Sachverhalt:
A.
Die B._ SA (Beschwerdeführerin) und die C._ SA (Beschwerdegegnerin) schlossen am 10. Juni 2004 und 19. Oktober 2005 drei Verträge über die Herstellung der Armbanduhrenmodelle "D._", "E._" und "F._". Gemäss diesen Verträgen liefert die Beschwerdeführerin der Beschwerdegegnerin Bestandteile der Uhren (sog. "kits d'emboîtage"). Die Beschwerdegegnerin stellt die Uhrwerke her und baut diese ein. Die fertiggestellten Uhren liefert sie an die Beschwerdeführerin.
Wegen Meinungsverschiedenheiten über die Durchführung dieser drei Verträge schlossen die Parteien am 5. Juni 2013 eine Vergleichsvereinbarung, die in der Folge Bestandteil eines Schiedsgerichtsurteils vom 4. November 2013 wurde.
Mit Arrestbefehl vom 1. April 2014 liess das Zivilgericht Basel-Stadt auf Begehren der Beschwerdegegnerin auf Uhren und Ausstellungsobjekten der Beschwerdeführerin, die diese an der Uhren- und Schmuckmesse G._ ausstellte, für eine Forderung von Fr. 560'980.-- nebst Zins Arrest legen. Nach Einsprache der Beschwerdeführerin wurde der Arrest vom Zivilgericht und anschliessend vom Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt bestätigt.
B.
Mit Zahlungsbefehl vom 4. Juli 2014 (Betreibung Nr. xxx des Betreibungsamts Basel-Stadt) betrieb die Beschwerdegegnerin die Beschwerdeführerin für eine Forderung von Fr. 560'980.-- zuzüglich Zins zu 5 % seit 31. Dezember 2013 und Kosten des Arrestrichters von Fr. 1'000.--. Die Beschwerdeführerin erhob Rechtsvorschlag.
Am 21. Juli 2014 verlangte die Beschwerdegegnerin vom Zivilgericht Basel-Stadt die Erteilung der definitiven Rechtsöffnung für Fr. 560'980.-- nebst Zins zu 5 % seit 31. Dezember 2013. Das Zivilgericht erteilte mit Entscheid vom 24. August 2015 definitive Rechtsöffnung in der verlangten Höhe zuzüglich Zahlungsbefehlskosten von Fr. 203.30.
Dagegen erhob die Beschwerdeführerin am 16. November 2015 Beschwerde an das Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt. Sie beantragte die Aufhebung des angefochtenen Entscheids und die Abweisung des Rechtsöffnungsgesuchs. Mit Entscheid vom 1. Februar 2016 wies das Appellationsgericht die Beschwerde ab.
C.
Am 14. März 2016 hat die Beschwerdeführerin Beschwerde in Zivilsachen an das Bundesgericht erhoben. Sie beantragt die Aufhebung des Entscheids des Appellationsgerichts und die Abweisung des Rechtsöffnungsgesuchs. Allenfalls sei die Sache an das Appellationsgericht zurückzuweisen. Zudem ersucht sie um aufschiebende Wirkung.
Die Beschwerdegegnerin hat sich dem Gesuch um aufschiebende Wirkung nicht widersetzt, aber unaufgefordert Abweisung der Beschwerde beantragt. Das Appellationsgericht hat sich zum Gesuch um aufschiebende Wirkung nicht vernehmen lassen. Mit Präsidialverfügung vom 18. April 2016 hat das Bundesgericht der Beschwerde aufschiebende Wirkung zuerkannt.
Das Bundesgericht hat die Akten beigezogen, in der Sache aber keine Vernehmlassungen eingeholt.

Erwägungen:
1.
Die vorliegende Beschwerde in Zivilsachen betrifft eine Schuldbetreibungssache und erweist sich grundsätzlich als zulässig (Art. 72 Abs. 2 lit. a, Art. 74 Abs. 1 lit. b, Art. 75, Art. 76, Art. 90, Art. 100 Abs. 1 i.V.m. Art. 46 Abs. 1 lit. c i.V.m. <ref-law>).
Mit Beschwerde in Zivilsachen können Rechtsverletzungen gemäss Art. 95 f. BGG geltend gemacht werden. Zwar wendet das Bundesgericht das Recht grundsätzlich von Amtes wegen an (<ref-law>; vgl. für Ausnahmen Abs. 2 dieser Norm) und prüft mit freier Kognition, ob der angefochtene Entscheid Recht verletzt. Es befasst sich aber nur mit formell ausreichend begründeten Rügen (<ref-law>; <ref-ruling> E. 1.1 S. 104 f.; <ref-ruling> E. 1.3 S. 584 mit Hinweisen). In der Begründung ist in gedrängter Form darzulegen, inwiefern der angefochtene Akt Recht verletzt. Allgemein gehaltene Einwände, die ohne aufgezeigten oder erkennbaren Zusammenhang mit bestimmten Entscheidungsgründen vorgebracht werden, genügen nicht (Urteil 5A_963/2014 vom 9. November 2015 E. 2, nicht publ. in: <ref-ruling>).
Der vorinstanzlich festgestellte Sachverhalt ist für das Bundesgericht grundsätzlich verbindlich (<ref-law>). Die Feststellung des Sachverhalts kann nur gerügt werden, wenn die Feststellung offensichtlich unrichtig - d.h. willkürlich (<ref-ruling> E. 1.5 S. 130 mit Hinweis) - ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruht und die Behebung des Mangels für den Verfahrensausgang entscheidend sein kann (<ref-law>). Will der Beschwerdeführer die Sachverhaltsfeststellungen der Vorinstanz anfechten, muss er darlegen, inwiefern die genannten Voraussetzungen erfüllt sein sollen (<ref-ruling> E. 4.2 S. 234; <ref-ruling> E. 5.1 S. 356). Bei der Rüge der offensichtlich unrichtigen Sachverhaltsfeststellung gilt das strenge Rügeprinzip (<ref-law>) und es ist demnach anhand der Erwägungen des angefochtenen Entscheids klar und detailliert darzulegen, inwiefern die vorinstanzliche Sachverhaltsfeststellung willkürlich sein soll. Demzufolge genügt es nicht, einen von den tatsächlichen Feststellungen der Vorinstanz abweichenden Sachverhalt zu behaupten. Auf solche rein appellatorische Kritik am Sachverhalt tritt das Bundesgericht nicht ein (<ref-ruling> E. 1.4.2 und 1.4.3 S. 254 f.; <ref-ruling> E. 2.2 S. 246; <ref-ruling> E. 5.1 S. 356).
2.
Nach den unbestrittenen Erwägungen des Appellationsgerichts dient als definitiver Rechtsöffnungstitel das Schiedsgerichtsurteil vom 4. November 2013, das wiederum die Verpflichtungen aus der Vergleichsvereinbarung vom 5. Juni 2013 zum Urteil erhebt (<ref-law> i.V.m. <ref-law>). Aus dem Rechtsöffnungstitel ergibt sich eine Forderung der Beschwerdegegnerin gegen die Beschwerdeführerin in der Höhe von Fr. 798'250.--. Dieser Betrag setzt sich zusammen aus Prozesskosten von Fr. 15'750.-- und aus Zahlungen für die Uhren von insgesamt Fr. 782'500.-- (Fr. 285'000.-- für das Modell "D._", Fr. 135'000.-- für das Modell "E._" und Fr. 362'500.-- für das Modell "F._"). Die Beschwerdegegnerin anerkennt, dass die Beschwerdeführerin zwischen dem 2. Juli 2013 und dem 4. März 2014 fünf Teilzahlungen über insgesamt Fr. 237'270.-- geleistet hat. Die Beschwerdegegnerin hat die Differenz der Forderung gemäss Schiedsgerichtsurteil und dieser Teilzahlungen in Betreibung gesetzt (Fr. 798'250.-- abzüglich Fr. 237'270.-- ergibt Fr. 560'980.--).
2.1. Die Beschwerdeführerin macht geltend, sie habe die Schuld in grösserem Umfang getilgt als von der Beschwerdegegnerin anerkannt, nämlich im Umfang von Fr. 393'290.--. Die Differenz kommt durch zwei Teilzahlungen vom 17. Mai und 3. Juni 2013 von je Fr. 78'010.-- zustande, die die Beschwerdeführerin zusätzlich als Tilgungen der Schuld angerechnet wissen will.
Die beiden fraglichen Teilzahlungen erfolgten vor der Unterzeichnung der Vergleichsvereinbarung vom 5. Juni 2013 und vor Erlass des Schiedsgerichtsurteils vom 4. November 2013. Das Appellationsgericht hat es deshalb zu Recht abgelehnt, die Zahlungen vom 17. Mai und 3. Juni 2013 zu berücksichtigen. Gemäss <ref-law> wird die definitive Rechtsöffnung erteilt, wenn nicht der Betriebene durch Urkunden beweist, dass die Schuld seit Erlass des Entscheids getilgt worden ist. Nach dem klaren Wortlaut kann der Betriebene Tilgungen also nur dann einwendungsweise geltend machen, wenn sie nach Erlass des als Rechtsöffnungstitel dienenden Entscheids erfolgt sind. Wäre es anders, müsste der Rechtsöffnungsrichter den Entscheid materiell überprüfen, was nicht Zweck des Rechtsöffnungsverfahrens ist (vgl. Urteil 5A_673/2008 vom 20. November 2008 E. 2.3; DANIEL STAEHELIN, in: Basler Kommentar, Bundesgesetz über Schuldbetreibung und Konkurs, 2. Aufl. 2010, N. 5 zu <ref-law>).
Die Beschwerdeführerin macht vor Bundesgericht geltend, die Beschwerdegegnerin habe die Teiltilgung von insgesamt Fr. 393'290.-- gar nie substantiiert bestritten. Sie verkennt damit, dass es im vorliegenden Zusammenhang nicht um Tatsachenfragen geht, sondern um die Rechtsfrage, welche Tilgungen im Rechtsöffnungsverfahren überhaupt eingewendet und berücksichtigt werden können. Auf den soeben dargestellten Inhalt von <ref-law>, auf welchen auch das Appellationsgericht abgestellt hat, geht die Beschwerdeführerin nicht ein.
2.2. Die Beschwerdeführerin beruft sich sodann auf Verrechnung mit Forderungen auf Rückerstattung von vorausbezahlten Entwicklungskosten in der Höhe von Fr. 540'152.--. Sie sei am 29. August 2014 von allen Verträgen zurückgetreten und dürfe deshalb die Vorauszahlung zurückverlangen.
Das Appellationsgericht hat dazu erwogen, es sei fraglich, ob die Beschwerdeführerin von den Verträgen vom 10. Juni 2004 und 19. Oktober 2005 zurücktreten könne, nachdem diese Verträge durch die Vereinbarung vom 5. Juni 2013 ersetzt worden seien. Jedenfalls setze aber die Einwendung der Tilgung durch Verrechnung im Verfahren auf definitive Rechtsöffnung voraus, dass der Betriebene seine Verrechnungsforderung mit Urkunden beweise, die mindestens zur provisorischen Rechtsöffnung berechtigen würden. Ein zweiseitig verpflichtender Vertrag genüge nicht, da er durch die blosse Behauptung als Rechtsöffnungstitel zu Fall gebracht werden könne, die Gegenleistung sei nicht ordnungsgemäss erfüllt worden. Vielmehr bedürfe es einer bedingungslosen Schuldanerkennung. Eine solche habe die Beschwerdeführerin nicht vorgelegt. Sie bleibe darüber hinaus den Beweis schuldig, dass sie Vorauszahlungen für Entwicklungskosten in der Höhe von Fr. 540'152.-- geleistet habe.
Die Beschwerdeführerin setzt sich mit den rechtlichen Überlegungen der Vorinstanz nicht auseinander, wonach die Existenz einer Verrechnungsforderung (auf Rückerstattung der Vorauszahlungen) mit einer bedingungslosen Schuldanerkennung bewiesen werden müsse. Ficht die Beschwerdeführerin eine der mehreren, alternativen Begründungen im angefochtenen Urteil nicht an, ist auf ihre Rügen im entsprechenden Sachzusammenhang insgesamt nicht einzutreten (<ref-ruling> E. 3.4 S. 735). Die Beschwerdeführerin macht einzig geltend, sie habe die Vorauszahlungen bewiesen und die Beschwerdegegnerin habe ihre Ausführungen nicht substantiiert bestritten (unter Verweis auf das Protokoll der Rechtsöffnungsverhandlung). Dem angeführten Protokoll ist zu entnehmen, dass die Beschwerdegegnerin bestritten hat, dass die Beschwerdeführerin von den Verträgen zurücktreten könne. Da der Rücktritt Voraussetzung für allfällige Rückforderungen ist, hat die Beschwerdegegnerin damit auch die Verrechnung bestritten. Der Einwand der Beschwerdeführerin wäre demnach unbegründet, wenn darauf überhaupt eingetreten werden könnte.
2.3. Schliesslich beruft sich die Beschwerdeführerin auf die Einrede des nicht erfüllten Vertrags (<ref-law>).
2.3.1. Das Appellationsgericht hat offen gelassen, ob diese Einrede im Verfahren auf definitive Rechtsöffnung überhaupt erhoben werden kann. Die Leistungspflichten der Parteien (Zahlungen einerseits und Lieferung der Uhren andererseits) stünden nämlich gar nicht in einem Austauschverhältnis.
Unter Übernahme von bereits im Arrestverfahren angestellten Überlegungen hat das Appellationsgericht erwogen, die Parteien hätten die Vereinbarung vom 5. Juni 2013 vor dem Hintergrund getroffen, dass sie über die Erfüllung der Verträge vom 10. Juni 2004 und 19. Oktober 2005 in Streit geraten waren. Mit der Vereinbarung hätten sie ihre Meinungsverschiedenheiten beilegen wollen (unter Hinweis des Appellationsgerichts auf die Präambel der Vereinbarung). Gemäss ihrem Wortlaut ersetze sie alle früheren Übereinkünfte der Parteien (Art. 4 Satz 3: "La présente convention remplace tout accord conclu précédemment par les Parties [...]). Wie sich aus der Präambel ergebe, seien damit auch die drei Verträge über die Herstellung der Uhrenmodelle gemeint. Für die Beurteilung des Verhältnisses zwischen den Leistungen, über deren Erfüllung die Parteien stritten, seien somit nicht mehr die ursprünglichen Verträge, sondern die Vereinbarung vom 5. Juni 2013 relevant. Art. 1 der Vereinbarung vom 5. Juni 2013 regle, welche Geldbeträge die Beschwerdeführerin der Beschwerdegegnerin schulde und welche Anzahl Uhrwerke die Beschwerdegegnerin zu liefern habe. In Bezug auf die Uhrenmodelle "D._" und "F._" halte die Vereinbarung fest, dass die Zahlungen unabhängig von den Lieferungen erfolgen ("Ces paiements interviendront indépendamment des livraisons."). Betreffend das Modell "E._" hätten sich die Parteien geeinigt, dass die geschuldete Geldsumme bei Unterschrift der Vereinbarung fällig sei ("Ce montant est exigible à la signature de la présente convention et B._ SA s'en acquittera à la signature de la présente convention."). Für alle drei Modelle sei vereinbart worden, dass die Beschwerdegegnerin berechtigt sei, die sofortige Bezahlung der geschuldeten Geldsumme zu verlangen, falls die Beschwerdeführerin mit der Bezahlung der monatlichen Raten in Rückstand gerate.
Im Unterschied dazu lege Art. 2 der Vereinbarung über die zukünftige Herstellung und Lieferung von Uhrwerken der Modelle "E._" und "F._" fest, dass die Bezahlung und Lieferung in einem Austauschverhältnis stünden ("Chaque mouvement sera livré dans un délai de 30 jours à compter de la réception des kits d'emboîtage et moyennant paiement préalable de B._ SA.").
Sowohl aus dem Wortlaut wie dem Kontext von Art. 1 sowie aus dem Gegensatz zum ausdrücklich vereinbarten Austauschverhältnis in Art. 2ergebe sich, dass die Leistungspflichten der Parteien gemäss Art. 1 nicht in einem Austauschverhältnis stünden. Die Festlegung voneinander unabhängiger Leistungspflichten erleichtere deren Durchsetzung, insbesondere bei Streitparteien. Sie entspreche damit auch Sinn und Zweck der Vereinbarung, bestehende Meinungsverschiedenheiten beizulegen und zukünftige zu vermeiden.
Vor Appellationsgericht habe die Beschwerdeführerin geltend gemacht, dass in der Vereinbarung vom 5. Juni 2013 wesentliche Elemente der ursprünglichen Verträge fehlten, womit es auch nicht dem Parteiwillen entsprochen habe, die Basisverträge durch die Vereinbarung vom 5. Juni 2013 zu ersetzen. Das Appellationsgericht hielt dem entgegen, dass gerade die vorliegend relevanten Leistungspflichten in Art. 1 der Vereinbarung neu geregelt worden seien und diese Neuregelung nach Wortlaut sowie Sinn und Zweck der Vereinbarung die ursprünglichen Abreden über diese Pflichten ersetzt habe.
2.3.2. Vor Bundesgericht wiederholt die Beschwerdeführerin im Wesentlichen ihren Standpunkt, wonach die Vereinbarung vom 5. Juni 2013 die Basisverträge lediglich in einigen Punkten ändere und die Parteien von der Weitergeltung der Basisverträge ausgegangen seien. Eine Auseinandersetzung mit den ausführlichen Erwägungen des Appellationsgerichts und insbesondere mit den zitierten Textstellen fehlt. Namentlich geht die Beschwerdeführerin nicht darauf ein, dass die Parteien die in Frage stehenden Verpflichtungen mit der Vereinbarung vom 5. Juni 2013 neu geregelt und die ursprünglichen Abreden ersetzt hätten. Die Beschwerdeführerin macht sodann geltend, die Auslegung der Vereinbarung vom 5. Juni 2013 ergebe, dass es nicht dem Willen der Parteien entsprochen haben könne, dass die Beschwerdeführerin zuerst alle Zahlungen leisten müsse und die Beschwerdegegnerin erst dann mit der Herstellung und Lieferung der Uhren beginne. Sie (die Beschwerdeführerin) habe davon ausgehen dürfen, dass die Beschwerdegegnerin laufend Uhren liefern werde, damit diese verkauft werden könnten. Mit der Vereinbarung habe einzig sichergestellt werden sollen, dass (begründete) Lieferverzögerungen die Beschwerdeführerin nicht von ihren Zahlungsverpflichtungen entbinden würden. Insofern liege keine echte Vorleistungspflicht vor. Damit stellt sie jedoch bloss ihre Sicht der Dinge dar, ohne diese mit Anhaltspunkten im Wortlaut der Vereinbarung vom 5. Juni 2013 zu belegen. Bleibt es deshalb beim vorinstanzlichen Auslegungsergebnis, sind die Ausführungen der Beschwerdeführerin zu ihren Abmahnungen, zum Zahlungsangebot über Fr. 600'000.-- oder zum angeblich vertragswidrigen Verhalten der Beschwerdegegnerin nach Abschluss der Vereinbarung vom 5. Juni 2013 von vornherein unerheblich. Ohnehin finden ihre Behauptungen keine Stütze im angefochtenen Urteil und eine genügende Sachverhaltsrüge fehlt.
2.4. Auf die Beschwerde kann folglich insgesamt mangels genügender Auseinandersetzung mit den vorinstanzlichen Entscheidgründen nicht eingetreten werden.
3.
Bei diesem Ausgang des Verfahrens trägt die Beschwerdeführerin die Gerichtskosten (<ref-law>). Die Beschwerdegegnerin ist für ihren unaufgeforderten Antrag auf Beschwerdeabweisung nicht zu entschädigen (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 6'000.-- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 14. September 2016
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Das präsidierende Mitglied: Escher
Der Gerichtsschreiber: Zingg