Sachverhalt:
A.
X._ AG (Vermieterin, Gesuchstellerin, Beschwerdegegnerin) vermietete mit Mietvertrag vom 3. Januar 2008 Gewerberäumlichkeiten an der U._strasse in Zürich (Referenznummern der Mietobjekte: 3012.01.0020.04, 3012.01.0030.04, 3012.01.0060.03, 3012.01.2020.03) an A._, (Mieter, Gesuchsgegner, Beschwerdeführer). Das Mietverhältnis war befristet bis 30. September 2013, wobei dem Mieter ein Vorrecht auf Verlängerung des Vertragsverhältnisses zu neuen Konditionen eingeräumt wurde, dies mit der Bestimmung, dass er sein entsprechendes Interesse 12 Monate vor Ablauf des Mietverhältnisses mitzuteilen habe.
Das vereinbarte Optionsrecht wurde vom Mieter nicht ausgeübt. Am 4. Juni 2013 ersuchte er vor der Schlichtungsbehörde Zürich um Erstreckung des Mietverhältnisses um fünf Jahre. Nachdem an der Schlichtungsverhandlung vom 2. Juli 2013 keine Einigung hatte erzielt werden können, erliess die Schlichtungsbehörde gleichentags einen Urteilsvorschlag, mit dem sie das Mietverhältnis einmalig und definitiv bis und mit 31. Dezember 2015 erstreckte.
B.
B.a. Mit Eingabe vom 6. Januar 2016 gelangte die Vermieterin an das Einzelgericht Audienz des Bezirksgerichts Zürich mit dem Begehren um Ausweisung des Mieters aus den erwähnten Mietobjekten. Der Mieter ersuchte anlässlich der Verhandlung vom 2. Februar 2016 sinngemäss um weitere Erstreckung des Mietverhältnisses.
Mit Entscheid vom 2. Februar 2016 trat das Einzelgericht Audienz auf den Antrag des Mieters auf nochmalige Erstreckung des Mietverhältnisses nicht ein. Zudem verurteilte es den Mieter, folgende Räumlichkeiten in der Liegenschaft U._strasse in Zürich unverzüglich zu räumen und der Vermieterin ordnungsgemäss zu übergeben, unter Androhung der Zwangsvollstreckung im Unterlassungsfall:
- Laden im Erdgeschoss (ca. 163 m2),
Ref.-Nr. 3012.01.0020.04,
- Laden im Erdgeschoss (ca. 124 m2),
Ref.-Nr. 3012.01.0030.04,
- Laden im Erdgeschoss (ca. 107 m2),
Ref.-Nr. 3012.01.0060.03,
- Lagerraum im 2. Untergeschoss (ca. 23 m2),
Ref.-Nr. 3012.01.2020.03.
Ausserdem wies das Einzelgericht Audienz das Stadtammannamt Zürich 5 an, diese Verpflichtung des Mieters auf Verlangen der Vermieterin zu vollstrecken.
B.b. Mit Urteil vom 19. April 2016 wies das Obergericht des Kantons Zürich eine vom Mieter gegen den Entscheid des Einzelgerichts Audienz des Bezirksgerichts Zürich vom 2. Februar 2016 erhobene Berufung ab und bestätigte den angefochtenen Entscheid.
C.
Mit Beschwerde in Zivilsachen beantragt der Mieter dem Bundesgericht, es sei das Urteil des Obergerichts des Kantons Zürich vom 19. April 2016 aufzuheben und das Ausweisungsbegehren sowie das Begehren um Anweisung an das Stadtammannamt zur Vollstreckung des Ausweisungsbefehls auf erstes Verlangen abzuweisen. Eventualiter sei die Sache zur Neubeurteilung an die Vorinstanz zurückzuweisen.
Auf die Einholung von Vernehmlassungen wurde verzichtet.
D.
Mit Verfügung vom 6. Juni 2016 erteilte das Bundesgericht der Beschwerde aufschiebende Wirkung.

Erwägungen:
1.
Das Bundesgericht prüft von Amtes wegen und mit freier Kognition, ob ein Rechtsmittel zulässig ist (<ref-law>; <ref-ruling> E. 2 S. 59; <ref-ruling> E. 1 S. 133; je mit Hinweisen).
1.1. Angefochten ist ein Endentscheid einer letzten kantonalen Instanz (Art. 75 Abs. 1 und Art. 90 BGG). Dagegen steht die Beschwerde in Zivilsachen offen. Da auch die übrigen Sachurteilsvoraussetzungen erfüllt sind, ist - unter Vorbehalt einer hinreichenden Begründung (Art. 42 Abs. 2 und <ref-law>) - auf die Beschwerde einzutreten.
1.2. Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (<ref-law>). Es ist somit weder an die in der Beschwerde geltend gemachten Argumente noch an die Erwägungen der Vorinstanz gebunden; es kann eine Beschwerde aus einem anderen als dem angerufenen Grund gutheissen oder eine Beschwerde mit einer von der Argumentation der Vorinstanz abweichenden Begründung abweisen. Mit Blick auf die Begründungspflicht der beschwerdeführenden Partei (Art. 42 Abs. 1 und 2 BGG) behandelt es aber grundsätzlich nur die geltend gemachten Rügen, sofern die rechtlichen Mängel nicht geradezu offensichtlich sind; es ist jedenfalls nicht gehalten, wie eine erstinstanzliche Behörde alle sich stellenden rechtlichen Fragen zu untersuchen, wenn diese vor Bundesgericht nicht mehr vorgetragen werden (<ref-ruling> E. 2 S. 116; <ref-ruling> E. 1.3; <ref-ruling> E. 1.4). Eine qualifizierte Rügepflicht gilt hinsichtlich der Verletzung von Grundrechten und von kantonalem und interkantonalem Recht. Das Bundesgericht prüft eine solche Rüge nur insofern, als sie in der Beschwerde präzise vorgebracht und begründet worden ist (<ref-law>).
1.3. Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (<ref-law>). Dazu gehören sowohl die Feststellungen über den streitgegenständlichen Lebenssachverhalt als auch jene über den Ablauf des vor- und erstinstanzlichen Verfahrens, also die Feststellungen über den Prozesssachverhalt (<ref-ruling> E. 1.3.1 mit Hinweisen). Es kann die Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz nur berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruht (<ref-law>). "Offensichtlich unrichtig" bedeutet dabei "willkürlich" (<ref-ruling> E. 2 S. 117; <ref-ruling> E. 1.5). Überdies muss die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein können (<ref-law>).
Für eine Kritik am festgestellten Sachverhalt gilt das strenge Rügeprinzip von <ref-law> (<ref-ruling> E. 2.3 S. 266 mit Hinweisen). Die Partei, welche die Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz anfechten will, muss klar und substanziiert aufzeigen, inwiefern diese Voraussetzungen erfüllt sein sollen (<ref-ruling> E. 1.3.1 S. 18 mit Hinweisen). Wenn sie den Sachverhalt ergänzen will, hat sie zudem mit präzisen Aktenhinweisen darzulegen, dass sie entsprechende rechtsrelevante Tatsachen und taugliche Beweismittel bereits bei den Vorinstanzen prozesskonform eingebracht hat (<ref-ruling> E. 2 S. 90). Genügt die Kritik diesen Anforderungen nicht, können Vorbringen mit Bezug auf einen Sachverhalt, der vom angefochtenen Entscheid abweicht, nicht berücksichtigt werden (<ref-ruling> E. 1.3.1 S. 18).
1.4. Der Beschwerdeführer verkennt diese Grundsätze, indem er seinen rechtlichen Vorbringen eine ausführliche Sachverhaltsdarstellung voranstellt, in der er unter Hinweis auf zahlreiche Aktenstücke des kantonalen Verfahrens die Hintergründe des Verfahrens aus eigener Sicht schildert und dabei verschiedentlich von den tatsächlichen Feststellungen der Vorinstanz abweicht oder diese erweitert, ohne substanziiert Ausnahmen von der Sachverhaltsbindung geltend zu machen. So bringt er unter anderem vor, er habe mit der Beschwerdegegnerin neben dem Mietvertrag vom 3. Januar 2008 auch weitere Mietverträge abgeschlossen und erwähnt hierzu die Referenznummern 03012.01.2010, 03012.01.2080 und 03012.03.4023. Die entsprechenden Ausführungen haben unbeachtet zu bleiben.
Unbeachtlich sind zudem die Vorbringen in der Beschwerde, soweit sie sich gegen den erstinstanzlichen Entscheid richten, anstatt auf die Erwägungen des angefochtenen Entscheids der Vorinstanz einzugehen (vgl. <ref-law>).
2.
Der Beschwerdeführer rügt, die Vorinstanz habe zu Unrecht auf den Urteilsvorschlag der Schlichtungsbehörde Zürich vom 2. Juli 2013 abgestellt und damit Art. 57, Art. 320 lit. a und Art. 336 ZPO verletzt.
2.1. Er bringt vor, die Vorinstanz habe ihrem Urteil zu Unrecht den Urteilsvorschlag vom 2. Juli 2013 zugrunde gelegt, weil dieser in sachlicher Hinsicht nicht hinreichend bestimmt sei. Ziffer 1 des Urteilsvorschlags spreche lediglich vom "Mietverhältnis", ohne dieses oder die Mietobjekte zu konkretisieren. Auch die Begründung des Urteilsvorschlags nehme weder auf ein bestimmtes Mietverhältnis Bezug noch würden dort konkrete Mietobjekte genannt. Es gelte jedoch zu berücksichtigen, dass der Beschwerdeführer verschiedene Mietverträge mit der Beschwerdegegnerin abgeschlossen habe. Der vor der Schlichtungsbehörde geschlossene Vergleich gebe somit nicht klar wieder, was zugesprochen bzw. entschieden worden sei, weshalb es dem Vergleich an der Vollstreckbarkeit fehle. Trotzdem halte die Vorinstanz in Auslegung des Urteilsvorschlags vom 2. Juli 2013 fest, dass die Ausweisung und die Vollstreckungsanweisung den Laden im Erdgeschoss (ca. 163 m2; Ref.-Nr. 3012.01.0020.04), den Laden im Erdgeschoss (ca. 124 m2; Ref.-Nr. 3012.01.0030.04), den Laden im Erdgeschoss (ca. 107 m2; Ref.-Nr. 3012.01.0060.03) und den Lagerraum im 2. Untergeschoss (ca. 23 m2; Ref.-Nr. 3012.01.2020.03) an der U._strasse in Zürich betreffe. Damit entfalte sie unzulässigerweise eigene Erkenntnistätigkeit. Angesichts der Unklarkeit des Urteilsvorschlags hätte dieser niemals Grundlage für die Ausweisung und die Anweisung an das Stadtammannamt bilden können. Der Urteilsvorschlag sei nichtig, was die Vorinstanz von Amtes wegen hätte beachten müssen.
2.2. Dem Beschwerdeführer kann nicht gefolgt werden. Seine Vorbringen laufen schon deshalb ins Leere, weil er die angebliche Unklarkeit des Urteilsvorschlags vom 2. Juli 2013 ausschliesslich mit der Behauptung begründet, es hätten weitere Mietverhältnisse mit der Beschwerdegegnerin bestanden. Entsprechende Sachverhaltsfeststellungen lassen sich dem angefochtenen Entscheid jedoch nicht entnehmen.
Abgesehen davon geht aus dem Beschluss der Schlichtungsbehörde Zürich vom 2. Juli 2013 (E. I./1.) entgegen der Behauptung des Beschwerdeführerseindeutig hervor, dass es sich beim Mietverhältnis, das mit besagtem Beschluss verlängert wurde, um dasjenige gemäss Mietvertrag vom 3. Januar 2008 über die Geschäftsräumlichkeiten in der Liegenschaft U._strasse in Zürich handelt. Der Vorinstanz ist keine Bundesrechtsverletzung vorzuwerfen, wenn sie bei ihrem Entscheid berücksichtigte, dass über die Erstreckung des Mietverhältnisses bis 31. Dezember 2015 mit rechtskräftigem Urteilsvorschlag vom 2. Juli 2013 entschieden und kein weiteres Erstreckungsbegehren bei der Schlichtungsbehörde gestellt wurde. Dass die vom Ausweisungsentscheid erfassten Mietobjekte mit den Referenz-Nummern 3012.01.0020.04, 3012.01.0030.04, 3012.01.0060.03 und 3012.01.2020.03 Gegenstand des Mietvertrags vom 3. Januar 2008 bilden, bestreitet der Beschwerdeführer zu Recht nicht. Von einer unzulässigen Erkenntnistätigkeit oder einem unklaren - geschweige denn nichtigen - Urteilsvorschlag kann keine Rede sein.
Die Vorbringen des Beschwerdeführers sind unbegründet.
3.
Mangels Unklarheit hinsichtlich der betroffenen Mietobjekte geht auch das Vorbringen ins Leere, die Voraussetzungen des Rechtsschutzes in klaren Fällen nach <ref-law> seien nicht erfüllt gewesen, weshalb auf das Gesuch nach <ref-law> nicht hätte eingetreten werden dürfen. Die nunmehr vor Bundesgericht aufgestellte Behauptung, der Sachverhalt sei hinsichtlich der betroffenen Mietobjekte umstritten gewesen, lässt sich im Übrigen nicht auf die Sachverhaltsfeststellungen des angefochtenen Entscheids stützen. Entsprechend leuchtet auch nicht ein, inwiefern dem Beschwerdeführer in Ausübung der gerichtlichen Fragepflicht (<ref-law>) hätte Gelegenheit eingeräumt werden müssen, sich zu dieser Frage eigens zu äussern, oder ein Beweisverfahren erforderlich gewesen wäre.
Offensichtlich unbegründet ist die Beschwerde ausserdem, soweit der Beschwerdeführer aus dem blossen Umstand, dass die Vorinstanz festhält, er befinde sich ohne Rechtsgrund im Miet objekt (anstatt: in den Mietobjekt en), auf eine unklare Rechtslage hinsichtlich der betroffenen Räumlichkeiten schliessen will. Das Rechtsbegehren der Beschwerdegegnerin war auf die Ausweisung aus vier einzeln aufgeführten Räumlichkeiten gerichtet, die alle auf Grundlage des Mietvertrags vom 3. Januar 2008 vermietet waren. Entgegen der in der Beschwerde vertretenen Auffassung hat die Vorinstanz die Voraussetzungen des Rechtsschutzes in klaren Fällen (<ref-law>) zu Recht als erfüllt erachtet.
4.
Der Beschwerdeführer rügt im Zusammenhang mit dem von ihm im Berufungsverfahren erhobenen Einwand des rechtsmissbräuchlichen Verhaltens der Beschwerdegegnerin eine Verletzung von <ref-law> und eine unrichtige Sachverhaltsfeststellung.
4.1. Die Vorinstanz erwog zunächst, der Beschwerdeführer habe seine Schilderung zum angeblichen Verhalten der Beschwerdegegnerin bezüglich der vertraglichen Verlängerungsoption erst im Berufungsverfahren und damit zu spät vorgebracht, da weder ersichtlich noch vorgebracht worden sei, weshalb diese Behauptungen nicht bereits in das erstinstanzliche Verfahren eingebracht wurden. Entsprechend sei das Vorbringen unbehelflich.
Der Beschwerdeführer ficht diese Erwägung nicht an, sondern äussert sich lediglich zur vorinstanzlichen Eventualbegründung, wonach seine Behauptung, sofern darauf abgestellt würde, rechtlich ohnehin unerheblich wäre. Damit hält die vorinstanzliche Hauptbegründung vor Bundesgericht stand, weshalb es sich erübrigt, auf die in der Beschwerdeschrift erhobenen Rügen gegen die Eventualbegründung einzugehen (vgl. <ref-ruling> E. 6.3).
4.2. Der Beschwerdeführer hatte im Berufungsverfahren zudem vorgebracht, die Beschwerdegegnerin habe sich im Zusammenhang mit dem Urteilsvorschlag vom 2. Juli 2013 unredlich verhalten, indem sie ihm gleich im Anschluss an die Schlichtungsverhandlung konkrete Gespräche über die einvernehmliche Lösung für die weitere Fortführung des Mietverhältnisses (über die Fristerstreckung hinaus) in Aussicht gestellt habe. Aus diesem Grund habe er die Frist für die Ablehnung des Urteilsvorschlags ungenutzt verstreichen lassen; danach habe die Beschwerdegegnerin sich jedoch nicht auf solche Gespräche eingelassen. Die Vorinstanz erachtete auch diese Vorbringen als verspätet.
Der Beschwerdeführer wirft der Vorinstanz diesbezüglich zu Unrecht unter Hinweis auf das Protokoll der erstinstanzlichen Verhandlung vom 2. Februar 2016 eine Aktenwidrigkeit vor. Er gab an der angegebenen Aktenstelle (S. 3) lediglich zu Protokoll, er habe im Jahre 2013, zum Zeitpunkt der Erstreckung des Mietverhältnisses auf Ende Dezember 2015, mit der Immobilienverwaltung gesprochen. Diese habe ihm erklärt, dass sicherlich eine Lösung für einen neuen Mietvertrag gefunden werden könne; ein solcher sei jedoch in der Folge nicht abgeschlossen worden. Entgegen seinen Vorbringen in der Beschwerdeschrift berief er sich anlässlich der besagten Verhandlung nicht darauf, dass er die Frist zur Ablehnung des Urteilsvorschlags aufgrund einer Zusicherung der Beschwerdegegnerin habe verstreichen lassen.
Eine Aktenwidrigkeit liegt nicht vor, weshalb es sich auch in diesem Zusammenhang erübrigt, auf die Ausführungen in der Beschwerde zur vorinstanzlichen Eventualbegründung einzugehen.
5.
Die Beschwerde erweist sich als unbegründet und ist abzuweisen, soweit darauf eingetreten werden kann. Dem Ausgang des Verfahrens entsprechend wird der Beschwerdeführer kostenpflichtig (<ref-law>). Die Beschwerdegegnerin hat keinen Anspruch auf eine Parteientschädigung, da ihr aus dem bundesgerichtlichen Verfahren kein Aufwand erwachsen ist (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 2'500.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3.
Es wird keine Parteientschädigung zugesprochen.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Zürich, II. Zivilkammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 5. Juli 2016
Im Namen der I. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Kiss
Der Gerichtsschreiber: Leemann