Sachverhalt:
A.
Aufgrund einer Aufsichtsanzeige eröffnete die Anwaltskammer des Kantons Solothurn am 28. April 2015 gegen A._, einen im Anwaltsregister des Kantons Solothurn eingetragenen Rechtsanwalt, ein Verfahren wegen Verletzung von Berufsregeln.
B.
Am 3. August 2015 stellte A._ ein Ausstandsbegehren gegen den Präsidenten der Anwaltskammer sowie gegen deren Sekretär. Die Anwaltskammer wies das Ausstandsbegehren am 23. September 2015 ab. Dagegen gelangte A._ an die Beschwerdekammer des Obergerichts des Kantons Solothurn, welche in der Rechtsmittelbelehrung als Beschwerdeinstanz angegeben war. Das Obergericht trat sinngemäss auf die Beschwerde nicht ein und überwies sie am 3. Dezember 2015 zuständigkeitshalber an das Verwaltungsgericht des Kantons Solothurn. Dieses stellte am 7. Dezember 2015 fest, das Verfahren sei überwiesen worden, und stellte den Verfahrensbeteiligten weitere prozessleitende Verfügungen in Aussicht.
C.
A._ erhebt am 22. Januar 2016 Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten beim Bundesgericht mit folgenden Anträgen: Der Beschluss des Obergerichts des Kantons Solothurn, Beschwerdekammer, vom 3. Dezember 2015, sowie die Verfügung des Verwaltungsgerichts des Kantons Solothurn vom 7. Dezember 2015 seien aufzuheben. Die Streitsache sei unter Feststellung der Nichtigkeit der angefochtenen Entscheide zum Neuentscheid an das Obergericht des Kantons Bern zu überweisen, dies aufgrund der fehlenden Ergebnisoffenheit des gesamten Obergerichts des Kantons Solothurn und der systemimmanenten Gefahr der fehlenden Unabhängigkeit bzw. der Abstimmung der erst- und zweitinstanzlichen Entscheidfindung. Eventualiter sei die Beschwerdesache an die kantonale Vorinstanz zurückzuweisen, damit diese weitere Abklärungen vornehme und das Verwaltungsgericht anweise, die seit 1. Januar 2005 ergangenen Urteile des Verwaltungsgerichts des Kantons Solothurn betreffend Anwaltskammer als Vorinstanz zu publizieren oder ihm - A._ - in anonymisierter Form zur Verfügung zu stellen.
Das Obergericht beantragt, auf die Beschwerde sei nicht einzutreten, eventuell sei sie abzuweisen. Das Verwaltungsgericht und die Anwaltskammer schliessen auf Abweisung der Beschwerde, soweit darauf einzutreten sei.
Mit Präsidialverfügung vom 18. Februar 2016 ist der Beschwerde antragsgemäss aufschiebende Wirkung zuerkannt, das Gesuch um Sistierung des Verfahrens indessen abgewiesen worden.
Mit unaufgeforderter Eingabe vom 22. Februar 2016 stellte A._ verschiedene Beweis- und Verfahrensanträge, darunter ein weiteres Sistierungsgesuch. Die Verfahrensanträge sind am 29. Februar 2016 behandelt worden, mit Ausnahme des Antrags, die Beschwerde sei in Anwendung von Art. 23 Abs. 1 und 2 BGG unter Einholung der Zustimmung der I. Sozialrechtlichen Abteilung des Bundesgerichts zu entscheiden.
Am 18. März 2016 reichte A._ eine Replik ein. Darin beantragt er, das Beschwerdeverfahren zu sistieren, bis das hängige Ausstandsverfahren gegen den leitenden Gerichtsschreiber des Verwaltungsgerichts rechtskräftig abgeschlossen sei.

Erwägungen:
1.
1.1. Der Entscheid in einem anwaltsrechtlichen Disziplinarverfahren betrifft eine Angelegenheit des öffentlichen Rechts und unterliegt grundsätzlich der Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten (<ref-law>). Sowohl das Obergericht als auch das Verwaltungsgericht sind zulässige Vorinstanzen im Sinn von <ref-law>. Materiell zu beantworten ist die Frage, ob das Obergericht seine Zuständigkeit zur Beurteilung der Streitsache zu Recht verneint hat und - sinngemäss - auf die Beschwerde nicht eingetreten ist. In der Verfügung des Verwaltungsgerichts vom 7. Dezember 2015 wird nichts angeordnet, was darüber hinausginge; auch nicht, das Verwaltungsgericht sei zuständig. Es wird dort nur gesagt, dass das Verwaltungsgericht von der Überweisung Kenntnis genommen hat. Die Verfügung des Verwaltungsgerichts hat insofern keine eigenständige Bedeutung; sie ist akzessorisch zum Nichteintretens- und Überweisungsbeschluss des Obergerichts. Die Verfügung des Verwaltungsgerichts kann als mitangefochten gelten, fällt aber ohnehin dahin, sollte der Beschluss des Obergerichts aufgehoben werden. Somit beeinflusst die Verfügung des Verwaltungsgerichts den Umfang des Streitgegenstands nicht.
1.2. Die Frage, ob der Beschluss des Obergerichts als Endentscheid nach <ref-law> oder als Vor- bzw. Zwischenentscheid nach <ref-law> zu qualifizieren ist, kann offen bleiben, da er als selbständig eröffneter Entscheid über die funktionelle Zuständigkeit so oder anders anfechtbar ist (Qualifikation offen gelassen in Urteil 9C_10/2015 vom 26. Juni 2015 E. 2.2; Zwischenentscheid bejaht in <ref-ruling> E. 1.3 S. 559).
1.3. Die übrigen Sachurteilsvoraussetzungen (Legitimation, Frist und Form) sind offensichtlich erfüllt. Auf die Beschwerde ist einzutreten.
2.
2.1. Streitgegenstand ist die Frage, ob das Obergericht seine Zuständigkeit zur Beurteilung des Zwischenentscheids der Anwaltskammer, das Ausstandsbegehren abzuweisen, zu Recht verneint und - sinngemäss - auf die Beschwerde nicht eingetreten ist. Von einem Nichteintretensentscheid ist auszugehen, weil das Obergericht zur Frage der Zuständigkeit einen Schriftenwechsel durchgeführt hat, in dessen Rahmen der Beschwerdeführer beantragt hatte, die Zuständigkeit der Beschwerdekammer des Obergerichts sei gerichtlich festzustellen.
2.2. Mit der Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann eine Rechtsverletzung nach Art. 95 und Art. 96 BGG gerügt werden. Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (<ref-law>). In Bezug auf die Verletzung von Grundrechten gilt eine qualifizierte Rüge- und Substanziierungspflicht (<ref-law>; <ref-ruling> E. 2.2 S. 232; <ref-ruling> E. 2.5 S. 314). Die rechtsfehlerhafte Auslegung von kantonalem Gesetzes- und Verordnungsrecht bildet keinen eigenständigen Rügegrund; sie wird nur daraufhin geprüft, ob sie vor der Verfassung und dem Völkerrecht standhält (<ref-ruling> E. 2.4 S. 249; <ref-ruling> E. 1.2.1 S. 251 f.; Urteil 8C_262/2015 vom 3. November 2015 E. 2.1).
3.
3.1. Mit unaufgeforderter Eingabe vom 22. Februar 2016 legt der Beschwerdeführer die Urkunden 32 bis 37 vor und beantragt, diese zum Beweis zuzulassen.
Nach der Rechtsprechung des Bundesgerichts ist eine Beschwerdeergänzung nach Ablauf der Beschwerdefrist nur insoweit statthaft, als die Ausführungen in der Vernehmlassung eines anderen Verfahrensbeteiligten dazu Anlass geben (<ref-ruling> E. 2.2 S. 21; <ref-ruling> E. 1.7 S. 162; <ref-ruling> E. 3.3.4 S. 47). Dies gilt nicht nur für neue Rügen, sondern auch für die mit ihnen vorgebrachten Tatsachen und die zugehörigen Beweismittel. Eine Partei kann somit replikweise auf ein im Rahmen des Schriftenwechsels neues Argument eines Verfahrensbeteiligten reagieren. Weil der Beschwerdeführer am 22. Februar 2016 noch nicht im Besitz der Vernehmlassungen der übrigen Verfahrensbeteiligten war, sind diese Beweismittel von vornherein unzulässig. Es braucht daher weder geprüft zu werden, ob die Urkunden (sofern sie nicht ohnehin als echte Noven unzulässig sind) sich in erkennbarer Weise auf den Streitgegenstand beziehen, noch, ob der Beschwerdeführer rechtsgenüglich darlegt, welche Tatsachen damit bewiesen werden sollen.
3.2. Ebenfalls verspätet ist der Antrag, über die Beschwerde sei in Anwendung von Art. 23 Abs. 1 und 2 BGG unter Einholung der Zustimmung der I. Sozialrechtlichen Abteilung des Bundesgerichts zu befinden. Verfahrensanträge können nach Ablauf der Beschwerdefrist gestellt werden, wenn sich der Anlass dazu aus dem Verfahren ergibt. Dies ist hier nicht der Fall, so dass der Antrag unberücksichtigt bleibt.
3.3. Der Beschwerdeführer beantragt die Sistierung des Verfahrens, bis ein hängiges Ausstandsverfahren gegen den leitenden Gerichtsschreiber des Verwaltungsgerichts rechtskräftig abgeschlossen sei.
Anlass zur Verfahrenssistierung bildet die Konstellation, dass der Ausgang eines hängigen Verfahrens durch den Ausgang eines anderen Verfahrens beeinflusst wird. Diesfalls wird der Prozess sistiert, bis das andere Verfahren abgeschlossen ist. Dadurch können widersprüchliche Entscheide vermieden werden. Mit Blick auf den Streitgegenstand ist nicht ersichtlich, inwiefern der Entscheid über das Ausstandsbegehren den Ausgang des vorliegenden Verfahrens zu beeinflussen vermöchte. Ein allfälliger Ausstand des leitenden Gerichtsschreibers des Verwaltungsgerichts beschlägt die Frage der Zuständigkeit des Obergerichts im vorliegenden Fall nicht. Das am 18. März 2016 eingereichte Gesuch um Sistierung des Verfahrens ist daher abzuweisen.
4.
4.1. Der Beschwerdeführer moniert, der Beschluss des Obergerichts vom 3. Dezember 2015 habe keine Rechtsmittelbelehrung enthalten, und auf entsprechende Nachfrage hin sei er nur in allgemeiner Weise auf das BGG verwiesen worden. In der Tat ist der angefochtene Beschluss des Obergerichts nicht mit einer Rechtsmittelbelehrung versehen.
4.2. Ein Entscheid eines oberen kantonalen Gerichts, der trotz Anfechtbarkeit keine Rechtsmittelbelehrung aufweist, muss als mangelhaft eröffnet gelten (<ref-law>). Aus mangelhafter Eröffnung, insbesondere wegen unrichtiger oder unvollständiger Rechtsmittelbelehrung oder wegen Fehlens einer vorgeschriebenen Rechtsmittelbelehrung, dürfen den Parteien keine Nachteile erwachsen (<ref-law>). Der Beschwerdeführer, Rechtsanwalt und Notar sowie Fachanwalt für Haftpflicht- und Versicherungsrecht, ist anwaltlich vertreten und hat den Beschluss des Obergerichts frist- und formgerecht beim Bundesgericht angefochten. Er macht nicht geltend, durch die fehlende Rechtsmittelbelehrung einen Nachteil erlitten zu haben; ein Rechtsschutzinteresse ist nicht ersichtlich (vgl. auch Urteile 5A_973/ 2014 vom 9. Dezember 2014; 4A_85/2007 vom 11. Juni 2007 E. 5). Von einer Verletzung des Anspruchs auf rechtliches Gehör, des Rechtsgleichheitsgebots, des Diskriminierungsverbots und der Rechtsweggarantie kann nicht die Rede sein. Der Antrag auf kostenpflichtige Aufhebung und Rückweisung des Beschlusses an das Obergericht, verbunden mit der Anweisung, den Entscheid mit einer Rechtsmittelbelehrung zu versehen, ist abzuweisen. Entgegen der Auffassung des Beschwerdeführers ist es nicht Aufgabe des Bundesgerichts, seine Vorinstanzen im Fall eines Fehlers zu massregeln, sondern, dem materiellen Recht zum Durchbruch zu verhelfen. Auch vor diesem Hintergrund erweisen sich die Rügen als unbegründet.
5.
Der Beschwerdeführer beantragt, die angefochtenen Entscheide für nichtig zu erklären. Auch hier geht es in erster Linie um den Nichteintretensentscheid des Obergerichts; ist dieser nichtig, fällt auch die Verfügung des Verwaltungsgerichts dahin. Auf die Gültigkeit der Verfügung des Verwaltungsgerichts ist deshalb nur kurz in E. 5.2 einzugehen.
5.1. Fehlerhafte Entscheide sind nach der bundesgerichtlichen Rechtsprechung nichtig, wenn der ihnen anhaftende Mangel besonders schwer ist, wenn er offensichtlich oder zumindest leicht erkennbar ist und wenn zudem die Rechtssicherheit durch die Annahme der Nichtigkeit nicht ernsthaft gefährdet wird. Als Nichtigkeitsgründe fallen vorab die funktionelle und sachliche Unzuständigkeit der verfügenden Behörde sowie krasse Verfahrensfehler in Betracht. Die Nichtigkeit eines Entscheids ist von sämtlichen rechtsanwendenden Behörden jederzeit von Amtes wegen zu beachten (<ref-ruling> E. 3.1 S. 503; <ref-ruling> E. 3.1; <ref-ruling> E. 3.1 und 3.2; <ref-ruling> E. 2.1; <ref-ruling> E. 2).
5.2. Die Auffassung des Beschwerdeführers, die Verfügung des Verwaltungsgerichts sei nichtig, da sie nur vom Gerichtsschreiber unterzeichnet worden sei, geht fehl: Im Unterschied zu dem von ihm zitierten <ref-ruling> E. 2.2, die Verweigerung der unentgeltlichen Rechtspflege betreffend (wobei die Frage, ob die mangelhafte Verfügung anfechtbar oder nichtig sei, offen gelassen wurde), geht es hier lediglich um eine nicht anfechtbare Zwischenverfügung, deren Inhalt rein informativen Charakter hatte, nämlich die Bestätigung des Eingangs der Beschwerde sowie die Mitteilung, weitere Instruktionsverfügungen würden folgen. Damit wurde dem Beschwerdeführer letztlich nur mitgeteilt, dass das Verwaltungsgericht die Beschwerde an die Hand nehmen würde, wobei die Frage der Zuständigkeit bzw. des Eintretens noch offen war. Dass diese Mitteilung, welche den Charakter einer Eingangsbestätigung aufweist, nicht von einer Richterin oder einem Richter unterzeichnet ist, vermag jedenfalls keine Nichtigkeit zu begründen; ein krasser Verfahrensfehler ist nicht ersichtlich.
5.3. Die Nichtigkeit des Entscheids des Obergerichts begründet der Beschwerdeführer zunächst mit der "dargelegten fehlenden Ergebnisoffenheit des gesamten Obergerichts des Kantons Solothurn und der systemimmanenten Gefahr der fehlenden Unabhängigkeit resp. der Abstimmung der erst- und zweitinstanzlichen Entscheidfindung". Diese Rüge wird in E. 5.4 behandelt.
Sodann wird moniert, der Beschluss des Obergerichts sei nicht durch sämtliche Behördenmitglieder unterzeichnet worden, sondern nur durch Oberrichter Beat Frey, wobei nicht bekannt sei, ob dieser als "Vorsitzender" geamtet habe. Oberrichter Beat Frey sei weder Präsident der Beschwerdekammer des Obergerichts noch des Obergerichts als Gesamtgericht. Seit dem 1. Januar 2011 bestehe für das Obergericht keine Unterschriftenregelung mehr. Diese unklare und unbestimmte Lösung verletze das Legalitätsprinzip nach Art. 5 der Verfassung des Kantons Solothurn vom 17. Juni 2007 (KV/SO; SRL 1) sowie den Anspruch auf ein verfassungsmässiges, auf Gesetz beruhendes Gericht nach <ref-law> und Art. 6 Ziff. 1 EMRK. Diese Rüge wird in E. 5.5 behandelt.
5.4. Der Beschwerdeführer sieht aufgrund der Gerichtsorganisation des Kantons Solothurn eine systembedingte Befangenheit aller Mitglieder des Obergerichts. Das Verwaltungsgericht sei kein unabhängiges Gericht im Sinn von <ref-law>, weil es aus Mitgliedern des Obergerichts bestellt werde, die gemäss § 11 Abs. 2 des Gesetzes des Kantons Solothurn vom 10. Mai 2000 über die Rechtsanwälte und Rechtsanwältinnen (AnwG/SO; BGS 127.10) ihrerseits in der Anwaltskammer Einsitz hätten. Die Beurteilung der Beschwerdesache durch Oberrichter im Kleid von Verwaltungsrichtern verstosse gegen den Grundsatz der Gewaltenteilung als grundlegendes Prinzip der BV bzw. nach Art. 58 Abs. 1 KV/SO, gegen das Legalitätsprinzip nach <ref-law> bzw. Art. 18 Abs. 1 KV/SO, gegen die Rechtsweggarantie nach <ref-law>, gegen den Anspruch auf ein durch Gesetz geschaffenes, zuständiges, unabhängiges und unparteiisches Gericht nach <ref-law> und Art. 6 Ziff. 1 EMRK sowie gegen die richterliche Unabhängigkeit nach <ref-law>. Die Beschwerdeinstanz, nämlich das Ober- bzw. Verwaltungsgericht, befinde sich in einem permanenten Befangenheitszustand. Eine ergebnisoffene Beurteilung sei dadurch von vornherein unmöglich.
5.4.1. Vorab ist daran zu erinnern, dass Streitgegenstand einzig die Frage ist, ob das Obergericht (in der Formation der Beschwerdekammer) seine Zuständigkeit zur Behandlung der Beschwerde gegen den Zwischenentscheid der Anwaltskammer betreffend das Ausstandsbegehren gegen deren Präsidenten und deren Sekretär zu Recht verneint hat. Entgegen der Auffassung des Beschwerdeführers hat das Obergericht nicht entschieden, sondern nur erwogen, das Verwaltungsgericht sei zuständig. Denn eine Behörde kann niemals anordnen, eine ihr gleichgeordnete Behörde sei für eine Angelegenheit zuständig (<ref-ruling> E. 4a S. 180; <ref-ruling> E. 1a S. 491). Dies gilt sowohl für Verwaltungs- als auch für Gerichtsbehörden. Eine Behörde kann nur über ihre eigene (negative oder positive) Zuständigkeit befinden oder über die Zuständigkeit einer ihr untergeordneten Behörde. Sofern in der Hauptsache ein Rechtsmittelweg besteht, sind solche Entscheide anfechtbar. In dieser Weise ist hier der negative Zuständigkeitsentscheid des Obergerichts angefochten. Die Bejahung der Zuständigkeit des Verwaltungsgerichts ist nur eine Begründung für den negativen Zuständigkeitsentscheid des Obergerichts, nicht aber ein (zusätzlicher) Entscheid. Auf die Vorbringen betreffend die bestrittene Zuständigkeit des Verwaltungsgerichts ist daher nur insoweit einzugehen, als es für das Verständnis der Rügen, welche sich auf den Streitgegenstand beziehen, notwendig ist. Ob das Verwaltungsgericht gegebenenfalls bei der Behandlung der Beschwerdesache korrekt zusammengesetzt ist oder sein wird, ist ebenfalls nicht Gegenstand des vorliegenden Verfahrens, weshalb auf die entsprechenden Vorbringen nicht einzugehen ist. Das Gleiche gilt für das Obergericht, falls dessen Zuständigkeit bejaht und der angefochtene Beschluss aufgehoben würde.
Schliesslich steht auch die Zusammensetzung der Anwaltskammer nicht im Zusammenhang mit der Frage der Zuständigkeit des Obergerichts. Die Tatsache, dass die Anwaltskammer teilweise aus Richterpersonen zusammengesetzt ist, berührt nicht die Frage, welches Gericht die Entscheide der Anwaltskammer zu überprüfen hat. Nur in einem konkreten Fall - der hier nicht geltend gemacht wird - kann sich für ein Mitglied der Beschwerdeinstanz ein Ausstandsgrund ergeben, wenn es am angefochtenen Entscheid mitgewirkt hat.
5.4.2. Das Obergericht umfasst 9-12 Richterstellen (§ 23 des Gesetzes des Kantons Solothurn vom 13. März 1977 über die Gerichtsorganisation [GO/SO; BGS 125.12]). Der Kantonsrat wählt die Oberrichter (§ 23 Abs. 1biserster Satz GO/SO). Das Obergericht tagt als Gesamtgericht oder in Dreierbesetzung (§ 24 Abs. 1 GO/SO). Es bestellt aus seiner Mitte folgende dreigliedrige Kammern: Zivilkammer, Strafkammer, Schuldbetreibungs- und Konkurskammer, Beschwerdekammer (§ 24 Abs. 2 GO/SO). Die Beschwerdekammer beurteilt die Beschwerden, die gemäss der Schweizerischen Strafprozessordnung sowie der Schweizerischen Jugendstrafprozessordnung in die Zuständigkeit der Beschwerdeinstanz fallen (§ 33bis Abs. 1 GO/SO). Das Obergericht teilt die Richter für die Dauer einer Amtsperiode dem Verwaltungsgericht zu; dieses konstituiert sich selbst (§ 47 Abs. 1 GO/SO). Es trifft somit zu, dass die ins Obergericht gewählten Richterinnen und Richter auf Beschluss des Obergerichts hin als Verwaltungsrichterinnen und Verwaltungsrichter amten. Dennoch gilt das Verwaltungsgericht als selbständige Behörde (§ 3 Abs. 1 lit. b des Gesetzes des Kantons Solothurn über den Rechtsschutz in Verwaltungssachen vom 15. November 1970 [Verwaltungsrechtspflegegesetz, VRPG/SO; BGS 124.11]), deren Kompetenzen im VRPG/SO niedergelegt sind. Die Tatsache, dass das Verwaltungsgericht aus Mitgliedern des Obergerichts besteht, ändert nichts an seiner funktionellen Autonomie. Insbesondere ist nicht ersichtlich, inwiefern durch diese Gerichtsorganisation das Gewaltenteilungsprinzip nach Art. 58 Abs. 1 KV/SO (der ebenfalls angerufene Art. 58 Abs. 2 KV/SO ist ohnehin nicht einschlägig) verletzt sein soll: Nach der genannten Bestimmung erfüllen Kantonsrat, Regierungsrat und die Gerichte ihre Aufgaben grundsätzlich getrennt; keine dieser Behörden darf in den durch Verfassung oder Gesetz festgelegten Wirkungskreis der anderen eingreifen. Die Tatsache, dass Obergericht und Verwaltungsgericht im gleichen Gebäude tagen, schadet der Gewaltenteilung nicht, zumal beide Gerichte der gleichen Staatsgewalt angehören (der Judikative) und einander gleichgeordnet sind (beide sind obere kantonale Gerichte im Sinn von <ref-law>). Aus der solothurnischen Gerichtsorganisation ergibt sich nicht, dass die Kammern des Obergerichts keinen gültigen Nichteintretens- und Überweisungsentscheid fällen könnten. Auch die übrigen als verletzt gerügten Bestimmungen (Art. 18 Abs. 1 KV/SO [Anspruch auf Rechtsschutz], § 91bis Abs. 2 GO/SO [Nebenbeschäftigung von Richtern], <ref-law> [Legalitätsprinzip], <ref-law> [Rechtsweggarantie], <ref-law> [Anspruch auf ein durch Gesetz geschaffenes, zuständiges, unabhängiges und unparteiisches Gericht], <ref-law> [Grundsatz der richterlichen Unabhängigkeit], Art. 6 Ziff. 1 EMRK [Recht auf ein faires Verfahren] sowie die Präambel der EMRK) stehen - sofern sie überhaupt einschlägig sind - der Gerichtsorganisation nicht entgegen. Eine systembedingte Befangenheit des Obergerichts oder dessen Beschwerdekammer ist nicht ersichtlich, so dass die Nichtigkeit des Beschlusses von dieser Warte aus zu verneinen ist.
5.5. Der Beschwerdeführer trägt vor, auf dem Rubrum des angefochtenen Entscheids seien drei Mitglieder der Beschwerdekammer aufgeführt. Es sei nicht nachvollziehbar, warum dieser in Dreierbesetzung zu treffende Entscheid nur durch ein Mitglied des Spruchkörpers, welches sich nicht einmal als Vorsitzender zu erkennen gebe, unterzeichnet werden dürfe, anstatt von allen beteiligten Gerichtspersonen. Die fehlende Unterzeichnung des angefochtenen Entscheids durch alle Behördenmitglieder verstosse gegen <ref-law> bzw. Art. 5 Abs. 1 KV/SO, <ref-law> und Art. 6 Ziff. 1 EMRK sowie <ref-law> i.V.m. Art. 13 und Art. 11 Abs. 2 OR.
5.5.1. Soweit der Beschwerdeführer geltend macht, im Verfahren vor der Anwaltskammer kämen gemäss § 58 Abs. 1 VRPG/SO die Vorschriften der ZPO sinngemäss zur Anwendung, geht dies an der Sache vorbei: Es geht nicht darum, ob der Entscheid der Anwaltskammer vom 23. September 2015 vorschriftsgemäss unterzeichnet wurde; diese Rüge wäre verspätet. Die geltend gemachte Nichtigkeit bezieht sich auf die Frage, ob der Beschluss des Obergerichts rechtsgültig unterzeichnet ist.
Gemäss <ref-law> enthält ein Entscheid die Unterschrift des Gerichts. Der Geltungsbereich der ZPO umfasst, soweit hier von Interesse, das Verfahren vor den kantonalen Instanzen für Streitigkeiten in Zivilsachen (<ref-law>). Es kann offen bleiben, ob der angefochtene Beschluss, materiell ein Nichteintretensentscheid wegen funktioneller Unzuständigkeit des angerufenen Gerichts, eine Streitigkeit in Zivilsachen im Sinn von <ref-law> darstellt. Die geltend gemachte Verletzung von <ref-law> wäre ohnehin zu verneinen, denn nach der Lehre ist nicht erforderlich, dass alle Mitglieder des Gerichts unterzeichnen. Wer namens des Gerichts unterschreibt, richtet sich nach kantonalem Recht; dieses kann vorsehen, dass nur der Gerichtsschreiber bzw. die Gerichtsschreiberin unterzeichnet (DANIEL STAEHELIN, in: Kommentar zur Schweizerischen Zivilprozessordnung [ZPO], 3. Aufl. 2016, N. 43 zu <ref-law>). Bezogen auf die Frage der Unterschrift gibt es weder im Zivil- noch im Verwaltungsrecht über das Unterschriftserfordernis hinausgehende bundesrechtliche Vorgaben. Insbesondere sind Art. 11 Abs. 2 und Art. 13 OR nicht einschlägig, betreffen sie doch das Vertragsrecht. Der Beschluss des Obergerichts ist von Bundesrechts wegen in Bezug auf die Unterschrift weder nichtig noch (infolge mangelhafter Eröffnung) anfechtbar.
5.5.2. Zu prüfen bleibt, ob die kantonalen Vorschriften eingehalten wurden und wenn nicht, ob der Verstoss so krass ist, dass er zur Nichtigkeit des angefochtenen Beschlusses führt.
Das Gesamtgericht bestellt die Kammern und wählt für jede Kammer einen Präsidenten oder eine Präsidentin und einen Vizepräsidenten oder eine Vizepräsidentin sowie die berichterstattenden Mitglieder (§ 2 Abs. 2 des Geschäftsreglements des Obergerichts des Kantons Solothurn und der ihm angegliederten Spezialgerichte vom 11. September 1998 [BGS 125.71]). Der Kammerpräsident oder die Kammerpräsidentin besorgt die Prozessleitung und bestimmt für jeden Fall ein referierendes Mitglied. Diesem kann die Prozessleitung übertragen werden (§ 9 Abs. 1 des Geschäftsreglements).
Es trifft zu, dass weder das GO/SO noch das zugehörige Geschäftsreglement eine Regelung zur Unterzeichnung von Gerichtsurteilen enthält. Im vorliegenden Fall haben der im Spruchkörper zuerst genannte Richter sowie der Gerichtsschreiber den Beschluss unterzeichnet. Ob der unterzeichnende Richter den Vorsitz hatte oder Referent war oder beides, geht aus dem Beschluss nicht hervor.
Die Unterschrift des Einzelrichters oder - beim Kollegialgericht - des zur Unterzeichnung befugten Gerichtsmitglieds bezeugt in authentischer Weise die tatsächliche Mitwirkung der rubrizierten Richterperson (en) am gefällten Entscheid (<ref-ruling> E. 2.3.2). Der Gerichtsschreiber oder die Gerichtsschreiberin bestätigt mit seiner bzw. ihrer Unterschrift, dass er bzw. sie in dieser Funktion (meist mit beratender Stimme) am Urteil mitgewirkt hat. Die Unterschriften bezwecken somit die Authentizität des Urteils in Bezug auf dessen Urheber. Vor diesem Hintergrund ist es wünschbar, aber verfassungsrechtlich nicht unabdingbar, dass das kantonale Recht vorsieht, wessen Unterschrift das Urteil bzw. die (gerichtliche) Verfügung tragen soll. Indessen spielt es verfassungsrechtlich keine Rolle, wer die Instruktion geführt hat und ob der Referent mit dem vorsitzenden Richter identisch ist. Denn die Kammer entscheidet als Dreiergremium und hat als solches den Entscheid zu verantworten (Kollegialitätsprinzip). Insofern "vertritt" der Unterzeichner die übrigen Mitglieder des Spruchkörpers, sei er nun Referent, Vorsitzender oder Kammerpräsident. Wird die unterzeichnende Richterperson im Rubrum an erster Stelle genannt, kann angenommen werden, dass sie in der betreffenden Angelegenheit den Vorsitz hatte.
Trägt ein kantonaler Gerichtsbeschluss - wie hier - die Unterschrift der an erster Stelle im Rubrum genannten Richterperson sowie jene des Gerichtsschreibers, liegt bestimmt keine Nichtigkeit vor. Aus dem Urteil geht klar hervor, wer daran mitgewirkt hat; wie erwähnt besteht verfassungsrechtlich keine Notwendigkeit, die Unterschrift einer gerichtsinternen Funktion wie etwa dem Kammerpräsidium zuzuordnen. In Bezug auf diese Frage hat das Bundesgericht erwogen, es grenze an Mutwilligkeit, wenn nicht gar an Rechtsmissbrauch, die im Bund und in den Kantonen gepflegte Praxis, gemäss welcher Urteile und Entscheide in der Regel vom Präsidenten bzw. von einem Mitglied des Gerichts und vom Gerichtsschreiber unterzeichnet werden, ohne plausiblen Grund als nichtig zu rügen (Urteil 8C_724/2015 vom 29. Februar 2016 E. 2.3). Eine Vorschrift, wonach nur der Kammerpräsident bzw. die Kammerpräsidentin zur Unterzeichnung befugt wäre, ist nicht ersichtlich. Es ist somit unerheblich, wer diese Funktion im Zeitpunkt des angefochtenen Beschlusses innehatte. Massgeblich ist, dass die Mitglieder des Spruchkörpers namentlich genannt und der Beschluss durch den erstgenannten Richter (allem Anschein nach den Vorsitzenden) sowie den Gerichtsschreiber unterzeichnet worden ist. Damit sind die verfassungsrechtlichen Vorgaben, insbesondere im Hinblick auf ein allfälliges Ausstandsbegehren, erfüllt. Inwiefern das Legalitätsprinzip und der Anspruch auf ein gesetzmässiges Gericht verletzt sein sollen, ist nicht erkennbar.
5.6. Aus den vorstehenden Erwägungen ergibt sich, dass weder der Beschluss des Obergerichts noch die Verfügung des Verwaltungsgerichts nichtig sind. Aber selbst wenn das Bundesgericht die Nichtigkeit der angefochtenen Entscheide feststellen würde, wäre die Überweisung der Streitsache in den Kanton Bern mangels einer gesetzlichen Grundlage ausgeschlossen.
6.
6.1. In materieller Hinsicht trägt der Beschwerdeführer vor, indem die Vorinstanz ohne gesetzliche Grundlage die Beschwerdesache an eine andere, unzuständige gerichtliche Instanz habe überweisen lassen, habe sie das Legalitäts- und Rechtsstaatlichkeitsprinzip (Art. 5 Abs. 1 KV/SO, Art. 88 Abs. 1 KV/SO, <ref-law> und Präambel EMRK), den Anspruch auf ein verfassungsmässiges und auf Gesetz beruhendes Gericht (<ref-law> und Art. 6 Ziff. 1 EMRK), den Anspruch auf rechtsgleiche Behandlung gegenüber anderen aufsichtsrechtlichen Berufsgruppen (Art. 7 KV/SO, Art. 8 Abs. 1 und 2 BV sowie Art. 14 EMRK) und das Willkürverbot (<ref-law>) verletzt.
6.2. Der Beschwerdeführer präzisiert, für die angenommene sachliche und funktionelle Zuständigkeit des Verwaltungsgerichts bestehe keine gesetzliche Grundlage. Somit würden durch den angefochtenen Beschluss sein Anspruch auf ein verfassungsmässiges Gericht sowie das Legalitätsprinzip verletzt.
Wie in E. 5.4.1 dargelegt, hatte das Obergericht nicht über die Zuständigkeit des Verwaltungsgerichts zu entscheiden; die Frage liegt ausserhalb des Streitgegenstands. Auf die Vorbringen, mit denen der Beschwerdeführer die Zuständigkeit des Verwaltungsgerichts bestreitet, ist daher nicht näher einzugehen.
6.3. Soweit der Beschwerdeführer geltend macht, durch die Zuständigkeit des Verwaltungsgerichts würden Anwälte ohne sachlichen Grund anders behandelt als beispielsweise Ärzte oder Notare, weil in deren Aufsichtsbehörden keine Oberrichter Einsitz hätten, ist nicht darauf einzugehen. Wie bereits in E. 5.4.1 erwähnt, ist weder die Zuständigkeit des Verwaltungsgerichts noch die Zusammensetzung der Anwaltskammer vom Streitgegenstand erfasst.
6.4. Weiter rügt der Beschwerdeführer, das Obergericht hätte die Beschwerdesache gestützt auf § 29 Abs. 1 lit. e GO/SO an das (Ober-) Gesamtgericht überweisen müssen, weil die Beurteilung grundsätzlicher Rechtsfragen zur Diskussion gestanden habe.
Diese Rüge ist verspätet. Verfahrensrechtliche Ansprüche sind sofort im betreffenden Verfahren geltend zu machen; im Rechtsmittelverfahren kann nur noch gerügt werden, die Vorinstanz habe den entsprechenden Antrag zu Unrecht abgewiesen (<ref-ruling> E. 2.1 am Ende S. 93; <ref-ruling> E. 1a S. 388; <ref-ruling> E. 5a am Ende S. 228; Urteile 1C_494/2011 vom 31. Juli 2012 E. 4; 9C_141/2014 vom 26. November 2014 E. 3.3).
6.5. Der Beschwerdeführer macht geltend, das Obergericht sei gemäss § 8 Abs. 1 VRPG/SO i.V.m. § 98 Abs. 3 GO/SO zur Beurteilung der Beschwerdesache sachlich und funktionell zuständig. Die Ausstandsbestimmungen nach den §§ 91ter ff. GO/SO hätten universellen Charakter, weshalb sie mit Ausnahme der schweizerischen Zivilprozessordnung für sämtliche kantonalen Verfahren, nicht nur für gerichtliche Verfahren, gelten würden. Der Ausnahmekatalog von § 91ter GO/SO sei abschliessend; insbesondere die Verfahren vor der Anwaltskammer seien nicht ausgenommen. § 98 Abs. 3 GO/SO habe auch für das kantonale Verwaltungsverfahren Geltung. Lediglich die Ausstandsbestimmungen des Gemeindegesetzes und des Gesetzes über die Organisation des Regierungsrates und der Verwaltung blieben gemäss § 8 Abs. 2 VRPG/SO vorbehalten. Dies bedeute, dass das Ausstandsverfahren für alle anderen Behörden, also auch für die Anwaltskammer, nach § 98 Abs. 3 GO/SO geregelt sei. Eine andere Auslegung dieser Norm sei willkürlich.
6.5.1. Ein Ausstandsbegehren ist grundsätzlich von der Behörde zu behandeln, gegen deren Mitglied (er) es sich richtet. Dieser Grundsatz bedarf in gewissen Fällen der Präzisierung; etwa dann, wenn eine Behörde nur mit einer Person derselben Funktion ausgestattet ist (Bezirksgerichtspräsident, Oberamtsperson etc.) oder wenn verschiedene Ebenen in der betreffenden Behörde für die Beurteilung des Ausstandsbegehrens in Frage kommen (Kammern oder Abteilungen in grösseren Gerichten). Für diese Fälle gibt es unterschiedliche Lösungen, die hier nicht weiter interessieren (vgl. für den Bund <ref-law>). Der Kanton Solothurn hat derartige Zuständigkeitsfragen in § 98 Abs. 1 GO/SO geregelt (zitiert in E. 6.5.2 hiernach).
6.5.2. Das VRPG/SO enthält keine Bestimmungen über die Zuständigkeit zur Behandlung von Ausstandsbegehren. Als Kollegialbehörde entscheidet die Anwaltskammer gemäss dem erwähnten Grundsatz (vgl. E. 6.5.1 hiervor) - unter Ausschluss der durch das Begehren betroffenen Personen - über den Ausstand. Gemäss § 8 Abs. 1 VRPG/ SO gelten die Ausstands- und Ablehnungsgründe des GO/SO auch für das Verwaltungsverfahren und das Verfahren vor den Verwaltungsgerichtsbehörden. Diese Gründe sind im Abschnitt 9.2 des GO/SO ("Ausstandsfälle") niedergelegt, wobei § 92 GO/SO den "Ausschluss" von Richterpersonen und Gerichtsschreibenden, § 93 die "Ablehnungsfälle" in Bezug auf diese zum Gegenstand hat. § 91ter Abs. 1 GO/SO mit dem Marginale "Anwendungsbereich" erklärt die Ausstandsbestimmungen der §§ 92-100 GO/SO für nicht anwendbar auf Verfahren nach StPO, JStPO oder ZPO, unter Vorbehalt von § 98 Abs. 1 für Verfahren nach ZPO.
§ 98 GO/SO mit dem Marginale "Zuständigkeit" ist im Abschnitt 9.3 ("Verfahren") des GO/SO angesiedelt und hat folgenden Wortlaut:
1 Über das von einer Gerichtsperson oder einer Partei gestellte Ausstandsbegehren entscheidet:
a) wenn es gegen den Friedensrichter gerichtet ist, der Amtsgerichtspräsident;
b)...;
b bis)...;
c) wenn es gegen den Amtsgerichtspräsidenten als Instruktionsrichter oder als erkennenden Einzelrichter oder gegen den Jugendgerichtspräsidenten als erkennenden Einzelrichter, gegen den Präsidenten der Schätzungskommission oder den Präsidenten des Kantonalen Steuergerichts gerichtet ist, deren Stellvertreter;
d) wenn es gegen das Mitglied eines Gerichts oder gegen den Gerichtsschreiber gerichtet ist, das betreffende Gericht in Abwesenheit der betroffenen Person und ohne Zuzug eines Ersatzrichters;
2 Lautet der Entscheid auf Ausstand, so hat die zuständige Instanz zu befinden, ob und wieweit bereits erfolgte Prozesshandlungen der ausgestellten Gerichtsperson zu wiederholen sind.
3 Gegen Entscheide nach § 98 Absätze 1 und 2 ist die Beschwerde an die Beschwerdekammer des Obergerichts zulässig, ausgenommen gegen Entscheide des Obergerichts selbst, der Kammern des Obergerichts, des Verwaltungsgerichts und des Versicherungsgerichts sowie des Kantonalen Steuergerichts.
Um die Zuständigkeit der Beschwerdekammer des Obergerichts gestützt auf § 98 Abs. 3 GO/SO zu begründen, müsste ein Entscheid nach § 98 Abs. 1 oder 2 GO/SO vorliegen. Das Obergericht hat zutreffend darauf hingewiesen, dass dieser Normkomplex nicht einschlägig ist, weil es dabei um den Ausstand von Gerichtspersonen (im Gegensatz zu Mitgliedern einer Verwaltungsbehörde wie der Anwaltskammer) geht. Die gesamte Ausstandsordnung des GO/SO betrifft Gerichtspersonen, wie sich aus der Regelung in diesem Gesetz und aus den einzelnen Bestimmungen ohne Weiteres ergibt. Aus diesem Bereich werden gemäss § 91 Abs. 1 GO/SO noch einige Verfahren ausgenommen. Weil sich diese Bestimmung nur auf gerichtliche Verfahren bezieht, ist der Schluss falsch, Verwaltungsverfahren seien von der Ausnahme nicht erfasst und gehörten somit zum Anwendungsbereich des GO/SO. Art. 8 Abs. 1 VRPG/SO erklärt lediglich die Gründe für den Ausstand ("Ausstandsfälle") gemäss §§ 92 und 93 GO/SO für anwendbar im Verwaltungsverfahren und im Verwaltungsgerichtsverfahren (wobei Letzteres vom GO/SO bereits erfasst wäre; die Erwähnung ist deklaratorisch). Die Zuständigkeit zur Behandlung von Beschwerden gegen Ausstandsentscheide wird davon nicht berührt. Diese liegt bei der Behörde, die den Entscheid in der Hauptsache zu überprüfen hat. Weil die Verfügungen der Anwaltskammer gemäss § 16 Abs. 1 AnwG/SO der Beschwerde an das Verwaltungsgericht unterliegen, ist dieses auch zuständig für die Behandlung der Beschwerde gegen den Zwischenentscheid der Anwaltskammer betreffend Ausstand.
Als Beschwerdeinstanz für die Fälle nach § 98 Abs. 1 und 2 GO/SO nennt § 98 Abs. 3 GO/SO die Beschwerdekammer des Obergerichts, wobei die Entscheide des Obergerichts, dessen Kammern, des Verwaltungsgerichts, des Versicherungsgerichts und des Kantonalen Steuergerichts ausgenommen sind. Die Zuständigkeit der Beschwerdekammer des Obergerichts im Bereich des Ausstands ist demnach auf Entscheide der erstinstanzlichen Gerichte, zu denen auch die Schätzungskommission gehört, zugeschnitten.
6.5.3. Aus dieser Ordnung ergibt sich klar, dass die Beschwerdekammer des Obergerichts nicht Beschwerdeinstanz für Verwaltungsverfügungen betreffend Ausstand ist. Die Vorinstanz ist ohne Willkür zum Schluss gekommen, dass der Zwischenentscheid betreffend Ausstand des Präsidenten und des Sekretärs der Anwaltskammer nicht beim Obergericht angefochten werden kann.
6.6. Nach dem Gesagten ist der Nichteintretens- und Überweisungsbeschluss des Obergerichts nicht zu beanstanden. Das Obergericht hat seine Zuständigkeit gestützt auf die kantonalen Rechtsgrundlagen zu Recht verneint.
Aufgrund der klaren Sach- und Rechtslage erübrigt sich eine Behandlung des Eventualbegehrens. Nur der Vollständigkeit halber sei gesagt, dass der Antrag, das Obergericht habe das Verwaltungsgericht anzuweisen, die seit 1. Januar 2005 ergangenen Urteile des Verwaltungsgerichts betreffend die Anwaltskammer als Vorinstanz zu publizieren oder dem Beschwerdeführer zur Verfügung zu stellen, den Streitgegenstand sprengt.
7.
Die Beschwerde ist abzuweisen. Der unterliegende Beschwerdeführer trägt die Gerichtskosten (<ref-law>). Eine Parteientschädigung ist nicht zuzusprechen (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Das Sistierungsgesuch vom 18. März 2016 wird abgewiesen.
2.
Die Beschwerde wird abgewiesen.
3.
Die Gerichtskosten von Fr. 2'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
4.
Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten, dem Obergericht des Kantons Solothurn, Beschwerdekammer, und dem Verwaltungsgericht des Kantons Solothurn schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 3. Juni 2016
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Seiler
Die Gerichtsschreiberin: Genner