Sachverhalt:
A.
A._, geboren 1953, arbeitete zuletzt als Lehrer und meldete sich am 19. März 2013 unter Hinweis auf psychische Beschwerden bei der Invalidenversicherung zum Leistungsbezug an. Die IV-Stelle Bern holte medizinische Berichte ein, darunter insbesondere zwei Gutachten des Dr. med. B._, Psychiatrie und Psychotherapie FMH, vom 23. Juni 2013 und vom 4. März 2014, zuhanden der Personalvorsorge C._, und liess den Regionalen Ärztlichen Dienst (RAD) dazu Stellung nehmen. Mit Verfügung vom 4. Mai 2015 lehnte sie einen Leistungsanspruch ab.
B.
Die dagegen erhobene Beschwerde wies das Verwaltungsgericht des Kantons Bern mit Entscheid vom 22. Februar 2016 ab.
C.
A._ lässt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten führen mit dem Antrag, unter Aufhebung des angefochtenen Entscheides sei die Sache zu weiteren Abklärungen an die Vorinstanz zurückzuweisen.
Das Bundesgericht hat die vorinstanzlichen Akten eingeholt und auf einen Schriftenwechsel verzichtet.

Erwägungen:
1.
Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann wegen Rechtsverletzungen gemäss den Art. 95 f. BGG erhoben werden. Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (<ref-law>), und kann deren Sachverhaltsfeststellung nur berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruht und die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein kann (Art. 97 Abs. 1 und Art. 105 Abs. 2 BGG). Es wendet das Recht von Amtes wegen an (<ref-law>) und ist folglich weder an die in der Beschwerde geltend gemachten Argumente noch an die Erwägungen der Vorinstanz gebunden (<ref-ruling> E. 1.3 S. 67 f., 134 V 250 E. 1.2 S. 252, je mit Hinweisen). Unter Berücksichtigung der Begründungspflicht (Art. 42 Abs. 1 und 2 BGG) prüft es indessen nur die geltend gemachten Rügen, sofern die rechtlichen Mängel nicht geradezu offensichtlich sind, und ist jedenfalls nicht gehalten, wie eine erstinstanzliche Behörde alle sich stellenden rechtlichen Fragen zu untersuchen, wenn diese vor Bundesgericht nicht mehr aufgegriffen werden (<ref-ruling> E. 2 S. 315, 65 E. 1.3 S. 67 f., je mit Hinweisen).
2.
Das kantonale Gericht hat die für den Rentenanspruch massgeblichen Bestimmungen und Grundsätze zutreffend dargelegt. Es wird darauf verwiesen.
3.
3.1. Die Vorinstanz hat die für den Rentenanspruch erforderliche Invalidität mit eingehender Begründung verneint. Sie hat die medizinischen Akten einlässlich dargestellt und sorgfältig gewürdigt. Ihre Beurteilung ist umfassend und zutreffend. Insbesondere gestützt auf die Gutachten des Dr. med. B._ hat sie erkannt, dass die erhobenen Befunde und die gestellten Diagnosen sowohl in somatischer wie auch in psychiatrischer Hinsicht keine Arbeitsunfähigkeit zu begründen vermöchten.
Aus somatischer Sicht ergäben sich aus den Akten keine organischen Befunde, welche die geklagten Beschwerden erklären würden. Eine Arbeitsunfähigkeit für die angestammten Tätigkeiten sei daher nicht festzustellen. Die psychiatrischen Diagnosen einer Somatisierungsstörung, einer rezidivierenden depressiven Störung und der akzentuierten Persönlichkeitszüge gälten nach der Rechtsprechung nicht als invalidisierend (<ref-ruling> E. 5 S. 554 ff.; SVR 2008 IV Nr. 15 S. 43, I 514/06 E. 2.2.2.2; Urteile 9C_539/2015 vom 21. März 2016 E. 4.1.3.1; 8C_104/2014 vom 26. Juni 2014 E. 3.3.4). Das kantonale Gericht hat sich insbesondere auch eingehend zu den nach der Rechtsprechung bei Schmerzstörungen beachtlichen Standardindikatoren geäussert (<ref-ruling> E. 4.1 bis 4.3 S. 297 ff.).
Mangels eines invalidisierenden Gesundheitsschadens erübrigten sich nach den vorinstanzlichen Erwägungen weitere Überlegungen zur Verwertbarkeit der Restarbeitsfähigkeit des Beschwerdeführers auf dem ausgeglichenen Arbeitsmarkt aufgrund seines Alters.
3.2. Der Beschwerdeführer rügt insbesondere die vorinstanzliche Beurteilung seines psychischen Leidens. Dabei stehe die Schmerzstörung beim Lehrerberuf nicht im Vordergrund. Er räumt indessen namentlich ein, dass der Gutachter keine Persönlichkeitsstörung, sondern akzentuierte Persönlichkeitszüge diagnostiziert und dabei Differentialdiagnosen geprüft, aber verworfen hat. Soweit er dabei geltend macht, dass der Gutachter gerade keine Z-Diagnose gestellt habe, vermag er damit keine offensichtlich unrichtige Tatsachenfeststellung des kantonalen Gerichts darzutun. Zwar trifft es zu, dass der Gutachter in diesem Zusammenhang gleich mehrfach die Kodierung F73.1 verwendete (Gutachten S. 27 und 33), doch handelt es sich dabei um einen offensichtlichen Verschrieb. Das zeigt bereits ein Blick in die ICD-10 Klassifikation (wo unter F73 schwerste Intelligenzminderungen vermerkt sind), was denn auch die Vorinstanz in E 3.1.8 und E. 3.4.3 ohne Weiteres richtiggestellt hat. Die akzentuierten Persönlichkeitszüge sind nach ICD-10-GM 2014 unter Z73 zu klassifizieren (Probleme mit Bezug auf Schwierigkeiten bei der Lebensbewältigung) und beeinflussen den Gesundheitszustand einer Person, stellen aber keine Krankheit oder Schädigung dar (SVR 2008 IV Nr. 15 S. 43, I 514/06 E. 2.2.2.2). Darüber hinaus hat sich das kantonale Gericht, wie dargelegt, sowohl zur diagnostizierten Schmerzstörung als auch zu den übrigen psychischen Befunden eingehend und zutreffend geäussert. Der Beschwerdeführer bringt nichts vor, was die dazu ergangenen vorinstanzlichen Feststellungen als offensichtlich unrichtig oder rechtsfehlerhaft erscheinen liesse. Insbesondere ist keine Verletzung der Rechtsprechung zu den psychischen Beeinträchtigungen der Gesundheit ersichtlich.
3.3. Es ist aus den dargelegten Gründen mit der Vorinstanz davon auszugehen, dass insbesondere auch die streitigen psychiatrischen Diagnosen keine Invalidisierung im Sinne der Rechtsprechung und daher auch keinen Rentenanspruch der Invalidenversicherung zu begründen vermögen.
Die Frage der Berufsinvalidität, welche der Beschwerdeführer geltend macht und welche sich im Verfahren gegen den Vorsorgeversicherer stelle, ist hier offen zu lassen. Entgegen den letztinstanzlich erhobenen Einwänden hat das kantonale Gericht über die dargelegten Erwägungen hinaus keine besonderen Feststellungen zur Arbeitsfähigkeit im Lehrerberuf, namentlich an den letzten Arbeitsstellen, getroffen. Es ist darauf deshalb nicht weiter einzugehen. Die dazu letztinstanzlich neu eingereichten Beweismittel bleiben unbeachtlich (<ref-law>; <ref-ruling> E. 3 S. 395). Gleiches gilt im Übrigen für die verspätete Eingabe des Beschwerdeführers vom 19. April 2016.
4.
Das Verfahren ist kostenpflichtig (<ref-law>). Die Gerichtskosten werden dem unterliegenden Beschwerdeführer auferlegt (Art. 65 Abs. 4 lit. a in Verbindung mit <ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 800.- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird den Parteien, dem Verwaltungsgericht des Kantons Bern, Sozialversicherungsrechtliche Abteilung, und dem Bundesamt für Sozialversicherungen schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 17. Juni 2016
Im Namen der I. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Maillard
Die Gerichtsschreiberin: Durizzo