Sachverhalt:
A.
A._ wurde vom Bezirksgericht Lenzburg mit Urteil vom 1. November 2013 wegen Raufhandel und mehrfacher versuchter schwerer Körperverletzung verurteilt. Dagegen erhob er Berufung ans Obergericht des Kantons Aargau. Mit Verfügung vom 3. November 2014 wurde die ursprünglich auf den 5. November 2014 angesetzte Berufungsverhandlung abgesagt und das Verfahren wegen der Verhandlungsunfähigkeit des Beschuldigten sistiert. Am 1. Oktober 2015 wurde die Sistierung aufgehoben. Das Obergericht setzte die Berufungsverhandlung in der Folge auf den 28. Januar 2016 an.
Mit Eingabe vom 21. Januar 2016 verlangte A._ den Ausstand des verfahrensleitenden Oberrichters Jann Six. Mit Beschluss vom 25. Januar 2016 wies das Obergericht das Ausstandsbegehren ab.
B.
Mit Beschwerde in Strafsachen ans Bundesgericht vom 9. März 2016 beantragt A._, der Beschluss des Obergerichts vom 25. Januar 2016 sei aufzuheben und der Ausstand von Oberrichter Six anzuordnen.
Die Oberstaatsanwaltschaft und das Obergericht schliessen auf Abweisung der Beschwerde. Oberrichter Six hat sich vernehmen lassen, ohne einen förmlichen Antrag zu stellen. In seiner Stellungnahme dazu hält der Beschwerdeführer an seinen Anträgen fest.

Erwägungen:
1.
Beim angefochtenen Urteil handelt es sich um einen selbständig eröffneten Zwischenentscheid über ein Ausstandsbegehren in einer Strafsache (Art. 78 Abs. 1 und Art. 92 Abs. 1 BGG). Das Obergericht hat als letzte und einzige kantonale Instanz entschieden (<ref-law> i.V.m. <ref-law>).
Der Beschwerdeführer ist gemäss Art. 81 Abs. 1 lit. a und lit. b Ziff. 1 BGG zur Beschwerde befugt. Er hat nach wie vor ein aktuelles praktisches Interesse an der Behandlung der Beschwerde, auch wenn das Obergericht inzwischen (am 25. Februar 2016) sein Urteil gefällt hat. Nach <ref-law> sind Amtshandlungen, an denen eine zum Ausstand verpflichtete Person mitgewirkt hat, aufzuheben und zu wiederholen, sofern dies eine Partei innert 5 Tagen verlangt, nachdem sie vom Entscheid über den Ausstand Kenntnis erhalten hat. Der Beschwerdeführer kann somit bei Gutheissung der Beschwerde die Aufhebung und Wiederholung von Amtshandlungen verlangen, an denen der Beschwerdegegner mitgewirkt hat (Urteil 1B_419/2014 vom 27. April 2015 E. 1, nicht publ. in <ref-ruling>).
Die weiteren Sachurteilsvoraussetzungen geben zu keinen Bemerkungen Anlass. Auf die Beschwerde ist einzutreten.
2.
2.1. Der Beschwerdeführer ist der Auffassung, Oberrichter Six habe sich eine Reihe von Fehlern zu Schulden kommen lassen. Diese und der Ton, den er in seinen Verfügungen angeschlagen habe, zeigten, dass er befangen sei.
2.2. <ref-law> zählt verschiedene Gründe auf, die zum Ausstand von in einer Strafbehörde tätigen Personen führen. Nach <ref-law> trifft dies namentlich aus anderen (als den in lit. a-e der gleichen Bestimmung genannten) Gründen zu, insbesondere wenn die in der Strafverfolgung tätige Person wegen Freundschaft oder Feindschaft mit einer Partei oder deren Rechtsbeistand befangen sein könnte. <ref-law> konkretisiert die Verfassungsbestimmung von <ref-law> sowie Art. 6 Ziff. 1 EMRK. Danach hat jede Person Anspruch darauf, dass ihre Sache von einem unparteiischen, unvoreingenommenen und unbefangenen Richter unter Einschluss weiterer am Entscheid wesentlich beteiligter Gerichtspersonen (insbesondere Gerichtsschreibern) ohne Einwirken sachfremder Umstände entschieden wird. Die Garantie des verfassungsmässigen Richters soll zu der für einen korrekten und fairen Prozess erforderlichen Offenheit des Verfahrens im Einzelfall beitragen und damit ein gerechtes Urteil ermöglichen. Sie wird verletzt, wenn bei objektiver Betrachtung Gegebenheiten vorliegen, die den Anschein der Befangenheit oder die Gefahr der Voreingenommenheit zu begründen vermögen. Solche Umstände können entweder in einem bestimmten Verhalten der betreffenden Gerichtsperson oder in gewissen äusseren Gegebenheiten funktioneller und organisatorischer Natur begründet sein. Bei der Anwendung von <ref-law> ist entscheidendes Kriterium, ob bei objektiver Betrachtungsweise der Ausgang des Verfahrens noch als offen erscheint (zum Ganzen: <ref-ruling> E. 2.2 S. 242; <ref-ruling> E. 4.1 S. 221 f.; <ref-ruling> E. 2.1 S. 229; Urteil 1B_297/2013 vom 11. Oktober 2013 E. 2.2; je mit Hinweisen).
Wird der Ausstandsgrund aus materiellen oder prozessualen Rechtsfehlern abgeleitet, so sind diese nur wesentlich, wenn sie besonders krass sind und wiederholt auftreten, sodass sie einer schweren Amtspflichtverletzung gleichkommen und sich einseitig zulasten einer der Prozessparteien auswirken; andernfalls begründen sie objektiv keinen Anschein der Befangenheit (Urteil 1B_297/2013 vom 11. Oktober 2013 E. 2.2; <ref-ruling> E. 3b S. 404; je mit Hinweisen).
3.
3.1. Der Beschwerdeführer weist zunächst darauf hin, dass Oberrichter Six in der Verfügung vom 17. August 2015 davon ausgegangen sei, er wohne in U._, obwohl sogar im Rubrum der korrekte Wohnort V._ angegeben gewesen sei. Wie die Vorinstanz zu Recht festhält, handelt es sich dabei um ein offensichtliches Versehen. Dass dieses irgendwelche praktischen Auswirkungen gehabt hätte, ist weder ersichtlich noch wird solches vom Beschwerdeführer geltend gemacht.
3.2. Weiter beanstandet der Beschwerdeführer, dass Oberrichter Six in der Verfügung vom 1. Oktober 2015, welche an alle Prozessparteien versandt worden sei, höchst sensible medizinische Daten preisgegeben habe. In jener Verfügung setzte sich Oberrichter Six mit einem ärztlichen Zeugnis, das der Beschwerdeführer eingereicht hatte, auseinander und legte dar, weshalb dieses eine weitere Verfahrenssistierung nicht rechtfertige. Im Rahmen seiner Begründungspflicht nach <ref-law> kam er dabei nicht umhin, die vom Beschwerdeführer selbst vorgebrachten gesundheitlichen Probleme zu thematisieren.
3.3. Oberrichter Six trat mit Verfügung vom 15. Januar 2016 auf das Gesuch des Beschwerdeführers, Rechtsanwalt Karakök sei als amtlicher Verteidiger einzusetzen, nicht ein. Der Beschwerdeführer weist darauf hin, dass er gegen diesen Entscheid Beschwerde ans Bundesgericht erhoben habe, legt jedoch nicht dar, inwiefern in dieser Beziehung ein Verfahrensfehler vorliegen soll.
3.4.
3.4.1. Schliesslich rügt der Beschwerdeführer die Vorgehensweise von Oberrichter Six im Zusammenhang mit der auf den 28. Januar 2016 anberaumten Berufungsverhandlung. Er habe am 20. Januar 2016 ein Dispensationsgesuch gestellt. Mit einer Verfügung vom gleichen Tag habe der Verfahrensleiter dem Gesuch stattgegeben und ihm gleichzeitig eine Frist bis zum 26. Januar 2016 angesetzt, um seine Anträge schriftlich einzureichen und zu begründen, wobei die Eingabe bis zu diesem Datum beim Gericht habe eintreffen müssen. Der Verfahrensleiter habe unter anderem erwogen, er habe es selbst zu vertreten, dass er sein Gesuch so kurz vor der Berufungsverhandlung stelle und die Frist entsprechend kurz ausfalle. Diese Bemerkung sei angesichts seiner Krankheit nicht nachvollziehbar. Die Anordnung betreffend das Einhalten der Frist widerspreche zudem <ref-law>, wonach die Aufgabe bei der Post innerhalb der Frist ausreiche. Darüber hinaus habe er später aus dem Internet erfahren, dass die Hauptverhandlung ohnehin abgesagt worden sei. Er warte noch heute auf eine Begründung.
3.4.2. Die Vorinstanz führte in dieser Hinsicht im angefochtenen Beschluss unter anderem aus, der Beschwerdeführer scheine die Dispensation gemäss <ref-law> mit dem schriftlichen Verfahren gemäss <ref-law> zu verwechseln, wenn er behaupte, die Verhandlung vom 28. Januar 2016 sei abgesagt worden. Dies sei zunächst aktenwidrig. Oberrichter Six habe mit der Verfügung vom 20. Januar 2016 die Verhandlung nicht abgesetzt, sondern festgehalten, dass der Beschuldigte von der Teilnahme daran dispensiert werde. Dass er zudem aufgefordert worden sei, bis am 26. Januar 2016 seine Anträge schriftlich begründet einzureichen, liege insbesondere daran, dass damit nicht bis zum Tag der mündlichen Berufungsverhandlung zugewartet werden könne.
In ihrer Vernehmlassung im bundesgerichtlichen Verfahren hält die Vorinstanz weiter fest, der Beschwerdeführer habe nicht aus dem Internet von der Absetzung der Hauptverhandlung erfahren. Vielmehr sei er auf seinen eigenen Antrag hin von der Teilnahme daran dispensiert worden.
3.4.3. Aus den Akten ergeben sich keine Hinweise darauf, dass für die Berufungsverhandlung das schriftliche Verfahren gemäss <ref-law> angeordnet worden wäre. Während die Vorinstanz dem Beschwerdeführer im angefochtenen Entscheid zunächst vorhielt, die Dispensation nach <ref-law> mit der Anordnung des schriftlichen Verfahrens nach <ref-law> zu verwechseln, geht sie nun offenbar davon aus, dass die Dispensation der Mitteilung der Absetzung der Hauptverhandlung gleichzusetzen ist. Wie es sich damit im Einzelnen verhält, braucht vorliegend jedoch nicht erörtert zu werden. Ist der Beschwerdeführer der Auffassung, es sei zu Unrecht das schriftliche Verfahren durchgeführt worden, wird er dies gegebenenfalls im Rahmen einer Beschwerde gegen das inzwischen ergangene Urteil des Obergerichts geltend machen können. Ein dem Verfahrensleiter zuzurechnender, krasser Verfahrensfehler ist darin jedenfalls nicht zu erblicken, zumal der Beschwerdeführer nicht darlegt, inwiefern ihm daraus ein konkreter Nachteil erwachsen wäre. Dasselbe gilt hinsichtlich der kurz bemessenen Frist für das Einreichen schriftlich begründeter Anträge und der von <ref-law> abweichenden Anordnung bezüglich der Einhaltung der Frist, auch wenn das Vorgehen des Verfahrensleiters im Rückblick nicht sinnvoll erscheint. Schliesslich ist auch die Bemerkung, der Beschwerdeführer habe die kurze Frist selbst zu vertreten, nicht respektlos oder sonstwie unangebracht. Sie impliziert keine Schuldzuweisung, sondern kann so verstanden werden, dass der Grund für die kurze Frist in der Sphäre des Beschwerdeführers zu verorten und deshalb ihm zuzurechnen sei.
4.
Das Obergericht hat somit kein Bundesrecht verletzt, wenn es einen Ausstandsgrund verneinte. Die Beschwerde ist abzuweisen.
Der Beschwerdeführer ersucht um unentgeltliche Prozessführung und Rechtsverbeiständung. Da sein Begehen aussichtslos erscheint, ist das Gesuch abzuweisen (<ref-law>). Unter den gegebenen Umständen ist jedoch auf die Erhebung von Gerichtskosten zu verzichten (<ref-law>). Eine Parteientschädigung ist nicht zuzusprechen (Art. 68 Abs. 1 und 2 BGG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen.
2.
Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege wird abgewiesen.
3.
Es werden keine Gerichtskosten erhoben.
4.
Es wird keine Parteientschädigung zugesprochen.
5.
Dieses Urteil wird den Parteien, der Oberstaatsanwaltschaft und dem Obergericht des Kantons Aargau, Strafgericht, 1. Kammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 26. Mai 2016
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Fonjallaz
Der Gerichtsschreiber: Dold