Sachverhalt:
A.
A.a. Die Ehegatten A._, geb. 1961, und B._, geb. 1970, ersuchten am 16. Mai 2012 für sich und ihre Kinder C._, geb. 1998, und D._, geb. 2000, um Erteilung der eidgenössischen Einbürgerungsbewilligung. Am 14. August 2012 überwies das Gemeindeamt des Kantons Zürich die Gesuchsunterlagen der Gemeinde Weiningen zum Entscheid über die Aufnahme ins Gemeindebürgerrecht. In der Folge lud die Bürgerkommission der Gemeinde Weiningen die Ehegatten A._ und B._ zu einem Gespräch ein, an dem auch die beiden Kinder teilnahmen. Mit Beschluss vom 22. Oktober 2012 wies der Gemeinderat Weiningen das Einbürgerungsgesuch der Familie A._ und B._ ab. Dagegen beschritt die Familie den Rechtsweg. Mit Urteil vom 14. Februar 2014 hiess das Bundesgericht letztinstanzlich eine Beschwerde in der Sache gut und wies die Angelegenheit zur Vornahme ergänzender Verfahrensschritte und Sachverhaltsabklärung sowie zu neuem Entscheid an den Gemeinderat Weiningen zurück (<ref-ruling>).
A.b. Nach einem erneuten Einbürgerungsgespräch am 25. Juni 2014 lehnte der Gemeinderat Weiningen das Einbürgerungsgesuch der Eltern A._ und B._ mit Beschluss vom 14. Juli 2014 wiederum ab; demjenigen der Kinder C._ und D._ entsprach er unter Vorbehalt der Zustimmung der Eltern. Zur Begründung der Nichteinbürgerung der Eltern machte der Gemeinderat im Wesentlichen eine ungenügende Integration wegen mangelnder geografischer und staatsbürgerlicher Kenntnisse bei nur knapp ausreichenden Sprachkenntnissen geltend.
A.c. Am 20. Mai 2015 wies der Bezirksrat Dietikon einen dagegen erhobenen Rekurs von A._ ab.
B.
Mit Urteil vom 11. November 2015 wies auch das Verwaltungsgericht des Kantons Zürich eine bei ihm erhobene Beschwerde von A._ ab.
C.
Mit subsidiärer Verfassungsbeschwerde an das Bundesgericht beantragt A._, das Urteil des Verwaltungsgerichts vollumfänglich aufzuheben; eventuell sei der Gemeinderat Weiningen anzuweisen, ihn in das Gemeindebürgerrecht aufzunehmen. Zur Begründung macht er im Wesentlichen geltend, die Nichteinbürgerung sei willkürlich und rechtsungleich; überdies sei der entscheidende Gemeinderat nicht unabhängig gewesen und habe ihm das rechtliche Gehör verweigert.
Der Gemeinderat Weiningen schliesst auf Abweisung der Beschwerde. Der Bezirksrat Dietikon und das Verwaltungsgericht verzichteten auf eine Stellungnahme.

Erwägungen:
1.
1.1. Gegen letztinstanzliche Verfügungen der Kantone in Einbürgerungsangelegenheiten steht einzig die subsidiäre Verfassungsbeschwerde an das Bundesgericht gemäss <ref-law> offen. Der Entscheid der Vorinstanz kann mit keinem kantonalen Rechtsmittel angefochten werden und ist daher kantonal letztinstanzlich (Art. 113 i.V.m. <ref-law>; <ref-ruling> E. 1 S. 269).
1.2. Mit der subsidiären Verfassungsbeschwerde kann nach <ref-law> die Verletzung von verfassungsmässigen Rechten gerügt werden.
1.3. Zur Beschwerde ist gemäss <ref-law> berechtigt, wer vor der Vorinstanz am Verfahren teilgenommen (lit. a) und ein rechtlich geschütztes Interesse an der Aufhebung oder Änderung des angefochtenen Entscheids hat (lit. b). Nach der bundesgerichtlichen Rechtsprechung vermittelt dem abgewiesenen Bewerber bereits das eidgenössische Bürgerrechtsgesetz die Legitimation zur subsidiären Verfassungsbeschwerde (<ref-ruling> E. 1.4 S. 309 ff.). Der Beschwerdeführer hat als abgewiesener Bewerber am vorinstanzlichen Verfahren teilgenommen und ist durch den angefochtenen Entscheid beschwert, weshalb er vor dem Bundesgericht beschwerdebefugt ist.
2.
2.1. Der Beschwerdeführer rügt, die Gemeinde habe ihm das rechtliche Gehör verweigert, indem sie ihm nicht Gelegenheit gegeben habe, sich zur in Aussicht genommenen Verweigerung der Einbürgerung zu äussern. Überdies sei der Gemeinderat nicht unabhängig gewesen, weil er schon einmal gegen den Beschwerdeführer befunden habe und wegen der Rückweisung der Sache durch das Bundesgericht nun nochmals habe entscheiden müssen. Ohne dies ausdrücklich so zu nennen, beruft sich der Beschwerdeführer insofern wohl auf den Ausstandsgrund der Vorbefassung.
2.2. Nach dem Grundsatz von Treu und Glauben und dem Verbot des Rechtsmissbrauchs ist es nicht zulässig, formelle Rügen, die in einem früheren Prozessstadium hätten geltend gemacht werden können, bei ungünstigem Ausgang erst später vorzubringen (<ref-ruling> E. 2.2 S. 336 mit Hinweisen). Das gilt namentlich für Rügen, mit denen wie hier eine Gehörsverweigerung oder ein Ausstandsgrund behauptet wird. Der angefochtene Entscheid äussert sich überhaupt nicht zu den angeblichen Verfahrensmängeln. Der Beschwerdeführer hat diese formellen Rügen vor dem Verwaltungsgericht auch nicht erhoben. Zudem behauptet er nicht, dieses habe sich zu Unrecht nicht damit befasst. Es ist ihm daher verwehrt, die angeblichen formellen Mängel erst vor dem Bundesgericht geltend zu machen, weshalb darauf nicht eingetreten werden kann.
2.3. Soweit der Beschwerdeführer die gleichen Verfahrensrügen wiederholt, die bereits im ersten bundesgerichtlichen Verfahren zur Aufhebung des damaligen Nichteinbürgerungsentscheides geführt haben, ist er heute schon deswegen nicht mehr zu hören. Die Gemeinde hat in Umsetzung von <ref-ruling> die erforderlichen Verfahrensschritte nachgeholt. Dass diese erneut mangelhaft gewesen wären, legt der Beschwerdeführer nicht dar und ist auch nicht ersichtlich (dazu auch hinten E. 4.5).
3.
3.1. Für die ordentliche Einbürgerung muss der Gesuchsteller die gesetzlichen Wohnsitzerfordernisse erfüllen (vgl. <ref-law>), die hier nicht strittig sind. Überdies ist gemäss <ref-law> vor Erteilung der Bewilligung zu prüfen, ob der Bewerber zur Einbürgerung geeignet ist, insbesondere ob er in die schweizerischen Verhältnisse eingegliedert ist (lit. a), mit den schweizerischen Lebensgewohnheiten, Sitten und Gebräuchen vertraut ist (lit. b), die schweizerische Rechtsordnung beachtet (lit. c) und die innere oder äussere Sicherheit der Schweiz nicht gefährdet (lit. d). Die Kantone sind in der Ausgestaltung der Einbürgerungsvoraussetzungen insoweit frei, als sie hinsichtlich der Wohnsitzerfordernisse oder der Eignung Konkretisierungen des bundesgesetzlich vorgeschriebenen Rahmens vornehmen können (<ref-ruling> E. 2.1 S. 101; <ref-ruling> E. 1.4.3 S. 311).
3.2. Im Kanton Zürich werden die bundesrechtlichen Voraussetzungen umgesetzt in Art. 20 der Verfassung des Kantons Zürich vom 27. Februar 2005 (KV; SR 131.211), in den §§ 20-31 des zürcherischen Gemeindegesetzes vom 6. Juni 1926 (GG; LS 131.1) sowie in der kantonalen Bürgerrechtsverordnung vom 25. Oktober 1978 (BüV; LS 141.11). Danach müssen die Bewerber unter anderem über angemessene Kenntnisse der deutschen Sprache verfügen (Art. 20 Abs. 3 lit. a KV), in der Lage sein, für sich und ihre Familien aufzukommen (Art. 20 Abs. 3 lit. b KV, § 21 Abs. 1 in Verbindung mit § 22 Abs. 1 GG und <ref-law>), in die schweizerischen Verhältnisse eingegliedert sein (<ref-law>), mit den schweizerischen Lebensgewohnheiten, Sitten und Gebräuchen vertraut sein (<ref-law>, Art. 20 Abs. 3 lit. c KV), die schweizerische Rechtsordnung beachten (Art. 20 Abs. 3 lit. d KV, <ref-law>) sowie über einen unbescholtenen Ruf verfügen (§ 21 Abs. 1 GG und § 3 Abs. 1 in Verbindung mit <ref-law>; vgl. auch <ref-ruling> E. 2.2 S. 101).
3.3. Die Gemeinde verfügt beim Entscheid über eine ordentliche Einbürgerung über ein gewisses Ermessen. Obwohl diesem Entscheid auch eine politische Komponente innewohnt, ist das Einbürgerungsverfahren kein rechtsfreier Vorgang, wird doch darin über den rechtlichen Status von Einzelpersonen entschieden. Zu beachten sind daher die einschlägigen Verfahrensbestimmungen, und die Gemeinde darf nicht willkürlich, rechtsungleich oder diskriminierend entscheiden und muss ihr Ermessen insgesamt pflichtgemäss ausüben (vgl. <ref-ruling> E. 3.1 S. 101 f.; <ref-ruling> E. 1.4.3 S. 311).
4.
4.1. Der Beschwerdeführer rügt, der angefochtene Entscheid sei willkürlich und rechtsungleich. Er stelle einseitig auf gewisse Mängel bei den geografischen und staatsbürgerlichen Kenntnissen ab, die auch bei einem durchschnittlichen Schweizer oder einer durchschnittlichen Schweizerin vorliegen könnten, und nehme keine Gesamtabwägung vor.
4.2. Nach der ständigen Praxis des Bundesgerichts liegt Willkür in der Rechtsanwendung vor, wenn der angefochtene Entscheid offensichtlich unhaltbar ist, mit der tatsächlichen Situation in klarem Widerspruch steht, eine Norm oder einen unumstrittenen Rechtsgrundsatz krass verletzt oder in stossender Weise dem Gerechtigkeitsgedanken zuwiderläuft. Das Bundesgericht hebt einen Entscheid jedoch nur auf, wenn nicht bloss die Begründung, sondern auch das Ergebnis unhaltbar ist. Dass eine andere Lösung ebenfalls als vertretbar oder gar zutreffender erscheint, genügt nicht (vgl. im Zusammenhang mit Einbürgerungen <ref-ruling> E. 4.3 S. 319; <ref-ruling> E. 2.4 S. 5 mit Hinweisen).
4.3. Im Rahmen des Einbürgerungsverfahrens hat die Gemeinde die Eignung der Bewerber zur Einbürgerung und dabei insbesondere zu prüfen, ob diese in die schweizerischen Verhältnisse eingegliedert und mit den hiesigen Lebensgewohnheiten, Sitten und Gebräuchen vertraut sind. Diese Prüfung hat nicht nur vom Verfahren her, sondern auch mit Blick auf deren Inhalt fair zu sein. Die verlangten Anforderungen müssen sinnvoll erscheinen und dabei namentlich einen massgeblichen Zusammenhang zur Einbürgerungsfrage aufweisen. Es darf von den Einbürgerungswilligen nicht mehr verlangt werden, als auch von einem durchschnittlichen Schweizer zu erwarten ist (DIEYLA SOW/PASCAL MAHON, in: Amarelle/Nguyen [Hrsg.], Code annoté de droit des migrations, Volume V : Loi sur la nationalité [LN], 2014, Art. 14 Rz. 27). Der Massstab des durchschnittlichen Schweizers bedeutet aber auch, dass es nicht bei einem Minimum sein Bewenden haben muss, sondern Voraussetzungen verlangt werden dürfen, die nicht ausnahmslos jeder Schweizer ebenfalls erfüllen könnte.
4.4. Namentlich ist es zulässig, genügende Sprachkenntnisse zu verlangen, solange die entsprechenden Anforderungen nicht zu hoch angesetzt werden (vgl. dazu <ref-ruling> E. 3 S. 241 ff.; <ref-ruling> E. 3 S. 59; Urteil des Bundesgerichts 1D_1/2015 vom 1. Juli 2015 E. 3.2). Mit Blick auf die künftige mögliche Wahrnehmung der politischen Rechte ist es sodann nicht unhaltbar, Fragen zur Staatsorganisation in der Schweiz zu stellen. Diese Fragen müssen verständlich sein und, wie dargelegt, auch von einem durchschnittlichen Schweizer beantwortet werden können.
4.5. Der Beschwerdeführer wurde am 3. April und 13. Mai 2014 schriftlich zu einem Einbürgerungsgespräch eingeladen, wobei er auch darauf aufmerksam gemacht wurde, dass Fragen über geografische und staatsbürgerliche Themen gestellt würden. Der Beschwerdeführer hatte insofern die Gelegenheit, sich auf das Gespräch unter Einschluss der Eignungsprüfung vorzubereiten. Dieses Gespräch fand am 25. Juni 2014 statt und dessen Inhalt wurde im Wesentlichen protokolliert. Die entsprechenden prozessualen Voraussetzungen (vgl. <ref-ruling>, 140 I 99) erweisen sich damit als erfüllt.
4.6. Die Gemeinde war noch der Ansicht, die Sprachkenntnisse des Beschwerdeführers seien dürftig und nur gerade knapp genügend. Das Verwaltungsgericht misst diesem Gesichtspunkt jedoch keine entscheidende Bedeutung mehr zu. Der Beschwerdeführer trägt nunmehr zwar vor, er habe die ihm gestellten Fragen sprachlich nicht verstanden. Dabei setzt er sich aber selbst in einen gewissen Widerspruch zur Behauptung in der Beschwerdeschrift, seine Sprachkenntnisse seien "sogar als gut zu bezeichnen, wenn auch mit Akzent". So oder so scheiterte seine Einbürgerung gemäss dem angefochtenen Entscheid jedenfalls nicht an den mangelhaften Sprachkenntnissen.
4.7. Dem Beschwerdeführer wurden im Wesentlichen staatsbürgerliche Fragen gestellt. Soweit diese auch geografische Bezüge aufwiesen, handelte es sich um staatsorganisatorische Aspekte wie solche der Bezirks- oder Schulorganisation. Solche Fragen stehen im Zusammenhang mit den künftigen politischen Teilnahmerechten und erscheinen daher in einem Einbürgerungsverfahren nicht als sinnlos. Aus dem Protokoll der Befragung ergibt sich, dass hauptsächlich die Ehefrau des Beschwerdeführers, die ihre Nichteinbürgerung nicht angefochten hat, eine Vielzahl von Fragen nicht zu beantworten vermochte. Der Beschwerdeführer seinerseits konnte zwar die Hauptaufgaben der Gemeinden und die wichtigsten politischen Parteien der Schweiz nennen. Einige andere Fragen vermochte er aber überhaupt nicht oder nur vage oder erst nach mehrmaligem Nachfragen etwas spezifischer zu beantworten. Konkret erweisen sich namentlich seine Antworten zur Funktion der Gemeindeversammlung, zur Schulorganisation sowie zum Wahlorgan des Bundesrates als weitgehend bis völlig unzutreffend. Die dem Beschwerdeführer unterbreiteten staatsbürgerlichen Fragen waren gewiss nicht alle einfach, stellten aber keine übertriebenen Anforderungen an seine Kenntnisse, die den Wissensstand eines durchschnittlichen Schweizers übersteigen würden.
4.8. Der Beschwerdeführer behauptet, der bei ihm angewandte Wissensmassstab führe dazu, dass bildungsferne Schichten keinen Zugang zur Einbürgerung hätten, diese mithin bildungsnahen Schichten vorbehalten bleibe. Er erachtet dies als willkürlich und rechtsungleich. Zutreffend ist dabei, dass unverschuldet eingeschränkten Fähigkeiten wie Analphabetismus oder einem erstellten intellektuellen Manko bei der Prüfung der Einbürgerungsvoraussetzungen angemessen Rechnung getragen werden muss. Dass beim Beschwerdeführer ein solcher Zusammenhang besteht, ist jedoch nicht ersichtlich und es gibt dafür auch keine Anhaltspunkte. Im Gegenteil legt die Gemeinde in ihrer Stellungnahme an das Bundesgericht dar, dass der Beschwerdeführer gemäss den Akten seines Einbürgerungsgesuchs eine Ausbildung an einem Gymnasium sowie an einer technologischen Fakultät absolviert und diese mit dem Diplom eines Ingenieurs abgeschlossen hat. Überdies ist er als Inhaber eines Transportunternehmens wirtschaftlich erfolgreich. Diese Tatsachen hat der Beschwerdeführer nicht in Frage gestellt, obwohl er dazu im bundesgerichtlichen Verfahren Gelegenheit gehabt hätte. Sein Argument der Benachteiligung bildungsferner Schichten erscheint demnach in seinem Fall von vorneherein ungeeignet.
4.9. Angesichts des der Gemeinde zustehenden Ermessens und der beim Beschwerdeführer erstellten Mängel bei den staatsbürgerlichen Kenntnissen ist der angefochtene Entscheid weder willkürlich noch rechtsungleich.
5.
Die Beschwerde erweist sich als unbegründet und ist abzuweisen, soweit darauf eingetreten werden kann.
Bei diesem Verfahrensausgang wird der unterliegende Beschwerdeführer kostenpflichtig (Art. 66 Abs. 1, Art. 65 BGG). Eine Parteientschädigung ist nicht zuzusprechen (vgl. <ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 2'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer, dem Gemeinderat Weiningen, dem Bezirksrat Dietikon und dem Verwaltungsgericht des Kantons Zürich, 4. Abteilung, 4. Kammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 14. Juli 2016
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Fonjallaz
Der Gerichtsschreiber: Uebersax