Sachverhalt:
A.
Der 1957 geborene A._ war als Betriebsmitarbeiter über den Arbeitgeber bei der Schweizerischen Unfallversicherungsanstalt (SUVA) obligatorisch gegen Unfallfolgen versichert, als er am 26. November 2003 mit dem Auto verunfallte. Für die hiebei erlittenen Verletzungen gewährte die SUVA Heilbehandlung und richtete Taggeld aus. Mit Verfügung vom 23. Juni 2004 und Einspracheentscheid vom 17. August 2004 setzte sie das Taggeld ab 17. Mai 2004 nach Massgabe einer Arbeitsunfähigkeit von noch 50 % herab und stellte es per 1. Juli 2004 gestützt auf die Annahme einer vollen Arbeitsfähigkeit gänzlich ein. Mit Beschwerdeentscheid vom 30. November 2005 hob das Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich den Einspracheentscheid auf und wies die Sache zu weiteren Abklärungen und neuer Verfügung an den Unfallversicherer zurück. Dieser holte medizinische Gutachten verschiedener Fachrichtungen ein. Mit Verfügung vom 30. Januar 2013 und Einspracheentscheid vom 27. Juni 2013 schloss die SUVA den Fall per 1. August 2004 folgenlos ab.
B.
A._ erhob hiegegen Beschwerde. Das Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich hiess diese nach ergänzender medizinischer Abklärung teilweise gut. Es hob den Einspracheentscheid vom 27. Juni 2013 auf und stellte fest, der Versicherte habe bis 18. Juli 2005 Anspruch auf Taggeld und auf Heilbehandlung, soweit letztere nicht bereits vom Unfallversicherer übernommen worden sei. Im Übrigen, hinsichtlich eines Leistungsanspruchs über den 18. Juli 2005 hinaus, wies das Gericht die Beschwerde ab (Entscheid vom 5. Mai 2015).
C.
Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten beantragt A._ sinngemäss, es seien Leistungen über den 18. Juli 2005 hinaus zuzusprechen.
Die SUVA beantragt die Abweisung der Beschwerde, ohne sich weiter zur Sache zu äussern. Das Bundesamt für Gesundheit verzichtet auf eine Vernehmlassung.
D.
Mit heutigem Datum fällt das Bundesgericht auch das Urteil in den (vereinigten) Verfahren 8C_718/2015 und 8C_719/2015, in welchen es um den Anspruch des A._ auf eine Invalidenrente der Invalidenversicherung geht.

Erwägungen:
1.
Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann wegen Rechtsverletzungen gemäss Art. 95 und 96 BGG erhoben werden. Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (Art. 106 Abs. 1 BGG), doch prüft es, unter Berücksichtigung der allgemeinen Rüge- und Begründungspflicht (Art. 42 Abs. 1 und 2 BGG), nur die geltend gemachten Vorbringen, falls allfällige weitere rechtliche Mängel nicht geradezu offensichtlich sind (<ref-ruling> E. 1.6 S. 280; vgl. auch <ref-ruling> E. 1 S. 236; <ref-ruling> E. 1.1 S. 137 f.).
Im Beschwerdeverfahren um die Zusprechung oder Verweigerung von Geldleistungen der Militär- oder Unfallversicherung ist das Bundesgericht nicht an die vorinstanzliche Feststellung des rechtserheblichen Sachverhalts gebunden (Art. 97 Abs. 2 und Art. 105 Abs. 3 BGG).
2.
Streitig und zu prüfen ist, ob aus dem Unfall vom 26. November 2003 über den 18. Juli 2005 hinaus Anspruch auf Leistungen der obligatorischen Unfallversicherung (UV) besteht.
Das kantonale Gericht hat die Bestimmungen und Grundsätze zum Anspruch auf solche Leistungen, zu den hiefür nebst anderem erforderlichen kausalen Zusammenhängen sowie zu den Anforderungen an beweiswertige ärztliche Berichte und Gutachten zutreffend dargelegt. Darauf wird verwiesen.
Hervorzuheben ist, dass ein Leistungsanspruch nach UVG einen natürlichen und adäquatenKausalzusammenhang zwischen dem Unfall und dem eingetretenen Schaden voraussetzt. Dabei spielt die Adäquanz als rechtliche Eingrenzung der sich aus dem natürlichenKausalzusammenhang ergebenden Haftung des Unfallversicherers im Bereich organisch objektiv ausgewiesener Unfallfolgen praktisch keine Rolle, da sich hier die adäquate weitgehend mit der natürlichen Kausalität deckt. Sind die geklagten Beschwerden natürlich unfallkausal, aber nicht organisch objektiv ausgewiesen, so ist die Adäquanz besonders zu prüfen (<ref-ruling> E. 4 S. 250 f. mit Hinweisen). Dies erfolgt bei Schreckereignissen ohne körperliche Verletzungen nach der allgemeinen Adäquanzformel (<ref-ruling>), bei Schleudertraumen, äquivalenten Verletzungen und Schädel-Hirntraumen nach der sog. Schleudertrauma-Praxis (<ref-ruling>) und im Übrigen nach den zu psychischen Fehlentwicklungen nach Unfall entwickelten Grundsätzen (<ref-ruling>).
3.
Gemäss den Ausführungen in der Beschwerde soll ein UV- Leistungsanspruch über den 18. Juli 2005 hinaus aufgrund eines persistierenden Kopfschmerzes bestehen. Dieser sei mit einer organischen Unfallfolge zu erklären. Andere organische Unfallfolgen werden nicht mehr geltend gemacht.
3.1. Die Vorinstanz hat erkannt, aufgrund eines unfallbedingten Kopfschmerzes habe bis 17. Januar 2005 eine volle und anschliessend eine 50%ige Arbeitsunfähigkeit vorgelegen. Das ist nicht umstritten.
3.2. Das kantonale Gericht ist sodann zum Ergebnis gelangt, ab 18. Juli 2005 seien nur mehr psychische Faktoren resp. ein Medikamentenmissbrauch, mithin keine unfallbedingten organischen Ursachen, für die geklagten Kopfschmerzen verantwortlich gewesen.
3.2.1. Nach Lage der Akten wurde ein unfallkausaler organischer Gesundheitsschaden als Ursache für die ab 18. Juli 2005 noch geklagten Kopfschmerzen zu Recht verneint. Zwar wurden in einem Teil der medizinischen Berichte kleinere posttraumatische Läsionen für anfängliche Beschwerden verantwortlich gemacht). Entgegen der in der Beschwerde vertretenen Auffassung ergibt sich aber weder aus den Berichten des Dr. med. B._ vom 28. Oktober 2004 und 27. Juni 2005 noch aus den übrigen ärztlichen Stellungnahmen und Gutachten, dass die ab 18. Juli 2005 noch geltend gemachten Kopfschmerzen mit einer organischen Unfallfolge zu erklären sind. Auch der neurologischen Beurteilung des Dr. med. C._, Abteilung Versicherungsmedizin SUVA, vom 17. Februar 2005 und dem Gutachten der Klinik D._ vom 2. April 2007 lässt sich nichts Entsprechendes entnehmen.
3.2.2. Die Vorinstanz ist demnach zu Recht zum Ergebnis gelangt, dass der adäquate Kausalzusammenhang nicht ohne besondere Prüfung bejaht werden kann. Das setzt entgegen der in der Beschwerde vertretenen Auffassung nicht voraus, dass ein Analgetika-Missbrauch oder eine psychische Ursache für die Kopfschmerzen nachgewiesen wurde. Auch das Vorbringen, aufgrund einzelner Arztberichte sei von einer weiterhin bestandenen Arbeitsunfähigkeit auszugehen, führt zu keiner anderen Betrachtungsweise. Massgeblich für die entscheidende Frage, ob eine besondere Adäquanzbeurteilung zu erfolgen hat, ist, ob die ab 18. Juli 2005 noch geklagten Kopfschmerzen mit einem unfallbedingten organischen Gesundheitsschaden zu erklären sind. Das trifft nach dem Gesagten nicht zu. Weitere medizinische Abklärungen lassen keinen entscheidrelevanten neuen Aufschluss erwarten, weshalb das kantonale Gericht in antizipierter Beweiswürdigung zu Recht davon abgesehen hat.
3.3. Die Vorinstanz hat den adäquaten Kausalzusammenhang zwischen den ab 18. Juli 2005 noch geklagten Kopfschmerzen und dem Unfall vom 26. November 2003 nach <ref-ruling> geprüft und verneint. Diese Beurteilung wird in der Beschwerde nicht in Frage gestellt. Festzuhalten bleibt, dass auch eine Adäquanzbeurteilung nach der Schleudertrauma-Praxis zu keinem anderen Ergebnis führen würde. Damit entfällt ein weiterer Leistungsanspruch. Die Beschwerde ist abzuweisen.
4.
Die Kosten des Verfahrens sind vom unterliegenden Beschwerdeführer zu tragen (Art. 66 Abs. 1 BGG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 800.- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird den Parteien, dem Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich und dem Bundesamt für Gesundheit schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 3. März 2016
Im Namen der I. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Maillard
Der Gerichtsschreiber: Lanz