Faits :
A.
Par courriel du 19 octobre 2015, une avocate italienne a demandé à l'Office de la population de la Commune de C._ (ci-après: l'Office de la population) de lui indiquer si D._ était résident à C._. Par courriel du 28 octobre 2015, l'Office de la population a transmis à l'avocate une fiche de renseignements sur laquelle figurait les dates et lieux de naissance et de décès de D._, la date de son arrivée dans la commune de C._ et son lieu de provenance, l'indication d'une adresse à laquelle il avait été domicilié, son état civil et le nom de sa conjointe.
Lors d'une consultation du dossier auprès du Tribunal de Milan concernant sa procédure de divorce, B._, fils de D._, a constaté que le document remis par l'Office de la population à l'avocate italienne se trouvait dans le dossier. A de nombreuses reprises entre le 9 novembre 2015 et le 1er décembre 2015, puis le 26 mai 2016, B._ a demandé à l'Office de la population de pouvoir obtenir l'accès au dossier concernant sa mère, son père et lui-même et/ou à une copie de l'intégralité des correspondances de demandes de renseignements transmises à l'Office. Il a aussi sollicité un entretien afin de pouvoir s'enquérir du fond et de la forme des demandes de renseignements auxquelles l'Office avait répondu.
Par courriels des 11 novembre et 8 décembre 2015, l'Office de la population lui a répondu qu'il pouvait passer aux guichets durant les heures d'ouverture et qu'il serait répondu à ses questions. B._ s'est rendu dans les locaux de l'Office le 13 novembre 2015 et le 26 mai 2016. Les 17 et 24 novembre 2015, l'Office de la population l'a prié de bien vouloir prendre contact directement avec le Tribunal de Milan afin de connaître les tenants et aboutissants de cette demande.
Dans un courrier du 28 mai 2016 adressé à l'Office de la population, B._ et sa mère ont fait état d'un problème en relation avec un formulaire d'arrivée dans le nouveau logement que doit occuper A._. Il était notamment demandé à l'Office de la population de les informer de l'ouverture, dans le passé et le présent, d'une éventuelle enquête ou de recherches sur eux, ainsi que les motifs conformément à l'art. 20 de la loi vaudoise sur le contrôle des habitants du 9 mai 1983 (LCH; RSV 142.01). Dans un courrier du 31 mai 2016, les intéressés ont fait valoir, en se fondant sur l'art. 29 de la loi cantonale du 11 septembre 2007 sur la protection des données personnelles (LPrD; RSV 172.65), que l'Office traitait de manière illicite des données personnelles. Ils mentionnaient à cet égard des copies de baux à loyers et un formulaire d'arrivée incorrect. Ils relevaient qu'ils n'avaient jamais eu accès à leur dossier malgré différentes requêtes et qu'ils ne pouvaient dès lors pas savoir si d'autres données étaient traitées de manière illicite.
Le 1er juin 2016, les prénommés ont sollicité un entretien auprès de la Municipale et future Syndique de C._. Cette demande a été transmise à la Cheffe de l'Office de la population qui, par courrier du 7 juin 2016, a proposé un entretien le 14 juin 2016 en présence d'un collaborateur de l'Office. Lors de cet entretien, les intéressés ont apparemment été informés du fait que l'Office ne tenait pas de registre des demandes et des communications de renseignements fournis à des tiers.
B.
Le 14 juin 2016, B._ et sa mère ont saisi la Cour de droit administratif et public du Tribunal cantonal (ci-après: le Tribunal cantonal) d'un premier recours fondé sur l'art. 31 LPrD. Ils invoquaient une violation de l'art. 25 LPrD au motif que l'Office de la population leur aurait refusé l'accès à l'intégralité de leurs données personnelles. Les recourants ont complété leur recours le 16 juin 2016. Ils relevaient que le Bureau communal de contrôle des habitants de la Ville de C._ n'avait pas répondu à leurs courriers des 26 mai, 28 mai et 31 mai 2016 et sollicitaient le Tribunal afin qu'il lui ordonne de répondre intégralement à ces courriers. Ils demandaient que soit défini à partir de quel moment le Bureau communal de contrôle des habitants ne peut plus fournir de renseignements sur une personne décédée, cette compétence étant transférée à l'Office de l'état civil. Ils relevaient que le secret fiscal s'opposait également à la transmission des renseignements litigieux.
Par courrier du 16 juin 2016 sous l'en-tête "Municipalité" signé du Syndic et de la Cheffe de l'Office de la population, il a été répondu au courrier des recourants du 26 mai 2016. L'autorité communale a exposé que la transmission de la fiche de renseignements à l'avocate italienne avait été effectuée conformément à l'art. 22 LCH. Elle a relevé que les recourants avaient pu consulter leurs dossiers personnels mais qu'ils ne pouvaient pas accéder au dossier de feu D._ dès lors qu'il s'agissait des données d'un tiers; un exemplaire d'un formulaire de renseignement tel que celui adressé à l'avocate italienne et du règlement et tarif des émoluments du contrôle des habitants était joint au dossier municipal. Le 16 juin 2016, B._ et sa mère ont déposé un recours auprès du Tribunal cantonal contre la décision municipale du même jour.
Par décision distincte du 16 juin 2016 sous l'en-tête "Municipalité" signée du Syndic et de la Cheffe de l'Office de la population, la demande de B._ tendant à ce que ses données personnelles enregistrées au contrôle des habitants bénéficient d'une mise sous protection (demande de confidentialité) a été rejetée, au motif que les conditions de l'art. 28 al. 1 LPrD n'étaient pas remplies. Par acte du 4 juillet 2016, B._ et sa mère ont aussi déposé un recours auprès du Tribunal cantonal contre cette décision.
Par courriels du 16 juin 2016, B._ et sa mère ont requis une nouvelle fois de l'Office de la population l'accès à une liste recensant toutes les attestations et communications de renseignements à des tiers. Ils souhaitaient en outre être informés de tous les accès à leurs données personnelles par des tiers. Leur demande concernait aussi feu D._. Une demande semblable a été réitérée lors d'un passage dans les locaux de l'Office de la population le 4 juillet 2016. Le 4 juillet 2016, B._ et sa mère ont déposé un nouveau recours auprès du Tribunal cantonal au motif qu'il n'avait pas été donné une suite satisfaisante à leurs demandes.
Après avoir joint les causes, le Tribunal cantonal a admis partiellement les recours formés les 14 juin, 16 juin et 4 juillet 2016 en tant qu'ils portent sur le refus de l'Office de la population de permettre la consultation des données concernant feu D._ et le refus de l'autorité communale de constater que la transmission de la fiche de renseignement à l'avocate italienne constituait un traitement illicite de données. Il a réformé la décision de la Municipalité de C._ du 16 juin 2016 en ce sens.
C.
Agissant par la voie du recours en matière de droit public, la Municipalité de C._ demande au Tribunal fédéral d'annuler les chiffres I et II let. a de l'arrêt attaqué et de constater que la transmission par l'Office de la population de la fiche de renseignements relative à feu D._ à l'avocate italienne est conforme à l'art. 22 LCH et ne constitue pas un traitement illicite de données (cause 1C_53/2017).
Agissant aussi par la voie du recours en matière de droit public, B._ et A._ demandent au Tribunal fédéral de réformer la décision de la Municipalité de C._ du 16 juin 2016 notamment en ce sens que l'Office de la population leur accorde un droit à la consultation de données détenues sur eux. Ils concluent aussi à ce que leur demande de confidentialité des données enregistrées sur eux et sur leur défunt mari et père au contrôle des habitants ne soit pas rejetée, à "la restitution ou destruction des documents papiers non légalement nécessaires et exigés pour l'application des attributions de l'exercice de l'activité de l'Office" (cause 1C_27/2017).
Invité à se déterminer sur les recours, le Tribunal cantonal conclut à leurs rejets. La Municipalité conclut au rejet du recours de la cause 1C_27/2017 et s'est déterminée le 9 mars 2017 dans la cause 1C_53/2017.

Considérant en droit :
1.
Le recours de B._ et de sa mère ainsi que celui de la Municipalité de C._ sont dirigés contre le même arrêt cantonal. Il se justifie donc, pour des motifs d'économie de procédure, de joindre les causes 1C_27/2017 et 1C_53/2017 et de statuer sur celles-ci dans un seul arrêt (cf. <ref-law> applicable par renvoi de l'<ref-law>).
2.
Dirigés contre une décision finale (<ref-law>) prise en dernière instance cantonale (art. 86 al. 1 let. d LTF) dans le domaine du droit public de la loi cantonale sur le contrôle des habitants (<ref-law>), les recours en matière de droit public sont en principe recevables, aucune des exceptions prévues à l'<ref-law> n'étant réalisée.
La Municipalité de C._, qui fait valoir une violation de l'autonomie dont elle bénéficie en matière de contrôle des habitants, a qualité pour agir en vertu de l'art. 89 al. 2 let. c LTF. Quant à B._ et A._, ils ont participé à la procédure devant l'instance précédente et disposent d'un intérêt digne de protection. Ils ont donc qualité pour recourir (<ref-law>).
B._ et A._ présentent cependant des conclusions qui reprennent en grande partie le dispositif de l'arrêt attaqué et demandent ainsi des éléments déjà obtenus; ces conclusions sont donc irrecevables, faute de pertinence.
3.
La Municipalité soutient que c'est à tort que l'instance précédente a considéré que la date et le lieu du décès, le lieu de naissance et le nom du conjoint de D._ ne faisaient pas partie de l'"état civil" au sens de l'art. 22 LCH. Elle reproche à la cour cantonale de ne pas avoir interprété la notion d'état civil, tel qu'il est mentionné à l'art. 22 LCH, conformément à l'<ref-law>. Elle se plaint implicitement d'une application arbitraire de l'art. 22 LCH.
3.1. Appelé à revoir l'interprétation d'une norme cantonale sous l'angle restreint de l'arbitraire, le Tribunal fédéral ne s'écarte de la solution retenue par l'autorité cantonale de dernière instance que si celle-ci apparaît insoutenable, en contradiction manifeste avec la situation effective, adoptée sans motifs objectifs et en violation d'un droit certain. En revanche, si l'application de la loi défendue par l'autorité cantonale ne s'avère pas déraisonnable ou manifestement contraire au sens et au but de la disposition ou de la législation en cause, cette interprétation sera confirmée, même si une autre solution - même préférable - paraît possible (<ref-ruling> consid. 4.3.1 p. 177 et les références citées). Les griefs de violation de dispositions cantonales sont soumis à des exigences de motivation accrues (<ref-law>); il appartient dans ce contexte à la partie recourante de citer les dispositions du droit cantonal dont elle se prévaut et démontrer en quoi celles-ci auraient été appliquées arbitrairement ou d'une autre manière contraire au droit (cf. <ref-ruling> consid. 2.8 p. 494; <ref-ruling> consid. 1.4 p. 287).
3.2. A teneur de l'art. 5 al. 1 let. a LPrD, les données personnelles peuvent être traitées si une base légale l'autorise.
L'art. 22 LCH prévoit que le bureau de contrôle des habitants est autorisé à renseigner les particuliers sur l'état civil, la date de naissance, l'adresse et l'adresse postale complète, les dates d'arrivée et de départ, le précédent lieu de séjour et la destination d'une personne nommément désignée.
3.3. En l'occurrence, il n'est pas contesté que l'art. 22 LCH est une base légale permettant une transmission de données à des tiers par l'Office communal de la population, sans l'accord préalable de la personne concernée. La cour cantonale a cependant jugé que les informations transmises à l'avocate italienne concernant le décès de D._ (date et lieu), son lieu de naissance et le nom de son conjoint allaient au-delà de ce que permet l'art. 22 al. 1 LCH.
La question à trancher est celle de savoir si la cour cantonale a fait preuve d'arbitraire en considérant que l'art. 22 LCH ne permet pas de transmettre des informations concernant le décès de la personne concernée (date et lieu), son lieu de naissance et le nom de son conjoint.
3.4. La Municipalité se réfère à l'<ref-law>, duquel il ressort que par état civil, on entend notamment les faits d'état civil directement liés à une personne, tels que la naissance, le mariage, le décès (ch. 1), le statut personnel et familial d'une personne, tels que la majorité, la filiation, le lien matrimonial (ch. 2). Elle soutient que la notion d'état civil de l'art. 22 LCH correspond à celle de l'<ref-law>.
Or l'Office communal de la population doit être distingué de l'Office d'état civil. Le premier tient le registre communal des habitants dans lequel sont inscrites toutes les personnes qui sont établies ou en séjour dans la commune (art. 3 let. a de la loi fédérale du 23 juin 2006 sur l'harmonisation des registres des habitants et d'autres registres officiels de personnes [LHR; RS 431.02]); le second tient le registre de l'état civil, qui comprend le registre des naissances, celui des décès, celui des mariages, celui des reconnaissances, celui des légitimations, celui des familles et celui de l'état civil (art. 6a de l'ordonnance du Conseil fédéral sur l'état civil du 28 avril 2004 [OEC; RS 211.112.2]).
Le premier est régi par la LCH et par la LHR; le second par le CC et l'OEC. En application de la LCH et de la LHR, l'Office de la population détient un certain nombre de données au sujet des personnes résidant dans la commune, notamment celles qui doivent lui être fournies dans la déclaration d'arrivée (cf. art. 4 LCH) et celles contenues dans le registre des habitants prévu aux art. 6 ss LHR. Ces données comprennent notamment l'adresse, les date et lieu de naissance, l'état civil, la nationalité, le type d'autorisation de séjour si la personne est de nationalité étrangère, la date d'arrivée avec la commune ou l'Etat de provenance, l'identité du conjoint et la date du décès (cf. art. 6 LHR).
Enfin, pour le registre d'état civil, la divulgation de données personnelles à des particuliers s'effectue lorsqu'un intérêt direct et digne de protection est établi et que l'obtention des données auprès des personnes concernées est impossible ou ne peut manifestement pas être exigée (art. 59 OEC et <ref-law>). En revanche, un tiers n'a pas à justifier d'un intérêt particulier pour consulter les données du registre communal des habitants (art. 22 LCH).
3.5. On peut déduire deux conséquences des distinctions susmentionnées entre l'Office d'état civil et l'Office de la population. D'une part, le Tribunal cantonal pouvait, de manière soutenable, analyser la notion d'état civil comprise dans la LCH, sans se référer à l'<ref-law>. Il n'est en effet pas arbitraire de considérer que la LCH contient une notion distincte de l'état civil de celle du CC. D'autre part, la cour cantonale pouvait, sans faire preuve d'arbitraire, interpréter la notion d'état civil figurant à l'art. 22 LCH comme ne comprenant ni la date et le lieu de décès de la personne concernée, ni lieu de naissance et ni le nom de son conjoint, puisque cette disposition n'énumère pas ces éléments. Il n'est en effet pas manifestement contraire au sens et au but de l'art. 22 LCH de donner un accès limité aux données contenues dans cet article, ce d'autant moins que le tiers n'a pas à justifier d'un intérêt particulier pour avoir accès à ces données, alors qu'il devrait en établir un pour obtenir un extrait du registre de l'état civil.
Mal fondé, le grief doit être rejeté.
4.
Il y a lieu d'examiner le recours déposé par B._ et A._.
4.1. Ceux-ci présentent leur propre exposé des événements, dans la première partie de leur écriture. Or, le Tribunal fédéral statue en principe sur la base des faits établis par l'autorité précédente (<ref-law>), sous réserve des cas prévus à l'<ref-law>. Les recourants ne peuvent critiquer la constatation de faits qui importent pour le jugement de la cause que si ceux-ci ont été établis en violation du droit au sens de l'<ref-law> ou de manière manifestement inexacte (<ref-law>), en particulier en violation de l'interdiction constitutionnelle de l'arbitraire (<ref-law>; <ref-ruling> consid. 4.1.2 p. 62; Message concernant la révision totale de l'organisation judiciaire fédérale du 28 février 2001, FF 2001 4135), ce qu'il leur appartient de démontrer par une argumentation répondant aux exigences de l'<ref-law>, respectivement de l'<ref-law>.
En l'espèce, le recours ne comporte aucune démonstration du caractère arbitraire de l'état de fait de la décision attaquée, de sorte qu'il n'y a pas lieu de prendre en considération d'autres faits que ceux retenus dans ladite décision.
4.2. Ensuite, on peine à suivre B._ et A._ lorsqu'ils se plaignent de ne pas avoir eu accès aux données les concernant détenues par l'Office. En effet, il ressort de l'arrêt attaqué que lors de leurs passages dans les bureaux de l'Office, ils ont eu accès à ces données et ils n'apportent pas la preuve du contraire. Ce grief doit donc être écarté, dans la faible mesure de sa recevabilité.
B._ et A._ semblent encore reprocher implicitement à la cour cantonale d'avoir jugé arbitrairement qu'ils ne disposaient pas d'un intérêt digne de protection au sens de l'art. 28 LPrD qui pourrait justifier la non-transmission de leurs données personnelles et de celles de feu leur père et mari. Cependant les prénommés ne discutent pas les motifs retenus par la cour cantonale en lien avec l'art. 28 LPrD. Ils ne cherchent pas à démontrer en quoi ils seraient arbitraires ou d'une autre manière non conformes au droit mais ils se contentent de renouveler de manière appellatoire les reproches adressés à l'Office de la population. Leur recours ne répond ainsi manifestement pas aux exigences de motivation accrue requises par l'<ref-law>, imposant à la partie recourante de discuter au moins brièvement les considérants de la décision litigieuse (<ref-ruling> consid. 2.1 p. 245).
Les intéressés affirment aussi, sans le démontrer, que, contrairement à ce qu'a retenu la cour cantonale, l'Office de la population détiendrait d'autres données que celles prévues par la LCH et la LHR. Ils réitèrent leur demande relative à la destruction des documents en possession de l'Office. A nouveau, les prénommés perdent de vue que le Tribunal fédéral statue sur la base des faits établis par l'instance précédente et que leur présentation péremptoire, faite du reste sur un mode purement appellatoire, de leur propre version des faits est irrecevable.
Enfin, les prénommés se contentent d'affirmer qu'il existe des motifs (relevant d'intérêts publics ou privés) qui justifieraient que soit ordonnée une publication en application de l'art. 29 al. 2 let. b LPrD. Ils n'exposent cependant pas quels sont ces motifs. A nouveau, la critique est irrecevable.
5.
Il s'ensuit que les recours sont rejetés, dans la mesure de leur recevabilité.
Les frais judiciaires, arrêtés à 2'000 francs, seront mis à la charge de B._ et de A._, qui succombent (<ref-law>). La Municipalité qui a agi dans l'exercice de ses attributions officielles sans que son intérêt patrimonial soit en cause ne peut se voir imposer des frais judiciaires (<ref-law>).

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce :
1.
Les causes 1C_27/2017 et 1C_53/2017 sont jointes.
2.
Les recours sont rejetés dans la mesure de leur recevabilité.
3.
Les frais judiciaires, arrêtés à 2'000 francs, sont mis à la charge de B._ et de A._.
4.
Le présent arrêt est communiqué à B._ et A._, à la Municipalité de C._ et au Tribunal cantonal du canton de Vaud, Cour de droit administratif et public.
Lausanne, le 30 juin 2017
Au nom de la Ire Cour de droit public
du Tribunal fédéral suisse
Le Président : Merkli
La Greffière : Tornay Schaller