Erwägungen:
1.
A._ führt vor dem Verwaltungsgericht des Kantons Schwyz gegen die Steuerverwaltung (Kantonale Steuerkommission/Kantonale Verwaltung für die direkte Bundessteuer) einen Rechtsstreit (Verfahrensnummer II 2016 46). In diesem Verfahren beantragte er mit Schreiben vom 30. April 2016, "sich vor Schranken äussern" zu können. Am 2. Mai 2016 teilte ihm das Verwaltungsgericht mit, im verwaltungsgerichtlichen Verfahren in Steuersachen bestehe kein Anspruch auf eine mündliche Verhandlung. Gleichentags verlangte A._ eine diesbezügliche "rekursfähige Verfügung" und rügte zudem, aus dem Schreiben vom 2. Mai 2016 gehe nicht hervor, ob ein zweiter Schriftenwechel vorgesehen sei.
Mit Verfügung vom 10. Mai 2016 wies das Verwaltungsgericht im eingangs erwähnten Verfahren den Antrag auf Durchführung einer öffentlichen mündlichen Verhandlung ab (Ziff. 1) und hielt fest, es werde kein zweiter Schriftenwechsel von Amtes wegen angeordnet (Ziff. 2).
2.
Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten und subsidiärer Verfassungsbeschwerde vom 12. Juni 2016 beantragt A._ dem Bundesgericht, es sei ihm Gelegenheit zu geben, "vor Schranken eines innerstaatlichen Gerichts, zumindest einmal, seine Sache mündlich, unter dem Titel 'Rechtliches Gehör' vorzutragen". Gleichzeitig wird um aufschiebende Wirkung ersucht.
3.
Die Beschwerde gegen den angefochtenen Zwischenentscheid ist offensichtlich unzulässig und auch offensichtlich nicht hinreichend begründet, weshalb der Präsident im vereinfachten Verfahren unter kurzer Angabe des Unzulässigkeitsgrundes (Art. 108 Abs. 1 lit. a und b und Abs. 3 BGG) entscheidet:
3.1. Abgesehen von den in Art. 92 BGG geregelten Sonderfällen (Entscheide über die Zuständigkeit bzw. über Ausstandsbegehren) und dem hier ebenfalls ausser Betracht stehenden Fall von Art. 93 Abs. 1 lit. b BGG (Möglichkeit der sofortigen Herbeiführung eines Endentscheids) ist sowohl die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten als auch die subsidiäre Verfassungsbeschwerde (hierzu Art. 117 BGG) gegen Zwischenentscheide nur zulässig, wenn sie einen nicht wieder gutzumachenden Nachteil bewirken können (Art. 93 Abs. 1 lit. a BGG). Ein nicht wieder gutzumachender Nachteil im Sinne von Art. 93 Abs. 1 lit. a BGG muss nach der bundesgerichtlichen Rechtsprechung rechtlicher Natur sein, was voraussetzt, dass er durch einen späteren günstigen Entscheid nicht oder nicht mehr vollständig behoben werden kann (<ref-ruling> E. 1.1; <ref-ruling> E. 1.2; <ref-ruling> E. 1.3.4 S. 36; <ref-ruling> E. 2.1 S. 190, 426 E. 1.3.1; <ref-ruling> E. 2.3.1; je mit Hinweisen). Rein tatsächliche Nachteile, etwa die Verlängerung oder Verteuerung des Verfahrens, genügen demgegenüber nicht (<ref-ruling> E. 4; <ref-ruling> E. 1.3.4 S. 36; <ref-ruling> E. 2.2; je mit Hinweisen).
Die selbständige Anfechtbarkeit von Zwischenentscheiden bildet aus prozessökonomischen Gründen eine Ausnahme vom Grundsatz, dass sich das Bundesgericht mit jeder Angelegenheit nur einmal befassen soll. Die Ausnahme ist restriktiv zu handhaben (<ref-ruling> E. 2.2 S. 95; <ref-ruling> E. 1.2 S. 263). Dabei hat der Beschwerdeführer die Voraussetzungen nach Art. 93 Abs. 1 BGG darzulegen (<ref-ruling> E. 1.1 S. 328 f.; <ref-ruling> E. 1.2 S. 429), soweit sie nicht offensichtlich erfüllt sind (<ref-ruling> E. 4 S. 95 f.; <ref-ruling> E. 2.3.1 S. 632).
3.2. Der Beschwerdeführer legt nicht dar, dass und inwiefern ihm durch den angefochtenen Zwischenentscheid ein nicht wieder gutzumachender Nachteil drohen könnte: Obwohl die Vorinstanz in der Verfügung vom 10. Mai 2016 sogar noch ausdrücklich darauf hingewiesen hatte, dass die genannte Verfügung ihrer Auffassung nach "beim Bundesgericht nicht anfechtbar" sei und in der Rechtsmittelbelehrung ausführte, im Beschwerdefall seien "insbesondere die Voraussetzungen von Art. 93 Abs. 1 BGG zu beachten", befasst sich der Beschwerdeführer mit diesen Voraussetzungen nicht. Ein solcher Nachteil ist auch nicht ersichtlich: Dass der Beschwerdeführer mit seiner Beschwerde insbesondere bezweckt, seine Sicht der Dinge den Laienrichtern des Verwaltungsgerichts persönlich vorzutragen, genügt für die Begründung eines nicht wieder gut zu machenden Nachteils nicht.
4.
Auf die Beschwerde ist damit nicht einzutreten. Ausgangsgemäss trägt der Beschwerdeführer die Gerichtskosten (Art. 65/66 BGG). Mit dem Entscheid in der Sache wird das Gesuch um aufschiebende Wirkung hinfällig.

Demnach erkennt der Präsident:
1.
Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 1'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten, dem Verwaltungsgericht des Kantons Schwyz, Kammer II, und der Eidgenössischen Steuerverwaltung schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 14. Juni 2016
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Seiler
Der Gerichtsschreiber: Klopfenstein