Erwägungen:
1.
1.1. A.A._ (geb. 1953) stammt aus dem Kosovo. Er war 1990 und 1991 als Saisonnier in der Schweiz tätig. Nachdem er sich in der Heimat von seiner Gattin hatte scheiden lassen, heiratete er 1992 eine Schweizerin, worauf ihm eine Aufenthaltsbewilligung zum Verbleib bei dieser erteilt wurde. Seit dem 3. November 1997 verfügt A.A._ über eine Niederlassungsbewilligung. Die Ehe wurde 1998 geschieden, worauf A.A._ am 5. März 1998 erneut seine frühere Gattin und Landsfrau heiratete und diese sowie die vier gemeinsamen Kinder B.A._ (geb. 1982), C.A._ (geb. 1985), D.A._ (geb. 1987) bzw. E.A._ (geb. 1989) nachzog. 2000 wurde in der Schweiz das fünfte Kind, F.A._, geboren.
1.2. Am 21. Juni 2013 verurteilte das Regionalgericht Bern-Mittelland A.A._ wegen versuchter Vergewaltigung, Widerhandlungen gegen das Ausländergesetz und einfacher Widerhandlungen gegen das Strassenverkehrsgesetz zu einer bedingten Freiheitsstrafe von 20 Monaten und zu einer (bedingten) Geldstrafe von 80 Tagessätzen zu Fr. 30.-- sowie einer Busse von Fr. 1'200.--. Am 21. Mai 2014 widerrief das Amt für Migration und Personenstand des Kantons Bern die Niederlassungsbewilligung von A.A._ und hielt ihn an, das Land zu verlassen. Die hiergegen gerichteten kantonalen Rechtsmittel blieben ohne Erfolg (Beschwerdeentscheid der Polizei- und Militärdirektion vom 2. Juli 2015 sowie Urteil des Verwaltungsgerichts vom 4. März 2016).
1.3. A.A._ beantragt vor Bundesgericht, das Urteil des Verwaltungsgerichts des Kantons Bern aufzuheben und festzustellen, dass vom Widerruf der Niederlassungsbewilligung abzusehen und er lediglich zu verwarnen sei. Für den Fall des Unterliegens ersucht er um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung. A.A._ macht geltend, der Widerruf seiner Niederlassungsbewilligung sei unverhältnismässig und verletze seinen Anspruch auf Schutz des Familien- und Privatlebens (Art. 13 Abs. 1 i.V.m. <ref-law> bzw. Art. 8 EMRK). Die beteiligten kantonalen Behörden und das Staatssekretariat für Migration beantragen, die Beschwerde abzuweisen. Der Abteilungspräsident legte der Eingabe am 7. April 2016 antragsgemäss aufschiebende Wirkung bei.
2.
Gegen den Widerruf der Niederlassungsbewilligung steht die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten offen (<ref-ruling> E. 1.2.1 S. 4). Das Bundesgericht prüft unter Berücksichtigung der allgemeinen Rüge- und Begründungspflicht nur die geltend gemachten Vorbringen, sofern die rechtlichen Mängel nicht geradezu offensichtlich sind (<ref-ruling> E. 1.4.1 S. 254). Sachverhalts- und beweismässig genügt es nicht, im bundesgerichtlichen Verfahren einfach eine gegenüber dem angefochtenen Entscheid abweichende Auffassung zu wiederholen und zu behaupten, die beanstandete Würdigung sei willkürlich; es muss vielmehr verfassungsbezogen im Einzelnen dargelegt werden, weshalb die vorinstanzliche Beurteilung als offensichtlich unhaltbar zu gelten hat, mit der tatsächlichen Situation in klarem Widerspruch steht bzw. einen unumstrittenen Rechtsgrundsatz krass verletzt oder dem Gerechtigkeitsgedanken in stossender Weise zuwiderläuft (<ref-ruling> E. 5.4 S. 148 mit Hinweisen). Dies tut der Beschwerdeführer nicht; seine diesbezüglichen Einwände sind weitgehend appellatorischer Natur. Der rechtlichen Beurteilung ist im Folgenden die vorinstanzliche Beweiswürdigung und Sachverhaltsfeststellung zugrunde zu legen (<ref-law>).
3.
3.1. Die Niederlassungsbewilligung kann widerrufen werden, wenn die ausländische Person zu einer längerfristigen Freiheitsstrafe, d.h. zu einer solchen von mehr als einem Jahr, verurteilt worden ist; dabei spielt keine Rolle, ob die Sanktion bedingt, teilbedingt oder unbedingt ausgesprochen wurde (Art. 63 Abs. 1 lit. a i.V.m. Art. 62 lit. b AuG; <ref-ruling> E. 2.1 S. 32; <ref-ruling> E. 2; <ref-ruling> E. 4.2 S. 381; Urteile 2C_679/2015 vom 19. Februar 2016 E. 5.1 und 2C_685/2014 vom 13. Februar 2015 E. 4), oder wenn der Ausländer in schwerwiegender Weise gegen die öffentliche Sicherheit und Ordnung in der Schweiz oder im Ausland verstossen hat bzw. er diese gefährdet (Art. 63 Abs. 1 lit. b AuG). Die aufenthaltsbeendende Massnahme muss sich zudem als verhältnismässig erweisen (vgl. Art. 96 AuG; Art. 13 Abs. 1 i.V.m. <ref-law>; Art. 8 Ziff. 2 EMRK). Zu berücksichtigen sind namentlich die Schwere des Delikts und des Verschuldens des Betroffenen, der seit der Tat vergangene Zeitraum, das Verhalten des Ausländers während diesem, der Grad seiner Integration bzw. die Dauer der bisherigen Anwesenheit sowie die ihm und seiner Familie drohenden Nachteile (BGE <ref-ruling> E. 4.3 E. 4.3 S. 381 f.). Keines dieser Elemente ist für sich allein ausschlaggebend; geboten ist eine Abwägung der gesamten Umstände im Einzelfall (vgl. das Urteil 2C_846/2014 vom 16. Dezember 2014 E. 2.4).
3.2. Die Niederlassungsbewilligung eines Ausländers, der sich - wie der Beschwerdeführer - schon seit langer Zeit im Land aufhält, soll praxisgemäss nur mit Zurückhaltung widerrufen werden. Bei wiederholter bzw. schwerer Straffälligkeit ist dies jedoch selbst dann nicht ausgeschlossen, wenn der Ausländer hier geboren ist und sein ganzes bisheriges Leben im Land verbracht hat (vgl. das Urteil 2C_562/2011 vom 21. November 2011 E. 3.3 [Widerruf der Niederlassungsbewilligung eines hier geborenen 43-jährigen Türken]). Soweit dies zu keinem Widerspruch zu übergeordnetem Recht - und insbesondere der EMRK - führt, berücksichtigt das Bundesgericht auch die verfassungsrechtlichen Vorgaben von <ref-law>; danach sollen gewisse schwere Delikte losgelöst von der Anwesenheitsdauer zum Verlust des Aufenthaltsrechts und weiteren ausländerrechtlichen Sanktionen führen (vgl. <ref-ruling> E. 5.3 S. 31; Urteil 2C_679/2015 vom 19. Februar 2016 E. 6.2.3 mit Hinweisen). Bei gewichtigen Straftaten und bei Rückfall sowie bei wiederholter (unverbesserlicher) Delinquenz besteht regelmässig ein wesentliches öffentliches Interesse daran, die Anwesenheit eines Ausländers zu beenden, der die hier geltenden grundlegenden rechtlichen Regeln in dieser Weise gering schätzt (vgl. <ref-ruling> E. 2.4 und 2.5 S. 149 ff.; das Urteil 2C_903/2010 vom 6. Juni 2011 E. 3.1, nicht publ. in <ref-ruling> ff.; <ref-ruling> E. 4.4.2 S. 190 f.). Dies gilt insbesondere, wenn der Betroffene besonders hochwertige Rechtsgüter verletzt oder in Gefahr gebracht hat oder zeigt, dass er auch künftig weder gewillt noch fähig erscheint, sich an die hiesige Rechtsordnung zu halten (<ref-ruling> E. 2.1 S. 18 f., 31 E. 2.1 S. 32 f., <ref-ruling> E. 3.3 S. 304; Urteile 2C_1086/2014 vom 11. Juni 2015 E. 2.1 und 2C_843/2014 vom 18. März 2015 E. 3.2.1).
4.
4.1. Das Verwaltungsgericht des Kantons Bern hat die bundesgerichtliche Rechtsprechung zutreffend wiedergegeben und mit der Bestätigung des Widerrufs der Niederlassungsbewilligung und der Wegweisung des Beschwerdeführers kein Bundesrecht verletzt: Dieser ist am 21. Juni 2013 rechtskräftig zu einer bedingten Freiheitsstrafe von 20 Monaten (unter anderem) wegen versuchter Vergewaltigung verurteilt worden. Dabei handelt es um eine Anlasstat, welche künftig grundsätzlich zu einer obligatorischen strafrechtlichen Landesverweisung führen wird (<ref-law>; <ref-law> [AS 2016 2330]); dies unterstreicht die Schwere seiner Tat, auch wenn die entsprechende Bestimmung noch nicht anwendbar ist. Die sexuelle Integrität hat im Übrigen bereits bisher als hochwertiges Rechtsgut gegolten (Urteil 2C_453/2015 vom 10. Dezember 2015 E. 3.2.2); ihre Verletzung wiegt regelmässig so schwer, dass selbst eine geringe Rückfallgefahr ausländerrechtlich nicht hingenommen werden kann.
4.2. Hinzu kommt, das der Beschwerdeführer bereits früher, wenn auch in geringerem Masse, straffällig geworden ist und häusliche Gewalt ausgeübt hat. Am 22. Februar 2006 wurde er wegen fahrlässiger Körperverletzung (schwere Schädigung) zu 15 Tagen Gefängnis bedingt und am 13. Mai 2011 zu einer bedingten Geldstrafe von 5 Tagessätzen zu Fr. 90.-- und einer Busse von Fr. 200.-- wegen Missbrauchs von Ausweisen und Schildern (SVG) verurteilt. Im Rahmen des Verfahrens wegen der versuchten Vergewaltigung zeigte er sich uneinsichtig und ohne Reue; seine Aussagen waren widersprüchlich und unglaubwürdig. Die Tat blieb lediglich unvollendet, weil der Beschwerdeführer vorzeitig zu einem Samenerguss gekommen war. Das Vorkommnis blieb für das Opfer indessen dennoch schwer traumatisierend, was den Beschwerdeführer nicht daran hinderte, dieses im Strafverfahren noch zu beschimpfen. Soweit er darauf hinweist, dass er sich inzwischen seit zahlreichen Jahren in der Schweiz aufhalte und hier über familiäre Bindungen verfüge, haben ihn diese nicht davon abhalten können, hier schwer straffällig zu werden.
4.3. Die Vorinstanz hat seine privaten Interessen und jene seiner Familie zutreffend ermittelt (langer Aufenthalt; Anwesenheit von Frau und Kindern im Land; Verhalten seit der Verurteilung bzw. seit der Tat; geistig behinderter Sohn; Rückzahlungsbereitschaft bezüglich der Schulden usw.) und diese den öffentlichen (Sicherheits-) Interessen gegenüber in vertretbarer Weise abgewogen (mögliche Rückfallgefahr; hohe Verschuldung; beruflich, sprachlich und sozial im Hinblick auf die Dauer der Anwesenheit eher unterdurchschnittliche Integration; Vertrautheit mit den heimischen Verhältnissen, in denen er sozialisiert wurde; Möglichkeit der Familie, in der Schweiz verbleiben zu können, sollten sie dem Gatten bzw. Vater nicht in die gemeinsame Heimat folgen wollen; Möglichkeit, die vom Beschwerdeführer geleisteten AHV-/ IV-Beiträge zurückfordern zu können, womit er kaufkraftbereinigt unter Berücksichtigung der bereits jetzt erbrachten Leistungen der Gattin im Kosovo leben kann usw.).
4.4.
Was der Beschwerdeführer hiergegen einwendet, ist nicht geeignet, die Rechtmässigkeit des angefochtenen Entscheids infrage zu stellen:
4.4.1. Selbst wenn sich seine Betreibungen von Fr. 96'311.45 weitgehend mit den ausgewiesenen 15 Verlustscheinen in der Höhe von rund Fr. 100'000.-- decken, ist sein Verschuldung hoch; es erscheint zweifelhaft, ob er - wie von ihm in Aussicht gestellt - seine Schulden weiterhin abtragen könnte, nachdem er gemäss eigenen Angaben arbeitsunfähig ist und eine Verbesserung der Situation weder geltend gemacht wird noch absehbar erscheint. Dass der Beschwerdeführer sich seit der letzten Verurteilung korrekt verhalten hat, ist nicht allein ausschlaggebend, nachdem ihm strafrechtlich eine (überdurchschnittlich lange) Bewährungsfrist von vier Jahren gesetzt wurde, welche noch bis zum Juni 2017 läuft. Ein entsprechendes Wohlverhalten darf ausländerrechtlich im Übrigen erwartet werden; eine erneute - auch geringe Straffälligkeit - erhöhte lediglich zusätzlich das öffentliche Interesse an der Beendigung seines Aufenthalts (vgl. etwa das Urteil 2C_615/2015 vom 6. August 2015 E. 5.3.2 mit Hinweis).
4.4.2. Die Gattin, die ebenfalls über eine Niederlassungsbewilligung verfügt, und die (weitgehend erwachsenen) Kinder können im Übrigen in der Schweiz verbleiben. Sollten sie ihre Beziehungen nicht mit dem Gatten bzw. Vater in der gemeinsamen Heimat leben wollen, wird der Beschwerdeführer zukünftig allenfalls um die Neuerteilung einer Bewilligung nachsuchen können, sollte sein Bewilligungsanspruch fortbestehen und dannzumal davon auszugehen sein, dass er sich in seiner Heimat bewährt hat und er keine Gefahr für die hiesige Sicherheit und Ordnung mehr bildet (vgl. die Urteile 2C_615/2015 vom 6. August 2015 E. 5.4.4; 2C_1170/2012 vom 24. Mai 2013 E. 3 u. 4; 2C_487/ 2012 vom 2. April 2013 E. 3 - 5).
4.4.3. Zwar ist der erwachsene Sohn B.A._, welcher noch mit dem Beschwerdeführer, seiner Frau und dem jüngsten Kind zusammenlebt, geistig behindert und auf dem freien Arbeitsmarkt weder vermittel- noch integrierbar. Es besteht in diesem Zusammenhang grundsätzlich ein privates Interesse des Beschwerdeführers von einem gewissen Gewicht, in der Schweiz verbleiben zu können. Die Vorinstanz hat dieses indessen relativieren dürfen: Der Beschwerdeführer ist in seiner Rolle als punktueller Betreuer von B.A._ nicht unersetzlich; es kommen ihm mithin keine Aufgaben (mehr) zu, die seine Anwesenheit unabdingbar machen würden. Der Beschwerdeführer legt nicht dar, dass und inwiefern diese sachverhaltliche Feststellung offensichtlich unhaltbar wäre. Im Hinblick auf sein deliktisches Verhalten ist es der Familie zumutbar, sich anders zu organisieren und allenfalls B.A._ mit seinem Vater in die Heimat ausreisen zu lassen, damit er sich, soweit noch nötig, seines Sohnes dort annehmen kann. Dieser hielt sich - trotz seiner Behinderung - mit der Mutter vor deren Nachzug bereits über Jahre im Kosovo auf, weshalb angenommen werden darf, dass ihm dies auch künftig möglich ist. Soweit die IV-Leistungen an B.A._ im Kosovo nicht ausbezahlt werden und er deshalb das Land nicht verlassen will oder kann, sind andere hiesige Betreuungslösungen denkbar (Schwestern usw.). Die Familie kann ihre Beziehungen zum Gatten bzw. zum Vater anderweitig - etwa besuchsweise bzw. mittels der heutigen Kommunikationsmittel - grenzüberschreitend pflegen. Der hier geborene F.A._ kann seine Schul- und Lehrzeit seinerseits in der Schweiz fortsetzen; sollte sich die Gattin entschliessen, dem Beschwerdeführer in den Kosovo zu folgen, ist es mit Blick auf sein Alter möglich, dass er bei einer seiner Schwestern verbleibt.
4.4.4. Wie die Vorinstanz schliesslich zutreffend ausführt, ist eine ausländerrechtliche Verwarnung vor dem Widerruf der Bewilligung nicht zwingend erforderlich (vgl. die Urteile 2C_1068/2015 vom 22. Februar 2016 E. 2.5 und 2C_679/2015 vom 19. Februar 2016 E. 6.4); ist der Widerruf - wie hier - verhältnismässig, kann auf eine vorgängige Verwarnung verzichtet werden. Dies gilt insbesondere, wenn kein Entwicklungs- und Reifeprozess bzw. kein tragfähiges Zukunftsprojekt besteht, welches eine allfällige Rückfallgefahr auf ein im Rahmen von Art. 8 Ziff. 2 EMRK ausländerrechtlich hinzunehmendes Mass reduziert, wovon mit Blick auf die Länge der strafrechtlichen Probezeit und das Verhalten des Beschwerdeführers während des Strafverfahrens nicht ausgegangen werden kann.
4.4.5. Soweit der Beschwerdeführer geltend macht, an einer chronischen Schmerzstörung mit somatischen und psychischen Faktoren bzw. einer mittelschweren depressiven Episode zu leiden, kann er diesbezüglich in seiner Heimat betreut und gepflegt werden. Der Umstand, dass die gesundheitliche Versorgung in der Schweiz qualitativ allenfalls besser ist als jene im Kosovo, steht einer aufenthaltsbeendenden Massnahme bzw. der Wegweisung nicht entgegen. Abgesehen von aussergewöhnlichen Situationen, in welchen Art. 3 EMRK eine Abschiebung verunmöglichen kann, haben Personen ohne Aufenthaltsberechtigung grundsätzlich keinen konventionsrechtlichen Anspruch auf Verbleib im Aufnahmestaat, um weiterhin von medizinischen, sozialen oder anderen Unterstützungsleistungen profitieren zu können (Urteile 2C_1130/2013 vom 23. Januar 2015 E. 3 [zum Kosovo] und 2C_721/2014 vom 15. Januar 2015 E. 3.2.2). Die schweizerischen Behörden sind gehalten, im Rahmen der konkreten Rückkehrmassnahmen alles ihnen Zumutbare vorzukehren, um medizinisch bzw. betreuungsmässig sicherzustellen, dass das Leben und die Gesundheit der betroffenen Person nicht beeinträchtigt wird; sie sind verfassungsrechtlich jedoch nicht gehalten, im Hinblick auf eine punktuell kritische psychische Situation in Abweichung von den gesetzlichen Vorgaben von aufenthaltsbeendenden Massnahmen abzusehen (vgl. das Urteil 2C_573/2014 vom 4. Dezember 2014 E. 4.3).
5.
5.1. Die Beschwerde erweist sich als unbegründet und kann im Verfahren nach <ref-law> erledigt werden. Ergänzend wird auf die zutreffenden Ausführungen im angefochtenen Entscheid und in der Vernehmlassung des Verwaltungsgerichts vom 2. Mai 2016 verwiesen.
5.2. Dem Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung wird im Hinblick auf das einlässlich begründete Urteil der Vorinstanz keine Folge gegeben (<ref-law>; Aussichtslosigkeit). Dem Ausgang des Verfahrens entsprechend hat der unterliegende Beschwerdeführer die Kosten für das bundesgerichtliche Verfahren zu tragen (<ref-law>). Bei deren Festlegung wird dem Umstand Rechnung getragen, dass über das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung nicht vorweg entschieden wurde, was es dem Beschwerdeführer ermöglicht hätte, seine Eingabe allenfalls noch zurückzuziehen. Es sind keine Parteientschädigungen geschuldet (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen.
2.
2.1. Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung wird abgewiesen.
2.2. Die Kosten von Fr. 1'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten, dem Verwaltungsgericht des Kantons Bern und dem Staatssekretariat für Migration schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 19. August 2016
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Seiler
Der Gerichtsschreiber: Hugi Yar