Erwägungen:
1.
Die Regionale Staatsanwaltschaft Bern-Mittelland nahm mit Verfügung vom 19. Juli 2016 eine Strafanzeige des Beschwerdeführers wegen Verleumdung, übler Nachrede etc. nicht an die Hand. Dagegen erhob der Beschwerdeführer Beschwerde beim Obergericht des Kantons Bern. Dieses forderte ihn mit Verfügung vom 9. August 2016 auf, innert zehn Tagen eine Sicherheit von Fr. 500.-- zu leisten. Mit Schreiben vom 12. August 2016 ersuchte der Beschwerdeführer um Erteilung der unentgeltlichen Rechtspflege. Das Obergericht wies das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege mit Verfügung vom 15. August 2016 zufolge Aussichtslosigkeit der Beschwerde ab. Auf die vom Beschwerdeführer dagegen erhobene Beschwerde in Strafsachen trat die I. öffentlich-rechtliche Abteilung des Bundesgerichts am 24. August 2016 mangels Begründung nicht ein (Verfahren 1B_309/2016). Am 6. September 2016 forderte das Obergericht den Beschwerdeführer daher erneut auf, innert zehn Tagen eine Sicherheit von Fr. 500.-- zu leisten. Da der Beschwerdeführer der Aufforderung nicht nachkam, trat das Obergericht mit Beschluss vom 22. September 2016 auf die Beschwerde nicht ein und auferlegte dem Beschwerdeführer die Verfahrenskosten von Fr. 300.--.
Der Beschwerdeführer wendet sich ans Bundesgericht und beantragt, der Beschluss vom 22. September 2016 sei aufzuheben und die Sache an die Vorinstanz zurückzuweisen.
2.
Gemäss <ref-law> kann die Verfahrensleitung der Rechtsmittelinstanz die Privatklägerschaft verpflichten, innert einer Frist für allfällige Kosten und Entschädigungen Sicherheit zu leisten. <ref-law> betreffend die unentgeltliche Rechtspflege für die Privatklägerschaft bleibt vorbehalten (vgl. <ref-law>). Wird die Sicherheit nicht fristgerecht geleistet, so tritt die Rechtsmittelinstanz auf das Rechtsmittel nicht ein (<ref-law>).
3.
Der Beschwerdeführer stellt sich auf den Standpunkt, er habe angesichts seiner Vermögensverhältnisse Anspruch auf unentgeltliche Rechtspflege. Damit verkennt er allerdings, dass die unentgeltliche Rechtspflege für die Privatklägerschaft auch an die Voraussetzung geknüpft ist, dass die Zivilklage nicht aussichtslos erscheint (<ref-law>). Die Frage des Anspruchs des Beschwerdeführers auf unentgeltliche Rechtspflege im vorinstanzlichen Beschwerdeverfahren wurde mit dem Urteil des Bundesgerichts 1B_309/2016 vom 24. August 2016 abschliessend beurteilt und verneint. Darauf zurückzukommen besteht kein Anlass.
Im Übrigen zeigt der Beschwerdeführer nicht ansatzweise auf, inwiefern der angefochtene Beschluss gegen geltendes Recht verstossen könnte. Nach <ref-law> ist in der Begründung einer Beschwerde in gedrängter Form darzulegen, inwiefern der angefochtene Entscheid Recht verletzt. Die Eingabe des Beschwerdeführers genügt diesen Anforderungen nicht. Auf dessen Beschwerde ist mangels einer tauglichen Begründung im Verfahren nach <ref-law> nicht einzutreten.
4.
Die Gerichtskosten sind dem Beschwerdeführer aufzuerlegen (<ref-law>). Das nachträgliche Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege ist in Anwendung von <ref-law> abzuweisen, weil die Rechtsbegehren aussichtslos erschienen. Der finanziellen Lage des Beschwerdeführers ist bei der Bemessung der Gerichtskosten Rechnung zu tragen (<ref-law>).

Demnach erkennt der Präsident:
1.
Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2.
Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege wird abgewiesen.
3.
Die Gerichtskosten von Fr. 500.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Bern, Beschwerdekammer in Strafsachen, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 2. November 2016
Im Namen der Strafrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Denys
Die Gerichtsschreiberin: Unseld