Sachverhalt:
A.
A._ führte am 6. Juli 2012 in angetrunkenem Zustand sowie unter Wirkung von Methadon ein Motorrad und verursachte einen Unfall. Am 7. August 2012 verfügte die Abteilung Administrativmassnahmen im Strassenverkehr des Kantons Solothurn im Namen des Departements des Innern, A._ den Führerausweis wegen Verdachts auf mangelnde Fahreignung in verkehrsmedizinischer Hinsicht per sofort vorsorglich zu entziehen. Im Anschluss an eine verkehrsmedizinische Begutachtung wurde der vorsorgliche Entzug des Führerausweises am 23. September 2013 bzw. am 23. Oktober 2013 wieder aufgehoben und A._ unter Auflagen wieder als Motorfahrzeugführer zum Strassenverkehr zugelassen.
B.
Mit Urteil des Strafgerichts Basel-Landschaft vom 20. April 2016 wurde A._ wegen des Vorfalls vom 6. Juli 2012 des Fahrens in fahrunfähigem Zustand schuldig gesprochen und zu einer bedingt vollziehbaren Geldstrafe verurteilt. Eingestellt wurde das Strafverfahren hingegen, soweit A._ im Zusammenhang mit dem Vorfall vom 6. Juli 2012 weitere Verkehrsregelverletzungen (Nichtbehalten des Platzes in der Kolonne, Mangel an Aufmerksamkeit, Nichtbeherrschen des Fahrzeugs, unvorsichtiges Überholmanöver, Nichtanpassen der Geschwindigkeit) vorgeworfen worden waren, weil diese Delikte strafrechtlich bereits verjährt waren.
C.
Am 15. September 2016 verfügte die Abteilung Administrativmassnahmen im Strassenverkehr im Namen des Bau- und Justizdepartements gegen A._ wegen des Vorfalls vom 6. Juli 2012 für die Zeit vom 8. August 2012 bis zum 7. Januar 2013 einen fünfmonatigen Führerausweisentzug, welcher aufgrund des vorsorglichen Sicherungsentzugs bereits vollzogen war.
D.
Gegen die Verfügung vom 15. September 2016 erhob A._ Beschwerde an das Verwaltungsgericht des Kantons Solothurn mit dem Antrag, die Entzugsdauer sei auf maximal drei Monate festzulegen. Das Verwaltungsgericht trat mit Urteil vom 6. März 2017 nicht auf die Beschwerde ein, weil kein schutzwürdiges Interesse an der Beurteilung der Beschwerde mehr bestehe.
E.
A._ hat am 7. April 2017 Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten ans Bundesgericht erhoben. Er beantragt, das Urteil des Verwaltungsgerichts vom 6. März 2017 sei aufzuheben und die Sache sei zur materiellen Neubeurteilung an das Verwaltungsgericht zurückzuweisen.
Das Verwaltungsgericht hat auf eine Vernehmlassung verzichtet und beantragt die Abweisung der Beschwerde, soweit darauf einzutreten sei. Die Abteilung Administrativmassnahmen im Strassenverkehr hat auf eine Vernehmlassung verzichtet. Das Bundesamt für Strassen (ASTRA) hat eine Vernehmlassung eingereicht, ohne einen Antrag zu stellen. Mit Eingabe vom 7. Juni 2017 hat der Beschwerdeführer an der Beschwerde sinngemäss festgehalten.

Erwägungen:
1.
Das angefochtene Urteil des Verwaltungsgerichts ist einkantonal letztinstanzlicher Endentscheid in eineröffentlich-rechtlichenAngelegenheit (vgl. Art. 82 lit. a, Art. 86 Abs. 1 lit. d und Abs. 2 sowie Art. 90 BGG). Zur Anfechtung des Nichteintretensentscheids ist der Beschwerdeführer nach <ref-law> unabhängig von seiner Legitimation in der Sache berechtigt, wobei sich der Streitgegenstand vor Bundesgericht auf die Eintretensfrage beschränkt. Da die übrigen Sachurteilsvoraussetzungen erfüllt sind, ist auf die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten einzutreten.
2.
Der Beschwerdeführer rügt, indem die Vorinstanz ihm die Beschwerdelegitimation abgesprochen habe, habe sie <ref-law> i.V.m. <ref-law> verletzt.
2.1. Gemäss § 12 Abs. 1 des Verwaltungsrechtspflegegesetzes des Kantons Solothurn vom 15. November 1970 (VRG; BGS 124.11) ist zur Verwaltungsgerichtsbeschwerde legitimiert, wer durch eine Verfügung oder einen Entscheid besonders berührt wird und ein schutzwürdiges Interesse an deren Aufhebung oder Änderung hat. <ref-law> definiert Mindestanforderungen an das kantonale Verfahren. Insbesondere muss sich am Verfahren vor allen kantonalen Vorinstanzen als Partei beteiligen können, wer zur Beschwerde ans Bundesgericht berechtigt ist (Abs. 1). Die Kantone dürfen die Beschwerdebefugnis somit nicht enger umschreiben. In öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten beurteilt sich die Legitimation zur Beschwerde ans Bundesgericht nach <ref-law> (vgl. auch <ref-law>). Mithin ist zu untersuchen, ob die Vorinstanz die (bundesrechtlichen) Mindestanforderungen von Art. 111 Abs. 1 i.V.m. <ref-law> beachtet hat. Das Bundesgericht prüft diese Frage mit freier Kognition (<ref-ruling> E. 3 S. 329; <ref-ruling> E. 2.1.1 S. 164; je mit Hinweisen).
2.2. Zur Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten ist nach <ref-law> berechtigt, wer vor der Vorinstanz am Verfahren teilgenommen hat oder keine Möglichkeit zur Teilnahme erhalten hat (lit. a), durch den angefochtenen Entscheid oder Erlass besonders berührt ist (lit. b) und ein schutzwürdiges Interesse an dessen Aufhebung oder Änderung hat (lit. c). Verlangt ist somit neben der formellen Beschwer, dass der Beschwerdeführer über eine spezifische Beziehungsnähe zur Streitsache verfügt und einen praktischen Nutzen aus der Aufhebung oder Änderung des angefochtenen Entscheids zieht. Ein schutzwürdiges Interesse liegt vor, wenn die tatsächliche oder rechtliche Situation des Beschwerdeführers durch den Ausgang des Verfahrens unmittelbar beeinflusst werden kann (<ref-ruling> E. 4.4 S. 29 f.; <ref-ruling> E. 1.3 S. 413; je mit Hinweisen). Hingegen kann als schutzwürdiges Interesse, das einen praktischen Nutzen einbringt, nicht jedes irgendwie geartete Interesse bzw. jede entfernte Möglichkeit, dass ein anderer Verfahrensausgang dereinst noch irgendwo eine Rolle spielen könnte, gelten. Vielmehr ist erforderlich, dass die tatsächliche oder rechtliche Situation des Beschwerdeführers durch den Ausgang des Verfahrens mit einer gewissen Wahrscheinlichkeit beeinflusst werden könnte.
3.
3.1. Die Vorinstanz führte im angefochtenen Urteil aus, bezogen auf den Vollzug habe der Beschwerdeführer kein schutzwürdiges Interesse mehr an der Reduzierung der Dauer des Ausweisentzugs, nachdem der angefochtene fünfmonatige Entzug bereits vollzogen worden sei. Dies wird vom Beschwerdeführer nicht bestritten. Er macht aber geltend, ein schutzwürdiges Interesse bestehe im Hinblick auf allfällige künftige Administrativmassnahmen (E. 3.2 nachfolgend) oder einen allfälligen künftigen Sicherungsentzug (E. 3.3 nachfolgend). Ausserdem begründeten haftpflicht- und versicherungsrechtliche Fragen sowie mögliche arbeitsrechtliche Umstände ein schutzwürdiges Interesse (E. 3.4 nachfolgend).
3.2. Die Vorinstanz kam im angefochtenen Urteil zum Schluss, der Umstand, dass ihm der Ausweis für fünf statt drei Monate entzogen worden sei, könne sich auch dann nicht auf die Situation des Beschwerdeführers auswirken, sofern er in Zukunft erneut Verkehrsdelikte begehen würde.
3.2.1. Nach dem in Art. 16a bis 16c SVG verankerten Kaskadensystem wirkt sich der Umstand, ob gegenüber der betroffenen Person in den vorangegangenen Jahren wegen der Verletzung von Strassenverkehrsvorschriften bereits einmal oder mehrmals Administrativmassnahmen angeordnet wurden, auf die wegen einer erneuten Verletzung von Strassenverkehrsvorschriften anzuordnende Administrativmassnahme aus. Namentlich erhöht sich nach einer Verkehrsregelverletzung, bei der das Verfahren nach dem Ordnungsbussengesetz ausgeschlossen ist, die Mindestdauer für Ausweisentzüge, wenn in den vorangegangenen Jahren der Ausweis bereits einmal oder mehrmals entzogen war. Entscheidend für die Mindestentzugsdauer ist unter anderem, ob es sich bei einem in den vorangegangenen Jahren begangenen Verkehrsdelikt um eine leichte, mittelschwere oder schwere Widerhandlung gegen die Strassenverkehrsvorschriften im Sinne von Art. 16a bis 16c SVG handelte.
3.2.2. Unbestritten ist, dass der Beschwerdeführer am 6. Juli 2012 eine schwere Verkehrsregelverletzung im Sinne von <ref-law> begangen hat. Hingegen hat der Beschwerdeführer im Verfahren vor der Abteilung von Administrativmassnahmen im Strassenverkehr erfolglos bestritten, gleichzeitig weitere, weniger schwere Verkehrsregelverletzungen (Nichtbehalten des Platzes in der Kolonne, Mangel an Aufmerksamkeit, Nichtbeherrschen des Fahrzeugs, unvorsichtiges Überholmanöver, Nichtanpassen der Geschwindigkeit) begangen zu haben. Wie die Vorinstanz indessen zu Recht feststellte, wäre jedenfalls für die Bestimmung der Mindestdauereines Ausweisentzugs im Falle einer erneuten Verkehrsregelverletzung nicht entscheidend, ob der Ausweis des Beschwerdeführers für das so oder so als schwere Verkehrsregelverletzung einzustufende Verkehrsdelikt vom 6. Juli 2012 für drei oder für fünf Monate entzogen wurde.
Immerhin ist zu bedenken, dass nach <ref-law> bei der Festsetzung der Dauer des Lernfahr- oder Führerausweisentzugs - wie der Beschwerdeführer vorbringt - unter anderem der Leumund einer Person als Motorfahrzeugführer zu berücksichtigen ist. Der Leumund einer Person als Motorfahrzeugführer kann neben den weiteren Umständen des Einzelfalls namentlich dann von Bedeutung sein, wenn es um die Frage geht, ob die gesetzliche Mindestdauer für einen Ausweisentzug zu erhöhen ist. Es erscheint daher nicht gänzlich ausgeschlossen, dass sich der Umstand, ob dem Beschwerdeführer der Führerausweis wegen des Vorfalls vom 6. Juli 2012 nur wegen Fahrens in fahrunfähigem Zustand oder zusätzlich wegen weiterer Verkehrsdelikte bzw. für drei oder für fünf Monate entzogen wurde, dereinst einmal auf die Situation des Beschwerdeführers auswirken könnte, sofern dieser in Zukunft erneut Verkehrsdelikte begehen würde, bei denen das Verfahren nach dem Ordnungsbussengesetz ausgeschlossen ist. Andererseits stünde - selbst wenn der Beschwerdeführer in Zukunft erneut solche Verkehrsdelikte begehen sollte - keineswegs fest, dass die angeordnete Entzugsdauer tatsächlich einen Einfluss auf die Dauer des neuerlichen Ausweisentzugs hätte. Dies zumal der Leumund des Beschwerdeführers als Motorfahrzeugführer, welcher nur eines von mehreren Kriterien für die Festsetzung der Dauer eines allfälligen künftigen Ausweisentzugs bildet (vgl. <ref-law>), ohnehin bereits getrübt ist. Folglich wäre die Frage, ob dem Beschwerdeführer der Ausweis nach dem Vorfall vom 6. Juli 2012 für drei oder fünf Monate entzogen worden ist, insoweit höchstens von untergeordneter Bedeutung.
3.3. Der Beschwerdeführer macht weiter geltend, die Dauer des angeordneten Ausweisentzugs könnte sich in gewisser Weise auf seine Situation auswirken, sofern künftig im Sinne von <ref-law> zu prüfen sein sollte, ob ihm der Führerausweis wegen fehlender Fahreignung entzogen werden müsse.
<ref-law> regelt den Führerausweisentzug wegen fehlender Fahreignung. Unter anderem wird der Lernfahr- oder Führerausweis einer Person auf unbestimmte Zeit entzogen, wenn sie auf Grund ihres bisherigen Verhaltens nicht Gewähr bietet, dass sie künftig beim Führen eines Motorfahrzeuges die Vorschriften beachten und auf die Mitmenschen Rücksicht nehmen wird (Abs. 1 lit. c). Auch insoweit erscheint nicht gänzlich ausgeschlossen, dass sich der Umstand, ob dem Beschwerdeführer der Führerausweis wegen des Vorfalls vom 6. Juli 2012 nur wegen Fahrens in fahrunfähigem Zustand oder zusätzlich wegen weiterer Verkehrsdelikte bzw. für drei oder für fünf Monate entzogen wurde, in Zukunft einmal auf die Situation des Beschwerdeführers auswirken könnte. Allerdings würde - selbst falls dereinst im Sinne von <ref-law> die Fahreignung des Beschwerdeführers in Frage stehen sollte - ein entsprechender Entscheid eine sorgfältige Abklärung aller wesentlichen Gesichtspunkte bedingen (vgl. <ref-ruling> E. 3.1 S. 387 f.). Art und Schwere von in der Vergangenheit begangenen Verkehrsregelverletzungen wären auch für einen solchen Entscheid nur eines von mehreren zu berücksichtigenden Kriterien. Die Frage, ob dem Beschwerdeführer der Ausweis nach dem Vorfall vom 6. Juli 2012 für drei oder fünf Monate entzogen worden ist, wäre insoweit ebenfalls höchstens von untergeordneter Bedeutung.
3.4. Schliesslich macht der Beschwerdeführer geltend, die administrativrechtliche Beurteilung des Ereignisses vom 6. Juli 2012 könne sich auf die noch nicht abgeschlossene haftpflicht- und versicherungsrechtliche Auseinandersetzung, auf seinen künftigen Versicherungsschutz sowie auf arbeitsrechtliche Umstände auswirken.
Es mag zutreffen, dass der Vorfall vom 6. Juli 2012 bzw. der Umstand, wonach in diesem Zusammenhang gegen den Beschwerdeführer eine Administrativmassnahme angeordnet wurde, sich haftpflicht- und versicherungsrechtlich oder künftig in einem arbeitsrechtlichen Verhältnis auswirken könnte. Inwiefern sich allerdings konkret der Umstand, dass ihm der Ausweis nach dem Vorfall vom 6. Juli 2012 für fünf statt drei Monate entzogen worden ist, nachteilig auf seine Situation auswirken könnte, wird vom Beschwerdeführer nicht bzw. nicht genügend substanziiert dargetan.
3.5. Gesamthaft betrachtet ist nicht ersichtlich, inwiefern sich die vom Beschwerdeführer vor der Vorinstanz beantragte Änderung des angefochtenen Entscheids unmittelbar auf seine tatsächliche oder rechtliche Situation auswirken könnte. Daran ändert auch der Umstand nichts, dass nicht gänzlich ausgeschlossen erscheint, dass die Frage der Entzugsdauer auf die Situation des Beschwerdeführers theoretisch in Zukunft noch einen gewissen Einfluss haben könnte, zumal die Wahrscheinlichkeit dafür unter den gegebenen Umständen als zu gering erscheint. Die Vorinstanz durfte demnach einen Nichteintretensentscheid fällen, ohne dass ihr eine Verletzung der bundesrechtlichen Mindestanforderungen von Art. 111 Abs. 1 i.V.m. <ref-law> vorzuwerfen ist.
4.
Der Beschwerdeführer rügt ausserdem, das angefochtene Urteil stelle eine materielle Rechtsverweigerung dar und verletze <ref-law>, Art. 6 Ziff. 1 EMRK, Art. 13 EMRK sowie Art. 18 Abs. 1 der Verfassung des Kantons Solothurn vom 8. Juni 1986 (KV/SO; SR 131.221). Mit dieser Rüge dringt er - soweit sie überhaupt genügend begründet wurde (vgl. <ref-law>) - ebenfalls nicht durch. Mit dem Entscheid der Vorinstanz war keine materielle Rechtsverweigerung verbunden, zumal sie gemäss den vorstehenden Erwägungen auf die Beschwerde des Beschwerdeführers wegen fehlender Beschwerdelegitimation zu Recht nicht eingetreten ist.
5.
Nach dem Ausgeführten ist die Beschwerde abzuweisen. Bei diesem Ausgang des Verfahrens wird der Beschwerdeführer grundsätzlich kostenpflichtig (vgl. <ref-law>). Er ersucht indes um unentgeltliche Rechtspflege inklusive Verbeiständung. Dem Gesuch kann entsprochen werden, zumal der Beschwerdeführer im bundesgerichtlichen Verfahren glaubhaft dargelegt hat, dass er im Sinne von <ref-law> bedürftig ist und auch die weiteren Voraussetzungen von Art. 64 Abs. 1 und 2 BGG erfüllt sind.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen.
2.
Dem Beschwerdeführer wird die unentgeltliche Rechtspflege gewährt.
2.1. Es werden keine Gerichtskosten erhoben.
2.2. Rechtsanwalt Claude Wyssmann wird aus der Gerichtskasse eine Entschädigung von Fr. 1'500.-- ausgerichtet.
3.
Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer, dem Bau- und Justizdepartement des Kantons Solothurn, dem Verwaltungsgericht des Kantons Solothurn und dem Bundesamt für Strassen, Sekretariat Administrativmassnahmen, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 10. Juli 2017
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Merkli
Der Gerichtsschreiber: Mattle