Sachverhalt:
A.
Die 1976 geborene A._ war seit 1998 bei der B._ GmbH - zuletzt als Teamleiterin - angestellt. Im Anschluss an die Geburt ihrer Tochter mit sekundärer Wunschsectio 2014 und resektoskopischer Restmaterialentfernung am 3. April 2014 sowie nach einem Sturz in der Badewanne am 19. Juni 2014 nahm A._ ihre Tätigkeit bei der B._ GmbH gesundheitsbedingt nicht wieder auf. Im September 2014 meldete sie sich bei der Invalidenversicherung zum Leistungsbezug an. Die IV-Stelle des Kantons Zürich führte ein Standortgespräch durch und tätigte verschiedene Abklärungen in erwerblicher und medizinischer Hinsicht. Sie zog zudem die Akten des Krankentaggeldversicherers (SWICA) bei, darunter die psychiatrische Kurzbeurteilung der Dr. med. C._, FMH Psychiatrie und Psychotherapie, vom 23. Juli 2014 sowie deren psychiatrische Begutachtung vom 17. Februar 2015. Gestützt darauf verneinte die IV-Stelle nach durchgeführtem Vorbescheidverfahren einen Rentenanspruch (Verfügung vom 27. Mai 2015).
B.
Die dagegen erhobene Beschwerde wies das Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich mit Entscheid vom 24. Mai 2016 ab.
C.
A._ führt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten und beantragt, es sei ihr unter Aufhebung des angefochtenen Entscheids eine ganze Invalidenrente zuzusprechen. Eventualiter sei die IV-Stelle zu verpflichten, ein psychiatrisches Gutachten einzuholen. In verfahrensmässiger Hinsicht ersucht sie um unentgeltliche Rechtspflege.

Erwägungen:
1.
1.1. Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann u.a. die Verletzung von Bundesrecht gerügt werden (<ref-law>). Die Feststellung des Sachverhalts kann nur gerügt werden, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruht und wenn die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein kann (<ref-law>). Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (<ref-law>). Es kann die Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz von Amtes wegen berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruht (<ref-law>).
1.2. Bei den gerichtlichen Feststellungen zum Gesundheitszustand und zur Arbeitsfähigkeit bzw. deren Veränderung in einem bestimmten Zeitraum handelt es sich grundsätzlich um Tatfragen (<ref-ruling> E. 3.2 S. 397 ff.). Gleiches gilt für die konkrete Beweiswürdigung (Urteil 9C_204/2009 vom 6. Juli 2009 E. 4.1, nicht publ. in <ref-ruling>, aber in: SVR 2009 IV Nr. 53 S. 164).
2.
2.1. Streitig und zu prüfen ist der Anspruch der Beschwerdeführerin auf eine Rente der Invalidenversicherung. Die Vorinstanz hat die gesetzlichen Bestimmungen und die von der Rechtsprechung dazu entwickelten Grundsätze, namentlich diejenigen zu den Begriffen der Invalidität (<ref-law> in Verbindung mit <ref-law>) und der Erwerbsunfähigkeit (<ref-law>), zum Umfang des Rentenanspruchs (<ref-law>), sowie zum Beweiswert und zur Beweiswürdigung ärztlicher Berichte und Gutachten (<ref-ruling> E. 5.1 S. 232; <ref-ruling> E. 3 S. 352) zutreffend dargelegt. Darauf wird verwiesen.
2.2. Der Grundsatz der freien Beweiswürdigung verlangt eine umfassende, inhaltsbezogene, verantwortliche und der behördlichen Begründungspflicht genügende Prüfung aller Beweismittel (<ref-ruling> E. 3.1 S. 195), unabhängig von ihrer Herkunft und ohne Bindung an förmliche Beweisregeln (<ref-ruling> E. 3.4.1.1 S. 248). Den vom Krankentaggeldversicherer nicht im gesetzlich vorgesehenen Verfahren nach <ref-law> eingeholten Gutachten kommt der Beweiswert versicherungsinterner ärztlicher Feststellungen zu (Urteil 8C_71/2016 vom 1. Juli 2016 E. 5.3 mit Hinweis). Dabei lässt das Anstellungsverhältnis allein nicht schon auf mangelnde Objektivität und Befangenheit schliessen. Auch aus Art. 6 Ziff. 1 EMRK folgt nicht, dass solche Stellungnahmen in jedem Fall unbeachtlich wären. Soll ein Versicherungsfall jedoch ohne Einholung eines externen Gutachtens entschieden werden, so sind an die Beweiswürdigung strenge Anforderungen zu stellen. Bestehen auch nur geringe Zweifel an der Zuverlässigkeit und Schlüssigkeit der versicherungsinternen ärztlichen Feststellungen, sind ergänzende Abklärungen vorzunehmen (<ref-ruling> E. 4.4 S. 470).
3.
3.1. Die Beschwerdeführerin beanstandet in formeller Hinsicht, durch das Abstellen auf das von der SWICA veranlasste Gutachten der Dr. med. C._ vom 17. Februar 2015 seien weder die Verfahrensgrundsätze gemäss <ref-ruling> - namentlich die Mitwirkungsrechte und das Zufallsprinzip bei der Vergabe von Gutachten - eingehalten noch das Einigungsverfahren gemäss <ref-ruling> durchgeführt worden. Dies verletze ihren Anspruch auf rechtliches Gehör im Sinne von <ref-law> sowie die Vorgaben des fairen Verfahrens nach Art. 6 EMRK.
3.2. Das kantonale Gericht hat sich mit den formellen Einwänden der Beschwerdeführerin gegen die beweismässige Verwertung des Gutachtens der Dr. med. C._ vom 17. Februar 2015 eingehend auseinandergesetzt. Insbesondere wird im angefochtenen Entscheid dargelegt, weshalb auf die von der SWICA veranlasste Expertise abgestellt werden kann, obwohl diese die Voraussetzungen von <ref-law> nicht erfüllt. Damit setzt sich die Beschwerdeführerin nicht auseinander. Insofern sie stattdessen lediglich geltend macht, bei der Expertise der Dr. med. C._ vom 17. Februar 2015 handle es sich um eine versicherungsinterne Begutachtung, hat dies bereits die Vorinstanz erkannt, dazu indessen richtig erwogen, einzig deshalb sei noch nicht auf die Unbeachtlichkeit der Expertise zu schliessen (vgl. E. 2.2 hievor). Es liegt weder eine Verletzung von <ref-law> noch von Art. 6 EMRK vor.
4.
Was die Beschwerdeführerin gegen den angefochtenen Entscheid in materieller Hinsicht vorbringt, ist - soweit es sich nicht ohnehin um unzulässige appellatorische Kritik an der vorinstanzlichen Beweiswürdigung handelt (vgl. <ref-ruling> E. 2.3 S. 266) - ebenfalls unbegründet.
4.1. Die Beschwerdeführerin nimmt vorerst Anstoss am Umstand, dass Dr. med. C._ im Gutachten vom 17. Februar 2015 darauf hingewiesen hatte, krankheitsfremde Gründe seien im Gutachten strikt ausser Acht gelassen und bei der Beurteilung nicht mit berücksichtigt worden. Wie die Vorinstanz diesbezüglich richtig erwogen hat, gab die Gutachterin damit eine Selbstverständlichkeit im Rahmen einer Begutachtung wieder. Entgegen den Einwänden in der Beschwerde setzte sie sich auch explizit mit dem Vorliegen psychosozialer Belastungsfaktoren und deren Verselbständigung auseinander. Dr. med. C._ wies darauf hin, es sei nachvollziehbar, dass die Beschwerdeführerin aufgrund ihrer unklaren beruflichen und privaten Situation (Wohnung) im Moment belastet erscheine. Diese Situation lasse sich indessen nicht mit einer eigenständigen psychischen Störung erklären.
4.2. Die Beschwerdeführerin wendet weiter ein, die von Dr. med. C._ beschriebene Änderung der Diagnose und die Verbesserung der Arbeitsfähigkeit im Zeitraum zwischen ihrer psychiatrischen Kurzbeurteilung vom 23. Juli 2014 und ihrer Begutachtung vom 12. Februar 2015 sei nicht schlüssig. Die diesbezüglichen Ausführungen beschränken sich im Wesentlichen auf die Darlegung ihrer eigenen, von der Vorinstanz abweichenden Beweiswürdigung und Darstellung der gesundheitlichen Verhältnisse bzw. deren Veränderung, was nicht genügt. Konkret erschöpfen sich die Einwände in der Behauptung, es gehe ihr kaum besser sowie im Verweis auf die anders lautenden Einschätzungen der behandelnden Ärzte, insbesondere der Dr. med. D._, FMH Psychiatrie und Psychotherapie, im Bericht vom 17. Juni 2015 sowie der Dr. med. E._, FMH Psychiatrie und Psychotherapie, im Bericht vom 12. Februar 2015 (vgl. dazu auch nachfolgend E. 4.3). Inwiefern indessen die diesbezüglichen vorinstanzlichen Feststellungen sowie der Schluss, es liege kein die Arbeitsfähigkeit einschränkendes psychisches Leiden mehr vor, offensichtlich unrichtig oder sonstwie bundesrechtswidrig sein sollen, ist weder ersichtlich noch in der Beschwerde substanziiert dargetan. Das Bundesgericht bleibt deshalb daran gebunden (vgl. E. 1.2 hievor).
4.3. Nicht zu hören ist schliesslich die Rüge, es liege an der "überzogenen ICD Orthodoxie", dass Dr. med. C._ trotz eines Geburtstraumas keine posttraumatische Belastungsstörung diagnostiziert habe. Das kantonale Gericht hat in Bezug darauf gerade erwogen, es sei nicht von Bedeutung, ob es sich bei der Geburt bzw. beim Operationsverlauf um ein traumatisierendes Ereignis von aussergewöhnlicher Schwere handle, fehlten doch gemäss Dr. med. C._ auch weitere Kriterien und etliche typische Symptome für die Diagnose einer posttraumatischen Belastungsstörung. Eine Bundesrechtswidrigkeit dieser Feststellungen ist weder ersichtlich noch von der Beschwerdeführerin substanziiert dargelegt. Im Übrigen räumt die Beschwerdeführerin unter Hinweis auf einen Artikel aus einer Zeitschrift des Schweizerischen Hebammenverbands selber ein, der Geburtsvorgang stelle nach der geltenden ICD-10 nur dann ein ausreichend schweres Trauma für die Diagnose einer posttraumatischen Belastungsstörung dar, wenn sie mit einem Notkaiserschnitt einhergehe. Im vorliegenden Fall mit sekundärer Wunschsectio verhält es sich anders.
4.4. Weil die Einwände der Beschwerdeführerin keine - auch keine geringen - Zweifel an der Expertise der Dr. med. C._ vom 12. Februar 2015 zu begründen vermögen, verletzt es nicht Bundesrecht, dass die Vorinstanz darauf abgestellt und auf weitere Abklärungen verzichtet hat (antizipierte Beweiswürdigung; <ref-ruling> E. 5.3 S. 236). Ein Verstoss gegen den Untersuchungsgrundsatz liegt nicht vor.
5.
Bei diesem Ausgang des Verfahrens hat die Beschwerdeführerin die Gerichtskosten zu tragen (<ref-law>). Dem Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege (im Sinne der vorläufigen Befreiung von den Gerichtskosten und unentgeltliche Verbeiständung) kann - wie bereits im vorinstanzlichen Verfahren - nicht entsprochen werden, weil die hiefür nebst anderen vorausgesetzte finanzielle Bedürftigkeit (<ref-law>) nicht hinreichend nachgewiesen ist. Die Beschwerdeführerin hat es unterlassen, den ihr mit Schreiben vom 22. Juli 2016 zugestellten Erhebungsbogen für die unentgeltliche Rechtspflege sorgfältig auszufüllen. Es finden sich darin namentlich keinerlei Angaben über ihre persönlichen Einkünfte oder jene ihres Ehegatten. Die Beschwerdeführerin hat mithin ihre Pflicht zur Substanziierung bzw. Belegung ihrer Bedürftigkeit verletzt (Thomas Geiser, in: Basler Kommentar, Bundesgerichtsgesetz, 2. Aufl. 2011, N. 18 zu <ref-law>). Androhungsgemäss wird deshalb auf Grund der Akten entschieden. Dass die Beschwerdeführerin im Juli 2016 noch Arbeitslosentaggelder in Höhe von Fr. 3'910.05 bezog, geht aus den eingereichten Unterlagen ohne Weiteres hervor. Zumindest im vorinstanzlichen Verfahren bezog der Ehegatte der Beschwerdeführerin zusätzlich etwa Fr. 3'600.- an Arbeitslosentaggeldern, womit sich die gemeinsamen Einkünfte auf monatlich etwa Fr. 7'600.- beliefen. Die anrechenbaren Einnahmen überschritten damit die notwendigen Ausgaben bei Weitem. Hinweise darauf, dass sich diese Einkommensverhältnisse wesentlich verändert haben, sind nicht aktenkundig. Insbesondere läuft die Rahmenfrist betreffend die Arbeitslosentaggelder des Ehegatten der Beschwerdeführerin noch bis Ende März 2017.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen.
2.
Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege wird abgewiesen.
3.
Die Gerichtskosten von Fr. 800.- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien, dem Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich und dem Bundesamt für Sozialversicherungen schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 18. Januar 2017
Im Namen der II. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Pfiffner
Der Gerichtsschreiber: Williner