Sachverhalt:
A.
A.a. Der 1964 geborene A._ hatte sich am 11. Juli 2006 unter Hinweis auf einen erlittenen Unfall und dessen Folgen bei der Invalidenversicherung zum Leistungsbezug angemeldet. Nach Durchführung beruflich-medizinischer Abklärungen und Beizug der SUVA-Akten sprach die IV-Stelle Luzern A._ mit Verfügung vom 6. Oktober 2009 eine ganze Rente ab 1. Mai 2006 bis 31. Oktober 2006 und eine halbe Rente ab 1. November 2006 bis 31. Juli 2007 zu. Die dagegen erhobene Beschwerde hiess das damalige Verwaltungsgericht des Kantons Luzern mit Entscheid vom 20. Dezember 2010 teilweise gut und änderte die Verfügung vom 6. Oktober 2009 dahingehend ab, dass A._ vom 1. August 2006 bis 31. Oktober 2006 Anspruch auf eine ganze Rente und vom 1. November 2006 bis 31. August 2008 auf eine halbe Rente habe und danach kein Rentenanspruch mehr bestehe.
A.b. Am 11. März 2015 meldete sich A._ wegen nach dem Unfall aufgekommener Depressionen erneut bei der Invalidenversicherung zum Leistungsbezug an. Die IV-Stelle Luzern trat auf das Begehren nach durchgeführtem Vorbescheidverfahren mit Verfügung vom 30. September 2015 nicht ein.
B.
Die hiegegen erhobene Beschwerde, mit welcher A._ beantragen liess, es seien die Nichteintretensverfügung aufzuheben, die IV-Stelle anzuweisen, auf die Neuanmeldung einzutreten, sowie eine öffentliche Verhandlung im Sinne der EMRK durchzuführen, wies das Kantonsgericht Luzern mit Entscheid vom 11. April 2016 ab. Eine öffentliche Verhandlung fand nicht statt.
C.
Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten lässt A._ beantragen, der angefochtene Entscheid sei aufzuheben und die IV-Stelle sei zu verpflichten, "das Gesuch vom 11. März 2015 rechtsgenüglich abzuklären".
Die vorinstanzlichen Akten wurden eingeholt. Ein Schriftenwechsel wurde nicht durchgeführt.

Erwägungen:
1.
Der Beschwerdeführer rügt vorab in formeller Hinsicht eine Verletzung von Art. 6 Ziff. 1 EMRK, weil sich das kantonale Gericht geweigert habe, die beantragte öffentliche Verhandlung durchzuführen.
1.1. Nach Art. 6 Ziff. 1 EMRK hat jedermann Anspruch darauf, dass seine Sache in billiger Weise öffentlich und innerhalb einer angemessenen Frist von einem unabhängigen und unparteiischen, auf Gesetz beruhenden Gericht gehört wird, das über zivilrechtliche Ansprüche und Verpflichtungen oder über die Stichhaltigkeit der gegen ihn erhobenen strafrechtlichen Anklage zu entscheiden hat. Die Öffentlichkeit des Verfahrens soll dazu beitragen, dass die Garantie auf ein "faires Verfahren" tatsächlich umgesetzt wird (Urteil 5A_724/2015 vom 2. Juni 2016 E. 3.1, zur Publikation vorgesehen). Vorliegend sind zivilrechtliche Ansprüche im Sinne dieser Norm streitig (<ref-ruling> E. 2a S. 50). Das kantonale Gericht, welchem es primär obliegt, die Öffentlichkeit der Verhandlung zu gewährleisten (<ref-ruling> E. 1 S. 281; <ref-ruling> E. 3 S. 54), hat bei Vorliegen eines klaren und unmissverständlichen Parteiantrages grundsätzlich eine öffentliche Verhandlung durchzuführen (<ref-ruling> E. 1 S. 281; SVR 2014 UV Nr. 11 S. 37, 8C_273/2013 E. 1.2 mit Hinweisen). Ein während des ordentlichen Schriftenwechsels gestellter Antrag gilt dabei als rechtzeitig (<ref-ruling>).
1.2. Von einer ausdrücklich beantragten öffentlichen Verhandlung kann dann abgewichen werden, wenn der Antrag der Partei als schikanös erscheint oder auf eine Verzögerungstaktik schliessen lässt und damit dem Grundsatz der Einfachheit und Raschheit des Verfahrens zuwiderläuft oder sogar rechtsmissbräuchlich ist. Gleiches gilt, wenn sich ohne öffentliche Verhandlung mit hinreichender Zuverlässigkeit erkennen lässt, dass eine Beschwerde offensichtlich unbegründet oder unzulässig ist. Als weiteres Motiv für die Verweigerung einer beantragten öffentlichen Verhandlung fällt die hohe Technizität der zur Diskussion stehenden Materie in Betracht, was etwa auf rein rechnerische, versicherungsmathematische oder buchhalterische Probleme zutrifft, wogegen andere dem Sozialversicherungsrecht inhärente Fragestellungen materiell- oder verfahrensrechtlicher Natur wie die Würdigung medizinischer Gutachten in der Regel nicht darunterfallen. Schliesslich kann das kantonale Gericht von einer öffentlichen Verhandlung absehen, wenn es auch ohne eine solche aufgrund der Akten zum Schluss gelangt, dass dem materiellen Rechtsbegehren der bezüglich der Verhandlung antragstellenden Partei zu entsprechen ist (<ref-ruling> E. 1 S. 281 mit Hinweis auf <ref-ruling> E. 3b/ee und 3b/ff. S. 57 f.).
2.
2.1. Der Antrag auf Durchführung einer öffentlichen Verhandlung im Sinne der EMRK wurde unbestrittenermassen rechtzeitig in der vorinstanzlichen Beschwerdeschrift gestellt. Das kantonale Gericht entsprach diesem Begehren nicht mit der Begründung, die Durchführung einer öffentlichen Verhandlung setze voraus, dass der entsprechende Parteiantrag wenigstens minimal begründet worden sei, was gänzlich fehle.
2.2. Diese Begründung verfängt nicht. Von der klar und unmissverständlich beantragten öffentlichen Verhandlung hätte das kantonale Gericht nur bei Vorliegen von in Erwägung 1.2 hievor genannten Gründen absehen dürfen. Dass ein solcher Grund gegeben wäre, hat die Vorinstanz zu Recht nicht erwogen. Soweit das kantonale Gericht eine minimale Begründung des Antrags auf Durchführung einer öffentlichen Verhandlung fordert und sich diesbezüglich auf <ref-ruling> E. 3a und b beruft, kann ihm nicht gefolgt werden. Vielmehr wird in diesem Urteil lediglich ein klarer und unmissverständlicher Antrag vorausgesetzt. Auch mit dem Hinweis der Vorinstanz auf die Urteile 9C_49/2014 vom 29. Oktober 2014 E. 1 und 9C_4/2015 vom 5. Mai 2015 E. 2.2 lässt sich der Verzicht auf die Durchführung einer öffentlichen Verhandlung vorliegend nicht rechtfertigen. Wohl wurde in diesen Urteilen eine minimale Begründung des Antrags verlangt, doch war die öffentliche Verhandlung in beiden Fällen im Hinblick auf eine Beweisabnahme angestrebt worden, worauf der Öffentlichkeitsgrundsatz keinen Anspruch einräumt. Für den vorliegenden Fall, in welchem ausdrücklich die Durchführung einer öffentlichen Verhandlung "im Sinne der EMRK," mithin keine Beweisabnahme, beantragt worden war, lässt sich daraus nichts ableiten.
2.3. Zusammenfassend bestand für das kantonale Gericht keine Veranlassung und keine Rechtfertigung, von der grundsätzlichen Verpflichtung zur Durchführung einer öffentlichen Verhandlung ausnahmsweise abzuweichen. Indem die Vorinstanz unter diesen Umständen hiervon abgesehen hat, wurde der in Art. 6 Ziff. 1 EMRK gewährleisteten Verfahrensgarantie nicht Rechnung getragen. Es ist daher unumgänglich, die Sache an das kantonale Gericht zurückzuweisen, damit es den Verfahrensmangel behebt und die vom Beschwerdeführer verlangte öffentliche Verhandlung durchführt. Danach wird es über die Beschwerde materiell neu befinden (<ref-ruling> E. 4 S. 284; SVR 2014 UV Nr. 11 S. 37, 8C_273/2013 E. 4).
3.
Das Verfahren ist kostenpflichtig (<ref-law>). Als unterliegende Partei hat die Beschwerdegegnerin die Gerichtskosten zu tragen (<ref-law>). Diese hat dem Beschwerdeführer überdies eine Parteientschädigung zu entrichten (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird gutgeheissen und der Entscheid des Kantonsgerichts Luzern, 3. Abteilung, vom 11. April 2016 aufgehoben. Die Sache wird zu neuer Entscheidung an die Vorinstanz zurückgewiesen.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 800.- werden der Beschwerdegegnerin auferlegt.
3.
Die Beschwerdegegnerin hat den Beschwerdeführer für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 2'800.- zu entschädigen.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien, dem Kantonsgericht Luzern, 3. Abteilung, und dem Bundesamt für Sozialversicherungen schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 21. November 2016
Im Namen der I. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Maillard
Die Gerichtsschreiberin: Kopp Käch