Sachverhalt:
A.
Die Staatsanwaltschaft III des Kantons Zürich, Abteilung Wirtschaftsdelikte, führt eine Strafuntersuchung gegen A._ und weitere Beschuldigte wegen ungetreuer Geschäftsbesorgung und Konkursdelikten mit einem Deliktsbetrag von ca. USD 31 Mio. Mit Verfügungen vom 28. April 2016 ordnete sie die Edition von Bankunterlagen durch verschiedene Banken an. Der Beschuldigte und sechs Gesellschaften stellten je Siegelungsgesuche, worauf die edierten Bankunterlagen am 20. Mai 2016 versiegelt wurden.
B.
Mit Verfügung vom 12. Juli 2016 wies das Bezirksgericht Zürich, Zwangsmassnahmengericht (ZMG), das von der Staatsanwaltschaft am 24. Mai 2016 eingereichte Entsiegelungsgesuch ab.
C.
Gegen die Verfügung des ZMG gelangte die Staatsanwaltschaft mit Beschwerde vom 10. August 2016 an das Bundesgericht. Sie beantragt die Aufhebung des angefochtenen Entscheides und die Rückweisung der Sache zur Neubeurteilung an die Vorinstanz; eventualiter sei das Entsiegelungsgesuch gutzuheissen.
Das ZMG hat am 15. August 2016 auf eine Vernehmlassung verzichtet. Der Beschuldigte beantragt mit Stellungnahme vom 25. August 2016, auf die Beschwerde sei nicht einzutreten, eventualiter sei sie abzuweisen. Sechs vom Entsiegelungsgesuch betroffene Gesellschaften haben (innert der auf 26. August 2016 angesetzten Frist) keine Vernehmlassungen zur Beschwerde eingereicht. Zur Stellungnahme des Beschuldigten vom 25. August 2016 sind innert angesetzter Frist ebenfalls keine Vernehmlassungen eingetroffen. Mit Verfügung vom 7. September 2016 wurde das Gesuch der Staatsanwaltschaft um aufschiebende Wirkung der Beschwerde (nach Einholung von diesbezüglichen Stellungnahmen der Verfahrensbeteiligten) bewilligt.

Erwägungen:
1.
Das Bundesgericht prüft die Sachurteilsvoraussetzungen der Beschwerde von Amtes wegen und mit freier Kognition (<ref-ruling> E. 1.1 S. 197; <ref-ruling> E. 2 S. 59, mit Hinweisen; vgl. Art. 29 Abs. 1 und Art. 106 Abs. 1 BGG).
1.1. Zunächst stellt sich die Frage, ob die Staatsanwaltschaft im vorliegenden Fall beschwerdelegitimiert ist.
Zur Beschwerde in Strafsachen ist berechtigt, wer vor der Vorinstanz am Verfahren teilgenommen hat (oder keine Möglichkeit zur Teilnahme erhielt) und ein rechtlich geschütztes Interesse an der Aufhebung oder Änderung des angefochtenen Entscheids hat, insbesondere die Staatsanwaltschaft (Art. 81 Abs. 1 lit. a und lit. b Ziff. 3 BGG).
Gemäss der bisherigen Praxis des Bundesgerichtes waren die verfahrensleitenden kantonalen Staatsanwaltschaften, welche am vorinstanzlichen Verfahren teilgenommen hatten, auch zur Beschwerde an das Bundesgericht gegen strafprozessuale Zwischenentscheide im Vorverfahren grundsätzlich befugt. Dies galt insbesondere für Telefonüberwachungen (<ref-ruling> E. 340 E. 2.3 S. 344-346), Untersuchungshaft (<ref-ruling> E. 1.2-1.4 S. 23-25; 87 E. 3 S. 89-92; 230 E. 1 S. 232; 237 E. 1.2 S. 240), Beschlagnahmungen (Urteile 1B_109/2014 und 1B_113/2014 vom 3. November 2014 E. 1.1-1.5; 1B_193/2013 vom 12. Dezember 2013 E. 1.4), Entsiegelungen (Urteile 1B_52/2015 vom 24. August 2015 E. 2; 1B_125/2015 vom 15. Juni 2015 E. 1; 1B_65/2014 vom 22. August 2014 E. 1; 1B_517/2012 vom 27. Februar 2013 E. 4) oder bei streitiger Parteiöffentlichkeit von Einvernahmen (<ref-ruling> E. 1 S. 27).
In <ref-ruling> hat das Bundesgericht (in Änderung seiner bisherigen Praxis und nach einem Meinungsaustauschverfahren gemäss <ref-law>) entschieden, dass in Kantonen, bei denen eine staatsanwaltliche Behörde für die Strafverfolgung aller Straftaten im ganzen Kantonsgebiet zuständig ist, nur diese Behörde die Beschwerdeberechtigung hat (<ref-ruling> E. 1.5.2 S. 200).
Diese neue Rechtsprechung war im Zeitpunkt der Einreichung der vorliegenden Beschwerde noch nicht amtlich publiziert. Aufgrund der oben dargelegten bisherigen Praxis war die Rechtslage im Zeitpunkt der Beschwerdeerhebung noch nicht ausreichend klar. In Nachachtung des Grundsatzes von Treu und Glauben (<ref-law>) ist die den Zugang zum Bundesgericht einschränkende Praxisänderung daher auf den vorliegenden Fall noch nicht anwendbar (vgl. <ref-ruling> E. 1.6 S. 261). Darüber hinaus wurde die Beschwerdeschrift im vorliegenden Fall durch einen ausserordentlichen Oberstaatsanwalt des Kantons Zürich unterzeichnet.
Die Beschwerde erweist sich unter dem Gesichtspunkt von <ref-law> als zulässig.
1.2. Als Sachurteilsvoraussetzung für die Anfechtung von (Nicht-) Entsiegelungsentscheiden hat die Staatsanwaltschaft sodann einen drohenden nicht wieder gutzumachenden Rechtsnachteil darzulegen (<ref-law>). Dieser kann insbesondere bejaht werden, wenn die Verfahrensleitung aufzeigt, dass bei einer (vollständigen oder partiellen) Abweisung ihres Entsiegelungsgesuches ein empfindlicher Beweisverlust droht und damit eine Beeinträchtigung der strafprozessualen Wahrheitsfindung im Vorverfahren (nicht publ. E. 1 von <ref-ruling>; zur amtlichen Publikation bestimmtes Urteil 1B_249/2015 vom 30. Mai 2016 E. 2.1-2.2; Urteile 1B_36/2016 vom 8. Juni 2016 E. 1.1.1-1.1.2; 1B_304/2015 vom 21. März 2016 E. 1.3; 1B_52/2015 vom 24. August 2015 E. 2; 1B_125/2015 vom 15. Juni 2015 E. 2; 1B_65/2014 vom 22. August 2014 E. 2; 1B_193/2013 vom 12. Dezember 2013 E. 1.1-1.3; 1B_517/2012 vom 27. Februar 2013 E. 4; s.a. <ref-ruling> E. 2.3.1 S. 344).
Ziel des Entsiegelungsgesuches ist es, die Verdachtsmomente betreffend ungetreue Geschäftsbesorgung (<ref-law>) und Konkursdelikte (Art. 163-167 StGB) abzuklären, aufgrund der edierten Unterlagen als mögliche Beweismittel (<ref-law>). Die Staatsanwaltschaft macht geltend, es drohe ihr ein empfindlicher Beweisverlust in einem komplexen Wirtschaftsstrafverfahren mit einem sehr hohen mutmasslichen Vermögensschaden (ca. USD 31 Mio.). Die versiegelten Bankunterlagen seien für die Aufklärung der untersuchten Delikte unentbehrlich. Das Bundesgericht hat der Beschwerde die aufschiebende Wirkung zuerkannt.
Was der beschuldigte Beschwerdegegner dagegen einwendet, entkräftet den von der Staatsanwaltschaft dargelegten drohenden Beweisverlust bzw. die drohende Erschwerung der strafprozessualen Wahrheitsfindung nicht. Insbesondere legt er nicht überzeugend dar, inwiefern die von der Staatsanwaltschaft beantragten Abklärungen ohne Weiteres über andere geeignete Beweismassnahmen getroffen werden könnten. Die versiegelten Bankunterlagen sollen es namentlich ermöglichen, die untersuchungsrelevanten Geldtransfers zwischen dem Beschuldigten und eng mit ihm verflochtenen Personen und Gesellschaften zu klären.
Bei dieser Sachlage ist die Beschwerde auch unter dem Gesichtspunkt des drohenden nicht wieder gutzumachenden Rechtsnachteils zulässig.
1.3. Die übrigen Sachurteilsvoraussetzungen von <ref-law> sind ebenfalls erfüllt. Die Beschwerde ist gesetzeskonform substanziiert (<ref-law>). Es ist darauf einzutreten.
2.
Die Vorinstanz begründet die Abweisung des Entsiegelungsgesuches mit dem Fehlen eines hinreichenden Tatverdachtes von ungetreuer Geschäftsbesorgung und Konkursdelikten:
Die Staatsanwaltschaft werfe dem beschuldigten Beschwerdegegner vor, er habe zwischen dem 19. August und 12. September 2011 als Geschäftsführer und Organ einer Aktiengesellschaft Gesellschaftsaktiven in der Höhe von ca. Fr. 31. Mio an die Verfahrensbeteiligten 4 und 6 überwiesen, mit denen er personell eng verflochten sei. Ein plausibler Rechtsgrund für diese Zahlung sei (laut Staatsanwaltschaft) nicht ersichtlich; die zahlende Gesellschaft habe dafür keine Gegenleistung erhalten. Die Zahlungen hätten (gemäss Gesellschaftsbilanz per 30. Juni 2011) beinahe dem gesamten Gesellschaftskapital entsprochen. Gleichzeitig habe die Gesellschaft der Privatklägerin damals den Betrag von USD 31 Mio. (gestützt auf einen Weizenlieferungsvertrag) geschuldet. Infolge ihrer Zahlungen sei die Gesellschaft in Liquiditätsschwierigkeiten geraten. Mit Beschluss ihrer Generalversammlung vom 15. November 2011 habe sie sich aufgelöst. Am 20. Oktober 2014 sei der Konkurs über sie eröffnet worden, in dessen Verlauf die Forderung der Privatklägerin nicht habe befriedigt werden können.
Die Vorinstanz erwägt, es sei "zunächst festzustellen", dass die konkursite Gesellschaft die Forderung der Privatklägerin bestreite. Allerdings hätten das Kantonsgericht Zug sowie das Obergericht des Kantons Zug der Privatklägerin (mit Urteilen vom 12. Dezember 2013 bzw. 23. September 2014) diesbezüglich die provisorische Rechtsöffnung (im Betrag von Fr. 29'361'901.90) erteilt.
Ein ehemaliger Aktionär der konkursiten Gesellschaft, der ehemals auch als ihr Organ tätig gewesen sei, habe der Verfahrensbeteiligten 6 einen Schaden von mehr als Fr. 30 Mio. verursacht. In diesem Zusammenhang seien zwischen diversen involvierten Gesellschaften und Personen drei Vereinbarungen geschlossen worden (nämlich eine Vergleichsvereinbarung vom 26. Juli 2011, eine Zusatzvereinbarung gleichen Datums sowie eine weitere Zusatzvereinbarung vom 20. Januar 2012).
Wie diese drei Vereinbarungen zueinander stünden, sei (nach Ansicht der Vorinstanz) "weitgehend unklar". Für die Behauptung des Beschuldigten, den Kontrahenten der Vergleichsvereinbarung sei "klar gewesen", dass die liquiden Mittel der konkursiten Gesellschaft prioritär für die Befriedigung von Schadenersatzansprüchen der Verfahrensbeteiligten 6 hätten verwendet werden sollen, fänden sich in den Akten keine Belege. Die Behauptung des Beschuldigten sei "aber auch nicht zum vornherein unglaubhaft".
Eine Korrelation oder sogar eine Kausalität zwischen den fraglichen Zahlungen und dem Konkurs der Gesellschaft könne zwar "nicht zum vornherein verneint" werden. Dieser Umstand alleine begründe jedoch keinen hinreichenden Tatverdacht eines strafbaren Verhaltens. Dies gelte selbst dann, wenn davon ausgegangen werde, dass der Beschuldigte (als alleinzeichnungsberechtigter Verwaltungsrat) damals über die finanziellen Verhältnisse der Gesellschaft im Bilde war. Ihm habe zumindest eine Bilanz per 30. Juni 2011 vorgelegen, aus der sich ergeben habe, dass die Zahlungen beinahe dem gesamten Gesellschaftskapital entsprachen. Dass ein Schadenersatzanspruch der Verfahrensbeteiligten 6 zulasten der konkursiten Gesellschaft grundsätzlich bestanden habe, sei zwischen den beiden Gesellschaften unbestritten. Dieser Anspruch komme als Rechtsgrund für die an die Verfahrensbeteiligte 6 geleisteten Zahlungen in Frage. Damit sei ein hinreichender Tatverdacht nicht dargetan.
Daran vermöchten weder die auffälligen personellen Verflechtungen zwischen den Beteiligten etwas zu ändern (darunter der Umstand, dass der Beschuldigte auch aktuell noch Organ der hauptbegünstigten Verfahrensbeteiligten 6 sei), noch Besonderheiten im zeitlichen Kontext.
In einem separaten Strafverfahren sei ein Urteil vom 30. Oktober 2010 des Obergerichtes des Kantons Zug ergangen. In diesem Urteil sei erwogen worden, dass die Privatklägerin einen offensichtlich überhöhten Weizenpreis mit der später in Konkurs gegangenen Gesellschaft vereinbart habe und sich insofern "ebenfalls strafbar gemacht haben könnte". Deshalb seien die Darlegungen in der Strafanzeige der Privatklägerin "mit einer gewissen Vorsicht zu würdigen". Ein strafbares Verhalten des Beschuldigten gehe aus dem Zuger Urteil nicht hervor.
Auch aus den von der Staatsanwaltschaft bereits gesichteten (nicht der Siegelung unterliegenden) Bankunterlagen ergäben sich keine Verdachtsgründe. Zwar werde daraus ersichtlich, dass die "Gesuchstellerin 6" (recte: Gesuchsgegnerin 6 bzw. Verfahrensbeteiligte 6) mehrere Zahlungen an den Beschuldigten und die Verfahrensbeteiligte 4 getätigt habe. Diese Zahlungen würden (auch nach Ansicht der Vorinstanz) zwar Fragen aufwerfen "im Hinblick auf den Zahlungsgrund und die personellen Verflechtungen". Dennoch vermöchten die bisher gesichteten Bankunterlagen "weder alleine für sich betrachtet noch im Zusammenhang mit anderen Vorbringen einen hinreichenden Tatverdacht zu begründen".
Ob die weiteren Entsiegelungsvoraussetzungen erfüllt wären, prüfte das Zwangsmassnahmengericht nicht.
3.
Die Staatsanwaltschaft legt (im Wesentlichen zusammengefasst) Folgendes dar:
Bei der Forderung der Privatklägerin von USD 31 Mio. gegenüber der konkursiten Gesellschaft habe es sich um die Restkaufpreisforderung für die 2008 und 2009 erfolgte Lieferung von 400'000 Tonnen Weizen mit einem Gesamtkaufpreis von USD 140 Mio. gehandelt. Statt diese Restforderung zu begleichen, habe der beschuldigte Beschwerdegegner als Organ der Gesellschaft veranlasst, Geldbeträge in der Höhe von ca. USD 31 Mio. an die Verfahrensbeteiligten 4 und 6 zu überweisen. Die Zahlungen seien vermutlich ohne Rechtsgrund erfolgt.
Die in Konkurs gefallene Gesellschaft sei von Organen der Verfahrensbeteiligten 6 im Januar 2008 gegründet worden. Eines dieser Organe habe in der Folge darauf hingewirkt, dass Verträge mit zum Teil langjährigen Partnern der Verfahrensbeteiligten 6 nun mit der neu gegründeten Gesellschaft (nachfolgend: Gesellschaft) abgeschlossen wurden. Dazu habe auch der Weizenlieferungsvertrag mit der Privatklägerin gehört. Dieses Organ habe der Verfahrensbeteiligten 6 in strafbarer Weise einen Schaden zugefügt. Die Staatsanwaltschaft des Kantons Zug habe in diesem Zusammenhang Konten der Gesellschaft gesperrt. Später sei das genannte Gesellschaftsorgan vom Strafgericht des Kantons Zug rechtskräftig verurteilt worden. Gestützt auf die Vergleichsvereinbarung vom 26. Juli 2011 habe dieses Organ die Aktien der Gesellschaft für einen symbolischen Franken an eine Vertraute des Mehrheitsaktionärs der Verfahrensbeteiligten 6 verkauft. Der beschuldigte Beschwerdegegner sei gleichzeitig als einzelzeichnungsberechtigtes Mitglied des Verwaltungsrates der Gesellschaft eingesetzt worden.
Die Vergleichsvereinbarung vom 26. Juli 2011 sei abgeschlossen worden zwischen der Gesellschaft, der Person (in deren eigenem Namen), welche die Gesellschaft damals als Organ vertrat, dem beschuldigten Beschwerdegegner (in seinem eigenen Namen), der Verfahrensbeteiligten 6 (vertreten durch den Beschuldigten), dem mitbeschuldigten Mehrheitsaktionär der Verfahrensbeteiligten 6 sowie weiteren Beteiligten. In diesem Vergleich sei festgehalten worden, dass die Gesellschaft Verbindlichkeiten gegenüber der Privatklägerin gehabt habe. Die Parteien der Vergleichsvereinbarung seien übereingekommen, gegenseitig auf die künftige Geltendmachung von Rechten und Forderungen zu verzichten. Sie hätten sich als per Saldo aller Ansprüche auseinandergesetzt erklärt. Nach Vorliegen dieses Vergleiches habe die Zuger Staatsanwaltschaft die Kontensperren zulasten der Gesellschaft wieder aufgehoben.
Ebenfalls am 26. Juli 2011 sei eine "Zusatzvereinbarung" zwischen der Gesellschaft und der Verfahrensbeteiligten 6 abgeschlossen worden. Beide Aktiengesellschaften seien dabei nunmehr je durch den beschuldigten Beschwerdegegner als Organ vertreten worden. In dieser Zusatzvereinbarung sei festgehalten worden, dass die genannte Vergleichsvereinbarung mit Per-Saldo-Erklärung nicht die (vor dem Bezirksgericht Meilen geltend gemachten) Schadenersatzansprüche der Verfahrensbeteiligten 6 gegenüber der Gesellschaft betroffen hätte. Vielmehr seien sich diese beiden Parteien (laut der Zusatzvereinbarung) einig gewesen, dass die Vergleichsvereinbarung dem Zweck gedient hätte, das bei der Gesellschaft noch vorhandene Vermögen soweit als möglich der Verfahrensbeteiligten 6 zuzuwenden. Nach Auslösung der inkriminierten Zahlungen in der Höhe von ca. USD 31 Mio. an die Verfahrensbeteiligten 4 und 6 sei dasselbe nochmals in einer weiteren Vereinbarung vom 20. Januar 2012 zwischen der Gesellschaft und der Verfahrensbeteiligten 6 bekräftigt worden.
Zwischen dem 19. August und 12. September 2011 habe der Beschuldigte für die Gesellschaft die verdächtigen Zahlungen an die Verfahrensbeteiligten 4 und 6 geleistet. Die Zahlungen hätten zur Überschuldung der Gesellschaft geführt. Mit Beschluss ihrer Generalversammlung vom 15. November 2011 habe sie sich aufgelöst. Am 23. September 2014 habe das Obergericht des Kantons Zug der Privatklägerin die provisorische Rechtsöffnung für ihre Forderung gegen die Gesellschaft im Betrag von knapp Fr. 30 Mio. gewährt. Am 20. Oktober 2014 sei der Konkurs über die Gesellschaft eröffnet worden. In einem konnexen Verfahren habe auch das Obergericht des Kantons Zürich in diesem Zusammenhang einen hinreichenden Tatverdacht bejaht.
Die Staatsanwaltschaft rügt eine Verletzung von <ref-law>. Die Vorinstanz habe den hinreichenden Tatverdacht von ungetreuer Geschäftsbesorgung und Konkursdelikten zu Unrecht verneint.
4.
4.1. Das Zwangsmassnahmengericht hat im Vorverfahren darüber zu entscheiden, ob rechtlich geschützte Geheimnisinteressen, welche von der Inhaberin oder dem Inhaber der versiegelten Aufzeichnungen und Gegenstände angerufen werden, einer Durchsuchung und weiteren strafprozessualen Verwendung durch die Strafverfolgungsbehörde entgegenstehen (<ref-law>; <ref-ruling> E. 4.1 S. 81; <ref-ruling> E. 4 S. 194 f.; <ref-ruling> E. 4.1-4.6 S. 65 ff.). Strafprozessuale Zwangsmassnahmen setzen unter anderem voraus, dass ein hinreichender Tatverdacht einer Straftat vorliegt (<ref-law>; <ref-ruling> E. 1.3.1 S. 90).
4.2. Im Gegensatz zum erkennenden Sachrichter hat das Zwangsmassnahmengericht bei der Überprüfung des hinreichenden Tatverdachtes (<ref-law>) keine erschöpfende Abwägung sämtlicher belastender und entlastender Beweisergebnisse vorzunehmen. Bestreitet die beschuldigte Person den Tatverdacht, ist vielmehr zu prüfen, ob aufgrund der bisherigen Untersuchungsergebnisse genügend konkrete Anhaltspunkte für eine Straftat und eine Beteiligung der beschuldigten Person an dieser Tat vorliegen, die Strafbehörden somit das Bestehen eines hinreichenden Tatverdachts mit vertretbaren Gründen bejahen durften. Hinweise auf eine strafbare Handlung müssen erheblich und konkreter Natur sein, um einen hinreichenden Tatverdacht begründen zu können (<ref-ruling> E. 1.3.1 S. 90; <ref-ruling> E. 3.2 S. 126). Auch über die gerichtliche Verwertbarkeit von Beweismitteln ist in der Regel noch nicht im Untersuchungsverfahren abschliessend zu entscheiden (<ref-ruling> E. 1 S. 291 f. mit Hinweisen). Zur Frage des Tatverdachtes bzw. zur Schuldfrage hat das Bundesgericht weder ein eigentliches Beweisverfahren durchzuführen, noch dem erkennenden Strafrichter vorzugreifen (BGE <ref-ruling> E. 3.2 S. 126 f.).
4.3. Wer aufgrund des Gesetzes oder eines Rechtsgeschäfts damit betraut ist, Vermögen eines andern zu verwalten oder eine solche Vermögensverwaltung zu beaufsichtigen, und dabei unter Verletzung seiner Pflichten bewirkt oder zulässt, dass der andere am Vermögen geschädigt wird, wird mit Freiheitsstrafe bis zu drei Jahren oder Geldstrafe bestraft (<ref-law>).
Betrügerischen Konkurs begeht der Schuldner, der zum Schaden der Gläubiger sein Vermögen zum Scheine vermindert, namentlich Vermögenswerte beiseiteschafft oder verheimlicht, Schulden vortäuscht, vorgetäuschte Forderungen anerkennt oder deren Geltendmachung veranlasst. Er wird, wenn über ihn der Konkurs eröffnet worden ist, mit Freiheitsstrafe bis zu fünf Jahren oder Geldstrafe bestraft (<ref-law>). Unter den gleichen Voraussetzungen wird der Dritte, der zum Schaden der Gläubiger eine solche Handlung vornimmt, mit Freiheitsstrafe bis zu drei Jahren oder Geldstrafe bestraft (<ref-law>).
Gläubigerschädigung durch Vermögensminderung begeht der Schuldner, der zum Schaden der Gläubiger sein Vermögen vermindert, indem er Vermögenswerte unentgeltlich oder gegen eine Leistung mit offensichtlich geringerem Wert veräussert, ohne sachlichen Grund anfallende Rechte ausschlägt oder auf Rechte unentgeltlich verzichtet. Er wird, wenn über ihn der Konkurs eröffnet worden ist, mit Freiheitsstrafe bis zu fünf Jahren oder Geldstrafe bestraft (<ref-law>). Unter den gleichen Voraussetzungen wird der Dritte, der zum Schaden der Gläubiger eine solche Handlung vornimmt, mit Freiheitsstrafe bis zu drei Jahren oder Geldstrafe bestraft (<ref-law>).
Der Schuldner, der im Bewusstsein seiner Zahlungsunfähigkeit und in der Absicht, einzelne seiner Gläubiger zum Nachteil anderer zu bevorzugen, darauf abzielende Handlungen vornimmt (insbesondere nicht verfallene Schulden bezahlt) wird, wenn über ihn der Konkurs eröffnet worden ist, mit Freiheitsstrafe bis zu drei Jahren oder Geldstrafe bestraft (<ref-law>). Eine besondere Pflicht, deren Verletzung die Strafbarkeit begründet und die nur der juristischen Person obliegt, wird gemäss <ref-law> einer natürlichen Person zugerechnet, wenn diese als Organ (oder als Mitglied eines Organs) der juristischen Person handelt (lit. a) oder als Mitarbeiter mit selbständigen Entscheidungsbefugnissen in seinem Tätigkeitsbereich der juristischen Person (lit. c).
5.
5.1. Aus den Untersuchungsakten ergeben sich zunächst enge personelle und wirtschaftliche Verflechtungen zwischen den Kontrahenten der Vergleichsvereinbarung vom 26. Juli 2011 und der Zusatzvereinbarung des gleichen Datums:
Nach den unbestrittenen Feststellungen der Vorinstanz wurde die Vergleichsvereinbarung abgeschlossen zwischen dem Beschuldigten (in seinem eigenen Namen), der Verfahrensbeteiligten 6 (vertreten durch den Beschuldigten), dem mitbeschuldigten Mehrheitsaktionär der Verfahrensbeteiligten 6, der später in Konkurs gefallenen Gesellschaft, der Person (in deren eigenem Namen), welche diese Gesellschaft damals noch als Organ vertrat sowie weiteren Beteiligten. In dieser Vereinbarung wurde (unter anderem) der Beschuldigte neu als einzelzeichnungsberechtigter Verwaltungsrat dieser Gesellschaft eingesetzt. Parteien der (unmittelbar darauf abgeschlossenen) "Zusatzvereinbarung" vom 26. Juli 2011 waren diese Gesellschaft, nunmehr vertreten durch den Beschuldigten, und die Verfahrensbeteiligte 6, ebenfalls vertreten durch den Beschuldigten.
5.2. Der beschuldigte Beschwerdegegner stellt sich (wie schon im vorinstanzlichen Verfahren) auf den Standpunkt, aus der Zusatzvereinbarung vom 26. Juli 2011 ergebe sich ein wirtschaftlich nachvollziehbarer Rechtsgrund für die verdächtigen Überweisungen in der Höhe von ca. Fr. 31 Mio. Die Verfahrensbeteiligte 6 habe (unbestrittenermassen) einen Schadenersatzanspruch gegenüber der konkursiten Gesellschaft (nachfolgend: Gesellschaft) gehabt, und die Vergleichsvereinbarung vom 26. Juli 2011 habe dem Zweck gedient, das bei der Gesellschaft noch vorhandene Vermögen soweit als möglich der Verfahrensbeteiligten 6 zuzuwenden. Dieser Schadenersatzanspruch sei aber nicht Gegenstand der Vergleichsvereinbarung mit gegenseitiger Per-Saldo-Erklärung gewesen. Den Kontrahenten der Vergleichsvereinbarung sei vielmehr "klar gewesen", dass die liquiden Mittel der Gesellschaft prioritär für die Befriedigung des Schadenersatzanspruches der Verfahrensbeteiligten 6 hätten verwendet werden sollen.
5.3. Diese Argumentation findet in den Akten keine Stütze, wie auch die Vorinstanz ausdrücklich einräumt: Unbestrittenermassen haben die Parteien des Vergleiches nicht schriftlich vereinbart, dass der Schadenersatzanspruch von der Vergleichsvereinbarung ausgenommen würde. Diese Interpretation findet sich erst in der "Zusatzvereinbarung" des gleichen Datums. Diese Zusatzvereinbarung wurde aber nicht zwischen den Parteien des Vergleiches abgeschlossen, sondern zwischen der genannten Gesellschaft (vertreten durch den Beschuldigten) und der Verfahrensbeteiligten 6 (ebenfalls vertreten durch den Beschuldigten).
5.4. Die Staatsanwaltschaft erhebt den Vorwurf, die auf die "Zusatzvereinbarung" gestützten Zahlungen und der nachfolgende Konkurs hätten dem Zweck gedient, die Gesellschaft bzw. deren Gläubiger am Vermögen zu schädigen. Zwar weist die Vorinstanz auf den Umstand hin, dass ein Schadenersatzanspruch der Verfahrensbeteiligten 6 gegenüber der Gesellschaft grundsätzlich unbestritten gewesen sei. Dieses Vorbringen lässt den Tatverdacht in der vorliegenden Konstellation jedoch nicht dahinfallen: Die Staatsanwaltschaft legt dar, dass infolge der fraglichen Auseinandersetzungen die Vergleichsvereinbarung vom 26. Juli 2011 erfolgt sei. Ein an der Gesellschaft Berechtigter habe im Rahmen des Per-Saldo-Vergleichs die Aktien der Gesellschaft für einen symbolischen Franken an eine Vertraute des Mehrheitsaktionärs der Verfahrensbeteiligten 6 verkauft. Wieso der Schadenersatzstreit dennoch nicht Gegenstand dieses Vergleiches (mit gegenseitiger Per-Saldo-Erklärung) gewesen sein sollte, wie der beschuldigte Beschwerdegegner es behauptet, wird weder von ihm noch von der Vorinstanz nachvollziehbar dargelegt. Ebenso wenig wird erklärt, aus welchem Grund die Zuger Staatsanwaltschaft (nach Kenntnisnahme des Vergleiches) die Kontensperren gegen die Gesellschaft hätte aufheben sollen, wenn ausgerechnet der strafrechtlich zur Anzeige gebrachte Schadenersatzanspruch der Verfahrensbeteiligten 6 angeblich gar nicht Gegenstand des Vergleiches gewesen sein sollte.
5.5. Die bisherigen Untersuchungsergebnisse begründen den hinreichenden Verdacht (<ref-law>), dass die fragliche "Zusatzvereinbarung" als Vorwand gedient haben könnte für die Verschiebung sämtlicher Aktiven der später in Konkurs gefallenen Gesellschaft an die Verfahrensbeteiligten 4 und 6, zum wirtschaftlichen Nachteil der Gesellschaft selbst sowie (mittelbar) ihrer Gläubiger. Dabei ist nicht nur den personellen und wirtschaftlichen Verflechtungen zwischen dem beschuldigten Beschwerdegegner, einem Mitbeschuldigten und den beteiligten Personen und Gesellschaften Rechnung zu tragen, sondern auch den auffälligen zeitlichen Koinzidenzen zwischen den Vertragsabschlüssen, Ernennungen zu Gesellschaftsorganen, hohen Zahlungen und der Auflösung der Gesellschaft. Ebenso ist mitzuberücksichtigen, dass (nach den Feststellungen der Vorinstanz) im Anschluss an die verdächtigen Zahlungen an die Verfahrensbeteiligte 6 weitere ungeklärte Geldtransfers von dieser an den Beschuldigten (und an weitere mit ihm verflochtene Gesellschaften bzw. Personen) erfolgt sind. Ziel des Entsiegelungsgesuches ist es, die dargelegten Verdachtsgründe mithilfe der edierten und versiegelten Bankunterlagen zu erhellen. Über das Dargelegte hinaus ist der Strafbehörde, welche den Endentscheid zu fällen haben wird, nicht vorzugreifen (zur betreffenden Praxis des Bundesgerichtes s. oben, E. 4.2).
5.6. Die Verneinung eines hinreichenden Tatverdachtes von ungetreuer Geschäftsbesorgung und Konkursdelikten hält hier nach dem Gesagten vor dem Bundesrecht (<ref-law>) nicht stand. Die Beschwerde ist gutzuheissen und der angefochtene Entscheid aufzuheben. Die Vorinstanz hat die übrigen Entsiegelungsvoraussetzungen nicht geprüft. Es ist für das Bundesgericht auch nicht aus den Akten des vorinstanzlichen Verfahrens erkennbar, ob die gesetzlichen Voraussetzungen erfüllt sind oder nicht. Die Sache ist daher - entsprechend dem Hauptantrag der Staatsanwaltschaft - an die Vorinstanz zurückzuweisen zur Neubeurteilung bzw. Prüfung der restlichen Entsiegelungsvoraussetzungen.
6.
Die Beschwerde ist gutzuheissen, der angefochtene Entscheid aufzuheben und die Sache an die Vorinstanz zurückzuweisen zur Neubeurteilung des Entsiegelungsgesuches.
Die Gerichtskosten sind dem in der Sache unterliegenden Beschwerdegegner aufzuerlegen (<ref-law>). Parteientschädigungen sind nicht zuzusprechen (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird gutgeheissen, die Verfügung vom 12. Juli 2016 des Bezirksgerichts Zürich, Zwangsmassnahmengericht, aufgehoben und die Sache zur Neubeurteilung an die Vorinstanz zurückgewiesen.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 3'000.-- werden A._ auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten und dem Bezirksgericht Zürich, Zwangsmassnahmengericht, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 23. November 2016
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Fonjallaz
Der Gerichtsschreiber: Forster