Sachverhalt:
A.
A.a. C.B._ setzte A._ (Beschwerdeführer) als Willensvollstrecker ein und starb 2012. Gesetzliche Erben sind die Ehefrau B.B._ (Beschwerdegegnerin) und drei Nachkommen. Der Beschwerdeführer nahm den Auftrag zur Willensvollstreckung an.
A.b. Am 15. Juli 2013 ersuchte die Beschwerdegegnerin das Obergericht des Kantons Solothurn darum, den Willensvollstrecker wegen groben Pflichtverletzungen abzusetzen. Die vorsorglich verfügte Beschränkung seiner Verfügungsbefugnisse als Willensvollstrecker focht der Beschwerdeführer erfolglos an (Urteil 5A_45/2014 vom 28. März 2014). Er gab daraufhin bekannt, dass die Parteien inzwischen einen Teilungsvertrag abgeschlossen hätten und damit das Interesse an seiner Absetzung dahingefallen sei. Die Beschwerdegegnerin hielt ihren Antrag, dem sich inzwischen alle anderen Erben angeschlossen hatten, aufrecht. Das Obergericht stellte fest, dass das Willensvollstreckermandat des Beschwerdeführers beendet sei (Dispositiv-Ziff. 1). Es schrieb das Verfahren infolge Gegenstandslosigkeit ab (Dispositiv-Ziff. 2) und verpflichtete den Beschwerdeführer zur Bezahlung der Verfahrenskosten von Fr. 4'000.-- (Dispositiv-Ziff. 3) und einer Parteientschädigung von Fr. 28'000.-- an die Beschwerdegegnerin (Dispositiv-Ziff. 4). Als Rechtsmittel wurde die Beschwerde in Zivilsachen genannt (Beschluss vom 26. Januar 2015).
A.c. Mit Eingabe vom 2. März 2015 beantragte der Beschwerdeführer dem Bundesgericht, die Angelegenheit an das Obergericht zurückzuweisen, damit ihm dieses ein bundesrechtskonformes Rechtsmittel einräume, eventualiter die Ziff. 3 und 4 des Beschlusses aufzuheben und eventualiter die Angelegenheit an das Obergericht zur neuen Festlegung der Parteientschädigung und der Verfahrenskosten zurückzuweisen. Die II. zivilrechtliche Abteilung des Bundesgerichts trat auf die Beschwerde mangels funktioneller Zuständigkeit nicht ein. Die Beschwerde vom 2. März 2015 und die Antwort vom 28. April 2015 wurden im Sinn der Erwägungen an das Obergericht zur weiteren Behandlung und Entscheidfindung überwiesen (Urteil 5A_161/2015 vom 6. August 2015).
B.
Das Obergericht bestellte eine Dreierkammer, die im Verfahren der Beschwerde gegen den Beschluss vom 26. Januar 2015 als Rechtsmittelinstanz zu entscheiden hatte. Es holte die Stellungnahmen der Beschwerdeparteien zu seinem Vorgehen ein und wies die Beschwerde alsdann ab. Dem Beschwerdeführer wurden dabei Verfahrenskosten von Fr. 2'000.-- und eine Parteientschädigung an die Beschwerdegegnerin von Fr. 8'200.-- zur Bezahlung auferlegt (Urteil vom 5. August 2016).
C.
Der Beschwerdeführer hat am 22. September 2016 eine mit "Beschwerde und subsidiäre Verfassungsbeschwerde in Zivilsachen" überschriebene Rechtsschrift eingereicht. Er beantragt, das Urteil vom 5. August 2016 und die Ziffern 3 und 4 des Beschlusses vom 26. Januar 2015 seien aufzuheben. Sein Gesuch um aufschiebende Wirkung hat der Präsident der II. zivilrechtlichen Abteilung des Bundesgerichts abgewiesen (Verfügung vom 23. September 2016). Es sind die Akten, hingegen keine Vernehmlassungen eingeholt worden.

Erwägungen:
1.
Das angefochtene Urteil betrifft die Kosten (Fr. 4'000.--) und die Parteientschädigung (Fr. 28'000.--) für ein erstinstanzliches Verfahren der Aufsicht über einen Willensvollstrecker und damit eine Zivilsache (Art. 72 Abs. 2 lit. b Ziff. 5 BGG) in einer vermögensrechtlichen Angelegenheit, deren Streitwert Fr. 32'000.-- beträgt und damit die für die Beschwerde in Zivilsachen vorausgesetzte Mindestsumme von Fr. 30'000.-- übersteigt (<ref-law>; Urteile 5A_646/2008 vom 22. Dezember 2008 E. 1.1; 5A_395/2010 vom 22. Oktober 2010 E. 1.2.1). Es ist kantonal letzt- und oberinstanzlich (<ref-law>), lautet zum Nachteil des Beschwerdeführers (<ref-law>) und schliesst das kantonale Verfahren ab (<ref-law>). Die Beschwerde ist zudem innert Frist (<ref-law>) beim Bundesgericht eingetroffen. Der insoweit zulässigen Beschwerde in Zivilsachen geht die gleichzeitig in derselben Eingabe erhobene subsidiäre Verfassungsbeschwerde nach (<ref-law>).
2.
Wie bereits im Verfahren 5A_161/2015 beschränkt sich der Beschwerdeführer darauf, dem Bundesgericht die Aufhebung des angefochtenen Urteils und der Dispositiv-Ziff. 3 (Gerichtskosten) und der Dispositiv-Ziff. 4 (Parteientschädigung) des erstinstanzlichen Beschlusses zu beantragen (S. 2 der Beschwerdeschrift).
2.1. Die Beschwerde in Zivilsachen ist ein reformatorisches Rechtsmittel (<ref-law>). Der Beschwerdeführer darf sich deshalb auch nicht darauf beschränken, die Aufhebung des angefochtenen Entscheids zu beantragen, sondern muss einen Antrag in der Sache stellen (<ref-ruling> E. 1.3 S. 383). Auf Geldzahlung lautende Begehren sind zu beziffern (<ref-ruling> E. 2 S. 236). Eine Ausnahme vom Erfordernis, reformatorische und fallbezogen bezifferte Begehren zu stellen, besteht dann, wenn das Bundesgericht im Falle der Gutheissung in der Sache nicht selbst entscheiden könnte, weil die erforderlichen Sachverhaltsfeststellungen der Vorinstanz fehlen (<ref-ruling> E. 3.1 S. 490; <ref-ruling> E. 2.2 S. 33), oder wenn es um ausgesprochene Ermessensfragen geht, deren erstmalige Beantwortung dem Sachgericht obliegt und nicht dem Bundesgericht (<ref-ruling> E. 5.2 S. 272/273). Ein Ausnahmetatbestand kann auch erfüllt sein und ein blosser Antrag auf Aufhebung des angefochtenen Urteils genügen, wenn der Beschwerdeführer zur Hauptsache eine Verletzung seines Anspruchs auf rechtliches Gehör rügt (<ref-law>; Urteile 5A_791/2010 vom 23. März 2011 E. 1.2.1, nicht veröffentlicht in: <ref-ruling>; 4A_222/2016 vom 15. Dezember 2016 E. 1.2).
2.2. Das Erfordernis, vor Bundesgericht bezifferte Begehren zu stellen, gilt auch, wenn es um die Höhe der Parteientschädigung geht. Sofern der Beschwerdeführer kein beziffertes Begehren stellt und sich seinen Vorbringen nicht entnehmen lässt, auf welchen Betrag er die Parteientschädigung festgelegt wissen will, tritt das Bundesgericht auf die Beschwerde nicht ein (Urteil 5A_356/2014 vom 14. August 2014 E. 1.3.1, nicht veröffentlicht in: <ref-ruling>; zur Veröffentlichung bestimmtes Urteil 5A_624/2016 vom 9. März 2017 E. 1.2). Streitgegenstand im obergerichtlichen Verfahren war die Höhe der Gerichtskosten und Parteientschädigungen (E. II/7 S. 23 ff. des angefochtenen Urteils). Der Beschwerdeführer erhebt dagegen zur Hauptsache Willkürrügen (S. 5 ff. Ziff. 13-18 der Beschwerdeschrift), doch lässt sich seinen Vorbringen nicht entnehmen, in welcher Höhe die Parteientschädigung festgesetzt werden soll. Er wirft dem Obergericht zwar auch vor, es habe nicht, wie es vom Bundesgericht geheissen worden sei (E. 5 des Urteils 5A_161/2015), die Parteikosten im Rahmen seines neuen Entscheids liquidiert (S. 3 Ziff. 6). Der Beschwerdeführer muss dann aber selber einräumen, dass das Obergericht diesbezüglich nichts übersehen hat (E. II/8.2 S. 26 des angefochtenen Urteils) und seiner Ansicht in Willkür verfallen ist (S. 5 Ziff. 13 der Beschwerdeschrift). Die angebliche Unrichtigkeit und Verfassungswidrigkeit der zuerkannten Parteientschädigung hätte der Beschwerdeführer indessen nicht bloss rügen, sondern auch ziffernmässig bestimmen müssen.
2.3. Streitgegenstand im obergerichtlichen Verfahren war ferner die Verlegung der Gerichtskosten und Parteientschädigungen nach dem mutmasslichen Ausgang des gegenstandslos gewordenen Verfahrens und entscheidend dafür, ob der Beschwerdeführer als Willensvollstrecker seine Pflichten verletzt hat und infolgedessen die Absetzung (Obsiegen der Beschwerdegegnerin) oder die aufsichtsbehördliche Anordnung weniger weitgehender Massnahmen (teilweises Obsiegen und Unterliegen beider Parteien) oder die Abweisung der Beschwerde (Obsiegen des Beschwerdeführers) gerechtfertigt gewesen wäre (E. II/2-6 S. 6 ff. des angefochtenen Urteils). Das Erfordernis eines materiellen Antrages gilt auch für die Prozesskostenverlegung, so dass deren beantragte Änderung im Rechtsbegehren bestimmt werden oder wenigstens der Beschwerdebegründung mit Bestimmtheit entnehmbar sein muss (Urteil 5A_324/2013 vom 8. August 2013 E. 4). Aus den Anträgen - allenfalls in Verbindung mit ihrer Begründung - muss klar hervorgehen, in welchen Beträgen die Prozesskosten welcher Partei aufzuerlegen sein sollen (Urteil 4A_35/2015 vom 12. Juni 2015 E. 3.2). Ein den formellen Anforderungen genügendes Begehren fehlt, und auch aus der Beschwerdebegründung kann nicht abgeleitet werden, dass der Beschwerdeführer von seinem alleinigen Obsiegen ausgeht, zumal er sich mit der ihm vorgeworfenen gröbsten Pflichtverletzung, seinem fachlich, in der Annahme einer Ausgleichungspflicht der Beschwerdegegnerin absolut ungenügenden Teilungsvorschlag nämlich (E. II/6.3 S. 17 ff. des angefochtenen Urteils), nicht im Ansatz auseinandersetzt (S. 3 ff. Ziff. 7-12 der Beschwerdeschrift). Er rügt insbesondere die falsche Anwendung von kantonalem Recht und dabei insbesondere Willkür (S. 3 Ziff. 5), so dass seinen nebenher eingestreuten und im Übrigen auch unbegründeten Gehörsrügen (S. 4 f. Ziff. 8, 10 und 12 der Beschwerdeschrift) keine selbstständige Bedeutung zukommt. Was die Prozesskostenverlegung angeht, genügt die Beschwerde den formellen Anforderungen somit nicht.
3.
Auf die Beschwerde darf aus den dargelegten Gründen nicht eingetreten werden. Der Beschwerdeführer wird damit kosten-, hingegen nicht entschädigungspflichtig, da keine Vernehmlassungen eingeholt wurden (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 3'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Solothurn schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 24. April 2017
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: von Werdt
Der Gerichtsschreiber: von Roten