Sachverhalt:
A.
B.X._ erstattete am 7. Mai 2015 Strafanzeige wegen Prozessbetrugs gegen C._ und D._, Vorstandsmitglieder des Trägervereins F._ in Liquidation (nachfolgend: Trägerverein), sowie gegen I._, stellvertretender Geschäftsführer der Stiftung G._ (nachfolgend: Stiftung). Er wirft ihnen vor, in einem Konkursverfahren durch vorsätzliche unwahre Behauptungen betreffend den Bestand seiner Darlehensforderungen gegenüber dem Trägerverein einen falschen Entscheid des Zivilgerichts erwirkt zu haben. Dadurch sei er am Vermögen geschädigt worden, da er auf den längeren und kostspieligeren Weg des ordentlichen Zivilprozesses gezwungen werde.
Die Staatsanwaltschaft des Kantons Basel-Stadt verfügte am 21. Mai 2015 die Nichtanhandnahme des Strafverfahrens. Dagegen erhob B.X._ Beschwerde, welche das Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt am 14. März 2016 abwies.
B.
B.X._ beantragt mit Beschwerde in Strafsachen, der appellationsgerichtliche Entscheid sei aufzuheben und die Sache zur Durchführung einer Untersuchung wegen Prozessbetrugs an die Staatsanwaltschaft zurückzuweisen; allenfalls sei die Sache an das Appellationsgericht zurückzuweisen. Die Staatsanwaltschaft sei anzuweisen, angesichts der in diesem Prozessbetrug liegenden Deliktsfortsetzung auch die Untersuchung aus seiner ersten Strafanzeige (vgl. Urteil 6B_1053/2015 vom 25. November 2016) wieder an die Hand zu nehmen.

Erwägungen:
1.
Der verwitwete B.X._ ist während des bundesgerichtlichen Verfahrens verstorben. A.X._ erklärte, als Tochter und einzige Erbin von B.X._ sel. trete sie in dessen prozessuale Stellung ein. Als einzige Erbin ist A.X._ jedoch ohnehin von Gesetzes wegen anstelle des ursprünglichen Beschwerdeführers in den Prozess eingetreten (Art. 71 BGG in Verbindung mit Art. 17 Abs. 3 BZP; vgl. für die Regelung der Rechtsnachfolge im kantonalen Verfahren Art. 121 Abs. 1 und Art. 382 Abs. 3 StPO sowie <ref-ruling> E. 3 S. 83 ff.). Das bundesgerichtliche Verfahren ist folglich fortzusetzen.
2.
B.X._ sel. reichte am 20. Juni 2016, 25. Juli 2016 sowie 2. Oktober 2016 weitere Eingaben ein mit Hinweisen auf den Stand eines von ihm in der gleichen Sache angestrengten Zivil- sowie eines weiteren Strafverfahrens. Der angefochtene Entscheid des Appellationsgerichts des Kantons Basel-Stadt vom 14. März 2016 wurde B.X._ sel. am 30. März 2016 zugestellt. Die Beschwerdefrist gemäss Art. 100 Abs. 1 BGG endete unter Berücksichtigung des Fristenstillstands über Ostern am 3. Mai 2016. Die Eingaben vom 20. Juni 2016, 25. Juli 2016 sowie 2. Oktober 2016 sind somit verspätet und unbeachtlich.
3.
Die Beschwerdeführerin beantragt, das vorliegende Beschwerdeverfahren mit dem bundesgerichtlichen Beschwerdeverfahren im Zusammenhang mit dem beanzeigten Betrug (Verfahren 6B_1053/2015) zu vereinigen oder diese zumindest parallel zu führen. Da die beanzeigten Personen in den beiden Verfahren nicht identisch sind, sind die Voraussetzungen für eine Vereinigung indes nicht erfüllt (vgl. Art. 71 BGG i.V.m. Art. 24 Abs. 2 lit. b BZP; <ref-ruling> E. 1 S. 217; <ref-ruling> E. 1 S. 285; Urteil 6B_960/2015 vom 5. April 2016 E. 1).
4.
Anfechtungsobjekt der vorliegenden Beschwerde ist ausschliesslich der Entscheid des Appellationsgerichts vom 14. März 2016 als letztinstanzlicher kantonaler Entscheid (vgl. Art. 80 Abs. 1 BGG). Auf die allgemeine Kritik der Beschwerdeführerin am Vorgehen der Staatsanwaltschaft und des Appellationsgerichts sowie auf die Ausführungen zu anderen Verfahren ist nicht einzugehen.
5.
5.1. Die Privatklägerschaft ist zur Beschwerde in Strafsachen nur legitimiert, wenn der angefochtene Entscheid sich auf die Beurteilung ihrer Zivilansprüche auswirken kann (Art. 81 Abs. 1 lit. b Ziff. 5 BGG). In erster Linie geht es um Ansprüche auf Schadenersatz und Genugtuung gemäss Art. 41 ff. OR, die üblicherweise vor den Zivilgerichten geltend gemacht werden müssen. Richtet sich die Beschwerde gegen die Einstellung oder Nichtanhandnahme eines Verfahrens, hat die Privatklägerschaft nicht notwendigerweise bereits vor den kantonalen Behörden eine Zivilforderung geltend gemacht. Selbst wenn dies der Fall wäre (siehe Art. 119 Abs. 2 lit. b StPO), würde die Staatsanwaltschaft, welche das Verfahren nicht an die Hand nimmt oder einstellt, die Zivilklage nicht behandeln (vgl. Art. 310 Abs. 2 in Verbindung mit Art. 320 Abs. 3 StPO). In jedem Fall muss die Privatklägerschaft im Verfahren vor Bundesgericht darlegen, aus welchen Gründen sich der angefochtene Entscheid inwiefern auf welche Zivilforderung auswirken kann. Das Bundesgericht stellt an die Begründung der Legitimation strenge Anforderungen. Genügt die Beschwerde diesen nicht, kann darauf nur eingetreten werden, wenn aufgrund der Natur der untersuchten Straftat ohne Weiteres ersichtlich ist, um welche Zivilforderung es geht (<ref-ruling> E. 1.1 S. 4 f. mit Hinweisen).
Als Privatklägerschaft gilt die geschädigte Person, die ausdrücklich erklärt, sich am Strafverfahren als Straf- oder Zivilklägerin zu beteiligen (Art. 118 Abs. 1 StPO). Die Erklärung, mit der die geschädigte Person kumulativ oder alternativ Strafklage oder adhäsionsweise Zivilklage erheben kann (Art. 119 Abs. 2 StPO), ist gegenüber einer Strafverfolgungsbehörde spätestens bis zum Abschluss des Vorverfahrens abzugeben (Art. 118 Abs. 3 StPO).
5.2. Zur Legitimation wird in der Beschwerde in materieller Hinsicht lediglich ausgeführt, die rechtliche Qualifikation der beanzeigten Handlungen als Betrug stelle ohne Weiteres die nach Art. 41 Abs. 1 OR erforderliche Schutznormverletzung bei einem reinen Vermögensschaden dar. Die Aufhebung respektive Änderung des angefochtenen Entscheids wirke sich demnach auf die Beurteilung der Zivilforderungen aus. Aus den weiteren Ausführungen in der Beschwerde ergibt sich, dass durch das Verhalten der Beschwerdegegner 2-4 auch der Zugriff auf das noch bestehende Restvermögen des Trägervereins erheblich gefährdet sein soll und ebenso wie die "massgebliche Verteuerung der Rechtsverfolgung" als Schaden angeführt wird.
5.3. Ob damit die Beschwerdeberechtigung genügend dargelegt wird, erscheint fraglich. Die Legitimation zur Beschwerde in Strafsachen ergibt sich aus den Ausführungen in der Beschwerde und dem beanzeigten Delikt jedenfalls nicht offensichtlich. Inwiefern der Zugriff der Beschwerdeführerin auf das Restvermögen des Trägervereins durch die Abweisung ihres Gesuchs um Konkurseröffnung gestützt auf Art. 190 SchKG durch das Zivilgericht erheblich gefährdet sein soll, ist nicht ersichtlich. Auch die behauptete "massgebliche Verteuerung der Rechtsverfolgung" ist nicht ohne Weiteres erkennbar, nachdem die Beschwerdeführerin im von ihr zwischenzeitlich angestrengten Rechtsöffnungsverfahren obsiegt hat, ihr folglich keine Gerichtskosten auferlegt wurden und sie eine Parteientschädigung zugesprochen erhielt. Es ist demnach zweifelhaft, ob sich der angefochtene Entscheid auf im Strafverfahren adhäsionsweise geltend gemachte respektive noch geltend zu machende Zivilforderungen, die aus dem beanzeigten Delikt herrühren, auswirken kann. Ob auf die Beschwerde einzutreten ist, kann allerdings offenbleiben, da sie sich aus nachfolgenden Gründen ohnehin als unbegründet erweist.
6.
6.1. Die Beschwerdeführerin rügt eine Verletzung von Art. 310 Abs. 1 lit. a StPO. Sie argumentiert, eine Nichtanhandnahme dürfe nur ergehen, wenn der fragliche Straftatbestand eindeutig nicht erfüllt sei. Dies sei vorliegend nicht der Fall. Die Vorinstanz gehe mehrfach von einem offensichtlich unrichtigen Sachverhalt aus. Sie verkenne, dass die Bestreitung ihres Darlehensanspruchs gegenüber dem Trägerverein durch die Beschwerdegegner 2-4 im Konkurseröffnungsverfahren kausal gewesen sei für den Irrtum des Zivilgerichts, der materielle Konkursgrund gemäss Art. 190 Abs. 1 Ziff. 2 SchKG sei nicht gegeben.
6.2.
6.2.1. Nach Art. 309 Abs. 1 lit. a StPO eröffnet die Staatsanwaltschaft eine Untersuchung, wenn sich aus den Informationen und Berichten der Polizei, aus der Strafanzeige oder aus ihren eigenen Feststellungen ein hinreichender Tatverdacht ergibt. Sie verzichtet auf die Eröffnung, wenn sie sofort eine Nichtanhandnahmeverfügung oder einen Strafbefehl erlässt (Art. 309 Abs. 4 StPO). Gemäss Art. 310 Abs. 1 StPO verfügt die Staatsanwaltschaft die Nichtanhandnahme, sobald aufgrund der Strafanzeige oder des Polizeirapports feststeht, dass die fraglichen Straftatbestände oder die Prozessvoraussetzungen eindeutig nicht erfüllt sind (lit. a), Verfahrenshindernisse bestehen (lit. b) oder aus den in Art. 8 StPO genannten Gründen auf eine Strafverfolgung zu verzichten ist (lit. c).
Die Frage, ob ein Strafverfahren über eine Nichtanhandnahme erledigt werden kann, beurteilt sich nach dem aus dem Legalitätsprinzip abgeleiteten Grundsatz "in dubio pro duriore" (Art. 5 Abs. 1 BV sowie Art. 2 Abs. 1 i.V.m. Art. 319 Abs. 1 und Art. 324 Abs. 1 StPO; <ref-ruling> E. 4.2 S. 91; Urteil 6B_929/2015 vom 7. April 2015 E. 2.2.1 mit Hinweis). Danach darf eine Nichtanhandnahme durch die Staatsanwaltschaft gestützt auf Art. 310 Abs. 1 lit. a StPO nur in sachverhaltsmässig und rechtlich klaren Fällen ergehen. Im Zweifelsfall, wenn die Gründe der Nichtanhandnahme nicht mit absoluter Sicherheit gegeben sind, muss das Verfahren eröffnet werden (vgl. <ref-ruling> E. 2.3 S. 287 f.). Der Grundsatz "in dubio pro duriore" ist unter Würdigung der im Einzelfall gegebenen Umstände zu handhaben. Die Staatsanwaltschaft und die Beschwerdeinstanz verfügen insoweit über einen gewissen Spielraum, den das Bundesgericht nur mit Zurückhaltung überprüft (zur Verfahrenseinstellung: <ref-ruling> E. 4.1.1 f./4.2 S. 90 f., 186 E. 4.1 S. 190; je mit Hinweisen).
6.2.2. Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (Art. 105 Abs. 1 BGG). Die vorinstanzliche Sachverhaltsfeststellung kann nur gerügt werden, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von Art. 95 BGG beruht und wenn die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein kann (Art. 97 Abs. 1 BGG; vgl. auch Art. 105 Abs. 2 BGG). Offensichtlich unrichtig im Sinne von Art. 97 Abs. 1 BGG ist die Sachverhaltsfeststellung, wenn sie willkürlich ist (<ref-ruling> E. 1.3.1 S. 253 mit Hinweis; vgl. zum Begriff der Willkür <ref-ruling> E. 1.2 S. 308 f.; <ref-ruling> E. 2.1 S. 18 f.; <ref-ruling> E. 3.2.5 S. 339; <ref-ruling> E. 7.1 S. 51; je mit Hinweisen).
6.2.3. Den Tatbestand des Betrugs im Sinne von Art. 146 Abs. 1 StGB erfüllt, wer in der Absicht, sich oder einen andern unrechtmässig zu bereichern, jemanden durch Vorspiegelung oder Unterdrückung von Tatsachen arglistig irreführt und so den Irrenden zu einem Verhalten bestimmt, wodurch dieser sich selbst oder einen andern am Vermögen schädigt.
Als Prozessbetrug gilt die arglistige Täuschung des urteilenden Gerichts durch unwahre Tatsachenbehauptungen der Prozessparteien, die darauf abzielt, es zu einem das Vermögen einer Prozesspartei oder Dritter (materiell unbegründet) schädigenden Entscheid zu bestimmen (<ref-ruling> E. 2 S. 199). Der Prozessbetrug stellt einen Sonderfall des allgemeinen Betrugstatbestands gemäss Art. 146 StGB dar (Urteil 6B_1005/2013 vom 10. Februar 2014 E. 5.1). Für eine Tatbestandsmässigkeit gelten keine grundsätzlichen Besonderheiten; das Strafgericht muss aber bei der Beurteilung der Arglist der konkreten Prozesssituation und Verfahrensart im Rahmen der zur Arglist entwickelten Kriterien Rechnung tragen (<ref-ruling> E. 2d S. 203 und E. 3d S. 206).
6.3.
6.3.1. Die Vorinstanz erwägt, das Zivilgericht habe die Gläubigereigenschaft der Beschwerdeführerin offen gelassen, da es ohnehin an einem materiellen Konkursgrund mangle. Dieser Entscheid sei nachfolgend vom Appellationsgericht und dem Bundesgericht (Urteil 5A_707/2015 vom 5. Januar 2016) bestätigt worden. Die Bestreitung der Gläubigereigenschaft der Beschwerdeführerin durch die Beschwerdegegner 2-4 im Konkursverfahren sei damit für die Abweisung des Konkursbegehrens in keiner Weise kausal gewesen. Dass die Beschwerdegegner 2-4 den Zivilgerichtspräsidenten (auch) betreffend die materiellen Konkursgründe arglistig getäuscht hätten, werde von der Beschwerdeführerin nicht geltend gemacht und sei auch nicht ersichtlich. Ein versuchter Prozessbetrug liege nicht vor. Unwahre Behauptungen könnten im Zivilprozess nur dann als arglistig gelten, wenn sie mit besonderen Machenschaften (z.B. gefälschte Urkunden, falsch aussagende Zeugen) untermauert würden oder ein ganzes Lügengebäude errichtet werde. Soweit die Vorbringen der Beschwerdegegner 2-4 für den Entscheid des Zivilgerichts überhaupt wesentlich gewesen seien, mangle es an der Arglistigkeit der blossen Behauptungen, sie hätten die Darlehensforderungen der Beschwerdeführerin schon immer bestritten und dass seit 1990 keine Jahresrechnungen des Trägervereins mehr erstellt worden seien. Dies gelte umso mehr, als diese für den Entscheid des Zivilgerichts ohnehin nicht relevant gewesen seien, da die Beschwerdeführerin beweispflichtig gewesen sei. Die Beschwerdegegner 2-4 hätten ihre Behauptungen, die kein Lügengebäude darstellten, auch nicht mit gefälschten Dokumenten zu belegen versucht. Die Tatbestandsmerkmale der arglistigen Täuschung und des Irrtums lägen nicht vor.
6.3.2. Die Beschwerdeführerin bringt zusammengefasst vor, die Vorinstanz verkenne, dass die Beschwerdegegner 2-4 das Zivilgericht wider besseres Wissen glauben gemacht hätten, die Bestreitung ihrer Darlehensforderungen (jener der Beschwerdeführerin) erfolge mit echten Argumenten. Die Beschwerdegegner 2-4 hätten bewusst und erfolgreich darauf gesetzt, dass das Zivilgericht im summarischen Konkurseröffnungsverfahren ihre Behauptungen nicht näher prüfen werde. Dergestalt durch ein ganzes Lügengebäude in die Irre geführt, habe das Zivilgericht täuschungsbedingt angenommen, die Beschwerdeführerin verfüge über keinen Rechtsöffnungstitel, ihre Darlehensforderungen seien gültig bestritten und damit zweifelhaft sowie dass die Verbuchung der Darlehensschuld in der Bilanz des Trägervereins dieser späteren Bestreitung nicht entgegen stehe.
6.4.
6.4.1. Gemäss Art. 190 Abs. 1 Ziff. 2 SchKG kann beim Gericht ohne vorgängige Betreibung die Konkurseröffnung verlangt werden, wenn ein der Konkursbetreibung unterliegender Schuldner seine Zahlungen eingestellt hat. Der Begriff der Zahlungseinstellung ist ein unbestimmter Rechtsbegriff, der dem Konkursgericht einen weiten Ermessensspielraum verschafft. Zahlungseinstellung liegt vor, wenn der Schuldner unbestrittene und fällige Forderungen nicht begleicht, Betreibungen gegen sich auflaufen lässt und dabei systematisch Rechtsvorschlag erhebt oder selbst kleine Beträge nicht mehr bezahlt. Mit einem solchem Verhalten zeigt der Schuldner, dass er nicht über genügend liquide Mittel verfügt, um seinen Verpflichtungen nachzukommen. Es genügt im Übrigen, wenn die Zahlungsverweigerung sich auf einen wesentlichen Teil seiner geschäftlichen Aktivitäten bezieht. Die Nichtbefriedigung einer einzelnen Schuld kann bereits ausreichen, wenn die Schuld bedeutend und die Zahlungsverweigerung dauerhaft ist (vgl. <ref-ruling> E. 3.4.1 S. 468 mit Hinweisen).
6.4.2. Der Beschwerdeführerin ist insoweit zuzustimmen, dass die Bestreitung ihrer Gläubigereigenschaft sich auch auf die Beurteilung des Konkursgrundes der Zahlungseinstellung gemäss Art. 190 Abs. 1 Ziff. 2 SchKG auswirkt, da dieser selbstredend nicht erfüllt sein kann, wenn es bereits an der Gläubigereigenschaft derjenigen Person mangelt, die die dauerhafte Zahlungsverweigerung einer bedeutenden Forderung gegenüber der Schuldnerin geltend macht. Die Beschwerdeführerin verkennt indes, dass es nicht Aufgabe des Konkursgerichts ist, umfassend zu prüfen, ob die als Gläubigerin auftretende Partei tatsächlich Anspruch auf Zahlung einer bestrittenen Forderung hat oder nicht (Urteil 5A_707/2015 vom 5. Januar 2016 E. 5.3). Inwiefern die Beschwerdegegner 2-4 das Zivilgericht wider besseres Wissen durch ein eigentliches Lügengebäude von falschen Behauptungen arglistig getäuscht haben sollen, ist nicht ersichtlich. Wie die Vorinstanz zutreffend festhält, stellt selbst die vorbehaltlose Verbuchung einer Schuld in einer Bilanz keine Anerkennung dar, die einer (späteren) Bestreitung entgegensteht (Urteil 5A_707/2015 vom 5. Januar 2016 E. 5.2.1). Weshalb es gerichtsnotorisch sein sollte, dass die Anforderungen an die Bestreitung einer Schuld steigen, wenn diese in Bilanzen mehrerer Jahre und in der Liquidationsbilanz verbucht wird, begründet die Beschwerdeführerin nicht. Dies ist auch nicht ersichtlich. Die Vorinstanz durfte daher den Beweisantrag auf Einholung weiterer Bilanzen abweisen, zumal das Zivilgericht die Gläubigereigenschaft der Beschwerdeführerin ohnehin offen liess. Sie brauchte sich auch nicht weiter mit deren Vorbringen auseinanderzusetzen, wonach die Verbuchung als Schuld nach den anerkannten Grundsätzen ordnungsgemässer Rechnungslegung angeblich einer Anerkennung der Forderung gleichkomme. Selbst wenn die Darlehensforderungen möglicherweise eher als Eventualverbindlichkeiten oder Rückstellungen in der Bilanz aufzuführen gewesen wären, ändert dies nichts daran, dass sich die Gesellschaft mit den Erklärungen in der Bilanz nicht gegenüber ihren Schuldnern verpflichten, sondern ihren Gesellschaftern Aufschluss über ihre finanzielle Lage erteilen will (vgl. DANIEL STAEHELIN, in: Basler Kommentar, Bundesgesetz über Schuldbetreibung und Konkurs, Bd. I, 2. Aufl. 2010, N. 71 zu Art. 82 SchKG). Die Bestreitung der Darlehensforderungen der Beschwerdeführerin durch die Beschwerdegegner 2-4 im Konkurseröffnungsverfahren war demnach legitim. Dass die Beschwerdeführerin in der Zwischenzeit im von ihr eingeleiteten Verfahren um Erteilung der provisorischen Rechtsöffnung obsiegt hat und die Darlehensverträge als rechtsgültig beurteilt worden sind, ändert daran nichts. Wie die Vorinstanz zutreffend ausführt, sind auch die angeblich falschen Behauptungen der Beschwerdegegner 2-4, wonach die Darlehensforderungen der Beschwerdeführerin schon immer bestritten worden und seit 1990 keine Jahresrechnungen des Trägervereins mehr erstellt worden seien, nicht arglistig. Dass die entsprechenden Vorbringen offensichtlich unwahr sind, ergibt sich entgegen der Ansicht der Beschwerdeführerin nicht aus den Akten (vgl. in Bezug auf die Darlehensforderungen auch das Urteil 6B_1053/2015 vom 25. November 2016 E. 4.4.2). Selbst wenn dem so wäre, würden diese beiden Behauptungen, die mit keinen gefälschten Dokumenten oder dergleichen gestützt wurden, kein Lügengebäude zu begründen vermögen. Die Vorinstanz weist überdies zu Recht darauf hin, dass die entsprechenden Vorbringen für den Entscheid des Zivilgerichts gar nicht relevant waren, da die Beweislast für die Zahlungsverweigerung einer bestehenden bedeutenden Schuld bei der Beschwerdeführerin lag. Es muss der gesuchsbeklagten Partei aber auch im Summarverfahren möglich sein, Einwände tatsächlicher Natur vorzubringen, selbst wenn diese möglicherweise unzutreffend sind; diesfalls dient das gegebenenfalls nachfolgende ordentliche Verfahren ja gerade dazu, die Tatsachen abschliessend zu klären. Dies muss umso mehr gelten, wenn es wie vorliegend um die einschneidende Konsequenz der Konkurseröffnung geht. Die Vorbringen rechtlicher Natur der Beschwerdegegner 2-4, weshalb die Darlehensverträge nie gültig zustande gekommen seien, waren schliesslich von vornherein nicht geeignet, das Gericht hinsichtlich des Vorliegens eines Konkursgrundes arglistig zu täuschen. Dabei handelt es sich nicht um Tatsachenbehauptungen. Über das Recht, welches das Gericht grundsätzlich von Amtes wegen anwendet (vgl. Art. 57 ZPO), kann jedoch nicht getäuscht werden (vgl. STEPHAN EBNETER, Der Prozessbetrug im Zivilprozess, 2016, N. 75-77; DAVID RÜETSCHI, Der Prozessbetrug in der Schweiz, in: Information & Recht, 2002, S. 230).
Zusammengefasst verletzt die Vorinstanz kein Bundesrecht, wenn sie die Voraussetzungen des Tatbestands des Prozessbetrugs als eindeutig nicht erfüllt qualifiziert und die Nichtanhandnahme des Verfahrens durch die Staatsanwaltschaft stützt. Da die Vorinstanz eine allfällige versuchte Täuschung des Zivilgerichts umfassend prüft, kann offenbleiben, ob ihre Erwägung zutreffend ist, wonach die Beschwerdeführerin nicht geltend mache, die Beschwerdegegner 2-4 hätten den Zivilgerichtspräsidenten (auch) betreffend die materiellen Konkursgründe arglistig getäuscht.
7.
7.1. Die Beschwerdeführerin macht in mehrfacher Hinsicht eine Verletzung ihres Anspruchs auf rechtliches Gehör geltend. Die Vorinstanz habe mit Zwischenverfügung vom 10. Februar 2016 zu Unrecht ihr Gesuch um Sistierung des Verfahrens und um Zusammenlegung mit einem anderen von ihr angehobenen Beschwerdeverfahren abgewiesen. In diesem zweiten Beschwerdeverfahren im Zusammenhang mit dem beanzeigten Versuch eines Prozessbetrugs in dem dem Konkurseröffnungsverfahren nachfolgenden Rechtsöffnungsverfahren vor dem Zivilgericht gehe es um die gleichen Handlungen der gleichen Personen hinsichtlich des gleichen Sachverhalts, weshalb die beiden Beschwerden zusammen hätten behandelt werden müssen. Durch den Verzicht auf die Verfahrenszusammenlegung habe es die Vorinstanz unterlassen, das Verhalten der Beschwerdegegner 2-4 gesamthaft zu würdigen und dadurch entscheidwesentliche Ausführungen der Beschwerdeführerin zu berücksichtigen verweigert. Die Vorinstanz habe überdies wiederholt ihre substanziierten Vorbringen ausser Acht gelassen und den von ihr beantragten Aktenbeizug zu Unrecht abgelehnt.
7.2.
7.2.1. Nach Art. 93 BGG ist gegen selbstständig eröffnete Vor- und Zwischenentscheide die Beschwerde zulässig, wenn sie einen nicht wieder gutzumachenden Nachteil bewirken können (Abs. 1 lit. a; vgl. dazu <ref-ruling> E. 1.2 S. 291 f.; <ref-ruling> E. 1 S. 115 ff.; je mit Hinweisen) oder wenn die Gutheissung der Beschwerde sofort einen Endentscheid herbeiführen und damit einen bedeutenden Aufwand an Zeit oder Kosten für ein weitläufiges Beweisverfahren ersparen würde (Abs. 1 lit. b). Ist die Beschwerde nach Absatz 1 nicht zulässig oder wurde von ihr kein Gebrauch gemacht, so sind gemäss Art. 93 Abs. 3 BGG die betreffenden Vor- und Zwischenentscheide durch Beschwerde gegen den Endentscheid anfechtbar, soweit sie sich auf dessen Inhalt auswirken. Die Möglichkeit zur Beschwerde besteht deshalb nicht, wenn der Vor- oder Zwischenentscheid keinerlei Wirkung auf den Endentscheid entfaltet (Urteil 6B_11/2016 vom 18. April 2016 E. 1.3).
7.2.2. Es erscheint fraglich, ob die Beschwerdeführerin mit ihren Ausführungen ausreichend darlegt, in welcher Hinsicht sich der beanstandete Zwischenentscheid vom 10. Februar 2016 auf den Endentscheid ausgewirkt haben soll. Dass die Beschwerdeinstanz den von der Beschwerdeführerin geltend gemachten "Fortsetzungszusammenhang" des angeblich betrügerischen Verhaltens der Beschwerdegegner 2-4 seit 2007 (vgl. dazu Urteil 6B_1053/2015 vom 25. November 2016) bis zu den Handlungen in den verschiedenen Zivilverfahren übersehen hätte, ist nicht erkennbar und auch nicht zu erwarten, nachdem alle diesbezüglichen Strafverfahren von derselben Instanz beurteilt worden sind. Dies kann jedoch letztlich offengelassen werden. Wie die Vorinstanz in ihrer Verfügung vom 10. Februar 2016 zu Recht erwägt, richtet sich die Strafanzeige wegen versuchten Prozessbetrugs im Rechtsöffnungsverfahren jedenfalls teilweise gegen andere Personen als diejenige wegen vollendeten Prozessbetrugs im Konkurseröffnungsverfahren. Bereits aus diesen Grund ist es daher nicht zu beanstanden, wenn die Vorinstanz auf eine Vereinigung der Verfahren verzichtete (vgl. dazu auch oben E. 3). Inwiefern durch dieses Vorgehen das rechtliche Gehör verletzt oder der Sachverhalt willkürlich festgestellt worden wäre, ist nicht ersichtlich und wird von der Beschwerdeführerin nicht ausreichend dargelegt (vgl. Art. 42 Abs. 2 in Verbindung mit Art. 106 Abs. 2 BGG). Gleiches gilt mit Blick auf die verweigerte Verfahrenssistierung.
7.3. Aufgrund der aus dem Anspruch auf rechtliches Gehör (Art. 29 Abs. 2 BV) fliessenden Begründungspflicht (Art. 81 Abs. 3 lit. a StPO) ist das Gericht gehalten, sein Urteil zu begründen. Allerdings muss es sich nicht mit jeder einzelnen Parteibehauptung befassen, sondern kann sich auf die für den Entscheid wesentlichen Punkte beschränken. Es hat jedoch wenigstens kurz die Überlegungen zu nennen, von denen es sich hat leiten lassen und auf die sich sein Urteil stützt. Die Begründung muss so abgefasst sein, dass der Betroffene in voller Kenntnis der Tragweite des Entscheids die Sache weiterziehen kann und der Rechtsmittelinstanz die Überprüfung der Rechtsanwendung möglich ist (vgl. <ref-ruling> E. 3.2.4 S. 41; <ref-ruling> E. 2.2 S. 183; <ref-ruling> E. 2.2; je mit Hinweis). Diesen Anforderungen genügt der vorinstanzliche Entscheid. Die Vorinstanz setzt sich mit den wesentlichen Vorbringen der Beschwerdeführerin auseinander und legt nachvollziehbar dar, weshalb sie zum Schluss kommt, es liege eindeutig kein prozessbetrügerisches Verhalten vor. Die Beschwerdeführerin konnte den vorinstanzlichen Entscheid aufgrund der darin enthaltenen Begründung denn auch sachgerecht anfechten, wie ihre Ausführungen deutlich machen.
8.
Die Beschwerde ist abzuweisen, soweit darauf eingetreten werden kann. Der Antrag der Beschwerdeführerin, die Staatsanwaltschaft sei anzuweisen, auch die Untersuchung aus ihrer ersten Strafanzeige wieder an die Hand zu nehmen, ist mit dem Urteil 6B_1053/2015 vom 25. November 2016 gegenstandslos geworden. Die Beschwerdeführerin wird ausgangsgemäss kostenpflichtig (Art. 66 Abs. 1 BGG). Dem Kanton Basel-Stadt steht keine Entschädigung zu (Art. 68 Abs. 3 BGG). Den Beschwerdegegnern 2-4 ist ebenfalls keine Entschädigung zuzusprechen, da ihnen im bundesgerichtlichen Verfahren keine Umtriebe entstanden sind.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 4'000.-- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt, Einzelgericht, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 25. November 2016
Im Namen der Strafrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Denys
Der Gerichtsschreiber: M. Widmer