Sachverhalt:
A.
Die 1993 geborene A._ zog Anfang Mai 2014 von Zürich kommend nach Solothurn. Am 27. Juni 2014 gelangte sie an die Sozialen Dienste der Stadt Solothurn (SDS) und ersuchte um wirtschaftliche Hilfe. Mit Verfügung vom 4. Dezember 2014 verpflichteten die SDS A._, ab dem 8. Dezember 2014 bis auf Weiteres einen Projekteinsatz zu leisten. Werde diese Auflage erfüllt, würden die Sozialhilfeleistungen ab dem 1. Dezember 2014 im Verhältnis zum geleisteten Pensum auf ihr Konto ausbezahlt. Die von A._ dagegen eingereichte Beschwerde hiess das Departement des Innern mit Entscheid vom 22. Mai 2015 teilweise gut (Dispositiv-Ziffer 5.1). Es wies die SDS an, den Unterstützungsanspruch rückwirkend per 1. September 2014 zu berechnen und entsprechend auszurichten (Dispositiv-Ziffer 5.2). Weiter wurden die SDS aufgefordert, per 1. Januar 2015 die individuelle Prämienverbilligung bei der Ausgleichskasse Solothurn anzumelden (Dispositiv-Ziffer 5.3). Im Übrigen wurde die Beschwerde abgewiesen (Dispositiv-Ziffer 5.4).
B.
Das Verwaltungsgericht des Kantons Solothurn trat mit Entscheid vom 16. September 2015 auf die von den SDS erhobene Beschwerde mit dem Antrag, Dispositiv-Ziffern 5.1, 5.2 und 5.3 des vorinstanzlichen Entscheids seien aufzuheben, nicht ein (Dispositiv-Ziffer 2). Die Beschwerde von A._ wies es ab (Dispositiv-Ziffer 1).
C.
Die Einwohnergemeinde der Stadt Solothurn führt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten mit dem Antrag, der kantonale Gerichtsentscheid sei aufzuheben, und die Sache sei an die Vorinstanz zurückzuweisen, damit diese materiell entscheide.
A._ ersucht um unentgeltliche Verbeiständung, ohne sich zur Sache zu äussern. Das kantonale Gericht beantragt Abweisung der Beschwerde, soweit darauf einzutreten sei.

Erwägungen:
1.
Die Sachurteilsvoraussetzungen sind erfüllt, da die Beschwerde unter Einhaltung der gesetzlichen Frist (Art. 100 Abs. 1 BGG) und Form (Art. 42 BGG) von einer durch die Entscheidung besonders berührten Partei mit einem schutzwürdigen Interesse an deren Aufhebung oder Änderung (Art. 89 Abs. 1 BGG) eingereicht wurde. Zudem richtet sich das Rechtsmittel gegen einen von einer letzten kantonalen Instanz (Art. 86 Abs. 1 lit. d BGG) gefällten Endentscheid (Art. 90 BGG) in einer Angelegenheit des öffentlichen Rechts (Art. 82 lit. a BGG), und es greift keine der in Art. 83 BGG erwähnten Ausnahmen.
2.
Streitig und zu prüfen ist, ob das kantonale Gericht zu Recht auf die Beschwerde der SDS nicht eingetreten ist.
Nach Art. 111 Abs. 1 BGG muss eine Partei, die zur Beschwerde ans Bundesgericht legitimiert ist, sich am Verfahren vor allen kantonalen Instanzen als Partei beteiligen können. Damit kann für die Beschwerdelegitimation vor den kantonalen Instanzen auf Art. 89 BGG zurückgegriffen werden. Die Legitimationsvoraussetzungen nach solothurnischem Recht (§ 12 Abs. 2 des Gesetzes vom 15. November 1970 über den Rechtsschutz in Verwaltungssachen; Verwaltungsrechtspflegegesetz; BGS 124.11), wonach Gemeinden zur Beschwerde legitimiert sind, wenn sie durch eine Verfügung oder einen Entscheid besonders berührt werden und ein schutzwürdiges kommunales Interesse an deren Aufhebung oder Änderung haben, entsprechen denjenigen des Bundesrechts. Die Frage des Eintretens wird damit eine solche des Bundesrechts, welche vom Bundesgericht frei zu überprüfen ist (vgl. dazu <ref-ruling> E. 3 S. 329 mit Hinweisen).
3.
3.1. Nach Art. 89 Abs. 1 BGG ist zur Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten befugt, wer vor der Vorinstanz am Verfahren teilgenommen oder keine Möglichkeit zur Teilnahme erhalten hat, durch den angefochtenen Entscheid besonders berührt ist und ein schutzwürdiges Interesse an dessen Aufhebung oder Änderung hat. Diese Regelung ist in erster Linie auf Privatpersonen zugeschnitten, doch kann sich auch das Gemeinwesen darauf stützen, falls es durch einen angefochtenen Entscheid gleich oder ähnlich wie ein Privater oder aber in spezifischer Weise in der Wahrnehmung einer hoheitlichen Aufgabe betroffen wird und nicht bloss das allgemeine Interesse an der richtigen Rechtsanwendung geltend macht (<ref-ruling> E. 4.1 S. 329 f.; <ref-ruling> E. 1.3.1 S. 149; <ref-ruling> E. 1.4 S. 273; <ref-ruling> E. 1.4 S. 268). Gestützt auf die allgemeine Legitimationsklausel von Art. 89 Abs. 1 BGG dürfen Gemeinwesen nur restriktiv zur Beschwerdeführung zugelassen werden (<ref-ruling> E. 4.2 S. 279).
3.2. Gemeinden und andere öffentlich-rechtliche Körperschaften sind nach Art. 89 Abs. 2 lit. c BGG zur Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten berechtigt, wenn sie die Verletzung von Garantien rügen, die ihnen die Kantons- oder Bundesverfassung gewährt. Für das Eintreten ist allein entscheidend, dass die Beschwerde führenden Gemeinden durch einen Akt in ihrer Eigenschaft als Träger hoheitlicher Gewalt berührt sind und eine Verletzung der Autonomie geltend machen. Ob die beanspruchte Autonomie tatsächlich besteht, ist hingegen keine Frage des Eintretens, sondern eine materielle Beurteilung. Dasselbe gilt für die Frage, ob die Autonomie im konkreten Fall tatsächlich verletzt worden ist (<ref-ruling> E. 4.1 S. 330; <ref-ruling> E. 1.2 S. 45).
3.3. In <ref-ruling> hat das Bundesgericht erwogen, die Gemeinden seien im Bereich der Sozialhilfe von kantonalen Entscheiden nicht gleich oder ähnlich wie eine Privatperson betroffen. Die Sozialhilfe könne jedoch durchaus auch privatrechtliche Züge aufweisen, wenn beispielsweise situationsbezogene Zusammenarbeitsverträge mit den betroffenen Personen abgeschlossen würden, die die Stellen- oder Wohnungssuche oder weitere Elemente der Beratung oder Betreuung zum Thema hätten. In der Regel handle die Gemeinde in der Sozialhilfe jedoch hoheitlich, indem sie ihre Leistungen verweigere, mit Auflagen versehe oder erbrachte Leistungen zurückfordere. Das Bundesgericht prüfte sodann, ob die Gemeinde generell oder im Einzelfall eine besondere Betroffenheit bzw. ein schutzwürdiges Interesse geltend machen könne, welches ausnahmsweise ein Eintreten auf die Beschwerde angezeigt erscheinen lasse. In diesem Zusammenhang wies es darauf hin, dass das Fürsorgewesen seit jeher zu den klassischen Gemeindeaufgaben gehöre. Die kommunale Zuständigkeit werde mit der Nähe zu den Betroffenen begründet. Die geeignete, massgeschneiderte Hilfe könne vor Ort am besten eruiert und bemessen werden. Es sei daher von einer Kernkompetenz der Gemeinden in einer angestammten Tätigkeit auszugehen. Auch wenn die gesetzlichen Grundlagen zu Art und Ausmass der Hilfe in der Regel kantonalrechtlich bestimmt würden, verbleibe den Gemeinden in der individuellen Ausgestaltung der Hilfe ein grosser Ermessensspielraum. Zudem würden die meisten Kantone für die Detailregelung integral oder doch weitgehend auf die Richtlinien für die Ausgestaltung und Bemessung der Sozialhilfe verweisen. Diese würden von der Schweizerischen Sozialhilfekonferenz (SKOS) erlassen, deren Mitglieder sich vor allem aus Kantonen und Gemeinden zusammensetzten. Sie liessen den Rechtsanwendern eigene Entscheidungsspielräume, welche nicht nur das Ausmass, sondern vor allem auch die Art der Hilfe und Festsetzung von Weisungen und Auflagen beträfen. Im Rahmen dieser Zuständigkeit genössen die Gemeinden eine weitgehende organisatorische Autonomie. Weiter hat das Bundesgericht erwogen, die finanzielle Belastung der Gemeinden sei im Bereich der Sozialhilfe erheblich und in den letzten Jahren angestiegen. Der erhöhte Aufwand und die damit verbundene Problematik seien zunehmend auch von (finanzpolitischem) Interesse. Verantwortliche würden je nach Sichtweise zum Masshalten oder zu grosszügigeren Leistungen aufgefordert. Auch würden die Gemeinden angehalten, diesen Bereich eigenständiger zu gestalten und die ihnen zustehenden Freiräume besser zu nutzen. Schliesslich könnten kantonale Gerichtsentscheide, auch wenn sie bloss einen Einzelfall beträfen, für weitere Betroffene und eine Vielzahl von Gemeinden präjudizierend sein. Sie hätten eine nicht unerhebliche Signalwirkung auf die Ausgestaltung der Sozialhilfe vor Ort (beispielsweise die Auflage, einer Erwerbstätigkeit nachzugehen oder an einem Arbeitseinsatz teilzunehmen und die Anforderungen an eine menschenwürdige Unterbringung von obdachlosen Personen). Diese Überlegungen führten das Bundesgericht zum Schluss, dass die Legitimation der Gemeinden im Bereich der Sozialhilfe im Rahmen von Art. 89 Abs. 1 BGG in der Regel bejaht werden soll (<ref-ruling> E. 6.5 S. 335; vgl. dazu auch RUDOLF URSPRUNG/DOROTHEA RIEDI HUNOLD, Zur neueren bundesgerichtlichen Rechtsprechung auf dem Gebiet der Sozialhilfe, ZBl 115/2014 S. 245 ff.). Verneint werden kann die Beschwerdelegitimation etwa dann, wenn die präjudizielle Wirkung eines Entscheids weder geltend gemacht noch ersichtlich ist oder wenn ganz unerhebliche Rechtsfolgen zur Beurteilung anstehen. In solchen Fällen kann von einem besonderen schutzwürdigen Interesse der Gemeinde nicht mehr gesprochen werden, sondern es muss angenommen werden, dass es diesfalls nur noch um die richtige Rechtsanwendung oder gar um eine Frage des Prestiges geht, welche die Legitimation ausschliessen (<ref-ruling> E. 6.6 S. 336 f.).
4.
4.1. Das kantonale Gericht hat erwogen, die Sozialhilfeleistungen der Stadt Solothurn würden nach § 55 Abs. 1 lit. f des Sozialgesetzes des Kantons Solothurn vom 31. Januar 2007 (SG; BGS 831.1) vollständig unter den Lastenausgleich unter den Einwohnergemeinden fallen. Dasselbe gelte gemäss § 55 Abs. 4 SG für die Verwaltungskosten. Somit müsse die Stadt Solothurn nicht (allein) für die zusätzlichen Kosten aufkommen. Diese würden im Verhältnis der Einwohnerzahl auf die Gesamtheit der Einwohnergemeinden verteilt. Die Stadt Solothurn sei daher von der streitigen Verfügung nicht mehr betroffen als jede andere Gemeinde des Kantons. Die Vorinstanz verneinte deshalb das besonders schützenswerte kommunale Interesse und damit die Beschwerdelegitimation der Gemeinde.
4.2. Die Stadt Solothurn stützt ihre Legitimation sowohl auf die allgemeine Legitimationsklausel als auch auf die Gemeindeautonomie. Sie rügt eine Verletzung von Art. 111 in Verbindung mit Art. 89 BGG durch die Vorinstanz. Dabei verweist sie auf <ref-ruling>, wonach die Bejahung der Beschwerdelegitimation der Gemeinden im Bereich der Sozialhilfe einer langjährigen Praxis entspreche. Mit Blick auf Art. 89 Abs. 1 BGG bringt sie vor, mit der Beschwerde ans Verwaltungsgericht habe sie eine gerichtliche Klärung der Frage erzielen wollen, ab wann die Voraussetzungen zum Bezug von Sozialhilfe bestünden und ob die Einreichung von Akten genüge, obwohl § 148 Abs. 1 SG vorsehe, dass Sozialhilfe auf der Basis eines individuellen Hilfeplanes gewährt werde, welcher mit der um Sozialhilfe ersuchenden Person ausgearbeitet werden müsse. Durch das Nichteintreten des kantonalen Gerichts sei eine besondere Betroffenheit der Einwohnergemeinde gegeben. Zudem habe der kantonale Gerichtsentscheid Signalwirkung auf die Ausgestaltung der Sozialhilfe durch die Gemeinden und dabei insbesondere auf die Frage, wann die Voraussetzungen für den Bezug von Sozialhilfegeldern gegeben seien und welche Weisungen und Auflagen dafür erfüllt sein müssten. Hinzu komme, dass aufgrund der Argumentation der Vorinstanz, wonach der Stadt Solothurn keine finanziellen Nachteile entstünden, da die Sozialhilfekosten durch den innerkantonalen Lastenausgleich übernommen würden, auch sämtlichen anderen Gemeinden des Kantons die Beschwerdelegitimation im Bereich der Sozialhilfe ohne weiteres entzogen werde. In diesem Sinne habe der Entscheid des Verwaltungsgerichts präjudizielle Wirkung.
5.
5.1. Die Sozialhilfe unterliegt nach § 55 Abs. 1 lit. f SG dem Lastenausgleich. Dies gilt unter bestimmten Voraussetzungen auch für die Verwaltungskosten (§ 55 Abs. 4 SG). Die in den Lastenausgleich fallenden Geldleistungen und Verwaltungskosten werden im Verhältnis der Einwohnerzahl nach der aktuellen kantonalen Bevölkerungsstatistik auf die Gesamtheit der Einwohnergemeinden verteilt (§ 55 Abs. 6 SG). Die betreffenden Kosten werden den involvierten Gemeinden demnach nicht 1:1 angerechnet, sondern nach Massgabe der Einwohnerzahl. Damit resultiert letztlich bei jedem einzelnen Sozialhilfefall mit Leistungsfolge eine Betroffenheit aller Gemeinden. Bis der Lastenausgleich effektiv wirksam wird, wird die mit dem konkreten Fall befasste Gemeinde allerdings direkt und damit unmittelbarer und stärker belastet als die anderen.
5.2. In der Sache selbst geht es insbesondere um den Umfang und die Tragweite der Mitwirkungspflicht der Beschwerdegegnerin als Voraussetzung für den Anspruch auf Sozialhilfe. Die Beurteilung dieser Frage hat durchaus präjudiziellen Charakter. Die zunehmend mit Ansprüchen auf Sozialhilfe angegangenen Gemeinden haben ein elementares Interesse an einer Klarstellung darüber, was sie von den Gesuchstellenden an Mitwirkung verlangen dürfen und wo sie von Amtes wegen tätig werden müssen. Die Problematik stellt sich in einem Bereich, in welchem das Subsidiaritätsprinzip gesetzlich verankert ist (§ 9 SG) und Eigenleistungen den Bedarfsleistungen vorgehen. Gemäss § 6 Abs. 1 SG gewährleistet und sorgt der Kanton mit den Einwohnergemeinden dafür, dass die Sozialleistungen in den jeweiligen Leistungsfeldern unter Vorbehalt der Eigenleistungen erbracht, finanziert und vollzogen werden. Gestützt auf § 8 Abs. 4 SG werden Unterstützungsleistungen sowie Leistungen der Sozialhilfe vom Gemeinwesen Menschen gewährt, deren Eigenleistungen aus Eigenmitteln, privaten und sozialen Versicherungsleistungen sowie deren Leistungen aus familienrechtlichen Unterhalts- und Unterstützungsverpflichtungen unzureichend sind (Bedarfsleistungen). Das Subsidiaritätsprinzip steht dabei in einem gewissen Spannungsverhältnis zu den Kostenfolgen für das Gemeinwesen, welches daran interessiert ist, die Sozialhilfeleistungen zu Lasten der Eigenleistungen der Betroffenen möglichst tief zu halten. Dies wiederum wird relativiert durch eine drohende (kostenfällige) Ersatzvornahme zu Lasten der Gemeinden, wenn diese ihre sozialen Verpflichtungen nicht oder ungenügend wahrnehmen (§ 168 Abs. 1 SG). Die Gesuchstellenden und leistungsbeziehenden Personen tragen Eigenverantwortung insofern, als ihnen gemäss § 17 SG eine umfassende Mitwirkungspflicht obliegt. Die Sozialhilfe wird auf der Basis einer individuellen Zielvereinbarung (Hilfeplan) gewährt und berücksichtigt angemessen die persönlichen Verhältnisse (§ 148 Abs. 1 SG). Sie setzt aktive Mitwirkung der hilfesuchenden Personen voraus und beruht auf dem Prinzip der Gegenleistung. Sie kann an Bedingungen und Auflagen gebunden werden (§ 148 Abs. 2 SG). Bei der im Einzelfall beteiligten Gemeinde liegt somit eine - über den finanziellen Aspekt hinausgehende - besondere Betroffenheit vor, indem sie sehr nahe mit den Ansprechern und Ansprecherinnen befasst ist. Dies ist auch im hier gegebenen Kontext so, bei dem es darum geht, ab welchem Zeitpunkt mit Blick auf die Mitwirkungspflicht der Beschwerdegegnerin der Sozialhilfeanspruch beurteilt werden kann (vgl. dazu auch URSPRUNG/RIEDI HUNOLD, Verfahrensgrundsätze und Grundrechtsbeschränkungen in der Sozialhilfe, ZBl 116/2015 S. 412).
5.3. Die Beschwerdeführerin beruft sich nicht ausschliesslich darauf, zur Bezahlung von zusätzlichen Sozialhilfegeldern verpflichtet zu sein. Bei der vorzunehmenden Gesamtbetrachtung (vgl. <ref-ruling> E. 6.5 S. 335) vermag daher eine Legitimationspraxis, die bei der Begründung der Betroffenheit allein auf die Ausgestaltung des kantonalen Finanzausgleichs abstellt, nicht zu überzeugen. Sie hätte nämlich zur Folge, dass keine einzige solothurnische Gemeinde beschwerdebefugt wäre. Dies würde jedoch der Stossrichtung von <ref-ruling> zuwiderlaufen, die Beschwerdelegitimation der Gemeinden im Bereich der Sozialhilfe in der Regel zu bejahen. Die Vorinstanz hat demnach Bundesrecht verletzt (Art. 111 Abs. 1 in Verbindung mit Art. 89 Abs. 1 BGG), indem sie der Gemeinde die Beschwerdelegitimation im kantonalen Verfahren absprach.
6.
Auf die Erhebung von Gerichtskosten ist umständehalber zu verzichten (Art. 66 Abs. 1 BGG). Dem sinngemässen Gesuch der Beschwerdegegnerin um unentgeltliche Verbeiständung kann mangels Gebotenheit der Vertretung nicht entsprochen werden (Art. 64 Abs. 2 BGG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird gutgeheissen und Dispositiv-Ziffer 2 des Entscheids des Verwaltungsgerichts des Kantons Solothurn vom 16. September 2015 aufgehoben. Die Sache wird zu neuer Entscheidung an die Vorinstanz zurückgewiesen.
2.
Es werden keine Gerichtskosten erhoben.
3.
Das Gesuch der Beschwerdegegnerin um unentgeltliche Verbeiständung wird abgewiesen.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien, dem Departement des Innern des Kantons Solothurn und dem Verwaltungsgericht des Kantons Solothurn schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 11. April 2016
Im Namen der I. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Maillard
Die Gerichtsschreiberin: Hofer