Erwägungen:
1.
1.1. A._ hat steuerrechtlichen Wohnsitz in U._/BE. Er hält einen Anteil von 50 Prozent an der X._ AG, deren Sitz sich in V._/BE befindet, deren Aktienkapital Fr. 100'000.-- beträgt und für die er als Arbeitnehmer tätig ist. Am 22. März 2016 und am 25. April 2016 ersuchte der Steuerpflichtige das Finanzdepartement des Kantons Solothurn um Erlass der dort geschuldeten Staats- und Gemeindesteuern 2013 (Fr. 2'785.20) bzw. der direkten Bundessteuer 2013 (Fr. 384.05), ferner der Staats- und Gemeindesteuer des Kantons Solothurn 2014 von Fr. 2'149.40. Die Steuern des Jahres 2013 waren zu diesem Zeitpunkt bereits gestundet. Der Steuerpflichtige begründete seine Erlassgesuche mit finanziellen Schwierigkeiten (weiterhin nicht verbessertes Einkommen aus Erwerbstätigkeit).
1.2. Mit Verfügung vom 19. Mai 2016 wies das Finanzdepartement des Kantons Solothurn die Gesuche ab. Es erwog, zwar bestehe ein monatlicher Ausgabenüberschuss von Fr. 511.--, doch halte der Steuerpflichtige ein Aktienpaket von Fr. 50'000.--, weshalb kein Erlassgrund vorliege. Das Steuergericht des Kantons Solothurn wies den dagegen gerichteten Rekurs und die Beschwerde mit Entscheid SGSEK.2016.19 vom 12. September 2016 ab. In Übereinstimmung mit dem Finanzdepartement vertrat es die Auffassung, angesichts des "objektiven Werts" der Aktien sei es dem Steuerpflichtigen zumutbar, ein Teilpaket zu veräussern. Dafür dürfte, so das Steuergericht, durchaus ein Markt bestehen. Denkbar sei auch eine Verpfändung. Das Eigentum an den Aktien sei "nicht Voraussetzung dafür, für die Unternehmung tätig zu sein und ein Einkommen daraus generieren zu können".
1.3. Der Abgabepflichtige erhebt mit Eingabe beim Bundesgericht vom 5. Dezember 2016 subsidiäre Verfassungsbeschwerde. Er beantragt, in Aufhebung des angefochtenen Entscheids sei der Erlass der streitbetroffenen Steuern auszusprechen. Für das bundesgerichtliche Verfahren sei ihm das Recht zur unentgeltlichen Rechtspflege zu erteilen. Der Abteilungspräsident als Instruktionsrichter (<ref-law> [SR 173.110]) hat von Instruktionsmassnahmen abgesehen.
2.
2.1. Die Eingabe ist antragsgemäss als subsidiäre Verfassungsbeschwerde im Sinne von <ref-law> (SR 173.110) entgegenzunehmen, was sich aus <ref-law> ergibt. Zu einer solchen ist (nur) berechtigt, wer erstens vor der Vorinstanz am Verfahren teilgenommen hat und zweitens ein rechtlich geschütztes Interesse an der Aufhebung oder Änderung des angefochtenen Entscheides hat (<ref-law>). Als Beschwerdegrund kann einzig die Verletzung von verfassungsmässigen Rechten gerügt werden (<ref-law>), was bedeutet, dass die Beschwerde der qualifizierten Rüge- und Begründungsobliegenheit zu genügen hat (Art. 117 in Verbindung mit <ref-law>). Der Beschwerdeführer muss in der Beschwerde darlegen, dass und inwiefern Grundrechte verletzt worden sein sollen. Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (<ref-law>). Es kann die Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz von Amtes wegen berichtigen oder ergänzen, wenn sie auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruht (<ref-law>).
2.2. Die Vorinstanz geht davon aus, dass das laufende Einkommen des Beschwerdeführers zu gering ausfällt, um die Steuer zu bezahlen, dass er aber über Aktien seiner Arbeitgeberin verfügt mit einem objektiven Wert von Fr. 50'000.-; es sei ihm zuzumuten, einen Teil dieser Aktien zu verkaufen oder zu verpfänden. Der Beschwerdeführer bestreitet nicht, dass er diese Aktien besitzt, und dass diese den genannten Wert haben. Er bringt nur vor, die Philosophie und Tätigkeit der Firma sei auf den Aktienbesitz der beiden Gründer abgestimmt; das Bestehen der Firma wäre bei einem (teilweisen) Besitzerwechsel gefährdet, was mit den Grundrechten nicht zu vereinbaren sei. Mit dieser Kritik ist aber nicht dargelegt, dass und inwiefern der angefochtene Entscheid Grundrechte verletzt. Auch wenn bei Laienbeschwerden geringere Anforderungen an eine Beschwerdebegründung gestellt werden und nicht unbedingt die Angabe von Gesetzesartikeln verlangt wird, so müsste doch aus der Beschwerde hervorgehen, weshalb der Verkauf oder die Verpfändung eines Teils der Aktien das Bestehen der Firma und den Arbeitsplatz des Beschwerdeführers gefährden sollte. Der Beschwerdeführer begründet diese Behauptungen jedoch in keiner Weise. Die Beschwerde enthält damit offensichtlich keine genügende Begründung, weshalb darauf mit Entscheid des Abteilungspräsidenten als Einzelrichter nicht einzutreten ist (<ref-law>).
3.
Der Steuerpflichtige lässt sein Gesuch um Erteilung des Rechts zur unentgeltlichen Rechtspflege im bundesgerichtlichen Verfahren (<ref-law>) unbegründet. Auch im Bereich der Rechtsanwendung von Amtes wegen (<ref-law>, der insoweit hier anwendbar ist) muss aber eine (zumindest minimale) Begründung verlangt werden (Art. 42 Abs. 1 und 2 BGG; <ref-ruling> E. 1.1 S. 138). Folglich ist auch auf das Gesuch um Erteilung des Rechts zur unentgeltlichen Rechtspflege nicht einzutreten, was sich ebenso aus Art. 32 Abs. 1 und <ref-law> ergibt. Infolge Aussichtslosigkeit der Beschwerde wäre das Gesuch ohnehin abzuweisen gewesen.
4.
Nach dem Unterliegerprinzip sind die Kosten des bundesgerichtlichen Verfahrens grundsätzlich dem Steuerpflichtigen aufzuerlegen (Art. 65 i. V. m. <ref-law>). Mit Blick auf die Umstände kann auf die Kostenverlegung verzichtet werden (<ref-law>). Dem Kanton Solothurn, der in seinem amtlichen Wirkungskreis obsiegt, ist keine Parteientschädigung zuzusprechen.

Demnach erkennt der Präsident:
1.
Die Verfahren 2D_53/2016 (Staats- und Gemeindesteuern des Kantons Solothurn, Steuerjahre 2013 und 2014, Erlass) sowie 2D_54/2016 (direkte Bundessteuer, Steuerjahr 2013, Erlass) werden vereinigt.
2.
Auf die Beschwerde im Verfahren 2D_54/2016 wird nicht eingetreten.
3.
Auf die Beschwerde im Verfahren 2D_53/2016 wird nicht eingetreten.
4.
Auf das Gesuch um Erteilung des Rechts zur unentgeltlichen Rechtspflege wird nicht eingetreten.
5.
Es werden keine Kosten erhoben.
6.
Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten und dem Kantonalen Steuergericht Solothurn schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 15. Dezember 2016
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Seiler
Der Gerichtsschreiber: Kocher