Faits :
A.
Par jugement du 7 janvier 2015, le Tribunal de police du canton de Genève a acquitté X._ de l'infraction à l'art. 115 al. 1 let. a et b de la loi fédérale du 16 décembre 2005 sur les étrangers (LEtr; RS 142.20). Il a condamné l'Etat de Genève à lui verser 1'700 fr. à titre d'indemnité au sens de l'art. 429 al. 1 let. a CPP et 100 fr. en réparation de son tort moral pour détention injustifiée (art. 429 al. 1 let. c CPP).
B.
Par arrêt du 25 juin 2015, la Chambre pénale d'appel et de révision de la Cour de justice genevoise a admis partiellement l'appel formé par le Ministère public genevois. Elle a reconnu X._ coupable d'infraction à l'art. 115 al. 1 let. b LEtr et l'a condamnée à une peine pécuniaire de vingt jours-amende à dix francs le jour, avec sursis pendant deux ans. En outre, elle lui a alloué un montant de 500 fr. au titre des dépenses occasionnées pour l'exercice raisonnable de ses droits de procédure.
En résumé, elle a retenu les faits suivants:
Entre le 3 juillet 2012 et le 9 décembre 2012, X._, de nationalité roumaine et d'origine rom, a séjourné en Suisse pendant 99 jours, du 3 juillet au 9 décembre 2012, à savoir du 3 juillet au 7 juillet 2012 (cinq jours), du 18 juillet au 7 août 2012 (21 jours), du 16 au 24 août 2012 (9 jours), le 10 septembre 2012 (un jour), du 25 septembre au 22 novembre 2012 (59 jours) et du 6 au 9 décembre 2012 (quatre jours). Réduite à la mendicité durant ce séjour, elle n'a pas réalisé un revenu à même de lui permettre de subvenir à ses besoins.
C.
Contre ce dernier arrêt, X._ dépose un recours en matière pénale devant le Tribunal fédéral. Elle conclut, principalement, à l'annulation de l'arrêt attaqué et à la confirmation du jugement du Tribunal de police du 7 janvier 2015 et, à titre subsidiaire, à l'annulation de l'arrêt attaqué et au renvoi de la cause à la cour cantonale pour nouveau jugement. En outre, elle sollicite l'assistance judiciaire.
Invités à se déterminer sur le recours, le Ministère public genevois a conclu à son rejet, alors que la cour cantonale a renoncé à formuler des observations. La recourante s'est déterminée sur la réponse du Ministère public genevois, détermination dont un double a été communiqué aux parties à titre de renseignement.

Considérant en droit :
1.
La recourante soutient que la cour cantonale a établi les faits de manière manifestement inexacte en retenant qu'elle avait passé 99 jours en Suisse entre les mois de juillet et de décembre 2012. Elle lui reproche de s'être fondée uniquement sur un tableau récapitulatif de contrôles de police auxquels elle aurait été soumises pour mendicité; établi le 27 avril 2015 par un inspecteur, ce tableau aurait été versé à la procédure au stade de l'appel; aucun document ou élément de preuve (rapport de police ou contraventions) n'aurait été annexé. Par lettre du 16 septembre 2015, la recourante produit un procès-verbal du Tribunal de police du 15 septembre 2015, d'où il ressort que les autorités la confondent avec une autre femme dénommée A._.
1.1. Le Tribunal fédéral n'est pas une autorité d'appel, auprès de laquelle les faits pourraient être rediscutés librement. Il est lié par les constatations de fait de la décision entreprise (art. 105 al. 1 LTF), à moins que celles-ci n'aient été établies en violation du droit ou de manière manifestement inexacte au sens des art. 97 al. 1 et 105 al. 2 LTF, à savoir de façon arbitraire (art. 9 Cst.; cf. <ref-ruling> consid. 2.3 p. 266). Pour qu'il y ait arbitraire, il ne suffit pas que la décision attaquée apparaisse discutable ou même critiquable; il faut qu'elle soit manifestement insoutenable et cela non seulement dans sa motivation, mais aussi dans son résultat (sur la notion d'arbitraire, cf. <ref-ruling> consid. 6.1 p. 205; <ref-ruling> consid. 10.1 p. 445; <ref-ruling> consid. 4.2.3 p. 5).
Le grief d'arbitraire doit être invoqué et motivé de manière précise (art. 106 al. 2 LTF). Le recourant ne saurait se borner à plaider à nouveau sa cause, contester les faits retenus ou rediscuter la manière dont ils ont été établis comme s'il s'adressait à une juridiction d'appel (<ref-ruling> consid. 3 p. 352; <ref-ruling>). Le Tribunal fédéral n'entre pas en matière sur les critiques de nature appellatoire (<ref-ruling> consid. 1.3.1 p. 253).
Les faits et moyens de preuve nouveaux sont prohibés (art. 99 al. 1 LTF); il n'y a exception à cette règle que lorsque c'est la décision de l'autorité précédente qui, pour la première fois, a rendu pertinents ces faits ou moyens de preuve, ce qu'il appartient au recourant de démontrer (<ref-ruling> consid. 3 p. 395). En outre, dans la mesure où les nova sont admissibles, ils doivent être invoqués dans le délai de recours de l'art. 100 LTF (<ref-ruling> consid. 1 p. 408).
1.2. La cour cantonale s'est fondée sur un tableau récapitulatif des contrôles de police auxquels la recourante a été soumise pour mendicité. Le fonctionnaire, qui a rédigé le rapport, a expliqué qu'il avait repris les contrôles effectués par la gendarmerie, la police judiciaire, le corps des gardes-frontières, les agents de la police municipale ainsi que les collaborateurs des abris de protection civile genevois. Il n'y a pas lieu de mettre en doute ce rapport ni les constatations faites par les différentes autorités mentionnées. Ce rapport de police, qui est un titre au sens de l'art. 110 ch. 5 CP, constitue une preuve suffisante de la présence de la recourante en Suisse à ces dates.
Dans sa motivation, la recourante ne démontre du reste pas, de manière détaillée et pièces à l'appui, que les constatations seraient erronées. Elle se borne à alléguer qu'elle n'était pas présente en Suisse au mois de septembre 2012 et octobre 2012, mais ne dit pas où elle se trouvait et ne fait valoir aucun élément permettant d'établir sa présence en un autre endroit. Pour le surplus, il n'y a pas lieu de tenir compte de la pièce produite par la recourante le 16 septembre 2015, dès lors que cette pièce ne faisait pas partie du dossier cantonal; en outre, elle a été adressée au Tribunal fédéral postérieurement à l'échéance du délai de recours.
Dans la mesure de sa recevabilité, le grief tiré de l'arbitraire dans l'établissement des faits doit donc être rejeté.
2.
Selon l'art. 115 al. 1 LEtr, sera puni d'une peine privative de liberté d'un an au plus ou d'une peine pécuniaire quiconque contrevient aux dispositions sur l'entrée en Suisse prévues à l'art. 5 LEtr (let. a), y séjourne illégalement (let. b) ou y exerce une activité lucrative sans autorisation (let. c).
3.
3.1. Depuis le 1er juin 2002, l'Accord du 21 juin 1999 entre la Confédération suisse, d'une part, et la Communauté européenne et ses Etats membres, d'autre part, sur la libre circulation des personnes (accord sur la libre circulation des personnes, ALCP; RS 0.142.112.681) est applicable. Les ressortissants des Etats membres de l'UE et de l'AELE ont depuis lors le droit de séjourner et de se déplacer librement sur l'ensemble du territoire suisse afin d'exercer une activité lucrative. Selon l'art. 2 de l'Annexe I de l'Accord sur la libre circulation des personnes, le droit de séjourner sur le territoire d'une partie contractante est constaté par la délivrance d'une autorisation de séjour.
3.2. Le 1er juin 2009 est entré en vigueur le Protocole à l'ALCP concernant la participation, en tant que parties contractantes, de la République de Bulgarie et de la Roumanie, à la suite de leur adhésion à l'Union européenne du 27 mai 2008 (PA 2 ALCP; RS 0.142.112.688.1).
3.3. La nature des autorisations UE/AELE auxquelles un ressortissant d'un Etat de l'Union européenne peut avoir droit en vertu de l'ALCP n'est pas constitutive; elle est simplement déclarative (<ref-ruling> consid. 2.2 p. 332; <ref-ruling> consid. 4 p. 58). Dès que les conditions pour l'octroi d'une autorisation UE/AELE sont remplies, ce document doit être accordé; ce dernier ne fonde ainsi en principe pas le droit au séjour, mais ne fait qu'attester de celui-ci (<ref-ruling> consid. 4.4; <ref-ruling> consid. 2 et 3; TF 2C_296/2015 du 28 janvier 2016 consid. 4.2). Une condamnation pénale ne pourra donc pas être prononcée au seul motif que le ressortissant d'un Etat de l'UE ne dispose pas d'une autorisation de séjour formelle, s'il remplit les conditions selon l'ALCP pour l'octroi d'une telle autorisation (cf. ATF <ref-ruling> consid. 4 p. 58; ANDREAS ZÜND, in Migrationsrecht, Kommentar, 4e éd., 2015, n° 8 ad art. 115 LEtr.).
3.4. En l'espèce, la recourante ne remplit pas les conditions pour l'octroi d'une autorisation de séjour sur la base de l'ALCP :
3.4.1. La recourante ne dispose de toute évidence pas de moyens financiers suffisants au sens de l'art. 24 annexe I ALCP pour pouvoir bénéficier d'un droit de séjour en tant que personne n'exerçant pas d'activité économique (cf. art. 2 par. 2 annexe I ALCP).
3.4.2. Faute d'activité lucrative indépendante légale en Suisse, la recourante ne peut pas non plus être considérée comme un indépendant au sens des art. 12 ss annexe I ALCP.
3.4.3. Sans emploi, la recourante n'a pas non plus la qualité de travailleur au sens de l'art. 6 annexe I ALCP ou de travailleur détaché selon l'art. 17 let. b annexe I ALCP (cf. <ref-ruling> consid. 3; <ref-ruling> consid. 2 et 3; TF 2C_1061/2013 du 14 juillet 2015 consid. 4 et 2C_640/2014 du 27 mars 2015 consid. 3). Elle ne peut pas non plus invoquer un droit de séjour pour la recherche d'un emploi selon les art. 2 par. 1 al. 2 ALCP et 18 OLCP.
4.
4.1. Indépendamment de toute autorisation, les étrangers sans activité lucrative peuvent séjourner en Suisse pendant trois mois (art. 10 LEtr). Si l'étranger doit avoir un visa (art. 5 al. 1 let. a LEtr), c'est la durée fixée dans le visa qui sera déterminante (art. 10 al. 1 in fine LEtr). Comme le précise l'art. 9 de l'ordonnance relative à l'admission, au séjour et à l'exercice d'une activité lucrative (OASA, RS 142.201), le séjour ne doit pas excéder trois mois " sur une période de six mois à partir de l'entrée en Suisse ". Le séjour doit être interrompu après trois mois; selon la pratique des autorités fédérales, une interruption n'est admise que si l'étranger séjourne au moins un mois à l'étranger. Plusieurs séjours sur une période de six mois sont possibles, pour autant que la durée maximale de la présence en Suisse ne dépasse pas trois mois (PETER UEBERSAX, Einreise und Anwesenheit, in Ausländerrecht, Handbücher für die Anwaltspraxis, vol. VIII, 2e éd., n° 7.92).
4.2. En l'espèce, de nationalité roumaine et d'origine rom, la recourante a séjourné en Suisse, sans autorisation, durant 99 jours au minimum, du 3 juillet au 9 décembre 2012, à savoir davantage que trois mois sur une période d'à peine plus de cinq mois. Elle ne bénéficiait d'aucun droit de séjour sur la base de l'ALCP. Elle a donc violé l'art. 10 LEtr (ainsi que l'art. 9 al. 1 OASA) et s'est rendue coupable de séjour illicite selon l'art. 115 al. 1 let. b LEtr.
5.
5.1. La recourante fait valoir que cette condamnation pour séjour illicite serait contraire à la Directive du Parlement européen et du Conseil du 16 décembre 2008 relative aux normes et procédures communes applicables dans les Etats membres au retour des ressortissants de pays tiers en séjour irrégulier (Directive sur le retour 2008/115/CE).
Le Ministère public genevois conteste que la Directive sur le retour soit applicable, au motif que la recourante est roumaine et, donc, ressortissante de l'Union européenne.
5.2. Selon son art. 2, la Directive sur le retour ne s'applique pas aux personnes jouissant du droit communautaire à la libre circulation telles que définies à l'art 2, point 5, du code frontières Schengen. Selon cette dernière disposition, les personnes jouissant du droit communautaire à la libre circulation sont, notamment, les citoyens de l'union au sens de l'art. 17, § 1, du traité instituant la Communauté européenne. La Roumaine étant un pays membre de l'Union européenne, la Directive sur le retour n'est donc pas applicable à la recourante et ne fait donc pas obstacle à sa condamnation pénale.
6.
La recourante requiert l'application de l'art. 52 CP, à savoir d'être exemptée de toute peine.
6.1. L'art. 52 CP prévoit que l'autorité compétente renonce à poursuivre l'auteur, à le renvoyer devant le juge ou à lui infliger une peine si sa culpabilité et les conséquences de son acte sont peu importantes. L'importance de la culpabilité et celle du résultat dans le cas particulier doivent être évaluées par comparaison avec celle de la culpabilité et celle du résultat dans les cas typiques de faits punissables revêtant la même qualification (<ref-ruling> consid. 5.3.3 p. 135 s.). La culpabilité de l'auteur se détermine selon les règles générales de l'art. 47 CP (<ref-ruling> consid. 5.2.1 p. 133 s.), mais aussi selon d'autres critères, comme le principe de célérité ou d'autres motifs d'atténuation de la peine indépendants de la faute (tels que l'écoulement du temps depuis la commission de l'infraction; <ref-ruling> consid. 5.4 p. 137).
6.2. La cour cantonale a tenu compte de la faute légère, mais non anodine, de la recourante, en lui infligeant une peine pécuniaire de vingt jours-amende, à 10 fr., avec sursis pendant deux ans. Les conditions d'application de l'art. 52 CP ne sont pas réalisées. Le grief soulevé doit être rejeté.
7.
La recourante se plaint que la cour cantonale a omis d'imputer sur la peine la détention subie avant jugement dans le dispositif de l'arrêt entrepris.
Dans ses observations, la cour cantonale a admis avoir effectivement omis, par inadvertance, de mentionner dans le dispositif de l'arrêt attaqué la déduction d'un jour-amende valant un jour de détention avant jugement sur la peine pécuniaire de vingt jours-amende prononcée. Elle propose de corriger cette erreur manifeste en application de l'art. 83 al. 1 CPP.
Il n'apparaît pas que les conditions de l'art. 83 CPP seraient réalisées, ce qui rendrait le grief irrecevable. En effet, l'omission de la cour cantonale quant au principe de l'imputation de la détention subie avant jugement concerne une erreur matérielle non susceptible d'une rectification (cf. arrêt 6B_115/2016 consid. 1.3 destiné à la publication). Il convient donc d'admettre le recours sur ce point et de réformer l'arrêt attaqué en ce sens qu'un jour de détention avant jugement est imputé sur la peine infligée.
8.
Le recours doit être très partiellement admis en ce qui concerne la question de l'imputation d'un jour de détention. Pour le surplus, il est rejeté dans la mesure où il est recevable.
La recourante obtient gain de cause sur un point tout à fait secondaire. Il n'y a donc pas lieu de le prendre en considération pour déterminer le sort des frais et dépens. Pour le surplus, le recours, mal fondé, doit être rejeté dans la mesure de sa recevabilité. Comme les conclusions étaient vouées à l'échec, l'assistance judiciaire ne peut être accordée (art. 64 al. 1 LTF). La recourante devra donc supporter les frais (art. 66 al. 1 LTF), dont le montant sera toutefois fixé en tenant compte de sa situation financière.
Le Ministère public genevois, qui obtient gain de cause, n'a pas droit à des dépens (art. 68 al. 3 LTF).

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce :
1.
Le recours est très partiellement admis et l'arrêt attaqué est réformé en ce sens que la peine infligée s'entend sous déduction d'un jour de détention avant jugement. Pour le surplus, il est rejeté dans la mesure où il est recevable.
2.
La demande d'assistance judiciaire est rejetée.
3.
Les frais judiciaires, arrêtés à 800 fr., sont mis à la charge de la recourante.
4.
Le présent arrêt est communiqué aux parties et à la Cour de justice de la République et canton de Genève, Chambre pénale d'appel et de révision.
Lausanne, le 26 août 2016
Au nom de la Cour de droit pénal
du Tribunal fédéral suisse
Le Président : Denys
La Greffière : Kistler Vianin