Sachverhalt:
A.
A.a. Am 19. Mai 2016 erhob B._ in der von der A._ AG beim Betreibungsamt Region Solothurn angehobenen Betreibung Nr. xxx Rechtsvorschlag mit der Begründung, er sei zu keinem neuen Vermögen gekommen.
A.b. Der Amtsgerichtspräsident von Bucheggberg-Wasseramt bewilligte am 15. November 2016 den Rechtsvorschlag in der genannten Betreibung.
B.
Am 2. Dezember 2016 erhob die A._ AG beim Bundesgericht subsidiäre Verfassungsbeschwerde. Die Beschwerdeführerin beantragt die Aufhebung des Urteils des Amtsgerichtspräsidenten und die Feststellung, dass B._ (Beschwerdegegner) im Umfang von Fr. 108.-- zu neuem Vermögen gekommen sei, sowie die Aufhebung des Rechtsvorschlags in der Betreibung Nr. xxx. Eventualiter sei die Sache an den Amtsgerichtspräsidenten zurückweisen.
Der Beschwerdegegner beantragt die Abweisung der Beschwerde, allenfalls sei darauf nicht einzutreten. Der Amtsgerichtspräsident hat sich vernehmen lassen, ohne einen Antrag zu stellen. Die Beschwerdeführerin hat daraufhin repliziert.
Der Beschwerde wurde mit Verfügung vom 28. Dezember 2016 antragsgemäss die aufschiebende Wirkung erteilt.

Erwägungen:
1.
1.1. Das angefochtene Urteil über die Feststellung neuen Vermögens gemäss <ref-law> stellt einen Endentscheid in einer Schuldbetreibungs- und Konkurssache mit Vermögenswert dar (Art. 72 Abs. 2 lit. a, Art. 90 BGG; <ref-ruling> E. 1.1, 1.2). Der Amtsgerichtspräsident hat im summarischen Verfahren eine materiellrechtliche Frage beurteilt; gegen den Entscheid ist kein (kantonales) Rechtsmittel zulässig (Art. 265a Abs. 1 a.E. SchKG; <ref-ruling> E. 1.3; <ref-ruling> E. 2.2). Ein letztinstanzlicher Entscheid (<ref-law>) liegt nur vor, wenn eine Gehörsrüge vorgebracht wird, weil eine allfällige Verletzung im nachfolgenden Verfahren (<ref-law>) nicht mehr geheilt werden kann (<ref-ruling> E. 1.3 a.E.; <ref-ruling> E. 1.3). Hingegen kann die Kostenregelung des Sachrichters vom Bundesgericht nicht separat überprüft werden, da diese vorerst der Beschwerde an die Rechtsmittelinstanz zugänglich ist (Art. 110 i.V.m. <ref-law>; BGE <ref-ruling> E. 2.2; u.a. CORBOZ, in: Commentaire de la LTF, 2. Aufl. 2014, N. 25a zu Art. 75; MUSTER, Le retour à meilleure fortune: un état de lieux, BlSchK 2014 S. 14; AMONN/ WALTHER, Grundriss des Schuldbetreibungs- und Konkursrechts, 9. Aufl. 2013, § 48 Rz. 43).
1.2. Die gesetzliche Streitwertgrenze wird nicht erreicht (<ref-law>; <ref-ruling> E. 1.2). Damit ist einzig die subsidiäre Verfassungsbeschwerde gegeben (<ref-law>).
1.3. Geprüft werden kann daher nur die Verletzung verfassungsmässiger Rechte (<ref-law>). Soweit die Verletzung des Willkürverbotes (<ref-law>), bzw. eine unhaltbare und ermessensüberschreitende Anwendung von Art. 265a Abs. 1 und 2 SchKG gerügt wird, ist die Beschwerde - mangels Letztinstanzlichkeit des angefochtenen Entscheides (vgl. E. 1.1) - nicht zulässig, da der materielle Entscheid im ordentlichen Verfahren nach <ref-law> überprüft werden kann (<ref-ruling> E. 1.3). Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (<ref-law>).
2.
Anlass zur Beschwerde gibt das Vorliegen neuen Vermögens.
2.1. Erhebt der Schuldner Rechtsvorschlag mit der Begründung, er sei nicht zu neuem Vermögen gekommen, so legt das Betreibungsamt von Amtes wegen den Rechtsvorschlag dem Richter des Betreibungsortes vor, welcher die Parteien anhört und entscheidet (<ref-law>). Der Rechtsvorschlag wird bewilligt, wenn der Schuldner seine Einkommens- und Vermögensverhältnisse darlegt und glaubhaft macht, dass er nicht zu neuem Vermögen gekommen ist (<ref-law>). Es obliegt also dem Schuldner, seine finanzielle Situation einschliesslich seines Bedarfs vollständig offenzulegen und dem Richter die hierfür nötigen Unterlagen einzureichen. Er hat mit überwiegender Wahrscheinlichkeit darzutun, dass er nicht zu neuem Vermögen gekommen ist (HUBER, in: Basler Kommentar, Bundesgesetz über Schuldbetreibung und Konkurs, 2. Aufl. 2010, N. 23 zu Art. 265a; NÄF, in: Kurzkommentar SchKG, 2. Aufl. 2014, N. 7 zu Art. 265a; JEANDIN, in: Commentaire romand, Poursuite et faillite, 2005, N. 19 zu Art. 265a). Massgebend ist nicht der Zeitpunkt des richterlichen Entscheides, sondern der Einleitung der Betreibung bzw. das dem Einleitungszeitpunkt vorangegangene Jahr (Urteil 5A_21/2010 vom 19. April 2010 E. 4.1 und 5, SJ 2010 I S. 430; BAUER, in: Basler Kommentar, Bundesgesetz über Schuldbetreibung und Konkurs, Erg. 2017, N. 1g zu Art. 265a). Der Entscheid über das Vorliegen neuen Vermögens wird im summarischen Verfahren getroffen (<ref-law>); für die Beweismittel des Schuldners gilt <ref-law> (vgl. u.a. NÄF, a.a.O.; MUSTER, a.a.O., S. 11).
2.2. Entscheide, die der Beschwerde an das Bundesgericht unterliegen (E. 1.1), müssen unter anderem einer Reihe von inhaltlichen Minimalanforderungen genügen. So sind die Vorbringen der Parteien zu nennen, nämlich ihre Begehren, Begründungen, Beweisvorbringen und Prozesserklärungen (<ref-law>). Alsdann hat die Vorinstanz klar festzuhalten, von welchem Sachverhalt sie ausgegangen ist und welche rechtlichen Überlegungen sie angestellt hat (<ref-law>). Diese Anforderungen gehen nicht über diejenigen des verfassungsrechtlichen Anspruchs auf rechtliches Gehör hinaus (<ref-law>). Sie sollen dem Adressaten ein Bild über die Tragweite des Entscheides verschaffen und ihm erlauben, ihn auf seine Richtigkeit zu überprüfen und gegebenenfalls anfechten zu können. Dazu gehört auch eine klare Trennung von Sachverhalt und Rechtsfragen (SEILER, in: Bundesgerichtsgesetz [BGG], 2. Aufl. 2015, N. 12 ff. zu Art. 112; EHRENZELLER, in: Basler Kommentar, Bundesgerichtsgesetz, 2. Aufl. 2011, N. 7, 8 zu Art. 112). Genügt ein Entscheid diesen Anforderungen nicht, so kann das Bundesgericht ihn an die Vorinstanz zur Verbesserung zurückweisen oder aufheben. Hingegen steht es ihm nicht zu, sich an die Stelle der Vorinstanz zu setzen, die ihrer Aufgabe nicht nachgekommen ist. Die verfahrensrechtlichen Folgen nach <ref-law> sind von Amtes wegen zu prüfen (<ref-ruling> E. 1.2.1; <ref-ruling> E. 6.2.3; <ref-ruling> E. 2.2). Das Bundesgericht hat daher unabhängig des Antrags einer Prozesspartei tätig zu werden, denn nur so kann es seine Aufgabe wahrnehmen.
2.3. Die Vorinstanz verwies für die Bewilligung des Rechtsvorschlags vom 13. Mai 2016 in der Betreibung Nr. xxx auf "das beigelegte Berechnungsblatt". Gestützt auf die Richtlinien für die Berechnung des betreibungsrechtlichen Existenzminimums ergeben sich daraus die verfügbaren Mittel des Schuldners und seiner Familie sowie deren Bedarf. Der anteilsmässige Überschuss des Schuldners beläuft sich gemäss dieser Aufstellung auf "Fr. 8.--/Monat bzw. Fr. 99.-- [sic]/Jahr". Zur Begründung fügte die Vorinstanz bei, dass bei einem Überschuss von weniger als Fr. 10.--/Monat bzw. weniger als Fr. 100.-- für eine mögliche Pfändung nicht von der Bildung neuen Vermögens gesprochen werden könne; der Aufwand übersteige den Ertrag. Die Verfahrenskosten auferlegte die Vorinstanz der Gläubigerin.
2.4. Das angefochtene Urteil genügt einschliesslich des beigelegten Berechnungsblattes den Begründungsanforderungen nicht. Es geht daraus nicht hervor, welche Standpunkte die Parteien vertreten und welche Beweise sie vorgebracht haben (<ref-law>). Zudem ist nicht ersichtlich, von welchen rechtlichen Grundlagen die Vorinstanz ausgegangen ist und für welchen Zeitraum sie welche Beweise erhoben und wie sie diese gewürdigt hat (<ref-law>). Jeder im kantonalen Verfahren getroffene Entscheid ist zu begründen, selbst wenn er im summarischen Verfahren ergangen ist (Art. 219 i.V.m. <ref-law>). Wie dicht die Begründung auch abgefasst wird, den minimalen Anforderungen für Entscheide, welche beim Bundesgericht angefochten werden können, muss sie auf jeden Fall genügen. Der Vorinstanz kann daher nicht gefolgt werden, soweit sie meint, für das summarische Verfahren gälten hier eigene Regeln.
2.5. Das Bundesgericht kann nach dem Gesagten nicht prüfen, ob das angefochtene Urteil in Verletzung der von der Beschwerdeführerin geltend gemachten Gehörsanspruchs (betreffend vom Schuldner vorgelegte Urkunden) ergangen ist (E. 1.1). Eine Rückweisung zur Verbesserung kann nur erfolgen, wenn die Behebung des Mangels den Ausgang des vorinstanzlichen Verfahrens nicht tangiert, etwa bei kanzleimässigen Versehen, die der Berichtigung zugänglich sind (Urteil 8C_742/2016 vom 5. Januar 2017 E. 2.2). Dies ist vorliegend nicht der Fall. Das angefochtene Urteil (Ziff. 1 und Ziff. 2) ist daher von Amtes wegen aufzuheben und die Sache ist zur Beurteilung an die Vorinstanz zurückzuweisen.
2.6. Soweit die Beschwerdeführerin der Vorinstanz die Verletzung ihres rechtlichen Gehörs im Sinne der ungenügenden Begründung vorwirft, kommt ihren Vorbringen keine über die Tragweite von <ref-law> hinausgehende Bedeutung zu. Auch ihre weiteren Rügen - wie die Verletzung des Replikrechts - brauchen nicht geprüft zu werden.
3.
Die Kosten werden bei einer Rückweisung nach <ref-law> nicht nach dem Ausgang des Verfahrens, sondern nach dem Verursacherprinzip verlegt (<ref-law>; Urteil 8C_742/2016 vom 5. Januar 2017 E. 3, mit Hinweisen). Dem Gemeinwesen werden im vorliegenden Fall jedoch noch keine Gerichtskosten auferlegt (<ref-law>). Hingegen hat es der Beschwerdeführerin eine Parteientschädigung zu leisten (<ref-law>). Der Beschwerdegegner hat keine Kosten zu tragen. Es ist ihm zudem kein entschädigungspflichtiger Aufwand entstanden.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Das Urteil des Amtsgerichts Bucheggberg-Wasseramt vom 15. November 2016 wird aufgehoben. Die Sache wird zur Beurteilung im Sinne der Erwägungen an die Vorinstanz zurückgewiesen.
2.
Es werden keine Gerichtskosten erhoben.
3.
Der Kanton Solothurn hat der Beschwerdeführerin eine Parteientschädigung von Fr. 1'000.-- zu bezahlen.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Richteramt Bucheggberg-Wasseramt, Zivilabteilung, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 5. April 2017
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Das präsidierende Mitglied: Escher
Der Gerichtsschreiber: Levante