Faits :
A.
A.a. X._ (demandeur et recourant), alors qu'il était en formation en vue d'obtenir le certificat de capacité d'assistant en soins et santé communautaire, a été engagé par la Fondation Z._ (défenderesse et intimée) sur la base d'un contrat d'apprentissage conclu le 21 avril 2011 avec effet au 15 août 2011 pour une durée d'une année, soit jusqu'au 14 août 2012.
A.b. En 2012, le demandeur a réalisé une revue du personnel sous forme d'une vidéo projetée à la soirée du personnel. Dans ce film, le demandeur a repris le concept du film " Titanic " et a mis en scène la directrice des soins de l'Hôpital (A._), qui apparaissait plus âgée et parlait de ce qu'elle avait vécu et d'intrigues au sein de l'établissement de la défenderesse; il était alors connu que cette employée allait quitter l'établissement à la fin de l'année 2012 car ses attentes et celles du directeur n'étaient pas compatibles pour le poste d'adjointe du directeur général que celle-ci aurait dû occuper. Dans le film, la défenderesse est quant à elle dépeinte comme s'engageant dans une voie trouble. A._ y est présentée comme gardienne des valeurs pour l'avenir de la défenderesse. La défenderesse, pour n'avoir pas écouté les mises en garde de A._, est condamnée à sombrer tel le célèbre navire.
Par la suite, A._, ainsi que la personne qui jouait son rôle dans le film ont été licenciées.
A.c. Par courrier du 5 juin 2012, le directeur de la défenderesse a adressé un avertissement au demandeur et l'a simultanément libéré de son obligation de travailler jusqu'à l'expiration de son contrat de travail au 14 août 2012. A cet égard, il était précisé que l'avertissement faisait suite aux événements survenus lors de la fête du personnel qui avait eu lieu le vendredi 1er juin, et la libération de l'obligation de travailler était justifiée par le fait que la présence du demandeur au sein de la défenderesse était susceptible de perturber son bon fonctionnement.
Le demandeur a contesté la version des faits donnée par le directeur dans son courrier du 5 juin 2012 et a indiqué que la façon de procéder lui avait été extrêmement préjudiciable, dès lors qu'elle l'avait privé de la possibilité d'effectuer ses examens pratiques au sein de son établissement, soit son lieu de formation, et ce à 21 jours des examens.
B.
B.a. Par demande du 26 avril 2013 adressée au Tribunal des prud'hommes de l'arrondissement de l'Est vaudois, le demandeur a notamment conclu, avec suite de frais et dépens, au paiement en sa faveur par la défenderesse d'une indemnité de 6'600 fr., dont 4 mois de salaire à 1'265 fr. brut par mois, au paiement en sa faveur du montant de l'indemnité versée à son conseil d'office dans le cadre de l'assistance judiciaire et à la délivrance par la défenderesse d'un nouveau certificat d'apprentissage.
En date du 26 mars 2015, le Tribunal des prud'hommes a rendu son jugement, au terme duquel il a reconnu la défenderesse débitrice d'une indemnité d'un montant de 3'000 fr. (chiffre I du dispositif), et d'une indemnité à titre de dépens de 3'000 fr. (chiffre II du dispositif). Pour le surplus, il a rejeté toute autre ou plus ample conclusion.
B.b. Par jugement du 28 avril 2016, la Chambre des recours civile du Tribunal cantonal du canton de Vaud a admis le recours de la défenderesse et a réformé les chiffres I et II du dispositif du jugement comme suit:
I. La demande de X._ est rejetée.
II. X._ est débiteur de la Fondation Z._ d'un montant de 3'000 fr. à titre de dépens.
Le jugement est confirmé pour le surplus.
C.
Le demandeur a formé un recours constitutionnel subsidiaire au Tribunal fédéral en vue d'obtenir, en substance, l'annulation de l'arrêt cantonal et la confirmation du jugement du 26 mars 2015 rendu par le Tribunal des prud'hommes de l'arrondissement de l'Est vaudois, subsidiairement le renvoi de la cause à l'instance précédente pour nouvel arrêt. Une demande d'assistance judiciaire est également jointe au recours constitutionnel.

Considérant en droit :
1.
La valeur litigieuse minimale de 15'000 fr. requise pour les conflits de droit du travail n'est pas atteinte (<ref-law>). Est donc seule ouverte la voie du recours constitutionnel (<ref-law>). Ce recours subsidiaire peut être formé uniquement pour violation des droits constitutionnels (<ref-law>), grief soumis à une exigence de motivation stricte (<ref-law> en lien avec l'<ref-law>) : le recourant doit désigner de manière précise le droit constitutionnel dont il se prévaut et exposer de manière claire et circonstanciée en quoi ce droit est violé par la décision attaquée; il ne saurait se contenter de soulever de vagues griefs ou de renvoyer aux actes cantonaux (<ref-law>; <ref-ruling> consid. 2.2, 133 III 393 consid. 6 p. 397).
2.
Le recourant invoque la protection contre l'arbitraire conférée par l'art. 9 Cst. Une décision est contraire à cette disposition constitutionnelle lorsqu'elle viole gravement une norme ou un principe juridique clair et indiscuté, ou contredit d'une manière choquante le sentiment de la justice et de l'équité. Le Tribunal fédéral ne s'écarte de la solution retenue par l'autorité cantonale de dernière instance que si sa décision apparaît insoutenable, en contradiction manifeste avec la situation effective, adoptée sans motifs objectifs ou en violation d'un droit certain. En outre, il ne suffit pas que les motifs de la décision soient insoutenables; il faut encore que celle-ci soit arbitraire dans son résultat. Il ne suffit d'ailleurs pas non plus qu'une solution différente de celle retenue par l'autorité cantonale puisse être tenue pour également concevable ou apparaisse même préférable (<ref-ruling> consid. 2.1 p. 168; <ref-ruling> consid. 3.2.5 p. 339; <ref-ruling> consid. 4.3 p. 319).
En matière d'appréciation des preuves et de constatation des faits, l'autorité tombe dans l'arbitraire lorsqu'elle ne prend pas en considération, sans aucune raison sérieuse, un élément de preuve propre à modifier la décision, lorsqu'elle se trompe manifestement sur son sens et sa portée, ou encore lorsque, sur la base des éléments recueillis, elle parvient à des constatations insoutenables (<ref-ruling> consid. 2.3 p. 266; <ref-ruling> consid. 4.1.2 p. 62; <ref-ruling> consid. 4.2 p. 560).
Selon la jurisprudence relative aux recours formés pour violation de droits constitutionnels (art. 106 al. 2 ou 116 LTF), celui qui se plaint d'arbitraire doit indiquer de façon précise en quoi la décision qu'il attaque est entachée d'un vice grave et indiscutable; à défaut, le grief est irrecevable (<ref-ruling> consid. 1.4.3 p. 254; <ref-ruling> consid. 3.2 p. 400; voir aussi <ref-ruling> consid. 2.3 p. 266).
3.
Contrairement aux premiers juges, la cour cantonale a considéré que l'intimée n'avait pas enfreint ses devoirs de formation envers le recourant en le libérant de son obligation de travailler peu de temps avant ses examens professionnels, le recourant ayant manqué à son devoir de fidélité au sens de l'<ref-law>. Pour cette raison, aucune indemnité n'était due en vertu de l'<ref-law>.
3.1. La cour cantonale a retenu que lorsque, par lettre du 5 juin 2012, le directeur de l'établissement avait simultanément adressé un avertissement au recourant et l'avait libéré de son obligation de travailler, l'intimée était en droit de se fonder sur les événements survenus lors de la fête du personnel pour prendre de telles mesures. Le comportement du recourant ne pouvait pas être relativisé par son âge; les obligations de moralité au travail ne seraient en l'espèce, où les parties étaient liées par un contrat d'apprentissage, pas différentes que dans le cadre d'un contrat de travail ordinaire, car le recourant n'était, au moment des faits plus un adolescent, mais un jeune homme âgé de 24 ans. Or, en décrivant dans son film l'intimée comme une institution qui sombre comme le Titanic, le recourant aurait manqué à son devoir de fidélité.
En outre, la cour cantonale a relevé que de toute manière, le recourant s'était ensuite organisé pour passer ses examens pratiques avec succès dans un autre établissement, obtenant même une meilleure note (5,2) que pour les branches théoriques (4,5), ce qui démontrait également que l'employeur avait pleinement satisfait à ses devoirs de formation. Il n'était donc pas possible de discerner dans les circonstances de fait le préjudice qu'aurait pu subir le recourant dans sa formation. Au demeurant, on pouvait douter de l'existence même de l'opposition formulée à la mesure de libération du travail, dès lors que le recourant s'était organisé sans délai pour passer ses examens dans un autre lieu que la fondation et qu'il l'avait confirmé à l'intimée par lettre du 19 juillet 2012, prenant acte du refus du directeur qu'il revienne travailler dans l'établissement.
Finalement, la cour cantonale a retenu qu'on ne discernait pas non plus de préjudice moral suffisamment grave pour être indemnisé. A supposer même que l'employeur ait commis une atteinte illicite - ce qui n'était pas le cas -, les seules difficultés d'organisation pour changer de lieu d'examen seraient manifestement insuffisantes pour être qualifiées de souffrance morale d'une intensité telle qu'elle entraînerait réparation.
3.2. Quant à la portée du film litigieux, le recourant reproche aux juges de deuxième instance d'avoir fait une constatation diamétralement opposée à celle des premiers juges: La première instance aurait retenu à juste titre qu'il s'agissait d'une fiction, reconnaissable comme telle, qui n'autorisait pas l'employeur à éloigner l'apprenti de son lieu de travail car il n'était pas établi que le recourant aurait cherché à porter préjudice à son employeur; à cet égard, les premiers juges auraient retenu correctement qu'il avait usé de la liberté de ton usuelle dans ce type d'exercice. Quant à elle, la deuxième instance, sans avoir visionné le film, admet que le recourant a manqué à son devoir de fidélité.
Le recourant est d'avis que le film serait un moyen de preuve de première importance à administrer dans le cas d'espèce; seul son visionnement aurait permis aux différents juges de se prononcer sur sa portée quant à la relation de travail entre l'apprenti et son employeur. En substituant sa façon d'apprécier la portée de ce film dans le cas d'espèce à celle des premiers juges, sans avoir visionné le film, la cour cantonale aurait ainsi violé l'interdiction de l'arbitraire.
3.3. Ce grief est infondé.
Le contenu du film litigieux est incontesté: Le recourant a décrit l'intimée comme allant vers un naufrage, à l'instar du Titanic, à cause du départ de la directrice des soins. Alors que les premiers juges ont qualifié ce film de fiction, l'autorité précédente l'a caractérisé comme une satire, ce qui n'est pas remis en cause par le recourant. Une satire se défini comme " un discours qui s'attaque à quelqu'un en se moquant " (cf. Le grand Robert de la langue française, ch. 3). En se fondant sur cette définition, il est dès lors évident que le recourant, avec son film, n'a pas voulu mettre l'intimée en valeur, mais se moquer d'elle devant l'ensemble de ses employés en véhiculant un message négatif de l'établissement. Ce faisant, il est sans importance que le film n'ait pas été projeté en dehors de l'hôpital, mais seulement devant ses collaborateurs, comme le relève le recourant.
Au moment des faits, le recourant était incontestablement âgé de 24 ans. Sur cette base, la cour cantonale a considéré - bien que les parties fussent liées par un contrat d'apprentissage - que les obligations de moralité au travail n'étaient ici pas différentes de celles prévalant dans un contrat de travail ordinaire, raison pour laquelle le recourant ne pouvait pas bénéficier d'une protection accrue. Le recourant insiste néanmoins sur le fait que son comportement devrait être relativisé par son jeune âge. Il invoque la doctrine selon laquelle les problèmes de développement inhérents à la jeunesse ne sauraient justifier de se séparer de façon désinvolte d'un apprenti qu'on n'apprécie pas. Mais tel n'est manifestement pas le cas en l'espèce. En effet, l'on cherche vainement dans l'arrêt attaqué des constatations selon lesquelles le recourant n'aurait pas été conscient de ses actes ou aurait eu d'autres raisons qui l'auraient empêché d'agir conformément à ce qu'on peut raisonnablement attendre de la part d'une personne de 24 ans. Le recourant lui-même ne le prétend pas. La Chambre des recours pouvait dès lors conclure sans arbitraire que le recourant ne pouvait pas bénéficier d'une protection accrue en raison de son âge.
Il s'ensuit que l'autorité précédente n'a pas versé dans l'arbitraire en retenant, sans avoir visionné le film, que le recourant avait ridiculisé son employeur devant l'ensemble des employés, et partant manqué à son devoir de fidélité au sens de l'<ref-law>.
3.4. En outre, le recourant fait valoir que l'autorité précédente aurait mal établi les faits en indiquant qu'il avait obtenu son certificat de capacité d'assistant en soins et santé communautaire avec les notes de 5,2 pour la branche " pratique professionnelle ". En vérité, il aurait seulement obtenu la note de 4,0 à son examen; la note de 5,2 représenterait la note globale, composée des notes de pratique effectuées durant son apprentissage.
Il révèle cependant que l'autorité précédente s'est basée sur les faits retenus par la première instance (cf. p. 4 du jugement du tribunal des prud'hommes). Le recourant ne démontre nulle part, ni même ne soutient qu'il aurait invoqué l'inexactitude de ce fait déjà devant la cour cantonale. Il n'y a donc pas à entrer en matière sur ce grief.
3.5. Le recourant objecte encore qu'il se serait bel et bien opposé à sa libération de travailler, comme le montrerait sa lettre envoyée au directeur de la fondation le 19 juillet 2012. Dans ce courrier il aurait contesté dans sa totalité la version des faits donnée par le directeur dans sa lettre du 5 juin 2012. De plus il serait allé voir le président du conseil de la fondation, auquel il aurait dit qu'il était soucieux de passer ses examens d'apprentissage en raison de son avertissement et de sa libération de son obligation de travailler.
Cette critique ne suffit à l'évidence pas à démontrer l'arbitraire dans l'appréciation de la cour cantonale. Il ne ressort ni de sa lettre du 19 juillet (qui a été adressée au directeur 1,5 mois après sa libération), ni des déclarations du témoin B._ que le recourant se serait opposé expressément à sa libération. Les deux moyens de preuve attestent uniquement des conséquences que le recourant a subies du fait de sa libération. En d'autres termes, il en résulte uniquement les efforts que le recourant a dû entreprendre pour trouver un autre lieu pour passer son examen pratique. De la lettre du 19 juillet 2012, il ressort même qu'il a " pris acte " du fait qu'il était libéré de son obligation de travailler dès le 5 juin 2012. On ne saurait en aucun cas en déduire que le recourant aurait formulé une demande spécifique à l'égard de sa libération, respectivement contesté le bien-fondé de cette dernière. De plus, le recourant ne soutient même pas avoir demandé à l'intimée de pouvoir passer son examen pratique au sein de l'hôpital, ni de pouvoir reprendre son travail.
3.6. Dans un ultime grief, le recourant réaffirme qu'il aurait subi un préjudice moral suffisamment grave pour qu'il soit indemnisé. L'intimée l'aurait empêché de poursuivre jusqu'à la fin sa formation au sein de l'établissement hospitalier. Ce faisant, elle aurait porté atteinte à sa personnalité de manière importante, injustifiée et contraire à la bonne foi. Il incomberait à l'employeur de prouver son absence de faute, ce que l'intimée n'aurait nullement démontré en l'espèce.
Ce faisant, le recourant se contente d'une critique purement appellatoire, et partant irrecevable. Le recourant n'a subi aucun préjudice dans sa formation qui serait dû à sa libération de l'obligation de travailler quelques semaines avant ses examens professionnels. En conséquence, la cour cantonale a retenu sans arbitraire que le recourant n'avait pas droit à une réparation morale.
4.
Selon l'<ref-law>, le Tribunal fédéral peut accorder l'assistance judiciaire à une partie à condition que celle-ci ne dispose pas de ressources suffisantes et que ses conclusions ne paraissent pas d'emblée vouées à l'échec. L'assistance comporte notamment l'exonération des frais judiciaires. En l'occurrence, la procédure entreprise devant le Tribunal fédéral n'offrait manifestement aucune chance de succès, ce qui entraîne le rejet de la demande d'assistance judiciaire.
A titre de partie qui succombe, le demandeur doit acquitter l'émolument à percevoir par le Tribunal fédéral (art. 66 al. 1 en relation avec l'art. 65 al. 4 let. c LTF). L'adverse partie n'ayant pas été invitée à procéder, il ne lui sera donc pas alloué de dépens.

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce :
1.
Le recours est rejeté dans la mesure où il est recevable.
2.
La demande d'assistance judiciaire est rejetée.
3.
Le recourant acquittera un émolument judiciaire de 300 francs.
4.
Il n'est pas alloué de dépens.
5.
Le présent arrêt est communiqué aux parties et à la Chambre des recours civile du Tribunal cantonal du canton de Vaud.
Lausanne, le 31 octobre 2016
Au nom de la Ire Cour de droit civil
du Tribunal fédéral suisse
La Présidente : Kiss
La Greffière : Reitze-Page