Faits :
A.
X._, né en 1952 à..., a été ordonné prêtre en 1976 et incardiné au diocèse de.... En 1981, les autorités communistes du pays lui ont interdit d'exercer le ministère sacerdotal, raison pour laquelle l'Évêque de... l'a envoyé à l'étranger. En 1995, il est arrivé en Suisse, où il a exercé son ministère dans diverses paroisses vaudoises puis, dès 2005, dans des paroisses fribourgeoises, sans toutefois être incardiné dans le diocèse de Lausanne, Genève et Fribourg.
Par courrier du 27 avril 2006, l'Évêque du diocèse de Lausanne, Genève et Fribourg a licencié X._ de son service de prêtre avec effet au 30 juin 2006 et l'a informé qu'il était confié à l'Archevêque de..., disposé à l'accueillir. X._ s'est alors adressé à la Congrégation pour le Clergé au Vatican et a interjeté un recours contre la décision de l'Évêque auprès du Tribunal Suprême de la Signature Apostolique au Vatican. Par décision du 28 mars 2007, cette instance a rejeté le recours au motif que la fin de mission qui avait été signifiée au prêtre correspondait aux règles de l'Église.
B.
Le 1er février 2013, X._ a introduit une requête en conciliation contre la Corporation ecclésiastique catholique du canton de Fribourg (ci-après: la Corporation cantonale) et l'Évêché du diocèse de Lausanne, Genève et Fribourg (ci-après: l'Évêché). Il réclamait un montant de 877'489 fr.20 à titre de réparation du dommage subi en raison de la résiliation abusive du contrat de travail. La conciliation n'a pas abouti et une autorisation de procéder a été délivrée.
Par mémoire du 19 juin 2013 adressé au Tribunal des prud'hommes de la Sarine, X._ a ouvert action contre la Corporation cantonale et l'Évêché en paiement de 1'032'687 fr.55, soit 422'494 fr.80 à titre de dommages-intérêts avec intérêts à 5% dès le 1er janvier 2010, 590'192 fr.75 à titre de perte de gain et 20'000 fr. en réparation du tort moral. En substance, le demandeur alléguait avoir subi, en raison du licenciement, une atteinte illicite grave à sa personnalité (<ref-law>). Il a été mis au bénéfice de l'assistance judiciaire.
Les défendeurs ont conclu principalement à l'irrecevabilité de la demande faute de compétence matérielle de la juridiction des prud'hommes; ils soutenaient que le litige ne relevait pas du droit privé, mais du droit public.
La procédure a été limitée à la question de la recevabilité. Par décision du 7 octobre 2014, le Tribunal des prud'hommes a déclaré la demande irrecevable.
X._ a interjeté appel et demandé l'assistance judiciaire pour la procédure d'appel. La Corporation cantonale et l'Évêché ont conclu au rejet du recours et, par appel joint, à une augmentation des dépens pour la procédure de première instance.
Par arrêt du 31 décembre 2015, la IIe Cour d'appel civil du Tribunal cantonal fribourgeois a rejeté tant l'appel que la requête d'assistance judiciaire de X._ et a admis l'appel joint; elle a ainsi confirmé l'irrecevabilité de la demande et fixé des dépens plus élevés pour la procédure de première instance.
C.
X._ interjette un recours en matière civile. Il conclut principalement à ce que l'arrêt cantonal soit annulé, à ce que la demande soit déclarée recevable et à ce que la cause soit renvoyée au Tribunal des prud'hommes pour que celui-ci statue sur le fond. A titre subsidiaire, il demande la réforme de l'arrêt attaqué en ce sens que l'assistance judiciaire gratuite lui est accordée pour la procédure devant la cour cantonale, à laquelle la cause est renvoyée pour fixation de l'indemnité due.
Le recourant requiert d'être mis au bénéfice de l'assistance judiciaire.
Il n'a pas été procédé à un échange d'écritures.

Considérant en droit :
1.
Niant sa compétence matérielle pour trancher le litige soumis par le recourant, la juridiction des prud'hommes a prononcé une décision d'irrecevabilité (art. 59 al. 1 et al. 2 let. b CPC) et mis fin à la procédure; l'arrêt cantonal confirmant l'irrecevabilité de la demande est final (<ref-law>). Selon la demande, le différend entre les parties se rapporte à une relation de travail soumise aux règles du CO. L'arrêt attaqué a été rendu en matière civile (<ref-law>) dans une cause atteignant la valeur litigieuse de 15'000 fr. (<ref-law>), par un tribunal supérieur d'un canton, qui a statué sur recours (<ref-law>). Au surplus, le recours est exercé par la partie dont la demande a été déclarée irrecevable et qui a donc qualité pour recourir (<ref-law>). Déposé dans le délai (<ref-law>) et la forme (<ref-law>) prévus par la loi, le recours est recevable.
2.
Le recourant reproche à la cour cantonale d'avoir violé l'<ref-law> en jugeant que le Tribunal des prud'hommes n'était pas compétent pour connaître au fond de la demande parce que les relations entre les parties relèveraient du droit public.
2.1. Aux termes de l'<ref-law>, le droit cantonal détermine la compétence matérielle et fonctionnelle des tribunaux, sauf disposition contraire de la loi. Dans le canton de Fribourg, le Tribunal des prud'hommes statue en première instance sur les litiges de droit privé portant sur un contrat de travail (art. 54 al. 1 de la loi du 31 mai 2010 sur la justice [LJ/FR; RS/FR 130.1]). En l'espèce, la compétence matérielle du Tribunal des prud'hommes serait donnée si un contrat de travail de droit privé avait lié les parties, ce qui conduit à examiner les normes suivantes.
2.2. Conformément à l'art. 72 al. 1 Cst., la réglementation des rapports entre l'Église et l'État est du ressort des cantons.
2.2.1. Dans le canton de Fribourg, l'État accorde un statut de droit public à l'Église catholique romaine et à l'Église évangélique réformée (art. 141 al. 1 Cst./FR; RS 131.219). Les rapports entre l'État et les Églises reconnues de droit public sont régis par la loi du 26 septembre 1990 concernant les rapports entre les Églises et l'État (LEE/FR; RS/FR 190.1). Les questions particulières qui ne sont pas réglées par cette loi sont régies par la législation spéciale ou par des conventions (art. 5 LEE/FR).
L'Église catholique romaine est, comme l'Église évangélique réformée, reconnue dans sa constitution et son organisation propre (art. 141 al. 2 Cst/FR; art. 2 LEE/FR; cf. René Pahud de Mortanges, L'Église catholique romaine et l'État dans le Canton de Fribourg, in Église catholique et État en Suisse, Freiburger Veröffentlichungen zum Religionsrecht [FVRR] n° 25, 2010, p. 277 ss; Jacques Ducarroz, Le statut juridique des Églises dans le canton de Fribourg, in Rapports Église-État en mutation, Fribourg 1997, p. 167 ss). En effet, selon les termes du Message relatif à la LEE/FR, les Églises catholique et réformée sont des institutions antérieures à l'État, existant indépendamment de lui et formant ainsi des sociétés particulières qu'il n'appartient pas à l'État de constituer ni d'organiser (Message n° 156 du 4 juillet 1989, BO 1990 120 ss, ch. III.1.2.a p. 124). De même, l'Évêché du diocèse de Lausanne, Genève et Fribourg est reconnu comme personne morale de droit public (art. 4 LEE/FR).
En tant qu'Église reconnue, l'Église catholique romaine est organisée en corporations ecclésiastiques au niveau paroissial et au niveau cantonal (art. 3 al. 1 LEE/FR; art. 3 du Statut du 14 décembre 1996 des corporations ecclésiastiques catholiques du canton de Fribourg, dit Statut ecclésiastique catholique [SEC], RS/FR 191.0.11). Les corporations ecclésiastiques sont des institutions juridiques propres au droit fribourgeois, destinées à faciliter l'accomplissement de la mission et des tâches de l'Église dans le canton.
La Corporation cantonale est une personne morale de droit public cantonal, dotée de la personnalité juridique (art. 3 al. 2 LEE/FR). Les corporations ecclésiastiques sont autonomes par rapport à l'État et aux communes; dans les limites fixées par la loi, elles s'organisent librement, édictent les règles nécessaires à leur organisation et à l'accomplissement de leurs tâches et tranchent définitivement les contestations internes relatives à l'application de la LEE/FR et de leur propre réglementation (art. 6 al. 1 LEE/FR). En vertu de la LEE/FR, la Corporation cantonale peut ainsi exercer une juridiction autonome lui permettant de régler définitivement en son sein les contestations internes relatives à l'application de la LEE/FR et de sa propre réglementation, sauf pour ce qui concerne les contestations relatives à l'impôt ecclésiastique qui, elles, doivent pouvoir être portées devant une juridiction étatique (art. 6 al. 1 let. c et art. 18 LEE/FR; Message précité, ch. III.2.1 p. 125; cf. Giusep Nay, Développements structurels dans la jurisprudence et la législation étatique en Suisse, in Église catholique et État en Suisse, FVRR n° 25, 2010, p. 30). La Corporation cantonale est dotée d'un pouvoir de souveraineté (cf. Bernhard Ehrenzeller, L'avenir est-il à une séparation de l'Église et de l'État ou à de nouvelles formes de coopération?, in Église catholique et État en Suisse, FVRR n° 25, 2010, p. 68).
2.2.2. Chaque Église reconnue se donne un Statut ecclésiastique, qui contient les principales règles d'organisation et d'administration des corporations ecclésiastiques (art. 7 al. 1 LEE/FR). Le Statut ne peut entrer en vigueur qu'après approbation par le gouvernement cantonal et, pour ce qui est de l'Église catholique romaine, par l'Autorité diocésaine; cette dernière donne l'approbation si le Statut n'est pas contraire au droit canonique (art. 7 al. 2 et 3 LEE/FR). Le SEC a été approuvé par l'Autorité diocésaine en date du 13 mars 1997.
Le SEC précise que le statut des agents pastoraux engagés à titre professionnel est déterminé par l'Autorité diocésaine (art. 75 al. 1 SEC). Il prévoit une Commission juridictionnelle qui connaît en instance unique cantonale des contestations relatives à l'application du droit ecclésiastique cantonal (art. 66 al. 1 SEC), sauf s'il s'agit de décisions d'engagement du personnel et de changements de poste lorsque les rapports de travail relèvent du droit privé (art. 8 al. 1 let. c du règlement du 6 octobre 2007 concernant la procédure et la juridiction administratives ecclésiastiques [RPJA], édicté par la Corporation cantonale). Une convention conclue entre la Corporation cantonale et l'Autorité diocésaine règle, entre autres, la participation des corporations ecclésiastiques à l'établissement des normes concernant la rémunération et le régime de prévoyance des prêtres et des autres agents pastoraux; une procédure d'arbitrage pour le règlement des différends relatifs à l'interprétation et à l'application de la convention est instaurée (art. 75 al. 2 et 5 SEC).
La convention sur les emplois pastoraux a été passée le 20 novembre 2000. Elle s'applique aux agents pastoraux (prêtres, diacres, religieux et laïcs) qui effectuent à titre professionnel un travail pastoral selon le droit canonique et qui sont nommés par l'Autorité diocésaine (art. 2). Elle prévoit que les droits et obligations des agents pastoraux sont définis par l'Autorité diocésaine, après consultation de l'Assemblée de la Corporation cantonale (art. 3 al. 1). L'Autorité diocésaine exerce les compétences relevant d'un employeur (art. 3 al. 2); elle est autorité de nomination (art. 4). L'Autorité diocésaine rémunère les agents pastoraux; la Corporation cantonale verse les salaires des agents pastoraux supraparoissiaux; la Caisse de rémunération des ministères paroissiaux verse les salaires des agents paroissiaux et pluriparoissiaux (art. 12).
Par ailleurs, les Vicariats épiscopaux, la Corporation cantonale et les agents pastoraux laïcs du canton de Fribourg ont conclu un Accord sur les conditions de travail des agents pastoraux laïcs engagés au service de l'Église catholique romaine du canton de Fribourg (APL), entré en vigueur le 1er janvier 2008. L'art. 1 APL précise que les rapports de travail conclus entre l'Autorité diocésaine et les agents pastoraux laïcs ainsi que les droits et obligations qui en découlent sont régis par le contrat d'engagement. Les contrats de travail des agents pastoraux laïcs ressortissent au droit privé, les dispositions du code des obligations et de la loi sur le travail étant applicables dans la mesure où le contrat ne contient pas de règle (art. 57 al. 1 et art. 58 APL). Le tribunal des prud'hommes est compétent pour juger des éventuels litiges (art. 57 al. 1 APL).
2.3. Il ressort de cette présentation une situation juridique qui peut se résumer de la manière suivante.
Dans le canton de Fribourg, l'Église catholique romaine est reconnue par l'État dans sa constitution et son organisation propre; elle édicte elle-même les règles nécessaires à son organisation et à l'accomplissement de ses tâches. Elle est ainsi soustraite aux règles du droit privé (Ducarroz, op. cit., p. 172). Les rapports entre l'Église et ses corporations, d'une part, et les agents pastoraux, d'autre part, ne sont dès lors pas régis par le droit privé, sauf si l'agent a été engagé par un contrat de droit privé, ce qui n'est pas le cas des prêtres. Selon ce statut juridique, le prêtre est soumis au droit public et au droit canon (cf. Hans Schmid, Die rechtliche Stellung der römisch-katholischen Kirche im Kanton Zürich, 1973, nos 604 s. p. 330 s.; Urs Josef Cavelti, Die öffentlich-rechtlichen Religionsgemeinschaften, Fribourg 1954, p. 100 ss).
Il s'ensuit que l'activité du recourant comme prêtre dans des paroisses fribourgeoises n'était pas fondée sur un contrat de travail de droit privé. Le licenciement du recourant de son service de prêtre et les éventuelles indemnités en découlant ne relèvent pas du droit privé, de sorte que la juridiction des prud'hommes a nié à bon droit sa compétence pour connaître de la demande. Le grief tiré d'une violation de l'<ref-law> se révèle mal fondé.
3.
3.1. Invoquant l'art. 29a Cst., le recourant soutient en outre qu'en confirmant l'incompétence de la juridiction des prud'hommes, la cour cantonale l'a privé de tout contrôle judiciaire de ses prétentions fondées sur le droit du travail, en violation de la garantie de l'accès au juge.
3.2. Selon l'art. 29a Cst., toute personne a droit à ce que sa cause soit jugée par une autorité judiciaire; la Confédération et les cantons peuvent toutefois, par la loi, exclure l'accès au juge dans des cas exceptionnels.
De cette disposition constitutionnelle, il ne découle aucun droit à un accès au juge civil dans des causes non civiles. Savoir dans quelle mesure il en résulte un droit du recourant à soumettre sa cause au juge administratif n'a pas à être examiné en l'espèce. Le grief ne peut être qu'écarté.
4.
Dès l'origine, il n'était guère douteux que la juridiction des prud'hommes n'était pas compétente pour connaître de la demande. C'est à juste titre que la Cour d'appel a refusé l'assistance judiciaire au recourant pour la procédure d'appel. Pour le même motif, le recours en matière civile était d'emblée voué à l'échec; la requête d'assistance judiciaire adressée à la cour de céans doit être ainsi rejetée (<ref-law>).
Le recourant, qui succombe, prendra les frais judiciaires à sa charge (<ref-law>). Il n'est pas alloué de dépens aux intimés qui n'ont pas été invités à se déterminer.

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce :
1.
Le recours est rejeté.
2.
La demande d'assistance judiciaire du recourant est rejetée.
3.
Les frais judiciaires, arrêtés à 2'000 fr., sont mis à la charge du recourant.
4.
Il n'est pas alloué de dépens.
5.
Le présent arrêt est communiqué aux mandataires des parties et à la II e Cour d'appel civil du Tribunal cantonal de l'État de Fribourg.
Lausanne, le 21 mars 2016
Au nom de la Ire Cour de droit civil
du Tribunal fédéral suisse
La Présidente : Kiss
La Greffière : Godat Zimmermann