Erwägungen:
1.
1.1. Die Eheleute A.A._ und B.A._ haben steuerrechtlichen Wohnsitz in U._, Gemeinde V._/TG. Am 21. Juli 2017 entschied die Steuerrekurskommission des Kantons Thurgau über eine von den Eheleuten hinsichtlich der Steuerperiode 2014 eingereichte Beschwerde und versandte den Entscheid noch am selben Tag. Dabei wählte sie das Verfahren "A-Post Plus". Der Sendungsverfolgung "Track and Trace" der Schweizerischen Post zufolge wurde die Sendung am Samstag, 22. Juli 2017, um 05.47 Uhr ins Postfach der B._ AG gelegt, welche die Steuerpflichtigen damals vertrat. Die Steuervertretung versah den Entscheid am 24. Juli 2017 mit dem Eingangsstempel und teilte den Steuerpflichtigen mit E-Mail vom 31. Juli 2017 mit, eine etwaige Beschwerde müsse bis spätestens zum 24. August 2017 eingereicht werden. Mit Schreiben vom 23. August 2017 (Poststempel) erhoben die Steuerpflichtigen beim Verwaltungsgericht des Kantons Thurgau gegen den Entscheid Beschwerde.
1.2. Der Instruktionsrichter forderte die Steuerpflichtigen am 25. August 2017 auf, einen Kostenvorschuss zu leisten und sich zur Frage der Rechtzeitigkeit der Beschwerden auszusprechen. Die Steuerpflichtigen stellten am 7. September 2017 ein Gesuch um Wiederherstellung der Beschwerdefrist. Sie machten geltend, der damalige Mandatsführer, ein eidg. dipl. Steuerexperte ohne juristische Ausbildung, habe ihnen mitgeteilt, die Beschwerdefrist verstreiche am 24. August 2017. Sie hätten mit Recht auf diese Auskunft vertrauen dürfen. Das Verwaltungsgericht des Kantons Thurgau wies das nachträglich eingereichte Gesuch um Wiederherstellung der Beschwerdefrist ab und trat auf die Beschwerde nicht ein (Entscheid VG.2017.118/E vom 18. Oktober 2017). Es erkannte im Wesentlichen, der Versand sei zulässigerweise im Verfahren "A-Post Plus" vorgenommen worden und die Zustellung unstreitig am 22. Juli 2017 erfolgt, worauf die Frist am Montag, 21. August 2017 verstrichen sei. Die Wiederherstellung der versäumten Frist bedinge namentlich, dass objektive und subjektive Unmöglichkeit bestanden habe, die Frist zu wahren. Davon könne nicht gesprochen werden, gegenteils liege die Fehlleistung einer Hilfsperson der Steuerpflichtigen vor, welche diese sich anzurechnen hätten.
1.3. Mit Eingabe vom 20. November 2017 erheben die Steuerpflichtigen beim Bundesgericht Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten. Sie beantragen, der angefochtene Entscheid sei aufzuheben und die Vorinstanz sei anzuweisen, die Beschwerdefrist im vorinstanzlichen, eventuell im unterinstanzlichen Verfahren wieder herzustellen.
1.4. Der Abteilungspräsident als Instruktionsrichter (<ref-law>) hat von Instruktionsmassnahmen abgesehen. Mit Blick auf die offensichtliche Unbegründetheit der Beschwerde kann die Sache im vereinfachten Verfahren nach <ref-law> entschieden werden.
I. Prozessuales
2.
2.1. Die Vorinstanz hat zur Steuerperiode 2014 betreffend die Staats- und Gemeindesteuern des Kantons Thurgau einerseits und die direkte Bundessteuer anderseits ein einziges Urteil gefällt, was zulässig ist, soweit die zu entscheidende Rechtsfrage im Bundesrecht und im harmonisierten kantonalen bzw. im rein kantonalen Recht gleich geregelt ist. Dies trifft hier zu. Ebenso zulässig haben die Steuerpflichtigen den vorinstanzlichen Entscheid in einer einzigen Beschwerde angefochten (zum Ganzen <ref-ruling> E. 1.2 S. 296).
2.2. Die Voraussetzungen der Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten liegen vor (Art. 82 lit. a, Art. 83 e contrario, Art. 86 Abs. 1 lit. d und Abs. 2, Art. 90, Art. 100 Abs. 1 BGG in Verbindung mit <ref-law> [SR 642.11] und Art. 73 StHG [SR 642.14]).
2.3. Das Bundesgericht prüft das Bundesrecht, wozu auch das Recht der direkten Bundessteuer (<ref-law>) und das harmonisierte Recht von Kantonen und Gemeinden (<ref-law>) zählt, von Amtes wegen (<ref-law>; <ref-ruling> E. 4.4.5 S. 157) und mit uneingeschränkter (voller) Kognition (<ref-law>; <ref-ruling> E. 2 S. 236). Abweichend davon untersucht es die angebliche Verletzung verfassungsmässiger Individualrechte (unter Einschluss der Grundrechte) sowie von rein kantonalem Recht nur, falls eine solche Rüge in der Beschwerde überhaupt vorgebracht und ausreichend begründet worden ist (<ref-law>; qualifizierte Rüge- und Begründungsobliegenheit; <ref-ruling> E. 1.7.2 S. 106). In der Beschwerde ist daher klar und detailliert anhand der Erwägungen des angefochtenen Entscheids aufzuzeigen, inwiefern verfassungsmässige Individualrechte verletzt worden sein sollen (<ref-ruling> E. 2.1 S. 372).
2.4. Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (<ref-law>; <ref-ruling> E. 4.4.3 S. 156).
II. Direkte Bundessteuer
3.
3.1. Der streitbetroffene Entscheid vom 21. Juli 2017 ist im Verfahren "A-Post Plus" ("Courrier A Plus") versandt worden. Die Vorinstanz stellt die bundesgerichtliche Praxis zu diesem Versandverfahren zutreffend dar (dazu Urteil 2C_430/2009 vom 14. Januar 2010, in: RDAF 2010 II S. 458, StR 65/2010 S. 396, bestätigt unter anderem in <ref-ruling>) und kommt bundesrechtskonform zum Ergebnis, der Versand des Rechtsmittelentscheids sei zulässigerweise im Wege von "A-Post Plus" erfolgt. Sodann ergibt sich aus den insoweit unbestrittenen und daher für das Bundesgericht verbindlichen Feststellungen der Vorinstanz (<ref-law>; vorne E. 2.4), dass die Postaufgabe vom 23. August 2017 verspätet war.
3.2. Streitig und zu prüfen ist einzig, ob die Vorinstanz das Gesuch um Wiederherstellung der versäumten Frist bundesrechtskonform abwies. Massgebend hierfür sind die Art. 133 Abs. 3 in Verbindung mit Art. 140 Abs. 4 und Art. 145 Abs. 2 DBG. Die Wiedereinsetzung in den früheren Stand ist direktsteuerlich nur anzuordnen, wenn die steuerpflichtige Person einerseits nachweist, dass sie durch Militär- oder Zivildienst, Krankheit, Landesabwesenheit oder andere erhebliche Gründe an der rechtzeitigen Einreichung verhindert war ( materielle Voraussetzung) und anderseits das Rechtsmittel innert 30 Tagen nach Wegfall der Hinderungsgründe eingereicht wurde ( formelle Voraussetzung; ausführlich dazu Urteil 2C_451/2016 / 2C_452/2016 vom 8. Juli 2016 E. 2.2.1, in: ASA 85 S. 90, StR 71/2016 S. 811). Grundvoraussetzung ist damit, dass die steuerpflichtige Person oder ihre Hilfsperson, namentlich die vertragliche Vertretung, unverschuldeterweise davon abgehalten worden ist, fristgerecht tätig zu werden. Die Praxis verlangt "klare Schuldlosigkeit". Eine solche kann in der objektiven Unmöglichkeit (Militärdienst usw.; Urteil 2C_168/2014 vom 29. Oktober 2014 E. 5.3 mit Hinweisen, in: RDAF 2015 II S. 156, StR 70/2015 S. 173), ebenso gut aber auch in der subjektiven Unmöglichkeit des zeitgerechten Verhaltens begründet sein. Als subjektiv unmöglich gilt die Fristwahrung, wenn das gebotene Verhalten zwar - objektiv betrachtet - möglich gewesen wäre, die betroffene Person aber durch besondere Umstände, die sie nicht zu vertreten hat, vom gebotenen Verhalten abgehalten wurde. Zu denken ist insbesondere an unverschuldete Irrtumsfälle (Urteil 2C_795/2016 vom 10. Oktober 2016 E. 4.6.1).
3.3. Die Vorinstanz erwägt, die Empfänger eines Rechtsmittelentscheids hätten die Rechtsmittelfrist mit gebührender Sorgfalt abzuklären. Dem eidg. dipl. Steuerexperten sei ein Fehler unterlaufen, und die Steuerpflichtigen hätten es unterlassen, die Berechnung der Frist nachzuprüfen. Ein eidg. dipl. Steuerexperte verfüge über die erforderlichen Fachkenntnisse verfahrensrechtlicher Natur, auch wenn er kein juristisches Studium abgeschlossen habe. Dies stehe einer subjektiven Unmöglichkeit (im Sinne eines zu entschuldigenden Irrtums) entgegen. Der eidg. dipl. Steuerexperte habe im Verfahren vor der Steuerrekurskommission als Vertreter der Steuerpflichtigen gewirkt und habe daher als vertragliche Hilfsperson zu gelten. Das in Wahrnehmung der vertraglichen Vertretung entfaltete Fehlverhalten sei den Steuerpflichtigen unmittelbar zuzurechnen, was deren Schuldlosigkeit ausschliesse.
3.4. Was die Steuerpflichtigen im bundesgerichtlichen Verfahren vorbringen, vermag die vorinstanzlichen Erwägungen nicht als bundesrechtswidrig darzustellen. Zunächst erscheint es als recht gesucht, wenn sie vortragen lassen, vor Verwaltungsgericht herrsche im Kanton Thurgau das Anwaltsmonopol, weshalb die Steuerrekurskommission den Entscheid nicht nur dem eidg. dipl. Steuerexperten, sondern auch ihnen, den Steuerpflichtigen, zu eröffnen gehabt hätte. Dafür findet sich in der Rechtsordnung keine Grundlage. Alsdann heben sie den Umstand hervor, dass sie das Couvert und das Deckblatt nie zu Gesicht erhalten hätten. Der eidg. dipl. Steuerexperte habe sich per E-Mail bei ihnen gemeldet, ohne Anhänge mitzuliefern. Darauf kann es freilich nicht ankommen, zumal es ohne Weiteres möglich gewesen wäre, um Zustellung des Couverts zu ersuchen. Es mutet denn auch widersprüchlich an, wenn die Steuerpflichtigen einerseits hervorheben, sie hätten sich auf die Fachkompetenz des eidg. dipl. Steuerexperten verlassen dürfen, gleichzeitig aber einräumen, an eine Person ohne juristische Ausbildung dürften nicht dieselben (hohen) Anforderungen gestellt werden, die von einer Person mit juristischem Abschluss zu verlangen sind. Dies alles überzeugt nicht. Die Steuerpflichtigen haben sich das prozessuale Fehlverhalten ihrer vertraglichen Vertretung zurechnen zu lassen (Urteil 2C_222/2014 vom 10. März 2014 E. 2.4 mit Hinweis, in: ASA 82 S. 661). Dies schliesst die subjektive Unmöglichkeit und damit auch die Wiederherstellung der versäumten Frist aus.
3.5. Was schliesslich den Einwand betrifft, der angefochtene Entscheid verletze "durch falsche Rechtsanwendung die <ref-law>, <ref-law> in Verbindung mit <ref-law>", so erübrigen sich hierzu weitere Ausführungen. Es fehlt hierzu jegliche Begründung, die den gesetzlichen Anforderungen genügen könnte (<ref-law>; vorne E. 2.3).
3.6. Die Beschwerde erweist sich damit als offensichtlich unbegründet, weshalb sie abzuweisen ist (<ref-law>).
III. Staats- und Gemeindesteuern des Kantons Thurgau
4.
Dem harmonisierten Recht der Kantone und Gemeinden lässt sich zur Fristwiederherstellung keine eigenständige Bestimmung entnehmen, weshalb das rein kantonale Recht anwendbar ist. Das Gesetz (des Kantons Thurgau) vom 14. September 1992 über die Staats- und Gemeindesteuern (StG/TG; RB 640.1) sieht in § 164 Abs. 3 in Verbindung mit § 175 Abs. 3 und § 176 Abs. 3 eine Regelung vor, welche der direkten Bundessteuer (Art. 133 Abs. 3 in Verbindung mit Art. 140 Abs. 4 und Art. 145 Abs. 2 DBG) entspricht (Urteil 2C_886/2017 vom 2. November 2017 E. 3). Es kann daher in allen Teilen auf die Ausführungen zur direkten Bundessteuer verwiesen werden.
IV. Kosten und Entschädigung
5.
Nach dem Unterliegerprinzip (<ref-law>) sind die Kosten des bundesgerichtlichen Verfahrens den Steuerpflichtigen aufzuerlegen. Diese tragen ihren Anteil zu gleichen Teilen und unter solidarischer Haftbarkeit (<ref-law>). Dem Kanton Thurgau, der in seinem amtlichen Wirkungskreis obsiegt, steht keine Entschädigung zu (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde betreffend die direkte Bundessteuer, Steuerperiode 2014, wird abgewiesen.
2.
Die Beschwerde betreffend die Staats- und Gemeindesteuer des Kantons Thurgau, Steuerperiode 2014, wird abgewiesen.
3.
Die Kosten des bundesgerichtlichen Verfahrens von Fr. 2'000.-- werden den Beschwerdeführern auferlegt. Diese tragen ihren Anteil zu gleichen Teilen und unter solidarischer Haftbarkeit.
4.
Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten, dem Verwaltungsgericht des Kantons Thurgau und der Eidgenössischen Steuerverwaltung schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 7. Dezember 2017
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Seiler
Der Gerichtsschreiber: Kocher