Sachverhalt:
A.
Die Eheleute A.A._ (geb. 1923) und B.A._ (geb. 1918) verstarben am 1. April 2013 bzw. am 14. Februar 2014. Zuletzt waren sie im Alterszentrum X._ in U._ wohnhaft. Medizinisch betreut wurden sie unter anderem von ihrem Hausarzt, Dr. med. F._. Die Verstorbenen hinterliessen die drei Kinder C._, D._ und E._. Zwischen den Nachkommen sind erbrechtliche Streitigkeiten im Gang. In diesem Zusammenhang werfen C._ und D._ ihrem Bruder E._ namentlich vor, die gesundheitlich stark angeschlagenen Eltern für "unlautere Zwecke instrumentalisiert" zu haben.
B.
Mit Gesuch vom 14. August 2015 gelangten C._ und D._ an das Amt für Gesundheit und Soziales des Kantons Schwyz und verlangten, die Ärzte Dr. med. F._ aus U._ und Dr. med. G._ aus V._ sowie die Leiterin des Alterszentrums X._ von ihrer Schweigepflicht zu entbinden. Dasselbe Begehren stellten sie mit Bezug auf ihren Bruder E._, der ebenfalls Arzt ist.
Das Amt für Gesundheit und Soziales wies das Gesuch mit Verfügung vom 15. September 2015 ab. In Bezug auf Dr. med. G._ und E._ trat es auf das Begehren nicht ein. Eine dagegen erhobene Verwaltungsbeschwerde blieb erfolglos (Beschluss des Regierungsrats des Kantons Schwyz vom 2. Februar 2016). Mit Urteil vom 28. September 2016 wies das Verwaltungsgericht des Kantons Schwyz eine Beschwerde gegen den Regierungsratsbeschluss ab.
C.
Mit Eingabe vom 11. November 2016 gelangen C._ und D._ an das Bundesgericht. Sie verlangen die Aufhebung des Urteils vom 28. September 2016 und beantragen wie bereits vor der Vorinstanz, gewisse Arbeitnehmende des Alterszentrums X._ vom Berufsgeheimnis zu entbinden. Zudem sei der Kantonsarzt des Kantons Schwyz anzuhalten und zu ermächtigen, in die von Dr. med. F._ erstellten Krankenakten ihrer Eltern Einsicht zu nehmen und über deren wesentlichen Inhalt zu informieren.
Der Regierungsrat des Kantons Schwyz und das Verwaltungsgericht verzichten auf Vernehmlassung. E._ liess sich nicht vernehmen.

Erwägungen:
1.
Streitgegenstand des bundesgerichtlichen Verfahrens ist die Abweisung eines Gesuchs um Entbindung verschiedener Personen von der beruflichen Schweigepflicht, das zwei Erben in Bezug auf die Krankengeschichte ihrer verstorbenen Eltern in eigenem Namen bei einer kantonalen Gesundheitsbehörde eingereicht haben. Dabei handelt es sich um eine Angelegenheit des öffentlichen Rechts. Gegen den kantonal letztinstanzlichen, verfahrensabschliessenden Entscheid des Verwaltungsgerichts in dieser Sache ist die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten an das Bundesgericht zulässig (Art. 82 lit. a, Art. 86 Abs. 1 lit. d und Abs. 2, Art. 90 BGG). Die Beschwerdeführer haben am vorinstanzlichen Verfahren als Parteien teilgenommen (<ref-law>). Sie sind durch den angefochtenen Entscheid direkt berührt und haben grundsätzlich ein schutzwürdiges Interesse an dessen Aufhebung oder Änderung (<ref-law>). Auf die im Übrigen form- und fristgerecht eingereichte Beschwerde ist einzutreten (Art. 42 Abs. 1 und Abs. 2 und Art. 100 BGG).
2.
Mit der Beschwerde kann namentlich die Verletzung von Bundesrecht und Völkerrecht gerügt werden (<ref-law>). Kein zulässiger Beschwerdegrund ist die Verletzung von kantonalem Recht, soweit nicht eine der in Art. 95 lit. c-e BGG genannten Rechtsmaterien betroffen ist. Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (<ref-law>), doch prüft es, unter Berücksichtigung der allgemeinen Rüge- und Begründungspflicht (<ref-law>), grundsätzlich nur die geltend gemachten Vorbringen, sofern allfällige weitere rechtliche Mängel nicht geradezu offensichtlich sind (<ref-ruling> E. 1.5 S. 144; <ref-ruling> E. 1.6 S. 280 f.). Die Verletzung von Grundrechten sowie von kantonalem und interkantonalem Recht untersucht das Bundesgericht im Rahmen der zulässigen Beschwerdegründe (<ref-law>) in jedem Fall nur insoweit, als eine solche Rüge in der Beschwerde präzise vorgebracht und begründet worden ist (qualifizierte Rügepflicht nach <ref-law>; <ref-ruling> E. 1.5 S. 144; <ref-ruling> E. 2.2 S. 232).
3.
Die Beschwerdeführer rügen eine Verletzung ihres Anspruchs auf rechtliches Gehör (<ref-law>). Sie machen insbesondere geltend, die Vorinstanz sei nicht auf alle ihre Vorbringen eingegangen und habe ihren Entscheid ungenügend begründet. Damit der Anspruch auf rechtliches Gehör (<ref-law>) gewahrt ist, muss sich die zuständige Behörde nicht mit allen Parteistandpunkten einlässlich auseinandersetzen und jedes einzelne Vorbringen ausdrücklich behandeln. Vielmehr kann sie sich auf die für den Entscheid wesentlichen Punkte beschränken, soweit die Begründung so abgefasst ist, dass sich der Betroffene über die Tragweite des Entscheids Rechenschaft geben und ihn in voller Kenntnis der Sache an die höhere Instanz weiterziehen kann (vgl. <ref-ruling> E. 2.1 S. 145; <ref-ruling> E. 5.2 S. 236). Dass die Beschwerdeführer angesichts der ausführlichen verwaltungsgerichtlichen Erwägungen nicht in der Lage gewesen sein sollen, die Tragweite des angefochtenen Entscheids zu erkennen und dagegen sachgerecht vorzugehen, trifft entgegen ihrer Auffassung nicht zu. Ebenso wenig ist zu erkennen, dass die Vorinstanz wichtige Elemente in der Argumentation der Beschwerdeführer übergangen hat. Eine Verletzung des rechtlichen Gehörs liegt nicht vor.
4.
4.1. Wie bereits vor dem Verwaltungsgericht verlangen die Beschwerdeführer im bundesgerichtlichen Verfahren, dass der Kantonsarzt des Kantons Schwyz zu ermächtigen und anzuhalten sei, in die Krankenakten Einsicht zu nehmen, die der Hausarzt Dr. med. F._ über ihre verstorbenen Eltern angelegt hat. Anschliessend habe ihnen der Kantonsarzt über deren wesentlichen Inhalt konkret bezeichnete Auskünfte zu erteilen.
4.2. Personen, die einen universitären Medizinalberuf selbstständig ausüben, wahren gemäss Art. 40 lit. f des Bundesgesetzes vom 23. Juni 2006 über die universitären Medizinalberufe (Medizinalberufegesetz, MedBG; SR 811.11) das Berufsgeheimnis nach Massgabe der einschlägigen Vorschriften. Materielle Bestimmungen über das Berufsgeheimnis enthält <ref-law> keine; er verweist aber auf andere einschlägige Vorschriften. Dazu zählt unter anderem <ref-law>. Nach <ref-law> werden Ärzte und ihre Hilfspersonen auf Antrag mit Freiheitsstrafe bis zu drei Jahren oder Geldstrafe bestraft, wenn sie ein Geheimnis offenbaren, das ihnen infolge ihres Berufs anvertraut worden ist oder das sie in dessen Ausübung wahrgenommen haben. Der Täter ist nicht strafbar, wenn er das Geheimnis auf Grund einer Einwilligung des Berechtigten oder einer auf Gesuch des Täters erteilten schriftlichen Bewilligung der vorgesetzten Behörde oder Aufsichtsbehörde offenbart hat (<ref-law>). Vorbehalten bleiben die eidgenössischen und kantonalen Bestimmungen über die Zeugnispflicht und über die Auskunftspflicht gegenüber einer Behörde (<ref-law>; <ref-ruling> [nicht publ. E. 3]).
4.2.1. Unbestritten ist, dass die Krankenakten, die der Hausarzt zu den verstorbenen Eltern der Beschwerdeführer angelegt hat, auch nach deren Tod unter dem Schutz des Berufsgeheimnisses gemäss <ref-law> stehen (vgl. <ref-ruling> E. 3.3 S. 601; <ref-ruling> S. 107). Das von den Beschwerdeführern beantragte Vorgehen würde mit der Preisgabe dieser geheimnisgeschützten Informationen durch den Hausarzt an den Kantonsarzt und von diesem an die Beschwerdeführer einhergehen. Eine zu Lebzeiten erteilte Einwilligung der Eltern, wonach ihr Hausarzt den Beschwerdeführern die Krankenakten aushändigen darf, liegt offenbar nicht vor. Dieser hat nach der Aktenlage auch kein eigenes Gesuch um Entbindung vom ärztlichen Berufsgeheimnis gestellt. Über einen datenschutzrechtlichen Auskunftsanspruch gegenüber dem Hausarzt ihrer verstorbenen Eltern verfügen die Beschwerdeführer nicht (vgl. <ref-ruling> E. 4.2 S. 468).
4.2.2. Die Beschwerdeführer gehen davon aus, dass ihnen weder <ref-law> noch kantonales Recht die Befugnis verleiht, in eigenem Namen bei der kantonalen Gesundheitsbehörde um Entbindung des Hausarzts ihrer verstorbenen Eltern von der beruflichen Schweigepflicht zu ersuchen. Sie beziehen sich demgegenüber auf das Recht auf informationelle Selbstbestimmung sowie das Recht auf Familienleben (<ref-law> und Art. 8 EMRK), wobei ihre diesbezügliche Begründung des Rechtsmittels den gesetzlichen Anforderungen kaum genügt (<ref-law>, vgl. E. 2 hiervor). Wie es sich damit verhält, kann im Ergebnis aber dahingestellt bleiben. Für die Aufhebung des Geheimnisschutzes ist in jedem Fall eine Rechtsgüter- und Interessenabwägung vorzunehmen, wobei die Entbindung nur und nur soweit zu bewilligen ist, als dies zur Wahrung überwiegender privater oder öffentlicher Interessen notwendig ist bzw. die Interessen an der Entbindung klar überwiegen (vgl. <ref-ruling> [nicht publ. E. 5.1]).
4.2.3. Die Beschwerdeführer machen einerseits erbrechtliche Interessen geltend. Sie versuchen diese mit Verweisung auf verschiedene Schriftstücke zu untermauern, die nach ihren Angaben von erheblicher Relevanz für die erbrechtlichen Streitigkeiten im Zusammenhang mit dem Nachlass ihrer Eltern sind. Andererseits erwähnen sie, dass sie über Informationsinteressen verfügten, die weit über erbrechtliche Belange hinausgehen würden. Näher substanziiert werden diese in der Beschwerdeschrift aber nicht. Das gilt auch mit Blick auf das geltend gemachte Interesse, an Informationen über das Vorkommen von Erbkrankheiten zu gelangen. Folglich ist davon auszugehen, dass das Interesse der Beschwerdeführer an der Kundgabe von Informationen aus der Krankengeschichte ihrer Eltern ganz überwiegend erbrechtlicher Natur ist. Bei dieser Ausgangslage wäre es naheliegend, dass die Beschwerdeführer eine Zeugeneinvernahme des Hausarztes ihrer verstorbenen Eltern im Rahmen des zivilrechtlichen Erbstreits beantragen. Dieser wäre als Zeuge grundsätzlich zur Mitwirkung verpflichtet (vgl. <ref-law>) und müsste in diesem Rahmen ein Gesuch um Entbindung von der Geheimhaltungspflicht einreichen (vgl. <ref-law>; <ref-ruling> [nicht publ. E. 3]). Dazu käme es allerdings nur, wenn und soweit die Aussagen des Hausarztes vom zuständigen Zivilgericht auch tatsächlich als rechtserheblich eingestuft würden (<ref-law>). Eine solche Situation lag dem von den Beschwerdeführern ebenfalls genannten <ref-ruling> zugrunde (vgl. unpubl. E. 4.5). Ohne einen solchen unmittelbaren Zusammenhang zu einem hängigen zivilrechtlichen Verfahren lässt sich die erbrechtliche Relevanz von Informationen über den Gesundheitszustand von Erblassern demgegenüber nur abstrakt beurteilen. So verhält es sich auch hier: Ob die Informationen, über die der Kantonsarzt nach Einsicht in die Krankenakten Auskunft geben soll, für den Ausgang des erbrechtlichen Verfahrens tatsächlich von zentraler Bedeutung ist, vermögen die Beschwerdeführer mit ihren wenig substanziierten Ausführungen nicht überzeugend darzutun. Hinzu kommt, dass der Beweiswert von Aussagen, die der Kantonsarzt gegenüber den Beschwerdeführern macht und alsdann von diesen in den Zivilprozess eingeführt werden müssten, im Vergleich zu einer direkten Zeugeneinvernahme des Hausarztes vor dem urteilenden Zivilgericht eher gering sein dürfte. Damit ist jedenfalls kein überwiegendes Interesse der Beschwerdeführer an einer Einsichtnahme und Bekanntgabe von Informationen aus den Krankenakten des Hausarztes ihrer verstorbenen Eltern dargetan. Die Beschwerde ist demnach abzuweisen, soweit sie darauf gerichtet ist, den Kantonsarzt zur Einsichtnahme in die Krankenakten der verstorbenen Eltern der Beschwerdeführer zu ermächtigen und anzuhalten. Kein anderes Resultat ergibt sich mit Blick auf das Eventualbegehren, den Beschwerdeführern zwecks Benennung eines Vertrauensarztes für die Akteneinsicht und Berichterstattung eine Frist anzusetzen.
4.3. Die Beschwerdeführer beantragen weiter, verschiedene Mitarbeitende des Alterszentrums X._ vom Berufsgeheimnis zu entbinden. Sie sind der Auffassung, bei den Mitarbeitenden des Alterszentrum handle es sich weder um Angehörige noch um Hilfspersonen einer in <ref-law> genannten Berufsgruppe. Nach § 29 Abs. 1 des Gesundheitsgesetzes des Kantons Schwyz vom 16. Oktober 2000 (GesG; SRSZ 571.110) unterstünden die Mitarbeitenden zwar trotzdem einer Verschwiegenheitspflicht. Gestützt auf § 29 Abs. 2 GesG sehen sich die Beschwerdefüher berechtigt, im eigenen Namen die Entbindung dieser Personen von der Verschwiegenheitspflicht zu beantragen. Zudem machen sie geltend, die Vorinstanz habe überwiegende schutzwürdige Interessen nach § 29 Abs. 2 GesG für eine Entlassung der Mitarbeitenden des Alterszentrums aus der Verschwiegenheitspflicht zu Unrecht verneint.
4.3.1. Das Gesundheitsgesetz des Kantons Schwyz sieht in § 29 Abs. 1 vor, dass die Inhaberinnen und Inhaber einer Bewilligung sowie ihre Hilfspersonen zur Verschwiegenheit über Tatsachen verpflichtet sind, die ihnen auf Grund ihres Berufes anvertraut oder durch eigene Wahrnehmungen bekannt geworden sind. Nach Abs. 2 der genannten Bestimmung können sie von der Patientin oder dem Patienten selbst oder durch gesetzliche Vorschrift aus der Pflicht zur Verschwiegenheit entlassen werden; zur Wahrung überwiegender schutzwürdiger Interessen kann das Berufsgeheimnis auch durch das zuständige Amt aufgehoben werden. Wer die Pflicht zur Verschwiegenheit missachtet, wird nach § 55 Abs. 1 lit. d GesG mit einer Busse von bis zu Fr. 100'000.-- bestraft.
4.3.2. Die Vorinstanz äussert sich im angefochtenen Urteil nicht klar dazu, ob und aus welchen Gründen die Mitarbeitenden des Alterszentrums, für welche die Beschwerdeführer eine Entbindung vom Berufsgeheimnis verlangen, als Geheimnisträger nach <ref-law> zu qualifizieren sind. Sie geht aber jedenfalls davon aus, dass es sich um Personen handelt, die entweder nach <ref-law> oder nach § 29 GesG einer Verschwiegenheitspflicht unterstehen und verneint für beide Fälle ein überwiegendes Interesse der Beschwerdeführer an der Befreiung von der Schweigepflicht.
4.3.3. Wie es sich mit der Anwendbarkeit von <ref-law> auf die Mitarbeitenden des Alterszentrums verhält, kann das Bundesgericht mangels näherer Angaben zu deren Ausbildung und Funktion nicht beurteilen, bedarf an dieser Stelle aber auch keiner weiteren Klärung: Sofern es sich bei den Mitarbeitenden des Alterszentrums um Geheimnisträger handeln sollte, die in den persönlichen Anwendungsbereich von <ref-law> fallen, gelten die vorstehenden Überlegungen zur Entbindung des Hausarztes von seiner beruflichen Schweigepflicht sinngemäss auch hier (vgl. E. 4.2.3 hiervor). Da den Beschwerdeführern unabhängig von der Anwendbarkeit von <ref-law> überdes kein datenschutzrechtliches Auskunftsrecht zukommt (vgl. E. 4.2.1 hiervor), wäre das Rechtsmittel in diesem Fall abzuweisen.
4.3.4. Soweit die Mitarbeitenden der Verschwiegenheitspflicht gemäss § 29 Abs. 1 GesG unterstehen, wovon die Beschwerdeführer ausgehen und jedenfalls in einem Eventualstandpunkt auch die Vorinstanz, ist Folgendes zu beachten: Bei den "überwiegenden schutzwürdigen Interessen" nach § 29 Abs. 2 GesG handelt es sich um einen unbestimmten Rechtsbegriff des kantonalen Rechts. Dieser steht weder im Zusammenhang mit der Ausübung politischer Rechte, noch handelt es sich um interkantonales Recht (Art. 95 lit. d und e BGG). Die richtige Anwendung von § 29 Abs. 2 GesG kann das Bundesgericht deshalb nicht als solche prüfen, sondern nur auf eine Verletzung von Bundes-, Völker- oder kantonalen verfassungsmässigen Rechten hin (vgl. Art. 95 lit. a-c BGG).
4.3.5. Diese Beschränkung der bundesgerichtlichen Kognition lassen die Beschwerdeführer in ihrer Eingabe über weite Strecken ausser Acht. Immerhin machen sie im Zusammenhang mit der Anwendung des kantonalrechtlichen Begriffs der "überwiegenden schutzwürdigen Interessen" geltend, die Folgerungen der Vorinstanz im Rahmen der Interessenabwägung sei "unhaltbar". Damit rügen sie auch eine willkürliche Anwendung kantonalen Rechts, was eine Verletzung von Bundesrecht darstellen würde und im Rahmen der Beschwerde an das Bundesgericht ein zulässiger Rügegrund ist (vgl. <ref-law> i.V.m. <ref-law>). Willkür in der Rechtsanwendung liegt jedoch nur vor, wenn der angefochtene Entscheid offensichtlich unhaltbar ist mit der tatsächlichen Situation in klarem Widerspruch steht, eine Norm oder einen unumstrittenen Rechtsgrundsatz krass verletzt oder in stossender Weise dem Gerechtigkeitsgedanken zuwiderläuft. Das Bundesgericht hebt einen Entscheid nur auf, wenn nicht bloss die Begründung, sondern auch das Ergebnis unhaltbar ist (vgl. <ref-ruling> E. 4.3 S. 368 mit Hinweisen).
4.3.6. Mit der Beurteilung, dass die Interessen der Beschwerdeführer an einer Entbindung der Mitarbeitenden von der kantonalrechtlichen Schweigepflicht nicht überwiegen, gelangte die Vorinstanz zu keinem offensichtlich unhaltbaren Ergebnis. Das gilt insbesondere mit Blick auf den Umstand, dass die Beschwerdeführer ihre überwiegend erbrechtlichen Interessen ihm zivilprozessualen Rahmen gezielter geltend machen können als in einem unabhängig davon geführten verwaltungsrechtlichen Verfahren (vgl. E. 4.2.3 hiervor). Entgegen der Auffassung der Beschwerdeführer stützt sich der Schluss der Vorinstanz auch nicht auf eine offensichtlich unrichtige Feststellung ihrer faktischen Interessen an der Einsichtnahme in die Krankenakten ihrer verstorbenen Eltern (<ref-law>). Mit derselben Begründung nicht stattzugeben ist auch den Eventualbegehren der Beschwerdeführer, mit denen eine Rückweisung der Angelegenheit an das zuständige kantonale Amt und subeventualiter die Einsichtnahme in die Krankenakten durch den Kantonsarzt oder einen Vertrauensarzt der Beschwerdeführer beantragt wird.
5.
Damit weist sich die Beschwerde im Ergebnis als unbegründet. Nach dem Unterliegerprinzip werden die Beschwerdeführer kostenpflichtig (<ref-law>). Parteientschädigungen sind nicht geschuldet (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 2'000.-- werden den Beschwerdeführern auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten, dem Verwaltungsgericht des Kantons Schwyz, Kammer III, und dem Eidgenössischen Departement des Innern schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 20. Juli 2017
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Seiler
Der Gerichtsschreiber: Fellmann