Faits :
A.
A.a. Par décision du 17 juin 2009, l'Office de l'assurance-invalidité du canton de Fribourg (ci-après: l'office AI) a mis A._ (né en 1961) au bénéfice d'une rente entière de l'assurance-invalidité à partir du 1er avril 2009. Se fondant sur l'expertise du docteur B._, spécialiste en psychiatrie et psychothérapie, du 19 janvier 2009, il a considéré en bref que l'assuré, atteint d'un trouble dépressif récurrent, épisode actuel sévère, présentait une incapacité totale de travail, que ce soit dans l'activité d'ouvrier-plâtrier exercée jusqu'en mars 2008 ou dans toute autre activité. Le droit à la rente a été maintenu à l'issue d'une révision (communication du 11 février 2013).
Le 11 janvier 2011, l'office AI a par ailleurs octroyé à A._ une allocation pour impotent de degré moyen dès le 1er juin 2010, parce qu'il nécessitait l'aide d'un tiers pour accomplir certains actes quotidiens et l'accompagner pour faire face aux nécessités de la vie.
A.b. Initiant une procédure de révision concernant l'allocation pour impotent en janvier 2013, l'office AI a fait procéder à une enquête au domicile de l'assuré, le 21 mars suivant (rapport du 21 mars 2013). Par projet du 17 juillet 2013, il a informé A._ qu'il envisageait de réduire l'allocation pour impotent de degré moyen à degré faible, projet que le prénommé a contesté. Par la suite, l'office AI a été informé que l'assuré avait été impliqué dans un accident de la circulation, alors qu'il conduisait un scooter. L'office AI a mis en oeuvre une mesure de surveillance, qui a été effectuée par un détective privé du 6 au 16 janvier 2014. Le rapport y relatif a été rendu le 28 janvier 2014 et soumis au Service médical régional de l'asurance-invalidité Berne-Fribourg-Soleure, qui s'est prononcé le 30 janvier 2014. Se fondant sur les conclusions de celui-ci, selon lesquelles le besoin d'accompagnement n'était pas justifié, l'office AI a, le 26 février 2014, suspendu avec effet immédiat le versement de l'allocation pour impotent.
L'administration a par ailleurs soumis A._ à une expertise auprès du docteur C._, spécialiste en psychiatrie et psychothérapie. Dans son rapport du 23 octobre 2014, le médecin a fait état d'un épisode dépressif majeur récurrent, de gravité tout au plus légère, et d'une personnalité fruste à traits impulsifs; il a conclu à une capacité de travail entière dans toute activité depuis au plus tard le 3 août 2013. Fort de ces conclusions, l'office AI a suspendu le versement de la rente avec effet immédiat, par décision du 6 novembre 2014. Par deux décisions du 17 décembre suivant, il a supprimé le droit à la rente entière d'invalidité et le droit à l'allocation pour impotent, chaque fois avec effet au jour de la suspension du versement des prestations respectives. La seconde décision n'a pas fait l'objet d'un recours et est entrée en force.
B.
Saisi de recours formés par l'assuré contre les décisions relatives à la suspension du versement de la rente et à la suppression de celle-ci, le Tribunal cantonal du canton de Fribourg, Cour des assurances sociales, a d'abord classé la procédure relative à la décision du 6 novembre 2014, parce qu'elle était devenue sans objet (décision du 23 avril 2015). Il a ensuite, par jugement du 31 octobre 2016, rejeté le recours concernant la décision du 17 décembre 2014.
C.
Agissant par la voie du recours en matière de droit public, A._ demande au Tribunal fédéral d'annuler le jugement cantonal et de renvoyer la cause à l'office AI pour complément d'instruction et nouvelle décision.
L'office AI conclut au rejet du recours, tandis que l'Office fédéral des assurances sociales a renoncé à se déterminer.
D.
Par courrier du 24 juillet 2017, A._ a été informé par la Juge instructrice que l'office AI a été requis de produire le rapport de surveillance du 26 janvier 2014, qui ne figurait pas au dossier transmis au Tribunal fédéral par le Tribunal cantonal fribourgeois.

Considérant en droit :
1.
Le recours en matière de droit public peut être formé pour violation du droit, tel qu'il est délimité par les art. 95 et 96 LTF. Le Tribunal fédéral applique le droit d'office (<ref-law>). Il n'est donc limité ni par les arguments soulevés dans le recours ni par la motivation retenue par l'autorité précédente; il peut admettre un recours pour un autre motif que ceux qui ont été invoqués et il peut rejeter un recours en adoptant une argumentation différente de celle de l'autorité précédente (<ref-ruling> consid. 1.2 p. 120 et la référence).
Le Tribunal fédéral fonde par ailleurs son raisonnement sur les faits retenus par la juridiction de première instance (<ref-law>) sauf s'ils ont été établis de façon manifestement inexacte ou en violation du droit au sens de l'<ref-law> (<ref-law>). La partie recourante qui entend s'écarter des faits constatés doit expliquer de manière circonstanciée en quoi les conditions de l'<ref-law> sont réalisées sinon un état de fait divergent ne peut être pris en considération.
2.
Le litige porte sur la suppression, par la voie de la révision, du droit à la rente entière d'invalidité allouée au recourant depuis le 1er avril 2009. Le jugement entrepris expose de manière complète les règles légales et les principes jurisprudentiels sur la notion d'invalidité et son évaluation, ainsi que sur les conditions auxquels le droit à une rente d'invalidité peut être révisé. Il suffit d'y renvoyer.
3.
3.1. Dans un motif qu'il convient d'examiner en premier lieu, le recourant se plaint d'une violation de son droit à la vie privée garanti par l'art. 8 CEDH, en se prévalant de l'arrêt 61838/10 de la Cour européenne des droits de l'homme (CourEDH) Vukota-Bojic contre Suisse du 18 octobre 2016 (définitif le 18 janvier 2017). Selon lui, tant le rapport de surveillance du 28 janvier 2014 que l'expertise du docteur C._ qui s'y réfère constituent des preuves illicites, de sorte que les faits que l'office AI et la juridiction cantonale en ont déduits ont été constatés en violation du droit au sens de l'<ref-law>. Aussi, le rapport de surveillance doit-il être retiré du dossier et la cause renvoyée à l'intimé pour qu'il mette en oeuvre une nouvelle expertise médicale.
3.2.
3.2.1. Dans l'arrêt invoqué par le recourant, la CourEDH a jugé de la conformité à la CEDH de la surveillance effectuée par un détective mandaté par un assureur-accidents (social). Elle a considéré que les art. 28 et 42 LPGA, ainsi que l'<ref-law>, ne constituent pas une base légale suffisante pour l'observation, nonobstant la protection de la personnalité et du domaine privé conférée par les <ref-law> et 179quater CP, de sorte qu'elle a conclu à une violation de l'art. 8 CEDH (droit au respect de la vie privée; § 72 ss de l'arrêt Vukota-Bojic). En revanche, la CourEDH a nié que l'utilisation des résultats de la surveillance par l'assureur-accidents violât l'art. 6 CEDH (droit à un procès équitable). Elle a considéré comme déterminant que ces résultats n'avaient pas été seuls décisifs pour évaluer le droit à la prestation dans le cadre de la procédure du droit des assurances sociales en question et que la personne assurée avait eu la possibilité de les contester, notamment sous l'angle de leur authenticité et de leur utilisation (dans une procédure litigieuse). La qualité probatoire du moyen en cause, soit le point de savoir s'il est propre à servir de preuve, sa force probatoire, ainsi que les circonstances dans lesquelles la preuve a été récoltée et l'influence de celle-ci sur l'issue de la procédure ont également été considérées comme importantes (§ 91 ss de l'arrêt Vukota-Bojic).
3.2.2. De son côté, à la lumière des considérations de l'arrêt Vukota-Bojic, le Tribunal fédéral a jugé désormais que l'<ref-law>, selon lequel "les offices AI peuvent faire appel à des spécialistes pour lutter contre la perception indue de prestations", ne constitue pas une base légale suffisante qui réglerait de manière étendue, claire et détaillée la surveillance secrète également dans le domaine de l'assurance-invalidité. En conséquence, une telle mesure de surveillance, qu'elle soit mise en oeuvre par l'assureur-accidents ou l'office AI, porte atteinte à l'art. 8 CEDH, respectivement à l'art. 13 Cst. qui a une portée pour l'essentiel identique. Dans cette mesure, la jurisprudence publiée in <ref-ruling> ne peut être maintenue (arrêt 9C_806/2016 du 14 juillet 2017 consid. 4, destiné à la publication).
Il convient dès lors de constater que la surveillance menée du 6 au 16 janvier 2014 est en l'espèce contraire au droit, parce qu'elle a été effectuée en violation des droits garantis par les art. 8 CEDH et 13 Cst.
3.3. Il reste à examiner si les résultats de l'observation contraire au droit - rapport du 28 janvier 2014 et vidéo - peuvent être exploités dans la présente procédure.
3.3.1. L'examen du sort de la preuve illicite doit être effectué au regard uniquement du droit suisse, la CourEDH vérifiant seulement si une procédure dans son ensemble peut être considérée comme équitable au sens de l'art. 6 CEDH (consid. 3.2.1 supra). A cet égard, dans le récent arrêt 9C_806/2016 cité, le Tribunal fédéral a retenu pour l'essentiel qu'il est en principe admissible d'exploiter les résultats de la surveillance (et, de ce fait, d'autres preuves fondées sur ceux-ci), à moins qu'il ne résulte de la pesée des intérêts en présence que les intérêts privés prévalent sur les intérêts publics. Il a par ailleurs considéré qu'il y a bien lieu, en droit des assurances sociales, de partir du principe d'une interdiction absolue d'exploiter le moyen de preuve, dans la mesure où il s'agit d'une preuve obtenue dans un lieu ne constituant pas un espace public librement visible sans difficulté, situation dont le Tribunal fédéral n'avait toutefois pas à juger (consid. 5.1.3 de l'arrêt 9C_806/2016 cité, avec référence à l'arrêt 8C_830/2011 du 9 mars 2012 consid. 6.4).
3.3.2. Lors de sa décision de faire dépendre le caractère exploitable des résultats de la surveillance obtenus de manière illicite d'une pesée des intérêts entre les intérêts privés et publics, le Tribunal fédéral a considéré comme déterminant qu'il devrait rapidement être remédié à l'absence d'une base légale suffisante sous tous les aspects (consid. 5.1.1 de l'arrêt 9C_806/2016 cité avec référence au Rapport explicatif de l'OFAS, du 22 février 2017, relatif à l'ouverture de la procédure de consultation concernant la révision de la LPGA, ch. 1.2.1.3, p. 5 s.). Du point de vue juridique, il s'est par ailleurs référé à l'art. 152 al. 2 du Code de procédure civile entré en vigueur au 1er janvier 2011 (sur cette disposition, cf. <ref-ruling> consid. 3.1 p. 8 s. et les références), avec lequel un domaine supplémentaire du droit de la procédure a été actualisé en plus du droit de la procédure pénale.
3.3.3. C'est à la lumière des considérations qui précèdent qu'il convient d'examiner le caractère exploitable du rapport d'observation du 28 janvier 2014.
En l'espèce, la surveillance a été mise en oeuvre après que l'office AI a eu connaissance de l'accident de circulation subi par le recourant, le 3 août 2013, alors qu'il circulait en scooter. Jusque là, l'intimé avait considéré que l'assuré était incapable de se déplacer sans aide - ce qui justifiait l'octroi d'une allocation pour impotent -, de sorte que des doutes ont été conçus à ce sujet. L'observation a eu lieu pendant cinq jours en l'espace de onze jours et a duré chaque fois près de neuf heures. Elle a porté sur le comportement et les actes quotidiens de l'assuré à l'extérieur de chez lui: sortie de l'immeuble, conduite d'une voiture, entrée et sortie d'un magasin, accueil d'une connaissance.
On constate que le recourant n'a pas été soumis à une surveillance systématique et durant une période étendue. De plus, le comportement décrit et (en partie) enregistré relève d'actes somme toute (très) quotidiens. L'atteinte à la vie privée subie par le recourant ne saurait dès lors être qualifiée de grave. L'intérêt privé au respect de la vie privée doit être opposé à l'intérêt public de l'assureur social et de la collectivité des assurés à empêcher la perception illicite de prestations. Or l'intérêt public apparaît prépondérant compte tenu des circonstances concrètes. Les résultats de la surveillance obtenus sans base légale suffisante peuvent dès lors être exploités dans le cadre de l'appréciation des preuves, le noyau intangible de l'art. 13 Cst. n'ayant pas été touché par la mesure en cause et l'atteinte légère qu'elle a entraînée. Il en va de même de l'expertise du 23 octobre 2014, dans laquelle, en plus de procéder à ses propres constatations, le docteur C._ se réfère à plusieurs reprises aux résultats de la surveillance. Ces pièces n'ont pas à être écartées du dossier du recourant.
3.3.4. Pour le surplus, en l'absence de grief tiré d'une violation de l'art. 29 al. 1 Cst. ou 6 CEDH (<ref-law>), il n'y a pas lieu d'examiner si la prise en considération des résultats de l'observation en cause, qui ont été obtenus en violation de l'art. 8 CEDH, fait apparaître l'ensemble de la procédure comme inéquitable (à ce sujet, consid. 5.2.1 de l'arrêt 9C_806/2016 cité). Dans ce contexte, on ajoutera que le Tribunal fédéral a depuis toujours considéré, à la lumière de l'exigence relative au caractère équitable de la procédure, qu'un moyen de preuve est exploitable seulement pour autant que les actes qu'il montre ont été effectués par l'assuré de sa propre initiative et sans influence extérieure, et qu'aucun piège ne lui ait été tendu (cf. consid. 5.1.1 de l'arrêt 9C_806/2016 cité).
4.
4.1. En ce qui concerne l'appréciation des preuves de la juridiction cantonale, le recourant lui reproche uniquement de s'être fondée sur l'expertise du docteur C._ pour confirmer la suppression de la rente prononcée par l'intimé, alors que l'expert psychiatre n'aurait pas mis en évidence une amélioration de l'état de santé, mais se serait livré à une simple appréciation différente d'un état de santé demeuré inchangé.
4.2. A l'inverse de ce que prétend le recourant en se limitant dans une large mesure à donner sa propre appréciation de l'expertise du 23 octobre 2014 - ce qui relève d'un grief appellatoire qui n'a pas à être pris en considération (consid. 1 supra) -, la constatation de la juridiction cantonale relative à l'amélioration de l'état de santé depuis la décision initiale du 17 juin 2009 ne saurait être qualifiée de manifestement inexacte. L'évaluation du docteur C._ met en effet en évidence une amélioration de l'état de santé de l'assuré sur le plan psychique, l'expert faisant expressément état d'une évolution largement favorable de celle-ci. Contrairement à ce qu'affirme le recourant, l'utilisation du verbe "sembler" ("l'évolution semble avoir été largement favorable par le cours naturel des choses et la prise en charge médicale psychiatrique") n'implique pas l'absence de conviction du médecin à cet égard, cette évolution positive étant réaffirmée à l'issue des constatations médicales (p. 28 de l'expertise). En outre, si l'expert conclut à l'existence, au premier plan, d'éléments sortant du champ médical, il situe ceux-ci à l'époque de son examen ("à l'heure actuelle"), et non au moment de la première décision de l'intimé, comme le prétend à tort le recourant. En conséquence, le grief est mal fondé et la constatation de la juridiction cantonale quant à l'existence d'une modification notable au sens de l'<ref-law> lie le Tribunal fédéral.
5.
Ensuite de ce qui précède, le recours doit être rejeté.

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce :
1.
Le recours est rejeté.
2.
Les frais judiciaires, arrêtés à 800 fr., sont mis à la charge du recourant.
3.
Le présent arrêt est communiqué aux parties, au Tribunal cantonal du canton de Fribourg, Cour des assurances sociales, et à l'Office fédéral des assurances sociales.
Lucerne, le 15 septembre 2017
Au nom de la IIe Cour de droit social
du Tribunal fédéral suisse
La Présidente : Pfiffner
Le Greffier : Berthoud