Sachverhalt:
A.
A.a. Am 29. Dezember 2014 klagte A.A._ vor dem Regionalgericht Bern-Mittelland auf Scheidung der Ehe mit B.A._. Mit Entscheid vom 4. Februar 2016 stellte das Regionalgericht fest, dass A.A._ den Gerichtskostenvorschuss nicht innert Frist geleistet habe, und trat auf die Klage nicht ein.
A.b. Mit Eingabe vom 12. März 2016 beantragte A.A._ beim Regionalgericht, der für das Scheidungsverfahren zuständige Gerichtspräsident D._ (Beschwerdegegner) habe in den Ausstand zu treten und es seien verschiedene Entscheide und Verfügungen aufzuheben bzw. als nichtig zu erklären. Am 16. März 2016 leitete das Regionalgericht die Eingabe an das Obergericht des Kantons Bern zur Prüfung der Frage weiter, ob A.A._ Berufung eingereicht habe. Mit Schreiben vom 17. März 2016 teilte A.A._ dem Obergericht mit, er sei mit dem Vorgehen des Regionalgerichts nicht einverstanden. Sein Gesuch sei durch dieses zu behandeln. In der Folge überwies das Obergericht die Akten dem Regionalgericht, da keine Berufung erhoben worden sei.
A.c. Mit Entscheid vom 8. April 2016 wies das Regionalgericht das Ausstandsgesuch ab.
B.
Die von A.A._ am 28. April 2016 hiergegen erhobene Beschwerde wies das Obergericht mit Entscheid vom 10. Mai 2016 (eröffnet am 18. Mai 2016) ab, soweit es darauf eintrat.
C.
Mit Beschwerde in Zivilsachen vom 17. Juni 2016 gelangt A.A._ (Beschwerdeführer) an das Bundesgericht und beantragt, was folgt:
"1. Es sei der Entscheid des Obergerichts des Kantons Bern, 2. Zivilkammer, i.S. A.A._ c. D._, vom 10.05.2016, vollumfänglich aufzuheben.
2. Ziffer 1 des Entscheids vom 10.05.2016 soll vollumfänglich aufgehoben werden.
3. Ziffer 2 des Entscheids vom 10.05.2016 soll vollumfänglich aufgehoben werden.
4. Ziffer 3 des Entscheids vom 10.05.2016 soll vollumfänglich aufgehoben werden.
5. Ziffer 5 des Entscheids vom 10.05.2016 soll vollumfänglich aufgehoben werden.
6. Folgende Oberrichterin und Oberrichter werden wegen Befangenheit aufgrund von Nichtbeweisabnahme per sofort abgelehnt:
a) Frau Oberrichterin E._
b) Herr Dr. iur. F._
c) Herr Dr. iur. G._
7. Es sollen aufgrund der bewiesenen Befangenheit von [D._] sämtliche Entscheide vom 24.03.2015 bis heute annulliert d.h. als ungültig erklärt werden.
8. Gemäss <ref-law> soll [D._] dazu angehalten werden[,] sich zu den Befangenheitsgründen zu äussern.
9. Es sollen dem Noch-Ehemann aufgrund der tatsächlichen Befangenheit von [D._] keine Gerichtskosten mehr auferlegt werden.
10. Es [soll] dem Noch-Ehemann eine angemessene Parteientschädigung gem. <ref-law> eingeräumt werden.
11. Wegen klarer Befangenheit von [D._] soll das Verfahren an die Vorinstanz zwecks Neubeurteilung unter neuer Leitung zurückgewiesen werden.
12. Es [sollen] dem Noch-Ehemann wegen bewiesener Erfolgschancen die [unentgeltliche Rechtspflege] zugestanden und [es sollen] seinerseits keine Gerichtskosten mehr verlangt werden.
13. Es sei eine öffentliche und mündliche Verhandlung aufgrund der Partei als Privatperson [durchzuführen].
14. Es seien an den Noch-Ehemann und seinem Rechtsvertreter als Privatpersonen d.h. als juristische Laien keine allzu hohen Anforderungen mehr zu stellen.
15. [...]"
Das Bundesgericht hat die Akten des kantonalen Verfahrens, hingegen keine Vernehmlassungen eingeholt.

Erwägungen:
1.
Die Beschwerde richtet sich gegen einen Entscheid einer letzten kantonalen Instanz (<ref-law>) über den Ausstand einer Gerichtsperson und damit einen selbständig eröffneten Zwischenentscheid im Sinn von <ref-law>, welcher der Beschwerde unterliegt. Bei Zwischenentscheiden folgt der Rechtsweg jenem der Hauptsache (<ref-ruling> E. 1.1 S. 382). Dort geht es um eine Ehescheidung und damit eine nicht vermögensrechtliche Zivilsache (Art. 72 Abs. 1BGG). Die Beschwerde in Zivilsachen ist damit grundsätzlich auch gegen den Zwischenentscheid gegeben. Der Beschwerdeführer hat am vorinstanzlichen Verfahren teilgenommen und ist durch den angefochtenen Entscheid besonders berührt. Er ist damit zur Beschwerde berechtigt (<ref-law>). Die Beschwerdefrist ist eingehalten (<ref-law>). Auf die Beschwerde kann daher unter Vorbehalt der nachfolgenden Ausführungen eingetreten werden.
2.
2.1. Die Beschwerde ist nur im Rahmen des Streitgegenstands zulässig, wobei Gegenstand des Beschwerdeverfahrens vor Bundesgericht nur sein kann, was bereits Gegenstand des vorinstanzlichen Verfahrens war oder richtigerweise hätte sein sollen (<ref-ruling> E. 4.4.2 S. 156; Urteil 5A_797/2015 vom 24. Februar 2016 E. 3). Vor Obergericht war das Ausstandsgesuch gegen den Beschwerdegegner strittig (vorne Bst. A.b und A.c). Nicht Gegenstand des vorinstanzlichen Verfahrens waren demgegenüber die zahlreichen vom Beschwerdeführer erwähnten früheren Ausstandsbegehren. Soweit diese betreffend ist auf die Beschwerde daher nicht einzutreten. Ebenfalls nicht Verfahrensgegenstand ist die in der Hauptsache strittige Scheidung (vgl. dazu vorne Bst. A.a und hinten E. 6.5). Auf die Beschwerde ist daher auch insoweit nicht einzutreten, als sie sich auf diese bezieht.
2.2. Der Beschwerdeführer beantragt, es dürften ihm keine Gerichtskosten mehr auferlegt werden (Rechtsbegehren Ziff. 9). Soweit er damit über das vorliegende Verfahren hinaus beantragen sollte, er sei künftig von jeglicher Kostenpflicht zu befreien, kann auf die Beschwerde nicht eingetreten werden. Abgesehen davon, dass dieser Antrag über den Streitgegenstand hinausgehen würde (E. 2.1 hiervor), hat über die Kostenbefreiung nach Massgabe der anwendbaren Bestimmungen das zuständige Gericht im jeweiligen Verfahren zu entscheiden.
2.3. Ebenfalls nicht einzutreten ist auf die Beschwerde, soweit der Beschwerdeführer dem Beschwerdegegner ein strafrechtlich relevantes Verhalten vorwirft (Beschwerde, S. 14). Das Bundesgericht ist zur Verfolgung und (erstmaligen) Beurteilung von Straftaten nicht zuständig (<ref-law>; Art. 2 Abs. 1 und Art. 12 ff. StPO).
3.
Der vorinstanzlich festgestellte Sachverhalt ist für das Bundesgericht grundsätzlich verbindlich (<ref-law>). Die Feststellung des Sachverhalts kann nur gerügt werden, wenn sie offensichtlich unrichtig - d.h. willkürlich (<ref-ruling> E. 2.3 S. 266) - ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruht und die Behebung des Mangels für den Verfahrensausgang entscheidend sein kann (<ref-law>). Die Rüge der willkürlichen Sachverhaltsfeststellung muss in der Beschwerde vorgebracht und begründet werden. Das Bundesgericht prüft nur klar und detailliert erhobene und, soweit möglich, belegte Rügen; auf ungenügend begründete Rügen und rein appellatorische Kritik am angefochtenen Entscheid tritt es nicht ein (<ref-law>; <ref-ruling> E. 5.1 S. 356; <ref-ruling> E. 2.2 S. 246). Der Beschwerdeführer rügt zwar eine falsche Sachverhaltsfeststellung durch die Vorinstanz (vgl. etwa Beschwerde, S. 17). Er begnügt sich indessen damit, in appellatorischer Weise seinen eigenen Sachverhalt darzulegen, ohne sich mit dem angefochtenen Urteil auseinander zu setzen. Seine weitschweifigen Ausführungen beziehen sich ausserdem zum grossen Teil auf die Scheidung, welche nicht Gegenstand des vorliegenden Verfahren ist (vgl. vorne E. 2.1). Der Beschwerdeführer widerspricht sich sodann teilweise selbst (vgl. Beschwerde, S. 11 und 12 bzw. S. 17 und 19 betreffend die Frage, ob er Berufung erhoben hat). Auf die Beschwerde ist damit auch insoweit nicht einzutreten (vgl. aber hinten E. 5).
4.
Der Beschwerdeführer beantragt eine öffentliche und mündliche Parteiverhandlung (Rechtsbegehren Ziff. 13). Das Begehren um eine Parteiverhandlung vor Bundesgericht (vgl. <ref-law>) muss, wie alle Anträge, begründet werden (<ref-law>; Urteile 5D_7/2015 vom 13. August 2015 E. 2 und 5A_880/2011 vom 20. Februar 2012 E. 1.5, in: Pra 2012 Nr. 91 S. 606). Dies gilt auch mit Blick auf Art. 6 Ziff. 1 EMRK (Urteil 9C_863/2014 vom 23. März 2015E. 1; NICOLAS VON WERDT, in: Seiler et al. [Hrsg.], Bundesgerichtsgesetz [BGG], 2. Aufl. 2015, N. 4 zu <ref-law>). Der Beschwerdeführer begnügt sich damit, die gewünschte Verhandlung zu beantragen, und zeigt nicht ansatzweise auf, weshalb es notwendig sein soll, eine solche durchzuführen. Hierauf ist nicht weiter einzugehen.
5.
5.1. Nach Ansicht des Beschwerdeführers haben sowohl das Obergericht als auch das Regionalgericht den Sachverhalt ungenügend abgeklärt und seinen Anspruch auf rechtliches Gehör verletzt, weil sie vom Beschwerdegegner keine Stellungnahme eingeholt haben (Beschwerde, S. 12 f.). Nach <ref-law> nimmt die Gerichtsperson zum Ausstandsgesuch Stellung, das sich gegen sie richtet. Die Stellungnahme dient einerseits der Abklärung des Sachverhalts, andererseits erhält die Gerichtsperson auf diese Weise die Möglichkeit, das Vorliegen eines Ausstandsgrunds zu akzeptieren oder zu bestreiten. Die abgelehnte Gerichtsperson hat zur Gesuchsbegründung in substanziierter Weise entweder in schriftlicher oder mündlicher Form Stellung zu nehmen (Urteil 5A_309/2016 vom 4. Oktober 2016 E. 6.1 mit Hinweisen). Die Stellungnahme bildet einen wesentlichen Akt im Ablehnungsverfahren, weshalb die gesuchstellende Partei nach <ref-law> Anspruch auf Kenntnisnahme und Replik hat (vgl. Urteil 1P.125/2006 vom 24. März 2006 E. 2.2, in: Pra 2006 Nr. 126 S. 871). Vom Einholen einer Stellungnahme kann abgesehen werden, wenn das urteilende Gericht das Ausstandsbegehren als rechtsmissbräuchlich (Urteil 5A_309/2016 vom 4. Oktober 2016 E. 6.1; STEPHAN WULLSCHLEGER, in: Sutter-Somm et al. [Hrsg.], Kommentar zur Schweizerischen Zivilprozessordnung [ZPO], 3. Aufl. 2016, N. 15 zu <ref-law>) oder offensichtlich unbegründet einstuft (Urteil 5A_600/2012 vom 16. November 2012 E. 2.2 f.; PETER DIGGELMANN, in: Brunner/Gasser/ Schwander, Schweizerische Zivilprozessordnung [ZPO], Kommentar, Bd. I, 2. Aufl. 2016, N. 6 zu <ref-law>, Fn. 16).
5.2. Bereits das Regionalgericht stufte das Ausstandsbegehren als offensichtlich unbegründet ein (Entscheid vom 8. April 2016, E. 15 S. 4) und auch die Vorinstanz hat im Ergebnis nicht anders entschieden (angefochtenes Urteil, E. 19 ff. S. 5 ff.). Dies ist, wie nachfolgend aufzuzeigen sein wird (hinten E. 6), im Ergebnis nicht zu beanstanden. Unter diesen Umständen konnten die Vorinstanzen ohne Verletzung von <ref-law> und <ref-law> vom Einholen einer Stellungnahme des Beschwerdegegners und einer Replik des Beschwerdeführers absehen (vgl. dazu angefochtenes Urteil, E. 9 S. 3; Entscheid vom 8. April 2016, E. 4 S. 2). Auch besteht im Verfahren vor Bundesgericht kein Anlass, den Beschwerdegegner Stellung nehmen zu lassen, weshalb der entsprechende Antrag des Beschwerdeführers abgewiesen wird (Rechtsbegehren Ziff. 8).
6.
6.1. In der Sache ist umstritten, ob der Beschwerdegegner in den Ausstand treten muss. Der Beschwerdeführer sieht diesen im Wesentlichen aufgrund seines Verhaltens während des Scheidungsverfahrens als befangen an (Beschwerde, S. 5 ff., 13 ff. und 18 ff.). Das Obergericht stellte sich die Frage, ob auf das Ausstandsgesuch hätte eingetreten werden dürfen, da der Beschwerdeführer dieses nach Ergehen des Entscheids in der Hauptsache aber während laufender Rechtsmittelfrist gestellt habe. In der Folge behandelte es das Gesuch dennoch in der Sache, sah es indessen als unbegründet an. Der Beschwerdeführer habe einzig auf prozessuale Fehler verwiesen, welche nicht geeignet seien, eine Befangenheit zu begründen (angefochtenes Urteil, E. 16 ff. S. 5 ff.).
6.2. Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (<ref-law>). Es ist weder an die in der Beschwerde geltend gemachten Argumente noch an die Erwägungen der Vorinstanz gebunden. Es kann eine Beschwerde aus einem anderen als dem angerufenen Grund gutheissen oder sie mit einer von der Argumentation der Vorinstanz abweichenden Begründung abweisen (<ref-ruling> E. 1.4 S. 400).
6.3. Wird der Ausstandsgrund erst nach Abschluss des Verfahrens entdeckt, so gelten die Bestimmungen über die Revision (<ref-law>). Diese Regelung folgt dem Grundgedanken, dass ein Gericht die Gerichtsbarkeit hinsichtlich eines bestimmten Falles verliert, sobald es sein Urteil gefällt hat (lata sententia iudex desinit esse iudex; <ref-ruling> E. 2 S. 121 f., 466 E. 3.4 S. 468 f.). Gemäss <ref-law> kann beim Gericht, welches als letzte Instanz entschieden hat, indes nur die Revision eines "rechtskräftigen Entscheids" verlangt werden. Hieraus hat das Bundesgericht im Umkehrschluss gefolgert, dass ein Ausstandsgrund, wenn er nach Abschluss des Verfahrens (mithin nach Ergehen des anfechtbaren Entscheids), aber vor Rechtskraft des Entscheids entdeckt wird, im Rahmen des Rechtsmittels geltend zu machen ist. Entsprechend kann in diesen Fällen das Ausstandsbegehren dem Bundesgericht mit Beschwerde in Zivilsachen vorgelegt werden (<ref-ruling> E. 3.1.1 S. 122; vgl. auch <ref-ruling> E. 3.4 S. 704). In Präzisierung dieser Rechtsprechung hat das Bundesgericht wenig später festgehalten, es sei unbesehen der Rechtskraft des anfechtbaren Entscheids mit <ref-law> vereinbar, die Partei auf das Rechtsmittel zu verweisen, solange dessen Frist noch nicht abgelaufen sei (<ref-ruling> E. 3.4 S. 469).
6.4. Der Beschwerdeführer stellte das Ablehnungsbegehren gegen den Beschwerdegegner am 12. März 2016 und damit nach Ergehen des Urteils in der Hauptsache am 4. Februar 2016, was nicht strittig ist (vorne Bst. A.a und A.b). Wie die Vorinstanz feststellte, war in diesem Zeitpunkt die Rechtsmittelfrist nach <ref-law> noch am Laufen (angefochtenes Urteil, E. 17 S. 5). Dies ist ebenfalls nicht bestritten. Das Obergericht ging weiter davon aus, der Beschwerdeführer habe ausdrücklich auf das Einreichen einer Berufung verzichtet (angefochtenes Urteil, E. 17 S. 5). Der Beschwerdeführer bestreitet zwar, den Entscheid vom 4. Februar 2016 nicht "weitergezogen" bzw. nicht "angefochten" zu haben (Beschwerde, S. 17 und 19). Wie dargelegt, begründet er diese Abweichung von den tatsächlichen Feststellungen der Vorinstanz indes nicht ausreichend (vorne E. 3). Ausserdem setzt er sich mit seinen eigenen Ausführungen in Widerspruch, bezeichnet er seine Eingabe vom 12. März 2016 auf S. 11 f. der Beschwerde doch ausdrücklich als Ablehnungsgesuch welches nicht als "eventuelle Berufung" ans Obergericht habe weitergeleitet werden dürfen. Ohnehin sind die Ausführungen des Beschwerdeführers offenkundig aktenwidrig: Mit Schreiben vom 17. März 2016 verwahrte er sich gegen eine Anhandnahme seiner Eingabe durch das Obergericht, sei dies als Berufung oder als "Befangenheitsgesuch" (act. 9/1 pag. 37 f.; vorne Bst. A.b). In tatsächlicher Hinsicht ist damit davon auszugehen, dass der Beschwerdeführer keine Berufung gegen den Entscheid vom 4. Februar 2016 eingereicht hat.
6.5. Nach dem in E. 6.3 hiervor Ausgeführten, war das Regionalgericht bei dieser Ausgangslage zur Behandlung des Ausstandsgesuchs nicht mehr zuständig und es hätte darauf nicht eintreten dürfen. Entsprechend hätte das Obergericht die gegen den erstinstanzlichen Entscheid erhobene Beschwerde bereits aus diesem Grund abweisen müssen. Es mag sich zwar fragen, ob die Eingabe des Beschwerdeführers vom 12. März 2016 vom Obergericht als Berufung hätte entgegengenommen werden müssen, zumal das Regionalgericht ihm diese weitergeleitet hatte (vorne Bst. A.b). Indessen hat der Beschwerdeführer ausdrücklich auf das Einlegen einer Berufung verzichtet und sich gegen die Weiterleitung seiner Eingabe an das Obergericht verwahrt. Unter diesen Umständen bestand für das Obergericht kein Anlass für ein entsprechendes Vorgehen und vermag der Beschwerdeführer sich vor Bundesgericht hierauf auch nicht zu berufen (<ref-law>; vgl. Beschwerde, S. 17). Im Ergebnis ist der angefochtene Entscheid damit nicht zu beanstanden. Die Beschwerde in Zivilsachen erweist sich insoweit als unbegründet und ist abzuweisen.
7.
7.1. Der Beschwerdeführer stellt vor Bundesgericht schliesslich ein Ausstandsbegehren gegen die am vorinstanzlichen Entscheid beteiligten Mitglieder des Obergerichts sowie den erstinstanzlichen Richter (Rechtsbegehren Ziff. 6; Beschwerde, S. 17, 20 f. und 23). Nach der Darstellung des Beschwerdeführers ergibt sich die Befangenheit der Mitglieder des Obergerichts aus der Art und Weise, wie diese geurteilt haben (vgl. E. 7.3 hiernach). Auch hat der Beschwerdeführer erst mit dem Entscheid des Obergerichts von dessen Besetzung Kenntnis erhalten, da dieses zwischen Eingang der Beschwerde und dem Urteil keine weiteren Vorkehrungen traf (angefochtener Entscheid, E. 8 f. S. 2 f.). Damit hat der angefochtene Entscheid Anlass zur Ablehnung der Mitglieder des Obergerichts gegeben und der Beschwerdeführer vermag die Ablehnung mit Beschwerde in Zivilsachen geltend zu machen (vorne E. 6.3). Insoweit ist das Ablehnungsgesuch, welches auch mit Blick auf den Grundsatz von Treu und Glauben sofort geltend zu machen ist (<ref-ruling> E. 8.4.3 S. 275; <ref-ruling> E. 3.2.1 S. 124), nicht verspätet und kann der Beschwerdeführer die entsprechenden neuen Tatsachen im bundesgerichtlichen Verfahren vorbringen (<ref-law>; <ref-ruling> E. 3.1.2 S. 123). Anderes gilt hinsichtlich der (angeblichen) Befangenheit des erstinstanzlichen Richters: Diese begründet der Beschwerdeführer mit prozessualen Fehlern im erstinstanzlichen Verfahren (Beschwerde, S. 17). Weshalb es ihm nicht früher hätte möglich sein sollen, dieses Ausstandsbegehren zu stellen, oder weshalb erst das Urteil des Obergerichts hierzu hätte Anlass geben sollen, ist nicht ersichtlich und wird vom Beschwerdeführer auch nicht weiter begründet (<ref-law>). Auf das Ablehnungsbegehren ist daher insofern nicht einzutreten.
7.2. <ref-law> umschreibt die Ausstandsgründe auf Gesetzesebene. Demnach tritt eine Gerichtsperson namentlich in den Ausstand, wenn sie in der Sache ein persönliches Interesse hat (Art. 47 Abs. 1 Bst. a ZPO) und wenn sie aus anderen Gründen, insbesondere wegen Freundschaft oder Feindschaft mit einer Partei oder ihrer Vertretung, befangen sein könnte (Art. 47 Abs. 1 Bst. f ZPO). Die Regelung von <ref-law> konkretisiert den in <ref-law> und Art. 6 Ziff. 1 EMRK verankerten Grundsatz, wonach jede Person, deren Sache in einem gerichtlichen Verfahren beurteilt werden muss, Anspruch darauf hat, dass ihre Streitsache von einem unbefangenen, unvoreingenommenen und unparteiischen Richter beurteilt wird. Dadurch soll garantiert werden, dass keine sachfremden Umstände, die ausserhalb des Prozesses liegen, in sachwidriger Weise zugunsten oder zulasten einer Partei auf das Urteil einwirken. Die Ausstandsregelung soll zu der für einen korrekten und fairen Prozess erforderlichen Offenheit des Verfahrens im Einzelfall beitragen und damit ein gerechtes Urteil ermöglichen. Die Garantie des verfassungsmässigen Richters wird bereits verletzt, wenn bei objektiver Betrachtung Gegebenheiten vorliegen, die den Anschein der Befangenheit oder die Gefahr der Voreingenommenheit zu begründen vermögen. Voreingenommenheit und Befangenheit in diesem Sinne werden nach der Rechtsprechung angenommen, wenn im Einzelfall anhand aller tatsächlichen und verfahrensrechtlichen Umstände Gegebenheiten aufscheinen, die geeignet sind, Misstrauen in die Unparteilichkeit des Richters zu erwecken. Dabei ist nicht auf das subjektive Empfinden einer Partei abzustellen. Das Misstrauen in die Unvoreingenommenheit muss vielmehr in objektiver Weise begründet erscheinen. Es genügt, wenn Umstände vorliegen, die bei objektiver Betrachtung den Anschein der Befangenheit und Voreingenommenheit hervorrufen (zum Ganzen <ref-ruling> E. 4.1 und 4.2 S. 221 f. mit zahlreichen Hinweisen).
7.3. Der Beschwerdeführer schliesst auf Voreingenommenheit der Mitglieder des Obergerichts, weil diese an ihn als Privatperson "allzu hohe Hürden" gestellt hätten. Ausserdem hätten sie notwendige Beweismassnahmen nicht getroffen (Beschwerde, S. 20). Er sieht die Mitglieder des Obergerichts damit aufgrund ihres Verhaltens während des Verfahrens als Befangen an. Aus den von einer Gerichtsperson getroffenen Entscheidungen kann nach der Rechtsprechung grundsätzlich kein objektiver Verdacht der Voreingenommenheit abgeleitet werden. Weder prozessuale Fehler noch falsche materielle Entscheide vermögen im Allgemeinen den Verdacht der Befangenheit zu begründen. Anders verhält es sich nur, wenn besonders krasse oder wiederholte Irrtümer vorliegen, die als schwere Verletzung der Richterpflichten beurteilt werden müssen (<ref-ruling> E. 3a S. 138; <ref-ruling> E. 3b S. 404; Urteile 5A_309/2016 vom 4. Oktober 2016 E. 4.2 und 5A_900/2015 vom 23. März 2016 E. 4.4). Eine solche Ausnahmesituation kann vorliegend nicht angenommen werden: Die pauschalen Vorbringen des Beschwerdeführers verweisen, soweit sie den Begründungserfordernissen überhaupt zu genügen vermögen (<ref-law> und hierzu <ref-ruling> E. 2 S. 89; <ref-ruling> E. 2.1 S. 245 f.), einzig auf einfache prozessuale Fehler, nicht aber auf schwere Verletzungen der Richterpflichten. Sie sind daher von vornherein zur Begründung einer Befangenheit der Mitglieder des Obergerichts nicht geeignet.
7.4. Eine Befangenheit von Oberrichter F._ vermag der Beschwerdeführer auch nicht mit seinen Ausführungen zu einer angeblichen "Verbändelung" zwischen diesem und der Vertreterin der Beklagten im Scheidungsverfahren aufzuzeigen: Der Beschwerdeführer führt aus, Oberrichter F._ gehöre der H._-Stiftung an. Die "Schwestern H._" hätten der Frauenzentrale U._ in V._ ein Grundstück überlassen. Die Beklagte im Scheidungsverfahren habe ihre Rechtsvertreterin unter Vermittlung der Frauenzentrale erhalten. Diese Umstände zeigten die vorerwähnte "Verbändelung" auf (vgl. Beschwerde, S. 23). Auch nach dieser Darstellung besteht zwischen Oberrichter F._ und der Rechtsvertreterin der Gegenpartei des Beschwerdeführers im Hauptverfahren keine besondere Freundschaft, welche gegebenenfalls einen Ausstandsgrund zu begründen vermöchte (Art. 47 Abs. 1 Bst. f ZPO; <ref-ruling> E. 5.1 S. 125 f.; <ref-ruling> E. 2.4 S. 5). Aus den vorgetragen Tatsachen lassen sich auch keine anderweitigen persönlichen Interessen des Oberrichters in der Sache ableiten, welche einen Ausstandsgrund nach Art. 47 Abs. 1 Bst. a ZPO begründen würden. Hierzu wäre vorausgesetzt, dass er eine spürbare persönliche Beziehungsnähe zum Streitgegenstand aufweist. Notwendig wäre, dass seine persönliche Interessensphäre mehr als diejenige anderer Gerichtspersonen tangiert wäre. Ein allgemeines Berührtsein reicht nicht aus (<ref-ruling> E. 4.2 S. 222 f.). Selbst wenn Oberrichter F._ Sympathien für die von der Frauenzentrale vertretenen Anliegen hegte, wie der Beschwerdeführer dies implizit geltend macht, würde sich hieraus noch kein Ausstandsgrund ergeben.
7.5. Damit erweist sich die Beschwerde auch hinsichtlich der gegenüber den Mitgliedern des Obergerichts geltend gemachten Voreingenommenheit als unbegründet.
8.
Nach dem Ausgeführten ist die Beschwerde abzuweisen, soweit darauf einzutreten ist. Bei diesem Ausgang des Verfahrens wird der unterliegende Beschwerdeführer grundsätzlich kostenpflichtig (<ref-law>) und es besteht kein Anspruch auf Parteikostenersatz (Art. 68 Abs. 1 und 3 BGG). Der Beschwerdeführer hat indessen um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege ersucht. Gemäss <ref-law> befreit das Bundesgericht eine Partei, die nicht über die erforderlichen Mittel verfügt, auf Antrag von der Bezahlung der Gerichtskosten und von der Sicherstellung der Parteientschädigung, sofern ihr Rechtsbegehren nicht aussichtslos erscheint. Als aussichtslos gelten nach konstanter Praxis Rechtsbegehren, bei denen die Gewinnaussichten beträchtlich geringer sind als die Verlustgefahren. Dagegen gilt ein Begehren nicht als aussichtslos, wenn sich Gewinnaussichten und Verlustgefahren ungefähr die Waage halten oder jene nur wenig geringer sind als diese. Massgebend ist, ob eine Partei, die über die nötigen Mittel verfügt, sich bei vernünftiger Überlegung zu einem Prozess entschliessen würde (<ref-ruling> E. 1 S. 139 f.; <ref-ruling> E. 1.2 S. 397 mit Hinweisen). In Anbetracht der Sachlage waren der Beschwerde in Zivilsachen keine realistischen Erfolgsaussichten beschieden. Sie erweist sich damit als aussichtslos und das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege ist abzuweisen. Die (umständehalber reduzierten) Gerichtskosten sind damit dem Beschwerdeführer aufzuerlegen und es ist keine Parteientschädigung zu sprechen.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf eingetreten wird.
2.
Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege wird abgewiesen.
3.
Die Gerichtskosten von Fr. 1'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Bern, 2. Zivilkammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 3. November 2016
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: von Werdt
Der Gerichtsschreiber: Sieber