Erwägungen:
1.
Mit Urteil vom 8. Juni 2017 hat das Bundesgericht eine von A._ erhobene Beschwerde betreffend die Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege abgewiesen (Verfahren 1B_190/2017).
2.
2.1. Mit Schreiben vom 23. August 2017 ersucht A._ darum, das Urteil vom 8. Juni 2017 zu revidieren.
2.2. Die Aufhebung oder Abänderung eines Bundesgerichtsurteils ist nur bei Vorliegen eines Revisionsgrundes nach <ref-law> möglich.
2.3. Der Gesuchsteller macht geltend, das Bundesgericht habe in den Akten liegende erhebliche Tatsachen aus Versehen nicht berücksichtigt (<ref-law>). Es habe zum einen festgehalten, dass er am 18. Juni 2015 gegen den Gemeindeschreiber von Schwellbrunn eine Strafanzeige eingereicht, und zum andern, dass er diesem Nötigung, Erpressung und eventuell Amtsmissbrauch vorgeworfen und eine Forderung von Fr. 5'825.75 geltend gemacht habe. Dies treffe nicht zu. Aus den Akten ergebe sich, dass sich die Anzeige vom 18. Juni 2015 gegen den von seiner Mutter bestellten Willensvollstrecker B._ richte und wegen des Vorwurfs der Sachentziehung erfolgt sei.
Die vom Gesuchsteller kritisierten Feststellungen ergeben sich aus dem Entscheid des Obergerichts Appenzell Ausserrhoden vom 31. Januar 2017 und waren für das Bundesgericht verbindlich (<ref-law>). Wie daraus hervorgeht, handelt es sich bei B._ um den Gemeindeschreiber von Schwellbrunn. Ein Versehen liegt insofern nicht vor. Zudem wird im beanstandeten bundesgerichtlichen Urteil nicht festgestellt, dass sich die Vorwürfe der Nötigung, der Erpressung und eventuell des Amtsmissbrauchs aus der besagten Anzeige ergäben, sondern lediglich, dass der Gesuchsteller sie (im Laufe des Verfahrens) erhoben habe, was dieser denn auch nicht bestreitet. Schliesslich legt der Gesuchsteller nicht dar, inwiefern die genannten Umstände mit Blick auf den Ausgang des Verfahrens erheblich sein sollen, wie dies <ref-law> voraussetzt.
Im Übrigen kritisiert der Gesuchsteller das Urteil vom 8. Juni 2017 inhaltlich, ohne einen gesetzlich vorgesehenen Revisionsgrund geltend zu machen.
3.
Das Revisionsgesuch ist ohne Schriftenwechsel (<ref-law>) abzuweisen.
Der Gesuchsteller beantragt die unentgeltliche Rechtspflege. Da sich sein Rechtsbegehren als aussichtslos erweist, ist der Antrag abzuweisen (<ref-law>). Angesichts der Umstände erscheint dennoch gerechtfertigt, auf die Erhebung von Gerichtskosten zu verzichten.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Das Revisionsgesuch wird abgewiesen.
2.
Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege wird abgewiesen.
3.
Es werden keine Gerichtskosten erhoben.
4.
Es wird keine Parteientschädigung zugesprochen.
5.
Dieses Urteil wird dem Gesuchsteller und dem Obergericht Appenzell Ausserrhoden, Einzelrichter, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 5. September 2017
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Merkli
Der Gerichtsschreiber: Dold