Sachverhalt:
A.
A._ ist der Vater von B._, geboren 1995. Nach der Scheidung seiner Eltern lebte B._ bei seiner Mutter, C._. Das Obergericht des Kantons Zürich legte hierfür am 7. Juli 2011 einen Kindesunterhalt fest.
Anfangs 2013 zog B._ nach einem Obhutswechsel zum Vater. Die Eltern schlossen am 24. März 2013 einen Unterhaltsvertrag, in dem sie den Kinderunterhalt untereinander einvernehmlich änderten. Sie vereinbarten, dass A._ der Mutter den gerichtlich festgelegten Unterhaltsbeitrag von Fr. 800.-- nicht mehr schulde, nachdem B._ seit 1. Januar 2013 in der Obhut des Vaters sei. Lebe B._ wieder bei seiner Mutter, sei der Kinderunterhalt wieder geschuldet. Nach rund zehn Monaten (wohl am 19. Dezember 2013) kehrte B._ zur Mutter zurück. Dort blieb er fortan, trotz des Angebots seines Vaters für freie Kost und Logis, wenn er bei ihm wohne.
Am xx.xx.2013 wurde B._ volljährig. Nach seiner Rückkehr zur Mutter unterzeichnete er am 20. Dezember 2013 eine "Alimente Vereinbarung", mit der er für die Zeit ab der Unterzeichnung auf Alimente des Vaters verzichtete. Seine Mutter konnte ihn damals nicht unterstützten, weil sie Sozialhilfe bezog.
Am 14. Januar 2014 beantragte B._ seinerseits Sozialhilfe von der Gemeinde U._. Deren Sozialbehörde sprach ihm mit Beschluss vom 20. März 2014 rückwirkend ab 1. Januar 2014 einen monatlichen Unterstützungsbetrag von Fr. 1'216.25, abzüglich Einnahmen (exklusive Krankenkassenprämie), zu. Sie erwog, B._ sei es nicht zumutbar, zum Vater zurückzukehren. Die finanzielle Unterstützung durch die Gemeinde dauerte bis Juni 2015.
Die Gemeinde U._ macht vorliegend geltend, sie sei im Umfang der geleisteten Sozialhilfe in den Unterhaltsanspruch von B._ eingetreten. Dafür verlangt sie von dessen Vater A._ Unterhalt.
B.
Mit Klage vom 22. September 2014 beantragte die Gemeinde U._, A._ sei zu verpflichten, ihr für die Zeit vom 1. Januar 2014 bis zum Abschluss der Ausbildung von B._ monatlich Fr. 800.-- zu bezahlen. Sie machte geltend, sie sei im Umfang der geleisteten Sozialhilfe in den Unterhaltsanspruch von B._ eingetreten, und verlangte dafür von dessen Vater A._ Unterhalt. Nachdem C._ wieder über eigenes Einkommen verfügte und ihren Sohn unterstützen konnte, bezifferte die Gemeinde U._ die ihr zuzuerkennenden Unterhaltsbeiträge auf Fr. 6'356.10, entsprechend der Summe der B._ bezahlten Sozialhilfe. Der Einzelrichter am Bezirksgericht Bülach hiess die Klage am 1. Dezember 2015 in diesem Umfang gut.
Dagegen erhob A._ am 1. Februar 2016 Beschwerde und beantragte, das Urteil sei aufzuheben und die Klage vollumfänglich abzuweisen. Die Gemeinde U._ schloss in ihrer Beschwerdeantwort vom 29. März 2016 auf vollumfängliche Abweisung der Beschwerde bzw. Bestätigung des angefochtenen Urteils. Die I. Zivilkammer des Obergerichts des Kantons Zürich wies die Beschwerde am 19. August 2016 ab.
C.
A._ (Beschwerdeführer) erhob am 22. September 2016 eine Beschwerde in Zivilsachen (<ref-law>) gegen das Urteil der I. Zivilkammer des Obergerichts des Kantons Zürich. Dazu beantragt er, das Urteil sei aufzuheben und die Klage vollumfänglich abzuweisen. Eventualiter sei die Sache zur Neubeurteilung an die Vorinstanz zurückzuweisen. In prozessualer Hinsicht beantragt er, die Urteilsvollstreckung aufzuschieben bis zur Erledigung der Beschwerde.
Mit Verfügung vom 23. September 2016 wies der Abteilungspräsident das Gesuch um aufschiebende Wirkung ab. Es wurden die kantonalen Akten eingeholt.

Erwägungen:
1.
Die Beschwerde richtet sich gegen den Endentscheid einer letzten kantonalen Instanz, die als oberes Gericht über eine vermögensrechtliche Zivilsache entschieden hat (Art. 72 Abs. 1, 75 Abs. 1 und 90 BGG). Der Streitwert erreicht Fr. 30'000.-- nicht (Art. 74 Abs. 1 Bst. b BGG). Ursprünglich soll er Fr. 30'000.-- überstiegen haben (Beschwerde, S. 3). Die vom Beschwerdeführer behauptete Reduktion des Klagebegehrens im erstinstanzlichen Verfahren ist hier nicht relevant, weil von den streitigen Begehren vor der letzten kantonalen Instanz (Vorinstanz) auszugehen ist (Art. 51 Abs. 1 Bst. a BGG).
Auf die Beschwerde in Zivilsachen ist deshalb nur einzutreten, wenn sich eine Rechtsfrage von grundsätzlicher Bedeutung stellt (Art. 74 Abs. 2 Bst. a BGG). Eine solche macht der Beschwerdeführer geltend. Vorab ist deshalb zu prüfen, ob seine diesbezüglichen Behauptungen zutreffen. Falls ja, ist die Beschwerde materiell zu prüfen, falls nein, ist sie als subsidiäre Verfassungsbeschwerde (<ref-law>) entgegen zu nehmen (Urteil 5A_40/2009 vom 14. Mai 2009 E. 1.3.4).
2.
Eine Rechtsfrage von grundsätzlicher Bedeutung liegt vor, wenn ein allgemeines und dringendes Interesse besteht, dass eine umstrittene Frage höchstrichterlich geklärt wird, um eine einheitliche Anwendung und Auslegung des Bundesrechts herbeizuführen und damit eine erhebliche Rechtsunsicherheit auszuräumen (<ref-ruling> E. 1.2 S. 161). Ein erhöhtes Interesse an der Klärung besteht, wenn die Wahrscheinlichkeit, dass die Frage je dem Bundesgericht unterbreitet werden kann, wegen der Streitwertgrenze äusserst gering ist (<ref-ruling> E. 1.2.3 S. 271; zit. Urteil 5A_40/2009 E. 1.3). Bei der blossen Anwendung von Grundsätzen der Rechtsprechung handelt es sich nicht um eine Rechtsfrage von grundsätzlicher Bedeutung (<ref-ruling> E. 1.3 S. 4).
2.1. Der Beschwerdeführer rügt, es liege eine Verletzung von <ref-law> vor. Die Vorinstanz habe die Leistung von Barunterhalt für die Wohnkosten seines Sohnes bei der Mutter als zumutbar erachtet, obschon er ihm (weiterhin) freie Kost und Logis angeboten habe. Ein solches Angebot sei, entgegen der Würdigung der Vorinstanz, bei intakter Beziehung wesentlich für die Beurteilung der Zumutbarkeit nach <ref-law>. Gemäss <ref-ruling> ff. könne man von seinem Sohn verlangen, dass er das Angebot annehme; mindestens müsse er sich das Angebot beim Bedarf anrechnen lassen. Dagegen habe die Vorinstanz verstossen.
Die Vorinstanz habe einfach den Autonomiebedürfnissen seines Sohnes Vorrang gegeben und nicht näher geprüft, ob es ihm möglich und zumutbar gewesen wäre, weiterhin bei ihm freie Kost und Logis zu beziehen. Weil sie den Autonomiebedürfnissen Vorrang gegeben habe, habe sie zur Beziehung zwischen Vater und Sohn bloss Mutmassungen angestellt, aber keine verbindlichen Feststellungen getroffen.
Die grundsätzliche Rechtsfrage, die sich hier stelle, sei:
"Kann ein mündiges Kind aufgrund seines Autonomiebedürfnisses ungeachtet von der Beziehungssituation die angebotene freie Kost und Logis ausschlagen, stattdessen ausziehen und finanziellen Unterhalt beziehen?"
Oder umgekehrt formuliert:
"Ist es einem Elternteil zuzumuten, finanziellen Mündigenunterhalt zu bezahlen, wenn er freie Kost und Logis anbietet, diese vom Kind trotz intakter Beziehung und ohne triftige Gründe, sondern einfach in Ausübung eines Autonomiebedürfnisses ausgeschlagen wird?".
2.2. Das Vorliegen einer Rechtsfrage von grundsätzlicher Bedeutung ist zu verneinen.
2.2.1. Der Beschwerdeführer stellt zwei Fragen zur Zumutbarkeit, eine aus der Sicht des Sohnes und eine weitere aus der Sicht des unterhaltspflichtigen Vaters. Er setzt voraus, dass die Vorinstanz die Beziehung des Sohnes zum Vater nicht beachtet habe bzw. von einer intakten Beziehung ausgegangen sei. Beides ist unzutreffend. Den gestellten Rechtsfragen fehlt damit schon die Sachverhaltsgrundlage.
Die Vorinstanz hat die Beziehungssituation geprüft und nach einer Interessenabwägung die Zumutbarkeit der Unterhaltszahlung für den Vater bejaht, die Zumutbarkeit des Wohnangebots des Vaters für den Sohn hingegen mindestens der Sache nach verneint. Das war dem Beschwerdeführer erkennbar, sonst hätte er nicht zwei Grundsatzfragen zur Zumutbarkeit für ihn als Vater und für den Sohn gestellt, sondern eine Verletzung des rechtlichen Gehörs (<ref-law>) oder eine Verletzung der Begründungsanforderungen gemäss Art. 112 Abs. 1 Bst. b BGG geltend gemacht.
In Bezug auf die Zumutbarkeit des Wohnangebots für den Sohn stellte die Vorinstanz vorab fest, dass es während des Zusammenlebens von Vater und Sohn zu diversen Auseinandersetzungen gekommen sei. Die Sozialbehörde sei zum Schluss gekommen, dass es dem Sohn nicht zumutbar sei, zum Vater zurückzukehren (Erwägung I. 1, S. 3). Im Zusammenhang mit der Prüfung der Zumutbarkeit der Unterhaltszahlungen für den Vater stellte die Vorinstanz weiter fest, dass die Eltern aussergewöhnlich hart gestritten hätten in der Scheidung und dass der Sohn in einem grossen Loyalitätskonflikt gestanden habe. Deshalb habe keine Beziehung zum Vater entstehen können. Dass es für den Sohn nicht einfach gewesen sein möge, sich mit der neuen Situation zurecht zu finden, und dass er Mühe bekundet habe, sich beim Beklagten zurecht zu finden, sei nachvollziehbar (Erwägung II. 6.5, S. 13).
Die Vorinstanz gab auch den Bedürfnissen des Sohnes bezüglich Wohnsitz keinen Vorrang, sondern prüfte die Beziehungssituation. Nur die Frage, ob das Zusammenleben "äusserst konfliktreich" gewesen sei oder nicht, bezeichnete sie als nicht entscheidrelevant, dies vor dem Hintergrund, dass das Verhalten des Sohnes die Unterhaltszahlung des Vaters jedenfalls nicht als unzumutbar erscheinen lasse (Erwägung 6.6, S. 14).
2.2.2. Die weiteren Voraussetzungen für eine Rechtsfrage von grundsätzlicher Bedeutung sind ebenfalls nicht erfüllt.
Der Beschwerdeführer stellt lediglich Anwendungsfragen zur Zumutbarkeit der Unterhaltszahlung. Diese sind zudem nicht neu und bedürfen keiner dringenden Klärung, um eine Rechtsunsicherheit zu beseitigen. Soweit die Fragen auf einem Sachverhalt beruhen, den die Vorinstanz nicht festgestellt hat, sind sie auch hypothetisch.
Dem Beschwerdeführer geht es primär um die Anrechnung des Angebots eines unterhaltspflichtigen Elternteils für Kost und Logis beim Bedarf des unterhaltsberechtigten, in Ausbildung befindlichen Kindes. Diese Anrechnung war bereits Gegenstand von diversen Entscheiden, die sich nicht widersprechen. Vorab ist jeweils zu prüfen, ob das Wohnen bei den Eltern mit der Ausbildung vereinbar ist (<ref-ruling> E. 5b S. 419 f.; Urteile 5A_481/2016 vom 2. September 2016 E. 2.2.2; 5C.150/2005 vom 11. Oktober 2005 E. 4.3.1). Bei Bejahung der Vereinbarkeit erfolgt in der Regel eine Anrechnung beim Bedarf des Kindes. Ausnahmsweise erfolgt keine Anrechnung, wenn die Hausgemeinschaft dem Kind - wie vorinstanzlich entschieden - wegen einer gestörten Beziehung nicht zuzumuten ist.
Hinzu kommt, dass ein Urteil im vorliegenden Fall nicht verallgemeinerungsfähig wäre, weil eine Sondersituation vorliegt, nachdem sich der Beschwerdeführer in der Unterhaltsvereinbarung vom 24. März 2013 zur Zahlung von Kindesunterhalt (nicht zur Leistung von Naturalunterhalt) verpflichtet hat. Das Urteil wäre mithin nicht wegleitend für eine Vielzahl gleichartiger Fälle.
Schliesslich ist die Wahrscheinlichkeit hoch, dass die Rechtsfragen dem Bundesgericht dereinst mit einer Beschwerde in Zivilsachen vorgelegt werden können, da der Streitwert des Ausbildungsunterhaltes Fr. 30'000.-- häufig übersteigen dürfte. So war es auch beim ursprünglichen Klagebegehren.
3.
Liegt keine Rechtsfrage von grundsätzlicher Bedeutung vor, dann ist die Beschwerde als subsidiäre Verfasssungsbeschwerde entgegen zu nehmen.
Mit Verfassungsbeschwerde kann einzig die Verletzung verfassungsmässiger Rechte geltend gemacht werden (<ref-law>). Ob eine solche vorliegt, prüft das Bundesgericht nicht von Amtes wegen, sondern nur auf Rüge in der Beschwerde (<ref-ruling> E. 1.2 S. 234; <ref-ruling> E. 3.2 S. 88). Dies erfordert insbesondere, dass der Beschwerdeführer darin das angeblich verletzte verfassungsmässige Recht nennt (von Werdt, in: SHK Bundesgerichtsgesetz, 2. Aufl. 2015, N. 15 zu <ref-law>). Daran fehlt es hier.
Der Beschwerdeführer bezeichnet keine verfassungsmässigen Rechte, die mit dem angefochtenen Entscheid verletzt worden sein sollen, insbesondere nicht zur Sachverhaltsfeststellung. Zwar bezieht sich sein Eventualbegehren um Neubeurteilung durch die Vorinstanz auf eine Sachverhaltsergänzung im Sinne von <ref-law>, doch wird diese erst bei einer Gutheissung der Beschwerde aktuell. Hier kommt es mangels Rüge der Verletzung verfassungsmässiger Rechte nicht zur materiellen Prüfung der Verfassungsbeschwerde.
4.
Fehlt es an den Voraussetzungen für eine Rechtsfrage von grundsätzlicher Bedeutung und rügt der Beschwerdeführer keine Verletzung verfassungsmässiger Rechte, so ist auf seine Beschwerde nicht einzutreten.
5.
Bei diesem Verfahrensausgang hat der Beschwerdeführer die Gerichtskosten zu tragen (<ref-law>). Der Beschwerdegegnerin ist kein entschädigungspflichtiger Aufwand entstanden (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 1'000.-- werden dem Beschwerdeführer zur Zahlung auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Zürich, I. Zivilkammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 31. März 2017
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: von Werdt
Der Gerichtsschreiber: Leu