Sachverhalt:
A.
Am 19. November 2010 verurteilte das Bezirksgericht Zürich, 3. Abteilung, A._ wegen mehrfacher sexueller Nötigung, mehrfachen sexuellen Handlungen mit Kindern, mehrfacher Pornographie, Gewaltdarstellungen und Tierquälerei zu drei Jahren Freiheitsstrafe. Gleichzeitig ordnete das Bezirksgericht eine strafvollzugsbegleitende ambulante Behandlung (Art. 63 StGB) an. Am 26. August 2011 bestätigte das Obergericht des Kantons Zürich, II. Strafkammer, auf Berufung hin das erstinstanzliche Urteil im Schuldpunkt und beim Strafmass. Es ordnete hingegen eine stationäre therapeutische Massnahme (Art. 59 StGB) an und schob den Vollzug der Freiheitsstrafe zugunsten dieser Massnahme auf. Die vom Verurteilten dagegen erhobene Beschwerde wies das Bundesgericht mit Urteil vom 18. April 2012 ab, soweit es darauf eintrat (Verfahren 6B_752/2011).
B.
Mit Eingabe vom 17. Juni 2016 an das Bezirksgericht beantragte das Amt für Justizvollzug des Kantons Zürich, es sei die stationäre Massnahme um drei Jahre zu verlängern. Mit rechtskräftiger Verfügung vom 25. August 2016 versetzte das Bezirksgericht den Verurteilten im Hinblick auf das gerichtliche Nachverfahren (Art. 363-365 StPO) in Sicherheitshaft.
C.
Am 19. Dezember 2016 hob das Amt für Justizvollzug die stationäre Massnahme auf, zog seinen Antrag vom 17. Juni 2016 um Verlängerung der stationären Massnahme zurück und beantragte nunmehr die Anordnung einer Verwahrung (Art. 64 StGB).
D.
Mit Urteil vom 26. Januar 2017 ordnete das Bezirksgericht erneut eine stationäre therapeutische Massnahme (Art. 59 StGB) für die Dauer von drei Jahren gegen den Verurteilten an. Gegen das Massnahmenurteil erhob der Verurteilte (am 10. April 2017) Beschwerde beim Obergericht. Mit separatem Beschluss vom 26. Januar 2017 verfügte das Bezirksgericht, dass der Verurteilte bis zum möglichen Massnahmenantritt, längstens bis zum 26. April 2017, in Sicherheitshaft verbleibe.
E.
Am 9. Juni 2017 ersuchte der Verurteilte bei dem mit der nachträglichen Massnahmensache befassten Obergericht um sofortige Haftentlassung. Er machte insbesondere geltend, dass die vom Bezirksgericht (bis längstens 26. April 2017) festgesetzte Haftfrist abgelaufen sei. Mit Verfügung vom 12. Juni 2017 wies das Obergericht des Kantons Zürich, III. Strafkammer, Präsident, das Haftentlassungsgesuch ab. Gleichzeitig ordnete der Kammerpräsident die Fortsetzung der Sicherheitshaft für die Dauer des hängigen Nachverfahrens an.
F.
Gegen den Haftentscheid des Obergerichtes vom 12. Juni 2017 gelangte der Verurteilte mit Beschwerde vom 30. Juni (Posteingang: 4. Juli) 2017 an das Bundesgericht. Er beantragt seine sofortige Haftentlassung, die gerichtliche Feststellung, wonach er von widerrechtlicher Haft betroffen worden sei, sowie die Zusprechung einer Haftentschädigung (Genugtuung von Fr. 300.-- pro Hafttag vom 26. April 2017 bis zum Urteilsdatum des Bundesgerichtes, eventualiter Genugtuung von Fr. 14'100.-- für die erstandene Haft zwischen 26. April und 12. Juni 2017).
Am 10. Juli 2017 reichte das Obergericht dem Bundesgericht seinen (am 23. Juni 2017 ergangenen) abschlägigen Beschwerdeentscheid in der nachträglichen Massnahmensache ein. Auf eine Vernehmlassung (zur Haftbeschwerde an das Bundesgericht) verzichtete das Obergericht. Die Staatsanwaltschaft hat am 10. Juli 2017 ebenfalls auf eine Stellungnahme verzichtet; vom kantonalen Amt für Justizvollzug ist keine Vernehmlassung eingegangen. Der Beschwerdeführer reichte am 21. Juli (Posteingang: 24. Juli) 2017 eine Replik ein.

Erwägungen:
1.
1.1. Angefochten ist ein letztinstanzlicher kantonaler Entscheid über die Fortsetzung von Sicherheitshaft im nachträglichen gerichtlichen Verfahren betreffend Verlängerung der stationären therapeutischen Massnahme (Art. 220 Abs. 2, Art. 221, Art. 229-233 und Art. 363-365 StPO i.V.m. Art. 59 StGB). Dagegen ist die Beschwerde in Strafsachen grundsätzlich gegeben (Art. 78 ff. BGG).
1.2. Das Gericht, welches das erstinstanzliche Strafurteil gefällt hat, trifft auch die einer gerichtlichen Behörde übertragenen selbstständigen nachträglichen Entscheide, sofern Bund oder Kantone nichts anderes bestimmen (Art. 363 Abs. 1 StPO). Das kantonale Behördenorganisationsrecht kann insbesondere festlegen, dass das kantonale Berufungsgericht bzw. das kantonal letztinstanzlich entscheidende Gericht auch die selbstständigen nachträglichen Entscheide fällt (<ref-ruling> E. 1.1 S. 177 f., mit Hinweisen). Mangels einer solchen abweichenden Regelung im kantonalen Recht sind im Kanton Zürich die urteilenden erstinstanzlichen Gerichte (Art. 19 StPO) auch für die nachträglichen Massnahmenverfahren zuständig. Im vorliegenden Fall hat das Zürcher Obergericht als mit dem Nachverfahren befasste Rechtsmittelinstanz (auf Haftentlassungsgesuch hin) über die Fortdauer von Sicherheitshaft entschieden (vgl. Art. 233 StPO).
1.3. Das Verfahren bei selbstständigen nachträglichen Massnahmenentscheiden des Gerichts (insbes. Art. 363 Abs. 1 StPO i.V.m. Art. 59 StGB) richtet sich nach der StPO. Eine spezifische Regelung für die Anordnung und Fortsetzung von Sicherheitshaft enthalten die Artikel 363-365 StPO nicht. Nach Einleitung des Nachverfahrens bis zur Rechtskraft des neuen Massnahmenurteils basiert die Anordnung und Fortsetzung von strafprozessualer Sicherheitshaft auf den (analog anwendbaren) Bestimmungen von Art. 229-233 i.V.m. Art. 221 und Art. 220 Abs. 2 StPO (<ref-ruling> E. 1.1-1.2 S. 178; <ref-ruling> E. 2.2-2.3 S. 336-338; Urteile des Bundesgerichtes 1B_490/2016 vom 24. Januar 2017 E. 2; 1B_371/2016 vom 11. November 2016 E. 4.6; 1B_382/2015 vom 26. November 2015 E. 2.2-2.3; 1B_6/2012 vom 27. Januar 2012 E. 2.4).
1.4. Soweit der Beschwerdeführer die Rechtmässigkeit der von ihm erstandenen strafprozessualen Haft bestreitet und ein Haftentlassungsgesuch stellt, ist die Beschwerde zulässig. Ebenso besteht ein aktuelles Rechtsschutzinteresse (Art. 81 Abs. 1 lit. b Ziff. 1 BGG) an der von ihm beantragten Feststellung, er sei von unrechtmässiger Haft betroffen gewesen, da ein gültiger Hafttitel zwischenzeitlich gefehlt habe.
Wie sich aus den nachfolgenden Erwägungen (E. 7) ergibt, ist die Beschwerde gegen den angefochtenen Haftprüfungsentscheid hingegen unzulässig, soweit der Beschwerdeführer dem Bundesgericht ein materielles Haftentschädigungsgesuch direkt unterbreitet.
2.
Unbestrittenermassen haben weder das Bezirksgericht noch das (seit der Beschwerdeerhebung am 10. April 2017 mit dem Nachverfahren befasste) Obergericht zwischen dem 26. April und dem 11. Juni 2017 einen Entscheid über die Verlängerung oder Aufhebung der Sicherheitshaft (im Sinne von Art. 229-233 StPO) gefällt. Der Hafttitel des Bezirksgerichtes vom 26. Januar 2017 lief am 26. April 2017 ab. Darauf hat der Beschwerdeführer bereits in seinem Haftentlassungsgesuch vom 9. Juni 2017 ausdrücklich hingewiesen. Erst am 12. Juni 2017 verfügte das Obergericht förmlich die Fortsetzung der Sicherheitshaft für die Weiterdauer des vor dem Obergericht hängigen Beschwerdeverfahrens in der nachträglichen Massnahmensache.
Die Vorinstanz hat sich mit dem gerügten Wegfall eines gültigen Hafttitels (nach dem 26. April 2017) nicht befasst; sie hat sich auf die Prüfung beschränkt, ob am 12. Juni 2017 noch ausreichende materielle Haftgründe bestanden. Mangels eines gültigen strafprozessualen Hafttitels ist die Inhaftierung des Beschwerdeführers zwischen dem 27. April und dem 12. Juni 2017 als formell rechtswidrig zu qualifizieren. Die Unrechtmässigkeit von erstandener Haft ist in der Regel im Dispositiv des Haftprüfungsentscheides festzustellen (vgl. <ref-ruling> E. 3.2.3 S. 98; <ref-ruling> E. 2.3 S. 278; Urteile 1B_443/2016 vom 12. Dezember 2016 E. 3.3; 1B_330/2015 vom 15. Oktober 2015 E. 4.2; 1B_299/2015 vom 28. September 2015 E. 3.2 und 4-5; 1B_203/2015 vom 1. Juli 2015 E. 5.2; 1B_291/2014 vom 8. September 2014 E. 3.2).
Die Beschwerde ist insofern teilweise gutzuheissen, und es ist im Dispositiv des angefochtenen Entscheides (antragsgemäss) festzustellen, dass die vom Beschwerdeführer zwischen dem 27. April und dem 12. Juni 2017 erstandene Sicherheitshaft formell unrechtmässig war.
Das vorübergehende Fehlen eines Hafttitels im gerichtlichen Nachverfahren führt demgegenüber nicht zwingend zur ebenfalls beantragten Haftentlassung: Zwar kann der Ablauf von richterlichen Haftfristen bei Untersuchungs- und Sicherheitshaft im Vor- und Hauptverfahren einen Haftentlassungsgrund bilden (Art. 212 Abs. 2 lit. b i.V.m. Art. 226 Abs. 4 lit. a und Art. 227 Abs. 7 StPO; vgl. dazu Gianfranco Albertini/ Thomas Armbruster, in: Basler Kommentar StPO, 2. Aufl. 2014, Art. 212 N. 11; Marc Forster, BSK StPO, Art. 227 N. 2). Dabei ist auch die Unschuldsvermutung zugunsten von strafprozessual Inhaftierten (vor einer allfälligen rechtskräftigen Verurteilung) zu berücksichtigen (Art. 10 Abs. 1 StPO). Im vorliegenden Fall geht es jedoch um Sicherheitshaft im massnahmenrechtlichen Nachverfahren gegenüber einem rechtskräftig Verurteilten (Art. 363-365 StPO). Zwar hat es das Obergericht versäumt, vor Ablauf der durch das Bezirksgericht festgelegten Haftfrist die Sicherheitshaft förmlich zu verlängern. Vor und nach dieser (vorübergehend formell unrechtmässigen) Inhaftierungsphase haben die zuständigen Haftgerichte die materiellen Haftgründe jedoch mehrmals geprüft und als erfüllt erachtet. Bei dieser Sachlage drängt sich hier von Bundesrechts wegen keine Haftentlassung allein aufgrund des festgestellten Verfahrensfehlers auf. Dabei ist auch dem Anliegen einer effizienten Gefahrenabwehr (Wiederholungsgefahr bei bereits verübten schweren Sexualstraftaten) Rechnung zu tragen (vgl. <ref-ruling> E. 2 S. 11-17; für das Nachverfahren s.a. Urteil 1B_490/2016 vom 24. Januar 2017 E. 4.3).
3.
Der Beschwerdeführer rügt sodann als bundesrechtswidrig, dass im angefochtenen Haftentscheid die Rechtsmittelbelehrung fehlt.
Wie bereits dargelegt (oben, E. 1.1), ist gegen letztinstanzliche kantonale Entscheide über die Fortsetzung der Sicherheitshaft im nachträglichen gerichtlichen Verfahren betreffend Verlängerung der stationären therapeutischen Massnahme die Beschwerde in Strafsachen grundsätzlich gegeben (Art. 78 ff. BGG). Solche selbstständig anfechtbaren Entscheide sind (hinsichtlich der Haftprüfung) als "andere verfahrenserledigende Entscheide" (im Sinne von Art. 81 Abs. 1 lit. d StPO) einzustufen und aus Rechtsschutzgründen (Art. 31 Abs. 4 und Art. 29a BV) mit einer förmlichen Rechtsmittelbelehrung zu versehen (Art. 81 Abs. 1 lit. d StPO; vgl. Forster, BSK StPO, Art. 226 N. 6 und Fn. 49; Markus Hug/Alexandra Scheidegger, in: Zürcher Kommentar StPO, 2. Aufl. 2014, Art. 226 N. 5). Schon angesichts ihrer grossen Tragweite für die Grundrechte der Betroffenen handelt es sich materiellrechtlich nicht um reine prozessleitende Verfügungen oder vorsorgliche Massnahmen im Straf- und Nachverfahren. Daran vermag auch ihre (systematisch fragwürdige) Nennung in Art. 388 lit. b StPO nichts zu ändern.
Die vom Beschwerdeführer erhobene Verfahrensrüge erweist sich auch insofern als begründet. Die fehlende Rechtsmittelbelehrung führt indessen weder zur beantragten Haftentlassung, noch zu einer förmlichen Feststellung des Verfahrensfehlers im Dispositiv des Haftprüfungsentscheides: Die fehlende Rechtsmittelbelehrung lässt die Haft nicht als unrechtmässig erscheinen, weshalb weder eine Haftentlassung von Bundesrechts wegen als geboten erscheint, noch eine förmliche Feststellung des Prozessfehlers im Dispositiv des vorliegenden Beschwerdeentscheides. Eine solche Feststellung (im Dispositiv) wird vom Beschwerdeführer im Übrigen auch nicht beantragt. Ebenso wenig ist ihm aus der fehlenden Rechtsmittelbelehrung ein erkennbarer Rechtsnachteil erwachsen.
4.
Weiter rügt der Beschwerdeführer eine Verletzung von Art. 228 Abs. 4 i.V.m. Art. 233 bzw. Art. 232 StPO. Die Vorinstanz habe ihm zu Unrecht eine mündliche Haftverhandlung verweigert, auf die er zuvor nicht verzichtet habe.
Die Rüge erweist sich als unbegründet. Wie bereits dargelegt, sind auf das vorinstanzliche Haftprüfungsverfahren die Bestimmungen von Art. 233 StPO (Haftentlassungsgesuch vor der Rechtsmittelinstanz) analog anwendbar. Es handelt sich hier nicht um eine erstmalige Anordnung von Sicherheitshaft (im Sinne von Art. 229 Abs. 2 und Abs. 3 i.V.m. Art. 225 Abs. 1 und Abs. 5 bzw. Art. 232 StPO), sondern um eine Bestätigung der bereits früher (vom Bezirksgericht) mehrmals verfügten Sicherheitshaft im gerichtlichen Nachverfahren. Die hier anwendbaren gesetzlichen Bestimmungen (von Art. 233 StPO) schreiben eine mündliche Haftverhandlung nicht zwingend vor. Gegenteiliges ergibt sich auch nicht aus Art. 31 Abs. 4 BV. Im vorliegenden Fall drängt sich keine zusätzliche analoge Anwendung von Art. 228 Abs. 4 StPO auf (vgl. dazu <ref-ruling> E. 3 S. 187-189; Forster, BSK StPO, Art. 233 N. 3). Zum einen war die von der Bundesgerichtspraxis geforderte kontradiktorische Haftprüfung gewährleistet. Zum anderen legt der anwaltlich vertretene Beschwerdeführer nicht nachvollziehbar dar, weshalb er seinen Standpunkt im vorinstanzlichen schriftlichen Verfahren nicht in ausreichender Weise hätte vertreten können.
5.
In verfahrensrechtlicher Hinsicht rügt der Beschwerdeführer schliesslich noch eine Verletzung der haftrichterlichen Begründungspflicht (Art. 226 Abs. 2 StPO i.V.m. Art. 29 Abs. 2 BV).
Haftentscheide sind kurz schriftlich zu begründen (Art. 226 Abs. 2 Satz 2 i.V.m. Art. 233 StPO; vgl. <ref-ruling> E. 2.6 S. 185; <ref-ruling> E. 2.2 S. 84). Die Begründung des angefochtenen Entscheides ist zwar in der Tat kurz ausgefallen. Die Vorinstanz verweist inhaltlich auf die Erwägungen des Bezirksgerichtes in seinem Haftfortsetzungs-Beschluss vom 26. Januar 2017. Dem Vorbringen des Beschwerdeführers, aufgrund dieser Begründung sei es ihm verunmöglicht gewesen, den Rechtsweg wirksam zu beschreiten, kann jedoch nicht gefolgt werden. Den Erwägungen im Haftentscheid des Bezirksgerichtes, auf welche die Vorinstanz zulässigerweise verweist, lassen sich die wesentlichen Gründe entnehmen, weshalb die kantonalen Gerichte die Fortsetzung der Sicherheitshaft als zulässig und geboten ansehen. Insbesondere wird die drohende Wiederholungsgefahr als besonderer Haftgrund ausreichend begründet. Eine Verletzung des rechtlichen Gehörs ist in diesem Zusammenhang nicht dargetan.
6.
In materiellrechtlicher Hinsicht macht der Beschwerdeführer (eher beiläufig) geltend, die "vollzugsrechtliche Sicherheitshaft" im gerichtlichen Nachverfahren entbehre einer ausreichenden gesetzlichen Grundlage (im Sinne von Art. 197 Abs. 1 lit. a StPO).
Dieser Ansicht ist nicht zu folgen. Zwar trifft es zu, dass die StPO keine spezifischen, auf das gerichtliche Nachverfahren (Art. 363-365 StPO) zugeschnittenen Bestimmungen zur Sicherheitshaft enthält. Das Bundesgericht hat bereits in mehreren publizierten Urteilen darauf hingewiesen, und de lege ferenda wären detailliertere systemkohärente Regeln aus Gründen der Rechtssicherheit durchaus zu wünschen (so ausdrücklich Urteil 1B_371/2016 vom 11. November 2016 E. 5.2; vgl. kritisch zur geltenden Rechtslage auch MARIANNE HEER, in: Basler Kommentar StGB, 3. Aufl. 2013, Art. 63b N. 23; Alain Joset/Markus Husmann, Freiheitsentzug jenseits des Rechts - eine Kritik der "vollzugsrechtlichen Sicherheitshaft", forumpoenale 2016 Nr. 3, S. 165 ff.). Anderseits hat das Bundesgericht schon mehrfach bestätigt, dass die (analog anwendbaren) Bestimmungen von Art. 229-233 i.V.m. Art. 221 und Art. 220 Abs. 2 StPO de lege lata noch eine ausreichende gesetzliche Grundlage für die Anordnung und Fortsetzung von strafprozessualer Sicherheitshaft im Nachverfahren bilden (<ref-ruling> E. 1.1-1.2 S. 178; <ref-ruling> E. 2.2-2.3 S. 336-338; Urteile 1B_490/2016 vom 24. Januar 2017 E. 2; 1B_371/2016 vom 11. November 2016 E. 4-5; je mit Hinweisen).
Weitere materielle Hafthindernisse ruft der Beschwerdeführer nicht an. Insbesondere bestreitet er den von den kantonalen Gerichten dargelegten besonderen Haftgrund der Wiederholungsgefahr bzw. ihre ungünstige Rückfallprognose nicht (vgl. dazu <ref-ruling> E. 2 S. 11-17; Urteil 1B_490/2016 vom 24. Januar 2017 E. 4.3; je mit Hinweisen). Seit dem 12. Juni 2017 (bestätigt am 23. Juni 2017) besteht auch wieder ein gültiger Hafttitel.
7.
Schliesslich unterbreitet der Beschwerdeführer dem Bundesgericht noch ein materielles Haftentschädigungsgesuch. Er verlangt Genugtuung für die erstandene formell unrechtmässige Sicherheitshaft.
Auf das Entschädigungsgesuch ist nicht einzutreten. Gegenstand des angefochtenen Haftprüfungsentscheides war ein Haftentlassungsgesuch des Beschwerdeführers. Es kann offenbleiben, ob das im Verfahren vor Bundesgericht eingereichte Entschädigungsbegehren ein unzulässiges Novum (Art. 99 Abs. 2 BGG) darstellt. Jedenfalls hat der Beschwerdeführer diesbezüglich den gesetzlich vorgesehenen kantonalen Instanzenzug nicht durchlaufen (Art. 80 BGG) :
Materielle Entschädigungsansprüche für rechtswidrig angewendete Zwangsmassnahmen (Art. 431 StPO) oder für (nach einem Freispruch oder einer Einstellung) sich nachträglich als ungerechtfertigterweisende strafprozessuale Haft (Art. 429 Abs. 1 lit. c StPO) sind nicht im Haftprüfungs- bzw. Haftbeschwerdeverfahren selbst (hier: Art. 233 und Art. 222 StPO bzw. Art. 78 ff. BGG) zu beurteilen und zu bemessen. Haftprüfungsverfahren werden zeitlich vordringlich geführt (Art. 5 Abs. 2 StPO). Der Haftrichter hat so rasch als möglich über die Rechtmässigkeit des Freiheitsentzuges zu entscheiden (Art. 31 Abs. 4 BV; s.a. Art. 227 Abs. 3 und Abs. 5 bzw. Art. 228 Abs. 2-4 StPO). In der Regel ist es für den Haftrichter nicht möglich, innert den massgeblichen kurzen Haftprüfungsfristen auch noch (im gleichen Verfahren) allfällige materielle Entschädigungsansprüche zu beurteilen. Das Gesetz sieht daher separate Haftentschädigungsverfahren vor (Art. 429 f. bzw. Art. 431 StPO). Unter Art. 431 StPO fallen auch formell unrechtmässige Zwangsmassnahmen (vgl. Yvan Jeanneret/André Kuhn, Précis de procédure pénale, Bern 2013, Rz. 5071; Cédric Mizel/ Valentin Rétornaz, in: Commentaire romand CPP, Basel 2011, Art. 431 N. 3; Yvona Griesser, in: Zürcher Kommentar StPO, 2. Aufl. 2014, Art. 431 N. 3; Niklaus Schmid, Praxiskommentar StPO, 2. Aufl., Zürich 2013, Art. 431 N. 1; Stefan Wehrenberg/Friedrich Frank, in: Basler Kommentar StPO, 2. Aufl. 2014, Art. 431 N. 5).
Da unrechtmässige Haft (Art. 431 Abs. 2-3 StPO) an allfällige freiheitsentziehende Sanktionen angerechnet bzw. bei der Ausfällung und Bemessung der Sanktion mitberücksichtigt werden kann, sind entsprechende Entschädigungsansprüche dem jeweils erkennenden Straf- und Massnahmengericht vorzulegen. Dieses entscheidet darüber (wie bei Kostenentscheiden, Art. 421 Abs. 1 StPO) in seinem Endentscheid (Urteil des Bundesgerichtes 1B_351/2012 vom 20. September 2012 E. 2.3.2 = Pra 2012 Nr. 134 S. 964; PKG 2012 Nr. 16; Botschaft zur Vereinheitlichung des Strafprozessrechts, BBl 2006 1085 ff., 1325 Ziff. 2.10.1; vgl. Jean Crevoisier, in: Commentaire romand CPP, Basel 2011, Art. 421 N. 1; Thomas Domeisen, in: Basler Kommentar StPO, 2. Aufl. 2014, Art. 421 N. 2-3; Griesser, a.a.O., Art. 421 N. 1; Jeanneret/Kuhn, a.a.O., Rz. 5083; Niklaus Schmid, Handbuch des schweizerischen Strafprozessrechts, 2. Aufl., Zürich 2013, Rz. 1771, 1825; Wehrenberg/Frank, BSK StPO, Art. 431 N. 3b; altrechtlich s.a. <ref-ruling> E. 5f S. 404). Diese Regelung gilt auch für das selbstständige gerichtliche Nachverfahren (Schmid, Handbuch, Rz. 1771).
Eine Beurteilung von Haftentschädigungsansprüchen durch das erkennende Strafgericht drängt sich namentlich auch deshalb auf, weil regelmässig erst nach Vorliegen des Endentscheids beurteilt werden kann, ob ein Fall von rechtmässiger, aber sich nachträglich (infolge Freispruchs oder Einstellung) als ungerechtfertigterweisender Haft vorliegt (Art. 429 Abs. 1 lit. c StPO). Zudem hängt die Zusprechung bzw. Bemessung von Haftentschädigungen von diversen Faktoren ab, die der Haftprüfungsrichter meistens noch nicht kennen kann (vgl. Art. 430 bzw. Art. 431 Abs. 2-3 StPO).
Im vorliegenden Fall beansprucht der Beschwerdeführer Genugtuung für die im Nachverfahren erstandene formell unrechtmässige Sicherheitshaft (vgl. Art. 431 Abs. 2-3 StPO). Da die Sicherheitshaft im Nachverfahren bereits auf einer früheren rechtskräftigen Verurteilung basiert, fällt eine Entschädigung nach Art. 429 Abs. 1 lit. c StPO (infolge Freispruchs oder Einstellung) hier nicht in Betracht. Entschädigungsgesuche wegen unrechtmässiger Haft sind dem mit dem Nachverfahren befassten kantonalen Gericht vorzulegen (Art. 431 Abs. 1 i.V.m. Art. 421 Abs. 1 StPO). Für allfällige nachträgliche Entschädigungsgesuche (nach Rechtskraft des nachträglichen Massnahmenurteils vom 23. Juni 2017 des Obergerichts) wäre im Kanton Zürich das Gericht zuständig, welches das erstinstanzliche Urteil gefällt hat, hier somit das Bezirksgericht Zürich (Art. 363 Abs. 1 StPO, vgl. oben, E. 1.2). Beim Bundesgericht als Haftprüfungsinstanz handelt es sich demgegenüber nicht um das gesetzlich vorgesehene erstinstanzliche Haftentschädigungsgericht. Auf das Entschädigungsgesuch ist folglich nicht einzutreten (Art. 80 BGG).
8.
Die Beschwerde ist teilweise gutzuheissen, und es ist im Dispositiv des angefochtenen Entscheides festzustellen, dass die vom Beschwerdeführer zwischen dem 27. April und dem 12. Juni 2017 erstandene Sicherheitshaft formell unrechtmässig war. Im Übrigen ist die Beschwerde abzuweisen, soweit darauf eingetreten werden kann: Das Haftentlassungsgesuch ist abzuweisen; auf das Haftentschädigungsgesuch ist nicht einzutreten.
Es sind keine Gerichtskosten zu erheben (Art. 66 Abs. 1 und Abs. 4 BGG). Der anwaltlich vertretene Beschwerdeführer hat Anspruch auf eine angemessene (reduzierte) Parteientschädigung (Art. 68 BGG). Diese wird auf Fr. 2'000.-- (pauschal, inkl. MWST) festgesetzt. Gemäss dem Antrag des amtlichen Verteidigers ist ihm die Parteientschädigung direkt zuzusprechen. Das subsidiäre Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege wird damit hinfällig.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird teilweise gutgeheissen, und es wird im Dispositiv der angefochtenen Verfügung vom 12. Juni 2017 des Obergerichts des Kantons Zürich, III. Strafkammer, Präsident, festgestellt, dass die vom Beschwerdeführer zwischen dem 27. April und dem 12. Juni 2017 erstandene Sicherheitshaft (mangels gültigen Hafttitels) formell unrechtmässig war.
2.
Im Übrigen wird die Beschwerde abgewiesen, soweit auf sie einzutreten ist.
3.
Es werden keine Gerichtskosten erhoben.
4.
Der Kanton Zürich (Kasse des Obergerichtes) hat dem amtlichen Verteidiger (Rechtsanwalt Stephan Bernard) eine Entschädigung von Fr. 2'000.-- (pauschal, inkl. MWST) zu entrichten.
5.
Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten und dem Obergericht des Kantons Zürich, III. Strafkammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 28. Juli 2017
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Merkli
Der Gerichtsschreiber: Forster