Faits :
A.
A.X._, ressortissant de la République du Kosovo né en 1974, est entré en Suisse le 1er février 2006. A la suite de son mariage le 27 septembre 2007 avec une ressortissante portugaise, B.X._, il a été mis au bénéfice d'une autorisation de séjour UE/AELE. Le couple a eu deux filles, nées en février 2008 et avril 2010.
Dans son pays d'origine, A.X._ avait épousé traditionnellement C._. De cette union sont issus quatre enfants, dont l'aîné, D.X._, est né en 1996.
Le 4 avril 2013, A.X._ a déposé auprès de la représentation suisse au Kosovo une demande de regroupement familial en faveur de son fils D.X._. Répondant au Service de la population du canton de Vaud (ci-après: le Service cantonal), il a expliqué que le but du séjour en Suisse de son fils était l'intégration dans un pays libre où il pourrait avoir un bon avenir professionnel.
Le 1er juin 2014, D.X._ est entré en Suisse sans les documents requis.
B.
Par décision du 8 septembre 2014, le Service cantonal a refusé d'octroyer à D.X._ une autorisation de séjour UE/AELE par regroupement familial, au motif que la demande était abusive, et a prononcé son renvoi de Suisse. La Cour de droit administratif et public du Tribunal cantonal du canton de Vaud (ci-après: le Tribunal cantonal) a rejeté par arrêt du 5 janvier 2016 le recours formé par A.X._ et D.X._ contre cette décision et confirmé celle-ci.
C.
A l'encontre de l'arrêt du 5 janvier 2016, A.X._ dépose un recours en matière de droit public au Tribunal fédéral. Il conclut, sous suite de frais et dépens, principalement à l'annulation de l'arrêt attaqué et à ce que son fils D.X._ soit autorisé à rester en Suisse, subsidiairement à l'annulation de l'arrêt entrepris et au renvoi de la cause à l'instance inférieure pour réexamen.
Le Tribunal cantonal se réfère à l'arrêt attaqué; le Service cantonal renonce à se déterminer. Le Secrétariat d'Etat aux migrations conclut au reje t du recours. Le recourant a déposé des observations.
Par ordonnance du 14 juillet 2016, la Juge de la IIe Cour de droit public du Tribunal fédéral chargée de l'instruction a déclaré irrecevable la requête d'effet suspensif au recours, dès lors que l'arrêt attaqué ne visait pas le statut juridique du recourant en Suisse, mais seulement de son fils.

Considérant en droit :
1.
Le Tribunal fédéral examine d'office sa compétence (<ref-law>) et contrôle librement la recevabilité des recours qui lui sont soumis (<ref-ruling> consid. 2.1 p. 397; <ref-ruling> consid. 2 p. 59).
1.1. D'après l'art. 83 let. c ch. 2 LTF, le recours en matière de droit public est irrecevable contre les décisions relatives à une autorisation de séjour à laquelle ni le droit fédéral ni le droit international ne donnent droit. Selon la jurisprudence, il suffit, sous l'angle de la recevabilité, qu'il existe un droit potentiel à l'autorisation, étayé par une motivation soutenable, pour que cette clause d'exclusion ne s'applique pas et que, partant, la voie du recours en matière de droit public soit ouverte (<ref-ruling> consid. 2.5 p. 315; <ref-ruling> consid. 1.1 p. 179; arrêt 2C_997/2015 du 30 juin 2016 consid. 1.1).
Quelle que soit leur nationalité, les beaux-enfants d'une personne ressortissant d'un Etat membre de l'Union européenne peuvent en principe bénéficier d'un droit de séjour dérivé des art. 7 let. d de l'Accord du 21 juin 1999 entre la Confédération suisse, d'une part, et la Communauté européenne et ses Etats membres, d'autre part, sur la libre circulation des personnes (ALCP; RS 0.142.112.681) et 3 par. 1 annexe I ALCP, s'ils sont âgés de moins de 21 ans ou à charge (cf. art. 3 par. 2 let. a annexe I ALCP; cf. <ref-ruling> consid. 3 et 4 p. 70 ss). La recevabilité du recours en matière de regroupement familial dépend de l'âge de l'enfant au moment du dépôt de la demande (arrêts 2C_909/2015 du 1er avril 2016 consid. 1.2; 2C_767/2013 du 6 mars 2014 consid. 1.2 et 2C_195/2011 du 17 octobre 2011 consid. 1.1).
Le recourant, marié à une ressortissante de l'Union européenne séjournant en Suisse, est potentiellement habilité à invoquer les art. 7 let. d ALCP et 3 par. 1 et 2 let. a annexe I ALCP pour en déduire un droit au regroupement familial pour son fils, âgé de 16 ans et un peu plus de trois mois (<ref-law>) lorsque la demande d'autorisation de séjour a été déposée. Il s'ensuit que le présent recours n'entre pas dans les motifs d'exclusion de l'art. 83 let. c ch. 2 LTF, sans que cela ne préjuge l'issue du litige (cf. <ref-ruling> consid. 1.1 p. 332). La voie du recours en matière de droit public est partant ouverte.
1.2. Le présent recours, dirigé contre une décision finale (<ref-law>) rendue par une autorité cantonale supérieure de dernière instance (art. 86 al. 1 let. d et al. 2 LTF), a été déposé en temps utile (<ref-law>) et dans les formes prescrites par la loi (<ref-law>). Le recourant est l'un des deux destinataires de l'arrêt attaqué (cf. <ref-law>). L'on peut se demander au regard des exigences énoncées aux lettres b et c de l'<ref-law> s'il peut interjeter seul recours contre l'arrêt attaqué, alors que l'objet du litige concerne le droit de séjourner en Suisse de son fils désormais majeur depuis le 23 décembre 2014. Compte tenu de l'issue du litige, la réponse à cette question peut demeurer indécise.
2.
2.1. Saisi d'un recours en matière de droit public, le Tribunal fédéral statue sur la base des faits établis par l'autorité précédente (<ref-law>), à moins que ces faits n'aient été établis de façon manifestement inexacte - ce qui correspond à la notion d'arbitraire - ou en violation du droit (<ref-law>). La partie recourante qui entend s'écarter des constatations de l'autorité précédente doit expliquer de manière circonstanciée en quoi les conditions d'une exception prévue par l'<ref-law> seraient réalisées et la correction du vice susceptible d'influer sur le sort de la cause (<ref-law>). A défaut, il n'est pas possible de tenir compte d'un état de fait qui diverge de celui contenu dans la décision attaquée. En particulier, le Tribunal fédéral n'entre pas en matière sur des critiques de type appellatoire portant sur l'état de fait ou sur l'appréciation des preuves (cf. <ref-ruling> consid. 10.1 p. 445). Aucun fait nouveau ni preuve nouvelle ne peut être présenté à moins de résulter de la décision de l'autorité précédente (<ref-law>).
En l'occurrence, le recourant critique l'appréciation du Tribunal cantonal en présentant sa propre version des faits et en complétant l'arrêt attaqué, sans toutefois alléguer l'inexactitude manifeste des constatations cantonales. Par ailleurs, ses affirmations relatives aux connaissances linguistiques et à l'intégration de son fils sont nouvelles et, partant, irrecevables. En conséquence, la Cour de céans se fondera dans la suite du raisonnement exclusivement sur les faits de l'arrêt entrepris.
2.2. Le Tribunal fédéral contrôle librement la violation du droit fédéral et du droit international (cf. art. 95 let. a et b; <ref-law>), sous réserve des exigences de motivation figurant à l'<ref-law>. Aux termes de cet alinéa, le Tribunal fédéral n'examine la violation des droits fondamentaux que si ce grief a été invoqué et motivé par le recourant. En tant qu'il reproche au Tribunal cantonal de ne pas avoir procédé à son audition, le recourant semble soulever une violation de son droit d'être entendu. Il ne formule toutefois aucun grief précis, ni ne se plaint d'une violation de l'art. 29 al. 2 Cst. à cet égard. Partant, la critique ne remplissant pas les exigences de l'<ref-law>, elle ne sera pas examinée.
2.3. Le Tribunal fédéral n'est en principe pas lié par les motifs de l'autorité précédente ni par les moyens des parties. Il peut donc admettre le recours pour d'autres motifs que ceux invoqués par le recourant, comme il peut le rejeter en opérant une substitution de motifs (<ref-ruling> consid. 3 p. 415; <ref-ruling> consid. 2.2 p. 540).
3.
La loi fédérale du 16 décembre 2005 sur les étrangers (LEtr; RS 142.20) s'applique aux ressortissants des Etats membres de l'Union européenne notamment lorsqu'elle prévoit des dispositions plus favorables que celles de l'ALCP (art. 2 al. 2 in fine LEtr). Tel n'est pas le cas en l'espèce. Titulaire d'une autorisation de séjour depuis le 27 septembre 2007, le recourant a déposé la demande de regroupement familial le 4 avril 2013, soit hors des délais prévus à l'art. 47 al. 1 LEtr, étant précisé que ceux-ci ont commencé à courir le 1er janvier 2008 (cf. art. 126 al. 3 LEtr; arrêt 2C_147/2015 du 22 mars 2016 consid. 2.4.2). Il en résulte qu'un regroupement familial fondé sur les dispositions de la LEtr ne serait envisageable qu'en cas de raisons familiales majeures (cf. art. 47 al. 4 LEtr), que les circonstances de la présente cause ne font aucunement apparaître (cf. arrêt 2C_914/2014 du 18 mai 2015 consid. 3.1) et que le recourant ne soulève du reste nullement.
4.
Le recourant invoque une violation des art. 7 let. d ALCP et 3 par. 1 annexe I ALCP. Il reproche au Tribunal cantonal d'avoir retenu que la demande de regroupement familial poursuivait un objectif économique et visait à éluder les prescriptions en matière de droit des étrangers.
4.1. D'après l'<ref-law>, en relation avec l'art. 7 let. d ALCP, les membres de la famille d'une personne ressortissant d'une partie contractante ayant un droit de séjour ont le droit de s'installer avec elle, à condition que celle-ci dispose d'un logement approprié (cf. par. 1 2e phrase de la disposition précitée). Sont notamment considérés comme membres de la famille, quelle que soit leur nationalité, le conjoint et leurs descendants de moins de 21 ans ou à charge (art. 3 par. 2 let. a annexe I ALCP), ce qui inclut les beaux-enfants du détenteur du droit de séjour originaire (<ref-ruling> consid. 3 et 4 p. 70 ss).
4.2. Contrairement à la LEtr, l'ALCP ne prévoit pas de délai pour demander le regroupement familial. Jusqu'à l'âge de 21 ans, le descendant d'une personne ressortissant d'une partie contractante ou de son conjoint peut donc en tout temps obtenir une autorisation de séjour au titre de regroupement familial. C'est le moment du dépôt de la demande de regroupement familial qui est déterminant pour calculer l'âge de l'enfant (<ref-ruling> consid. 3 et 4 dans le cas de la LEtr; arrêt 2C_195/2011 du 17 octobre 2011 consid. 4.2 dans le cas de l'ALCP).
4.3. Selon la jurisprudence, même fondé sur l'ALCP, le regroupement familial ne doit pas être autorisé sans réserve. Il faut que le citoyen de l'Union européenne donne son accord, que le parent de l'enfant soit autorisé à s'en occuper ou, en cas d'autorité parentale conjointe, ait obtenu l'accord de l'autre parent et qu'il existe une relation familiale minimale entre le parent en Suisse et l'enfant résidant à l'étranger. Enfin, le regroupement familial doit paraître approprié au regard de la Convention du 20 novembre 1989 relative aux droits de l'enfant (CDE; RS 0.107) et ne pas être contraire au bien-être de l'enfant (cf. ATF <ref-ruling> consid. 3.2.2 et 3.2.3 p. 185 s., 65 consid. 5.2 p. 76; arrêts 2C_909/2015 du 1er avril 2016 consid. 3.2; 2C_767/2013 du 6 mars 2014 consid. 3.2; 2C_1144/2012 du 13 mai 2013 consid. 2.1 et 2C_195/2011 du 17 octobre 2011 consid. 4.3).
4.4. En droit de l'Union européenne, le regroupement familial est avant tout conçu et destiné à rendre effective et à favoriser la libre circulation des travailleurs, en permettant à ceux-ci de s'intégrer dans le pays d'accueil avec leur famille; cette liberté serait en effet illusoire si les travailleurs ne pouvaient l'exercer conjointement avec leur famille (<ref-ruling> consid. 7.1 p. 125; arrêt 2C_1061/2013 du 14 juillet 2015 consid. 5.1). L'objectif du regroupement familial n'est pas tant de permettre le séjour comme tel des membres de la famille des travailleurs ressortissants d'un Etat membre de l'Union européenne que de faciliter la libre circulation de ces derniers, en éliminant l'obstacle important que représenterait pour eux l'obligation de se séparer de leurs proches (<ref-ruling> consid. 7.1 p. 125 et la jurisprudence de la Cour de justice des Communautés européennes, devenue la Cour de justice de l'Union européenne, citée). En d'autres termes, le regroupement familial tel que prévu aux art. 7 let. d et 3 par. 1 annexe I ALCP vise à assurer que les travailleurs ressortissants d'un Etat contractant ne renoncent pas à la libre circulation pour des motifs familiaux. Le but que doit poursuivre le regroupement familial découlant de l'ALCP est donc de réunir une famille et de lui permettre de vivre sous le même toit. Les exigences quant au logement approprié posés par l'ALCP (cf. supra consid. 4.1) en attestent.
4.5. En l'occurrence, le Tribunal cantonal a retenu, à juste titre, que la condition d'âge du fils du recourant était réalisée. La mère et la belle-mère de celui-ci ont par ailleurs signifié leur accord à la venue en Suisse de l'intéressé. Il est moins évident d'admettre que les autres exigences au regroupement familial sont réunies comme l'a laissé entendre le Tribunal cantonal dans la première étape de son raisonnement.
A teneur des constatations cantonales, le fils du recourant a grandi auprès de sa mère et de ses grands-parents paternels. Au cours des dernières années, le recourant n'a vu son fils qu'à l'occasion de vacances. Celui-ci ne connaissait pas sa belle-mère et ses demi-soeurs avant que le regroupement familial ne soit demandé, alors que son père était marié depuis plus de 5 ans. Au vu de ces faits, contestés par le recourant sans que l'arbitraire ou le caractère manifestement inexact des constatations cantonales ne soit démontré (cf. supra consid. 2.1), il est permis de douter de l'existence d'une relation familiale minimale. Le fait que le fils du recourant ait pu tisser des liens avec sa belle-famille depuis son arrivée illégale en Suisse le 1er juin 2014 n'est pas déterminant à cet égard. Admettre le contraire reviendrait en effet à favoriser un comportement consistant à mettre les autorités devant le fait accompli (cf. arrêt 2C_1075/2015 du 28 avril 2016 consid. 3.2).
Le recourant dispose d'un logement principal petit, puisqu'il doit loger quatre personnes, sans compter son fils aîné, dans un appartement de trois pièces comportant deux chambres et un séjour. Il lui serait partant difficile d'y accueillir son fils, de sorte que la réalisation de la condition du logement approprié est également douteuse.
4.6. Il doit être admis que le fils du recourant, qui était un enfant au sens de la CDE au moment du dépôt de la demande de regroupement familial (cf. art. 1 CDE), a un intérêt à venir en Suisse. Selon les faits retenus, cet intérêt est toutefois de nature essentiellement économique. Du point de vue des relations personnelles, le regroupement familial demandé aurait pour conséquence de séparer le fils du recourant des personnes avec lesquelles il a grandi et de lui faire quitter un pays où il a toujours vécu pour rejoindre son père et sa belle-mère, qu'il ne connaissait pas lors du dépôt de la demande. Ainsi, le regroupement familial, s'il n'est pas manifestement contraire à l'intérêt de D.X._, qui ne s'y oppose notamment pas (cf. <ref-ruling> consid. 4.8 p. 87), n'est pas non plus dans son intérêt supérieur (cf. art. 3 par. 1 CDE).
4.7. A cela s'ajoute que l'objectif de réunir une famille, lequel fonde les prévisions de l'ALCP et de son annexe I sur le regroupement familial, n'est pas réalisé en l'espèce. Comme l'a relevé le Tribunal cantonal, les déclarations du recourant et de son fils durant la procédure cantonale ont été sans équivoque sur le but de la venue en Suisse de D.X._. Le recourant a ainsi initialement indiqué qu'il s'agissait d'assurer à son fils un bon avenir professionnel, tandis que celui-ci a évoqué les conditions de vie prévalant en Suisse comme motif à sa demande. Le recourant a également expliqué qu'il souhaitait une intégration rapide de son fils sur le marché du travail. L'accès à une activité économique est certes autorisé aux membres de la famille d'un ressortissant d'une partie contractante à l'ALCP (cf. <ref-law>). Dans le contexte de la cause, c'est toutefois aussi un indicateur de l'indépendance voulue par le recourant pour son fils, par opposition à la construction d'une vie de famille ensemble. L'arrêt attaqué souligne que le recourant entend faire venir ses enfants restés au Kosovo un à un dès qu'ils seront autonomes, projet qui évoque également la volonté de leur ouvrir des perspectives professionnelles plutôt que celle d'instaurer une vie de famille. Il n'est par ailleurs pas exclu que, comme le relève l'arrêt attaqué, le deuxième appartement loué par le recourant soit destiné à son fils, qui vivrait dès lors immédiatement séparé de la famille. Une telle autonomie se comprend pour un jeune adulte, mais confirme qu'une vie de famille n'est pas envisagée ou, à tout le moins, n'est pas l'objectif du regroupement familial demandé.
Il découle de l'ensemble des circonstances qui précèdent que la confirmation du refus de délivrer une autorisation de séjour en faveur du fils du recourant n'est pas contraire à l'ALCP ou à la LEtr, sans qu'il ne soit nécessaire d'examiner la cause sous l'angle de l'abus de droit.
5.
Le recourant se prévaut à titre subsidiaire des art. 8 CEDH et 13 Cst., dont la portée est identique (cf. <ref-ruling> consid. 8.3.2 p. 350). Il ne peut toutefois rien déduire de ces dispositions, dès lors que son fils est majeur au moment de l'examen de la cause par la Cour de céans et ne se trouve pas dans un lien de dépendance particulier avec lui (<ref-ruling> consid. 3.2 p. 500; arrêt 2C_606/2009 du 17 mars 2010 consid. 1).
6.
Mal fondé, le recours doit être rejeté dans la mesure où il est recevable. Succombant, le recourant doit supporter les frais judiciaires (art. 65 et 66 al. 1 LTF). Il n'est pas alloué de dépens (art. 68 al. 1 et 3 LTF).

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce :
1.
Le recours est rejeté dans la mesure où il est recevable.
2.
Les frais judiciaires, arrêtés à 2'000.- fr., sont mis à la charge du recourant.
3.
Le présent arrêt est communiqué au recourant, au Service de la population du canton de Vaud, au Tribunal cantonal du canton de Vaud, Cour de droit administratif et public, et au Secrétariat d'Etat aux migrations.
Lausanne, le 10 novembre 2016
Au nom de la IIe Cour de droit public
du Tribunal fédéral suisse
Le Président : Seiler
La Greffière : Kleber