Erwägungen:
1.
A._, 1964 geborener Staatsangehöriger des Libanon, heiratete am 18. September 1992 eine in der Schweiz wohnhafte niederländische Staatsangehörige. Er reiste am 12. Februar 1994 in die Schweiz ein und erhielt eine Aufenthaltsbewilligung. Die Ehe wurde am 23. März 1998, weniger als fünf Jahre nach seiner Einreise, geschieden, sodass ein (allfälliger) Anspruch auf Bewilligung nach der damals gültigen Fassung des bis Ende 2007 in Kraft stehenden Bundesgesetzes vom 26. März 1931 über Aufenthalt und Niederlassung der Ausländer (ANAG; BS 1 121) erlosch. In der Folge wurde ihm die Aufenthaltsbewilligung bloss noch ermessensweise verlängert, zuletzt bis 11. August 2015. Da er seit 1999 (mit Unterbrüchen und teilweise ergänzend zum Erwerbseinkommen) von der Sozialhilfe unterstützt wurde, ermahnte ihn das Migrationsamt des Kantons Zürich am 11. Januar 2005, am 28. Oktober 2009 (im Rahmen der Verfügung über die Abweisung des Gesuchs um Erteilung der Niederlassungsbewilligung) und am 26. November 2010. Zudem ergingen am 22. November 2011 und 6. Februar 2014 förmliche ausländerrechtliche Verwarnungen. Der Sozialhilfebezug dauerte an, die Summe der Unterstützungsbeiträge belief sich Ende 2016 auf Fr. 486'000.--.
Am 18. November 2015 lehnte das Migrationsamt des Kantons Zürich eine weitere Verlängerung der Aufenthaltsbewilligung ab und verfügte die Wegweisung. Dagegen erhob A._ am 21. Dezember 2015 erfolglos Rekurs an die Sicherheitsdirektion des Kantons Zürich. Auf die gegen den Rekursentscheid vom 14. Dezember 2016 erhobene Beschwerde vom 16. Januar 2017 trat das Verwaltungsgericht des Kantons Zürich mit Verfügung des Einzelrichters vom 10. April 2017 nicht ein (Ziff. 1 des Verfügungsdispositivs); die Ausreisefrist setzte es neu auf den 30. Juni 2017 an (Ziff. 2 des Verfügungsdispositivs). Das Nichteintreten begründet es in E. 1 seiner Verfügung. In E. 2 stellt es dar, dass die Beschwerde sich im Eintretensfall als offensichtlich unbegründet erweisen würde.
Mit subsidiärer Verfassungsbeschwerde vom 19. Mai 2017 beantragt A._ dem Bundesgericht, die Verfügung des Verwaltungsgerichts sei aufzuheben; das Verwaltungsgericht sei zu verpflichten, auf seine Beschwerde einzutreten; eventualiter sei Ziff. 2 der verwaltungsgerichtlichen Verfügung aufzuheben und es sei neu eine Ausreisefrist von mindestens vier Monaten festzusetzen bzw. dieser Punkt zur Neubeurteilung an die Vorinstanz zurückzuweisen.
Die kantonalen Akten sind eingeholt, ein Schriftenwechsel ist nicht angeordnet worden.
Mit dem vorliegenden instanzabschliessenden Urteil wird das Gesuch um aufschiebende Wirkung gegenstandslos.
2.
2.1. Gemäss <ref-law> ist die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten unzulässig gegen Entscheide auf dem Gebiet des Ausländerrechts u.a. betreffend Bewilligungen, auf die weder das Bundesrecht noch das Völkerrecht einen Anspruch einräumt (Ziff. 2), und betreffend die Wegweisung (Ziff. 4). Der Beschwerdeführer macht nicht geltend, ihm stehe ein Rechtsanspruch auf Bewilligungsverlängerung zu; unter den gegebenen Umständen ist auch nicht ersichtlich, inwiefern ein solcher gegeben sein könnte.
Damit steht als bundesrechtliches Rechtsmittel vorliegend allein die subsidiäre Verfassungsbeschwerde (<ref-law>) zur Verfügung, mit welcher die Verletzung verfassungsmässiger Rechte gerügt werden kann (<ref-law>); entsprechende Rügen bedürfen spezifischer Geltendmachung und Begründung (Art. 106 Abs. 2 in Verbindung mit <ref-law>). Zur Verfassungsbeschwerde ist gemäss <ref-law> nur berechtigt, wer ein rechtlich geschütztes Interesse an der Aufhebung oder Änderung des angefochtenen Entscheids hat. Was die Beschwerdebegründung betrifft, ist im Rahmen der Verfassungsbeschwerde nebst <ref-law> auch den allgemeinen gesetzlichen Begründungsanforderungen Genüge zu tun: Gemäss Art. 42 Abs. 1 und 2 BGG haben Rechtsschriften die Begehren und deren Begründung zu enthalten; in der Begründung ist in gedrängter Form darzulegen, inwiefern der angefochtene Akt schweizerisches Recht (<ref-law>) verletze. In der Beschwerdebegründung ist auf jede Erwägung des angefochtenen Entscheids einzugehen, die für sich allein dessen Ergebnis rechtfertigt (<ref-ruling> E. 6.3 S. 120. f.; <ref-ruling> E. 2 S. 535).
2.2. Das Verwaltungsgericht ist auf die bei ihm eingereichte Beschwerde nicht eingetreten. Es leitet aus § 54 Abs. 1 des Verwaltungsrechtspflegegesetzes des Kantons Zürich vom 24. Mai 1959 (VRG), wonach die Beschwerdeschrift einen Antrag und eine Begründung zu enthalten hat, ab, dass die Beschwerde führende Partei sich in der Beschwerdeschrift substanziiert mit den massgeblichen Erwägungen des angefochtenen Entscheids auseinanderzusetzen hat, was von vornherein nicht möglich sei, wenn die schon in der Rekursschrift an seine Vorinstanz vorgebrachten Rügen wörtlich wiederholt würden. Dass bzw. inwiefern diese Auslegung des kantonalen Verfahrensrechts, welche im Übrigen im Einklang mit der Rechtsprechung des Bundesgerichts zu <ref-law> steht (<ref-ruling> E. 2.3 S. 246), willkürlich sei oder den Anspruch auf gerichtliche Beurteilung verletze (<ref-law>), lässt sich mit den Ausführungen in der Beschwerdeschrift nicht aufzeigen. Das Verwaltungsgericht stellt weiter fest, dass die ihm vorgelegte Rechtsschrift grösstenteils wortwörtlich mit der der Sicherheitsdirektion vorgelegten Rekursschrift übereinstimme. Bei einem Vergleich der beiden Rechtsschriften erscheint diese Feststellung trotz gewisser schon vom Verwaltungsgericht selber erwähnter Unterschiede kaum willkürlich. Wie es sich damit verhält, kann jedoch offenbleiben, ist doch auf die Beschwerde aus nachfolgenden Gründen ohnehin nicht einzutreten:
2.3. Steht dem Ausländer, wie vorliegend dem Beschwerdeführer, kein Anspruch auf die beantragte ausländerrechtliche Bewilligung zu, ist er durch deren Verweigerung nicht in rechtlich geschützten Interessen betroffen, weshalb ihm die Legitimation zur Anfechtung des negativen Bewilligungsentscheids bzw. eines diesen bestätigenden Rechtsmittelentscheids in der Sache selbst fehlt (<ref-law>; s. <ref-ruling>). Das Verwaltungsgericht hat trotz Nichteintreten auf die Beschwerde in einer subsidiären Begründung über die Rechtmässigkeit der Bewilligungsverweigerung entschieden. Zur Anfechtung dieses Entscheids ist der Beschwerdeführer nicht legitimiert. Da diese nicht der Anfechtung zugängliche materielle subsidiäre Begründung für sich allein den für den Beschwerdeführer im Ergebnis negativen Ausgang des kantonalen Beschwerdeverfahrens rechtfertigt, ist unerheblich, wie es sich mit der Recht- bzw. Verfassungsmässigkeit des Nichteintretens bzw. der entsprechenden Erwägungen verhält.
2.4. Hinsichtlich der Wegweisung bzw. der Wegweisungsmodalitäten erhebt der Beschwerdeführer keine hinreichende Rüge verfassungsmässiger Natur (s. zur Qualität entsprechender Rügen bei fehlendem Bewilligungsanspruch <ref-ruling>).
2.5. Die Verfassungsbeschwerde erweist sich damit als offensichtlich unzulässig (<ref-law>). Es ist darauf mit Entscheid des Abteilungspräsidenten als Einzelrichter im vereinfachten Verfahren nach <ref-law> nicht einzutreten.
2.6. Die Gerichtskosten (<ref-law>) sind entsprechend dem Verfahrensausgang dem Beschwerdeführer aufzuerlegen (Art. 66 Abs. 1 erster Satz BGG).

Demnach erkennt der Präsident:
1.
Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 1'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten, dem Verwaltungsgericht des Kantons Zürich, 2. Abteilung, Einzelrichter, und dem Staatssekretariat für Migration schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 6. Juni 2017
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Seiler
Der Gerichtsschreiber: Feller