Erwägungen:
1.
1.1. Das Obergericht des Kantons Thurgau verurteilte X._ wegen versuchter eventualvorsätzlicher Tötung, Veruntreuung und Brandstiftung zu einer Freiheitsstrafe von zweieinhalb Jahren. Gleichzeitig ordnete es eine stationäre Massnahme nach <ref-law> an (Entscheid vom 24. April 2017).
1.2.
1.2.1. Mit Eingabe an das Bundesgericht vom 8. August 2017 beantragt X._, es sei ihm ein unentgeltlicher Rechtsbeistand zu bestellen. Ausserdem bestreitet er Sachverhalte, die für das angefochtene Urteil massgebend waren, und legt dazu seine eigene Sicht der Dinge dar.
Mit Schreiben vom 10. August 2017 teilte das Bundesgericht X._ die Voraussetzungen für die unentgeltliche Rechtspflege und Rechtsverbeiständung sowie diejenigen für eine rechtsgültige Beschwerdeschrift mit.
Am 13. und 15. August 2017 äusserte sich X._ zu den im Schreiben des Bundesgerichts vom 10. August 2017 aufgeworfenen Fragen der Bedürftigkeit und der Notwendigkeit der Beigabe eines Anwalts und stellte Beweis- und andere Verfahrensanträge. Des Weitern wandte er sich gegen eine erfolgte psychiatrische Begutachtung und beantragte, er sei durch eine unabhängige Fachkraft zu begutachten.
1.2.2. Mit Eingaben vom 11. September 2017 führte X._ (innert gesetzlicher Rechtsmittelfrist) Beschwerde in Strafsachen gegen das Urteil vom 24. April 2017.
In der Folge reichte er weitere Schreiben (datiert vom 18., 20. und 24. September 2017) ein.
2.
2.1. Gegenstand des vorinstanzlichen Berufungsverfahrens waren unter anderem Schuldsprüche wegen Veruntreuung sowie wegen versuchter schwerer Körperverletzung sowie damit zusammenhängend die Strafzumessung. Strittig war zudem die Anordnung einer stationären Massnahme. Im Berufungsverfahren nicht angefochten war unter anderem eine erstinstanzliche Verurteilung wegen Brandstiftung.
2.2. Der Beschwerdeführer stellt sinngemäss verschiedene Entscheidungsgrundlagen für die erfolgten Verurteilungen sowie die angeordnete stationäre Massnahme in Frage. Er setzt sich mit den vorinstanzlichen Erwägungen aber nicht spezifisch auseinander. Seine Vorbringen genügen den Begründungsanforderungen daher weitgehend nicht (vgl. Art. 42 Abs. 2 und Art. 106 Abs. 2 BGG). Insoweit kann auf das Rechtsmittel nicht eingetreten werden.
2.3. Im Übrigen ist nicht ersichtlich, inwiefern der angefochtene Entscheid Bundesrecht verletzen sollte: Die Vorinstanz würdigte zunächst die Verurteilung wegen Veruntreuung sowohl in tatsächlicher wie auch in rechtlicher Hinsicht ebenso umfassend wie schlüssig (E. 3). Soweit der Beschwerdeführer die vorinstanzliche Beweiswürdigung rügt, zeigt er an keiner Stelle Willkür auf (vgl. Art. 97 Abs. 1, Art. 105 Abs. 1 und Art. 106 Abs. 2 BGG; <ref-ruling> E. 1.3.1 S. 253). Das gilt ebenso mit Bezug auf die Verurteilung wegen versuchter eventualvorsätzlicher Tötung, welche die Vorinstanz an die Stelle der erstinstanzlichen Verurteilung wegen versuchter schwerer Körperverletzung gesetzt hat. Im angefochtenen Entscheid wird der Tathergang eingehend untersucht, das Aussageverhalten der Beteiligten und das Verletzungsbild des Opfers gewürdigt und die geltend gemachte Notwehrsituation beurteilt (E. 5). Was die Strafzumessung angeht, hat die Vorinstanz deren Grundsätze dargelegt und die objektiven und subjektiven Tatkomponenten wie auch die Täterkomponenten gewürdigt. Dabei hat sie strafmindernde Elemente angemessen berücksichtigt, namentlich die erheblich verminderte Schuldfähigkeit. Gestützt auf die Schlussfolgerungen des Gutachtens der Psychiatrischen Dienste Thurgau vom 22. Mai/22. September 2015 - dessen grundsätzlichen Beweiswert die Vorinstanz in nicht zu beanstandender Weise bejaht hat - hat sie hinsichtlich der versuchten eventualvorsätzlichen Tötung festgehalten, die Steuerungsfähigkeit des Beschwerdeführers sei schwer beeinträchtigt, aber nicht vollkommen beseitigt gewesen (zum Ganzen E. 7). Insgesamt ist nicht ersichtlich, inwiefern die Ausfällung einer Freiheitsstrafe von insgesamt zweieinhalb Jahren Bundesrecht verletzen sollte.
Das gilt auch für die vorinstanzliche Bestätigung einer stationären Massnahme nach <ref-law>, die sich auf das (auch in dieser Hinsicht vollständige und schlüssige) psychiatrische Gutachten vom 22. Mai/22. September 2015 stützen kann. Das angefochtene Urteil beruht sodann auf zutreffenden Voraussetzungen hinsichtlich der Fragen, wie mit einer anfänglich fehlenden Bereitschaft, bei der stationären Behandlung zu kooperieren, umzugehen ist, und wie sich unter diesen Voraussetzungen die Behandlungsaussichten darstellen. Zurecht weist die Vorinstanz darauf hin, dass Einsicht und Therapiewilligkeit häufig erst geschaffen werden müssen, bevor die eigentliche Behandlung aufgenommen werden kann. Der Beschwerdeführer rügte im kantonalen Verfahren, die gutachterlichen Schlussfolgerungen seien nicht mehr aktuell. Mittlerweile beziehe er eine Rente und könne sich so eine kleine Wohnung leisten. Die Gefahr weiterer Konflikte sei den beengten Verhältnissen in den früheren Unterkünften (Wohnheim) geschuldet gewesen und nunmehr gebannt. Dieser Einwand verfängt nicht, wie schon die Vorinstanz festgehalten hat. Vor dem Hintergrund der chronisch paranoiden Schizophrenie besteht nach wie vor ein Risiko erneuter Gewaltstraftaten (in Gestalt einer "Tendenz zu affektakzentuierten Taten mit erheblichem Gefährdungspotential für Dritte"). Da der Beschwerdeführer gemäss nachvollziehbarer fachärztlicher Beurteilung weiterhin in dysfunktionalen Erlebens- und Verhaltensmustern gefangen ist und sich die psychische Krankheit - wenn unbehandelt - chronifizieren und damit verschlimmern kann, ist die Vorinstanz zu Recht von einer fortbestehenden Behandlungsbedürftigkeit ausgegangen. Angesichts der Rückfallgefahr in Bezug auf schwerwiegende Delikte gegen Leib und Leben einerseits und der intakten Aussicht, dass mit einer durch Therapie erreichbaren Stabilisierung der Krankheit das Risiko einer erneuten Straffälligkeit reduziert werden kann, wendet sich der Beschwerdeführer zu Recht nicht gegen die abschliessende vorinstanzliche Feststellung, die stationäre Massnahme sei verhältnismässig.
2.4. Mangels rechtsgenüglicher Rügen ist auf die weiteren Gegenstände des angefochtenen Entscheids (Haftentschädigung [E. 9], Genugtuung [E. 10], Forderungen eines Privatklägers gestützt auf das Opferhilfegesetz und Schadenersatz [E. 11]) nicht einzugehen.
2.5. Mit Eingabe vom 20. September 2017 beanstandet der Beschwerdeführer die Haftbedingungen. Darauf ist nicht einzutreten: Zum einen bezieht sich der Beschwerdeführer nicht auf einen Gegenstand des vorliegenden Verfahrens. Zum andern ist die Eingabe verspätet (<ref-law>). Dies gilt auch für die weiteren Eingaben vom 18. und 24. September 2017.
3.
Die Beschwerde ist im Verfahren nach <ref-law> abzuweisen, soweit darauf eingetreten werden kann. Das Gesuch des Beschwerdeführers um unentgeltliche Rechtspflege (Befreiung von den Prozesskosten und Bestellung eines Rechtsbeistandes) im Verfahren vor Bundesgericht ist abzuweisen, da die Beschwerde aussichtslos war (Art. 64 Abs. 1 und 2 BGG; vgl. <ref-ruling> E. 2.2.4 S. 218). Es rechtfertigt sich indessen, umständehalber auf die Erhebung von Gerichtskosten zu verzichten (vgl. <ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit auf sie einzutreten ist.
2.
Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege wird abgewiesen.
3.
Es werden keine Gerichtskosten erhoben.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Thurgau schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 5. Oktober 2017
Im Namen der Strafrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Denys
Der Gerichtsschreiber: Traub