Sachverhalt:
A.
A._ und B._ sind die nicht miteinander verheirateten Eltern von C._ (geb. 2003). C._ lebt mit der sorgeberechtigen Mutter in U._, A._ in V._.
B.
B.a. Am 19. Juni 2015 - C._ und seine Mutter hatten damals ihren Wohnsitz in W._ - stellte A._ bei der Kindes- und Erwachsenenschutzbehörde KESB Nordbünden (im Folgenden: KESB) den Antrag auf Erteilung der gemeinsamen elterlichen Sorge über C._ sowie "Einrichtung von Informations- und Besuchsrechten, Abklärung der Lebensumstände".
B.b. Mit Entscheid vom 29. September 2015 wies die KESB den Antrag von A._ auf Erteilung der gemeinsamen elterlichen Sorge ab. Zudem erteilte sie den Eltern zwecks erster Kontaktanbahnung zwischen Vater und Sohn Weisungen.
B.c. Die gegen diesen Entscheid von A._ erhobene Beschwerde hiess das Kantonsgericht von Graubünden mit Entscheid vom 10. Juni 2016 dahingehend gut, dass es den angefochtenen Entscheid aufhob und die Sache zur Durchführung der Anhörung von C._ an die KESB zurückwies.
B.d. Nach Anhörung von C._ bestätigte die KESB am 22. September 2016 im Wesentlichen den Entscheid vom 29. September 2015 (Bst. B.b) und entschied wie folgt:
"1. Im Zusammenhang mit der elterlichen Sorge über C._ wird:
a. der Antrag von A._ (Vater) auf Erteilung der gemeinsamen elterlichen Sorge abgelehnt (<ref-law>);
b. festgehalten, dass B._ (Mutter) alleinige Inhaberin der elterlichen Sorge über C._ ist.


2. Die KESB verfügt:
a. A._ (Vater) und C._ wird die Weisung erteilt (<ref-law>), zur Kontaktanbahnung zwischen A._ und C._ bis spätestens Ende Mai 2017 fünf Gespräche beim Servizio medico psicologico (Bellinzona) zu führen.
b. B._ (Mutter) wird angewiesen, dafür zu sorgen, dass C._ die Termine beim Servizio medico psicologico (Bellinzona) wahrnimmt.
c. Der Servizio medico psicologico (Bellinzona) wird angehalten, zwecks Terminvereinbarung direkt Kontakt mit A._ und B._ aufzunehmen.
d. Der Servizio medico psicologico (Bellinzona) wird aufgefordert, der KESB eine mögliche Gefährdung des Kindeswohls unverzüglich zu melden sowie Anfang Mai 2017 einen Bericht einzureichen."
B.e. Mit Entscheid vom 20. März 2017 (eröffnet am 29. März 2017) wies das Kantonsgericht von Graubünden die Beschwerde von A._ gegen den Entscheid der KESB ab. Die Kosten des Beschwerdeverfahrens von Fr. 1'500.-- verblieben beim Kanton Graubünden.
C.
Mit Eingabe vom 28. April 2017 wendet sich A._ (Beschwerdeführer) an das Bundesgericht. Er stellt die folgenden Anträge:
"1. Der angefochtene Abweisungsentscheid des Dispositivs der Ziffer 1 des Kantonsgerichtes von Graubünden vom 20. März 2017 ist aufzuheben zu Gunsten der erstmaligen Einrichtung eines persönlichen Zu- und Umgangs mit Sohn C._, sowie dem Grundsatz für sein Kind zu sorgen, an seinem Leben teilhaben und mitgestalten zu dürfen, aufgrund von diskriminierungsfrei, gleichberechtigten Elternrechten und einer gelebten Sohn-Vaterbeziehung.
2. Sodann ist dem Kantonsgericht von Graubünden infolge einer willkürlich rechtsverletz[enden] Sachverhaltsdarstellung kontrollierend in die Verfahrensleitung einzugreifen und die wechselseitigen Elternrechte zu gewähren. Es ist diesem die vom Gericht herbeigerufene endgültige präjudizielle Aberkennung der familiären Zugehörigkeit aus dem Recht zu weisen. Ebenso sind dem Kantonsgericht von Graubünden die Verletzung von Grundrechten hinsichtlich seiner überbordenden Diskriminierung und die menschliche Würde missachtenden mit überfordernden Unterstellungen gegen den Beschwerdeführer zu rügen.
3. Das in Art. 14 der Bundesverfassung verankerte Recht der Familienzugehörigkeit ist vollumfänglich zu bestätigen, sodann der verfassungsmässig verankerten Familien- und Elternrechte der Antragstellung vom 6. November 2016 des Beschwerdeführers unter Punkte 2, 3 und 7 folgend, diese verbrieft inhaltlich erstmalig einzurichten sind.
4. Im weiteren Verfahrensverlauf sei das Kindes- und Erwachsenenschutzverfahren zuständigkeitshalber der im Jahr 2003 ersteingetretenen KESB Winterhur-Andelfingen zurück zu überweisen.
5. Auf Kosten- und Entschädigungsfolgeerhebung wird einstweilen, zu Gunsten einer zukünftigen Einrichtung von gleichberechtigten Sohn-Vater-Elternrechten, mit echt gelebter Beziehung aus Loyalitätsgründen zum Sohn verzichtet."
Mit Eingabe vom 16. Mai 2017 ersucht der Beschwerdeführer zusätzlich um unentgeltliche Rechtspflege für das Verfahren vor dem Bundesgericht.
Das Bundesgericht hat die vorinstanzlichen Akten, aber keine Vernehmlassungen eingeholt.
Erwägungen:
1.
Angefochten ist ein Endentscheid einer letzten kantonalen Instanz, die als oberes Gericht (Art. 75 und 90 BGG) über die Zuteilung der elterlichen Sorge und Weisungen bezüglich des persönlichen Verkehrs des Beschwerdeführers mit seinem Sohn und damit eine nicht vermögensrechtliche Zivilsache nach <ref-law> entschieden hat. Die Beschwerde in Zivilsachen ist das zutreffende Rechtsmittel. Der Beschwerdeführer ist gemäss <ref-law> zur Beschwerde berechtigt. Auf die auch fristgerecht eingereichte (Art. 100 Abs. 1 i.V.m. Art. 46 Abs. 1 Bst. a BGG) Beschwerde ist unter Vorbehalt nachfolgender Ausführungen einzutreten.
2.
2.1. Nach <ref-law> haben Rechtsschriften die Begehren und deren Begründung zu enthalten. In der Begründung ist in gedrängter Form darzulegen, inwiefern der angefochtene Akt Recht verletzt (<ref-law>). Ungebührliche, unverständliche und übermässig weitschweifige Rechtsschriften kann das Bundesgericht zur Verbesserung zur Behebung des Mangels an den Beschwerdeführer zurückweisen (<ref-law>). Rechtsbegehren sind im Lichte der Begründung (<ref-ruling> E. 6.2; <ref-ruling> E. 1.3) und unter Beachtung des Grundsatzes von Treu und Glauben (<ref-law>) auszulegen. Der Beschwerdeführer muss in Auseinandersetzung mit dem angefochtenen Entscheid aufzeigen, welche Rechte bzw. Rechtsnormen die Vorinstanz verletzt haben soll (<ref-ruling> E. 2). Die Begründung muss in der Beschwerde an das Bundesgericht selber enthalten sein; ein Verweis auf frühere Rechtsschriften genügt nicht (<ref-ruling> E. 3.2; <ref-ruling> E. 3.1).
2.2. Eingedenk dieser Grundsätze versteht das Bundesgericht die Eingabe des nicht von einem Anwalt vertretenen Beschwerdeführers so, dass dieser die Übertragung der gemeinsamen elterlichen Sorge verlangt. Soweit er zusätzliche Anträge stellt, nehmen diese keinen erkennbaren Bezug auf den angefochtenen Entscheid bzw. sind diese zu wenig konkret, um die Grundlage eines vollstreckbaren Urteils zu bilden. Auf sie kann daher nicht eingetreten werden. Hinsichtlich der Organisation des persönlichen Verkehrs bleibt es damit grundsätzlich bei den von der Vorinstanz bestätigten Weisungen der KESB (s. Sachverhalt Bst. B.d). Soweit sich der Beschwerdeführer damit nicht abfinden kann, hat er jederzeit die Möglichkeit, deren Abänderung und Anpassung zu verlangen. Zuständig dafür ist allerdings nicht die KESB Winterthur-Andelfingen, sondern die KESB, die für U._, dem aktuellen Wohnsitz des Kindes, zuständig ist (<ref-law>). Damit ist auch nicht weiter auf den Vorwurf des Beschwerdeführers einzugehen, wonach die Vorinstanz ihn aus dem Leben seines Sohnes gedrängt und damit die Verfassung (<ref-law>) und das Völkerrecht (Art. 8 EMRK) verletzt habe. Ungeachtet der Frage des (gemeinsamen) Sorgerechts haben Vater und Kind einen wechselseitigen Anspruch auf persönlichen Verkehr (<ref-law>) und ist der Beschwerdeführer von der Beschwerdegegnerin über besondere Ereignisse im Leben des Kindes zu benachrichtigen und vor Entscheidungen, die für die Entwicklung des Kindes wichtig sind, anzuhören (<ref-law>). Dies alles ist unbestritten und hat die Vorinstanz nicht verkannt.
3.
3.1. Die Vorinstanz hat sich bei ihrem Entscheid betreffend das gemeinsame Sorgerecht im Wesentlichen auf den Sachverhalt gestützt, wie ihn die KESB in ihrem Entscheid vom 29. September 2015 festgestellt hatte. Danach sei die Basis für eine gemeinsame elterliche Sorge angesichts der schweren und über Jahre anhaltenden Elternkonflikte, insbesondere der fehlenden Kommunikations- und Kooperationsbereitschaft, und der daraus resultierenden nachteiligen Auswirkungen auf C._ eindeutig nicht vorhanden. Nach den Abklärungen der KESB und aufgrund der persönlichen Aussagen beider Elternteile sei unzweifelhaft erkennbar, dass die Parteien seit ihrer Trennung Anfang 2003 in einem Dauerkonflikt mit Ausnahmecharakter stünden. Die negative Beziehungsdynamik halte mit hoher Intensität an, wobei offensichtlich finanzielle Aspekte im Vordergrund stünden. Die gemeinsame elterliche Sorge entspreche nicht dem Wohl des Kindes. Vielmehr sei zu erwarten, dass sich bei gemeinsamer Sorge die Elternkonflikte weiter verhärten würden und der schon jetzt bestehende Dauerkonflikt zwischen den Eltern auch in anderen Lebensbereichen des Kindes seine Fortsetzung finde (Schule, Berufswahl etc.).
Weiter gebe es keine Hinweise, dass die Mutter Kontakte zwischen Vater und Sohn aktiv verhindert habe. Aktenkundig seien jedenfalls deren Bemühungen, durch den Beizug einer neutralen Fachperson eine Regelung von Kontakten zu erreichen. Die vom Vater angeführten Gründe betreffend fehlende Teilnahme am Leben des Kindes müssten hingegen als wenig nachvollziehbar eingestuft werden. Insbesondere entspreche die Aussage des Vaters, er habe keine Adressangaben von C._ gehabt, nicht den Tatsachen. Der Beschwerdeführer habe durch sein Verhalten sowohl den achtjährigen Kontaktunterbruch als auch die daraus entstandene Entfremdung zwischen C._ und ihm offensichtlich mitverursacht. Die diesbezügliche einseitige Schuldzuweisung an die Mutter sei wenig diffenziert und greife zu kurz. Vielmehr könnten die wiederholten Betreibungen des Vaters gegenüber der Mutter für Geldforderungen in der Höhe von Fr. 244'557.45 und das willkürliche Kürzen der Alimente darauf zielen, die Beschwerdegegnerin bewusst zu schädigen. Damit verbunden seien auch Nachteile für den Sohn, welche der Beschwerdeführer wohl bewusst in Kauf genommen habe. Im Übrigen stelle der Beschwerdeführer in seiner Beschwerde teils ungeheuerliche Behauptungen bezüglich der Beschwerdegegnerin auf, ohne dafür den geringsten Nachweis zu erbringen. Zudem habe er die KESB als nichtsnutzend, unprofessionell und ignorant betitelt und deren Darlegungen als sehr voreingenommen, extrem anmassend, ehrverletzend und diskriminierend bezeichnet. Dem Beschwerdeführer gehe augenscheinlich die Einsicht komplett ab, sein eigenes Verhalten gegenüber Dritten selbstkritisch zu hinterfragen. Als "ausgewiesener Experte umfassender Jugendarbeit" sowie als ausgebildeter Entwicklungspsychologe scheine er sich für fehlerfrei zu halten.
Sodann kommt die Vorinstanz auf die unzähligen Eingaben des Beschwerdeführers an die KESB, seine zahllosen Schreiben an die Beschwerdegegnerin sowie seine ausschweifende Beschwerdeschrift an das Kantonsgericht mit zahlreichen Einlagen ähnlichen Stils zu sprechen. Sie zeichneten das Bild eines Menschen, der lediglich die eigene Meinung anerkenne und alle Andersdenkenden - seien es die Beschwerdegegnerin oder auch die involvierten Behörden - unverhohlen der Untätigkeit, des rechtswidrigen Verhaltens oder der Inkompetenz bezichtige. In seinen im Recht liegenden Schriften komme zuweilen eine gehörige Portion Wut auf die Kindsmutter zum Ausdruck, weil diese sich weigere, sich in Bezug auf das Sorgerecht, das Besuchsrecht oder den Unterhalt seinem Willen zu beugen. In akribischen Ausführungen zähle er deren angebliche Verfehlungen auf, wobei er sich gleich mehrfach nicht nur im Inhalt, sondern auch im Ton vergriffen habe.
Angesichts dieser Umstände sei es nicht weiter verwunderlich, dass weder die Kindsmutter noch der gemeinsame Sohn besonders erpicht darauf seien, regelmässig mit dem Beschwerdeführer in Kontakt zu treten. Für den streitbaren und uneinsichtigen Charakter des Beschwerdeführers sei es bezeichnend, dass er auch zu seinem andern Sohn aus einer früheren Beziehung seit Jahren keinen Kontakt habe und auch hierfür seiner Auffassung nach die alleinige Schuld bei dessen Mutter liege. Die Einräumung des gemeinsamen Sorgerechts würde unter den vorliegenden Umständen dazu führen, dass sich die Kindsmutter und mit zunehmender Selbständigkeit auch C._ völlig dem Willen des Beschwerdeführers unterordnen müssten, ansonsten endlose Diskussionen und Schriftenwechsel, Schuldzuweisungen oder gar Drohungen die Folge wären. Dass dies dem Kindeswohl abträglich sei, liege auf der Hand. Die Grundsätzlichkeit, mit welcher der Beschwerdeführer auch den vorliegenden Prozess führe, und die Art und Weise, wie er die Kindsmutter schlecht mache, lasse die Befürchtung aufkommen, dass ihm in der Tat mehr an Obstruktion denn am Kindeswohl gelegen sei. Das vom Beschwerdeführer an den Tag gelegte Gebaren lasse auf eine Kommunikationsunfähigkeit schliessen.
Erschwerend komme hinzu, dass der Beschwerdeführer kein Italienisch spreche und für C._ Deutsch eine Fremdsprache sei. Aus diesen Gründen sei es ohne weiteres nachvollziehbar, dass C._ seinen Vater als fremde Person betrachte und nicht wolle, dass dieser über sein Leben mitbestimmen könne. Im Übrigen scheine sich C._ altersentsprechend zu entwickeln und mit seiner Lebenssituation sehr zufrieden zu sein. All diese Gründe würden zum Schluss führen, dass sich die Einräumung des gemeinsamen Sorgerechts negativ auf das Kindeswohl auswirken würde und die Beibehaltung des alleinigen Sorgerechts der Mutter dem Wohl von C._ besser gerecht werde.
3.2. Der Beschwerdeführer wirft der Vorinstanz in seiner übermässig weitschweifigen Beschwerde (<ref-law>) vor, ihren Entscheid einzig formell begründet und sich nicht materiell mit der Sache befasst zu haben. Die ungebührliche, diskriminierende und voreingenommene Darstellung des Sachverhalts lasse erkennen, dass sich das Kantonsgericht nie mit seinen Eingaben auseinandergesetzt habe. Es habe die Entscheide der KESB vom 29. September 2015 und 22. September 2016 "ungeprüft überfordernd" übernommen. Weder die KESB noch die Vorinstanz hätten die in <ref-law> verankerte Untersuchungs- und Offizialmaxime beachtet. So seien die Eltern vom Kantonsgericht nicht angehört worden. Stattdessen sei die verspätet ausgefertigte Eingabe vom 3. Januar 2017 mit Aktennachtrag der Beschwerdegegnerin berücksichtigt worden. Dem Kantonsgericht seien eine willkürliche Voreingenommenheit, die Verweigerung des rechtlichen Gehörs des Beschwerdeführers sowie Prozessleitungsfehler vorzuwerfen.
Die KESB Nordbünden habe dem Beschwerdeführer eine ordentliche Anhörung und Stellungnahme zu den haltlosen Anschuldigungen und Behauptungen der Kindsmutter verweigert. Ihm sei auch keine Gelegenheit geboten worden, sich zur Situation zu äussern oder entsprechende Akten einzureichen. Damit hätten die Bündner Behörden ihm das rechtliche Gehör verweigert. Entgegen dem Vorwurf des Gerichtes, der Kontakt sei für acht Jahre unterbrochen gewesen, seien auch nach 2008 Kartengrüsse und Anfragen in der Zeit von 2010 bis 2017 dokumentiert.
Die KESB Nordbünden habe den Beschwerdeführer nur einmal, am 29. September 2015, angehört. Gleich zu Beginn habe die zuständige, sichtlich voreingenommene Sachbearbeiterin auf das wenige Tage zuvor publizierte Urteil 5A_923/2014 vom 27. August 2015 hingewiesen. Damit habe sie den Beschwerdeführer unter Druck setzen wollen, seinen Antrag zurückzuziehen. Darin liege eine Diskriminierung und Rechtsverweigerung. Seine Nettosprechzeit zur Beantwortung von Suggestivfragen habe bestenfalls zehn Minuten betragen. Die KESB habe das Gespräch abgeblockt und ihn hinauskomplimentiert. Akten zum Fall hätten aufgrund einer Falschinformation des Vorsitzenden der KESB Nordbünden keine beigebracht werden können. Das Anhörungsprotokoll sei ihm, dem Beschwerdeführer, nie zur Unterschrift und Genehmigung vorgelegt worden. Trotzdem sei es von der Vorinstanz berücksichtigt worden. Im Gegensatz dazu sei die Beschwerdegegnerin von der KESB verschiedentlich zu einem beratenden Behördengespräch eingeladen und ihr seien die Protokolle zur Unterschrift vorgelegt worden. Die Unterstellung im angefochtenen Entscheid, wonach er die KESB als "beschissener Laden" tituliert habe, stelle eine üble Nachrede dar und werde bestritten.
Sowohl die Vorinstanz wie die KESB ignorierten, dass die Beschwerdegegnerin seit der Geburt von C._ "eine Dauerblockade" errichtet habe, um systematisch jeden Kontakt zwischen ihm und seinem Sohn zu verhindern. Die Beschwerdegegnerin sei kurz nach der Geburt von C._ nicht einmal davor zurückgeschreckt, der Behörde gegenüber Heiratsabsichten zu bekunden, um deren Intervention zu verhindern und ungehindert umziehen zu können. Statt das verwerfliche Verhalten der Beschwerdegegnerin festzustellen, mache ihn das Kantonsgericht heute für das Verhalten der Beschwerdegegnerin verantwortlich. Sämtliche kantonalen Entscheide liessen eine positive und damit ausgewogene Haltung vermissen.
Die Beschwerdegegnerin habe ferner bereits im Februar 2005 eine einschneidende und seine Existenz ruinierende Lohnpfändung provoziert und dies, obwohl der Beschwerdeführer jederzeit seinen finanziellen Verpflichtungen nachgekommen sei. Zu Unrecht behaupte das Kantonsgericht, dass er die Kindsmutter seit Jahren in zahlreiche Verfahren vor Gerichten und Behörden involviert habe.
Die negative Charakterisierung des Beschwerdeführers nehme das Kantonsgericht nun zum Anlass, der Beschwerdegegnerin die alleinige Umgangs- und Erziehungsberechtigung zuzusprechen. Darob gehe das "rücksichtslose Verschwinden" der Kindsmutter mit totaler Kontaktverweigerung während der ersten fünf Jahre nach der Geburt von C._ vergessen. Dieses Verhalten belaste und demütige den Beschwerdeführer bis heute. Entgegen der gerichtlichen Unterstellung sei es ihm nie darum gegangen, über die Beschwerdegegnerin und den gemeinsamen Sohn "Macht ausüben zu können". Dies habe er in seiner Beziehung zu seinem ersten Sohn, der ihn bis zu seiner Volljährigkeit regelmässig und gerne besucht habe, ausreichend bewiesen. Im Gegensatz zu den Unterstellungen der KESB und der Vorinstanz würde er sich ebensowenig in Erziehungsfragen seines nun bald erwachsenen Sohnes C._ einmischen.
4.
4.1. Nicht einzutreten ist auf den Vorwurf des Beschwerdeführers, die Vorinstanz habe das Protokoll der Anhörung der KESB vom 29. September 2015 berücksichtigt, obwohl er dieses nicht unterzeichnet hat. Ebenso wenig ist auf das Vorbringen einzugehen, der Beschwerdeführer sei anlässlich der Anhörung vom 29. September 2015 nur kurz zu Wort gekommen und mit Suggestivfragen konfrontiert worden. Der Beschwerdeführer tut nicht in einer dem Rügeprinzip genügenden Art und Weise dar, dass er diese Vorwürfe schon im vorinstanzlichen Verfahren erhoben hätte (zur fehlenden Ausschöpfung des kantonalen Instanzenzuges vgl. <ref-ruling> E. 1.1; <ref-ruling> E. 4.4.5). Falsch liegt der Beschwerdeführer auch, wenn er meint, dass die Vorinstanz die Eltern persönlich hätte anhören müssen. Die Vorinstanz durfte ungeachtet der zur Anwendung gelangenden Untersuchungs- und Offizialmaxime (<ref-law>) ihr Urteil ohne eine solche Anhörung fällen (zum Ganzen <ref-ruling> E. 3). Die Vorinstanz hat das rechtliche Gehör des Beschwerdeführers (<ref-law>) nicht verletzt (<ref-ruling> E. 5.1).
4.2. Geradezu trölerisch (<ref-law>) mutet es ferner an, wenn der Beschwerdeführer der Vorinstanz Parteilichkeit vorwirft: Die Vorinstanz hat eine erste Beschwerde des Beschwerdeführers gutgeheissen und die Sache zur Durchführung einer Kinderanhörung an die KESB zurückgewiesen (s. Sachverhalt Bst. B.c). Sie hat damit zur Genüge bewiesen, dass sie an der Durchführung eines korrekten Verfahrens interessiert und dazu auch in der Lage war. Der Anspruch auf unabhängige und unparteiische Richter umfasst im Übrigen nicht auch die Garantie jederzeit fehlerfrei arbeitender Richter. Richterliche Verfahrens- oder Einschätzungsfehler sind ebenso wenig Ausdruck einer Voreingenommenheit wie ein inhaltlich falscher Entscheid in der Sache oder Fehler in der Verhandlungsführung (Regina Kiener, Richterliche Unabhängigkeit, 2001, S. 105). Nach der bundesgerichtlichen Rechtsprechung können richterliche Verfahrensfehler nur ausnahmsweise die Unbefangenheit einer Gerichtsperson in Frage stellen. Dabei müssen objektiv gerechtfertigte Gründe zur Annahme bestehen, dass sich in Rechtsfehlern gleichzeitig eine Haltung manifestiert, die auf fehlender Distanz und Neutralität beruht. Es muss sich um besonders krasse Fehler oder wiederholte Irrtümer handeln, die eine schwere Verletzung der Richterpflichten darstellen (<ref-ruling> E. 3a S. 138; <ref-ruling> E. 3b; <ref-ruling> E. 3b/bb; Urteile 5A_461/2016 vom 3. November 2016 E. 7.2; 5A_309/2016 vom 4. Oktober 2016 E. 4.2). Solche sind im vorliegenden Zusammenhang nicht auszumachen. Daran ändert auch der alarmistische Ton nichts, den der Beschwerdeführer in seiner Eingabe an das Bundesgericht anschlägt.
5.
5.1. Das Bundesgericht legt seinem Urteil den von der Vorinstanz festgestellten Sachverhalt zugrunde (<ref-law>). Eine Berichtigung oder Ergänzung der Sachverhaltsfeststellungen kommt nur in Frage, wenn die kantonale Instanz verfassungsmässige Rechte verletzt hat (<ref-law>; vgl. <ref-ruling> E. 4.1). Die rechtsuchende Partei muss präzise angeben, welches verfassungsmässige Recht durch den angefochtenen Entscheid verletzt wurde, und im Einzelnen darlegen, worin die Verletzung besteht. Das Bundesgericht prüft nur klar und detailliert erhobene und soweit möglich belegte Rügen. Ausserdem ist aufzuzeigen, inwiefern die Behebung der aufgezeigten Mängel für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein kann (<ref-ruling> E. 2.3 S. 266). Auf ungenügend begründete Rügen und rein appellatorische Kritik am angefochtenen Entscheid tritt es nicht ein (<ref-law>; <ref-ruling> E. 2.3 S. 266; <ref-ruling> E. 2.2).
5.2. Die Kritik, die der Beschwerdeführer am von der Vorinstanz festgestellten Sachverhalt übt, begründet weder Willkür noch eine andere Verletzung der Verfassung. Zwar trifft es zu, dass die Vorinstanz dem Beschwerdeführer verschiedentlich die Verantwortung für das Scheitern der Beziehung zur Beschwerdegegnerin zuweist, ohne sich zu fragen, welche Anteile die Beschwerdegegnerin daran hatte. Der Beschwerdeführer tut nicht dar, dass seine Darstellung des Sachverhalts am Fazit, wonach die Beziehung der Eltern nachhaltig zerrüttet ist, irgend etwas ändert. Im Übrigen beschränkt sich der Beschwerdeführer hauptsächlich darauf, den Spiess einfach umzudrehen und die Beschwerdegegnerin für das Scheitern der Beziehung, die vielen Prozesse und den bisher gescheiterten Aufbau einer tragfähigen Vater-Sohn-Beziehung verantwortlich zu machen.
6.
6.1. Damit bleibt zu prüfen, ob das Kantonsgericht ausgehend vom korrekt abgeklärten Sachverhalt dem Beschwerdeführer die Erteilung der gemeinsamen elterlichen Sorge verweigern durfte. Unbestritten ist dabei, dass der Beschwerdeführer sein Gesuch um Erteilung der gemeinsamen elterlichen Sorge innerhalb der in <ref-law> vorgesehenen Jahresfrist gestellt hat. In der Folge ist gestützt auf <ref-law> zu entscheiden ist, ob dem Gesuch entsprochen werden kann.
6.2. Sind die Eltern nicht verheiratet, kommt die gemeinsame Sorge nach <ref-law> durch eine gemeinsame Erklärung der Eltern zustande. Weigert sich ein Elternteil, die Erklärung abzugeben, so kann der andere Elternteil nach <ref-law> die Kindesschutzbehörde am Wohnsitz des Kindes anrufen. Diese verfügt die gemeinsame elterliche Sorge, sofern nicht zur Wahrung des Kindeswohls an der alleinigen elterlichen Sorge der Mutter festzuhalten oder die alleinige elterliche Sorge dem Vater zu übertragen ist (<ref-law>). Damit bildet die gemeinsame elterliche Sorge den Grundsatz und die Alleinzuteilung bzw. die Belassung der alleinigen elterlichen Sorge die (eng begrenzte) Ausnahme. Nach der bundesgerichtlichen Rechtsprechung rechtfertigt sich ein Abweichen vom Grundsatz des gemeinsamen Sorgerechts insbesondere bei einem schwerwiegenden elterlichen Dauerkonflikt oder bei anhaltender Kommunikationsunfähigkeit. Dabei muss sich der Konflikt oder die Kommunikationsunfähigkeit auf die Kinderbelange als Ganzes beziehen und sich negativ auf das Kindeswohl auswirken. Erforderlich ist die konkrete Feststellung, in welcher Hinsicht das Kindeswohl beeinträchtigt ist. Schliesslich ist die Alleinzuteilung nur dann zulässig, wenn diese geeignet ist, die festgestellte Beeinträchtigung des Kindeswohls zu beseitigen oder zumindest zu lindern (<ref-ruling> E. 3.3; 56 E. 3; 197 E. 3.5 und 3.7; <ref-ruling> E. 4.6 und 4.7).
6.3. Nach dem in E. 3 Gesagten ergibt sich das Bild zerstrittener Eltern, die seit über zehn Jahren nicht miteinander kommunizieren können, ohne dass eine irgendwie geartete Verbesserung der Beziehung absehbar wäre. Unbestritten ist ferner, dass sich der mittlerweile 14-jährige Sohn mit der alleinigen Sorge der Mutter arrangiert hat und selber keine Veränderung wünscht. In dieser besonderen Situation sind gestützt auf die mittlerweile gefestigte Rechtsprechung (E. 6.2) die Voraussetzungen gegeben, um ausnahmsweise von der gemeinsamen elterlichen Sorge abzusehen. Dass der Beschwerdeführer dies als ungerecht und diskriminierend empfindet, ist verständlich, aber nicht entscheidend. Die gemeinsame elterliche Sorge dient vorrangig dem Kindeswohl. Weder geht es darum, mit der Einräumung der gemeinsamen Sorge den Vater für sein bisheriges Wohlverhalten zu belohnen, noch darum, eine renitente Mutter zu bestrafen. Die Tatsache, dass der Beschwerdeführer vom Sorgerecht ausgeschlossen bleibt, hindert ihn schliesslich nicht daran, eine tragfähige Beziehung zu seinem Sohn aufzubauen. Dabei ist der Beschwerdeführer darauf zu behaften, dass es ihm beim Ganzen nicht darum geht, Macht über seinen Sohn und die Beschwerdeführerin auszuüben.
7.
Die Beschwerde erweist sich damit als unbegründet und ist abzuweisen, soweit darauf einzutreten ist. Entsprechend dieses Ausgangs des Verfahrens sind die Gerichtskosten dem Beschwerdeführer aufzuerlegen (<ref-law>). Parteikosten sind keine zu sprechen (<ref-law>). Dem Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege für das bundesgerichtliche Verfahren (<ref-law>) kann nicht entsprochen werden, war die Beschwerde doch von Anfang an aussichtslos.
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.
Das Gesuch des Beschwerdeführers um unentgeltliche Rechtspflege für das Verfahren vor dem Bundesgericht wird abgewiesen.
3.
Die Gerichtskosten von Fr. 2'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Kantonsgericht von Graubünden, I. Zivilkammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 17. Oktober 2017
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: von Werdt
Der Gerichtsschreiber: Sieber