Sachverhalt:
A.
Die Bundesanwaltschaft (BA) führt eine Strafuntersuchung gegen A._ wegen mutmasslicher Vergehen gegen das Bundesgesetz vom 12. Dezember 2014 über das Verbot der terroristischen Gruppierungen "Al-Qaïda" und "Islamischer Staat" sowie verwandter Organisationen. Am 11. Mai 2017 führte die BA am Wohnort des Beschuldigten (Asylunterkunft) und später noch in einem von ihm benutzten Personenwagen Durchsuchungen durch, bei denen diverse Gegenstände und Aufzeichnungen sichergestellt wurden. Anlässlich der Sicherstellungen im Rahmen der Hausdurchsuchung verlangte der amtliche Verteidiger des Beschuldigten die Siegelung. Am 19. Mai 2017 stellte die BA ein Entsiegelungsgesuch beim zuständigen kantonalen Zwangsmassnahmengericht.
B.
Mit Entscheid vom 22. Mai 2017 trat das Zwangsmassnahmengericht des Kantons Bern, Präsident (ZMG) auf das Entsiegelungsgesuch nicht ein. Gleichzeitig stellte es fest, dass die BA befugt sei, die sichergestellten Aufzeichnungen und Gegenstände zu durchsuchen. Das ZMG erwog, der Siegelungsantrag vom 11. Mai 2017 sei nicht rechtsgenüglich begründet worden und daher unbeachtlich. Die BA hätte (nach Ansicht des ZMG) von den erfolgten Siegelungen absehen dürfen, weshalb auf das Entsiegelungsgesuch vom 19. Mai 2017 nicht einzutreten und festzustellen sei, dass die sichergestellten Aufzeichnungen und Gegenstände von der BA durchsucht werden dürften.
C.
Gegen den Entscheid des ZMG gelangte der Beschuldigte mit Beschwerde vom 1. Juni (Posteingang: 6. Juni) 2017 an das Bundesgericht. Er beantragt die Aufhebung des angefochtenen Entscheides und die Rückweisung der Angelegenheit zur Neubeurteilung an die Vorinstanz, unter Gewährung des rechtlichen Gehörs.
Das ZMG hat am 12. Juni 2017 auf eine Stellungnahme ausdrücklich verzichtet. Die BA beantragt mit Eingabe vom 15. Juni 2017 die Abweisung des Gesuches um aufschiebende Wirkung der Beschwerde; in der materiellen Beschwerdesache hat sie ebenfalls auf eine Vernehmlassung verzichtet.
Der Beschwerdeführer replizierte (noch unaufgefordert) am 19. Juni 2017. Innert der ihm auf 3. Juli 2017 förmlich angesetzten fakultativen Frist ist keine weitere Stellungnahme eingegangen. Auch das ZMG und die BA haben sich (auf die ihnen zugestellte Replik) nicht mehr vernehmen lassen.

Erwägungen:
1.
Die Sachurteilsvoraussetzungen der Beschwerde (Art. 78 ff. BGG) sind erfüllt und geben zu keinen Bemerkungen Anlass.
2.
Der Beschwerdeführer beanstandet zunächst eine Verletzung seines rechtlichen Gehörs (Art. 29 Abs. 2 BV, Art. 107 Abs. 1 lit. d StPO). Zwar sei er von der BA mit einer Orientierungskopie des Entsiegelungsgesuches vom 19. Mai 2017 (direkt) bedient worden. Im Entsiegelungsverfahren habe die Vorinstanz ihn jedoch weder zu einer Stellungnahme eingeladen, noch habe sie ihm die Eingabe der BA förmlich zugestellt. Am 22. Mai 2017 habe er die Orientierungskopie der BA erhalten. Noch am gleichen Tag habe die Vorinstanz den angefochtenen Entscheid gefällt.
Die Vorinstanz und die Bundesanwaltschaft bestreiten die Sachdarstellung des Beschwerdeführers nicht. Die Rüge der Gehörsverletzung erweist sich als offensichtlich begründet. Die Vorinstanz hat den Beschwerdeführer weder zum Entsiegelungsgesuch angehört, noch ihm die Gelegenheit gegeben, zu der von ihr in Aussicht genommenen Verfahrenserledigung (Nichteintreten auf das Gesuch wegen angeblich ungenügender Begründung des Siegelungsantrages) Stellung zu nehmen. Die Beschwerde ist insofern gutzuheissen.
3.
In der Sache selber macht der Beschwerdeführer geltend, die Vorinstanz habe seinen Siegelungsantrag in bundesrechtswidriger Weise als unbeachtlich qualifiziert und sei zu Unrecht auf das Entsiegelungsgesuch der BA nicht eingetreten. Er rügt insbesondere eine Verletzung von Art. 248 StPO sowie des Willkürverbotes.
3.1. Nach der bundesgerichtlichen Praxis trifft den Inhaber von sichergestellten Aufzeichnungen und Gegenständen, der einen Siegelungsantrag gestellt hat, im anschliessenden Entsiegelungs verfahren die prozessuale Obliegenheit, allfällige Geheimhaltungsinteressen bzw. Entsiegelungshindernisse im Sinne von Art. 248 Abs. 1 StPO (i.V.m. Art. 197 und Art. 264 StPO) ausreichend zu substanziieren. Kommt der Betroffene seiner Substanzierungsobliegenheit im Entsiegelungsverfahren nicht nach, ist das ZMG nicht gehalten, von Amtes wegen nach allfälligen materiellen Beschlagnahmehindernissen zu forschen (vgl. <ref-ruling> E. 7.1 S. 209-211; <ref-ruling> E. 4.3 S. 81; <ref-ruling> E. 7.1 S. 229; je mit Hinweisen). Weder das Gesetz noch die bundesgerichtliche Praxis verlangen demgegenüber, dass der von einer Hausdurchsuchung und provisorischen Sicherstellung Betroffene bereits bei der Sicherstellung seinen allfälligen Siegelungsantrag detailliert zu begründen hätte:
Vorläufig sichergestellte Schriftstücke und andere Aufzeichnungen dürfen erst durchsucht werden, wenn sich deren Inhaberin oder Inhaber vorgängig zu ihrem Inhalt hat äussern können (Art. 245-247 StPO). Macht die Inhaberin oder der Inhaber geltend, die sichergestellten Aufzeichnungen und Gegenstände dürften wegen eines Aussage- oder Zeugnisverweigerungsrechts oder aus anderen Gründen nicht durchsucht oder beschlagnahmt werden, sind sie zu versiegeln (Art. 248 Abs. 1 StPO; s.a. Art. 264 Abs. 3 StPO). Juristische Laien sind über ihr Recht, ein Siegelungsgesuch zu stellen, in ausreichender Weise durch die Strafverfolgungsbehörde zu informieren. Damit eine Siegelung durch die Strafverfolgungsbehörde erfolgt, müssen die (entsprechend informierten) Betroffenen Siegelungsgründe sinngemäss anrufen, aber noch nicht im Detail begründen (Pra 2013 Nr. 19 S. 157 ff., E. 5.3; Urteil 1B_136/2012 vom 25. September 2012 E. 3-4; s.a. <ref-ruling> E. 4.3.5 S. 37). Entsprechende Siegelungsanträge sind nach der Praxis des Bundesgerichtes sofort bzw. möglichst zeitnah zu stellen (<ref-ruling> E. 4c/aa S. 156; Urteile 1B_48/2017 vom 24. Juli 2017 E. 5-6; 1B_454/2016 vom 24. Januar 2017 E. 3.1; 1B_91/2016 vom 4. August 2016 E. 4.4, 5.3; s.a. Pra 2013 Nr. 19 S. 157 ff., E. 4-5). Versäumt es die Strafverfolgungsbehörde, juristische Laien über ihr Siegelungsrecht ausreichend zu informieren, darf eine Siegelung nicht mit der Begründung verweigert werden, der Betroffene habe bei der Sicherstellung noch keine Geheimnisschutzrechte als Beschlagnahmehindernis ausdrücklich angerufen (Pra 2013 Nr. 19 S. 157 ff., E. 5.3-5.11).
3.2. Wie die Vorinstanz einräumt, wurde der fragliche Siegelungsantrag sofort gestellt, nämlich durch den anwesenden amtlichen Verteidiger unmittelbar nach der erfolgten Hausdurchsuchung und Sicherstellung. Der Zwangsmassnahmenrichter stellt sich jedoch auf den Standpunkt, der Siegelungsantrag sei nicht ausreichend begründet worden und daher "unbeachtlich".
Dieser Argumentation kann nicht gefolgt werden:
Die BA und das ZMG bestreiten die Darstellung des Beschwerdeführers nicht, dass die BA schon anlässlich seiner Anhaltung und Festnahme am frühen Morgen des 11. Mai 2017 persönliche Effekten sichergestellt habe, die er auf sich trug. Diese Gegenstände habe die BA in einen Asservaten-Container gelegt, den sie (von Amtes wegen) doppelt versiegelt habe. Der amtliche Verteidiger sei damals noch nicht anwesend gewesen; ebenso wenig sei dieser von der BA über die erfolgte Sicherstellung und Siegelung von persönlichen Effekten informiert worden. Er, der Beschwerdeführer selber, sei bei seiner Festnahme auch nicht in einer für ihn verständlichen Weise über das Siegelungsrecht aufgeklärt worden.
Erst zur anschliessend (am Vormittag des 11. Mai 2017) erfolgten Hausdurchsuchung und Sicherstellung am damaligen Wohnort des Beschwerdeführers sei der amtliche Verteidiger von der BA beigezogen worden. Die dabei sichergestellten Aufzeichnungen und Gegenstände habe die BA in einen zweiten Asservaten-Container verpackt und - auf entsprechenden sofortigen Antrag des amtlichen Verteidigers hin -ebenfalls doppelt versiegelt. Er, der Beschwerdeführer, sei zuvor am frühen Morgen festgenommen und anschliessend in Untersuchungshaft versetzt worden, weshalb er an der anschliessenden Hausdurchsuchung nicht mehr habe teilnehmen können. In diesem Zeitpunkt habe auch der amtliche Verteidiger noch keinerlei Kontakt mit ihm gehabt. In dieser Situation sei weder eine Aufklärung des Beschwerdeführers über sein Siegelungsrecht erfolgt, noch eine Instruktion seines amtlichen Verteidigers über allfällige Beschlagnahmehindernisse bzw. Geheimnisschutzgründe. Auch über die zuvor erfolgte Sicherstellung und Siegelung von persönlichen Effekten sei der Verteidiger damals noch nicht unterrichtet gewesen.
Am Nachmittag des 11. Mai 2017 habe er erstmals mit seinem Verteidiger sprechen dürfen. Die Zürcher Kantonspolizei habe ihnen in der Militärkaserne aber lediglich ca. eine halbe Stunde für eine Besprechung zugestanden. Ausserdem sei die Verständigung sehr schwierig gewesen, weil er kaum Deutsch spreche und auch kein Dolmetscher zur Verfügung gestanden habe. Vor der Hafteinvernahme am 12. Mai 2017 habe er sich mit dem Verteidiger während fünf Minuten besprechen können. Auch bei dieser Besprechung sei noch kein Dolmetscher anwesend gewesen.
Weiter sei nach der Hausdurchsuchung vom 11. Mai 2017 auch noch die Durchsuchung eines von ihm benutzten Personenwagens erfolgt. Die dabei sichergestellten weiteren Aufzeichnungen und Gegenstände habe die BA in einen dritten Asservaten-Container verpackt und (von Amtes wegen) ebenfalls doppelt versiegelt. Davon hätten er und sein Verteidiger erst nach Erlass des angefochtenen Entscheides erfahren. Anlässlich der (zuvor erfolgten) Hausdurchsuchung sei dem Verteidiger noch mitgeteilt worden, es stünden keine weiteren Untersuchungshandlungen an, welche seine Anwesenheit erfordern würden.
Am 17. Mai 2017 habe der amtliche Verteidiger einen Dolmetscher organisiert und eine Besuchsbewilligung beantragt. Das erste Instruktionsgespräch zwischen dem Beschuldigten, dem Verteidiger und dem Dolmetscher habe am 24. Mai 2017 im Regionalgefängnis Thun stattgefunden, somit zwei Tage nach Erlass des angefochtenen Entscheides. Frühestens ab diesem Zeitpunkt sei es für den Beschuldigten und den Verteidiger überhaupt möglich gewesen, das gestellte Siegelungsgesuch, soweit nötig, noch ausführlich zu begründen. Von der Sicherstellung und behördlichen Siegelung von persönlichen Effekten bzw. von Gegenständen im Fahrzeug hätten sie erst aufgrund ihres Akteneinsichtsgesuches vom 24. Mai 2017 erfahren. Über das (ohne ihre Beteiligung durchgeführte) Entsiegelungsverfahren seien sie ebenfalls erst nachträglich informiert worden.
3.3. Bei dieser Sachlage wurden die fraglichen Siegelungsanträge, soweit solche hier überhaupt möglich und geboten waren, gesetzeskonform gestellt. Eine übertriebene prozessuale Schärfe bei der Handhabung formeller Anforderungen für die Siegelung (etwa betreffend rechtzeitige Erhebung und "Begründung" von Siegelungsanträgen) widerspricht der dargelegten Bundesgerichtspraxis und würde den im Gesetz vorgesehenen effizienten Rechtsschutz von Betroffenen gegenüber strafprozessualen Zwangsmassnahmen aushöhlen (vgl. <ref-ruling> E. 3.4 S. 32 f., E. 4.3.4 S. 35 f., E. 4.3.6 S. 37 f., mit Hinweisen). Auch das Entsiegelungsgesuch der BA ist hier rechtsgültig (innert der Frist von Art. 248 Abs. 2 StPO) gestellt worden; es ist daher vom ZMG materiell zu prüfen (Art. 248 Abs. 3 lit. a StPO).
Der angefochtene Nichteintretensentscheid erweist sich auch in diesem Punkt als bundesrechtswidrig. Es kann offen bleiben, inwiefern das ZMG bei Siegelungen, die teilweise von Amtes wegen (ohne Antrag des Berechtigten bzw. in Abwesenheit des Berechtigten und seines Rechtsvertreters) erfolgt sind, überhaupt nachträglich beanstanden dürfte, es liege kein rechtsgenüglicher Siegelungsantrag vor.
4.
Die Beschwerde ist gutzuheissen, der angefochtene Nichteintretensentscheid aufzuheben und die Sache an die Vorinstanz zurückzuweisen zur materiellen Prüfung des Entsiegelungsgesuches unter ausreichender Gewährung des rechtlichen Gehörs.
Gerichtskosten sind nicht zu erheben (Art. 66 Abs. 4 BGG). Dem amtlichen Verteidiger ist für das Verfahren vor Bundesgericht eine angemessene Parteientschädigung zu entrichten (Art. 68 i.V.m. Art. 64 BGG). Mit dem vorliegenden Entscheid in der Sache wird das Gesuch um aufschiebende Wirkung der Beschwerde (dem am 6. Juni 2017 "superprovisorisch" stattgegeben worden war) hinfällig. Die BA hat die (sichergestellten und rechtskonform gesiegelten) Aufzeichnungen und Gegenstände dem ZMG in versiegeltem Zustand zur neuen Entscheidung zu überlassen.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird gutgeheissen, der Entscheid vom 22. Mai 2017 des Zwangsmassnahmengerichts des Kantons Bern, Präsident, aufgehoben und die Sache an die Vorinstanz zurückgewiesen zur materiellen Prüfung des Entsiegelungsgesuches vom 19. Mai 2017.
2.
Es werden keine Gerichtskosten erhoben.
3.
Die Schweizerische Eidgenossenschaft (Kasse der Bundesanwaltschaft) hat dem amtlichen Verteidiger eine Parteientschädigung von Fr. 2'000.-- (pauschal, inkl. MWST) zu entrichten.
4.
Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten und dem Kantonalen Zwangsmassnahmengericht des Kantons Bern schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 23. August 2017
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Merkli
Der Gerichtsschreiber: Forster