Sachverhalt:
A.
A._ meldete sich im April 2008 unter Hinweis auf ein am........ erlittenes "Trauma der LWS durch Sturz Treppe hinab" bei der Invalidenversicherung zum Leistungsbezug an. Nach Abklärungen (u.a. Gutachten Dr. med. B._ GmbH, Praxis für Psychiatrie und Psychotherapie FMH, vom 2. November 2010) verneinte die IV-Stelle des Kantons Bern mit Verfügung vom 28. Februar 2011 einen Rentenanspruch.
Im Januar 2013 meldete sich A._ erneut bei der Invalidenversicherung zum Leistungsbezug an. In Berücksichtigung der eingereichten Berichte des behandelnden med. pract. C._, Psychiatrie und Psychotherapie FMH, vom 21. Februar und 5. September 2013 sowie der Stellungnahmen des regionalen ärztlichen Dienstes (RAD) vom 22. April und 19. November 2013 trat die infolge Wohnsitzwechsel des Versicherten neu zuständige IV-Stelle des Kantons Zürich mit Verfügung vom 13. Januar 2014 auf das neue Leistungsbegehren nicht ein. Zur Begründung führte sie an, es sei nicht glaubhaft dargelegt worden, dass sich die tatsächlichen Verhältnisse seit der letzten Verfügung wesentlich verändert hätten.
B.
Die Beschwerde des A._ wies das Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich mit Entscheid vom 24. März 2016 ab.
C.
A._ lässt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten führen mit dem Rechtsbegehren, der Entscheid vom 24. März 2016 sei aufzuheben und die IV-Stelle sei zu verpflichten, auf die Neuanmeldung einzutreten, unter Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege.
Die IV-Stelle des Kantons Zürich beantragt die Abweisung der Beschwerde. Das Bundesamt für Sozialversicherungen verzichtet auf eine Vernehmlassung.

Erwägungen:
1.
Prozessthema bildet die Frage, ob die Beschwerdegegnerin nach Verneinung des Anspruchs auf eine Rente mit Verfügung vom 28. Februar 2011 zu Recht nicht auf die im Januar 2013 eingereichte Neuanmeldung eingetreten ist (Art. 87 Abs. 2 und 3 IVV; Urteil 9C_236/2011 vom 8. Juli 2011 E. 1 mit Hinweis).
2.
Wurde eine Rente wegen eines zu geringen Invaliditätsgrades verweigert, wird eine neue Anmeldung nur geprüft, wenn die gesuchstellende Person glaubhaft macht, dass sich der Grad der Invalidität in einer für den Anspruch erheblichen Weise geändert hat (Art. 87 Abs. 2 und 3 IVV).
2.1. Bei der Frage des Vorliegens eines Revisionsgrundes im Sinne einer Verschlechterung des Gesundheitszustandes im Besonderen kommt es einzig darauf an, ob sich das Beschwerdebild oder dessen erwerblichen Auswirkungen geändert haben (Urteil 9C_894/2015 vom 25. April 2016 E. 5.2). In Betracht fällt somit auch, wenn sich ein Leiden in seiner Intensität und in seinen Auswirkungen auf die Arbeitsfähigkeit verändert hat (Urteil des Eidg. Versicherungsgerichts I 212/03 vom 28. August 2003 E. 2.2.3), wie etwa bei der Chronifizierung psychischer Störungen (<ref-ruling> E. 6.2 S. 70; Urteil des Eidg. Versicherungsgerichts I 345/88 vom 27. Dezember 1988, in: ZAK 1989 S. 265), bzw. wenn der Schweregrad oder die Ausprägung der gleichlautenden Diagnosen und Befunde sich geändert haben (Urteil 9C_286/2009 vom 28. Mai 2009 E. 3.2.2). Grundsätzlich erst in einem zweiten Schritt im Rahmen der materiellen Behandlung der Neuanmeldung zu prüfen ist, inwiefern bei einem psychischen Leiden IV-fremde psychosoziale und soziokulturelle Belastungsfaktoren eine Rolle spielen (vgl. <ref-ruling> E. 6.2 S. 70), ebenso, ob es voraussichtlich von längerer Dauer oder behandelbar ist.
2.2. Unter Glaubhaftmachen im Sinne von <ref-law> ist nicht der Beweis nach dem im Sozialversicherungsrecht allgemein massgebenden Grad der überwiegenden Wahrscheinlichkeit zu verstehen. Die Beweisanforderungen sind vielmehr herabgesetzt, indem nicht im Sinne eines vollen Beweises die Überzeugung der Verwaltung begründet zu werden braucht, dass seit der letzten, rechtskräftigen Entscheidung tatsächlich eine relevante Änderung eingetreten ist. Es genügt, dass für den geltend gemachten rechtserheblichen Sachumstand wenigstens gewisse Anhaltspunkte bestehen, auch wenn durchaus noch mit der Möglichkeit zu rechnen ist, bei eingehender Abklärung werde sich die behauptete Sachverhaltsänderung nicht erstellen lassen (Urteil 8C_746/2013 vom 10. Juni 2014 E. 2 mit Hinweisen, in: SVR 2014 IV Nr. 33 S. 121).
Bei der Glaubhaftmachung (einer Tatsachenänderung im massgeblichen Vergleichszeitraum) als Beweismass geht es um eine frei überprüfbare Rechtsfrage. Ob der erforderliche Beweisgrad erreicht ist, stellt dagegen eine Tatfrage dar (vgl. <ref-ruling> E. 3b S. 222). Diesbezügliche Feststellungen des kantonalen Versicherungsgerichts sind somit für das Bundesgericht verbindlich, soweit sie nicht offensichtlich unrichtig sind oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von Artikel 95 BGG beruhen (Art. 105 Abs. 1 und 2 BGG; Urteil 9C_236/2011 vom 8. Juli 2011 E. 2.2 mit Hinweis).
2.3. Im Verfahren der Neuanmeldung nach Art. 87 Abs. 2 und 3 IVV spielt der Untersuchungsgrundsatz (<ref-law> i.V.m. <ref-law> und <ref-law>; <ref-ruling> E. 4.1.1 S. 377; <ref-ruling> E. 1.4 S. 200) insoweit nicht, als die versicherte Person in Bezug auf das Vorliegen einer glaubhaften Änderung der tatsächlichen Verhältnisse seit der letzten rechtskräftigen Leistungsverweigerung eine Beweisführungslast trifft (Urteil 9C_236/2011 vom 8. Juli 2011 E. 2.1.2 mit Hinweis).
3.
3.1. Die Vorinstanz hat erwogen, den Berichten des behandelnden Psychiaters med. pract. C._ vom 21. Februar und 5. September 2013liessen sich keine neuen oder im Schweregrad veränderte psychopathologischen Befunde nach dem Erlass der anspruchsverneinenden Verfügung vom 28. Februar 2011 entnehmen. Die Diagnose einer posttraumatischen Belastungsstörung (PTBS) beruhe auf im Wesentlichen denselben bereits im versicherungspsychiatrischen Gutachten des Dr. med. B._ vom 2. November 2010 detailliert beschriebenen, belastenden anamnestischen Fakten im Leben des Versicherten als Kind und junger Erwachsener. Das genüge nicht, um (glaubhaft) darzulegen, dass die diagnostizierte Krankheit erst am bzw. nach dem 28. Februar 2013 ausgebrochen sei oder sich deren Symptomatik verschlechtert habe. Damit würden bloss aus bereits in diesem Zeitpunkt bekannten Fakten andere Schlüsse gezogen als früher. Bei den zum Glaubhaftmachen einer Veränderung des Invaliditätsgrades im Sinne von <ref-law> eingereichten Beurteilungen von med. pract. C._ handle es sich somit lediglich um eine abweichende Einschätzung von im Wesentlichen bereits vor Erlass der letzten rechtskräftigen Verfügung bestandenen und seither unverändert gebliebenen tatsächlichen Verhältnissen, welche nach der Rechtsprechung nicht zu einer materiellen Revision führen könnten.
3.2. Der Beschwerdeführer rügt, der Schluss der Vorinstanz, es liege lediglich eine andere Beurteilung des gleichen medizinischen Sachverhalts vor, sei willkürlich, soweit es sich dabei um eine Tatsachenfeststellung handle. Insbesondere sei im ersten IV-Verfahren keine psychiatrische Diagnose mit Einschränkung der Arbeitsfähigkeit erhoben worden. Weiter habe das kantonale Sozialversicherungsgericht sinngemäss zu hohe Anforderungen an den Beweis im Sinne des Glaubhaftmachens einer Verschlechterung des Gesundheitszustandes seit der Verfügung vom 28. Februar 2011 gestellt. Die relevante Tatsachenänderung ist nach seiner Auffassung darin zu erblicken, dass er im ersten IV-Verfahren die Folgen der administrativen Versorgung als Kind und Jugendlicher noch habe verdrängen können, was nunmehr nicht mehr der Fall sei. Die Vergangenheit habe ihn (endgültig) eingeholt, namentlich im Rahmen der öffentlichen Diskussion und Aufarbeitung des Themas "Verdingkind". Im versicherungspsychiatrischen Gutachten vom 2. November 2010 werde denn auch keine Diagnose mit Einschränkung der Arbeitsfähigkeit gestellt. Damals habe er, was typisch für einen Verdrängungsprozess sei, das Vorliegen einer psychischen Erkrankung verneint und auf das Somatische fokussiert. Er sei erst seit 2012 wegen einer PTBS sowie einer somatoformen Schmerzstörung zu 100 % arbeitsunfähig geschrieben. Vorher habe er das Vorgefallene offenbar zu kompensieren gewusst, wie seine Aussagen in der Expertise deutlich zeigten.
4.
Unbestritten werden im versicherungspsychiatrischen Gutachten vom 2. November 2010 keine psychopathologischen Befunde erwähnt. Dies trifft entgegen der Feststellung der Vorinstanz insofern nicht auf die Berichte des behandelnden Psychiaters vom 21. Februar und 5. September 2013 zu, als im zweiten gesagt wird, der Patient habe aufgrund des erneuten Versagens bzw. seit der eine Rente verweigernden Verfügung vom 28. Februar 2011 begonnen, seine Lebensgeschichte zu hinterfragen. Er sei in ein Gedankenkreisen um seine Entwicklung vom weggegebenen adoptierbaren Säugling bis zum 22. Altersjahr gekommen. Diese Erkenntnisse erschöpften ihn dermassen, dass zur Zeit keine Möglichkeit bestehe, durch eine Arbeitsleistung auf dem ersten Arbeitsmarkt belastet zu werden. Sodann standen im ersten IV-Verfahren somatische Beschwerden bzw. körperliche Symptome als Folge des Treppensturzes vom 13. Oktober 2007 im Vordergrund. Anzeichen für eine darauf oder auf andere (vorbestandene) Umstände zurückzuführende psychische Problematik fehlten. Dementsprechend konnte der psychiatrische Gutachter keine Diagnosen mit Auswirkungen auf die Arbeitsfähigkeit stellen. Demgegenüber haben sich gemäss dem behandelnden Psychiater seither auf dem Boden der nicht verarbeiteten bzw. verdrängten traumatischen Erlebnisse in der Kindheit und Jugend eine posttraumatische Belastungsstörung und eine andauernde Persönlichkeitsänderung bei chronischem Schmerzsyndrom (ICD-10 F62.80) entwickelt, welche die Arbeitsfähigkeit zu 100 % einschränken. Es ist nicht anzunehmen, dass der psychiatrische Facharzt diese Diagnosen ohne Vorliegen entsprechender Symptome und sich darauf stützende Befunde gestellt hat. Bei Zweifeln hätte ein diesbezüglich ausführlicherer Bericht eingeholt werden müssen. Aufgrund der Akten kann jedenfalls eine Verschlechterung des Gesundheitszustandes nicht als nicht glaubhaft gemacht im Sinne von <ref-law> bezeichnet werden. Die Sache ist in diesem entscheidenden Punkt nicht spruchreif und daher zu ergänzenden Abklärungen und zu neuer Verfügung an die Beschwerdegegnerin zurückzuweisen. In diesem Sinne ist die Beschwerde begründet.
5.
Ausgangsgemäss hat die Beschwerdegegnerin die Gerichtskosten zu tragen (<ref-law>) und dem Beschwerdeführer eine Parteientschädigung zu bezahlen (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird teilweise gutgeheissen. Der Entscheid des Sozialversicherungsgerichts des Kantons Zürich vom 24. März 2016 und die Verfügung der Beschwerdegegnerin vom 13. Januar 2014 werden aufgehoben. Die Sache wird an Letztere zu neuer Verfügung im Sinne der Erwägungen zurückgewiesen.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 500.- werden der Beschwerdegegnerin auferlegt.
3.
Die Beschwerdegegnerin hat den Rechtsvertreter des Beschwerdeführers für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 2'800.- zu entschädigen.
4.
Die Sache wird zur Neuverlegung der Gerichtskosten und der Parteientschädigung des vorangegangenen Verfahrens an das Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich zurückgewiesen.
5.
Dieses Urteil wird den Parteien, dem Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich und dem Bundesamt für Sozialversicherungen schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 10. August 2016
Im Namen der II. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Das präsidierende Mitglied: Meyer
Der Gerichtsschreiber: Fessler