Sachverhalt:
A.
Die Versicherung B._ AG betrieb A._ für eine Forderung von Fr. 322.85 zuzüglich Nebenforderung und Kosten (Betreibung Nr. xxx des Betreibungsamts U._, Zahlungsbefehl vom 26. Januar 2017). A._ erhob am 1. Februar 2017 Rechtsvorschlag, den er mit der Einrede fehlenden neuen Vermögens begründete. Das Betreibungsamt legte den Rechtsvorschlag am 22. Februar 2017 in Anwendung von Art. 265a SchKG dem Einzelgericht des Bezirksgerichts Bülach vor.
B.
Das Einzelgericht setzte den Termin für die Verhandlung nach Art. 265a Abs. 1 SchKG mit Verfügung vom 27. Februar 2017 auf den 27. April 2017 an. Gleichzeitig setzte es A._ darin eine Frist von 10 Tagen an, um einen Gerichtskostenvorschuss von Fr. 40.-- zu leisten. Bei fortgesetzter Säumnis werde auf das Begehren nicht eingetreten.
A._ erhob mit Eingabe vom 14. März 2017 Beschwerde gegen die Verfügung vom 27. Februar 2017 und beantragte den Erlass des Kostenvorschusses, weil es ihm seine finanzielle Situation nicht ermögliche, den geforderten Betrag zu bezahlen. Ausserdem verlangteer die unentgeltliche Verbeiständung sowie eine Entschädigung von Fr. 120.-- pro Stunde exklusive Spesen.
Mit Beschluss und Urteil vom 23. März 2017 wies das Obergericht die Beschwerde sowie das Gesuch um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege für das Beschwerdeverfahren ab und auferlegte A._ die zweitinstanzliche Gerichtsgebühr von Fr. 60.--. A._ wurde eine erneute Frist von 10 Tagen ab Zustellung des Urteils angesetzt, um für die mutmasslichen Kosten des erstinstanzlichen Verfahrens aufzukommen.
C.
A._ ist mit Beschwerde vom 16. April 2017 an das Bundesgericht gelangt. Der Beschwerdeführer beantragt sinngemäss, es sei von jeglicher Kostenerhebung abzusehen und ihm die unentgeltliche Rechtspflege zu gewähren. Mit Verfügung vom 20. April 2017 wurde das sinngemässe Gesuch um aufschiebende Wirkung gutgeheissen und der Beschwerde die aufschiebende Wirkung zuerkannt.
Das Bundesgericht hat die kantonalen Akten beigezogen, aber keine Vernehmlassungen eingeholt.

Erwägungen:
1.
Gegen den Beschluss sowie das in einer vermögensrechtlichen Angelegenheit ergangene Urteil des Obergerichts steht mangels Erreichens der Streitwertgrenze (Art. 74 Abs. 1 lit. b BGG) und mangels Vorliegens einer Ausnahme gemäss Art. 74 Abs. 2 BGG allein die subsidiäre Verfassungsbeschwerde nach Art. 113 ff. BGG offen, weshalb die Eingabe des Beschwerdeführers als solche entgegengenommen worden ist. Die Zulässigkeit der subsidiären Verfassungsbeschwerde setzt voraus, dass in der Beschwerdeschrift die Rüge der Verletzung verfassungsmässiger Rechte vorgebracht und begründet (Art. 117 i.V.m. Art. 106 Abs. 2 BGG sowie Art. 116 BGG), d.h. anhand der Erwägungen des kantonalen Entscheids klar und detailliert dargelegt wird, welche verfassungsmässigen Rechte und inwiefern sie durch diesen Entscheid verletzt sein sollen (<ref-ruling> E. 3.1 S. 399).
2.
Das Obergericht hat vermutet, dass das Bezirksgericht versehentlich die C._ (anstatt der Versicherung B._ AG) als Beklagte und Gläubigerin in das Rubrum aufgenommen hat. Da der Entscheid weder die Versicherung B._ AG noch die C._ beschwere, ist es darauf allerdings nicht weiter eingegangen. Wie aus der sich bei den Akten befindlichen erneuten Vorladung des Bezirksgerichts vom 5. April 2017 hervorgeht, hat es tatsächlich irrtümlicherweise die C._ zur Verhandlung vorgeladen und diesen Fehler mittlerweile korrigiert. Entsprechend ist auch für das bundesgerichtliche Verfahren an deren Stelle die Versicherung B._ AG ins Rubrum aufzunehmen.
3.
Ausgangspunkt des vorliegenden Verfahrens war die Verfügung des Bezirksgerichts, mit welcher vom Beschwerdeführer ein Kostenvorschuss verlangt wurde, um über die Bewilligung des vom Beschwerdeführer erhobenen Rechtsvorschlags wegen fehlenden neuen Vermögens zu entscheiden. Dabei war indes bereits vor Obergericht nicht umstritten, dass im summarischen Verfahren nach Rechtsvorschlag mangels neuen Vermögens der Schuldner die klagende Partei ist, von der das Gericht gemäss Art. 98 ZPO einen Kostenvorschuss verlangen kann (vgl. <ref-ruling> E. 2 S. 499 ff.); auch die Höhe des Kostenvorschusses hat der Beschwerdeführer nicht beanstandet. Vielmehr ging es dem Beschwerdeführer, wie dieser vor Bundesgericht noch einmal mit einem Hinweis auf seine finanzielle Situation bekräftigt, in seiner Beschwerde an das Obergericht einzig um die Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege.
Das Obergericht hat dazu im Beschluss und Urteil vom 23. März 2017 erwogen, der Beschwerdeführer habe vor Bezirksgericht kein Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege gestellt. Im Beschwerdeverfahren könnten gemäss Art. 326 ZPO keine neuen Anträge gestellt werden. Auf das (erst) in der Beschwerdeschrift sinngemäss gestellte Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege für das Verfahren vor Bezirksgericht könne das Obergericht daher nicht eingehen. Daher erweise sich die Beschwerde als klar unbegründet. Das Gesuch des Schuldners um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege für das Beschwerdeverfahren sei abzuweisen, weil das Rechtsbegehren des Schuldners von Anfang an aussichtslos gewesen sei.
4.
Der Beschwerdeführer geht in seiner Eingabe an das Bundesgericht nicht rechtsgenüglich auf die entscheidenden obergerichtlichen Erwägungen ein und zeigt erst recht nicht anhand der obergerichtlichen Erwägungen nach den gesetzlichen Anforderungen, d.h. klar und detailliert auf, welche verfassungsmässigen Rechte und inwiefern sie durch den Beschluss und das Urteil des Obergerichts vom 23. März 2017 verletzt sein sollen. Dass der Beschwerdeführer mit Schreiben vom 12. April 2017 mittlerweile beim zuständigen Bezirksgericht um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege ersucht hat, kann als echtes Novum im bundesgerichtlichen Verfahren nicht berücksichtigt werden (Art. 117 i.V.m. Art. 99 Abs. 1 BGG).
5.
Nach dem Gesagten ist der Beschwerde kein Erfolg beschieden. Aufgrund der konkreten Umstände rechtfertigt es sich, auf Gerichtskosten zu verzichten (Art. 66 Abs. 1 Satz 2 BGG). Das sinngemäss gestellte Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege für das bundesgerichtliche Verfahren wird damit gegenstandslos.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2.
Es werden keine Gerichtskosten erhoben.
3.
Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer, dem Bezirksgericht Bülach, Einzelgericht, der Versicherung B._ AG, dem Obergericht des Kantons Zürich, II. Zivilkammer und den C._, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 14. September 2017
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Das präsidierende Mitglied: Escher
Der Gerichtsschreiber: Buss