Sachverhalt:
A.
Mit Klage vom 23. November 2015 stellte A.A._ vor dem Bezirksgericht Luzern in einem Nachverfahren nach <ref-law> eine Reihe von Forderungsbegehren gegen B.A._ (Verfahrens-Nummer xxx). Der Streitwert betrug insgesamt Fr. 370'000.--. Der Kläger ersuchte das Bezirksgericht darum, ihm die unentgeltliche Rechtspflege zu gewähren und Rechtsanwältin F._ als unentgeltliche Rechtsbeiständin zu ernennen. Mit Entscheid vom 8. Februar 2016 wies der Präsident der 1. Abteilung des Bezirksgerichts, G._, das Gesuch mit der Begründung ab, A.A._ sei der Bedürftigkeitsnachweis nicht gelungen. Die dagegen erhobene Beschwerde wies das Kantonsgericht Luzern mit Entscheid vom 6. Mai 2016 ab. Ohne Erfolg blieb auch eine Beschwerde an das Bundesgericht (Urteil 5A_463/2016 vom 12. August 2016).
B.
B.a. Mit Eingabe vom 1. April 2016 gelangte A.A._ zusammen mit seiner Rechtsvertreterin F._ an das Kantonsgericht Luzern als Aufsichtsbehörde über die erstinstanzlichen Gerichte mit dem Antrag, ihre vor dem Bezirksgericht Luzern hängige Klage (s. Bst. A) zur weiteren Bearbeitung dem Bezirksgericht Willisau zuzuweisen. In Ziffer 2 ihrer Begehren äusserten die Gesuchsteller den Wunsch, am Bezirksgericht Willisau den dortigen Richter Dr. H._ mit der Verfahrensleitung zu betrauen.
B.b. Mit Schreiben vom 9. Mai 2016 belehrte die Geschäftsleitung des Kantonsgerichts die Gesuchsteller über Natur und Zweck eines aufsichtsrechtlichen Beschwerdeverfahrens und wies sie darauf hin, dass für eine Aufsichtsbeschwerde nur dort Raum bleibt, wo das beanstandete Verhalten nicht in unmittelbarem Konnex mit der Verfahrensführung in einem konkreten Fall steht. Das Kantonsgericht erklärte, die Eingabe als Ausstandsgesuch gegen das (gesamte) Bezirksgericht Luzern entgegenzunehmen, und orientierte die Gegenpartei im Hauptprozess vor dem Bezirksgericht Luzern über das Ausstandsbegehren.
B.c. Mit Eingabe vom 30. Mai 2016 ergänzten A.A._ und F._ ihr Gesuch und hielten am gestellten Antrag fest. Namens des Bezirksgerichts beantragte Bezirksgerichtspräsident G._, das Ausstandsbegehren bzw. das Begehren um Überweisung des Verfahrens an das Bezirksgericht Willisau abzuweisen.
B.d. Mit Entscheid vom 12. August 2016 wies das Kantonsgericht das Gesuch ab.
C.
Mit Eingabe vom 22. September 2016 wenden sich F._ und - von dieser vertreten - A.A._ an das Bundesgericht. Die Beschwerdeführer verlangen, den Entscheid des Kantonsgerichts vom 12. August 2016 aufzuheben und das Dossier des Bezirksgerichts Luzern Nr. 1A1 15 32 (s. Bst. A) an das Bezirksgericht Willisau zur weiteren Bearbeitung zu überweisen.
In seiner Vernehmlassung vom 17. November 2016 verweist das Kantonsgericht auf die Erwägungen im angefochtenen Entscheid und beantragt, die Beschwerde kostenfällig abzuweisen. Die Eingabe wurde den Beschwerdeführern zur Wahrung des rechtlichen Gehörs zur Kenntnis gebracht.

Erwägungen:
1.
Das Bundesgericht prüft von Amtes wegen und mit freier Kognition, ob die Eintretensvoraussetzungen gegeben sind (<ref-ruling> E. 2.1 S. 397; <ref-ruling> E. 1 S. 116).
2.
2.1. Nach <ref-law> ist die Beschwerde in Zivilsachen nur gegen Entscheide zulässig, die ein oberes kantonales Gericht als Rechtsmittelinstanz gefällt hat (Prinzip der "double instance" im Bereich des Zivilrechts), ausgenommen die in Art. 75 Abs. 2 Bst. a-c BGG genannten Fälle (<ref-ruling> E. 1.6 S. 255; <ref-ruling> E. 1.1 S. 42 f.; <ref-ruling> E. 2.1 S. 426; Urteile 5A_161/2015 vom 6. August 2015 E. 3; 4A_546/2013 vom 13. März 2014 E. 3.3.2; 5A_266/2011 vom 24. Oktober 2011 E. 1).
2.2. Das Kantonsgericht hat im vorliegenden Verfahren nicht als Rechtsmittelinstanz über den Ausstand der Richter am Bezirksgericht Luzern entschieden, sondern als erste und einzige Instanz. Das Kantonsgericht stützt seine Zuständigkeit auf § 79 Abs. 1 Bst. d des luzernischen Gesetzes über die Organisation der Gerichte und Behörden in Zivil-, Straf- und verwaltungsgerichtlichen Verfahren vom 10. Mai 2010 (Justizgesetz, JusG; SRL Nr. 260). Danach entscheidet das Kantonsgericht über den Ausstandsgrund, wenn davon das ganze erstinstanzliche Gericht betroffen ist.
2.3. Der angefochtene Entscheid des Kantonsgerichts über den Ausstand aller Richter am Bezirksgericht Luzern fällt unter keinen der im Ausnahmekatalog von Art. 75 Abs. 2 Bst. a-c BGG erwähnten Gründe. Er kann nicht direkt an das Bundesgericht weitergezogen werden (vgl. auch STEPHAN WULLSCHLEGER, in: Sutter-Somm/Hasenböhler/Leuenberger, Kommentar zur Schweizerischen Zivilprozessordnung [ZPO], 3. Aufl. 2016, N 21 zu <ref-law>). Daran ändert nichts, dass die Vorinstanz in ihrer Rechtsmittelbelehrung auf die Beschwerde in Zivilsachen verwiesen hat.
2.4. Der Kanton Luzern ist mithin verpflichtet, ein kantonales Rechtsmittel zur Verfügung zu stellen, um den Anforderungen des BGG gerecht zu werden (<ref-ruling> E. 1.6 S. 255 f.; Urteil 4A_546/2013 vom 13. März 2014 E. 4). Auf die vorliegende Beschwerde in Zivilsachen kann das Bundesgericht nicht eintreten, weil der angefochtene Entscheid von einem Gericht stammt, das als erste Instanz und nicht als Rechtsmittelinstanz entschieden hat. Nach konstanter und auch publizierter Praxis des Bundesgerichtes gehen die Akten in solchen Fällen zur weiteren Behandlung an das Kantonsgericht zurück (<ref-ruling> E. 1.6 S. 256; Urteile 5A_266/2011 vom 24. Oktober 2011 E. 2; 4A_546/2013 vom 13. März 2014 E. 4). Zwar ist der Kanton und nicht das Gericht selbst verpflichtet, ein Rechtsmittel zu schaffen. Praktisch lässt sich dies aber, soweit bereits das Kantonsgericht als Erstinstanz geurteilt hat, nicht anders handhaben, als dass das Kantonsgericht in anderer Besetzung die Rechtsmitteleingabe beurteilt und einen zweitinstanzlichen Entscheid fällt (Urteile 4A_263/2016 vom 20. September 2016 E. 1.4; 5A_161/2015 vom 6. August 2015 E. 4).
3.
Es rechtfertigt sich, keine Gerichtsko sten zu erheben. Die Beschwerdeführer sind weder für das legislatorische Versäumnis des Kantons Luzern noch für die unzutreffende Rechtsmittelbelehrung im angefochtenen Entscheid verantwortlich. Dem Gemeinwesen werden keine Kosten auferlegt (<ref-law>). Den Parteien entsteht durch die Weiterleitung kein zusätzlicher Aufwand. Die Parteikosten sind im Rahmen des zweitinstanzlichen kantonalen Entscheides zu liquidieren.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Auf die Beschwerde wird mangels funktioneller Zuständigkeit nicht eingetreten.
2.
Die Beschwerde vom 22. September 2016 wird im Sinn der Erwägungen an das Kantonsgericht Luzern zur weiteren Behandlung und Entscheidfindung überwiesen.
3.
Es werden keine Gerichtskosten erhoben.
4.
Dieses Urteil wird den Beschwerdeführern, dem Bezirksgericht Luzern und dem Kantonsgericht Luzern, 1. Abteilung, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 25. November 2016
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: von Werdt
Der Gerichtsschreiber: Monn