Sachverhalt:
A.
A.a. A.A._ und C._ heirateten im September 1996. Während der Ehe wurde im Oktober 1996 die Tochter B.A._ geboren. Mit Urteil vom 29. Juli 2004 des Bezirksgerichts Zurzach wurde die Ehe geschieden und das Kind unter die elterliche Sorge der Mutter gestellt.
A.b. Am 1. Juni 2010 wurde C._ von ihrem damaligen Partner getötet. B.A._, welche zum Tatzeitpunkt zugegen war, trug eine Schussverletzung davon, bevor sich der Täter selbst richtete.
A.c. Mit Schreiben vom 5. Juli 2010 beauftragte der Gemeinderat U._ die Jugend-, Ehe- und Familienberatung, Bezirk Zurzach, die familiäre Situation und die persönlichen Verhältnisse von A.A._ zu prüfen und zur Frage Stellung zu nehmen, ob diesem - welcher dazu bereit gewesen wäre - das Sorgerecht für B.A._ übertragen werden könne. Einem Bericht dieser Behörde vom 23. September 2010 ist u.a. zu entnehmen, dass B.A._ Zweifel an der (biologischen Vaterschaft) von A.A._ geäussert habe und dass sich dieser daraufhin für einen Vaterschaftstest ausgesprochen habe.
A.d. Gemäss einem Gutachten des Instituts für Rechtsmedizin der Universität Zürich vom 9. Februar 2015 kann A.A._ aufgrund der DNA-Befunde als Vater von B.A._ mit Sicherheit ausgeschlossen werden.
B.
Mit Eingabe vom 9. März 2015 an das Bezirksgericht Zurzach reichte A.A._ gegen B.A._ eine Anfechtungsklage ein und beantragte, seine Vaterschaft gegenüber B.A._ sei rückwirkend auf den Zeitpunkt der Geburt aufzuheben. Am 10. August 2015 wies das Bezirksgericht die Klage ab.
Das Obergericht des Kantons Aargau wies mit Entscheid vom 19. Januar 2016 die von A.A._ dagegen erhobene Berufung ab.
C.
Mit Beschwerde in Zivilsachen vom 14. März 2016 gelangt A.A._ an das Bundesgericht. Der Beschwerdeführer beantragt, den obergerichtlichen Entscheid aufzuheben und die Klage gutzuheissen.
Das Bundesgericht hat die kantonalen Akten beigezogen, hingegen keine Vernehmlassungen eingeholt.

Erwägungen:
1.
Angefochten ist ein kantonal letztinstanzlicher Endentscheid (Art. 75 Abs. 1 und Art. 90 BGG) über eine Klage auf Anfechtung der Vermutung der Vaterschaft gemäss <ref-law>. Es liegt eine Zivilsache (<ref-law>) in einer nicht vermögensrechtlichen Angelegenheit vor. Die rechtzeitig erhobene Beschwerde in Zivilsachen ist somit grundsätzlich zulässig.
2.
Im vorliegenden Fall steht fest und ist unbestritten, dass kraft der (damaligen) Ehe zwischen dem Beschwerdeführer und der Mutter der Beschwerdegegnerin ein rechtliches Kindesverhältnis zwischen dem Beschwerdeführer und der Beschwerdegegnerin begründet wurde (vgl. Art. 252 Abs. 2 und Art. 255 Abs. 1 ZGB). Der Beschwerdeführer hat die Anfechtungsklage nach Ablauf der absoluten Verwirkungsfrist von fünf Jahren seit der Geburt des Kindes eingereicht. Streitig und zu prüfen ist, ob sich der Beschwerdeführer auf Entschuldigungsgründe gemäss <ref-law> berufen kann.
2.1. Die Bestimmungen über die Wiederherstellung der Klagefrist sind restriktiv anzuwenden. Die Beurteilung der wichtigen Gründe, die eine verspätete Anfechtung entschuldigen sollen, hat nach einem strengen Massstab zu erfolgen (<ref-ruling> E. 6.1.1 S. 594 f.; <ref-ruling> E. 2.2 S. 4 mit Hinweisen). Ob ein wichtiger Grund gegeben ist, hat der Richter gemäss <ref-law> unter Würdigung der einschlägigen Umstände nach Recht und Billigkeit zu entscheiden (<ref-ruling> E. 1 S. 155; Urteil 5A_240/2011 vom 6. Juli 2011 E. 6.2.2, in: FamPra.ch 2011 S. 1007). Das Bundesgericht auferlegt sich bei der Überprüfung solcher Ermessensentscheide eine gewisse Zurückhaltung. Es schreitet nur dann ein, wenn die kantonale Instanz von dem ihr zustehenden Ermessen falschen Gebrauch gemacht hat, das heisst grundlos von den in Lehre und Rechtsprechung entwickelten Grundsätzen abgegangen wird, wenn Tatsachen berücksichtigt werden, die keine Rolle hätten spielen dürfen, oder wenn umgekehrt Umstände ausser Betracht geblieben sind, die hätten beachtet werden müssen (<ref-ruling> E. 3.1 S. 425).
2.2. Die Vorinstanz hat erwogen, der Beschwerdeführer habe mit der Mutter der Beschwerdegegnerin in der Zeit vor der Eheschliessung eine Aussprache gehabt, ob er tatsächlich der Vater des Kindes sei. Die (Ex-) Ehefrau des Beschwerdeführers habe gegenüber diesem aber weder zu diesem Zeitpunkt noch später Zweifel an der biologischen Vaterschaft geäussert. Erst nach der Scheidung sei es nach der unbestrittenen Darstellung des Beschwerdeführers zu Gerüchten gekommen, dass er allenfalls nicht der Vater der Beschwerdegegnerin sei. Diese Gerüchte hätten aber nicht von der Mutter der Beschwerdegegnerin, sondern vom geschiedenen Ehemann ihrer Schwester gestammt. Das Unterlassen von Abklärungen hinsichtlich der Vaterschaft erscheine daher im damaligen Zeitpunkt noch entschuldbar.
Kurz nach dem Tod ihrer Mutter im Jahr 2010 habe die Beschwerdegegnerin diesem gegenüber allerdings selbst mitgeteilt, dass er möglicherweise nicht ihr biologischer Vater sei. Der Beschwerdeführer habe umgehend nach dieser Äusserung eine DNA-Analyse verlangt, was von der Beiständin der Beschwerdegegnerin abgelehnt worden sei. Die geforderte Intensität der Zweifel sei damit - nicht zuletzt auch vor dem Hintergrund der bereits in der Vergangenheit bestehenden Gerüchte - offensichtlich erreicht worden.
Der Beschwerdeführer mache in seiner Berufung im Wesentlichen geltend, er habe die Beschwerdegegnerin aus Rücksicht auf die damalige Situation (Tötung der Mutter durch ihren damaligen Partner und schwere Verletzung der Beschwerdegegnerin selbst) nicht zusätzlich mit einem Vaterschaftsgutachten gegen ihren Willen belasten wollen. Allerdings erscheine diese vom Beschwerdeführer behauptete Rücksichtnahme auf die Befindlichkeit der Beschwerdegegnerin lediglich vorgeschoben. Aus seinen Äusserungen im erstinstanzlichen Verfahren müsse gefolgert werden, dass für ihn nicht die behauptete Rücksichtnahme auf die Beschwerdegegnerin als Beweggrund im Vordergrund gestanden habe, sondern vielmehr die Annahme, dass gegen deren Willen ein Vaterschaftstest nicht möglich sei. Auch der Umstand, dass der Beschwerdeführer mit dem Vaterschaftstest bis kurz nach Erreichen der Volljährigkeit der Beschwerdegegnerin zugewartet habe, unterstreiche diese Motivationslage. Ob dem Beschwerdeführer bekannt gewesen sei, dass ein Gericht ein DNA-Gutachten auch gegen den Willen des Betroffenen anordnen könne, sei unerheblich, da der angebliche diesbezügliche Irrtum über die Rechtslage eine verspätete Klageanhebung nicht zu entschuldigen vermöge. Inwiefern mit der Verweigerung der Zustimmung zur Erstellung eines DNA-Gutachtens durch die Beiständin der Beklagten im Jahr 2010 rechtsmissbräuchliches Verhalten vorliegen solle, welches eine Wiederherstellung der Anfechtungsfrist rechtfertige, sei sodann nicht erkennbar. Auch der Beschwerdegegnerin könne kein rechtsmissbräuchliches Verhalten vorgeworfen werden, wenn sie sich trotz der nach Erreichen der Mündigkeit erteilten Zustimmung zum Vaterschaftstest auf den Standpunkt stelle, das Anfechtungsrecht des Beschwerdeführers sei verwirkt.
2.3. Der Beschwerdeführer stellt vor Bundesgericht nicht mehr in Frage, dass die erforderliche Intensität der Zweifel bereits in der zweiten Hälfte des Jahres 2010 erreicht war, zu welchem Zeitpunkt er auch erstmals eine DNA-Analyse verlangt hatte (vgl. dazu Urteil 5C_130/2003 vom 14. Oktober 2003 E. 1.2, in: FamPra.ch 2004, S. 142 ff., insb. 144). In der Folge hat er mit der Anfechtung der Vaterschaft rund viereinhalb Jahre zugewartet. Zur Rechtfertigung dieses Zuwartens macht er einzig noch geltend, es sei für ihn ein Gebot der Menschlichkeit gewesen, die Beschwerdegegnerin nach dem schweren Schicksalsschlag zu verschonen und ihr Zeit zur Genesung zu lassen. Nachdem die Beschwerdegegnerin sodann mündig geworden sei, habe sie sich freiwillig zu einer DNA-Untersuchung bereit erklärt. Indem die Vorinstanz seine menschlich wohl einzig richtige Haltung nicht gewürdigt habe, habe sie im Rahmen ihres Ermessens in stossender Weise ungerecht entschieden. Ausserdem verstosse das Verhalten der Beschwerdegegnerin in massiver Weise gegen den Grundsatz von Treu und Glauben. Die Widersprüchlichkeit liege darin, dass die Beschwerdegegnerin die Abklärung zwar gewollt habe und freiwillig dazu Hand geboten habe, das Resultat der Untersuchung aber dann ablehne, weil es für sie ungünstig sei. Indem die Vorinstanz dies in ihrem Ermessensentscheid unbeachtet gelassen habe, verletze sie <ref-law>.
2.4. Entgegen der Auffassung des Beschwerdeführers kann das Verhalten der Beschwerdegegnerin nicht als treuwidrig bezeichnet werden. Es entspricht einem legitimen Bedürfnis, die eigene Abstammung kennen zu wollen. Aus dem blossen Umstand der Zustimmung zu einem Vaterschaftstest kann keinesfalls geschlossen werden, die zustimmende Person werde für den Fall einer Feststellung der fehlenden biologischen Vaterschaft bzw. einer auf dieser Erkenntnis basierenden Anfechtungsklage keine Einwände gegen die angestrebte Aufhebung des rechtlichen Kindesverhältnisses erheben. Die vorinstanzlichen Erwägungen sind diesbezüglich nicht zu beanstanden. Mit seinen weiteren Ausführungen übergeht der Beschwerdeführer insbesondere die gestützt auf die konkreten Gesamtumstände gezogene Schlussfolgerung der Vorinstanz, seine behauptete Rücksichtnahme auf die Befindlichkeit der Beschwerdegegnerin nach dem schrecklichen Ereignis vom 1. Juni 2010 sei lediglich vorgeschoben. Die Feststellung des Motivs des Beschwerdeführers für das Zuwarten mit der Anfechtungsklage betrifft eine Tatfrage. Der Beschwerdeführer zeigt diesbezüglich keine offensichtlich unrichtige Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz auf; diese ist für das Bundesgericht folglich verbindlich (vgl. Art. 105 Abs. 1 und 2 sowie <ref-law>). Soweit sich der Beschwerdeführer überhaupt ernsthaft mit der vorinstanzlichen Begründung auseinandersetzt, kann seinem Antrag nicht gefolgt werden.
3.
Aus den dargelegten Gründen muss die Beschwerde abgewiesen werden, soweit darauf eingetreten werden kann. Bei diesem Verfahrensausgang hat der Beschwerdeführer für die Gerichtskosten aufzukommen (<ref-law>). Der Gegenpartei ist kein entschädigungspflichtiger Aufwand entstanden (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 2'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Aargau, Zivilgericht, 1. Kammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 3. Juni 2016
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: von Werdt
Der Gerichtsschreiber: Buss