Faits :
A.
Par jugement du 3 février 2015, le Tribunal correctionnel de l'arrondissement de l'Est vaudois a libéré Y._ des infractions d'appropriation illégitime sans dessein d'enrichissement, d'abus de confiance, de gestion déloyale et de violation à la loi fédérale du 19 décembre 1986 contre la concurrence déloyale (ci-après: LCD; RS 241). Il a rejeté les conclusions civiles prises par A._ SA et par les masses en faillite B._ SA, C._ SA et D._ SA et a laissé les frais à la charge de l'Etat.
B.
Par jugement du 29 juin 2015, la Cour d'appel pénale du Tribunal cantonal vaudois a admis l'appel formé par le Ministère public vaudois et admis partiellement celui formé par A._ SA. Elle a réformé le jugement attaqué en ce sens qu'elle a condamné Y._ pour gestion déloyale qualifiée et délit à la LCD à une peine privative de liberté de treize mois, avec sursis pendant deux ans. Elle a donné acte à A._ SA de ses réserves civiles et rejeté les conclusions civiles prises par D._ SA en faillite, C._ SA en faillite et B._ SA en faillite.
En résumé, ce jugement repose sur les faits suivants:
B.a.
B.a.a. Y._ et X._ sont les actionnaires et administrateurs d'un groupe de sociétés actives dans la distribution, groupe qu'ils ont fondé dès 1976. Ce groupe est composé d'une société mère, D._ SA, laquelle n'a pas d'activité propre, et de deux sociétés filles, B._ SA et C._ SA. La première s'occupait principalement de la distribution de boissons, tandis que la seconde gérait un réseau de magasins de distribution, dont certains à l'enseigne E._, en leur offrant trois types de services, à savoir la mise à disposition de locaux commerciaux - dont la société était soit propriétaire soit locataire -, la mise à disposition d'équipement ainsi que la fourniture de services fiduciaires (comptabilité, salaire, etc.). Ces trois types de prestations étaient réunis dans un seul et même contrat liant les détaillants à C._ SA; chaque prestation était chiffrée, mais l'exploitant payait mensuellement un montant global. Le chiffre d'affaires de C._ SA se constituait ainsi des loyers et des paiements d'honoraires versés par les exploitants pour ces prestations.
B.a.b. Au milieu des années 2000, Y._ et X._, pour des raisons d'âge et de santé, ont souhaité se retirer des affaires en cédant leur groupe. Ils ont conclu avec A._ SA une convention du 3 juin 2005, par laquelle ils se sont engagés à céder la totalité du capital-actions de D._ SA, moyennant la mise à disposition, par l'acheteuse, d'une " enveloppe " de 10 millions de francs devant permettre aux vendeurs de rembourser la totalité des engagements figurant au passif du bilan consolidé de D._ SA au 31 janvier 2005; l'opération devait être effective au 31 janvier 2006, mais au plus tard le 31 mars 2006 (art. 1 par. 4 de la convention précitée).
La convention, à son art. 3 par. 3, fait état des cautionnements personnels de Y._ et de X._ envers E._ en faveur de douze magasins et prévoit l'effacement de ces garanties personnelles moyennant l'acquisition par A._ SA d'un immeuble sis à F._, dont les prénommés étaient propriétaires, pour un montant de 3 millions de francs (art. 6). Ladite convention prévoit par ailleurs les conseils et l'appui de A._ SA à Y._ et à X._ pour le désengagement (art. 1), que le passage des risques et profits doit être effectif lorsque les sociétés acquises auraient été épurées (art. 9 par. 2) et que les vendeurs certifiaient qu'aucun engagement particulier n'existait entre les détaillants et la société (art. 8 par. 2).
B.a.c. Un premier acompte de 500'000 fr. a été versé à Y._ et X._. Par la suite, A._ SA a régulièrement versé, sur un compte miroir de D._ SA, les acomptes demandés par les vendeurs, les demandes étant accompagnées de listes détaillées permettant de contrôler l'affectation des montants. Au printemps 2006, il restait à épurer des dettes pour un montant de 1'710'000 fr.; A._ SA, qui avait versé un total de 8'290'000 fr. en chiffres ronds, n'a pas contesté que ce montant de 1'710'000 fr. restait dû. Les opérations se sont bloquées à mi-2006. Les causes sont probablement à rechercher dans des difficultés de trésorerie rencontrées par l'acheteuse et le constat que la reprise des enseignes E._ pour les remplacer par des enseignes G._ n'allait pas de soi.
B.a.d. Lors de l'assemblée générale du 30 juin 2006, Y._ et X._ ont remis leur démission du conseil d'administration par courrier à A._ SA. II est indiqué au procès-verbal de cette assemblée que « la mission de désengager dévolue à MM. X._ et Y._ a été remplie. Le rapport de l'Organe de révision, ainsi que la lettre de ce dernier au Conseil d'administration, datée du 25 avril 2006, le confirment ». A._ SA a cependant demandé à Y._ et X._ d'assumer la gestion intermédiaire du groupe jusqu'à la désignation des nouveaux organes et à l'établissement d'un décompte final de transition. En réalité, le désengagement n'était pas terminé et les prénommés ont poursuivi leurs activités d'administrateurs, restant d'ailleurs inscrits au registre du commerce jusqu'à fin 2008.
B.a.e. En avril 2008, H._, en qualité d'administrateur, a dénoncé les crédits bancaires de C._ SA et de B._ SA.
Y._ et X._ ont initié une procédure d'avis au juge en cas de surendettement, fondée sur l'art. 725 CO, devant le Tribunal de district de Monthey. Lors de l'audience du 6 août 2008, A._ SA, Y._ et X._ ont convenu de désigner conjointement un curateur aux trois sociétés. Cette convention est restée sans effet, A._ SA ne répondant pas aux propositions de ceux-ci relatives au curateur.
Finalement, le 16 septembre 2008, Y._ et X._ ont dénoncé la convention du 3 juin 2005, ce que A._ SA a accepté sous réserve de la restitution des fonds avancés.
Pour permettre la réouverture des lignes de crédit de C._ SA et de B._ SA, ensuite de la dénonciation par I._ SA en juin 2008, Y._ et X._ se sont engagés personnellement à hauteur de 650'000 fr., en nantissant à concurrence de ce montant des cédules hypothécaires en 2e rang qui grevaient leur immeuble de F._, de sorte que ces lignes de crédit ont été rouvertes le 24 novembre 2008.
Malgré cela, la situation est restée critique; H._ a avisé le juge conformément à l'art. 725 CO et la faillite des trois sociétés a été prononcée le 9 janvier 2009.
B.b. Entre mai 2006 et novembre 2008, Y._ et X._ ont pris une série de mesures, étant précisé que la cour cantonale a retenu que seule la dernière revêtait un caractère pénal.
B.b.a. Lors d'un conseil d'administration restreint de C._ SA tenu le 19 mai 2006, Y._ et X._, agissant comme administrateurs de cette société, ont décidé de modifier les baux liant C._ SA aux détaillants. Ils ont intercalé ainsi J._ SA, une société inactive qui leur appartenait, entre C._ SA et ces commerçants. Des contrats de location ou de sous-location ont été conclus entre ces deux sociétés. Dès lors, les exploitants ont versé le loyer à J._ SA, laquelle faisait suivre ces montants à C._ SA, déduction faite des frais liés à la nouvelle structure.
B.b.b. Le 3 janvier 2008, Y._ et X._, en leur qualité d'administrateurs de C._ SA, ont adressé une lettre à J._ SA valant « contrat de fiduciaire et services »; à teneur dudit contrat, J._ SA pouvait prélever ses honoraires sur les redevances dues par chaque magasin, la première société cédant toute son activité à la seconde, sans contrepartie. A partir du mois de février suivant, la cession de la clientèle est devenue effective et le personnel de cette société a été repris par J._ SA.
B.b.c. En septembre-octobre 2008, Y._ et X._ ont créé la société K._ Sàrl qui a repris l'activité développée à l'origine par C._ SA concernant la réalisation de travaux administratifs.
Au vu des problèmes rencontrés avec les repreneurs, les deux administrateurs de C._ SA ont convaincu les détaillants de résilier les contrats de services les liant à cette entité. Ils les ont convaincus ensuite de signer de nouveaux contrats sous forme d'avenant avec leur société J._ SA, laquelle avait repris le personnel de C._ SA en février 2008.
Ces nouveaux contrats prévoyaient en particulier que J._ SA continuerait à mettre à disposition les locaux et les agencements fournis en amont par C._ SA, mais qu'une société tierce, K._ Sàrl, délivrerait désormais les prestations de services complémentaires. La structure de la redevance payée par les points de vente était en outre profondément remaniée : la part destinée à payer le coût de la location des murs et des installations, qui devait continuer à revenir à C._ SA, a été baissée de manière importante dans plusieurs contrats; à l'inverse, la part consacrée au défraiement des services administratifs, qui allait revenir à la nouvelle société de services, elle, a augmenté fortement. C._ SA ne percevait dès lors plus que la part « loyer » de la redevance, part fortement diminuée.
B.c. D._ SA a déposé une plainte pénale par courrier du 21 avril 2008. A._ SA s'est constituée partie civile le 27 janvier 2009 et a pris des conclusions civiles à hauteur de 5'815'900 fr. le 19 juillet 2012. Les masses en faillite, D._ SA, B._ SA et C._ SA, se sont constituées parties civiles par déclaration du 18 octobre 2010.
C.
Contre ce dernier jugement cantonal, Y._ dépose un recours en matière pénale devant le Tribunal fédéral. Il conclut, principalement, à la réforme du jugement attaqué en ce sens que le jugement de première instance du 3 février 2015 est entièrement confirmé et qu'il est libéré des infractions d'appropriation illégitime sans dessein d'enrichissement, d'abus de confiance, de gestion déloyale et de violation à la loi fédérale contre la concurrence déloyale. A titre subsidiaire, il demande l'annulation du jugement attaqué et le renvoi de la cause à la cour cantonale pour nouvelle décision. En outre, il sollicite l'assistance judiciaire.
Invités à se déterminer, A._ SA et le Ministère public vaudois ont déposé des observations, qui ont été communiquées aux autres parties. La cour cantonale a renoncé à se déterminer.

Considérant en droit :
1.
Dénonçant la violation de son droit d'être entendu, le recourant reproche à la cour cantonale d'avoir refusé d'ordonner une expertise comptable et analytique. Selon lui, la mise en oeuvre d'une telle expertise aurait permis de résoudre des questions restées sans réponse, telles que l'existence réelle d'un dommage, sa quotité et le lien de causalité entre le prétendu dommage et ses agissements.
1.1. Selon l'art. 389 al. 1 CPP, la procédure de recours se fonde sur les preuves administrées pendant la procédure préliminaire et la procédure de première instance. La juridiction d'appel peut administrer, d'office ou à la demande d'une partie, les preuves complémentaires nécessaires au traitement du recours (art. 389 al. 3 CPP). Cette disposition codifie, pour la procédure pénale, la règle jurisprudentielle déduite de l'art. 29 al. 2 Cst. en matière d'appréciation anticipée des preuves (arrêt 6B_977/2014 du 17 août 2015 consid. 1.2 et les références). Le magistrat peut notamment refuser des preuves nouvelles, lorsqu'une administration anticipée de ces preuves démontre qu'elles ne seront pas de nature à modifier le résultat de celles déjà administrées (<ref-ruling> consid. 5.3 p. 236 s.).
Les tribunaux peuvent avoir recours à un expert lorsqu'ils ne disposent pas des connaissances et des capacités nécessaires pour constater ou juger un état de fait (art. 182 CPP).
1.2. La cour cantonale a refusé d'ordonner une expertise principalement pour deux motifs. D'une part, elle a considéré que " l'existence d'un dommage est manifeste, le préjudice certain - aucun revenu ne remontant à C._ SA depuis 2008, laquelle a été vidée de sa substance - sans qu'il soit nécessaire d'en déterminer la quotité avec précision ". D'autre part, il n'appartenait pas à un expert, mais à l'autorité judiciaire, de se prononcer sur la réalisation des conditions des infractions pénales en ce qui concerne les agissements du recourant et de son associé (jugement attaqué p. 22, consid. 3.2).
Le raisonnement de la cour cantonale doit être suivi. Les agissements du recourant et de son associé ont eu pour effet de vider de sa substance C._ SA, qui a perdu les honoraires pour les services de gestion administrative (activité transférée à K._ Sàrl) et vu diminuer drastiquement les loyers versés par les exploitants pour la mise à disposition des locaux et des équipements des magasins (cf. infra consid. 3.4). Pour le surplus, le dommage n'a pas besoin d'être chiffré (arrêt 6B_986/2008 du 20 avril 2009 consid. 4.1). Le grief soulevé par le recourant doit être rejeté.
2.
Le recourant s'en prend à l'établissement des faits, qu'il qualifie de manifestement inexact à plusieurs égards. En outre, il dénonce la violation du principe " in dubio pro reo ".
2.1. Le Tribunal fédéral n'est pas une autorité d'appel, auprès de laquelle les faits pourraient être rediscutés librement. Il ne peut revoir les faits établis par l'autorité précédente que si ceux-ci l'ont été de manière manifestement inexacte (art. 97 al. 1 LTF), c'est-à-dire arbitraire (sur cette notion, cf. <ref-ruling> consid. 6.1 p. 205) et pour autant que la correction du vice soit susceptible d'influer sur le sort de la cause (art. 97 al. 1 LTF). En bref, une décision n'est pas arbitraire du seul fait qu'elle apparaît discutable ou même critiquable; il faut qu'elle soit manifestement insoutenable, et cela non seulement dans sa motivation mais aussi dans son résultat.
Le grief d'arbitraire doit être invoqué et motivé de manière précise (art. 106 al. 2 LTF). Le recourant doit exposer, de manière détaillée et pièces à l'appui, que les faits retenus l'ont été d'une manière absolument inadmissible, et non seulement discutable ou critiquable. Il ne saurait se borner à plaider à nouveau sa cause, contester les faits retenus ou rediscuter la manière dont ils ont été établis comme s'il s'adressait à une juridiction d'appel (<ref-ruling> consid. 3 p. 352; <ref-ruling>). Le Tribunal fédéral n'entre pas en matière sur les critiques de nature appellatoire (<ref-ruling> consid. 1.3.1 p. 253).
La présomption d'innocence, garantie par les art. 10 CPP et 32 al. 1 Cst., ainsi que son corollaire, le principe "in dubio pro reo", concernent tant le fardeau de la preuve que l'appréciation des preuves. Lorsque, comme en l'espèce, l'appréciation des preuves et la constatation des faits sont critiquées en référence au principe "in dubio pro reo", celui-ci n'a pas de portée plus large que l'interdiction de l'arbitraire (<ref-ruling> consid. 7 p. 82).
2.2. Le recourant se réfère à la convention de base de juin 2005 et aux conditions financières l'ayant entourée. Dans ce contexte, il reproche à la cour cantonale d'avoir omis, de manière arbitraire, de signaler qu'au 31 janvier 2005, le bilan consolidé du groupe s'élevait à 13'953'267 fr., à savoir à un montant supérieur de 3'953'267 fr. à l'enveloppe que devait verser A._ SA.
Le recourant a été condamné pour gestion déloyale qualifiée pour avoir amené à la fin 2008 les détaillants à résilier les contrats de services les liant à C._ SA et à conclure de nouveaux contrats avec la société K._ Sàrl qu'il avait créée. La cour de céans ne voit pas en quoi le bilan consolidé du groupe au 31 janvier 2005 est susceptible d'influer sur le sort de la cause. Le recourant ne donne aucune explication à cet égard. Insuffisamment motivé (art. 106 al. 2 LTF), le grief du recourant est irrecevable.
2.3. Le recourant fait grief à la cour cantonale d'avoir retenu de manière arbitraire que le recourant et son associé avaient encaissé à titre personnel le premier versement de 500'000 fr. versé par A._ SA au moment de la signature de la convention du 3 juin 2005. La correction de cet élément de fait serait essentielle, car la cour cantonale en aurait tenu compte pour retenir contre le recourant et son associé une volonté de s'enrichir.
Ce grief est dépourvu de pertinence. La question de savoir qui a encaissé ces 500'000 fr. peut rester ouverte. En effet, la cour cantonale n'a pas fondé la volonté de s'enrichir sur cet élément. Elle a considéré que, après avoir obtenu une avance de quelque 8,2 millions de francs dans le cadre de la convention de vente et d'achat d'actions, le recourant et son associé avaient mis en place une série de mesures destinées à redevenir les maîtres du groupe (jugement attaqué p. 32). Le grief soulevé est infondé.
2.4. Le recourant reproche à la cour cantonale d'avoir apprécié les faits de manière manifestement inexacte, en omettant de préciser que le recourant et son associé avaient pris les mesures reprochées dès le 19 mai 2006 à la suite du défaut de paiement de A._ SA du solde des montants qu'elle avait promis de verser dans la convention de juin 2005; selon le recourant, ces mesures auraient été indispensables pour sauver le groupe D._ SA, dont les lignes de crédit avaient été dénoncées conformément à la convention du 3 juin 2005.
La cour de céans ne voit pas en quoi la création de la société K._ Sàrl, qui a repris l'activité de services fournie par C._ SA, et la réduction des loyers perçus par C._ SA pouvaient sauver cette dernière. Le recourant ne donne aucune explication. Insuffisamment motivé (art. 106 al. 2 LTF), le grief soulevé est irrecevable.
2.5. Le recourant considère que la cour cantonale a versé dans l'arbitraire, en n'invoquant pas les motifs de la convention du 3 janvier 2008 passée entre C._ SA et J._ SA. Il explique que, par cette convention, la première société a transféré à la seconde la partie prestation de services aux détaillants, étant précisé que C._ SA n'avait jamais transféré aucun de ses actifs à J._ SA ou K._ Sàrl. En effet, A._ SA aurait ordonné au personnel de C._ SA de quitter les locaux de la société, sans prévoir aucune mesure pour conserver cette force de travail; le recourant et son associé auraient dès lors dû engager le personnel de C._ SA au sein de J._ SA.
La cour cantonale a condamné le recourant pour gestion déloyale pour avoir créé la société K._ Sàrl qui a repris la réalisation des travaux administratifs et avoir diminué la part des loyers revenant à C._ SA (jugement attaqué p. 28, consid. 4.3.3). En revanche, elle n'a retenu aucune infraction en relation avec la conclusion le 3 janvier 2008 d'un contrat de service entre C._ SA et J._ SA (jugement attaqué p. 27 consid. 4.3.2). Elle a considéré que J._ SA facturait ses services de la même manière que le faisait C._ SA et qu'à revenus moindres, les charges pour C._ SA étaient moindres également, de sorte qu'en définitive la conclusion d'un " contrat de service " entre les deux sociétés n'avait pas privé C._ SA de ses revenus. Dans ces conditions, le grief soulevé par le recourant ne saurait influer sur le sort de la cause. Il doit être rejeté.
2.6. Le recourant fait grief à la cour cantonale d'avoir omis de tenir compte que le représentant de A._ SA a dénoncé l'entier des lignes de crédit ouvertes auprès de I._ SA et de L._ en faveur de C._ SA et de B._ SA, alors même qu'aucune de ces sociétés ne faisait l'objet de poursuite à cette date. C._ SA n'aurait plus été à même d'assumer quelque activité économique que ce soit, de par le fait qu'elle n'avait plus d'employés depuis janvier 2008, qu'elle n'avait plus de moyens financiers depuis avril 2008, qu'elle était en faillite et que son but unique était sa propre liquidation depuis août 2008.
Il n'est pas contesté que la société C._ SA connaissait des difficultés financières en août 2008. Comme vu ci-dessus, la cour de céans ne voit toutefois pas en quoi les mesures prises par le recourant et son associé auraient permis de sauver C._ SA. Dans ces conditions, les faits énoncés par le recourant et que la cour cantonale aurait prétendument omis n'ont aucune influence sur l'issue du litige. Les griefs soulevés sont donc infondés.
2.7. Le recourant fait valoir que la cour cantonale a versé dans l'arbitraire en retenant que son engagement et celui de son associé en novembre 2008 pour permettre la réouverture des lignes de crédit en faveur de C._ et de B._ SA avaient été " très relatifs ". Il rappelle en effet qu'il avait accepté de se porter caution solidaire en faveur des deux sociétés à hauteur de 650'000 francs.
Comme on le verra sous consid. 3.5, cet engagement remplaçait en effet une garantie personnelle que X._ avait donnée à I._ SA en 1986. Dans ces conditions, la cour cantonale n'a pas versé dans l'arbitraire en retenant que l'engagement du recourant et de son associé n'avait été que " très relatif ". Le grief soulevé doit être rejeté.
3.
Le recourant conteste sa condamnation pour gestion déloyale aggravée.
3.1. L'art. 158 CP punit celui qui, en vertu de la loi, d'un mandat officiel ou d'un acte juridique, est tenu de gérer les intérêts pécuniaires d'autrui ou de veiller sur leur gestion et qui, en violation de ses devoirs, aura porté atteinte à ces intérêts ou aura permis qu'ils soient lésés (ch. 1 al. 1). Le cas de la gestion déloyale aggravée est réalisé lorsque l'auteur a agi dans le dessein de se procurer ou de procurer à un tiers un enrichissement illégitime (ch. 1 al. 3).
Sur le plan objectif, il faut que l'auteur ait un devoir de gestion ou de sauvegarde, qu'il ait violé une obligation inhérente à cette qualité et qu'il en soit résulté un dommage. Sur le plan subjectif, il faut qu'il ait agi intentionnellement. Le dessein d'enrichissement illégitime constitue une circonstance aggravante (art. 158 ch. 1 al. 3 CP).
3.2. L'infraction réprimée par l'art. 158 ch. 1 CP ne peut être commise que par une personne qui revêt la qualité de gérant. Selon la jurisprudence, il s'agit d'une personne à qui incombe, de fait ou formellement, la responsabilité d'administrer un complexe patrimonial non négligeable dans l'intérêt d'autrui (<ref-ruling> consid. 3.1 p. 126; <ref-ruling> consid. 3b p. 21). En règle générale, une qualité de gérant est reconnue aux organes ou membres d'organes de sociétés commerciales.
En l'espèce, la qualité de gérant du recourant n'est pas contestée. Le recourant et son associé ont remis en 2006 leur démission au conseil d'administration par courrier à A._ SA, qui leur a cependant demandé d'assumer la gestion intérimaire du groupe jusqu'à la désignation de nouveaux organes. Ils sont restés inscrits au registre du commerce en qualité d'administrateurs jusqu'à la fin 2008.
3.3. Pour qu'il y ait gestion déloyale, il faut que le gérant ait violé une obligation liée à la gestion confiée (ATF <ref-ruling> consid. 3c p. 22). Le comportement délictueux consiste à violer le devoir de gestion ou de sauvegarde. Pour dire s'il y a violation, il faut déterminer concrètement le contenu du devoir imposé au gérant. Cette question s'examine au regard des rapports juridiques qui lient le gérant aux titulaires des intérêts pécuniaires qu'il administre, compte tenu des dispositions légales ou contractuelles applicables (arrêts 6B_845/2014 du 16 mars 2015 consid. 3.2; 6B_967/2013 du 21 février 2014, consid. 3.2; 6B_223/2010 du 13 janvier 2011 consid. 3.3.2; 6B_446/2010 du 14 janvier 2010 consid. 8.4.1).
En l'espèce, le recourant et son associé ont violé leurs devoirs de diligence et de fidélité qu'ils avaient à l'égard de C._ SA. Ils ont créé, derrière des prête-noms, la société K._ Sàrl qui a repris l'activité développée à l'origine par C._ SA consistant en la fourniture de travaux administratifs. Ils ont ensuite convaincu les détaillants de résilier les contrats de services les liant à C._ SA et d'en signer des nouveaux sous forme d'avenant avec la société J._ SA. Les nouveaux contrats prévoyaient que K._ Sàrl délivrerait désormais les prestations de services et que J._ SA continuerait à mettre à disposition les locaux et les agencements fournis en amont par C._ SA, mais pour un loyer inférieur. Ce remaniement était hautement préjudiciable à C._ SA, qui ne percevait dès lors plus que la part " loyer " de la redevance, part de surcroît fortement diminuée.
3.4. La notion de « dommage » au sens de cette disposition doit être comprise comme pour les autres infractions contre le patrimoine, en particulier l'escroquerie (<ref-ruling> consid. 2a p. 281). Ainsi, le dommage est une lésion du patrimoine sous la forme d'une diminution de l'actif, d'une augmentation du passif, d'une non-augmentation de l'actif ou d'une non-diminution du passif, mais aussi d'une mise en danger de celui-ci telle qu'elle a pour effet d'en diminuer la valeur du point de vue économique (<ref-ruling> consid. 3.1 p. 125 s.; <ref-ruling> consid. 3d p. 22). Un dommage temporaire ou provisoire est suffisant (<ref-ruling> consid. 2a p. 281; arrêt 6B_1054/2010 du 16 juin 2011 consid. 2.2.1). Il n'est pas nécessaire que le dommage corresponde à l'enrichissement de l'auteur, ni qu'il soit chiffré; il suffit qu'il soit certain (arrêts 6B_967/2013 du 21 février 2014 consid. 3.3; 6B_986/2008 du 20 avril 2009, consid. 4.1).
En l'espèce, le dommage consiste dans la perte des honoraires pour les services de gestion administrative (comptabilité notamment) et la diminution des loyers versés par les exploitants pour la mise à disposition des locaux et des équipements des magasins. Il n'est pas nécessaire que le dommage soit chiffré. C'est donc en vain que le recourant soutient que le dossier ne contient aucun élément comptable probant démontrant le dommage.
Le recourant fait valoir qu'en septembre 2008, la société C._ SA était dénoncée en surendettement au sens de l'art. 725 CO depuis le mois d'août 2008 et qu'elle faisait l'objet d'une procédure de faillite. Selon le recourant, cette société n'avait donc de toute façon plus aucune liquidité ni aucun moyen humain pour continuer à mener son activité. Quelle qu'ait pu être la situation financière de C._ SA, la cour de céans ne voit pas ce qui l'empêchait de continuer à percevoir les loyers pour les locaux et les équipements de la part des détaillants; le personnel avait été pour le surplus transféré à J._ SA. L'argumentation du recourant est donc infondée.
3.5. La conscience et la volonté de l'auteur doivent englober la qualité de gérant, la violation du devoir de gestion et le dommage (arrêt 6B_223/2010 du 13 janvier 2011 consid. 3.3.3). Le dol éventuel suffit; vu l'imprécision des éléments constitutifs objectifs de l'infraction, la jurisprudence se montre toutefois restrictive, soulignant que le dol éventuel doit être strictement caractérisé (ATF <ref-ruling> consid. 3e p. 23).
Le recourant ne pouvait pas ignorer que la constitution de K._ Sàrl et la résiliation des contrats des exploitants allaient occasionner un dommage à C._ SA et n'étaient pas dans l'intérêt de cette entité, qu'il vidait ainsi de sa substance.
C'est en vain que le recourant fait valoir qu'il s'est porté caution solidaire pour un montant de 650'000 fr. pour tenter de sauver C._ SA, ce qui exclurait tout élément intentionnel. En effet, il ressort de l'état de fait cantonal qu'en juin 2008, I._ SA a dénoncé au remboursement les lignes de crédit en compte courant octroyées à C._ SA et à B._ SA. La ligne de crédit s'élevait à 200'000 fr. pour C._ SA et, pour B._ SA, il y avait deux lignes de crédit de 150'000 fr. et de 530'000 fr.; les lignes de crédit étaient dépassées, et I._ SA a fait notifier des commandements de payer aux deux sociétés. X._ était caution solidaire à concurrence de 180'000 fr. du crédit octroyé à C._ SA par I._ SA depuis le mois de mai 1986; il était aussi caution solidaire du crédit octroyé à B._ SA par la banque à concurrence de 180'000 fr. depuis le mois de juillet 1993. Les deux associés avaient donc tout intérêt à négocier avec I._ SA. A titre de garantie, ils ont nanti à concurrence de 650'000 fr. des cédules hypothécaires en 2e rang qui grevaient leur immeuble de F._. L'opération négociée avec I._ SA était dans l'intérêt de X._ qui échangeait ainsi sa garantie personnelle contre une garantie réelle. Dans ces conditions, la cour cantonale a retenu à juste titre que cet engagement ne permettait pas d'exclure toute intention.
3.6. Le dessein d'enrichissement illégitime n'est pas requis, mais constitue une circonstance aggravante (art. 158 ch. 1 al. 3 CP). Par enrichissement, il faut entendre tout avantage économique. Il n'y a pas de dessein d'enrichissement illégitime chez celui qui s'approprie une chose pour se payer ou pour tenter de se payer lui-même, s'il a une créance d'un montant au moins égal à la valeur de la chose qu'il s'est appropriée et s'il a vraiment agi en vue de se payer. Si l'auteur croit fermement, mais par erreur, que ces conditions sont réalisées, il peut bénéficier de l'art. 13 CP (<ref-ruling> consid. 3a p. 35 s.).
Après avoir reçu une avance de 8.2 millions de francs dans le cadre de la convention de vente et d'achat d'actions, le recourant et son associé ont mis en place une série de mesures destinées à redevenir les maîtres du groupe qu'ils avaient cédé, en particulier en reprenant tous les contrats qui liaient C._ SA aux détaillants. De la sorte, ils ont montré une volonté de s'enrichir.
Le recourant relève que l'on ne peut retenir un dessein d'enrichissement pour autrui, puisque la société K._ Sàrl, dont il n'est pas associé, n'a réalisé aucun bénéfice et que la société J._ SA a intégralement versé les loyers encaissés à C._ SA. Cette argumentation est appellatoire et donc irrecevable. Il ressort en effet de l'état de fait cantonal que le recourant et son associé ont créé la société K._ Sàrl derrière des prête-noms. Pour le surplus, la loi n'exige pas que l'enrichissement se soit effectivement réalisé, mais simplement que l'auteur cherche à l'obtenir en commettant l'infraction.
3.7. En définitive, les éléments constitutifs, tant objectifs que subjectifs, sont réalisés. La cour cantonale n'a donc pas violé le droit fédéral en condamnant le recourant pour cette infraction.
4.
La cour cantonale a condamné le recourant pour concurrence déloyale pour avoir amené les exploitants à résilier les contrats les liant à C._ SA au profit de K._ Sàrl (cf. jugement attaqué consid. 5.2 p. 34). Le recourant conteste la validité de la plainte déposée le 21 avril 2008 par D._ SA. Selon lui, cette dernière société n'aurait pas la qualité de lésée. En outre, la plainte aurait été déposée à une date antérieure aux faits incriminés au recourant.
4.1. L'art. 23 al. 1 LCD prévoit que quiconque, intentionnellement, se rend coupable de concurrence déloyale au sens des art. 3, 4a, 5 ou 6 est, sur plainte, puni d'une peine privative de liberté de trois ans au plus.
L'alinéa 2 de cette disposition précise que seul peut porter plainte celui qui a qualité pour intenter une action civile selon les art. 9 et 10 LCD. En particulier, l'art. 9 al. 1 LCD définit celui qui a qualité pour agir au civil comme " celui qui, par un acte de concurrence déloyale, subit une atteinte dans sa clientèle, son crédit ou sa réputation professionnelle, ses affaires ou ses intérêts économiques en général ou celui qui en est menacé ".
Est touché dans ses intérêts économiques celui qui est directement atteint dans sa position dans la concurrence. Il est admis que les actionnaires d'une société anonyme qui subit un dommage par la concurrence déloyale ne sont personnellement et d'une façon immédiate ni lésés, ni menacés d'une lésion; il n'ont donc pas qualité pour porter plainte pénale en leur propre nom (<ref-ruling> consid. 1 p. 41 concernant l'ancienne LCD; CHRISTOF RIEDO, Der Strafantrag, 2004, p. 258; MARIO M. PEDRAZZINI/FEDERICO A. PEDRAZZINI, Unlauterer Wettbewerb UWG, 2e éd., 2002, n° 16.09).
La plainte pénale est déposée à raison d'un état de fait délictueux déterminé (cf. art. 30 ss CP). En présence d'un ensemble de faits, le lésé a la possibilité de limiter sa plainte à certains d'entre eux (<ref-ruling> consid. 3.1 p. 98; <ref-ruling> consid. 2a p. 3; <ref-ruling> consid. 2 p. 75). Il s'ensuit que la poursuite pénale ne peut être exigée que pour les infractions qui ont déjà été commises (arrêt 6S.10/2005 du 23 février 2005 consid. 2; CHRISTOF RIEDO, Basler Kommentar, Strafgesetzbuch I, n° 70 ad art. 28). Ce n'est qu'en cas de délits continus que la jurisprudence admet qu'une plainte s'étende aux faits qui perdurent après le dépôt de la plainte (<ref-ruling> consid. 2a p. 83).
4.2. Déposée le 21 avril 2008, la plainte pénale ne fait aucune référence à la résiliation des contrats conclus entre les détaillants et C._ SA au profit de K._ Sàrl et à la réduction de la part de loyer revenant à C._ SA. La plainte ne peut donc s'étendre à ces faits, dans la mesure où la concurrence déloyale ne constitue pas un délit continu. Il n'y a pas lieu d'examiner si la plainte pénale peut s'étendre aux faits commis ultérieurement en cas d'unités juridique ou naturelle d'action (cf. <ref-ruling> consid. 2.4; <ref-ruling> consid. 3.1.1.3). On ne saurait en effet retenir une unité d'action entre les actes dénoncés par la partie plaignante et la résiliation des contrats de service au profit de K._ Sàrl.
En outre, la société D._ SA, qui a déposé la plainte pénale le 21 avril 2008, n'avait pas la qualité pour ce faire. En effet, les actes de concurrence déloyale dénoncés étaient dirigés contre C._ SA, qui était liée aux détaillants par un contrat de service. La société D._ SA, qui détenait 95 % du capital-actions de C._ SA, est la société mère du groupe, sans activité propre (cf. consid. B.a). Or l'actionnaire de la société lésée n'a pas la qualité pour porter plainte.
La plainte pénale par D._ SA n'est donc pas valable, et l'infraction de concurrence déloyale ne peut pas être retenue. Le recours doit être admis sur ce point, sans qu'il soit nécessaire d'examiner les griefs relatifs aux conditions objectives et subjectives de l'application de la LCD.
5.
Le recours est partiellement admis, l'arrêt attaqué est annulé en ce qui concerne l'infraction de concurrence déloyale et la cause renvoyée à la cour cantonale pour qu'elle libère le recourant de cette infraction et prononce notamment une nouvelle peine. Pour le surplus, le recours est rejeté dans la mesure de sa recevabilité.
Dans les circonstances d'espèce, il peut être statué sans frais. Dans la mesure où le recourant obtient partiellement gain de cause, sa demande d'assistance judiciaire est sans objet. Pour le surplus, son recours était dénué de chances de succès, de sorte que l'assistance judiciaire sera refusée. Le recourant peut prétendre à une indemnité réduite de dépens, à la charge pour moitié chacun, d'une part, du canton de Vaud et, d'autre part, de l'intimée (art. 68 al. 1 et 2 LTF). Pour le cas où les dépens ne pourraient pas être recouvrés auprès de l'intimée, ils seront pris en charge par la Caisse du Tribunal fédéral (cf. art. 64 al. 2 LTF).

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce :
1.
Le recours est partiellement admis, l'arrêt attaqué est annulé et la cause est renvoyée à la cour cantonale pour nouvelle décision. Pour le surplus, le recours est rejeté dans la mesure de sa recevabilité.
2.
Il n'est pas perçu de frais judiciaires.
3.
Une indemnité de 2'000 fr., à verser au recourant à titre de dépens, est mise pour moitié à la charge du canton de Vaud et pour moitié à la charge de l'intimée.
4.
La demande d'assistance judiciaire est rejetée dans la mesure où elle n'est pas sans objet.
5.
Pour le cas où les dépens dus par l'intimée ne pourraient pas être recouvrés, la Caisse du Tribunal fédéral versera au mandataire du recourant une indemnité de 1'000 fr. à titre d'honoraires d'avocat d'office.
6.
Le présent arrêt est communiqué aux parties et à la Cour d'appel pénale du Tribunal cantonal du canton de Vaud.
Lausanne, le 9 décembre 2016
Au nom de la Cour de droit pénal
du Tribunal fédéral suisse
Le Président : Denys
La Greffière : Kistler Vianin