Sachverhalt:
A.
Mit Entscheid vom 4. Juni 2013 bewilligte das Bezirksgericht Bremgarten B._ auf ihr Gesuch hin die unentgeltliche Rechtspflege unter der Bedingung, dass binnen dreier Monate ein Ehescheidungsverfahren anhängig gemacht werde. Rechtsanwalt A._ wurde als ihr unentgeltlicher Rechtsvertreter eingesetzt.
Am 22. Juli 2013 reichte Rechtsanwalt A._ für B._ beim Bezirksgericht Bremgarten die Scheidungsklage gegen C._ ein. Das Bezirksgericht schied die Ehe mit Entscheid vom 1. März 2016 und regelte die Nebenfolgen der Scheidung. Die Gerichtskosten wurden den Parteien je zur Hälfte auferlegt und Parteientschädigungen wurden keine zugesprochen.
Am 7. April 2016 reichte Rechtsanwalt A._ seine Kostennote ein. Er beantragte, es sei festzustellen, dass ihm eine Entschädigung von insgesamt Fr. 45'095.50 zustehe. Davon seien ihm Fr. 34'023.35 vom Staat bzw. der Gerichtskasse Bremgarten auszurichten. Ausserdem sei festzustellen bzw. zu verfügen, dass B._ ihm Fr. 11'072.15 direkt zu bezahlen habe.
Mit Verfügung vom 20. Mai 2016 wies das Bezirksgericht die Gerichtskasse an, Rechtsanwalt A._ ein Honorar von Fr. 24'857.30 (inkl. Fr. 1'842.30 MWSt) auszubezahlen. Im Übrigen wies es seine Anträge ab. B._ wurde verpflichtet, dem Kanton Aargau dieses Honorar und die auferlegten Gerichtskosten nachzuzahlen, sobald sie dazu in der Lage ist.
B.
Gegen diese Verfügung erhob Rechtsanwalt A._ am 13. Juni 2016 Beschwerde an das Obergericht des Kantons Aargau. Er verlangte, von der Gerichtskasse ein Honorar von Fr. 38'175.40 ausbezahlt zu erhalten. Eventuell sei die angefochtene Verfügung mit der gerichtlichen Feststellung zu ergänzen, dass B._ ihm Fr. 13'318.10 (inkl. Fr. 1'841.30 MWSt) direkt zu bezahlen habe.
Mit Entscheid vom 12. September 2016 wies das Obergericht die Beschwerde ab.
C.
Am 24. Oktober 2016 hat Rechtsanwalt A._ (Beschwerdeführer) subsidiäre Verfassungsbeschwerde an das Bundesgericht erhoben. Er verlangt die Aufhebung des Entscheids des Obergerichts und die Rückweisung der Sache zur Neubeurteilung.
Das Bundesgericht hat die Akten beigezogen. Das Bezirksgericht und das Obergericht haben auf Vernehmlassung verzichtet.

Erwägungen:
1.
Nachdem das Bezirksgericht dem Beschwerdeführer ein Honorar von Fr. 24'857.30 zugesprochen hatte, war vor Obergericht nur noch die Differenz zur vom Beschwerdeführer geltend gemachten Gesamtforderung von Fr. 38'175.40 streitig, nämlich Fr. 13'318.10. Dieser Differenzbetrag stellt den für das bundesgerichtliche Verfahren massgeblichen Streitwert dar (Art. 51 Abs. 1 lit. a BGG). Ob das Obergericht die Entschädigung des Beschwerdeführers in einer reformatio in peius hätte kürzen können, womit der Streitwert gegebenenfalls sogar die Höhe der Gesamtforderung von Fr. 38'175.40 erreichen könnte, braucht nicht entschieden zu werden, da selbst dann, wenn diese Möglichkeit bestünde, auf die abstrakte Möglichkeit einer reformatio in peius bei der Streitwertbestimmung nicht abzustellen ist (Urteil 9C_125/2011 vom 7. Juni 2011 E. 1.6). Der Streitwert erreicht damit die für eine Beschwerde in Zivilsachen erforderliche Grenze nicht (Art. 74 Abs. 1 lit. b BGG). Der Beschwerdeführer macht keine Rechtsfrage von grundsätzlicher Bedeutung geltend (Art. 74 Abs. 2 lit. a BGG; zur entsprechenden Begründungsobliegenheit <ref-ruling> E. 2.2.2.1 S. 442). Die Beschwerde ist demnach wie von ihm verlangt als subsidiäre Verfassungsbeschwerde zu behandeln.
Die Beschwerde hat ein Rechtsbegehren zu enthalten (Art. 42 Abs. 1 BGG). Da die subsidiäre Verfassungsbeschwerde (gleich wie die Beschwerde in Zivilsachen) ein reformatorisches Rechtsmittel ist (Art. 117i.V.m. Art. 107 Abs. 2 BGG), darf sich die beschwerdeführende Partei grundsätzlich nicht darauf beschränken, die Aufhebung des angefochtenen Entscheids zu beantragen und die Rückweisung zu neuer Entscheidung zu verlangen, sondern muss einen Antrag in der Sache stellen (<ref-ruling> E. 3.1 S. 489 f.). Der Beschwerdeführer stellt einzig einen Aufhebungs- und Rückweisungsantrag, was nach dem Gesagten grundsätzlich nicht genügt. Vorliegend ergibt sich jedoch aus der Beschwerdebegründung, in deren Lichte die Begehren auszulegen sind (<ref-ruling> E. 6.2 S. 622), dass der Beschwerdeführer nach wie vor den Honorardifferenzbetrag von Fr. 13'318.10 von seiner ehemaligen Klientin erstattet haben will. Insoweit erweist sich die Verfassungsbeschwerde als zulässig. Der Beschwerdeführer hat auch ein rechtlich geschütztes Interesse an der Aufhebung oder Änderung des angefochtenen Entscheids (Art. 115 lit. b BGG). Zwar hat der Beschwerdeführer nach den Feststellungen der Vorinstanz nicht behauptet, B._ sei bereits finanziell zur Nachzahlung fähig. Dennoch hat er ein Interesse an der Prüfung, ob der ihm von der Vorinstanz auferlegte Rechtsweg zutrifft oder ob er auf dem von ihm eingeschlagenen Weg einen Anspruch auf Feststellung seines Nachzahlungsanspruchs hat, zumal er davon auszugehen scheint, dass es dafür auf die aktuelle Fähigkeit von B._ zur Nachzahlung gar nicht ankommt. Ob seine Auffassung zutrifft, beschlägt die Begründetheit der Beschwerde, nicht sein rechtliches Interesse daran.
Mit der Verfassungsbeschwerde kann einzig die Verletzung verfassungsmässiger Rechte gerügt werden (Art. 116 BGG). Diesen Vorwurf prüft das Bundesgericht nicht von Amtes wegen, sondern nur insoweit, als eine entsprechende Rüge in der Beschwerde vorgebracht und begründet worden ist (Art. 117 i.V.m. Art. 106 Abs. 2 BGG). Dies bedeutet, dass klar und detailliert anhand der Erwägungen des angefochtenen Entscheids darzulegen ist, inwiefern verfassungsmässige Rechte verletzt worden sein sollen (<ref-ruling> E. 1.2 S. 234; <ref-ruling> E. 3.2 S. 88).
2.
Vor Bundesgericht verlangt der Beschwerdeführer den Differenzbetrag von Fr. 13'318.10 nicht mehr unter dem Titel der Entschädigung des unentgeltlichen Rechtsvertreters durch den Staat, sondern einzig noch als Nachzahlung durch seine ehemalige Klientin. Die Höhe der amtlichen Entschädigung ist somit nicht mehr Verfahrensgegenstand.
Das Obergericht hat festgehalten, es sei in der Lehre umstritten, ob sich einzig der Staat auf die Nachzahlungspflicht (Art. 123 ZPO) berufen könne oder ob gestützt darauf auch der unentgeltliche Rechtsvertreter die Differenz zwischen der ihm vom Kanton ausgerichteten Entschädigung und dem vollen Honorar verlangen dürfe. Das Bundesgericht habe die Frage noch nicht entschieden. Das Obergericht hat nach eingehender Diskussion dem unentgeltlichen Rechtsvertreter im Grundsatz einen solchen Anspruch auf Differenzzahlung zugestanden. Dieser Grundsatzentscheid ist aufgrund der Parteikonstellation nicht umstritten und demnach nicht Gegenstand des bundesgerichtlichen Verfahrens.
Des Weiteren hat das Obergericht erwogen, das Nachzahlungsverfahren sei in der ZPO nicht geregelt, weshalb die Legiferierungskompetenz beim Kanton liege. Gemäss § 22 Abs. 2 des Einführungsgesetzes vom 23. März 2010 zur Schweizerischen Zivilprozessordnung (EG ZPO; SAR 221.200) sei die Nachzahlung vom Gericht anzuordnen, das in der Sache erstmals entschieden habe. Soweit der Beschwerdeführer vor Obergericht sinngemäss beantrage, seine ehemalige Klientin sei zur Nachzahlung zu verpflichten, sei dieses Begehren in einem Nachzahlungsverfahren geltend zu machen. Dass die Voraussetzungen dafür erfüllt seien (Nachzahlungsfähigkeit aufgrund weggefallener Bedürftigkeit), behaupte er selber nicht. Insoweit sei auf das Begehren nicht einzutreten. Soweit er lediglich die Feststellung einer künftigen, betraglich konkretisierten Differenzzahlungsverpflichtung beantrage, bestehe kein schutzwürdiges Interesse, da der Betrag, um den das Honorar gekürzt worden sei, aus der Begründung der Verfügung vom 20. Mai 2016 hervorgehe.
3.
3.1. Der Beschwerdeführer rügt willkürliche Rechtsanwendung (Art. 9 BV). Es sei aktenwidrig, dass sich der Kürzungsbetrag aus der Verfügung vom 20. Mai 2016 ablesen lasse. Sodann habe das Obergericht erwogen, für das Nachzahlungsverfahren sei die Zentrale Inkassostelle der Justizverwaltung zuständig. Diese kümmere sich aber nur um die Rückzahlung vom Staat ausgerichteter Zahlungen und nicht um Ansprüche der Anwälte. Das Obergericht verunmögliche ihm mit seiner Entscheidung die Geltendmachung der Entschädigung von Fr. 13'318.10. Er verfüge über keinen Rechtsöffnungstitel und könne auch kein Zivilverfahren anstrengen, da das Bezirksgericht festgehalten habe, ihm stehe ein solcher Anspruch nicht zu. Ein Nachzahlungsverfahren könne nur durch die Zentrale Inkassostelle der Justizverwaltung durchgeführt werden, die aber gerade nicht für Anwälte tätig werde. Ausserdem sei der zurückzufordernde Betrag auch nie in einem Entscheid verbindlich festgehalten und vom Staat ausbezahlt worden, was weitere Voraussetzungen eines Nachzahlungsverfahrens seien.
3.2. Willkürlich ist ein Entscheid nach konstanter Praxis nicht schon dann, wenn eine andere Lösung ebenfalls als vertretbar oder gar zutreffender erscheint. Willkür in der Rechtsanwendung liegt nur vor, wenn der angefochtene Entscheid offensichtlich unhaltbar ist, mit der tatsächlichen Situation in klarem Widerspruch steht, eine Norm oder einen unumstrittenen Rechtsgrundsatz krass verletzt oder in stossender Weise dem Gerechtigkeitsgedanken zuwiderläuft; dabei ist erforderlich, dass der Entscheid nicht nur in der Begründung, sondern auch im Ergebnis willkürlich ist (<ref-ruling> E. 2.1 S. 18 f. mit Hinweisen).
3.3. Was zunächst die Rüge betrifft, der Differenzbetrag gehe nicht aus der Verfügung vom 20. Mai 2016 hervor, so setzt sich der Beschwerdeführer nicht genügend mit der Erwägung des Obergerichts auseinander, dass dieser Betrag der Begründung jener Verfügung entnommen werden könne. Im Übrigen ist nicht ersichtlich, welches Interesse er an dieser Rüge hat, da der Betrag aus dem angefochtenen Entscheid des Obergerichts hervorgeht. In diesem Zusammenhang wird allerdings nicht restlos klar, ob das Obergericht der Ansicht ist, dass die Höhe dieses Betrags im Nachzahlungsverfahren (etwa durch die ehemalige Klientin des Beschwerdeführers, B._) noch in Frage gestellt werden kann. Das Obergericht hält insoweit an einer Stelle fest, der Nachzahlungsrichter habe auch über die Nachzahlungspflicht (und deren Modalitäten) zu befinden. An anderer Stelle führt es jedoch aus, der Nachzahlungsrichter stelle bloss die Nachzahlungsfähigkeit des Schuldners fest hinsichtlich der bereits im Verfahren betreffend Honorierung der unentgeltlichen Rechtsvertretung festgesetzten Entschädigung. In diesem Sinne hat das Obergericht festgehalten, der Differenzbetrag, der im Nachzahlungsverfahren gefordert werden könne, gehe aus der Begründung der Verfügung vom 20. Mai 2016 hervor. Wie es sich mit der Kompetenz des Nachzahlungsrichters nach der obergerichtlichen Auffassung genau verhält, kann offen bleiben. Es ist nicht Aufgabe des Bundesgerichts, den obergerichtlichen Entscheid zu erläutern. Selbst wenn es der Auffassung des Obergerichts entsprechen sollte, dass der Nachzahlungsrichter die Höhe des Nachzahlungsanspruchs (dessen grundsätzliches Bestehen vorliegend - wie bereits gesagt - nicht überprüft werden kann; vgl. oben E. 2) in Frage stellen kann und die Höhe des Anspruchs des Beschwerdeführers deshalb noch nicht fixiert ist, erschiene dies keineswegs als willkürlich. Die entsprechende Klärung erfolgt dann eben im Nachzahlungsverfahren. Wäre das Obergericht hingegen der Auffassung, dass die Höhe des Anspruchs bereits im Verfahren auf Festsetzung des Honorars des unentgeltlichen Rechtsvertreters festgesetzt wird (bzw. vorliegend festgesetzt wurde) und es im Nachzahlungsverfahren nur noch um die Feststellung der Nachzahlungsfähigkeit des Nachzahlungsschuldners (B._) geht, so müsste sichergestellt werden, dass der Nachzahlungsschuldner in das Verfahren um Festsetzung des Honorars des unentgeltlichen Rechtsvertreters einbezogen wird. Er wird dann nämlich dadurch in seiner Rechtsstellung berührt, obschon es in diesem Verfahren primär um einen Anspruch des unentgeltlichen Rechtsvertreters gegen den Staat geht.
Was das vom Obergericht vorgesehene Nachzahlungsverfahren angeht, liegt ebenfalls keine Willkür vor. Es ist entgegen der Auffassung des Beschwerdeführers nicht ersichtlich, dass die Durchsetzung seines vom Obergericht bejahten Nachzahlungsanspruchs durch die vom Obergericht vorgesehene Ausgestaltung des Nachzahlungsverfahrens vereitelt würde. Es trifft zwar zu, dass das Obergericht Ausführungen zur Zentralen Inkassostelle der Justizverwaltung gemacht hat und insbesondere festgehalten hat, die Inkassostelle ersuche den Nachzahlungsrichter um Einleitung eines Nachzahlungsverfahrens, wenn keine Einigung mit dem Nachzahlungsschuldner über die Nachzahlung erzielt werden könne. Diese Ausführungen stehen offenbar im Zusammenhang mit der Abgrenzung der Kompetenzen des Nachzahlungsrichters und der Inkassostelle. Es entspricht jedoch soweit ersichtlich nicht der Auffassung des Obergerichts, dass der Beschwerdeführer an die Inkassostelle gelangen müsste, damit diese seine Ansprüche wahrnehme (was sie angeblich nicht könnte). Vielmehr liegt es nach Auffassung des Obergerichts an ihm selber, ein Nachzahlungsverfahren vor dem zuständigen Gericht in die Wege zu leiten. Was daran willkürlich sein soll, ist nicht ersichtlich. Je nachdem, welchen Inhalt das Nachzahlungsverfahren haben soll (vgl. vorhergehenden Absatz) kann auf diesem Wege sichergestellt werden, dass die Nachzahlungsschuldnerin (B._) entweder zur Frage Stellung nehmen kann, ob ein Nachzahlungsanspruch im Grundsatz besteht und welche Höhe dieser Anspruch gegebenenfalls hat, oder dann immerhin dazu, ob sie finanziell zur Nachzahlung in der Lage ist.
Die Beschwerde ist insoweit unbegründet, soweit auf sie eingetreten werden kann.
4.
Unabhängig vom Prozessausgang in der Hauptsache rügt der Beschwerdeführer auch die obergerichtliche Kostenverteilung als willkürlich. Das Obergericht habe seinen Anspruch - anders als das Bezirksgericht - grundsätzlich gutgeheissen. Die Gerichtskosten wären demnach vom Kanton zu tragen gewesen und ihm sei eine angemessene Entschädigung zuzusprechen.
Der Beschwerdeführer ist vor Obergericht mit seinen Anträgen unterlegen. Es ist demnach nicht ersichtlich, weshalb es willkürlich gewesen sein sollte, ihm die entsprechenden Gerichtskosten aufzuerlegen (Art. 106 Abs. 1 ZPO). Entsprechendes gilt für die Parteientschädigung. Ohnehin beziffert er seine Entschädigungsforderung nicht, womit auf diesen Punkt nicht einzutreten ist (vgl. oben E. 1).
Auch insoweit ist die Beschwerde abzuweisen, soweit auf sie eingetreten werden kann.
5.
Bei diesem Ausgang des Verfahrens trägt der Beschwerdeführer die Gerichtskosten (Art. 66 Abs. 1 BGG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Verfassungsbeschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 1'500.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten, B._ und dem Obergericht des Kantons Aargau, Zivilgericht, 3. Kammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 14. Juli 2017
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: von Werdt
Der Gerichtsschreiber: Zingg