Sachverhalt:
A.
A._ (Beschwerdeführer) leidet an einem chronischen (lumbalen) Schmerzsyndrom, weshalb er sich mehreren operativen Eingriffen an der Wirbelsäule unterzog. Da keine Linderung seiner Schmerzen eintrat, liess er sich am 25. Juni 2007 im Spital B._ einen Rückenmarkstimulator implantieren. Es wurde ihm indes eine nur teilweise funktionstüchtige Elektrode eingesetzt, die er am 9. Juli 2007 operativ wieder entfernen liess. In der Folge machte er gegenüber der B._ AG (Beschwerdegegnerin) Schadenersatz- und Genugtuungsansprüche geltend.
B.
Die B._ AG eröffnete am 25. März 2015 ein Staatshaftungsverfahren und gab dem Beschwerdeführer Gelegenheit, sich zur beabsichtigten Abweisung seines Gesuchs zu äussern (Verfügungen vom 13.07.2015 und 11.08.2015). In diesem Zusammenhang störte sich der Beschwerdeführer daran, dass die B._ AG auch den Rechtsanwalt ihrer Haftpflichtversicherung über das laufende Verfahren informierte. Er stellte deshalb am 2. September 2015 folgende Anträge:
"1. Es sei von dem gestützt auf Art. 9 Abs. 1 des Verwaltungsrechtspflegegesetzes des Kantons Bern (VRPG) gestellten Ausstandsbegehrens des Gesuchstellers gegen sämtliche Mitglieder des Spruchkörpers Vormerk zu nehmen und das vorliegende Verfahren sei an eine gegenüber der Haftpflichtversicherung nicht weisungsgebundene Behörde zu überweisen, damit diese über das hängige Gesuch vom 6. Februar 2015 ergebnisoffen entscheide.
2. Es seien dem unterzeichneten Rechtsanwalt eine Kopie des auf den vorliegenden Sachverhalt anwendbaren Versicherungsvertrages (Police Nr. xxx), der anwendbaren Allgemeinen Versicherungsbedingungen (AVB) und der Statistik über die Entscheidpraxis der angerufenen Behörde zur Einsichtnahme zukommen zu lassen.
3. Die Mitglieder des Spruchkörpers der Verwaltungsbehörde haben gestützt auf Art. 9 Abs. 5 VRPG i.V.m. Art. 49 Abs. 2 ZPO dem Gesuchsteller eine schriftliche Stellungnahme zu erstatten.
4. Von einer Überweisung an die Rechtsmittelinstanz nach Art. 9 Abs. 2 VRPG sei vorläufig abzusehen, damit nach Erhalt der Unterlagen gemäss Ziff. 2 und 3 hiervor dem Gesuchsteller die Möglichkeit verbleibt, das hängige Ausstandsbegehren zurückzuziehen.
5.a) Während des laufenden Ausstands- und Abklärungsverfahrens sei das hängige Verfahren betreffend das Gesuch vom 6. Februar 2015 zu sistieren.
b) Eventualiter: Die Frist zur Einreichung einer Stellungnahme betreffend die beabsichtigte Abweisung sei angemessen zu erstrecken."
Mit Verfügung vom 25. September 2015 kam die B._ AG zum Schluss, ein vorsorgliches Ablehnungsbegehren sei unzulässig. Ferner hätte über ein solches nicht sie, sondern die Rechtsmittelbehörde zu befinden. Da der Beschwerdeführer ausdrücklich keine Beurteilung durch diese wünsche, werde auf eine Weiterleitung des Ablehnungsbegehrens an das Verwaltungsgericht verzichtet und mangels Zuständigkeit auf die gestellten Anträge nicht eingetreten.
Gegen diese Verfügung erhob A._ Verwaltungsgerichtsbeschwerde an das Verwaltungsgericht des Kantons Bern. Er beantragte, die angefochtene Verfügung sei "infolge deren Nichtigkeit aufzuheben". Ferner sei gerichtlich festzustellen, dass die B._ AG "mit der Komplettabweisung sämtlicher Anträge des Beschwerdeführers" das rechtliche Gehör, das Verbot formeller Rechtsverweigerung sowie die Rechtsweggarantie verletzt habe. Die Streitsache sei zum Neuentscheid und zur Gewährung der Verfahrensrechte an die Vorinstanz zurückzuweisen, verbunden mit der Anweisung, dass diese über die Anträge des Beschwerdeführers vom 2. September 2015 materiell zu befinden habe. Eventualiter habe das Verwaltungsgericht über das hängige Ausstandsbegehren zu entscheiden. Die B._ AG sei gerichtlich anzuweisen, dem Beschwerdeführer die erstinstanzlich verlangten Unterlagen zur Einsichtnahme zukommen zu lassen. Die Mitglieder des Spruchkörpers der Verwaltungsbehörde hätten ihm eine schriftliche Stellungnahme zu erstatten. Es sei gerichtlich festzustellen, dass der Beschwerde aufschiebende Wirkung zukomme. Es sei eine öffentliche Gerichtsverhandlung mit Publikums- und Presseanwesenheit durchzuführen. Es sei ihm die Möglichkeit zur Einreichung einer detaillierten Kostennote einzuräumen, alles unter Kosten- und Entschädigungsfolge zulasten der B._ AG.
Mit Urteil des Einzelrichters vom 15. Februar 2015 wies das Verwaltungsgericht die Beschwerde ab, soweit es darauf eintrat. Ferner wies es das Ablehnungsbegehren ab.
Der Einzelrichter erwog, angefochten sei eine Zwischenverfügung, mit der die B._ AG auf ein (vorsorgliches) Ablehnungsbegehren (Antrag 1) und verschiedene damit verbundene Verfahrensanträge (Anträge 2 - 5) nicht eingetreten sei. Mangels Darlegung eines nicht wieder gutzumachenden Nachteils trat er auf die Beschwerde nicht ein, soweit sie sich gegen das Nichteintreten auf die Anträge 2 - 5 richtete. M angels besonderen Feststellungsinteresses trat er ferner auf die bei ihm gestellten Feststellungsbegehren nicht ein. Er interpretierte die Rechtsbegehren der Beschwerde "im wohlverstandenen Interesse des Beschwerdeführers" dahingehend, dass das Verwaltungsgericht, wenn die Sache nicht an die B._ AG zurückgewiesen wird, die Beschwerdeschrift als Ausstandsgesuch entgegennimmt und selber darüber befindet. Entsprechend behandelte er einzig den beantragten Ausstand "sämtlicher Mitglieder des Spruchkörpers" bzw. der Entscheidungsträger der B._ AG. Diesen wies er ab.
C.
Der Beschwerdeführer beantragt dem Bundesgericht mit Beschwerde in Zivilsachen, das Urteil des Verwaltungsgerichts sei aufzuheben und es sei gerichtlich festzustellen, dass sämtliche Mitglieder des Spruchkörpers der B._ AG die hängige Rechtsstreitsache infolge gewecktem Anschein der Befangenheit nicht mehr beurteilen könnten und sei deshalb das vorliegende Verfahren an eine gegenüber der Haftpflichtversicherung der B._ AG (C._) nicht weisungsgebundene und nicht vom Anwalt der Haftpflichtversicherung vertretene Justizbehörde zu überweisen, damit diese über das hängige Gesuch vom 6. Februar 2015 ergebnisoffen entscheide. Eventuell sei die Beschwerdesache zur weiteren Sachverhaltsabklärung an die Vorinstanz zu überweisen.
Mit Präsidialverfügung vom 12. Mai 2016 wurde der Beschwerde die aufschiebende Wirkung erteilt und das Verfahren antragsgemäss sistiert bis zum rechtskräftigen Abschluss des vom Beschwerdeführer beantragten Verfahrens vor der Anwaltsaufsichtsbehörde des Kantons Bern gegen den Rechtsvertreter der B._ AG, Fürsprecher Franz Müller. Nachdem die Anwaltsaufsichtsbehörde von der Eröffnung eines Disziplinarverfahrens gegen Fürsprecher Franz Müller abgesehen hatte, wurde das bundesgerichtliche Verfahren mit Verfügung vom 14. Oktober 2016 wieder aufgenommen.
Am 1. November 2016 wurden die Beschwerdegegnerin und die Vorinstanz eingeladen, eine allfällige Vernehmlassung zur Beschwerde, insbesondere zur Frage des doppelten Instanzenzuges betreffend Ausstandsbegehren (Art. 75 BGG), einzureichen.
Die Vorinstanz beantragt die Abweisung der Beschwerde, ohne sich zur Frage des doppelten Instanzenzuges zu äussern. Die Beschwerdegegnerin verzichtete auf eine Vernehmlassung.
Der Beschwerdeführer reichte eine Replik ein.

Erwägungen:
1.
Das Bundesgericht prüft von Amtes wegen und mit freier Kognition, ob ein Rechtsmittel zulässig ist (<ref-ruling> E. 2; <ref-ruling> E. 1.1; <ref-ruling> E. 1).
1.1. Das Verwaltungsgericht trat auf die kantonale Beschwerde weitgehend nicht ein. Es nahm die Beschwerdeschrift als Ausstandsgesuch gegen sämtliche Mitglieder des Spruchkörpers bzw. der Entscheidungsträger der B._ AG entgegen. Die Beschwerde richtet sich gegen die Abweisung dieses Ausstandsgesuchs.
Der angefochtene Entscheid bildet mithin einen selbständig eröffneten Zwischenentscheid über ein Ausstandsbegehren. Dagegen ist die Beschwerde zulässig (Art. 92 Abs. 1 BGG).
1.2. Nach dem Grundsatz der Einheit des Verfahrens sind Zwischenentscheide mit dem in der Hauptsache zulässigen Rechtsmittel anzufechten (<ref-ruling> E. 1.4; <ref-ruling> E. 2.2). In der Hauptsache geht es um eine Schadenersatzklage wegen fehlerhafter Behandlung in einem öffentlichen Spital mit einem Streitwert von über Fr. 30'000.-- (Art. 74 Abs. 1 lit. b BGG). Dagegen steht die Beschwerde in Zivilsachen offen (BGE <ref-ruling> E. 1.5; <ref-ruling> E. 2.1). Demnach ist die Beschwerde in Zivilsachen gegen den angefochtenen Zwischenentscheid gegeben.
1.3. Nach Art. 75 Abs. 1 BGG ist die Beschwerde zulässig gegen Entscheide letzter kantonaler Instanzen. Bei der letzten kantonalen Instanz muss es sich um ein oberes Gericht handeln (Art. 75 Abs. 2 Satz 1 BGG). Zudem muss dieses obere Gericht als Rechtsmittelinstanz entscheiden (Art. 75 Abs. 2 Satz 2 BGG), es sei denn, es liege einer der Ausnahmefälle von Art. 75 Abs. 2 lit. a bis c BGG vor (<ref-ruling> E. 4.1). Die den Kantonen zur Anpassung ihrer Bestimmungen an Art. 75 Abs. 2 BGG gewährte Übergangsfrist (Art. 130 Abs. 2 BGG) ist mit dem Inkrafttreten der schweizerischen Zivilprozessordnung am 1. Januar 2011 abgelaufen (BGE <ref-ruling> E. 1.6 S. 255; <ref-ruling> E. 1.1; <ref-ruling> E. 2.1; Urteil 4A_263/2016 vom 20. September 2016 E. 1.2).
Das Erfordernis der double instance gilt nicht nur für die Anfechtung von Endentscheiden sondern auch von Zwischenentscheiden. Eine allgemeine Ausnahme vom Erfordernis der double instance für Zwischenentscheide besteht nicht. Vorbehalten bleibt folgender Fall: Ist ein oberes Gericht mit einem Rechtsmittelverfahren befasst und fällt es in diesem Rahmen einen Zwischenentscheid (z.B. über den Ausstand eines M itglieds des oberen Gerichts), so ist die direkte Beschwerde an das Bundesgericht bei im Übrigen gegebenen Voraussetzungen zulässig (BGE <ref-ruling> E. 1.1 S. 42; <ref-ruling> E. 2.2 S. 426; Urteil 4A_263/2016 vom 20. September 2016 E. 1.2).
1.4. Im Kanton Bern sind Ablehnungsbegehren in Staatshaftungsstreitigkeiten, die öffentliche Spitäler betreffen, gemäss Art. 9 Abs. 2 Satz 1 des kantonalen Gesetzes vom 23. Mai 1989 über die Verwaltungsrechtspflege (VRPG; BSG 155.21) durch die Rechtsmittelbehörde zu beurteilen (Urteil des Verwaltungsgerichts des Kantons Bern vom 18. Dezember 2013, in: BVR 2014 S. 216 ff. E. 1.1). Dementsprechend hat das Verwaltungsgericht vorliegend als erste Instanz über das gegen die Entscheidungsträger der erstinstanzlich verfügenden B._ AG gerichtete Ausstandsbegehren befunden. Da keine der Ausnahmen vom Erfordernis der double instance gemäss Art. 75 Abs. 2 lit. a - c BGG vorliegt, kann auf die Beschwerde nicht eingetreten werden. Die unzutreffende Rechtsmittelbelehrung ändert daran nichts. Es ist Sache der Kantone, durch eine geeignete Organisations- und Verfahrensordnung den bundesrechtlichen Anforderungen an die Vorinstanzen des Bundesgerichts Rechnung zu tragen.
2.
Auf die direkt beim Bundesgericht eingereichte Beschwerde ist demnach nicht einzutreten, weil sie sich gegen einen Ausstandsentscheid richtet, den das obere kantonale Gericht als erste und nicht als Rechtsmittelinstanz gefällt hat. Die Sache ist zur weiteren Behandlung im Sinne der Erwägungen an das Verwaltungsgericht des Kantons Bern zu überweisen.
Der fehlerhafte Verfahrensablauf, der zum Nichteintretensentscheid führt, geht auf die Gerichtsorganisation des Kantons Bern zurück; die entsprechenden Kosten lassen sich nicht dem Beschwerdeführer anlasten, ebenso wenig der Beschwerdegegnerin. Es rechtfertigt sich im konkreten Fall, auf die Erhebung von Gerichtskosten und die Zusprechung von Parteientschädigungen zu verzichten (Art. 66 Abs. 1 und Art. 68 Abs. 1 BGG; vgl. die entsprechende Kostenregelung im Urteil 4A_185/2013 vom 17. Juni 2013 E. 2).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2.
Die Sache wird zur Behandlung im Sinne der Erwägungen an die Vorinstanz zurückgewiesen.
3.
Es werden keine Gerichtskosten erhoben.
4.
Es werden keine Parteientschädigungen zugesprochen.
5.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Verwaltungsgericht des Kantons Bern, Verwaltungsrechtliche Abteilung, Einzelrichter, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 13. Januar 2017
Im Namen der I. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Kiss
Der Gerichtsschreiber: Brugger