Sachverhalt:
A.
Die peruanische Staatsangehörige A._ (geb. 1976) reiste im September 2001 in die Schweiz ein und heiratete am 26. Oktober 2001 den Schweizer Bürger B._ (geb. 1977). In der Folge erhielt sie im Kanton Solothurn eine Aufenthaltsbewilligung zum Verbleib bei ihrem Ehemann. Am 25. November 2007 stellte A._ beim damaligen Bundesamt für Migration (BFM; seit 1. Januar 2015: Staatssekretariat für Migration; SEM) ein Gesuch um Gewährung der erleichterten Einbürgerung. Gleichentags unterzeichneten die Ehegatten eine Erklärung, wonach sie an derselben Adresse in einem gemeinsamen Haushalt lebten und zur Kenntnis nähmen, dass die erleichterte Einbürgerung unter anderem eine seit drei Jahren gelebte eheliche Gemeinschaft voraussetze. Eine solche liege nach der bundesgerichtlichen Rechtsprechung dann vor, wenn es sich um eine tatsächliche, stabile und auf Dauer ausgerichtete Gemeinschaft der Ehegatten handle. Bestehe keine eheliche Gemeinschaft mehr, sei dies dem BFM sofort mitzuteilen. Mit ihrer Unterschrift würden sie bestätigen, das entsprechende Formular wahrheitsgemäss ausgefüllt zu haben. Falsche Angaben könnten dazu führen, dass eine allfällige Einbürgerung nichtig erklärt werde.
Am 22. Mai 2008 wurde A._ erleichtert eingebürgert. Mit dem Schweizer Bürgerrecht erwarb sie die Bürgerrechte des Kantons Bern und der Gemeinde Homberg bei Thun.
B.
Am 8. November 2011 machte die Einwohnergemeinde Zuchwil/SO das SEM darauf aufmerksam, dass die Ehe von A._ und ihres schweizerischen Ehegatten am 24. Juni 2009 geschieden worden sei. Am 29. März 2012 gelangte der Zivilstands- und Bürgerrechtsdienst des Kantons Bern an das SEM und wies auf Vorkommnisse hin, die seines Erachtens ein Nichtigkeitsverfahren rechtfertigten. Danach hätten A._ und ihr damaliger Ehegatte den letzten gemeinsamen Wohnsitz am 2. Dezember 2008 aufgegeben und sich an unterschiedlichen Adressen angemeldet. In der Folge zog das SEM (mit Zustimmung von A._) die Akten des Ehescheidungsverfahrens bei.
Nach Erteilung der Zustimmung des Kantons Bern als Heimatkanton erklärte das SEM mit Verfügung vom 12. März 2013 die erleichterte Einbürgerung von A._ für nichtig.
C.
Mit Urteil vom 14. Dezember 2015 wies das Bundesverwaltungsgericht die gegen diesen Entscheid erhobene Beschwerde von A._ ab.
D.
Mit Eingabe vom 18. Januar 2016 erhebt A._ Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten mit dem Antrag, das Urteil des Bundesverwaltungsgerichts sei aufzuheben. In prozeduraler Hinsicht sei der Beschwerde die aufschiebende Wirkung zuzuerkennen. Am 25. Februar 2016 hat A._ ein Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung eingereicht.
Das Bundesverwaltungsgericht hat auf eine Vernehmlassung in der Sache verzichtet. Das SEM beantragt die Abweisung der Beschwerde. Die Beschwerdeführerin hat sich nicht mehr geäussert.

Erwägungen:
1.
1.1. Das angefochtene Urteil des Bundesverwaltungsgerichts stellt einen Entscheid über die Nichtigerklärung einer erleichterten Einbürgerung dar, gegen den die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten an das Bundesgericht offensteht (Urteil 1C_835/2013 vom 14. Februar 2014 E. 1.1, nicht publ. in <ref-ruling>). Die Beschwerdeführerin hat am Verfahren vor der Vorinstanz teilgenommen und ist als unmittelbar Betroffene zur Beschwerde befugt (<ref-law>). Da auch die übrigen Sachurteilsvoraussetzungen erfüllt sind, ist auf die Beschwerde grundsätzlich einzutreten.
1.2. Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (<ref-law>). Die Feststellung des Sachverhalts kann nur gerügt bzw. vom Bundesgericht von Amtes wegen berichtigt oder ergänzt werden, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruht (Art. 97 Abs. 1 bzw. <ref-law>). Der Betroffene muss rechtsgenügend dartun, dass und inwiefern der festgestellte Sachverhalt klar und eindeutig mangelhaft erscheint (Art. 42 Abs. 2 und <ref-law>; vgl. <ref-ruling> E. 1.4.3; <ref-ruling> E. 1.3, 393 E. 7.1, 462 E. 2.4). Auf rein appellatorische Kritik an der Sachverhaltsermittlung und an der Beweiswürdigung tritt das Bundesgericht nicht ein (<ref-ruling> E. 3 S. 104 f.).
Entgegen der Auffassung der Beschwerdeführerin kann der Vorinstanz keine offensichtlich unrichtige Sachverhaltsfeststellung vorgeworfen werden. Diese hat die Chronologie der hier erheblichen Ereignisse richtig festgestellt: Die Zeitspanne zwischen der gemeinsamen Erklärung zum Zustand der ehelichen Gemeinschaft bis zur erleichterten Einbürgerung einerseits und von der erleichterten Einbürgerung bis zur definitiven Trennung andererseits betrug jeweils rund sechs Monate. Ab der Trennung bis zur gemeinsam unterzeichneten Scheidungskonvention vergingen drei Monate. Wiederum drei Monate später erfolgte die Scheidung (vgl. E. 7.1 und 7.2 des angefochtenen Entscheids). Die Rüge der offensichtlich falschen Sachverhaltsfeststellung ist daher abzuweisen.
1.3. Nach <ref-law> ist in der Beschwerdebegründung in gedrängter Form darzulegen, inwiefern der angefochtene Akt Recht verletzt. Bezüglich der Verletzung von verfassungsmässigen Rechten tritt das Bundesgericht auf solche Rügen nur ein, wenn sie in der Beschwerde präzise vorgebracht und begründet worden sind (<ref-law> i.V.m. <ref-law>). Wird eine Verletzung des Willkürverbots geltend gemacht, muss anhand der angefochtenen Subsumtion im Einzelnen dargelegt werden, inwiefern der Entscheid an einem qualifizierten und offensichtlichen Mangel leidet (vgl. <ref-ruling> E. 2.2 S. 246).
Die von der Beschwerdeführerin erhobene Willkürrüge erfüllt diese Anforderungen nicht. Es genügt nicht, wenn sie lediglich behauptet, die Vorinstanz verfalle in Willkür, weil sie aus den Umständen die falschen Schlüsse ziehe. Darauf ist nicht einzutreten.
2.
In formeller Hinsicht rügt die Beschwerdeführerin eine Verletzung des rechtlichen Gehörs. Sie und ihr ehemaliger Ehegatte seien nie persönlich zur Sache befragt worden und die Vorinstanz habe zu Unrecht auf den Beizug zusätzlicher Akten verzichtet.
Aus der Gewährleistung des rechtlichen Gehörs gemäss <ref-law> ergibt sich grundsätzlich kein Anspruch auf eine mündliche Anhörung (<ref-ruling> E. 5.3 S. 148; GEROLD STEINMANN, in: St. Galler Kommentar BV, 3. Aufl. 2014, Rz. 46 zu <ref-law> mit Hinweisen). Dies gilt auch in Einbürgerungsangelegenheiten (vgl. Urteile des Bundesgerichts 1C_255/2008 vom 25. Juli 2008 E. 4.1 und 1C_476/2010 vom 13. Dezember 2010 E. 2), zumal auch der Anwendungsbereich von Art. 6 Ziff. 1 EMRK nicht tangiert ist. Die Beschwerdeführerin und ihr ehemaliger Ehegatte haben sich während des Verfahrens mehrmals zu den Umständen der Ehe schriftlich geäussert. Damit wurde der Anspruch auf rechtliches Gehör gewahrt. Umstände, die sich nur aufgrund einer mündlichen Anhörung klären liessen, werden von der Beschwerdeführerin nicht dargetan. Inwiefern die persönliche Befragung zur Stabilität der Ehe im Zeitpunkt der erleichtertenEinbürgerung neue, entscheidende Anhaltspunkte hätte liefern können, ist auch nicht ersichtlich. Die Vorinstanz hatte genügend relevante Informationen zur Verfügung, um sich - auch ohne zusätzliche persönliche Anhörung - ein Bild über den Zustand der ehelichen Gemeinschaft im fraglichen Zeitpunkt zu machen. Aus diesem Grund erübrigte sich auch die von der Beschwerdeführerin begehrte Edition zusätzlicher Akten (insbesondere des Trennungs- und Scheidungsverfahrens sowie eines Strafverfahrens gegen den ehemaligen Gatten wegen einer Delinquenz im Bereich der Betäubungsmittelgesetzgebung im Jahre 2004). Im Ergebnis ist die Rüge der Gehörsverletzung unbegründet.
3.
3.1. Nach Art. 27 Abs. 1 des Bundesgesetzes vom 29. September 1952 über Erwerb und Verlust des Schweizer Bürgerrechts (BüG; SR 141.0) kann ein Ausländer nach der Eheschliessung mit einem Schweizer Bürger ein Gesuch um erleichterte Einbürgerung stellen, wenn er insgesamt fünf Jahre in der Schweiz gewohnt hat, seit einem Jahr hier wohnt und seit drei Jahren in ehelicher Gemeinschaft mit dem Schweizer Bürger lebt. Alle Einbürgerungsvoraussetzungen müssen sowohl im Zeitpunkt der Gesuchseinreichung als auch in jenem der Einbürgerungsverfügung erfüllt sein (<ref-ruling> E. 2.1 S. 67).
3.2. Nach <ref-law> kann die Einbürgerung vom SEM mit Zustimmung der Behörde des Heimatkantons nichtig erklärt werden, wenn sie durch falsche Angaben oder Verheimlichung erheblicher Tatsachen erschlichen worden ist. Das blosse Fehlen der Einbürgerungsvoraussetzungen genügt somit nicht. Die Nichtigerklärung der Einbürgerung setzt vielmehr voraus, dass diese "erschlichen", das heisst mit einem unlauteren und täuschenden Verhalten erwirkt worden ist (<ref-ruling> E. 3.1 S. 115). Arglist im Sinne des strafrechtlichen Betrugstatbestands ist nicht erforderlich. Immerhin ist notwendig, dass der Betroffene bewusst falsche Angaben macht bzw. die Behörde bewusst in einem falschen Glauben lässt und so den Vorwurf auf sich zieht, es unterlassen zu haben, die Behörde über eine erhebliche Tatsache zu informieren (<ref-ruling> E. 2 S. 165; <ref-ruling> E. 3.1 S. 115).
3.3. Bei der Nichtigerklärung einer erleichtertenEinbürgerung ist deshalb von der Behörde zu untersuchen, ob die Ehe im massgeblichen Zeitpunkt der Gesuchseinreichung und der Einbürgerung tatsächlich gelebt wurde. Im Wesentlichen geht es dabei um innere Vorgänge, die der Behörde oft nicht bekannt und schwierig zu beweisen sind. Sie kann sich daher veranlasst sehen, von bekannten Tatsachen (Vermutungsbasis) auf unbekannte (Vermutungsfolge) zu schliessen. Es handelt sich dabei um Wahrscheinlichkeitsfolgerungen, die aufgrund der Lebenserfahrung gezogen werden (<ref-ruling> E. 3.2 S. 485 f.). Der Betroffene ist bei der Sachverhaltsabklärung mitwirkungspflichtig (<ref-ruling> E. 2 S. 166; <ref-ruling> E. 3.2 S. 486).
3.4. Die tatsächliche Vermutung betrifft die Beweiswürdigung und bewirkt keine Umkehrung der Beweislast (<ref-ruling> E. 3.2 S. 486). Begründet die kurze Zeitspanne zwischen der erleichtertenEinbürgerung einerseits und der Trennung oder Einleitung einer Scheidung andererseits die tatsächliche Vermutung, es habe schon bei der Einbürgerung keine stabile eheliche Gemeinschaft mehr bestanden, so muss der Betroffene deshalb nicht das Gegenteil beweisen. Es genügt, wenn er einen Grund anführt, der es als plausibel erscheinen lässt, dass er bei der Erklärung, wonach er mit seiner Schweizer Ehepartnerin in einer stabilen ehelichen Gemeinschaft lebt, nicht gelogen hat. Bei diesem Grund kann es sich um ein ausserordentliches, nach der Einbürgerung eingetretenes Ereignis handeln, welches zum raschen Scheitern der Ehe führte, oder um das fehlende Bewusstsein des Gesuchstellers bezüglich bestehender Eheprobleme im Zeitpunkt der Einbürgerung (<ref-ruling> E. 3 S. 166 mit Hinweisen).
4.
4.1. Die Vorinstanz begründet die tatsächliche Vermutung der instabilen Ehe wie folgt: In Anbetracht der sich fast überstürzenden Ereignisse nach der erleichterten Einbürgerung im Mai 2008 und des beidseitigen Fehlens irgendwelcher Bemühungen zur Rettung der Ehe müsse davon ausgegangen werden, dass der Zerrüttungsprozess zum Zeitpunkt der erleichterten Einbürgerung bereits so weit fortgeschritten gewesen sei, dass eine intakte und auf die Zukunft ausgerichtete Ehe in Wahrheit nicht mehr bestanden habe. Er wäre lebensfremd anzunehmen, dass das Ausmass der Probleme und damit der Zustand der Ehe der Beschwerdeführerin oder ihrem Ehemann nicht bewusst gewesen sei.
4.2. Die Beschwerdeführerin wendet im Wesentlichen ein, die vorinstanzlichen Ausführungen seien "reine Spekulation". Die erleichterte Einbürgerung sei erst nach sechs Jahren Ehe (und nicht kurz nach Ablauf der gesetzlichen 5-Jahres-Frist) beantragt worden. Eine Scheinehe habe nicht vorgelegen. Die Beschwerdeführerin habe die Einbürgerung keineswegs erschlichen. Sie habe intensiv um die Fortführung ihrer Ehe gekämpft. Noch im Sommer 2008 seien gemeinsame Ferien in Griechenland verbracht worden. Ihre Untreue während der Ehe genüge nicht, um die erleichterte Einbürgerung für nichtig zu erklären.
4.3. Den Akten kann entnommen werden, dass die Beschwerdeführerin und ihr ehemaliger Ehegatte ursprünglich geplant hatten, aus der Schweiz auszuwandern. Zu diesem Zweck hielten sie sich zwischen Januar 2006 bis November 2006 in Lateinamerika auf. Aus der von der Beschwerdeführerin verfassten Stellungnahme vom 25. April 2012 geht hervor, dass sie in Peru der Spielsucht verfallen sei. Nach der Rückkehr in die Schweiz sei "alles nicht mehr gleich" gewesen; es seien "Probleme" aufgetreten und sie habe nicht mehr gewusst, was sie wolle. Nach den letzten gemeinsamen Ferien in Griechenland (vom 19. bis zum 26. Juni 2008; rund einen Monat nach der erleichterten Einbürgerung) habe sie realisiert, dass sie für ihren Ehemann nicht mehr genug empfinde. Daraufhin sei sie "fremd gegangen". Nachdem sie ihren Ehemann darüber informiert habe, sei es zur Trennung gekommen.
4.4. Die Beschwerdeführerin schildert die Destabilisierung der ehelichen Verhältnisse als einen bereits mit der Rückkehr aus Peru gegen Ende 2006 begonnenen Prozess. Damit erscheint der Vorgang des "Fremdgehens", der von den Ex-Ehegatten in ihren Ausführungen gegenüber dem SEM weder inhaltlich noch zeitlich präzisiert wurde, nicht als Ursache, sondern vielmehr als Folge einer bereits eingesetzten und fortgeschrittenen Zerrüttung. Dass ihre Ehe "zum relevanten Zeitpunkt" nicht mehr stabil gewesen ist, gesteht die Beschwerdeführerin in ihrer Stellungnahme vom 15. November 2012 ein, da es sonst "wohl kaum zum Fremdgehen gekommen" wäre. Damit ist erstellt, dass im Zeitpunkt der erleichterten Einbürgerung nicht mehr in guten Treuen von einer intakten Ehe ausgegangen werden konnte. Sodann stellt im vorliegenden Fall das "Fremdgehen" der Beschwerdeführerin kein ausserordentliches, nach der erleichterten Einbürgerung eingetretenes Ereignis dar, das den nachfolgenden raschen Zerfall einer zuvor angeblich intakten ehelichen Beziehung plausibel zu erklären vermag (vgl. auch Stellungnahme vom 25. April 2012, wonach sich nach Auffassung der Beschwerdeführerin in der Zeit nach der erleichterten Einbürgerung kein besonderes Ereignis zugetragen habe, das zum Scheitern der Ehe geführt habe). Obwohl die Beschwerdeführerin behauptet, sie habe intensiv darum gekämpft, ihre Ehe zu retten, finden sich in der Beschwerdeschrift überhaupt keine Ausführungen zu entsprechenden Bemühungen.
Der von der Beschwerdeführerin erhobene Vorwurf, die Vorinstanz habe die Feststellungen des SEM unkritisch übernommen und sich nicht damit auseinandergesetzt, dass die Ehe im Zeitpunkt der Gesuchseinreichung und der Einbürgerung "tatsächlich nicht gelebt" (recte wohl: tatsächlich gelebt) worden sei, erweist sich nach dem Gesagten als unbegründet. Auch die übrigen Einwände vermögen, sofern sie im vorliegend zu beurteilenden Kontext von Belang sind, die natürliche Vermutung nicht zu erschüttern, wonach zum Zeitpunkt der erleichterten Einbürgerung zwischen der Beschwerdeführerin und ihrem damaligen Ehegatten keine stabile, auf die Zukunft ausgerichtete eheliche Gemeinschaft mehr bestand und sie die mit dem Einbürgerungsgesuch befasste Behörde über diesen Umstand täuschte, sei es weil sie in der gemeinsamen Erklärung zum Zustand der Ehe falsche Angaben machte, sei es weil sie eine Änderung des Sachverhalts nicht anzeigte. Damit sind die materiellen Voraussetzungen für die Nichtigerklärung der erleichterten Einbürgerung erfüllt.
4.5. Die Beschwerdeführerin macht geltend, die Nichtigerklärung der Einbürgerung sei unverhältnismässig.
Wie anderes Verwaltungshandeln auch, ist die Zulässigkeit der Nichtigerklärung einer Einbürgerung am Gesetzeszweck und ergänzend am Grundsatz der Verhältnismässigkeit zu messen (<ref-ruling> E. 4.2; <ref-ruling> E. 5.4 S. 171). Vorliegend sind keine Gründe ersichtlich, welche die Nichtigerklärung der Einbürgerung der Beschwerdeführerin unverhältnismässig erscheinen lassen. Dass sie seit rund 12 Jahren in der Schweiz lebt und offenbar beruflich integriert ist, ändert daran nichts. Es ist in diesem Zusammenhang darauf hinzuweisen, dass der weitere Verbleib der Beschwerdeführerin in der Schweiz nicht Gegenstand des vorliegenden Verfahrens bildet; darüber wird nach dem Eintritt der Rechtskraft der Nichtigerklärung die zuständige Migrationsbehörde in Anwendung des Ausländerrechts erst noch zu befinden haben.
4.6. Den Ausführungen der Vorinstanz ist somit zuzustimmen. Es verletzt kein Bundesrecht, wenn sie davon ausgeht, die Einbürgerung sei durch falsche Angaben oder Verheimlichung erheblicher Tatsachen erschlichen worden.
5.
Nach dem Gesagten ist die Beschwerde abzuweisen, soweit darauf eingetreten werden kann. Das Gesuch um aufschiebendeWirkung wird mit dem Entscheid in der Sache gegenstandslos.
Der offenkundig bedürftigen unterliegenden Beschwerdeführerin, deren Rechtsbegehren nicht als von vornherein aussichtslos erscheinen, ist für das bundesgerichtliche Verfahren antragsgemäss die unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung zu gewähren (vgl. <ref-law>). Damit sind keine Kosten zu erheben, und es ist dem Rechtsvertreter der Beschwerdeführerin eine angemessene Parteientschädigung aus der Bundesgerichtskasse auszurichten.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf eingetreten wird.
2.
Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege für das bundesgerichtliche Verfahren wird gutgeheissen und es wird der Beschwerdeführerin Rechtsanwalt Urs Tschaggelar als unentgeltlicher Rechtsbeistand beigegeben.
3.
Es werden keine Gerichtskosten erhoben.
4.
Dem Rechtsbeistand der Beschwerdeführerin wird aus der Gerichtskasse eine Entschädigung von Fr. 2'000.-- ausgerichtet.
5.
Dieses Urteil wird der Beschwerdeführerin, dem Staatssekretariat für Migration und dem Bundesverwaltungsgericht, Abteilung III, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 7. April 2016
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Fonjallaz
Der Gerichtsschreiber: Misic