Sachverhalt:
A.
A._, ein 1961 geborener Staatsangehöriger von Jamaika, reiste am 21. Februar 2000 ohne Visum von Jamaika herkommend in die Schweiz und stellte am 15. März 2000 ein Gesuch um Erteilung einer Kurzaufenthaltsbewilligung zwecks Vorbereitung der Heirat mit einer Schweizer Bürgerin. Am 1. Juli 2000 heiratete er diese, gestützt worauf er im Familiennachzug eine zuletzt bis 30. Juni 2004 verlängerte Aufenthaltsbewilligung erhielt. Die Ehegemeinschaft wurde im März 2003 aufgegeben und die kinderlos gebliebene Ehe am 9. Dezember 2005 geschieden. Eine weitere Verlängerung der Aufenthaltsbewilligung wurde verweigert und die Wegweisung verfügt, was zuletzt das Verwaltungsgericht des Kantons Zürich mit rechtskräftigem Urteil vom 13. Dezember 2006 bestätigte. Der Betroffene blieb indessen illegal in der Schweiz. Am 4. November 2008 heiratete er wiederum eine Schweizer Bürgerin, und am 19. Juni 2009 wurde ihm erneut - gestützt auf Art. 42 Abs. 1 AuG - eine Aufenthaltsbewilligung erteilt, die letztmals bis 3. November 2013 verlängert wurde. Am 2. Mai 2014 bewilligte das zuständige Gericht der Ehefrau das Getrenntleben auf unbestimmte Zeit; zu einer Wiederaufnahme der Ehegemeinschaft kam es seither nicht.
A._ bezog ab 11. März 2000 (mit einem Unterbruch vom 11. März 2001 bis 11. Juni 2003) von der Stadt Zürich Sozialhilfe, die sich bis zum seinem Wegzug aus der Stadt per Ende Februar 2014 auf einen Betrag von Fr. 152'807.25 belief. Im Zeitraum vom 1. Januar 2015 bis zum 31. Oktober 2016 bezog er wiederum Sozialhilfe von zusätzlich Fr. 37'290.--. Seit Anfang November 2016 wird er nunmehr durch seine neue Wohnsitzgemeinde finanziell unterstützt. Zudem hatte er bereits während der ersten Ehe Sozialhilfe in der Höhe von Fr. 24'328.-- bezogen (Stand Mai 2005).
A._ erwirkte vier Strafbefehle: Am 30. März 2005 wurde er wegen Vergehens gegen das Betäubungsmittelgesetz zu einer bedingten Gefängnisstrafe von 30 Tagen, am 2. April 2008 wegen Widerhandlungen gegen das ANAG und mehrfacher Übertretung des Betäubungsmittelgesetzes zu einer bedingten Geldstrafe von 90 Tagessätzen und einer Busse von Fr. 600.--, am 5. Mai 2009 wegen Drohung zum Nachteil der Ehefrau zu einer Geldstrafe von zehn Tagessätzen und am 7. März 2014 wegen mehrfacher Widerhandlungen gegen das Betäubungsmittelgesetz zu 720 Stunden gemeinnütziger Arbeit verurteilt.
Am 18. November 2009 verwarnte die Ausländerbehörde A._ wegen seiner Straffälligkeit und am 9. November 2010 wegen seiner Sozialhilfeabhängigkeit.
B.
Mit Verfügung vom 28. Juli 2015 wies das Migrationsamt des Kantons Zürich das Gesuch um weitere Verlängerung der Aufenthaltsbewilligung ab und ordnete die Wegweisung an. Den gegen diese Verfügung erhobenen Rekurs wies die Sicherheitsdirektion des Kantons Zürich am 13. Dezember 2016 ab. Mit Urteil vom 19. April 2017 wies das Verwaltungsgericht des Kantons Zürich die gegen den Rekursentscheid erhobene Beschwerde ab, soweit darauf eingetreten wurde.
C.
Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten vom 29. Mai 2017 beantragt A._ dem Bundesgericht, das Urteil des Verwaltungsgerichts sei aufzuheben; das Verfahren sei - zur Neubeurteilung - an die Vorinstanz (eventualiter, und in einem zweiten Schritt) an die Sicherheitsdirektion des Kantons Zürich zurückzuweisen.
Es ist weder ein Schriftenwechsel noch sind andere Instruktionsmassnahmen angeordnet worden.

Erwägungen:
1.
Das vorliegende Urteil ergeht im vereinfachten Verfahren nach <ref-law>, mit summarischer Begründung und teilweisem Hinweis auf den angefochtenen Entscheid (<ref-law>).
2.
2.1. Das Verwaltungsgericht erkennt, dass der Beschwerdeführer die zeitlichen Voraussetzungen für den Erwerb einer Niederlassungsbewilligung nach Art. 42 Abs. 3 AuG erfüllen würde, dass indessen nicht formell über die Erteilung einer solchen Bewilligung zu entscheiden sei, vielmehr bloss die Erteilung einer Aufenthaltsbewilligung im Streit liege; einzig im Hinblick darauf prüft es, ob ein Anspruch auf Erteilung der Niederlassungsbewilligung gegeben wäre, welche Frage es verneint (E. 2 und 3). Der Beschwerdeführer erklärt sich damit einverstanden, nicht (mehr) die Erteilung einer Niederlassungsbewilligung zu beanspruchen. Streitig bleibt damit allein, ob er die Voraussetzungen für eine Verlängerung der Aufenthaltsbewilligung erfüllt.
2.2. Das Verwaltungsgericht stellt fest, dass die Ehegemeinschaft vor rund zwei Jahren aufgegeben worden und es zu keiner Wiedervereinigung gekommen sei. Es durfte - auch ohne Befragung der Ehefrau - einen Anspruch auf Verlängerung der Bewilligung nach Art. 42 AuG verneinen. Eine Bewilligungsverlängerung kommt noch unter den Voraussetzungen von Art. 50 AuG (Weiterbestehen des Bewilligungsanspruchs nach Auflösung der Ehegemeinschaft) in Betracht.
2.2.1. Gemäss Art. 50 Abs. 1 lit. a AuG besteht der Bewilligungsanspruch nach Art. 42 AuG weiter, wenn die Ehegemeinschaft mindestens drei Jahre gedauert hat und eine erfolgreiche Integration besteht. Während die zeitliche Voraussetzung erfüllt ist, verneint das Verwaltungsgericht, dass im Falle des Beschwerdeführers eine erfolgreiche Integration vorliege. Es befasst sich mit der jahrelangen erheblichen, weitgehend kontinuierlichen und noch fortdauernden Sozialhilfeabhängigkeit (trotz entsprechender ausländerrechtlicher Verwarnung im November 2010), dem nur sporadischen Auftreten des Beschwerdeführers auf dem Arbeitsmarkt, dem Vorliegen von elf offenen Verlustscheinen im Betrag von insgesamt über Fr. 15'000.--, den trotz langer Anwesenheit bescheidenen Deutschkenntnissen sowie seiner mehrfachen Straffälligkeit, wobei er die letzte Verurteilung zu einer erheblichen Sanktion (720 Stunden gemeinnützige Arbeit) wegen Vergehens gegen das Betäubungsmittelgesetz (März 2014) nach einer früheren ausländerrechtlichen, auf Straffälligkeit bezogenen Verwarnung erwirkte. Die Erwägungen des Verwaltungsgerichts zu Art. 50 Abs. 1 lit. a AuG sind schlüssig (E. 4); es kann vollumfänglich auf sie verwiesen werden. Die Vorbringen des Beschwerdeführers sind nicht geeignet, ihre Richtigkeit in Frage zu stellen. Namentlich ist der implizite Vorwurf, das Verwaltungsgericht habe nicht den aktuellen Sachverhalt ermittelt, bei Lektüre seiner Erwägungen nicht nachvollziehbar. Der Beschwerdeführer möchte in diesem Zusammenhang zu seinen Gunsten gewertet wissen, dass sich die Stellensuche nach dem zeitlichem Auslaufen der Aufenthaltsbewilligung im November 2013 schwierig gestaltete. Dem wäre indessen kein entscheidendes Gewicht beizumessen, liess der Beschwerdeführer doch schon zuvor jegliche Stabilität im Arbeitsleben vermissen und vermochte er seine finanziellen Bedürfnisse kaum je selber zu befriedigen. Inwiefern hier (unter dem restriktiven Aspekt von <ref-law>) eine Sachverhaltsergänzung erforderlich und dabei eine (ausnahmsweise) mündliche Anhörung von Nutzen wäre, bleibt unerfindlich.
2.2.2. Das Verwaltungsgericht befasst sich weiter mit der Frage, ob der Beschwerdeführer die Voraussetzungen für die Erteilung einer Aufenthaltsbewilligung wegen eines Härtefalls im Sinne von Art. 30 Abs. 1 lit. b AuG erfüllen würde; es verneint sie. Ein Anspruch auf eine derartige Bewilligung besteht nicht, sodass insofern die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten unzulässig ist (<ref-law>). Der Beschwerdeführer befasst sich in seiner dem Bundesgericht vorgelegten Rechtsschrift allerdings mit der Figur des Härtefalls unter dem Titel von Art. 50 Abs. 1 lit. b und Abs. 2 AuG, wonach der Bewilligungsanspruch nach Art. 42 AuG nach Auflösung der Ehegemeinschaft weiter besteht, wenn wichtige persönliche Gründe einen weiteren Aufenthalt in der Schweiz erforderlich machen, namentlich wenn die soziale Wiedereingliederung im Herkunftsland stark gefährdet erscheint (nachehelicher Härtefall).
Ob der Beschwerdeführer sich im kantonalen Verfahren auf Art. 50 Abs. 1 lit. b AuG berufen hat, mag dahingestellt bleiben. Die Erwägungen des Verwaltungsgerichts zu Art. 30 Abs. 1 lit. b AuG bzw. Art. 31 der Verordnung vom 24. Oktober 2007 über Zulassung, Aufenthalt und Erwerbstätigkeit (VZAE; SR 142.201), auf die vollumfänglich verwiesen werden kann, zeigen, dass die Voraussetzungen eines (nachehelichen) Härtefalls in keiner Weise erfüllt wären, woran die Vorbringen des Beschwerdeführers nichts ändern. Unerfindlich bleibt im Übrigen, was sich aus den von ihm erwähnten bundesgerichtlichen Urteilen (<ref-ruling> [2C_327/2010 vom 19. Mai 2011] und <ref-ruling> [2C_1112/2012 vom 14. Juni 2013]) für die vorliegende Konstellation ableiten liesse.
2.3. Die Beschwerde erweist sich als offensichtlich unbegründet und ist im vereinfachten Verfahren nach <ref-law> abzuweisen.
2.4. Mit dem vorliegenden instanzabschliessenden Urteil wird das Gesuch um aufschiebende Wirkung gegenstandslos.
2.5. Dem Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung kann schon darum nicht entsprochen werden, weil die Beschwerde aussichtslos erschien (<ref-law>).
Damit sind die Gerichtskosten dem Beschwerdeführer als unterliegende Partei aufzuerlegen (Art. 65 und Art. 66 Abs. 1 erster Satz BGG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen.
2.
Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung wird abgewiesen.
3.
Die Gerichtskosten von Fr. 1'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
4.
Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten, dem Verwaltungsgericht des Kantons Zürich, 2. Abteilung, und dem Staatssekretariat für Migration schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 6. Juni 2017
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Seiler
Der Gerichtsschreiber: Feller