Faits :
A.
Le 20 juin 2016, A._ a sollicité l'assistance juridique pour former un recours auprès du Tribunal administratif de première instance de la République et canton de Genève à l'encontre d'une décision de l'Office cantonal de la population et des migrations du canton de Genève du 11 mai 2016. Dans sa requête, il a demandé la nomination d'office de «Gian Luigi Berardi, Service Social International Fondation Suisse».
Par décision du 13 septembre 2016, le Vice-président du Tribunal civil de la République et canton de Genève a octroyé à A._ le bénéfice de l'assistance juridique avec effet au 20 juin 2016, cet octroi étant limité aux frais judiciaires du recours. Il a rejeté la requête concernant la prise en charge des honoraires de la Fondation Suisse du Service Social International (ci-après : FSSSI).
Le 19 octobre 2016, A._ a déposé un recours contre ce prononcé auprès de la Cour de justice de la République et canton de Genève, Assistance judiciaire, qui, par l'entremise de son Vice-président, l'a rejeté par décision du 16 décembre 2016.
B.
Agissant par la voie du recours en matière de droit public, A._ demande en substance au Tribunal fédéral, sous suite de frais et dépens, outre l'assistance judiciaire, d'annuler la décision de la Cour de justice du 16 décembre 2016 et de désigner le mandataire soussigné (soit: " Service social international, Fondation suisse, Gian Luigi Berardi ").
Le Tribunal fédéral a renoncé à demander une avance de frais ajoutant qu'il sera statué ultérieurement sur la demande d'assistance judiciaire.
Le Vice-Président du Tribunal civil persiste dans sa décision initiale du 13 septembre 2016. La Cour de justice se réfère aux considérants de sa décision du 16 décembre 2016. Le 2 février 2017, l'intéressé a complété son recours. Il a formulé ses observations finales le 29 mars 2017.

Considérant en droit :
1.
Le Tribunal fédéral examine d'office et librement la recevabilité des recours qui lui sont soumis (<ref-ruling> consid. 1 p. 197).
1.1. En procédure administrative, le refus de l'assistance juridique est une décision incidente qui cause en principe un dommage irréparable, de sorte que le recours en matière de droit public est immédiatement ouvert en vertu de l'<ref-law> (cf. arrêt 2C_531/2017 du 21 juin 2017 consid. 3.2 et les références citées).
1.2. Au surplus, le recours est dirigé contre une décision incidente rendue par un tribunal supérieur statuant en dernière instance cantonale (art. 86 al. 1 let. d et al. 2 LTF) en matière de droit des étrangers, qui échappe toutefois à l'exclusion de l'<ref-law>, puisque le recourant entend se prévaloir, dans le litige au principal, d'un droit à une autorisation de séjour tiré de l'art. 8 CEDH et de sa relation avec ses enfants titulaires d'une autorisation d'établissement (art. 83 let. c ch. 2 LTF). Interjeté par le destinataire de l'arrêt attaqué, qui a un intérêt digne de protection à son annulation ou à sa modification (<ref-law>) et posté en temps utile (<ref-law>) dans les formes prescrites par la loi (<ref-law>), le recours en matière de droit public est en principe recevable. En revanche, les nouveaux griefs formulés dans le mémoire complémentaire du 2 février 2017 sont tardifs et ne peuvent par conséquent pas être examinés.
2.
2.1. Le Tribunal fédéral statue sur la base des faits établis par l'autorité précédente (cf. art. 105 al. 1 de la loi du 17 juin 2005 sur le Tribunal fédéral [LTF; RS 173.110]). Le recours ne peut critiquer les constatations de fait que si, première condition, les faits ont été établis de façon manifestement inexacte ou en violation du droit au sens de l'<ref-law> et si, deuxième condition, la correction du vice est susceptible d'influer sur le sort de la cause (<ref-law>). La notion de "manifestement inexacte" correspond à celle d'arbitraire au sens de l'art. 9 Cst. (cf. <ref-ruling> consid. 1.2 p. 278), ce que la partie recourante doit motiver (<ref-law>).
En l'espèce, le recourant rappelle les faits en les complétant librement, sans démontrer que les conditions de l'<ref-law> sont réunies. Il n'est par conséquent pas possible de s'écarter des faits retenus dans l'arrêt attaqué.
2.2. Le recours en matière de droit public, sauf dans les cas cités expressément par l'<ref-law>, ne peut pas être formé pour violation du droit cantonal en tant que tel. En revanche, il est toujours possible de faire valoir que la mauvaise application du droit cantonal constitue une violation du droit fédéral, en particulier qu'elle est arbitraire au sens de l'art. 9 Cst. ou contraire à un droit fondamental (<ref-ruling> consid. 4.3 p. 521/522; <ref-ruling> consid. 2.3 p. 466). Il appartient toutefois à la partie recourante d'invoquer les droits fondamentaux, d'en exposer le contenu et de motiver la violation des droits de façon détaillée et concrète, sous peine de non-entrée en matière pour défaut de motivation suffisante au sens de l'<ref-law> (<ref-ruling> consid. 1.3 p. 41 et les références citées).
3.
Invoquant l'art. 29 al. 2 Cst., le recourant soutient que l'instance précédente a violé l'obligation de motiver sa décision et d'accepter ses offres de preuve.
3.1. Le droit d'être entendu découlant de l'art. 29 al. 2 Cst. implique notamment pour le juge l'obligation de motiver sa décision, afin que l'intéressé puisse se rendre compte de la portée de celle-ci et l'attaquer en connaissance de cause. Selon la jurisprudence, la motivation d'une décision est suffisante lorsque l'autorité mentionne, au moins brièvement, les motifs qui l'ont guidée et sur lesquels elle a fondé son raisonnement. L'autorité ne doit toutefois pas se prononcer sur tous les moyens des parties; elle peut se limiter aux questions décisives (<ref-ruling> consid. 4.3.2 p. 436).
Pour l'essentiel, l'arrêt attaqué considère que la FSSSI ne peut être désignée comme défenseur d'office compte tenu, en particulier, de l'art. 10 de la loi genevoise du 12 septembre 1985 sur la procédure administrative (LPA/GE; RS/GE E 5 10), de l'art. 12 du règlement genevois sur l'assistance juridique et l'indemnisation des conseils juridiques et défenseurs d'office en matière civile, administrative et pénale du 28 juillet 2010 (RAJ; RS/GE E 2 05.04) et de l'art. 15 de la loi genevoise d'application du code civil suisse et autres lois fédérales en matière civile du 11 octobre 2012 (LaCC/GE; RS/GE E 1 05). La Cour de justice justifie l'interprétation de ces dispositions par référence et résumé des considérants de l'arrêt 2C_835/2014 du 22 janvier 2015 d'une part et, d'autre part, par le fait que c'est la FSSSI, soit une mandataire professionnellement qualifiée, et non pas l'avocat qu'elle emploie, soit Me Gian Luigi Berardi, dont la nomination d'office a été sollicitée. L'autorité précédente a par ailleurs indiqué que la jurisprudence permettant la nomination d'office de mandataires professionnellement qualifiés invoquée par le recourant n'entrait plus en considération dès lors qu'elle avait été prononcée sous l'ancien droit. Elle a en outre souligné que le droit cantonal, déterminant en l'espèce, pouvait prévoir une solution distincte de celle prévue en droit fédéral. Bien qu'elle n'entre pas dans tous les détails des griefs que le recourant a soulevé en instance cantonale, cette motivation est suffisante au regard des exigences de l'art. 29 al. 2 Cst. Dans la mesure enfin où le recourant critique la pertinence des motifs de l'instance précédente, il soulève des questions de fond qui seront examinées ci-après.
3.2. Le droit d'être entendu découlant de l'art. 29 al. 2 Cst. comprend aussi le droit pour l'intéressé de s'exprimer sur les éléments pertinents avant qu'une décision ne soit prise touchant sa situation juridique, de produire des preuves pertinentes, d'obtenir qu'il soit donné suite à ses offres de preuve pertinentes, de participer à l'administration des preuves essentielles ou à tout le moins de s'exprimer sur son résultat, lorsque cela est de nature à influer sur la décision à rendre (<ref-ruling> consid. 2.3 p. 282).
En écartant deux des pièces produites par le recourant, l'instance précédente n'a pas violé l'art. 29 al. 2 Cst. En effet, de l'avis même du recourant, ces pièces ne visaient qu'à confirmer un fait notoire (cf. mémoire de recours, p. 9 in fine). Il s'ensuit logiquement que son offre de preuve, inutile dans la mesure où elle était destinée à prouver un fait notoire, n'était pas pertinente au sens de la jurisprudence rappelée ci-dessus et pouvait par conséquent dûment être écartée.
4.
4.1. Sur le fond, invoquant l'art. 9 Cst., le recourant soutient que l'autorité précédente a appliqué les art. 10 al. 1, 2 et 4 LPA et 12 RAJ ainsi que 68 al. 2 let. a et d CPC de manière arbitraire, en considérant que ces dispositions ne permettaient pas ou plus la nomination d'office et l'indemnisation par l'Etat " d'un avocat employé d'une organisation reconnue d'utilité publique et inscrit au tableau des avocats genevois en vertu de l'<ref-law> et représentant les justiciables devant une juridiction administrative ". La formulation de ce grief implique de préciser l'objet de la présente procédure.
4.2. L'objet de la contestation porté devant le Tribunal fédéral est déterminé par l'arrêt attaqué. L'objet du litige, délimité par les conclusions des parties (<ref-law>), ne saurait s'étendre au-delà de l'objet de la contestation. Par conséquent, devant le Tribunal fédéral, le litige peut être réduit, mais ne saurait être ni élargi, ni transformé par rapport à ce qu'il était devant l'autorité précédente, qui l'a fixé dans le dispositif de l'arrêt entrepris et qui est devenu l'objet de la contestation devant le Tribunal fédéral (<ref-ruling> consid. 4.4.2 p. 156).
4.3. En l'espèce, l'arrêt attaqué a confirmé la décision de première instance du 13 septembre 2016 prononçant le rejet de " la requête concernant la prise en charge des honoraires de la FSSSI " (cf. arrêt attaqué en fait let. B). L'instance précédente a par ailleurs constaté dans le même sens, ce qui lie le Tribunal fédéral (<ref-law>), que " Me Berardi - qui n'a pas recouru en personne contre la décision du premier juge mais uniquement au nom et pour le compte de la FSSSI comme en témoigne l'usage du papier à entête de cette fondation et la manière dont ces courriers sont signés par celui-ci sous le nom de la fondation - n'a pas demandé à être personnellement nommé d'office pour la défense des intérêts du recourant mais l'a uniquement fait au nom et pour le compte de la FSSSI ".
L'objet de la contestation se limite par conséquent au rejet de la requête concernant la prise en charge des honoraires de la FSSSI et ne peut pas être modifié par le recourant en remplaçant la requête en faveur de la FSSSI par une requête en faveur de Me Berardi, qui constituerait en soi une conclusion nouvelle prohibée devant le Tribunal fédéral (<ref-law>). Au vu de cette précision, après avoir rappelé les règles fixées par le droit fédéral et exposé celles qui résultent du droit cantonal, il conviendra de distinguer ces deux objets sans qu'il soit nécessaire de se prononcer sur leur recevabilité respective eu égard à l'<ref-law> et à la jurisprudence en matière d'objet du litige, le recours devant de toute manière être rejeté.
5.
En droit fédéral, d'après l'<ref-law>, l'avocat qui est employé par une organisation reconnue d'utilité publique peut demander à être inscrit au registre s'il remplit les conditions prévues à l'al. 1, let. a à c, et limite son activité de défenseur à des mandats concernant strictement le but visé par cette organisation. Il n'est par conséquent pas soumis à l'obligation d'indépendance de l'art. 8 al. 1 let. d LLCA (cf. sur cet aspect, <ref-ruling>).
Même si, sur le principe, le droit fédéral ne s'oppose pas à ce qu'un avocat employé par une organisation reconnue d'utilité publique puisse aussi être chargé de défenses d'office dans les domaines d'activité de cette organisation (cf. <ref-ruling> consid. 7 p. 2 ss en matière d'AI, eu égard à l'art. 61 let. f LPGA), il n'en demeure pas moins, au regard de l'art. 12 let. g LLCA - selon lequel un avocat est tenu d'accepter les défenses d'office et les mandats d'assistance judiciaire dans le canton au registre duquel il est inscrit -, que les conditions de nomination d'un avocat d'office restent de la compétence des cantons (cf. arrêts 2C_835/2014 du 22 janvier 2015; 2C_241/2008 du 27 mai 2008 consid. 4.6 et les références citées). Il n'y a pas lieu de revenir sur cette jurisprudence. Au demeurant, la présente cause relève du droit cantonal genevois et non pas du droit fédéral.
6.
6.1. En droit cantonal genevois, l'art. 10 LPA/GE traite de l'assistance juridique en matière administrative. Selon le premier alinéa de cette disposition, les avocats sont tenus, lorsqu'ils en sont requis, de représenter dans une procédure contentieuse portée devant une juridiction administrative une partie dont les revenus ou la fortune ne sont pas suffisants pour couvrir les frais d'une procédure. L'alinéa 2 précise que le président du Tribunal civil accorde l'assistance juridique sur sa demande à toute personne physique dont la fortune ou les revenus ne sont pas suffisants pour couvrir les frais d'une procédure administrative ou pour lui assurer l'aide et les conseils d'un avocat ou d'un avocat-stagiaire lorsque ceux-ci sont nécessaires. L'assistance juridique peut être refusée si les prétentions ou les moyens sont manifestement mal fondés. L'art. 10 al. 4 renvoie pour le surplus aux dispositions réglementaires édictées par le Conseil d'Etat en matière d'assistance juridique. Selon l'art. 15 al. 1 RAJ, le conseil juridique nommé ne peut facturer à la personne bénéficiaire ni provisions ni honoraires. L'Etat l'indemnise pour son activité (al. 2).
6.2. Selon l'art. 12 RAJ, le conseil juridique nommé d'office peut être soit un avocat soit un mandataire professionnellement qualifié au sens de l'art. 15 LaCC/GE. D'après cette dernière disposition, les mandataires professionnellement qualifiés peuvent assister ou représenter les parties devant la commission de conciliation en matière de baux et loyers, le Tribunal des baux et loyers et le Tribunal des prud'hommes, ainsi que devant la chambre des baux et loyers et la chambre des prud'hommes de la Cour de justice. Quant à l'<ref-law>, applicable au titre de droit cantonal supplétif en vertu de l'art. 8 al. 3 RAJ, il prévoit que sont autorisés à représenter les parties à titre professionnel, dans toutes les procédures, les avocats autorisés à pratiquer la représentation en justice en vertu de la LLCA (let. a) et, devant les juridictions spéciales en matière de contrat de bail et de contrat de travail, les mandataires professionnellement qualifiés, si le droit cantonal le prévoit (let. d).
En d'autres termes, l'art. 12 RAJ limite la notion de "conseil juridique nommé d'office " aux mandataires professionnellement qualifiés agissant devant les juridictions spéciales en matière de contrat de bail et de contrat de travail, à l'exclusion des juridictions administratives, comme l'a jugé le Tribunal fédéral, qui a considéré qu'en permettant de ne nommer défenseur d'office au bénéfice de l'assistance juridique et de ne rétribuer que des avocats dans le cadre d'une procédure administrative portée devant une juridiction administrative, et non des mandataires professionnellement qualifiés, les art. 10 LPA et 12 RAJ n'étaient pas arbitraires (arrêt 2C_835/2014 du 22 janvier 2015, consid. 5)
6.3. Dans l'arrêt attaqué, l'instance précédente a jugé que la jurisprudence résultant de l'arrêt 2C_835/2014 du 22 janvier 2015 était applicable même lorsque les mandataires professionnellement qualifiés agissaient devant la juridiction administrative, comme en l'espèce, par le truchement d'un de leurs employés revêtant la qualité d'avocat inscrit au registre cantonal des avocats en vertu de l'<ref-law>. Selon elle en effet, à la différence de l'avocat employé par une étude d'avocats organisée sous forme de société anonyme, l'avocat d'un mandataire professionnellement qualifié n'agissait pas à titre personnel, mais au nom et pour le compte de son employeur.
6.4. Le recourant soutient que l'arrêt 2C_835/2014 du 22 janvier 2015 n'a pas pris en considération le cas de figure visé à l'<ref-law>. Selon lui, le texte de l'art. 10 LPA/GE ne fait pas référence aux avocats inscrits au tableau des avocats en tant qu'employés d'une organisation d'utilité publique auxquels l'obligation d'accepter une défense d'office incombe également en vertu de l'<ref-law>.
Ce grief n'a en l'espèce pas d'influence sur l'objet du litige (cf. consid. 4 ci-dessus), puisque celui-ci ne porte que sur le refus de désigner la FSSSI comme défenseur d'office et non pas un avocat personnellement, le cas échéant, inscrit au tableau des avocats en tant qu'employé d'une organisation d'utilité publique.
Pour le surplus, en se bornant à opposer à celle de l'instance précédente son interprétation de l'art. 10 LPA/GE de droit cantonal, notamment en relation avec les travaux parlementaires, avec l'existence d'un cercle parfaitement défini de mandataires professionnellement qualifiés, ou encore avec le statut de l'ASLOCA, différent, selon lui, de celui de la FSSSI, le recourant se plaint de la violation du droit cantonal en tant que tel, ce qui n'est pas possible eu égard à l'<ref-law>, et ne formule aucun grief d'ordre constitutionnel contrairement à ce qu'exige l'<ref-law>, sinon de manière appellatoire.
Par conséquent, en jugeant que la FSSSI ne pouvait pas être désignée comme défenseure d'office du recourant en matière de droit des étrangers dans le canton de Genève, l'instance précédente n'a pas violé l'interdiction de l'arbitraire.
6.5. En l'état du droit cantonal genevois, comme l'a d'ailleurs rappelé également l'instance précédente, il y a lieu de souligner enfin qu'à l'instar des avocats employés par des sociétés anonymes, qui sont personnellement nommés comme défenseur d'office en application du droit cantonal, à l'exclusion de leur employeur, Me Berardi peut être désigné défenseur d'office à titre personnel, à l'exclusion de la FSSSI, à condition qu'il agisse en son nom personnel dès la requête de désignation de défenseur d'office ainsi que pour tous les actes ultérieurs formés durant le mandat d'office et non pas au nom et pour le compte de la FSSSI, comme cela a été fait en l'espèce (cf. consid. 4 ci-dessus).
7.
Le recourant se plaint d'une violation de l'art. 29 al. 3 Cst.
7.1. D'après l'art. 29 al. 3 Cst., toute personne qui ne dispose pas de ressources suffisantes a droit, à moins que sa cause ne paraisse dépourvue de toute chance de succès, à l'assistance judiciaire gratuite. Elle a droit à l'assistance gratuite d'un défenseur, dans la mesure où la sauvegarde de ses droits le requiert. L'art. 29 al. 3 Cst. confère au justiciable une garantie minimale, dont le Tribunal fédéral examine librement le respect (arrêts 8C_376/2014 du 14 août 2014 consid. 2; 5A_275/2013 du 12 juin 2013 consid. 6.2.1; 5A_336/2011 du 8 août 2011 consid. 2.2). Le recourant ne soutient pas que le droit cantonal lui offrirait une protection plus étendue que l'art. 29 al. 3 Cst., si bien que l'examen du Tribunal fédéral se confinera à cette dernière garantie. Selon la jurisprudence, il n'existe pas, dans le cadre de l'assistance judiciaire, un droit au libre choix de son mandataire (<ref-ruling> consid. 1.1 p. 116; <ref-ruling> consid. 1.2 p. 263; arrêt 4A_106/2017 du 4 juillet 2017 consid. 3.2). Les cantons peuvent donc décider, dans le respect des droits de la partie indigente garantis par l'art. 29 al. 3 Cst., de limiter le cercle des personnes auxquelles ils confient les mandats d'assistance juridique.
7.2. En l'occurrence, l'instance précédente n'a pas refusé au recourant l'assistance judiciaire et la désignation d'un défenseur d'office. Elle a seulement refusé de prendre en charge les honoraires de la personne choisie par lui, qui est un mandataire professionnellement qualifié, et non pas un avocat inscrit au registre cantonal des avocats. Or, le droit à l'assistance juridique, tel qu'il découle de l'art. 29 al. 3 Cst., n'accorde pas au plaideur un droit inconditionnel au choix de son défenseur. Le fait que, selon l'art. 9 LPA/GE, le recourant puisse décider de se faire représenter par un mandataire professionnellement qualifié ne signifie pas à lui seul qu'une telle personne puisse être nommée d'office (cf. <ref-ruling> consid. 3b p. 164; arrêt 2P.287/1997 du 25 novembre 1997 consid. 2c). La garantie constitutionnelle minimale tend uniquement à assurer aux indigents la défense efficace de leurs droits en justice (cf. <ref-ruling> consid. 3b p. 164). La législation cantonale ne porte pas atteinte à ce droit en limitant le cercle des personnes pouvant être nommées d'office dans le cadre d'une procédure administrative aux mandataires présentant eux-mêmes des garanties de connaissances juridiques et dont l'activité est soumise à la censure d'une commission disciplinaire. Le droit cantonal vise ainsi à rémunérer un service de qualité permettant de garantir la protection des justiciables et le bon fonctionnement des tribunaux. Il se fonde en cela sur des motifs objectifs et répond à un intérêt public. Pour le surplus, le recourant ne fait pas valoir que la nomination d'un avocat d'office en lieu et place de la FSSSI lui serait financièrement préjudiciable ou qu'un avocat désigné d'office ne s'acquitterait pas convenablement de sa mission. Dans ces conditions, l'instance précédente n'a pas violé les garanties minimales déduites de l'art. 29 al. 3 Cst. en confirmant le refus de désigner un mandataire professionnellement qualifié en qualité de défenseur d'office.
8.
Le recourant reproche finalement à l'instance précédente d'avoir violé le principe de la bonne foi (art. 5 al. 3 et 9 Cst.). Il n'expose toutefois en quoi les conditions de protection de la bonne foi telles que précisées par la jurisprudence (cf. <ref-ruling> consid. 6.2 p. 538; <ref-ruling> consid. 6.1 p. 636 s.) seraient réunies en l'espèce, de sorte que son grief, qui ne répond pas aux exigences de motivation de l'<ref-law>, ne peut pas être examiné.
9.
Les considérants qui précèdent conduisent au rejet du recours. Le recours étant d'emblée dénué de chance de succès, la requête d'assistance judiciaire est rejetée (<ref-law>). Succombant, le recourant doit supporter les frais de la procédure fédérale (<ref-law>). Il n'est pas alloué de dépens (<ref-law>).

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce :
1.
Le recours est rejeté.
2.
La requête d'assistance judiciaire est rejetée.
3.
Les frais judiciaires, arrêtés à 1'000 fr., sont mis à la charge du recourant.
4.
Le présent arrêt est communiqué à la mandataire du recourant, au Vice-président du Tribunal civil et au Vice-président de la Cour de justice de la République et canton de Genève, Assistance judiciaire.
Lausanne, le 23 août 2017
Au nom de la IIe Cour de droit public
du Tribunal fédéral suisse
Le Juge présidant : Zünd
Le Greffier : Dubey