Sachverhalt:
A.
Mit Verfügung vom 26. November 2015 verneinte die IV-Stelle Luzern u.a. gestützt auf die Stellungnahmen des Dr. med. B._, FMH für Psychiatrie und Psychotherapie, vom regionalen ärztlichen Dienst (RAD) vom 7. März 2013 und 22. Dezember 2014 sowie den Abklärungsbericht Haushalt vom 7. September 2015 den Anspruch der A._ auf eine Rente der Invalidenversicherung. Die Invaliditätsbemessung erfolgte nach der gemischten Methode (Anteile Erwerbstätigkeit und Haushalt: 0,7/0,3).
B.
Die Beschwerde der A._ wies das Kantonsgericht Luzern, 3. Abteilung, mit Entscheid vom 18. Mai 2016 ab.
C.
Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten beantragt A._, der Entscheid vom 18. Mai 2016 und die Verfügung vom 26. November 2015 seien aufzuheben, und es sei ihr rückwirkend ab 1. April 2009 eine Invalidenrente zuzusprechen, unter Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege.
Die IV-Stelle Luzern ersucht um Abweisung der Beschwerde. Das Bundesamt für Sozialversicherungen (BSV) äussert sich in seiner Vernehmlassung in der Sache, ohne einen Antrag zu stellen.
In ihren Bemerkungen vom 17. Oktober 2016 nimmt A._ Stellung zu den Ausführungen der Aufsichtsbehörde betreffend das Urteil des Europäischen Gerichtshofs für Menschenrechte (EGMR) vom 2. Februar 2016 in Sachen Di Trizio gegen die Schweiz (7186/09).

Erwägungen:
1.
1.1. Die Beschwerdeführerin hat einen nach Erlass des angefochtenen Entscheids erstellten ärztlichen Bericht vom 21. Juni 2016 eingereicht. Dabei handelt es sich um ein echtes Novum, das ausser Betracht zu bleiben hat (<ref-law>; <ref-ruling> E. 3.2.2.2 S. 548).
1.2. Der Beschwerdeführerin ist mit Verfügung vom 30. September 2016 Gelegenheit gegeben worden, im Rahmen des Replikrechts allfällige Bemerkungen zu den Vernehmlassungen der Verfahrensbeteiligten zu machen, wozu ihr Frist bis 13. Oktober 2016 gesetzt wurde. Ihre Eingabe vom 17. Oktober 2016 ist somit verspätet und daher unbeachtlich.
2.
Mit der Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann unter anderem die Verletzung von Bundesrecht gerügt werden (<ref-law>). Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (<ref-law>). Es kann die Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz auf Rüge hin oder von Amtes wegen berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von Artikel 95 beruht, und wenn die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein kann (<ref-law>; vgl. auch <ref-law>). Eine solche Verletzung von Bundesrecht stellt namentlich die unvollständige (gerichtliche) Feststellung der rechtserheblichen Tatsachen dar (<ref-ruling> E. 2 S. 25) oder wenn der angefochtene Entscheid eine entscheidwesentliche Tatfrage, im Streit um eine Rente der Invalidenversicherung namentlich Gesundheitszustand und Arbeitsfähigkeit einer versicherten Person, auf unvollständiger Beweisgrundlage beantwortet (Urteil 9C_292/2014 vom 3. September 2014 E. 3; vgl. auch <ref-ruling> E. 3.5 S. 88). Die vorinstanzliche Beweiswürdigung ist lediglich auf Willkür hin überprüfbar (Urteil 4A_67/2014 vom 4. März 2015 E. 2.2, in: SVR 2015 KV Nr. 19 S. 73).
3.
Streitgegenstand bildet der von der Vorinstanz und zuvor schon von der Beschwerdegegnerin verneinte Anspruch der Beschwerdeführerin auf eine Rente der Invalidenversicherung.
4.
Das Kantonsgericht hat in Anwendung der gemischten Methode der Invaliditätsbemessung (<ref-law>; <ref-ruling> E. 3.1.3 und E. 3.2 S. 338) einen nicht anspruchsbegründenden Invaliditätsgrad von 39 % (0,7 x 55,18 % + 0,3 x 0,95 %; zum Runden <ref-ruling>; <ref-law>) ermittelt. Die Beschwerdeführerin bringt dagegen vor, sie sei als im Gesundheitsfall Vollerwerbstätige zu betrachten; demzufolge sei der Invaliditätsgrad durch Einkommensvergleich (<ref-law> i.V.m. <ref-law>) zu bestimmen. Abgesehen davon sei im Urteil des EGMR, Zweite Kammer, vom 2. Februar 2016 in Sachen Di Trizio gegen die Schweiz (7186/09) die gemischte Methode als diskriminierend erachtet worden. Weiter sei davon auszugehen, dass sie gesundheitlich bedingt vollständig arbeitsunfähig sei. Die Feststellung des Kantonsgerichts, wonach ihr ein Arbeitspensum von 34 % (täglich vier Stunden bei einer Leistungsfähigkeit von 70 %) zumutbar sei, beruhe auf willkürlicher Beweiswürdigung.
5.
5.1. Mit Bezug auf den invalidenversicherungsrechtlichen Status (voll-, teil- oder nichterwerbstätig mit oder ohne Aufgabenbereich) qualifiziert sich als grundsätzlich frei überprüfbare Rechtsfrage, ob die Festlegung nach den massgeblichen Gesichtspunkten erfolgte (vgl. zu diesen: <ref-ruling> E. 2c S. 150; Urteil 8C_78/2016 vom 26. August 2016 E. 4.2). Dagegen ist die Festsetzung des Umfangs der Erwerbstätigkeit im Gesundheitsfall, soweit sie auf einer Würdigung konkreter Umstände und hypothetischer Geschehensabläufe beruht und sich nicht ausschliesslich auf die allgemeine Lebenserfahrung oder auf arbeitsmarktliche Empirie stützt, eine Tatfrage, welche der eingeschränkten Kognition unterliegt (Urteile 9C_179/2016 vom 11. August 2016 E. 4.2.2 und 9C_915/2012 vom 15. Mai 2013 E. 4.1).
5.2.
5.2.1. Das Kantonsgericht hat zur Statusfrage erwogen, die Beschwerdeführerin habe gegenüber der Abklärungsperson Haushalt angegeben, sie würde ohne gesundheitliche Einschränkungen im zeitlichen Umfang von 70 % als... erwerbstätig sein. Ihre Angaben seien im Abklärungsbericht vom 7. September 2015 festgehalten worden. Mit Visum vom 29. September 2015 habe sie bestätigt, das Dokument gelesen zu haben, ohne diesbezügliche Korrekturen vorgenommen zu haben. Entgegen ihren Bestreitungen sei die Frage nach der Ausübung einer Erwerbstätigkeit ohne Behinderung und "Wenn ja, in welchem Ausmass?" klar und neutral formuliert gewesen. Darauf sei daher abzustellen, zumal sie auch vor der Geburt ihres zweiten Sohnes nicht in einem 100 %-Pensum tätig gewesen sei.
5.2.2. Die Beschwerdeführerin bringt zur Hauptsache vor, die (Status-) Frage nach dem Ausmass einer ohne Behinderung ausgeübten Erwerbstätigkeit sei für die meisten Menschen namentlich bei sprachlichen Verständigungsschwierigkeiten ein kompliziertes akademisches Denkkonstrukt, welches sie weder anlässlich der Abklärung vor Ort noch bei Unterzeichnung des Abklärungsberichts zu vollbringen vermocht hätte. Damit vermag sie indessen nicht aufzuzeigen, inwiefern die Vorinstanz offensichtlich unrichtige tatsächliche Feststellungen getroffen haben soll, noch kann ihr darin gefolgt werden, die Formulierung im Abklärungsbericht, wonach sie "berichtet, ohne gesundheitliche Einschränkungen würde sie heute mit einem 70 % Arbeitspensum als... tätig sein", sei unklar oder missverständlich. Im Übrigen lebt die Beschwerdeführerin seit ihrem 10. Altersjahr in der Schweiz, wo sie Primar- und Realschule besuchte sowie die Ausbildung zur Kosmetikerin absolvierte. Der weitere Einwand der Beschwerdeführerin, die Vorinstanz habe es in Verletzung des Untersuchungsgrundsatzes unterlassen, ihre persönliche Situation zu prüfen, ist sodann unbegründet. Insbesondere kann bei Einkünften des Ehemannes von Fr. 45'600.- (12 x Fr. 3'800.-), einem Beitrag des älteren Sohnes von Fr. 4'200.- (12 x Fr. 350.-) an die Haushaltskosten sowie einem eigenen Lohn von Fr. 37'097.- bei einem Arbeitspensum von 70 % in der zuletzt ausgeübten Tätigkeit (Fragebogen für Arbeitgebende vom 30. September 2008) allein nicht von finanzieller Notwendigkeit einer Vollerwerbstätigkeit gesprochen werden.
6.
6.1. Einem ärztlichen Bericht kommt Beweiswert zu, wenn er für die streitigen Belange umfassend ist, auf allseitigen Untersuchungen beruht, auch die geklagten Beschwerden berücksichtigt, in Kenntnis der Vorakten (Anamnese) abgegeben worden ist, in der Beurteilung der medizinischen Zusammenhänge und der medizinischen Situation einleuchtet und wenn die Schlussfolgerungen des Arztes begründet sind (<ref-ruling> E. 5.1 S. 232). Nach der Rechtsprechung ist es zulässig, im Wesentlichen oder einzig auf versicherungsinterne medizinische Unterlagen abzustellen. In solchen Fällen sind an die Beweiswürdigung jedoch strenge Anforderungen in dem Sinne zu stellen, dass bei auch nur geringen Zweifeln an der Zuverlässigkeit und Schlüssigkeit der ärztlichen Feststellungen ergänzende Abklärungen vorzunehmen sind (<ref-ruling> E. 5.2 S. 229; <ref-ruling> E. 1d S. 162; Urteil 9C_558/2016 vom 4. November 2016 E. 6.1).
6.2. Das Kantonsgericht hat der Beurteilung des RAD-Psychiaters Dr. med. B._ vom 22. Dezember 2014 Beweiswert zuerkannt und vollumfänglich darauf abgestellt, da auch nicht geringe Zweifel an deren Zuverlässigkeit und Schlüssigkeit bestünden. Die Beschwerdeführerin rügt sinngemäss, dieses Ergebnis finde keine genügende Stütze in den Akten bzw. werde durch die ihm zugrunde liegenden Feststellungen im angefochtenen Entscheid nicht hinreichend getragen.
6.2.1. Die Vorinstanz hat festgestellt, Dr. med. B._ habe im Bericht vom 7. März 2013 eine chronifizierte schwere Depression (ICD-10 F32.2) sowie eine chronifizierte Schmerzstörung mit somatischen und psychischen Faktoren (ICD-10 F45.41) diagnostiziert. Weiter habe er festgehalten, seit rund 2011 stünden nicht mehr die Schmerzen im Vordergrund, sondern die schwere Depression. Es bestehe eine volle Arbeitsunfähigkeit für jede Art von Tätigkeit im ersten Arbeitsmarkt sowie eine Einschränkung im Haushalt von rund 20 %. In Kenntnis des Berichts vom 14. Mai 2014 über die Observation der Versicherten im Zeitraum von Juli 2013 bis März 2014 habe der RAD-Psychiater in seiner Beurteilung vom 22. Dezember 2014 den Schweregrad etwas nach unten korrigiert, da sich die Resultate der Abklärung nicht mit einer anhaltenden schweren Depression vereinbaren liessen. Er habe nunmehr die Diagnosen einer chronifizierten depressiven Episode (ICD-10 F32.1/2), mittelgradig bis schwer ausgeprägt, sowie einer chronifizierten Schmerzstörung mit somatischen und psychischen Faktoren (ICD-10 F45.41) gestellt. Die Versicherte sei aus medizinisch-theoretischer Sicht fähig, rund zwei Mal zwei Stunden im Tag in der angestammten oder einer anderen angepassten Tätigkeit zu arbeiten. Dabei bestehe eine zusätzliche Leistungsminderung von rund 30 %.
Die neuere Beurteilung des RAD-Psychiaters sei, so das Kantonsgericht weiter, angesichts der Observationsergebnisse nachvollziehbar. Danach scheine die Beschwerdeführerin trotz angegebenen Konzentrationsschwierigkeiten in der Lage zu sein, auch auf verkehrsreichen und daher anspruchsvollen Strassen zu fahren. Ebenfalls tätige sie Grosseinkäufe, bringe ihren Sohn ins Fussballtraining und sie besuche ihre Mutter. Dieses Aktivitätsniveau deute nicht auf eine chronische schwere Depression und ebenso wenig auf eine 100 %ige Arbeitsunfähigkeit hin. Die chronische Schmerzstörung habe im Übrigen keinen Einfluss auf die Arbeitsfähigkeit, was unbestritten sei.
6.2.2. Die Beschwerdeführerin bringt u.a. vor, Dr. med. B._ nenne keine Befunde, welche die angebliche Restarbeitsfähigkeit objektivieren würden. Dieser Einwand ist im folgenden Sinne stichhaltig: Wie auch die Vorinstanz festgestellt hat, erhob Dr. med. B._ anlässlich der Untersuchung vom 17. Dezember 2014 im Wesentlichen dieselben Befunde wie am 28. Februar 2013, bei insgesamt glaubhafter Schilderung der depressiven Beschwerden und der darauf beruhenden erheblichen funktionellen Einschränkungen, ohne Hinweise auf eine erhebliche Aggravation. Unter diesen Umständen und mit Blick auf die Bedeutung des psychopathologischen Befundes für die Quantifizierung der Auswirkungen der Erkrankung auf die Arbeitsfähigkeit (Urteil 9C_634/2015 vom 15. März 2016 E. 6.1 mit Hinweisen) interessierte, inwiefern der Schweregrad der Symptomatik anders zu beurteilen war als bei der ersten Untersuchung im Februar 2013, wozu sich die Vorinstanz nicht geäussert hat.
Im Bericht vom 7. März 2013 hatte Dr. med. B._ alle Symptome gemäss den ICD-Kriterien für eine Depression als erfüllt bezeichnet. Demgegenüber schaute er im Bericht vom 22. Dezember 2014 das Symptom "Veränderung des Appetits mit entsprechender Gewichtsveränderung" nicht als erfüllt an. Die Versicherte hatte angegeben, keine Lust auf Essen zu haben. Trotzdem sei das Gewicht unter... etwas gestiegen, was eine typische Nebenwirkung dieses Medikamentes sei. Abgesehen davon, dass diese Begründung, weshalb das betreffende Symptom nicht als erfüllt zu betrachten war, nicht restlos zu überzeugen vermag, ist jedenfalls schwer nachvollziehbar, dass allein deshalb nicht mehr volle Arbeitsunfähigkeit bestehen, sondern ein erwerbliches Arbeitspensum von immerhin 34 % zumutbar sein soll.
6.3. Nach dem Gesagten bestehen nicht geringe Zweifel an der Schlüssigkeit der RAD-ärztlichen Beurteilung vom 22. Dezember 2014, sodass nicht ohne weiteres darauf abgestellt werden kann (E. 6.1 hiervor). Ebenso erlauben die übrigen medizinischen Unterlagen nicht, die Arbeitsfähigkeit der Beschwerdeführerin (zeitlicher Umfang und Belastungsprofil) in zuverlässiger Weise einzuschätzen. Der angefochtene Entscheid beruht somit in einem wesentlichen Punkt auf unvollständiger Beweisgrundlage (E. 2 hiervor). Die Vorinstanz wird ein fachärztliches Gutachten einzuholen haben und danach über den Rentenanspruch der Versicherten neu entscheiden. Bei diesem Ergebnis erübrigen sich Weiterungen zur bestrittenen Anwendung der gemischten Methode nach der bisherigen Praxis.
7.
Ausgangsgemäss hat die Beschwerdegegnerin die Gerichtskosten zu tragen (<ref-law>) und der Beschwerdeführerin eine Parteientschädigung zu bezahlen (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird teilweise gutgeheissen. Der Entscheid des Sozialversicherungsgerichts des Kantons Zürich vom 18. Mai 2016 wird aufgehoben und die Sache zu neuer Entscheidung im Sinne der Erwägungen an dieses zurückgewiesen.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 800.- werden der Beschwerdegegnerin auferlegt.
3.
Die Beschwerdegegnerin hat die Beschwerdeführerin für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 2'800.- zu entschädigen.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien, dem Kantonsgericht Luzern, 3. Abteilung, und dem Bundesamt für Sozialversicherungen schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 16. Dezember 2016
Im Namen der II. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Glanzmann
Der Gerichtsschreiber: Fessler