Sachverhalt:
A.
A.a. Mit Eingabe vom 21. November 2013 klagte A._ (geb. 1975) gegen seine Kinder C._ (geb. 2002) und D._ (geb. 2007) auf Herabsetzung der Unterhaltsbeiträge, die er mit ihnen je in einem Unterhaltsvertrag vereinbart hatte. Gleichzeitig stellte er ein Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege.
A.b. Die Präsidentin des Bezirksgerichts Lenzburg wies das Armenrechtsgesuch mit Verfügung vom 16. Januar 2014 ab.
A.c. Die dagegen erhobene Beschwerde hiess das Obergericht des Kantons Aargau am 4. März 2014 gut. A._ wurde Rechtsanwalt B._ als unentgeltlicher Rechtsvertreter bestellt. Der Entscheid blieb unangefochten.
B.
B.a. Am 5. März 2015 wies die Präsidentin des Bezirksgerichts Lenzburg die Klage in der Hauptsache ab (Dispositiv-Ziffer 1). Die Gerichtskosten von Fr. 1'000.-- wurden dem Kläger A._ auferlegt, vorerst aber auf die Gerichtskasse genommen (Dispositiv-Ziffer 2). A._ wurde verpflichtet, dem Beklagten D._ eine Parteientschädigung von Fr. 2'861.45 zu bezahlen (Dispositiv-Ziffer 3).
B.b. Mit Entscheid vom 4. Juni 2015 berichtigte die Präsidentin des Bezirksgerichts Lenzburg Ziffer 2 des Dispositivs des Entscheids vom 5. März 2015. Neu lautete diese wie folgt:
"2. 2.1.
Die Gerichtskosten von CHF 1'000.00 werden dem Kläger auferlegt.
2.2.
Der Kläger hat seine Parteikosten selber zu tragen.
2.3.
Die dem Kläger auferlegten Kosten werden einstweilen vorgemerkt. Sie können zu einem späteren Zeitpunkt zurückgefordert werden (<ref-law>)."
Für das Berichtigungsurteil wurden keine Kosten erhoben.
B.c. Sowohl A._ als auch sein unentgeltlicher Rechtsvertreter B._ fochten die Entscheide der Präsidentin des Bezirksgerichts Lenzburg vom 5. März und 4. Juni 2015 beim Obergericht des Kantons Aargau an. Dieses trat mit Entscheid vom 27. Juli 2015 nicht auf die Beschwerde ein.
C.
C.a. Mit Beschwerde in Zivilsachen und subsidiärer Verfassungsbeschwerde vom 4. September 2015 wenden sich A._ (Beschwerdeführer 1) und B._ (Beschwerdeführer 2) an das Bundesgericht. Sie stellen dabei die folgenden Rechtsbegehren:
"1. Der Entscheid des Obergerichts des Kantons Aargau vom 27. Juli 2015 sei aufzuheben.
2. Ziff. 2 des Entscheides des Bezirksgerichts Lenzburg vom 5. März 2015 bzw. Ziff. 2.2 der Berichtigung vom 4. Juni 2015 sei aufzuheben.
3.1 Für das Verfahren vor dem Bezirksgericht Lenzburg (xxx) sei Rechtsanwalt B._ als unentgeltlicher Rechtsbeistand zu bestätigen und ihm im Grundsatzeine Entschädigung durch den Kanton Aargau zuzuerkennen.
3.2.1 Betreffend das Verfahren vor dem Bezirksgericht Lenzburg (xxx) sei als Teil des Endentscheids über die tatsächliche Höhe der Entschädigung von Rechtsanwalt B._ als unentgeltlicher Rechtsbeistand zu entscheiden.
3.2.2 Rechtsanwalt B._ sei für das Verfahren vor dem Bezirksgericht Lenzburg (xxx) basierend auf der eingereichten Kostennote eine Entschädigung von CHF 8'721.20 zuzüglich 8 % MWST zuzusprechen.
Eventualiter zu Rechtsbegehren 3.2.1 und 3.2.2:
Der Entscheid des Obergerichts des Kantons Aargau vom 27. Juli 2015 sei an die Vorinstanz zur Neubeurteilung zurückzuweisen.
Subeventualiter zu Rechtsbegehren 3.2.1 und 3.2.2:
Die Sache sei ans Bezirksgericht Lenzburg zur Neuverlegung der Entschädigung des unentgeltlichen Rechtsbeistands zurückzuweisen.
4. Den Beschwerdeführern sei für das Verfahren vor Obergericht (yyy) eine Parteikostenentschädigung von CHF 5'912.50 zuzüglich 8 % MWST und eine Auslagenentschädigung von CHF 68.70 zuzüglich 8 % MWST je hälftig zuzusprechen. Der Kostenvorschuss von CHF 600.00 sei an Beschwerdeführer 2 zurückzuerstatten.
Eventualiter zu Rechtsbegehren 4:
Dem Beschwerdeführer 1 sei für das Verfahren vor Obergericht (yyy) die unentgeltliche Rechtspflege unter Beiordnung des Beschwerdeführers 2 zu gewähren. Dem Beschwerdeführer 2 sei eine amtliche Entschädigung in der Höhe von CHF 4'730.00 zuzüglich 8 % MWST und eine Auslagenentschädigung von CHF 68.70 zuzüglich 8 % MWST zuzusprechen.
Subeventualiter zu Rechtsbegehren 4:
Die Entschädigung der Beschwerdeführer sei zur Festlegung durch die Vorinstanz an diese zur Neubeurteilung zurückzuweisen.
5. Dem Beschwerdeführer 1 sei für das eingeleitete Verfahren vor dem Bundesgericht die unentgeltliche Rechtspflege zu gewähren, unter Beiordnung des Unterzeichneten als amtlicher Anwalt."
C.b. Sowohl das Bezirksgericht Lenzburg als auch das Obergericht haben auf eine Vernehmlassung verzichtet.

Erwägungen:
1.
Der angefochtene Entscheid beschlägt die Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege und die Festsetzung der Entschädigung des unentgeltlichen Rechtsvertreters. Das Obergericht tritt auf die kantonale Beschwerde nicht ein mit der Begründung, dass es den Beschwerdeführern an der Beschwer fehle. Das ist ein Endentscheid (<ref-law>) einer letzten kantonalen Instanz, die als oberes Gericht entschieden hat (<ref-law>). Auch soweit das Obergericht das Gesuch des Beschwerdeführers 1 für das Rechtsmittelverfahren abweist, ist die Beschwerde unter dem Blickwinkel von <ref-law> zulässig (<ref-ruling> E. 2.2 S. 426 f. mit Hinweisen). Die Beschwerdeführer sind im Sinne von <ref-law> je für ihre Belange zur Beschwerde berechtigt. Sie haben die Beschwerde rechtzeitig eingereicht (Art. 100 Abs. 1 i.V.m. Art. 46 Abs. 1 Bst. b BGG).
2.
Im Streit um die unentgeltliche Rechtspflege folgt der Rechtsweg vor Bundesgericht jenem der Hauptsache (Urteil 5A_58/2014 vom 17. Oktober 2014 E. 1). Dort geht es um den Kinderunterhalt. Damit ist von einer vermögensrechtlichen Streitigkeit auszugehen. Der Streitwert des kantonalen Verfahrens beträgt laut den Angaben im vorinstanzlichen Urteil mehr als Fr. 30'000.--. Damit steht den Beschwerdeführern die Beschwerde in Zivilsachen offen (Art. 74 Abs. 1 Bst. b BGG). Auf die Beschwerde in Zivilsachen ist demnach grundsätzlich einzutreten. Für die subsidiäre Verfassungsbeschwerde bleibt kein Raum (<ref-law>).
3.
Gegenstand der Beschwerde in Zivilsachen kann nur der vorinstanzliche Entscheid sein (<ref-law>). Dieser lautet in der Sache auf Nichteintreten. Zum vorneherein kann daher auf die Beschwerde insoweit nicht eingetreten werden, als sie sich gegen die Entscheide des Bezirksgerichts vom 5. März und 4. Juni 2015 richtet. Auch kann das Bundesgericht im vorliegenden Fall nicht reformatorisch über die Höhe der geschuldeten Entschädigung des Beschwerdeführers 2 befinden. Die diesbezüglichen Rechtsbegehren sind vor Bundesgericht unzulässig, die dazugehörigen Ausführungen unbeachtlich.
4.
Im ordentlichen Beschwerdeverfahren sind vor Bundesgericht in rechtlicher Hinsicht alle Rügen gemäss Art. 95 f. BGG zulässig. Unter Vorbehalt der Verletzung verfassungsmässiger Rechte wendet das Bundesgericht das Recht in diesem Bereich von Amtes wegen an (<ref-law>). Es ist allerdings nicht gehalten, wie ein erstinstanzliches Gericht alle sich stellenden rechtlichen Fragen von sich aus zu untersuchen, wenn die Beschwerdeführer diese nicht mehr thematisieren (<ref-ruling> E. 2 S. 88 f.; <ref-ruling> E. 1.3 S. 584). Deshalb ist in der Beschwerde in gedrängter Form darzulegen, inwiefern der angefochtene Akt Recht verletzt (<ref-law>). Die Beschwerdeführer müssen auf den angefochtenen Entscheid eingehen und aufzeigen, worin eine Verletzung von Bundesrecht liegt; sie sollen im Schriftsatz mit ihrer Kritik an den Erwägungen der Vorinstanz ansetzen, die sie als rechtsfehlerhaft erachten (vgl. <ref-ruling> E. 2a S. 400).
5.
5.1. Für die Vorinstanz steht aufgrund ihres Entscheids vom 4. März 2014 (s. Sachverhalt Bst. A.c) fest, dass der Beschwerdeführer 1 für das Verfahren betreffend Abänderung des Kinderunterhalts Anspruch auf unentgeltliche Rechtspflege hat und wer sein unentgeltlicher Rechtsbeistand ist. Angesichts dieses rechtskräftigen Entscheids sei das Bezirksgericht weder verpflichtet noch berechtigt gewesen, im Endentscheid in der Hauptsache nochmals über das Gesuch um Bewilligung der unentgeltlichen Rechtspflege zu entscheiden oder die Bewilligung zu bestätigen. Da das Bezirksgericht die unentgeltliche Rechtspflege weder ganz noch teilweise abgelehnt oder entzogen habe, sei der Beschwerdeführer 1 nicht beschwert und auf dessen Beschwerde nicht einzutreten. Auch dem Beschwerdeführer 2 spricht das Obergericht ein schutzwürdiges Interesse ab, weil die Bewilligung der unentgeltlichen Rechtspflege und somit auch seine Ernennung zum unentgeltlichen Rechtsvertreter des Beschwerdeführers 1 weder ganz noch teilweise abgelehnt oder entzogen worden sei. Das Bezirksgericht sei auch nicht verpflichtet gewesen, im Dispositiv des Endentscheids in der Hauptsache eine bezifferte Entschädigung festzusetzen. Die Entschädigung des unentgeltlichen Rechtsvertreters werde nur dann im Dispositiv des Endentscheids in der Hauptsache festgelegt, wenn es sich darum handle, dass die unterliegende Partei dem unentgeltlichen Rechtsvertreter der obsiegenden Partei eine Entschädigung zu bezahlen habe. Im Kanton Aargau werde der Entscheid in aller Regel auf entsprechenden Antrag des unentgeltlichen Rechtsvertreters in einer separaten Verfügung durch den Präsidenten oder die Präsidentin des Spruchkörpers gefällt. Der Beschwerdeführer 2 hätte daher jederzeit einen Antrag auf Entschädigung bei der Vorinstanz stellen können. Er habe kein schutzwürdiges Interesse daran, dass die Festsetzung im Entscheid in der Sache erfolge.
5.2. Die Beschwerdeführer wiederholen vor Bundesgericht den Standpunkt, den sie bereits vor der Vorinstanz vertraten. Sie meinen, die ursprüngliche Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege sei eine prozessleitende Verfügung, die nicht in Rechtskraft erwachse. Das Bezirksgericht Lenzburg habe willkürlich gehandelt, weil es betreffend das Armenrecht keinen endgültigen Entscheid traf und die Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege im Endentscheid offen liess bzw. nicht wenigstens bestätigte. Weiter argumentieren die Beschwerdeführer, das Bezirksgericht habe den Grundsatz der Einheit des Urteils sowie Art. 236 und Art. 122 Abs. 1 Bst. a ZPO verletzt, indem es über den Antrag um unentgeltliche Rechtspflege nicht im Dispositiv des Endentscheids entschied. Nach <ref-law> sei im Endentscheid über die gesamten Prozesskosten zu befinden; das gelte auch für das Honorar des unentgeltlichen Rechtsbeistands. Da es im Entscheid vom 5. März 2015 auch an einer Begründung zur Entschädigung des unentgeltlichen Rechtsbeistands fehle, habe das Bezirksgericht ausserdem gegen den Grundsatz des rechtlichen Gehörs verstossen. Die Beschwerdeführer bestehen darauf, dass sie durch den bezirksgerichtlichen Entscheid sehr wohl beschwert seien. Zum einen gehe es um ihre Rechtssicherheit. Sie hätten Anspruch darauf, dass über die unentgeltliche Rechtspflege im Endentscheid befunden wird. Anhand des Endentscheids des Bezirksgerichts sei für sie nicht erkennbar, ob noch weitere Verfügungen oder Entscheide ergehen werden. Zum andern sei der Beschwerdeführer 1 direkt in seinen finanziellen Bedürfnissen betroffen. Schliesslich werfen die Beschwerdeführer dem Obergericht vor, anstatt sich "gehörig" mit ihrer Begründung auseinanderzusetzen, tue es ihre Ausführungen "pauschal" mit dem einzigen Argument ab, das Bezirksgericht sei nicht verpflichtet und nicht berechtigt gewesen, im Endentscheid die unentgeltliche Rechtspflege zu bestätigen. Damit verletze das Obergericht den Anspruch auf rechtliches Gehör gemäss <ref-law> und Art. 22 Abs. 1 KV.
5.3. Von vornherein unbegründet ist die Rüge, das Obergericht verkenne die Anforderungen an die Begründungspflicht und verletze deshalb den Anspruch der Beschwerdeführer auf rechtliches Gehör (<ref-law>). Aus dem Gehörsanspruch folgt nicht, dass sich der Richter zu allen Punkten einlässlich äussern und jedes einzelne Vorbringen widerlegen muss (zum Ganzen: <ref-ruling> E. 4.1 S. 88; <ref-ruling> E. 3.3 S. 445). Zu begründen ist vielmehr das Ergebnis des Entscheides, das im Urteilsspruch zum Ausdruck kommt und das allein die Rechtsstellung der betroffenen Partei berührt. Die Begründung ist also nicht an sich selbst, sondern am Rechtsspruch zu messen (Urteil 5A_382/2013 vom 12. September 2013 E. 3.1). Eingedenk dessen ist dem Obergericht keine Verfassungswidrigkeit vorzuwerfen. Der angefochtene Entscheid bringt sehr wohl zum Ausdruck, warum das Obergericht nicht auf das kantonale Rechtsmittel eintritt. Ob es dies zu Recht getan hat, ist nicht eine Frage des rechtlichen Gehörs, sondern eine solche der Rechtsanwendung. Dass der Gehörsanspruch gemäss Art. 22 der aargauischen Kantonsverfassung über die Minimalgarantie von <ref-law> hinausgeht, behaupten die Beschwerdeführer nicht.
5.4. In der Sache dreht sich der Streit um die Beschwer im Beschwerdeverfahren vor dem Obergericht. Zur Beschwerde nach <ref-law> ist befugt, wer durch den angefochtenen Entscheid beschwert ist und daher ein schützenswertes Interesse an dessen Korrektur besitzt (Urteil 5A_50/2015 vom 28. September 2015 E. 3). Das Erfordernis der Beschwer folgt aus Art. 59 Abs. 2 Bst. a ZPO, der auch die in der ZPO geregelten Rechtsmittelverfahren erfasst. Demnach zählt zu den Prozessvoraussetzungen insbesondere das schutzwürdige Interesse der klagenden oder gesuchstellenden Partei. Wer ein Rechtsmittel einlegen will, muss demnach ein schutzwürdiges Interesse daran haben, dass die Rechtsmittelinstanz den Entscheid der unteren Instanz abändert, ansonst auf das Rechtsmittel nicht eingetreten wird. Dieses Interesse muss aktueller und praktischer Natur sein (Urteil 5A_9/2015 vom 10. August 2015 E. 4.3). Das bedeutet, dass der Rechtsuchende eine im konkreten Fall eingetretene Verletzung seiner Rechte geltend machen muss. Er kann sich nicht damit begnügen, faktisch irrelevante Rechtsfragen aufzuwerfen (Urteil 5A_241/2012 vom 3. Mai 2012 E. 2; 5A_229/2007 vom 31. August 2007 E. 2 mit Hinweisen).
Im konkreten Fall ist in der Tat nicht ersichtlich, welches schutzwürdige Interesse die Beschwerdeführer daran haben, dass das Obergericht den bezirksgerichtlichen Entscheid wie von ihnen verlangt abändert. Entgegen dem, was die Beschwerdeführer glauben machen wollen, verschafft ihnen das Gesetz keinen Rechtsanspruch darauf, dass der Richter im Endentscheid auch über die unentgeltliche Rechtspflege und die Festsetzung der Entschädigung des unentgeltlichen Rechtsvertreters befindet. Nach <ref-law> entscheidet das Gericht über die Prozesskosten in der Regel im Endentscheid. Ob mit dem Ausdruck "Prozesskosten" auch der Entscheid über die unentgeltliche Rechtspflege und die Höhe der Entschädigung des Rechtsvertreters gemeint ist, lässt sich dem Gesetz nicht entnehmen. Systematische Überlegungen sprechen eher dagegen, widmet die ZPO der unentgeltlichen Rechtspflege (Art. 117-123 ZPO) doch ein separates Kapitel ("4. Kapitel: Unentgeltliche Rechtspflege"). Auch begründet die Gewährung des Armenrechts ein Rechtsverhältnis zwischen dem Gemeinwesen und der darum ersuchenden Partei; sie wirkt sich grundsätzlich nicht auf die Liquidation der Prozesskosten unter den Prozessparteien aus. Aber selbst dann, wenn man die Frage bejahen sollte, übersehen die Beschwerdeführer, dass <ref-law> mit dem Passus "in der Regel" bloss einen Grundsatz festhält, der Ausnahmen zulässt. Eine solche Ausnahme kann man zwanglos im Fall erblicken, dass einer Partei bereits vorgängig zum Entscheid in der Hauptsache die unentgeltliche Rechtspflege gewährt worden ist. Um ein aktuelles und praktisches Interesse an der kantonalen Beschwerde darzutun, genügt es nicht, theoretische Erwägungen über die Rechtsnatur des Armenrechtsentscheids und dessen angeblich beschränkte Rechtskraft anzustellen und das Argument der Rechtssicherheit zu bemühen. Die Beschwerdeführer nennen keine konkreten Anhaltspunkte, aufgrund derer der Beschwerdeführer 1 befürchten müsste, dass das Bezirksgericht für den fraglichen Unterhaltsprozess auf die Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege zurückkommen könnte, noch behaupten sie, dass das Obergericht entsprechende Tatsachen übersehen hätte. Auch der Umstand, dass der Beschwerdeführer 2 erst in einem separaten Entscheid über die Höhe seiner Entschädigung unterrichtet wird, verschafft ihm kein schutzwürdiges Interesse im kantonalen Rechtsmittelverfahren. Zu Recht verneint das Obergericht bei beiden Beschwerdeführern eine Beschwer.
6.
Nach dem Gesagten erweist sich die Beschwerde an das Bundesgericht als unbegründet. Mithin hat es mit dem angefochtenen Entscheid sein Bewenden. Das gilt auch für den Entscheid über die Kosten- und Entschädigungsfolgen des obergerichtlichen Verfahrens. Soweit der Beschwerdeführer 1 im Sinne eines Eventualantrages verlangt, es sei ihm für das Verfahren vor dem Obergericht die unentgeltliche Rechtspflege zu gewähren (s. Sachverhalt Bst. C.a), ist auf dieses Begehren mangels Begründung (Art. 42 Abs. 1 und 2 BGG; s. E. 4) nicht einzutreten. Die Vorinstanz verweigert dem Beschwerdeführer 1 das Armenrecht für das kantonale Rechtsmittelverfahren mit der Erklärung, seine Beschwerde habe sich als aussichtslos erwiesen. Soweit der Beschwerdeführer 1 meint, diese Einschätzung implizite mit seinen Ausführungen zur Hauptsache - dem Streit um die Beschwer - angreifen zu können, erweisen sich seine Bemühungen nach dem Gesagten als vergeblich. Dem Schriftsatz an das Bundesgericht lässt sich nicht entnehmen, inwiefern die vorinstanzliche Beurteilung der Erfolgsaussichten auch dann Recht verletzt, wenn das Bundesgericht den obergerichtlichen Entscheid in der Hauptsache schützt. Angesichts dessen erörtert das Bundesgericht nicht von sich aus, ob die Vorinstanz das Armenrechtsbegehren des Beschwerdeführers 1 für das Verfahren vor dem Obergericht zu Recht als aussichtslos bezeichnet hat.
7.
Im Ergebnis ist die Beschwerde abzuweisen. Die Beschwerdeführer unterliegen. Sie haben für die Gerichtskosten aufzukommen (<ref-law>). Dem Kanton ist keine Parteientschädigung geschuldet (<ref-law>). Das Gesuch des Beschwerdeführers 1 um unentgeltliche Rechtspflege für das Verfahren vor Bundesgericht kann gutgeheissen werden (Art. 64 Abs. 1 und 2 BGG). Der Beschwerdeführer 1 hat der Gerichtskasse Ersatz zu leisten, wenn er später dazu in der Lage sein wird (<ref-law>)

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen.
2.
Das Gesuch des Beschwerdeführers 1 um unentgeltliche Rechtspflege für das bundesgerichtliche Verfahren wird gutgeheissen und es wird dem Beschwerdeführer 1 Rechtsanwalt Markus Meyer als unentgeltlicher Anwalt bestellt.
3.
Die Gerichtskosten von Fr. 2'000.-- werden den Beschwerdeführern je zur Hälfte auferlegt, im Fall des Beschwerdeführers 1 jedoch vorläufig auf die Gerichtskasse genommen.
4.
Rechtsanwalt Markus Meyer wird aus der Gerichtskasse mit Fr. 1'000.-- entschädigt.
5.
Dieses Urteil wird den Beschwerdeführern, dem Bezirksgericht Lenzburg und dem Obergericht des Kantons Aargau, Zivilgericht, 4. Kammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 1. Februar 2016
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: von Werdt
Der Gerichtsschreiber: V. Monn