Sachverhalt:
A.
A.a. A._ war 2012 bei der ÖKK Kranken- und Unfallversicherungen AG (nachfolgend: ÖKK) obligatorisch krankenpflegeversichert. Am 27. August 2012 erklärte sie - durch Unterzeichnung des entsprechenden Formulars - den Beitritt zur Avenir Krankenversicherung AG (nachfolgend: Avenir) auf den 1. Januar 2013. Diese bestätigte die Aufnahme und stellte ihr u.a. den Versicherungsausweis zu. Mit Schreiben vom 6. September 2012 (nicht eingeschrieben) und 21. Dezember 2012 (eingeschrieben) teilte die Avenir der ÖKK den Versichererwechsel mit.
Am 6. September 2012 hatte A._ auch bei der Sansan Versicherungen AG einen Antrag auf Aufnahme in die obligatorische Krankenpflegeversicherung gestellt. Am 19. September 2012 ging bei der ÖKK das Schreiben mit der Kündigung des Versicherungsverhältnisses samt der Bestätigung der Nachversicherung ab 1. Januar 2013 durch den neuen Krankenversicherer ein.
A.b. Am 11. Dezember 2012 und 16. Juni 2014 setzte die Avenir gegen A._ die Prämien für die Monate Juli bis September 2013 und Januar bis März 2014 sowie eine Kostenbeteiligung für Mai 2013 in Betreibung. Mit Verfügungen vom 13. Juni und 17. Juli 2014 hob sie den Rechtsvorschlag gegen die betreffenden Zahlungsbefehle auf. Die dagegen erhobenen Einsprachen wies sie mit Entscheiden vom 6. Januar 2015 ab.
B.
In Gutheissung der Beschwerde der A._ hob das Verwaltungsgericht des Kantons Bern, Sozialversicherungsrechtliche Abteilung, mit Entscheid vom 3. Juni 2015 die beiden angefochtenen Einspracheentscheide auf.
C.
Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten beantragt die Avenir, der Entscheid vom 3. Juni 2015 sei aufzuheben und es sei festzustellen, dass A._ ab dem 1. Januar 2013 bei ihr obligatorisch krankenpflegeversichert ist.
A._ ersucht um Abweisung der Beschwerde und Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege. Das Bundesamt für Sozialversicherungen verzichtet auf eine Vernehmlassung.

Erwägungen:
1.
Die Beschwerdeführerin beantragt auch, es sei festzustellen, dass die Beschwerdegegnerin ab dem 1. Januar 2013 bei ihr obligatorisch krankenpflegeversichert ist. Diesem Begehren kommt im Rahmen des Streitgegenstandes (Prämien für die Monate Juli bis September 2013 und Januar bis März 2014 sowie eine Kostenbeteiligung für Mai 2013) keine selbständige Bedeutung zu und ist insoweit unzulässig (vgl. <ref-ruling> E. 2.2 in fine S. 380 f.).
2.
Im angefochtenen Entscheid werden die für die Beurteilung der Streitsache massgebenden Gesetzesbestimmungen und die dazu ergangene Rechtsprechung insbesondere zu den Voraussetzungen für einen Wechsel des Krankenversicherers richtig wiedergegeben. Darauf wird verwiesen. Zu erwähnen ist namentlich, dass die Begründung eines neuen Versicherungsverhältnisses durch das Erfordernis der rechtzeitigen Kündigung des bisherigen (im vorliegenden Fall bis Ende November 2012; <ref-law> und <ref-ruling>) sowie der Mitteilung der (lückenlosen; <ref-ruling> E. 4.7 S. 453) Weiterversicherung durch den neuen Krankenversicherer (<ref-law>) aufschiebend bedingt erfolgt (Urteil 9C_930/2010 vom 22. Dezember 2010 E. 2.3, in: SVR 2011 KV Nr. 8 S. 37).
3.
In tatsächlicher Hinsicht steht fest (<ref-law>), dass die Beschwerdegegnerin im August 2012 den Beitritt zur Beschwerdeführerin erklärt hatte, welche ihr umgehend die Aufnahme in die obligatorische Krankenpflegeversicherung ab 1. Januar 2013 bestätigte und den Versicherungsausweis aushändigte. Mit Schreiben vom 6. September 2012 (nicht eingeschrieben) und 21. Dezember 2012 (eingeschrieben) teilte sie dem bisherigen Krankenversicherer den Wechsel mit. Die Vorinstanz hat diese Tatsachen und die übrigen Akten dahingehend gewürdigt, dass weder eine Kündigung der bisherigen Versicherung noch die Mitteilung der Weiterversicherung durch die Beschwerdeführerin nachgewiesen seien. Diejenige vom 21. Dezember 2012 sei sinngemäss insofern verspätet, als zu diesem Zeitpunkt das bisherige Versicherungsverhältnis bereits durch die bei der ÖKK am 19. September 2012 eingegangene Nachversicherungsbestätigung der Sansan rechtsgültig beendet worden und auf diese übergegangen sei. Somit seien die Voraussetzungen für eine Beendigung der Versicherung beim bisherigen Krankenversicherer nicht erstellt und habe demzufolge auch kein neues Versicherungsverhältnis mit der Beschwerdeführerin zustande kommen können. Damit bestehe auch keine Prämienpflicht der Beschwerdegegnerin dieser gegenüber.
4.
4.1. Die Beschwerdeführerin rügt eine offensichtlich unvollständige Sachverhaltsfeststellung durch die Vorinstanz und damit eine Verletzung von <ref-law>. Das kantonale Versicherungsgericht hätte den vom bisherigen Krankenversicherer bestrittenen Erhalt des Schreibens vom 6. September 2012 betreffend Mitteilung der Weiterversicherung der Beschwerdeführerin ab 1. Januar 2013 abklären müssen, zumal sie diesen Umstand als rechtserheblich für das Zustandekommen des Versicherungsverhältnisses erachtet habe. Die Rüge ist unbegründet. Unbestritten wurde das fragliche Schreiben vom 6. September 2012 nicht eingeschrieben versendet. Unter diesen Umständen ist nicht ersichtlich, mit welchen Abklärungsmassnahmen sich der Empfang durch den bisherigen Krankenversicherer nachweisen liesse. Von den in der Beschwerde erwähnten Parteibefragung, allenfalls Expertise und Hinterlegung der entsprechenden Datenträger (Spools) jedenfalls sind keine verwertbare neue Erkenntnisse zu erwarten. Damit bleibt die Frage offen, ob der Wechsel des Versicherers zum 1. Januar 2013 bereits im September 2012 (und nicht erst im Dezember 2012) rechtsgültig mitgeteilt worden war. Diese Beweislosigkeit geht zu Lasten der Beschwerdeführerin (<ref-law>).
4.2. Weiter bringt die Beschwerdeführerin vor, das Versicherungsverhältnis zwischen ihr und der Beschwerdegegnerin sei mit der Beitrittserklärung vom 27. August 2012 entstanden, somit vor deren Antrag vom 6. September 2012 an die Sansan zur Aufnahme in die obligatorische Krankenpflegeversicherung. Der Umstand, dass die Mitteilung der Nachversicherung dieses Krankenversicherers allenfalls zeitlich früher erfolgt sei, könne und dürfe keine Auswirkungen auf den materiell bereits zuvor gültig erfolgten Beitritt zu ihr haben. Das Versicherungsverhältnis mit demjenigen Krankenversicherer habe Vorrang, bei dem die Anmeldung als erste eingegangen sei. Die gegenteilige Auffassung der Vorinstanz verletze Bundesrecht (<ref-law>). Wie die Beschwerdeführerin indessen selber festhält, wird der Beitritt hinfällig, wenn die versicherte Person die Kündigung beim bisherigen Versicherer unterlässt. In diesem Sinne erfolgt die Begründung eines neuen Versicherungsverhältnisses durch das Erfordernis der rechtzeitigen Kündigung des bisherigen aufschiebend bedingt (vgl. E. 2). Gemäss Vorinstanz ist nun aber eine Kündigung der bisherigen Versicherung durch die Beschwerdeführerin bis Ende November 2012 nicht nachgewiesen (E. 3), was im Übrigen auch nicht geltend gemacht wird. Nichts anderes ergibt sich, wenn hiefür die Mitteilung der Weiterversicherung nach <ref-law> als genügend angesehen werden wollte (vgl. E. 4.1 vorne). Die Beschwerde ist somit auch in diesem Punkt unbegründet und daher abzuweisen.
5.
Ausgangsgemäss hat die Beschwerdeführerin die Gerichtskosten zu tragen (<ref-law>) und der Beschwerdegegnerin eine Parteientschädigung zu bezahlen (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 500.- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
3.
Die Beschwerdeführerin hat den Rechtsvertreter der Beschwerdegegnerin für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 1'400.- zu entschädigen.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien, dem Verwaltungsgericht des Kantons Bern, Sozialversicherungsrechtliche Abteilung, und dem Bundesamt für Gesundheit schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 7. Januar 2016
Im Namen der II. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Glanzmann
Der Gerichtsschreiber: Fessler