Faits :
A.
Par avis publié le 26 décembre 2014 dans le Bulletin officiel (BO) du canton du Valais, l'administration de la Commune de Randogne a mis à l'enquête un projet d'aménagement de l'avenue de la Gare. Le projet porte, pour l'essentiel, sur le réaménagement de l'ensemble de l'espace routier de cette avenue, sur l'installation d'aménagements urbains décoratifs ainsi que sur la mise en place d'un espace de rencontre.
Ce projet a notamment suscité l'opposition de A._, propriétaire d'un immeuble sis à l'avenue de la Gare xxx.
Par décision du 24 février 2016, le Conseil d'Etat du canton du Valais a, d'une part, approuvé les plans et les documents techniques relatifs à ce projet; d'autre part, reconnaissant la qualité pour agir de A._, il a rejeté son opposition.
A._ a recouru contre cette décision à la Cour de droit public du Tribunal cantonal du canton du Valais. Par arrêt du 17 juin 2016, la cour cantonale a déclaré le recours irrecevable. L'instance précédente a en substance jugé que le recours était insuffisamment motivé au regard des exigences du droit cantonal et que le recourant n'avait pas démontré avoir un intérêt pratique à l'annulation du projet.
B.
Agissant par la voie du recours en matière de droit public, A._ demande principalement au Tribunal fédéral d'annuler le projet de réaménagement litigieux; subsidiairement, il conclut au renvoi de la cause à l'instance précédente pour nouvelle décision dans le sens des considérants. Il sollicite également l'octroi de l'effet suspensif, qui a été refusé par ordonnance du 26 août 2016.
Le Tribunal cantonal a renoncé à se déterminer. La Commune de Randogne demande au Tribunal fédéral, à la forme, de déclarer le recours irrecevable et, sur le fond, de le rejeter.

Considérant en droit :
1.
1.1. Dirigé contre un arrêt d'irrecevabilité rendu en dernière instance cantonale dans le cadre d'une contestation relevant au fond du droit public des constructions et de l'aménagement du territoire, le recours est en principe recevable comme recours en matière de droit public au sens des <ref-law>, aucune des exceptions prévues à l'<ref-law> n'étant réalisée. Le recourant peut se prévaloir d'un intérêt digne de protection à se voir reconnaître la légitimation active (cf. <ref-ruling> consid. 2.3 p. 301; <ref-ruling> consid. 1b p. 126), d'une part, et à ce que le Tribunal cantonal examine le bien-fondé de ses griefs, d'autre part. Il a donc la qualité pour recourir au sens de l'<ref-law>.
1.2. En vertu de l'<ref-law>, les mémoires de recours doivent être motivés. Conformément à l'<ref-law>, les motifs doivent exposer succinctement en quoi l'acte attaqué viole le droit. Pour satisfaire à cette exigence, il appartient au recourant de discuter au moins brièvement les considérants de la décision litigieuse (<ref-ruling> consid. 2.1 p. 245). En particulier, la motivation doit se rapporter à l'objet du litige tel qu'il est circonscrit par l'arrêt attaqué (<ref-ruling> consid. 6.4 p. 121). Lorsque, comme en l'espèce, il s'agit d'un arrêt d'irrecevabilité, les motifs développés dans le mémoire de recours doivent porter sur la question de la recevabilité traitée par l'instance précédente à l'exclusion du fond du différend (<ref-ruling> consid. 1b p. 336; <ref-ruling> consid. 2 p. 135). Les chefs de conclusions étrangers à l'objet du litige ainsi délimité sont irrecevables (<ref-law>). Lorsque, comme en l'espèce, le recourant n'agit pas par l'entremise d'un professionnel qualifié, l'interdiction du formalisme excessif impose de ne pas se montrer trop strict dans l'énoncé des conclusions si, à la lecture du mémoire de recours, on comprend ce que l'intéressé entend obtenir (cf. arrêt 2C_564/2008 du 12 septembre 2008 consid. 1.1).
En l'occurrence, le recourant conclut essentiellement à l'annulation du projet litigieux; la dernière partie de son mémoire porte d'ailleurs essentiellement sur cette question, qui relève du fond de la cause. Dans cette mesure, le recours est irrecevable (<ref-law>). Il ressort cependant de la motivation du recours - en particulier du grief intitulé "de la recevabilité [du] recours cantonal" - que le recourant demande le renvoi à l'instance précédente pour qu'elle statue sur le fond; le recours est donc recevable sous cet angle (cf. <ref-ruling> consid. 1.3 p. 317).
1.3. Il est enfin sans conséquence que le recourant n'ait pas d'emblée produit le jugement attaqué, étant donné qu'il a remédié à cette irrégularité dans le délai imparti conformément à l'<ref-law>.
2.
Devant le Tribunal cantonal, le recourant s'est plaint des nuisances sonores qu'entraînera, selon lui, le projet litigieux, en particulier celles liées à l'aménagement d'une place de rencontre.
2.1. A teneur du dossier, il apparaît que le projet en cause porte pour l'essentiel sur la création d'une zone de rencontre (limitation de la vitesse du trafic limitée à 20 km/h; cf. art. 22b al. 1 et 2 de l'ordonnance du 5 septembre 1979 sur la signalisation routière [OSR; RS 741.21]) ainsi que sur la suppression des places de stationnement publiques jouxtant directement le fonds de base dont le recourant est copropriétaire d'étages; en lieu et place, la commune projette d'y aménager un espace public de rencontre pourvu de gradins et orné de statues de bouquetins. A ce sujet, il ressort du rapport technique du 20 novembre 2014, versé au dossier d'enquête, que cette place sera pour le surplus laissée libre d'infrastructure afin de garantir un espace polyvalent permettant l'organisation de petites manifestations, avec l'installation d'une tente.
Dans ce contexte, il faut, avec la cour cantonale, reconnaître qu'il n'est pas exclu que cette nouvelle installation soit source de nuisances sonores. Il s'ensuit que le recourant dispose d'un intérêt pratique à l'annulation du projet (cf. <ref-ruling> consid. 2.3 p. 219; <ref-ruling> consid. 2.2 p. 504), lequel le légitimait à agir devant le Tribunal cantonal, conformément à l'art. 44 de la loi cantonale sur la procédure et la juridiction administratives du 6 octobre 1976 (LPJA; RS/VS 172.6), qui définit la qualité pour recourir de la même manière que l'<ref-law>. La cour cantonale a d'ailleurs implicitement reconnu cette qualité, jugeant que le grief lié à la question du bruit ne s'apparentait pas à une action populaire (à ce sujet, cf. <ref-ruling> consid. 2.3 p. 219 s. cité dans l'arrêt attaqué).
3.
Après avoir reconnu la légitimation du recourant pour se plaindre des émissions sonores, l'instance précédente a déclaré ce grief irrecevable au motif qu'il ne répondait pas aux exigences de motivation définies par l'art. 48 al. 2 LPJA, applicable par renvoi de l'art. 80 al. 1 let. b LPJA au recours devant le Tribunal cantonal.
Le recourant conteste cette appréciation et estime que la cour cantonale aurait fait preuve de formalisme excessif en n'entrant pas en matière sur le fond. Il se plaint également d'un déni de justice et, plus généralement, d'une violation de son droit d'être entendu.
3.1. Aux termes de l'art. 48 al. 2 LPJA, le mémoire de recours contient un exposé concis des faits, des motifs accompagnés des moyens de preuve, ainsi que des conclusions. Il est daté et signé par le recourant ou son mandataire. Les exigences définies par cette disposition en matière de motivation correspondent matériellement à celles imposées par l'<ref-law> (cf. arrêt 1C_213/2014 du 3 juillet 2014 consid. 5).
Selon la jurisprudence, les formes procédurales sont nécessaires dans la mise en oeuvre des voies de droit pour assurer le déroulement de la procédure conformément au principe de l'égalité de traitement, ainsi que pour garantir l'application du droit matériel; toutes les exigences formelles ne se trouvent donc pas en contradiction avec la prohibition du formalisme excessif (<ref-ruling> consid. 3 et les références citées). Il y a formalisme excessif, constitutif d'un déni de justice formel prohibé par l'art. 29 al. 1 Cst., seulement lorsque la stricte application des règles de procédure ne se justifie par aucun intérêt digne de protection, devient une fin en soi et complique de manière insoutenable la réalisation du droit matériel ou entrave de manière inadmissible l'accès aux tribunaux (<ref-ruling> consid. 2.1 p. 9). Les allégués contenus dans le mémoire de recours, en particulier les moyens de droit, doivent en principe répondre à l'exigence de motivation. Pour satisfaire à celle-ci, il ne suffit pas de se livrer à des critiques toutes générales de la décision attaquée; la motivation doit être suffisamment explicite pour que l'on puisse comprendre pour quelles raisons le recourant s'en prend à cette décision et dans quelle mesure celle-ci doit être modifiée ou annulée (cf. <ref-ruling> consid. 4.3.1 p. 375). Le Tribunal fédéral examine librement ce grief (<ref-ruling> consid. 2a; <ref-ruling> consid 2a/bb; <ref-ruling> consid. 3a; <ref-ruling> consid. 2b/aa et les références citées).
3.2. Dans son recours cantonal, le recourant a soutenu que le projet litigieux ne prenait pas en considération les nuisances sonores nocturnes importantes engendrées lors de périodes à forte affluence touristique, sur des places de rassemblement telles que celle projetée.
Le Tribunal cantonal a au contraire retenu que ces nuisances avaient été examinées par le Service cantonal de la protection de l'environnement (ci-après: SPE), dans son rapport du 6 janvier 2016, et jugées admissibles par le Conseil d'Etat. L'instance précédente a considéré que par son argumentation - tenant sur "trois lignes et demie" -, le recourant se contentait d'opposer sa propre opinion à celle du Conseil d'Etat, sans toutefois discuter le rapport du SPE. La cour cantonale a jugé ce procédé contraire aux exigences de motivation de l'art. 48 al. 2 LPJA et a déclaré le grief irrecevable.
3.3. A l'examen du recours cantonal, il apparaît que le recourant n'a pas réellement pris la peine de critiquer les considérants de la décision du Conseil d'Etat comme le prescrit pourtant l'obligation de motiver (cf. <ref-ruling> consid. 2.1 p. 245; arrêt 1C_492/2008 du 18 mai 2009 consid. 1.2). Il n'a en particulier pas expliqué en quoi la première instance aurait violé le droit en se fondant sur les rapports et préavis émis par les différents services cantonaux spécialisés pour valider le projet: il ne cite d'ailleurs aucune disposition à laquelle contreviendrait le projet et l'on cherche en vain dans le recours cantonal d'éventuels éléments susceptibles de remettre en cause les conclusions du SPE s'agissant des nuisances sonores. Dans ces circonstances, il n'est pas critiquable d'avoir jugé le recours insuffisamment motivé au sens de l'art. 48 al. 2 LPJA et on ne saurait y voir une violation de l'interdiction du formalisme excessif.
3.4. Mal fondé, ce grief doit être rejeté.
4.
Le recourant reproche encore à la cour cantonale d'avoir jugé qu'il ne tirait aucun avantage pratique de l'annulation du projet sous l'angle de l'esthétique des constructions et de la suppression des places de stationnement et de n'être, par conséquent, pas entré en matière sur ces griefs.
4.1. Comme on l'a vu, la cour cantonale a - à juste titre - reconnu que le recourant bénéficiait d'un intérêt pratique à l'annulation du projet litigieux propre à fonder sa qualité pour recourir (cf. consid. 2.1). Dans ces conditions, le recourant est également légitimé à se prévaloir de dispositions édictées dans l'intérêt général ou dans l'intérêt de tiers pour autant que ces normes soient susceptibles d'influencer sa situation de fait ou de droit (cf. arrêts 1C_56/2015 du 18 septembre 2015 consid. 4, publié in RDAF 2015 I p. 487; 1C_337/2015 du 21 décembre 2015 consid. 5; cf. également FRANÇOIS BELLANGER, La qualité pour recourir, in Le contentieux administratif, 2013, p. 120); à défaut il ne peut se prévaloir d'un intérêt digne de protection (cf. ATF <ref-ruling> consid. 2.2 p. 504; <ref-ruling> consid. 2.2.3 p. 33; <ref-ruling> consid. 1.3 p. 252) et il n'y a pas lieu d'entrer en matière sur le grief soulevé (cf. arrêts 1C_337/2015 précité consid. 5; 1C_517/2013 du 5 novembre 2013 consid. 5.2).
4.2. Au stade du recours cantonal, invoquant les art. 1 ss de la loi fédérale sur l'aménagement du territoire du 22 juin 1979 (LAT; RS 700), le recourant a soutenu que la place de rassemblement projetée, qui sous-entend la création d'une "fausse colline", pourvue de gradins et ornée de sculptures représentant des bouquetins, ne s'intégrait pas harmonieusement dans le paysage, dont la préservation est, selon lui, assurée par l'art. 3 al. 2 let. b LAT. Il a également prétendu que la suppression des places de stationnement porterait atteinte aux commerçants du quartier; dans ce cadre, il reprochait aux autorités cantonales de n'avoir pas analysé la question de la nécessité de tels emplacements eu égard à la fréquentation des commerces de la rue.
Le Tribunal cantonal a, pour sa part, jugé que, par cette argumentation, le recourant ne démontrait pas quel avantage personnel il tirerait de l'abandon du projet.
4.3. La jurisprudence impose certes à la partie recourante d'alléguer les faits propres à démontrer l'existence d'un intérêt pratique à l'annulation ou à la modification de la décision attaquée. Cette exigence est cependant modérée lorsque ces faits ressortent de façon évidente de l'acte attaqué ou du dossier (cf. <ref-ruling> consid. 1b p. 175 et l'arrêt cité; arrêts 1C_453/2014 du 23 février 2015 consid. 4.2, publié in RDAF 2015 I p. 465; 1C_243/2015 du 2 septembre 2015 consid. 4.1). Or, en l'occurrence, à la lumière des plans d'enquête, la propriété du recourant se trouve dans le voisinage immédiat de la place litigieuse (cf. consid. 2.1). Dans ces circonstances, il ne fait aucun doute que celui-ci est légitimé à se plaindre de l'intégration du projet, la violation de la clause d'esthétique étant, de surcroît, susceptible, le cas échéant, de conduire à la modification du projet, voire à son annulation. Il en va de même de la suppression des places de stationnement; il n'est à cet égard pas pertinent que le recourant n'ait pas allégué utiliser pour son propre usage ces emplacements, dès lors que la nécessité de leur maintien sonnerait le glas de la place de rencontre appelée à les supplanter.
En niant ainsi l'existence d'un intérêt personnel digne de protection à se plaindre de l'intégration des aménagements litigieux dans l'environnement et la suppression des places de stationnement, le Tribunal cantonal a méconnu les principes définis par le droit fédéral en matière de qualité pour agir, plus particulièrement s'agissant de l'existence d'un intérêt pratique au recours; dès qu'il s'agit d'une garantie minimale pour le justiciable, qui s'impose aux cantons (cf. art. 33 al. 3 let. a LAT; <ref-ruling> consid. 5 p. 149; voir également AEMISEGGER/HAAG, Commentaire pratique de la protection juridique en matière d'aménagement du territoire, 2010, n. 6 ad art. 33 LAT, p. 9), la cour cantonale ne pouvait refuser d'entrer en matière sur le grief du recourant, sous peine de violer le droit fédéral.
4.4. Pour ce motif, le recours doit être admis.
5.
Les considérants qui précèdent conduisent à l'admission partielle du recours dans la mesure de sa recevabilité. L'arrêt attaqué est annulé en tant qu'il porte sur les griefs liés à la suppression des places de stationnement et de l'intégration du projet dans le paysage ainsi que sur les frais cantonaux. La cause est renvoyée à l'instance précédente pour qu'elle procède à l'examen de ces griefs et statue à nouveau sur les frais et les dépens de la procédure cantonale. L'arrêt attaqué est confirmé pour le surplus. Vu l'issue du recours, il y a lieu de mettre un émolument judiciaire partiel à la charge du recourant (<ref-law>), dans la mesure où les frais de justice ne peuvent être exigés du canton du Valais (<ref-law>). Il n'y a pas lieu d'allouer des dépens au recourant, qui a procédé sans avocat (art. 68 al. 1 et 2 LTF; <ref-ruling> consid. 4 p. 446).

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce :
1.
Le recours est partiellement admis dans la mesure où il est recevable. L'arrêt cantonal est confirmé en tant qu'il déclare irrecevable le grief fondé sur les nuisances sonores. Il est annulé dans la mesure où il porte sur les griefs liés à la suppression des places de stationnement et à l'intégration dans le paysage et en tant qu'il concerne les frais et dépens de la procédure cantonale. La cause est renvoyée au Tribunal cantonal pour nouvelle décision au sens des considérants.
2.
Les frais judiciaires de la procédure fédérale, fixés à 1'500 fr., sont mis à la charge du recourant.
3.
Il n'est pas alloué de dépens.
4.
Le présent arrêt est communiqué au recourant, à la Commune de Randogne, au Conseil d'Etat du canton du Valais ainsi qu'au Tribunal cantonal du canton du Valais, Cour de droit public.
Lausanne, le 18 octobre 2016
Au nom de la Ire Cour de droit public
du Tribunal fédéral suisse
Le Juge présidant : Merkli
Le Greffier : Alvarez