Erwägungen:
1.
Die Staatsanwaltschaft des Kantons Zug führt ein Strafverfahren gegen A._ wegen ordnungswidriger Führung der Geschäftsbücher. Mit Verfügung vom 4. Februar 2016 wies die Staatsanwaltschaft ein Gesuch von A._ um Bestellung eines amtlichen Verteidigers ab. Dagegen erhob A._ Beschwerde beim Bundesgericht. Mangels eines letztinstanzlichen kantonalen Entscheids trat das Bundesgericht mit Urteil vom 1. März 2016 (Verfahren 1B_75/2016) auf die Beschwerde nicht ein und überwies sie zuständigkeitshalber an die Beschwerdeabteilung des Obergerichts des Kantons Zug.
Die Staatsanwaltschaft des Kantons Zug sprach A._ mit Strafbefehl vom 4. März 2016 der ordnungswidrigen Führung der Geschäftsbücher schuldig, bestrafte ihn mit einer Busse von Fr. 200.-- und setzte die Ersatzfreiheitsstrafe bei Nichtbezahlen der Busse auf zwei Tage fest. Mit Urteil vom 30. März 2016 trat das Bundesgericht auf eine von A._ erhobene Rechtsverzögerungs- und Rechtsverweigerungsbeschwerde vom 24. März 2016 nicht ein und überwies die Beschwerde in Bezug auf den am 4. März 2016 ergangenen Strafbefehl zuständigkeitshalber an die Staatsanwaltschaft zur weiteren Behandlung. Diese nahm die Beschwerde als gültige Einsprache gegen den Strafbefehl entgegen.
Mit Eingabe vom 15. März 2016 stellte A._ beim Obergericht ein Gesuch um Bestellung einer amtlichen Verteidigung. Das Abteilungspräsidium teilte ihm am 16. März 2016 mit, die Eingabe betreffe den gleichen Gegenstand wie die überwiesene Beschwerde vom 25. Februar 2016. Sie werde deshalb im bereits eröffneten Beschwerdeverfahren berücksichtigt. Mit Urteil vom 4. Mai 2016 wies die I. Beschwerdeabteilung des Obergerichts des Kantons Zug die Beschwerde bezüglich der amtlichen Verteidigung ab und trat auf die Beschwerde bezüglich der verweigerten Zustellung der Untersuchungsakten nicht ein.
2.
Mit Eingabe vom 14. Juni 2016 (Postaufgabe 16. Juni 2016) führt A._ gegen das Urteil vom 4. Mai 2016 Beschwerde in Strafsachen ans Bundesgericht. Das Bundesgericht hat davon abgesehen, Stellungnahmen zur Beschwerde einzuholen.
3.
Der Beschwerdeführer ersucht um Erstreckung der Beschwerdefrist, damit ein noch zu ernennender Rechtsvertreter eine Beschwerdeergänzung einreichen könne. Die 30-tägige Beschwerdefrist gemäss Art. 100 Abs. 1 BGG kann als gesetzliche Frist nicht erstreckt werden (Art. 47 Abs. 2 BGG). Die am 17. Juni 2016 abgelaufene Beschwerdefrist kann somit nicht erstreckt werden. Das Gesuch des Beschwerdeführers ist daher abzuweisen.
4.
Nach Art. 42 Abs. 2 BGG ist in der Begründung einer Beschwerde in gedrängter Form darzulegen, inwiefern der angefochtene Entscheid Recht verletzt. Die Bestimmungen von Art. 95 ff. BGG nennen die vor Bundesgericht zulässigen Beschwerdegründe. Hinsichtlich der Verletzung von Grundrechten gilt der in Art. 106 Abs. 1 BGG verankerte Grundsatz der Rechtsanwendung von Amtes wegen nicht; insofern besteht eine qualifizierte Rügepflicht (Art. 106 Abs. 2 BGG; <ref-ruling> E. 1.4.1 S. 53, 65 E. 1.3.1 S. 68 mit Hinweisen). Es obliegt dem Beschwerdeführer namentlich darzulegen, inwiefern der angefochtene Entscheid gegen die gerügten Grundrechte verstossen soll.
Der Beschwerdeführer, der sich mit der Begründung der I. Beschwerdeabteilung nicht auseinandersetzt, vermag mit seinen kaum sachbezogenen Ausführungen nicht verständlich aufzuzeigen, inwiefern die Begründung der I. Beschwerdeabteilung bzw. deren Urteil selbst rechts- bzw. verfassungswidrig sein soll. Demgemäss ist mangels einer genügenden Begründung im Sinne von Art. 42 Abs. 2 BGG auf die Beschwerde nicht einzutreten. Der Begründungsmangel ist offensichtlich, weshalb über die Beschwerde im vereinfachten Verfahren nach Art. 108 Abs. 1 BGG entschieden werden kann.
5.
Angesichts der Aussichtslosigkeit des Verfahrens ist dem Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege und Beiordnung eines Anwalts nicht zu entsprechen (Art. 64 BGG). Auf eine Kostenauflage kann indessen verzichtet werden (Art. 66 Abs. 1 BGG).

Demnach erkennt der Präsident:
1.
Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2.
Das Gesuch um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege wird abgewiesen.
3.
Es werden keine Kosten erhoben.
4.
Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer, der Staatsanwaltschaft des Kantons Zug, I. Abteilung, und dem Obergericht des Kantons Zug, I. Beschwerdeabteilung, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 20. Juni 2016
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Fonjallaz
Der Gerichtsschreiber: Pfäffli