Sachverhalt:
A.
Am 2. Dezember 2016 stellte das Betreibungsamt Kloten A._ in der Betreibung Nr. xxx für eine Verlustscheinforderung der Stadt Zürich von Fr. 490.05 (Verlustschein Nr. yyy vom 13. März 2002) den Zahlungsbefehl zu. A._ erhob Rechtsvorschlag und berief sich auf fehlendes neues Vermögen. Das Einzelgericht am Bezirksgericht Bülach, welchem der Rechtsvorschlag vorgelegt wurde, setzte A._ mit Verfügung vom 13. Januar 2017 Frist zur Leistung eines Kostenvorschusses. Mit Eingabe vom 27. Januar 2017 stellte A._ ein Gesuch um unentgeltliche Prozessführung und unentgeltliche Verbeiständung, beantragte die Bewilligung seines Rechtsvorschlages mangels neuen Vermögens und machte Ausführungen dazu. Das Einzelgericht nahm A._ die Frist zur Leistung des Kostenvorschusses daraufhin einstweilen ab und lud die Parteien zur Hauptverhandlung vor. Nach Durchführung der Verhandlung vom 1. März 2017 trat das Einzelgericht mit Urteil vom 3. März 2017 auf das Begehren um Bewilligung des Rechtsvorschlages mangels neuen Vermögens nicht ein, wobei es darauf hinwies, dass die Einrede des fehlenden neuen Vermögens damit dahingefallen sei. Sodann wies das Einzelgericht das Gesuch um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege ab und auferlegte A._ die Entscheidgebühr von Fr. 40.--.
B.
Mit Beschwerde vom 22. März 2017 gelangte A._ an das Obergericht des Kantons Zürich. Dabei stellte er auf über zwei Seiten "Anträge und Rechtsbegehren A._", mit denen er sinngemäss im Wesentlichen die Aufhebung des erstinstanzlichen Entscheides und die Bewilligung seines Rechtsvorschlages mangels neuen Vermögens sowie die Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege beantragte. Zudem verlangte er zu diversen Fragen "Klärung und Kommentierung" durch das Obergericht. Mit Beschluss und Urteil vom 2. Mai 2017 wies das Obergericht die Beschwerde ab, soweit es darauf eintrat. Für das Beschwerdeverfahren erhob es keine Kosten. Das Gesuch des Beschwerdeführers um Gewährung der unentgeltlichen Prozessführung und Rechtsverbeiständung schrieb es als gegenstandslos ab.
C.
Mit Eingabe vom 4. Juni 2017 (Postaufgabe) ist A._ an das Bundesgericht gelangt. Der Beschwerdeführer verlangt die Aufhebung des obergerichtlichen Urteils und Beschlusses und beantragt im Wesentlichen die Bewilligung seines Rechtsvorschlags mangels neuen Vermögens. Ausserdem verlangt er aus diversen Gründen die Befreiung von der erstinstanzlichen Gerichtsgebühr und stellt für das bundesgerichtliche Verfahren ein Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege inklusive unentgeltlicher Verbeiständung. Daneben stellt er auf vier Seiten weitere Anträge.
Das Bundesgericht hat die kantonalen Akten beigezogen, hingegen keine Vernehmlassungen eingeholt.

Erwägungen:
1.
1.1. Gegen den Beschluss sowie das in einer vermögensrechtlichen Angelegenheit (<ref-law>) ergangene Urteil des Obergerichts steht mangels Erreichens der Streitwertgrenze (<ref-law>) und mangels Vorliegens einer Ausnahme gemäss <ref-law> allein die subsidiäre Verfassungsbeschwerde nach <ref-law> offen, weshalb die Eingabe des Beschwerdeführers als solche entgegengenommen worden ist.
1.2. Die Zulässigkeit der subsidiären Verfassungsbeschwerde setzt voraus, dass in der Beschwerdeschrift die Rüge der Verletzung verfassungsmässiger Rechte vorgebracht und begründet (Art. 117 i.V.m. <ref-law> sowie <ref-law>), d.h. anhand der Erwägungen des kantonalen Entscheids klar und detailliert dargelegt wird, welche verfassungsmässigen Rechte und inwiefern sie durch diesen Entscheid verletzt sein sollen (<ref-ruling> E. 3.1 S. 399; <ref-ruling> E. 1.2.2 S. 286).
1.3. Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (<ref-law>). Es kann davon nur abweichen, wenn die Sachverhaltsfeststellung unter Verletzung eines verfassungsmässigen Rechts zustande gekommen ist (Art. 118 Abs. 2 und <ref-law>). Wird Letzteres geltend gemacht, ist neben der Erheblichkeit der gerügten Tatsachenfeststellung für den Ausgang des Verfahrens klar und detailliert darzutun, inwiefern diese verfassungswidrig, insbesondere willkürlich, sein soll (Art. 117 in Verbindung mit <ref-law>; <ref-ruling> E. 2.2 S. 334; <ref-ruling> E. 7.1 S. 398). Die Partei, welche den Sachverhalt ergänzen will, hat zudem mit präzisen Aktenhinweisen darzulegen, dass sie entsprechende rechtsrelevante Tatsachen und taugliche Beweismittel bereits bei den Vorinstanzen prozesskonform eingebracht hat (<ref-ruling> E. 2 S. 90 mit zahlreichen Hinweisen). Genügt die Kritik diesen Anforderungen nicht, können Vorbringen mit Bezug auf einen Sachverhalt, der vom angefochtenen Entscheid abweicht, nicht berücksichtigt werden (<ref-ruling> E. 1.3.1 S. 18).
Die Ausführungen des Beschwerdeführers, wonach er durch das Betreibungsamt und die unentgeltliche Rechtsberatung des Bezirksgerichts mit Bezug auf die Zulässigkeit der Erhebung des Rechtsvorschlags mangels neuen Vermögens falsch beraten worden sei, beruhen auf tatsächlichen Behauptungen, die von den für das Bundesgericht verbindlichen Feststellungen im angefochtenen Entscheid abweichen. Der Beschwerdeführer legt nicht mit Aktenhinweisen dar, dass er entsprechende Tatsachen und Beweismittel bereits vor Obergericht prozesskonform eingebracht hat, weshalb diese Vorbringen als unzulässige Noven zu gelten haben (Art. 117 in Verbindung mit <ref-law>). Darauf ist deshalb nicht einzutreten.
2.
2.1. Das Obergericht hat erwogen, <ref-law> schliesse ein Rechtsmittel gegen den summarischen Entscheid explizit aus, was sich dadurch rechtfertige, dass der Schuldner die ordentliche Klage auf Bestreitung neuen Vermögens gemäss <ref-law> erheben kann. Auf das Vorbringen, die Einrede neuen Vermögens sei auch bei Pfändungsverlustscheinen möglich, wobei unerheblich sei, ob über den Schuldner in der Schweiz der Konkurs eröffnet und durchgeführt worden sei, könne deshalb nicht eingetreten werden. Ob das erstinstanzliche Dispositiv zu Recht auf Nichteintreten statt auf Abweisung lautet, sei ebenfalls nicht zu beantworten. Immerhin habe die Erstinstanz in Dispositiv-Ziffer 1 ergänzend zur Verfügung des Nichteintretens darauf hingewiesen, dass die Einrede des fehlenden neuen Vermögens damit dahingefallen sei.
2.2. Eingetreten ist das Obergericht demgegenüber auf die Beschwerde gegen die Verfügung vom 3. März 2017, mit welcher die Erstinstanz das Gesuch des Beschwerdeführers um unentgeltliche Rechtspflege zufolge Aussichtslosigkeit abgewiesen hat. Wie das Obergericht zutreffend erörtert hat, kann der Entscheid über die Verteilung der Kosten des erstinstanzlichen Verfahrens mit Beschwerde nach <ref-law> angefochten werden (<ref-law>; <ref-ruling> E. 2.2 S. 131). Ebenso ist die Abweisung des Gesuchs um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege für das erstinstanzliche Summarverfahren anfechtbar (<ref-law>).
2.3. Das Obergericht hat die Beschwerde in diesem Punkt indes als unbegründet erachtet. Der Beschwerdeführer übersehe mit seiner Rüge, wonach die Erstinstanz die "Anwaltsfrage" nicht (rechtzeitig) beantwortet habe, dass es an ihm gelegen wäre, einen Rechtsanwalt zu bezeichnen, der ihm als unentgeltlicher Rechtsbeistand hätte bestellt werden sollen. Das Gericht bestelle den Beistand lediglich im Anwendungsbereich von <ref-law> von sich aus, nämlich dann, wenn eine Partei offensichtlich nicht im Stande ist, den Prozess selbst zu führen. Dies habe die Erstinstanz vorliegend nicht annehmen müssen. Insofern habe für die Erstinstanz kein Anlass bestanden, dem Beschwerdeführer von sich aus einen Rechtsvertreter zu bestellen.
Sodann habe der Beschwerdeführer den Rechtsvorschlag mit der Begründung mangelnden neuen Vermögens in der Annahme erhoben, ihm stehe die Einrede auch gegen die von der Gläubigerin auf einen Pfändungsverlustschein gestützte Betreibung zu, ohne dass jemals ein Konkurs eröffnet worden wäre. Dieser von ihm eingenommene Standpunkt widerspreche indes offenkundig der Gesetzessystematik, der herrschenden Lehre und der bundesgerichtlichen Rechtsprechung. <ref-law> befasse sich ausschliesslich mit Verlustscheinen, die am Ende eines Konkursverfahrens ausgestellt wurden und nur auf solche beziehe sich ebenso offensichtlich der <ref-law>. Sein im erstinstanzlichen Verfahren eingenommener Standpunkt müsse daher als aussichtslos bezeichnet werden, weshalb ihm die Erstinstanz die unentgeltliche Rechtspflege zu Recht verweigert habe.
3.
Der Beschwerdeführer rügt sinngemäss eine Verletzung der allgemeinen Verfahrensgarantie auf Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege und Verbeiständung nach <ref-law>.
3.1. Gemäss <ref-law> hat jede Person, die nicht über die erforderlichen Mittel verfügt, Anspruch auf unentgeltliche Rechtspflege, wenn ihr Rechtsbegehren nicht aussichtslos erscheint; soweit es zur Wahrung ihrer Rechte notwendig ist, hat sie ausserdem Anspruch auf unentgeltlichen Rechtsbeistand.
Als aussichtslos sind Prozessbegehren anzusehen, bei denen die Gewinnaussichten beträchtlich geringer sind als die Verlustgefahren und die deshalb kaum als ernsthaft bezeichnet werden können. Dagegen gilt ein Begehren nicht als aussichtslos, wenn sich Gewinnaussichten und Verlustgefahren ungefähr die Waage halten oder jene nur wenig geringer sind als diese. Massgebend ist, ob eine Partei, die über die nötigen finanziellen Mittel verfügt, sich bei vernünftiger Überlegung zu einem Prozess entschliessen würde. Eine Partei soll einen Prozess, den sie auf eigene Rechnung und Gefahr nicht führen würde, nicht deshalb anstrengen können, weil er sie nichts kostet (<ref-ruling> E. 9.1 S. 537; <ref-ruling> E. 2.3.1 S. 135 f.). Ob im Einzelfall genügende Erfolgsaussichten bestehen, beurteilt sich aufgrund einer vorläufigen und summarischen Prüfung der Prozessaussichten, wobei die Verhältnisse im Zeitpunkt der Einreichung des Gesuchs massgebend sind (<ref-ruling> E. 5 S. 616 mit Hinweisen).
3.2. Vorliegend ist in tatsächlicher Hinsicht unbestritten geblieben, dass über den Beschwerdeführer nie ein Konkurs eröffnet worden ist. Der Rechtsvorschlag mangels neuen Vermögens wird dem Schuldner aber nur zugestanden, wenn der Gläubiger seine Betreibungsforderung auf einen Konkursverlustschein stützt (Art. 75 Abs. 2 i.V.m. <ref-law>; vgl. auch <ref-ruling> E. 2.1 S. 425) oder wenn diese vor Konkurseröffnung entstanden, aber im Konkurs nicht eingegeben worden ist (vgl. <ref-law>; Urteil 5A_167/2010 vom 27. April 2010 E. 2.1; UELI HUBER, in: Basler Kommentar, Bundesgesetz über Schuldbetreibung und Konkurs, Bd. I, 2. Aufl. 2010, N. 10 zu <ref-law>; GUIDO NÄF, in: Kurzkommentar SchKG, 2. Aufl. 2014, N. 5 zu <ref-law>; KURT BOESCH, in: Klagen und Rechtsbehelfe im Schuldbetreibungs- und Konkursrecht, 2017, § 6 Rz. 6.213). Hier hat der Gesetzgeber der Tatsache Rechnung getragen, dass eine Generalexekution in das gesamte pfändbare Vermögen stattgefunden hat. Unzulässig ist die Einrede demgegenüber namentlich, wenn der Schuldner überhaupt nicht in Konkurs gefallen ist, sondern beispielsweise in einem früheren Zwangsvollstreckungsverfahren nur ein Pfändungsverlustschein (<ref-law>) ausgestellt wurde (BGE 59 III 125 S. 127; NICOLAS JEANDIN, in: Commentaire romand, Poursuite et faillite, 2005, N. 7 zu <ref-law>; GUT/RAJOWER/SONNENMOSER, Rechtsvorschlag mangels neuen Vermögens, in: AJP 1998 S. 531). Angesichts der klaren Rechtslage hat die Vorinstanz <ref-law> nicht verletzt, indem sie den Wortlaut, Systematik und Sinn und Zweck von Art. 75 Abs. 2 i.V.m. <ref-law> widersprechenden gegenteiligen Standpunkt des Beschwerdeführers als von Anfang an aussichtslos eingestuft hat.
3.3. Der Beschwerdeführer macht weiter geltend, die Erstinstanz hätte über sein Gesuch um unentgeltliche Prozessführung und unentgeltliche Verbeiständung vor dem Entscheid in der Sache entscheiden müssen. Zur Begründung führt er aus, dass ihm dies erlaubt hätte, seinen Rechtsvorschlag mangels neuen Vermögens zurückzuziehen. Ausserdem würde die Ernennung eines Anwalts am Schluss des Verfahrens gar keinen Sinn ergeben, da dieser dann gar nichts mehr am Ausgang des Verfahrens ändern könnte. Überdies sei die Argumentation des Obergerichts zur "Rechtsanwaltsbeibringung durch mittellose Sozialhilfeempfänger" völlig abstrus, diskriminierend und ohne jeden Realitätsbezug. Dazu ist folgendes festzuhalten:
3.3.1. Was die Behandlung des Gesuchs um unentgeltliche Prozessführung anbelangt, geht der Beschwerdeführer zu Unrecht davon aus, dass ihm im Falle eines Rückzugs seines Begehrens nach vorgängiger Abweisung seines Gesuchs um unentgeltliche Rechtspflege keine Gerichtskosten hätten auferlegt werden können (vgl. <ref-law>; Urteil 5A_880/2011 vom 20. Februar 2012 E. 4.2, in: Pra 2012 Nr. 92 S. 611), wobei bemerkt sei, dass der Beschwerdeführer trotz der mittlerweile erfolgten Beurteilung der Prozessaussichten seines erstinstanzlichen Begehrens durch zwei Instanzen auch vor Bundesgericht immer noch an seiner haltlosen Gesetzesauslegung festgehalten hat.
3.3.2. Mit Bezug auf das erstinstanzlich gestellte Gesuch um unentgeltliche Verbeiständung ist der Beschwerdeführer darauf hinzuweisen, dass ihm vorliegend aus der Behandlung erst mit dem Entscheid in der Sache keine Nachteile erwachsen sind. So sind dem Beschwerdeführer einerseits effektiv keine Kosten durch Vorkehren eines Rechtsvertreters entstanden und hätte er andererseits bereits wegen der Aussichtslosigkeit seines Begehrens ohnehin keinen Anspruch auf Ernennung eines unentgeltlichen Rechtsbeistands für die Verhandlung vom 1. März 2017 gehabt (vgl. E. 3.2 hievor). Blosse Erwägungen - im Gegensatz zu Dispositiv-Ziffern - bedeuten indessen keine Beschwer (<ref-law>; <ref-ruling> E. 6 S. 328), sodass auf die Rügen gegen die vorne (E. 2.3 erster Absatz) wiedergegebenen vorinstanzlichen Erwägungen zum Zeitpunkt der Behandlung bzw. zur Rechtsgenüglichkeit des vor Bezirksgericht gestellten Gesuchs um unentgeltliche Verbeiständung nicht weiter einzugehen ist.
4.
Die weiteren Ausführungen des Beschwerdeführers sind nur schwer verständlich und stellen jedenfalls keine den Anforderungen an die Begründung einer Verfassungsbeschwerde genügende Auseinandersetzung mit dem angefochtenen Entscheid dar. Namentlich ist weder dargetan noch ersichtlich, inwiefern die Höhe der von der Erstinstanz auferlegten und vom Obergericht geschützten Spruchgebühr (Fr. 40.--), die dem untersten Rand der in <ref-law> vorgesehenen Gebühr entspricht, die angerufenen Grundrechte der EMRK und die geltend gemachten verfassungsmässigen Rechte des Beschwerdeführers verletzen soll. Auch die behauptete Verletzung des rechtlichen Gehörs wird vom Beschwerdeführer nicht in rechtsgenüglicher Weise begründet. Schliesslich geht der Beschwerdeführer nicht unter Erhebung substanziierter Verfassungsrügen in nachvollziehbarer Weise auf die obergerichtliche Feststellung ein, dass <ref-law> ein Rechtsmittel gegen den summarischen Entscheid explizit ausschliesst. Insoweit ist auf die Beschwerde nicht einzutreten.
5.
Aus den dargelegten Gründen muss die Beschwerde abgewiesen werden, soweit darauf einzutreten ist. Aufgrund der konkreten Umstände wird in Anwendung von <ref-law> auf die Erhebung von Gerichtskosten verzichtet, womit das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege im Sinne der Befreiung von den Gerichtskosten gegenstandslos wird. Dem Gesuch um Beigabe eines unentgeltlichen Rechtsbeistands für das bundesgerichtliche Verfahren ist bereits deshalb nicht zu entsprechen, weil die Beschwerde als von Anfang an aussichtslos betrachtet werden muss (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.
Es werden keine Gerichtskosten erhoben.
3.
Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege wird abgewiesen, soweit es nicht gegenstandslos geworden ist.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Zürich, II. Zivilkammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 18. Dezember 2017
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: von Werdt
Der Gerichtsschreiber: Buss