Sachverhalt:
A.
A._ bezog Ergänzungsleistungen, als sie vom Kanton Zürich in den Kanton Thurgau zog. Die Geschäftsstelle für Zusatzleistungen, Gemeinde U._, stellte die Ergänzungsleistungen infolge des Wohnortswechsels auf den 30. September 2015 ein (Verfügung vom 2. September 2015). Die Ausgleichskasse des Kantons Thurgau (nachfolgend: Ausgleichskasse) sprach ihr mit Verfügungen vom 12. November und 21. Dezember 2015 eine (jährliche) Ergänzungsleistung im Betrag von monatlich Fr. 1'476.- ab 1. Oktober 2015 resp. Fr. 1'488.- ab 1. Januar 2016 zu. Mit Einspracheentscheid vom 16. Juni 2016 erhöhte sie den jeweiligen Betrag auf Fr. 1'478.- resp. Fr. 1'489.-.
B.
Die dagegen erhobene Beschwerde wies das Verwaltungsgericht des Kantons Thurgau mit Entscheid vom 28. September 2016 ab.
C.
A._ beantragt mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten sinngemäss eine höhere jährliche Ergänzungsleistung, und zwar bereits ab 1. September 2015. Ferner ersucht sie um unentgeltliche Rechtspflege.
Die Ausgleichskasse schliesst auf Abweisung der Beschwerde. Das Bundesamt für Sozialversicherungen (BSV) verzichtet auf eine Vernehmlassung.

Erwägungen:
1.
1.1. Die Beschwerdeführerin reicht neu ihre Abmeldung bei der Gemeinde U._ vom 1. September 2015 und das Schreiben der Ausgleichskasse des Kantons Zürich vom 4. November 2016 ein. Letztes ist als echtes Novum von vornherein unzulässig (vgl. <ref-law>; <ref-ruling> E. 3.2.2.2 S. 548). Was die Abmeldung anbelangt, so wird nicht dargelegt und ist auch nicht ersichtlich, weshalb sie nicht bereits in das vorinstanzliche Verfahren hätte eingebracht werden können (<ref-law>; Urteile 9C_121/2016 vom 27. April 2016 E. 2.2.1; 8C_690/2011 vom 16. Juli 2012 E. 1.3, nicht publ. in: <ref-ruling>, aber in: SVR 2012 FZ Nr. 3 S. 7); sie bleibt ebenfalls unbeachtet.
1.2. Mit der Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann unter anderem die Verletzung von Bundesrecht gerügt werden (<ref-law>). Die Feststellung des Sachverhalts kann nur gerügt werden, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von Art. 95 beruht und wenn die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein kann (<ref-law>). Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat. Es kann die Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz von Amtes wegen berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von Art. 95 beruht (Art. 105 Abs. 1 und 2 BGG).
1.3. Eine Sachverhaltsfeststellung ist nicht schon dann offensichtlich unrichtig, wenn sich Zweifel anmelden, sondern erst, wenn sie eindeutig und augenfällig unzutreffend ist (<ref-ruling> E. 3.1 S. 44). Eine offensichtlich unrichtige Sachverhaltsfeststellung weist damit die Tragweite von Willkür auf (<ref-ruling> E. 8.1 S. 153; Botschaft des Bundesrates vom 28. Februar 2001 zur Totalrevision der Bundesrechtspflege, BBl 2001 S. 4338; MARKUS SCHOTT, Basler Kommentar, Bundesgerichtsgesetz, 2. Aufl. 2011, N. 9 f. zu <ref-law>). Es liegt noch keine offensichtliche Unrichtigkeit vor, nur weil eine andere Lösung ebenfalls in Betracht fällt, selbst wenn diese als die plausiblere erschiene (Urteil 9C_570/2007 vom 5. März 2008 E. 4.2). Eine Sachverhaltsfeststellung ist etwa dann offensichtlich unrichtig, wenn das kantonale Gericht den Sinn und die Tragweite eines Beweismittels offensichtlich falsch eingeschätzt, ohne sachlichen Grund ein wichtiges und für den Ausgang des Verfahrens entscheidendes Beweismittel nicht beachtet oder aus den abgenommenen Beweisen unhaltbare Schlüsse gezogen hat (<ref-ruling> E. 2.1 S. 9; Urteile 9C_851/2012 vom 5. März 2013 E. 2.3.2; 8C_5/2010 vom 24. März 2010 E. 1.2).
2.
Die jährliche Ergänzungsleistung entspricht dem Betrag, um den die anerkannten Ausgaben die anrechenbaren Einnahmen übersteigen (Art. 9 Abs. 1 ELG [SR 831.30]). Was zu den anerkannten Ausgaben gezählt wird, ist in Art. 10 ELG geregelt, was zu den anrechenbaren Einnahmen in Art. 11 ELG.
3.
3.1. Die Vorinstanz hat festgestellt, dass die Verlegung des Wohnsitzes vom Kanton Zürich in den Kanton Thurgau am 1. September 2015 erfolgt sei. Sie hat auf Rz. 2130.02 der Wegleitung des BSV über die Ergänzungsleistungen zur AHV und IV (WEL) und auf die Verfügung der Geschäftsstelle für Zusatzleistungen, Gemeinde U._, vom 2. September 2015 verwiesen und die Ausgleichskasse des Kantons Thurgau erst ab 1. Oktober 2015 für leistungspflichtig gehalten.
3.2. Die Verlegung des Wohnsitzes in einen anderen Kanton - bei weiterhin gegebenen Anspruchsvoraussetzungen (E. 2; vgl. auch Art. 25 Abs. 1 ELV [SR 831.301]) - betrifft nicht den Beginn oder das Ende des (bundesrechtlichen) Anspruchs auf jährliche Ergänzungsleistung, wie sie in Art. 12 ELG geregelt sind. Vielmehr geht es um die Frage der örtlichen Zuständigkeit, während der Anspruch an sich grundsätzlich weiterbesteht. Nach Art. 21 Abs. 1 ELG ist der Kanton, in dem die Bezügerin oder der Bezüger Wohnsitz hat, für die Festsetzung und die Auszahlung der Ergänzungsleistung zuständig.
Die Kantone haben Vorkehren zu treffen, um Doppelzahlungen von jährlichen Ergänzungsleistungen durch einen oder mehrere Kantone zu verhindern. Der Bundesbeitrag wird für den gleichen Zeitraum jeweils nur für eine Ergänzungsleistung gewährt. Das Bundesamt kann überdies von den Kantonen Vorkehren zur Feststellung und Vermeidung von Doppelzahlungen verlangen (Art. 52 Abs. 1 ELV). Bei Wohnsitzwechsel der EL-beziehenden Person ist die Ergänzungsleistung einschliesslich des Pauschalbetrages für die obligatorische Krankenpflegeversicherung durch folgende Kantone auszurichten: a. durch den früheren Wohnsitzkanton bis zum Erlöschen des Anspruchs auf die monatlich auszurichtende Ergänzungsleistung im Wegzugskanton; b. durch den neuen Wohnsitzkanton ab Anspruchsbeginn auf die monatlich auszurichtende Ergänzungsleistung (Art. 54a Abs. 4 ELV).
3.3. Laut Rz. 2130.02 der WEL (zu deren Bedeutung vgl. <ref-ruling> E. 3.2.2.1 S. 547 f.; <ref-ruling> E. 5.2 S. 346; je mit Hinweisen) erlischt der Anspruch auf Ergänzungsleistungen im Wegzugskanton auf Ende des Monats des Wegzugs. Im Zuzugskanton entsteht der Anspruch grundsätzlich mit Beginn des folgenden Monats. Mit dieser Regelung wird nicht nur ein Doppelzahlungsrisiko, sondern auch eine Deckungslücke vermieden. Inwiefern sie gegen Art. 21 Abs. 1 ELG verstossen oder sonstwie nicht gesetzeskonform sein soll, wird nicht geltend gemacht und ist auch nicht ersichtlich.
3.4. Wird ein neuer Wohnsitz begründet, fällt der bisherige gleichzeitig - und nicht etwa am Vortag - dahin (Art. 24 Abs. 1 ZBG i.V.m. <ref-law> und Art. 1 ELG). Die Vorinstanz hat den Zeitpunkt des Wohnsitzwechsels am 1. September 2015 (E. 3.1) für das Bundesgericht verbindlich (E. 1.2) festgestellt. Damit hat das kantonale Gericht den Anspruchsbeginn im Kanton Thurgau zu Recht auf den 1. Oktober 2015 festgelegt. Anders als die Beschwerdeführerin annimmt, endete denn auch die Leistungspflicht im Kanton Zürich nicht Ende August, sondern erst Ende September 2015.
3.5. Die Frage, ob für höhere Mietkosten im September 2015 ein allfälliger Nachzahlungsanspruch im Kanton Zürich (d.h. gegenüber der Geschäftsstelle für Zusatzleistungen, Gemeinde U._) besteht, bildete nicht Gegenstand des angefochtenen Entscheids (vgl. <ref-ruling> E. 1 S. 414 f.). Darauf ist nicht weiter einzugehen.
4.
4.1. Weiter hat das kantonale Gericht festgestellt, dass der Mietzins gemäss geändertem Mietvertrag vom 20. resp. 30. Oktober 2015 (Fr. 791.-) eine Pauschale für die Möblierung der Wohnung, wie sie im ursprünglichen Mietvertrag vom 31. August 2015 ausgewiesen war, enthalte. In diesem ursprünglichen Vertrag sei der Punkt "Mietzinsvorbehalt" nicht ausgefüllt worden. Der neue Mietzins entspreche in etwa dem vorherigen zuzüglich der Pauschale von Fr. 250.- für die Möblierung. Es hat erwogen, dass nur der Mietzins der Wohnung, nicht aber die Kosten für deren Möblierung als Ausgaben im Sinne von Art. 10 Abs. 1 lit. b ELG anerkannt werden könnten. Dementsprechend hat es den von der Ausgleichskasse für die Wohnkosten berücksichtigten Betrag von monatlich Fr. 850.- (Mietzins Fr. 538.- und Nebenkosten Fr. 312.-) bestätigt.
4.2. Dass die vorinstanzlichen Feststellungen über den Inhalt des Mietvertrages vom 20. resp. 30. Oktober 2015 offensichtlich unrichtig (E. 1.3) sein oder auf einer Rechtsverletzung beruhen sollen, ist nicht ersichtlich und wird auch nicht substanziiert vorgebracht. Sie bleiben für das Bundesgericht verbindlich (E. 1.2).
Die Vorbringen der Beschwerdeführerin betreffend den Mietzinsvorbehalt - der im vorgedruckten Mietvertrag vom 31. August 2015 weder näher umschrieben noch begründet wurde - und die Angemessenheit des Mietzinses gemäss Vertrag vom 20. resp. 30. Oktober 2015 zielen ins Leere. Diesbezüglich beschränkt sich die Versicherte darauf, lediglich die Unterlagen abweichend von der Vorinstanz zu würdigen und daraus andere Schlüsse zu ziehen, was nicht genügt (Urteile 9C_794/2012 vom 4. März 2013 E. 4.1; 9C_65/2012 vom 28. Februar 2012 E. 4.3 mit Hinweisen). Nicht von Belang ist ebenfalls, ob die Vereinbarung vom 20. resp. 30. Oktober 2015 als "Mieterhöhung", Vertragsänderung oder neuer Vertrag nach Auflösung des Mietverhältnisses bezeichnet resp. betrachtet wird. Dass die Kosten für die Möblierung in die Ergänzungsleistungsberechnung einbezogen werden müssten, macht die Beschwerdeführerin zu Recht nicht geltend.
5.
5.1. Schliesslich hat die Vorinstanz - wie zuvor die Ausgleichskasse - von der Beschwerdeführerin geschuldete Sozialversicherungsbeiträge nicht als Ausgaben im Sinne von Art. 10 Abs. 3 lit. c ELG anerkannt.
Dagegen wehrt sich die Versicherte unter Berufung auf Rz. 3280.02 WEL und die "Zürcher Praxis". Aus den Beilagen zur Verfügung der Geschäftsstelle für Zusatzleistungen, Gemeinde U._, vom 2. September 2015 ergibt sich, dass diese die ausstehenden Sozialversicherungsbeiträge als Ausgaben anerkannte.
5.2. Nach Art. 10 Abs. 3 lit. c ELG werden insbesondere Beiträge an die Sozialversicherungen des Bundes (unter Ausschluss der Prämien für die Krankenversicherung, die im Rahmen von Art. 10 Abs. 3 lit. d ELG berücksichtigt werden) als Ausgaben anerkannt.
Laut Rz. 3280.02 WEL sind Nachzahlungen geschuldeter Beiträge zu berücksichtigen, sofern sie nicht bereits einmal vergütet wurden. Die Weisung erfolgte unter Hinweis auf ZAK 1982 S. 231, P 11/81. Mit diesem Urteil entschied das Eidg. Versicherungsgericht, dass die Nachzahlung geschuldeter Beiträge an die Sozialversicherungen des Bundes auch dann vom anrechenbaren Einkommen abziehbar ist, wenn es sich um ausstehende und nachzuzahlende AHV-Beiträge handelt (ZAK 1982 S. 231, P 11/81 E. 2).
5.3. Das Bundesgericht prüft die Frage nach dem Gehalt von Art. 10 Abs. 3 lit. c ELG als Rechtsfrage frei und von Amtes wegen (vgl. E. 1.2).
5.4. Dass Art. 10 Abs. 3 lit. c ELG die aktuellen Beiträge erfasst, ist unbestritten. Fraglich ist, ob die nachzuzahlenden Beiträge bei der Ergänzungsleistungsberechnung ab September 2015 als Ausgaben zu anerkennen sind. In concreto geht es um offene Beiträge für die Jahre 2013 und 2014. Anders als in ZAK 1982 S. 231, P 11/81, wurden die Beiträge im jeweiligen Beitragsjahr und nicht erst im (späteren) Jahr der Ergänzungsleistungsberechnung erstmals in Rechnung gestellt.
Es leuchtet nicht ein, weshalb eine Leistungsansprecherin vom Zahlungsverzug bei Sozialversicherungsbeiträgen profitieren können soll, indem dadurch die anerkannten Ausgaben erhöht werden. Anders ausgedrückt: Würde der Auffassung der Beschwerdeführerin gefolgt, könnte sie aus der Perpetuierung der Beitragsschulden finanzielle Vorteile erzielen, die der Gesetzgeber mit dem ELG nicht bezweckte (vgl. JÖHL/USINGER-EGGER, Ergänzungsleistungen zur AHV/IV, in: Soziale Sicherheit, SBVR Bd. XIV, 3. Aufl. 2016, S. 1703 f. Rz. 4 f.). Schon deshalb können unbezahlte Schulden nicht über mehrere Jahre als anerkannte Ausgaben gelten. Zudem sind die anrechenbaren Einnahmen und anerkannten Ausgaben für die Ergänzungsleistungsberechnung grundsätzlich periodengerecht zu berücksichtigen (vgl. Art. 23 ELV; vgl. auch JÖHL/USINGER-EGGER, a.a.O., S. 1788 Rz. 106, wonach Beitragsforderungen in dem Jahr anzurechnen sind, in dem sie in Rechnung gestellt werden). Die Weisung von Rz. 3280.02 WEL enthält denn auch den Vorbehalt, dass die Nachzahlungen nicht "bereits einmal vergütet" wurden. Er kann nur so verstanden werden, dass Beitragsschulden nur in einem Berechnungsjahr als Ausgaben angerechnet werden können.
Die Beschwerdeführerin macht insbesondere nicht geltend, dass die von ihr geschuldeten Sozialversicherungsbeiträge in den Ergänzungsleistungsberechnungen der Jahre 2013 resp. 2014 nicht berücksichtigt wurden resp. hätten berücksichtigt werden können. Nach dem Gesagten ist kein Grund ersichtlich, sie für den Anspruch der Jahre 2015 und 2016 nicht wie andere Schulden (die nur im Rahmen von Art. 11 Abs. 1 lit. c ELG Bedeutung erlangen können) zu behandeln. Die Beschwerde ist auch in diesem Punkt unbegründet.
6.
Dem Ausgang des Verfahrens entsprechend hat die Beschwerdeführerin grundsätzlich die Gerichtskosten zu tragen (<ref-law>). Ihrem Gesuch um unentgeltliche Prozessführung kann jedoch entsprochen werden (<ref-law>). Sie hat der Bundesgerichtskasse Ersatz zu leisten, wenn sie später dazu in der Lage ist (<ref-law>). Mangels anwaltlicher Vertretung besteht kein Anspruch auf Parteientschädigung im Rahmen einer unentgeltlichen Verbeiständung (vgl. <ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen.
2.
Der Beschwerdeführerin wird die unentgeltliche Rechtspflege im Sinne der vorläufigen Befreiung von den Gerichtskosten gewährt.
3.
Die Gerichtskosten von Fr. 500.- werden der Beschwerdeführerin auferlegt, indes vorläufig auf die Bundesgerichtskasse genommen.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien, dem Verwaltungsgericht des Kantons Thurgau und dem Bundesamt für Sozialversicherungen schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 21. Juni 2017
Im Namen der II. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Pfiffner
Die Gerichtsschreiberin: Dormann