Faits :
A.
A.a. A._ est peintre en bâtiment de formation. Après s'être mis à son compte en 1981, il a créé en 1999 avec un associé la société "B._ SA". L'entreprise est affiliée depuis le 1 er janvier 1999 pour la prévoyance professionnelle auprès de l'institution AXA Fondation LPP Suisse romande, Winterthur (anciennement: Winterthur-Columna fondation LPP, Lausanne; ci-après: AXA Winterthur).
A.b. Le 24 avril 1970, A._ a été victime en tant que piéton d'un accident de la circulation routière, au cours duquel il a subi un traumatisme crânien avec fracture de l'os zygomatique droit et rupture du muscle externe de l'oeil droit, ainsi qu'une lésion du genou droit dont le traitement a nécessité plusieurs interventions chirurgicales. La Caisse nationale suisse d'assurance en cas d'accidents (ci-après: la CNA) a pris en charge les suites de l'accident et les très nombreuses rechutes subséquentes; elle lui a par ailleurs alloué une rente d'invalidité de 25 % dès le 1er avril 1982 (décision du 20 avril 1982).
A.c. Au mois de février 2002, l'assuré a annoncé une nouvelle rechute de l'accident du 24 avril 1970 (28ème rechute). Souffrant désormais de lésions arthrosiques sévères (pangonarthrose) ainsi que de lombalgies, il a vu sa rente de l'assurance-accidents être augmentée à 40 % à compter du 1er décembre 2003 (décision du 30 décembre 2003) et à 50 % à compter du 1er décembre 2005 (décision du 21 juillet 2006). De son côté, l'Office AI Canton de Berne lui a alloué un quart de rente de l'assurance-invalidité à compter du 1er mai 2003 (décision du 24 mars 2006).
A.d. Durant le courant de l'automne 2006, B._ SA a interpellé AXA Winterthur en vue d'obtenir le paiement de prestations de la prévoyance professionnelle en faveur de A._. L'institution de prévoyance n'est pas entrée en matière sur la requête, au motif que l'incapacité de travail dont la cause était à l'origine de l'invalidité était survenue avant que A._ ne s'affilie auprès d'AXA Winterthur.
B.
Le 22 octobre 2013, A._ a ouvert action contre AXA Winterthur devant la Cour des affaires de langue française du Tribunal administratif du canton de Berne, en demandant à ce que l'assureur soit condamné à lui verser une rente de la prévoyance professionnelle obligatoire et surobligatoire à compter du 1er février 2004, avec intérêts à 5 % depuis le 28 février 2004 ou dès la fin du mois pour lequel les prestations périodiques étaient dues. Par jugement du 13 mars 2015, la juridiction cantonale a rejeté l'action.
C.
A._ interjette un recours en matière de droit public contre ce jugement dont il demande l'annulation. Il conclut à l'octroi de prestations d'invalidité de la prévoyance professionnelle.
AXA Winterthur conclut au rejet du recours, tandis que l'Office fédéral des assurances sociales a renoncé à se déterminer. A._ a déposé des observations complémentaires.

Considérant en droit :
1.
Le recours en matière de droit public peut être formé pour violation du droit, tel qu'il est délimité par les art. 95 et 96 LTF. Le Tribunal fédéral applique le droit d'office (<ref-law>), sans être limité par les arguments du recourant ou par la motivation de l'autorité précédente. Le Tribunal fédéral n'examine en principe que les griefs invoqués, compte tenu de l'exigence de motivation prévue à l'<ref-law>, et ne peut aller au-delà des conclusions des parties (<ref-law>). Il fonde son raisonnement sur les faits retenus par la juridiction de première instance (<ref-law>) sauf s'ils ont été établis de façon manifestement inexacte ou en violation du droit au sens de l'<ref-law> (<ref-law>). Le recourant qui entend s'écarter des faits constatés doit expliquer de manière circonstanciée en quoi les conditions de l'<ref-law> sont réalisées sinon un état de fait divergent ne peut être pris en considération (cf. <ref-law>).
2.
Le litige a pour objet le droit du recourant à une rente d'invalidité de la prévoyance professionnelle de la part de l'intimée. A cet égard, le jugement entrepris expose correctement les dispositions légales et les principes jurisprudentiels relatifs au droit à des prestations d'invalidité de la prévoyance professionnelle, singulièrement au double critère de la connexité matérielle et temporelle entre l'incapacité de travail et l'invalidité exigé pour fonder l'obligation de prester d'une institution de prévoyance à laquelle était affiliée la personne assurée (<ref-ruling> consid. 4.1 p. 275 et les arrêts cités). Il suffit donc d'y renvoyer.
3.
3.1. La juridiction cantonale a constaté que la connexité, tant matérielle que temporelle, entre l'incapacité de travail consécutive à l'atteinte au genou droit subie par le recourant à la suite de l'accident survenu en 1970 et l'invalidité actuelle n'avait jamais été interrompue. Il en allait de même de l'empêchement lié aux maux de dos dont souffrait le recourant, ceux-ci étant également apparus antérieurement à son affiliation auprès de l'intimée. Ainsi, tant en ce qui concernait l'atteinte au genou droit que pour ce qui était des troubles lombaires, le recourant n'était clairement pas assuré auprès de l'intimée au moment de la survenance de l'incapacité de travail dont la cause est à l'origine de l'invalidité.
3.2. En substance, le recourant reproche à la juridiction cantonale d'avoir procédé à une constatation manifestement inexacte des faits pertinents, consécutive à une mauvaise appréciation des preuves, et d'avoir ainsi violé le droit fédéral en rejetant sa demande de prestations d'invalidité de la prévoyance professionnelle. Indépendamment de l'octroi par l'assurance-accidents d'une rente d'invalidité de 25 % à compter du 1er avril 1982, laquelle avait été allouée sur la base d'une appréciation médico-théorique, il avait été depuis lors régulièrement en mesure de présenter une capacité de travail complète dans une activité adaptée à son état de santé. Par ailleurs, il était établi que son taux de capacité de travail ne pouvait être que supérieur à 80 % dans le cadre de son activité de peintre en bâtiment, du moins au cours des années 1998 à 2001. Sans quoi, il n'aurait pas été en mesure de réaliser un revenu de 74'000 fr. en 1998, alors qu'il se trouvait en incapacité de travail en raison de ses troubles lombaires à concurrence de 50 % et des revenus supérieurs à 100'000 fr. au cours des années 1999 à 2001.
4.
A la lumière des griefs soulevés, seule est litigieuse en l'espèce la question de savoir si, au moment où les rapports de prévoyance entre le recourant et l'intimée ont débuté, le 1er janvier 1999, la capacité de travail du recourant était réduite à raison de 20 % au moins en raison des séquelles à son genou droit de l'accident dont il a été la victime le 24 avril 1970.
4.1. Préalablement, il convient de relever qu'il importe peu que le recourant eût, selon ses propos, disposé tout au long des années qui ont précédé son affiliation à l'institution de prévoyance d'une capacité (théorique) de travail entièrement conservée dans une activité adaptée à ses limitations fonctionnelles. Le fait est qu'il a toujours disposé d'une importante capacité résiduelle de travail dans son activité habituelle de peintre, qu'il a repris l'exercice de cette activité après son accident et qu'il n'a jamais exercé (ni envisagé d'exercer) une autre activité adaptée à son état de santé. En cela, la présente situation diffère de celle examinée à l'<ref-ruling>, puisque, dans ce précédent, l'assuré n'était plus en mesure d'exercer son ancienne activité. C'est donc bien à l'aune de l'activité de peintre qu'il convient d'examiner la question litigieuse précitée.
4.2. Au moment où les rapports de prévoyance ont débuté, le recourant était au bénéfice d'une rente d'invalidité de l'assurance-accidents fondée sur un taux de 25 %. Dans la mesure où ce taux avait été déterminé en 1982 sur la base d'une appréciation médico-théorique (voir à ce propos l'expertise médicale pour la fixation éventuelle d'une rente établie le 5 mars 1982 par le docteur C._, médecin d'arrondissement de la CNA), il constituait, en l'absence de révision du droit à la rente depuis cette date, un indice important de l'existence d'une incapacité (partielle) de travail durable dans la profession de peintre.
4.3. Compte tenu de la présomption constituée par l'octroi d'une rente de l'assurance-accidents de 25 %, il appartenait au recourant d'établir, en s'appuyant sur des éléments médicaux objectifs, que sa capacité de travail n'était pas limitée en raison de son atteinte au genou droit au moment où les rapports de prévoyance ont débuté. A cet égard, le recourant soutient que la seule atteinte à la santé médicalement attestée à l'époque par son médecin traitant, le docteur D._, consistait en des troubles lombaires, lesquels restreignaient sa capacité de travail de 50 % et avaient conduit à une restriction de même ampleur de sa couverture de prévoyance. Compte tenu de la présomption précitée, il convenait toutefois d'établir au préalable que la situation médicale s'était améliorée concernant son genou droit depuis le moment où le recourant s'était vu allouer sa rente. Le recourant se contente d'affirmer qu'il était clairement avéré qu'il avait présenté une pleine capacité de travail, respectivement une pleine capacité de gain excluant tout droit à une rente d'invalidité pendant une période supérieure à trois ans à partir de son affiliation le 1er janvier 1999. Cette argumentation ne suffit cependant pas à établir que le recourant ne présentait plus aucune séquelle en relation avec son genou droit qui aurait limité sa capacité de travail de moins de 20 %.
Dans les faits, il apparaît en réalité que le recourant a, depuis l'octroi de sa rente, toujours présenté, en arrière-plan, une diminution de rendement liée à l'atteinte accidentelle subie à son genou droit. Il ressort du dossier - et il convient ici de compléter les faits établis par la juridiction cantonale (<ref-law>) - que les problèmes au genou droit ont toujours constitué une gêne dans l'exercice de son activité lucrative et entrainé une diminution de rendement significative. A plusieurs reprises par le passé, le recourant a affirmé que le versement d'une rente de l'assurance-accidents était pleinement justifié au regard de sa situation (voir à cet égard les rapports d'entretien établis au fil du temps par les inspecteurs des sinistres de la CNA: rapports des 5 février 1988 [17ème rechute], 6 février et 27 mai 1991 [21ème rechute], 24 février 1995 [23ème rechute] et 21 septembre 1995 [24ème rechute]). Dans un rapport du 7 août 2003 (établi dans le cadre de la 28ème rechute), l'inspecteur des sinistres de la CNA a consigné que le recourant estimait que son rendement était de 70 % avant l'annonce de la rechute et de 50 % au moment de l'entretien.
4.4. Dans ce contexte, l'examen de l'évolution des inscriptions portées au compte individuel du recourant n'est pas de nature, comme l'a souligné à juste titre la juridiction cantonale, à fournir des renseignements utiles quant à l'ampleur de la capacité de travail. Une corrélation directe entre capacité de travail et revenus réalisés ne saurait en effet être établie, faute de données antérieures à la survenance de l'accident. Qui plus est, le recourant avait, de par sa fonction d'administrateur de B._ SA, la faculté de définir personnellement le montant de son salaire annuel; il n'était à ce titre pas lié par un quelconque cadre légal ou conventionnel. Ainsi pouvait-il en théorie influer, par des choix réfléchis, sur le montant de sa rémunération, ce qui suffit à faire douter de la pertinence des chiffres avancés. De même, la décision rendue le 21 octobre 1998 par l'Office AI Canton de Berne n'est d'aucune utilité pour le recourant, cette décision ne fournissant aucune indication quant à la capacité de travail.
4.5. Sur le vu de ce qui précède, force est d'admettre que la juridiction cantonale n'a pas procédé à une constatation manifestement inexacte des faits en considérant, au degré de la vraisemblance prépondérante, que le recourant n'avait, depuis avril 1982, jamais disposé, en raison des séquelles de son accident à son genou droit, d'une capacité de travail de 80 % au moins dans son activité de peintre en bâtiment.
5.
Le recourant, qui succombe, supportera les frais judiciaires afférents à la présente procédure (art. 66 al. 1, 1ère phrase, LTF). En sa qualité d'institution chargée d'une tâche de droit public, la caisse n'a pas droit à des dépens (<ref-law>).

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce :
1.
Le recours est rejeté.
2.
Les frais judiciaires, arrêtés à 800 fr., sont mis à la charge du recourant.
3.
Le présent arrêt est communiqué aux parties, au Tribunal administratif du canton de Berne, Cour des affaires de langue française, à l'Office fédéral des assurances sociales et à l'Autorité bernoise de surveillance des institutions de prévoyance et des fondations (ABSPF).
Lucerne, le 12 janvier 2016
Au nom de la IIe Cour de droit social
du Tribunal fédéral suisse
La Présidente : Glanzmann
Le Greffier : Piguet