Sachverhalt:
A.
Die Staatsanwaltschaft II des Kantons Zürich, handelnd durch Staatsanwalt B._, führt eine Strafuntersuchung gegen A._ wegen u.a. Betrugs. Sie wirft ihm vor, seit 1. Juni 2005 unter Vortäuschung einer psychischen Erkrankung eine Rente der Invalidenversicherung (IV) unrechtmässig bezogen zu haben.
B.
Mit Eingabe vom 5. November 2015 verlangte A._ den Ausstand von Staatsanwalt B._. Dieser nahm dazu gestützt auf <ref-law> am 17. November 2015 Stellung und übermittelte die Untersuchungsakten an die III. Strafkammer des Obergerichts des Kantons Zürich. Am 11. Januar 2016 wies diese das Ausstandsgesuch ab.
C.
Mit Beschwerde in Strafsachen vom 11. Februar 2016 ans Bundesgericht beantragt A._, der Beschluss des Obergerichts vom 11. Januar 2016 sei aufzuheben und die Sache zur Neubeurteilung an die Vorinstanz zurückzuweisen. Eventualiter sei Staatsanwalt B._ in den Ausstand zu setzen und es seien die entsprechenden Untersuchungshandlungen durch eine unabhängige Amtsperson zu wiederholen. In prozessualer Hinsicht ersucht er um unentgeltliche Rechtspflege.
Die Staatsanwaltschaft und das Obergericht verzichten auf eine Stellungnahme. B._ (Beschwerdegegner) hat sich nicht vernehmen lassen.

Erwägungen:
1.
1.1. Beim angefochtenen Beschluss handelt es sich um einen selbstständig eröffneten Zwischenentscheid über ein Ausstandsbegehren in einer Strafsache (Art. 78 Abs. 1, Art. 92 Abs. 1 BGG). Die III. Strafkammer des Obergerichts hat als letzte und einzige kantonale Instanz entschieden (<ref-law> i.V.m. <ref-law>). Der Beschwerdeführer ist gemäss Art. 81 Abs. 1 lit. a und lit. b Ziff. 1 BGG zur Beschwerde befugt. Auf das Rechtsmittel ist grundsätzlich einzutreten.
1.2. Mit der Beschwerde an das Bundesgericht kann insbesondere die Verletzung von Bundesrecht gerügt werden (<ref-law>). Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (<ref-law>), prüft die bei ihm angefochtenen Entscheide aber grundsätzlich nur auf Rechtsverletzungen hin, die vom Beschwerdeführer geltend gemacht und begründet werden (vgl. <ref-law>).
Der Beschwerdeführer rügt eine willkürliche Sachverhaltsfeststellung durch die Vorinstanz, legt aber nicht näher dar, worin diese bestehen soll. Er vermag damit den Begründungsanforderungen nicht zu genügen, weshalb auf die Beschwerde insoweit nicht einzutreten ist.
2.
Der Beschwerdeführer erhebt verschiedene formelle Rügen:
2.1. Er bemängelt zunächst, das Obergericht sei nicht gehörig besetzt gewesen, da infolge einer krankheitsbedingten Abwesenheit eines Mitglieds lediglich zwei anstatt drei Richter den Entscheid gefällt hätten. Dies verstosse gegen den Anspruch auf ein verfassungmässiges Gericht nach <ref-law> und Art. 6 Ziff. 1 EMRK. Der Beschwerdeführer verkennt dabei aber, dass die Vorinstanz im angefochtenen Entscheid lediglich ausführte, der Beschluss könne wegen des krankheitsbedingten Ausfalls eines Richters nicht in der den Parteien angekündigten Besetzung ergehen. Von einer Mitwirkung von lediglich zwei Richtern war keine Rede. Aus dem Rubrum des Beschlusses vom 11. Januar 2016 geht denn auch hervor, dass der Spruchkörper aus drei Richtern bestand.
2.2. Ungerechtfertigt ist auch der Vorwurf der Verletzung des rechtlichen Gehörs. Dem angefochtenen Entscheid lassen sich die wesentlichen Gründe entnehmen, aufgrund derer das Obergericht das Ausstandsbegehren abschlägig beurteilte. Das rechtliche Gehör verlangt nicht, dass sich die Behörde mit allen Parteistandpunkten einlässlich auseinandersetzt und jedes einzelne Vorbringen ausdrücklich widerlegt. Vielmehr kann sie sich auf die für den Entscheid wesentlichen Punkte beschränken. Der Beschwerdeführer war offensichtlich in der Lage, sich über die Tragweite des vorinstanzlichen Beschlusses Rechenschaft zu geben und ihn in voller Kenntnis der Sache weiterzuziehen (vgl. <ref-ruling> E. 5.2 S. 236).
3.
Der Beschwerdeführer bringt ferner vor, beim Beschwerdegegner bestehe der Anschein der Voreingenommenheit, weshalb die Vorinstanz das Ausstandsbegehren hätte gutheissen müssen.
3.1. Gemäss <ref-law> tritt eine in einer Strafbehörde tätige Person in den Ausstand, wenn sie aus anderen Gründen, insbesondere wegen Freundschaft oder Feindschaft mit einer Partei oder deren Rechtsbeistand, befangen sein könnte. Bei dieser Bestimmung handelt es sich um eine Generalklausel, die alle Ausstandsgründe erfasst, welche in Art. 56 lit. a-e StPO nicht ausdrücklich vorgesehen sind. Sie entspricht <ref-law> und Art. 6 Ziff. 1 EMRK. Danach hat jede Person Anspruch darauf, dass ihre Sache von einem unparteiischen, unvoreingenommenen und unbefangenen Richter ohne Einwirken sachfremder Umstände entschieden wird. Die Rechtsprechung nimmt Voreingenommenheit und Befangenheit an, wenn Umstände vorliegen, die bei objektiver Betrachtung geeignet sind, Misstrauen in die Unparteilichkeit des Richters zu erwecken. Es ist nicht auf das subjektive Empfinden einer Partei abzustellen. Das Misstrauen in die Unvoreingenommenheit muss vielmehr in objektiver Weise begründet erscheinen. Für die Ablehnung ist nicht erforderlich, dass der Richter tatsächlich befangen ist (<ref-ruling> E. 3.2.1 S. 179; <ref-ruling> E. 5.1 S. 328; <ref-ruling> E. 2.1 S. 144 f.; je mit Hinweisen).
3.2. Hinsichtlich der Unparteilichkeit des Staatsanwalts im Sinne von Unabhängigkeit und Unbefangenheit kommt <ref-law> ein mit <ref-law> weitgehend übereinstimmender Gehalt zu (<ref-ruling> E. 3.2.2 S. 180). Auch ein Staatsanwalt kann abgelehnt werden, wenn Umstände vorliegen, die objektiv geeignet sind, den Anschein der Befangenheit zu erwecken (<ref-ruling> E. 2b S. 198 f. mit Hinweisen). Das gilt allerdings nur für das Vorverfahren. Gemäss <ref-law> leitet die Staatsanwaltschaft das Verfahren bis zur Anklageerhebung. Die Staatsanwaltschaft gewährleistet insoweit eine gesetzmässige und geordnete Durchführung des Verfahrens (<ref-law>). Sie untersucht die belastenden und entlastenden Umstände mit gleicher Sorgfalt (<ref-law>). Zwar verfügt sie bei ihren Ermittlungen über eine gewisse Freiheit. Sie ist jedoch zu Zurückhaltung verpflichtet. Sie hat sich jeden unlauteren Vorgehens zu enthalten und sowohl die belastenden als auch die entlastenden Umstände zu untersuchen. Sie darf keine Partei zum Nachteil einer anderen bevorteilen (<ref-ruling> E. 2.2.1 S. 145 mit Hinweisen).
3.3. Bei der Anwendung von <ref-law> ist entscheidendes Kriterium, ob bei objektiver Betrachtungsweise der Ausgang des Verfahrens noch als offen erscheint. Wird der Ausstandsgrund aus materiellen oder prozessualen Rechtsfehlern abgeleitet, so sind diese nur wesentlich, wenn sie besonders krass sind oder wiederholt auftreten, so dass sie einer schweren Amtspflichtverletzung gleichkommen und sich einseitig zulasten einer Partei auswirken; andernfalls begründen sie keinen hinreichenden Anschein der Befangenheit. Soweit konkrete Verfahrensfehler eines Staatsanwalts beanstandet werden, sind in erster Linie die entsprechenden Rechtsmittel zu ergreifen (<ref-ruling> E. 3.2.3 S. 180; <ref-ruling> E 2.3 S. 146; je mit Hinweisen).
3.4. Der Beschwerdeführer erblickt einen Ausstandsgrund darin, dass der Beschwerdegegner ein entlastendes Gesprächsprotokoll aus den Strafakten genommen habe, ohne ihn darüber vorgängig zu informieren und ihm die Gelegenheit zur Stellungnahme einzuräumen. Er habe verschiedentlich Einsicht in die ihm vorenthaltenen Akten verlangt. Ausserdem seien gestellte Beweisanträge abgelehnt worden.
3.5. Diese Vorbringen vermögen nicht zu überzeugen. Wie aus dem Protokoll der Schlusseinvernahme vom 9. November 2015 und der Stellungnahme vom 17. November 2015 hervorgeht, liess der Beschwerdegegner das fragliche Gesprächsprotokoll gemäss <ref-law> aus den Akten entfernen, nachdem entdeckt worden war, dass es sich dabei um ein sog. Anwaltsgespräch des Beschwerdeführers handelte. Mithin erfolgte die Aussonderung der Notiz aus sachbezogenen Gründen und nicht um dem Beschwerdeführer Schaden zuzufügen. Dies lässt sich auch daraus schliessen, dass der Beschwerdegegner das Gesprächsprotokoll (entgegen dem Wortlaut von <ref-law>) nicht vernichten liess, womit weiterhin die Möglichkeit besteht, dass das zuständige Gericht über die Verwertbarkeit der Notiz entscheidet und diese gegebenenfalls ins Verfahren einführt.
Wie aus der vorerwähnten Rechtsprechung erhellt, geht es im Ausstandsverfahren nicht darum, die Leitung der Strafuntersuchung bzw. die Zweckmässigkeit der Beweismassnahmen des Beschwerdegegners zu überprüfen. Bei der Abnahme beantragter Beweise handelt es sich um prozessuale Entscheide, die für sich allein keinen Ausstandsgrund zu begründen vermögen (vgl. Urteil 1B_214/2015 vom 1. September 2015 E. 3.2). Dem Beschwerdeführer steht es offen, abgelehnte Beweisanträge in der Hauptverhandlung erneut zu stellen (Art. 318 Abs. 2 bzw. <ref-law>) bzw. das Strafurteil als solches anzufechten, wenn auch das Gericht diesen Begehren nicht Folge leisten sollte (Urteil 1B_370/2013 vom 2. April 2014 E. 4.2).
Schliesslich ist keine Verletzung des Akteneinsichtsrechts des Beschwerdeführers zu erkennen. Namentlich geht aus dem angefochtenen Entscheid hervor, dass dem Verteidiger des Beschwerdeführers die Untersuchungsakten letztmals am 20. August 2015 zur Einsicht zugestellt worden sind und er mit Schreiben vom 16. Oktober 2015 sowie vom 3. November 2015 darauf aufmerksam gemacht wurde, dass die Sachkautionen auf Voranmeldung auf der Amtsstelle eingesehen werden könnten.
Soweit dem Beschwerdegegner mithin überhaupt Verfahrensfehler vorgeworfen werden können, sind diese jedenfalls nicht derart gravierend, dass sie einer schweren Amtspflichtverletzung gleichkämen und den Anschein der Befangenheit begründen könnten. Dies gilt insbesondere auch hinsichtlich der vom Beschwerdeführer behaupteten Verletzung des Beschleunigungsgebots sowie der unterlassenen Untersuchung angeblicher Straftatbestände infolge mangelhafter Aktenführung. Insoweit sind die Untersuchungshandlungen des Beschwerdegegners nicht durch eine unabhängige Amtsperson zu wiederholen. Vielmehr hält die Abweisung des Rekusationsbegehrens durch die Vorinstanz vor Bundesrecht stand.
4.
Nach dem Gesagten erweist sich die Beschwerde als unbegründet und ist abzuweisen. Bei diesem Verfahrensausgang wird der Beschwerdeführer kostenpflichtig (<ref-law>). Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege nach <ref-law> ist wegen Aussichtslosigkeit abzuweisen. Indes ist der finanziellen Situation des Beschwerdeführers bei der Bemessung der Gerichtskosten Rechnung zu tragen (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.
Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung wird abgewiesen.
3.
Die Gerichtskosten von Fr. 800.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien, der Staatsanwaltschaft II und dem Obergericht des Kantons Zürich, III. Strafkammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 19. April 2016
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Fonjallaz
Die Gerichtsschreiberin: Pedretti