Sachverhalt:
A.
A.A._ (geb. 1990) ist der Sohn von B.A._. Mit Eingabe vom 11. Juli 2014 stellte A.A._ beim Bezirksgericht Andelfingen ein Gesuch um Erlass superprovisorischer und provisorischer Massnahmen betreffend Erwachsenenunterhalt. Er stellte folgende Rechtsbegehren:
"1. Der Beklagte sei superprovisorisch zu verpflichten, à konto künftige und vergangene Unterhaltsbeiträge dem Beklagten [recte: Kläger] Fr. 5'000.- zu bezahlen;
2. Es sei provisorisch zu verfügen, dass der Kläger [recte: Beklagte] dem Beklagten [recte: Kläger] rückwirkend für ein Jahr Unterhaltsbeiträge von monatlich Fr. 1'500.- zu bezahlen hat, somit total Fr. 18'000.-;
3. Es sei provisorisch zu verfügen, dass der Kläger [recte: Beklagte] dem Beklagten [recte: Kläger] ab Rechtshängigkeit dieses Gesuchs monatlich Unterhaltsbeiträge von Fr. 3'400.- zu zahlen hat;
4. Der Beklagte sei zu verpflichten, dem Kläger für das vorsorgliche Massnahmenverfahren einen ersten Prozesskostenvorschuss von Fr. 6'000.- zuhanden seines Rechtsvertreters (...) zu bezahlen habe, eventualiter sei dem Kläger die unentgeltliche Rechtspflege zu gewähren und ihm Dr. C. Bertisch, Rechtsanwalt, vorgenannt, als unentgeltlicher Rechtsvertreter beizugeben;
alles unter Kosten- und Entschädigungsfolgen zu Lasten des Beklagten."
Mit Verfügung vom 15. Juli 2014 wies das Einzelgericht s.V. des Bezirksgerichtes Andelfingen das Gesuch um Erlass superprovisorischer Massnahmen ab. Nach Durchführung einer Verhandlung und weiteren Eingaben, worin A.A._ unter anderem seine Rechtsbegehren dahingehend modifizierte, dass er den geforderten Unterhaltsbeitrag nur noch bis und mit 30. September 2014 beantrage, wies das Gericht mit Urteil vom 27. März 2015 das Gesuch um Erlass vorsorglicher Massnahmen ab. Die Verfahrenskosten auferlegte es dem Gesuchsteller, gewährte ihm jedoch die unentgeltliche Rechtspflege.
B.
Mit Beschluss vom 24. Juni 2015 trat das Obergericht des Kantons Zürich, II. Zivilkammer, auf die dagegen erhobene Berufung von A.A._ nicht ein.
C.
A.A._ (Beschwerdeführer) gelangt gegen diesen Beschluss mit Beschwerde in Zivilsachen, eventualiter subsidiärer Verfassungsbeschwerde, an das Bundesgericht. Er wiederholt die bereits vor der Vorinstanz erhobenen Rechtsbegehren und beantragt im Übrigen die Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege auch für das Verfahren vor Bundesgericht.
Es sind die kantonalen Akten, jedoch keine Vernehmlassungen eingeholt worden.

Erwägungen:
1.
Das Bundesgericht prüft von Amtes wegen und mit freier Kognition, ob ein Rechtsmittel zulässig ist (<ref-ruling> E. 2 S. 59; <ref-ruling> E. 1 S. 133; je mit Hinweisen).
2.
Die Beschwerde richtet sich gegen den Entscheid einer letzten kantonalen Instanz (<ref-law>). Die Leistung von Unterhalt an das volljährige Kind (<ref-law>) betrifft eine Zivilsache im Sinne von <ref-law>. Der Beschwerdeführer hatte seine Begehren vor Anhängigmachung des Hauptverfahrens in der Form eines Gesuchs um Anordnung vorsorglicher Massnahmen nach Massgabe der <ref-law> gestellt.
2.1. Der Beschwerdeführer erkennt im angefochtenen Entscheid zutreffend einen Zwischenentscheid.
2.1.1. Er stellt sich auf den Standpunkt, die Vorinstanz habe ihre sachliche Zuständigkeit verneint, weshalb die Beschwerde gestützt auf <ref-law> zulässig sei.
Wie aus dem angefochtenen Entscheid hervorgeht, beurteilte die Vorinstanz die Frage, ob der Beschwerdegegner bereits vor der Rechtshängigkeit der Klage in der Hauptsache vorsorglich zur Leistung von Unterhaltsbeiträgen verpflichtet werden kann oder nicht, und verneinte sie. Damit negierte sie nicht ihre Zuständigkeit, sondern die Zulässigkeit der Rechtsvorkehr. Ein Zwischenentscheid im Sinne von <ref-law> liegt nicht vor.
2.1.2. Selbständig eröffnete Massnahmeentscheide, die vor oder während eines Hauptverfahrens erlassen werden und nur für die Dauer des Hauptverfahrens Bestand haben bzw. unter der Bedingung, dass ein Hauptverfahren eingeleitet wird, stellen Zwischenentscheide im Sinne von <ref-law> dar (<ref-ruling> E. 1.2 S. 79; <ref-ruling> E. 1.1 S. 327 f.). Dies gilt ebenso für einen Massnahmeentscheid betreffend das volljährige Kind (vgl. für die in Anwendung des mit dem Inkrafttreten der ZPO aufgehobenen <ref-law> angeordneten vorsorglichen Massnahmen <ref-ruling> E. 2 S. 239 f.; vgl. zur vorsorglichen Anordnung von Volljährigenunterhalt in Anwendung der ZPO die Urteile 5A_239/2014 vom 16. Juli 2014 E. 1.1 und 5A_790/2013 vom 13. Januar 2014 E. 1.1). Die Qualifikation als Zwischenentscheid gilt namentlich nicht nur bei der Anordnung der Massnahme, sondern auch bei der Verweigerung derselben (Urteil 4A_87/2015 vom 9. Juni 2015 E. 1.2 mit Hinweisen; vgl. auch Urteile 5A_106/2015 vom 20. März 2015 E. 1; 5A_222/2014 vom 17. September 2014 E. 1.1 und BGE <ref-ruling> E. 1.1 S. 328).
Gegen solche Vor- und Zwischenentscheide ist die Beschwerde - von der hier ausser Betracht fallenden alternativen Voraussetzung nach <ref-law> abgesehen - nur zulässig, wenn sie einen nicht wieder gutzumachenden Nachteil bewirken können (<ref-law>). Dabei muss es sich um einen Nachteil rechtlicher Natur handeln. Das setzt voraus, dass er sich auch mit einem späteren günstigen Endentscheid nicht oder nicht gänzlich beseitigen lässt (<ref-ruling> E. 1.2 S. 81; <ref-ruling> E. 3.6 S. 326; <ref-ruling> E. 1 S. 115; <ref-ruling> E. 3.2 S. 607; <ref-ruling> E. 1.2 S. 47, 333 E. 1.3.1 S. 335; <ref-ruling> E. 1.2.1 S. 382). Rein tatsächliche Nachteile wie die Verlängerung oder Verteuerung des Verfahrens reichen nicht aus (<ref-ruling> E. 1.2 S. 80; <ref-ruling> E. 3.6 S. 326; <ref-ruling> E. 6 S. 192; <ref-ruling> E. 1.2.1 S. 382).
2.2. Nach der Rechtsprechung obliegt es dem Beschwerdeführer darzutun, dass eine dieser beiden Voraussetzungen erfüllt ist (BGE <ref-ruling> E. 1.1 S. 328 f.; <ref-ruling> E. 1.2 in fine S. 429), es sei denn, deren Vorliegen springe geradezu in die Augen (<ref-ruling> E. 1.2 S. 81; <ref-ruling> E. 2.4.2 S. 633), was hier nicht zutrifft. Der Beschwerdeführer behauptet an keiner Stelle in seiner Beschwerde, der vorinstanzliche Entscheid könne einen nicht wieder gutzumachenden Nachteil bewirken. Tut der Beschwerdeführer aber überhaupt nicht dar, warum ein selbständig anfechtbarer Zwischenentscheid im Sinne von <ref-law> vorliegt, übersieht er mithin diese Eintretensfrage schlechthin, so kann das Bundesgericht von vornherein nicht auf die Beschwerde eintreten (Urteile 5D_111/2015 vom 6. Oktober 2015 E. 2.2; 5A_620/2011 vom 16. November 2011 E. 3.2).
2.3. <ref-law> gilt ohne Einschränkung auch für das Verfahren der subsidiären Verfassungsbeschwerde (<ref-law>), weshalb aus den vorgenannten Gründen auch auf die eventualiter erhobene subsidiäre Verfassungsbeschwerde nicht eingetreten werden kann.
3.
Die Vorinstanz verweigerte dem Beschwerdeführer ferner die unentgeltliche Rechtspflege für das kantonale Berufungsverfahren. Sie erachtete das ergriffene Rechtsmittel als von Anfang an aussichtslos. Im Streit um die unentgeltliche Rechtspflege folgt der Rechtsweg vor Bundesgericht jenem der Hauptsache. Mündet der Prozess, für den um das Armenrecht gestritten wird, in einen Zwischenentscheid, und tritt das Bundesgericht auf die dagegen erhobene Beschwerde nicht ein (E. 2), so muss diese Nichteintretensfolge auch gelten, soweit mit derselben Beschwerde die Verweigerung des Armenrechts für das vorinstanzliche Rechtsmittelverfahren beanstandet wird (Urteil 5D_111/2015 vom 6. Oktober 2015 E. 3). Dasselbe gilt für die Rüge, die erste Instanz hätte die Entschädigung des unentgeltlichen Vertreters direkt im Urteil entscheiden müssen.
4.
Aus den dargelegten Gründen ist auf die Beschwerde nicht einzutreten. Damit erübrigt es sich, die übrigen Vorbringen des Beschwerdeführers zu prüfen. Namentlich ändert auch der Umstand, dass der Beschwerdeführer eine Rechtsfrage von grundsätzlicher Bedeutung behauptet, nichts an diesem Ergebnis. Denn eine solche macht den Weg dafür frei, dass das Bundesgericht auf eine Beschwerde in Zivilsachen eintritt, obwohl der dafür nötige Streitwert nicht erreicht ist (<ref-law>). Ist - wie hier - eine andere Eintretensvoraussetzung nicht erfüllt, vermag die Rechtsfrage von grundsätzlicher Bedeutung nichts daran zu ändern.
5.
Bei diesem Ausgang des Verfahrens wird der Beschwerdeführer kostenpflichtig (<ref-law>). Er schuldet dem Beschwerdegegner aber keine Entschädigung, denn diesem ist kein entschädigungspflichtiger Aufwand entstanden.
Wie die vorstehenden Erwägungen aufzeigen, muss die Beschwerde von Anfang an als aussichtslos betrachtet werden. Damit fehlt es an einer materiellen Voraussetzung für die unentgeltliche Rechtspflege vor Bundesgericht (<ref-law>). Das entsprechende Gesuch des Beschwerdeführers ist abzuweisen.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2.
Das Gesuch des Beschwerdeführers um unentgeltliche Rechtspflege für das bundesgerichtliche Verfahren wird abgewiesen.
3.
Die Gerichtskosten von Fr. 1'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Zürich, II. Zivilkammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 22. April 2016
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: von Werdt
Die Gerichtsschreiberin: Griessen