Sachverhalt:
A.
Die Eheleute A.A._ und B.A._ geb. C._ sind in U._/BE wohnhaft. Im Jahr 2011 empfing der Ehemann, der als unselbständig erwerbender Steuerrechtsanwalt tätig ist, eine arbeitsrechtliche Treueprämie in Höhe von Fr. yyy. Die Eheleute vertraten in der Steuererklärung 2011 die Auffassung,es handle sich dabei um einen steuerfreien Vermögenszugang. Die Steuerverwaltung des Kantons Bern war gegenteiliger Ansicht und rechnete den streitbetroffenen Betrag im Einkommen auf, dies sowohl für die Zwecke der direkten Bundessteuer als auch der Staats- und Gemeindesteuern des Kantons Bern. Gegen die Veranlagungsverfügungen 2011 vom 16. Juli 2014 erhoben die Eheleute, handelnd durch den Ehemann, Einsprache. Sie beantragten, die Treueprämie sei als (steuerfreie) Schenkung, eventualiter als Kapitalabfindung für wiederkehrende Leistungen zu erfassen. Mit Entscheiden vom 14. Januar 2015 wies die Steuerverwaltung die Einsprachen ab. Die dagegen gerichteten Beschwerden an die Steuerrekurskommission des Kantons Bern blieben erfolglos (Entscheid des Präsidenten als Einzelrichter vom 29. Januar 2016, den Eheleuten zugestellt am 1. Februar 2016).
B.
Rund drei Wochen vor der Zustellung des Entscheides, am 7. Januar 2016, erlitt der Ehemann einen Herzinfarkt. Vom selben Tag bis zum 6. Februar 2016 befand er sich im Spital, anschliessend bis zum 27. Februar 2016 in einer Rehabilitationsklinik. Einem Arztzeugnis vom 29. Februar 2016 zufolge dauerte die hundertprozentige, krankheitsbedingte Arbeitsunfähigkeit (zunächst) bis zum 31. März 2016 an.
C.
Am 23. März 2016 stellte der Ehemann beim Verwaltungsgericht des Kantons Bern Gesuche um Wiederherstellung der Beschwerdefristen und erhob er Beschwerden gegen den Einspracheentscheid vom 29. Januar 2016. Der Präsident der Verwaltungsrechtlichen Abteilung als Einzelrichter wies die Fristwiederherstellungsgesuche mit Entscheid 100.2016.84/85 vom 15. April 2016 ab und trat auf die Beschwerden nicht ein. Er erkannte im wesentlichen, die Eheleute hätten darzutun gehabt, weshalb und inwiefern der Ehemann im fraglichen Zeitraum aus gesundheitlichen Gründen daran verhindert gewesen sein soll, die fristwahrende Handlung vorzunehmen oder eine Drittperson mit der Interessenwahrung zu beauftragen. An einem solchen Nachweis fehle es aber, zumal die volle Arbeitsunfähigkeit bei Einreichung des Gesuchs und der Beschwerden angedauert, den Ehemann aber am Handeln nicht (mehr) gehindert habe. Hinsichtlich der Ehefrau sei keinerlei Hinderungsgrund geltend gemacht worden.
D.
Mit Eingaben vom 18. Mai 2016 erheben die Eheleute, handelnd durch den Ehemann, beim Bundesgericht Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten. Sie beantragen, den angefochtenen Entscheid aufzuheben und die Frist infolge Krankheit wiederherzustellen. Eventualiter sei durch das Bundesgericht ein ärztlicher Bericht des Hausarztes einzuholen.
Der Abteilungspräsident als Instruktionsrichter hat den Aktenbeizug angeordnet, von weiteren Instruktionsmassnahmen aber abgesehen.

Erwägungen:
I. Prozessuales
1.
1.1. Die Vorinstanz hat zum Steuerjahr 2011 betreffend die Staats- und Gemeindesteuern des Kantons Bern einerseits und die direkte Bundessteuer anderseits ein einziges Urteil gefällt. Die Eheleute fechten dieses Urteil mit einer einzigen Beschwerdeeingabe an. Die sich stellenden Fragen sind im Bundesrecht und im Steuerrecht des Kantons Bern übereinstimmend geregelt. Es rechtfertigt sich die beiden Verfahren zu vereinigen und die Beschwerde in einem einzigen Urteil zu erledigen (vgl. <ref-law> [SR 173.110] i. V. m. <ref-law> [SR 273]).
1.2.
1.2.1. Die Beschwerde richtet sich gegen den verfahrensabschliessenden Entscheid einer letzten kantonalen Instanz in einer Angelegenheit des öffentlichen Rechts. Die Voraussetzungen der Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten liegen vor (Art. 82 lit. a, Art. 83, Art. 86 Abs. 1 lit. d und Abs. 2, Art. 89 Abs. 1, Art. 90 und Art. 100 Abs. 1 BGG [SR 173.110] i. V. m. <ref-law> [SR 642.11] und Art. 73 StHG [SR 642.14]).
1.2.2. Mit der Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann insbesondere die Verletzung von Bundes- und Völkerrecht gerügt werden (Art. 95 lit. a und b BGG). Bei der Prüfung verfügt das Bundesgericht über uneingeschränkte (volle) Kognition und wendet es das Recht von Amtes wegen an (<ref-law>; <ref-ruling> E. 2 S. 88). Das Bundesgericht ist daher weder an die in der Beschwerde vorgebrachten Argumente noch an die Erwägungen der Vorinstanz gebunden; es kann die Beschwerde aus einem anderen als dem angerufenen Grund gutheissen, und es kann eine Beschwerde mit einer von der Argumentation der Vorinstanz abweichenden Begründung abweisen (Motivsubstitution; <ref-ruling> E. 2.2 S. 660).
1.2.3. Die Verletzung von Grundrechten und von kantonalem (einschliesslich kommunalem) und interkantonalem Recht prüft das Bundesgericht in jedem Fall nur, falls eine solche Rüge in der Beschwerde überhaupt vorgebracht und ausreichend begründet worden ist (qualifizierte Rüge- und Begründungspflicht gemäss <ref-law>; <ref-ruling> E. 2.2 S. 60).
1.2.4. Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (<ref-law>). Es kann die tatsächlichen Feststellungen der Vorinstanz, wozu auch die Beweiswürdigung zählt (<ref-ruling> E. 6.3 S. 375), berichtigen oder ergänzen, soweit sie offensichtlich unrichtig - das heisst willkürlich - sind oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruhen (<ref-law>; <ref-ruling> E. 2 S. 5). Neue Tatsachen und Beweismittel dürfen vor Bundesgericht nur so weit vorgebracht werden, als erst der Entscheid der Vorinstanz dazu Anlass gibt (unechte Noven; <ref-law>; <ref-ruling> E. 1.6 S. 378). Sind die Tatsachen erst nach dem angefochtenen Entscheid eingetreten, können sie von vornherein nicht durch den angefochtenen Entscheid veranlasst sein. Solche Tatsachen müssen vor Bundesgericht in jedem Fall unberücksichtigt bleiben (echte Noven; Urteil 2C_157/2014 / 2C_158/2014 vom 6. März 2014 E. 2.2).
II. Direkte Bundessteuer
2.
2.1. Wie schon im vorinstanzlichen Verfahren ist vor Bundesgericht einzig die Frage streitig und zu prüfen, ob die Steuerpflichtigen während der Dauer der dreissigtägigen Beschwerdefrist (<ref-law>) aus rechtserheblichen Gründen ausserstande waren, die Beschwerde einzureichen.
2.2.
2.2.1. Die Vorinstanz gibt die einschlägigen rechtlichen Bestimmungen zutreffend wieder. Danach ist auf eine verspätete Beschwerde in einer direktsteuerlichen Angelegenheit an ein kantonales Verwaltungsgericht nur einzutreten, wenn die steuerpflichtige Person einerseits nachweist, dass sie durch Militär- oder Zivildienst, Krankheit, Landesabwesenheit oder andere erhebliche Gründe an der rechtzeitigen Einreichung verhindert war (materielle Voraussetzung) und anderseits das Rechtsmittel innert 30 Tagen nach Wegfall der Hinderungsgründe eingereicht wurde (formelle Voraussetzung; Art. 145 Abs. 2 i. V. m. Art. 140 Abs. 4 und Art. 133 Abs. 3 DBG; Urteil 2C_318/2016 / 2C_319/2016 vom 18. April 2016 E. 2.3.2).
2.2.2. Wird eine Krankheit als Hinderungsgrund angerufen, muss die Beeinträchtigung praxisgemäss derart erheblich ausfallen, dass die steuerpflichtige Person durch sie geradezu davon abgehalten wird, innert Frist zu handeln oder eine Drittperson mit der notwendigen Vertretung zu betrauen (<ref-ruling> E. 2 S. 87; <ref-ruling> E. 2a S. 255 f.). Der Nachweis der hinreichend schweren Krankheit unterliegt nach dem Grundsatz der freien Beweiswürdigung zwar keiner festen Beweisregel. Wird eine Erkrankung als Grund für die versäumte Frist angerufen, kommt in der Praxis einem zeitnah erstellten Arztzeugnis, dem zufolge das Fristversäumnis gar nicht oder höchstens leicht verschuldet ist, aber ausschlaggebende Bedeutung zu.
2.2.3. Nach den für das Bundesgericht verbindlichen Feststellungen der Vorinstanz (<ref-law>; vorne E. 1.2.4) nahm die Ehefrau den streitbetroffenen Entscheid am 1. Februar 2016 entgegen (vorne lit. A). Die dreissigtägige Beschwerdefrist verstrich daher am Mittwoch, 2. März 2016. Der Ehemann befand sich freilich bis zum Samstag, 27. Februar 2016 in einer Rehabilitationsklinik, wobei, dem Arztzeugnis vom 29. Februar 2016 zufolge, die vollständige krankheitsbedingte Arbeitsunfähigkeit (zunächst) bis zum 31. März 2016 andauerte (vorne lit. B). Es fragt sich, ob diese Restfrist ausreichend war, um den prozessualen Verpflichtungen nachzukommen. Dies erfordert eine Würdigung der gesamten Umstände.
2.2.4. In rechtlicher Hinsicht ist zunächst auf folgendes hinzuweisen: Praxis und Doktrin zufolge besteht auch bei unverschuldeter Verhinderung kein uneingeschränkter Anspruch darauf, dass der betroffenen Prozesspartei die volle, ungeschmälerte gesetzliche Frist zur Verfügung steht (BGE <ref-ruling> E. 2a S. 256 a. E.; STEFAN VOGEL, in: Christoph Auer/Markus Müller/Benjamin Schindler [Hrsg.], Kommentar zum Bundesgesetz über das Verwaltungsverfahren [VwVG], 2008, N. 15 zu <ref-law>). Die Wiederherstellung einer gesetzlichen (oder gerichtlichen) Frist, die nicht vollständig genutzt werden konnte, kommt lediglich in Frage, wenn die unverschuldete Hinderung an Vornahme der fristwahrenden Handlung entweder während der ganzen Rechtsmittelfrist bestand oder zumindest gegen deren Endeeintrat (PATRICIA EGLI, in: Bernhard Waldmann/Philippe Weissenberger [Hrsg.], Praxiskommentar Verwaltungsverfahrensgesetz, 2. Aufl. 2016, N. 20 zu <ref-law>). Erst spät eintretende Hinderungsgründe sind dagegen anzuerkennen, weil es niemandem benommen ist, eine Eingabe erst gegen Ende der Frist auszuarbeiten und einzureichen (THOMAS MERKLI/ARTHUR AESCHLIMANN/RUTH HERZOG, Kommentar zum Gesetz über die Verwaltungsrechtspflege im Kanton Bern, 1997, N. 13 zu Art. 43 VRPG/BE). Aus diesem Grund werden die bei Fristbeginn und die bei Fristablauf bestehende Krankheit unterschiedlich gewertet.
2.2.5. Eine bloss anfänglich herrschende oder im späteren Verlauf vorübergehend, nicht aber bis zum Fristablauf auftretende Hinderung bildet grundsätzlich keinen hinreichenden Entschuldigungsgrund (dazu JEAN-MAURICE FRÉSARD, in: Bernard Corboz/Alain Wurzburger/Pierre Ferrari/Jean-Maurice Frésard/Florence Aubry Girardin [Hrsg.], Commentaire de la LTF, 2. Aufl. 2014, N. 8 zu <ref-law>). In einem solchen Fall wäre es möglich gewesen, noch vor Fristablauf tätig zu werden, weshalb der geltend gemachte Hinderungsgrund für das prozessuale Säumnis nicht kausal sein konnte (KATHRIN AMSTUTZ/PETER ARNOLD, in: Basler Kommentar, BGG, 2. Aufl. 2011, N. 9 zu <ref-law>; zum Ganzen NINA J. FREI, in: Berner Kommentar, ZPO, 2012, Band I, N. 31 zu <ref-law>).
2.2.6. Im Rahmen der anzustellenden Gesamtwürdigung ist folgendes von Belang: Der Ehemann kehrte am Samstag, 27. Februar 2016 nach Hause zurück, worauf die Frist am Mittwoch, 2. März 2016 verstrich. Den Eheleuten standen damit noch vier Tage zur Verfügung, um selber oder durch einen Rechtsanwalt tätig zu werden. Die Restfrist war zweifelsohne knapp. In der Sache selbst ist aber zu berücksichtigen, dass der Ehemann seit vielen Jahren als Steuerrechtsanwalt tätig ist und damit über ein ausgeprägtes Vorwissen verfügt. Es musste ihm bekannt sein, in welcher Weise arbeitsrechtliche Treueprämien praxisgemäss steuerrechtlich zu behandeln sind, zumal <ref-law> hierauf ausdrücklich eingeht. Dem klaren Wortlaut der Norm zufolge fallen "Dienstalters- und Jubiläumsgeschenke" unter die (steuerbaren) Einkünfte aus privatrechtlichem oder öffentlich-rechtlichem Arbeitsverhältnis. Die Rechtsfrage war für ihn aber auch nicht erstmalig, konnte er doch - wie der Beschwerde an die Vorinstanz zu entnehmen ist, was berücksichtigt werden kann (<ref-law>; vorne E. 1.2.4) - bereits zu früheren Zeitpunkten Treueprämien entgegennehmen. Dass damals anscheinend die Möglichkeit bestand, einen Teil in Form von Ferien zu beziehen, ändert daran nichts.
2.2.7. Die Rechtslage war mithin klar. Seine davon abweichende Ansicht, mit welcher er sich in Widerspruch zu Praxis und Doktrin setzt, konnte er bereits im Verfahren vor der Steuerrekurskommission vorbringen. Mithin warf deren Entscheid keine neuen Rechtsfragen auf, mit welchen nicht zu rechnen gewesen wäre. Alsdann ist der Ehemann als besonders versiert zu bezeichnen und dürfte es ihm - als Steueranwalt - nicht schwergefallen sein, innerhalb der (knappen) Restfrist eine Beschwerde zu verfassen. Der Sachverhalt bot keinerlei Schwierigkeiten und war ihm als Direktbetroffenem ohnehin geläufig. Seine Eingabe, die er schliesslich am 23. März 2016 - drei Wochen nach Fristablauf - einreichte, zeigt auf, dass er keine wesentlich neuen Gedankengänge anzustellen hatte. Schliesslich bestand zwar bis Ende März eine volle Arbeitsunfähigkeit, doch räumt der Steuerpflichtige in seiner Beschwerde an das Bundesgericht selber ein, es sei ihm ab dem Zeitpunkt der Heimkehr "zumutbar [gewesen], den Entscheid der Rekurskommission zu studieren und selber oder durch einen beauftragten Dritten zu handeln". Mithin herrschte auch in seiner eigenen Einschätzung kein Krankheitszustand, der ihn an jedem Handeln hätte hindern können (vorne E. 2.2.2). Die vom Steuerpflichtigen nachgereichten Arztzeugnisse führen zu keiner anderen Beurteilung, zumal sie als echte Noven vor <ref-law> ohnehin nicht standhalten (vorne E. 1.2.4).
2.3. Mit Blick auf Praxis und Doktrin zu den Restfristen (vorne E. 2.2.4 und 2.2.5) durfte die Vorinstanz bundesrechtskonform erwägen, die verbleibende Frist habe ausgereicht, um die Beschwerde zu verfassen und einzureichen. Unter diesen Vorzeichen erübrigt es sich, der Frage nachzugehen, ob die Ehefrau unter den gegebenen Umständen stellvertretend für den Ehemann zum Handeln verpflichtet gewesen wäre. Es ist immerhin darauf hinzuweisen, dass Ehegatten, die in rechtlich und tatsächlich ungetrennter Ehe leben, die Verfahrensrechte und Verfahrenspflichten gemeinsam ausüben (<ref-law>) und für die Gesamtsteuer solidarisch haften (<ref-law>). Bundessteuerlich waren beide Eheleute für sämtliche Steuerfaktoren mitwirkungspflichtig (<ref-ruling> E. 2.3.4 S. 324 f.). Die Beschwerde erweist sich mithin als unbegründet, weshalb sie abzuweisen und der angefochtene Entscheid zu bestätigen ist.
III. Staats- und Kantonssteuern des Kantons Bern
3.
Das Harmonisierungsrecht kennt keine eigenständige Regel über die Wiederherstellung versäumter Fristen (Urteil 2C_407/2012 vom 23. November 2012 E. 2.2, in: StE 2013 B 92.8 Nr. 8; ULRICH CAVELTI, in: Martin Zweifel/Peter Athanas [Hrsg.], StHG, 2. Aufl. 2002, N. 12 zu Art. 50 StHG). Die kantonalrechtlichen Bestimmungen (Art. 161 Abs. 3 des Steuergesetzes [des Kantons Bern] vom 21. Mai 2000 [StG/BE; BSG 661.11 i. V. m. Art. 43 Abs. 2 des Gesetzes [des Kantons Bern] über die Verwaltungsrechtspflege [VRPG/BE; BSG 155.21]) entsprechen inhaltlich den genannten Normen des Bundessteuerrechts. Mithin ergeben sich für die Staats- und Gemeindesteuern des Kantons Bern keine abweichenden Schlüsse.
IV. Kosten und Entschädigung
4.
4.1. Nach dem Unterliegerprinzip (Art. 65 i. V. m. 66 Abs. 1 BGG) sind die Kosten des bundesgerichtlichen Verfahrens den Steuerpflichtigen aufzuerlegen. Diese tragen die Kosten zu gleichen Teilen und unter solidarischer Haftung (<ref-law>).
4.2. Dem Kanton Bern, der in seinem amtlichen Wirkungskreis obsiegt, steht keine Parteientschädigung zu (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Verfahren 2C_451/2016 und 2C_452/2016 werden vereinigt.
2.
Die Beschwerde betreffend die direkte Bundessteuer 2011 (Verfahren 2C_452/2016) wird abgewiesen.
3.
Die Beschwerde betreffend die Staats- und Gemeindesteuern 2011 des Kantons Bern (Verfahren 2C_451/2016) wird abgewiesen.
4.
Die Kosten des bundesgerichtlichen Verfahrens von Fr. 2'000.-- werden den Beschwerdeführern auferlegt. Sie tragen ihren Anteil zu gleichen Teilen und unter solidarischer Haftung.
5.
Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten, dem Verwaltungsgericht des Kantons Bern, Verwaltungsrechtliche Abteilung, Einzelrichter, und der Eidgenössischen Steuerverwaltung schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 8. Juli 2016
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Seiler
Der Gerichtsschreiber: Kocher