Sachverhalt:
A.
B.X._ war während längerer Zeit Mitglied des Trägervereins F._ in Liquidation (nachfolgend: Trägerverein). Am 19. Juli 2014 erhob er Strafanzeige wegen ungetreuer Geschäftsbesorgung, Veruntreuung, Falschbeurkundung und Betrugs gegen C._, D._ und E._. Er wirft ihnen vor, als Vorstandsmitglieder des Trägervereins und zugleich Stiftungsräte der Stiftung G._ (nachfolgend: Stiftung) dem Trägerverein das Vermögen entzogen und auf die Stiftung übertragen zu haben. Dadurch hätten die Beanzeigten die Rückzahlung von zwei durch ihn an den Trägerverein gewährten Darlehen im Umfang von total Fr. 507'000.-- verunmöglicht.
Die Staatsanwaltschaft des Kantons Basel-Stadt eröffnete eine Untersuchung und nahm diverse Ermittlungshandlungen vor. Mit Schreiben vom 5. August 2014 sprach sie B.X._ hinsichtlich der Straftatbestände der ungetreuen Geschäftsbesorgung, eventualiter Veruntreuung und Falschbeurkundung die Parteistellung ab. Im darauf folgenden Schriftenwechsel anerkannte B.X._, dass er in Bezug auf die Tatbestände der ungetreuen Geschäftsbesorgung und Veruntreuung keine Parteistellung inne hat, hielt aber daran fest, eine solche bestehe hinsichtlich des beanzeigten Betrugs. Am 22. Oktober 2014 stellte die Staatsanwaltschaft das Verfahren wegen ungetreuer Geschäftsbesorgung, Veruntreuung, Betrugs, Falschbeurkundung und Erschleichung einer falschen Beurkundung ein. Die in dieser Sache ergangenen Verfügungen wurden B.X._ nicht zugestellt. Am 25. Oktober 2014 beanspruchte B.X._ Parteistellung, verlangte Akteneinsicht und die Aufnahme von Ermittlungen. In der Folge erliess die Staatsanwaltschaft am 12. November 2014 zusätzlich eine Nichtanhandnahmeverfügung in Bezug auf den Tatbestand des Betrugs, welche ausschliesslich an B.X._ zugestellt wurde. Dagegen erhob B.X._ Beschwerde. Das Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt wies diese am 17. August 2015 ab.
B.
B.X._ beantragt mit Beschwerde in Strafsachen, der appellationsgerichtliche Entscheid sei aufzuheben und die Sache zur Durchführung einer Untersuchung wegen Betrugs an die Staatsanwaltschaft zurückzuweisen; allenfalls sei die Sache an das Appellationsgericht zurückzuweisen. Die Staatsanwaltschaft respektive das Appellationsgericht sei anzuweisen, ihm umfassende Parteistellung und Akteneinsicht einzuräumen.

Erwägungen:
1.
Der verwitwete B.X._ ist während des bundesgerichtlichen Verfahrens verstorben. A.X._ erklärte, als Tochter und einzige Erbin von B.X._ sel. trete sie in dessen prozessuale Stellung ein. Als einzige Erbin ist A.X._ jedoch ohnehin von Gesetzes wegen anstelle des ursprünglichen Beschwerdeführers in den Prozess eingetreten (<ref-law> in Verbindung mit <ref-law>; vgl. für die Regelung der Rechtsnachfolge im kantonalen Verfahren Art. 121 Abs. 1 und Art. 382 Abs. 3 StPO sowie <ref-ruling> E. 3 S. 83 ff.). Das bundesgerichtliche Verfahren ist folglich fortzusetzen.
2.
2.1. B.X._ sel. wies mit Eingaben vom 22. und 31. Januar 2016, 25. Februar 2016, 5. April 2016, 20. Juni 2016, 25. Juli 2016 sowie 2. Oktober 2016 darauf hin, dass er im Zusammenhang mit dem von ihm geltend gemachten Betrug weitere Strafanzeigen eingereicht habe wegen Prozessbetrugs in einem von ihm gegen den Trägerverein angestrengten Verfahren um Konkurseröffnung respektive wegen versuchten Prozessbetrugs in einem von ihm gegen den Trägerverein angestrengten Betreibungsverfahren (provisorische Rechtsöffnung). In den erwähnten Eingaben stellte B.X._ sel. verschiedene Anträge. Er ersuchte insbesondere darum, das vorliegende Beschwerdeverfahren mit dem bundesgerichtlichen Beschwerdeverfahren im Zusammenhang mit dem beanzeigten Prozessbetrug im Konkurseröffnungsverfahren (Verfahren 6B_459/2016) zu vereinigen oder diese zumindest parallel zu führen.
2.2. Der angefochtene Entscheid des Appellationsgerichts des Kantons Basel-Stadt vom 17. August 2015 wurde B.X._ sel. am 7. September 2015 zugestellt. Die Beschwerdefrist gemäss <ref-law> endete am 7. Oktober 2015. Die Eingaben vom 22. und 31. Januar 2016, 25. Februar 2016, 5. April 2016, 20. Juni 2016, 25. Juli 2016 sowie 2. Oktober 2016 sind somit verspätet und unbeachtlich. Eine Vereinigung des vorliegenden Verfahrens mit dem bundesgerichtlichen Beschwerdeverfahren 6B_459/2016 wäre indes ohnehin nicht angezeigt, da die Parteien nicht identisch sind (vgl. <ref-law> in Verbindung mit <ref-law>; <ref-ruling> E. 1 S. 217; <ref-ruling> E. 1 S. 285; Urteil 6B_960/2015 vom 5. April 2016 E. 1).
3.
3.1. Die Privatklägerschaft ist zur Beschwerde in Strafsachen nur legitimiert, wenn der angefochtene Entscheid sich auf die Beurteilung ihrer Zivilansprüche auswirken kann (Art. 81 Abs. 1 lit. b Ziff. 5 BGG). In erster Linie geht es um Ansprüche auf Schadenersatz und Genugtuung gemäss <ref-law>, die üblicherweise vor den Zivilgerichten geltend gemacht werden müssen. Richtet sich die Beschwerde gegen die Einstellung oder Nichtanhandnahme eines Verfahrens, hat die Privatklägerschaft nicht notwendigerweise bereits vor den kantonalen Behörden eine Zivilforderung geltend gemacht. Selbst wenn dies der Fall wäre (siehe <ref-law>), würde die Staatsanwaltschaft, welche das Verfahren nicht an die Hand nimmt oder einstellt, die Zivilklage nicht behandeln (vgl. Art. 310 Abs. 2 in Verbindung mit <ref-law>). In jedem Fall muss die Privatklägerschaft im Verfahren vor Bundesgericht darlegen, aus welchen Gründen sich der angefochtene Entscheid inwiefern auf welche Zivilforderung auswirken kann. Das Bundesgericht stellt an die Begründung der Legitimation strenge Anforderungen. Genügt die Beschwerde diesen nicht, kann darauf nur eingetreten werden, wenn aufgrund der Natur der untersuchten Straftat ohne Weiteres ersichtlich ist, um welche Zivilforderung es geht (<ref-ruling> E. 1.1 S. 4 f. mit Hinweisen).
Als Privatklägerschaft gilt die geschädigte Person, die ausdrücklich erklärt, sich am Strafverfahren als Straf- oder Zivilklägerin zu beteiligen (<ref-law>). Die Erklärung, mit der die geschädigte Person kumulativ oder alternativ Strafklage oder adhäsionsweise Zivilklage erheben kann (<ref-law>), ist gegenüber einer Strafverfolgungsbehörde spätestens bis zum Abschluss des Vorverfahrens abzugeben (<ref-law>).
3.2. Zur Legitimation wird in der Beschwerde in materieller Hinsicht lediglich ausgeführt, die rechtliche Qualifikation der beanzeigten Handlungen als Betrug stelle ohne Weiteres die nach <ref-law> erforderliche Schutznormverletzung bei einem reinen Vermögensschaden dar. Die Aufhebung respektive Änderung des angefochtenen Entscheids wirke sich demnach auf die Beurteilung der Zivilforderungen aus. Aus den weiteren Ausführungen in der Beschwerde ergibt sich, dass als Schaden der Werthaltigkeitsverlust von Darlehensforderungen in der Höhe von Fr. 507'000.-- des B.X._ sel. gegenüber dem Trägerverein geltend gemacht und den Beschwerdegegnern 2-4 vorgeworfen wird, sie hätten dem Trägerverein das Vermögen entzogen, wodurch den Darlehensforderungen keine (genügenden) Aktiven mehr gegenüber stünden.
3.3. Ob damit die Beschwerdeberechtigung genügend dargelegt wird, erscheint fraglich. Die Legitimation zur Beschwerde in Strafsachen ergibt sich aus den Ausführungen in der Beschwerde und dem beanzeigten Delikt jedenfalls nicht offensichtlich. Bei den in ihrem Wert als herabgesetzt angeführten offenen Darlehensforderungen handelt es sich grundsätzlich nicht um Ansprüche aus der Straftat (vgl. <ref-law>; Urteil 6B_181/2016 vom 28. Juni 2016 E. 1.3). Vielmehr basieren die Darlehensforderungen auf lange Zeit vor den inkriminierten Handlungen abgeschlossenen Verträgen zwischen B.X._ sel. und dem Trägerverein. Aus den Akten ergibt sich, dass die Beschwerdeführerin die Darlehensforderungen parallel zum Strafverfahren auf dem Zivilweg verfolgt. Ein rechtskräftiger, verfahrensabschliessender Entscheid liegt diesbezüglich nicht vor, so dass derzeit unklar ist, ob und gegebenenfalls in welchem Umfang letztlich überhaupt ein Ausfall resultieren wird. Es ist demnach zweifelhaft, ob sich der angefochtene Entscheid auf im Strafverfahren adhäsionsweise geltend gemachte respektive noch geltend zu machende Zivilforderungen, die aus dem beanzeigten Delikt herrühren, auswirken kann. Ob auf die Beschwerde einzutreten ist, kann allerdings offenbleiben, da sie sich aus nachfolgenden Gründen ohnehin als unbegründet erweist.
4.
4.1. Die Beschwerdeführerin rügt eine Verletzung von <ref-law>. Sie argumentiert, eine Nichtanhandnahme dürfe nur ergehen, wenn der fragliche Straftatbestand eindeutig nicht erfüllt sei. Dies sei vorliegend nicht der Fall. Die Vorinstanz gehe mehrfach von einem offensichtlich unrichtigen Sachverhalt aus.
4.2.
4.2.1. Nach <ref-law> eröffnet die Staatsanwaltschaft eine Untersuchung, wenn sich aus den Informationen und Berichten der Polizei, aus der Strafanzeige oder aus ihren eigenen Feststellungen ein hinreichender Tatverdacht ergibt. Sie verzichtet auf die Eröffnung, wenn sie sofort eine Nichtanhandnahmeverfügung oder einen Strafbefehl erlässt (<ref-law>). Gemäss <ref-law> verfügt die Staatsanwaltschaft die Nichtanhandnahme, sobald aufgrund der Strafanzeige oder des Polizeirapports feststeht, dass die fraglichen Straftatbestände oder die Prozessvoraussetzungen eindeutig nicht erfüllt sind (lit. a), Verfahrenshindernisse bestehen (lit. b) oder aus den in <ref-law> genannten Gründen auf eine Strafverfolgung zu verzichten ist (lit. c).
Die Frage, ob ein Strafverfahren über eine Nichtanhandnahme erledigt werden kann, beurteilt sich nach dem aus dem Legalitätsprinzip abgeleiteten Grundsatz "in dubio pro duriore" (<ref-law> sowie Art. 2 Abs. 1 i.V.m. Art. 319 Abs. 1 und Art. 324 Abs. 1 StPO; <ref-ruling> E. 4.2 S. 91; Urteil 6B_929/2015 vom 7. April 2016 E. 2.2.1 mit Hinweis). Danach darf eine Nichtanhandnahme durch die Staatsanwaltschaft gestützt auf <ref-law> nur in sachverhaltsmässig und rechtlich klaren Fällen ergehen. Im Zweifelsfall, wenn die Gründe der Nichtanhandnahme nicht mit absoluter Sicherheit gegeben sind, muss das Verfahren eröffnet werden (vgl. <ref-ruling> E. 2.3 S. 287 f.). Der Grundsatz "in dubio pro duriore" ist unter Würdigung der im Einzelfall gegebenen Umstände zu handhaben. Die Staatsanwaltschaft und die Beschwerdeinstanz verfügen insoweit über einen gewissen Spielraum, den das Bundesgericht nur mit Zurückhaltung überprüft (zur Verfahrenseinstellung: <ref-ruling> E. 4.1.1 f./4.2 S. 90 f., 186 E. 4.1 S. 190; je mit Hinweisen).
4.2.2. Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (<ref-law>). Die vorinstanzliche Sachverhaltsfeststellung kann nur gerügt werden, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruht und wenn die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein kann (<ref-law>; vgl. auch <ref-law>). Offensichtlich unrichtig im Sinne von <ref-law> ist die Sachverhaltsfeststellung, wenn sie willkürlich ist (<ref-ruling> E. 1.3.1 S. 253 mit Hinweis; vgl. zum Begriff der Willkür <ref-ruling> E. 1.2 S. 308 f.; <ref-ruling> E. 2.1 S. 18 f.; <ref-ruling> E. 3.2.5 S. 339; <ref-ruling> E. 7.1 S. 51; je mit Hinweisen).
4.2.3. Den Tatbestand des Betrugs im Sinne von <ref-law> erfüllt, wer in der Absicht, sich oder einen andern unrechtmässig zu bereichern, jemanden durch Vorspiegelung oder Unterdrückung von Tatsachen arglistig irreführt und so den Irrenden zu einem Verhalten bestimmt, wodurch dieser sich selbst oder einen andern am Vermögen schädigt.
4.3.
4.3.1. Die Vorinstanz stellt fest, B.X._ sel. sei von 1990 bis 2006 im Vorstand des Vorgängervereins des Trägervereins gewesen und habe in dieser Funktion zusammen mit einem anderen Vorstandsmitglied die Geschäfte geführt. Während dieser ganzen Zeit sei es ihr Bestreben gewesen, das vereinseigene Ferienhaus vor der Liquidation zu retten. Dies habe zur Gewährung der beiden Darlehen durch B.X._ sel. an den Trägerverein geführt.
Anlässlich der ausserordentlichen Generalversammlung vom 20. August 2006 sei der alte Vereinsvorstand in globo zurückgetreten. Die fünf neu gewählten Vorstandsmitglieder hätten den Abgetretenen die Entlastung verweigert, weil keine Abrechnung/Buchhaltung für das vergangene Vereinsjahr vorgelegen habe. Mit der Einladung zur ordentlichen Mitgliederversammlung 2007 habe Rechtsanwalt H._ im Namen des neuen Vorstands erklärt, es sei diesem nur ansatzweise gelungen, verlässliche Zahlen über die vergangenen Jahre zusammenzutragen. Eine Bilanz und Erfolgsrechnung für das Jahr 2006 habe nicht erstellt werden können. Daraufhin seien drei der fünf neu gewählten Vorstandsmitglieder per 31. Dezember 2006 wieder zurückgetreten. Die zwischenzeitlich vorgenommene Sichtung der finanziellen Möglichkeiten des Vereins zeige ein bedenkliches Bild. Das Ferienhaus sei auch mittelfristig nicht in der Lage, die für einen Weiterbetrieb notwendigen Finanzen erwirtschaften zu können. Der Gesamtausstand belaufe sich gemäss einem Schreiben der Hypothekar-Bank per 1. Oktober 2007 auf Fr. 534'145.35. Die desolate finanzielle Situation des Trägervereins zwinge zum Umdenken und zur Ergreifung drastischer Massnahmen. Die Stiftung habe sich bereit erklärt, die bestehende Hypothek abzulösen und den Verein auf gesunde finanzielle Beine zu stellen. Die Stiftung strebe den Erhalt der vereinseigenen Liegenschaften an.
An der Mitgliederversammlung vom 14. September 2007 seien die beiden übrig gebliebenen Vorstandsmitglieder zurückgetreten und stattdessen die Beschwerdegegner 2-4 in den Vorstand gewählt worden. Ausserdem seien neue Statuten genehmigt und der Trägerverein umbenannt worden. An der ordentlichen Generalversammlung vom 13. Juni 2008 habe der Revisor des Trägervereins den Anwesenden, zu welchen auch B.X._ sel. gezählt habe, mitgeteilt, es sei aufgrund diverser fehlender Unterlagen nicht möglich gewesen, die relevanten Details zu prüfen. Es sei aber ganz klar, dass der Trägerverein massiv überschuldet sei. Daraufhin habe der Vorstand verschiedene Möglichkeiten vorgeschlagen, wie auf diese Situation reagiert werden könnte. In Bezug auf die Darlehen von B.X._ sel. sei vereinbart worden, dass dieser "vom Verein eine Liste der nötigen Unterlagen betreffend seiner Darlehen mit Fristsetzung bekommen" werde. Nach der Prüfung der Unterlagen durch den Beschwerdegegner 3 werde "ein Gespräch zusammen mit dem Vorstand stattfinden, ob und wie er (B.X._ sel.) seine Forderungen geltend machen kann".
Im Protokoll der Vereinsversammlung vom 10. Februar 2009 sei sodann festgehalten worden, dass "die nicht gesicherten Darlehen" von B.X._ sel. "nicht abschliessend nachvollzogen werden" könnten. Zwei unabhängige Schätzungen hätten den Verkehrswert der Liegenschaften auf ca. Fr. 500'000.-- veranschlagt. Die Stiftung habe dem Trägerverein mehrere gesicherte Darlehen im Gesamtwert von Fr. 900'000.-- gewährt. Sie schlage vor, die Liegenschaften des Trägervereins für Fr. 900'000.-- zu kaufen. Da der Trägerverein massiv überschuldet wäre, sei der Vorstand der Ansicht, dies wäre die beste Lösung; er halte das Angebot für fair. B.X._ sel. habe seine Sorge betreffend seiner Darlehen ausgedrückt. Er sei nicht bereit, dieses Geld dem Trägerverein zu erlassen. Der Beschwerdegegner 2 habe B.X._ sel. informiert, dass der Trägerverein über kein Geld verfüge und deswegen seine Forderungen nicht zurückzahlen könne. In der folgenden Abstimmung sei der Antrag des Vorstands, die Liegenschaften an die Stiftung zum Preis von Fr. 900'000.-- zu verkaufen, mit elf zu einer Stimme (jener von B.X._ sel.) angenommen worden.
4.3.2. Gestützt auf diese Sachlage kommt die Vorinstanz zum Schluss, B.X._ sel. habe bereits vor der Wahl der Beschwerdegegner 2-4 in den Vereinsvorstand Kenntnis davon gehabt, dass der Trägerverein massiv überschuldet gewesen sei und den von ihm gewährten Darlehen keine Aktiven gegenüber gestanden seien. Es sei B.X._ sel. nie vorgegaukelt worden, seine Darlehen seien gesichert. Gemäss dem Protokoll der Vereinsversammlung vom 10. Februar 2009 sei ihm vom Beschwerdegegner 2 vielmehr klar mitgeteilt worden, dass seine Darlehen "nicht abschliessend nachvollzogen werden" könnten und der Trägerverein mangels Aktiven seine Forderungen nicht zurückzahlen könne. Mit keinem Wort sei B.X._ sel. angetönt oder in Aussicht gestellt worden, dass die Stiftung nach dem Kauf der Liegenschaften die Darlehen zurückzahlen würde. Von einem täuschungsbedingten Irrtum des B.X._ sel., der diesen veranlasst hätte, seine Darlehen rechtzeitig zurückzufordern, könne keine Rede sein.
4.4.
4.4.1. Die Beschwerdeführerin bringt vor, die Vorinstanz habe wie bereits die Staatsanwaltschaft ihre substanziierten Ausführungen ausser Acht gelassen, wonach die Beschwerdegegner 2-4 mit einer ganzen Kette täuschender Handlungen zwischen 2007 und 2009 respektive darüber hinaus ein eigentliches Lügengebäude errichtet und B.X._ sel. getäuscht haben sollen. Dadurch habe dieser es unterlassen, seine Darlehen zu einem Zeitpunkt zurückzufordern, als der Trägerverein noch über die Liegenschaften und damit über genügend Haftungssubstrat verfügt habe. Die Vorinstanz stelle den Sachverhalt verkürzt und offensichtlich unrichtig fest, wenn sie den Glauben von B.X._ sel. an die Darlehenshonorierung auf das Jahr 2009 beschränkt sehen wolle und anführe, es sei diesem nie vorgegaukelt worden, seine Darlehen seien gesichert.
4.4.2. Dem kann nicht gefolgt werden. Die Vorinstanz berücksichtigt das Vorbringen, wonach B.X._ sel. seit 2007 durch eine ganze Kette von Handlungen der Beschwerdegegner 2-4 getäuscht worden sei. Dies ergibt sich bereits aus ihrer Zusammenfassung des Deliktsvorwurfs (vgl. Urteil, S. 7 E. 2.2). Dass die Beschwerdeführerin entgegen den vorinstanzlichen Ausführungen nicht vorgebracht hat, B.X._ sel. sei über die finanzielle Lage des Trägervereins getäuscht worden, sondern über das Motiv und die zu diesem Zweck getätigten Handlungen der Beschwerdegegner 2-4, lässt nicht den Schluss zu, die Vorinstanz habe Wesentliches übersehen und sei von offensichtlich falschen Tatsachen ausgegangen. Die Vorinstanz legt mit Verweis auf verschiedene von der Beschwerdeführerin eingereichte Dokumente dar, dass die Finanzlage des Trägervereins seit längerem und bereits vor der Aufnahme der Beschwerdegegner 2-4 angespannt und dies B.X._ sel. auch bekannt war. Die Vorinstanz zeigt auf, dass die Beschwerdegegner 2-4 B.X._ sel. mitgeteilt haben, seine ungesicherten Darlehen könnten nicht abschliessend nachvollzogen werden und eine Rückzahlung derselben sei ihm nie in Aussicht gestellt worden. Inwiefern die Vorinstanz dabei in Willkür verfallen sein sollte, ist nicht ersichtlich. Sie beschränkt sich insbesondere auch nicht darauf, eine allfällige Täuschung respektive den guten Glauben von B.X._ sel. isoliert und auf das Jahr 2009 begrenzt zu prüfen.
Ob die vorinstanzliche Annahme zutreffend ist, wonach B.X._ sel. bereits vor der Wahl der Beschwerdegegner 2-4 in den Vereinsvorstand Kenntnis davon hatte, dass der Trägerverein "massiv überschuldet war und den von ihm gewährten Darlehen keine Aktiven gegenüberstanden", erscheint zweifelhaft, da die vereinseigenen Liegenschaften gemäss den Ausführungen der Vorinstanz erst nach Aufnahme der Vorstandstätigkeit der Beschwerdegegner 2-4 verkauft wurden. Inwiefern dem vorliegend eine Bedeutung zukommen sollte, ist allerdings nicht ersichtlich. Die vorinstanzliche Beurteilung, B.X._ sel. habe es nicht aufgrund einer Täuschung unterlassen, seine Darlehen früher zurückzufordern, ist deswegen jedenfalls nicht bundesrechtswidrig. Aufgrund der Vorbehalte der Beschwerdegegner 2-4 gegenüber den von B.X._ sel. geltend gemachten Darlehensforderungen respektive der klaren Mitteilung, wonach der Trägerverein kein Geld habe und seine Forderungen nicht zurückzahlen könne, konnte dieser jedenfalls nicht darauf vertrauen, seine Ansprüche würden erfüllt. Dies gilt unabhängig davon, ob diese Mitteilung nach Prüfung der von B.X._ sel. an den Trägerverein zum Nachweis seiner Darlehen eingereichten Unterlagen erfolgte, wie die Vorinstanz annimmt, oder, wie die Beschwerdeführerin geltend macht, ohne dass diese geprüft worden wären. Die Mitteilung war so oder anders klar. Spätestens als schliesslich mit den Liegenschaften die bedeutendsten Aktiven des Trägervereins an die Stiftung verkauft wurden - unter Verrechnung des Kaufpreises mit Forderungen der Stiftung - musste B.X._ sel. klar sein, dass seine Darlehensforderungen massiv gefährdet sind. Daran ändert auch die ursprüngliche Absichtserklärung der Stiftung nichts, den Trägerverein auf gesunde finanzielle Beine zu stellen. Wie die Beschwerdeführerin selbst einräumt, war der Trägerverein zudem bereits vor dem Verkauf der Liegenschaften an die Stiftung überschuldet. Ob dies auf die Handlungen der Beschwerdegegner 2-4 zurückzuführen ist, spielt für die Frage des Vorliegens einer Täuschung keine Rolle. B.X._ sel. verzichtete jedenfalls in Kenntnis der schlechten Finanzlage des Trägervereins darauf, seine Forderungen vor dem Verkauf der Liegenschaften an die Stiftung auf dem Rechtsweg geltend zu machen. Er focht auch den Vereinsbeschluss über den Verkauf der Liegenschaften - trotz einem angeblich nicht dem Marktwert entsprechenden Preis - nicht an. Die Vorinstanz verstösst nicht gegen Bundesrecht, wenn sie unter diesen Umständen einen täuschungsbedingten Irrtum von B.X._ sel. verneint. Sie verletzt das ihr zustehende Ermessen nicht, indem sie die Nichtanhandnahme der Staatsanwaltschaft stützt.
5.
5.1. Die Beschwerdeführerin macht in mehrfacher Hinsicht eine Verletzung ihres Anspruchs auf rechtliches Gehör geltend. Die Vorinstanz habe wiederholt ihre substanziierten Vorbringen ausser Acht gelassen. Zudem sei ihr eine vollständige Akteneinsicht zu Unrecht verweigert worden.
5.2. Aufgrund der aus dem Anspruch auf rechtliches Gehör (<ref-law>) fliessenden Begründungspflicht (<ref-law>) ist das Gericht gehalten, sein Urteil zu begründen. Allerdings muss es sich nicht mit jeder einzelnen Parteibehauptung befassen, sondern kann sich auf die für den Entscheid wesentlichen Punkte beschränken. Es hat jedoch wenigstens kurz die Überlegungen zu nennen, von denen es sich hat leiten lassen und auf die sich sein Urteil stützt. Die Begründung muss so abgefasst sein, dass der Betroffene in voller Kenntnis der Tragweite des Entscheids die Sache weiterziehen kann und der Rechtsmittelinstanz die Überprüfung der Rechtsanwendung möglich ist (vgl. <ref-ruling> E. 3.2.4 S. 41; <ref-ruling> E. 2.2 S. 183; <ref-ruling> E. 2.2 S. 84; je mit Hinweisen).
5.3.
5.3.1. Die Vorinstanz setzt sich mit den wesentlichen Vorbringen der Beschwerdeführerin auseinander und legt nachvollziehbar dar, weshalb sie einen täuschungsbedingten Irrtum von B.X._ sel. verneint. Sie verkennt dabei nicht, dass eine Täuschung durch eine ganze Kette von Handlungen durch die Beschwerdegegner 2-4 seit dem Jahr 2007 geltend gemacht wird (vgl. bereits oben E. 4.4.2). Nachdem die Vorinstanz einen auf einer Täuschung basierenden Irrtum mit nicht zu beanstandender Begründung verneint, brauchte sie die weiteren Tatbestandsmerkmale des Betrugs nicht mehr zu prüfen. Insofern erübrigte sich eine Auseinandersetzung mit den diesbezüglichen Vorbringen der Beschwerdeführerin. Dies gilt auch mit Blick auf die von ihr kritisierte Begründung in der Nichtanhandnahmeverfügung der Staatsanwaltschaft. Nicht ersichtlich ist, inwiefern die Vorinstanz den Gehörsanspruch der Beschwerdeführerin verletzt haben sollte, indem sie bei der Kostenverlegung auf die Vernehmlassung der Staatsanwaltschaft zur Beschwerde hinweist und darlegt, spätestens nach dieser staatsanwaltschaftlichen Stellungnahme habe der Beschwerdeführerin bewusst sein müssen, dass dem Rechtsmittel kein Erfolg beschieden sein könne. Dass die Vorinstanz in diesem Zusammenhang die Ausführungen der Beschwerdeführerin in deren Replik nicht explizit anführt, lässt nicht darauf schliessen, diese seien nicht berücksichtigt worden. Die Vorinstanz brauchte die gegenteiligen Standpunkte in Bezug auf das Vorliegen eines Vermögensschadens nicht näher zu beleuchten, nachdem sie bereits einen täuschungsbedingten Irrtum ausgeschlossen hatte.
5.3.2. Die Vorinstanz gewährte der Beschwerdeführerin im kantonalen Verfahren zusätzliche Akteneinsicht. Sie erwägt, in Bezug auf Dokumente, welche sich auf die eingestellte Untersuchung wegen Vermögensdelikten zum Nachteil des Trägervereins beziehen, bestünde hingegen kein Recht auf Akteneinsicht. Inwiefern im vorinstanzlichen Entscheid auf Unterlagen abgestellt worden wäre, in die die Beschwerdeführerin keine Einsicht hatte, ist nicht erkennbar. Nicht zu beanstanden ist insbesondere, wenn die Vorinstanz der Beschwerdeführerin das Einsichtsrecht in die Akten der eingestellten Untersuchung wegen Vermögensdelikten zum Nachteil des Trägervereins verweigert. In diesem Verfahren kam der Beschwerdeführerin keine Parteistellung zu. Sie legt auch nicht dar, dass sie als Anzeigeerstatterin in ihren Rechten unmittelbar betroffen gewesen wäre. Sie hat demnach keinen Anspruch auf Einsicht in die Akten aus diesem Verfahren (vgl. Art. 101 Abs. 1 in Verbindung mit <ref-law> sowie Art. 105 Abs. 1 lit. b in Verbindung mit Abs. 2 StPO; Urteil 6B_1181/2013 vom 13. Juni 2014 E. 4.3 mit Hinweis). Der Beschwerdeführerin ist zwar zuzustimmen, dass die Verfahrenserledigung der Staatsanwaltschaft befremdet, indem sie zunächst in Bezug auf den Straftatbestand des Betrugs gegenüber den Beschwerdegegnern 2-4 eine Einstellungsverfügung und später gegenüber der Beschwerdeführerin eine Nichtanhandnahmeverfügung erliess. Dies ändert aber nichts daran, dass der Beschwerdeführerin mit Blick auf die Untersuchungshandlungen im Zusammenhang mit den übrigen Delikten keine Akteneinsicht zusteht. Eine Gehörsverletzung liegt diesbezüglich nicht vor. Soweit die Beschwerdeführerin für ihren Standpunkt auf ihre Eingabe vom 30. März 2015 im kantonalen Verfahren verweist, ist sie nicht zu hören. Sie verkennt, dass die Begründung in der Beschwerde selbst enthalten sein muss und Verweise auf andere Rechtsschriften oder auf die Akten nicht ausreichen (<ref-ruling> E. 2 S. 116; <ref-ruling> E. 2.8.1 S. 54; je mit Hinweisen). Schliesslich genügt die Vorinstanz mit ihren Ausführungen zum Umfang des Akteneinsichtsrechts auch ihrer Begründungspflicht. Sie legt ausreichend und nachvollziehbar dar, weshalb der Beschwerdeführerin in die Akten der separat geführten, eingestellten Untersuchung keine Einsicht zusteht.
6.
Die Beschwerde ist abzuweisen, soweit darauf eingetreten werden kann. Die Beschwerdeführerin wird ausgangsgemäss kostenpflichtig (<ref-law>). Dem Kanton Basel-Stadt steht keine Entschädigung zu (<ref-law>). Den Beschwerdegegnern 2-4 ist ebenfalls keine Entschädigung zuzusprechen, da ihnen im bundesgerichtlichen Verfahren keine Umtriebe entstanden sind.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 4'000.-- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt, Einzelgericht, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 25. November 2016
Im Namen der Strafrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Denys
Der Gerichtsschreiber: M. Widmer