Sachverhalt:
A.
A.a. Auf Ersuchen der Stadt Zürich erteilte das Bezirksgericht Horgen in der gegen A.A._ laufenden Betreibung Nr. xxx des Betreibungsamtes Thalwil-Rüschlikon-Kilchberg am 29. Juni 2015 die definitive Rechtsöffnung für die Forderung von Fr. 511.-- nebst Zins zu 5% seit 23. Dezember 2013, für Mahngebühren von Fr. 10.-- und für Betreibungskosten von Fr. 53.30. Das Urteil erging in unbegründeter Form. Es enthielt den Hinweis an die Parteien, dass sie innert zehn Tagen beim Bezirksgericht eine Begründung zu verlangen haben, sofern sie eine Beschwerde erheben wollen. Die Frist zur Einreichung eines Rechtsmittels laufe ab Zustellung des begründeten Entscheides.
A.b. Am 20. Juli 2015 verlangte B.A._ die Begründung des Rechtsöffnungsentscheides. Das Bezirksgericht trat mit Verfügung vom 24. Juli 2015 auf diesen Antrag nicht ein, nachdem B.A._ der Aufforderung vom 22. Mai 2015 zur Nachreichung einer Vollmacht für das Rechtsöffnungsverfahren nicht Folge geleistet hatte, und auferlegte dem Gesuchsteller die Spruchgebühr von Fr. 100.--.
A.c. B.A._ und A.A._ gelangten gegen die bezirksgerichtliche Verfügung an das Obergericht des Kantons Zürich. Die Eingabe wurde lediglich von B.A._ unterzeichnet. Sie machten im Wesentlichen geltend, dass das Bezirksgericht B.A._ eine Nachfrist im Sinne von <ref-law> zur Beibringung der Vollmacht hätte ansetzen müssen und verlangten die entsprechende Anweisung. Mit Verfügung vom 23. September 2015 wurde A.A._ vom Obergericht eine Nachfrist angesetzt, um die Eingabe persönlich zu unterzeichnen oder eine Vollmacht an B.A._ beizubringen; es wurde auf die Säumnisfolgen hingewiesen. Das Obergericht schrieb mit Beschluss vom 27. Oktober 2015 die Beschwerde von A.A._ ab, da sie seiner Aufforderung nicht Folge geleistet hatte. Zudem trat es auf die Beschwerde von B.A._ nicht ein, da er in der Sache nicht beschwert sei und es an einer Begründung für die von ihm angefochtene erstinstanzliche Spruchgebühr fehle.
B.
Mit Eingabe vom 10. Dezember 2015 sind B.A._ und A.A._ an das Bundesgericht gelangt. Die Beschwerdeführer beantragen die Aufhebung des obergerichtlichen Beschlusses sowie die Anweisung an das Obergericht, den Beschwerdeführer zur Vorweisung einer Vollmacht anzuhalten. Zudem habe das Obergericht die Erstinstanz anzuweisen, die Eingabe des Beschwerdeführers erst dann als nicht erfolgt zu behandeln, wenn er oder die Beschwerdeführerin bei der Beibringung der Vollmacht säumig bleibt.
Die Beschwerdeführerin hat die Eingabe vom 12. Dezember 2015 innert der vom Bundesgericht angesetzten Nachfrist mitunterzeichnet.
Es sind die kantonalen Akten, aber keine Vernehmlassungen eingeholt worden.

Erwägungen:
1.
1.1. Angefochten ist ein kantonal letztinstanzlicher Rechtsöffnungsentscheid, mithin eine Zwangsvollstreckungssache (<ref-law>). Die gesetzliche Streitwertgrenze wird nicht erreicht (<ref-law>). Inwiefern sich im konkreten Fall eine Rechtsfrage von grundsätzlicher Bedeutung stellt, ist von den Beschwerdeführern darzutun, sofern eine solche nicht offensichtlich gegeben ist (Art. 74 Abs. 2 lit. a i.V.m. <ref-law>; <ref-ruling> E. 4 S. 342). Keine der beiden Voraussetzungen ist vorliegend erfüllt, womit die Eingabe der Beschwerdeführer als subsidiäre Verfassungsbeschwerde entgegenzunehmen ist (<ref-law>).
1.2. Geprüft werden kann vorliegend nur die Verletzung verfassungsmässiger Rechte (<ref-law>). Soweit die Verletzung des Willkürverbotes (<ref-law>) gerügt wird, gelten erhöhte Begründungsanforderungen. Insbesondere ist darzutun, weshalb der angefochtene Entscheid nicht nur in der Begründung, sondern auch im Ergebnis unhaltbar ist (<ref-ruling> E. 4.1 S. 133; <ref-ruling> E. 3.2 S. 88). Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (<ref-law>).
2.
Das Obergericht erachtete die Eintretensvoraussetzungen für die Beschwerde aus zwei Gründen als nicht gegeben. Die Beschwerdeführerin hatte die Eingabe nicht unterzeichnet und eine Vollmacht ihres Vertreters fehlte. Dieses Versäumnis wurde auch innert der angesetzten Nachfrist nicht behoben. Der Beschwerdeführer war nur in Bezug auf die ihm von der Erstinstanz auferlegten Kosten legitimiert, liess es aber an einer rechtsgenüglichen Begründung seines Antrages fehlen.
3.
Anlass zum vorliegenden Verfahren geben einzig die verfahrensrechtlichen Anforderungen an eine Beschwerde zu Handen der kantonalen Rechtsmittelinstanz.
3.1. Ein im summarischen Verfahren ergangener Entscheid oder eine prozessleitende Verfügung kann innert zehn Tagen mit Beschwerde bei der Rechtsmittelinstanz angefochten werden; sie ist zu begründen (Art. 321 Abs. 1 und 2 ZPO). Der Beschwerdeführer kann sich vertreten lassen, in welchem Fall sich der Vertreter durch eine Vollmacht auszuweisen hat (Art. 68 Abs. 1 und 3 ZPO). Formelle Mängel wie fehlende Vollmacht (oder fehlende Unterschrift) sind innert einer gerichtlichen Nachfrist zu verbessern. Andernfalls gilt die Eingabe als nicht erfolgt (<ref-law>). Die richterliche Pflicht, den Parteien die Möglichkeit der Verbesserung einzuräumen, gründet im Verbot des überspitzten Formalismus (Urteil 4A_375/2015 vom 26. Januar 2016 E. 7.2). Keine Nachfrist ist indes anzusetzen, falls sich die Begründung der Beschwerde als ungenügend erweist (<ref-ruling> E. 6.4 S. 622; Urteil 4A_659/2011 vom 7. Dezember 2011 E. 5, SJ 2012 I p. 233), andernfalls die gesetzliche Beschwerdefrist unterlaufen würde. Verlangt das Gesetz eine minimale Begründung, so liegt darin weder eine Verletzung des rechtlichen Gehörs noch eine Missachtung des Verbotes des überspitzten Formalismus (<ref-ruling> E. 2.4.3 S. 248).
3.2. Mit dem angefochtenen Beschluss schrieb die Vorinstanz das Verfahren betreffend die Beschwerdeführerin ab (Ziff.1). Auf die Beschwerde des Beschwerdeführers trat sie nicht ein (Ziff. 2). Die Gerichtsgebühr von Fr. 100.-- auferlegte sie dem Beschwerdeführer (Ziff. 3 und 4). Die beiden Beschwerdeführer wenden sich gegen den obergerichtlichen Beschluss in einer gemeinsamen Eingabe an das Bundesgericht. Sie stellen einen einzigen Antrag und erheben die selben Rügen. Inwieweit dieses Vorgehen den verfahrensrechtlichen Anforderungen an eine Beschwerde - insbesondere der Begründungspflicht (E. 1.2) - entspricht, ist zweifelhaft. Angesichts des Verfahrensausgangs kann diese Frage für den vorliegenden Fall offen gelassen werden.
3.3. Soweit sich die Beschwerdeführer gegen das Nichteintreten der Vorinstanz und gegen die Auferlegung einer Spruchgebühr wenden, ist nur derjenige zur Beschwerde berechtigt, den dieser Entscheid betrifft (<ref-law>). Im konkreten Fall ist dies einzig der Beschwerdeführer. Die Beschwerde enthält zur Kostenfrage keine Begründung, weshalb darauf nicht einzutreten ist (E. 1.2).
3.4. Beide Beschwerdeführer rügen die Verletzung ihres rechtlichen Gehörs. Ihrer Ansicht nach erfolgte die Abschreibung des Beschwerdeverfahrens durch die Vorinstanz in Verletzung prozessualer Vorschriften. Insoweit betrifft der angefochtene Beschluss einzig die Beschwerdeführerin (<ref-law>). Die Beschwerde erschöpft sich diesbezüglich in der Behauptung, der Richter habe die Nachfrist zur Einreichung der Vollmacht nicht der Prozesspartei, sondern dem Vertreter ansetzen müssen. Indes habe die Vorinstanz diese Nachfrist der Beschwerdeführerin angesetzt, mit welchem Vorgehen sie die Bestimmungen von von Art. 68 Abs. 3 und Art. 137 ZPO verletzt habe.
3.5. Mit diesen Vorbringen wendet sich die Beschwerdeführerin gegen die konkrete Anwendung von verfahrensrechtlichen Bestimmungen durch die Vorinstanz, welche nur auf Willkür geprüft werden können und deren Verletzung rechtsgenüglich zu begründen ist (E. 1.2). Diesen Anforderungen kommt die Beschwerdeführerin in keiner Weise nach. Demzufolge ist auch dem nicht eigenständig begründeten Vorwurf der Gehörsverletzung jede Grundlage entzogen. Auf die Beschwerde ist auch in diesem Punkt nicht einzutreten.
4.
Nach dem Gesagten ist der Beschwerde insgesamt kein Erfolg beschieden. Ausgangsgemäss tragen die Beschwerdeführer die Gerichtskosten unter solidarischer Haftung (Art. 66 Abs. 1 und 5 BGG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 300.-- werden den Beschwerdeführern unter solidarischer Haftung auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Zürich, I. Zivilkammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 16. März 2016
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Das präsidierende Mitglied: Escher
Der Gerichtsschreiber: Levante