Sachverhalt:
A.
A.a. A.D._ (geb. 1967; Beschwerdeführerin) und B.D._ (geb. 1978; Beschwerdegegner 2) heirateten 2008. Ebenfalls 2008 wurde die gemeinsame Tochter C.D._ geboren. Seit dem 1. April 2014 leben die Eheleute getrennt. Mit Urteil und Verfügung vom 9. Oktober 2014 stellte das Bezirksgericht Zürich die gemeinsame Tochter unter die Obhut von A.D._. Im Übrigen genehmigte es eine Vereinbarung, mit welcher die Eheleute unter anderem den persönlichen Verkehr zwischen Vater und Tochter sowie den von B.D._ zu bezahlenden Kindes- und Ehegattenunterhalt regelten. Ausserdem ordnete das Bezirksgericht zwischen den Eheleuten mit Wirkung per 9. Juli 2014 die Gütertrennung an.
A.b. Am 8. April 2016 klagte B.D._ beim Bezirksgericht Zürich auf Scheidung der Ehe. Mit Eingabe vom 23. Juni 2016 stellte A.D._ Anträge zur Scheidung und ersuchte vorsorglich um Erlaubnis, den Wohnsitz der Tochter nach Warschau (PL) verlegen zu dürfen. Mit Verfügung vom 17. November 2016 berechtigte das Bezirksgericht im Sinne einer vorsorglichen Massnahme A.D._ dazu, den Wohnsitz und den Aufenthaltsort der Tochter ab sofort und für die Dauer des Scheidungsverfahrens nach Warschau zu verlegen. Ausserdem regelte es das Besuchsrecht von B.D._ und verpflichtete diesen zur Zahlung eines monatlichen Kindesunterhalts von Fr. 700.-- zuzüglich Familien-, Kinder- und/oder Ausbildungszulagen.
B.
Gegen diese Verfügung reichte B.D._ am 28. November bzw. 5. Dezember 2016 beim Obergericht des Kantons Zürich Berufung ein. Am 5. Dezember 2016 äusserte sich A.D._ zur Frage der aufschiebenden Wirkung der Berufung und stellte ein Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung für das Berufungsverfahren. Mit Beschluss vom 6. Januar 2017 (eröffnet am 12. Januar 2017) wies das Obergericht das Gesuch ab (Dispositivziffer 1) und setzte A.D._ Frist zur Einreichung einer Berufungsantwort (Dispositivziffer 2).
C.
Am 23. Januar 2017 ist A.D._ mit Beschwerde in Zivilsachen ans Bundesgericht gelangt und hat folgende Anträge gestellt:
"1. Der Beschluss des Obergerichts des Kantons Zürich vom 6. Januar 2017 [...] sei aufzuheben und es sei der Beschwerdeführerin im genannten Verfahren vor dem Obergericht des Kantons Zürich (Berufungsverfahren) durch [B.D._] ein Prozesskostenvorschuss von CHF 5'000 zuzüglich Mehrwertsteuern von 8% zuzusprechen bzw. eventualiter die unentgeltliche Rechtspflege/Rechtsverbeiständung in der Person der Unterzeichnenden zu bewilligen.
2. Eventualiter zu Rechtsbegehren Ziffer 1 sei die Sache an die Vorinstanz zurückzuweisen.
3. Es sei [B.D._] zu verpflichten, der Beschwerdeführerin für das vorliegende Verfahren einen Prozesskostenvorschuss von CHF 5'000 zuzüglich 8% Mehrwertsteuer zu leisten.
4. Eventualiter zu Rechtsbegehren Ziffer 3 sei der Beschwerdeführerin für das vorliegende Verfahren vor Bundesgericht die unentgeltliche Rechtspflege / Rechtsverbeiständung in der Person der Unterzeichnenden zu bewilligen."
Ausserdem ersucht A.D._ um Erteilung der aufschiebenden Wirkung der Beschwerde. Mit Verfügung vom 26. Januar 2017 hat der Präsident der II. zivilrechtlichen Abteilung das Gesuch zur Leistung eines Prozesskostenvorschusses im bundesgerichtlichen Verfahren abgewiesen und am 13. Februar 2017 hat er der Beschwerde die aufschiebende Wirkung zuerkannt. Mit Eingabe vom 10. Mai 2017 verzichtet das Obergericht auf eine Vernehmlassung.
Im Übrigen hat das Bundesgericht die Akten des kantonalen Verfahrens eingeholt.

Erwägungen:
1.
1.1. Angefochten ist der Entscheid einer letzten kantonalen Instanz (<ref-law>), mit welchem die unentgeltliche Rechtspflege für das Berufungsverfahren verweigert wurde. Der die unentgeltliche Rechtspflege abweisende Entscheid ist ein Zwischenentscheid, der einen nicht wieder gutzumachenden Nachteil bewirken kann (Art. 93 Abs. 1 Bst. a BGG; <ref-ruling> E. 1.1; jüngst Urteil 5A_946/2016 vom 10. April 2017 E. 1). Das Obergericht hat über die unentgeltliche Rechtspflege nicht als Rechtsmittelinstanz nach <ref-law> entschieden. Da es mit einem Berufungsverfahren befasst ist und über die unentgeltliche Rechtspflege in diesem Rahmen befunden hat, steht dies der Zulässigkeit der Beschwerde aber nicht entgegen (<ref-ruling> E. 1.1; <ref-ruling> E. 2.2). Bei Zwischenentscheiden folgt der Rechtsweg jenem der Hauptsache (<ref-ruling> E. 1.1). In dieser geht es um vorsorgliche Massnahmen im Rahmen einer Ehescheidung (Wohnsitzwechsel der Tochter, Besuchsrecht, Kindesunterhalt). Es liegt eine insgesamt nicht vermögensrechtliche Zivilsache vor (vgl. Urteil 5A_72/2016 vom 2. November 2016 E. 1), die der Beschwerde in Zivilsachen unterliegt (<ref-law>). Die Beschwerdeführerin ist nach <ref-law> zur Beschwerde berechtigt. Auf die auch fristgerecht erhobene Beschwerde (<ref-law>) ist daher grundsätzlich einzutreten.
1.2. Die Beschwerdeführerin beantragt, es sei der Beschwerdegegner zur Leistung eines Prozesskostenvorschusses im kantonalen Berufungsverfahren zu verpflichten. Einen entsprechenden Antrag hat sie vor Obergericht indessen nicht gestellt (Eingabe vom 5. Dezember 2016 [Akten Obergericht, act.10]), was sie nicht bestreitet. Damit fehlt es insoweit an der Ausschöpfung des kantonalen Instanzenzugs, womit auf die Beschwerde in diesem Umfang nicht eingetreten werden kann (vgl. <ref-ruling> E. 2; Urteile 5A_686/2016 vom 28. März 2017 E. 3.3; 5A_738/2016 vom 17. November 2016 E. 6, nicht publiziert in: <ref-ruling>).
1.3. In der Hauptsache sind vorsorgliche Massnahmen im Scheidungsverfahren umstritten. Diese fallen unter den Anwendungsbereich von <ref-law> (Urteile 5D_8/2016 vom 3. Juni 2016 E. 1.4; 5A_58/2014 vom 17. Oktober 2014 E. 2.1). Auch mit der vorliegenden Beschwerde betreffend die Verweigerung der unentgeltlichen Rechtspflege kann daher einzig die Verletzung verfassungsmässiger Rechte gerügt werden (Urteile 5A_577/2016 vom 13. Februar 2017 E. 1.2; 5A_213/2016 vom 7. Juli 2016 E. 1). Hierfür gilt das strenge Rügeprinzip nach <ref-law>. Das Bundesgericht prüft daher nur klar und detailliert erhobene und, soweit möglich, belegte Rügen. Auf ungenügend begründete Rügen und rein appellatorische Kritik am angefochtenen Entscheid tritt es nicht ein (<ref-ruling> E. 2.3 S. 266).
2.
2.1. Die Vorinstanz hat erwogen, der Anspruch auf unentgeltliche Rechtspflege sei gegenüber der familienrechtlichen Unterstützungspflicht subsidiär. Einem bedürftigen Ehegatten könne die unentgeltliche Rechtspflege nur bewilligt werden, wenn der andere Ehegatte nicht in der Lage sei, einen Prozesskostenvorschuss zu leisten. Die gesuchstellende Partei habe daher entweder auch einen Antrag auf Ausrichtung eines Prozesskostenvorschusses zu stellen oder aber im Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege darzulegen, weshalb auf ein Verfahren auf Zahlung eines Prozesskostenvorschusses verzichtet werden könne. Die Beschwerdeführerin habe weder das eine noch das andere getan. Vielmehr habe sie einzig pauschal auf die vorinstanzlichen Akten verwiesen. Die Erstinstanz habe den Eheleuten zwar die unentgeltliche Rechtspflege gewährt, indessen einzig ausgeführt, diese seien mittellos, ohne näher auf die Einkommens- und Vermögensverhältnisse einzugehen. Immerhin ergebe sich, dass der Beschwerdegegner 2 ein nicht unerhebliches monatliches Nettoeinkommen erwirtschafte, das seinen (erweiterten) Bedarf deutlich übersteige. Damit ergebe sich weder aus dem Gesuch noch dem angefochtenen Entscheid, dass der Beschwerdegegner 2 nicht in der Lage sei, einen Prozesskostenvorschuss zu leisten. In der Folge wies das Obergericht das Gesuch der Beschwerdeführerin aufgrund der Subsidiarität der unentgeltlichen Rechtspflege ab.
2.2. Die Beschwerdeführerin bestreitet nicht, dass sie keinen Antrag auf Leistung eines Prozesskostenvorschusses gestellt und sich im vorinstanzlichen Verfahren auch ansonsten nicht zu dieser Frage geäussert hat. Sie bestreitet auch nicht, dass der Anspruch auf unentgeltliche Rechtspflege gegenüber den familienrechtlichen Unterstützungspflichten subsidiär ist und der Anspruch auf einen Prozesskostenvorschuss gegenüber dem Ehepartner demjenigen auf unentgeltliche Rechtspflege vorgeht (vgl. dazu <ref-ruling> E. 4.2.1; jüngst Urteile 5A_928/2016 vom 22. Juni 2017 E. 8; 5A_315/2016 vom 7. Februar 2017 E. 11). Sie macht allerdings geltend, aus den Akten ergebe sich mit hinreichender Klarheit, dass vom Beschwerdegegner 2 kein Prozesskostenvorschuss erhältlich sei und die Beteiligten mittellos seien. Vor Bezirksgericht hätten beide Eheleute ein Gesuch um Prozesskostenvorschuss gestellt. Auf Anraten der Erstinstanz hätten sie diese Gesuche wieder zurückgezogen. Das Bezirksgericht habe in der Folge beiden Eheleuten die unentgeltliche Rechtspflege gewährt. Die Umstände hätten sich seitdem nicht verändert. Die Beschwerdeführerin habe die finanziellen Verhältnisse der Beteiligten sodann vor Bezirksgericht detailliert dargelegt. Dies müsse zum Nachweis ausreichen, dass kein Prozesskostenvorschuss erhältlich sei. Andernfalls hätte das Obergericht die Beschwerdeführerin zur Ergänzung des Gesuchs um unentgeltliche Rechtspflege anhalten und ihr die Gelegenheit geben müssen, die entsprechenden Nachweise zu erbringen. Dies gelte umso mehr mit Blick auf die beschränkte Untersuchungsmaxime. Indem das Obergericht dies unterlassen habe, habe es überspitzt formalistisch gehandelt (<ref-law>), die Ansprüche auf rechtliches Gehör (<ref-law>) und auf unentgeltliche Rechtspflege (<ref-law>) verletzt sowie den Sachverhalt offensichtlich unrichtig festgestellt.
3.
3.1. Nach der Rechtsprechung darf von der anwaltlich vertretenen Partei verlangt werden, dass sie im Gesuch um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege ausdrücklich darlegt, weshalb ihrer Ansicht nach auf einen Prozesskostenvorschuss zu verzichten ist. Auf diese Weise kann das Gericht diese Auffassung vorfrageweise prüfen, womit sichergestellt ist, dass die Beurteilung, ob ein Vorschuss zu leisten ist, nicht der (antizipierten) Beurteilung durch die Partei überlassen wird. Damit wird die Beachtung des Grundsatzes der Subsidiarität der unentgeltlichen Rechtspflege sichergestellt. Fehlt die entsprechende Begründung kann das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege ohne weiteres abgewiesen werden (Urteil 5A_556/2014 vom 4. März 2015 E. 3.2; vgl. auch Urteile 5A_928/2016 vom 22. Juni 2017 E. 8; 5D_83/2015 vom 6. Januar 2016 E. 2.1). Die Beschwerdeführerin hat vor Obergericht unstrittig weder einen Antrag auf Ausrichtung eines Prozesskostenvorschusses gestellt noch hat sie explizit dargelegt, weshalb sie auf einen solchen Antrag verzichtete. Sie begnügte sich mit einem sehr pauschalen Hinweise auf die erstinstanzlichen Akten. Damit ist es nicht zu beanstanden, dass die Vorinstanz das Gesuch mangels ausreichender Begründung abgewiesen hat.
3.2. Hieran ändern auch die Vorbringen der Beschwerdeführerin vor Bundesgericht nichts: Fehlen die notwendigen Ausführungen zum Prozesskostenvorschuss, liegt es nicht am ersuchten Gericht, in den Rechtsschriften oder den Akten nach Hinweisen und Anhaltspunkten zu suchen, die darauf schliessen lassen könnten, dass kein Anspruch auf einen solchen besteht (Urteil 5A_556/2014 vom 4. März 2015 E. 3.2). Ohnehin oblag es der Beschwerdeführerin, ihre Einkommens- und Vermögensverhältnisse und - mit Blick auf die eheliche Beistandspflicht - auch diejenigen ihres Ehemannes umfassend darzustellen und möglichst zu belegen (vgl. <ref-law>; Urteile 5A_380/2015 vom 1. Juli 2015 E. 3.2.2, in: SJ 2016 I 128; 5A_36/2013 vom 22. Februar 2013 E. 3.3). Dieser Pflicht ist die Beschwerdeführerin mit dem pauschalen Hinweis auf die bezirksgerichtlichen Akten nicht nachgekommen. Demnach war das Obergericht nicht verpflichtet, weiter nach den finanziellen Verhältnissen der Eheleute zu forschen. Anders als die Beschwerdeführerin meint, hat das Obergericht mit seinem Vorgehen auch nicht die richterliche Fragepflicht nach <ref-law> verletzt. Diese dient nicht dazu, prozessuale Nachlässigkeiten einer anwaltlich vertretenen Partei auszugleichen (Urteile 5A_556/2014 vom 4. März 2015 E. 3.2; 5A_115/2012 vom 20. April 2012 E. 4.5.2). Die Vorinstanz war sodann auch mit Blick auf <ref-law> nicht gehalten, der anwaltlich vertretenen Beschwerdeführerin eine Nachfrist zwecks Verbesserung des unvollständigen Gesuchs anzusetzen (vgl. Urteil 4D_69/2016 vom 28. November 2016 E. 5.4.3 mit Hinweisen). Nichts für sich abzuleiten vermag die Beschwerdeführerin schliesslich aus dem Hinweis auf <ref-law> und <ref-law>. Gemäss diesen Bestimmungen kann im Rechtsmittelverfahren eine Nachfrist zur Ergänzung von in formeller Hinsicht ungenügenden Rechtsschriften angesetzt werden (<ref-ruling> E. 6.4). Die Nachfrist dient jedoch nicht der Ergänzung oder Verbesserung ungenügend begründeter Eingaben (Urteil 5A_736/2016 vom 30. März 2017 E. 4.3; 5A_206/2016 vom 1. Juni 2016 E. 4.2.2). Inwieweit sich etwas anderes aus der Anwendbarkeit des beschränkten Untersuchungsgrundsatzes nach <ref-law> ergeben sollte, legt die Beschwerdeführerin mit dem blossen - wenn auch wiederholten - Hinweis auf die Geltung dieser Maxime nicht hinreichend dar (Art. 42 Abs. 2 und <ref-law> und dazu <ref-ruling> E. 2.1). Entgegen der Ansicht der Beschwerdeführerin liegt schliesslich auch kein überspitzter Formalismus vor, wenn eine explizite Äusserung zum Gesuch um Prozesskostenvorschuss verlangt wird und das Gericht das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege bei deren Fehlen ohne weiteres abweist. Die von der Beschwerdeführerin ebenfalls erhobenen Rügen der Verletzung des rechtlichen Gehörs, der Willkür und der offensichtlich unrichtigen Sachverhaltsfeststellung haben gegenüber den soeben behandelten Gesichtspunkten keine eigene Tragweite (Urteil 5A_556/2014 vom 4. März 2015 E. 3.2).
4.
Die Beschwerde erweist sich damit als unbegründet, soweit auf sie eingetreten werden kann. Bei diesem Ausgang des Verfahrens hat die Beschwerdeführerin grundsätzlich die Gerichtskosten zu tragen (<ref-law>). Sie hat keinen Anspruch auf Ersatz ihrer Parteikosten (<ref-law>). Der Kanton Zürich hat ebenfalls keinen Anspruch auf eine Parteikostenentschädigung (<ref-law>) und dem Beschwerdegegner 2 sind keine ersatzpflichtigen Kosten entstanden.
Das Gesuch der Beschwerdeführerin um unentgeltliche Rechtspflege ist gutzuheissen. Die Beschwerdeführerin ist damit von der Bezahlung der Gerichtskosten zu befreien und ihr ist ihre Vertreterin als unentgeltliche Rechtsvertreterin beizuordnen (Art. 64 Abs. 1 und 2 BGG). Die Beschwerdeführerin wird darauf hingewiesen, dass sie der Gerichtskasse Ersatz zu leisten hat, wenn sie später dazu in der Lage ist (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.
Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege im bundesgerichtlichen Verfahren wird gutgeheissen und es wird der Beschwerdeführerin Rechtsanwältin Dr. Caterina Nägeli, als unentgeltliche Rechtsvertreterin beigeordnet.
3.
Die Gerichtskosten von Fr. 2'000.-- werden der Beschwerdeführerin auferlegt, indes vorläufig auf die Bundesgerichtskasse genommen.
4.
Rechtsanwältin Nägeli wird aus der Bundesgerichtskasse mit Fr. 2'500.-- entschädigt.
5.
Dieses Urteil wird den Parteien schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 18. Juli 2017
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: von Werdt
Der Gerichtsschreiber: Sieber