Sachverhalt:
A.
Am 7. Januar 2016 machte B._ beim Bezirksgericht Aarau ein Eheschutzgesuch anhängig. Sie ersuchte unter anderem darum, ihren Ehemann A._ zu verpflichten, ihr ab Januar 2016 an den Unterhalt der beiden Töchter C._ und D._ einen monatlichen Unterhaltsbeitrag von je Fr. 800.-- (zuzüglich allfälliger Kinderzulagen) und einen persönlichen Unterhaltsbeitrag von Fr. 965.-- (allenfalls in dem Umfange höher, in welchem der Kindesunterhalt tiefer ausfällt) zu bezahlen. A._ ersuchte darum, ihn nur zur Bezahlung von Kindesunterhalt (monatlich Fr. 300.-- pro Kind ab 1. Juli 2016, zuzüglich allfälliger Zulagen), nicht aber zu persönlichem Unterhalt an B._ zu verpflichten.
Mit Entscheid des Bezirksgerichts vom 1. März 2016 wurde A._ verpflichtet, für die beiden Kinder einen monatlichen Unterhaltsbeitrag von je Fr. 500.-- ab 1. Januar 2016 (zuzüglich allfälliger Kinderzulagen) zu bezahlen. Zudem wurde er verpflichtet, an B._ folgende persönlichen Unterhaltsbeiträge zu bezahlen: vom 1. Januar 2016 bis 29. Februar 2016 Fr. 410.--, vom 1. März 2016 bis 30. Juni 2016 Fr. 850.-- und ab Juli 2016 Fr. 1'080.--. Beiden Parteien gewährte es die unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung.
B.
Gegen diesen Entscheid erhob A._ am 6. Mai 2016 Berufung an das Obergericht des Kantons Aargau. Er verlangte die Aufhebung der bezirksgerichtlichen Unterhaltsregelung. Er sei zur Bezahlung von Kindesunterhalt von monatlich Fr. 300.-- je Kind vom 1. Januar 2016 bis 28. Februar 2016 und von Fr. 500.-- je Kind ab 1. März 2016 zu verpflichten. Zudem sei er zu verpflichten, B._ die Hälfte seines 13. Monatslohns zu bezahlen; im Übrigen sei festzustellen, dass er ihr keine weiteren Beiträge an ihren persönlichen Unterhalt bezahlen könne bzw. müsse.
Das Gesuch von A._ um aufschiebende Wirkung wies das Obergericht am 13. Juni 2016 ab. Mit Entscheid vom 21. Juni 2016 wies es die Berufung ab. Auf die Anschlussberufung von B._ (auf Prozesskostenvorschuss für das obergerichtliche Verfahren) trat es nicht ein. Die Gerichtskosten des Berufungsverfahrens und die Parteikosten von B._ für dieses Verfahren auferlegte es A._. Zudem gewährte es beiden Parteien die unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung.
C.
Am 4. August 2016 hat A._ (Beschwerdeführer) subsidiäre Verfassungsbeschwerde an das Bundesgericht erhoben. Er verlangt die teilweise Aufhebung des obergerichtlichen Entscheids und die teilweise Gutheissung seiner Berufung. Er sei zu verpflichten, B._ (Beschwerdegegnerin) an den persönlichen Unterhalt monatlich Fr. 230.-- (vom 1. Januar 2016 bis 29. Februar 2016) bzw. Fr. 690.-- (ab 1. März 2016) zu bezahlen. Eventualiter sei er einzig ab 1. März 2016 zu einem persönlichen Unterhaltsbeitrag zu verurteilen, und zwar von monatlich Fr. 285.--. Zudem sei er zu verpflichten, der Beschwerdegegnerin die Hälfte seines 13. Monatslohns zu zahlen. Der Beschwerdegegnerin seien die Gerichtskosten des Obergerichts und die Parteikosten des Beschwerdeführers für das Berufungsverfahren aufzuerlegen. Allenfalls sei die Angelegenheit an das Obergericht zur Neubeurteilung zurückzuweisen. Zudem ersucht er (superprovisorisch) um aufschiebende Wirkung und um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege und Verbeiständung für das bundesgerichtliche Verfahren.
Das Bundesgericht hat mit Verfügung vom 5. August 2016 superprovisorisch die aufschiebende Wirkung für die Unterhaltsbeiträge an die Beschwerdegegnerin vom 1. März bis und mit Juli 2016 gewährt. Das Obergericht hat auf Stellungnahme zum Gesuch um aufschiebende Wirkung verzichtet. Die Beschwerdegegnerin hat Abweisung des Gesuchs beantragt. Zudem ersucht sie um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung. Mit Präsidialverfügung vom 19. August 2016 hat das Bundesgericht der Beschwerde aufschiebende Wirkung für die Unterhaltsbeiträge bis und mit Juli 2016 gewährt, das Gesuch im Übrigen aber abgewiesen.
Das Bundesgericht hat die Akten beigezogen, in der Sache aber keine Vernehmlassungen eingeholt.

Erwägungen:
1.
Die Beschwerde betrifft eine Eheschutzsache (<ref-law>) und richtet sich gegen den Endentscheid einer letzten kantonalen Instanz, die auf Rechtsmittel hin geurteilt hat (Art. 75, Art. 90 BGG). Vor Obergericht waren einzig die Unterhaltsbeiträge strittig, womit eine vermögensrechtliche Angelegenheit vorliegt. Der Streitwert übersteigt Fr. 30'000.-- (Art. 74 Abs. 1 lit. b i.V.m. <ref-law>). Der Beschwerdeführer ist gemäss <ref-law> zur Beschwerde berechtigt und die Beschwerdefrist ist eingehalten (<ref-law>). Die Eingabe ist somit als Beschwerde in Zivilsachen entgegenzunehmen. Die subsidiäre Verfassungsbeschwerde ist unzulässig (<ref-law>), woran nichts ändert, dass Eheschutzentscheide <ref-law> unterstehen (<ref-ruling> E. 5.1 und 5.2 S. 396 f.), d.h. einzig die Verletzung verfassungsmässiger Rechte gerügt werden kann (s. dazu <ref-ruling> E. 4.1 S. 588). Da ohnehin nur Verfassungsrügen erhoben werden können, ist dem Beschwerdeführer aus der Erhebung des unzutreffenden Rechtsmittels kein Nachteil erwachsen. Für die Geltendmachung der Verletzung verfassungsmässiger Rechte gilt das strenge Rügeprinzip (<ref-law>; <ref-ruling> E. 1.4.2 S. 254). Dies bedeutet, dass anhand der Erwägungen des angefochtenen Entscheids klar und detailliert darzulegen ist, inwiefern verfassungsmässige Rechte verletzt worden sein sollen (<ref-ruling> E. 3.2 S. 88; <ref-ruling> E. 1.2 S. 234).
2.
2.1. Umstritten ist zunächst die Höhe der im Existenzminimum des Beschwerdeführers anzurechnenden Kosten für den Arbeitsweg. Der Beschwerdeführer macht Kosten für die Benutzung des Autos geltend; das Obergericht hat ihm einzig Kosten für die Benutzung des öffentlichen Verkehrs angerechnet.
2.1.1. Das Obergericht hat offengelassen, wie hoch die Kosten des Beschwerdeführers tatsächlich sind, um den Arbeitsweg mit dem Auto zurückzulegen. Er habe zwar vorgebracht, schon immer mit dem Auto zur Arbeit gefahren zu sein. Im Rahmen einer Existenzminimumsberechnung bestehe jedoch kein Anspruch auf Weiterführung der bisherigen Lebenshaltung, und dies schon gar nicht in einem Mankofall, wie er vorliegend gegeben sei. Der Beschwerdeführer habe zwar behauptet, dass es ihm nicht möglich bzw. nicht zumutbar sei, den Arbeitsweg mit dem öffentlichen Verkehr zurückzulegen. Er habe dies aber nicht mittels Belegen (z.B. einer Bestätigung des Arbeitgebers) glaubhaft gemacht. Demnach seien nur die Abonnementskosten (Fr. 245.--) zu berücksichtigen.
2.1.2. Vor Bundesgericht macht der Beschwerdeführer geltend, er habe im kantonalen Verfahren vorgebracht, als Chauffeur eines Müllwagens in der Abfallentsorgung tätig zu sein und seine Arbeit um 6.00 Uhr morgens zu beginnen, weshalb er für den Arbeitsweg auf das Auto angewiesen sei. Es sei gerichtsnotorisch, dass die Müllabfuhr ihre Touren sehr früh am Morgen beginne. Wenn das Obergericht einen Beleg verlange, dass er auf das Auto angewiesen sei, um zum Arbeitsort zu kommen, verstosse dies einerseits gegen <ref-law>: Da das Bezirksgericht seine Ausführungen als glaubhaft qualifiziert hatte, hätte das Obergericht seine abweichende Auffassung vor Erlass seines Entscheides zur Wahrung des rechtlichen Gehörs offenlegen müssen, da er in der Berufung keinen Anlass gehabt habe, sich dazu zu äussern. Die Beurteilung des Obergerichts sei andererseits willkürlich (<ref-law>) : Über gerichtsnotorische Tatsachen sei kein Beweis zu führen (<ref-law>). Der frühe Arbeitsbeginn in der Müllabfuhr sei gerichtsnotorisch und von der Beschwerdegegnerin nicht bestritten worden. Gerichtsnotorisch sei auch, dass die Züge vor 6.00 Uhr nicht so oft verkehrten wie später am Vormittag. Dass er seinen Arbeitsplatz nicht mit dem öffentlichen Verkehr erreichen könne, hätte das Obergericht mit dem öffentlich zugänglichen SBB-Fahrplan überprüfen können und müssen.
2.1.3. Zur Untermauerung seiner Ausführungen reicht der Beschwerdeführer eine Bestätigung seiner Arbeitgeberin ein, wonach er die Arbeit um 6.00 Uhr beginnen müsse. Dieses Dokument ist neu und kann nicht berücksichtigt werden (<ref-law>).
Dass das Obergericht den Beschwerdeführer gesondert zur Frage der Notwendigkeit der Benutzung eines Autos für den Arbeitsweg hätte anhören müssen, trifft nicht zu. Die Arbeitswegkosten waren bereits erstinstanzlich ein Thema und er hat dieses Thema durch seine Berufung selber dem Obergericht vorgelegt. Da unbestrittenermassen eine Mankosituation vorliegt, musste er damit rechnen, dass das Obergericht seinen Bedarf in der Existenzminimumsberechnung im Rahmen der Berufung auf das Notwendige beschränken könnte. Dies hat es denn auch getan, indem es eine leichte Erhöhung der Wohnkosten mit einer Senkung der Arbeitswegkosten kompensiert hat. Der Beschwerdeführer hätte demnach Veranlassung gehabt, bereits in der Berufung auf den fraglichen Punkt (Angewiesensein auf das Auto für den Arbeitsweg)einzugehen, auch wenn das Bezirksgericht diesbezüglich seine Sichtweise nicht hinterfragt hatte (vgl. auch den folgenden Absatz a.E.).
Ausserdem ist das Obergericht nicht in Willkür verfallen, wenn es sich nicht mit der Behauptung des Beschwerdeführers zufrieden gegeben hat, für den Arbeitsweg auf das Auto angewiesen zu sein. Willkürlich ist ein Entscheid nach konstanter Praxis nicht schon dann, wenn eine andere Lösung ebenfalls als vertretbar oder gar zutreffender erscheint. Willkür in der Rechtsanwendung liegt nur vor, wenn der angefochtene Entscheid offensichtlich unhaltbar ist, mit der tatsächlichen Situation in klarem Widerspruch steht, eine Norm oder einen unumstrittenen Rechtsgrundsatz krass verletzt oder in stossender Weise dem Gerechtigkeitsgedanken zuwiderläuft; dabei ist erforderlich, dass der Entscheid nicht nur in der Begründung, sondern auch im Ergebnis willkürlich ist (<ref-ruling> E. 2.1 S. 18 f. mit Hinweisen). Wie bereits gesagt, musste der Beschwerdeführer aufgrund der Mankosituation damit rechnen, dass das Obergericht seinen in der Existenzminimumsberechnung berücksichtigten Bedarf auf ein Minimum begrenzen könnte. Er hätte insoweit Veranlassung gehabt, seine Behauptungen auch zu belegen (z.B. mit einem Fahrplanauszug oder der vom Obergericht genannten Arbeitgeberbestätigung). Sodann ist es nicht unhaltbar, wenn das Obergericht den Inhalt seiner Behauptungen nicht als gerichtsnotorisch erachtet hat und es auch nicht selber mit dem Fahrplan der SBB untersucht hat, ob die Anreise mit dem öffentlichen Verkehr möglich ist. Insbesondere der genaue Beginn seiner Arbeitszeit kann nicht als gerichtsnotorisch bekannt gelten. Der Beschwerdeführer behauptet in diesem Zusammenhang auch, die Beschwerdegegnerin habe seine Darstellung nicht bestritten. Dies trifft aber ausweislich der obergerichtlichen Erwägungen nicht zu. Demnach hat die Beschwerdegegnerin bei der Stellungnahme zum Beweisergebnis vor Bezirksgericht darauf hingewiesen, dass der Beschwerdeführer nicht nachgewiesen habe, für die Arbeit auf ein Auto angewiesen zu sein. Umso mehr hätte der Beschwerdeführer im Übrigen damit rechnen müssen, dass dieser Punkt vor Obergericht wieder aufgegriffen wird.
2.2. Umstritten ist sodann die Berücksichtigung des 13. Monatslohns des Beschwerdeführers. Er macht geltend, ihm werde ein Eingriff ins Existenzminimum zugemutet, indem ihm der 13. Monatslohn jeden Monat anteilsmässig als Einkommen angerechnet werde, obschon er nur einmal jährlich ausbezahlt werde.
2.2.1. Das Obergericht hat für die anteilsmässige Anrechnung zunächst auf Praktikabilitätsgründe verwiesen. Sodann hat es erwogen, von den durch den Grundbetrag abgedeckten Bedürfnissen (Nahrung, Körper- und Gesundheitspflege, Kleidung und Wäsche, einschliesslich deren Instandhaltung, Unterhalt der Wohnungseinrichtung, Privatversicherungen, Kulturelles sowie Auslagen für Beleuchtung, Kochstrom und/oder Gas etc.) fielen nur die Auslagen für Nahrung, Körperpflege, Wäsche sowie Strom und/oder Gas jeden Monat gleichmässig an. Einem Unterhaltsschuldner könne zugemutet werden, dass er sich bis zur Auszahlung des nächsten 13. Monatslohns bei seinen Ausgaben für Kleider, Wohnungsunterhalt und Kulturelles einschränke. Der 13. Monatslohn werde nicht zwingend sofort nach Erhalt vollständig ausgegeben. Schliesslich wäre bei einem Verzicht auf die anteilsmässige Aufrechnung des 13. Monatslohns dieser vom Beschwerdeführer vollständig an die Beschwerdegegnerin zu überweisen, und nicht hälftig wie von ihm verlangt, denn bei einer hälftigen Weiterleitung käme er in den Genuss eines Überschusses, während sich das Manko auf Seiten der Beschwerdegegnerin und der Töchter vergrösserte.
2.2.2. Der Beschwerdeführer erachtet dies als willkürlich und macht geltend, dadurch werde in seinen existentiellen Bedarf eingegriffen, weil er nicht allmonatlich pro rata über den 13. Monatslohn verfüge, sondern dieser ihm einmal jährlich im Dezember ausbezahlt werde. Die Beschwerdegegnerin habe das Eheschutzverfahren am 7. Januar 2016 angehoben. Zu diesem Zeitpunkt habe der Beschwerdeführer sein 13. Monatsgehalt für das Jahr 2015 im Dezember bereits erhalten und vollständig verbraucht. Sodann sei es realitätsfremd und unhaltbar, von ihm zu verlangen, sich während des Jahres weiter einzuschränken, da das Existenzminimum eine Schranke darstelle, die nicht unterschritten werden dürfe.
2.2.3. Die Einwände des Beschwerdeführers sind unbegründet, soweit auf sie einzutreten ist. Dass er seinen 13. Monatslohn für das Jahr 2015 am 7. Januar 2016, d.h. wohl wenige Tage nach Erhalt desselben, bereits verbraucht hatte, findet keine Grundlage im angefochtenen Urteil. Die anteilsmässige Anrechnung erscheint sodann nicht willkürlich, sondern aus Praktikabilitätsgründen vertretbar. Insbesondere blendet der Beschwerdeführer aus, dass nicht alle Posten des Grundbedarfs gleichmässig, d.h. jeden Monat im selben Umfang, anfallen. Mit der entsprechenden Überlegung des Obergerichts setzt er sich nicht auseinander. Schliesslich geht er gar nicht darauf ein, dass er nach der obergerichtlichen Beurteilung bei einer gesonderten Behandlung des 13. Monatslohns den entsprechenden Betrag vollständig an die Beschwerdegegnerin zu überweisen hätte.
2.3. Die Beschwerde ist somit abzuweisen, soweit auf sie eingetreten werden kann.
3.
Bei diesem Ausgang des Verfahrens trägt der Beschwerdeführer die Gerichtskosten (<ref-law>). Wie aus dem Gesagten hervorgeht, war die Beschwerde von Anfang an aussichtslos, so dass sein Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung abzuweisen ist (<ref-law>). Die Beschwerdegegnerin hat mit ihrer Stellungnahme zum Gesuch um aufschiebende Wirkung teilweise obsiegt und ist teilweise unterlegen. Hiefür ist demnach keine Parteientschädigung zulasten des Beschwerdeführers zuzusprechen (<ref-law>). Hingegen ist das Gesuch der Beschwerdegegnerin um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung gutzuheissen und ihr für ihre Stellungnahme eine angemessene Entschädigung aus der Bundesgerichtskasse zu entrichten. Wenn sie später dazu in der Lage ist, hat sie der Gerichtskasse dafür Ersatz zu leisten (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die subsidiäre Verfassungsbeschwerde wird als Beschwerde in Zivilsachen entgegengenommen.
2.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
3.
Das Gesuch des Beschwerdeführers um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung für das bundesgerichtliche Verfahren wird abgewiesen.
4.
Die Gerichtskosten von Fr. 1'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
5.
Das Gesuch der Beschwerdegegnerin um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung für das bundesgerichtliche Verfahren wird gutgeheissen. Ihr wird Rechtsanwältin Marianne Wehrli als unentgeltliche Rechtsvertreterin beigeordnet. Rechtsanwältin Wehrli wird aus der Bundesgerichtskasse mit Fr. 300.-- entschädigt.
6.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Aargau, Zivilgericht, 5. Kammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 13. Oktober 2016
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: von Werdt
Der Gerichtsschreiber: Zingg