Faits :
A.
Le 1 er mai 2009, Z._ SA (ci-après: Z._ ou la société) a conclu avec X._ un contrat libellé comme suit:
" Contrat-cadre d'assistance
Entre:
La société Z._ S.A. ayant son siège Avenue..., CH..., ci-après le mandant,
Et
Monsieur X._, ci-après le consultant,
Fonction: Consultant dans les domaines pétroliers et parapétroliers du réseau Z._ avec des missions ponctuelles de remplacement des expatriés ou de renfort aux agences Z._/....
Début du contrat: 3 mai 2009
Rotations: Quatre semaines de travail / quatre semaines de congés.
Durée du contrat-cadre: Un an renouvelable chaque année.
Préavis: Chacune des parties est libre de rompre le contrat à tout
moment par simple courrier, avec un préavis de un (1) mois
à compter de la date de la notification.
Rémunération: EUR 750 net par jour, depuis date de départ aéroport
jusqu'à la date de retour aéroport d'origine, payable à la fin de chaque mission.
Hôtel, billets d'avion: Tous les frais pour la mission et pendant la mission seront à la charge de Z._ SA, comme billets d'avion en classe économique, hôtel ou mise à disposition d'un logement meublé, visas et taxes éventuelles, voitures pour les déplacements pendant la mission.
Assurance: Les frais pour une assurance tous risques pendant les missions y compris le Rapatriement seront remboursés par Z._ SA."
Selon son curriculum vitae, établi le 3 octobre 2009, X._ exerçait depuis octobre 2007 l'activité de Logistics Consultant for the On- and Offshore Industry in West Africa. Auparavant, il avait travaillé pour différentes sociétés, telles A._ en tant que Business Unit Manager Algeria & Tunisia, B._ SA en tant qu' Operations Manager Chad/Cameroon/Equatorial Guinea Country Manager Cameroonet C._ en tant que Member of the Management.
Dans le cadre de son activité pour Z._, X._ envoyait à la société, par courrier électronique, ses plannings annuels, indiquant en alternance, par tranche de quatre semaines, ses plages de disponibilité (" on ") et de repos (" off "). Son planning 2012 prévoyait ainsi qu'il était disponible du 28 décembre 2011 au 25 janvier 2012. Z._ ne lui a confié aucune mission durant cette période. X._ a toutefois fait savoir à la société, le 5 janvier 2012, qu'il se considérait alors "en service rémunéré".
Par la suite, X._ a exécuté trois missions pour Z._ en 2012, soit du 21 février au 26 mars, du 20 avril au 19 mai et du 13 juin au 13 juillet. Un problème similaire à celui du début d'année s'est posé pour la période du 8 août au 5 septembre 2012, durant laquelle le planning indiquait une plage de disponibilité. Z._ souhaitait confier à X._ une mission du 15 août au 15 septembre 2012. Se référant au planning, l'intéressé a refusé, tout en proposant que la mission se déroulât du 19 août au 6 septembre 2012. Z._ lui a alors demandé de décaler la date de son retour, ce que X._ a exclu, invoquant des obligations privées.
Le 4 octobre 2012, Z._ a mis fin au contrat pour le 9 novembre 2012. Cette résiliation a donné lieu à un échange de correspondance entre les parties. X._ l'a finalement acceptée le 10 février 2013. Si les montants liés à la dernière mission, effectuée du 4 octobre au 9 novembre 2012, n'étaient pas litigieux, les parties n'ont pu résoudre leur différend à propos de l'éventuelle rémunération afférente aux périodes durant lesquelles X._, à disposition de Z._ selon son planning, n'avait pas reçu de mission.
B.
Le 8 avril 2014, X._ a saisi le Tribunal civil de l'arrondissement de La Côte d'une demande tendant au versement par Z._ de:
- 30'827,60 euros, avec intérêts à 5% l'an dès le 31 décembre 2012, au titre de salaire net et de remboursement de frais pour l'année 2012;
- 33'750 euros, avec intérêts à 5% l'an dès le 31 mars 2013, au titre de salaire net de janvier à mars 2013;
- 4'401 euros, avec intérêts à 5% l'an dès le 31 mars 2013, au titre de salaire net afférent aux vacances 2013.
Il demandait en outre qu'il soit constaté que le contrat ayant lié les parties est un contrat de travail, qu'il soit ordonné en conséquence à Z._ de procéder à toutes les démarches requises en vue d'annoncer l'existence dudit contrat de travail aux assurances sociales et que Z._ soit condamnée à payer aux assurances sociales, avec effet rétroactif au 1 er mai 2009, toutes les charges sociales dues à l'employé.
Par jugement du 30 juin 2015, le tribunal a rejeté la demande. En substance, il a considéré que les parties étaient liées par un contrat de mandat et que le demandeur devait être débouté de ses autres conclusions, dépendant toutes de la prémisse erronée selon laquelle il s'agirait d'un contrat de travail.
L'appel déposé par X._ contre ce jugement a été rejeté le 6 juillet 2016 par la Cour d'appel civile du Tribunal cantonal du canton de Vaud.
C.
X._ interjette un recours en matière civile, concluant principalement à la réforme de l'arrêt cantonal dans le sens de l'admission de ses conclusions articulées en première et deuxième instance.
Z._ propose le rejet du recours.
L'autorité précédente déclare se référer aux considérants de son arrêt.

Considérant en droit :
1.
1.1. Le recours est dirigé contre un arrêt final (<ref-law>) rendu en matière civile (<ref-law>) par un tribunal supérieur désigné comme autorité cantonale de dernière instance, lequel a statué sur recours (<ref-law>). La cause atteint le seuil de 15'000 fr. fixé à l'<ref-law>, étant précisé qu'un litige de droit du travail existe déjà lorsqu'il s'agit de savoir si l'accord des parties doit être qualifié ou non de contrat de travail (cf. <ref-ruling> consid. 2.1 p. 34; arrêt 4A_71/2011 du 2 mai 2011 consid. 1.2). Au surplus, le recours est exercé par la partie qui n'a pas obtenu gain de cause et qui a donc qualité pour recourir (<ref-law>). Déposé dans le délai (<ref-law>) et la forme (<ref-law>) prévus par la loi, le recours est en principe recevable.
1.2. Le Tribunal fédéral statue sur la base des faits établis par l'autorité précédente (<ref-law>). Il ne peut rectifier ou compléter les constatations de l'autorité précédente que si elles sont manifestement inexactes ou découlent d'une violation du droit au sens de l'<ref-law> (<ref-law>). "Manifestement inexactes" signifie ici "arbitraires" (<ref-ruling> consid. 1.3.1 p. 253; <ref-ruling> consid. 2 p. 117; <ref-ruling> consid. 1.5). Encore faut-il que la correction du vice soit susceptible d'influer sur le sort de la cause (<ref-law>) La critique de l'état de fait retenu est soumise au principe strict de l'allégation énoncé par l'<ref-law> (<ref-ruling> consid. 2.3 p. 266 et les références).
La partie qui entend attaquer les faits constatés par l'autorité précédente doit expliquer clairement et de manière circonstanciée en quoi ces conditions seraient réalisées (<ref-ruling> consid. 1.3.1 p. 18 et les références). Si elle souhaite obtenir un complètement de l'état de fait, elle doit aussi démontrer, par des renvois précis aux pièces du dossier, qu'elle a présenté aux autorités précédentes en conformité avec les règles de procédure les faits juridiquement pertinents à cet égard et les moyens de preuve adéquats (<ref-ruling> consid. 2 p. 90). Si la critique ne satisfait pas à ces exigences, les allégations relatives à un état de fait qui s'écarterait de celui de la décision attaquée ne pourront pas être prises en considération (<ref-ruling> consid. 1.3.1 p. 18). Aucun fait nouveau ni preuve nouvelle ne peut être présenté à moins de résulter de la décision de l'autorité précédente (<ref-law>).
1.3. Le recours en matière civile peut être exercé pour violation du droit fédéral (<ref-law>), y compris le droit constitutionnel (<ref-ruling> consid. 2.1 p. 247; <ref-ruling> consid. 2.4 p. 313). Le Tribunal fédéral applique le droit d'office (<ref-law>). Compte tenu de l'exigence de motivation contenue à l'art. 42 al. 1 et 2 LTF, il n'examine toutefois que les questions juridiques qui sont soulevées devant lui, sauf en cas d'erreurs juridiques manifestes (<ref-ruling> consid. 2 p. 88 s., 115 consid. 2; <ref-ruling> consid. 1.3 p. 584; <ref-ruling> consid. 2.2.1 p. 389; <ref-ruling> consid. 1.4 p. 400). Dès lors qu'une question est discutée, le Tribunal fédéral n'est en revanche limité ni par les arguments soulevés dans le recours, ni par la motivation retenue par l'autorité précédente; il peut admettre un recours pour un autre motif que ceux qui ont été invoqués et il peut rejeter un recours en adoptant une argumentation différente de celle de l'autorité précédente (<ref-ruling> consid. 2 p. 89; <ref-ruling> consid. 1.3 p. 336; <ref-ruling> consid. 4 p. 317 s.; <ref-ruling> consid. 1.4 p. 400).
2.
Invoquant les art. 18 et 319 CO, le recourant est d'avis que la cour cantonale a violé le droit fédéral en qualifiant le contrat entre les parties de mandat, et non de contrat de travail.
2.1. La qualification juridique d'un contrat est une question de droit (<ref-ruling> consid. 3 p. 219). Le juge détermine librement la nature de la convention d'après l'aménagement objectif de la relation contractuelle ( objektive Vertragsgestaltung), sans être lié par la qualification même concordante donnée par les parties (<ref-ruling> consid. 2 p. 496). La dénomination d'un contrat n'est pas déterminante pour évaluer sa nature juridique (<ref-law>; <ref-ruling> consid. 3.1 p. 667).
Par le contrat individuel de travail, le travailleur s'engage, pour une durée déterminée ou indéterminée, à travailler au service de l'employeur et celui-ci à payer un salaire fixé d'après le temps ou le travail fourni (<ref-law>). Les éléments caractéristiques de ce contrat sont une prestation de travail, un rapport de subordination, un élément de durée et une rémunération (arrêts 4A_200/2015 du 3 septembre 2015 consid. 4.2.1 et 4P.337/2005 du 21 mars 2006 consid. 3.3.2).
Le contrat de travail se distingue avant tout des autres contrats de prestation de services, en particulier du mandat, par l'existence d'un lien de subordination (<ref-ruling> consid. 4 p. 81; <ref-ruling> consid. 1a/aa p. 46 et consid. 1a/bb in fine p. 47), qui place le travailleur dans la dépendance de l'employeur sous l'angle personnel, organisationnel et temporel, et dans une certaine mesure économique. Le travailleur est assujetti à la surveillance, aux ordres et instructions de l'employeur; il est intégré dans l'organisation de travail d'autrui et y reçoit une place déterminée (arrêt précité du 3 septembre 2015 consid. 4.2.1 et les arrêts cités). Pour sa part, le mandataire doit certes suivre les instructions du mandant, mais il agit indépendamment et sous sa seule responsabilité, tandis que le travailleur se trouve au service de l'employeur. D'autres indices peuvent également aider à la distinction, tels l'élément de durée propre au contrat de travail, alors que le mandat peut n'être qu'occasionnel (arrêt précité du 21 mars 2006 consid. 3.3.2 et les références citées), le fait que les conditions de temps et de lieu dans lesquelles le travail doit être exécuté soient fixées dans le contrat (arrêt 4C.276/2006 du 25 janvier 2007 consid. 4.4.1), la mise à disposition des instruments de travail et le remboursement des frais (même arrêt consid. 4.5.1) ainsi que l'indépendance économique; ce dernier critère doit toutefois être relativisé, dès lors qu'une dépendance économique peut exister dans d'autres types de contrats que le contrat de travail, d'une part, et qu'elle n'existe pas nécessairement dans tous les contrats de travail, d'autre part (même arrêt consid. 4.6.1).
Les critères formels, tels l'intitulé du contrat, les déclarations des parties ou les déductions aux assurances sociales, ne sont pas déterminants. Il faut bien plutôt tenir compte de critères matériels relatifs à la manière dont la prestation de travail est effectivement exécutée, tels le degré de liberté dans l'organisation du travail et du temps, l'existence ou non d'une obligation de rendre compte de l'activité et/ou de suivre les instructions, ou encore l'identification de la partie qui supporte le risque économique (arrêt 2C_714/2010 du 14 décembre 2010 consid. 3.4.2). En principe, des instructions qui ne se limitent pas à de simples directives générales sur la manière d'exécuter la tâche, mais qui influent sur l'objet et l'organisation du travail et instaurent un droit de contrôle de l'ayant droit, révèlent l'existence d'un contrat de travail plutôt que d'un mandat (cf. arrêt 4C.216/1994 du 21 mars 1995 consid. 1a; PHILIPPE CARRUZZO, Le contrat individuel de travail, 2009, n° 4 ad <ref-law> p. 3 s.).
Le critère de la subordination doit être relativisé en ce qui concerne les personnes exerçant des professions typiquement libérales ou ayant des fonctions dirigeantes. Comme l'indépendance de l'employé est beaucoup plus grande, la subordination est alors essentiellement organisationnelle (arrêt 4A_194/2011 du 5 juillet 2011 consid. 5.6.1). Dans un tel cas, plaident notamment en faveur du contrat de travail la rémunération fixe ou périodique, la mise à disposition d'une place de travail et des outils de travail, ainsi que la prise en charge par l'employeur du risque de l'entreprise (ADRIAN STAEHELIN, Zürcher Kommentar, 4 e éd. 2006, n° 33 ad <ref-law>; cf. aussi REHBINDER/STÖCKLI, Berner Kommentar, 2010, n° 44 ad <ref-law>); le travailleur renonce à participer au marché comme entrepreneur assumant le risque économique et abandonne à un tiers l'exploitation de sa prestation, en contrepartie d'un revenu assuré (arrêt 4A_602/2013 du 27 mars 2014 consid. 3.2).
Seul l'examen de l'ensemble des circonstances du cas concret permet de déterminer si le travail est effectué de manière dépendante ou indépendante (<ref-ruling> consid. 3.2 p. 668; <ref-ruling> consid. 1a/aa p. 46).
2.2.
2.2.1. Le recourant soutient que les rapports entre les parties relèvent du contrat de travail à temps partiel sur appel. Il observe que le contrat lui-même mentionne une activité de consultant avec des "missions ponctuelles de remplacement des expatriés ou de renfort aux agences", lesquelles seraient caractéristiques d'un tel contrat. Invoquant une constatation inexacte des faits au sens de l'<ref-law>, il reproche à la cour cantonale, dans ce contexte, de ne pas avoir repris intégralement les témoignages du directeur général et d'un directeur financier de l'intimée, lesquels démontreraient qu'il a effectué des remplacements et pallié à une surcharge de travail. Par ailleurs, selon le recourant, le contrat, conclu pour un an et renouvelable chaque année, était de durée indéterminée et tant le moment que la durée de sa prestation étaient définis par l'intimée, ce qui serait typique du travail sur appel.
Au contraire de l'examen auquel la cour cantonale a procédé, la thèse du recourant, fondée sur quelques éléments choisis, fait abstraction de l'ensemble des circonstances permettant de qualifier le contrat, ce qui n'est pas admissible (cf. consid. 2.1 in fine). Au surplus, certains faits que le recourant invoque se heurtent à l'appréciation des preuves opérée par les juges précédents et la critique qu'il développe à ce sujet, de nature appellatoire, est dépourvue de toute démonstration d'arbitraire. Après avoir retenu que le recourant exerçait une activité de consultant et offrait donc des prestations de conseil, l'autorité cantonale a exclu ainsi qu'il ait effectivement remplacé des "collègues absents", comme il le prétendait.
2.2.2. A lire le recours, la cour cantonale aurait, à tort, nié l'existence d'un rapport de subordination d'un point de vue tant organisationnel, temporel, personnel qu'économique.
A ce propos, le recourant invoque toute une série de faits dont il ne démontre pas qu'ils auraient été écartés ou admis de manière arbitraire par les juges précédents. Ainsi en est-il notamment de l'association du nom du recourant à celui de l'intimée sur les courriels envoyés depuis l'adresse attribuée à l'intéressé ou encore de l'interdiction qui aurait été signifiée à ce dernier d'engager du personnel sur place si cela était nécessaire pour mener à bien la mission confiée. La cour de céans s'en tiendra dès lors aux faits établis par la cour cantonale (cf. consid. 1.2).
Selon l'arrêt attaqué, le recourant exerçait une activité de consultant, qui correspond à celle décrite par le directeur financier de l'époque de la structure de Z._ en Angola. D' après les déclarations de celui-ci, l'intimée a eu recours aux services du recourant notamment pour " analyser les dossiers en vue de rattraper le retard dans la facturation et dans la clôture de dossiers"; " (au) vu de son expérience en matière de management, (le recourant) établissait des points de situation et proposait des actions correctives"; " (il) donnait à Z._ l' overview de sa mission dans les pays, soit sous forme de rapports écrits, soit lors de séances au niveau de la direction"; " (la) direction examinait ses propositions et décidait de les suivre ou non, étant précisé qu'il n'y avait pas de processus formalisé à ce sujet". Certes, le recourant ne choisissait pas le lieu de ses missions et le contenu de celles-ci faisait l'objet d'instructions données par l'intimée. Le courriel du 7 août 2012, que le recourant reproche vainement à la cour cantonale de n'avoir cité que partiellement, ne contient d'ailleurs rien d'autre que des instructions sur la teneur de la mission de consultant. Cela étant, une fois sur place, le recourant organisait son travail comme il l'entendait. On ne décèle pas dans les éléments qui précèdent ceux qui dénoteraient l'existence d'un contrat de travail, tels que la surveillance, les ordres et instructions influant sur l'objet et l'organisation du travail et instaurant un droit de contrôle de l'employeur.
Le contrat liant les parties prévoyait un système de rotations, sur la base du principe suivant : quatre semaines de travail suivies de quatre semaines de congés. La cour cantonale a retenu que le recourant établissait lui-même son planning annuel, sur lequel figuraient en alternance ses plages de disponibilité et de repos. Le recourant ne le remet pas en cause. Il est vrai que, dans ce cadre-là, la liberté du consultant était toute relative, puisque sa marge de manoeuvre se limitait à choisir entre des dates situées à quelques jours d'intervalle, l'alternance ayant été définie assez précisément dans le contrat. Il n'en demeure pas moins qu'aucun horaire de travail n'était stipulé, pas plus qu'un nombre d'heures de travail n'était défini, ce qui ne plaide pas en faveur d'un contrat de travail.
Selon le contrat litigieux, la rémunération du recourant était fixée en fonction du nombre de journées passées en mission à l'étranger, et non en fonction des heures ou des jours effectivement travaillés. Le recourant disposait ainsi de son temps à sa guise. Il convient de relever en outre que, selon une constatation de l'arrêt attaqué liant la cour de céans, le contrat en cause n'imposait pas non plus au recourant de fournir ses prestations exclusivement à l'intimée. Ajoutés à l'absence de surveillance et d'instructions relatives à l'organisation du travail, ces éléments corroborent l'existence d'un mandat.
La cour cantonale a également vu un indice du mandat dans la fin de non-recevoir signifiée par le recourant pour des motifs privés, lorsque l'intimée lui a demandé en août 2012 d'assumer une mission à des dates partiellement différentes de celles figurant dans son planning. Selon le recourant, son refus se conçoit tout aussi bien dans le cadre d'un contrat de travail sur appel, de sorte qu'il ne constituerait pas un critère décisif pour exclure un contrat de travail. La question peut rester ouverte, dès lors que la qualification des rapports liant les parties peut être tranchée indépendamment de toute réflexion relative à la légitimité de ce refus.
Le recourant est d'avis que son "licenciement" est la démonstration du rapport de subordination auquel il était soumis. Son raisonnement repose toutefois sur l'hypothèse selon laquelle la résiliation était motivée par le refus susmentionné qu'il a opposé à l'intimée en août 2012. Or, la cour cantonale ne constate rien de tel, ce qui lie le Tribunal fédéral.
Certes, comme l'autorité précédente l'a relevé, certains éléments plaident en faveur d'une activité dépendante. Ainsi en est-il du remboursement de frais prévu dans le contrat litigieux, incluant les frais d'une assurance tous risques pendant les missions, y compris le rapatriement. Il s'agit là toutefois d'un critère secondaire dont on ne saurait faire grief à la cour cantonale d'avoir mésestimé la portée. La régularité du versement de la rémunération est également un indice d'une activité dépendante. En l'espèce, la rémunération ne se présentait toutefois pas comme un montant fixe, mais elle était fonction du nombre de jours passés en mission à l'étranger ainsi que des frais effectifs du recourant; au surplus, elle n'était pas versée chaque mois, mais à la fin de chaque mission. On ne saurait dès lors tenir cet élément pour déterminant quant à l'existence d'un contrat de travail.
Au surplus, ni le délai de résiliation prévu dans le contrat, ni les dénominations utilisées par les parties pour désigner la rémunération, ni l'exigence d'une lettre pour mettre un terme aux relations contractuelles ou la formulation de celle-ci n'apparaissent comme des éléments décisifs en faveur d'un contrat de travail, parmi toutes les circonstances du cas particulier. Que le recourant ait offert ses services à l'intimée lorsqu'il s'est trouvé dés oe uvré pendant des périodes " on " selon son planning, soit la première fois du 28 décembre 2011 au 25 janvier 2012 et la seconde fois après la notification de la résiliation, ne signifie pas non plus qu'il s'agisse d'un contrat de travail. Dans un courrier du 11 janvier 2013, l'intimée a d'ailleurs contesté devoir une quelconque rémunération pour des missions qui n'avaient jamais eu lieu, comme la cour cantonale l'a constaté d'une manière qui lie le Tribunal fédéral.
2.2.3. Le recourant soutient enfin qu'en cas de doute au sujet de la qualification juridique d'un contrat donné, il faudrait trancher en défaveur du mandat, compte tenu de sa subsidiarité dérivant de l'<ref-law>.
Rien de tel ne peut être déduit de cette norme, laquelle prescrit d'appliquer les règles du mandat aux travaux qui ne sont pas soumis aux dispositions légales régissant d'autres contrats. En l'espèce, la cour cantonale a jugé précisément qu'il n'y avait pas d'indices suffisants en faveur d'un contrat de travail et, conformément à l'<ref-law>, elle a soumis le contrat aux règles du mandat.
2.3. En résumé, les juges précédents se sont fondés sur l'ensemble des circonstances du cas et ont tenu compte de critères pertinents, de sorte qu'ils n'ont pas enfreint le droit fédéral en retenant l'existence d'un contrat de mandat.
Il ne saurait leur être reproché d'en avoir tiré les conclusions qui s'imposaient, à savoir le rejet des prétentions du recourant conditionnées par l'existence d'un contrat de travail. Les griefs tirés d'une violation des art. 324, 329d et 335c CO s'en trouvent privés d'objet.
3.
Sur le vu de ce qui précède, le recours doit être rejeté.
Le recourant prendra à sa charge les frais judiciaires (<ref-law>), dont le montant ne sera pas fixé en application de l'art. 65 al. 4 let. c LTF puisque la valeur litigieuse dépasse 30'000 fr. En outre, des dépens, à la charge du recourant (68 al. 1 et 2 LTF), seront alloués à l'intimée.

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce :
1.
Le recours est rejeté.
2.
Les frais judiciaires, arrêtés à 5'000 fr., sont mis à la charge du recourant.
3.
Le recourant versera à l'intimée une indemnité de 6'000 fr. à titre de dépens.
4.
Le présent arrêt est communiqué aux mandataires des parties et à la Cour d'appel civile du Tribunal cantonal du canton de Vaud.
Lausanne, le 16 mars 2017
Au nom de la Ire Cour de droit civil
du Tribunal fédéral suisse
La Présidente : Kiss
La Greffière : Godat Zimmermann