Sachverhalt:
A.
Die 2002 geborene A._ leidet am Aspergersyndrom bei anerkannter Autismus-Spektrums-Störung im Sinne von Ziff. 405 des Anhangs zur Verordnung über Geburtsgebrechen (GgV). Im April/Mai 2014 erfolgte deswegen eine Anmeldung für Leistungen der Invalidenversicherung. Die IV-Stelle des Kantons St. Gallen nahm nebst weiteren Sachverhaltserhebungen eine Abklärung an Ort und Stelle vor. Darüber erstatteten die beiden Abklärungspersonen am 6. November 2014 Bericht. Mit Verfügung vom 6. Januar 2015 sprach die IV-Stelle der Versicherten ab 1. Mai 2013 eine Hilflosenentschädigung für Minderjährige bei mittlerer Hilflosigkeit zu. Hingegen verneinte sie einen Anspruch auf einen Intensivpflegezuschlag, da der tägliche zeitliche Mehraufwand unter vier Stunden liege.
B.
Beschwerdeweise beantragte A._, es seien eine Hilflosenentschädigung entsprechend einer schweren Hilflosigkeit und ein Intensivpflegezuschlag zuzusprechen, eventuell sei die Sache zu weiteren Abklärungen an die Verwaltung zurückzuweisen. Das Versicherungsgericht des Kantons St. Gallen hiess die Beschwerde mit Entscheid vom 17. März 2016 dahingehend gut, dass es der Versicherten ab 1. März 2013 einen Intensivpflegezuschlag für einen invaliditätsbedingten Betreuungsaufwand von mindestens vier, aber weniger als sechs Stunden zusprach und die Sache zur Festsetzung des konkreten Leistungsanspruchs anhand der zu Hause verbrachten Tage an die Verwaltung zurückwies.
C.
Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten beantragt die IV-Stelle, es sei der vorinstanzliche Entscheid aufzuheben und ihre Verfügung vom 6. Januar 2015 zu bestätigen.
Die Versicherte und das kantonale Gericht schliessen in ihren Vernehmlassungen je auf Abweisung der Beschwerde.

Erwägungen:
1.
Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann wegen Rechtsverletzungen gemäss Art. 95 und 96 BGG erhoben werden. Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (<ref-law>), doch prüft es, unter Berücksichtigung der allgemeinen Rüge- und Begründungspflicht (Art. 42 Abs. 1 und 2 BGG), nur die geltend gemachten Vorbringen, falls allfällige weitere rechtliche Mängel nicht geradezu offensichtlich sind (<ref-ruling> E. 1.6 S. 280; vgl. auch <ref-ruling> E. 1 S. 236; <ref-ruling> E. 1.1 S. 137 f.).
Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (<ref-law>). Es kann deren Sachverhaltsfeststellung nur berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruht (<ref-law>).
2.
Der Anspruch auf eine Hilflosenentschädigung zur IV-Rente selbst ist nicht mehr umstritten. Streitig und zu prüfen ist, ob die Vorinstanz Bundesrecht verletzte, indem sie der Beschwerdegegnerin zur Hilflosenentschädigung einen Intensivpflegezuschlag zusprach.
3.
Gemäss <ref-law> wird die Hilflosenentschädigung für Minderjährige, die zusätzlich eine intensive Betreuung brauchen, um einen Intensivpflegezuschlag erhöht; dieser Zuschlag wird nicht gewährt bei einem Aufenthalt in einem Heim. Der monatliche Intensivpflegezuschlag beträgt bei einem invaliditätsbedingten Betreuungsaufwand von mindestens 8 Stunden pro Tag 60 Prozent, bei einem solchen von mindestens 6 Stunden pro Tag 40 Prozent und bei einem solchen von mindestens 4 Stunden pro Tag 20 Prozent des Höchstbetrages der Altersrente nach Artikel 34 Abs. 3 und 5 AHVG. Der Zuschlag berechnet sich pro Tag. Der Bundesrat regelt im Übrigen die Einzelheiten.
Dies ist in Art. 36 und insbesondere <ref-law> erfolgt. Nach <ref-law> liegt eine intensive Betreuung im Sinne von Artikel 42ter Absatz 3 IVG bei Minderjährigen vor, wenn diese im Tagesdurchschnitt infolge Beeinträchtigung der Gesundheit zusätzliche Betreuung von mindestens vier Stunden benötigen (Abs. 1). Anrechenbar als Betreuung ist der Mehrbedarf an Behandlungs- und Grundpflege im Vergleich zu nicht behinderten Minderjährigen gleichen Alters. Nicht anrechenbar ist der Zeitaufwand für ärztlich verordnete medizinische Massnahmen, welche durch medizinische Hilfspersonen vorgenommen werden, sowie für pädagogisch-therapeutische Massnahmen (Abs. 2). Bedarf eine minderjährige Person infolge Beeinträchtigung der Gesundheit zusätzlich einer dauernden Überwachung, so kann diese als Betreuung von zwei Stunden angerechnet werden. Eine besonders intensive behinderungsbedingte Überwachung ist als Betreuung von vier Stunden anrechenbar (Abs. 3).
4.
Die IV-Stelle verneinte in der Verfügung vom 6. Januar 2015 den Anspruch auf einen Intensivpflegezuschlag mit der Begründung, gemäss ihren Abklärungen sei die Versicherte beim An- und Auskleiden, der Körperpflege, dem Verrichten der Notdurft und der Fortbewegung/Kontaktpflege auf regelmässige und erhebliche Hilfe angewiesen. Zudem müsse sie persönlich überwacht werden. Der tägliche zeitliche Mehraufwand liege aber insgesamt unter vier Stunden. Die IV-Stelle stützte sich hiebei auf den Abklärungsbericht vom 6. November 2014. In diesem bemassen die Abklärungspersonen gestützt auf Erhebungen an Ort und Stelle den täglichen zeitlichen Mehrbedarf bei den genannten Verrichtungen und unter Anrechnung einer dauernden Überwachung auf insgesamt 3 Stunden 37 Minuten. Hilfe im Rahmen Behandlungspflege sei nicht erforderlich. Der angerechnete Betreuungsaufwand setzt sich mithin aus 1 Stunde 37 Minuten für Grundpflege im Sinne von <ref-law> und 2 Stunden für dauernde Überwachung im Sinne von <ref-law> zusammen.
Das kantonale Gericht hat im Bereich Grundpflege pro Tag einen Zeitaufwand von zusätzlich 16 Minuten für indirekte Hilfe beim Essen und von 22 Minuten (statt den von der Verwaltung anerkannten 2 Minuten) für indirekte Hilfe beim Verrichten der Notdurft angerechnet. Dies führte zu einem invaliditätsbedingten Betreungsaufwand von insgesamt 4 Stunden 13 Minuten.
Die IV-Stelle rügt, die Vorinstanz sei damit zu Unrecht von der Einschätzung der Abklärungspersonen abgewichen. Die Abweichungen würden durch die Akten nicht gestützt. Die Versicherte und das kantonale Gericht verneinen dies.
5.
5.1. Gemäss <ref-law> kann die IV-Stelle zur Prüfung eines Leistungsanspruchs unter anderem Abklärungen an Ort und Stelle vornehmen. Nach der Rechtsprechung hat ein Abklärungsbericht unter dem Aspekt der Hilflosigkeit (<ref-law>) oder des Pflegebedarfs folgenden Anforderungen zu genügen: Als Berichterstatterin oder Berichterstatter wirkt eine qualifizierte Person, welche Kenntnis der örtlichen und räumlichen Verhältnisse sowie der aus den seitens der Mediziner gestellten Diagnosen sich ergebenden Beeinträchtigungen und Hilfsbedürftigkeiten hat. Bei Unklarheiten über physische oder psychische Störungen und/oder deren Auswirkungen auf alltägliche Lebensverrichtungen sind Rückfragen an die medizinischen Fachpersonen nicht nur zulässig, sondern notwendig. Weiter sind die Angaben der Hilfe leistenden Personen zu berücksichtigen, wobei divergierende Meinungen der Beteiligten im Bericht aufzuzeigen sind. Der Berichtstext schliesslich muss plausibel, begründet und detailliert bezüglich der einzelnen alltäglichen Lebensverrichtungen sowie den tatbestandsmässigen Erfordernissen der dauernden Pflege und der persönlichen Überwachung und der lebenspraktischen Begleitung sein. Schliesslich hat er in Übereinstimmung mit den an Ort und Stelle erhobenen Angaben zu stehen. Das Gericht greift, sofern der Bericht eine zuverlässige Entscheidungsgrundlage im eben umschriebenen Sinne darstellt, in das Ermessen der die Abklärung tätigenden Person nur ein, wenn klar feststellbare Fehleinschätzungen vorliegen. Das gebietet insbesondere der Umstand, dass die fachlich kompetente Abklärungsperson näher am konkreten Sachverhalt ist als das im Beschwerdefall zuständige Gericht (<ref-ruling> E. 3.2.1 S. 547 mit Hinweisen; SVR 2012 IV Nr. 54 S. 195, 8C_756/2011 E. 3.2). Diese Grundsätze gelten entsprechend auch für die Abklärung der Hilflosigkeit unter dem Aspekt des Intensivpflegezuschlags (vgl. erwähntes Urteil 8C_756/2011 E. 3.2 mit Hinweis). Festzuhalten ist sodann, dass es beim erwähnten "Ermessen der die Abklärung tätigenden Person" nicht um Ermessen im Sinn der verwaltungsrechtlichen Terminologie - mithin um die Abgrenzung der Entscheidsbefugnis des Gerichts gegenüber der Zuständigkeit der Verwaltung unter dem Gesichtspunkt der Zweckmässigkeitsprüfung -, sondern um eine Frage der Beweiswürdigung geht (erwähntes Urteil 8C_756/2011 E. 4.4 mit Hinweisen). Weicht ein Gericht von der Einschätzung der Abklärungspersonen ab, ohne Fehleinschätzungen im oberwähnten Sinn festzustellen, verletzt dies sodann eine Beweiswürdigungsregel und den Untersuchungsgrundsatz. Das wird als Rechtsfrage vom Bundesgericht frei überprüft (statt vieler: SVR 2016 IV Nr. 6 S. 18, 8C_461/2015 E. 1 mit Hinweisen; Urteil 9C_457/2014 E. 1.2, nicht publ. in: <ref-ruling>, aber in: SVR 2016 BVG Nr. 11 S. 47; vgl. auch erwähntes Urteil 8C_756/2011 E. 1).
5.2. Das kantonale Gericht hat erwogen, die Versicherte bedürfe beim Essen einer indirekten Hilfe, weshalb der entsprechende Zeitaufwand zu berücksichtigen sei. Die von der Mutter angegebenen 16 Minuten seien plausibel. Im Abklärungsbericht vom 6. November 2014 haben die Abklärungspersonen indessen zunächst begründet, weshalb sie zur Auffassung gelangt sind, beim Essen falle kein Zusatzaufwand an. Sie haben sodann dargelegt, weshalb sie den von der Mutter der Versicherten angegebenen Zeitaufwand von 16 Minuten beim Essen für nicht gerechtfertigt erachten. In einer ergänzenden Stellungnahme vom 12. März 2015 haben sich die Abklärungspersonen nochmals entsprechend geäussert. Das kantonale Gericht hat es bei seiner erwähnten Erwägungen belassen, ohne ein Wort dazu zu verlieren, weshalb von der einlässlich begründeten Einschätzung der Abklärungspersonen abzuweichen und vielmehr auf die Angaben der Mutter der Versicherten abgestellt werden soll. Alleine mit der Erwägung, die Angaben der Mutter seien plausibel, wird jedenfalls nicht auf eine klar feststellbare Fehleinschätzung der Abklärungspersonen erkannt. Dass das kantonale Gericht dennoch 16 Minuten invaliditätsbedingten Betreuungsaufwand angerechnet hat, ist daher bundesrechtswidrig. Es bedarf hiezu auch keiner weiteren Abklärungen, da sich der rechtserhebliche Sachverhalt aus den Akten ergibt und gestützt auf diese ein solcher Mehraufwand zu verneinen ist.
5.3. Beim Bereich "Verrichten der Notdurft" hat das kantonale Gericht ebenfalls auf die Angaben der Mutter abgestellt. Es hat dies zwar eingehend begründet. Indessen fällt auf, dass es hiebei wesentlich auf eigene Vermutungen zu notwendiger indirekter Hilfe abgestellt hat. Das gilt etwa für die Annahme, die Versicherte würde die Notdurft nicht selbst verrichten, wenn die Mutter nicht vor der WC-Tür warten würde. Zu erwähnen ist sodann die vorinstanzliche Erwägung, wonach die Mutter zwar keine Angaben zum dafür nötigen Zeitaufwand gemacht habe, dieser aber nach der allgemeinen Lebenserfahrung auf mindestens 10 Minuten pro Tag anzusetzen sei. Es erscheint insgesamt fraglich, ob auf eine klar feststellbare Fehleinschätzung der Abklärungspersonen geschlossen wurde und ob dies gerechtfertigt wäre. Abschliessend muss dies aber nicht beurteilt zu werden. Denn nachdem - wie oben dargelegt - der vom kantonalen Gericht angerechnete Mehraufwand im Bereich Essen entfällt, wird der für einen Intensivpflegezuschlag erforderliche Betreuungsaufwand ohnehin nicht erreicht.
5.4. In der Vernehmlassung der Versicherten wird geltend gemacht, typisch für Personen mit Aspergersyndrom sei, dass sich das Verhalten auswärts von dem zu Hause unterscheide. Das vermag aber kein anderes Ergebnis zu rechtfertigen. Festzuhalten ist sodann, dass die bestehende gesundheitliche Problematik zweifellos mit erheblichen Erschwernissen für die Versicherte und ihr familiäres Umfeld verbunden ist. Aus den Akten geht überdies hervor, dass die Familie viel Einsatz zeigt, um der Versicherten die bestmöglichen Rahmenbedingungen zu schaffen. Das verdient Anerkennung und Respekt, entbindet indessen weder die Verwaltung noch das erstinstanzliche Gericht oder das Bundesgericht davon, den streitigen Leistungsanspruch nach den gesetzlichen Vorgaben zu prüfen. Im vorliegenden Fall führt dies zur Verneinung des Anspruchs auf einen Intensivpflegezuschlag. Die Beschwerde ist gutzuheissen.
6.
Die Kosten des Verfahrens sind von der unterliegenden Beschwerdegegnerin zu tragen (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird gutgeheissen. Der Entscheid des Versicherungsgerichts des Kantons St. Gallen vom 17. März 2016 wird aufgehoben und die Verfügung der IV-Stelle des Kantons St. Gallen vom 6. Januar 2015 bestätigt.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 500.- werden der Beschwerdegegnerin auferlegt.
3.
Die Sache wird zur Neuverlegung der Kosten und der Parteientschädigung des vorangegangenen Verfahrens an das Versicherungsgericht des Kantons St. Gallen zurückgewiesen.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien, dem Versicherungsgericht des Kantons St. Gallen und dem Bundesamt für Sozialversicherungen schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 6. September 2016
Im Namen der I. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Maillard
Der Gerichtsschreiber: Lanz