Erwägungen:
1.
Im zweiten Wahlgang vom 14. Juni 2015 der Erneuerungswahl des Friedensrichters respektive der Friedensrichterin für die Stadt Uster wurde Andreas Kofmel mit 2'451 Stimmen gewählt. Das Wahlresultat wurde am 17. Juni 2015 amtlich publiziert. Mit Stimmrechtsrekurs vom 22. Juni 2015 beantragte Kurt Muffler, die Wahl sei für ungültig zu erklären und zu wiederholen. Der Bezirksrat Uster wies den Rekurs am 23. September 2015 ab. Mit Urteil vom 11. November 2015 wies das Verwaltungsgericht des Kantons Zürich die dagegen von Kurt Muffler erhobene Beschwerde ab.
2.
Kurt Muffler führt mit Eingabe vom 8. Januar 2016 Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten gegen das Urteil des Verwaltungsgerichts des Kantons Zürich vom 11. November 2015.
Der Stadtrat Uster stellt den Antrag, auf die Beschwerde sei nicht einzutreten. Das Verwaltungsgericht hat auf eine Vernehmlassung verzichtet.
3.
Die Frist zur Einreichung der Beschwerde beim Bundesgericht beträgt gemäss richtiger Rechtsmittelbelehrung des Verwaltungsgerichts 30 Tage nach der Eröffnung des angefochtenen Urteils (<ref-law>). Der Beschwerdeführer hat das angefochtene Urteil am 23. November 2015 erhalten. Die 30-tägige Beschwerdefrist lief somit am 23. Dezember 2015 ab. Die am 8. Januar 2016 bei der Post aufgegebene Beschwerde ist daher nach Ablauf der 30-tägigen Beschwerdefrist aufgegeben worden.
3.1. Der Beschwerdeführer ist der Auffassung, es gelte der Fristenstillstand gemäss <ref-law>, wonach gesetzlich oder richterlich bestimmte Fristen vom 18. Dezember bis und mit 2. Januar still stehen. Diese Vorschrift gilt indessen gemäss <ref-law> (in der Fassung vom 26. September 2014, in Kraft seit 1. November 2015) nicht in Verfahren betreffend aufschiebende Wirkung und andere vorsorgliche Massnahmen sowie in der Wechselbetreibung, für Stimmrechtssachen (Art. 82 Bst. c) und auf den Gebieten der internationalen Rechtshilfe in Strafsachen und der internationalen Amtshilfe in Steuersachen. Der Beschwerdeführer geht selbst davon aus, dass es sich vorliegend um eine Stimmrechtssache im Sinne von <ref-law> handelt. Der Fristenstillstand kommt daher nicht zur Anwendung. Demzufolge ist die am 8. Januar 2016 der Post übergebene Beschwerde verspätet.
4.
Der Beschwerdeführer beantragt bei diesem Ergebnis eine Fristwiederherstellung gemäss <ref-law>. Was er hiezu vorbringt, rechtfertigt es jedoch nicht, die Frist wiederherzustellen. Im Verfahren nach dem Bundesgerichtsgesetz besteht, anders als nach <ref-law>, keine gesetzliche Pflicht, die Parteien ausdrücklich auf die Ausnahmen vom Fristenstillstand hinzuweisen (vgl. BSK BGG, Kathrin Amstutz/Peter Arnold, 2. Aufl., Art. 46 N 8b). Die Rechtsmittelbelehrung war somit nicht fehlerhaft, weshalb sich eine Fristwiederherstellung gestützt auf Treu und Glauben von vornherein nicht rechtfertigt.
5.
Auf die Beschwerde ist demnach wegen verspäteter Einreichung nicht einzutreten. Bei diesem Ausgang des Verfahrens sind die Gerichtskosten dem Beschwerdeführer aufzuerlegen (<ref-law>). Der kommunalen Behörde steht keine Parteientschädigung zu (<ref-law>).
Mit dem Entscheid in der Sache selbst wird das Gesuch um aufschiebende Wirkung gegenstandslos.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Das Gesuch um Wiederherstellung der Frist wird abgewiesen.
2.
Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
3.
Die Gerichtskosten von Fr. 1'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
4.
Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer, dem Stadtrat Uster und dem Verwaltungsgericht des Kantons Zürich, 4. Abteilung, 4. Kammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 8. Februar 2016
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Fonjallaz
Der Gerichtsschreiber: Pfäffli