Sachverhalt:
A.
A.A._ und B._ sind die unverheirateten Eltern von C.A._ (geb. 2006; Betroffene). C.A._ steht unter der alleinigen elterlichen Sorge der Mutter, bei der sie auch wohnt. Am 12. Dezember 2013 wurde über C.A._ eine Beistandschaft nach Art. 308 Abs. 1 und 2 ZGB errichtet. Mit Schreiben vom 22. April 2014 ersuchte B._ um Zuteilung des alleinigen Sorgerechts über C.A._. Am 5. Juli 2014 beantragte er ausserdem die Erteilung der gemeinsamen elterlichen Sorge. Mit Entscheid vom 8. Juli 2015 wies die Kindes- und Erwachsenenschutzbehörde Mittelland Nord (KESB) unter anderem beide Gesuche betreffend die elterliche Sorge ab und regelte den persönlichen Verkehr zwischen Vater und Tochter sowie die Aufgaben der Beiständin.
B.
Am 10. August 2015 erhob B._ hiergegen Beschwerde beim Obergericht des Kantons Bern, Kindes- und Erwachsenenschutzgericht. Er beantragte im Wesentlichen, es sei ihm in Aufhebung des Entscheids der KESB die alleinige Sorge "inkl. Obhut" über C.A._ zu erteilen; eventuell sei das gemeinsame Sorgerecht der Eltern "mit Obhut beim Vater", subeventuell mit hälftig "geteilter Obhut und Betreuung" zu verfügen. Mit Entscheid vom 30. Mai 2016 (eröffnet am 1. Juni 2016) stellte das Obergericht C.A._ unter die gemeinsame elterliche Sorge (Dispositivziffer 2). "Die Obhut" beliess es unter Regelung des Besuchs- und Ferienrechts des Vaters bei der Mutter (Dispositivziffern 2 und 3). Ausserdem beauftragte es die Beiständin von C.A._ damit, die Eltern in ihrer Sorge um das Kind mit Rat und Tat zu unterstützen (Dispositivziffer 4a). Zuletzt wies es die KESB an, die Anrechnung der Erziehungsgutschriften zu regeln (Dispositivziffer 6).
C.
Mit Beschwerde in Zivilsachen vom 1. Juli 2016 gelangt A.A._ (Beschwerdeführerin) an das Bundesgericht und stellt in der Sache die folgenden Anträge:
"1. Ziffer 2 des [Entscheids des Obergerichts vom 30. Mai 2016] sei aufzuheben und das alleinige Sorgerecht der Beschwerdeführerin zu belassen.
2. Ziffer 4 lit. a) des angefochtenen Entscheids sei aufzuheben und die Beiständin sei mit der Aufgabe zu betrauen, der Beschwerdeführerin in ihrer Sorge um C.A._ mit Rat und Tat zu unterstützen [...].
3. Ziffer 6 des angefochtenen Entscheids sei aufzuheben."
Mit separater Eingabe von demselben Datum ersucht A.A._ ausserdem um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung.
Das Bundesgericht hat die Akten des kantonalen Verfahrens, hingegen keine Vernehmlassungen eingeholt.
B._ (Beschwerdegegner) hat den obergerichtlichen Entscheid ebenfalls vor Bundesgericht angefochten (Verfahren 5A_508/2016).

Erwägungen:
1.
Die Beschwerde richtet sich gegen den Entscheid einer letzten kantonalen Instanz, die als oberes Gericht über die gemeinsame elterliche Sorge, den Auftrag der Beiständin sowie die Anrechnung der Erziehungsgutschriften entschieden hat (Art. 72 Abs. 1 und Abs. 2 Bst. b Ziff. 6, Art. 75 Abs. 1, Art. 90 und 93 Abs. 3 BGG). Damit stehen Kindes (schutz) belange in Frage, die nur teilweise finanzielle Aspekte betreffen. Folglich steht die Beschwerde in Zivilsachen streitwertunabhängig offen (Urteil 5A_864/2015 vom 7. Juni 2016 E. 1). Die Beschwerdeführerin hat am vorinstanzlichen Verfahren teilgenommen und ist durch den angefochtenen Entscheid besonders berührt und in schutzwürdigen Interessen betroffen (<ref-law>). Die Beschwerde ist fristgerecht erhoben worden (<ref-law>). Es kann darauf eingetreten werden.
2.
2.1. Strittig ist, ob das Obergericht die gemeinsame elterliche Sorge verfügen durfte oder ob die Betroffene unter der alleinigen Sorge der Beschwerdeführerin zu belassen war. Damit zusammenhängend steht die Formulierung des Auftrags der Beiständin und die Regelung der Anrechnung der Erziehungsgutschriften in Streit. Die Frage nach dem alleinigen Sorgerecht des Vaters stellt sich nicht mehr, nachdem auf die Beschwerde des Beschwerdegners (vorne Bst. C) nicht einzutreten war (Urteil 5A_508/2016 vom 30. März 2017).
2.2. Auf den 1. Juli 2014 ist die Gesetzesnovelle zur elterlichen Sorge (AS 2014 357 ff., 363) in Kraft getreten. Steht in diesem Zeitpunkt die elterliche Sorge nur einem Elternteil zu, so kann sich der andere Elternteil binnen Jahresfrist nach Inkrafttreten mit dem Antrag auf Verfügung der gemeinsamen elterlichen Sorge an die zuständige Behörde wenden. Artikel 298b ZGB findet sinngemäss Anwendung (<ref-law>). Vorliegend hat der nicht sorgeberechtigte Vater am 5. Juli 2014 um Erteilung der gemeinsamen elterlichen Sorge ersucht, womit nach den Kriterien von <ref-law> über diese zu entscheiden ist.
Sind die Eltern nicht miteinander verheiratet und anerkennt der Vater das Kind oder wird das Kindesverhältnis durch Urteil festgestellt und die gemeinsame elterliche Sorge nicht bereits im Zeitpunkt des Urteils verfügt, so kommt die gemeinsame elterliche Sorge aufgrund einer gemeinsamen Erklärung der Eltern zustande (<ref-law>). Weigert sich ein Elternteil, die Erklärung über die gemeinsame elterliche Sorge abzugeben, so kann der andere Elternteil die Kindesschutzbehörde am Wohnsitz des Kindes anrufen (<ref-law>). Die Kindesschutzbehörde verfügt die gemeinsame elterliche Sorge, sofern nicht zur Wahrung des Kindeswohls an der alleinigen elterlichen Sorge der Mutter festzuhalten oder die alleinige elterliche Sorge dem Vater zu übertragen ist (<ref-law>).
2.3. Damit bildet die gemeinsame elterliche Sorge den Grundsatz. Die Alleinzuteilung der Sorge bzw. die Belassung der alleinigen elterlichen Sorge ist die eng begrenzte Ausnahme, die nur zulässig ist, wenn das Kindeswohl sie gebietet. In seiner Rechtsprechung hat das Bundesgericht Kriterien aufgestellt, die erfüllt sein müssen, um ein Abweichen vom Grundsatz des gemeinsamen elterlichen Sorgerechts zu rechtfertigen. Diese Kriterien können insbesondere bei einem schwerwiegenden elterlichen Dauerkonflikt oder bei anhaltender Kommunikationsunfähigkeit erfüllt sein. Dabei müssen sich der Konflikt oder die Kommunikationsunfähigkeit auf die Kinderbelange als Ganzes beziehen und sich negativ auf das Kindeswohl auswirken. Erforderlich ist die konkrete Feststellung, in welcher Hinsicht das Kindeswohl beeinträchtigt ist. Schliesslich ist die Alleinzuteilung des Sorgerechts nur zulässig, wenn sie geeignet ist, die festgestellte Beeinträchtigung des Kindeswohls zu beseitigen oder zumindest zu lindern (<ref-ruling> E. 4.6 und 4.7; <ref-ruling> E. 3.3, 56 E. 3, 197 E. 3.5 und 3.7). Geht es, wie hier, um die auf <ref-law> gestützte Anordnung des gemeinsamen Sorgerechts, ist unter diesem Gesichtspunkt nur dann davon abzusehen, wenn eine aufgrund der Streitereien auf Elternebene bestehende Beeinträchtigung des Kindeswohls in entscheidender Weise verstärkt würde (Urteile 5A_609/2016 vom 13. Januar 2017 E. 2.2; 5A_292/2016 vom 21. November 2016 E. 2).
3.
3.1. Nach der Darstellung des Obergerichts ist die Beziehung zwischen den Parteien von starken Konflikten gezeichnet. Die Vorinstanz erwähnt namentlich die gegenseitig geringe Wertschätzung der Eltern sowie das fehlende Vertrauen und den respektlosen und verletzenden Umgang von Seiten des Beschwerdegegners. Auch habe dieser nicht immer mit den Behörden zusammengearbeitet. In den letzten Monaten hätten die Eltern aber durchaus zusammenwirken und sich verständigen können und das Wohl der Tochter in den Vordergrund gestellt. Der Beschwerdegegner habe sich in letzter Zeit sehr um die Tochter bemüht und zum Wohle des Kindes kooperiert. Auch wenn nach wie vor keine gelebte kooperative Elternschaft vorhanden sei und die Eltern ihre Haltung ändern müssten, reiche der bestehende Konflikt nicht, um vom Regelfall der gemeinsamen elterlichen Sorge abzuweichen. Zumal die Eltern professionell begleitet und notfalls zusätzliche Massnahmen getroffen werden könnten. Sodann sei nicht ersichtlich, dass der Streit der Eltern sich bei gemeinsamer Sorge ungünstiger auf das Kind auswirken würde als bei alleiniger Sorge der Mutter. Im Gegenteil sei zu befürchten, die Mutter würde den Vater bei alleiniger Sorge aus dem Leben des Kindes ausschliessen.
3.2. Die Beschwerdeführerin bringt hiergegen vor, der Beschwerdegegner halte sie für psychisch krank und unfähig, sich um die Tochter zu kümmern. Die Ausübung der gemeinsamen Sorge als gleichberechtigte Partner sei unter diesen Umständen nicht möglich. Erschwerend komme hinzu, dass der Beschwerdegegner keinerlei Ursache des seit langem bestehenden Elternkonfliktes bei sich sehe. Auch erachte er die Behörden und Gerichte als unfähig und sei nicht bereit, mit den Fachstellen zusammen zu arbeiten. Die Verbitterung und das Unverständnis des Beschwerdegegners gegenüber den Fachpersonen und seine abwertende Haltung gegenüber der Kindsmutter stünden vielfach im Vordergrund, was ein produktives und kooperatives Verhalten zum Wohl der Tochter zumindest in Frage stelle. Die von der Vorinstanz festgestellte Verbesserung der elterlichen Beziehung sei demgegenüber eher bescheiden und nicht einer positiven Entwicklung des Beschwerdegegners geschuldet, sondern dem wiederholten Nachgeben der Beschwerdeführerin. Bei gemeinsamer elterlicher Sorge müssten sich die Eltern in wesentlich grösserem Umfang als bisher absprechen. In Anbetracht der schwierigen Situation sei zu befürchten, dass dies zu massiven Konflikten, Blockaden und damit einer zusätzlichen Gefährdung des Kindeswohls führen werde. Nicht ersichtlich sei, wie die Situation durch eine professionelle Begleitung verbessert werden könne.
4.
4.1. Den kantonalen Sachverhaltsfeststellungen und den mit diesen übereinstimmenden Darlegungen der Beschwerdeführerin lässt sich entnehmen, dass zwischen den Eltern eine nicht unerhebliche Konfliktsituation besteht. Ausser der genannten geringen Wertschätzung und dem fehlenden Vertrauen zwischen den Eltern und dem Verhalten des Beschwerdegegners gegenüber der Beschwerdeführerin, haben die Eltern unterschiedliche Vorstellungen bezüglich Betreuung und Erziehung der Tochter und werfen sie sich gegenseitig vor, nicht erziehungsfähig zu sein. Diese Streitigkeiten belasten die Tochter (vgl. auch Tätigkeitsbericht der Beiständin vom 28. Januar 2016 [Beschwerdebeilage 5; nachfolgend: Bericht Beiständin], Bst. D S. 2 und 6). Das Obergericht stellt allerdings eine Entspannung der Situation fest. Die Eltern sind bereit, zum Wohl der Tochter in einem gewissen Mass zusammenzuarbeiten und tragen ihre Konflikte weniger in deren Beisein aus. Entsprechend hat sich die Beziehung zwischen Vater und Tochter stabilisiert und wird das Besuchsrecht nun regelmässig ausgeübt (vgl. auch Bericht Beiständin, Bst. C S. 4 f.; Bericht D._, vom 21. April 2016 [Beschwerdebeilage 4], S. 2 f. und 5). Auch haben sich die Gesundheit und die schulischen Leistungen der Tochter verbessert (vgl. Bericht Beiständin, Bst. B und C S. 2 f.). Soweit die Beschwerdeführerin diese Entwicklung relativiert und auf ihre alleinige Anstrengung zurückführt, übt sie sich in appellatorischer Kritik am angefochtenen Entscheid, auf die nicht weiter einzugehen ist (<ref-law>; <ref-ruling> E. 2.3).
4.2. Damit ergibt sich zwar das Bild zerstrittener Eltern, denen Kommunikation und Zusammenarbeit schwer fällt und die mit ihrem Konflikt die Tochter beeinträchtigen. Allerdings arbeiten die Eltern in letzter Zeit mit Blick auf das Kindeswohl vermehrt zusammen und funktioniert das Besuchsrecht des Vaters, sodass dieser heute in regelmässigem Kontakt mit der Tochter steht. Damit einhergehend ist eine Verbesserung der Situation der Tochter feststellbar (Gesundheit, schulische Leistungen). Unter diesen Umständen ist der vorliegende Fall nicht mit den Situationen vergleichbar, in denen das Bundesgericht bisher die Voraussetzungen für die Alleinzuteilung des Sorgerechts an einen Elternteil für mit dem Bundesrecht vereinbar erachtet hat. Dies war etwa der Fall bei einem heftig geführten Nachtrennungskonflikt, der sich zunehmend verstärkte, chronifizierte und auf die verschiedensten Lebensbereiche des Kindes erstreckte; die schliesslich errichtete Beistandschaft brachte keine Verbesserung und die Beiständin schilderte das Mandat angesichts der Emotionalität der Eltern als nicht führbar (Urteil 5A_923/2014 vom 27. August 2015 E. 2 und 5.5, nicht publiziert in <ref-ruling>, aber in FamPra.ch 2015 S. 960). Die Alleinsorge eines Elternteils sah das Bundesgericht auch als zulässig an bei vollkommen blockierter Kommunikation zwischen den Eltern und einem chronifizierten Konflikt, der sich auf verschiedene Lebensbereiche des Kindes erstreckte, in welchen ein Zusammenwirken erforderlich gewesen wäre. Verschiedene anstehende Entschiede konnten nicht getroffen werden, insbesondere in Bezug auf eine Therapie. Erwiesenermassen litt das Kind stark unter dem Elternkonflikt und es wurde bei ihm eine darauf zurückführende psychische Störung diagnostiziert (Urteil 5A_89/2016 vom 2. Mai 2016 E. 2 und 4). Vorliegend ist es auch nicht so, dass zwischen der Betroffenen und dem Beschwerdegegner seit Jahren keinerlei Kontakt mehr bestehen würde, der Vater also vollständig vom Leben der Tochter ausgeschlossen wäre und das Sorgerecht aus diesem Grund nicht ausüben könnte (vgl. BGE <ref-ruling>97 E. 3.6; Urteil 5A_926/2014 vom 28. August 2015 E. 3.4). Auch lehnt die Betroffene den Kontakt zum Beschwerdegegner nicht ab (vgl. zu dieser Situation Urteil 5A_412/2015 vom 26. November 2016 E. 4 und 7.2, in: FamPra.ch 2016 S. 498). Nach dem Ausgeführten hat die Vorinstanz kein Bundesrecht verletzt, wenn sie zum Schluss gelangt, die in der bundesgerichtlichen Rechtsprechung entwickelten Kriterien für die Belassung der alleinigen elterlichen Sorge seien nicht erfüllt und das Prinzip der gemeinsamen elterlichen Sorge komme zum Tragen.
4.3. Soweit er sich nicht in appellatorischer Kritik erschöpft (vgl. 4.1 hiervor), ändert hieran auch der Einwand der Beschwerdeführerin nichts, entgegen der Ansicht des Obergerichts ergäben sich durch die gemeinsame elterliche Sorge aufgrund der Notwendigkeit verstärkter Zusammenarbeit weitere Konfliktfelder, wodurch das Kindeswohl zusätzlich gefährdet werde. Wie ausgeführt hat sich die Situation zwischen den Eltern entspannt und sind diese zunehmend zu einer konstruktiven Zusammenarbeit in der Lage. Aufgrund dieser Entschärfung des Elternkonflikts ist es nicht zu beanstanden, wenn die Vorinstanz zum Schluss gelangt, die gemeinsame elterliche Sorge lasse keine zusätzliche Gefährdung des Kindeswohls erwarten (vgl. vorne E. 3.1). Den Parteien ist an dieser Stelle jedoch mit aller Deutlichkeit in Erinnerung zu rufen, dass sie gehalten sind, die mit der elterlichen Sorge verbundenen Rechte und Pflichten zum Wohle ihrer Tochter auszuüben. Sie sind verpflichtet, im Rahmen ihrer Möglichkeiten alles zu unternehmen, was zur gedeihlichen Entwicklung des Kindes erforderlich ist. Sie sollen zwischen der konfliktbeladenen Elternebene einerseits und dem Eltern-Kind-Verhältnis andererseits unterscheiden und das Kind aus dem elterlichen Konflikt heraushalten. Sodann haben beide Elternteile ein kooperatives Verhalten an den Tag zu legen und die zumutbaren Anstrengungen bei der gegenseitigen Kommunikation zu unternehmen. Die Eltern haben mit Blick auf das Wohl des Kindes die Pflicht, eine gute Beziehung zum jeweils anderen Elternteil zu fördern (BGE <ref-ruling> E. 3.4 mit Hinweis).
5.
Da sich die Erteilung der gemeinsamen elterlichen Sorge nicht als bundesrechtswidrig erweist, sind auch die Formulierung des der Gutachterin erteilten Auftrags sowie die Anweisung, die KESB solle die Anrechnung der Erziehungsgutschriften regeln (vgl. <ref-law> [831.101]), nicht zu beanstanden.
6.
Die Beschwerde erweist sich nach dem Ausgeführten als unbegründet und ist abzuweisen, soweit darauf einzutreten ist. Bei diesem Ausgang des Verfahrens sind die Gerichtskosten der Beschwerdeführerin aufzuerlegen (<ref-law>) und hat sie keinen Anspruch auf Parteientschädigung (<ref-law>). Gegenüber dem anwaltlich nicht vertretenen Beschwerdegegner besteht keine Entschädigungspflicht, zumal keine Vernehmlassungen eingeholt worden sind (<ref-law>). Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege ist gutzuheissen, da die Beschwerde nicht als geradezu aussichtslos bezeichnet werden kann und die Prozessarmut der Beschwerdeführerin aktenkundig ist. Die Beschwerdeführerin ist damit von der Bezahlung der Gerichtskosten zu befreien und ihr ist Rechtsanwältin Abplanalp-Zumbrunn, U._, als unentgeltliche Rechtsvertreterin beizuordnen (Art. 64 Abs. 1 und 2 BGG). Die Beschwerdeführerin wird darauf hingewiesen, dass sie der Gerichtskasse Ersatz zu leiten hat, wenn sie später dazu in der Lage ist (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.
Das Gesuch der Beschwerdeführerin um unentgeltliche Rechtspflege wird gutgeheissen und es wird ihr Rechtsanwältin Abplanalp-Zumbrunn, U._, als unentgeltliche Rechtsvertreterin beigeordnet.
3.
Die Gerichtskosten von Fr. 2'000.-- werden der Beschwerdeführerin auferlegt, indes vorläufig auf die Bundesgerichtskasse genommen.
4.
Rechtsanwältin Abplanalp-Zumbrunn wird aus der Bundesgerichtskasse mit Fr. 3'000.-- entschädigt.
5.
Dieses Urteil wird den Parteien, der Kindes- und Erwachsenenschutzbehörde Mittelland Nord und dem Obergericht des Kantons Bern, Kindes- und Erwachsenenschutzgericht, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 30. März 2017
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: von Werdt
Der Gerichtsschreiber: Sieber