Sachverhalt:
A.
Gegen A._ läuft im Kanton Aargau ein Strafverfahren wegen Raufhandel und weiterer Delikte. Als amtlicher Verteidiger wurde Rechtsanwalt B._ eingesetzt. Am 25. November 2013 zeigte Rechtsanwalt Abdullah Karakök dem Bezirksgericht Lenzburg an, dass er von A._ zum Wahlverteidiger bestellt worden sei.
Am 6. März 2014 stellte A._ im Rahmen des Berufungsverfahrens vor dem Obergericht des Kantons Aargau das Gesuch, Rechtsanwalt Karakök sei anstelle von Rechtsanwalt B._ als amtlicher Verteidiger einzusetzen. Der verfahrensleitende Richter wies das Gesuch mit Verfügung vom 26. März 2014 ab. Auf eine von A._ dagegen erhobene Beschwerde trat das Bundesgericht mit Urteil 1B_154/2014 vom 1. Mai 2014 mangels hinreichender Begründung nicht ein.
Mit Verfügung vom 10. Dezember 2015 wurde Rechtsanwalt B._ aus seinem Amt entlassen. Zur Begründung führte der Verfahrensleiter aus, dass das Fortbestehen der Wahlverteidigung mittlerweile als gewährleistet angesehen werden könne. Noch am selben Tag reichte Rechtsanwalt Karakök dem Obergericht ein vom 8. Dezember 2015 datiertes Schreiben des Beschuldigten weiter, worin dieser erneut darum ersuchte, Rechtsanwalt B._ sei als amtlicher Verteidiger durch Rechtsanwalt Karakök zu ersetzen. Mit Verfügung vom 11. Dezember 2015 wies der Verfahrensleiter das Gesuch ab.
Mit Eingabe vom 13. Januar 2016 ersuchte A._ erneut um die Einsetzung von Rechtsanwalt Karakök als amtlicher Verteidiger. Darauf trat der Verfahrensleiter mit Verfügung vom 15. Januar 2016 mit Verweis auf die bisherigen Entscheide in der Sache nicht ein.
B.
Mit Beschwerde in Strafsachen ans Bundesgericht vom 17. Februar 2016 beantragt A._, die Verfügung vom 15. Januar 2016 sei aufzuheben und Rechtsanwalt Karakök sei zum amtlichen Verteidiger zu bestellen.
Die Oberstaatsanwaltschaft des Kantons Aargau schliesst auf die Abweisung der Beschwerde. Der Verfahrensleiter des Obergerichts des Kantons Aargau beantragt, die Beschwerde sei abzuweisen, soweit darauf überhaupt eingetreten werden könne. Der Beschwerdeführer hält in seiner Stellungnahme dazu an seinen Anträgen fest.

Erwägungen:
1.
Die Vorinstanz hat am 10. Dezember 2015 den amtlichen Verteidiger aus seinem Amt entlassen und am 11. Dezember 2015 das Gesuch des Beschwerdeführers um Einsetzung von Rechtsanwalt Karakök als amtlicher Verteidiger abgewiesen. Der Beschwerdeführer hat diese beiden Verfügungen nicht angefochten. Auf das kurz darauf gestellte erneute Gesuch des Beschwerdeführers um die Einsetzung von Rechtsanwalt Karakök als amtlicher Verteidiger trat die Vorinstanz mit Verfügung vom 15. Januar 2015 nicht mehr ein. Dass dieser Entscheid gegen Bundesrecht verstösst, weil etwa seitherige Entwicklungen eine neue Beurteilung geboten hätten, legt der Beschwerdeführer nicht dar (<ref-law>). Stattdessen kritisiert er inhaltlich ausschliesslich die beiden erstgenannten Verfügungen, die er jedoch damals unangefochten liess und die vorliegend nicht Anfechtungsobjekt bilden.
2.
Auf die Beschwerde ist aus diesem Grund nicht einzutreten.
Der Beschwerdeführer stellt ein Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege. Aufgrund der mangelnden Begründung der Beschwerdeschrift erweisen sich die Rechtsbegehren als aussichtslos und ist das Gesuch abzuweisen (<ref-law>). Unter den gegebenen Umständen ist jedoch auf die Erhebung von Gerichtskosten zu verzichten (<ref-law>). Eine Parteientschädigung ist nicht zuzusprechen (Art. 68 Abs. 1 und 2 BGG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2.
Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege wird abgewiesen.
3.
Es werden keine Gerichtskosten erhoben.
4.
Es wird keine Parteientschädigung zugesprochen.
5.
Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer, der Oberstaatsanwaltschaft und dem Obergericht des Kantons Aargau, Strafgericht, 1. Kammer, Verfahrensleiter, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 26. Mai 2016
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Fonjallaz
Der Gerichtsschreiber: Dold