Sachverhalt:
A.
A._ und B._ hatten am 10. Dezember 1988 geheiratet. Sie sind die Eltern des volljährigen Sohnes C._ und der Tochter D._, die 1998 geboren ist. Das Landgericht Athen schied die Ehe der Parteien mit Urteil vom 26. Mai 2003 im Säumnisverfahren. Unterhaltsbeiträge wurden keine festgesetzt.
B.
Auf Klage von B._ hin ergänzte das Bezirksgericht Willisau mit Urteil vom 13. Januar 2015 das Scheidungsurteil (Bst. A) dahingehend, dass A._ seiner Tochter ab 1. Januar 2015 monatliche Kinderalimente von Fr. 400.-- und ab 1. April 2015 solche von Fr. 1'000.-- schuldet.
C.
C.a. Gegen dieses Urteil wandte sich A._ am 13. Februar 2015 an das Kantonsgericht Luzern. Er beantragte eine Reduktion seiner Unterhaltspflicht auf Fr. 270.-- von April bis Dezember 2015.
C.b. Am 20. März 2015 reichte B._ eine Berufungsantwort ein. A._ erhielt die Eingabe am 24. März 2015 vom Kantonsgericht "zur Orientierung" zugestellt. Am 7. April 2015, Dienstag nach Ostern, übergab er der Post eine Replik, in der er sich zur Berufungsantwort äusserte.
C.c. Mit Urteil vom 8. April 2015 hiess das Kantonsgericht die Berufung teilweise gut. Die monatlichen Alimente wurden auf Fr. 400.-- (ab 1. Januar 2015) und Fr. 730.-- (ab 1. April 2015) festgesetzt.
C.d. Am 9. April 2015 traf die Replik von A._ (Bst. C.b) beim Kantonsgericht ein.
D.
Mit subsidiärer Verfassungsbeschwerde vom 11. Mai 2015 wendet sich A._ (Beschwerdeführer) an das Bundesgericht. Er beantragt, das vorinstanzliche Urteil aufzuheben und die Sache zu neuer Entscheidung an die Vorinstanz zurückzuweisen (Ziffer 1). Eventualiter sei er zu verpflichten, seiner Tochter ab 1. April 2015 bis 2. Januar 2016 monatlich Unterhalt von Fr. 270.-- zu bezahlen (Ziffer 2). Zudem ersucht der Beschwerdeführer für das bundesgerichtliche Verfahren um unentgeltliche Rechtspflege. Mit Verfügung vom 28. Mai 2015 hat der Präsident der II. zivilrechtlichen Abteilung der Beschwerde praxisgemäss die aufschiebende Wirkung betreffend die bis und mit April 2015 geschuldeten Unterhaltsbeiträge erteilt.
D.a. Eingeladen, sich zur Beschwerde vernehmen zu lassen, stellt B._ (Beschwerdegegnerin) den Antrag, die Beschwerde "vollumfänglich abzuweisen". Zugleich ersucht sie für das bundesgerichtliche Verfahren um das Armenrecht (Eingabe vom 12. Oktober 2015). Das Kantonsgericht schliesst ebenfalls auf Abweisung der Beschwerde (Eingabe vom 14. September 2014). Der Beschwerdeführer hat am 26. Oktober 2015 repliziert. Diese Eingabe wurde der Beschwerdegegnerin und der Vorinstanz zur Kenntnis gebracht.
D.b. Am xx.xx.2016 ist die Tochter D._ volljährig geworden. Nach ständiger Praxis kann der bisherige gesetzliche Vertreter den hängigen Prozess in einem solchen Fall nur unter der Voraussetzung weiterführen, dass das nun volljährige Kind dieser Prozessführung zustimmt (Urteil 5A_344/2015 vom 29. Februar 2016 Sachverhalt Bst. E.c; <ref-ruling> E. 3.1.5 S. 59). Mit Eingabe vom 8. März 2016 (Datum der Postaufgabe) erklärt D._ ihr Einverständnis, dass die Beschwerdegegnerin für sie den Prozess vor Bundesgericht weiterführt.

Erwägungen:
1.
Rechtzeitig angefochten ist ein kantonal letztinstanzlicher Entscheid in einer Zivilsache (Art. 72 Abs. 1, 75, 90 und 100 Abs. 1 BGG). Der Streit betrifft den Kindesunterhalt, ist also vermögensrechtlicher Natur. Der Streitwert liegt unter Fr. 30'000.-- und eine Rechtsfrage von grundsätzlicher Bedeutung stellt sich nicht (Art. 74 Abs. 1 Bst. b und Abs. 2 Bst. a BGG). Damit steht dem Beschwerdeführer nur die subsidiäre Verfassungsbeschwerde (<ref-law>) offen.
2.
Der Beschwerdeführer rügt eine Verletzung seines rechtlichen Gehörs (Art. 29 Abs. 1 und 2 BV sowie Art. 6 Ziff. 1 EMRK). Wegen ihrer formellen Natur (s. <ref-ruling> E. 2.2 S. 190) ist diese Rüge zuerst zu prüfen.
2.1. Der Beschwerdeführer beruft sich darauf, dass die Berufungsantwort vom 20. März 2015 auch neue Beweismittel enthalten habe. Deshalb habe er ein Recht darauf gehabt, zu replizieren. Dem Kantonsgericht wirft der Beschwerdeführer vor, dieses Replikrecht verletzt zu haben. Die Berufungsantwort sei ihm am 24. März 2015 zugegangen. Unter Berücksichtigung der Ostergerichtsferien sei "die 10-tägige Frist zur freiwilligen Stellungnahme" am 20. April 2015 abgelaufen. Seine Replik vom 7. April 2015 (s. Sachverhalt Bst. C.b) sei also binnen Frist erfolgt und beim Kantonsgericht am 9. April 2015 eingetroffen (s. Sachverhalt Bst. C.d). Die Vorinstanz habe ihr Urteil aber schon am 8. April 2015, also noch während der Gerichtsferien gefällt (s. Sachverhalt Bst. C.c), ohne seine Eingabe abzuwarten. Der Beschwerdeführer rechnet vor, dass ihm unter Berücksichtigung der Gerichtsferien "effektiv höchstens vier Tage beziehungsweise drei Werktage" zur Verfügung gestanden hätten, um eine Stellungnahme einzureichen oder die Ansetzung einer Frist zu beantragen. Diese Frist erweise sich als unzureichend. Weiter argumentiert der Beschwerdeführer, selbst wenn das Bundesgericht die Ostergerichtsferien nicht gelten lasse, wäre der letzte Tag der Replikfrist auf den Karfreitag (3. April 2015) gefallen. Diesfalls hätte sich die Frist gestützt auf <ref-law> bis Dienstag, 7. April 2015, verlängert. Entsprechend wäre seine Eingabe auch in diesem Fall rechtzeitig erfolgt.
2.2. Das Kantonsgericht wehrt sich gegen den Vorwurf der Gehörsverletzung. Es stellt sich auf den Standpunkt, die Gerichtsferien würden nichts daran ändern, dass eine Partei ihr Replikrecht umgehend wahrzunehmen habe. Den Fristenstillstand auch jeder nur potenziell replizierenden Partei zuteil werden zu lassen, sei mit dem Beschleunigungsgebot kaum vereinbar. Die Berufungsantwort sei dem Beschwerdeführer am 24. März 2015 zur Orientierung zugestellt worden. Die Vorinstanz kommt zum Schluss, bis zum Tag der Urteilsfällung am 8. April 2015 hätten dem Beschwerdeführer somit zwei Wochen zur Verfügung gestanden, um sich freiwillig vernehmen zu lassen. Ihrer Meinung nach hätte es gerade während der Ostertage dem Beschwerdeführer oblegen, um Ansetzung einer Frist zu ersuchen, die seinen Bedürfnissen Rechnung getragen hätte. Die Beschwerdegegnerin sieht die Sache im Wesentlichen gleich wie die Vorinstanz.
2.3.
2.3.1. Nach <ref-law> haben die Parteien Anspruch auf rechtliches Gehör. Aus dieser verfassungsmässigen Garantie folgt unter anderem das Recht einer Partei, sich im Rahmen eines Gerichtsverfahrens zu den Stellungnahmen und Vernehmlassungen der anderen Verfahrensparteien, unteren Instanzen und weiteren Stellen zu äussern (<ref-ruling> E. 3.2 S. 191 f.; <ref-ruling> E. 2.1 S. 485 f.; <ref-ruling> E. 2.1 S. 99). Dieses Äusserungsrecht steht einer Prozesspartei unabhängig davon zu, ob die eingereichte Eingabe neue und/oder wesentliche Vorbringen enthält und ob sie im Einzelfall geeignet ist, den richterlichen Entscheid zu beeinflussen. Es ist Sache der Parteien und nicht des Gerichts zu beurteilen, ob eine neue Eingabe oder ein neues Beweismittel Bemerkungen erfordert (BGE <ref-ruling> a.a.O.; <ref-ruling> E. 2.3.1 S. 197; <ref-ruling> E. 4.3 S. 102; <ref-ruling> E. 3.3.2 S. 46).
2.3.2. Damit die Partei ihr Replikrecht auch tatsächlich wahrnehmen kann, muss ihr die fragliche Eingabe vor Erlass des Urteils zugestellt werden. Nur so kann sie sich darüber schlüssig werden, ob sie sich dazu äussern will (BGE <ref-ruling> E. 2.3.1 S. 197 mit Hinweisen). In diesem Sinne ist der Prozesspartei die konkrete Möglichkeit zu einer effektiven Replik einzuräumen (BGE <ref-ruling> E. 4.3-4.6 S. 102 ff. mit Hinweisen; Urteil 9C_557/2008 vom 3. April 2009 E. 3.2, nicht publ. in: <ref-ruling>). Hierzu reicht es grundsätzlich aus, die fragliche Eingabe der Partei zur Information zuzustellen (im Einzelnen BGE <ref-ruling> E. 2.4 S. 487; s. auch 138 III 252 E. 2.2 S. 255; Urteil 5A_553/2015 vom 16. Dezember 2015 E. 4.1.1 [zur Publikation vorgesehen]). Begnügt sich das Gericht in diesem Sinne mit einer blossen Zustellung zur Kenntnisnahme, ohne dem Adressaten eine Frist zur Stellungnahme zu setzen, so bringt es damit zum Ausdruck, dass der Schriftenwechsel geschlossen ist und von den Parteien auch sonst keine zusätzlichen Eingaben mehr erwartet werden, es die Sache mithin als spruchreif erachtet. Dementsprechend wird erwartet, dass eine Partei, die eine Eingabe ohne Fristansetzung zur Kenntnisnahme zugestellt erhält und sich dazu äussern will, dies umgehend und spontan tut oder wenigstens um Ansetzung einer Frist nachsucht; andernfalls wird angenommen, sie habe auf eine weitere Eingabe verzichtet (BGE <ref-ruling> E. 2.2 S. 486 mit Hinweisen). Das soeben Gesagte gilt erst recht für den Rechtsanwalt, der von Berufs wegen als Parteivertreter auftritt und kraft seines Mandats in der Pflicht steht, die Rechte seiner Klientschaft zu wahren (vgl. Urteile 4D_27/2014 vom 26. August 2014 E. 4.2.1; 5A_155/2013 vom 17. April 2013 E. 1.4). Sieht sich der Anwalt ausserstande, umgehend eine ausformulierte Stellungnahme für seinen Mandanten auszuarbeiten, so muss er dem Gericht ankündigen, dass er eine Stellungnahme einzureichen beabsichtige, oder die Justizbehörde wenigstens um Ansetzung einer Frist ersuchen.
2.3.3. Soll die Partei ihr Replikrecht in der zuletzt beschriebenen Konstellation effektiv wahrnehmen können, muss ihr das Gericht ausreichend Zeit für eine Stellungnahme lassen. Allerdings muss das Gericht mit der Entscheidfällung auch nur so lange zuwarten, bis es annehmen darf, dass der Adressat auf eine weitere Eingabe verzichtet habe (Urteile 4A_215/2014 vom 18. September 2014 E. 2.1; 4D_27/2014 vom 26. August 2014 E. 4.2.1; 5A_155/2013 vom 17. April 2013 E. 1.4). Welche Wartezeit ausreichend ist, hängt vom Einzelfall ab. Die Rechtsprechung bejaht in aller Regel eine Verletzung des rechtlichen Gehörs, wenn das Gericht "nur wenige Tage" nach der Mitteilung entscheidet (BGE <ref-ruling> E. 2.6 S. 199; Urteile 5D_112/2013 vom 15. August 2013 E. 2.2.3; 5A_155/2013 vom 17. April 2013 E. 1.4). Als begründet erachtete das Bundesgericht die Gehörsrüge zum Beispiel in einem Fall, wo das kantonale Verwaltungsgericht die Beschwerdeantwort und die Vernehmlassung der Gemeinde am 8. November 2005 zur Kenntnisnahme zustellte und am 16. November 2005 sein Urteil fällte (Urteil 1P.798/2005 vom 8. Februar 2006 E. 2.3). Auch eine kürzere Zeitdauer wurde in der Praxis verschiedentlich als unzureichend erachtet (Urteile 2C_794/2008 vom 14. April 2009 E. 3.5 [sieben Tage seit Zustellung sind unzureichend]; 2C_560/2012 vom 21. Januar 2013 E. 4.4 f., in: StR 2013 S. 405 [vier Werktage seit Zustellung sind unzureichend]; 1B_459/2012 vom 16. November 2012 E. 2.4 [vier Tage sind unzureichend]; 1B_407/2012 vom 21. September 2012 E. 3.2 [vier Tage bzw. ein Tag seit Zustellung ist unzureichend]; 1B_25/2010 vom 17. Februar 2010 E. 2.2 [zwei Tage sind unzureichend]). In einer allgemeineren Formulierung hielt das Bundesgericht fest, dass jedenfalls vor Ablauf von zehn Tagen nicht, hingegen nach zwanzig Tagen schon von einem Verzicht auf das Replikrecht ausgegangen werden dürfe (Urteile 9C_159/2014 vom 7. April 2014 E. 3; 9C_193/2013 vom 22. Juli 2013 E. 2.1.2; 5A_155/2013 vom 17. April 2013 E. 1.4; 1B_407/2012 vom 21. September 2012 E. 2.2; 6B_629/2010 vom 25. November 2010 E. 3.3.2 mit weiteren Hinweisen).
2.3.4. In all den erwähnten Urteilen beantwortet das Bundesgericht die immer gleiche Frage, ob die Behörde zu einem bestimmten Zeitpunkt - nach Ablauf einer bestimmten Anzahl Tage - von einem Verzicht auf das Replikrecht ausgehen und ihren Entscheid fällen durfte. Die bundesgerichtliche Praxis beschäftigt sich nicht mit dem Thema, bis wann die zur Replik entschlossene Partei zur Tat schreiten muss. Sie versucht Klarheit darüber zu schaffen, von wann an die Behörde entscheiden darf. Soweit das Bundesgericht in der zitierten Rechtsprechung losgelöst vom konkreten Fall auf die Zahl von zehn Tagen zu sprechen kommt, handelt es sich also nicht um eine Aufforderung an die Partei, eine allfällige Replik bis spätestens am letzten dieser zehn Tage beim Gericht einzureichen oder zu dessen Handen der Schweizerischen Post oder einer schweizerischen diplomatischen oder konsularischen Vertretung zu übergeben, wie es <ref-law> für gesetzliche und gerichtliche Fristen vorschreibt. Vielmehr ist es nach der zitierten Rechtsprechung die Behörde, die vor Ablauf einer Frist von zehn Tagen seit Zustellung der Eingabe nicht von einem Verzicht auf das Replikrecht ausgehen dürfen soll (so ausdrücklich Urteil 6B_629/2010 vom 25. November 2010 E. 3.3.2; s. E. 2.3.3). Das bedeutet, dass die Behörde nach Ablauf dieser zehn Tage, das heisst vom elften Tag an, ihr Urteil fällen darf. Will eine Partei sicherstellen, dass ihre Replik berücksichtigt werden kann, so ist es also an ihr dafür zu sorgen, dass die Eingabe bis spätestens am zehnten Tag beim Gericht eintrifft. In der zitierten Rechtsprechung ist denn auch nicht davon die Rede, dass das Gericht - zusätzlich zu den zehn Tagen - noch den Ablauf einer weiteren Zeitdauer für die Übermittlung der Eingabe abwarten muss. Eine solche Lesart würde darauf hinauslaufen, dass die Zustellung einer Eingabe ohne Fristansetzung im Ergebnis gleich zu behandeln wäre, wie wenn das Gericht eine (zehntägige) Frist zur Vernehmlassung angesetzt hätte. Wie das Bundesgericht ausdrücklich festgehalten hat, folgt eine derartige Gleichstellung aber gerade nicht aus der zitierten Rechtsprechung. Vielmehr übernimmt die Partei, der eine Eingabe lediglich zur Information zugestellt wurde und die damit weiss, dass die Sache aus der Sicht des Gerichts spruchreif ist, das Risiko eines raschen Entscheids (Urteil 5A_155/2013 vom 17. April 2013 E. 1.4).
2.4. Bezogen auf den konkreten Fall ergibt sich aus den vorigen Erwägungen, was folgt:
2.4.1. Dass die Beschwerdeantwort vom 20. März 2015 dem Beschwerdeführer am 24. März 2015 zugestellt wurde, ist vor Bundesgericht nicht bestritten (s. Sachverhalt Bst. C.b). Nach dem Gesagten musste der Beschwerdeführer an sich damit rechnen, dass das Kantonsgericht nach Ablauf von zehn Tagen seit dieser Zustellung sein Urteil fällen kann. Allerdings fiel der zehnte Tag der Wartefrist auf den 3. April 2015 und damit auf den Karfreitag. Weil der Karfreitag im Kanton Luzern bekanntlich ein vom kantonalen Recht anerkannter Feiertag ist, musste der Beschwerdeführer nicht annehmen, dass das Kantonsgericht an diesem Tag Eingaben in Empfang nimmt. Dasselbe gilt für den Folgetag (Samstag) und die weiteren Osterfeiertage (Ostersonntag und Ostermontag). Im Ergebnis verlängerte sich die Wartefrist, vor deren Ablauf das Kantonsgericht nicht von einem Verzicht auf das Replikrecht ausgehen durfte, also bis am Dienstag, 7. April 2015. Daraus folgt, dass die Vorinstanz im Grunde genommen vom 8. April 2015 an ihr Urteil fällen konnte. Das hat sie auch getan (s. Sachverhalt Bst. C.c). Wollte man dem Beschwerdeführer die dargelegte Rechtsprechung ohne Einschränkung entgegenhalten, so hätte er es sich also selbst zuzuschreiben, wenn er seine Replik erst am 7. April 2015 der Schweizerischen Post übergab und damit riskierte, dass seine Sendung dem Kantonsgericht erst am 9. April 2015 zugestellt wurde (s. Sachverhalt Bst. C.d). Einschliesslich des Tages der Zustellung der Eingabe vom 20. März 2015 (24. März 2015 standen ihm bis und mit Gründonnerstag (2. April 2015) acht Werktage zur Verfügung, um eine Replik auszuarbeiten und einzureichen. Nachdem ihm das Kantonsgericht die Beschwerdeantwort ohne Fristansetzung zur Information zugestellt hatte, war es seine Sache dafür zu sorgen, dass seine Replik bis spätestens am 7. April 2015 beim Kantonsgericht eintrifft. Mit Blick auf die anstehenden Osterfeiertage hätte ein sorgfältiger Anwalt die Eingabe womöglich noch vor Karfreitag, 3. April 2015, der Schweizerischen Post übergeben. Denn wie oben dargelegt, darf eine Partei, die eine Eingabe bloss "zur Orientierung" und ohne Ansetzung einer Frist zugestellt erhält, gerade nicht darauf vertrauen, dass das Gericht gleich verfährt, wie wenn es eine Frist zur Stellungnahme angesetzt hätte.
2.4.2. Zwar kann sich die Frage, ob eine Partei zu einem bestimmten Zeitpunkt auf die Ausübung des Replikrechts verzichtet habe, kaum jemand anderem als der mit dem Entscheid befassten (Gerichts-) Behörde stellen. Trotzdem könnte der Umstand, dass sich das Bundesgericht in verschiedenen deutschsprachigen Entscheiden des passiven Modus' bedient (so z.B. Urteil 9C_159/2014 vom 7. April 2014 E. 3: "darf jedenfalls nicht vor Ablauf von zehn Tagen... davon ausgegangen werden"), bei einem unbedarften oder fremdsprachigen Leser Zweifel darüber aufkommen lassen, für wen denn diese zehn Tage nun gelten sollen. Vor allem aber hat das Bundesgericht bis zum heutigen Tag nicht klar und deutlich festgehalten, dass es sich bei der Zehntagesfrist, von der in den zitierten Urteilen im Sinne einer verallgemeinerten Faustregel die Rede ist, um eine Wartefrist für das Gericht handelt, die auch die Zeit einschliesst, welche die Partei zur Übermittlung ihrer (Replik-) Eingabe benötigt. In dieser besonderen Situation durfte der Beschwerdeführer ausnahmsweise entsprechend seiner eigenen Lesart der bundesgerichtlichen Rechtsprechung davon ausgehen, dass ihm auf jeden Fall (volle) zehn Tage zur Verfügung stehen, um sich zur Beschwerdeantwort vom 20. März 2015 zu äussern, er also bis zum 3. April 2015 Zeit hatte, seine Replik dem Kantonsgericht einzureichen.
2.4.3. Nun bringt der Gesetzgeber in <ref-law> zum Ausdruck, dass Eingaben an ein Gericht nie an einem Samstag, einem Sonntag oder einem am Gerichtsort vom Bundesrecht oder vom kantonalen Recht anerkannten Feiertag eingereicht werden müssen. Die Zivilprozessordnung stellt diese Regel für die gesetzlichen und richterlichen Fristen auf. Von der Sache her muss der Grundsatz aber sinngemäss auch für den hier zu beurteilenden Fall gelten. Die beschriebene Maxime wurzelt nämlich in der Überlegung, dass es für eine Partei an einem Samstag, Sonntag oder Feiertag je nach den konkreten Umständen gar nicht möglich ist, eine geöffnete Empfangsstelle zu finden, oder jedenfalls nicht zumutbar, eine solche aufzusuchen, um eine Eingabe zu Handen des Gerichts der Schweizerischen Post (oder einer schweizerischen diplomatischen oder konsularischen Vertretung) zu übergeben. Mit dieser Schwierigkeit war auch der Beschwerdeführer konfrontiert, wenn er sich ausnahmsweise (E. 2.4.2) darauf verlassen durfte, seine Replikeingabe spätestens am Karfreitag, 3. April 2015, einreichen zu müssen. Nachdem im Kanton Luzern der Ostermontag ebenfalls ein vom kantonalen Recht anerkannter Feiertag ist, kann es dem Beschwerdeführer unter den gegebenen besonderen Umständen (s. E. 2.4.2) nicht zum Nachteil gereichen, wenn er seine Replik erst am folgenden Dienstag, dem 7. April 2015, zu Handen des Kantonsgerichts der Schweizerischen Post übergab (s. Sachverhalt Bst. C.b). Indem das Gericht bereits am Folgetag (8. April 2015) entschied (s. Sachverhalt Bst. C.c), verletzte es den Anspruch des Beschwerdeführers auf rechtliches Gehör. Die Beschwerde erweist sich insofern als begründet. Im Übrigen bleibt es losgelöst vom vorliegenden Fall aber dabei, dass nicht das Gericht, sondern die Partei das Risiko eines raschen Entscheids trägt, wenn ihr das Gericht keine Frist zur Stellungnahme setzt (E. 2.3.4).
2.5. Bei diesem Ergebnis kann offenbleiben, ob der Beschwerdeführer in einem Fall wie dem vorliegenden gestützt auf Art. 145 Abs. 1 Bst. a ZPO den Fristenstillstand vom siebten Tag vor Ostern bis und mit siebten Tag nach Ostern für sich in Anspruch nehmen könnte, obwohl ihm das Kantonsgericht für eine allfällige Reaktion auf die Beschwerdeantwort vom 20. März 2015 unbestrittenermassen keine Frist angesetzt hat und das Gesetz für solche Eingaben auch keine Frist bestimmt.
3.
3.1. Die Beschwerde ist demnach gutzuheissen. Das Kantonsgericht hat dem Beschwerdeführer das Recht abgeschnitten, auf die Beschwerdeantwort vom 20. März 2015 zu replizieren. Diese Verweigerung des rechtlichen Gehörs führt ungeachtet der Erfolgsaussichten der Prozessstandpunkte zur Rückweisung der Sache an das Kantonsgericht (s. <ref-ruling> E. 2.6.1 S. 285), damit es unter Berücksichtigung der Replik vom 7. April 2015 neu entscheide. Bei diesem Ausgang des Verfahrens unterliegt die Beschwerdegegnerin. An sich müsste sie deshalb für die Gerichtskosten aufkommen (<ref-law>) und den Beschwerdeführer entschädigen (<ref-law>). Unter den gegebenen besonderen Umständen (s. E. 2.4) rechtfertigt es sich aber, auf die Erhebung von Kosten zu verzichten (<ref-law>). Soweit aussergerichtliche Kosten entstanden sind, hat jede Partei ihre eigenen Aufwendungen für das bundesgerichtliche Verfahren selbst zu tragen (<ref-law>).
3.2. Soweit die Parteien gestützt auf <ref-law> darum ersuchen, dass sie das Bundesgericht von der Bezahlung der Gerichtskosten befreit, werden ihre Armenrechtsgesuche nach dem Gesagten gegenstandslos. Im Übrigen sind die Voraussetzungen für die unentgeltliche Verbeiständung im bundesgerichtlichen Verfahren (Art. 64 Abs. 1 und 2 BGG) für beide Parteien erfüllt. Insbesondere kann keiner Partei entgegengehalten werden, vor Bundesgericht ein aussichtsloses Begehren gestellt zu haben. Die Parteien haben der Gerichtskasse Ersatz zu leisten, wenn sie später dazu in der Lage sind (<ref-law>). Die Tochter D._ ist während des vor Bundesgericht hängigen Verfahrens volljährig geworden. Sie hat sich damit einverstanden erklärt, dass das Verfahren mit der Beschwerdegegnerin als Gegenpartei zu Ende geführt wird, ohne jedoch zum Ausgang des Verfahrens Stellung zu nehmen (s. Sachverhalt Bst. D.b). Sie trifft keine Kosten- und Entschädigungspflicht.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird gutgeheissen. Das Urteil des Kantonsgerichts Luzern, 2. Abteilung, vom 8. April 2015 wird aufgehoben. Die Sache wird zu neuer Entscheidung an die Vorinstanz zurückgewiesen.
2.
2.1. Das Gesuch des Beschwerdeführers um unentgeltliche Verbeiständung für das bundesgerichtliche Verfahren wird gutgeheissen und es wird dem Beschwerdeführer Rechtsanwältin Christina Kotrba als Rechtsbeiständin beigegeben.
2.2. Das Gesuch der Beschwerdegegnerin um unentgeltliche Verbeiständung für das bundesgerichtliche Verfahren wird gutgeheissen und es wird der Beschwerdegegnerin Rechtsanwalt Felix Horat als Rechtsbeistand beigegeben.
3.
Es werden keine Gerichtskosten erhoben.
4.
Es werden keine Parteientschädigungen zugesprochen.
5.
Rechtsanwältin Christina Kotrba wird aus der Gerichtskasse mit Fr. 1'500.-- entschädigt.
6.
Rechtsanwalt Felix Horat wird aus der Gerichtskasse mit Fr. 1'500.-- entschädigt.
7.
Dieses Urteil wird den Parteien, D._ und dem Kantonsgericht Luzern, 2. Abteilung, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 4. April 2016
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: von Werdt
Der Gerichtsschreiber: V. Monn