Sachverhalt:
A.
Die 1978 geborene A._ bezog ab Juni 2009 Sozialhilfe. Mit Verfügungen vom 24. Mai 2013 sprach ihr die IV-Stelle des Kantons Zürich rückwirkend vom 1. Dezember 2010 bis 30. September 2011 eine ganze, vom 1. Oktober bis 31. Dezember 2011 eine dreiviertel und ab 1. Januar 2012 wiederum eine ganze Invalidenrente zu. Am 16. April 2013 meldete sich A._ zum Bezug von Zusatzleistungen zur AHV/IV an. Das Amt für Zusatzleistungen zur AHV/IV der Stadt Zürich sprach ihr mit Verfügung vom 10. April 2014 rückwirkend ab Dezember 2010 Ergänzungsleistungen zur Invalidenrente zu. Die dagegen erhobene Einsprache hiess dieses mit Einspracheentscheid vom 3. Juli 2014 teilweise gut.
B.
Die von A._ gegen den Einspracheentscheid erhobene Beschwerde hiess das Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich mit Entscheid vom 7. September 2015 teilweise gut, hob den Einspracheentscheid vom 3. Juli 2014 entsprechend auf und wies die Sache an das Amt für Zusatzleistungen zur AHV/IV zurück, damit dieses den Anspruch der Versicherten auf Zusatzleistungen zur AHV/IV im Sinne der Erwägungen neu berechne und hernach neu verfüge (Dispositiv-Ziffer 1). Bezüglich der geltend gemachten Nachzahlung kantonaler Beihilfe wies es die Beschwerde ab. Zudem sprach es der Versicherten eine Prozessentschädigung von Fr. 1'100.- zu (Dispositiv-Ziffer 3).
C.
Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten lässt A._ beantragen, in Aufhebung von Dispositiv-Ziffer 1 des vorinstanzlichen Entscheids sei ihr für den Zeitraum vom 1. Dezember 2010 bis 31. März 2013 kantonale Beihilfe von monatlich Fr. 202.- zuzusprechen. Eventualiter sei die Vorinstanz anzuweisen, über die Höhe der kantonalen Beihilfe für diesen Zeitraum zu befinden. Zudem sei Dispositiv-Ziffer 3 aufzuheben und das kantonale Gericht anzuweisen, über die Höhe der Parteientschädigung neu zu entscheiden. Überdies wird um unentgeltliche Rechtspflege ersucht.
Das Amt für Zusatzleistungen zur AHV/IV schliesst auf Abweisung der Beschwerde, soweit darauf einzutreten ist. Das kantonale Gericht verzichtet auf eine Vernehmlassung. Am 11. Januar 2013 reicht A._ eine ergänzende Stellungnahme ein.

Erwägungen:
1.
Die Beschwerde ist zulässig gegen einen Entscheid, der nur einen Teil der gestellten Begehren behandelt, wenn diese Begehren unabhängig von den anderen beurteilt werden können (<ref-law>). Unabhängigkeit im Sinne dieser Bestimmung ist so zu verstehen, dass die Begehren auch Gegenstand eines eigenen Prozesses hätten bilden können (<ref-ruling> E. 1.2.2 S. 217). Die Beschwerdeführerin ficht (abgesehen von den ausgangsgemässen Entschädigungsfolgen) Dispositiv-Ziffer 1 des Entscheids des Sozialversicherungsgerichts an, wobei sie sich einzig gegen die darin ausgesprochene Abweisung des geltend gemachten Anspruchs auf Nachzahlung kantonaler Beihilfe für den Zeitraum zwischen Dezember 2010 bis Ende März 2013 richtet. Beim insoweit angefochtenen Entscheid handelt es sich um einen Teilentscheid, der als Variante des Endentscheids der selbständigen Beschwerde unterliegt (<ref-law>).
2.
Ergänzungen der Beschwerde nach Ablauf der gesetzlichen Beschwerdefrist (<ref-law>) sind - von hier nicht relevanten Ausnahmen abgesehen (Art. 42 Abs. 6 und Art. 43 BGG) - unzulässig. Die Beschwerdeführerin äussert sich in ihrer Eingabe vom 11. Januar 2016 über die Ausführungen in der Vernehmlassung hinaus zur Sache. Insoweit ergänzt sie ihre Vorbringen in der Beschwerde, was im Rahmen des Replikrechts nicht zulässig ist und daher unbeachtet zu bleiben hat.
3.
3.1. Mit der Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann namentlich die Verletzung von Bundesrecht mit Einschluss der Bundesverfassung gerügt werden (<ref-law>). Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (<ref-law>), doch prüft es unter Berücksichtigung der allgemeinen Rüge- und Begründungspflicht (<ref-law>) grundsätzlich nur die geltend gemachten Rechtswidrigkeiten (<ref-ruling> E. 1.4.1 S. 254). Soweit die Vorinstanz kantonales Recht anzuwenden hatte, kann, abgesehen von den hier nicht massgebenden Art. 95 lit. c-e BGG, nur geltend gemacht werden, der angefochtene Entscheid verstosse gegen Normen des Bundesrechts oder des Völkerrechts (Art. 95 lit. a und b BGG). Im Übrigen kann die Auslegung und Anwendung des kantonalen Rechts lediglich im Lichte der verfassungsmässigen Rechte und Grundsätze, namentlich des Willkürverbots (<ref-law>), geprüft werden (<ref-ruling> E. 1.2 S. 145; <ref-ruling> E. 4.2.2 S. 158; <ref-ruling> E. 3 S. 351). Das Bundesgericht prüft die Verletzung von Grundrechten wie auch von kantonalem und interkantonalem Recht nur insofern, als eine solche Rüge in der Beschwerde präzise vorgebracht und begründet worden ist; es gilt eine qualifizierte Rügepflicht (<ref-law>; <ref-ruling> E. 1.6 S. 281; <ref-ruling> E. 3.3 S. 310 f.).
3.2. Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, wie die Vorinstanz ihn festgestellt hat (<ref-law>). Die Feststellung des Sachverhalts kann nur gerügt bzw. vom Bundesgericht von Amtes wegen berichtigt oder ergänzt werden, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von Art. 95 beruht; diese Rüge setzt zudem voraus, dass die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein kann (Art. 97 Abs. 1 und Art. 105 Abs. 2 BGG). Offensichtlich unrichtig festgestellt ist ein Sachverhalt, wenn er willkürliche Feststellungen beinhaltet (<ref-ruling> E. 4.1.2 S. 62). Eine entsprechende Rüge ist rechtsgenüglich substantiiert vorzubringen (Art. 42 Abs. 2 und <ref-law>; <ref-ruling> E. 4.1.2 S. 62; <ref-ruling> E. 1.4.3 S. 254 f.). Unzulässig sind neue Vorbringen und Beweismittel, die nicht durch den angefochtenen Entscheid veranlasst worden sind (Novenverbot, <ref-law>).
4.
Gemäss § 1 des Gesetzes des Kantons Zürich vom 7. Februar 1971 über die Zusatzleistungen zur eidgenössischen Alters-, Hinterlassenen- und Invalidenversicherung (Zusatzleistungsgesetz, ZLG; LS 831.3) werden nach Massgabe der Vorschriften des ELG (SR 831.30) und aufgrund des ZLG Zusatzleistungen ausgerichtet, welche aus Ergänzungsleistungen gemäss ELG (lit. a), Beihilfen (lit. b) und Zuschüssen (lit. c) bestehen. Nach § 15 ZLG finden die Vorschriften, die für die jährliche Ergänzungsleistung nach Art. 9 ff. ELG gelten, entsprechende Anwendung, soweit für die Beihilfe nichts Abweichendes bestimmt ist. Gemäss dem unter dem Randtitel "Fehlender Bedarf" stehenden § 18 ZLG (in der vom 1. Januar 2004 bis 31. Dezember 2013 in Kraft gestandenen Fassung; ab 1.1.2014 ohne Zusatz "und der bundesrechtlich gewährleistete Anspruch auf Prämienverbilligung gewahrt bleibt") kann die Beihilfe gekürzt oder verweigert werden, soweit sie für den Unterhalt nicht benötigt wird und der bundesrechtlich gewährleistete Anspruch auf Prämienverbilligung gewahrt bleibt. § 19 der Zusatzleistungsverordnung vom 5. März 2008 (ZLV; LS 831.31) regelt als Anwendungsfall von § 18 ZLG die Kürzung der Beihilfe bei Mehrpersonenhaushalten mit nicht invaliden Familienmitgliedern. Im Urteil 8C_499/2010 vom 23. August 2010 hat das Bundesgericht die Auffassung des kantonalen Gerichts als nicht willkürlich beurteilt, wonach § 19 ZLV lediglich ein Beispiel für die Anwendung von § 18 ZLG darstelle und § 18 ZLG somit die Kürzung in weiteren, nach den konkreten Umständen zu beurteilenden Fällen erlaube.
5.
Das kantonale Gericht hat erwogen, es stehe unbestrittenermassen fest, dass die Beschwerdeführerin in der Zeit von Dezember 2010 bis März 2013 von den Sozialen Diensten der Stadt Zürich finanziell unterstützt worden sei. Unter diesen Umständen sei davon auszugehen, dass der Unterhaltsbedarf im massgebenden Zeitraum habe gedeckt werden können, zumal bei der Sozialhilfe nicht nur Anspruch auf ein minimales betreibungsrechtliches Existenzminimum bestehe, sondern auf ein soziales Existenzminimum, welches neben den üblichen Aufwendungen für den Lebensunterhalt auch individuelle Bedürfnisse angemessen berücksichtige. Die Beschwerdeführerin weise bezüglich keiner Unterhaltsposition substantiiert nach, dass diese nicht ausreichend habe gedeckt werden können. Die Vorinstanz schloss daraus, dass die Beschwerdeführerin im massgebenden Zeitpunkt des Einspracheentscheids vom 3. Juli 2014 aufgrund der bis dahin bezahlten Sozialhilfe, Renten- und Ergänzungsleistungen den aufgelaufenen Unterhaltsbedarf im Sinne von § 18 ZLG habe abdecken können. Eine rückwirkende Zusprechung von Beihilfe ab Dezember 2010 würde somit bloss das Vermögen entsprechend erhöhen, was offenkundig nicht Sinn der Beihilfe sei.
6.
6.1. In Bezug auf den Sachverhalt rügt die Beschwerdeführerin, entgegen den vorinstanzlichen Feststellungen habe sie in der Zeit von Dezember 2010 bis März 2013 nicht durchgehend, sondern lediglich vom 1. Dezember 2010 bis 30. November 2011 und vom 1. März 2012 bis 31. März 2013 Sozialhilfe erhalten. Zur Begründung verweist sie auf die vom Beschwerdegegner im vorinstanzlichen Verfahren aufgelegte Leistungszusammenstellung des Sozialdepartements. Inwiefern dieser Punkt für den Ausgang des Verfahrens entscheidend wäre, legt die Beschwerdeführerin nicht dar und ist auch nicht ersichtlich.
6.2. Weiter bezeichnet die Beschwerdeführerin die vorinstanzliche Feststellung als aktenwidrig, wonach sie aufgrund der bezahlten Sozialhilfe, Renten- und Ergänzungsleistungen sämtlichen im massgeblichen Zeitraum aufgelaufenen Unterhaltsbedarf im Sinne von § 18 ZLG habe abdecken können. Da die rückwirkend zugesprochenen Rentenbetreffnisse und Ergänzungsleistungen als Drittauszahlung dem Sozialzentrum der Stadt Zürich überwiesen worden seien, hätten ihr im Zeitraum von Dezember 2010 bis März 2013 rückwirkend betrachtet lediglich die Invalidenrente und die Ergänzungsleistungen, nicht aber auch noch Sozialhilfe für die Bezahlung der anerkannten Ausgaben zur Verfügung gestanden. Damit vermag die Beschwerdeführerin indessen keine offensichtlich unrichtige Sachverhaltsfeststellung zu begründen. Die Ausführungen in Erwägung 5.3 des angefochtenen Entscheids beziehen sich auf den Zeitpunkt des Einspracheentscheids vom 3. Juli 2014. Wie die Beschwerdeführerin selber ausführt, wurde ihr am 30. Juni 2014 die Differenz zwischen der Nachzahlung der Invalidenrente und den Ergänzungsleistungen zur Sozialhilfe überwiesen. Die vorinstanzliche Sachverhaltsdarstellung ist daher letztinstanzlich bindend (<ref-law>).
7.
7.1. Die Beschwerdeführerin rügt weiter eine willkürliche, den Nachzahlungsvorschriften widersprechende Auslegung (<ref-law>) von § 18 ZLG. Da gemäss § 15 ZLG die für die Ergänzungsleistungen geltenden Vorschriften entsprechend anwendbar seien, soweit für die Beihilfe nichts Abweichendes bestimmt sei, hätte der kantonale Gesetzgeber laut Beschwerdeführerin für die kantonale Beihilfe - analog dem Vorgehen der Stadt Zürich bei den Gemeindezuschüssen - eine Sonderregelung treffen müssen, falls er keine Nachzahlung von Leistungen gewollt hätte. Wenn er die Beihilfe nicht, analog den Ergänzungsleistungen, als Pauschalbetrag hätte betrachten wollen, der gespart werden könne, hätte er zudem vorschreiben müssen, dass diese zurückzuerstatten sei, soweit sie im betreffenden Monat nicht für den Unterhalt ausgegeben wurde. Die vorinstanzliche Auslegung widerspricht laut Beschwerdeführerin auch dem Zweck der Beihilfe, höhere Ausgaben für den allgemeinen Lebensbedarf als bei den Ergänzungsleistungen zu ermöglichen. Als Ausnahmebestimmung sei § 18 ZLG eng auszulegen. Weiter würde eine Auslegung von § 18 ZLG, welche es erlauben würde, abweichend von § 17 ZLG von tieferen Ausgaben auszugehen, die Rückerstattungsvorschriften von § 19 ZLG unterlaufen.
7.2. Wie dargelegt (E. 2.1) kann die Auslegung und Anwendung kantonalen Gesetzesrechts vom Bundesgericht nur auf Willkür hin überprüft werden. Willkür in der Rechtsanwendung liegt vor, wenn der angefochtene Entscheid offensichtlich unhaltbar ist, mit der tatsächlichen Situation in klarem Widerspruch steht, eine Norm oder einen unumstrittenen Rechtsgrundsatz krass verletzt oder in stossender Weise dem Gerechtigkeitsgedanken zuwiderläuft; dass eine andere Lösung ebenfalls als vertretbar oder gar zutreffender erscheint, genügt nicht; zudem ist erforderlich, dass der Entscheid nicht nur in der Begründung, sondern auch im Ergebnis willkürlich ist (<ref-ruling> E. 2.1 S. 18 f.; <ref-ruling> E. 2.1 S. 168; <ref-ruling> E. 6.1 S. 205 f.; <ref-ruling> E. 4.3 S. 319).
7.3. Der Wortlaut von § 18 ZLG spricht für die Auffassung der Vorinstanz. Dies ergibt sich namentlich aus der Formulierung, wonach die Beihilfe verweigert werden kann, wenn der Berechtigte die ihm zustehenden Leistungen für den Unterhalt nicht benötigt. Diese Wortwahl lässt darauf schliessen, dass sich der Bedarf im Sinne dieser Bestimmung auf laufende Kosten bezieht. Eine mit dem Wortlaut der in Frage stehenden Norm übereinstimmende Auslegung erweist sich nur dann ausnahmsweise als willkürlich, wenn sie den Zweck und die Tragweite der Regelung verfälscht und zu einem Ergebnis führt, das der Gesetzgeber nicht gewollt haben konnte und das dem Gerechtigkeitssinne oder dem Prinzip der Gleichbehandlung widerspricht (Urteil 8C_292/2012 vom 19. Juli 2012 E. 6.2). Triftige Gründe, welche ein Abweichen vom Wortlaut rechtfertigen würden, vermögen die umfangreichen Vorbringen der Beschwerdeführerin nicht überzeugend darzutun. Würden die Beihilfen wie beantragt nachbezahlt, könnte die Beschwerdeführerin Vermögen bilden. Dies entspricht indessen nicht Sinn und Zweck des kantonalen Zusatzleistungsgesetzes. Die darin vorgesehenen Beihilfen haben vielmehr dem laufenden Unterhalt zu dienen. Im von der Beschwerdeführerin erwähnten Urteil 8C_499/2010 hat das Bundesgericht die Auffassung des kantonalen Gerichts, wonach die Voraussetzungen von § 18 ZLG grundsätzlich immer dann erfüllt seien, wenn die Beihilfe aufgrund der jeweiligen konkreten Umstände für den Unterhalt nicht benötigt würden, als nicht willkürlich betrachtet. Dies hat umso mehr zu gelten, wenn es um die Nachzahlung kantonaler Beihilfe für eine zurückliegende Zeit (hier: Dezember 2010 bis Ende März 2013) geht. Die Beschwerdeführerin wurde in der Vergangenheit von der Sozialhilfe unterstützt und konnte somit ihren allgemeinen Lebensbedarf unbestrittenermassen abdecken. Die vorinstanzliche Annahme, es bestehe für eine Nachzahlung bereits ab Dezember 2010 kein Bedarf, widerspricht daher auch nicht dem Gerechtigkeitsgedanken, noch wirkt sich dies für die Beschwerdeführerin stossend aus.
7.4. Unabhängig davon, ob die Verweigerung der geltend gemachten Nachzahlung eine willkürliche Auslegung des kantonalen Rechts darstellt, sieht die Beschwerdeführerin auch das Gleichbehandlungsgebot (<ref-law>) verletzt. In diesem Zusammenhang bringt sie vor, der von der Vorinstanz für den Zeitraum vom 1. April 2013 bis 7. April 2014 bejahte rückwirkende Anspruch auf kantonale Beihilfe, nicht aber für den Zeitraum vom 1. Dezember 2010 bis 30. November 2011 und vom 1. März 2012 bis 31. März 2013 behandle zwei gleiche Sachverhalte rechtsungleich. Die Verweigerung der Nachzahlung kantonaler Beihilfe benachteilige zudem Bezüger reiner Sozialhilfe gegenüber Personen, welche sofort Ergänzungsleistungen und kantonale Beihilfe erhalten.
Für die Vorinstanz war ausschlaggebend, dass die Zusprechung von Beihilfe nicht über den bereits abgedeckten Unterhalt hinaus bloss der Vermögensbildung dient. Unter diesem Aspekt handelt es sich bei der Berücksichtigung kantonaler Beihilfe ab dem Zeitpunkt der Anmeldung, nicht aber für die Vergangenheit, um ein objektives Merkmal. Gründe, welche für eine analoge Behandlung der beiden Zeitabschnitte sprächen, sind nicht ersichtlich. Wie die Beschwerdeführerin überdies selbst erwähnt, basieren Sozialhilfe und Ergänzungsleistungen auf unterschiedlichen Bemessungsgrundlagen. Eine Verletzung des Gebots rechtsgleicher Behandlung (<ref-law>; <ref-ruling> E. 5.1 S. 80; <ref-ruling> E. 9.1 S. 42; <ref-ruling> E. 5.1 S. 570 f.) ist somit nicht gegeben.
8.
Schliesslich beanstandet die Beschwerdeführerin die Höhe der vorinstanzlich in Anwendung von § 34 des kantonalzürcherischen Gesetzes über das Sozialversicherungsgericht vom 7. März 1993 (GSVGer; LS 212.81) zugesprochenen Parteientschädigung. Ihre Vorbringen genügen indessen den insoweit geltenden qualifizierten Anforderungen an die Rüge- und Begründungspflicht nicht (<ref-law>; vgl. zudem Urteil 9C_511/2014 vom 26. September 2014 E. 4, den heutigen Rechtsvertreter betreffend). Auf die Beschwerde ist daher in diesem Punkt nicht einzutreten.
9.
In Anwendung von <ref-law> ist umständehalber auf die Erhebung von Gerichtskosten zu verzichten. Das Gesuch um unentgeltliche Prozessführung wird damit gegenstandslos.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.
Es werden keine Gerichtskosten erhoben.
3.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 18. Januar 2016
Im Namen der I. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Maillard
Die Gerichtsschreiberin: Hofer