Erwägungen:
1.
1.1. Die Eheleute A.A._ und B.A._ geb. C._ haben steuerrechtlichen Wohnsitz in U._/SZ. In den Jahren 2001 bis 2003 unterhielten sie mit der seinerzeitigen D._ AG (heute in Liq.), V._/SZ, einen Devisenverwaltungsauftrag und ein Devisenkonto. Die Erträge und das Kapital legten sie in den drei Steuererklärungen nicht offen. Mit Nachsteuer- und Steuerstrafverfügung vom 25. Oktober 2013 auferlegte die Steuerverwaltung des Kantons Schwyz (KSTV/SZ) den Eheleuten daher Nachsteuern von rund Fr. 157'000.-- (Staats- und Gemeindesteuern des Kantons Schwyz) bzw. rund Fr. 127'000.-- (direkte Bundessteuer). Darüberhinaus sprach die KSTV/SZ den Ehemann schuldig der vollendeten Steuerhinterziehung und auferlegte ihm Hinterziehungsbussen von rund Fr. 116'000.-- bzw. rund Fr. 94'000.--. Die Steuerkommission/Verwaltung für die direkte Bundessteuer des Kantons Schwyz (StK/VdBSt/SZ) bestätigte dies auf Einsprache hin mit Entscheid vom 17. November 2014. Das Verwaltungsgericht des Kantons Schwyz trat auf die dagegen gerichtete Beschwerde nicht ein, nachdem der Steuerpflichtige den Kostenvorschuss nicht vollumfänglich geleistet hatte (Entscheid II 2014 125 vom 5. Februar 2015). Das Bundesgericht trat mangels hinreichender Begründung auf die Beschwerde ebenfalls nicht ein (Urteil 2C_225/2015 vom 13. März 2015).
1.2. Mit Eingabe vom 21. Oktober 2015 ersuchte der Steuerpflichtige die KSTV/SZ um Berichtigung der Verfügung vom 25. Oktober 2013. Das Verwaltungsgericht des Kantons Schwyz wies die Beschwerde des Steuerpflichtigen kantonal letztinstanzlich im Sinne der Erwägungen ab, soweit es darauf eintrat (Entscheid II 2016 46 vom 21. September 2016). Der Entscheid ist rechtskräftig.
1.3.
1.3.1. Alsdann ersuchten die Steuerpflichtigen mit Eingabe vom 2. September 2016 die KSTV/SZ um Revision der Verfügung vom 25. Oktober 2013. Dabei trugen sie hauptsächlich vor, die Steuerrekurskommission I des Kantons Zürich (StRK/ZH) habe einen einschlägigen rechtskräftigen Entscheid gefällt (Entscheid 1 ST.2002.298 vom 21. Januar 2003, in: StE 2003 B 24.1 Nr. 2), der in den Verfahrensakten zum Nachsteuer- und Steuerstrafverfahren nicht abgelegt und entsprechend auch nicht beachtet worden sei. Der Entscheid wäre aber, so die Steuerpflichtigen, zu berücksichtigen gewesen, da ihm zufolge bei vergleichbaren Sachumständen von einem steuerfreien privaten Kapitalgewinn anstelle eines steuerbaren Vermögensertrags auszugehen sei. Die in der Sache zuständige StK/VdBSt/SZ trat auf das Gesuch mit Entscheid vom 12. Januar 2017 nicht ein. Sie erwog, es wäre den Steuerpflichtigen möglich und aufgetragen gewesen, ihren Rechtsstandpunkt im Nachsteuer- und Steuerstrafverfahren vorzutragen. Im Übrigen hätten sie bereits in ihrer Einsprache vom 20. November 2013, die gegen die Verfügung vom 25. Oktober 2013 gerichtet war, auf den Entscheid hingewiesen. Aus dem Entscheid der StRK/ZH lasse sich ohnehin nichts ableiten, da im Einspracheentscheid vom 17. November 2014 auf die Erkenntnisse der Strafuntersuchung habe abgestellt werden können.
1.3.2. Gegen den Nichteintretensentscheid der StK/VdBSt/SZ vom 12. Januar 2017 erhoben die Steuerpflichtigen Beschwerde an das Verwaltungsgericht des Kantons Schwyz, welches diese abwies (Entscheid II 2017 19 vom 26. Juni 2017). Das Verwaltungsgericht erwog, die Steuerpflichtigen brächten nun zwar vor, erst am 20. Juni 2016 Kenntnis vom Entscheid der StRK/ZH vom 21. Januar 2003 erhalten zu haben, dies sei aber aktenwidrig, da sie sich bereits in der Beschwerde vom 4. April 2016 an das Verwaltungsgericht darauf bezogen hätten. Die gesetzliche Frist, welchem ein Revisionsgesuch unterliege, sei ungenutzt verstrichen. Unzutreffend sei auch die Ansicht der Steuerpflichtigen, wonach in der Nichtbeachtung des Entscheids der StRK/ZH eine grobe Verletzung wesentlicher Verfahrensgrundsätze liege. Eine angeblich unzutreffende Rechtsanwendung könne im Rahmen der Revision nicht gerügt werden. Selbst wenn auf das Revisionsgesuch eingetreten werden könnte, müsste es abgewiesen werden.
1.3.3. Die Steuerpflichtigen erheben mit Eingabe vom 21. August 2017 beim Bundesgericht Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten. Sie beantragen, der Entscheid II 2017 19 sei aufzuheben und es sei festzustellen, dass ein Revisionsgrund vorliege. Sie erklären, es treffe zwar zu, dass sie sich in ihrer Beschwerde vom 4. April 2016 an das Verwaltungsgericht (die zum Entscheid II 2016 46 vom 21. September 2016 führte) auf den Entscheid der StRK/ZH bezogen hätten. Sie seien damals aber davon ausgegangen, dass dieser aktenkundig und mitberücksichtigt worden sei. Auf die Anfrage vom 19. Juni 2016 habe das Verwaltungsgericht dann aber am 20. Juni 2016 mitgeteilt, eine summarische Prüfung der Akten habe ergeben, dass der Entscheid im Dossier nicht abgelegt sei. Dadurch sei die gesetzliche Frist erst in Gang gesetzt worden.
1.3.4. Der Abteilungspräsident als Instruktionsrichter hat von Instruktionsmassnahmen abgesehen (<ref-law> [SR 173.110]).
I. Prozessuales
2.
2.1. Die Vorinstanz hat zu den Steuerperioden 2001 bis 2003 betreffend die Staats- und Gemeindesteuern des Kantons Schwyz einerseits und die direkte Bundessteuer anderseits ein einziges Urteil gefällt, was zulässig ist, soweit die zu entscheidende Rechtsfrage im Bundesrecht und im harmonisierten kantonalen Recht gleich geregelt ist. Dies trifft hier zu. Ebenso zulässig haben die Steuerpflichtigen den vorinstanzlichen Entscheid in einer einzigen Beschwerde angefochten, wobei sie hinreichend zwischen den beiden Steuerarten unterscheiden (zum Ganzen <ref-ruling> E. 1.2 S. 296).
2.2. Die Sachurteilsvoraussetzungen der Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten liegen vor (Art. 82 lit. a, Art. 83 e contrario, Art. 86 Abs. 1 lit. d und Abs. 2, Art. 89 Abs. 1, Art. 90, Art. 100 Abs. 1 BGG in Verbindung mit <ref-law> [SR 642.11] und Art. 73 Abs. 2 StHG [SR 642.14]). Auf die Beschwerde ist einzutreten.
2.3. Das Bundesgericht prüft das Bundesrecht von Amtes wegen (<ref-law>; <ref-ruling> E. 4.4.5 S. 157) und mit uneingeschränkter (voller) Kognition (<ref-law>; <ref-ruling> E. 2 S. 236). Das Bundesgericht kann daher motivsubstituierend entscheiden (<ref-ruling> E. 1.3 S. 296 f.).
2.4. Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (<ref-law>; <ref-ruling> E. 4.4.3 S.156).
2.5. Vor Bundesgericht kann der Streitgegenstand gegenüber dem vorinstanzlichen Verfahren weder geändert noch erweitert werden (<ref-law>; <ref-ruling> E. 3.4.2 S. 365). Ficht die beschwerdeführende Partei einen Nichteintretensentscheid oder einen Rechtsmittelentscheid an, der einen solchen bestätigt, haben ihre Rechtsbegehren und deren Begründung sich zwingend auf die vorinstanzlichen Erwägungen zu beziehen, die zum Nichteintreten bzw. zur Bestätigung des Nichteintretens geführt haben (<ref-law>; Urteil 2C_549/2017 vom 20. Juni 2017 E. 2.1).
II. Direkte Bundessteuer
3.
3.1. Gemäss <ref-law> kann die rechtskräftige Veranlagungsverfügung auf Antrag oder von Amtes wegen zugunsten der steuerpflichtigen Person revidiert werden, wenn die Behörde erhebliche Tatsachen oder entscheidende Beweismittel, die ihr bekannt waren oder bekannt sein mussten, ausser Acht gelassen oder in anderer Weise wesentliche Verfahrensgrundsätze verletzt hat. Das besonders streng ausgebildete abgaberechtliche Legalitätsprinzip (<ref-law>; <ref-ruling> E. 2.2.1 S. 186) lässt weder aussergesetzliche noch übergesetzliche Revisionsgründe zu (Urteil 2C_487/2017 vom 19. Juni 2017 E. 3.1). Es herrscht ein numerus clausus von Rechtsgründen, die es erlauben, auf rechtskräftige abgaberechtliche Verfügungen zurückzukommen (<ref-ruling> E. 3.1 S. 437).
3.2.
3.2.1. Die Vorinstanz hatte nach dem Gesagten einzig zu prüfen, ob die gesetzlichen Anforderungen an ein Revisionsgesuch im Sinne von <ref-law> gegeben waren, sodass die VdBSt/SZ auf das Gesuch einzutreten gehabt hätte. Die Vorinstanz verwirft dies hauptsächlich mit Blick auf die versäumte Frist (<ref-law>) und das Fehlen einer groben Verletzung wesentlicher Verfahrensgrundsätze im Sinne von Art. 147 Abs. 1 lit. b letzter Teilsatz DBG (vorne E. 1.3.2). Die VdBSt/SZ hatte ihrerseits im Wesentlichen erwogen, dass es den Steuerpflichtigen möglich und aufgetragen gewesen wäre, ihren Rechtsstandpunkt gemäss <ref-law> im Nachsteuer- und Steuerstrafverfahren vorzubringen (vorne E. 1.3.1). Die Steuerpflichtigen halten die Frist für erfüllt und erblicken im Entscheid der StRK/ZH eine rechtserhebliche Tatsache, die ausser Acht gelassen worden sei bzw. deren Nichtbeachtung einen wesentlichen Verfahrensgrundsatz verletze.
3.2.2. Tatsachen sind Elemente, die im konkreten Fall den rechtserheblichen Sachverhalt bilden, während Beweismittel dazu dienen, den Bestand oder Nichtbestand einer Tatsache nachzuweisen (dazu HUGO CASANOVA/CLAUDE-EMMANUEL DUBEY, in: Yves Noël/Florence Aubry Girardin [Hrsg.], Commentaire romand zum DBG, 2. Aufl. 2017, N. 5 und 7 zu <ref-law>). Als Tatsachen gelten nicht nur tatsächliche Feststellungen einer Vorinstanz, sondern alle in den Akten liegenden Dokumente (Gutachten, Verträge, Korrespondenzen etc.; KARIN SCHERRER REBER, in: Bernhard Waldmann/Philipp Weissenberger [Hrsg.], Praxiskommentar VwVG, 2. Aufl. 2016, N. 34 zu <ref-law>). Werden Tatsachen, die aktenkundig sind, übersehen, so kann dies einen Revisionsgrund bilden. Soll dagegen gerügt werden, eine Tatsache befinde sich zu Unrecht nicht in den Akten und wäre zu berücksichtigen gewesen, ist dies eine beweisrechtliche Fragestellung und daher mit den ordentlichen Rechtsmitteln vorzubringen. Diese Weichenstellung findet in <ref-law> ausdrücklichen Niederschlag: Was bei zumutbarer Sorgfalt schon im ordentlichen Verfahren hätte geltend gemacht werden können, kann nicht zum Gegenstand der Revision gemacht werden. Entsprechend kann die Revision nicht dazu dienen, etwaige Versäumnisse im kantonalen Verfahren oder in der Begründung der Beschwerde an das Bundesgericht nachträglich zu beheben oder angebliche Rechtsfehler zu korrigieren (Urteil 6F_34/2016 vom 23. Februar 2017 E. 2.4 mit Hinweisen).
3.2.3. Ein Verwaltungs- oder Gerichtsentscheid, der ein anderes Verfahren betrifft und daher von vornherein in keinem eigentlichen Zusammenhang zum revisionsbetroffenen Urteil steht, fällt nicht unter die Tatsachen im Sinne von <ref-law>. Ein solcher Entscheid bildet - von Ausnahmen abgesehen - kein Element, aus welchem der Sachverhalt des konkreten Verfahrens zusammengesetzt ist. Er kann aber insofern Relevanz entfalten, als er bei mutmasslich gleichen tatsächlichen Voraussetzungen zu einem anderen Ergebnis führt. Dies kann zu berücksichtigen sein, soweit es sich um ein durch Verfügung oder Entscheid geregeltes Dauerverhältnis handelt und die Voraussetzungen für die Anpassung der bisherigen individuell-konkreten Rechtslage vorliegen (<ref-ruling> E. 5.2 S. 222 und 5.4 S. 224; Urteil 2C_349/2012 vom 18. März 2013 E. 4.2.2). Abgesehen davon, setzt ein (jüngerer) Entscheid aber keinen Revisionsgrund (MARTIN E. LOOSER, in: Martin Zweifel/Michael Beusch [Hrsg.], Komm. DBG, 3. Aufl. 2017, N. 9 zu <ref-law>). Umso mehr muss dies gelten, wenn der streitbetroffene Entscheid zu einem Zeitpunkt ergeht, in welchem der angeblich massgebende andere Entscheid bereits vorliegt. Dann ist es Sache der steuerpflichtigen Person, dies im laufenden Verfahren vorzutragen.
3.3.
3.3.1. Die VdBSt/SZ ist auf das Revisionsgesuch hauptsächlich aus Gründen der fehlenden Fristwahrung nicht eingetreten, was die Vorinstanz bestätigt hat. Dieser Aspekt muss hier nicht weiter vertieft werden. Vor dem Hintergrund des zu <ref-law> Gesagten zeigt sich, dass der Entscheid der StRK/ZH von vornherein nicht geeignet war, als rechtserhebliche Tatsache oder entscheidendes Beweismittel qualifizieren zu können. Es handelte sich dabei um einen Entscheid einer anderen Gerichtsbehörde in einem anderen Verfahren, der aber mangels Anfechtung in Rechtskraft erwachsen ist. Seine Strahlkraft auf das vorliegende Verfahren musste von vornherein beschränkt sein, zumal die Steuerpflichtigen ihren konkreten Fall verwaltungs- und bundesgerichtlich hätten beurteilen lassen können.
3.3.2. Die Steuerpflichtigen haben es unterlassen, die Voraussetzungen für eine verwaltungsgerichtliche Prüfung zu schaffen, indem sie ihrer Kostenvorschusspflicht nur teilweise nachgekommen sind. Darauf müssen sie sich behaften lassen. Eine revisionsweise Neubeurteilung ist schon aus diesem Grund ausgeschlossen (<ref-law>). Im Ergebnis zeigt sich, dass die VdBSt/SZ, wäre sie auf das Revisionsgesuch überhaupt eingetreten, zu einem abweisenden Entscheid hätte gelangen müssen. Vor diesem Hintergrund hat die Vorinstanz die Beschwerde der Steuerpflichtigen bundesrechtskonform abgewiesen. Entsprechend erweist sich die vorliegende Beschwerde als unbegründet, weshalb sie abzuweisen ist.
III. Staats- und Gemeindesteuer des Kantons Schwyz
4.
Art. 51 StHG entspricht in allen Teilen <ref-law>. In der Folge hat der kantonale Gesetzgeber die harmonisierungsrechtlichen Vorgaben vorbehaltlos in § 169 ff. des Steuergesetzes (des Kantons Schwyz) vom 9. Februar 2000 (StG/SZ; SRSZ 172.200) überführt. Es kann damit auf das zur direkten Bundessteuer Gesagte verwiesen werden. Die Beschwerde ist auch unter diesem Gesichtspunkt unbegründet und abzuweisen.
IV. Kosten und Entschädigung
5.
Nach dem Unterliegerprinzip (<ref-law>) sind die Kosten des bundesgerichtlichen Verfahrens den Steuerpflichtigen aufzuerlegen. Diese tragen ihren Anteil zu gleichen Teilen und unter solidarischer Haftbarkeit (<ref-law>). Dem Kanton Schwyz, der in seinem amtlichen Wirkungskreis obsiegt, steht keine Entschädigung zu (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde betreffend die direkte Bundessteuer, Steuerperioden 2001 bis 2003, wird abgewiesen.
2.
Die Beschwerde betreffend die Staats- und Gemeindesteuer des Kantons Schwyz, Steuerperioden 2001 bis 2003, wird abgewiesen.
3.
Die Kosten des bundesgerichtlichen Verfahrens von Fr. 9'000.-- werden den Beschwerdeführern auferlegt. Diese tragen ihren Anteil zu gleichen Teilen und unter solidarischer Haftbarkeit.
4.
Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten, dem Verwaltungsgericht des Kantons Schwyz, Kammer II, und der Eidgenössischen Steuerverwaltung schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 5. Oktober 2017
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Seiler
Der Gerichtsschreiber: Kocher