Sachverhalt:
A.
Nachdem zwei Gesuche der 1946 geborenen A._ um Ergänzungsleistungen verneint worden waren (Verfügung des Amtes für Zusatzleistungen zur AHV/IV der Stadt Zürich [nachfolgend: Amt für Zusatzleistungen] vom 13. Juni 2007; Entscheid des Sozialversicherungsgerichts des Kantons Zürich vom 30. Dezember 2011), meldete sich die Versicherte im Dezember 2012 erneut zum Bezug von Ergänzungsleistungen an. Nach Abklärungen errechnete das Amt für Zusatzleistungen einen Einnahmenüberschuss und verneinte mit Verfügung vom 26. Juni 2013 einen Anspruch. Daran hielt es mit Einspracheentscheid vom 8. April 2014 fest.
B.
Die dagegen erhobene Beschwerde wies das Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich mit Entscheid vom 17. Dezember 2015 ab.
C.
A._ lässt mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten beantragen, das Amt für Zusatzleistungen sei zu verpflichten, ihr die gesetzlichen Ergänzungsleistungen auszurichten; eventualiter sei ein psychiatrisches Gutachten darüber einzuholen, ob bei ihr eine pathologische Spielsucht vorhanden ist oder war. Zudem ersucht sie um unentgeltliche Rechtspflege.
Das Amt für Zusatzleistungen schliesst auf Abweisung des Rechtsmittels. Das Bundesamt für Sozialversicherungen verzichtet auf eine Vernehmlassung. Die Beschwerdeführerin lässt eine weitere Eingabe einreichen.

Erwägungen:
1.
Mit der Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann unter anderem die Verletzung von Bundesrecht gerügt werden (<ref-law>). Die Feststellung des Sachverhalts kann nur gerügt werden, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von Artikel 95 beruht und wenn die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein kann (<ref-law>). Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat. Es kann die Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz von Amtes wegen berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von Artikel 95 beruht (Art. 105 Abs. 1 und 2 BGG).
2.
Die jährliche Ergänzungsleistung entspricht dem Betrag, um den die anerkannten Ausgaben die anrechenbaren Einnahmen übersteigen (Art. 9 Abs. 1 ELG [SR 831.30]). Als Einnahmen angerechnet werden auch Einkünfte und Vermögenswerte, auf die verzichtet worden ist (Art. 11 Abs. 1 lit. g ELG). Der Tatbestand dieser Bestimmung ist erfüllt, wenn die Leistungsansprecherin ohne rechtliche Verpflichtung und ohne adäquate Gegenleistung auf Einkünfte oder Vermögen verzichtet resp. solches hergegeben hat (<ref-ruling> E. 2.2 S. 270; <ref-ruling> E. 3.2 S. 70; <ref-ruling> E. 4.2 S. 332 mit Hinweisen; Urteil 9C_904/2011 vom 5. März 2012 E. 4.1). Dies trifft insbesondere dann zu, wenn Vermögen beim Glücksspiel verbraucht wird (SVR 1994 EL Nr. 6 S. 11, P 27/93 E. 4c mit Hinweisen). Generell vorbehalten ist die Urteilsfähigkeit der betroffenen Person hinsichtlich der Vermögensminderung (Urteil 9C_934/2009 vom 28. April 2010 E. 5.1).
3.
3.1. Die Vorinstanz hat festgestellt, die Beschwerdeführerin habe durch den Tod ihres Vaters ein Vermögen von mindestens Fr. 1'772'255.- geerbt, welches zwischenzeitlich nicht mehr vorhanden sei. Rund Fr. 880'000.- davon habe sie vom 14. Juli 2002 bis zum 26. Oktober 2003 durch Spielverluste im Casino B._ verbraucht. Dort sei auf ihren eigenen Antrag am 8. Dezember 2003 eine Spielsperre gegen sie verhängt worden. Vom 19. Januar 2004 bis zum 6. Juli 2009 habe sie das Casino C._ 86 Mal besucht; ab 7. Juli 2009 sei sie auch für dieses und die anderen deutschen Spielbanken auf eigene Veranlassung gesperrt worden. Neben dem im Casino B._ erlittenen Spielverlust habe sie weitere Fr. 120'000.-, d.h. insgesamt rund Fr. 1'000'000.- verspielt. Die Behauptung der Beschwerdeführerin, auch im Casino C._ rund Fr. 880'000.- verloren zu haben, sei im Umfang von Fr. 760'000.- nicht belegt.
Das kantonale Gericht hat bei der Berechnung der jährlichen Ergänzungsleistung des Jahres 2013 mindestens für den Betrag von Fr. 760'000.- einen im Jahr 2002 erfolgten Vermögensverzicht angenommen. Das um den jährlichen Amortisations- und den Freibetrag reduzierte (Art. 11 Abs. 1 lit. c ELG und Art. 17a Abs. 1 ELV [SR 831.301]) (hypothetische) Verzichtsvermögen hat es mit Fr. 62'250.- als anrechenbare Einnahme veranschlagt. Weil bei den geltend gemachten Ausgaben von Fr. 44'000.- ein Einnahmenüberschuss resultiert, hat es einen Anspruch auf Ergänzungsleistungen verneint.
3.2. Die Beschwerdeführerin bringt im Wesentlichen vor, auch die angerechnete Summe von Fr. 760'000.- im Glücksspiel verloren zu haben; diesbezüglich habe die Vorinstanz den Sachverhalt willkürlich festgestellt resp. ein unzutreffendes Beweismass angewandt. Sie habe unter Spielsucht gelitten und sei deswegen in Bezug auf die Vermögensverminderung nicht urteilsfähig gewesen, folglich könne kein vorsätzlicher Vermögensverzicht im Sinne von Art. 11 Abs. 1 lit. g ELG angenommen werden.
4.
4.1. Beim Fehlen von Einkommen oder Vermögen bzw. dessen Verbrauch handelt es sich um anspruchsbegründende Tatsachen, welche aufgrund der allgemeinen Beweislastverteilung durch die leistungsansprechende Person zu beweisen sind. Dabei genügt weder die blosse Möglichkeit eines bestimmten Sachverhalts noch Glaubhaftmachen (dazu Urteil 9C_760/2014 vom 12. Januar 2015 E. 2.2), sondern es gilt der Beweisgrad der überwiegenden Wahrscheinlichkeit. Danach gilt ein Beweis als erbracht, wenn für die Richtigkeit der Sachbehauptung nach objektiven Gesichtspunkten derart gewichtige Gründe sprechen, dass andere denkbare Möglichkeiten vernünftigerweise nicht massgeblich in Betracht fallen (Urteil 4A_319/2014 vom 19. November 2014 E. 4.1). Im Falle der Beweislosigkeit, d.h. wenn es dem Leistungsansprecher nicht gelingt, einen (überdurchschnittlichen) Vermögensrückgang zu belegen oder die Gründe dafür rechtsgenügend darzutun, wird ein Vermögensverzicht angenommen und ein hypothetisches Vermögen sowie darauf entfallender Ertrag angerechnet (SZS 2015 S. 264, 9C_732/2014 E. 4.1.1; vgl. auch <ref-ruling> E. 6 S. 221, je mit Hinweisen).
4.2. Die Vorinstanz hat in Bezug auf die im Casino B._ erlittenen Verluste von Fr. 880'000.- handschriftliche Aufzeichnungen über Gewinne und Verluste bei rund 170 Casinobesuchen, ausgewiesene Bargeldbezüge in dieser Zeit von rund Fr. 1'450'0000.- sowie den (erfolglosen) Versuch der Rückforderung von Spielverlusten berücksichtigt. Hinsichtlich der Verluste im Casino C._, die laut Behauptung der Beschwerdeführerin ebenfalls Fr. 880'000.- betragen sollen, hat das kantonale Gericht erwogen, dass lediglich der von Januar 2004 bis Mai 2006 erfolgte Barbezug von Fr. 289'524.30 belegt sei. Sodann hat es anerkannt, dass die Beschwerdeführerin gegenüber Dr. med. D._, Facharzt für Neurologie, Psychiatrie und Psychotherapie, der sie 2003 bis 2006 behandelt habe, einen Spielverlust "von mehr als Fr. 1'000'000.-" angegeben habe; hingegen hat es die gegenüber Dr. med. E._ anlässlich einer einmaligen Konsultation gemachte Aussage über einen Verlust von rund Fr. 1'500'000.- nicht für überzeugend gehalten.
4.3. Dass die Vorinstanz unter diesen Umständen angenommen hat, dass der behauptete Glücksspielverlust im Betrag von Fr. 760'000.- nicht ausgewiesen sei, stellt keine Beweismassverletzung (E. 4.1) dar. Anders als die Beschwerdeführerin anzunehmen scheint, lässt sich aus der allgemeinen Lebenserfahrung nicht ableiten, dass Spielsüchtige resp. Menschen mit der Diagnose "pathologisches Spielen" (ICD-10: 63.0) ihr Vermögen ausschliesslich beim Glücksspiel ausgeben. Bei genauer Betrachtung betrifft ihre Rüge denn auch nicht die Rechtsfrage nach dem richtigen Beweismass, sondern bezieht sie sich auf die konkrete vorinstanzliche Beweiswürdigung und damit auf Tatfragen (vgl. HAVE 2010 S. 261, 9C_717/2009 E. 3.3), deren Ergänzung oder Berichtigung hier ausser Betracht fällt (E. 1). Das gilt umso mehr, als das kantonale Gericht für den Betrag von (mindestens) Fr. 90'000.-, der für den 2006 verstorbenen Lebenspartner der Beschwerdeführerin verwendet worden sei, ebenfalls einen Vermögensverzicht angenommen hat, was mit keinem Wort beanstandet wird (vgl. Art. 42 Abs. 1 und 2 BGG).
4.4. Bei diesem Ergebnis kann - wie bereits im angefochtenen Entscheid - offenbleiben, ob resp. inwieweit eine Spielsucht vorlag und mit einer Urteilsunfähigkeit in Bezug auf Spielverluste einherging (vgl. E. 2). Gegen die weiteren Faktoren der vorinstanzlichen Bedarfsberechnung (E. 3.1 Abs. 2) wird nichts vorgebracht. Die Beschwerde ist unbegründet.
5.
5.1. Dem Ausgang des Verfahrens entsprechend hat die Beschwerdeführerin grundsätzlich die Gerichtskosten zu tragen (<ref-law>). Ihrem Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege kann jedoch entsprochen werden (<ref-law>). Sie hat der Bundesgerichtskasse Ersatz zu leisten, wenn sie später dazu in der Lage ist (<ref-law>).
5.2. Mangels einer den jeweiligen Zeitaufwand detailliert ausweisenden Honorarnote und mit Blick darauf, dass die Streitsache nicht als überaus schwierig einzustufen ist, erscheint eine Entschädigung in praxisgemässer Höhe als angemessen (Urteile 9C_184/2016 vom 27. Mai 2016 E. 6.2; 9C_732/2015 vom 29. März 2016 E. 4.2).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen.
2.
Der Beschwerdeführerin wird die unentgeltliche Rechtspflege gewährt und Rechtsanwältin Dina Raewel wird als unentgeltliche Anwältin bestellt.
3.
Die Gerichtskosten von Fr. 500.- werden der Beschwerdeführerin auferlegt, indes vorläufig auf die Bundesgerichtskasse genommen.
4.
Der Rechtsvertreterin der Beschwerdeführerin wird aus der Bundesgerichtskasse eine Entschädigung von Fr. 2'800.- ausgerichtet.
5.
Dieses Urteil wird den Parteien, dem Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich und dem Bundesamt für Sozialversicherungen schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 12. Juli 2016
Im Namen der II. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Glanzmann
Die Gerichtsschreiberin: Dormann