Faits :
A.
Le 27 novembre 2012, A._ s'est inscrite en tant que demandeuse d'emploi auprès de l'Office régional de placement de Nyon (ci-après : ORP) et a sollicité l'octroi de prestations de l'assurance-chômage. Un délai-cadre d'indemnisation de deux ans lui a été ouvert par la Caisse de chômage B._ (ci-après: la caisse), à compter du 1er janvier 2013.
Par décision du 12 novembre 2013, l'ORP a prononcé la suspension du droit à l'indemnité de chômage pour une durée de cinq jours, à compter du 1er novembre 2013, motif pris que l'assurée n'avait pas remis la preuve de ses recherches d'emploi pour le mois d'octobre 2013 dans le délai légal expirant le 5 novembre 2013.
Saisi d'une opposition, le Service de l'emploi (ci-après : SDE) l'a rejetée par décision du 20 mars 2014.
B.
A._ a déféré la décision sur opposition à la Cour des assurances sociales du Tribunal cantonal du canton de Vaud.
Statuant le 21 mars 2016, le tribunal cantonal a admis le recours formé par l'assurée et a annulé la décision sur opposition du 20 mars 2014. Il a considéré, en résumé, que l'assurée, atteinte dans sa santé psychique, pouvait se prévaloir d'une excuse valable pour justifier son retard.
C.
Le SDE interjette un recours en matière de droit public en concluant à l'annulation de ce jugement et à la confirmation de sa décision sur opposition du 20 mars 2014.
L'intimée, la juridiction cantonale, ainsi que le Secrétariat d'Etat à l'économie (SECO) ont renoncé à se déterminer sur le recours.

Considérant en droit :
1.
Le recours est dirigé contre un arrêt final (art. 90 LTF) rendu en matière de droit public (art. 82 ss LTF) par une autorité cantonale de dernière instance (art. 86 al. 1 let. d LTF). Il a été déposé dans le délai (art. 100 LTF) et la forme (art. 42 LTF) prévus par la loi. Il est donc recevable.
2.
La cour cantonale a confirmé le point de vue du SDE, selon lequel l'intimée n'avait pas été en mesure de prouver qu'elle avait bien déposé sa liste de recherches d'emploi pour le mois d'octobre 2013 dans le délai prescrit à l'art. 26 al. 2 OACI (RS 837.02). En particulier, tout en indiquant qu'elles n'apparaissaient pas a priori invraisemblables, elle a réfuté les allégations de l'intéressée qui soutenait avoir remis ledit document dans le délai utile mais, par erreur, à la caisse. Seul est donc litigieux le point de savoir si l'intéressée pouvait se prévaloir d'une excuse valable pour justifier la remise tardive de la preuve de ses recherches d'emploi à l'ORP.
3.
3.1. Aux termes de l'art. 17 al. 1 LACI (RS 837.0), l'assuré qui fait valoir des prestations d'assurance doit, avec l'assistance de l'office du travail compétent, entreprendre tout ce qu'on peut raisonnablement exiger de lui pour éviter le chômage ou l'abréger; il lui incombe, en particulier, de chercher du travail, au besoin en dehors de la profession qu'il exerçait précédemment; il doit pouvoir apporter la preuve des efforts qu'il a fournis. Le droit de l'assuré à l'indemnité est suspendu lorsqu'il est établi que celui-ci ne fait pas tout ce qu'on peut raisonnablement exiger de lui pour trouver un travail convenable (art. 30 al. 1 let. c LACI).
3.2. Selon l'art. 26 al. 2 OACI, l'assuré doit remettre la preuve de ses recherches d'emploi pour chaque période de contrôle au plus tard le cinq du mois suivant ou le premier jour ouvrable qui suit cette date; à l'expiration de ce délai, et en l'absence d'excuse valable, les recherches d'emploi ne sont plus prises en considération. Dans un arrêt publié aux <ref-ruling>, le Tribunal fédéral a admis la conformité à la loi du nouvel article 26 al. 2 OACI (qui ne prévoit plus l'octroi d'un délai de grâce comme dans son ancienne version). Il a jugé que la loi n'impose pas de délai supplémentaire et que, sauf excuse valable, une suspension du droit à l'indemnité peut être prononcée si les preuves ne sont pas fournies dans le délai de l'art. 26 al. 2 OACI; peu importe qu'elles soient produites ultérieurement, par exemple dans une procédure d'opposition (cf. aussi arrêt 8C_425/2014 du 12 août 2014 consid. 3).
4.
4.1. La cour cantonale a considéré que l'assurée pouvait se prévaloir d'une excuse valable pour justifier son retard, dès lors qu'elle souffrait d'une atteinte à sa santé psychique durant les jours précédant l'expiration du délai pour remettre sa liste de recherches d'emploi à l'ORP. Pour cela, elle s'est fondée sur un rapport de la doctoresse C._, médecin-assistant à l'Hôpital psychiatrique D._ (du 19 juin 2014), d'où il ressort que l'intimée a présenté un « facteur de décompensation psychique » une dizaine de jours avant son admission dans l'établissement susmentionné, le 7 novembre 2013. Aussi, le premier juge a-t-il retenu que l'assurée était déjà atteinte dans sa santé avant son admission à l'hôpital, partant, durant le délai utile - qui expirait le 5 novembre 2013 - pour remettre la liste de ses recherches d'emploi à l'ORP. Il a considéré que cette atteinte à la santé, ainsi qu'un « comportement (...) jusqu'alors sans faille » constituaient une excuse valable à la remise tardive de la liste précitée.
4.2. Le recourant invoque une constatation arbitraire des faits déterminants en tant que le Tribunal cantonal a considéré que l'intimée était atteinte dans sa santé psychique avant son admission à l'hôpital, soit pendant le délai utile pour remettre la liste à l'ORP. Au demeurant, il est d'avis que quel que soit son état de santé, l'assurée était « active et en pleine capacité de ses moyens intellectuels » avant l'expiration de ce délai. En effet, il ressort du dossier que dès le 28 octobre 2013 - date à laquelle le « facteur de crise » est survenu - et jusqu'à l'expiration du délai légal, l'intimée a effectué plusieurs recherches d'emploi. C'est pourquoi le SDE se plaint d'une violation du droit fédéral en tant que le tribunal cantonal a méconnu la jurisprudence en retenant que l'état de santé de l'assurée constituait une excuse valable au sens de l'art. 26 al. 2 OACI.
4.3. Dans son rapport du 19 juin 2014, la doctoresse C._ a fait état d'un trouble de la personnalité émotionnellement labile, type borderline, et d'une réaction mixte anxieuse et dépressive à un facteur de stress important ayant nécessité une hospitalisation du 7 au 15 novembre 2013. Selon ce médecin, une rupture sentimentale est survenue dix jours avant son admission à l'hôpital, ce qui constituait un « facteur de crise ». Par ailleurs, il ressort d'un certificat des médecins de l'Hôpital D._ (du 29 novembre 2013) que l'incapacité de travail a persisté après la sortie de l'hôpital, jusqu'au 15 novembre 2013.
En l'occurrence, l'hospitalisation de l'intimée à compter du 7 novembre 2013, ainsi que son incapacité de travail subséquente ne sont pas déterminantes pour l'issue du litige, du moment que ces circonstances sont postérieures à l'expiration - le 5 novembre 2013 - du délai légal pour déposer la liste des recherches d'emploi. En outre, comme le soutient le recourant, l'état de santé de l'assurée avant son admission à l'hôpital, le 7 novembre 2013, ne l'empêchait pas de remettre ses recherches d'emploi en temps utile, quand bien même la docto resse C._ fait état d'un « facteur de crise » survenu dix jours avant l'admission à l'hôpital, soit le 28 octobre 2013 (rapport du 19 juin 2014). En effet, comme l'a elle-même constaté la cour cantonale, l'assurée a accompli des démarches administratives entre le 28 octobre 2013 et le 5 novembre 2013. En particulier, elle a effectué, le 29 octobre 2013, deux offres de services, l'une auprès de l'arrondissement E._ et l'autre auprès de la Ville de F._. En outre, elle a proposé ses services à G._, le 30 octobre 2013, ainsi qu'à H._, les 4 et 5 novembre 2013.
Cela étant, il y a lieu d'admettre que l'intimée était apte, durant le délai légal, à satisfaire aux exigences posées à l'art. 26 al. 2 OACI par la remise en temps utile de ses recherches d'emploi à l'ORP ou, à tout le moins, en chargeant un tiers d'agir à sa place. Dans ces conditions, l'intéressée ne peut pas se prévaloir d'un empêchement non fautif, et cela indépendamment du « comportement (...) jusqu'alors sans faille » relevé par la juridiction cantonale. La sanction se justifie dès le premier manquement et cela sans exception (arrêt 8C_885/2012 du 2 juillet 2013 consid. 5).
4.4. Vu ce qui précède, l'ORP était fondé à prononcer la suspension du droit à l'indemnité de chômage. Par ailleurs, il n'a pas outrepassé son pouvoir d'appréciation quant à la durée de cette sanction (cf. art. 45 al. 3 let. a OACI).
Le recours se révèle ainsi bien fondé.
5.
Il convient de renoncer exceptionnellement à percevoir des frais judiciaires (art. 66 al. 1, seconde phrase, LTF).

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce :
1.
Le recours est admis. Le jugement de la Cour des assurances sociales du Tribunal cantonal du canton de Vaud du 21 mars 2016 est annulé et la décision sur opposition du 20 mars 2014 du Service de l'emploi est confirmée.
2.
Il n'est pas perçu de frais judiciaires.
3.
Le présent arrêt est communiqué aux parties, à la Cour des assurances sociales du Tribunal cantonal du canton de Vaud et au Secrétariat d'Etat à l'économie (SECO).
Lucerne, le 3 mars 2017
Au nom de la Ire Cour de droit social
du Tribunal fédéral suisse
Le Juge présidant : Frésard
Le Greffier : Beauverd