Erwägungen:
1.
A._ (Gläubiger) ersuchte in der gegen die B._ GmbH (Schuldnerin/Beschwerdegegnerin) eingeleiteten Betreibung Nr. xxx des Betreibungsamtes Zürich 5 um Gewährung der provisorischen Rechtsöffnung für den Betrag von Fr. 4'465.-- nebst Zins zu 11,5% seit dem 25. April 2012. Mit Urteil vom 4. Dezember 2015 wies das Einzelgericht Audienz am Bezirksgericht Zürich das Rechtsöffnungsbegehren ab. Der Gläubiger gelangte dagegen an das Obergericht des Kantons Zürich, welches seine Beschwerde mit Urteil vom 5. April 2016 abwies. Der Gläubiger (Beschwerdeführer) hat am 9. Mai 2016 (Postaufgabe) beim Bundesgericht gegen das obergerichtliche Urteil Beschwerde erhoben; damit ersucht er sinngemäss um Aufhebung des angefochtenen Entscheides und um Gewährung der beantragten provisorischen Rechtsöffnung.
2.
2.1. Da in der vorliegenden vermögensrechtlichen Zivilsache (<ref-law>) der Streitwert von Fr. 30'000.-- nicht erreicht ist (<ref-law>), ist gegen den angefochtenen Entscheid nur die subsidiäre Verfassungsbeschwerde gegeben (<ref-law>). In der subsidiären Verfassungsbeschwerde ist die Rüge der Verletzung verfassungsmässiger Rechte vorzubringen und zu begründen (Art. 117 i. V. m. <ref-law> sowie <ref-law>); es ist anhand der Erwägungen des kantonalen Entscheids klar und detailliert darzulegen, welche verfassungsmässigen Rechte und inwiefern sie durch diesen Entscheid verletzt sein sollen (<ref-ruling> E. 3.1 S. 399).
2.2. Das Obergericht hat erwogen, die erste Instanz habe das Rechtsöffnungsbegehren abgewiesen, da die Passivlegitimation der Beschwerdegegnerin nicht hinreichend erstellt worden sei. Der Beschwerdeführer bringe in seiner Beschwerde vor, die ursprüngliche Gesellschaft (C._ GmbH) sei in Konkurs gegangen. In der Folge sei "die Gesuchsgegnerin durch die gleiche Person (D._) auf einen anderen Namen gegründet worden." D._ arbeite auch in der neu gegründeten Unternehmung. Die Zahlungsvereinbarung sei durch diese Person unterzeichnet worden. Somit sei D._ für den geschuldeten Restbetrag in der Höhe von Fr. 4'465.-- verantwortlich. Das Obergericht führt dazu aus, der Beschwerdeführer bringe die in der Beschwerdeschrift vom 13. Januar 2016 vorgebrachten Tatsachenbehauptungen erstmalig im Beschwerdeverfahren vor, weshalb sie aufgrund des Novenverbots von <ref-law> nicht mehr berücksichtigt werden könnten. Ferner gehe aus dem Schreiben der C._ GmbH vom 4. Dezember 2012 hervor, dass sie dem Beschwerdeführer Fr. 10'344.83 schulde. Auch wenn D._ nun ebenfalls für die Beschwerdegegnerin tätig sei, stelle dies für sich allein keine Anspruchsgrundlage dar, dass nunmehr die Beschwerdegegnerin für die Restschuld von Fr. 4'465.-- aufzukommen hätte. Zudem sei Nagatheepan Selvakumar im Handelsregister des Kantons Zürich weder als Gesellschafter noch als Geschäftsführer der Beschwerdegegnerin eingetragen. Somit bleibe auch im Beschwerdeverfahren unklar, wieso die Beschwerdegegnerin Schuldnerin der geforderten Fr. 4'465.-- sei. Im Weiteren setze sich der Beschwerdeführer mit dem erstinstanzlichen Entscheid nicht auseinander. Die Beschwerde sei daher abzuweisen.
2.3. Der Beschwerdeführer geht in seiner Eingabe nicht auf die den Entscheid tragenden Erwägungen ein und zeigt nicht anhand dieser Erwägungen auf, inwiefern die Vorinstanz den Sachverhalt willkürlich festgestellt, Bundesrecht willkürlich angewendet oder seine verfassungsmässigen Rechte verletzt haben soll. Auf die offensichtlich nicht hinreichend begründete Verfassungsbeschwerde ist somit im vereinfachten Verfahren durch das präsidierende Mitglied der Abteilung (Art. 117 i.V.m. Art. 108 Abs. 1 bzw. <ref-law>) unter Kostenfolge für den Beschwerdeführer (<ref-law>) nicht einzutreten.

Demnach erkennt das präsidierende Mitglied:
1.
Auf die Verfassungsbeschwerde wird nicht eingetreten.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 200.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Zürich, I. Zivilkammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 17. Mai 2016
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Das präsidierende Mitglied: Escher
Der Gerichtsschreiber: Zbinden