Sachverhalt:
A.
A._ (Beschwerdeführer) war von xxx bis yyy in der Abteilung Private Banking der Bank B._ AG (Beschwerdegegnerin) tätig.
B.
Am 1. Dezember 2014 machte A._ beim Arbeitsgericht Zürich eine Klage anhängig, mit der er verlangt, es sei der Bank B._ AG unter Strafandrohung gerichtlich zu verbieten, "Dokumente, elektronisch gespeicherte Daten jeglicher Art an Behörden oder andere Dritte in den USA zu übermitteln, auf denen der Name des Klägers ersichtlich ist oder aufgrund der übrigen Informationen im betreffenden oder in anderen gelieferten Dokumenten erschlossen werden kann".
Mit Verfügung vom 5. Dezember 2014 setzte die Präsidentin der 1. Abteilung des Arbeitsgerichts als Einzelgericht der Bank B._ AG Frist an, um sich "zu den Prozessvoraussetzungen, namentlich zu Verfahrensart, Streitwert und Kostenlosigkeit, zu äussern". Nachdem die Bank B._ AG schriftlich Stellung genommen hatte, setzte ihr das Einzelgericht zunächst am 6. Januar 2015 wiederum eine Frist an, um eine schriftliche Stellungnahme "zur Klage" einzureichen. Mit Verfügung vom 23. Januar 2015 nahm das Einzelgericht der Bank B._. AG diese Frist wieder ab und trat auf die Klage nicht ein.
Dagegen gelangte A._ mit Berufung an das Obergericht des Kantons Zürich. Dessen I. Zivilkammer trat mit Urteil vom 28. Mai 2015 auf die Klage ebenfalls nicht ein (Dispositiv-Ziffer 1). Für das erstinstanzliche Verfahren erhob sie keine Kosten (Dispositiv-Ziffer 2). Die zweitinstanzliche Entscheidgebühr setzte sie auf Fr. 2'000.-- fest (Dispositiv-Ziffer 3) und auferlegte den Parteien die Gerichtskosten des zweitinstanzlichen Verfahrens je zur Hälfte (Dispositiv-Ziffer 4). Parteientschädigungen sprach sie keine zu (Dispositiv-Ziffer 5).
C.
A._ beantragt mit Beschwerde in Zivilsachen, die Dispositiv-Ziffern 1, 3, 4 und 5 des Urteils des Obergerichts seien aufzuheben. "Das Arbeitsgericht Zürich sei anzuweisen", die Klage gemäss Klageschrift vom 1. Dezember 2014 materiell zu behandeln. Der Prozess sei an das Obergericht zurückzuweisen "mit dem Auftrag, über die Zusprechung einer Parteientschädigung an den Kläger für das Berufungsverfahren zu entscheiden".
Die Bank B._ AG und die Vorinstanz verzichteten auf Vernehmlassung.
D.
Mit Präsidialverfügung vom 10. Juli 2015 wurde der Beschwerde die aufschiebende Wirkung erteilt.

Erwägungen:
1.
Das angefochtene Urteil des Obergerichts ist ein Endentscheid (<ref-law>) einer letzten kantonalen Instanz im Sinne von <ref-law>. Die Streitwertgrenze von <ref-law> gilt nicht, da eine nichtvermögensrechtliche Angelegenheit vorliegt (siehe Erwägung 3).
Nachdem auch die übrigen Sachurteilsvoraussetzungen erfüllt sind, ist - unter Vorbehalt zulässiger und hinlänglich begründeter Rügen (Erwägung 2) - auf die Beschwerde einzutreten.
2.
Mit Beschwerde in Zivilsachen können Rechtsverletzungen nach Art. 95 und 96 BGG gerügt werden. Soweit sich der angefochtene Entscheid auf kantonales Recht stützt, kommt als Beschwerdegrund im Wesentlichen die Verletzung von Bundesrecht, insbesondere von verfassungsmässigen Rechten, in Frage (vgl. <ref-law>). Im Vordergrund steht dabei das Willkürverbot von <ref-law>. Die unrichtige Anwendung des kantonalen Rechts stellt grundsätzlich keinen zulässigen Beschwerdegrund dar (vgl. <ref-ruling> E. 1.3 S. 60; <ref-ruling> E. 1.3; <ref-ruling> E. 3 S. 351).
Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (<ref-law>). Dazu gehören sowohl die Feststellungen über den streitgegenständlichen Lebenssachverhalt als auch jene über den Ablauf des vor- und erstinstanzlichen Verfahrens, also die Feststellungen über den Prozesssachverhalt (<ref-ruling> E. 1.3.1 mit Hinweisen). Es kann die Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz nur berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruht (<ref-law>). "Offensichtlich unrichtig" bedeutet dabei "willkürlich" (<ref-ruling> E. 2 S. 117; <ref-ruling> E. 1.5).
Die Verletzung von Grundrechten und von kantonalem und interkantonalem Recht prüft das Bundesgericht nur insofern, als eine solche Rüge in der Beschwerde vorgebracht und begründet worden ist (<ref-law>). Das bedeutet, dass klar und detailliert anhand der Erwägungen des angefochtenen Entscheides darzulegen ist, inwiefern verfassungsmässige Rechte verletzt worden sein sollen (<ref-ruling> E. 1.2 mit Hinweisen). Macht die beschwerdeführende Partei eine Verletzung des Willkürverbots von <ref-law> geltend, genügt es nicht, wenn sie einfach behauptet, der angefochtene Entscheid sei willkürlich. Sie hat vielmehr im Einzelnen aufzuzeigen, inwiefern dieser offensichtlich unhaltbar ist (<ref-ruling> E. 1.3 S. 60; <ref-ruling> E. 3 S. 352).
3.
Das Obergericht nahm wie bereits das Einzelgericht am Arbeitsgericht an, die vorliegende Streitigkeit sei entgegen den Angaben des Beschwerdeführers eine nichtvermögensrechtliche und im ordentlichen Verfahren vor dem Kollegialgericht zu behandeln. Der Beschwerdeführer stellt diese Beurteilung im bundesgerichtlichen Verfahren nicht mehr in Frage, sondern findet sich ausdrücklich damit ab, dass sein Anspruch als nichtvermögensrechtlich qualifiziert wird. Hiervon ist auszugehen, nachdem das Bundesgericht heute in einem vergleichbaren Fall die entsprechende Auffassung des Obergerichts geschützt hat (vgl. Urteil 4A_328/2015 E. 6, zur Publikation vorgesehen).
4.
4.1. Dagegen beanstandet der Beschwerdeführer die Rechtsfolge dieser Qualifikation, nämlich das von der Vorinstanz angeordnete Nichteintreten. Er meint, das Arbeitsgericht hätte die Klage stattdessen von Amtes wegen dem zuständigen Spruchkörper des Gerichts, nämlich dem Kollegialgericht, zuteilen und im zulässigen Verfahren behandeln müssen.
Seine dahingehende Auffassung hatte der Beschwerdeführer bereits dem Obergericht vorgetragen, welches sich damit eingehend auseinandersetzte. Es befand zusammengefasst, die ZPO kenne das Institut der Prozessüberweisung im Fall fehlender Zuständigkeit des angerufenen Gerichts nicht. Wohl lege das Gericht von Amtes wegen fest, welcher Spruchkörper intern zuständig sei bzw. welches Verfahren zur Anwendung gelange. Dies geschehe jedoch "auf Basis des durch die klagende Partei dargelegten Sachverhaltes". Aufgrund der Angaben des Beschwerdeführers habe die Erstinstanz vorliegend davon ausgehen können, dass dieser die Durchführung eines vereinfachten Verfahrens beim Einzelgericht beabsichtigt habe. Somit sei nicht zu beanstanden, dass das Arbeitsgericht als Einzelgericht auf die vorliegende Klage mangels sachlicher Zuständigkeit nicht eingetreten sei und von einer administrativen Zuweisung der Klage an das Arbeitsgericht als Kollegialgericht abgesehen habe.
Der Beschwerdeführer erblickt darin eine Verletzung von Art. 59 und 63 ZPO.
4.2. Das Gericht prüft gemäss <ref-law> von Amtes wegen, ob die Prozessvoraussetzungen erfüllt sind. Zu den Prozessvoraussetzungen gehört nach <ref-law> insbesondere die sachliche und örtliche Zuständigkeit; von der Lehre wird ferner auch die Wahl der richtigen Verfahrensart dazu gerechnet (siehe SCHWANDER, Prozessvoraussetzungen in der neuen Schweizerischen Zivilprozessordnung, ZZZ 2008/09 S. 203; ZINGG, in: Berner Kommentar, Schweizerische Zivilprozessordnung, Bd. I, 2012, N. 167 zu <ref-law> mit weiteren Hinweisen). Den Kantonen steht es übrigens frei, die sachliche Zuständigkeit von der Verfahrensart abhängig zu machen (vgl. etwa BERGER, in: Berner Kommentar, Schweizerische Zivilprozessordnung, Bd. I, 2012, N. 16 zu <ref-law>). Sind die Prozessvoraussetzungen erfüllt, tritt das Gericht auf die Klage ein (<ref-law>).
Sodann regelt <ref-law> ausdrücklich den Zeitpunkt der Rechtshängigkeit bei fehlender Zuständigkeit und falscher Verfahrensart. Nach Absatz 1 der Bestimmung kommt es dafür auf das Datum der ersten Einreichung an, wenn eine Eingabe, die mangels Zuständigkeit zurückgezogen oder auf die nicht eingetreten wurde, innert eines Monates seit dem Rückzug oder dem Nichteintretensentscheid bei der zuständigen Schlichtungsbehörde oder beim zuständigen Gericht neu eingereicht wird. Gleiches gilt ferner nach Absatz 2, wenn eine Klage nicht im richtigen Verfahren eingereicht wurde.
Das Gesetz geht mithin vom Grundsatz aus, dass es der klagenden Partei obliegt, ihre Klage beim zuständigen Gericht und in der richtigen Verfahrensart anhängig zu machen, und dass entsprechende Mängel das Nichteintreten auf die Klage zur Folge haben. Demgegenüber ist die Überweisung von Amtes wegen in der Zivilprozessordnung bewusst nicht vorgesehen, weil der Gesetzgeber die damit einhergehende Zusatzbelastung des Gerichts vermeiden wollte (siehe Botschaft vom 28. Juni 2006 zur Schweizerischen Zivilprozessordnung [nachfolgend: Botschaft ZPO], BBl 2006 S. 7277 zu Art. 61; weiterführend zur Prozessüberweisung BOHNET, in: CPC, Code de procédure civile commenté, 2011, N. 28 f. zu <ref-law>).
4.3. Der Beschwerdeführer beanstandet die Ausführungen des Obergerichts unter dem Titel "Sachliche Zuständigkeit". Er meint, streng genommen sei das Arbeitsgericht, das in § 20 des zürcherischen Gesetzes über die Gerichts- und Behördenorganisation im Zivil- und Strafprozess (GOG; LS 211.1) vom 10. Mai 2010 normiert sei, "gar keine andere Abteilung als das arbeitsrechtliche Einzelgericht gemäss § 25 GOG", weil die Präsidentin des Arbeitsgerichts zugleich Einzelrichterin sei. Indessen ist die Vorinstanz offenbar davon ausgegangen, der Beschwerdeführer habe das Einzelgericht nach § 24 OG angerufen und nicht etwa nach § 25 GOG, auf den sich der Beschwerdeführer beruft. Von vornherein kann der Beschwerdeführer aber insoweit nicht gehört werden, als er mit diesen Ausführungen die Verletzung der nach <ref-law> massgeblichen kantonalen Zuständigkeitsbestimmungen durch die Vorinstanz rügen möchte. Denn er behauptet in diesem Zusammenhang keine Willkür (siehe Erwägung 2).
Vielmehr ist mit dem Obergericht davon auszugehen, dass das Einzelgericht nach kantonalzürcherischem Gerichtsorganisationsrecht eine eigenständige, vom Kollegialgericht auseinanderzuhaltende zuständigkeitsrechtliche Einheit bildet. Daran ändert nichts, dass Kollegial- und Einzelgericht in organisatorischer Hinsicht Teil ein- und desselben Bezirksgerichts sind, zumal nach der zürcherischen Gerichtsorganisation auch die Arbeits- und Mietgerichte keine vom jeweiligen Bezirksgericht unabhängige Gerichte sind (vgl. HAUSER/SCHWERI/LIEBER, GOG, Kommentar zum zürcherischen Gesetz über die Gerichts- und Behördenorganisation im Zivil- und Strafprozess, 2012, N. 3 zu § 3 GOG), ohne dass daraus von Bundesrechts wegen folgen würde, ihre jeweiligen Zuständigkeitsbereiche (§§ 20 f. und 25 f. GOG) seien für die Zulässigkeit einer Klage ohne Bedeutung (vgl. auch SCHWANDER, a.a.O., der "die Zuständigkeiten auf Grund der Besetzung" ausdrücklich zu den Eintretensvoraussetzungen zählt).
4.4.
4.4.1. Der Beschwerdeführer kritisiert den Leerlauf, den ihm das Obergericht zumute, wenn er die genau gleiche Klage noch einmal einreichen müsse. Er meint, er habe damit gerechnet, dass der Prozess ins ordentliche Verfahren gewiesen und somit in die Zuständigkeit des Kollegialgerichts fallen könnte, was für das Obergericht und auch das Arbeitsgericht sehr wohl erkennbar gewesen sei, zumal er die Formerfordernisse einer Klage im ordentlichen Verfahren erfüllt habe. Er hält das Vorgehen der Erstinstanz für überspitzt formalistisch und meint, es widerspreche überdies der Praxis der zürcherischen Arbeitsgerichte. Letztere würden in derartigen Fällen nämlich gewöhnlich keine Nichteintretensentscheide fällen, sondern der klagenden Partei Frist zur Leistung eines Kostenvorschusses und gegebenenfalls zur Einreichung einer schriftlichen Klagebegründung ansetzen. Dabei gingen sie mit Recht davon aus, dass der klagenden Partei ein kostenpflichtiges Verfahren vor dem Kollegialgericht lieber sei als gar kein Prozess.
4.4.2. Wie das Gericht vorzugehen hat, wenn unklar ist, von welchem Spruchkörper und in welchem Verfahren die klagende Partei ihre Eingabe beurteilt haben möchte, etwa weil sie sich hierzu nicht äussert, oder wenn gar anzunehmen ist, sie habe die Eingabe versehentlich an den falschen Spruchkörper adressiert und/oder die falsche Verfahrensart angegeben, braucht vorliegend nicht beurteilt zu werden. Eine derartige Konstellation scheinen aber die in der Beschwerde zitierten Autoren primär vor Augen zu haben, wenn sie fordern, bei Einreichung einer Eingabe an einen sachlich unzuständigen Spruchkörper des gleichen Gerichts müsse die Eingabe intern an die zuständige Instanz weitergeleitet werden, da das Gericht von Amtes wegen festlege, welcher Spruchkörper zuständig sei und da die Parteien keine Pflicht hätten, den zuständigen Spruchkörper zu bezeichnen oder sich zur Verfahrensart zu äussern (siehe STAEHELIN/STAEHELIN/GROLIMUND, Zivilprozessrecht, 2. Aufl. 2013, § 12 Rz. 5 S. 172 f.; unter Hinweis auf diese Autoren auch BERGER-STEINER, in: Berner Kommentar, Schweizerische Zivilprozessordnung, Bd. I, 2012, N. 22 zu <ref-law>, die ausdrücklich zwischen dem "blossen Irrtum im Adressaten der Eingabe" und dem "Irrtum in der Zuständigkeit der angerufenen Behörde" unterscheidet; BOHNET, a.a.O., N. 29 zu <ref-law>; MÜLLER-CHEN, in: Schweizerische Zivilprozessordnung [ZPO], Kommentar, Brunner/Gasser/Schwander [Hrsg.], 2011, N. 17 zu <ref-law>; ZINGG, a.a.O.; vgl. auch BOHNET, Les défenses en procédure civile suisse, ZSR 128/2009 S. 271 f.; SCHLEIFFER MARAIS, in: Schweizerische Zivilprozessordnung [ZPO], Baker & McKenzie [Hrsg.], 2010, N. 5 zu <ref-law>). Ein damit vergleichbarer Fall lag denn auch dem in der Literatur zitierten <ref-ruling> zu Grunde, wo der Beschwerdeführer seine Eingabe zwar beim (unzuständigen) Bezirksgerichtsvizepräsidenten eingereicht, im Sinne eines Eventualantrags aber die Weiterleitung als Beschwerde an den (zuständigen) Bezirksgerichtsausschuss beantragt hatte. Ob unter derartigen Umständen nach der Zivilprozessordnung trotz Fehlens einer dahingehenden Bestimmung (Erwägung 4.2) eine Zuweisung der Eingabe an den nach kantonalem Recht sachlich zuständigen Spruchkörper und/oder in das richtige Verfahren geboten sein kann, ist hier nicht weiter zu erörtern.
Denn jedenfalls ist dieses Vorgehen dann nicht angebracht, wenn feststeht, dass die klagende Partei ihre Klage gerade durch den angerufenen Spruchkörper und in der von ihr gewählten Verfahrensart beurteilt haben möchte. Unter solchen Umständen hat auch dieser Spruchkörper über die Zulässigkeit der Klage im entsprechenden Verfahren zu entscheiden. Kommt er zum Schluss, dass die Prozessvoraussetzungen nicht vorliegen, trägt es der zivilprozessualen Dispositionsbefugnis der klagenden Partei Rechnung, wenn auf ihre Klage nicht eingetreten und ihr damit die Wahl gelassen wird, ihr Begehren - unter den Voraussetzungen von <ref-law> (siehe Urteil 4A_205/2015 vom 14. Oktober 2015 E. 3, zur Publikation vorgesehen) in Wahrung der Rechtshängigkeit (siehe Erwägung 4.2) - bei der zuständigen Behörde und im richtigen Verfahren neu einzureichen oder eben auch nicht. Dabei können für die klagende Partei die je nach Verfahrensart bestehenden prozessualen Unterscheide ausschlaggebend sein, so etwa hinsichtlich der Feststellung des Sachverhalts (vgl. für das vereinfachte Verfahren <ref-law>). In diesem Sinne ist denn auch zu verstehen, dass die Lehre von der Überweisung in das richtige Verfahren immerhin dann absehen möchte, wenn die Eingabe den dafür geltenden Formvorschriften nicht entspricht (STAEHELIN/STAEHELIN/GROLIMUND, a.a.O.; ZINGG, a.a.O.). In derartigen Fällen kann es tatsächlich nicht angehen, im Namen der klagenden Partei ungefragt ein von ihr nicht beantragtes Verfahren zu eröffnen. Entsprechendes muss aber generell dann gelten, wenn die klagende Partei zum Ausdruck gebracht hat, sie habe bewusst vor einem bestimmten Spruchkörper und in einer bestimmten Verfahrensart geklagt (vgl. SCHWANDER, a.a.O., hinsichtlich von Fällen, in denen "keine Korrektur" erfolge, weil die klagende Partei "am eingeschlagenen falschen Weg festhält").
Wie nachfolgend aufzuzeigen ist, fällt der hier zu beurteilende Fall in diese letzte Kategorie:
4.4.3. Die Prozessvoraussetzungen für ein vereinfachtes Verfahren vor dem Einzelgericht am Arbeitsgericht liegen nicht vor, weil sich die Rechtsauffassung des Beschwerdeführers nicht durchsetzte, seine Klage sei vermögensrechtlicher Natur (Erwägung 3). Unter diesen Umständen kann von vornherein nicht gesagt werden, der Beschwerdeführer habe seine Eingabe versehentlich an den falschen Spruchkörper adressiert und die falsche Verfahrensart bezeichnet.
Das Obergericht folgte aber auch nicht der Darstellung des Beschwerdeführers in der Berufung, er habe offen lassen wollen, von welchem Spruchkörper und in welchem Verfahren seine Eingabe zu behandeln sei. Es führte im Einzelnen aus, wohl habe der Beschwerdeführer die Klage nicht explizit im vereinfachten Verfahren eingereicht, und er habe sie "an das 'Arbeitsgericht' und nicht spezifiziert an das 'Arbeitsgericht als Einzelgericht'" gerichtet. Allerdings habe er in seiner Klageschrift erklärt, dass eine vermögensrechtliche Streitigkeit mit einem Streitwert von mindestens Fr. 15'000.-- vorliege und "hierzu" die Klagebewilligung eingereicht, in welcher der Streitwert auf Fr. 15'000.-- beziffert worden sei. Dadurch habe der Beschwerdeführer implizit geltend gemacht, die Klage im vereinfachten Verfahren durchführen zu wollen. Die Erstinstanz habe alsdann der Beschwerdegegnerin (als beklagter Partei) Gelegenheit gegeben, sich zu den Prozessvoraussetzungen zu äussern, worauf die Beschwerdegegnerin innert Frist beantragt habe, die Klage sei im vereinfachten Verfahren zu beurteilen, und sich mit dem geltend gemachten Streitwert von Fr. 15'000.-- einverstanden erklärt habe. Der Beschwerdeführer habe gegen die Feststellung der Erstinstanz, "wonach er die Durchführung der Klage im vereinfachten Verfahren beantragt habe" sowie gegen die diesbezüglichen Ausführungen der Beschwerdegegnerin in ihrer Stellungnahme nicht opponiert. Im Übrigen - so das Obergericht - beharre der Beschwerdeführer auch im Berufungsverfahren weiterhin auf seinen Angaben. Von einer unklaren Eingabe einer unbeholfenen Partei, die Anlass zu Nachfragen und allenfalls zu einer administrativen Zuweisung der Klage an einen anderen Spruchkörper des Bezirksgerichts gegeben hätte, könne keine Rede sein. Vielmehr habe sich der Beschwerdeführer "bewusst zur Einreichung einer Klage mit einem Streitwert von Fr. 15'000.--" entschieden. Schliesslich erwog das Obergericht, eine formlose interne Überweisung an das Kollegialgericht hätte für den Beschwerdeführer ein kostenpflichtiges Verfahren zur Folge gehabt, ohne dass er dies hätte anfechten können.
Die Kritik, die der Beschwerdeführer an dieser Würdigung übt, geht fehl:
Er beanstandet "die Feststellung der Vorinstanz", er habe (im Berufungsverfahren) darauf beharrt, den Prozess nur im vereinfachten Verfahren führen zu wollen. Er meint, er habe in der Berufung ausdrücklich darauf hingewiesen, dass das Arbeitsgericht bei abweichender Ansicht über die Verfahrensart eben die richtige Verfahrensart hätte wählen müssen. Indessen vermag er keine Willkür (Erwägung 2) aufzuzeigen, wenn er in diesem Punkt auf Randziffer 25 seiner Berufung vom 10. Februar 2015 verweist. An der zitierten Stelle führte er zwar aus, wenn dem Arbeitsgericht zuzustimmen wäre, dass das Verfahren vor dem Kollegialgericht durchzuführen wäre, so hätte es eben den Prozess gemäss den Regeln des ordentlichen Verfahrens weiter behandeln müssen, da die Klage auch als solche im ordentlichen Verfahren korrekt erhoben worden sei. Diese Aussage relativierte er indessen sogleich selber durch den kritischen Hinweis auf die angebliche Praxis der zürcherischen Arbeitsgerichte, Klagen, die wegen des Zeugnisstreitwerts die Grenze von Fr. 30'000.-- überstiegen, automatisch im ordentlichen Verfahren zu behandeln, "obwohl das von den Klägern häufig nicht gewollt" sei.
Ohnehin stützte die Vorinstanz ihren Schluss, die Erstinstanz habe davon ausgehen können, dass der Beschwerdeführer die Durchführung eines vereinfachten Verfahrens beim Einzelgericht beabsichtigt habe, im Wesentlichen auf das Verhalten der Parteien im erstinstanzlichen Verfahren. So zitierte sie namentlich die Verfügung vom 5. Dezember 2014 im Wortlaut:
"Die klagende Partei qualifiziert die Streitigkeit als arbeitsrechtlich, erachtet die Streitigkeit als vermögensrechtlich und beziffert den Streitwert auf mindestens Fr. 15'000.- (act. 1 S. 2 f.). Damit beantragt die klagende Partei, die vorliegende Streitigkeit sei im vereinfachten Verfahren kostenlos durchzuführen. Es ist der beklagten Partei Gelegenheit zu geben, sich zu den Prozessvoraussetzungen, namentlich zu Verfahrensart, Streitwert und Kostenlosigkeit zu äussern."
Wenn das Obergericht die unterbliebene Reaktion des Beschwerdeführers auf diese Verfügung und auf die Stellungnahme der Beschwerdegegnerin, die Klage sei "im Einklang mit dem klägerischen Antrag im vereinfachten Verfahren zu beurteilen", zusammen mit den anderen Anhaltspunkten dahingehend würdigte, dass er im vereinfachten Verfahren vor dem Einzelgericht habe klagen wollen, ist dies jedenfalls nicht geradezu willkürlich. Denn wäre der schon damals anwaltlich vertretene Beschwerdeführer der Auffassung gewesen, er sei falsch verstanden worden, hätte er seine Intention richtigstellen oder präzisieren können. Dies hat er nicht getan. Wohl behauptet der Beschwerdeführer nun in seiner Beschwerde an das Bundesgericht, für das Obergericht und das Arbeitsgericht sei erkennbar gewesen, dass er im kantonalen Verfahren damit gerechnet habe, der Prozess könnte ins ordentliche Verfahren gewiesen werden und somit in die Zuständigkeit des Kollegialgerichts fallen. Indessen entfernt er sich damit vom vorinstanzlich festgestellten Sachverhalt, ohne eine hinreichend begründete Rüge zu erheben (Erwägung 2).
4.4.4. Aufgrund der festgestellten Umstände war ein (weiteres) Nachfragen nicht erforderlich, und dem Beschwerdeführer durfte erst recht nicht einfach unterstellt werden, er wolle einen Prozess im ordentlichen Verfahren vor dem Kollegialgericht führen. Wenn die Vorinstanz daher davon absah, die Eingabe zu überweisen, ist dies von Bundesrechts wegen nicht zu beanstanden.
4.5. Die vom Beschwerdeführer gerügte Rechtsverletzung liegt nach dem Gesagten nicht vor.
5.
5.1. Der Beschwerdeführer rügt sodann eine Verletzung von Art. 52 und 53 ZPO. Er meint, die Erstinstanz habe, indem sie der Beschwerdegegnerin nach Eingang von deren Stellungnahme zu den Prozessvoraussetzungen vom 17. Dezember 2014 gemäss <ref-law> Frist zur Stellungnahme (zur Klage) angesetzt habe, den Eindruck erweckt, sie sei auf die Klage eingetreten. Der darauffolgende Erlass eines Nichteintretensentscheids sei eine überraschende Kehrtwendung des Gerichts und ein widersprüchliches Verhalten. Korrekterweise hätte das Gericht den Parteien noch einmal Gelegenheit einräumen müssen, sich zur Frage der richtigen Vorgehensweise zu äussern. Die Rüge ist unbegründet:
5.2. Zwar scheint es in der Tat ungewöhnlich, dass die Erstinstanz der Beschwerdegegnerin nach Eingang ihrer Stellungnahme vom 17. Dezember 2014 zunächst Frist zur schriftlichen Beantwortung der Klage ansetzte, nur um ihr diese Frist dann einige Tage später wieder abzunehmen und auf die Klage nicht einzutreten. Indessen ist bereits im Grundsatz fraglich, ob die klagende Partei in einem Zivilverfahren überhaupt je aufgrund der Verfahrensinstruktion durch das Gericht darauf vertrauen darf, das Gericht erachte sich für zuständig, solange es keinen Zuständigkeitsentscheid gefällt hat (vgl. <ref-ruling> E. 2.4 S. 366 f.).
Ohnehin wird aber in der Beschwerde nicht dargetan und ist auch nicht erkennbar, inwiefern sich der Beschwerdeführer auf das Handeln der Erstinstanz verlassen hätte, geschweige denn, dass ihm aufgrund des angeblich bei ihm erweckten Eindrucks, auf die Klage sei eingetreten worden, ein Nachteil entstanden wäre, der durch die Gutheissung der Beschwerde korrigiert werden müsste.
5.3. Sodann hat die Erstinstanz entgegen der Beschwerde auch den Gehörsanspruch des Beschwerdeführers nicht verletzt: Nachdem die Erstinstanz die Prozessvoraussetzungen ausdrücklich zur Diskussion gestellt und die Beschwerdegegnerin der Beurteilung der Klage im vereinfachten Verfahren zugestimmt hatte (Erwägung 4.4.3), bestand kein Anlass, dem Beschwerdeführer noch einmal förmlich Gelegenheit zur Stellungnahme einzuräumen. Vielmehr war das Verfahren hinsichtlich der Frage der Zuständigkeit und der Verfahrensart ohne Weiteres spruchreif. Von einer überraschenden Rechtsanwendung im Sinne der bundesgerichtlichen Rechtsprechung (siehe <ref-ruling> E. 5 S. 39; <ref-ruling> E. 3c S. 52) kann keine Rede sein.
6.
6.1. Für den Fall, dass das angefochtene Urteil in der Sache (Nichteintreten) geschützt werden sollte, beanstandet der Beschwerdeführer schliesslich den Kostenentscheid des Obergerichts. Er meint, wenn ihm schon unterstellt werde, "er habe nur im vereinfachten Verfahren klagen wollen und einen vermögensrechtlichen Anspruch geltend gemacht", dann müsse aber konsequenterweise auch berücksichtigt werden, dass ein solcher Anspruch nach <ref-law> kostenlos zu beurteilen sei. Damit hätten ihm keine Gerichtskosten auferlegt werden dürfen.
6.2. Gemäss <ref-law> werden im Entscheidverfahren keine Gerichtskosten gesprochen bei Streitigkeiten aus dem Arbeitsverhältnis sowie nach dem Arbeitsvermittlungsgesetz vom 6. Oktober 1989 (SR 823.11) bis zu einem Streitwert von 30'000 Franken. Von der Kostenlosigkeit sind auch kantonale Rechtsmittelverfahren betroffen (Urteil 4A_685/2011 vom 24. Mai 2012 E. 6.1; vgl. zu aArt. 343 Abs. 3 OR <ref-ruling> E. 6 S. 129 mit weiteren Hinweisen). Die entsprechende Regel ist in <ref-law> bereits für das Schlichtungsverfahren vorgesehen. Bei bös- oder mutwilliger Prozessführung können die Gerichtskosten auch in den unentgeltlichen Verfahren einer Partei auferlegt werden (<ref-law>).
6.3. Die Vorinstanz stützte den Entscheid, den Parteien für das Berufungsverfahren Kosten aufzuerlegen, auf ihre eigene Rechtsprechung (Urteil des Obergerichts des Kantons Zürich RA150008 vom 7. Mai 2015 [= ZR 114/2015 Nr. 47 S. 190-192]. Darin war die I. Zivilkammer des Obergerichts davon ausgegangen, nichtvermögensrechtliche Angelegenheiten arbeitsrechtlichen Ursprungs seien kostenpflichtig (E. II/4d). Zur Begründung hatte sie erwogen, die <ref-law> sähen besondere Kostenregelungen vor. Die Kostenlosigkeit komme in gewissen Fällen unabhängig vom Streitwert und damit auch für nichtvermögensrechtliche Streitigkeiten zum Tragen, bei Streitigkeiten aus dem Arbeitsverhältnis sowie nach dem Arbeitsvermittlungsgesetz jedoch ausdrücklich nur bis zu einem Streitwert von Fr. 30'000.--. Dafür, dass der Gesetzgeber die Kostenlosigkeit - entgegen dem Wortlaut von <ref-law> - von Bundesrechts wegen auch auf nichtvermögensrechtliche Arbeitsstreitigkeiten habe ausdehnen wollen, bestünden keine Anhaltspunkte (E. II/4c).
Mit dieser Meinung hatte sich die I. Zivilkammer ausdrücklich in Widerspruch zur Rechtsprechung der II. Zivilkammer des Obergerichts des Kantons Zürich gesetzt. Diese war in ihrem Urteil PF140058 vom 16. Dezember 2014 zum gegenteiligen Schluss gelangt. Zur Begründung hatte sie ausgeführt, es liege nahe, "die nicht vermögensrechtlichen Angelegenheiten kostenfrei sein zu lassen, also wie die vermögensrechtlichen mit (relativ) geringem Streitwert". Grundsätzlich seien arbeitsrechtliche Streitigkeiten kostenfrei. Das gelte nur dann nicht, wenn es um vermögensrechtliche Streitigkeiten mit einem Streitwert "von Fr. 30'000.-- oder mehr" gehe (E. II/1).
6.4. Die Auffassung der II. Zivilkammer, wonach bei nichtvermögensrechtlichen Streitigkeiten aus dem Arbeitsverhältnis sowie nach dem Arbeitsvermittlungsgesetz keine Gerichtskosten gesprochen werden dürfen, erweist sich als bundesrechtskonform:
6.4.1. In der Kommentarliteratur hat die Frage der Anwendbarkeit von <ref-law> auf nichtvermögensrechtliche Streitigkeiten soweit ersichtlich keine Beachtung gefunden, wohl, weil derartige Ansprüche im Arbeitsrecht die Ausnahme darstellen (vgl. die Übersicht bei DIETSCHY, Les conflits de travail en procédure civile suisse, 2011, S. 86-100).
6.4.2. Der Gesetzestext ist nicht eindeutig: Der Wortlaut von <ref-law> könnte einerseits mit der I. Zivilkammer dahingehend interpretiert werden, dass die Ausnahme vom Grundsatz der Kostenpflicht nichtvermögensrechtliche Streitigkeiten von vornherein nicht betreffe, weil die (Ausnahme-) Bestimmung auf den Streitwert Bezug nehme und nichtvermögensrechtliche Streitigkeiten keinen solchen hätten. Vor allem die deutsche und die italienische Fassung ("bis zu einem Streitwert von 30 000 Franken" / "fino a un valore litigioso di 30 000 franchi") mögen einen Hinweis in diese Richtung enthalten. Andererseits lässt sich auch im Sinne der II. Zivilkammer argumentieren, dass nach dem Wortlaut von <ref-law> generell alle arbeitsrechtlichen Streitigkeiten kostenlos sind, wovon dann wiederum vermögensrechtliche Streitigkeiten mit einem Streitwert von über 30'000.-- ausgenommen werden. Die französische Fassung ("les litiges portant sur un contrat de travail [...], lorsque la valeur litigieuse n'excède pas 30 000 francs") scheint eher auf dieses Verständnis hinzudeuten, gemäss dem die Streitwertgrenze eine Gegenausnahme vom Grundsatz der Kostenfreiheit darstellt.
Unergiebig ist der Vergleich mit den Buchstaben a, b, d und e von <ref-law>, zumal darin für die genannten Bereiche jeweils sämtliche Streitigkeiten (streitwertunabhängig) von der Kostenpflicht ausgenommen werden. Vergleicht man demgegenüber <ref-law> mit anderen Bestimmungen der Zivilprozessordnung, die einen (Mindest- oder Höchst-) Streitwert definieren, fällt auf, dass diese mehrheitlich auf die vermögensrechtliche Natur der Streitigkeiten Bezug nehmen, so etwa Art. 210 Abs. 1 lit. c, 212 Abs. 1, Art. 243 Abs. 1 und der von der II. Zivilkammer erwähnte 308 Abs. 2 ZPO.
6.4.3. Auch das historische Auslegungselement bringt für sich alleine betrachtet keine Klärung: In der Botschaft zur ZPO führte der Bundesrat hinsichtlich der besonderen Kostenregelungen aus, das Bundesrecht kenne verschiedene kostenlose Verfahren, z.B. im Arbeits- und Mietrecht. Dieser Rechtszustand werde entsprechend dem Ergebnis des Vernehmlassungsverfahrens in den Entwurf übernommen. Die Kostenlosigkeit der betreffenden Verfahren gelte als eine der wichtigsten Errungenschaften des sozialen Zivilprozesses. Damit könnten viele verstreute Bestimmungen des geltenden Rechts aufgehoben werden, so namentlich aArt. 343 Abs. 3 OR (Botschaft ZPO, BBl 2006 S. 7299 f.). Im Vorentwurf der Expertenkommission vom Juni 2003 war für das Entscheidverfahren bei arbeitsrechtlichen Streitigkeiten bereits die Kostenlosigkeit "bis zu einem Streitwert von 30'000 Franken" vorgesehen gewesen (Art. 104 Abs. 1 lit. a), für das Schlichtungsverfahren demgegenüber noch streitwertunabhängig (Art. 103 lit. b). Diesbezüglich - so der Bericht zum Vorentwurf der Expertenkommission ausdrücklich - sei der Vorentwurf grosszügiger als das geltende Recht (S. 59 zu Art. 104). Dass durch die darauffolgende Übernahme der (bereits für das Entscheidverfahren vorgesehenen) Streitwertgrenze auch nichtvermögensrechtliche Streitigkeiten vom Grundsatz der kostenlosen Schlichtung im Arbeitsrecht ausgenommen werden sollten, ergibt sich nicht aus den Materialien (vgl. Botschaft ZPO, BBl 2006 S. 7300 zu Art. 111).
Letztlich geht aus der Entstehungsgeschichte bloss hervor, dass sich der Gesetzgeber im Zusammenhang mit den Gerichtskosten und namentlich im Bereich des Arbeitsrechts am damals geltenden Recht orientierte. So wird im Bericht zum Vorentwurf im Zusammenhang mit den Justizkosten generell ausgeführt, die Expertenkommission habe "keinen Anlass gesehen, die politischen Entscheidungen des Parlaments, die teilweise erst kürzlich getroffen wurden, schon wieder in Frage zu stellen" (S. 16), und in der zugehörigen Fussnote beispielhaft auf die Streitwertgrenze gemäss a<ref-law> verwiesen (Fn. 39).
6.4.4. Folglich ist die vor Inkrafttreten der ZPO geltende besondere Kostenregelung für das Arbeitsrecht auch für die Auslegung von <ref-law> von Bedeutung (vgl. zur analogen Situation bei <ref-law> Urteil 4A_685/2011 E. 6.2) :
Gemäss aArt. 343 Abs. 2 OR hatten die Kantone "für Streitigkeiten aus dem Arbeitsverhältnis bis zu einem Streitwert von 30 000 Franken ein einfaches und rasches Verfahren vorzusehen." Nach Absatz 3 des Artikels durften den Parteien bei Streitigkeiten "im Sinne des vorstehenden Absatzes" weder Gebühren noch Auslagen des Gerichts auferlegt werden, unter Vorbehalt mutwilliger Prozessführung.
Ob die Kostenlosigkeit auch für nichtvermögensrechtliche Streitigkeiten gelten sollte, ergab sich somit schon damals nicht aus dem Gesetzestext. In der Botschaft vom 25. August 1967 zum Entwurf eines Bundesgesetzes über die Revision des Zehnten Titels und des Zehnten Titels bis des Obligationenrechts (Der Arbeitsvertrag) werden zwar die Bestimmungen des damaligen <ref-law> ausdrücklich als Sonderregelung für Streitigkeiten "mit niedrigem" bzw. "relativ geringem Streitwert" bezeichnet (BBl 1967 II S. 265 und 405). An anderer Stelle wird aber erläutert, die Bestimmung stelle in vereinfachter Form eine allgemeine Vorschrift für alle Streitigkeiten auf, die einen bestimmten Streitwert nicht überschritten (S. 283), und ferner, für alle Streitigkeiten, welche die gesetzliche Streitwertgrenze überschritten, gelte das kantonale Prozessrecht ohne jede Einschränkung (S. 406). Den nichtvermögensrechtlichen Streitigkeiten aus dem Arbeitsvertrag wurde offenbar keine Beachtung geschenkt.
Soweit erkennbar ist bis zum Ausserkrafttreten von a<ref-law> auch keine höchstrichterliche Rechtsprechung zur hier interessierenden Frage ergangen. In der Literatur wurde immerhin von einzelnen Autoren angemerkt, sofern überhaupt kein Streitwert ermittelt respektive berechnet werden könne, entfalle die Streitwertgrenze und richte sich das Verfahren nach den Grundsätzen von a<ref-law> (BRUNNER UND ANDERE, Kommentar zum Arbeitsvertragsrecht, 3. Aufl. 2005, N. 11 zu <ref-law>; REHBINDER, Berner Kommentar, 1992, N. 13 zu <ref-law>).
6.4.5. Die entsprechende Auffassung verdient jedenfalls mit Blick auf den Gesetzeszweck Zustimmung:
Sie trägt dem Sozialschutzgedanken Rechnung, der aArt. 343 Abs. 3 OR zugrunde lag. Diesen führte das Bundesgericht etwa in seiner Rechtsprechung zum sachlichen Geltungsbereich der Bestimmung an. Es erwog, die Entstehungsgeschichte zeige, dass der Bundesrat und die eidgenössischen Räte die Kostenlosigkeit des arbeitsgerichtlichen Prozessverfahrens als sozialpolitische Massnahme im Interesse der Rechtsverwirklichung betrachtet hätten, die es den am Arbeitsverhältnis Beteiligten, namentlich dem Arbeitnehmer als schwächerer Partei, ermöglichen sollte, ohne Kostenrisiko um ihr Recht zu kämpfen (<ref-ruling> E. 2b S. 223).
Wenn aber dem Arbeitnehmer aus sozialpolitischen Gründen die Durchsetzung von Ansprüchen ermöglicht werden sollte, deren Vermögenswert zu gering ist, um das Kostenrisiko eines Prozesses zu rechtfertigen, scheint es folgerichtig, auch arbeitsrechtliche Prozesse kostenlos zu führen, bei denen überhaupt kein Vermögensinteresse im Spiel ist oder ein solches höchstens im Hintergrund steht. Denn in diesen Fällen droht die Rechtsdurchsetzung umso mehr daran zu scheitern, dass sie sich - wirtschaftlich betrachtet - nicht lohnt.
6.4.6. Gegen ein solches Auslegungsergebnis könnte auf den ersten Blick eingewendet werden, mit ihm entstehe ein Widerspruch zu <ref-law>, da dieser auf nichtvermögensrechtliche Streitigkeiten nicht anwendbar ist und letztere deshalb ins ordentliche Verfahren fallen (siehe heutiges Urteil 4A_328/2015 E. 4, zur Publikation vorgesehen). Indessen ist diese auseinandergehende Auslegung von Art. 114 lit. c und <ref-law> bereits im unterschiedlichen Wortlaut der beiden Bestimmungen angelegt (vgl. Erwägung 6.4.2).
Dass im Arbeitsrecht der Geltungsbereich des vereinfachten Verfahrens nicht demjenigen der Kostenlosigkeit entspricht, ist hinzunehmen, zumal Art. 114 und Art. 243 ZPO auch in anderer Hinsicht nicht deckungsgleich sind und die Kostenlosigkeit somit generell unabhängig von der Verfahrensart beurteilt werden muss, wie auch die I. Zivilkammer des Obergerichts unter Hinweis auf die Lehre einräumt (siehe E. II/4b und die dort zitierten STERCHI, Berner Kommentar, Schweizerische Zivilprozessordnung, Bd. I, 2012, N. 9 zu Art. 113 und 114 ZPO; STREIFF/VON KAENEL/RUDOLPH, Arbeitsvertrag, 7. Aufl. 2012, S. 63; TAPPY, in: CPC, Code de procédure civile commenté, 2011, N. 4 f. zu <ref-law>). Es ist denn auch kein gewichtiger Grund erkennbar, weshalb bloss vereinfachte Verfahren (unter den Voraussetzungen von <ref-law>) kostenlos sein sollen, zumal für die Wahl der Verfahrensart neben dem Sozialschutzgedanken auch weitere Gesichtspunkte von Bedeutung sind, so namentlich die Komplexität der Verhältnisse.
6.5. Nach dem Gesagten ist <ref-law> so auszulegen, dass von der darin angeordneten Kostenlosigkeit nebst vermögensrechtlichen Streitigkeiten aus dem Arbeitsverhältnis sowie nach dem Arbeitsvermittlungsgesetz bis zu einem Streitwert von Fr. 30'000.-- auch nichtvermögensrechtliche Streitigkeiten erfasst sind. Die Vorinstanz hat dies verkannt, wenn sie dem Beschwerdeführer für das Berufungsverfahren Gerichtskosten auferlegte. Die Beschwerde erweist sich im Kostenpunkt bereits aus dieser Überlegung als begründet (vgl. <ref-law>). Damit braucht nicht auf das Argument des Beschwerdeführers eingegangen zu werden, wonach ihm keine Kosten hätten auferlegt werden dürfen, weil er seine Klage - von deren vermögensrechtlicher Natur ausgehend - angeblich im vereinfachten Verfahren erhoben habe.
7.
Die Beschwerde ist teilweise gutzuheissen. Der angefochtene Entscheid ist insoweit aufzuheben, als dem Beschwerdeführer darin für das kantonale Berufungsverfahren Kosten auferlegt wurden. Im entsprechenden Umfang sind die zweitinstanzlichen Gerichtskosten vom Obergericht auf die Gerichtskasse zu nehmen. Im Übrigen ist die Beschwerde abzuweisen, soweit darauf eingetreten werden kann.
Ausgangsgemäss sind dem Beschwerdeführer ermessensweise vier Fünftel der für das bundesgerichtliche Verfahren angefallenen Gerichtskosten in der Höhe von insgesamt Fr. 1'000.-- aufzuerlegen (<ref-law>). Der Kanton Zürich ist nicht kostenpflichtig (<ref-law>), hat aber den Beschwerdeführer mit Fr. 500.-- zu entschädigen (vgl. Art. 68 Abs. 2 und 3 BGG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird teilweise gutgeheissen. Dispositiv-Ziffer 4 des Urteils des Obergerichts des Kantons Zürich, I. Zivilkammer, vom 28. Mai 2015 wird insoweit aufgehoben, als dem Beschwerdeführer darin für das zweitinstanzliche Verfahren Gerichtskosten auferlegt werden. Im Übrigen wird die Beschwerde abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.
Die Gerichtskosten werden im Betrag von Fr. 800.-- dem Beschwerdeführer auferlegt.
3.
Der Kanton Zürich hat den Beschwerdeführer für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 500.-- zu entschädigen.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Zürich, I. Zivilkammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 10. Februar 2016
Im Namen der I. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Kiss
Der Gerichtsschreiber: Kölz