Sachverhalt:
A.
Die Baugesellschaft B._ stellte in den Jahren 2010 und 2012 zwei Baugesuche. Für das erste Baugesuch erteilte die Gemeinde Fläsch die Baubewilligung. Diese wurde jedoch wegen des fehlenden Gebäudeinventars vom Verwaltungsgericht des Kantons Graubünden mit Urteil vom 28. Februar 2012 aufgehoben und zur Neubeurteilung an die Gemeinde zurückgewiesen. Das Baugesuch aus dem Jahr 2012 zog die Baugesellschaft B._ in der Folge zurück, was zur Abschreibung des Baubewilligungsverfahrens führte.
Am 2. Juli 2013 reichte die Baugesellschaft B._ ein neues, überarbeitetes Baugesuch ein. Gegenstand des Gesuchs bildet die Erstellung von zwei Mehrfamilienhäusern mit insgesamt elf Wohnungen und einer Tiefgarage mit 20 Einstellplätzen auf den Parzellen Gbbl. Nrn. 421, 422 sowie 878. Gemäss Gesuch sind die Fassaden der beiden Häuser mit Beton/Backstein verputzt, altweiss und mit einer Holzschalung mit Aussenwärmedämmung versehen. Die bestehenden Gebäude auf den Parzellen Gbbl. Nrn. 421 und 422 sollen abgerissen werden.
Gegen dieses Baugesuch reichte unter anderem A._, Eigentümer der Grundstücke Gbbl. Nrn. 418, 419 und 420, am 16. Oktober 2013 Einsprache ein. Die Gebäude auf den Parzellen Gbbl. Nrn. 420 und 421 stossen auf der gemeinsamen Grenze aneinander.
Die Gemeinde Fläsch wies die Einsprache mit Baueinspracheentscheid vom 17. Februar 2014 ab und erteilte am 10. März 2014 die Baubewilligung.
Diese Entscheide focht A._ mit Beschwerde vom 2. April 2014 beim Verwaltungsgericht an. Am 10. November 2014 führte dieses in Anwesenheit der Parteien einen Augenschein vor Ort durch.
Mit Urteil vom 11. November 2014 wies das Verwaltungsgericht die Beschwerde ab, soweit es darauf eintrat.
B.
Mit Eingabe vom 28. April 2015 führt A._ Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten ans Bundesgericht mit dem Antrag, das Urteil des Verwaltungsgerichts sei aufzuheben, un d die Baubewilligung sei zu verweigern. Eventualiter sei die Angelegenheit zur Neubeurteilung an die Vorinstanz zurückzuweisen.
Mit Verfügung vom 1. Juni 2015 erkannte der Präsident der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung des Bundesgerichts der Beschwerde die aufschiebende Wirkung zu.
Die Baugesellschaft B._, die Gemeinde Fläsch und das Verwaltungsgericht beantragen in ihren Stellungnahmen, die Beschwerde sei abzuweisen, soweit darauf eingetreten werden könne.
Der Beschwerdeführer hält an seinem Standpunkt und an seinen Rechtsbegehren fest.

Erwägungen:
1.
1.1. Angefochten ist ein kantonal letztinstanzlicher Entscheid über eine Baubewilligung. Dagegen steht die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten offen (Art. 82 lit. a, 86 Abs. 1 lit. d und 90 BGG). Der Beschwerdeführer ist als Adressat des angefochtenen Entscheids und unmittelbarer Nachbar des Baugrundstücks zur Beschwerde legitimiert (<ref-law>; <ref-ruling> E. 1.3.3 S. 253 f.). Auf die frist- und formgerecht eingereichte Beschwerde ist unter Vorbehalt der nachfolgenden Ausführungen einzutreten.
1.2. Die Anwendung von kantonalem Recht prüft das Bundesgericht nicht frei, sondern unter dem Blickwinkel des Bundesrechts (<ref-law>), namentlich des Verfassungsrechts und insbesondere des Willkürverbots. Willkür liegt nach der Rechtsprechung nicht schon dann vor, wenn eine andere Lösung ebenfalls vertretbar erscheint oder sogar vorzuziehen wäre. Das Bundesgericht weicht vom Entscheid der kantonalen Instanz nur ab, wenn dieser offensichtlich unhaltbar ist, mit der tatsächlichen Situation in klarem Widerspruch steht, eine Norm oder einen unumstrittenen Rechtsgrundsatz krass verletzt oder in stossender Weise dem Gerechtigkeitsgedanken zuwiderläuft (<ref-ruling> E. 2.2.2 S. 318 f. mit Hinweisen).
Die Verletzung von Grundrechten - einschliesslich die willkürliche Anwendung von kantonalem und kommunalem Recht - wird vom Bundesgericht geprüft, soweit eine solche Rüge in der Beschwerde vorgebracht und begründet worden ist (<ref-law>). Hierfür gelten qualifizierte Begründungsanforderungen (vgl. <ref-ruling> E. 1.6 S. 281 f.; <ref-ruling> E. 4.1 S. 235). Das Bundesgericht prüft nur klar und detailliert erhobene und, soweit möglich, belegte Rügen; auf rein appellatorische Kritik am angefochtenen Entscheid tritt es nicht ein.
1.3. Soweit der Beschwerdeführer eine Verletzung von <ref-law> wegen rechtsungleicher Behandlung geltend macht, genügt er der qualifizierten Rügepflicht nicht. Er bringt vor, die Gemeinde habe es ihm - im Unterschied zur Beschwerdegegnerin - verweigert, etwas am äusseren Erscheinungsbild und am Gebäudevolumen seines Hauses zu ändern. Der Beschwerdeführer führt jedoch insoweit nicht aus, um was für ein Bauprojekt es sich dabei gehandelt hat, sodass sich seine Behauptung bereits aus diesem Grund nicht überprüfen lässt. Auf die Beschwerde ist in diesem Punkt nicht einzutreten.
2.
2.1. Der Beschwerdeführer rügt eine Verletzung seines Anspruchs auf rechtliches Gehör gemäss <ref-law>. Er sei erstmals anlässlich des Augenscheins vom 10. November 2014 mit dem Gebäudemodell des Bauprojekts konfrontiert worden und habe daher dessen Richtigkeit nicht überprüfen können. Des Weiteren sei ihm die beim Augenschein erstellte Fotodokumentation vor der Entscheidfällung am 11. November 2014 nicht zur Stellungnahme zugestellt worden. Schliesslich sei die Vorinstanz ihrer Begründungspflicht nicht hinreichend nachgekommen, da sie sich mit mehreren seiner Vorbringen nicht auseinandergesetzt habe.
2.2.
2.2.1. Die Beschwerdegegnerin reichte das Gebäudemodell zusammen mit dem Baugesuch ein. Das Modell lag während der öffentlichen Auflage auf und hätte vom Beschwerdeführer besichtigt werden können. Er hat es damit selbst zu vertreten, wenn er erstmals am gerichtlichen Augenschein vom Gebäudemodell Kenntnis genommen hat. Eine Verletzung des rechtlichen Gehörs liegt nicht vor.
Die Tatsache, dass die Vorinstanz dem Beschwerdeführer die anlässlich des Augenscheins erstellte Fotodokumentation nicht zur Stellungnahme unterbreitet hat, begründet ebenfalls keine Gehörsverletzung. Der Beschwerdeführer und sein Rechtsvertreter haben persönlich am Augenschein teilgenommen und konnten sich mündlich umfassend zu den Örtlichkeiten sowie zu den Vorbringen der übrigen Beteiligten äussern. Die im Beisein der Parteien erstellte Fotodokumentation diente primär dazu, den nicht am Augenschein teilnehmenden Mitgliedern des Spruchkörpers sowie - im Falle des Weiterzugs des verwaltungsgerichtlichen Urteils - dem Bundesgericht als Rechtsmittelinstanz die Überprüfung des angefochtenen Entscheids zu ermöglichen. Der Anspruch auf rechtliches Gehör ist auch ohne Zustellung der Fotodokumentation gewahrt worden (vgl. zum Ganzen auch Urteile 1C_193/ 2011 vom 24. August 2011 E. 2 und 1C_134/2007 vom 24. Januar 2008 E. 3.4).
2.2.2. Die Begründungspflicht, welche vom Beschwerdeführer als missachtet gerügt wird, ist ein wesentlicher Bestandteil des Anspruchs auf rechtliches Gehör. Sie soll verhindern, dass sich die Behörde von unsachlichen Motiven leiten lässt, und sie soll es dem Betroffenen erlauben, den Entscheid gegebenenfalls sachgerecht anzufechten. Dies ist nur möglich, wenn sowohl er wie auch die Rechtsmittelinstanz sich über die Tragweite des Entscheids ein Bild machen können. In diesem Sinn müssen wenigstens kurz die Überlegungen genannt werden, von denen sich die Behörde hat leiten lassen und auf welche sich ihr Entscheid stützt. Dies bedeutet indessen nicht, dass sie sich ausdrücklich mit jeder tatbeständlichen Behauptung und jedem rechtlichen Einwand auseinandersetzen muss. Vielmehr kann sie sich auf die für den Entscheid wesentlichen Gesichtspunkte beschränken (BGE <ref-ruling> E. 5.2 S. 236).
Die Vorinstanz ist in ihrem ausführlich begründeten Urteil ihrer Begründungspflicht nachgekommen. Sie hat sich mit den entscheiderheblichen Einwänden des Beschwerdeführers befasst und dargelegt, aus welchen Gründen sie die Beschwerde abgewiesen hat. Insbesondere hat sie ausgeführt, weshalb sie die Einschätzung der kantonalen Denkmalpflege im Schreiben vom 2. Juli 2013 (vgl. hierzu nachfolgend E. 5.2) als überzeugend erachtet hat. Auf die Stellungnahme des Bündner Heimatschutzes vom 17. August 2011 musste die Vorinstanz nicht im Detail eingehen, da diese nicht im vorliegenden Verfahren abgegeben wurde, sondern sich auf ein früheres Bauprojekt bezog; insbesondere lag damals noch kein Gebäudeinventar vor (vgl. Sachverhalt lit. A. am Anfang).
3.
3.1. Das Dorf Fläsch ist im Anhang des Bundesinventars der schützenswerten Ortsbilder der Schweiz von nationaler Bedeutung (ISOS) gemäss der entsprechenden Verordnung vom 9. September 1981 (VISOS; SR 451.12) aufgeführt. Durch die Aufnahme in ein Inventar des Bundes wird dargetan, dass das Objekt in besonderem Masse die ungeschmälerte Erhaltung, jedenfalls unter Einbezug von Wiederherstellungs- oder angemessenen Ersatzmassnahmen die grösstmögliche Schonung verdient (<ref-law> [SR 451]). Diese Schutzbestimmung gilt indes, wie <ref-law> festhält, lediglich bei der Erfüllung von Bundesaufgaben (Art. 2 und 3 NHG) in unmittelbarer Weise. Bei der Erfüllung von kantonalen (und kommunalen) Aufgaben - wozu im Grundsatz die Nutzungsplanung zählt - wird der Schutz von Ortsbildern durch kantonales (und kommunales) Recht gewährleistet. Dies ergibt sich verfassungsrechtlich aus <ref-law>, wonach die Kantone für den Natur- und Heimatschutz zuständig sind. Auch bei der Erfüllung von kantonalen (und kommunalen) Aufgaben sind Bundesinventare wie das ISOS indes von Bedeutung. Die Pflicht zur Beachtung findet ihren Niederschlag zum einen in der Anwendung der die Schutzanliegen umsetzenden (Nutzungs-) Planung, zum andern darin, dass im Einzelfall erforderliche Interessenabwägungen im Lichte der Heimatschutzanliegen vorzunehmen sind (siehe <ref-ruling> E. 2.1 S. 212 f.).
Die Bauordnung konkretisiert auf kommunaler Ebene die Anliegen des Natur- und Heimatschutzes und berücksichtigt damit die Schutzanliegen im Sinne des ISOS. Diese Grundnutzungsordnung ist nicht auf ihre materielle Übereinstimmung mit dem vom ISOS angestrebten Schutz hin zu überprüfen. Nutzungspläne (und in engem Zusammenhang stehende planerische Festlegungen) sind grundsätzlich im Anschluss an deren Erlass anzufechten. Eine spätere akzessorische Überprüfung in einem Anwendungsfall ist nur in Ausnahmesituationen zugelassen, die hier nicht erfüllt sind (vgl. zum Ganzen <ref-ruling> E. 5.1 S. 219 mit Hinweisen).
3.2. Das Bauprojekt liegt in der Kernzone gemäss Art. 20 des Baugesetzes der Gemeinde Fläsch vom 3. November 2008 (BauG/Fläsch; siehe auch Art. 10, 13 und Art. 17 BauG/Fläsch), welche mit der Zone "Generell geschützter Siedlungsbereich" gemäss Art. 32 BauG/Fläsch überlagert ist.
Die Kernzone stellt eine Bauzone dar (vgl. Art. 10 BauG/Fläsch); eine Überbauung ist daher grundsätzlich erlaubt. Gemäss Art. 13 BauG/ Fläsch dürfen Gebäude in der Kernzone eine Gesamthöhe von maximal 14 m aufweisen. Bezüglich der Gebäudelänge und -breite bestehen keine Vorgaben. Art. 17 BauG/Fläsch schreibt einzig vor, dass die Höhen und Breiten von Gebäuden ortstypisch zu proportionieren sind, sodass sie insbesondere mit der sie umgebenden Bausubstanz und Siedlungstruktur im Einklang stehen. Die Kernzone ist gemäss Art. 20 BauG/Fläsch für Wohnzwecke sowie für Dienstleistungs- und Produktionsbetriebe (inkl. Landwirtschaft und Weinbau) bestimmt. Es besteht kein Anspruch auf die maximale Gesamthöhe gemäss Zonenschema (Abs. 1). Siedlungsstruktur und Bauweise sind unter Anwendung der Kriterien gemäss Art. 52 BauG/Fläsch zu erhalten und zu ergänzen (vgl. Abs. 2).
Art. 52 BauG/Fläsch, auf welchen in Art. 20 Abs. 2 BauG/Fläsch verwiesen wird, bestimmt, dass für die Kern- und Dorfzone von Fläsch für Neu- und Umbauprojekte insbesondere die folgenden Gestaltungskriterien von besonderer Bedeutung sind: Die räumliche Stellung (Firstrichtung und Volumina) in Bezug zur vorhandenen Siedlungsstruktur (Ziff. 1); das Wechselspiel von Hauptbauten und Nebenbauten bzw. von (zusammengebauten) Wohnhäusern und Ställen (Stein / Holz; massiv / leicht; weiss-grau / braun-schwarz; Ziff. 4); schlanke Baukörper, vor allem bei Mehrfamilienhäusern (Ziff. 5).
Gemäss Art. 32 BauG/Fläsch bezeichnet der Generelle Gestaltungsplan Ortsteile mit Baugruppen, Gebäuden und Anlagen sowie Freiräumen, die auf Grund ihrer Gesamtform, Stellung und äusseren Erscheinung von erheblicher räumlicher, architektonischer, ortsbaulicher oder historischer Bedeutung sind, als generell geschützten Siedlungsbereich (vgl. Abs. 1). Im generell geschützten Siedlungsbereich gelegene Gebäude und Anlagen sowie wertvolle Gebäudeteile und Konstruktionsformen sind zu erhalten. Bauliche Änderungen an Objekten werden nur gestützt auf ein Gebäudeinventar bewilligt. Die Kantonale Denkmalpflege kann für die Erstellung des Gebäudeinventars herbeigezogen werden. Das Gebäudeinventar ist vor Ausarbeitung der Projektpläne zu erstellen (vgl. Siedlungsinventar von November 2005). Es bildet die Grundlage für die Festlegung der zulässigen baulichen Änderungen (Abs. 2).
3.3. Der Beschwerdeführer rügt nicht, dass die Bestimmungen des kommunalen Baugesetzes gegen Bundesrecht verstossen. Er wirft der Vorinstanz jedoch insbesondere eine (klar) rechtswidrige Anwendung von Art. 32 BauG/Fläsch (nachfolgend E. 4) sowie von Art. 52 BauG/ Fläsch (nachfolgend E. 5) vor.
4.
4.1. Der Beschwerdeführer macht geltend, das erstellte Gebäudeinventar sei mangelhaft. Die Gemeinde habe ohne gesetzliche Grundlage ein Merkblatt verfasst. Mit diesem Merkblatt, welches von der kantonalen Denkmalpflege nie genehmigt worden sei, werde Art. 32 BauG/Fläsch klar umgangen.
4.2. In Ausführung und Konkretisierung von Art. 32 BauG/Fläsch und im Nachgang zum Urteil des Verwaltungsgerichts vom 28. Februar 2012 (vgl. Sachverhalt lit. A. am Anfang) hat der Gemeindevorstand am 15. Juni 2012 ein Merkblatt zum Gebäudeinventar (Dokumentation des Altbestands vor baulichen Veränderungen) verabschiedet.
Gemäss Merkblatt bildet die Ortsanalyse (Siedlungsinventar) des Masterstudiengangs Denkmalpflege der Universität Bamberg von November 2005 Grundlage für die Zulässigkeit baulicher Veränderungen im generell geschützten Siedlungsbereich. In diesem Siedlungsinventar seien alle Gebäude, welche aus historischer Sicht als wichtig beurteilt würden, mit Plänen und Fotos dokumentiert (Kategorie 1). Weniger wichtige Gebäude seien nur fotografisch und mit Text erwähnt, jedoch nicht näher dokumentiert (Kategorie 2). Gar nicht aufgeführte Gebäude seien in der Regel weniger bedeutend (Kategorie 3). Gebäude der Kategorie 1 seien so weit wie möglich zu schützen und mit grosser Sorgfalt zu behandeln. Bei solchen Gebäuden werde für Bauvorhaben in der Regel auch die Begleitung durch die Denkmalpflege vorgegeben. Bei Gebäuden der Kategorie 2 sei der Erhalt wünschenswert. Dränge sich trotzdem aus wirtschaftlichen oder bautechnischen Gründen ein Um- und/oder Neubau auf, sei ein Abbruch schriftlich zu begründen. Für die Bewilligung werde insbesondere darauf geachtet, dass der Zustand vor Planungsbeginn mittels eines Gebäudeinventars dokumentiert werde und allfällig neue Bauvolumen in Körnung, Stellung und Architektur einen nachvollziehbaren Bezug zur bestehenden städtebaulichen Situation herstellten.
Im Merkblatt werden alsdann die für die Erstellung eines Gebäudeinventars notwendigen Dokumente aufgeführt: Katasterplan (1:500) und Situationsplan; einfache Grundrisse, Fassaden, Schnitte in geeignetem Massstab (1:100 oder grösser); aussagekräftige Fotodokumentation mit Gesamtansichten, Innen- und Aussenaufnahmen sowie Detailbilder spezieller Bauteile; allfällige weitere Detailpläne nach Rücksprache mit der Denkmalpflege.
4.3. Die Vorinstanz hat erwogen, die Ausarbeitung eines Merkblatts zum Gebäudeinventar nach Art. 32 BauG/Fläsch sei sachlich gerechtfertigt, da dies die Entwicklung einer einheitlichen kommunalen Praxis ermögliche. Die abzubrechenden Gebäude auf den Parzellen Gbbl. Nrn. 421 und 422 stellten gemäss dem Siedlungsinventar von November 2005 Gebäude der Kategorie 2 im Sinne des Merkblatts dar. Die eingereichten Dokumente enthielten eine fotografische, planerische und gebäudespezifische Zusammenstellung dieser bestehenden Gebäude (Situationsplan, Grundrisse, umfangreiche Fotodokumentation). Diese Unterlagen seien aussagekräftig und enthielten alle notwendigen Angaben, um als Gebäudeinventar im Sinne von Art. 32 BauG/Fläsch zu gelten.
4.4. Aus Art. 32 Abs. 2 BauG/Fläsch ergibt sich, dass der Beizug der kantonalen Denkmalpflege für die Erstellung von Gebäudeinventaren nicht zwingend ist ("kann [...] herbeigezogen werden"; vgl. E. 3.2 hiervor). Zudem wird in der Bestimmung ausdrücklich auf das Siedlungsinventar von November 2005 Bezug genommen, gemäss welchem die bestehenden Gebäude auf den Bauparzellen der Kategorie 2 angehören. Die Konkretisierungen im Merkblatt (vgl. E. 4.2 hiervor) widersprechen damit Art. 32 BauG/Fläsch nicht. Dieser regelt die Grundsätze für die Erstellung des Gebäudeinventars. Der Beschwerdeführer begründet nicht und es ist auch nicht einsichtig, weshalb es für die Erstellung eines Merkblatts als Arbeitshilfe zur Entwicklung einer einheitlichen Praxis einer ausdrücklichen gesetzlichen Grundlage bedurft hätte. Ebenso wenig musste das Merkblatt von der kantonalen Denkmalpflege genehmigt werden, was sich bereits daraus ergibt, dass deren Beizug bei der Erstellung von Gebäudeinventaren nicht obligatorisch ist.
Bezogen auf den zu beurteilenden Fall hat die Vorinstanz dargelegt, weshalb sie die eingereichten, mit dem Merkblatt übereinstimmenden Unterlagen als aussagekräftig eingestuft hat. Auch insoweit zeigt der Beschwerdeführer nicht substanziiert auf, weshalb das erstellte Gebäudeinventar den Vorgaben von Art. 32 BauG/Fläsch nicht genügen sollte. Eine willkürliche Anwendung dieser kommunalen Bestimmung liegt nicht vor.
5.
5.1. Der Beschwerdeführer macht weiter geltend, der Abbruch der erhaltenswerten Gebäude auf den Bauparzellen werde nicht schriftlich begründet und stütze sich nicht auf einen Fachbericht ab. Der Abbruch sei auch sachlich nicht gerechtfertigt. Das Neubauprojekt halte sich nicht an die in Art. 52 Ziff. 1, 4 und 5 BauG/Fläsch verankerten Gestaltungskriterien. Verglichen mit dem Ist-Zustand käme es beinahe zu einer Vervierfachung der Gebäudevolumina, was jeglichen vernünftigen Rahmen sprenge. Zudem zeige sich keinerlei Wechselspiel zwischen Haupt- und Nebenbauten. Ferner wiesen die vorgesehenen Mehrfamilienhäuser mitnichten schlanke Baukörper auf. Schliesslich sei die Firsthöhe des höheren der beiden geplanten Mehrfamilienhäuser mit 13,94 m nicht akzeptabel.
5.2. Obwohl ein Beizug der kantonalen Denkmalpflege nach dem Gesagten nicht notwendig gewesen wäre, hat die Gemeinde eine entsprechende Stellungnahme eingeholt.
In ihrem Schreiben vom 2. Juli 2013 hielt die kantonale Denkmalpflege fest, sie habe das Bauprojekt aus denkmalpflegerischer Sicht überprüft. Der Projektperimeter befinde sich in der Aufnahmekategorie AB mit Erhaltungsziel A. Dieses Erhaltungsziel werde wie folgt definiert: "Erhalten der Substanz - alle Bauten, Anlageteile und Freiräume integral erhalten, störende Eingriffe beseitigen." Beim bestehenden Neubau auf der Nachbarparzelle Gbbl. Nr. 842 handle es sich um einen solchen störenden Eingriff. Die Denkmalpflege begrüsse jede Anstrengung, welche die Situation zu verbessern versuche. Das Hauptziel sei, das Fremdelement (Mehrfamilienhaus auf der Parzelle Gbbl. Nr. 842) in den Siedlungsbereich zu integrieren. Das zu beurteilende Bauprojekt auf den Parzellen Gbbl. Nrn. 421 und 422 sehe den Abbruch der bestehenden Gebäude der Kategorie 2 vor. Geplant sei, die Gebäude durch neue Volumina zu ersetzen, die in Körnung, Stellung und Zwischenräumen ein Bindeglied zwischen dem klar definierten Gassenraum auf der einen Seite (Nordflanke) und dem Mehrfamilienhaus auf der oberen Grenze des Freiraums (Südflanke) schaffen könnten. In dieser Hinsicht sei der Abbruch der bestehenden Gebäude aus Sicht der Denkmalpflege ausnahmsweise vorstellbar. Bei der Weiterbearbeitung des Projekts und der Bauausführung sei für die Detailgestaltung und Materialwahl höchste Sorgfalt erforderlich. Es sei diesbezüglich das Einvernehmen mit der örtlichen Baubehörde und dem Bauberater zu finden.
5.3.
5.3.1. Die Vorinstanz hat festgehalten, die Denkmalpflege erachte somit die projektierten Gebäude grundsätzlich als dazu geeignet, eine gewisse harmonische Verbindung zum Siedlungsbereich herzustellen und dadurch den Übergang vom fremdkörperartigen Mehrfamilienhaus auf der Parzelle Gbbl. Nr. 842 (3-stöckig) im Süden zur ortsüblichen Bautiefenbebauung (2-stöckig) möglichst schonungsvoll bzw. orts- und landschaftsbildverträglich sicherzustellen. Der Bauberater der Denkmalpflege habe im Nachgang zum Schreiben vom 2. Juli 2013 an neun von zehn Sitzungen der Baukommission teilgenommen, was die Erarbeitung einer ortsbildgestalterisch optimierten Projektlösung ermöglicht habe (insb. Giebeldachgestaltung; gemischte Materialwahl [Fassadenmauerwerk weiss kombiniert mit Holzverkleidung braun und Innenbalkone mit braunen Holzgeländern]; ortstypische Staffelung von Haupt- und Nebengebäude mit Erhalt der charakteristischen Gassenwirkung). Die Denkmalpflege als zuständige Fachstelle habe somit nicht bloss den Abbruch, sondern auch den projektierten Neubau als möglich erachtet.
5.3.2. Die Vorinstanz hat weiter ausgeführt, die Gestaltungskriterien nach Art. 52 BauG/Fläsch seien erfüllt. Die Gebäudevolumina mit dem niedrigeren Gebäude entlang der Strasse und dem grösseren und höheren Gebäude im rückwärtigen Bereich entsprächen der vorhandenen Siedlungsstruktur. Die Gliederung der Bauten beachte die ortstypische Hof- und Gassenstruktur. Zudem integriere das Bauvorhaben das störende Mehrfamilienhaus auf der Parzelle Gbbl. Nr. 842 in den sonst historisch gewachsenen Siedlungsbereich. Die Wechselbeziehung zwischen gemauertem Fassadenteil und den Fassadenteilen in Holz werde funktional nachvollzogen. Die geplanten Baukörper seien schlicht gehalten und ortsüblich schlank. Die Gesamthöhe der Bauten vertrage sich mit der sie umgebenden Dachlandschaft und halte einem Vergleich mit Nachbarliegenschaften stand.
5.3.3. Zusammenfassend hat die Vorinstanz geschlossen, die Gemeinde habe die Interessenabwägung im Lichte der Heimatschutzanliegen korrekt vorgenommen. Mit der Erteilung der Baubewilligung habe sie den ihr zukommenden Ermessensspielraum bei Auslegungsfragen in der Ortsbildgestaltung respektive bei der Bauästhetik weder missbraucht noch überschritten.
5.4. Mit der Stellungnahme der kantonalen Denkmalpflege liegt eine schriftliche Begründung für den Abbruch vor. Im Übrigen schreibt das kommunale Recht nicht vor, dass ein Abbruch nur nach Einholung eines entsprechenden Fachberichts zulässig ist. Vielmehr ist, wie erwähnt (vgl. E. 3.2 hiervor), der Beizug der kantonalen Denkmalpflege gemäss Art. 32 BauG/Fläsch nicht obligatorisch. Insoweit erweist sich die Beschwerde als unbegründet.
Die kantonale Denkmalpflege stellt in ihrem Schreiben vom 2. Juli 2013 entscheidend darauf ab, dass das neue Bauprojekt das als Fremdelement erscheinende Mehrfamilienhaus auf der Parzelle Gbbl. Nr. 842 gestalterisch in den Siedlungsbereich zu integrieren vermöge. Diesen Aspekt, auf welchen der Beschwerdeführer in seiner Beschwerde nicht eingeht, durfte die Gemeinde im Rahmen ihrer Interessenabwägung stark gewichten.
Des Weiteren hat der Bauberater der Denkmalpflege auch Einfluss auf die Detailgestaltung und die Materialwahl genommen. Indem die Vorinstanz mit dem angefochtenen Urteil die Auffassung der Gemeinde bestätigt hat, dass die Gestaltungskriterien von Art. 52 BauG/Fläsch erfüllt sind, hat sie kein Bundesrecht verletzt. Der örtlichen Baubewilligungsbehörde kommt bei der Anwendung und Auslegung der kommunalen Gestaltungsvorschrift von Art. 52 BauG/Fläsch ein Ermessensspielraum zu. Beruht der kommunale Entscheid auf einer vertretbaren Würdigung der massgebenden Umstände und steht er in Einklang mit dem übergeordneten Recht, so ist er von den Rechtsmittelbehörden zu schützen. Dies ist, wie von der Vorinstanz dargelegt (E. 5.3.2 hiervor), vorliegend der Fall. Soweit der Beschwerdeführer in diesem Zusammenhang vorbringt, die Firsthöhe von 13,94 m des höheren der beiden projektierten Gebäude sei "nicht akzeptabel", ist ihm zu entgegnen, dass damit die Bestimmung von Art. 13 BauG/Fläsch, wonach die Gebäudehöhe in der Kernzone maximal 14 m betragen darf, eingehalten ist.
Zusammenfassend liegt auch insoweit keine willkürliche Anwendung kommunalen Rechts vor.
6.
Im Rahmen des Baubewilligungsentscheids vom 10. März 2014 erteilte die Gemeinde eine Ausnahmebewilligung für Abgrabungen von mehr als 0,8 m im Bereich der geplanten Tiefgarage.
6.1. Der Beschwerdeführer macht insoweit (einzig) geltend, die Abgrabungen betrügen bis maximal 1,48 m statt der gemäss Art. 56 Abs. 2 BauG/Fläsch zulässigen 0,8 m.
6.2. Gemäss Art. 56 BauG/Fläsch sind Veränderungen des bestehenden Geländeverlaufs nur zulässig, soweit sie das Orts- und Landschaftsbild nicht beeinträchtigen. Abgrabungen und Aufschüttungen müssen dem umgebenden natürlichen Gelände angepasst werden (Abs. 1). Abgrabungen und Aufschüttungen dürfen im Mittel maximal 0,8 m unter respektive über der Fassadenlinie liegen und höchstens einen Drittel der projizierten Fassadenlinie umfassen. Drängen sich aus gestalterischen Gründen weitergehende Abgrabungen oder Aufschüttungen auf, kann die Baubehörde Ausnahmen gewähren (Abs. 2).
6.3. Es ist unbestritten, dass die geplanten Abgrabungen maximal 1,48 m statt der grundsätzlich zulässigen 0,8 m betragen. Der Beschwerdeführer geht in seiner Beschwerde jedoch nicht auf die soeben erwähnte Ausnahmemöglichkeit nach Art. 56 Abs. 2 Satz 2 BauG/Fläsch ein. Nach dieser Bestimmung kann die Baubehörde Ausnahmen gewähren, wenn sich solche aus gestalterischen Gründen aufdrängen. Die Gemeinde hielt im Einspracheentscheid fest, das Gelände sei damals beim Bau des Wohnhauses und der Tiefgarage auf der benachbarten Parzelle Gbbl. Nr. 842 künstlich aufgeschüttet worden. Mit der Bewilligung der geplanten Abgrabungen bis maximal 1,48 m könne der Geländeverlauf beruhigt und teilweise in seine ursprüngliche, natürliche Form gebracht werden. Diese Lösung sei aus gestalterischer Sicht weitaus befriedigender als der heute bestehende Geländeverlauf. Die Erteilung einer Ausnahmebewilligung im Sinne von Art. 56 Abs. 2 BauG/Fläsch sei daher gerechtfertigt. Dieser Einspracheentscheid wurde von der Vorinstanz mit dem angefochtenen Urteil bestätigt.
Diese Ausführungen machen deutlich, dass die von der Gemeinde gewährte Ausnahme auf einer sachlich haltbaren Begründung beruht. Eine willkürliche Anwendung kommunalen Rechts ist zu verneinen.
7.
Die Beschwerde ist abzuweisen, soweit darauf eingetreten werden kann. Damit wird der unterliegende Beschwerdeführer kostenpflichtig (<ref-law>). Er hat der anwaltlich vertretenen privaten Beschwerdegegnerin eine angemessene Parteientschädigung auszurichten (Art. 68 Abs. 1 und 2 BGG). Den kommunalen und kantonalen Behörden steht keine Parteientschädigung zu (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf eingetreten werden kann.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 4'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3.
Der Beschwerdeführer hat die Beschwerdegegnerin für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 3'000.-- zu entschädigen.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien, der Gemeinde Fläsch und dem Verwaltungsgericht des Kantons Graubünden, 5. Kammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 7. Januar 2016
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Fonjallaz
Der Gerichtsschreiber: Stohner