Faits :
A.
A.a. Ressortissant kosovar né en 1977, X._ a été mis au bénéfice d'une autorisation de séjour par regroupement familial à la suite de son mariage, le 19 mai 2009, avec une compatriote titulaire d'une autorisation d'établissement. Son autorisation a été régulièrement renouvelée jusqu'au 18 mai 2014. Deux enfants sont nés durant le mariage: A._ (1 er octobre 2010), et B._ (25 mai 2013).
Depuis son arrivée en Suisse, X._ n'a travaillé qu'épisodiquement, bénéficiant de prestations de l'aide sociale de janvier à septembre 2013 pour un montant total de plus de 13'000 fr. Il est financièrement indépendant et exerce une activité salariée stable depuis le 30 septembre 2013.
A.b. Le 2 septembre 2013, le Service cantonal de la population (ci-après: le Service cantonal) a convoqué X._ pour le 30 septembre 2013. La convocation précisait: "D ans le cas où vous ne vous exprimeriez pas en français, vous voudrez bien vous faire accompagner par un (-e) interprète ". X._ s'est présenté à l'entretien accompagné d'un interprète. Au cours de la discussion, il a notamment déclaré qu'il était séparé de son épouse depuis le 16 novembre 2012, qu'une reprise de la vie commune était exclue, qu'il souhaitait entamer une procédure de divorce et qu'il avait eu deux enfants nés hors mariage au Kosovo en 2002 et 2006. A._ n'était pas son fils et il envisageait une procédure de désaveu. Il a encore ajouté faire l'objet de poursuites pour un montant de 18'072 fr.
A.c. Par jugement du 30 octobre 2014 devenu définitif et exécutoire le 14 novembre 2014, le Tribunal d'arrondissement de la Broye et du Nord vaudois a admis l'action en contestation de filiation de B._ et de A._, constatant qu'ils n'étaient pas les enfants de X._.
B.
Le 11 mars 2015, le Service cantonal a refusé le renouvellement de l'autorisation de séjour de X._ et prononcé son renvoi de Suisse. Le 22 avril 2015, l'intéressé a interjeté recours contre cette décision auprès du Tribunal cantonal vaudois, Cour de droit administratif et public (ci-après: le Tribunal cantonal).
Par arrêt du 25 août 2015, le Tribunal cantonal a rejeté le recours et confirmé la décision du 11 mars 2015. En substance, les juges cantonaux ont retenu que X._ ne pouvait se prévaloir d'une intégration réussie et que la poursuite de son séjour en Suisse ne s'imposait pas non plus pour des raisons personnelles majeures, de sorte qu'il ne pouvait prétendre au renouvellement de son autorisation de séjour. Les conditions d'obtention d'une autorisation d'établissement n'étaient pas non plus réunies.
C.
Agissant par la voie du recours en matière de droit public, X._ demande au Tribunal fédéral, sous suite de frais et dépens, à titre principal, d'annuler la décision du Service cantonal du 11 mars 2015 et de prolonger son autorisation de séjour en Suisse; subsidiairement, d'annuler la décision du Service cantonal du 11 mars 2015 et de renvoyer la cause au Tribunal cantonal pour nouvelle décision. Il conclut également à l'octroi de l'assistance judiciaire.
La requête d'effet suspensif contenue dans le recours a été admise par ordonnance présidentielle du 30 septembre 2015.
Le Tribunal cantonal et le Secrétariat d'Etat aux migrations ont conclu au rejet du recours. Le Service cantonal a renoncé à se déterminer.

Considérant en droit :
1.
Le Tribunal fédéral examine d'office et librement la recevabilité des recours qui lui sont soumis (<ref-ruling> consid. 1 p. 188).
1.1. D'après l'art. 83 let. c ch. 2 LTF, le recours en matière de droit public est irrecevable contre les décisions dans le domaine du droit des étrangers qui concernent une autorisation à laquelle ni le droit fédéral ni le droit international ne donnent droit.
Le recourant invoque l'art. 50 al. 1 de la loi fédérale sur les étrangers (LEtr; RS 142.20), selon lequel, après dissolution de la famille, le droit du conjoint à l'octroi d'une autorisation de séjour et à la prolongation de sa durée de validité subsiste à certaines conditions. Dès lors qu'il n'est pas d'emblée exclu que les conditions de cette disposition soient remplies, il convient d'admettre que le recours échappe à la clause d'irrecevabilité, étant précisé que le point de savoir si le recourant peut effectivement se prévaloir d'un droit à séjourner en Suisse relève du fond et non de la recevabilité (<ref-ruling> consid. 1.1 p. 332; <ref-ruling> consid. 1.3 p. 287; <ref-ruling> consid. 1.1 p. 179).
1.2. Le recourant conclut tant à titre principal que subsidiaire à l'annulation de la décision du Service cantonal. Pareille conclusion est irrecevable en raison de l'effet dévolutif du recours auprès du Tribunal cantonal (<ref-ruling> consid. 1.2 p. 543; concernant le canton de Vaud: arrêt 2C_172/2013 du 26 juin 2013 consid. 3.3). Le recourant ne formule par ailleurs pas de conclusion visant l'arrêt du 15 août 2015 du Tribunal cantonal. Les conclusions doivent toutefois être interprétées, selon le principe de la confiance, à la lumière de la motivation, et l'interdiction du formalisme excessif commande de ne pas se montrer trop strict dans la formulation si, à la lecture du mémoire, on comprend clairement ce que veut le recourant (arrêts 2C_986/2013 du 15 septembre 2014 consid. 2.2, in RF 69/2014, p. 893; 4A_375/2012 du 20 novembre 2012 consid. 1.2 non publié in <ref-ruling>). Dans la mesure où il ressort de la motivation du mémoire que le recourant s'en prend à l'appréciation effectuée par les juges cantonaux, il y a lieu d'admettre que le recours est bien formé contre leur arrêt.
1.3. Le recours est ainsi dirigé contre une décision finale (<ref-law>) rendue par une autorité cantonale supérieure ayant statué en dernière instance cantonale (art. 86 al. 1 let. d et al. 2 LTF). Il a par ailleurs été déposé en temps utile (<ref-law>) et dans les formes prescrites (<ref-law>) par le destinataire de l'arrêt attaqué qui a qualité pour recourir au sens de l'<ref-law>. Il convient donc d'entrer en matière sur le recours dans la mesure de sa recevabilité.
1.4. Le recourant demande la production du dossier cantonal. Le Tribunal cantonal ayant annexé à sa détermination le dossier complet de la cause, conformément à l'<ref-law>, cette requête est sans objet.
2.
2.1. Saisi d'un recours en matière de droit public, le Tribunal fédéral contrôle librement le respect du droit fédéral (cf. art. 95 let. a et 106 al. 1 LTF), alors qu'il n'examine la violation de droits fondamentaux que si ce grief a été invoqué et motivé par le recourant, conformément au principe d'allégation (cf. <ref-law>). L'acte de recours doit alors, sous peine d'irrecevabilité, contenir un exposé succinct des droits et principes constitutionnels violés et préciser de manière claire et détaillée en quoi consiste la violation (cf. <ref-ruling> consid. 2.2 p. 232; <ref-ruling> consid. 3 p. 237; <ref-ruling> consid. 2.5 p. 314).
2.2. Le Tribunal fédéral statue sur la base des faits établis par l'autorité précédente (<ref-law>), à moins que les faits n'aient été établis de façon manifestement inexacte - c'est-à-dire arbitrairement (<ref-ruling> consid. 4.1.2 p. 62) - ou en violation du droit au sens de l'<ref-law> (<ref-law>). D'une manière générale, la correction du vice doit en outre être susceptible d'influer sur le sort de la cause (art. 97 al. 1 in fine LTF), ce qu'il appartient au recourant d'exposer. Lorsque le recourant s'en prend à l'appréciation des preuves et à l'établissement des faits, la décision n'est arbitraire que si le juge n'a manifestement pas compris le sens et la portée d'un moyen de preuve, s'il a omis, sans raison sérieuse, de tenir compte d'un moyen important propre à modifier la décision attaquée ou encore si, sur la base des éléments recueillis, il a procédé à des déductions insoutenables (cf. <ref-ruling> consid. 2.3 p. 266; <ref-ruling> consid. 4.2 p. 560; <ref-ruling> consid. 4.3 p. 62). Le Tribunal fédéral n'entre pas en matière sur des critiques de type appellatoire (<ref-ruling> consid. 5.1 p. 356). Par ailleurs, aucun fait nouveau ni preuve nouvelle ne peut en principe être présenté devant le Tribunal de céans (<ref-law>).
Indépendamment des griefs de constatation manifestement inexacte des faits qu'il soulève en lien avec l'<ref-law> et qui seront traités ci-dessous, le recourant consacre une large partie de son mémoire, tant dans la partie "En faits" que dans son analyse en droit, à présenter de manière appellatoire sa propre version des événements, perdant de vue que le Tribunal fédéral n'est pas une instance d'appel. Il ne sera partant pas tenu compte de ces faits en tant qu'ils ne ressortent pas déjà de l'arrêt attaqué, ni des offres de preuves y afférentes.
3.
Le litige au fond porte sur le point de savoir si c'est à bon droit que le Tribunal cantonal a retenu que l'autorisation de séjour du recourant, fondée sur l'art. 43 LEtr, ne pouvait pas être prolongée en application de l'art. 50 al 1 let. a LEtr ou de l'art. 50 al. 1 let. b LEtr.
L'article 50 al. 1 lit. b LEtr s'applique lorsque les conditions de la let. a font défaut (cf. arrêt 2C_14/2014 du 27 août 2014 consid. 4.6.3 non publié in <ref-ruling>; <ref-ruling> consid. 3.1 p. 394 s.; <ref-ruling> consid. 3.2.1 p. 348; arrêt 2C_1003/2015 du 7 janvier 2016 consid. 4.1). Vu l'issue du recours, il convient toutefois de commencer en l'espèce par examiner les griefs que le recourant développe en lien avec l'art. 50 al. 1 let. b LEtr.
4.
Selon l'art. 50 al. 1 let. b LEtr, après dissolution de la famille, le droit du conjoint et des enfants à l'octroi d'une autorisation de séjour et à la prolongation de sa durée de validité en vertu des art. 42 et 43 subsiste si la poursuite du séjour en Suisse s'impose pour des raisons personnelles majeures. Selon l'<ref-law>, les raisons personnelles majeures visées à l'al. 1 let. b sont notamment données lorsque le conjoint est victime de violence conjugale, que le mariage a été conclu en violation de la libre volonté d'un des époux ou que la réintégration sociale dans le pays de provenance semble fortement compromise.
4.1. Dans le cadre de l'art. 50 al. 1 let. b et 2 LEtr, c'est la situation personnelle de l'intéressé qui est décisive (arrêt 2C_1003/2015 précité consid. 4.1). L'admission d'un cas de rigueur personnel survenant après la dissolution de la communauté conjugale suppose que, sur la base des circonstances d'espèce, les conséquences pour la vie privée et familiale de la personne étrangère liées à ses conditions de vie après la perte du droit de séjour découlant de la communauté conjugale soient d'une intensité considérable (ATF <ref-ruling> consid. 3.1 p. 395; <ref-ruling>; arrêt 2C_1003/2015 précité consid. 4.1). L'art. 50 al. 1 let. b et al. 2 LEtr a pour vocation d'éviter les cas de rigueur ou d'extrême gravité qui peuvent être provoqués notamment par la violence conjugale, le décès du conjoint ou des difficultés de réintégration dans le pays d'origine (<ref-ruling> consid. 5.3 p. 4). Il laisse aux autorités une certaine liberté d'appréciation humanitaire (arrêts 2C_982/2010 du 3 mai 2011 consid. 3.3; 2C_590/2010 du 29 novembre 2010 consid. 2.5.2).
4.2. Selon la jurisprudence, des motifs médicaux peuvent, suivant les circonstances, conduire à la reconnaissance d'une raison personnelle majeure au sens de l'art. 50 al. 1 let. b LEtr, lorsque l'intéressé démontre souffrir d'une sérieuse atteinte à la santé qui nécessite, pendant une longue période, des soins permanents ou des mesures médicales ponctuelles d'urgence, indisponibles dans le pays d'origine, de sorte qu'un départ de Suisse serait susceptible d'entraîner de graves conséquences pour sa santé. En revanche, le seul fait d'obtenir en Suisse des prestations médicales supérieures à celles offertes dans le pays d'origine ne suffit pas (arrêts 2C_721/2014 du 15 janvier 2015 consid. 3.2.1; 2C_1119/2012 du 4 juin 2013 consid. 5.2). En outre, l'étranger qui entre pour la première fois en Suisse en souffrant déjà d'une sérieuse atteinte à la santé ne saurait se fonder uniquement sur ce motif médical pour y poursuivre son séjour (arrêts 2C_959/2011 du 22 février 2012 consid. 3.2; 2C_216/2009 du 20 août 2009 consid. 4.2 et les références).
4.3. S'agissant de la réintégration sociale dans le pays d'origine, il n'y a lieu d'y voir, conformément à l'art. 50 al. 2 LEtr, une raison personnelle majeure que lorsque celle-ci semble fortement compromise. La question n'est donc pas de savoir s'il est plus facile pour la personne concernée de vivre en Suisse, mais uniquement d'examiner si, en cas de retour dans le pays d'origine, les conditions de sa réintégration sociale, au regard de sa situation personnelle, professionnelle et familiale, seraient gravement compromises (arrêts précités 2C_1003/2015 consid. 4.1; 2C_982/2010 consid. 3.3; 2C_216/2009 consid. 2.2; arrêt 2C_721/2010 du 8 mars 2011 consid. 2.1).
4.4. En l'espèce, l'arrêt attaqué retient que le recourant réside en Suisse depuis six ans, alors qu'il a vécu les trente-deux premières années de sa vie au Kosovo, où vivent ses deux enfants, âgés de treize et neuf ans, de même que plusieurs membres de sa famille. Par ailleurs, les problèmes psychiques dont il souffre (soit des troubles psycho-affectif de type dépressifs et un état de stress post-traumatique, qui trouvent leur origine dans un vécu traumatisant au Kosovo) ne constituent pas une raison personnelle majeure justifiant un renouvellement de son autorisation de séjour: l'état de santé du recourant ne l'empêche pas de travailler et il admet lui-même se rendre régulièrement au Kosovo, quand bien même il prétend que ces voyages le plongent dans un état de profonde anxiété. Les juges précédents soulignent encore qu'il n'est pas établi que le recourant ne serait pas en mesure de poursuivre son traitement médicamenteux psychotrope dans son pays d'origine ou qu'il ne pourrait pas poursuivre une psychothérapie sur place, plus particulièrement pour le traitement de pathologies consécutives à des traumatismes liées à la guerre dans ce pays.
4.5. En lien avec l'art. 50 al. 1 let. b et al. 2 LEtr, le recourant s'en prend à l'arrêt attaqué tant sous l'angle de l'établissement des faits que de la violation du droit.
4.5.1. Il soutient que sa capacité à travailler est liée à sa présence en Suisse, où il bénéfice d'un équilibre, et qu'il ne serait pas en mesure de travailler au Kosovo. Il reproche aussi aux juges cantonaux d'avoir occulté ses problèmes de santé, son vécu traumatisant au Kosovo et le fait que, selon les conclusions de l'expertise médicale qu'il a produite, l'équilibre qu'il a atteint lui a permis d'éviter des hospitalisations. Il s'agit toutefois là de critiques de type appellatoire, qui sont irrecevables. Au demeurant, contrairement à ce que soutient le recourant, les juges cantonaux ont bien pris en considération son état de santé psychique et ses causes dans leur appréciation juridique. Sous couvert d'un grief relatif à l'établissement des faits, le recourant se plaint en réalité d'une violation du droit.
4.5.2. Sous cet angle, le recourant fait grief à l'instance précédente d'avoir violé l'art. 50 al. 1 let. b LEtr en niant l'existence de raisons personnelles majeures justifiant la prolongation de son séjour en Suisse. Il reproche aux juges cantonaux de n'avoir pas tenu compte de ses graves problèmes psychiques et du fait qu'il perdrait l'équilibre qu'il a atteint en Suisse, y compris sur le plan professionnel, grâce à son entourage familial et médical, en cas de retour au Kosovo.
Il ressort de l'arrêt attaqué que les problèmes de santé du recourant sont préexistants à son arrivée en Suisse; il ne peut en principe pas se fonder sur ceux-ci uniquement pour demeurer dans notre pays (cf. consid. 4.2 ci-dessus). Et quoi qu'il en dise de manière appellatoire dans son mémoire de recours, rien n'indique qu'il ne pourrait pas se faire soigner de manière adéquate au Kosovo, étant rappelé que le seul fait de craindre que la qualité des soins soit moindre qu'en Suisse ne suffit pas à admettre l'existence d'un cas de rigueur. En retenant que le retour du recourant dans son pays d'origine, dans lequel il a vécu presque toute sa vie et où demeurent des membres de sa famille dont ses enfants, ne constituait pas un cas de rigueur, les juges cantonaux n'ont pas violé l'art. 50 al. 1 let. b et al. 2 LEtr. Ils n'ont pas non plus excédé leur large pouvoir d'appréciation en retenant que la réintégration sociale du recourant au Kosovo n'apparaissait pas fortement compromise.
4.6. Le grief tiré de l'art. 50 al. 1 let. b LEtr est partant rejeté.
5.
Selon l'art. 50 al. 1 let. a LEtr, le droit du conjoint à l'octroi d'une autorisation de séjour et à la prolongation de sa durée de validité en vertu des art. 42 et 43 LEtr subsiste si l'union conjugale a duré au moins trois ans et que l'intégration est réussie. Ces deux conditions sont cumulatives (<ref-ruling> consid. 3.5.3 p. 295; <ref-ruling> consid. 3.3.3 p. 119). En l'espèce, est seul litigieux le point de savoir si le recourant peut se prévaloir d'une intégration réussie.
5.1. Le principe de l'intégration doit permettre aux étrangers dont le séjour est légal et durable de participer à la vie économique, sociale et culturelle de la Suisse (art. 4 al. 2 LEtr). Selon l'art. 4 de l'ordonnance du 24 octobre 2007 sur l'intégration des étrangers (OIE; RS 142.205), la contribution des étrangers à l'intégration se manifeste notamment par le respect de l'ordre juridique et des valeurs de la Constitution fédérale (let. a), par l'apprentissage de la langue nationale parlée sur le lieu de domicile (let. b), par la connaissance du mode de vie suisse (let. c) et par la volonté de participer à la vie économique et d'acquérir une formation (let. d). Il découle de l'art. 77 al. 4 de l'ordonnance du 24 octobre 2007 relative à l'admission, au séjour et à l'exercice d'une activité lucrative (OASA; RS 142.201) que l'étranger s'est bien intégré au sens de l'art. 50 al. 1 let. a LEtr notamment lorsqu'il (let. a) respecte l'ordre juridique suisse et les valeurs de la Constitution fédérale, (let. b) manifeste sa volonté de participer à la vie économique et d'apprendre la langue nationale parlée au lieu de domicile. L'adverbe "notamment" figurant aux <ref-law> et 77 al. 4 OASA illustre le caractère non exhaustif des critères d'intégration qui sont énumérés par ces dispositions et met aussi en exergue le fait que la notion "d'intégration réussie" doit s'examiner à l'aune d'une appréciation globale des circonstances (arrêts 2C_557/2015 du 9 décembre 2015 consid. 4.2; 2C_175/2015 du 30 octobre 2015 consid. 2.2; 2C_317/2015 du 1 er octobre 2015 consid. 4.1; 2C_1125/2014 du 9 septembre 2015 consid. 3.2.1; 2C_795/2014 du 30 mars 2015 consid. 3.1).
5.2. Selon la jurisprudence, il n'y a pas d'intégration réussie lorsque l'étranger n'exerce pas d'activité lucrative qui lui permette de couvrir ses besoins et qu'il dépend des prestations sociales pendant une période relativement longue. A l'inverse, le fait pour une personne de ne pas avoir commis d'infractions pénales et de pourvoir à son revenu sans recourir à l'aide sociale ne permet pas à lui seul de retenir une intégration réussie (arrêts 2C_557/2015 précité consid. 4.3; 2C_175/2015 précité consid. 2.3; 2C_317/2015 précité consid. 4.1 2C_352/2014 du 18 mars 2015 consid. 4.2; 2C_65/2014 du 27 janvier 2015 consid. 3.2; 2C_298/2014 du 12 décembre 2014 consid. 6.3; 2C_14/2014 du 27 août 2014 consid. 4.6.1, non publié in <ref-ruling>). Des périodes d'inactivité de durée raisonnable n'impliquent pas forcément une absence d'intégration professionnelle (arrêts 2C_557/2015 précité consid. 4.3; 2C_352/2014 précité consid. 4.3; 2C_749/2011 du 20 janvier 2012 consid. 3.3), et il n'est pas exclu qu'un étranger qui se libère de l'aide sociale en réaction immédiate à un avertissement formel de l'autorité cantonale pendant la durée de validité restante de son autorisation de séjour remplisse, sous l'angle temporel, la condition d'intégration réussie au sens de l'art. 50 al. 1 let. a LEtr (cf. arrêt 2C_175/2015 précité consid. 3.2.3). Par ailleurs, l'intégration réussie au sens de l'art. 50 al. 1 let. a LEtr n'implique pas la réalisation d'une trajectoire professionnelle particulièrement brillante au travers d'une activité exercée sans discontinuité. L'essentiel en la matière est que l'étranger subvienne à ses besoins, n'émarge pas à l'aide sociale et ne s'endette pas (arrêts 2C_557/2015 précité consid. 4.3; 2C_459/2015 du 29 octobre 2015 consid. 4.3.1; 2C_385/2014 du 19 janvier 2015 consid. 4.1). Lorsqu'il s'agit d'examiner l'étendue de l'intégration professionnelle d'un étranger, il y a lieu de se fonder sur la situation effective, à savoir sur la présence ou non de l'intéressé sur le marché du travail. Le point de savoir si un étranger a été durablement empêché de travailler pour des motifs de santé n'entre donc pas en ligne de compte dans l'examen de ce critère.
5.3. Sur le plan de la langue, l'art. 77 al. 4 let. b OASA précise qu'un étranger s'est bien intégré au sens de l'art. 50 al. 1 let. a LEtr notamment lorsqu'il manifeste sa volonté d'apprendre la langue nationale parlée au lieu de domicile. Selon la jurisprudence, il faut que l'étranger puisse se faire comprendre de manière simple dans des situations de la vie quotidienne (arrêts 2C_175/2015 précité consid. 2.3; 2C_65/2014 précité consid. 3.5). Le degré de maîtrise que l'on est en droit d'exiger varie par ailleurs en fonction de la situation socio-professionnelle de l'intéressé (arrêts 2C_238/2015 précité consid. 3.3; 2C_839/2010 du 25 février 2011 consid. 7.1.2). La Cour de céans a en outre retenu qu'il n'était pas possible de tirer sans autre une conclusion négative quant à l'intégration d'un étranger si la présence d'un interprète s'est révélée nécessaire en cours d'audience: une telle circonstance n'est en effet pas incompatible avec l'existence d'une capacité de communication suffisante dans la vie de tous les jours (cf. arrêt 2C_65/2014 précité consid. 3.5; cf. également arrêt 2C_238/2015 précité consid. 3.3). D'ailleurs, selon les Directives du Secrétariat d'Etat aux Migrations (Directives et commentaires Domaine des étrangers [Directives LEtr], octobre 2013, version actualisée au 6 janvier 2016, ch. 5.6.4.1.2; cf. aussi arrêt 2C_65/2014 précité consid. 3.5), la condition de l'art. 77 al. 4 OASA est remplie si le niveau de maîtrise de la langue équivaut au niveau A1 du Cadre européen commun de référence pour les langues publié par le Conseil de l'Europe, ce niveau étant attribué à une personne qui peut comprendre et utiliser des expressions familières et quotidiennes ainsi que des énoncés très simples visant à satisfaire des besoins concrets, se présenter ou présenter quelqu'un et communiquer de façon simple si l'interlocuteur parle lentement et distinctement et se montre coopératif (cf. Cadre européen, Tableau 1 - Niveaux communs de compétence - Echelle globale, p. 25).
5.3.1. Dans l'examen des critères d'intégration, les autorités compétentes disposent d'un large pouvoir d'appréciation, que le Tribunal fédéral ne revoit qu'avec retenue (cf. art. 54 al. 2 et 96 al. 1 LEtr et <ref-law>; arrêts 2C_238/2015 précité consid. 3.1; 2C_175/2015 précité consid. 2.2; 2C_390/2014 précité consid. 4.2.1; 2C_14/2014 précité consid. 4.6.1).
5.4. En l'espèce, les juges précédents ont retenu en premier lieu que le recourant ne maîtrisait pas la langue française et que c'était pour cette raison qu'il avait choisi de venir accompagné d'un interprète à l'entretien auquel l'avait convoqué le Service cantonal pour le 30 septembre 2013. Cela étant, même à supposer qu'il parle le français, les juges cantonaux ont considéré que le recourant ne remplissait pas le critère relatif à l'intégration professionnelle: il exerçait certes une activité salariée stable depuis le 30 septembre 2013, qui le rendait autonome financièrement, mais il n'avait travaillé qu'épisodiquement jusqu'alors et avait bénéficié de prestations de l'aide sociale de janvier à septembre 2013 pour un montant de plus de 13'000 fr. Il avait par ailleurs fait l'objet de poursuites en 2013. Au surplus, le fait que le recourant soit apprécié par son entourage professionnel n'était pas déterminant, pas plus que ne l'étaient les déclarations faites en sa faveur par divers proches. Enfin, s'il était vraisemblable que le recourant se soit constitué un réseau social en Suisse en dehors des membres de sa famille qui y vivent, ses deux enfants et le reste de sa famille demeuraient au Kosovo. L'intégration du recourant en Suisse s'avérait donc "plutôt aléatoire".
5.5. Parmi les griefs qu'il formule à l'encontre de l'arrêt attaqué, le recourant fait valoir une violation du droit d'être entendu. Il reproche aux juges précédents d'avoir refusé de procéder à son audition, alors que cette mesure aurait permis selon lui d'établir que, contrairement à ce qu'ils ont retenu, il parle le français.
Les garanties minimales en matière de droit d'être entendu découlant de l'art. 29 al. 2 Cst. ne comprennent en principe pas le droit d'être entendu oralement (<ref-ruling> consid. 5.3 p. 148; <ref-ruling> consid. 2.1 p. 428 s.; arrêt 2C_276/2011 du 10 octobre 2011 consid. 2.1, non publié in <ref-ruling>). Le droit cantonal peut certes, selon les cas, offrir une protection plus étendue aux justiciables (cf. <ref-ruling> consid. 2.4.2.1 p. 95 s. a contrario; arrêt 2C_621/2015 du 11 décembre 2015 consid. 3), mais le recourant ne fait pas valoir que tel serait le cas en l'espèce. Le grief de violation du droit d'être entendu est partant rejeté. Cela étant, le point de savoir si les juges cantonaux ont arbitrairement établi les faits en relation avec la question de la maîtrise de la langue, sera traité ci-après en relation avec le grief que le recourant tire de l'<ref-law>.
5.6. Invoquant cette dernière disposition, le recourant soutient que les juges cantonaux ont procédé à une constatation manifestement inexacte des faits et à une appréciation arbitraire des preuves en lien avec trois critères d'intégration: la maîtrise de la langue française, l'intégration professionnelle et l'existence de poursuites ouvertes à son encontre.
5.6.1. En lien avec la question de la maîtrise de la langue, il reproche aux juges précédents d'être tombés dans l'arbitraire en se fondant sur le fait qu'il s'est rendu à l'entretien auquel l'avait convoqué le Service cantonal pour le 30 septembre 2013 accompagné d'un interprète pour en conclure qu'il ne maîtrisait pas le français, et d'avoir arbitrairement omis de prendre en considération les autres éléments entrant en ligne de compte à cet égard - à savoir les témoignages qu'il a produits, sa situation socio-professionnelle, le fait qu'il n'était pas accompagné d'un interprète lors de son audience de divorce - tout en lui ayant refusé la possibilité d'être entendu oralement, comme il l'avait expressément requis, pour prouver qu'il maîtrisait suffisamment la langue.
Ce reproche est fondé. Il est arbitraire de prendre comme seul critère d'appréciation la présence d'un interprète au cours de l'entretien du 30 septembre 2013 au sein du Service cantonal, alors qu'une telle circonstance n'est pas relevante pour juger si un étranger est capable de se faire comprendre de manière simple dans des situations de la vie quotidienne, sans tenir compte des autres éléments à disposition (cf. la jurisprudence citée sous consid. 5.3) et, le cas échéant, instruire plus avant ce point, par exemple en entendant personnellement l'intéressé. L'appréciation de l'arrêt attaqué est d'autant plus choquante que la présence d'un interprète a été suggérée par le Service cantonal lui-même, et que lorsqu'il s'agit, comme en l'espèce, d'un entretien déterminant pour son avenir en Suisse, on peut imaginer qu'un étranger choisisse d'être accompagné d'un interprète même s'il est capable de s'exprimer au quotidien dans la langue du domicile.
5.6.2. Concernant le critère de l'intégration professionnelle, le recourant reproche au Tribunal cantonal d'avoir arbitrairement omis de prendre en considération le fait qu'il a été hospitalisé près d'une année en raison de sa pathologie psychiatrique et d'une tentative de suicide. Ces faits expliqueraient pour quels motifs il n'a travaillé qu'épisodiquement en Suisse depuis son arrivée et qu'il a bénéficié de l'aide sociale de janvier à septembre 2013. Ce grief a toutefois trait à l'application du droit et non à l'établissement des faits. En l'occurrence, si les problèmes de santé du recourant peuvent expliquer pour quelles raisons il s'est retrouvé à l'aide sociale durant quelques mois, ils ne sont pas relevants pour juger de son niveau d'intégration professionnelle à proprement parler.
5.6.3. Pour ce qui a finalement trait aux poursuites ouvertes à son encontre, le recourant soutient que les juges précédents se sont arbitrairement fondés sur sa seule audition devant le Service cantonal et qu'ils ont omis d'examiner les documents qu'il a produits devant eux, alors que ceux-ci établiraient au contraire qu'il n'a en réalité jamais fait l'objet de poursuites, celles ayant été inscrites à son nom n'étant que le fruit d'une erreur consécutive à l'existence d'un homonyme obéré.
5.6.4. Les pièces auxquelles le recourant fait référence sont les suivantes:
- une déclaration de l'Office des poursuites de Morges du 24 mars 2015, selon laquelle X._, domicilié à C._, né le 2 septembre 1977, ne fait pas et n'a pas fait l'objet de poursuites et n'est pas et n'a pas été sous le coup d'actes de défaut de biens;
- une déclaration de l'Office des poursuites du district de l'Ouest lausannois du 2 avril 2015, selon laquelle X._, domicilié à D._, né le 2 septembre 1977, ne fait pas et n'a pas fait l'objet de poursuites et n'est pas et n'a pas été sous le coup d'actes de défaut de biens;
- un extrait du registre informatique d'office des poursuites imprimé le 2 avril 2015, qui fait état de l'annulation de poursuites qui étaient ouvertes à l'encontre de X._, né en 1977 et domicilié à E._.
Ces documents semblent corroborer les affirmations du recourant selon lesquelles il n'a jamais fait l'objet de poursuites, respectivement que les poursuites ouvertes contre lui ont été annulées. Dans ces circonstances, les juges cantonaux ne pouvaient pas, sauf à tomber dans l'arbitraire, retenir que le recourant était obéré pour 18'072 fr. sans discuter la portée de ces pièces.
5.7. Reste à déterminer si les constats d'arbitraire qui précèdent sont de nature à influer sur la décision attaquée (art. 97 al. 1 in fine LTF). Il sied à cet effet de synthétiser les différents éléments que l'on peut, en l'état, retenir pour juger du niveau d'intégration du recourant:
Parle en sa faveur le fait qu'il est intégré socialement et au bénéfice d'un emploi stable depuis le 30 septembre 2013. Il ne ressort en outre pas de l'arrêt attaqué que le recourant se soit fait connaître des autorités pénales. Le fait qu'il n'ait qu'épisodiquement travaillé depuis son arrivée en Suisse jusqu'au 30 septembre 2013 et qu'il ait bénéficié de l'aide sociale ne vont en revanche pas dans le sens d'une intégration réussie; il faut toutefois aussi prendre en considération que le recourant n'a bénéficié de l'aide sociale que durant quelques mois, sur plusieurs années de séjour en Suisse, et qu'il est financièrement indépendant depuis le 30 septembre 2013. Considérés dans leur ensemble, les éléments qui précèdent n'excluent donc pas l'existence d'une intégration réussie au sens de l'art. 50 al. 1 let. a LEtr. Dans ces circonstances, le point de savoir si le recourant parle le français et s'il fait ou a fait l'objet de poursuites s'avère déterminant pour trancher ce point. La Cour de céans n'est toutefois pas en mesure de se prononcer sur ces deux questions, qui nécessitent de vérifier des faits.
5.8. Dans ces circonstances, il se justifie d'admettre le recours dans la mesure de sa recevabilité, d'annuler l'arrêt attaqué et de renvoyer la cause au Tribunal cantonal pour instruction complémentaire sur ces points et nouvelle décision. S'il devait s'avérer que le recourant parle suffisamment le français au regard des exigences exposées ci-dessus et qu'il n'y a effectivement jamais eu de poursuites ouvertes contre lui, son autorisation de séjour devra alors être prolongée en application de l'art. 50 al. 1 let. a LEtr.
6.
Compte tenu de l'issue du litige, l'arrêt sera rendu sans frais (art. 66 al. 1 et 4 LTF). Le recourant, représenté par un avocat, a droit à des dépens, mis à la charge du canton de Vaud (<ref-law>). Dans ces circonstances, la demande d'assistance judiciaire du recourant devient sans objet.

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce :
1.
Le recours est admis dans la mesure de sa recevabilité. L'arrêt rendu le 15 août 2015 par le Tribunal cantonal du canton de Vaud, Cour de droit administratif et public, est annulé et la cause lui est renvoyée pour nouvelle décision dans le sens des considérants.
2.
Il n'est pas perçu de frais judiciaires.
3.
Le canton de Vaud versera au recourant une indemnité de 2'000 fr. à titre de dépens.
4.
Le présent arrêt est communiqué au mandataire du recourant, au Tribunal cantonal du canton de Vaud, Cour de droit administratif et public, au Service de la population du canton de Vaud et au Secrétariat d'Etat aux migrations.
Lausanne, le 11 février 2016
Au nom de la IIe Cour de droit public
du Tribunal fédéral suisse
Le Président : Zünd
La Greffière : Vuadens