Erwägungen:
1.
1.1. A.A._ machte für die Staats- und die direkte Bundessteuer der Periode 2010 u.a. den einkommens- sowie vermögensmindernden Abzug eines Betrags von Fr. 400'000.-- geltend, den er im betreffenden Jahr aufgrund einer Unterhaltspflicht an seinen ausserehelichen Sohn bezahlt habe. Mit Veranlagungsverfügungen vom 18. Oktober 2012 und Einspracheentscheid vom 21. April 2014 verweigerte die Steuerverwaltung des Kantons Freiburg diesen Abzug, was der kantonale Steuergerichtshof auf Beschwerde und Rekurs hin am 26. August 2015 bestätigte.
1.2. Am 19. Oktober 2015 haben A.A._ und B.A._ Beschwerden in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten beim Bundesgericht eingereicht. Sie beantragen im Wesentlichen, das Urteil des Steuergerichtshofs des Kantons Freiburg vom 26. August 2015 aufzuheben und für die Staatssteuer (Verfahren 2C_945/2015) sowie die direkte Bundessteuer (2C_946/2015) der Periode 2010 den geltend gemachten Abzug zu gewähren.
1.3. Die Kantonale und die Eidgenössische Steuerverwaltung sowie der Steuergerichtshof des Kantons Freiburg schliessen auf Abweisung der Beschwerde (n), soweit darauf überhaupt eingetreten werden könne.
1.4. Mit Replik vom 11. Januar 2016 halten die Beschwerdeführer an ihren Rechtsstandpunkten fest.
1.5. Die Beschwerden sind im vereinfachten Verfahren gemäss <ref-law> zu behandeln. Das rechtfertigt es auch, auf die ansonsten gebotene Trennung zwischen Staats- und direkter Bundessteuer zu verzichten.
2.
2.1. Angefochten ist ein kantonal letztinstanzlicher Endentscheid betreffend die direkten Steuern des Kantons und des Bundes. Dagegen steht gemäss <ref-law> in Verbindung mit Art. 73 ff. des Bundesgesetzes vom 14. Dezember 1990 über die Harmonisierung der direkten Steuern der Kantone und Gemeinden (StHG, SR 642.14) und mit Art. 146 des Bundesgesetzes vom 14. Dezember 1990 über die direkte Bundessteuer (DBG, SR 642.11) die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten an das Bundesgericht offen. Auf das form- und fristgerecht eingereichte Rechtsmittel der gemäss <ref-law> legitimierten Beschwerdeführer ist somit grundsätzlich einzutreten.
2.2. Die Vorinstanz hat die Verfahren betreffend Kantonssteuern und direkte Bundessteuer vereinigt und ein einziges Urteil gefällt. Die Beschwerdeführer fechten dieses Urteil mit einer einzigen Beschwerdeeingabe an. Das ist zulässig, sofern in der Beschwerde zwischen den beiden Steuerarten unterschieden wird und aus den Anträgen hervorgeht, inwieweit diese angefochten sind und wie zu entscheiden ist (vgl. <ref-ruling> E. 1.3.2 S. 264 f.; <ref-ruling> E. 4.2). Das Bundesgericht seinerseits eröffnet in einem solchen Fall grundsätzlich zwei Verfahren, behält sich aber vor, die beiden Verfahren zu vereinigen und nur ein Urteil zu fällen. Das rechtfertigt sich auch hier, weil es um den gleichen Sachverhalt geht, sich dieselben Parteien gegenüberstehen, die Materie steuerlich harmonisiert ist und sich identische Rechtsfragen stellen (vgl. zum Ganzen u.a. das Urteil 2C_371/2013 vom 18. Juli 2014 E. 1.2 in: StR 69/2014 S. 800).
Ob in der vorliegend eingereichten Beschwerdeschrift die Ausführungen zur Staatssteuer genügend von denjenigen zur direkten Bundessteuer getrennt sind, kann mit Blick auf den Verfahrensausgang offen bleiben (vgl. zur getrennten Behandlung der beiden Aspekte auch oben E. 1.5).
2.3. Gemäss Art. 42 Abs. 1 und 2 BGG haben Rechtsschriften unter anderem die Begehren und deren Begründung zu enthalten; in der Begründung ist in gedrängter Form darzulegen, inwiefern der angefochtene Akt Recht verletze (vgl. <ref-law>).
2.3.1. Unerlässlich ist namentlich, dass die Beschwerde auf die Begründung des angefochtenen Entscheids eingeht und im Einzelnen aufzeigt, worin Bundesrecht verletzt wird. Die Beschwerdeschrift soll vor Bundesgericht z.B. nicht bloss die Rechtsstandpunkte und Argumente wiederholen, wie sie im kantonalen Verfahren vorgebracht worden sind, sondern muss sich konkret und spezifisch mit den als rechtsfehlerhaft erachteten Erwägungen der Vorinstanz auseinandersetzen (vgl. u.a. <ref-ruling> E. 2.1 S. 245 f.).
2.3.2. Besonderes gilt hinsichtlich der vorinstanzlichen Sachverhaltsermittlung und Beweiswürdigung. Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, wie die Vorinstanz ihn festgestellt hat (<ref-law>). Es kann diesen - soweit entscheidrelevant - berichtigen oder ergänzen, wenn er offensichtlich unrichtig, in Missachtung wesentlicher Verfahrensrechte ermittelt worden ist oder anderweitig auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruht (<ref-law>). In die vorinstanzliche Beweiswürdigung greift das Bundesgericht nur ein, wenn sie willkürlich ist; das ist dann der Fall, wenn das Gericht Sinn und Tragweite eines Beweismittels offensichtlich verkannt hat, wenn es ohne sachlichen Grund ein wichtiges und entscheidwesentliches Beweismittel unberücksichtigt gelassen oder wenn es auf der Grundlage der festgestellten Tatsachen unhaltbare Schlussfolgerungen gezogen hat (vgl. u.a. <ref-ruling> E. 2.3 S. 266; <ref-ruling> E. 4.1.2 S. 62). Die betroffene Person muss also rechtsgenügend dartun, dass und inwiefern der Sachverhalt bzw. die beanstandete Beweiswürdigung klar und eindeutig mangelhaft - d.h. eben willkürlich - erscheint (<ref-law>; vgl. <ref-ruling> E. 1.4.3 S.254 f.; <ref-ruling> E. 1.3 S. 251 f.). Rein appellatorische Kritik an der Sachverhaltsermittlung und an der Beweiswürdigung genügt den Begründungs- bzw. Rügeanforderungen nicht (vgl. <ref-ruling> E. 10.1 S. 445 mit Hinweisen).
2.3.3. Eine diesen strengen Anforderungen genügende Begründung ist hier nur teilweise zu erkennen. Soweit das nicht der Fall ist, kann auf die Beschwerde nicht eingetreten werden.
3.
3.1. Hier hat der Steuergerichtshof den geltend gemachten Abzug aus den zwei folgenden Gründen verweigert:
3.1.1. Einerseits hat er in Anwendung von <ref-law> bzw. von § 34 Abs. 1 lit. des Gesetzes des Kantons Freiburg über die direkten Kantonssteuern vom 6. Juni 2000 (SGF 631.1; DStG/FR) und Art. 9 Abs. 2 lit. c StHG erwogen, dass die strittigen Fr. 400'000.-- Teil einer globalen Unterhaltsleistung von Fr. 800'000.-- waren, welche eine pauschale Kapitalabfindung darstellte und somit nicht zum beantragten Abzug berechtigte.
3.1.2. Unabhängig von der ersten Begründung und zur Verweigerung des Abzugs für sich allein genügend hat die Vorinstanz andererseits festgehalten, dass die Beschwerdeführer den erforderlichen Nachweis für die effektive Bezahlung der umstrittenen Fr. 400'000.-- im Jahr 2010 nicht erbracht haben. Hier muss nur die zweite dieser beiden Begründungen näher geprüft werden.
3.2. Die Beschwerdeführer bringen verschiedene Argumente vor, wonach sie den erforderlichen Nachweis für eine effektive Zahlung sehr wohl erbracht hätten. In allen von ihnen aufgeworfenen Punkten beschränken sie sich jedoch darauf, der Vorinstanz appellatorisch ihre eigene, abweichende Sichtweise der massgeblichen Beweislage entgegenzuhalten. Es gelingt ihnen weder gesamthaft noch in irgendeinem der einzelnen Punkte darzutun, dass die vom Steuergerichtshof vorgenommene Beweiswürdigung geradezu willkürlich wäre.
3.2.1. Wie die Vorinstanz zu Recht festgehalten hat, ist der erforderliche klare Zahlungsnachweis schon einmal für einen ersten Teilbetrag von Fr. 300'000.-- nicht erbracht. Es wäre für die Beschwerdeführer ein Leichtes gewesen, den notwendigen Nachweis zu erbringen; stattdessen haben sie nur eine anwaltliche Erklärung eingereicht, aus der namentlich in keiner Weise klar wird, dass die Zahlung im Jahr 2010 geleistet worden wäre. Diesbezüglich kann vollumfänglich auf die überzeugende Begründung des angefochtenen Urteils verwiesen werden (vgl. dort E. 3b in fine).
Was vor Bundesgericht dagegen eingewendet wird (vgl. namentlich Ziff. 41 S. 10 der Beschwerdeschrift), genügt auch nicht ansatzweise, um die Beweiswürdigung des Steuergerichtshofs als willkürlich erscheinen zu lassen. Im Wesentlichen beschränken sich diese Einwendungen darauf, die schon vor der kantonalen Rechtsmittelinstanz geäusserten Ausführungen zu wiederholen, ohne sich spezifisch mit der Begründung des angefochtenen Urteils auseinanderzusetzen. Das ist unzulässig (vgl. oben E. 2.3.1).
3.2.2. In Bezug auf zwei weitere behauptete Teilzahlungen im Gesamtbetrag von Fr. 100'000.-- hat die Vorinstanz festgehalten, dass die Zahlungen nicht einem Konto des Beschwerdeführers belastet, sondern bei einer von ihm beherrschten Gesellschaft abgebucht wurden. Es hätte zusätzlicher genauerer Angaben bedurft, um eine effektive Verbuchung zu seinen Lasten zu belegen (vgl. E. 3b des angefochtenen Urteils).
Diesbezüglich behaupten die Beschwerdeführer ebenfalls, die Beweiswürdigung des Steuergerichtshofs sei willkürlich. Das vermögen sie aber in keiner Weise darzutun. Für die Anerkennung des geltend gemachten Abzugs ist durchaus zu unterscheiden, ob die umstrittene Zahlung nun effektiv vom Beschwerdeführer geleistet wurde oder von einem anderen Steuersubjekt, auch wenn es sich dabei um eine durch ihn beherrschte Gesellschaft handelt.
Es wäre für die Beschwerdeführer erforderlich und auch ohne weiteres möglich gewesen, von allem Anfang an jegliche Unklarheiten zu vermeiden, sei es nun betreffend das Datum der behaupteten Zahlung als auch hinsichtlich des tatsächlich Belasteten. Diesen Erfordernissen sind sie nur ungenügend nachgekommen, weshalb am angefochtenen Urteil in diesem Punkt ebenfalls nichts auszusetzen ist.
3.2.3. Wenn der Steuergerichtshof den geltend gemachten Abzug mangels rechtsgenüglichen Nachweises sämtlicher hier umstrittener Teilzahlungen verweigert hat, so ist das in jeder Hinsicht bundesrechtskonform.
4.
4.1. Als offensichtlich unbegründet erweist es sich auch, wenn die Beschwerdeführer geltend machen, ihr Anspruch auf rechtliches Gehör sei dadurch verletzt worden, dass die Einspracheentscheide der kantonalen Steuerverwaltung nur ungenügend begründet worden seien. Darin liege ein verfahrensrechtlicher Verstoss, der nicht heilbar gewesen und durch die Vorinstanz auch nicht geheilt worden sei.
4.2. Diesbezüglich kann es ebenfalls genügen, auf die in allen Punkten zutreffende und sorgfältige Begründung des angefochtenen Urteils zu verweisen (vgl. dort E. 1, S. 5-7; siehe auch Ziff. 3 der vorinstanzlichen Vernehmlassung vor Bundesgericht). Nachdem der gesamte Verfahrensablauf vor den kantonalen Instanzen hier noch einmal geprüft worden ist, ist in keiner Phase irgendein Verstoss gegen das rechtliche Gehör der Beschwerdeführer ersichtlich. Der Steuergerichtshof hat keinen Verstoss heilen müssen und einen solchen auch in keiner Weise selber begangen.
5.
Ebenso wenig ist erkennbar, wieso die Kosten des vorinstanzlichen Verfahrens bei der Staatssteuer von Fr. 3'000.-- auf Fr. 2'000.-- herabgesetzt werden müssten. Wenn der Steuergerichtshof den Beschwerdeführern für die Staats- sowie die direkte Bundessteuer Kosten von insgesamt Fr. 6'000.-- auferlegt hat und diese Kosten gleichmässig auf die beiden Verfahren verteilt hat, so ist daran - namentlich angesichts des Streitwerts und all der vom Steuergerichtshof vorzunehmenden Abklärungen - nichts auszusetzen.
6.
6.1. Nach dem Gesagten sind die beiden Verfahren zu vereinigen und die Beschwerden im vereinfachten Verfahren gemäss <ref-law> abzuweisen, soweit darauf überhaupt eingetreten werden kann.
6.2. Bei diesem Ausgang des Verfahrens werden die Beschwerdeführer unter Solidarhaft kostenpflichtig (vgl. Art. 65 f. BGG).
In bestimmten Fällen, die vom Bundesgericht im Verfahren gemäss <ref-law> beurteilt werden, rechtfertigt es sich, gegenüber dem ursprünglich verlangten Kostenvorschuss verminderte Gerichtskosten zu verlangen. Das ist hier indessen nicht der Fall. Vereinfacht wurde das Verfahren wohl in Bezug auf die Urteilsbegründung. Dagegen hat hier - namentlich aufgrund der verfahrensrechtlichen Rügen der Beschwerdeführer (vgl. oben E. 5) - noch einmal der gesamte Verfahrensablauf vor den kantonalen Instanzen geprüft werden müssen, was dann aber - wie in Bezug auf die vorinstanzliche Beweiswürdigung (vgl. oben E. 3) - zu einem denkbar klaren Ergebnis geführt hat. Gesamthaft erweist sich die Verkleinerung des bundesgerichtlichen Arbeitsaufwandes als unzureichend, um eine dem Streitwert noch angemessene Kostenminderung rechtfertigen zu können.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Verfahren 2C_945/2015 (Staats- und Gemeindesteuern 2007 bis 2010) und 2C_946/2015 (direkte Bundessteuer 2007 bis 2010) werden vereinigt.
2.
Die Beschwerde wird hinsichtlich der direkten Bundessteuer (Verfahren 2C_946/2015) abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
3.
Die Beschwerde wird hinsichtlich der Staats- und Gemeindesteuern (Verfahren 2C_945/2015) abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
4.
Die Gerichtskosten von insgesamt Fr. 7'000.-- werden den Beschwerdeführern unter solidarischer Haftbarkeit auferlegt.
5.
Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten, dem Kantonsgericht des Kantons Freiburg, Steuergerichtshof, und der Eidgenössischen Steuerverwaltung schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 12. Februar 2016
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Zünd
Der Gerichtsschreiber: Matter