Sachverhalt:
A.
Der am........ in die Schweiz eingereiste A._ meldete sich im März 2012 bei der Invalidenversicherung zum Leistungsbezug an. Nach Abklärungen teilte ihm die IV-Stelle Luzern mit Vorbescheid vom 25. Juli 2012 mit, das Leistungsbegehren müsse abgewiesen werden, da aus versicherungsmedizinischer Sicht kein IV-relevanter Gesundheitsschaden vorliege. Dagegen erhob A._ Einwand, woraufhin er am 7. Mai 2014 durch Dr. med. B._, Psychiatrie und Psychotherapie FMH, vom Regionalen Ärztlichen Dienst (RAD) untersucht wurde (Bericht vom 21. Mai 2014). Mit Verfügung vom 17. Juli 2014 verneinte die IV-Stelle einen Anspruch auf IV-Leistungen. Als Grund führte sie zusätzlich zum Vorbescheid an, die geltend gemachten Einschränkungen hätten bereits vor der Einreise in die Schweiz vorgelegen und seien somit aufgrund der versicherungsmässigen Voraussetzungen nicht zu berücksichtigen.
B.
Dagegen erhob A._ Beschwerde, welche das Kantonsgericht Luzern, 3. Abteilung, mit Entscheid vom 20. August 2015 guthiess, indem es die Verfügung vom 17. Juli 2014 aufhob und feststellte, es bestehe ab 1. September 2012 Anspruch auf eine ganze Invalidenrente.
C.
Die IV-Stelle führt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten mit dem Rechtsbegehren, der Entscheid vom 20. August 2015 sei aufzuheben und in Bestätigung ihrer Verfügung vom 17. Juli 2014 sei festzustellen, dass die Abweisung des Leistungsbegehrens zu Recht erfolgte.
A._ beantragt die Abweisung der Beschwerde. Das Bundesamt für Sozialversicherungen verzichtet auf eine Vernehmlassung.

Erwägungen:
1.
1.1. Mit der Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann u.a. die Verletzung von Bundesrecht gerügt werden (<ref-law>). Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (<ref-law>). Es kann die Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz von Amtes wegen berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von Artikel 95 beruht (<ref-law>; vgl. auch <ref-law>). Unter den zweiten Tatbestand fallen u.a. die unvollständige Feststellung rechtserheblicher Tatsachen sowie die Missachtung des Untersuchungsgrundsatzes (Art. 43 Abs. 1 und Art. 61 lit. c ATSG; <ref-ruling> E. 4.1.1 S. 377; <ref-ruling> E. 2 S. 25; Urteile 9C_814/2014 vom 30. April 2015 E. 2 und 9C_214/2009 vom 11. Mai 2009 E. 3.2).
1.2. Aus dem Anspruch auf rechtliches Gehör (<ref-law>) folgt unter anderem die Pflicht der Behörden, ihre Entscheide zu begründen (ausdrücklich auch <ref-law> und <ref-law>; Urteil 9C_269/2012 vom 6. August 2012 E. 3.1), und zwar so, dass sie von den Betroffenen gegebenenfalls sachgerecht angefochten werden können. Die Begründung muss kurz die wesentlichen Überlegungen nennen, von denen sie sich hat leiten lassen und auf die sich ihr Entscheid stützt. Dies bedeutet indessen nicht, dass sie sich ausdrücklich mit jeder Tatsachenbehauptung und jedem rechtlichen Einwand auseinandersetzen und jedes einzelne Vorbringen ausdrücklich widerlegen muss. Vielmehr kann sie sich auf die für den Entscheid wesentlichen Gesichtspunkte beschränken (<ref-ruling> E. 5.2 S. 236; <ref-ruling> E. 3.3 S. 445; <ref-ruling> E. 1a S. 181; Urteil 9C_908/2012 vom 22. Februar 2013 E. 4.1).
2.
Streitgegenstand bildet die von der Vorinstanz dem Beschwerdegegner zugesprochene ganze Rente ab 1. September 2012. Dabei stellt sich in erster Linie die Frage, ob die versicherungsmässige Anspruchsvoraussetzung nach Art. 6 Abs. 2 und <ref-law> erfüllt ist. Letztere Bestimmung hält fest, dass Anspruch auf eine ordentliche Invalidenrente Versicherte haben, die bei Eintritt der Invalidität während mindestens drei Jahren (in der bis 31. Dezember 2007 in Kraft gewesenen Fassung: während mindestens eines vollen Jahres) Beiträge geleistet haben (vgl. <ref-ruling> E. 3.2 S. 36 f. zum internationalen Kontext bei anerkannten Flüchtlingen).
3.
Die Vorinstanz hat erwogen, aufgrund der Akten habe bei der Einreise in die Schweiz keine während eines Jahres mindestens 40%ige Arbeitsunfähigkeit bestanden; der Versicherungsfall Invalidität gelte damit nicht bereits in diesem Zeitpunkt als eingetreten. Die Verschlechterung des Gesundheitszustandes sei erst allmählich eingetreten. Ab 2008 hätten die Auswirkungen der Folter die Leistungsfähigkeit beeinträchtigt und sei von der behandelnden Psychiaterin eine Arbeitsfähigkeit von 100 % attestiert worden. Nach Art. 28 Abs. 1 lit. b und c IVG gelte daher die Invalidität im Jahr 2009 als eingetreten. In diesem Zeitpunkt sei die Mindestbeitragsdauer von drei Jahren nach <ref-law> erfüllt gewesen. Somit bestehe ab 1. September 2012 (<ref-law>) Anspruch auf eine ganze Rente.
Die Beschwerde führende IV-Stelle rügt, das Kantonsgericht habe den rechtserheblichen Sachverhalt unvollständig festgestellt. Mehrere entscheidwesentliche Umstände seien ungewürdigt geblieben. Eine Auseinandersetzung mit der Stellungnahme des Psychiaters des RAD in seinem Bericht vom 21. Mai 2014, wonach mit stark überwiegender Wahrscheinlichkeit bereits im Zeitpunkt der Einreise in die Schweiz psychisch bedingt eine volle Arbeitsunfähigkeit bestanden habe, fehle. Damit habe die Vorinstanz auch ihre Begründungspflicht verletzt.
4.
4.1. Die Vorinstanz hat in E. 6 des angefochtenen Entscheids die Gründe dargelegt, weshalb in Bezug auf den Zeitpunkt des Eintritts der psychisch bedingten Arbeitsunfähigkeit bzw. den Ablauf der einjährigen Wartezeit nach Art. 28 Abs. 1 lit. b (bis 31. Dezember 2007: Art. 29 Abs. 1 lit. b) IVG nicht auf die Beurteilung des RAD-Psychiaters abgestellt werden könne. Soweit sie sich dabei nicht zu einzelnen nach Auffassung der Beschwerdeführerin relevanten Aussagen des Facharztes geäussert hat, kann darin keine Verletzung der Begründungspflicht erblickt werden. Jedenfalls war es dem Versicherungsträger ohne weiteres möglich, den vorinstanzlichen Entscheid - unter Berücksichtigung der Kognition des Bundesgerichts (Seiler/von Werdt/Güngerich/Oberholzer, Bundesgerichtsgesetz [BGG], 2. Aufl. 2015, N. 17 f. zu <ref-law>) - sachgerecht anzufechten und die seines Erachtens nicht oder zu wenig diskutierten Gesichtspunkte einzubringen. Unter diesen Umständen kann nicht von einer Verletzung der Begründungspflicht gesprochen werden.
5.
Mit Bezug auf die Rüge eines unvollständig festgestellten Sachverhalts ist von Bedeutung, dass gemäss dem IK-Auszug vom 12. März 2012 der Beschwerdegegner Ende April 2004 eine Beitragsdauer von einem vollen Jahr aufwies, allerdings als Nichterwerbstätiger. Ein früherer Eintritt der für den Anspruch auf eine Rente spezifischen Invalidität schliesst einen solchen indessen nicht in jedem Fall aus. Fiel die Invalidität später unter 40 % (vgl. <ref-law>) und trat später erneut eine Invalidität von mindestens 40 % ein, ist die versicherungsmässige Voraussetzung für den Anspruch auf eine Rente nach <ref-law> erfüllt. Der Psychiater des RAD kam in seiner Stellungnahme vom 21. Mai 2014 zum Schluss, mit überwiegender Wahrscheinlichkeit habe bereits zum Zeitpunkt der Einreise in die Schweiz eine volle Arbeitsunfähigkeit bestanden. Ist darauf abzustellen, wie die Beschwerdeführerin geltend macht, konnte von vornherein kein Rentenanspruch entstanden sein.
6.
6.1. Nach der Rechtsprechung kommt einem ärztlichen Bericht Beweiswert zu, wenn er für die streitigen Belange umfassend ist, auf allseitigen Untersuchungen beruht, auch die geklagten Beschwerden berücksichtigt, in Kenntnis der Vorakten (Anamnese) abgegeben worden ist, in der Beurteilung der medizinischen Zusammenhänge und der medizinischen Situation einleuchtet und wenn die Schlussfolgerungen des Arztes begründet sind (<ref-ruling> E. 5.1 S. 232). Die Stellungnahme des RAD-Psychiaters vom 21. Mai 2014 genügt diesen Anforderungen. Sie beruhte auf einer eigenen Untersuchung, erging in Kenntnis der Vorakten und der Facharzt begründete Befunde, Diagnosen sowie Arbeitsfähigkeit auch im zeitlichen Verlauf. Der Beurteilung des Psychiaters des RAD ist somit grundsätzlich Beweiswert beizumessen (<ref-law>; <ref-ruling> E. 3.3.2 S. 257).
6.2. Der RAD-Facharzt erhob im Wesentlichen dieselben psychopathologischen Befunde und stellte die gleichen Diagnosen (emotional instabile Persönlichkeitsstörung vom impulsiven Typus, posttraumatische Belastungsstörung, dissoziative Störung) wie die behandelnde Psychiaterin in ihren Berichten vom 4. Oktober 2012 und 11. September 2013. Diese hätten mit stark überwiegender Wahrscheinlichkeit bereits zum Zeitpunkt der Haftentlassung vorgelegen. Ebenfalls erachtete er den Versicherten aus versicherungspsychiatrischer Sicht als voll arbeitsunfähig für alle Erwerbstätigkeiten im ersten Arbeitsmarkt. Während indessen die behandelnde Psychiaterin eine Arbeitsunfähigkeit von 100 % seit 2008 attestierte hatte gemäss dem Psychiater des RAD mit stark überwiegender Wahrscheinlichkeit eine solche bereits zum Zeitpunkt der Einreise in die Schweiz bestanden. Diese Diskrepanz ist nicht von entscheidender Bedeutung. Für die behandelnde Psychiaterin war in erster Linie die Zeit ab Beginn der Behandlung im Juli 2011, auf welchen Zeitpunkt sie ausdrücklich hinwies, massgebend, nachdem sich der Versicherte (erst) im März 2012 bei der Invalidenversicherung zum Leistungsbezug angemeldet hatte. Abgesehen davon wurde sie nicht nach dem früheren Verlauf der Arbeitsfähigkeit gefragt, sondern lediglich nach der medizinisch begründeten Arbeitsunfähigkeit (von mindestens 20 %) in der zuletzt ausgeübten Tätigkeit. Letztmals hatte der Versicherte vom........ bis........ in einem Arbeitsverhältnis gestanden, was den angegebenen Beginn der Arbeitsunfähigkeit "seit 2008" erklärt.
6.3.
6.3.1. Der Psychiater des RAD begründete seine Einschätzung, wonach mit stark überwiegender Wahrscheinlichkeit bereits zum Zeitpunkt der Einreise in die Schweiz keine Arbeitsfähigkeit mehr bestand, damit, der Versicherte habe sich damals gemäss seinen eigenen glaubwürdig wirkenden Schilderungen bereits in einem ähnlich schlechten Zustand befunden wie aktuell (weshalb er gemäss den Akten während der ersten zwei Jahre vorübergehend Alkohol missbraucht habe). Das Kantonsgericht hat die rückwirkende Arbeitsunfähigkeitsbescheinigung des RAD-Arztes nicht als schlüssig erachtet, da sie das seither tatsächlich gezeigte Aktivitätsniveau nicht berücksichtige. Nach seinen für das Bundesgericht verbindlichen Feststellungen (E. 1.1 hiervor) nahm der Versicherte an mehreren von der Asyl- und Flüchtlingsstelle C._ und der Caritas Schweiz organisierten Arbeitseinsätzen teil, je 17 Tage im........ und im Zeitraum vom........ bis........ sowie acht Tage im......... Nach dem positiven Asylentscheid sodann arbeitete er vom........ bis....... und erneut vom........ bis........ im jeweils selben Betrieb. Dabei fehlten, so die Vorinstanz, Hinweise, dass der Versicherte aus gesundheitlichen Gründen bei Ausübung dieser verschiedenen Tätigkeiten eingeschränkt gewesen wäre.
6.3.2. Diese Umstände stellen ein gewichtiges Indiz dafür dar, dass der Beschwerdegegner bei der Einreise in die Schweiz nicht (vollständig) arbeitsunfähig war, wie der Psychiater des RAD in seiner Stellungnahme vom 21. Mai 2014 festhielt, bzw. die Invalidität nach <ref-law> Ende April 2004 (noch) nicht eingetreten oder später dahingefallen war und danach erneut eine solche eintrat (vgl. E. 5 hiervor). Dem stehen die vergleichsweise langen Zeitspannen zwischen den einzelnen Arbeitseinsätzen und den beiden Arbeitsverhältnissen bei derselben Firma gegenüber, während denen der Beschwerdegegner nach Lage der Akten offenbar keiner (erwerblichen) Beschäftigung nachging. Es ist nicht auszuschliessen, dass hiefür gesundheitliche Gründe verantwortlich waren. Dazu kommt, dass der Versicherte gegenüber dem Psychiater des RAD angegeben hatte, bereits bei der Einreise in die Schweiz sich in einem ähnlich schlechten Zustand befunden zu haben wie aktuell. Dies wird in der Vernehmlassung nicht bestritten, ebenso nicht dessen Feststellung, dass die Diagnosen einer emotional instabilen Persönlichkeitsstörung vom impulsiven Typus, einer posttraumatischen Belastungsstörung sowie einer dissoziativen Störung bereits bei der Haftentlassung vorgelegen hatten. Daraus allein kann zwar nicht direkt auf eine Arbeitsunfähigkeit geschlossen werden (vgl. <ref-ruling> E. 3.2.1 S. 281; Urteil 9C_270/2011 vom 24. August 2011 E. 4.2; Renato Marelli, Das psychiatrische Gutachten, Einflüsse und Grenzen, in: Psyche und Sozialversicherung [Gabriela Riemer-Kafka (Hrsg.)], S. 85). Umgekehrt ist zu beachten, dass der Eintritt der Invalidität nach <ref-law> nicht vollständige Arbeitsunfähigkeit voraussetzt, sondern lediglich eine solche von durchschnittlich mindestens 40 % während eines Jahres ohne wesentlichen Unterbruch (<ref-law> bzw. alt <ref-law> bis 31. Dezember 2007).
6.3.3. Weder Beschwerdeführerin noch Vorinstanz haben die Akten des Asylverfahrens beigezogen und bei den Behörden und Einrichtungen, die den Beschwerdegegner bis zum Zeitpunkt des Asylentscheids betreuten und für seine Arbeitseinsätze verantwortlich waren, Unterlagen eingeholt. Es erscheint nicht ausgeschlossen, dass sich daraus verwertbare Erkenntnisse in Bezug auf dessen Gesundheitszustand bei Einreise in die Schweiz und in der Zeit danach ergeben, welche für den Zeitpunkt des Eintritts der Invalidität nach <ref-law> bedeutsam sein können. In diesem Sinne ist der rechtserhebliche Sachverhalt nicht hinreichend abgeklärt, erlauben die Akten nicht die abschliessende Beurteilung der für den Anspruch auf eine Rente in versicherungsmässiger Hinsicht vorausgesetzten Mindestbeitragsdauer, was Bundesrecht verletzt (Urteil 9C_886/2014 vom 15. Juni 2015 E. 5.3).
7.
Ausgangsgemäss hat der Beschwerdegegner die Gerichtskosten zu tragen (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird teilweise gutgeheissen. Der Entscheid des Kantonsgerichts Luzern, 3. Abteilung, vom 20. August 2015 wird aufgehoben. Die Sache wird zu neuer Entscheidung im Sinne der Erwägungen an die Vorinstanz zurückgewiesen. Im Übrigen wird die Beschwerde abgewiesen.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 800.- werden dem Beschwerdegegner auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird den Parteien, dem Kantonsgericht Luzern, 3. Abteilung, und dem Bundesamt für Sozialversicherungen schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 21. März 2016
Im Namen der II. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Glanzmann
Der Gerichtsschreiber: Fessler