Sachverhalt:
A.
A._ (geb. 1971) und B._ (geb. 1978) hatten 2001 geheiratet. Sie sind die Eltern der Kinder C._ (geb. 2002) und D._ (geb. 2003). Mit Entscheid vom 16. März 2009 schied das Zivilgerichtspräsidium Basel-Stadt die Ehe der Eltern. Es teilte die elterliche Sorge über die Kinder der Mutter zu (Ziffer 2) und verurteilte den Vater auf der Grundlage der genehmigten Scheidungsvereinbarung vom 11./18. August 2008 bzw. der Änderung vom 12. Januar 2009, an den Unterhalt der Kinder monatlich vorauszahlbare Alimente von je Fr. 450.-- und ab Vollendung des 12. Altersjahres von je Fr. 550.-- (zzgl. allfälliger Kinderzulagen) zu bezahlen (Ziffer 3). Diesen Unterhaltsbeiträgen lag seitens des Vaters ein monatliches Nettoeinkommen von Fr. 4'400.-- (inkl. 13. Monatslohn, exkl. Kinderzulagen) zugrunde. A._s Existenzminimum wurde mit Fr. 3'657.-- beziffert.
B.
B.a. Mit Klage vom 27. Juni 2013 beantragte A._ beim Zivilgericht des Kantons Basel-Stadt, die Unterhaltspflicht gegenüber seinen Kindern in Abänderung des Scheidungsurteils (s. Bst. A) mit Wirkung ab 1. Juli 2013 gänzlich aufzuheben; eventualiter sei er ab 1. Juli 2013 von seiner Unterhaltspflicht zu befreien und ab Beginn eines mutmasslichen Arbeitsverhältnisses zu verpflichten, den Fr. 3'400.-- übersteigenden Anteil seines jeweiligen Nettomonatslohnes (zzgl. allfälliger Kinder- und Ausbildungszulagen) je hälftig an den Unterhalt seiner beiden Kinder zu bezahlen.
B.b. In der Folge sistierte das Zivilgericht das Abänderungsverfahren mit Rücksicht auf ein Rentenverfahren, das A._ bei der Invalidenversicherung angestrengt hatte. Im Anschluss an eine erste Hauptverhandlung vom 26. November 2014 wurde die Unterhaltspflicht bis zum Vorliegen eines rechtskräftigen Rentenentscheids vorsorglich eingestellt. Am 9. Juni 2015 reichte A._ den rechtskräftigen Entscheid des Versicherungsgerichts des Kantons Aargau vom 12. Februar 2015 ein, der seinen Anspruch auf eine Rente der Invalidenversicherung verneint. Am 25. September 2015, dem Tag der zweiten Hauptverhandlung, entschied das Zivilgericht, A._s Unterhaltspflicht gegenüber seinen Kindern in Abänderung von Ziffer 3 des Scheidungsurteils (Bst. A) rückwirkend ab dem 1. Juli 2013 bis Ende September 2015 aufzuheben und A._ ab 1. Oktober 2015 zu verpflichten, an seine beiden Kinder monatliche Alimente von je Fr. 240.-- (zzgl. allfälliger Kinderzulagen) zu bezahlen.
B.c. A._ erhob Berufung beim Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt. Er beantragte, den erstinstanzlichen Entscheid aufzuheben, soweit darin seine Unterhaltspflicht nicht auch für die Zeit ab Oktober 2015 aufgehoben wurde. Das Appellationsgericht wies die Berufung ab (Entscheid vom 12. Februar 2016).
C.
Mit Beschwerde vom 18. März 2016 wendet sich A._ (Beschwerdeführer) an das Bundesgericht. Er stellt das Begehren, den Entscheid des Appellationsgerichts (Bst. B.c) sowie Ziffer 1 des Entscheids des Zivilgerichts (Bst. B.b) aufzuheben, soweit darin seine Unterhaltspflicht nicht auch für die Zeit ab dem 1. Oktober 2015 aufgehoben wird. Eventualiter sei der vorinstanzliche Entscheid vom 12. Februar 2016 - "soweit er nicht von Gesetzes wegen ungültig ist" - aufzuheben und die Sache an die Vorinstanz zur Neubeurteilung im Sinne der nachstehenden Ausführungen zurückzuweisen. Für das bundesgerichtliche Verfahren ersucht der Beschwerdeführer um unentgeltliche Rechtspflege.

Erwägungen:
1.
1.1. Das Bundesgericht prüft frei und von Amtes wegen, ob ein ihm unterbreitetes Rechtsmittel zulässig ist (<ref-ruling> E. 1 S. 116).
1.2. Die Beschwerde richtet sich gegen den Endentscheid (<ref-law>) einer letzten kantonalen Instanz, die als Rechtsmittelbehörde entschieden hat (<ref-law>). In der Sache geht es um die Abänderung von Kindesunterhaltsbeiträgen (Art. 134 Abs. 2 i.V.m. <ref-law>). Das ist eine Zivilsache (<ref-law>) vermögensrechtlicher Natur.
1.3. In vermögensrechtlichen Angelegenheiten ist die Beschwerde in Zivilsachen nur zulässig, wenn der Streitwert mindestens Fr. 30'000.-- beträgt (Art. 74 Abs. 1 Bst. b BGG). Der Streitwert bestimmt sich nach den Begehren, die vor der Vorinstanz streitig geblieben waren (Art. 51 Abs. 1 Bst. a BGG). Als Wert wiederkehrender Nutzungen oder Leistungen gilt der Kapitalwert. Bei ungewisser oder unbeschränkter Dauer gilt als Kapitalwert der zwanzigfache Betrag der einjährigen Nutzung oder Leistung, bei Leibrenten jedoch der Barwert (<ref-law>). Gemäss Art. 112 Abs. 1 Bst. d BGG müssen Entscheide, die der Beschwerde an das Bundesgericht unterliegen, den Streitwert angeben, soweit das Bundesgerichtsgesetz - wie hier - eine Streitwertgrenze vorsieht. Die Vorinstanz hält mit Blick auf die Festsetzung des Honorars des unentgeltlichen Rechtsbeistands des Beschwerdeführers nach Massgabe der kantonalen Vorschriften fest, der Streitwert des Berufungsverfahrens betrage Fr. 29'280.--. Dieser Betrag ist das Produkt aus der Multiplikation der monatlichen Alimente à Fr. 240.-- mit der Anzahl der Monate, die vom (erneuten) Einsetzen der Unterhaltspflicht des Beschwerdeführers (1. Oktober 2015) bis zur Volljährigkeit der Kinder (5. Februar 2020 und 2. Juni 2021) verstreichen (s. Sachverhalt Bst. B.b). Die Vorinstanz hält eine Unterhaltspflicht über die Volljährigkeit der Kinder hinaus angesichts der wirtschaftlichen Leistungsfähigkeit des Beschwerdeführers für "eher unwahrscheinlich". Deshalb könne mit Blick auf die Streitwertberechnung nicht gesagt werden, das Ende der Unterhaltspflicht sei ungewiss. Was das Streitwerterfordernis im bundesgerichtlichen Verfahren angeht, beruft sich der Beschwerdeführer auf Ziffer 3 des Scheidungsurteils (s. Sachverhalt Bst. A). Gemäss dem dortigen Verweis auf die Scheidungsvereinbarung ende seine Unterhaltspflicht erst mit dem Abschluss der ordentlichen Erstausbildung der Kinder. Deshalb bestehe seine Unterhaltspflicht über die Volljährigkeit der Kinder hinaus, solange sie mit einem Abänderungsverfahren nicht aufgehoben oder reduziert wird. Der (vom Appellationsgericht bestätigte) erstinstanzliche Entscheid treffe in Bezug auf die Dauer der Unterhaltspflicht keine anderslautende Regelung. Im Ergebnis sei bei der Streitwertberechnung von einer unbestimmten Dauer der Unterhaltspflicht auszugehen.
1.4. Wie wahrscheinlich es ist, dass der Beschwerdeführer seinen Kindern dereinst tatsächlich über ihre Volljährigkeit hinaus Unterhalt zahlen müssen wird, spielt keine Rolle für die Frage, welche Begehren im Sinne von Art. 51 Abs. 1 Bst. a BGG vor der Vorinstanz streitig geblieben waren. Ausschlaggebend ist vielmehr die Tatsache, dass sich der angefochtene Entscheid lediglich zur Höhe der Kinderalimente äussert und im Übrigen nichts am ursprünglichen Scheidungsurteil ändert, wonach der Kinderunterhalt "bis zum Abschluss der ordentlichen Erstausbildung des (jeweiligen) Kindes, auch über die Mündigkeit hinaus" geschuldet ist (s. Ziffer 3 der Scheidungsvereinbarung vom 11./18. August 2008 i.V.m. Ziffer 3 des Scheidungsurteils vom 16. März 2009). Seit das Volljährigkeitsalter am 1. Januar 1996 auf 18 Jahre bestimmt wurde, kann es nicht mehr als aussergewöhnlich gelten, dass sich ein Kind mit Erreichen der Volljährigkeit noch in der Ausbildung befindet und auf Unterhalt angewiesen ist (vgl. <ref-ruling> E. 3.2-3.4 S. 377 f.). <ref-law> sieht denn auch ausdrücklich vor, dass der Richter den Kinderunterhaltsbeitrag über den Eintritt der Volljährigkeit hinaus festlegen kann (vgl. <ref-ruling> E. 3.2.2 S. 403). Mit Blick auf das Streitwerterfordernis nach Art. 74 Abs. 1 Bst. b BGG ist demnach davon auszugehen, dass die Dauer der Kinderunterhaltspflicht im Sinne von <ref-law> ungewiss und der gesetzliche geforderte Mindestbetrag von Fr. 30'000.-- erreicht ist.
1.5. Die im Übrigen rechtzeitig (<ref-law>) eingereichte Beschwerde in Zivilsachen ist demnach grundsätzlich zulässig. Von vornherein nicht einzutreten ist allerdings auf die Kritik, die der Beschwerdeführer am erstinstanzlichen Entscheid übt, ohne der Vorinstanz konkrete Bundesrechtsverletzungen vorzuwerfen, denn Anfechtungsobjekt ist vor Bundesgericht einzig der Entscheid der letzten kantonalen Instanz (<ref-law>).
2.
Mit der Beschwerde in Zivilsachen können Rechtsverletzungen gemäss Art. 95 f. BGG geltend gemacht werden. Das Bundesgericht wendet das Recht grundsätzlich von Amtes wegen an (<ref-law>) und prüft mit freier Kognition, ob der angefochtene Entscheid Recht verletzt. Es befasst sich aber nur mit formell ausreichend begründeten Einwänden (<ref-law>; <ref-ruling> E. 1.1 S. 104 f.). Soweit die Festsetzung von Unterhalt in Frage steht, ist zu beachten, dass der Sachrichter in verschiedener Hinsicht auf sein Ermessen verwiesen ist (Art. ZGB; <ref-ruling> E. 3a S. 141). Bei der Überprüfung solcher Entscheide auferlegt sich das Bundesgericht Zurückhaltung. Es schreitet nur ein, wenn die kantonale Instanz grundlos von in Lehre und Rechtsprechung anerkannten Grundsätzen abgewichen ist, wenn sie Gesichtspunkte berücksichtigt hat, die keine Rolle hätten spielen dürfen, oder wenn sie umgekehrt rechtserhebliche Umstände ausser Acht gelassen hat. Aufzuheben und zu korrigieren sind ausserdem Ermessensentscheide, die sich als im Ergebnis offensichtlich unbillig, als in stossender Weise ungerecht erweisen (<ref-ruling> E. 2c/aa S. 162; <ref-ruling> E. 4.2 S. 15; <ref-ruling> E. 1 S. 99). Was den Sachverhalt angeht, legt das Bundesgericht seinem Urteil die vorinstanzlichen Feststellungen zugrunde (<ref-law>). Diesbezüglich kann die rechtsuchende Partei nur vorbringen, die vorinstanzlichen Feststellungen seien offensichtlich unrichtig (<ref-law>), das heisst willkürlich (vgl. <ref-ruling> E. 4.3 S. 62; <ref-ruling> E. 1.2.2 S. 252), oder würden auf einer anderen Rechtsverletzung im Sinn von <ref-law> (z.B. <ref-law> oder <ref-law>) beruhen (Urteil 5A_374/2010 vom 9. Juli 2010 E. 1). In der Beschwerde ist überdies darzutun, inwiefern die Behebung der gerügten Mängel für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein kann (<ref-law>; <ref-ruling> E. 2.2.2 S. 22).
3.
Im Abänderungsprozess dreht sich der Streit um die wirtschaftliche Leistungsfähigkeit des Beschwerdeführers als unterhaltspflichtiger Vater.
3.1. Bei erheblicher Veränderung der Verhältnisse setzt das Gericht den Kinderunterhaltsbeitrag auf Antrag eines Elternteils oder des Kindes neu fest oder hebt ihn auf (<ref-law>). Eine Abänderung der Kinderalimente setzt also voraus, dass sich der relevante Sachverhalt nachträglich erheblich und dauerhaft verändert hat. Bei der Neufestsetzung der Kinderalimente sind die einzelnen Parameter der Unterhaltsbemessung zu aktualisieren, wobei unter Umständen auch unverändert gebliebene Parameter angepasst werden dürfen (zum Ganzen <ref-ruling> E. 4.1.1 und 4.1.2 S. 606). Als erhebliche Veränderung der Verhältnisse im Sinne von <ref-law> fallen unter anderem qualifiziert veränderte wirtschaftliche Umstände seitens des Unterhaltspflichtigen in Betracht, namentlich eine Invalidität oder lange Erkrankung, der Übertritt in den Ruhestand oder der Verlust seiner Arbeitsstelle (s. Urteil 5A_217/2009 vom 30. Oktober 2009 E. 3.2). Eine erhebliche und dauerhafte nachträgliche Veränderung der Verhältnisse führt nur dann zu einer Neufestsetzung der Unterhaltspflicht, wenn ansonsten mit Blick auf das ursprüngliche Scheidungsurteil ein unzumutbares Ungleichgewicht zwischen den involvierten Personen entstehen könnte. Zur Beurteilung dieser Voraussetzung gilt es, die Interessen von Vater, Mutter und Kindern gegeneinander abzuwägen (<ref-ruling> E. 4.1.1 S. 606).
3.2. Die wirtschaftliche Leistungsfähigkeit des Unterhaltspflichtigen ergibt sich aus der Gegenüberstellung von seinem Eigenbedarf, der auf der Basis seines betreibungsrechtlichen Existenzminimums zu ermitteln ist (<ref-ruling> E. 4.2.1 S. 62 mit Hinweisen), und seinem Nettoeinkommen. Diesbezüglich ist grundsätzlich vom Einkommen auszugehen, das der Unterhaltspflichtige tatsächlich erzielt. Soweit dieses Einkommen nicht ausreicht, um den ausgewiesenen Bedarf des Kindes zu decken, kann der Richter von einem hypothetischen Einkommen ausgehen, falls und soweit der Pflichtige bei gutem Willen bzw. bei ihm zuzumutender Anstrengung mehr zu verdienen vermöchte, als er effektiv verdient. Wo die reale Möglichkeit einer Einkommenssteigerung fehlt, muss eine solche jedoch ausser Betracht bleiben (zum Ganzen <ref-ruling> E. 4a S. 5 f.). Mit Bezug auf das hypothetische Einkommen ist Rechtsfrage, welche Tätigkeit aufzunehmen als zumutbar erscheint, Tatfrage hingegen, ob die als zumutbar erkannte Tätigkeit möglich und das angenommene Einkommen effektiv erzielbar ist (<ref-ruling> E. 2.3 S. 120 f. mit Hinweisen). Im Verhältnis zu einem minderjährigen Kind sind besonders hohe Anforderungen an die Ausnützung der Erwerbskraft zu stellen, vorab in jenen Fällen, wo wirtschaftlich enge Verhältnisse vorliegen (BGE a.a.O. E. 3.1 S. 121).
3.3. Die zitierte Rechtsprechung gilt für Sachverhalte, in denen der Richter die Pflicht zur Aufnahme oder Ausweitung der Erwerbstätigkeit bejaht und von der betreffenden Partei durch die Anrechnung eines hypothetischen Einkommens eine Umstellung ihrer Lebensverhältnisse verlangt (Urteil 5A_692/2012 vom 21. Januar 2013 E. 4.3). In diesen Fällen ist der verpflichteten Partei hinreichend Zeit zu lassen, die rechtlichen Vorgaben in die Tat umzusetzen. Die Dauer dieser Übergangsfrist bestimmt sich nach den Umständen des Einzelfalls (dazu <ref-ruling> E. 2.2 S. 421; <ref-ruling> E. 5 S. 17). Auch ein von diesen Grundsätzen abweichender Entscheid muss indes nicht zwangsläufig bundesrechtswidrig sein. Je nach den konkreten Gegebenheiten ist etwa von Bedeutung, ob die geforderte Umstellung für die betroffene Person voraussehbar war (Urteil 5A_636/2013 vom 21. Februar 2014 E. 5.1 mit weiteren Hinweisen). Anders verhält es sich, wenn der Unterhaltsschuldner schon bis anhin einer vollzeitlichen Erwerbstätigkeit nachgegangen ist und seine vorbestehende Unterhaltspflicht erfüllt hat. Denn in diesem Fall bedarf der Schuldner keiner Übergangs- oder Anpassungsfrist, um eine Erwerbstätigkeit aufnehmen oder ausweiten und hierzu seine Lebensverhältnisse umstellen zu können. Vielmehr muss der Alimentenschuldner alles in seiner Macht Stehende tun und insbesondere seine wirtschaftliche Leistungsfähigkeit voll ausschöpfen, um seiner Unterhaltspflicht nachzukommen. Begnügt er sich selbst bei einem unfreiwilligen Stellenwechsel wissentlich mit einer nur ungenügend einträglichen Erwerbstätigkeit, so hat er sich anrechnen zu lassen, was er unter den gegebenen Umständen zu erwirtschaften vermöchte (Urteile 5A_299/2012 vom 21. Juni 2012 E. 3.5; 5A_692/2012 vom 21. Januar 2013 E. 4.3; 5A_341/2011 vom 20. September 2011 E. 2.5.1).
4.
Streitig ist zum einen, ob dem Beschwerdeführer ab 1. Oktober 2015 ein hypothetisches monatliches Einkommen von Fr. 3'150.-- angerechnet werden kann.
4.1.
4.1.1. Das Appellationsgericht erachtet als unbestritten, dass der Beschwerdeführer seit Februar 2010 arbeitslos und seit dem 28. Februar 2013 ausgesteuert ist und seither von der Sozialhilfe lebt. Ferner geht es davon aus, dass sich die Monatseinkünfte des Beschwerdeführers unter diesen Umständen gegenüber dem in der Scheidungskonvention festgehaltenen Einkommen von Fr. 4'400.-- (s. Sachverhalt Bst. A) massgeblich verringert hätten und seine Unterhaltspflicht ab 1. Juli 2013 rückwirkend aufzuheben sei, unter Berücksichtigung einer angemessenen Anpassungsfrist ab 1. Oktober 2015 mit der Anrechnung eines hypothetischen Einkommens aber wieder einsetze. Vor diesem Hintergrund schützt das Appellationsgericht unter Hinweis auf die Expertise der E._ vom 17. März 2014 und auf das Urteil des Versicherungsgerichts des Kantons Aargau vom 12. Februar 2015 (s. Sachverhalt Bst. B.b) die erstinstanzliche Einschätzung, dass der Beschwerdeführer für eine angepasste Tätigkeit "entsprechend den Schonkriterien" zu 90 Prozent arbeitsfähig sei.
4.1.2. Was die realen Chancen angeht, eine entsprechende Arbeitsstelle zu finden, verwirft die Vorinstanz die Einwände des Beschwerdeführers gegen den erstinstanzlichen Entscheid. Sie teilt die Beurteilung des Zivilgerichts, wonach sich der Beschwerdeführer nicht ausreichend und umfassend um die ihm zumutbaren und möglichen Stellen bemüht habe, und betont, dass sich besonders sorgfältig um eine Stelle bewerben müsse, wer wie der Beschwerdeführer über Jahre hin arbeitslos ist. Ausserdem wäre es dem Beschwerdeführer auch schon während des Bezugs von Arbeitslosengeldern zuzumuten gewesen, sich gegebenenfalls zusätzliche Qualifikationen anzueignen, etwa weitere Führerausweise oder Branchenausbildungen. Das Appellationsgericht anerkennt, dass die Lage auf dem Arbeitsmarkt für eine in der Arbeitsfähigkeit leicht beeinträchtigte Person nicht einfach ist, hält dem "44-jährigen und somit im besten Erwerbsalter stehenden" Beschwerdeführer aber vor, über zahlreiche praktische Arbeitserfahrungen und über gute Arbeitszeugnisse zu verfügen und somit "durchaus realistische Chancen auf dem Arbeitsmarkt" zu haben. Das Zivilgericht habe berücksichtigt, dass er aus gesundheitlichen Gründen keine besser bezahlten körperlich schweren Tätigkeiten mehr verrichten kann und nur ein Teilzeitpensum von 90 Prozent in Frage kommt; entsprechend habe es ein relativ bescheidenes hypothetisches Einkommen angenommen.
4.1.3. In prozessualer Hinsicht kommt das Appellationsgericht zum Schluss, das Zivilgericht habe den Beweisantrag auf amtliche Erkundigung bei der Sozialhilfe U._ in antizipierter Beweiswürdigung ablehnen dürfen. Zur Begründung erinnert es an die bundesgerichtliche Rechtsprechung, wonach von der unterhaltspflichtigen Person mitunter auch Anstrengungen erwartet werden können, die von ihr im Rahmen der Prüfung sozialversicherungsrechtlicher Ansprüche nicht verlangt werden könnten. Von daher sei das Ergebnis einer amtlichen Erkundigung bei den Sozialdiensten im Unterhaltsstreit nicht relevant. Im Übrigen habe es sich der Beschwerdeführer selbst zuzuschreiben, wenn er seine Arbeitsbemühungen nicht hinreichend belege. Als anwaltlich vertretener und von der Sozialhilfe beratener Abänderungskläger könne er nicht erwarten, vom Gericht detaillierte Anweisungen zu erhalten, wie er den Nachweis seiner Arbeitsbemühungen zu erbringen hat. Es könne nicht zweifelhaft sein, dass dazu die Auflistung sämtlicher Stellen gehöre, für die er sich im relevanten Zeitraum beworben habe.
4.1.4. Mit Bezug auf die geltend gemachte Reduktion der Arbeitsfähigkeit infolge einer psychischen Erkrankung bzw. die angeblich unverhältnismässig kurze Übergangsfrist verweist das Appellationsgericht auf den Entscheid des Versicherungsgerichts des Kantons Aargau vom 12. Februar 2015 (s. Sachverhalt Bst. B.b), wonach bei der psychiatrischen Begutachtung keine diagnostizierbare Störung habe erkannt werden können. Sollte die psychisch bedingte Arbeitsunfähigkeit, die ihm sein Hausarzt am 23. Juni 2015 im Anschluss an den stationären Aufenthalt in der Psychiatrischen Klinik F._ ohne weitere Begründung attestiert habe, über den 31. Juli 2015 hinaus bestanden haben, so hätte der Beschwerdeführer weitere Atteste einreichen müssen. Auch unter Berücksichtigung der psychischen Probleme des Beschwerdeführers, die gemäss Einschätzung unabhängiger Gutachter seine Arbeitsfähigkeit nicht tangieren, sei die Übergangsfrist für die (Wieder-) Aufnahme der Erwerbstätigkeit angemessen. Mit Zustellung des Urteils des Versicherungsgerichts des Kantons Aargau Anfang März 2015 habe er gewusst, dass er sich um eine Arbeitsstelle im Umfange von 90 Prozent bemühen muss. Unter Ausklammerung der Arbeitsunfähigkeit vom 10. Juni bis 31. Juli 2015 seien ihm gut fünf Monate für die Stellensuche verblieben, was angemessen sei.
4.2. Der Beschwerdeführer bezeichnet die vorinstanzliche Beurteilung als "unhaltbar bzw. willkürlich". Im Wesentlichen gibt er sich aber damit zufrieden, seine eigene Sicht der Dinge zu präsentieren, ohne näher auf die vorinstanzlichen Erwägungen einzugehen und aufzuzeigen, weshalb der angefochtene Entscheid, so wie ihn das Appellationsgericht gefällt hat, auch im Ergebnis willkürlich ist.
4.2.1. Der Beschwerdeführer hält es für "nicht nachvollziehbar", dass ihm die kantonalen Instanzen ein hypothetisches Einkommen anrechnen. Seiner Meinung nach hätte sich das Appellationsgericht damit begnügen müssen, ihn von der Erfüllung seiner Unterhaltspflicht zu entbinden; im Übrigen sei es an der Beschwerdegegnerin, mit Blick auf die Anrechnung eines hypothetischen Einkommens selbst erneut den Rechtsweg zu beschreiten und auf Abänderung der Unterhaltsregelung zu klagen. Der Einwand ist unbegründet. Zu den Parametern, die der Richter im Rahmen eines Abänderungsverfahrens bei der Neufestsetzung der Kinderalimente aktualisiert (E. 3.1), zählt auch - und gerade - das Erwerbseinkommen des Unterhaltspflichtigen. Entsprechend ist es dem Richter nicht verwehrt, anlässlich der Beurteilung der Streitsache in zeitlicher Hinsicht zwei Phasen zu unterscheiden, wenn er zum Schluss kommt, dass der Unterhaltspflichtige aufgrund veränderter Verhältnisse - hier wegen des Verlusts der Arbeitsstelle - zwar für eine bestimmte Zeit von der Erfüllung seiner Unterhaltspflicht zu entbinden, die Aufnahme einer Erwerbstätigkeit in naher Zukunft aber zumutbar und möglich ist.
4.2.2. Weiter beteuert der Beschwerdeführer, er versende "nachweislich acht bis zehn Bewerbungen pro Monat", sei "seit längerem" bei regionalen Stellenvermittlungsbüros registriert und mache "bei Gelegenheit auch mündliche Anfragen", weshalb die Anzahl der Bewerbungen nicht zu tief erscheine. Dass die kantonalen Instanzen die im angefochtenen Entscheid geforderte Auflistung sämtlicher Bewerbungen bei der Beweiswürdigung bundesrechtswidrig übersehen hätten, macht er jedoch nicht geltend. An der Sache vorbei geht auch der Vorwurf, die Vorinstanz setze sich nicht damit auseinander, dass er keine körperlich schweren Tätigkeiten mehr ausführen könne, im technischen oder administrativen Bereich nicht über eine geeignete Ausbildung verfüge und auch die deutsche Sprache nicht ausreichend beherrsche. Das Appellationsgericht macht sich ausdrücklich die erstinstanzliche Erkenntnis zu eigen, wonach zu berücksichtigen ist, dass der Beschwerdeführer nur einfache Tätigkeiten körperlicher oder handwerklicher Art verrichten kann.
4.2.3. Hinsichtlich der Anforderungen an seine Anstellungsbemühungen bezieht sich der Beschwerdeführer ausserdem auf die vorinstanzliche Erwägung, wonach vom Unterhaltspflichtigen Anstrengungen erwartet werden, die bei der Prüfung sozialversicherungsrechtlicher Ansprüche nicht von ihm verlangt werden könnten. Er hält es für "nicht nachvollziehbar", weshalb sozialversicherungsrechtlichen Erkenntnissen in Bezug auf die Arbeitsfähigkeit im vorliegenden Verfahren Ausschliesslichkeitscharakter zukomme; die Dauer einer Langzeitarbeitslosigkeit und Aussteuerung könne auch durch eine nichtinvalidisierende gesundheitliche Beeinträchtigung verlängert werden. Sinngemäss unterstellt er der Vorinstanz damit, einzig auf den Zeitpunkt von Anfang März 2015 abzustellen, als er vom Gerichtsentscheid aus dem Kanton Aargau betreffend seine Arbeitsfähigkeit von 90 Prozent erfahren hatte. Der Vorwurf geht fehl. Wie die resümierten vorinstanzlichen Erwägungen belegen, würdigt das Appellationsgericht auch die gesundheitliche Situation des Beschwerdeführers im Sommer 2015. Inwiefern es dabei in Willkür verfallen wäre oder entscheidwesentliche Unterlagen, namentlich die geforderten ärztlichen Atteste, übersehen hätte, lässt sich der Beschwerde nicht entnehmen.
4.2.4. Was seine beruflichen Voraussetzungen angeht, konfrontiert die Vorinstanz den Beschwerdeführer damit, dass er es seit dem Verlust seiner letzten Arbeitsstelle versäumt habe, sich um zusätzliche Qualifikationen zu bemühen. In welcher Hinsicht die Vorinstanz seine tatsächlichen Weiterbildungsmöglichkeiten damit in unhaltbarer Weise verkennen würde, tut der Beschwerdeführer nicht dar. Allein mit der appellatorischen Gegenbehauptung, er könne sich "Alibiübungen" mit sprachlich hervorragenden Bewerbungstexten ersparen, wenn er beim Vorstellungsgespräch persönlich nicht zu überzeugen vermöge bzw. dort seine rudimentären Deutschkenntnisse zum Vorschein kämen, vermag er vor Bundesgericht nichts auszurichten. Sodann beklagt sich der Beschwerdeführer darüber, dass die Vorinstanz willkürlich von einem grossen Spektrum möglicher Erwerbstätigkeiten ausgehe und ihm angesichts seiner angeblich breitgefächerten Berufserfahrung vorwerfe, sich bei der Stellensuche auf den Bereich Logistik/Transport/ Chauffeurdienste konzentriert zu haben. Auch diese Rüge geht fehl. Die Vorinstanz spricht sich lediglich darüber aus, dass schon das Zivilgericht dem Beschwerdeführer aufgezeigt habe, welche Tätigkeiten ausser Lager- bzw. Logistikmitarbeit oder Chauffeurdienste in Frage kämen, und dass es auf Tätigkeiten in der industriellen Produktion, in einer Werkstatt, in der Gastronomie oder als Pizza-Kurier hingewiesen habe, in denen der Beschwerdeführer über praktische Erfahrungen verfüge. Inwiefern das Appellationsgericht den Inhalt des erstinstanzlichen Entscheides damit verkannt hätte, vermag der Beschwerdeführer nicht zu erklären.
4.2.5. Unbehelflich ist schliesslich auch die Rüge, das Appellationsgericht verfalle "in einen überspitzten Formalismus", wenn es seine Anstrengungen um eine Arbeitsstelle insgesamt nicht als ausreichend qualifiziere. Überspitzter Formalismus als besondere Form der Rechtsverweigerung (und damit eine Verletzung von <ref-law>) liegt vor, wenn für ein Verfahren rigorose Formvorschriften aufgestellt werden, ohne dass die Strenge sachlich gerechtfertigt wäre, wenn die Behörde formelle Vorschriften mit übertriebener Schärfe handhabt oder an Rechtsschriften überspannte Anforderungen stellt und damit dem Bürger den Rechtsweg in unzulässiger Weise versperrt (<ref-ruling> E. 2.1 S. 9 mit Hinweisen). Der Beschwerdeführer äussert sich nicht dazu, welche Vorgaben formeller Natur das Appellationsgericht ihm in den Weg gestellt hätte und welche Nachteile ihm daraus erwachsen wären. In Tat und Wahrheit betreffen seine Reklamationen nicht formelle Aspekte des kantonalen Verfahrens, sondern die Art und Weise, wie die Vorinstanz seine Berufung inhaltlich beurteilt. Wie ausführlich erörtert, sind seine Bemühungen vor Bundesgericht in dieser Hinsicht zum Scheitern verurteilt.
4.3. Der Beschwerdeführer beanstandet die Anpassungs- bzw. Übergangsfrist, die ihm die kantonalen Instanzen bis zur Anrechnung des hypothetischen Einkommens, das heisst bis zum 1. Oktober 2015 einräumen (E. 4.1.1). Er argumentiert, nachdem die Rechtsprechung die rückwirkende Anrechnung eines hypothetischen Einkommens grundsätzlich nicht zulasse, bemesse sich die Anpassungsfrist von dem Zeitpunkt an, wo er Gewissheit darüber hatte, inwieweit er von der beantragten Aufhebung der Unterhaltspflicht nicht befreit werden konnte. Dies sei erst mit der Eröffnung des erstinstanzlichen Urteilsspruchs am 25. September 2015 der Fall gewesen. Mit diesem Protest verkennt der Beschwerdeführer, dass sich der Streit im vorliegenden Abänderungsprozess von der Sache her um die Frage dreht, wie lange er als unterhaltspflichtiger Vater die Aufhebung seiner Unterhaltspflicht wegen veränderter Verhältnisse für sich in Anspruch nehmen kann. In dieser Konstellation könnte von einer Rückwirkung nur gesprochen werden, soweit dem Beschwerdeführer ein hypothetisches Einkommen bereits für die Zeit vor dem erstinstanzlichen Urteil angerechnet würde. Diese Voraussetzung ist hier nicht gegeben, bleibt es gemäss dem angefochtenen Entscheid doch dabei, dass die Unterhaltspflicht des Beschwerdeführers von Juli 2013 bis September 2015 aufgehoben ist und erst wieder ab Oktober 2015 einsetzt (s. E. 4.1.1). Bezüglich der Anpassungsfrist stellt das Appellationsgericht fest, der Beschwerdeführer habe mit der Zustellung des Urteils des Versicherungsgerichts Anfang März gewusst, dass er sich um eine Arbeitsstelle im 90%-Pensum bemühen muss. Dass die Vorinstanz den Sachverhalt damit offensichtlich unrichtig festgestellt hätte, macht der Beschwerdeführer nicht geltend (s. schon E. 4.2). Weitere Gründe, weshalb erst eine absolute Gewissheit über die Pflicht zur (Wieder-) Aufnahme einer Erwerbstätigkeit in Gestalt eines Gerichtsurteils die besagte Anpassungsfrist auslösen könnte, nennt der Beschwerdeführer keine; sie sind auch nicht ersichtlich. Im Gegenteil genügt es nach der Rechtsprechung, dass die geforderte Umstellung für die betroffene Person voraussehbar war (E. 3.3).
4.4. Nach dem Gesagten erweist sich die Beschwerde als unbegründet, soweit sich der Beschwerdeführer dagegen wehrt, dass ihm das Appellationsgericht ab 1. Oktober 2015 ein hypothetisches Monatseinkommen von Fr. 3'150.-- anrechnet.
5.
Anlass zur Beschwerde gibt zum andern die vorinstanzliche Berechnung des monatlichen Grundbedarfs des Beschwerdeführers. Der Streit dreht sich um die Berufsauslagen und um die Kosten für die Ausübung des Besuchsrechts.
5.1. Das Appellationsgericht bestätigt den erstinstanzlichen Entscheid, der dem Beschwerdeführer unter dem Titel der Berufsauslagen lediglich monatliche Ausgaben von Fr. 76.-- zugesteht. Die geltend gemachten Verpflegungskosten von Fr. 220.-- und Fahrtauslagen von Fr. 150.-- seien einerseits rein hypothetische Berufsauslagen, die dem Beschwerdeführer gar nicht entstünden. Zum andern seien lediglich unumgängliche Berufskosten zu berücksichtigen. Für die Fahrten zum Arbeitsort seien grundsätzlich die öffentlichen Verkehrsmittel zu benutzen. Der Beschwerdeführer, dessen Wohnort mit dem öffentlichen Verkehr gut erschlossen sei, lege nicht dar, dass ihm im Falle einer Erwerbstätigkeit höhere Fahrauslagen als die eingesetzten Kosten für ein Umweltschutz-Abonnement der Transportunternehmen Nordwestschweiz entstünden. Ebenso wenig vermöge er darzutun, dass ihm zusätzlich zum Grundbetrag Mehrauslagen für Verpflegung anfallen würden, falls er erwerbstätig wäre. Die Berufskosten müssten in einem vernünftigen Verhältnis zur Einkommenssituation und zum Gesamtbedarf beider Parteien stehen; dem bescheidenen hypothetischen Einkommen müssten entsprechend vernünftige hypothetische Berufsauslagen gegenübergestellt werden. Was die Kosten für die Ausübung des Besuchsrechts angeht, stellt das Appellationsgericht klar, dass diese Ausgaben regelmässig bei den Besuchsberechtigten anfallen und grundsätzlich nicht zur Kürzung der Kinderunterhaltsbeiträge berechtigen. Entsprechend seien diese Kosten bei der Berechnung des Bedarfs des Beschwerdeführers nicht eigens zu berücksichtigen, sondern aus dem Grundbetrag zu finanzieren.
5.2. Auch in diesem Zusammenhang laufen die weitschweifigen Erörterungen des Beschwerdeführers letztendlich auf blosse Gegenbehauptungen hinaus, die nicht geeignet sind, den kantonalen Ermessensentscheid ins Wanken zu bringen. So will der Beschwerdeführer den erwähnten Betrag von Fr. 370.-- als "absolutes Minimum an unausweichlichen Berufsauslagen" verstanden wissen; es gehe nicht an, ihm nur die Kosten für die Benutzung öffentlicher Verkehrsmittel anzurechnen. Der vorinstanzlichen Feststellung, dass sein Wohnort mit dem öffentlichen Verkehr gut erschlossen ist, hat der Beschwerdeführer freilich nichts Konkretes entgegenzusetzen. Ebenso wenig trägt er plausible Gründe vor, weshalb das Appellationsgericht in stossender Weise ungerecht entscheidet, wenn es ihm die geforderten Kosten für auswärtige Verpflegung nicht zugesteht. Allein die Mutmassung, es könnte an einem (hypothetischen) Arbeitsplatz an geeigneten Räumlichkeiten für den Verzehr mitgebrachter Mahlzeiten fehlen, taugt dazu nicht. Warum er sich im Falle einer Erwerbstätigkeit im Aussendienst nicht mit selbst zubereiteten Mahlzeiten verpflegen könnte, vermag er auch nicht zu erklären. Vor allem aber geht er mit keinem Wort auf die vorinstanzliche Erwägung ein, wonach die Berufskosten ins Verhältnis zur Einkommenssituation zu setzen sind.
5.3.
5.3.1. Mit Blick auf die Kosten für die Ausübung des Besuchsrechts erinnert der Beschwerdeführer daran, dass die Beschwerdegegnerin ihren Wohnsitz nach der Trennung eigenmächtig nach Basel-Stadt verlegt habe. Er beteuert, dass ihn auch eine Pflicht zur Wahrnehmung des Besuchsrechts treffe, und rechnet dem Bundesgericht lang und breit vor, auf welchen Geldbetrag sich die Autospesen für den Hin- und Rücktransport seiner Kinder alle zwei Wochen belaufen und dass Bahnfahrten "bestimmt viel teurer" wären. Die "Behauptung" der Vorinstanz, diese Reisekosten seien mit dem Grundbetrag abzudecken, verstosse "gegen die gängige Praxis bzw. gegen Bundesrecht".
5.3.2. Nach der bundesgerichtlichen Rechtsprechung fallen die mit der Ausübung des Besuchsrechts verbundenen Kosten grundsätzlich dem besuchsberechtigten Elternteil zur Last (Urteil 5A_679/2011 vom 10. April 2012 E. 7.3). Freilich lässt die Rechtsprechung auch die Berücksichtigung besonderer Umstände zu, die eine andere Verteilung der Kosten der Besuchsrechtsausübung rechtfertigen können. Voraussetzung ist aber, dass diese Lösung namentlich im Hinblick auf die finanzielle Lage der Eltern als billig erscheint und dass sie nicht mittelbar die Interessen des Kindes beeinträchtigt, indem die für den Unterhalt des Kindes notwendigen Mittel für die Kosten der Besuchsrechtsausübung verwendet werden (<ref-ruling> E. 3 S. 388 f.). In eigentlichen Mangelfällen, wo beide Eltern wirtschaftlich schlecht dastehen, wird ein Ausgleich gesucht werden müssen zwischen dem Nutzen, den das Kind aus seinem Kontakt mit dem nicht sorgeberechtigten Elternteil zieht, und dem Interesse an der Deckung des Kindesunterhalts (Urteil 5C.282/2002 vom 27. März 2003 E. 3.2). Der Entscheid darüber beruht weitgehend auf dem Ermessen des kantonalen Sachrichters, bei dessen Überprüfung sich das Bundesgericht Zurückhaltung auferlegt (E. 2).
5.3.3. Anhand der dargelegten Massstäbe ist auch die Frage zu beurteilen, ob der Unterhaltspflichtige in seiner Bedarfsrechnung zusätzlich zum monatlichen Grundbetrag einen bestimmten Betrag für die Ausübung seines Besuchsrechts in Rechnung stellen kann. Im konkreten Fall kommt das Appellationsgericht zum Schluss, die Berücksichtigung eines entsprechenden Betreffnisses würde im Ergebnis zur Kürzung der ohnehin schon sehr bescheidenen Kinderalimente führen. Inwiefern die Vorinstanz bei der Abwägung der involvierten Interessen ihr Ermessen bundesrechtswidrig ausgeübt hat, vermag der Beschwerdeführer nicht aufzuzeigen und ist auch nicht ersichtlich.
6.
Seine prozessualen Beanstandungen im Zusammenhang mit der Unterzeichnung des angefochtenen Entscheids stellt der Beschwerdeführer ausdrücklich unter die Bedingung, dass das Bundesgericht auf seine Beschwerde in Zivilsachen nicht eintritt und lediglich die subsidiäre Verfassungsbeschwerde zulässig ist. Diese Bedingung ist nicht erfüllt (E. 1). Entsprechend erübrigen sich weitere Erörterungen zu diesem Thema.
7.
Im Ergebnis ist die Beschwerde insgesamt unbegründet. Sie ist abzuweisen. Der Beschwerdeführer unterliegt. Er hat deshalb für die Gerichtskosten aufzukommen (<ref-law>). Der Beschwerdegegnerin ist kein entschädigungspflichtiger Aufwand entstanden. Das Gesuch des Beschwerdeführers um unentgeltliche Rechtspflege für das bundesgerichtliche Verfahren ist abzuweisen. Wie die vorigen Erwägungen zeigen, müssen seine vor Bundesgericht gestellten Rechtsbegehren als von Anfang an aussichtslos gelten. Damit fehlt es an einer materiellen Voraussetzung für die Gewährung des Armenrechts (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen.
2.
Das Gesuch des Beschwerdeführers um unentgeltliche Rechtspflege für das bundesgerichtliche Verfahren wird abgewiesen.
3.
Die Gerichtskosten von Fr. 1'500.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt, Ausschuss, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 13. Juni 2016
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: von Werdt
Der Gerichtsschreiber: V. Monn