Sachverhalt:
A.
A.a. A.A._ (geb. 1921) und ihre Tochter B.A._ führen gemeinsam einen Prozess vor dem Obergericht Nidwalden. Gegenparteien sind die beiden Söhne von A.A._. Strittig ist, ob der inzwischen verstorbene Ehemann von A.A._ urteilsfähig war, als er am 6. März 2002 einen Ehe- und Erbvertrag unterzeichnete.
A.A._ leidet an schwerer Demenz (Zeugnis von med. pract. C._ vom 12. Dezember 2013). Daher ersuchte der Präsident des Obergerichts die Kindes- und Erwachsenenschutzbehörde (KESB) Nidwalden am 16. Dezember 2013, für sie einen Prozessbeistand einzusetzen. Die KESB informierte B.A._ über ihre Absicht, als Vertretungsbeiständin Rechtsanwältin D._ einzusetzen (Schreiben vom 18. Juni 2014). Am 10. Juli 2014 lehnte B.A._ diesen Vorschlag ab. Das Mandat sei an einen ausserkantonalen Juristen zu vergeben; nur ein solcher sei unabhängig genug. Am 8. September 2014 ergänzte sie, Rechtsanwältin D._ sei nicht die richtige Person, um die Interessen ihrer Mutter zu vertreten, weil sie in den Jahren 2004 bis 2010 Stellvertreterin des Obergerichtspräsidenten gewesen sei; diesem wiederum sei wegen der Art der Verfahrensleitung im hängigen Prozess Befangenheit vorzuwerfen. Zudem ersuchte B.A._ um (weitere) Erstreckung der Frist zur Benennung einer Vertrauensperson als Prozessbeistand bis 31. Oktober 2014.
A.b. Die KESB entschied am 16. September 2014, zur Vertretung von A.A._ im hängigen Prozess eine Beistandschaft nach <ref-law> anzuordnen. Die beantragte Fristerstreckung lehnte die Behörde ab. Sie ernannte Rechtsanwältin D._ zur Vertretungsbeiständin.
B.
B.A._ erhob am 17. Oktober 2014 in ihrem und im Namen ihrer Mutter Beschwerde beim Verwaltungsgericht des Kantons Nidwalden. Sie beantragte, soweit letztinstanzlich noch von Belang, die Aufhebung des angefochtenen Entscheids bzw. der Vertretungsbeistandschaft durch Rechtsanwältin D._. Ausserdem erneuerte sie den bereits im Verwaltungsverfahren gestellten Antrag, die KESB habe ein Anhörungsgespräch durchzuführen. Ferner ersuchte sie um Ansetzung einer achtwöchigen Frist, um der Behörde einen anderen Prozessbeistand vorzuschlagen. Im Verlauf des kantonalen Beschwerdeverfahrens schlug B.A._ vor, Rechtsanwalt Dr. E._ als Vertretungsbeistand einzusetzen.
Das Verwaltungsgericht wies die Beschwerde ab, soweit es darauf eintrat (Urteil vom 1. Juni 2015).
C.
A.A._ und B.A._ liessen am 14. September 2015 Beschwerde in Zivilsachen erheben. Sie beantragen, der angefochtene Entscheid sei aufzuheben. Die Vertretungsbeistandschaft durch Rechtsanwältin D._ sei aufzuheben und die Sache zur korrekten Durchführung des Verfahrens und neuen Beurteilung an die KESB zurückzuweisen; eventuell sei die Sache zur Neubeurteilung an das Verwaltungsgericht zurückzuweisen.
Mit Präsidialverfügung vom 9. Oktober 2015 erkannte das Bundesgericht der Beschwerde antragsgemäss die aufschiebende Wirkung zu, nachdem es die KESB und das Verwaltungsgericht angehört hatte.
In der Sache holte das Bundesgericht keine Vernehmlassungen ein.

Erwägungen:
1.
Angefochten ist ein kantonal letztinstanzlicher Endentscheid (Art. 75 Abs. 1 und 2 BGG, <ref-law>). Dieser betrifft den Erwachsenenschutz und damit einen öffentlich-rechtlichen Entscheid, der in unmittelbarem Zusammenhang mit Zivilrecht steht (Art. 72 Abs. 2 lit. b Ziff. 6 BGG). Die Frist ist eingehalten (<ref-law>). Die Beschwerde in Zivilsachen ist damit grundsätzlich gegeben.
2.
Näherer Betrachtung bedarf die Frage, ob die beiden Beschwerdeführerinnen persönlich zur Erhebung des Rechtsmittels berechtigt sind.
2.1.
2.1.1. Die Vorinstanz ist davon ausgegangen, A.A._ leide an schwerer Demenz. Daher sei sie nicht mehr imstande, sich zur Frage der Beistandsperson zu äussern oder selber einen Vorschlag zu machen. Nach der Rechtsprechung gelte eine im Zeitpunkt der Beschwerdeeinreichung umfassend verbeiständete Person mit Bezug auf die Frage nach ihrer eigenen Handlungs- und Prozessfähigkeit indessen als prozessfähig (Urteil 5A_101/2014 vom 6. März 2014 E. 1.2). Diese Überlegung sei hier sinngemäss einschlägig. Der vom Verwaltungsgericht zitierte Grundsatz bezieht sich auf die besondere Situation, dass Eintretens- und materielle Streitfrage identisch sind. Hier ist indessen nicht die Einschränkung der Handlungsfähigkeit im Erbschaftsprozess strittig, sondern allein die Person des Prozessbeistandes. Entscheidend ist daher die Feststellung der Vorinstanz, dass die Betroffene selber nicht mehr in der Lage ist, sich über die Person der Prozessbeiständin einen Willen zu bilden und diesen zu äussern. B.A._ bestreitet nicht, dass ihre Mutter an einer fortgeschrittenen Demenzerkrankung leidet. Was deren Auswirkungen betrifft, so wird in der Beschwerde nicht substantiiert dargetan, inwiefern das kantonale Gericht die betreffenden Verhältnisse willkürlich festgestellt habe (Art. 97 Abs. 1 sowie 105 Abs. 1 und 2 BGG; <ref-ruling> E. 1.3.1 S. 18).
Somit war und ist A.A._ im erwachsenenschutzrechtlichen Verfahren nicht prozessfähig. Unter diesen Umständen könnte sie ihre Tochter B.A._ auch nicht mehr bevollmächtigen, damit sie das Verfahren in ihrem Namen führe (vgl. Urteil 5A_785/2011 vom 6. Januar 2012 E. 1.2.3). Im Übrigen hat das Verwaltungsgericht zu Recht festgehalten, dass die am 21. Oktober 2005 aufgesetzte öffentliche Urkunde ("Altersverfügung"), mit welcher B.A._ von ihrer Mutter ermächtigt wird, ihre administrativen Angelegenheiten zu besorgen, darunter die Vertretung "im Verkehr mit Gerichten", nicht auch die Befugnis einschliesst, darüber zu entscheiden, ob und mit welchen Begehren im Namen der Vollmachtgeberin der Rechtsweg beschritten werden soll.
2.1.2. Nach dem Gesagten ist auf die Beschwerde nicht einzutreten, soweit sie im Namen von A.A._ erhoben worden ist.
2.2. Zu prüfen bleibt die Beschwerdelegitimation von B.A._.
2.2.1. Nach <ref-law> ist zur Beschwerde in Zivilsachen berechtigt, wer vor der Vorinstanz am Verfahren teilgenommen hat oder keine Möglichkeit zur Teilnahme erhalten hat (lit. a), durch den angefochtenen Entscheid oder Erlass besonders berührt ist und ein schutzwürdiges Interesse an dessen Aufhebung oder Änderung hat (lit. b). Ein praktisches und aktuelles Interesse an der Aufhebung oder Änderung des angefochtenen Entscheids genügt (Klett, Basler Kommentar zum BGG, 2. Aufl. 2011, N. 4 zu <ref-law>). Gemäss revidierter, seit 1. Januar 2011 gültiger Fassung von <ref-law> ist ein rechtlich geschütztes Interesse nicht mehr erforderlich (von Werdt/Güngerich, Bundesgerichtsgesetz [BGG], Seiler et al. [Hrsg.], 2. Aufl. 2015, N. 8 f. zu <ref-law>).
2.2.2. Vor Bundesgericht wird grundsätzlich ein eigenes schutzwürdiges Interesse der beschwerdeführenden Person vorausgesetzt (URTEILE 5A_911/2015 VOM 21. JANUAR 2016 E. 3.1, 5A_649/2015 VOM 2. OKTOBER 2015 E. 3, 5A_674/2015 VOM 29. SEPTEMBER 2015 E. 1.2, 5A_399/2015 VOM 27. JULI 2015 E. 2). Soweit B.A._ Interessen ihrer Mutter geltend macht, ist sie nicht legitimiert, im eigenen Namen Beschwerde zu führen; ein Fall von Prozessstandschaft (vgl. <ref-ruling> E. 3.2 S. 29) ist nicht gegeben. Die Ausnahmebestimmung von <ref-law>, wonach Personen, welche der betroffenen Person nahestehen, befugt sind, gegen Entscheide der Erwachsenenschutzbehörde Beschwerde zu führen, gilt für den kantonalen Rechtsweg. Vor Bundesgericht richtet sich die Beschwerdebefugnis einzig nach <ref-law> (Urteile 5A_295/2015 vom 29. Juni 2015 E. 1.2.1 und 5A_345/2015 vom 3. Juni 2015 E. 1.2.2).
2.2.3. Gemäss <ref-law> berücksichtigt die Erwachsenenschutzbehörde, soweit tunlich, Wünsche der Angehörigen oder anderer nahestehender Personen. Aus dieser als verletzt gerügten Gesetzesbestimmung als solcher ergibt sich ebenfalls kein eigenes schutzwürdiges Interesse der Angehörigen B.A._. Vorschläge oder Einwendungen nach <ref-law> dienen dem öffentlichen Interesse an einem funktionierenden Erwachsenenschutz und dem individuellen Interesse der zu verbeiständenden Person, einen geeigneten Beistand zu erhalten (Ruth E. Reusser, Basler Kommentar, ZGB I, 5. Aufl. 2014, N. 19 zu <ref-law>).
2.2.4. Die Beschwerdeführerin benennt ein eigenes Interesse an der Aufhebung der strittigen Verfügung: Sie prozessiere im Streit um die Gültigkeit des Ehe- und Erbvertrages vor Obergericht an der Seite ihrer Mutter. Demnach müsse sie nach dem Willen der Vorinstanzen mit einer Prozessbeiständin zusammenarbeiten, deren Unabhängigkeit sie bestreite.
Es stellt sich die Frage, ob die Beschwerdeführerin mit diesen Ausführungen eine im Sinne von <ref-law> gesteigerte Beziehungsnähe zur Streitsache dargetan hat, das heisst, ob ein schutzwürdiges Interesse vorliegt in Form des praktischen Nutzens, den sie aus der Aufhebung oder Änderung des angefochtenen Entscheids zöge (vgl. <ref-ruling> E. 6.2 S. 312 [zu <ref-law>]). Dieser Nutzen läge aus Sicht der Beschwerdeführerin darin, dass sie den erbrechtlichen Prozess vor Obergericht nicht gemeinsam mit einer Prozessvertreterin der Mutter führen müsste, zu welcher sie kein Vertrauensverhältnis aufbauen könne.
Die beantragte Änderung oder Aufhebung des Entscheids muss den angestrebten Vorteil direkt bewirken. Diese Voraussetzung ist nicht gegeben, wenn der gewünschte Verfahrensausgang die Erreichung dieses Ziels nur indirekt begünstigt (vgl. Klett, a.a.O., N. 4a und 5 zu <ref-law>). So ist etwa die Vermutung von beschwerdeführenden Eltern, ein anderer Beistand ihrer Tochter werde sich bei der Frage des Entgelts für Betreuungsleistungen der Eltern grosszügiger zeigen, nicht legitimationsbegründend (erwähntes Urteil 5A_295/2015 vom 29. Juni 2015 E. 1.2.3.1). Auch im vorliegenden Fall träte der angestrebte Vorteil bei einer Gutheissung nicht unmittelbar ein: Weder steht fest, dass die Interessenlagen von Mutter und Tochter im erbrechtlichen Prozess effektiv deckungsgleich sind und bleiben, noch ist vorhersehbar, wie sich die bezeichnete Beiständin tatsächlich verhalten würde. Die Beschwerdeführerin ist daher auch unter den geltend gemachten besonderen Umständen nicht aus eigenem Interesse beschwerdelegitimiert.
2.3. Weiter bringt die Beschwerdeführerin vor, KESB und Verwaltungsgericht hätten ihre Mitwirkungsbefugnisse willkürlich beschnitten: So habe die Verwaltung das ihr als Angehöriger in <ref-law> eingeräumte Recht zur Beteiligung am Verfahren abgeschnitten, indem sie die Beiständin ernannt habe, ohne ihr Gesuch um eine Frist für einen eigenen Vorschlag abzuwarten. Die Vorinstanz wiederum habe verkannt, dass die Verfügung der KESB vom 16. September 2014 auf einem rechtsfehlerhaften Verfahren beruhe.
Damit macht sie sinngemäss eine formelle Rechtsverweigerung geltend (vgl. Reusser, a.a.O., N. 27 und 30 zu <ref-law>). Nachdem <ref-law> einer Angehörigen per se nicht ein schützenswertes Interesse an der Beschwerdeführung verleiht (oben E. 2.2.3), bliebe nur noch zu prüfen, ob sich die Legitimation allenfalls aus einer Verletzung von Verfahrensteilnahmerechten ergibt, deren Missachtung einer formellen Rechtsverweigerung gleichkommt (vgl. <ref-ruling> E. 1.1 S. 5; <ref-ruling> E. 1.3 S. 80; <ref-ruling> E. 3 S. 388). Diese Frage kann hier offen bleiben: Die Vorinstanz hat sich mit den Argumenten, welche die Beschwerdeführerin im Rahmen einer Mitwirkung nach <ref-law> einbringen will, bereits befasst. Würde die Legitimation bejaht - und die Sache folglich zur neuen Beurteilung an die Vorinstanz zurückgewiesen -, so wäre das kantonale Gericht angehalten, sich zu den bereits beurteilten Fragen erneut zu äussern. Die zitierte Praxis kann indessen nur den Weg zu einer Verfahrensteilnahme eröffnen und nicht die Wiederanhandnahme schon behandelter Fragen bewirken. Andernfalls würde der Beschwerdeführerin im Ergebnis eine Legitimation in der Sache selber eingeräumt.
2.4. Nach dem Gesagten ist auch auf die Beschwerde der B.A._ unter keinem der in Frage kommenden Gesichtspunkte einzutreten.
3.
Bei diesem Ausgang des Verfahrens werden die Beschwerdeführerinnen kostenpflichtig (<ref-law>). Sie haften solidarisch für die Gerichtskosten (<ref-law>). Parteientschädigungen sind keine zu sprechen (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 1'500.-- werden den Beschwerdeführerinnen unter Solidarhaft auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird den Parteien, der Kindes- und Erwachsenenschutzbehörde Nidwalden (KESB) und dem Verwaltungsgericht des Kantons Nidwalden, Verwaltungsabteilung, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 17. Juni 2016
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: von Werdt
Der Gerichtsschreiber: Traub