Sachverhalt:
A.
Die Staatsanwaltschaft Basel-Landschaft führt gegen A._ ein Strafverfahren wegen qualifizierten Widerhandlungen gegen das Betäubungsmittelgesetz. Mitbeschuldigt waren ursprünglich auch B._ und C._. Gemäss der Staatsanwaltschaft sollen sie gemeinsam eine Hanfplantage betrieben haben. Alle drei beantragten zunächst die Durchführung des abgekürzten Verfahrens. An der Hauptverhandlung vom 14. September 2015 zog A._ seine Zustimmung zum abgekürzten Verfahren jedoch zurück. Die Anklageschrift gegen B._ und C._ wurde dagegen vom Strafgericht Basel-Landschaft mit Urteil vom gleichen Tag bestätigt.
A._ wird durch Rechtsanwalt D._ amtlich verteidigt. Am 1. Oktober 2015 ersuchte er ein erstes Mal um dessen Ersatz durch Rechtsanwalt Christian von Wartburg. Die Staatsanwaltschaft wies das Gesuch ab und das Kantonsgericht Basel-Landschaft bestätigte den Entscheid mit Beschluss vom 15. Dezember 2015.
Am 31. März 2016 erneuerte A._ sein Gesuch. Er machte geltend, sein amtlicher Verteidiger sei mittlerweile mit Rechtsanwältin E._ eine Bürogemeinschaft eingegangen. Bei dieser handelt es sich um die Verteidigerin der früheren Mitbeschuldigten C._. A._ machte eine Interessenkollision geltend. Mit Verfügung vom 14. April 2016 wies die Staatsanwaltschaft das Gesuch ab. Zur Begründung führte sie insbesondere aus, die besagte Bürogemeinschaft falle in die Zeit nach dem rechtskräftigen Abschluss des Verfahrens gegen C._. Eine von A._ gegen die Verfügung der Staatsanwaltschaft erhobene Beschwerde wies das Kantonsgericht mit Beschluss vom 14. Juni 2016 ab.
B.
Mit Beschwerde in Strafsachen vom 31. August 2016 beantragt A._, der Beschluss des Kantonsgerichts sei aufzuheben, die Sache an das Kantonsgericht zurückzuweisen und dieses zu verpflichten, den Wechsel der amtlichen Verteidigung zu bewilligen.
Die Staatsanwaltschaft und das Kantonsgericht beantragen die Abweisung der Beschwerde. Der amtliche Verteidiger hat sich zur Sache nicht vernehmen lassen. In seiner Replik hält der Beschwerdeführer an seinen Anträgen und Rechtsauffassungen fest. Die Staatsanwaltschaft hat sich erneut vernehmen lassen, ebenso der Beschwerdeführer.

Erwägungen:
1.
1.1. Beim angefochtenen Beschluss handelt es sich um einen kantonal letztinstanzlichen Zwischenentscheid in Strafsachen (Art. 78, 80 und 93 BGG).
1.2. Gemäss <ref-law> ist die Beschwerde gegen einen Zwischenentscheid unter anderem dann zulässig, wenn dieser einen nicht wieder gutzumachenden Nachteil bewirken kann. Dies trifft im Fall der Ablehnung eines Gesuchs um Wechsel des amtlichen Verteidigers insbesondere dann zu, wenn eine wirksame Verteidigung nicht mehr gewährleistet ist (<ref-ruling> E. 1.1 f. S. 115 f.; Urteile 1B_211/2014 vom 23. Juli 2014 E. 1.2, in: Pra 2014 Nr. 104 S. 838; 1B_127/2015 vom 8. Juni 2015 E. 1; je mit Hinweisen). Der Beschwerdeführer hat detailliert dargelegt, weshalb dies nach seiner Auffassung hier der Fall ist. Damit ist die Sachurteilsvoraussetzung von <ref-law> erfüllt. Auf die Beschwerde ist einzutreten.
2.
2.1. Der Beschwerdeführer macht geltend, der angefochtene Beschluss verletze <ref-law>, Art. 29 Abs. 3 und Art. 32 Abs. 2 BV sowie Art. 6 Abs. 3 lit. d EMRK. Die Vorinstanz sei zu Unrecht davon ausgegangen, dass kein Grund für einen Wechsel der amtlichen Verteidigung vorliege. Aufgrund des Zusammenschlusses seines amtlichen Verteidigers mit Rechtsanwältin E._ sei nicht mehr gewährleistet, dass er wirksam verteidigt werde. Gemäss der Rechtsprechung zu Art. 12 des Bundesgesetzes vom 23. Juni 2000 über die Freizügigkeit der Anwältinnen und Anwälte (Anwaltsgesetz, BGFA; SR 935.61) seien in Bezug auf Interessenkonflikte alle in einem Büro zusammengefassten Anwälte als Einheit zu betrachten. Ein Anwalt dürfe gemäss den Standesregeln nicht tätig werden, wenn er in derselben Rechtssache eine andere Partei mit widersprechenden Interessen beraten oder vertreten habe. Unerheblich sei, ob das erste, den gleichen Sachzusammenhang betreffende Verfahren bereits beendet sei. Vorliegend seien Konfliktsituationen vorhersehbar. So werde der amtliche Verteidiger während des Verfahrens Fragen an C._ stellen müssen. Diese werde sich fragen, wie es möglich sei, dass jemand aus der Kanzlei ihrer vormaligen Anwältin versuche, ihre Glaubwürdigkeit in Zweifel zu ziehen. Und er als Angeklagter werde sich fragen müssen, ob sein amtlicher Verteidiger in der Lage sei, bei der Befragung genügend kritisch und konsequent zu handeln. Wenn sein amtlicher Verteidiger in den Besitz von Informationen aus dem Dossier seiner Bürokollegin gelange, so gerate er in grösste Loyalitätskonflikte. Eine derartige Möglichkeit müsse von vornherein ausgeschlossen werden.
2.2. Das Kantonsgericht hält fest, das Verfahren gegen C._, die von Rechtsanwältin E._ verteidigt worden sei, sei mit dem Urteil des Strafgerichts Basel-Landschaft vom 14. September 2015 rechtskräftig im abgekürzten Verfahren abgeschlossen worden. Dabei habe sie gemäss <ref-law> auf Rechtsmittel verzichtet. Obwohl nicht abschliessend geklärt sei, inwiefern sich dieser Rechtsmittelverzicht auch auf die Revision erstrecke, sei immerhin unbestritten, dass nicht nachträglich neue Tatsachen oder Beweismittel geltend gemacht werden könnten (<ref-law>). Ebenso wenig sei möglich, sich auf einen Widerspruch zu einem anderen Strafurteil zu berufen (<ref-law>). Eine Revision des Strafurteils gegen C._ erscheine unter diesen Voraussetzungen ausgeschlossen. Deren ehemalige Verteidigerin sei zudem auch gegenüber dem amtlichen Verteidiger des Beschwerdeführers an das Anwaltsgeheimnis gebunden. Selbst wenn dieser gewisse Kenntnisse aus jenem Mandat erwerben würde, gefährdete dies eine wirksame Verteidigung nicht. Es gebe mithin keinen Grund für einen Wechsel. Ein solcher hätte zudem zur Folge, dass sich ein neuer Verteidiger kurz vor der Anklageerhebung in rund 30 Bundesordner umfassende Akten einarbeiten müsse.
2.3. Die Staatsanwaltschaft ist der Auffassung, erst wenn Rechtsanwältin E._ von ihrer ehemaligen Klientin erneut mandatiert würde, entstünde ein (potenzieller) Interessenkonflikt. Sie wäre diesfalls gehalten, das Mandat abzulehnen. Zum jetzigen Zeitpunkt könne jedoch weder der eine noch der andere Anwalt Kenntnisse aus früheren Mandaten zu Lasten eines der beiden Beschuldigten verwenden. Allein die theoretische Möglichkeit einer Berufspflichtverletzung durch Rechtsanwältin E._ könne nicht zur Beendigung des amtlichen Mandats von Rechtsanwalt D._ führen. Hinzu komme, dass der Beschwerdeführer selbst dann keine Nachteile zu befürchten habe, wenn sein amtlicher Verteidiger etwas aus jenem abgeschlossenen Mandat erfahren würde.
2.4. Nach der Praxis des Bundesgerichts zu Art. 29 Abs. 3 und Art. 32 Abs. 2 BV hat der amtlich verteidigte Beschuldigte einen grundrechtlichen Anspruch auf sachkundige, engagierte und effektive Wahrnehmung seiner Parteiinteressen (<ref-ruling> E. 2.4 S. 164 mit Hinweis). Ein Begehren um Auswechslung des amtlichen Verteidigers ist zu bewilligen, wenn aus objektiven Gründen eine sachgemässe Vertretung der Interessen des Beschuldigten durch den bisherigen Rechtsanwalt nicht mehr gewährleistet ist (<ref-ruling> E. 4b/aa S. 105 mit Hinweisen).
Über diesen grundrechtlichen Anspruch hinausgehend sieht seit Inkrafttreten der Schweizerischen Strafprozessordnung deren Art. 134 Abs. 2 vor, dass die Verfahrensleitung die amtliche Verteidigung einer anderen Person überträgt, wenn das Vertrauensverhältnis zwischen der beschuldigten Person und ihrer amtlichen Verteidigung erheblich gestört oder eine wirksame Verteidigung aus andern Gründen nicht mehr gewährleistet ist. Die gesetzliche Regelung trägt dem Umstand Rechnung, dass eine engagierte und effiziente Verteidigung nicht nur bei objektiver Pflichtverletzung der Verteidigung, sondern bereits bei erheblich gestörtem Vertrauensverhältnis beeinträchtigt sein kann. Dahinter steht die Idee, dass eine amtliche Verteidigung in jenen Fällen auszuwechseln ist, in denen auch eine privat verteidigte beschuldigte Person einen Wechsel der Verteidigung vornehmen würde (<ref-ruling> E. 2.4 S. 165 mit Hinweis auf die Botschaft).
Wird die subjektive Sichtweise des Beschuldigten in den Vordergrund gestellt, bedeutet dies aber nicht, dass allein dessen Empfinden bzw. dessen Wunsch für einen Wechsel der Verteidigung ausreicht. Vielmehr muss die Störung des Vertrauensverhältnisses mit konkreten Hinweisen belegt und objektiviert werden (<ref-ruling> E. 2.4 S. 165 mit Hinweisen).
2.5. Besteht beim amtlichen Verteidiger eine Interessenkollision, so kann dies eine wirksame Verteidigung beeinträchtigen (Urteil 1B_237/ 2007 vom 8. Januar 2008 E. 1.7.1). Dies trifft insbesondere bei einer Mehrfachverteidigung durch denselben Rechtsvertreter zu, wenn eine Interessenkollision nicht ausnahmsweise ausgeschlossen werden kann (vgl. im Einzelnen Urteile 6B_1076/2010 vom 21. Juni 2011 E. 2.2.2; 1B_7/2009 vom 16. März 2009 E. 5.8, nicht publ. in <ref-ruling>; je mit Hinweisen). Problematisch erscheint auch, wenn ein ehemaliger Verteidiger eines Angeklagten in einem späteren Verfahrensstadium einen anderen Mitangeklagten anwaltlich vertreten will. Zurückhaltung drängt sich schon deshalb auf, weil vertrauliche Informationen, die der frühere Klient seinem Verteidiger unter dem Schutz des Anwaltsgeheimnisses anvertraut hat, später zum Nachteil dieses Mitangeklagten strafprozessual verwendet werden könnten, indem der Verteidiger die vertraulichen Informationen nun im Interesse seines neuen Mandanten einsetzt (a.a.O., E. 5.9 mit Hinweisen). Wie der Beschwerdeführer zu Recht vorbringt, können Interessenkollisionen auch daraus entstehen, dass in einer Bürogemeinschaft verbundene Anwälte Klienten mit gegensätzlichen Interessen vertreten (WALTER FELLMANN, in: Kommentar zum Anwaltsgesetz, 2011, N. 88 ff. zu <ref-law>; FRANÇOIS BOHNET/VINCENT MARTENET, Droit de la profession d'avocat, 2009, Rz. 1435-1437).
Beim Bürowechsel von Anwälten können sich verschiedene Problemsituationen ergeben, wenn dadurch Mandate mit widersprüchlichen Interessen zusammengeführt werden (vgl. im Einzelnen HANS NATER, Vertraulichkeitskonflikte, SJZ 106/2010 S. 250). In der Fachliteratur wird als Ausweg vorgeschlagen, dem Klienten die Problematik darzulegen und gemeinsam mit ihm eine Lösung zu finden. Der Vertraulichkeitskonflikt soll so durch die Zustimmung des Klienten zur Weiterverwendung der anvertrauten Informationen entschärft werden (a.a.O., S. 250 f.). Denkbar ist mithin jedoch auch, dass der Klient seine Zustimmung verweigert und den Auftrag beendet. Grund dafür kann beispielsweise das fehlende Vertrauen sein, dass die konfligierenden Mandate durch organisatorische Vorkehren tatsächlich wirksam getrennt werden können.
Der Beschwerdeführer macht zu Recht geltend, dass ihm nach der Rechtsprechung ein Verteidigerwechsel nicht verwehrt werden solle, wenn eine privat verteidigte beschuldigte Person in der gleichen Situation einen solchen vornehmen würde (E. 2.4 hiervor). Dass sich eine privat verteidigte Person unter den gegebenen Umständen möglicherweise zu einem Verteidigerwechsel entschliessen würde, ist nicht von der Hand zu weisen. Dabei ist aus der Perspektive des Beschwerdeführers nachvollziehbar, dass er etwa befürchtet, sein amtlicher Verteidiger könnte sich bei einer Befragung von C._ Zurückhaltung auferlegen, um nicht seine Bürokollegin zu diskreditieren. Selbst wenn ein derartiger Zusammenhang nicht zwingend erscheint, ist es jedenfalls verständlich, wenn das Vertrauen des Beschwerdeführers in seinen amtlichen Verteidiger durch den Bürowechsel beeinträchtigt wurde. Nicht auszuschliessen sind auch anderweitige Loyalitätskonflikte. Falls der amtliche Verteidiger aufgrund der Bürogemeinschaft an Informationen aus dem Dossier von C._ gelangen sollte, wäre für ihn wohl schwierig zu entscheiden, wie damit umzugehen sei. Auch insoweit ist fraglich, ob der amtliche Verteidiger noch in der Lage wäre, sich ausschliesslich und effektiv für die Interessen seines Klienten einzusetzen.
Eine aus Sicht der beschuldigten Person erfolgte Störung des Vertrauensverhältnisses, die auf diese Weise mit konkreten Hinweisen belegt und objektiviert wurde, gilt nach dem Massstab von <ref-law> als Grund für einen Wechsel der amtlichen Verteidigung. Die Rüge des Beschwerdeführers ist somit begründet.
3.
Die Beschwerde ist gutzuheissen. Der angefochtene Entscheid ist aufzuheben und die Sache an die Staatsanwaltschaft zurückzuweisen, damit diese eine neue amtliche Verteidigung bestellt.
Bei diesem Ausgang des Verfahrens sind keine Gerichtskosten zu erheben (Art. 66 Abs. 1 und 4 BGG). Der Kanton Basel-Landschaft ist zu verpflichten, dem Vertreter des Beschwerdeführers eine angemessene Parteientschädigung auszurichten (Art. 68 Abs. 1 und 2 BGG). Damit erweist sich dessen Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege als gegen standslos.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird gutgeheissen und der angefochtene Beschluss des Kantonsgerichts Basel-Landschaft vom 14. Juni 2016 aufgehoben. Die Angelegenheit wird zum Wechsel der amtlichen Verteidigung an die Staatsanwaltschaft Basel-Landschaft zurückgewiesen.
2.
Es werden keine Gerichtskosten erhoben.
3.
Der Kanton Basel-Landschaft hat dem Vertreter des Beschwerdeführers, Rechtsanwalt Dr. Christian von Wartburg, für das Verfahren vor Bundesgericht eine Entschädigung von Fr. 1'500.-- zu bezahlen.
4.
Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer, der Staatsanwaltschaft Basel-Landschaft, Rechtsanwalt D._ und dem Kantonsgericht Basel-Landschaft, Abteilung Strafrecht, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 11. Januar 2017
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Merkli
Der Gerichtsschreiber: Dold