Das Bundesgericht zieht in Erwägung:
1.
Der Beschwerdeführer stellte am 10. Januar 2017 ein Gesuch um Erlass der Kosten aus einem Beschwerdeverfahren in der Höhe von Fr. 800.--.
Das Obergericht des Kantons Solothurn, Beschwerdekammer, trat am 21. März 2017 auf das Gesuch nicht ein, weil der Beschwerdeführer die eingeforderten Unterlagen innert gesetzter und erstreckter Frist nicht eingereicht hatte.
Der Beschwerdeführer wendet sich mit Beschwerde an das Bundesgericht. Er beantragt im Wesentlichen, die Verfügung vom 21. März 2017 sei aufzuheben und die Beschwerde gutzuheissen. Er beklagt eine Verletzung von <ref-law> und damit implizit von <ref-law>, des Willkürverbots und des Grundsatzes von Treu und Glauben (<ref-law>) sowie des Verhältnismässigkeitsprinzips nach <ref-law>. Er habe die Voraussetzungen für einen Erlass der Verfahrenskosten, insbesondere seine Mittellosigkeit, hinreichend und glaubhaft belegt und damit einen Anspruch auf Erlass der Gebührenrechnung von Fr. 800.--.
2.
Gemäss <ref-law> ist in der Beschwerdebegründung in gedrängter Form darzulegen, inwiefern der angefochtene Entscheid Recht verletzt, wobei für die Anfechtung des Sachverhalts und die Rüge der Verletzung von Grundrechten qualifizierte Begründungsanforderungen gelten (vgl. Art. 97 Abs. 1 und Art. 106 Abs. 2 BGG). Die beschwerdeführende Partei hat mit ihrer Kritik an den als rechtsfehlerhaft erachteten Erwägungen der Vorinstanz anzusetzen (<ref-ruling> E. 2 S. 116). Sie kann sich nicht darauf beschränken, einen von den tatsächlichen Feststellungen der Vorinstanz abweichenden Sachverhalt zu behaupten und die Rechtsstandpunkte, die sie im kantonalen Verfahren eingenommen hat, erneut zu bekräftigen (Urteil 6B_3/2016 vom 28. Oktober 2016 E. 2.2 mit Hinweisen). Auf ungenügend begründete Rügen oder bloss allgemein gehaltene appellatorische Kritik am angefochtenen Entscheid tritt das Bundesgericht nicht ein (<ref-ruling> E. 1.3.1 mit Hinweisen).
3.
Gegenstand der angefochtenen Verfügung bildet einzig das Nichteintreten des Obergerichts auf das Erlassgesuch des Beschwerdeführers. Auf ausserhalb des durch die angefochtene Verfügung vom 21. März 2017 begrenzten Streitgegenstands liegende Anträge, Rügen und weitere Vorbringen ist nicht einzutreten.
4.
Forderungen aus Verfahrenskosten können von den Strafbehörden gestundet oder unter Berücksichtigung der wirtschaftlichen Verhältnisse der kostenpflichtigen Person in Anwendung von <ref-law> herabgesetzt oder erlassen werden. Entgegen der insoweit unbegründeten Ansicht des Beschwerdeführers gibt es indessen keinen verfassungsrechtlichen Anspruch auf Erlass der Gerichtskosten; selbst im Fall eines dauerhaft mittellosen Betroffenen verbleibt es im Ermessen der zuständigen Behörde, ob sie einem Gesuch um Erlass von Gerichtskosten ganz oder teilweise Folge gibt (Urteil 6B_500/2016 vom 9. Dezember 2016 E. 3). Dies gilt dem Grundsatz nach auch für Stundungen und insbesondere den Erlass von Verfahrenskosten. Das Gesetz belässt den Strafbehörden mit der "Kann-Vorschrift" ein weites Ermessen, in welches das Bundesgericht nur bei bundesrechtswidriger Ermessensausübung eingreift (Urteile 6B_610/2014 vom 28. August 2014 E. 3, 6B_955/2016 vom 12. Oktober 2016 E. 4).
5.
Dass und inwiefern das Obergericht mit der angefochtenen Verfügung gegen das Recht im Sinne von <ref-law> verstossen haben soll, ist weder ersichtlich noch dargelegt. Der Beschwerdeführer beschränkt sich vor Bundesgericht im Wesentlichen darauf, seine Sicht der Dinge darzulegen, ohne sich mit den Erwägungen der obergerichtlichen Verfügung hinreichend konkret zu befassen. Seine Ausführungen vermögen die angefochtene Verfügung mithin nicht als willkürlich oder sonstwie verfassungs- oder rechtswidrig zu widerlegen (vorstehend E. 2). Er verkennt im Übrigen, dass das Obergericht auf umfassenden Informationen und Belegen zur finanziellen Situation beharren durfte. Dem kam der Beschwerdeführer innert gesetzter und - auf dessen Anträge hin - mehrfach erstreckter Frist bis zum 15. März 2017 nicht nach. Er reichte innert Frist weder den "Fragebogen Erlassgesuch" ein noch belegte er seine wirtschaftlichen Verhältnisse (Einnahmen und Ausgaben) umfassend. Stattdessen teilte er am 17. März 2017 telefonisch mit, er habe die Frist zufolge Erkrankung nicht einhalten können und werde schriftlich mit Arztzeugnis um Fristerstreckung ersuchen. Das Obergericht stellte fest, dass ein solches Fristersteckungsgesuch bis 21. März 2017 nicht eingegangen sei. Es stellte weiter fest, dass ein Fristerstreckungsgesuch ohnehin spätestens am 15. März 2017 hätte gestellt werden müssen und nicht davon auszugehen sei, dem Beschwerdeführer sei dies krankheitshalber nicht möglich gewesen. Inwiefern diese Beurteilung vor den gerügten Verfassungsbestimmungen nicht standzuhalten vermag, ist auch unter Berücksichtigung der vom Beschwerdeführer ins Recht gelegten Arztzeugnisse nicht ersichtlich. Diese bescheinigen lediglich eine Arbeitsunfähigkeit im Wesentlichen vom 6. bis 11. März 2017, vom 13. bis 17. März 2017 sowie vom 20. bis 26. März 2017; sie belegen jedoch nicht, dass es dem Beschwerdeführer unmöglich gewesen sein soll, innert Frist bis zum 15. März 2017 ein Fristerstreckungsgesuch zu stellen. Das Obergericht hat folglich weder Bundes- noch Verfassungsrecht verletzt, als es mangels der erforderlichen Unterlagen auf das Erlassgesuch des Beschwerdeführers nicht eingetreten ist.
6.
Die Beschwerde ist im Verfahren gemäss <ref-law> abzuweisen, soweit darauf eingetreten werden kann. Dem implizit gestellten Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege ist infolge offensichtlicher Aussichtslosigkeit des Rechtsbegehrens nicht stattzugeben (<ref-law>). Die Gerichtskosten sind dem Beschwerdeführer aufzuerlegen (<ref-law>). Seiner finanziellen Lage ist durch reduzierte Gerichtskosten Rechnung zu tragen (<ref-law>). Das Gesuch um aufschiebende Wirkung wird mit dem Entscheid in der Sache gegenstandslos.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.
Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege wird abgewiesen.
3.
Die Gerichtskosten von Fr. 1'200.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Solothurn, Beschwerdekammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 22. Mai 2017
Im Namen der Strafrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Denys
Die Gerichtsschreiberin: Arquint Hill