Sachverhalt:
A.
Die 1968 geborene A._ meldete sich im August 2001 bei der Invalidenversicherung zum Leistungsbezug an. Mit Verfügungen vom 25. November und 11. Dezember 2003 sprach ihr die IV-Stelle des Kantons Thurgau die leihweise Abgabe eines Hand- und eines Elektrorollstuhls sowie mit Verfügungen vom 21. Juli 2004 eine ganze Invalidenrente ab 1. November 2002 zu. Die mittlerweile zuständig gewordene IV-Stelle des Kantons St. Gallen bestätigte mit Mitteilung vom 28. Dezember 2006 einen unveränderten Invaliditätsgrad und Rentenanspruch. Am 5. Februar 2007 erteilte sie Kostengutsprache für die leihweise Abgabe eines Handrollstuhls. Im Dezember 2009 leitete sie erneut ein Revisionsverfahren ein. Mit Verfügung vom 11. Juli 2011 stellte sie die Rente ab sofort vorsorglich ein. Nach weiteren Abklärungen und Durchführung der entsprechenden Vorbescheidverfahren hob sie die Rente auf Ende Juli 2011 auf (Verfügung vom 28. März 2014) und forderte sie den im Februar 2007 zugesprochenen Rollstuhl zurück (Verfügung vom 16. September 2014).
B.
Das Versicherungsgericht des Kantons St. Gallen hiess die dagegen erhobenen Beschwerden nach Einholung eines psychiatrischen Gutachtens (samt Ergänzung) und Vereinigung der Verfahren mit Entscheid vom 4. Mai 2017 gut. Es hob die Verfügungen vom 28. März und 16. September 2014 auf (Dispositiv-Ziff. 1) und verpflichtete die IV-Stelle u.a. zur Zahlung der Kosten des Gerichtsgutachtens (Dispositiv-Ziff. 3).
C.
Die IV-Stelle des Kantons St. Gallen beantragt mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten, der Entscheid vom 4. Mai 2017 sei aufzuheben und die Verfügungen vom 28. März und 16. September 2014 seien zu bestätigen; eventualiter sei Dispositiv-Ziff. 3 des angefochtenen Entscheids aufzuheben. Ferner ersucht sie um aufschiebende Wirkung des Rechtsmittels.
A._ schliesst auf Abweisung der Beschwerde, soweit darauf einzutreten sei. Das Bundesamt für Sozialversicherungen verzichtet auf eine Stellungnahme.

Erwägungen:
1.
Mit der Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann u.a. die Verletzung von Bundesrecht gerügt werden (<ref-law>). Die Feststellung des Sachverhalts kann nur gerügt werden, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von Artikel 95 beruht und wenn die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein kann (<ref-law>). Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (<ref-law>). Es kann die Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz von Amtes wegen berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von Artikel 95 beruht (<ref-law>).
Eine Sachverhaltsfeststellung ist nicht schon dann offensichtlich unrichtig, wenn sich Zweifel anmelden, sondern erst, wenn sie eindeutig und augenfällig unzutreffend ist (<ref-ruling> E. 3.1 S. 44). Es liegt noch keine offensichtliche Unrichtigkeit vor, nur weil eine andere Lösung ebenfalls in Betracht fällt, selbst wenn diese als die plausiblere erscheint (vgl. <ref-ruling> E. 2.1 S. 9; Urteil 9C_101/2015 vom 30. November 2015 E. 1.1). Diese Grundsätze gelten auch in Bezug auf die konkrete Beweiswürdigung (Urteile 9C_391/2015 vom 28. Januar 2016 E. 1; 9C_753/2015 vom 20. April 2016 E. 1).
2.
Die Vorinstanz hat dem von ihr eingeholten psychiatrischen Gutachten der Academy of Swiss Insurance Medicine (asim) vom 16. Dezember 2016 und dessen Ergänzung vom 20. April 2017 Beweiskraft beigemessen und gestützt darauf festgestellt, dass die Versicherte arbeitsunfähig im ersten Arbeitsmarkt sei und seit der Rentenzusprache keine stabile (gesundheitliche) Verbesserung eingetreten sei. Folglich hat sie die Rentenaufhebung für unzulässig gehalten. Weiter hat sie die IV-Stelle verpflichtet, die Kosten für das Gerichtsgutachten (Fr. 6'186.10) und dessen Ergänzung (Fr. 4'620.-) zu übernehmen. Sodann hat das kantonale Gericht erwogen, in Bezug auf die Zusprache eines Rollstuhls vom 5. Februar 2007 fehle es an einem Rückkommenstitel, weshalb die Verfügung vom 16. September 2014 aufzuheben sei. Eine Rückforderung bedürfe in materieller Hinsicht ergänzender Abklärungen.
3.
3.1.
3.1.1. Bei der Beurteilung der Arbeits (un) fähigkeit stützt sich die Verwaltung und im Beschwerdefall das Gericht auf Unterlagen, die von ärztlichen und gegebenenfalls auch anderen Fachleuten zur Verfügung zu stellen sind. Ärztliche Aufgabe ist es, den Gesundheitszustand zu beurteilen und dazu Stellung zu nehmen, in welchem Umfang und bezüglich welcher Tätigkeiten die versicherte Person arbeitsunfähig ist. Hinsichtlich des Beweiswertes eines Arztberichtes ist entscheidend, ob dieser für die streitigen Belange umfassend ist, auf allseitigen Untersuchungen beruht, auch die geklagten Beschwerden berücksichtigt, in Kenntnis der Vorakten (Anamnese) abgegeben worden ist, in der Beurteilung der medizinischen Zusammenhänge sowie der medizinischen Situation einleuchtet und ob die Schlussfolgerungen der Experten begründet sind (<ref-ruling> E. 5.1 S. 232; <ref-ruling> E. 3a S. 352 mit Hinweis).
3.1.2. Den im Rahmen des Verwaltungsverfahrens eingeholten Gutachten von externen Spezialärzten, welche auf Grund eingehender Beobachtungen und Untersuchungen sowie nach Einsicht in die Akten Bericht erstatten und bei der Erörterung der Befunde zu schlüssigen Ergebnissen gelangen, ist bei der Beweiswürdigung Beweiskraft zuzuerkennen, solange nicht konkrete Indizien gegen die Zuverlässigkeit der Expertise sprechen (BGE <ref-ruling> E. 3b/bb S. 353; Urteil 9C_278/2016 vom 22. Juli 2016 E. 3.2.2).
3.1.3. Das Gericht weicht bei Gerichtsgutachten nicht ohne zwingende Gründe von der Einschätzung der medizinischen Experten ab, deren Aufgabe es ist, ihre Fachkenntnisse der Gerichtsbarkeit zur Verfügung zu stellen, um einen bestimmten Sachverhalt medizinisch zu erfassen. Ein Grund zum Abweichen kann vorliegen, wenn die Gerichtsexpertise widersprüchlich ist oder wenn ein vom Gericht eingeholtes Obergutachten in überzeugender Weise zu anderen Schlussfolgerungen gelangt. Eine divergierende Beurteilung kann ferner gerechtfertigt sein, wenn gegensätzliche Meinungsäusserungen anderer Fachexperten dem Gericht als triftig genug erscheinen, die Schlüssigkeit des Gerichtsgutachtens in Frage zu stellen, sei es, dass es die Überprüfung durch einen Oberexperten für angezeigt hält, sei es, dass es ohne Oberexpertise vom Ergebnis des Gerichtsgutachtens abweichende Schlussfolgerungen zieht (BGE <ref-ruling> E. 3b/aa S. 352 f. mit Hinweis; SVR 2015 UV Nr. 4 S. 13, 8C_159/2014 E. 3.2; Urteil 9C_278/2016 vom 22. Juli 2016 E. 3.2.3).
3.2. Bei den vorinstanzlichen Feststellungen zum Gesundheitszustand und zur Arbeitsfähigkeit der versicherten Person handelt es sich grundsätzlich um Entscheidungen über eine Tatfrage (<ref-ruling> E. 3.2 S. 397 ff.), welche das Bundesgericht seiner Urteilsfindung zugrunde zu legen hat (E. 2). Die konkrete Beweiswürdigung stellt ebenfalls eine Tatfrage dar. Dagegen ist die Beachtung des Untersuchungsgrundsatzes und der Beweiswürdigungsregeln Rechtsfrage (<ref-ruling> E. 3.2 und 4 S. 397 ff.; Urteil I 865/06 vom 12. Oktober 2007 E. 4 mit Hinweisen), die das Bundesgericht im Rahmen der den Parteien obliegenden Begründungs- bzw. Rügepflicht (<ref-law> und <ref-law>; <ref-ruling> E. 1.4.1 und 1.4.2 S. 254) frei überprüfen kann (<ref-law>).
3.3. Die Vorinstanz hat die von der IV-Stelle veranlasste psychiatrische Expertise des Dr. med. B._ vom 17. Januar 2011 "als nicht ausreichende medizinische Grundlage erachtet" und deshalb ein Gerichtsgutachten veranlasst. Bereits im Schreiben vom 31. März 2016 legte sie dar, dass es um eine Oberbegutachtung gehe, um zu erfahren, "ob bzw. welcher der divergierenden Einschätzungen die Gerichtsexpertise aus medizinischer Sicht folgt bzw. wie die Beschwerden der Beschwerdeführerin (...) eingeschätzt werden". Im Rahmen der Beweiswürdigung hat das kantonale Gericht insbesondere festgestellt, in der Anamnese- und Befunderhebung durch Dr. med. B._ seien Hinweise auf selbstschädigende Handlungen jedenfalls nicht im effektiven Ausmass enthalten. Er habe seine Diagnosen aufgrund eines "nicht umfassenden Sachverhalts" gestellt und daher die Schwere der Persönlichkeitsstörung nicht vollumfänglich erfasst. Verschiedene Tatsachen seien ihm mindestens nicht in vollem Umfang bekannt gewesen oder von ihm nicht umfassend gewürdigt worden. Dass diese Feststellungen offensichtlich unrichtig sein oder auf einer Rechtsverletzung beruhen sollen, ist nicht ersichtlich und wird auch nicht geltend gemacht, weshalb sie für das Bundesgericht verbindlich bleiben (E. 1). Damit hat die Vorinstanz konkrete Indizien gegen die Zuverlässigkeit des Administrativgutachtens (E. 3.1.2) benannt und nachvollziehbar begründet, weshalb es nicht darauf abgestellt und eine weitere Expertise eingeholt hat.
Hinzu kommt, dass die Versicherte gegenüber dem Gutachter erwähnte, seit "ca." Sommer 2010 durch Frau Dr. med. C._ regelmässig psychiatrisch-psychotherapeutisch behandelt zu werden. Ein entsprechender Bericht war nicht aktenkundig, und der Experte verzichtete auf eine Rücksprache mit der behandelnden Ärztin. Zu deren ausführlichem Bericht vom 7. September 2011 bezog er zwar nachträglich Stellung (Schreiben vom 22. März und 11. Juli 2012). Dennoch fehlt - bei im Wesentlichen übereinstimmenden Diagnosen - eine fundierte Auseinandersetzung des Dr. med. B._ mit den diametral entgegengesetzten Einschätzungen der behandelnden Ärzte (vgl. auch Bericht des Dr. med. D._ vom 26. November 2010 und Schreiben der Frau Dr. med. C._ vom 10. Oktober 2012). Auch aus diesem Grund war die Notwendigkeit des Gerichtsgutachtens gegeben.
3.4.
3.4.1. Die IV-Stelle rügt eine Verletzung ihres Anspruchs auf rechtliches Gehör (<ref-law>). Die Vorinstanz habe zu Unrecht die in ihrer Eingabe vom 18. März 2016 formulierten Ergänzungsfragen nicht der Gerichtsexpertin zur Beantwortung unterbreitet. Auch mit der Weiterleitung ihrer Stellungnahme zum Gerichtsgutachten sei die Expertin nicht gehalten gewesen, die Fragen zu beantworten.
3.4.2. Grundsätzlich ist es Sache der verfahrensleitenden Behörde zu entscheiden, ob der Sachverständige mit allfälligen Ergänzungsfragen und/oder Stellungnahmen einer Partei (mündlich oder schriftlich) zu konfrontieren ist, soweit der verfassungsrechtliche Minimalanspruch, sich zumindest nachträglich zum Gutachten äussern zu können, gewahrt wird. Ein solches Vorgehen erscheint regelmässig angezeigt, wenn substanziierte fachliche Einwände gegen die Überzeugungskraft der Expertise vorgebracht werden. Grund hierfür ist, dass die rechtsanwendenden Behörden mangels ausreichender Fachkenntnisse allfällige objektiv-fachliche Mängel in Gutachten nicht immer erkennen können und diese daher aufgrund ihrer Fachspezifität faktisch vorentscheidenden Charakter haben (vgl. <ref-ruling> E. 2.5 S. 241; Urteil 2C_487/2013 vom 5. September 2013 E. 2.5.3). Im dargelegten Sinne sind jedoch lediglich die für den Einzelfall erheblichen Fragen weiterzuleiten. Ziel dieser Mitwirkungsmöglichkeit ist eine einzelfalladäquate Fragestellung, welche zur Qualität des Gutachtens wesentlich beitragen kann. Von der Beantwortung von Ergänzungsfragen durch den Experten kann somit abgesehen werden, wenn davon keine neuen Erkenntnisse zu erwarten sind (SVR 2017 IV Nr. 5 S. 10, 9C_634/2015 E. 4.1; Urteil 8C_386/2014 vom 6. Oktober 2014 E. 4.3 mit Hinweis).
3.4.3. Der Fragenkatalog des kantonalen Gerichts umfasste im Wesentlichen die von der IV-Stelle in ihrer Eingabe vom 18. März 2016 aufgeworfenen Fragestellungen, auch wenn sie nicht wörtlich übernommen wurden. Sodann legt die Beschwerdeführerin nicht substanziiert dar (vgl. <ref-law>), und ist auch nicht ersichtlich, inwiefern einzelfallbezogen entscheidende Fragen offengeblieben sein resp. weitere Abklärung erfordert haben sollen. Die Einwände der Verwaltung in ihrer Stellungnahme vom 23. Februar 2017 wurden gehört. Die Expertin äusserte sich denn auch einlässlich und nachvollziehbar dazu. Somit kann von einer Verletzung des Anspruchs auf rechtliches Gehör keine Rede sein.
3.5. Weiter bestreitet die Beschwerdeführerin die Beweiskraft des Gerichtsgutachtens in materieller Hinsicht. Sie wiederholt dabei über weite Teile hinweg wortwörtlich die vor dem kantonalen Gericht mit der Stellungnahme vom 23. Februar 2017 vorgebrachten Argumente, ohne sich mit der vorinstanzlichen Beweiswürdigung (oder der Ergänzung des Gerichtsgutachtens vom 20. April 2017) auseinanderzusetzen. Insoweit ist auf die Beschwerde von vornherein nicht einzugehen (Art. 42 Abs. 1 f. BGG; <ref-ruling> E. 2.1 und 2.3 S. 245 ff.; Urteil 8C_699/2016 vom 27. Januar 2017 E. 2.2.1).
Im Übrigen sind keine konkreten Anhaltspunkte ersichtlich, dass die Expertin die Rolle eines Herrn E._ unzutreffend berücksichtigt habe und die falsche Schreibweise ("F._") im Gerichtsgutachten nicht lediglich auf einem Diktatverhören beruhen soll. Ebenso leuchtet die Erklärung ein, ein Aktenauszug sei zwar erstellt, aber versehentlich nicht mit dem Gerichtsgutachten versandt worden, zeugen doch die bereits in diesem enthaltenen Ausführungen von umfassender Aktenkenntnis.
3.6. Nach dem Gesagten hat das kantonale Gericht dem asim-Gutachten vom 16. Dezember 2016 und dessen Ergänzung vom 20. April 2017 zu Recht Beweiskraft beigemessen. Unter den gegebenen Umständen (vgl. insbesondere E. 3.3 und 3.4.3) besteht keine Veranlassung, die Abklärungskosten abweichend von der Vorinstanz zu verlegen (vgl. SVR 2017 IV Nr. 10 S. 25, 8C_483/2016 E. 2.2).
Die vorinstanzliche Feststellung betreffend die Arbeitsfähigkeit beruht nicht auf einer Rechtsverletzung. Sie ist auch nicht offensichtlich unrichtig, weshalb sie für das Bundesgericht verbindlich bleibt (E. 1). Folglich ist die Beschwerde auch in Bezug auf den Rentenanspruch unbegründet.
4.
4.1. Anspruch auf Hilfsmittel besteht grundsätzlich im Rahmen der im Anhang zur Verordnung des EDI vom 29. November 1976 über die Abgabe von Hilfsmitteln durch die Invalidenversicherung (HVI; SR 831.232.51) aufgeführten Liste, soweit sie für die Fortbewegung, die Herstellung des Kontaktes mit der Umwelt oder für die Selbstsorge notwendig sind (<ref-law> i.V.m. <ref-law> [SR 831.201] und <ref-law>). Die Abgabe eines Rollstuhls ist nach Massgabe von Ziff. 9 Anhang HVI vorgesehen.
4.2. In Bezug auf die Rückforderung des 2007 zugesprochenen Rollstuhls hat das kantonale Gericht erwogen, über die Häufigkeit des Rollstuhlgebrauchs lägen keine ausreichenden Angaben vor, so dass nicht angenommen werden könne, die Versicherte benötige den Rollstuhl nicht mehr. In formeller Hinsicht sei die Mitteilung vom 5. Februar 2007 nicht aufgehoben worden, und ein entsprechender Rückkommenstitel liege nicht vor. In der angefochtenen Rückforderungsverfügung könne mangels Fristwahrung kein "eigenständiger Revisionstitel" im Sinne von <ref-law> erblickt werden, weshalb sie aufzuheben sei. Eine erneute Rückforderung bedürfe ergänzender Abklärungen.
4.3. Anders als das kantonale Gericht anzunehmen scheint, schadet nicht, dass die IV-Stelle die Mitteilung vom 5. Februar 2007 nicht ausdrücklich aufhob. Aus der Verfügung vom 16. September 2014 geht unmissverständlich hervor, dass sie auf die Leistungszusprache vom 5. Februar 2007 zurückkam, indem sie die Versicherte zur Rückgabe des leihweise abgegebenen Rollstuhls verpflichtete und einen weiteren Hilfsmittelanspruch verneinte. Als Rückkommenstitel fällt nicht nur eine - von der Vorinstanz verworfene - (prozessuale) Revision im Sinne von <ref-law>, sondern auch eine (materielle) Revision nach <ref-law> oder eine Wiedererwägung gemäss <ref-law> in Betracht (vgl. Urteil 9C_800/2016 vom 9. Mai 2017 E. 2.2). Diesbezüglich enthält der angefochtene Entscheid weder rechtliche Ausführungen noch Feststellungen.
Wie die Beschwerdeführerin richtig erkennt, hat das kantonale Gericht hinsichtlich des weiteren Hilfsmittelanspruchs resp. der Notwendigkeit eines Rollstuhls (vgl. E. 4.1) einen ungenügend abgeklärten Sachverhalt angenommen. Sie bestreitet indessen lediglich das Erfordernis weiterer Abklärungen, ohne darzulegen, inwiefern die vorinstanzliche Beweiswürdigung offensichtlich unrichtig sein soll; diese bleibt daher verbindlich (E. 1). Die Vorinstanz hat nicht ausgeführt, welche Beweiserhebungen sie für angezeigt erachtet hat. Bei diesen Gegebenheiten wird sie den massgeblichen Sachverhalt zu ermitteln (vgl. <ref-law>) und über den weiteren Anspruch auf einen Handrollstuhl erneut zu befinden haben. Insoweit ist die Beschwerde begründet.
5.
Mit dem Entscheid in der Sache wird das Gesuch um aufschiebende Wirkung der Beschwerde gegenstandslos.
6.
Die Gerichtskosten sind entsprechend dem Ausmass des Obsiegens und Unterliegens aufzuteilen (<ref-law>). Die teilweise obsiegende Beschwerdegegnerin hat Anspruch auf eine reduzierte Parteientschädigung (Art. 68 Abs. 1 und 2 BGG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird teilweise gutgeheissen und der Entscheid des Versicherungsgerichts des Kantons St. Gallen vom 4. Mai 2017, soweit er den Hilfsmittelanspruch betrifft, aufgehoben. Die Sache wird in diesem Umfang zu neuer Entscheidung an die Vorinstanz zurückgewiesen. Im Übrigen wird die Beschwerde abgewiesen.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 800.- werden zu Fr. 650.- der Beschwerdeführerin und zu Fr. 150.- der Beschwerdegegnerin auferlegt.
3.
Die Beschwerdeführerin hat die Beschwerdegegnerin für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 1'900.- zu entschädigen.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien, dem Versicherungsgericht des Kantons St. Gallen und dem Bundesamt für Sozialversicherungen schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 30. August 2017
Im Namen der II. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Pfiffner
Die Gerichtsschreiberin: Dormann