Sachverhalt:
A.
A.a. A._ und C.B._ sind die unverheirateten Eltern von B.B._ (geb. 2011).
A.b. Mit Urteil vom 1. Februar 2013 verpflichtete das Bezirksgericht Uster A._, seinem Sohn, dem Kläger, monatliche indexierte Unterhaltsbeiträge (zuzüglich Kinderzulagen) wie folgt zu bezahlen:
- Fr. 1'115.-- ab 29. September 2011 bis 28. September 2013, danach
- Fr. 1'615.-- bis 28. September 2017, danach
- Fr. 1'775.-- bis 28. September 2023, danach
- Fr. 1'735.-- bis 28. September 2027 und danach
- Fr. 1'097.-- bis zur Volljährigkeit des Klägers.
Das Bezirksgericht erkannte, dass die Alimente über die Volljährigkeit hinaus bis zum ordentlichen Abschluss einer angemessenen Ausbildung des Kindes geschuldet und an dessen gesetzliche Vertreterin zahlbar sind, solange das Kind in ihrem Haushalt lebt und keine eigenen Ansprüche stellt bzw. keinen anderen Zahlungsempfänger bezeichnet.
A.c. Auf Berufung von A._ und Anschlussberufung von B.B._ hin setzte das Obergericht des Kantons Zürich die Alimente wie folgt fest, verbunden mit der erwähnten Anordnung betreffend die Unterhaltspflicht über die Volljährigkeit hinaus (Dispositiv-Ziffer 1.a des Urteils vom 2. März 2015) :
- Fr. 1'100.-- ab 29. September 2011 bis 28. September 2013;
- Fr. 2'100.-- ab 29. September 2013 bis 30. September 2014
und ab 1. Januar 2015 bis 28. September 2017;
- Fr. 1'595.-- ab 29. September 2017 bis 28. September 2023;
- Fr. 1'790.-- ab 29. September 2023 bis 28. September 2027;
- Fr. 1'000.-- ab 29. September 2027 bis zur Volljährigkeit des Klägers.
B.
B.a. Mit Beschwerde in Zivilsachen vom 27. April 2015 wendet sich A._ (Beschwerdeführer) an das Bundesgericht. Er beantragt, die Unterhaltsbeiträge wie folgt festzulegen:
- Fr. 1'100.-- ab 1. Juni 2012 bis 30. September 2014;
- Fr. 1'100.-- ab 1. Januar 2015 bis 30. September 2017;
- Fr. 1'265.-- ab 1. Oktober 2017 bis 30. September 2023;
- Fr. 1'020.-- ab 1. Oktober 2023 bis 30. September 2027;
- Fr. 1'000.-- ab 1. Oktober 2027 bis zur Volljährigkeit des
Beschwerdegegners.
Eventualiter fordert er, die Unterhaltsbeiträge wie folgt festzusetzen:
- Fr. 1'100.-- ab 1. Januar 2012 bis 30. September 2013;
- Fr. 2'044.-- ab 1. Oktober 2013 bis 30. April 2014;
- Fr. 1'100.-- ab 1. Mai 2014 bis 31. August 2014;
- Fr. 2'044.-- ab 1. September 2014 bis 30. September 2014;
- Fr. 2'044.-- ab 1. Januar 2015 bis 30. September 2017;
- Fr. 1'535.-- ab 1. Oktober 2017 bis 30. September 2023;
- Fr. 1'020.-- ab 1. Oktober 2023 bis 30. September 2027;
- Fr. 1'000.-- ab 1. Oktober 2027 bis zur Volljährigkeit des
Beschwerdegegners.
Ferner verlangt der Beschwerdeführer für das Verfahren vor dem Bundesgericht die unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung.
B.b. Zur Vernehmlassung eingeladen, beantragt B.B._ (Beschwerdegegner) in seiner ausführlichen, von seiner Beiständin verfassten Eingabe vom 8. Oktober 2015, die Beschwerde vollumfänglich abzuweisen. Eventualiter verlangt er Anpassungen bei den Kosten der Kindsmutter, wenn diese gezwungen sein sollte, ihren Beschäftigungsgrad früher zu erhöhen, als das Obergericht dies von ihr verlangt. Schliesslich ersucht der Beschwerdegegner um unentgeltliche Rechtspflege. Das Obergericht erklärte, auf eine Vernehmlassung zu verzichten (Schreiben vom 23. September 2015). Die Eingaben wurden dem Beschwerdeführer zur Wahrung des rechtlichen Gehörs zur Kenntnis gebracht.
B.c. Das Bundesgericht hat die ihm unterbreiteten Rechtsfragen am 3. März 2016 öffentlich beraten (Art. 58 Abs. 1 Bst. b BGG).

Erwägungen:
1.
Die Beschwerde richtet sich gegen den Endentscheid (<ref-law>) einer letzten kantonalen Instanz (<ref-law>), der den Kindesunterhalt, mithin eine vermögensrechtliche Zivilsache (<ref-law>) zum Gegenstand hat. Die gesetzliche Streitwertgrenze (Art. 74 Abs. 1 Bst. b BGG) ist erreicht und der Beschwerdeführer ist zur Beschwerde legitimiert (<ref-law>). Auf die rechtzeitig (Art. 100 Abs. 1 i.V.m. <ref-law>) eingereichte Beschwerde ist demnach grundsätzlich einzutreten.
2.
Mit der Beschwerde in Zivilsachen können Rechtsverletzungen gemäss Art. 95 f. BGG geltend gemacht werden. Das Bundesgericht wendet das Recht grundsätzlich von Amtes wegen an (<ref-law>) und prüft mit freier Kognition, ob der angefochtene Entscheid Recht verletzt. Es befasst sich aber nur mit formell ausreichend begründeten Einwänden (<ref-law>; <ref-ruling> E. 1.1 S. 104 f.). Soweit die Festsetzung von Unterhalt in Frage steht, ist zu beachten, dass der Sachrichter in verschiedener Hinsicht auf sein Ermessen verwiesen ist (<ref-law>; <ref-ruling> E. 3a S. 141). Bei der Überprüfung solcher Entscheide auferlegt sich das Bundesgericht Zurückhaltung. Es schreitet nur ein, wenn die kantonale Instanz grundlos von in Lehre und Rechtsprechung anerkannten Grundsätzen abgewichen ist, wenn sie Gesichtspunkte berücksichtigt hat, die keine Rolle hätten spielen dürfen, oder wenn sie umgekehrt rechtserhebliche Umstände ausser Acht gelassen hat. Aufzuheben und zu korrigieren sind ausserdem Ermessensentscheide, die sich als im Ergebnis offensichtlich unbillig, als in stossender Weise ungerecht erweisen (<ref-ruling> E. 2c/aa S. 162; <ref-ruling> E. 4.2 S. 15; <ref-ruling> E. 1 S. 99). Was den Sachverhalt angeht, legt das Bundesgericht seinem Urteil die vorinstanzlichen Feststellungen zugrunde (<ref-law>). Diesbezüglich kann die rechtsuchende Partei nur vorbringen, die vorinstanzlichen Feststellungen seien offensichtlich unrichtig (<ref-law>), das heisst willkürlich (vgl. <ref-ruling> E. 4.3 S. 62; <ref-ruling> E. 1.2.2 S. 252), oder würden auf einer anderen Rechtsverletzung im Sinn von <ref-law> (z.B. <ref-law> oder <ref-law>) beruhen (Urteil 5A_374/2010 vom 9. Juli 2010 E. 1). In der Beschwerde ist überdies darzutun, inwiefern die Behebung der gerügten Mängel für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein kann (<ref-law>; <ref-ruling> E. 2.2.2 S. 22).
3.
3.1. Der Beschwerdeführer macht geltend, dass er und seine Eltern immer wieder angeboten hätten, sich an der Betreuung des Beschwerdegegners zu beteiligen, zum einen, weil sie sich dies aus persönlichen Gründen gewünscht hätten, und zum andern, um die Kindsmutter zu entlasten. Leider habe die Mutter aber bisher jeden Kontakt des Kindes zu seinem Vater bzw. zu den Grosseltern väterlicherseits kategorisch abgelehnt. Aus den vorinstanzlichen Akten sei ersichtlich, dass die Mutter nicht einmal ein minimales Besuchsrecht ermöglicht habe. Der Beschwerdeführer hält es für widersprüchlich, einerseits die persönliche Betreuung durch den Vater abzulehnen und anderseits die hohle Hand für die daraus resultierenden Mehrkosten zu machen.
3.2. Der Vorwurf ist unbegründet. Der Unterhaltsanspruch des minderjährigen Kindes hängt nicht vom Recht auf persönlichen Verkehr ab und untersteht auch sonst keiner Bedingung (zum Ganzen: Urteil 5A_618/2011 vom 12. Dezember 2011 E. 3.2 mit Hinweisen). Dem angefochtenen Entscheid lässt sich nicht entnehmen, weshalb die Mutter den Kontakt des Beschwerdeführers und seiner Eltern zum Beschwerdegegner ablehnt. Der Beschwerdeführer macht nicht geltend, dass die Vorinstanz deswegen Bundesrecht verletzt hat.
4.
In der Unterhaltsberechnung ist streitig, ob im Bedarf des Beschwerdegegners Kosten für die Fremdbetreuung zu berücksichtigen sind, die infolge der Erwerbstätigkeit der Mutter anfallen.
4.1. Das Obergericht ermittelt den Bedarf des Beschwerdegegners anhand der "Empfehlungen zur Bemessung von Unterhaltsbeiträgen für Kinder" des Amtes für Jugend und Berufsberatung des Kantons Zürich ("Zürcher Tabellen"). Es stellt fest, dass in den Beträgen gemäss diesen Tabellen die Kosten für Fremdbetreuung nicht enthalten sind, und verweist auf die "Erläuterungen", wonach diese Kosten im Rahmen der konkreten Pflegeplatzkosten zum Kindesbedarf hinzuzuzählen seien, und auf Lehrmeinungen, die sich im selben Sinne äussern würden. Weiter erklärt das Obergericht, dass die Eltern eines Kindes gleichermassen an dessen Existenz beteiligt seien, weshalb sie auch beide die Lasten respektive Einschränkungen, die ein Kind mit sich bringt, zu tragen hätten. Diese Pflicht sei auch in <ref-law> verankert, wobei eine Subsumtion der Fremdbetreuungskosten unter die Kosten der Erziehung im weitesten Sinne durchaus gerechtfertigt erscheine. Ebenso wenig könne es angehen, dass die Kindsmutter lediglich dann einer Erwerbstätigkeit nachgehen kann, wenn dadurch sowohl Notbedarf als auch Fremdbetreuungskosten gedeckt sind, während der Kindsvater uneingeschränkt erwerbstätig sein soll. Denn es liege im beiderseitigen Interesse, dass sowohl der Vater als auch die Mutter zur Deckung der Lebenskosten beitragen. Gestützt auf diese Überlegungen hält es das Obergericht für gerechtfertigt, die Kosten der Fremdbetreuung des Beschwerdegegners in dessen Bedarf einzurechnen. In der Folge legt das Obergericht die Kosten fest, die ihm für die Fremdbetreuung des Beschwerdegegners in verschiedenen Zeitabschnitten zwischen Oktober 2013 und August 2027 als angemessen erscheinen. Um die Festsetzung der Unterhaltsrenten überschaubar zu halten, rechnet es diese Beträge im Durchschnitt auf die Phasen der "Zürcher Tabellen" um. Dem angefochtenen Entscheid zufolge entfallen auf die Zeit vom 3. bis 6. Altersjahr Fremdbetreuungskosten von durchschnittlich Fr. 1'000.-- pro Monat. Für die Phase vom 7. bis zum 12. Altersjahr berücksichtigt das Obergericht monatlich Fr. 330.-- und vom 13. bis 16. Altersjahr rund Fr. 270.--.
4.2. Der Beschwerdeführer stellt sich auf den Standpunkt, die "Zürcher Tabelle" samt Empfehlungen sei keine rechtlich verbindliche und demokratisch legitimierte generell-abstrakte Norm, sondern bringe lediglich statistische Erfahrungszahlen zum Ausdruck. Auch die Literatur, die der angefochtene Entscheid zitiere, sei mitsamt der dort verwiesenen Rechtsprechung nicht einschlägig, weil sie sich auf die Berücksichtigung von Fremdbetreuungskosten in Scheidungsverfahren beziehe. Für den Beschwerdeführer führt der angefochtene Entscheid zur paradoxen Situation, dass er höhere Unterhaltsbeiträge bezahlen muss, wenn die Kindsmutter erwerbstätig ist, als wenn sie den Beschwerdegegner selbst betreut. Die "Einschränkungen zufolge von Fremdbetreuungskosten", an denen sich laut Vorinstanz beide Eltern beteiligen müssen, entstünden erst, wenn sich die Kindsmutter für eine Erwerbsarbeit und für eine Fremdbetreuung entscheide. Folglich liege die Ausgabe im Bedarf der Mutter begründet. Bei verheirateten bzw. geschiedenen Eltern rechtfertige sich eine Berücksichtigung der Fremdbetreuungskosten im Bedarf des Kindes, weil sich mit der Erwerbstätigkeit der Mutter und (Ex-) Frau auch die Höhe der Frauenalimente reduziere. Sind die Eltern - wie im hier zu beurteilenden Fall - hingegen nicht verheiratet, habe die Mutter gegenüber dem Vater keinen persönlichen Anspruch auf Unterhalt. Es sei demnach ihre Sache, wie sie ihren eigenen Bedarf decke. Fallen die Fremdbetreuungskosten an, weil der obhutsberechtigte Elternteil zur Bestreitung seines eigenen Lebensunterhalts einer Erwerbstätigkeit nachgeht, so seien diese Kosten nicht zum Bedarf des Kindes zu rechnen, sondern wie andere Gewinnungskosten zum Bedarf des betreffenden Elternteils. Zum Bedarf des Kindes seien Fremdbetreuungskosten nur dann zu zählen, wenn die Eltern das Kind aus einem bei ihm liegenden Grund nicht selbst betreuen können. Dieser Ausnahmefall liege hier aber nicht vor.
Nach der Meinung des Beschwerdeführers muss diese Rechtslage vor allem dann gelten, wenn der obhutsberechtigte Elternteil trotz der Fremdbetreuung des Kindes erheblich weniger verdient als der unterhaltspflichtige Elternteil, so dass dieser - nach dem System der Zürcher Richtlinien - überproportional für die Kosten der Fremdbetreuung aufkommen müsste. Im vorliegenden Fall vermöge die Mutter des Beschwerdegegners während bestimmter Zeitabschnitte trotz Erwerbstätigkeit und Fremdbetreuung nicht einmal ihr eigenes Existenzminimum zu decken. Der Beschwerdeführer fürchtet, ohne rechtliche Grundlage einen "verkappten Unterhaltsbeitrag an die Kindsmutter" bezahlen zu müssen, falls er sich unter solchen Umständen an den Fremdbetreuungskosten des Beschwerdegegners zu beteiligen hätte. Schliesslich erinnert der Beschwerdeführer daran, dass die "Zürcher Tabellen" bei fehlender Leistungsfähigkeit des Obhutsinhabers davon ausgingen, dass dieser für die Betreuung sorge und der andere Elternteil für den Barbedarf aufkomme. Auf welche Art und Weise der obhutsberechtigte Elternteil die Betreuung des Kindes organisiert, sei seine Sache und habe keine Auswirkungen auf den Unterhaltsbeitrag. Aus diesen Gründen seien die Fremdbetreuungskosten im Bedarf der Mutter und nicht des Beschwerdegegners zu berücksichtigen. Die gegenteilige Ansicht der Vorinstanz verletze <ref-law>. Verletzt sei auch <ref-law>, weil die Fremdbetreuungskosten den Erziehungskosten zugeordnet würden. Der Vorwurf trifft zu, wie die nachfolgenden Erwägungen zeigen.
4.3.
4.3.1. Nach <ref-law> haben die Eltern für den Unterhalt des Kindes aufzukommen, inbegriffen die Kosten von Erziehung, Ausbildung und Kindesschutzmassnahmen. Der Unterhalt wird durch Pflege und Erziehung oder, wenn das Kind nicht unter der Obhut der Eltern steht, durch Geldzahlung geleistet (<ref-law>). Eine Rangordnung unter diesen verschiedenen Arten der Unterhaltsleistung besteht nicht. Insbesondere ist nicht ausgeschlossen, dass ein Elternteil je nach den konkreten Umständen sowohl Natural- als auch Geldunterhalt schuldet (vgl. Urteil 5A_309/2012 vom 19. Oktober 2012 E. 3.4). Für den Fall, dass die Eltern nie verheiratet waren, hat das Bundesgericht klargestellt, dass der obhutsberechtigte Elternteil, der seine Unterhaltsleistung nicht durch Pflege und Erziehung erbringt und das Kind stattdessen Dritten zur Betreuung überlässt, für die daraus entstehenden Kosten aufkommen muss, seine Unterhaltspflicht also ebenfalls durch Geldzahlung zu erfüllen hat (<ref-ruling> E. 3.3.2 S. 692; Urteil 5A_775/2011 vom 8. März 2012 E. 2.2). Anders zu entscheiden hiesse im Falle nie verheiratet gewesener Eltern, den nicht obhutsberechtigten Elternteil, der seine Unterhaltspflicht in Geldform leistet, doppelt zu belasten. Müsste der obhutsberechtigte Elternteil die Fremdbetreuungskosten nicht selbst übernehmen, weil sie im Bedarf des Kindes berücksichtigt werden, so würde dieser Elternteil selbst an den Unterhaltszahlungen für das Kind partizipieren, da er in diesem Umfang weder Unterhalt durch Pflege und Erziehung noch einen finanziellen Beitrag leistet (vgl. Urteil 5A_775/2011 vom 8. März 2012 a.a.O.). Auf diese Weise würde dem obhutsberechtigten Elternteil indirekt eine Unterhaltsleistung des andern Elternteils verschafft. Dafür fehlt es nach geltendem Recht an einer gesetzlichen Grundlage. Das Bundesgericht hat denn auch klargestellt, dass der Gesetzgeber die Frage zu beantworten hat, ob ein Elternteil unabhängig vom Zivilstand Anspruch auf Betreuungsunterhalt hat (<ref-ruling> a.a.O.). Ob die Rechtslage allenfalls anders zu beurteilen wäre, falls der nicht obhutsberechtigte Elternteil in sehr guten wirtschaftlichen Verhältnissen lebt (vgl. Urteil 5A_775/2011 vom 8. März 2012 E. 2.2.1), braucht hier nicht erörtert zu werden, denn solche Umstände sind weder behauptet noch ersichtlich.
4.3.2. Indem das Obergericht die Ausgaben, die der Kindsmutter für die Fremdbetreuung des Beschwerdegegners entstehen, unter die "Kosten der Erziehung im weitesten Sinne" subsumiert und im Bedarf des Kindes berücksichtigt, setzt es sich über die beschriebene Rechtslage hinweg. Es berücksichtigt bei der Unterhaltsbemessung also einen Gesichtspunkt, der keine Rolle hätte spielen dürfen, und übt das Ermessen, das ihm bei der Festsetzung der Kinderalimente zusteht, in bundesrechtswidriger Weise aus (s. E. 2). Vergeblich klammert sich der Beschwerdegegner an das Argument des Obergerichts, wonach beide Eltern gleichermassen an der Existenz des Kindes beteiligt sind und deshalb auch in gleicher Weise die Fremdbetreuungskosten zu verantworten haben, die dadurch anfallen, dass die Mutter einer Erwerbstätigkeit nachgeht, um ihr Existenzminimum zu bestreiten (vgl. E. 4.1). Nach dem derzeit geltenden Recht muss der Beschwerdeführer als (unterhaltspflichtiger) Vater, der mit der Kindsmutter nie verheiratet war, gerade nicht dafür einstehen, dass die Mutter "primär die Deckung ihres eigenen Existenzminimums" für sich in Anspruch nimmt.
4.3.3. In Frage steht nicht die Gleichbehandlung beider Elternteile bei der Versorgung ihrer Kinder, sondern allenfalls die Forderung, dass ein Kind unverheirateter Eltern im Ergebnis nicht anders behandelt werden soll als ein Kind verheirateter oder geschiedener Eltern. Unter anderem diese Überlegung liegt der bevorstehenden Änderung des Zivilgesetzbuches zugrunde (Botschaft zu einer Änderung des Schweizerischen Zivilgesetzbuches [Kindesunterhalt] vom 29. November 2013, BBl 2014 540 f.). Der neue <ref-law> stellt klar, dass der Unterhaltsbeitrag für das Kind auch der Betreuung des Kindes durch die Eltern oder Dritte dient (Änderung vom 20. März 2015, AS 2015 4300). Der Beschwerdegegner wirft die Frage auf, ob dieser Gesetzesnovelle, die am 1. Januar 2017 in Kraft tritt (AS 2015 4304), "nicht bereits eine gewisse Vorwirkung zukommt". Die Frage ist zu verneinen. Vorarbeiten zu Gesetzen, die im Zeitpunkt des richterlichen Urteils noch nicht in Kraft sind, dürfen bei der Auslegung berücksichtigt werden, wenn der Gesetzgeber das geltende System nicht grundsätzlich ändert und nur eine Konkretisierung des bestehenden Rechtszustandes anstrebt oder Lücken des geltenden Rechts ausfüllen will (<ref-ruling> E. 5.5.3 S. 305 f.; <ref-ruling> E. 2a S. 404; <ref-ruling> E. 5d S. 201). Wie die vorigen Erwägungen zeigen, sind diese Voraussetzungen hier gerade nicht erfüllt (vgl. Botschaft, a.a.O., S. 575 ff.).
4.3.4. Schliesslich drängt es sich im konkreten Fall auch nicht auf, den angefochtenen Entscheid angesichts der bevorstehenden Gesetzesänderung nur hinsichtlich derjenigen Kinderalimente aufzuheben, die bis zum 31. Dezember 2016 geschuldet sind. Zwar kann das Kind verlangen, dass Unterhaltsbeiträge, die vor dem Inkrafttreten der Änderung vom 20. März 2015 festgelegt worden sind, neu festgelegt werden (nArt. 13c SchlT ZGB; AS 2015 4303). Nachdem im heutigen Zeitpunkt aber ungewiss ist, wie die kantonalen Instanzen den Unterhaltsbeitrag unter dem neuen Recht berechnen werden, erscheint es nicht sinnvoll, die Unterhaltsbeiträge stehen zu lassen, die das Obergericht für die Zeit ab dem 1. Januar 2017 festsetzt.
4.3.5. Nach dem Gesagten erweist sich die Beschwerde also als begründet. Das Obergericht wird neu entscheiden müssen, ohne dabei im Unterhaltsbeitrag, den der Beschwerdeführer dem Beschwerdegegner schuldet, Fremdbetreuungskosten zu berücksichtigen.
5.
Die Auseinandersetzung dreht sich auch um die Frage, von welchem Zeitpunkt an der Kindsmutter zugemutet werden kann, wieder zu hundert Prozent einer Erwerbstätigkeit nachzugehen.
5.1. Das Obergericht stellt fest, dass die Kindsmutter seit 1. Oktober 2013 eine Erwerbstätigkeit mit einem Pensum von fünfzig Prozent ausübt. Den vorinstanzlichen Erkenntnissen zufolge ist ihr für eine Vollzeittätigkeit ein monatliches Einkommen von Fr. 4'200.-- (netto) bzw. Fr. 5'000.-- (brutto) anzurechnen. In zeitlicher Hinsicht ist das Obergericht der Auffassung, dass der Mutter des Beschwerdegegners die Aufnahme einer vollzeitlichen Erwerbstätigkeit zugemutet werden kann, sobald der Beschwerdegegner sein 16. Altersjahr vollendet. Zwar sei dem Beschwerdeführer darin beizupflichten, dass die "10/16"-Regel auch im Scheidungsrecht nicht strikte Anwendung findet und stets auf die Verhältnisse des Einzelfalls Rücksicht zu nehmen ist. Vorliegend erscheine mit Blick auf das Kindeswohl ein volles Arbeitspensum der Kindsmutter vor Vollendung des 16. Altersjahrs nicht sachgerecht, treffe es doch gerade nicht zu, dass von klein auf teilweise fremdbetreute Kinder die Ausdehnung der Fremdbetreuung per se besser verkraften. Da der Beschwerdegegner innerfamiliär einzig die Mutter als Bezugsperson habe, erscheine ihre Anwesenheit auch beim etwas älteren Beschwerdegegner erforderlich. Gestützt auf diese Erwägungen und unter Berücksichtigung eines monatlichen Bedarfs von Fr. 2'787.20 kommt das Obergericht zum Schluss, dass die Mutter in der Zeit vom 29. September 2027 bis zum 28. September 2029 eine monatliche Leistungsfähigkeit von rund Fr. 1'410.-- aufweise. Aus dem Verhältnis zwischen dem mutmasslichen Bruttoeinkommen des Beschwerdeführers und demjenigen der Mutter (zuzüglich eines Beitrages für Pflege und Erziehung von Fr. 330.--) ergibt sich für das Obergericht, in welchem Umfang jeder Elternteil für den dannzumaligen Bedarf des Beschwerdegegners von Fr. 1'850.-- aufkommen muss. Auf die Kindsmutter entfielen demnach Fr. 850.--, wovon sie Pflege und Erziehung im Wert von Fr. 330.-- in natura erbringen werde.
5.2. Der Beschwerdeführer meint, die Kindsmutter könne bereits vom 13. Altersjahr des Beschwerdegegners an einer vollzeitlichen Erwerbstätigkeit nachgehen; eventualiter seien ihr zwischen dem 12. und 16. Altersjahr Pensen zwischen fünfzig und hundert Prozent anzurechnen. Er argumentiert mit der uneinheitlichen "Praxis" der Kindes- und Erwachsenenschutzbehörden und beruft sich auf die "Tendenz", die im Scheidungsrecht bekannten Altersgrenzen von 10 bzw. 16 Jahren für die Aufnahme einer 50%- bzw. 100%-Stelle nicht auf Kinder unverheirateter Eltern zu übertragen. Von unverheirateten Müttern werde erwartet, dass sie zu hundert Prozent erwerbstätig sind, sobald das Kind 12 Jahre alt wird. Nachdem der Beschwerdegegner anerkenne, dass die Kindsmutter von seinem 2. Altersjahr an zu fünfzig Prozent arbeiten müsse, wende auch er die "10/16"-Regel nicht an. Als weitere Gründe führt der Beschwerdeführer namentlich ins Feld, dass die erwähnte Altersgrenze nur für die Befristung des nachehelichen Unterhalts nach <ref-law>, nicht aber für den Kindesunterhalt eine Rolle spiele. Bei einer Scheidung sei der "Hausgatte" in seinem Vertrauen auf den Fortbestand der lebensprägenden Ehe zu schützen. Die Lebensprägung beruhe unter anderem darauf, dass sich die Eheleute für eine Familie mit Kindern entschieden hätten, und fehle, wenn ein aussereheliches Kind beispielsweise nach einer flüchtigen Bekanntschaft entstehe. Der Beschwerdeführer beteuert in diesem Zusammenhang, weder im Zeitpunkt der Zeugung des Beschwerdegegners noch nachher mit der Kindsmutter zusammengelebt zu haben, und bestreitet, dass die Zeugung des Kindes einem gemeinsamen Lebensplan entsprochen habe. Um den Kindesunterhalt zu sichern, seien bei knappen finanziellen Verhältnissen auch im Falle einer Scheidung beide Eltern gehalten, ihre Leistungsfähigkeit so früh wie möglich bis zu hundert Prozent auszuschöpfen. Sogar im Scheidungsrecht betone das Bundesgericht, dass dem konkreten Einzelfall Rechnung zu tragen und die Altersgrenze daher nicht starr anzuwenden sei. Mit Blick auf den konkreten Fall erinnert der Beschwerdeführer daran, dass sein Sohn bereits seit frühester Kindheit an die Fremdbetreuung gewohnt sei. Deshalb sei eine Ausdehnung der Fremdbetreuung ab dem 12. Altersjahr leicht zu verkraften und folglich zumutbar. Nachdem sich die Kindsmutter schon seit dem 2. Geburtstag des Beschwerdegegners mit einem 50%-Pensum eingerichtet habe, sei es "wenig wahrscheinlich", dass sie ihr Arbeitspensum nicht nach und nach erhöhen könne, sondern es erst vierzehn Jahre später steigern und auf einen Schlag verdoppeln werde. "Lebensnaher" sei wohl, dass die Kindsmutter ihr Pensum schrittweise von fünfzig auf hundert Prozent steigern werde. Im Ergebnis hält der Beschwerdeführer es für angemessen, so zu rechnen, wie wenn die Kindsmutter bis zum 12. Altersjahr des Beschwerdegegners zu fünfzig Prozent und danach zu hundert Prozent arbeite.
5.3. Die Befürchtung des Beschwerdeführers, das Obergericht ermittle aus den resümierten Gründen die Leistungsfähigkeit der Kindsmutter falsch und verletze deshalb <ref-law>, ist unbegründet. Das Gesetz schweigt sich darüber aus, ob und gegebenenfalls unter welchen Voraussetzungen bei unverheirateten Eltern auch der obhutsberechtigte Elternteil zur Leistung von Barunterhalt verpflichtet werden kann und ob ihm in diesem Zusammenhang allenfalls auch ein hypothetisches Einkommen anzurechnen ist. Im vorliegenden Fall orientiert sich das Obergericht an der Rechtsprechung, wonach auch unter heutigen gesellschaftlichen Verhältnissen dem betreuenden Elternteil die (Wieder-) Aufnahme einer Erwerbstätigkeit im Umfang von 50 % erst zumutbar ist, wenn das jüngste Kind 10-jährig ist, und zu 100 % erst dann, wenn das jüngste Kind das 16. Altersjahr erreicht hat (<ref-ruling> E. 4.2.2.2 S. 109). Diese Rechtsprechung ist zwar im Zusammenhang mit dem nachehelichen Unterhalt gemäss <ref-law> ergangen. Entgegen dem, was der Beschwerdeführer glauben machen will, findet die beschriebene "10/16"-Regel ihre sachliche Rechtfertigung aber nicht im Schutz des Vertrauens des "Hausgatten" auf den Fortbestand seiner lebensprägenden Ehe. Vielmehr fusst sie auf der Überlegung, dass die unmittelbare persönliche Betreuung und Pflege auch bereits im obligatorischen Schulalter stehender Kinder deren Interesse diene (BGE a.a.O.). Der Einwand, dass die "10/16"-Regel nur für die Befristung des nachehelichen Unterhalts nach <ref-law> gelten und hier nicht Platz greifen könne, geht deshalb an der Sache vorbei. Wurzelt die "10/16"-Regel von der Sache her im Kindeswohl, so fällt auch der weitere Vorwurf des Beschwerdeführers in sich zusammen, wonach die Vorinstanz das Gleichbehandlungsgebot (<ref-law>) verletze, weil sie ausser Acht lasse, dass ein in einer Ehe gezeugtes Kind einem anderen Lebensplan entspricht als ein in einer Silvesternacht gezeugtes Kind von Eltern, die damals und danach nicht miteinander zusammenlebten und auch keine Familie gründen wollten. Um eine bundesrechtswidrige Ermessensausübung (s. E. 2) zu begründen, genügt es im Übrigen auch nicht, wenn der Beschwerdeführer dem angefochtenen Entscheid vage Mutmassungen über die angebliche Praxis nicht näher bezeichneter Kindes- und Erwachsenenschutzbehörden gegenüberstellt. Ebenso wenig taugt dazu der Hinweis, dass die Kindsmutter im konkreten Fall bereits vor dem 10. Altersjahr des Beschwerdegegners wieder gearbeitet hat. Der Beschwerdeführer äussert sich nicht dazu, weshalb sich die vorinstanzliche Einschätzung, wonach der Beschwerdegegner innerhalb der Familie einzig die Mutter als Bezugsperson habe und deshalb auch im fortgeschrittenen Kindesalter auf deren Anwesenheit angewiesen sei, als offensichtlich unbillig und in stossender Weise ungerecht erweist.
5.4. Nach dem Gesagten bleibt es bei der vorinstanzlichen Erkenntnis, dass der Kindsmutter ein vollzeitliches Arbeitspensum erst zugemutet werden kann, wenn der Beschwerdegegner das 16. Altersjahr vollendet hat, und dass sie vor diesem Zeitpunkt nicht wirtschaftlich leistungsfähig ist. Angesichts dessen braucht das Bundesgericht nicht auf die Vorbringen des Beschwerdeführers einzugehen, in welchem Verhältnis die Eltern in der Phase vom 13. bis zum 16. Altersjahr des Beschwerdegegners für dessen Unterhalt aufkommen müssen.
6.
Umstritten ist weiter, ob der Beschwerdeführer dem Beschwerdegegner vom Zeitpunkt der Geburt (xx.xx.2011) bis zum 31. Mai 2012 Unterhalt schuldet.
6.1. Die Vorinstanz geht für diesen Zeitraum von einem monatlichen Nettoeinkommen von Fr. 6'077.-- und von einem Bedarf des Beschwerdeführers von Fr. 3'147.60 aus. Daraus resultiert eine gerundete Leistungsfähigkeit des Beschwerdeführers von Fr. 2'929.--.
6.2. Der Beschwerdeführer bestreitet diese Zahlen im Grundsatz nicht. Er macht aber geltend, dass er seine Vaterschaft vorerst in guten Treuen bestritten habe. Erst das Vaterschaftsgutachten habe Klarheit geschaffen. Dieses sei mit Kurzbrief vom 30. April 2012 an die Parteivertreter versandt worden. Damit hätte er erst im Mai 2012 dem Betreibungsamt beantragen können, einen Unterhaltsbeitrag beim Existenzminimum zu berücksichtigen und die Lohnpfändung gestützt auf <ref-law> entsprechend anzupassen. Mit Glück hätte es vielleicht zeitlich gereicht, dass diese Anpassung schon im Mai 2012 erfolgt wäre, so dass er die Alimente erstmals Ende Mai 2012 für den Juni 2012 hätte zahlen können. Für die Zeit vor der Bekanntgabe des Vaterschaftsgutachtens wäre es aussichtlos gewesen, die Lohnpfändung um die Höhe der Unterhaltsbeiträge herabzusetzen. Er hätte sich vom Betreibungsamt geradezu widersprüchliches Verhalten vorwerfen lassen müssen, wenn er gegenüber dem Bezirksgericht Uster die Vaterschaft bestritten, sich aber im Betreibungsverfahren auf eben diese Vaterschaft berufen hätte. Das Obergericht habe <ref-law>, <ref-law> und <ref-law> verletzt.
6.3. Wie schon die Vorinstanz zutreffend erkennt, vermengt der Beschwerdeführer Fragen des Erkenntnisverfahrens mit solchen der Zwangsvollstreckung. Bei der Festsetzung der Unterhaltspflicht musste das Obergericht nicht berücksichtigen, dass gegen den Beschwerdeführer in der fraglichen Periode Lohnpfändungen liefen. Sie durfte davon ausgehen, dass die Unterhaltsforderung des Beschwerdegegners gegenüber den Forderungen anderer Gläubiger Priorität geniessen würde. Dies ergibt sich daraus, dass sich der Umfang, in welchem das Einkommen gepfändet werden kann, nicht nur am Bedarf des Schuldners, sondern auch an jenem seiner Familie misst (<ref-law>). Der Grundsatz, dass bei der Festsetzung von Unterhaltsleistungen das Existenzminimum des Unterhaltsschuldners zu wahren ist (<ref-ruling> E. 2-10 S. 67 ff.), ist deshalb nicht verletzt. Daran ändert nichts, dass der Beschwerdeführer erst im Mai 2012 von seiner Vaterschaft erfuhr. Nach <ref-law> kann das Kind für die Zukunft und für ein Jahr vor Klageerhebung auf Unterhalt klagen. Dieses Recht hängt nicht davon ab, in welchem Zeitpunkt der beklagte Mann von seiner Vaterschaft erfährt. Nichts anderes ergibt sich aus der Rechtsprechung, wonach die Unterhaltspflicht des Registervaters nach erfolgreicher Anfechtung der Vaterschaft rückwirkend auf den Zeitpunkt ihrer Entstehung entfällt, während das rechtliche Kindesverhältnis zum anerkennenden leiblichen Vater rückwirkend auf den Zeitpunkt der Geburt entsteht (<ref-ruling> E. 4.1 S. 651).
7.
Seinen Eventualantrag stellt der Beschwerdeführer ausdrücklich nur für den Fall, dass das Bundesgericht die Fremdbetreuungskosten dem Bedarf des Beschwerdegegners zurechnet. Wie die Ausführungen in Erwägung 4 zeigen, ist diese Bedingung nicht erfüllt. Entsprechend erübrigt es sich, auf dieses Eventualbegehren einzugehen. Das gilt auch für den Vorwurf, das Obergericht rechne im Bedarf des Beschwerdegegners für die Zeit vom 1. Mai bis zum 31. August 2014 Betreuungskosten von Fr. 1'000.-- pro Monat ein, obwohl das Kind in dieser Zeit von der Grossmutter mütterlicherseits betreut worden sei.
8.
8.1. Bei diesem Ausgang des Verfahrens ist die Beschwerde gutzuheissen. Der angefochtene Entscheid ist aufzuheben, die Sache im Sinne der Erwägungen zu neuem Entscheid an das Obergericht des Kantons Zürich zurückzuweisen. Der Beschwerdegegner unterliegt. Er hat deshalb für die Gerichtskosten aufzukommen (<ref-law>) und den Beschwerdeführer zu entschädigen (Art. 68 Abs. 1 und 2 BGG).
8.2. Dem Gesuch des Beschwerdegegners um unentgeltliche Rechtspflege für das bundesgerichtliche Verfahren kann entsprochen werden (Art. 64 Abs. 1 und 2 BGG). Der Rechtsanwalt des Beschwerdeführers ist direkt aus der Bundesgerichtskasse zu entschädigen. Der Beschwerdegegner hat der Gerichtskasse Ersatz zu leisten, wenn er später dazu in der Lage ist (<ref-law>). Dieses Nachforderungsrecht schliesst auch die Parteientschädigung ein, die das Bundesgericht dem Rechtsanwalt des Beschwerdeführers ausrichtet, denn geschuldet ist dieser Kostenersatz vom Beschwerdegegner als unterliegender Partei (E. 8.1). Der Beschwerdegegner wurde im Verfahren vor dem Bundesgericht von seiner Beiständin vertreten. Ihr ist im Rahmen der unentgeltlichen Rechtspflege kein Aufwand zu ersetzen, da sie den Beschwerdegegner vor Bundesgericht nicht als Anwältin, sondern als gesetzliche Vertreterin vertritt. Das Armenrechtsgesuch des Beschwerdegegners für das bundesgerichtliche Verfahren wird damit gegenstandslos.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird gutgeheissen. Das Urteil des Obergerichts des Kantons Zürich, I. Zivilkammer, vom 2. März 2015, wird aufgehoben. Die Sache wird zu neuem Entscheid im Sinne der Erwägungen an die Vorinstanz zurückgewiesen.
2.
2.1. Das Gesuch des Beschwerdeführers um unentgeltliche Rechtspflege für das bundesgerichtliche Verfahren wird als gegenstandslos abgeschrieben.
2.2. Das Gesuch des Beschwerdegegners um unentgeltliche Rechtspflege für das bundesgerichtliche Verfahren wird gutgeheissen.
3.
Die Gerichtskosten von Fr. 2'000.-- werden dem Beschwerdegegner auferlegt, indes vorläufig auf die Gerichtskasse genommen.
4.
Der Beschwerdegegner hat Rechtsanwalt Thomas Schütt für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 2'500.-- zu entschädigen. Die Entschädigung wird indes vorläufig auf die Gerichtskasse genommen und Rechtsanwalt Thomas Schütt wird aus der Gerichtskasse mit Fr. 2'500.-- entschädigt.
5.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Zürich, I. Zivilkammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 3. März 2016
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: von Werdt
Der Gerichtsschreiber: V. Monn