Sachverhalt:
A.
Die 1971 geborene A._ ist diplomierte Kinderkrankenschwester und arbeitete zuletzt im 70 %-Pensum in der Psychiatrie B._ als Pflegefachfrau und Betreuerin in der jugendpsychiatrischen Therapiestation. Am 2. Juli 2012 meldete sie sich wegen psychischen Beschwerden bei der Invalidenversicherung zum Leistungsbezug an. Die IV-Stelle des Kantons Luzern nahm medizinische Abklärungen vor und gewährte A._ Frühinterventionsmassnahmen in Form einer Beschäftigungsmassnahme sowie Laufbahnberatung. Mit Verfügung vom 28. Juni 2013 verneinte die IV-Stelle einen Rentenanspruch, da keine Invalidtät ausgewiesen sei. Die dagegen erhobene Beschwerde hiess das kantonale Gericht am 27. Januar 2014 insoweit gut, als es die angefochtene Verfügung aufhob und die Sache zu weiteren Abklärungen an die Verwaltung zurückwies.
Die IV-Stelle veranlasste in der Folge bei Dr. med. C._, FMH Psychiatrie und Psychotherapie, ein psychiatrisches Gutachten, das am 6. Oktober 2014 erstattet wurde. Mit Verfügung vom 23. Februar 2015wies sie das Leistungsbegehren nach durchgeführtem Vorbescheidverfahren erneut ab. Am 9. März 2015 verneinte sie auch den Anspruch auf einen unentgeltlichen Rechtsbeistand im Verwaltungsverfahren.
B.
Das Kantonsgericht Luzern holte bei Dr. med. D._, FMH Psychiatrie und Psychotherapie, ein psychiatrisches Gerichtsgutachten ein, das vom 8. Juni 2016 datiert. Gestützt darauf sprach das kantonale Gericht A._ mit Entscheid vom 28. Oktober 2016 vom 1. April 2013 bis 30. November 2015 eine ganze Invalidenrente, vom 1. Dezember 2015 bis 31. März 2016 eine Dreiviertelsrente und vom 1. April bis 30. September 2016 eine Viertelsrente zu (Dispositiv-Zif- fer 1). Betreffend die unentgeltliche Rechtspflege im Verwaltungsverfahren wies es die Sache - unter Bezugnahme auf seine Erwägung 8.6 - an die IV-Stelle zurück, damit diese (nach Abklärung der Bedürftigkeit) neu verfüge (Dispositiv-Ziffer 2). Ferner überband das Kantonsgericht die Beweiskosten (für das eingeholte Gerichtsgutachten vom 8. Juni 2016) von Fr. 4'950.- der IV-Stelle (Dispositiv-Ziffer 3).
C.
Die IV-Stelle führt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten mit dem sinngemässen Rechtsbegehren, der Entscheid vom 28. Oktober 2016 sei integral aufzuheben und die Richtigkeit der Verfügungen vom 23. Februar (Rente) und 9. März 2015 (unentgeltliche Verbeiständung im Verwaltungsverfahren) zu bestätigen. Ausserdem sei der Beschwerde die aufschiebende Wirkung zu erteilen.

Erwägungen:
1.
Mit der Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann unter anderem die Verletzung von Bundesrecht gerügt werden (<ref-law>). Die Feststellung des Sachverhalts kann nur gerügt werden, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von Artikel 95 beruht und wenn die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein kann (<ref-law>). Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (<ref-law>). Es kann die Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz von Amtes wegen berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von Artikel 95 beruht (<ref-law>).
2.
Es kann offenbleiben, ob und inwieweit Dispositiv-Ziffer 2 des vorinstanzlichen Entscheides, wie die IV-Stelle geltend macht, selbstständig ist oder materiellrechtlich mit Dispositiv-Ziffer 1, welche die Qualität eines Endentscheides im Sinne von <ref-law> aufweist, zusammenhängt und deshalb ebenfalls der Charakter eines Endentscheides zukommt. Ebenso wenig braucht abschliessend beantwortet zu werden, ob Dispositiv-Ziffer 2 allenfalls einen Teil- oder Rückweisungsentscheid (vgl. Art. 91 und 93 BGG) darstellt. So oder anders ist die Beschwerdebefugnis gegeben (vgl. zum Ganzen <ref-ruling>; Urteil 9C_161/2011 vom 3. Mai 2011 E. 1).
3.
3.1. Die IV-Stelle macht hinsichtlich der Rentenfrage eine Verletzung des Untersuchungsgrundsatzes und der Beweiswürdigungsregeln (vgl. Art. 43 Abs. 1 und 61 lit. c ATSG) sowie der Begründungspflicht (<ref-law>) geltend. Obwohl dem Administrativgutachten der Dr. med. C._ Beweiswert zukomme, habe die Vorinstanz ohne nähere sachliche Begründung ein Gerichtsgutachten eingeholt. Dem ist vorab zu entgegnen, dass das kantonale Gericht in seiner Erwägung 5.1 sehr wohl den Grund dargelegt hat, den es zu einer weiteren Begutachtung veranlasste. Wie die IV-Stelle selber in ihrer Beschwerde ausführt, erachtete die Vorinstanz das Administrativgutachten in Bezug auf die Einschätzung der Arbeitsfähigkeit in der bisherigen Tätigkeit (Psychiatriekrankenschwester) als nicht schlüssig und nicht nachvollziehbar: Einerseits werde die bisherige Tätigkeit als eher ungeeignet erachtet. Anderseits solle dennoch eine Arbeitsfähigkeit von 80 % bestehen. Gestützt auf diese Begründung war die IV-Stelle ohne weiteres in der Lage, den kantonalen Entscheid sachgerecht anzufechten. Von einer Verletzung der Begründungspflicht kann nicht die Rede sein (vgl. statt vieler: Urteil 9C_402/2016 vom 12. Oktober 2016 E. 4.2). Im Übrigen hat auch der Gerichtsgutachter Dr. med. D._ diesen Widerspruch erkannt, wie die Vorinstanz für das Bundesgericht verbindlich (vgl. E. 1 vorne) festgestellt hat. Es kann daher, anders als die IV-Stelle Glauben zu machen versucht, nicht davon gesprochen werden, dass das Administrativgutachten der Dr. med. C._ den rechtlichen Anforderungen genügt, die für ärztliche Berichte und Gutachten gelten (vgl. dazu <ref-ruling> E. 3a S. 352).
3.2. Eine andere Frage ist, ob der besagte Mangel resp. Widerspruch eine gerichtliche Neubegutachtung erforderte. Nach Auffassung der IV-Stelle hatte die Beurteilung der Arbeitsfähigkeit in der angestammten Tätigkeit keinen wesentlichen Einfluss auf den Rentenanspruch, da sich ein solcher nach Durchführung eines Einkommensvergleichs (<ref-law>) infolge der von Dr. med. C._ festgehaltenen 90%igen Restarbeitsfähigkeit in einer angepassten Tätigkeit ohnehin nicht ergeben hätte. Der IV-Stelle ist insoweit zuzustimmen, als durchaus Konstellationen vorliegen können, bei welchen von der im medizinischen Gutachten festgestellten Arbeitsunfähigkeit abzuweichen ist, ohne dass dieses seinen Beweiswert verliert (vgl. statt vieler: Urteil 8C_444/2016 vom 31. Oktober 2016 E. 6.2.4 mit weiteren Hinweisen). Ebenso trifft zu, dass ein Gerichtsgutachten u.a. nur dann einzuholen ist, wenn eine Administrativexpertise in einem rechtserheblichen Punkt nicht beweiskräftig ist (<ref-ruling> E. 4.4.1.4 S. 264). Indes lässt sich hier nicht sagen, der Gutachtensauftrag an den psychiatrischen Gerichtsexperten Dr. med. D._ habe bloss eine (unzulässige) Zweitmeinung zum Ziel gehabt. Die Verwaltung lässt ausser Acht, dass sie selber, wie von der Vorinstanz nicht offensichtlich unrichtig festgestellt (vgl. E. 1 vorne), von einem gemischten Status der Versicherten ausging (70 % Erwerbstätigkeit; 30 % Haushalt). Dass bei dieser Sachlage, über die im Zeitpunkt der Auftragserteilung für das Gerichtsgutachten noch nicht entschieden worden war, sowie unter Annahme einer Restarbeitsfähigkeit in einer angepassten Tätigkeit von 90 % ebenfalls kein Rentenanspruch resultiert hätte, tut die IV-Stelle nicht dar.
3.3. Die Vorinstanz hat dem psychiatrischen Gerichtsgutachten des Dr. med. D._ Beweiswert zuerkannt, was sie - entgegen der Ansicht der IV-Stelle - in ihrer Erwägung 5.3 hinreichend begründete (vgl. E. 3.1 vorne). Soweit die Verwaltung von "allfälligen Divergenzen" spricht, die sich aus den beiden Gutachten ergäben und von der Vorinstanz zu erörtern gewesen wären, so ist diese Rüge zu pauschal bzw. unsubstanziiert, und es ist nicht weiter darauf einzugehen. Hinzu kommt, dass zwischen dem Administrativ- und dem Gerichtsgutachten über eineinhalb Jahre liegen. In diese Zeitspanne fällt ein Aufbau- und Arbeitstraining, das die Versicherte mit Unterstützung des Zentrums E._ absolvierte. Nachdem die abweichende Einschätzung des Dr. med. D._ auf diesem Umstand gründet - was sich leicht aus dem Gutachten ergibt - und arbeitsorientierte Evaluationen mit Blick auf <ref-law> nicht einfach ausgeblendet werden dürfen (Urteil 9C_148/2012 vom 17. September 2012 E. 2.3.2 mit Hinweis auf Urteil 9C_833/2007 vom 4. Juli 2008 E. 3.3.2), geht der Einwand der IV-Stelle fehl, die retrospektive Einschätzung des Gerichtsexperten (vom 8. Juni 2016) stehe im Widerspruch zur echtzeitlichen Einschätzung im psychiatrischen Administrativgutachten (vom 6. Oktober 2014). Die Beschwerdeführerin übersieht insbesondere, dass eine Änderung der Arbeitsfähigkeit und folglich ein Revisionsgrund auch dann gegeben ist, wenn der medizinische Sachverhalt an und für sich unverändert geblieben ist, indessen eine Anpassung und Angewöhnung der versicherten Person an ihr Leiden stattgefunden hat (Urteil 9C_359/2015 vom 27. August 2015 E. 4). Dass die hier zu beurteilende Situation damit nicht vergleichbar sein soll, bringt die IV-Stelle nicht vor.
3.4. Zusammengefasst lässt sich bezüglich der Rentenfrage keine Rechtsverletzung (vgl. <ref-law>) ausmachen. Die vorinstanzliche Bemessung der Invaliditätsgrade (<ref-law>) für die jeweiligen Zeitabschnitte (vorinstanzliche Erwägungen 6.4-6.6) ist unangefochten geblieben. Das Bundesgericht hat keine Veranlassung zu einer abweichenden Betrachtungsweise. Die Voraussetzungen für die - zeitliche - Ausdehnung des Anfechtungsgegenstandes (vgl. dazu statt vieler: Urteil 9C_540/2015 vom 15. Oktober 2015 E. 3.1 mit weiteren Hinweisen) werden ebenfalls nicht in Zweifel gezogen. Die Zusprache einer (Viertels-) Rente bis Ende September 2016 lässt sich einerseits erklären mit dem Datum des Gerichtsgutachtens (8. Juni 2016) bzw. der darin geäusserten Prognose, wonach die Arbeitsfähigkeit der Versicherten durch weitere Therapiefortschritte auf über 80 % gesteigert werden könne (psychiatrisches Gerichtsgutachten vom 8. Juni 2016, S. 20), und anderseits mit der verordnungsrechtlichen Vorgabe des <ref-law> (Berücksichtigung einer Verbesserung der Erwerbsfähigkeit, wenn sie ohne wesentliche Unterbrechung drei Monate gedauert hat und voraussichtlich weiterhin andauernd wird). Dabei ist der IV-Stelle Recht zu geben, wenn sie darlegt, mit Dispositiv-Ziffer 1 sei abschliessend über den Rentenanspruch entschieden worden und in diesem Punkt sei kein Verfahren mehr offen: Die Rente gilt per 1. Oktober 2016 als aufgehoben. Zwar wird die Änderung bei gerichtlicher Rentenaufhebung erst auf den ersten Tag des zweiten Monats wirksam, welcher der Zustellung des Urteils folgt (Art. 88bis Abs. 2 lit. a IVV; <ref-ruling> E. 6.1 S. 47). Das Bundesgericht darf jedoch nicht über die Begehren der Parteien hinausgehen (<ref-law>).
3.5. Gleichzeitig steht fest, dass die Kosten für das Gerichtsgutachten im Umfang von Fr. 4'950.- der Beschwerdeführerin überbunden werden durften (vgl. dazu <ref-ruling> E. 4.3 f. S. 501 f.).
4.
Schliesslich ist die sachliche Erforderlichkeit der anwaltlichen Verbeiständung im sozialversicherungsrechtlichen Verwaltungsverfahren streitig. Wie die IV-Stelle richtig ausführt, sind dafür die Verhältnisse im Zeitpunkt der Gesuchseinreichung am 5. Januar 2015 relevant; der Ausgang des vorinstanzlichen Beschwerdeverfahrens stellt nicht das Richtmass dar. In freier Überprüfung der vorliegend zu beantwortenden Rechtsfrage (vgl. Urteil 9C_898/2014 vom 20. November 2015 E. 3.1 mit Hinweisen) erhellt aus den Akten, dass die Versicherte immer wieder depressive Krisen unterschiedlicher Schwere durchmacht (e); erst im Verlauf des Jahres 2015 trat eine markante Verbesserung ein. Wenn auch keine anhaltende mittelschwere bis schwere depressive Episode mit über dreimonatiger Dauer ausgemacht werden kann, ist im Zusammenhang mit der diagnostizierten emotional instabilen Persönlichkeitsstörung vom Borderline-Typ (ICD-10 F60.31), die u.a. durch Impulsivität, mangelnde Selbstkontrolle sowie einem negativen Selbstbild und unklaren Zielen gekennzeichnet ist (vgl. auch psychiatrisches Gerichtsgutachten vom 8. Juni 2016, S. 14), von einem - damals bei (Gesuchseinreichung) - geistig-psychischen Krankheitszustand auszugehen, der es der Versicherten verunmöglichte, ihre Interessen selber zu wahren. Insoweit hat das kantonale Gericht eine anwaltliche Verbeiständung im Ergebnis zu Recht als notwendig erachtet. Der vorinstanzlichen Verneinung der Aussichtslosigkeit hat das Bundesgericht nichts beizufügen; sie wurde von der IV-Stelle denn auch nicht thematisiert. Mithin fehlt die Abklärung der Bedürftigkeit, wozu die Vorinstanz die Sache richtigerweise an die Verwaltung zurückgewiesen hat.
5.
Die Beschwerde ist unbegründet. Mit diesem Urteil in der Sache wird das Gesuch um aufschiebende Wirkung der Beschwerde gegenstandslos.
6.
Dem Ausgang des Verfahrens entsprechend hat die Beschwerdeführerin die Gerichtskosten zu tragen (<ref-law>). Der Beschwerdegegnerin wird keine Parteientschädigung zugesprochen, weil ihr - mangels Durchführung eines Schriftenwechsels (<ref-law>) - aufgrund der Beschwerdeerhebung der IV-Stelle kein zusätzlicher Aufwand entstanden ist (vgl. Art. 68 Abs. 1 und 2 BGG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 800.- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird den Parteien, dem Kantonsgericht Luzern, 3. Abteilung, und dem Bundesamt für Sozialversicherungen schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 31. Januar 2017
Im Namen der II. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Pfiffner
Der Gerichtsschreiber: Grünenfelder