Erwägungen:
1.
1.1. Mit Einspracheentscheid vom 4. Februar 2015 nahm die Steuerverwaltung des Kantons Thurgau in Bezug auf A._ für die Staats- und Gemeindesteuern des Kantons Thurgau einerseits und die direkte Bundessteuer anderseits eine Sonderveranlagung für das Steuerjahr 2012 vor. Der Steuerpflichtige nahm den Einspracheentscheid am 5. Februar 2015 entgegen und erhob am 11. März 2015 Rekurs bzw. Beschwerde. Nach Gewährung des rechtlichen Gehörs zur Frage der Rechtzeitigkeit der Rechtsmittel wies die Steuerrekurskommission des Kantons Thurgau mit Entscheiden vom 8. Mai 2015 ein Gesuch um Fristwiederherstellung vom 24. März 2015 ab und trat sie auf die Rechtsmittel vom 11. März 2015 nicht ein.
1.2. Mit Eingabe vom 6. Juni 2015 gelangte der Steuerpflichtige hierauf an das Verwaltungsgericht des Kantons Thurgau. Dieses prüfte den angefochtenen Entscheid hauptsächlich daraufhin, ob die Vorinstanz mit Recht von einem unentschuldigten Fristversäumnis ausgegangen sei. Da dies ihrer Ansicht nach zu bejahen war, wies sie die Eingabe mit Entscheid VG.2015.116/E vom 10. Februar 2016 (Versand: 4. März 2016) ab.
1.3. Der Steuerpflichtige gelangt mit Eingaben vom 1. April und 12. April 2016 an das Bundesgericht. Er beantragt nebst der Aufhebung des angefochtenen Entscheids die Gewährung der Fristwiederherstellung. Der Instruktionsrichter hat weder einen Schriftenwechsel noch andere Instruktionsmassnahmen angeordnet.
2.
2.1. Die Vorinstanz hat zum Steuerjahr 2012 betreffend die Staats- und Gemeindesteuern des Kantons Thurgau einerseits und die direkte Bundessteuer anderseits ein einziges Urteil gefällt, ohne im Dispositiv zwischen den Steuerarten zu unterscheiden. Der Steuerpflichtige ficht dieses Urteil mit einer einzigen Beschwerdeeingabe an. Die sich stellenden Fragen sind im Bundesrecht und im harmonisierten kantonalen Steuerrecht übereinstimmend geregelt. Es rechtfertigt sich daher, die beiden Verfahren zu vereinigen und die Beschwerde in einem einzigen Urteil zu erledigen (vgl. <ref-law> [SR 173.110] i. V. m. <ref-law> [SR 273]; Urteil 2C_560/2014 / 2C_561/2014 vom 30. September 2015 E. 1.2.1, in: StE 2016 B 72.14.3 Nr. 1).
2.2.
2.2.1. Die Beschwerde richtet sich gegen den verfahrensabschliessenden Entscheid einer letzten kantonalen Instanz in einer Angelegenheit des öffentlichen Rechts. Die Voraussetzungen der Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten liegen unter Vorbehalt des Nachfolgenden vor (Art. 82 lit. a, Art. 83, 86 Abs. 1 lit. d und Abs. 2, <ref-law> [SR 173.110] i. V. m. <ref-law> [SR 642.11] bzw. Art. 73 StHG [SR 642.14]).
2.2.2. Die Verletzung von Grundrechten prüft das Bundesgericht in jedem Fall nur, falls eine solche Rüge in der Beschwerde überhaupt vorgebracht und ausreichend begründet worden ist (qualifizierte Rüge- und Begründungspflicht gemäss <ref-law>; <ref-ruling> E. 2.2 S. 60). Auf bloss allgemein gehaltene, appellatorische Kritik am vorinstanzlichen Entscheid tritt das Bundesgericht nicht ein (<ref-ruling> E. 5.4 S. 324; <ref-ruling> E. 6.3 S. 375).
2.2.3. Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (<ref-law>). Es kann die tatsächlichen Feststellungen der Vorinstanz, wozu auch die Beweiswürdigung zählt (BGE <ref-ruling> E. 6.3 S. 375; <ref-ruling> E. 2.3 S. 266), nur berichtigen oder ergänzen, soweit sie offensichtlich unrichtig, das heisst willkürlich, sind oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruhen (<ref-law>; <ref-ruling> E. 2.1 S. 659 f.); die Rüge einer willkürlichen Sachverhaltsfeststellung ist eine Grundrechtsrüge, die ebenfalls den Rügeanforderungen von <ref-law> unterliegt.
2.3.
2.3.1. Wie schon im vorinstanzlichen Verfahren ist vor Bundesgericht einzig die Frage streitig und zu prüfen, ob der Steuerpflichtige während der Dauer der dreissigtägigen Beschwerdefrist (<ref-law> und Art. 50 Abs. 1 StHG bzw. § 175 Abs. 1 des Gesetzes [des Kantons Thurgau] vom 14. September 1992 über die Staats- und Gemeindesteuern [StG/TG; RB 640.1]) aus rechtserheblichen Gründen ausserstande war, den Rekurs bzw. die Beschwerde einzureichen.
2.3.2. Die Vorinstanz gibt die einschlägigen rechtlichen Bestimmungen zutreffend wieder. Danach ist auf eine verspätete Beschwerde nur einzutreten, wenn die steuerpflichtige Person einerseits nachweist, dass sie durch Militär- oder Zivildienst, Krankheit, Landesabwesenheit oder andere erhebliche Gründe an der rechtzeitigen Einreichung verhindert war (materielle Voraussetzung) und anderseits das Rechtsmittel innert 30 Tagen nach Wegfall der Hinderungsgründe eingereicht wurde (formelle Voraussetzung; Urteil 2C_699/2012 vom 22. Oktober 2012 E. 3.1, in: Plädoyer 2013 S. 61). Auf Bundesebene ist Art. 140 Abs. 4 i. V. m. <ref-law> in der Fassung vom 6. Oktober 1995 (AS 1996 1445) massgebend. Kantonalrechtlich ergibt sich dasselbe unmittelbar aus § 175 Abs. 2 i. V. m. § 164 Abs. 3 StG/TG, nachdem das Harmonisierungsrecht diesbezüglich keine Regel aufstellt (Urteil 2C_407/2012 vom 23. November 2012 E. 2.2, in: StE 2013 B 92.8 Nr. 8; ULRICH CAVELTI, in: Martin Zweifel/Peter Athanas [Hrsg.], StHG, 2. Aufl. 2002, N. 12 zu Art. 50 StHG).
2.3.3. Wird eine Krankheit als Hinderungsgrund angerufen, muss die Beeinträchtigung praxisgemäss derart erheblich ausfallen, dass die steuerpflichtige Person durch sie geradezu davon abgehalten wird, innert Frist zu handeln oder eine Drittperson mit der notwendigen Vertretung zu betrauen (<ref-ruling> E. 2 S. 87; <ref-ruling> E. 2a S. 255 f.). Der Nachweis der hinreichend schweren Krankheit unterliegt nach dem Grundsatz der freien Beweiswürdigung zwar keiner festen Beweisregel. Wird eine Erkrankung als Grund für die versäumte Frist angerufen, kommt in der Praxis einem aktuellen Arztzeugnis, dem zufolge das Fristversäumnis nicht oder höchstens leicht verschuldet ist, aber ausschlaggebende Bedeutung zu.
2.3.4. Die Vorinstanz schliesst, die angerufene Krankheit erweise sich als ungenügender Hinderungsgrund. Sie legt dar, dass der Steuerpflichtige noch im Einspracheverfahren in der Lage war, seinen Standpunkt mündlich zu vertreten (4. Februar 2015) und am 11. März 2015, zwei Tage nach Fristablauf, auch schriftlich reagieren konnte. Was die konkrete Rechtsmittelfrist betrifft, fehle ein zeitnah erstelltes Arztzeugnis bzw. sei dieses zu wenig spezifisch gehalten. Aus dem Bericht von Dr. med. B._ vom 28. Mai 2015, der den Steuerpflichtigen letztmals im August 2010 gesehen habe, gehe bloss hervor, dass ein chronisches permanentes Vorhofflimmern diagnostiziert worden sei. Nicht Spezifisches lasse sich auch den weiteren Berichten aus dem Jahr 2010 entnehmen. Auch der Leistenbruch, der am 30. März 2015 operiert worden sei, habe die Möglichkeit des Steuerpflichtigen, rechtzeitig tätig zu werden, nicht ernstlich einschränken können.
2.3.5. Was der Steuerpflichtige dagegen vorbringt, bleibt an der Oberfläche und verfehlt die gesetzlichen Anforderungen an eine rechtsgenügliche Verfassungsrüge (vorne E. 2.2.2 und 2.2.3). In sehr allgemeiner und knapper Weise bringt er verschiedene Überlegungen zu Papier, die aber am Kern der Sache vorbei zielen, soweit sie sich dem Bundesgericht überhaupt erschliessen. So bleibt etwa unklar, welchen Einfluss das zitierte Atomabkommen haben könnte und weshalb die gesamten Akten (angeblich eine Steuererklärung mit Beilagen von 1'500 Seiten, 50 Bundesordnern, Berichten von 30 Ärzten und acht Anwälten) zu sichten gewesen sein sollten, um den Einspracheentscheid vom 4. Februar 2015 anzufechten. Gegenteils darf angenommen werden, dass der Gegenstand der Sonderveranlagungen (<ref-law> bzw. Art. 11 Abs. 3 StHG) mit überschaubarem Aufwand hätte eingegrenzt werden können. Besondere Bedeutung misst der Steuerpflichtige schliesslich dem Hinschied seiner Katze bei, mit der er eine Seelenverwandtschaft geteilt haben will. Es kann als allgemeinnotorisch gelten, dass Tierhalter den Tod eines geliebten Vierbeiners während geraumer Zeit als überaus schmerzlich empfinden. Wiederum nach allgemeiner Erfahrung dürften selbst schwere Verstimmungen freilich kaum je das Ausmass einer Krankheit im Sinne von <ref-law> erreichen. Sollte es sich unerwarteterweise doch so verhalten, liesse sich dies medizinisch ohne Weiteres dokumentieren. Wenn der Steuerpflichtige hierzu erklärt, einen solchen Nachweis zu verlangen verbiete sich schon "aus ethischen Gründen" und stelle ein "unmenschliches Erfordernis" dar, verkennt er die verfahrensrechtliche Mitwirkungspflicht, die ihn gerade in solchen Fällen trifft. An der Verfassungskonformität der vorinstanzlichen Beweiswürdigung wecken auch diese Einwände jedenfalls keinerlei Zweifel.
2.4. Mit Blick auf die hier herrschende qualifizierten Rüge- und Begründungspflicht (<ref-law>; vorne E. 2.2.2 und 2.2.3) enthält die Beschwerde offensichtlich eine unzureichende Begründung, sodass darauf mit Entscheid des Einzelrichters im vereinfachten Verfahren nicht einzutreten ist (<ref-law>). Nach dem Unterliegerprinzip (Art. 65 i. V. m. 66 Abs. 1 BGG) sind die Kosten des bundesgerichtlichen Verfahrens dem Steuerpflichtigen aufzuerlegen. Dem Kanton Thurgau, der in seinem amtlichen Wirkungskreis obsiegt, steht keine Parteientschädigung zu (<ref-law>).

Demnach erkennt der Präsident:
1.
Die Verfahren 2C_318/2016 (Staats- und Gemeindesteuern des Kantons Thurgau) und 2C_319/2016 (direkte Bundessteuer), je betreffend die Sonderveranlagung 2012, werden vereinigt.
2.
Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
3.
Die Kosten des bundesgerichtlichen Verfahrens von Fr. 1'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
4.
Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten, dem Verwaltungsgericht des Kantons Thurgau und der Eidgenössischen Steuerverwaltung schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 18. April 2016
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Seiler
Der Gerichtsschreiber: Kocher