Faits :
A.
A._ est propriétaire de la parcelle n° 806 du registre foncier de la commune de Crans-près-Céligny, d'une surface de 915 m 2. Ce bien-fonds est sis en "zone du bourg" au sens du règlement communal sur les constructions et l'aménagement du territoire approuvé par le Conseil d'Etat du canton de Vaud le 12 mai 1989 (ci-après: le règlement communal).
Le 10 avril 2014, A._ a requis l'autorisation de construire sur cette parcelle un bâtiment d'habitation de 182,75 m 2 au sol dont une grande partie du rez-de-chaussée serait affectée à un local commercial de 118,95 m 2. Mis à l'enquête publique du 4 juin au 3 juillet 2014, ce projet a suscité l'opposition de B.B._ et C.B._, propriétaires d'une parcelle voisine. A._ a modifié le projet postérieurement à l'enquête, en ce sens que la chambre avec douche initialement prévue dans les surcombles serait supprimée au profit du prolongement de la mezzanine. Le 23 juin 2014, les Services cantonaux spécialisés ont délivré leur préavis. Par décision du 2 septembre 2014, la Municipalité de Crans-près-Céligny (ci-après: la Municipalité) a levé l'opposition, sans toutefois délivrer le permis de construire.
B.
B.B._ et C.B._ ont recouru contre la décision du 2 septembre 2014 auprès de la Cour de droit administratif et public du Tribunal cantonal du canton de Vaud (ci-après: le Tribunal cantonal). Constatant que le permis de construire n'avait pas été délivré, le Tribunal cantonal en a requis la production par la Municipalité. Celle-ci a alors délivré le permis de construire requis, par décision du 16 juin 2015. Par arrêt du 27 août 2015, le Tribunal cantonal a admis le recours et annulé les décisions de la Municipalité des 2 septembre 2014 et 16 juin 2015.
C.
A._ a recouru contre l'arrêt du 27 août 2015 auprès du Tribunal fédéral (cause 1C_438/2015). Il en demande l'annulation ainsi que la confirmation des décisions des 2 septembre 2014 et 16 juin 2015 de la Municipalité.
Le 22 septembre 2015, le Tribunal cantonal a transmis au Tribunal fédéral un recours contre l'arrêt du 27 août 2015 - que la Municipalité lui avait adressé -, comme objet de sa compétence (cause 1C_571/2015).
Invité à se déterminer sur les recours, le Tribunal cantonal renonce à déposer des observations et renvoie pour l'essentiel aux considérants de l'arrêt attaqué. Quant aux intimés, ils concluent au rejet des deux recours. S'agissant de la cause 1C_438/2015, A._ a répliqué par courrier du 4 novembre 2015 et les intimés y ont répondu le 8 décembre 2015. A._ a en outre déposé des observations dans la cause 1C_571/2015, le 1 er décembre 2015.

Considérant en droit :
1.
Le recours de la Municipalité de Crans-près-Céligny et celui de A._ sont dirigés contre le même arrêt cantonal. Il se justifie donc, pour des motifs d'économie de procédure, de joindre les causes 1C_438/2015 et 1C_571/2015 et de statuer sur celles-ci dans un seul arrêt (cf. <ref-law> applicable par renvoi de l'<ref-law>).
2.
Dirigé contre une décision finale (<ref-law>) prise en dernière instance cantonale (art. 86 al. 1 let. d LTF) dans le domaine du droit public des constructions (<ref-law>), le recours de droit public est en principe recevable, aucune des exceptions prévues à l'<ref-law> n'étant réalisée.
La Municipalité et A._ ont pris part à la procédure de recours devant le Tribunal cantonal. Selon l'art. 89 al. 2 let. c LTF, les communes et autres collectivités publiques ont qualité pour recourir en invoquant la violation de garanties qui leur sont reconnues par les Constitutions cantonale ou fédérale. La Municipalité de Crans-près-Céligny, qui bénéficie d'une autonomie en matière d'octroi des permis de construire, a ainsi qualité pour agir. La question de savoir si elle est réellement autonome dans ce domaine relève du fond (<ref-ruling> consid. 1.2 p. 45 et les arrêts cités). Quant à A._, il est particulièrement touché par l'arrêt attaqué refusant l'octroi du permis de construire qu'il avait sollicité. Il peut ainsi se prévaloir d'un intérêt personnel et digne de protection à l'annulation de l'arrêt attaqué. Il a dès lors qualité pour agir au sens de l'<ref-law>.
3.
Dans l'arrêt attaqué, le Tribunal cantonal a d'abord confirmé la conformité du bâtiment projeté à différentes dispositions du règlement communal, à savoir à l'art. 3.1 du règlement communal (affectation de 65% de la surface totale du rez-de-chaussée à une activité commerciale), aux art. 6.3 et 7.6 (aménagement des combles et des surcombles), à l'art. 5.4 (respect de la distance du bâtiment à l'axe de la servitude de passage), aux art. 7.2 et 7.1 (intégration du bâtiment dans le site), à l'art. 6.1 (hauteur de la construction) et à l'art. 9.3 (sécurité de l'accès à des places de stationnement).
L'instance précédente a ensuite constaté que le constructeur n'avait pas indiqué la teinte de la façade et les matériaux de revêtement et que ces éléments n'avaient pas été mis à l'enquête publique. Elle a indiqué à cet égard qu'il "appartiendra au constructeur de soumettre la teinte des façades et la couverture du bâtiment projeté et à la Municipalité de statuer ultérieurement sur cette question". S'agissant de l'installation des panneaux solaires en toiture, la cour cantonale a relevé que la Municipalité ne s'était pas penchée sur le choix des matériaux, la position et les proportions des capteurs ainsi que le traitement architectural. Elle a retenu que "la décision attaquée devra également être complétée sur ce point; dans tous les cas, la Municipalité devra également statuer formellement sur l'opposition sur ce point".
La cour cantonale a enfin jugé que le projet litigieux dépassait le coefficient d'utilisation du sol et violait l'art. 5.9 du règlement communal.
4.
A._ et la Municipalité dénoncent le calcul du coefficient d'utilisation du sol opéré par le Tribunal cantonal. Ils se plaignent d'une application arbitraire de l'art. 5.9 du règlement communal.
4.1. Le Tribunal fédéral ne revoit l'interprétation et l'application du droit cantonal et communal que sous l'angle de l'arbitraire. Une décision est arbitraire lorsqu'elle viole gravement une norme ou un principe juridique clair et indiscuté, ou lorsqu'elle contredit d'une manière choquante le sentiment de la justice et de l'équité. Le Tribunal fédéral n'a pas à déterminer quelle est l'interprétation correcte que l'autorité cantonale aurait dû donner des dispositions applicables; il doit uniquement examiner si l'interprétation qui a été faite est défendable. Par conséquent, si celle-ci ne se révèle pas déraisonnable ou manifestement contraire au sens et au but de la disposition ou de la législation cantonale en cause, elle sera confirmée, même si une autre solution paraît également concevable, voire préférable. De plus, il ne suffit pas que les motifs de la décision attaquée soient insoutenables, encore faut-il que cette dernière soit arbitraire dans son résultat (<ref-ruling> consid. 4.4 p. 319; <ref-ruling> consid. 6.1 p. 379).
4.2. A teneur de l'art. 5.9 du règlement communal, le coefficient d'utilisation du sol (CUS) définit la capacité constructive de chaque parcelle sous la forme d'une proportion entre la superficie du terrain et la surface brute de plancher habitable ou utilisable. Cette disposition prévoit que, dans la zone du bourg, les valeurs limites du CUS sont de 0,5.
L'art. 5.9 précise cependant que la surface des locaux professionnels situés au rez-de-chaussée d'un bâtiment n'est pas limitée par un coefficient d'utilisation, dans la zone du bourg.
4.3. En l'espèce, le Tribunal cantonal a retenu que le CUS de 0.5 de la "zone du bourg" était dépassé, au motif que la Municipalité n'avait pas pris en compte les surfaces commerciales - de 118,95 m 2 - situées au rez-de-chaussée. Ce faisant, la cour cantonale a perdu de vue que l'art. 5.9 du règlement communal prévoit expressément que, dans la "zone du bourg", la surface des locaux professionnels situés au rez-de-chaussée d'un bâtiment n'est pas limitée par un coefficient d'utilisation. Son raisonnement est ainsi arbitraire puisqu'il viole gravement la disposition communale en cause. En soustrayant la surface des locaux commerciaux (118,95 m 2) de la surface brute de plancher habitable (523,4 m 2), on parvient à une surface de 404,45 m 2, ce qui respecte le CUS de 0,5 pour une parcelle de 915 m 2.
5.
Il s'ensuit que les recours sont admis et l'arrêt attaqué est annulé. La cause est renvoyée au Tribunal cantonal pour nouvelle décision au sens des considérants: l'instance précédente pourra ainsi, soit délivrer l'autorisation de construire, soit renvoyer la cause à la Municipalité.
Les intimés, qui succombent, supportent les frais judiciaires (<ref-law>). La Municipalité, qui a agi dans l'exercice de ses attributions officielles, n'a pas droit à des dépens pour la procédure devant le Tribunal fédéral (<ref-law>). Il en va de même du recourant, qui a agi sans avocat.

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce :
1.
Les causes 1C_438/2015 et 1C_571/2015 sont jointes.
2.
Les recours sont admis et l'arrêt attaqué est annulé. La cause est renvoyée au Tribunal cantonal pour nouvelle décision au sens des considérants.
3.
Les frais judiciaires, arrêtés à 2'000 francs, sont mis à la charge des intimés.
4.
Le présent arrêt est communiqué à A._, à la Municipalité de Crans-près-Céligny, aux intimés et au Tribunal cantonal du canton de Vaud, Cour de droit administratif et public.
Lausanne, le 16 mars 2016
Au nom de la Ire Cour de droit public
du Tribunal fédéral suisse
Le Président : Fonjallaz
La Greffière : Tornay Schaller