Erwägungen:
1.
Mit Schreiben vom 22. November 2016 (bzw. 23. November 2016 gemäss Stempel der niederländischen Post), das am 28. November 2016 bei der Staatsanwaltschaft Bern-Mittelland eintraf, erstattete A._ Strafanzeige insbesondere gegen die Polizei Bern, den Migrationsdienst Bern, die Ausgleichskasse Bern sowie den "Vermieter B._" wegen verschiedener Delikte. Am 16. Dezember 2016 erkundigte sich der Anzeiger telefonisch bei der Staatsanwaltschaft nach dem Stand des Verfahrens. Dabei wurde ihm mitgeteilt, dass das Verfahren bei der zuständigen Staatsanwältin zur Prüfung des weiteren Vorgehens sei; die Staatsanwaltschaft werde ihn schriftlich informieren (Telefonnotiz vom 16. Dezember 2016).
Am 21. Dezember 2016 reichte A._ bei der Beschwerdekammer des Obergerichts des Kantons Bern eine Rechtsverzögerungsbeschwerde ein.
Mit Beschluss vom 29. Dezember 2016 erwog die Beschwerde-kammer, nach Ablauf erst etwa eines Monats seit der Anzeigeerstattung lasse sich nicht sagen, das Beschleunigungsgebot sei bereits verletzt. In diesem Zusammenhang verwies die Beschwerdekammer auf die bundesgerichtliche Rechtsprechung (Urteil 6B_390/ 2012 vom 18. Februar 2013, E. 4.4), wonach in Bezug auf das in casu interessierende Stadium der Untersuchung erst ab einer behördlichen Untätigkeit (Zeitlücke) von ca. 13 oder 14 Monaten von einer Verletzung des Beschleunigungsgebots die Rede sein könne. Dementsprechend hat die Beschwerdekammer die Beschwerde als unbegründet erachtet und abgewiesen.
2.
Mit Eingabe vom 30. Dezember 2016 (Postaufgabe: 2. Januar 2017) führt A._ gegen den Beschluss vom 29. Dezember 2016 Beschwerde ans Bundesgericht, wobei er abermals eine Verletzung des Beschleunigungsgebots geltend macht.
Das Bundesgericht hat darauf verzichtet, Vernehmlassungen zur Beschwerde einzuholen.
3.
Nach <ref-law> ist in der Begründung einer Beschwerde in gedrängter Form darzulegen, inwiefern der angefochtene Entscheid Recht verletzt. Die Bestimmungen von <ref-law> nennen die vor Bundesgericht zulässigen Beschwerdegründe. Hinsichtlich der Ver-letzung von Grundrechten gilt der in <ref-law> verankerte Grundsatz der Rechtsanwendung von Amtes wegen nicht; insofern besteht eine qualifizierte Rügepflicht (<ref-law>; <ref-ruling> E. 1.3.1 S. 68 mit Hinweisen). Dabei prüft das Bundesgericht nur klar und detailliert erhobene und, soweit möglich, belegte Rügen.
Der Beschwerdeführer übt ganz allgemein Kritik am angefochtenen Beschluss sowie am vorangegangenen kantonalen Verfahren. Dabei stellt er der dem Beschluss zugrunde liegenden Begründung im Wesentlichen auf appellatorische Weise seine Sicht der Dinge gegenüber.
So beanstandet er, dass ihm die abgenommenen Schlüssel (Wohnung, Auto, Motorrad) nach wie vor vorenthalten würden mit der Konsequenz, dass er - im Hinblick auf eine allfällige Vervollständigung der Strafanzeige - nicht abschätzen könne, wie gross der Schaden wirklich sei, der ihm von der Polizei und vom Vermieter zugefügt worden sei. Dabei räumt er allerdings ein, der Vermieter selber habe bestätigt, dass die Schlüssel (jedenfalls diejenigen für die Wohnung) unterdessen bei ihm seien, gemäss Gerichtsurteil vom 5. Oktober 2016. Schon aus diesem Grunde lässt sich somit nicht sagen, die fraglichen Schlüssel würden ihm von behördlicher Seite unrechtmässig vorenthalten. Die Frage indes, wie er gegebenenfalls via den Vermieter selber zu den Schlüsseln gelangen kann, bildet nicht Gegenstand des vorliegenden Verfahrens.
Bei allem legt der Beschwerdeführer aber nicht dar, inwiefern durch die vorinstanzlichen Ausführungen, von einer Verletzung des Beschleunigungsgebots könne bei den gegebenen Verhältnissen - nach erst etwa einem Untersuchungsmonat - nicht die Rede sein, bzw. durch den Beschluss selbst im Ergebnis Recht im Sinne von <ref-law> verletzt worden sein soll.
Auf die Beschwerde ist demgemäss bereits mangels hinreichender Begründung nicht einzutreten, weshalb es sich erübrigt, auch noch die weiteren Eintretensvoraussetzungen zu erörtern.
Der genannte Mangel ist offensichtlich, so dass über die vorliegende Beschwerde im vereinfachten Verfahren nach <ref-law> entschieden werden kann.
4.
Bei den gegebenen Verhältnissen kann davon abgesehen werden, für das bundesgerichtliche Verfahren Kosten zu erheben (<ref-law>).

Demnach wird erkannt:
1.
Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2.
Es werden keine Kosten erhoben.
3.
Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer, der Staatsanwaltschaft Bern-Mittelland, der Generalstaatsanwaltschaft des Kantons Bern und dem Obergericht des Kantons Bern, Beschwerdekammer in Strafsachen, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 5. Januar 2017
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Merkli
Der Gerichtsschreiber: Bopp