Sachverhalt:
A.
A.a. A._ (Mieter, Beschwerdeführer) bewohnt seit dem 20. November 2013 eine 3-Zimmer-Wohnung in Basel. Diese wurde ihm vom Kanton Basel-Stadt (Vermieter, Beschwerdegegner) zur Verfügung gestellt. Die Parteien schlossen mehrere befristete Mietverträge über die Wohnung ab: Im ersten Vertrag überliess der Vermieter dem Mieter die Wohnung bis Ende März 2014, im zweiten bis Ende Juni 2014, im dritten bis Ende September 2014 und im vierten bis Ende November 2014. Nach Ablauf dieses Vertrages bot der Vermieter dem Mieter einen weiteren Vertrag bis Ende März 2015 an; der Mieter unterzeichnete die Vereinbarung jedoch nicht. Mit Schreiben vom 13. Januar 2015 wies der Vermieter den Mieter darauf hin, dass das Mietverhältnis Ende November 2014 abgelaufen sei und aktuell kein Vertrag mehr bestehe.
A.b. Mit Gesuch vom 12. Mai 2015 beantragte der Vermieter beim Zivilgericht Basel-Stadt die Ausweisung des Mieters. Am 14. August 2015 fand eine mündliche Verhandlung statt. Mit Entscheid vom gleichen Tag wies das Zivilgericht Basel-Stadt den Mieter an, die Mietwohnung bis spätestens 28. August 2015, 12.00 Uhr, zu verlassen, ansonsten auf Antrag des Vermieters die Räumung vollzogen werde. Auf Gesuch des Mieters wurde der Entscheid schriftlich begründet.
A.c. Gegen den Ausweisungsbefehl legte der Mieter ein kantonales Rechtsmittel beim Appellationsgericht Basel-Stadt ein, das dieses als Berufung entgegen nahm.
A.d. Mit Entscheid vom 18. September 2015 wies das Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt die Berufung ab. Es wies das Gesuch um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege wegen Aussichtslosigkeit des Rechtsmittels ab und auferlegte dem Berufungskläger die Kosten.
B.
Mit Beschwerde in Zivilsachen, eventuell subsidiärer Verfassungsbeschwerde, stellt der Mieter folgende Anträge:
"1. Es seien die Entscheide des Appellationsgerichts Basel-Stadt vom 18. September 2015 und desjenigen des Zivilgerichts Basel-Stadt vom 14. August 2015 aufzuheben.
2. Es sei auf das Ausweisungsbegehren der SHB vom 12. Mai 2015 nicht einzutreten. Eventualiter sei dieses abzuweisen.
3. Es sei das Appellationsgericht Basel-Stadt anzuweisen, A._ für das vorinstanzliche Verfahren die unentgeltliche Rechtspflege mit dem Unterzeichner als Rechtsbeistand zu gewähren."
Ausserdem ersucht der Beschwerdeführer um Gewährung der aufschiebenden Wirkung und um unentgeltliche Rechtspflege für das Verfahren vor Bundesgericht. Er rügt eine Verletzung von <ref-law> und macht im Wesentlichen geltend, er habe aufgrund einer öffentlich-rechtlichen Beziehung mit dem Kanton bzw. dessen Sozialamt einen Anspruch auf Nutzung der 3-Zimmer-Wohnung. Ausserdem beruft er sich auf Art. 12 und <ref-law> sowie Art. 8 und Art. 13 EMRK. Schliesslich rügt er eine Verletzung von <ref-law> und erklärt, sämtliche Rügen seien auch im Rahmen einer allfälligen subsidiären Verfassungsbeschwerde zu beurteilen.
Auf die Einholung von Vernehmlassungen zur Beschwerde wurde verzichtet.
C.
Mit Verfügung vom 25. November 2015 wurde der Beschwerde die aufschiebende Wirkung erteilt.
Nachdem der Beschwerdeführer weitere Unterlagen zur Bedürftigkeit eingereicht hat, ist die Sache spruchreif.

Erwägungen:
1.
Der angefochtene Entscheid schliesst das kantonale Verfahren ab (<ref-law>).
1.1. Die Vorinstanz hat als oberes kantonales Gericht im Rechtsmittelverfahren (<ref-law>) die Streitsache als Zivilsache behandelt (<ref-law>); die Beschwerde in Zivilsachen ist daher das richtige Rechtsmittel, auch wenn streitig ist, ob öffentliches Recht hätte angewendet werden müssen. Der Beschwerdeführer ist mit seinen Anträgen unterlegen (<ref-law>) und die Frist (<ref-law>) ist gewahrt.
1.2. Die Vorinstanz hat den Streitwert - bei einem Mietzins während der Mietvertragsdauer von Fr. 1'440.-- monatlich - auf mehr als Fr. 50'000.-- bemessen aufgrund der Begründung des Beschwerdeführers vor Vorinstanz, wonach ein langfristiges Mietverhältnis beabsichtigt gewesen und der Abschluss von Kettenverträgen unzulässig sei. Im vorliegenden Verfahren stellt sich der Beschwerdeführer auf den Standpunkt, er habe aufgrund eines öffentlich-rechtlichen Verhältnisses mit dem Beschwerdegegner das Recht auf Nutzung der 3-Zimmer-Wohnung. Auch wenn die Dauer nicht konkretisiert wird, kann auch für das vorliegende Verfahren davon ausgegangen werden, dass nach Ansicht des Beschwerdeführers die behauptete Nutzungsberechtigung die Dauer von einem Jahr übersteigt, so dass der erforderliche Streitwert von Fr. 15'000.-- (<ref-law>) erreicht ist.
1.3. Auf die Beschwerde in Zivilsachen ist einzutreten, soweit die Begründung den gesetzlichen Anforderungen (<ref-law>, <ref-law>) genügt.
2.
Nach <ref-law> gewährt das Gericht Rechtsschutz im summarischen Verfahren gemäss <ref-law>, wenn: a. der Sachverhalt unbestritten oder sofort beweisbar ist; und b. die Rechtslage klar ist. Mit Blick darauf, dass ein Urteil, mit dem nach <ref-law> Rechtsschutz gewährt wird, der materiellen Rechtskraft fähig ist, wird von der klagenden Partei verlangt, dass sie sofort den vollen Beweis für die anspruchsbegründenden Tatsachen erbringt, so dass klare Verhältnisse herrschen (<ref-ruling> E. 3.2 S. 26; <ref-ruling> E. 5.1.1 S. 622 f.). Eine klare Rechtslage ist gegeben, wenn sich die Rechtsfolge bei der Anwendung des Gesetzes unter Berücksichtigung der Lehre und Rechtsprechung ohne Weiteres ergibt und damit die Rechtsanwendung zu einem eindeutigen Ergebnis führt. Dagegen ist die Rechtslage nicht klar, wenn die Anwendung einer Norm einen Ermessens- oder Billigkeitsentscheid des Gerichts mit wertender Berücksichtigung der gesamten Umstände erfordert (<ref-ruling> E. 3.2 S. 26; <ref-ruling> E. 2.1.2 S. 126 mit Hinweisen).
2.1. Nach den Feststellungen der Vorinstanz steht vorliegend fest, dass der Beschwerdegegner als - ehemaliger - Vermieter die Ausweisung begehrt, weil das (letzte) befristete Mietverhältnis abgelaufen ist. Unter Verweis auf die Erwägungen des Zivilgerichts wird im angefochtenen Urteil festgehalten, aus sämtlichen Mietverträgen und Verlängerungen gehe hervor, dass das Mietobjekt dem Mieter für eine feste Zeitdauer zur Verfügung gestellt worden ist, wobei der massgebliche befristete Mietvertrag eine feste Vertragsdauer bis Ende November 2014 aufweise. Im Mietvertrag werde ausdrücklich festgehalten, dass eine Verlängerung des Mietverhältnisses nicht möglich sei, da die Wohnungsgrösse zur Anzahl der Personen in der Notwohnung nicht angemessen sei. Dennoch bot der Beschwerdegegner nach den Feststellungen der Vorinstanz am 3. Dezember 2014 eine weitere Verlängerung bis Ende März 2015 an. Diese Vereinbarung wurde vom Beschwerdeführer nicht unterzeichnet, was er nicht bestreitet, sondern in seiner Beschwerde bestätigt. In der Beschwerde wird nicht in Frage gestellt, dass der Sachverhalt im Sinne von <ref-law> unbestritten ist.
2.2. Die Vorinstanz hat im angefochtenen Entscheid mit dem Zivilgericht erkannt, dass auch die Rechtslage im Sinne von <ref-law> klar sei. Namentlich den Einwand, das ehemalige Mietverhältnis sei öffentlich-rechtlicher Natur, verwarf die Vorinstanz im Wesentlichen mit der Begründung, die privatrechtlichen Bestimmungen über die Miete gälten grundsätzlich unabhängig davon, ob ein Privater oder der Staat als Vermieter auftrete. Mit Hinweis auf Rechtsprechung (<ref-ruling> E. 2.2 S. 274) und Lehre erwog das Appellationsgericht, dass bei einer Vermietung durch den Staat - jedenfalls, wenn sich das Mietobjekt wie vorliegend im Finanzvermögen befindet - ein privatrechtlicher Mietvertrag im Sinne von <ref-law> besteht und dafür das Bundesrecht ausschliesslich Geltung beansprucht.
2.3. Was der Beschwerdeführer dagegen vorbringt, überzeugt nicht. Der Beschwerdegegner hat dem Beschwerdeführer mit den im Recht liegenden befristeten Mietverträgen eine 3-Zimmer-Wohnung gegen Entgelt zum Gebrauch überlassen und damit privatrechtliche Verträge abgeschlossen. Dass der Beschwerdegegner durch die Sozialhilfe gehandelt hat, von welcher der Beschwerdeführer ausserdem unterstützt wird, ändert daran nichts. Insbesondere ist nicht nachvollziehbar, was der Beschwerdeführer geltend machen will, wenn er behauptet, dass er nach der massgebenden kantonalen Gesetzgebung verpflichtet sei, Weisungen des Beschwerdegegners zu befolgen und mit Sanktionen belegt würde, wenn er die "Zuweisung der streitigen Wohnung verweigern" würde. Er verkennt damit, dass es im vorliegenden Verfahren im Gegenteil gerade um die Ausweisung aus der Wohnung geht, deren weitere Nutzung er - gegen die Position des Beschwerdegegners - beansprucht. Der Beschwerdeführer versucht zu Unrecht etwas daraus abzuleiten, dass dieselbe Behörde mit den Unterstützungsleistungen den Mietzins bezahlt, den sie als Vermieterin kassiert. Es ist notorisch, dass Sozialhilfebehörden den von ihnen unterstützten Personen bei der Wohnungssuche behilflich sind und häufig den Mietzins bezahlen oder mindestens garantieren. Dass die zuständige Behörde die entsprechenden Leistungen verrechnet, wenn sie gleichzeitig Vermieterin ist, macht das Mietverhältnis nicht zu einem öffentlich-rechtlichen.
2.4. Die Vorinstanz hat zutreffend erkannt, dass nicht nur die tatsächliche Situation unbestritten, sondern auch die Rechtslage klar ist. Der Beschwerdeführer hat nach Ablauf des befristeten Mietverhältnisses - dessen weitere befristete Verlängerung er abgelehnt hat - keinen Anspruch auf Nutzung der 3-Zimmer-Wohnung.
3.
Der Beschwerdeführer hält dafür, er könne einen Rechtstitel auf Nutzung der umstrittenen 3-Zimmer-Wohnung aus <ref-law> bzw. Art. 8 und 13 EMRK ableiten. Er rügt zudem eine Verletzung von <ref-law>.
3.1. Das Bundesgericht wendet das Recht grundsätzlich von Amtes wegen an (<ref-law>). Die Verletzung von Grundrechten und von kantonalem und interkantonalem Recht prüft es aber nur insofern, als eine solche Rüge in der Beschwerde vorgebracht und begründet worden ist (<ref-law>). In der Beschwerde ist klar und detailliert anhand der Erwägungen des angefochtenen Entscheids darzulegen, inwiefern verfassungsmässige Rechte verletzt worden sein sollen (<ref-ruling> E. 2.2 S. 232; <ref-ruling> E. 1.2 S. 234; <ref-ruling> E. 3.2 S. 88; <ref-ruling> E. 6 S. 397, 439 E. 3.2 S. 444).
Das Bundesgericht ist zudem an den von der Vorinstanz festgestellten Sachverhalt gebunden. Gemäss <ref-law> kann die Feststellung des Sachverhalts und damit die Beweiswürdigung nur gerügt werden, wenn die Sachverhaltsfeststellung offensichtlich unrichtig - d.h. willkürlich (<ref-law>; <ref-ruling> E. 1.5 S. 130 mit Hinweis) - ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruht und die Behebung des Mangels für den Verfahrensausgang entscheidend sein kann. Bei der Rüge der offensichtlich unrichtigen Sachverhaltsfeststellung gilt das strenge Rügeprinzip (<ref-law>). Das Bundesgericht prüft in diesem Fall nur klar und detailliert erhobene und, soweit möglich, belegte Rügen; auf rein appellatorische Kritik am angefochtenen Entscheid tritt es nicht ein (<ref-ruling> E. 5.1 S. 356; <ref-ruling> E. 2.2 S. 246).
3.2. Der Beschwerdeführer behauptet zwar, es stehe unstreitig fest, dass ihm die Sozialhilfebehörde des Beschwerdegegners keine zumutbare Unterbringung anbiete, um ihn vor Obdachlosigkeit zu bewahren. Dabei geht er davon aus, es sei ihm der Bezug der Notschlafstelle - wegen seiner gesundheitlichen Situation und dem Kontakt zu seinen fremdplatzierten Kindern - nicht zumutbar, auch wenn er nicht mit Familienangehörigen zusammenlebt. Abgesehen davon, dass er nicht darlegt, inwiefern sich aus den von ihm angerufenen Grundrechten ein Rechtstitel auf Nutzung der umstrittenen 3-Zimmer-Wohnung ergeben könnte, vermengt er auch in diesem Zusammenhang sein ehemaliges Vertragsverhältnis mit dem Beschwerdegegner über die 3-Zimmer-Wohnung mit dem hier nicht zur Diskussion stehenden Sozialhilfeverhältnis. Das Bundesgericht hat im vorliegenden Verfahren entgegen der Ansicht des Beschwerdeführers die Anwendung der kantonalen Sozialhilfe-Normen oder gar der Unterstützungsrichtlinien nicht zu beurteilen. Es wird weder in der Beschwerde begründet noch ist ersichtlich, inwiefern der Beschwerdeführer im Unterschied zu allen anderen Mietern aus dem Umstand etwas ableiten könnte, dass sein Vermieter gleichzeitig für die Sozialhilfe-Unterstützung zuständig ist.
3.3. Aus demselben Grund geht die Rüge der Verletzung von <ref-law> fehl. Die Vorinstanz hat mit dem Hinweis, im mietrechtlichen Ausweisungsverfahren seien Vorbringen zu Umfang und Art der sozialhilferechtlichen Unterstützung nicht zu hören, erklärt, dass die beiden Rechtsverhältnisse entgegen der Ansicht des Beschwerdeführers auseinanderzuhalten sind und Gegenstand des vorliegenden Verfahrens allein der - ehemalige - Mietvertrag und die damit (heute nicht mehr bestehende) Berechtigung zur Nutzung der 3-Zimmer-Wohnung durch den Beschwerdeführer bildet. Auch die Rüge, der Beschwerdeführer werde in in seinen Rechten auf Unverletzlichkeit der Wohnung nach Art. 8 und Art 13 EMRK verletzt, zielt an der Sache vorbei. Die Ausweisung aus der Wohnung mangels Berechtigung zur Nutzung der Sache hat stets zur Folge, dass die Wohnung geräumt wird, wenn sie die Person nicht freiwillig räumt, welche sie rechtswidrig nutzt. Der Beschwerdeführer hat - wie die Vorinstanz zutreffend festhält - nicht nur keine Erstreckung verlangt, sondern die Offerte zur befristeten Verlängerung des Mietvertrages abgelehnt. Seine allfälligen Rechte auf Nutzung der Wohnung hat er im vorliegenden Verfahren wahren können - dass er materiell keinen Anspruch auf Nutzung der umstrittenen Wohnung hat, ändert nichts daran, dass ihm der Zugang zum Gericht gewährt wurde. Die Ausweisung aus der ehemaligen Mietwohnung ist rechtmässig angeordnet.
4.
Die Beschwerde erweist sich als unbegründet, soweit sie den formellen Anforderungen überhaupt genügt. Sie ist abzuweisen, soweit darauf einzutreten ist. Der Standpunkt des Beschwerdeführers ist - wie bereits im kantonalen Verfahren erkannt - aussichtslos. Dies schliesst unbesehen seiner Bedürftigkeit die Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege aus (<ref-law>). Das entsprechende Gesuch ist abzuweisen und dem Beschwerdeführer sind die Gerichtskosten zu auferlegen (<ref-law>). Der Beschwerdegegner ist nicht anwaltlich vertreten, weshalb ohnehin keine Parteikosten zuzusprechen sind (Art. 68 Abs. 1 und 2 BGG; <ref-ruling> E. 4 S. 446 mit Hinweis).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.
Das Gesuch um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege wird abgewiesen.
3.
Die Gerichtskosten von Fr. 2'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt, Ausschuss, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 8. Januar 2016
Im Namen der I. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Kiss
Die Gerichtsschreiberin: Marti-Schreier