Faits :
A.
A.a. X._ (ci-après: l'employée) a été engagée dès le 1 er juillet 2008 au service de A._. Sa mission consistait notamment à tenir compagnie au prénommé, l'assister dans diverses tâches de la vie quotidienne, surveiller la prise régulière de médicaments, faire les courses, préparer le petit-déjeuner et le repas du soir ainsi que nettoyer l'appartement.
Après l'institution d'une curatelle de représentation et de gestion au début de l'année 2014, un contrat de travail écrit a été établi entre A._, représenté par sa curatrice, et l'employée. Ladite convention, qui a pris effet le 1 er avril 2014, prévoyait un salaire mensuel brut de 3'969 fr. pour 45 heures de travail par semaine.
A._ a été admis en établissement médico-social (EMS) le 28 avril 2014, de sorte que le contrat de travail a été résilié le 30 avril 2014 pour le 31 mai suivant. Le prénommé est décédé le 2 juin 2014.
A.b. Plaidant au bénéfice de l'assistance judiciaire, l'employée a assigné les héritiers de feu A._ devant l'autorité de conciliation le 25 juillet 2014, puis a saisi le Tribunal des prud'hommes du canton de Genève d'une demande dans laquelle elle concluait au paiement de 384'249 fr. 50, intérêts moratoires en sus. Cette somme incluait notamment 34'262 fr. à titre de différence entre le salaire perçu et celui prévu par le contrat-type de travail genevois, 1'917 fr. 50 à titre de différence entre les montants versés pour son logement et les normes AVS, 271'871 fr. à titre d'heures de travail supplémentaires, 22'689 fr. à titre d'heures de travail effectuées le dimanche et 49'142 fr. à titre d'indemnité pour des vacances non prises.
Par jugement du 6 juillet 2016, le Tribunal des prud'hommes a en substance condamné l'hoirie de feu A._ à verser à l'employée, intérêts en sus, les montants suivants:
- 1'197 fr. bruts à titre de solde de salaire dû en vertu du contrat-type de travail pour la période de mars à mai 2014;
- 4'368 fr. bruts à titre de salaire pour le mois de juin 2014 (le délai de congé ayant été prolongé pour cause de maladie);
- 2'812 fr. nets à titre de salaire pour la période du 27 mai au 15 juin 2011; et enfin,
- 20'780 fr. nets à titre d'indemnité pour des jours de vacances non pris.
Le tribunal prud'homal a jugé que les relations juridiques des parties - liées par un contrat de travail - avaient été successivement soumises au contrat-type de travail du 30 mars 2004 pour les travailleurs de l'économie domestique à temps complet et à temps partiel (CTT-TED) puis, dès le 1 er janvier 2012, au contrat-type de travail de l'économie domestique, du 13 décembre 2011 (CTT-EDom); l'activité exercée par l'employée correspondait à celle d'une gouvernante au sens de cette réglementation. Les prétentions visées par l'<ref-law> étaient prescrites en tant qu'elles étaient antérieures au 1 er juillet 2009 (date invoquée par les défendeurs) : en effet, l'employée avait payé pour le logement procuré à sa demande et semblait disposer de son indépendance, de sorte qu'elle ne pouvait se prévaloir d'une suspension de la prescription fondée sur l'<ref-law>. En outre, comme le logement de l'employée ne constituait pas une condition de travail, le contrôle du montant du loyer échappait à la compétence du tribunal.
B.
B.a. Le 12 juillet 2016, l'employée a sollicité une extension de l'assistance judiciaire aux fins d'appeler de ce jugement, ce que le Vice-président du Tribunal civil du canton de Genève lui a refusé par décision du 26 juillet 2016, au motif que sa cause paraissait dénuée de chances de succès.
Le 9 août 2016, l'employée a formé recours contre ce prononcé auprès de la Présidence de la Cour de justice genevoise, concluant à l'octroi de l'extension de l'assistance judiciaire pour la procédure d'appel.
Dans ses observations du 12 août 2016 destinées à l'autorité de recours, le premier juge a concédé à l'employée qu'il n'avait pas examiné les deux problématiques de la prescription quinquennale et de la répartition des frais judiciaires, tout en expliquant que ces arguments n'avaient pas été mentionnés dans la demande d'extension.
B.b. Par acte du 5 septembre 2016, l'employée a formé une nouvelle demande d'extension de l'assistance judiciaire pour cette même procédure d'appel, en invoquant les deux moyens supplémentaires évoqués ci-dessus.
Par décision du 10 octobre 2016, le Vice-président du Tribunal civil a rejeté cette seconde requête au motif que le CPC ne prévoyait pas de reconsidération, que les conditions d'une révision n'étaient pas remplies et qu'au demeurant, les nouveaux griefs soulevés paraissaient eux aussi dépourvus de chances de succès.
L'employée a derechef formé recours contre ce nouveau prononcé.
B.c. Par décision du 8 décembre 2016, le Vice-président de la Cour de justice a joint les deux recours et les a rejetés, partageant l'opinion du premier juge selon laquelle l'appel projeté était dépourvu de chances de succès.
C.
L'employée a saisi le Tribunal fédéral d'un recours en matière civile dans lequel elle conclut à ce que l'assistance judiciaire lui soit octroyée pour la procédure d'appel. Elle a en outre sollicité l'assistance judiciaire pour la procédure fédérale et l'octroi de l'effet suspensif.
La cour de céans a invité la recourante à fournir les renseignements et pièces nécessaires pour démontrer son indigence, ce qui a été fait le 7 février 2017.
Invitée à se déterminer sur la requête d'effet suspensif uniquement, l'autorité intimée s'est référée aux considérants de son arrêt. Par ordonnance du 2 février 2017, la Présidente de la cour de céans a assorti le recours de l'effet suspensif.

Considérant en droit :
1.
Le refus d'accorder l'assistance judiciaire est une décision incidente généralement susceptible de causer un préjudice irréparable, et partant sujette à un recours immédiat (<ref-law>; <ref-ruling> consid. 1.1; arrêt 4A_441/2016 du 29 août 2016 consid. 2). La voie de droit contre une telle décision est déterminée par le litige principal (<ref-ruling> consid. 1.1 p. 382).
En l'occurrence, l'incident s'inscrit dans une affaire civile pécuniaire qui ressortit au droit du travail et dont la valeur litigieuse excède manifestement le seuil légal de 15'000 fr. (art. 72 al. 1 et art. 74 al. 1 let. a LTF). La recourante a agi en temps utile (<ref-law>) contre la décision par laquelle l'autorité cantonale de dernière instance a rejeté son recours (art. 75 et art. 76 al. 1 LTF). Les conditions du recours en matière civile sont ainsi réalisées sur le principe.
2.
Le recours peut être exercé pour violation du droit fédéral (<ref-law>), notion qui inclut le droit constitutionnel (<ref-ruling> consid. 2.1 p. 247).
Le Tribunal fédéral statue sur la base des faits établis par l'autorité précédente (<ref-law>). Il ne peut rectifier ou compléter les constatations de l'autorité précédente que si elles sont manifestement inexactes ou découlent d'une violation du droit au sens de l'<ref-law> (<ref-law>). «Manifestement inexactes » signifie ici «arbitraires» (<ref-ruling> consid. 2 p. 117; <ref-ruling> consid. 1.5). La critique de l'état de fait retenu est soumise au principe strict de l'invocation énoncé par l'<ref-law> (<ref-ruling> consid. 2.3 p. 266 et les références). La partie qui entend attaquer les faits constatés par l'autorité précédente doit expliquer clairement et de manière circonstanciée en quoi ces conditions seraient réalisées (<ref-ruling> consid. 1.3.1 p. 18 et les références). Si elle souhaite obtenir un complètement de l'état de fait, elle doit aussi démontrer, par des renvois précis aux pièces du dossier, qu'elle a présenté aux autorités précédentes en conformité avec les règles de procédure les faits juridiquement pertinents à cet égard et les moyens de preuve adéquats (<ref-ruling> consid. 2 p. 90). Si la critique ne satisfait pas à ces exigences, les allégations relatives à un état de fait qui s'écarterait de celui de la décision attaquée ne pourront pas être prises en considération (<ref-ruling> consid. 1.3.1 p. 18).
3.
3.1. Selon l'<ref-law>, une personne a droit à l'assistance judiciaire si (let. a) elle ne dispose pas de ressources suffisantes et si (let. b) sa cause ne paraît pas dépourvue de toute chance de succès.
Selon la jurisprudence, un procès est dépourvu de chances de succès lorsque les perspectives de le gagner sont notablement plus faibles que les risques de le perdre, au point qu'elles ne peuvent guère être considérées comme sérieuses. La condition de l'<ref-law> est en revanche réalisée lorsque les chances de succès et les risques d'échec s'équilibrent à peu près, ou que les premières ne sont que légèrement inférieures aux seconds (<ref-ruling> consid. 5.1; <ref-ruling> consid. 2.2 p. 476). L'élément décisif est de savoir si une partie qui disposerait des ressources financières nécessaires se lancerait ou non dans le procès après une analyse raisonnable. En effet, une partie ne doit pas être mise en mesure de mener un procès qu'elle ne conduirait pas à ses propres frais, uniquement parce qu'il ne lui coûte rien (<ref-ruling> consid. 5.1; <ref-ruling> consid. 2.2.4). La situation doit être appréciée à la date du dépôt de la requête, sur la base d'un examen sommaire (ATF <ref-ruling> consid. 2.2).
L'absence de chances de succès peut résulter des faits ou du droit. L'assistance judiciaire sera ainsi refusée s'il apparaît d'emblée que les faits pertinents allégués sont invraisemblables ou ne pourront pas être prouvés. Il en sera de même si, en droit, la démarche du requérant paraît d'emblée irrecevable, ou juridiquement infondée. L'autorité chargée de statuer sur l'assistance ne doit pas se substituer au juge du fond; tout au plus doit-elle examiner s'il y a des chances que le juge adopte la position soutenue par le requérant, chances qui doivent être plus ou moins équivalentes aux risques qu'il parvienne à la conclusion contraire (arrêt 4A_614/2015 du 25 avril 2016 consid. 3.2 et les références citées).
Déterminer s'il existe des chances de succès est une question de droit, que le Tribunal fédéral examine librement; en revanche, savoir si les faits sont établis ou susceptibles d'être prouvés est une question qui relève de l'appréciation des preuves, laquelle ne peut être corrigée qu'en cas d'arbitraire (arrêts 4A_325/2016 du 19 octobre 2016 consid. 4.2; 4A_614/2015 précité consid. 3.2; cf. aussi <ref-ruling> consid. 2.1; <ref-ruling> consid. 2c).
3.2. La recourante plaide que les chances de succès de son appel n'ont pas été correctement appréciées. Elle soulève quatre griefs.
3.2.1. Dans un premier moyen, la recourante reproche au Tribunal des prud'hommes d'avoir écarté sans explication sa prétention de 22'689 fr. en paiement d'un supplément de 50 % afférent aux heures de travail accomplies le dimanche. Le juge du fond aurait commis un déni de justice formel (art. 29 al. 1 Cst.) et l'autorité précédente serait également restée silencieuse à ce sujet, ou du moins n'aurait-elle pas traité cette question précisément. Or, la recourante disposerait d'éléments sérieux pour établir son horaire de travail le dimanche.
Les autorités genevoises ont expressément cité l'art. 7 al. 2 CTT-EDom, selon lequel les heures effectuées les dimanches et jours fériés ouvrent droit, au choix du travailleur, soit à une majoration de salaire de 50 %, soit à un congé payé majoré de 50 % (cf. aussi l'art. 13 al. 2 CTT-TED, dont la teneur est quasi identique). Les contrats-types édictés par les cantons dans le cadre de l'<ref-law> constituent du droit privé cantonal (arrêts 4P.277/2003 du 2 avril 2004 consid. 3.1; 4C_2/2013 du 10 juillet 2013 consid. 1.1), dont le Tribunal fédéral ne revoit l'application que si elle donne lieu à un grief de violation du droit fédéral, tel le grief d'arbitraire (<ref-ruling> consid. 1.2). En l'occurrence, la question du pouvoir de cognition dans ce cas particulier où l'autorité de céans contrôle l'appréciation des chances de succès d'un grief devant être soumis à un juge d'appel revoyant librement l'application du droit cantonal peut rester indécise, vu les considérations qui suivent.
L'autorité précédente a relevé que la recourante elle-même avait déclaré ne plus avoir travaillé les week-ends depuis août 2013. Pour la période antérieure, il paraissait difficile de déterminer le nombre d'heures effectuées durant les week-ends; quoi qu'il en soit, celles-ci avaient vraisemblablement été rémunérées, à tout le moins en partie, la recourante ayant déclaré devant le Tribunal de protection de l'adulte et de l'enfant qu'elle percevait 860 fr. à ce titre. En sus, il ne paraissait pas impossible, vu la flexibilité des horaires de la recourante, que celle-ci ait compensé une partie de ces heures du week-end par du temps libre pendant la semaine, notamment durant les après-midis.
Contrairement à ce que la recourante prétend, cette conclusion solde tout à la fois la question de la rémunération des heures du dimanche et celle de la majoration corrélative. L'instance cantonale n'a pas perdu de vue ce dernier aspect, qu'elle a expressément évoqué dans les considérants «en droit» de sa décision.
S'agissant des faits retenus par l'autorité précédente - que le Tribunal fédéral revoit sous l'angle restreint de l'arbitraire -, la décision attaquée retient que le nombre d'heures effectuées le week-end est difficile à déterminer. La recourante objecte avoir prouvé les heures effectuées le dimanche: les défendeurs auraient admis qu'elle travaillait le week-end, tant le samedi que le dimanche, et des témoins auraient corroboré cet état de fait. Cela étant, cette assertion ne comporte aucun renvoi précis à des allégations et offres de preuve topiques. Quand bien même elle aurait satisfait à cette exigence, la recourante aurait encore dû établir le nombre d'heures effectuées le dimanche, ce qu'elle ne fait pas de façon étayée. Elle échoue dès lors à démontrer qu'il serait arbitraire de retenir qu'elle compensait en partie les heures du dimanche par des congés durant la semaine et que, pour le reste, ces heures ont été rémunérées.
Partant, le Vice-président de la Cour de justice n'a pas enfreint l'<ref-law> en retenant que la prétention était dénuée de chances de succès.
3.2.2. Dans un deuxième grief, la recourante soutient que sa prétention en paiement d'heures supplémentaires - qui s'élèveraient à 35 puis 36 heures hebdomadaires entre 2008 et juillet 2013, puis à 15 heures hebdomadaires entre août 2013 et mai 2014 - a toutes chances d'être reconnue en appel.
L'autorité précédente a estimé que les témoignages recueillis et les autres éléments du dossier ne semblaient a priori pas rendre vraisemblables la réalité et la quotité des heures supplémentaires prétendues. La recourante le conteste, en invoquant différents témoignages, sans parvenir à convaincre d'un quelconque arbitraire dans l'appréciation des preuves. L'instance précédente a exposé de façon convaincante les raisons pour lesquelles les témoignages semblaient inaptes à prouver les heures supplémentaires alléguées, en particulier parce que la recourante elle-même, devant le Tribunal de protection de l'adulte et de l'enfant, avait admis ne travailler que 7 heures par jour durant le week-end, et parce que différents témoignages attestaient qu'elle était parfois absente (même régulièrement les après-midis) ou en congé (témoignage de l'infirmière de l'employeur) et disposait d'une grande flexibilité dans ses horaires (témoin B._). Dans la mesure où la recourante renvoie à son mémoire d'appel à titre de motivation, il faut lui opposer qu'un tel procédé est irrecevable (<ref-ruling> consid. 3.2 in fine p. 400).
3.2.3. Dans un troisième grief, la recourante argumente qu'elle a touché un salaire inférieur à celui retenu dans le jugement prud'homal, ce qui devrait selon toute certitude être rectifié en appel.
En tant qu'elle critique la prise en compte du « carnet noir» tenu par son employeur pour déterminer le salaire qui lui a effectivement été versé, la recourante s'en prend à nouveau à l'appréciation des preuves. Or, elle ne démontre pas qu'il serait arbitraire de tenir compte d'un tel document. La même constatation s'impose concernant ses critiques à l'encontre d'autres éléments de preuve tels que les déclarations de son employeur ou ses propres déclarations à l'autorité tutélaire. Pour le surplus, l'autorité précédente s'est expliquée de façon convaincante sur le fait que le salaire retenu est supérieur au montant admis par les défendeurs pour la période postérieure à août 2013.
3.2.4. Dans un ultime grief, la recourante s'en prend aux considérations relatives à la prescription quinquennale (<ref-law>), lesquelles ont conduit le Tribunal des prud'hommes à rejeter ses prétentions dont l'exigibilité était antérieure au 1er juillet 2009. Selon elle, le délai de prescription aurait été suspendu pendant qu'elle vivait au domicile de son employeur (<ref-law>), soit à tout le moins entre février 2010 et février 2011, période durant laquelle il faudrait retenir une communauté domestique. Le tribunal prud'homal aurait omis de s'exprimer spécifiquement sur cette période distincte de celle allant du 1 er décembre 2013 à la fin des rapports de travail.
L'autorité précédente a constaté que de février 2010 à février 2011, la recourante versait également un loyer et semblait disposer de son indépendance. L a recourante oppose d'autres éléments (elle aurait logé chez son employeur à la demande de ce dernier, et sa chambre n'aurait comporté aucun accès indépendant) qui ne ressortent de nulle source référencée, et en particulier pas de la décision entreprise, alors même qu'elle enjoint la cour de céans de s'y référer. Faute d'arbitraire dûment allégué et démontré, on ne saurait les prendre en considération. Au vu des considérations qui précèdent, en particulier quant à l'indépendance de l'employée, il n'apparaît pas crucial de déterminer si le versement d'un loyer - que la recourante ne conteste pas - exclut ou non l'existence d'un ménage commun au sens de l'<ref-law>.
Les chances que la recourante puisse obtenir, en appel, le paiement de ses prétentions antérieures au 1 er juillet 2009 ne paraissent guère sérieuses. Le grief de violation de l'<ref-law> est infondé.
3.2.5. En bref, l'autorité précédente n'a pas violé le droit fédéral en considérant qu'un appel contre le jugement prud'homal du 6 juillet 2016 semble dépourvu de chances de succès. La demande d'extension de l'assistance judiciaire du 12 juillet 2016 comme celle déposée le 5 septembre 2016 ont donc été rejetées à bon droit.
4.
Au vu de ce qui précède, le recours doit être rejeté dans la mesure où il est recevable.
En vertu de l'<ref-law>, une partie ne peut être dispensée de payer les frais judiciaires que si elle ne dispose pas de ressources suffisantes et si ses conclusions ne paraissent pas vouées à l'échec. Cette seconde condition cumulative n'étant pas réalisée, la recourante ne peut bénéficier de l'assistance dans la présente procédure, quelle que soit par ailleurs sa situation financière (arrêt 4A_690/2016 du 9 février 2017 consid. 5.2). Il en sera toutefois tenu compte dans la fixation des frais, réduits à 1'000 fr.

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce :
1.
La demande d'assistance judiciaire est rejetée.
2.
Le recours est rejeté dans la mesure où il est recevable.
3.
Les frais judiciaires, arrêtés à 1'000 fr., sont mis à la charge de la recourante.
4.
Le présent arrêt est communiqué au mandataire de la recourante et à la Cour de justice du canton de Genève.
Lausanne, le 30 mars 2017
Au nom de la Ire Cour de droit civil
du Tribunal fédéral suisse
La Présidente: Kiss
La Greffière: Monti