Fatti:
A.
Con decisione del 19 maggio 2015, la Segreteria di Stato della migrazione (SEM) ha rifiutato l'approvazione della proroga del permesso di dimora in favore di A._, cittadina malgascia, assegnandole un termine per lasciare la Svizzera.
Contro questa decisione, A._ ha interposto ricorso al Tribunale amministrativo federale.
B.
Con sentenza del 3 maggio 2016, il Tribunale amministrativo federale ha constatato che il versamento dell'anticipo spese richiesto ad A._ era tardivo. Ritenuto che gli estremi per una restituzione del termine non erano dati, ha quindi respinto una domanda in tal senso e dichiarato inammissibile l'impugnativa davanti ad esso interposta.
Il Tribunale amministrativo federale ha nel contempo rilevato che, in assenza di fatti nuovi e decisivi, nemmeno vi erano gli estremi per entrare nel merito della domanda di concessione dell'assistenza giudiziaria presentata il 22 aprile 2016, dopo che una prima domanda in tal senso già era stata respinta con decisione del 5 febbraio precedente.
C.
Con ricorso in materia di diritto pubblico del 9 giugno 2016 A._ ha impugnato la sentenza dei Giudici di prima istanza davanti al Tribunale federale, postulando l'annullamento della stessa, il rinvio dell'incarto al Tribunale amministrativo federale per nuovo giudizio, e la concessione dell'assistenza giudiziaria.
Il Tribunale federale ha richiesto all'autorità inferiore e alla Segreteria di Stato della migrazione la trasmissione degli atti in loro possesso. Non ha per contro ordinato nessuno scambio di scritti.

Diritto:
1.
1.1. L'impugnativa è diretta contro una pronuncia resa dal Tribunale amministrativo federale nel quadro di un litigio che riguarda il diritto degli stranieri. Giusta l'art. 83 lett. c n. 2 LTF, il ricorso in materia di diritto pubblico è inammissibile contro le decisioni in materia di diritto degli stranieri concernenti permessi o autorizzazioni al cui ottenimento né il diritto federale né il diritto internazionale conferiscono un diritto.
Nel caso in esame, la ricorrente ritiene di avere un diritto al rinnovo del suo permesso di dimora in Svizzera sulla base dell'art. 50 LStr. Non risultando queste conclusioni d'acchito insostenibili, la causa sfugge quindi alla citata clausola d'eccezione (sentenze 2C_295/2016 del 10 giugno 2016 consid. 3.1; 2C_536/2012 del 18 settembre 2012 consid. 1.2; 2C_128/2007 del 17 ottobre 2007 consid. 2 e 2C_64/2007 del 29 marzo 2007 consid. 2.1).
1.2. Diretto contro una decisione finale del Tribunale amministrativo federale (art. 86 cpv. 1 lett. a e 90 LTF), il ricorso è stato presentato tempestivamente (<ref-law>) dalla destinataria della pronuncia contestata, che ha un chiaro interesse al suo annullamento (<ref-law>). Per quanto precede, l'impugnativa è ammissibile quale ricorso in materia di diritto pubblico ex art. 82 segg. LTF.
Nella misura in cui l'insorgente adduce argomentazioni che esulano dall'oggetto del litigio - che sono la questione dell'inammissibilità a causa del pagamento tardivo dell'anticipo spese rispettivamente del diritto alla restituzione del termine da una parte, e la questione del rifiuto di entrare nel merito di una nuova richiesta di assistenza giudiziaria dall'altra - il suo ricorso sfugge tuttavia ad un esame di questa Corte (sentenza 2C_295/2016 del 10 giugno 2016 consid. 3.3). Se infatti è vero che il giudizio impugnato contiene considerazioni anche sull'art. 50 LStr, i Giudici di prima istanza non hanno affatto esaminato il merito della vertenza, ma hanno semmai voluto ribadire, in via abbondanziale, quanto da loro indicato - prima facie - nella decisione incidentale del 5 febbraio 2016 nell'ambito dell'esame della prima richiesta di assistenza giudiziaria.
2.
La ricorrente non contesta che il pagamento dell'anticipo spese sia avvenuto in ritardo, bensì il mancato riconoscimento degli estremi per la restituzione del termine.
2.1. Giusta l'art. 24 cpv. 1 della legge federale sulla procedura amministrativa del 20 dicembre 1968 (PA; RS 172.021), applicabile in virtù dell'art. 37 della legge federale sul Tribunale amministrativo federale del 17 maggio 2005 (LTAF: RS 173.32), se il richiedente o il suo rappresentante è stato impedito senza sua colpa di agire nel termine stabilito, il termine è restituito in quanto, entro 30 giorni dalla cessazione dell'impedimento, ne sia fatta domanda motivata e sia compiuto l'atto omesso. Per giurisprudenza, in linea di conto possono entrare impedimenti di natura oggettiva, quali catastrofi naturali, il servizio militare, o gravi malattie, ma anche di natura soggettiva, quali quelli di un intralcio o di errore senza colpa. La restituzione deve essere tuttavia accordata solo se l'assenza di colpa è evidente (sentenza 2C_1096/2013 del 19 luglio 2014 consid. 4.1 con ulteriori rinvii).
2.2. Nella fattispecie, non viene fatto valere nessun impedimento di natura oggettiva.
Certo la ricorrente tenta di giustificare il ritardato pagamento dell'anticipo spese (anche) con lo stato psicologico e mentale "delicato" in cui afferma di trovarsi. Il riconoscimento di un impedimento oggettivo a causa di una malattia presuppone tuttavia che la stessa sia grave, ciò che non viene qui sostenuto rispettivamente sostanziato; nella fattispecie, occorre inoltre considerare che la ricorrente era rappresentata, ragione per la quale chi la rappresentava avrebbe in ogni caso potuto agire in sua vece (<ref-ruling> consid. 2 pag. 87; sentenze 9C_209/2012 del 26 giugno 2012 consid. 3.1 e 8C_15/2012 del 30 aprile 2012 consid. 1).
2.3. A differenza di quanto sostenuto dall'insorgente, riscontrabile non è nel contempo un valido impedimento di carattere soggettivo.
2.3.1. Come indicato dal Tribunale amministrativo federale, l'ignoranza della legge non è un motivo di restituzione del termine (sentenze 9C_312/2011 del 16 novembre 2011 consid. 5; 9C_541/2009 del 12 maggio 2010 consid. 4 e 2C_429/2007 del 4 ottobre 2007 consid. 2.2.2). D'altra parte, occorre aggiungere che sia la decisione incidentale del 5 febbraio 2016, con cui veniva fissato un termine per il pagamento dell'anticipo, che quella dell'11 marzo 2016, con cui detto termine veniva prolungato, indicano in modo chiaro che "il termine è osservato se l'importo dovuto è versato tempestivamente alla posta svizzera o addebitato a un conto bancario o postale in svizzera, in favore dell'autorità", riportando alla lettera il tenore dell'<ref-law>.
2.3.2. La ricorrente non può poi nemmeno invocare la sua buona fede in relazione alle istruzioni impartite all'ente caritatevole che le ha anticipato la somma richiesta dal Tribunale amministrativo federale e che ha proceduto materialmente al suo pagamento. In effetti, al pari della persona che la rappresentava, anche detto ente dev'essere considerato un suo ausiliario, ragione per la quale spettava in definitiva all'insorgente verificare che quanto indicato dall'<ref-law> e ripreso nelle decisioni incidentali del 5 febbraio e dell'11 marzo 2016 venisse rispettato (sentenze 2C_734/2012 del 25 marzo 2013 consid. 3.3 e 2C_699/2012 del 22 ottobre 2012 consid. 3.3 segg. con rinvii).
2.4. Negando gli estremi per una restituzione del termine per il pagamento dell'anticipo spese, scaduto il 13 aprile 2016, i Giudici di prima istanza non hanno pertanto violato il diritto federale.
3.
Restano ora da esaminare le censure relative alla domanda di assistenza giudiziaria del 13 (recte 15) aprile 2016. In questo contesto, la ricorrente considera, da una parte, che il giudizio impugnato contenga una motivazione lesiva dell'<ref-law>; ritiene, d'altra parte, che violato sia anche l'<ref-law>
3.1. Il diritto di essere sentiti ancorato nell'<ref-law> comprende più aspetti. Tra questi, anche il diritto ad una motivazione sufficiente, cui l'insorgente si richiama. Esso non impone tuttavia di esporre e discutere tutti i fatti, i mezzi di prova e le censure formulati; basta che dalla decisione impugnata emergano in maniera chiara i motivi su cui l'autorità fonda il suo ragionamento (<ref-ruling> consid. 4.1 pag. 88; <ref-ruling> consid. 3.2 pag. 236 seg.).
Sennonché l'aspetto del diritto di essere sentiti richiamato non risulta nella fattispecie violato. La motivazione contenuta nel giudizio impugnato permette in effetti manifestamente di comprendere i motivi che hanno condotto il Tribunale amministrativo federale a non entrare nel merito della nuova domanda di assistenza giudiziaria, ovvero l'assenza di elementi nuovi e decisivi. Il fatto che la ricorrente non condivida tale conclusione e semmai questione che tocca l'<ref-law>, non il diritto di essere sentiti (sentenza 2C_513/2015 del 13 dicembre 2015 consid. 3.2). Anche in relazione a questa censura, l'impugnativa è di conseguenza infondata.
3.2. A maggior fortuna non sono però destinate neppure le critiche rivolte specificatamente al mancato esame della domanda di assistenza giudiziaria presentata il 15 aprile 2016 e ribadita il 22 aprile successivo dal nuovo rappresentante della ricorrente.
3.2.1. Come appena osservato, la nuova istanza di assistenza giudiziaria, con cui vengono addotti nuovi fatti a sostegno del sussistere di gravi motivi ai sensi dell'art. 50 cpv. 1 lett. b LStr, è stata presentata al più presto il 15 aprile 2016. A quel momento, il termine per pagare l'anticipo spese - fissato dal Tribunale amministrativo federale al 13 aprile 2016 - era però già scaduto e la causa si limitava alla constatazione delle conseguenze del pagamento tardivo dell'anticipo.
3.2.2. Anche volendo considerare che l'insorgente potesse ancora richiedere l'assistenza giudiziaria in relazione alla domanda di restituzione del termine, ipotesi che non necessita di essere approfondita, occorre poi in via abbondanziale rilevare che la richiesta avrebbe dovuto essere respinta, in assenza di una reale probabilità di successo della domanda di restituzione stessa (<ref-law> e <ref-law>).
4.
4.1. Per le considerazioni che precedono, il ricorso è infondato e deve essere respinto.
4.2. L'istanza di assistenza giudiziaria - tendente all'esonero dal pagamento di spese giudiziarie e all'ottenimento del gratuito patrocinio per la procedura davanti al Tribunale federale - non può essere accolta in quanto il gravame doveva apparire sin dall'inizio privo di probabilità di successo (<ref-law>). Le spese giudiziarie seguono pertanto la soccombenza (<ref-law>). Non vengono assegnate ripetibili (<ref-law>).

Per questi motivi, il Tribunale federale pronuncia:
1.
Il ricorso è respinto.
2.
La domanda di assistenza giudiziaria è respinta.
3.
Le spese giudiziarie di fr. 1'000.-- sono poste a carico della ricorrente.
4.
Comunicazione al patrocinatore della ricorrente, alla Segreteria di Stato della migrazione, al Dipartimento delle istituzioni, Sezione della popolazione, del Cantone Ticino e al Tribunale amministrativo federale, Corte III.