Sachverhalt:
A.
Am 9. Dezember 2012 suchte A._ seine Ehefrau, von der er getrennt lebte, in der ehelichen Wohnung zur Wahrnehmung seines Besuchsrechts auf. Nachdem er kurz ins Bad gegangen war, brachte er seine Tochter zur Grossmutter ins Schlafzimmer und eröffnete daraufhin das Feuer auf die Ehefrau und deren Eltern. Dabei tötete er seinen Schwiegervater mit fünf Schüssen. Die Ehefrau und deren Mutter erlitten teilweise schwere Schussverletzungen an den Beinen. Gemäss den Akten habe A._ seine Opfer zuerst gehunfähig machen wollen, um sie danach gezielt erschiessen zu können. Nur infolge Zündstörungen an seiner Pistole sei er an der Tötung der beiden Frauen gehindert worden.
B.
Mit Scheidungsurteil vom 9. April 2013 wurde der Ehefrau und Mutter die alleinige Sorge über die Tochter zugesprochen. Am 19. April 2013 stellte A._ bei der Kindes- und Erwachsenenschutzbehörde (KESB) den Antrag auf Gewährung eines Besuchsrechts und Errichtung einer Besuchsrechtsbeistandschaft zur Unterstützung der Kontaktaufnahme zwischen ihm und der Tochter. Mit Entscheid vom 18. September 2014 beschloss die KESB die Sistierung des Besuchsrechts für die Dauer von zwei Jahren und wies den Antrag auf Regelung des Besuchsrechts und Errichtung einer Beistandschaft ab. Gegen diesen Entscheid erhob A._ Beschwerde beim Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt als Verwaltungsgericht.
C.
Mit Urteil vom 26. September 2014 verurteilte das Strafgericht des Kantons Basel-Stadt A._ wegen Mordes, mehrfach versuchten Mordes, mehrfach versuchter einfacher Körperverletzung, Sachbeschädigung, mehrfacher Drohung, Nötigung, versuchter Nötigung, Vergehens gegen das Waffengesetz sowie Übertretung des Waffengesetzes zu einer lebenslänglichen Freiheitsstrafe und einer Busse von Fr. 500.--. Dagegen erhob A._ Berufung.
D.
Mit Urteil vom 20. Juli 2015 wies das Verwaltungsgericht - in Fünferbesetzung und unter Mitwirkung von Richter Jeremy Stephenson - die Beschwerde von A._ gegen den Entscheid der KESB vom 18. September 2014 vollumfänglich ab. Das Gericht befand, die Etablierung eines Besuchskontakts zwischen dem Kind und seinem Vater würde derzeit die ungestörte psychische Genesung der durch die Straftat schwer traumatisierten Mutter und somit das Kindeswohl nachhaltig gefährden.
E.
Mit Ladungsverfügung vom 16. Februar 2016 setzte das Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt die Berufungsverhandlung auf den 27. April 2016 an und teilte den Parteien mit, dass an der Verhandlung unter anderem auch Richter Jeremy Stephenson mitwirken werde.
Am 22. April 2016 stellte A._ gegen Appellationsrichter Jeremy Stephenson ein Ausstandsbegehren. Dieses wies das Appellationsgericht mit Entscheid vom 27. April 2016 ab, soweit es darauf eintrat. Im am gleichen Tag ergangenen Berufungsurteil (SB.2015.22) wurde der erstinstanzliche Schuldspruch vom Appellationsgericht bestätigt und das Strafmass auf eine Freiheitsstrafe von 20 Jahren sowie eine Busse von Fr. 500.-- festgesetzt.
F.
A._ erhebt Beschwerde in Strafsachen und beantragt in der Hauptsache, das Ausstandsgesuch sei gutzuheissen und das Urteil des Appellationsgerichts des Kantons Basel-Stadt vom 27. April (SB.2015.22) aufzuheben. Sämtliche bisherigen Verfahrenshandlungen, an denen Richter Jeremy Stephenson mitgewirkt habe, seien aufzuheben und zu wiederholen.
Die Präsidentin des Appellationsgerichts und Richter Jeremy Stephenson haben Stellung genommen und beantragen die Abweisung der Beschwerde. Der Beschwerdeführer hat sich geäussert und ersucht weiterhin um Gutheissung der Beschwerde.

Erwägungen:
1.
Beim angefochtenen Entscheid handelt es sich um einen selbstständig eröffneten Zwischenentscheid über ein Ausstandsbegehren in einer Strafsache (Art. 78 Abs. 1 und Art. 92 Abs. 1 BGG). Das Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt hat als einzige und letzte kantonale Instanz endgültig entschieden (<ref-law> i.V.m. <ref-law>). Der Beschwerdeführer ist gemäss Art. 81 Abs. 1 lit. a und lit. b Ziff. 1 BGG zur Beschwerde befugt. Die übrigen Sachurteilsvoraussetzungen geben zu keinen Bemerkungen Anlass. Auf die Beschwerde ist grundsätzlich einzutreten.
2.
2.1. Der Beschwerdeführer rügt eine Verletzung von <ref-law>, Art. 6 Ziff. 1 EMRK sowie Art. 56 Bst. b und f StPO. Diese Bestimmungen gewähren jeder Person den Anspruch, dass ihre Sache von einem unparteiischen, unvoreingenommenen und unbefangenen Richter ohne Einwirken sachfremder Umstände entschieden wird. Dies soll zu der für einen korrekten und fairen Prozess erforderlichen Offenheit des Verfahrens beitragen und ein gerechtes Urteil ermöglichen (<ref-ruling> E. 2.2 S. 242; <ref-ruling> E. 8.4 S. 273 ff.; <ref-ruling> E. 4.1 S. 222 f.; <ref-ruling> E. 2.1 S. 229; je mit Hinweisen). Die verfassungs- bzw. konventionsrechtlichen Garantien werden unter anderem in der Strafprozessordnung konkretisiert (<ref-ruling> E. 4.2.1 S. 428 mit Hinweisen). Gemäss <ref-law> tritt eine Person insbesondere dann in den Ausstand, wenn sie in einer anderen Stellung, insbesondere als Mitglied einer Behörde, in der gleichen Sache tätig war (lit. b), oder wenn sie aus anderen Gründen, insbesondere wegen Freundschaft oder Feindschaft mit einer Partei oder deren Rechtsbeistand, befangen sein könnte (lit. f).
2.2. Voreingenommenheit und Befangenheit werden nach der Rechtsprechung angenommen, wenn Umstände vorliegen, die bei objektiver Betrachtung geeignet sind, Misstrauen in die Unparteilichkeit des Richters zu erwecken (<ref-ruling> E. 3.2.1 S. 179 mit Hinweisen). Solche Umstände können in einem bestimmten Verhalten des betreffenden Richters oder in gewissen äusseren Gegebenheiten funktioneller und organisatorischer Natur begründet sein. Bei der Beurteilung solcher Gegebenheiten ist nicht auf das subjektive Empfinden einer Partei abzustellen. Das Misstrauen in die Unvoreingenommenheit muss vielmehr in objektiver Weise begründet erscheinen. Es genügt, wenn Umstände vorliegen, die bei objektiver Betrachtung den Anschein der Befangenheit und Voreingenommenheit erwecken. Der Prozess muss aus Sicht aller Beteiligten als offen erscheinen (<ref-ruling> E. 5.1 S. 328 mit Hinweis). Für die Ablehnung wird nicht verlangt, dass der Richter tatsächlich befangen ist (<ref-ruling> E. 3.2.1 S. 179; <ref-ruling> E. 5.1 S. 328; <ref-ruling> E. 2.1 S. 144 f.; je mit Hinweisen).
2.3. Gemäss <ref-law> hat die Partei, die den Ausstand einer in einer Strafbehörde tätigen Person verlangt, der Verfahrensleitung ohne Verzug ein entsprechendes Gesuch zu stellen, sobald sie vom Ausstandsgrund Kenntnis hat; die den Ausstand begründenden Tatsachen sind glaubhaft zu machen. Nach der Rechtsprechung ist der Ausstand in den nächsten Tagen nach Kenntnisnahme zu verlangen. Andernfalls verwirkt der Anspruch (vgl. zum Ganzen Urteil des Bundesgerichts 1B_274/2013 vom 19. November 2013 E. 4.1 mit Hinweisen; MARKUS BOOG, in: Basler Kommentar, Schweizerische Strafprozessordnung, 2. Aufl. 2014, N. 5 zu Art. 58).
Ob der Beschwerdeführer sein Ausstandsgesuch rechtzeitig gestellt hat, was die Vorinstanz in Zweifel zieht, kann mit Blick auf die nachfolgenden Erwägungen offen gelassen werden.
3.
3.1. Der Beschwerdeführer wirft dem Beschwerdegegner Vorbefasstheit bzw. Voreingenommenheit vor, weil dieser bereits im Urteil des Verwaltungsgerichts betreffend Sistierung des Besuchsrechts der Tochter mitgewirkt habe. Er habe dabei ausdrücklich auf das erstinstanzliche Strafgerichtsurteil abgestellt und sich dabei eingehend mit der persönlichen Situation der Kindsmutter und der Tochter des Beschwerdeführers befasst. Dies sei grundsätzlich geeignet, seine Unvoreingenommenheit gegenüber dem Beschwerdeführer negativ zu beeinflussen. Erschwerend komme hinzu, dass dem Beschwerdeführer im Urteil des Verwaltungsgerichts "blanker, nicht zu tolerierender Zynismus" vorgeworfen werde. Damit sei der Anschein begründet, dass sich der Beschwerdegegner bereits eine verfestigte Meinung zum Beschwerdeführer gebildet habe.
3.2. Die Beteiligung des Beschwerdegegners am verwaltungsgerichtlichen Urteil lässt ihn (trotz Konnexität zum Strafverfahren) nicht per se als vorbefasst erscheinen, zumal die Verfahrensgegenstände bzw. die sich stellenden tatsächlichen und rechtlichen Fragen offensichtlich unterschiedlich sind. Gegenstand des Verwaltungsgerichtsurteils bildete nicht die Tat des Beschwerdeführers, die in tatsächlicher Hinsicht unbestritten ist, oder deren rechtliche Würdigung, sondern einzig deren Auswirkungen auf die gesundheitliche Verfassung der Kindsmutter (und damit unmittelbar auch des bei der Tat anwesenden Kindes) im Rahmen der Beurteilung des Kindeswohls. Mithin liegt, wie die Vorinstanz zutreffend ausführt, keine "gleiche Sache" i.S.v. <ref-law> vor.
3.3. Oberste Richtschnur für die Ausgestaltung des Besuchsrecht ist immer das Kindeswohl, das anhand der Umstände des konkreten Einzelfalls zu beurteilen ist (<ref-ruling> E. 5 S. 212; <ref-ruling> E. 2.1 S. 587 f.; Urteil 5A_200/2015 vom 22. September 2015 E. 7.2.3, in: FamPra.ch 2016 S. 305). Im vorliegenden Fall war es unvermeidlich, die dem Beschwerdeführer vorgeworfene Straftat - wenngleich noch nicht rechtskräftig beurteilt, worauf das Verwaltungsgerichtsurteil auch ausdrücklich hinweist - bei der Prüfung des Kindeswohls zumindest miteinzubeziehen. Auch wenn dies der Beschwerdeführer bestreitet, hat sich das Verwaltungsgericht auch nicht massgeblich auf das Strafurteil abgestützt. Entscheidwesentlich war vielmehr die Einschätzung der KESB sowie der psychiatrische Bericht vom 29. Juli 2014, in dem festgehalten wurde, dass die Kindsmutter noch immer sehr unstabil und vom Trauma stark geprägt sei; die Wahrscheinlichkeit sei gross, dass allfällige Besuche durch den Beschwerdeführer das Verhalten und das Wesen der Mutter in einem unzumutbaren Mass prägen würden, wodurch das Kind in seiner Entwicklung Schaden nehmen könnte. Aus psychiatrischer Sicht sollte in den nächsten ein bis zwei Jahren ein möglichst stressarmer Entwicklungsraum für Mutter und Kind beibehalten werden. Entgegen der Auffassung des Beschwerdeführers begründet die vom Verwaltungsgericht umfassend vorgenommene Würdigung der entscheidwesentlichen Elemente (darunter des Strafurteils, das aufgrund der Umstände zwangsläufig zu berücksichtigen war) betreffend das Kindeswohl keine Voreingenommenheit des Beschwerdegegners. Andere ausstandsbegründende Hinweise, die - objektiv betrachtet - auf eine "Solidarisierung" des Beschwerdegegners mit der Kindsmutter und der Tochter des Beschwerdeführers hindeuten könnten, so dass das Berufungsverfahren nicht mehr offen erscheint, sind nicht ersichtlich.
3.4. Die ehemalige Verteidigung vertrat im Verfahren betreffend Sistierung des Besuchsrechts den Standpunkt, es sei der Kindsmutter zumutbar, die Erlebnisse vom 9. Dezember 2012 zumindest teilweise auszublenden und ihrem Kind zu gestatten, den Vater zu besuchen, "zumal sie [die Kindsmutter] aus eigener Erfahrung wissen sollte, wie schmerzhaft der Verlust eines Elternteils [sei]." Diese Argumentation bezeichnete das Verwaltungsgericht als "blanke[n], nicht zu tolerierende[n] Zynismus".
Ungeachtet der Frage, ob mit dieser vom Rechtsvertreter des Beschwerdeführers vorgetragenen Begründung, die dem schwer traumatisierten Opfer die Verantwortung für das Nichtleben der Vater-Kind-Beziehung zuschiebt, eine Grenze überschritten wurde, kann Voreingenommenheit i.S.v. <ref-law> verneint werden. Entscheidend ist, dass sich die Kritik des Verwaltungsgerichts klarerweise gegen die ihrer Auffassung nach zynische Argumentation des Rechtsbeistands im verwaltungsgerichtlichen Verfahren richtete, nicht aber gegen den Beschwerdeführer selber. Die Erwägungen des verwaltungsgerichtlichen Urteils enthalten kein Werturteil über diesen und auch keine Würdigung der Straftat oder dessen persönliche Verfassung bei Begehen der Straftat. Entgegen den Ausführungen des Beschwerdeführers kann insoweit keine Rede davon sein, dass dieser durch den Beschwerdegegner bereits persönlich "abqualifiziert" wurde. Wie die Vorinstanz zutreffend hervorhebt, liegen somit - objektiv betrachtet - kei ne Äusserungen oder andere Hinweise vor, die auf eine Befangenheit des Beschwerdegegners schliessen lassen würden.
4.
Nach dem Ausgeführten ist die Beschwerde abzuweisen.
Der Beschwerdeführer ersucht um unentgeltliche Prozessführung und Rechtsverbeiständung. Da die gesetzlichen Voraussetzungen erfüllt sind, kann dem Gesuch entsprochen werden (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen.
2.
Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege wird gutgeheissen.
3.
Es werden keine Gerichtskosten erhoben.
4.
Dem Vertreter des Beschwerdeführers, Rechtsanwalt Alain Joset, wird aus der Bundesgerichtskasse eine Entschädigung von Fr. 1'500.-- ausgerichtet.
5.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 14. Dezember 2016
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Fonjallaz
Der Gerichtsschreiber: Misic