Sachverhalt:
A.
A.a. A._, geboren 1961, absolvierte in Deutschland eine Ausbildung zur Bankkauffrau. Sie war ab 1. September 2005 bei der Bank C._ als Privatkundenberaterin angestellt und in dieser Eigenschaft bei der Pensionskasse B._ berufsvorsorgeversichert. Das Arbeitspensum betrug zunächst 100 Prozent, ab 1. Januar 2007 80 Prozent. Nachdem die Arbeitgeberin das Arbeitsverhältnis am 28. August 2007 per 30. November 2007 aufgelöst und A._ wunschgemäss ab 1. November 2007 freigestellt hatte, bezog A._ vom 1. Januar bis 30. April 2008 bei einer Vermittlungsfähigkeit von 100 Prozent Taggelder der Arbeitslosenversicherung. Dadurch war sie bei der Stiftung Auffangeinrichtung BVG versichert. Vom 1. Mai bis 11. Juli 2008 arbeitete A._ vollzeitlich bei der Bank D._. Am 12. Juli 2008 meldete sie sich erneut - wiederum mit einer vollen Vermittlungsfähigkeit - bei der Arbeitslosenkasse an. Dies blieb so bis Ende September 2009.
A.b. Unter Hinweis auf ständig wiederkehrende Depressionen, bestehend seit September 2006, meldete sich A._ am 28. April 2011 bei der Invalidenversicherung zum Leistungsbezug an. Die IV-Stelle führte medizinische und erwerbliche Abklärungen durch. Mit Verfügung vom 3. April 2014 sprach sie A._ eine ganze Invalidenrente ab 1. Oktober 2011 zu.
A.c. Sowohl die Pensionskasse B._ als auch die Stiftung Auffangeinrichtung BVG verneinten einen Leistungsanspruch von A._.
B.
Gegen beide Vorsorgeeinrichtungen erhob A._ Klage beim Sozialversicherungsgericht des Kantons Basel-Stadt. Dieses wies mit Entscheid vom 11. Januar 2016 die Klage gegen die Pensionskasse B._ ab. Die Klage gegen die Stiftung Auffangeinrichtung BVG hiess es gut und verurteilte diese, A._ ab 1. Oktober 2011 eine ganze reglementarische IV-Rente, nebst Zins, zu entrichten.
C.
A._ führt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten. Sie beantragt, unter Aufhebung des angefochtenen Entscheids sei die Pensionskasse B._ zu verurteilen, ihr rückwirkend ab 1. Oktober 2011 eine ganze Rente, basierend auf einem Jahressalär von Fr. 85'000.-, nebst Zins, zu bezahlen. Überdies verlangt sie eine Parteientschädigung für das vorinstanzliche Verfahren.
Die Pensionskasse B._ schliesst auf Abweisung der Beschwerde, die zur Stellungnahme eingeladene Auffangeinrichtung auf deren Gutheissung. Das Bundesamt für Sozialversicherungen verzichtet auf eine Vernehmlassung.
Sowohl A._ als auch die Pensionskasse B._ reichen eine weitere Stellungnahme ein.

Erwägungen:
1.
Mit der Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann u.a. die Verletzung von Bundesrecht gerügt werden (<ref-law>). Die Feststellung des Sachverhalts kann nur gerügt werden, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von Artikel 95 beruht und wenn die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein kann (<ref-law>). Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (<ref-law>). Es kann die Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz von Amtes wegen berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von Artikel 95 beruht (<ref-law>).
2.
2.1. Neue Tatsachen und Beweismittel dürfen im bundesgerichtlichen Beschwerdeverfahren nur so weit vorgebracht werden, als erst der Entscheid der Vorinstanz dazu Anlass gibt (<ref-law>), was in der Beschwerde näher darzulegen ist. Der Ausgang des vorangegangenen Verfahrens allein bildet noch keinen hinreichenden Anlass für die Zulässigkeit von unechten Noven, die bereits damals ohne weiteres hätten vorgebracht werden können. Dies ergibt sich zwingend aus der Bindung des Bundesgerichts an die vorinstanzliche Sachverhaltsfeststellung (<ref-law>; Urteile 9C_397/2016 vom 20. Oktober 2016 E. 2.1 und 9C_458/2015 vom 18. August 2015 E. 1.1).
2.2. Die Beschwerdeführerin reicht erst vor Bundesgericht eine E-Mail vom 10. April 2007 ein, ohne darzulegen, weshalb sie dieses (unechte) Novum nicht bereits im kantonalen Verfahren hätte ins Recht legen können. Ob die massgebliche Arbeitsunfähigkeit während der Versicherungsdauer bei der Beschwerdegegnerin entstand, war bereits im vorinstanzlichen Verfahren strittig. Das entsprechende Dokument muss daher ausser Acht bleiben (vorangehende E. 2.1).
3.
3.1. Nach den zutreffenden Erwägungen im angefochtenen Entscheid werden Invalidenleistungen der obligatorischen beruflichen Vorsorge von derjenigen Vorsorgeeinrichtung geschuldet, bei welcher die ansprechende Person bei Eintritt der Arbeitsunfähigkeit, deren Ursache zur Invalidität geführt hat, versichert war (Art. 23 aBVG; seit 1. Januar 2005: Art. 23 lit. a BVG; <ref-ruling> E. 2.6 S. 17). Dieser Grundsatz findet auch in der weitergehenden Vorsorge Anwendung, wenn - wie hier - Reglement oder Statuten nichts anderes vorsehen (<ref-ruling> E. 3.2 S. 69). Für die Bestimmung der Leistungszuständigkeit ist eine erhebliche und dauerhafte Einbusse an funktionellem Leistungsvermögen im bisherigen Beruf oder Aufgabenbereich massgebend. Diese muss mindestens 20 Prozent betragen (z.B. Urteil 9C_464/2015 vom 31. Mai 2016 E. 2.2 mit Hinweis auf <ref-ruling> E. 3.2.2 S. 23).
3.2. Ebenfalls korrekt führt die Vorinstanz aus, dass der Anspruch auf Invalidenleistungen einen engen sachlichen und zeitlichen Zusammenhang zwischen der während andauerndem Vorsorgeverhältnis (einschliesslich Nachdeckungsfrist nach Art. 10 Abs. 3 BVG) bestandenen Arbeitsunfähigkeit und der allenfalls erst später eingetretenen Invalidität voraussetzt. Der sachliche Konnex ist gegeben, wenn der Gesundheitsschaden, welcher zur Arbeitsunfähigkeit geführt hat, im Wesentlichen derselbe ist, wie er der Erwerbsunfähigkeit zugrunde liegt (<ref-ruling> E. 3.2 S. 22). Die Annahme eines engen zeitlichen Zusammenhangs setzt voraus, dass die versicherte Person nach Eintritt der Arbeitsunfähigkeit, deren Ursache zur Invalidität geführt hat, nicht während längerer Zeit wieder arbeitsfähig war. Eine nachhaltige, den zeitlichen Zusammenhang unterbrechende Erholung liegt grundsätzlich nicht vor, solange eine Arbeitsfähigkeit (von über 80 Prozent [vgl. oben E. 2.1]) weniger als drei Monate gedauert hat. Eine drei Monate oder länger andauernde (annähernd) vollständige Arbeitsfähigkeit ist ein gewichtiges Indiz für eine Unterbrechung des zeitlichen Zusammenhangs, sofern sich eine dauerhafte Wiedererlangung der Erwerbsfähigkeit als objektiv wahrscheinlich darstellt (Urteil 9C_197/2015 vom 26. Oktober 2015 E. 1.2 mit Hinweisen). Der zeitliche Zusammenhang kann daher auch bei einer länger als drei Monate dauernden Tätigkeit gewahrt sein, wenn eine dauerhafte berufliche Wiedereingliederung unwahrscheinlich war, etwa weil die Tätigkeit (allenfalls auch erst im Rückblick) als Eingliederungsversuch zu werten ist (oder massgeblich auf sozialen Erwägungen des Arbeitgebers beruhte; <ref-ruling> E. 3.2.1 S. 22).
3.3. Nach welchen Gesichtspunkten die Entscheidung über den Zeitpunkt des Eintritts einer rechtserheblichen Arbeitsunfähigkeit erfolgt und ob diese auf einer genügenden Beweislage beruht, sind frei zu prüfende Rechtsfragen (Urteile 9C_91/2013 vom 17. Juni 2013 E. 4.3.2 mit Hinweisen [SVR 2013 BVG Nr. 49 S. 206] und 9C_752/2008 vom 9. April 2009 E. 1.2 und 2.3).
4.
4.1. Die Vorinstanz stellte zunächst fest, für die Berentung durch die Invalidenversicherung habe eine bipolar affektive Störung (ICD-10 F31 ff.) im Vordergrund gestanden. Weil sich eine solche Störung durch wiederholte (wenigstens zwei durchgemachte) Episoden charakterisiere, habe beim ersten stationären Aufenthalt der Beschwerdeführerin (18. September bis 16. November 2006) in der psychiatrischen Klinik E._, die entsprechende Diagnose noch gar nicht gestellt werden können. Auch anlässlich des zweiten Klinikaufenthaltes hätten offensichtlich weiterhin diagnostische Unsicherheiten bestanden, weshalb die Ärzte lediglich den Verdacht auf eine bipolare affektive Störung geäussert hätten. Die zu einer dauernden Einschränkung der Arbeitsfähigkeit führende Diagnose sei erst mit der dritten Hospitalisation in der psychiatrischen Klinik E._ vom 15. November 2009 bis 1. Februar 2010 sicher gewesen. Die bereits 2006 und 2007 manifest gewordenen ersten Krankheitsanzeichen änderten nichts daran, dass es damals noch nicht zum gesichert diagnostizierbaren Ausbruch der Krankheit mit entsprechend andauernder Einschränkung der Arbeitsfähigkeit gekommen sei. Damit fehle es an der engen (sachlichen) Konnexität zwischen der von der IV festgestellten Invalidität und der Arbeitsunfähigkeit während der Versicherungsdauer bei der Beschwerdegegnerin. Zudem fehlten auch mit Blick auf die tatsächlichen Verhältnisse am Arbeitsplatz Hinweise auf eine Einschränkung der Arbeitsfähigkeit.
Bezüglich der Zeit des ALV-Taggeldbezugs stellte das kantonale Gericht fest, gemäss Bericht der psychiatrischen Klinik E._ vom 11. Februar 2010 habe die Beschwerdeführerin gegenüber den Ärzten geschildert, in den vier bis acht dem Klinikeintritt am 15. November 2009 vorangehenden Wochen habe sie vor dem Hintergrund einer ausgeprägten finanziellen Belastungssituation ein depressives Syndrom mit Antriebs- und Appetitlosigkeit, Schlafstörungen, sozialem Rückzug und zunehmender Verwahrlosung entwickelt. In Absprache mit dem behandelnden Arzt, aber ohne dessen Einverständnis, habe sie die Psychopharmaka abgesetzt und seither keine Medikamente mehr eingenommen. Das Gericht erwog, diese glaubhaften Schilderungen liessen darauf schliessen, dass bereits innerhalb der Nachdeckungsfrist bei der Stiftung Auffangeinrichtung BVG eine schliesslich zur Invalidität führende Arbeitsunfähigkeit eingetreten sei. Damit sei diese Vorsorgeeinrichtung leistungspflichtig.
4.2. Die Beschwerdeführerin rügt verschiedene offensichtlich falsche Sachverhaltsfeststellungen der Vorinstanz. Zunächst werde offensichtlich tatsachenwidrig festgehalten, sie habe (nur) bis Ende September 2008, statt bis Ende September 2009, Leistungen der ALV bezogen. Hauptsächlich macht sie geltend, der sachliche und zeitliche Zusammenhang zwischen der bereits im Jahr 2006 echtzeitlich ausgewiesen gewesenen bzw. "in der Substanz" den nachfolgenden invalidisierenden Gesundheitsschaden verursachenden bipolaren Störung und der späteren Arbeitsunfähigkeit sei aus verschiedenen Gründen bundesrechtswidrig beurteilt worden. So habe sie nach der ersten Hospitalisation (vom 18. September bis 16. November 2006) ihre ursprüngliche Leistungsfähigkeit nicht mehr erreicht, indes zur Vermeidung einer (früheren) Kündigung ihre gesundheitsbedingte Leistungseinbusse zunächst nicht offengelegt. Tatsachenwidrig sei die vorinstanzliche Feststellung, die Pensumsreduktion habe andere als gesundheitliche Gründe gehabt. Die erbrachten Krankenkassenleistungen zeigten, dass zwischen September 2006 bis Ende 2009 ein Behandlungsrhythmus bestanden und sie Medikamente eingenommen habe. Eine längerfristige, ununterbrochene Arbeitsunfähigkeit sei im Rahmen von Schubkrankheiten, zu denen eine bipolare affektive Störung eine gewisse Ähnlichkeit aufweise, belegt und ein enger sachlicher Zusammenhang nachgewiesen.
4.3. Die Beschwerdegegnerin macht im Wesentlichen geltend, die Pensumsreduktion bei der Bank C._ sei aus invaliditätsfremden Gründen (moralische Bedenken, psychosoziale Belastungen) erfolgt und die Kündigung bei der Bank D._ sei nicht aus gesundheitlichen Gründen ausgesprochen worden. Eine Arbeitsunfähigkeit von mindestens 20 Prozent im bisherigen Beruf sei - auch angesichts der wenigen Krankheitstage während des eineinhalbjährigen ALV-Taggeldbezugs, der langen Zeitspanne zwischen erster und zweiter Hospitalisation sowie den lediglich in grossen Abständen erfolgten Therapien - im hier massgeblichen Zeitraum nicht ausgewiesen.
5.
5.1. Soweit das kantonale Gericht erwog, die Reduktion des Arbeitspensums sei aus gesundheitsfremden Gründen erfolgt, steht diese Auffassung in klarem Widerspruch zur Aktenlage. Der medizinisch dokumentierte zeitliche Ablauf der Krankheit und die Unterlagen der Bank C._ betreffend die Beendigung des Arbeitsverhältnisses lassen keinen anderen Schluss zu, als dass die Reduktion auf 80 Prozent per 1. Januar 2007 gesundheitlich bedingt war. So ist dem Bericht der Ärztin der psychiatrischen Klinik E._, Dr. med. F._, vom 7. Juni 2011 zu entnehmen, dass die hypomanischen Nachschwankungen im Anschluss an den ersten Klinikaufenthalt (2006) einer medikamentösen Behandlung bedurften, welche die Ärzte "in unveränderter Dosierung bis Mai 2007" empfahlen. Nachdem die Beschwerdeführerin die Medikamente im ambulanten Setting sehr schnell wieder abgesetzt hatte, wurde kurze Zeit später (Februar 2007) bei erneut schwer depressivem Zustandsbild - mit anamnestisch zwischenzeitlich hypomanischer bis manischer Phase - der zweite Klinikeintritt erforderlich. Dass die Beschwerdeführerin vor dem Hintergrund der dem ersten stationären Aufenthalt vorangegangenen Überlastungssituation, der erforderlich gewesenen mehrmonatigen stationären Behandlung und der auch nach der Entlassung weiterhin notwendigen Behandlung mit Psychopharmaka - bei finanziellen Problemen aufgrund einer noch nicht bezahlten Eigentumswohnung - aus anderen als gesundheitlichen Gründen ihr Arbeitspensum reduziert hätte, ist unwahrscheinlich. Nicht zuletzt vermag auch die Beschwerdegegnerin nicht nachvollziehbar darzulegen, welche gesundheitsfremden Ursachen die Beschwerdeführerin zu einer Teilzeittätigkeit bewogen hätten.
5.2. Ausgeschlossen werden kann, dass der damaligen Arbeitgeberin die gesundheitlichen Beeinträchtigungen der Beschwerdeführerin verborgen geblieben wären. Bereits die erste stationäre Behandlung dauerte rund zwei Monate (wobei die Beschwerdeführerin schon von der Klinik aus ihre Arbeitstätigkeit wieder im Umfang von zunächst 50 Prozent aufnahm) und nur rund drei Monate später war eine erneute stationäre Behandlung in der psychiatrischen Klinik E._ (vom 19. Februar bis 27. April 2007) notwendig. "Im Rahmen der Berufsproblematik" schaltete die psychiatrische Klinik E._ während des zweiten Klinikaufenthaltes der Beschwerdeführerin aktenkundig auch ihren Sozialdienst ein und es fand insbesondere ein Treffen mit dem Arbeitgeber statt, in dessen Rahmen alternative Positionen in der Bank erörtert wurden.
Nach dem Gesagten lassen die aktenmässig ausgewiesenen Vorgänge keinen anderen Schluss zu, als dass die Pensumsreduktion ausschliesslich gesundheitsbedingt erfolgte. Mit den stationären Klinikaufenthalten und der Reduktion des Arbeitspensums auf 80 Prozent war die Arbeitsfähigkeit während des Arbeitsverhältnisses mit der Bank C._ zweifellos sinnfällig eingeschränkt.
5.3. Zur umstrittenen Frage, ob im Endeffekt gesundheitliche Gründe zur Auflösung des Arbeitsverhältnisses geführt haben, hat die Vorinstanz keine Feststellungen getroffen. Es liegt indes nahe, dass auch die Kündigung gesundheitsbedingt erfolgte. Wenn die damalige Arbeitgeberin im Kündigungsschreiben vom 28. August 2007 festhielt, die Beschwerdeführerin habe ihr im Mai 2007 mitgeteilt, sie möchte sich "innert 3-6 Monaten innerhalb unserer Bank neu orientieren", was ihr indes nicht gelungen sei, weshalb es zur Kündigung komme, kann aus der Nichterwähnung gesundheitlicher Gründe, auch im Lichte des soeben Ausgeführten (E. 5.2 und 5.2), entgegen der vorinstanzlichen Auffassung nicht geschlossen werden, es fehlten Hinweise auf eine Einschränkung der Arbeitsfähigkeit. Die Versicherte gab denn auch gegenüber den Ärzten der psychiatrischen Klinik E._ an, die Arbeitsstelle bei der Bank C._ sei ihr "aufgrund zunehmender ungenügender Leistungen im Rahmen ihrer Erkrankung gekündigt" worden, was sich ohne weiteres ins Gesamtbild einfügt.
6.
6.1. Wie das kantonale Gericht zu Recht festhielt, kann eine bipolare affektive Störung nach der ICD-10 F31 ff. wesensgemäss erst verlässlich diagnostiziert werden, wenn wenigstens zwei Episoden ausgewiesen sind. Gemäss der einschlägigen medizinischen Fachliteratur ist die Diagnose einer bipolaren affektiven Störung umso schwieriger und fehleranfälliger, je kürzer der bisherige Krankheitsverlauf ist. Insbesondere werden hypomane Nachschwankungen (d.h. auf eine Depression folgende Zeiten besonderen Wohlbefindens, guter Stimmung und grosser Aktivität, die aber nicht das Ausmass einer Manie erreichen; vgl. WALDEMAR GREIL/DOROTHEE GIERSCH, Stimmungsstabilisierende Therapien bei manisch-depressiven [bipolaren] Erkrankungen, 2006, S. 17) auch von Fachleuten nicht selten im Rahmen unipolarer Depressionen gewertet und die Bipolarität der Symptomatik (zunächst) verkannt (MARTIN HAUTZINGER/THOMAS D. MEYER, Bipolar affektive Störungen, 2011, S. 10). Lässt aber erst eine retrospektive Gesamtbetrachtung eine zuverlässige Beurteilung der Entwicklung und der Tragweite eines Gesundheitsschadens zu, kann aus dem Fehlen einer gesicherten echtzeitlichen Diagnose jedenfalls nicht unbesehen auf die fehlende sachliche Konnexität geschlossen werden (vgl. Urteil 9C_569/2013 vom 18. Februar 2014 E. 5.3, in: SVR 2014, BVG Nr. 36 S. 134).
6.2. Zwar kommt auch in der soeben geschilderten Konstellation nachträglichen Annahmen und spekulativen Überlegungen keine Beweiskraft zu (vgl. das zitierte Urteil 9C_569/2013 vom 18. Februar 2014 E. 5.3). Im konkreten Fall hatten aber die mit der Beschwerdeführerin befasst gewesenen Ärzte der psychiatrischen Klinik E._ bereits nach der ersten Hospitalisation im November 2006 differenzialdiagnostisch eine bipolare affektive Störung angeführt. Die weitere Entwicklung (zweite Hospitalisation vom 19. Februar bis 27. April 2007) erhärtete den Verdacht auf eine bipolare affektive Störung (Bericht vom 9. Mai 2007). Vor diesem Hintergrund kann nicht gesagt werden, erst die gesicherte Diagnose im Anschluss an den dritten Eintritt der Beschwerdeführerin in die psychiatrische Klinik E._ im November 2009 und die nachfolgende Häufung der Klinikeinweisungen habe eine sachliche Konnexität zur späteren invalidisierenden Beeinträchtigung begründet. Entgegen der Auffassung der Vorinstanz war die nachmalig zur Zusprechung einer Invalidenrente der IV führende Erkrankung eindeutig bereits im Herbst 2006 manifest geworden und auch arbeitsrechtlich in Erscheinung getreten (vorangehende E. 5.2). Dass die initial im Vordergrund gestandenen Depressionen sich retrospektiv als Teil der bipolaren Störung erwiesen, vermag den sachlichen Konnex umso weniger in Frage zu stellen, als zwischen den beiden Krankheitsbildern ein enger sachlicher Zusammenhang und eine mindestens teilweise Identität besteht.
7.
7.1. Was den zeitlichen Zusammenhang betrifft, darf für Zeiträume ohne formal ausgewiesene Arbeitsunfähigkeit eine solche nur angenommen werden, wenn besondere Umstände vorliegen. Eine berufsvorsorgerechtlich relevante Einbusse an funktionellem Leistungsvermögen kann sich etwa aus einem vom Arbeitgeber dokumentierten Leistungsabfall ergeben (vgl. Urteil 9C_127/2008 vom 11. August 2008 E. 2.3 mit Hinweisen [SVR 2008 BVG Nr. 34 S. 143]). Hiebei ist auch die Eigenart des gesundheitlichen Geschehens massgebend (vgl. <ref-ruling> E. 3.2.1 S. 22). So ist bei Schubkrankheiten zu prüfen, ob eine länger als drei Monate dauernde, isoliert betrachtet unauffällige Phase von Erwerbstätigkeit tatsächlich mit der Perspektive einer dauerhaften Berufsausübung verbunden war (vgl. Urteil B 63/04 vom 28. Dezember 2004 E. 3.3.3). Selbst eine längerdauernde Phase der Erwerbstätigkeit zeigt keine gesundheitliche Erholung mit weitgehender Wiederherstellung des Leistungsvermögens an, wenn jegliche berufliche Belastung nach einer gewissen Zeit regelhaft zu schweren Krankheitssymptomen mit erheblicher Einschränkung der Arbeitsfähigkeit führt. Auch im Rahmen des Art. 23 BVG ist zu berücksichtigen, dass arbeitsunfähig nicht nur ist, wer gesundheitsbedingt die bisherige Tätigkeit nicht mehr oder nur noch beschränkt ausüben kann, sondern auch eine Person, welcher die weitere Verrichtung ihrer Berufsarbeit nur unter der Gefahr, ihren Gesundheitszustand zu verschlimmern, möglich ist (<ref-ruling> E. 3.1 S. 345; erwähntes Urteil 9C_127/2008 vom 11. August 2008 E. 3.3).
7.2. Affektive Störungen - unipolarer oder bipolarer Natur - verlaufen in der Regel phasisch (mit vollständiger Remission im Intervall), können aber auch einen schubförmigen Verlauf nehmen (mit Residualzustand nach Schub; vgl. MARKUS T. GASTPAR/SIEGFRIED KASPER/ MICHAEL LINDEN [Hrsg.], Psychiatrie und Psychotherapie, 2003, S. 127; PETRA WAGNER/PETER BRÄUNIG, Psychoedukation bei bipolaren Störungen, 2006, S. 165). Durch den wiederholten Wechsel von manischen und depressiven Phasen (DANIEL HELL et. al., Kurzes Lehrbuch der Psychiatrie, 3. Aufl. 2011, S. 129) können bipolare affektive Störungen somit eine gewisse Ähnlichkeit zu den Schubkrankheiten aufweisen (vgl. Urteil 9C_61/2014 vom 23. Juli 2014 E. 5.3.1 mit Hinweisen).
7.3. Die Beschwerdeführerin war bei der Bank C._ ab 1. November 2007 freigestellt. Vom 1. Januar bis 30. April 2008 bezog sie Arbeitslosentaggelder, bevor sie am 1. Mai 2008 eine Vollzeitstelle bei der Bank D._ antrat, die per 11. Juli 2008 wieder gekündigt wurde. Anschliessend meldete sie sich wiederum bei der Arbeitslosenkasse mit voller Vermittlungsfähigkeit an und bezog bis Ende September 2009 erneut Taggelder.
7.3.1. Es steht fest, dass schon während des zweiten stationären Aufenthalt in der psychiatrischen Klinik E._ (Austritt am 27. April 2007) - und auch unmittelbar im Anschluss daran - Gespräche mit der damaligen Arbeitgeberin über eine bankinterne Umplatzierung stattfanden (vorangehende E. 5.2). Eine definitive Rückkehr an den bisherigen Arbeitsplatz war daher nicht gesichert. Die Wiederaufnahme der angestammten Tätigkeit hatte eher den Charakter eines probeweisen Versuchs, vergleichbar einer (erneut) versuchten Arbeitsintegration. Von einer vollen Arbeitsfähigkeit ohne Einbussen kann demnach keine Rede sein. Dasselbe gilt für die weniger als drei Monate dauernde Tätigkeit bei der Bank D._, welche die Beschwerdeführerin gemäss ihren Angaben gegenüber dem Gutachter Dr. med. G._ (Psychiatrie und Psychotherapie; Expertise vom 27. November 2012) wegen ihrer Erkrankung abgebrochen habe, da sie das System als "korrupt" erlebte und "man" einfach nicht auf die Kunden eingehe.
7.3.2. Näher zu betrachten ist der darauf folgende längere Zeitraum der Arbeitslosigkeit mit einer Vermittlungsfähigkeit von 100 Prozent (12. Juli 2008 bis 30. September 2009). Die Arbeitslosenkasse vermerkte im Oktober 2008 acht einzelne Krankheitstage, im November und Dezember 2008 je deren drei, im März 2009 zwei einzelne Tage krankheitsbedingter Arbeitsunfähigkeit und in Juni 2009 einen solchen Tag. Ausserdem sind im August und September 2009 insgesamt 15 Einstelltage - offenbar wegen mangelhafter Arbeitsbemühungen - verzeichnet. Aktenkundig ist sodann, dass die Versicherte am 15. November 2009, seit vier bis acht Wochen zunehmend verwahrlost, mit einer Gewichtsabnahme von 10 kg und vorangegangenen Suizidgedanken, zum dritten Mal stationär in die psychiatrische Klinik E._ eintrat.
7.3.3. Zunächst lässt die gegenüber der Arbeitslosenversicherung deklarierte und von dieser akzeptierte uneingeschränkte Vermittlungsfähigkeit nicht eo ipso den Schluss auf eine vollständige Arbeitsfähigkeit zu (z.B. Urteil 9C_162/2013 vom 8. August 2013 E. 2.3.2). Sodann erfordert die Eigenart bipolarer affektiver Störungen mit schub- oder phasenförmigem Verlauf (E. 7.2 hievor), dass auch eine drei Monate übersteigende Phase ohne formal ausgewiesene Arbeitsunfähigkeit den zeitlichen Konnex jedenfalls nicht ohne weiteres zu unterbrechen vermag. Konkret war es der Beschwerdeführerin im Anschluss an die zwischen 1. Mai bis 11. Juli 2008 ausgeübte Erwerbstätigkeit bis zur aktenmässig ausgewiesenen erneuten gesundheitlichen Verschlechterung ab Sommer 2009 offensichtlich nicht mehr gelungen, ins Berufsleben zurückzukehren, weshalb jedenfalls von einer den zeitlichen Zusammenhang unterbrechenden unauffälligen Phase der Erwerbstätigkeit keine Rede sein kann. Daran vermag auch die Einschätzung des Dr. med. G._ nichts zu ändern, wonach bis 2008 eine vollumfängliche Arbeitsfähigkeit bestanden habe, "wenn die Versicherte nicht psychiatrisch hospitalisiert war". Bei damals mangelhafter Medikamentencompliance und offensichtlich schwerem Verlauf der bipolaren affektiven Störung mit gravierenden Folgen (markanter Gewichtsverlust von 10 kg, Suizidgedanken und Verwahrlosung bei Klinikeintritt im November 2009) ist in Würdigung aller Umstände eine längere Zeit dauernde, annähernd vollständige Arbeitsfähigkeit mit der tatsächlichen Perspektive einer dauerhaften Berufsausübung und damit eine Unterbrechung der zeitlichen Konnexität nicht überwiegend wahrscheinlich. Es ist davon auszugehen, dass die massgebende, zur Invalidität führende Arbeitsunfähigkeit bereits während des Arbeitsverhältnisses bei der Bank C._ eingetreten war. Nach dem Gesagten ist sowohl der sachliche als auch der zeitliche Konnex überwiegend wahrscheinlich zu bejahen, was zur Leistungspflicht der Beschwerdegegnerin führt.
8.
Die Beschwerdeführerin erhebt Anspruch auf eine ganze Invalidenrente ab 1. Oktober 2011 bzw. ab 1. November 2011 und stützt sich dabei auf Art. 34.1 des Vorsorgereglements der Beschwerdegegnerin (in der ab 1. Januar 2011 gültigen Fassung). Sowohl gemäss dem Reglement in der ab 1. Januar 2007 in Kraft getretenen Form (Art. 34.3) als auch der späteren, ab Januar 2011 gültigen Fassung (Art. 37.6) entsteht der Rentenanspruch "gleichzeitig wie in der IV", das heisst konkret per Oktober 2011 (Verfügung der IV-Stelle vom 3. April 2014). Es besteht darüber hinaus Anspruch auf Zins von 5 Prozent seit Klageeinleitung.
9.
Dem Ausgang des Verfahrens entsprechend hat die Beschwerdegegnerin die Gerichtskosten zu tragen (<ref-law>) und der Beschwerdeführerin eine Parteientschädigung zu bezahlen (<ref-law>). Die Beigeladene hat keinen Anspruch auf Parteientschädigung (<ref-law>; Urteil 9C_126/2013 vom 13. August 2013 E. 5).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird gutgeheissen und der Entscheid des Sozialversicherungsgerichts des Kantons Basel-Stadt vom 11. Januar 2016 aufgehoben. Die Beschwerdegegnerin wird in Gutheissung der Klage vom 19. Dezember 2014 verpflichtet, A._ ab 1. Oktober 2011 die reglementarischen Invalidenleistungen auszurichten. Die Klage gegen die Stiftung Auffangeinrichtung wird abgewiesen.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 800.- werden der Beschwerdegegnerin auferlegt.
3.
Die Beschwerdegegnerin hat die Beschwerdeführerin für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 2'800.- zu entschädigen.
4.
Die Sache wird zur Neuverlegung der Kosten und der Parteientschädigung des vorangegangenen Verfahrens an das Sozialversicherungsgericht des Kantons Basel-Stadt zurückgewiesen.
5.
Dieses Urteil wird den Parteien, der Stiftung Auffangeinrichtung BVG, dem Sozialversicherungsgericht des Kantons Basel-Stadt und dem Bundesamt für Sozialversicherungen schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 9. November 2016
Im Namen der II. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Glanzmann
Die Gerichtsschreiberin: Bollinger Hammerle