Erwägungen:
1.
A._ reichte am 28. Dezember 2016 bei mehreren kantonalen und eidgenössischen Strafverfolgungsbehörden eine umfangreiche Strafanzeige gegen verschiedene Amtsstellen und private Organisationen der Schweiz ein. Er machte dabei im Wesentlichen geltend, dass die B._ AG während Jahren in der Nähe seines Wohnortes widerrechtlich unterirdische Branddemonstrationen, Forschungsbrände und Feuerwehrübungen durchgeführt hätte. Durch die entsprechenden Emissionen sei er schwer geschädigt worden und stehe deswegen bis heute in medizinischer Behandlung und Betreuung. An diesem Umstand seien Bundes- wie auch kantonale Behörden mitverantwortlich. Diese hätten sich u.a. des Amtsmissbrauchs und der ungetreuen Amtsführung schuldig gemacht, indem sie im Wissen um die Widerrechtlichkeit den Betrieb zugelassen hätten, um sich oder andere zu bevorteilen bzw. um ihn an Leib und Leben zu gefährden. Ausserdem hätten sie es unterlassen, die Öffentlichkeit ausreichend zu informieren. Schliesslich sei er gegen seinen Willen fürsorgerisch untergebracht und medikamentös behandelt worden.
Nachdem A._ am 7. Januar 2017 eine weitere Eingabe eingereicht hatte, forderte ihn der fallführende Staatsanwalt der Staatsanwaltschaft des Kantons St. Gallen mit Schreiben vom 12. Januar 2017 auf, seine Strafanzeige in Bezug auf die B._ AG sowie bezüglich der angezeigten Amtsdelikte zu konkretisieren. Daraufhin reichte der Anzeiger weitere Eingaben ein und stellte am 27. Januar 2017 u.a. den "Antrag auf unverzüglichen Ausstand der Staatsanwaltschaft des Kantons St. Gallen".
2.
Das Untersuchungsamt Uznach sandte am 6. Februar 2017 die Eingaben von A._ an die Anklagekammer des Kantons St. Gallen zwecks Durchführung eines Ermächtigungsverfahrens sowie zur Behandlung des Ausstandsgesuchs. Die Anklagekammer trat mit Entscheid vom 7. März 2017 auf das Ausstandsgesuch nicht ein und erteilte keine Ermächtigung zur Eröffnung von Strafverfahren. Zur Begründung führte die Anklagekammer zusammenfassend aus, dass sich das Ausstandsgesuch gegen eine Gesamtbehörde richte. Eine substantiierte Darlegung bzw. Begründung, inwiefern die einzelnen Mitglieder der Staatsanwaltschaft befangen sein sollten, fehle. Bereits aus diesem Grund sei auf das Ausstandsgesuch nicht einzutreten. Die Anklagekammer sei zuständig, um über die Ermächtigung zu entscheiden, soweit es um die Amtsführung von Behördenmitgliedern und Mitarbeitenden des Kantons St. Gallen gehe. Bezüglich Mitarbeitenden des Bundes und der übrigen Kantone sowie der B._ AG bestehe keine Zuständigkeit. Für die in den Zuständigkeitsbereich der Anklagekammer fallenden Vorwürfe fehle es an der nötigen Begründung. Es seien keine Anhaltspunkte ersichtlich, dass sich die Angezeigten in irgendeiner Weise strafbar verhalten haben könnten. Selbst vage Hinweise auf ein möglicherweise strafbares Verhalten würden fehlen.
3.
A._ führt gegen den Entscheid der Anklagekammer des Kantons St. Gallen vom 7. März 2017 mit Eingabe vom 6. Juni 2017 Beschwerde beim Bundesgericht. Das Bundesgericht verzichtet auf die Einholung von Vernehmlassungen.
4.
Nach <ref-law> ist in der Begründung einer Beschwerde in gedrängter Form darzulegen, inwiefern der angefochtene Entscheid Recht verletzt. Die Bestimmungen von <ref-law> nennen die vor Bundesgericht zulässigen Beschwerdegründe. Hinsichtlich der Verletzung von Grundrechten gilt der in <ref-law> verankerte Grundsatz der Rechtsanwendung von Amtes wegen nicht; insofern besteht eine qualifizierte Rügepflicht (<ref-law>; <ref-ruling> E. 1.4.1 S. 53, 65 E. 1.3.1 S. 68 mit Hinweisen). Es obliegt dem Beschwerdeführer namentlich darzulegen, inwiefern der angefochtene Entscheid gegen die gerügten Grundrechte verstossen soll.
Der Beschwerdeführer vermag mit der Darstellung seiner Sicht der Dinge nicht aufzuzeigen, dass die Anklagekammer Recht im Sinne von <ref-law> verletzt hätte, als sie auf das Ausstandsgesuch nicht eintrat und keine Ermächtigung zur Eröffnung von Strafverfahren erteilte. Aus den zum Teil nicht sachbezogenen weitgehend pauschalen Ausführungen des Beschwerdeführers ergibt sich nicht, inwiefern die Begründung der Anklagekammer bzw. deren Urteil selbst rechts- bzw. verfassungswidrig sein soll und bestimmte Mitarbeitende oder Behördenmitglieder des Kantons St. Gallen sich strafbare Handlungen hätten zuschulden kommen lassen. Die Beschwerde genügt den gesetzlichen Formerfordernissen offensichtlich nicht, weshalb auf sie im vereinfachten Verfahren nach <ref-law> nicht einzutreten ist.
5.
Auf eine Kostenauflage ist zu verzichten (<ref-law>).

Demnach erkennt der Präsident:
1.
Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2.
Es werden keine Kosten erhoben.
3.
Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer, der Staatsanwaltschaft des Kantons St. Gallen, Untersuchungsamt Uznach, und der Anklagekammer des Kantons St. Gallen schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 8. Juni 2017
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Merkli
Der Gerichtsschreiber: Pfäffli