Sachverhalt:
A.
Am 18. Juni 2012 verleitete A._ (geb. 1990) seine ehemalige Freundin, B._, unter falschen Vorwand zu einem Treffen in Zuchwil. Als sie während des kurzen Gesprächs an ihrem Entschluss festhielt, mit A._ keine Beziehung mehr führen zu wollen, feuerte dieser ohne Vorwarnung und aus kürzester Distanz sieben Schüsse auf das flüchtende Opfer ab. Dabei gefährdete er auch eine zufällig anwesende Drittperson, die versuchte, B._ in das Innere eines Gebäudes zu ziehen. Danach fuhr A._ nach Olten, um sich mit C._ zu treffen. Er wurde jedoch in Murgenthal von der Polizei angehalten und in Untersuchungshaft gesetzt. B._ überlebte die schweren Verletzungen. Im Verlauf der Strafuntersuchung kam zu Tage, dass A._ offenbar auch geplant hatte, C._ umbringen, da sie mit ihm keine Beziehung habe eingehen wollen. Zudem habe er bereits am 29. September 2009 versucht, eine Bekannte mit einem Sturmgewehr zu erschiessen, weil sie sich seinen Avancen gegenüber ablehnend verhalten hatte.
B.
Am 4. November 2015 verurteilte die Strafkammer des Obergerichts des Kantons Solothurn im Berufungsverfahren A._ wegen mehrfachen versuchten Mordes, Gefährdung des Lebens und strafbaren Vorbereitungshandlungen zu Mord unter anderem zu einer Freiheitsstrafe von 19 Jahren, unter Anrechnung von 388 Tagen Untersuchungshaft (Ziff. 4-6 Urteilsdispositiv). Die übrigen Schuldsprüche der Erstinstanz betreffend mehrfacher Gefährdung des Lebens, mehrfacher versuchter Nötigung, Hinderung einer Amtshandlung, mehrfacher grober und mehrfacher einfacher Verletzung von Verkehrsregeln, mehrfacher Vergehen gegen das Waffengesetz sowie mehrfacher Übertretung des Betäubungsmittelgesetzes sind rechtskräftig (Ziff. 3 Urteilsdispositiv). Die Vorinstanz ordnete eine stationäre therapeutische Massnahme an und schob den Vollzug der Freiheitsstrafe auf (Ziff. 7 Urteilsdispositiv). A._ hat bis zum Antritt der stationären Massnahme im vorzeitigen Strafvollzug zu verbleiben (Ziff. 8 Urteilsdispositiv). Das begründete und mit einer Rechtsmittelbelehrung versehene Urteil des Obergerichts wurde A._ am 3. März 2016 zugestellt.
C.
Am 22. Januar 2016 ersuchte A._ beim Obergericht um Versetzung in eine offene Anstalt für Ersttäter. Mit Verfügung vom 3. Februar 2016 wies das Obergericht das Gesuch ab.
D.
A._ erhebt Beschwerde in Strafsachen. Der angefochtene Entscheid sei aufzuheben und die Vorinstanz anzuweisen, ihn im Rahmen des vorläufigen Strafvollzugs in eine offene Anstalt einzuweisen.
Die Staatsanwaltschaft hat auf eine Vernehmlassung verzichtet. Mit Vernehmlassung vom 2. März 2016 bejaht das Obergericht das Vorliegen von Haftgründen und die Zulässigkeit des Vollzugs des vorzeitigen Strafvollzugs in einer geschlossenen Anstalt. Dazu hat sich der Beschwerdeführer geäussert.

Erwägungen:
1.
1.1. Angefochten ist ein kantonal letztinstanzlicher Entscheid in einer strafrechtlichen Angelegenheit, gegen den die Beschwerde in Strafsachen offen steht (<ref-law>). Der Beschwerdeführer hat am vorinstanzlichen Verfahren teilgenommen und ein aktuelles rechtlich geschütztes Interesse an der Aufhebung des angefochtenen Entscheids. Er ist nach <ref-law> zur Beschwerde berechtigt. Die übrigen Sachurteilsvoraussetzungen sind erfüllt. Auf die Beschwerde ist grundsätzlich einzutreten.
1.2. Mit der Beschwerde in Strafsachen an das Bundesgericht kann insbesondere die Verletzung von Bundesrecht gerügt werden (<ref-law>). Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (<ref-law>), prüft die bei ihm angefochtenen Entscheide aber grundsätzlich nur auf Rechtsverletzungen hin, die von den Beschwerdeführern geltend gemacht und begründet werden (vgl. <ref-law>). Erhöhte Anforderungen an die Begründung gelten, soweit die Verletzung von Grundrechten gerügt wird (<ref-law>; <ref-ruling> E. 1.4.2 S 254 mit Hinweisen). Das Bundesgericht legt seinem Urteil den von der Vorinstanz festgestellten Sachverhalt zugrunde (<ref-law>), es sei denn, dieser sei offensichtlich unrichtig oder beruhe auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> (vgl. Art. 97 Abs. 1 und Art. 105 Abs. 2 BGG).
2.
2.1. Nach <ref-law> kann die Verfahrensleitung der beschuldigten Person bewilligen, Freiheitsstrafen oder freiheitsentziehende Massnahmen vorzeitig anzutreten, sofern der Stand des Verfahrens es erlaubt. Der vorzeitige Straf- oder Massnahmenantritt stellt seiner Natur nach eine strafprozessuale Zwangsmassnahme auf der Schwelle zwischen Strafverfolgung und Strafvollzug dar (<ref-ruling> E. 3.2.1 S. 278). Damit soll schon vor Erlass des rechtskräftigen Strafurteils ein Haftregime ermöglicht werden, das auf die persönliche Situation des Angeschuldigten zugeschnitten ist; ausserdem können erste Erfahrungen mit der voraussichtlich sachlich gebotenen Vollzugsform gesammelt werden (<ref-ruling> E. 3a S. 174). Für eine Fortdauer der strafprozessualen Haft in den Modalitäten des vorzeitigen Strafvollzugs muss weiterhin mindestens ein besonderer Haftgrund (analog zu 221 StPO; <ref-ruling> E. 3.2.1 S. 277 f.) vorliegen. Sodann muss der vorzeitige Strafvollzug verhältnismässig sein.
2.2. Der Beschwerdeführer bringt vor, es bestehe weder Wiederholungs- noch Fluchtgefahr.
2.3. Der Haftgrund der Wiederholungsgefahr ist gegeben, wenn die beschuldigte Person eines Verbrechens oder Vergehens dringend verdächtig ist und ernsthaft zu befürchten ist, dass sie durch schwere Verbrechen oder Vergehen die Sicherheit anderer erheblich gefährdet, nachdem sie bereits früher gleichartige Straftaten verübt hat (<ref-law>). Nach der Rechtsprechung kann sich Wiederholungsgefahr ausnahmsweise auch aus Vortaten ergeben, die dem Beschuldigten im hängigen Strafverfahren erst vorgeworfen werden, wenn die Freilassung des Ersttäters mit erheblichen konkreten Risiken für die öffentliche Sicherheit verbunden wäre. Erforderlich ist allerdings eine sehr ungünstige Rückfallprognose (<ref-ruling> E. 3.2 S. 85 f.; <ref-ruling> E. 2.3 S. 73; je mit Hinweisen). <ref-law> setzt die ernsthafte Befürchtung voraus, dass die beschuldigte Person durch Verbrechen oder schwere Vergehen die Sicherheit anderer erheblich gefährdet, nachdem sie bereits früher gleichartige Strafen verübt hat (vgl. <ref-ruling> E. 3.2 S. 85 f.).
2.4. Mit Blick auf den Haftgrund der Wiederholungsgefahr ist das psychiatrische Gutachten von Dr. med. D._ vom 26. Oktober 2012 bzw. vom 4. Juni 2013 sowie die ergänzende Stellungnahme vom 13. September 2015 heranzuziehen. Die Gutachterin wurde sowohl von der Erstinstanz als auch vom Obergericht (anlässlich der Hauptverhandlung vom 2./3. November 2015) als Sachverständige ausführlich befragt. Dabei bestätigte sie, dass ihre Feststellungen und Einschätzungen weiterhin aktuell seien. Dies wird vom Beschwerdeführer nicht bestritten.
In legalprognostischer Hinsicht gelangt die Gutachterin zu folgender Einschätzung: Aufgrund der emotional instabilen Persönlichkeitsstruktur des Beschwerdeführers, die sich im Rahmen der tatzeitrelevanten mittelschweren-schweren depressiven Episode vor dem Hintergrund einer dysfunktionalen Beziehungsdynamik massiv verstärkt und somit deutliche Deliktrelevanz entwickelt habe, bestehe "ein deutliches strukturelles Rückfallrisiko für weitere Gewalthandlungen im bisherigen Spektrum". Zwar sei günstig zu werten, dass sich der Beschwerdeführer von allfälligen Zukunftsperspektiven mit B._ distanziert habe. Gleichzeitig sei aber ungünstig, dass er aufgrund seiner emotionalen Instabilität mit einer anderen Partnerin, C._, ähnlich konfliktuöse Beziehungsdynamiken konstelliere. Somit sei längerfristig in weiteren Beziehungen mit ähnlichen Entwicklungen zu rechnen. Ausserhalb einer intimen Beziehung schätze die Gutachterin das Risiko von Gewaltdelikten als gering ein. Einschränkend sei jedoch die Waffenaffinität zu werten, welche auf Gewaltbereitschaft schliessen lasse. Der Beschwerdeführer weise eine geringe Offenheit und Introspektionsfähigkeit auf. Ohne Veränderung resp. Therapie sei "eine längerfristige Rückfallfreiheit eher unwahrscheinlich".
2.5. Mit Blick auf die Wiederholungsgefahr belastet diese ungünstige Legalprognose den Beschwerdeführer schwer, zumal auch keine Hinweise auf zwischenzeitliche therapeutische Fortschritte erkennbar sind. Diesbezüglich kann den Akten entnommen werden, dass der Beschwerdeführer, der sich seit dem 18. Juni 2012 im Strafvollzug befindet, am 18. Dezember 2013 im Rahmen des vorzeitigen stationären Massnahmenvollzugs in das Therapiezentrum "Im Schache" eingetreten ist. Aus dem Therapieverlaufsbericht vom 23. Oktober 2014 geht hervor, dass beim Beschwerdeführer kein Störungsbewusstsein und keine Therapiebereitschaft vorliege. Die Therapiemotivation sei verfahrensstrategisch und nur vordergründig. Das Auftreten des Beschwerdeführers sei aggressiv-destruktiv. Eine Fortführung der stationären Therapie sei aktuell und bis zum Vorliegen eines rechtskräftigen Urteils nicht möglich. In der Folge wurde die Massnahme am 9. Januar 2015 abgebrochen und der Beschwerdeführer in die Justizvollzugsanstalt Lenzburg versetzt. Damit ist auch weiterhin davon auszugehen, dass er nicht in der Lage ist, adäquat auf Enttäuschungen innerhalb von Beziehungen zu reagieren und seine Aggressionsausbrüche, die sich gegen seine Partnerinnen richten, zu kontrollieren. Zwar scheint er sich gemäss Gutachten von der Vorstellung einer gemeinsamen Zukunft mit B._ gelöst zu haben. Dem erstinstanzlichen Urteil, auf das die Vorinstanz verweist, kann jedoch entnommen werden, dass er sich in Briefen aus der Haft wiederum abschätzig über sie ("verlogen") und über gewisse Frauen ("Huren") geäussert hat. Auch die Episode mit C._, die der Beschwerdeführer nach dem Anschlag auf B._ in Olten treffen wollte (ausgerüstet mit einer schussbereiten Pistole STAR, 30 PK, Munition, Gasmaske, Schlagringen, Pfefferspray, Kabelbinder etc.), scheint noch nicht aufgearbeitet. Hinzu kommt, dass sich der Beschwerdeführer nach eigenen Aussagen vor der Vorinstanz wieder in einer neuen Beziehung befindet (er wurde von seiner aktuellen Freundin an die Verhandlung vor Obergericht begleitet). Darauf weist auch die Staatsanwaltschaft in ihrer Eingabe vom 29. Februar 2016 hin. Damit sind die im Gutachten genannten Risikofaktoren für Wiederholungsgefahr konkret und als erfüllt zu betrachten.
2.6. Bei diesem Ergebnis muss das Vorliegen von Fluchtgefahr nicht mehr geprüft werden.
3.
3.1. Der Beschwerdeführer rügt eine Verletzung des Grundrechts auf persönliche Freiheit (Art. 10 Abs. 2 und Art. 31 BV). Er sei ohne gesetzliche Grundlage in einer geschlossenen Anstalt eingesperrt. Dies sei auch unverhältnismässig. Er habe Anspruch auf Vollzug in einer offenen Anstalt (Ziff. 2 der Eingabe vom 4. März 2016).
3.2. Im Gegensatz zu geschlossenen Anstalten, die durch bauliche, technische, organisatorische und personelle Massnahmen und Mittel sicherstellen sollen, dass Inhaftierte weder fliehen noch weitere Straftaten begehen können, fehlen bei offenen Anstalten solche Abgrenzungen, weil auf die Einsicht der Gefangenen vertraut wird (ANDREA BAECHTOLD/JONAS WEBER/UELI HOSTETTLER, Strafvollzug, 3. Aufl. 2016, Rz. 15; STEFAN TRECHSEL/PETER AEBERSOLD, in: Trechsel/Pieth (Hrsg.), Praxiskommentar StGB, 2. Aufl. 2013, Rz. 2 zu <ref-law>; BENJAMIN F. BRÄGGER, in: Basler Kommentar StGB I, 3. Aufl. 2013, Rz. 4 ff. zu <ref-law>). Im vorliegenden Fall besteht Wiederholungsgefahr, so dass sich eine offene Anstalt für den vorzeitigen Strafvollzug i.S.v. <ref-law> nicht eignet, da diese die entsprechenden Sicherungsbedürfnisse nicht zu gewährleisten vermag (MATTHIAS HÄRRI, Zur Problematik des vorzeitigen Strafantritts, 1987, S. 136 f.). In Betracht kommt daher eine geschlossene Anstalt bzw. eine geschlossene Abteilung einer offenen Anstalt. Dies ergibt sich auch aus <ref-law> (MATTHIAS HÄRRI, in: Basler Kommentar StPO, 2. Aufl. 2014, Rz. 17 zu <ref-law>). Danach ist der Inhaftierte bei Vorliegen von Flucht- oder Wiederholungsgefahr in einer geschlossenen Strafanstalt oder in einer geschlossenen Abteilung einer offenen Strafanstalt unterzubringen (betreffend stationäre therapeutische Massnahmen vgl. <ref-law>, der ebenfalls auf <ref-law> verweist).
3.3. Dem Gutachten ist zu entnehmen, dass der Beschwerdeführer einer intensiven Behandlung für Straftäter mit deliktrelevanter Persönlichkeitsstörung bedarf. Aufgrund der erforderlichen Behandlungsintensität sei eine ambulante Massnahme gemäss <ref-law> als ungeeignet zu qualifizieren (Ergänzungsgutachten vom 27. Juni 2013). Da in einer Arbeitserziehungsanstalt sozialpädagogische Interventionen im Vordergrund stünden, falle auch eine Massnahme nach <ref-law> ausser Betracht (Ergänzungsgutachten vom 4. Juni 2013). Die Gutachterin empfiehlt daher eine stationäre therapeutische Massnahme in einer geschlossenen Strafvollzugseinrichtung. Beim Beschwerdeführer müsse man die therapeutische Beziehung sehr sorgfältig gestalten. In einem ersten Schritt müsse deshalb eine gute therapeutische Allianz gefunden werden. Wenn dies gelinge, könne innerhalb von fünf Jahren das Rückfallrisiko gesenkt werden.
3.4. Angesichts der gutachterlichen Feststellungen erscheint es nicht unverhältnismässig, dass die Vorinstanz den vom Beschwerdeführer begehrten Wechsel von einer geschlossenen in eine offene Strafanstalt abgelehnt hat. Der Beschwerdeführer weist ein komplexes Störungsbild auf. Die Wiederholungsgefahr ist zu bejahen und es fehlt an einer Krankheits- bzw. Therapieeinsicht. Bei dieser Konstellation ist eine offene Strafanstalt ungeeignet. Mildere Massnahmen fallen gemäss Gutachten, das ausdrücklich eine geschlossene Institution empfiehlt, ausser Betracht. Es bleibt abzuwarten, ob das Vorliegen eines rechtskräftigen Urteils für die Einsichtsfähigkeit und Therapiemotivation hilfreich sein wird. Diesfalls werden die Vollzugsbehörden zu prüfen haben, ob die Massnahme in einer geschlossenen Einrichtung zu vollziehen ist. Ist dies der Fall, werden sie fortlaufend zu kontrollieren haben, ob die Voraussetzungen für die Versetzung des Beschwerdeführers in den offenen Vollzug erfüllt sind (vgl. das zur Publikation bestimmte Urteil des Bundesgerichts 6B_706/2015 vom 22. Oktober 2015 E. 2.5 und 3.5). Da sich, wie die Vorinstanz hervorhebt, in kurzer Zeit die Frage stellen wird, in welcher Anstalt die rechtskräftigen Sanktionen zu vollziehen sein werden (und ob ein Anstaltswechsel angezeigt ist), kann dem Beschwerdeführer unter diesen Umständen zugemutet werden, am jetzigen Aufenthaltsort zu verbleiben.
3.5. Nach dem Dargelegten sind die Voraussetzungen für die Einweisung in eine offene Strafanstalt derzeit nicht erfüllt. Auf die weiteren Vorbringen des Beschwerdeführers muss daher nicht mehr eingegangen werden.
4.
Die Beschwerde erweist sich als unbegründet und ist abzuweisen.
Der Beschwerdeführer stellt ein Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege. Er ist amtlich verteidigt und befindet sich seit dem 18. Juni 2012 in strafprozessualer Haft. Seine finanzielle Bedürftigkeit wird ausreichend glaubhaft gemacht. Da auch die übrigen Voraussetzungen von <ref-law> grundsätzlich erfüllt erscheinen, kann dem Gesuch stattgegeben werden.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen.
2.
Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege wird gutgeheissen:
2.1. Es werden keine Gerichtskosten erhoben.
2.2. Dem Rechtsvertreter des Beschwerdeführers, Advokat Dr. Stefan Suter, wird aus der Bundesgerichtskasse eine Entschädigung von Fr. 1'500.-- entrichtet.
3.
Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer, der Staatsanwaltschaft des Kantons Solothurn und dem Obergericht des Kantons Solothurn, Strafkammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 21. März 2016
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Das präsidierende Mitglied: Merkli
Der Gerichtsschreiber: Misic