Sachverhalt:
A.
Der mazedonische Staatsangehörige A.A._ (geb. 1973) ist Vater zweier Söhne, B.A._ (geb. im Dezember 2001) und C.A._ (geb. im Oktober 2003), die aus seiner ersten Ehe mit einer Staatsangehörigen von Mazedonien stammen. Die Ehe wurde am 22. März 2011 in Mazedonien geschieden und die Kinder unter die elterliche Sorge des Vaters gestellt. Im Dezember 2012 heiratete dieser in Mazedonien eine schweizerische Staatsangehörige. Am 24. März 2013 reiste er in die Schweiz ein und liess die Kinder in der Obhut der Mutter zurück. Am 11. April 2013 wurde ihm eine Aufenthaltsbewilligung erteilt (vgl. den Rekursentscheid vom 28. Januar 2016, sogleich Bst. B; <ref-law>).
B.
Am 6. Januar 2015 ersuchte A.A._ um Nachzug seiner beiden Söhne. Während das Migrationsamt des Kantons Zürich dem Gesuch betreffend C.A._ entsprach, dieser am 6. Dezember 2015 in die Schweiz einreiste und am 21. Dezember 2015 eine Aufenthaltsbewilligung erhielt, wurde das Gesuch betreffend B.A._ mit Verfügung vom 24. Juni 2015 abgewiesen. Als Begründung für die Verweigerung der Aufenthaltsbewilligung führte das Migrationsamt die verpasste Jahresfrist für das Nachzugsgesuch und das Fehlen von wichtigen familiären Gründen an, die einen nachträglichen Familiennachzug rechtfertigen würden.
Ein gegen diese Verfügung erhobener Rekurs blieb erfolglos (Rekursentscheid vom 28. Januar 2016 der Sicherheitsdirektion des Kantons Zürich). Mit Urteil vom 6. April 2016 wies das Verwaltungsgericht des Kantons Zürich die gegen den Rekursentscheid erhobene Beschwerde ebenfalls ab.
C.
Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten vom 23. Mai 2016 beantragen A.A._ und B.A._ die Aufhebung des Urteils des Verwaltungsgerichts und die Erteilung der Aufenthaltsbewilligung an B.A._ zum Verbleib bei seinem Vater.
Das Verwaltungsgericht beantragt die Abweisung der Beschwerde, soweit darauf einzutreten sei. Die Sicherheitsdirektion, das Migrationsamt und das Staatssekretariat für Migration haben sich nicht vernehmen lassen.

Erwägungen:
1.
1.1. Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten gegen den kantonal letztinstanzlichen Endentscheid ist grundsätzlich zulässig (Art. 82 lit. a, Art. 86 Abs. 1 lit. d und Abs. 2 sowie Art. 90 BGG). Sie ist jedoch ausgeschlossen gegen Entscheide auf dem Gebiet des Ausländerrechts betreffend Bewilligungen, auf die weder das Bundesrecht noch das Völkerrecht einen Anspruch einräumt (<ref-law>). Um den Weg der Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten zu eröffnen, muss ein solcher Anspruch in vertretbarer Weise geltend gemacht werden. Ob die geltend gemachten Ansprüche tatsächlich bestehen, ist alsdann Sache der materiellen Beurteilung (vgl. <ref-ruling> E. 1.1 S. 179).
1.2. Der Beschwerdeführer 1 verfügt gestützt auf seine Ehe mit einer Schweizer Bürgerin über eine Aufenthaltsbewilligung (Art. 42 Abs. 1 AuG [SR 142.20]). Er kann sich nach dem internen Ausländerrecht für den Nachzug seiner Kinder aus erster Ehe somit nur auf Art. 44 AuG stützen, der - anders als Art. 42 und 43 AuG - keinen Nachzugsanspruch im Sinne von <ref-law> einräumt (vgl. <ref-ruling> E. 1.2 S. 287 mit Hinweisen). Allerdings berufen sich die Beschwerdeführer auf den Schutz des Familienlebens nach Art. 8 EMRK und <ref-law>. Durch das Zusammenleben mit der Schweizer Ehefrau hat der Beschwerdeführer 1 selber einen Anspruch auf Verlängerung seiner Aufenthaltsbewilligung und damit ein gefestigtes Aufenthaltsrecht (<ref-ruling> E. 1.3 S. 287). Als Person mit gefestigtem Aufenthaltsanspruch hat er grundsätzlich einen Anspruch auf Nachzug seiner Kinder (<ref-ruling> E. 1.3 S. 287 u. E. 2.6 S. 292 f.). Da die Beschwerdeführer zudem in vertretbarer Weise eine gelebte und intakte Beziehung dartun, erweist sich die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten als zulässig. Auf die form- und fristgerecht eingereichte Beschwerde (vgl. Art. 42 und 100 Abs. 1 BGG) der nach <ref-law> legitimierten Beschwerdeführer ist einzutreten.
2.
2.1. Mit der Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann eine Rechtsverletzung nach Art. 95 und Art. 96 BGG gerügt werden. Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (<ref-law>). Es ist daher weder an die in der Beschwerde geltend gemachten Argumente noch an die Erwägungen der Vorinstanz gebunden (<ref-ruling> E. 3 S. 415). In Bezug auf die Verletzung von Grundrechten gilt indessen eine qualifizierte Rüge- und Substanziierungspflicht (<ref-law>; <ref-ruling> E. 2.2 S. 232; <ref-ruling> E. 2.5 S. 314).
2.2. Das Bundesgericht legt seinem Urteil den von der Vorinstanz festgestellten Sachverhalt zugrunde (<ref-law>). Es kann die Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz von Amtes wegen berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruht (<ref-law>). "Offensichtlich unrichtig" bedeutet dabei "willkürlich" (<ref-ruling> E. 2 S. 116 f.). Die beschwerdeführende Partei kann die Feststellung des Sachverhalts unter den gleichen Voraussetzungen beanstanden, wenn die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein kann (<ref-law>). Eine entsprechende Rüge ist substanziiert vorzubringen (<ref-ruling> E. 5.1 S. 356; <ref-ruling> E. 2.5 S. 314).
Im Falle einer unvollständigen Sachverhaltsfeststellung, welche als Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> zu behandeln ist, kann das Bundesgericht gemäss <ref-law> die Sache an die Vorinstanz oder eine untere Instanz zur ergänzenden Abklärung der Umstände zurückweisen (Urteil 2C_504/2014 vom 13. Januar 2015 E. 2.2 mit Hinweisen).
3.
Die Beschwerdeführer bestreiten nicht, die Nachzugsfrist verpasst zu haben. Sie rügen aber eine willkürliche Sachverhaltsfeststellung sowie (implizit) eine falsche rechtliche Würdigung, indem die Vorinstanz das Vorliegen wichtiger familiärer Gründe für den verspäteten Familiennachzug verneint habe. Des Weiteren machen sie eine Verletzung des Schutzes des Privat- und Familienlebens (Art. 8 EMRK und <ref-law>) geltend.
3.1.
3.1.1. Art. 8 EMRK verschafft praxisgemäss keinen vorbehaltlosen Anspruch auf Einreise und Aufenthalt bzw. auf Wahl des von den Betroffenen gewünschten Wohnorts für die Familie (vgl. <ref-ruling> E. 6.1 S. 46; <ref-ruling> E. 2 S. 335 ff.; je mit Hinweisen). Soweit ein Bewilligungsanspruch besteht, gilt er nicht absolut: Liegt eine aufenthaltsbeendende oder -verweigernde Massnahme im Schutz- und Anwendungsbereich von Art. 8 EMRK, erweist sich eine solche dennoch als zulässig, falls sie - wie hier - gesetzlich vorgesehen ist (Art. 47 AuG), einem legitimen Zweck dient und in einer "demokratischen Gesellschaft als notwendig" erscheint (<ref-ruling> E. 6.1 S. 46; <ref-ruling> E. 2.2 S. 336).
3.1.2. Die in Art. 47 AuG enthaltenen Altersbeschränkungen und Fristen für den Familiennachzug dienen der frühzeitigen Integration und sind auch mit der EMRK vereinbar (<ref-ruling> E. 2.4-2.6 S. 291 ff.). Ein nachträglicher Familiennachzug, wenn also das Gesuch erst nach Ablauf der Nachzugsfristen gemäss Art. 47 Abs. 1 bis 3 AuG gestellt wurde, wird nur bewilligt, wenn wichtige familiäre Gründe geltend gemacht werden. Kinder über 14 Jahre werden zum Familiennachzug angehört, sofern dies erforderlich ist (vgl. Art. 47 Abs. 4 AuG). Wichtige familiäre Gründe im Sinne von Art. 47 Abs. 4 AuG liegen vor, wenn das Kindeswohl nur durch einen Nachzug in die Schweiz sachgerecht gewahrt werden kann (Art. 75 der Verordnung vom 24. Oktober 2007 über Zulassung, Aufenthalt und Erwerbstätigkeit [VZAE; SR 142.201]). Entgegen dem Wortlaut der Verordnungsbestimmung ist dabei nach der Rechtsprechung jedoch nicht ausschliesslich auf das Kindeswohl abzustellen; es bedarf vielmehr einer Gesamtschau unter Berücksichtigung aller relevanten Elemente im Einzelfall (vgl. Urteile 2C_767/2015 vom 19. Februar 2016 E. 5.1.1; 2C_888/2011 vom 20. Juni 2012 E. 3.1). Dabei ist dem Sinn und Zweck der Fristenregelung Rechnung zu tragen, welche die Integration der Kinder erleichtern will, indem diese durch einen frühzeitigen Nachzug unter anderem auch eine möglichst umfassende Schulbildung in der Schweiz geniessen sollen. Zudem geht es darum, Nachzugsgesuchen entgegenzuwirken, die rechtsmissbräuchlich erst kurz vor Erreichen des erwerbstätigen Alters gestellt werden und bei denen die erleichterte Zulassung zur Erwerbstätigkeit und nicht (mehr) die Bildung einer echten Familiengemeinschaft im Vordergrund steht (Botschaft zum AuG, BBl 2002 3754 f. Ziff. 1.3.7.7). Die Bewilligung des Nachzugs nach Ablauf der Fristen hat nach dem Willen des Gesetzgebers die Ausnahme zu bleiben; dabei ist Art. 47 Abs. 4 Satz 1 AuG bzw. <ref-law> jeweils aber dennoch so zu handhaben, dass der Anspruch auf Schutz des Familienlebens nach Art. 8 EMRK bzw. <ref-law> nicht verletzt wird (Urteil 2C_767/2015 vom 19. Februar 2016 E. 5.1.1 mit Hinweisen).
3.1.3. Ein wichtiger Grund liegt vor, wenn die weiterhin notwendige Betreuung der Kinder im Herkunftsland beispielsweise wegen des Todes oder der Krankheit der betreuenden Person nicht mehr gewährleistet ist. Praxisgemäss liegen keine solchen Gründe vor, wenn im Heimatland alternative Pflegemöglichkeiten bestehen, die dem Kindeswohl besser entsprechen, weil dadurch vermieden werden kann, dass die Kinder aus ihrer bisherigen Umgebung und dem ihnen vertrauten Beziehungsnetz gerissen werden. An den Nachweis der fehlenden Betreuungsmöglichkeit im Heimatland stellt die Rechtsprechung umso höhere Anforderungen, je älter das nachzuziehende Kind ist und je grösser die Integrationsschwierigkeiten erscheinen, die ihm hier drohen (<ref-ruling> E. 2.2 S. 289; Urteil 2C_276/2011 vom 10. Oktober 2011 E. 4.1, nicht publ. in: <ref-ruling>). Allerdings geht es inhaltlich nicht darum, dass alternative Betreuungsmöglichkeiten im Heimatland überhaupt fehlen; das heisst, es ist nach der Rechtsprechung mit Art. 8 EMRK nicht vereinbar, einen Familiennachzug erst dann zuzulassen, wenn keine einzige andere Alternative zur Betreuung des Kindes in seinem Heimatland zur Verfügung steht. Eine solche Alternative muss aber dann ernsthaft in Betracht gezogen und sorgfältig geprüft werden, wenn das Kind bereits älter ist, sich seine Integration schwieriger gestalten dürfte und die zum in der Schweiz lebenden Elternteil aufgenommene Beziehung nicht allzu eng erscheint (<ref-ruling> E. 3.1.2 S. 11. f.).
3.2. Umstritten ist einzig, ob wichtige familiäre Gründe im Sinne von Art. 47 Abs. 4 AuG vorliegen. Die Beschwerdeführer bringen im Wesentlichen vor, die Vorinstanz nehme in offensichtlich unrichtiger Weise an, die Mutter sei in der Lage, für ihren Sohn zu sorgen, weil sie dies auch in den letzten knapp drei Jahren getan habe. Dabei beachte die Vorinstanz das ärztliche Zeugnis des behandelnden Psychiaters nicht. Weiter nehme sie in willkürlicher Weise an, dass dem Beschwerdeführer 2 nebst der Mutter eine Reihe anderer Bezugspersonen verblieben, die seine Betreuung übernehmen könnten.
3.3.
3.3.1. Die Vorinstanz hat in ihrem Urteil darauf abgestellt, dass die Mutter ihre beiden Söhne fast drei Jahre betreut habe. Selbst wenn davon ausgegangen würde, dass sie während dieser Zeit unter Depressionen gelitten habe, sei eine Betreuung des Beschwerdeführers 2 "offensichtlich möglich" gewesen. Ausserdem bemängelt sie, die Beschwerdeführer hätten nicht aufgezeigt, inwiefern sich der Gesundheitszustand der Mutter seit dem Ausbruch der Krankheit im Jahr 2011 in verändertem Masse negativ auf die Betreuungsfähigkeit ausgewirkt habe. Wäre eine Betreuung durch die Mutter effektiv nicht zumutbar gewesen, hätten die Kinder kaum während dieser Dauer bei ihr verweilen können.
Die Beschwerdeführer verweisen in diesem Zusammenhang auf das ärztliche Attest vom 24. September 2015 und führen aus, der Krankheitsverlauf sei schwankend gewesen und die Betreuung mehrfach über längere Zeitperioden effektiv ausgeblieben. Der Psychiater habe damit sowohl Perioden gemeint, während derer die Mutter zwar physisch anwesend, für die Kinder krankheitsbedingt aber nicht ansprechbar gewesen sei, als auch Perioden, während derer die Mutter verschwunden sei und die Kinder nicht gewusst hätten, wo sie sich befand.
3.3.2. Bei dieser Sachlage stellt sich unweigerlich die Frage, wer sich um die Kinder gekümmert hat bzw. wie diese zurecht gekommen sind, als sich ihre Mutter nicht um sie kümmern konnte. Die Vorinstanz geht offenbar davon aus, dass, selbst wenn die Mutter unter Depressionen gelitten habe, die Kinderbetreuung "offensichtlich" möglich gewesen sei. Den Akten lässt sich dazu allerdings nichts entnehmen. Zwar wird von den Beschwerdeführern nicht vorgebracht, dass die Kinder etwa verwahrlost seien, sie machen einzig - nicht weiter substanziiert - geltend, die Situation sei desolat gewesen, da sie auf sich allein gestellt gewesen seien. Dem ärztlichen Attest zufolge wurde bei der Mutter im Jahr 2011 zum ersten Mal eine schwere depressive Episode (ICD-10 F32.2) diagnostiziert. Im Jahr 2013 sei die Diagnose korrigiert worden und aktuell bestehe eine rezidivierende depressive Störung (ICD-10 F33.2). Trotz der ärztlichen Feststellung, "die Patientin [sei] allgemein persönlich, familiär und professionell nicht funktionsfähig, weswegen mehrere Male zu längerem Zeitpunkt zurück die Sorge über ihre zwei minderjährige Kinder aus[ge]blieb[en sei]", ist die Vorinstanz ohne weitere Abklärungen davon ausgegangen, die Betreuung habe bisher funktioniert und sei auch in Zukunft gewährleistet.
3.3.3. Es ist nachgewiesen, dass alle Grosseltern des Beschwerdeführers 2 bereits verstorben sind. Zudem bringen die Beschwerdeführer - wenn auch ohne entsprechenden Nachweis - vor, dass der einzige noch in Mazedonien lebende Bruder des Beschwerdeführers 1 einerseits nicht in der Lage sei, sich um seinen Neffen zu kümmern, und andererseits dies auch nicht wolle. Ob nebst der Mutter tatsächlich Bezugspersonen da sind, die den Beschwerdeführer 2 betreuen könnten, erscheint damit unsicher.
Des Weiteren ist die Vorinstanz nicht weiter auf das Schreiben der Mutter vom 4. August 2015 eingegangen, womit diese darlegt, dass mit der Scheidung der Vater das Sorgerecht zugeteilt bekommen habe und es die Vereinbarung gewesen sei, die Kinder würden bei ihr leben, bis er sich in der Schweiz zurecht gefunden habe. Sie sei weiterhin weder gewillt noch fähig, sich um die Kinder zu sorgen. Als Grund führt sie vor allem an, arbeitslos zu sein und kein Einkommen zu haben. Sie lebe mit ihrem Partner in einer Zweizimmerwohnung. Die Kinder hätten kein gutes Verhältnis zu ihm; sie seien sehr mit ihrem Vater verbunden. Auch seien die Brüder sehr eng miteinander verbunden und würden nicht voneinander getrennt werden wollen.
Angesichts der klaren Äusserungen der Mutter, weder für ihren Sohn sorgen zu wollen noch zu können - aus welchen Gründen auch immer -, ist fraglich, ob in Zukunft eine Betreuung des (zum Zeitpunkt des vorinstanzlichen Urteils) gut 14-jährigen Beschwerdeführers 2 in seinem Heimatland gewährleistet ist. So klar, wie die Vorinstanz dies offenbar erachtet ("offensichtlich"), ist der Sachverhalt nicht.
3.3.4. Im Rahmen einer Gesamtbetrachtung ist ein nachträglicher Familiennachzug nicht ausgeschlossen, wenn dies dem Kindeswohl besser entspricht (E. 3.1.2). Die Feststellung der Vorinstanz, der Beschwerdeführer 2 würde in der Schweiz altersmässig kurz vor dem Ende der regulären Schulzeit stehen, womit sich eine Integration als schwierig erweisen könnte, ist als solche richtig. Allerdings basiert sie auf einem in Bezug auf das Kindeswohl nicht rechtsgenüglich festgestellten Sachverhalt. Im vorliegenden Fall bestehen besondere Umstände, zumal die Mutter, welche die elterliche Sorge über den Beschwerdeführer 2 nicht innehat, seit Jahren wegen Depressionen in ärztlicher Behandlung ist und gemäss den sich in den Akten befindlichen Dokumenten weder willens noch fähig zu sein scheint, ihren Sohn zu betreuen. Gleichzeitig ist der Vater zu seiner neuen Ehefrau in die Schweiz gekommen. Ob und wie die Betreuung des Beschwerdeführers 2 in Mazedonien für die Zukunft sichergestellt ist, wurde wie gesehen nicht abgeklärt. Unter diesen Umständen ist unklar, ob das Kindeswohl bei einem Verbleib in der Heimat besser gewahrt würde als bei einem Nachzug in die Schweiz. Die Angelegenheit ist daher an die Vorinstanz zurückzuweisen, um abzuklären, ob eine das Kindeswohl wahrende Betreuung des Beschwerdeführers 2 in Mazedonien gewährleistet ist. Erst wenn dies erstellt ist, wird sich zeigen, ob wichtige Gründe für den nachträglichen Familiennachzug im Sinne von Art. 47 Abs. 4 AuG gegeben sind. Die Vorinstanz wird dabei die aktuellen und zukünftigen Betreuungsverhältnisse in Mazedonien genau zu prüfen haben, wobei den Beschwerdeführern eine Mitwirkungspflicht obliegt (Art. 90 AuG). Anschliessend werden die möglichen Integrationsschwierigkeiten des Beschwerdeführers 2 in der Schweiz in einer Gesamtbetrachtung abzuwägen sein.
3.4. Die Beschwerde erweist sich damit als begründet und ist entsprechend gutzuheissen. Das angefochtene Urteil ist aufzuheben und die Sache in Anwendung von <ref-law> zur Vornahme zusätzlicher Sachverhaltsabklärungen und zu neuem Entscheid im Sinne der Erwägungen an das Verwaltungsgericht zurückzuweisen (E. 2.2).
4.
Die Rückweisung zur Neubeurteilung mit offenem Ausgang gilt als Obsiegen der Beschwerdeführer. Es sind daher keine Kosten zu erheben (Art. 66 Abs. 1 und 4 BGG). Der Kanton Zürich hat den Beschwerdeführern für das bundesgerichtliche Verfahren eine Parteientschädigung auszurichten (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird gutgeheissen und das Urteil des Verwaltungsgerichts des Kantons Zürich vom 6. April 2016 aufgehoben. Die Sache wird zur Neubeurteilung im Sinne der Erwägungen an das Verwaltungsgericht zurückgewiesen.
2.
Es werden keine Gerichtskosten erhoben.
3.
Der Kanton Zürich hat die Beschwerdeführer für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 2'000.-- zu entschädigen.
4.
Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten, dem Verwaltungsgericht des Kantons Zürich, 2. Abteilung, und dem Staatssekretariat für Migration schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 13. Februar 2017
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Seiler
Die Gerichtsschreiberin: Fuchs