Sachverhalt:
A.
A.a. Das 2. Schwurgericht von Gaziantep in der Türkei verurteilte A._ mit Urteil vom 2. Mai 1989 zu einer lebenslänglichen Freiheitsstrafe. Der türkische Staatsangehörige kurdischer Ethnie war schuldig befunden worden, am 9. November 1988 aus Blutrache B._ erschossen zu haben. A._ habe sich mit dieser Tat für die Tötung seines Vaters durch den Sohn B._s gerächt. Das Urteil wurde von der Strafkammer des türkischen Kassationsgerichts mit Beschluss vom 23. Oktober 1989 bestätigt und ist rechtskräftig.
Mit Note vom 5. Oktober 2011 wurde der Schweiz ein Auslieferungsersuchen der Oberstaatsanwaltschaft Gaziantep vom 15. August 2011 übermittelt.
A.b. Gestützt auf das Auslieferungsgesuch erliess das Bundesamt für Justiz (BJ) am 7. Juni 2012 einen Auslieferungshaftbefehl. Am 21. Juni 2012 wurde A._ in Dübendorf festgenommen, eine Woche später jedoch gegen eine Kaution von Fr. 100'000.-- und unter Anordnung einer Schriftensperre und einer Meldepflicht vom BJ wieder entlassen.
A._ nahm in verschiedenen Schreiben Stellung zum Auslieferungsgesuch und erhob dabei die Einrede des politischen Delikts.
Mit Note vom 12. Juli 2012 ersuchte das BJ die türkische Botschaft in Bern um ergänzende Informationen und die Abgabe von Garantien zum Schutz von A._.
A.c. Mit Auslieferungsentscheid vom 18. Juli 2014 bewilligte das BJ die Auslieferung von A._ an die Türkei für die dem Auslieferungsersuchen zugrunde liegenden Straftaten. Der Auslieferungsentscheid erfolge unter Vorbehalt des Entscheids des Bundesstrafgerichts über die Einrede des politischen Delikts im Sinne von <ref-law> (SR 351.1). Die Haftkaution in der Höhe von Fr. 100'000.-- werde gestützt auf <ref-law> zur Deckung der Kosten des Auslieferungsverfahrens verwendet, ein allfälliger Überschuss zurückerstattet.
Dagegen erhob A._ Beschwerde beim Bundesstrafgericht.
Mit Entscheid vom 7. Mai 2015 vereinte das Bundesstrafgericht das Verfahren betreffend die Einrede des politischen Delikts und das Beschwerdeverfahren (Dispositiv-Ziffer 1) und wies sowohl die Einrede (Dispositiv-Ziffer 2) als auch die Beschwerde (Dispositiv-Ziffer 3) ab.
Am 15. Mai 2015 wurde A._ in Auslieferungshaft versetzt.
B.
Eine von A._ gegen den Entscheid des Bundesstrafgerichts erhobene Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten hiess das Bundesgericht mit Urteil 1C_274/2015 vom 12. August 2015 teilweise gut, hob die Dispositiv-Ziffern 3 und 4 des Entscheids des Bundesstrafgerichts auf und wies die Sache für weitere Abklärungen und zur neuen Beurteilung an das BJ zurück. Zur Begründung führte es aus, dass mit Blick auf die in Frage stehenden Rechtsgüter nur mit gutem Grund von den Sachverhaltsfeststellungen und den rechtlichen Erwägungen der Asylbehörden abzuweichen sei, welche noch anfangs 2014 davon ausgingen, dass im Falle einer Rückkehr von A._ in seinen Heimatstaat eine Verletzung von Art. 3 EMRK drohe (a.a.O., E. 6.3). Die weiteren Rügen des Beschwerdeführers erwiesen sich dagegen als unbegründet.
C.
Das wieder mit der Sache befasste BJ führte in der Folge weitere Abklärungen durch bei der schweizerischen Botschaft in Ankara, beim Staatssekretariat für Migration (SEM) und beim türkischen Ministerium für Justiz. Mit Entscheid vom 13. Oktober 2015 bewilligte es erneut die Auslieferung.
Mit Entscheid vom 16. März 2016 wies das Bundesstrafgericht eine von A._ dagegen erhobene Beschwerde ab, soweit es darauf eintrat.
D.
Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten ans Bundesgericht vom 29. März 2016 beantragt A._, der Entscheid des Bundesstrafgerichts und der Auslieferungsentscheid des BJ seien aufzuheben. Es sei festzustellen, dass die Auslieferung zwingenden völkerrechtlichen Bestimmungen widerspreche. Eventualiter sei die Sache für weitere Abklärungen ans BJ zurückzuweisen. Zudem sei für die erlittene Haft eine Entschädigung auszurichten, die von ihm geleistete Kaution zurückzuerstatten und eine Parteientschädigung zuzusprechen.
Das Bundesstrafgericht verweist in seiner Vernehmlassung auf den angefochtenen Entscheid. Das BJ beantragt, die Beschwerde sei abzuweisen, soweit darauf einzutreten sei. Zur Begründung verweist es auf seinen Auslieferungsentscheid vom 13. Oktober 2015. Der Beschwerdeführer hat dazu Stellung genommen.

Erwägungen:
1.
1.1. Gegen einen Entscheid auf dem Gebiet der internationalen Rechtshilfe in Strafsachen ist die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten unter den in <ref-law> genannten Voraussetzungen zulässig. Im vorliegenden Fall geht es um eine Auslieferung und damit um ein Sachgebiet, bei dem die Beschwerde nach <ref-law> insoweit möglich ist. Weiter ist erforderlich, dass es sich um einen besonders bedeutenden Fall handelt.
<ref-law> bezweckt die wirksame Begrenzung des Zugangs zum Bundesgericht im Bereich der internationalen Rechtshilfe in Strafsachen (<ref-ruling> E. 1.3.1 S. 160 mit Hinweisen). Ein besonders bedeutender Fall ist mit Zurückhaltung anzunehmen (<ref-ruling> E. 2.4 S. 144 mit Hinweis).
Ein besonders bedeutender Fall kann auch bei einer Auslieferung nur ausnahmsweise angenommen werden. In der Regel stellen sich insoweit keine Rechtsfragen, die der Klärung durch das Bundesgericht bedürfen, und kommt den Fällen auch sonst wie keine besondere Tragweite zu (<ref-ruling> E. 1.3.4 S. 161).
Bei der Beantwortung der Frage, ob ein besonders bedeutender Fall gegeben ist, steht dem Bundesgericht ein weiter Ermessensspielraum zu (<ref-ruling> E. 1.3.1 S. 160 mit Hinweis).
Nach <ref-law> entscheidet die Abteilung in Dreierbesetzung über Nichteintreten auf Beschwerden, bei denen kein besonders bedeutender Fall vorliegt (Abs. 1). Der Entscheid wird summarisch begründet und es kann ganz oder teilweise auf den angefochtenen Entscheid verwiesen werden (Abs. 3).
1.2. Vorliegend handelt es sich nicht um einen besonders bedeutenden Fall:
Über weite Strecken wirft der Beschwerdeführer Fragen auf, die das Bundesgericht bereits im Urteil vom 12. August 2015 beantwortet hat. So stellt er sich insbesondere erneut auf den Standpunkt, er werde wegen eines politischen Delikts verfolgt, dem türkischen Strafurteil seien schwere Verfahrensfehler vorangegangen und es basiere auf einem Folterbeweis. Weiter verweist er erneut auf seinen Gesundheitszustand und auf die angebliche Untauglichkeit von Garantien im Auslieferungsverfahren. In dieser Hinsicht kann auf die Erwägungen im Urteil vom 12. August 2015 verwiesen werden.
Auf Anfrage des BJ gab die schweizerische Botschaft in der Türkei mit Schreiben vom 14. September 2015 zur Auskunft, dass keine Hinweise auf einen Eintrag des Beschwerdeführers als "unbequeme Person" in der Datenbank GBTS bestünden. Ebensowenig gebe es Hinweise auf die Löschung eines entsprechenden Eintrags. Der Beschwerdeführer sei lediglich aufgrund der rechtskräftigen Verurteilung wegen Mord verzeichnet.
Das SEM führte in seinem Schreiben vom 2. September 2015 an das BJ aus, in Bezug auf den ausstehenden Strafvollzug könne die Gefahr einer menschenrechtswidrigen Behandlung in der Türkei weitgehend ausgeschlossen werden. Spezifische und erschwerende Umstände, die zu einem anderen Schluss führen könnten, lägen mit Blick auf den lange zurück liegenden und im Wesentlichen apolitischen Kernsachverhalt (Tötungsdelikt im Rahmen einer Familienfehde) nicht vor. An dieser Einschätzung würde das Bestehen eines politischen oder gemeinrechtlichen Datenblatts nichts ändern, zumal der Beschwerdeführer direkt dem Strafvollzug zugeführt werde und die Türkei in dieser Hinsicht umfassende und durch die Schweiz direkt überprüfbare Garantien abgegeben habe. Diese Garantien erklärten auch die unterschiedliche Beurteilung der Gefährdung einer Person im Asylverfahren, wo anders als im Auslieferungsverfahren derartige Garantien nicht zur Verfügung stünden. Aus diesem Grund könne die Einschätzung im Auslieferungsverfahren durchaus eine andere sein als im Asylverfahren, ohne dass deshalb von einer unzutreffenden Einschätzung durch die eine oder andere Behörde gesprochen werden müsse.
Die Ausführungen des SEM als Fachbehörde des Bundes überzeugen. Ihr wesentlicher Inhalt wurde dem Beschwerdeführer zur Kenntnis gebracht. Wenn das Bundesstrafgericht gestützt darauf zum Schluss kam, die Auslieferung verletze Art. 3 EMRK nicht, ist dies nicht zu beanstanden. Der angefochtene Entscheid ist zudem entgegen der Ansicht des Beschwerdeführers ausreichend begründet.
Ergänzend ist darauf hinzuweisen, dass das BJ in seiner Stellungnahme anbot, den türkischen Behörden ein aktuelles Arztzeugnis zu übergeben und sie auf eine Suizidgefahr und die notwendige Medikation hinzuweisen, falls dies vom Beschwerdeführer gewünscht werde. Diese Zusicherung ist verbindlich. Weiter hat die Türkei gegenüber der Schweiz eine Reihe von Garantieerklärungen abgegeben. Insbesondere hat sie zugesichert, die physische und psychische Integrität des Beschwerdeführers zu wahren und dessen Haftbedingungen nicht wegen seiner politischen Anschauungen und Aktivitäten, wegen seiner Zugehörigkeit zu einer bestimmten sozialen Gruppe oder aus Gründen der Rasse, Religion oder Volkszugehörigkeit zu erschweren. Dem Gesundheitszustand des Verfolgten während der Haft werde in gebührendem Masse Rechnung getragen, namentlich durch eine angemessene medizinische Betreuung. Schliesslich wird der Beschwerdeführer während der gesamten Dauer seines Gefängnisaufenthalts einen uneingeschränkten und unbeaufsichtigten Kontakt bzw. Zugang zu seinem Rechtsvertreter haben und können Vertreter der schweizerischen Botschaft den Beschwerdeführer jederzeit ohne Überwachungsmassnahmen besuchen. Diese Garantien sind rechtlich bindend.
Angesichts der ergänzenden Abklärungen, die im bundesgerichtlichen Urteil vom 12. August 2015 angeordnet wurden und nun erfolgt sind, ist der vorliegende Fall nicht mehr von aussergewöhnlicher Tragweite. Für das Bundesgericht besteht daher kein Anlass, die Sache erneut an die Hand zu nehmen.
2.
Die Beschwerde ist deshalb unzulässig.
Der Beschwerdeführer stellte ein Gesuch um Verzicht auf einen Kostenvorschuss, da er aufgrund der geleisteten Haftkaution derzeit illiquid sei (<ref-law>). Er sei jedoch nicht als bedürftig anzusehen und verzichte deshalb auf ein Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege (<ref-law>). Dementsprechend sind dem Beschwerdeführer die Gerichtskosten aufzuerlegen (<ref-law>). Eine Parteientschädigung ist nicht zuzusprechen (Art. 68 Abs. 1 und 2 BGG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 1'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer, dem Bundesamt für Justiz, Fachbereich Auslieferung, und dem Bundesstrafgericht, Beschwerdekammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 28. April 2016
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Fonjallaz
Der Gerichtsschreiber: Dold