Faits :
A.
A._ et B._ sont les parents non mariés de C._, né en 2008, et de D._, née en 2011.
Ils vivent séparés depuis le mois de mars 2015.
B._ dispose de l'autorité parentale exclusive sur les deux enfants. Une garde alternée a été mise en place par les parents à raison de 60% pour la mère et de 40% pour le père.
B.
Le 8 juillet 2015, la mère a déposé une requête de mesures superprovisionnelles et provisionnelles tendant à ce que le père soit condamné à verser, à partir du 1 er juillet 2015, des contributions d'entretien pour ses enfants, d'un montant de 6'600 fr. par mois pour l'aîné et de 5'600 fr. par mois pour la cadette.
Par décision d'extrême urgence du 15 juillet 2015, le Président du Tribunal civil de l'arrondissement de Lausanne (ci-après: le Président) a rejeté la requête de mesures superprovisionnelles.
Par ordonnance de mesures provisionnelles du 19 août 2015, le Président a condamné le père à contribuer à l'entretien de ses enfants par le versement de pensions mensuelles de 4'200 fr. en faveur de l'aîné et de 3'300 fr. en faveur de la cadette, allocations familiales en sus, à partir du 1 er août 2015 et jusqu'à droit connu sur la procédure au fond.
Statuant sur appel des deux époux, le Juge délégué de la Cour d'appel civile du Tribunal cantonal du canton de Vaud (ci-après: la Cour d'appel civile) a, par arrêt du 26 novembre 2015, fixé le montant mensuel des contributions d'entretien à 5'400 fr. en faveur de l'aîné et à 4'500 fr. en faveur de la cadette.
C.
Par acte du 15 février 2016, le père exerce un recours en matière civile au Tribunal fédéral. Il conclut à ce que la pension mensuelle en faveur de C._ soit fixée à 2'500 fr. et celle en faveur de D._ à 2'200 fr., à ce que les frais judiciaires de deuxième instance, arrêtés à 5000 fr., soient mis à la charge de l'intimée et à ce que celle-ci soit condamnée à lui verser les sommes de 2'500 fr., à titre de " restitution d'avance de frais de deuxième instance ", et de 2'400 fr., à titre d'indemnité de dépens pour la procédure de deuxième instance. Subsidiairement, il conclut au renvoi de la cause à l'autorité précédente pour nouvelle décision dans le sens des considérants.
Invités à se déterminer sur la requête d'effet suspensif assortissant le recours, la Cour d'appel civile s'en est remise à justice et l'intimée a conclu à son rejet.
D.
Par ordonnance du 7 mars 2016, le Président de la IIe Cour de droit civil a rejeté la requête d'effet suspensif.
Des observations sur le fond n'ont pas été requises.

Considérant en droit :
1.
L'arrêt attaqué, qui porte sur des mesures provisionnelles ordonnant le versement de contributions d'entretien en faveur des enfants jusqu'à droit connu sur la procédure au fond, est une décision finale (<ref-law>; <ref-ruling> consid. 1.2 p. 588), rendue par une juridiction cantonale de dernière instance ayant statué sur recours (<ref-law>) dans une affaire civile (<ref-law>). Il s'agit d'une contestation de nature pécuniaire dont la valeur litigieuse atteint 30'000 fr. (art. 51 al. 1 let. a, 51 al. 4 et <ref-law>). Le recourant, qui a été débouté de ses conclusions par l'autorité précédente, a qualité pour recourir (<ref-law>). Déposé dans le délai (<ref-law>) et la forme (<ref-law>) prévus par la loi, le recours est donc en principe recevable.
2.
2.1. Dès lors que la décision attaquée porte sur des mesures provisionnelles, seule peut être dénoncée la violation de droits constitutionnels (<ref-law>). Le Tribunal fédéral n'examine la violation de ces droits que si ce moyen est invoqué et motivé par le recourant (principe d'allégation; <ref-law>), c'est-à-dire s'il a été expressément soulevé et exposé de manière claire et détaillée (<ref-ruling> consid. 3.2 p. 88 et les références; arrêt 5A_878/2014 du 17 juin 2015 consid. 2.1 non publié in <ref-ruling>). Le recourant doit ainsi indiquer quelle disposition constitutionnelle aurait été violée et démontrer, par une argumentation précise, en quoi consiste la violation (<ref-ruling> consid. 3 p. 352). Les critiques de nature appellatoire sont irrecevables (<ref-ruling> consid. 2.8 p. 494).
Par ailleurs, s'agissant de l'arbitraire (art. 9 Cst.), la jurisprudence admet ce grief uniquement si la décision attaquée est manifestement insoutenable, méconnaît gravement une norme ou un principe juridique clair et indiscuté, ou heurte de manière choquante le sentiment de la justice et de l'équité; il ne suffit pas qu'une autre solution paraisse concevable, voire préférable; pour que cette décision soit annulée, encore faut-il qu'elle se révèle arbitraire non seulement dans ses motifs, mais aussi dans son résultat (<ref-ruling> consid. 4.1 p. 566 et les références).
2.2. Le Tribunal fédéral statue sur la base des faits établis par l'autorité précédente (<ref-law>). Dans l'hypothèse d'un recours limité aux griefs d'ordre constitutionnel, le recourant qui entend invoquer que les faits ont été établis de manière manifestement inexacte ne peut obtenir la rectification ou le complètement des constatations de fait de l'arrêt cantonal que s'il démontre la violation de droits constitutionnels, conformément au principe d'allégation susmentionné (cf. supra consid. 2.1); les art. 95, 97 et 105 al. 2 LTF ne s'appliquent pas directement (<ref-ruling> consid. 7.1 p. 398, 585 consid. 4.1 p. 588). Toutefois, l'application de l'art. 9 Cst. aboutit pratiquement au même résultat: le Tribunal fédéral ne corrige les constatations de fait que si elles sont arbitraires et ont une influence sur le résultat de la décision (<ref-ruling> consid. 1.2.2 p. 252). Le recourant ne peut donc pas se borner à contredire les constatations litigieuses par ses propres allégations ou par l'exposé de sa propre appréciation des preuves; il doit indiquer de façon précise en quoi ces constatations sont contraires au droit ou entachées d'une erreur indiscutable, c'est-à-dire arbitraires au sens de l'art. 9 Cst. (<ref-ruling> consid. 1.2.2 p. 252). Une critique des faits qui ne satisfait pas à cette exigence est irrecevable (<ref-law>; <ref-ruling> consid. 1.4.3 p. 255).
2.3. En vertu des principes de la bonne foi et de l'épuisement des griefs (<ref-law>), le recours n'est ouvert qu'à l'encontre des décisions rendues par une autorité cantonale de dernière instance, ce qui suppose que la partie recourante ait épuisé toutes les voies de droit quant aux griefs qu'elle entend soumettre au Tribunal fédéral, portant sur des questions que celui-ci ne revoit pas d'office (<ref-ruling> consid. 1.2 p. 3, 424 consid. 3.2 p. 429 et les références). Tous les moyens nouveaux sont exclus dans le recours en matière civile au sens de l'<ref-law>, que ceux-ci relèvent du fait ou du droit, sauf dans les cas où seule la motivation de la décision attaquée donne l'occasion de les soulever (<ref-ruling> consid. 2 p. 640; arrêt 5A_317/2011 du 22 novembre 2011 consid. 2 non publié in <ref-ruling>).
3.
En vertu de l'<ref-law>, la contribution d'entretien en faveur de l'enfant doit correspondre aux besoins de celui-ci ainsi qu'à la situation et aux ressources des père et mère; il est tenu compte de la fortune et des revenus de l'enfant, ainsi que de la participation de celui des parents qui n'a pas la garde de l'enfant à la prise en charge de ce dernier. Ces différents critères doivent être pris en considération; ils exercent une influence réciproque les uns sur les autres. Ainsi, les besoins de l'enfant doivent être examinés en relation avec les trois autres éléments évoqués et la contribution d'entretien doit toujours être dans un rapport raisonnable avec le niveau de vie et la capacité contributive du débirentier (<ref-ruling> consid. 3a p. 112; arrêt 5A_462/2010 du 24 octobre 2011 consid. 4.2 non publié in <ref-ruling>). Celui des parents dont la capacité financière est supérieure est par ailleurs tenu, suivant les circonstances, de subvenir à l'entier du besoin en argent si l'autre remplit son obligation à l'égard de l'enfant essentiellement en nature (<ref-ruling> consid. 3a/cc p. 289 s.; arrêt 5A_462/2010 du 24 octobre 2011 consid. 4.2 non publié in <ref-ruling>).
La loi n'impose pas de méthode de calcul de la contribution d'entretien (<ref-ruling> consid. 3.2.2 p. 414). En cas de situation financière particulièrement bonne, il n'est pas nécessaire de prendre en considération toute la force contributive des parents pour calculer la contribution à l'entretien des enfants. Il ne faut pas prendre comme point de départ le niveau de vie le plus élevé qu'il est possible d'avoir avec un certain revenu, mais celui qui est réellement mené. De plus, dans certaines circonstances, il peut se justifier, pour des motifs pédagogiques, d'accorder un niveau de vie plus modeste à l'enfant qu'aux parents (<ref-ruling> consid. 3b p. 113 s.; arrêt 5A_421/2015 du 21 janvier 2016 consid. 4.1). Le montant de la contribution d'entretien ne doit donc pas être calculé simplement de façon linéaire d'après la capacité financière des parents, sans tenir compte de la situation concrète de l'enfant (<ref-ruling> consid. 3b/bb p. 291; arrêt 5A_874/2015 du 2 mars 2016 consid. 4.1).
4.
Le recourant soutient en premier lieu que la cour cantonale a arbitrairement surévalué les charges de ses deux enfants pour fixer la quotité des contributions d'entretien en leur faveur.
4.1.
4.1.1. S'agissant du logement des enfants, il ressort de l'arrêt attaqué que, depuis le 1 er mars 2015, ceux-ci occupent avec l'intimée un appartement de 6.5 pièces pour 200 m2 sis au chemin E._ à U._, dont le loyer est de 6'500 fr. par mois, charges comprises. L'intimée a déclaré avoir signé le contrat de bail avec l'accord du recourant. Compte tenu de la vie menée par la famille avant la séparation dans une belle villa à V._, de la nécessité de trouver un logement à proximité de l'école fréquentée par les enfants et de la situation financière particulièrement favorable du recourant, qui avait donné son accord à la signature du bail, la cour cantonale a estimé que le loyer effectif pouvait être pris en compte dans son intégralité, même s'il était élevé. L'imputation de 20% du loyer à charge de chacun des enfants n'étant pas contestée, une charge mensuelle de 1'300 fr. par enfant devait ainsi être retenue à titre de participation au loyer.
4.1.2. Le recourant soutient que le loyer effectif de l'intimée est manifestement excessif et que l'autorité cantonale aurait dû prendre en compte un loyer hypothétique réduit à 3'000 fr. Selon lui, il ressortirait clairement des pièces du dossier, en particulier d'un courrier du 11 mars 2015 adressé par son conseil à l'intimée, qu'il s'est d'emblée opposé à la location de l'appartement, qui ne correspondrait ni aux besoins ni aux capacités financières de l'intimée. L'autorité cantonale aurait dès lors apprécié les preuves de manière insoutenable.
4.1.3. Seuls les frais de logement effectifs ou raisonnables doivent être pris en considération dans le calcul des charges, menant à celui de la contribution d'entretien (arrêts 5A_1029/2015 du 1 er juin 2016 consid. 4.3.1; 5A_905/2014 du 12 mai 2015 consid. 3.3). Les charges de logement d'un conjoint peuvent ne pas être intégralement retenues lorsqu'elles apparaissent excessivement élevées au regard de ses besoins et de sa situation économique concrète (arrêts 5A_1029/2015 du 1er juin 2016 consid. 4.3.1; 5A_365/2014 du 25 juillet 2014 consid. 3.1 et les références).
4.1.4. En l'espèce, le recourant conteste, sur la base de son courrier du 11 mars 2015, avoir donné son accord à la conclusion du bail. Or, le fait que la cour cantonale n'ait pas tenu compte de cette pièce n'apparaît pas insoutenable, dès lors que celle-ci est postérieure au début du bail. Par ailleurs, la cour cantonale s'est fondée sur d'autres motifs (logement antérieur de la famille, proximité du logement avec l'école des enfants et situation financière particulièrement favorable du recourant) pour retenir le loyer effectif de l'intimée dans le calcul des charges. Le recourant, qui se réfère - dans une approche appellatoire - essentiellement à la situation de la mère, ne critique pas plus avant ceux-ci, contrairement aux exigences prévues à l'<ref-law> (cf. supra consid. 2.1).
Pour le surplus, il ressort de l'arrêt attaqué (<ref-law>) que le recourant n'a pas contesté la répartition de la charge de loyer entre l'intimée et les enfants, de sorte qu'il n'y a pas lieu de revenir sur cette question.
Dans la mesure où elle est recevable, la critique du recourant est ainsi infondée.
4.2.
4.2.1. S'agissant des frais de consommation courante, la cour cantonale a estimé que l'intimée avait rendu vraisemblables des dépenses, "effectives et non dispendieuses ", d'un montant d'environ 2'000 fr. par mois. Ce montant couvrant également les besoins de la mère, il paraissait adéquat d'en imputer un quart, à savoir 500 fr., à chacun des enfants. Concernant l'habillement, l'intimée avait rendu vraisemblable avoir dépensé 8'500 fr. en 2014, à savoir environ 350 fr. par mois et par enfant, montant qui n'apparaissait pas excessif au regard des circonstances de l'espèce.
4.2.2. Selon le recourant, l'autorité cantonale aurait fait preuve d'arbitraire dans l'appréciation des preuves en retenant, sur la seule base de trois [recte: quatre] factures, que l'intimée consacrait environ 2'000 fr. par mois à la consommation courante. Pour ce qui est de l'habillement, la juridiction précédente aurait également fondé sa décision sur la base de cinq factures portant sur un " montant exorbitant " de 8'500 fr. Rappelant que la jurisprudence fédérale admet une réduction de la contribution d'entretien pour motifs pédagogiques, le recourant soutient que le poste " frais d'habillement et de consommation courante " doit être réduit à 400 fr. par mois et par enfant, ce montant correspondant au montant de base fixé par les " Directives OP/OF pour le calcul du minimum d'existence en matière de poursuites " pour un enfant de moins de 10 ans.
4.2.3. En l'espèce, le fait que, dans une procédure de mesures provisionnelles, la cour cantonale se soit fondée, en l'absence d'autres éléments concrets qui infirmeraient ces chiffres, sur les factures produites par l'intimée n'apparaît pas arbitraire.
Pour le surplus, le recourant se contente de substituer sa propre appréciation des montants dépensés - qu'il qualifie d'exorbitants - à celle de la juridiction précédente - qui ne les trouve pas excessifs compte tenu des circonstances de l'espèce - et ne s'en prend pas au raisonnement de la cour cantonale selon lequel il ne se justifie manifestement pas de réduire le poste litigieux à 400 fr. par enfant en se fondant sur le montant de base de la LP, compte tenu des moyens financiers très importants du recourant (cf. supra consid. 2.1).
Le grief du recourant doit ainsi être rejeté dans la mesure de sa recevabilité.
4.3.
4.3.1. S'agissant du poste " vacances et transport ", il ressort de l'arrêt attaqué que l'intimée a produit les copies des factures d'un voyage familial à l'Ile Maurice, dont le coût s'est élevé pour C._ à 6'790 fr. 25 et pour D._ à 5'619 fr. 25. La cour cantonale a dès lors retenu qu'on ne saurait réduire ce poste à 300 fr. par mois, comme le soutenait le recourant, qui avait assumé des frais très importants de voyage durant la vie commune. On ne pouvait toutefois pas déduire, sur la base de ces dépenses, que les enfants auraient droit à un tel voyage trois fois par année, comme le soutenait l'intimée, cela d'autant que, vu la répartition de la garde, il était vraisemblable que le père partirait également en vacances avec ses enfants. Au vu du train de vie des parties, il se justifiait de retenir un montant de 1'000 fr. pour C._ et de 800 fr. pour D._.
4.3.2. Le recourant soutient que les montants retenus par l'autorité cantonale sont exorbitants pour des enfants de 4 et 7 ans, ne peuvent que nuire à leur éducation et sont en contradiction manifeste avec les principes fixés par la jurisprudence, en particulier concernant le caractère adéquat et raisonnable du montant de la contribution d'entretien ainsi que l'obligation de tenir compte des motifs pédagogiques. Il conviendrait selon lui de réduire ce montant à 300 fr. par mois et par enfant.
4.3.3. En l'espèce, le recourant se contente de substituer ses propres chiffres - qu'il qualifie de " raisonnables et équitables " - à ceux de la cour cantonale et ne s'en prend pas au raisonnement de la juridiction précédente concernant le fait que le recourant a assumé des frais de voyage très importants pour ses enfants pendant la vie commune. Partant, son grief est irrecevable (cf. supra consid. 2.1).
5.
Le recourant se plaint en deuxième lieu de ce que la cour cantonale n'a pas tenu compte d'une amende de 500'000 euros dans l'appréciation de sa situation financière.
5.1. La juridiction précédente a retenu qu'à ce stade de la procédure, il n'y avait pas lieu de tenir compte de l'amende mentionnée par le recourant au cours de l'audience d'appel, puisqu'en indiquant qu'une demande de paiement échelonné était en cours de traitement, il n'avait pas pu établir, sous l'angle de la vraisemblance, dans quelle mesure sa capacité financière allait être touchée pour les mois à venir.
5.2. Selon le recourant, il serait impératif de tenir compte de cette amende, dont le paiement, qu'il soit unique ou échelonné, influera négativement sur sa capacité contributive.
5.3. En l'occurrence, le recourant se contente d'indiquer, de manière générale, que le règlement de l'amende aura une influence négative sur sa capacité contributive, mais ne précise nullement dans quelle mesure il faudrait concrètement tenir compte de cette amende dans le calcul des pensions. Insuffisamment motivé, son grief est irrecevable (cf. supra consid. 2.1).
6.
Le recourant reproche en troisième lieu à l'autorité cantonale de n'avoir pas instruit de manière approfondie la situation financière de l'intimée et de ne pas lui avoir imputé de revenu hypothétique.
6.1. La cour cantonale a retenu qu'il existait une disproportion telle entre les revenus des parties qu'il se justifiait de faire supporter le coût des enfants exclusivement au recourant, sans qu'il y ait lieu de procéder à une instruction approfondie, dans le cadre de mesures provisionnelles, de la situation financière de l'intimée. La procédure de deuxième instance avait permis de constater que le revenu imposable de celle-ci en 2013, lorsque son compagnon lui fournissait encore des mandats par le biais de la société F._ SA, s'élevait à 64'126 fr., à savoir à 5'343 fr. 85 par mois, qu'elle était à la recherche d'un nouvel emploi et qu'elle percevrait très vraisemblablement, dès le mois de janvier 2016, un revenu d'environ 2'600 fr. net par mois pour une nouvelle activité à un taux d'approximativement 50%. Or, un tel montant, déjà insuffisant pour couvrir ses propres charges, ne lui permettrait manifestement pas de participer à la prise en charge financière des enfants.
6.2. Selon le recourant, la situation financière de l'intimée est " t out sauf transparente et crédible ", celle-ci déclarant devoir commencer une nouvelle activité dès le 1 er janvier 2016 pour un salaire mensuel net de 2'600 fr., mais ayant toutefois conclu un contrat de bail à loyer portant sur un appartement luxueux au loyer mensuel de 6'500 fr. L'instance précédente aurait toutefois considéré, de manière incompréhensible et en dépit des preuves présentées par le recourant quant à sa situation financière réelle, qu'il ne s'imposait pas d'instruire la question de la capacité contributive de l'intimée au vu de la disproportion existant entre les revenus des parties. A défaut d'instruction, le juge d'appel aurait à tout le moins dû imputer à l'intimée un revenu hypothétique d'au minimum 6'000 fr. par mois, au vu de son jeune âge, de sa formation supérieure, de son expérience professionnelle en tant que gérante de société et de sa grande disponibilité compte tenu du système de garde alternée mis en place par les parties et du fait que les enfants bénéficient d'un encadrement au sein de la garderie de l'école privée où ils sont scolarisés.
6.3. En tant qu'il minimise l'écart entre ses revenus et ceux de l'intimée en indiquant qu'il dispose, après paiement des impôts, d'un montant mensuel net de 23'047 fr. et que les revenus de la recourante, au vu du montant de son loyer, sont plus importants que ce qu'elle prétend, le recourant présente - de manière appellatoire - sa propre appréciation des revenus des parties (cf. supra consid. 2.2).
S'agissant du revenu hypothétique imputable à l'intimée, il ne ressort pas de l'arrêt cantonal que le recourant a formulé ce grief en instance d'appel (<ref-ruling> consid. 1.3.1 p. 17 s.), ce que le recourant ne prétend au demeurant pas. Partant, sa critique est irrecevable (cf. supra consid. 2.3).
Pour le surplus, le fait que la cour cantonale ait examiné la situation financière vraisemblable de l'intimée sur la base des pièces produites et ait renoncé à une " instruction approfondie " dans le cadre de mesures provisionnelles n'apparaît en l'espèce pas arbitraire.
7.
Le recourant reproche en dernier lieu à la cour cantonale d'avoir mis à sa charge l'entier des besoins des enfants.
7.1. La cour cantonale a retenu qu'il ne se justifiait pas de réduire le montant mis à la charge du recourant, les besoins évalués étant ceux des enfants pour la période où ils étaient chez leur mère et correspondant au coût réel auquel l'intimée devait faire face en dépit de la garde alternée.
7.2. Selon le recourant, la cour cantonale a retenu " de manière arbitraire et en contradiction avec les pièces du dossier " que le calcul des besoins correspondait aux charges assumées par la mère pendant sa période de garde et non à l'entier des charges relatives aux enfants. Seulement 60% de ces montants devraient dès lors être pris en compte dans le calcul de la contribution d'entretien.
7.3. En tant que le recourant se contente d'indiquer que le raisonnement de l'autorité cantonale est "en contradiction avec les pièces du dossier " - sans toutefois préciser lesquelles -, sa motivation est d'emblée insuffisante (cf. supra consid. 2.1). Partant, son grief est irrecevable.
8.
En conclusion, le recours est rejeté dans la mesure où il est recevable. Le recourant, qui succombe, supportera les frais judiciaires (<ref-law>). Il versera en outre à l'intimée, qui a obtenu gain de cause s'agissant de l'effet suspensif, mais n'a pas été invitée à se déterminer sur le fond, une indemnité de dépens (art. 68 al. 1 et 2 LTF). Au vu du sort de la cause, il n'y a pas lieu de modifier la répartition des frais et dépens de deuxième instance cantonale (art. 67 et 68 al. 5 LTF), objet d'une conclusion au demeurant non motivée plus avant par le recourant.

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce :
1.
Le recours est rejeté dans la mesure où il est recevable.
2.
Les frais judiciaires, arrêtés à 2'000 fr., sont mis à la charge du recourant.
3.
Une indemnité de 300 fr., à verser à l'intimée à titre de dépens, est mise à la charge du recourant.
4.
Le présent arrêt est communiqué aux parties et au Juge délégué de la Cour d'appel civile du Tribunal cantonal du canton de Vaud.
Lausanne, le 18 juillet 2016
Au nom de la IIe Cour de droit civil
du Tribunal fédéral suisse
Le Président : von Werdt
La Greffière : Feinberg