Sachverhalt:
A.
A.a. A._ (geb. 1956) ist türkischer Staatsangehöriger mit kurdischer Abstammung. Am 3. Juli 1982 reiste er über die Bundesrepublik Deutschland in die Schweiz ein und ersuchte am 15. Juli 1982 um Asyl. Am 19. November 1982 verfügte das damalige Bundesamt für Polizeiwesen die Wegweisung. Der Entscheid wurde ausdrücklich als Zwischenverfügung bezeichnet und A._ wurde mitgeteilt, der Asylentscheid werde ihm im Ausland an eine von ihm zu bezeichnende Adresse zugestellt. Auf eine gegen den Wegweisungsentscheid erhobene Beschwerde trat das Eidgenössische Justiz- und Polizeidepartement EJPD, Beschwerdedienst, am 28. Januar 1983 nicht ein. Die offenbar gegen den Endentscheid betreffend Asyl am 21. Februar 1983 erhobene Beschwerde zog A._ am 7. Oktober 1991 zurück, nachdem ihm und seiner 1989 in die Schweiz gekommenen Ehefrau sowie der 1990 geborenen Tochter aus humanitären Gründen die Erteilung einer Aufenthaltsbewilligung in Aussicht gestellt worden war. Am 11. Oktober 1991 schrieb das EJPD, Beschwerdedienst, das Beschwerdeverfahren als durch Rückzug erledigt ab.
Aus der Ehe ging am 3. November 1991 eine zweite Tochter hervor. Am 13. November 1992 wurde allen Familienmitgliedern die Aufenthaltsbewilligung erteilt. A._ erhielt am 11. Februar 2002 die Niederlassungsbewilligung. Seine seit 1997 von ihm geschiedene Ehefrau und die beiden Töchter erlangten am 29. September 2004 das Schweizer Bürgerrecht.
A.b. Bereits am 25. Oktober 1999 hatte das Obergericht des Kantons Zürich A._ in zweiter Instanz zu einer bedingten Gefängnisstrafe von 18 Monaten wegen Erpressung, mehrfacher versuchter Nötigung und Angriffs verurteilt. Deswegen wurde er am 2. Februar 2000 ausländerrechtlich verwarnt.
Am 13. Juli 2011 verurteilte das Bezirksgericht Zürich A._ wegen versuchter vorsätzlicher Tötung, mehrfacher einfacher Körperverletzung und Widerhandlung gegen das Waffengesetz, begangen am 23. Mai 2005, zu einer Freiheitsstrafe von fünfeinhalb Jahren und einer Busse von Fr. 250.--. Das Obergericht des Kantons Zürich bestätigte die Schuldsprüche mit Urteil vom 23. Mai 2013 und reduzierte die Freiheitsstrafe um sechs Monate auf fünf Jahre. Eine dagegen erhobene Beschwerde wies das Bundesgericht mit Urteil 6B_773/2013 vom 28. Juli 2014 ab. Bis zu seiner bedingten Entlassung am 21. September 2008 hatte sich A._ im vorzeitigen Strafvollzug befunden; die Reststrafe musste er nicht mehr verbüssen.
Mit Strafbefehl vom 23. Januar 2014 verurteilte die Staatsanwaltschaft Zürich-Limmat A._ wegen Widerhandlungen gegen das Ausländergesetz zu einer Geldstrafe von 20 Tagessätzen zu je Fr. 50.--, aufgeschoben mit einer Probezeit von zwei Jahren, und einer Busse von Fr. 100.--.
B.
Am 13. Mai 2015 widerrief das Migrationsamt des Kantons Zürich die Niederlassungsbewilligung und wies A._ aus der Schweiz weg. Die dagegen erhobenen kantonalen Rechtsmittel blieben erfolglos (Entscheid der Sicherheitsdirektion des Kantons Zürich vom 16. September 2015; Urteil des Verwaltungsgerichts des Kantons Zürich vom 2. Dezember 2015).
C.
A._ erhebt am 17. Januar 2016 "Beschwerde in verwaltungsrechtlichen Angelegenheiten und Subsidiäre Verfassungsbeschwerde" beim Bundesgericht mit den Anträgen, die Niederlassungsbewilligung sei ihm nicht zu entziehen, eventualiter sei von der Wegweisung abzusehen und subeventualiter sei die Angelegenheit zurückzuweisen.
Das Verwaltungsgericht schliesst auf Abweisung der Beschwerde, soweit darauf einzutreten sei. Die Sicherheitsdirektion verzichtet auf Vernehmlassung, und das Staatssekretariat für Migration beantragt die Abweisung der Beschwerde. A._ hat am 4. Mai 2016 eine Replik eingereicht.
Mit Präsidialverfügung vom 19. Januar 2016 ist der Beschwerde antragsgemäss aufschiebende Wirkung zuerkannt worden.
Mit Schreiben vom 3. Mai 2016 teilt das Migrationsamt mit, A._ habe beim Staatssekretariat für Migration ein neues Asylgesuch eingereicht.

Erwägungen:
1.
1.1. Gegen den Widerruf der Niederlassungsbewilligung ist die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten zulässig (<ref-ruling> E. 1.2.1 S. 4; Urteil 2C_139/2016 vom 14. Juni 2016 E. 1.2). Die übrigen Sachurteilsvoraussetzungen (Form, Frist und Legitimation gemäss Art. 42, Art. 100 Abs. 1 und Art. 89 Abs. 1 BGG) sind erfüllt. Auf die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten ist einzutreten, soweit sie den Widerruf der Niederlassungsbewilligung betrifft.
1.2. Gegen Entscheide betreffend die Wegweisung ist die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten unzulässig (<ref-law>). Ob der Eventualantrag auf Aufhebung des Wegweisungsentscheids als subsidiäre Verfassungsbeschwerde entgegengenommen werden kann, ist nur bei negativem Ausgang der Beschwerde gegen den Widerruf der Niederlassungsbewilligung zu prüfen.
2.
2.1. Mit der Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann eine Rechtsverletzung nach Art. 95 und Art. 96 BGG gerügt werden. Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (<ref-law>). In Bezug auf die Verletzung von Grundrechten gilt eine qualifizierte Rüge- und Substanziierungspflicht (<ref-law>; <ref-ruling> E. 2.2 S. 232; <ref-ruling> E. 2.5 S. 314).
2.2. Das Bundesgericht legt seinem Urteil den von der Vorinstanz festgestellten Sachverhalt zugrunde (<ref-law>). Es kann die Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz von Amtes wegen berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinn von <ref-law> beruht (<ref-law>). "Offensichtlich unrichtig" bedeutet dabei "willkürlich" (<ref-ruling> E. 2). Die beschwerdeführende Partei kann die Feststellung des Sachverhalts unter den gleichen Voraussetzungen beanstanden, wenn die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein kann (<ref-law>). Eine entsprechende Rüge ist substanziiert vorzubringen; auf rein appellatorische Kritik an der Sachverhaltsfeststellung geht das Bundesgericht nicht ein (<ref-ruling> E. 10.1 S. 445 f.).
2.3. Neue Tatsachen und Beweismittel dürfen nur so weit vorgebracht werden, als erst der Entscheid der Vorinstanz dazu Anlass gibt (<ref-law>).
2.3.1. Tatsachen oder Beweismittel, welche sich auf das vorinstanzliche Prozessthema beziehen, sich jedoch erst nach dem angefochtenen Entscheid ereignet haben oder entstanden sind, können von vornherein nicht durch das angefochtene Urteil veranlasst worden sein (Urteil 2C_833/2011 vom 6. Juni 2012 E. 1.2 mit Hinweis). Diese so genannten "echten Noven" sind im bundesgerichtlichen Verfahren in jedem Fall unzulässig (<ref-ruling> E. 3.1.2 S. 123; <ref-ruling> E. 2.1 S. 344).
2.3.2. <ref-law> zielt auf Tatsachen ab, die erst durch das angefochtene Urteil rechtserheblich werden. So kann sich die beschwerdeführende Partei vor Bundesgericht auf Tatsachen stützen, die nicht Gegenstand des vorinstanzlichen Verfahrens gebildet hatten, wenn die Vorinstanz ein neues rechtliches Argument anführt, mit dem die Partei zuvor nicht konfrontiert worden war (vgl. Urteil 5A_115/2012 vom 20. April 2012 E. 4.4.2). Unzulässig sind hingegen neue Tatsachen, die bereits der Vorinstanz hätten vorgelegt werden können (<ref-ruling> E. 4.4.3 S. 129).
3.
3.1. In formeller Hinsicht moniert der Beschwerdeführer, er habe mehrmals erfolglos den Beizug der gesamten Asylakten beantragt, um seine Verfolgungssituation darlegen zu können. Heute sei es aufgrund der schlechter gewordenen Situation in der Türkei für Privatpersonen fast unmöglich, Dokumente zur Verfolgungssituation zu erhalten. Deswegen müssten die im Asylverfahren eingereichten Dokumente beigezogen werden können. Die Vorinstanz habe das rechtliche Gehör verletzt, indem sie diese Akten als nicht entscheidrelevant erachtet habe.
3.2. Der Anspruch auf rechtliches Gehör umfasst unter anderem das Recht auf Abnahme der rechtzeitig und formrichtig angebotenen rechtserheblichen Beweismittel (<ref-ruling> E. 5.3 S. 148). Über nicht rechtserhebliche Tatsachenbehauptungen ist kein Beweis zu führen und entsprechenden Beweisanträgen ist keine Folge zu geben (Urteil 2D_29/2012 vom 21. Dezember 2012 E. 3.1 mit Literaturhinweis; vgl. auch <ref-ruling> E. 6c/cc S. 134 f.).
Nach ständiger Rechtsprechung des Bundesgerichts liegt keine Verletzung des rechtlichen Gehörs vor, wenn ein Gericht auf die Abnahme beantragter Beweismittel verzichtet, weil es auf Grund der bereits abgenommenen Beweise seine Überzeugung gebildet hat und ohne Willkür in vorweggenommener Beweiswürdigung annehmen kann, dass seine Überzeugung durch weitere Beweiserhebungen nicht geändert würde (<ref-ruling> E. 3.3 S. 64; <ref-ruling> E. 5.3 S. 236; <ref-ruling> E. 5.3 S. 148).
3.3. Eine Verletzung des rechtlichen Gehörs ist hier schon deshalb zu verneinen, weil sich die teilweise fehlenden Akten zum Asylgesuch vom 15. Juli 1982 zum vornherein nicht als Beweise für eine im Jahr 2015 geltend gemachte Verfolgungssituation eignen. Die zur Edition beantragten Beweismittel waren untauglich für den vom Beschwerdeführer verfolgten Zweck, weshalb eine "unechte" antizipierte Beweiswürdigung vorliegt (vgl. Urteil 2C_733/2012 vom 24. Januar 2013 E. 3.2.3). Die Rüge ist unbegründet.
4.
4.1. Durch die Verurteilung zu einer Freiheitsstrafe von fünf Jahren ist der Widerrufsgrund nach Art. 63 Abs. 2 AuG (SR 142.20) i.V.m. Art. 62 lit. b AuG erfüllt. Zu prüfen bleibt die Verhältnismässigkeit der Massnahme im Sinn von <ref-law> bzw. Art. 96 Abs. 1 AuG.
4.2. Die Vorinstanz hat richtig erwogen, dass sich der Beschwerdeführer nicht auf das Recht auf Achtung des Familienlebens gemäss Art. 8 Ziff. 1 EMRK berufen kann. Das Verhältnis einer ausländischen Person zu ihren volljährigen, in der Schweiz anwesenheitsberechtigten Kindern fällt nur in diesen Schutzbereich, wenn eine besondere Abhängigkeit besteht, welche über die normalen affektiven Bindungen hinausgeht (<ref-ruling> E. 5.1 S. 402; <ref-ruling> E. 3.4.2 S. 159). Die Tatsache, dass sich der Beschwerdeführer finanziell an der Ausbildung seiner Töchter beteiligt, stellt keine Abhängigkeit im Sinn dieser Rechtsprechung dar (vgl. Urteil 2C_147/2014 vom 26. September 2014 E. 5.4). Der Beschwerdeführer erhebt diese Rüge zu Recht nicht mehr.
4.3. Bei der Prüfung der Verhältnismässigkeit gemäss <ref-law> bzw. Art. 96 Abs. 1 AuG ist das öffentliche Interesse am Widerruf der Bewilligung den privaten Interessen der betroffenen Person am Verbleib in der Schweiz gegenüberzustellen.
4.3.1. Ausgangspunkt für das migrationsrechtliche Verschulden ist die vom Strafgericht ausgesprochene Strafe (<ref-ruling> E. 4.2 S. 23; <ref-ruling> E. 3.1 S. 216). Durch den Zeitablauf seit der Tatbegehung, das Verhalten der ausländischen Person bis zum angefochtenen Urteil und weitere Faktoren kann das entsprechende sicherheitspolizeiliche Interesse relativiert oder erhöht werden (Urteil 2C_685/2014 vom 13. Februar 2015 E. 6.1). Im vorliegenden Fall geht es um eine sehr hohe Freiheitsstrafe von fünf Jahren, wobei das schwerste Delikt ein Tötungsdelikt ist. Die Straftat lag zwar im Zeitpunkt des angefochtenen Urteil schon zehn Jahre zurück; das erstinstanzliche Strafurteil konnte aus verschiedenen prozessualen Gründen erst 2011 gefällt werden. Indessen hatte der Beschwerdeführer schon im Jahr 1999 eine 18-monatige Freiheitsstrafe erwirkt, weshalb der Widerrufsgrund bereits damals erfüllt war. In der Verfügung betreffend Verwarnung vom 2. Februar 2000 hatte die Fremdenpolizei des Kantons Zürich dies dem Beschwerdeführer mitgeteilt. Sie hatte zudem darauf hingewiesen, dass dieser mehrmals wegen Übertretung des Gastgewerbegesetzes hatte gebüsst werden müssen.
Schon kurze Zeit nach Erhalt der Verwarnungsverfügung vom 2. Februar 2000 wurde der Beschwerdeführererneut straffällig: Die Bezirksanwaltschaft Zürich verurteilte ihn mit Strafbefehl vom 25. Juli 2003 wegen Widerhandlung gegen das Gastgewerbegesetz zu fünf Tagen Haft (bedingt aufgeschoben mit einer Probezeit von einem Jahr). Die Verwarnung vermochte den Beschwerdeführer schliesslich nicht davon abzuhalten, am 23. Mai 2005 bei einer tätlichen Auseinandersetzung aus kurzer Distanz fünf Schüsse aus einem Revolver auf zwei ihm bisher unbekannte Personen abzugeben. Die strafbare Handlung (welche zur Verurteilung wegen versuchter vorsätzliche Tötung, mehrfacher einfacher Körperverletzung und Widerhandlung gegen das Waffengesetz führte) wiegt schwer und offenbart eine grosse Geringschätzung des menschlichen Lebens.
Auch nach Begehung dieser Taten und Verbüssung der Strafe ist der Beschwerdeführer wieder straffällig geworden: Im Jahr 2013 beschäftigte er ausländisches Personal ohne Bewilligung, was zum Strafbefehl vom 23. Januar 2014 führte.
Insgesamt gibt der Beschwerdeführer das Bild einer uneinsichtigen Person ab, welche auch vor schweren Gewalttaten nicht zurückschreckt. Aufgrund der wiederholten Delinquenz ist eine Rückfallgefahr zu bejahen; bei schwerer Straffälligkeit muss selbst ein geringes Rückfallrisiko nicht hingenommen werden (<ref-ruling> E. 2.3.2 S. 34). Zudem dürfen bei ausländischen Personen, die sich - wie der Beschwerdeführer - nicht auf das FZA (SR 0.142.112.681) berufen können, generalpräventive Gesichtspunkte berücksichtigt werden (Urteil 2C_940/2014 vom 30. Mai 2015 E. 5.3). Das öffentliche Interesse an der Beendigung des Aufenthalts ist als erheblich einzustufen.
4.3.2. Der Beschwerdeführer ist geschieden und seine Kinder sind erwachsen. Das Interesse, in der Schweiz bleiben zu können, beruht einzig auf der sehr langen Aufenthaltsdauer von ungefähr 30 Jahren (die im Strafvollzug verbrachte Zeit wird dabei nicht mitgerechnet, vgl. Urteile 2C_522/2013 vom 23. Dezember 2013 E. 4.7; 2C_977/2012 vom 15. März 2013 E. 3.6). Indessen ist der Beschwerdeführer erst im Alter von 26 Jahren in die Schweiz gekommen; er ist also mit den Gebräuchen seines Herkunftslands vertraut. Dennoch hat die Vorinstanz zutreffend erwogen, dass eine Wiedereingliederung in der Türkei aufgrund des Alters des Beschwerdeführers (im Zeitpunkt des angefochtenen Urteils 59 Jahre) nicht ohne Schwierigkeiten sein dürfte. Der Beschwerdeführer hat diese Situation indessen selbst herbeigeführt, indem er immer wieder straffällig wurde, zweimal davon schwer. Seine soziale Integration in der Schweiz ist - gemessen am langen Aufenthalt - als schwach zu werten, gab er doch als "besten Kollegen" seinen Rechtsanwalt im vorliegenden Widerrufsverfahren an. In beruflicher Hinsicht scheint sich der Beschwerdeführer einigermassen über Wasser zu halten, hat aber Schulden aufgrund der Straffälligkeit. Insgesamt vermögen die privaten Interessen des Beschwerdeführers an einem Verbleib in der Schweiz das öffentliche Interesse am Widerruf der Niederlassungsbewilligung nicht aufzuwiegen. Die Rückkehr in die Türkei kann ihm trotz einer gewissen Härte zugemutet werden.
4.4. Der Widerruf der Niederlassungsbewilligung erweist sich somit als verhältnismässig, und die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten ist abzuweisen.
5.
Es bleibt zu prüfen, ob die eventualiter erhobene Beschwerde gegen die Wegweisung als subsidiäre Verfassungsbeschwerde entgegengenommen werden kann.
5.1. Die subsidiäre Verfassungsbeschwerde nach <ref-law> gegen Wegweisungsentscheide, mit denen Vollzugshindernisse durch kantonale Behörden verneint werden, steht offen, sofern sich die betroffene ausländische Person auf besondere verfassungsmässige Rechte berufen kann, die ihr unmittelbar ein rechtlich geschütztes Interesse im Sinn von <ref-law> verschaffen (<ref-ruling> E. 3.3 S. 310; Urteile 2D_58/2012 vom 23. Oktober 2012 E. 2.1; 2D_67/2009 vom 4. Februar 2010 E. 2.1, 2D_98/2008 vom 12. Dezember 2008 E. 1). Derartige Rechte sind etwa der Schutz des Lebens (<ref-law> bzw. Art. 2 EMRK), das Verbot jeder Art grausamer, unmenschlicher oder erniedrigender Behandlung oder Bestrafung (<ref-law> bzw. Art. 3 EMRK) oder das Verbot einer Ausschaffung in einen Staat, in welchem der betroffenen Person Folter oder eine andere Art grausamer und unmenschlicher Behandlung oder Bestrafung droht (<ref-law>). Die entsprechenden Rügen müssen jeweils rechtsgenügend begründet werden (<ref-law> i.V.m. <ref-law>). Das Bundesgericht prüft die Verletzung von Grundrechten nur, soweit diese klar, sachbezogen und falls möglich belegt geltend gemacht wird (<ref-law>; "qualifizierte Rügepflicht"; vgl. <ref-ruling> E. 3.3 S. 310, <ref-ruling> E. 4.1 S. 235).
5.2. Unter dem Titel von Art. 8 EMRK macht der Beschwerdeführer geltend, die individuelle Verfolgung, die Gefährdung des Lebens und das Drohen EMRK-widriger Strafen stellten ein Wegweisungshindernis dar.
5.2.1. Sinngemäss rügt der Beschwerdeführer damit eine Verletzung von Art. 2 EMRK (Recht auf Leben) und Art. 3 EMRK (Verbot der Folter). Indessen legt er nicht einmal ansatzweise dar, inwiefern er bei einer Rückkehr in die Türkei an Leib und Leben gefährdet wäre. Pauschale Hinweise, wonach Kurden in der Türkei Benachteiligungen ausgesetzt seien, reichen dafür nicht aus. Die in diesem Zusammenhang vorgelegte, von fünf Personen unterzeichnete Erklärung vom 16. Januar 2016, mit denen der Beschwerdeführer eine aktuelle Gefährdung in der Türkei glaubhaft machen will, ist ein unzulässiges echtes Novum und somit unbeachtlich (vgl. E. 2.3.1).
5.2.2. Es trifft sodann nicht zu, dass der Ausgang des Asylentscheids unklar sei. Zwar befindet sich der negative Asylentscheid nicht bei den Akten. Indessen geht aus der Zwischenverfügung des EJPD, Beschwerdedienst, vom 20. September 1991 sowie dem Abschreibungsentscheid der gleichen Behörde vom 11. Oktober 1991 eindeutig hervor, dass der Beschwerdeführer die Beschwerde am 21. Februar 1983 eingereicht und am 7. Oktober 1991 zurückgezogen hat. Es trifft auch nicht zu, dass der Rückzug nicht ihn selbst, sondern seine (damalige) Ehefrau betreffe. Das Bundesgericht hat den Sachverhalt entsprechend ergänzt (vgl. Sachverhalt lit. A.a), um diese Vorbringen (teilweise als zulässige unechte Noven) behandeln zu können. Gemäss den vorliegenden Akten muss das Asylgesuch in den ersten Wochen des Jahres 1983 abgewiesen worden sein. Es ist aber ohnehin nicht ersichtlich, was der Beschwerdeführer aus dem angeblich zu klärenden damaligen Sachverhalt ableiten will, nachdem das angefochtene Urteil mehr als 33 Jahre nach Einreichung des Asylgesuchs ergangen ist. Es ist nicht willkürlich, wenn die Vorinstanz zum Schluss kam, der Beschwerdeführer habe die geltend gemachte aktuelle Bedrohungssituation nicht hinreichend substanziiert. Sie weist im Übrigen darauf hin, dass sich der Beschwerdeführer seit Jahrzehnten nicht mehr politisch in der Türkei engagiert, sich zwischenzeitlich erfolgreich um einen türkischen Pass bemüht und seine Heimat jüngst in Begleitung seiner älteren Tochter unbehelligt besucht habe. Eine drohende Verletzung von Art. 2 und 3 EMRK ist nicht ersichtlich.
5.3. Bei dieser Sachlage ist die Zulässigkeit der subsidiären Verfassungsbeschwerde nach <ref-law> nicht gegeben. Auf den Antrag, von der Wegweisung abzusehen, ist nicht einzutreten.
6.
Nach dem Gesagten ist die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten abzuweisen und auf die subsidiäre Verfassungsbeschwerde nicht einzutreten. Der unterliegende Beschwerdeführer trägt die Gerichtskosten (<ref-law>). Eine Parteientschädigung ist nicht zuzusprechen (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten wird abgewiesen.
2.
Auf die subsidiäre Verfassungsbeschwerde wird nicht eingetreten.
3.
Die Gerichtskosten von Fr. 2'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
4.
Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten, dem Verwaltungsgericht des Kantons Zürich, 2. Abteilung, und dem Staatssekretariat für Migration schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 23. Juni 2016
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Seiler
Die Gerichtsschreiberin: Genner