Sachverhalt:
A.
A.A._ (geb. 1949) und seine Ehefrau B.A._ (geb. 1954) sind pakistanische Staatsangehörige. Ihre vier Kinder (drei Söhne und eine Tochter) sind volljährig und leben seit mehreren Jahren in der Schweiz.
Am 18. September 2014 erlitt A.A._ bei einem Verkehrsunfall in Pakistan ein Schädel-Hirn-Trauma, welches bleibende gesundheitliche Schäden hinterliess. Am 23. November 2014 reisten die Eheleute A._ mit einem bis zum 11. Januar 2015 befristeten Besuchervisum in die Schweiz ein. Hier ersuchten sie am 17. Dezember 2014 um Erteilung einer Aufenthaltsbewilligung. Mit Verfügung vom 12. Januar 2015 teilte ihnen das Migrationsamt des Kantons Thurgau (hiernach: Migrationsamt) mit, dass sie den Entscheid über ihr Gesuch nicht in der Schweiz abwarten dürften, und forderte sie auf, die Schweiz zu verlassen. Die dagegen erhobenen Rechtsmittel wurden abgewiesen.
B.
Mit Verfügung vom 17. September 2015 wies das Migrationsamt das Gesuch der Eheleute A._ um Erteilung einer Aufenthaltsbewilligung ab, wobei es einem allfälligen Rekurs die aufschiebende Wirkung entzog. Gegen diese Verfügung rekurrierten die Eheleute A._ beim Departement für Justiz und Sicherheit, welches mit Zwischenentscheid vom 8. Oktober 2015 die Eheleute A._ für berechtigt erklärte, sich bis zu einem anders lautenden Entscheid des Departements im Kanton Thurgau aufzuhalten. Mit Entscheid vom 9. März 2016 wies das Departement den Rekurs der Eheleute A._ ab. Die dagegen erhobene Beschwerde wies das Verwaltungsgericht des Kantons Thurgau mit Urteil vom 21. September 2016 ebenfalls ab.
C.
Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten beantragen die Eheleute A._ die Aufhebung des vorinstanzlichen Urteils. Es sei ihnen eine Aufenthaltsbewilligung zu erteilen.
Das Migrationsamt, das Departement für Justiz und Sicherheit sowie das Verwaltungsgericht des Kantons Thurgau beantragen die Abweisung der Beschwerde. Das Staatssekretariat für Migration (SEM) hat auf Vernehmlassung verzichtet.
Mit Präsidialverfügung vom 4. Januar 2017 wurde der Beschwerde antragsgemäss aufschiebende Wirkung erteilt.

Erwägungen:
1.
Das Bundesgericht prüft von Amtes wegen und mit freier Kognition, ob ein Rechtsmittel zulässig ist (<ref-ruling> E. 1).
1.1. Auf dem Gebiet des Ausländerrechts ist die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten gegen Entscheide betreffend ausländerrechtliche Bewilligungen nur zulässig, wenn das Bundesrecht oder das Völkerrecht einen Anspruch auf die Bewilligung einräumt (<ref-law> e contrario). Für das Eintreten genügt, wenn die betroffene Person in vertretbarer Weise dartut, dass potenziell ein solcher Anspruch besteht (<ref-ruling> E. 1.1 S. 332 mit Hinweisen).
1.2. Das Ausländergesetz (AuG; SR 142.20) gewährt Drittstaatsangehörigen grundsätzlich keinen Anspruch auf Familiennachzug, wenn sie nicht Teil der Kernfamilie sind, deren schweizerische oder niedergelassene Mitglieder ihnen dieses Recht vermitteln (Art. 42 ff. AuG). Als pakistanische Staatsangehörige können die Beschwerdeführer, die ein Aufenthaltsrecht bei ihren erwachsenen Kindern in der Schweiz geltend machen, aus den gesetzlichen Bestimmungen über den Familiennachzug keinen Anspruch ableiten. Sie berufen sich indessen auf das Recht auf Achtung des Familienlebens nach Art. 8 Ziff. 1 EMRK. Sie machen geltend, dass der Beschwerdeführer aufgrund seiner unfallbedingt erlittenen schweren Hirnverletzung und den damit verbundenen neurokognitiven Defiziten auf die Hilfe seiner in der Schweiz lebenden Kinder angewiesen sei (besonderes Abhängigkeitsverhältnis bei Familienangehörigen ausserhalb der Kernfamilie, vgl. <ref-ruling> E. 3.4.2 S. 159).
1.3. Art. 8 Ziff. 1 EMRK garantiert grundsätzlich keinen Anspruch auf Aufenthalt in einem Konventionsstaat. Es kann aber das in Art. 8 EMRK bzw. <ref-law> geschützte Recht auf Achtung des Privat- und Familienlebens verletzen, wenn einem Ausländer, dessen Familienangehörige hier weilen, die Anwesenheit untersagt und damit das Familienleben vereitelt wird (<ref-ruling> E. 1.3.1 S. 145, 153 E. 2.1 S. 154 f.). Vorausgesetzt wird nach ständiger bundesgerichtlicher Rechtsprechung, dass der sich hier aufhaltende Angehörige über ein gefestigtes Anwesenheitsrecht verfügt, was der Fall ist, wenn er das Schweizer Bürgerrecht oder eine Niederlassungsbewilligung bzw. eine Aufenthaltsbewilligung besitzt, die ihrerseits auf einem gefestigten Rechtsanspruch beruht (<ref-ruling> E. 1.3.1 S. 145 f.; <ref-ruling> E. 3.1 S. 285 f.).
1.4. Die Beschwerdeführer können als Eltern ihrer vier in der Schweiz anwesenheitsberechtigten Kinder, von denen drei die Schweizer Staatsbürgerschaft besitzen (<ref-law>), grundsätzlich die Garantie von Art. 8 Ziff. 1 EMRK anrufen. Wie im Fall der Berufung auf eine (nur) formell bestehende Ehe ist es keine Eintretensfrage, sondern eine Frage der materiellen Beurteilung, ob die familiäre Beziehung tatsächlich in den Schutzbereich von Art. 8 Ziff. 1 EMRK fällt (vgl. <ref-ruling> E. 1.1 S. 179; <ref-ruling> E. 1b S. 266; Urteil 2C_867/2016 vom 30. März 2017 E. 1.3.2). Damit kommt vorliegend ein Anspruch auf Erteilung einer Aufenthaltsbewilligung potenziell in Betracht. Auch die übrigen Zulässigkeitsvoraussetzungen der Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten (Art. 86 Abs. 1 lit. d und Abs. 2, Art. 90 BGG) sind erfüllt und die Beschwerdeführer zur Beschwerdeführung legitimiert (<ref-law>). Auf die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten ist einzutreten.
2.
Nach der Rechtsprechung bezieht sich der Schutz des Familienlebens nach Art. 8 Ziff. 1 EMRK bzw. <ref-law> in erster Linie auf die Kernfamilie (Ehegatten und minderjährige Kinder; landesrechtlich umgesetzt in Art. 42 ff. AuG). Andere familiäre Beziehungen stehen nur in besonderen Fällen unter dem Schutz dieser Bestimmung. So fällt die Beziehung von Konkubinatspaaren oder Verlobten nur unter qualifizierten Voraussetzungen (stabiles Konkubinat oder gemeinsame Kinder bzw. konkrete Heiratspläne) in den Schutzbereich von Art. 8 Ziff. 1 EMRK (Urteil 2C_867/2016 vom 30. März 2017 E. 2.2 mit Hinweisen). Ausnahmsweise kann auch die Beziehung zwischen Eltern und ihren volljährigen Kindern ein Anwesenheitsrecht verschaffen. Dies ist jedoch nur dann der Fall, wenn ein besonderes Abhängigkeitsverhältnis vorliegt (<ref-ruling> E. 2 S. 14; <ref-ruling> E. 1d und e S. 261; <ref-ruling> E. 2 S. 4 ff.). Ein solches kann sich aus Betreuungs- oder Pflegebedürfnissen bei körperlichen oder geistigen Behinderungen und schwerwiegenden Krankheiten ergeben. Denkbar ist dies etwa bei einem Kind, welches aufgrund einer schweren Behinderung über das Erreichen der Volljährigkeit hinaus auf Betreuung durch seine in der Schweiz anwesenheitsberechtigten Eltern angewiesen ist (vgl. etwa BGE <ref-ruling> E. 2d S. 5 f.; Urteil 2C_546/2013 vom 5. Dezember 2013 E. 4), oder bei einem schwerwiegend erkrankten Elternteil, bei welchem die Betreuung durch ein hier lebendes erwachsenes Kind als unabdingbar erscheint. Erforderlich ist in diesen Fällen, dass die Unterstützung nur von den betreffenden, in der Schweiz anwesenheitsberechtigten Angehörigen geleistet werden kann (vgl. Urteile 2C_867/2016 vom 30. März 2017 E. 2.2; 2C_546/2013 vom 5. Dezember 2013 E. 4.3). Liegt kein derartiges Abhängigkeitsverhältnis vor, ist Art. 8 Ziff. 1 EMRK bzw. <ref-law> durch die Verweigerung einer Bewilligung von vornherein nicht betroffen. Bei anderer Betrachtungsweise würde faktisch ein voraussetzungsloser Anspruch auf Familiennachzug von Angehörigen ausserhalb der Kernfamilie resultieren, welchen der Gesetzgeber mit Art. 42 ff. AuG gerade ausgeschlossen hat (vgl. Urteil 2C_867/2016 vom 30. März 2017 E. 2.2).
3.
3.1. In der Beschwerde wird vorgebracht, entgegen der rechtlichen Würdigung durch die Vorinstanz liege ein Abhängigkeitsverhältnis zwischen dem Beschwerdeführer und seinen vier hier ansässigen erwachsenen Kindern vor. Aufgrund seiner unfallbedingten Hirnverletzung leide der Beschwerdeführer an schweren neurokognitiven Defiziten. Er brauche Pflege und Betreuung. Es sei unerlässlich, dass jemand von der Familie immer in seiner Nähe sei, um seinen Zustand zu überwachen. Nachdem die vier Kinder den Beschwerdeführer nach dem Unfall durch gestaffelte Besuche in Pakistan begleitet hätten, hätten sie nach dessen Einreise in die Schweiz ein engmaschiges und komplexes Betreuungs- und Pflegenetz errichtet. Die betreuenden Familienangehörigen müssten dem Beschwerdeführer die Nahrung darreichen. Seine rechte Hand müsse mit täglichen Hand- und Armübungen behandelt werden, damit sie nicht versteife. Zudem würden die Angehörigen die einzunehmenden Medikamente verabreichen und den Beschwerdeführer bei emotionaler Labilität und psychoseähnlichen aggressiven Ausbrüchen unterstützen. Eine geeignete Betreuung des Beschwerdeführers durch seine Ehefrau sei angesichts ihrer Krebserkrankung kaum möglich. Aufgrund der akzentuierten Hilfsbedürftigkeit der Beschwerdeführer und ihrer hierdurch bedingten aussergewöhnlichen Bindungen zu den hier lebenden Angehörigen müsse von einem qualifizierten Abhängigkeitsverhältnis im Sinne von Art. 8 Ziff. 1 EMRK ausgegangen werden.
3.2. Die Vorinstanz hat die Pflegebedürftigkeit des Beschwerdeführers nicht in Frage gestellt. Ihren auf die Berichte des Hausarztes gestützten Ausführungen lässt sich zusammenfassend entnehmen, dass der Beschwerdeführer an einer "ausgeprägten Restsymptomatik nach schwerer intracranieller Hämorrhagie links temporal mit Hemiplegie" leidet. Er habe bleibende Hirnleistungsdefizite, eine verwaschene Sprache und befinde sich in einem mit Demenz vergleichbaren Zustand. Aufgrund der durch die Hirnverletzung entstandenen Kommunikationsschwierigkeiten halte der Beschwerdeführer oft zusammenhanglose christliche Reden. Er brauche Pflege und Betreuung, vergleichbar mit einem Alzheimer-Patienten, wenn nicht von der Familie, dann in einem Pflegeheim. Er werde mit V._ medikamentös behandelt, auf welches er gut anspreche.
3.3. Das Verwaltungsgericht ist dennoch zum Schluss gekommen, dass zwischen den Beschwerdeführern und ihren in der Schweiz lebenden Kindern bzw. nahen Angehörigen kein besonderes Abhängigkeitsverhältnis im Sinne der bundesgerichtlichen Rechtsprechung ausgewiesen sei. Die medizinische Behandlung des Beschwerdeführers beschränke sich auf die Einnahme des Medikaments V._, welches auch im Heimatland verfügbar sei. Die Gesundheitsversorgung in Pakistan sei zumindest in allen grösseren Städten - und damit auch in U._, wo die Beschwerdeführer vor ihrer Ausreise gelebt hätten - sichergestellt. Die Betreuung und Pflege des Beschwerdeführers müsse nicht zwingend in der Schweiz von den hier lebenden Angehörigen erbracht werden, sondern sei auch in Pakistan durch die Ehefrau, mit Hilfe von Dritten oder von Institutionen gewährleistet. Schliesslich seien die aktuellen Beziehungen während eines rechtswidrigen Aufenthalts der Beschwerdeführer in der Schweiz entstanden.
3.4. Ein Abhängigkeitsverhältnis zwischen Eltern und ihren erwachsenen Kindern wird praxisgemäss nicht leichthin angenommen. Allein das Vorliegen eines Pflege- und Betreuungsbedürfnisses der nachzuziehenden ausländischen Person reicht hierzu noch nicht aus; erforderlich ist zusätzlich, dass die betreffende Pflege und Betreuung unabdingbar von den in der Schweiz anwesenheitsberechtigten Angehörigen erbracht werden muss (vgl. E. 2).
Das Bundesgericht verkennt nicht, dass die Hilfsbedürftigkeit von im Ausland lebenden nahen Angehörigen zur Verstärkung der bestehenden emotionalen Bindungen zu den hier lebenden Familienmitgliedern beitragen kann. Nachvollziehbar ist auch das Anliegen der erwachsenen Kinder, die Pflege und Betreuung ihrer kranken Eltern in der Schweiz zu übernehmen. Dies bedeutet jedoch noch nicht, dass eine angemessene Pflege und Betreuung der Beschwerdeführer ausschliesslich durch die Familie in der Schweiz gewährleistet werden kann.
Dem vorinstanzlichen Urteil lässt sich entnehmen, dass die Beschwerdeführer vor ihrer Ausreise in Pakistan in guten Verhältnissen lebten. Sie sind dort Eigentümer einer dreistöckigen Liegenschaft mit Sanitäranlagen und elektrischer Ausstattung. Gemäss Informationen des SEM, auf welche die Vorinstanz Bezug nimmt, ist die Gesundheitsversorgung in allen grösseren Städten Pakistans - damit auch in U._ - gewährleistet. Das Land verfüge zudem über hochmoderne Privatkliniken. Die Behauptung der Beschwerdeführer, es gebe keine Pflegeeinrichtungen in Pakistan und die Betreuung des Beschwerdeführers könne im Heimatland nicht gewährleistet werden, erscheint somit als wenig glaubhaft. Zweifellos kann es der Ehefrau des Beschwerdeführers nach ihrer Krebsoperation nicht zugemutet werden, die Pflege ihres Ehemannes allein auf sich zu nehmen. Nichts spricht indessen dagegen, dass die Hilfe von Drittpersonen in Anspruch genommen wird. Da sich die vier Kinder der Beschwerdeführer bereit erklärt haben, für ihre Eltern in der Schweiz aufzukommen, sollte es ihnen auch möglich sein, finanziell zur Pflege und Betreuung ihrer Eltern im Heimatland beizutragen, zumal die Lebenshaltungskosten in Pakistan um ein Vielfaches niedriger sind als in der Schweiz. Falls keine geeignete Einrichtung für den Beschwerdeführer gefunden werden kann, wäre somit auch denkbar, dass dieser mit Hilfe der aus der Schweiz geleisteten finanziellen Unterstützung von qualifiziertem Pflegepersonal in Pakistan zu Hause gepflegt und betreut würde.
Insgesamt ist somit die vorinstanzliche Schlussfolgerung nicht zu beanstanden, dass die Pflege und Betreuung der Beschwerdeführer (bzw. vor allem des Beschwerdeführers) auch im Heimatland gewährleistet ist. Bereits aus diesem Grund kann nicht von einem besonderen Abhängigkeitsverhältnis im Sinne der Rechtsprechung ausgegangen werden, womit die Beziehung zwischen den Beschwerdeführern und ihren hier lebenden Kindern nicht in den Schutzbereich von Art. 8 Ziff. 1 EMRK bzw. <ref-law> fällt.
3.5. Zu beachten ist ferner, dass die vier Kinder alle seit Jahren in der Schweiz ansässig sind und bis zur Einreise der Eltern von diesen getrennt lebten. Die aktuelle Betreuungssituation und die damit einhergehende Intensivierung der Beziehung zwischen Eltern und Kindern sind einzig darauf zurückzuführen, dass die Eltern durch ihre Einreise mit einem Besuchervisum und anschliessender Wohnsitznahme in der Schweiz ein fait accompli geschaffen haben. Dieses kann jedoch bei der rechtlichen Beurteilung des Aufenthaltsanspruchs keine Berücksichtigung finden. Ansonsten würden diejenigen benachteiligt, die ordnungsgemäss ein Nachzugsgesuch stellen und sich dabei an die Auflagen der Behörden halten (Urteil 2C_131/2016 vom 10. November 2016 E. 4.5 mit Hinweis). Ob der vom Verwaltungsgericht gegen die Beschwerdeführer gerichtete Vorwurf des Rechtsmissbrauchs zutrifft, kann hierbei offen gelassen werden. Unter dem Aspekt von Art. 8 Ziff. 1 EMRK ist somit unbeachtlich, dass die Beschwerdeführer in den letzten zwei Jahren in der Schweiz geduldet wurden.
3.6. Im Lichte der Rechtsprechung und angesichts der von der Vorinstanz festgestellten Umstände verletzt der angefochtene Entscheid somit weder Bundes- noch Konventionsrecht.
4.
Nach dem Gesagten erweist sich die Beschwerde als unbegründet und ist abzuweisen. Diesem Ausgang entsprechend haben die Beschwerdeführer die Gerichtskosten von Fr. 2'000.-- zu tragen (<ref-law>). Sie haften für den Gesamtbetrag solidarisch (<ref-law>). Parteientschädigungen werden keine zugesprochen (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen.
2.
Die Kosten des bundesgerichtlichen Verfahrens von Fr. 2'000.-- werden unter solidarischer Haftbarkeit den Beschwerdeführern auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten, dem Verwaltungsgericht des Kantons Thurgau und dem Staatssekretariat für Migration schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 23. Juni 2017
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Seiler
Die Gerichtsschreiberin: Petry