Sachverhalt:
A.
A._ arbeitete zuletzt vom 1. November 2015 bis zum 31. Oktober 2016 in einem befristeten Arbeitsverhältnis als Praktikantin bei der B._ AG. Im Oktober 2016 meldete sie sich bei der Arbeitslosenversicherung zum Bezug von Arbeitslosenentschädigung an. Mit Verfügung vom 19. Januar 2017 stellte sie das Amt für Wirtschaft und Arbeit (AWA) des Kantons Basel-Stadt, Regionales Arbeitsvermittlungszentrum (RAV 1), für fünf Tage in der Anspruchsberechtigung ein, weil A._ sich in der Kontrollperiode Dezember 2016 nicht um Arbeit bemüht habe. Die Einsprache der Versicherten, mit welcher sie geltend machte, sie habe das Kontrollformular am 3. Januar 2017 persönlich in den Briefkasten des RAV eingeworfen, wies es mit Entscheid vom 17. Februar 2017 ab.
B.
Die dagegen erhobene Beschwerde hiess das Sozialversicherungsgericht des Kantons Basel-Stadt mit Entscheid vom 14. Juni 2017 gut und hob den Einspracheentscheid vom 17. Februar 2017 auf.
C.
Das RAV führt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten mit dem Antrag, unter Aufhebung des angefochtenen Entscheides sei die Versicherte für mindestens zwei Tage in der Anspruchsberechtigung einzustellen.
A._ schliesst auf Abweisung der Beschwerde. Das Staatssekretariat für Wirtschaft (SECO) verzichtet auf eine Vernehmlassung.

Erwägungen:
1.
Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten (<ref-law>) kann wegen Rechtsverletzung im Sinne von Art. 95 f. BGG erhoben werden. Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (<ref-law>). Es kann deren Sachverhaltsfeststellung berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruht (<ref-law>).
2.
Streitig und zu prüfen ist, ob die vorinstanzliche Aufhebung der vom RAV verfügten Einstellung in der Anspruchsberechtigung bundesrechtskonform war. Umstritten ist dabei, ob das kantonale Gericht die Arbeitsbemühungen der Versicherten für den Monat Dezember 2016 zu Recht als rechtzeitig eingereicht erachtet hat.
3.
Das kantonale Gericht ging davon aus, dass die Versicherte das Kontrollblatt "Nachweis der persönlichen Arbeitsbemühungen" für Dezember 2016 rechtzeitig eingereicht habe, obwohl es in den Akten nicht auffindbar war.
Nach Ansicht des RAV sei dieser Nachweis nicht erbracht und trage die Versicherte die Folgen der Beweislosigkeit. Die Einstellung in der Anspruchsberechtigung sei daher zu Recht erfolgt, wobei eine Reduktion der Einstelltage beantragt wird.
4.
4.1. Die Vorinstanz stellte fest, dass die Versicherte ihrer Einsprache gegen die Verfügung vom 19. Januar 2017 eine Kopie des Kontrollblatts "Nachweis der persönlichen Arbeitsbemühungen" für Dezember 2016 beigelegt und geltend gemacht habe, sie habe das Original am 3. Januar 2017 in den Briefkasten des RAV an der Hochstrasse eingeworfen. Dieser stehe den Versicherten nach den Angaben des RAV zu diesem Zweck zur Verfügung. Die Unterlagen seien beim RAV jedoch nicht aufgefunden worden. Die Versicherte habe sich schon ab Juli 2016 bis zur Beendigung des Arbeitsverhältnisses in qualitativer und in quantitativer Hinsicht ausreichend um Arbeit bemüht. Am 26. Dezember 2016 habe sie gemäss den von ihr eingereichten Unterlagen per E-Mail mitgeteilt, dass sie per Februar 2017 eine neue Stelle gefunden habe, und sich nach dem weiteren Vorgehen erkundigt. Ihre Personalberaterin habe ihr am 2. Januar 2017 geantwortet, dass sie nun nur noch die Arbeitsbemühungen für Dezember 2016 einreichen müsse. Im Januar sei sie von der Stellensuche befreit. Es wäre nicht schlüssig, weshalb die Versicherte die Bemühungen für den Monat Dezember 2016 entgegen dieser Auskunft und trotz ihres bis anhin stets tadellosen und vorbildlichen Verhaltens nicht rechtzeitig hätte einreichen sollen. Viel wahrscheinlicher sei, dass sie nach Erhalt der erwähnten E-Mail umgehend tags darauf die Unterlagen abgegeben habe. Dabei berücksichtigte die Vorinstanz zusätzlich zum Nachteil des RAV, dass die von der Versicherten eingereichte E-Mail-Korrespondenz mit ihrer Personalberaterin in den Akten ebenfalls nicht vorhanden sei. Das RAV habe der Versicherten im Februar 2017 das Formular "Angaben der versicherten Person für den Monat Februar 2017" zugestellt, obwohl es sie nach Kenntnisnahme von der neuen Stelle ab Februar 2017 bereits für Januar 2017 von der Stellensuche befreit habe. Die von der Versicherten geltend gemachte Sachverhaltsvariante erschien dem kantonalen Gericht angesichts dieser Umstände als die wahrscheinlichere.
4.2. Die vorinstanzlichen Feststellungen sind im Rahmen der bundesgerichtlichen Überprüfungsbefugnis, die sich auf offensichtlich unrichtige Sachverhaltsfeststellungen und Rechtsverletzungen beschränkt (oben E. 1), nicht zu beanstanden.
Nach dem im Sozialversicherungsprozess geltenden Untersuchungsgrundsatz hat das Gericht von Amtes wegen für die richtige und vollständige Feststellung des rechtserheblichen Sachverhaltes zu sorgen. Die Verwaltung als verfügende Instanz und - im Beschwerdefall - das Gericht dürfen eine Tatsache nur dann als bewiesen annehmen, wenn sie von ihrem Bestehen überzeugt sind. Im Sozialversicherungsrecht hat das Gericht seinen Entscheid, sofern das Gesetz nicht etwas Abweichendes vorsieht, nach dem Beweisgrad der überwiegenden Wahrscheinlichkeit zu fällen. Die blosse Möglichkeit eines bestimmten Sachverhalts genügt den Beweisanforderungen nicht. Das Gericht hat vielmehr jener Sachverhaltsdarstellung zu folgen, die es von allen möglichen Geschehensabläufen als die wahrscheinlichste würdigt (<ref-ruling> E. 6 S. 221 f. mit Hinweisen). Der Untersuchungsgrundsatz schliesst die Beweislast im Sinne der Beweisführungslast begriffsnotwendig aus, da es Sache des Sozialversicherungsgerichts (<ref-law>) oder der verfügenden Verwaltungsstelle (<ref-law>) ist, für die Zusammentragung des Beweismaterials besorgt zu sein. Im Sozialversicherungsprozess tragen mithin die Parteien in der Regel eine Beweislast nur insofern, als im Falle der Beweislosigkeit der Entscheid zu Ungunsten jener Partei ausfällt, die aus dem unbewiesen gebliebenen Sachverhalt Rechte ableiten wollte. Diese Beweisregel greift allerdings erst Platz, wenn es sich als unmöglich erweist, im Rahmen des Untersuchungsgrundsatzes aufgrund einer Beweiswürdigung einen Sachverhalt zu ermitteln, der zumindest die Wahrscheinlichkeit für sich hat, der Wirklichkeit zu entsprechen (<ref-ruling> E. 6 S. 222 mit Hinweisen; Urteil 8C_307/2016 vom 17. August 2016 E. 5.3).
Das kantonale Gericht hat die Umstände des vorliegenden Falles eingehend gewürdigt und ist zum Schluss gelangt, es sei überwiegend wahrscheinlich, dass die Versicherte das fragliche Formular rechtzeitig eingereicht habe. Inwiefern seine Feststellungen offensichtlich unrichtig wären, wird beschwerdeweise nicht dargelegt und ist nicht ersichtlich. Es ist deshalb mit dem kantonalen Gericht davon auszugehen, dass die Versicherte das Kontrollblatt rechtzeitig abgegeben hat. Entgegen den Vorbringen der Beschwerdeführerin lag demnach keine Beweislosigkeit vor, deren Folgen die Versicherte tragen müsste. Die im Rahmen des Untersuchungsgrundsatzes geltenden Beweisregeln sind nicht verletzt worden. Nicht bestritten wird, dass mit dem Formular für den Monat Dezember 2016 genügende Arbeitsbemühungen nachgewiesen waren. Die vorinstanzliche Aufhebung der vom RAV verfügten Einstellung in der Anspruchsberechtigung war deshalb bundesrechtskonform.
5.
Das Verfahren wäre grundsätzlich kostenpflichtig (<ref-law>), doch sind dem in seinem amtlichen Wirkungskreis und nicht in seinem eigenen Vermögensinteresse handelnden RAV keine Gerichtskosten (Art. 65 Abs. 1 und 4 lit. a BGG) aufzuerlegen (<ref-ruling> E. 4 S. 640 ff.; <ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen.
2.
Es werden keine Gerichtskosten erhoben.
3.
Dieses Urteil wird den Parteien, dem Sozialversicherungsgericht des Kantons Basel-Stadt und dem Staatssekretariat für Wirtschaft (SECO) schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 7. November 2017
Im Namen der I. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Maillard
Die Gerichtsschreiberin: Durizzo