Faits :
A.
A.a. A.X._ a repris, à partir de novembre 2015, l'exploitation du "Z._", sis à Renens (cf. <ref-law>).
Le 1 er février 2016, à la requête du Service de la promotion économique et du commerce du canton de Vaud (ci-après: le Service cantonal), A.X._, B.X._ et Y._ ont déposé une demande de licence pour l'établissement "Z._" (ci-après: l'établissement). A.X._ et B.X._ ont sollicité l'autorisation d'exploiter et Y._ l'autorisation d'exercer. Selon le contrat de travail joint à la demande de licence, Y._ avait été engagé à compter du 18 janvier 2016 en tant que gérant de l'établissement à un taux de 50% pour une rémunération mensuelle de 2'450 fr.
A.X._ a passé, avec succès, les examens en vue de l'obtention du Certificat cantonal d'aptitudes, nécessaire à la délivrance d'une autorisation d'exercer, au mois de juin 2016. Le Certificat cantonal d'aptitudes lui a été délivré le 7 juillet 2016.
A.b. Lors de contrôles effectués les 2 et 25 février 2016, le Service de l'emploi du canton de Vaud a constaté diverses infractions aux normes en matière de droit du travail dans l'établissement, dont il a fait état dans un rapport du 3 juin 2016.
Par courrier du 10 juin 2016, la Municipalité de Renens a imparti à A.X._ et B.X._ un délai à la fin du mois de juillet 2016, afin de régulariser divers manquements en matière de protection contre les incendies et de mettre en conformité des travaux réalisés dans les locaux sans autorisation.
A l'occasion d'un contrôle conjoint de l'établissement effectué le 27 juin 2016 par la Police de sûreté, la Commission fédérale des maisons de jeux et la Police cantonale du commerce, plusieurs infractions ont été constatées dans l'établissement, à savoir: aménagement d'une pièce dans laquelle des personnes étaient occupées à effectuer des paris illégaux et dans laquelle se trouvaient trois terminaux pour jeux de hasard, ainsi que des ordinateurs dévolus aux paris en ligne; présence d'une employée sans autorisation de séjour et de travail; sous-location d'une partie des locaux en vue d'y exploiter un autre établissement; travaux effectués sans autorisation; normes feu non respectées; absence d'affichage du choix de trois boissons sans alcool à un prix inférieur à la boisson alcoolique la moins chère; diffusion de musique sans autorisation; présence d'appareils automatiques exploités sans autorisation; infractions au droit du travail et prêt d'autorisation d'exercer. Le même jour, la Police cantonale du commerce a ordonné la fermeture immédiate de l'établissement.
B.
Par décision du 13 juillet 2016, le Service cantonal a refusé d'octroyer une licence à l'établissement "Z._" et confirmé la fermeture immédiate des lieux ordonnée le 27 juin 2016, qu'il a toutefois repoussée au 26 août 2016. Il a en outre prononcé diverses mesures administratives à l'encontre de Y._, B.X._ et A.X._. Concernant ce dernier, la décision lui refusait toute autorisation d'exploiter durant deux mois, soit du 27 juin au 26 août 2016, ainsi que toute autorisation d'exercer durant deux années, soit du 27 juin 2016 au 26 juin 2018.
Par acte du 15 août 2016, A.X._ a formé un recours auprès de la Cour de droit administratif et public du Tribunal cantonal du canton de Vaud (ci-après: le Tribunal cantonal) contre la décision du 13 juillet 2016 en tant qu'elle lui refuse toute autorisation d'exercer durant deux années. Par arrêt du 23 janvier 2017, le Tribunal cantonal a rejeté le recours de A.X._ et confirmé la décision du Service cantonal du 13 juillet 2016. En substance, il a considéré que l'art. 60a de la loi vaudoise du 26 mars 2002 sur les auberges et les débits de boissons (LADB; RSVD 935.31) constituait une base légale suffisante pour prononcer un refus d'autorisation d'exercer à l'encontre de l'intéressé pour une durée de deux ans, que la mesure prise était justifiée par un intérêt public et qu'elle respectait le principe de proportionnalité.
C.
Agissant par la voie du recours en matière de droit public, A.X._ demande au Tribunal fédéral, sous suite de frais et dépens, principalement de réformer l'arrêt du Tribunal cantonal du 23 janvier 2017 en ce sens que le refus d'autorisation d'exercer prononcé à son encontre est annulé et de renvoyer la cause à l'autorité cantonale pour qu'elle rende une nouvelle décision sur les frais et dépens, subsidiairement d'annuler l'arrêt attaqué et de renvoyer la cause à l'autorité précédente pour instruction et nouvelle décision.
Le Tribunal cantonal conclut au rejet du recours en se référant aux considérants de son arrêt. Le Service cantonal propose le rejet du recours dans la mesure de sa recevabilité. A.X._ persiste dans ses conclusions.

Considérant en droit :
1.
L'arrêt entrepris, qui confirme le refus d'autorisation d'exercer pendant deux ans prononcé par le Service cantonal à l'encontre du recourant, est fondé sur le droit public cantonal (<ref-law>). Aucune des exceptions mentionnées à l'<ref-law> n'est en outre applicable. La voie du recours en matière de droit public est donc ouverte.
Pour le surplus, le recours, dirigé contre une décision finale (<ref-law>), rendue par un tribunal supérieur statuant en dernière instance cantonale (art. 86 al. 1 let. d et 2 LTF), a été interjeté en temps utile (<ref-law>) et dans les formes prescrites (<ref-law>). Le recourant, destinataire de l'arrêt attaqué, est particulièrement atteint par la décision entreprise et a un intérêt digne de protection à son annulation, de sorte qu'il a la qualité pour recourir (cf. <ref-law>). Il convient par conséquent d'entrer en matière.
2.
2.1. Saisi d'un recours en matière de droit public, le Tribunal fédéral contrôle librement le respect du droit fédéral, qui comprend les droits de nature constitutionnelle (cf. art. 95 let. a et 106 al. 1 LTF), sous réserve des exigences de motivation figurant à l'<ref-law>. Aux termes de cet alinéa, le Tribunal fédéral n'examine la violation de droits fondamentaux ainsi que celle de dispositions de droit cantonal et intercantonal que si ce grief a été invoqué et motivé par le recourant (cf. <ref-ruling> consid. 1.3 p. 41; <ref-ruling> consid. 2.5 p. 314).
Sauf exceptions non pertinentes en l'espèce (cf. art. 95 let. c et d LTF), l'on ne peut invoquer la violation du droit cantonal ou communal en tant que tel devant le Tribunal fédéral (<ref-law> a contrario). Il est néanmoins possible de faire valoir que son application consacre une violation du droit fédéral, comme la protection contre l'arbitraire (art. 9 Cst.) ou la garantie d'autres droits constitutionnels (cf. <ref-ruling> consid. 2.1 p. 372; <ref-ruling> consid. 2.3 p. 387; <ref-ruling> consid. 2.2 p. 69). Le Tribunal fédéral n'examine de tels moyens que s'ils sont formulés conformément aux exigences de motivation qualifiée prévues à l'<ref-law> (cf. <ref-ruling> consid. 2.1 p. 372; <ref-ruling> consid. 1.3 p. 41).
2.2. Pour statuer, le Tribunal fédéral se fonde sur les faits constatés par l'autorité précédente (<ref-law>), à moins que ceux-ci n'aient été établis de façon manifestement inexacte - notion qui correspond à celle d'arbitraire (<ref-ruling> consid. 2.3 p. 266) - ou en violation du droit au sens de l'<ref-law> (<ref-law>). Aucun fait nouveau ni preuve nouvelle ne peut être présenté à moins de résulter de la décision de l'autorité précédente (<ref-law>).
En l'occurrence, en tant que l'autorité intimée présente dans sa réponse des faits qui ne résultent pas de l'arrêt entrepris, notamment en lien avec le comportement du recourant après le prononcé du 13 juillet 2016, la Cour de céans ne peut pas en tenir compte.
3.
Le litige porte sur la confirmation par le Tribunal cantonal du refus d'autorisation d'exercer pour une durée de deux ans prononcé par le Service cantonal à l'encontre du recourant.
3.1. Avant d'examiner les griefs du recourant, il convient de présenter brièvement le système de licence et d'autorisation auquel la LADB soumet l'exploitation des établissements publics régis par cette loi, car les critiques du recourant portent principalement sur la distinction entre les titulaires d'autorisation et ceux qui ne le sont pas et ne peuvent pas l'être.
3.2. D'après l'art. 4 al. 1 LADB, l'exercice d'une des activités soumises à cette loi (dont fait partie le service, contre rémunération, de mets ou de boissons à consommer sur place tel que le proposait le recourant dans son établissement [cf. art. 2 al. 1 let. b LADB]), nécessite l'obtention préalable auprès de l'autorité compétente d'une licence qui comprend l'autorisation d'exercer (let. a) et l'autorisation d'exploiter (let. b). L'autorisation d'exercer est délivrée à la personne physique responsable de l'établissement (art. 4 al. 2 LADB). Celle-ci doit avoir suivi les cours obligatoires et réussi l'examen professionnel organisé en vue de la délivrance du certificat de capacité de la catégorie d'établissement concernée ou bénéficier d'une formation jugée équivalente, notamment en vertu des traités internationaux (art. 36 al. 1 LADB; cf. arrêt 2C_399/2010 du 28 juillet 2010 consid. 4.1). L'autorisation d'exploiter est délivrée à la personne morale ou physique, propriétaire ou titulaire du contrat de bail à loyer ou d'un contrat analogue, qui exploite le fonds de commerce (art. 4 al. 3 LADB). Les titulaires des autorisations d'exercer et d'exploiter répondent de la direction en fait de l'établissement (art. 37 LADB).
4.
Le recourant se plaint principalement d'une violation de sa liberté économique (art. 27 Cst.). Il estime en substance qu'il n'existe pas de base légale formelle dans la LADB pour prononcer une mesure de refus d'autorisation d'exercer à l'égard d'une personne qui, comme lui, n'était pas titulaire d'une telle autorisation au moment des faits reprochés et ne pouvait pas l'être faute d'être au bénéfice d'un certificat de capacité. Il invoque également dans ce contexte une violation du principe de la légalité (art. 5 al. 1 Cst.), du principe de la séparation des pouvoirs et de l'interdiction de l'arbitraire (art. 9 Cst.). Ces griefs n'ont pas de portée propre par rapport à celui tiré de la violation de la liberté économique. Les critiques du recourant seront partant examinées sous l'angle de celle-ci.
4.1. La liberté économique (art. 27 Cst.) protège toute activité économique privée, exercée à titre professionnel et tendant à la production d'un gain ou d'un revenu. Elle comprend en particulier le libre accès à une activité économique lucrative privée et son libre exercice (art. 27 al. 2 Cst.; <ref-ruling> consid. 6.2 p. 386; <ref-ruling> consid. 7.1 p. 568; <ref-ruling> consid. 6.3 p. 229; <ref-ruling> consid. 3.1 p. 172). Le cafetier-restaurateur en bénéficie (cf. arrêt 2C_399/2010 du 28 juillet 2010 consid. 3.1).
4.2. Comme tout droit fondamental, la liberté économique peut être restreinte. Aux termes de l'art. 36 al. 1 Cst., toute restriction d'un droit fondamental doit être fondée sur une base légale; les restrictions graves doivent être prévues par une loi (<ref-ruling> consid. 5.1 p. 284 et les références citées); les cas de danger sérieux, direct et imminent sont réservés. La gravité de l'atteinte doit être appréciée objectivement et non pas en fonction de l'impression subjective du destinataire (<ref-ruling> consid. 6.2 p. 381 s.). En outre, toute restriction d'un droit fondamental doit être justifiée par un intérêt public ou par la protection d'un droit fondamental d'autrui et être proportionnée au but visé (cf. art. 36 al. 2 et 3 Cst.).
4.3. Lorsque la restriction d'un droit fondamental est grave, le Tribunal fédéral examine librement la question de l'existence d'une base légale cantonale suffisante (<ref-ruling> consid. 3.3 p. 125) et interprète dans cette mesure librement le droit cantonal (cf. <ref-ruling> consid. 14.2 p. 362; <ref-ruling> consid. 8.2 p. 43; arrêt 1C_126/2016 du 30 août 2016 consid. 3.2). Il revoit de même avec plein pouvoir d'examen si l'exigence de l'intérêt public et le principe de la proportionnalité sont respectés (<ref-ruling> consid. 4.2.1 et 4.2.2 p. 157 s.; <ref-ruling> consid. 3.3. p. 68).
4.4. En l'espèce, en tant que le recourant se voit refuser pour une durée de deux ans toute autorisation d'exercer, la mesure prononcée à son encontre constitue une restriction à sa liberté économique. Il convient toutefois de relever que le recourant n'est pas entièrement restreint dans son activité de cafetier-restaurateur, dès lors que, depuis le 26 août 2016, il peut de nouveau obtenir une autorisation d'exploiter. Le refus d'autorisation d'exercer, qui l'oblige, s'il veut obtenir une licence pour un établissement, à engager une personne responsable de l'établissement (cf. supra consid. 3.2) et l'empêche d'être lui-même engagé en tant gérant d'un établissement, constitue néanmoins une atteinte grave à sa liberté économique (cf., dans le même sens, arrêts 2C_312/2009 du 5 octobre 2009 consid. 3.1; 2C_357/2008 du 25 août 2008 consid. 4.2; 2P.77/2005 du 26 août 2005 consid. 4.2)
Par conséquent, l'art. 36 Cst. exige que le refus d'exercer pour une durée de deux ans prononcé à l'encontre du recourant repose sur une base légale formelle, qui doit être claire et précise (cf. <ref-ruling> consid. 4 p. 170), qu'il soit justifié par un intérêt public ou par la protection d'un droit fondamental d'autrui et qu'il soit proportionné au but visé.
4.5. La mesure prononcée à l'encontre du recourant est fondée sur l'art. 60a LADB.
4.5.1. Aux termes de l'art. 60a LADB, entré en vigueur le 1 er juillet 2015 et intitulé "retrait des autorisations d'exercer ou d'exploiter", le département retire, pour une durée maximale de cinq ans, l'autorisation d'exercer ou l'autorisation d'exploiter lorsque: le titulaire a enfreint les prescriptions cantonales, fédérales et communales relatives à l'exploitation des établissements, au droit du travail et à l'interdiction de fumer (let. a); des personnes ne satisfaisant pas aux exigences légales en matière de séjour des étrangers ont été ou sont employées dans l'établissement (let. b); le titulaire a commis des infractions contraires à l'ordre, à la sécurité ou à la salubrité publics, ainsi qu'à la protection de l'environnement, dans la gestion de son établissement (let. c); le titulaire n'a pas payé les contributions aux assurances sociales qu'il est tenu de régler (let. d); il apparaît ultérieurement que le titulaire a fourni intentionnellement des renseignements et pièces inexacts dans le but d'obtenir une licence, une autorisation d'exercer ou d'exploiter (let. e). Ces conditions sont alternatives.
Adopté par le Grand Conseil du canton de Vaud, l'art. 60a LADB constitue une base légale formelle au sens de l'art. 36 al. 1 Cst. Le recourant ne prétend pas le contraire, mais fait valoir que l'art. 60a LADB ne vise que les titulaires d'une autorisation d'exercer, ce qu'il n'était pas au moment des faits reprochés et ne pouvait pas être faute d'être au bénéfice d'un certificat de capacité.
4.5.2. Il est vrai, comme le soutient le recourant, qu'à rigueur du texte légal, l'art. 60a LADB ne vise pas le refus d'autorisation d'exercer ou d'exploiter pour une durée déterminée prononcé à l'encontre d'une personne qui n'est pas titulaire d'une telle autorisation au moment où cette mesure est prise, ce que le Tribunal cantonal a du reste retenu. Cela étant, le sens d'une norme ne ressort pas uniquement de sa lettre, mais doit être recherché en recourant aux règles d'interprétation généralement reconnues (<ref-ruling> consid. 5.3.2 p. 13 s; <ref-ruling> consid. 4.1 p. 703). Il faut donc rechercher la véritable portée de la norme en la dégageant de sa relation avec d'autres dispositions légales, de son contexte, du but poursuivi, de son esprit ainsi que de la volonté du législateur, telle qu'elle résulte notamment des travaux préparatoires (cf. <ref-ruling> consid. 7.1 p. 565 s. et les références citées). Il convient donc de se demander si, comme l'a retenu le Tribunal cantonal, l'art. 60a LADB est une base légale suffisante pour prononcer un refus d'autorisation d'exercer pour une durée déterminée à l'égard d'une personne qui n'était pas titulaire d'une telle autorisation au moment des faits reprochés.
4.5.3. En l'occurrence, du point de vue de la systématique de la loi, il convient tout d'abord de souligner qu'un établissement public n'est pas supposé être ouvert, géré et exploité avant qu'une licence, comprenant l'autorisation d'exploiter et d'exercer, ne soit octroyée (cf. art. 4 al. 1 LADB supra consid. 3.2; cf. art. 31 LADB, ainsi que l'art. 32 LADB à teneur duquel un établissement ne peut être exploité qu'à partir du moment où la licence est délivrée à l'intéressé). Ainsi, si l'art. 60a LADB ne vise que le retrait de l'autorisation d'exploiter ou d'exercer au titulaire de celle-ci, c'est uniquement parce que les infractions donnant lieu au prononcé de cette mesure ne sont pas censées se produire en l'absence d'une licence comprenant l'autorisation d'exercer et d'exploiter. Considéré dans le contexte de la loi, l'art. 60a LADB n'exclut toutefois pas le prononcé d'une mesure à l'encontre d'une personne qui n'a pas respecté la procédure préalable de demande de licence et a commis des infractions dans la gestion de l'établissement. En effet, si l'autorité est habilitée à prendre des mesures à l'encontre des titulaires d'autorisation d'exercer ou d'exploiter, elle paraît à plus forte raison autorisée à en prendre à l'égard de personnes commettant des infractions dans la gestion d'un établissement sans même être titulaire de l'autorisation préalable. Admettre le contraire irait en outre à l'encontre des buts de la loi, à savoir notamment régler les conditions d'exploitation des établissements de restauration et de débits de boissons et contribuer à la sauvegarde de l'ordre et de la tranquillité publics (cf. art. 1 al. 1 let. a et b LADB), dès lors que celui qui ne respecte pas la procédure d'autorisation établie par la loi serait pratiquement encouragé à agir de la sorte, puisqu'il ne s'exposerait à aucune mesure administrative en cas d'infractions dans la gestion de son établissement.
Contrairement à ce que soutient le recourant, l'interprétation historique n'infirme pas cette interprétation de l'art. 60a LADB. Il résulte certes des travaux préparatoires liés à la modification de la LADB cités par le Tribunal cantonal (cf. Exposé des motifs et projet de loi modifiant la LADB, rapport du Conseil d'Etat au Grand Conseil vaudois de décembre 2013, ci-après: Exposé des motifs) que le législateur cantonal avait la volonté, en réintroduisant une mesure de retrait d'autorisation d'exercer ou d'exploiter qui existait avant le 1er janvier 2007, de disposer d'une base légale afin d'interdire l'octroi pendant une certaine durée de toute nouvelle autorisation d'exercer ou d'exploiter au titulaire d'une telle autorisation qui a commis des infractions dans le gestion d'un établissement (Exposé des motifs, commentaire ad art. 60a LADB, p. 20). Cela ne signifie toutefois pas qu'il entendait qu'aucune mesure administrative ne puisse être prise à l'encontre d'une personne agissant comme le titulaire d'une autorisation et commettant des infractions dans l'exploitation de son établissement.
Compte tenu de ce qui précède, c'est à juste titre que le Tribunal cantonal a retenu que l'art. 60a LADB constitue une base légale suffisante pour prononcer un refus d'autorisation d'exercer à l'égard du recourant, qui n'était certes pas titulaire de ce type d'autorisation au moment des faits reprochés, mais qui s'est comporté comme le titulaire d'une telle autorisation et a commis plusieurs des actes visés aux lettres a à e de l'art. 60a LADB.
L'objection du recourant selon laquelle il n'était même pas susceptible d'être au bénéfice d'une autorisation d'exercer au moment des faits reprochés puisqu'il n'avait pas encore son certificat de capacité, ne modifie pas cette conclusion, dès lors que l'intéressé agissait de facto comme le titulaire d'une autorisation d'exercer et partant aussi comme le titulaire d'un certificat de capacité.
4.6. La mesure prise à l'encontre du recourant reposant sur une base légale suffisante, il convient encore de vérifier si elle est justifiée par un intérêt public et respecte le principe de proportionnalité (cf. supra consid. 4.2).
4.6.1. Du point de vue du but d'intérêt public, les mesures administratives permettant de retirer ou de refuser une autorisation d'exploiter ou d'exercer poursuivent des buts relevant de l'ordre et de la tranquillité publics et de la promotion d'un développement de qualité de l'hôtellerie et de la restauration (cf. art. 1 al. 1 let. b et c LADB; cf. arrêt 2C_312/2009 du 5 octobre 2009 consid. 4.2). Elles tendent entre autres à garantir que les titulaires d'autorisations, et ceux qui se présentent comme tels, respectent les prescriptions légales relatives à l'exploitation des établissements publics, au droit du travail ainsi qu'au droit des étrangers. Il s'agit d'intérêts publics propres à justifier une restriction à la liberté économique du recourant (cf. arrêt 2C_312/2009 du 5 octobre 2009 consid. 4.2 et 5).
4.6.2. Du point de vue du principe de la proportionnalité, applicable notamment en matière de sanction administrative (cf. arrêt 2C_1090/2013 du 23 juin 2014 consid. 4.1), celui-ci exige que la mesure envisagée soit apte à produire les résultats escomptés (règle de l'aptitude) et que ceux-ci ne puissent être atteints par une mesure moins incisive (règle de la nécessité). En outre, il interdit toute limitation allant au-delà du but visé et il exige un rapport raisonnable entre celui-ci et les intérêts publics ou privés compromis (principe de la proportionnalité au sens étroit, impliquant une pesée des intérêts; <ref-ruling> consid. 9.1 p. 69; <ref-ruling> consid. 3.5.1 p. 84; <ref-ruling> consid. 6.7.1 p. 235 s.; <ref-ruling> consid. 7.2 p. 62).
4.6.3. En l'occurrence, on ne voit pas que la mesure prononcée à l'encontre du recourant viole le principe de la proportionnalité. Cette mesure est apte à empêcher le recourant de commettre de nouvelles infractions pendant deux ans dans la gestion d'un établissement. Par ailleurs, le recourant ne saurait être suivi lorsqu'il estime que le but visé par la législation pourrait également être atteint par l'octroi d'une autorisation d'exercer qui serait au besoin retirée par la suite en cas de manquements. Cela revient en effet à soutenir que les infractions qu'il a commises avant même qu'une licence ne lui soit délivrée devraient rester sans conséquence, ce qui ne l'encouragerait certainement pas à se conformer à la législation à l'avenir et n'atteindrait donc pas le but d'intérêt public poursuivi.
Enfin, du point de vue de la proportionnalité au sens étroit, la mesure prononcée à l'encontre du recourant a pour conséquence qu'il ne peut pas user du certificat de capacité qu'il a obtenu début juillet 2016, ce qui a indéniablement des répercussions importantes sur son activité économique. Le recourant peut toutefois poursuivre une activité d'exploitant et la mesure prise à son encontre est limitée à deux ans. Ces conséquences sont à mettre en balance avec le comportement du recourant et les manquements qui lui sont reprochés. Le recourant a commencé à exploiter son établissement avant d'obtenir une licence. Il a agi de facto comme s'il était le titulaire de l'autorisation d'exercer. En effet, Y._, qui était supposé être le responsable de l'établissement, n'a pas occupé cette fonction, ayant conclu avec le recourant et son frère un faux contrat de travail. En outre, le recourant a, dans la gestion non autorisée de son établissement, commis de multiples infractions, toutes envisagées à l'art. 60a LADB. Ainsi, il résulte entre autres des constats effectués le 27 juin 2016 qu'une pièce avait été aménagée dans les locaux pour des paris illégaux, que l'employée sur place n'avait pas d'autorisation de séjour et travail, que les normes feu n'étaient pas respectées, et que des infractions au droit du travail avaient été commises. Compte tenu de ces circonstances, le refus d'autorisation d'exercer pour une durée de deux ans prononcé à l'encontre du recourant ménage un juste équilibre entre les intérêts publics et privés.
Il suit de ce qui précède que la mesure prononcée à l'encontre du recourant ne viole pas l'art. 27 Cst. en lien avec l'art. 36 Cst.
5.
Dans un dernier grief, le recourant se plaint d'une violation du principe de l'égalité de traitement (art. 8 al. 1 Cst.). Il souligne que son frère, qui était également exploitant de l'établissement, n'a pas fait l'objet d'un refus d'autorisation d'exercer, alors que les faits incriminés sont identiques.
Selon la jurisprudence, le principe de la légalité de l'activité administrative prévaut en principe sur celui de l'égalité de traitement. En conséquence, le justiciable ne peut généralement pas se prétendre victime d'une inégalité devant la loi lorsque celle-ci est correctement appliquée à son cas, alors qu'elle aurait été faussement, voire pas appliquée du tout, dans d'autres cas. Cela présuppose cependant, de la part de l'autorité dont la décision est attaquée, la volonté d'appliquer correctement à l'avenir les dispositions légales en question; le citoyen ne peut prétendre à l'égalité dans l'illégalité que s'il y a lieu de prévoir que l'administration persévérera dans l'inobservation de la loi (<ref-ruling> consid. 7.1 p. 61; <ref-ruling> consid. 5.6 p. 78). En l'occurrence, la loi a correctement été appliquée au recourant. En outre, on rappellera qu'il résulte des faits de l'arrêt entrepris qu'au moment où les infractions ont été commises dans la gestion de l'établissement, le recourant, contrairement à son frère, était en formation pour l'obtention du certificat cantonal d'aptitudes ouvrant le droit à une autorisation d'exercer. Les situations étant différentes, il y avait lieu de les traiter différemment (cf., sur le contenu de l'exigence d'égalité de traitement, <ref-ruling> consid. 7.1 p. 239 s. et les références citées) et on ne peut ainsi reprocher à l'autorité d'avoir mal appliqué le droit en vigueur. Le grief du recourant doit partant être rejeté.
6.
Les considérants qui précèdent conduisent au rejet du recours. Succombant, le recourant doit supporter les frais judiciaires (art. 65 al. 1 et 66 al. 1 LTF). Le Service de la promotion économique et du commerce du canton de Vaud, qui obtient gain de cause dans l'exercice de ses attributions officielles, n'a pas le droit à des dépens (<ref-law>).

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce :
1.
Le recours est rejeté.
2.
Les frais judiciaires, arrêtés à 3'000 fr., sont mis à la charge du recourant.
3.
Le présent arrêt est communiqué au mandataire du recourant, au Service de la promotion économique et du commerce du canton de Vaud et au Tribunal cantonal du canton de Vaud, Cour de droit administratif et public.
Lausanne, le 25 août 2017
Au nom de la IIe Cour de droit public
du Tribunal fédéral suisse
Le Président : Seiler
La Greffière : Kleber