Sachverhalt:
A.
Die Ehegatten A.A._ und B.A._ sind Miteigentümer der Liegenschaft GB U._ Nr. xxx. Sie wollten das darauf errichtete Wohnhaus zu einem "Bed and breakfast" umbauen. Zu diesem Zweck schlossen sie am 18. September 2014 mit der C._ AG einen Totalunternehmervertrag zu einem pauschalen Werkpreis von Fr. 221'000.-- ab. Die Unternehmerin versandte am 22. April 2015 eine Schlussabrechnung über Fr. 22'000.--. Die Ehegatten A._ verweigerten die Bezahlung. Ihrer Meinung nach hatte die Unternehmerin nicht alle Arbeiten erbracht, Eigenleistungen nicht korrekt berücksichtigt, nicht vereinbarte Mehrarbeiten verrechnet und nicht alle gerügten Mängel behoben. Am 26. Juni 2015 verfügte der Amtsgerichtspräsident von Solothurn-Lebern die vorläufige Eintragung eines Bauhandwerkerpfandrechts mit einer Pfandsumme von Fr. 22'000.-- zuzüglich Zins. Die C._ AG klagte am 1. September 2015 auf definitive Eintragung des Bauhandwerkerpfandrechts. Mit Urteil vom 15. Juli 2016 ordnete der Amtsgerichtspräsident die definitive Eintragung des Bauhandwerkerpfandrechts mit einer Pfandsumme von Fr. 22'000.-- nebst Zins zu 5 % seit 9. Juni 2015 auf dem Grundstück der Besteller an, alles unter Kosten- und Entschädigungsfolgen.
B.
Gegen dieses Urteil erhoben A.A._ und B.A._ Berufung beim Obergericht des Kantons Solothurn. Sie stellten folgende Begehren:
"1. Es sei im Dispositiv festzustellen, dass das Richteramt Solothurn den Anspruch der Berufungskläger auf rechtliches Gehör sowie ihr Recht auf den Beweis verletzt hat.
2. Der vorinstanzliche Entscheid sei aufzuheben und die Sache zur Abnahme des Wahrheitsbeweises und zur Neubeurteilung an die Vorinstanz zurückzuweisen.
3. Eventualiter sei der vorinstanzliche Entscheid aufzuheben und die Klage direkt durch das Obergericht abzuweisen und das Grundbuchamt Region Solothurn, Filiale V._ anzuweisen, das Bauhandwerkerpfandrecht auf GB U._ Nr. xxx zugunsten C._ AG zu löschen.
4. Eventualiter sei der vorinstanzliche Entscheid in wesentlichen Punkten direkt durch das Obergericht anzupassen und das Grundbuchamt Region Solothurn, Filiale V._ anzuweisen, das Bauhandwerkerpfandrecht auf GB U._ Nr. xxx zugunsten C._ AG anzupassen. Die Anpassungen ergeben sich aus den gerügten Punkten der Urteilsbegründung.
5. Der vorinstanzliche Entscheid oder der Entscheid des Obergerichts dahingehend zu ergänzen ist, dass der Berufungsbeklagte dem Antragsteller die Kosten für die Mängelbehebung, für die die Frist der angedrohten Eigenvornahme abgelaufen ist, in der Summe von aktuell 19'170.-- CHF + 3'229.-- CHF + 4'203.-- CHF = 26'602.-- CHF, zu bevorschussen hat, oder diese vom Bauhandwerkerpfand in Abzug zu bringen. Die korrelierenden Beweismittel sind Uk 28, Beleg 10 Seite 5, UK 29, UK 13.
6. Eventualiter ist der Berufungsbeklagte höchstrichterlich anzuweisen, bei Vorliegen einer Bankbürgschaft zu Gunsten C._ AG, W._ in ausreichender Höhe, das Bauhandwerkerpfand zu ihren Gunsten auf Grundbuch GB U._ Nr. xxx unmittelbar streichen zu lassen.
7. Der vorinstanzliche Entscheid oder der Entscheid des Obergerichts dahingehend zu ergänzen ist, dass dem Berufungskläger das Recht auf Sicherheitsrückbehalt in der Höhe von 22'100.-- CHF gemäss SIA Norm 118 bis zur Vollendung des Werks zugesprochen wird.
8. Der vorinstanzliche Entscheid oder der Entscheid des Obergerichts dahingehend zu ergänzen ist, dass dem Berufungskläger zugestanden wird, die in Uk 13 aufgelisteten Mängel in Eigenvornahme auszuführen, und die Berufungsbeklagte die entsprechenden Kosten vollumfänglich zu bezahlen habe.
9. Der vorinstanzliche Entscheid oder der Entscheid des Obergerichts dahingehend zu ergänzen ist, dass vom Berufungsbeklagten noch nicht bezahlte Rechnungen (siehe Uk 23, Uk 22, Uk 21) in der Höhe von insgesamt 3'264.-- CHF auf gerichtliche Weisung unverzüglich zu bezahlen sind.
10. Der vorinstanzliche Entscheid oder der Entscheid des Obergerichts dahingehend zu ergänzen ist, dass vom Berufungskläger erbrachte Eigenleistungen in Höhe von 5'560.-- CHF vom Werklohn abzuziehen sind."
Mit Urteil vom 16. Februar 2017 trat das Obergericht auf das Feststellungsbegehren 1 mangels Rechtsschutzinteresses und auf das Aufhebungsbegehren 2 mangels Antrags in der Sache (E. II/2) sowie auf die Begehren 5-10 nicht ein, weil diese erstmals vor Obergericht gestellt und nicht als Klageänderung gewertet werden könnten (E. II/1). In der Hauptsache hiess das Obergericht die Eventualbegehren 3 und 4 teilweise gut, reduzierte die Pfandsumme auf Fr. 17'392.80 und verlegte die Prozesskosten der ersten Instanz neu. Im Rahmen einer Berichtigung vom 23. Februar 2017 sprach das Obergericht der C._ AG zudem eine reduzierte Parteientschädigung von Fr. 5'307.35 zu.
C.
Mit Beschwerde in Zivilsachen vom 27. März 2017 gelangen A.A._ und B.A._ (fortan: Beschwerdeführer) an das Bundesgericht. Sie erneuern im Wesentlichen die bereits vor Obergericht gestellten Begehren. Zusätzlich beantragen sie, die C._ AG (fortan: Beschwerdegegnerin) sei zu verurteilen, ihre Verpflichtungen gemäss Werkvertrag in angemessener Zeit vollumfänglich zu erbringen. Abweichend wollen die Beschwerdeführer zudem, dass ihnen zugestanden werde, die in Urkunde 13 aufgelisteten Mängel und nicht ausgeführten Arbeiten durch einen unabhängigen Bausachverständigen bewerten zu lassen und den festgestellten Minderwert vom Werklohn abzuziehen und bzw. oder die in Urkunde 13 aufgelisteten Mängel und nicht ausgeführten Arbeiten in Eigenvornahme auszuführen, und dass die Beschwerdegegnerin die entstehenden Kosten zu bezahlen habe. Ferner und eventualiter beantragen sie die Feststellung, dass das Pfand, da die Forderung noch nicht geschuldet sei, nicht zinsberechtigt sei. Schliesslich sei der vorinstanzliche Entscheid dahingehend anzupassen, dass die Anwaltskosten der Beschwerdegegnerin nicht den Beschwerdeführern auferlegt werden.
Das Bundesgericht hat die kantonalen Akten, hingegen keine Vernehmlassungen eingeholt.

Erwägungen:
1.
1.1. Das angefochtene Urteil betrifft die definitive Eintragung eines Bauhandwerkerpfandrechts und damit eine Zivilsache (<ref-law>) in einer vermögensrechtlichen Angelegenheit.
1.2. Die Beschwerdeführer behaupten, der Streitwert übersteige Fr. 30'000.--. Sie verweisen dabei auf das berichtigte Urteil vom 23. Februar 2017, in dessen Rahmen das Obergericht den Streitwert als Fr. 30'000.-- übersteigend bezeichnet. Im Urteil vom 16. Februar 2017 hatte das Obergericht einen Streitwert von weniger als Fr. 30'000.-- angegeben. Bei Beschwerden gegen Endentscheide bestimmt sich der Streitwert nach den Begehren, die vor der Vorinstanz streitig geblieben waren (<ref-law>); Zinsen, Früchte, Gerichtskosten und Parteientschädigungen fallen bei der Bestimmung des Streitwertes nicht in Betracht (<ref-law>). Streitig war in erster Linie die definitive Eintragung eines Bauhandwerkerpfandrechts mit einer Pfandsumme von Fr. 22'000.--, die hier im Grundsatz für die Bestimmung des Streitwertes massgebend ist (<ref-ruling> E. 1). Erst vor Obergericht haben die Beschwerdeführer Begehren gestellt, die als Widerklage qualifiziert werden könnten. Da das Obergericht von vornherein nicht auf diese Widerklagebegehren eingetreten ist, scheint fraglich, ob diese streitwertrelevant sind (vgl. Urteil 5A_765/2008 vom 29. Juni 2009 E. 1.2.1). Diese Frage braucht indessen nicht abschliessend beantwortet zu werden, denn der Streitwert der Widerklagebegehren beträgt maximal Fr. 26'602.--. Der Betrag einer Widerklage wird nicht mit demjenigen der Hauptklage zusammengerechnet (<ref-law>). Massgebend wäre gegebenenfalls der höhere Betrag der Widerklage (vgl. <ref-law>). Dieser erreicht den für das bundesgerichtliche Verfahren massgeblichen Streitwert von Fr. 30'000.-- jedoch auch nicht (<ref-law>). Daran vermag die unrichtige Angabe des Streitwertes im Berichtigungsurteil nichts zu ändern. Wohl darf einer Partei wegen einer unrichtigen Rechtsmittelbelehrung kein Nachteil erwachsen (<ref-law>). Indes vermag eine falsche Rechtsmittelbelehrung in keinem Fall eine Rechtsmittelmöglichkeit zu schaffen, die es gemäss dem Gesetz nicht gibt (<ref-ruling> E. 1.2; <ref-ruling> E. 1.5).
1.3. Dass sich eine Rechtsfrage von grundsätzlicher Bedeutung stellt (<ref-law>), behaupten die Beschwerdeführer naturgemäss nicht (<ref-law>). Ein anderer Ausnahmetatbestand (<ref-law>) liegt nicht vor, so dass die Beschwerde in Zivilsachen ausscheidet und die Eingabe als subsidiäre Verfassungsbeschwerde (<ref-law>) entgegenzunehmen ist. Das angefochtene Urteil ist kantonal letzt- und oberinstanzlich (<ref-law>), lautet zum Nachteil der Beschwerdeführer (<ref-law>) und schliesst das kantonale Verfahren ab (Art. 90 i.V.m. <ref-law>).
1.4. Die Beschwerdeführer führen aus, sie hätten als juristische Laien versucht, sich in der kurzen zur Verfügung stehenden Zeit möglichst umfassend in die Thematik und die Gesetzeslage einzuarbeiten. Soweit dies nicht gelungen sei, ersuchen sie das Bundesgericht, diesem Umstand Rechnung zu tragen und eventuell ungenügende Formulierungen durch gezieltes Nachfragen in juristisch unzweideutige Aussagen zu überführen, und im vorliegenden Fall dem Grundsatz "iura novit curia" besondere Beachtung zu schenken.
In Zivilsachen kann eine Partei vor Bundesgericht selber Beschwerde führen oder sich von einem Rechtsanwalt vertreten lassen (<ref-law>). Das bedeutet aber nicht, dass die Partei, die (freiwillig) ohne berufsmässige Vertretung vor dem höchsten Gericht der Schweiz einen Prozess führt, ein besonderes Entgegenkommen beanspruchen kann. Namentlich sieht das Bundesgerichtsgesetz weder eine Fragepflicht des Bundesgerichts vor noch ein Recht der Partei, nach Ablauf der Frist formell ungenügend begründete Beschwerden nachzubessern (<ref-ruling> E. 2.4.2). Mit anderen Worten gelten grundsätzlich die gleichen Massstäbe für alle (vgl. THOMAS GEISER/FELIX UHLMANN, Grundlagen, in: Prozessieren vor Bundesgericht, 4. Aufl. 2014, § 1 Rz. 1.153 S. 67).
1.5. Neue Begehren sind vor Bundesgericht unzulässig (<ref-law>). Soweit die Beschwerdeführer mehr oder anderes verlangen, als von der Vorinstanz beurteilt wurde, ist darauf nicht einzutreten (<ref-ruling> E. 3.4.2; zuletzt: Urteil 5A_761/2016 vom 20. Juni 2017 E. 2.2.3).
2.
2.1. Mit der Verfassungsbeschwerde kann einzig die Verletzung verfassungsmässiger Rechte gerügt werden (<ref-law>). Diesen Vorwurf prüft das Bundesgericht nicht von Amtes wegen, sondern nur insoweit, als eine entsprechende Rüge in der Beschwerde vorgebracht und begründet worden ist (<ref-law>; <ref-ruling> E. 1.5). Die Beschwerdeschrift muss die wesentlichen Tatsachen und eine kurz gefasste Darlegung darüber enthalten, welche verfassungsmässigen Rechte bzw. welche Rechtssätze inwiefern durch den angefochtenen Entscheid verletzt worden sind. Das Bundesgericht prüft nur klar und detailliert erhobene und, soweit möglich, belegte Rügen; auf ungenügend begründete Rügen und rein appellatorische Kritik am angefochtenen Entscheid tritt es nicht ein (<ref-ruling> E. 1.2; <ref-ruling> E. 3.2). Will der Beschwerdeführer die Verletzung des Willkürverbots geltend machen, reicht es sodann nicht aus, wenn er die Lage aus seiner eigenen Sicht darlegt und den davon abweichenden angefochtenen Entscheid als willkürlich bezeichnet. Vielmehr muss er im Einzelnen darlegen, inwiefern das kantonale Gericht willkürlich entschieden haben soll und der angefochtene Entscheid deshalb an einem qualifizierten und offensichtlichen Mangel leidet (<ref-ruling> E. 2.2).
2.2. Präzise formulierte Verfassungsrügen lassen sich der Beschwerdeschrift nicht entnehmen. Die Beschwerdeführer erwähnen keine einzige Verfassungsbestimmung, die verletzt worden sein könnte. Wo sie einmal das Wort "Willkür" verwenden, richtet sich ihr Vorwurf nicht an das Obergericht, sondern an die Beschwerdegegnerin, die Minderwerte in der sog. Schlussrechnung willkürlich festgesetzt haben soll (S. 8 der Beschwerdeschrift). Mit Bezug auf den Sachverhalt beschränken sich die Beschwerdeführer darauf, wohl detailliert und unter Hinweis auf konkrete Aktenstücke oder Erwägungen, den Sachverhalt aus ihrer Sicht darzustellen (die Vorinstanz habe einseitige Annahmen und Beweiswürdigungen zum Nachteil der Beschwerdeführer getroffen; die Beweise seien in den Akten nicht zweifelsfrei abgestützt; die Vorinstanz habe Beweismittel akzeptiert und berücksichtigt, obwohl deren Wahrheitsgehalt nicht bewiesen resp. nicht nachprüfbar sei; der Grundsatz "Im Zweifel für den Angeklagten" sei nicht, jedenfalls nicht ausreichend beachtet worden, da überall dort, wo Interpretationsspielraum bestand, Beweise zu Ungunsten der Beschwerdeführer ausgelegt worden seien; Beweismittel der Beschwerdeführer seien rechtswidrig nicht, nicht korrekt oder nicht ausreichend berücksichtigt worden; widersprüchliche und falsche Aussagen der Beschwerdegegnerin habe die Vorinstanz nicht erkannt und trotz Hinweisen seitens der Beschwerdeführer nicht abgeklärt, etc.) und die gegenteiligen Schlüsse der Vorinstanz als unrichtig zu bezeichnen. Ausserdem ist nicht bei jeder den Sachverhalt betreffenden Rüge einsichtig und legen die Beschwerdeführer nicht dar, inwiefern diese einen Einfluss auf das Ergebnis haben könnte. Die Beschwerde ist unzureichend begründet, weshalb auf sie insgesamt nicht eingetreten werden kann.
3.
Der Beschwerde könnte selbst dann kein Erfolg beschieden sein, wenn sie als Beschwerde in Zivilsachen (<ref-law>) hätte entgegengenommen werden können.
3.1. Gemäss <ref-law> ist in der Beschwerdebegründung in gedrängter Form darzulegen, inwiefern der angefochtene Akt Recht verletzt. Die Begründung muss sachbezogen sein und sich auf den Streitgegenstand beziehen und beschränken; die beschwerdeführende Partei hat in gezielter Auseinandersetzung mit den für das Ergebnis des angefochtenen Entscheides massgeblichen Erwägungen plausibel aufzuzeigen, welche Rechte bzw. Rechtsnormen die Vorinstanz verletzt haben soll (<ref-ruling> E. 2.4). Die Begründung hat in der Beschwerdeschrift selbst zu erfolgen, und der blosse Verweis auf Ausführungen in andern Rechtsschriften, hier insbesondere die Berufungseingabe (Beilage 4), oder auf die Akten reicht nicht aus (<ref-ruling> E. 2).
3.2. Das Obergericht ist auf die Begehren 5-10 nicht eingetreten, weil die Beschwerdeführer diese erstmals im Berufungsverfahren gestellt hätten, sie keine Klageänderung darstellten und damit unzulässig seien. Die Beschwerdeführer übersehen diesen Aspekt vollständig und äussern sich nicht dazu, sondern erneuern vor Bundesgericht ihre Begehren. Weil das Obergericht die fraglichen Begehren materiell nicht beurteilt hat, könnte auch das Bundesgericht diese nicht beurteilen (<ref-ruling> E. 8.3), so dass auf sämtliche Begehren, die sich nicht unmittelbar auf das Bauhandwerkerpfandrecht beziehen, nicht eingetreten werden kann.
3.3. Was den Sachverhalt angeht, legt das Bundesgericht seinem Urteil die Feststellungen der Vorinstanz zugrunde (<ref-law>). Gemäss <ref-law> kann die Feststellung des Sachverhalts und damit die Beweiswürdigung nur gerügt werden, wenn die Sachverhaltsfeststellung offensichtlich unrichtig - wobei "offensichtlich unrichtig" die gleiche Bedeutung hat wie "willkürlich" (<ref-law>; <ref-ruling> E. 1.5 mit Hinweis) - ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruht und die Behebung des Mangels für den Verfahrensausgang entscheidend sein kann. Bei der Rüge der offensichtlich unrichtigen Sachverhaltsfeststellung gilt das strenge Rügeprinzip (<ref-law>). Das Bundesgericht prüft in diesem Fall nur klar und detailliert erhobene und, soweit möglich, belegte Rügen; auf rein appellatorische Kritik am angefochtenen Entscheid tritt es nicht ein (zum Ganzen: <ref-ruling> E. 2.3). Zu den (ungenügenden) Sachverhaltsrügen gilt das in E. 2.2 Gesagte.
3.4. Gründe, weshalb das Obergericht auf der Basis des von ihm festgestellten Sachverhalts das Recht falsch angewendet haben könnte, führen die Beschwerdeführer nicht substanziiert aus. Dies gilt auch hinsichtlich des letzten Begehrens, mit welchem sie beantragen, es sei ihnen im vorinstanzlichen Verfahren keine Parteientschädigung aufzuerlegen, mit der Begründung, das Schweizer Recht sehe keine Anwaltspflicht vor und der vorliegende Fall basiere auf einem nicht sehr komplexen Sachverhalt, sodass - so die Beschwerdeführer zumindest implizit - der Beizug eines Anwaltes unnötig gewesen sei. Sie übergehen vollständig, dass sich das Tragen der Prozesskosten nach dem Ausgang des Verfahrens richtet (<ref-law>). Eine Bestimmung, welche die Auferlegung einer Parteientschädigung von der Notwendigkeit der anwaltlichen Vertretung abhängig macht, gibt es nicht.
Die Beschwerdeführer machen geltend, die Anwendung von Bundesrecht auf der Basis eines unvollständig festgestellten Sachverhalts, sei eine Bundesrechtsverletzung. Diese Aussage trifft zwar zu, indes legen sie nicht dar, welche Sachverhalte das Obergericht festzustellen unterlassen hat und in welchem rechtlichen Zusammenhang die angeblich fehlenden Sachverhaltselemente stehen bzw. inwiefern sich diese auf den Ausgang des Verfahrens auswirken würden.
4.
Auf die Beschwerde ist nicht einzutreten. Bei diesem Ausgang des Verfahrens unterliegen die Beschwerdeführer. Sie haben unter solidarischer Haftbarkeit für die Gerichtskosten aufzukommen (Art. 66 Abs. 1 und 5 BGG). Hingegen schulden sie keine Parteientschädigung, zumal der Beschwerdegegnerin kein entschädigungspflichtiger Aufwand entstanden ist.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 2'500.-- werden den Beschwerdeführern unter solidarischer Haftbarkeit auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Solothurn, Zivilkammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 14. August 2017
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: von Werdt
Der Gerichtsschreiber: von Roten