Sachverhalt:
A.
A.a. Auf Ersuchen des Bezirks Höfe erteilte das Bezirksgericht Horgen in der gegen A.A._ laufenden Betreibung Nr. yyy des Betreibungsamtes Thalwil-Rüschlikon-Kilchberg am 2. März 2016 definitive Rechtsöffnung für die Forderung von Fr. 800.-- sowie für Betreibungskosten von Fr. 119.30, die Spruchgebühr von Fr. 150.-- und die Parteientschädigung von Fr. 50.--. Das Urteil erging in unbegründeter Form. Es enthielt den Hinweis an die Parteien, dass sie innert zehn Tagen beim Bezirksgericht eine Begründung zu verlangen haben, sofern sie eine Beschwerde erheben wollen. Werde eine Begründung verlangt, so laufe den Parteien die Frist zur Einreichung eines Rechtsmittels ab Zustellung des begründeten Entscheids.
A.b. Am 14. März 2016 verlangte B.A._ für die Betriebene die Begründung des Rechtsöffnungsentscheides. Das Bezirksgericht trat mit Verfügung vom 17. März 2016 auf diesen Antrag nicht ein (Dispositiv-Ziffer 1) und auferlegte B.A._ die Spruchgebühr von Fr. 100.-- (Dispositiv-Ziffern 2 und 3).
A.c. B.A._ und A.A._ gelangten gegen die bezirksgerichtliche Verfügung an das Obergericht des Kantons Zürich. Sie machten im Wesentlichen geltend, dass das Bezirksgericht eine Nachfrist im Sinne von <ref-law> hätte ansetzen müssen und stellten den Antrag, die angefochtene Verfügung sei aufzuheben und das Bezirksgericht sei anzuweisen, die fehlende Vollmacht einzufordern. Zudem fochten sie die erstinstanzliche Spruchgebühr an. A.A._ reichte innert der vom Obergericht angesetzten Nachfrist die von ihr ebenfalls unterzeichnete Kopie der Beschwerdeschrift ein.
Das Obergericht wies mit Urteil vom 23. Juni 2016 die Beschwerde von B.A._ ab, soweit es darauf eintrat. Das Bezirksgericht habe ihm zu Recht die Kosten für das Nichteintreten auf das Begründungsbegehren auferlegt; zur Anfechtung des Nichteintretens selbst sei er mangels Beschwer nicht legitimiert. Die Beschwerde von A.A._ gegen die bezirksgerichtliche Nichteintretensverfügung wies es ab, da sie bereits mit Verfügung vom 10. Februar 2016 und somit in demselben Verfahren darauf hingewiesen worden sei, dass sie eine Vollmacht einzureichen habe, wenn sie sich von ihrem Ehemann vertreten lassen wolle.
B.
Mit subsidiärer Verfassungsbeschwerde vom 8. August 2016 sind A.A._ (Beschwerdeführerin 1) und B.A._ (Beschwerdeführer 2) an das Bundesgericht gelangt. Die Beschwerdeführer beantragen namentlich die Aufhebung des obergerichtlichen Urteils sowie die Rückweisung der Sache an das Bezirksgericht, verbunden mit der Anweisung, den Beschwerdeführer 2 zur Beibringung einer Vollmacht in Verzug zu setzen.
Es sind die kantonalen Akten beigezogen, hingegen keine Vernehmlassungen eingeholt worden.

Erwägungen:
1.
Angefochten ist ein kantonal letztinstanzlicher Rechtsöffnungsentscheid, mithin eine Zwangsvollstreckungssache (<ref-law>). Der Streitwert erreicht Fr. 30'000.-- nicht (<ref-law>). Die subsidiäre Verfassungsbeschwerde ist damit grundsätzlich zulässig.
Mit der Verfassungsbeschwerde kann einzig die Verletzung verfassungsmässiger Rechte gerügt werden (<ref-law>). Diesen Vorwurf prüft das Bundesgericht nicht von Amtes wegen, sondern nur insoweit, als eine entsprechende Rüge in der Beschwerde vorgebracht und begründet worden ist (Art. 117 i.V.m. <ref-law>). Dies bedeutet, dass klar und detailliert anhand der Erwägungen des angefochtenen Entscheids darzulegen ist, inwiefern verfassungsmässige Rechte verletzt worden sein sollen (<ref-ruling> E. 1.2 S. 234; <ref-ruling> E. 3.2 S. 88).
2.
Das Obergericht hat erwogen, der Beschwerdeführer 2 sei betreffend die Dispositiv-Ziffern 2 und 3 der bezirksgerichtlichen Verfügung beschwert, da ihm persönlich die Spruchgebühr von Fr. 100.-- auferlegt worden sei. Keine Beschwer komme ihm betreffend Dispositiv-Ziffer 1 zu, da sich aus dieser für ihn persönlich kein Nachteil ergebe. Auf die Beschwerde des Beschwerdeführers 2 gegen Dispositiv-Ziffer 1 der Verfügung vom 17. März 2016 ist es daher nicht eingetreten. Dieser (partielle) obergerichtliche Nichteintretensentscheid wird vor Bundesgericht nicht beanstandet, weshalb es dabei sein Bewenden hat. Soweit der Beschwerdeführer 2 das Nichteintreten bzw. die Verweigerung einer (nochmaligen) Nachfristansetzung im bezirksgerichtlichen Verfahren rügt, kann darauf nicht eingetreten werden. Einzutreten ist demgegenüber auf das diesbezügliche Begehren der Beschwerdeführerin 1.
2.1. Die Beschwerdeführerin 1 argumentiert, dass <ref-law> die Ansetzung einer Nachfrist zur Beibringung einer Vollmacht selbst dann erfordere, wenn der Vertreter im Wissen um die Notwendigkeit einer Vollmacht ganz bewusst keine solche beigelegt hat. Die Nichtbeibringung einer Vollmacht bleibe auch bei bösgläubigen Parteien ein heilbarer Mangel. Indem die Vorinstanz dies verkannt habe, habe sie die klaren gesetzlichen Prozessnormen willkürlich und gegen Treu und Glauben ausgelegt sowie Art. 29, 29a und 30 BV verletzt.
2.2. Gemäss <ref-law> sind Mängel wie fehlende Unterschrift und fehlende Vollmacht innert einer gerichtlichen Nachfrist zu verbessern. Andernfalls gilt die Eingabe als nicht erfolgt. Obwohl das Gesetz nicht explizit zwischen beabsichtigten und unbeabsichtigten Unterlassungen unterscheidet, setzt - wie es das Obergericht willkürfrei annehmen durfte - die Ansetzung einer Nachfrist voraus, dass der Mangel auf ein Versehen und nicht auf ein bewusst unzulässiges Vorgehen zurückzuführen ist (Urteil 4D_2/2013 vom 1. Mai 2013 E. 3.1). Ausgenommen von der Nachfristansetzung sind somit Fälle des offensichtlichen Rechtsmissbrauchs (vgl. <ref-ruling> E. 2.4.7 S. 14). Vorliegend steht fest, dass der Beschwerdeführer 2 dem Gesuch um schriftliche Begründung des Rechtsöffnungsentscheids trotz seines Wissens um die Notwendigkeit einer Vollmacht absichtlich keine solche beigelegt hat, wobei auch die Beschwerdeführerin 1 um diesen prozessualen Mangel wusste. So wurde der Beschwerdeführerin 1 im erstinstanzlichen Verfahren als Reaktion auf die eingereichte Stellungnahme des Beschwerdeführers 2 zum Rechtsöffnungsgesuch mit Verfügung vom 10. Februar 2016 (erfolglos) Frist gesetzt, eine Vollmacht nachzureichen, unter Androhung, dass widrigenfalls aufgrund der Akten entschieden werde. Hinzu kommt, dass den Beschwerdeführern bereits aufgrund eines früheren Verfahrens bekannt sein musste, dass der Beschwerdeführer 2 das Begründungsbegehren für die Beschwerdeführerin 1 nur unter Einreichung einer Vollmacht rechtsgenüglich stellen kann (vgl. das die Beschwerdeführer betreffende Urteil des Bundesgerichts 5D_215/2015 vom 16. März 2016). Schliesslich machen die Beschwerdeführer selbst keinen Hehl daraus, dass der Formmangel freiwillig herbeigeführt wurde, um eine (erneute) Nachfrist zu erwirken. Ein solches Vorgehen erscheint rechtsmissbräuchlich (<ref-law>) und verdient keinen Rechtsschutz. Die obergerichtliche Verneinung eines Anspruchs auf (nochmalige) Nachfristansetzung im bezirksgerichtlichen Verfahren hält der Rüge der Verletzung des Willkürverbots stand (zum Willkürbegriff vgl. <ref-ruling> E. 2.1 S. 18) und stellt namentlich auch keinen gegen <ref-law> verstossenden überspitzten Formalismus dar. Inwieweit die weiteren angerufenen verfassungsmässigen Rechte tangiert bzw. verletzt sein sollen, ist nicht ersichtlich und wird auch nicht substanziiert dargelegt (Art. 117 i.V.m. <ref-law>).
3.
Hinsichtlich der von der Erstinstanz auferlegten und vom Obergericht bestätigten Gerichtsgebühr ist lediglich der Beschwerdeführer 2 betroffen. Die Beschwerdeführerin 1 ist daher mangels Beschwer diesbezüglich nicht zur Beschwerde berechtigt (<ref-law>).
3.1. Der Beschwerdeführer 2 macht im Wesentlichen geltend, es hätten ihm im erstinstanzlichen Verfahren keine Kosten auferlegt werden dürfen, da ihm keine Parteistellung zugekommen sei. Eine Kostenauflage an Dritte sei in <ref-law> nicht vorgesehen. Damit habe das Obergericht diese Bestimmung in willkürlicher Weise angewendet.
3.2. Soweit der Beschwerdeführer 2 mit seinen Ausführungen den Anforderungen an eine Willkürrüge zu genügen vermag, erweist sie sich als unbegründet. Nach <ref-law> hat unnötige Prozesskosten zu bezahlen, wer sie verursacht hat. Gestützt auf diese Bestimmung mit ihrer offenen Umschreibung des Normadressaten ("wer"; im französischen Gesetzestext: "à la charge de la personne qui"; im italienischen Text: "a carico di chi") durfte die Vorinstanz willkürfrei davon ausgehen, dass auch Dritte, die nicht Parteien des Prozesses waren, zur Bezahlung von Prozesskosten verpflichtet werden können (<ref-ruling> E. 2.4.2 S. 429). Offengelassen hat das Bundesgericht in E. 2.4.4 des zitierten Entscheids, ob die Kostenauflage an einen Dritten, der nicht Verfahrenspartei ist, ein vorwerfbares Verhalten voraussetzt. Die Frage braucht auch vorliegend nicht beantwortet zu werden. Da der Beschwerdeführer 2 als (behaupteter) Vertreter im Sinne von <ref-law> bewusst eine mit einem prozessualen Mangel behaftete Eingabe eingereicht hat, muss er sich jedenfalls ein vorwerfbares Verhalten zurechnen lassen; die unnötigen Kosten sind alsdann kausal auf sein ohne Beilage der notwendigen Vollmacht gestelltes Begründungsbegehren zurückzuführen. Damit ist das Obergericht nicht in Willkür verfallen, wenn es die mit dem gesetzlich statuierten Verursacherprinzip im Einklang stehende erstinstanzliche Kostenverlegung bestätigt hat.
4.
Nach dem Gesagten ist die Beschwerde abzuweisen, soweit darauf einzutreten ist. Ausgangsgemäss tragen die Beschwerdeführer die Gerichtskosten unter solidarischer Haftung (Art. 66 Abs. 1 und 5 BGG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 200.-- werden den Beschwerdeführern unter solidarischer Haftung auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Zürich, I. Zivilkammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 26. September 2016
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Das präsidierende Mitglied: Escher
Der Gerichtsschreiber: Buss