Sachverhalt:
A.
A._ (Beschwerdeführerin) und B._ (Beschwerdegegner) stehen seit dem 2. Dezember 2015 vor Bezirksgericht Horgen in einem Scheidungsverfahren. Mit Verfügung vom 9. Mai 2016 wurde der Beschwerdeführerin - unter Androhung von Bestrafung mit Busse gemäss <ref-law> im Widerhandlungsfalle - verboten, die vom Beschwerdegegner im Rahmen des Scheidungsverfahrens einzureichenden Urkunden zu seinen finanziellen Verhältnissen (inklusive allfälliger Übersetzungen davon) ausserhalb des Scheidungsverfahrens zu verwenden, namentlich Dritten zugänglich zu machen (mit Ausnahme solcher, die einem strafrechtlich geschützten Berufsgeheimnis unterliegen).
B.
Mit Beschwerde vom 20. Mai 2016 an das Obergericht des Kantons Zürich verlangte die Beschwerdeführerin die Aufhebung dieser Verfügung. Mit Beschluss vom 21. Juni 2016 trat das Obergericht auf die Beschwerde nicht ein.
C.
Am 27. Juli 2016 (Postaufgabe) hat die Beschwerdeführerin Beschwerde in Zivilsachen und eventualiter subsidiäre Verfassungsbeschwerde an das Bundesgericht erhoben. Sie verlangt, den Beschluss des Obergerichts aufzuheben und die Angelegenheit zur Neubeurteilung an das Obergericht zurückzuweisen.
Das Bundesgericht hat die Akten beigezogen, aber keine Vernehmlassungen eingeholt.

Erwägungen:
1.
Das Bundesgericht prüft von Amtes wegen und mit freier Kognition, ob ein Rechtsmittel zulässig ist (<ref-ruling> E. 1 S. 133; <ref-ruling> E. 1 S. 216; je mit Hinweisen).
1.1. Im angefochtenen Beschluss ist das Obergericht auf eine kantonale Beschwerde nicht eingetreten, die gegen eine erstinstanzliche Verfügung zur Wahrung schutzwürdiger Interessen (<ref-law>) gerichtet war. Das Obergericht hat seinen Nichteintretensbeschluss damit begründet, dass nicht offenkundig sei, weshalb der Beschwerdeführerin durch die angefochtene Verfügung ein nicht leicht wiedergutzumachender Nachteil drohe (<ref-law>). Die Beschwerdeführerin habe dies auch nicht dargelegt.
1.2. Der angefochtene Beschluss des Obergerichts beendet einzig den Streit um die erstinstanzliche Verfügung, nicht aber das Hauptverfahren. In der Terminologie des BGG handelt es sich beim angefochtenen Beschluss demnach um einen Zwischenentscheid (vgl. <ref-ruling> E. 1.1 S. 381 f.).
Selbständig eröffnete Vor- und Zwischenentscheide können vor Bundesgericht nur unter den Voraussetzungen von Art. 92 und <ref-law> angefochten werden. Vorliegend kommt einzig die Variante gemäss <ref-law> in Betracht, d.h. die Beschwerde ist zulässig, wenn der Zwischenentscheid einen nicht wieder gutzumachenden Nachteil bewirken kann.
Der nicht wieder gutzumachende Nachteil im Sinne von <ref-law> muss rechtlicher Natur sein. Das setzt voraus, dass er sich auch mit einem späteren günstigen Endentscheid nicht oder nicht gänzlich beseitigen lässt. Die blosse Möglichkeit eines nicht wieder gutzumachenden Nachteils rechtlicher Natur genügt. Dagegen reichen rein tatsächliche Nachteile wie die Verfahrensverlängerung oder -verteuerung nicht aus (<ref-ruling> E. 1.2.1 S. 382; <ref-ruling> E. 6 S. 192; je mit Hinweisen). Es obliegt der Beschwerdeführerin darzutun, dass die Voraussetzungen von <ref-law> erfüllt sind, es sei denn, deren Vorliegen springe geradezu in die Augen (<ref-ruling>E. 1.1 S. 329; <ref-ruling> E. 1.2 S. 429).
1.3. Die Beschwerdeführerin sieht den nicht wieder gutzumachenden Nachteil darin, dass sie in ihrer Freiheit beschränkt werde, die Ergebnisse des Scheidungsverfahrens ausserhalb desselben zu eigenen legitimen Zwecken zu verwenden. Dieser Nachteil werde durch die Strafandrohung verschärft.
Zu welchen konkreten Zwecken sie die Unterlagen des Beschwerdegegners verwenden will, legt sie im Zusammenhang mit ihren Ausführungen zu <ref-law> nicht dar. Soweit dazu hilfsweise auf ihre Argumente zurückgegriffen wird, mit denen sie die Verletzung von <ref-law> zu begründen versucht, so geht es dabei um rein wirtschaftliche bzw. tatsächliche Interessen. Sie beruft sich etwa auf finanzielle Fragen bei der Ausbildung der Kinder oder in Bezug auf Versicherungen und auf eine angeblich bevorstehende Auseinandersetzung mit der Bank C._. Letzteres bleibt allerdings vage und kaum nachvollziehbar (angebliche Absicherung oder Refinanzierung eines Kredites des Beschwerdegegners, für die sie sich allenfalls an Privatpersonen halten müsse, wobei sie für den Kredit angeblich ihre eigene Liegenschaft als Pfand zur Verfügung gestellt hatte). Ihre Ausführungen finden im Übrigen im angefochtenen Beschluss keine Grundlage (vgl. zur Massgeblichkeit der vorinstanzlichen Tatsachenfeststellungen, wenn die Tatsachen sowohl für das Eintreten des Bundesgerichts wie auch für die Beurteilung der Beschwerde in der Sache relevant sind, Urteil 4A_93/2015 vom 22. September 2015 E. 1.2.3.3, nicht publ. in: <ref-ruling>). Soweit es um Kontakte mit der Bank C._ geht, hat die Beschwerdeführerin nach den obergerichtlichen Feststellungen sodann selber ausgeführt, dass diese einem Berufsgeheimnis unterstehe und der Kontakt zu ihr durch die Verfügung gerade nicht verboten werde. Für welche "dort involvierten" Personen dies nun plötzlich nicht mehr gelten soll, wie die Beschwerdeführerin vor Bundesgericht neu geltend macht, legt sie nicht näher dar. Dass die Einschränkungen für sie bloss tatsächliche Nachteile darstellen, gibt sie im Übrigen selber zu, indem sie ausführt, es bedeute für sie einen Aufwand an Zeit und Geld, jeweils das Gericht anzurufen, wenn sie die Beweismittel verwenden wolle und der Beschwerdegegner seine Zustimmung dazu nicht gebe. Dies genügt im Rahmen von <ref-law> jedoch gerade nicht. Dass die Verfügung des Bezirksgerichts mit einer Strafandrohung nach <ref-law> versehen ist, stellt schliesslich für sich allein keinen relevanten Nachteil nach <ref-law> dar (vgl. Urteile 4A_64/2011 und 4A_210/2011 vom 1. September 2011 E. 3, in: sic! 1/2012 S. 52; 4A_585/2014 vom 27. November 2014 E. 1.1.1). Der Nachteil muss sich vielmehr aus der strafbewehrten Anordnung selbst ergeben.
Ein drohender Nachteil im Sinne von <ref-law> liegt somit weder offenkundig vor noch ist er genügend dargetan. Auf die Beschwerde ist nicht einzutreten. Die Erhebung der subsidiären Verfassungsbeschwerde ändert daran nichts (<ref-law>).
2.
Bei diesem Ausgang des Verfahrens trägt die Beschwerdeführerin die Gerichtskosten (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 2'000.-- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Zürich, I. Zivilkammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 26. September 2016
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: von Werdt
Der Gerichtsschreiber: Zingg