Faits :
A.
A._, ressortissante mongole née en 1978, est célibataire et mère d'une fille restée dans son pays d'origine. Le 15 février 2009, l'intéressée a déposé une demande d'asile qui a été rejetée le 10 avril 2009 par décision de l'Office fédéral des migrations (actuellement le Secrétariat d'Etat aux migrations; ci-après: le Secrétariat d'Etat). Cette décision a été confirmée, sur recours, par le Tribunal administratif fédéral le 19 mai 2009. Le 24 mars 2016, un plan de vol à destination de la Mongolie a été notifié à l'intéressée. Celle-ci ne s'est pas présentée à l'aéroport le 15 juin 2016.
B.
Entendue par le juge de paix compétent le 6 juillet 2016, A._ a déclaré qu'elle refusait de quitter la Suisse pour la Mongolie. Par ordonnance du même jour, le juge de paix a assigné l'intéressée à résidence pour une durée de deux mois dans un établissement d'accueil des migrants, tous les jours de 22h00 à 07h00, et transmis le dossier au Président du Tribunal cantonal du canton de Vaud pour qu'il lui désigne un avocat d'office. Le 11 juillet 2016, X._, avocat, a été désigné en qualité de conseil d'office de A._.
Par acte du 18 juillet 2016, A._, par son mandataire d'office, a recouru contre l'ordonnance du juge de paix du 6 juillet 2016 auprès de la Chambre des recours civile du Tribunal cantonal du canton de Vaud (ci-après: le Tribunal cantonal). Par arrêt du 25 juillet 2016, le Tribunal cantonal a rejeté le recours " dans la très faible mesure de sa recevabilité " et n'a pas alloué d'indemnité à X._ "en sa qualité de conseil d'office de A._ ".
C.
Agissant par la voie du recours en matière de droit public et celle, subsidiaire, du recours constitutionnel, X._ demande en substance au Tribunal fédéral, sous suite de frais et dépens, d'annuler le chiffre II du dispositif de l'arrêt du 25 juillet 2016 du Tribunal cantonal relatif à son indemnité de conseil d'office et de le réformer en ce sens qu'une indemnité de 954 fr., plus débours par 120 fr. et frais d'interprète par 300 fr., TVA en sus, lui soit allouée. Subsidiairement, il demande l'annulation du chiffre II de l'arrêt précité et le renvoi de la cause à l'autorité précédente pour fixation de son indemnité dans le sens des considérants. Il se plaint d'application arbitraire du droit cantonal.
Le Tribunal cantonal se réfère aux considérants de son arrêt.

Considérant en droit :
1.
1.1. Le litige porte uniquement sur l'indemnité due au recourant par la collectivité publique cantonale pour l'activité qu'il a déployée en qualité de conseil d'office de A._ devant le Tribunal cantonal, dans la cause relative à l'assignation à résidence de cette dernière.
1.2. La présente cause ne tombe pas sous le coup de l'<ref-law>, dès lors qu'en matière de mesures de contrainte, le recours en matière de droit public est en principe ouvert (cf. arrêts 2C_105/2016 du 8 mars 2016 consid. 1.1; 2C_956/2015 du 23 novembre 2015 consid. 1; 2C_26/2013 du 29 janvier 2013 consid. 1.1). Le recours constitutionnel subsidiaire est par conséquent irrecevable (<ref-law> a contrario).
1.3. En qualité de conseil d'office de l'étrangère assignée à résidence en procédure cantonale, le recourant est fondé à attaquer personnellement le jugement dans la mesure où il concerne le montant de sa rémunération (art. 89 al. 1 let. b et c LTF; arrêts 9C_735/2011 du 22 juin 2012 consid. 1; 5A_451/2011 du 25 juillet 2011 consid. 1.2).
1.4. Au surplus, déposé en temps utile (<ref-law>) et dans les formes prescrites par la loi (<ref-law>), le présent recours, dirigé contre une décision finale (<ref-law>) rendue par une autorité cantonale supérieure de dernière instance (art. 86 al. 1 let. d et al. 2 LTF) dans une cause de droit public (<ref-law>), est recevable.
2.
2.1. Sauf dans les cas cités expressément à l'<ref-law>, le recours devant le Tribunal fédéral ne peut pas être formé pour violation du droit cantonal (ou communal) en tant que tel. En revanche, il est possible de faire valoir que la mauvaise application du droit cantonal ou communal constitue une violation du droit fédéral, en particulier qu'elle est arbitraire au sens de l'art. 9 Cst. ou contraire à d'autres droits constitutionnels. Le Tribunal fédéral n'examine toutefois le moyen tiré de la violation d'une norme de rang constitutionnel que si le grief a été invoqué et motivé de manière précise (<ref-law>).
En l'espèce, le litige porte sur l'indemnisation du recourant, avocat nommé conseil d'office sur la base de la loi vaudoise du 18 décembre 2007 d'application dans le Canton de Vaud de la législation fédérale sur les étrangers (LVLEtr/VD; RSV 142.11). Partant, la cognition du Tribunal fédéral est limitée aux griefs du recourant qui répondent aux exigences de l'<ref-law> (cf. <ref-ruling> consid. 1.2 p. 382 s.; arrêt 2C_449/2013 du 21 février 2014 consid. 1.2).
2.2. Le Tribunal fédéral statue sur la base des faits établis par l'autorité précédente (cf. <ref-law>; <ref-ruling> consid. 4.4.3 p. 156 s.). Le recours ne peut critiquer les constatations de fait que si les faits ont été établis de façon manifestement inexacte ou en violation du droit au sens de l'<ref-law>, et si la correction du vice est susceptible d'influer sur le sort de la cause (<ref-law>), ce que la partie recourante doit démontrer d'une manière circonstanciée, conformément aux exigences de motivation de l'<ref-law> (cf. <ref-ruling> consid. 1.4.3 p. 254 s.). La notion de "manifestement inexacte" correspond à celle d'arbitraire au sens de l'art. 9 Cst. (<ref-ruling> consid. 2.1 p. 450).
3.
Le recourant invoque une application arbitraire de l'art. 25 al. 1 LVLEtr/VD en ce que le Tribunal cantonal lui a refusé toute indemnité alors qu'il avait été nommé conseil d'office d'une personne assignée à résidence.
3.1. L'avocat d'office accomplit une tâche étatique régie par le droit public cantonal. Lors de sa désignation, il s'établit, entre l'avocat et l'Etat, un rapport juridique spécial en vertu duquel l'avocat a contre l'Etat une prétention de droit public à être rétribué dans le cadre des prescriptions cantonales applicables (<ref-ruling> consid. 3.2.2 p. 562 s.). L'autorité dispose à cet égard d'un large pouvoir d'appréciation, le Tribunal fédéral n'intervenant que si l'indemnité a été fixée de manière arbitraire. L'avocat d'office a droit au remboursement intégral de ses débours, ainsi qu'à une indemnité s'apparentant aux honoraires perçus par le mandataire plaidant aux frais de son client. Pour fixer cette indemnité, l'autorité doit tenir compte de la nature et de l'importance de la cause, des difficultés particulières que celle-ci peut présenter en fait et en droit, du temps que l'avocat lui a consacré, de la qualité de son travail, du nombre des conférences, audiences et instances auxquelles il a pris part, du résultat obtenu et de la responsabilité qu'il a assumée (<ref-ruling> consid. 3a p. 2s. et les références citées). Selon la jurisprudence, les cantons sont libres de prévoir un tarif réduit pour la défense d'office par rapport aux honoraires d'un défenseur de choix (<ref-ruling> consid. 3.2 p. 126 s.; <ref-ruling> consid. 7.3.4 p. 209 et 8.6 p. 217 et les références citées). Toutefois, la rémunération horaire ne doit pas être inférieure à 180 fr. de l'heure (TVA en sus) pour être conforme à la Constitution (<ref-ruling> consid. 3.2 p. 126 s.; <ref-ruling> consid. 8.7 p. 217 s.).
3.2. L'art. 24 LVLEtr/VD dispose que toute personne qui fait l'objet d'une procédure liée à l'application de la présente loi peut se faire assister par un conseil dès l'ouverture de la procédure (al. 1). La personne détenue peut demander au juge de paix la désignation d'un conseil d'office. Elle est informée oralement de ce droit dans une langue qu'elle comprend, dès sa première comparution. Le président du Tribunal cantonal statue (al. 2). Aux termes de l'art. 25 LVLEtr/VD, lorsque la personne détenue est indigente, le conseil d'office reçoit une indemnité à la charge de la caisse de l'Etat; les dispositions relatives à la rémunération des défenseurs d'office en matière pénale sont applicables (al. 1). Lorsque la personne détenue n'est pas indigente, le conseil d'office a le droit de lui réclamer une indemnité correspondant à des honoraires normaux (al. 2).
3.3. Il ressort de l'arrêt entrepris que le 11 juillet 2016, le recourant a été nommé conseil d'office de A._. Dans ses considérants, le Tribunal cantonal a retenu que " le recours, inutile en l'espèce au vu des conclusions et des moyens formulés, n'a pas à être rémunéré. En effet, il est de jurisprudence constante que les opérations superflues n'entraînent aucune rémunération de l'avocat. Partant, aucune indemnité ne sera allouée à Me X._ en sa qualité de conseil d'office de A._ ".
3.4. En l'occurrence, même si la LVLEtr/VD ne prévoit l'assistance d'un conseil d'office que pour les cas de détention et pas pour ceux d'assignation à résidence comme en l'espèce, il faut s'en tenir au fait que le Président du Tribunal cantonal a nommé le recourant conseil d'office d'une personne assignée à résidence et que celui-ci a donc en principe une prétention à être rétribué. Or, rien dans l'arrêt attaqué ne permet de déterminer quelles sont les démarches effectuées par l'avocat, ni leur durée. Le Tribunal cantonal se contente de refuser toute indemnité, au motif que le recours était inutile. Une telle façon de procéder est insoutenable et constitue une application arbitraire de la LVLEtr/VD.
Lorsque, comme en l'espèce, l'avocat a valablement été désigné conseil d'office, il n'est pas possible de refuser purement et simplement toute indemnité. Si le Tribunal cantonal désire réduire le montant de l'indemnité du conseil en raison de l'inconsistance d'un acte, il doit, sur la base d'une liste détaillée des activités, expliquer en quoi le temps consacré à l'activité qu'il désire réduire était inutile et mentionner le temps qu'il estimait comme utilement consacré à l'exécution du mandat (cf. arrêt 6B_502/2013 du 3 octobre 2013 consid. 3.6). Si une activité complète lui semble superflue et qu'il désire en exclure la rémunération, il doit motiver son choix en expliquant en quoi cette démarche n'était pas nécessaire (cf. arrêt 6B_329/2014 du 30 juin 2014 consid. 2.4). Cela a pour conséquence que les autres activités, utilement effectuées, devront être indemnisées. Le Tribunal cantonal doit en outre également arrêter le montant des débours afin de permettre d'établir précisément la part du montant alloué destiné à indemniser le travail de l'avocat (arrêt 6B_502/2013 du 3 octobre 2013 consid. 3.6).
3.5. Il se justifie donc de renvoyer la cause à l'autorité précédente afin qu'elle instruise le point de savoir si la mandante du recourant est ou non indigente (cf. art. 25 LVLEtr/VD), puis, le cas échéant, quelles ont été les activités effectuées dans le cadre du mandat. Elle indemnisera le recourant en conséquence. Si elle désire réduire le temps consacré à l'une ou l'autre activité, ou purement et simplement ne pas rémunérer une activité, elle motivera sa décision dans ce sens en expliquant notamment en quoi les démarches du conseil d'office étaient inutiles ou quel était le temps utile à y consacrer. Elle devra également mentionner le montant des débours. Une fois ceux-ci déduits de l'indemnité, elle veillera à ce que le temps utilement consacré soit indemnisé à un tarif horaire minimum de 180 fr. de l'heure, TVA en sus, si le recourant y est soumis.
4.
Sur le vu de ce qui précède, le recours est admis et l'arrêt entrepris annulé. La cause est renvoyée au Tribunal cantonal pour nouvelle décision dans le sens des considérants. Les frais judiciaires sont mis à la charge du canton de Vaud, dont l'intérêt patrimonial est en cause (art. 66 al. 1 et 4 LTF). Il n'est pas alloué de dépens au recourant qui a obtenu gain de cause sans l'assistance d'un mandataire professionnel (<ref-law>; s'agissant d'un avocat recourant dans sa propre cause, cf. <ref-ruling> consid. 5 p. 304).

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce :
1.
Le recours en matière de droit public est admis et l'arrêt attaqué est annulé. La cause est renvoyée au Tribunal cantonal pour qu'il statue dans le sens des considérants.
2.
Le recours constitutionnel subsidiaire est irrecevable.
3.
Les frais judiciaires, arrêtés à 1'300 fr., sont mis à la charge du canton de Vaud.
4.
Le présent arrêt est communiqué au recourant et au Tribunal cantonal du canton de Vaud, Chambre des recours civile.
Lausanne, le 6 février 2017
Au nom de la IIe Cour de droit public
du Tribunal fédéral suisse
Le Président : Seiler
Le Greffier : Tissot-Daguette