Sachverhalt:
A.
Die Jugendanwaltschaft des Kantons Schaffhausen erteilte A._ mit Strafbefehl vom 10. Februar 2015 einen Verweis wegen mehrfachen Führens eines Motorfahrzeugs, ohne hierfür den erforderlichen Führerausweis zu besitzen, und mehrfacher Übertretung der Verkehrsregelverordnung durch Verwendung eines landwirtschaftlich immatrikulierten Fahrzeugs für gewerbliche Fahrten. Am 12. März 2015 verfügte die Verkehrsabteilung der Staatsanwaltschaft des Kantons Schaffhausen den Entzug des Führerausweises Kategorie M/G von A._ für die Dauer von einem Monat. Während der Strafbefehl vom 10. Februar 2015 unangefochten blieb, erhob A._ gegen die Verfügung der Verkehrsabteilung vom 12. März 2015 Rekurs an den Regierungsrat des Kantons Schaffhausen. Mit Beschluss vom 1. September 2015 wies der Regierungsrat den Rekurs ab.
B.
Am Donnerstag, 24. September 2015 um 17.56 Uhr übermittelte der Rechtsvertreter von A._ dem Obergericht des Kantons Schaffhausen per Fax eine Beschwerde gegen den Beschluss des Regierungsrats vom 1. September 2015. Am Montag, 28. September 2015 ging die vorab per Fax eingereichte, auf den 24. September 2015 datierte Beschwerde im Original beim Obergericht ein, wobei der Poststempel das Datum vom 25. September 2015 trug. Mit Verfügung vom 16. Oktober 2015 trat das Obergericht des Kantons Schaffhausen auf die Beschwerde von A._ nicht ein, weil die Rechtsmittelfrist gemäss den anwendbaren Bestimmungen am 24. September 2015 geendet habe, die Beschwerde aber erst am 25. September 2015 eingereicht worden und somit verspätet sei.
C.
Gegen die Verfügung des Obergerichts hat A._ am 9. November 2015 Beschwerde ans Bundesgericht erhoben. Er beantragt die Aufhebung der angefochtenen Verfügung und die Rückweisung der Sache an die Vorinstanz zur materiellen Beurteilung. Eventualiter sei der Beschwerdeführer vom Vorwurf des Fahrens ohne gültigen Fahrausweis freizusprechen. Die Vorinstanz verzichtet unter Verweis auf den angefochtenen Entscheid auf Vernehmlassung. Die Verkehrsabteilung beantragt unter Verweis auf den angefochtenen Entscheid Beschwerdeabweisung. Der Regierungsrat verzichtet auf eine Stellungnahme zur Frage, ob die Vorinstanz auf die Beschwerde hätte eintreten müssen, und beantragt, die Beschwerde sei abzuweisen, soweit darauf eingetreten werde. Mit Eingabe vom 28. Januar 2016 hat der Beschwerdeführer an seinen Anträgen festgehalten.

Erwägungen:
1.
1.1. Beim angefochtenen Entscheid des Obergerichts handelt es sich um einen kantonal letztinstanzlichen Endentscheid, gegen den die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten grundsätzlich offen steht (vgl. Art. 82 lit. a, Art. 86 Abs. 1 lit. d und Abs. 2 sowie Art. 90 BGG). Zur Anfechtung des Nichteintretensentscheids ist der Beschwerdeführer nach <ref-law> unabhängig von seiner Legitimation in der Sache berechtigt, wobei sich der Streitgegenstand vor Bundesgericht auf die Eintretensfrage beschränkt, weshalb auf die Ausführungen des Beschwerdeführers in der Sache nicht einzugehen ist und entsprechende Beweisanträge abzuweisen sind.
1.2. Nicht einzutreten ist auf den Eventualantrag, der Beschwerdeführer sei vom Vorwurf des Fahrens ohne gültigen Fahrausweis freizusprechen, zumal der Strafbefehl vom 10. Februar 2015 unangefochten blieb und nicht Gegenstand des vorliegend angefochtenen Entscheids bildete.
2.
Der Beschwerdeführer macht geltend, er habe die Beschwerde an die Vorinstanz gemäss den anwendbaren kantonalen Bestimmungen rechtzeitig eingereicht. Der angefochtene Nichteintretensentscheid der Vorinstanz sei insoweit willkürlich bzw. formalistisch. Ausserdem habe die Vorinstanz seinen Anspruch auf rechtliches Gehör verletzt.
2.1. Unumstritten steht fest, dass die 20-tägige Frist für eine Beschwerde gegen den Beschluss des Regierungsrats am 24. September 2015 abgelaufen ist und die Beschwerde an die Vorinstanz demnach spätestens an diesem Tag bis um 24 Uhr der Post hätte übergeben werden müssen (vgl. Art. 39 Abs. 1 des Verwaltungsrechtspflegegesetzes des Kantons Schaffhausen vom 20. September 1971 [VRG; SHR 172.200]). Der Beschwerdeführer bestreitet auch nicht die vorinstanzlichen Feststellungen im angefochtenen Entscheid, wonach die Beschwerde der Schriftform bedarf und somit die Einreichung der Beschwerde per Fax am 24. September 2015 zur Fristwahrung nicht ausreicht. Er bringt aber vor, sein Rechtsvertreter habe die Beschwerde am 24. September 2015 am Abend in einen Briefkasten der Schweizerischen Post eingeworfen. Zum Beweis hat er mit der Beschwerde ans Bundesgericht entsprechende schriftliche Bestätigungen von zwei verschiedenen Personen eingereicht. Beim erwähnten Einwand und den eingereichten schriftlichen Bestätigungen handelt es sich um zulässige neue tatsächliche Vorbringen, weil - wie sich aus den nachfolgenden Erwägungen ergibt - erst der Entscheid der Vorinstanz dazu Anlass gegeben hat (vgl. <ref-law>).
2.2. Die Beweislast für die Rechtzeitigkeit einer Parteihandlung im Verfahren trifft grundsätzlich die Partei, welche die betreffende Handlung vorzunehmen hat. Dem Absender obliegt somit der Nachweis, dass er seine Eingabe bis um 24 Uhr des letzten Tages der laufenden Frist der Post übergeben hat (vgl. <ref-ruling> E. 3 S. 257). Die Aufgabe am Postschalter und der Einwurf in den Postbriefkasten sind einander gleichgestellt (<ref-ruling> E. 3a S. 184). Hier wie dort wird vermutet, dass das Datum des Poststempels mit demjenigen der Übergabe an die Post übereinstimmt. Wer behauptet, er habe einen Brief schon am Vortag seiner Abstempelung in einen Postbriefkasten eingeworfen, hat das Recht, die sich aus dem Poststempel ergebende Vermutung verspäteter Postaufgabe mit allen tauglichen Beweismitteln zu widerlegen (<ref-ruling> E. 3b S. 375; <ref-ruling> E. 3a S. 11 f. mit Hinweis). Diesfalls erbringt der Absender den entsprechenden Nachweis insbesondere mit dem Vermerk auf dem Briefumschlag, wonach die Postsendung vor Fristablauf in Anwesenheit von Zeugen in einen Briefkasten gelegt worden ist (z.B. BGE <ref-ruling> E. 3; vgl. Urteile 1C_458/2015 vom 16. November 2015 E. 2.1 sowie 5A_201/2014 vom 26. Juni 2014 E. 1.1).
2.3.
2.3.1. Zum Anspruch auf rechtliches Gehör (<ref-law>) gehört das Recht des Betroffenen, sich vorgängig zur Sache zu äussern, sowie auf Abnahme der rechtzeitig und formrichtig angebotenen rechtserheblichen Beweismittel. Ergibt sich aus den Akten ohne Zweifel, dass eine Beschwerdefrist nicht eingehalten worden ist, kann der Richter - ohne <ref-law> zu verletzen - entscheiden, ohne dass er dem Beschwerdeführer vorgängig eine Frist ansetzt, um sich zur Rechtzeitigkeit der Beschwerde zu äussern und entsprechende Beweise einzureichen. Hat der Richter hingegen Zweifel oder müsste er aufgrund der Umstände Zweifel haben, ob die Beschwerdefrist tatsächlich verpasst worden ist, muss er dem Beschwerdeführer zur Wahrung seines Anspruchs auf rechtliches Gehör grundsätzlich eine Frist ansetzen, um ihm die Gelegenheit zu geben, sich zur Rechtzeitigkeit der Beschwerde zu äussern und entsprechende Beweise einzureichen (vgl. <ref-ruling> E. 2 S. 16 f.; Urteil 5A_28/2015 vom 22. Mai 2015 E. 3.1.1. mit Hinweisen). Nach der bundesgerichtlichen Rechtsprechung muss allerdings ein vor Gericht tätiger Rechtsvertreter um das Risiko wissen, dass seine Postsendung möglicherweise nicht am gleichen Tag abgestempelt wird, wenn er sie nicht am Postschalter aufgibt, sondern nach Schalterschluss in einen Briefkasten einwirft. Wenn er eine derartige verfahrensmässige Unsicherheit über die Fristwahrung schafft, muss er - besondere Umstände vorbehalten - für seine Behauptung der Rechtzeitigkeit unaufgefordert Beweismittel anbieten, indem er beispielsweise auf dem Briefumschlag vermerkt, die Postsendung sei kurz vor Fristablauf in Anwesenheit von Zeugen in einen Briefkasten gelegt worden (Urteile 6B_397/2012 vom 20. September 2012 E. 1.2 mit Hinweis sowie 5P.113/2005 vom 13. September 2006 E. 3.1).
2.3.2. Der Rechtsvertreter des Beschwerdeführers hat zwar eine gewisse Unsicherheit über die Fristwahrung geschaffen, indem er die Beschwerde nicht am Postschalter aufgegeben und keinen entsprechenden Vermerk auf dem Briefumschlag angebracht hat. Er hat aber die auf den 24. September 2015 datierte Beschwerde, die er anschliessend unverändert im Original eingereicht hat, der Vorinstanz am 24. September 2015 um 17.56 Uhr und damit vor Ablauf der Beschwerdefrist per Fax übermittelt. Der per Fax übermittelten Beschwerde beigelegt war (wie der im Original eingereichten) unter anderem der angefochtene Entscheid, auf welchem der Rechtsvertreter des Beschwerdeführers den 24. September 2015 als letzten Tag der einzuhaltenden Frist vermerkt hatte. Weshalb der Rechtsvertreter des Beschwerdeführers die fertiggestellte, bereits per Fax versandte Beschwerde erst am 25. September 2015 der Post hätte übergeben haben sollen, obwohl er wusste, dass er sie bis am 24. September 2015 einzureichen hatte, konnte sich der Vorinstanz nicht ohne weiteres erschliessen. Unter diesen besonderen Umständen durfte die Vorinstanz - selbst wenn die Beschwerde von einem vor Gericht tätigen Rechtsvertreter eingereicht worden war - nicht ohne Zweifel annehmen, die Beschwerde sei erst am 25. September 2015 der Post übergeben worden. Zur Wahrung seines Anspruchs auf rechtliches Gehör gemäss <ref-law> hätte die Vorinstanz dem Beschwerdeführer folglich eine Frist ansetzen müssen, um ihm Gelegenheit zu geben, sich zur Rechtzeitigkeit der Beschwerde zu äussern und entsprechende Beweise einzureichen.
2.4.
2.4.1. Das Bundesgericht kann die Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz berichtigen oder ergänzen, wenn sie wie vorliegend (vgl. E. 2.3 hiervor) auf einer Rechtsverletzung im Sinne von Art. 95 beruht (vgl. <ref-law>).
2.4.2. Die Schilderung des Rechtsvertreters des Beschwerdeführers, wonach er die Beschwerde an die Vorinstanz noch am 24. September 2015 am Abend in den wenige Meter von seinem Arbeitsort entfernten Briefkasten eingeworfen habe, erscheint unter den gegebenen Umständen plausibel, zumal nicht einzusehen ist, weshalb er die am 24. September 2015 fertiggestellte, bereits per Fax versandte Beschwerde erst am 25. September 2015 in einen Briefkasten der Schweizerischen Post geworfen haben sollte, obwohl er wusste, dass er sie bis am 24. September 2015 einzureichen hatte (vgl. E. 2.3.2 hiervor). Ausserdem ist nicht ersichtlich, dass es in unmittelbarer Nähe zum Arbeitsort des Rechtsvertreters eine Poststelle gäbe, welche - wie etwa die Sihlpost in Zürich - deutlich länger als bis 18 Uhr Postsendungen entgegen nehmen würde (vgl. Urteil 1C_458/2015 vom 16. November 2015 E. 2.2 ff.). Die mit der Beschwerde ans Bundesgericht eingereichten schriftlichen Bestätigungen von zwei verschiedenen Personen untermauern den vom Rechtsvertreter des Beschwerdeführers geschilderten Sachverhalt, auch wenn die Beweiskraft entsprechender Bestätigungen grösser wäre, wenn sie auf dem Briefumschlag vermerkt gewesen und nicht erst mit der Beschwerde ans Bundesgericht beigebracht worden wären.
2.4.3. In Ergänzung des von der Vorinstanz festgestellten Sachverhalts und in Würdigung der gesamten Umstände ist festzustellen, dass der Beschwerdeführer den Beweis erbracht hat, wonach er die am Montag, 28. September 2015 bei der Vorinstanz eingegangene Beschwerde schon am Donnerstag, 24. September 2015 und somit am Vortag des Datums des Poststempels in einen Briefkasten der Schweizerischen Post eingeworfen hat. Damit erweist sich die vorinstanzliche Feststellung im angefochtenen Entscheid, dass die auf den 24. September 2015 datierte Beschwerde erst am 25. September 2015 bei der Post aufgegeben worden und demnach in Anwendung von Art. 39 Abs. 1 VRG verspätet sei, als willkürlich im Sinne von <ref-law>.
3.
3.1. Nach dem Ausgeführten ist die Beschwerde gutzuheissen, soweit darauf einzutreten ist. Die angefochtene Verfügung ist aufzuheben und die Sache zur weiteren Behandlung an die Vorinstanz zurückzuweisen. Die Vorinstanz wird auch über die Kosten- und Entschädigungsfolgen des vorinstanzlichen Verfahrens neu zu entscheiden haben.
3.2. Bei diesem Ausgang des Verfahrens sind keine Gerichtskosten zu erheben (vgl. Art. 66 Abs. 1 und 4 BGG). Der Kanton Schaffhausen hat dem Beschwerdeführer für das bundesgerichtliche Verfahren eine angemessene Parteientschädigung auszurichten (vgl. Art. 68 Abs. 1 und 2 BGG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird gutgeheissen, soweit darauf einzutreten ist. Die Verfügung des Obergerichts des Kantons Schaffhausen vom 16. Oktober 2015 wird aufgehoben und die Sache zur weiteren Behandlung an die Vorinstanz zurückgewiesen.
2.
Es werden keine Gerichtskosten erhoben.
3.
Der Kanton Schaffhausen hat dem Beschwerdeführer für das bundesgerichtliche Verfahren eine Parteientschädigung von Fr. 2'000.-- auszurichten.
4.
Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer, der Staatsanwaltschaft des Kantons Schaffhausen, dem Regierungsrat des Kantons Schaffhausen und dem Obergericht des Kantons Schaffhausen schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 16. März 2016
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Fonjallaz
Der Gerichtsschreiber: Mattle