Sachverhalt:
A.
Der Elternrat Stein am Rhein stellte am 23. Januar 2014 ein Gesuch um Errichtung eines Skaterparks auf dem Parkplatz des Grundstücks GB Nr. 1410 an der Mühlenstrasse 10 in Stein am Rhein, das in der Wohn- und Gewerbezone WG 3 liegt. Auf dem rund 255 m 2 grossen Platz sollen drei bis zu 1.5 m hohe Rampen aufgestellt werden.
Nach der Publikation des Baugesuchs im Amtsblatt des Kantons Schaffhausen verlangte A._ die Zustellung des baurechtlichen Entscheids. Der Stadtrat Stein am Rhein erteilte nach Behandlung einer Einwendung am 12. März 2014 die Baubewilligung für den Skaterpark unter Bedingungen und Auflagen.
B.
Auf den dagegen von A._ erhobenen Rekurs trat der Regierungsrat des Kantons Schaffhausen mangels Vorliegens der Rechtsmittelbefugnis am 14. April 2015 nicht ein, ergänzte die angefochtene Baubewilligung jedoch mit einer weiteren Auflage zu den Betriebszeiten. Demgegenüber hiess das Obergericht des Kantons Schaffhausen mit Entscheid vom 10. Juni 2016 die Verwaltungsgerichtsbeschwerde insoweit gut, als die Rechtsmittellegitimation verneint wurde. In inhaltlicher Hinsicht wies es die gegen das Bauprojekt erhobenen Einwände aber ab und bestätigte den Rekursentscheid mit der zusätzlichen Auflage.
C.
Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten vom 12. August 2016 gelangt A._ an das Bundesgericht und beantragt die Aufhebung des obergerichtlichen Entscheids, soweit die angefochtene Baubewilligung bestätigt worden sei. Diese sei aufzuheben. Eventualiter sei die Baubewilligung insoweit abzuändern, dass die Betriebszeiten auf Montag bis Freitag zwischen 9.00 Uhr bis 12.00 Uhr und von 13.30 Uhr bis 18.00 Uhr beschränkt würden. Zudem seien die Gerichtskosten für das kantonale Verfahren dem Elternrat Stein am Rhein aufzuerlegen und dieser habe ihm eine angemessene Parteientschädigung auszurichten. Eventualiter sei die Sache zur Neuentscheidung an das Obergericht zurückzuweisen.
Der Elternrat Stein am Rhein (Beschwerdegegner) und das Obergericht verzichten auf eine Stellungnahme. Der Stadtrat Stein am Rhein und der Regierungsrat haben sich nicht vernehmen lassen.

Erwägungen:
1.
1.1. Angefochten ist ein letztinstanzlicher kantonaler Endentscheid über eine Baubewilligung (Art. 82 lit. a und Art. 86 Abs. 1 lit. d BGG). Dagegen steht die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten nach <ref-law> offen; ein Ausschlussgrund ist nicht gegeben (<ref-law>). Wie es sich mit der Rechtsmittelbefugnis des Beschwerdeführers nach <ref-law> verhält, kann offen bleiben, da die Beschwerde - wie sich aus den nachfolgenden Erwägungen ergibt - ohnehin abzuweisen ist.
Entgegen der Auffassung des Obergerichts erscheint es nicht als rechtsmissbräuchlich, wenn der Rechtsvertreter des Beschwerdeführers mit der ihm von der Schweizerischen Post am 11. Juni 2016 anvisierten Abholung des obergerichtlichen Entscheids bis zum 17. Juni 2016 zugewartet hat. Immerhin hat er die Sendung noch vor dem letzten Tag der für die Zustellfiktion nach <ref-law> massgeblichen Frist von sieben Tagen abgeholt. Eine Pflicht, die Post innerhalb dieser Frist möglichst rasch abzuholen, ist dem BGG nicht zu entnehmen. Die Beschwerde erweist sich damit als rechtzeitig.
1.2. Mit der Beschwerde können Rechtsverletzungen im Sinne von <ref-law> gerügt werden. Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (<ref-law>). Allerdings prüft es, unter Berücksichtigung der allgemeinen Pflicht zur Begründung der Beschwerde (Art. 42 Abs. 1 und 2 BGG), grundsätzlich nur die geltend gemachten Rügen, sofern die rechtlichen Mängel nicht geradezu offensichtlich sind. Bezüglich der Verletzung von verfassungsmässigen Rechten - einschliesslich der willkürlichen Anwendung von kantonalem und kommunalem Recht - gilt eine qualifizierte Rügepflicht: Das Bundesgericht prüft nur klar und detailliert erhobene und, soweit möglich, belegte Rügen (<ref-law>; <ref-ruling> E. 2.2 S. 232).
1.3. Nicht einzutreten ist auf die Beschwerde insoweit, als sie sich gegen Entscheide der Vorinstanzen des Obergerichts richtet. Diese sind im Rahmen des Streitgegenstands durch dessen Urteil ersetzt worden (Devolutiveffekt) und gelten als inhaltlich mitangefochten (<ref-ruling> E. 1.4 S. 144 mit Hinweis).
2.
Der Beschwerdeführer bestreitet die Zonenkonformität des Bauvorhabens. Er hält die Auslegung und Anwendung des Obergerichts von Art. 62 Abs. 1 der Bau- und Nutzungsordnung vom 23. Februar 2007 der Stadt Stein am Rhein (BauO), wonach in den Wohn- und Gewerbezonen neben Wohnbauten mässig störende Gewerbebetriebe sowie Mischbauten zulässig sind, für willkürlich. Zur Begründung führt er im Wesentlichen aus, der geplante Skaterpark erfülle diese Voraussetzung nicht, da er übermässigen und ortsunüblichen Lärm verursache.
2.1. Nach der ständigen Praxis des Bundesgerichts liegt Willkür in der Rechtsanwendung nur vor, wenn der angefochtene Entscheid offensichtlich unhaltbar ist, mit der tatsächlichen Situation in klarem Widerspruch steht, eine Norm oder einen unumstrittenen Rechtsgrundsatz krass verletzt oder in stossender Weise dem Gerechtigkeitsgedanken zuwiderläuft. Das Bundesgericht hebt einen Entscheid jedoch einzig auf, wenn nicht bloss die Begründung, sondern auch das Ergebnis unhaltbar ist. Dass eine andere Lösung ebenfalls als vertretbar oder gar zutreffender erscheint, genügt nicht (<ref-ruling> E. 4.1 S. 133 mit Hinweisen).
2.2. Das Obergericht erwog zur Zonenkonformität des Skaterparks, das Baugrundstück liege unbestrittenermassen in der Wohn- und Gewerbezone WG 3, in welcher neben Wohnbauten auch mässig störende Gewerbebetriebe sowie Mischbauten zulässig seien. Die Lehre und Rechtsprechung gingen davon aus, dass kleinere Sportanlagen bis zu einer Fläche von 5'000 m 2 von ihrem Störungspotential her grundsätzlich dem Zweck der Wohn- und Gewerbezone entsprächen. Dies gelte jedenfalls dann, wenn - wie hier - die für die Zone massgebenden Lärmschutzgrenzwerte eingehalten würden. Die Zonenkonformität der projektierten Skateranlage, die lediglich eine Fläche von 255 m 2 aufweise, könne daher nicht in Abrede gestellt werden.
2.3. Was der Beschwerdeführer dagegen in seiner Rechtsschrift vorbringt, vermag diese Erwägungen nicht als willkürlich erscheinen lassen. Insbesondere räumt er ein, dass kleinere Sportanlagen angesichts ihrer Nutzungsintensität in einer gemischten Zone grundsätzlich zulässig seien. Soweit er geltend macht, Art. 62 Abs. 1 BauO enthalte seinem Wortlaut zufolge einen Vorrang zugunsten der Wohnnutzung, kann ihm nicht gefolgt werden. Vielmehr sind nach dieser Bestimmung mässig störende Gewerbebetriebe und Mischbauten genauso wie Wohnbauten mit dem Zweck der Wohn- und Gewerbezone WG 3 vereinbar. Der Vorinstanz kann ferner keine Willkür vorgeworfen werden, wenn sie für die Beurteilung der zu erwartenden Lärmbelastungen auf das USG (SR 814.01) und die Vorschriften der Lärmschutz-Verordnung vom 15. Dezember 1986 (LSV; SR 814.41) abgestellt hat. Im Bereich des Immissionsschutzes hat der Bund von seiner umfassenden Rechtsetzungskompetenz gemäss <ref-law> Gebrauch gemacht. In diesem Rahmen besteht daher grundsätzlich kein Spielraum mehr für kantonales Recht; dieses hat seine selbstständige Bedeutung mit Blick auf den direkten Schutz vor Immissionen verloren, soweit sich sein materieller Gehalt mit dem Bundesrecht deckt oder weniger weit geht (<ref-ruling> E. 1b S. 114; <ref-ruling> E. 3a S. 595; <ref-ruling> E. 1a S. 492; Urteil 1C_569/2013 vom 22. November 2013 E. 4.1). Die Begriffe "nicht störend", "mässig störend" und "stark störend" dienen heute somit vorab der Zuweisung der Lärmempfindlichkeitsstufen gemäss <ref-law>. Lässt eine kommunale Bauordnung - wie hier - in einer Wohn- und Gewerbezone mässig störende Betriebe zu, bedeutet dies in der Regel nur noch, dass die Empfindlichkeitsstufe III gilt (<ref-law>; vgl. ferner Art. 32 Abs. 1 BauO), die höhere Belastungsgrenzwerte zulässt als die Empfindlichkeitsstufe II (vgl. ALAIN GRIFFEL, Raumplanungs- und Baurecht, 2. Aufl. 2014, S. 53).
Soweit der Beschwerdeführer vorbringt, der mit dem Betrieb des Skaterparks verbundene Lärm beeinträchtige die Erholungsfunktion des Wohnens bzw. den Wohngenuss erheblich, scheint er sich an der Empfindlichkeitsstufe II zu orientieren, in der keine störenden Betriebe zugelassen sind (<ref-law>). Dabei verkennt er aber, dass hier die Zonenkonformität einer Sportanlage in einer Mischzone zu beurteilen ist, in der nicht jede, auch nur geringfügig störende Aktivität verboten ist. Vielmehr lässt Art. 62 Abs. 1 BauO mässig störende Tätigkeiten zu und schliesst lediglich stark störende Betriebe aus. Der Beschwerdeführer kann sich daher auch nicht auf das bundesgerichtliche Urteil 1C_148/2010 vom 6. September 2010 berufen und vorbringen, der mit dem Betrieb des Skaterparks verbundene Lärm ginge klar über den in jenem Entscheid als zonenkonform erachteten Kinderlärm hinaus. Anders als hier, war dort darüber zu befinden, ob der Lärm von Kindertagesstätten in einer Wohnzone mit Empfindlichkeitsstufe II zu dulden ist. Dies kann nicht mit der vorliegend zu beurteilenden Frage verglichen werden, ob eine kleine Sportanlage in der Zone WG 3 mit Empfindlichkeitsstufe III unter dem Aspekt der Zonenkonformität bewilligungsfähig ist.
Selbst wenn hier aber vom Grundsatz ausgegangen würde, wonach ein Bauvorhaben in der Zone WG 3 grundsätzlich nur soviel Lärm verursachen dürfte, dass auch die in der benachbarten Wohnzone geltende, tiefere Empfindlichkeitsstufe II eingehalten wird (Urteile 1C_143/2014 vom 23. Februar 2015 E. 5.4; 1A.73/2001 vom 4. März 2002 E. 2.3), vermöchte der Beschwerdeführer nicht durchzudringen. Denn die Vorinstanz kam diesbezüglich zum Schluss, dass der geplante Skaterpark die massgeblichen Lärmschutzvorschriften des Bundes in beiden Zonen einhält. Dies wird vom Beschwerdeführer nicht in rechtsgenüglicher Weise in Abrede gestellt (vgl. E. 1.2 hiervor). Vielmehr führt er aus, die Grundstücke in der Umgebung des Skaterparks würden aufgrund des knallenden Aufpralls der Rollbretter, der ortsunüblichen Betriebszeiten und der bei solchen Anlagen notorischen Beschallung mit lauter Musik einem dauernden, übermässigen Lärm ausgesetzt. Hierbei übersieht er aber, dass bei der von der kantonalen Fachbehörde vorgenommenen Beurteilung des Lärms den impulshaltigen Emissionen (Aufprallgeräusche von Rollbrettern) mit einem Zuschlag von 3 dB (A) Rechnung getragen worden ist, wie dies in der Vollzugshilfe des BAFU zum Lärm von Sportanlagen empfohlen wird (beim Grundstück des Beschwerdeführers betrug diese Korrektur sogar + 6 dB (A); vgl. Vollzugshilfe des BAFU für die Beurteilung der Lärmbelastung, 2013, Untersuchungsbericht EMPA, S. 10). Ebenso wurde bei der Lärmbewertung der Betrieb der Anlage während den Abendstunden und an Samstagen mitberücksichtigt, wobei ein sehr hohes Belastungsszenario (maximale Nutzung während der gesamten Öffnungszeit) angenommen wurde. Mit Blick auf laute Aktivitäten, wie das Abspielen von Musikgeräten, besteht zudem die Möglichkeit, diese im noch zu erlassenden Benutzungsreglement einzuschränken oder während gewissen Zeiten sogar ganz auszuschliessen.
Wenn das Obergericht unter diesen Umständen folgerte, der geplante Skaterpark sei in der Zone WG 3 zonenkonform, ist dies nach dem Gesagten nicht zu beanstanden.
3.
Die Beschwerde erweist sich somit als unbegründet und ist abzuweisen, soweit darauf eingetreten werden kann. Daher besteht kein Anlass, den vorinstanzlichen Kosten- und Entschädigungsentscheid abzuändern. Bei diesem Verfahrensausgang wird der Beschwerdeführer für das bundesgerichtliche Verfahren kostenpflichtig (<ref-law>). Die nicht anwaltlich vertretenen Beschwerdegegner haben keinen Anspruch auf Parteikostenersatz (Art. 68 Abs. 1 und 2 BGG; vgl. <ref-ruling> E. 4 S. 446).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 2'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3.
Es wird keine Parteientschädigung zugesprochen.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien, der Stadt Stein am Rhein, dem Regierungsrat und dem Obergericht des Kantons Schaffhausen schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 10. November 2016
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Fonjallaz
Die Gerichtsschreiberin: Pedretti