Erwägungen:
1.
Mit Eingaben vom 26. Juni bzw. 14. August 2015 reichte A._ bei der Staatsanwaltschaft Basel-Landschaft Strafanzeige gegen verschiedene Personen wegen übler Nachrede und Verleumdung ein. Sodann ersuchte er die Staatsanwaltschaft mit Eingabe vom 3. Oktober 2015, im Zusammenhang mit seinen Anzeigen sei ein Sonderstaatsanwalt einzusetzen bzw. die Bundesanwaltschaft einzubeziehen, dies wegen möglicher Befangenheit der Staatsanwaltschaft.
Am 20. Oktober 2015 leitete die Staatsanwaltschaft das Ausstandsbegehren in Anwendung von Art. 59 Abs. 1 lit. b StPO zuständigkeitshalber ans Kantonsgericht Basel-Landschaft weiter. In der Folge wandte sich der Anzeiger mit weiteren Eingaben ans Kantonsgericht. Dessen Abteilung Strafrecht ist auf das als nicht hinreichend begründet erachtete Ausstandsgesuch mit Beschluss vom 5. Januar 2016 nicht eingetreten.
2.
Mit Eingaben vom 22./23. April 2016 führt A._ Beschwerde ans Bundesgericht. Im Wesentlichen - nebst einer Vielzahl weiterer Vorbringen - bestätigt er sein Befangenheitsbegehren.
Das Bundesgericht hat darauf verzichtet, Vernehmlassungen zur Beschwerde einzuholen.
3.
Nach Art. 42 Abs. 2 BGG ist in der Begründung einer Beschwerde in gedrängter Form darzulegen, inwiefern der angefochtene Entscheid Recht verletzt. Die Bestimmungen von Art. 95 ff. BGG nennen die vor Bundesgericht zulässigen Beschwerdegründe. Hinsichtlich der Verletzung von Grundrechten gilt der in Art. 106 Abs. 1 BGG verankerte Grundsatz der Rechtsanwendung von Amtes wegen nicht; insofern besteht eine qualifizierte Rügepflicht (Art. 106 Abs. 2 BGG; <ref-ruling> E. 1.3.1 S. 68 mit Hinweisen). Dabei prüft das Bundesgericht nur klar und detailliert erhobene und, soweit möglich, belegte Rügen.
Der Beschwerdeführer übt ganz allgemein Kritik am angefochtenen Nichteintretensentscheid sowie am zugrunde liegenden Verfahren und insbesondere auch an der Staatsanwaltschaft des Kantons Basel-Landschaft. Dabei stellt er der dem Entscheid zugrunde liegenden Begründung im Wesentlichen auf appellatorische Weise seine Sicht der Dinge gegenüber. Indes legt er hinsichtlich der kantonsgerichtlichen Erwägungen, welche zum fraglichen Nichteintretensentscheid geführt haben, nicht rechtsgenügend dar, inwiefern dadurch bzw. durch den Entscheid selbst im Ergebnis Recht im Sinne von Art. 42 Abs. 2 BGG verletzt worden sein soll. Nichts anderes ergibt sich in Bezug auf die Kritik, welche der Beschwerdeführer hinsichtlich der am angefochtenen Entscheid mitwirkenden Gerichtspersonen übt.
Indem zur Behandlung der vorliegenden Beschwerde reglements-gemäss die I. öffentlich-rechtliche Abteilung zuständig ist, wie der Bundesgerichtspräsident dem Beschwerdeführer gemäss Schreiben vom 21. April 2016 mitgeteilt hat, ist die in der Beschwerde vorgetragene Kritik an der Strafrechtlichen Abteilung des Bundesgerichts hier gegenstandslos und somit nicht weiter zu erörtern. Sodann hat der Bundesgerichtspräsident dem Beschwerdeführer im selben Schreiben ebenfalls bereits mitgeteilt, dass nicht das Bundesgericht dafür zuständig ist, Einsicht in Akten kantonaler Gerichte oder Behörden zu verschaffen, sondern dass derartige Begehren an die jeweils betroffene kantonale Behörde zu richten sind.
Auf die Beschwerde ist nach dem Gesagten bereits mangels hinreichender Begründung nicht einzutreten, weshalb es sich erübrigt, auch noch die weiteren Eintretensvoraussetzungen zu erörtern.
Der genannte Mangel ist offensichtlich, weshalb über die vorliegende Beschwerde im vereinfachten Verfahren nach Art. 108 Abs. 1 lit. b BGG entschieden werden kann.
4.
Bei den gegebenen Verhältnissen kann davon abgesehen werden, für das bundesgerichtliche Verfahren Kosten zu erheben (Art. 66 Abs. 1 BGG).

Demnach wird erkannt:
1.
Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2.
Es werden keine Kosten erhoben.
3.
Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer, der Staatsanwaltschaft des Kantons Basel-Landschaft, Erste Staatsanwältin, und dem Kantons-gericht Basel-Landschaft, Abteilung Strafrecht, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 17. Mai 2016
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Fonjallaz
Der Gerichtsschreiber: Bopp