Sachverhalt:
A.
Die IV-Stelle Luzern sprach dem 1977 geborenen A._ im Anschluss an dessen Besuch einer Sonderschule berufliche Massnahmen und entsprechende Taggelder zu. Im Oktober 1997 (Postaufgabe) meldete sich der Versicherte erneut zum Bezug von Leistungen der Invalidenversicherung an. Im Feststellungsblatt vom 12. Oktober 1998 zum Rentenbeschluss vermerkte die IV-Stelle als Ausgangsbasis "Jugendinvalidität"; sodann errechnete sie einen Invaliditätsgrad von 85,39 %. Mit Verfügung vom 4. Dezember 1998 sprach sie A._ eine ganze Invalidenrente ab 1. Juli 1997 zu. Mit Verfügung vom 7. Februar 2003, Mitteilung vom 15. Juni 2007 und Verfügung vom 13. Mai 2008 wurde der bisherige Rentenanspruch jeweils (ohne nähere Überprüfung der entsprechenden Voraussetzungen) bestätigt.
Im Februar 2014 leitete die Verwaltung erneut ein Revisionsverfahren ein. Dabei veranlasste sie insbesondere das Gutachten des Dr. med. B._, Facharzt für Psychiatrie und Psychotherapie beim Regionalen Ärztlichen Dienst (RAD), vom 13. November 2014 ("neuropsychiatrisch-neuropsychologische Komplexfallabklärung"). Am 10. Februar 2015 bot die IV-Stelle Luzern A._ Unterstützung bei der Stellensuche an. Ab März 2015 kam sie für zwei Arbeitsversuche während jeweils sechs Monaten auf. Zu einer anschliessenden Festanstellung kam es nicht. Nach Durchführung des Vorbescheidverfahrens hob die IV-Stelle mit Verfügung vom 2. Juni 2016 die Invalidenrente wiedererwägungsweise auf Ende Juli 2016 auf.
B.
Die dagegen erhobene Beschwerde hiess das Kantonsgericht Luzern mit Entscheid vom 3. Februar 2017 gut. Es hob die Verfügung vom 2. Juni 2016 auf und bejahte einen weiterhin bestehenden Anspruch auf eine ganze Rente.
C.
Die IV-Stelle beantragt mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten, der Entscheid vom 3. Februar 2017 sei aufzuheben, und ihre Verfügung vom 2. Juni 2016 sei zu bestätigen.
A._ schliesst auf Abweisung der Beschwerde. Das Bundesamt für Sozialversicherungen verzichtet auf eine Vernehmlassung.

Erwägungen:
1.
Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann wegen Rechtsverletzungen gemäss Art. 95 und 96 BGG erhoben werden. Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (<ref-law>). Es legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (<ref-law>) und kann deren Sachverhaltsfeststellung von Amtes wegen nur berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruht (<ref-law>). Eine Sachverhaltsfeststellung ist nicht schon dann offensichtlich unrichtig, wenn sich Zweifel anmelden, sondern erst, wenn sie eindeutig und augenfällig unzutreffend ist (<ref-ruling> E. 3.1 S. 44). Es liegt noch keine offensichtliche Unrichtigkeit vor, nur weil eine andere Lösung ebenfalls in Betracht fällt, selbst wenn diese als die plausiblere erscheint (vgl. <ref-ruling> E. 2.1 S. 9; Urteil 9C_101/2015 vom 30. November 2015 E. 1.1). Diese Grundsätze gelten auch in Bezug auf die konkrete Beweiswürdigung (Urteile 9C_391/2015 vom 28. Januar 2016 E. 1; 9C_753/2015 vom 20. April 2016 E. 1).
2.
2.1. Neue Tatsachen und Beweismittel dürfen vor Bundesgericht nur so weit vorgebracht werden, als erst der Entscheid der Vorinstanz dazu Anlass gibt (<ref-law>; <ref-ruling>), was in der Beschwerde näher darzulegen ist (<ref-ruling> E. 3 S. 395). Der vorinstanzliche Verfahrensausgang allein bildet noch keinen hinreichenden Anlass im Sinne von <ref-law> für die Zulässigkeit von unechten Noven, die bereits im kantonalen Verfahren ohne Weiteres hätten vorgebracht werden können. Das Vorbringen von Tatsachen, die sich erst nach dem angefochtenen Entscheid ereigneten oder entstanden (echte Noven), ist vor Bundesgericht unzulässig (<ref-ruling> E. 1.2 S. 23 f.; <ref-ruling> E. 3.2.2.2 S. 548; <ref-ruling> E. 3.1.2 S. 123).
2.2. Die Beschwerdeführerin reicht neu eine "fachliche Stellungnahme" des RAD-Arztes Dr. med. B._ und einen Datenträger ein, die sie in einem anderen - mittlerweile entschiedenen - bundesgerichtlichen Verfahren ebenfalls vorgelegt hatte. Sie erläutert jedoch nicht, warum sie diese nicht bereits im vorinstanzlichen Verfahren präsentierte; sie bleiben daher unberücksichtigt. Das gleiche gilt für die erstmals geltend gemachten Resultate einer Internet-Recherche über den Beschwerdegegner. Zudem wurden die entsprechenden Auszüge aus dem facebook-Profil des Versicherten erst im letztinstanzlichen Verfahren als Beweismittel produziert, weshalb sie von vornherein unzulässig sind.
3.
3.1. Der Versicherungsträger kann durch Wiedererwägung auf formell rechtskräftige Verfügungen oder Einspracheentscheide zurückkommen, wenn diese zweifellos unrichtig sind und ihre Berichtigung von erheblicher Bedeutung ist (<ref-law>). Zweifellose Unrichtigkeit bedeutet, dass kein vernünftiger Zweifel an der (von Beginn weg bestehenden) Unrichtigkeit der Verfügung möglich, also einzig dieser Schluss denkbar ist. Das Erfordernis ist erfüllt, wenn eine Leistungszusprechung unvertretbar war, weil sie aufgrund falscher Rechtsregeln erfolgte oder weil massgebliche Bestimmungen nicht oder unrichtig angewandt wurden (<ref-ruling> E. 3.3 S. 328). Qualifiziert unrichtig ist die Verfügung auch, wenn ihr ein unvollständiger Sachverhalt zugrunde liegt, z.B. in der Form, dass die Invaliditätsbemessung nicht auf einer nachvollziehbaren oder unvollständigen ärztlichen Einschätzung der Arbeitsfähigkeit beruht (vgl. Urteile 9C_466/2010 vom 23. August 2010 E. 3.2.2 und 9C_307/2011 vom 23. November 2011 E. 3.2 mit Hinweis). Die Frage der zweifellosen Unrichtigkeit beurteilt sich nach der Sach- und Rechtslage im Zeitpunkt des Verfügungserlasses, einschliesslich der damaligen Rechtspraxis (vgl. <ref-ruling> E. 2.1 S. 149).
3.2. Streitig und zu prüfen ist, ob die ursprüngliche Verfügung vom 4. Dezember 1998 zweifellos unrichtig war, was die Vorinstanz verneint hat.
3.3.
3.3.1. Die Rentenzusprache an den Beschwerdegegner wurde laut dem Feststellungsblatt vom 12. Oktober 1998 auf einen Einkommensvergleich abgestützt, wobei das Valideneinkommen gemäss <ref-law> (SR 831.201) festgelegt und das vom Versicherten bei einem Verwandten als Hilfsgipser erzielte Einkommen als Invalideneinkommen angenommen wurde. Damit wurde ein Invaliditätsgrad von 85.39 % ermittelt. Ein Arztbericht für die damalige Beurteilung der Leistungsfähigkeit des Beschwerdegegners ist nicht aktenkundig.
3.3.2. Die Vorinstanz schliesst aus dem Eintrag vom 7. Oktober 1996 im Protokoll der IV-Stelle, dass eine RAD-Ärztin zum einen sich mit einer Abklärung im Kinder- und Jugendpsychiatrischen Dienst (KJPD) einverstanden erklärt und zum anderen eine Rentenüberprüfung wegen mangelnder Eingliederungsfähigkeit empfohlen habe. Eine derartige Stellungnahme habe wohl nur nach einer medizinischen Aktenbeurteilung erfolgen können. Damit sei aber zumindest seitens des RAD eine medizinische Einschätzung vorgenommen worden. Diese Interpretation des Protokolleintrages vom 7. Oktober 1996 ist jedoch nicht haltbar. Inhalt des protokollierten Gesprächs war die Zustimmung der RAD-Ärztin zu einer Abklärung durch den KJPD. Eine solche fand offensichtlich nicht statt. Mangels einer medizinische Aktenlage konnte die RAD-Ärztin eine solche auch gar nicht würdigen. Die aktenkundigen Berichte über den Aufenthalt in der Sonderschule und in einem heilpädagogischen Zentrum und jener des Schulpsychologischen Dienstes haben einen anderen Inhalt und Stellenwert als eine medizinische Beurteilung und vermögen eine solche nicht zu ersetzen.
Es kann auch keine Rede davon sein, dass am 4. Dezember 1998 eine Rentenzusprache ohne jegliche Prüfung der medizinischen Voraussetzungen üblich gewesen sein soll, wie die Vorinstanz ausgeführt hat. So legte etwa ULRICH MEYER-BLASER in seinem mehr als ein Jahr vor Erlass der Verfügung vom 4. Dezember 1998 erschienenen Werk "Rechtsprechung des Bundesgerichts zum Sozialversicherungsrecht, Bundesgesetz über die Invalidenversicherung (IVG) " (1. Aufl. 1997, S. 229) dar, dass der Arztbericht ein notwendiges Element zur Beurteilung des Leistungsanspruches sei und als Aussage eines Sachverständigen den Feststellungen medizinischer Laien vorgehe und auch nicht durch einen gerichtlichen Augenschein ersetzt werden dürfe (vgl. auch <ref-ruling> E. 1b S. 158 f. mit Hinweisen). Dass die Verwaltung diese Auffassung teilte, zeigt insbesondere der Protokolleintrag vom 7. Oktober 1996 mit der dort vorgesehenen (aber unterbliebenen) Abklärung durch den KJPD. Die Zusprache einer ganzen Invalidenrente ohne medizinische Grundlage war zweifellos unrichtig im Sinn von <ref-law> (E. 3.1).
3.4. Aus dem Urteil 8C_265/2016 vom 6. Juni 2016, auf welches sich der Versicherte in diesem Zusammenhang beruft, ergibt sich nichts anderes: Die dem genannten Urteil zugrunde liegenden medizinischen Grundlagen wurden als "aus heutiger Sicht zwar eher knapp" bezeichnet (Urteil 8C_265/2016 vom 6. Juni 2016 E. 4.2). Im Gegensatz zur vorliegenden Aktenlage waren aber medizinische Unterlagen vorhanden.
4.
4.1. Die Aufhebung der Rente auf dem Weg einer Wiedererwägung setzt voraus, dass zu diesem Zeitpunkt keine (anspruchsbegründende) Invalidität vorhanden ist (SVR 2014 IV Nr. 39 S. 137, 9C_121/2014 vom 3. September 2014 E. 3.4). Die Beschwerdeführerin beruft sich dafür auf das Gutachten des RAD-Arztes Dr. med. B._ vom 13. November 2014. Diesem hat die Vorinstanz die Beweiskraft abgesprochen.
4.2. Bei der Beurteilung der Arbeits (un) fähigkeit stützt sich die Verwaltung und im Beschwerdefall das Gericht auf Unterlagen, die von ärztlichen und gegebenenfalls auch anderen Fachleuten zur Verfügung zu stellen sind. Ärztliche Aufgabe ist es, den Gesundheitszustand zu beurteilen und dazu Stellung zu nehmen, in welchem Umfang und bezüglich welcher Tätigkeiten die versicherte Person arbeitsunfähig ist. Hinsichtlich des Beweiswertes eines Arztberichtes ist entscheidend, ob dieser für die streitigen Belange umfassend ist, auf allseitigen Untersuchungen beruht, auch die geklagten Beschwerden berücksichtigt, in Kenntnis der Vorakten (Anamnese) abgegeben worden ist, in der Beurteilung der medizinischen Zusammenhänge sowie der medizinischen Situation einleuchtet und ob die Schlussfolgerungen der Experten begründet sind (<ref-ruling> E. 5.1 S. 232; <ref-ruling> E. 3a S. 352 mit Hinweis).
Auf das Ergebnis versicherungsinterner ärztlicher Abklärungen - zu denen die RAD-Berichte (vgl. <ref-law>) gehören - kann nicht abgestellt werden, wenn auch nur geringe Zweifel an ihrer Zuverlässigkeit und Schlüssigkeit bestehen (<ref-ruling> E. 5.2 S. 229; <ref-ruling> E. 4.4 S. 469 f. und E. 4.7 S. 471; Urteil 8C_839/2016 vom 12. April 2017 E. 3.2).
4.3. Die Vorinstanz hat festgestellt, es gebe keine medizinischen Fachgesellschaften, welche die bei der RAD-Begutachtung angewandten Methoden zur individuellen klinischen Diagnostik empfehlen oder anerkennen. Weiter sei früher ein Intelligenzquotient von 75 angenommen worden, während der RAD-Arzt einen solchen von 95 ermittelt habe. Dessen Einschätzung stehe zudem in krassem Gegensatz zur gesamten früheren schulischen und ausbildungsmässigen Aktenlage. Der Experte habe sich mit diesen Diskrepanzen nicht auseinandergesetzt.
Ob die Begutachtung auf methodischen Mängeln beruhte, kann offenbleiben. Die verbindlich (E. 1) festgestellten Diskrepanzen ohne entsprechende Auseinandersetzung genügen bereits, zumindest geringe Zweifel am RAD-Gutachten zu begründen (E. 4.2). Auch wenn es allenfalls Teile einer lege artis erstellten psychiatrischen Expertise enthält, genügt es insgesamt den Anforderungen an die Beweiskraft nicht. Für eine aussagekräftige Bewertung wäre eine umfassende psychiatrische Begutachtung notwendig gewesen, wie das kantonale Gericht zutreffend erkannt hat.
4.4. Die Vorinstanz hat weder selber die notwendigen Abklärungen veranlasst, noch die IV-Stelle im Rahmen eines Rückweisungsentscheides dazu angehalten. Vielmehr hat sie die wiederwägungsmässigen Voraussetzungen für die Aufhebung der bestehenden Invalidenrente als nicht erfüllt betrachtet und erwogen, dass bei der bestehenden Aktenlage "nicht dargetan werden" könne, dass aktuell eine Arbeitsfähigkeit im freien Markt vorliege.
Dieses Vorgehen widerspricht dem Untersuchungsgrundsatz (Art. 43 und Art. 61 lit. c ATSG), der verlangt, dass entsprechende Beweise erhoben werden. Die Annahme einer Beweislosigkeit ist erst möglich, wenn es sich als unmöglich erweist, im Rahmen der Abklärungspflicht aufgrund einer Beweiswürdigung einen Sachverhalt zu ermitteln, der zumindest die Wahrscheinlichkeit für sich hat, der Wirklichkeit zu entsprechen (UELI KIESER, ATSG-Kommentar, 3. Aufl. 2015, N. 59 zu <ref-law>, mit Verweis auf Urteil 8C_641/2012 vom 14. Januar 2013 E. 3.3). Hinzu kommt, dass der Versicherte nach der wiedererwägungsweisen Aufhebung der ursprünglichen Verfügung vom 4. Dezember 1998 (E. 3) hinsichtlich eines weiteren Rentenanspruchs grundsätzlich die objektive Beweislast, d.h. die Folgen der Beweislosigkeit trägt. Auch aus diesem Grund hätte die Vorinstanz nicht eine Arbeitsunfähigkeit annehmen dürfen. Die IV-Stelle wird weitere Abklärungen zu treffen und erneut über den Rentenanspruch ab August 2016 zu befinden haben.
5.
Die Vorinstanz qualifizierte die beruflichen Massnahmen der Beschwerdeführerin, die es dem Beschwerdegegner ermöglichen sollten, die (von der Verwaltung angenommene) Arbeitsfähigkeit zu verwerten, als ungenügend.
Sollte sich durch die weiteren Abklärungen ergeben, dass der Versicherte im massgeblichen Zeitpunkt zumindest teilweise arbeitsfähig war, so ist Folgendes zu berücksichtigen: In zahlreichen Protokolleintragungen ist dokumentiert, dass die IV-Stelle versuchte, den Beschwerdegegner ab dem 5. März 2015 durch Arbeitsvermittlung und durch zwei Arbeitstrainings von je sechs Monaten Dauer einzugliedern. Diese Massnahmen sind grundsätzlich als hinreichende Unterstützung zu den ihm selber obliegenden Bemühungen zur Selbsteingliederung zu werten. Die von der Vorinstanz gestellte Anforderung, dass eine differenzierte schriftliche Evaluation zu erfolgen habe, die als Grundlage für die Beurteilung der Verwertbarkeit der (allfälligen) Arbeitsfähigkeit zu dienen habe, geht über die im Urteil 9C_228/2010 vom 26. April 2011 E. 3.3 angeführten Verpflichtungen der Verwaltung, in Einzelfällen Eingliederungshilfe zu leisten, hinaus. Auch bei Versicherten, die, wie der Beschwerdegegner, mehr als 15 Jahre eine Invalidenrente bezogen, gelten die Grundsätze eines ausgeglichenen Arbeitsmarktes. Dieser bietet auch Nischenarbeitsplätze, in welchen die Verwertbarkeit einer Arbeitsfähigkeit bei einem Arbeitgeber mit einem sozialen Entgegenkommen möglich ist (vgl. dazu das Urteil 8C_602/2010 vom 30. August 2010 E. 4.2.2).
6.
Dem Prozessausgang entsprechend sind die Gerichtskosten dem unterliegenden Beschwerdegegner aufzuerlegen (<ref-law>). Das Ergebnis ist ohne Einfluss auf die vorinstanziche Kostenregelung, weshalb sich eine diesbezürliche Rückweisung an die Vorinstanz erübrigt.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird teilweise gutgeheissen. Der Entscheid des Kantonsgerichts Luzern vom 3. Februar 2017 und die Verfügung der IV-Stelle Luzern vom 2. Juni 2016 werden aufgehoben, soweit sie den Rentenanspruch ab 1. August 2016 betreffen. Die Sache wird zu neuer Verfügung an die IV-Stelle Luzern zurückgewiesen. Im Übrigen wird die Beschwerde abgewiesen.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 800.- werden dem Beschwerdegegner auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird den Parteien, dem Kantonsgericht Luzern, 3. Abteilung, und dem Bundesamt für Sozialversicherungen schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 21. August 2017
Im Namen der II. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Pfiffner
Die Gerichtsschreiberin: Dormann