Fatti:
A.
A.a. A._, nato nel 1967, dipendente come posatore di pavimenti e pertanto assicurato all'Istituto nazionale svizzero di assicurazione contro gli infortuni (INSAI), ha subito svariati infortuni, segnatamente al ginocchio destro, alle caviglie, in zona lombo-sacrale e alla mano sinistra.
A.b. Il 28 gennaio 2014 l'INSAI ha negato una sua responsabilità per disturbi alla spalla destra.
A.c. Il 24 febbraio 2014 l'INSAI ha riconosciuto a A._ un'indennità per menomazione all'integrità (IMI) del 20% per i disturbi al piede sinistro, mentre ha negato una rendita di invalidità.
A.d. Il 14 maggio 2014 l'INSAI con decisione su opposizione ha confermato integralmente il proprio operato per entrambe le decisioni amministrative contestate.
B.
Con giudizio del 21 maggio 2015 il Tribunale delle assicurazioni del Cantone Ticino ha respinto il ricorso di A._ contro la decisione su opposizione.
C.
A._ presenta un ricorso in materia di diritto pubblico al Tribunale federale con cui chiede che il giudizio cantonale sia annullato e la causa sia rinviata al Tribunale delle assicurazioni del Cantone Ticino per nuovo giudizio.
L'INSAI postula la reiezione del ricorso.

Diritto:
1.
Il ricorso in materia di diritto pubblico può essere presentato per violazione del diritto, conformemente a quanto stabilito dagli art. 95 e 96 LTF. Se il ricorso è presentato contro una decisione d'assegnazione o rifiuto di prestazioni pecuniarie dell'assicurazione militare o dell'assicurazione contro gli infortuni, come in concreto, può essere censurato qualsiasi accertamento inesatto o incompleto dei fatti giuridicamente rilevanti (<ref-law>); il Tribunale federale in tal caso non è vincolato dall'accertamento dei fatti operato dall'autorità inferiore (<ref-law>).
2.
Oggetto del contendere in sede federale sono le conseguenze sotto il profilo assicurativo dei disturbi alla spalla destra (consid. 3) e al piede sinistro (consid. 4) lamentati dal ricorrente.
3.
3.1. Il Tribunale cantonale delle assicurazioni, dopo aver illustrato le disposizioni legali ritenute applicabili, per l'aspetto della spalla destra ha riferito degli apprezzamenti del medico dell'assicuratore Dr. med. B._, specialista in chirurgia gener ale e della mano, il quale ha negato una relazione con l'infortunio del 28 gennaio 2011. La Corte cantonale ha altresì richiamato le conclusioni del Dr. med. C._, specialista in medicina interna generale, assunte anche in corso di procedura giudiziaria, e del Dr. med. D._, specialista in reumatologia, dando però priorità alle conclusioni del medico di circondario dell'assicuratore. I giudici ticinesi hanno soggiunto che in occasione del tamponamento la spalla non è stata coinvolta, anche in base alle dichiarazioni del ricorrente, che aveva negato di aver urtato altre parti del corpo. Per il resto, essi hanno ricordato come disturbi occasionali per una ricaduta non siano decisivi sotto il profilo dell'assicurazione contro gli infortuni. Da ultimo non sono state ritenute rilevanti, poiché frutto di un esame troppo semplicistico, le valutazioni del Dr. med. E._, specialista in chirurgia ortopedica e traumatologia dell'apparato locomotore, le quali porterebbero a confermare un nesso di causalità.
3.2. Il ricorrente, ravvisando una violazione del divieto dell'arbitrio (<ref-law>) e del diritto di essere sentito (<ref-law>), contesta le conclusioni della Corte cantonale, che ha negato una ricaduta e un nesso di causalità tra il tamponamento del 28 gennaio 2011 e i disturbi alla spalla destra. Si rifà alle considerazioni del medico curante, Dr. med. C._, secondo cui i dolori sono sempre presenti. Il ricorrente considera che gli accertamenti del medico di circondario si pongono in netto contrasto con quanto messo in luce dal medico curante e dalle immagini. Rimprovera poi al Dr. med. B._ di avere reso il proprio referto in termini probabilistici. Il ricorrente ravvede peraltro un altro punto critico, nella misura in cui la Corte cantonale non si è chinata sulle valutazioni mediche del Dr. med. D._. In definitiva, il Tribunale delle assicurazioni a torto non avrebbe ordinato alcuna perizia.
3.3. Nell'ambito del libero apprezzamento delle prove è in linea di principio consentito che l'assicuratore e il giudice delle assicurazioni sociali fondino la loro decisione esclusivamente su basi di giudizio interne dell'istituto assicuratore, il quale è parte solo dopo l'instaurazione della controversia giudiziale, mentre nella fase che precede la decisione è un organo amministrativo incaricato di attuare il diritto oggettivo (cfr. <ref-ruling> consid. 4 pag. 377 segg.). Per quanto riguarda l'imparzialità e l'attendibilità di simili prove, devono tuttavia essere poste esigenze severe (<ref-ruling>). Per la giurisprudenza del Tribunale federale, nel caso in cui sussista anche il minimo dubbio sull'affidabilità e sulla concludenza dei pareri medici interni dell'assicurazione, occorrerà sottoporre l'assicurato a perizia medica esterna (<ref-ruling> consid. 4.4 pag. 469 seg.). Giova altresì ricordare che di principio deve essere considerato con la necessaria prudenza l'avviso dei medici curanti a causa dei particolari legami che essi hanno con il paziente (cfr. <ref-ruling> consid. 3b/cc pag. 353), per cui, secondo esperienza comune, il medico curante tende generalmente, in caso di dubbio, a pronunciarsi in favore del proprio paziente in ragione del rapporto di fiducia che lo unisce a quest'ultimo.
3.4. Gli accertamenti del Tribunale cantonale delle assicurazioni non prestano il fianco a critiche. Le valutazioni mediche su cui i giudici cantonali hanno fondato il loro giudizio hanno esaminato puntualmente le problematiche sollevate dal ricorrente. Oltretutto, è lo stesso ricorrente ad aver affermato in occasione dell'annuncio di infortunio che non erano state toccate altre parti del corpo, segnatamente la spalla destra. Non solo, gli stessi medici interpellati dal ricorrente non dimostrano secondo il grado di prova della verosimiglianza preponderante un nesso di causalità. Alla luce di queste considerazioni non può essere censurato con successo il giudizio impugnato.
4.
4.1. Il Tribunale delle assicurazioni, anche sotto il profilo dell'incapacità lavorativa, ha concluso per l'assenza di una significativa modifica dell'esigibilità lavorativa, confermando l'operato dell'assicuratore. In modo particolare per la patologia al piede sinistro, la Corte cantonale si è fondata sulle conclusioni del Dr. med. B._, il quale ha accertato un'origine post-traumatica.
4.2. Il ricorrente ritiene nuovamente violato il divieto dell'arbitrio e il proprio diritto di essere sentito per quanto attiene all'incapacità lavorativa, segnatamente ai disturbi al piede sinistro. Egli mette in luce come il piede sia definitivamente leso, tanto da aver giustificato la concessione di una IMI. Sarebbe irragionevole affermare che non vi sia una perdita di guadagno. Rammenta che egli è stato obbligato dall'INSAI a continuare la sua attività di posatore di pavimenti. Osservato un peggioramento dello stato di salute, le valutazioni eseguite non sono più attuali. Secondo il ricorrente l'assicuratore prima e la Corte cantonale dopo avrebbero dovuto eseguire una perizia medica specialistica e non fondare il proprio operato su attività lavorative irrealizzabili.
4.3. Anche sotto questo profilo il ricorso non è destinato a una sorte diversa. Il ricorrente si limita infatti a criticare genericamente il giudizio cantonale, senza confrontarsi con l'apprezzamento delle prove fatto proprio dai giudici ticinesi, i quali hanno concluso per l'origine post-traumatica del disturbo. Per il resto, l'attribuzione di una IMI al riguardo non è decisiva, essendo tale indennità erogata per il solo fatto di soffrire di un danno permanente all'integrità personale, senza che vi sia una relazione diretta a un'incapacità lavorativa (cfr. <ref-ruling> consid. 3a pag. 149).
5.
Ne segue che il ricorso deve essere respinto. Le spese giudiziarie seguono la soccombenza (<ref-law>).

Per questi motivi, il Tribunale federale pronuncia:
1.
Il ricorso è respinto.
2.
Le spese giudiziarie di fr. 800.- sono poste a carico del ricorrente.
3.
Comunicazione alle parti, al Tribunale delle assicurazioni del Cantone Ticino e all'Ufficio federale delle assicurazioni sociali.