Sachverhalt:
A.
Am 15. Oktober 2015 gelangte die A._ AG (Klägerin, Beschwerdeführerin) mit einem Schlichtungsgesuch betreffend eine Forderung von Fr. 600.-- zuzüglich Zins und Beseitigung des Rechtsvorschlages gegen die B._ GmbH (Beklagte, Beschwerdegegnerin) an das Friedensrichteramt Kreise 1+2 der Stadt Zürich. Am 18. November 2015 fand die Schlichtungsverhandlung statt, an der die Klägerin einen Antrag auf Entscheid im Sinne von <ref-law> stellte. Nach der Durchführung des Entscheidverfahrens unterbreitete das Friedensrichteramt den Parteien schriftlich einen auf Klagegutheissung lautenden Urteilsvorschlag im Sinne von <ref-law>. Die Beklagte lehnte diesen ab, worauf der Klägerin am 4. Dezember 2015 die Klagebewilligung ausgestellt wurde.
Die Klägerin führte Beschwerde an das Obergericht des Kantons Zürich, wobei sie die Aufhebung der Klagebewilligung und die Gutheissung ihrer Klage verlangte. Das Obergericht wies die Beschwerde mit Urteil vom 13. Januar 2016 ab, soweit es darauf eintrat (Geschäfts-Nr.: RU150073-O/U).
B.
Mit Beschwerde in Zivilsachen und subsidiärer Verfassungsbeschwerde begehrt die Klägerin vor Bundesgericht, das Urteil des Obergerichts sei aufzuheben und die Klage sei gutzuheissen. Eventualiter sei die Sache an die Vorinstanz zurückzuweisen. Überdies beantragt die Klägerin, der Beschwerde sei die aufschiebende Wirkung zu erteilen.
Es wurden keine Vernehmlassungen eingeholt.

Erwägungen:
1.
1.1. Das Bundesgericht prüft von Amtes wegen und mit freier Kognition, ob ein Rechtsmittel zulässig ist (<ref-law>; <ref-ruling> E. 1; <ref-ruling> E. 1; <ref-ruling> E. 1).
1.2. Das Obergericht als Vorinstanz im Sinne von <ref-law> erwog unter Hinweis auf <ref-ruling> E. 2.3, die Klagebewilligung sei weder mit Beschwerde noch mit Berufung anfechtbar. Gestützt auf <ref-law> trat es auf die Beschwerde aber immerhin soweit ein, als die Beschwerdeführerin darin Rechtsverweigerung geltend machte. Gegen die Abweisung in diesem Punkt kann gemäss <ref-law> Beschwerde an das Bundesgericht geführt werden.
1.3. Der Streitwert der vorliegenden Sache erreicht die Grenze gemäss <ref-law> nicht. Unter diesen Umständen ist die Beschwerde in Zivilsachen nach <ref-law> dennoch zulässig, wenn sich eine Rechtsfrage von grundsätzlicher Bedeutung stellt. Die Beschwerdeführerin bringt vor, dies sei hier der Fall.
Nach der bundesgerichtlichen Rechtsprechung liegt eine Rechtsfrage von grundsätzlicher Bedeutung dann vor, wenn ein allgemeines und dringendes Interesse besteht, dass eine umstrittene Frage höchstrichterlich geklärt wird, um eine einheitliche Anwendung und Auslegung des Bundesrechts herbeizuführen und damit eine erhebliche Rechtsunsicherheit auszuräumen (<ref-ruling> E. 1.2; <ref-ruling> E. 1.2 S. 210, 182 E. 1.2 S. 185; <ref-ruling> E. 2.3; <ref-ruling> E. 1.2 S. 399). Die Frage muss von allgemeiner Tragweite sein (<ref-ruling> E. 1.2 S. 269). Eine neue Rechtsfrage kann vom Bundesgericht beurteilt werden, wenn dessen Entscheid für die Praxis wegleitend sein kann, namentlich, wenn von unteren Instanzen viele gleichartige Fälle zu beurteilen sein werden (<ref-ruling> E. 1.3; <ref-ruling> E. 1.3 S. 4).
Der von der Beschwerdeführerin aufgeworfenen - vom Bundesgericht bisher nicht geklärten - Frage betreffend die Entscheidkompetenz der Schlichtungsbehörde kommt grundsätzliche Bedeutung im eben dargestellten Sinne zu, zumal sie von den kantonalen Gerichten und in der Literatur uneinheitlich beantwortet wird und der Streitwert aufgrund des Anwendungsbereichs von <ref-law> gar nie erreicht werden könnte (siehe Erwägung 3).
1.4. Da auch die übrigen Sachurteilsvoraussetzungen erfüllt sind, ist auf die Beschwerde in Zivilsachen grundsätzlich einzutreten. Damit fällt die subsidiäre Verfassungsbeschwerde gemäss <ref-law> ausser Betracht.
2.
Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (<ref-law>). Dazu gehören sowohl die Feststellungen über den streitgegenständlichen Lebenssachverhalt als auch jene über den Ablauf des vor- und erstinstanzlichen Verfahrens, also die Feststellungen über den Prozesssachverhalt (<ref-ruling> E. 1.3.1 mit Hinweisen). Es kann die Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz nur berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruht (<ref-law>). "Offensichtlich unrichtig" bedeutet dabei "willkürlich" (<ref-ruling> E. 2 S. 117; <ref-ruling> E. 1.5). Überdies muss die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein können (<ref-law>).
Die Partei, welche die Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz anfechten will, muss klar und substanziiert aufzeigen, inwiefern diese Voraussetzungen erfüllt sein sollen (<ref-ruling> E. 1.3.1 S. 18 mit Hinweisen). Wenn sie den Sachverhalt ergänzen will, hat sie zudem mit präzisen Aktenhinweisen darzulegen, dass sie entsprechende rechtsrelevante Tatsachen und taugliche Beweismittel bereits bei den Vorinstanzen prozesskonform eingebracht hat (<ref-ruling> E. 2 S. 90). Genügt die Kritik diesen Anforderungen nicht, können Vorbringen mit Bezug auf einen Sachverhalt, der vom angefochtenen Entscheid abweicht, nicht berücksichtigt werden (<ref-ruling> E. 1.3.1 S. 18).
Das eben Ausgeführte ist vorliegend insofern von Bedeutung, als die Beschwerdeführerin in ihrer Beschwerde die Prozessgeschichte aus eigener Sicht darlegt und dabei von der verbindlichen Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz abweicht. Darauf kann mangels hinreichend begründeter Rügen nicht abgestellt werden.
3.
3.1. Dem Entscheidverfahren geht - abgesehen von bestimmten (hier nicht einschlägigen) Ausnahmefällen - ein Schlichtungsversuch vor einer Schlichtungsbehörde voraus (<ref-law>). Die Schlichtungsbehörde versucht in formloser Verhandlung, die Parteien zu versöhnen (<ref-law>). In einzelnen Sachbereichen und generell bei vermögensrechtlichen Streitigkeiten bis zu einem Streitwert von 5000 Franken kann die Schlichtungsbehörde den Parteien einen Urteilsvorschlag unterbreiten (siehe <ref-law>). Vermögensrechtliche Streitigkeiten bis zu einem Streitwert von 2000 Franken kann die Schlichtungsbehörde entscheiden, sofern die klagende Partei einen entsprechenden Antrag stellt (<ref-law>). Das Verfahren ist mündlich (<ref-law>).
3.2. Gemäss den Akten des Schlichtungsverfahrens stellte die Beschwerdeführerin an der "Schlichtungsverhandlung" vom 18. November 2015, nachdem die Vergleichsverhandlungen gescheitert waren, Antrag auf Entscheid. Die Friedensrichterin nahm "den Antrag an". Unmittelbar anschliessend fand eine "Hauptverhandlung" statt, an der die Parteien zur Sache plädierten (Begründung, Beantwortung, Replik, Duplik, zweiter Teil der Replik). Am 20. November 2015 wurde den Parteien der vom 18. November 2015 datierte Urteilsvorschlag versendet.
Die Vorinstanz beurteilte dieses Vorgehen auf Rüge der Beschwerdeführerin hin als korrekt. Sie führte aus, ein Antrag der klagenden Partei zwinge die Schlichtungsbehörde nicht zum Entscheid. Insbesondere dürfe die Schlichtungsbehörde "auch bei bereits eröffnetem oder durchgeführtem Entscheidverfahren den Parteien einen Urteilsvorschlag unterbreiten oder die Klagebewilligung ausstellen". Die Friedensrichterin sei daher - "von einer allfälligen offensichtlichen Verletzung von Treu und Glauben abgesehen" - frei gewesen, "ob sie ein Urteil fällen wollte." Da sich der Streitfall in tatsächlicher Hinsicht als illiquide erwiesen habe und sich nicht zu unterschätzende Rechtsfragen gestellt hätten, habe die Schlichtungsbehörde von einer Entscheidung im Sinne von <ref-law> absehen dürfen.
3.3. Dass <ref-law> die Schlichtungsbehörde grundsätzlich nicht verpflichtet, entsprechend dem Antrag der klagenden Parteien einen Entscheid zu fällen, sondern diese Möglichkeit lediglich in ihr Ermessen stellt, anerkennt zu Recht auch die Beschwerdeführerin (in diesem Sinne bereits die Botschaft vom 28. Juni 2006 zur Schweizerischen Zivilprozessordnung [nachfolgend: Botschaft ZPO], BBl 2006 S. 7334 zu Art. 209, sowie die übereinstimmende Lehre: ALVAREZ/PETER, in: Berner Kommentar, Schweizerische Zivilprozessordnung, Bd. II, 2012, N. 9 zu <ref-law>; BOHNET, in: CPC, Code de procédure civile commenté, 2011, N. 3 zu <ref-law>; GASSER/RICKLI, Schweizerische Zivilprozessordnung (ZPO), Kurzkommentar, 2. Aufl. 2014, N. 2 zu <ref-law>; GLOOR/UMBRICHT LUKAS, in: ZPO, Oberhammer/Domej/Haas [Hrsg.], 2. Aufl. 2014, N. 3 zu <ref-law>; HONEGGER, in: Kommentar zur Schweizerischen Zivilprozessordnung [ZPO], Sutter-Somm/Hasenböhler/Leuenberger [Hrsg.], 3. Aufl. 2016, N. 3 zu <ref-law>; INFANGER, in: Basler Kommentar, Schweizerische Zivilprozessordnung, 2. Aufl. 2013, N. 4 zu <ref-law>; RICKLI, in: Schweizerische Zivilprozessordnung [ZPO], Kommentar, Bd. II, Brunner/Gasser/Schwander [Hrsg.], 2. Aufl. 2016, N. 6 zu <ref-law>; STAEHELIN/STAEHELIN/GROLIMUND, Zivilprozessrecht, 2. Aufl. 2013, S. 374 Rz. 41; WYSS, in: Schweizerische Zivilprozessordnung [ZPO], Baker & McKenzie [Hrsg.], 2010, N. 6 zu <ref-law>; vgl. demgegenüber noch Art. 205 des Vorentwurfs der Expertenkommission vom Juni 2003).
Sie meint jedoch, wenn die Schlichtungsbehörde "das Entscheidverfahren aber einmal formell eröffnet" habe, so müsse sie dieses "durch eine gesetzlich vorgesehene Verfügung (Art. 236 oder 241 ZPO) zum Abschluss bringen", also durch Endentscheid, Vergleich, Klageanerkennung oder Klagerückzug. Das Vorgehen der Friedensrichterin verletze daher sowohl die massgeblichen gesetzlichen Vorschriften (Art. 212 Abs. 1, Art. 236 Abs. 1 und Art. 241 Abs. 1 ZPO) als auch die verfassungsmässigen Rechte der Parteien (Art. 9 und 29 Abs. 1 BV).
3.4. Dieser Ansicht kann nicht gefolgt werden:
3.4.1. Zunächst lässt sich die entsprechende Beschränkung der Handlungsmöglichkeiten der Schlichtungsbehörde weder mit dem Text von <ref-law> noch durch die Systematik des Gesetzes begründen. Namentlich gibt die in den Artikeln 208-212 der ZPO enthaltene Aufzählung der verschiedenen Möglichkeiten, den Schlichtungsversuch zu beenden (Einigung der Parteien, Klagebewilligung, Urteilsvorschlag und Entscheid), keinen Hinweis darauf, dass sich die Schlichtungsbehörde vorgängig auf eine der Erledigungsformen festzulegen hätte. Die Verfügung, mit der die Schlichtungsbehörde ein Entscheidverfahren anordnet, bezieht sich nicht auf den Streitgegenstand an sich und äussert sich nicht zur Begründetheit der Klage, betrifft mithin die Prozessleitung im Sinne von <ref-law> (siehe zum Begriff Urteil 5D_160/2014 vom 26. Januar 2015 E. 2.3) und kann daher grundsätzlich jederzeit abgeändert werden (vgl. etwa <ref-ruling> E. 5.1.1).
3.4.2. Weiter findet die von der Beschwerdeführerin vertretene Meinung auch im Sinn und Zweck von <ref-law> keine Stütze:
Wohl trifft es zu, dass der Schlichtungsbehörde - wenn sie von der Kompetenz, einen Entscheid zu fällen, Gebrauch macht - gerichtliche Funktion zukommt (siehe Botschaft ZPO, BBl 2006 S. 7334 zu Art. 209). Inwiefern dieser Umstand die Schlichtungsbehörde dazu verpflichten soll, einen Entscheid zu fällen, sobald sie durch die Anordnung von Parteivorträgen signalisiert hat, einen solchen in Erwägung zu ziehen, ist indessen nicht erkennbar. Wenn in der Lehre darüber diskutiert wird, ab welchem Zeitpunkt ein Klagerückzug für die klagende Partei die Folgen nach <ref-law> nach sich zieht (siehe etwa ALVAREZ/PETER, a.a.O., N. 5 zu <ref-law>; GLOOR/UMBRICHT LUKAS, a.a.O., N. 3 zu <ref-law>), kann daraus jedenfalls nichts Entsprechendes abgeleitet werden, zumal diese sogenannte Fortführungslast lediglich die prozessualen Obliegenheiten der Parteien betrifft (vgl. dazu im Allgemeinen <ref-ruling> E. 3.3.2 S. 379).
Immerhin findet sich im Schrifttum in diesem Zusammenhang vereinzelt auch die Aussage, die Schlichtungsbehörde könne, wenn sie dem Antrag auf einen Entscheid gemäss <ref-law> einmal stattgegeben und das Entscheidverfahren formell eröffnet habe, nicht darauf zurückkommen, und eine Erledigung durch Urteilsvorschlag oder Ausstellung der Klagebewilligung sei folglich nicht mehr zulässig (siehe FRECH, Die Schlichtungsbehörde - eine Erfolgsgeschichte?, Anwaltsrevue 2015 S. 27; INFANGER, a.a.O., N. 4 und 13 zu <ref-law>; RICKLI, a.a.O., N. 10 zu <ref-law>; ferner H ONEGGER, a.a.O., N. 3 zu <ref-law>; abweichend dagegen MEIER/SCHINDLER, Die Schlichtungsbehörde als small-claims court, in: Das Schlichtungsverfahren nach ZPO, 2016, S. 35). Indessen wird diese Auffassung an den entsprechenden Stellen ebenso wenig begründet wie in der als Beleg angeführten kantonalen Rechtsprechung (Entscheid des Kantonsgerichts St. Gallen BE.2011.38 vom 2. Februar 2012 E. II.5; Urteil des Tribunale d'appello des Kantons Tessin 16.2011.76 vom 5. März 2012 [= RtiD 2012 II S. 880 Nr. 44c]).
Bei näherer Betrachtung lässt sie sich denn auch nicht mit dem durch <ref-law> verfolgten Ziel vereinbaren: Durch die Einräumung einer (freiwilligen) Spruchkompetenz will die Zivilprozessordnung der Schlichtungsbehörde in Anlehnung an die früheren kantonalen Regelungen ermöglichen, einfachere Fälle mit kleinem Streitwert selber durch Entscheid zu erledigen. Gemäss der Botschaft des Bundesrats soll die Schlichtungsbehörde "ihren Richterspruch auf Fälle beschränken, die bereits am ersten Termin spruchreif sind". Demgegenüber - so die Botschaft weiter - gehörten "[a]ufwändige Beweisverfahren über mehrere Termine" nicht vor die Schlichtungsbehörde (Botschaft ZPO, BBl 2006 S. 7334 zu Art. 209). Indessen stellt sich unter Umständen nicht bereits anlässlich des formlosen Schlichtungsversuchs, sondern erst aufgrund der Parteivorträge heraus, ob der Fall spruchreif ist oder ob aufwändige Beweise zu erheben sind (in diesem Sinne auch MEIER/SCHINDLER, a.a.O., S. 35). Dieser Unsicherheit kann aber gerade dadurch Rechnung getragen werden, dass der Schlichtungsbehörde gestattet wird, auch noch auf eine andere Erledigungsform zurückzugreifen, wenn die Parteien im Rahmen des Entscheidverfahrens plädiert haben.
3.4.3. Schliesslich haben die Parteien auch kein überwiegendes Interesse daran, vorgängig mit Sicherheit zu wissen, ob die Schlichtungsbehörde wirklich einen Entscheid fällen wird. Sieht sie - wie vorliegend - davon ab, kann die klagende Partei nämlich ein Verfahren vor dem zuständigen Gericht einleiten. Dass darin gegebenenfalls über die Streitsache neu verhandelt werden muss, nimmt die klagende Partei in Kauf, wenn sie den Antrag nach <ref-law> stellt.
3.4.4. Nach dem Gesagten ist die Auffassung der Vorinstanz, wonach die Schlichtungsbehörde aufgrund der im Entscheidverfahren gewonnenen Erkenntnisse immer noch auf einen Entscheid verzichten kann, nicht zu beanstanden. Die von der Beschwerdeführerin in dieser Hinsicht gerügten Rechtsverletzungen sind nicht gegeben.
3.5. Für den Fall, dass sich eine "Rückkehr zum Urteilsvorschlag bzw. zur Klagebewilligung" als grundsätzlich zulässig erweisen sollte, rügt die Beschwerdeführerin, für ein solches Vorgehen seien immerhin "sachlich nachvollziehbare Gründe" erforderlich. Die Vorinstanz habe das Vorliegen von solchen unter den konkret gegebenen Umständen zu Unrecht bejaht. Sie macht in diesem Zusammenhang eine offensichtlich unrichtige Sachverhaltsfeststellung geltend.
Die Beweiswürdigung ist nicht schon dann willkürlich, wenn sie nicht mit der Darstellung der beschwerdeführenden Partei übereinstimmt, sondern bloss, wenn sie offensichtlich unhaltbar ist (<ref-ruling> E. 4.2.1; <ref-ruling> E. 2.1). Dies ist dann der Fall, wenn das Gericht Sinn und Tragweite eines Beweismittels offensichtlich verkannt hat, wenn es ohne sachlichen Grund ein wichtiges und entscheidwesentliches Beweismittel unberücksichtigt gelassen oder wenn es auf der Grundlage der festgestellten Tatsachen unhaltbare Schlussfolgerungen gezogen hat (<ref-ruling> E. 2.3 S. 266; <ref-ruling> E. 4.2 S. 234; <ref-ruling> E. 4.2).
Die Beschwerdeführerin zeigt keine Willkür auf, wenn sie der Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz, der Streitfall habe sich in tatsächlicher Hinsicht als illiquide erwiesen und es hätten sich nicht zu unterschätzende Rechtsfragen gestellt, lediglich ihre eigene Auffassung gegenüberstellt, das Verfahren sei stets spruchreif geblieben, unter Hinweis darauf, dass die Beschwerdegegnerin an der Verhandlung keine Beweisanträge gestellt habe (vgl. bloss Art. 150 und 153 ZPO). Ferner verkennt die Besc hwerdeführerin den Unterschied zwischen dem Urteilsvorschlag gemäss Art. 210 f. ZPO und dem Entscheid im Sinne von <ref-law>, wenn sie meint, die vollständige "Gutheissung" des Anspruchs im Urteilsvorschlag zeige, dass die Sache liquid gewesen sei, und weiter, "[d]er Entscheid" sei "einzig im falschen Rechtskleid eines Urteilsvorschlags" ergangen. Auf diese Weise lässt sich der erhobene Willkürvorwurf nicht begründen.
4.
Die Beschwerde ist abzuweisen, soweit darauf eingetreten werden kann. Ausgangsgemäss wird die Beschwerdeführerin kostenpflichtig (Art. 66 Abs. 1). Da keine Vernehmlassungen eingeholt wurden, entstand der Gegenpartei kein Aufwand, für den sie nach <ref-law> zu entschädigen wäre. Mit dem vorliegenden Urteil in der Sache wird der Antrag der Beschwerdeführerin um Gewährung der aufschiebenden Wirkung gegenstandslos.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 2'000.-- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Zürich, II. Zivilkammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 13. September 2016
Im Namen der I. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Kiss
Der Gerichtsschreiber: Kölz