Sachverhalt:
A.
A.a. Gegen A._ läuft ein Strafverfahren wegen des Vorwurfes, als Betreuer B._, die an mitochondrialer Zythopatie leidet und deswegen auf Unterstützung angewiesen ist, gegen ihren Willen am Nacken und an den Oberschenkeln gestreichelt zu haben. Überdies soll er sie bedroht und ihre Wohnung mitten in der Nacht ohne Erlaubnis betreten haben. Mit Strafbefehl vom 3. August 2015 sprach die Staatsanwaltschaft des Kantons Solothurn A._ der sexuellen Belästigung und der Drohung sowie des Hausfriedensbruchs schuldig und verurteilte ihn zu einer bedingten Geldstrafe von 100 Tagessätzen zu je Fr. 100.-- und einer Busse von Fr. 500.--, ersatzweise zu einer Freiheitsstrafe von fünf Tagen. Auf Einsprache des inzwischen anwaltlich vertretenen A._ hin änderte die Staatsanwaltschaft am 19. August 2015 den Strafbefehl insoweit ab, als sie die 100 Tagessätze der bedingten Geldstrafe auf je Fr. 30.-- reduzierte. Gegen diesen Strafbefehl erhob A._ in der Folge Einsprache mit dem Hauptantrag, das gegen ihn laufende Strafverfahren einzustellen.
A.b. Zusammen mit der Einsprache ersuchte A._ um Beistellung seines Anwalts als amtlichen Verteidiger. Mit separater Verfügung vom 19. August 2015 wies die Staatsanwaltschaft dieses Gesuch ab.
B.
Am 19. Oktober 2015 wies das Obergericht des Kantons Solothurn, Beschwerdekammer, eine gegen den Entscheid über die Verweigerung der amtlichen Verteidigung im Strafverfahren gerichtete Beschwerde ab (Dispositivziffer 1). Zugleich auferlegte es A._ für das Beschwerdeverfahren Kosten von Fr. 400.-- (Dispositivziffer 2) und wies es auch das Gesuch um amtliche Verteidigung im Beschwerdeverfahren ab (Dispositivziffer 3).
C.
Mit Beschwerde in Strafsachen vom 18. November 2015 an das Bundesgericht beantragt A._, das Urteil des Obergerichts aufzuheben und seinen Rechtsanwalt als amtlichen Verteidiger im Strafverfahren einzusetzen. Eventuell sei das Urteil, mit den entsprechenden Folgen für die Verlegung der Kosten und Entschädigungen, insoweit aufzuheben, als ihm für das Verfahren vor dem Obergericht die amtliche Verteidigung bzw. die unentgeltliche Prozessführung verweigert worden sei. Schliesslich sei ihm eventuell auch im bundesgerichtlichen Verfahren die unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung zu gewähren. Zur Begründung wird im Wesentlichen eine Verletzung der dem Obergericht obliegenden Pflicht zur hinreichenden Entscheidbegründung sowie ein Verstoss gegen die völker-, verfassungs- und gesetzesrechtlichen Bestimmungen über die amtliche Verteidigung bzw. die unentgeltliche Prozessführung geltend gemacht.
Die Staatsanwaltschaft und das Obergericht des Kantons Solothurn verzichteten auf eine Stellungnahme.

Erwägungen:
1.
1.1. Der Entscheid des Obergerichts ist ein kantonal letztinstanzlicher Entscheid über die Gewährung der amtlichen Verteidigung in einem Strafverfahren. Dagegen ist die Beschwerde in Strafsachen zulässig (Art. 78 Abs. 1 und Art. 80 BGG). Es handelt sich um einen selbstständig eröffneten Zwischenentscheid, der einen nicht wieder gutzumachenden Nachteil bewirken kann (Art. 93 Abs. 1 lit. a BGG; <ref-ruling> E. 4 S. 338; <ref-ruling> E. 1.1 S. 283 f.; je mit Hinweisen). Der Beschwerdeführer ist als ursprünglicher Gesuchsteller und direkter Adressat des angefochtenen Entscheids zur Beschwerde legitimiert (Art. 81 Abs. 1 BGG).
1.2. Mit der Beschwerde in Strafsachen an das Bundesgericht kann insbesondere die Verletzung von Bundesrecht gerügt werden (Art. 95 lit. a BGG). Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (Art. 106 Abs. 1 BGG), prüft die bei ihm angefochtenen Entscheide aber grundsätzlich nur auf Rechtsverletzungen hin, die von den Beschwerdeführern geltend gemacht und begründet werden (vgl. Art. 42 Abs. 2 BGG). Erhöhte Anforderungen an die Begründung gelten, soweit die Verletzung von Grundrechten gerügt wird (Art. 106 Abs. 2 BGG; <ref-ruling> E. 1.4.2 S. 254 mit Hinweisen).
2.
2.1. Der Beschwerdeführer rügt, die Vorinstanz sei ihrer Pflicht zur rechtsgenüglichen Begründung des Urteils nicht nachgekommen.
2.2. Aus dem Anspruch auf Gewährung des rechtlichen Gehörs nach Art. 29 Abs. 2 BV leitet sich unter anderem die Verpflichtung der Behörde ab, ihren Entscheid zu begründen. Dabei ist es nicht erforderlich, dass sie sich mit allen Parteistandpunkten einlässlich auseinandersetzt und jedes einzelne Vorbringen ausdrücklich widerlegt. Vielmehr kann sie sich auf die für den Entscheid wesentlichen Punkte beschränken. Die Begründung muss so abgefasst sein, dass sich der Betroffene über die Tragweite des Entscheids Rechenschaft geben und ihn in voller Kenntnis der Sache an die höhere Instanz weiterziehen kann. In diesem Sinne müssen wenigstens kurz die Überlegungen genannt werden, von denen sich die Behörde hat leiten lassen und auf die sich ihr Entscheid stützt (vgl. <ref-ruling> E. 4.1 S. 88 mit Hinweisen).
2.3. Zu prüfen ist im hier strittigen Rechtspunkt im Wesentlichen die Auslegung und Anwendung von Bundesrecht im Hinblick auf die Frage der Gewährung der amtlichen Verteidigung. Die vorinstanzliche Begründung ist insofern verständlich. Das Obergericht ging auf die entscheidwesentlichen Gesichtspunkte nachvollziehbar ein. Insbesondere geht aus der Urteilsbegründung mit ausreichender Klarheit hervor, dass und weshalb das Obergericht den vorliegenden Fall im Sinne der Strafprozessordnung als Bagatellfall beurteilte. Dass es dabei nicht auf jedes einzelne Argument des Beschwerdeführers eingegangen sein mag, führt nicht zum Ungenügen der Begründung. Die Vorinstanz hat es zudem nicht dabei bewenden lassen, sondern zusätzlich geprüft, ob der Fall besondere Schwierigkeiten bietet, die Anlass für eine amtliche Verteidigung geben könnten. Auch die in diesem Zusammenhang vorgenommene Einschätzung, der Beschwerdeführer sei durchaus in der Lage, sich ohne anwaltliche Unterstützung ausreichend zu verteidigen, wird durchaus verständlich dargelegt. Ob die entsprechenden rechtlichen Erwägungen des Obergerichts zutreffen oder nicht, stellt nicht eine Frage der ausreichenden Begründung seines Urteils dar, sondern bildet Frage der inhaltlichen Rechtmässigkeit des Entscheids. Der Beschwerdeführer konnte das obergerichtliche Urteil sachgerecht beim Bundesgericht anfechten. Die Vorinstanz verletzte demnach ihre Pflicht zur zureichenden Begründung ihres Entscheides nicht.
3.
3.1. Der Beschwerdeführer macht geltend, der angefochtene Entscheid verletze Art. 132 StPO, Art. 9 und 29 Abs. 3 BV, Art. 14 Ziff. 1 und Ziff. 3 lit. d des UNO-Pakts II sowie Art. 6 EMRK. Sein Gesuch um Beigabe einer amtlichen Verteidigung hätte seiner Ansicht nach bewilligt werden müssen, da es sich einerseits nicht um einen Bagatellfall handle und andererseits die besonderen tatsächlichen und rechtlichen Schwierigkeiten des Falls sowie die Langzeitfolgen einer allfälligen Verurteilung die Beigabe eines Rechtsbeistands erforderten.
3.2. Der Beschwerdeführer führt nicht näher aus, inwiefern ihm Art. 9 BV und Art. 14 des UNO-Pakts II im vorliegenden Zusammenhang einen weitergehenden Schutz gewähren sollten als die übrigen von ihm angerufenen Bestimmungen der Bundesverfassung, der Menschenrechtskonvention sowie der Strafprozessordnung. Es ist darauf daher nicht weiter einzugehen (vgl. E. 1.2).
3.3. Liegt kein Fall notwendiger Verteidigung gemäss Art. 130 StPO vor, ordnet die Verfahrensleitung eine amtliche Verteidigung an, wenn die beschuldigte Person nicht über die erforderlichen Mittel verfügt und die Verteidigung zur Wahrung ihrer Interessen geboten ist (Art. 132 Abs. 1 lit. b StPO). Zur Wahrung der Interessen der beschuldigten Person ist die Verteidigung namentlich geboten, wenn es sich nicht um einen Bagatellfall handelt und (kumulativ) der Straffall in tatsächlicher oder rechtlicher Hinsicht Schwierigkeiten bietet, denen die beschuldigte Person allein nicht gewachsen wäre (Art. 132 Abs. 2 StPO). Wie sich aus dem Wortlaut dieser Bestimmung ("namentlich") ergibt, ist nicht ausgeschlossen, dass die Gewährung der amtlichen Verteidigung aus anderen als den genannten Gründen geboten sein kann. Nach Art. 132 Abs. 3 StPO liegt ein Bagatellfall jedenfalls dann nicht mehr vor, wenn eine Freiheitsstrafe von mehr als 4 Monaten, eine Geldstrafe von mehr als 120 Tagessätzen oder gemeinnützige Arbeit von mehr als 480 Stunden zu erwarten ist (vgl. die Urteile des Bundesgerichts 1B_332/2015 vom 24. November 2015 E. 2, 1B_66/2015 vom 12. August 2015 E. 2.1 und 1B_217/2015 vom 20. August 2015 E. 2, je mit Hinweisen).
3.4. Mit Art. 132 StPO wurde die bisherige bundesgerichtliche Rechtsprechung zu Art. 29 Abs. 3 BV und Art. 6 Ziff. 3 lit. c EMRK kodifiziert (<ref-ruling> E. 4.3 S. 119). Demnach hat die bedürftige Partei Anspruch auf unentgeltliche Verbeiständung, wenn ihre Interessen in schwerwiegender Weise betroffen sind und der Fall in tatsächlicher und rechtlicher Hinsicht Schwierigkeiten bietet, die den Beizug eines Rechtsvertreters erforderlich machen. Falls das in Frage stehende Verfahren besonders stark in die Rechtsposition des Betroffenen eingreift, ist die Bestellung eines unentgeltlichen Rechtsvertreters grundsätzlich geboten. Droht zwar eine erhebliche, nicht aber eine besonders schwere Freiheitsbeschränkung, müssen zur relativen Schwere des Eingriffs besondere tatsächliche oder rechtliche Schwierigkeiten hinzukommen, denen der Betroffene - auf sich allein gestellt - nicht gewachsen wäre. Als besondere Schwierigkeiten, die eine Verbeiständung rechtfertigen können, fallen auch in der betroffenen Person liegende Gründe in Betracht, insbesondere deren Unfähigkeit, sich im Verfahren zurechtzufinden (vgl. <ref-ruling> E. 2.5.2 S. 232 f.; <ref-ruling> E. 2c/bb S. 51 f., 275 E. 3a S. 276; je mit Hinweisen).
3.5. In Bagatellfällen ist eine amtliche Verteidigung nicht ausgeschlossen, ein Anspruch auf amtliche Verteidigung besteht jedoch nur ausnahmsweise. Dies kann zutreffen, wenn der Fall besondere Schwierigkeiten bietet oder eine besondere Tragweite aufweist, etwa weil dem Beschuldigten der Entzug einer Berufsausübungsbewilligung droht (vgl. das Urteil des Bundesgerichts 1B_217/2015 vom 20. August 2015 E. 2.2). Der Begriff des Bagatellfalles ist insoweit im Übrigen in den strafprozessualen Zusammenhang zu stellen und entsprechend auszulegen und kann nicht mit dem allgemein üblichen Sprachgebrauch einer Bagatelle gleich gesetzt werden, wie der Beschwerdeführer zumindest sinngemäss geltend macht. Das zeigt sich nur schon daran, dass die in Art. 132 Abs. 3 StPO vorgesehenen Strafen, die den oberen Rahmen für einen Bagatellfall gemäss dieser Bestimmung bilden, bereits Delikte erfassen können, die nach dem allgemeinen Sprachgebrauch nicht mehr Bagatellen im Sinne von belanglosen oder unbedeutenden Straftaten darstellen.
3.6. Dem Beschwerdeführer wird vorgeworfen, sein mutmassliches Opfer sexuell belästigt und bedroht und Hausfriedensbruch begangen zu haben. Dabei handelt es sich an sich nicht um von vornherein geringfügige Delikte. Dass die Staatsanwaltschaft das mögliche Verschulden des Beschwerdeführers indessen nicht als allzu schwerwiegend einschätzt, belegt der ergangene Strafbefehl. Eine Freiheitsstrafe wurde darin lediglich ersatzweise und auch nur für fünf Tage ausgesprochen, was weit entfernt von den in Art. 132 Abs. 3 StPO genannten vier Monaten liegt. Hingegen befinden sich die im Zusammenhang mit der Geldstrafe verfügten 100 Tagessätze nicht allzu weit von den 120 Tagessätzen entfernt, die keinen Bagatellfall im Sinne von Art. 132 Abs. 3 StPO mehr begründen. Dennoch muss der Beschwerdeführer nicht mit einer allzu schweren Bestrafung rechnen. Die ihm vorgeworfene sexuelle Belästigung nach Art. 198 StGB stellt eine Übertretung dar, die lediglich mit Busse bedroht wird. Die Straftatbestände der Drohung gemäss Art. 180 StGB und des Hausfriedensbruchs nach Art. 186 StGB sind zwar mit höheren Strafdrohungen, insbesondere jeweils mit Freiheitsstrafe bis zu drei Jahren und Geldstrafe, verbunden, doch hält sich auch insofern das konkret in Frage stehende Strafmass in überschaubarem Rahmen. Auch wenn der Beschwerdeführer die Straftaten bestreitet, stellen sich keine besonders komplexen tatsächlichen oder rechtlichen Fragen. Zwar musste die Staatsanwaltschaft ihren ersten Strafbefehl auf Einsprache hin korrigieren. Es ist aber nicht erhärtet, dass es dafür zwingend eine anwaltliche Unterstützung brauchte. Und es ist ebenfalls nicht ersichtlich, dass die sprachlichen oder sonstigen intellektuellen Fähigkeiten des Beschwerdeführers derart eingeschränkt wären, dass er sich im Übrigen nicht selbst verteidigen könnte. Dass grundsätzlich nicht davon ausgegangen werden kann, dass Laien nicht über dasselbe Fachwissen wie Rechtsanwälte verfügen, wie der Beschwerdeführer vorträgt, ist offensichtlich. Da der Gesetzgeber die amtliche Verteidigung aber nicht in allen Fällen der Strafverfolgung vorgesehen hat und sich solches auch nicht aus dem Völker- und Verfassungsrecht ergibt, kann dies nicht ausschlaggebend sein. Schliesslich unterscheidet sich der vorliegende Fall massgeblich vom von der Ausgangslage her ähnlich ausgerichteten und vom Bundesgericht im Urteil 1B_332/2015 vom 24. November 2015 beurteilten Fall, wo das Bundesgericht einen Anspruch auf amtliche Verteidigung bejaht hat; in jenem Fall ging es im Unterschied zum vorliegenden um den Strafvorwurf der sexuellen Handlung mit einem Kind nach Art. 187 Ziff. 1 StGB, wofür eine Strafdrohung bis zu fünf Jahren Freiheitsentzug gilt, und es kamen zusätzlich heikle tatsächliche und rechtliche Fragen sowie ein mögliches sprachliches Manko beim Beschuldigten hinzu.
3.7. Der Beschwerdeführer begründet den Anspruch auf amtliche Verteidigung denn auch in erster Linie mit den möglichen mittel- bis langfristigen Folgen für seine berufliche Tätigkeit. Es ist unbestritten, dass ein Strafregistereintrag insofern negative Folgen zeitigen kann, als es, gerade für einen Sozialhilfebezüger wie den Beschwerdeführer, schwieriger werden könnte, eine neue Anstellung zu finden. Es erscheint nicht von vornherein ausgeschlossen, dass eine solche Konstellation, jedenfalls zusammen mit anderen Umständen, ausnahmsweise eine amtliche Verteidigung rechtfertigen könnte. Im vorliegenden Fall fällt dies aber nicht entscheidend ins Gewicht. Dem Beschwerdeführer droht kein unmittelbarer Freiheitsentzug, der ihn längere Zeit vom Arbeitsmarkt fernhalten würde, und es stehen ihm mehrere berufliche Optionen - so namentlich als Sanitär-Monteur, als Justizvollzugsfachmann sowie als Betreuungsperson - offen. Dass die eine oder andere Möglichkeit aufgrund einer allfälligen Verurteilung bzw. der dafür massgeblichen Delikte gegebenenfalls eingeschränkt werden könnte, liegt zwar auf der Hand. Andere Optionen blieben aber bestehen. Das ist nicht gleichzusetzen mit dem eigentlichen Entzug einer Berufsausübungsbewilligung (vgl. E. 3.5).
3.8. Der angefochtene Entscheid verletzt demnach Bundesrecht nicht, soweit dem Beschwerdeführer damit die amtliche Verteidigung im Strafverfahren verweigert wurde.
4.
4.1. Der Beschwerdeführer rügt sodann, dass ihm das Obergericht auch für das vorinstanzliche Beschwerdeverfahren die amtliche Verteidigung bzw. die unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung verweigert hat.
4.2. Obwohl dafür im Wesentlichen ähnliche Grundsätze anwendbar sind, stellt sich die Rechtslage insofern anders dar. Zu prüfen ist, ob die im vorinstanzlichen zu entscheidende prozessuale Frage der Gewährung bzw. der Verweigerung der amtlichen Verteidigung im Strafverfahren von vornherein aussichtslos erschien bzw. mit besonderen Schwierigkeiten verbunden war. Wie der angefochtene Entscheid und das vorliegende Urteil belegen, erweist sich die entsprechende Rechtsfrage nicht als von vornherein eindeutig und auch als von einem juristischen Laien ohne weiteres zu bewältigen. Dem überschuldeten und als Sozialhilfebezüger offensichtlich bedürftigen Beschwerdeführer stand damit ein Anspruch auf unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung gemäss Art. 29 Abs. 3 BV im obergerichtlichen Verfahren zu. Der angefochtene Entscheid verletzt insoweit Bundesrecht.
4.3. Aus prozessökonomischen Gründen kann dies direkt und ohne Rückweisung an die Vorinstanz mit dem vorliegenden bundesgerichtlichen Urteil korrigiert werden (vgl. Art. 107 Abs. 2 sowie Art. 68 Abs. 2 und 5 BGG).
5.
5.1. Die Beschwerde erweist sich als teilweise begründet und der angefochtene Entscheid bzw. die entsprechenden Dispositivziffern 2 und 3 des obergerichtlichen Urteils sind insoweit aufzuheben, als damit das Gesuch des Beschwerdeführers um amtliche Verteidigung im vorinstanzlichen Beschwerdeverfahren abgewiesen und ihm dafür Kosten auferlegt werden. Im Übrigen ist die Beschwerde abzuweisen, soweit darauf eingetreten werden kann.
5.2. Soweit der Beschwerdeführer unterliegt, ist ihm antragsgemäss auch für das bundesgerichtliche Verfahren die unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung zu gewähren (vgl. Art. 64 BGG). Demgemäss sind keine Gerichtskosten zu erheben (Art. Art. 64 Abs. 1 in Verbindung mit Art. 66 Abs. 1 und Abs. 4 BGG). Der Kanton Solothurn hat dem Beschwerdeführer für das kantonale Verfahren eine angemessene Entschädigung und für das Verfahren vor dem Bundesgericht eine reduzierte Parteientschädigung zu bezahlen, die gesamthaft erhoben wird (vgl. E. 4.3). Für das bundesgerichtliche Verfahren geht darüber hinaus eine ergänzende Entschädigung zu Lasten der Bundesgerichtskasse. Die Entschädigungsansprüche werden dem Rechtsvertreter des Beschwerdeführers als Honoraransprüche persönlich zugesprochen (vgl. Art. 64 Abs. 2 Satz 2 BGG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird teilweise gutgeheissen, und die Dispositivziffern 2 und 3 des Urteils des Obergerichts des Kantons Solothurn vom 19. Oktober 2015 werden aufgehoben. Im Übrigen wird die Beschwerde abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.
Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege für das bundesgerichtliche Verfahren wird gutgeheissen und es wird dem Beschwerdeführer Rechtsanwalt Fabian Malovini als unentgeltlicher Rechtsbeistand beigegeben.
3.
Es werden keine Gerichtskosten erhoben.
4.
Der Kanton Solothurn hat Rechtsanwalt Fabian Malovini für das kantonale Verfahren und teilweise für das Verfahren vor Bundesgericht mit insgesamt Fr. 2'000.-- zu entschädigen.
5.
Rechtsanwalt Fabian Malovini wird für das bundesgerichtliche Verfahren aus der Bundesgerichtskasse eine ergänzende Entschädigung von Fr. 1'000.-- ausgerichtet.
6.
Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer, der Staatsanwaltschaft des Kantons Solothurn und dem Obergericht des Kantons Solothurn, Beschwerdekammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 11. Januar 2016
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Fonjallaz
Der Gerichtsschreiber: Uebersax