Sachverhalt:
A.
A.a. Am 15. Dezember 2016 ordnete die Kindes- und Erwachsenenschutzbehörde Region Solothurn (fortan: KESB) Massnahmen zum Schutz von A.B._ an, die teilweise auch ihre Tochter, A.A._, betrafen.
A.b. Der Entscheid wurde C._, der damaligen Vertreterin von A.A._, am 19. Dezember 2016 zur Abholung gemeldet, wobei die Post eine Abholfrist bis 27. Dezember 2016 vermerkte. Am 26. Dezember 2016 lief die siebentägige Abholfrist aus. C._ holte den Entscheid am 27. Dezember 2016 bei der Post ab.
B.
B.a. Am 26. Januar 2017 erhoben Rechtsanwältin D._ als neue Rechtsvertreterin von A.A._ und, ergänzend dazu, C._ als bisherige Vertreterin je eine Beschwerde gegen den Entscheid der KESB.
B.b. Mit Urteil vom 2. Februar 2017 vereinigte das Verwaltungsgericht des Kantons Solothurn die beiden Beschwerden (Urteilsziffer 1), trat darauf jedoch nicht ein wegen Ablaufs der Beschwerdefrist am 25. Januar 2017 (Urteilsziffer 2).
C.
C.a. Dagegen erhebt A.A._ (Beschwerdeführerin) Beschwerde mit dem Begehren um Aufhebung des Urteils und Rückweisung der Sache an die Vorinstanz zur materiellen Beurteilung. Ferner beantragt sie die unentgeltliche Rechtspflege für das Beschwerdeverfahren, alles unter Kosten- und Entschädigungsfolge.
C.b. Es wurden die vorinstanzlichen Akten ediert. Auf die Einholung einer Vernehmlassung wurde verzichtet.

Erwägungen:
1.
1.1. Die Beschwerde richtet sich gegen den Endentscheid (Nichteintreten auf die Beschwerde) einer letzten kantonalen Instanz, die als oberes Gericht über eine öffentlich-rechtliche Angelegenheit in unmittelbarem Zusammenhang mit dem Zivilrecht entschieden hat (Art. 72 Abs. 2 Bst. b Ziff. 6, 75 Abs. 1 und 90 BGG). Beim Nichteintretensentscheid der Vorinstanz lagen sowohl vermögensrechtliche als auch nicht vermögensrechtliche Fragen im Streit. Davon ist auch für das Verfahren vor Bundesgericht, in dem das Nichteintreten überprüft werden soll, auszugehen. Die Beschwerde unterliegt demnach keinem Streitwerterfordernis. Die Beschwerdeführerin ist gemäss Art. 76 Abs. 1 BGG zur Beschwerde berechtigt und die Beschwerdefrist ist eingehalten (Art. 100 Abs. 1 BGG). Insofern kann auf die Beschwerde eingetreten werden.
1.2. Die Beschwerdeführerin beantragt die Aufhebung des angefochtenen Urteils und die Rückweisung der Sache an die Vorinstanz zur materiellen Beurteilung, stellt jedoch kein Begehren in der Sache. Das ist zutreffend, weil das Bundesgericht, wenn es das Eintreten auf die kantonale Beschwerde bejaht, nicht reformatorisch entscheiden könnte (<ref-ruling> E. 1.2 Abs. 4 und 134 III 235 E. 2, der u.a. auf <ref-ruling> E. 1b verweist).
2.
Umstritten ist der Fristbeginn als Voraussetzung für die Fristwahrung bei den kantonalen Beschwerden gegen die Massnahmen der KESB.
2.1. Die Vorinstanz erwog, die Beschwerden vom 26. Januar 2017 seien um einen Tag verspätet. Zum Fristbeginn führte sie Folgendes aus:
Gemäss § 58 Abs. 1 des solothurnischen Verwaltungsrechtspflegegesetzes (VRG, BGS 124.11) sei Art. 138 Abs. 3 Bst. a ZPO anwendbar. Danach gelte eine eingeschriebene Postsendung, die nicht abgeholt worden sei, am siebten Tag nach dem erfolglosen Zustellversuch als zugestellt, wenn die Adressatin mit der Zustellung habe rechnen müssen. Das sei hier der Fall, denn die Beschwerdeführerin habe vom laufenden Verfahren bei der KESB Kenntnis gehabt und daher mit der Postsendung rechnen müssen, auch wenn der Entscheid lange auf sich habe warten lassen. Nachdem die Sendung ihrer Vertreterin C._ am 19. Dezember 2016 zur Abholung gemeldet worden sei, habe die siebentägige Abholfrist am Folgetag zu laufen begonnen und am 26. Dezember 2016 geendet. Dass die Sendung am Stephanstag nicht habe abgeholt werden können und dass eine Abholfrist bis 27. Dezember 2016 vermerkt gewesen sei, ändere daran nichts. Die dreissigtägige Beschwerdefrist habe somit am 27. Dezember 2016 zu laufen begonnen und am 25. Januar 2017 geendet.
2.2. Die Beschwerdeführerin bestreitet die ergänzende Geltung von Art. 138 Abs. 3 Bst. a ZPO nicht, rügt aber dessen fehlerhafte Anwendung.
Sie meint, die Bestimmung sei nicht anwendbar, weil die Sendung am 27. Dezember 2016 tatsächlich abgeholt worden sei. Die Zustellfiktion gelte nur für Einschreiben, die nicht abgeholt worden seien.
Sodann behauptet sie gestützt auf neue Sachverhaltsausführungen, dass sie mit der Zustellung des Entscheids der KESB Mitte/Ende Dezember 2016 nicht habe rechnen müssen. Der KESB wirft sie treuwidriges Zuwarten mit dem Entscheid vor.
Die Beschwerdeführerin meint weiter, als juristische Laien hätten sie und ihre Vertreterin, C._, die Zustellfiktion nicht gekannt und auf die von der Post vermerkte Abholfrist (bis 27. Dezember 2016) vertrauen dürfen.
Ferner erwähnt die Beschwerdeführerin neu gesundheitliche Probleme ihrer damaligen Vertreterin, C._, die es dieser erst kurz vor Fristablauf ermöglicht hätten, eine Rechtsvertreterin zu konsultieren.
Schliesslich behauptet die Beschwerdeführerin, das Nichteintreten der Vorinstanz sei überspitzt formalistisch (Art. 29 BV).
3.
Die Beschwerde gibt Anlass, vorweg die zulässigen Rügen und die Prüfungsbefugnis des Bundesgerichts zu bestimmen.
3.1. Das ZGB enthält nur wenige Bestimmungen zum Erwachsenenschutzverfahren. Für dessen Regelung sind die Kantone zuständig, soweit das ZGB nicht eine Frage abschliessend bundesrechtlich beantwortet (vgl. Art. 450f ZGB). Zur Fristauslösung für die Beschwerde an das kantonale Gericht und zur Zustellfiktion enthält das ZGB keine Vorschriften (Art. 450 ff.). Art. 138 Abs. 3 Bst. a ZPO, auf den sich § 58 Abs. 1 VRG/SO bezieht, ist daher subsidiäres bzw. ergänzendes kantonales Verfahrensrecht (vgl. <ref-ruling> E. 2.3; Urteil 5A_327/2016 vom 1. Mai 2017 E. 3.1). Vor Bundesgericht kann die Verletzung kantonalen Rechts als solche nicht gerügt werden. Ausserhalb der hier nicht interessierenden Teilbereiche von Art. 95 Bst. b-e BGG kann nur geltend gemacht werden, der angefochtene Entscheid verstosse gegen Bundesrecht (Art. 95 Bst. a BGG), namentlich gegen die verfassungsmässigen Rechte und Grundsätze (<ref-ruling> E. 2 S. 149 f. mit Hinweisen), einschliesslich dem Willkürverbot, Art. 9 BV (<ref-ruling> E. 1; <ref-ruling> E. 1.2.1). Das Bundesgericht prüft die Anwendung des kantonalen Rechts unter dem beschränkten Gesichtswinkel der Willkür. Eine solche Prüfung nimmt das Bundesgericht in jedem Fall aber nur vor, soweit eine Rüge in der Beschwerde vorgebracht und begründet worden ist (Art. 106 Abs. 2 BGG). Solche Rügen sind klar und detailliert anhand der Erwägungen des angefochtenen Entscheids darzulegen (strenges Rügeprinzip). Auf bloss allgemein gehaltene, appellatorische Kritik am vorinstanzlichen Entscheid tritt das Bundesgericht nicht ein (<ref-ruling> E. 3.8 S. 144; Urteil 2C_814/2013 vom 3. März 2014 E. 1.6.2).
Das Rügeprinzip gilt auch für die Verletzung des Verbots des überspitzten Formalismus, einer Verfahrensgarantie, die aus Art. 29 Abs. 1 BV abgeleitet wird (Art. 106 Abs. 2 BGG).
3.2. Das Bundesgericht ist, soweit es keine neuen Vorbringen zulässt (Art. 99 Abs. 1 BGG), an den vorinstanzlich festgestellten Sachverhalt grundsätzlich gebunden (Art. 105 Abs. 1 BGG). Dagegen kann einzig vorgebracht werden, die Feststellungen seien offensichtlich unrichtig (Art. 97 Abs. 1 BGG), das heisst willkürlich (BGE <ref-ruling> E. 1.2.2; <ref-ruling> E. 7.1), oder sie würden auf einer anderen Rechtsverletzung im Sinne von Art. 95 BGG (z. B. Art. 29 Abs. 2 BV oder Art. 8 ZGB) beruhen. Ausserdem muss die Beschwerde aufzeigen, inwiefern die Behebung der vorerwähnten Mängel für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein kann (Art. 97 Abs. 1 BGG; <ref-ruling> E. 2.2.2). Für all diese Elemente gilt ebenfalls das strenge Rügeprinzip (Art. 106 Abs. 2 BGG; BGE <ref-ruling> E. 1.4.2).
4.
Die Rügen der Beschwerdeführerin sind, soweit relevant, nicht ausreichend begründet bzw. unzutreffend.
4.1. Zur streitigen Zustellungsfrage trägt die Beschwerdeführerin lediglich eine eigene Sachverhaltsdarstellung vor, ohne die Willkür der vorinstanzlichen Feststellungen zu begründen. Ferner sind ihre neuen Vorbringen zur Frage, ob sie auf Grund des Verlaufs des Verfahrens und nach Treu und Glauben mit einer Zustellung des Entscheids rechnen musste, irrelevant. Die Beschwerdeführerin behauptet selber nicht, dass ihre Vertreterin, C._, von der Abholmeldung nicht rechtzeitig Kenntnis erlangt habe oder dass sie den Entscheid bis zum Auslauf der Frist am 26. Dezember 2016 nicht habe abholen können, sondern stützt sich im Sachverhalt lediglich auf die längere Abholfrist der Post (bis 27. Dezember 2016). Schliesslich betreffen die neuen Vorbringen zu allfälligen gesundheitlichen Problemen von Frau C._ und der Möglichkeit, eine Rechtsvertreterin zu konsultieren, nicht den Sachverhalt zum Fristbeginn, sondern ein allfälliges Hindernis für die Wahrung der kantonalen Beschwerdefrist, welche im Verfahren nach § 10bis VRG/SO geltend zu machen wäre. Damit erübrigt es sich zu prüfen, ob und, wenn ja, wie weit neue Sachverhaltsvorbringen nach Art. 99 Abs. 1 BGG zuzulassen wären.
Darüber hinaus behauptet die Beschwerdeführerin keine Verletzung von Bundesrecht nach Art. 95 Bst. a BGG, denn sie rügt die Anwendung von Art. 138 Abs. 3 Bst. a ZPO, der als subsidiäres kantonales Recht gilt. Diesbezüglich legt sie jedoch nicht dar, inwiefern die Anwendung willkürlich (Art. 9 BV) oder überspitzt formalistisch (aus Art. 29 Abs. 1 BV) sein soll. Ihre Beschwerde genügt daher den strengen Begründungsanforderungen (Rügeprinzip, Art. 106 Abs. 2 BGG) nicht.
4.2. Selbst wenn das Bundesgericht auf die Rügen eintreten könnte, wären sie offensichtlich unbegründet.
Am 26. Dezember 2016 lief die siebentägige Abholfrist aus, auch wenn es ein Feiertag war (Urteile 5A_677/2013 vom 6. Dezember 2013 E. 2.1 Abs. 3 und 8C_655/2012 vom 22. November 2012 E. 3.5). Damit trat die Zustellfiktion gemäss Art. 138 Abs. 3 Bst. a ZPO ein. Daran änderte das Abholen der Sendung am Tag danach nichts, denn die Zustellfiktion kommt ebenfalls zum Tragen, wenn die Post die Sendung von sich aus über die Abholfrist hinaus behält und dem Empfänger später übergibt (Urteil 5A_677/2013 vom 6. Dezember 2013 E. 2.1 Abs. 2) oder die Frist irrtümlich verlängert (<ref-ruling> E. 2b; Urteil 4A_704/2011 vom 16. Januar 2012 E. 3.4 Abs. 2). Das ist nicht überspitzt formalistisch (a.a.O.). Das Gesagte gilt auch für die Zustellung der Sendung nach Ablauf der Abholfrist, die sich auf einen Rückbehaltungsauftrag mit dem Kunden stützt (vgl. <ref-ruling> E. 3.1 zu Art. 20 Abs. 2 bis VwVG). Fehlleistungen ihrer Vertretung oder Hilfspersonen muss sich die Beschwerdeführerin unmittelbar zurechnen lassen (Urteile 2C_222/2014 vom 10. März 2014 E. 2.4 und 2C_699/2012 vom 22. Oktober 2012 E. 3.2 und 3.4), so das verspätete Abholen des Entscheids der KESB am 27. Dezember 2016.
5.
Unter dem Gesichtspunkt der hier massgeblichen Rügeanforderungen und Kognition ist auf die Beschwerde nicht einzutreten. Bei diesem Verfahrensausgang hat die Beschwerdeführerin für die Gerichtskosten aufzukommen (Art. 66 Abs. 1 BGG). Wie die vorstehenden Erwägungen zeigen, war die Beschwerde von Anfang an aussichtslos. Damit mangelt es an einer materiellen Voraussetzung für die unentgeltliche Rechtspflege (Art. 64 Abs. 1 BGG). Das entsprechende Gesuch ist abzuweisen.
Der Erstinstanz bzw. dem dahinter stehenden Gemeinwesen ist keine Parteientschädigung zuzusprechen (Art. 68 Abs. 3 BGG). Die unterliegende Beschwerdeführerin hat keinen Anspruch auf eine Prozessentschädigung (Art. 68 Abs. 1 und 2 BGG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2.
Das Gesuch der Beschwerdeführerin um unentgeltliche Rechtspflege wird abgewiesen.
3.
Die Gerichtskosten von Fr. 1'000.-- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
4.
Dieses Urteil wird der Beschwerdeführerin, der Kindes- und Erwachsenenschutzbehörde (KESB) Region Solothurn und dem Verwaltungsgericht des Kantons Solothurn schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 20. Juli 2017
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: von Werdt
Der Gerichtsschreiber: Leu