Erwägungen:
1.
Die B._ AG (Gläubigerin) leitete beim Betreibungsamt U._ gegen A._ (Schuldner) gestützt auf den Konkursverlustschein des Konkursamtes V._ vom 27. Juni 1988 (Konkurs Nr. xxx) eine Betreibung für Fr. 25'385.05 ein (Betreibung Nr. yyy). Mit Entscheid vom 24. April 2017 erteilte das Zivilgericht des Kantons Basel-Stadt der Gläubigerin die provisorische Rechtsöffnung für den besagten Betrag und auferlegte dem Schuldner die Kosten des Verfahrens. Das Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt trat am 30. Juni 2017 auf die vom Schuldner dagegen erhobene Beschwerde nicht ein. Der Schuldner (Beschwerdeführer) hat am 24. Juli 2017 (Postaufgabe) beim Bundesgericht gegen den Entscheid des Appellationsgerichts Beschwerde erhoben. Er ersucht sinngemäss um Verweigerung der provisorischen Rechtsöffnung. Überdies verlangt er die unentgeltliche Rechtspflege für das bundesgerichtliche Verfahren. Weder die Gläubigerin (Beschwerdegegnerin) noch die Vorinstanz ist zu einer Vernehmlassung angehalten worden.
2.
2.1. Da in der vorliegenden vermögensrechtlichen Zivilsache (Art. 72 Abs. 2 lit. a BGG) der Streitwert von Fr. 30'000.-- nicht erreicht ist (Art. 74 Abs. 1 lit. b BGG), ist gegen den angefochtenen Entscheid nur die Verfassungsbeschwerde gegeben (Art. 113 BGG). In der Verfassungsbeschwerde ist die Rüge der Verletzung verfassungsmässiger Rechte vorzubringen und zu begründen (Art. 117 i.V.m. Art. 106 Abs. 2 BGG sowie Art. 116 BGG), d.h. anhand der Erwägungen des kantonalen Entscheides klar und detailliert darzulegen, welche verfassungsmässigen Rechte und inwiefern sie durch diesen Entscheid verletzt sein sollen (<ref-ruling> E. 3.1 S. 399).
2.2. Das Appellationsgericht hat erwogen, soweit der Beschwerdeführer vorbringe, es sei unklar, wer Gläubiger der Forderung sei, treffe dies nicht zu: Die erste Instanz habe nachvollziehbar und zutreffend erörtert, dass der Übergang der strittigen Forderung auf die Beschwerdegegnerin lückenlos nachgewiesen sei. Im Übrigen komme der Beschwerdeführer seiner Begründungspflicht gemäss Art. 321 Abs. 1 ZPO nicht nach. Diese setze voraus, dass in der Beschwerde dargelegt werde, an welchen Mängeln der angefochtene Entscheid leide. Der Beschwerdeführer habe sich daher mit der Begründung des angefochtenen Entscheides auseinanderzusetzen und zu erklären, weshalb der Entscheid im angefochtenen Punkt unrichtig sein soll. Vorliegend setze sich der Beschwerdeführer mit den erstinstanzlichen Erwägungen nicht auseinander. Auf den Einwand sei daher nicht weiter einzugehen. Soweit der Beschwerdeführer geltend mache, dass er mit dem Vertragsangebot und diesem Verfahren nicht einverstanden gewesen sei, könne ihm nicht gefolgt werden. Die erste Instanz habe nachvollziehbar und zutreffend ausgeführt, dass das Rechtsöffnungsverfahren korrekt durchgeführt worden sei. Der Beschwerdeführer setze sich auch mit diesen Ausführungen des angefochtenen Entscheides der ersten Instanz nicht auseinander. Er bringe nichts vor, was den Voraussetzungen von Art. 321 Abs. 1 ZPO entspreche, weshalb auf die Beschwerde mangels rechtsgenügender Begründung nicht einzutreten sei.
2.3. Der Beschwerdeführer geht in seiner Eingabe nicht den Anforderungen entsprechend auf die den Entscheid tragenden Erwägungen ein und zeigt nicht anhand dieser Erwägungen auf, inwiefern die Vorinstanz den Sachverhalt willkürlich festgestellt, Art. 321 Abs. 1 ZPO willkürlich angewendet oder seine verfassungsmässigen Rechte verletzt haben soll. Auf die offensichtlich nicht hinreichend begründete Verfassungsbeschwerde ist somit im vereinfachten Verfahren durch das präsidierende Mitglied der Abteilung (Art. 117 i.V.m. Art. 108 Abs. 1 bzw. Art. 108 Abs. 1 lit. b BGG) unter Kostenfolge für den Beschwerdeführer (Art. 66 Abs. 1 BGG) nicht einzutreten.
3.
Wie die bisherigen Ausführungen zeigen, hat sich die Verfassungsbeschwerde als von Anfang an aussichtslos erwiesen. Fehlt es somit an einer der materiellen Voraussetzungen für die Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege, ist das entsprechende Gesuch der Beschwerdeführerin abzuweisen (Art. 64 Abs. 1 BGG).

Demnach erkennt das präsidierende Mitglied:
1.
Auf die Verfassungsbeschwerde wird nicht eingetreten.
2.
Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege wird abgewiesen.
3.
Die Gerichtskosten von Fr. 700.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt, Dreiergericht, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 26. Juli 2017
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Das präsidierende Mitglied: Escher
Der Gerichtsschreiber: Zbinden