Sachverhalt:
A.
Der deutsche Staatsangehörige A._ hielt sich ab 1. April 2006, zunächst im Rahmen einer auf drei Monate befristeten Anstellung, in der Schweiz resp. in X._ auf. Nachdem die weitere Stellensuche erfolglos blieb, meldete er sich beim zuständigen Einwohneramt auf Ende Januar 2007 ins Ausland ab.
Am 28. Januar 2014 ersuchte die Deutsche Rentenversicherung die Schweizerische Ausgleichskasse (SAK) um eine Altersrente der Alters- und Hinterlassenenversicherung (AHV) für A._. Die SAK verneinte mit Verfügung vom 17. Februar 2014 einen Anspruch mangels genügender Beitragsdauer; es könnten ihm nur drei Monate für das Jahr 2006 angerechnet werden. Mit Einsprache vom 26. Februar 2014 teilte A._ der SAK mit, dass er wisse, dass er die Mindestbeitragszeit für eine Rente nicht erfülle. Er benötige aber eine korrekte Feststellung des Versicherungsverlaufs während seiner tatsächlichen Wohnzeit von zehn Monaten in der Schweiz, um damit eine Versicherungslücke in der deutschen Sozialversicherung, die mit monatlich rund 20 Euro zu Buche schlage, schliessen zu können. Dieses Begehren wies die SAK mit Einspracheentscheid vom 24. April 2014 ab. Zur Begründung führte sie an, A._ habe keinen Wohnsitz in der Schweiz begründet; er sei lediglich aufgrund einer dreimonatigen Erwerbstätigkeit in der Schweiz versichert gewesen.
B.
Die dagegen erhobene Beschwerde hiess das Bundesverwaltungsgericht mit Entscheid vom 18. November 2015 insofern gut, als es die Sache zur weiteren Abklärung hinsichtlich der Berücksichtigung von Beitragszeiten aus Erwerbstätigkeit und anschliessendem Erlass einer Feststellungsverfügung an die SAK zurückwies. Im Übrigen wies es die Beschwerde ab, soweit es darauf eintrat.
C.
A._ beantragt mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten sinngemäss die Feststellung der Versicherungsdauer in der Schweiz von seiner Einreise im April 2006 bis zur Ausreise im Januar 2007.
Die SAK und das Bundesamt für Sozialversicherungen verzichten auf eine Vernehmlassung.

Erwägungen:
1.
1.1. Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (<ref-law>), und kann deren Sachverhaltsfeststellung von Amtes wegen nur berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruht (<ref-law>). Es wendet das Recht von Amtes wegen an (<ref-law>). Folglich ist das Bundesgericht weder an die in der Beschwerde geltend gemachten Argumente noch an die Erwägungen der Vorinstanz gebunden; es kann eine Beschwerde aus einem anderen als dem angerufenen Grund gutheissen, und es kann sie mit einer von der Argumentation der Vorinstanz abweichenden Begründung abweisen (<ref-ruling> E. 1.2 S. 252 mit Hinweisen).
1.2. Das Bundesgericht prüft insbesondere seine Zuständigkeit und die (weiteren) Eintretensvoraussetzungen von Amtes wegen und mit freier Kognition (<ref-ruling> E. 4 S. 26; <ref-ruling> E. 1 S. 340).
2.
2.1. Der obligatorischen Versicherung nach dem AHVG unterstehen insbesondere die natürlichen Personen mit Wohnsitz in der Schweiz (<ref-law>) und die natürlichen Personen, die in der Schweiz eine Erwerbstätigkeit ausüben (<ref-law>).
2.2. Die Vorinstanz hat eine Unterstellung des Beschwerdeführers unter die obligatorische Versicherung aufgrund eines Wohnsitzes in der Schweiz nach <ref-law> verneint. Hingegen hat sie die Sache in Bezug auf Beitragszeiten aus Erwerbstätigkeit (<ref-law>) - die vom 1. April bis höchstens ca. August/September 2006 dauerte - an die SAK zurückgewiesen. Somit liegt hinsichtlich der Zeit nach Einstellung der Erwerbstätigkeit bis zur Ausreise aus der Schweiz, die laut verbindlicher (E. 1.1) vorinstanzlicher Feststellung am 15. Januar 2007 erfolgte, ein anfechtbarer definitiver Entscheid (vgl. <ref-law>) vor.
3.
3.1. Der Wohnsitz einer Person bestimmt sich nach den Artikeln 23-26 des Zivilgesetzbuches (<ref-law> i.V.m. <ref-law>). Er befindet sich an dem Orte, wo sich die Person mit der Absicht dauernden Verbleibens aufhält (<ref-law>). Ist ein im Ausland begründeter Wohnsitz aufgegeben und in der Schweiz kein neuer begründet worden, so gilt der Aufenthaltsort als Wohnsitz (<ref-law>).
3.2. Für die Frage nach dem Wohnsitz hat die Vorinstanz lediglich die Absicht des dauernden Verbleibens verneint. Damit hat sie auf <ref-law> Bezug genommen, während sie die Bestimmung von <ref-law> gänzlich unbeachtet gelassen hat. Das Bundesgericht kann diesbezüglich den Sachverhalt ergänzen (E. 1.1), zumal der Beschwerdeführer die entsprechenden Behauptungen bereits im Verwaltungs- und im vorinstanzlichen Beschwerdeverfahren vorbrachte (vgl. <ref-law>).
3.3. Der Beschwerdeführer meldete sich - nach eigener Darstellung auch infolge Trennung resp. Scheidung von seiner damaligen Ehefrau - an seinem alten Wohnort in Deutschland (Ruhrgebiet) ab, bevor er am 1. April 2006 in der Schweiz die Arbeit aufnahm. Zwar trat er lediglich eine befristete Stelle an. Indessen fehlt jeglicher Anhaltspunkt dafür, dass er weiterhin und regelmässig Beziehungen zu oder an seinem früheren Wohnort gepflegt haben soll. Zudem bemühte er sich um eine weitere Anstellung in der Schweiz und beanspruchte dazu von Juli bis Ende November 2006 die Dienste des Regionalen Arbeitsvermittlungszentrums. Somit steht fest, dass der Beschwerdeführer mit der Einreise in die Schweiz seinen Wohnsitz in Deutschland aufgab (vgl. SVR 2006 KV Nr. 12 S. 38, K 34/04 E. 3 und 4.4; DANIEL STAEHELIN, in: Basler Kommentar, Zivilgesetzbuch, Bd. I, 5. Aufl. 2014, N. 8 zu <ref-law>). Der (gewöhnliche) Aufenthalt (vgl. STAEHELIN, a.a.O., N. 10 ff. zu <ref-law>) in der Schweiz resp. in X._ vom 1. April 2006 bis 15. Januar 2007 ist unbestritten. In diesem Zeitraum hatte der Beschwerdeführer demnach auch seinen Wohnsitz in der Schweiz, weshalb er obligatorisch nach AHVG versichert war (<ref-law>).
3.4. Bei diesem Ergebnis erübrigt sich die Rückweisung zu weiteren Abklärungen betreffend die Erwerbstätigkeit. Aus prozessökonomischen Gründen ist der angefochtene Entscheid auch in diesem Punkt aufzuheben, obwohl diesbezüglich die Eintretensvoraussetzungen nicht erfüllt sind (vgl. <ref-law>).
4.
Die unterliegende Beschwerdegegnerin hat keine Gerichtskosten zu tragen (Art. 66 Abs. 1 und 4 BGG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird gutgeheissen. Der Entscheid des Bundesverwaltungsgerichts vom 18. November 2015 und der Einspracheentscheid der Schweizerischen Ausgleichskasse SAK vom 24. April 2014 werden aufgehoben. Es wird festgestellt, dass der Beschwerdeführer vom 1. April 2006 bis 15. Januar 2007 der obligatorischen Alters- und Hinterlassenenversicherung unterstellt war.
2.
Es werden keine Gerichtskosten erhoben.
3.
Dieses Urteil wird den Parteien, dem Bundesverwaltungsgericht und dem Bundesamt für Sozialversicherungen schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 16. Februar 2016
Im Namen der II. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Glanzmann
Die Gerichtsschreiberin: Dormann