Sachverhalt:
A.
Am 29. Juni 2015 bewilligte der Stadtrat Baden der Miteigentümergemeinschaft B._ (Bauherrin) den Abbruch des Gebäudes Nr. 512 sowie den Neubau eines Wohn- und Geschäftshauses auf den Parzellen Nr. 662, 5961 und 664 an der Bahnhofstrasse 7 in Baden. Die von A._ gegen das Bauvorhaben erhobene Einwendung wies der Stadtrat gleichzeitig ab, wobei er in der Rechtsmittelbelehrung darauf hinwies, dass die Rechtsstillstandsfristen nicht gelten.
B.
Der Baubewilligungsentscheid wurde A._ am 3. Juli 2015 zugestellt. Er erhob dagegen am 2. September 2015 eine Beschwerde, in der er geltend machte, diese erfolge unter der Berücksichtigung der Gerichtsferien fristgerecht. Das Departement Bau, Verkehr und Umwelt (BVU) verneinte die Anwendbarkeit der Gerichtsferien und trat daher mit Entscheid vom 28. September 2015 auf die Beschwerde wegen Nichteinhaltung der Beschwerdefrist nicht ein. A._ focht diesen Entscheid mit einer Beschwerde an, die das Verwaltungsgericht des Kantons Aargau mit Urteil vom 20. November 2015 abwies.
C.
A._ (Beschwerdeführer) erhebt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten mit den sinngemässen Anträgen, den Entscheid des Verwaltungsgerichts vom 20. November 2015 aufzuheben und die Sache an das BVU zur materiellen Beurteilung zurückzuweisen.
Die Bauherrin (Beschwerdegegnerin) schliesst auf Abweisung der Beschwerde. Der Stadtrat und das Verwaltungsgericht verzichten auf eine Stellungnahme. Der Beschwerdeführer weist in seiner Eingabe vom 7. April 2016 auf ein beim Bundesgericht hängiges Verfahren bezüglich eines anderen Bauprojekts hin und stellt in seiner Replik die Anträge, es seien die Akten dieses Verfahrens beizuziehen; es sei bei den Vorinstanzen in Erfahrung zu bringen, ob noch andere Beschwerden bezüglich des fraglichen Projekts hängig seien; es sei von Amtes wegen festzustellen, an welchen Orten an der Bruggerstrasse auf dem Stadtgebiet der Stadt Baden nur wenig höher als das Strassenniveau in einem Abstand von wenigen Metern eine Wohnnutzung realisiert worden sei. Ansonsten werde an den gestellten Anträgen festgehalten. Die Beschwerdegegnerin beantragt in ihrer Duplik, das Verfahren möglichst prioritär zu behandeln. Der Beschwerdeführer reichte zur Duplik Bemerkungen ein.

Erwägungen:
1.
1.1. Gegen den kantonal letztinstanzlichen Endentscheid des Verwaltungsgerichts im Bereich des Baurechts steht grundsätzlich die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten offen (<ref-ruling> E. 2 S. 356). Der Beschwerdeführer hat am vorinstanzlichen Verfahren teilgenommen und ist als Eigentümer von Liegenschaften, die zum Teil zum Bauvorhaben eine Distanz von ca. 40 m aufweisen, zur Beschwerde legitimiert (<ref-law>; <ref-ruling> E. 2.3). Da auch die übrigen Eintretensvoraussetzungen gegeben sind, ist auf die Beschwerde grundsätzlich einzutreten.
1.2. Mit der Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann die Verletzung von Bundesrecht, Völkerrecht und kantonalen verfassungsmässigen Rechten geltend gemacht werden (Art. 95 lit. a, b und c BGG). Die Verletzung des übrigen kantonalen Rechts kann abgesehen von hier nicht relevanten Ausnahmen vor Bundesgericht nicht gerügt werden. Zulässig ist jedoch die Rüge, die Anwendung dieses Rechts führe zu einer Verletzung von Bundesrecht, namentlich des verfassungsmässigen Willkürverbots (<ref-ruling> E. 2 S. 149 f.). Nach der Praxis des Bundesgerichts verstösst ein Entscheid gegen dieses Verbot, wenn er offensichtlich unhaltbar ist, weil er zum Beispiel eine Norm oder einen unumstrittenen Rechtsgrundsatz krass verletzt. Dass eine andere Lösung ebenfalls als vertretbar erscheint, genügt nicht (<ref-ruling> E. 2.4 S. 5; <ref-ruling> E. 7.1; je mit Hinweisen).
1.3. Nach <ref-law> ist in der Beschwerdebegründung in gedrängter Form darzulegen, inwiefern der angefochtene Akt Recht verletzt. Die Verletzung von Grundrechten prüft das Bundesgericht nur insofern, als eine solche Rüge in der Beschwerde vorgebracht und begründet worden ist (<ref-law>; <ref-ruling> E. 1.6 S. 130). Inwiefern verfassungsmässige Rechte verletzt worden sein sollen, ist daher in der Beschwerde klar und detailliert anhand der Erwägungen des angefochtenen Entscheids darzulegen (<ref-ruling> E. 1.6 S. 130; <ref-ruling> E. 8 S. 156). Rügt ein Beschwerdeführer die Verletzung des Willkürverbots von <ref-law>, genügt es nicht, wenn er einfach behauptet, der angefochtene Entscheid sei willkürlich. Er hat vielmehr anhand der Erwägungen des angefochtenen Entscheids im Einzelnen aufzuzeigen, inwiefern dieser an einem qualifizierten und offensichtlichen Mangel leidet. Auf Rügen, mit denen bloss allgemein gehaltene, appellatorische Kritik am angefochtenen Entscheid geübt wird, tritt das Bundesgericht nicht ein (<ref-ruling> E. 1.3 S. 262; <ref-ruling> E. 2.8; <ref-ruling> E. 1.3 S. 60; je mit Hinweisen).
1.4. Die Begründung muss gemäss der Rechtsprechung in der Beschwerdeschrift selber enthalten sein, weshalb blosse Verweise auf Ausführungen in anderen Rechtsschriften nicht ausreichen (<ref-ruling> E. 3.2 S. 399 f.; Urteil 1C_565/2014 vom 11. Mai 2015 E. 1.5 mit Hinweis). Der Verweis des Beschwerdeführers auf die Ausführungen in seiner Beschwerde an das BVU ist daher unbeachtlich.
2.
2.1. § 28 des Gesetzes über die Verwaltungsrechtspflege des Kantons Aargau vom 4. Dezember 2007 (Verwaltungsrechtspflegegesetz, VRPG/AG) enthält folgende Regelungen:
1 Für die Berechnung der Fristen, deren Unterbruch und die Wiederherstellung gegen die Folgen der Säumnis gilt die Zivilprozessordnung.
2 Die Vorschriften über die Rechtsstillstandsfristen gelten nur im Verfahren vor den Verwaltungsjustizbehörden; abweichende Bestimmungen in anderen Erlassen bleiben vorbehalten.
2.2. Die Vorinstanz kam zum Ergebnis, das BVU sei zu Recht auf die Beschwerde des Beschwerdeführers nicht eingetreten, weil vor dem BVU die Rechtsstillstandsfristen nicht gelten, worauf der Beschwerdeführer im Baubewilligungsentscheid hingewiesen worden sei. Gemäss § 28 Abs. 2 VRPG/AG kämen Rechtsstillstandsfristen nur vor Verwaltungsjustizbehörden zur Anwendung, worunter Gerichte zu zählen seien. Dies ergebe sich aus § 100 Abs. 1 lit. a-c der Verfassung des Kantons Aargau vom 25. Juni 1980 (SR 131.227; KV/AG) und dem Wortlaut verschiedener anderer Bestimmungen des VRPG/AG (z.B. § 9 Abs. 3; § 13 Abs. 3). Dieses Ergebnis werde durch die Botschaft des Regierungsrats an den Grossen Rat vom 14. Februar 2007 zum VRPG/AG (Nr. 07.27; nachstehend: Botschaft zum VRPG/AG) bestätigt, zumal dort ausführt werde, dass der Antrag der Anwaltschaft, die Gerichtsferien auf alle Verwaltungsverfahren auszudehnen, nicht umgesetzt werden soll. Nachdem der Wortlaut von § 28 Abs. 2 VRPG/AG sowie die entsprechenden Materialien klar seien, bedürfe es keiner weiteren Auslegung. Der vom Beschwerdeführer zitierte Kommentar zum bernischen Verwaltungsrechtspflegegesetz (VRPG/ BE) lasse keine Rückschlüsse auf die anderslautende Bestimmung in § 28 VRPG/AG zu.
2.3. Der Beschwerdeführer rügt, die vorinstanzliche Auslegung des Begriffs der "Verwaltungsjustizbehörden" in § 28 Abs. 2 VRPG/AG sei im Ergebnis willkürlich. Unter diesen Begriff würden gemäss Kommentar zum VRPG/BE alle Behörden subsumiert, die auf dem Gebiet des Verwaltungsrechts zweitinstanzlich entscheiden und damit Rechtsprechungsaufgaben erfüllen. Diese Auslegung habe auch im Kanton Aargau zu gelten, zumal sie dem Bedürfnis der Anwaltschaft nach einer rechtsmittelfreien Zeit während den Gerichtsferien entspreche. Aus der Ablehnung des Antrags des Anwaltsverbandes, die Gerichtsferien auf sämtliche Verwaltungsverfahren auszudehnen, könne nicht abgeleitet werden, der Gesetzgeber habe die Gerichtsferien nur bei gerichtlichen Behörden vorsehen wollen, zumal dieser Antrag auch das erstinstanzliche Entscheidverfahren betroffen habe und nur dieser Aspekt zur Debatte gestanden habe. Die von der Vorinstanz zitierte Stelle der Botschaft zum Geltungsbereich des VRPG sei nicht einschlägig, da dieses Gesetz sowohl die Verwaltungsbehörden als auch die Verwaltungsgerichte erfasse, weshalb eine Abgrenzung nicht notwendig gewesen sei. Die vorinstanzlichen Schlüsse aus § 100 Abs. 1 lit. a bis c KV/AG seien falsch. Dies komme durch § 100 Abs. 2 KV/AG zum Ausdruck, der - gleich wie § 9 VRPG/AG - Zuständigkeitskonflikte regle. Wäre die vorinstanzliche Auffassung richtig, wäre der Begriff der Verwaltungsjustizbehörden in § 9 Abs. 2 und 3 VRPG überflüssig, weil es nur Gerichts- oder Verwaltungsbehörden gäbe. Demnach sei der Begriff der Verwaltungsjustizbehörde nicht im Sinne einer Gerichtsbehörde auszulegen.
2.4. Mit diesen Ausführungen macht der Beschwerdeführer nicht geltend, die Vorinstanz habe einen eindeutigen Wortsinn des Begriffs "Verwaltungsjustizbehörde" missachtet, was auch nicht ersichtlich ist. Soweit er behauptet, bei der Auslegung dieses Begriffs müsse der Lehre zum VRPG/BE gefolgt werden, lässt er ausser Acht, dass der Kanton Aargau frei ist, diesem Begriff in seinen kantonalen Gesetzen eine eigenständige Bedeutung beizumessen, die von der Begriffsumschreibung in anderen Kantonen abweichen kann. Demnach ist die Vorinstanz nicht in Willkür verfallen, wenn sie bei der Auslegung von § 28 Abs. 2 VRPG/AG nicht auf die Umschreibung des Begriffs "Verwaltungsjustizbehörde" in Art. 2 Abs. 3 VRPG/BE und die entsprechende Lehre abstellte. In systematischer Hinsicht durfte die Vorinstanz beachten, dass das VRPG/AG in verschiedenen Bestimmungen zwischen Verwaltungsbehörden und Verwaltungsjustizbehörden unterscheidet (vgl. z.B. § 1 Abs. 1, § 2 Abs. 1, § 9 Abs. 2 und 3, § 10 Abs. 1 und § 13 Abs. 3 VRPG/AG). So sind gemäss § 48 VRPG/AG die Verwaltungsbehörden an die Beschwerdebegehren nicht gebunden (Abs. 1), wogegen die Verwaltungsjustizbehörden über die Beschwerdebegehren nicht hinausgehen dürfen (Abs. 2). Diese Bestimmung bestätigt die vorinstanzliche Annahme, dass Verwaltungsbehörden, die über Beschwerden entscheiden, damit nicht zu Verwaltungsjustizbehörden werden. Etwas anderes ergibt sich nicht aus § 9 VRPG/AG, zumal die darin vorgesehene Regelung der Zuständigkeitskonflikte ebenfalls von der Unterscheidung zwischen Verwaltungs- und Verwaltungsjustizbehörden ausgeht. Zwar nennt § 100 Abs. 2 KV/AG Zuständigkeitskonflikte zwischen Verwaltungsbehörden und Verwaltungsgerichten. Diese Formulierung widerspricht jedoch der Unterscheidung zwischen Verwaltungsbehörden und Verwaltungsjustizbehörden als gerichtliche Instanzen nicht. Zudem wird diese Unterscheidung durch Ausführungen in der Botschaft zum VRPG/AG bestätigt, wonach dieses Gesetz im Grundsatz für alle Verfahren vor den Verwaltungsbehörden und den Verwaltungsjustizbehörden (das seien zurzeit: Verwaltungsgericht, Spezialverwaltungsgerichte und Versicherungsgericht, s. § 100 KV) gelte (S. 11). Weiter wird in der Botschaft zum VRPG/AG dem Sinne nach ausgeführt, dass die bisherige Regelung, wonach Gerichtsferien nur im Verfahren vor dem Verwaltungsgericht und den Rekurs- und Schätzungskommissionen gelten, beibehalten, der veraltete Begriff der "Gerichtsferien" jedoch durch den Begriff "Rechtsstillstandsfristen" ersetzt werden soll. Der Antrag des Anwaltsverbands, die Gerichtsferien auf alle Verwaltungsverfahren auszudehnen, solle nicht umgesetzt werden (S. 40 f.). Diese Erläuterungen durfte die Vorinstanz willkürfrei als Bestätigung dafür betrachten, dass der Aargauer Gesetzgeber die Gerichtsferien bzw. die Rechtsstillstandsfristen nur bei Verfahren vor gerichtlichen Instanzen und nicht vor Verwaltungsbehörden habe zulassen wollen. Aus den genannten Gründen erweist sich die Rüge der willkürlichen Auslegung von § 28 Abs. 2 VRPG/AG als unbegründet.
3.
3.1. Die Vorinstanz erwog, da die Beschwerde vor dem BVU verspätet eingereicht worden sei, sei dessen Nichteintretensentscheid nicht zu beanstanden. Die materiellen Rügen des Beschwerdeführers dürften daher nicht gehört werden.
3.2. Der Beschwerdeführer wendet dagegen ein, er habe das BVU mit seiner Beschwerde über Verletzungen der eidgenössischen Lärmvorschriften in Kenntnis gesetzt, weshalb das BVU als kantonale Aufsichts- und Vollzugsbehörde verpflichtet gewesen wäre, von Amtes wegen für den korrekten Vollzug zu sorgen.
3.3. Mit diesen Ausführungen rügt der Beschwerdeführer dem Sinne nach die willkürliche Anwendung kantonaler Bestimmungen über Aufsichtspflichten des BVU. Er nennt jedoch keine entsprechenden Gesetzesnormen und legt nicht dar, inwiefern sie in unhaltbarer Weise übergangen worden sein sollen. Diese Willkürrüge wird damit nicht rechtsgenüglich begründet, weshalb auf sie nicht einzutreten ist (vgl. E. 1.3 hievor).
3.4. Weiter macht der Beschwerdeführer geltend, die Vorinstanz sei gemäss § 95 KV/AG gehalten, Erlassen die Anwendung zu versagen, die Bundesrecht oder kantonalem Verfassungs- und Gesetzesrecht widersprechen. Die Vorinstanz habe daher nicht unter Berufung auf die offensichtliche Unbegründetheit der Beschwerde Rügen der Verstösse gegen eidgenössische Lärmvorschriften unbeachtet lassen dürfen. Dies auch deshalb, weil vorliegend die Untersuchungs- und Offizialmaxime gelte.
3.5. Gemäss § 95 Abs. 2 KV/AG haben die Gerichte bei der Rechtsanwendung die anzuwendenden Normen auf ihre Übereinstimmung mit dem höher gestellten Recht zu prüfen und bei einer Unvereinbarkeit die Anwendbarkeit einer Norm zu versagen (KURT EICHENBERGER, Verfassung des Kantons Aargau, 1986, N. 21 zu § 95 KV/AG). Diese akzessorische Normenkontrolle kann jedoch ein Gericht nur vornehmen, wenn die formellen Eintretensvoraussetzungen gegeben sind und sich das Gericht materiell mit einer Streitigkeit zu befassen hat. Daran ändert auch die mögliche Geltung der Untersuchungs- und Offizialmaxime nichts, weil diese Maximen erst zum Tragen kommen, wenn auf ein Rechtsmittel einzutreten ist. Demnach hat die Vorinstanz kein kantonales Verfassungsrecht verletzt, wenn sie sich aufgrund der Bestätigung eines Nichteintretensentscheids mit den materiellen Einwänden des Beschwerdeführers gegen die Baubewilligung nicht befasste.
4.
Schliesslich rügt der Beschwerdeführer, die Vorinstanz habe sein rechtliches Gehör verletzt, weil sie auf einen Schriftenwechsel verzichtet habe. Auf diese Rüge ist nicht einzutreten, weil der Beschwerdeführer durch diesen Verzicht, der die Äusserungsrechte der Beschwerdegegnerin und der betroffenen Behörden beschränkte, keinen Nachteil erlitt.
5.
Nach dem Gesagten ist die Beschwerde abzuweisen, soweit darauf einzutreten ist. Bei diesem Ausgang des Verfahrens sind die Gerichtskosten dem unterliegenden Beschwerdeführer aufzuerlegen (<ref-law>), welcher der anwaltlich vertretenen privaten Beschwerdegegnerin eine angemessene Parteientschädigung auszurichten hat (<ref-law>). Diese wird als Gesamtbetrag festgesetzt, in dem auch die Mehrwertsteuer enthalten ist (Art. 12 des Parteientschädigungsreglements vom 31. März 2006, SR 173.110.210.3).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 3'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3.
Der Beschwerdeführer hat die Beschwerdegegnerin für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 3'000.-- zu entschädigen.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien, dem Stadtrat Baden, dem Departement Bau, Verkehr und Umwelt des Kantons Aargau, und dem Verwaltungsgericht des Kantons Aargau, 3. Kammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 24. Juni 2016
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Fonjallaz
Der Gerichtsschreiber: Gelzer