Erwägungen:
1.
A._ stellte am 12. Mai 2015 beim Strassenverkehrsamt des Kantons Luzern ein Gesuch um Umtausch seines österreichischen Führerausweises in einen schweizerischen Führerausweis der Kategorie B. Dabei bejahte er die Fragen, ob er an psychischen Erkrankungen leide oder gelitten habe und ob er je in einer psychiatrischen Klinik hospitalisiert gewesen sei.
Das Strassenverkehrsamt des Kantons Luzern ordnete mit Verfügung vom 18. Mai 2015 eine psychiatrische Abklärung zur Überprüfung der Fahreignung an. Ein psychiatrisches Gutachten vom 19. September 2015 bejahte eine Einschränkung der Fahreignung. A._ leide seit 2009 unter einer psychischen Störung. Der letzte stationäre Aufenthalt liege erst fünf Monate zurück. Zur sicheren Einschätzung des Krankheitsverlaufs sei eine ausreichende Beobachtungszeit von mindestens fünf Monaten notwendig. Es müsse ein symptomfreies Intervall von 12 Monaten vorliegen. Schliesslich sei eine ärztlich kontrollierte Drogenabstinenz (Cannabis) von sechs Monaten erforderlich.
2.
Gestützt auf dieses Gutachten verweigerte das Strassenverkehrsamt des Kantons Luzern A._ mit Verfügung vom 9. Oktober 2015 den Umtausch des ausländischen Führerausweises der Kategorie B in einen schweizerischen Ausweis und aberkannte den ausländischen Führerausweis in der Schweiz auf unbestimmte Zeit. Gleichzeitig machte es ein weiteres Gesuch um Umtausch des ausländischen Führerausweises u.a. abhängig von der Beibringung eines Gutachtens des Instituts für Rechtsmedizin der Universität Zürich (IRMZ), welches die Fahreignung bejaht, sowie einer sechsmonatigen, ärztlich kontrollierten Cannabisabstinenz. Gegen diese Verfügung erhob A._ Beschwerde, welche das Kantonsgericht Luzern mit Urteil vom 27. April 2016 hinsichtlich der verfügten Cannabisabstinenz und der damit verbundenen Kontrollmassnahmen guthiess und im Übrigen abwies.
3.
Gegen das Urteil des Kantonsgerichts Luzern erhob A._ mit Eingabe vom 27. Mai 2016 (Postaufgabe 29. Mai 2016) Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten. Das Bundesgericht verzichtet auf die Einholung von Vernehmlassungen.
4.
Nach <ref-law> ist in der Begründung einer Beschwerde in gedrängter Form darzulegen, inwiefern der angefochtene Entscheid Recht verletzt. Die Bestimmungen von <ref-law> nennen die vor Bundesgericht zulässigen Beschwerdegründe. Hinsichtlich der Verletzung von Grundrechten gilt der in <ref-law> verankerte Grundsatz der Rechtsanwendung von Amtes wegen nicht; insofern besteht eine qualifizierte Rügepflicht (<ref-law>; <ref-ruling> E. 1.4.1 S. 53, 65 E. 1.3.1 S. 68 mit Hinweisen). Es obliegt dem Beschwerdeführer namentlich darzulegen, inwiefern der angefochtene Entscheid gegen die gerügten Grundrechte verstossen soll.
Der Beschwerdeführer, der keinen zulässigen Beschwerdegrund nennt, setzt sich mit der Begründung des Kantonsgerichts nicht auseinander. Aus seiner Beschwerde ergibt sich folglich nicht, inwiefern die Begründung des Kantonsgerichts, bzw. dessen Urteil selbst rechts- bzw. verfassungswidrig sein soll. Die Beschwerde genügt den gesetzlichen Formerfordernissen offensichtlich nicht, weshalb auf sie im vereinfachten Verfahren nach <ref-law> nicht einzutreten ist.
5.
Auf eine Kostenauflage ist zu verzichten (<ref-law>).

Demnach erkennt der Präsident:
1.
Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2.
Es werden keine Kosten erhoben.
3.
Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer, dem Strassenverkehrsamt des Kantons Luzern, und dem Kantonsgericht Luzern, 4. Abteilung, Einzelrichter, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 2. Juni 2016
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Fonjallaz
Der Gerichtsschreiber: Pfäffli