Faits :
A.
A.a. A._ était employée polyvalente au sein d'un établissement médico-social. Elle s'est annoncée le 25 août 2011 à l'office de l'assurance-invalidité du canton de Fribourg (ci-après: l'office AI) et a indiqué être incapable de travailler en raison d'une tumeur osseuse bénigne du doigt.
Par décision du 16 août 2012, l'office AI a rejeté la demande de l'assurée et retenu que, sous réserve des périodes du 1 er mars au 30 juin 2011 et du 10 août 2011 au 1 er janvier 2012, celle-ci disposait d'une capacité entière de travail avec une diminution de rendement de 10-15 %. Il fondait sa décision en particulier sur le rapport d'examen rhumatologique du Service médical régional de l'AI (SMR) du 25 avril 2012. La doctoresse B._, spécialiste en rhumatologie, y avait posé les diagnostics de cervio-brachialgies, lombalgies chroniques et séquelles fonctionnelles très modérées du poignet droit à la suite de l'exérèse d'un kyste intra-osseux de l'auriculaire, et avait conclu que la capacité de travail de l'intéressée était entière dans toute activité adaptée et dans l'activité habituelle, ce alors avec une diminution de rendement de l'ordre de 10-15 %.
A.b. Le 10 avril 2013, A._ a présenté une nouvelle demande de prestations à l'office AI, annonçant souffrir d'une dépression et être totalement incapable de travailler depuis le mois de septembre 2012.
L'office AI a recueilli l'avis du médecin traitant de l'assurée, le docteur C._, spécialiste en psychiatrie. Dans ses rapports des 21 juin et 30 décembre 2013, celui-ci a attesté que sa patiente présentait un trouble obsessionnel compulsif et une personnalité anankastique, justifiant une incapacité totale de travail depuis le 6 décembre 2012. L'administration a également obtenu copie du rapport de l'expertise réalisée par la Clinique X._ sur mandat de l'assureur perte de gain, daté du 21 mars 2014. Le docteur E._, spécialiste en psychiatrie, y avait diagnostiqué un trouble obsessionnel compulsif et un trouble de l'adaptation, auquel s'associait une personnalité anankastique. Il avait retenu que ces troubles étaient sans incidence sur la capacité de travail de l'assurée, qui était entière depuis le 1 er juillet 2013. En se fondant sur ces informations, l'administration a informé A._ qu'elle entendait refuser toute prestation (projet de décision du 6 mai 2014). Celle-ci a contesté ce projet par courrier du 2 juin 2014 et a fait parvenir à l'office AI les observations du docteur C._ sur l'expertise de la Clinique X._. Le 10 juillet 2014, l'administration a décidé de rejeter la demande de l'assurée.
B.
Le 3 septembre 2013, A._ a formé recours devant le Tribunal cantonal du canton de Fribourg, Cour des assurances sociales. Elle a conclu principalement à la reconnaissance de son droit à une rente entière, et subsidiairement à la mise en oeuvre d'une expertise psychiatrique sur sa capacité de travail. A l'appui de son recours, elle a produit des rapports du docteur C._, de la Fondation F._, de son ancien employeur et de la doctoresse G._, spécialiste en psychiatrie.
Par jugement du 5 juillet 2016, la juridiction cantonale a débouté l'assurée.
C.
A._ a déposé un recours en matière de droit public contre ce jugement le 12 septembre 2016. Elle en demande l'annulation et conclut principalement à l'octroi d'une rente entière d'invalidité, et subsidiairement au renvoi de la cause au tribunal cantonal pour instruction complémentaire.
L'office AI s'est référée au jugement cantonal, tandis que l'Office fédéral des assurances sociales a renoncé à se déterminer.

Considérant en droit :
1.
Le recours en matière de droit public au sens des <ref-law> peut être formé pour violation du droit (circonscrit par les art. 95 et 96 LTF). Le Tribunal fédéral applique le droit d'office (<ref-law>) sans être limité par l'argumentation de la partie recourante ou par la motivation de l'autorité précédente. Il statue en principe sur la base des faits établis par l'autorité précédente (<ref-law>), sous réserve des cas prévus par l'<ref-law>. Le recourant ne peut critiquer la constatation de faits pertinents pour le jugement de la cause que si ceux-ci ont été établis en violation du droit au sens de l'<ref-law> ou de manière manifestement inexacte (<ref-law>), c'est-à-dire arbitraire, et si la correction du vice est susceptible d'influer sur le sort de la cause (<ref-ruling> consid. 4.3 p. 62). Il appartient au recourant de démontrer le caractère arbitraire des faits retenus par une argumentation répondant aux exigences de l'<ref-law>, respectivement de l'<ref-law>.
2.
Le litige a trait au droit de la recourante à une rente de l'assurance-invalidité et porte sur la question de savoir si son état de santé s'est modifié depuis la première décision de refus de prestations, de telle sorte qu'elle présenterait une incapacité de travail entraînant une perte de gain donnant droit à des prestations. Le jugement entrepris expose de manière complète les règles légales et la jurisprudence applicable au litige. Il suffit d'y renvoyer.
3.
La juridiction cantonale a comparé la situation qui prévalait lors de la première décision de refus et celle existant lors de la décision litigieuse. Elle a constaté que la recourante ne présentait pas de nouvelle atteinte de nature somatique, mais souffrait de troubles psychiques (troubles obsessionnels compulsifs, trouble de l'adaptation, personnalité anankastique), diagnostiqués tant par son médecin traitant que par l'expert mandaté par l'assureur perte de gain. Se fondant sur le rapport de cet expert, le tribunal cantonal a cependant retenu que ces affections étaient sans incidence sur la capacité de travail de l'assurée à partir du 1 er juillet 2013, dès lors que le trouble de l'adaptation, lié à certains conflits professionnels, s'était résorbé et que les autres troubles diagnostiqués étaient présents de longue date, stables depuis des années et n'étaient pas en soi incapacitants. L'autorité cantonale a écarté les conclusions divergentes du docteur C._, qui retenait une incapacité totale de travail. Elle a en particulier considéré que son avis, de même que les rapports établis par la Fondation F._, l'ancien employeur et la doctoresse G._ ne suffisaient pas à établir que les troubles de la recourante s'étaient aggravés ni que celle-ci était incapable de collaborer au traitement pour des raisons liées à sa pathologie.
4.
La recourante fait valoir que la juridiction cantonale aurait violé l'<ref-law>, dès lors que les droits procéduraux de l'assurée n'auraient pas été respectés lors la mise en oeuvre de l'expertise du docteur E._. Elle lui reproche en outre d'avoir apprécié les preuves de manière arbitraire, en suivant les conclusions de cet expert sans ordonner une expertise judiciaire, alors que celles-ci étaient contredites par les avis du docteur C._, de la doctoresse G._ et de l'ancien employeur de la recourante.
4.1. Selon l'<ref-law>, si l'assureur recourt aux services d'un expert indépendant pour élucider les faits, il donne connaissance du nom de celui-ci aux parties; celles-ci peuvent récuser l'expert pour des raisons pertinentes et présenter des contre-propositions.
En l'occurrence, l'office AI n'a pas lui-même mis en oeuvre une expertise auprès d'un médecin externe à l'assurance-invalidité, mais a recueilli un rapport médical initié par un tiers. L'assurée a eu connaissance de l'expertise de la Clinique X._ au moment où l'office AI lui a transmis son projet de décision et a pu se prononcer à son égard, son médecin traitant ayant du reste fait parvenir son appréciation y relative à l'office intimé (rapport du docteur C._ du 2 juin 2014). Dans ces circonstances, les droits procéduraux prévus par l'<ref-law> ne trouvent pas application: l'administration n'a pas elle-même recouru aux services de l'expert indépendant, ni n'est intervenue dans la mise en oeuvre de l'expertise, par exemple en posant des questions au spécialiste, ce dont elle aurait alors dû informer l'assurée pour lui donner l'occasion d'en faire de même (arrêt 8C_254/2010 du 15 septembre 2010 consid. 4.2). Le grief tiré de la violation de l'<ref-law> est dès lors mal fondé.
4.2. On constate par ailleurs que, contrairement à ce qu'affirme la recourante, l'autorité précédente n'a pas fait preuve d'arbitraire dans son appréciation des preuves. Elle a dûment apprécié l'ensemble des pièces médicales à sa disposition et exposé les raisons qui l'ont conduite à accorder une pleine valeur probante à l'expertise du docteur E._, malgré les évaluations divergentes des médecins traitants. L'autorité cantonale a ainsi constaté que les éléments mis en évidence par le docteur C._ avaient déjà été discutés par l'expert, qui avait retenu que la symptomatologie obsessionnelle de la recourante pouvait être considérée comme fixée et qu'aucune pathologie n'expliquait son absence de collaboration au traitement. Elle a en outre retenu que la doctoresse G._ avait certes noté que le trouble obsessionnel de la recourante était en aggravation depuis deux ans, mais n'avait rencontré celle-ci qu'à une seule reprise, postérieurement à la décision attaquée, et n'avait pas indiqué ce qui fondait son affirmation. Quant aux rapports de la Fondation F._ et de l'ancien employeur, ils ne démontraient pas l'incapacité totale de travail de la recourante dans une activité adaptée.
A cette argumentation, l'assurée oppose seulement que ses troubles auraient augmenté en intensité, ce qui serait établi par les différentes pièces produites à l'appui de son recours cantonal. Elle se contente de cette manière de substituer sa propre appréciation à celle de la juridiction cantonale, sans en démontrer le caractère arbitraire. On rappellera à cet égard qu'il n'appartient pas au Tribunal fédéral de rechercher les raisons éventuelles pour lesquelles le jugement attaqué devrait être annulé, mais à la partie recourante d'établir, par une argumentation précise qui se réfère concrètement au contenu des rapports médicaux qu'elle critique, en quoi l'appréciation opérée par l'autorité cantonale serait arbitraire ou ses constatations de fait manifestement inexactes ou incomplètes. En l'occurrence, la recourante ne met pas en évidence des éléments objectivement vérifiables qui auraient été ignorés par l'expert et seraient suffisamment pertinents pour remettre en cause le point de vue des premiers juges. Elle ne discute pas non plus de manière précise les raisons qui ont conduit les premiers juges à écarter l'opinion des médecins traitants et des autres tiers intervenant au dossier, lesquelles n'apparaissent pas insoutenables. Dans ces circonstances, le grief tiré d'une appréciation arbitraire des preuves doit être rejeté.
5.
Vu l'issue du litige, les frais judiciaires sont mis à la charge de la recourante (<ref-law>).

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce :
1.
Le recours est rejeté.
2.
Les frais judiciaires, arrêtés à 800 fr., sont mis à la charge de la recourante.
3.
Le présent arrêt est communiqué aux parties, au Tribunal cantonal du canton de Fribourg, Cour des assurances sociales, et à l'Office fédéral des assurances sociales.
Lucerne, le 12 décembre 2016
Au nom de la IIe Cour de droit social
du Tribunal fédéral suisse
La Présidente : Glanzmann
La Greffière : Hurni