Faits :
A.
X._, née en 1948, a travaillé en qualité d'employée d'exploitation au CHUV jusqu'au 31 octobre 1992; à ce titre, elle était affiliée pour la prévoyance professionnelle auprès de la Caisse de pension de l'État de Vaud (CPEV). En septembre 1992, elle a demandé le remboursement en espèces de sa prestation de départ, indiquant qu'elle était mariée et cessait toute activité lucrative. La CPEV a accepté la demande et payé la prestation de départ par chèque du 1er décembre 1992; dans son courrier du 24 novembre 1992, la caisse précisait à X._ que, durant le délai de 30 jours entre la fin des rapports de travail et le versement, elle était assurée contre les risques d'invalidité définitive et de décès.
Le 12 avril 1993, X._ a déposé auprès de l'office de l'assurance-invalidité pour le canton de Vaud (office AI) une demande tendant à l'octroi d'une rente d'invalidité.
Du 1er septembre 1993 au 30 septembre 1995, X._ a travaillé comme employée de maison à 40% dans une institution à Lausanne. Elle a été affiliée auprès du Fonds A._. Dans sa demande d'affiliation du 27 septembre 1993, elle a notamment indiqué jouir d'une pleine capacité de travail et ne souffrir, à sa connaissance, ni d'une infirmité, ni des suites d'une maladie ou d'un accident.
Par décision du 26 août 1996, l'office AI a mis X._ au bénéfice d'une rente entière de l'assurance-invalidité avec effet rétroactif au 1er octobre 1993. Selon les avis médicaux versés au dossier AI, l'incapacité de travail a débuté le 1er novembre 1992 et le besoin de traitement médical s'est manifesté le 22 avril 1993.
Le 22 janvier 1997, X._ a adressé au Fonds A._ une demande de prestations d'invalidité. Celles-ci ont été refusées au motif que l'incapacité de travail à l'origine de l'invalidité était antérieure à l'affiliation au fonds.
X._ a recouru contre cette décision auprès du Tribunal des assurances du canton de Vaud. Dans cette procédure, elle a été mise au bénéfice de l'assistance judiciaire et représentée successivement par trois avocats, dont Me Z._ en dernier lieu. Le 30 juin 1999, cet avocat avait informé le Tribunal des assurances de sa constitution en qualité de nouveau conseil de X._; il a été désigné en qualité de conseil d'office le 11 janvier 2000. Par jugement du 19 février 2001 notifié le 30 avril 2001 à Me Z._, le Tribunal des assurances a rejeté le recours. Ce jugement n'a pas été attaqué.
Le 21 avril 2008, X._ a déposé une demande de rente d'invalidité de la prévoyance professionnelle auprès de la CPEV. La caisse a reconnu une invalidité définitive à 100% dès le 1er novembre 1992, mais s'est prévalue de la prescription.
Le 23 octobre 2009, X._ a introduit une action tendant à l'octroi, par la CPEV, d'une rente d'invalidité. Par jugement du 20 septembre 2011, la Cour des assurances sociales du Tribunal cantonal du canton de Vaud a rejeté la demande, au motif que le droit de X._ de percevoir une rente de la part de la CPEV était prescrit. Le Tribunal fédéral a rejeté le recours formé contre ce jugement par arrêt du 4 juillet 2012 (cause 9C_94/2012).
B.
Par demande du 19 juillet 2013, X._ a ouvert action contre Z._, concluant au paiement de dommages-intérêts par 1'508'954 fr.55 plus intérêts; ce montant, porté ultérieurement à 1'585'022 fr.85, représente essentiellement les prestations d'invalidité en faveur de la demanderesse et de trois enfants. X._ reproche à l'avocat une mauvaise exécution du mandat; il ne l'aurait pas informée de ses droits à l'obtention de prestations d'invalidité de la part de la CPEV et n'aurait pas entrepris les démarches nécessaires auprès de cette caisse afin d'interrompre la prescription. Elle soutient qu'après la fin du mandat d'office, intervenue en février 2002, l'avocat était "toujours mandaté par [elle] et restait tenu de l'informer sur les démarches à entreprendre afin d'obtenir des prestations d'invalidité de la CPEV".
Z._ a conclu au rejet de la demande. En particulier, il a contesté sa légitimation passive, soutenant que les actes qu'il avait accomplis pour la recourante s'étaient toujours inscrits dans le cadre de sa mission de défenseur d'office; selon lui, c'était l'État de Vaud qui devait, le cas échéant, être recherché en responsabilité.
Par jugement du 25 septembre 2015, la Chambre patrimoniale cantonale du canton de Vaud a rejeté la demande. En résumé, elle a jugé que la preuve d'un mandat privé qui aurait succédé au mandat d'office n'avait pas été apportée, que l'avocat avait agi uniquement en qualité de conseil d'office, qu'il n'était, en tant que tel, pas tenu envers X._ de réparer le dommage et que, le cas échéant, c'était à l'État de Vaud d'assumer cette responsabilité; partant, elle a nié la légitimation passive de Z._. A titre subsidiaire, la Chambre patrimoniale a jugé que d'éventuelles prétentions en dommages-intérêts à l'encontre de l'avocat seraient de toute façon prescrites, le délai de prescription de cinq ans étant venu à échéance au plus tard en octobre 2008.
X._ a interjeté appel. Par arrêt du 19 février 2016, la Cour d'appel civile du Tribunal cantonal vaudois a confirmé le jugement de première instance en ce qu'il rejetait la demande pour cause de défaut de légitimation passive; en revanche, elle a laissé ouverte la question de la prescription des prétentions en dommages-intérêts envers l'avocat.
Selon la cour cantonale, X._ n'a pas prouvé avoir conclu un mandat avec l'avocat après que celui-ci lui a communiqué le jugement cantonal du 19 février 2001 dans la procédure ouverte contre le Fonds A._, pas plus qu'elle n'a prouvé que l'avocat aurait continué à l'assister ou la représenter après cette date. La preuve d'un mandat privé ayant pris place à la suite du mandat d'office n'étant pas apportée, la Cour d'appel civile a retenu que l'avocat avait agi uniquement en qualité de conseil d'office de X._. A l'instar des juges de première instance, elle a jugé que Z._ ne répondait pas personnellement, envers X._, d'une éventuelle négligence dans l'exécution du mandat d'office.
A la suite de l'annulation de son mariage, X._ a repris son nom de jeune fille.
C.
X._ interjette un recours en matière civile. Elle conclut à ce que Z._ soit condamné à lui verser la somme de 1'585'022 fr.85 avec intérêt à 5% dès le 27 novembre 2014; elle demande subsidiairement le renvoi de la cause à l'autorité précédente, voire à l'autorité de première instance. La recourante fait valoir principalement que l'intimé est responsable en qualité de mandataire privé, sur la base du mandat qu'elle lui a confié lors de la première consultation en 1999; à titre subsidiaire, elle soutient que l'avocat commis d'office est personnellement responsable de la bonne et fidèle exécution du mandat d'office.
La recourante a requis le bénéfice de l'assistance judiciaire, qui lui a été accordée par ordonnance du 29 août 2016 avec désignation de son mandataire comme avocat d'office.
L'intimé propose le rejet du recours. Par la suite, les parties ont chacune déposé des observations.

Considérant en droit :
1.
Le recours est dirigé contre une décision finale (<ref-law>) rendue en matière civile (<ref-law>) par un tribunal supérieur désigné comme autorité cantonale de dernière instance, lequel a statué sur recours (<ref-law>). La cause atteint la valeur litigieuse de 30'000 fr. ouvrant le recours en matière civile dans les affaires ne relevant ni du droit du travail ni du droit du bail à loyer (<ref-law>). Au surplus, le recours est exercé par la partie qui a succombé dans ses conclusions condamnatoires et qui a donc qualité pour recourir (<ref-law>); il a été déposé dans le délai (art. 46 al. 1 let. a et art. 100 al. 1 LTF) et la forme (<ref-law>) prévus par la loi.
2.
Les omissions reprochées à l'intimé en matière d'information et d'interruption de la prescription se rapportent aux éventuels droits de la recourante à l'encontre de la CPEV. Il se pose d'abord la question de savoir si les actes omis entraient dans le cadre d'un mandat de l'intimé et, si tel est le cas, s'il s'agissait du mandat d'avocat d'office, confié par l'État de Vaud en rapport avec la procédure judiciaire contre le Fonds A._, ou d'un mandat privé exercé en qualité d'avocat choisi par la recourante.
2.1. Le 30 juin 1999, à un moment où le procès contre le Fonds A._ était déjà pendant, l'intimé a reçu un mandat privé de la part de la recourante. L'étendue exacte de ce mandat n'a pas été établie par l'autorité précédente. La recourante ne soulève aucune critique sur l'absence de constatations à ce sujet, point dont la cour de céans ne saurait se saisir d'office.
Au début de l'an 2000, l'intimé a été mandaté comme avocat d'office de la recourante. L'acte correspondant n'est pas détaillé dans l'arrêt attaqué et ne figure pas dans le dossier cantonal; la seule pièce relative à cette désignation est la communication du 11 janvier 2000 du Tribunal cantonal, avec la référence "assistance judiciaire AJ n° vvv - TC n° www", adressée à Me B._, dans laquelle ce dernier est relevé de sa mission d'avocat d'office, confiée le 30 mars 1999; Me B._ est informé de la désignation de Me Z._ pour le remplacer et est prié de lui transmettre le dossier. On peut en déduire que le mandat d'office de l'intimé se rapportait à la défense des intérêts de la recourante dans la procédure judiciaire ouverte contre le Fonds A._, laquelle s'est terminée avec l'entrée en force du jugement du 19 février 2001 du Tribunal des assurances; les parties n'allèguent rien d'autre.
La Cour d'appel civile a retenu enfin que la recourante n'a pas apporté la preuve qu'elle avait confié un mandat privé à l'intimé après que le mandat d'office avait pris fin en 2001. Cette constatation de fait n'est pas contestée. Au contraire, dans son mémoire de recours, la recourante soutient que les actes omis après la fin du mandat d'office relèvent du mandat privé confié en 1999.
2.2. Comme la portée du mandat privé de 1999 n'est pas connue, la recourante ne peut pas fonder ses prétentions en dommages-intérêts sur la mauvaise exécution de ce mandat. Il est à noter que dans ce contexte, elle se réfère à tort à l'art. 12 let. a de la loi fédérale sur la libre circulation des avocats (LLCA; RS 935.61); en effet, cette loi n'est entrée en vigueur que le 1er juin 2002, soit postérieurement aux prétendues omissions. Il n'y a dès lors pas place pour une responsabilité de l'intimé sur la base d'un mandat d'avocat de choix.
Pour sa part, l'intimé conteste formellement tout défaut de diligence. Mais, sous cette réserve, il admet explicitement, comme il l'avait déjà soutenu en instance cantonale, que si omissions fautives il y a eu, elles seraient clairement intervenues en violation des devoirs incombant à tout avocat à l'issue d'une procédure, qui consistent notamment à orienter diligemment son client sur le résultat de la procédure en question et ses suites éventuelles (recours, autres démarches, etc.); ce serait donc bel et bien dans le cadre de l'exécution du mandat d'office qu'il aurait fait preuve d'un défaut de diligence. Il est ainsi admis par l'intimé que les omissions invoquées par la recourante relèveraient du mandat d'avocat d'office qui lui avait été confié, comme cela a été retenu dans l'arrêt attaqué.
3.
Cela étant, la question qui se pose à ce stade est celle de la responsabilité de l'avocat d'office.
Selon la cour cantonale, l'avocat d'office accomplit une tâche étatique et doit dès lors être considéré comme un agent public au sens de l'<ref-law> et de l'art. 3 al. 1 ch. 13 de la loi vaudoise sur la responsabilité de l'État, des communes et de leurs agents (LRECA/VD; RS/VD 170.11); partant, la responsabilité pour les dommages que l'avocat d'office est susceptible de causer en violation de ses devoirs est régie par les art. 4 ss LRECA/VD, en particulier par l'art. 5 LRECA/VD aux termes duquel l'agent n'est pas personnellement tenu envers le lésé de réparer le dommage.
3.1. Entre l'avocat d'office auquel il est donné un mandat d'assistance judiciaire, d'une part, et la collectivité publique qui lui confie ce mandat, d'autre part, il existe un rapport juridique soumis au droit public, lequel régit notamment l'obligation d'accepter le mandat, les motifs de libération du mandat ainsi que la rétribution due pour l'activité exercée; de ce fait, l'avocat d'office accomplit une tâche étatique (<ref-ruling> consid. 7.1 p. 205; <ref-ruling> consid. 3b p. 325; <ref-ruling> consid. 4a p. 23; <ref-ruling> consid. 6 p. 71; cf. également <ref-ruling> consid. 2.4 p. 220; Vincent Spira, L'avocat au bénéfice de l'assistance juridique, in Mélanges en l'honneur de Dominique Burger, 2008, p. 330; Pierre Christe, Rôle et fonction de l'avocat dans la protection des droits, RDS 107/1988 II p. 497). Ce lien de droit public entre l'avocat d'office et la collectivité publique n'implique pas nécessairement que le droit public régisse également les rapports entre l'avocat d'office et la personne qu'il assiste sur mandat de la collectivité publique (cf. ATF 60 I 12 consid. 1 p. 17; ROLAND Brehm, Berner Kommentar, 4e éd. 2013, n° 21 ad <ref-law>). Il faut admettre au contraire que ces rapports-ci sont soumis au droit privé (Walter Fellmann, Berner Kommentar, 1992, n° 146 ad <ref-law> et n° 56 ad <ref-law>; Georg Gautschi, Berner Kommentar, 3e éd. 1971, n° 30b ad <ref-law>; cf. pour le droit actuel, Michel Valticos, in Commentaire romand - loi sur les avocats, 2010, n° 252 ad <ref-law>; contra apparemment: Spira, op. cit., p. 330). Il s'ensuit qu'envers la personne qu'il assiste, l'avocat d'office répond d'un éventuel défaut de diligence sur la base du droit privé. Ainsi, dans un arrêt se rapportant à une cause civile où l'avocat d'office d'un enfant né hors mariage et de sa mère avait laissé passer le délai pour ouvrir action en paternité, le Tribunal fédéral a jugé que l'avocat d'office ne contestait plus, à bon droit, répondre du dommage causé à l'enfant et à la mère sur la base des règles de droit privé sur le mandat (<ref-ruling> consid. 1 p. 368 s.).
3.2. En l'espèce, la question est de savoir si le droit cantonal peut déroger à ce régime et prévoir une responsabilité exclusive de l'État en cas de mauvaise exécution du mandat par l'avocat d'office (cf. <ref-ruling> consid. 1b p. 251 s.). D'aucuns ont répondu par l'affirmative, estimant que le canton peut notamment renvoyer à la législation cantonale en matière de responsabilité des agents publics envers les administrés. Leur opinion se fonde principalement sur le fait que le Tribunal fédéral a admis un tel renvoi pour le notaire; ces auteurs relèvent en outre que la notion de fonctionnaires et employés publics est interprétée très largement dans la jurisprudence (Piermarco Zen-Ruffinen, Assistance judiciaire et administrative: les règles minima imposées par l'article 4 de la Constitution fédérale, JT 1989 I p. 53; Pierre Wessner, La responsabilité professionnelle de l'avocat au regard de son devoir général de diligence, RJN 1986 p. 15 s.).
3.2.1. La législation cantonale peut déroger aux dispositions de droit privé fédéral en ce qui concerne la responsabilité encourue par des fonctionnaires et employés publics pour le dommage et le tort moral qu'ils causent dans l'exercice de leur charge (<ref-law>; cf. <ref-ruling> consid. 2a p. 151). Le but de cette disposition est de permettre au canton de protéger ses employés face à des prétentions injustifiées de tiers (Brehm, op. cit., n° 5b ad <ref-law>). Est concernée toute personne qui, même sans être au service de l'État, est investie d'attributions de droit public (<ref-ruling>; <ref-ruling> consid. 4a p. 539).
L'avocat d'office, au même titre que l'avocat de choix, exerce une activité d'avocat, à savoir celle de défendre en toute indépendance les intérêts d'un justiciable dans le cadre d'une procédure devant les autorités judiciaires; comme l'avocat choisi, il est mandaté pour sauvegarder les intérêts particuliers d'un justiciable déterminé et pour rien d'autre. Certes, le mandat d'office est donné par la collectivité publique afin de garantir l'égalité des parties dans le procès, ce qui est non seulement dans l'intérêt du bénéficiaire de l'assistance judiciaire, mais aussi dans l'intérêt public; cela ne signifie pas pour autant que l'avocat d'office, souvent proposé par la partie qui entend requérir l'assistance judiciaire, ait par rapport à cette partie un autre rôle que s'il était avocat de choix. On peut d'ailleurs se demander si l'égalité des parties ne commande pas la représentation par un avocat personnellement responsable tant pour la partie au bénéfice de l'assistance judiciaire que pour la partie économiquement en mesure de mandater elle-même un avocat, afin d'éviter le sentiment chez la première d'avoir un défenseur éventuellement moins intéressé à faire preuve de toute la diligence nécessaire. Quoi qu'il en soit, l'avocat commis d'office a un mandat public en faveur d'un tiers, le bénéficiaire de l'assistance judiciaire, mais ne se trouve pas dans un rapport de subordination quelconque face à la collectivité publique qui l'a mandaté, laquelle ne saurait lui donner d'instructions sur la manière d'exercer le mandat confié. Il n'est pas non plus soumis à une surveillance différente de celle à laquelle il serait soumis en tant qu'avocat de choix. Le fait qu'il reçoive, le cas échéant, des honoraires réduits est sans pertinence pour la question à trancher, ces honoraires devant au demeurant être fixés de façon à couvrir tous ses frais généraux, dont font partie les coûts de l'assurance responsabilité civile professionnelle (cf. <ref-ruling> consid. 5.4 p. 190).
Par ailleurs, le rôle de l'avocat d'office se différencie fondamentalement de celui du notaire. Ce dernier accomplit des actes de puissance publique, par exemple lorsqu'il établit un acte authentique. Il est alors un officier public dont les relations avec ses clients relèvent du droit public. Certes, le notaire exerce également d'autres activités, par exemple de conseil, qui ressortissent au droit privé. Distinguer les unes des autres peut toutefois se révéler difficile; ainsi, l'instrumentation d'un acte authentique est souvent liée à une activité de conseil juridique fournie aux parties à l'acte. Un régime de responsabilité uniforme du notaire peut alors être souhaitable. C'est pourquoi le Tribunal fédéral a admis que les cantons étaient habilités, en vertu de l'<ref-law>, à régler la responsabilité des notaires pour l'ensemble de leurs activités, tant celles relevant du droit public que celles relevant du droit privé (cf. <ref-ruling> consid. 7 p. 372 ss). A la différence du notaire qui est en premier lieu un officier public, l'avocat, le plus souvent, agit principalement dans le cadre de mandats privés. Et lorsqu'il est commis d'office, il ne devient pas un officier public; certes, il a une qualité officielle ( obrigkeitliche Bestellung, cf. <ref-law>) et remplit une tâche d'intérêt public, mais il n'est pas une personne investie d'attributions de droit public ( hoheitliche Amtsverrichtung).
En conséquence, il faut admettre que sous le droit antérieur à l'entrée en vigueur de la LLCA, les cantons ne pouvaient pas exclure la responsabilité civile de l'avocat d'office. Autre est la question, non pertinente en l'espèce, de la compétence pour introduire, par le biais du droit cantonal, une responsabilité du canton en sus de celle de l'avocat d'office découlant du droit privé fédéral.
3.2.2. La LLCA n'a rien changé à cet égard. Cette loi fixe les principes applicables à l'exercice de la profession d'avocat (<ref-law>) par une réglementation exhaustive des règles professionnelles de l'avocat en Suisse (Message du 28 avril 1999 concernant la loi fédérale sur la libre circulation des avocats, FF 1999 5368 ch. 233.2; Bohnet/Othenin-Girard/Schweizer, in Commentaire romand - loi sur les avocats, 2010, n° 52 ad <ref-law>). La seule réserve en faveur des cantons est la possibilité de fixer, dans le cadre de la LLCA, les exigences pour l'obtention du brevet d'avocat et le droit d'autoriser les titulaires des brevets d'avocat qu'ils délivrent à représenter les parties devant leurs propres autorités judiciaires (<ref-law>). Pour être inscrit au barreau, condition nécessaire pour pratiquer la représentation en justice, l'avocat doit être en mesure de pratiquer en toute indépendance et il ne peut être employé que par des personnes elles-mêmes inscrites dans un registre cantonal des avocats (art. 4 et art. 8 al. 1 let. d LLCA). A teneur de l'<ref-law>, l'avocat inscrit au barreau exerce son activité professionnelle non seulement en toute indépendance et en son nom personnel, mais également sous sa propre responsabilité; ces exigences s'appliquent sans restriction aux causes dans lesquelles l'avocat a été commis d'office (cf. art. 12 let. g LLCA). Le caractère exhaustif de l'<ref-law> s'oppose ainsi à toute réglementation cantonale excluant la responsabilité de l'avocat d'office pour les dommages dus à un défaut de diligence lors de l'exécution du mandat d'office. Au demeurant, une réglementation différente de la responsabilité de l'avocat d'office selon les cantons n'est guère conciliable avec l'unification de la réglementation professionnelle de l'avocat voulue par la LLCA.
3.3. En résumé, l'avocat d'office, même s'il exerce une tâche d'intérêt public, n'est pas un agent public au sens de l'<ref-law>. Conformément à l'art. 49 Cst., le droit cantonal ne peut donc pas déroger au droit privé fédéral, en excluant la responsabilité civile personnelle de l'avocat d'office.
C'est dès lors en violation du droit fédéral que la cour cantonale a nié la légitimation passive de l'intimé.
4.
Le recours doit être admis pour ce motif, de sorte que le grief tiré d'une interprétation arbitraire du droit cantonal devient sans objet.
La cour de céans n'est pas en mesure de se prononcer à ce stade sur la prétention en dommages-intérêts de la recourante. La cause sera dès lors renvoyée à l'autorité précédente pour suite de la procédure.
L'intimé qui succombe prendra à sa charge les frais (<ref-law>) et les dépens de la présente procédure (art. 68 al. 1 et 2 LTF).

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce :
1.
Le recours est admis.
L'arrêt attaqué est annulé et la cause est renvoyée à la Cour d'appel civile du Tribunal cantonal vaudois pour suite de la procédure.
2.
Les frais judiciaires, arrêtés à 8'000 fr., sont mis à la charge de l'intimé.
3.
L'intimé versera à l'avocat de la recourante une indemnité de 9'000 fr. à titre de dépens.
Au cas où les dépens ne pourraient pas être recouvrés, la caisse du Tribunal fédéral versera à l'avocat de la recourante une indemnité de 9'000 fr. à titre d'honoraires d'avocat d'office.
4.
Le présent arrêt est communiqué aux mandataires des parties et à la Cour d'appel civile du Tribunal cantonal du canton de Vaud.
Lausanne, le 19 décembre 2016
Au nom de la Ire Cour de droit civil
du Tribunal fédéral suisse
La Présidente : Kiss
La Greffière : Godat Zimmermann