Faits :
A.
B._ SA, propriétaire de la parcelle 1618 de la Commune de Leysin, a obtenu l'autorisation d'y construire un chalet (permis de construire du 22 décembre 2011) ainsi qu'un immeuble de neuf appartements (permis de construire du 1er février 2012). Le 14 octobre 2013, sur requête de la constructrice, la Municipalité de Leysin a prolongé ces permis de construire en citant expressément la disposition de la loi vaudoise du 4 décembre 1985 sur l'aménagement du territoire et les constructions (LATC; RSV 700.11) relative à la péremption et à la prolongation du permis de construire.
Le 20 novembre 2014, répondant à une nouvelle demande de la constructrice, la municipalité a indiqué avoir décidé, "à titre exceptionnel, d'accepter la prolongation des permis de construire [...] d'une année". Le 13 mars 2015, à la suite de l'intervention de A._, propriétaire des parcelles contiguës 305 et 2223, la municipalité a informé la constructrice de ce que les permis de construire étaient définitivement périmés vu leur validité maximale de trois ans.
B.
Par courrier du 23 juillet 2015, après plusieurs échanges épistolaires, la municipalité a confirmé à la constructrice qu'elle maintenait sa position s'agissant de la péremption des permis de construire. La constructrice a recouru contre cette prise de position auprès de la Cour de droit administratif et public du Tribunal cantonal vaudois. Par arrêt du 29 janvier 2016, cette instance a annulé les décisions de la municipalité et constaté que les permis de construire étaient valables jusqu'au 31 janvier 2016.
C.
Agissant par la voie du recours en matière de droit public, A._ demande au Tribunal fédéral d'annuler l'arrêt cantonal et la décision du 20 novembre 2014 de la municipalité.
Le Tribunal cantonal conclut au rejet du recours et se réfère aux considérants de son arrêt. La Municipalité de Leysin s'en remet à justice. L'intimée se détermine et conclut au rejet du recours. Le recourant réplique et maintient ses conclusions.

Considérant en droit :
1.
Le recours est formé contre un arrêt final rendu en dernière instance cantonale, dans une cause de droit public. Il est recevable au regard des art. 82 let. a, 86 al. 1 let. d et 90 LTF. Le recourant, voisin direct de la parcelle sur laquelle sont projetées les constructions, est particulièrement touché par l'arrêt attaqué et a un intérêt digne de protection à l'annulation ou la modification de celui-ci. Les autres conditions de recevabilité sont réunies, si bien qu'il y a lieu d'entrer en matière.
2.
Le recourant présente son propre état de fait, sans toutefois exposer en quoi celui de l'arrêt attaqué aurait été établi de manière manifestement inexacte ou en violation du droit au sens de l'<ref-law>, ni en quoi la correction du vice serait susceptible d'influer sur le sort de la cause (<ref-law>). Le Tribunal fédéral ne prend dès lors pas en considération la version présentée par le recourant et s'en tient à l'état de fait de l'arrêt cantonal.
3.
Dans sa réplique, le recourant fait valoir que certains documents relatifs aux échanges entre l'autorité et l'intimée feraient défaut dans le dossier. Il n'expose toutefois pas avoir demandé en vain leur production auprès du Tribunal cantonal, ni ne se plaint d'une violation de son droit d'être entendu à cet égard. Aucun fait nouveau ni preuve nouvelle ne pouvant être présenté devant le Tribunal fédéral à moins de résulter de la décision de l'autorité précédente (<ref-law>), il n'y a pas lieu d'instruire dans le sens voulu par le recourant.
4.
L'art. 118 LATC prévoit que le permis de construire est périmé si, dans le délai de deux ans dès sa date, la construction n'est pas commencée (al. 1); la municipalité peut en prolonger la validité d'une année si les circonstances le justifient (al. 2).
Il est constant, en l'espèce, que la prolongation du permis de construire accordée le 20 novembre 2014 l'a été en violation de l'art. 118 LATC et qu'elle est par conséquent illégale.
5.
Le recourant se prévaut en premier lieu de la nullité de la décision de prolongation des permis de construire.
La nullité absolue ne frappe que les décisions affectées des vices les plus graves, manifestes ou du moins facilement décelables, et pour autant que la constatation de la nullité ne mette pas sérieusement en danger la sécurité du droit. Hormis dans les cas expressément prévus par la loi, il n'y a lieu d'admettre la nullité qu'à titre exceptionnel, lorsque les circonstances sont telles que le système d'annulabilité n'offre manifestement pas la protection nécessaire. Des vices de fond n'entraînent qu'à de rares exceptions la nullité d'une décision; de graves vices de procédure, ainsi que l'incompétence qualifiée de l'autorité qui a rendu la décision sont des motifs de nullité (<ref-ruling> consid. 3.1 p. 503; <ref-ruling> consid. 4.4.3 p. 56; <ref-ruling> consid. 3.1 p. 275).
En l'espèce, le vice affectant la décision de seconde prolongation des autorisations de construire n'est pas d'une gravité emportant nullité de la décision. En effet, les autorisations de construire ont été délivrées au terme d'une procédure régulière et en conformité avec le droit matériel applicable. Elles étaient valables. Le vice consiste en une prolongation d'un an alors que les possibilités de prolongation prévues par la loi cantonale avaient déjà été épuisées. Or, le seul fait de faire perdurer un acte - en particulier une autorisation de construire dont les effets, une fois utilisée, deviennent pérennes - quelque peu au-delà de sa validité initiale ne constitue pas un vice grave.
6.
Le recourant prétend dans un second grief que la décision de prolongation devait être révoquée du fait que les permis de construire n'étaient plus conformes au droit en vigueur depuis l'adoption de l'art. 75b Cst., autrement dit, que la décision de révocation de la prolongation du permis de construire prise par la commune était bien fondée.
6.1. En tant qu'acte unilatéral, la décision est par définition modifiable unilatéralement. Cette caractéristique permet notamment à l'administration de corriger un vice affectant la régularité de l'acte qu'elle a prononcé, dans le but de rétablir une situation conforme au droit; une base légale n'est pas requise dans un tel cas (MOOR/POLTIER, Droit administratif, volume II, 3e éd. 2011, p. 382 s.; cf. <ref-ruling> consid. 2 p. 206). Une telle révocation peut d'ailleurs être prononcée d'office, à la seule initiative de l'autorité compétente (TANQUEREL, Manuel de droit administratif, 2011, n. 939). Lorsqu'il n'existe aucune règle de droit positif sur la possibilité de modifier une décision - il n'est pas établi ni allégué que le droit vaudois connaisse une telle disposition -, il y a lieu de se prononcer sur la base d'une pesée des intérêts, dans laquelle l'intérêt à une application correcte du droit objectif est mis en balance avec l'intérêt à la sécurité juridique, respectivement à la protection de la confiance (cf. <ref-ruling> consid. 2.3 p. 71 s.; <ref-ruling> consid. 5.2 p. 221 s.; <ref-ruling> consid. 7a p. 313 s. et les références citées). Sont notamment pertinents dans cette pesée d'intérêts le fait que la décision a créé un droit subjectif au profit de l'administré, que celui-ci a déjà fait usage d'une autorisation ou que la décision est le fruit d'une procédure au cours de laquelle les divers intérêts en présence ont fait l'objet d'un examen approfondi (<ref-ruling> consid. 2.3 p. 71 s.; <ref-ruling> consid. 7a p. 313 s.; <ref-ruling> consid. 1a p. 276 ss et les références citées). Il en va de même de la bonne foi de l'administré. Celui qui a agi dolosivement ou violé ses obligations en induisant l'administration en erreur au moment de demander l'autorisation ne saurait en principe s'opposer à la révocation, à moins que cette mesure ne soit contraire au principe de la proportionnalité (ATF 98, Ib 241 consid. 4b p. 250; <ref-ruling> consid. 2 p. 394 ss).
L'art. 75b Cst., adopté le 11 mars 2012, d'applicabilité directe (<ref-ruling> consid. 10.6 p. 257), limite les résidences secondaires au maximum de 20 % du parc des logements et de la surface brute au sol habitable de chaque commune. La jurisprudence considère qu'est déterminante, pour l'application de cette disposition, la date de délivrance de l'autorisation de construire (<ref-ruling> consid. 11.1-11.2 p. 260). La disposition constitutionnelle n'a ainsi, dans aucun cas de figure, pour effet la révocation de permis valablement accordés. La mesure dans laquelle le nouvel art. 75b Cst. doit être pris en considération dans la décision de prolongation relève du droit cantonal, celui-ci fixant les règles relatives à la péremption des permis de construire et à d'éventuelles prolongations. Lorsqu'il est en revanche question de l'éventuelle révocation d'une autorisation illicite, dès lors que celle-ci implique une pesée complète des intérêts en présence (à savoir, d'une part, ceux qui justifieraient une correcte application du droit et, d'autre part, ceux qui donneraient la préférence à la sécurité des relations juridiques), les intérêts protégés par l'art. 75b Cst. doivent être pris en considération.
6.2. En l'espèce, la cour cantonale a tenu compte du fait que la constructrice avait, sur la base des assurances données par la municipalité, pris des dispositions dont la modification entraînerait un préjudice et du fait que les permis initiaux avaient été valablement délivrés, de sorte qu'ils étaient conformes au droit matériel, l'intérêt public à ce que la parcelle ne soit pas construite (en cas de révocation de la décision) étant dès lors moindre. Les premiers juges n'ont en revanche pas tenu compte de l'intérêt public désormais constitutionnellement consacré à la limitation des résidences secondaires. Ils n'ont pas non plus examiné la bonne foi du destinataire de la décision sujette à révocation.
Or, s'agissant de la bonne foi, la constructrice n'était certes pas représentée par un avocat, mais elle est toutefois une entreprise précisément active dans le domaine immobilier. Elle est partant présumée rompue aux règles relatives aux autorisations de construire. A cela s'ajoute que, dans la première décision de prolongation, l'art. 108 LATC prévoyant une unique possibilité de prolongation d'un an était intégralement cité. La constructrice devait ainsi se douter que sa requête devait lui être refusée et, en cas d'acceptation, qu'elle ne pouvait entièrement se fier à une telle décision. Dans de telles circonstances son intérêt financier - qui est, rappelons-le, limité aux investissements préalables à la construction proprement dite - doit être relativisé.
En outre, tous les intérêts en cause confrontés les uns aux autres, il apparaît que la révocation était justifiée. En effet, ainsi qu'on l'a vu, l'interdiction de construire de nouvelles résidences secondaires est entrée en vigueur dans l'intervalle. L'intérêt public s'opposant à une prolongation illicite des autorisations de construire n'est ainsi pas limité au simple respect de principe de règles formelles. Il existe au contraire un important intérêt public à la renonciation des constructions projetées dans cette commune dont le taux de résidences secondaires dépasse 20 % (annexe à l'ordonnance du 4 décembre 2015 sur les résidences secondaires [ORSec, RS 702.1]). L'intérêt privé des voisins, qui n'ont pas pu faire valoir leurs droits lors de l'octroi de la prolongation illicite, va également dans ce sens. Le seul fait que les permis initialement délivrés respectaient les autres règles de droit matériel, ne saurait justifier le maintien de la décision illégale. Cela étant, la révocation de la prolongation illicite des permis de construire s'imposait au vu des intérêts en cause, de sorte que la décision de révocation de la prolongation de l'autorisation de construire prise la Commune de Leysin était justifiée.
7.
Il résulte de ce qui précède que le recours doit être admis, aux frais de l'intimée, qui succombe (<ref-law>). Le recourant, qui obtient gain de cause avec l'aide d'un mandataire professionnel, a droit à des dépens (<ref-law>).

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce :
1.
Le recours est admis. L'arrêt attaqué est annulé. La cause est renvoyée à la Cour de droit administratif et public du Tribunal cantonal, pour nouvelle décision sur les frais et dépens de la procédure cantonale.
2.
Les frais judiciaires pour la procédure fédérale, arrêtés à 3'000 fr., sont mis à la charge de l'intimée.
3.
Une indemnité de dépens de 2'000 francs est accordée pour la procédure fédérale au recourant, à la charge de l'intimée.
4.
Le présent arrêt est communiqué aux mandataires des parties et de la Commune de Leysin et au Tribunal cantonal du canton de Vaud, Cour de droit administratif et public.
Lausanne, le 8 décembre 2016
Au nom de la Ire Cour de droit public
du Tribunal fédéral suisse
Le Président : Fonjallaz
La Greffière : Sidi-Ali