Faits :
A.
A.X._ est le père de deux enfants: C._, né en 2004, et D._, née en 2002. Il est divorcé de la mère de ses enfants, B.X._, née Y._.
D'après la convention de divorce, ratifiée par le juge civil le 16 janvier 2013, A.X._ et B.X._ ont l'autorité parentale conjointe sur leurs enfants, ainsi que la garde alternée. Le père s'engage à assumer l'ensemble des frais d'entretien et d'éducation relatifs à son fils C._, domicilié chez lui, et à verser une pension alimentaire de 1'000 fr. en faveur de sa fille, D._, domiciliée chez sa mère. La convention règle avec précision les modalités de garde des enfants. Il est notamment prévu que ceux-ci vivent ensemble en se déplaçant de manière conjointe entre les lieux d'habitation des parents.
B.
Da ns sa déclaration fiscale 2013, A.X._ a annoncé faire ménage commun avec son fils C._. Il a notamment déduit de ses revenus 12'000 fr. au titre de pensions alimentaires versées à sa fille et 4'500 fr. pour enfants à charge.
Le 16 mai 2014, le Service des contributions de la République et canton de Neuchâtel (ci-après: le Service des contributions) a informé A.X._ qu'il ne comprenait pas les raisons du versement d'une pension alimentaire en faveur de D._ mais non de C._. Le fait que les enfants avaient des domiciles différents ne devait avoir aucune incidence sur le plan fiscal. Partant, il convenait de procéder à la taxation en admettant que les deux enfants étaient à la charge de la mère, qui serait considérée comme recevant des pensions alimentaires pour chacun d'eux. B.X._ bénéficierait ainsi de la déduction pour enfants, pour famille monoparentale et du barème d'imposition applicable aux couples mariés.
Sur la base de cette correspondance, le Service des contributions a, par bordereau de taxation définitive 2013, ajouté 12'000 fr. aux pensions alimentaires annoncées par le contribuable, afin de tenir compte d'une contribution d'entretien fictive en faveur de C._. La décision de taxation précisait que "C._ [était] admis chez Madame pour les raisons évoquées dans le mail du 16 mai 2014 envoyé à votre attention". Le Service des contributions a maintenu sa taxation dans sa décision sur réclamation du 10 juin 2015 pour l'IFD et l'ICC. Il a précisé que les enfants avaient une situation identique envers leurs parents, si ce n'est au niveau de la charge d'entretien. Aucune raison, autre que fiscale, n'expliquait la différence de traitement entre les enfants et la domiciliation visait uniquement à mettre chacun des parents au bénéfice du barème d'imposition applicable aux couples mariés. Dans ces conditions, il convenait de s'écarter de la convention de divorce ratifiée par le juge en raison de l'identité de la situation entre les enfants au niveau de l'autorité parentale et de la garde.
C.
Par arrêt du 25 août 2016, la Cour de droit public du Tribunal cantonal de la République et canton de Neuchâtel (ci-après: le Tribunal cantonal) a déclaré le recours irrecevable en tant qu'il portait sur l'IFD et a rejeté celui se rapportant à l'ICC. Il a jugé en substance que le fait que l'un des enfants était domicilié chez le contribuable ne lui donnait pas le droit de bénéficier du barème applicable aux couples mariés et des déductions sociales pour l'entretien de cet enfant.
D.
Agissant par la voie du recours en matière de droit public, A.X._ demande au Tribunal fédéral, sous suite de frais et dépens, d'annuler l'arrêt du 25 août 2016 du Tribunal cantonal et de mettre l'intéressé au bénéfice du barème d'imposition des personnes mariées.
Le Service des contributions, le Tribunal cantonal et l'Administration fédérale des contributions concluent au rejet du recours.
E.
Le 23 juin 2017, la Cour de céans a délibéré sur le présent recours en séance publique.

Considérant en droit :
1.
Le recours est dirigé contre une décision finale (<ref-law>), rendue en dernière instance cantonale par un tribunal supérieur (art. 86 al. 1 let. d et al. 2 LTF) dans une cause de droit public (<ref-law>) ne tombant pas sous le coup de l'une des exceptions prévues à l'<ref-law>. Déposé en temps utile (<ref-law>) et dans les formes prescrites par la loi (<ref-law>), par le destinataire de l'arrêt attaqué, qui a un intérêt digne de protection à l'annulation ou à la modification de celui-ci (<ref-law>), le présent recours est en principe recevable comme recours en matière de droit public.
2.
Saisi d'un recours en matière de droit public, le Tribunal fédéral applique le droit d'office (<ref-law>), mais n'examine la violation de droits fondamentaux, ainsi que celle de dispositions de droit cantonal et intercantonal, que si ce grief a été invoqué et motivé par le recourant (cf. <ref-law>), c'est-à-dire s'il a été expressément soulevé et exposé de façon claire et détaillée (<ref-ruling> consid. 2.4 p. 368; <ref-ruling> consid. 1.3 p. 41; <ref-ruling> consid. 1.2 p. 234). Le Tribunal fédéral vérifie toutefois librement la conformité du droit cantonal harmonisé et de son application par les instances cantonales aux dispositions de la LHID, à moins que les dispositions de cette loi ne laissent une certaine marge de manoeuvre aux cantons, auquel cas l'interprétation de la loi cantonale n'est examinée que sous l'angle restreint de l'arbitraire (<ref-ruling> consid. 2 p. 210; arrêt 2C_485/2016 du 24 mai 2017 consid. 1.3).
3.
Le recourant s'en prend à l'établissement des faits et à l'appréciation des preuves opérés par le Tribunal cantonal.
3.1. Le Tribunal fédéral statue en principe sur la base des faits établis par l'autorité précédente (<ref-law>), sous réserve des cas prévus à l'<ref-law>. En vertu de l'<ref-law>, le recours ne peut critiquer les constatations de fait que si les faits ont été établis de façon manifestement inexacte - notion qui correspond à celle d'arbitraire (<ref-ruling> consid. 6 p. 358) - ou en violation du droit au sens de l'<ref-law>, et si la correction du vice est susceptible d'influer sur le sort de la cause (<ref-ruling> consid. 1.6 p. 144 s.; <ref-ruling> consid. 1.3.1 p. 17 s.). Lorsque la partie recourante s'en prend à l'appréciation des preuves et à l'établissement des faits, la décision n'est arbitraire que si le juge n'a manifestement pas compris le sens et la portée d'un moyen de preuve, s'il a omis, sans raison sérieuse, de tenir compte d'un moyen important propre à modifier la décision attaquée ou encore si, sur la base des éléments recueillis, il a procédé à des déductions insoutenables (cf. <ref-ruling> consid. 4.4 p. 444; <ref-ruling> consid. 6 p. 358). Conformément à l'<ref-law>, le recourant doit expliquer de manière circonstanciée en quoi ces conditions seraient réalisées (cf. supra consid. 2).
3.2. Le recourant fait grief à l'instance précédente d'avoir omis de constater qu'il assumait l'ensemble des frais relatifs à l'enfant C._. D'après l'intéressé, cet élément devait conduire les juges cantonaux à le mettre au bénéfice du barème applicable aux couples mariés en application de l'art. 40a al. 3 de la loi neuchâteloise du 21 mars 2000 sur les contributions directes (LCdir/NE; RSN 631.0). En l'occurrence, on peine à déceler en quoi cet élément a une incidence sur l'issue du litige, puisque, comme il sera exposé ci-après, ce n'est pas sur la base de ce fait que les juges cantonaux ont nié l'application de cette disposition à l'égard du recourant ( infra consid. 6.3). Quoi qu'il en soit, contrairement à ce que soutient l'intéressé, le Tribunal cantonal a pris cet élément en considération. C'est d'ailleurs pour tenir compte du fait que le père assumait l'entretien de son fils qu' "une pension fictive" en faveur de ce dernier avait été reconstituée par le fisc. Ce point a été dûment relaté par la Cour cantonale. Il s'ensuit que la critique concernant l'arbitraire dans l'établissement des faits et l'appréciation des preuves est sans fondement. Dans la suite du raisonnement, la Cour de céans se fondera donc exclusivement sur les constatations de l'arrêt attaqué (<ref-law>).
4.
Devant le Tribunal fédéral, le recourant remet uniquement en cause le refus, confirmé par l'instance précédente, de le mettre au bénéfice du barème applicable aux couples mariés.
5.
La loi sur l'harmonisation fiscale désigne les impôts directs que les cantons doivent prélever et fixe les principes selon lesquels la législation cantonale les établit (<ref-law>). Lorsqu'aucune réglementation particulière n'est prévue, les impôts cantonaux et communaux sont établis en vertu du droit cantonal (<ref-law>).
L'<ref-law> a été modifié par l'adoption de la loi fédérale sur les allégements fiscaux en faveur des familles avec enfants dans le cadre de la réforme de l'imposition du couple et de la famille (RO 2010 455, 458). Dans sa version jusqu'au 1er janvier 2011, date de l'entrée en vigueur de la réforme, l'<ref-law> prévoyait que l'impôt des personnes mariées vivant en ménage commun devait être réduit de manière appropriée par rapport à celui des personnes vivant seules; cette même réduction était valable pour les contribuables veufs, séparés, divorcés ou célibataires qui font ménage commun avec des enfants ou des personnes nécessiteuses et dont ils assurent pour l'essentiel l'entretien. En tant qu'elle accordait aux familles monoparentales la même réduction tarifaire qu'aux couples mariés, cette disposition a été jugée contraire au principe de l'imposition selon la capacité contributive (<ref-ruling> et 131 II 710). Avec la réforme, le législateur a supprimé le passage relatif aux familles monoparentales. Cette suppression permettait d'éliminer la violation constatée par le Tribunal fédéral et de rétablir l'autonomie tarifaire des cantons en matière d'imposition des familles monoparentales selon leur capacité économique (FF 2009 4237, p. 4251). Dans sa teneur actuelle, applicable à la période fiscale 2013 en cause, l'<ref-law> prévoit uniquement que l'impôt des personnes mariées vivant en ménage commun doit être réduit de manière appropriée par rapport à celui des personnes vivant seules. Les cantons sont ainsi à nouveau compétents pour fixer les barèmes d'imposition des contribuables veufs, séparés, divorcés ou célibataires faisant ménage commun avec des enfants ou des personnes nécessiteuses et dont ils assurent pour l'essentiel l'entretien (REICH/CAVELTI, in Zweifel/Beusch (éd.), Bundesgesetz über die Harmonisierung der direkten Steuern der Kantone und Gemeinden [StHG], Kommentar zum schweizerischen Steuerrecht, 3e éd., Bâle 2017, n° 17 ad art. 11). Il s'ensuit que les dispositions légales cantonales qui fixent le taux d'imposition échappent à l'harmonisation fiscale et constituent du droit cantonal autonome, que le Tribunal de céans ne revoit que sous l'angle de l'arbitraire (cf. supra consid. 2).
6.
Le recourant soutient que l'instance précédente a appliqué les art. 40a al. 3 LCdir et 4 du règlement général d'application de la loi sur les contributions directes (RELCdir/NE; RSN 631.01) de manière arbitraire.
6.1. Sous réserve des cas visés à l'art. 95 let. c à e LTF, la violation du droit cantonal en tant que tel ne peut être invoquée devant le Tribunal fédéral. Il est néanmoins possible de faire valoir que son application consacre une violation du droit fédéral, comme la protection contre l'arbitraire au sens de l'art. 9 Cst. ou la garantie d'autres droits constitutionnels (<ref-ruling> consid. 1.2 p. 308). Appelé à revoir l'application d'une norme cantonale sous l'angle de l'arbitraire, le Tribunal fédéral ne s'écarte de la solution retenue que si celle-ci apparaît insoutenable ou en contradiction manifeste avec la situation effective, ou encore si elle a été adoptée sans motifs objectifs ou en violation d'un droit certain. Lorsque l'interprétation défendue par l'autorité cantonale ne se révèle pas déraisonnable ou manifestement contraire au sens et au but de la disposition ou de la législation en cause, elle est confirmée, même si une autre solution paraît également concevable, voire préférable. En outre, il ne suffit pas que les motifs de la décision critiquée soient insoutenables, encore faut-il que cette dernière soit arbitraire dans son résultat (<ref-ruling> consid. 4.2 p. 516; <ref-ruling> consid. 3.4 p. 53). La recevabilité du grief d'arbitraire suppose l'articulation de critiques circonstanciées répondant aux exigences de l'<ref-law> (cf. supra consid. 2).
6.2. En droit cantonal, l'art. 40a al. 3 LCdir/NE, applicable depuis le 1er janvier 2013, prévoit que pour les époux vivant en ménage commun, ainsi que pour les contribuables veufs, séparés, divorcés et célibataires qui vivent en ménage commun avec des enfants dont ils assument pour l'essentiel l'entretien, le revenu est frappé du taux correspondant au 55% de son montant. D'après l'art. 4 RELCdir/NE, lorsque les père et mère sont taxés séparément, qu'ils exercent l'autorité parentale conjointement, que les enfants séjournent alternativement de manière équivalente chez l'un et l'autre, et qu'aucune contribution d'entretien n'est versée en faveur des enfants, la déduction pour enfants est répartie conformément aux dispositions contenues dans la convention ratifiée par le juge (art. 133, al. 3, et 298a, al. 1, CC) ou, à défaut, par moitié entre les père et mère. Le barème prévu aux art. 40, al. 3, et 50, al. 3, LCdir/NE est appliqué au parent ayant le revenu net le plus élevé.
6.3. D'après le recourant, une application littérale stricte du droit cantonal à son cas aurait dû conduire les juges précédents à admettre qu'il pouvait bénéficier du barème applicable aux couples mariés. Il reproche à l'instance précédente de s'être écartée de la lettre de la loi pour privilégier une interprétation selon la réalité économique.
Dans l'arrêt attaqué, l'instance précédente a interprété et appliqué les art. 40a al. 3 LCdir/NE et 4 RELCdir/NE en ce sens que, dans le cadre d'un couple divorcé avec autorité parentale conjointe et garde partagée sur deux enfants mineurs, le droit de demander à bénéficier du barème applicable aux couples mariés appartient au parent qui reçoit une pension alimentaire pour l'enfant domicilié chez lui. Cette solution s'applique alors même que l'autre enfant est domicilié chez le débiteur de la pension alimentaire qui en assume pour l'essentiel l'entretien. L'autorité précédente a d'abord souligné que le droit cantonal ne prévoyait pas l'hypothèse d'une répartition des enfants entre les parents avec un paiement partiel d'une pension de l'un à l'autre pour l'un des enfants seulement. Dans une telle situation, il convenait de rechercher la volonté du législateur. D'après le Tribunal cantonal, en maintenant pour les contribuables divorcés qui vivent en ménage commun avec des enfants dont ils assument pour l'essentiel l'entretien un taux d'impôt sur le revenu correspondant au 55% de son montant, le législateur neuchâtelois a voulu s'aligner sur la jurisprudence du Tribunal fédéral relative à l'ancien <ref-law>. Partant, il convenait d'interpréter le nouvel art. 40a al. 3 LCdir/NE en ce sens qu'il ne devait pas entraîner une application multiple du barème réduit (cf. <ref-ruling> consid. 4.4 p. 343). Le Tribunal cantonal a rappelé ensuite qu'en matière d'impôt fédéral direct, lorsqu'une contribution d'entretien était versée, la déduction sociale pour enfants et l'octroi du barème applicable aux couples mariés étaient liés au même sujet fiscal. Sur le plan cantonal, il n'y avait aucun motif, ressortant des travaux préparatoires relatifs à la loi cantonale, de disjoindre ces deux éléments. D'après les juges cantonaux, ce régime était inhérent à la prise en compte de la charge additionnelle découlant de l'entretien des enfants. Partant, dans la mesure où une pension alimentaire était versée par le père pour l'un des enfants, voire les deux selon la rectification du Service des contributions, le droit de demander à bénéficier de la déduction pour enfant et du barème applicable aux couples mariés appartenait à la mère en tant que bénéficiaire de la pension alimentaire. Après avoir comparé la situation fiscale du couple marié avec celle du couple séparé, dans laquelle le barème applicable aux couples mariés était accordé à la mère, le Tribunal cantonal est parvenu à la conclusion que la charge fiscale globale du couple était "à peu près équivalente" dans les deux cas (arrêt attaqué, p. 13).
6.4. Cette solution n'est pas arbitraire. L'art. 40a al. 3 LCdir/NE règle la situation des contribuables séparés vivant en ménage commun avec des enfants dont ils assument pour l'essentiel l'entretien. Or, eu égard aux termes employés ("ménage commun avec desenfants"), il n'est pas insoutenable de considérer que cette disposition envisage les enfants au bénéfice d'une garde partagée, qui, comme en l'espèce, vivent et se déplacent ensemble, comme une unité sur le plan fiscal. Il n'est au surplus pas arbitraire de retenir que le parent qui reçoit une pension alimentaire est celui qui en assume pour l'essentiel l'entretien, puisque cette solution est celle de la jurisprudence (cf. <ref-ruling> consid. 8.4 p. 317). L'interprétation du droit cantonal retenue par l'autorité précédente correspond en outre aux travaux préparatoires relatifs à l'art. 40a al. 3 LCdir/NE et à la volonté du législateur cantonal de s'aligner sur la jurisprudence du Tribunal fédéral qui exclut l'application multiple du barème pour couple aux contribuables séparés ou divorcés (<ref-ruling> consid. 6.8 p. 312 s.; <ref-ruling> consid. 3.3 p. 556). D'après la jurisprudence, accorder le barème pour couple à chacun des deux parents lorsqu'ils sont séparés ou divorcés reviendrait à placer ces contribuables - qu'ils soient ou non avec un nouveau partenaire - dans une situation plus favorable qu'un couple marié qui ne peut prétendre qu'une seule fois au barème pour couple (ATF <ref-ruling> consid. 3.4 p. 557; cf. aussi <ref-ruling> consid. 4.3 p. 704 s.). Le Tribunal fédéral n'a en revanche jamais tranché la question de savoir lequel des parents peut bénéficier du barème pour couples mariés dans la situation d'une garde partagée concernant deux enfants, dont seul l'un des deux bénéficie d'une contribution d'entretien. Cette situation se distingue en particulier de celle visée à l'<ref-ruling>, qui concernait également une situation d'autorité parentale conjointe avec une garde alternée équivalente, mais où aucune contribution d'entretien n'était versée, les parents ayant convenu de prendre en charge l'entretien de l'enfant à parts égales. En pareille circonstance, la Cour de céans a jugé que le barème réduit devait être accordé au parent au revenu le moins élevé, ce dernier devant être considéré comme contribuant pour l'essentiel à l'entretien de l'enfant. Dans le cas particulier, à défaut de jurisprudence du Tribunal fédéral, les premiers juges ont considéré que la déduction sociale pour enfants et l'octroi du barème pour couples mariés devaient être liés au même sujet de droit fiscal. Ils ont également retenu que le droit cantonal ne pouvait entraîner une application multiple du barème réduit. Une telle solution procède d'un examen objectif et raisonnable du but poursuivi par le nouvel art. 40a al. 3 LCdir/NE. Ainsi, dans la mesure où le Tribunal cantonal a constaté, sans être contredit sur ce point, que, s'agissant de la période fiscale 2013, la mère a bénéficié du barème applicable aux couples mariés (cf. arrêt attaqué, p. 6) et de la déduction sociale pour enfant, il n'était pas insoutenable de conclure que le recourant ne pouvait prétendre au barème applicable aux couples mariés sur la base de l'art. 40a al. 3 LCdir/NE. Le recourant ne cherche pas à démontrer en quoi une telle interprétation du droit cantonal conduirait à un résultat choquant, comme il le lui appartenait de le faire (cf. supra consid. 6.1). Sous cet angle, on ne voit du reste pas de raison de s'écarter de la solution retenue par l'instance précédente, étant précisé qu'un montant de 12'000 fr. a été ajouté aux pensions alimentaires annoncées par le contribuable, afin de tenir compte d'une contribution d'entretien fictive en faveur de C._. Un tel procédé permet d'aboutir à un résultat qui ne saurait être qualifié d'arbitraire.
L'application de l'art. 4 RELCdir/NE dont se prévaut l'intéressé ne lui est au demeurant d'aucun secours. Cette disposition traite uniquement de la situation dans laquelle aucune contribution n'est versée en faveur desenfants. A partir du moment où une contribution est versée, il n'est pas arbitraire de considérer que cette disposition ne trouve pas application. Peu importe à cet égard que la contribution ne soit versée que pour l'entretien de l'un des enfants, à l'exclusion des autres. C'est donc sans arbitraire que les juges cantonaux ont retenu que le régime consistant à appliquer le barème réduit au parent ayant le revenu net le plus élevé ne trouvait pas application.
Le grief tiré d'une application arbitraire du droit cantonal n'est ainsi pas fondé.
7.
Les considérants qui précèdent conduisent au rejet du recours. Succombant, le recourant doit supporter les frais de procédure (<ref-law>). Il n'est pas alloué de dépens (art. 68 al. 1 et 3 LTF).

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce :
1.
Le recours est rejeté.
2.
Les frais judiciaires, arrêtés à 2'500 fr., sont mis à la charge du recourant.
3.
Le présent arrêt est communiqué à la mandataire du recourant, au Service des contributions, au Tribunal cantonal de la République et canton de Neuchâtel, Cour de droit public, ainsi qu'à l'Administration fédérale des contributions.
Lausanne, le 23 juin 2017
Au nom de la IIe Cour de droit public
du Tribunal fédéral suisse
Le Président : Seiler
La Greffière : McGregor