Das Bundesgericht zieht in Erwägung:
1.
Das Einzelgericht in Strafsachen des Kantons Basel-Stadt verurteilte den Beschwerdeführer am 13. Oktober 2016 wegen Hausfriedensbruchs und geringfügigen Diebstahls zu einer Geldstrafe von 30 Tagessätzen zu Fr. 60.-- sowie zu einer Busse von Fr. 350.-- (Ersatzfreiheitsstrafe 4 Tage). Nach Eröffnung des Urteilsdispositivs meldete der Beschwerdeführer am 15. Oktober 2016 sinngemäss Berufung an. In der Folge verfasste das Einzelgericht in Strafsachen die schriftliche Urteilsbegründung, welche dem Beschwerdeführer am 16. Dezember 2016 mit einer ausführlichen Belehrung zum weiteren Vorgehen zugestellt wurde. Er wurde insbesondere darauf hingewiesen, dass er - falls er an der Berufung festhalten wolle - innert 20 Tagen seit Empfang des schriftlichen Urteils eine schriftliche Berufungserklärung beim Appellationsgericht Basel-Stadt einreichen müsse. Weiter wurde er darauf hingewiesen, was er darin gemäss <ref-law> anzugeben habe. Das Appellationsgericht trat am 10. Juli 2017 mangels einer Berufungserklärung auf die Berufung nicht ein.
Der Beschwerdeführer wendet sich an das Bundesgericht.
2.
Anfechtungsobjekt des bundesgerichtlichen Verfahrens ist einzig der kantonal letztinstanzliche Entscheid (<ref-law>). Streitgegenstand bildet das Nichteintreten des Appellationsgerichts auf die Berufung mangels Berufungserklärung. Soweit sich der Beschwerdeführer nicht damit befasst, sondern z.B. das Vorgehen der Staatsanwaltschaft inhaltlich kritisiert oder das Verfahren betreffend aufsichtsrechtliche Anzeige thematisiert, ist er mit seinen Ausführungen nicht zu hören.
3.
Das Appellationsgericht führt aus, eine Berufungserklärung sei nicht eingereicht worden. Der Beschwerdeführer habe sich zwar mit Eingabe vom 21. Dezember 2016 an das Appellationsgericht gewandt und in der Betreffzeile seiner Eingabe auf das Strafurteil vom 13. Oktober 2016 Bezug genommen. Die Eingabe enthalte jedoch keine Berufungserklärung. Der Beschwerdeführer habe sich auch sinngemäss nicht dazu geäussert, ob er das Urteil ganz oder in Teilen anfechten wolle, sondern nur ausgeführt, er habe seine "Beschwerde" gegen das Strafurteil bereits mit Eingaben an das Strafgericht und den Regierungsrat angezeigt. Weiter mache er geltend, das schriftlich begründete Strafurteil vom 13. Oktober 2016 "nicht verlangt" zu haben. Auch seine weiteren Eingaben vom 26. Februar, 3. und 24. März 2017 enthielten keine Berufungserklärung. Daraus gehe auch nicht hervor, weshalb er die Berufung nicht erklärt habe. Es sei deshalb davon auszugehen, dass der Ablauf der Frist selbstverschuldet sei, mithin kein Grund für eine Wiederherstellung der Frist vorliege. Auf die Berufung sei mangels Berufungserklärung nicht einzutreten. Das erstinstanzliche Urteil sei folglich in Rechtskraft erwachsen.
Was an dieser Begründung gegen das Recht im Sinne von <ref-law> verstossen könnte, geht aus der Beschwerde nicht hervor. Der Beschwerdeführer bringt vor Bundesgericht wie bereits vor Vorinstanz sachbezogen im Wesentlichen einzig vor, eine weitere "Beweiserklärung" sei nicht nötig, da er diese ordnungsgemäss bereits am 15. Oktober 2016 angezeigt habe. Damit dringt er indessen nicht durch. Er verkennt, dass die StPO für die Einlegung der Berufung ein zweistufiges Vorgehen vorsieht. Die zur Berufung legitimierte und mit dem erstinstanzlichen Urteil nicht einverstandene Partei muss ihren Willen grundsätzlich zweimal kundtun, das Urteil anzufechten, nämlich einmal im Rahmen der Anmeldung der Berufung bei der ersten Instanz nach der Eröffnung des Dispositivs und ein zweites Mal nach Eingang des begründeten Urteils durch eine schriftliche Berufungserklärung beim Berufungsgericht (<ref-law>). Weshalb dies bei ihm nicht so sein sollte, zeigt der Beschwerdeführer nicht auf und ist gestützt auf seine Vorbringen auch nicht ersichtlich. Trotz ausdrücklicher Belehrung zum diesbezüglichen Vorgehen hat es der Beschwerdeführer unterlassen, eine Berufungserklärung einzureichen. Dass er unverschuldet nicht in der Lage gewesen sein soll, eine solche innert Frist einzureichen, macht er nicht geltend. Das Appellationsgericht hat folglich zutreffend einen Grund für eine allfällige Fristwiederherstellung verneint. Inwiefern die Erwägungen im angefochtenen Beschluss zum Nichteintreten verfassungs- oder rechtswidrig sein könnten, ergibt sich aus der Beschwerde nicht und ist auch nicht ersichtlich. Es kann auf die zutreffenden Ausführungen im angefochtenen Urteil verwiesen werden.
Die Beschwerde ist im Verfahren nach <ref-law> abzuweisen, soweit darauf überhaupt eingetreten werden kann.
4.
Das Gesuch um amtliche Verteidigung wird als Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege im Sinne von <ref-law> entgegengenommen. Das Gesuch ist abzuweisen, da die Beschwerde von vornherein aussichtslos war. Das Bundesgericht hat die Bedürftigkeit des Beschwerdeführers mit Verfügungen vom 24. August 2017 verneint (Verfahren 6B_844/2017 und 6B_752/2017). Darauf kann auch für das vorliegende Verfahren verwiesen werden, zumal sich aus den eingereichten Unterlagen nicht ergibt, inwiefern sich seine finanzielle Lage in der Zwischenzeit (massgeblich) verändert haben und er bedürftig sein soll (vgl. act. 8, 9 und 10). In Berücksichtigung des relativ geringen Aufwands ist eine reduzierte Entscheidgebühr angemessen.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.
Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege wird abgewiesen.
3.
Die Gerichtskosten von Fr. 1'500.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt, Dreiergericht, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 16. November 2017
Im Namen der Strafrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Denys
Die Gerichtsschreiberin: Arquint Hill