Sachverhalt:
A.
A._ studiert seit Herbst 1984 Biologie an der Universität Bern. Im Sommer 2014 ersuchte er um Einsicht in alle bei der Universität über ihn "bearbeiteten oder archivierten Akten". Das Generalsekretariat der Universität Bern teilte A._ in der Folge mit, Daten über ihn befänden sich in vier Datensammlungen. Diese könne er über seinen Online-Zugang grösstenteils selbst einsehen, die übrigen Unterlagen seien bei der Universität einsehbar. Über seine Korrespondenz mit der Universität verfüge er selbst, und ein Anspruch auf Einsicht in interne Arbeitsmittel bestehe nicht.
Auf Beschwerde hin wies die Erziehungsdirektion des Kantons Bern die Universität an, A._ Einsicht in die vier erwähnten Datensammlungen zu gewähren, soweit er selbst nicht Zugriff darauf habe.
B.
Mit Urteil vom 18. April 2016 hiess das Verwaltungsgericht des Kantons Bern eine Beschwerde A._s gegen den Entscheid der Erziehungsdirektion teilweise gut und ordnete an, es sei ihm zusätzlich Einsicht in die ihn betreffenden Datensammlungen des Generalsekretariats und der Philosophisch-naturwissenschaftlichen Fakultät der Universität Bern zu gewähren. Im Übrigen wies das Verwaltungsgericht die Beschwerde ab.
C.
A._ führt mit Eingabe vom 23. April 2016 beim Bundesgericht Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten. Er beantragt, das Urteil des Verwaltungsgerichts sei aufzuheben, soweit ihm die Akteneinsicht in Aktennotizen, Computerdaten und Korrespondenzen verweigert werde.
Das Verwaltungsgericht beantragt die Abweisung der Beschwerde, soweit darauf einzutreten sei. Die Erziehungsdirektion und die Universität Bern haben auf eine Vernehmlassung verzichtet. A._ hat sich nochmals zur Sache geäussert.

Erwägungen:
1.
1.1. Der angefochtene Entscheid geht auf ein Gesuch des Beschwerdeführers um Akteneinsicht gestützt auf das bernische Datenschutzgesetz vom 19. Februar 1986 (KDSG/BE; BSG 152.04) zurück. Dabei handelt es sich um eine öffentlich-rechtliche Angelegenheit (<ref-law>). Angefochten ist ein Entscheid einer letzten kantonalen Instanz, welcher das Verfahren abschliesst (Art. 86 Abs. 1 lit. d, Art. 90 BGG). Der Beschwerdeführer hat am vorinstanzlichen Verfahren teilgenommen (<ref-law>). Gemäss Art. 21 Abs. 1 und 3 KDSG/BE kann jede Person von der verantwortlichen Behörde Auskunft verlangen, welche Daten über sie in einer Datensammlung bearbeitet und sie erhält auf Verlangen Einsicht in ihre Daten, wenn nicht wichtige und überwiegende öffentliche Interessen oder besonders schützenswerte Interessen Dritter entgegenstehen. Da dem Gesuch des Beschwerdeführers um Akteneinsicht (nach seiner Auffassung) nicht vollumfänglich entsprochen wurde, ist er durch den angefochtenen Entscheid besonders berührt und hat ein schutzwürdiges Interesse an dessen Aufhebung oder Änderung (Art. 89 Abs. 1 lit. b und c BGG).
1.2. Gemäss <ref-law> kann die Feststellung des Sachverhalts und damit die Beweiswürdigung nur gerügt werden, wenn diese offensichtlich unrichtig - d.h. willkürlich (<ref-law>) - ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruht und die Behebung des Mangels für den Verfahrensausgang entscheidend sein kann. Bei der Rüge der offensichtlich unrichtigen Sachverhaltsfeststellung gilt das strenge Rügeprinzip. Der Betroffene hat darzulegen, dass und inwiefern die oben genannten Voraussetzungen klar und eindeutig erfüllt sind (Art. 42 Abs. 2 und <ref-law>; <ref-ruling> E. 4.2 S. 12; <ref-ruling> E. 1.2 S. 187 mit Hinweisen).
Der Beschwerdeführer wirft der Vorinstanz nicht ausdrücklich vor, den Sachverhalt offensichtlich unrichtig oder unvollständig festgestellt zu haben. Er macht in seiner Beschwerdeschrift aber geltend, Seminararbeiten und Prüfungsergebnisse würden von den Professoren in ihren eigenen Büros gelagert und am Institut für Pflanzenwissenschaften der Universität Bern müssten Hausarbeiten oft per E-Mail eingereicht werden und diese würden von den Dozenten bei sich selber elektronisch archiviert. Solches lässt sich dem angefochtenen Entscheid nicht entnehmen. Es handelt sich um unzulässige neue Vorbringen (<ref-law>), die zudem nicht geeignet sind, eine willkürliche Sachverhaltsfeststellung durch die Vorinstanz aufzuzeigen.
1.3. Das Bundesgericht wendet das Recht grundsätzlich von Amtes wegen an (<ref-law>). Die Verletzung von Grundrechten und von kantonalem und interkantonalem Recht prüft es aber nur insofern, als eine solche Rüge in der Beschwerde vorgebracht und begründet worden ist (<ref-law>). In der Beschwerde ist klar und detailliert anhand der Erwägungen des angefochtenen Entscheids darzulegen, inwiefern verfassungsmässige Rechte verletzt worden sein sollen (<ref-ruling> E. 2.2 S. 232; <ref-ruling> E. 1.2; <ref-ruling> E. 3.2). Auf ungenügend begründete Rügen und bloss allgemein gehaltene, appellatorische Kritik am angefochtenen Entscheid tritt das Bundesgericht nicht ein (<ref-ruling> E. 1.3 S. 60; <ref-ruling> E. 1.3 S. 262, je mit Hinweisen).
1.3.1. Das angefochtene Urteil ist im Wesentlichen gestützt auf das KDSG/BE ergangen, teils auch - namentlich bezüglich der Mitwirkungspflicht der Gesuchsteller in datenschutzrechtlichen Streitigkeiten - in Anwendung von kantonalem Verwaltungsprozessrecht. Der Beschwerdeführer macht geltend, die Vorinstanz wende das KDSG/BE "in willkürlicher Weise falsch" an. Ausserdem erachtet er die Bestimmung von Art. 18 Abs. 1 der Verfassung des Kantons Bern vom 6. Juni 1993 (KV/BE; SR 131.212) als verletzt, welche den Datenschutz regelt. Schliesslich ist der Beschwerdeführer der Auffassung, die Gerichtskosten seien falsch verlegt worden.
1.3.2. Die Beschwerdeschrift genügt den oben umschriebenen Anforderungen über weite Strecken nicht. Hinsichtlich der angeblich falschen Kostenverlegung enthält die Eingabe des Beschwerdeführers überhaupt keine Begründung. Wo er die willkürliche Anwendung von kantonalem Gesetzes- oder Verfassungsrecht rügt, setzt er sich mit der einlässlichen Begründung des vorinstanzlichen Entscheids kaum auseinander, sondern belässt es bei der blossen Behauptung von dessen offensichtlicher Fehlerhaftigkeit. Der Beschwerdeführer zeigt nicht auf, dass und inwiefern das Verwaltungsgericht in seinem Urteil das kantonale Datenschutz- bzw. Verwaltungsprozessrecht oder gar die Kantonsverfassung oder einen unumstrittenen Rechtsgrundsatz krass verletzt oder sonstwie in stossender Weise dem Gerechtigkeitsgedanken zuwiderläuft. Insoweit kann auf die Beschwerde nicht eingetreten werden.
2.
Soweit sich der Beschwerde überhaupt mit hinreichender Klarheit eine Willkürrüge entnehmen lässt, erweist sich diese als unbegründet.
2.1. Der Beschwerdeführer hält es für willkürlich, wenn nicht nur die persönlichen Arbeitsmittel, "sondern auch Aktennotizen, Computerdateien, Korrespondenzen von der Akteneinsicht ausgenommen" würden. Die Vorinstanz widerspreche damit ihren eigenen Erwägungen und verstosse gegen Art. 21 Abs. 3 und 4 KDSG sowie Art. 18 Abs. 1 KV/BE.
2.2. Der Beschwerdeführer bezieht sich bei dieser Rüge auf E. 6.1 des angefochtenen Urteils. Bei der dortigen Erwägung handelt es sich freilich um die Zusammenfassung der vorinstanzlichen Überlegungen, wo das Gericht festhielt, inwieweit der bei ihm angefochtene Entscheid gutzuheissen und inwieweit er abzuweisen sei. Was die vom Beschwerdeführer angesprochenen Aktennotizen, Computerdateien sowie Korrespondenzen betrifft, hat sich das Verwaltungsgericht in E. 5.9 damit eingehend auseinander gesetzt. Es hat dort erwogen, die Universität habe im bisherigen Verfahren überzeugend dargelegt, dass ausserhalb der registrierten Datensammlungen (in welche bereits die erste Beschwerdeinstanz die Einsicht genehmigt hatte) und derjenigen des Generalsekretariats sowie der Philosophisch-naturwissenschaftlichen Fakultät (für die das Verwaltungsgericht die Akteneinsicht gewährt hat) keine weiteren Daten bestünden. Hinsichtlich der Existenz weiterer Datensammlungen stelle der Beschwerdeführer blosse Mutmassungen an. Indes wäre es ihm, so die Vorinstanz, durchaus zumutbar gewesen, im Rahmen seines Einsichtsbegehrens darzulegen, mit welchen Stellen der Universität er neben dem Generalsekretariat und der Philosophisch-naturwissenschaftlichen Fakultät in Kontakt gestanden habe. Unter diesen Umständen sei die Universität nicht zu weiteren Nachforschungen verpflichtet.
2.3. Diese Überlegungen sind nicht unhaltbar. Die Vorinstanz hat in E. 5.6 unter Hinweis auf die bundesgerichtliche Rechtsprechung und die Lehre zutreffend festgehalten, der Grundsatz von Treu und Glauben verpflichte die gesuchstellende Person, soweit möglich und zumutbar konkretisierende Angaben zu machen, um interessierende Datensammlungen leichter aufzufinden. Der Beschwerdeführer behauptet nicht, im vorinstanzlichen Verfahren entsprechende Angaben gemacht zu haben, die übergangen worden wären. Erst vor Bundesgericht bezeichnet er konkret das Institut für Pflanzenwissenschaften der Universität Bern und führt aus, dort müssten Hausarbeiten oft per E-Mail eingereicht werden und würden von den Dozenten bei sich selber elektronisch archiviert, doch stellt dies ein unzulässiges Novum dar (vgl. oben E. 1.2). Weiter hat die Vorinstanz festgehalten, dieselbe Verpflichtung zur Bezeichnung von interessierenden Datensammlungen ergebe sich auch aus der prozessualen Mitwirkungspflicht gemäss dem kantonalen Verwaltungsrechtspflegegesetz. Mit dieser Rechtsgrundlage setzt sich der Beschwerdeführer überhaupt nicht auseinander. Indes liegt es auf der Hand, im Rahmen eines Akteneinsichtsverfahrens von einem Gesuchsteller zu verlangen, die auskunftspflichtige Behörde bei der Suche nach relevanten Datensammlungen zu unterstützen. Auch wenn dies nicht bedeutet, dass sich die Behörde selbst passiv verhalten darf, kann gerade in einer Situation wie der vorliegenden, in welcher der Beschwerdeführer über dreissig Studienjahre an einer grossen naturwissenschaftlichen Fakultät studiert hat, von diesem verlangt werden, dass er mutmassliche Standorte von Datensammlungen benennt. Unterlässt er dies, ist es verfassungsrechtlich nicht zu beanstanden, wenn die auskunftspflichtige Behörde bloss dazu verhalten wird, jene Datensammlungen nach relevanten Akten zu durchsuchen, von denen mit einer gewissen Wahrscheinlichkeit anzunehmen ist, sie könnten ihn betreffende, dem Einsichtsrecht unterliegende Daten enthalten.
3.
Die Beschwerde erweist sich als unbegründet und ist abzuweisen, soweit darauf eingetreten werden kann.
Dem Verfahrensausgang entsprechend sind die bundesgerichtlichen Kosten dem Beschwerdeführer aufzuerlegen (<ref-law>). Die Universität Bern, die mit öffentlich-rechtlichen Aufgaben betraut ist, hat keinen Anspruch auf Parteientschädigung (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 2'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer, der Universität Bern, der Erziehungsdirektion des Kantons Bern und dem Verwaltungsgericht des Kantons Bern schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 12. August 2016
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Fonjallaz
Der Gerichtsschreiber: Uebersax