Erwägungen:
1.
A.A._, seine Ehefrau B.A._ und die Tochter C.A._ (alle niederländische Staatsangehörige) beschwerten sich vergeblich gegen den Widerruf ihrer Aufenthaltsbewilligungen EU/EFTA (vgl. u.a. Urteile des Bundesgerichts 2C_243/2015 vom 2. November 2015 und 2F_23/2015 vom 5. Januar 2016). In der Folge ersuchte die Familie A._ das Amt für Migration und Personenstand (Migrationsdienst) des Kantons Bern verschiedentlich erneut um die Erteilung von Aufenthaltsbewilligungen bzw. um Bestätigung ihrer Anwesenheitsberechtigung. In diesem Zusammenhang erhob sie u.a. Beschwerden wegen Rechtsverweigerung bzw. Rechtsverzögerung, zunächst bei der Polizei- und Militärdirektion des Kantons Bern (4. März/1. April 2016) und später beim kantonalen Verwaltungsgericht (8. Mai 2016).
2.
Am 11. Juni 2016 erhob die Familie A._ beim Bundesgericht Beschwerde gemäss <ref-law> (Rechtsverzögerung). Mit Urteil vom 18. August 2016 (2C_543/2016) trat das Bundesgericht auf diese Beschwerde durch Entscheid des Abteilungspräsidenten nicht ein. Dieser erwog im Wesentlichen zunächst, zum Gegenstand bundesgerichtlicher Prüfung könne allein die Frage gemacht werden, ob sich dem Verwaltungsgericht unmittelbar Rechtsverzögerung vorwerfen lasse (E. 2.2). Es bleibe indessen unerfindlich, welches Handeln von diesem erforderlich wäre (nachdem es am 3. August 2016 eine Instruktionsverfügung erlassen hatte); und die Beschwerdeführer vermöchten mit ihren Eingaben "auch nicht ansatzweise darzulegen, inwiefern sich dem Verwaltungsgericht Rechtsverweigerung oder Rechtsverzögerung vorwerfen liesse" (E. 2.3).
3.
Mit Eingabe vom 4. September 2016 ist A.A._ - für sich und seine Tochter - unter Bezugnahme auf das Urteil 2C_543/2016 an das Bundesgericht gelangt. Er fordert von diesem, es habe betreffend seine erneut geschilderten Anliegen ein Verfahren zu eröffnen, "die verlangten Aufenthalt Bewilligungen für Tochter zu geben und anschliessen Einbürgerung". Hierfür sei zudem die unentgeltliche Rechtspflege zu gewähren.
4.
Gemäss <ref-law> erwachsen Entscheide des Bundesgerichts am Tag ihrer Ausfällung in Rechtskraft. Gegen Urteile des Bundesgerichts steht kein ordentliches Rechtsmittel zur Verfügung, es kann dagegen nicht Beschwerde erhoben werden. In Betracht käme allenfalls ein Revisionsgesuch. Darauf liesse sich nur eintreten, wenn die betroffene Partei einen der vom Gesetz abschliessend genannten Revisionsgründe (Art. 121 - 123 BGG) geltend machte und dessen Vorliegen bezogen und begrenzt auf den Gegenstand des bundesgerichtlichen Urteils aufzeigte. Die Eingabe vom 4. September 2016 nennt keinen solchen, und es ist auch nicht ersichtlich, inwiefern das Bundesgericht mit seinem Nichteintretens-Urteil 2C_543/2016 vom 18. August 2016 bzw. mit den entsprechenden rein verfahrensrechtlichen Erwägungen einen Revisionsgrund gesetzt haben könnte.
Auf das Revisionsgesuch ist ohne Schriftenwechsel oder andere Instruktionsmassnahmen nicht einzutreten (vgl. <ref-law>).
Diesem Verfahrensausgang entsprechend sind die Kosten des Revisionsverfahrens den Gesuchstellern aufzuerlegen (Art. 65 sowie Art. 66 Abs. 1 erster Satz und Abs. 3 BGG). Ihrem Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege kann zufolge Aussichtslosigkeit der gestellten Begehren nicht entsprochen werden (<ref-law>).
Das Bundesgericht behält sich vor, weitere Eingaben ähnlicher Art in dieser Angelegenheit, nach Prüfung, unbeantwortet abzulegen.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Auf das Revisionsgesuch wird nicht eingetreten.
2.
Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege wird abgewiesen.
3.
Die Gerichtskosten von Fr. 800.-- werden den Beschwerdeführern unter solidarischer Haftung auferlegt.
4.
Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten, dem Verwaltungsgericht des Kantons Bern und dem Staatssekretariat für Migration schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 13. September 2016
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Seiler
Der Gerichtsschreiber: Klopfenstein