Faits :
A.
Par décision du 15 avril 2015, l'Office de l'assurance-invalidité du canton de Genève a supprimé la rente d'invalidité versée à A._.
L'assurée a déféré cette décision à la Cour de justice de la République et canton de Genève le 18 mai 2015. Dans le cadre de ce recours, elle a présenté une demande d'assistance juridique. Par décision du 19 mai 2015, le Vice-président du Tribunal civil la lui a refusée.
B.
A._ a recouru contre cette décision auprès du Vice-président de la Cour de justice le 4 juin 2015. Par décision du 4 septembre 2015, l'autorité cantonale a déclaré le recours irrecevable, au motif qu'il ne respectait pas les conditions de motivation imposées par la loi.
C.
L'assurée interjette un recours en matière de droit public contre cette décision dont elle demande l'annulation. Elle conclut à l'octroi de l'assistance juridique dans la cause A/1614/2015 AI pendante auprès de la Cour de justice, avec effet au 18 mai 2015, ainsi qu'à l'annulation de la décision du 19 mai 2015 ou au renvoi de la cause à l'autorité cantonale pour nouvelle décision dans le sens des considérants. Elle demande également l'octroi de l'assistance judiciaire pour la procédure fédérale.
Invité à se déterminer sur le recours, le Vice-président de la Cour de justice s'est référé aux considérants de sa décision.

Considérant en droit :
1.
Dirigé contre une décision finale d'irrecevabilité émanant d'une autorité cantonale de dernière instance (cf. art. 90 et 86 al. 1 let. d LTF), le présent recours est recevable.
2.
Le recours en matière de droit public (au sens des <ref-law>) peut être formé pour violation du droit (circonscrit par les art. 95 et 96 LTF). Le Tribunal fédéral applique le droit d'office (<ref-law>). Il n'est limité ni par l'argumentation de la partie recourante ni par la motivation de l'autorité précédente. Il statue sur la base des faits établis par celle-ci (<ref-law>), mais peut les rectifier et les compléter d'office si des lacunes et des erreurs manifestes apparaissent d'emblée (<ref-law>). En principe, il n'examine que les griefs motivés (<ref-law>), surtout s'ils portent sur la violation des droits fondamentaux (<ref-law>). Il ne peut pas aller au-delà des conclusions des parties (<ref-law>). Le recourant peut critiquer la constatation des faits qui ont une incidence sur le sort du litige seulement s'ils ont été établis en violation du droit ou de manière manifestement inexacte (<ref-law>).
3.
Est litigieux le point de savoir si l'intimée était en droit de déclarer irrecevable le recours déposé devant elle par la recourante le 4 juin 2015.
L'assurée fait grief à la Cour de justice d'avoir constaté les faits de manière arbitraire et violé le droit en faisant preuve d'un déni de justice ainsi que de formalisme excessif. En particulier, elle lui reproche d'avoir considéré que le recours déposé dans le cadre de la procédure cantonale d'octroi de l'assistance juridique ne contenait pas de motivation suffisante.
4.
Le formalisme excessif est un aspect particulier du déni de justice prohibé par l'art. 29 al. 1 Cst. Il est réalisé lorsque la stricte application des règles de procédure ne se justifie par aucun intérêt digne de protection, devient une fin en soi, complique de manière insoutenable la réalisation du droit matériel ou entrave de manière inadmissible l'accès aux tribunaux (<ref-ruling> consid. 2.1 p. 9). Les allégués contenus dans le mémoire de recours adressé à l'autorité, en particulier les moyens de droit, doivent en principe satisfaire les exigences de motivation (arrêt 1B_363/2014 du 7 janvier 2015 consid. 2.1). En vertu de l'<ref-law>, l'acte de recours doit contenir un exposé succinct des faits et des motifs invoqués, ainsi que les conclusions. Cette disposition - applicable d'office - découle du principe de l'interdiction du formalisme excessif et constitue l'expression du principe de la simplicité de la procédure qui gouverne le droit des assurances sociales. C'est pourquoi le juge saisi d'un recours dans ce domaine ne doit pas se montrer trop strict lorsqu'il s'agit d'apprécier la forme et le contenu de l'acte en question (arrêt 8C_805/2012 du 27 mars 2013 consid. 7 et les références). Il suffit que la motivation du recours laisse apparaître les raisons pour lesquelles les faits constatés ou les dispositions appliquées par l'autorité inférieure sont contestés (Ueli Kieser, ATSG-Kommentar, 3e éd. 2015, p. 811 n. 79).
5.
5.1. En l'espèce, conformément à ce qu'allègue la recourante, il ressortait de son recours du 4 juin 2015 qu'elle contestait la décision de refus d'octroi de l'assistance juridique du 19 mai 2015, au motif que le Vice-président du Tribunal civil avait établi les faits de manière non conforme à la réalité, en ayant mal évalué ses ressources, en particulier en prenant en considération un montant de 3'157 fr. au lieu de 1'615 francs. Elle évoquait en effet la suppression de ses prestations complémentaires ainsi que de sa rente AI dès le 1 er juin 2015 - se fondant sur des pièces telles qu'un courrier du 21 mai 2015 et la décision du 15 avril 2015 - dont le Vice-président du Tribunal civil n'avait pas tenu compte. Dès lors, l'intimée pouvait aisément comprendre les motifs du recours, à savoir la détermination erronée des ressources de l'assurée. Les conclusions étaient également claires dans la mesure où la recourante demandait l'annulation de la décision du 19 mai 2015 et requérait la mise au bénéfice de l'assistance juridique dans la cause A/1614/2015 AI avec effet au 18 mai 2015 ainsi que la désignation de son conseil comme avocat d'office. Par ailleurs, la Cour de justice s'est limitée à dire que la motivation était insuffisante dans la mesure où elle ne permettait pas de comprendre en quoi le Vice-président du Tribunal civil aurait établi les faits de manière arbitraire et quelle violation de la loi lui était reprochée, sans toutefois fournir les motifs l'ayant menée à cette conclusion. Au vu de ce qui précède, le contenu du recours du 4 juin 2015 ne permettait pas à la juridiction cantonale de considérer que l'assurée n'avait pas critiqué la décision attaquée. Elle aurait dû au contraire entrer en matière et examiner si les conditions ouvrant le droit à l'assistance juridique étaient réalisées.
5.2. Par conséquent, en déclarant le recours cantonal irrecevable pour défaut de motivation, l'intimée a appliqué les règles relatives au degré de motivation d'un recours civil de manière excessivement stricte. Elle a dès lors compliqué de manière insoutenable la mise en oeuvre du droit constitutionnel à l'assistance judiciaire et - par voie de conséquence - versé dans le formalisme excessif.
Le recours est partant bien fondé.
6.
Vu l'issue du litige, il n'est pas perçu de frais judiciaires (art. 66 al. 1 et 4 LTF). Les dépens sont mis à la charge de intimée (<ref-law>). La requête d'assistance judiciaire de la recourante pour la procédure fédérale est par conséquent sans objet.

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce :
1.
Le recours est admis. La décision de l'intimée du 4 septembre 2015 est annulée. La cause lui est renvoyée pour qu'elle rende une décision concernant le droit de la recourante à l'assistance juridique dans la procédure A/1614/2015 AI.
2.
Il n'est pas perçu de frais judiciaires.
3.
L'intimée versera à la recourante la somme de 2'800 fr. à titre de dépens pour la procédure devant le Tribunal fédéral.
4.
La cause est renvoyée à la Cour de justice de la République et canton de Genève, Chambre des assurances sociales, pour nouvelle décision sur les frais de la procédure antérieure.
5.
Le présent arrêt est communiqué aux parties et à l'Office de l'assurance-invalidité du canton de Genève.
Lucerne, le 3 mai 2016
Au nom de la IIe Cour de droit social
du Tribunal fédéral suisse
La Présidente : Glanzmann
La Greffière : Flury