Sachverhalt:
A.
A._ (Versicherter, Kläger, Beschwerdeführer) wurde von der Personalverleihung C._ AG als EDV-Fachmann seit dem 1. Oktober 2013 bei der D._ AG in einem befristeten Einsatzvertrag bis 31. März 2014 eingesetzt und war dadurch bei der B._ AG (Versicherung, Beklagte, Beschwerdegegnerin) im Rahmen einer Kollektiv-Krankenversicherung nach VVG (SR 221.229.1) gegen Erwerbsausfall bei Krankheit versichert. Mit Krankenmeldung vom 31. Oktober 2013 wurde der Versicherung mitgeteilt, dass der Versicherte aufgrund einer psychischen Erkrankung seit dem 25. Oktober 2013 vollständig arbeitsunfähig sei. In der Folge richtete die Versicherung ihm Taggelder aus, welche sie jedoch nach durchgeführten Abklärungen, insbesondere gestützt auf ein psychiatrisches Gutachten, per 18. Mai 2014 einstellte.
B.
B.a. Am 11. August 2014 erhob der Kläger beim Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich eine erste Teilklage gegen die Beklagte, womit er Fr. 20'000.-- nebst Zins als Anteil seines zwischen 19. Mai und 31. August 2014 resp. - nach zugelassener Klageänderung - 23. Januar 2015 entstandenen Anspruchs auf Taggeldleistungen verlangte.
Während hängigem Verfahren leistete die Beklagte Fr. 16'737.90 für Taggeldansprüche aufgrund einer 100 % Arbeitsunfähigkeit in der Zeit vom 8. bis 19. August 2014 und einer solchen von 60 % vom 22. September bis 9. Dezember 2014.
Mit Urteil vom 15. Juli 2015 schützte die Einzelrichterin des Sozialversicherungsgerichts die Klage im Betrag von Fr. 3'262.10 nebst Zins. Sie kam zum Schluss, der Kläger sei vom 8. August bis 9. Dezember 2014 vollständig arbeitsunfähig gewesen und habe somit Anspruch auf 124 Taggelder à Fr. 281.78, insgesamt ausmachend Fr. 34'940.70. Damit habe er Anspruch auf Taggelder im eingeklagten Betrag von Fr. 20'000.--. Zu berücksichtigen sei aber, dass die Beklagte für den genannten Zeitraum bereits Taggelder im Umfang von Fr. 16'737.90 ausgerichtet habe. Der klägerische Anspruch reduziere sich deshalb auf Fr. 3'262.10.
B.b. Die vom Kläger dagegen erhobene Beschwerde in Zivilsachen wies das Bundesgericht mit Urteil 4A_389/2015 vom 9. Dezember 2015 ab. In seiner Begründung wies es in prozessualer Hinsicht darauf hin, dass die Klage im Umfang der Erfüllung gegenstandslos geworden sei und dementsprechend auch im Dispositiv im Fr. 3'262.10 übersteigenden Betrag als gegenstandslos geworden abzuschreiben gewesen wäre, wie sich dies denn auch aus der vorinstanzlichen Urteilsbegründung ergebe (E. 2.2).
C.
Bereits rund zwei Monate nach Erhebung der ersten Teilklage reichte der Kläger am 17. Oktober 2014 eine zweite Teilklage beim Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich ein. Mit dieser verlangte er wiederum die Bezahlung von Fr. 20'000.-- nebst Zins; und zwar als Anteil seines zwischen 19. Mai und 31. Oktober 2014 resp. - nach zugelassener Klageänderung - 22. März 2015 entstandenen Anspruchs auf Taggeldleistungen. Dieses Verfahren wurde - nachdem das Bundesgericht auf eine erste Beschwerde wegen Rechtsverzögerung nicht eingetreten war (Urteil 4A_8/2015 vom 20. Februar 2015) und eine zweite abgewiesen hat (Urteil 4A_190/2015 vom 13. Mai 2015) - sistiert und am 13. Januar 2016, also nach rechtskräftigem Abschluss des ersten Teilklageverfahrens, wieder aufgenommen.
In ihrer Klageantwort beantragte die Beklagte die teilweise Gutheissung der Klage im Umfang von Fr. 14'940.70 für die aus der Zeit vom 8. August bis 9. Dezember 2014 verbleibenden Taggeldansprüche.
Mit Urteil vom 24. August 2016 hiess der Einzelrichter des Sozialversicherungsgerichts die Klage teilweise - im Betrag von Fr. 14'940.70 nebst Zins - gut; soweit weitergehend wies er sie ab.
D.
Mit Beschwerde in Zivilsachen beantragt der Kläger dem Bundesgericht im Wesentlichen, das Urteil des Sozialversicherungsgerichts vom 24. August 2016 sei aufzuheben und die Beklagte zu verpflichten, ihm Fr. 20'000.-- nebst Zins als Anteil seines Taggeldanspruchs vom 19. Mai 2014 bis 22. März 2015 zu bezahlen, sowie davon Vormerk zu nehmen, dass es sich um eine Teilklage handle. Eventuell sei das Urteil des Sozialversicherungsgerichts aufzuheben und die Sache zur Fortsetzung des Verfahrens (insbesondere zur Anhörung einer sachverständigen Zeugin, zur Durchführung einer Parteibefragung sowie zur Würdigung diverser Behauptungen und Beweise) an dieses zurückzuweisen. Alles unter Kosten- und Entschädigungsfolge für das Verfahren vor der Vorinstanz mit einer Parteientschädigung zu Lasten der Beschwerdegegnerin von Fr. 7'542.07 und unter Kosten- und Entschädigungsfolge für das Verfahren vor Bundesgericht zu Lasten der Beschwerdegegnerin, evtl. des Sozialversicherungsgerichts.
Die Beschwerdegegnerin beantragt Abweisung der Beschwerde. Die Vorinstanz hat auf eine Stellungnahme verzichtet.

Erwägungen:
1.
1.1. Zu beurteilen ist die Leistungspflicht aus einer Kollektiv-Krankentaggeldversicherung, die unter den Begriff der Zusatzversicherung zur sozialen Krankenversicherung fällt (Urteil 4A_409/2015 vom 2. Dezember 2015 E. 1 mit Hinweisen; vgl. auch <ref-ruling> E. 1.1/1.2 S. 3). Derartige Zusatzversicherungen unterstehen gemäss Art. 2 Abs. 2 Krankenversicherungsaufsichtsgesetz (KVAG; SR 832.12) dem VVG. Streitigkeiten aus solchen Versicherungen sind privatrechtlicher Natur, weshalb als Rechtsmittel an das Bundesgericht die Beschwerde in Zivilsachen gemäss <ref-law> in Betracht kommt (<ref-ruling> E. 1.1 S. 3; <ref-ruling> E. 2.1 S. 441 f.).
Die Beschwerde richtet sich gegen einen verfahrensabschliessenden Endentscheid (<ref-law>) einer oberen kantonalen Gerichtsinstanz, die als einzige kantonale Instanz im Sinne von <ref-law> in Verbindung mit <ref-law> entschieden hat. Die Zulässigkeit der Beschwerde ist in diesem Fall streitwertunabhängig (<ref-law>; <ref-ruling> E. 1.2.2 S. 5, 799 E. 1.1 S. 800). Schliesslich ist auch die Beschwerdefrist eingehalten (<ref-law>), weshalb auf die Beschwerde - unter Vorbehalt der nachfolgenden Ausführungen - einzutreten ist.
1.2. Die Vorinstanz hiess die Klage teilweise gut, namentlich im Betrag von Fr. 14'940.70 nebst Zins zu 5 % seit 18. Oktober 2014. Der Beschwerdeführer beantragt trotzdem eine umfassende Aufhebung des vorinstanzlichen Urteils und die Verurteilung der Beschwerdegegnerin zur Zahlung von Fr. 20'000.-- nebst Zins zu 5 % ab 19. Mai 2014.
Aufgrund der Klageanerkennung der Beschwerdegegnerin in ihrer Klageantwort wäre die Klage im Umfang von Fr. 14'940.70 zwar nicht gutzuheissen gewesen, sondern hätte stattdessen in diesem Ausmass als gegenstandslos geworden abgeschrieben werden müssen (<ref-law>). Für den Beschwerdeführer wirkt sich dieser Fehler aber nicht nachteilig aus (zu einer vergleichbaren Konstellation bereits im ersten Teilklageverfahren siehe zit. Urteil 4A_389/2015 E. 2.2); er äussert sich denn auch gar nicht dazu. Die Beschwerdebegründung zeigt vielmehr, dass sich die Beschwerde nur gegen die Klageabweisung im Mehrbetrag sowie die vorinstanzliche Festsetzung der Höhe der Parteientschädigung richtet. Ein Rechtsbegehren ist immer auch zusammen mit der Begründung auszulegen, weshalb geschlossen werden muss, der Beschwerdeführer beantrage entgegen der umfassenden Formulierung seiner Rechtsbegehren nur die Aufhebung des vorinstanzlichen Urteils bezüglich der Klageabweisung im Mehrbetrag von Fr. 5'059.30 (Dispositivziffer 1 Satz 2) sowie der zugesprochenen reduzierten Parteientschädigung (Dispositivziffer 3).
1.3. Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (<ref-law>). Mit Blick auf die allgemeinen Begründungsanforderungen an eine Beschwerde (Art. 42 Abs. 1 und 2 BGG) behandelt es aber grundsätzlich nur die geltend gemachten Rügen, sofern die rechtlichen Mängel nicht geradezu offensichtlich sind; es ist jedenfalls nicht gehalten, wie eine erstinstanzliche Behörde alle sich stellenden rechtlichen Fragen zu untersuchen, wenn diese vor Bundesgericht nicht mehr vorgetragen werden (<ref-ruling> E. 2 S. 88 f. mit Hinweisen). Unerlässlich ist im Hinblick auf <ref-law>, dass die Beschwerde auf die Begründung des angefochtenen Entscheids eingeht und im Einzelnen aufzeigt, worin eine Verletzung von Bundesrecht liegt. Die beschwerdeführende Partei soll in der Beschwerdeschrift nicht bloss die Rechtsstandpunkte, die sie im kantonalen Verfahren eingenommen hat, erneut bekräftigen, sondern mit ihrer Kritik an den als rechtsfehlerhaft erachteten Erwägungen der Vorinstanz ansetzen (<ref-ruling> E. 2 S. 89, 115 E. 2 S. 116). Erfüllt eine Beschwerde diese Anforderungen nicht, ist darauf nicht einzutreten.
Die Vorinstanz führte in E. 8 aus, weshalb der Verzugszins auf dem von der Beschwerdegegnerin anerkannten Betrag von Fr. 14'940.70 ihres Erachtens am 18. Oktober 2014 zu laufen begann. Das Rechtsbegehren des Beschwerdeführers ist, wie ausgeführt, umfassend formuliert (hiervor E. 1.2) und er beantragt pauschal einen Verzugszins ab 19. Mai 2014. Ob sich die Beschwerde damit auch gegen den von der Vorinstanz auf den 18. Oktober 2014 festgesetzten Beginn des Verzugszinses auf dem anerkannten Betrag richtet, erscheint unklar, kann aber offenbleiben. Denn jedenfalls setzt sich der Beschwerdeführer nicht mit den vorinstanzlichen Erwägungen zum Beginn der Verzugszinspflicht auseinander. Es fehlt diesbezüglich an einer Begründung der Beschwerde, weshalb insofern nicht darauf einzutreten ist.
2.
In der Sache bleibt somit die Klageabweisung im Umfang von Fr. 5'059.30 nebst Zins zu 5 % ab 19. Mai 2014 zu beurteilen.
2.1. In zeitlicher Hinsicht unterscheidet der Beschwerdeführer bezüglich seiner Erkrankung fünf Phasen. Die von der Beschwerdegegnerin während dem ersten Teilklageverfahren geleistete Zahlung, die dortige Klagegutheissung sowie die Klageanerkennung im vorliegenden Verfahren beziehen sich allesamt ausschliesslich auf die Phasen zwei bis vier (vom 8. August bis 9. Dezember 2014). Die Taggeldansprüche für diese Zeit sind damit vollumfänglich abgehandelt und der Beschwerdeführer macht nicht geltend, ihm stünden für diese Zeit noch Ansprüche zu - diese Phasen sind daher nicht Streitgegenstand und auf sie ist nicht weiter einzugehen.
Somit kann die noch strittige Forderung von Fr. 5'059.30 nur entweder auf Taggeldansprüchen für die Phase eins (19. Mai bis 7. August 2014) oder solchen für die Phase fünf (10. Dezember 2014 bis 22. März 2015) basieren.
2.2. Hinsichtlich der Phase eins hielt die Vorinstanz fest, im ersten Teilklageurteil vom 15. Juli 2015 habe sie erwogen, dem von der Beschwerdegegnerin eingeholten Gutachten komme in medizinischer Hinsicht voller Beweiswert zu, weshalb die per 18. Mai 2014 erfolgte Einstellung der Taggeldleistungen bis zur festgestellten vollständigen Arbeitsunfähigkeit ab 8. August 2014 nicht zu beanstanden sei. Nach allgemeiner Rechtsauffassung erwachse nur das Dispositiv in Rechtskraft, womit die Rechtskraft soweit reiche, als der Anspruch geltend gemacht und über ihn geurteilt worden sei. In der erneuten Teilklage mache der Beschwerdeführer einen neuen Anspruch geltend, dies sei zulässig. Allerdings könne bei der zweiten Teilklage auf die Beweisergebnisse im ersten Teilklageverfahren abgestellt werden, da sich diese unstreitig auf denselben Lebenssachverhalt beziehe. In zeitlicher Hinsicht habe sie damals den Sachverhalt vom 19. Mai bis 9. Dezember 2014 gewürdigt und diese Würdigung sei vom Bundesgericht im zit. Urteil 4A_389/2015 geschützt worden. Eine nochmalige Würdigung erübrige sich, zumal der Beschwerdeführer auch im neuerlichen Verfahren dieselben Rügen vorbringe. Der neu eingereichte Strafbefehl, mit welchem der ehemalige Arbeitgeber des Beschwerdeführers wegen übler Nachrede verurteilt worden sei, vermöge hieran nichts zu ändern.
2.3. Hinsichtlich der Phase fünf kam die Vorinstanz zum Schluss, lediglich die ärztlichen Zeugnisse der behandelnden Ärztin würden für diese Zeit nach der teilstationären Behandlung im E._ noch eine vollständige Arbeitsunfähigkeit bescheinigen. Der Beschwerdeführer mache geltend, es brauche eine Übergangsphase mit sich stetig erhöhender Arbeitsfähigkeit, was durchaus plausibel erscheine. Doch lägen keine Anhaltspunkte dafür vor, dass diese Anlaufzeit nicht bereits während der teilstationären Behandlung eingetreten sei. Im Gegenteil erscheine sogar einleuchtender, dass gerade dies der Fall gewesen sei. Denn der Beschwerdeführer sei in gebessertem Allgemeinzustand aus der Klinik entlassen worden und die dortigen Ärzte hätten keine Arbeitsunfähigkeit mehr attestiert.
Die behandelnde Ärztin, welche die Arbeitsunfähigkeitszeugnisse für die Zeit vom 10. Dezember 2014 bis 22. März 2015 ausgestellt habe, stehe in einem auftragsrechtlichen Verhältnis zum Beschwerdeführer. Zudem würden diese Zeugnisse lediglich die Arbeitsunfähigkeit bescheinigen, jedoch keine weiteren, detaillierten Ausführungen zum Krankheitsverlauf enthalten. Für eine frühere Wiederherstellung der Arbeitsfähigkeit des Beschwerdeführers sprächen auch die Behandlungsintervalle, wiesen die Atteste doch bloss zwei Untersuchungen während dieser Zeit aus. Schliesslich lege die behandelnde Ärztin genau das vom Beschwerdeführer als unplausibel beanstandete Muster an den Tag, indem sie ihm an einem Tag noch eine vollständige Arbeitsunfähigkeit attestiert habe und am nächsten Tag von einer vollständigen Arbeitsfähigkeit ausgegangen sei. Der Beschwerdeführer vermöge damit nicht den rechtsgenüglichen Beweis für eine Arbeitsunfähigkeit für die Zeit vom 10. Dezember 2014 bis 22. März 2015 zu erbringen.
3.
Bezüglich Phase eins (19. Mai bis 7. August 2014) macht der Beschwerdeführer im Wesentlichen zunächst eine offensichtlich unrichtige Feststellung des Sachverhalts geltend, ferner eine Verletzung des rechtlichen Gehörs, der Begründungspflicht und des Replikrechts gemäss <ref-law>, Art. 6 Ziff. 1 EMRK, Art. 27 Abs. 2 lit. b i.V.m. <ref-law> (SR 291) per analogiam und Art. 228 Abs. 1 [recte: 2] ZPO sowie eine Missachtung des Rechts auf Beweis nach Art. 152 Abs. 1 und Art. 53 ZPO, <ref-law>, Art. 29. Abs. 2 BV und Art. 6 Ziff. 1 EMRK. Zudem rügt er eine Verletzung von <ref-law>.
3.1. Die Vorinstanz hielt zutreffend fest, die Rechtskraftwirkung des ersten Teilklageurteils erstrecke sich bloss auf das Dispositiv und nicht auch auf die tatsächlichen Feststellungen (vgl. betr. Teilklage Urteil 4A_209/2007 vom 5. September 2007 E. 2.2.2 mit Hinweisen). Per se ist daher die dortige Beweiswürdigung und Sachverhaltsermittlung für das vorliegende Verfahren nicht von ausschlaggebender rechtlicher Bedeutung. Offenbleiben kann hier zudem, ob Sachverhaltsfeststellungen, die in einem früheren, rechtskräftigen (Teilklage) Urteil getroffen wurden, in späteren Urteilen faktisch eine gewisse präjudizielle Wirkung entfalten können (vgl. Urteile 4A_43/2008 vom 4. März 2008 E. 3.5; 2C_110/2008 vom 3. April 2009 E. 8.3; ähnlich ALEXANDER MARKUS, in: Berner Kommentar Schweizerische Zivilprozessordnung, Bd. 1, 2012, N. 10 zu <ref-law>, der [abweisenden] Teilklageurteilen eine "gewisse argumentative Kraft" zuspricht; vgl. auch KARL SPÜHLER, in: Basler Kommentar, Schweizerische Zivilprozessordnung, 2. Aufl. 2013, N. 10 zu <ref-law>, wobei die Tragweite seiner Aussage ungewiss erscheint). Denn eine solche Wirkung könnte von vornherein höchstens denjenigen Sachverhaltsfeststellungen zukommen, die für den früheren Entscheid wesentlich waren und auf welchen die im Dispositiv zum Ausdruck kommende Erkenntnis des Gerichts baute.
Das Dispositiv der Vorinstanz im ersten Teilklageverfahren basierte, wie ausgeführt, ausschliesslich auf den Phasen zwei bis vier, die hier nicht zu beurteilen sind (E. 2.1). Die Phase eins, also die Zeit vom 19. Mai bis 7. August 2014, war für die (unter Berücksichtigung der Gegenstandslosigkeit wegen der Zahlung) vollumfängliche Klagegutheissung im ersten Teilklageverfahren nicht wesentlich und Ausführungen dazu waren nicht entscheidtragend. Entsprechend waren in sachverhaltsmässiger Hinsicht einzig die Phasen zwei bis vier Gegenstand des bundesgerichtlichen Urteils im ersten Teilklageverfahren, wobei primär prozessuale Fragen zu beantworten waren (vgl. zit. Urteil 4A_389/2015 E. 2). Sachverhaltsfeststellungen bezüglich der Phase eins, die das vorinstanzliche Urteil zur ersten Teilklage enthalten haben mag, konnten im bundesgerichtlichen Verfahren mangels Relevanz nicht beanstandet werden (<ref-law>) und entsprechend äusserte sich das Bundesgericht auch in keiner Weise dazu (vgl. auch E. 3 des zit. Urteils 4A_389/2015). Insbesondere schützte es Sachverhaltsfeststellungen zur Phase eins - entgegen der Vorinstanz - nicht und es besteht insofern keine irgendwie geartete Bindung.
3.2. Indem die Vorinstanz bezüglich der Sachverhaltsfeststellung zur Phase eins vollumfänglich auf das erste kantonale Teilklageurteil verwies, machte sie damit die dortige Würdigung zu der ihrigen; eine weitergehende Bedeutung kommt diesem Verweis resp. der dortigen Sachverhaltsfeststellung, wie ausgeführt, nicht zu. Die Vorinstanz ergänzte die Sachverhaltsfeststellung aus dem ersten Urteil bloss in zweierlei Hinsicht: erstens bringe der Beschwerdeführer im neuerlichen Verfahren dieselben Rügen vor wie im ersten Verfahren und zweitens vermöge das neu eingereichte Beweismittel am Beweisergebnis nichts zu ändern.
Ob dieser pauschale Verweis auf die frühere Beweiswürdigung und Sachverhaltsfeststellung den Begründungsanforderungen zu genügen vermag, erscheint fraglich, zumal im ersten Urteil die damals vom Beschwerdeführer vorgebrachten Rügen, die mit den jetzt geltend gemachten übereinstimmen sollen, nicht wiedergegeben werden und eine vertiefte Auseinandersetzung damit nicht erfolgte. Diese Frage kann aber offenbleiben. Ebensowenig brauchen die mannigfaltigen Rügen des Beschwerdeführers, die er in diesem Zusammenhang erhebt, abschliessend behandelt zu werden. Denn im angefochtenen Urteil wird die Beweiswürdigung zu Phase eins aus dem ersten Teilklageurteil dahingehend in einem Satz zusammengefasst, dass dem von der Beschwerdegegnerin eingeholten Gutachten "voller Beweiswert zukomme" und daher die Einstellung der Taggeldleistung per 18. Mai 2014 nicht zu beanstanden sei. Gemäss <ref-ruling> E. 2.6 S. 437 ist solchen Privatgutachten in zivilrechtlichen Verfahren jedoch gerade nicht die Qualität von Beweismitteln beizumessen, sondern von blossen Parteibehauptungen. Indem die Vorinstanz dem Privatgutachten trotzdem vollen Beweiswert zusprach, verkannte sie dies. Primär gestützt auf dieses Privatgutachten sowie auf ebenfalls als blosse Parteibehauptungen zu qualifizierende Berichte eines die Beschwerdegegnerin beratenden Facharztes hat sie als bewiesen erachtet, dass der Beschwerdeführer in der Phase eins arbeitsfähig gewesen sei. Damit hat sie <ref-law> verletzt und die Rüge des Beschwerdeführers erweist sich als begründet.
3.3. Es ist nun nicht am Bundesgericht, gesetzeskonforme Beweisverfahren durchzuführen und gestützt darauf pflichtgemäss die Beweise zu würdigen; dies zu tun, ist Sache der Vorinstanz. Bezüglich Phase eins ist es dem Bundesgericht daher nicht möglich, entsprechend dem Hauptbegehren des Beschwerdeführers einen reformatorischen Entscheid zu fällen. Die Sache ist insofern vielmehr an die Vorinstanz zurückzuweisen, wobei konkrete Auflagen hinsichtlich der Art und Weise der Durchführung dieses Beweisverfahrens - entgegen den Spezifizierungen im Eventualantrag des Beschwerdeführers - nicht angezeigt sind.
4.
Da eine Gutheissung des Hauptbegehrens gestützt auf die Beurteilung von Phase eins nicht möglich ist, bleibt Phase fünf (10. Dezember 2014 bis 22. März 2015) zu prüfen. Diesbezüglich macht der Beschwerdeführer zunächst eine Verletzung seines Rechts auf Beweis nach Art. 152 Abs. 1 und Art. 53 ZPO, <ref-law>, Art. 29. Abs. 2 BV und Art. 6 Ziff. 1 EMRK geltend. Die Vorinstanz habe die von ihm bezüglich Phase fünf gestellten Beweisanträge, namentlich die Einvernahme seiner behandelnden Ärztin als sachverständige Zeugin sowie die Durchführung einer Parteibefragung, ignoriert. Zudem liege eine willkürliche Rechtsanwendung [recte: Beweiswürdigung] (<ref-law>) vor, da die Vorinstanz den Beweiswert der Arbeitsunfähigkeitszeugnisse der behandelnden Fachärztin in Anbetracht der bundesgerichtlichen Rechtsprechung verkannt habe.
4.1. Es trifft zu, dass der Beschwerdeführer vorinstanzlich die Einvernahme seiner behandelnden Ärztin als sachverständige Zeugin und die Durchführung einer Parteibefragung mit sich beantragte. Gleichwohl nahm die Vorinstanz diese Beweismittel nicht ab. Zu prüfen ist, ob sie dies hätte tun müssen und entsprechend das Recht auf Beweis verletzte, indem sie davon absah.
Das Recht auf Beweis wird durch die Nichtabnahme von beantragten Beweismitteln nicht verletzt, wenn die Vorinstanz - ohne dabei in Willkür verfallen zu sein - bei pflichtgemässer antizipierter Beweiswürdigung zur Überzeugung gelangt sein sollte, diese Beweismittel vermögen keine Klärung herbeizuführen, seien zur Erbringung des Beweises untauglich oder könnten die bereits gebildete Überzeugung so oder so nicht mehr umstossen (<ref-ruling> E. 5.3 S. 236 f. mit Hinweisen).
Die Tatsachenbehauptungen, die der Beschwerdeführer mit diesen zwei Beweisanträgen zu belegen suchte (vgl. <ref-law>), waren sehr allgemein gehalten, nämlich zum einen, wie die Diagnose der behandelnden Ärztin lautete, und zum anderen, dass sie ihn vom 25. Oktober 2013 bis zum 22. März 2015 zu 100 % arbeitsunfähig geschrieben hatte. Spezifische Behauptungen zur Phase fünf, welche die Vorinstanz in ihrem Urteil nicht berücksichtigt hätte, stellte der Beschwerdeführer nicht auf. Aus den Erwägungen im angefochtenen Urteil ergibt sich, dass sich am Beweisergebnis nichts geändert hätte, wenn die behandelnde Ärztin ihre Diagnose und ihre zwei die Phase fünf betreffenden Arbeitsunfähigkeitsatteste auch noch mündlich bestätigt hätte. Denn die Vorinstanz war gestützt auf <ref-ruling> E. 3a/cc [recte: E. 3b/cc] S. 353 der Ansicht, die Angaben der behandelnden Ärztin allein würden die Arbeitsunfähigkeit nicht zu beweisen vermögen, zumal die Atteste nur die Arbeitsunfähigkeit bescheinigen würden, aber keine weiteren, detaillierten Ausführungen zum Krankheitsverlauf enthielten. Aus der vorinstanzlichen Begründung ergibt sich ebenso, dass eine mündliche Anhörung des Beschwerdeführers, anlässlich welcher dieser seine Sicht der Dinge bestätigt hätte, nichts an diesem Beweisergebnis geändert hätte.
Da der Beschwerdeführer ohnehin eine willkürliche Beweiswürdigung geltend macht (vgl. E. 4 hiervor), ist nachfolgend zusammengefasst zu prüfen, wie es sich damit - auch hinsichtlich der antizipierten Beweiswürdigung - verhält.
4.2. Aus Sicht des Beschwerdeführers ist die vorinstanzliche Beweiswürdigung willkürlich, weil Arbeitsunfähigkeitszeugnissen behandelnder Fachärzte gemäss Urteil 4A_526/2014 vom 17. Dezember 2014 eine erhöhte Beweiskraft zukäme. Der von der Vorinstanz erwähnte <ref-ruling> betreffe das Sozialversicherungsrecht, nicht aber das Privatversicherungs- bzw. Zivilprozessrecht. Indem die Vorinstanz den Arbeitsunfähigkeitszeugnissen der behandelnden Fachärztin die Beweistauglichkeit abgesprochen habe, habe sie willkürlich gehandelt.
Der Beschwerdeführer misst dem von ihm mehrfach genannten Urteil 4A_526/2014 eine Tragweite zu, die dieses nicht hat. Das Bundesgericht hielt dort - entgegen der Ansicht des Beschwerdeführers - nicht etwa fest, die Einschätzung behandelnder Fachärzte hätte generell eine erhöhte Beweiskraft. Eine solch allgemeingültige Aussage stünde im Übrigen im Konflikt mit dem Grundsatz der freien Beweiswürdigung (<ref-law>). Das Bundesgericht stellte in diesem Urteil bloss fest, dass die Beweiswürdigung im konkreten Fall nicht willkürlich war, indem sich die Vorinstanz auf die Einschätzung der behandelnden Fachärztin und stellvertretenden Leiterin des Ambulatoriums des Psychiatrischen Zentrums St. Gallen abstützte, welche die Patientin in der fraglichen Zeit mehrfach persönlich behandelte. Mit dem blossen Hinweis auf dieses Urteil kann es dem Beschwerdeführer demnach nicht gelingen, die vorinstanzliche Beweiswürdigung als willkürlich auszuweisen.
Soweit den Beweiswert von Privatgutachten anbelangend, trifft es zwar zu, dass sich die sozialversicherungsrechtliche Rechtsprechung gemäss <ref-ruling> E. 3b/dd S. 353 nicht auf den zivilprozessualen Bereich übertragen lässt (<ref-ruling> E. 2.6 S. 437 f.; E. 3.2 hiervor). Anders verhält es sich hingegen mit der ebenfalls in <ref-ruling> erwähnten Erfahrungstatsache, wonach "Hausärzte mitunter im Hinblick auf ihre auftragsrechtliche Vertrauensstellung in Zweifelsfällen eher zu Gunsten ihrer Patienten aussagen" (E. 3b/cc S. 353). Diese Erkenntnis beruht auf der allgemeinen Lebenserfahrung, die nicht vom anwendbaren Prozessrecht abhängig ist. Im zivilprozessualen Bereich ist ihr bei der Beweiswürdigung, entsprechend den Umständen des konkreten Falls, Rechnung zu tragen. Dabei darf diese Erfahrungstatsache aber nicht dahingehend (miss) verstanden werden, dass Berichten von Hausärzten in jedem Fall zu misstrauen und ihnen von vornherein ohne nähere, willkürfreie Begründung jegliche Glaubwürdigkeit abzusprechen wäre (Urteil 4P.254/2005 vom 21. Dezember 2005 E. 4.2). Wird dieser Rahmen beachtet, ist nicht zu beanstanden, wenn diese Erkenntnis auch in Verfahren berücksichtigt wird, die der Zivilprozessordnung unterstehen.
Weder dem einen noch dem anderen Urteil lässt sich eine starre Regel zur Würdigung von Angaben der behandelnden Ärzte entnehmen, die eine Beweiswürdigung willkürlich machen würde, bloss weil im konkreten Fall davon abgewichen wurde (umgekehrt kann es aber willkürlich sein, wenn einer Erfahrungstatsache ohne weitere Begründung gefolgt wird, vgl. zit. Urteil 4P.254/2005 E. 4.2). Ob Willkür vorliegt, entscheidet sich somit an der in concreto erfolgten Beweiswürdigung. Die Vorinstanz gelangte nun nicht alleine aufgrund der Nähe zwischen der behandelnden Ärztin und dem Beschwerdeführer zum Schluss, die behauptete Arbeitsunfähigkeit sei nicht bewiesen. Sie berücksichtigte vielmehr noch weitere Indizien und strengte zusätzliche Überlegungen an (vgl. E. 2.3). Damit setzt sich der Beschwerdeführer nicht auseinander, weshalb seine Willkürrüge den Anforderungen von <ref-law> nicht zu genügen vermag. Ungeachtet dessen kann von einer willkürlichen Beweiswürdigung, auch hinsichtlich der antizipierten Beweiswürdigung, aber ohnehin nicht die Rede sein.
4.3. Bezüglich Phase fünf erweist sich die Beschwerde damit als unbegründet und ist abzuweisen, soweit darauf überhaupt einzutreten ist.
5.
Die Beschwerde ist somit teilweise gutzuheissen und das angefochtene Urteil aufzuheben. Die Sache ist zur Sachverhaltsfeststellung und Beweiswürdigung bezüglich Phase eins (E. 3 hiervor) an die Vorinstanz zurückzuweisen, welche alsdann neu zu entscheiden hat. Im Übrigen ist die Beschwerde abzuweisen, soweit darauf einzutreten ist.
Aufgrund des ungewissen Prozessausgangs ist die von der Vorinstanz festgesetzte reduzierte Prozessentschädigung ebenfalls aufzuheben. Die Vorinstanz wird darüber, auch hinsichtlich der Höhe und damit einer allfälligen Kürzung, erneut zu befinden haben. Infolgedessen brauchen hier die Rügen des Beschwerdeführers nicht behandelt zu werden, die er gegen die vorinstanzliche - im Vergleich zum ersten Teilklageurteil ausgesprochen rudimentär begründete - Kürzung des von ihm gemäss Kostennote geltend gemachten Honorars vorbringt.
6.
Die Rückweisung zum erneuten Entscheid mit noch offenem Ausgang gilt für die Kostenverlegung als vollständiges Obsiegen im Sinne von Art. 66 Abs. 1 sowie Art. 68 Abs. 1 und 2 BGG, unabhängig davon, ob sie beantragt resp. das entsprechende Begehren im Haupt- oder im Eventualantrag gestellt wird (<ref-ruling> E. 11.1 S. 312; <ref-ruling> E. 6.1 S. 235; je mit Hinweisen; jüngst Urteil 5A_577/2016 vom 13. Februar 2017 E. 4). Die Beschwerdegegnerin ist dementsprechend kosten- und entschädigungspflichtig.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird teilweise gutgeheissen. Das angefochtene Urteil des Sozialversicherungsgerichts des Kantons Zürich vom 24. August 2016 wird bezüglich Dispositivziffer 1 Satz 2 (Abweisung der Klage im Mehrbetrag) und Dispositivziffer 3 aufgehoben und die Sache wird zu neuer Beurteilung an das Sozialversicherungsgericht zurückgewiesen. Im Übrigen wird die Beschwerde abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 2'000.-- werden der Beschwerdegegnerin auferlegt.
3.
Die Beschwerdegegnerin hat den Beschwerdeführer für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 2'500.-- zu entschädigen.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich, II. Kammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 23. März 2017
Im Namen der I. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Kiss
Der Gerichtsschreiber: Lüthi