Erwägungen:
1.
1.1. A._ (geb. 1971) hat steuerrechtlichen Wohnsitz in U._/BS. Mit Entscheiden vom 12. Dezember 2016 befand die Steuerrekurskommission des Kantons Basel-Stadt über die Rechtsmittel der Steuerpflichtigen betreffend die Veranlagungen nach pflichtgemässem Ermessen zur Steuerperiode 2014. Die Entscheide der Steuerrekurskommission wurden der Steuerpflichtigen am 20. Dezember 2016 zugestellt. Die Steuerpflichtige will angenommen haben, es herrschten Gerichtsferien, weshalb sie ihre Rechtsmittel an das Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt erst am 30. Januar 2017 einreichte.
1.2. Mit einzelrichterlichen Entscheid VD.2017.26/VD.2017.27 vom 7. Juli 2017 wies das Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt das Fristwiederherstellungsgesuch der Steuerpflichtigen ab und trat es auf die Rechtsmittel vom 30. Januar 2017 zufolge versäumter Frist nicht ein.
1.3. Dagegen gelangt die Steuerpflichtige mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten und subsidiärer Verfassungsbeschwerde vom 10. September 2017 (Poststempel) an das Bundesgericht. Sie beantragt sinngemäss, der angefochtene Entscheid sei aufzuheben, ihr seinerzeitiges Fristwiederherstellungsgesuch sei gutzuheissen und auf die Sache sei einzutreten.
1.4. Der Abteilungspräsident als Instruktionsrichter (<ref-law> [SR 173.110]) hat von Instruktionsmassnahmen abgesehen. Die Sache kann aufgrund der offensichtlich unbegründeten Beschwerde im vereinfachten Verfahren nach <ref-law> entschieden werden.
I. Prozessuales
2.
2.1. Die Voraussetzungen der Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten liegen vor (Art. 82 lit. a, Art. 83 e contrario, Art. 86 Abs. 1 lit. d und Abs. 2, Art. 90, Art. 100 Abs. 1 BGG i. V. m. <ref-law> [SR 642.11] und Art. 73 StHG [SR 642.14]). Auf die Beschwerde ist einzutreten, weshalb es sich erübrigt, die Voraussetzungen der subsidiären Verfassungsbeschwerde (<ref-law>) zu prüfen.
2.2. Das Bundesgericht prüft das Bundesrecht von Amtes wegen (<ref-law>; <ref-ruling> E. 4.4.5 S. 157) und mit uneingeschränkter (voller) Kognition (<ref-law>; <ref-ruling> E. 2 S. 236).
2.3. Abweichend davon untersucht das Bundesgericht die angebliche Verletzung verfassungsmässiger Individualrechte (unter Einschluss der Grundrechte) sowie von kantonalem Recht nur, falls eine solche Rüge in der Beschwerde überhaupt vorgebracht und ausreichend begründet worden ist (<ref-law>; qualifizierte Rüge- und Begründungsobliegenheit; <ref-ruling> E. 1.7.2 S. 106). In der Beschwerde ist daher klar und detailliert anhand der Erwägungen des angefochtenen Entscheids darzulegen, inwiefern verfassungsmässige Rechte verletzt worden sein sollen (<ref-ruling> E. 2.1 S. 372).
2.4. Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (<ref-law>; <ref-ruling> E. 4.4.3 S.156).
II. Direkte Bundessteuer
3.
3.1. Zur Wiederherstellung einer versäumten Frist bedarf es gemäss Art. 133 Abs. 3 i. V. m. Art. 140 Abs. 4 und Art. 145 Abs. 2 DBG der klaren Schuldlosigkeit der betroffenen steuerpflichtigen Person und gegebenenfalls ihrer Vertretung. Auf eine verspätete Beschwerde in einer direktsteuerlichen Angelegenheit an ein kantonales Verwaltungsgericht ist von Gesetzes wegen nur einzutreten, wenn die steuerpflichtige Person einerseits nachweist, dass sie durch Militär- oder Zivildienst, Krankheit, Landesabwesenheit oder andere erhebliche Gründe an der rechtzeitigen Einreichung verhindert war (materielle Voraussetzung) und anderseits das Rechtsmittel innert 30 Tagen nach Wegfall der Hinderungsgründe eingereicht hat (formelle Voraussetzung; Urteil 2C_451/2016 vom 8. Juli 2016 E. 2.2.1, in: ASA 85 S. 90, StR 71/2016 S. 811).
3.2. Die Vorinstanz gibt die einschlägigen bundesrechtlichen Bestimmungen zutreffend wieder. In der irrigen Meinung der Steuerpflichtigen, es herrschten im direktsteuerlichen Beschwerdeverfahren Gerichtsferien, hat sie bundesrechtskonform keinen Wiederherstellungsgrund erblickt. Die Annahme, entgegen der klaren und zutreffenden Rechtsmittelbelehrung stehe die Frist während eines (nicht näher umrissenen) Zeitraums still, widerspricht jenem sorgfältigen Verhalten, wie es hier geboten gewesen wäre. Die Steuerpflichtige beruft sich auf ihre fehlende Rechtskunde. Gerade als Laiin wäre sie gehalten gewesen, sich an die Angaben in der Rechtsmittelbelehrung zu halten (Urteil 2C_407/2012 vom 23. November 2012 E. 3.2, in: StE 2013 B 92.8 Nr. 17).
3.3. Der Ansicht, die Vorinstanz hätte in der Rechtsmittelbelehrung Ausführungen zur (Nicht-) Anwendbarkeit der Gerichtsferienregelung machen müssen, findet im Bundesrecht keine Stütze. Zwar darf der Verfügungsadressat sich unter dem Gesichtspunkt von Treu und Glauben (<ref-law>) auf eine (nicht erkennbar) falsche Rechtsmittelbelehrung verlassen (<ref-ruling> E. 8.3.2 S. 53 f.). Demgegenüber bietet die Praxis keinerlei Anlass zur Annahme, man dürfe, auf das Ergebnis der eigenhändigen (fehlerhaften) Rechtsabklärungen oder das "Gefühl" abstellend, mit Recht von einer (zutreffenden) Rechtsmittelbelehrung abweichen (Urteil 2C_407/2012 vom 23. November 2012 E. 3.2, in: StE 2013 B 92.8 Nr. 17).
3.4. Mit Blick darauf hat die Vorinstanz das Fristwiederherstellungsgesuch bundesrechtskonform abgewiesen und ist sie folglich auf die Sache zufolge versäumter Rechtsmittelfrist nicht eingetreten. Die Beschwerde erweist sich damit als unbegründet, weshalb sie abzuweisen ist. Für alles Weitere kann auf den angefochtenen Entscheid verwiesen werden (<ref-law>).
III. Staats- und Gemeindesteuer des Kantons Basel-Stadt
4.
Die Frage, ob kantonale "Gerichtsferien" im Bereich des harmonisierten Steuerrechts überhaupt zulässig seien, ist umstritten und vom Bundesgericht bislang offengelassen worden (Urteil 2C_407/2012 vom 23. November 2012 E. 2.5). Dieser Frage ist auch hier nicht abschliessend nachzugehen, steht doch fest, dass das anwendbare kantonale Recht von vornherein keine Gerichtsferien kennt (§ 21 Abs. 2 des Gesetzes [des Kantons Basel-Stadt] vom 14. Juni 1928 über die Verfassungs- und Verwaltungsrechtspflege [VRPG/BS; SG 270.100] i. V. m. § 171 Abs. 4 des Gesetzes [des Kantons Basel-Stadt] vom 12. April 2000 über die direkten Steuern [StG/BS; SG 640.100]). Die Steuerpflichtige bringt an der vorinstanzlichen Auslegung und Anwendung des kantonalen Rechts ohnehin keine Kritik an, die der qualifizierten Rüge- und Begründungsobliegenheit genügt (vorne E. 2.3). Schon daher ist die Rüge nicht zu hören, zumal sie mit Blick auf das zur direkten Bundessteuer Gesagte ohnehin unbegründet wäre. Auch die Beschwerde zur Staats- und Gemeindesteuer des Kantons Basel-Stadt ist abzuweisen.
IV. Kosten und Entschädigung
5.
Nach dem Unterliegerprinzip (<ref-law>) sind die Kosten des bundesgerichtlichen Verfahrens der Steuerpflichtigen aufzuerlegen. Dem Kanton Basel-Stadt, der in seinem amtlichen Wirkungskreis obsiegt, steht keine Entschädigung zu (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde betreffend die direkte Bundessteuer, Steuerperiode 2014, wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.
Die Beschwerde betreffend die Staats- und Gemeindesteuer des Kantons Basel-Stadt, Steuerperiode 2014, wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
3.
Die Kosten des bundesgerichtlichen Verfahrens von Fr. 1'000.-- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
4.
Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten, dem Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt, Einzelgericht, und der Eidgenössischen Steuerverwaltung schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 21. September 2017
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Seiler
Der Gerichtsschreiber: Kocher