicht. Sie zeigen auch nicht auf, dass in dieser Hinsicht die konkrete Gefahr einer Gewässerverunreinigung besteht (Art. 31 Abs. 2 lit. a GSchV).
Bezüglich der Wiederauffüllung ist das BAFU, wie erwähnt, der Ansicht, dass bei korrekter Durchführung eine Gefährdung des Grundwassers gut beherrscht bzw. ausgeschlossen werden könne. Das Bundesgericht hat keine Veranlassung, von dieser Einschätzung der Umweltschutzfachstelle des Bundes abzuweichen. Konkrete Hinweise auf ein unsachgemässes Vorgehen machen die Beschwerdeführer nicht geltend. Ihr Argument, jede Wiederauffüllung sei mit einem Risiko für die Grundwasserqualität verbunden, lässt ebenfalls nicht auf eine konkrete Gefährdung schliessen.
4.5. Zusammenfassend ist festzuhalten, dass das Verwaltungsgericht kein Bundesrecht verletzte, wenn es den Erlass eines Baustopps ablehnte. Aufgrund des Umstands, dass in Bezug auf die heutigen Aktivitäten der Beschwerdegegnerin in der Kiesgrube Girendorf keine Hinweise auf eine konkrete Gefährdung des Grundwassers bestehen, bietet Art. 31 Abs. 2 lit. a GSchV keine Grundlage für einen Baustopp. Die betreffende Rüge ist unbegründet. Auf die Kritik an der Sachverhaltsfeststellung durch die Vorinstanz ist zudem mangels Erheblichkeit nicht einzugehen (<ref-law>).
5.
Die Beschwerde ist aus den genannten Gründen abzuweisen, soweit darauf einzutreten ist.
Bei diesem Verfahrensausgang sind die Gerichtskosten den Beschwerdeführern aufzuerlegen (<ref-law>). Die Beschwerdeführer haben der anwaltlich vertretenen Beschwerdegegnerin eine angemessene Parteientschädigung auszurichten (Art. 68 Abs. 1 und 2 BGG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 3'000.-- werden den Beschwerdeführern auferlegt.
3.
Die Beschwerdeführer haben der Beschwerdegegnerin eine Parteientschädigung von Fr. 3'000.-- zu bezahlen.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien, dem Gemeinderat Tuggen, dem Amt für Raumentwicklung, dem Amt für Umweltschutz, dem Regierungsrat und dem Verwaltungsgericht des Kantons Schwyz, Kammer III, sowie dem Bundesamt für Umwelt schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 25. Januar 2017
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Merkli
Der Gerichtsschreiber: Dold