Sachverhalt:
A.
Die 1970 geborene A._, ausgebildete kaufmännische Angestellte, leidet seit ihrer Kindheit an einer neurologischen Erkrankung mit Krafteinschränkungen in den Händen, Fingern und Füssen (v.a. hereditäre sensomotorische Neuropathie). Die Versicherte hatte während langer Jahre in Italien gelebt und dort vollzeitlich als Sachbearbeiterin in einem Buchhaltungsbüro gearbeitet, bevor sie in die Schweiz zurückkehrte. Anfang Dezember 2013 meldete sich A._ bei der Invalidenversicherung zum Bezug von Hilfsmitteln an, worauf ihr Kostengutsprache für orthopädische Massschuhe gewährt wurde. Im Mai 2014 erfolgte sodann eine Anmeldung fü r "berufliche Integration/Rente". Die IV-Stelle des Kantons Zürich führte medizinische Abklärungen durch und holte insbesondere einen Bericht des Spitals B._, Klinik für Neurologie, vom 30. Juni 2014 ein. Gestützt darauf ermittelte sie anhand eines Prozentvergleichs einen Invaliditätsgrad von 40 % und sprach A._ nach durchgeführtem Vorbescheidverfahren ab 1. Januar 2015 eine Viertelsrente zu (Verfügung vom 8. April 2015).
B.
Die dagegen erhobene Beschwerde wies das Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich mit Entscheid vom 21. September 2016 ab.
C.
A._ führt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten mit den Rechtsbegehren, in Aufhebung des angefochtenen Entscheides sei ihr ab 1. Juli 2014 eine ganze Invalidenrente zuzusprechen; eventualiter sei die Sache zu neuer Abklärung und Entscheidung an die Verwaltung zurückzuweisen. Sodann ersucht A._ um unentgeltliche Rechtspflege.
Die IV-Stelle schliesst auf Abweisung der Beschwerde. Das Bundesamt für Sozialversicherungen verzichtet auf eine Vernehmlassung.

Erwägungen:
1.
Mit der Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann unter anderem die Verletzung von Bundesrecht gerügt werden (Art. 95 lit. a BGG). Die Feststellung des Sachverhalts kann nur gerügt werden, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von Artikel 95 beruht und wenn die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein kann (Art. 97 Abs. 1 BGG). Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat. Es kann die Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz von Amtes wegen berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von Artikel 95 beruht (Art. 105 Abs. 1 und 2 BGG).
2.
Streitig und zu prüfen ist, ob das kantonale Gericht die Verfügung der IV-Stelle vom 8. April 2015, womit der Beschwerdeführerin ab 1. Januar 2015 eine Viertelsrente (Invaliditätsgrad: 40 %) zugesprochen wurde, zu Recht geschützt hat.
2.1. Die Vorinstanz hat dem Bericht des Spitals B._, vom 30. Juni 2014 Beweiskraft beigemessen. Gestützt darauf hat sie der Beschwerdeführerin seit (mindestens) 31. Januar 2014 eine Arbeitsfähigkeit von 60 % für die zuletzt ausgeübte Tätigkeit als kaufmännische Angestellte sowie für jede andere behinderungsangepasste Tätigkeit in vorwiegend sitzender Position mit wenig manuellem Kraftaufwand angerechnet. Daraus hat das kantonale Gericht gefolgert, dass die Vergleichseinkommen anhand desselben (Tabellen-) Lohnes bestimmt werden können und auf einen ziffernmässigen Einkommensvergleich verzichtet (Prozentvergleich). Einen Abzug vom Tabellenlohn hat die Vorinstanz verneint.
2.2. Bei den gerichtlichen Feststellungen zum Gesundheitszustand und zur Arbeitsfähigkeit handelt es sich grundsätzlich um eine Tatfrage (<ref-ruling> E. 3.2 S. 397 ff.). Ebenso stellt die konkrete Beweiswürdigung eine Tatfrage dar. Dagegen sind die unvollständige Feststellung rechtserheblicher Tatsachen sowie die Missachtung des Untersuchungsgrundsatzes (Art. 43 Abs. 1 und Art. 61 lit. c ATSG) Rechtsfragen (Urteil 9C_579/2014 vom 10. August 2015 E. 1.3).
3.
3.1. Das kantonale Gericht hat beweiswürdigend festgestellt, die Einschätzung der Fachärzteschaft des Spitals B._ könne durch die Beurteilungen des Hausarztes Dr. med. C._, der vornehmlich gestützt auf die subjektiven Angaben seiner Patientin eine 100%ige Arbeitsunfähigkeit postuliert habe, nicht in Zweifel gezogen werden. Insbesondere sei die im hausärztlichen Bericht vom 30. Juli 2014 festgehaltene Arbeitsunfähigkeit von 100 % zufolge gänzlicher Unbeweglichkeit in Anbetracht des gleichzeitig festgehaltenen Aktivitätsniveaus, mitunter regelmässiger Physiotherapie, Schwimmen und "Laufen", nicht einsichtig. Diskrepant dazu habe die Beschwerdeführerin anlässlich des Standortgesprächs bei der IV-Stelle vom 13. Juni 2014 denn auch angegeben, sie sei mit Krücken "relativ gut unterwegs"; zu Hause laufe sie sogar "ganz alleine". Damit korrelierend habe der beurteilende Facharzt der Klinik D._ im Bericht vom 30. Juni 2014 ein deutlich stabilisiertes Gangbild notiert und deutliche Fortschritte ausgewiesen.
3.2.
3.2.1. Der Einwand der Versicherten, dem Bericht des Spitals B._ sei zu entnehmen, sie könne "normalerweise ohne Hilfsmittel" gehen, was nicht zutreffe und von der Vorinstanz nicht in Erwägung gezogen worden sei, ist zum vorneherein unbehelflich: Aus dem Belastungsprofil der Fachärzte des Spitals B._, welches das kantonale Gericht herangezogen hat, geht unmissverständlich hervor, dass beim Gehen und Stehen eine beträchtliche Einschränkung - nämlich 70 % (vgl. Bericht vom 30. Juni 2014, Ziff. 1.7 S. 3) - besteht. Insoweit ist bzw. war die von der Beschwerdeführerin zitierte Textstelle, welche sich im Übrigen lediglich auf die Anamnese bezieht (vgl. Bericht vom 30. Juni 2014, Ziff. 1.4 S. 2), für die Beurteilung der Arbeitsfähigkeit nicht relevant.
3.2.2. Wenn die Beschwerdeführerin sodann auf die Stellungnahmen ihres Hausarztes Dr. med. C._ (Berichte vom 30. Juli und 7. Oktober 2014 sowie vom 4. Mai und 30. September 2015) abstellen will, dringt sie ebenfalls nicht durch: Die Vorinstanz hat einlässlich begründet, weshalb die hausärztlichen Berichte an der Beweiskraft des Berichts des Spitals B._ nichts ändern (E. 3.1 vorne). Dies gilt insbesondere für die Stellungnahmen des Dr. med. C._ vom 4. Mai und 30. September 2015, zumal daraus - wie die Beschwerdeführerin selber einräumt - lediglich eine (leichte) Verbesserung ihres Gesundheitszustands hervorgeht. Überdies ist im Normalfall der Sachverhalt zu beurteilen, wie er sich bis zum Verfügungszeitpunkt (hier: 8. April 2015) entwickelt hat (<ref-ruling> E. 1b S. 366). Den vorinstanzlichen Erwägungen ist in diesem Zusammenhang nichts beizufügen. Bei Dr. med. C._ handelt es sich ausserdem - im Unterschied zu den Ärzten des Spitals B._ - um einen Allgemeinmediziner und nicht um einen Facharzt für Neurologie, was die Beweiswürdigung des kantonalen Gerichts stützt (zur Erforderlichkeit einer fachärztlichen Qualifikation vgl. Urteil 9C_1015/2012 vom 16. August 2013 E. 1.2.2 mit Hinweis auf Urteil 9C_736/2009 vom 26. Januar 2010 E. 2.1).
3.2.3. Die Vorinstanz hat mithin in Bezug auf den geltend gemachten Trainingsaufwand - worin die Beschwerdeführerin eine zusätzliche Einschränkung ersieht - willkürfrei (E. 1 vorne) festgestellt, das Aufbau- und Trainingsprogramm tangiere die medizinisch-theoretische Arbeitsfähigkeit nicht. Die Beschwerdeführerin verkennt insbesondere, dass es sich hierbei um eine Fragestellung rein tatsächlicher Natur handelt (E. 3.2); diese ist einer Überprüfung durch das Bundesgericht grundsätzlich entzogen (E. 1 vorne). Im Übrigen ist eine Beweiswürdigung nicht bereits dann willkürlich (zum Begriff der Willkür: <ref-ruling> E. 2.1 S. 18 f. mit Hinweisen), wenn eine andere Lösung ebenfalls vertretbar erscheint oder gar vorzuziehen wäre, sondern erst dann, wenn der Entscheid offensichtlich unhaltbar ist, zur tatsächlichen Situation in klarem Widerspruch steht oder auf einem offenkundigen Fehler beruht (<ref-ruling> E. 2b S. 56, 135 V 2 E. 1.3 S. 4 f.). So verhält es sich hier nicht, zumal die Versicherte nicht in Abrede stellt, dass die therapeutischen Massnahmen mit Blick auf die Schadenminderungspflicht in die arbeitsfreie Zeit verlegt werden können.
3.2.4. Soweit die Beschwerdeführerin schliesslich vorbringt, ihre Gehbehinderung wirke sich auf die Erreichbarkeit einer Arbeitsstelle aus bzw. verlängere den Arbeitsweg, legt sie nicht (substantiiert) dar, inwiefern dieser Umstand die medizinisch-theoretische Arbeitsfähigkeit beeinflussen oder zu einer Verringerung des Invalideneinkommens führen soll (zur Invalidenversicherung als reine Erwerbsausfallversicherung vgl. <ref-ruling> E. 3.4.1 S. 60). Die Einschränkungen in der Fortbewegung sind im Belastungsprofil des Spitals B._ berücksichtigt (vgl. E. 3.2.1 vorne). Von einer Diskriminierung gegenüber nicht invaliden Erwerbstätigen, wie sie die Versicherte weiter geltend macht, kann nicht die Rede sein, zumal die betreffende Rüge den qualifizierten Begründungsanforderungen (vgl. Art. 106 Abs. 2 BGG) nicht genügt.
3.3. Nach dem Gesagten ist nicht ersichtlich, inwiefern die vorinstanzlichen Feststellungen offensichtlich unrichtig (unhaltbar, willkürlich) sind oder auf einer Rechtsverletzung beruhen; sie bleiben für das Bundesgericht verbindlich (E. 1 vorne). Eine Verletzung des Untersuchungsgrundsatzes liegt nicht vor (Art. 43 Abs. 1 und 61 lit. c ATSG); der Verzicht auf weitere Abklärungen erfolgte in zulässiger antizipierender Beweiswürdigung (<ref-ruling> E. 5.3 S. 236; <ref-ruling> E. 5.3 S. 148; <ref-ruling> E. 4b S. 94).
3.4.
3.4.1. Die Beschwerdeführerin rügt, die Vorinstanz habe den Rentenbeginn zu Unrecht erst auf den 1. Januar 2015 festgelegt. Mit Blick auf ihre Anmeldung zum Bezug von Hilfsmitteln vom 9. Dezember 2013 sei vielmehr bereits ab 1. Juni 2014 ein Rentenanspruch gegeben.
3.4.2. Das kantonale Gericht hat gestützt auf den Bericht des Spitals B._ vom 30. Juni 2014 für das Bundesgericht verbindlich (vgl. E. 1 vorne) festgestellt, der Versicherten sei (mindestens) seit 1. Januar 2014 in ihrer bisherigen Tätigkeit eine 40%ige Arbeitsunfähigkeit attestiert worden; bis zum 31. Januar 2015 habe in der Folge eine durchschnittliche Arbeitsunfähigkeit von 40 % bestanden. Die Beschwerdeführerin legt demgegenüber weder (substantiiert) dar noch ist aufgrund der medizinischen Akten ersichtlich, dass bereits vor Januar 2014 eine Arbeitsunfähigkeit von mindestens 40 % vorlag, die während eines Jahres ohne wesentlichen Unterbruch angehalten hätte (vgl. Art. 28 Abs. 1 lit. b IVG). Der Rentenanspruch konnte insoweit - mit Blick auf den Umstand, dass sich die Versicherte im Mai 2014 (rechtzeitig) für "berufliche Integration/Rente" anmeldete (vgl. Art. 29 Abs. 1 IVG) - so oder anders erst im Januar 2015 entstehen. Ob die Anmeldung zum Bezug von Hilfsmitteln vom 9. Dezember 2013 massgeblich ist, kann vor diesem Hintergrund dahingestellt bleiben.
4.
4.1. Für die Bestimmung des Invaliditätsgrades bei Erwerbstätigen wird das Erwerbseinkommen, das die versicherte Person nach Eintritt der Invalidität und nach Durchführung der medizinischen Behandlung und allfälliger Eingliederungsmassnahmen durch eine ihr zumutbare Tätigkeit bei ausgeglichener Arbeitsmarktlage erzielen könnte, in Beziehung gesetzt zum Erwerbseinkommen, das sie erzielen könnte, wäre sie nicht invalid geworden (Art 16 ATSG).
Der Einkommensvergleich hat in der Regel in der Weise zu erfolgen, dass die beiden hypothetischen Erwerbseinkommen ziffernmässig möglichst genau ermittelt und einander gegenübergestellt werden, worauf sich aus der Einkommensdifferenz der Invaliditätsgrad bestimmen lässt. Insoweit die fraglichen Erwerbseinkommen ziffernmässig nicht genau ermittelt werden können, sind sie nach Massgabe der im Einzelfall bekannten Umstände zu schätzen und die so gewonnenen Annäherungswerte miteinander zu vergleichen. Wird eine Schätzung vorgenommen, so muss diese nicht unbedingt in einer ziffernmässigen Festlegung von Annäherungswerten bestehen. Vielmehr kann auch eine Gegenüberstellung blosser Prozentzahlen genügen. Das ohne Invalidität erzielbare hypothetische Erwerbseinkommen ist alsdann mit 100 % zu bewerten, während das Invalideneinkommen auf einen entsprechend kleineren Prozentsatz veranschlagt wird, so dass sich aus der Prozentdifferenz der Invaliditätsgrad ergibt (sogenannter Prozentvergleich; <ref-ruling> E. 3a S. 312 f.). Der Prozentvergleich bietet sich somit namentlich an, wenn Validen- und Invalideneinkommen ausgehend vom gleichen Tabellenlohn zu berechnen sind. Diesfalls erübrigt sich deren genaue Ermittlung: Der Invaliditätsgrad entspricht dem Grad der Arbeitsunfähigkeit, dies unter Berücksichtigung eines allfälligen Abzugs vom Tabellenlohn (Urteil 8C_628/2015 vom 6. April 2016 E. 5.3.5 mit Hinweisen).
4.2. Die Frage nach der im Einzelfall anwendbaren Methode der Invaliditätsbemessung (Einkommensvergleich mit den Untervarianten Schätzungs- und Prozentvergleich sowie ausserordentliches Bemessungsverfahren, Betätigungsvergleich, gemischte Methode) ist eine vom Bundesgericht frei überprüfbare Rechtsfrage (Urteile 9C_508/2014 vom 16. Oktober 2014 E. 2; 8C_25/2010 vom 21. Mai 2010 E. 4.2.2).
4.3. Das kantonale Gericht hat erwogen, nachdem die angestammte Tätigkeit der Versicherten gemäss dem Bericht des Spitals B._ vom 30. Juni 2014 einer optimal behinderungsangepassten entspreche, könne zur Bestimmung des Validen- und Invalideneinkommens auf denselben (Tabellen-) Lohn abgestellt werden. Ein ziffernmässiger Einkommensvergleich erübrige sich. Das ohne Invalidität erzielbare hypothetische Einkommen sei mit 100 % zu bewerten, während das Invalideneinkommen auf 60 % veranschlagt werde, sodass sich aus der Prozentdifferenz der Invaliditätsgrad von 40 % (100 % - 60 %) ergebe.
4.4.
4.4.1. Die Beschwerdeführerin macht geltend, die Voraussetzungen für einen Prozentvergleich seien nicht gegeben. Insbesondere dürfe der Invaliditätsgrad nur dann durch einen solchen ermittelt werden, wenn sich die Vergleichseinkommen nicht hinreichend genau bestimmen liessen. Dies sei zumindest in Bezug auf das Valideneinkommen, das die IV-Stelle auf Fr. 82'457.- festgelegt habe, nicht der Fall. Ferner genüge es bei der konkreten Sachlage nicht, wenn das Invalideneinkommen bloss pauschal festgestellt werde; dafür seien vielmehr die konkreten Fakten zu berücksichtigen.
4.4.2. Der zuletzt erzielte Verdienst der Versicherten als Buchhaltungssachbearbeiterin in Italien kann unbestritten nicht als rechnerische Grundlage dienen (vgl. dazu <ref-ruling> E. 4.3.1 S. 224 mit Hinweisen; SVR 2016 UV Nr. 13 S. 39, 8C_215/2015 E. 4.2; 2013 UV Nr. 4 S. 13, 8C_145/2012 E. 3.1). Das Valideneinkommen ist folglich aufgrund der Tabellenlöhne der vom Bundesamt für Statistik herausgegebenen Lohnstrukturerhebungen (LSE) zu bestimmen.
Mit Blick auf das Invalideneinkommen hat die Vorinstanz verbindlich (vgl. E. 1 vorne) festgestellt, dem Bericht des Spitals B._ vom 30. Juni 2014 sei zu entnehmen, dass die Beschwerdeführerin seit dem 31. Januar 2014 für die bisherige Tätigkeit als kaufmännische Angestellte sowie für jede andere Tätigkeit in vorwiegend sitzender Position mit wenig manuellem Kraftaufwand zu 60 % arbeitsfähig sei. In der Tat wirken sich die konkreten Einschränkungen der Versicherten (wenig Druck/Kraft in den Händen und Fingern, Gehen und Stehen deutlich eingeschränkt) nach der fachärztlichen Einschätzung der Ärzte des Spitals B._ in einer angepassten Tätigkeit gleich aus wie in der zuletzt ausgeübten Tätigkeit; die zeitliche Belastbarkeit beträgt seit Ende Januar 2014 so oder anders ca. sechs Stunden (vgl. Bericht vom 30. Juni 2014, S. 3 und 5). Inwiefern die Versicherte in einer Alternativtätigkeit ein höheres Invalideneinkommen erzielen könnte, ist nicht ersichtlich und wird in der Beschwerde auch nicht (substantiiert) dargetan. Mit anderen Worten ist bzw. wäre die Beschwerdeführerin in der angestammten Tätigkeit als (Buchhaltungs-) Sachbearbeiterin bestmöglich eingegliedert (vgl. SVR 2013 IV Nr. 29, 8C_32/2013 E. 4; Urteil 9C_225/2016 vom 14. Juli 2016 E. 6.2.2 mit Hinweisen). Der Einwand der Versicherten, angesichts der umschriebenen Limiten, namentlich der Einschränkung der Handkraft auf Gewichte bis höchstens 250g, sei eine Tätigkeit als Sekretärin nicht mehr zumutbar, betrifft (erneut) einzig die vorinstanzliche Beweiswürdigung (vgl. E. 3.3 vorne). Darauf ist nicht mehr einzugehen. Ebenso wenig kann die Beschwerdeführerin aus dem Urteil 9C_508/2014 vom 16. Oktober 2014 etwas zu ihren Gunsten ableiten: Der dort beurteilte Sachverhalt unterscheidet sich insofern und entscheidend vom hier gegebenen, als die angestammte Tätigkeit für die versicherte Person "eine schlechte Passung" darstellte (so das Bundesgericht wörtlich in E. 4), wovon in concreto nicht ausgegangen werden kann. Die vorinstanzliche Schlussfolgerung, dass die angestammte einer optimal behinderungsangepassten Tätigkeit entspricht, ist bundesrechtskonform. Somit darf für das Validen- und das Invalideneinkommen derselbe Tabellenlohn herangezogen werden; ein ordentlicher Einkommensvergleich erübrigt sich (vgl. E. 4.1 Abs. 2 vorne).
4.4.3. Nach dem Gesagten bedeutet der Umstand, dass das kantonale Gericht einen Prozentvergleich vorgenommen und nicht näher geprüft hat, wie sich die gesundheitlich bedingten Einschränkungen in einem ausgeglichenen Arbeitsmarkt auswirken (vgl. Art. 16 ATSG), keinen Rechtsfehler. Entgegen der Auffassung der Beschwerdeführerin hat sich die Vorinstanz auch mit dem Abzug vom Tabellenlohn (vgl. <ref-ruling> E. 5.2 S. 301; <ref-ruling> E. 5b/aa-cc S. 80) einlässlich auseinandergesetzt und einen solchen zu Recht verneint. Die Beschwerde ist unbegründet.
5.
Auf die Erhebung von Gerichtskosten wird umständehalber verzichtet (Art. 66 Abs. 1 Satz 2 BGG). Im Übrigen kann dem Gesuch der Beschwerdeführerin um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege entsprochen werden (Art. 64 BGG; <ref-ruling> E. 4a S. 202). Es wird indessen ausdrücklich auf Art. 64 Abs. 4 BGG hingewiesen, wonach die begünstigte Partei der Bundesgerichtskasse Ersatz zu leisten hat, wenn sie später dazu in der Lage ist.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen.
2.
Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege wird gutgeheissen, soweit es nicht gegenstandslos geworden ist, und es wird der Beschwerdeführerin Rechtsanwalt Michael Ausfeld als Rechtsbeistand beigegeben.
3.
Es werden keine Gerichtskosten erhoben.
4.
Rechtsanwalt Michael Ausfeld wird aus der Bundesgerichtskasse eine Entschädigung von Fr. 2'800.- ausgerichtet.
5.
Dieses Urteil wird den Parteien, dem Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich und dem Bundesamt für Sozialversicherungen schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 27. Januar 2017
Im Namen der II. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Pfiffner
Der Gerichtsschreiber: Grünenfelder