Sachverhalt:
A.
Die Kindes- und Erwachsenenschutzbehörde (KESB) Regionen Hochdorf und Sursee errichtete eine Vertretungsbeistandschaft mit Vermögensverwaltung für A._ (Entscheid vom 7. April 2015). Am 19. Juli 2016 lehnte die KESB sowohl die von der Betroffenen beantragte Aufhebung der Massnahme ab wie auch den Antrag des Beistands um eine Einschränkung der Handlungsfähigkeit im Bereich der Sozialversicherungen.
B.
Das Kantonsgericht Luzern wies die Beschwerde von A._ ab. Es bewilligte ihr die unentgeltliche Rechtspflege, ernannte Rechtsanwältin B._ zur Rechtsbeiständin und entschädigte diese aus der Gerichtskasse mit Fr. 1'285.20 (Urteil vom 11. Oktober 2016).
C.
A._ erhob am 14. November 2016 Beschwerde in Zivilsachen. Sie beantragt, das angefochtene Urteil resp. die damit bestätigte Vertretungsbeistandschaft sei aufzuheben. Eventuell sei die Sache zur weiteren Abklärung und neuen Entscheidung an die Vorinstanz zurückzuweisen. Die Entschädigung für das vorinstanzliche Verfahren sei "auf Fr. 4'123.60 plus Auslagen Fr. 60 und 8% Mehrwertsteuer Fr. 334.70 festzulegen, vorbehältlich der Kürzung auf 85%". Ausserdem ersucht sie um unentgeltliche Prozessführung und Rechtsverbeiständung im bundesgerichtlichen Verfahren.
Das Kantonsgericht Luzern verzichtet auf eine Vernehmlassung betreffend die Anfechtung der Entschädigung für das kantonsgerichtliche Verfahren. Im Übrigen hat das Bundesgericht keine Vernehmlassungen eingeholt, aber die kantonalen Akten beigezogen.

Erwägungen:
1.
1.1. Die Beschwerde richtet sich gegen den Endentscheid (<ref-law>) einer letzten kantonalen Instanz (<ref-law>). Der erwachsenenschutzrechtliche Entscheid ist öffentlich-rechtlich, steht aber in unmittelbarem Zusammenhang mit dem Zivilrecht (Art. 72 Abs. 2 lit. b Ziff. 6 BGG). Die Beschwerdeführerin 1 hat am Verfahren vor der Vorinstanz teilgenommen (vgl. <ref-law>). Sie ist durch den angefochtenen Entscheid besonders berührt und hat ein schutzwürdiges Interesse an dessen Aufhebung oder Änderung (<ref-law>). Auf die rechtzeitig (<ref-law>) eingereichte Beschwerde ist insoweit einzutreten.
1.2. Auch die Sachurteilsvoraussetzungen der Beschwerde der Rechtsvertreterin betreffend die im Rahmen des Urteils zur Hauptsache erfolgte Festlegung der unentgeltlichen Rechtspflege sind erfüllt. Dass das Kantonsgericht in diesem Punkt nicht als Rechtsmittelinstanz im Sinne von <ref-law> entschieden hat, macht die Beschwerde an das Bundesgericht nicht unzulässig (vgl. <ref-ruling> E. 2.2 S. 426; Urteil 5A_761/2014 vom 26. Februar 2015 E. 1.1 und 1.2).
2.
2.1. Die Vorinstanz legte zunächst die lebensgeschichtlichen Verhältnisse der Beschwerdeführerin dar, welche zur strittigen erwachsenenschutzrechtlichen Vorkehr geführt haben. Unter anderem gestützt auf Berichte der Beistände der Beschwerdeführerin und ihres Sohnes (geb. 2004) schickte sie voraus, es sei von einer grundsätzlich positiven Entwicklung auszugehen. Die regelmässige Ausübung des Besuchsrechts hinsichtlich ihres Sohnes und die berufliche Tätigkeit (mit noch bescheidenem Umfang) gäben der Beschwerdeführerin Halt und Sinn und zudem eine gewisse Tagesstruktur. Die streitgegenständliche Vertretungsbeistandschaft mit Vermögensverwaltung (Art. 394 Abs. 1 und Art. 395 Abs. 1 und 3 ZGB) bestehe nicht in erster Linie wegen gesundheitlicher Aspekte. Die Beschwerdeführerin sei aus anderen Gründen nach wie vor schutzbedürftig im Sinne von <ref-law>. Im Hinblick auf finanzielle und administrative Belange hätten sich die Verhältnisse (unabhängig von der psychischen Verfassung) noch nicht dauerhaft verbessert. Insofern liege immer noch ein Schwächezustand vor. Fortschritte liessen sich nur mit Hilfe des Beistandes erzielen. Nach Auffassung beider involvierter Berufsbeistände bedürfe die Beschwerdeführerin weiterhin der Unterstützung. Auf sich alleine gestellt vermöchte sie ihre Finanzen nach wie vor nicht zu überblicken; so würde sie bei den Ausgaben, wie früher mitunter geschehen, falsche Prioritäten setzen. Hinzu komme, dass sie die Kooperation mit dem Beistand mehr oder weniger verweigere, ohne aber selber eine Vertrauensperson zu benennen, welche sie gleichwertig unterstützen könnte. So komme hier das Subsidiaritätsprinzip nicht zum Tragen, welches der privat organisierten Hilfe grundsätzlich den Vorrang vor behördlich angeordneten Schutzmassnahmen einräume. Verhältnismässig sei die Massnahme, weil sie sich lediglich auf finanzielle und administrative Belange beziehe und die Beschwerdeführerin in solchen Angelegenheiten in jüngster Zeit effektiv auf Hilfe angewiesen gewesen sei. Eine beistandschaftliche Unterstützung in finanziellen und administrativen Belangen ermögliche ihr, ihre Lebenssituation, auch im Interesse des Sohnes, weiter zu beruhigen. Im Rahmen der regelmässigen Berichterstattung des Beistands werde die Situation zu überprüfen sein. Sollte sich die Stabilisierung fortsetzen, stünde einer späteren Aufhebung der Beistandschaft nichts entgegen.
2.2.
2.2.1. Die Beschwerdeführerin trägt vor, das Kantonsgericht äussere Zweifel an ihrer Erziehungsfähigkeit; dies gehe an der hier zu verhandelnden Schutzbedürftigkeit in Vermögensangelegenheiten vorbei. Dabei übersieht sie, dass die Vorinstanz bloss den Sorgerechtsentscheid zitiert. Die Vorinstanz selber hebt eine positive Entwicklung hervor, was den Kontakt der Beschwerdeführerin zu ihrem Sohn angeht (vgl. oben E. 2.1). Die betreffenden Überlegungen gehören im Übrigen nicht zu den tragenden Motiven des angefochtenen Urteils. Sie umschreiben aber einen Teil der Lebenssituation, die für die Schutzbedürftigkeit in finanziellen und administrativen Belangen und damit für die streitgegenständliche Vertretungsbeistandschaft mit Vermögensverwaltung mit massgebend ist.
2.2.2. Des Weitern rügt die Beschwerdeführerin, die Vorinstanz beziehe sich zu Unrecht auf die drei Jahre zurückliegende Scheidung, die sie damals aus dem seelischen Gleichgewicht gebracht habe. In diesem Zusammenhang zeichnete das Kantonsgericht einerseits die Entwicklung der vergangenen Jahre nach, benannte anderseits aber auch Eigenschaften der Beschwerdeführerin, die im Zeitpunkt des angefochtenen Urteils immer noch zu einer massnahmebegründenden Schutzbedürftigkeit beitrügen (fehlende Einsicht in "auffällige" Reaktions- und Verhaltensweisen, fehlende Selbstkritik und Introspektionsfähigkeit). Die Beschwerdeführerin legt nicht dar, inwiefern diese Elemente im Lichte der gesetzlichen Massnahmevoraussetzungen unerheblich sein sollten.
2.2.3. Entgegen der Auffassung der Beschwerdeführerin hat die Vorinstanz mit der Bemerkung, es sei irrelevant, dass der Hausarzt keine psychische Störung festgestellt habe, keineswegs die ausschliessliche Zuständigkeit eines Psychiaters vorausgesetzt. Vielmehr hat sie darauf hingewiesen, dass ein Schwächezustand im Sinne von <ref-law> auch auf anderen als krankheitswertigen Zuständen beruhen könne.
2.2.4. Die Beschwerdeführerin macht geltend, die Vorinstanz mache sich zu Unrecht Feststellungen der Beiständin ihres Sohnes zu eigen. Diese stelle die Fähigkeit der Betroffenen zur Regelung ihrer finanziellen Angelegenheiten aufgrund konkreter Vorfälle als erheblich eingeschränkt dar. Das Kantonsgericht hat den Sachverhalt indessen nicht willkürlich festgestellt (vgl. <ref-law>; <ref-ruling> E. 2 S. 117). Entgegen der Auffassung der Beschwerdeführerin gehört es offenkundig zu den Aufgaben der Beiständin des Sohnes, sich ein Bild von den persönlichen Verhältnissen der Mutter, welcher ein Besuchsrecht zukommt, zu machen. Weshalb etwa die Feststellung, die Wohnung sei ihr nur dank behördlicher Hilfestellung erhalten geblieben, unhaltbar sein sollte, wird nicht substantiiert dargetan (vgl. <ref-ruling> E. 6.2 S. 288). Das gilt auch für die Vorbringen, anhand welcher die Beschwerdeführerin eine Voreingenommenheit der Beiständin geltend macht.
2.2.5. Sodann beanstandet die Beschwerdeführerin, dass die Vorinstanz darauf hinweise, es würden immer noch Zahlungsbefehle ausgestellt, "die eine entsprechende Korrespondenz notwendig werden liessen" (angefochtener Entscheid S. 6). Damit stellt das Kantonsgericht, anders als die Beschwerdeführerin meint, weniger ihre Fähigkeit zu korrespondieren in Frage als vielmehr die immer noch bestehende Gefahr von finanziellen Zwangslagen in den Vordergrund. Auch insofern beruht der angefochtene Entscheid nicht auf bundesrechtswidrigen Motiven.
2.2.6. Schliesslich rügt die Beschwerdeführerin, die Art und Weise, wie der referierende Richter der Vorinstanz Erkenntnisse aus einem früheren Sorgerechtsverfahren auf den vorliegenden Zusammenhang übertragen habe, lasse auf Voreingenommenheit ihr gegenüber schliessen. Auch dieser Vorhalt wird weder genügend substantiiert noch finden sich in den Akten entsprechende augenfällige Hinweise (zu Letzterem vgl. <ref-ruling> E. 6.2 S. 288).
2.3. Insgesamt ergibt sich unter keinem der gerügten Gesichtspunkte eine Bundesrechtswidrigkeit des angefochtenen Urteils.
3.
Die unentgeltliche Rechtsvertreterin der Verbeiständeten führt Beschwerde gegen die vorinstanzliche Bemessung des Honorars.
3.1. Die Bewilligung der unentgeltlichen Rechtspflege betrifft das Rechtsverhältnis zwischen dem Rechtsvertreter und dem Staat. Die Rechtsvertreterin erhebt daher zu Recht in eigenem Namen Beschwerde, was die Entschädigung für die unentgeltliche Rechtsvertretung im kantonsgerichtlichen Verfahren angeht (Urteile 4A_511/2015 vom 9. Dezember 2015 E. 1.3 und 5A_451/2011 vom 25. Juli 2011 E. 1.2).
3.2. Die Rechtsvertreterin hat die Honorarrechnung, aus welcher der geltend gemachte Zeitaufwand zu entnehmen ist, am 14. Oktober 2016, somit zu einem Zeitpunkt eingereicht, als das angefochtene Urteil vom 11. Oktober 2016 bereits gefällt (wenn auch noch nicht zugestellt worden) war. Die Beschwerdeführerin bestreitet zu Recht nicht, dass das Kantonsgericht berechtigt war, das Urteil zu erlassen, ohne ihr zuvor Frist für die Einreichung einer Honorarnote zu stellen. Die Ausführungen der Beschwerdeführerin betreffend die Pflicht des Gerichts, Kürzungen der Honorarnote zu erläutern, sind unter diesen Umständen gegenstandslos.
3.3. Nach Ansicht der Rechtsvertreterin ist die vorinstanzlich zugesprochene Entschädigung auch unabhängig von der Honorarnote mit Blick auf den erforderlichen Aufwand wesentlich zu tief und daher willkürlich. Die pauschale Festlegung stehe in keinem vernünftigen Verhältnis zu den geleisteten Diensten. Die äusserst komplizierte Angelegenheit habe mehrere Rechtsschriften, namentlich eine zehnseitige Beschwerdeschrift, und ein entsprechend ausgedehntes Aktenstudium nötig gemacht. Ein Zeitaufwand von sechseinhalb Stunden für die (näher beschriebenen) Bemühungen sei keinesfalls ausreichend. Die zugesprochene Entschädigung gefährde die wirksame Ausübung des Mandats.
Die Vorinstanz führt zur Frage der Entschädigung im Rahmen der gewährten unentgeltlichen Rechtspflege Folgendes aus (E. 5) : " Die Kostennote von Rechtsanwältin B._ wird auf pauschal Fr. 1'512.-- (inkl. Auslagen und Fr. 112.-- MWST) festgelegt. Daran hat ihr das Kantonsgericht Fr. 1'285.20 (85 % des Honorars: Fr. 1'190.--; MWST: Fr. 95.20) zu bezahlen ". Es stellt sich die Frage, ob das Kantonsgericht auf eine Begründung zur Höhe der Entschädigung verzichten durfte.
3.4. Der unentgeltliche Rechtsbeistand kann aus <ref-law> einen Anspruch auf Entschädigung und Rückerstattung seiner Auslagen herleiten. Dieser umfasst aber nicht alles, was für die Wahrnehmung der Interessen des Mandanten von Bedeutung ist. Ein Anspruch besteht von Verfassungs wegen nur, soweit der Aufwand zur Wahrung der Rechte notwendig ist (<ref-ruling> E. 3.1 S. 126), somit nicht schon, soweit er bloss vertretbar erscheint. Für den Anwendungsbereich der ZPO hat der Bundesgesetzgeber bewusst darauf verzichtet, eine volle Entschädigung vorzuschreiben (<ref-ruling> E. 5.2 S. 188 mit Hinweis auf die Materialien). <ref-law> verpflichtet nur zu einer "angemessenen" Entschädigung des unentgeltlichen Rechtsvertreters (vgl. auch <ref-law>).
Es ist Sache der kantonalen Behörden, die Angemessenheit anwaltlicher Bemühungen zu beurteilen. Das Bundesgericht greift nur ein, wenn die Festsetzung des Honorars ausserhalb jeden vernünftigen Verhältnisses zu den vom Anwalt geleisteten Diensten steht und in krasser Weise gegen das Gerechtigkeitsgefühl verstösst. Das Honorar muss allerdings so festgesetzt werden, dass die unentgeltliche Rechtsvertretung über den Handlungsspielraum verfügt, den sie zur wirksamen Ausübung des Mandates benötigt (<ref-ruling> E. 3.1 und 3.2 S. 126 mit Hinweisen). Im Sinne einer Faustregel hat das Bundesgericht festgehalten, dass sich die Entschädigung für einen amtlichen Anwalt im schweizerischen Durchschnitt in der Grössenordnung von 180 Franken pro Stunde (zuzüglich Mehrwertsteuer) bewegen muss, um vor der Verfassung standzuhalten (<ref-ruling> E. 3.2 S. 127; <ref-ruling> E. 5.4 a.E. S. 191; <ref-ruling> E. 8.6 und 8.7 S. 217; Urteile 6B_558/2015 vom 29. Januar 2016 E. 1.2.2 a.E. und 5A_157/2015 vom 12. November 2015 E. 3.2.2).
3.5. Effektiv hat das Kantonsgericht die unentgeltliche Rechtsvertreterin pauschal mit Fr. 1'190.-- (ohne Mehrwertsteuer, aber mit nicht bezifferter Auslagenpauschale) entschädigt. Wenn vom verfassungsrechtlich gebotenen minimalen Stundenansatz von Fr. 180.-- ausgegangen wird, hat die Vorinstanz damit einen Zeitaufwand von weniger als sechseinhalb Stunden entschädigt, wenn die eingeschlossene Auslagenpauschale ausgeklammert wird. Dies erscheint aufgrund der Vorbringen der Rechtsvertreterin, welche mit Blick auf die Rechtsschriften und die Akten plausibel erscheinen, als wenig. Es ist nicht auszuschliessen, dass die dargelegten Grenzen einer verfassungskonformen Bemessung des Honorars verletzt werden. Ob es sich tatsächlich so verhält, kann aber nur beurteilt werden, wenn wenigstens knapp, aber einzelfallbezogen begründet wird, weshalb die Festsetzung angemessen sei. Eine solche Begründung fehlt indessen vollständig. Eine Entschädigung, die nicht auf ihre Verfassungskonformität hin überprüfbar ist, ist einer willkürlichen gleichzusetzen. Die Sache ist somit zur neuen Beurteilung und Festsetzung der Entschädigung an die Vorinstanz zurückzuweisen. Dabei wird freilich nicht von dem im Rahmen der bundesgerichtlichen Willkürprüfung massgebenden Minimalansatz auszugehen sein, sondern von den in derartigen Fällen gewöhnlich angewandten kantonalen Tarifbestimmungen.
4.
4.1. Dem in der Hauptsache (Anfechtung der Beistandschaft) gestellten Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege im bundesgerichtlichen Verfahren kann nicht entsprochen werden, da die Beschwerde aussichtslos war (vgl. Art. 64 Abs. 1 und 2 BGG).
4.2. Dem Ausgang des Rechtsstreits um die Beistandschaft entsprechend trägt die beschwerdeführende Person die Gerichtskosten (<ref-law>). Der finanziellen Lage der Beschwerdeführerin 1 ist Rechnung zu tragen (vgl. <ref-law>). Der KESB ist keine Entschädigung geschuldet (<ref-law>).
4.3. Was die Festsetzung der unentgeltlichen Entschädigung angeht, wird die Sache an die Vorinstanz zurückgewiesen. In einem solchen Fall werden dem Gemeinwesen praxisgemäss keine Gerichtskosten auferlegt (<ref-law>; Urteil 5D_76/2015 vom 5. Oktober 2015 E. 10 mit Hinweisen). Hingegen bezahlt der Kanton Luzern der Rechtsvertreterin in ihrer Eigenschaft als obsiegender Beschwerdeführerin eine Entschädigung (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird in der Hauptsache abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.
Im Entschädigungspunkt wird die Beschwerde teilweise gutgeheissen. Die Sache wird zur neuen Beurteilung und Festsetzung des Honorars der unentgeltlichen Rechtsvertreterin im Sinne der Erwägungen an die Vorinstanz zurückgewiesen.
3.
Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege wird abgewiesen.
4.
Die Gerichtskosten in der Hauptsache von Fr. 500.-- werden der Beschwerdeführerin auferlegt. Im Übrigen werden keine Gerichtskosten erhoben.
5.
Der Kanton Luzern hat Rechtsanwältin B._ mit Fr. 800.-- zu entschädigen.
6.
Dieses Urteil wird den Parteien, der Kindes- und Erwachsenenschutzbehörde (KESB) Regionen Hochdorf und Sursee und dem Kantonsgericht Luzern, 2. Abteilung, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 28. Juni 2017
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: von Werdt
Der Gerichtsschreiber: Traub