Sachverhalt:
A.
In den 1970er Jahren errichtete der Vater von A._ auf der Parzelle Nr. "...", GB Hofstetten-Flüh, für seine Schafherde einen Weidezaun aus Eisenbahnschwellen und Maschendrahtgitter. Im Jahr 1996 erbten A._ und seine Schwester das Grundstück, das in der Landwirtschaftszone liegt und von der Juraschutzzone überlagert wird. A._, der in Gelterkinden wohnt und in Basel arbeitet, bewirtschaftet das Land und betreibt als Freizeitlandwirt eine Schafzucht mit einer Herde von 15-25 Tieren.
B.
Am 19. Juli 2013 teilte die Baukommission der Gemeinde Hofstetten-Flüh A._ mit, auf dem Grundstück seien verschiedene bewilligungspflichtige Bauten erstellt worden, welche von der Baubewilligung vom 15. Februar 1993 abwichen. Namentlich seien diverse feste Umzäunungen mit Eisenbahnschwellen erstellt worden. A._ wurde eine Frist bis zum 30. August 2013 gewährt, um ein Baugesuch einzureichen. Mit Schreiben vom 29. August 2013 teilte dieser der Gemeindeverwaltung Hofstetten-Flüh mit, der befestigte Zaun sei von seinem Vater rechtmässig erstellt worden und bedürfe keiner neuen Baubewilligung. Die ausgeführten Arbeiten dienten lediglich der Instandhaltung. Der Verlauf des Zauns sei nicht verändert worden.
C.
Mit Verfügung vom 14. April 2014 ordnete das Bau- und Justizdepartement des Kantons Solothurn unter Ziffer 12 an, dass der bestehende Zaun bis zum 31. August 2014 durch einen wildtierfreundlichen und landschaftsverträglichen Zauntyp zu ersetzen sei. Die Einzäunung sei mit gespannten Litzen auszuführen (keine Knotengitter oder Flexinetze). Die Zaunhöhe sei auf maximal 90-100 cm zu beschränken (dies reiche für Schafe und könne von wildlebenden Huftieren übersprungen werden). Die unterste Litze müsse eine Bodenfreiheit von 30 cm einhalten, damit kleinere Wildtiere passieren können. Statt der Eisenbahnschwellen seien schlanke Holzpfosten zu verwenden. Zudem sei das Metalltor landschaftlich nicht verträglich und müsse ebenfalls bis zum 31. August 2014 entfernt werden.
D.
Die dagegen von A._ erhobene Beschwerde hiess das Verwaltungsgericht des Kantons Solothurn mit Urteil vom 5. März 2015 teilweise gut, indem es ihm gestattete, anstelle der teerölhaltigen Eisenbahnschwellen schlanke Holzpfosten oder schlanke, verzinkte Eisenrohre zu verwenden. Im Übrigen wurde die Beschwerde abgewiesen.
E.
A._ erhebt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten mit dem Begehren, das Urteil des Verwaltungsgerichts des Kantons Solothurn sei teilweise aufzuheben. Eventualiter sei die Sache zur Neubeurteilung an die Vorinstanz zurückzuweisen.
Der Präsident der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung gewährte der Beschwerde am 20. Mai 2015 die aufschiebende Wirkung.
Das Verwaltungsgericht hebt in seiner Vernehmlassung hervor, dass die Verfügung vom 14. April 2014 des Bau- und Justizdepartements den ganzen Zaun betrifft (und nicht bloss Teile davon). Im Übrigen stellt das Verwaltungsgericht Antrag auf Abweisung der Beschwerde, soweit darauf eingetreten werden kann. Das Bau- und Justizdepartement und das Bundesamt für Raumplanung (ARE) stellen den Antrag auf Beschwerdeabweisung. Der Beschwerdeführer hat sich zu den Vernehmlassungen nicht mehr geäussert.

Erwägungen:
1.
1.1. Angefochten ist ein kantonal letztinstanzlicher Endentscheid über eine öffentlich-rechtliche Angelegenheit (Art. 82 lit. a; Art. 86 Abs. 1 lit. d und Abs. 2 sowie Art. 90 BGG). Ein Ausschlussgrund ist nicht gegeben (<ref-law>). Der Beschwerdeführer hat am vorinstanzlichen Verfahren teilgenommen (<ref-law>). Er ist durch das angefochtene Urteil besonders berührt und hat ein schutzwürdiges Interesse an dessen Aufhebung oder Änderung (Art. 89 Abs. 1 lit. b und c BGG). Damit ist er zur Beschwerdeführung berechtigt. Die übrigen Sachurteilsvoraussetzungen geben zu keinen Bemerkungen Anlass. Auf die Beschwerde ist grundsätzlich einzutreten.
1.2. Mit der Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann die Verletzung von Bundesrecht, Völkerrecht und kantonalen verfassungsmässigen Rechten geltend gemacht werden (Art. 95 lit. a-c BGG). Die Verletzung des übrigen kantonalen Rechts kann (abgesehen von hier nicht relevanten Ausnahmen) vor Bundesgericht nicht gerügt werden. Zulässig ist jedoch die Rüge, die Anwendung dieses Rechts führe zu einer Verletzung von Bundesrecht, namentlich des Willkürverbots (<ref-law>; <ref-ruling> E. 2 S. 149 f.). Nach ständiger Praxis liegt Willkür in der Rechtsanwendung vor, wenn der angefochtene Entscheid offensichtlich unhaltbar ist, mit der tatsächlichen Situation in klarem Widerspruch steht, eine Norm oder einen unumstrittenen Rechtsgrundsatz krass verletzt oder in stossender Weise dem Gerechtigkeitsgedanken zuwiderläuft. Das Bundesgericht hebt einen Entscheid jedoch nur auf, wenn nicht bloss die Begründung, sondern auch das Ergebnis unhaltbar ist. Dass eine andere Lösung ebenfalls als vertretbar oder gar zutreffender erscheint, genügt nicht (<ref-ruling> E. 2.2 S. 72 mit Hinweisen).
1.3. Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zu Grunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (<ref-law>). Die Sachverhaltsfeststellung kann nur gerügt werden, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruht und wenn die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein kann (<ref-law>).
1.4. Im bundesgerichtlichen Verfahren dürfen neue Tatsachen und Beweismittel nur so weit vorgebracht werden, als erst der Entscheid der Vorinstanz dazu Anlass gibt (<ref-law>). Der Beschwerdeführer legt vor Bundesgericht erstmals eine Gebietskarte "Übersicht Zäune/Tore" und zahlreiche Fotografien ins Recht. Diese Beweismittel sollen belegen, dass Metalltore und Zäune aus Knotengitter (ohne Bodenfreiheit von 30 cm) von benachbarten Tierhaltern in der Juraschutzzone und auch von der Einwohnergemeinde Hofstetten-Flüh verwendet werden. Der Zauntyp und die Landschaftsverträglichkeit des Metalltors bildete jedoch bereits Streitgegenstand im vorinstanzlichen Verfahren. Der vorinstanzliche Entscheid hat diesbezüglich auch keine neuen Fragen aufgeworfen. Da somit nicht erst der angefochtene Entscheid Anlass gab, die genannten Beweismittel im bundesgerichtlichen Verfahren einzureichen, haben sie ausser Acht zu bleiben.
1.5. Nach <ref-law> ist in der Beschwerdebegründung in gedrängter Form darzulegen, inwiefern der angefochtene Akt Recht verletzt. Bezüglich der Verletzung von verfassungsmässigen Rechten gilt eine qualifizierte Rügepflicht. Das Bundesgericht tritt auf solche Rügen nur ein, wenn sie in der Beschwerde präzise vorgebracht und begründet worden sind (<ref-law> i.V.m. <ref-law>). Wird eine Verletzung des Willkürverbots geltend gemacht (<ref-law>), muss anhand der angefochtenen Subsumtion im Einzelnen dargelegt werden, inwiefern der Entscheid an einem qualifizierten und offensichtlichen Mangel leidet (vgl. <ref-ruling> E. 2.2 S. 246).
Nachdem die vom Beschwerdeführer neu eingereichten Beweismittel nicht berücksichtigt werden können (E. 1.2), erweist sich die Rüge, wonach die Baubehörde in willkürlicher Weise einzig dem Beschwerdeführer (nicht aber auch den Nachbarn) Auflagen für das Weidetor und den Zaun gemacht haben soll, als unsubstanziiert. Darauf kann nicht eingetreten werden.
2.
2.1. Das Grundstück des Beschwerdeführers befindet sich in der Landwirtschaftszone, die von der Juraschutzzone überlagert wird. Grundsätzlich sind nur die zur landwirtschaftlichen Bewirtschaftung oder für den produzierenden Gartenbau nötigen Bauten und Anlagen zonenkonform (Art. 16a Abs. 1 RPG). Die Vorinstanz hat festgestellt, dass der Beschwerdeführer Freizeitlandwirtschaft betreibt. Dies wird von ihm auch nicht mehr bestritten. In der Landwirtschaftszone gelten Bauten und Anlagen für die Freizeitlandwirtschaft als nicht zonenkonform (so ausdrücklich Art. 34 Abs. 5 der Raumplanungsverordnung [RPV; SR 700.1]) und können - vorbehältlich der Spezial-Ausnahmetatbestände gemäss Art. 24a-24e RPG - nicht bewilligt werden.
2.2. Nach Art. 24c Abs. 1 RPG werden bestimmungsgemäss nutzbare Bauten und Anlagen ausserhalb der Bauzonen, die nicht mehr zonenkonform sind, in ihrem Bestand grundsätzlich geschützt. Solche Bauten und Anlagen können mit Bewilligung der zuständigen Behörde erneuert, teilweise geändert, massvoll erweitert oder wiederaufgebaut werden, sofern sie rechtmässig erstellt oder geändert worden sind (Art. 24c Abs. 2 RPG). In jedem Fall bleibt die Vereinbarkeit mit den wichtigen Anliegen der Raumplanung vorbehalten (Art. 24c Abs. 5 RPG). Änderungen bzw. Erweiterungen sind zulässig, wenn die Identität der Baute oder Anlage einschliesslich ihrer Umgebung in den wesentlichen Zügen gewahrt bleibt, wobei Verbesserungen gestalterischer Art zulässig sind (<ref-law> [SR 700.1]). Ob die Identität der Baute im Wesentlichen gewahrt bleibt, ist unter Würdigung der gesamten Umstände zu beurteilen (<ref-law>).
2.3. Art. 24c RPG ist nicht anwendbar auf neurechtliche Bauten und Anlagen, die seit dem 1. Juli 1972 erstellt wurden (<ref-law> sowie <ref-ruling> E. 4.2.1 S. 398). Die Vorinstanz ist (stillschweigend) davon ausgegangen, dass der Zaun und das Weidetor schon vor dem 1. Juli 1972 und in Übereinstimmung mit dem damaligen materiellen Recht erstellt worden sind. Soweit ersichtlich liegen keine Anhaltspunkte vor, die zu einer gegenteiligen Auffassung führen könnten.
3.
3.1. Der Beschwerdeführer ersetzte das Weidetor aus Holz und Gittergeflecht durch ein Metalltor. Er ging davon aus, der Ersatz sei als baubewilligungsfreier Unterhalt zu qualifizieren. Dagegen führt die Vorinstanz aus, das neue Weidetor unterliege der Bewilligungspflicht nach Art. 24c RPG und stehe zudem im Widerspruch zu den kantonalen Schutzvorschriften.
3.2. Ob der Ersatz des ursprünglichen Weidetors durch das umstrittene Metalltor der Bewahrung des bereits durch die Bestandesgarantie (<ref-law>) geschützten, hergebrachten Zustands des Anlageteils dient (Werterhaltung; vgl. RUDOLF MUGGLI, in: Aemisegger/Kuttler/Moor/Ruch [Hrsg.], Kommentar zum Bundesgesetz über die Raumplanung, 2009, Rz. 19 zu Art. 24c RPG) oder ob vielmehr von einem neuwertigen Anlageteil auszugehen ist, dessen Lebensdauer mehr als durch den normalen Unterhalt verlängert wird (und somit der Bewilligungspflicht unterliegt; vgl. MUGGLI, a.a.O., Rz. 20 zu Art. 24c RPG), kann vorliegend offen gelassen werden. Den Kantonen bleibt es vorbehalten, über den bundesrechtlichen Mindeststandard hinauszugehen und weitere Vorgänge der Bewilligungspflicht zu unterstellen (Urteile 1A.202/2003 vom 17. Februar 2004 E. 3.1 und 1C_157/2011 vom 21. Juli 2011 E. 3.1). Das Grundstück des Beschwerdeführers wird von der Juraschutzzone, einem kantonalen Schutzgebiet gemäss § 121 Abs. 1 lit. a des Planungs- und Baugesetzes des Kantons Solothurn vom 3. Dezember 1978 (BSG 711.1), überlagert. Damit sind auch die Bestimmungen der solothurnischen Verordnung über den Natur- und Heimatschutz vom 14. November 1980 (NHV/SO; BSG 435.141) zu beachten. In der Juraschutzzone haben danach Bauten in besonderer Weise auf das Orts- und Landschaftsbild Rücksicht zu nehmen (<ref-law>/SO). Zudem sind Materialien, die durch ihre Farbe, Struktur oder Beschaffenheit störend wirken, nicht zu verwenden (<ref-law>/SO).
3.3. Abgesehen von Einwänden, die im bundesgerichtlichen Verfahren nicht gehört werden können (E. 1.4), bringt der Beschwerdeführer hauptsächlich vor, beim alten Weidetor habe es sich um eine vier Meter breite Metall- und Holzkonstruktion mit Diagonalgeflecht gehandelt, die materialbedingt massiver gewirkt habe als das neue feuerverzinkte Weidetor aus Stahlrohr mit Stahlgitter.
3.4. Zur Frage der Landschaftsverträglichkeit von Metalltoren in der Juraschutzzone verweist die Vorinstanz auf ihre Rechtsprechung, wonach als Kriterium für die Beurteilung der Materialisierung die Wirkung der Baute auf die Landschaft heranzuziehen sei (E. 5.2 und E. 5.4.5 des angefochtenen Entscheids). Vorliegend vermöge sich das massive Metalltor nicht in die Landschaft zu integrieren. Damit erfülle es die Voraussetzungen der Juraschutzvorschriften nicht und könne nicht bewilligt werden. Der Beschwerdeführer habe deshalb das Metalltor durch ein solches mit der ursprünglichen Materialisierung (Holz und Gittergeflecht) zu ersetzen.
3.5. Inwiefern die Begründung der Vorinstanz offensichtlich unhaltbar sein, mit der tatsächlichen Situation in klarem Widerspruch stehen, oder in stossender Weise dem Gerechtigkeitsgedanken zuwiderlaufen soll, wird vom Beschwerdeführer nicht dargelegt und ist auch nicht ersichtlich. Im Rahmen der Willkürprüfung (<ref-ruling> E. 5.1 S. 17 f.; <ref-ruling> E. 3.1 S. 473 f., je mit Hinweisen) besteht für das Bundesgericht deshalb kein Anlass, von der vorinstanzlichen Beurteilung abzuweichen, zumal es sich ohnehin eine gewisse Zurückhaltung auferlegt, soweit die Beurteilung von besonderen örtlichen Verhältnissen abhängt, welche die kantonalen Behörden besser kennen und überblicken, und soweit sich ausgesprochene Ermessensfragen stellen (<ref-ruling> E. 4.3 S. 416; <ref-ruling> E. 4.1 S. 344; je mit Hinweisen). Die Beschwerde ist in diesem Punkt abzuweisen.
4.
4.1. Weiter ist zu beurteilen, ob der Beschwerdeführer den gesamten Zaun aus Diagonalgeflecht entfernen und durch einen Litzenzaun (mit neuen Auflagen zur Zaunhöhe und Bodenfreiheit) ersetzen muss. Das von der Baubehörde verfügte Verbot, teerölimprägnierte Eisenbahnschwellen als Pfosten für den Weidezaun zu verwenden (vgl. dazu Anhang 2.4 der Verordnung zur Reduktion von Risiken beim Umgang mit bestimmten besonders gefährlichen Stoffen, Zubereitungen und Gegenständen; Chemikalien-Risikoreduktions-Verordnung [ChemRRV; SR 814.81]), wurde vom Beschwerdeführer vor Bundesgericht nicht weiter angefochten. Die alten, vom Beschwerdeführer vor Inkrafttreten des Verbots bereits verbauten Eisenbahnschwellen sind gemäss Vorinstanz nicht zu entfernen, da gemäss ChemRRV keine Sanierungspflicht besteht; untersagt ist jedoch eine neue Verbauung der noch vorhandenen Eisenbahnschwellen, die der Beschwerdeführer noch vor der Einführung des Verbots gekauft und in seinem Materialdepot gelagert hat. Er hat sich inzwischen bereit erklärt, anstelle der Bahnschwellen zukünftig schlanke Holzpfosten oder schlanke, verzinkte Eisenrohre zu verwenden (Beschwerdeschrift, S. 7). Die im vorinstanzlichen Verfahren noch umstrittenen Zaunpfosten bilden somit nicht mehr Streitgegenstand im vorliegenden Verfahren.
4.2. Der Beschwerdeführer rügt eine Verletzung der Begründungspflicht als Teilgehalt des Anspruchs auf rechtliches Gehör (<ref-law>). Die Vorinstanz habe sich nicht hinreichend mit seinen Einwänden auseinandergesetzt. Er habe im vorinstanzlichen Verfahren geltend gemacht, dass er lediglich 27,5 % des Weidezauns instand gestellt habe und dass der restliche Teil des Zauns Bestandesschutz geniesse. Bei der Prüfung der behördlich verfügten Auflagen habe die Vorinstanz sodann unberücksichtigt gelassen, dass es sich vorliegend um eine Dauerweide handle, was für die Wahl des entsprechenden Zauntyps entscheidend sei. Die Zaunhöhe von 1,20 m sei aus topographischen Gründen notwendig, um zu verhindern, dass die Schafe aufgrund des Gefälles im Gelände über den Zaun springen können. Sodann bestehe bei einer Bodenfreiheit von 30 cm die Gefahr, dass die Lämmer unter der unteren Litze hindurchkriechen und auf die nahe gelegene Strasse gelangen könnten. Bei einem allfälligen Verkehrsunfall bestünde für den Beschwerdeführer als Tierhalter insoweit ein Haftungsrisiko.
4.3. Der verfassungsmässige Gehörsanspruch (<ref-law>) gilt nach der bundesgerichtlichen Rechtsprechung als ein solcher formeller Natur. Er ist hier vorweg zu behandeln, weil seine Verletzung ungeachtet der Erfolgsaussichten des Rechtsmittels in der Sache selbst zur Aufhebung des angefochtenen Entscheids führt (<ref-ruling> E. 2.2 S. 197 mit Hinweis). Aus dem Anspruch auf rechtliches Gehör ergibt sich für die Behörde die Pflicht, ihren Entscheid zu begründen. Dies bedeutet indes nicht, dass sie sich mit jeder tatbeständlichen Behauptung und jedem rechtlichen Einwand auseinandersetzen muss. Vielmehr kann sie sich auf die für den Entscheid wesentlichen Punkte beschränken (<ref-ruling> E. 5.2 und 5.3 S. 236 f.).
4.4. Die Vorinstanz hat Folgendes erwogen: Da sich das Weideland an einem Waldrand in der Juraschutzzone befinde, sei die Forderung nach einem wildtierfreundlichen und landschaftsverträglichen Zauntyp gerechtfertigt. Knotengitter und Flexinetze würden diesen Anforderungen nicht entsprechen, da sie für Wildtiere Hindernisse oder sogar Todesfallen seien, in denen sie sich verfangen und unter Umständen nicht mehr befreien können. Zäune sollen für Wildtiere keine Hindernisse sein. Dass bisher kein Wild zu Schaden gekommen sei, stelle keinen Grund dar, diese Art von Zäunen in der Nähe von Wäldern zu dulden. Die maximale Zaunhöhe von 1,00 m sei für einen wildtierfreundlichen Zaun genügend, zumal "nicht bekannt [sei], dass Schafe über Zäune springen (ausser beim Schäfchenzählen!) ". Der Abstand vom Boden zur untersten Litze von 30 cm ermögliche kleineren Wildtieren, unter dem Zaun gefahrlos durchzukriechen. Zwar gelänge dies auch Lämmern. Es sei aber davon auszugehen, dass sich ein ausgerissenes Lamm alleine nicht wohlfühle und so rasch als möglich zur Mutter und zur Herde zurückfinde. Das Argument mit der Sicherheit der Strasse vermöge daran nichts zu ändern, haben sich Motorfahrzeugfahrer doch an die Verkehrsvorschriften zu halten und bei einem Hindernis auf der Strasse anzuhalten.
4.5. Mit Blick auf die vom Beschwerdeführer vorgetragene Argumentation betreffend Bestandesschutz und Weidetyp ist die Vorinstanz ihrer Begründungspflicht nicht nachgekommen. Zunächst ist festzustellen, dass sich der angefochtene Entscheid zum Bestandesschutz des vom Beschwerdeführer nicht erneuerten Teils des Zauns (d.h. der übrigen 72,5 % des Zauns, der vom Vater des Beschwerdeführers in den 1970er-Jahren rechtmässig errichtet wurde) nicht äussert, sondern davon ausgeht, dass der gesamte Zaun aus Diagonalgeflecht durch einen Litzenzaun ersetzt werden muss (vgl. Vernehmlassung der Vorinstanz; Bst. E hiervor). Sodann geht die Vorinstanz auf das Vorbringen des Beschwerdeführers, seine Schafweide sei als Dauerweide und nicht als temporäre Weide zu qualifizieren, nicht ein, obwohl diese Frage im vorliegenden Kontext, wie der Beschwerdeführer zutreffend hervorhebt, wesentlich ist. Den Akten lässt sich entnehmen, dass seine Schafe ständig auf derselben Weide gehalten werden. Solche Dauerweiden stellen andere Anforderungen an einen Weidezaun. So lässt sich den Merkblättern "Zäune ausserhalb der Bauzone" des Forstamts Thurgau (2009) oder "Sichere Weidezäune" des Schweizer Tierschutzes (STS) entnehmen, dass für Schafe auf Dauerweiden Knotengitter- oder Maschendrahtzäune "geeignet" sind. Ebenfalls in Frage kommt ein Mehrdraht-Elektrozaun mit Spezialstahldraht. Da Schafe aber aufgrund ihres dichten Fells gegenüber Stromstössen relativ unempfindlich sind, muss mit Blick auf die nötige Hütesicherheit für eine ausreichend hohe Spannung gesorgt werden, was aber wiederum dazu führt, dass solche Zäune für Wildtiere "zu unüberwindbaren Barrieren werden und damit ihren Lebensraum zerstückeln oder einschränken" (Merkblatt STS, S. 5). Dagegen kommt der von der Behörde verfügte Litzenzaun nur bei temporären Weiden, nicht aber bei Dauerweiden, in Betracht.
4.6. Damit erweist sich die Gehörsrüge als begründet, was bereits zur Aufhebung des vorinstanzlichen Entscheids führt.
4.7. Im Übrigen ist festzuhalten, dass die Beschwerde in Bezug auf die Zaunhöhe und die Bodenfreiheit auch aus anderen Gründen gutzuheissen gewesen wäre.
Der Beschwerdeführer hat bereits vor der Vorinstanz darauf hingewiesen, dass das Parzellengelände zu 90% uneben sei. Die Höhe des Zauns am Waldrand betrage 1,00 m und auf der freien Fläche (in Richtung der Kantonsstrasse) rund 1,20 m. Der Höhenunterschied sei durch das unterschiedliche Gefälle des Weidelands bedingt. Im abschüssigen Teil des Geländes müsse der Weidezaun deshalb höher als 1,00 m sein; andernfalls könnten die Schafe ausbrechen, da sie deutlich weniger als einen Meter überspringen müssten. Zudem könne nicht jede Bodenunebenheit mit Litzen abgespannt werden, so dass die Bodenfreiheit stellenweise mehr als 30 cm betragen würde. Dort könnten die Lämmer durchschlüpfen. Die an die Schafweide angrenzende Kantonsstrasse (ausserorts; Maximalgeschwindigkeit: 80 km/h) werde insbesondere an Wochenenden und Feiertagen von zahlreichen Ortsunkundigen (Ausflüglern, Motorrad- und Radfahrern) befahren. Es sei daher unerlässlich, das Risiko, dass ein Schaf ausbreche und auf die Strasse gelange, auf ein Minimum zu reduzieren, andernfalls würde der Beschwerdeführer als Tierhalter haftpflichtig (<ref-law>). Die Herde müsse auch vor unbeaufsichtigten Hunden geschützt werden. Würde ein Hund in das Gehege gelangen, könnten die Schafe in Panik geraten und ausbrechen. Ein 1,20 m hoher Knotengitter-/Maschendrahtzaun sei daher notwendig und könne von wildlebenden Huftieren übersprungen werden, ohne dass dies zu einer Beeinträchtigung ihres Lebensraums führen würde. Das Drahtgeflecht sei straff gespannt und nicht so weitmaschig, dass sich Wildtiere darin verfangen könnten.
Diesen zahlreichen Einwänden des Beschwerdeführers, die für einen ausbruchsicheren Zaun sprechen, hält die Vorinstanz lediglich pauschale Begründungen oder Behauptungen entgegen, die zudem auf angeblich notorischen Annahmen beruhen (z.B., "dass Schafe nicht über Zäune springen, ausser beim Schäfchenzählen!"; vgl. zum Phänomen, dass Schafe zu niedrige Einzäunungen überspringen und damit die Ausbruchsbereitschaft der gesamten Herde erhöhen [sog. Hürdenspringer], jedoch HUGO RIEDER, Schafe halten, 5. Aufl. 2010, S. 113 f. und 143). Damit hätte sich die Beschwerde auch aufgrund der unvollständigen und damit offensichtlich unrichtigen Sachverhaltsfeststellung (<ref-law>) als begründet erwiesen.
4.8. Nach dem Ausgeführten muss auf die weiteren vom Beschwerdeführer vorgebrachten Rügen nicht mehr eingegangen werden.
5.
Nach dem Gesagten ist die Beschwerde teilweise gutzuheissen. Das Urteil des Verwaltungsgerichts des Kantons Solothurn vom 5. März 2015 wird insoweit aufgehoben, als die Vorinstanz die Ziff. 12 lit. a-c der Verfügung des Bau- und Justizdepartements vom 14. April 2014 bestätigt hat. Die Sache wird insoweit zu neuer Entscheidung an die Vorinstanz zurückgewiesen. Im Übrigen ist die Beschwerde abzuweisen, soweit darauf eingetreten werden kann.
Bei diesem Verfahrensausgang rechtfertigt es sich, dem teilweise unterliegenden Beschwerdeführer die Gerichtskosten von Fr. 3'000.-- zur Hälfte aufzuerlegen, wohingegen die Beschwerdegegner keine Kostenpflicht trifft (Art. 65 und Art. 66 BGG). Für das Verfahren vor Bundesgericht hat der Kanton Solothurn dem Beschwerdeführer eine reduzierte Parteientschädigung von Fr. 1'500.-- auszurichten.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird teilweise gutgeheissen. Das Urteil des Verwaltungsgerichts des Kantons Solothurn vom 5. März 2015 wird insoweit aufgehoben, als die Vorinstanz die Ziff. 12 lit. a-c der Verfügung des Bau- und Justizdepartements vom 14. April 2014 bestätigt hat. Die Sache wird insoweit zu neuer Entscheidung an die Vorinstanz zurückgewiesen. Im Übrigen wird die Beschwerde abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.
Dem Beschwerdeführer wird für das bundesgerichtliche Verfahren eine reduzierte Gerichtsgebühr von Fr. 1'500.-- auferlegt.
3.
Für das Verfahren vor Bundesgericht hat der Kanton Solothurn dem Beschwerdeführer eine reduzierte Parteientschädigung von Fr. 1'500.-- auszurichten.
4.
Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer, der Baukommission der Einwohnergemeinde Hofstetten-Flüh, dem Bau- und Justizdepartement des Kantons Solothurn, dem Verwaltungsgericht des Kantons Solothurn und dem Bundesamt für Raumentwicklung schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 2. Juni 2016
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Fonjallaz
Der Gerichtsschreiber: Misic