Sachverhalt:
A.
Im Zusammenhang mit dem Neubau des Hotel C._ in U._ bestellte die Arbeitsgemeinschaft D._ AG / E._ AG (nachfolgend: ARGE) bei der A._ GmbH & Co. KG (Beklagte, Beschwerdeführerin) Leistungen aus dem Bereich Innenausbau (Schreinerarbeiten). Bei der Ausführung der von der ARGE bestellten Arbeiten wurde die Beklagte von Monteuren der B._ AG (Klägerin, Beschwerdegegnerin) unterstützt. Im Rahmen der Arbeiten auf der Baustelle legte die Klägerin der Beklagten Rapporte vor, die Einsätze von Monteuren in den Monaten Oktober, November und Dezember 2013 betrafen. Diese Rapporte wurden grösstenteils von Angestellten der Beklagten gegengezeichnet. Die Klägerin stellte der Beklagten in der Folge einen Betrag von Fr. 202'171.90 in Rechnung.
B.
Mit Klage vom 8. Juli 2014 beim Handelsgericht des Kantons St. Gallen beantragte die Klägerin, die Beklagte sei kostenfällig zu verpflichten, ihr den Betrag von Fr. 202'171.90 nebst 6 % Zins seit 30. November 2013 zu bezahlen. Die Beklagte trug auf Nichteintreten, eventuell Abweisung der Klage an; unter Kosten- und Entschädigungsfolge. Mit Urteil vom 8. März 2016 schützte das Handelsgericht die Klage teilweise und verpflichtete die Beklagte, der Klägerin Fr. 190'837.20 zuzüglich Zins zu 5 % seit 26. Mai 2014 zu bezahlen. Die Prozesskosten wurden vollumfänglich der Beklagten auferlegt.
C.
Mit Beschwerde in Zivilsachen beantragt die Beklagte dem Bundesgericht, das Urteil des Handelsgerichts sei kostenfällig aufzuheben und es sei auf die Klage nicht einzutreten, evtl. sei diese abzuweisen. Subeventualiter sei die Angelegenheit zu neuer Beurteilung an das Handelsgericht zurückzuweisen. Die Beschwerdegegnerin trägt auf kostenfällige Abweisung der Beschwerde an, soweit darauf einzutreten sei. Die Vorinstanz hat auf eine Vernehmlassung verzichtet.
Mit Präsidialverfügung vom 23. Juni 2016 wurde dem Antrag der Beschwerdeführerin auf Erteilung der aufschiebenden Wirkung stattgegeben.

Erwägungen:
1.
1.1. Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (<ref-law>). Mit Blick auf die allgemeinen Begründungsanforderungen an eine Beschwerde (Art. 42 Abs. 1 und 2 BGG) behandelt es aber grundsätzlich nur die geltend gemachten Rügen, sofern die rechtlichen Mängel nicht geradezu offensichtlich sind; es ist jedenfalls nicht gehalten, wie eine erstinstanzliche Behörde alle sich stellenden rechtlichen Fragen zu untersuchen, wenn diese vor Bundesgericht nicht mehr vorgetragen werden (<ref-ruling> E. 2 S. 88 f. mit Hinweisen). Unerlässlich ist im Hinblick auf Art. 42 Abs. 2, dass die Beschwerde auf die Begründung des angefochtenen Entscheids eingeht und im Einzelnen aufzeigt, worin eine Verletzung von Bundesrecht liegen soll. Die beschwerdeführende Partei soll in der Beschwerdeschrift nicht bloss die Rechtsstandpunkte, die sie im kantonalen Verfahren eingenommen hat, erneut bekräftigen, sondern mit ihrer Kritik an den als rechtsfehlerhaft erachteten Erwägungen der Vorinstanz ansetzen (<ref-ruling> E. 2 S. 89, 115 E. 2 S. 116). Erfüllt eine Beschwerde diese Anforderungen nicht, ist darauf nicht einzutreten.
1.2. Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (<ref-law>). Dazu gehören sowohl die Feststellungen über den streitgegenständlichen Lebenssachverhalt als auch jene über den Ablauf des vor- und erstinstanzlichen Verfahrens, also die Feststellungen über den Prozesssachverhalt (<ref-ruling> E. 1.3.1 S. 17 f. mit Hinweisen). Es kann die Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz nur berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruht (<ref-law>). "Offensichtlich unrichtig" bedeutet dabei "willkürlich" (<ref-ruling> E. 2 S. 117; <ref-ruling> E. 1.5 S. 401). Überdies muss die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein können (<ref-law>).
Für eine Kritik am festgestellten Sachverhalt gilt das strenge Rügeprinzip von <ref-law> (<ref-ruling> E. 2.3 S. 266 mit Hinweisen). Die Partei, welche die Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz anfechten will, muss klar und substanziiert aufzeigen, inwiefern diese Voraussetzungen erfüllt sein sollen (<ref-ruling> E. 1.3.1 S. 18 mit Hinweisen). Wenn sie den Sachverhalt ergänzen will, hat sie zudem mit präzisen Aktenhinweisen darzulegen, dass sie entsprechende rechtsrelevante Tatsachen und taugliche Beweismittel bereits bei den Vorinstanzen prozesskonform eingebracht hat (<ref-ruling> E. 2 S. 90 mit Hinweisen). Genügt die Kritik diesen Anforderungen nicht, können Vorbringen mit Bezug auf einen Sachverhalt, der vom angefochtenen Entscheid abweicht, nicht berücksichtigt werden (<ref-ruling> E. 1.3.1 S. 18).
2.
Umstritten ist zunächst die internationale Zuständigkeit der schweizerischen Gerichte. Die Beschwerdeführerin hat ihren Sitz in Deutschland, die Beschwerdegegnerin den ihren in der Schweiz, womit ein internationaler Sachverhalt vorliegt. Die Beschwerdegegnerin beruft sich zur Begründung der Zuständigkeit des von ihr angerufenen Gerichts auf eine Gerichtsstandsklausel. Deren Zulässigkeit richtet sich nach <ref-law> (SR 0.275.12), wenn zumindest eine der Parteien ihren Sitz in einem dem Übereinkommen angehörenden Staat hat und ein Gericht eines solchen Staates prorogiert wurde - dies ist hier der Fall.
2.1. Die Beschwerdegegnerin macht geltend, die Einsätze ihrer Monteure seien im Rahmen einer vertraglichen Vereinbarung erfolgt. Die Beschwerdeführerin habe drei "Auftragsbestätigungen" unterschriftlich anerkannt. Zwei dieser Auftragsbestätigungen seien von F._ unterzeichnet worden, die dritte von G._. Gemäss Ziffer 8 der ergänzenden Bestimmungen (nachfolgend: Gerichtsstandsklausel), welche in den drei Auftragsbestätigungen enthalten seien, werde Diepoldsau als ausschliesslicher Gerichtsstand bestimmt. Demgegenüber bestreitet die Beschwerdeführerin, dass - mangels Vertretungsmacht ihrer Angestellten F._ und G._ - überhaupt ein Vertrag zustande gekommen sei; namentlich seien die beiden Angestellten nicht ermächtigt gewesen, eine Gerichtsstandsklausel zu vereinbaren.
2.2. Die Vorinstanz erwog dazu, sofern Ziffer 8 der ergänzenden Bestimmungen zum Vertragsbestandteil geworden sei, liege eine formgültige schriftliche Vereinbarung i.S.v. <ref-law> vor. Da die Gerichtsstandsklausel Bestandteil der drei Auftragsbestätigungen sei, betreffe die strittige Frage der Vertretungsmacht sowohl die Zuständigkeitsprüfung als auch die materielle Beurteilung der Klage. Trotzdem sei die Theorie der sogenannt doppelrelevanten Tatsachen nicht anzuwenden; diese Theorie gelte nicht, wenn es um die Frage gehe, ob ein Gerichtsstand wirksam vereinbart worden sei.
Doppelrelevant sind Tatsachen, die sowohl für die Zulässigkeit der Klage als auch für deren Begründetheit ausschlaggebend sind. Das LugÜ enthält keine Regel, wie beim Vorliegen doppelrelevanter Tatsachen zu verfahren ist. Massgebend sind die für das angerufene Gericht geltenden nationalen Rechtsvorschriften (<ref-ruling> E. 5.2 S. 300; <ref-ruling> E. 6.2 S. 34; je mit Hinweisen). Danach werden doppelrelevante Tatsachen nur in einem Verfahrensstadium geprüft, nämlich bei der Begründetheit. Für die Zulässigkeit genügt, wenn sie schlüssig behauptet wurden (<ref-ruling> E. 5.1 und 5.2 S. 297 ff. mit Hinweisen). Die Theorie der doppelrelevanten Tatsachen ist jedoch nicht einschlägig - wie die Vorinstanz richtig erkannte -, wenn eine strittige Tatsache die Gültigkeit einer Gerichtsstandsklausel betrifft. Ebenso wie die Schiedsgerichtsklausel ist auch die Gerichtsstandsklausel vom Hauptvertrag unabhängig, auch wenn sie im selben Dokument festgehalten ist (<ref-ruling> E. 5c S. 499; Urteil 4C.163/2001 vom 7. August 2001 E. 3c/aa). Aus dieser Autonomie der Gerichtsstandsklausel folgt, dass die Ungültigkeit des Hauptvertrages nicht notwendigerweise auch die Ungültigkeit der Vereinbarung des Gerichtsstands zur Folge hat und vice versa. Infolgedessen handelt es sich bei der Gültigkeit der Gerichtsstandsklausel um eine einfachrelevante Tatsache, die bei der Prüfung der Zuständigkeit nicht bereits aufgrund der schlüssigen Behauptungen des Klägers unterstellt werden kann (Urteil 4C.73/2000 vom 22. Juni 2000 E. 2b, nicht publ. in: <ref-ruling>). Vielmehr ist schon in diesem Verfahrensstadium uneingeschränkt zu prüfen, ob eine Vereinbarung des Gerichtsstands zustande kam. Dass die für eine Ungültigkeit vorgebrachten Gründe im Einzelfall sowohl die Gerichtsstandsklausel als auch den Hauptvertrag beschlagen können, vermag hieran nichts zu ändern.
2.3. Die Vorinstanz stellte fest, F._ und G._ seien von ihrem Vorgesetzten, H._, ausdrücklich beauftragt und damit ermächtigt worden, die drei Auftragsbestätigungen zu unterzeichnen. Gemäss dem für die Frage der Vertretung der Beschwerdeführerin (einer nach deutschem Recht organisierten juristischen Person) durch ihre Organe, Geschäftsführer und Prokuristen anwendbaren deutschen Recht (Art. 154 Abs. 1 i.V.m. <ref-law> [291]), das hier auch für die gewillkürte Stellvertretung sowie die sogenannten Rechtsscheinvollmachten zur Anwendung gelange (<ref-law>), genüge es für das Zustandekommen einer Gerichtsstandsvereinbarung aber nicht, dass F._ und G._ beauftragt und ermächtigt gewesen seien, den Vertrag (bzw. die Auftragsbestätigungen) zu unterzeichnen. Vorausgesetzt sei auch, dass diese Art von Rechtsgeschäft - also die Vereinbarung eines Gerichtsstands - vom Umfang der erteilten Vollmacht gedeckt sei. Eine in Bezug auf den materiellen Vertragsteil ausreichende Vollmacht genüge deshalb nicht in jedem Fall, um auch einen Gerichtsstand vereinbaren zu können.
Sowohl F._ als auch G._ hätten gemäss dem Beweisergebnis auf Anweisung von H._ gehandelt. Keine dieser drei Personen sei gemäss Handelsregisterauszug der Beschwerdeführerin als Geschäftsführer oder Prokurist im Handelsregister eingetragen. Demzufolge sei zu prüfen, ob eine sogenannte Handlungsvollmacht vorgelegen habe: Sei jemand ohne Erteilung der Prokura zum Betrieb eines Handelsgewerbes oder zur Vornahme einer bestimmten zu einem Handelsgewerbe gehörigen Art von Geschäften oder zur Vornahme einzelner zu einem Handelsgewerbe gehöriger Geschäfte ermächtigt, so erstrecke sich die Vollmacht (Handlungsvollmacht) auf alle Geschäfte und Rechtshandlungen, die der Betrieb eines derartigen Handelsgewerbes oder die Vornahme derartiger Geschäfte gewöhnlich mit sich bringe (§ 54 Abs. 1 des deutschen Handelsgesetzbuchs [HGB]). Die Erteilung einer Handlungsvollmacht könne nach deutschem Recht nicht ins Handelsregister eingetragen werden; sie könne formlos, sogar konkludent erfolgen. H._ habe im Zusammenhang mit diesem Bauprojekt über eine - zumindest konkludent erteilte - Handlungsvollmacht zum Abschluss auch von Gerichtsstandsklauseln verfügt. Dies, weil er zuvor für die Beschwerdeführerin eine Reihe von Verträgen mit der ARGE unterzeichnet habe, die teilweise auch Gerichtsstandsklauseln enthalten hätten, und die Beschwerdeführerin die Gültigkeit dieser Vereinbarungen nicht bestritten habe. Die erst anlässlich der Haupt- und Schlussverhandlung vorgebrachte Behauptung, H._ habe mit einer "ausnahmsweisen Spezialvollmacht für dieses eine Geschäft" gehandelt, sei eine unglaubwürdige Schutzbehauptung. Es sei nämlich nicht ersichtlich, wie die Beschwerdeführerin ihre werkvertraglichen Leistungen gegenüber der ARGE hätte erbringen können, wenn es H._ nicht auch möglich gewesen wäre, die zur Erfüllung ihrer Verpflichtungen erforderlichen Rechtsgeschäfte abzuschliessen. Durch Zeugenaussage sei erwiesen, dass von Anfang geplant gewesen sei, die von der ARGE bestellten Leistungen von Subunternehmern ausführen zu lassen. Habe aber H._ über die Vollmacht verfügt, eine Gerichtsstandsklausel zu vereinbaren, seien auch F._ und G._, die von ihm beauftragt worden seien, dazu ermächtigt gewesen.
Das Gleiche gelte auch für die Rechtswahlklausel zugunsten schweizerischen Rechts gemäss Ziffer 11 der in den Auftragsbestätigungen enthaltenen ergänzenden Bestimmungen. Denn H._ habe für die Beschwerdeführerin im Zusammenhang mit diesem Bauprojekt ebenfalls Verträge mit solchen Rechtswahlklauseln unterzeichnet.
2.4. Die Frage der Vertretungsbefugnis bzw. -macht wird durch das LugÜ nicht geregelt (BERNHARD BERGER, in: Basler Kommentar Lugano-Übereinkommen, 2. Aufl. 2016, N. 30 zu <ref-law>). Dass insofern bezüglich der Beschwerdeführerin deutsches Recht anwendbar ist, ist zu Recht unbestritten. Die inhaltliche Anwendung ausländischen Rechts kann in vermögensrechtlichen Fällen - wie hier - einzig unter dem Aspekt des Willkürverbots geprüft werden (<ref-law> e contrario; <ref-ruling> E. 4.3 S. 495; <ref-ruling> E. 3.1 S. 447 f.).
2.4.1. Die Beschwerdeführerin rügt keine willkürliche Auslegung des deutschen Rechts betreffend die Handlungsvollmacht. Sie kritisiert den angefochtenen Entscheid vielmehr insofern, als die Vorinstanz aufgrund der von ihr gewürdigten Umstände und namentlich auch der Zeugeneinvernahmen feststellte, die Beschwerdeführerin habe H._ (konkludent) bevollmächtigt, im Zusammenhang mit diesem Bauprojekt Verträge unter Einschluss von Gerichtsstandsklauseln abzuschliessen. Dieser Schluss ist tatsächlicher Natur und beruht auf Beweiswürdigung. Diese bindet das Bundesgericht grundsätzlich; die Beschwerdeführerin müsste darlegen, dass sie willkürlich ist (vgl. E. 1.2 hiervor).
Zum zentralen Argument der Vorinstanz, dass H._ Verträge mit der ARGE schloss, die auch Gerichtsstandsklauseln enthielten, deren Gültigkeit die Beschwerdeführerin nicht in Frage gestellt habe, wendet die Beschwerdeführerin ein, bei den genannten Verträgen wie überhaupt bei weiteren Verträgen mit Dritten betreffend dieses Bauprojekt sei sie Geldgläubigerin geworden, bei den hier vorliegenden Verträgen jedoch Geldschuldnerin. Es ist nicht nachvollziehbar, inwiefern dieser Unterschied entscheidend sein soll; eine willkürliche Beweiswürdigung kann damit jedenfalls nicht begründet werden. Vielmehr ist überzeugend, dass nicht ersichtlich wäre, wie denn die Beschwerdeführerin ihre durch H._ vereinbarten (werkvertraglichen) Verpflichtungen gegenüber der ARGE (womit sie mit den Worten der Beschwerdeführerin Geldgläubigerin wurde) hätte erfüllen können, wenn es H._ nicht gleichzeitig möglich gewesen wäre, die Verträge mit den Subunternehmern zu schliessen (womit sie Geldschuldnerin wurde). Zumal auch die Beschwerdeführerin die Feststellung der Vorinstanz nicht bestreitet, wonach von Anfang an geplant gewesen sei, Leistungen von Subunternehmern ausführen zu lassen. Wenn sie in diesem Zusammenhang rügt, hier werde von der Vorinstanz ein "Automatismus" unterstellt, der von der Beschwerdegegnerin nicht behauptet, geschweige denn bewiesen worden sei, verkennt sie, dass die Vorinstanz hier aufgrund der Art des von der Vollmacht betroffenen Geschäfts - nämlich das fragliche Bauprojekt - darauf schloss, welche Verträge davon erfasst sein müssen, damit das Projekt sinnvoll abgewickelt werden kann. Damit bestimmte sie im Sinn von § 54 Abs. 1 HGB, was "die Vornahme derartiger Geschäfte gewöhnlich mit sich bringt".
Fehl geht sodann die in diesem Zusammenhang erhobene Rüge, der von der Beschwerdegegnerin als Zeuge angebotene H._ hätte befragt werden müssen, mangels dessen Befragung die vorinstanzliche Beweiswürdigung willkürlich sei. Die Beweiswürdigung erweist sich als willkürlich (<ref-law>), wenn das Gericht Sinn und Tragweite eines Beweismittels offensichtlich verkannt hat, wenn es ohne sachlichen Grund ein wichtiges und entscheidwesentliches Beweismittel unberücksichtigt gelassen hat oder wenn es auf der Grundlage der festgestellten Tatsachen unhaltbare Schlussfolgerungen gezogen hat. Dass die von Sachgerichten gezogenen Schlüsse nicht mit der eigenen Darstellung der beschwerdeführenden Partei übereinstimmen, belegt keine Willkür (<ref-ruling> E. 2.3 S. 266 mit Hinweisen). Bundesrechtlich ist auch eine antizipierte Beweiswürdigung nicht ausgeschlossen (<ref-ruling> E. 5.4 S. 601 f.; <ref-ruling> E. 2.6 S. 24 f.). Die Schlüsse der Vorinstanz sind ohne weiteres nachvollziehbar und dass sie angesichts des von ihr als erstellt erachteten Sachverhalts auf die Einvernahme von H._ in antizipierter Beweiswürdigung verzichtete, ist nicht zu beanstanden.
Die Beschwerdeführerin behauptet schliesslich, sie habe H._ ein (weiteres) Stellvertretungshandeln untersagt, womit sie den Abschluss weiterer Verträge neben den mit der ARGE geschlossenen meint. Sie habe dies bereits in ihrer Duplik behauptet und mit der E-Mail vom 18. Februar 2013 habe sie nachgewiesen, dass H._ nach gängiger Praxis die Verträge mit dem Mutterhaus abgesprochen und sich dort eine Freigabe eingeholt habe. Das sei unwidersprochen geblieben. Indem die Vorinstanz dies übersehen habe, habe sie die Beweise willkürlich gewürdigt. Vorerst ist nicht feststellbar, dass sich eine solche Behauptung - für die Vorinstanz und die Gegenpartei erkennbar - aus der angegebenen Stelle in der Duplik ergeben soll. Dort ging es darum, dass H._, wenn er denn die Beschwerdeführerin verpflichten wollte und konnte, mit "i.V." und nicht mit "i.A." unterzeichnete. Weiter ist auch nicht ersichtlich, dass sich aus der betreffenden E-Mail ein Genehmigungsvorbehalt ergeben soll. Die E-Mail betrifft verschiedene zu bereinigende Punkte im Werkvertrag mit der ARGE. H._ schrieb sie "i.V." und eine Kopie ging nebst zwei weiteren Personen an I._, nach Darstellung der Beschwerdeführerin Rechtsanwältin bei ihr. Dass Orientierungskopien an verschiedene Personen verschickt werden, besagt nur, dass diese über den Stand der Verhandlungen informiert sein sollen. Weshalb die Vorinstanz daraus hätte einen Genehmigungsvorbehalt ableiten sollen, legt die Beschwerdeführerin nicht dar. Allein aus der Tatsache der Kenntnisnahme ergibt sich dies jedenfalls nicht, wie die Beschwerdeführerin an der angegebenen Stelle in der Duplik offenbar meint. Von Willkür kann keine Rede sein.
Die Vorinstanz hat somit willkürfrei festgestellt, dass H._ als Handlungsbevollmächtigter durch die Beschwerdeführerin - ausdrücklich oder konkludent -ermächtigt war, die im Zusammenhang mit dem fraglichen Bauprojekt notwendigen Verträge abzuschliessen, wozu unter anderem Verträge mit Subunternehmern wie der Beschwerdegegnerin gehörten. Diese Vollmacht umfasste auch in solchen Verträgen enthaltene Gerichtsstandsklauseln.
2.4.2. Wie erwähnt stellte die Vorinstanz aufgrund des Beweisergebnisses fest, F._ und G._ seien von H._ beauftragt und ermächtigt worden, die drei streitgegenständlichen Auftragsbestätigungen zu unterzeichnen. Da H._ seinerseits über eine genügende Vollmacht verfügt habe, sei das auch bei F._ und G._ der Fall gewesen. Die Beschwerdeführerin rügt nicht, dass eine solche Unterbevollmächtigung nach deutschem Recht nicht zulässig wäre; darauf ist somit nicht weiter einzugehen (vgl. E. 2.4 und E. 1 hiervor). Ihre über weite Strecken vorgetragene Rüge, die Vorinstanz unterscheide betreffend F._ und G._ zu wenig zwischen der allgemeinen Vollmacht zum Abschluss (gewöhnlicher) Verträge im Zusammenhang mit dem Bauprojekt und der weitergehenden Kompetenz zur Unterzeichnung einer Gerichtsstandsklausel stösst daher ins Leere, denn massgeblich ist aufgrund des Dargelegten, dass sich der Umfang ihrer Vollmacht wegen der Unterbevollmächtigung aus jener von H._ ableitet.
Auf die Eventualbegründung der Vorinstanz, die Beschwerdegegnerin hätte auch aufgrund einer Anscheinsvollmacht davon ausgehen dürfen, F._ und G._ seien vertretungsberechtigt, und auf die diesbezüglichen Rügen der Beschwerdeführerin ist daher nicht mehr einzugehen.
3.
Gründe, weshalb der Hauptvertrag nicht gültig zustande gekommen sein soll, die nicht bereits hiervor bezüglich der Vereinbarung des Gerichtsstands zu behandeln gewesen waren, bringt die Beschwerdeführerin nicht vor. Weiterungen dazu erübrigen sich daher; es besteht ein gültig vereinbarter Hauptvertrag. Eventualiter bestreitet die Beschwerdeführerin die Höhe der zugesprochenen Forderung.
3.1. In den Auftragsbestätigungen wurde vereinbart: "Montageleiter der Firma A._ GmbH & Co. KG Herr J._ ist berechtigt, die geleisteten Montagestunden der Firma B._ AG freizugeben. Die sind täglich unterzeichnen zu lassen". Die Beschwerdeführerin beanstandet, dass verschiedene Arbeitsrapporte im Widerspruch dazu nicht von J._ bzw. ein einzelner gar nicht unterzeichnet worden seien.
3.1.1. Die Vorinstanz stellte dazu fest, mit einer Ausnahme seien alle Arbeitsrapporte von J._, K._ oder G._ unterzeichnet worden. K._ sei gemäss seiner eigenen Aussage sowie den Aussagen von J._ und G._ als Vertretung von J._ während dessen Ferienabwesenheit auf dieser Baustelle eingesetzt worden. Er habe somit über die gleiche Vertretungsbefugnis wie J._ verfügt. G._, der ohnehin über eine (delegierte) Vertretungsbefugnis zum Vertragsschluss mit der Beschwerdegegnerin verfügt habe, sei umso eher auch zur Unterzeichnung der Arbeitsrapporte befugt gewesen. Dass alleine (ausschliesslich) J._ zur Unterzeichnung von Arbeitsrapporten berechtigt gewesen wäre, ergebe sich aus den Auftragsbestätigungen nicht. Mit dieser Bestimmung hätte vielmehr sichergestellt werden sollen, dass auf Seiten der Beschwerdeführerin eine Person zur Gegenzeichnung der Rapporte zur Verfügung gestanden habe. Gemäss u.a. der Aussage von J._ habe nämlich die Beschwerdegegnerin die Weiterführung der Arbeit von der (täglichen) Unterzeichnung der Rapporte abhängig gemacht. Daher hätten J._, K._ und G._ die Arbeitsrapporte mit verpflichtender Wirkung unterzeichnen können.
Mit dieser Begründung, namentlich dem gestützt auf die Zeugenaussage festgestellten Zweck der Unterzeichnung, setzt sich die Beschwerdeführerin nicht auseinander. Sie wiederholt einfach ihre allgemeine Behauptung, die Unterzeichnung (einzig) durch J._ sei "Gültigkeitsvoraussetzung" gewesen. Damit liegt eine ungenügende Rüge vor (vgl. E. 1.1 hiervor); darauf ist nicht einzutreten.
3.1.2. Betreffend den einzigen nicht unterzeichneten Rapport führte die Vorinstanz aus, es sei aufgrund der Zeugenaussage von G._ erstellt, dass die Beschwerdeführerin sämtliche Rechnungen mit den jeweiligen Arbeitsrapporten erhalten habe und G._ die Rechnungen jeweils auf ihre Übereinstimmung mit den Rapporten geprüft habe. Mängel der Rapportierung wären gemäss Ziffer 4 der ergänzenden Bestimmungen in der Woche nach Erhalt zu rügen gewesen. Da keine Rüge erfolgt sei, habe die Beschwerdeführerin auch diesen nicht unterzeichneten Rapport genehmigt.
Dem hält die Beschwerdeführerin entgegen, die erwähnte Ziffer 4 sei nicht anwendbar, da sie durch die besondere Regelung betreffend Unterzeichnung durch J._ überholt worden sei. Die Klausel betreffend Unterzeichnung betrifft indessen den Inhalt bzw. die Art und Weise der Abfassung der Rapporte; Ziffer 4 der ergänzenden Bestimmung dagegen die Vorgehensweise bei einem Mangel. Die zwei Bestimmungen regeln also Unterschiedliches und es ist daher nicht nachvollziehbar, weshalb die eine die andere ersetzen soll.
3.2. Im Zusammenhang mit der Höhe der Forderung rügt die Beschwerdeführerin eine Verletzung des rechtlichen Gehörs, eventuell eine willkürliche Beweiswürdigung. Sie habe in der Klageantwort bestritten, dass die Beschwerdegegnerin die von ihr behaupteten Leistungen lege artis und mit dem dafür angemessenen Aufwand erbracht habe. Dafür habe sie eine Expertise beantragt. Weder ihr Einwand noch ihr Beweisantrag seien von der Vorinstanz berücksichtigt worden, ohne dass sich dem angefochtenen Entscheid entnehmen liesse, weshalb nicht.
Das trifft nicht zu. Die Vorinstanz hat sich damit unter Erwägung 5 auseinandergesetzt und dargelegt, die Beschwerdeführerin könne nicht mehr geltend machen, die Preise seien unangemessen oder das verrechnete Ausmass sei unzutreffend, nachdem sie die Rapporte anerkannt habe. Damit setzt sich die Beschwerdeführerin nicht auseinander; auf ihre Rüge ist nicht einzutreten (vgl. E. 1.1 hiervor).
4.
Die Beschwerde ist abzuweisen, soweit darauf einzutreten ist. Dem Ausgang des Verfahrens entsprechend wird die Beschwerdeführerin kosten- und entschädigungspflichtig (Art. 66 Abs. 1 und Art. 68 Abs. 2 BGG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 6'000.-- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
3.
Die Beschwerdeführerin hat die Beschwerdegegnerin für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 7'000.-- zu entschädigen.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Handelsgericht des Kantons St. Gallen schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 5. September 2016
Im Namen der I. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Kiss
Der Gerichtsschreiber: Lüthi