Sachverhalt:
A.
A._ und B._ sind die unverheirateten Eltern von C._ (geb. 2009; Betroffene). A._ heiratete 2015 D._. Seit Geburt stand C._ unter der alleinigen elterlichen Sorge der Mutter. Am 30. Juli 2014 beantragte B._ (Beschwerdegegner) die Übertragung der gemeinsamen elterlichen Sorge an die Eltern. Diesem Ersuchen gab die Kindes- und Erwachsenenschutzbehörde Ausserschwyz (KESB) mit Beschluss vom 9. Dezember 2015 statt. Ausserdem verpflichtete die KESB die Eltern im Zusammenhang mit dem Besuchsrecht des Vaters und zur Förderung der Kommunikation untereinander zu einer Mediation, ordnete für C._ eine ambulante Psychotherapie an und erweiterte die vorbestehende Beistandschaft in eine Erziehungsbeistandschaft.
B.
Am 12. Januar 2016 erhob A._ Beschwerde beim Verwaltungsgericht des Kantons Schwyz. Sie beantragte, es sei der Beschluss der KESB vom 9. Dezember 2015 aufzuheben und ihr die alleinige elterliche Sorge zu belassen. Mit Entscheid vom 28. Juni 2016 (eröffnet am 8. Juli 2016) wies das Verwaltungsgericht die Beschwerde ab.
C.
Mit Beschwerde in Zivilsachen vom 23. August 2016 gelangt A._ (Beschwerdeführerin) mit dem Antrag an das Bundesgericht, es sei ihr in Aufhebung des Entscheids des Verwaltungsgerichts vom 28. Juni 2016 die alleinige elterliche Sorge über C._ zu belassen. Ausserdem sei ihr für das Verfahren vor dem Verwaltungsgericht eine angemessene Parteientschädigung zuzusprechen.
Das Bundesgericht hat die Akten des kantonalen Verfahrens, hingegen keine Vernehmlassungen eingeholt.

Erwägungen:
1.
1.1. Die Beschwerde richtet sich gegen den Endentscheid einer letzten kantonalen Instanz, die als oberes Gericht über die Zuteilung der gemeinsamen elterlichen Sorge und damit eine nicht vermögensrechtliche Zivilsache entschieden hat (Art. 72 Abs. 1, Art. 75 Abs. 1 und Art. 90 BGG). Die Beschwerdeführerin ist gemäss <ref-law> zur Beschwerde berechtigt und die Beschwerdefrist ist eingehalten (Art. 100 Abs. 1 und Art. 46 Abs. 1 Bst. b BGG). Auf die Beschwerde kann eingetreten werden.
1.2. Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (<ref-law>). Immerhin prüft es, unter Berücksichtigung der allgemeinen Begründungspflicht der Beschwerde (Art. 42 Abs. 1 und 2 BGG), grundsätzlich nur die geltend gemachten Rügen, sofern die rechtlichen Mängel nicht geradezu offensichtlich sind (<ref-ruling> E. 2 S. 116). Wird eine Rechtsfrage aufgeworfen, ist das Bundesgericht weder an die von den Parteien geltend gemachten Gründe noch an die rechtliche Würdigung der Vorinstanz gebunden. Es kann die Beschwerde aus einem anderen als dem von der Beschwerde führenden Person angerufenen Grund gutheissen und es kann sie mit einer von der Argumentation der Vorinstanz abweichenden Begründung abweisen (<ref-ruling> E. 2.4).
2.
2.1. Auf den 1. Juli 2014 ist die Gesetzesnovelle zur elterlichen Sorge (AS 2014 357 ff., 363) in Kraft getreten. Steht in diesem Zeitpunkt die elterliche Sorge nur einem Elternteil zu, so kann sich der andere Elternteil binnen Jahresfrist nach Inkrafttreten mit dem Antrag auf Verfügung der gemeinsamen elterlichen Sorge an die zuständige Behörde wenden. Artikel 298b ZGB findet sinngemäss Anwendung (<ref-law>). Vorliegend hat der nicht sorgeberechtigte Vater am 30. Juli 2014 und damit fristgerecht um Erteilung der gemeinsamen elterlichen Sorge ersucht, womit nach den Kriterien von <ref-law> über diese zu entscheiden ist.
Sind die Eltern nicht miteinander verheiratet und anerkennt der Vater das Kind oder wird das Kindesverhältnis durch Urteil festgestellt und die gemeinsame elterliche Sorge nicht bereits im Zeitpunkt des Urteils verfügt, so kommt die gemeinsame elterliche Sorge aufgrund einer gemeinsamen Erklärung der Eltern zustande (<ref-law>). Weigert sich ein Elternteil, die Erklärung über die gemeinsame elterliche Sorge abzugeben, so kann der andere Elternteil die Kindesschutzbehörde am Wohnsitz des Kindes anrufen (<ref-law>). Die Kindesschutzbehörde verfügt die gemeinsame elterliche Sorge, sofern nicht zur Wahrung des Kindeswohls an der alleinigen elterlichen Sorge der Mutter festzuhalten oder die alleinige elterliche Sorge dem Vater zu übertragen ist (<ref-law>).
2.2. Damit bildet die gemeinsame elterliche Sorge den Grundsatz und die Alleinzuteilung derselben bzw. die Belassung der alleinigen elterlichen Sorge die eng begrenzte Ausnahme. In seiner Rechtsprechung hat das Bundesgericht Kriterien aufgestellt, die erfüllt sein müssen, um ein Abweichen vom Grundsatz des gemeinsamen elterlichen Sorgerechts zu rechtfertigen. Diese können insbesondere bei einem schwerwiegenden elterlichen Dauerkonflikt oder bei anhaltender Kommunikationsunfähigkeit erfüllt sein. Dabei muss sich der Konflikt oder die Kommunikationsunfähigkeit auf die Kinderbelange als Ganzes beziehen; ein Konflikt oder eine Kommunikationsunfähigkeit hinsichtlich einzelner Fragen genügt nicht und schon gar nicht genügt, wenn sich der Streit ausschliesslich um die Regelung des Sorgerechts dreht. Ausserdem muss sich der Dauerkonflikt und/oder die Kommunikationsunfähigkeit negativ auf das Kindeswohl auswirken. Die abstrakte Feststellung, das Kind befinde sich in einem Loyalitätskonflikt, genügt nicht, denn dieser führt nicht in jedem Fall zu einer Beeinträchtigung des Kindeswohls, welche ein Eingreifen erforderlich erscheinen lässt; vielmehr hängen die Auswirkungen des Loyalitätskonfliktes von der Konstitution des Kindes selbst (Ambivalenz- und Abgrenzungsfähigkeit) und vom Verhalten der Eltern diesem gegenüber ab. Erforderlich ist daher eine konkrete Feststellung, in welcher Hinsicht das Kindeswohl beeinträchtigt ist bzw. sein würde. Schliesslich ist die Alleinzuteilung nur dann zulässig, wenn diese geeignet ist, die festgestellte Beeinträchtigung des Kindeswohls zu beseitigen oder zumindest zu lindern (zum Ganzen: <ref-ruling> E. 4.6 und 4.7; <ref-ruling> E. 3.3, 56 E. 3, 197 E. 3.5 und 3.7; vgl. sodann die Rechtsprechungsübersicht in den Urteilen 5A_81/2016 E. 5, 5A_89/2016 E. 4 und 5A_186/2016 E. 4, je vom 2. Mai 2016). Geht es, wie hier, um die auf <ref-law> gestützte Anordnung des gemeinsamen Sorgerechts, ist unter diesem Gesichtspunkt nur dann davon abzusehen, wenn eine aufgrund der Streitereien auf Elternebene bestehende Beeinträchtigung des Kindeswohls in entscheidender Weise verstärkt würde (Urteil 5A_292/2016 vom 21. November 2016 E. 2).
3.
3.1. Das Verwaltungsgericht stütze sich in seinem Entscheid wesentlich auf ein von der KESB in Auftrag gegebenes kinderpsychologisches Gutachten der Kinder- und Jugendpsychiatrischen Dienste (KJPD) St. Gallen vom 18. Mai 2016 (Beschwerdebeilage 3; nachfolgend: Gutachten) sowie die Ergänzende Stellungnahme der Gutachterinnen vom 1. Juli 2015 (act. 10, 2.68.1; nachfolgend: Stellungnahme). Demnach bestehen seit der Schwangerschaft der Beschwerdegegnerin zwischen den Eltern erhebliche Konflikte. Namentlich habe ab der Geburt der Betroffenen das Besuchsrecht des Vaters zu Konflikten geführt. Eine adäquate und dem Kindswohl dienende Kommunikation zwischen den Eltern finde nicht statt. Mangels Kooperationsbereitschaft und Kommunikationsfähigkeit der Eltern - diese liessen sich derzeit nicht positiv beeinflussen - seien auch künftig Konflikte zu erwarten. Nach Einschätzung des Gutachtens ist bei Erteilung der gemeinsamen elterlichen Sorge unter diesen Umständen eine zusätzliche Kindeswohlgefährdung zu befürchten. Es sei deshalb empfehlenswert, die alleinige Sorge der Mutter beizubehalten. Dennoch sei wichtig, dass der Kindsvater über wichtige Ereignisse im Leben des Kindes informiert und in wichtige Entscheidungen einbezogen werde (Gutachten, S. 115 ff.; Stellungnahme, S. 2).
3.2. Die Vorinstanz erwog, die KESB habe verschiedene Massnahmen getroffen, um dem Streit zwischen den Eltern zu begegnen; darunter deren Verpflichtung zum Besuch einer Mediation (vgl. vorne Bst. A). Die Eltern hätten diese Massnahmen nicht hinterfragt, was auf eine grundsätzliche Lösungsbereitschaft schliessen liesse. Es liege daher kaum ein unüberwindbarer Dauerkonflikt vor und es sei zu erwarten, dass die Situation sich künftig verbessere. Das Gutachten schliesse die gemeinsame elterliche Sorge nur zum jetzigen Zeitpunkt, nicht aber für die Zukunft aus. Die Sorgerechtsfrage dürfe denn auch nicht nur aufgrund der laufenden Auseinandersetzung entschieden werden. Auch das Gutachten empfehle weiter den Einbezug des Vaters in wichtige Entscheidungen betreffend das Kind, was einer "gemeinsamen elterlichen Sorge light" gleichkomme. Der Konflikt zwischen den Eltern betreffe namentlich das Besuchsrecht, weshalb auch durch die Beibehaltung der alleinigen elterlichen Sorge keine Entlastung der Situation zu erwarten sei. Die Eltern müssten sich vielmehr so oder anders zum Wohle der Tochter arrangieren, was mit Hilfe der von der KESB verfügten Massnahmen nicht unrealistisch erscheine. In dieser Situation sei dem Regelfall der gemeinsamen elterlichen Sorge der Vorrang einzuräumen.
3.3. Nach Ansicht der Beschwerdeführerin widerspricht die Folgerung der Vorinstanz, zwischen den Eltern bestehe kein unüberwindbarer Dauerkonflikt, den Feststellungen des Gutachtens. Die grundsätzliche Bereitschaft, an der Mediation teilzunehmen, besage noch nichts über den Erfolg dieser Massnahme. Zumal sich gemäss dem Gutachten die Kooperationsbereitschaft und Kommunikationsfähigkeit der Eltern derzeit nicht positiv beeinflussen liessen. Die gemeinsame elterliche Sorge bedinge ein bestehendes gemeinsames Zusammenwirken, welches heute unbestritten nicht vorhanden sei. Nach Ansicht der Gutachterinnen gefährde die gemeinsame elterliche Sorge das Kindeswohl denn auch zusätzlich. Indem die Vorinstanz bereits heute und gestützt auf eine ungewisse Zukunft die gemeinsame elterliche Sorge anordne, missachte sie diese Feststellungen in willkürlicher Weise und verletzte Art. 296 und 298b ZGB. Willkürlich sei auch der Schluss der Vorinstanz, das Gutachten befürworte eine "elterliche Sorge light". Mit dem Aufruf zum Einbezug des Vaters in wichtige Entscheidungen verweise das Gutachten einzig auf <ref-law>, wonach der nicht sorgeberechtigte Elternteil vor wichtigen Entscheidungen anzuhören sei. Schliesslich verkenne die Vorinstanz, dass der Konflikt zwischen den Eltern alle Kinderbelange und nicht nur das Besuchsrecht betreffe.
4.
4.1. Bei der elterlichen Sorge handelt es sich um ein sog. Pflichtrecht (BGE <ref-ruling> E. 3.4, 197 E. 3.5); es beinhaltet das Recht und die Pflicht der Eltern, die Pflege und Erziehung des Kindes zu leiten und die nötigen Entscheidungen zu treffen (<ref-law>). Leben die gemeinsam sorgeberechtigten Eltern nicht in einem gemeinsamen Haushalt, kann derjenige Elternteil, der das Kind betreut, allein entscheiden, wenn die Angelegenheit alltäglich oder dringlich oder der andere Elternteil nicht mit vernünftigem Aufwand zu erreichen ist (<ref-law>). Hierunter fällt namentlich die Befugnis zur täglichen Betreuung des Kindes und die Ausübung der Rechte und Pflichten im Zusammenhang mit seiner Pflege und laufenden Erziehung (vgl. auch <ref-ruling> E. 4.1, 617 E. 3.2.2). Der nicht betreuende Elternteil hat im Umkehrschluss ein Mitbestimmungsrecht in allen Entscheiden, welche nicht die Alltagsgestaltung betreffen. Dabei ist beispielsweise zu denken an die Namensgebung (vgl. <ref-law>), die allgemeine und berufliche Bildung (vgl. <ref-law>), die Wahl der religiösen Erziehung (vgl. <ref-law>), an medizinische Eingriffe und andere entscheidende bzw. das Leben des Kindes prägende Weichenstellungen wie beispielsweise die Ausübung von Hochleistungssport (vgl. Botschaft des Bundesrates zu einer Änderung des Schweizerischen Zivilgesetzbuches [Elterliche Sorge] vom 16. November 2011, BBl 2011 9106; SCHWENZER/COTTIER, in: Basler Kommentar, Zivilgesetzbuch I, 5. Aufl. 2014, N. 3c zu <ref-law>; TUOR/SCHNYDER/SCHMID/JUNGO, Das Schweizerische Zivilgesetzbuch, 14. Aufl. 2015, § 43 N. 31; HAUSHEER/GEISER/AEBI-MÜLLER, Das Familienrecht des Schweizerischen Zivilgesetzbuchs, 5. Aufl. 2014, Rz. 17.128). Elternteile, denen die elterliche Sorge über ihr Kind nicht zusteht, sind von Entscheiden bezüglich des Kindes ausgeschlossen. Sie trifft eine Pflicht zur Zahlung von Unterhalt (<ref-law>) und sie haben ein Recht auf persönlichen Verkehr (Art. 273 f. ZGB). <ref-law> sieht ausserdem ein Informations- und Auskunftsrecht des nicht sorgeberechtigten Elternteils vor. Hierdurch wollte der Gesetzgeber es diesem Elternteil ermöglichen, am Wohlergehen des Kindes Anteil zu nehmen. Das Informations- und Auskunftsrecht umfasst die Rechte auf Benachrichtigung "über besondere Ereignisse im Leben des Kindes" (<ref-law>), auf Anhörung "vor Entscheidungen, die für die Entwicklung des Kindes wichtig sind" (<ref-law>) und auf Auskunft "über den Zustand und die Entwicklung des Kindes" (<ref-law>; Urteil 5A_889/2014 vom 11. Februar 2015 E. 3.2.1, in: FamPra.ch 2015 S. 476; vgl. auch <ref-ruling> E. 2.1).
4.2. Verbleibt die Sorge über die Betroffene bei der Beschwerdeführerin, ist der Beschwerdegegner damit von Entscheiden bezüglich des Kindes ausgeschlossen. Ihm stehen aber die Rechte auf persönlichen Verkehr sowie auf Information und Auskunft zu. Die potentiellen Konfliktfelder zwischen den Eltern sind daher bei Belassung der alleinigen Sorge der Mutter zwar weniger breit, als wenn der Beschwerdeführer Mitinhaber des Sorgerechts wird (vgl. Urteil 5A_292/2016 vom 21. November 2016 E. 5). Das Verwaltungsgericht erwähnt jedoch zu Recht, dass der Elternkonflikt bisher vorab im Zusammenhang mit der Regelung des persönlichen Verkehrs des Vaters mit der Tochter eskaliert ist (vgl. die Beschreibung der "Familienentwicklung" auf S. 101 ff. des Gutachtens). Dieser Streitpunkt, den die Tochter im täglichen Leben stark betrifft, besteht auch bei alleinigem Sorgerecht der Beschwerdeführerin und wird durch die gemeinsame elterliche Sorge nicht verschärft: Unbestritten wird die Betroffene so oder anders hauptsächlich durch die Mutter betreut, sodass für den Vater eine Regelung gefunden werden muss. Weiter müssen die Eltern bei Belassung der alleinigen Sorge der Mutter auch aufgrund des Informations- und Auskunftsrechts in einem gewissen Mass zusammenwirken. Insoweit bleibt daher ebenfalls ein gewisses Konfliktpotential bestehen. Demgegenüber steht dem sorgeberechtigten Elternteil, der das Kind nicht betreut, ein Mitspracherecht nur bezüglich der nicht alltäglichen und nicht dringlichen Entscheidungen zu. Selbst wenn bei Zuteilung der gemeinsamen elterliche Sorge ein zusätzliches Konfliktpotential zwischen den Parteien geschaffen wird - der Elternkonflikt betrifft nach Darstellung der Beschwerdeführerin alle Kinderbelange - wird dieses sich gegenüber dem Zustand bei alleiniger Sorge der Mutter daher in Grenzen halten.
4.3. Mit der Zuteilung der gemeinsamen elterlichen Sorge ist damit keine erhebliche Verschärfung des Elternkonflikts und folglich keine entscheidende Verstärkung der bestehenden Beeinträchtigung des Kindeswohls zu erwarten. Damit verletzt die Vorinstanz kein Bundesrecht, wenn sie es abgelehnt, der Beschwerdeführerin in Abweichung vom gesetzlich vorgesehenen Regelfall die alleinige Sorge zu belassen. Hieran ändert auch der Einwand nichts, eine Zusammenarbeit zwischen den Eltern erscheine aktuell kaum möglich. Wie gesehen wirkt sich dieser Umstand auch bei alleiniger Sorge der Mutter in nicht unerheblichem Mass auf das Kindeswohl aus. Den Eltern ist an dieser Stelle jedoch mit aller Deutlichkeit in Erinnerung zu rufen, dass sie gehalten sind, die mit der elterlichen Sorge verbundenen Rechte und Pflichten zum Wohle ihrer Tochter auszuüben. Sie sind verpflichtet, im Rahmen ihrer Möglichkeiten alles zu unternehmen, was zur gedeihlichen Entwicklung des Kindes erforderlich ist. Sie sollen daher zwischen der konfliktbeladenen Elternebene einerseits und dem Eltern-Kind-Verhältnis andererseits unterscheiden und das Kind aus dem elterlichen Konflikt heraushalten. Sodann haben beide Elternteile ein kooperatives Verhalten an den Tag zu legen und die zumutbaren Anstrengungen bei der gegenseitigen Kommunikation zu unternehmen. Die Eltern haben mit Blick auf das Wohl des Kindes die Pflicht, eine gute Beziehung zum jeweils anderen Elternteil zu fördern (BGE <ref-ruling> E. 3.4 mit Hinweis).
4.4. Nichts zu ihren Gunsten abzuleiten vermag die Beschwerdeführerin im Übrigen daraus, dass im Gutachten aufgrund einer befürchteten zusätzlichen Gefährdung des Kindeswohls von der gemeinsamen elterlichen Sorge abgeraten wird. Die Beantwortung der Frage, ob das gemeinsame Sorgerecht zuzusprechen ist, obliegt nicht der Fachperson, sondern der Behörde bzw. dem Gericht (vgl. <ref-ruling> E. 4.4.1; <ref-ruling> E. 5.4.1). Das Verwaltungsgericht erwägt sodann zu Recht, dass auch das Gutachten den Einbezug des Vaters in wichtige das Kind betreffende Entscheidungen empfiehlt. Mit Blick auf das Kindeswohl vermag es wie ausgeführt aber gerade keinen alles entscheidenden Unterschied zu machen, ob dieser Einbezug im Rahmen der gemeinsamen elterlichen Sorge oder über das Besuchs-, Informations- und Auskunftsrechts des nicht sorgeberechtigten Elternteils erfolgt. Unerheblich bleibt daher auch, ob im Gutachten nun von einer Art "elterlichen Sorge light" ausgegangen wird, wie dies die Vorinstanz annimmt, oder von einer Beteiligung des Beschwerdeführers im Rahmen von <ref-law>, wie die Beschwerdeführerin geltend macht. Nichts weiteres vermag die Beschwerdeführerin sodann aus der Rüge abzuleiten, die Vorinstanz habe in willkürlicher Weise einen unüberwindbaren Dauerkonflikt zwischen den Eltern verneint. Das Verwaltungsgericht hat die im Gutachten dargelegten Verhältnisse zur Kenntnis genommen und in seine Überlegungen einbezogen. Wie dargelegt spielt die genaue Qualität des Elternkonflikts aber keine entscheidende Rolle, da der Mutter die alleinige Sorge auch bei dessen Andauern nicht zu belassen ist. Ohnehin ist das Verwaltungsgericht einzig von einer Verbesserung der Situation in Zukunft ausgegangen. Eine solche schliesst aber auch die Beschwerdeführerin nicht kategorisch aus, wenn sie ausführt, das Verhältnis zwischen den Parteien könne sich "allenfalls in (unbestimmter) Zukunft" verbessern. Ohnehin sind die Eltern wie ausgeführt so oder anders aber zur Zusammenarbeit zum Wohle des Kindes verpflichtet.
4.5. Aus dem Gesagten ergibt sich, dass die in der Rechtsprechung entwickelten Kriterien für die Belassung der Alleinsorge nicht erfüllt sind und deshalb das Prinzip der gemeinsamen elterlichen Sorge zum Tragen kommt. Der angefochtene Entscheid ist damit bundesrechtskonform.
5.
Nach dem Ausgeführten erweist sich die Beschwerde als unbegründet und ist abzuweisen. Dementsprechend wird die Beschwerdeführerin kosten-, nicht jedoch entschädigungspflichtig, da keine Vernehmlassungen eingeholt wurde (Art. 66 Abs. 1 und Art. 68 Abs. 1 BGG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 2'000.-- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
3.
Parteikosten werden keine zugesprochen.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien, der Kindes- und Erwachsenenschutzbehörde Ausserschwyz und dem Verwaltungsgericht des Kantons Schwyz, Kammer III, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 13. Februar 2017
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: von Werdt
Der Gerichtsschreiber: Sieber