Faits :
A.
Par jugement du 12 décembre 2012, le Tribunal de police de l'arrondissement de Lausanne a condamné X._, par défaut, pour menaces et infraction à la loi fédérale du 16 décembre 2005 sur les étrangers (LEtr; RS 142.20), à huit mois de peine privative de liberté.
Le 8 février 2013, X._ a, par l'intermédiaire de son défenseur d'office, feu Me A._, demandé un nouveau jugement au sens de l'<ref-law>. Par prononcé du 25 avril 2013, le Tribunal de police de l'arrondissement de Lausanne a déclaré cette demande irrecevable.
Le 31 juillet 2015, X._ a derechef, par l'intermédiaire de son avocat de choix, demandé un nouveau jugement. En substance, le prénommé a indiqué qu'il n'aurait jamais eu connaissance de la désignation d'office de feu Me A._, avec lequel il n'aurait jamais eu de contact. Il a précisé qu'il n'aurait pris connaissance du jugement du 12 décembre 2012 que le 30 juillet 2015. Par prononcé du 3 août 2015, le Tribunal de police de l'arrondissement de Lausanne a déclaré cette demande irrecevable.
Par arrêt du 26 août 2015, la Chambre des recours pénale du Tribunal cantonal du canton de Vaud a rejeté le recours formé par X._ contre le prononcé du 3 août 2015 et a réformé ce dernier d'office en ce sens que la demande de nouveau jugement était rejetée. Par arrêt du 21 juillet 2016, la Cour de droit pénal du Tribunal fédéral a admis le recours interjeté par X._, a annulé l'arrêt du 26 août 2015 et a renvoyé la cause à l'autorité cantonale pour nouvelle décision (arrêt 6B_931/2015).
B.
Par arrêt du 26 août 2016, la Chambre des recours pénale du Tribunal cantonal du canton de Vaud a rejeté le recours formé par X._ contre le prononcé du 3 août 2015 et a réformé celui-ci d'office en ce sens que la demande de nouveau jugement est rejetée. En substance, l'autorité cantonale a retenu que X._ avait pris connaissance du jugement du 12 décembre 2012 au plus tôt le 30 juillet 2015 et que la demande de nouveau jugement du 31 juillet 2015 était recevable. Elle a cependant considéré que le prénommé s'était délibérément soustrait aux autorités et qu'il n'avait pas été empêché d'assister aux débats du 12 décembre 2012, de sorte qu'il ne pouvait se prévaloir d'aucune excuse valable au sens de l'<ref-law>.
C.
X._ forme un recours en matière pénale au Tribunal fédéral contre cet arrêt, en concluant, avec suite de frais et dépens, principalement à sa réforme en ce sens que le recours est admis et qu'une nouvelle audience de jugement est appointée. Subsidiairement, il conclut à son annulation et au renvoi de la cause à l'autorité de première instance pour nouveau jugement. Il sollicite en outre l'effet suspensif.

Considérant en droit :
1.
Le recourant reproche à la cour cantonale de s'être notamment fondée sur divers courriers adressés par feu Me A._ aux autorités afin de retenir qu'il n'avait jamais eu l'intention de comparaître à l'audience du 12 décembre 2012. Selon lui, son défenseur d'office aurait violé le secret professionnel en rapportant à la direction de la procédure la teneur et l'effectivité de leurs contacts, et se serait ainsi rendu coupable d'une infraction à l'<ref-law>. Le recourant soutient que les courriers en question constitueraient, en conséquence, des preuves illicites au sens de l'<ref-law>. Partant, il considère que l'autorité précédente aurait dû retrancher du dossier l'ensemble des courriers de feu Me A._.
1.1. En vertu de l'<ref-law>, le recours en matière pénale est recevable contre les décisions prises par les autorités cantonales de dernière instance et par le Tribunal pénal fédéral. Cette règle pose le principe de l'épuisement des instances cantonales. Elle a pour conséquence que seuls sont recevables devant le Tribunal fédéral les griefs qui, pouvant l'être, ont été soulevés devant l'autorité cantonale de dernière instance (<ref-ruling> consid. 2.1 p. 93). La jurisprudence admet cependant la recevabilité de moyens de droit nouveaux lorsque l'autorité cantonale de dernière instance disposait d'un pouvoir d'examen libre et devait appliquer le droit d'office (<ref-ruling> consid. 2.1.1 p. 34; arrêt 6B_1104/2013 du 5 juin 2014 consid. 2.1.1 non publié in <ref-ruling>), à la condition que le comportement du recourant ne soit pas contraire à la règle de la bonne foi en vertu de laquelle celui qui ne soulève pas devant l'autorité de dernière instance cantonale un grief lié à la conduite de la procédure ne peut plus en principe le soulever devant le Tribunal fédéral (<ref-ruling> consid. 2.1 p. 93; arrêts 6B_300/2017 du 6 juin 2017 consid. 1; 6B_1092/2016 du 3 avril 2017 consid. 1). Une solution contraire favoriserait les manoeuvres dilatoires (<ref-ruling> consid. 1a pp. 90 s.; arrêt 6B_517/2008 du 27 août 2008 consid. 6.2).
1.2. Le recourant ne prétend pas avoir dénoncé une violation des <ref-law> et 141 CPP devant la cour cantonale. Il s'agit de déterminer si son grief est recevable au regard du principe d'épuisement des instances cantonales.
Les courriers litigieux, en particulier ceux des 8 février et 28 mars 2013 cités par l'autorité précédente, figurent au dossier depuis leur réception par la direction de la procédure. Leur contenu a été invoqué par le Tribunal de police dans son prononcé du 25 avril 2013, celui-ci ayant notamment indiqué que, par courrier du 8 février 2013, Me A._ avait rapporté "que son mandant aurait toujours refusé de lui communiquer une adresse et qu'il avait perdu tout contact avec lui de juin 2012 au 19 janvier 2013", et que le recourant "aurait vu son avocat le 19 janvier 2013 et aurait expliqué qu'il continuait à faire des allers-retours entre la Suisse et l'Espagne" (dossier cantonal; <ref-law>). Ce tribunal s'est à nouveau référé aux courriers litigieux dans la motivation de son prononcé du 3 août 2015, en indiquant "qu'on aurait pu en effet attendre du [recourant] qu'il prenne contact avec son ancien conseil pour s'enquérir de l'état de la procédure, sans attendre plusieurs années pour se manifester à nouveau, étant rappelé que Me A._ avait régulièrement écrit qu'il n'avait guère de contacts avec son client, et que ce dernier avait toujours refusé de lui donner une adresse". Dans son arrêt du 26 août 2015, annulé par l'arrêt du Tribunal fédéral du 21 juillet 2016, la cour cantonale a également fait référence aux courriers de feu Me A._ en relevant que le recourant n'était pas atteignable à l'époque du jugement de première instance. Enfin, le contenu des courriers des 8 février et 28 mars 2013 a été invoqué par le ministère public dans ses déterminations du 18 août 2016 adressées à la cour cantonale. Or, en dépit de ces références répétées aux courriers litigieux, le recourant ne s'est jamais plaint, avant le présent recours, d'une infraction à l'<ref-law>, ni du caractère prétendument illicite des missives concernées, dont il n'a pas demandé le retranchement du dossier. Tout au plus celui-ci a-t-il, dans sa demande de nouveau jugement du 31 juillet 2015, puis dans son recours du 14 août 2015, contesté le contenu des courriers litigieux, en présentant les explications de son défenseur d'office comme une tentative de masquer une erreur procédurale. Le recourant ne prétend pas que le contenu de ces courriers aurait été évoqué pour la première fois et sans qu'il pût s'y attendre par la cour cantonale. Il ne reproche d'ailleurs pas à l'autorité précédente d'avoir violé son droit d'être entendu en fondant en partie sa motivation sur lesdits courriers.
Il découle de ce qui précède que le comportement du recourant, lequel se plaint pour la première fois d'une violation des <ref-law> et 141 CPP devant le Tribunal fédéral, s'avère contraire à la bonne foi. La cour cantonale n'avait pas à envisager l'application de l'<ref-law> à un moyen de preuve qui n'était pas discuté devant elle, a fortiori s'agissant de documents qui n'ont pas été administrés par une autorité ni rapportés par un particulier, mais produits au dossier par le défenseur d'office du recourant. En définitive, faute d'épuisement des instances cantonales, le grief du recourant est irrecevable.
2.
Le recourant fait, de manière générale, grief à la cour cantonale d'avoir retenu qu'il s'était volontairement soustrait aux autorités pénales à l'époque de l'audience de jugement du 12 décembre 2012. Il invoque, dans ce cadre également, une violation de l'art. 6 CEDH.
2.1. Conformément à l'<ref-law>, les mémoires doivent notamment indiquer les conclusions, les motifs et les moyens de preuve. Les motifs doivent exposer succinctement en quoi l'acte attaqué viole le droit (art. 42 al. 2 première phrase LTF). En particulier, le Tribunal fédéral n'examine la violation des droits fondamentaux ainsi que celle des dispositions de droit cantonal et intercantonal que si ce grief a été invoqué et motivé par le recourant (cf. <ref-law>). Il est par ailleurs lié par les constatations de fait de la décision entreprise (<ref-law>), à moins qu'elles n'aient été établies en violation du droit ou de manière manifestement inexacte au sens des art. 97 al. 1 et 105 al. 2 LTF, soit pour l'essentiel de façon arbitraire au sens de l'art. 9 Cst (<ref-ruling> consid. 2.3 p. 266). Le Tribunal fédéral n'entre ainsi pas en matière sur les critiques de nature appellatoire (<ref-ruling> consid. 2.4 p. 368) et n'examine de tels moyens que pour autant qu'ils répondent aux exigences précitées déduites de l'<ref-law>.
2.2. La cour cantonale a considéré que la demande de nouveau jugement devait être rejetée en application de l'<ref-law>, selon lequel le tribunal rejette la demande lorsque le condamné, dûment cité, fait défaut aux débats sans excuse valable. Elle a retenu que le recourant s'était délibérément soustrait aux autorités. Lors de son audition par le juge d'instruction le 16 novembre 2010, celui-ci avait ainsi communiqué une adresse et donné l'assurance qu'il ferait le nécessaire pour que son courrier soit gardé. Ladite adresse, de même que celle donnée par la suite à la police, n'avait pourtant pas permis aux autorités de l'atteindre. Le recourant s'était par ailleurs désintéressé de la procédure, en négligeant de s'enquérir de son avancement ou de communiquer une adresse de notification valable, en Suisse ou à l'étranger. Même si le recourant faisait l'objet d'une interdiction d'entrée sur le territoire suisse en vigueur lors de l'audience du 12 décembre 2012, la cour cantonale a exclu l'existence d'un cas de force majeur ayant empêché le recourant de comparaître, dès lors qu'il n'avait jamais requis un sauf-conduit afin de se rendre aux débats. Il ressortait également des courriers de feu Me A._ que le recourant s'était délibérément rendu indisponible.
2.3. Le recourant débute ses écritures par une présentation personnelle des faits. De la sorte, il ne cherche pas à démontrer que les faits auraient été établis arbitrairement et ne formule ainsi aucun grief recevable au regard des art. 42 al. 2 et 106 al. 2 LTF. En tant que l'argumentation du recourant consiste à opposer sa propre version des faits à celle de la cour cantonale, elle est appellatoire et, partant, irrecevable. Il en va notamment ainsi lorsque celui-ci allègue qu'il résidait en Espagne au moment de la désignation d'office de feu Me A._, dont il n'aurait ainsi jamais eu connaissance, qu'il aurait ignoré la tenue de l'audience du 12 décembre 2012, et qu'il n'aurait en conséquence jamais eu de raison de requérir un sauf-conduit pour les débats. Il en va de même lorsqu'il soutient que son défenseur d'office aurait agi sans instructions de sa part, notamment en interjetant un appel le 30 janvier 2013 puis en demandant un nouveau jugement le 8 février 2013. Le recourant ne développe de la sorte aucun grief recevable pour dire en quoi la cour cantonale aurait violé l'<ref-law>, respectivement l'art. 6 CEDH.
2.4. En relation avec l'art. 6 CEDH, le recourant reproche également à la cour cantonale de "nier la possibilité pour le recourant d'être jugé en contradictoire dans le cas où la demande de nouveau jugement serait admise". Toutefois, son argument procède d'une lecture biaisée du passage de l'arrêt attaqué qu'il cite. En effet, l'autorité précédente a indiqué que l'examen de la demande de nouveau jugement pouvait se faire à titre préjudiciel et sans qu'il soit nécessaire de tenir des débats. Ce faisant, et contrairement à ce qu'affirme le recourant, elle ne constate pas que de nouveaux débats sur le fond de l'affaire ne devaient pas avoir lieu pour le cas où elle aurait admis la demande de nouveau jugement.
Enfin, le recourant requiert que, pour le cas où son recours serait admis, des débats en contradictoire soient tenus pour statuer sur sa demande de nouveau jugement. Au vu du sort du recours, son grief est sans objet dans cette mesure.
3.
Le recours doit être rejeté dans la mesure où il est recevable. Le recourant, qui succombe, supportera les frais judiciaires (<ref-law>).
La cause étant tranchée, la demande d'effet suspensif devient sans objet.

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce :
1.
Le recours est rejeté dans la mesure où il est recevable.
2.
Les frais judiciaires, arrêtés à 2'000 fr., sont mis à la charge du recourant.
3.
Le présent arrêt est communiqué aux parties et au Tribunal cantonal du canton de Vaud, Chambre des recours pénale.
Lausanne, le 4 juillet 2017
Au nom de la Cour de droit pénal
du Tribunal fédéral suisse
Le Président : Denys
La Greffière : Livet