Sachverhalt:
A.
Mit Eingabe vom 31. März 2015 stellte A._ beim Kantonsgericht Schwyz ein Gesuch um personalrechtlichen Rechtsschutz im Sinne von § 27 des Personal- und Besoldungsgesetzes des Kantons Schwyz vom 26. Juni 1991 (Personalgesetz; PG; SRSZ 145.110). Mit Verfügung vom 1. April 2015 teilte der Kantonsgerichtspräsident dem Gesuchsteller mit, das Gesuch werde dem Gesamtgericht unterbreitet. Gleichzeitig forderte dieser A._ auf, den Abfindungsvertrag zwischen ihm und dem Kanton Schwyz einzureichen. A._ ersuchte daraufhin um Fristerstreckung und Einsicht in die anonymisierten Fassungen der bisher vom Kantonsgericht ausgesprochenen Rechtsschutzgewährungen. Mit Verfügung vom 20. Mai 2015 wies der Kantonsgerichtspräsident das Einsichtsgesuch ab, worauf A._ ein Wiedererwägungsgesuch stellte. Mit Verfügung vom 23. Juni 2015 setzte der Kantonsgerichtspräsident Frist zur Einreichung des Abfindungsvertrages und zur näheren Begründung des Gesuchs an.
B.
Am 26. Juni 2015 verlangte A._ den Ausstand des Kantonsgerichtspräsidenten. Mit Verfügung vom 3. Juli 2015 teilte der Vizepräsident des Kantonsgerichts dem Gesuchsteller mit, über das Ausstandsbegehren werde das Gesamtgericht ohne den vom Gesuch betroffenen Kantonsgerichtspräsidenten befinden. Der Kantonsgerichtspräsident erhielt Gelegenheit, sich zum Ausstandsbegehren zu äussern. Mit Entscheid vom 12. Oktober 2015 wies das Kantonsgericht das Ausstandsgesuch ab und auferlegte dem Gesuchsteller die Kosten des Ausstandsverfahrens.
C.
Mit Eingabe vom 10. November 2015 reichte A._ beim Verwaltungsgericht des Kantons Schwyz verwaltungsgerichtliche Klage ein mit dem Rechtsbegehren: "1. Es sei - allenfalls vorfrageweise - festzustellen, a) dass das Kantonsgericht in Personalstreitigkeiten keine negative Entscheidbefugnis hat und die formelle Ausstandsentscheidung bzw. jedenfalls die Kostenauflage gemäss Beschluss GGE 2015 demzufolge nichtig bzw. unverbindlich ist, und b) dass Streitigkeiten nach Personal- und Besoldungsgesetz bis Fr. 30'000.- sowie generell alle Vorverfahren unentgeltlich sind und der vorliegende Streitwert diesen Betrag nicht überschreitet. 2. Es sei die Edition der Rechtsschutzgewährungsanordnungen in den Fällen B._ und C._ anzuordnen. 3. Es sei festzustellen, dass dem Kläger die Durchführung eines korrekten Vorverfahrens im Sinne von § 62 Abs. 2 VRP verweigert wurde, und es sei die Nachholung desselben anzuordnen, evtl. durch eine Referentenaudienz am Verwaltungsgericht zu ersetzen. Eventuell sei dem Kläger der verlangte Rechtsschutz in einer Fr. 30'000.- nicht übersteigenden Höhe zuzusprechen. 4. Eventuell sei die Ausstandssache zur Aufhebung des Beschlusses GGE 2015 2 als Beschwerde an das Bundesgericht zu überweisen. 5. Unter Entschädigungsfolge zulasten des Kantons."
Das Verwaltungsgericht trat mit Entscheid vom 12. November 2015 auf die Klage nicht ein und leitete die Sache an das Bundesgericht weiter. Zur Begründung führte es an, das Kantonsgericht habe über das Gesuch des Klägers um Gewährung von Rechtsschutz im Sinne von § 27 PG noch nicht befunden. Solange dieses Vorverfahren pendent sei, könne gestützt auf § 62 Abs. 2 Satz 3 PG auf die Klage nicht eingetreten werden. Überdies sei das Verwaltungsgericht nicht zuständig zur Überprüfung von Ausstandsentscheiden des Kantonsgerichts.
D.
Mit Eingabe vom 11. Dezember 2015 stellte A._ die ergänzenden Anträge: "1. In Aufhebung des verwaltungsgerichtlichen Entscheids vom 12. November 2015 sei die Sache - samt Anträgen zum Vorverfahren - an das Verwaltungsgericht des Kantons Schwyz zur Beurteilung zurückzuweisen. 2. Eventuell sei der kantonsgerichtliche Beschluss vom 12. Oktober 2015, soweit er nicht nichtig zu erklären sei, mindestens insoweit aufzuheben, als dem Beschwerdeführer damit Kosten auferlegt und über die Ausstandsfrage hoheitlich befunden wurde. 3. Unter Kosten und Entschädigungsfolge."
Das Bundesgericht hat sich vom Kantonsgericht die kantonalen Akten überweisen lassen, in der Sache aber keine Vernehmlassung eingeholt.

Erwägungen:
1.
Der Beschwerdeführer hat innert gesetzlicher Frist (<ref-law>) die verwaltungsgerichtliche Klage vom 10. November 2015 beim kantonalen Verwaltungsgericht eingereicht. Das Verwaltungsgericht hat die Ausstandssache mit Entscheid vom 12. November 2015 entsprechend dem Eventualbegehren Ziffer 4 der beschwerdeführerischen Eingabe zuständigkeitshalber an das Bundesgericht weitergeleitet. Mit Eingabe vom 11. Dezember 2015 hat der Beschwerdeführer eine ergänzende Beschwerdeschrift eingereicht, nachdem er am 17. November 2015 sinngemäss darum ersucht hatte. Soweit diese Eingabe den kantonsgerichtlichen Entscheid vom 12. Oktober 2015 zum Gegenstand hat, ist sie unbeachtlich. Gesetzliche Beschwerdefristen können nicht erstreckt werden (<ref-law>), und es sind auch die Voraussetzungen für die Ansetzung einer Nachfrist (Art. 42 Abs. 5 und 6 BGG) oder zur Ergänzung der Beschwerdeschrift (<ref-law>) nicht erfüllt.
2.
Soweit der Beschwerdeführer beantragt, es sei der verwaltungsgerichtliche Nichteintretensentscheid vom 12. November 2015 aufzuheben und die Sache an das Verwaltungsgericht des Kantons Schwyz zurückzuweisen, erweist sich die Beschwerde als unbegründet. Entgegen der beschwerdeführerischen Auffassung liegen keine Anhaltspunkte dafür vor, dass das Kantonsgericht nicht bereit wäre, über das hängige personalrechtliche Rechtsschutzverfahren gemäss § 27 PG zu befinden. Der Entscheid des Verwaltungsgerichts lässt sich daher, auch unter dem Blickwinkel des vom Beschwerdeführer angerufenen Art. 6 Ziff. 1 EMRK (fair trial), nicht beanstanden.
3.
3.1. Der Entscheid vom 12. Oktober 2015, mit welchem das Kantonsgericht das Ausstandsbegehren gegen den Kantonsgerichtspräsidenten abgewiesen hat, ist ein selbständig eröffneter Zwischenentscheid einer letzten kantonalen Instanz über den Ausstand (Art. 86 Abs. 1 lit. d und Art. 92 Abs. 1 BGG; zum Begriff vgl. <ref-ruling> E. 1.1 S. 568 f. mit Hinweisen).
3.2. Der Beschwerdeführer ficht Dispositivziffer 1 des Entscheids des Kantonsgerichts, mit dem über das Ausstandsbegehren entschieden wurde, indessen gar nicht an. Er stellt weder einen entsprechenden Antrag, noch wird in der Rechtsmittelschrift vom 10. November 2015 begründet, inwiefern die vorinstanzliche Ablehnung des Ausstandsgesuchs als bundesrechtswidrig zu betrachten wäre. Das Bundesgericht hat den Anwendungsbereich von <ref-law> auf diejenigen Fälle eingeschränkt, in denen vor Bundesgericht Fragen der Zuständigkeit oder des Ausstandes thematisiert werden (<ref-ruling> E. 2.3 S. 95 f.; Urteil 4D_48/2014 vom 21. November 2014 E. 1.2). Andernfalls richtet sich die Anfechtbarkeit nach <ref-law>.
3.3. Gegen selbständig eröffnete Vor- oder Zwischenentscheide, die nicht von <ref-law> erfasst werden, ist die Beschwerde nur zulässig, wenn dadurch sofort ein Endentscheid herbeigeführt und ein so bedeutender Aufwand an Zeit oder Kosten für ein weitläufiges Beweisverfahren erspart werden kann, dass die gesonderte Anrufung des Bundesgerichts gerechtfertigt erscheint (<ref-law>), was hier nicht in Betracht fällt, oder wenn der Zwischenentscheid einen nicht wieder gutzumachenden Nachteil bewirken kann (<ref-law>), wobei der mögliche Nachteil rechtlicher Natur sein muss, also auch durch einen für die beschwerdeführende Partei günstigen Endentscheid des Bundesgerichts nicht mehr behoben werden könnte. In der Beschwerde ist darzutun, weshalb ein Ausnahmefall vorliegt (<ref-ruling> E. 1.2 S. 47).
3.4. Werden einzig die Kostenfolgen für das Ausstandsverfahren beanstandet, bestimmt sich die Zulässigkeit der Beschwerde nicht nach <ref-law>, sondern nach <ref-law> (Urteil 5D_75/2014 vom 29. Juli 2014 E. 5; vgl. auch <ref-ruling> E. 2.3 S. 95 f; <ref-ruling>). Vorausgesetzt ist, dass der Zwischenentscheid im Kostenpunkt einen nicht wieder gutzumachenden Nachteil bewirken kann. Dass dem Beschwerdeführer aufgrund der Kostenüberbindung des Zwischenentscheids ein nicht wieder gutzumachender Nachteil entstehen könnte, ist nicht ersichtlich. Etwas anderes legt der Beschwerdeführer auch nicht dar. Die gegen den Kantonsgerichtsentscheid gerichtete Beschwerde erweist sich daher als unzulässig.
4.
Der unterliegende Beschwerdeführer wird damit kostenpflichtig (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Auf die Beschwerde gegen den Entscheid des Kantonsgerichts Schwyz vom 12. Oktober 2015 wird nicht eingetreten.
2.
Die Beschwerde gegen den Entscheid des Verwaltungsgerichts des Kantons Schwyz vom 12. November 2015 wird abgewiesen.
3.
Die Gerichtskosten von Fr. 500.- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Verwaltungsgericht des Kantons Schwyz schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 8. Januar 2016
Im Namen der I. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Maillard
Die Gerichtsschreiberin: Hofer