Erwägungen:
1.
Der 1982 geborene serbische Staatsangehörige A._ wurde am 18. März 2008 vom damaligen Bundesamt für Migration (heute: Staatssekretariat für Migration; SEM) wegen mehrfacher illegaler Einreise in die Schweiz, wegen illegalen Aufenthalten im Land sowie wegen versuchtem Einbruchdiebstahl mit einem zehnjährigen Einreiseverbot belegt. Am 20. April 2008 heiratete A._ in Belgrad eine schweizerische Staatsangehörige, worauf das Einreiseverbot aufgehoben und ihm nach seiner Einreise in die Schweiz am 12. Juli 2009 eine Aufenthaltsbewilligung erteilt wurde. Das eheliche Zusammenleben mit der Schweizerin dauerte bis November 2013, wobei es bereits während dieser Zeit zu einer temporären Trennung kam.
A._ wurde in der Schweiz mehrfach und in erheblichem Ausmass straffällig:
- Mit Strafbefehl des Ministero pubblico des Kantons Tessin vom 15. August 2006 wurde er wegen Vergehen gegen das damalige Bundesgesetz über Aufenthalt und Niederlassung der Ausländer zu einer bedingten Gefängnisstrafe von 6 Tagen verurteilt;
- Mit Strafbefehl der Staatsanwaltschaft Zürich-Limmat vom 9. Dezember 2008 wurde er wegen rechtswidriger Einreise und Hinderung einer Amtshandlung zu einer bedingten Geldstrafe von 50 Tagessätzen sowie zu einer Busse von Fr. 300.-- verurteilt;
- Am 31. August 2010 sprach ihn das Obergericht des Kantons Zürich der mehrfachen Fälschung von Ausweisen, der mehrfachen Vergehen gegen das Bundesgesetz über Aufenthalt und Niederlassung der Ausländer, der rechtswidrigen Einreise, der Gehilfenschaft zu versuchtem Diebstahl sowie der Gehilfenschaft zu Sachbeschädigung schuldig und es verurteilte ihn zu einer bedingten Geldstrafe von 190 Tagessätzen;
- Mit Strafbefehl vom 29. März 2011 verurteilte ihn die Staatsanwaltschaft Limmattal/Albis wegen Diebstahls, Sachbeschädigung und Hausfriedensbruchs zu einer bedingten Geldstrafe von 140 Tagessätzen, als Zusatzstrafe zum Urteil des Obergerichts des Kantons Zürich vom 31. August 2010;
- Am 21. Mai 2013 sprach ihn das Bezirksgericht Affoltern des Diebstahls, der Sachbeschädigung, des Hausfriedensbruchs sowie der Urkundenfälschung schuldig und es verurteilte ihn zu einer Freiheitsstrafe von 24 Monaten. Dieses Straferkenntnis wurde mit Urteil des Obergerichts des Kantons Zürich vom 14. Mai 2014 sowie letztinstanzlich mit Urteil des Bundesgerichts 6B_795/2014 vom 6. Januar 2015 bestätigt.
Aufgrund dieser Delinquenz eröffnete das Amt für Migration des Kantons Zug am 5. März 2014 ein Verfahren betreffend Widerruf der Aufenthaltsbewilligung von A._. Am 17. Juni 2014, d.h. während des hängigen Widerrufsverfahrens, verübte der Betroffene eine sexuelle Belästigung zum Nachteil einer schwangeren Frau. Hierfür wurde er mit Strafbefehl der Staatsanwaltschaft Sursee vom 18. Juli 2014 mit eine Busse von Fr. 300.-- bestraft.
Mit Verfügung vom 24. Februar 2015 beschloss das Amt für Migration des Kantons Zug schliesslich die Nichtverlängerung der inzwischen abgelaufenen Aufenthaltsbewilligung von A._. Die vom Betroffenen hiergegen eingereichten Rechtsmittel wurden vom Regierungsrat des Kantons Zug (Beschwerdeentscheid vom 17. März 2015) und vom Verwaltungsgericht des Kantons Zug (Urteil vom 31. Mai 2016) abgewiesen.
Mit Eingabe vom 12. August 2016 führt A._ Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten beim Bundesgericht und beantragt im Wesentlichen die Verlängerung seiner Aufenthaltsbewilligung. Während der Regierungsrat des Kantons Zug auf Vernehmlassung verzichtet, schliesst das Verwaltungsgericht des Kantons Zug auf Abweisung der Beschwerde. Mit Schreiben des Bundesgerichts vom 30. September 2016 wurde dem Beschwerdeführer das Vernehmlassungsergebnis angezeigt. Innert der angesetzten Frist erfolgte keine (fakultative) Stellungnahme hierzu. Mit Verfügung vom 15. August 2016 hat der Präsident der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung des Bundesgerichtes der Beschwerde aufschiebende Wirkung zuerkannt.
2.
Die Beschwerde erweist sich als offensichtlich unbegründet, weswegen sie im vereinfachten Verfahren gemäss Art. 109 Abs. 2 lit. a i.V.m. Abs. 3 BGG, d.h. mit summarischer Begründung und unter Verweis auf den angefochtenen Entscheid zu erledigen ist:
2.1. Der Beschwerdeführer rügt vorab eine Verletzung des rechtlichen Gehörs, da die Vorinstanz auf diverse seiner Vorbringen nicht eingegangen sei bzw. diesen nicht genügend Beachtung geschenkt habe. Die Rüge ist unbegründet: Wie der Beschwerdeführer selbst zutreffend ausführt, ist es nicht erforderlich, dass sich das Verwaltungsgericht mit allen Parteistandpunkten einlässlich auseinandersetzt und jedes einzelne Vorbringen ausdrücklich widerlegt. Vielmehr kann es sich auf die für den Entscheid wesentlichen Punkte beschränken. Die Begründung muss so abgefasst sein, dass der Betroffene die Tragweite des Entscheids erfassen und ihn in voller Kenntnis der Sache an die höhere Instanz weiterziehen kann. Dies ist der Fall, wenn kurz die Überlegungen genannt werden, von denen sich die Behörde hat leiten lassen und auf die sich ihr Entscheid stützt (<ref-ruling> E. 4.1 S. 88 m.w.H.; Urteil 2C_212/2015 vom 8. Oktober 2015 E. 2.2). Diese Voraussetzungen sind hier erfüllt.
2.2. In materieller Hinsicht ist vorliegend unbestritten, dass der Beschwerdeführer nicht mehr mit seiner schweizerischen Gattin zusammenlebt und die Ehe nur noch auf dem Papier besteht, weshalb der Beschwerdeführer daraus keinen Bewilligungsanspruch mehr herleiten kann (Art. 42 Abs. 1 AuG e contrario). Nach Auflösung der Ehe oder der Familiengemeinschaft besteht der Anspruch des ausländischen Ehegatten auf Erteilung und Verlängerung der Aufenthaltsbewilligung weiter, wenn die Ehegemeinschaft mindestens drei Jahre bestanden hat und eine erfolgreiche Integration vorliegt (Art. 50 Abs. 1 lit. a AuG) oder wenn wichtige persönliche Gründe einen weiteren Aufenthalt in der Schweiz erforderlich machen (Art. 50 Abs. 1 lit. b AuG). Ob diese Voraussetzungen vorliegend erfüllt sind, erscheint fraglich. Die Frage kann offen bleiben, zumal die Aufenthaltsbewilligung gemäss Art. 33 Abs. 3 AuG ohnehin nur verlängert werden kann, falls keine Widerrufsgründe nach Art. 62 AuG vorliegen und die Ansprüche nach Art. 50 AuG erlöschen, wenn solche Widerrufsgründe vorliegen (Art. 51 Abs. 2 lit. b AuG). Gemäss Art. 62 lit. b AuG kann die Aufenthaltsbewilligung einer ausländischen Person widerrufen werden, wenn diese zu einer längerfristigen Freiheitsstrafe verurteilt wurde. Als "längerfristig" gilt jede Freiheitsstrafe, deren Dauer ein Jahr überschreitet (<ref-ruling> E. 4.2 und E. 4.5 S. 379 ff.). Dieses Erfordernis ist hier in Bezug auf den Beschwerdeführer offensichtlich erfüllt. Der Beschwerdeführer beruft sich denn auch im Wesentlichen einzig darauf, dass die Verweigerung der Bewilligungsverlängerung unverhältnismässig sei. Diese Rüge geht jedoch ins Leere: Richtig ist wohl, dass diese Massnahme aufgrund der gesamten Umstände des Einzelfalls verhältnismässig sein muss (vgl. <ref-ruling> E. 4.3 S. 381 f. m.w.H). Dies hat das Verwaltungsgericht aber nicht verkannt, sondern es hat die hier massgebenden öffentlichen Interessen an einer Ausreise des Beschwerdeführers und dessen private Interessen an einem Verbleib in der Schweiz umfassend und sachgerecht gewürdigt und es für zumutbar erachtet, dass der Beschwerdeführer in seine Heimat zurückkehrt.
2.3. Diese Schlussfolgerung der Vorinstanz ist weder im Lichte des Ausländergesetzes noch unter dem Blickwinkel der EMRK zu beanstanden: Insgesamt musste der Beschwerdeführer sechsmal strafrechtlich verurteilt werden, woraus Freiheitsstrafen von insgesamt 2 Jahren und 6 Tagen sowie Geldstrafen von insgesamt 380 Tagessätzen resultierten, wobei überdies eine progrediente Entwicklung seiner Delinquenz erkennbar ist. Die Strafhöhe sowie die genannten Umstände deuten auf ein erhebliches Verschulden hin und sprechen für eine ausgeprägte Geringschätzung und Gleichgültigkeit gegenüber der schweizerischen Rechtsordnung. Dieser Eindruck wird durch die Tatsache verstärkt, dass sich der Beschwerdeführer von diversen Strafen mit warnendem Charakter (bedingten Gefängnis- und Geldstrafen) nicht beeindrucken liess, er mehrfach innert festgesetzten Bewährungsfristen weiter delinquierte und weder ein hängiges Berufungsverfahren in Strafsachen noch ein bereits eingeleitetes Verfahren zum Widerruf seiner Aufenthaltsbewilligung geeignet waren, um ihn von der Begehung weiterer Straftaten abzuhalten. Bei dieser Sachlage ist der weitere Verbleib des Beschwerdeführers im Land mit den Sicherheitsinteressen der Schweiz nicht mehr zu vereinbaren.
2.4. Daran vermögen auch die Einwendungen des Beschwerdeführers betreffend seinen Gesundheitszustand und ein von ihm neu eingereichter Arztbericht nichts zu ändern: Der Beschwerdeführer behauptet, er habe am 21. Oktober 2014 einen Autounfall (Heckaufprall mit Geschwindigkeitsdifferenz von 5-8 km/h gehabt), unter dessen Folgen er noch immer leide. Zudem sei er auch an paranoider Schizophrenie erkrankt. In diesem Zusammenhang ist ihm vorab entgegenzuhalten, dass er bereits in den vorinstanzlichen Verfahren Gelegenheit gehabt hätte, Unterlagen zu seinem Gesundheitszustand einzureichen, was er jedoch unterlassen hat. Es ist nicht ersichtlich, inwieweit erst der angefochtene Entscheid hierzu Anlass gegeben hätte, weswegen seine neuen Vorbringen im bundesgerichtlichen Verfahren nicht zulässig sind (<ref-law>). Ohnehin ist jedoch anzumerken, dass der eingereichte ärztliche Bericht vom 29. April 2016 von psychiatrischen/psychologischen Therapeuten verfasst wurde, weshalb er nur hinsichtlich der behaupteten psychischen Erkrankung des Beschwerdeführers eigene fachliche Feststellungen enthalten kann. Zur diesbezüglichen Behandlung empfiehlt der Bericht die Fortsetzung der Psychotherapie (gegenwärtig einmal pro Woche) sowie der medikamentösen Therapie. Weshalb dies in Serbien nicht möglich sein sollte, ist nicht ersichtlich und wird vom Beschwerdeführer auch nicht substantiiert dargelegt. Soweit er in diesem Zusammenhang einzig die fehlende finanzielle Unterstützung durch den serbischen Staat bemängelt, überzeugen seine Ausführungen jedenfalls nicht, zumal sich aus diesen ergibt, dass in Serbien grundsätzlich eine gesetzliche Krankenversicherung und auch Leistungen der Sozialhilfe zur Verfügung stehen, auch wenn deren Inanspruchnahme mit administrativen Hürden verbunden sein mag.
3.
Nach dem Ausgeführten ist die Beschwerde abzuweisen.
Entsprechend diesem Verfahrensausgang hat der Beschwerdeführer die bundesgerichtlichen Kosten zu tragen (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 2'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten, dem Verwaltungsgericht des Kantons Zug, verwaltungsrechtliche Kammer, sowie dem Staatssekretariat für Migration schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 17. November 2016
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Seiler
Der Gerichtsschreiber: Zähndler