Sachverhalt:
A.
A.A._ (geboren 1955) ist türkische Staatsangehörige. Seit 1982 ist sie mit dem ebenfalls türkischstämmigen B.A._ verheiratet. Dieser war 1986 als Asylbewerber in die Schweiz gekommen und 2007 eingebürgert worden. Das Ehepaar hat fünf gemeinsame Kinder. Mit zwei von diesen reiste A.A._ am 13. März 2002 in die Schweiz ein, worauf ihr die Aufenthaltsbewilligung zum Verbleib beim Ehemann erteilt wurde. Am 29. März 2007 erhielt sie die Niederlassungsbewilligung. A.A._ kann nicht lesen und schreiben und spricht kein Deutsch.
Seit dem 1. November 2006 sind die Eheleute A._ fortlaufend auf Sozialhilfe angewiesen. Auf die Gesuche von A.A._ hin verneinte die Sozialversicherungsanstalt des Kantons Zürich am 10. Oktober 2007, am 18. Mai 2009 und am 18. März 2011 einen Anspruch auf eine Invalidenrente. Mit Schreiben vom 17. November 2010 teilte das Migrationsamt des Kantons Zürich A.A._ mit, der Widerruf der Niederlassungsbewilligung werde geprüft, falls sie weiterhin nicht in der Lage sein sollte, ihren Lebensunterhalt aus eigenen Kräften und ohne Sozialhilfe zu bestreiten. Per 21. Februar 2012 beliefen sich die Sozialhilfebezüge des Ehepaars A._ auf Fr. 212'561.--. Das Migrationsamt wies A.A._ am 16. Juni 2012 erneut darauf hin, dass der Widerruf der Niederlassungsbewilligung geprüft werde, falls der Sozialhilfebezug andaure. Am 10. Dezember 2013 wurde A.A._ förmlich verwarnt und ihr der Widerruf der Niederlassungsbewilligung angedroht. In der Begründung hielt das Migrationsamt fest, die Voraussetzungen für den Widerruf seien erfüllt. Es werde jedoch im Sinn einer letzten Chance darauf verzichtet, weil sie - A.A._ - in einer intakten Beziehung mit ihrem Schweizer Ehemann lebe und sich seit elf Jahren und acht Monaten in der Schweiz aufhalte.
Am 27. Juni 2014 stellte das Migrationsamt A.A._ einen Fragenkatalog zum Sozialhilfebezug zu. In ihrer Antwort vom 12. Juli 2014 gab A.A._ an, aufgrund ihres schlechten Gesundheitszustands könne sie keiner Erwerbstätigkeit nachgehen und habe an einem Beschäftigungsprogramm der Sozialbehörde nicht teilnehmen können. Zum Beweis legte sie ein Arztzeugnis von Dr. med. C._, Facharzt FMH für Allgemeine Medizin, vom 11. Juli 2014 bei. Per 10. Juli 2014 hatte das Ehepaar A._ Sozialhilfeleistungen im Umfang von Fr. 305'306.-- bezogen.
B.
Im Auftrag des Migrationsamtes wurde A.A._ am 11. November 2014 und B.A._ am 21. November 2014 durch die Stadtpolizei Zürich in Form einer mündlichen Befragung das rechtliche Gehör zur vorgesehenen Entfernungsmassnahme gewährt. Die Sozialhilfebezüge des Ehepaars A._ beliefen sich per 6. März 2015 auf Fr. 339'948.--. Am 11. März 2015 widerrief das Migrationsamt die Niederlassungsbewilligung und wies A.A._ aus der Schweiz weg.
Den dagegen erhobenen Rekurs wies die Sicherheitsdirektion des Kantons Zürich am 29. Januar 2016 ab. Das Verwaltungsgericht des Kantons Zürich bestätigte diesen Entscheid auf Beschwerde hin mit Urteil vom 11. Mai 2016.
C.
A.A._ erhebt am 17. Juni 2016 Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten beim Bundesgericht mit den Anträgen, das angefochtene Urteil aufzuheben und das Migrationsamt anzuweisen, ihr die Niederlassungsbewilligung zu belassen. Zudem beantragt sie die Gewährung der unentgeltlichen Prozessführung mit Rechtsanwalt Peter Bolzli als unentgeltlichem Rechtsbeistand.
Das Verwaltungsgericht beantragt die Abweisung der Beschwerde, soweit darauf einzutreten sei. Die Sicherheitsdirektion hat auf eine Vernehmlassung verzichtet.
Mit Präsidialverfügung vom 20. Juni 2016 ist der Beschwerde antragsgemäss aufschiebende Wirkung zuerkannt worden.

Erwägungen:
1.
Gegen den Entscheid eines oberen kantonalen Gerichts betreffend den Widerruf die Niederlassungsbewilligung steht die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten offen (<ref-law>), weil grundsätzlich ein Anspruch auf den Fortbestand der Niederlassungsbewilligung gegeben ist (<ref-law> e contrario; <ref-ruling> E. 1.2.1 S. 4). Die Beschwerde wurde unter Einhaltung der gesetzlichen Frist (<ref-law>) und Form (<ref-law>) eingereicht, und die Beschwerdeführerin ist zur Erhebung des Rechtsmittels legitimiert (<ref-law>). Auf die Beschwerde ist einzutreten.
2.
2.1. Gemäss Art. 63 Abs. 1 lit. c AuG kann die Niederlassungsbewilligung widerrufen werden, wenn die ausländische Person oder eine Person, für die sie zu sorgen hat, dauerhaft und in erheblichem Mass auf Sozialhilfe angewiesen ist. Sozialversicherungsleistungen unter Einschluss der Ergänzungsleistungen zur Alters-, Hinterlassenen- und Invalidenversicherung sowie Familienzulagen sind keine Sozialhilfe im Sinn von Art. 63 Abs. 1 lit. c (bzw. Art. 62 lit. e) AuG (<ref-ruling> E. 6.2.3 S. 409; <ref-ruling> E. 3.7 S. 272 mit Hinweis). Ein Widerruf soll in Betracht kommen, wenn eine Person hohe finanzielle Leistungen erhalten hat und nicht damit gerechnet werden kann, dass sie in Zukunft für ihren Lebensunterhalt sorgen wird. Nach geltender Praxis ist der Widerrufsgrund nach Art. 63 Abs. 1 lit. c AuG erfüllt, wenn konkret die Gefahr einer fortgesetzten und erheblichen Sozialhilfeabhängigkeit besteht; blosse finanzielle Bedenken genügen nicht. Neben den bisherigen und den aktuellen Verhältnissen ist auch die wahrscheinliche finanzielle Entwicklung auf längere Sicht abzuwägen; massgeblich sind die finanziellen Verhältnisse der Familie in ihrer Gesamtheit (Urteile 2C_120/2015 vom 2. Februar 2016 E. 2.1; 2C_1058/2013 vom 11. September 2014 E. 2.3; 2C_851/2014 vom 24. April 2015 E. 3.4).
2.2. Liegt ein Widerrufsgrund vor, ist zu prüfen, ob die Massnahme verhältnismässig ist (<ref-law>; vgl. auch Art. 96 Abs. 1 AuG, allenfalls Art. 8 Ziff. 2 EMRK). Die Hintergründe, warum eine Person sozialhilfeabhängig wurde, müssen beim Widerrufsgrund der Sozialhilfeabhängigkeit in den Entscheid miteinbezogen werden (Urteil 2C_1058/2013 vom 11. September 2014 E. 2.5). Ob und inwieweit die betroffene Person ein Verschulden an der Sozialhilfebedürftigkeit trifft, bildet nicht eine Frage der Erfüllung des Widerrufsgrundes, sondern der Verhältnismässigkeitsprüfung (vgl. Urteile 2C_120/2015 vom 2. Februar 2016 E. 3.1; 2C_456/2014 vom 4. Juni 2015 E. 3.3 am Ende).
3.
Die Beschwerdeführerin bestreitet nicht, dass der Widerrufsgrund nach Art. 63 Abs. 1 lit. c AuG erfüllt ist. Sie macht indessen geltend, der Widerruf sei unverhältnismässig.
3.1. Das öffentliche Interesse an der Beendigung des Aufenthalts beurteilt sich einerseits danach, wie hoch das Verschulden der betroffenen Person an der Sozialhilfeabhängigkeit ist (Urteil 2C_456/2014 vom 4. Juni 2015 E. 3.1), und andererseits nach dem finanziellen Ausmass der bisherigen und der in Zukunft - soweit absehbar - noch zu leistenden Unterstützung.
3.1.1. Die Beschwerdeführerin muss sich vorwerfen lassen, dass sie in den 14 Jahren ihrer Anwesenheit in der Schweiz keine Anstrengungen unternommen hat, sich zu integrieren. Zwar litt sie nach den verbindlichen Feststellungen der Vorinstanz an depressiven Episoden, hatte Schwierigkeiten bei der kulturellen Eingewöhnung bzw. litt an Anpassungsstörungen in Form von Heimweh und sozialer Isolation, verbunden mit Angstattacken. Obwohl ihr von ärztlicher Seite eine psychotherapeutische Begleitung empfohlen wurde, besuchte die Beschwerdeführerin nach ihren eigenen Angaben den Psychologen D._ nur während drei bis vier Monaten. Damit hat sie zu wenig unternommen, um ihren Gesundheitszustand zu verbessern. Die ungünstigen psychosozialen Faktoren, welche unbestrittenermassen zur sozialen Isolation beigetragen haben, vermögen die Beschwerdeführerin nicht von jeglicher Selbstverantwortung zu entlasten. Einen Deutsch- und Alphabetisierungskurs brach sie nach kurzer Zeit wieder ab, nach ihren Angaben aus gesundheitlichen Gründen. Mit Blick auf die ärztlichen Diagnosen, welche über Jahre hinweg keine tiefgreifenden Einschränkungen belegen, ist jedoch nicht nachvollziehbar, warum die Beschwerdeführerin diesen Kurs nicht wieder aufgenommen hat.
Das Untätigbleiben der Beschwerdeführerin ist umso weniger verständlich, als ihr Ehemann bereits 2005 und damit nur drei Jahre nach ihrer Einreise arbeitslos wurde. Der Einwand der Beschwerdeführer in, sie sei bei ihrer Einreise schon 47 Jahre alt gewesen und habe sich darauf verlassen dürfen, dass ihr damals noch arbeitstätiger Ehemann für ihren Lebensunterhalt würde sorgen können, ist unbehelflich. Als klar wurde, dass der Ehemann nicht allein für den Unterhalt des Paars würde sorgen können, war die Beschwerdeführerin rund 50 Jahre alt. Sie hatte keinerlei Betreuungspflichten, so dass es ihr zumutbar gewesen wäre, sich um die Verbesserung ihrer Chancen auf dem Arbeitsmarkt zu bemühen. Auch die abweisenden Entscheide der IV-Stelle hätten als Hinweis dienen können, dass sie - die Beschwerdeführerin - gehalten war, den Unterhalt zumindest teilweise eigenständig zu bestreiten. Schliesslich wurde die Beschwerdeführerin am 17. November 2010 vom Migrationsamt ermahnt, was ohne Wirkung blieb. Eineinhalb Jahre später, am 16. Juni 2012, erging eine zweite Ermahnung, ohne dass die Beschwerdeführerin das Geringste unternommen hätte, um etwas an ihrer Situation zu ändern. Es trifft nicht zu, dass die Vorinstanz auf die Angaben der Sozialbehörden hätte abstellen müssen, wie die Beschwerdeführerin geltend macht. Die Vorinstanz muss die Angaben dieser Behörden als Beweise würdigen; sie ist aber in der Beweiswürdigung frei. Wenn die Vorinstanz die Einschätzung der Sozialen Dienste der Stadt U._, wonach die Beschwerdeführerin und ihr Ehemann "der Schadenminderungspflicht im Rahmen ihrer Möglichkeiten (Krankheit/Alter) vollumfänglich nachgekommen" seien, nicht teilt, so liegt darin weder eine Verletzung des rechtlichen Gehörs noch eine offensichtlich unrichtige Feststellung des Sachverhalts.
3.1.2. Per 6. März 2015 hatten die Beschwerdeführerin und ihr Mann Fr. 339'948.-- an Sozialhilfeleistungen bezogen. Das finanzielle Interesse an der Beendigung des Aufenthalts ist damit sehr hoch, zumal auch in Zukunft Unterstützungsleistungen in einem ähnlichen Umfang erbracht werden müssten: Wenn die Beschwerdeführerin ihre AHV-Rente ab 1. April 2017 vorbezieht (was allerdings nicht sicher ist), wie sie geltend macht, würde damit eine lebenslange Kürzung der Rente einhergehen. Es ist somit absehbar, dass das Ehepaar auf Ergänzungsleistungen angewiesen sein wird. Dies wäre übrigens auch nicht ausgeschlossen, wenn bis zum Bezug der ordentlichen AHV-Rente zugewartet würde; diesfalls würde der Sozialhilfebezug bis zum ordentlichen Rentenalter der Beschwerdeführerin im Jahr 2019 andauern. So oder anders würde sie die öffentliche Hand weiterhin in Anspruch nehmen müssen. Ergänzungsleistungen stellen zwar nicht Sozialhilfe im engeren Sinn dar (vgl. E. 2.1), belasten aber als beitragsunabhängige Sonderleistungen die öffentlichen Finanzen (BGE <ref-ruling> E. 3.7 S. 273). Deswegen muss der Bezug von Ergänzungsleistungen, obwohl er keinen Widerrufsgrund darstellt, im Rahmen der Verhältnismässigkeitsprüfung berücksichtigt werden. Das Vorbringen der Beschwerdeführerin, sie werde ab April 2017 infolge Anspruchsberechtigung für den Bezug von Ergänzungsleistungen nicht mehr auf Sozialhilfe angewiesen sein, sticht ins Leere. Die Beschwerdeführerin und ihr Ehemann würden durch den voraussichtlich lebenslang andauernden Bezug von Ergänzungsleistungen die öffentliche Hand in erheblichem Umfang belasten. Das öffentliche Interesse am Widerruf der Bewilligung ist somit als sehr hoch zu veranschlagen.
3.2. Das private Interesse der Beschwerdeführerin an einem Verbleib in der Schweiz gründet in erster Linie in der Tatsache, dass ihr Ehemann, der die Schweizer Staatsbürgerschaft hat, hier lebt. Zwar hat dieser entgegen dem Vorbringen der Beschwerdeführerin kein "Recht, sein durch Art. 8 EMRK geschütztes Familienleben in der Schweiz zu leben", denn Art. 8 Ziff. 1 EMRK gewährt weder ein Recht auf Einreise oder Aufenthalt in einem bestimmten Staat noch auf Wahl des für das Familienleben am geeignetsten erscheinenden Orts (<ref-ruling> E. 3.1). Von ihm, der sich in einer christlichen Glaubensgemeinschaft engagiert und seit rund 30 Jahren in der Schweiz lebt, kann aber eine Rückkehr in die Türkei, aus der er einst geflüchtet ist, nicht erwartet werden. Indessen hat das Ehepaar in der Zeit zwischen der Flucht des Ehemannes und der Einreise der Beschwerdeführerin, also von 1986 bis 2002, eine Fernbeziehung geführt. Sollte der Ehemann in der Schweiz bleiben, wäre diese Situation nicht neu für die Beschwerdeführerin. Der Einschnitt ist deshalb verkraftbar, zumal gegenseitige Besuche möglich sind. Ihre fünf Kinder sind alle erwachsen. Die Beschwerdeführerin besitzt in der Türkei eine Eigentumswohnung; zudem leben drei ihrer Kinder dort. Sie verbringt jedes Jahr einen Monat Ferien in der Türkei. Die Ansprüche aus der AHV bleiben ihr auch nach Verlassen der Schweiz weitgehend erhalten (vgl. Art. 8 und 10a des Abkommens vom 1. Mai 1969 zwischen der Schweiz und der Republik Türkei über soziale Sicherheit [SR 0.831.109.763.1]). Eine Rückkehr in das Land, in dem sie bis zu ihrem 47. Altersjahr gelebt hat, ist der Beschwerdeführerin somit zumutbar. Dies umso mehr, als sie sich in der Schweiz in keiner Weise integriert hat und nach 14 Jahren Anwesenheit immer noch nicht Deutsch spricht. Entgegen dem Vorbringen der Beschwerdeführerin durfte die Vorinstanz die Anwesenheitsdauer unter Verweis auf die mangelnde Verwurzelung relativieren. Sodann sind die psychischen Beschwerden in der Türkei gut behandelbar, wie die Vorinstanz für das Bundesgericht verbindlich festgestellt hat.
3.3. Das öffentliche Interesse an der Beendigung des Aufenthalts überwiegt das private Interesse der Beschwerdeführerin an einem Verbleib in der Schweiz deutlich. Der Widerruf der Niederlassungsbewilligung ist verhältnismässig.
4.
Nachdem Gesagten erweist sich die Beschwerde als unbegründet und ist abzuweisen.
Bei diesem Verfahrensausgang hätte die unterliegende Beschwerdeführerin die Kosten zu tragen; sie hat indessen um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege ersucht. Die Mittellosigkeit ist offensichtlich gegeben. Aufgrund der Umstände (fortgeschrittenes Alter, schweizerische Staatsangehörigkeit des Ehemannes) war das Rechtsmittel nicht geradezu aussichtslos. Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege ist daher gestützt auf <ref-law> gutzuheissen und die Beschwerdeführerin ist von der Bezahlung der Gerichtskosten zu befreien. Rechtsanwalt Peter Bolzli ist als unentgeltlicher Rechtsbeistand zu bestellen und aus der Gerichtskasse zu entschädigen (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen.
2.
Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege wird gutgeheissen.
3.
Es werden keine Gerichtskosten erhoben.
4.
Rechtsanwalt Peter Bolzli wird als unentgeltlicher Rechtsbeistand der Beschwerdeführerin bestellt und für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 2'000.-- aus der Gerichtskasse entschädigt.
5.
Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten, dem Verwaltungsgericht des Kantons Zürich, 2. Abteilung, und dem Staatssekretariat für Migration schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 14. Dezember 2016
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Seiler
Die Gerichtsschreiberin: Genner