Sachverhalt:
A.
A.A._ (Wohnsitz T._, Deutschland) reichte am 26. Mai 2014 beim Richteramt X._ ein Gesuch um Erlass vorsorglicher Massnahmen im Scheidungsverfahren gegen B.A._ ein. Mit Entscheid vom 17. Juni 2014 trat der Amtsgerichtspräsident C._ mangels örtlicher Zuständigkeit auf das Gesuch nicht ein. Dagegen wehrte sich A.A._ bis vor Bundesgericht ohne Erfolg (Urteil 5A_588/2014 vom 12. November 2014).
B.
B.a. Mit Eingabe vom 6. Dezember 2015 gelangte A.A._ erneut ans Richteramt X._. Sie stellte das Begehren, ihren Ehemann zu verpflichten, ihr Unterhaltsbeiträge zu bezahlen, Auskunft über seine Einkommens- und Vermögensverhältnisse zu erteilen und ihr einen Kostenvorschuss zu leisten.
B.b. Am 27. Dezember 2015 verlangte A.A._ den Ausstand von Präsident D._ und die Bestellung eines unabhängigen Richters. Darauf aufmerksam gemacht, dass es sich bei Herrn D._ um einen Kanzleimitarbeiter handelt, berichtigte sie ihr Gesuch mit Schreiben vom 9. Januar 2016 dahingehend, dass sie den Ausstand des mit der Sache befassten Richters und nicht des Kanzleimitarbeiters verlangte. Hierauf verfügte Amtsgerichtspräsident C._ am 7. März 2016, die Eingabe vom 9. Januar 2016 als Ausstandsgesuch im Sinn von <ref-law> entgegenzunehmen. Gleichentags verfügte Amtsgerichtspräsident E._, das Ausstandsbegehren gegen Amtsgerichtspräsident C._ sei abgewiesen.
B.c. Gegen diesen Entscheid erhob A.A._ erfolglos Beschwerde beim Obergericht des Kantons Solothurn (Urteil vom 23. März 2016). Die Kosten des Beschwerdeverfahrens von Fr. 500.-- auferlegte das Obergericht A.A._.
C.
C.a. Mit "Beschwerde in Verbindung mit subsidiärer Verfassungsbeschwerde" vom 21. April 2016 (Datum der Postaufgabe) wendet sich A.A._ (Beschwerdeführerin) an das Bundesgericht. Sie verlangt, das vorinstanzliche Urteil aufzuheben und die Beschwerde zur ordentlichen Behandlung an das Obergericht zurückzuweisen.
C.b. Im Auftrag des Präsidenten der II. zivilrechtlichen Abteilung forderte die Bundesgerichtskanzlei die Beschwerdeführerin mit Verfügung vom 27. April 2016 gestützt auf <ref-law> auf dem Rechtshilfeweg auf, einen Kostenvorschuss von Fr. 1'000.-- zu entrichten und eine Person in der Schweiz zu bezeichnen, an welche gerichtliche Zustellungen mit verbindlicher Wirkung für sie erfolgen können.
C.c. Die Beschwerdeführerin reagierte darauf am 20. Mai 2016 (Datum der Postaufgabe) mit einer weiteren Eingabe, in der sie unter anderem beantragte, die Verfügung des nicht genannten Präsidenten vom 27. April 2016 "für gesetzeswidrig und somit für nichtig zu erklären". Sinngemäss verlangte sie den Ausstand der Gerichtsperson, die diese Verfügung zu verantworten hat.
C.d. Am 23. Mai 2016 teilte das Bundesgericht der Beschwerdeführerin mit, dass von der Einforderung des Kostenvorschusses einstweilen abgesehen und über das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege später entschieden werde. Im Übrigen hat das Bundesgericht die kantonalen Akten, aber keine Vernehmlassungen eingeholt.

Erwägungen:
1.
1.1. Die Beschwerdeführerin wirft dem Präsidenten der II. zivilrechtlichen Abteilung in ihrer Eingabe vom 20. Mai 2016 vor, die Verfügung vom 27. April 2016 zu ihren Lasten erlassen zu haben und ihr mit dem "gesetzwidrigen Entzug der Zustellung" und der "Forderung des gesetzwidrigen Vorschusses" den freien Zugang zum Bundesgericht diskriminierend zu entziehen. Angesichts der Hindernisse, die ihr in den Weg gestellt würden, sei davon auszugehen, dass es dem Abteilungspräsidenten an der Unabhängigkeit fehle.
1.2. Nach <ref-law> hat die Partei, die den Ausstand einer Gerichtsperson des Bundesgerichts verlangt, die den Ausstand begründenden Tatsachen glaubhaft zu machen. Davon kann hier nicht die Rede sein. Die Beschwerdeführerin gibt sich mit der pauschalen Behauptung zufrieden, die fragliche Verfügung vom 27. April 2016 verletze <ref-law> i.V.m. Art. 6 EMRK sowie das Übereinkommen vom 15. November 1965 über die Zustellung gerichtlicher und aussergerichtlicher Schriftstücke im Ausland in Zivil- oder Handelssachen (SR 0.274.131). Sie tut in keiner Weise dar, inwiefern sich die in <ref-law> verankerte Verpflichtung, wonach im Ausland wohnhafte Parteien in der Schweiz ein Zustelldomizil zu bezeichnen haben, mit den angerufenen Normen nicht verträgt. In der Folge vermag sie auch nicht zu erklären, inwiefern der Abteilungspräsident die erwähnte Gesetzesnorm in einer Weise angewendet hätte, die Zweifel an seiner Unabhängigkeit aufkommen lassen könnte. Im Ergebnis erweist sich das Ausstandsbegehren als unzulässig; das Bundesgericht tritt darauf nicht ein. Da es an einem zulässigen und hinreichend begründeten Ausstandsbegehren fehlt, braucht das Bundesgericht auch kein Verfahren nach <ref-law> durchzuführen (s. Urteile 4F_10/2015 vom 13. August 2015 E. 3.3 und 1F_1/2016 vom 11. Februar 2016).
2.
Angefochten ist in der Sache der selbständig eröffnete Zwischenentscheid über ein Ausstandsbegehren gegen C._, den Amtsgerichtspräsidenten von X._. Dagegen ist die Beschwerde nach <ref-law> zulässig. Die Vorinstanz hat als letzte kantonale Instanz auf Beschwerde hin entschieden (Art. 75 Abs. 1 und 2 BGG). Bei Zwischenentscheiden folgt der Rechtsweg jenem der Hauptsache (<ref-ruling> E. 1.1 S. 382). Dort geht es um ein Gesuch um Erlass vorsorglicher Massnahmen im Scheidungsverfahren, mithin um eine Zivilsache (<ref-law>). Die Angelegenheit ist vermögensrechtlicher Natur (s. Sachverhalt Bst. B.a). Der Streitwert übersteigt den Angaben der Vorinstanz zufolge Fr. 30'000.-- (Art. 74 Abs. 1 Bst. b BGG). Auch die weiteren Eintretensvoraussetzungen sind erfüllt und geben zu keinen Bemerkungen Anlass. Die Beschwerde in Zivilsachen ist grundsätzlich zulässig. Die subsidiäre Verfassungsbeschwerde ist gegenstandslos.
3.
Sind die Beschwerdegründe im Hauptverfahren - wie hier im Verfahren betreffend vorsorgliche Massnahmen (Urteil 5A_1003/2014 vom 26. Mai 2015 E. 2 mit Hinweis) - gemäss <ref-law> auf die Geltendmachung verfassungsmässiger Rechte beschränkt, so gilt diese Einschränkung der Prüfungsbefugnis auch im Beschwerdeverfahren gegen Zwischenentscheide (Urteil 5D_158/2013 vom 24. September 2013 E. 2). Die Beschwerdeführerin kann also nur geltend machen, dass der angefochtene Entscheid ihre verfassungsmässigen Rechte verletzt (<ref-law>). Diesbezüglich gilt das strenge Rügeprinzip (<ref-law>). Die rechtsuchende Partei muss die Verletzung verfassungsmässiger Rechte in der Beschwerde präzise vorbringen und begründen. Im Schriftsatz ist im Einzelnen substanziiert darzulegen, worin die Verletzung besteht (vgl. <ref-ruling> E. 3.2 S. 444). Das Bundesgericht beurteilt nur klar und detailliert erhobene und soweit möglich belegte Rügen; auf rein appellatorische Kritik am angefochtenen Entscheid tritt es nicht ein (<ref-ruling> E. 3.1 S. 399 f.). Sind die Anforderungen des Rügeprinzips erfüllt, so prüft das Bundesgericht frei, ob die angerufenen verfassungsmässigen Rechte verletzt sind (vgl. <ref-ruling> E. 2.1 S. 31 mit Hinweisen). Dabei ist es allerdings an den Sachverhalt gebunden, den die Vorinstanz festgestellt hat (<ref-law>). Von diesen Sachverhaltsfeststellungen kann das Bundesgericht nur abweichen, wenn sie unter Verletzung eines verfassungsmässigen Rechts zustande kamen (<ref-ruling> E. 4.1 S. 588), was wiederum präzise geltend zu machen ist (<ref-law>; <ref-ruling> E. 3.2 S. 445).
4.
4.1. Nach <ref-law> und Art. 6 Ziff. 1 EMRK, die in dieser Hinsicht dieselbe Tragweite aufweisen, hat jede Person, deren Sache in einem gerichtlichen Verfahren beurteilt werden muss, Anspruch darauf, dass ihre Angelegenheit von einem unparteiischen, unvoreingenommenen und unbefangenen Richter ohne Einwirken sachfremder Umstände entschieden wird. Ob diese Garantien verletzt sind, prüft das Bundesgericht frei (<ref-ruling> E. 5.2 S. 3; <ref-ruling> E. 2.1.2.1 S. 34 f.; je mit Hinweisen). Voreingenommenheit und Befangenheit werden nach der Rechtsprechung angenommen, wenn im Einzelfall anhand aller tatsächlichen und verfahrensrechtlichen Umstände Gegebenheiten vorliegen, die geeignet sind, Misstrauen in die Unparteilichkeit des Richters zu erwecken (zum Ganzen <ref-ruling> E. 2.1 S. 240 mit Hinweisen). Solche Umstände können entweder in einem bestimmten Verhalten des betreffenden Richters oder in gewissen äusseren Gegebenheiten funktioneller und organisatorischer Natur begründet sein. Bei der Beurteilung solcher Umstände ist nicht auf das subjektive Empfinden einer Partei abzustellen. Das Misstrauen in die Unvoreingenommenheit muss in objektiver Weise begründet erscheinen. Es genügt, wenn Umstände vorliegen, die bei objektiver Betrachtung den Anschein der Befangenheit und Voreingenommenheit erwecken. Für den Ausstand wird nicht verlangt, dass der Richter tatsächlich befangen ist (<ref-ruling> E. 3.1 S. 210 mit Hinweisen).
4.2. Die Mitwirkung einer Gerichtsperson in einem früheren Verfahren bildet für sich allein keinen Ausstandsgrund. Dieser Grundsatz, den der Gesetzgeber explizit für das Verfahren vor dem Bundesgericht aufgestellt hat (<ref-law>), ist allgemeiner Natur. Er gilt auch im Geltungsbereich der ZPO (Urteil 5A_592/2014 vom 30. September 2014 E. 2.1 mit Hinweisen). Auch der Vorwurf, dass eine Gerichtsperson einen sachlich falschen Entscheid gefällt habe, bildet in aller Regel keinen Ausstandsgrund. Einen solchen Entscheid zu korrigieren, ist Aufgabe des Rechtsmittel- und nicht des Ausstandsverfahrens (vgl. <ref-ruling> E. 3b/bb S. 158 f. mit Hinweis; Urteil 5A_579/2012 vom 10. September 2012 E. 2.1). Anders ist nur dann zu entscheiden, wenn die Fehler einer Gerichtsperson derart gravierend sind, dass sie berechtigte Zweifel an ihrer Objektivität und Neutralität aufkommen lassen (s. <ref-ruling> E. 3a S. 138; <ref-ruling> E. 3b S. 404).
5.
5.1. Die Beschwerdeführerin rügt, dass der "abgelehnte Präsident an der Entscheidung über seine eigene Ablehnung mitgewirkt habe". Der Beschwerde lässt sich indessen nicht mit letzter Sicherheit entnehmen, ob die Beschwerdeführerin damit den Amtsgerichtspräsidenten C._ am Richteramt X._ ins Visier nimmt oder ob sie ihren Vorwurf gegen Oberrichter F._ richtet, der den angefochtenen Entscheid als Präsident unterzeichnet hat. Was den Amtsgerichtspräsidenten C._ angeht, ist der Vorwurf jedenfalls unbegründet. Denn in erster Instanz hat nicht er, sondern Amtsgerichtspräsident E._ das Ausstandsgesuch behandelt und am 7. März 2016 abgewiesen (s. Sachverhalt Bst. B.b).
5.2. Auch soweit sich der Vorwurf, in eigener Sache entschieden zu haben, an Oberrichter F._ richtet, vermag die Beschwerdeführerin nichts auszurichten. Inwiefern sie im vorinstanzlichen Verfahren gegen Oberrichter F._ ein Ausstandsgesuch gestellt hätte und das Obergericht ein entsprechendes Begehren in verfassungswidriger Weise übergangen hätte, zeigt die Beschwerdeführerin nicht auf und ist auch nicht ersichtlich. Unbegründet ist im Übrigen auch die Rüge, dass der angefochtene Entscheid in verfassungswidriger Weise zustande gekommen sei, weil das Obergericht im Rahmen des Ablehnungsgesuchs gegen Richter C._ "bereits vorweg eine Bindungswirkung" an seinen eigenen Berufungsentscheid vom 10. Juli 2014 ausgesprochen habe und ein neues Gesuch für ausgeschlossen halte. Dass damit "Gründe für die gerechte Ablehnung" dargetan seien und eine Vorbefassung "erkennbar und eindeutig" sei, trifft nicht zu. Der angefochtene Entscheid erläutert in abstrakter Weise den Grundsatz der Ausschlusswirkung der materiellen Rechtskraft. Diese Maxime besagt, dass sich ein Gericht mit einer identischen Streitsache, die gestützt auf dieselben Tatsachen zwischen denselben Parteien bereits beurteilt wurde, nicht ein weiteres Mal befasst (ausführlich <ref-ruling> E. 3.3 S. 281 f.). In diesem Sinne weist das Obergericht darauf hin, dass im Hauptsacheverfahren eine neue Beurteilung erfolgen muss, soweit veränderte Verhältnisse oder andere Rechtsansprüche geltend gemacht werden, während einer erneuten Beurteilung derselben Sache die Bindungswirkung des ersten Urteils gegenüber steht. Mithin äussert sich die Vorinstanz gerade nicht konkret zu den Rechtsbegehren, welche die Beschwerdeführerin im neuen Hauptsacheverfahren gestellt hat. Auch die vorinstanzliche Prognose, dass ein identisches Gesuch kaum eine andere Beurteilung erwarten liesse, erweckt vor diesem Hintergrund keine Bedenken.
6.
6.1. Die Beschwerdeführerin kritisiert, dass Amtsgerichtspräsident E._ über den Ausstand entschieden hat, ohne beim Beschwerdegegner eine Stellungnahme eingeholt zu haben. Mit dieser schon vor der Vorinstanz vorgetragenen Kritik nimmt sie Bezug auf <ref-law>, wonach die Gerichtsperson zum Ausstandsgesuch, das sich gegen sie richtet, Stellung nimmt. Die Stellungnahme dient einerseits der Abklärung des Sachverhalts, andererseits erhält die Gerichtsperson auf diese Weise die Möglichkeit, das Vorliegen eines Ausstandsgrundes zu akzeptieren oder zu bestreiten (DAVID RÜETSCHI, in: Berner Kommentar zum Zivilprozessrecht, Bd. I, 2012, N 24 zu <ref-law>). Die abgelehnte Gerichtsperson hat zur Gesuchsbegründung in substanziierter Weise entweder in schriftlicher oder mündlicher Form Stellung zu nehmen (STEPHAN WULLSCHLEGER, in: Sutter-Somm/Hasenböhler/Leuenberger, Kommentar zur Schweizerischen Zivilprozessordnung [ZPO], 3. Aufl. 2016, N 13 zu <ref-law>). Vom Einholen einer Stellungnahme kann abgesehen werden, wenn das urteilende Gericht das Ausstandsgesuch als rechtsmissbräuchlich einstuft (so im Ergebnis bereits das Urteil 5A_600/2012 vom 16. November 2012 E. 2.2 und 2.3; vgl. oben E. 1).
6.2. Wie sich die Sache im vorliegenden Fall verhält, kann offen bleiben, denn die Beschwerdeführerin erhebt im Zusammenhang mit der behaupteten Verletzung von <ref-law> keine tauglichen Verfassungsrügen (E. 3). Allein mit der Behauptung, die Stellungnahme der betroffenen Gerichtsperson sei "keine Ermessen-Entscheidung", vermag sie der Vorinstanz keine verfassungswidrige Anwendung von <ref-law> nachzuweisen. Die Vorinstanz stellt in diesem Zusammenhang fest, dass die Beschwerdeführerin nicht dargelegt habe, welchen Nachteil sie erlitten hätte, weil die Stellungnahme unterblieb. Auch damit setzt sich die Beschwerdeführerin nicht auseinander.
7.
7.1. Die Beschwerdeführerin bezweifelt die Objektivität des Beschwerdegegners, weil dieser bereits auf ihr früheres Gesuch um Erlass vorsorglicher Massnahmen nicht eingetreten sei. Nachdem der Beschwerdegegner sie nun erneut daran hindere, zu ihrem Recht zu kommen, sei von seiner Befangenheit auszugehen. Der Vorinstanz wirft sie vor, sich nicht mit ihren Vorwürfen befasst und damit ihr rechtliches Gehör verletzt zu haben.
7.2. Was den Vorwurf der Gehörsverletzung angeht, übersieht die Beschwerdeführerin, dass der verfassungsmässige Anspruch auf rechtliches Gehör (<ref-law>) von der Behörde nicht verlangt, sich zu allen Punkten einlässlich zu äussern und jedes einzelne Vorbringen zu widerlegen (s. zum Ganzen <ref-ruling> E. 4.1 S. 88; <ref-ruling> E. 3.3 S. 445). Das Obergericht begründet ausführlich, weshalb es in seinem Urteilsspruch zum Schluss kommt, die Beschwerde abzuweisen. Allein darauf kommt es an (s. Urteil 5A_382/2013 vom 12. September 2013 E. 3.1).
7.3. Auch was den Streit um den Ausstand von Amtsgerichtspräsident C._ angeht, sind die Vorwürfe der Beschwerdeführerin unbegründet: Die blosse Mitwirkung in einem früheren Verfahren bildet für sich allein keinen Ausstandsgrund. Mit anderen Worten folgt entgegen den Befürchtungen der Beschwerdeführerin eine Diskriminierung oder Grundrechtsbeschränkung nicht schon daraus, dass sich Amtsgerichtspräsident C._ auch mit ihrem neuen Gesuch um vorsorgliche Massnahmen im Scheidungsprozess befasst (E. 4.1). Ebenso wenig sind die Fehler, die sie dem Amtsgerichtspräsidenten C._ vorwirft, für sich allein genommen geeignet, eine Ausstandspflicht zu begründen (E. 4.2).
8.
Zuletzt wehrt sich die Beschwerdeführerin dagegen, dass ihr die Vorinstanz Fr. 500.-- Verfahrenskosten für das zweitinstanzliche Verfahren auferlegt. Auch dieser Vorwurf ist unbegründet. Das Obergericht weist die Beschwerde ab, mit der die Beschwerdeführerin den erstinstanzlichen Entscheid angefochten hatte. Inwiefern das Obergericht die Zivilprozessordnung in verfassungswidriger Weise anwendet, wenn es ihr bei diesem Prozessausgang Gerichtskosten auferlegt, tut die Beschwerdeführerin nicht dar. Sie macht auch nicht geltend, dass sie für das kantonale Beschwerdeverfahren um unentgeltliche Rechtspflege ersucht hätte und das Obergericht ein entsprechendes Begehren übergangen hätte.
9.
Nach dem Gesagten hält es vor Bundesrecht stand, wenn die Vorinstanz zum Schluss kommt, dass im Fall des Beschwerdegegners kein Ausstandsgrund besteht. Die Beschwerde ist also unbegründet. Sie ist abzuweisen. Die Beschwerdeführerin unterliegt. Sie hat für die Gerichtskosten aufzukommen (<ref-law>). Dem Beschwerdegegner ist keine Entschädigung geschuldet (<ref-law>). Das Gesuch der Beschwerdeführerin um unentgeltliche Rechtspflege für das Verfahren vor dem Bundesgericht (<ref-law>) wird in Folge offensichtlicher Aussichtslosigkeit der Beschwerde abgewiesen.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Auf das Ausstandsgesuch wird nicht eingetreten.
2.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
3.
Das Gesuch der Beschwerdeführerin um unentgeltliche Rechtspflege für das bundesgerichtliche Verfahren wird abgewiesen.
4.
Die Gerichtskosten von Fr. 1'000.-- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
5.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Solothurn, Zivilkammer, schriftlich mitgeteilt. Das für die Beschwerdeführerin bestimmte Exemplar verbleibt zu ihrer Verfügung im Dossier; das vorliegende Urteil wird der Beschwerdeführerin nicht eröffnet; es wird ihr davon bloss schriftlich Anzeige gemacht.
Lausanne, 4. Oktober 2016
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: von Werdt
Der Gerichtsschreiber: Monn