Sachverhalt:
A.
Der 1967 geborene A._ meldete sich im Juli 2005 bei der Invalidenversicherung zum Leistungsbezug an. Die IV-Stelle des Kantons Zürich verneinte mit Verfügung vom 14. November 2008 einen Leistungsanspruch. Im Anschluss an ein erstes Beschwerdeverfahren holte sie insbesondere die psychiatrischen Gutachten der Frau Dr. med. B._ vom 27. Oktober 2009 (samt Stellungnahme vom 13. November 2009) und des Dr. med. C._ vom 24. November 2010 (samt Stellungnahmen vom 2. Dezember 2010, 30. März und 22. Mai 2011) ein. Nach Durchführung des Vorbescheidverfahrens verneinte sie mit Verfügung vom 27. Juli 2011 einen Leistungsanspruch.
B.
Dagegen erhob A._ erneut Beschwerde. Das Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich veranlasste das psychiatrische Gutachten des Dr. med. D._ vom 20. Mai 2015; anschliessend hiess es das Rechtsmittel mit Entscheid vom 29. Februar 2016 gut. Es hob die Verfügung vom 27. Juli 2011 auf und stellte fest, dass der Versicherte ab 1. August 2005 Anspruch auf eine halbe und ab 1. Oktober 2006 auf eine ganze Invalidenrente habe. Weiter verpflichtete es die IV-Stelle, (nebst den Gerichtskosten von Fr. 1'000.-) die Kosten für das Gerichtsgutachten von Fr. 9'500.- zu übernehmen und dem Versicherten eine Parteientschädigung von Fr. 5'236.05 zu bezahlen.
C.
Die IV-Stelle beantragt mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten, der Entscheid vom 29. Februar 2016 sei aufzuheben und die Verfügung vom 27. Juli 2011 zu bestätigen; eventualiter sei die Sache zu weiteren Abklärungen zurückzuweisen. Die Kosten für das Gerichtsgutachten seien der Vorinstanz aufzuerlegen und über die Parteientschädigung für das vorinstanzliche Verfahren sei neu zu entscheiden. Ferner ersucht sie um aufschiebende Wirkung des Rechtsmittels.
A._ schliesst auf Abweisung der Beschwerde. Das Bundesamt für Sozialversicherungen verzichtet auf eine Vernehmlassung.

Erwägungen:
1.
1.1. Mit der Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann u.a. die Verletzung von Bundesrecht gerügt werden (<ref-law>). Die Feststellung des Sachverhalts kann nur gerügt werden, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von Artikel 95 beruht und wenn die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein kann (<ref-law>). Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (<ref-law>). Es kann die Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz von Amtes wegen berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von Artikel 95 beruht (<ref-law>).
1.2. Eine Sachverhaltsfeststellung ist nicht schon dann offensichtlich unrichtig, wenn sich Zweifel anmelden, sondern erst, wenn sie eindeutig und augenfällig unzutreffend ist (<ref-ruling> E. 3.1 S. 44). Eine offensichtlich unrichtige Sachverhaltsfeststellung weist damit die Tragweite von Willkür auf (<ref-ruling> E. 8.1 S. 153; Botschaft des Bundesrates vom 28. Februar 2001 zur Totalrevision der Bundesrechtspflege, BBl 2001 S. 4338; MARKUS SCHOTT, Basler Kommentar, Bundesgerichtsgesetz, 2. Aufl. 2011, N. 9 f. zu <ref-law>). Es liegt noch keine offensichtliche Unrichtigkeit vor, nur weil eine andere Lösung ebenfalls in Betracht fällt, selbst wenn diese als die plausiblere erschiene (Urteil 9C_570/2007 vom 5. März 2008 E. 4.2). Eine Sachverhaltsfeststellung ist etwa dann offensichtlich unrichtig, wenn das kantonale Gericht den Sinn und die Tragweite eines Beweismittels offensichtlich falsch eingeschätzt, ohne sachlichen Grund ein wichtiges und für den Ausgang des Verfahrens entscheidendes Beweismittel nicht beachtet oder aus den abgenommenen Beweisen unhaltbare Schlüsse gezogen hat (<ref-ruling> E. 2.1 S. 9; Urteile 9C_851/2012 vom 5. März 2013 E. 2.3.2; 8C_5/2010 vom 24. März 2010 E. 1.2).
2.
Die Vorinstanz hat dem Gerichts-Gutachten des Dr. med. D._ vom 20. Mai 2015 Beweiskraft beigemessen und gestützt darauf festgestellt, dass der Versicherte von August 2004 bis Juni 2006 in der angestammten sowie in einer angepassten (d.h. leichten bis intermittierend mittelschweren) Tätigkeit zu 50 % und ab Juli 2006 vollständig arbeitsunfähig gewesen sei. Folglich hat sie ihm - bei einem Invaliditätsgrad von 50 % resp. 100 % - ab 1. August 2005 eine halbe resp. ab 1. Oktober 2006 eine ganze Invalidenrente zugesprochen. Weiter hat sie die IV-Stelle verpflichtet, die Kosten für das Gerichtsgutachten von Fr. 9'500.- zu übernehmen und dem Versicherten eine Parteientschädigung von Fr. 5'236.05 zu entrichten.
3.
3.1. Das kantonale Gericht hat die als wesentlich und erstellt erachteten Tatsachen und die daraus gezogenen rechtlichen Schlüsse nachvollziehbar dargelegt, und eine sachgerechte Anfechtung des vorinstanzlichen Erkenntnisses war möglich (vgl. <ref-ruling> E. 4.1 S. 88; <ref-ruling> E. 3.3 S. 445; <ref-ruling> E. 1a S. 181). Daher kann nicht von einer Verletzung der aus dem Anspruch auf rechtliches Gehör nach <ref-law> sowie <ref-law> (SR 830.1) und <ref-law> abgeleiteten Prüfungs- und Begründungspflicht (Urteil 5A_368/2007 vom 18. September 2007 E. 2; vgl. auch <ref-ruling> E. 5.3 S. 357 ff.) gesprochen werden (Urteil 9C_172/2016 vom 27. Mai 2016 E. 3.1).
3.2.
3.2.1. Bei der Beurteilung der Arbeits (un) fähigkeit stützt sich die Verwaltung und im Beschwerdefall das Gericht auf Unterlagen, die von ärztlichen und gegebenenfalls auch anderen Fachleuten zur Verfügung zu stellen sind. Ärztliche Aufgabe ist es, den Gesundheitszustand zu beurteilen und dazu Stellung zu nehmen, in welchem Umfang und bezüglich welcher Tätigkeiten die versicherte Person arbeitsunfähig ist. Hinsichtlich des Beweiswertes eines Arztberichtes ist entscheidend, ob dieser für die streitigen Belange umfassend ist, auf allseitigen Untersuchungen beruht, auch die geklagten Beschwerden berücksichtigt, in Kenntnis der Vorakten (Anamnese) abgegeben worden ist, in der Beurteilung der medizinischen Zusammenhänge sowie der medizinischen Situation einleuchtet und ob die Schlussfolgerungen der Experten begründet sind (<ref-ruling> E. 5.1 S. 232; <ref-ruling> E. 3a S. 352 mit Hinweis).
3.2.2. Den im Rahmen des Verwaltungsverfahrens eingeholten Gutachten von externen Spezialärzten, welche auf Grund eingehender Beobachtungen und Untersuchungen sowie nach Einsicht in die Akten Bericht erstatten und bei der Erörterung der Befunde zu schlüssigen Ergebnissen gelangen, ist bei der Beweiswürdigung volle Beweiskraft zuzuerkennen, solange nicht konkrete Indizien gegen die Zuverlässigkeit der Expertise sprechen (BGE <ref-ruling> E. 3b/bb S. 353).
3.2.3. Das Gericht weicht bei Gerichtsgutachten nicht ohne zwingende Gründe von der Einschätzung der medizinischen Experten ab, deren Aufgabe es ist, ihre Fachkenntnisse der Gerichtsbarkeit zur Verfügung zu stellen, um einen bestimmten Sachverhalt medizinisch zu erfassen. Ein Grund zum Abweichen kann vorliegen, wenn die Gerichtsexpertise widersprüchlich ist oder wenn ein vom Gericht eingeholtes Obergutachten in überzeugender Weise zu anderen Schlussfolgerungen gelangt. Eine divergierende Beurteilung kann ferner gerechtfertigt sein, wenn gegensätzliche Meinungsäusserungen anderer Fachexperten dem Gericht als triftig genug erscheinen, die Schlüssigkeit des Gerichtsgutachtens in Frage zu stellen, sei es, dass es die Überprüfung durch einen Oberexperten für angezeigt hält, sei es, dass es ohne Oberexpertise vom Ergebnis des Gerichtsgutachtens abweichende Schlussfolgerungen zieht (BGE <ref-ruling> E. 3b/aa S. 352 f. mit Hinweis; SVR 2015 UV Nr. 4 S. 13, 8C_159/2014 E. 3.2).
3.3. Bei den vorinstanzlichen Feststellungen zum Gesundheitszustand und zur Arbeitsfähigkeit der versicherten Person handelt es sich grundsätzlich um Entscheidungen über eine Tatfrage (<ref-ruling> E. 3.2 S. 397 ff.), welche das Bundesgericht seiner Urteilsfindung zugrunde zu legen hat (E. 2). Die konkrete Beweiswürdigung stellt ebenfalls eine Tatfrage dar. Dagegen ist die Beachtung des Untersuchungsgrundsatzes und der Beweiswürdigungsregeln Rechtsfrage (<ref-ruling> E. 3.2 und 4 S. 397 ff.; Urteil I 865/06 vom 12. Oktober 2007 E. 4 mit Hinweisen), die das Bundesgericht im Rahmen der den Parteien obliegenden Begründungs- bzw. Rügepflicht (<ref-law> und <ref-law>; <ref-ruling> E. 1.4.1 und 1.4.2 S. 254) frei überprüfen kann (<ref-law>).
3.4.
3.4.1. Die Vorinstanz hat die Notwendigkeit des gerichtlichen Gutachtens damit begründet, dass die Einschätzungen der Frau Dr. med. B._ jenen des Dr. med. C._ diametral widersprechen. Damit hat sie die beiden Administrativgutachten implizit als grundsätzlich schlüssig und beweiskräftig (vgl. E. 3.2.2), mithin als gleichrangig erachtet. Inwiefern diese Beweiswürdigung offensichtlich unrichtig (vgl. E. 1.2) sein soll, ist nicht ersichtlich und wird auch nicht substanziiert begründet.
3.4.2. Die Beschwerdeführerin bringt vor, laut dem Regionalen Ärztlichen Dienst (RAD) habe Frau Dr. med. B._ die Vorakten insgesamt und mit Blick auf die Differenzialdiagnose einer somatoformen Schmerzstörung zu wenig diskutiert, es hätten Angaben zu den Aspekten Aggravation, Selbstlimitierung und Symptomausweitung gefehlt und die Persönlichkeitszüge bzw. Verhaltensweisen des Versicherten würden nicht zu einer schweren Depression passen. Gemäss Dr. med. C._ seien ihre Ausführungen teils unzulässig und kaum nachvollziehbar; die von ihr durchgeführte Testung eigne sich nicht zur versicherungsmedizinischen Beurteilung.
3.4.3. Diese Einwendungen vermögen nicht, die (grundsätzliche) Beweiskraft des Gutachtens der Frau Dr. med. B._ zu erschüttern (vgl. E. 3.2.2) : Nach sorgfältiger Darstellung der Krankheitsentwicklung und Zusammenfassung der relevanten medizinischen Unterlagen legte sie die von ihr erhobenen Befunde dar; sodann begründete sie nachvollziehbar, weshalb sie die Diagnose einer anhaltenden schweren agitiert-depressiven Episode ohne psychotische Symptome stellte und jene einer anhaltenden somatoformen Schmerzstörung verwarf. Dass sie dabei u.a. die Hamilton-Depressionsskala (eine klinische Fremdbeurteilungsskala) als Diagnosewerkzeug benutzte (vgl. Urteile 8C_914/2013 vom 27. Juni 2014 E. 3.3; 9C_65/2012 vom 28. Februar 2012 E. 4.3), schadet ebenso wenig wie der Umstand, dass sie - offensichtlich mangels festgestellter Diskrepanzen - keine Feststellungen betreffend Aggravation u.ä. traf. Schliesslich trägt die ärztliche Beurteilung von der Natur der Sache her unausweichlich Ermessenszüge, die es zu respektieren gilt (<ref-ruling> E. 3.4.2.3 S. 253; Urteil 9C_397/2015 vom 6. August 2015 E. 5.3).
Die hier interessierende vorinstanzliche Beweiswürdigung (E. 3.4.1) beruhte somit auch nicht auf einer Rechtsverletzung. Sie bleibt für das Bundesgericht verbindlich (E. 1.1). Folglich war - im Rahmen des Untersuchungsgrundsatzes (<ref-law>) - die Einholung der gerichtlichen Expertise (im Sinne eines Ober-Gutachtens) angezeigt. Von einem bereits umfassend abgeklärten Sachverhalt resp. einer unzulässigen "second opinion" (vgl. <ref-ruling> E. 5.2 S. 339) im Zusammenhang mit der Expertise des Dr. med. D._ kann daher keine Rede sein.
3.5. Die IV-Stelle bringt nicht vor, dass ihr bei diesem (Zwischen-) Ergebnis die Kosten des Gerichtsgutachtens nicht hätten überbunden werden dürfen; diesbezügliche Weiterungen erübrigen sich.
3.6.
3.6.1. Weiter bestreitet die Beschwerdeführerin die Beweiskraft des Gerichtsgutachtens. Sie macht geltend, die "Anzahl der (sozialen) Tätigkeiten" widerspreche den Diagnoseleitlinien des ICD-10 klar. Ein "derart hohes Aktivitätsniveau" sei im Rahmen einer mittelgradigen bis schweren Depression nicht nachvollziehbar. Damit ist nicht (substanziiert) dargetan, dass die vorinstanzliche Feststellung, bei den familiären Kontakten und den regelmässigen Besuchen des Clublokals eines Vereins handle es sich nicht um anspruchsvolle soziale Aktivitäten, die mit dem herabgesetzten Funktionsniveau einer mittelgradigen bis schweren depressiven Störung nicht vereinbar wären, offensichtlich unrichtig (E. 1.2) sein soll. Der Umstand, dass der Versicherte anstatt zur Begutachtung lieber anlässlich eines muslimischen Festtages zum Beten in die Moschee gegangen wäre, lässt nicht auf regelmässige Moscheebesuche schliessen. Auch dass er "alleine Auto fährt", ist kein triftiger Grund, an der Diagnose einer rezidivierenden depressiven Störung von mittelgradiger bis schwerer Ausprägung zu zweifeln (E. 3.2.3).
3.6.2. Die Vorinstanz hat nicht offensichtlich unrichtig und daher verbindlich (E. 1) festgestellt, das impulsive Verhalten des Versicherten erreiche einen Schweregrad, welcher mit der Diagnose einer Persönlichkeitsstörung vereinbar sei. Zudem hat sie zutreffend (vgl. <ref-ruling> E. 3.2.1 S. 281 mit Hinweis; SVR 2014 IV Nr. 1 S. 1, 9C_228/2013 E. 4.1.4) darauf verwiesen, dass letztlich nicht die diagnostische Einordnung eines Gesundheitsschadens - als "impulsive Persönlichkeitsstörung" (Gutachten des Dr. med. D._), "andauernde Persönlichkeitsänderung bei chronischem Schmerzsyndrom" (Bericht des Psychiatriezentrums E._ vom 21. Dezember 2007 oder "agitierte Komponente im Rahmen einer schweren depressiven Störung" (Gutachten der Frau Dr. med. B._; vgl. angefochtener Entscheid E. 3.4 S. 13) - entscheidend ist, sondern dessen konkrete Auswirkungen auf die Arbeits- und Leistungsfähigkeit. Ausserdem steht die Notwendigkeit einer zehnminütigen Pause während der Exploration durchaus im Zusammenhang mit der Persönlichkeitsproblematik: Der Versicherte war nach Darstellung des Gutachters infolge eines "impulsiven emotionalen Ausbruchs" "einen Moment lang nicht in der Lage, das Gespräch fortzusetzen", konnte sich aber in der Pause "ein wenig" beruhigen. Diese Unterbrechung war zudem nicht (allein) ausschlaggebend für die Einschätzung des Gerichtsexperten, was sich auch aus den diesbezüglichen Ausführungen der Vorinstanz im Rahmen der Beweiswürdigung ergibt.
3.6.3. Die weiter von Dr. med. D._ gestellte Diagnose einer chronischen Schmerzstörung mit somatischen und psychischen Faktoren, die auf "somatischem Kern" beruhe, wird nicht in Abrede gestellt. Ohnehin beschränkt sich die Beschwerdeführerin auf weiten Strecken darauf, lediglich die medizinischen Unterlagen abweichend von der Vorinstanz zu würdigen und daraus andere Schlüsse zu ziehen, was nicht genügt (Urteile 9C_794/2012 vom 4. März 2013 E. 4.1; 9C_65/2012 vom 28. Februar 2012 E. 4.3 mit Hinweisen). Insgesamt erfüllt das Gerichtsgutachten des Dr. med. D._ die Anforderungen an die Beweiskraft (E. 3.2.1 und 3.2.3). Damit bleiben auch die darauf beruhenden vorinstanzlichen Feststellungen betreffend die Arbeitsfähigkeit für das Bundesgericht verbindlich (E. 1.1).
4.
4.1. Nach <ref-law> hat die obsiegende Beschwerde führende Person Anspruch auf Ersatz der Parteikosten; diese werden vom Versicherungsgericht festgesetzt und ohne Rücksicht auf den Streitwert nach der Bedeutung der Streitsache und nach der Schwierigkeit des Prozesses bemessen. Dabei erscheint das Abstellen auf die den jeweiligen Zeitaufwand detailliert ausweisende Honorarnote des Rechtsvertreters grundsätzlich als sachgerecht (Urteil 9C_178/2011 vom 20. Mai 2011 E. 3.4.3). Im Übrigen ist die Bemessung der Parteientschädigung für das erstinstanzliche Beschwerdeverfahren in Sozialversicherungsangelegenheiten dem kantonalen Recht überlassen (Art. 61 Ingress ATSG).
Das Bundesgericht hebt die Festsetzung eines Anwaltshonorars nur auf, wenn sie ausserhalb jedes vernünftigen Verhältnisses zu den mit Blick auf den konkreten Fall notwendigen anwaltlichen Bemühungen steht und in krasser Weise gegen das Gerechtigkeitsgefühl verstösst. Die entsprechende Rüge hat dabei den qualifizierten Anforderungen von <ref-law> zu genügen (SVR 2016 IV Nr. 14 S. 43, 8C_11/2016 E. 3.2 mit Hinweis; Urteile 9C_670/2015 vom 7. Januar 2016 E. 5.2; 9C_787/2014 vom 7. Juli 2015 E. 5.2).
4.2. Die Vorinstanz hat klar dargelegt, dass der Aufwand in einer Kostennote detailliert ausgewiesen worden war und welche darin enthaltenen Posten sie im Einzelnen nicht anerkannt hat. Somit war für die Verwaltung eine sachgerechte Anfechtung des vorinstanzlichen Entscheides möglich (vgl. E. 3.1; SVR 2015 IV Nr. 30 S. 92, 9C_598/2014 E. 6.3), selbst wenn die Honorarnote für die Rechtsvertretung des Versicherten der IV-Stelle nicht zugestellt wurde. Diese macht im Übrigen auch nicht geltend, diesbezüglich überhaupt Akteneinsicht verlangt zu haben (vgl. <ref-law>).
4.3. Die Beschwerdeführerin rügt in materieller Hinsicht lediglich, der vorinstanzlich anerkannte Aufwand von 22 Stunden für das Beschwerdeverfahren sei zu hoch. Inwiefern das kantonale Gericht sein Ermessen missbraucht resp. in Willkür verfallen sein soll (vgl. E. 4.1), wird damit nicht (substanziiert) vorgetragen. Solches ist auch nicht ersichtlich, ist doch bereits anhand der Zahl der von der Vorinstanz produzierten Aktenstücke und der Dauer des vorinstanzlichen Verfahrens ein eher überdurchschnittlicher Prozessaufwand ausgewiesen. Daran ändert nichts, dass der Rechtsvertreter schon im Verwaltungsverfahren tätig war. Die Berücksichtigung eines Aufwandes von 22 Stunden ist mit den Vorgaben von <ref-law> vereinbar. Auch in diesem Punkt ist die Beschwerde unbegründet.
5.
Mit dem Entscheid in der Sache wird das Gesuch um aufschiebende Wirkung der Beschwerde gegenstandslos.
6.
Dem Ausgang des Verfahrens entsprechend hat die Beschwerdeführerin die Gerichtskosten zu tragen (<ref-law>). Der Beschwerdegegner hat Anspruch auf eine Parteientschädigung (Art. 68 Abs. 1 und 2 BGG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 800.- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
3.
Die Beschwerdeführerin hat den Beschwerdegegner für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 2'400.- zu entschädigen.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien, dem Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich und dem Bundesamt für Sozialversicherungen schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 22. Juli 2016
Im Namen der II. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Glanzmann
Die Gerichtsschreiberin: Dormann