Faits :
A.
Ressortissant ivoirien né en 1980, X._ a déposé une première demande d'asile le 7 août 2002, sous une fausse identité. Par décision du 10 janvier 2003, l'Office fédéral des migrations, devenu le Secrétariat d'Etat aux migrations le 1er janvier 2015 (ci-après: le Secrétariat d'Etat) n'est pas entré en matière sur cette requête et a prononcé son renvoi de Suisse. Le 20 avril 2004, l'intéressé a présenté une seconde demande d'asile, à nouveau sous une fausse identité. Par décision du 30 août 2004, le Secrétariat d'Etat a prononcé une décision de non-entrée en matière et de renvoi de Suisse. L'intéressé n'a pas recouru contre les décisions précitées et a disparu sans laisser d'adresse.
B.
B.a. Entre 2002 et 2008, X._ a été condamné en Suisse à quatre reprises:
- le 29 octobre 2002, par le "Bezirksamt" d'Aarau, à une peine d'emprisonnement de dix jours avec sursis, délai d'épreuve deux ans, pour infraction à la législation sur les étrangers (entrée illégale);
- le 21 janvier 2005, par le Ministère public du canton de Genève, à une peine d'emprisonnement de dix jours avec sursis, délai d'épreuve cinq ans, pour opposition aux actes de l'autorité;
- le 20 juillet 2005, par le Tribunal de police de Genève, à une peine d'emprisonnement de trois mois avec sursis, délai d'épreuve trois ans, pour importation, acquisition et prise en dépôt de fausse monnaie;
- le 3 novembre 2008, par la Chambre pénale de la Cour de Justice du canton Genève, à une peine privative de liberté de quinze mois avec sursis (huit mois), délai d'épreuve cinq ans, pour crime (trafic de cocaïne portant sur une quantité de 500 grammes) contre la loi fédérale sur les stupéfiants (LStup) pour des faits survenus le 13 mai 2008.
B.b. Le 12 avril 2008, une fille prénommée A._ est née de sa relation avec B._, citoyenne suisse née en 1980. X._ et B._ se sont mariés le 15 janvier 2010 à Vernier (Genève). X._ a de ce fait obtenu une autorisation de séjour par regroupement familial le 21 juillet 2011. Le Secrétariat d'Etat a cependant prononcé un avertissement contre l'intéressé et a limité la durée de cette autorisation à une année, compte tenu de ses antécédents pénaux.
Le 17 décembre 2011, X._ a été arrêté par la police genevoise pour avoir contrevenu au règlement concernant la tranquillité publique ainsi que pour détention sans droit de marijuana. Le 4 mai 2013, l'intéressé a fait l'objet d'une nouvelle arrestation en ville de Genève, pour scandale sur la voie publique et détention sans droit de 37 pilules d'ecstasy. Les faits retenus dans les deux rapports de police n'ont eu aucune suite pénale.
B.c. Le 23 mai 2013, l'Office cantonal de la population du canton de Genève (ci-après: l'Office cantonal) a informé X._ qu'il était disposé à renouveler son autorisation de séjour et a transmis le dossier au Secrétariat d'Etat pour approbation.
Par courrier du 10 janvier 2014, le Secrétariat d'Etat a avisé l'intéressé qu'il envisageait de refuser son approbation à la prolongation de son autorisation de séjour, au motif qu'il faisait l'objet de poursuites et qu'il avait été dénoncé auprès des autorités judiciaires compétentes les 17 décembre 2011 et 4 mai 2013. Le Secrétariat d'Etat lui a donné l'occasion de se déterminer. Le courrier recommandé a cependant été retourné à l'autorité fédérale avec la mention "non réclamé".
B.d. Selon un extrait de l'Office des poursuites de Genève du 7 mai 2013, les dettes de l'intéressé s'élevaient à 6'100 fr. Au mois de mars 2015, il faisait l'objet de poursuites pour un montant de 20'000 fr. X._ n'a jamais émargé à l'aide sociale.
C.
Par décision du 1er avril 2014, le Secrétariat d'Etat a refusé d'approuver la prolongation de l'autorisation de séjour de X._ et a prononcé son renvoi de Suisse.
L'intéressé a recouru contre cette décision au Tribunal administratif fédéral, qui a rejeté son recours par arrêt du 15 septembre 2015. Il a considéré, en substance, que X._ avait fait l'objet d'une condamnation à une peine supérieure à un an et que les interventions policières en 2011 et 2013 démontraient qu'il n'était toujours pas prêt à se conformer à l'ordre public et à respecter l'ordre juridique. En ce qui concerne la proportionnalité de la décision, le Tribunal administratif fédéral a retenu son absence d'intégration professionnelle et sa situation financière obérée. Il a considéré que si le départ de sa femme et de sa fille n'était pas envisageable, l'intéressé pourrait maintenir des contacts avec sa famille par les moyens de communication modernes et des visites réciproques.
D.
A l'encontre de cet arrêt, X._ dépose un recours en matière de droit public au Tribunal fédéral. Il conclut, sous suite de frais et dépens, à l'annulation de l'arrêt attaqué et à ce que la prolongation de son autorisation de séjour soit approuvée. Subsidiairement, il demande au Tribunal fédéral de renvoyer la cause au Tribunal administratif fédéral pour nouvelle décision dans le sens des considérants. Plus subsidiairement, il conclut au renvoi de la cause au Secrétariat d'Etat pour qu'il approuve la prolongation de son autorisation de séjour. Il requiert en outre le bénéfice de l'assistance judiciaire partielle.
Le Tribunal administratif fédéral renonce à se déterminer. Le Secrétariat d'Etat propose le rejet du recours. Le 2 janvier 2016, X._ a déposé des observations complémentaires.
Le Tribunal fédéral a renoncé provisoirement à demander une avance de frais et a informé l'intéressé qu'il serait statué ultérieurement sur sa demande d'assistance judiciaire.

Considérant en droit :
1.
1.1. D'après l'art. 83 let. c ch. 2 LTF, le recours en matière de droit public est irrecevable contre les décisions en matière de droit des étrangers qui concernent une autorisation à laquelle ni le droit fédéral ni le droit international ne donnent droit.
Le recourant invoque le droit au respect de la vie familiale tel que protégé par l'art. 8 CEDH, puisqu'il vit avec son épouse, ressortissante suisse, et leur fille. Il se prévaut également de l'art. 42 al. 1 LEtr qui prévoit que le conjoint d'un ressortissant suisse a droit à l'octroi d'une autorisation de séjour et à la prolongation de sa durée de validité, à condition de vivre en ménage commun avec lui, ce qui est son cas. Ces circonstances sont potentiellement de nature à lui conférer un droit à une autorisation de séjour. Il s'ensuit que le recours est recevable sous l'angle de l'art. 83 let. c ch. 2 LTF.
1.2. Au surplus, déposé en temps utile (art. 100 al. 1 LTF) et dans les formes prescrites par la loi (art. 42 LTF), par le destinataire de l'arrêt attaqué qui a un intérêt digne de protection à son annulation ou à sa modification (art. 89 al. 1 LTF), le présent recours, dirigé contre une décision du Tribunal administratif fédéral (art. 86 al. 1 let. a LTF), est recevable.
2.
Le recourant reproche à l'instance précédente d'avoir constaté les faits de manière manifestement inexacte.
2.1. Le Tribunal fédéral statue sur la base des faits établis par l'autorité précédente (art. 105 al. 1 LTF), à moins que les faits n'aient été établis de façon manifestement inexacte - c'est-à-dire arbitrairement (<ref-ruling> consid. 4.1.2 p. 62) - ou en violation du droit au sens de l'art. 95 LTF (art. 105 al. 2 LTF). D'une manière générale, la correction du vice doit en outre être susceptible d'influer sur le sort de la cause (art. 97 al. 1 in fine LTF), ce qu'il appartient au recourant d'exposer. Aucun fait nouveau ni preuve nouvelle ne peut en principe être présenté devant le Tribunal de céans (art. 99 al. 1 LTF).
2.2. En l'occurrence, le recourant reproche à l'instance précédente de n'avoir pas tenu compte d'un accident survenu en 2004, ensuite duquel il aurait subi une lésion à la main droite lui restreignant "grandement l'usage de tous ses doigts". Ce fait n'a cependant pas été allégué devant l'autorité précédente, de sorte qu'il constitue un fait nouveau irrecevable. Quant aux problèmes psychiques dont se prévaut le recourant, le Tribunal administratif fédéral les a pris en compte dans l'arrêt attaqué (cf. décision entreprise, p. 13 et 18), mais il ne leur a pas accordé l'importance que leur attache le recourant. Dans la suite de son raisonnement, la Cour de céans se limitera en conséquence à vérifier l'application du droit au regard des seuls faits constatés dans l'arrêt attaqué.
3.
3.1. Selon l'art. 42 al. 1 LEtr, le conjoint d'un ressortissant suisse a le droit à l'octroi d'une autorisation de séjour et à la prolongation de sa durée de validité à condition de vivre en ménage commun avec lui. Ce droit s'éteint toutefois, en vertu de l'art. 51 al. 1 let. b LEtr, s'il existe un motif de révocation au sens de l'art. 63 LEtr. Tel est notamment le cas si l'étranger a été condamné à une peine privative de liberté de longue durée (art. 62 let. b en relation avec l'art. 63 al. 1 let. a LEtr), soit, selon la jurisprudence, à une peine privative de liberté supérieure à un an, indépendamment du fait qu'elle ait été assortie d'un sursis complet ou partiel, ou prononcée sans sursis (<ref-ruling> consid. 2.1 p. 18; <ref-ruling> consid. 2.1 p. 32; <ref-ruling> consid. 4.2 et 4.5 p. 381 et 383).
3.2. En l'espèce, par sa condamnation à quinze mois de peine privative de liberté, le recourant remplit d'emblée la condition de la peine privative de longue durée prévue à l'art. 62 let. b LEtr, par renvoi de l'art. 63 al. 1 let. a LEtr. L'autorité précédente n'a donc pas violé l'art. 63 LEtr en admettant l'existence d'un motif de révocation. C'est par contre à tort que les juges précédents ont mentionné l'art. 62 let. c LEtr, dès lors que seuls les motifs de révocation prévus par l'art. 63 LEtr s'appliquent aux cas de conjoints de ressortissants suisses (certes avec un renvoi à l'art. 62 LEtr, mais uniquement aux let. a et b de cette disposition).
4.
4.1. Un étranger peut, comme en l'espèce, se prévaloir de l'art. 8 par. 1 CEDH pour s'opposer à l'éventuelle séparation de sa famille. Pour qu'il puisse invoquer la protection de la vie familiale découlant de cette disposition, l'étranger doit entretenir une relation étroite et effective avec une personne de sa famille ayant le droit de résider durablement en Suisse (<ref-ruling> consid. 2.1 p. 335 s.; <ref-ruling> consid. 1.3 p. 287; <ref-ruling> consid. 1.3.1 p. 145; <ref-ruling> consid. 3.1 p. 286).
Ces conditions sont réalisées en l'espèce, puisque l'intéressé vit en ménage commun avec son épouse, ressortissante suisse, et leur fille. Il n'est en outre pas contesté que le lien conjugal entre les époux est réel.
4.2. Le droit au respect de la vie privée et familiale garanti par l'art. 8 CEDH n'est toutefois pas absolu. Une ingérence dans l'exercice de ce droit est possible selon l'art. 8 par. 2 CEDH, pour autant qu'elle soit prévue par la loi et qu'elle constitue une mesure qui, dans une société démocratique, est nécessaire à la sécurité nationale, à la sûreté publique, au bien-être économique du pays, à la défense de l'ordre et à la prévention des infractions pénales, à la protection de la santé ou de la morale ou à la protection des droits et libertés d'autrui. Le refus de prolonger une autorisation de séjour ou d'établissement fondé sur l'art. 8 par. 2 CEDH suppose une pesée des intérêts en présence et l'examen de la proportionnalité de la mesure (cf. <ref-ruling> consid. 2.2 p. 147 s.; <ref-ruling> consid. 4.3 p. 381). Pour apprécier ce qui est équitable, l'autorité doit notamment tenir compte de la gravité de la faute commise par l'étranger, de la durée de son séjour en Suisse et du préjudice qu'il aurait à subir avec sa famille du fait de l'expulsion, respectivement du refus d'accorder ou de prolonger une autorisation de séjour. Selon la jurisprudence Reneja (<ref-ruling>) - qui demeure valable sous la LEtr (<ref-ruling> consid. 2.3 p. 148 s.; <ref-ruling> consid. 4.3 et 4.4 p. 381 ss; arrêts 2C_759/2015 du 10 septembre 2015 consid. 5.1; 2C_519/2014 du 15 janvier 2015 consid. 3.6 2C_915/2010 du 4 mai 2011 consid. 4) - applicable au conjoint étranger d'un ressortissant suisse, une condamnation à deux ans de privation de liberté constitue la limite à partir de laquelle, en principe, il y a lieu de refuser l'autorisation de séjour, quand il s'agit d'une première demande d'autorisation ou d'une requête de prolongation d'autorisation déposée après un séjour de courte durée. Cette limite de deux ans ne constitue pas une limite absolue et a été fixée à titre indicatif (cf. <ref-ruling> consid. 2.3 p. 148 s.).
Dans la pesée des intérêts, il faut également tenir compte de l'intérêt de l'enfant à maintenir des contacts réguliers avec son père, ainsi que l'exige art. 3 de la Convention du 20 novembre 1989 relative aux droits de l'enfant (CDE; RS 0.107). Les dispositions de la convention ne font toutefois pas de l'intérêt de l'enfant un critère exclusif, mais un élément d'appréciation dont l'autorité doit tenir compte lorsqu'il s'agit de mettre en balance les différents intérêts en présence (cf. ATF <ref-ruling>5 consid. 2.4 p. 321).
4.3. En l'espèce, le recourant mène une vie de famille effective avec son épouse et sa fille. Il n'est certainement pas envisageable d'exiger de l'épouse, qui est née à Genève et qui a apparemment toujours vécu en Suisse, pays dont elle est ressortissante, qu'elle quitte la Suisse pour s'établir en Côte d'Ivoire. Il en va de même de sa fille suisse, également née à Genève, qui, au moment de l'arrêt attaqué, y fréquentait l'école depuis environ trois ans. Le refus de renouveler l'autorisation de séjour du recourant conduirait par conséquent à la séparation de cette famille, ce qui constitue une atteinte importante à la vie conjugale et familiale de l'intéressé. Dans de telles circonstances, l'intérêt public à son éloignement doit s'avérer très important pour l'emporter sur son intérêt privé à la poursuite de son séjour en Suisse.
Dans le cas particulier, le recourant a été condamné, en 2008, à une peine privative de liberté de quinze mois avec sursis (huit mois) pour crime contre la loi fédérale sur les stupéfiants (LStup). Il s'agit là d'un domaine dans lequel le Tribunal fédéral se montre particulièrement rigoureux (cf. <ref-ruling> consid. 2.5 p. 149 s.). Le recourant avait par ailleurs déjà été condamné à trois reprises pour des infractions moins graves, dont la plus importante a été sanctionnée par une peine d'emprisonnement de trois mois avec sursis pour importation, acquisition et prise en dépôt de fausse monnaie, portant ainsi la durée totale de privation de liberté du recourant à moins de dix-neuf mois. Cette durée est en-deçà de la limite des deux ans de privation de liberté instituée par la jurisprudence Reneja (cf. supra consid. 4.2). La limite ainsi fixée n'est certes pas absolue, mais doit être appréciée au regard de toutes les circonstances du cas et, en particulier, de la durée du séjour en Suisse de l'étranger (cf. <ref-ruling> consid. 3.4 p. 152 s.).
En l'occurrence, les faits ayant entraîné la dernière condamnation du recourant remontent au mois de mai 2008. Ainsi, quand le Tribunal administratif fédéral a statué, les faits incriminés dataient de plus de sept ans, ce qui constitue un laps de temps d'une certaine importance. Depuis lors, le recourant s'est marié avec la mère de son enfant, une ressortissante suisse, ce qui lui a permis d'obtenir une autorisation de séjour pour regroupement familial le 21 juillet 2011. Il est vrai que, comme le souligne l'arrêt attaqué, B._ ne pouvait pas ignorer le passé pénal de son futur mari lorsqu'elle l'a épousé et qu'elle devait se douter que ce comportement serait susceptible de conduire à un refus d'autorisation de séjour (cf. arrêt attaqué, p. 16). Cet argument mérite cependant d'être nuancé compte tenu du fait que l'épouse de l'intéressé est tombée enceinte de leur fille avant la commission des infractions ayant conduit à la condamnation du 3 novembre 2008. Ainsi, lorsque B._ s'apprêtait à fonder une famille avec son futur mari, elle ne pouvait pas s'attendre à ce qu'une autorisation de séjour lui soit refusée (cf. <ref-ruling> consid. 3.6 p. 153). Certes, la naissance de A._, en avril 2008, n'a pas dissuadé le recourant de commettre ces infractions. Il ressort cependant des constatations de fait de l'autorité précédente que l'intéressé n'a plus été condamné depuis 2008. Le Tribunal administratif fédéral se fonde sur deux rapports de police pour en déduire que le recourant n'est toujours pas prêt à se conformer à l'ordre public. D'après l'arrêt attaqué, les faits retenus dans ces rapports n'ont cependant eu aucune suite pénale. Ainsi, du moment qu'ils n'ont pas été expressément reconnus par le recourant, on ne saurait en déduire, comme le fait l'instance précédente, qu'ils s'inscrivent dans le prolongement de ceux pour lesquels l'intéressé avait déjà subi la condamnation pénale du 3 novembre 2008 (cf. arrêts 2C_391/2014 du 4 décembre 2014 consid. 4.3; 2C_749/2011 du 20 janvier 2012 consid. 3.3). Ces éléments ne sont en tous les cas pas suffisants pour remettre en cause le fait que la durée des peines privatives de liberté du recourant se situe en-deçà de la limite des deux ans prévue par la jurisprudence Reneja (cf. supra consid. 4.2; arrêt 2A.7/2004 du 2 août 2004 consid. 5.1).
Pour le reste, le Tribunal administratif fédéral a accordé beaucoup d'importance au fait que le recourant n'était pas intégré professionnellement. Il ressort certes des faits constatés par l'instance précédente que l'intéressé n'a jamais travaillé en Suisse. A cet égard, le recourant a expliqué que les époux avaient convenu que, depuis la naissance de leur fille en avril 2008, la mère travaillerait à plein temps alors que le père tiendrait le ménage et s'occuperait de A._. Ces circonstances différencient la présente espèce du cas cité par l'instance précédente, dans lequel une mère célibataire touche l'aide sociale depuis plusieurs années (cf. arrêt 2C_1228/2012 du 20 juin 2013). En pareille situation, le Tribunal fédéral considère que, dans le but de limiter sa dépendance à l'aide sociale, il peut être raisonnablement exigé du parent célibataire qu'il exerce une activité lucrative lorsque l'enfant atteint l'âge de trois ans (arrêt 2C_1228/2012 précité, consid. 5.4). Dans la présente situation, il n'est pas contesté que les époux X._ n'ont jamais émargé à l'aide sociale. Le fonctionnement mis en place par les intéressés leur permet ainsi de subvenir aux besoins de la famille, sans qu'il y ait besoin de compléter les revenus de B._ avec des subsides provenant de l'assistance publique. Dans ces conditions, contrairement à ce que soutiennent les juges précédents, on ne saurait exiger du recourant qu'il exerce une activité lucrative, alors qu'il contribue en nature à l'entretien de la famille et que son épouse subvient à leurs besoins financiers. A cet égard, au vu de leur importance relative, les dettes (6'100 fr.) et poursuites (20'000 fr.) que l'intéressé a accumulées jusqu'à présent ne suffisent pas à remettre en cause ce raisonnement. Toutefois, si celles-ci venaient à augmenter, il conviendrait alors de contrôler les efforts fournis par le recourant pour assainir sa situation financière.
4.4. Au vu de l'ensemble des circonstances, l'intérêt public à l'éloignement du recourant n'apparaît pas suffisamment important pour l'emporter sur son intérêt privé, ainsi que sur celui de son épouse et de sa fille, à ce qu'il demeure en Suisse. Le comportement délictueux du recourant en 2008, son absence d'intégration professionnelle de même que sa situation financière défavorable ne suffisent pas à contrebalancer la relation intacte qu'il entretient avec sa femme et sa fille, dont il s'occupe depuis la naissance.
5.
Le recours doit par conséquent être admis et l'arrêt attaqué annulé. La cause sera renvoyée au Secrétariat d'Etat pour qu'il approuve l'octroi d'une autorisation de séjour au recourant.
Le recourant, qui obtient gain de cause avec l'assistance d'un représentant (art. 40 al. 1 LTF), a droit à des dépens à la charge de la Confédération (art. 68 al. 1 LTF), soit le Secrétariat d'Etat. Dans ces circonstances, la demande d'assistance judiciaire du recourant devient sans objet. Le Tribunal fédéral ne fera pas usage de la faculté prévue aux art. 67 et 68 al. 5 LTF et renverra la cause à l'autorité précédente pour qu'elle statue sur les frais et dépens de la procédure qui s'est déroulée devant elle. Il n'est pas perçu de frais judiciaires (art. 66 al. 4 LTF).

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce :
1.
Le recours est admis. L'arrêt rendu le 15 septembre 2015 par le Tribunal administratif fédéral est annulé.
2.
La cause est renvoyée au Secrétariat d'Etat aux migrations pour qu'il approuve la prolongation de l'autorisation de séjour du recourant.
3.
La cause est renvoyée au Tribunal administratif fédéral afin qu'il statue à nouveau sur le sort des frais et dépens de la procédure devant lui.
4.
Il n'est pas perçu de frais judiciaires.
5.
Le Secrétariat d'Etat aux migrations versera au recourant une indemnité de 2'000 fr. à titre de dépens.
6.
Le présent arrêt est communiqué au représentant du recourant, au Secrétariat d'Etat aux migrations, à l'Office cantonal de la population et des migrations du canton de Genève et au Tribunal administratif fédéral, Cour III.
Lausanne, le 29 février 2016
Au nom de la IIe Cour de droit public
du Tribunal fédéral suisse
Le Président : Zünd
La Greffière : McGregor