Sachverhalt:
A.
A._ fuhr am 26. Mai 2013, kurz vor 14:00 Uhr, in einem Personenwagen von Winterthur auf der Autobahn Richtung Zürich. Ihm wird vorgeworfen, nach einem Spurenwechsel von der linken auf die rechte Fahrbahnspur während ca. 50 Sekunden bei einer Geschwindigkeit von rund 90 km/h lediglich einen Abstand von ein bis zwei Wagenlängen (rund 5 bis 10 Meter) zum vorausfahrenden Fahrzeug eingehalten zu haben. Gestützt auf diesen Sachverhalt wurde er der vorsätzlichen groben Verletzung der Verkehrsregeln schuldig gesprochen und mit einer Geldstrafe bestraft. Mit Urteil 6B_121/2015 vom 2. Juni 2015 bestätigte das Bundesgericht letztinstanzlich den Strafbefehl und verneinte die von A._ behauptete Notstandssituation.
Auf dieser Grundlage entzog am 6. November 2015 das Strassenverkehrsamt des Kantons Zürich A._ aufgrund einer schweren Widerhandlung gegen die Strassenverkehrsvorschriften für die Dauer von 14 Monaten (vom 28. Januar 2016 bis und mit 27. März 2017) den Führerausweis und untersagte ihm insbesondere das Führen von Motorfahrzeugen aller Kategorien. Dem Lauf der Rekursfrist und der Einreichung des Rekurses entzog es die aufschiebende Wirkung.
Mit Entscheid vom 7. September 2016 wies die Sicherheitsdirektion des Kantons Zürich den Rekurs von A._ - soweit nicht gegenstandslos geworden - ab. Mit Urteil vom 4. Januar 2017 wies der Einzelrichter der 1. Abteilung des Verwaltungsgerichts des Kantons Zürich die Beschwerde ab.
B.
A._ führt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten und beantragt in der Hauptsache die Aufhebung des Urteils des Verwaltungsgerichts des Kantons Zürich. Ihm sei der Führerausweis zu belassen.
Das Verwaltungsgericht beantragt die Abweisung der Beschwerde, soweit darauf einzutreten ist. Die Rekursabteilung der Sicherheitsdirektion hat auf eine Vernehmlassung verzichtet. Das Strassenverkehrsamt schliesst auf die Abweisung der Beschwerde. Der Beschwerdeführer hat sich nicht mehr geäussert.

Erwägungen:
1.
Angefochten ist ein kantonal letztinstanzlicher Entscheid betreffend Administrativmassnahmen gegen einen Fahrzeuglenker. Da es sich um eine Angelegenheit des öffentlichen Rechts handelt und auch kein Ausnahmegrund nach Art. 83 BGG gegeben ist, steht dagegen die Beschwerde nach Art. 82 ff. BGG offen. Der Beschwerdeführer hat am vorinstanzlichen Verfahren teilgenommen (Art. 89 Abs. 1 Bst. a BGG). Er ist durch den angefochtenen Entscheid besonders berührt und hat ein schutzwürdiges Interesse an dessen Aufhebung oder Änderung (Art. 89 Abs. 1 Bst. b und c BGG). Die übrigen Sachurteilsvoraussetzungen geben zu keinen Bemerkungen Anlass. Auf die Beschwerde ist einzutreten.
2.
2.1. Der Beschwerdeführer rügt eine willkürliche Sachverhaltsfeststellung (Art. 9 BV). Er bringt vor, der Sachverhalt sei im strafrechtlichen Verfahren nicht korrekt abgeklärt worden. Die Vorinstanz hätte nicht darauf abstellen dürfen und wäre zu eigenen Sachverhaltserhebungen - vorliegend zwingend durch ein Gutachten - verpflichtet gewesen.
2.2. Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zu Grunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (Art. 105 Abs. 1 BGG). Die Sachverhaltsfeststellung kann nur gerügt werden, wenn sie offensichtlich unrichtig, d.h. willkürlich, ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von Art. 95 BGG beruht und wenn die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein kann (Art. 97 Abs. 1 BGG). Willkür liegt vor, wenn der angefochtene Entscheid offensichtlich unhaltbar ist oder mit der tatsächlichen Situation in klarem Widerspruch steht. Dass eine andere Lösung oder Würdigung ebenfalls vertretbar oder gar zutreffender erscheint, genügt für die Annahme von Willkür nicht (<ref-ruling> E. 3.2.5; <ref-ruling> E. 4.3; je mit Hinweis). Eine entsprechende Rüge muss klar vorgebracht und substanziiert begründet werden (Art. 42 Abs. 2 und Art. 106 Abs. 2 BGG; <ref-ruling> E. 3.2; <ref-ruling> E. 4.2.3; <ref-ruling> E. 1.3.1; je mit Hinweisen). Auf eine rein appellatorische Kritik am angefochtenen Urteil tritt das Bundesgericht nicht ein (<ref-ruling> E. 2.3; <ref-ruling> E. 10.1; je mit Hinweisen).
2.3. Der vom Beschwerdeführer erhobene Vorwurf, die Strafbehörden hätten den Sachverhalt willkürlich festgestellt, wurde bereits im Urteil des Bundesgerichts 6B_121/2015 vom 2. Juni 2015 E. 1.2 ff. thematisiert. Das Bundesgericht hielt fest, die Ausführungen der Strafbehörden zum Geschehensablauf seien detailliert und schlüssig, zumal sie sich auch auf die in den Akten enthaltenen Videoaufzeichnungen abstützen konnten. Die Feststellungen bezüglich der gefahrenen Geschwindigkeiten und Abstände seien ausreichend konkret, um die Verletzung der Abstandsvorschriften beurteilen zu können. Jedenfalls würden sie nicht als geradezu unhaltbar erscheinen. Unter diesen Umständen sei der Beizug eines Sachverständigen zur Feststellung des Sachverhalts nicht erforderlich gewesen. Sodann entbehre die Behauptung des Beschwerdeführers, der Tachometer des Polizeifahrzeugs sei fehlerhaft gewesen, jeglicher Grundlage. Soweit er vorbringe, es sei richtigerweise von einem Abstand von über 18 Metern auszugehen, berufe er sich auf die eigene Interpretation einer Momentaufnahme aus der Videoaufzeichnung, ohne darzulegen, inwiefern die Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz willkürlich sein soll. Des Weiteren bestünden "keinerlei Anhaltspunkte", dass für ihn eine Gefahrensituation bestanden habe (Urteil 6B_121/2015 vom 2. Juni 2015 E. 2). Damit erweise sich die Willkürrüge als unbegründet.
2.4. Der Beschwerdeführer vermag in seiner Beschwerdeschrift keine "klare[n] Anhaltspunkte" zu benennen, weshalb die Vorinstanz in Willkür verfallen sein soll, weil sie auf den von den Strafbehörden unter Anhörung des Beschwerdeführers erstellten Sachverhalt abgestellt hat. Aus welchen Gründen die Vorinstanz davon hätte abweichen sollen, ist auch nicht ersichtlich. Zwar vermag nach der Rechtsprechung ein Strafurteil die Verwaltungsbehörde grundsätzlich nicht zu binden. Allerdings gebietet das Prinzip der Einheit der Rechtsordnung, widersprüchliche Entscheide im Rahmen des Möglichen zu vermeiden. Die Verwaltungsbehörde darf deshalb beim Entscheid über die Massnahme von den tatsächlichen Feststellungen des Strafrichters nur unter bestimmten Voraussetzungen abweichen, die vorliegend jedoch nicht gegeben sind (vgl. dazu im Einzelnen <ref-ruling> E. 3.2 S. 101 f.; <ref-ruling> E. 1c/aa S. 106; <ref-ruling> E. 3c/aa S. 163 f.; je mit Hinweisen; Urteil 1C_536/2016 vom 23. Februar 2017 E. 2.2). Dazu äussert sich der Beschwerdeführer nicht. Vielmehr belässt er es dabei, seine Einwände zu wiederholen und die Ausführungen im angefochtenen Entscheid lediglich zu bestreiten, ohne näher darzulegen, inwiefern diese willkürlich sein sollen. Damit erschöpfen sich seine Vorbringen in unzulässiger appellatorischer Kritik. Darauf ist nicht einzutreten.
2.5. Soweit der Beschwerdeführer vorbringt, gemäss seiner eigenen Einschätzung liege bloss ein sehr leichtes Verschulden vor, weshalb von einer leichter Widerhandlung auszugehen sei und auf jegliche Massnahme verzichtet werden könne (Art. 16a Abs. 4 SVG), vermag dies ein Abweichen von der rechtlichen Würdigung der Strafgerichte nicht zu begründen. Die rechtliche Qualifikation hängt stark von der Würdigung von Tatsachen ab, die der Strafrichter besser kennt, etwa weil er, wie vorliegend, den Beschuldigten persönlich einvernommen hat (<ref-ruling> E. 3.1; <ref-ruling> nicht publ. E. 3a; <ref-ruling> E. 1c/aa und bb; Urteil 1C_536/2016 vom 23. Februar 2017 E. 2.2). Es ist daher nicht zu beanstanden, dass sich die Vorinstanz der Würdigung der Strafbehörden, die von einem direkten Vorsatz ausgegangen sind und eine grobe Verkehrsverletzung bejaht haben, angeschlossen hat. Insoweit kann entgegen der Auffassung des Beschwerdeführers von einer falschen Rechtsanwendung keine Rede sein. Dass die Vorinstanz vorliegend nicht von einem besonders leichten Fall ausgegangen ist (Art. 16a Abs. 4 SVG), hält - angesichts der erstellten schweren Widerhandlung gegen das Strassenverkehrsgesetz (Art. 16c Abs. 2 SVG) und des stark belasteten automobilistischen Leumunds des Beschwerdeführers - ohne Weiteres vor Bundesrecht stand.
3.
Die Beschwerde erweist sich als unbegründet und ist abzuweisen, soweit darauf eingetreten werden kann. Bei diesem Ausgang des Verfahrens wird der Beschwerdeführer grundsätzlich kostenpflichtig (Art. 66 Abs. 1 BGG). Er ersuchte zwar um unentgeltliche Rechtspflege, begründete und belegte seine Bedürftigkeit aber nicht und reichte die angekündigten Unterlagen auch nicht nach. Dem Gesuch kann deshalb nicht stattgegeben werden (Art. 64 BGG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.
Die Kosten von Fr. 2'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer, dem Strassenverkehrsamt des Kantons Zürich, Bereich Administrativmassnahmen, der Sicherheitsdirektion des Kantons Zürich, dem Verwaltungsgericht des Kantons Zürich, 1. Abteilung, Einzelrichter, und dem Bundesamt für Strassen Sekretariat Administrativmassnahmen schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 2. Juni 2017
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Merkli
Der Gerichtsschreiber: Misic