Sachverhalt:
A.
Die X._-Anstalt (nachfolgend: die Steuerpflichtige) mit Sitz in U._ (FL) ist seit dem Jahr 1995 mehrwertsteuerpflichtig. Sie führt ein Treuhandunternehmen, das als Familienbetrieb ausgestaltet ist (Vater, Sohn und Tochter; eine familienexterne Angestellte mit geringem Pensum). Die Familienmitglieder besitzen Privatfahrzeuge und rechnen die geschäftlich zurückgelegten Kilometer jeweils mit der Steuerpflichtigen ab. Die Steuerpflichtige war ihrerseits bis Juli 2013 Eigentümerin eines Fahrzeugs des Typs "Y._" (Anschaffungskosten: über Fr. 100'000), das von der LSTV stets als Geschäftsfahrzeug betrachtet wurde, weshalb sie die Vorsteuer zum Abzug zuliess.
B.
Mit Kaufvertrag vom 29. Juli 2013 erwarb die Steuerpflichtige von einem Händler in Zürich ein Nachfolgefahrzeug, bei welchem es sich um einen Wagen der Marke "Z._" (Kennzeichen: FL xxxx) handelt. Die Gestehungskosten beliefen sich auf Fr. 230'000 (inkl. MWST). Die Steuerpflichtige brachte im dritten Quartal 2013 die Vorsteuer von Fr. 17'037.05 zum Abzug, was die LSTV zunächst am 4. Dezember 2013 zu einer die Vorsteuer nachbelastenden Einschätzungsmitteilung und hernach am 28. Januar 2014 zu einer Kontrolle veranlasste. Diese bestärkte die LSTV in ihrer Auffassung, dass der Wagen keinerlei unternehmerischen Zwecken diene.
Die LSTV begründete dies mit dem Wortlaut der Versicherungspolice ("Verwendungszweck: privat"), der Finanzierung (Darlehen von Fr. 120'000 des Vaters an die Steuerpflichtige), der Nutzung des Fahrzeugs vorwiegend durch den Sohn, der fehlenden Notwendigkeit (da Umsätze primär mit nahestehenden Gesellschaften, also nicht mit unabhängigen Dritten) und der Abrechnung der Kilometer, welche die für die Steuerpflichtige tätigen Familienmitglieder mit ihren Privatfahrzeugen unternahmen.
Die Steuerpflichtige entgegnete, das Fahrzeug, mit dem im ersten halben Jahr nur gut 1'000 Kilometer zurückgelegt worden waren, werde für "Fahrten nach Zürich und ins angrenzende Ausland zum Besuch von Kunden" verwendet. Dabei wirke der Sohn als Chauffeur. Das Darlehen werde in Kürze zurückbezahlt werden. Die Tochter und der Sohn seien als Zeugen einzuvernehmen, da ein Fahrtenbuch fehle.
C.
Aufgrund der Bestreitung erliess die LSTV am 4. April 2014 eine Verfügung. Darin verweigerte sie den Vorsteuerabzug und belastete sie folglich die beanspruchten Vorsteuern nach, was die Landessteuerkommission des Fürstentums Liechtenstein auf Sprungbeschwerde hin mit Entscheid vom 24. September 2014 bestätigte. Deren Begründung ging im Wesentlichen dahin, dass eine feste Luxusgrenze zwar fehle, dass es sich beim Fahrzeug aber in jedem Fall um ein Luxusfahrzeug handle und daher mit der zweckgemässen unternehmerischen Tätigkeit der Steuerpflichtigen unvereinbar sei.
D.
Die Steuerpflichtige erhob Beschwerde an den Verwaltungsgerichtshof des Fürstentums Liechtenstein, worin sie beantragte, die strittige Vorsteuer sei ihr gutzuschreiben. Der Verwaltungsgerichtshof hiess die Beschwerde mit Entscheid VGH 2014/120 vom 11. Dezember 2015 bzw. 21. März 2016 gut und setzte die Steuerforderung, soweit das hier interessierende dritte Quartal des Jahrs 2013 betreffend, auf minus Fr. 8'448.70 fest.
Der Verwaltungsgerichtshof erkannte hauptsächlich, wenn weder Eigenverbrauch noch eine Leistung an eine nahestehende Person vorliege, sei grundsätzlich davon auszugehen, dass die (vorsteuerbelasteten) Aufwendungen getätigt worden seien, weil die Unternehmensleitung sich "in guten Treuen einen dem Unternehmen zukommenden Vorteil versprach". Dementsprechend sei auch gar nicht massgebend, ob es sich beim Geschäftsfahrzeug um einen Wagen der Luxusklasse handle. Entscheidend sei vielmehr, ob das Fahrzeug geschäftlichen oder nichtgeschäftlichen (privaten) Zwecken diene.
Vorliegend habe das streitbetroffene Luxusfahrzeug ein anderes solches ersetzt. Das Halten des Wagens vom Typ "Y._" sei von der LSTV nie beanstandet worden. Die von der Steuerpflichtigen erstellte Übersicht vom 8. April 2014 zur konkreten Verwendung des neuen Fahrzeugs im Zeitraum vom 6. Juli 2013 bis zum 19. November 2013 sei weder von der LSTV noch von der Landessteuerkommission bezweifelt worden. Es sei somit davon auszugehen, dass der Wagen in der fraglichen Zeit für geschäftliche Zwecke verwendet worden sei. Dementsprechend sei der Anspruch auf Vornahme des Vorsteuerabzugs ausgewiesen.
E.
Mit Eingabe beim Bundesgericht vom 25. April 2016 erhebt die LSTV beim Bundesgericht Verwaltungsgerichtsbeschwerde. Sie beantragt, das Urteil VGH 2014/120 vom 21. März 2016 sei aufzuheben und die Verfügung der LSTV vom 4. April 2014 zu bestätigen. Sie rügt eine Verletzung des Novenverbots und ist der Meinung, der Nachweis der unternehmerischen Verwendung eines Luxusfahrzeugs unterliege erhöhten Anforderungen. Diesem habe die Steuerpflichtige nicht genügt.
Die Steuerpflichtige beantragt die Abweisung der Beschwerde, während die Vorinstanz von einer Stellungnahme absieht. Die Eidgenössische Steuerverwaltung äussert sich zur Kognition des Bundesgerichts in Tatfragen. In der Sache selbst weist sie darauf hin, dass der früher ermittelte "Luxusanteil" heute von keiner Bedeutung mehr sei und daher weder zu einem Vorsteuerausschluss (bei natürlichen Personen) noch zu einem Leistungsentgelt (im Fall von juristischen Personen) führe.

Erwägungen:
1.
1.1. Die Beschwerde richtet sich gegen einen Entscheid des im Mehrwertsteuerfragen letztinstanzlich entscheidenden Verwaltungsgerichtshofs des Fürstentums Liechtenstein. Darin setzt dieser die Steuerforderung für das dritte Quartal des Jahrs 2013 verfahrensabschliessend auf minus Fr. 8'448.70 fest (Vorsteuerüberhang).
1.2.
1.2.1. Gemäss Art. 1 Abs. 3 des Vertrages vom 28. Oktober 1994 zwischen der Schweizerischen Eidgenossenschaft und dem Fürstentum Liechtenstein betreffend die Mehrwertsteuer im Fürstentum Liechtenstein (SR 0.641.295.142 bzw. in Liechtenstein LR 0.641.20; nachfolgend: MWST-Vertrag CH-FL 1994) ist das Schweizerische Bundesgericht als letzte Rechtsmittelinstanz gegenüber liechtensteinischen Entscheiden in Mehrwertsteuersachen eingesetzt. Der Vertrag wird näher ausgeführt durch die Vereinbarung vom 12. Juli 2012 zwischen der Schweizerischen Eidgenossenschaft und dem Fürstentum Liechtenstein zum Vertrag betreffend die Mehrwertsteuer im Fürstentum Liechtenstein (SR 0.641.295.142.1 bzw. LR 0.641.201; nachfolgend: MWST-Vereinbarung CH-FL 2012). Sie ersetzte mit Wirkung ab 17. August 2012 die frühere Vereinbarung vom 28. November 1994 (AS 1996 1217, 2009 7107 bzw. LGBl. 1995 Nr. 31) und findet hier Anwendung (Urteile 2C_527/2016 vom 14. Juni 2016 E. 2.1, in: ASA 85 S. 89; 2C_487/2011 vom 13. Februar 2013 E. 1.2, in: ASA 82 S. 241).
1.2.2. Die Legitimation der LSTV findet im Staatsvertragsrecht keine unmittelbare Grundlage. Art. 73 Abs. 2 des Gesetzes (des Fürstentums Liechtenstein) vom 22. Oktober 2009 über die Mehrwertsteuer (MWSTG/FL 2010; LR 641.20) scheint eine staatsvertragliche Grundlage stillschweigend vorauszusetzen. Das Bundesgericht hat das Recht der LSTV zur Beschwerdeführung trotz fehlender ausdrücklicher Abstützung in der MWST-Vereinbarung CH-FL 1994 seit jeher anerkannt (Urteile 2A.284/2000 vom 5. Dezember 2000 E. 1; 2A.709/2005 vom 28. August 2006 E. 1.2; 2A.748/2005 vom 25. Oktober 2006 E. 1.2). Dies betraf indes Fälle, die vor dem Inkrafttreten des Bundesgesetzes vom 17. Juni 2005 über das Bundesgericht (BGG; SR 173.110) am 1. Januar 2007 ergingen (AS 2006 1205).
1.2.3. Es besteht kein Grund, von der altrechtlichen Praxis abzuweichen. Unilateral ergibt sich die Legitimation der ESTV aus <ref-law>. Anders als <ref-law> setzt dieser keine bundesgesetzliche Grundlage voraus, es reicht, wenn "das Bundesrecht" ein Beschwerderecht zugunsten der "unterstellten Dienststelle" vorsieht. Eine Verordnung reicht hierzu aus (Urteil 1C_14/2016 vom 23. Juni 2016 E. 1.3.1, zur Publ. vorgesehen; <ref-ruling> E. 2.2 S. 324). Die ESTV kann sich hierzu auf Art. 4 Abs. 1 und Art. 12 der Organisationsverordnung vom 17. Februar 2010 für das Eidgenössische Finanzdepartement (OV-EFD; SR 172.215.1) berufen (Urteile 2C_469/2015 vom 22. Februar 2016 E. 1.3 [DGG]; 2C_334/2014 vom 9. Juli 2015 E. 1.2.2 [MWSTG]). Gemäss <ref-law> ist die Beschwerdebefugnis der ESTV frei von weiteren Voraussetzungen. Das (allgemeine) Beschwerderecht der Bundesbehörden ist abstrakter Natur. Es dient dazu, den Vollzug des Bundesrechts in den Kantonen und in der Bundesverwaltung zu überwachen und dessen richtige und einheitliche Anwendung - wenn nötig letztinstanzlich durch das Bundesgericht - sicherzustellen (auch dazu zit. Urteil 1C_14/2016 E. 1.3.1; <ref-ruling> E. 1.2 S. 363; <ref-ruling> E. 1.2.1 S. 341 f.). Was die ESTV betrifft, ist daher ein allgemeines Interesse an der einheitlichen und richtigen Anwendung des Mehrwertsteuerrechts ausreichend (<ref-ruling> E. 4.2 S. 542; <ref-ruling> E. 1.2 S. 362 ff.; <ref-ruling> E. 1.1 S. 203). Dies alles gilt entsprechend auch für die LSTV. Auf ihre Beschwerde ist daher einzutreten.
1.3.
1.3.1. Das Verfahren vor Bundesgericht richtet sich gemäss Art. 12 Satz 2 MWST-Vereinbarung CH-FL 2012 nach schweizerischem Recht, mithin nach dem BGG (dazu auch <ref-law>/FL 2010). In sachlicher Hinsicht legt Art. 12 Satz 1 MWST-Vereinbarung CH-FL 2012 fest, dass vor Bundesgericht (einzig) "letztinstanzliche liechtensteinische Entscheidungen über materielle Vorschriften des Mehrwertsteuerrechts " angefochten werden können. Ergänzend dazu führt <ref-law>/FL 2010 aus, es liesse sich (einzig) die "Verletzung von Rechtsvorschriften der liechtensteinischen Mehrwertsteuergesetzgebung und der gemäss dieser Gesetzgebung anwendbaren Vorschriften" rügen (zit. Urteil 2C_527/2016 E. 2.2).
1.3.2. Im so umrissenen staatsvertraglichen Rahmen verfügt das Bundesgericht über uneingeschränkte (volle) Kognition und wendet es das Recht von Amtes wegen an (<ref-law>). Es untersucht indes, unter Berücksichtigung der allgemeinen Begründungspflicht der Beschwerde (Art. 42 Abs. 1 und 2 BGG; <ref-ruling> E. 1.2 S. 308 f.), grundsätzlich nur die geltend gemachten Rügen (<ref-ruling> E. 2 S. 5), es sei denn, die rechtlichen Mängel lägen geradezu auf der Hand (<ref-ruling> E. 2 S. 88 ff.). Unerlässlich ist im Hinblick auf <ref-law>, dass die Beschwerde auf die Begründung des angefochtenen Entscheids eingeht und im Einzelnen aufzeigt, worin eine Verletzung von Bundesrecht liegt (<ref-ruling> E. 2 S. 116).
1.3.3. Das Bundesgericht legt seinem Urteil in Binnenfällen den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (<ref-law>). Es kann die tatsächlichen Feststellungen der Vorinstanz, wozu auch die Beweiswürdigung zählt (<ref-ruling> E. 6.3 S. 375; <ref-ruling> E. 2.3 S. 266), nur, aber immerhin berichtigen oder ergänzen, soweit sie offensichtlich unrichtig - das heisst willkürlich - sind oder auf einer anderen Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruhen (<ref-law>; <ref-ruling> E. 2 S. 5; <ref-ruling> E. 2.1 S. 659 f.) und eine hinreichende Rüge vorliegt (<ref-law>; <ref-ruling> E. 2.2 S. 60).
1.3.4. Im Anwendungsbereich des MWST-Vertrags CH-FL 1994verhält es sich grundlegend anders: Aufgrund von Art. 12 Satz 1 MWST-Vereinbarung CH-FL 2012 ("Verletzung von Rechtsvorschriften...") ist es dem Bundesgericht von vornherein benommen, die Feststellungen des Verwaltungsgerichtshofs zu überprüfen (so schon Urteil 2A.284/2000 vom 5. Dezember 2000 E. 1b). Die Sachverhaltskontrolle ist alleinige Sache der Gerichtsbehörden des Fürstentums Liechtenstein. Letztinstanzlich kann, soweit die Voraussetzungen vorliegen, mit Individualbeschwerde der Staatsgerichtshof angerufen werden (Art. 15 des Gesetzes [des Fürstentums Liechtenstein] vom 27. November 2003 über den Staatsgerichtshof [StGHG/FL; LR 173.10]). Mithin sind die tatsächlichen Feststellungen der Vorinstanz für das Bundesgericht in jedem Fall verbindlich (zit. Urteil 2C_527/2016 E. 2.2; zu den Ausnahmen zit. Urteil 2C_487/2011 E. 1.4). Die Art. 97/105 BGG werden durch das Staatsvertragsrecht derogiert.
2.
2.1. Die LSTV rügt eine Verletzung des Novenverbots, was sie daran festmacht, dass der Verwaltungsgerichtshof die von der Steuerpflichtigen (erst) am 8. April 2014 erstellte Kilometerübersicht berücksichtigt habe. Dieses Beweismittel habe der LSTV bei Erlass der Verfügung vom 4. April 2014 noch nicht vorgelegen und müsse daher nach geltendem Verfahrensrecht unmassgeblich bleiben (<ref-law>/FL 2010 i. V. m. Art. 117 Abs. 3 des Gesetzes vom 23. September 2010 über die Landes- und Gemeindesteuern [SteG/FL; LR 640.0 bzw. LGBl. 2010 Nr. 340]). Die Landessteuerkommission sei auf die Liste mit keinem Wort eingegangen, wohl aber der Verwaltungsgerichtshof.
2.2.
2.2.1. Das Fürstentum Liechtenstein verpflichtet sich gemäss Art. 1 Abs. 1 MWST-Vertrag CH-FL 1994 zur Übernahme der "materiellen schweizerischen Vorschriften über die Mehrwertsteuer" sowie zum parallelen Vollzug auf Verwaltungsebene; soweit weitergehend, bleibt die territoriale Souveränität des Fürstentums unangetastet. Was unter die "materiellen schweizerischen Vorschriften über die Mehrwertsteuer" fällt, ergibt sich aus Art. 1 Abs. 1 MWST-Vereinbarung CH-FL 2012, insbesondere aus dessen Anlage I. Diese enthält eine abschliessende Liste der Bestimmungen des MWSTG 2009, die für das Fürstentum Liechtenstein massgebend und zu übernehmen sind. Gleiches gilt für die "gestützt darauf erlassenen Ausführungsverordnungen " (Anlage I, letzter Teilsatz). Darüber hinaus hat das Bundesgericht unlängst erwogen, zum Positivkatalog sei etwa auch die Beweislast zu zählen. Dabei handle es sich um ein Institut, das dem Mehrwertsteuerrecht inhärent sei. Daher falle die Beweislast in den sachlichen Anwendungsbereich des Staatsvertrags (zit. Urteil 2C_527/2016 E. 3.3 und 3.4).
2.2.2. Spiegelbildlich findet das Staatsvertragsrecht zum einen keine Anwendung auf jene Teile des MWSTG 2009, die nicht in die Anlage I eingeflossen sind (beispielsweise das mehrwertsteuerliche Verfahrens- und Strafrecht), zum andern auf alle weiteren Normen des unilateralen schweizerischen und liechtensteinischen Rechts. Dieser letzten Kategorie gehören namentlich auch die mehrwertsteuerfremden Verfahrensvorschriften an. Solche sind zwar dazu berufen, dem materiellen Recht zum Durchbruch zu verhelfen ("dienende Funktion des Prozessrechts"; <ref-ruling> E. 4.4.3.3 S. 463 zum insoweit gleichartigen Zivilprozessrecht). Sie sind aber nicht derart eng mit ihm verknüpft, dass sie der Mehrwertsteuer geradezu inhärent sind.
2.2.3. Die LSTV rügt eine rechtswidrige Anwendung der liechtensteinischen Norm zum Novenrecht (Art. 117 Abs. 3 SteG/FL). Im Unterschied etwa zur Beweislast oder den eigentlichen Tatbestandselementen, welche das Wesen der Mehrwertsteuer ausmachen, handelt es sich bei einer verfahrensrechtlichen Norm des liechtensteinischen Rechts aber um keinen originären Aspekt des Mehrwertsteuerrechts. Die streitbetroffene Norm qualifiziert als klassische Verfahrensvorschrift, die ausserhalb des sachlichen Anwendungsbereichs des Staatsvertrags steht. Weder gehört sie der Anlage I an, noch lässt sich sagen, sie sei dem Wesen der Mehrwertsteuer inhärent. Vor dem Hintergrund von Art. 12 Satz 1 MWST-Vereinbarung CH-FL 2012 fehlt dem Bundesgericht die Befugnis, der Beanstandung nachzugehen.
2.2.4. Nichts Anderes ergibt sich aus <ref-law>/FL 2010, wonach die "Verletzung von Rechtsvorschriften der liechtensteinischen Mehrwertsteuergesetzgebung und der gemäss dieser Gesetzgebung anwendbaren Vorschriften" gerügt werden kann. Zwar bestimmt <ref-law>/FL 2010, für das Beschwerdeverfahren gälten die Vorschriften des SteG/FL. Zumindest bei Art. 117 Abs. 3 SteG/FL, den die LSTV anruft, kann es sich freilich nicht um eine "gemäss dieser Gesetzgebung anwendbare Vorschrift" im Sinne von <ref-law>/FL 2010 handeln. Wäre dies die Meinung, so widerspräche dies nämlich sowohl Art. 1 Abs. 1 MWST-Vertrag CH-FL 1994 als auch Art. 12 Satz 1 MWST-Vereinbarung CH-FL 2012. Danach sind die "materiellen schweizerischen Vorschriften über die Mehrwertsteuer" (Vertrag) bzw. die "materiellen Vorschriften der schweizerischen Mehrwertsteuergesetzgebung" (Vereinbarung) in das Recht des Fürstentums Liechtenstein zu überführen. Beim Novenverbot handelt es sich um keine materielle Vorschrift im Sinne des Staatsvertragsrechts. Dies ist für das Bundesgericht massgebend (<ref-law>; <ref-ruling> E. 5.3 S. 81; <ref-ruling> E. 6.1 S. 460). Es entzieht sich daher der Prüfungszuständigkeit des Bundesgerichts, darüber zu befinden, ob die streitbetroffene Norm (Art. 117 Abs. 3 SteG/FL) zutreffend ausgelegt und angewendet worden sei. Dies ist alleinige Sache der Gerichtsbehörden des Fürstentums Liechtenstein.
3.
3.1. In der Sache ist die LSTV der Meinung, der Nachweis der unternehmerischen Verwendung eines Luxusfahrzeugs unterliege erhöhten Anforderungen. Diesem habe die Steuerpflichtige nicht genügt, zumal die Indizien für die (rein) private Verwendung sprächen.
3.2.
3.2.1. Das Bundesgericht hat in seiner jüngsten Rechtsprechung (Urteil 2C_1115/2014 vom 29. August 2016, zur Publikation vorgesehen) die Rechtslage zum Vorsteuerabzug im Sinne von <ref-law> 2009 näher ausgeführt. Dieser Norm zufolge kann die steuerpflichtige Person "im Rahmen ihrer unternehmerischen Tätigkeit" bei gegebenen formellen Voraussetzungen und unter Vorbehalt von Art. 29 und 33 die ihr angefallenen Vorsteuern abziehen. Da <ref-law>/FL 2010 von Staatsvertrags wegen mit <ref-law> 2009 in Einklang stehen muss, gilt dasselbe auch im vorliegenden Fall.
3.2.2. Im zitierten Urteil 2C_1115/2014 erkannte das Bundesgericht, ein Unternehmensträger könne neben dem unternehmerischen zwar auch einen nicht unternehmerischen Bereich unterhalten. Neurechtlich sei ein solcher aber nicht leichthin anzunehmen. Damit ein Rechtsträger überhaupt der Steuerpflicht unterliege, habe er ein Unternehmen im mehrwertsteuerlichen Sinn zu führen. Sei ein solches gegeben, liege von Gesetzes wegen ein unternehmerischer Bereich vor. Dieser stelle eine wirtschaftliche Einheit dar, welcher alle Aktivitäten zuzuordnen seien, die einen Zusammenhang mit der unternehmerischen Tätigkeit aufwiesen (E. 3.3). Der Vorsteuerabzug aufgrund "unternehmerischer Tätigkeit" im Sinne von <ref-law> erinnere schon dem Wortlaut nach an den "geschäftsmässig begründeten Aufwand" gemäss Art. 59 Abs. 1 (positive Formulierung) bzw. <ref-law> (negative Formulierung). "Geschäftsmässig begründet" und "unternehmerisch tätig" ruhten auf dem gleichen, betriebswirtschaftlich geprägten Fundament. In beiden Fällen sei eine wirtschaftliche Betrachtungsweise anzuwenden, da die Konturen der unternehmerischen Tätigkeit rein positivrechtlich, mit zivilrechtlichen Mitteln, kaum abschliessend gefasst werden können (E. 3.6).
3.2.3. Nach dem Grundsatz der Einheit des Unternehmens (Art. 10 Abs. 1 MWSTG 2009) sei davon auszugehen, dass ein Aufwand oder eine Investition grundsätzlich dem Unternehmen zuzuordnen sei. Anders könne es sich (nur) verhalten, wenn die Objekte "unpassend" erscheinen. In einem solchen Fall sei eine qualitative und quantitative Analyse dazu anzustellen, ob ein vorsteuerbelasteter Aufwand oder eine vorsteuerbelastete Investition im Rahmen der unternehmerischen Tätigkeit angefallen sei (E. 3.7). Nur bei offensichtlicher Wesensverschiedenheit zwischen Vorhandenem und Angemessenem bestehe ein eigenständiger (nicht unternehmerischer) Bereich, der mit der unternehmerischen Tätigkeit nichts mehr zu tun hat. Nach der im Steuerrecht herrschenden Normentheorie handelte es sich dabei um eine steuererhöhende Tatsache, die als solche von der ESTV nachzuweisen wäre (E. 3.8).
3.3.
3.3.1. Die Vorinstanz erwägt, zum Nachweis der geschäftlichen Verwendung eines Fahrzeugs könne die Führung eines Fahrtenbuchs verlangt werden, wobei sich der Nachweis auch auf andere Weise erbringen lasse (<ref-law>/FL 2010). Im konkreten Fall sei die von der Steuerpflichtigen für die Zeit vom 6. Juli 2013 bis 19. November 2013 vorgelegte Übersicht zur Verwendung des Fahrzeugs unbestritten geblieben. Es sei damit davon auszugehen, dass der Wagen in der fraglichen Zeit für geschäftliche Zwecke verwendet worden sei.
3.3.2. Diese vorinstanzlichen Erwägungen betreffen die Sachverhaltsfeststellung und Beweiswürdigung, weshalb es sich dem Bundesgericht verbietet, die nachgewiesenen Fahrten einer Würdigung zu unterziehen. Dies käme einer Sachverhaltskontrolle gleich, was von Staatsvertrags wegen ausgeschlossen ist (vorne E. 1.3.4). Der Kilometerstand per 9. April 2014 soll sich, wie die LSTV vorbringt, auf 1'174 Kilometer belaufen. Die Nutzung des Wagens fällt damit zweifellos sehr bescheiden aus, vor allem auch, wenn man den Neuwert berücksichtigt und die anteiligen Kilometerkosten erhebt. Die Vorinstanz hat aber für das Bundesgericht verbindlich erkannt, bei den erfassten Fahrten habe es sich tatsächlich um geschäftliche Reisen gehandelt. Vor dem Hintergrund dieser unumstösslichen Feststellungen besteht für das Bundesgericht kein Zweifel daran, dass das Fahrzeug dem unternehmerischen Bereich angehört.
3.3.3. Dass die Versicherungspolice auf "privat" lautete, die Anschaffungskosten Fr. 230'000.-- (inkl. Mehrwertsteuer) betrugen und der durchschnittliche Umsatz der Jahre 2008-2012 lediglich Fr. 550'000.-- erreichte, wie die LSTV darlegt, vermag diese Zuordnung nicht in Frage zu stellen. Es ist vor dem Hintergrund des Urteils 2C_1115/2014 vom 29. August 2016 vielmehr davon auszugehen, dass eine Anschaffung oder Investition grundsätzlich solange dem unternehmerischen Bereich angehört, als es der ESTV bzw. LSTV nicht gelungen ist, in einem ersten Schritt überhaupt den Bestand eines nicht unternehmerischen Bereichs nachzuweisen. In einem zweiten Schritt hätte sie alsdann darzutun, dass der fragliche Aufwand bzw. die Investition auch wirklich dieser nicht unternehmerischen Sparte angehört.
3.3.4. Beides ist der LSTV nicht gelungen. Sie beruft sich darauf, im Fall eines Vermögenswertes, der sowohl unternehmerisch wie nicht unternehmerisch eingesetzt werden kann ("Alternativgut"; Urteil 2C_156/2015 vom 5. April 2016 E. 2.2.7, in: ASA 84 S. 832, StE 2016 B 23.2 Nr. 51), obliege es der steuerpflichtigen Person, den "besonderen Nachweis der vorsteuerabzugsberechtigten Nutzung" zu erbringen. Mit Blick auf den konkreten Fahrzeugtyp sei dieser Nachweis umso berechtigter, als die Verwendung eines solchen Fahrzeugs "nicht fremdüblich" (also "unüblich") sei. Entgegen der Annahme der LSTV trifft die Beweisführungslast aber nach dem Gesagten die Steuerverwaltung. Sie hätte aufzuzeigen, dass das Objekt "unpassend" ist, sei es in qualitativer und/oder quantitativer Hinsicht (zit. Urteil 2C_1115/2014 E. 3.8.2). Im konkreten Fall erscheinen die Wahl des Fahrzeugs und dessen Kosten auf den ersten Blick tatsächlich etwas hochgegriffen ("qualitativ unpassend" im Sinne der jüngsten Rechtsprechung). Dabei gilt es aber zu bedenken, dass es alleinige Sache des Unternehmensträgers ist, die Philosophie des Aussenauftritts zu definieren (zit. Urteil 2C_1115/2014 E. 3.7.5). Mit Blick auf die ausgeführten Fahrten, die einen geschäftlichen Hintergrund hatten, vermag die LSTV jedenfalls nicht aufzuzeigen, aus welchen Gründen ein nicht unternehmerischer Bereich vorliegen könnte.
3.4. In Würdigung der gesamten Umstände unterhält die Steuerpflichtige daher lediglich einen unternehmerischen Bereich. Die Beschwerde der LSTV erweist sich daher als unbegründet, weshalb sie abzuweisen und der angefochtene Entscheid zu bestätigen ist.
4.
4.1. Von der eben dargestellten Rechtslage zu unterscheiden ist die Frage danach, ob der Wagen, der nach dem Gesagten dem unternehmerischen Bereich angehört, ausschliesslich für Geschäftsfahrteneingesetzt wurde. Träfe dies nicht zu, wäre im entsprechenden Umfang ein Privatanteil zu berücksichtigen. Aussergeschäftliche und damit private Fahrten können, worauf die LSTV mit Recht hinweist, gerade im Fall von Familienbetrieben nie rundweg ausgeschlossen werden. Bei Leistungen an eng verbundene Personen (Art. 3 lit. h) gilt als Entgelt der Wert, der unter unabhängigen Dritten vereinbart würde (Art. 24 Abs. 2 MWSTG 2009 bzw. MWSTG/FL 2010). Die ESTV hat hierzu die MWST-Info 08 ("Privatanteile") erlassen, welche insbesondere in Ziff. 3.4.3.2 ("Privatanteil Geschäftsfahrzeug") das Nähere ausführt.
4.2. Zur etwaigen privaten Nutzung des Geschäftsfahrzeugs liegen im streitbetroffenen Fall freilich keine Angaben vor, zumal dies vor Bundesgericht auch gar nicht Streitgegenstand ist. Darauf ist hier nicht weiter einzutreten.
5.
5.1. Bei diesem Ausgang des Verfahrens sind die Kosten nach dem Unterliegerprinzip der Beschwerdeführerin aufzuerlegen, die in ihrer Eigenschaft als Abgabegläubigerin Vermögensinteressen im Sinne von <ref-law> verfolgt (Art. 65 in Verbindung mit <ref-law>). Nichts daran ändert, dass es sich bei ihr um eine ausländische Amtsbehörde handelt (Urteil 2A.284/2000 vom 5. Dezember 2000 E. 5, noch zu Art. 156 Abs. 1 des Bundesgesetzes vom 16. Dezember 1943 über die Organisation der Bundesrechtspflege [OG; AS 60 271]).
5.2. Die LSTV hat der Steuerpflichtigen, die sich durch einen Rechtsanwalt vertreten lässt, eine angemessene Parteientschädigung auszurichten (<ref-law> in Verbindung mit Art. 1 lit. a und Art. 2 des Reglements des Bundesgerichts vom 31. März 2006 über die Parteientschädigung und die Entschädigung für die amtliche Vertretung im Verfahren vor dem Bundesgericht [SR 173.110.210.3]).
5.3. Die Steuerpflichtige hat vor der Vorinstanz obsiegt. Zu Kosten und Entschädigung für das vorinstanzliche Verfahren hat sich das Bundesgericht daher nicht auszusprechen.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen.
2.
Die Kosten des bundesgerichtlichen Verfahrens von Fr. 2'000.-- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
3.
Die Beschwerdeführerin hat der Beschwerdegegnerin für das bundesgerichtliche Verfahren eine Parteientschädigung von Fr. 2'000.-- auszurichten.
4.
Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten, dem Verwaltungsgerichtshof des Fürstentums Liechtenstein und der Eidgenössischen Steuerverwaltung schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 4. Oktober 2016
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Seiler
Der Gerichtsschreiber: Kocher