Sachverhalt:
A.
B._ will A._ zur Bezahlung von Fr. 60'919.-- zwingen. Er wandte sich deshalb an das Betreibungsamt U._ (LU). Dieses erliess am 9. September 2016 den Zahlungsbefehl Nr. xxx. A._ erhob Rechtsvorschlag.
B.
B.a. Darauf ersuchte B._ das Bezirksgericht Willisau (Einzelrichterin) um definitive Rechtsöffnung für den erwähnten Betrag zuzüglich 5 % Verzugszinsen seit 1. Mai 2010. Er stützte sein Begehren auf ein Urteil des Oberlandesgerichts Köln (Deutschland) vom 17. Dezember 2015. Darin wurde A._ zusammen mit C._ als Gesamtschuldnerin verurteilt, B._ Euro 55'885.95 zuzüglich Zins zu 5 % seit 1. Mai 2010 zu bezahlen.
B.b. Mit Entscheid vom 3. Januar 2017 erteilte das Bezirksgericht B._ für den Betrag von Fr. 60'919.05 die definitive Rechtsöffnung. Auf das weitergehende Begehren trat das Bezirksgericht nicht ein.
B.c. A._ wehrte sich dagegen vor dem Kantonsgericht Luzern. Dieses wies ihre Beschwerde ab (Entscheid vom 8. März 2017).
C.
C.a. Mit Beschwerde vom 24. April 2017 wendet sich A._ (Beschwerdeführerin) an das Bundesgericht. Sie stellt das Begehren, den angefochtenen Entscheid aufzuheben. Ausserdem ersucht sie darum, ihrer Beschwerde bis zur Rechtskraft eines Urteils des Bundesgerichts die aufschiebende Wirkung zu erteilen.
C.b. Mit Verfügung vom 25. April 2017 lud das Bundesgericht B._ (Beschwerdegegner) ein, zu diesem prozessualen Antrag Stellung zu nehmen. In der Folge entsprach das präsidierende Mitglied der II. zivilrechtlichen Abteilung dem Gesuch um aufschiebende Wirkung (Verfügung vom 31. Mai 2017). Zugleich stellte es der Beschwerdeführerin die Stellungnahme vom 8. Mai 2017 zu, in der sich der Beschwerdegegner nicht nur zum Gesuch um aufschiebende Wirkung äussert, sondern auch die Abweisung der Beschwerde beantragt.

Erwägungen:
1.
Die Beschwerde richtet sich gegen den Endentscheid einer letzten kantonalen Instanz in einer vermögensrechtlichen Schuldbetreibungs- und Konkurssache (Art. 72 Abs. 2 Bst. a, 75, 90 BGG). Die gesetzliche Streitwertgrenze von Fr. 30'000.-- (Art. 74 Abs. 1 Bst. b BGG) ist erreicht, die Beschwerdefrist eingehalten (Art. 100 i.V.m. 46 Abs. 1 Bst. a BGG). Von daher steht die Beschwerde in Zivilsachen an sich offen.
2.
2.1. Die Beschwerde an das Bundesgericht ist ein reformatorisches Rechtsmittel (<ref-law>). Die rechtsuchende Partei darf sich grundsätzlich nicht darauf beschränken, die Aufhebung des angefochtenen Entscheids zu verlangen. Sie muss einen Antrag in der Sache stellen, also konkret angeben, welche Punkte des kantonalen Entscheids sie anficht und inwiefern das Bundesgericht den angefochtenen Entscheid abändern soll. Ein blosser Aufhebungsantrag genügt hierzu nicht und macht die Beschwerde an sich unzulässig. Ausnahmsweise reicht ein blosser Rückweisungsantrag aus, wenn das Bundesgericht im Falle einer Gutheissung in der Sache naturgemäss nicht selbst entscheiden könnte (<ref-ruling> E. 1.2 S. 112; <ref-ruling> E. 2 S. 236 f.; <ref-ruling> E. 1.3 S. 383). Für die Auslegung der Rechtsbegehren kann das Bundesgericht die Begründung der Beschwerde heranziehen (<ref-ruling> E. 1.2 S. 136).
2.2. Hier begnügt sich die Beschwerdeführerin damit, die Aufhebung des angefochtenen Entscheids zu beantragen. Sie stellt weder ein reformatorisches Begehren, noch verlangt sie förmlich, die Sache an die Vorinstanz zurückzuweisen. Ihrer Beschwerdebegründung ist aber zu entnehmen, dass sie wegen einer angeblichen Gehörsverletzung um Rückweisung an die Vorinstanz ersucht und im Übrigen in der Sache zumindest sinngemäss die Abweisung des Rechtsöffnungsgesuchs verlangt. Insofern ist dem Erfordernis eines reformatorischen Antrags Genüge getan.
3.
3.1. Im ordentlichen Beschwerdeverfahren sind vor Bundesgericht in rechtlicher Hinsicht alle Rügen gemäss Art. 95 f. BGG zulässig. Das Bundesgericht wendet das Recht in diesem Bereich von Amtes wegen an (<ref-law>) und prüft mit freier Kognition, ob der angefochtene Entscheid Recht verletzt. Es befasst sich aber nur mit formell ausreichend begründeten Rügen (<ref-ruling> E. 1.1 S. 104 f.; s. auch Urteil 5A_92/2008 vom 25. Juni 2008 E. 2.3). Nach <ref-law> ist in der Begründung in gedrängter Form darzulegen, inwiefern der angefochtene Akt Recht verletzt. Die Begründung muss in der Beschwerde selbst enthalten sein. Blosse Verweise auf die den Vorinstanzen eingereichten Rechtsschriften genügen den Anforderungen von <ref-law> nicht (Urteil 5A_512/2007 vom 17. April 2008 E. 1.5 mit Hinweisen, nicht publ. in: <ref-ruling>). Die Beschwerdeführerin muss auf den angefochtenen Entscheid eingehen und im Einzelnen aufzeigen, worin eine Verletzung von Bundesrecht liegt. Sie soll im Schriftsatz mit ihrer Kritik an den Erwägungen der Vorinstanz ansetzen, die sie als rechtsfehlerhaft erachtet (vgl. <ref-ruling> E. 2a S. 400; Urteil 4A_22/2008 vom 10. April 2008 E. 1). Allgemein gehaltene Einwände, die sie ohne aufgezeigten oder erkennbaren Zusammenhang mit bestimmten Entscheidungsgründen vorbringt, genügen nicht (<ref-ruling> E. 3 S. 749).
3.2. Für Vorbringen betreffend die Verletzung verfassungsmässiger Rechte gilt das Rügeprinzip (<ref-law>; <ref-ruling> E. 1.4.2 S. 254). Die Beschwerdeschrift muss die wesentlichen Tatsachen und eine kurz gefasste Darlegung darüber enthalten, welche verfassungsmässigen Rechte bzw. welche Rechtssätze inwiefern durch den angefochtenen Entscheid verletzt worden sind. Das Bundesgericht prüft nur klar und detailliert erhobene und soweit möglich belegte Rügen. Auf ungenügend begründete Rügen und rein appellatorische Kritik am angefochtenen Entscheid tritt es nicht ein (<ref-ruling> E. 1.2.2 S. 286; <ref-ruling> E. 2.2 S. 246).
3.3. Bei alledem ist das Bundesgericht an den Sachverhalt gebunden, den die Vorinstanz festgestellt hat (<ref-law>). Gegen die tatsächlichen Feststellungen der Vorinstanz kann der Beschwerdeführer lediglich einwenden, sie seien offensichtlich unrichtig, das heisst willkürlich (<ref-ruling> E. 1.2.2. S. 252, mit Hinweisen), oder würden auf einer anderen Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruhen (Urteil 5A_374/2010 vom 9. Juli 2010 E. 1), was wiederum präzise geltend zu machen ist (Rügeprinzip; <ref-law>).
4.
In der Sache dreht sich der Streit um die Frage, ob der (vorfrageweisen) Anerkennung des Urteils des Oberlandesgerichts Köln vom 17. Dezember 2015 im Rechtsöffnungsverfahren (s. Sachverhalt Bst. B.a) Einwendungen gemäss Art. 34 f. des Übereinkommens über die gerichtliche Zuständigkeit und die Anerkennung und Vollstreckung von Entscheidungen in Zivil- und Handelssachen vom 30. Oktober 2007 (Lugano-Übereinkommen, LugÜ; SR 0.275.12) entgegenstehen. Vorab rügt die Beschwerdeführerin indessen in verschiedener Hinsicht eine Verletzung ihres Anspruchs auf rechtliches Gehör. Angesichts der formellen Natur des Gehörsanspruchs (<ref-ruling> E. 3 S. 118; <ref-ruling> E. 4a S. 469) sind die in diesem Zusammenhang erhobenen Vorwürfe vorweg zu prüfen.
5.
5.1. Die Beschwerdeführerin beklagt sich darüber, dass ihr das Bezirksgericht keine Gelegenheit gegeben habe, sich zu den Dokumenten und Unterlagen zu äussern, die der Beschwerdegegner mit seiner Vernehmlassung eingereicht hatte. Erst mit dem Rechtsmittel an das Kantonsgericht habe sie reagieren und so den Verfahrensmangel heilen können. In diesem Sinne habe der erstinstanzliche Entscheid "Anlass und Veranlassung gegeben", diese Verfahrensverletzung und Verletzung des rechtlichen Gehörs durch Nachreichen entsprechender Unterlagen zu heilen. Gestützt auf die Verfahrensgarantien gemäss <ref-law> seien neue Beweismittel bzw. Tatsachen "in jedem Fall immer zulässig", wenn ein entsprechender angefochtener Entscheid dazu Anlass gebe. Deshalb verletze die Vorinstanz die verfassungsmässig garantierten Mitwirkungsrechte und den Anspruch auf rechtliches Gehör, wenn sie die fraglichen Vorbringen als verspätet taxiere.
5.2. Mit diesen Überlegungen vermag die Beschwerdeführerin vor Bundesgericht nichts auszurichten. Soweit sie eine Verletzung ihres Gehörsanspruchs durch das Bezirksgericht rügt, ist sie damit vor Bundesgericht mangels materieller Erschöpfung des Instanzenzugs nicht zu hören, denn sie hat diesen Vorwurf im kantonalen Rechtsmittelverfahren nicht erhoben. Untersteht ein Vorbringen im Verfahren der Beschwerde in Zivilsachen - wie die Rüge der Verletzung verfassungsmässiger Rechte (E. 3.2) - dem Rügeprinzip, so ergibt sich aus dem Erfordernis der Letztinstanzlichkeit des angefochtenen Entscheides (<ref-law>), dass die rechtsuchende Partei die ihr bekannten Einwände der Vorinstanz nicht vorenthalten darf, um sie erst nach dem Ergehen eines ungünstigen Entscheids im anschliessenden Rechtsmittelverfahren zu erheben (<ref-ruling> E. 1.1 S. 292 f.; <ref-ruling> E. 2 S. 640). Vielmehr muss sie sich in der Beschwerde an das Bundesgericht mit den Erwägungen der letzten kantonalen Instanz zu einer Rüge auseinandersetzen, die sie bereits vor dieser letzten kantonalen Instanz erhoben hat und die sie nunmehr auch dem Bundesgericht zur Beurteilung unterbreitet (s. Urteil 5A_458/2010 vom 9. September 2010 E. 3.2). Deshalb ist die Gehörsrüge im hiesigen Verfahren unzulässig.
5.3. Mit den vorigen Erwägungen fällt auch die These der Beschwerdeführerin in sich zusammen, wonach der erstinstanzliche Entscheid überhaupt erst Anlass dazu gegeben habe, die Gehörsverletzung durch Nachreichen entsprechender Unterlagen zu heilen (E. 5.1). Entgegen dem, was die Beschwerdeführerin unterstellt, ist es nicht an der Prozesspartei, sondern an der Rechtsmittelinstanz zu beurteilen, ob eine vermeintliche Gehörsverletzung der unteren Instanz im anschliessenden Rechtsmittelverfahren geheilt werden kann. Dies setzt freilich voraus, dass die betroffene Partei in ihrem Rechtsmittel gegen den fraglichen Entscheid eine entsprechende Rüge erhebt. Versäumte es die Beschwerdeführerin, die angebliche Verletzung ihres Äusserungsrechts (zusammen mit den nachgereichten Unterlagen) vor der Vorinstanz zur Sprache zu bringen, so vermag sie die novenrechtliche Beurteilung des Obergerichts im bundesgerichtlichen Verfahren nicht dadurch zu Fall zu bringen, dass sie ihre neuen Vorbringen kurzerhand zur "Heilung" der angeblichen Gehörsverletzung erklärt. In diesem Sinne läuft auch ihr Vorwurf ins Leere, dass die Vorinstanz die nachgereichten Unterlagen für verspätet halte.
5.4. Soweit die Beschwerdeführerin schliesslich vor Bundesgericht zusätzliche Urkunden in den Prozess einführen will, ist auch dieses Ansinnen zum Scheitern verurteilt. Die neu aufgelegten Dokumente betreffen einen Beweisantrag, der dem angefochtenen Entscheid zufolge aufgrund des Novenausschlusses schon im kantonalen Beschwerdeverfahren unbeachtlich war. Nachdem es damit sein Bewenden hat (E. 5.3), konnte nicht erst der Entscheid der Vorinstanz dazu Anlass geben, diese Beweismittel im hiesigen Verfahren beizubringen. Damit fehlt es an der gesetzlichen Voraussetzung für die Zulassung neuer Vorbringen im bundesgerichtlichen Verfahren (<ref-law>).
6.
6.1. Unter dem Titel ihres verfassungsmässigen Anspruchs auf rechtliches Gehör bemängelt die Beschwerdeführerin weiter, dass sich das Kantonsgericht im angefochtenen Entscheid mit einer Reihe von "rechtserheblichen Einwendungen", die in der Beschwerde an das Bundesgericht abgedruckt sind, "in keiner Art und Weise" auseinandersetze, noch diese Einwendungen irgendwie würdige. Als Folge dieser Unterlassungen sei die vorinstanzliche Beweiswürdigung akten- und tatsachenwidrig und der angefochtene Entscheid auch in dieser Hinsicht unrechtmässig. Insbesondere gehe die Vorinstanz auch nicht auf den schon vor Bezirksgericht erhobenen rechtserheblichen Einwand ein, wonach das Urteil des Oberlandesgerichts Köln lediglich vorläufig und nicht definitiv vollstreckbar ist.
6.2. Soweit die Beschwerdeführerin mit diesen Beanstandungen nicht erneut ihre Versäumnisse im kantonalen Verfahren (s. E. 5) zu verschleiern versucht, täuscht sie sich in der Tragweite der behördlichen Begründungspflicht, wie sie sich aus dem verfassungsmässigen Gehörsanspruch ergibt: Eine Behörde ist nicht verpflichtet, sich zu allen aufgeworfenen Punkten einlässlich zu äussern und jedes einzelne Vorbringen einer Partei zu widerlegen (s. zum Ganzen <ref-ruling> E. 4.1 S. 88; <ref-ruling> E. 3.3 S. 445). Zu begründen ist das Ergebnis des Entscheides, das im Urteilsspruch zum Ausdruck kommt und das allein die Rechtsstellung des Betroffenen berührt. Über dessen Tragweite - und nicht über ihm zugrunde liegende Erwägungen - soll sich die betroffene Person Rechenschaft geben können (s. Urteil 5A_382/2013 vom 12. September 2013 E. 3.1). Eingedenk dessen ist der angefochtene Entscheid unter dem Gesichtspunkt von <ref-law> nicht zu beanstanden. Denn er gibt sehr wohl - sogar mittels einer doppelten Begründung (s. dazu E. 7) - Auskunft darüber, weshalb das Kantonsgericht die Beschwerde abweist.
6.3. Schliesslich reklamiert die Beschwerdeführerin, den Einwand der fehlenden endgültigen Vollstreckbarkeit des deutschen Rechtsöffnungstitels "auch bei der Vorinstanz gerügt und aufrechterhalten" zu haben. Auf diese pauschale, nicht belegte Behauptung ist nicht weiter einzugehen. Was die Beschwerdeführerin im kantonalen Verfahren vorgetragen hat, ist eine Frage des Prozesssachverhalts (<ref-ruling> E. 1.3.1 S. 18). Diesbezüglich ist es nicht Aufgabe des Bundesgerichts, von sich aus Nachforschungen in den kantonalen Akten anzustellen und zu Gunsten der Beschwerdeführerin nach Anhaltspunkten zu suchen.
7.
7.1. Im Streit um die Anerkennung des deutschen Urteils, die Vorfrage im Rechtsöffnungsprozess, ruft die Vorinstanz zunächst die Anforderungen an die Begründung einer Beschwerde nach <ref-law> in Erinnerung. Demnach hat die rechtsuchende Partei in der Beschwerdebegründung im Sinne einer Rügepflicht darzulegen, worauf sie ihre Legitimation stützt, inwieweit sie beschwert ist, auf welchen Beschwerdegrund sie sich beruft und an welchen Mängeln der angefochtene Entscheid leidet. Die Vorinstanz schildert, was die Beschwerdeführerin vor dem Bezirksgericht vortrug, und resümiert die Vorbringen der Beschwerdeführerin im kantonalen Beschwerdeverfahren. Dem angefochtenen Entscheid zufolge sind diese Vorbringen grundsätzlich keine Auseinandersetzung mit den vorinstanzlichen Feststellungen, sondern eine Wiederholung der erstinstanzlichen Behauptungen. Das Kantonsgericht kommt zum Schluss, dass auf diese Vorbringen mangels konkreter Rügen, weshalb die vorinstanzlichen Feststellungen falsch sein sollten, nicht eingetreten werden könne.
Im Anschluss daran erläutert die Vorinstanz, weshalb der Beschwerde selbst dann kein Erfolg beschieden wäre, wenn darauf eingetreten würde. Sie stellt fest, dass die Anwaltskanzlei D._ im Verfahren vor dem Landesgericht Köln unbestrittenermassen als Prozessbevollmächtigte der Beschwerdeführerin beauftragt gewesen sei. Selbst wenn die Beschwerdeführerin mit ihrer neuen Tatsachenbehauptung, dass sie diese Prozessbevollmächtigung widerrufen habe, vor Kantonsgericht gehört werden könnte, hätte sie den Beweis noch nicht erbracht, dass sie die Prozessvollmacht rechtsgültig widerrufen hat. Weitere Gründe, weshalb die erstinstanzlichen Feststellungen bezüglich ihrer rechtmässigen Vertretung falsch sein sollten, trage die Beschwerdeführerin nicht vor. Ebenso wenig erhebe sie konkrete Rügen gegen die erstinstanzliche Beurteilung, wonach der Ordre public infolge rechtsgültiger Vertretung durch die mandatierte Anwaltskanzlei und rechtsgültiger Zustellung des Urteils des Oberlandesgerichts Köln an diese Anwaltskanzlei nicht verletzt sei. Insbesondere lege die Beschwerdeführerin nicht dar, weshalb der Ordre public verletzt sein sollte, obwohl die Sachverhaltsfeststellungen des Bezirksgerichts zur Vertretung und Zustellung nicht zu beanstanden sind.
7.2. Die Beschwerdeführerin rügt eine Verletzung von Art. 34 f. LugÜ sowie eine Verletzung des Ordre public. Sie erinnert wiederum daran, dass im Urteil des Oberlandesgerichts Köln am Schluss keine definitive Vollstreckbarkeit bestätigt werde, und argumentiert, dass die Vorinstanz das deutsche Urteil schon aus diesem Grund nicht als vollstreckbaren Rechtsöffnungsentscheid hätte anerkennen dürfen. Im Übrigen stellt sich die Beschwerdeführerin auf den Standpunkt, dass sich die Anerkennung des besagten Urteils nicht mit dem schweizerischen Ordre public vertrage (<ref-law>), weil die deutschen Rechtsanwälte, die im besagten Urteil als Prozessbevollmächtigte genannt sind, gar nicht bevollmächtigt gewesen seien und ihr das deutsche Urteil überdies auch nicht zugestellt worden sei. Mit ihren wenig verständlichen Erörterungen wendet sich die Beschwerdeführerin lediglich gegen die vorinstanzliche Eventualbegründung, wonach die kantonale Beschwerde selbst dann abzuweisen wäre, wenn über die mangelhafte Begründung des Rechtsmittels hinweg gesehen würde. Auf die vorinstanzliche Hauptbegründung, dass ihre Vorbringen den gesetzlichen Begründungsanforderungen nicht genügen und deshalb darauf nicht eingetreten werden kann, geht die Beschwerdeführerin mit keinem Wort ein. Damit hält die Hauptbegründung des angefochtenen Entscheids vor Bundesgericht stand. Entsprechend kann offenbleiben, was es mit den Beanstandungen gegen die Eventualbegründung auf sich hat. Beruht der angefochtene Entscheid auf mehreren (Eventual-) Begründungen, die je für sich den Rechtsstreit vor der Vorinstanz hätten beenden können, muss in der Beschwerde an das Bundesgericht dargelegt werden, dass jede von ihnen Recht verletzt; andernfalls kann auf die Beschwerde nicht eingetreten werden (<ref-ruling> E. 6.3 S. 120 f.; Urteil 5A_159/2011 vom 3. Mai 2011 E. 3).
8.
Im Ergebnis erweist sich die Beschwerde als unbegründet. Sie ist abzuweisen, soweit überhaupt darauf eingetreten werden kann. Bei diesem Ausgang des Verfahrens unterliegt die Beschwerdeführerin. Sie hat deshalb für die Gerichtskosten aufzukommen (<ref-law>). Dem Beschwerdegegner, der lediglich zum prozessualen Antrag um aufschiebende Wirkung zur Stellungnahme eingeladen wurde und diesbezüglich mit seinem Begehren unterlag, ist kein entschädigungspflichtiger Aufwand entstanden.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 3'000.-- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
3.
Es wird keine Parteientschädigung zugesprochen.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Kantonsgericht Luzern, 1. Abteilung, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 14. Dezember 2017
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: von Werdt
Der Gerichtsschreiber: Monn