Sachverhalt:
A.
Die russische Staatsanwaltschaft führt gegen den ehemaligen stellvertretenden russischen Landwirtschaftsminister A._ und weitere Personen ein Strafverfahren wegen betrügerischer Unterschlagung von Geldern der Gesellschaft H._. Sie wirft A._ vor, in den Jahren 2008 und 2009 mit fingierten Leasingbegehren eine Zahlung erwirkt und die Gelder in der Folge zusammen mit weiteren Personen ins Ausland geschafft zu haben. Die schweizerische Bundesanwaltschaft, die im gleichen Zusammenhang selbst ein Strafverfahren führt, übermittelte Russland am 9. Juli 2013 unaufgefordert Informationen über Bankbeziehungen von A._.
Russland ersuchte daraufhin mit Schreiben vom 6. Oktober 2013 die Schweiz, die Kontobeziehungen von A._ und seiner Familie zu sperren und Dokumente mit Einzelheiten zu den gesperrten Konten herauszugeben. Mit Schlussverfügung vom 23. April 2014 entschied die Bundesanwaltschaft, Russland eine Übersicht der relevanten Bankbeziehungen inklusive der Saldi der im schweizerischen Strafverfahren gesperrten Vermögenswerte zu übermitteln. Eine von den betroffenen Personen dagegen erhobene Beschwerde wies das Bundesstrafgericht mit Entscheid vom 9. Dezember 2014 ab, soweit es darauf eintrat. Das Bundesgericht trat auf eine hiergegen gerichtete Beschwerde nicht ein (Urteil 1C_624/2014 vom 18. Februar 2015).
Am 2. September 2014 stellte Russland ein weiteres Ersuchen um Rechtshilfe und beantragte neben der Edition der vollständigen Unterlagen die Sperre von Konten bei mehreren in der Schweiz domizilierten Banken, lautend unter anderem auf A._, B._, C._, D._ Ltd., E._ Inc., F._ S.A. und G._ S.A. Die Bundesanwaltschaft trat am 8. Juli 2015 auf das Ersuchen ein. Mit Verfügungen vom 13. Juli 2015 wurden die Kontosperren angeordnet und mit Verfügung vom 10. Februar 2016 ordnete die Bundesanwaltschaft schliesslich die Herausgabe der verlangten Kontounterlagen an - diese waren bereits früher, im Rahmen des von der Bundesanwaltschaft geführten Verfahrens, ediert worden. Dagegen erhoben unter anderem die genannten Personen Beschwerde ans Bundesstrafgericht. Dieses wies das Rechtsmittel mit Entscheid vom 22. Juli 2016 ab, soweit es darauf eintrat.
B.
Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten ans Bundesgericht vom 5. August 2016 beantragen A._, B._, C._, die D._ Ltd., die E._ Inc., die F._ S.A. und die G._ S.A., der Entscheid des Bundesstrafgerichts sei aufzuheben und die Rechtshilfe zu verweigern. Eventualiter sei die Sache zur neuen Beurteilung an die Vorinstanz zurückzuweisen.
Das Bundesstrafgericht verweist in seiner Vernehmlassung auf den angefochtenen Entscheid. Das Bundesamt für Justiz beantragt, auf die Beschwerde nicht einzutreten. Die Bundesanwaltschaft hat auf eine Stellungnahme verzichtet.

Erwägungen:
1.
1.1. Gemäss <ref-law> ist gegen einen Entscheid auf dem Gebiet der internationalen Rechtshilfe in Strafsachen die Beschwerde nur zulässig, wenn er unter anderem eine Übermittlung von Informationen aus dem Geheimbereich betrifft und es sich um einen besonders bedeutenden Fall handelt (Abs. 1). Ein besonders bedeutender Fall liegt insbesondere vor, wenn Gründe für die Annahme bestehen, dass elementare Verfahrensgrundsätze verletzt worden sind oder das Verfahren im Ausland schwere Mängel aufweist (Abs. 2).
<ref-law> bezweckt die wirksame Begrenzung des Zugangs zum Bundesgericht im Bereich der internationalen Rechtshilfe in Strafsachen (<ref-ruling> E. 1.3.1 S. 160 mit Hinweisen). Ein besonders bedeutender Fall ist mit Zurückhaltung anzunehmen (<ref-ruling> E. 2.4 S. 144 mit Hinweis).
Bei der Beantwortung der Frage, ob ein besonders bedeutender Fall gegeben ist, steht dem Bundesgericht ein weiter Ermessensspielraum zu (<ref-ruling> E. 1.3.1 S. 160 mit Hinweis).
Gemäss <ref-law> ist in der Begründung der Rechtsschrift in gedrängter Form darzulegen, inwiefern der angefochtene Akt Recht verletzt. Ist eine Beschwerde nur unter der Voraussetzung zulässig, dass ein besonders bedeutender Fall nach Artikel 84 vorliegt, so ist auszuführen, warum diese Voraussetzung erfüllt ist.
Erachtet das Bundesgericht eine Beschwerde auf dem Gebiet der internationalen Rechtshilfe in Strafsachen als unzulässig, so fällt es gemäss <ref-law> - abgesehen von einem hier nicht gegebenen Ausnahmefall - den Nichteintretensentscheid innert 15 Tagen seit Abschluss eines allfälligen Schriftenwechsels.
Nach <ref-law> entscheidet die Abteilung in Dreierbesetzung über Nichteintreten auf Beschwerden, bei denen kein besonders bedeutender Fall vorliegt (Abs. 1). Der Entscheid wird summarisch begründet. Es kann ganz oder teilweise auf den angefochtenen Entscheid verwiesen werden (Abs. 3).
1.2. Zwar geht es hier um die Übermittlung von Informationen aus dem Geheimbereich und damit um ein Sachgebiet, bei dem die Beschwerde nach <ref-law> insoweit möglich ist. Es handelt sich jedoch um keinen besonders bedeutenden Fall.
Allein der Umstand, dass es sich beim Beschwerdeführer 1 um den ehemaligen stellvertretenden russischen Landwirtschaftsminister handelt, verleiht dem Fall keine besondere Bedeutung im Sinne des Gesetzes (vgl. Urteile 1C_345/2016 vom 8. August 2016 E. 6; 1C_624/ 2014 vom 18. Februar 2015).
Dasselbe gilt für die allgemeinen Hinweise auf Mängel des russischen Justizsystems. Der von den Beschwerdeführern in diesem Zusammenhang zitierte <ref-ruling> ist mit dem vorliegenden Fall nicht vergleichbar. Damals ging es um eine Auslieferung und stand wegen der prekären Bedingungen in russischen Gefängnissen eine Art. 3 EMRK verletzende Behandlung zu befürchten (a.a.O., E. 1.3.3 S. 160 f. und E. 6.2 S. 163 f. mit Hinweisen).
Weiter bringen die Beschwerdeführer vor, sie hätten ihre Einwände im vorinstanzlichen Verfahren mangels vollständiger Akteneinsicht nicht effektiv vortragen können und das Bundesstrafgericht habe sich mit ihren Vorbringen auch nur unzureichend auseinandergesetzt. Von einer Verletzung elementarer Verfahrensgrundsätze ist deswegen nicht auszugehen: Zwar stellten die Beschwerdeführer im vorinstanzlichen Verfahren den Antrag, die Bundesanwaltschaft sei anzuweisen, ihnen vollumfänglich Akteneinsicht zu gewähren und ein aktuelles Aktenverzeichnis zuzustellen. In der Beschwerdebegründung verzichteten sie jedoch darauf, eine Verletzung des rechtlichen Gehörs zu rügen. Ihre Kritik richtete sich stattdessen auf die Formulierung der Bundesanwaltschaft, der Beschwerdeführer 1 werde beschuldigt, "Fördergelder" abdisponiert zu haben, denn dies ergebe sich so nicht aus dem Rechtshilfeersuchen. Inwiefern dieser Umstand für den Ausgang des Verfahrens relevant sein soll, legen die Beschwerdeführer freilich nicht dar. Mit der Kritik am russischen Rechtshilfeersuchen setzte sich die Vorinstanz auseinander. Darauf kann verwiesen werden (angefochtener Entscheid, E. 4).
Die Beschwerdeführer sind zudem der Auffassung, es gelte erstmals die Grundsatzfrage zu beantworten, ob unter den vorliegenden Umständen von einer Zwangsmassnahme gesprochen werden könne. Das Bundesstrafgericht legte dar, die Frage könne offenbleiben. Sie sei nicht nicht entscheidrelevant, weil das Erfordernis der beidseitigen Strafbarkeit ohnehin erfüllt sei. Auf die betreffenden Erwägungen zur beidseitigen Strafbarkeit kann ebenfalls verwiesen werden (angefochtener Entscheid, E. 5). Hervorzuheben ist immerhin, dass gemäss angefochtenem Entscheid das betrügerische Verhalten in der Nichtzahlung von Leasingraten und der Provokation eines Konkurses liegt und insofern nicht von einem vollzogenen Leasingvertrag gesprochen werden kann (angefochtener Entscheid, E. 6).
Eine rechtliche Grundsatzfrage stellt sich mithin nicht. Auch sonst bringen die Beschwerdeführer nichts vor, was es rechtfertigen könnte, den vorliegenden Fall als besonders bedeutend einzustufen.
Die Beschwerde ist somit unzulässig.
2.
Auf die Beschwerde ist nicht einzutreten.
Bei diesem Ausgang des Verfahrens sind die Gerichtskosten den Beschwerdeführern aufzuerlegen (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 1'000.-- werden den Beschwerdeführern auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird den Beschwerdeführern, der Schweizerischen Bundesanwaltschaft, dem Bundesstrafgericht, Beschwerdekammer, und dem Bundesamt für Justiz, Fachbereich Rechtshilfe, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 12. September 2016
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Fonjallaz
Der Gerichtsschreiber: Dold