Faits :
A.
C._, née en 2010, est la fille des parents non mariés A._ et B._. Les parents se sont séparés en 2012. C._ vit avec sa mère, le père bénéficiant d'un droit de visite assez large.
Le 21 mai 2014, une curatelle de surveillance des relations personnelles a été instituée et D._ a été désigné en qualité de curateur. Suite à une requête du père et avec le consentement de la mère, l'autorité de protection de l'enfant et de l'adulte des Montagnes et du Val-de-Ruz (APEA) a attribué l'autorité parentale conjointe aux deux parents.
B.
Le 18 septembre 2015, la mère a notamment requis la suppression de l'autorité parentale du père. Le 8 décembre 2015 le père a demandé que l'APEA prononce la garde partagée.
Par décision du 5 septembre 2016, l'APEA a rejeté la requête en suppression de l'autorité parentale; maintenu l'autorité parentale conjointe; rejeté la requête en limitation du droit de visite; institué une garde alternée sur C._, qui s'exercera du lundi au lundi, une semaine sur deux, selon un calendrier établi par le curateur; ordonné la reprise de la médiation; maintenu la curatelle, mais renoncé à son extension; enfin, confirmé D._ en qualité de curateur.
Statuant le 21 décembre 2016, la Cour des mesures de protection de l'enfant et de l'adulte du canton de Neuchâtel a rejeté les recours respectifs des parents contre cette décision.
C.
Agissant par la voie du recours en matière civile le 17 janvier 2017, A._ a conclu à l'annulation de l'arrêt attaqué et à sa réforme, en ce sens que l'autorité parentale exclusive et la garde exclusive sur C._ lui sont attribuées, que le droit de visite du père est modifié, celui-ci pouvant voir sa fille durant un soir de la semaine, à l'exception du mercredi soir, un week-end sur deux, du vendredi soir à 18h00 au dimanche soir à 18h00, ainsi que la moitié des vacances scolaires, selon un planning défini par le curateur, enfin, qu'aucune médiation n'est ordonnée.
Il n'a pas été requis d'observations sur le fond du recours.
D.
Par ordonnance présidentielle du 6 février 2017, le recours a été assorti de l'effet suspensif.

Considérant en droit :
1.
L'arrêt entrepris concerne notamment l'attribution de l'autorité parentale et de la garde sur un enfant né hors mariage. Il s'agit d'une décision finale (<ref-law>), de nature non pécuniaire, prise en application de normes de droit public dans une matière connexe au droit civil, à savoir en matière de protection de l'enfant (art. 72 al. 2 let. b ch. 6 LTF), rendue sur recours par une autorité supérieure statuant en dernière instance cantonale (art. 75 al. 1 et 2 LTF). Le recours a été interjeté en temps utile (<ref-law>) et dans la forme prévue par la loi (<ref-law>) par une partie ayant succombé dans ses conclusions devant l'autorité précédente et ayant un intérêt digne de protection à l'annulation ou à la modification de l'arrêt déféré (<ref-law>). Le recours en matière civile est donc en principe recevable au regard des dispositions qui précèdent.
2.
2.1. Le recours en matière civile peut être formé pour violation du droit, tel qu'il est délimité par les art. 95 s. LTF. Le Tribunal fédéral applique le droit d'office (<ref-law>). Il ne connaît toutefois de la violation de droits fondamentaux que si ce grief a été dûment invoqué et motivé par le recourant (" principe d'allégation ", <ref-law>; <ref-ruling> consid. 3.3), c'est-à-dire s'il a été expressément soulevé et exposé de manière claire et détaillée (<ref-ruling> consid. 2.1; <ref-ruling> consid. 1.3).
2.2. Le Tribunal fédéral statue sur la base des faits établis par l'autorité précédente (<ref-law>). Il ne peut s'en écarter que si ces faits ont été établis de façon manifestement inexacte, c'est-à-dire arbitraire au sens de l'art. 9 Cst. (<ref-ruling> consid. 2, 264 consid. 2.3), ou en violation du droit au sens de l'<ref-law> (<ref-law>), et si la correction du vice est susceptible d'influer sur le sort de la cause (<ref-law>). Le recourant qui soutient que les faits ont été établis d'une manière manifestement inexacte doit satisfaire au principe d'allégation susmentionné (cf. supra consid. 2.1). Les critiques de nature appellatoire sont irrecevables (<ref-ruling> consid. 2.3 et les références).
2.3. Lorsque le juge cantonal dispose d'un pouvoir d'appréciation (<ref-law>), le Tribunal fédéral ne revoit en principe qu'avec réserve sa décision prise en équité. Il intervient lorsque celle-ci s'écarte sans raison des règles établies par la jurisprudence en matière de libre appréciation, ou lorsqu'elle s'appuie sur des faits qui, dans le cas particulier, ne devaient jouer aucun rôle ou, à l'inverse, lorsqu'elle n'a pas tenu compte d'éléments qui auraient absolument dû être pris en considération; il sanctionnera en outre les décisions rendues en vertu d'un pouvoir d'appréciation lorsqu'elles aboutissent à un résultat manifestement injuste ou à une inéquité choquante (<ref-ruling> consid. 2; <ref-ruling> consid. 5.4).
3.
La recourante invoque en premier lieu le grief de violation de son droit d'être entendue (art. 29 al. 2 Cst.), sous l'angle du droit à une décision motivée.
3.1. Elle expose que la cour cantonale, en retenant que les compétences éducatives du père ne sont pas remises en cause par les parties, a complètement ignoré son argumentation. Elle affirme avoir précisément contesté, dans son recours cantonal, les compétences éducatives du père et son aptitude à prendre soin de l'enfant, pour le motif qu'il avait giflé C._, ce qu'il avait d'ailleurs admis. Elle aurait aussi invoqué à cet égard l'attitude virulente du père à l'encontre des professionnels qui entourent l'enfant, ce qui doit être qualifié comme un comportement impulsif, et son refus de communiquer sa nouvelle adresse, ce qui constitue un exemple de son caractère intransigeant. De plus, l'autorité cantonale aurait ignoré tous les rapports du curateur, sur lesquels la recourante explique avoir basé ses arguments; le curateur aurait en particulier indiqué que l'attribution exclusive de l'autorité parentale engendrerait moins de problème et qu'une garde alternée semblait inconcevable, ce que la juridiction précédente n'aurait pas mentionné, pas plus qu'elle n'aurait expliqué pourquoi elle a écarté cet avis.
3.2. La jurisprudence a déduit du droit d'être entendu de l'art. 29 al. 2 Cst. l'obligation pour l'autorité de motiver sa décision, afin que l'intéressé puisse se rendre compte de la portée de celle-ci et exercer son droit de recours à bon escient (<ref-ruling> consid. 2.1; <ref-ruling> consid. 5.1; <ref-ruling> consid. 4.2). Pour satisfaire à ces exigences, il suffit que l'autorité mentionne, au moins brièvement, les motifs qui l'ont guidée et sur lesquels elle a fondé son raisonnement. Elle ne doit pas se prononcer sur tous les moyens des parties, mais peut au contraire se limiter aux questions décisives (<ref-ruling> consid. 4.2; <ref-ruling> consid. 3.2; <ref-ruling> consid. 5.2). La motivation peut d'ailleurs être implicite et résulter des différents considérants de la décision (<ref-ruling> consid. 3.2.1; arrêt 5A_741/2016 du 6 décembre 2016 consid. 3.3.1 et les références).
3.3. En l'espèce, les juges cantonaux ont motivé leur décision en indiquant de manière détaillée les raisons pour lesquelles ils ont attribué l'autorité parentale conjointe et instauré une garde alternée. L'argumentation de la recourante consiste à remettre en cause cette motivation, en particulier le fait que les parties ont chacune admis que l'autre parent disposait des capacités éducatives nécessaires pour s'occuper de C._. Il s'agit d'une question distincte de celle de la motivation, de sorte que le grief doit être écarté. La recourante a d'ailleurs parfaitement été en mesure de comprendre et d'attaquer le raisonnement de l'autorité cantonale, puisqu'elle a soulevé les griefs de constatation manifestement inexacte des faits et de violation du droit à cet égard. La question sera ainsi examinée ci-après sous cet angle.
4.
La recourante expose qu'au terme d'une constatation manifestement inexacte des faits, la cour cantonale a violé les art. 296 et 298d CC en maintenant l'autorité parentale conjointe sur C._.
4.1. L'autorité parentale conjointe est la règle depuis l'entrée en vigueur le 1er juillet 2014 des nouvelles dispositions du Code civil relatives à l'autorité parentale (RO 2014 357), ce indépendamment de l'état civil des parents (art. 296 al. 2, 298a al. 1, 298b al. 2 et 298d al. 1 CC; <ref-ruling> consid. 3; <ref-ruling> consid. 3.3). Il n'est qu'exceptionnellement dérogé à ce principe, lorsqu'il apparaît que l'attribution de l'autorité parentale exclusive à l'un des parents est nécessaire pour le bien de l'enfant. Une telle exception est en particulier envisageable en présence d'un conflit important et durable entre les parents ou d'une incapacité durable pour ceux-ci de communiquer entre eux à propos de l'enfant, pour autant que cela exerce une influence négative sur celui-ci et que l'autorité parentale exclusive permette d'espérer une amélioration de la situation. De simples différends, tels qu'ils existent au sein de la plupart des familles, d'autant plus en cas de séparation ou de divorce, ne constituent pas un motif d'attribution de l'autorité parentale exclusive, respectivement de maintien d'une autorité parentale exclusive préexistante (<ref-ruling> consid. 4.3 et 4.7; <ref-ruling> consid. 2.1). En outre, la seule distance géographique entre les parents n'est pas en soi suffisante pour déroger au principe de l'autorité parentale conjointe (ATF <ref-ruling> consid. 3; <ref-ruling> consid. 3).
4.2. Après avoir rappelé de manière détaillée la jurisprudence relative à l'autorité parentale conjointe, respectivement exclusive, et au terme d'une argumentation circonstanciée, la cour cantonale a considéré qu'en l'espèce, la situation des parents envisagée globalement et sans se limiter à une énumération de problèmes ponctuels n'atteint pas une gravité qui justifierait le retrait de l'autorité parentale à l'un des parents; autrement dit, il n'existe pas de motifs suffisants permettant de s'écarter du principe selon lequel l'autorité parentale doit être conjointe.
En substance, la juridiction précédente a relevé que la définition du domicile de l'enfant n'a pas donné lieu à des difficultés, qu'il n'existe pas de litige entre les parents concernant sa scolarité, qu'il n'y en a pas non plus à propos des soins corporels de C._ - si ce n'est des problèmes sans incidence réelle sur son bien-être -, que lorsque des traitements sont nécessaires, les deux parents les mettent en oeuvre, que ceux-ci ne manifestent pas de divergences quant aux activités proposées à l'enfant, la mère admettant d'ailleurs que le père propose des activités variées et intéressantes. Les parents se sont certes opposés au sujet de la publication de photographies de la fillette sur le compte Facebook du père, mais l'autorité cantonale avait déjà eu l'occasion de dire ce qu'il fallait en penser et on pouvaitespérer que les parents sauraient faire preuve de bon sens et éviter, pour l'un, de publier largement des photographies et, pour l'autre, de se montrer inutilement vindicative quant aux choix de son ex-compagnon à cet égard. Les compétences éducatives respectives des parents n'étaient pas en cause, ce que chacun d'eux admettait. La communication entre eux au sujet de C._, par le cahier suggéré par le curateur, se faisait normalement, même si l'on pouvait suggérer au père surtout et à la mère d'éviter d'y inscrire des remarques parfois désobligeantes. Il n'y avait pas non plus de divergences sur l'éducation religieuse de l'enfant, même si la fixation de la date de son baptême avait donné lieu à des échanges et interventions dont les parents, avec une once de bonne volonté de chaque côté, auraient sans doute pu faire l'économie. C._ a des contacts très réguliers avec ses deux parents, avec qui elle s'entend apparemment très bien et qu'elle apprécie, et l'exercice du droit de visite du père se passe apparemment très bien, grâce aussi à l'aide du curateur qui établit des plannings précis et réussit en principe à concilier des points de vue parfois divergents. En l'état, on ne pouvait d'ailleurs pas exclure qu'une sorte de " paix des braves ", qui les amènerait peut-être à des concessions réciproques et surtout à un peu de souplesse et de volonté de surmonter leurs divergences, leur profiterait à titre personnel et profiterait sans aucun doute à C._, qui a besoin d'un climat plus détendu pour se développer harmonieusement.
4.3. La recourante expose, en renvoyant à des pièces du dossier, que si la cour cantonale avait pris en compte les nombreuses difficultés de communication des parents et les rapports du curateur, elle lui aurait attribué l'autorité parentale exclusive.
Selon la recourante, le constat selon lequel il n'y aurait ni conflit sérieux et durable entre les parents, ni incapacité de communiquer, serait arbitraire. En particulier, l'autorité cantonale aurait ignoré les rapports du curateur, qui a relevé un " total désaccord [des parents] pour quasiment tous les sujets concernant leur fille " et a ajouté que " l'enfant semble être l'objet ou l'alibi utilisé pour alimenter les différends et problèmes entre eux ". Elle affirme que le seul fait qu'un curateur ait dû être nommé démontre que l'exercice conjoint de l'autorité parentale présente d'importantes difficultés; que ce curateur a dû traiter plus de 380 courriels en 760 jours; qu'il y a eu différents problèmes à propos de l'exercice du droit de visite, de l'établissement des plannings et de l'accueil parascolaire (puisque le père n'y déposait plus l'enfant malgré l'organisation convenue); que le père a une attitude virulente envers les professionnels qui entourent C._; que l'enfant est arrivé plusieurs fois en retard à l'école; que le père exercerait une surveillance inquiétante sur la mère; que l'organisation des visites est rigide; qu'il y a eu d'importantes difficultés pour l'organisation du baptême de l'enfant, le cas ayant dû être traité par l'autorité de protection de l'enfant; qu'un cahier de communication a été mis en place depuis juillet 2015, ce qui n'est le cas, comme l'aurait relevé le curateur, que s'il y a des difficultés importantes de communication; que les parties ont rencontré des difficultés concernant les photos de l'enfant mises par le père sur Facebook; que le père aurait giflé l'enfant; qu'il aurait refusé de modifier le droit de visite en semaine; qu'il aurait refusé de communiquer sa nouvelle adresse, alors que l'enfant dormait chez lui depuis le week-end du 21 octobre 2016; qu'en réalité, l'enfant serait souvent prise en charge par la compagne du père, et non par celui-ci, au début du droit de visite à 18h; que lors des vacances d'octobre 2016, le père n'aurait pas respecté le planning établi par le curateur, et qu'il aurait eu des propos virulents et une attitude agressive; que durant les vacances de l'enfant chez son père, la mère n'aurait eu le droit qu'à une communication téléphonique avec l'enfant, que celle-ci était alors en pleurs, la mère ayant alors tenté de trouver une solution, mais le père lui aurait raccroché au nez. Le comportement inadéquat du père serait confirmé par son attitude dans la présente procédure, puisqu'il a requis la révocation du curateur. Vu ce qui précède, il serait manifeste que le conflit est important et chronique, que l'autorité précédente l'a minimisé, que la curatelle n'a apporté aucune amélioration, que le conflit de loyauté de l'enfant est immense, que son bien-être est clairement menacé et que l'autorité parentale exclusive serait le seul moyen de diminuer le nombre des différends en lien avec l'enfant.
4.4. Cette argumentation intègre de nombreux éléments factuels qui ne ressortent pas de l'arrêt entrepris, sans que leur omission ne fasse l'objet d'une critique conforme aux exigences de motivation, en particulier lorsque la recourante se contente de les affirmer, sans renvoyer à un moyen de preuve, ou lorsqu'elle renvoie à un document sans expliquer de manière claire et précise quel passage de celui-ci permettrait de démontrer l'arbitraire dans l'établissement des faits (cf. supra consid. 2.2). On relèvera au demeurant que les conflits qui ont opposé les parents par rapport au droit de visite ne peuvent être pris en compte comme critères d'attribution de l'autorité parentale (arrêt 5A_22/2016 du 2 septembre 2016 consid. 5.2). Pour le surplus, la recourante s'attache en réalité à faire prévaloir sa propre appréciation des circonstances sur celle de la cour cantonale. Quand bien même certains désaccords des parents ont dû être réglés par l'intervention ponctuelle de l'autorité de protection de l'enfant, ce qu'ont d'ailleurs relevé les juges cantonaux, il n'en demeure pas moins qu'une intervention ponctuelle du juge ne doit pas nécessairement conduire à exclure l'autorité parentale conjointe (arrêt 5A_455/2016 du 12 avril 2017 consid. 5). Quant à l'argument relatif à l'existence d'un cahier de communication, il n'est pas non plus décisif: comme l'a relevé l'autorité cantonale, ce cahier permet en l'occurrence une communication normale au sujet de l'enfant. Contrairement à ce que prétend la recourante, l'autorité cantonale n'a pas ignoré les rapports et auditions du curateur, en particulier que celui-ci avait souligné que les parents n'arrivaient pas à se mettre d'accord sur une multitude de sujets concernant leur fille, qu'il n'y avait pas de signe concret de mise en danger de son développement, mais que le contexte était propice (cf. arrêt cantonal p. 3 et 4). Elle a cependant considéré, au terme d'une analyse précise de chaque conflit qui a surgi entre les parties, à laquelle on peut renvoyer, que la situation n'imposait pas d'opter pour le régime de l'autorité parentale exclusive.
En définitive, la cour cantonale n'a pas abusé de son pouvoir d'appréciation (cf. supra consid. 2.3) en considérant que l'autorité parentale conjointe devait être maintenue.
5.
La recourante conteste la décision entreprise en tant que celle-ci attribue la garde alternée aux deux parents.
5.1. Bien que l'autorité parentale conjointe soit désormais la règle et qu'elle comprenne le droit de déterminer le lieu de résidence de l'enfant (art. 296 al. 2 et 301a al. 1 CC; <ref-ruling> consid. 3; <ref-ruling> consid. 3.3 et les références), elle n'implique pas nécessairement l'instauration d'une garde alternée (arrêts 5A_266/2015 du 24 juin 2015 consid. 4.2.2.1; 5A_46/2015 du 26 mai 2015 consid. 4.4.3). Le juge doit néanmoins examiner, nonobstant et indépendamment de l'accord des parents quant à une garde alternée, si celle-ci est possible et compatible avec le bien de l'enfant (<ref-ruling> consid. 3.2.3; <ref-ruling> consid. 4.2). En matière d'attribution des droits parentaux, le bien de l'enfant constitue la règle fondamentale (<ref-ruling> consid. 5.4), les intérêts des parents devant être relégués au second plan (<ref-ruling> consid. 3.2.3; <ref-ruling> consid. 5).
Lorsque le juge détermine auquel des deux parents il attribue la garde, il doit évaluer, sur la base de la situation de fait actuelle ainsi que de celle qui prévalait avant la séparation des parties, si l'instauration d'une garde alternée est effectivement à même de préserver le bien de l'enfant. A cette fin, le juge doit en premier lieu examiner si chacun des parents dispose de capacités éducatives, lesquelles doivent être données chez chacun d'eux pour pouvoir envisager l'instauration d'une garde alternée ainsi que l'existence d'une bonne capacité et volonté des parents de communiquer et coopérer, compte tenu des mesures organisationnelles et de la transmission régulière d'informations que nécessite ce mode de garde. A cet égard, on ne saurait déduire une incapacité à coopérer entre les parents du seul refus d'instaurer la garde alternée. En revanche, un conflit marqué et persistant entre les parents portant sur des questions liées à l'enfant laisse présager des difficultés futures de collaboration et aura en principe pour conséquence d'exposer de manière récurrente l'enfant à une situation conflictuelle, ce qui apparaît contraire à son intérêt (<ref-ruling> consid. 3.2.3). Si les parents disposent tous deux de capacités éducatives, le juge doit dans un deuxième temps évaluer les autres critères d'appréciation pertinents pour l'attribution de la garde à l'un des parents.
Au nombre des critères essentiels pour cet examen, entrent en ligne de compte la situation géographique et la distance séparant les logements des deux parents, la capacité et la volonté de chaque parent de favoriser les contacts entre l'autre parent et l'enfant, la stabilité que peut apporter à l'enfant le maintien de la situation antérieure - en ce sens notamment qu'une garde alternée sera instaurée plus facilement lorsque les deux parents s'occupaient de l'enfant en alternance déjà avant la séparation -, la possibilité pour chaque parent de s'occuper personnellement de l'enfant, l'âge de ce dernier et son appartenance à une fratrie ou à un cercle social ainsi que le souhait de l'enfant s'agissant de sa propre prise en charge, quand bien même il ne disposerait pas de la capacité de discernement à cet égard. Les critères d'appréciation précités sont interdépendants et leur importance varie en fonction du cas d'espèce. Ainsi, les critères de la stabilité et de la possibilité pour le parent de s'occuper personnellement de l'enfant auront un rôle prépondérant chez les nourrissons et les enfants en bas âge alors que l'appartenance à un cercle social sera particulièrement importante pour un adolescent. La capacité de collaboration et de communication des parents est, quant à elle, d'autant plus importante lorsque l'enfant concerné est déjà scolarisé ou qu'un certain éloignement géographique entre les domiciles respectifs des parents nécessite une plus grande organisation (<ref-ruling> consid. 3.2.3; arrêt 5A_450/2016 du 4 octobre 2016 consid. 4.3.1 et les références).
Si le juge arrive à la conclusion qu'une garde alternée n'est pas dans l'intérêt de l'enfant, il devra alors déterminer auquel des deux parents il attribue la garde en tenant compte, pour l'essentiel, des mêmes critères d'évaluation et en appréciant, en sus, la capacité de chaque parent à favoriser les contacts entre l'enfant et l'autre parent (<ref-ruling> consid. 3.2.4).
Pour apprécier ces critères, le juge du fait, qui connaît le mieux les parties et le milieu dans lequel vit l'enfant, dispose d'un large pouvoir d'appréciation (<ref-ruling> consid. 3.2.5 et les références; <ref-ruling> consid. 2 et 3). Le Tribunal fédéral n'intervient que s'il s'est écarté sans motif des principes établis par la doctrine et la jurisprudence, lorsqu'il s'est fondé sur des faits qui ne devaient jouer aucun rôle pour la solution du cas d'espèce, ou lorsque, au contraire, il n'a pas tenu compte de circonstances qui auraient impérativement dû être prises en considération (<ref-ruling> consid. 1 et les références).
5.2. La cour cantonale a relevé qu'en l'espèce, les parties s'accordent sur le fait que chacune d'entre elles dispose de capacités éducatives suffisantes, ce qui était d'ailleurs confirmé par l'ensemble du dossier. Ils s'occupent bien de C._, lui offrent un cadre de vie agréable, veillent à sa santé et à son hygiène et lui proposent des activités variées et enrichissantes et, globalement, sont soucieux de son bien-être. Aucun ne souffre d'une affection, d'une dépendance ou de traits de caractère particuliers qui pourraient altérer sa capacité à s'occuper d'un enfant. Leur capacité de coopérer et de communiquer sereinement entre eux était certes limitée, mais semblait assez équivalente. La lecture du cahier de transmission tenu par les parents permettait de constater que chacun fournit à l'autre les informations nécessaires, ce qui permet à C._ de ne manquer de rien et de résoudre les petites questions d'organisation qui se posent (participation à telle ou telle activité, vêtements à prévoir, etc.), même s'il serait peut-être plus pratique qu'ils se parlent régulièrement.
Selon l'autorité cantonale, le fait que le père habite désormais à U._ alors que la mère vit à V._, où l'enfant est scolarisée, ne pouvait pas s'opposer à une garde alternée, dans la mesure où le transport de C._ à l'école et depuis l'école était assuré. Nombre d'enfants de 3ème année doivent d'ailleurs accomplir des trajets plus longs, à pied, pour se rendre à leur école, que les dix minutes environ qu'il faut en voiture pour relier U._ à V._. La mère ne pouvait donc tirer aucun argument de la distance géographique séparant les domiciles respectifs.
Pour le surplus, la cour cantonale a relevé qu'actuellement, les deux parents s'occupent déjà largement de l'enfant, qui passe selon les semaines trois ou quatre nuits chez son père, en plus de séjours plus longs durant les vacances scolaires. Le passage à une garde alternée représentera certes un changement pour elle, mais il fallait noter que lorsqu'elle se trouve sous la garde de sa mère, elle passe déjà passablement de temps hors du domicile de celle-ci, soit à l'école et à l'accueil parascolaire, en fonction des obligations professionnelles de la mère (emploi à 80% à W._). Le changement serait donc forcément moins important que si la mère n'avait pas d'activité lucrative et se consacrait entièrement à l'éducation de sa fille. Le père est actuellement plus disponible, puisqu'il se trouve au chômage et est donc libre de son temps, sous réserve de démarches de recherche d'un emploi. Cette situation ne devrait pas durer, mais il a évoqué la possibilité de chercher lui aussi un emploi à 80%. Ainsi, on ne pouvait pas considérer que l'un des parents serait plus disponible que l'autre pour avoir durablement l'enfant sous sa propre garde. C._ n'ayant pas de frères et soeurs, elle ne risquait pas d'être séparée de sa fratrie pour des raisons liées à sa garde. En outre, elle avait manifesté assez clairement son désir de passer autant de temps avec chacun de ses parents. Avec les réserves nécessaires s'agissant d'une fillette de six ans, qui ne se représente peut-être pas exactement ce que ce changement signifierait concrètement pour elle, le critère du souhait de l'enfant allait plutôt dans le sens de la solution retenue par le premier juge. Cette solution pouvait d'ailleurs lui apporter une plus grande stabilité (un passage d'un parent à l'autre par semaine, au lieu de deux comme c'est actuellement le cas une semaine sur deux) et limiter la possibilité de petits litiges entre les parents (douche à un moment ou à un autre, médicaments à détenir à la maison, vêtements à remettre, etc.). Ainsi, la mise en place d'une garde alternée était conforme à l'intérêt global de l'enfant. On ne voyait notamment pas en quoi une garde alternée était plus susceptible de provoquer des conflits de loyauté chez l'enfant qu'actuellement, cette solution pouvant même atténuer le problème.
5.3. La recourante fait valoir la violation de l'<ref-law>, exposant qu'aucun fait nouveau qui justifierait de modifier la titularité de la garde n'est intervenu en l'espèce. En outre, elle estime que sur la base d'un établissement manifestement inexact des faits (<ref-law>), la cour cantonale a violé les art. 296 et 298d CC, en particulier les critères posés par la jurisprudence, en optant pour la garde alternée. En substance, la décision entreprise minimiserait les évidents problèmes de communication des parents et ferait abstraction des intérêts de l'enfant.
La recourante conteste en particulier les compétences éducatives du père, pour le motif qu'il aurait amené à plusieurs reprises l'enfant à l'école avec du retard le lundi matin, qu'il aurait omis de l'amener à la structure parascolaire (rapport du 26 février 2016, p. 1, p.-v. d'audition de la recourante du 1er juin 2016), qu'il semblerait qu'il a giflé l'enfant, ce qu'il a d'ailleurs admis (courrier de son mandataire du 29 octobre 2015 et rapport du 29 octobre 2015), qu'il a une attitude virulente envers les professionnels qui entourent l'enfant (rapport du 22 juin 2016 et audition du curateur du 1er juin 2016), qu'il a demandé la révocation du curateur (lettre du 16 septembre 2016), ce qui dénoterait d'un comportement impulsif, et qu'il a refusé de communiquer sa nouvelle adresse, ce qui démontrerait son caractère intransigeant. La recourante ajoute qu'elle est titulaire de la garde de l'enfant depuis sa naissance, que la décision entreprise ne reposerait que sur la " volonté de faire un essai ", que la stabilité que peut apporter à l'enfant le maintien de la situation antérieure est un critère déterminant (l'enfant passant actuellement entre une et quatre nuits par semaine chez son père, et non entre trois et quatre nuits comme l'a retenu arbitrairement l'autorité cantonale, de sorte qu'elle n'aurait en réalité jamais passé sept journées consécutives sans sa mère), que le curateur n'a jamais proposé d'instaurer une garde partagée, mais au contraire, une restriction du droit de visite, qu'il a constaté qu'une garde alternée semble inconcevable (rapport du 26 février 2016 p. 1 et 3), qu'il a indiqué que les parents sont "en total désaccord pour quasiment tous les sujets concernant leur fille " (rapport du 29 octobre 2015), que les parents se trouvent dans une situation de litige chronique, que la seule communication entre eux se fait par le biais d'un cahier d'information ou par l'intermédiaire du curateur, voire à l'aide de l'intervention de l'autorité de protection, de sorte que le fait de qualifier la communication de " normale ", comme l'a fait la cour cantonale, serait arbitraire, et que l'autorité précédente a elle-même reconnu que la capacité des parties de coopérer et de communiquer sereinement est " assez limitée ". A cela s'ajouterait la distance entre les domiciles des parents, non négligeable pour un enfant de six ans, ce qui impliquerait une communication parentale accrue, de sorte qu'il serait arbitraire de retenir qu'elle " ne peut donc tirer aucun argument de la distance géographique séparant les domiciles respectifs ". Quant à la volonté exprimée par l'enfant, vu le jeune âge de celle-ci, elle ne serait pas pertinente, ce d'autant que C._ n'a jamais connu de régime de garde alternée, de sorte qu'elle ne pourrait pas se rendre compte de ce que cela implique, et qu'elle aurait passé la nuit précédent l'audition chez son père. Par ailleurs, se fonder sur le fait que le père est actuellement plus disponible qu'elle pour l'enfant puisqu'il est au chômage, et qu'il cherche un emploi à 80%, serait choquant, puisqu'il a toujours travaillé à plein temps. En définitive, opter pour une garde alternée serait contraire à l'intérêt supérieur de l'enfant.
5.4. En tant que la recourante invoque l'absence de faits nouveaux au sens de l'<ref-law>, on relèvera qu'elle a elle-même requis, dans le cadre de la présente procédure, la modification de l'autorité parentale et du droit de visite en invoquant la survenance de faits nouveaux. Dans ce contexte, il n'apparaît pas contraire au droit fédéral de réexaminer aussi la question de la garde, lorsque d'autres questions relatives à l'enfant sont soulevées et que des faits nouveaux commandent d'entrer en matière, l'ensemble de la situation pouvant alors être revue pour le bien de l'enfant.
Concernant l'attribution de la garde, la cour cantonale a établi les faits pertinents et procédé à un examen minutieux des critères posés par la jurisprudence.
Au préalable il faut relever, comme précédemment concernant la question de l'autorité parentale (cf. supra consid. 4.4), que les éléments de fait qui ne font pas l'objet d'une critique conforme au principe d'allégation ne peuvent être pris en considération (cf. supra consid. 2.2). S'agissant de l'argumentation de la recourante relative aux capacités éducatives du père, les éléments invoqués ne sont quoi qu'il en soit pas de nature à démontrer qu'elles sont déficientes. Elle ne conteste d'ailleurs pas le fait que, tout comme elle, le père offre à l'enfant un cadre de vie agréable, est soucieux de son bien-être et lui propose des activités variées et enrichissantes. Ainsi, la cour cantonale n'a pas erré en considérant qu'il dispose de capacités éducatives suffisantes. Quant à la communicationentre les parents à propos de l'enfant, le seul fait qu'elle se déroule sous forme d'un cahier de transmission ne signifie pas qu'elle serait déficiente. Si, comme l'a souligné l'autorité précédente, il serait évidemment plus pratique que les parents puissent se parler régulièrement, il n'en demeure pas moins que le mode de communication mis en place permet concrètement à l'enfant de ne manquer de rien et de résoudre les questions organisationnelles qui se posent, ce que la recourante ne remet d'ailleurs pas en cause. En ce qui concerne la distance entre les domiciles respectifs des parents, la recourante se contente d'affirmer qu'elle aurait pour effet de nécessiter une communication accrue entre les parents, sans contester que le trajet entre le domicile du père et l'école est assuré, ni qu'il dure seulement environ dix minutes. La recourante omet d'ailleurs que selon les constatations de l'autorité cantonale, qui ne prêtent pas le flanc à la critique, la mise sur pied d'une garde alternée à raison d'une semaine sur deux auprès de chacun des parents permettra en l'occurrence de réduire le nombre de passages entre les parents à un seul par semaine, ce qui sera positif pour l'enfant.
S'agissant du critère de la stabilité de l'enfant, en tant que la recourante prétend que l'enfant n'a à ce jour jamais passé une semaine sans elle, elle omet que selon les constatations de l'autorité cantonale, qu'elle ne conteste pas, C._ a passé des séjours plus longs que quatre nuits par semaine durant les vacances scolaires. Le seul fait que la mère ait été seule titulaire de la garde de l'enfant jusqu'à présent ne permet au demeurant pas, en soi, d'exclure la garde alternée, chacun des critères posés par la jurisprudence étant interdépendants, et leur importance respective variant en fonction du cas d'espèce (cf. supra consid. 5.1). En l'occurrence, la cour cantonale a aussi tenu compte, à juste titre, du fait que l'instauration d'une garde alternée n'engendrera pas la séparation d'une fratrie, ainsi que de la volonté exprimé par C._. En tant que la recourante s'oppose à la prise en compte de la volonté exprimée par sa fille, on ne saurait la suivre. Conformément à la jurisprudence, la cour cantonale a pris en compte l'audition de l'enfant, âgée de 6 ans, en tant que moyen de preuve destiné à établir les faits. Elle a d'ailleurs pris en considération ses dires avec les réserves nécessaires, vu le jeune âge de l'enfant, relevant simplement que la volonté exprimée allait plutôt dans le sens de l'appréciation de l'ensemble des autres critères. En tant que la recourante expose que l'on ne saurait tenir compte, dans le cadre de l'examen des disponibilités respectives des parents, du fait que le père se trouve actuellement au chômage et qu'il envisage de chercher un travail à 80%, il faut souligner que quoi qu'il en soit, la recourante travaille à 80% à W._, et que selon les constatations non remises en causes de l'arrêt cantonal, l'enfant passe déjà passablement de temps hors du domicile de sa mère durant la semaine, soit à l'école, soit à l'accueil parascolaire, en fonction des obligations professionnelles de sa mère. Partant, quand bien même le père trouverait finalement un travail à 80 ou à 100%, on ne saurait considérer que la mère est notablement plus disponible que lui pour s'occuper personnellement de l'enfant. Partant, en l'espèce, la constatation selon laquelle aucun des parents n'est plus disponible que l'autre pour avoir l'enfant durablement sous sa garde et s'occuper de lui n'est pas critiquable. Quant à l'argument selon lequel le curateur a considéré que la garde alternée n'était pas envisageable, on relèvera qu'il appartient au juge, et non au curateur, de déterminer si, au vu des faits retenus, il convient d'attribuer la garde exclusive ou la garde alternée (arrêt 5A_609/2016 du 13 février 2017 consid. 4.4 et les références rendu à propos de l'autorité parentale).
Vu ce qui précède, l'autorité précédente n'a pas abusé du pouvoir d'appréciation qui est le sien (cf. supra consid. 2.3 et 5.1 in fine) en ordonnant l'instauration de la garde alternée.
6.
La garde alternée étant confirmée, les griefs développés par la recourante en lien avec le droit de visite du père deviennent sans objet.
7.
La recourante conclut à ce qu'aucune médiation ne soit ordonnée.
7.1. L'autorité précédente a relevé à ce sujet que contrairement à ce que soutenait la mère dans son recours, le Tribunal fédéral n'a pas nié a priori toute utilité à une médiation ordonnée par l'autorité de protection de l'enfant contre l'avis de l'un des parents. Elle a constaté qu'en l'espèce, une première tentative de médiation avait échoué. Cette tentative s'était toutefois limitée à un entretien des deux parents avec un médiateur, puis à un entretien individuel de chacun des parents avec celui-ci. On ne pouvait pas exclure qu'une nouvelle médiation apporte un peu de sérénité aux rapports entre les parents. Les décisions prises et la nouvelle organisation de la garde pourraient leur permettre d'envisager leur situation différemment et de préférer, à l'avenir, rechercher ensemble des solutions adaptées au bien de C._, qu'ils semblaient avoir un peu perdu de vue dans l'élan des conflits qui les opposent. Une médiation pouvait les aider dans cette démarche, pour autant qu'ils y mettent un peu de bonne volonté. Dans cette optique, le fait d'ordonner une médiation répondait à l'intérêt de l'enfant, même s'il était prématuré aujourd'hui de compter sur un résultat positif.
7.2. Se fondant sur l'arrêt 5A_923/2014 du 27 août 2015 consid. 5.3 [recte: 5.4], la recourante expose que lorsque des négociations informelles en cours de procédure s'avèrent déjà impossibles, une médiation n'a pas de chances d'aboutir, de sorte qu'il s'impose d'y renoncer. En outre, dès lors qu'en l'espèce, l'instauration de la garde alternée violerait " de manière crasse l'intérêt de l'enfant ", la nouvelle médiation n'aurait plus lieu d'être et ne serait elle-même pas dans l'intérêt de l'enfant.
7.3. En tant que la recourante se fonde sur la prémisse selon laquelle la garde alternée serait contraire à l'intérêt de l'enfant, sa critique doit être écartée d'emblée, dès lors que les griefs formulés en lien avec la garde alternée ont été rejetés (cf. supra consid. 5.4). Pour le surplus, il faut rappeler que la médiation est une mesure admissible de protection de l'enfant au sens de l'<ref-law> (arrêts 5A_852/2011 du 20 février 2012 consid. 6; 5A_457/2009 du 5 décembre 2009 consid. 4). Contrairement à ce que soutient la recourante, on ne saurait exclure de manière systématique la voie de la médiation pour le motif que les négociations informelles des parties en cours de procédure auraient abouti à un échec. Une médiation a d'ailleurs précisément pour but de tenter de parvenir à un accord entre les parties. A cela s'ajoute que dans l'affaire citée par la recourante, la situation était différente du présent cas, puisque les parents n'arrivaient pas à s'entendre sur les questions relevant de l'autorité parentale, même avec l'aide d'une curatrice; par conséquent, il était préférable de retirer l'autorité parentale à l'un des parents plutôt que d'ordonner une médiation (arrêt 5A_923/2014 du 27 août 2015 consid. 5.4 non publié in <ref-ruling>). En l'espèce, il faut relever que l'aide du curateur a été profitable aux parents de C._ et leur a permis de trouver des solutions, de sorte que l'on ne peut pas affirmer a priori que la médiation est vouée à l'échec. Elle permettra d'accompagner les parents dans la mise en place concrète de la garde alternée et, à terme, de pouvoir envisager une suppression de la curatelle.
8.
En conclusion, le recours est rejeté dans la mesure de sa recevabilité, aux frais de la recourante (<ref-law>). Elle versera en outre à l'intimé, qui a obtenu gain de cause s'agissant de l'effet suspensif, mais n'a pas été invité à se déterminer sur le fond, une indemnité de dépens (art. 68 al. 1 et 2 LTF).

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce :
1.
Le recours est rejeté dans la mesure où il est recevable.
2.
Les frais judiciaires, arrêtés à 3'000 fr., sont mis à la charge de la recourante.
3.
Une indemnité de 200 fr., à verser à l'intimé à titre de dépens, est mise à la charge de la recourante.
4.
Le présent arrêt est communiqué aux parties, au curateur, et à la Cour des mesures de protection de l'enfant et de l'adulte du Tribunal cantonal du canton de Neuchâtel.
Lausanne, le 4 mai 2017
Au nom de la IIe Cour de droit civil
du Tribunal fédéral suisse
La Juge présidant : Escher
La Greffière : Dolivo