Faits :
A.
X._, après deux échecs les 7 avril et 12 juin 2014, s'est présentée une troisième fois à l'examen final du brevet d'avocat genevois le 1 er octobre 2014. Elle a échoué en obtenant les notes de 3 sur 6 à l'épreuve écrite et de 2 sur 6 à l'épreuve orale, soit un total de 5 points sur les 8 requis.
B.
Par décision du 8 octobre 2014, la Commission d'examens des avocats (ci-après: la Commission) de l'Ecole d'avocature de l'Université de Genève (ci-après: l'Ecole d'avocature) a prononcé l'échec définitif de l'intéressée. Celle-ci a formé opposition contre cette décision le 10 novembre 2014. Le conseil de direction de l'Ecole d'avocature a rejeté l'opposition par décision du 22 juin 2015. X._ a interjeté recours contre ce prononcé auprès de la Chambre administrative de la Cour de justice de la République et canton de Genève (ci-après: la Cour de justice) le 27 août 2015. Le 1 er février 2016, cette autorité a auditionné les parties. Le 25 avril 2016, elle a entendu la psychothérapeute de l'intéressée.
Par arrêt du 28 juin 2016, la Cour de justice a rejeté le recours de X._.
C.
Agissant par la voie du recours en matière de droit public et celle, subsidiaire, du recours constitutionnel, X._ demande au Tribunal fédéral d'annuler l'arrêt du 28 juin 2016 de la Cour de justice et de l'autoriser à passer une ultime fois l'examen final du brevet d'avocat; subsidiairement de renvoyer la cause à l'autorité précédente pour nouvelle décision au sens des considérants. Elle se plaint de violation de son droit d'être entendue, de violation des garanties de procédure et d'application arbitraire du droit cantonal.
La Cour de justice persiste dans les considérants et le dispositif de son arrêt. L'Ecole d'avocature conclut au rejet du recours. Dans des observations finales, X._ a maintenu ses conclusions.

Considérant en droit :
1.
1.1. En vertu de l'art. 83 let. t LTF, le recours en matière de droit public n'est pas ouvert à l'encontre des décisions sur le résultat d'examens ou d'autres évaluations des capacités, notamment en matière de scolarité obligatoire, de formation ultérieure ou d'exercice d'une profession. Le motif d'irrecevabilité contenu dans cette disposition dépend en principe de la matière et non du grief soulevé (cf. arrêts 2D_1/2015 du 4 mai 2015 consid. 1.1; 2C_422/2013 du 8 juillet 2013 consid 1.1.1).
Selon la jurisprudence, les décisions d'exmatriculation d'une université ou d'une haute école ou celles d'élimination d'une faculté ou d'un programme d'études tombent sous le coup de l'art. 83 let. t LTF lorsque la décision d'exmatriculation ou d'élimination est en lien avec une évaluation des capacités de l'étudiant évincé (<ref-ruling> consid. 1 p. 231; arrêt 2C_120/2010 du 16 décembre 2010 consid. 1.1, non publié in <ref-ruling>). Tel n'est pas le cas en l'espèce, puisque l'arrêt contesté porte, au fond, sur la reconnaissance d'une incapacité médicale (préexistante à la session d'examens, mais reconnue postérieurement à celle-ci) de la recourante à effectuer l'examen final du brevet d'avocat genevois (cf. arrêt 2C_1054/2014 du 4 décembre 2014 consid. 4). Partant, la voie du recours en matière de droit public est ouverte. Le recours constitutionnel subsidiaire est par conséquent irrecevable (<ref-law> a contrario).
1.2. Au surplus, déposé en temps utile (art. 46 al. 1 let. b et 100 al. 1 LTF) et dans les formes prescrites par la loi (<ref-law>), par la destinataire de l'arrêt attaqué qui a un intérêt digne de protection à son annulation ou à sa modification (<ref-law>), le présent recours, dirigé contre une décision finale (<ref-law>) rendue par une autorité cantonale supérieure de dernière instance (art. 86 al. 1 let. d et al. 2 LTF) dans une cause de droit public (<ref-law>), est recevable.
2.
2.1. Saisi d'un recours en matière de droit public, le Tribunal fédéral examine librement la violation du droit fédéral (cf. art. 95 let. a et 106 al. 1 LTF). Sauf dans les cas cités expressément à l'<ref-law>, le recours devant le Tribunal fédéral ne peut par contre pas être formé pour violation du droit cantonal (ou communal) en tant que tel. En revanche, il est possible de faire valoir que la mauvaise application du droit cantonal ou communal constitue une violation du droit fédéral, en particulier qu'elle est arbitraire au sens de l'art. 9 Cst. ou contraire à d'autres droits constitutionnels. Le Tribunal fédéral n'examine toutefois le moyen tiré de la violation d'une norme de rang constitutionnel que si le grief a été invoqué et motivé de manière précise (<ref-law>).
2.2. Le Tribunal fédéral statue en principe sur la base des faits établis par l'autorité précédente (<ref-law>), sous réserve des cas prévus à l'<ref-law> (<ref-ruling> consid. 4.4.3 p. 156 s.). Le recourant ne peut critiquer les constatations de fait ressortant de la décision attaquée que si celles-ci ont été effectuées en violation du droit au sens de l'<ref-law> ou de manière manifestement inexacte, c'est-à-dire arbitraire (<ref-ruling> consid. 2.4 p. 313 s.), et si la correction du vice est susceptible d'influer sur le sort de la cause (<ref-law>; <ref-ruling> consid. 4.2 p. 233 s.). Conformément à l'<ref-law>, le recourant doit expliquer de manière circonstanciée en quoi ces conditions seraient réalisées. Les faits et les critiques invoqués de manière appellatoire sont irrecevables (<ref-ruling> consid. 5.1 p. 356). Par ailleurs, aucun fait nouveau ni preuve nouvelle ne peut en principe être présenté devant le Tribunal de céans (<ref-law>).
3.
Dans un grief d'ordre formel qu'il convient d'examiner en premier lieu, la recourante, citant l'art. 29 al. 2 Cst., se plaint d'une violation de son droit d'être entendue en ce que la Cour de justice, qui, selon elle, a implicitement reconnu une telle violation par l'autorité de première instance, aurait à tort réparé ce vice.
3.1. Le droit d'être entendu garanti par l'art. 29 al. 2 Cst. comprend notamment le droit pour l'intéressé de s'exprimer sur les éléments pertinents avant qu'une décision ne soit prise touchant sa situation juridique, d'avoir accès au dossier, de produire des preuves pertinentes, d'obtenir qu'il soit donné suite à ses offres de preuves pertinentes, de participer à l'administration des preuves essentielles ou à tout le moins de s'exprimer sur son résultat, lorsque cela est de nature à influer sur la décision à rendre (<ref-ruling> consid. 4.1.1 p. 52 ss; <ref-ruling> consid. 6.3.1 p. 298 s. et les arrêts cités). L'autorité peut cependant renoncer à procéder à des mesures d'instruction lorsque les preuves administrées lui ont permis de former sa conviction et que, procédant d'une manière non arbitraire à une appréciation anticipée des preuves qui lui sont encore proposées, elle a la certitude que ces dernières ne pourraient l'amener à modifier son opinion (ATF <ref-ruling> consid. 6.3.1 p. 298 s. et les arrêts cités).
Selon la jurisprudence, la violation du droit d'être entendu peut être réparée, en particulier lorsque la décision entachée est couverte par une nouvelle décision qu'une autorité supérieure - jouissant d'un pouvoir d'examen au moins aussi étendu - a prononcée après avoir donné à la partie lésée la possibilité d'exercer effectivement son droit d'être entendu (<ref-ruling> consid. 2.6.1 p. 285; <ref-ruling> consid. 2.2 p. 204 s.). Toutefois, la réparation de la violation du droit d'être entendu doit rester l'exception et n'est admissible que dans l'hypothèse d'une atteinte qui n'est pas particulièrement grave aux droits procéduraux de la partie lésée. Si, en revanche, l'atteinte est importante, il n'est en règle générale pas possible de remédier à la violation (cf. <ref-ruling> consid. 2.3.2 p. 197 s.; <ref-ruling> consid. 2.6.1 p. 285). Cela étant, une réparation de la violation du droit d'être entendu peut également se justifier, même en présence d'un vice grave, lorsque le renvoi constituerait une vaine formalité et aboutirait à un allongement inutile de la procédure (" formalistischer Leerlauf "; cf. <ref-ruling> consid. 2.3.2 p. 197 s.; <ref-ruling> consid. 4.2.2.2 p. 126 s.; arrêt 1C_446/2016 du 3 janvier 2017 consid. 4.1). En aucun cas, il ne saurait néanmoins être admis que l'autorité parvienne, par le biais d'une violation du droit d'être entendu, à un résultat qu'elle n'aurait jamais obtenu en procédant de manière correcte (cf. <ref-ruling> consid. 2.6.1 p. 285 et les références citées).
3.2. Il ressort de l'arrêt entrepris que devant l'Ecole d'avocature, simultanément au dépôt d'un avis de sa psychothérapeute traitante, la recourante a sollicité l'audition de cette spécialiste. Or, l'Ecole d'avocature a statué sans donner suite à cette demande. La Cour de justice a entendu cette psychothérapeute et ainsi considéré que l'éventuelle violation du droit d'être entendu était réparée.
Pour la recourante, une telle réparation est contraire au droit fédéral, dès lors que la violation est grave, " l'audition de la thérapeute ayant apporté des éléments d'une indéniable pertinence, s'agissant d'expliquer aussi bien le mécanisme de sabotage inconscient que son intensité jamais vue à travers sa pourtant longue carrière ".
3.3. En l'occurrence, on doit tout d'abord constater que, contrairement à ce qu'affirme la recourante, l'autorité précédente n'a pas implicitement reconnu une violation du droit d'être entendu de la part de l'Ecole d'avocature, mais a laissé la question ouverte en mentionnant que de toute façon l'éventuelle violation pouvait être réparée.
Quant à la violation, si elle devait être reconnue, force serait de constater que celle-ci n'est pas grave. La psychothérapeute dont l'audition avait été sollicitée par la recourante avait en effet déjà eu l'occasion de s'exprimer par écrit dans une attestation établie le 20 mars 2015. S'il n'est pas exclu qu'elle ait encore apporté quelques éléments supplémentaires lors de son audition devant la Cour de justice le 25 avril 2016, les observations générales retranscrites par oral étaient déjà connues des autorités. Au demeurant, comme on le verra ci-après (cf. consid. 5.3 i.f. ci-dessous), ce moyen de preuve n'était de toute façon pas déterminant pour statuer sur la cause. Par conséquent, en procédant à l'audition de la psychothérapeute traitante de la recourante, la Cour de justice, s'il devait exister un cas de violation du droit d'être entendu, l'a valablement réparé, bénéficiant du même pouvoir d'examen en fait et en droit que l'Ecole d'avocature.
3.4. Le grief de violation du droit d'être entendu doit ainsi être écarté.
4.
Citant l'art. 29 al. 1 Cst. et une application arbitraire du droit cantonal, la recourante se plaint ensuite de ce que l'autorité de première instance n'était pas régulièrement constituée lorsqu'elle a rendu sa décision.
4.1. L'art. 29 al. 1 Cst. prévoit que toute personne a droit, dans une procédure judiciaire ou administrative, à ce que sa cause soit traitée équitablement et jugée dans un délai raisonnable. La jurisprudence a tiré de cette disposition un droit à ce que l'autorité administrative qui statue, le fasse dans une composition correcte et impartiale (<ref-ruling> consid. 3.2 p. 173 ss et les références citées). Cette disposition n'exclut pas une certaine liberté dans la composition de l'autorité, par exemple en permettant la participation de suppléants dans le processus décisionnel. Il faut toutefois, lorsque cela est possible, que la composition soit fondée sur des critères objectifs (<ref-ruling> consid. 3.2 p. 173 ss et les références citées).
La composition de l'autorité est définie selon les règles du droit de procédure ou d'organisation. Celui-ci prévoit généralement des quorum afin d'assurer le fonctionnement des autorités collégiales (<ref-ruling> consid. 3.2 p. 173 ss et les références citées). L'autorité est ainsi valablement constituée lorsqu'elle siège dans une composition qui correspond à ce que le droit d'organisation ou de procédure prévoit. Par conséquent, lorsqu'un membre de l'autorité est appelé à se récuser ou ne peut, pour une autre raison, prendre part à la décision, il doit, dans la mesure du possible, être remplacé (<ref-ruling> consid. 3.2 p. 173 ss et les références citées). Si l'autorité statue alors qu'elle n'est pas valablement constituée, elle commet un déni de justice formel. Si la composition de l'autorité est prévue par le droit cantonal, le Tribunal fédéral ne revoit l'interprétation et l'application de celui-ci que sous l'angle restreint de l'arbitraire. Sous réserve de motivation suffisante (cf. <ref-law>), il examine en revanche avec une pleine cognition le point de savoir si la composition correcte de l'autorité administrative, telle que prévue, par le droit cantonal remplit les conditions de l'art. 29 al. 1 Cst. (<ref-ruling> consid. 3.2 p. 173 ss et les références citées). Cela signifie que, dans un premier temps, le Tribunal fédéral examinera si l'interprétation et l'application du droit cantonal par le Tribunal cantonal sont ou non arbitraires. Dans une seconde phase, le Tribunal fédéral contrôlera avec une pleine cognition si l'interprétation et l'application du droit cantonal, reconnues non arbitraires, sont compatibles avec la garantie de l'art. 29 al. 1 Cst. (<ref-ruling> consid. 3.2 p. 173 ss et les références citées).
4.2. L'art. 33A al. 2 de la loi genevoise du 26 avril 2002 sur la profession d'avocat (LPAv/GE; RSGE E 6 10) prévoit notamment que l'examen final est subi devant une commission d'examens désignée par l'Ecole d'avocature. Pour sa part, l'art. 28 al. 1 du règlement genevois du 7 décembre 2010 d'application de la loi sur la profession d'avocat (RPAv/GE; RSGE E 6 10.01) dispose en particulier que la commission d'examens prévue à l'art. 33A al. 2 LPAv/GE se compose d'au moins 30 membres titulaires nommés tous les quatre ans par le conseil de direction. Aux termes de l'art. 29 RPAv/GE, la commission d'examens est présidée par son président ou un membre désigné par lui. Elle siège valablement lorsque dix membres au moins sont présents (al. 1). La commission d'examens se subdivise en sous-commissions de trois membres pour apprécier l'examen final (al. 3).
Il ressort de l'arrêt entrepris que " les membres des sous-commissions chargés d'évaluer l'épreuve écrite et l'épreuve orale d'un candidat ne savent pas, lors du passage de celui-ci, s'il s'agit de sa troisième tentative ou non. Ils en sont toutefois informés par la directrice de [l'Ecole d'avocature] dès la fin de l'examen et la remise des notes. Une fois les notes attribuées par la sous-commission et communiquées au secrétariat, le président de la commission informe les autres membres de l'échec définitif d'un candidat, sans mention particulière concernant ce dernier, en leur impartissant un délai pour demander la convocation d'une séance plénière extraordinaire [...]. Une séance plénière est toutefois automatiquement convoquée en présence d'un cas limite, soit s'il manque un quart de point sur le total minimum à obtenir ".
4.3. En l'occurrence, la recourante se plaint de ce que la Commission ne s'est pas réunie pour statuer sur son cas et, partant, n'a pas statué à au moins dix de ses membres.
On constate tout d'abord que rien n'indique que l'appréciation de l'examen final de la recourante n'a pas été effectuée par trois membres d'une sous-commission, comme le prévoit l'art. 29 al. 3 RPAv/GE. La recourante ne semble pas le contester. Elle estime bien plus que la pratique de la Commission constitue une application arbitraire du droit cantonal. Elle ne saurait toutefois être suivie, car en informant la totalité des membres de la Commission et en leur donnant la possibilité de requérir une séance extraordinaire, le président demande en réalité à ceux-ci de se prononcer sur l'issue de l'examen de chaque candidat en situation d'échec définitif. En renonçant à demander une telle séance, les membres se déclarent (tacitement) favorables à la proposition du président (consistant en l'occurrence à valider les deux notes fixées par les sous-commissions). Le RPAv/GE n'exclut aucunement que l'accord soit donné tacitement et par voie de circulation. En ce sens, retenir, comme l'a fait la Cour de justice, que la " pratique ne s'avère aucunement contraire aux dispositions applicables, et aucun élément ne permet de retenir qu'elle aurait des conséquences défavorables sur les candidats concernés ", n'est pas arbitraire. Elle n'est pas non plus constitutive d'inégalité de traitement, dès lors que tous les candidats ayant obtenu moins de 7,75 points sont traités de la même manière (cf. <ref-ruling> consid. 3.5 p. 175).
4.4. N'étant pas arbitraire, compte tenu des dispositions légales en cause, de statuer par voie de circulation, respectivement de demander aux membres s'ils s'opposent à la proposition du président, rien n'indique dans le cas d'espèce que le quorum de l'art. 29 al. 1 RPAv/GE n'ai pas été respecté et que le président n'ait pas demandé à au moins dix membres s'ils désiraient convoquer une séance extraordinaire pour parler du cas de la recourante. A teneur du courriel du 2 octobre 2014 (cf. <ref-law>), on constate au contraire que le président s'est adressé à l'ensemble des membres de la Commission. Partant, le grief de violation de l'art. 29 al. 1 Cst. doit être écarté.
5.
Finalement, la recourante invoque une application arbitraire du droit cantonal par la Cour de justice, estimant que celle-ci a faussement appliqué la jurisprudence relative à la prise en compte d'un certificat médical déposé après que l'examen ait été passé.
5.1. Selon la jurisprudence cantonale telle que présentée par l'autorité précédente, un motif d'empêchement ne peut, en principe, être invoqué par le candidat qu'avant ou pendant l'examen. La production ultérieure d'un certificat médical ne peut remettre en cause le résultat obtenu lors d'un examen. Des exceptions à ce principe, permettant de prendre en compte un certificat médical présenté après que l'examen a été passé, ne peuvent être admises que si cinq conditions sont cumulativement remplies. Il faut que la maladie n'apparaisse qu'au moment de l'examen, sans qu'il ait été constaté de symptômes auparavant, le candidat à l'examen acceptant, dans le cas contraire, un risque de se présenter dans un état déficient, ce qui ne saurait justifier après coup l'annulation des résultats d'examens (1); qu'aucun symptôme ne soit visible durant l'examen (2); que le candidat ait consulté un médecin immédiatement après l'examen (3); que le médecin ait immédiatement constaté une maladie grave et soudaine qui, malgré l'absence de symptômes visibles, permette à l'évidence de conclure à l'existence d'un rapport de causalité avec l'échec à l'examen (4); et que l'échec ait une influence sur la réussite ou non de la session d'examens dans son ensemble (5).
5.2. En l'occurrence, il ressort de l'arrêt entrepris que la recourante n'a pas fait part à l'Ecole d'avocature de son état de santé avant le début de l'examen, dont elle a passé toutes les étapes. La recourante ayant produit deux documents médicaux postérieurement à l'examen, c'est donc sans arbitraire que la Cour de justice a appliqué la jurisprudence précitée. La recourante ne le conteste d'ailleurs pas.
5.3. L'autorité précédente a relevé qu'entre la date de l'examen le 1 er octobre 2014 et son opposition le 10 novembre 2014, la recourante ne s'est jamais manifestée. Elle n'a en particulier pas fait mention de son état de santé après avoir reçu les résultats le 8 octobre 2014, ni après avoir consulté son médecin traitant en octobre 2014. Ce n'est que dans son opposition du 10 novembre 2014 que la recourante a allégué avoir souffert pendant l'examen litigieux d'une importante crise d'angoisse et de panique ayant exacerbé ses douleurs dorsales, liées à un accident survenu fin 2013 et dont elle avait connaissance depuis lors. Le certificat médical a été établi le 14 octobre 2014 et n'est que purement anamnestique. Le 27 avril 2015 la recourante a produit une attestation de sa psychothérapeute relative à une affection psychologique.
Sur la base de ces faits, c'est sans arbitraire que l'autorité précédente a jugé que les conditions une, trois et quatre de la jurisprudence cantonale précitée n'étaient pas réunies en l'espèce. C'est ainsi de manière pleinement soutenable qu'elle a considéré que la " recourante ne peut en effet pas se prévaloir d'une maladie qui ne serait apparue qu'au moment de l'examen, sans qu'il ait été constaté de symptômes auparavant, ce d'autant qu'elle a accepté le risque de se présenter dans un état déficient ". Il est en effet pour le moins surprenant qu'aucune manifestation de quelques symptômes que ce soit ne soit intervenue durant l'examen, alors que la recourante aurait prétendument ressenti une exacerbation de ses douleurs dorsales " pendant l'examen ". Compte tenu de cette survenance des douleurs " pendant l'examen ", on pouvait en outre attendre de la recourante qu'elle consulte un médecin dans un délai inférieur aux près de deux semaines durant lesquelles elle a patienté. On ajoutera que le résultat est d'autant moins arbitraire que la jurisprudence cantonale exige qu'un médecin constate l'existence d'une maladie. Or, la recourante a uniquement produit un certificat médical se limitant à reprendre ses plaintes subjectives, sans poser de diagnostic, ainsi qu'une attestation de sa psychothérapeute qui n'est pas médecin et qui n'a en conséquence pas non plus posé de diagnostic. Pour cette raison également, l'audition de la psychothérapeute n'était pas déterminante.
5.4. La Cour de justice n'a dès lors pas fait une application arbitraire du droit cantonal en refusant de prendre en compte les documents médicaux produits par la recourante pour lui permettre de se présenter à l'examen final du brevet d'avocat genevois une ultime fois et en confirmant l'échec définitif de la recourante à cet examen.
6.
Sur le vu de ce qui précède, le recours doit être rejeté. Succombant, la recourante doit supporter les frais judiciaires (<ref-law>). Il n'est pas alloué de dépens (art. 68 al. 1 et 3 LTF).

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce :
1.
Le recours en matière de droit public est rejeté.
2.
Le recours constitutionnel subsidiaire est irrecevable.
3.
Les frais judiciaires, arrêtés à 2'000 fr., sont mis à la charge de la recourante.
4.
Le présent arrêt est communiqué au mandataire de la recourante, à l'Ecole d'avocature de l'Université de Genève, ainsi qu'à la Cour de justice de la République et canton de Genève, Chambre administrative, 1 ère section.
Lausanne, le 6 février 2017
Au nom de la IIe Cour de droit public
du Tribunal fédéral suisse
Le Président : Seiler
Le Greffier : Tissot-Daguette