Sachverhalt:
A.
Die C._ AG (Gesuchsgegnerin und Beschwerdegegnerin 1) ist eine Aktiengesellschaft mit Sitz in U._, die den Import und Export sowie den Handel mit Edelstahl und Erzeugnissen aus Edelstahl und verwandten Produkten bezweckt.
B.
B.a. Mit Eingabe vom 7. November 2014 teilten D._ (Gesuchstellerin 1 und Beschwerdegegnerin 2) und die E._ mbH (Gesuchstellerin 2 und Beschwerdegegnerin 3) dem Bezirksgericht Appenzell I.Rh. mit, dass die C._ AG seit der ordentlichen Generalversammlung vom 31. Oktober 2014 aufgrund einer Pattsituation im Aktionariat über keinen Verwaltungsrat mehr verfüge, und beantragten gestützt auf <ref-law> die Anordnung der zur Beseitigung des Organisationsmangels notwendigen Massnahmen.
B.b. Mit Verfügung vom 20. Januar 2015 setzte der Bezirksgerichtspräsident von Appenzell I.Rh. Dr. Michael Werder superprovisorisch als Sachwalter der Gesuchsgegnerin ein.
Mit Verfügung vom 22. Januar 2015 bewilligte der Bezirksgerichtspräsident das Gesuch von zwei Aktionären um Nebenintervention auf Seiten der Gesuchsgegnerin.
Mit Verfügungen vom 29. Januar 2015 und 20. März 2015 verlängerte der Bezirksgerichtspräsident das Sachwaltermandat von Dr. Werder.
Mit Verfügung vom 6. Mai 2015 bewilligte der Bezirksgerichtspräsident das Gesuch von A._ (Beschwerdeführer), ebenfalls Aktionär, um Nebenintervention auf Seiten der Gesuchsgegnerin.
B.c. Am 19. Januar 2016 fand vor dem Bezirksgericht Appenzell I.Rh. eine Parteiverhandlung statt, anlässlich derer der Bezirksgerichtspräsident mit den Gesuchstellerinnen, der Gesuchsgegnerin (handelnd durch den Sachwalter) und allen Nebenintervenienten eine Gesamtlösung für das weitere Vorgehen bzw. die Auflösung der C._ AG zu finden versuchte. Zwischen den Hauptparteien einerseits und den Nebenintervenienten andererseits ergaben sich indessen keine Lösungsansätze. In der Folge entliess der Bezirksgerichtspräsident die Nebenintervenienten aus der Parteiverhandlung und die Hauptparteien einigten sich auf folgendes Vorgehen zur Behebung des Organisationsmangels:
"1. Die Parteien sind einverstanden, dass alle Inhaberaktien der C._ AG unter den Aktionären der C._ AG versteigert werden (...). Die Parteien ersuchen das Gericht zu diesem Zwecke, alle Aktionäre zu verpflichten, ihre Inhaberzertifikate innert Wochenfrist nach Aufforderung durch den Sachwalter bei demselben zu deponieren.
1.1. Der Sachwalter verpflichtet sich, innert 10 Tagen, nachdem er von G._, in seiner Funktion als gerichtlich bestellter 'supervisory director bei der H._ B.V.' Mitteilung erhalten hat, dass die gesuchstellenden Parteien alle für den Informationsgleichstand benötigten Informationen bezüglich H._ B.V. erhalten haben, alle Aktionäre der C._ AG zur Abgabe eines schriftlichen Angebots aufzufordern, welches innert 14 Tagen beim Sachwalter (...) eingereicht werden muss.
1.2. Nach Ablauf der Frist informiert der Sachwalter alle Aktionäre der C._ AG über die eingegangenen Angebote, resp. deren Ausbleiben.
1.3. Geht innert Frist mindestens ein Angebot ein, setzt der Sachwalter allen Aktionären der C._ AG eine weitere Frist von 14 Tagen, innert welcher die Aktionäre ein neues Angebot einreichen können. Aktionäre, welche innert der ersten Frist gemäss Ziff. 1.1. kein Angebot eingereicht haben, können ebenfalls ein schriftliches Angebot beim Sachwalter einreichen.
1.4. Nach Ablauf der Frist informiert der Sachwalter alle Aktionäre der C._ AG über die eingegangenen Angebote und gibt ihnen die Möglichkeit, die Gebote mündlich zu erhöhen. Er erteilt dem Meistbietenden den Zuschlag.
1.5. Jedes Gebot ist durch eine vom Sachwalter genehmigte, unwiderrufliche Bankgarantie einer Schweizer Bank, resp. einer Schweizer Niederlassung einer Bank, im Umfang des potenziell zuzukaufenden Aktienpakets zu unterlegen. Der Sachwalter ist zum Stillschweigen über die Höhe der Bankgarantien verpflichtet.
2. Geht innert Frist gemäss Ziff. 1.1 kein Angebot ein, wird die C._ AG unter Ausschüttung einer Naturaldividende bezüglich der Beteiligung an der H._ B.V. liquidiert. Der Liquidationserlös wird den Aktionären im Verhältnis ihrer Beteiligungen ausbezahlt. Die Liquidation erfolgt durch den Sachwalter.
3. Einigen sich alle Aktionäre der C._ AG vor dem Zuschlag der Aktien auf die Modalitäten einer Naturalausschüttung, wird der Sachwalter das Steigerungsverfahren abbrechen und die Liquidation gemäss der Einigung zwischen den Aktionären abwickeln, unter Beachtung der gesetzlichen und steuerrechtlichen Vorgaben.
4. Die Parteien sind damit einverstanden, dass das Mandat des Sachwalters bis zum Abschluss der Liquidation der Gesellschaft oder der Bestellung neuer Organe verlängert wird, längstens ein Jahr ab Rechtskraft dieses Entscheides (...) bzw. allfälliger diesbezüglicher Rechtsmittelverfahren. Die Kosten des Sachwalters sind durch die C._ AG zu tragen. Die Parteien ersuchen das Gericht, den Sachwalter zu ermächtigen, sämtliche Handlungen, welche gemäss dieser Vereinbarung für die Versteigerung, resp. die Liquidation der C._ AG nötig sind, vorzunehmen. Insbesondere ist er auch zur Übertragung/Löschung/Neuerstellung der Aktienzertifikate zu berechtigen.
5.-7. (...)
8. Das Verfahren sei zufolge dieses Vergleichs abzuschreiben.
9. Bei Genehmigung dieses Vergleichs verzichten die Parteien auf die Ergreifung eines Rechtsmittels."
Mit Entscheid vom 22. Januar 2016 verlängerte das Bezirksgericht das Mandat des Sachwalters (Dispositiv-Ziffer 1) und ordnete Folgendes an:
"2. Der Sachwalter wird mit der Versteigerung der Aktien der C._ AG im Sinne von Ziffer 1.1-1.5 des gerichtlichen Vergleichs ermächtigt und beauftragt.
2.1 Die Aktionäre sind verpflichtet, als Beweis ihrer Aktionärseigenschaft gleichzeitig mit ihrem Steigerungsangebot ihre Aktienzertifikate im Original beim Sachwalter treuhänderisch zu deponieren.
2.2 Nach erfolgtem Zuschlag haben alle anderen Aktionäre der C._ AG ihre Aktienzertifikate der C._ AG innert 14 Tage dem Sachwalter in seiner diesbezüglichen Funktion als Treuhänder nachzureichen.
Diese gerichtliche Anordnung wird unter die Strafdrohung von <ref-law> gestellt, wonach mit Busse bestraft wird, wer der von einer zuständigen Behörde oder einem zuständigen Beamten unter Hinweis auf die Strafdrohung dieses Artikels an ihn erlassenen Verfügung nicht Folge leistet.
2.3 (...)
2.4 Geht kein fristgemässes Steigerungsangebot über die Aktien der C._ AG ein, hat der Sachwalter die C._ AG im Sinne des Vergleichs unter Ausschüttung einer Naturaldividende bezüglich der Beteiligung an der H._ B.V. zu liquidieren. Der Liquidationserlös ist den Aktionären im Verhältnis ihrer Beteiligungen auszubezahlen.
3. - 4. (Kostenregelung) "
B.d. Gegen diesen Entscheid legte der Nebenintervenient A._ Berufung, eventualiter Beschwerde, beim Kantonsgericht Appenzell I.Rh. ein mit dem Antrag, es seien die Ziffern 2-4 des angefochtenen Entscheids aufzuheben und es sei die Liquidation der C._ AG unter anteilsmässiger Ausschüttung der von der C._ AG gehaltenen Beteiligungen der H._ B.V. an die Aktionäre (Naturaldividende) anzuordnen; eventualiter sei die Angelegenheit zur Neubeurteilung an das Bezirksgericht zurückzuweisen.
Mit Entscheid vom 11. Februar 2016 trat das Kantonsgericht auf die Berufung sowie auf die eventualiter erhobene Beschwerde mangels Legitimation des Nebenintervenienten zur Ergreifung eines Rechtsmittels nicht ein.
C.
Mit Beschwerde in Zivilsachen beantragt A._ dem Bundesgericht, der Entscheid des Kantonsgerichts sei aufzuheben und die Berufungsanträge seien gutzuheissen; eventualiter sei die Sache zur Neubeurteilung an die Vorinstanz zurückzuweisen.
Die Beschwerdegegnerinnen beantragen in ihren Beschwerdeantworten, auf die Beschwerde sei nicht einzutreten, eventuell sei sie abzuweisen. Eventualiter sei die Sache an die erste Instanz zu neuer Beurteilung zurückzuweisen, subeventualiter sei die Liquidation der Gesuchsgegnerin nach den Vorschriften über den Konkurs anzuordnen. Weiter sei der Beschwerdeführer zur Zahlung einer Sicherheitsleistung in der Höhe von Fr. 5.4 Mio., eventualiter Fr. 250'000.--, zu verpflichten.
Die Vorinstanz beantragt in ihrer Vernehmlassung die Abweisung der Beschwerde.
D.
Mit Verfügung vom 2. Mai 2016 erteilte die Präsidentin der I. zivilrechtlichen Abteilung der Beschwerde die aufschiebende Wirkung, ordnete an, dass bis zum Entscheid über die Beschwerde sämtliche Vollziehungsvorkehrungen zu unterbleiben haben, und verbot dem Sachwalter, weitere Handlungen zur Versteigerung der C._-Aktien vorzunehmen.
Das Sicherstellungsgesuch der Beschwerdegegnerinnen wies die Präsidentin ab.

Erwägungen:
1.
Das Bundesgericht prüft von Amtes wegen und mit freier Kognition, ob ein Rechtsmittel zulässig ist (<ref-law>; <ref-ruling> E. 2 S. 59; <ref-ruling> E. 1 S. 133; je mit Hinweisen).
1.1. Die Beschwerde richtet sich gegen einen verfahrensabschliessenden Rechtsmittelentscheid (<ref-law>) eines oberen kantonalen Gerichts (<ref-law>), ist innert der Beschwerdefrist (<ref-law>) eingereicht worden und bei der Streitsache handelt es sich um eine Zivilsache (<ref-law>) mit einem Streitwert von über Fr. 30'000.-- (<ref-law>). Der Beschwerdeführer hat am vorinstanzlichen Verfahren als Rechtsmittelkläger teilgenommen und ist mit seinen Rechtsmittelbegehren unterlegen. Er ist damit nach <ref-law> zur Beschwerde in Zivilsachen berechtigt.
1.2. Hat die Vorinstanz - wie vorliegend - einen Nichteintretensentscheid gefällt und demnach die Sache materiell nicht beurteilt, so kann das Bundesgericht im Falle der Gutheissung der Beschwerde nicht reformatorisch entscheiden, sondern müsste die Angelegenheit zum Entscheid in der Sache an die Vorinstanz zurückweisen. Entsprechend kann sich die Beschwerde nicht auf die materielle Beurteilung beziehen, sondern nur gegen das Nichteintreten richten (<ref-ruling> E. 1.2 S. 48; Urteil 4A_330/2008 vom 27. Januar 2010 E. 1.2, nicht publ. in: <ref-ruling>).
Auf die Beschwerde ist - unter Vorbehalt rechtsgenüglicher Begründung (Art. 42 Abs. 2 und Art. 106 Abs. 2 BGG) - folglich nur insoweit einzutreten, als damit die Aufhebung des angefochtenen Entscheids und die Rückweisung der Sache an die Vorinstanz zu neuer Entscheidung verlangt wird.
2.
Der Beschwerdeführer anerkennt in seiner Beschwerdeschrift, dass auf ein Rechtsmittel eines Nebenintervenienten nicht einzutreten ist, wenn sich die unterstützte Hauptpartei dieser Prozesshandlung widersetzt, wie dies vorliegend die Gesuchsgegnerin mit ihrem Verzicht auf die Einlegung eines Rechtsmittels gegen den bezirksgerichtlichen Entscheid jedenfalls implizit getan habe. Nach Auffassung des Beschwerdeführers könne dieser Grundsatz jedoch im hier zu beurteilenden Fall keine Anwendung finden, da sich der Entscheid des Bezirksgerichts vom 22. Januar 2016 direkt gegen den Beschwerdeführer richte, wenn in den Ziffern 2-2.6 angeordnet werde, dass die Aktien der Gesuchsgegnerin - und damit auch die im Eigentum des Beschwerdeführers stehenden - versteigert werden sollen, und die Aktionäre unter Strafandrohung nach <ref-law> dazu verpflichtet werden, ihre Aktienzertifikate dem Sachwalter auszuhändigen. Die Versteigerungsanordnung des Bezirksgerichts ziele damit direkt auf das Eigentum des Beschwerdeführers ab und verpflichte diesen, mindestens passiv an der Versteigerung teilzunehmen und seine Aktien dem Sachwalter der Gesuchsgegnerin einzureichen. Der Beschwerdeführer werde durch den Entscheid des Bezirksgerichts direkt zu einem Tun verpflichtet, was sich mit seiner prozessualen Stellung als Nebenintervenient nicht vereinbaren lasse und ihn zur faktischen Hauptpartei des Verfahrens mache. Ihm seien folglich auch die gleichen prozessualen Rechte zuzugestehen wie jeder anderen Hauptpartei, weshalb er legitimiert sei, unabhängig und auch gegen den Willen der Gesuchsgegnerin Berufung gegen den Entscheid des Bezirksgerichts zu führen. Das Kantonsgericht Appenzell sei zu Unrecht nicht auf seine Berufung eingetreten und habe damit seinen Anspruch auf rechtliches Gehör verletzt (<ref-law>).
2.1. Gemäss <ref-law> kann eine Person, die ein rechtliches Interesse glaubhaft macht, dass eine rechtshängige Streitigkeit zugunsten der einen Partei entschieden werde, im Prozess jederzeit als Nebenpartei intervenieren und zu diesem Zweck beim Gericht ein Interventionsgesuch stellen. Der Nebenintervenient macht dabei keine eigenen Ansprüche geltend, sondern unterstützt die Rechtsbegehren einer der Hauptparteien, an deren Durchdringen er ein rechtliches Interesse hat (<ref-ruling> E. 3.2.1 S. 45). Er kann zur Unterstützung der Hauptpartei alle Prozesshandlungen vornehmen, die nach dem Stand des Verfahrens zulässig sind, insbesondere alle Angriffs- und Verteidigungsmittel geltend machen und auch Rechtsmittel ergreifen (<ref-law>). Stehen die Prozesshandlungen des Nebenintervenienten jedoch mit jenen der Hauptpartei im Widerspruch, so sind sie im Prozess unbeachtlich (<ref-law>). Der Nebenintervenient kann insbesondere kein Rechtsmittel ergreifen, wenn die Hauptpartei sich der Beschwerde widersetzt oder das Urteil akzeptiert, mithin ausdrücklich oder konkludent den Verzicht auf die Einlegung eines Rechtsmittels erklärt (<ref-ruling> E. 1.3 S. 276 f.; <ref-ruling> E. 2.2.2 S. 541).
Das Urteil, das zwischen den Hauptparteien ergeht, wirkt gegenüber dem Nebenintervenienten zwar nicht direkt und kann gegen ihn auch nicht vollstreckt werden; es entfaltet jedoch eine Bindungswirkung kraft Reflexes insoweit, als in einem allfälligen Folgeprozess zwischen dem Nebenintervenienten und der von ihm unterstützten Hauptpartei das für diese "ungünstige Ergebnis des Prozesses" auch gegen die intervenierende Partei "wirkt", es sei denn, die Ausnahmen der exceptio male gesti processus nach <ref-law> seien gegeben (<ref-ruling> E. 3.2.1 S. 45).
2.2. Das Kantonsgericht hielt fest, dass sich die Hauptparteien im Vergleich vom 19. Januar 2016 dazu verpflichtet haben, den Entscheid des Bezirksgerichts bei gerichtlicher Genehmigung des Vergleichs nicht anzufechten. Daraus schloss es, dass der Vergleich und der Abschluss des Gerichtsverfahrens im Interesse der Gesuchsgegnerin stehe, weshalb der Beschwerdeführer als deren Nebenintervenient gemäss <ref-law> nicht zur Ergreifung eines Rechtsmittels legitimiert sei. Der Beschwerdeführer sei als blosser Aktionär der Gesuchsgegnerin im Organisationsmängelverfahren zudem auch nicht Hauptpartei, da er dem Gericht kein eigenes Gesuch um Behebung des Organisationsmangels gestellt habe.
2.3. Die vorinstanzlichen Erwägungen sind insoweit zutreffend, als das Ergreifen eines Rechtsmittels im Widerspruch zu den Prozesshandlungen der Gesuchsgegnerin steht, wie sie im Vergleich zum Ausdruck kommen, auf den sich die Hauptparteien vor dem Bezirksgericht Appenzell I.Rh. geeinigt hatten. Der Beschwerdeführer stellt dies in seiner Eingabe an das Bundesgericht auch nicht in Abrede. Es stellt sich indessen die Frage, ob <ref-law> in der vorliegenden Konstellation überhaupt zur Anwendung gelangt:
2.3.1. Gemäss dem im Abschnitt über "Mängel in der Organisation der Gesellschaft" eingeordneten <ref-law> kann ein Aktionär, ein Gläubiger oder der Handelsregisterführer dem Richter beantragen, die erforderlichen Massnahmen zu ergreifen, falls der Gesellschaft eines der vorgeschriebenen Organe fehlt oder eines dieser Organe nicht rechtmässig zusammengesetzt ist (Abs. 1 Ingress).
Diese Norm verleiht dem Organisationsmängelrichter einen Ermessensspielraum, um eine mit Blick auf die konkreten Umstände des Einzelfalles angemessene und verhältnismässige Massnahme treffen zu können (<ref-ruling> E. 2.4 S. 409, 294 E. 3.1.4 S. 298, 166 E. 3.5 S. 170; <ref-ruling> E. 11.4.1 S. 371). Bei den in den Ziffern 1-3 von <ref-law> genannten Massnahmen zur Behebung des Organisationsmangels handelt es sich um einen exemplifikativen, nicht abschliessenden Katalog (<ref-ruling> E. 3.1.4 S. 298; <ref-ruling> E. 11.4.1 S. 371). Das Gericht kann auch eine nicht gesetzlich typisierte Massnahme anordnen (vgl. <ref-ruling> E. 3.3.3 S. 303 f.), wie etwa die Abberufung von Verwaltungsräten (Urteil 4A_161/2013 vom 28. Juni 2013 E. 2.2.2) oder die Einberufung einer Generalversammlung (Urteil 4A_605/2014 vom 5. Februar 2015). Für den Fall blockierter Aktiengesellschaften hat das Bundesgericht schliesslich auf die Möglichkeit der Übernahme der Aktien des einen Aktionärs durch den anderen im Rahmen einer richterlich angeordneten Versteigerung hingewiesen (<ref-ruling> E. 3.3.3 S. 303 f.; Urteil 4A_147/2015 vom 15. Juli 2015 E. 2.1.3).
Bei der Auswahl der angemessenen und verhältnismässigen Massnahme ist der Organisationsmängelrichter nicht an Parteibegehren gebunden: Es gilt die Offizialmaxime (Urteil 4A_321/2008 vom 5. August 2010 E. 5.2 m.H.).
2.3.2. Die Generalversammlung der Gesuchsgegnerin ist aufgrund einer Pattsituation im Aktionariat blockiert und daher nicht in der Lage, den Verwaltungsrat gehörig zu bestellen. Zur Behebung dieses Organisationsmangels hat das Bezirksgericht in einem ersten Schritt die Handlungsfähigkeit der Gesellschaft durch Einsetzung eines Sachwalters wiederhergestellt und in einem zweiten Schritt die Versteigerung der Aktien unter den zerstrittenen Aktionären angeordnet. Diese Versteigerungsanordnung wirkt ähnlich wie ein Urteil, mit dem ein Generalversammlungsbeschluss auf Anfechtungsklage hin aufgehoben oder mit dem eine Gesellschaft auf Auflösungsklage hin aufgelöst wird, nicht nur zwischen den Hauptparteien, also der Gesellschaft als Gesuchsgegnerin und den gesuchstellenden Aktionären, sondern gegenüber allen an der Gesellschaft beteiligten Aktionären, also auch dem Beschwerdeführer. Im vorliegenden Fall hat der Organisationsmängelrichter sogar ausdrücklich allen Aktionären eine Unterlassungsstrafe nach <ref-law> angedroht, um diese zur Aushändigung der Aktienzertifikate und damit zur Beteiligung an der Versteigerung zu bewegen. Diese Aushändigungspflicht können die Gesuchstellerinnen gegenüber dem Beschwerdeführer direkt vollstrecken. Weiter hält der Entscheid des Bezirksgerichts den Sachwalter dazu an, die Gesuchsgegnerin zu liquidieren und den Liquidationserlös an die Aktionäre im Verhältnis ihrer Beteiligungen auszubezahlen, falls kein fristgemässes Steigerungsangebot eingeht. Diese (suspensiv bedingte) Anordnung hat rechtsgestaltende Wirkung, indem sie die Gesuchsgegnerin auflöst und deren Liquidation anordnet; wie die Versteigerungsanordnung wirkt sie nicht nur gegenüber den Hauptparteien, sondern gegenüber allen Aktionären (vgl. auch MARCEL SCHÖNBÄCHLER, Die Organisationsklage nach <ref-law>, 2013, S. 435).
2.3.3. Damit unterscheidet sich das bezirksgerichtliche Urteil grundlegend vom Regelfall einer Nebenintervention, in dem das verfahrensabschliessende Sachurteil nur gegenüber den Hauptparteien vollstreckbar ist (oben E. 2.1 m.H. auf <ref-ruling> E. 3.2.1 S. 45), also keine direkten Urteilswirkungen (Rechtskraft, Gestaltungswirkung oder Vollstreckbarkeit) gegenüber dem Nebenintervenienten entfaltet, sondern lediglich kraft Reflexes in einem allfälligen Folgeprozess zwischen diesem und der unterstützten Partei eine gewisse Bindung bewirkt.
2.3.4. Für genau solche Fälle, in denen das zwischen den Hauptparteien ergehende Urteil direkte Wirkungen auch gegenüber dem Nebenintervenienten entfaltet, sahen frühere kantonale Zivilprozessordnungen die sog. streitgenössische Nebenintervention bzw. intervention accessoire indépendante vor. Diese unterscheidet sich von der gewöhnlichen ("abhängigen") Nebenintervention darin, dass der Nebenintervenient die Stellung eines Streitgenossen erhält, der den Prozess unabhängig von der unterstützten Hauptpartei führen kann, so dass seine Prozesshandlungen auch gegen deren Widerspruch wirksam und beachtlich sind. Voraussetzung der streitgenössischen Nebenintervention ist, dass das zwischen den Hauptparteien ergehende Urteil auch in Bezug auf das Rechtsverhältnis des Nebenintervenienten zum Gegner der unterstützten Hauptpartei direkt wirksam ist. Die einschneidende Wirkung des Urteils rechtfertigt es, dem Nebenintervenienten zu ermöglichen, den Prozess in selbständiger Stellung zu führen (MAX GULDENER, Schweizerisches Zivilprozessrecht, 3. Aufl., 1979, S. 309; ferner auch VOGEL/SPÜHLER, Grundriss des Zivilprozessrechts, 8. Aufl., 2006, S. 150).
Die Figur der streitgenössischen Nebenintervention war in den Prozessrechten der Kantone Aargau (§ 57 Abs. 2 aZPO/AG), Appenzell A.Rh. (Art. 54 Abs. 3 aZPO/AR), Bern (Art. 47 aZPO/BE), Freiburg (Art. 94 Abs. 2 aZPO/FR), Jura (<ref-law>/JU), Obwalden (Art. 41 aZPO/OW), Solothurn (Art. 43 aZPO/SO) und Neuenburg (Art. 35 ff. aZPO/NE) ausdrücklich geregelt. Auch das (nach wie vor geltende) Bundesgesetz über den Bundeszivilprozess vom 4. Dezember 1947 (BZP; SR 273) sieht diese in Art. 15 Abs. 3 vor:
"Wird (...) das Urteil kraft materiellen Rechts unmittelbar auch für die Rechtsbeziehungen des Intervenienten zur gegnerischen Partei wirksam sein, so ist dieser in seinen Prozesshandlungen von der unterstützten Partei unabhängig. "
Als Beispiel einer Klage, die einer streitgenössischen Nebenintervention zugänglich ist, wird in der Literatur zu den kantonalen Prozessrechten u.a. die aktienrechtliche Anfechtungsklage gegen einen Generalversammlungsbeschluss genannt, da ein hierauf ergehendes Aufhebungsurteil gegenüber allen Aktionären rechtskräftig wirkt, unabhängig davon, ob und auf welcher Seite sich ein Aktionär als Nebenintervenient beteiligt (FABIENNE HOHL, Procédure civile, Bd. 1, Rz. 582; LEUCH ET AL., Die Zivilprozessordnung für den Kanton Bern, 5. Aufl., 2000, N. 2b zu Art. 47 aZPO/BE; MAX KUMMER, Grundriss des Zivilprozessrechts, 4. Aufl., 1984, S. 161; WALTHER J. HABSCHEID, Schweizerisches Zivilprozess- und Gerichtsorganisationsrecht, 2. Aufl., 1990, Rz. 321; VOGEL/SPÜHLER, a.a.O., S. 150; BERGER/GÜNGERICH, Zivilprozessrecht, 2008, S. 149 f.). Das gleiche Beispiel findet sich auch in der Literatur zur deutschen ZPO, welche die Figur der streitgenössischen Nebenintervention ebenfalls kennt (vgl. FLORIAN JACOBY, in: Stein/ Jonas, Kommentar zur Zivilprozessordnung, Bd. 2, 23. Aufl., Tübingen 2014, N. 4 zu <ref-law>/D, der darauf hinweist, dass in gesellschaftsrechtlichen Beschlussanfechtungs- und Nichtigkeitsfeststellungsverfahren alle Gesellschafter streitgenössische Nebenintervenienten sind, gleich auf welcher Seite sie intervenieren).
Aufgrund seiner unabhängigen Stellung kann ein streitgenössischer Nebenintervenient auch Prozesshandlungen ergreifen, die im Widerspruch zu jenen der unterstützten Hauptpartei stehen, also etwa gegen deren Willen Rechtsmittel einlegen (HOHL, a.a.O., Rz. 594; HABSCHEID, a.a.O., Rz. 321; ALFRED BÜHLER, in: Bühler et al. [Hrsg.], Kommentar zur aargauischen Zivilprozessordnung, 1998, N. 4 zu § 57 aZPO/AG).
2.3.5. Anders als das Bundesgesetz über den Bundeszivilprozess (BZP) enthält die schweizerische ZPO keine ausdrückliche Bestimmung zur streitgenössischen Nebenintervention. Zu den Gründen hierfür findet sich in den Materialien einzig ein Hinweis im Bericht der Expertenkommission zum Vorentwurf, wonach auf die Regelung dieses Instituts verzichtet werden könne, da "angesichts der übrigen Beteiligungsarten, die der Vorentwurf interessierten Dritten" bereitstelle, dafür "kein Bedürfnis" bestehe (S. 37). Den einschlägigen Kommissionsprotokollen lässt sich jedoch nicht entnehmen, dass über das Bedürfnis nach einer Regelung der streitgenössischen Nebenintervention überhaupt diskutiert worden wäre. Aus dem Protokoll der 11. Sitzung der Expertenkommission vom 14./15. Mai 2001 - der einzigen, an der über die Nebenintervention diskutiert wurde - geht lediglich die Auffassung eines Experten hervor, wonach sich der Nebenintervenient " grundsätzlich " nicht in Widerspruch zur Hauptpartei setzen dürfe (S. 966) - eine Aussage, die nun freilich suggeriert, dass es zu diesem Grundsatz eine Ausnahme gibt, die nach dem Gesagten in jenen Konstellationen liegen muss, in denen eine streitgenössische Nebenintervention zur Anwendung gelangt; denn nur dort wird die Regel durchbrochen, wonach sich der Nebenintervenient nicht in Widerspruch zur Hauptpartei setzen darf. In den übrigen Materialien, namentlich auch in der Botschaft zur Schweizerischen Zivilprozessordnung vom 28. Juni 2006, BBl. 2006 7221, S. 7281 f., finden sich keine Stellungnahmen zur Frage, weshalb auf die ausdrückliche Regelung der streitgenössischen Nebenintervention verzichtet worden ist.
Die Antwort darauf könnte darin liegen, dass in der Literatur zu den kantonalen Prozessrechten offenbar die Auffassung vorherrschend war, dass eine ausdrückliche Regelung der streitgenössischen Nebenintervention eigentlich entbehrlich sei, da diese sich bereits aus dem materiellen Bundesrecht ergebe (HABSCHEID, a.a.O., Rz. 321 i.f.; HOHL, a.a.O., Rz. 583; MIGUEL SOGO, Gestaltungsklagen und Gestaltungsurteile des materiellen Rechts und ihre Auswirkungen auf das Verfahren, Diss. Zürich 2007, S. 337). Dies erscheint folgerichtig, ist es doch das materielle Recht, das bestimmt, ob das zwischen den Hauptparteien ergehende Urteil auch gegenüber dem Nebenintervenienten direkte rechtliche Wirkungen entfaltet (GULDENER, a.a.O., S. 309, Fn. 17; vgl. sodann auch HOHL, a.a.O., Rz. 583 m.H. und GROSS/ZUBER, in: Berner Kommentar, 2012, N. 8 zu <ref-law>). Insoweit gab es die streitgenössische Nebenintervention kraft Bundesrechts auch dort, wo die kantonalen Prozessordnungen schwiegen (so HABSCHEID, a.a.O., Rz. 321 i.f.), womit sich eine ausdrückliche Regelung in der eidgenössischen ZPO, die ausweislich der bundesrätlichen Botschaft nach dem Grundsatz des "Muts zur Lücke" und unter Verzicht auf "Überreglementierung, Langatmigkeit und erschöpfenden Perfektionismus" (Botschaft, a.a.O., S. 7236) redigiert ist, zu erübrigen schien. Aus den Materialien lässt sich damit keineswegs ableiten, der Gesetzgeber habe die Figur der streitgenössischen Nebenintervention ausschliessen wollen; im Gegenteil scheint eher plausibel, er habe sie als selbstverständlich vorausgesetzt.
2.3.6. Ein Teil der Lehre zur eidgenössischen ZPO will aus den Materialien nun freilich gerade den gegenteiligen Schluss ziehen, dass aus der Abwesenheit einer ausdrücklichen Regelung die Unzulässigkeit der streitgenössischen Nebenintervention folge (STAEHELIN/SCHWEIZER, in: Sutter-Somm et al. [Hrsg.], Kommentar zur Schweizerischen Zivilprozessordnung, 3. Aufl., 2016, N. 8 zu <ref-law>; wohl auch GROSS/ZUBER, a.a.O., N. 9 f. zu <ref-law>).
Andere Autoren bejahen hingegen die Zulässigkeit der streitgenössischen Nebenintervention, scheinen daraus aber keine Konsequenzen hinsichtlich der Anwendbarkeit von <ref-law> ziehen zu wollen (TARKAN GÖKSU, in: Brunner et al. [Hrsg.], Schweizerische Zivilprozessordnung, Kommentar, 2. Aufl., 2016, N. 3 zu <ref-law>; GASSER/RICKLI, Schweizerische Zivilprozessordnung, Kurzkommentar, 2. Aufl. 2014, N. 3 zu <ref-law>).
Diesen Auffassungen steht schliesslich ein dritter Teil der Lehre gegenüber, der die mangelnde ausdrückliche Regelung der streitgenössischen Nebenintervention zwar bedauert (vgl. TANJA DOMEJ, in: Oberhammer et al. [Hrsg.], Kurzkommentar ZPO, 2. Aufl., 2014, N. 2 zu <ref-law>, die von einer gesetzgeberischen "Fehlleistung" spricht; weiter auch SOGO, a.a.O., S. 338), aber darauf hinweist, dass diese sich bereits aus dem materiellen Bundesrecht ergebe und damit nach wie vor zulässig sein müsse (GRABER/FREI, in: Basler Kommentar, 2. Aufl., 2013, N. 19 zu <ref-law>). Diese Überlegungen sind zutreffend, denn wenn ein Urteil nicht nur mittelbare Interventionswirkung, sondern kraft materiellen Rechts direkte Wirkungen (Rechtskraft, Gestaltungswirkung oder Vollstreckbarkeit) gegenüber dem Nebenintervenienten entfaltet, kann es dem Nebenintervenienten nicht verwehrt sein, sich zu den Handlungen der unterstützten Hauptpartei in Widerspruch zu setzen (GRABER/FREI, a.a.O., N. 19 zu <ref-law>). Das rechtliche Gehör der intervenierenden Person nach <ref-law> bzw. Art. 6 Ziff. 1 EMRK würde mit der abhängigen Stellung, welche ihr <ref-law> zuweist, nicht adäquat sichergestellt, wenn sich Folgen eines nachteiligen Handelns der Hauptpartei in direkten Urteilswirkungen niederschlagen und nicht mit der exceptio male gesti processus nach <ref-law> abgefedert werden können (DOMEJ, a.a.O., N. 12 zu <ref-law>; sodann SOGO, a.a.O., S. 340 ff.). Der gewöhnliche Nebenintervenient könnte etwa einem kollusiven und für ihn nachteiligen Zusammenwirken der Hauptparteien nicht entgegenwirken, wenn er mit seinen Vorbringen, die im Widerspruch zu den Handlungen der von ihm unterstützten Hauptpartei stehen, nicht gehört würde (SOGO, a.a.O., S. 351 f.). Dies erscheint mit <ref-law> bzw. Art. 6 Ziff. 1 EMRK kaum vereinbar, weshalb in verfassungs- und völkerrechtskonformer Interpretation davon auszugehen ist, dass die ZPO die streitgenössische Nebenintervention keineswegs ausschliesst (DOMEJ, a.a.O., N. 2 zu <ref-law>), sondern vielmehr als selbstverständlich voraussetzt.
In jenen Konstellationen, in denen das Urteil kraft materiellen Rechts nicht nur gegenüber den Hauptparteien, sondern auch gegenüber dem Nebenintervenienten direkte Wirkungen zeitigt, die nicht nach <ref-law> beseitigt oder wenigstens abgemildert werden können, muss der Nebenintervenient mithin auch unter der schweizerischen ZPO Prozesshandlungen vornehmen dürfen, die im Widerspruch zu den Handlungen der unterstützten Hauptpartei stehen. <ref-law> kann in solchen Konstellationen keine Anwendung finden.
2.3.7. Wie oben in E. 2.3.1 und 2.3.2 dargelegt, wirkt das bezirksgerichtliche Urteil kraft materiellen Rechts (i.e. <ref-law>) auch gegenüber dem Beschwerdeführer als Nebenintervenienten. Bei einem Organisationsmängelgesuch handelt es sich mithin wie bei einer aktienrechtlichen Anfechtungs- oder Auflösungsklage (<ref-law> bzw. <ref-law>) um eine gesellschaftsrechtliche Streitigkeit, über die mit einem Urteil zu entscheiden ist, das gegenüber allen Aktionären kraft materiellen Rechts notwendigerweise direkte Wirkungen entfaltet, die nicht nach <ref-law> in einem Folgeprozess beseitigt oder abgemildert werden können. Nach bundesgerichtlicher Rechtsprechung ist der Organisationsmängelrichter zwar nicht gehalten, denjenigen Aktionären, die sich nicht am Organisationsmängelverfahren beteiligen wollen, von Amtes wegen Parteistellung einzuräumen (Urteil 4A_321/2008 vom 5. August 2010 E. 5.2). Beteiligt sich ein Aktionär aber aus freien Stücken als Nebenpartei am Verfahren, muss ihm mit Blick auf die für ihn potentiell nachteiligen Wirkungen des Organisationsmängelurteils die Stellung eines streitgenössischen Nebenintervenienten zukommen, der auch gegen den Willen der Hauptpartei ein Rechtsmittel ergreifen kann.
2.4. Die Vorinstanz ist damit zu Unrecht nicht auf die Berufung des Beschwerdeführers eingetreten.
3.
Soweit darauf einzutreten ist, erweist sich die Beschwerde als begründet, der angefochtene Nichteintretensentscheid ist aufzuheben und die Sache ist an die Vorinstanz zurückzuweisen, damit diese auf die Berufung eintritt und deren Begründetheit prüft.
Bei diesem Verfahrensausgang werden die Beschwerdegegnerinnen unter solidarischer Haftbarkeit kosten- und entschädigungspflichtig (Art. 66 Abs. 1 und 5 sowie Art. 68 Abs. 2 und 4 BGG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird teilweise gutgeheissen, der angefochtene Entscheid wird aufgehoben und die Sache wird an die Vorinstanz zu neuer Entscheidung zurückgewiesen.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 8'000.-- werden den Beschwerdegegnerinnen auferlegt (unter solidarischer Haftbarkeit und intern zu gleichen Teilen).
3.
Die Beschwerdegegnerinnen haben den Beschwerdeführer für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 17'000.-- zu entschädigen (unter solidarischer Haftbarkeit und intern zu gleichen Teilen).
4.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Kantonsgericht Appenzell I.Rh., Präsident, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 1. September 2016
Im Namen der I. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Kiss
Der Gerichtsschreiber: Hurni