Sachverhalt:
A.
A._ ist beim Regionalen Arbeitsvermittlungszentrum (RAV) Sargans zum Bezug von Leistungen der Arbeitslosenversicherung angemeldet. Im Zusammenhang mit Massnahmen zur Verbesserung der Vermittlungsfähigkeit kam es zu Meinungsverschiedenheiten darüber, welche Ausgaben zu erstatten sind. A._ machte insbesondere geltend, ein Pauschalbeitrag für ein Mittagessen sei noch nicht bei ihm eingetroffen. Mit einem an das kantonale Amt für Wirtschaft und Arbeit gerichteten Schreiben vom 9. Juli 2015 forderte er eine schriftliche Bestätigung "für die Durchsetzung von [...] finanziellen Interessen". Das Amt legte mit Antwortschreiben vom 20. Juli 2015 dar, die ihm zustehenden Kosten seien vergütet worden.
Am 3. September 2015 reichte A._ beim Untersuchungsamt St. Gallen Anzeige gegen Unbekannt wegen mutmasslicher Urkundenunterdrückung ein. Das Untersuchungsamt leitete die Anzeige an die Anklagekammer des Kantons St. Gallen weiter, damit diese über die Ermächtigung zur Durchführung einer Strafuntersuchung entscheide. Mit Entscheid vom 6. Oktober 2015 verweigerte die Anklagekammer die Ermächtigung.
B.
Mit Schreiben vom 2. Oktober 2015 an das Untersuchungsamt Uznach reichte A._ eine weitere Strafanzeige ein. Er machte erneut eine Urkundenunterdrückung und zudem neu eine Falschbeurkundung bezüglich einer Bescheinigung vom 21. Januar 2015 des RAV Sargans geltend. Die Bescheinigung sei inhaltlich teilweise unzutreffend und weise angefallene Spesen nicht aus. Das Untersuchungsamt leitete die Anzeige wiederum an die Anklagekammer weiter, welche die Ermächtigung mit Entscheid vom 3. November 2015 verweigerte.
C.
Mit Beschwerde ans Bundesgericht vom 28. November 2015 beantragt A._, es seien verschiedene Erwägungen in den beiden Entscheiden der Anklagekammer richtigzustellen, es seien zusätzliche Abklärungen zu tätigen und die Frage der Ermächtigung sei neu zu beurteilen.
Die Staatsanwaltschaft St. Gallen hat auf eine Vernehmlassung verzichtet, ebenso die Anklagekammer. Das Amt für Wirtschaft und Arbeit beantragt die Abweisung der Beschwerde. Der Beschwerdeführer hat dazu Stellung genommen.

Erwägungen:
1.
1.1. Die Ermächtigung zur Strafverfolgung stellt eine Prozessvoraussetzung für das Strafverfahren dar, wird jedoch in einem davon getrennten Verwaltungsverfahren erteilt. Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten ist deshalb das zutreffende Rechtsmittel (<ref-ruling> E. 1.3.1 S. 272 mit Hinweisen).
1.2. Angefochten sind zwei Entscheide einer letzten kantonalen Instanz, die das Verfahren abschliessen (Art. 86 Abs. 1 lit. d und Art. 90 BGG). Eine Ausnahme von der Zulässigkeit der Beschwerde nach <ref-law> besteht nicht. Lit. e dieser Bestimmung, wonach Entscheide über die Verweigerung der Ermächtigung zur Strafverfolgung von Behördenmitgliedern oder von Bundespersonal von der Beschwerdemöglichkeit ausgenommen sind, ist nur auf die obersten Vollziehungs- und Gerichtsbehörden anwendbar, denn nur bei diesen dürfen politische Gesichtspunkte in den Entscheid einfliessen (<ref-ruling> E. 1.3.2 S. 272 f. mit Hinweis).
1.3. Der Beschwerdeführer hat am Verfahren vor der Anklagekammer teilgenommen und ist von den behaupteten Straftatbeständen potenziell direkt betroffen (vgl. Urteil 1C_382/2012 vom 10. Oktober 2012 E. 2.6). Er ist nach <ref-law> grundsätzlich zur Beschwerde legitimiert (vgl. jedoch E. 3.5 hiernach).
1.4. Die übrigen Sachurteilsvoraussetzungen geben zu keinen Bemerkungen Anlass. Auf die Beschwerde ist unter dem Vorbehalt der nachfolgenden Erwägungen einzutreten.
2.
Die Anklagekammer hielt in den angefochtenen Entscheiden fest, die Anzeige richte sich gegen Handlungen von Mitarbeitern des RAV Sargans und des Amts für Wirtschaft und Arbeit, die im Zusammenhang mit ihrer amtlichen Tätigkeit stünden. Die Ermächtigung zur Strafverfolgung setze Anhaltspunkte für ein strafbares Verhalten voraus, die indessen fehlten. Der Tatbestand der Urkundenunterdrückung nach <ref-law> setze eine Urkunde voraus. Vorliegend gebe es keine Urkunde, vielmehr werde die Ausfertigung einer solchen vom Beschwerdeführer ja erst verlangt. Hinsichtlich des Tatbestands der Urkundenfälschung gemäss <ref-law> fehle es an einer Benachteiligungs- oder Vorteilsabsicht. Ein strafrechtliches Verhalten sei somit nicht erkennbar. Im Übrigen sei darauf hinzuweisen, dass dem Beschwerdeführer für seine Forderungen sozialversicherungsrechtliche Rechtsbehelfe offenstünden.
3.
3.1. Der Beschwerdeführer verlangt in verschiedener Hinsicht Richtigstellungen und vertiefte Abklärungen zur Frage, ob er Anspruch auf Leistungen der Arbeitslosenversicherung habe. Dies geht am Prozessgegenstand vorbei. Wie die Anklagekammer bereits dargelegt hat, beschränkt sich dieser auf die Frage, ob hinreichende Anhaltspunkte für ein strafbares Verhalten vorliegen.
3.2. Zu den vorinstanzlichen Erwägungen bezüglich des Tatbestands der Unterdrückung von Urkunden (<ref-law>) bringt der Beschwerdeführer vor, dass es eine wichtige Erkenntnis darstelle, sollte tatsächlich keine Urkunde vorhanden sein; diesfalls gelange man in die Nähe von Amtsmissbrauch oder anderer Delikte. Inwiefern konkrete Anhaltspunkte für Amtsmissbrauch (<ref-law>) oder andere Delikte bestehen sollen, ist indessen nicht erkennbar und wird vom Beschwerdeführer auch nicht näher ausgeführt (<ref-law>).
3.3. Zum Tatbestand der Urkundenfälschung führt der Beschwerdeführer aus, dass der Aussteller der Bescheinigung vom 21. Januar 2015 vorsätzlich nicht sämtliche Spesen aufgeführt und ihn dadurch im Vermögen geschädigt habe. Eine unrichtige Beurkundung im strafrechtlichen Sinne liegt hierin jedoch nicht begründet. Die beanstandete Bescheinigung hält einzig fest, welche Spesen das RAV bzw. der Aussteller der Bescheinigung als ersatzfähig ansah. Selbst wenn die Auffassung des Beschwerdeführers zutreffen sollte, dass er Anspruch auf weitergehende Entschädigungen hat, so wäre der Inhalt der Urkunde deshalb nicht unwahr (vgl. <ref-ruling> E. 4.5 S. 130 f. mit Hinweisen). Eine Urkundenfälschung liegt somit nicht vor, wobei im Ergebnis nicht von Bedeutung ist, dass die Vorinstanz statt der Voraussetzungen von <ref-law> (Urkundenfälschung im Amt) jene von <ref-law> (Urkundenfälschung) prüfte (vgl. <ref-ruling> E. I/3 S. 290, wonach es sich bei <ref-law> um eine Spezialbestimmung zu <ref-law> handelt).
3.4. Weiter verlangt der Beschwerdeführer mehrfach, die Anklagekammer habe Beweise für ihre Sachverhaltsfeststellungen zu liefern und bezeichnet mehrere davon als reine Vermutungen. Inwiefern die Sachverhaltsfeststellung im angefochtenen Entscheid offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruht und zudem für den Ausgang des Verfahrens entscheidend ist (<ref-law>), geht aus der Beschwerde jedoch nicht hervor. Darauf ist nicht einzutreten (<ref-law>).
3.5. Der Beschwerdeführer kritisiert die im Entscheid vom 3. November 2015 enthaltene Ankündigung, wonach der Anzeiger darauf hingewiesen wird, dass Eingaben der gleichen Art und in gleichem Zusammenhang inskünftig ohne förmliche Erledigung abgelehnt werden. Er ist der Auffassung, dass die Anklagekammer in künftigen Fällen deshalb nicht mehr als unabhängiges Gericht angesehen werden könne. Wie es sich damit verhält, kann offenbleiben. Der Beschwerdeführer ist durch den Hinweis zum heutigen Zeitpunkt nicht beschwert, zumal er nicht geltend macht, dass ein entsprechender Mangel bereits bei Ergehen des angefochtenen Entscheids bestanden hat.
3.6. Der Beschwerdeführer macht eine Verletzung seines Anspruchs auf Zugang zu einem Gericht geltend (<ref-law>). Er ist der Auffassung, bei der Anklagekammer handle es sich aufgrund ihres Namens nicht um ein Gericht. Dies ist unzutreffend. Ob eine Behörde als eine richterliche im Sinne von <ref-law> zu qualifizieren ist, ist von ihrer Bezeichnung unabhängig. So können beispielsweise auch "Rekurskommissionen" die Voraussetzungen an eine richterliche Behörde erfüllen.
3.7. Schliesslich kritisiert der Beschwerdeführer, er werde als Arbeitsloser diskriminiert. Er bezieht sich dabei jedoch nicht konkret auf den angefochtenen Entscheid, sondern allgemein auf seine Erfahrungen mit den Behörden. Darauf ist nicht weiter einzugehen (<ref-law>).
4.
Die Beschwerde ist abzuweisen, soweit darauf eingetreten werden kann.
Dem Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege kann wegen Aussichtslosigkeit der Vorbringen nicht entsprochen werden (vgl. <ref-law>). Die Umstände rechtfertigen indessen, auf die Erhebung von Gerichtskosten zu verzichten (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.
Es werden keine Gerichtskosten erhoben.
3.
Dieses Urteil wird den Parteien, der Staatsanwaltschaft des Kantons St. Gallen, Untersuchungsamt Uznach, und der Anklagekammer des Kantons St. Gallen schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 1. März 2016
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Fonjallaz
Der Gerichtsschreiber: Dold