Sachverhalt:
A.
Im Rahmen der Prüfung eines Baugesuchs für eine Wärmepumpe mit Erdsonde stellte die Abteilung für Baubewilligungen des Departements Bau, Verkehr und Umwelt des Kantons Aargau fest, dass auf der Parzelle Nr. 476 in der Gemeinde Schneisingen ohne Baubewilligung ein Holzschopf und ein Baucontainer errichtet worden waren. Auf Aufforderung der kommunalen Bauverwaltung reichte A._ ein nachträgliches Baugesuch ein. Dieses wurde mit Verfügung der Abteilung Baubewilligungen vom 18. Mai 2015 und mit Beschluss des Gemeinderats Schneisingen vom 30. Juni 2015 abgewiesen. Gleichzeitig wurde der Baugesuchsteller zum Rückbau verpflichtet.
Eine von A._ dagegen erhobene Verwaltungsbeschwerde wies der Regierungsrat des Kantons Aargau am 16. Dezember 2015 ab.
Gegen den Entscheid des Regierungsrats gelangte A._ mit Verwaltungsgerichtsbeschwerde ans Verwaltungsgericht des Kantons Aargau. Mit Urteil vom 28. April 2016 wies dieses das Rechtsmittel ebenfalls ab.
B.
Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten ans Bundesgericht vom 1. Juni 2016 beantragt A._, das verwaltungsgerichtliche Urteil sei aufzuheben und die kantonalen Behörden seien anzuweisen, ihm eine provisorische Bewilligung gemäss § 15a des Gesetzes des Kantons Aargau vom 19. Januar 1993 über Raumentwicklung und Bauwesen (Baugesetz, BauG; SAR 713.100) zu erteilen.
Das Verwaltungsgericht hat auf eine Stellungnahme verzichtet. Der Gemeinderat und der Regierungsrat haben sich nicht vernehmen lassen.

Erwägungen:
1.
Angefochten ist ein kantonal letztinstanzlicher Endentscheid in einer öffentlich-rechtlichen Angelegenheit (Art. 82 lit. a, Art. 86 Abs. 1 lit. d und Art. 90 BGG). Der Beschwerdeführer ist als Baugesuchsteller und Adressat der Wiederherstellungsanordnung zur Beschwerde berechtigt (<ref-law>). Auf seine Beschwerde ist grundsätzlich einzutreten.
2.
Gemäss dem angefochtenen Entscheid weisen die vom Beseitigungsbefehl betroffenen Nebengebäude eine Grundfläche von ca. 49 m2 (Holzschopf) und 23 m2 (Baucontainer) auf. Beide Bauten sind auf der Parzelle Nr. 476 (Grundparzelle) nordöstlich der Hauptgebäude Nrn. 102 und 384 gelegen. Sie bilden Teil eines Bauernhauses mit einem zur Wohnnutzung umgebauten Ökonomieteil, für den die Baurechtsparzelle Nr. 476.1 ausgeschieden wurde. Der Beschwerdeführer verwendet den Holzschopf zur Lagerung von Holz und von Werk-zeugen für die Holz-, Garten- und Waldbewirtschaftung. Der Baucontainer dient dagegen hauptsächlich der Lagerung von Imkereiartikeln.
Die Parzelle Nr. 476 liegt in der Landwirtschaftszone. Der südwestliche Bereich der Parzelle wird von der Weilerzone überlagert, der anschliessende mittlere Bereich vom Gebiet für Hochstammobstbestände. Der Holzschopf und der Baucontainer befinden sich in diesem mittleren Bereich.
3.
3.1. Der Beschwerdeführer bringt zunächst vor, es handle sich bei den umstrittenen Nebengebäuden um Fahrnisbauten.
3.2. Bauten und Anlagen im Sinne von Art. 22 Abs. 1 RPG (SR 700) sind jene künstlich geschaffenen und auf Dauer angelegten Einrichtungen, die in fester Beziehung zum Erdboden stehen und geeignet sind, die Vorstellung über die Nutzungsordnung zu beeinflussen, sei es, dass sie den Raum äusserlich erheblich verändern, die Erschliessung belasten oder die Umwelt beeinträchtigen. Dazu gehören gemäss bundesgerichtlicher Praxis auch Fahrnisbauten, welche über nicht unerhebliche Zeiträume ortsfest verwendet werden (<ref-ruling> E. 3a S. 226 f.; <ref-ruling> E. 3.4.1 S. 479 f.; je mit Hinweisen). Die Baubewilligungspflicht soll der Behörde ermöglichen, das Bauprojekt vor seiner Ausführung auf die Übereinstimmung mit der raumplanerischen Nutzungsordnung und der übrigen einschlägigen Gesetzgebung zu überprüfen (zum Ganzen: <ref-ruling> E. 5.2 S. 139 f.; <ref-ruling> E. 3c S. 383 f.; je mit Hinweisen).
3.3. Die beiden Nebengebäude sind offensichtlich auf Dauer angelegt, bestehen sie nach den Angaben des Beschwerdeführers doch bereits seit mehr als 20 Jahren. Aufgrund ihrer Dimensionen verändern sie den Raum äusserlich in erheblicher Weise, weshalb die Vorinstanz die Baubewilligungspflicht zu Recht bejaht hat. Die sinngemäss vorgetragene Rüge der Verletzung von Art. 22 Abs. 1 RPG ist unbegründet.
4.
4.1. Der Beschwerdeführer macht weiter geltend, es handle sich bei der Weilerzone von Wyden um eine von der Landwirtschaftszone überlagerte Bauzone. Auch ist er der Auffassung, das Dorf- und Landschaftsbild werde nicht gestört.
4.2. Die umstrittenen Nebengebäude liegen ausserhalb der Weilerzone. Dies ergibt sich aus dem angefochtenen Entscheid und den Akten und wird vom Beschwerdeführer auch nicht bestritten. Die Erwägungen des Verwaltungsgerichts, wonach selbst dann keine Baubewilligung erteilt werden könnte, wenn der Holzschopf und der Baucontainer innerhalb der Weilerzone errichtet worden wären, sind deshalb nicht direkt entscheidrelevant. Es erübrigt sich aus diesem Grund, auf die baulichen Möglichkeiten innerhalb der Weilerzone bzw. deren raumplanerische Qualifikation einzugehen. Schliesslich ist aus demselben Grund auch nicht entscheidend, ob sich der Holzschopf und der Baucontainer in das Dorf- und Landschaftsbild einfügen (vgl. dazu § 22 Abs. 6 der Bau- und Nutzungsordnung der Gemeinde Schneisingen vom 30. Mai 1997).
5.
5.1. Der Beschwerdeführer bringt vor, die beiden Gebäude seien in der Landwirtschaftszone standortgebunden. Zudem macht er geltend, er berufe sich auf die Besitzstandsgarantie.
5.2. Der Beschwerdeführer betreibt kein landwirtschaftliches Gewerbe, und Freizeitlandwirtschaft ist in der Landwirtschaftszone nicht zonenkonform (Art. 16a RPG und <ref-law> [SR 700.1]). Das Verwaltungsgericht hielt deshalb zu Recht fest, dass eine ordentliche Baubewilligung nach Art. 22 RPG ausser Betracht falle, indessen zu prüfen sei, ob eine Ausnahmebewilligung nach Art. 24 ff. RPG erteilt werden könne (zur Rechtslage vor Inkrafttreten von Art. 16a RPG am 1. September 2000 siehe <ref-ruling> E. 3a S. 162 mit Hinweisen).
5.3. Das Verwaltungsgericht verneinte die Standortgebundenheit der beiden Bauten und damit die Möglichkeit einer Ausnahmebewilligung gestützt auf Art. 24 RPG. Nach dieser Bestimmung können abweichend von Art. 22 Abs. 2 lit. b RPG Bewilligungen erteilt werden, Bauten und Anlagen zu errichten oder ihren Zweck zu ändern, wenn der Zweck der Bauten und Anlagen einen Standort ausserhalb der Bauzonen erfordert und keine überwiegenden Interessen entgegenstehen. Das Verwaltungsgericht führte zur Begründung aus, Bauten zur Lagerung von Holz und Werkzeugen für die Holz-, Garten- und Waldbewirtschaftung könnten grundsätzlich innerhalb der Bauzone errichtet werden. Dasselbe gelte für den Baucontainer, und zwar auch insofern, als er als Schleuderraum für die Honiggewinnung verwendet werde. Schleuderräume würden praxisgemäss nur bei einer grossen Distanz des Bienenhauses zur Wohnliegenschaft oder ab einer Anzahl von 20 Bienenvölkern als standortgebunden anerkannt. Beides treffe hier nicht zu. Zudem könne beim Honigschleudern fast vollständig bienenfrei gearbeitet werden, wenn der Schleuderraum sauber gereinigt werde und sich in einiger Entfernung zum Bienenhaus befinde, und wenn zudem darauf geachtet werde, dass die Bienen beim Schleudern unterwegs seien.
5.4. Der Beschwerdeführer stellt sich pauschal auf den Standpunkt, Imkerei könne nicht im Dorf betrieben werden. Indessen geht es vorliegend nicht um den Standort der Bienenstöcke, sondern um die Frage, wo die dafür benötigten Imkereiartikel gelagert und wo der Schleuderraum eingerichtet werden kann. In dieser Beziehung setzt sich der Beschwerdeführer mit den vorinstanzlichen Erwägungen nicht auseinander (<ref-law>). Auch ist sein Vorbringen, der Holzschopf sei sicherlich besser als mit Plastik und Blech abgedeckte Holzstapel im Wald, nicht geeignet, die Standortgebundenheit des Holzschopfs darzutun. Seine Rügen erweisen sich deshalb als unbegründet, soweit darauf einzutreten ist.
5.5. Zur Frage der Besitzstandsgarantie nach Art. 24c RPG i.V.m. <ref-law> legte die Vorinstanz dar, der Rahmen der nach diesen Bestimmungen zulässigen massvollen Erweiterung sei bereits 1995 mehr als ausgeschöpft worden. Damals sei die Wohnfläche im Bauernhaus mit dem Umbau des Ökonomieteils mehr als verdoppelt worden. Auf diese Erwägungen geht der Beschwerdeführer mit keinem Wort ein, weshalb auf die Beschwerde in diesem Punkt mangels hinreichender Begründung nicht einzutreten ist (<ref-law>).
6.
Weiter macht der Beschwerdeführer geltend, es bestünden im Ort diverse Kleinbauten. Er macht jedoch nicht geltend, dass jene Kleinbauten rechtswidrig erstellt worden wären, und legt darüber hinaus auch nicht konkret dar, auf welche Kleinbauten er sich bezieht. Eine rechtsungleiche Behandlung ist vor diesem Hintergrund nicht erkennbar (<ref-law>).
7.
7.1. Das Verwaltungsgericht prüfte schliesslich die Zulässigkeit der Wiederherstellungsanordnung. Der Beschwerdeführer stellt diese nur insofern in Frage, als er vorbringt, seit der Erstellung der beiden Bauten im Jahr 1995 habe sich niemand daran gestört. Damit macht er sinngemäss geltend, die Befugnis des Gemeinwesens, die Wiederherstellung des rechtmässigen Zustands zu verlangen, sei verwirkt.
7.2. Die bundesgerichtliche Rechtsprechung setzt die Verwirkungsfrist in Anlehnung an die Ersitzungsfrist gemäss <ref-law> grundsätzlich auf dreissig Jahre fest. Sie gilt auch für Bauten ausserhalb der Bauzone und beginnt mit der Fertigstellung des baugesetzwidrigen Zustands zu laufen. So kann der Eigentümer eines Gebäudes den baugesetzwidrigen Zustand gleichsam ersitzen, wenn das Gemeinwesen während derart langer Zeit nicht einschreitet (<ref-ruling> E. 1b S. 124; Urteil 1C_726/2013 vom 24. November 2014 E. 4 mit Hinweisen, in: ZBl 117/2016 S. 99). Die dreissigjährige Frist ist vorliegend noch nicht abgelaufen.
7.3. Aus Gründen des Vertrauensschutzes kann es sich rechtfertigen, die Verwirkung des behördlichen Wiederherstellungsanspruchs bereits nach einer kürzeren Zeitdauer zu bejahen. So verhält es sich etwa, wenn die Behörden zwar vor Ablauf der dreissigjährigen Frist einschreiten, aber das rechtswidrige Gebäude zuvor über Jahre hinweg duldeten, obschon ihnen die Gesetzwidrigkeit bekannt war oder sie diese bei Anwendung der gebotenen Sorgfalt hätten kennen müssen. Ein Abbruchbefehl würde in diesem Fall den verfassungsrechtlich gewährleisteten Vertrauensschutz (<ref-law>) verletzen (<ref-ruling> E. 6.3 S. 39 mit Hinweisen; <ref-ruling> E. 1c S. 124). Nach ständiger Rechtsprechung kann sich darauf aber nur berufen, wer selbst im guten Glauben gehandelt hat, d.h. angenommen hat und (unter Anwendung zumutbarer Sorgfalt) annehmen durfte, die von ihm erstellte Baute sei rechtmässig bzw. stehe mit der Baubewilligung in Einklang (<ref-ruling> E. 7.1 S. 365; <ref-ruling> E. 6.3 S. 35; je mit Hinweisen).
7.4. Der Beschwerdeführer macht nicht geltend, dass die zuständigen Behörden die gesetzwidrigen Bauten gekannt haben oder hätten kennen müssen. Auch beruft er sich nicht darauf, bei deren Errichtung in gutem Glauben gehandelt zu haben. Das Verwaltungsgericht führt in dieser Hinsicht denn auch an, dass der Beschwerdeführer in den Auflagen zur Baubewilligung vom 6. März 1995 (für den Umbau des Ökonomieteils des Bauernhauses zur Wohnnutzung) unmissverständlich darauf hingewiesen worden sei, dass kein Anspruch auf zusätzliche An- und Nebenbauten mehr bestehe. Unter diesen Voraussetzungen ist der Wiederherstellungsanspruch nicht verwirkt.
8.
Die Beschwerde ist aus den genannten Gründen abzuweisen, soweit darauf einzutreten ist.
Bei diesem Ausgang des Verfahrens sind die Gerichtskosten dem Beschwerdeführer aufzuerlegen (<ref-law>) und ist keine Parteientschädigung zuzusprechen (Art. 68 Abs. 1-3 BGG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 2'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3.
Es wird keine Parteientschädigung zugesprochen.
4.
Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer, dem Gemeinderat Schneisingen, dem Regierungsrat und dem Verwaltungsgericht des Kantons Aargau, 3. Kammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 24. August 2016
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Fonjallaz
Der Gerichtsschreiber: Dold