Sachverhalt:
A.
A._ (geb. 1972), philippinischer Staatsangehöriger, reiste am 10. September 1990 im Familiennachzug zu seiner Mutter in die Schweiz ein. Seit dem 13. September 2000 ist er im Besitz der Niederlassungsbewilligung. Mit der Schweizerin B._ (geb. 1981), welche er am 14. Mai 2014 ehelichte, hat er zwei Kinder (geb. 2009 und 2013).
Am 31. Januar 2014 verurteilte das Regionalgericht Bern-Mittelland A._ zu einer Freiheitsstrafe von fünf Jahren und einer Geldstrafe von 300 Tagessätzen wegen qualifizierter Widerhandlungen gegen das Betäubungsmittelgesetz (BetmG; SR 812.121), begangen von 2008 bis am 10. April 2013, und wegen qualifizierter Geldwäscherei, begangen vom 1. Januar 2009 bis am 10. April 2013. A._, der sich seit dem 10. April 2013 in Untersuchungshaft befand, hatte am 15. Januar 2014 den vorzeitigen Strafvollzug angetreten.
B.
Am 8. Mai 2015 widerrief das Amt für Migration und Personenstand des Kantons Bern die Niederlassungsbewilligung und wies A._ auf den Tag der Entlassung aus dem Strafvollzug hin aus der Schweiz weg. Die dagegen erhobene Beschwerde wies die Polizei- und Militärdirektion des Kantons Bern am 15. Dezember 2015 ab unter Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege. Das Verwaltungsgericht des Kantons Bern bestätigte diesen Entscheid mit Urteil vom 27. Juli 2016, wobei es den Antrag auf Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege abwies.
C.
A._ erhebt am 8. August 2016 Beschwerde beim Bundesgericht mit den Anträgen, das angefochtene Urteil aufzuheben, vom Widerruf der Niederlassungsbewilligung abzusehen und das Amt für Migration und Personenstand anzuweisen, ihn zu verwarnen; eventuell sei ihm eine Aufenthaltsbewilligung zu erteilen. Die unentgeltliche Rechtspflege im vorinstanzlichen Verfahren sei ihm zu gewähren. Eventuell sei die Sache an das Verwaltungsgericht, subeventuell an die Polizei- und Militärdirektion oder an das Amt für Migration und Personenstand zurückzuweisen. Sodann beantragt A._ die unentgeltliche Prozessführung vor dem Bundesgericht mit Rechtsanwalt Oliver Lücke als unentgeltlichem Rechtsbeistand.
Am 12. September 2016 reicht A._ eine Ergänzung seiner Beschwerde ein.
Das Amt für Migration und Personenstand hat auf Vernehmlassung verzichtet. Die Polizei- und Militärdirektion und das Verwaltungsgericht beantragen die Abweisung der Beschwerde.
Mit Präsidialverfügung vom 9. August 2016 ist der Beschwerde antragsgemäss aufschiebende Wirkung zuerkannt worden.

Erwägungen:
1.
Gegen den Entscheid eines oberen kantonalen Gerichts betreffend den Widerruf der Niederlassungsbewilligung steht die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten offen (Art. 82 lit. a und Art. 86 Abs. 1 lit. d BGG), weil grundsätzlich ein Anspruch auf den Fortbestand der Niederlassungsbewilligung gegeben ist (<ref-law> e contrario; <ref-ruling> E. 1.2.1 S. 4). Die Beschwerde samt Ergänzung wurde unter Einhaltung der gesetzlichen Frist (Art. 100 Abs. 1 und Art. 46 Abs. 1 lit. b BGG) und Form (<ref-law>) eingereicht, und der Beschwerdeführer ist zur Erhebung des Rechtsmittels legitimiert (<ref-law>). Auf die Beschwerde ist einzutreten.
2.
2.1. Durch die Verurteilung zu einer Freiheitsstrafe von fünf Jahren ist der Widerrufsgrund nach Art. 63 Abs. 2 AuG (SR 142.20) i.V.m. Art. 62 lit. b AuG erfüllt, was der Beschwerdeführer anerkennt. Zu prüfen bleibt die Verhältnismässigkeit der Massnahme im Sinn von Art. 96 Abs. 1 AuG bzw. Art. 8 Ziff. 2 EMRK.
2.2. Die Vorinstanz hat die Rechtsprechung zur Interessenabwägung bezogen auf Betäubungsmitteldelinquenz (<ref-ruling> E. 2.4 und 2.5 S. 149 ff.; <ref-ruling> E. 2 S. 32 ff.; Urteil des EGMR Koffi gegen Schweiz vom 15. November 2012 [Nr. 38005/07] § 65 ff.) zutreffend wiedergegeben; es kann darauf verwiesen werden.
3.
3.1. Der Beschwerdeführer hatte 16.4 kg Kokaingemisch erworben und veräusserte zwischen 2008 bis zu seiner Verhaftung am 10. April 2013 mindestens 15 kg davon an verschiedene Abnehmerinnen und Abnehmer. Sporadisch konsumierte er selbst Kokain, ohne davon abhängig zu sein. Einen Teil des Erlöses aus den Verkäufen liess er sich ab 2009 als Darlehen und als Lohnzahlung getarnt von einem Angestellten seiner damaligen Arbeitgeberin auf sein Konto überweisen, um die deliktische Herkunft des Geldes zu verschleiern. Gemäss dem Strafurteil vom 31. Januar 2014 waren bei den strafbaren Handlungen nach <ref-law> (unbefugtes Veräussern etc. von Betäubungsmitteln) und <ref-law> (unbefugtes Besitzen etc. von Betäubungsmitteln) die qualifizierten Tatbestände von <ref-law> (der Täter weiss oder muss annehmen, dass die Widerhandlung mittelbar oder unmittelbar die Gesundheit vieler Menschen in Gefahr bringen kann) sowie von <ref-law> (gewerbsmässiger Handel) erfüllt; bei der Geldwäscherei nach <ref-law> war der qualifizierte Tatbestand der Bandenmässigkeit (<ref-law>) und teilweise jener der gewerbsmässigen Begehung (<ref-law>) erfüllt. Aus dieser mehrjährigen, schweren Delinquenz hat die Vorinstanz ein sehr gewichtiges Interesse an der Beendigung des Aufenthalts abgeleitet.
3.2. Was der Beschwerdeführer dagegen vorbringt, vermag nicht zu überzeugen. Daraus, dass gegen ihn ausser der verfahrensauslösenden Verurteilung keine weiteren Strafurteile vorliegen, kann der Beschwerdeführer nichts zu seinen Gunsten ableiten. Zwar handelt es sich um seine erste Verurteilung; dieser lag jedoch eine fortgesetzte Delinquenz von über fünf Jahren zugrunde. Nach seiner Festnahme konnte der Beschwerdeführer keine weiteren Straftaten begehen, da er bis zum Strafantritt ununterbrochen inhaftiert war (Untersuchungshaft und vorzeitiger Strafvollzug). Vor diesem Hintergrund ist das Vorbringen des Beschwerdeführers, er habe sich "in über 24 Jahren nur eine strafrechtliche Verurteilung zuschulden kommen lassen", unbehelflich. Der Hinweis der Vorinstanz, der Beschwerdeführer habe durch die jahrelange schwere Delinquenz zum Ausdruck gebracht, dass er über eine lange Zeitspanne hinweg nicht gewillt war, die hiesige Rechtsordnung zu respektieren, ist durchaus berechtigt. Zudem hätte der Beschwerdeführer seine deliktische Tätigkeit wohl fortgesetzt, wäre er nicht festgenommen worden. Es ist nicht zu beanstanden, wenn die Vorinstanz diesen Tatsachen bei der Würdigung des ausländerrechtlichen Verschuldens Rechnung getragen hat.
Sodann trifft es nicht zu, dass die Vorinstanz nur anhand der Strafhöhe auf ein Rückfallrisiko geschlossen hat, wie der Beschwerdeführer moniert. Vielmehr weist die Vorinstanz auf den unfreiwilligen Ausstieg des Beschwerdeführer s aus dem Drogengeschäft hin und erwähnt, dieser habe im Strafverfahren angegeben, er wisse nicht, wie er auf andere Weise als durch den Verkauf von Kokain seine Familie ernähren solle. Bei dieser Sachlage durfte die Vorinstanz ihre Zweifel an der Beteuerung des Beschwerdeführers, mit seiner kriminellen Karriere abgeschlossen zu haben, in die Einschätzung des Rückfallrisikos einfliessen lassen. Dies umso mehr, als bei schweren Straftaten, wozu auch Drogendelikte aus rein finanziellen Motiven gehören, auch ein geringes Rückfallrisiko nicht in Kauf genommen werden muss und generalpräventive Überlegungen mitberücksichtigt werden dürfen. Dass der Beschwerdeführer im Strafprozess geständig und kooperativ war, schlägt zwar zu seinen Gunsten zu Buche, ist aber für die Beurteilung der Rückfallgefahr nicht ausschlaggebend. Die wirtschaftlichen Aussichten des Beschwerdeführers sind unsicher und es ist ungewiss, ob er sich in Freiheit bewähren wird. Daran ändert die günstige Legalprognose, welche dem Beschwerdeführer im Zusammenhang mit der bedingten Entlassung aus dem Strafvollzug gestellt worden war, nichts: Die bedingte Entlassung erfolgt auf ein klagloses Verhalten im Strafvollzug hin, welches ohne Weiteres erwartet wird und keine Rückschlüsse auf das künftige Verhalten zulässt.
3.3. Angesichts der schweren Delinquenz und des nicht auszuschliessenden Rückfallrisikos hat die Vorinstanz das sicherheitspolizeiliche Interesse an der Beendigung des Aufenthalts zu Recht als hoch veranschlagt.
4.
Den öffentlichen Interessen sind die privaten Interessen an einem Verbleib in der Schweiz gegenüberzustellen. Das gewichtige sicherheitspolizeiliche Interesse an der Beendigung des Aufenthalts kann nur durch aussergewöhnliche private Umstände, welche gegen eine Wegweisung sprechen, aufgewogen werden.
4.1. Der Beschwerdeführer reiste im Alter von 18 Jahren in die Schweiz ein, wo er bis zum Beginn der Untersuchungshaft 22 Jahre und sieben Monate verbrachte (die restliche Zeit bis zum angefochtenen Urteil wird nicht in die Abwägung einbezogen, weil sich der Beschwerdeführer in Haft befand, vgl. Urteil 2C_53/2016 vom 23. Juni 2016 E. 4.3.2). Diese Aufenthaltsdauer ist als lang zu werten und begründet ein starkes Interesse, in der Schweiz bleiben zu können. Immerhin verbrachte der Beschwerdeführer seine gesamte Kindheit und Jugend in seinem Heimatland, so dass von einer Verwurzelung auszugehen ist. Die Behauptung des Beschwerdeführers, es verbinde ihn mit seinem Heimatland nur die Staatsbürgerschaft, ist offensichtlich unzutreffend. Die Vorinstanz hat zu Recht erwogen, dass der 44-jährige Beschwerdeführer in den Philippinen einer Erwerbstätigkeit nachgehen könnte und somit die lange Aufenthaltsdauer einer Wiedereingliederung nicht entgegensteht.
4.2. Der Beschwerdeführer ist leidlich integriert. Er hatte verschiedene Anstellungen im Gastgewerbe und absolvierte die Taxifahrprüfung, worauf er eine Anstellung bei einem Taxiunternehmen erhielt. In sozialer Hinsicht sind ausserhalb der Familie keine vertieften Beziehungen vorhanden; zudem trübt die Betäubungsmitteldelinquenz das Bild der sozialen Integration (vgl. auch Urteil 2C_145/2016 vom 14. November 2016 E. 4.3.1). Gemessen an der langen Aufenthaltsdauer ist die Integration des Beschwerdeführers eher unterdurchschnittlich; jedenfalls begründet sie kein spezifisches Interesse an einem Verbleib in der Schweiz.
4.3. Auch die Würdigung der familiären Verhältnisse führt nicht zu einem anderen Ergebnis. Der Beschwerdeführer pflegte sowohl vor als auch während des Strafvollzugs mit seiner Ehefrau und den beiden gemeinsamen Kindern eine intakte familiäre Beziehung. Der Ehefrau und den Kindern, welche alle das Schweizer Bürgerrecht besitzen, ist eine Übersiedlung in die Philippinen kaum zumutbar, so dass der Widerruf der Niederlassungsbewilligung zu einer Trennung der Familie führen würde. Das Bundesgericht verkennt nicht, dass insbesondere die Kinder des Beschwerdeführers ein anerkennenswertes Interesse daran haben, künftig mit ihrem Vater aufzuwachsen. Je schwerer aber die begangene Rechtsgutverletzung wiegt, desto eher vermag das öffentliche Interesse an einer Ausreise des Straftäters selbst das Interesse eines Kindes zu überwiegen, mit diesem Elternteil hier aufwachsen zu können (vgl. Urteile 2C_145/2016 vom 14. November 2016 E. 4.3.2; 2C_503/2014 vom 25. November 2014 E. 4.4.3 mit Hinweisen). Die Kinder des Beschwerdeführers konnten ihren Vater während des rund zweieinhalb Jahre dauernden Strafvollzugs nur sehr eingeschränkt sehen, da die Besuchszeit auf fünf Stunden pro Monat beschränkt ist. Nach einer Rückkehr des Beschwerdeführers in die Philippinen könnte die familiäre Beziehung in einem bescheidenen Rahmen weiterhin gepflegt werden.
Der Beschwerdeführer hat die Trennung von seiner Familie durch jahrelange schwere Delinquenz mutwillig in Kauf genommen. Ähnliches gilt für seine Ehefrau: Zwar kann der Vorinstanz insoweit nicht gefolgt werden, als sie der Ehefrau vorwirft, den Drogenhandel des Partners und späteren Ehemannes nicht unterbunden zu haben, denn diesbezüglich existiert keine Handhabe. Indessen hat sich die Ehefrau aktiv an der deliktischen Tätigkeit des Beschwerdeführers beteiligt, indem sie bei den Drogenlieferungen anwesend war, entsprechende Termine vereinbarte und die Aufbewahrung der Drogen in der Familienwohnung zuliess. Gegen sie wurde deshalb ebenfalls ein Strafverfahren eröffnet. Sie musste ohne Weiteres damit rechnen, das Familienleben und die Partnerschaft bzw. Ehe (welche erst nach der verfahrensauslösenden Verurteilung geschlossen wurde) künftig nicht in der Schweiz leben zu können.
4.4. Die Ehefrau des Beschwerdeführers leidet seit längerer Zeit an einer psychischen Erkrankung und musste vom 3. November 2015 bis zum 7. Januar 2016 infolge einer psychischen Dekompensation stationär psychiatrisch behandelt werden. Nach ihrer Entlassung konnte auf medikamentösem Weg eine Stabilisierung erreicht werden, wobei die Patientin gemäss dem Bericht des Psychiatriezentrums Münsingen vom 26. Januar 2016 durch erhöhten Stress "schwer destabilisiert" werden könnte. Soweit der Beschwerdeführer in Anlehnung an diesen Bericht geltend macht, die Möglichkeit einer Wegweisung habe beim Zusammenbruch seiner Gattin eine erhebliche Rolle gespielt, ist ihm entgegenzuhalten, dass er die Ursache für die Wegweisung selbst gesetzt hat. Die Vorinstanz weist im Übrigen zu Recht darauf hin, dass die Ehefrau bereits während der vollzugsbedingten Abwesenheit des Beschwerdeführers weitgehend auf sich selbst gestellt war. Nach den verbindlichen Feststellungen der Vorinstanz geht es der Ehefrau seit der Entlassung aus der Klinik Anfang 2016 wieder besser. Sie ist nicht erwerbstätig und kann den Familienalltag insgesamt bewältigen. Dabei kann sie auf die Hilfe ihrer Eltern zählen; zudem erhält die Familie Unterstützung vom Sozialdienst. Der Gesundheitszustand der Ehefrau steht jedenfalls einer Wegweisung des Beschwerdeführers nicht entgegen. Wie schon die Vorinstanz erwogen hat, kann der Beschwerdeführer diesbezüglich nichts aus einer "staatlichen Schutzpflicht auf körperliche und psychische Unversehrtheit" ableiten. Diese Rüge ist offensichtlich unbegründet, weshalb darauf nicht mehr einzugehen ist.
4.5. Insgesamt vermögen die privaten Interessen das öffentliche Interesse an der Beendigung des Aufenthalts, insbesondere mit Blick auf das Verschulden und die Rückfallgefahr, nicht aufzuwiegen. Die Rückkehr in die Philippinen ist dem Beschwerdeführer zumutbar; die Einschränkung des Ehe- und Familienlebens hat er hinzunehmen. Wie die Vorinstanz zutreffend ausführt, schliesst der Widerruf der Niederlassungsbewilligung einen neuen Aufenthaltstitel nicht ein für alle Mal aus: Nach einer Zeit der Bewährung im Ausland kann, sofern der Anspruch auf Familiennachzug grundsätzlich weiterbesteht, um Erteilung einer Aufenthaltsbewilligung ersucht werden (Urteile 2C_260/2016 vom 6. Juni 2016 E. 2.3; 2C_989/2015 vom 3. Februar 2016 E. 3.5.3).
5.
5.1. Die Beschwerde ist abzuweisen, soweit sie sich auf den Widerruf der Niederlassungsbewilligung bezieht. Für eine Verwarnung bleibt nach dem Gesagten kein Raum. Ist - wie hier - der Widerrufsgrund nach Art. 62 lit. b AuG erfüllt und wird die Verhältnismässigkeit des Widerrufs bestätigt, kann auch keine Aufenthaltsbewilligung erteilt werden, weil die Voraussetzungen dafür nicht gegeben sind (Urteile 2C_327/2015 vom 22. April 2016 E. 5.7; 2C_679/2015 vom 19. Februar 2016 E. 6.3.4; 2C_129/2014 vom 4. November 2014 E. 3; 2C_1148/2013 vom 8. Juli 2014 E. 5.4). Der entsprechende Eventualantrag ist daher abzuweisen. Auch für die Rückweisung an die Vorinstanz oder die Polizei- und Militärdirektion besteht kein Anlass, weshalb die entsprechenden Anträge abzuweisen sind.
5.2. Zu prüfen bleibt der Antrag auf Aufhebung des Entscheids der Vorinstanz, dem Beschwerdeführer die unentgeltliche Rechtspflege zu verweigern. Die Vorinstanz begründet dies damit, die Verwaltungsgerichtsbeschwerde sei aussichtslos gewesen.
Der Beschwerdeführer rügt keine willkürliche Anwendung kantonalen Rechts und keine Verletzung verfassungsmässiger Rechte, so dass zweifelhaft ist, ob auf den Antrag einzutreten ist (<ref-law>). Jedenfalls ist die Rüge unbegründet.
Gemäss <ref-law> hat jede Person, die nicht über die erforderlichen Mittel verfügt, Anspruch auf unentgeltliche Rechtspflege, wenn ihr Rechtsbegehren nicht aussichtslos erscheint. Soweit es zur Wahrung ihrer Rechte notwendig ist, hat sie ausserdem Anspruch auf unentgeltlichen Rechtsbeistand.
Angesichts des ausführlich begründeten Entscheids der Polizei- und Militärdirektion, welcher seinerseits ein Beschwerdeentscheid ist (für den dem Beschwerdeführer die unentgeltliche Rechtspflege gewährt worden war), ist der Vorinstanz beizupflichten. Der Beschwerdeführer vermag nicht aufzuzeigen, dass die Erfolgschancen und Verlustaussichten sich ungefähr die Waage gehalten hätten. Die Polizei- und Militärdirektion hatte alle wesentlichen Elemente gewürdigt und sorgfältig gegeneinander abgewogen. Die Vorinstanz hat auch nachvollziehbar begründet, warum die vorübergehende Hospitalisation der Ehefrau des Beschwerdeführers keinen entscheidenden Einfluss auf die Interessenabwägung haben konnte, indem sie darlegte, dass die Ehefrau sich (nach früheren Klinikaufenthalten) bereits in ambulanter Behandlung befand. Es ist nicht zu beanstanden, dass die Vorinstanz das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege wegen Aussichtslosigkeit abgewiesen hat.
6.
Die Beschwerde ist vollumfänglich abzuweisen.
Der Beschwerdeführer hat um Gewährung der unentgeltlichen Prozessführung gemäss <ref-law> ersucht. Nachdem das Rechtsmittel bereits im Verfahren vor der Vorinstanz als aussichtslos zu betrachten war, muss dies umso mehr für die Beschwerde an das Bundesgericht gelten. Aufgrund der detaillierten Interessenabwägung im angefochtenen Urteil und der über weite Strecken appellatorischen Begründung in der Beschwerdeschrift hatte die Eingabe des Beschwerdeführer s keine ernsthaften Aussichten auf Erfolg. Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege ist daher abzuweisen (<ref-law>) und die (umständehalber reduzierten) Gerichtskosten sind dem unterliegenden Beschwerdeführer aufzuerlegen (<ref-law>). Es ist keine Parteientschädigung geschuldet (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen.
2.
Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege wird abgewiesen.
3.
Die Gerichtskosten von Fr. 1'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
4.
Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten, dem Verwaltungsgericht des Kantons Bern und dem Staatssekretariat für Migration schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 5. Januar 2017
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Seiler
Die Gerichtsschreiberin: Genner