Sachverhalt:
A.
A._ (Kläger, Beschwerdeführer) wurde von der B._ GmbH (Beklagte, Beschwerdegegnerin) mit Arbeitsvertrag vom 17. Juni 2013 unbefristet als Lastwagenchauffeur angestellt. Am 13. Mai 2014 um ca. 07:35 Uhr fuhr der Kläger mit dem Lastwagen der Beklagten mit einer Geschwindigkeit von mindestens 11 km/h über ein Stoppsignal hinaus auf die Strasse und kollidierte mit einem korrekt fahrenden Personenwagen. Der Lenker des Personenwagens wurde verletzt und musste in Spitalpflege gebracht werden; sein Wagen erlitt einen Totalschaden. Nach dem Unfall kümmerte sich der Kläger um den verletzten Lenker des Personenwagens, rief die Polizei und die Ambulanz. Anschliessend informierte er die Beklagte. Die vom Kläger gerufene Polizei entzog ihm vor Ort den Führerausweis.
Noch am selben Tag kündigte die Beklagte dem Kläger fristlos. Die fristlose Kündigung erfolgte zunächst mündlich und wurde gleichentags schriftlich bestätigt. Als Begründung gab die Beklagte an, dass infolge des vom Kläger verschuldeten Unfalls eine Person verletzt worden sei und somit das Ansehen des Unternehmens Schaden genommen habe. Zudem sei dem Kläger gemäss Auskunft der Polizei der Führerausweis mit sofortiger Wirkung entzogen worden. Die seitens der Beklagten unternommenen Bemühungen, den Kläger als Magaziner bei einer anderen Firma zu beschäftigen, seien erfolglos geblieben, da kein freier Platz vorhanden gewesen sei. Im eigenen Betrieb sei ebenfalls kein Angebot zur Verfügung gestanden.
Mit Entscheid der Kommission für Administrativmassnahmen im Strassenverkehr des Kantons Freiburg vom 20. Mai 2014 erhielt der Kläger seinen von der Polizei entzogenen Führerausweis provisorisch zurück. Der Kläger wurde anschliessend mit Strafbefehl vom 16. Mai 2015 von der Staatsanwaltschaft Berner Jura-Seeland wegen grober Verkehrsregelverletzung schuldig gesprochen und zu einer bedingten Geldstrafe und einer Verbindungsbusse verurteilt. Gestützt darauf verfügte die genannte Kommission für Administrativmassnahmen am 27. Mai 2015 einen Führerausweisentzug von drei Monaten.
B.
B.a. Mit Klage vom 17. Juli 2015 erhob der Kläger Klage am Regionalgericht Berner Jura-Seeland und beantragte, die Beklagte sei zu verpflichten, dem Kläger den anteilsmässigen Lohn für die Zeit vom 15. Mai bis zum 31. Juli 2014 in der Höhe von Fr. 3'651.70 zu bezahlen. Die Beklagte sei sodann zu verpflichten, ihm den vom Lohn abgezogenen Vorschuss bezüglich Kostenbeteiligung für den durch den Unfall vom 13. Mai 2014 entstandenen Schaden am Lastwagen in der Höhe von Fr. 1'550.--, die zu Unrecht auf den Monatslöhnen Juli und Oktober 2013 abgezogenen Beträge in der Höhe von Fr. 1'050.60 und die nicht ausgerichtete Pauschalentschädigung für Telefonkosten in der Höhe von Fr. 100.-- zu bezahlen. Im Weiteren sei die Beklagte zu verpflichten, dem Kläger eine Entschädigung für die ungerechtfertigte fristlose Entlassung in der Höhe von drei Monatslöhnen, insgesamt Fr. 12'700.--, zu bezahlen. Schliesslich sei die Beklagte anzuweisen, ein neues "Arbeitszeugnis" zu Gunsten des Klägers auszustellen.
Mit Entscheid vom 4. März 2016 kam der Gerichtspräsident des Regionalgerichts zum Schluss, dass die am 13. Mai 2014 ausgesprochene fristlose Kündigung nicht gerechtfertigt gewesen sei. Er verpflichtete die Beklagte, dem Kläger den anteilsmässigen Lohn für die Zeit vom 15. Mai 2014 bis 31. Juli 2014 von brutto Fr. 3'651.70 zu bezahlen (Dispositivziffer 1) und ihm die sozialversicherungsrechtlichen Abzüge im Betrag von Fr. 156.05 zurückzuerstatten (Dispositivziffer 2). Der Gerichtspräsident verweigerte aber dem Kläger eine Entschädigung aus ungerechtfertigter Entlassung im Sinne von <ref-law>. Sodann verurteilte der Gerichtspräsident die Beklagte, dem Kläger eine Arbeitsbestätigung entsprechend dem Wortlaut der Arbeitsbestätigung vom 31. Mai 2014 auszustellen, jedoch ohne den im Dispositiv spezifizierten Passus bezüglich dem Unfall vom 13. Mai 2014 (Dispositivziffer 3). Soweit weitergehend wies er die Klage ab (Dispositivziffer 4).
B.b. Dagegen erhob der Kläger Berufung an das Obergericht des Kantons Bern und beantragte, ihm sei die Entschädigung nach <ref-law> von drei Monatslöhnen in der Höhe von total Fr. 12'700.-- zuzusprechen. Die Beklagte verlangte demgegenüber in der Anschlussberufung, die Klage sei abzuweisen und es sei davon "Akt zu nehmen und zu geben", dass sie die Ziffern 2 und 3 des erstinstanzlichen Urteils anerkenne.
Mit Entscheid vom 28. September 2016 stellte das Obergericht fest, dass die Ziffern 2 und 3 des erstinstanzlichen Entscheids bezüglich den sozialversicherungsrechtlichen Abzügen und der Arbeitsbestätigung in Rechtskraft erwachsen seien. Entgegen der Auffassung der Erstinstanz kam das Obergericht alsdann zum Schluss, dass ein wichtiger Grund für die fristlose Kündigung vom 13. Mai 2014 vorliege. Dementsprechend wies das Obergericht die Berufung des Klägers ab, hiess die Anschlussberufung der Beklagten gut und hob die Dispositivziffer 1 des erstinstanzlichen Entscheids vom 4. März 2016 auf.
C.
Dagegen erhob der Beschwerdeführer Beschwerde in Zivilsachen und beantragt, es sei festzustellen, dass die fristlose Kündigung vom 13. Mai 2014 eine ungerechtfertigte fristlose Entlassung im Sinne von <ref-law> sei. Die Beschwerdegegnerin sei zu verurteilen, dem Beschwerdeführer den anteilsmässigen Lohn für die Zeit vom 15. Mai bis zum 31. Juli 2014 in der Höhe von Fr. 3'651.70 und eine Entschädigung von drei Monatslöhnen in der Höhe von Fr. 12'700.-- zu bezahlen. Die Parteikosten der Vorinstanzen seien der Beschwerdegegnerin vollumfänglich aufzuerlegen. Eventualiter sei das angefochtene Urteil zur Neuentscheidung an die Vorinstanz zurückzuweisen.
Die Beschwerdegegnerin beantragt, die Beschwerde sei abzuweisen und der Entscheid der Vorinstanz zu bestätigen. Die Vorinstanz verzichtete auf Vernehmlassung.

Erwägungen:
1.
1.1. Das Bundesgericht prüft von Amtes wegen und mit freier Kognition, ob ein Rechtsmittel zulässig ist (<ref-law>; <ref-ruling> E. 2 mit Hinweisen).
1.2. Beim Rechtsbegehren Ziff. 1a, mit dem der Beschwerdeführer um Feststellung begehrt, dass die Kündigung nicht gerechtfertigt gewesen sei, handelt es sich um ein neues und entsprechend unzulässiges Begehren (<ref-law>). Darauf ist von vornherein nicht einzutreten.
Im Übrigen sind die Sachurteilsvoraussetzungen erfüllt, insbesondere auch das Streitwerterfordernis von <ref-law> mit einem Streitwert von Fr. 20'092.25, und geben zu keinen weiteren Bemerkungen Anlass. Es ist daher insoweit auf die Beschwerde einzutreten.
2.
2.1. Mit Beschwerde in Zivilsachen können Rechtsverletzungen nach Art. 95 und 96 BGG gerügt werden. Die Beschwerde ist hinreichend zu begründen, andernfalls wird darauf nicht eingetreten (<ref-ruling> E. 2.1). In der Beschwerdeschrift ist in gedrängter Form darzulegen, inwiefern der angefochtene Akt Recht verletzt (<ref-law>). Unerlässlich ist, dass die Beschwerde auf die Begründung des angefochtenen Entscheids eingeht und im Einzelnen aufzeigt, worin eine Verletzung von Bundesrecht liegt. Die beschwerdeführende Partei soll in der Beschwerdeschrift nicht bloss die Rechtsstandpunkte, die sie im kantonalen Verfahren eingenommen hat, erneut bekräftigen, sondern mit ihrer Kritik an den als rechtsfehlerhaft erachteten Erwägungen der Vorinstanz ansetzen (<ref-ruling> E. 2 S. 89, 115 E. 2 S. 116).
2.2. Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (<ref-law>). Dazu gehören sowohl die Feststellungen über den streitgegenständlichen Lebenssachverhalt als auch jene über den Ablauf des vor- und erstinstanzlichen Verfahrens, also die Feststellungen über den Prozesssachverhalt (<ref-ruling> E. 1.3.1 mit Hinweisen). Es kann die Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz nur berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruht (<ref-law>). "Offensichtlich unrichtig" bedeutet dabei "willkürlich" (<ref-ruling> E. 2 S. 117; <ref-ruling> E. 1.5). Überdies muss die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein können (<ref-law>).
Für eine Kritik am festgestellten Sachverhalt gilt das strenge Rügeprinzip von <ref-law> (<ref-ruling> E. 2.3 S. 266 mit Hinweisen). Die Partei, welche die Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz anfechten will, muss klar und substanziiert aufzeigen, inwiefern diese Voraussetzungen erfüllt sein sollen (<ref-ruling> E. 1.3.1 S. 18 mit Hinweisen). Wenn sie den Sachverhalt ergänzen will, hat sie zudem mit präzisen Aktenhinweisen darzulegen, dass sie entsprechende rechtsrelevante Tatsachen und taugliche Beweismittel bereits bei den Vorinstanzen prozesskonform eingebracht hat (<ref-ruling> E. 2 S. 90). Genügt die Kritik diesen Anforderungen nicht, können Vorbringen mit Bezug auf einen Sachverhalt, der vom angefochtenen Entscheid abweicht, nicht berücksichtigt werden (<ref-ruling> E. 1.3.1 S. 18).
Diese Grundsätze verkennt der Beschwerdeführer, wenn er sich für seine Vorbringen darauf stützt, dass es sich beim Unfall vom 13. Mai 2014 um den "einzigen Vorfall" gehandelt habe, den es in seiner gesamten Karriere als Berufschauffeur gegeben habe, er den Unfall "zu keinem Zeitpunkt" gewollt und er an diesem Tag nicht mit "überhöhter Geschwindigkeit" unterwegs gewesen, nicht unter Alkohol- oder Drogeneinfluss gestanden sei oder unter Schlafmangel gelitten habe, was im vorinstanzlichen Sachverhalt nicht festgestellt wurde, ohne dabei Sachverhaltsrügen nach den vorgenannten Grundsätzen zu erheben. Damit ist er nicht zu hören.
Gleiches gilt, wenn der Beschwerdeführer entgegen den Feststellungen der Vorinstanz, wonach die Versetzung des Beschwerdeführers an einen anderen Arbeitsplatz oder in einen anderen Betriebsteil im Unternehmen der Beschwerdegegnerin an der fehlenden Ausbildung bzw. am Fehlen eines entsprechenden Angebots gescheitert sei, behauptet, dass die Beschwerdegegnerin eine "Infrastruktur" habe, die es erlaube, das Risiko eines Führerausweisentzugs eines ihrer Chauffeure auf sich zu nehmen, ohne dabei Sachverhaltsrügen nach den oben genannten Grundsätzen zu erheben. Auch darauf kann im Folgenden nicht abgestellt werden.
3.
3.1. Vor Bundesgericht ist einzig streitig, ob die Voraussetzungen für die fristlose Entlassung des Beschwerdeführers am 13. Mai 2014 durch die Beschwerdegegnerin gegeben sind.
3.2. Nach <ref-law> kann der Arbeitgeber wie der Arbeitnehmer das Arbeitsverhältnis aus wichtigen Gründen jederzeit fristlos auflösen (Abs. 1). Als wichtiger Grund gilt jeder Umstand, bei dessen Vorhandensein dem Kündigenden nach Treu und Glauben die Fortsetzung des Arbeitsverhältnisses nicht mehr zugemutet werden darf (Abs. 2). Über das Vorhandensein solcher Umstände entscheidet das Gericht nach seinem Ermessen (Abs. 3).
Nach der Rechtsprechung zu <ref-law> ist eine fristlose Kündigung durch den Arbeitgeber nur bei besonders schweren Verfehlungen des Arbeitnehmers gerechtfertigt. Diese müssen einerseits objektiv geeignet sein, die für das Arbeitsverhältnis wesentliche Vertrauensgrundlage zu zerstören oder zumindest so tiefgreifend zu erschüttern, dass dem Arbeitgeber die Fortsetzung des Vertrags nicht mehr zuzumuten ist und anderseits auch tatsächlich dazu geführt haben. Sind die Verfehlungen weniger schwerwiegend, müssen sie trotz Verwarnung wiederholt vorgekommen sein. Zu berücksichtigen ist sodann auch die verbleibende Zeit bis zur ordentlichen Beendigung des Arbeitsverhältnisses (<ref-ruling> E. 4.2). Je kürzer diese Dauer ist, umso gewichtiger muss der angeführte Grund sein, um zur fristlosen Entlassung zu berechtigen (Urteil 4C.95/2004 vom 28. Juni 2004 E. 2). Ob die dem Arbeitnehmer vorgeworfene Pflichtverletzung die erforderliche Schwere erreicht, lässt sich nicht allgemein sagen, sondern hängt von den konkreten Umständen des Einzelfalles ab (<ref-ruling> E. 4.2).
Derartige Ermessensentscheide der Vorinstanz überprüft das Bundesgericht an sich frei. Es übt dabei aber Zurückhaltung und schreitet nur ein, wenn die Vorinstanz grundlos von in Lehre und Rechtsprechung anerkannten Grundsätzen abgegangen ist, wenn sie Tatsachen berücksichtigt hat, die für den Entscheid im Einzelfall keine Rolle spielen dürfen, oder wenn sie umgekehrt Umstände ausser Betracht gelassen hat, die hätten beachtet werden müssen. Es greift ausserdem in Ermessensentscheide ein, wenn sich diese als offensichtlich unbillig, als in stossender Weise ungerecht erweisen (<ref-ruling> E. 2.1.1 S. 305; Urteil 4A_521/2016 vom 1. Dezember 2016 E. 2.2.2; je mit Hinweisen).
4.
Die Vorinstanz erwog, bezüglich der Natur und Schwere der Verfehlung des Beschwerdeführers sei festzuhalten, dass vorliegend eine grobe Verletzung der Verkehrsregeln im Überfahren eines Stoppsignals mit einem Lastwagen mit einer Geschwindigkeit von mindestens 11 km/h bestehe, was zur Verletzung der aus dem Arbeitsvertrag fliessenden Pflichten geführt habe. Die Erstinstanz habe das Verschulden des Beschwerdeführers als erheblich qualifiziert. Wie der Beschwerdeführer anlässlich des Parteiverhörs an der Hauptverhandlung vor der Erstinstanz zum Unfallhergang ausgeführt habe, habe er auf der Kreuzung zunächst nach rechts und nach links geschaut und sei daraufhin, als er niemanden gesehen habe bzw. keine Autolichter habe erkennen können, weitergefahren. Er habe nicht ganz angehalten, sondern nur gebremst. Das Stoppsignal am Boden habe er gesehen. Der Beschwerdeführer habe damit, so die Vorinstanz, das Stoppsignal wissentlich und willentlich und somit vorsätzlich überfahren und dabei das entgegenkommende Fahrzeug übersehen. Ein schweres Verschulden sei folglich zu bejahen.
Diese Verfehlung des Beschwerdeführers sei nicht nur im strafrechtlichen Sinne, wie dem Strafbefehl zu entnehmen sei, sondern auch in Bezug auf die Verletzung seiner arbeitsrechtlichen Pflichten als schwer einzustufen: Nach dem Unfall mit Personen- und Sachschaden sei umgehend ein Führerausweisentzug durch die Polizei erfolgt. Bis zum Entscheid der Entzugsbehörde habe die Abnahme des Ausweises durch die Polizei die Wirkung eines Entzugs. Dies bedeute, dass die betroffene Partei nach der Führerausweisabnahme kein Fahrzeug der betreffenden Kategorie mehr führen dürfe. Diese vorgezogene Entzugswirkung führe im konkreten Fall insbesondere auf der Stelle dazu, dass der Beschwerdeführer kein Fahrzeug der betreffenden Kategorie mehr führen dürfe. Dies wiederum habe die umgehende Arbeitsuntauglichkeit des Beschwerdeführers im Betrieb der Beschwerdegegnerin nach sich gezogen, da Letztere den Beschwerdeführer ausschliesslich als Chauffeur im Betrieb einzusetzen vermochte. Die Verfehlung des Beschwerdeführers führe somit unweigerlich zu einer sofortigen Arbeitsuntauglichkeit. Das strafrechtlich relevante Verhalten wirke sich somit unmittelbar auf das Arbeitsverhältnis aus, was eine fristlose Kündigung rechtfertigen könne. Dem Beschwerdeführer sei demzufolge auch im arbeitsrechtlichen Sinne anzulasten, dass er durch sein Verhalten die Erfüllung seiner vertraglichen Hauptleistungspflicht, nämlich die Leistung der Arbeit i.S.v. <ref-law>, verunmöglicht habe. Das Überfahren des Stoppschildes, das Verursachen eines Unfalls mit Personen- und Sachschaden sowie die daraus resultierende Folge des Führerausweisentzugs habe die wesentlichen Grundlagen der vertraglichen Bindung derart erschüttert, dass unter den gegebenen Umstände eine Fortsetzung des Arbeitsverhältnisses als objektiv nicht mehr zumutbar erscheine.
Der Arbeitsvertrag vom 17. Juni 2013 enthalte eine Klausel, wonach jegliche schwere fahrlässige Widerhandlung gegen das Strassenverkehrsgesetz vom 19. Dezember 1958 (SVG; SR 741.01) zur fristlosen Entlassung des Arbeitnehmers führen könne. Es habe dem Beschwerdeführer somit bewusst sein müssen, dass sein Verhalten die entsprechende Rechtsfolge, d.h. die fristlose Kündigung, nach sich ziehen könnte. Insofern erscheine auch aus subjektiver Sicht die Fortsetzung des Arbeitsverhältnisses als nicht mehr zumutbar.
Schliesslich seien der Beschwerdegegnerin auch keine milderen Mittel als die Kündigung zur Verfügung gestanden: Eine Versetzung des Beschwerdeführers an einen anderen Arbeitsplatz oder in einen anderen Betriebsteil seien an der fehlenden Ausbildung des Beschwerdeführers bzw. wegen Fehlens eines entsprechenden Angebots gescheitert. Sodann hätte eine Änderungskündigung oder eine Abmahnung den Beschwerdeführer nicht wieder arbeitstauglich gemacht.
Zusammenfassend hielt die Vorinstanz fest, die Beschwerdegegnerin habe im Zeitpunkt der fristlosen Kündigung einen Angestellten beschäftigt, der aufgrund des selbstverschuldeten Hindernisses keine vertragsgemässe Arbeitsleistung mehr habe erbringen können. Insofern sei es der Beschwerdegegnerin sowohl aus objektiver wie auch aus subjektiver Sicht nicht mehr zumutbar gewesen, das Vertragsverhältnis weiterhin aufrecht zu erhalten. Folglich sei zu diesem Zeitpunkt ein wichtiger Grund für eine fristlose Kündigung vorgelegen.
5.
5.1.
5.1.1. Dagegen bringt der Beschwerdeführer vor, die Vorinstanz habe bei der Beurteilung, ob ein wichtiger Grund für eine fristlose Kündigung vorliege, nicht alle Elemente des Einzelfalls bewertet. Die Vorinstanz setze sich mit der Stellung und Verantwortung des Beschwerdeführers in keiner Weise auseinander, ohne dies zu begründen. Es gehe nicht an, den Beruf des Beschwerdeführers ausser Acht zu lassen. Er habe während des gesamten Verfahrens auf die inhärenten Risiken, die mit der Arbeitstätigkeit des Berufschauffeurs verbunden seien, aufmerksam gemacht; insbesondere auf das Risiko gegen das Strassenverkehrsgesetz zu verstossen oder in einen Unfall verwickelt zu sein. Es stelle sich die Frage, ob ein Arbeitgeber jemanden fristlos entlassen könne, wenn sich ein inhärentes Berufsrisiko verwirkliche.
5.1.2. Entgegen der Auffassung des Beschwerdeführers hat sich die Vorinstanz sehr wohl mit seiner Stellung und Verantwortung als Berufschauffeur sowie dem von ihm geltend gemachten "inhärenten Berufsrisiko" auseinandergesetzt. Sie ist lediglich zu einem anderen Schluss als der Beschwerdeführer gelangt: Die Vorinstanz erwog nämlich, die Verfehlung des Beschwerdeführers könne nicht, wie es der Beschwerdeführer geltend mache, durch das "stark erhöhte Risiko von Verkehrsunfällen" bzw. dem "inhärenten Berufsrisiko" bei Berufschauffeuren bagetellisiert werden. Denn gerade Berufschauffeure müssten aufgrund ihrer Erfahrung und des klar erhöhten Betriebsrisikos ihres Fahrzeuges besonders aufmerksam sein und an ihr Verhalten dürften diesbezüglich besonders strenge Anforderungen gestellt werden.
Die Rüge des Beschwerdeführers, die Vorinstanz habe die "Stellung und Verantwortung" und das inhärente Berufsrisiko eines Berufschauffeurs nicht berücksichtigt und damit nicht alle Elemente des Einzelfalls bei der Prüfung des wichtigen Grunds für eine fristlose Kündigung bewertet, ist damit unbegründet.
5.2.
5.2.1. Der Beschwerdeführer rügt sodann, dem Umkehrschluss der Vorinstanz, dass die Beschwerdegegnerin aufgrund der kurzen Anstellungsdauer habe erwarten können, dass der Beschwerdeführer seine Arbeit mängelfrei ausführe, könne nicht gefolgt werden. Grundsätzlich solle jeder Arbeitnehmer seine Arbeit so weit wie möglich mängelfrei ausführen, umso mehr bei einem langjährigen Anstellungsverhältnis, wo weitere Kenntnisse verlangt würden als bei eher kurzen Vertragsverhältnissen.
5.2.2. Die Vorinstanz erwog, in Lehre und Rechtsprechung sei anerkannt, dass die Anforderungen an die Arbeitsleistungen einen milderen Massstab erforderten, wenn sich ein Arbeitnehmer über eine jahrelange Dauer des Arbeitsverhältnisses bei seiner Arbeit bewährt habe. Im Umkehrschluss bedeute dies für das vorliegende unterjährige Arbeitsverhältnis des Beschwerdeführers, dass in Bezug auf die Anforderungen an die Arbeitsleistungen des Beschwerdeführers ein eher strenger Massstab anzuwenden sei. Die Beschwerdegegnerin hätte demnach vom Beschwerdeführer erwarten dürfen, dass dieser seine Arbeit mängelfrei ausführe.
Die Erwägung der Vorinstanz, dass bei der Beurteilung der Arbeitsleistung des Beschwerdeführers ein "eher strenger Massstab" anzuwenden sei, stellt der Beschwerdeführer nicht in Frage. Er hält bloss entgegen, dass auch im langjährigen Arbeitsverhältnis mängelfreie Arbeitsleistung erwartet werden kann. Damit ist vorliegend nichts gewonnen und es hat bei der Überlegung der Vorinstanz sein Bewenden.
5.3. Der Beschwerdeführer widerspricht dem Argument der Vorinstanz, dass die Beschwerdegegnerin sechs Wochen Lohn hätte zahlen müssen "ohne jede Arbeitsleistung" seitens des Beschwerdeführers. Der Führerausweis sei dem Beschwerdeführer [durch die Polizei] provisorisch entzogen worden. Am 20. Mai 2014 sei ihm der Ausweis wieder ausgehändigt worden. In der Folge hätte der Beschwerdeführer problemlos bis zum Ablauf der ordentlichen Kündigungsfrist weiterarbeiten können.
Auch diesen Ausführungen kann nicht gefolgt werden: Die Vorinstanz legte im Zusammenhang mit der Dauer des Arbeitsverhältnisses des Beschwerdeführers dar, dass vorliegend das Stadium der Probezeit bereits überschritten sei. Es gelte die einmonatige Kündigungsfrist auf das Ende des Monats i.S.v. <ref-law>. Im Folgenden erwog die Vorinstanz: "Der Arbeitsvertrag hätte im konkreten Fall noch 6 Wochen gedauert, während denen der Lohn weiter geschuldet gewesen wäre und zwar allenfalls auch ohne entsprechende Arbeitsleistung durch den Arbeitnehmer".
Nach dem Gesagten erwog die Vorinstanz nicht, dass die Beschwerdegegnerin dem Beschwerdeführer sechs Wochen Lohn hätte zahlen müssen "ohne jegliche Arbeitsleistung". Vielmehr führte sie einzig aus, dass der Beschwerdeführer im genannten Zeitraum "allenfalls", also möglicherweise, aufgrund des Führerausweisentzuges keine Arbeitsleistung erbringen könnte. Inwiefern die Vorinstanz damit Recht verletzt hätte, legt der Beschwerdeführer nicht dar und ist auch nicht ersichtlich.
6.
6.1. Der Beschwerdeführer wirft der Vorinstanz vor, gegen <ref-law> verstossen zu habe, indem sie die Pflichtverletzung des Beschwerdeführers als so schwer bewertet habe, dass eine fristlose Kündigung gerechtfertigt sei. Dem Beschwerdeführer werde vorgeworfen, er habe ein Stoppsignal überfahren. Man könne nicht erwarten, dass ein Berufsfahrer sämtliche Manöver von Dritten antizipiere und nie ein Fehler geschehe. Dem Beschwerdeführer könne nicht einmal ein Vertrauensbruch gegenüber seiner Arbeitgeberin vorgeworfen werden, der eine Fortführung der vertraglichen Beziehung unzumutbar machen würde. Er habe alles Mögliche gemacht, um die Arbeitgeberin schadlos zu halten. So habe er korrekt reagiert, sowohl nach dem Unfall als auch gegenüber seiner Arbeitgeberin. Der Beschwerdegegnerin seien sodann mildere Mittel als die fristlose Kündigung zur Verfügung gestanden. In Anbetracht der kurzen ordentlichen Kündigungsfrist von einem Monat sei es für die Beschwerdegegnerin schliesslich durchaus zumutbar gewesen, den Arbeitsvertrag unter Einhaltung der ordentlichen Kündigungsfrist zu kündigen. Der kurzen Anstellungsdauer werde von Gesetzes wegen bereits mit einer kurzen Kündigungsfrist von einem Monat Rechnung getragen. Umso mehr als es sich bei einer fristlosen Kündigung um eine ultima ratio handle, die entsprechend restriktiv anzuwenden sei.
6.2. In der Rechtsprechung ist anerkannt, dass Straftaten, welche der Arbeitnehmer im Rahmen seiner Arbeitstätigkeit oder auch im Privatleben zu Lasten der Mitarbeiter, des Arbeitgebers, aber auch von Kunden oder Dritten begeht, einen wichtigen Grund für eine fristlose Entlassung ohne vorgängige Verwarnung bilden können. Allerdings kommt es auch in diesen Fällen massgebend auf die Umstände des Einzelfalls an, insbesondere auf die Schwere der Straftat (Urteile 4C.114/2005 vom 4. August 2005 E. 2.1; 4C.112/2002 vom 8. Oktober 2002 E. 5; je mit Hinweisen) und ob die Straftat unmittelbare Auswirkungen auf das Arbeitsverhältnis hat (Urteil 4C.89/1995 vom 22. Februar 1996 E. 4b publ. in: JAR 1997 S. 198 ff. insb. S. 200).
6.3. Der Beschwerdeführer wurde von der Beschwerdegegnerin als Lastwagenchauffeur angestellt. Als Berufschauffeur muss der Beschwerdeführer aufgrund seiner Erfahrung und des klar erhöhten Betriebsrisikos seines schweren Fahrzeuges bei Verrichtung seiner Arbeitsleistung, also dem Warentransport mit einem Lastwagen für die Beschwerdegegnerin, im Strassenverkehr besonders aufmerksam sein. Sodann können von ihm von Berufs wegen überdurchschnittliche Kenntnisse des Strassenverkehrsrechts verlangt werden (Urteil 8C_751/2015 vom 9. Februar 2016 E. 7.1).
Bei Verrichtung seiner Arbeitsleistung überfuhr der Beschwerdeführer nach den unbestrittenen Sachverhaltsfeststellungen der Vorinstanz mit einem Lastwagen vorsätzlich ein Stoppsignal mit einer Geschwindigkeit von mindestens 11km/h. Dabei übersah er den entgegenkommenden, korrekt fahrenden Personenwagen, was zur Kollision mit letzterem führte. Mit seinem riskanten Verhalten hat er damit nicht nur eine abstrakte Gefahr geschaffen, sondern einen Unfall mit einem Verletzten verursacht, welcher in der Folge durch die Ambulanz in Spitalpflege gebracht werden musste und dessen Personenwagen einen Totalschaden erlitt (anders in Urteil 4C.122/2005 vom 4. Juli 2005 E. 2.1.2). Dafür wurde der Beschwerdeführer in strafrechtlicher Hinsicht wegen einer groben Verkehrsregelverletzung im Sinne von <ref-law> verurteilt.
Wer sich als Berufschauffeur bei Verrichtung seiner Arbeitsleistung mit einem Lastwagen über eine wichtige Verkehrsvorschrift wie ein Stoppsignal vorsätzlich hinwegsetzt und in der Folge mit einem korrekt fahrenden Personenwagen kollidiert, begeht in arbeitsrechtlicher Hinsicht eine schwere Sorgfaltspflichtverletzung. Sein Fehlverhalten wirkte sich also unmittelbar auf das Arbeitsverhältnis aus.
Diese Verfehlung des Beschwerdeführers ist objektiv geeignet, die für das Arbeitsverhältnis wesentliche Vertrauensgrundlage, nämlich dass sich der Beschwerdeführer als Berufschauffeur bei Verrichtung seiner Arbeitsleistung an die Regeln des Strassenverkehrs hält und sich nicht vorsätzlich über wichtige Verkehrsregeln hinwegsetzt, so tiefgreifend zu erschüttern, dass es der Beschwerdegegnerin als Arbeitgeberin nicht mehr zuzumuten war, den Arbeitsvertrag bis zum Ablauf der ordentlichen Kündigungsfrist fortzusetzen.
Daran vermag auch die kurze Kündigungsfrist von nur einem Monat nichts zu ändern: Die beschriebene Verfehlung des Beschwerdeführers ist gewichtig genug, sodass es für die Beschwerdegegnerin nicht mehr zumutbar war, ihn bis zum Ablauf der Kündigungsfrist zu beschäftigen; zumal nach den unbestrittenen Feststellungen der Vorinstanz eine Versetzung des Beschwerdeführers an einen anderen Arbeitsplatz bzw. Betriebsteil im Unternehmen der Beschwerdegegnerin aufgrund der fehlenden Ausbildung des Beschwerdeführers bzw. wegen des Fehlens eines entsprechenden Angebots nicht möglich war. Inwiefern andere mildere Mittel zur Verfügung gestanden wären, legt der Beschwerdeführer nicht rechtsgenüglich dar, indem er lediglich behauptet, dass solche milderen Mittel bestehen würden.
Sodann ist es zwar als lobenswert hervorzuheben, dass sich der Beschwerdeführer nach dem Unfall korrekt verhalten hat, insbesondere dem verletzten Lenker des Personenwagens geholfen, die Ambulanz und Polizei umgehend benachrichtigt sowie seine Arbeitgeberin informiert hat. Dies vermag jedoch entgegen der Auffassung des Beschwerdeführers am genannten Ergebnis nichts zu ändern, denn das für den Kündigungsgrund massgebende Verhalten manifestierte sich bereits vorher und konnte durch das spätere, vorbildliche Verhalten des Beschwerdeführers nicht mehr aufgewogen werden.
Schliesslich ist es nicht zielführend, wenn der Beschwerdeführer vor Bundesgericht vorbringt, dass von einem Berufsfahrer nicht erwartet werden könne, dass dieser sämtliche Manöver von Dritten antizipiere und nie ein Fehler geschehe. Es geht vorliegend nicht darum, wie der Beschwerdeführer insinuiert, dass ein Dritter ein "Manöver" gemacht hätte, das er als Berufsfahrer hätte antizipieren müssen, damit kein "Fehler" passiere. Im Gegenteil: Im vorliegenden Fall hat der Beschwerdeführer als Berufsfahrer mit einem Lastwagen vorsätzlich ein Stoppsignal mit einer Geschwindigkeit von mind. 11km/h überfahren, weshalb es zu einem Unfall mit einem korrekt fahrenden Personenwagen gekommen ist.
7.
7.1. Der Beschwerdeführer argumentiert, dass die Vorinstanz eine rechtlich nicht durchsetzbare Klausel aus dem Arbeitsvertrag bei der Beurteilung der Zumutbarkeit der Fortführung des Arbeitsverhältnisses berücksichtigt habe. Es gehe nicht an, dass eine solche Klausel herangezogen würde, um eine fristlose Kündigung zu rechtfertigen. Ansonsten stünde es den Arbeitgebern frei, die Arbeitsverträge so zu gestalten, dass eine fristlose Kündigung schnell gerechtfertigt werden könne, was dem Ziel des Missbrauchsschutzes diametral zuwiderlaufe.
7.2. Die Vorinstanz erwog diesbezüglich, der Arbeitsvertrag vom 17. Juni 2013 enthalte eine Klausel, wonach jegliche schwere fahrlässige Widerhandlung gegen das SVG zur fristlosen Entlassung des Arbeitnehmers führen könne. Solche Klauseln, die den wichtigen Grund im Sinne des Gesetzes ausdehnen oder einschränken würden, könnten für den Richter Bedeutung als Konkretisierung dessen erlangen, was aus der Sicht der Parteien als zumutbar oder unzumutbar angesehen werde. Der Richter könne dies bei der Abwägung der beidseitigen Interessen berücksichtigen. Folglich sei der Klausel, auch wenn sie rechtlich nicht durchsetzbar sei, zu entnehmen, was aus der Sicht der Parteien als unzumutbar für die Weiterführung des Arbeitsverhältnisses angesehen werden durfte. Es habe dem Beschwerdeführer damit bewusst sein müssen, dass sein Verhalten die entsprechende Rechtsfolge, d.h. die fristlose Kündigung, nach sich ziehen könne. Insofern erscheine auch aus subjektiver Sicht die Fortsetzung des Arbeitsverhältnisses als nicht mehr zumutbar.
7.3. Art. 337 Abs. 1 und 2 OR legen die Voraussetzungen einer fristlosen Kündigung absolut zwingend fest (<ref-law>; Urteil 4A_115/2010 vom 14. Mai 2010 E. 2.3). Konkretisieren die Parteien im Einzel-, Normal- oder Gesamtarbeitsvertrag die Gründe, die zu einer fristlosen Kündigung führen, ist das Gericht an eine solche Klausel nicht gebunden, denn die Parteien sind nicht befugt, das dem Gericht durch <ref-law> eingeräumte Ermessen durch vertragliche Definitionen zu beschränken (Urteil 4A_84/2011 vom 15. April 2011 E. 4). Das Gericht kann daher eine fristlose Kündigung als gerechtfertigt ansehen, obschon die Parteien die fristlose Kündigung aus diesem Grund im Vertrag ausgeschlossen haben (vgl. <ref-ruling> E. 5a S. 36). Umgekehrt kann das Gericht eine fristlose Kündigung, die nach Vertrag zulässig sein soll, als ungerechtfertigt betrachten (Brühwiler, Einzelarbeitsvertrag, 3. Aufl. 2014, N. 16 zu <ref-law>; Rehbinder/Stöckli, Berner Kommentar, 2. Aufl. 2014, N. 4 zu <ref-law>; Staehelin, Zürcher Kommentar, 4. Aufl. 2014, N. 43 zu <ref-law>; Streiff/von Kaenel/Rudolf, Arbeitsvertrag, Praxiskommentar, 7. Aufl. 2012, N. 26 zu <ref-law>).
Solche vertraglichen Klauseln, die den wichtigen Grund für eine fristlose Kündigung konkretisieren, können dem Gericht immerhin bei der Beurteilung der gesamten Umstände des konkreten Einzelfalls helfen, welche Vorkommnisse aus der Sicht der Parteien die Fortsetzung des Arbeitsverhältnisses als zumutbar oder unzumutbar erscheinen lassen (vgl. Urteile 4A_84/2011 vom 15. April 2011 E. 4; 4C.149/2002 vom 12. August 2002 E. 1.1; je mit Hinweisen).
An diese Rechtsprechung hat sich die Vorinstanz mit ihren - zu Unrecht - kritisierten Erwägungen gehalten. Sie sind bundesrechtlich nicht zu bestanden.
8.
Zusammenfassend ist die oben beschriebene Verfehlung des Beschwerdeführers objektiv geeignet, die für das Arbeitsverhältnis wesentliche Vertrauensgrundlage so tiefgreifend zu erschüttern, dass es der Beschwerdegegnerin nicht mehr zuzumuten war, den Arbeitsvertrag bis zum Ablauf der ordentlichen Kündigungsfrist fortzusetzen. Es lag damit ein wichtiger Grund im Sinne von <ref-law> für eine fristlose Kündigung vor. Die Vorinstanz erkannte dies zu Recht.
Nach dem Gesagten braucht auf die weitere Erwägung der Vorinstanz, dass der provisorische Entzug des Führerausweises durch die Polizei (<ref-law>) und die damit einhergehende (zumindest bis zur Rückgabe des Führerausweises durch das Strassenverkehrsamt bestehende) Arbeitsunfähigkeit des Beschwerdeführers als Berufschauffeur einen wichtigen Grund für eine fristlose Kündigung darstellt, nicht eingegangen zu werden. Ebenso braucht nicht beurteilt zu werden, ob aufgrund der Straftat des Beschwerdeführers der Beschwerdegegnerin ein Imageschaden entstanden ist.
9.
Den Feststellungen der Vorinstanz ist schliesslich zu entnehmen, dass sich die öffentliche Arbeitslosenkasse des Kantons Bern [recte: des Kantons Freiburg], als Nebenintervenientin auf Seiten des Beschwerdeführers konstituiert habe, sich jedoch nicht aktiv am Verfahren beteiligte. Sie wurde deshalb nicht ins Rubrum des bundesgerichtlichen Verfahrens aufgenommen. Hingegen ist ihr der Entscheid mitzuteilen.
10.
Der Beschwerdeführer beantragt abschliessend, die Parteikosten der Vorinstanzen seien der Beschwerdegegnerin vollumfänglich aufzuerlegen. Er begründet diesen Antrag in seiner Beschwerdeschrift jedoch mit keinem Wort, sodass darauf nicht einzutreten ist (vgl. Erwägung 2.1).
11.
Nach dem Gesagten ist die Beschwerde abzuweisen, soweit auf sie eingetreten werden kann. Dem Ausgang des Verfahrens entsprechend wird der Beschwerdeführer kosten- und entschädigungspflichtig (Art. 66 Abs. 1, Art. 65 Abs. 4 lit. c und Art. 68 Abs. 1 BGG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 600.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3.
Der Beschwerdeführer hat die Beschwerdegegnerin für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 2'500.-- zu entschädigen.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien, dem Obergericht des Kantons Bern, 2. Zivilkammer, und der Öffentlichen Arbeitslosenkasse des Kantons Freiburg schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 9. März 2017
Im Namen der I. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Kiss
Der Gerichtsschreiber: Brugger