Erwägungen:
1.
1.1. Die STG Städte- und Gewerbebau AG erwarb 1990 eine Liegenschaft in U._; diese wurde aufgeteilt und der grössere Teil davon zugunsten der Schulgemeinde U._ enteignet. Über die Rechtmässigkeit der Enteignung und der hierfür geleisteten Entschädigung entschied das Verwaltungsgericht des Kantons Thurgau am 28. Mai 1993.
Mit vom Verwaltungsgericht des Kantons Thurgau als Klage entgegengenommener Eingabe vom 22. Januar 2016 forderte A._, der zum Zeitpunkt der erwähnten Enteignung Eigentümer von Aktien der betroffenen Gesellschaft war, vom Kanton Thurgau Schadenersatz aus Staatshaftung für rechtswidrige Enteignung und deren Folgeschäden sowie für die rechtswidrige Aneignung fremden Vermögens. Für das Klageverfahren ersuchte er das Verwaltungsgericht um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege und Verbeiständung. Mit Zwischenentscheid vom 20. April 2016 wies dieses das Gesuch ab und forderte den Kläger auf, innert einer Frist von 20 Tagen seit Rechtskraft dieses Entscheids einen Kostenvorschuss von Fr. 10'000.-- zu bezahlen. Der Entscheid enthielt den Hinweis, dass ein Nichteintretensentscheid in Anwendung von § 79 Abs. 2 des Thurgauer Gesetzes vom 23. Februar 1981 über die Verwaltungsrechtspflege (VRG) ergehen würde, wenn der Kostenvorschuss nicht rechtzeitig geleistet werde. Auf die gegen diesen Entscheid erhobene Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten trat das Bundesgericht mit Urteil 2C_495/2016 vom 3. Juni 2016 nicht ein, weil die Beschwerde sowohl in Bezug auf die darin aufgeworfene Ausstandsfrage wie auch hinsichtlich der Verweigerung der unentgeltlichen Rechtspflege offensichtlich einer hinreichenden Begründung entbehrte. Das Urteil wurde A._ am 8. Juni 2016 zugestellt.
1.2. Mit Entscheid vom 26. Juli 2016 trat das Verwaltungsgericht des Kantons Thurgau auf die Klage nicht ein, weil der Kläger der mit dem verwaltungsgerichtlichen Zwischenentscheid vom 20. April 2016 ergangenen Aufforderung, einen Kostenvorschuss von Fr. 10'000.-- zu leisten, keine Folge geleistet hatte.
1.3. Am 23. August 2016 gelangte A._ mit als staatsrechtliche Beschwerde bezeichneter Rechtsschrift an das Bundesgericht. Mit Schreiben der Bundesgerichtskanzlei vom 25. August 2016 wurde der Beschwerdeführer auf die Anforderungen, denen Rechtsschriften namentlich hinsichtlich Begründung genügen müssen, aufmerksam gemacht. Er wurde darauf hingewiesen, dass seine Rechtsschrift vom 23. August 2016 diesen Anforderungen nicht genügen dürfte, dass er aber innert der wegen des Friststillstandes vom 15. Juli bis und mit dem 15. August (<ref-law>) noch laufenden Beschwerdefrist eine verbesserte Beschwerdeschrift nachreichen könne. Eine ergänzende, vom 12. September 2016 datierte, am 10. September 2016 zur Post gegebene Beschwerdeschrift ging am 12. September 2016 beim Bundesgericht ein. Darin beantragt A._ im Wesentlichen "die Sistierung statt Abweisung der Klage".
Es ist weder ein Schriftenwechsel noch sind andere Instruktionsmassnahmen angeordnet worden.
2.
2.1. Gemäss Art. 42 Abs. 1 und 2 BGG haben Rechtsschriften die Begehren und deren Begründung zu enthalten; in der Begründung ist in gedrängter Form darzulegen, inwiefern der angefochtene Akt schweizerisches Recht verletze. Die Begründung hat sachbezogen zu sein und sich auf den Gegenstand des angefochtenen Entscheids zu beziehen und zu beschränken. Die Beschwerde führende Partei hat in gezielter Auseinandersetzung mit den für das Ergebnis des angefochtenen Entscheids massgeblichen Erwägungen plausibel aufzuzeigen, welche Rechte bzw. Rechtsnormen die Vorinstanz verletzt haben soll (<ref-ruling> E. 2 S. 88 f. mit Hinweisen). Beruht der angefochtene Entscheid auf kantonalem Recht, kann weitgehend bloss die Verletzung verfassungsmässiger Rechte gerügt werden; entsprechende Rügen bedürfen gemäss <ref-law> spezifischer Geltendmachung und Begründung (BGE 141 36 E. 1.3 S. 41; <ref-ruling> E. 3.1 und 3.2 S. 227 f.; <ref-ruling> E. 1.3 S. 60 f.; <ref-ruling> E. 1.4.1 S. 53, 65 E. 1.3.1 S. 68, je mit Hinweisen).
2.2. Gegenstand des angefochtenen Entscheids ist das Nichteintreten auf die Klage. Nicht zu hören, weil nicht diesen Gegenstand beschlagend, sind die Ausführungen zu den Gründen, die den Beschwerdeführer zur Geltendmachung von Schadenersatz bewogen. Was sodann das sinngemässe Begehren um Durchführung des kantonalen Klageverfahrens unter Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege betrifft, hat das Verwaltungsgericht das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege mit Beigabe eines Anwalts mit seinem Zwischenentscheid vom 20. April 2016 abgewiesen. Über diese Frage und über die Verpflichtung, für das kantonale Klageverfahren einen Kostenvorschuss zu bezahlen, ist rechtskräftig entschieden, nachdem das Bundesgericht auf die gegen den entsprechenden Zwischenentscheid erhobene Beschwerde nicht eingetreten ist.
Streitig ist allein noch, ob das Verwaltungsgericht Recht verletzt hat, indem es die Nichtleistung des Kostenvorschusses zum Anlass für das Nichteintreten auf die Klage nahm. Es stützt seinen Nichteintretensentscheid auf § 79 Abs. 1 und 2 VRG. Danach kann die Behörde einen Kostenvorschuss verlangen; wird dieser trotz Hinweis auf die Säumnisfolgen nicht geleistet, kann das Verfahren abgeschrieben werden oder die beantragte Amtshandlung unterbleiben, sofern nicht öffentliche Interessen entgegenstehen. Der Beschwerdeführer wurde zur Bezahlung des Kostenvorschusses aufgefordert und es wurde ihm hierfür eine Frist von 20 Tagen "seit Rechtskraft", d.h. vorliegend gerechnet ab Eröffnung des bundesgerichtlichen Urteils 2C_495/2016 vom 3. Juni 2016, angesetzt. Er hat den Vorschuss nicht bezahlt. Inwiefern das Verwaltungsgericht Recht verletzt haben soll, wenn es unter diesen Umständen auf die Klage nicht eintrat und das Klageverfahren definitiv abschloss, lässt sich den Ausführungen in den beiden Rechtsschriften des Beschwerdeführers in keiner Weise entnehmen und ist im Übrigen auch nicht ersichtlich.
Die Beschwerde enthält offensichtlich keine hinreichende Begründung (<ref-law>). Es ist darauf mit Entscheid des Abteilungspräsidenten als Einzelrichter im vereinfachten Verfahren nach <ref-law> nicht einzutreten.
2.3. Dem auch für das bundesgerichtliche Verfahren gestellten Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege kann schon darum nicht entsprochen werden, weil die Beschwerde (ungeachtet deren formeller Mängel) aussichtslos erschien (<ref-law>). Die bundesgerichtlichen Kosten sind mithin dem Verfahrensausgang entsprechend dem Beschwerdeführer aufzuerlegen (Art. 65 und Art. 66 Abs. 1 erster Satz BGG).

Demnach erkennt der Präsident:
1.
Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2.
Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung wird abgewiesen.
3.
Die Gerichtskosten von Fr. 1'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
4.
Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten und dem Verwaltungsgericht des Kantons Thurgau schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 14. September 2016
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Seiler
Der Gerichtsschreiber: Feller