Sachverhalt:
A.
B._ (Kläger, Beschwerdegegner) ist einziger Gesellschafter der D._GmbH in Luzern und bei dieser als Geschäftsführer angestellt. Die D._GmbH hat mit der A._AG (Beklagte, Beschwerdeführerin) eine Kollektivkrankentaggeldversicherung für ihre Arbeitnehmenden abgeschlossen und sämtliche Angestellten - auch B._ - auf der Basis des AHV-Lohns versichert. B._ leidet unter degenerativen Schulterproblemen, welche ihm schulterbelastende Tätigkeiten und Überkopfarbeiten verunmöglichen.
Die A._AG leistete für B._ vom 30. Juli 2012 bis 31. Juli 2013 Taggelder. Dieser fordert weitere Taggeldleistungen für die Zeit vom 1. August 2013 bis zum 31. Dezember 2013, was die A._AG ablehnt.
Unbestritten sind zwischen den Parteien die Höhe des versicherten Lohnes (Fr. 250'000.-- pro Jahr), die Taggeldhöhe (Fr. 547.95 für 100 %) und die fortdauernde, krankheitsbedingte Arbeitsunfähigkeit zu 50 % von B._ für schulterbelastende Tätigkeiten und Überkopfarbeiten in seiner bisherigen Tätigkeit.
B.
B.a. Am 13. Januar 2014 reichte B._ beim Bezirksgericht Luzern Klage ein und beantragte, die A._AG sei zur Leistung von Taggeldern für die Zeit vom 1. August 2013 bis zum 31. Dezember 2013 in der Höhe von Fr. 52'254.10 nebst Zins zu verpflichten, unter Vorbehalt des Nachklagerechts für Taggelder ab dem 1. Januar 2014. Mit Replik vom 16. Juni 2014 reduzierte B._ seine Forderung auf Fr. 41'918.15 nebst Zins.
Mit Urteil vom 17. Dezember 2014 hiess das Bezirksgericht Luzern die Klage gut und verpflichtete die A._AG zur Zahlung von Fr. 41'918.15 nebst Zins an B._.
B.b. Gegen dieses Urteil erhob die A._AG Berufung an das Kantonsgericht Luzern und beantragte, das Urteil des Bezirksgerichts Luzern sei aufzuheben und die Klage sei abzuweisen.
Mit Urteil vom 18. August 2015 wies das Kantonsgericht Luzern die Berufung ab und bestätigte das erstinstanzliche Urteil. Das Kantonsgericht kam wie bereits das Bezirksgericht zum Schluss, es liege eher eine Summen- als eine Schadensversicherung vor und B._ habe seine Schadenminderungsobliegenheit nicht verletzt.
C.
Mit Beschwerde in Zivilsachen vom 25. September 2015 beantragt die A._AG dem Bundesgericht, es sei das Urteil des Kantonsgerichts Luzern vom 18. August 2015 aufzuheben und die Klage abzuweisen.
Der Beschwerdegegner beantragt die Abweisung der Beschwerde. Die Vorinstanz beantragt die Abweisung der Beschwerde, soweit darauf einzutreten ist.
Die Parteien haben Replik und Duplik eingereicht.

Erwägungen:
1.
Zu beurteilen ist die Leistungspflicht aus einer Zusatzversicherung zur sozialen Krankenversicherung. Derartige Zusatzversicherungen unterstehen gemäss Art. 12 Abs. 2 und 3 des Bundesgesetzes vom 18. März 1994 über die Krankenversicherung (KVG; SR 832.10) dem Bundesgesetz vom 2. April 1908 über den Versicherungsvertrag (VVG; SR 221.229.1). Streitigkeiten aus solchen Versicherungen sind privatrechtlicher Natur, womit als Rechtsmittel an das Bundesgericht die Beschwerde in Zivilsachen gemäss <ref-law> in Betracht kommt (<ref-ruling> E. 1.1 S. 3; <ref-ruling> E. 2.1 S. 441 f. mit Hinweis).
Die Beschwerde richtet sich gegen einen verfahrensabschliessenden Endentscheid (<ref-law>) einer oberen kantonalen Instanz, die auf ein Rechtsmittel hin kantonal letztinstanzlich entschieden hat (<ref-law>), die Rechtsbegehren der Beschwerdeführerin sind im kantonalen Verfahren nicht geschützt worden (<ref-law>), der massgebende Streitwert beträgt mehr als Fr. 30'000.-- (Art. 51 i.V.m. <ref-law>) und die Beschwerdefrist ist eingehalten (Art. 100 Abs. 1 i.V.m. <ref-law>). Auf die Beschwerde ist somit - unter Vorbehalt einer hinreichenden Begründung (Art. 42 Abs. 2 und Art. 106 Abs. 2 BGG) - einzutreten.
2.
Zwischen den Parteien ist die Auslegung des Versicherungsvertrags umstritten. Während die Vorinstanz mit dem Beschwerdegegner von einer Summenversicherung ausging, die keinen Nachweis eines Erwerbsausfalles voraussetze, macht die Beschwerdeführerin geltend, es liege gemäss den AVB eine Schadensversicherung vor. Da der Beschwerdegegner keinen Schaden nachweisen könne, schulde die Beschwerdeführerin keine weiteren Taggeldleistungen.
2.1. Klauseln in allgemeinen Geschäfts- oder Versicherungsbedingungen sind, wenn sie in Verträge übernommen werden, grundsätzlich nach denselben Prinzipien auszulegen wie andere vertragliche Bestimmungen (<ref-ruling> E. 2.2 S. 610, 675 E. 3.3 S. 681). Ziel der Vertragsauslegung ist es, in erster Linie den übereinstimmenden wirklichen Willen der Parteien festzustellen (vgl. <ref-law>). Wenn dieser unbewiesen bleibt, sind zur Ermittlung des mutmasslichen Parteiwillens die Erklärungen der Parteien aufgrund des Vertrauensprinzips so auszulegen, wie sie nach ihrem Wortlaut und Zusammenhang sowie den gesamten Umständen verstanden werden durften und mussten (vgl. <ref-ruling> E. 4.2.1 S. 666; <ref-ruling> E. 3.2.1 S. 148; <ref-ruling> E. 3.2.1 S. 188). Das Bundesgericht überprüft diese objektivierte Auslegung von Willenserklärungen als Rechtsfrage, wobei es an Feststellungen des kantonalen Gerichts über die äusseren Umstände sowie das Wissen und Wollen der Beteiligten grundsätzlich gebunden ist (<ref-law>). Versagen bei mehrdeutigen Klauseln die übrigen Auslegungsmittel, so sind solche Klauseln gemäss der Unklarheitsregel gegen den Verfasser bzw. gegen jene Partei auszulegen, die als branchenkundiger als die andere zu betrachten ist und die Verwendung der vorformulierten Bestimmungen veranlasst hat (<ref-ruling> E. 2.2.2.3 S. 69, 607 E. 2.2 S. 610; <ref-ruling> E. 1b S. 158; <ref-ruling> E. 2a S. 121).
2.2. Im Gegensatz zur Schadensversicherung ist bei der Summenversicherung die Leistung beim Eintritt des Versicherungsfalls unabhängig davon geschuldet, ob der Versicherte effektiv einen Schaden erlitten hat (<ref-ruling> E. 3.2.4 S. 532 f.; <ref-ruling> E. 4 S. 364 f.; <ref-ruling> E. 4c f. S. 49 ff.; Urteil 4A_38/2015 vom 25. Juni 2015 E. 3.2).
2.3. Die Vorinstanz hat ausgeführt, die Voraussetzungen für die Leistung von Taggeldern seien in Art. 8.1.4 AVB umschrieben. Danach sei eine Arbeitsunfähigkeit zu mindestens 25 % infolge Krankheit vorausgesetzt. Ein Schaden im Rechtssinne sei gemäss dem Wortlaut von Art. 8.1 AVB nicht Leistungsvoraussetzung. Die Leistung bemesse sich gemäss Art. 8.2.1 AVB nach dem vereinbarten Versicherungsumfang und den vorliegenden Versicherungsbedingungen; sie dürfe den entgangenen Verdienst bzw. die vereinbarte feste Lohnsumme nicht übersteigen. Die Beschwerdeführerin verweise auf die Beschreibung des Zwecks der Versicherung in Art. 1.1 AVB und auf Art. 7.2.2 und 7.3 AVB, wo es um den Versicherungsumfang gehe. Sie mache geltend, eine Leistungspflicht setze zum einen eine krankheitsbedingte Arbeitsunfähigkeit und zum andern einen dadurch verursachten Erwerbsausfall in der Höhe des entgangenen Verdienstes voraus. Sie setze sich allerdings nicht mit den zutreffenden Ausführungen des erstinstanzlichen Gerichts auseinander, wonach Art. 8.1 AVB, der die Leistungsvoraussetzungen definiere, einen Schaden im Rechtssinn gerade nicht voraussetze. Auch lege sie nicht dar, woraus sich ergeben solle, dass die Leistungen des Versicherers vorliegend an den tatsächlichen Einkommensausfall des Versicherten anknüpfen sollten. Es sei auch darauf hinzuweisen, dass mehrdeutige Klauseln nach der Unklarheitsregel gegen den Versicherer als deren Verfasser auszulegen wären. Das erstinstanzliche Gericht sei somit zu Recht eher von einer Summenversicherung ausgegangen.
2.4. Dagegen bringt die Beschwerdeführerin vor, die Vorinstanz habe ausser Acht gelassen, dass Art. 1.1 AVB systematisch und vom Wortlaut her als Grundlage für alle anderen Artikel diene, insbesondere auch für Art. 8.1.4 AVB. In Art. 1.1 AVB stehe ausdrücklich, dass die Lohnausfallversicherung für Unternehmen der Deckung des Erwerbsausfalles diene, der durch Arbeitsunfähigkeit infolge Krankheit entstanden sei. Zudem gelte gemäss Art. 7.2.2 AVB als Bemessungsgrundlage für die Taggelder der letzte vor Krankheitsbeginn bezogene AHV-pflichtige Lohn. Demnach setze die Leistungspflicht der Beschwerdeführerin voraus, dass die krankheitsbedingte Arbeitsunfähigkeit wirtschaftliche Folgen in Form eines Erwerbsausfalls habe. Daran ändere nichts, dass gemäss Art. 7.3 AVB die Höhe des versicherbaren Lohnes pro Person und Jahr auf Fr. 250'000.-- begrenzt sei. Nach Art. 11.1.1 und 11.3.1 AVB dürfe die versicherte Person zudem (auch unter Berücksichtigung Leistungen Dritter) nicht überentschädigt werden. Aus all diesen Bestimmungen der AVB ergebe sich, dass nicht eine Summen-, sondern eine Schadensversicherung vorliege. Einen Schaden habe der Beschwerdegegner nicht erlitten, da sein Invalideneinkommen im Jahr 2013 höher gewesen sei als der versicherte Lohn von Fr. 250'000.--. Die Beschwerdeführerin sei deshalb nicht leistungspflichtig.
2.5. Die Beschwerdeführerin bestreitet nicht, dass ein Schaden in den AVB nicht unter den Leistungsvoraussetzungen aufgeführt ist. Ist die Leistung unabhängig davon geschuldet, ob der Versicherte effektiv einen Schaden erlitten hat, so liegt eine Summenversicherung vor. Die Formulierung des Zweckartikels Art. 1.1 AVB schliesst eine Summenversicherung nicht aus. Denn auch die Taggelder, die aus einer Summenversicherung ausbezahlt werden, bezwecken letztlich die Kompensation eines durch Arbeitsunfähigkeit bedingten Erwerbsausfalls, dessen Nachweis aber nicht Voraussetzung für die Auszahlung ist. Nach den vorinstanzlichen Feststellungen ist ein Lohn von Fr. 250'000.-- pro Jahr versichert. Dass die Leistungen auf diesen Betrag beschränkt sind, macht auch bei Vorliegen einer Summenversicherung Sinn. Was die in den AVB angeblich vorgesehene Anrechnung von Leistungen Dritter angeht, so lässt sich dazu dem vorinstanzlich festgestellten Sachverhalt nichts entnehmen. Da die Beschwerdeführerin diesbezüglich keine Sachverhaltsrügen erhebt, müssen ihre Ausführungen dazu unberücksichtigt bleiben. Immerhin sei erwähnt, dass eine Anrechnung von Leistungen Dritter auch in den AVB einer Summenversicherung vorgesehen werden kann (<ref-ruling> E. 3.2.5 S. 533). Damit ergibt sich entgegen der Ansicht der Beschwerdeführerin aus den AVB nicht, dass ein Schaden Voraussetzung für die Leistung von Taggeldern ist. Da nach der Unklarheitsregel selbst mehrdeutige Klauseln gegen die Beschwerdeführerin auszulegen wären, ist die Versicherung als Summenversicherung zu qualifizieren. Die Rüge der Beschwerdeführerin ist unbegründet.
3.
Die Beschwerdeführerin rügt weiter, die Vorinstanz habe zu Unrecht eine Verletzung der Schadenminderungspflicht nach <ref-law> durch den Beschwerdegegner verneint.
3.1. Die Vorinstanz hat ausgeführt, die D._GmbH sei ein Familienunternehmen mit 11 Angestellten. Die Beschwerdeführerin habe vom Beschwerdegegner im Sinne einer Massnahme zur Schadensminderung verlangt, einen günstigeren Ersatzangestellten einzustellen, der die Aufgaben des Beschwerdegegners hätte übernehmen können. Diese Massnahme setze nicht beim versicherten Ereignis der Arbeitsunfähigkeit des Beschwerdegegners an, sondern beim Schaden. Selbst wenn aber der Meinung der Beschwerdeführerin gefolgt würde, so wäre die verlangte Massnahme dem Beschwerdegegner subjektiv nicht zumutbar. Die Versicherungsleistungen seien maximal während 730 Tagen zu erbringen. Angesichts des fortgeschrittenen Alters des Beschwerdegegners (geb. im Jahr 1957) könne ihm nicht zugemutet werden, für die kurze verbleibende Zeit einen Teilzeitangestellten zu finden und in den kleinen Betrieb einzugliedern. Das schützenswerte Interesse des Beschwerdegegners, keinen Ersatzangestellten einzustellen, überwiege das Interesse der Beschwerdeführerin an der Anstellung eines Ersatzangestellten. Dem Beschwerdegegner sei somit nicht zumutbar, jemanden im handwerklichen Bereich einzustellen und sich nur dessen Lohn von der Beschwerdeführerin vergüten zu lassen.
3.2. Die Beschwerdeführerin hält dem entgegen, der Beschwerdegegner sei als Geschäftsführer einer GmbH, deren alleiniger Gesellschafter er sei, als Selbständigerwerbender zu behandeln. Es sei ihm zumutbar, eine Ersatzkraft zum Ausgleich seiner eigenen reduzierten Leistungsfähigkeit bezüglich körperlich schwerer Arbeiten anzustellen und so die Auswirkungen der reduzierten Leistungsfähigkeit auf ein Mindestmass zu reduzieren. Die versicherte Person habe sich das Erwerbseinkommen anrechnen zu lassen, das sie zumutbarerweise noch erzielen könnte. Bei Einstellung eines Ersatzangestellten sei der Restschaden mittels eines Einkommensvergleichs zu ermitteln. Dieses Vorgehen schreibe das Bundesgericht vor, wenn die versicherte Person zu einem Berufswechsel verpflichtet werde. Im vorliegenden Fall sei analog vorzugehen. Ab dem 1. August 2013 resultiere daher eine Arbeitsunfähigkeit von unter 25 % und ein allfälliger Leistungsanspruch des Beschwerdegegners entfalle.
3.3. Nach Art. 61 Abs. 1 Satz VVG ist der Anspruchsberechtigte verpflichtet, nach Eintritt des befürchteten Ereignisses tunlichst für Minderung des Schadens zu sorgen. Die Obliegenheit zur Minderung des Schadens hat die versicherte Person nicht nur bei einer Schadens-, sondern auch bei einer Summenversicherung (<ref-ruling> E. 3b S. 36; Urteil 4A_529/2012 vom 31. Januar 2013 E. 2.2; vgl. auch <ref-ruling> E. 3.2.1 S. 531). Zur Erfüllung der Schadenminderungsobliegenheit kann ein Berufswechsel notwendig sein (<ref-ruling> E. 3.2.1 S. 531; Urteile 4A_574/2014 vom 15. Januar 2015 E. 4.1; 4A_529/2012 vom 31. Januar 2013 E. 2.3).
3.4. Um ihrer Schadenminderungsobliegenheit nachzukommen, soll die versicherte Person darauf hinarbeiten, ihre Arbeitsfähigkeit so rasch wie möglich zu steigern und sich wieder ins Erwerbsleben zu integrieren. Die versicherte Person soll mithin ihre eigenen Fähigkeiten - soweit zumutbar - so einsetzen, dass der Erwerbsausfall verringert werden kann. Wenn die Beschwerdeführerin vom Beschwerdegegner nun aber die Einstellung eines Ersatzangestellten verlangt, so zielt diese Massnahme nicht auf die Steigerung des Erwerbseinkommens des Beschwerdegegners selbst ab. Die Forderung nach einem Ersatzangestellten richtet sich nicht an den Beschwerdegegner als versicherten Arbeitnehmer, sondern an den Beschwerdegegner als Geschäftsführer, mithin an die GmbH als Arbeitgeberin. Dem Beschwerdegegner obliegt es aber nach <ref-law> nur, seinen (eigenen) Schaden als Arbeitnehmer zu mindern, nicht den Schaden der GmbH als seiner Arbeitgeberin. Daran ändert nichts, dass der Beschwerdegegner Geschäftsführer der GmbH ist. Versichert ist denn auch der Lohn des Beschwerdegegners, nicht der Gewinn seines Unternehmens. Dem Beschwerdegegner kann somit nicht als Verletzung der Schadenminderungsobliegenheit vorgeworfen werden, er habe keinen Ersatzangestellten eingestellt. Dass dem Beschwerdegegner ein Berufswechsel nicht zumutbar ist, anerkennt die Beschwerdeführerin. Die Vorinstanz hat <ref-law> daher nicht verletzt, indem sie eine Verletzung der Schadenminderungsobliegenheit verneint hat. Die Rüge ist unbegründet.
4.
Nach dem Gesagten ist die Beschwerde abzuweisen. Bei diesem Verfahrensausgang wird die Beschwerdeführerin kosten- und entschädigungspflichtig (Art. 66 Abs. 1, Art. 68 Abs. 2 BGG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 2'000.-- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
3.
Die Beschwerdeführerin hat den Beschwerdegegner für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 2'500.-- zu entschädigen.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Kantonsgericht Luzern, 1. Abteilung, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 7. Januar 2016
Im Namen der I. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Kiss
Die Gerichtsschreiberin: Marti-Schreier