Fatti:
A.
A cavallo fra il 1996 e il 1997 A._ ha aperto due conti bancari presso la filiale di Lugano della C._ e ha conferito un mandato di gestione a D._. Il 22 marzo 1999 ha aperto un ulteriore conto presso la medesima banca, incaricando della sua gestione E._ con cui intratteneva una relazione sentimentale. Il 31 marzo 1999 il conto aveva un saldo di dollari statunitensi 6'172'137.--, che era aumentato a dollari statunitensi 9'523'162.-- il 31 dicembre 1999 per poi assestarsi nel novembre 2001 a dollari statunitensi 298'145.--. Terminato il legame sentimentale con E._, A._ ha revocato il 3 dicembre 2001 i mandati di gestione. I predetti gestori patrimoniali indipendenti sono poi stati condannati penalmente: la prima per appropriazione indebita e truffa, a causa dei prelievi effettuati dai conti di A._; il secondo per amministrazione infedele continuata, ripetuta e aggravata, perché allocava le operazioni con il miglior risultato a un proprio conto presso la menzionata banca, mentre assegnava le rimanenti ai conti di A._ e di altri clienti.
B.
A._ ha, con petizione 3 febbraio 2004, convenuto in giudizio innanzi al Pretore di Lugano la F._ SA, che aveva nel frattempo incorporato la C._, per ottenere il pagamento di fr. 12'091'256.--, oltre interessi. Il 13 aprile 2011 il Pretore ha accolto la domanda di mutazione dell'azione tendente alla condanna della banca convenuta, nel frattempo diventata B._ SA, al pagamento di euro 103'291.--, lire sterline 195'000.-- e dollari statunitensi 6'736'620.--, oltre interessi. Con sentenza 23 luglio 2013 il Pretore ha parzialmente accolto la petizione e ha condannato la convenuta a versare all'attrice euro 30'983.70, lire sterline 58'500.-- e dollari statunitensi 2'438'462.20, oltre interessi; ha rigettato in via definitiva nella medesima misura l'opposizione al precetto esecutivo fatto notificare dall'attrice. Ha posto la tassa di giustizia di fr. 60'000.-- e le spese di fr. 49'000.-- a carico della convenuta per il 35 % e dell'attrice per il 65 % e ha condannato quest'ultima al pagamento di fr. 158'000.-- di ripetibili.
C.
In parziale accoglimento dell'appello della B._ SA la II Camera civile del Tribunale di appello del Cantone Ticino ha, con sentenza 3 giugno 2015, riformato la sentenza pretorile nel senso che la banca è condannata a pagare all'attrice dollari statunitensi 357'356.35 e lire sterline 58'500.--, oltre interessi, con il relativo rigetto dell'opposizione interposta al precetto esecutivo. Ha messo la tassa di giustizia e le spese della procedura di prima istanza a carico dell'attrice in ragione di 19/20 e della convenuta per 1/20, accordando a quest'ultima fr. 451'430.-- di ripetibili. Le spese processuali d'appello di fr. 40'000.-- sono state poste a carico per 1/5 della convenuta e per 4/5 dell'attrice, che è pure stata condannata a versare alla banca fr. 40'000.-- a titolo di ripetibili per la procedura di seconda istanza.
D.
Con ricorso in materia civile dell'8 luglio 2015 A._ postula, previo conferimento dell'effetto sospensivo al gravame, la riforma della sentenza di appello nel senso che il giudizio del Pretore sia confermato. Dopo aver completato i fatti, riassunto le sentenze di primo e secondo grado e preannunciato le censure, la ricorrente lamenta una violazione degli art. 310, 311 cpv. 1 e 318 cpv. 1 CPC per la carente motivazione dell'appello. Ella rimprovera poi ai Giudici d'appello un accertamento manifestamente inesatto dei fatti per non aver considerato la sua completa ignoranza in materia di operazioni bancarie e l'inadeguatezza dell'operatività di E._. Sostiene inoltre che in presenza di comportamenti con rilevanza penale la banca avrebbe dovuto contattarla, informarla in modo chiaro e sospendere la possibilità di operare sul conto. Ritiene pure che il Pretore aveva correttamente calcolato il danno causato dalla gestione di E._ e di avere anche diritto al rimborso delle retrocessioni incassate da quest'ultimo nonché degli importi prelevati da D._ nella misura riconosciuta dal primo Giudice.
La B._ SA propone con risposta 18 agosto 2015 di respingere sia la domanda di conferimento dell'effetto sospensivo sia il ricorso.
La Presidente della Corte adita ha, con decreto 20 agosto 2015, respinto la domanda di conferimento dell'effetto sospensivo al ricorso.

Diritto:
1.
Il ricorso in materia civile, presentato dalla parte soccombente nella procedura cantonale (<ref-law>), tempestivo (<ref-law>) e volto contro una sentenza finale (<ref-law>) emanata su ricorso dall'autorità ticinese di ultima istanza (<ref-law>) in una causa civile (<ref-law>) con un valore litigioso superiore a fr. 30'000.-- (<ref-law>), è ammissibile.
2.
2.1. Il Tribunale federale fonda la sua sentenza sui fatti accertati dall'autorità inferiore (<ref-law>). A questi appartengono sia le constatazioni concernenti le circostanze relative all'oggetto del litigio sia quelle riguardanti lo svolgimento della procedura innanzi all'autorità inferiore e in prima istanza, vale a dire gli accertamenti che attengono ai fatti procedurali (<ref-ruling> consid. 1.3.1 con riferimenti). Il Tribunale federale può unicamente rettificare o completare l'accertamento dei fatti dell'autorità inferiore se esso è manifestamente inesatto o risulta da una violazione del diritto ai sensi dell'<ref-law> (<ref-law>). "Manifestamente inesatto" significa in questo ambito "arbitrario" (<ref-ruling> consid. 2; <ref-ruling> consid. 1.5). L'eliminazione del vizio deve inoltre poter essere determinante per l'esito del procedimento (<ref-law>).
La parte che critica la fattispecie accertata nella sentenza impugnata deve sollevare la censura e motivarla in modo preciso, come esige l'<ref-law> (<ref-ruling> consid. 2.3, con rinvii). Essa deve spiegare in maniera chiara e circostanziata in che modo queste condizioni sarebbero soddisfatte (<ref-ruling> consid.1.3.1 con rinvii). Se vuole completare la fattispecie deve dimostrare, con precisi rinvii agli atti della causa, di aver già presentato alle istanze inferiori, rispettando le regole della procedura, i relativi fatti giuridicamente pertinenti e le prove adeguate (<ref-ruling> consid. 2). Se la critica non soddisfa queste esigenze, le allegazioni relative a una fattispecie che si scosta da quella accertata non possono essere prese in considerazione (<ref-ruling> consid. 1.3.1).
Possono essere addotti nuovi fatti e nuovi mezzi di prova soltanto se ne dà motivo la decisione dell'autorità inferiore (<ref-law>).
2.2. La ricorrente misconosce tali principi quando nella prima ventina di pagine del ricorso riassume e completa liberamente la fattispecie. Altrettanto inammissibile si rivela l'argomentazione ricorsuale secondo cui la Corte cantonale avrebbe violato gli art. 310, 311 cpv. 1 e 318 cpv. 1 CPC per non aver dichiarato l'appello inammissibile per la sua carente motivazione, atteso che lo stesso sarebbe una semplice ricopiatura delle conclusioni presentate dall'opponente innanzi al Pretore. La censura si fonda infatti su fatti procedurali non risultanti dalla sentenza impugnata e la ricorrente nemmeno pretende in questa sede di aver sollevato la questione innanzi all'autorità inferiore.
3.
Secondo costante giurisprudenza la banca che si impegna unicamente ad eseguire delle puntuali istruzioni di un investitore, senza avere un mandato di gestione, non è tenuta ad assicurare una tutela generale degli interessi del suo cliente né sussiste un dovere generale di informazione. In linea di principio la banca deve unicamente fornire informazioni nel caso in cui il cliente le richieda; se è tuttavia senz'altro riconoscibile che quest'ultimo non ha alcun'idea dei rischi che corre, la banca deve attirare la sua attenzione su di essi. Tale dovere è più esteso se il cliente non specula solo con il proprio patrimonio, ma anche utilizzando un credito concesso dalla banca (<ref-ruling> consid. 7.1.1; <ref-ruling> consid. 5, con rinvii). Nemmeno il dovere di fedeltà impone alla banca, incaricata di eseguire determinati ordini, di consigliare spontaneamente il cliente sui probabili sviluppi degli investimenti scelti e sulle misure da prendere per limitare i rischi. Tali principi valgono ancora maggiormente se la gestione del patrimonio è stata affidata a un gestore indipendente. Il Tribunale federale riconosce che in presenza di un gestore esterno al beneficio di un'estesa procura, la banca depositaria non deve rendere attento il cliente sugli elevati rischi che corre, né richiedere la sua autorizzazione prima di procedere alle operazioni affidatele dal gestore. In altre parole la banca non è il tutore del suo cliente: essa deve in linea di principio eseguire gli ordini leciti che le sono stati regolarmente impartiti (sentenza 4A_369/2015 del 25 aprile 2016 consid. 2.3, con rinvii). L'obbligo di avvertire sussiste invece quando nel quadro di una relazione d'affari duratura si è instaurato un rapporto di fiducia particolare fra la banca e il cliente che permette a quest'ultimo di in buona fede aspettarsi consulenza e avvertimenti anche in assenza di una richiesta in tal senso (<ref-ruling> consid. 7.1.2 con rinvii).
4.
4.1. I Giudici d'appello hanno accertato che la ricorrente, vedova di un industriale, si pure è definita industriale e non può essere considerata ignorante o sprovveduta, sebbene non avesse delle conoscenze approfondite in ambito bancario. Ella aveva compreso a grandi linee le semplici modalità d'investimento adottate da E._. La Corte cantonale ha poi pure constatato che la convenuta aveva informato l'attrice sul dubbio sortole che E._ stesse effettuando atti di amministrazione infedele. Il direttore della banca aveva infatti comunicato alla cliente che il gestore esterno attribuiva al proprio conto le operazioni andate bene e a quello della cliente quelle che andavano male e che il saldo del conto si era ridotto in soli sei mesi da dollari statunitensi 9'274'654.-- a dollari statunitensi 3'262'828.--. Nonostante tale informazione, l'attrice aveva deciso, dopo due giorni di riflessione, di non revocare il mandato al gestore esterno. Per questo motivo la Corte cantonale ha concluso che "appare scontato che anche nel caso in cui la convenuta avesse segnalato già in precedenza all'attrice direttamente e non solo indirettamente, (tramite D._) i suoi dubbi su quell'operatività" la cliente avrebbe verosimilmente deciso di confermare la fiducia riposta nel gestore, atteso inoltre che precedenti segnalazioni si erano risolte in tal modo.
4.2. Dopo aver premesso che l'obbligo d'informazione avrebbe dovuto scattare automaticamente dal momento in cui la banca si era accorta o avrebbe dovuto accorgersi dei comportamenti di rilevanza penale di E._, la ricorrente aggiunge di non aver avuto alcuna percezione dei rischi a cui era esposta perché, come risulta pure dalle deposizioni testimoniali agli atti, ella non capirebbe nulla di questioni bancarie al punto tale di non essere nemmeno "in grado di leggere un estratto conto". A prescindere dall'obbligo d'informarla, la ricorrente afferma pure che la banca avrebbe dovuto prendere dei provvedimenti nei confronti di E._, in particolare dopo essersi resa conto del fatto che egli allocava le operazioni in perdita al di lei conto e quelle che generavano un utile al di lui conto.
4.3. In concreto per quanto attiene alla propria pretesa dabbenaggine, la ricorrente si limita a proporre una sua interpretazione delle prove contenute nell'incartamento della causa senza però riuscire a dimostrare che quella effettuata dall'autorità inferiore sarebbe addirittura insostenibile. Con riferimento all'obbligo di informazione occorre ricordare che la Corte cantonale ha accertato che l'opponente ha contattato la ricorrente, spiegandole sia la ripartizione degli utili e delle perdite operata dal gestore esterno sia l'impressionante riduzione del saldo del conto. La ricorrente invero contesta di essere stata adeguatamente informata, ma a tal proposito si limita nuovamente a proporre una sua lettura degli atti di causa, senza riuscire a far apparire arbitraria quella dell'autorità inferiore. Altrettanto vale con riferimento all'asserzione ricorsuale secondo cui il colloquio sarebbe avvenuto troppo tardi. Del resto, pur criticando l'operatività di E._, insistendo sulla di lui incompetenza, la ricorrente neppure contesta che questi avesse una laurea in economia e un master e misconosce che - in presenza di un gestore esterno - non spettava alla banca determinare il tipo di investimenti da effettuare (cfr. sentenza 4C.24/1993 del 14 dicembre 1993 consid. 3b). Infine, quando afferma che, dopo essersi accorta del modo in cui E._ allocava i risultati delle sue operazioni, la banca non avrebbe solo dovuto metterla al corrente ma pure prendere dei provvedimenti, la ricorrente dimentica che l'opponente non era la sua tutrice, che avrebbe dovuto intervenire quando ella, pur essendo stata informata in merito a tale prassi, ha deciso di rimanere passiva.
5.
5.1. La Corte cantonale ha per contro ritenuto che la banca aveva violato i suoi obblighi consentendo a E._ di attribuire operazioni a un conto bancario entro 3 giorni, perché la loro allocazione avrebbe dovuto avvenire entro il giorno stesso e ha quindi calcolato il danno risarcibile tenendo conto del volume delle operazioni effettuate e della conseguente percentuale di utile o perdita che sarebbe spettata all'attrice, giungendo a un importo di dollari statunitensi 267'082.20. Ha poi pure riconosciuto un risarcimento di dollari statunitensi 90'274.15, perché la banca aveva permesso operazioni che eccedevano il limite operativo giornaliero di dollari statunitensi 5'000'000.--. A differenza del Pretore, i Giudici d'appello non hanno invece concesso il risarcimento dell'interesse positivo per una serie di motivi fra cui vi è la dichiarazione dell'attrice "di rinunciare a far valere il mancato guadagno che una gestione corretta avrebbe portato" e la mancata quantificazione e prova dei dati e degli importi necessari per determinare tale danno.
5.2. La ricorrente ritiene che la sentenza di appello sia basata su premesse inaccettabili e che debba invece essere confermata la determinazione del danno effettuata dal Pretore con " il meccanismo del danno positivo ".
5.3. In concreto la ricorrente non contesta l'accertamento secondo cui ella avrebbe rinunciato a far valere il risarcimento dell'interesse positivo e misconosce che la sentenza 4A_380/2010 del 16 novembre 2010, citata a sostegno della propria richiesta, riguarda un caso in cui è stato concluso un contratto di gestione con la banca e non con un gestore esterno. Così stando le cose, la censura dev'essere respinta.
6.
6.1. Contrariamente al Pretore, la Corte cantonale ha negato che la banca avesse violato il contratto che la legava all'attrice per aver pagato delle retrocessioni a E._ e ha indicato che la cliente avrebbe dovuto rivalersi su quest'ultimo.
6.2. La ricorrente sostiene che con tale decisione la Corte cantonale ha violato il CPC e che la sentenza pretorile, la quale aveva condannato la banca a pagarle dollari statunitensi 390'451.-- per le retrocessioni versate al predetto gestore, va confermata, in particolare alla luce della "frenetica e forsennata" attività svolta da quest'ultimo e con il conseguente guadagno conseguito dall'opponente.
6.3. In concreto il rimprovero mosso all'autorità inferiore di aver disatteso gli art. 310 e 311 cpv. 2 CPC per aver riformato su questo punto il giudizio di primo grado si rivela del tutto ingiustificato, atteso che nel proprio appello l'opponente aveva contestato la sentenza pretorile, affermando di non aver commesso alcuna violazione contrattuale versando le retrocessioni al gestore esterno. Per il resto, basta rilevare che la giurisprudenza fonda l'obbligo di restituzione delle retrocessioni sull'<ref-law>, norma applicabile al contratto esistente fra la cliente e il gestore esterno (<ref-ruling> consid. 2.1 con rinvii), ma non anche a quello che sussiste fra la banca depositaria e la cliente.
7.
7.1. Per quanto attiene agli indebiti prelievi, la Corte cantonale ha accertato che essi sono stati effettuati utilizzando ordini di bonifico sottoscritti dall'attrice con l'indicazione del conto di partenza e di arrivo lasciati in bianco e successivamente completati da D._. I Giudici di appello hanno unicamente ritenuto giustificato un risarcimento da parte della banca per i prelievi effettuati dopo che le parti avevano concordato una verifica telefonica. Essi hanno posto a carico dell'attrice una parte del danno, perché ella aveva provocato, con la firma in bianco degli ordini di bonifico, la situazione di rischio.
7.2. La ricorrente si dilunga nel descrivere D._ come persona del tutto incompetente in materia di gestione patrimoniale, circostanza che sarebbe stata conosciuta dalla banca e che avrebbe imposto a quest'ultima un modo di agire diverso anche con riferimento ai rimanenti prelievi.
7.3. Nella fattispecie la ricorrente non può essere seguita quando ritiene che dalle - negate - capacità di D._ la banca avrebbe potuto dedurne la disonestà e non sarebbe quindi stata in buona fede quando ha eseguito gli ordini di cui la ricorrente chiede il risarcimento. Ne segue che la censura si rivela infondata.
8.
Infine, la ricorrente contesta l'ammontare (fr. 451'430.--) delle ripetibili chieste dall'opponente e riconosciute dalla Corte di appello per la procedura di prima istanza. Afferma che il Pretore aveva ritenuto la convenuta vincente in ragione del 65 % e aveva a tale titolo unicamente accordato un'indennità di fr. 158'000.--. La ricorrente ne deduce che l'importo massimo delle ripetibili considerato dal giudice di primo grado ammontava a soli fr. 241'825.--, corrispondenti al 2 % del valore di causa. Lamenta pure che l'appello e la relativa decisione del tribunale cantonale sono del tutto privi di motivazione su questo punto.
In concreto occorre innanzi tutto ricordare che in linea di principio la decisione sull'ammontare delle ripetibili non dev'essere motivata: quando esiste una tariffa o una norma legale che ne fissa il minimo e il massimo, il giudice deve unicamente motivare la sua decisione se non si attiene a tali limiti, se degli elementi straordinari sono invocati dalla parte interessata o ancora qualora il giudice si scosti dalla nota d'onorario prodotta e conceda un importo inferiore a quelli abituali (<ref-ruling> consid. 5). Ora, la stessa ricorrente cita il Regolamento ticinese del 19 dicembre 2007 sulla tariffa per i casi di patrocinio d'ufficio e di assistenza giudiziaria e per la fissazione delle ripetibili, non avvedendosi che esso all'art. 16 cpv. 2 prevede che, per i procedimenti aperti prima della sua entrata in vigore, si applicano le disposizioni previgenti. Poiché la causa è stata incoata nel 2004 le ripetibili erano da fissare in applicazione dell'art. 9 dell'abrogata Tariffa dell'Ordine degli avvocati del Cantone Ticino, che prevede un "onorario normale" fra il 3 e il 6 % del valore, quando questo supera fr. 1'500'000.--. Ne segue che la Corte cantonale, restando nei limiti contemplati dalla predetta tariffa, non doveva motivare la propria decisione né tale obbligo incombeva, per il medesimo motivo, all'opponente.
9.
Da quanto precede discende che il ricorso si palesa infondato, nella misura in cui risulta ammissibile. Le spese e le ripetibili seguono la soccombenza (art. 66 cpv. 1 e 68 cpv. 1 LTF).

Per questi motivi, il Tribunale federale pronuncia:
1.
Nella misura in cui è ammissibile, il ricorso è respinto.
2.
Le spese giudiziarie di fr. 15'000.-- sono poste a carico della ricorrente, che rifonderà all'opponente fr. 17'000.-- a titolo di ripetibili per la procedura innanzi al Tribunale federale.
3.
Comunicazione ai patrocinatori delle parti e alla II Camera civile del Tribunale d'appello del Cantone Ticino.