Sachverhalt:
A.
A._ war ab 1. September 2003 bei der Firma B._ angestellt. Damit war sie bei der GastroSocial Pensionskasse berufsvorsorgeversichert. Nach einem Sturz am 19. Januar 2004 arbeitete sie nicht mehr bis zur Auflösung des Arbeitsverhältnisses durch die Arbeitgeberin auf Ende April 2004. Am 31. März 2005 meldete sich A._ bei der Invalidenversicherung zum Rentenbezug an. Nach Abklärungen (u.a. Gutachten der asim [Academy of Swiss Insurance Medicine, Universitätsspital Basel] vom 22. November 2010) sprach ihr die IV-Stelle des Kantons Aargau mit Verfügung vom 16. Mai 2011 aufgrund eines Invaliditätsgrades von 100 % rückwirkend ab 1. Januar 2005 eine ganze Rente samt zwei Kinderrenten zu. Das Gesuch der A._ um Ausrichtung einer Invalidenrente der beruflichen Vorsorge lehnte die GastroSocial Pensionskasse ab (Schreiben vom 22. Juni 2011 und 9. April 2013).
B.
Am 15. Juli 2013 reichte A._ beim Versicherungsgericht des Kantons Aargau Klage gegen die GastroSocial Pensionskasse ein mit dem Rechtsbegehren, die Beklagte sei zu verpflichten, ihr eine Invalidenrente sowie entsprechende Kinderrenten basierend auf einer Erwerbsunfähigkeit von 100 % ab 1. Januar 2005 zu bezahlen, zuzüglich Verzugszins von 5 % seit dem 1. Januar 2005. Das Gericht holte die Klageantwort ein, führte einen zweiten Schriftenwechsel durch und liess die IV-Akten edieren. Mit Entscheid vom 12. Mai 2015 wies es die Klage ab.
C.
Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten beantragt A._, der Entscheid vom 12. Mai 2015 sei aufzuheben und die GastroSocial Pensionskasse zu verpflichten, ihr eine Invalidenrente sowie entsprechende Kinderrenten basierend auf einer Erwerbsunfähigkeit von 100 % ab 1. Januar 2005 zu bezahlen, zuzüglich Verzugszins von 5 % seit dem 1. Januar 2005.
Die GastroSocial Pensionskasse ersucht um Abweisung der Beschwerde. Das Bundesamt für Sozialversicherungen verzichtet auf eine Vernehmlassung.
A._ hat im Rahmen des Replikrechts Bemerkungen zur Stellungnahme der GastroSocial Pensionskasse gemacht (Eingabe vom 15. September 2015).

Erwägungen:
1.
1.1. Invalidenleistungen der (obligatorischen) beruflichen Vorsorge werden von derjenigen Vorsorgeeinrichtung geschuldet, bei welcher die ansprechende Person bei Eintritt der Arbeitsunfähigkeit, deren Ursache zur Invalidität geführt hat, versichert war (Art. 23 lit. a BVG; <ref-ruling> E. 6.2 S. 419). Der Anspruch setzt einen engen zeitlichen und sachlichen Zusammenhang zwischen der während des Vorsorgeverhältnisses (einschliesslich Nachdeckungsfrist nach Art. 10 Abs. 3 BVG) bestandenen Arbeitsunfähigkeit und der allenfalls erst später eingetretenen Invalidität voraus (<ref-ruling> E. 3.2 S. 22). Der sachliche Konnex ist gegeben, wenn der Gesundheitsschaden, welcher zur Arbeitsunfähigkeit geführt hat, im Wesentlichen derselbe ist, wie er der Erwerbsunfähigkeit zugrunde liegt (<ref-ruling> E. 6.2 S. 419).
1.2. Unter bestimmten, hier unbestrittenermassen gegebenen Voraussetzungen sind der im invalidenversicherungsrechtlichen Verfahren ermittelte Invaliditätsgrad und der Beginn der einjährigen Wartezeit nach <ref-law> (bis 31. Dezember 2007: <ref-law>) im Streit um Invalidenleistungen der beruflichen Vorsorge bzw. darum, ob die ins Recht gefasste Vorsorgeeinrichtung nach Gesetz (Art. 23 lit. a BVG; bis 31. Dezember 2004: Art. 23 BVG) und Reglement leistungspflichtig ist, grundsätzlich verbindlich, sofern die betreffenden Festlegungen aufgrund einer gesamthaften Prüfung der Akten nicht als offensichtlich unhaltbar erscheinen (vgl. <ref-ruling> E. 4.3.2 S. 69; Urteil 9C_656/2014 vom 16. Dezember 2015 E. 5.2). Ob eine allfällige Unrichtigkeit offensichtlich ist, und demzufolge eine Bindungswirkung entfällt, ist eine frei überprüfbare Rechtsfrage (Urteile 9C_656/2014 vom 16. Dezember 2015 E. 5.3 und 9C_182/2007 vom 7. Dezember 2007 E. 4.1.1, in: SVR 2008 BVG Nr. 31 S. 126).
2.
Die Vorinstanz hat den im Grundsatz streitigen Anspruch der Beschwerdeführerin gegenüber der Beschwerdegegnerin auf Invalidenleistungen der beruflichen Vorsorge (nach Gesetz und Reglement) im Wesentlichen mit folgender Begründung verneint: Unbestritten sei die Verfügung der kantonalen IV-Stelle vom 16. Mai 2011, womit der Beschwerdeführerin aufgrund eines Invaliditätsgrades von 100 % eine ganze Rente ab 1. Januar 2005 zugesprochen worden sei, bindend und könne in Bezug auf den Eintritt der Arbeitsunfähigkeit lediglich auf offensichtliche Unrichtigkeit hin überprüft werden. Ebenso stehe ausser Frage, dass die psychische Erkrankung Ursache der Arbeitsunfähigkeit sei, welche der Rentenzusprechung zugrunde liege. Die Beschwerdeführerin sei ab 11. August 2004 in psychotherapeutischer Behandlung gestanden. Aufgrund der medizinischen Akten sei zwar möglich, dass bereits vorher bei noch bestehender Versicherungsdeckung (für das Risiko Invalidität und Tod; Art. 10 Abs. 3 BVG), welche Ende Mai 2004 endete, Symptome einer psychischen Erkrankung aufgetreten seien. Das genüge indessen nicht, um den sachlichen Zusammenhang mit den (somatischen) Folgen des Sturzes vom 19. Januar 2004, welche unbestritten spätestens am 1. März 2004 mit dem Erreichen des status quo sine abgeklungen seien, zu begründen. Nach der Rechtsprechung sei entscheidend, dass das psychische Leiden sich während des Vorsorgeverhältnisses manifestiert und das Krankheitsgeschehen erkennbar mitgeprägt habe. Die Gutachter der asim hätten festgestellt, aufgrund der Aktenlage könne nicht zurückverfolgt werden, wann genau die psychiatrische Symptomatik das Ausmass der vorliegenden Erkrankung angenommen habe. Wie üblich bei depressiven Erkrankungen sei der Verlauf schwankend. Gemittelt müsse festgestellt werden, dass wahrscheinlich ab 2005 eine mittelschwere depressive Episode bestanden habe, heute aber eine schwere depressive Episode zu diagnostizieren sei. Der Expertise der asim vom 22. November 2010 komme Beweiswert zu, was unbestritten sei. Unter diesen Umständen sei ein sachlicher Zusammenhang zwischen relevanter Arbeitsunfähigkeit und nachfolgender Invalidität (im berufsvorsorgerechtlichen Sinne) zu verneinen, sodass keine Leistungspflicht der Beschwerdegegnerin bestehe. Damit sei die Einschätzung der Invalidenversicherung, wonach die einjährige Wartezeit am 1. (recte: 20.) Januar 2004 zu laufen begonnen habe, offensichtlich unrichtig und dieser nicht zu folgen. Zusammenfassend lasse sich nicht mit überwiegender Wahrscheinlichkeit feststelle, ob die psychische Erkrankung, welche letztlich zur Invalidität geführt habe, während der Dauer des Vorsorgeverhältnisses mit der Beschwerdegegnerin (einschliesslich der einmonatigen Nachdeckungsfrist nach Art. 10 Abs. 3 BVG) eingetreten sei.
3.
Die Beschwerdeführerin rügt, die Rechtsauffassung der Vorinstanz, wonach die Festlegung des Beginns der Wartezeit nach a<ref-law> durch die IV-Stelle auf den Januar 2004 offensichtlich unrichtig sei, verletze Bundesrecht. Das kantonale Berufsvorsorgegericht habe verkannt, dass nicht sie den Beweis zu erbringen habe, in welchem Zeitpunkt die psychisch bedingte Arbeitsunfähigkeit eingetreten sei, sondern dass zu prüfen war bzw. sinngemäss gewesen wäre, ob die grundsätzlich bindenden Feststellungen der Invalidenversicherung ausnahmsweise offensichtlich unhaltbar seien.
4.
4.1. Aus berufsvorsorgerechtlicher Sicht stellt sich die Frage, ob während des Vorsorgeverhältnisses vom 1. September 2003 bis 30. April 2004 bzw. vor Ablauf der Nachdeckungsfrist nach Art. 10 Abs. 3 BVG am 31. Mai 2005 die Arbeitsfähigkeit, d.h. das funktionelle Leistungsvermögen in der ausgeübten Tätigkeit, aus psychischen Gründen dauerhaft im Umfang von mindestens 20 Prozent eingeschränkt war (<ref-ruling> E. 3.2.2 S. 23; Urteil 9C_656/2014 vom 16. Dezember 2015 E. 5.1.1 mit Hinweisen). Die Frage ist für die Zeit bis mindestens zum Unfall vom 19. Januar 2004 (Sturz auf einer Treppe bei der Arbeit) zu verneinen (vgl. auch E. 4.3 hinten). Nach verbindlicher Feststellung der Vorinstanz sodann war in Bezug auf die Folgen dieses Ereignisses spätestens am 1. März 2004 der status quo sine erreicht. Aufgrund der Akten bestanden im Übrigen abgesehen von unfallbedingten keine ins Gewicht fallenden somatischen Beeinträchtigungen des Gesundheitszustandes. Es kann offen bleiben, ob unter diesen Umständen die von der Vorinstanz als massgebend erachtete Rechtsprechung zum engen sachlichen Zusammenhang zwischen somatisch bedingter Arbeitsunfähigkeit bei noch bestehender Versicherungsdeckung und späterer Invalidität aus psychischen Gründen (Urteile 9C_484/2012 vom 26. März 2013 E. 4.4 mit Hinweisen und B 46/06 vom 29. Januar 2007 E. 3.3; vgl. auch Urteil 9C_814/2014 vom 30. April 2015 E. 6.1) eine Rolle spielen kann. Es ändert nichts am Ergebnis.
4.2. Die Zusprechung einer ganzen Rente der Invalidenversicherung ab 1. Januar 2005 setzte u.a. voraus, dass die Beschwerdeführerin während eines Jahres ohne wesentlichen Unterbruch [= ohne an mindestens 30 aufeinanderfolgenden Tagen voll arbeitsfähig gewesen zu sein; aArt. 29ter IVV, in der bis 31. Dezember 2007 geltenden Fassung] gesundheitlich bedingt durchschnittlich mindestens zu 70 Prozent arbeitsunfähig ["Einbusse an funktionellem Leistungsvermögen im bisherigen Beruf"; <ref-ruling> E. 3.2 S. 99] gewesen war und der Invaliditätsgrad nach Ablauf der Wartezeit mindestens 70 Prozent betrug (a<ref-law> und <ref-ruling> E. 6a und b S. 272 ff. [heute: <ref-law>] sowie aArt. 28 Abs. 1 IVG, in der bis 31. Dezember 2007 geltenden Fassung). Aus dieser im vorliegenden Fall grundsätzlich verbindlichen invalidenversicherungsrechtlichen Festlegung ist aufgrund des in E. 4.1 hiervor Gesagten insbesondere zu folgern, dass im Zeitraum vom 1. März bis 31. Mai 2004 eine auf die (invalidisierende) psychische Erkrankung zurückzuführende und damit berufsvorsorgerechtlich relevante Einschränkung der Arbeitsfähigkeit von wenigstens 20 % bestand. Diese Beurteilung kann bei einer gesamthaften Prüfung der Akten entgegen der Auffassung der Vorinstanz nicht als offensichtlich unhaltbar bezeichnet werden:
4.2.1. Wie das kantonale Berufsvorsorgegericht selber festgestellt hat, hielt der psychiatrische Gutachter der asim fest, die Symptomatik einer schweren depressiven Episode mit zum Teil psychotischen Symptomen sei schon seit 2004 bekannt gewesen. Nicht ganz widerspruchsfrei dazu gelangten die drei Referenten in der Konsensbesprechung zum Ergebnis, unter Berücksichtigung des bei depressiven Erkrankungen schwankenden Verlaufs habe wahrscheinlich ab 2005 eine mittelschwere depressive Episode bestanden. Indessen bezog sich diese Aussage auf die aufgrund der Akten nicht klar zu beantwortende Frage, wann genau die psychiatrische Symptomatik das Ausmass der vorliegenden Erkrankung angenommen hatte. Aktuell wurde eine schwere depressive Episode diagnostiziert, welche jegliche erwerbliche Tätigkeit ausschloss. Im hier interessierenden Zusammenhang genügt jedoch bereits eine Einbusse an funktionellem Leistungsvermögen im zuletzt ausgeübten Beruf von wenigstens 20 % (E. 4.1 vorne).
4.2.2. Weiter äusserte sich der Regionale Ärztliche Dienst (RAD) in seiner Stellungnahme vom 17. Dezember 2010 dahingehend, für die Phase im Zeitraum 2004 bis 2005 seien die Angaben zu vage für eine begründete Beurteilung. Einigermassen gesichert durch die Expertise der asim bestehe ab 2005 eine andauernde Arbeitsunfähigkeit von 100 % für jegliche ausserhäusliche Tätigkeiten. Diese Einschätzung nimmt wiederum (lediglich) Bezug auf die ausdrücklich gestellte Frage nach dem Verlauf der zumutbaren Arbeitsfähigkeit in einer angepassten Tätigkeit seit Beginn im Jahre 2004, wohingegen im Kontext interessiert, ob während des Vorsorgeverhältnisses mit der Beschwerdegegnerin bzw. vor Ablauf der Nachdeckungsfrist Ende Mai 2004 das funktionelle Leistungsvermögen im zuletzt ausgeübten Beruf aus psychischen Gründen zu mindestens 20 % beeinträchtigt war. Entgegen der Auffassung der ins Recht gefassten Vorsorgeeinrichtung enthält die IV-Verfügung vom 4. März 2011 keinen Widerspruch. Bestand aufgrund der medizinischen Unterlagen seit dem Jahre 2005 für jegliche ausserhäusliche Tätigkeit eine 100%ige Arbeitsunfähigkeit, betrug folgerichtig nach Ablauf der gesetzlichen Wartezeit von einem Jahr am 1. (recte: 19.) Januar 2005 ein Invaliditätsgrad von 100 %, wie festgehalten wurde (E. 4.2 vorne).
4.2.3. Allein gestützt auf die vor dem asim-Gutachten erstellten fachärztlichen Berichte, deren wesentliche Aussagen in E. 6.2.3-5 des angefochtenen Entscheids wiedergegeben werden, sodann wäre davon auszugehen, dass noch während des Vorsorgeverhältnisses bzw. vor Ablauf der Versicherungsdeckung für das Risiko Invalidität Ende Mai 2004 eine im Sinne von aArt. 23 BVG relevante psychisch bedingte Arbeitsunfähigkeit bestand. So hielt namentlich der Psychiater des RAD in seinem Bericht vom 25. Mai 2007 fest, die Versicherte sei seit 30. April 2004 für jede Tätigkeit im allgemeinen Arbeitsmarkt 100 % arbeitsunfähig. Den betreffenden medizinischen Unterlagen kann nicht jeglicher Beweiswert abgesprochen werden, zumal deren Befunde und Diagnosen im Wesentlichen mit denjenigen in der Expertise der asim übereinstimmten und gemäss dem Psychiater der Medizinischen Abklärungsstelle die Symptomatik schon seit 2004 bekannt gewesen war (E. 4.2.1 vorne).
Zusammenfassend erscheint zwar die invalidenversicherungsrechtliche Festlegung der Wartezeit nach a<ref-law> diskutabel, von offensichtlicher Unhaltbarkeit kann jedoch nicht gesprochen werden.
4.3. Wie die Beschwerdegegnerin im Eventualstandpunkt sinngemäss richtig vorbringt, schliesst dieses Ergebnis nicht eine allenfalls bereits bei Beginn des Vorsorgeverhältnisses am 1. September 2003 bestandene berufsvorsorgerechtlich relevante Arbeitsunfähigkeit im Sinne von aArt. 23 BVG aus, womit gegebenenfalls ihre Leistungspflicht entfiele (vgl. Urteil 9C_684/2008 vom 18. September 2009 E. 4.2 mit Hinweisen). Ein solcher Tatbestand liegt indessen nicht vor, wie die Aktenlage zeigt (<ref-law>). Gemäss dem asim-Gutachten und auch den von der Beschwerdegegnerin im kantonalen Verfahren eingereichten Unterlagen ist letztmals für die Zeit vom 20. Dezember 2002 bis 16. Februar 2003 eine auch psychisch bedingte und nicht einzig auf das Schmerzsyndrom im Lumbalbereich zurückzuführende Arbeitsunfähigkeit ausgewiesen. Unter diesen Umständen ist der enge zeitliche Konnex zwischen damaliger Arbeitsunfähigkeit, soweit psychisch bedingt, und später eingetretener Invalidität (vgl. <ref-ruling> E. 3.2.1 S. 22) zu verneinen. Damit bleibt es bei der grundsätzlichen Leistungspflicht der Beschwerdegegnerin zufolge nicht offensichtlicher Unhaltbarkeit der invalidenversicherungsrechtlichen Festlegung der Wartezeit nach a<ref-law>.
5.
Die Beschwerdegegnerin wird die Höhe der Invalidenrente und der beiden Kinderrenten sowie den Leistungsbeginn nach Massgabe von Gesetz und Reglement festzusetzen haben (vgl. <ref-ruling>). Zudem hat sie ab Einreichung der Klage auf jenen Rentenbetreffnissen, die bis zur Eröffnung des vorliegenden Urteils fällig werden, einen Verzugszins von 5 % zu bezahlen (<ref-ruling> E. 4c S. 135).
6.
Ausgangsgemäss hat die Beschwerdegegnerin die Gerichtskosten zu tragen (<ref-law>) und der Beschwerdeführerin eine Parteientschädigung zu bezahlen (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird gutgeheissen. Der Entscheid des Versicherungsgerichts des Kantons Aargau vom 12. Mai 2015 wird aufgehoben. Es wird festgestellt, dass die Beschwerdeführerin Anspruch auf eine Invalidenrente und zwei Kinderrenten hat, deren Höhe und Beginn von der Beschwerdegegnerin noch festzusetzen sind, zuzüglich eines Verzugszinses gemäss E. 5.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 800.- werden der Beschwerdegegnerin auferlegt.
3.
Die Beschwerdegegnerin hat die Beschwerdeführerin für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 2'800.- zu entschädigen.
4.
Die Sache wird zur Neuverlegung der Parteientschädigung des vorangegangenen Verfahrens an das Versicherungsgericht des Kantons Aargau zurückgewiesen.
5.
Dieses Urteil wird den Parteien, dem Versicherungsgericht des Kantons Aargau und dem Bundesamt für Sozialversicherungen schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 19. Januar 2016
Im Namen der II. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Glanzmann
Der Gerichtsschreiber: Fessler