Sachverhalt:
A.
A.A._ und B.A._ hatten am 29. Januar 1993 geheiratet. Aus der Ehe gingen vier Kinder hervor: Die Zwillinge C.A._ und D.A._ (geb. 1993), E.A._ (geb. 1995) und F.A._ (geb. 1997). Mit Entscheid vom 29. Oktober 2012 schied das Bezirksgericht Surselva die Ehe der Eltern. Die Kinder E.A._ und F.A._ wurden unter die elterliche Sorge der Mutter gestellt. Der Vater wurde verpflichtet, E.A._ und F.A._ Alimente in der Höhe von je Fr. 800.-- pro Monat zu zahlen.
B.
B.a. Am 17. Oktober 2014 reichte A.A._ beim Kantonsgericht Appenzell Ausserrhoden gegen B.A._ und seinen Sohn E.A._ eine 8-seitige Klage auf Abänderung des Scheidungsurteils ein. Unter Ziffer 4 seiner Rechtsbegehren stellte er den Verfahrensantrag, die Parteien zu einer Einigungsverhandlung vorzuladen.
B.b. In der Folge machte die Einzelrichterin des Kantonsgerichts den Rechtsvertreter von A.A._ darauf aufmerksam, dass er gegen den Sohn E.A._ im vereinfachten Verfahren mit vorhergehender Schlichtung klagen müsse. Darauf zog A.A._ die Klage gegen E.A._ am 3. November 2014 zurück.
B.c. Mit Verfügung vom 26. November 2014 stellte die Einzelrichterin die Klage B.A._ zu und forderte sie auf, binnen dreissig Tagen eine Klageantwort einzureichen. Mit dieser Aufforderung war der Hinweis verbunden, dass zu den Anträgen des Klägers eigene Anträge zu stellen und zu begründen seien; soweit es sich um finanzielle Begehren handele, seien die Anträge zu beziffern. Zu den behaupteten Tatsachen seien die einzelnen Beweismittel zu bezeichnen. Die verfügbaren Urkunden, die als Beweismittel dienen sollen, seien beizulegen (versehen mit einem nummerierten Verzeichnis). Eine Kopie dieser Verfügung ging an A.A._.
B.d. Mit Entscheid vom 19. Dezember 2014 wies die Einzelrichterin des Kantonsgerichts A.A._s Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege mangels Bedürftigkeit ab. Nachdem der Entscheid in Rechtskraft erwachsen war, forderte sie A.A._ mit Verfügung vom 9. Januar 2015 auf, einen Kostenvorschuss von Fr. 800.-- zu bezahlen. Gleichentags ersuchte B.A._ um Erstreckung der Frist für die Einreichung der Klageantwort. Die Einzelrichterin entsprach dem Gesuch am 12. Januar 2015; eine Kopie dieses Entscheids ging an A.A._.
B.e. Am 2. Februar 2015 ging die 12-seitige Klageantwort von B.A._ beim Kantonsgericht Appenzell Ausserrhoden ein. Die Eingabe wurde unverzüglich dem Rechtsvertreter von A.A._ zugestellt.
B.f. Mit Schreiben vom 3. März 2015 zog A.A._ auch seine Klage gegen B.A._ zurück.
B.g. Am 10. März 2015 reichte die Rechtsvertreterin von B.A._ beim Kantonsgericht ihre Kostennote ein.
B.h. Mit Entscheid vom 12. März 2015 schrieb die Einzelrichterin des Kantonsgerichts Appenzell Ausserrhoden das Verfahren zufolge Rückzugs der Klage als erledigt ab. Sie auferlegte A.A._ die Verfahrenskosten von Fr. 300.-- und verurteilte ihn, B.A._ eine Parteientschädigung von Fr. 2'522.05 (inkl. Barauslagen und MWSt) zu bezahlen.
C.
A.A._ erhob gegen den Kostenentscheid Beschwerde beim Obergericht des Kantons Appenzell Ausserrhoden. Dieses wies das Rechtsmittel ab, auferlegte A.A._ die Kosten des Beschwerdeverfahrens von Fr. 800.-- und verpflichtete ihn, B.A._ eine Prozessentschädigung von Fr. 1'296.-- zu bezahlen (Entscheid vom 28. Oktober 2015).
D.
Mit Beschwerde und subsidiärer Verfassungsbeschwerde vom 30. November 2015 wendet sich A.A._ (Beschwerdeführer) an das Bundesgericht. Er verlangt, das Urteil des Obergerichts aufzuheben. Eventualiter sei seine Entschädigungspflicht im erstinstanzlichen Verfahren (Bst. B.h) auf einen Betrag von maximal Fr. 498.95 festzulegen und entsprechend auch im Beschwerdeverfahren angemessen zu reduzieren. Ferner verlangt der Beschwerdeführer für das Verfahren vor dem Bundesgericht die unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung.
Eingeladen, sich zur Beschwerde vernehmen zu lassen, beantragt B.A._, das Rechtsmittel abzuweisen, soweit überhaupt darauf eingetreten werden kann (Eingabe vom 25. April 2016). Das Obergericht und das Kantonsgericht haben auf eine Vernehmlassung verzichtet und im Übrigen auf die Begründung im angefochtenen Entscheid verwiesen (Schreiben vom 5. bzw. 6. April 2016). Zur Wahrung des rechtlichen Gehörs wurden diese Eingaben dem Beschwerdeführer zur Kenntnis gebracht.

Erwägungen:
1.
Die Vorinstanz bestätigt den erstinstanzlichen Entschädigungsentscheid aus einem Abschreibungsbeschluss, der in der Sache unbestritten blieb. Im Streit um Nebenpunkte, namentlich hinsichtlich Kostenentscheiden, folgt der Rechtsweg an das Bundesgericht demjenigen der Hauptsache, soweit dafür keine besonderen Verfahrenswege vorgeschrieben sind (<ref-ruling> E. 1.1 S. 160; <ref-ruling> E. 3 S. 143 f.). Hier ging es in der Hauptsache um die Abänderung von Kinderunterhaltsbeiträgen, die der Scheidungsrichter festgesetzt hatte (s. Sachverhalt Bst. A und B.a), also um eine vermögensrechtliche Zivilsache (<ref-law>). In vermögensrechtlichen Angelegenheiten ist die Beschwerde grundsätzlich nur zulässig, wenn der Streitwert mindestens Fr. 30'000.--- beträgt (Art. 74 Abs. 1 Bst. b BGG). Hat die Beschwerde an das Bundesgericht ausschliesslich die Festsetzung und Verteilung von Prozesskosten zum Gegenstand und waren schon im vorinstanzlichen Verfahren nur die Kostenfolgen streitig, so bestimmt sich der Streitwert im bundesgerichtlichen Verfahren einzig nach den Rechtsbegehren betreffend diese Kostenfolgen (Urteil 5D_165/2015 vom 22. April 2016 E. 1 mit Hinweisen), wie sie vor der Vorinstanz streitig geblieben waren (Art. 51 Abs. 1 Bst. a BGG). Die Entschädigung von Fr. 2'552.05, gegen die sich der Beschwerdeführer wehrt, erreicht den erwähnten Mindestbetrag nicht.
2.
2.1. Ist die Streitwertgrenze nicht erreicht, so ist die Beschwerde in Zivilsachen in einem Fall wie dem vorliegenden trotzdem zulässig, wenn sich eine Rechtsfrage von grundsätzlicher Bedeutung stellt (Art. 74 Abs. 2 Bst. a BGG). Das Bundesgericht legt den Begriff der Rechtsfrage von grundsätzlicher Bedeutung restriktiv aus. Soweit die aufgeworfene Frage lediglich die Anwendung von Grundsätzen der Rechtsprechung auf einen konkreten Fall betrifft, besteht von vornherein kein Grund zur Annahme, es stelle sich eine Rechtsfrage von grundsätzlicher Bedeutung (<ref-ruling> E. 1.2 S. 117). Auch der blosse Umstand, dass die aufgeworfene Rechtsfrage noch nie entschieden wurde, genügt nicht (Urteil 5D_88/2012 vom 13. Juli 2012 E. 1.3). Die Voraussetzung nach Art. 74 Abs. 2 Bst. a BGG ist demgegenüber erfüllt, wenn ein allgemeines Interesse daran besteht, dass das Bundesgericht eine umstrittene Frage höchstrichterlich klärt, um eine einheitliche Anwendung und Auslegung des Bundesrechts herbeizuführen und damit Rechtssicherheit herzustellen (<ref-ruling> E. 1.2 S. 185; <ref-ruling> E. 1.1 S. 582 f.; <ref-ruling> E. 1.2 S. 399). Eine neue Rechtsfrage kann vom Bundesgericht beurteilt werden, wenn dessen Entscheid für die Praxis wegleitend sein kann, namentlich wenn von unteren Instanzen viele gleichartige Fälle zu beurteilen sein werden (<ref-ruling> E. 1.3 S. 4 mit Hinweis). Ist eine Beschwerde nur unter der Voraussetzung zulässig, dass sich eine Rechtsfrage von grundsätzlicher Bedeutung stellt, ist im Schriftsatz an das Bundesgericht aufzuführen, warum diese Voraussetzung erfüllt ist (<ref-law>).
2.2. Im konkreten Fall argumentiert der Beschwerdeführer, das Bundesgericht habe - soweit ersichtlich - bisher noch nie die Frage beantwortet, ob der Kläger in einem Prozess betreffend die Abänderung eines Scheidungsurteils zu einer Parteientschädigung an die Gegenseite verpflichtet werden kann, wenn er das klageweise begründete Rechtsbegehren noch vor Durchführung der gesetzlich vorgeschriebenen Einigungsverhandlung zurückzieht. Wie oben dargelegt (E. 2.1), ist eine Rechtsfrage aber nicht schon deshalb von grundsätzlicher Bedeutung, weil sie noch nie entschieden wurde.
2.3. In den Augen des Beschwerdeführers geht es auch um die Frage, ob ein Kläger, der um die Durchführung einer Schlichtungsverhandlung bittet und dem Gericht dafür bereits eine Klagebegründung liefert, an diese Klage insofern gebunden ist, als er sein Begehren nicht ohne Kostenrisiko zurückziehen kann. Sollte dies zutreffen, so sei er, der Beschwerdeführer, gegenüber einem Kläger, der bloss ein unbegründetes Begehren einreicht, "doppelt benachteiligt", weil er sich erstens die Mühe der Klagebegründung gemacht habe und zweitens im Falle eines Klagerückzugs selbst dann kostenpflichtig werde, wenn die Einigungsverhandlung gar nicht stattgefunden habe. Der Beschwerdeführer formuliert einfach die (Rechts-) Frage, die er identifiziert haben will, und tadelt die Art und Weise, wie die Vorinstanz die Frage seiner Meinung nach beantwortet, als "gesetzwidrig und auch ungerecht". So lässt sich nicht begründen (<ref-law>), weshalb die Beschwerde gestützt auf Art. 74 Abs. 2 Bst. a BGG ausnahmsweise zulässig sein soll (E. 2.1).
2.4. Schliesslich meint der Beschwerdeführer, indem das Obergericht der Beschwerdegegnerin im Schlichtungsverfahren eine Parteientschädigung zuspreche, sei es von der klaren Bestimmung in Art. 241 Abs. 3 und Art. 113 Abs. 2 [recte: Abs. 1] Satz 1 ZPO abgewichen. "Erschwerend" komme hinzu, dass er das Rechtsbegehren bereits "vor der Ansetzung zu einer Schlichtungsverhandlung" zurückgezogen habe. Die Auslegung dieser an sich klaren Bestimmung der ZPO sei eine grundsätzliche Rechtsfrage, die einer höchstrichterlichen Klarstellung bedürfe, zumal sie von den kantonalen Gericht unterschiedlich gehandhabt werde. Sinngemäss wirft der Beschwerdeführer damit die Frage auf, ob die Regel, wonach im Schlichtungsverfahren (<ref-law>) keine Parteientschädigungen gesprochen werden (<ref-law>), auch in der Einigungsverhandlung (<ref-law>) gilt, deren Durchführung er ausdrücklich verlangt hatte (s. Sachverhalt Bst. B.a) bzw. im Abänderungsprozess unterstellt. Damit aber vermengt der Beschwerdeführer die Frage der Zulässigkeit seiner Beschwerde nach Massgabe von Art. 74 Abs. 1 Bst. a BGG mit der Begründetheit in der Sache. Allein dass die Vorinstanz (angeblich) von einer (vermeintlich) klaren gesetzlichen Vorgabe abgewichen ist, führt nicht zur Annahme einer Rechtsfrage von grundsätzlicher Bedeutung. Im Gegenteil: Hält der Beschwerdeführer die fragliche Bestimmung schon für "klar", so ist nicht ersichtlich, inwiefern es bei der von ihm aufgeworfenen Frage um mehr oder etwas anderes als um die blosse Anwendung dieser Vorschrift im konkreten Fall gehen könnte, die für sich allein genommen die ausnahmsweise Zulässigkeit der Beschwerde nicht zu begründen vermag (E. 2.1). Auch die blosse Behauptung, dass "diese Frage" in den Kantonen unterschiedlich gehandhabt wird, hilft dem Beschwerdeführer nicht weiter. Dass die kantonalen Instanzen mit einer Vielzahl gleichartiger Fälle konfrontiert sind oder sein werden und sich ein Entscheid des Bundesgerichts deshalb aufdrängt, macht der Beschwerdeführer nicht geltend.
2.5. Falls dem Beschwerdeführer vor Bundesgericht der Nachweis gelingen sollte, dass das Obergericht mit dem angefochtenen Entscheid tatsächlich grundlos von einer klaren gesetzlichen Bestimmung abgewichen ist, könnte er sich auch von seiner Willkürrüge Erfolg versprechen. Was es damit auf sich hat, wird im Folgenden zu prüfen sein. Mit Blick auf die Zulässigkeit der Beschwerde in Zivilsachen bleibt es nach dem Gesagten dabei, dass dieses Rechtsmittel mangels Erreichens der Streitwertgrenze nicht zulässig ist (E. 1). Der Beschwerdeführer ist damit auf die subsidiäre Verfassungsbeschwerde (<ref-law>) verwiesen.
3.
Mit der Verfassungsbeschwerde kann nur die Verletzung verfassungsmässiger Rechte gerügt werden (<ref-law>). Hierfür gilt das strenge Rügeprinzip (Art. 117 i.V.m. <ref-law>). Der Beschwerdeführer muss in seiner Eingabe präzise angeben, welche verfassungsmässigen Rechte verletzt worden sind, und im Einzelnen substantiiert darlegen, worin die Verletzung besteht. Eine Überprüfung von Amtes wegen, wie sie dem Bundesgericht hinsichtlich des Gesetzes- und Verordnungsrechts des Bundes zusteht (<ref-law>), findet nicht statt. Das Bundesgericht untersucht deshalb nicht von sich aus, ob der angefochtene kantonale Entscheid verfassungsmässig ist. Es prüft nur rechtsgenügend vorgebrachte, klar erhobene und soweit möglich belegte Rügen. Auf rein appellatorische Kritik am angefochtenen Entscheid tritt es nicht ein (<ref-ruling> E. 2.2 S. 246; <ref-ruling> E. 3.2 S. 399 f.). Wer sich auf eine Verletzung des Willkürverbots (<ref-law>) berufen will, kann sich demnach nicht darauf beschränken, die Sach- oder Rechtslage aus seiner Sicht darzulegen und den davon abweichenden angefochtenen Entscheid als willkürlich zu bezeichnen. Vielmehr ist anhand der angefochtenen Subsumtion im Einzelnen darzutun, inwiefern das kantonale Gericht willkürlich entschieden haben soll und der Entscheid an einem qualifizierten und offensichtlichen Mangel leidet (<ref-ruling> E. 2.2 S. 246; <ref-ruling> E. 4b S. 11 f.). Im Übrigen muss die Begründung der Beschwerde an das Bundesgericht (Art. 42 Abs. 1 und 2 BGG) in der Rechtsmitteleingabe selbst enthalten sein. Blosse Verweise auf andere Rechtsschriften oder sonstige Dokumente genügen nicht (BGE <ref-ruling> E. 3.2 S. 400).
4.
Im Schriftsatz des Beschwerdeführers findet sich ein Abschnitt mit dem Titel "Subsidiäre Verfassungsbeschwerde (Willkür) ". Neben Willkür in der Anwendung der ZPO (s. unten E. 5) will der Beschwerdeführer auch eine Verletzung seines Anspruchs auf rechtliches Gehör (<ref-law>) und seines Anspruchs auf Zugang zum Gericht (<ref-law>) ausgemacht haben. Angesichts ihrer formellen Natur sind diese Vorwürfe zuerst zu prüfen.
4.1. Als Gehörsverletzung wirft der Beschwerdeführer dem Obergericht vor, überhaupt nicht auf seine Rüge einzugehen, wonach die streitige Parteientschädigung für die Beschwerdegegnerin <ref-law> verletze, und nicht zu begründen, weshalb diese ZPO-Bestimmung im konkreten Fall keine Gültigkeit haben soll. Der Beschwerdeführer verkennt die Anforderungen an die Begründungspflicht, wie sie sich aus <ref-law> ergeben. Aus dem Gehörsanspruch folgt nicht, dass sich der Richter zu allen Punkten einlässlich äussern und jedes einzelne Vorbringen widerlegen muss (zum Ganzen: <ref-ruling> E. 4.1 S. 88; <ref-ruling> E. 3.3 S. 445). Zu begründen ist vielmehr das Ergebnis des Entscheides, das im Urteilsspruch zum Ausdruck kommt und das allein die Rechtsstellung der betroffenen Partei berührt. Die Begründung ist also nicht an sich selbst, sondern am Rechtsspruch zu messen (Urteil 5A_382/2013 vom 12. September 2013 E. 3.1). Eingedenk dessen ist dem Obergericht keine Verfassungswidrigkeit vorzuwerfen. Das Obergericht bringt hinreichend zum Ausdruck, warum es den erstinstanzlichen Kostenentscheid schützt. Ob es dabei in unzulässiger Weise die in <ref-law> enthaltenen Vorgaben "ausgeblendet" hat, ist nicht eine Frage des rechtlichen Gehörs, sondern eine solche der vorinstanzlichen Rechtsanwendung, die das Bundesgericht hier nur auf die Verletzung verfassungsmässiger Rechte hin überprüft (E. 3).
4.2. Was die angebliche Verletzung von <ref-law> angeht, resümiert der Beschwerdeführer einfach aus seiner Sicht, wie es zum erstinstanzlichen Verfahren gekommen war. Er beteuert, sich um eine gütliche Einigung bemüht zu haben, und erinnert daran, dass er im Vertrauen auf die Einigungsverhandlung unter der umsichtigen Leitung und kundigen Hilfe des Familienrichters eine Klage eingereicht und um das Armenrecht ersucht habe. Seinen Klagerückzug erklärt er damit, dass ihm die unentgeltliche Rechtspflege verweigert worden sei und er den Gerichtskostenvorschuss mit Blick auf die bevorstehende Volljährigkeit seiner Tochter nicht habe aufbringen wollen. Diese Schilderungen münden im pauschalen Vorwurf, die Art und Weise, wie die Erstinstanz den Prozess geleitet habe, habe zur Folge, dass jeder Kläger es sich zweimal überlegen müsse, die Schlichtung anzurufen, ansonsten er leicht Gefahr laufe, "zwischen Stuhl und Bänke zu fallen". Allein mit derlei appellatorischem Tadel genügt der Beschwerdeführer den Begründungsanforderungen im Verfahren der subsidiären Verfassungsbeschwerde (E. 3) nicht. Die Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege im erstinstanzlichen Verfahren ist nicht Gegenstand des vorliegenden Prozesses. Soweit es an den Voraussetzungen für die Gewährung des Armenrechts fehlte, besteht auch im Lichte der Rechtsweggarantie kein weitergehender Anspruch darauf, das Verfahren trotzdem unentgeltlich durchführen zu können (Urteil 5D_158/2013 vom 24. September 2013 E. 5 mit Hinweis).
5.
Zu beurteilen bleibt, ob das Obergericht die Zivilprozessordnung willkürlich anwendet.
5.1. Jede Person hat Anspruch darauf, von den staatlichen Organen ohne Willkür und nach Treu und Glauben behandelt zu werden (<ref-law>). Willkür in der Rechtsanwendung liegt nach ständiger bundesgerichtlicher Praxis nicht schon dann vor, wenn eine andere Lösung ebenfalls vertretbar erscheint oder sogar vorzuziehen wäre; sie ist erst gegeben, wenn ein Entscheid auf einem offensichtlichen Versehen beruht, mit der tatsächlichen Situation in klarem Widerspruch steht, eine Norm oder einen unumstrittenen Rechtsgrundsatz krass verletzt oder in stossender Weise dem Gerechtigkeitsgedanken zuwiderläuft (<ref-ruling> E. 1.3 S. 4 f.; <ref-ruling> E. 4.2 S. 560). Dabei genügt es nicht, wenn der angefochtene Entscheid sich nur in der Begründung als unhaltbar erweist. Eine Aufhebung rechtfertigt sich erst, wenn er auch im Ergebnis verfassungswidrig ist (<ref-ruling> E. 1.3 S. 5; <ref-ruling> E. 2.2.2 S. 319). Mit Blick auf die hier streitigen Fragen ist überdies zu berücksichtigen, dass die Art der Verfahrensleitung nach Massgabe der Zivilprozessordnung - und damit auch die Frage, wann die Klage der Gegenpartei zugestellt und ihr Frist zu deren Beantwortung angesetzt werden soll - weitgehend in das Ermessen des Gerichts gestellt ist (<ref-ruling> E. 4.2 und 4.3 S. 162 ff.). Eine willkürliche Ausübung des Ermessens liegt vor, wenn die urteilende Behörde das ihr zustehende Ermessen missbraucht oder es überschreitet. Das ist der Fall, wenn der Entscheid auf einer unhaltbaren Würdigung der Umstände des Falles beruht, mit Recht und Billigkeit nicht vereinbar ist, Umstände nicht berücksichtigt, die eine Rolle spielen, oder umgekehrt unwesentliche Umstände in Betracht zieht (vgl. <ref-ruling> E. 2c S. 109; Urteil 5A_454/2010 vom 27. August 2010 E. 3.1).
5.2. Das Obergericht lässt offen, ob der Richter im Verfahren betreffend die Abänderung des Scheidungsurteils befugt sei, der beklagten Partei vor der Durchführung einer Einigungsverhandlung Frist für eine Klageantwort anzusetzen. Es nennt drei Gründe, weshalb der Beschwerdeführer der Beschwerdegegnerin für deren Aufwand im erstinstanzlichen Verfahren eine Entschädigung schulde. Zuerst erklärt es, angesichts der 8-seitigen detaillierten Klage des Beschwerdeführers hätte eine umsichtige und vorsichtige Anwältin auch ohne richterliche Aufforderung zur Einreichung einer Klageantwort von sich aus schon vor der Einigungsverhandlung eine Klageantwort eingereicht. Deswegen sei die Aufforderung der Einzelrichterin des Kantonsgerichts an die Anwältin der Beschwerdegegnerin, eine Klageantwort einzureichen (s. Sachverhalt Bst. B.c), für den geltend gemachten "Schaden" (die Parteientschädigung für die Bemühungen dieser Anwältin) gar nicht kausal. Selbst wenn man dieser Meinung nicht folgen wolle, stelle sich - zweitens - die Frage, wer denn die Aufwendungen der Anwältin der Beschwerdegegnerin bezahlen soll. Die Beschwerdegegnerin selbst scheide als obsiegende Partei für eine Zahlungspflicht aus. Dasselbe gilt dem angefochtenen Entscheid zufolge auch für den Kanton. Zwar könne das Gericht gemäss <ref-law> die Gerichtskosten, die weder eine Partei noch Dritte veranlasst haben, aus Billigkeitsgründen dem Kanton auferlegen. Das Bundesgericht habe aber erst vor kurzem entschieden, dass <ref-law> keine Grundlage biete, die Parteientschädigung dem Kanton zu überbinden. Zuletzt weist das Obergericht darauf hin, dass der Rechtsvertreter des Beschwerdeführers eine Kopie des Schreibens erhalten habe, mit dem die Beschwerdegegnerin zur Klageantwort aufgefordert worden war (s. Sachverhalt Bst.). Es hält dem Beschwerdeführer vor, dagegen nichts unternommen zu haben. Auch auf die Gesuche, mit denen die Beschwerdegegnerin um eine Erstreckung der Klageantwortfrist ersucht habe und die ihm ebenfalls zugestellt worden seien, habe der Beschwerdeführer nicht reagiert. Es sei höchst fraglich, ob dieses Verhalten Treu und Glauben entspricht. Nach der bundesgerichtlichen Rechtsprechung könne sich derjenige, der keine Abnahme der Frist beantrage, nicht im Nachhinein darüber beklagen, die gerichtliche Verfahrensleitung habe seine finanziellen Interessen nicht gewahrt.
5.3. Für den Beschwerdeführer ist die vorinstanzliche Anwendung von <ref-law> ein "Rechtsspruch contra legem", der als "grobe und offensichtliche" Rechtsverletzung einen "Willkürakt" darstellt. In seinen Augen "kann es nicht sein", dass ein Gericht ihm, der bloss den Rechtsschutz gesucht habe, die unentgeltliche Rechtspflege verweigere, um ihm dann, nachdem er den Gerichtskostenvorschuss nicht aufzubringen vermocht habe und deshalb seine Rechtsbegehren habe zurückziehen müssen, noch eine Parteientschädigung aufzuerlegen, obwohl die Beschwerdegegnerin vor Gericht gar nicht zur Abgabe einer notwendigen Klageantwort hätte verpflichtet werden dürfen. Allein damit ist eine willkürliche Anwendung von <ref-law> nicht dargetan. Der erste Satz der zitierten Norm besagt, dass im Schlichtungsverfahren (<ref-law>) keine Parteientschädigungen gesprochen werden dürfen. Auch in seiner Begründung der ordentlichen Beschwerde äussert sich der Beschwerdeführer in keiner Weise zur Frage, welche Gründe dafür sprechen, <ref-law> im Falle einer (allfälligen) Einigungsverhandlung in einem Abänderungsprozess (Art. 284 Abs. 3 i.V.m. <ref-law>) anzuwenden. Im Ergebnis fehlt es an einer Erklärung, weshalb sich eine solche Lösung in geradezu zwingender Weise als einzig richtige aufdrängt. Nur unter dieser Voraussetzung könnte von Willkür in der Rechtsanwendung gesprochen werden (E. 5.1).
5.4. Als "willkürlich" bezeichnet der Beschwerdeführer auch die vorinstanzliche Vorhaltung, sein Anwalt hätte gegen die Verfügung vom 26. November 2014 (s. Sachverhalt Bst. B.c) opponieren müssen. Er will sich damit rechtfertigen, dass gegen verfahrensleitende Entscheide keine Rechtsmittel bestehen und das Kantonsgericht auch kein solches Rechtsmittel eingeräumt habe. Zudem wäre auch die Beschwerdegegnerin gehalten gewesen, sich erst an der Einigungsverhandlung zu den begründeten Rechtsbegehren zu äussern. Auch damit vermag der Beschwerdeführer nichts auszurichten. Dass ihm das Obergericht entgegenhält, kein Rechtsmittel gegen die besagte Verfügung ergriffen zu haben, lässt sich dem angefochtenen Entscheid nicht entnehmen. Inwiefern er das Kantonsgericht im Anschluss an den abschlägigen Bescheid im Armenrechtsverfahren (s. Sachverhalt Bst. B.d) nicht darum hätte ersuchen können, mit Blick auf einen allfälligen Klagerückzug auf die Einholung einer Klageantwort zurückzukommen und die Beschwerdegegnerin entsprechend zu informieren, tut der Beschwerdeführer nicht dar (vgl. <ref-ruling> E. 4.2.1 S. 163 f.).
5.5. Die vorinstanzliche Erkenntnis, dass die Beschwerdegegnerin als obsiegende Partei nicht für ihre eigenen Parteikosten aufkommen muss und der Richter dem Kanton keine Parteientschädigungen auferlegen kann, leidet nach der Meinung des Beschwerdeführers an einem "groben Überlegungsfehler": Wenn er als Kläger das "Schlichtungsbegehren" zurückgezogen habe, könne die Beschwerdegegnerin nicht als obsiegende Partei gelten. Die gegenteilige Feststellung der Vorinstanz sei "falsch und aktenwidrig", der Rückzug und der damit verbundene Abschreibungsbeschluss des Gerichts entfalte gar keine materielle Rechtskraft. Abgesehen davon, dass der Beschwerdeführer keine konkrete Verletzung verfassungsmässiger Rechte rügt, sind auch diese Überlegungen zum Scheitern verurteilt: Wie den vorinstanzlichen Feststellungen über die Prozessgeschichte ohne Weiteres zu entnehmen ist, hat der Beschwerdeführer am 17. Oktober 2014 beim Kantonsgericht Appenzell Ausserrhoden eine als "Klage" bezeichnete Eingabe deponiert und den Verfahrensantrag gestellt, die Parteien zu einer "Einigungsverhandlung" vorzuladen. Erneut lässt der Beschwerdeführer im Dunkeln, warum die Vorschriften über das Schlichtungsverfahren (<ref-law>) anwendbar sein sollen (vgl. E. 5.3). Im Übrigen hat ein vorbehaltloser Klagerückzug auch im Schlichtungsverfahren die Wirkung eines rechtskräftigen Entscheids (<ref-law>).
6.
Nach dem Gesagten erweist sich die Beschwerde als unbegründet. Sie ist abzuweisen. Auch für diesen Fall ersucht der Beschwerdeführer das Bundesgericht darum, "die Kostenfolge der Vorinstanzen zu überprüfen und gegebenenfalls in eigenem Ermessen anzupassen". Darauf ist nicht einzutreten. Dass sich die Höhe der Parteientschädigung im erstinstanzlichen Verfahren mit seinen verfassungsmässigen Rechten nicht verträgt, macht der Beschwerdeführer nicht geltend. Soweit er "der Einfachheit halber" auf die Ausführungen in seiner kantonalen Beschwerde verweist, verkennt er die Anforderungen an die Begründung einer subsidiären Verfassungsbeschwerde (s. E. 3).
7.
Bei diesem Ausgang des Verfahrens unterliegt der Beschwerdeführer. Er hat deshalb für die Gerichtskosten aufzukommen (<ref-law>) und die Beschwerdegegnerin zu entschädigen (Art. 68 Abs. 1 und 2 BGG). Das Gesuch des Beschwerdeführers um unentgeltliche Rechtspflege für das bundesgerichtliche Verfahren ist abzuweisen. Wie die vorigen Erwägungen zeigen, müssen seine vor Bundesgericht gestellten Rechtsbegehren als von Anfang an aussichtslos gelten. Deshalb fehlt es an einer materiellen Anspruchsvoraussetzung (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.
Das Gesuch des Beschwerdeführers um unentgeltliche Rechtspflege für das bundesgerichtliche Verfahren wird abgewiesen.
3.
Die Gerichtskosten von Fr. 2'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
4.
Der Beschwerdeführer hat die Beschwerdegegnerin für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 2'500.-- zu entschädigen.
5.
Dieses Urteil wird den Parteien, dem Obergericht Appenzell Ausserrhoden, Einzelrichter, und dem Kantonsgericht von Appenzell Ausserrhoden, Einzelrichterin, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 17. Juni 2016
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: von Werdt
Der Gerichtsschreiber: V. Monn