Sachverhalt:
A.
Die 1957 geborene A._ war vom 1. Mai 2004 bis zum 31. Mai 2011 zunächst teilzeitlich, ab 1. Februar 2010 in einem Vollzeitpensum beim Verein B._ angestellt und deshalb bei der Vorsorgeeinrichtung des Vereins B._ (nachfolgend: Vorsorgeeinrichtung) für die berufliche Vorsorge versichert.
Im Oktober 2010 meldete sich A._ bei der Invalidenversicherung zum Leistungsbezug an. Nach Abklärungen und Durchführung des Vorbescheidverfahrens ermittelte die IV-Stelle des Kantons Solothurn Arbeitsunfähigkeiten von 50 resp. 20 und 30 % sowie eine entsprechende Einschränkung der Erwerbsfähigkeit von 60 % ab 13. September 2011, von 36 % ab 10. Mai 2012 und von 44 % ab 18. Februar 2014. Folglich sprach sie der Versicherten eine vom 1. September 2011 bis zum 31. August 2012 befristete Dreiviertelsrente und eine (unbefristete) Viertelsrente ab 1. Mai 2014 zu (Verfügungen vom 2. und 10. Oktober 2014). Die Vorsorgeeinrichtung verneinte ihre Leistungspflicht mit der Begründung, die Invalidität sei auf eine bereits vor Mai 2004 bestehende Ursache zurückzuführen.
B.
Mit Klage vom 10. August 2015 liess A._ beantragen, die Vorsorgeeinrichtung sei zu verurteilen, ihr ab 1. August 2011 aufgrund eines Invaliditätsgrades von 60 %, ab 1. September 2012 aufgrund eines Invaliditätsgrades von 36 % und ab 1. Mai 2014 aufgrund eines Invaliditätsgrades von 44 % eine Invalidenrente nebst Verzugszins von 5 % ab Klageeinreichung auszurichten (Ziff. 1 und 3) und sie ab dem frühestmöglichen Zeitpunkt von der Beitragspflicht zu befreien (Ziff. 2).
Das Kantonsgericht Basel-Landschaft hiess die Klage mit Entscheid vom 31. März 2016 teilweise gut. Es verpflichtete die Vorsorgeeinrichtung, A._ mit Wirkung vom 1. August 2011 bis zum 31. August 2012 aufgrund eines Invaliditätsgrades von 60 % eine Rente zuzüglich Zins zu 5 % ab 10. August 2015 zu bezahlen. Im Übrigen wies es die Klage ab. Sodann verpflichtete es die Vorsorgeeinrichtung, A._ eine (reduzierte) Parteientschädigung von Fr. 1'511.80 zu bezahlen.
C.
A._ lässt mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten die Aufhebung des Entscheids vom 31. März 2016 beantragen und die Klagebegehren Ziff. 1 und 3 erneuern. Ferner ersucht sie für das vorinstanzliche Verfahren um eine ungekürzte Parteientschädigung von Fr. 3'023.55.
Die Vorsorgeeinrichtung schliesst auf Abweisung der Beschwerde. Das Bundesamt für Sozialversicherungen verzichtet auf eine Stellungnahme.

Erwägungen:
1.
1.1. Aus der Begründung der Beschwerde ergibt sich, dass die Beschwerdeführerin die Aufhebung resp. Änderung des vorinstanzlichen Entscheids sinngemäss nur insoweit beantragt, als eine Rente ab 1. Mai 2014 verweigert und die Parteientschädigung reduziert worden ist. Gegen die Abweisung ihres Klagebegehrens Ziff. 2 bringt sie nichts vor.
1.2. Mit der Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann u.a. die Verletzung von Bundesrecht gerügt werden (<ref-law>). Die Feststellung des Sachverhalts kann nur gerügt werden, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von Artikel 95 beruht und wenn die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein kann (<ref-law>). Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (<ref-law>). Es kann die Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz von Amtes wegen berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von Artikel 95 beruht (<ref-law>).
1.3. Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (<ref-law>). Es ist folglich weder an die in der Beschwerde geltend gemachten Argumente noch an die Erwägungen der Vorinstanz gebunden; es kann eine Beschwerde aus einem anderen als dem angerufenen Grund gutheissen und es kann sie mit einer von der Argumentation der Vorinstanz abweichenden Begründung abweisen (<ref-ruling> E. 1.4 S. 140). Immerhin prüft das Bundesgericht, unter Berücksichtigung der allgemeinen Begründungspflicht der Beschwerde (Art. 42 Abs. 1 und 2 BGG), grundsätzlich nur die geltend gemachten Rügen, sofern die rechtlichen Mängel nicht geradezu offensichtlich sind (<ref-ruling> E. 1.4.1 S. 254).
2.
2.1. Nach den zutreffenden Erwägungen im angefochtenen Entscheid werden Invalidenleistungen der obligatorischen beruflichen Vorsorge von derjenigen Vorsorgeeinrichtung geschuldet, bei welcher die ansprechende Person bei Eintritt der Arbeitsunfähigkeit, deren Ursache zur Invalidität geführt hat, versichert war (Art. 23 lit. a BVG; <ref-ruling> E. 2.6 S. 17). Dieser Grundsatz findet auch in der weitergehenden Vorsorge Anwendung, wenn - wie hier - Reglement oder Statuten nichts anderes vorsehen (<ref-ruling> E. 3.2 S. 69). Für die Bestimmung der Leistungszuständigkeit ist eine erhebliche und dauerhafte Einbusse an funktionellem Leistungsvermögen im bisherigen Beruf oder Aufgabenbereich massgebend. Diese muss mindestens 20 Prozent betragen (Urteil 9C_142/2016 vom 9. November 2016 E. 3.1 mit Hinweis).
2.2. Ebenfalls korrekt führt die Vorinstanz aus, dass der Anspruch auf Invalidenleistungen einen engen sachlichen und zeitlichen Zusammenhang zwischen der während andauerndem Vorsorgeverhältnis (einschliesslich Nachdeckungsfrist nach Art. 10 Abs. 3 BVG) bestandenen Arbeitsunfähigkeit und der allenfalls erst später eingetretenen Invalidität voraussetzt. Der sachliche Konnex ist gegeben, wenn der Gesundheitsschaden, welcher zur Arbeitsunfähigkeit geführt hat, im Wesentlichen derselbe ist, wie er der Erwerbsunfähigkeit zugrunde liegt (<ref-ruling> E. 3.2 S. 22). Die Annahme eines engen zeitlichen Zusammenhangs setzt voraus, dass die versicherte Person nach Eintritt der Arbeitsunfähigkeit, deren Ursache zur Invalidität geführt hat, nicht während längerer Zeit wieder arbeitsfähig war. Eine nachhaltige, den zeitlichen Zusammenhang unterbrechende Erholung liegt grundsätzlich nicht vor, solange eine Arbeitsfähigkeit (von über 80 Prozent [vgl. oben E. 2.1]) weniger als drei Monate gedauert hat. Eine drei Monate oder länger andauernde (annähernd) vollständige Arbeitsfähigkeit ist ein gewichtiges Indiz für eine Unterbrechung des zeitlichen Zusammenhangs, sofern sich eine dauerhafte Wiedererlangung der Erwerbsfähigkeit als objektiv wahrscheinlich darstellt (<ref-ruling> E. 3.2.1 S. 22; Urteile 9C_142/2016 vom 9. November 2016 E. 3.2; 9C_197/2015 vom 26. Oktober 2015 E. 1.2 mit Hinweisen). Eine Reduktion des Arbeitspensums aus gesundheitlichen Gründen hingegen ist ein bedeutender Anhaltspunkt für das Vorliegen einer berufsvorsorgerechtlich relevanten Arbeitsunfähigkeit, auch wenn sie allein in der Regel nicht für den Nachweis einer funktionellen Leistungseinbusse genügt (Urteil 9C_419/2013 vom 9. Januar 2014 E. 2.3).
2.3. Ein Entscheid der IV-Stelle ist für eine Einrichtung der beruflichen Vorsorge verbindlich, sofern sie in das invalidenversicherungsrechtliche Verfahren einbezogen wurde, die konkrete Fragestellung für die Beurteilung des Rentenanspruchs gegenüber der Invalidenversicherung entscheidend war und die invalidenversicherungsrechtliche Betrachtungsweise aufgrund einer gesamthaften Prüfung der Akten nicht als offensichtlich unhaltbar erscheint (<ref-ruling> E. 4.3.2 S. 69; <ref-ruling> E. 3.1 S. 273 f.). Diese Bindungswirkung findet ihre positivrechtliche Grundlage in den Art. 23, 24 Abs. 1 und Art. 26 Abs. 1 BVG, welche an die Regelung des IVG anknüpfen oder diese übernehmen. Die Orientierung an der Invalidenversicherung bezieht sich insbesondere auf die sachbezüglichen Voraussetzungen des Rentenanspruchs, die Rentenhöhe und den Rentenbeginn (<ref-ruling> E. 4.3.2 S. 69). Wurde die Vorsorgeeinrichtung nicht in das Verfahren der Invalidenversicherung einbezogen und stellt sie dennoch auf die invalidenversicherungsrechtliche Betrachtungsweise ab, muss sich die versicherte Person diese (unter Vorbehalt der erwähnten offensichtlichen Unhaltbarkeit) entgegenhalten lassen (BGE <ref-ruling> E. 3.1 S. 273 mit Hinweisen; SVR 2014 BVG Nr. 3 S. 8, 9C_944/2012 E. 1.2).
3.
3.1. Die Vorinstanz hat festgestellt, es sei anzunehmen, dass Vorbescheid und Verfügungen betreffend eine Rente der Invalidenversicherung der Vorsorgeeinrichtung formgültig eröffnet worden seien. Folglich ist sie davon ausgegangen, dass grundsätzlich eine Bindung an die Feststellungen der IV-Stelle besteht. Diese Auffassung wird - obwohl die Vorsorgeeinrichtung nicht in der Verteilerliste der genannten Dokumente aufgeführt ist - von den Parteien nicht in Abrede gestellt; zudem beruft sich die Vorsorgeeinrichtung explizit auf die Verbindlichkeit der in den Verfügungen vom 2. und 10. Oktober 2014 getroffenen Feststellungen (vgl. E. 2.3 in fine).
3.2. Weiter hat das kantonale Gericht (verbindlich; E. 1.2) festgestellt, die Versicherte habe ab dem 1. Februar 2010 während fast 6,5 Monaten in einem Vollzeitpensum gearbeitet, wobei der Lohn der Arbeitsleistung entsprochen habe und krankheitsbedingte Absenzen in diesem Zeitraum nicht aktenkundig seien. Die relevante Arbeitsunfähigkeit, die zur Invalidität geführt habe, sei (erst) ab dem 13. August 2010 rechtsgenüglich erstellt. Es hat erwogen, von den Feststellungen der IV-Stelle, welche den Eintritt der Arbeitsunfähigkeit auf den 13. September 2010 festgelegt hatte, sei (lediglich) in diesem Sinne abzuweichen. Folglich hat es die Leistungspflicht der Vorsorgeeinrichtung im Grundsatz bejaht und der Versicherten eine Invalidenrente aus beruflicher Vorsorge auf der Grundlage einer Arbeitsunfähigkeit von 50 % und eines Invaliditätsgrades von 60 % ab 1. August 2011 - nebst 5 % Verzugszins auf die nachzuzahlenden Rentenbetreffnisse ab Klageeinreichung - zugesprochen. Den Rentenanspruch hat es (in Anwendung von <ref-law> [SR 831.201]) bis zum 31. August 2012 befristet. Unter Verweis auf das Gutachten des Dr. med. C._ vom 7. Juni 2012 hat es festgestellt, aufgrund einer gesundheitlichen Verbesserung habe ab Mai 2012 bis zur neuerlichen Verschlechterung am 18. Februar 2014 eine Arbeitsfähigkeit von 80 bis 85 % bestanden. Nachdem die Verbesserung "auf 80 %" während über 20 Monaten angehalten habe, falle infolge der Unterbrechung des zeitlichen Zusammenhangs die Leistungspflicht der Vorsorgeeinrichtung ab 1. September 2012 dahin.
3.3. Die Beschwerdeführerin bringt vor, das Gutachten des Dr. med. C._ sei nicht beweiskräftig, und die darin attestierte Verbesserung des Gesundheitszustandes habe nicht länger als rund 2,5 Monate angehalten, was sich aus dem Bericht des behandelnden Psychiaters vom 23. Juli 2012 ergebe. Dabei verkennt sie, dass sie sich die Feststellungen der IV-Stelle betreffend den Verlauf der Arbeitsunfähigkeit entgegenhalten lassen muss (E. 2.3 und 3.1) : Es ist nicht ersichtlich und wird auch nicht geltend gemacht, dass die in den massgeblichen Verfügungen enthaltene Feststellung, wonach sich der Gesundheitszustand und damit die Arbeitsfähigkeit ab Mai 2012 verbessert und (erst) ab dem 18. Februar 2014 wieder verschlechtert hätten, offensichtlich unhaltbar sein soll. Sie beruhte denn auch nicht ausschliesslich auf dem Gutachten des Dr. med. C._ vom 7. Juni 2012, sondern auch auf der Expertise des Ärztlichen Begutachtungsinstitutes (ABI) vom 25. März 2014 und der Stellungnahme des Regionalen Ärztlichen Dienstes vom 26. Juni 2014. Dementsprechend legt die Beschwerdeführerin auch nicht (substanziiert) dar, dass der Rentenanspruch ununterbrochen bestanden haben oder vor dem 1. Mai 2014 wiederaufgelebt sein soll.
3.4. Die Vorinstanz hat einen sachlichen Konnex zwischen der seit dem 13. August 2010 bestehenden Arbeitsunfähigkeit und der am 1. Mai 2014 (wieder) eingetretenen Invalidität bejaht. Fraglich und zu prüfen ist, ob sie den zeitlichen Zusammenhang zu Recht aufgrund der vorübergehend verbesserten Arbeitsfähigkeit als unterbrochen betrachtet hat.
Im Gutachten des Dr. med. C._ vom 7. Juni 2012 wurde eine erhebliche Arbeitsunfähigkeit von 15-20 % resp. 20 % ab Mai 2012 echtzeitlich bestätigt. Es steht fest, dass die Versicherte nach Beendigung des Arbeitsverhältnisses mit dem Verein B._ höchstens in einem Pensum von 75 % tätig war. Damit trat die Leistungseinbusse auch arbeitsrechtlich sinnfällig in Erscheinung (vgl. Urteil 9C_419/2013 vom 9. Januar 2014 E. 2.2 und 2.3). Ob die Arbeitsunfähigkeit im hier interessierenden Zeitraum durchschnittlich (vgl. Urteil 9C_280/2010 vom 12. April 2011 E. 4.2, nicht publiziert in: <ref-ruling>, aber in: SVR 2011 IV Nr. 69 S. 207) 17,5 % (wie die Vorinstanz wohl festgestellt hat; vgl. E. 3.2) oder 20 % (wie die IV-Stelle festhielt) betrug, ist nicht von entscheidender Bedeutung. Art. 23 BVG und den von der Rechtsprechung dazu entwickelten Grundsätzen (E. 2) kommt insbesondere die Funktion zu, die Leistungspflicht einer oder mehrerer Vorsorgeeinrichtungen sachgerecht abzugrenzen (BGE <ref-ruling> E. 4.1 S. 275). Angesichts der Tatsache, dass die Abstufung von reduzierten Arbeitspensen in der Regel in Schritten von 5 Prozentpunkten (oder einem Vielfachen davon) erfolgt, konnte die Beschwerdeführerin aus gesundheitlichen Gründen im hier interessierenden Zeitraum faktisch ohnehin kein 80 % übersteigendes Pensum ausüben. Unter den konkret gegebenen Umständen kann nicht in dem Sinn von einer Unterbrechung des zeitlichen Zusammenhangs gesprochen werden, als während längerer Zeit eine (annähernd) vollständige resp. (deutlich) über 80 % liegende Arbeitsfähigkeit bestand. Für die am 1. Mai 2014 erneut eingetretene Invalidität hat demnach nicht jene Vorsorgeeinrichtung, bei der die Beschwerdeführerin (allenfalls) zu diesem Zeitpunkt versichert war, aufzukommen. Dafür bleibt die Beschwerdegegnerin (grundsätzlich) leistungspflichtig.
3.5. Die Vorsorgeeinrichtung legt nicht dar, dass hinsichtlich der geltend gemachten Ansprüche auf eine Rente ab 1. Mai 2014 und auf entsprechenden Verzugszins von 5 % ab Klageeinreichung eine weitere Voraussetzung nicht erfüllt sein soll.
3.6. Bei diesem Ergebnis (E. 3.4 und 3.5) und angesichts der weiteren Umstände, dass es bei der teilweisen Abweisung der Klage bleibt (E. 1.1) und die Regelung des Parteikostenersatzes dem kantonalen Recht unterliegt (vgl. Urteil 9C_162/2013 vom 8. August 2013 E. 4.3.1), wird die Vorinstanz die Parteientschädigung für das vorangegangene Verfahren neu zu verlegen haben.
4.
Dem Ausgang des Verfahrens entsprechend hat die Beschwerdegegnerin die Gerichtskosten zu tragen (<ref-law>) und der Beschwerdeführerin eine Parteientschädigung zu bezahlen (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird gutgeheissen. Der Entscheid des Kantonsgerichts Basel-Landschaft vom 31. März 2016 wird aufgehoben, soweit damit eine Rente ab 1. Mai 2014 sowie entsprechender Verzugszins verweigert und die Parteientschädigung reduziert worden ist. Die Beschwerdegegnerin wird verpflichtet, der Beschwerdeführerin mit Wirkung ab 1. Mai 2014 aufgrund eines Invaliditätsgrades von 44 % eine Rente aus beruflicher Vorsorge zuzüglich Zins zu 5 % ab 10. August 2015 zu bezahlen.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 800.- werden der Beschwerdegegnerin auferlegt.
3.
Die Beschwerdegegnerin hat die Beschwerdeführerin für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 2'800.- zu entschädigen.
4.
Die Sache wird zur Neuverlegung der Parteientschädigung für das vorangegangene Verfahren an das Kantonsgericht Basel-Landschaft zurückgewiesen.
5.
Dieses Urteil wird den Parteien, dem Kantonsgericht Basel-Landschaft, Abteilung Sozialversicherungsrecht, und dem Bundesamt für Sozialversicherungen schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 31. Januar 2017
Im Namen der II. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Pfiffner
Die Gerichtsschreiberin: Dormann