Erwägungen:
1.
Mit Urteil vom 26. Januar 2016 des Bezirksgerichts Dietikon wurde A._ unter anderem der mehrfachen versuchten Nötigung und der mehrfachen Drohung schuldig gesprochen und zu zwölf Monaten Freiheitsstrafe (unter der Anrechnung von erstandener Haft sowie vorzeitigem Straf- und Massnahmenvollzug) und einer Busse von Fr. 300.-- verurteilt. Ausserdem wurde eine stationäre Massnahme im Sinne von <ref-law> angeordnet. Gegen dieses Urteil meldete der amtliche Verteidiger von A._ Berufung an.
2.
Das Bezirksgericht Dietikon ordnete mit Beschluss vom 26. Januar 2016 die Fortdauer der Sicherheitshaft bis zum Massnahmenantritt, längstens bis 26. April 2016 an. Dagegen erhob A._ persönlich mit Schreiben vom 1. Februar 2016 Beschwerde. Der amtliche Verteidiger verzichtete auf eine Stellungnahme. Die III. Strafkammer des Obergerichts des Kantons Zürich wies mit Beschluss vom 8. Februar 2016 die Beschwerde ab. Die Strafkammer bejahte den dringenden Tatverdacht und das Bestehen von Fluchtgefahr. Ausserdem erachtete die Strafkammer die Weiterführung der Haft als verhältnismässig, obschon A._ die erstinstanzlich ausgefällte Strafe durch Untersuchungs- und Sicherheitshaft sowie durch vorzeitigen Sanktionsvollzug erstanden habe. Es sei davon auszugehen, dass sich A._ noch längere Zeit im stationären Massnahmenvollzug befinden werde.
3.
A._ führt mit Eingabe vom 18. Februar 2016 Beschwerde in Strafsachen gegen den Beschluss der III. Strafkammer des Obergerichts des Kantons Zürich vom 8. Februar 2016. Das Bundesgericht verzichtet auf die Einholung von Vernehmlassungen.
4.
Nach <ref-law> ist in der Begründung einer Beschwerde in gedrängter Form darzulegen, inwiefern der angefochtene Entscheid Recht verletzt. Die Bestimmungen von <ref-law> nennen die vor Bundesgericht zulässigen Beschwerdegründe. Hinsichtlich der Verletzung von Grundrechten gilt der in <ref-law> verankerte Grundsatz der Rechtsanwendung von Amtes wegen nicht; insofern besteht eine qualifizierte Rügepflicht (<ref-law>; <ref-ruling> E. 1.4.1 S. 53, 65 E. 1.3.1 S. 68 mit Hinweisen). Es obliegt dem Beschwerdeführer namentlich darzulegen, inwiefern der angefochtene Entscheid gegen die gerügten Grundrechte verstossen soll.
Der Beschwerdeführer setzt sich mit der Begründung der III. Strafkammer des Obergerichts des Kantons Zürich, die zur Abweisung der Beschwerde führte, nicht auseinander. Mit seinen Ausführungen vermag der Beschwerdeführer nicht aufzuzeigen, inwiefern die Begründung der III. Strafkammer bzw. deren Beschluss selbst rechts- bzw. verfassungswidrig sein soll. Die Beschwerde genügt den gesetzlichen Formerfordernissen offensichtlich nicht, weshalb auf sie im vereinfachten Verfahren nach <ref-law> nicht einzutreten ist.
5.
Auf eine Kostenauflage kann verzichtet werden (<ref-law>).

Demnach erkennt der Präsident:
1.
Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2.
Es werden keine Kosten erhoben.
3.
Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer, der Staatsanwaltschaft IV des Kantons Zürich, dem Obergericht des Kantons Zürich, III. Strafkammer, und Andreas Leuch schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 24. Februar 2016
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Fonjallaz
Der Gerichtsschreiber: Pfäffli