Sachverhalt:
A.
B._ (geb. 1963) und A._ (geb. 1971) haben sich 2007 in England kennen gelernt und dort 2010 geheiratet. Sie sind die Eltern von C._ (geb. 2008) und D._ (geb. 2010). B._ lebt heute mit den Kindern in U._ (ZH), A._ mit einem neuen Lebenspartner in V._ (England).
B.
B.a. Seit dem 30. September 2014 stehen die Eheleute in einem Eheschutzverfahren. Mit Urteil vom 1. Juli 2015 stellte das Bezirksgericht Uster die beiden Kinder unter die Obhut des Vaters. Der Mutter wurde das Recht eingeräumt, die Kinder auf eigene Kosten zu sich oder mit sich auf Besuch zu nehmen. Ferner wurde sie verpflichtet, dem Ehemann für die Dauer des Getrenntlebens Kinderunterhaltsbeiträge von Fr. 400.-- je Kind zu bezahlen, erstmals per 1. September 2015. Ehegattenunterhaltsbeiträge sprach das Bezirksgericht keine zu.
B.b. Auf Berufung von A._ hin entschied das Obergericht des Kantons Zürich mit Urteil vom 25. Mai 2016 wie folgt: Die Obhut über C._ und D._ wurde dem Vater zugeteilt (Dispositiv-Ziffer 1). Das Begehren der Mutter auf Bewilligung des Wechsels des Aufenthaltsortes der Kinder im Sinne von <ref-law> wies das Obergericht ab (Dispositiv-Ziffer 2). Auf das Begehren der Mutter, den Vater zur Herausgabe der Reisepässe zu verurteilen und sie selbst zu verpflichten, ihm diese Dokumente mit Blick auf die Ausübung des Besuchs- und Ferienrechts gegebenenfalls zur Verfügung zu stellen, trat das Obergericht nicht ein (Dispositiv-Ziffer 3). Demgegenüber verpflichtete es die Mutter, dem Vater die Geburtsurkunden der beiden Kinder und die Unterlagen betreffend deren amerikanische Staatsangehörigkeit herauszugeben (Dispositiv-Ziffer 4). Weiter berechtigte das Obergericht A._, ihre Kinder einmal pro Monat von Donnerstagabend, 18.00 Uhr, bis Dienstagabend, 18.00 Uhr, in der Schweiz zu besuchen; ferner regelte es das Besuchsrecht während der Ferien sowie über Weihnachten/Neujahr, Ostern und Pfingsten (Dispositiv-Ziffer 5). Kinderunterhaltsbeiträge sprach das Obergericht keine (Dispositiv-Ziffer 6). Hingegen verurteilte es B._, seiner Frau wie folgt monatliche Unterhaltsbeiträge zu zahlen: Fr. 4'810.-- rückwirkend seit 1. Februar 2015 bis 31. August 2016 und Fr. 4'475.-- ab 1. September 2016 für die weitere Dauer des Getrenntlebens (Dispositiv-Ziffer 7). Die Gerichtskosten sowohl des erst- als auch des zweitinstanzlichen Verfahrens auferlegte das Obergericht den Parteien je zur Hälfte (Dispositiv-Ziffern 10, 11, 13 und 14); Parteientschädigungen wurden weder für das bezirksgerichtliche noch für das Berufungsverfahren zugesprochen (Dispositiv-Ziffern 12 und 15).
C.
C.a. Mit Eingabe vom 24. Juni 2016 wendet sich A._ (Beschwerdeführerin) an das Bundesgericht (Verfahren 5A_474/2016). Sie verlangt, die Dispositiv-Ziffern 1-7 des obergerichtlichen Urteils aufzuheben; eventualiter sei die Sache an die Vorinstanz zurückzuweisen. Die Kinder C._ und D._ seien unter ihre Obhut zu stellen. Ferner sei der Wechsel des Aufenthaltsortes der Kinder im Sinne von <ref-law> zu bewilligen. Ihr seien angemessene Kinderunterhaltsbeiträge zuzusprechen. Schliesslich sei B._ unter Strafandrohung (<ref-law>) zu verpflichten, ihr die Reisepässe der Kinder zu übergeben. Eventualiter beantragt die Beschwerdeführerin ein Besuchsrecht im folgenden Umfang: An den Wochenenden gerader Kalenderwochen von Donnerstag, 18.00 Uhr, bis am Dienstag, 18.00 Uhr. Zudem seien die Unterhaltsbeiträge gemäss Dispositiv-Ziffer 7 des angefochtenen Entscheids um Fr. 1'125.-- zu erhöhen. Subeventualiter seien die Alimente um Fr. 375.-- zu erhöhen, falls das Besuchsrecht gemäss Dispositiv-Ziffer 5 des angefochtenen Urteils nicht abgeändert werden sollte.
C.b. Am 29. Juni 2016 ist auch B._ (Beschwerdeführer) an das Bundesgericht gelangt (Verfahren 5A_487/2016). Er fordert von der Beschwerdeführerin ab 1. August 2015 monatliche Kinderalimente von Fr. 550.-- je Kind. Zudem sei festzustellen, dass kein Ehegattenunterhalt geschuldet sei. Neu zu verteilen seien schliesslich die Kosten des erst- und zweitinstanzlichen Verfahrens.
C.c. Mit Verfügung vom 8. Juli 2016 erteilte das Bundesgericht der Beschwerde des Beschwerdeführers insofern aufschiebende Wirkung, als sich dieser dagegen zur Wehr setzt, der Beschwerdeführerin rückwirkend (bis und mit Mai 2016) Unterhalt zu zahlen.
C.d. Im Übrigen hat sich das Bundesgericht die vorinstanzlichen Akten überweisen lassen, in der Sache aber keine Vernehmlassungen eingeholt.

Erwägungen:
1.
Beide Parteien wehren sich binnen Frist gegen denselben Endentscheid einer letzten kantonalen Instanz (Art. 75, 90 und 100 i.V.m. 45 Abs. 1 BGG) über die Anordnung von Massnahmen zum Schutz der ehelichen Gemeinschaft (<ref-law>). Wie vor der letzten kantonalen Instanz betrifft diese zivilrechtliche Streitigkeit (<ref-law>) auch vor Bundesgericht zum einen die Regelung der elterlichen Obhut über die gemeinsamen Kinder und zum andern den Kindes- und Ehegattenunterhalt. Stehen sowohl vermögensrechtliche als auch nicht vermögensrechtliche Fragen im Streit, ist die Beschwerde ohne Streitwerterfordernis zulässig (Urteil 5A_667/2011 vom 23. Januar 2012 E. 1.1 mit Hinweis). Die übrigen Eintretensvoraussetzungen sind erfüllt und geben zu keinen Bemerkungen Anlass. Die beiden Beschwerdeverfahren 5A_474/2016 und 5A_487/2016 sind zu vereinigen (<ref-law> i.V.m. <ref-law>). Auf beide Beschwerden ist einzutreten.
2.
Eheschutzentscheide unterstehen <ref-law> (<ref-ruling> E. 5.1 und 5.2 S. 396 f.). Daher kann nur die Verletzung verfassungsmässiger Rechte gerügt werden (s. dazu <ref-ruling> E. 4.1 S. 588). Es gilt das strenge Rügeprinzip (<ref-law>). Das bedeutet, dass das Bundesgericht nur klar und detailliert erhobene und soweit möglich belegte Rügen prüft. Auf ungenügend begründete Rügen und rein appellatorische Kritik am angefochtenen Entscheid tritt es nicht ein (<ref-ruling> E. 2.2 S. 246; <ref-ruling> E. 3.1 S. 399 f.). Wird die Verletzung des Willkürverbots gerügt, reicht es daher nicht aus, wenn die rechtsuchende Partei die Sach- oder Rechtslage aus ihrer Sicht darlegt und den davon abweichenden angefochtenen Entscheid als willkürlich bezeichnet. Vielmehr muss sie im Einzelnen darlegen, inwiefern das kantonale Gericht willkürlich entschieden haben soll und der angefochtene Entscheid deshalb an einem qualifizierten und offensichtlichen Mangel leidet (<ref-ruling> E. 2.2 S. 246).
3.
Die Beschwerdeführerin lebt in England (Sachverhalt Bst. A). Damit ist von einem internationalen Verhältnis auszugehen. Zu Recht wendet die Vorinstanz schweizerisches Recht an, soweit es um die Kinderbelange geht (Art. 82 Abs. 1 sowie Art. 83 Abs. 1 IPRG [SR 291] i.V.m. Art. 4 des Übereinkommens über das auf Unterhaltspflichten anzuwendende Recht vom 2. Oktober 1973 [HUÜ; SR 0.211.231.01]), und englisches Recht, soweit der Ehegattenunterhalt zu regeln ist (<ref-law> i.V.m. Art. 4 HUÜ).
4.
Im Beschwerdeverfahren 5A_474/2016 ist umstritten, welchem Elternteil die Obhut über die gemeinsamen Kinder übertragen wird.
4.1. Die Vorinstanz stellt die Kinder unter die Obhut des Beschwerdeführers. Sie kommt zum Schluss, der Vater sei erziehungsfähig. Seine fehlenden Deutschkenntnisse würden keine Gefährdung des Kindeswohls bedeuten. Die Kinder würden in U._ zur Schule gehen und sich dort grundsätzlich wohl fühlen. Daran ändere auch der Umstand nichts, dass sich C._ in einer für sie anspruchsvollen Lebensphase befinde, weil sie neu eine deutschsprachige Schule besuche. Ein Wohnsitzwechsel nach V._ hätte in den Augen des Obergerichts zur Folge, dass die Kinder aus ihrer gewohnten Umgebung herausgerissen und in ein für sie völlig fremdes Umfeld umplatziert würden. Auch sei davon auszugehen, dass kleine Kinder eine Sprache relativ schnell erlernen. Dies gelte umso mehr, als für C._ bereits entsprechende Stützmassnahmen in die Wege geleitet worden seien.
Weiter pflichtet das Obergericht dem Bezirksgericht darin bei, dass die Beschwerdeführerin die Kinder während des ehelichen Zusammenlebens weder ausschliesslich noch grossmehrheitlich betreut habe. Tatsächlich seien die Kinder in der Vergangenheit zu einem grossen Teil fremdbetreut worden. Die Behauptung der Beschwerdeführerin, wonach sie sich ausserhalb der Fremdbetreuung praktisch ausschliesslich selbst um die Kinder gekümmert habe, finde in den Akten keine Stütze. Anders als die Beschwerdeführerin behaupte, würden die Kinder seit dem Umzug der Mutter nach England auch nicht hauptsächlich von den Grosseltern mütterlicherseits betreut. Der Beschwerdeführer werde unter der Woche bei der Kinderbetreuung von den Grosseltern unterstützt, indem diese morgens jeweils von 7.00 bis 7.45 Uhr zu den Kindern schauten, mit ihnen montags bis mittwochs zu Mittag essen und sie an diesen Wochentagen bis zur Heimkehr des Beschwerdeführers zwischen 18.30 und 19.00 Uhr betreuten. Die restliche Zeit würden die Kinder den Mittagstisch bzw. den Hort besuchen oder vom Beschwerdeführer betreut, der dienstags, donnerstags und freitags bereits zwischen 15.30 und 16.00 Uhr nach Hause komme. Auch an den Wochenenden übernehme der Beschwerdeführer die Kinderbetreuung.
Auch für das Obergericht trägt eine enge Mutter-Kind-Beziehung zu stabilen Lebensverhältnissen und einer harmonischen Entwicklung der Kinder bei. Dieser Faktor sei jedoch nicht per se höher zu gewichten als die Stabilität der übrigen familiären Beziehungen sowie der örtlichen Verhältnisse. Ausserdem sei anzunehmen, dass sich die Beziehung der Kinder zum Beschwerdeführer seit dem Umzug der Beschwerdeführerin nach England erheblich intensiviert hat. Unzutreffend sei weiter das Vorbringen der Beschwerdeführerin, wonach kleinere Kinder noch nicht ortsgebunden seien. Das Gegenteil sei der Fall. Einschneidende und wiederholte Wechsel der Lebensverhältnisse seien vor allem bei kleineren Kindern geeignet, die harmonische Entwicklung zu beeinträchtigen. Sodann widerspricht die Vorinstanz dem Einwand, wonach die Grosseltern aus gesundheitlichen Gründen nicht in der Lage seien, den Beschwerdeführer bei der Kinderbetreuung auch in Zukunft zu unterstützen; entsprechende Hinweise lägen nicht vor. Auch bezüglich der Erziehungsfähigkeit der Grosseltern bestünden keine Zweifel. Anlässlich der Zeugeneinvernahme hätten die Grosseltern zudem versichert, dass sie vor den Kindern nicht schlecht über ihre Tochter sprechen würden. Der Vorwurf der Beschwerdeführerin, dass ihr Vater sie als "bugger" bezeichnet habe, erscheine nicht als glaubhaft. Anhaltspunkte dafür, dass der Erziehungsstil der Grosseltern dem Kindeswohl entgegenstehe, gebe es keine.
Mit Bezug auf die von der Beschwerdeführerin geäusserte Befürchtung, dass im Falle der Beibehaltung der erstinstanzlichen Obhutsregelung die Gefahr bestehe, dass sich der Kontakt zu den Kindern wegen finanzieller Probleme auf ein Minimum reduziere, stellt das Obergericht fest, dass die Beschwerdeführerin ihren Wohnsitz freiwillig nach England verlegt habe.
4.2.
4.2.1. Die Beschwerdeführerin rügt eine überaus einseitige und damit willkürliche Beweiswürdigung (<ref-law>). Sie vermisst eine "offene Würdigung der Aussagen der Parteien und Zeugen unter Berücksichtigung der allgemeinen Lebenserfahrung" und wirft dem Obergericht vor, grundsätzlich einfach davon auszugehen, dass das, was der Beschwerdeführer und/die Zeugen behaupten, zutreffe, sofern sie nicht "hieb- und stichfest das Gegenteil" beweise. Insbesondere seien die Aussagen ihrer Eltern mit Vorsicht zu geniessen, da diese sich mit ihr verkracht hätten und alles daran setzen würden, dass die Kinder nicht ihr zugeteilt werden.
Die Annahme der Vorinstanz, dass sich der Beschwerdeführer bei Behörden, Ärzten oder in der Schule in englischer Sprache verständigen könne, bezeichnet die Beschwerdeführerin als "lebensfremd". In Tat und Wahrheit gebe es nur wenige Leute, die sich mit einer Person mit englischer Muttersprache in fachlichen Angelegenheiten problemlos verständigen könnten.
Weiter bezweifelt die Beschwerdeführerin, dass der Beschwerdeführer, der netto über Fr. 26'000.-- im Monat verdiene, dreimal in der Woche schon zwischen 15.30 und 16.00 Uhr zu Hause sein könne und am Wochenende immer frei habe. In Tat und Wahrheit würden die Kinder praktisch nur von den Grosseltern betreut. Die Vorinstanz gehe in ihrem Urteil ferner davon aus, dass sie, die Beschwerdeführerin, eher von ihrem neuen Wohnort in V._ wegziehe als der Beschwerdeführer von U._. Dies hält die Beschwerdeführerin für "eine durch nichts ausgewiesene Unterstellung". Im Gegenteil könne das eheliche Haus in U._ bei einer Scheidung gar nicht gehalten werden, weil ihr ganzes Vermögen darin stecke. Dass der Beschwerdeführer wieder in U._ den Wohnsitz beziehen werde, sei völlig unwahrscheinlich, da er keinerlei Beziehungen zu diesem Wohnort habe.
Unkritisch nehme die Vorinstanz auch an, dass die Parteien die Kinder früher gemeinsam betreut hätten, soweit diese nicht fremdbetreut wurden. Aufgrund der allgemeinen Lebenserfahrung sei eigentlich klar, dass sie sich "im Minimum mehrheitlich" um die Kinderbetreuung gekümmert habe, nachdem der Beschwerdeführer 100 % gearbeitet habe und kein Deutsch spreche. Auch wenn die Kinder bereits während des Zusammenlebens teilweise fremdbetreut worden seien, heisse dies noch lange nicht, dass die Kinderbetreuung eine Nebensache gewesen sei. Die Vorinstanz verkenne, dass Muttersein ein 24-Stunden- und nicht nur ein 8-Stunden-Job sei. Wäre es anders, müsste man per se in Abrede stellen, dass sich Mütter mit schulpflichtigen Kindern hauptsächlich um die Kinderbetreuung kümmern würden. Dass sich der Beschwerdeführer, der auch viel im Ausland weile, die Kinderbetreuung mit ihr, der Beschwerdeführerin, geteilt habe, treffe schlicht nicht zu und finde in den Akten keine Stütze.
Schliesslich wirft die Beschwerdeführerin der Vorinstanz vor darüber hinwegzusehen, dass die Kinder rund einen Monat nach Einreichung der Berufung die Schule wechselten, nunmehr in die öffentliche Schule in U._ gehen und nicht mehr die englischsprachige Schule E._ besuchen. Das Bezirksgericht Uster sei in seinem Urteil noch explizit davon ausgegangen, dass die Kinder weiterhin die Schule E._ besuchen und sich damit in ihrem vertrauten Umfeld bewegen würden. Mit dem Schulwechsel der Kinder sei der wesentlichste Teil der erstinstanzlichen Begründung weggefallen, warum die Obhut nicht ihr, der Beschwerdeführerin, zugeteilt wurde. Der Beschwerdeführer habe den geplanten und später vollzogenen Schulwechsel vor dem Bezirksgericht verschwiegen und ihr habe man nicht geglaubt. Die Vorinstanz sei auf den Schulwechsel und die veränderten Verhältnisse nicht eingegangen.
4.2.2. Die Sachverhaltsfeststellung bzw. Beweiswürdigung erweist sich dann als willkürlich (<ref-law>), wenn das Gericht Sinn und Tragweite eines Beweismittels offensichtlich verkannt hat, wenn es ohne sachlichen Grund ein wichtiges und entscheidwesentliches Beweismittel unberücksichtigt gelassen oder wenn es auf der Grundlage der festgestellten Tatsachen unhaltbare Schlussfolgerungen gezogen hat. Dass die von Sachgerichten gezogenen Schlüsse nicht mit der eigenen Darstellung der rechtsuchenden Partei übereinstimmen, belegt keine Willkür (<ref-ruling> E. 2.3 S. 266 mit Hinweisen).
4.2.3. Im vorliegenden Fall beschränkt sich die Beschwerdeführerin darauf, in weitschweifiger Art und Weise ihre Sicht der Dinge darzustellen. Dabei schreckt sie auch nicht davor zurück, der Vorinstanz Aussagen zu unterstellen, die sich im angefochtenen Entscheid nicht - oder nicht in dieser Form - finden. So erklärt das Obergericht nicht, dass die Parteien die Kinder in der Vergangenheit zu gleichen Teilen betreut hätten. Es stellt bloss fest, dass angesichts der ausgiebigen Fremdbetreuung keine Rede davon sein könne, dass die Kinder hauptsächlich von der Beschwerdeführerin betreut worden sind. Im Übrigen räumt die Vorinstanz ein, dass es die Beschwerdeführerin war, die für ihre Kinder die Kontakte zu Behörden, Schule und Ärzten herstellte. Ebenso würdigt und nimmt die Vorinstanz die Tatsache zur Kenntnis, dass namentlich C._ Mühe mit dem Übertritt in die öffentliche Schule bekundet. Dass die Vorinstanz diese Schwierigkeiten anders als die Beschwerdeführerin - und möglicherweise auch als die erste Instanz - gewichtet, begründet keine Willkür in der Feststellung des relevanten Sachverhalts. Insgesamt erweist sich die Kritik der Beschwerdeführerin damit als appellatorisch. Darauf ist nicht einzutreten (E. 2).
4.3.
4.3.1. Die Beschwerdeführerin wirft der Vorinstanz auch Willkür in der Rechtsanwendung vor. Sie bestreitet die vorinstanzliche Beurteilung, wonach beide Parteien gleich erziehungsfähig seien. Der Beschwerdeführer spreche kein Deutsch und werde es realistischerweise auch nie lernen. Die vorinstanzliche Feststellung, beim Beschwerdeführer handle es sich um einen gewissenhaften und liebevollen Vater, den die Kinder mögen, sage nichts über dessen Erziehungsfähigkeit aus.
Auch die Tatsache, dass sie die Kinder persönlich betreuen könne und wolle, spricht nach Meinung der Beschwerdeführerin dafür, die Kinder in ihre Obhut zu geben. Der Beschwerdeführer arbeite demgegenüber zu 100 % und wolle sein Pensum nicht reduzieren. Er habe daher gar keine Zeit, sich um die Kinder zu kümmern. Entsprechend seien die Kinder meist in der Schule bzw. im Hort oder würden von den Grosseltern betreut. Indem die Vorinstanz das Kriterium der "persönlichen Betreuung der Kinder" einfach dem Kriterium "Stabilität der örtlichen und familiären Verhältnisse" unterordne, handle sie willkürlich.
Weiter erklärt die Beschwerdeführerin, dass es zwischen ihr und ihren Eltern keinerlei Kommunikation mehr gebe. Eine weitere Betreuung der Kinder durch die Grosseltern sei daher nicht nur für sie, sondern auch für die Kinder eine grosse Belastung und nicht mit den früheren Verhältnissen vergleichbar. Es sei gerichtsnotorisch, dass sich Streitigkeiten zwischen betreuenden Grosseltern und einem Elternteil auch auf das Wohlbefinden der Kinder niederschlagen, die sich in einem Loyalitätskonflikt befinden. Nebst den Grosseltern gebe es keine "familiären Bindungen" am Wohnort der Kinder in U._. Von einer Wahrung der "Stabilität der familiären Verhältnisse" bei einer Obhutszuteilung an den Beschwerdeführer könne keine Rede sein.
Schliesslich hält die Beschwerdeführerin für "völlig unbestritten", dass die Parteien nicht mehr zusammenfinden und sich bald scheiden lassen werden. Vor diesem Hintergrund sei es sachgerecht, bereits heute eine definitive Lösung betreffend Kinderzuteilung anzustreben.
4.3.2. Das mit der Regelung des Getrenntlebens (Marginalie zu <ref-law>) befasste Eheschutzgericht trifft nach den Bestimmungen über die Wirkungen des Kindesverhältnisses die nötigen Massnahmen, wenn die Ehegatten minderjährige Kinder haben (<ref-law>). Für die Zuteilung der Obhut an einen Elternteil gelten grundsätzlich die gleichen Kriterien wie im Scheidungsfall. Nach der Rechtsprechung hat das Wohl des Kindes Vorrang vor allen anderen Überlegungen, insbesondere vor den Wünschen der Eltern. Vorab muss die Erziehungsfähigkeit der Eltern geklärt werden. Ist diese bei beiden Elternteilen gegeben, sind vor allem Kleinkinder und grundschulpflichtige Kinder demjenigen Elternteil zuzuteilen, der die Möglichkeit hat und dazu bereit ist, sie persönlich zu betreuen. Erfüllen beide Elternteile diese Voraussetzung ungefähr in gleicher Weise, kann die Stabilität der örtlichen und familiären Verhältnisse ausschlaggebend sein. Schliesslich ist - je nach Alter der Kinder - ihrem eindeutigen Wunsch Rechnung zu tragen. Diesen Kriterien lassen sich die weiteren Gesichtspunkte zuordnen, namentlich die Bereitschaft eines Elternteils, mit dem anderen in Kinderbelangen zusammenzuarbeiten, oder die Forderung, dass eine Zuteilung der Obhut von einer persönlichen Bindung und echter Zuneigung getragen sein sollte (<ref-ruling> E. 5.3 S. 180 f.; <ref-ruling> E. 4a S. 209; s. auch das zur Publikation bestimmte Urteil 5A_945/2015 vom 7. Juli 2016 E. 4.4). Das Kriterium der zeitlichen Verfügbarkeit und damit die Möglichkeit der persönlichen Betreuung kann hinter das Kriterium der Stabilität der örtlichen und familiären Verhältnisse zurücktreten, soweit die Eltern ungefähr gleiche erzieherische Fähigkeiten haben (Urteil 5A_972/2013 vom 23. Juni 2014 E. 3 mit Hinweisen).
4.3.3. Die Vorinstanz hat sich an diese Rechtsprechung gehalten. Sie hat die (örtliche) Stabilität stärker gewichtet als den Wunsch der Mutter, ihre Kinder persönlich zu betreuen. So zu verfahren, erscheint zumindest dann nicht willkürlich, wenn die Kinder bereits in der Vergangenheit zu einem grossen Teil fremdbetreut wurden (s. E. 4.1).
4.4. Ist die Zuweisung der Obhut an den Beschwerdeführer nicht zu beanstanden, erübrigen sich Erörterungen zur Frage, ob der Beschwerdeführerin gestützt auf <ref-law> die Verlegung des Aufenthaltsorts der Kinder nach England zu erlauben ist. Hinfällig werden auch die weiteren Rechtsbegehren der Beschwerdeführerin, die nur für den Fall gestellt worden sind, dass die Obhut über die Kinder neu ihr überlassen wird (Kinderunterhalt, Herausgabe der Reisepässe). Zu prüfen bleibt hingegen der Umfang des Besuchsrechts.
5.
5.1. Die Vorinstanz räumt der Beschwerdeführerin ein monatliches, in der Schweiz auszuübendes Besuchsrecht von Donnerstagabend, 18.00 Uhr, bis Dienstagabend, 18.00 Uhr, ein.
5.2. Die Beschwerdeführerin macht geltend, dass die Vorinstanz ihr Besuchsrecht willkürlich festlege bzw. kürze. Vor Obergericht sei der Beschwerdeführer damit einverstanden gewesen, das Besuchswochenende, das ihr laut dem erstinstanzlichen Entscheid in jeder geraden Kalenderwoche zusteht, jeweils von Donnerstag, 18.00 Uhr, bis Dienstag, 18.00 Uhr, zu verlängern. Trotzdem habe die Vorinstanz das beantragte Besuchsrecht auf ein verlängertes Wochenende pro Monat reduziert und dies damit begründet, zwei Wochenenden seien nicht praktikabel, weil sie, die Beschwerdeführerin, in der Schweiz nicht über eine eigene Wohnmöglichkeit verfüge und die Zeit mit den Kindern insbesondere am Montag von 15.00 bis 18.30 Uhr/19.00 Uhr bei jeder Witterung ausserhalb der ehelichen Liegenschaft verbringen müsse. Ferner dauere die Reise von V._ nach U._ unverhältnismässig lange. Schliesslich halte die Vorinstanz fest, dass sie bisher durchschnittlich nur einmal im Monat in die Schweiz zu Besuch gekommen sei. Zwar stimme es, dass sie das Besuchsrecht bisher nicht in demjenigen Umfang wahrgenommen habe, wie dies im Urteil des Bezirksgerichts festgesetzt worden sei. Die Beschwerdeführerin erklärt dies damit, dass sie sich die Wahrnehmung des Besuchsrechts nicht habe leisten können und bei jeder Reise in die Schweiz bei Freunden habe um Geld betteln müssen.
5.3. Bei der Ausgestaltung des persönlichen Verkehrs steht das Kindeswohl im Vordergrund. Allfällige Interessen der Eltern haben zurückzustehen (<ref-ruling> E. 2.1 S. 587 f. mit Hinweisen; s. auch Urteile 5A_79/2014 vom 5. März 2015 E. 4.1; 5A_381/2010 vom 21. Juli 2010 E. 5.3.2). Welche Ordnung des persönlichen Verkehrs zwischen Eltern und Kindern angemessen ist, lässt sich nicht objektiv und abstrakt umschreiben, sondern entscheidet sich im konkreten Einzelfall nach gerichtlichem Ermessen (Urteile 5A_432/2011 vom 20. September 2011 E. 2.5; 5A_72/2011 vom 22. Juni 2011 E. 4.1). Immerhin besteht eine Tendenz, das Besuchsrecht des nicht obhutsberechtigten Elternteils auszudehnen bzw. grosszügiger auszugestalten (vgl. <ref-ruling> E. 2.1 S. 587; <ref-ruling> E. 2.3 S. 320; Urteile 5A_79/2014 vom 5. März 2015 E. 4.2; nicht veröffentlichte Erwägung 3.3 des zur Publikation bestimmten Urteils 5A_450/2015 vom 11. März 2016 E. 3.3). Im Übrigen gilt in Kinderbelangen der Untersuchungs- und Offizialgrundsatz (<ref-law>). Das Obergericht durfte sich also über allfällige Zugeständnisse des Vaters hinwegsetzen, wenn es dies als zum Wohl des Kindes nötig erachtete.
5.4. Zu Recht weist die Beschwerdeführerin darauf hin, dass man ihr weder den langen Anfahrtsweg noch ihre bisher bloss monatlichen Besuche in der Schweiz vorwerfen kann. Allein daraus folgt freilich nicht, dass ein ausgedehntes monatliches Besuchsrecht in einem Fall wie dem vorliegenden dem Verbot staatlicher Willkür (<ref-law>) zuwider läuft. Vielmehr bewegt sich der angefochtene Entscheid auch in dieser Hinsicht im Rahmen der Vorgaben der bundesgerichtlichen Rechtsprechung. Daran ändert nichts, dass das Bezirksgericht eine andere, von der Beschwerdeführerin als grosszügiger empfundene Besuchsrechtslösung traf, mit welcher der Beschwerdeführer anscheinend einverstanden war. Gegenstand des bundesgerichtlichen Beschwerdeverfahrens ist einzig das vorinstanzliche Urteil (<ref-law>).
Weshalb sich bei einem monatlichen Besuchsrecht nur ein Ferienbesuchsrecht von acht Wochen mit der Verfassung vertrüge, begründet die Beschwerdeführerin nicht. Ebenso wenig tut sie dar, welche Vorteile es hätte, wenn am Besuchsrecht alle zwei Wochen festgehalten und bloss die Kinderübergabe am Montag um eine Stunde vorverschoben wird. Auf beide Eventualanträge ist mangels Begründung nicht einzutreten (Art. 42 Abs. 1 und 2 BGG).
6.
6.1. Die Vorinstanz berücksichtigt im Bedarf der Beschwerdeführerin unter dem Titel der Kosten für die Wahrnehmung des Besuchsrechts den Betrag von Fr. 375.--. Dies geschah in der Annahme, dass ein Flug von London nach Zürich und zurück Fr. 200.-- koste und dass die Beschwerdeführerin in der Schweiz abwechselnd bei Freunden oder in einem über "airbnb" gemieteten Zimmer (Fr. 70.--/Nacht) übernachte.
6.2. Die Beschwerdeführerin verlangt, unter diesem Titel einen Betrag von Fr. 750.-- einzusetzen. Der Beschwerdeführer erziele ein Monatseinkommen von netto Fr. 26'878.--; zudem dürfe er in einem von ihr mitfinanzierten Haus wohnen. Vor diesem Hintergrund verstosse der Betrag von Fr. 375.-- gegen jeden Gerechtigkeitsgedanken. Bei dem von den Parteien gelebten Lebensstandard müsse ihr zugestanden werden, während ihrer Aufenthalte in der Schweiz in einem Hotel zu wohnen und nicht im Voraus Billigflüge buchen zu müssen. Der Entscheid der Vorinstanz verkenne in willkürlicher Weise, dass für die Besuchszeiten auch für die Kinder Übernachtungsmöglichkeiten gesucht werden müssen, da sie, die Beschwerdeführerin, das eheliche Haus nicht betreten dürfe. Zudem müssten für die Ausübung des Ferien- und Feiertagsbesuchsrechts auch Flüge für die Kinder gebucht werden.
6.3. Diese Vorwürfe sind nicht geeignet, der Vorinstanz Willkür nachzuweisen. Die Beschwerdeführerin hat sich aus freien Stücken im Ausland niedergelassen. Dieser Umstand steht mit dem bisher gelebten Lebensstandard in keinem Zusammenhang. Es liegt deshalb an der Beschwerdeführerin, die finanziellen Konsequenzen dieses Entscheids zu tragen, notfalls indem sie ein höheres Einkommen erzielt oder ihren Bedarf einschränkt, um ihr Besuchsrecht, das auch eine Besuchspflicht beinhaltet, auszuüben. Aus demselben Grund ist es auch nicht zu beanstanden, dass die Vorinstanz die Kosten für die Kinder zwecks Ausübung des Besuchsrechts unberücksichtigt liess.
7.
Im Verfahren 5A_487/2016 wehrt sich der Beschwerdeführer dagegen, seiner Frau Unterhalt bezahlen zu müssen. Zugleich fordert er von der Beschwerdeführerin Geldunterhalt für die Kinder. Umstritten ist im Wesentlichen die Eigenversorgungskapazität der Beschwerdeführerin.
7.1. Die Vorinstanz verurteilt den Beschwerdeführer, seiner Frau rückwirkend ab 1. Februar 2015 bis 31. August 2016 monatlichen Unterhalt von Fr. 4'810.-- und ab 1. September 2016 von Fr. 4'474.-- zu bezahlen. Kinderunterhaltsbeiträge wurde keine zugesprochen (s. Sachverhalt Bst. B.b). Diesem Ergebnis liegt auf Seiten des Ehemannes ein monatliches Nettoeinkommen (inkl. Bonus) von Fr. 23'544.-- und auf Seiten der Ehefrau ein solches von Fr. 1'378.-- (bis August 2016) bzw. Fr. 1'764.-- (ab September 2016) zugrunde. Anders als das Bezirksgericht verzichtet das Obergericht darauf, der Beschwerdeführerin ein zusätzliches, hypothetisches Einkommen anzurechnen, weil die Parteien in sehr guten finanziellen Verhältnissen leben würden und die Beschwerdeführerin während des Zusammenlebens nichts zur Bestreitung des Lebensunterhalts habe beitragen müssen. Anzurechnen sei der Beschwerdeführerin daher bloss das effektive Einkommen, das sie in England als (Jung-) Lehrerin erziele.
7.2. Der Beschwerdeführer wendet sich dagegen, der Beschwerdeführerin Unterhalt zu zahlen, und fordert von ihr für die beiden Kinder einen Unterhaltsbeitrag von je Fr. 550.--. Er behauptet, im Monat Fr. 14'800.-- zu verdienen. Der Vorinstanz wirft er vor, im Ergebnis schweizerisches statt englisches Recht bzw. das englische Recht falsch angewendet zu haben. Zur Begründung verweist er dabei auf das Memorandum eines von ihm konsultierten englischen Anwalts. Demnach könne ein englisches Gericht Ehegattenunterhalt nur zusprechen, wenn es dies unter Berücksichtigung aller Umstände als "fair" erachte. Hierzu verweist der Beschwerdeführer auf den Leading Case White gegen White (2001) 1 A.C. 596. Das Gericht beachte nicht nur die finanziellen Mittel, sondern auch das Verhalten (conduct) der Parteien. Darüber hinaus könne Unterhalt nur zugesprochen werden, wenn eine Notwendigkeit (need) bestehe. Damit werde dem im englischen Recht verankerten Grundsatz Rechnung getragen, dass nicht die tatsächlichen, sondern die möglichen Ressourcen zu berücksichtigen seien. Das englische Recht erachte es nämlich nicht als fair, einer Partei Unterhalt zuzusprechen, wenn diese arbeiten könnte, dies aber unterlasse. Deshalb habe die Unterhalt beantragende Partei nachzuweisen, dass sie nicht in der Lage sei, ihre Bedürfnisse selbst zu decken, wobei es an ihr sei, dies unaufgefordert und ehrlich offenzulegen.
Daraus folgert der Beschwerdeführer, dass die gut qualifizierte Beschwerdeführerin, die früher ein Jahreseinkommen von GBP 90'000.-- erzielt habe und heute keine Betreuungsaufgaben erfüllen müsse, von einem englischen Gericht keinen Unterhalt zugesprochen erhielte. In den Augen des Beschwerdeführers wäre es höchst erstaunlich, wenn seine Frau im Licht der aufstrebenden englischen Wirtschaft in einer grossen und wohlhabenden Stadt wie V._ nicht sofort eine Stelle finden könnte. Bis heute habe sie das Gegenteil denn auch nicht substanziiert belegt. Selbst bei einem Jahreseinkommen von GBP 30'000.-- wäre sie gemäss den englischen Gerichten in der Lage, ihren Bedarf selbst zu decken.
Der Beschwerdeführer beteuert, dass das Memorandum seines englischen Anwalts fundiert und klar sei; weshalb die Vorinstanz nicht darauf abstelle, sei nicht ersichtlich. Stattdessen setze sich die Vorinstanz einzig mit Sec. 27 des Matrimonial Causes Act auseinander und liste diverse Kriterien auf, nach denen der Ehegattenunterhalt festgelegt werden soll. Es stelle fest, dass das Gesetz dem englischen Richter keine bestimmte Methode zur Unterhaltsbemessung vorschreibe, und komme zum Schluss, dass das englische Unterhaltsrecht in den Grundzügen dem schweizerischen Recht entspreche. In der Folge behandle das Obergericht die Frage des Ehegattenunterhalts nach schweizerischem Recht, mit diversen Verweisen auf das ZGB und die ZPO. Es finde sich kein einziger Hinweis auf einen englischen Gesetzesartikel oder auf einen Präzedenzfall. Eine Beurteilung von Ehegattenunterhalt nach englischem Recht sei so nicht möglich.
7.3.
7.3.1. Soweit die vom Beschwerdeführer aufgeführten Beträge bezüglich Einkommen und Bedarf vom angefochtenen Entscheid abweichen, fehlt es an einer genügenden Sachverhaltsrüge. Darauf ist nicht einzutreten (E. 2). Weiter muss der Vorwurf des Beschwerdeführers, wonach die Vorinstanz schweizerisches anstatt englisches Recht angewendet hat, als trölerisch bezeichnet werden, ergibt sich aus dem angefochtenen Urteil doch das genaue Gegenteil. Dass die Vorinstanz zur Auffassung gelangte, dass das englische Unterhaltsrecht in den Grundzügen dem schweizerischen Unterhaltsrecht entspricht, betrifft die rechtliche Würdigung.
7.3.2. Im Übrigen übersieht der Beschwerdeführer, dass das Bundesgericht im vorliegenden Zusammenhang nicht zu prüfen hat, ob die Vorinstanz das englische Recht korrekt angewendet hat. Der Beschwerdeführer kann nur die Verletzung verfassungsmässiger Rechte, namentlich eine Verletzung des Willkürverbots, geltend machen (E. 2). Willkür in der Rechtsanwendung liegt nach ständiger bundesgerichtlicher Praxis nicht schon dann vor, wenn eine andere Lösung ebenfalls vertretbar erscheint oder sogar vorzuziehen wäre; sie ist erst gegeben, wenn ein Entscheid auf einem offensichtlichen Versehen beruht, mit der tatsächlichen Situation in klarem Widerspruch steht, eine Norm oder einen unumstrittenen Rechtsgrundsatz krass verletzt oder in stossender Weise dem Gerechtigkeitsgedanken zuwiderläuft (<ref-ruling> E. 1.3 S. 4 f.; <ref-ruling> E. 4.2 S. 560). Dabei genügt es nicht, wenn der angefochtene Entscheid sich nur in der Begründung als unhaltbar erweist. Eine Aufhebung rechtfertigt sich erst, wenn er auch im Ergebnis verfassungswidrig ist (<ref-ruling> E. 1.3 S. 5; <ref-ruling> E. 2.2.2 S. 319). Inwiefern der vorinstanzliche Schluss, wonach das englische Unterhaltsrecht in den Grundzügen dem schweizerischen entspricht, falsch sein soll, vermag der Beschwerdeführer nicht zu erklären. Im Übrigen mag es für den Beschwerdeführer unbefriedigend sein, der Beschwerdeführerin, die ihn und die gemeinsamen Kinder verlassen hat und nach England gezogen ist, Unterhalt zahlen zu müssen. Allein daraus folgt aber keineswegs, dass der angefochtene Entscheid in stossender Weise mit dem Gerechtigkeitsgedanken in Konflikt geriete, zumal Verschuldenselemente auch bei der Regelung der wirtschaftlichen Folgen des Getrenntlebens keine Rolle spielen.
7.3.3. Bleibt es beim angefochtenen Entscheid, wonach der Beschwerdeführerin ein Einkommen von Fr. 1'378.-- (bis August 2016) bzw. Fr. 1'764.-- (ab September 2016) anzurechnen ist, erübrigen sich Ausführungen zur Berechnung und zur Höhe eines darüber hinausgehenden hypothetischen Einkommens der Ehefrau. Damit ist auch dem Vorwurf des Beschwerdeführers die Grundlage entzogen, wonach die Beschwerdeführerin erst vor Vorinstanz und damit verspätet geltend gemacht habe, dass ihr das Erzielen eines Jahreseinkommens von GBP 60'000.-- gar nicht möglich sei.
8.
Soweit der Beschwerdeführer Unterhalt für seine Kinder beansprucht, gilt schweizerisches Recht (E. 3). Der Beschwerdeführer tut nicht dar, inwiefern die Vorinstanz in diesem Zusammenhang schweizerisches Recht in einer Weise anwendet, die sich mit seinen verfassungsmässigen Rechten nicht verträgt (E. 2). Zu behaupten, dass die Beschwerdeführerin (mehr) arbeiten könnte, was im Übrigen gar nicht bestritten ist, genügt nicht. Ebenso wenig taugt der Hinweis darauf, dass ein Mann in der Situation der Beschwerdeführerin zu Unterhalt verpflichtet worden wäre. Auf die Beschwerde kann daher in diesem Punkt nicht eingetreten werden.
9.
Nach dem Gesagten sind beide Beschwerden abzuweisen, soweit auf sie einzutreten ist. Die beiden Parteien haben für die Gerichtskosten aufzukommen (<ref-law>). Soweit aussergerichtliche Kosten entstanden sind, haben die Parteien ihre eigenen Aufwendungen für das bundesgerichtliche Verfahren selbst zu tragen (<ref-law>). Die vorinstanzlichen Kostenentscheide wurden nur für den Fall angefochten, dass die jeweilige Beschwerde gutgeheissen würde. Dies ist nach dem Gesagten nicht der Fall.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Verfahren 5A_474/2016 und 5A_487/2016 werden vereinigt.
2.
Die Beschwerden werden abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
3.
Die Gerichtskosten von Fr. 5'000.-- werden A._ und B._ je zur Hälfte auferlegt.
4.
Es werden keine Parteientschädigungen zugesprochen.
5.
Dieses Urteil wird A._, B._ und dem Obergericht des Kantons Zürich, I. Zivilkammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 27. Oktober 2016
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: von Werdt
Der Gerichtsschreiber: Monn