Sachverhalt:
A.
Die 1964 geborene A._ bezog gestützt auf die Verfügung der IV-Stelle Bern vom 20. Januar 1994 ab 1. März 1993 bei einem Invaliditätsgrad von 100 % eine ganze Invalidenrente der Invalidenversicherung. Im Rahmen eines Revisionsverfahrens holte die IV-Stelle nebst anderen Abklärungen ein polydisziplinäres Gutachten der MEDAS Zentralschweiz vom 19. November 2013 (mit Ergänzung vom 13. Dezember 2013) ein. Hierauf absolvierte die Versicherte ein Belastungs- und ein Aufbautraining. Mit Verfügung vom 4. Dezember 2014 eröffnete ihr die IV-Stelle, die Eingliederungsbemühungen würden abgeschlossen und ein Anspruch auf berufliche Massnahmen werde verneint. Mit Verfügung vom 23. Dezember 2014 hob die IV-Stelle sodann die Invalidenrente revisionsweise auf das Ende des der Verfügungszustellung folgenden Monats auf, da keine Invalidität mehr vorliege.
B.
Beschwerdeweise beantragte A._, in Aufhebung der Verfügung vom 23. Dezember 2014 sei ihr eine ganze Invalidenrente zuzusprechen; eventuell sei diese Verfügung aufzuheben und die Sache für weitere medizinische Abklärungen an die Verwaltung zurückzuweisen. Das Verwaltungsgericht des Kantons Bern wies die Beschwerde mit Entscheid vom 19. Mai 2016 ab.
C.
A._ führt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten mit dem Rechtsbegehren, in Aufhebung des vorinstanzlichen Entscheids sei die Sache zur Ergänzung des Sachverhalts und zur Neubeurteilung an das kantonale Gericht zurückzuweisen.
Die vorinstanzlichen Akten wurden eingeholt. Ein Schriftenwechsel wird nicht durchgeführt.

Erwägungen:
1.
Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann wegen Rechtsverletzungen gemäss Art. 95 und 96 BGG erhoben werden. Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (<ref-law>), doch prüft es, unter Berücksichtigung der allgemeinen Rüge- und Begründungspflicht (Art. 42 Abs. 1 und 2 BGG), nur die geltend gemachten Vorbringen, falls allfällige weitere rechtliche Mängel nicht geradezu offensichtlich sind (<ref-ruling> E. 1.6 S. 280; vgl. auch <ref-ruling> E. 1 S. 236; <ref-ruling> E. 1.1 S. 137 f.).
Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (<ref-law>). Es kann deren Sachverhaltsfeststellung nur berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruht (<ref-law>).
2.
Streitig und zu prüfen ist, ob das kantonale Gericht Bundesrecht verletzte, indem es die von der Verwaltung verfügte revisionsweise Aufhebung der Invalidenrente bestätigte.
Im angefochtenen Entscheid sind die Bestimmungen und Grundsätze zum Anspruch auf eine Invalidenrente und zu deren revisionsweiser Erhöhung, Herabsetzung oder Aufhebung bei erheblicher Änderung des Invaliditätsgrades zutreffend dargelegt. Gleiches gilt für die zu beachtenden Beweisregeln.
3.
Gemäss dem vorinstanzlichen Entscheid beurteilt sich die Frage, ob eine revisionsbegründende Änderung des Invaliditätsgrades eingetreten ist, durch Vergleich der Sachverhalte im Zeitpunkt der Rentenverfügung vom 20. Januar 1994 einerseits und der Revisionsverfügung vom 23. Dezember 2014 anderseits. Das ist nicht umstritten.
4.
Das kantonale Gericht hat erkannt, die Rentenverfügung vom 20. Januar 1994 habe in medizinischer Hinsicht auf der Diagnose einer konversionsneurotischen Störung mit Depression und chronischem Schulter-, Arm- und Rückenschmerz sowie Verspannungen beruht.
Die Versicherte macht geltend, es hätten lediglich somatische Beschwerden vorgelegen. Ihre Vorbringen vermögen die vorinstanzliche Sachverhaltsfeststellung aber nicht als offensichtlich unrichtig oder in anderer Weise bundesrechtswidrig erscheinen zu lassen. Der Vororientierung der Verwaltung an die Versicherte vom 5. November 1993 ist zu entnehmen, dass ein gemischter Krankheitsbefund mit den Diagnosen "Konversionsneurotische Störung mit Depression, chronischem Schmerz usw." als rentenbegründend erachtet wurde. Mehrere bei der Rentenzusprechung vorgelegene Arztberichte diagnostizierten denn auch psychische Leiden, denen ein - teilweise sogar entscheidender - Einfluss auf die Arbeitsfähigkeit zugeschrieben wurde und die Anlass für psychotherapeutische Behandlung boten (Berichte des Spitals B._ vom 18. Oktober 1993 und 11. Mai 1992, mit psychiatrischem Konsilium vom 29. April 1992, sowie des Hausarztes vom 23. Mai 1993). Entgegen der in der Beschwerde vertretenen Auffassung liegt somit nicht etwa nur eine rückblickende neue Einschätzung der MEDAS-Gutachter vor. Die Krankengeschichte und die von der Versicherten erwähnten ärztlichen Berichte rechtfertigen ebenfalls keine andere Betrachtungsweise.
5.
Die Vorinstanz hat weiter erwogen, im Zeitpunkt der Revisionsverfügung vom 23. Dezember 2014 seien die weichteilrheumatischen Beschwerden gleich geblieben, womit in somatischer Hinsicht von einem unveränderten Zustand auszugehen sei. Hingegen sei eine Verbesserung des psychischen Gesundheitszustandes eingetreten; damit liege eine revisionsrechtlich relevante Veränderung vor.
Diese Beurteilung ist nicht bundesrechtswidrig. Das kantonale Gericht hat gestützt auf das MEDAS-Gutachten vom 19. November 2013 (mit Ergänzung vom 13. Dezember 2013) in nicht offensichtlich unrichtiger Beweiswürdigung festgestellt, dass keine psychischen Leiden mehr vorliegen, welche die Arbeitsfähigkeit beeinträchtigen. Es hat dabei auch zutreffend erkannt, dass die in einem Arztbericht gestellte Diagnose einer mittelgradigen depressiven Episode zu keinem anderen Ergebnis führt und von einer - gutachterlich attestierten - uneingeschränkten Arbeitsfähigkeit in einer angepassten Tätigkeit auszugehen ist. Damit liegt entgegen der in der Beschwerde vertretenen Auffassung eine anspruchsrelevante Änderung des Sachverhalts vor und ist, im Sinne der weiteren vorinstanzlichen Erwägungen, der Invaliditätsgrad neu und ohne Bindung an frühere Invaliditätsschätzungen zu ermitteln (vgl. <ref-ruling>).
6.
Gestützt auf die nunmehr attestierte Arbeitsfähigkeit hat die Vorinstanz einen Einkommensvergleich vorgenommen. Dieser hat einen Invaliditätsgrad von höchstens 25 % ergeben. Damit wird der für einen Rentenanspruch erforderliche Invaliditätsgrad von 40 % (<ref-law>) nicht mehr erreicht.
Die Beschwerdeführerin stellt dies nicht in Frage. Sie macht aber geltend, da sie seit mehr als 15 Jahren eine Invalidenrente bezogen habe, sei deren Aufhebung im Sinne der Rechtsprechung gemäss <ref-ruling> E. 4.1 S. 7 (mit Hinweis auf SVR 2011 IV Nr. 73 S. 220, 9C_228/2010) ohne Abklärung der Notwendigkeit beruflicher Massnahmen nicht zulässig.
6.1. Das kantonale Gericht hat hiezu erwogen, zwar liege ein mehr als 15-jähriger Rentenbezug vor. Die Verwaltung habe aber, obschon die MEDAS-Gutachter medizinische und berufliche Eingliederungsmassnahmen für nicht erforderlich gehalten hätten, umfassende berufliche Massnahmen durchgeführt. So sei während jeweils mehrerer Wochen ein Belastungs- und ein Aufbautraining durchgeführt worden. Die berufliche Eingliederung sei wegen nicht erreichter Zielvorgaben resp. aufgrund von der Beschwerdeführerin angegebener Schmerzen eingestellt worden. Letztere seien nicht medizinisch objektivierbar, sondern mit der sozio-kulturellen Belastung zu begründen, und vermöchten daher nicht, weitere Eingliederungsmassnahmen und damit einhergehend die Weiterausrichtung der Rente zu begründen. Die IV-Stelle habe die Rente daher ohne Gewährung zusätzlicher beruflicher Massnahmen aufheben dürfen.
6.2. Die vorinstanzliche Beurteilung beruht auf einer nicht zu beanstandenden Würdigung der Sach- und Rechtslage. Entgegen der in der Beschwerde vertretenen Auffassung wurden namentlich auch die Schmerzangaben richtig eingeordnet. Die Versicherte verhält sich zudem gleich mehrfach widersprüchlich. Sie macht wie dargelegt geltend, die Weiterführung der Eingliederungsmassnahmen sei ihr aus gesundheitlichen Gründen nicht möglich gewesen. Sodann hat sie, obwohl bereits damals anwaltlich vertreten, auf Einwände gegen den - auf Abschluss der Eingliederungsmassnahmen lautenden - Vorbescheid vom 17. Oktober 2014 verzichtet und die hierauf ergangene, den Vorbescheid bestätigende Verfügung vom 4. Dezember 2014 nicht angefochten. Beides lässt sich kaum vereinbaren mit ihrem Vorbringen, es hätten weitere berufliche Massnahmen durchgeführt werden müssen. Es ist im Übrigen auch nicht ersichtlich, weshalb die verbindlich festgestellte volle Arbeitsfähigkeit in einer angepassten Tätigkeit nicht auf dem Weg der Selbsteingliederung verwertbar sein soll (vgl. Urteil 8C_724/2015 vom 29. Februar 2016 E. 5.5 mit Hinweisen). Weiterer Abklärungen, wie beantragt, bedarf es nicht. Die Beschwerde ist somit auch diesbezüglich unbegründet, was zu ihrer Abweisung führt.
7.
Die Gerichtskosten werden der unterliegenden Beschwerdeführerin auferlegt (<ref-law>). Dem Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege (im Sinne der vorläufigen Befreiung von den Gerichtskosten und der unentgeltlichen Verbeiständung) kann entsprochen werden, da die Bedürftigkeit ausgewiesen ist, die Beschwerde nicht als aussichtslos zu bezeichnen und die Vertretung durch einen Rechtsanwalt geboten war (Art. 64 Abs. 1 und 2 BGG). Es wird indessen ausdrücklich auf <ref-law> aufmerksam gemacht, wonach die begünstigte Partei der Bundesgerichtskasse Ersatz zu leisten haben wird, wenn sie später dazu im Stande ist.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen.
2.
Der Beschwerdeführerin wird die unentgeltliche Rechtspflege gewährt und Rechtsanwalt Hugo Feuz wird als unentgeltlicher Anwalt bestellt.
3.
Die Gerichtskosten von Fr. 800.- werden der Beschwerdeführerin auferlegt, indes vorläufig auf die Bundesgerichtskasse genommen.
4.
Dem Rechtsvertreter der Beschwerdeführerin wird aus der Bundesgerichtskasse eine Entschädigung von Fr. 2'800.- ausgerichtet.
5.
Dieses Urteil wird den Parteien, dem Verwaltungsgericht des Kantons Bern, Sozialversicherungsrechtliche Abteilung, und dem Bundesamt für Sozialversicherungen schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 21. Oktober 2016
Im Namen der I. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Maillard
Der Gerichtsschreiber: Lanz