Sachverhalt:
A.
A.C._ (geboren am 22. Januar 2008) lebt mit Trisomie 21 ("Down Syndrom"). Er besuchte während drei Jahren integrativ den Regelkindergarten in U._. Mit Entscheid vom 26. Januar 2016 wies ihn das Amt für Volksschule des Kantons Thurgau für die erste Klasse der Sonderschule V._ zu.
B.
Gegen diesen Entscheid liess A.C._, gesetzlich vertreten durch seine Eltern, beim Departement für Erziehung und Kultur des Kantons Thurgau (DEK) Rekurs erheben. Die Eltern beantragten dem DEK, ihr Sohn sei vollintegriert mit der nötigen Anzahl Assistenzstunden in die Regelschule in U._ einzuschulen. Mit Entscheid vom 14. Juli 2016 wies das DEK diesen Rekurs kostenfällig ab. In der Folge schulten die Eltern A.C._ in der privaten Schule E._ in W._ (TG) ein, welche er auch heute noch besucht.
Am 2. September 2016 erhob A.C._ durch seine Eltern gegen den Departementsentscheid Beschwerde beim Verwaltungsgericht des Kantons Thurgau. Er beantragte, er sei an seinem Wohnort oder in der Schule E._ integrativ zu beschulen, unter Übernahme der Kosten durch den Kanton Thurgau oder die Schulgemeinde. Mit Urteil vom 21. Dezember 2016 hiess das Verwaltungsgericht die Beschwerde im Kostenpunkt gut. Im Übrigen wies es sie ab, soweit es darauf eintrat.
C.
Mit Eingabe vom 7. Februar 2017 erhebt A.C._ beim Bundesgericht Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten. Er beantragt, der Entscheid des Verwaltungsgerichts vom 21. Dezember 2016 sei aufzuheben, er sei, unter Übernahme der Kosten durch den Kanton Thurgau oder die Schulgemeinde, an seinem Wohnort in einer Regelklasse oder in der Schule E._ in W._ (TG) integrativ zu beschulen, eventualiter sei die Sache zur Durchführung einer umfassenden schulpsychologischen Abklärung an die entscheidende Instanz oder die Vorinstanz zurückzuweisen. In formeller Hinsicht ersucht er um Gewährung der unentgeltlichen Prozessführung. Im Sinne einer vorsorglichen Massnahme beantragt er zudem, für die Dauer des bundesgerichtlichen Verfahrens sei seine Beschulung in der Schule E._ anzuordnen.
Das Verwaltungsgericht beantragt in seiner Vernehmlassung vom 17. Februar 2017 unter Verweis auf den angefochtenen Entscheid die vollumfängliche Abweisung der Beschwerde sowie des Gesuchs um vorsorgliche Massnahmen. Das DEK hat am 21. Februar 2017 zur Beschwerde Stellung genommen und beantragt, diese sei abzuweisen, soweit darauf eingetreten werden könne. Ziffer 3 des Dispositivs des angefochtenen Entscheides sei aufzuheben und es sei festzustellen, dass keine ausseramtliche Entschädigung geschuldet sei. Das Gesuch um vorsorgliche Massnahmen sei abzuweisen. Das Amt für Volksschule hat am 21. Februar 2017 eine Stellungnahme zur Beschwerde eingereicht, ohne Anträge zu stellen. Die Primarschulgemeinde U._ verzichtet auf Vernehmlassung.
Der Präsident der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung des Bundesgerichts hat das Gesuch um vorsorgliche Massnahmen mit Verfügung vom 23. Februar 2017 teilweise gutgeheissen und festgestellt, der Beschwerdeführer sei während der Dauer des bundesgerichtlichen Verfahrens nicht verpflichtet, die Sonderschule V._ zu besuchen.

Erwägungen:
1.
1.1. Die Beschwerde richtet sich gegen den verfahrensabschliessenden Entscheid einer letzten kantonalen Instanz in einer Angelegenheit des öffentlichen Rechts. Die Voraussetzungen der Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten liegen vor (Art. 82 lit. a, Art. 83 e contrario, Art. 86 Abs. 1 lit. d und Abs. 2, Art. 89 Abs. 1 und Art. 90 BGG). Auf die Beschwerde ist vorbehältlich nachstehender Erwägung einzutreten.
Der Beschwerdeführer beantragt die Einschulung in der Schule E._ und eine entsprechende Kostenübernahme. Dies wurde erstmals im Verfahren vor dem Verwaltungsgericht thematisiert. Das Verwaltungsgericht ist deshalb auf den dortigen gleichlautenden Antrag nicht eingetreten. Gegenstand des bundesgerichtlichen Verfahrens könnte folglich diesbezüglich einzig die Frage sein, ob die Vorinstanz auf den Antrag zu Recht nicht eingetreten ist, was angesichts des Verbots neuer Vorbringen gemäss § 58 des Gesetzes über die Verwaltungsrechtspflege des Kantons Thurgau vom 23. Februar 1981 (VRG/TG; RB 170.1) zu bejahen wäre. Soweit der Beschwerdeführer erneut den Antrag stellt, unter Übernahme der Kosten in der Schule E._ beschult zu werden, ist auf die Beschwerde nicht einzutreten.
1.2. Das Bundesgericht prüft die richtige Anwendung von Bundesrecht, Völkerrecht und kantonalen verfassungsmässigen Rechten frei und von Amtes wegen (Art. 95 lit. a-c und <ref-law>). Hinsichtlich der Verletzung des übrigen kantonalen Rechts beschränkt sich die Überprüfungsbefugnis thematisch auf die erhobenen und begründeten Rügen (<ref-law>) und inhaltlich auf die Frage, ob die Anwendung des kantonalen Rechts zu einer Bundesrechtswidrigkeit führt. Im Vordergrund steht dabei eine Verletzung verfassungsmässiger Rechte, namentlich des Willkürverbots (<ref-ruling> E. 2 S. 149 f.).
1.3. Seinem Urteil legt das Bundesgericht den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (<ref-law>). Es kann die Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz von Amtes wegen berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruht (<ref-law>). Die beschwerdeführende Partei kann die Feststellung des Sachverhalts unter den gleichen Voraussetzungen beanstanden, wenn die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein kann (<ref-law>). Dabei gelten, wie bei den in <ref-law> genannten Rügen, strenge Anforderungen an die Begründung (<ref-ruling> E. 9.2.3.6 S. 96 mit Hinweis).
2.
2.1. Der Beschwerdeführer macht geltend, die Vorinstanz habe den massgeblichen Sachverhalt ungenügend abgeklärt und qualifiziert unrichtig festgestellt. Der angefochtene Entscheid stütze sich nur auf die Akten, insbesondere auf den Bericht über die schulpsychologische Begutachtung vom 11. Januar 2016 (recte: 8. Januar 2016). Dieser erfülle jedoch die Anforderungen an eine solche Abklärung nicht. Offenbar seien ausser einer Unterrichtsbeobachtung keine Abklärungen gemacht worden, und es sei kein Gespräch mit dem Kindergärtner oder der ehemaligen Logopädin aktenkundig. Auch mit der aktuellen Logopädin habe kein Gespräch stattgefunden. Der Bericht beruhe somit auf den Akten und einer Unterrichtsbeobachtung von circa eineinhalb Stunden. An den Aussprachen sei die Schulpsychologin nicht beteiligt gewesen, und eine eigentliche Abklärung seines Potentials habe nicht stattgefunden. Es habe auch keinen Austausch mit den Eltern, der schulischen Logopädin oder der Unterrichtsassistenz gegeben. Die Erstellung des schulpsychologischen Gutachtens sei nicht gemäss den Richtlinien des Amts für Volksschule erfolgt. Damit sei der Sachverhalt ungenügend abgeklärt worden.
2.2. Der Beschwerdeführer vermag mit seinen teilweise appellatorischen Ausführungen nicht darzulegen, dass die vorinstanzliche Sachverhaltsfeststellung offensichtlich unrichtig wäre. Es wird zwar ersichtlich, dass seiner Ansicht nach weitere Gespräche und Abklärungen angezeigt gewesen wären. Er erläutert jedoch nicht, inwiefern diese Abklärungen offensichtlich zu einem anderen Ergebnis hätten führen müssen. Entgegen der Behauptung in der Beschwerde erfolgte im Rahmen der Abklärungen durch die Schulpsychologin ein Austausch mit dem Kindergärtner, der Klassenassistenz und der Heilpädagogin. Zudem ist die Bemerkung, die Schulpsychologin sei an vorgängig durchgeführten Aussprachen nie beteiligt gewesen, zu relativieren: Sie war bereits seit mehreren Jahren mit A.C._ befasst und gemäss den entsprechenden Protokollen an den runden Tischen vom 7. Mai 2013, 2. Dezember 2014 und 5. März 2015 zugegen. Sodann fand gemäss dem schulpsychologischen Bericht am 7. Januar 2016 ein Gespräch mit dem Vater des Beschwerdeführers statt. Es trifft demnach nicht zu, dass der Bericht einzig auf den Akten und einer Unterrichtsbeobachtung von eineinhalb Stunden beruhte. Vielmehr ist davon auszugehen, dass die im Merkblatt "Integrative Sonderschulung, Abläufe, Regelungen, Stolpersteine" des Amts für Volksschule genannten Mittel zur Abklärung einer integrativen Sonderschulung weitgehend ausgeschöpft wurden. Der Beschwerdeführer legt im Übrigen nicht schlüssig dar, inwiefern der Sachverhalt willkürlich festgestellt worden wäre. Dass die Vorinstanz aus der Stellungnahme des Therapiezentrums F._ vom 12. Februar 2016 nicht dieselben Schlussfolgerungen zog wie der Beschwerdeführer, stellt weder eine offensichtlich unrichtige Feststellung des Sachverhalts noch eine Verletzung des rechtlichen Gehörs dar.
2.3. Nach dem Gesagten ist nicht ersichtlich und wird nicht rechtsgenügend dargelegt, dass die kantonalen Behörden oder das Verwaltungsgericht bei der Sachverhaltsfeststellung bundes- oder kantonalrechtliche Bestimmungen verletzt hätten. Die strengen Voraussetzung für eine Ergänzung oder Berichtigung des Sachverhalts durch das Bundesgericht (vgl. E. 1.3 hiervor) sind nicht erfüllt.
3.
3.1. Der Beschwerdeführer bestreitet die (alleinige) Zuständigkeit des Amts für Volksschule für den Entscheid, ob eine integrative oder eine separative Sonderschulung durchgeführt werde. Aus dem Gesamtzusammenhang ergebe sich, dass das Amt eine gemeinsame Zuständigkeit mit der Schulgemeinde habe. Letztere hätte deshalb in den Entscheid miteinbezogen werden müssen. Diese Einschätzung erweist sich als unzutreffend.
3.2. Gemäss der hier massgebenden Fassung von a§ 11 der Verordnung des Regierungsrates des Kantons Thurgau vom 28. September 2010 über die Sonderschulung, Heilpädagogische Früherziehung, Spitalschulung und spezielle Unterstützungsangebote (Sonderschulverordnung; RB 411.411; Stand 1. Januar 2013) entscheidet das Amt bei einer separativen Sonderschulung über die Sonderschulbedürftigkeit, die Durchführungsstelle, Internat oder Externat, die Dauer der Massnahme, die Finanzierung und den Elternbeitrag (Abs. 1). Die Eltern und die Schulgemeinde sind anzuhören (Abs. 2). Wenn das Amt die Möglichkeit einer integrativen Sonderschulung unterstützt, entscheidet die Schulgemeinde, ob eine solche durchgeführt wird (Abs. 3). Über die Sonderschulbedürftigkeit, die Dauer der Massnahmen und die Finanzierung entscheidet auch bei einer integrativen Sonderschulung das Amt (Abs. 4).
Aus dieser Bestimmung lässt sich keine gemeinsame Zuständigkeit des Amts und der Schulgemeinde ableiten. Die Schulgemeinde kann nur dann über die Durchführung einer integrativen Sonderschulung entscheiden, wenn das Amt diese Möglichkeit unterstützt. Der Wortlaut von a§11 Abs. 3 der Sonderschulverordnung ist klar und beinhaltet keine gemeinsame Kompetenz des Amts und der Schulgemeinde. Vielmehr entscheidet die Schulgemeinde einzig über die Durchführung der vom Amt empfohlenen integrativen Sonderschulung. Über die Sonderschulbedürftigkeit entscheidet das Amt. Die (alleinige) Entscheidbefugnis des Amts ist sodann nicht die Ausnahme, sondern die Regel: Gemäss a§ 3 Abs. 1 der Sonderschulverordnung entscheidet das Amt über die Massnahmen nach dieser Verordnung.
4.
Dass der Beschwerdeführer aufgrund seiner Behinderung einer Sonderschulung bedarf, ist vorliegend nicht bestritten. Er macht aber geltend, er habe einen durch die Verfassung geschützten Anspruch darauf, dass die Sonderschulung integrativ in einer Regelschule erfolge.
4.1. Gemäss <ref-law> darf niemand wegen einer körperlichen, geistigen oder psychischen Behinderung diskriminiert werden. Verboten ist eine sachlich nicht gerechtfertigte, mit der Behinderung begründete Benachteiligung, die als Herabwürdigung oder Ausgrenzung zu gelten hat. <ref-law> begründet keinen individual-rechtlichen, gerichtlich durchsetzbaren Anspruch auf Herstellung einer faktischen Gleichheit. Für die Beseitigung faktischer Benachteiligungen behinderter Personen besteht aber in <ref-law> ein eigenständiger verfassungsrechtlicher Beseitigungsauftrag, welchen der Gesetzgeber zu konkretisieren hat (<ref-ruling> E. 3.1 S. 12 mit Hinweisen).
4.2. <ref-law> gewährleistet als Grundrecht einen Anspruch auf ausreichenden und unentgeltlichen Grundschulunterricht. Zuständig für das Schulwesen sind die Kantone (<ref-law>). Sie gewähren einen ausreichenden Grundschulunterricht, der allen Kindern offen steht. Er ist obligatorisch und an öffentlichen Schulen unentgeltlich (<ref-law>). Die Kantone sorgen sodann für eine ausreichende Sonderschulung aller behinderten Kinder und Jugendlichen bis längstens zum vollendeten 20. Lebensjahr (<ref-law>). Gemäss Art. 20 des Bundesgesetzes vom 13. Dezember 2002 über die Beseitigung von Benachteiligungen von Menschen mit Behinderungen (Behindertengleichstellungsgesetz [BehiG; SR 151.3]) sorgen die Kantone dafür, dass behinderte Kinder und Jugendliche eine Grundausbildung erhalten, die ihren besonderen Bedürfnissen entspricht (Abs. 1). Die Kantone fördern, soweit dies möglich ist und dem Wohl des behinderten Kindes oder Jugendlichen dient, mit entsprechenden Schulungsformen die Integration behinderter Kinder und Jugendlicher in die Regelschule (Abs. 2). Diese Bestimmung konkretisiert die verfassungsrechtlichen Grundsätze (Art. 8 Abs. 2, Art. 19 und <ref-law>), geht aber kaum über sie hinaus (<ref-ruling> E. 3.2 S. 12 f. mit Hinweisen).
4.3. Im Rahmen der genannten Grundsätze verfügen die Kantone praxisgemäss über einen erheblichen Gestaltungsspielraum, was auch für die Sonderschulung gilt (<ref-law>; <ref-ruling> E. 3.2 S. 165). Der verfassungsrechtliche Anspruch umfasst ein angemessenes, erfahrungsgemäss ausreichendes Bildungsangebot an öffentlichen Schulen. Ein darüber hinausgehendes Mass an individueller Betreuung, das theoretisch immer möglich wäre, kann jedoch mit Rücksicht auf das limitierte staatliche Leistungsvermögen nicht eingefordert werden. Der verfassungsmässige Anspruch auf unentgeltlichen Grundschulunterricht verpflichtet den Kanton demnach nicht zur optimalen bzw. geeignetsten Schulung eines Kindes (<ref-ruling> E. 3.3 S. 13 mit zahlreichen Hinweisen).
4.4. Die Ausgestaltung der Sonderschulung für behinderte Kinder ist grundsätzlich Sache des kantonalen Rechts, dessen Auslegung und Anwendung vom Bundesgericht nur auf die Verletzung verfassungsmässiger Rechte hin überprüft wird (vgl. E. 1.2 hiervor). Die dargelegten bundesrechtlichen Mindestgrundsätze müssen jedoch eingehalten werden, was das Bundesgericht frei prüft. Im Kanton Thurgau wird die Sonderschulung im Gesetz über die Volksschule vom 29. August 2007 (VG/TG; RB 411.11) und in der Sonderschulverordnung geregelt. Gemäss § 41 VG/TG sind sonderpädagogische Massnahmen zu ergreifen, wenn bei einem Kind ein besonderer Förder- oder Unterstützungsbedarf festgestellt wird (Abs. 1). Soweit es möglich ist und dem Wohl des Kindes dient, sind sonderpädagogische Massnahmen im Rahmen der Regelschule integrativ oder separativ durchzuführen (Abs. 2). Der Regierungsrat kann Bildungsaufgaben für Kinder mit besonderen Bedürfnissen, namentlich für behinderte oder besonders begabte Kinder, kantonal selbst erfüllen oder einzelnen Gemeinden oder privaten Institutionen übertragen (§ 16 Abs. 1 VG/TG). Gemäss der Sonderschulverordnung entscheidet das Amt für Volksschule über die Sonderschulung und die separative oder integrative Sonderschulbedürftigkeit (a§ 3 Abs. 1 und a§ 11 Abs. 1 Ziff. 1 und Abs. 4 Ziff. 1 Sonderschulverordnung; vgl. E. 3.2 hiervor).
5.
5.1. Entgegen den Ausführungen in der Beschwerde besteht für behinderte Kinder nach dem Gesagten kein verfassungsmässiger Anspruch auf integrative Schulung. Der Beschwerdeführer weist aber zu Recht darauf hin, dass der integrierten Sonderschulung grundsätzlich der Vorrang gegenüber der separierten einzuräumen ist. Die Präferenz der Integration gegenüber der Separation ergibt sich aus <ref-law> und <ref-law> (vgl. <ref-ruling> E. 4.2 S. 166 f.; <ref-ruling> E. 5.3.1 S. 17 f.) sowie § 41 Abs. 2 VG/TG. Dieser Grundsatz lag auch der Botschaft zur Neugestaltung des Finanzausgleichs zugrunde, wonach die Kantone verfassungsrechtlich die Möglichkeit erhielten, eigentliche Spezialschulen nur vorzusehen, wenn eine Integration in der Grundschule auch mit individuellen Sondermassnahmen nicht möglich oder sinnvoll erscheint (BBl 2002 2467). Der Vorrang der integrierten gegenüber der separierten Sonderschulung entspricht sodann einem Grundgedanken des Behindertengleichstellungsgesetzes: Dieses hat gemäss Art. 1 Abs. 2 unter anderem den Zweck, den Menschen mit Behinderungen zu erleichtern, am gesellschaftlichen Leben teilzunehmen und selbständig soziale Kontakte zu pflegen, sich aus- und fortzubilden und eine Erwerbstätigkeit auszuüben. Eine durch angemessene Fördermassnahmen begleitete Integration von behinderten Kindern und Jugendlichen in die Regelschulen trägt diesem Ziel Rechnung, zumal hierdurch der Kontakt zu nichtbehinderten Gleichaltrigen erleichtert wird, was einer gesellschaftlichen Eingliederung zuträglich ist (<ref-ruling> E. 4.2 S. 166 f.). Diese Wertung entspricht Art. 24 Abs. 1 des Übereinkommens vom 13. Dezember 2006 über die Rechte von Menschen mit Behinderungen (SR 0.109), welches vorsieht, dass die Vertragsstaaten ein "inklusives Bildungssystem" gewährleisten. Auch die inklusive Schulung in diesem Sinn geht indessen nicht über die dargelegten bundesrechtlichen Garantien hinaus und vermittelt einem behinderten Grundschüler keine absoluten Ansprüche (<ref-ruling> E. 5.3.2 S. 18).
Der Grundsatz des Vorrangs der integrierten Schulung in der Regelschule führt nicht dazu, dass jede separative Sonderschulung unzulässig wäre. Die Benachteiligung behinderter Kinder ist mit dem Diskriminierungsverbot und der Rechtsgleichheit im Sinne von Art. 8 Abs. 2 und 4 BV nicht vereinbar. Ihre unterschiedliche Behandlung kann sich aber namentlich im schulischen Bereich als angezeigt erweisen, soll doch jedes behinderte Kind seinen intellektuellen Fähigkeiten entsprechende Schulen besuchen können. Der Entscheid zwischen integrierter Schulung in der Regelschule und separativer Sonderschulung liegt weiterhin bei den Kantonen, deren Wahl jedoch insofern nicht frei ist, als sie die Interessen der behinderten Kinder wahren und die Prävalenz der Integration beachten müssen (<ref-ruling> E. 4.2 S. 166 f.; <ref-ruling> E. 6.1.2 S. 357 f.; Botschaft vom 11. Dezember 2000 zur Volksinitiative "Gleiche Rechte für Behinderte" und zum Entwurf eines Bundesgesetzes über die Beseitigung von Benachteiligungen behinderter Menschen, BBl 2001 1786 Ziff. 4.3.2 [4. Abschnitt]). Die Botschaft weist weiter darauf hin, dass die Politik der Integration von behinderten Kindern insofern begrenzt ist, als die Schwere der Behinderung dem Unterricht der anderen Kinder nicht ernstlich entgegenstehen darf (BBl 2001 1750 Ziff. 2.3.2.4). Massgebend für den Entscheid, welche Schule in Frage kommt, ist vorab das Wohl des (behinderten) Kindes. Die (separative) Sonderschulung ist nicht als ein Eingriff in das Recht des Kindes auf freie Entfaltung der Persönlichkeit zu qualifizieren. Soweit möglich soll die inklusive Schulung in der Regelschule den Normalfall bilden. Jedoch besteht kein Anspruch darauf, eine Regelschule zu besuchen (<ref-ruling> E. 5.3.4 S. 19; <ref-ruling> E. 6.1.2 S. 358).
5.2. Eine behinderungsbedingte Ungleichbehandlung wie die Nichteinschulung in der Regelschule muss qualifiziert gerechtfertigt werden. Eine unterschiedliche Behandlung ist aber - im Gegensatz zu einer Benachteiligung - mit Verfassung und Gesetz durchaus vereinbar. Massgebend ist dabei in erster Linie das Wohl des betroffenen Kindes (vgl. <ref-law>). Die separative Sonderschulung hat für Kinder mit einer Behinderung keineswegs nur negative Aspekte. Vielmehr ermöglicht sie, auf die (behinderungsbedingten) Lern- und Förderbedürfnisse individuell angepasster einzugehen. Das Diskriminierungsverbot und das Behindertengleichstellungsgesetz sollen nicht dazu führen, dass Kinder entgegen ihren Interessen und ihrem Wohl in eine Regelklasse eingeschult werden.
6.
Das Verwaltungsgericht gelangte gestützt auf die verschiedenen Berichte und Stellungnahmen zum Schluss, für den Beschwerdeführer sei eine separative Sonderschulung angemessen.
6.1. Die zuständige Schulpsychologin, die das Kind bereits über mehrere Jahre begleitet hatte, führte in ihrem Bericht vom 8. Januar 2016 die erfolgreichen Entwicklungsschritte in den Bereichen Sprache, Feinmotorik und Kognition auf und stellte ihnen die Schwierigkeiten bezüglich Selbständigkeit und Sozialkompetenz gegenüber. Der Beschwerdeführer brauche immer wieder viel Anleitung und Unterstützung. Die Integration in die Gruppe sei nicht wunschgemäss gelungen, und es seien wiederholt Anpassungen und Interventionen notwendig gewesen, um das Miteinander von ihm und den anderen Kindern zu begleiten. Mehrmals sei es zu krisenhaften Situationen gekommen, in denen das Wohl von A.C._ und den anderen Kindern in Gefahr gewesen sei. Dank der Anstrengung aller Beteiligten und Anpassungen im Konzept seien aber jeweils tragbare Wege gefunden worden.
Im Rahmen der Unterrichtsbeobachtung stellte die Schulpsychologin fest, A.C._ sei deutlich aktiver und selbstbewusster geworden, wechsle gerne den Standort und experimentiere mit Gegenständen und Materialien. Er teste gerne Grenzen aus und gehe dann aktiv auf andere Kinder zu, um mit ihnen zu rangeln und zu schubsen. Die Führung seitens der Klassenassistenz könne er zwar nicht spontan, aber doch beim zweiten oder dritten Aufruf befolgen. Am liebsten beschäftige er sich alleine oder mit Erwachsenen. Er bestimme gerne den Spielablauf und fühle sich durch das Mitspielen von anderen Kindern gestört. Nach entsprechender Intervention lasse er sich zwar auf das Spiel mit anderen Kindern ein, eine stete Betreuung bleibe aber notwendig, da er dem Spieltempo der anderen Kinder nicht folgen könne und diese zur Rücksichtnahme angehalten werden müssten.
In ihrer Beurteilung gelangte die Schulpsychologin zum Schluss, der Beschwerdeführer sei weiterhin sonderschulbedürftig. Das derzeitige Setting im Kindergarten ermögliche einen weitgehend störungsfreien Unterricht im Rahmen der integrativen Sonderschulung. A.C._ müsse hierfür sehr eng betreut und regelmässig separiert werden, was seiner eigenen Entwicklung in verschiedenen Bereichen deutlich im Wege stehe. Im Regelkindergarten würden ihm Freiräume fehlen, in denen er sich entfalten und experimentieren könne, ohne sich und andere zu belasten und in Gefahr zu bringen. Der Aufbau von bereichernden Kontakten mit Gleichaltrigen sei für ihn in diesem Rahmen nicht möglich. Durch die notwendige enge Führung sei seine Selbständigkeitsentwicklung beeinträchtigt. Das Fehlen von "gleichgesinnten" Spielkameraden nehme ihm wichtige Erfahrungen im Bereich der sozialen Entwicklung. Sie empfehle deshalb für das kommende Schuljahr und den Übertritt in die erste Klasse den Wechsel in eine geeignete Sonderschule.
6.2. Das Verwaltungsgericht hat seinen Entscheid auf diese fachpsychologische Einschätzung gestützt, was jedenfalls nicht willkürlich ist. Ebensowenig ist ersichtlich, dass die Empfehlung zur separativen Sonderschulung von anderen (diskriminierenden) Beweggründen als dem Bestreben, die für den Beschwerdeführer bestgeeignete Lösung zu finden, beeinflusst gewesen wäre. Die Beurteilung erfolgte wohlwollend und orientierte sich am Interesse des Beschwerdeführers. Den Ausführungen der Schulpsychologin zufolge war es im Kindergarten offenbar trotz sehr enger Betreuung nicht möglich, die erforderlichen Freiräume für seine Entwicklung zu schaffen, ohne sein Wohl oder das Wohl der anderen Kinder zu gefährden. Eine integrative Schulung steht insofern dem Interesse des Beschwerdeführers entgegen. Hinzu kommt, dass die Integration in die Gruppe im Kindergarten nicht wunschgemäss gelang und der Aufbau von bereichernden Kontakten in diesem Rahmen nicht möglich war. Dass das Verwaltungsgericht auf Grundlage der durch die Schulpsychologin im Regelkindergarten beobachteten Umstände zum Schluss gelangte, die integrative Schulung sei für A.C._ nicht hilfreich, da sie seiner Entwicklung im Weg stehe, ist weder willkürlich noch sonstwie bundesrechtswidrig.
Im schulpsychologischen Bericht wird zwar auch erwähnt, es fehle an geeigneten Räumen, gezielten Beschäftigungsangeboten und genügend ausgebildeten Lehrpersonen, um den Beschwerdeführer in der Regelschule entsprechend seinem Entwicklungsstand fördern zu können. Diese Argumente wären, soweit sie sich auf strukturelle Schwierigkeiten beziehen, nicht sachgerecht und vor dem Hintergrund des Vorrangs der Integration nicht zulässig (<ref-law>; vgl. <ref-ruling> E. 5.3.1 S. 17). Das Verwaltungsgericht hat sie sich aber nicht zu eigen gemacht, sondern sich richtigerweise ausschliesslich auf Überlegungen zum Kindeswohl und zur Möglichkeit der tatsächlichen Integration des Beschwerdeführers in eine Regelklasse gestützt.
6.3. Die Erwägung der Vorinstanz, aus der Stellungnahme des Therapiezentrums F._ vom 12. Februar 2016 ergebe sich nicht, inwiefern eine separative Sonderschulung den Beschwerdeführer in seiner Entwicklung hemmen sollte, ist ebenfalls nicht zu beanstanden. Die Logopädin attestiert ihm ein hohes Entwicklungspotential und spricht sich gegen zu viele Freiräume und zu geringe Anforderungen an ihn aus. Es ist indessen kein stichhaltiger Grund für die Annahme ersichtlich, dass eine zeitgemässe separative Sonderschulung diesen Ansprüchen nicht gerecht werden könnte.
6.4. Die Überlegung, dass der Beschwerdeführer mit dem Besuch der Regelschule besser in die Gesellschaft integriert würde und den Umgang mit nichtbehinderten Kindern pflegen und von ihnen lernen könnte, wie auch die nichtbehinderten Kinder im Umgang mit ihm vieles lernen könnten, ist als allgemeine Aussage berechtigt. Das führt aber nicht dazu, dass die separative Sonderschulung als den Interessen oder dem Wohl des Beschwerdeführers zuwiderlaufend oder als diskriminierend bezeichnet werden müsste. Das Verwaltungsgericht und die unteren Instanzen haben vorliegend nicht an ein diskriminierendes Element angeknüpft, sondern aufgrund der Beobachtungen und Erfahrungen im Einzelfall entschieden. Dass sie dabei zum Schluss gelangten, im Rahmen der separativen Sonderschulung könne den Bedürfnissen von A.C._ besser entsprochen werden, verstösst nicht gegen das verfassungsmässige Diskriminierungsverbot oder den Grundsatz der Integration in die Regelschule und verletzt damit kein Bundesrecht.
7.
Der Antrag auf Einschulung in einer Regelklasse an seinem Wohnort ist aufgrund dieser Erwägungen abzuweisen. Nachdem die Sachverhaltsfeststellung durch die Vorinstanz nicht zu beanstanden und die schulpsychologische Abklärung als ausreichend zu bezeichnen ist (vgl. E. 2.2 f. hiervor), ist auch der Eventualantrag auf Rückweisung an die entscheidende Instanz zur Durchführung einer umfassenden schulpsychologischen Abklärung abzuweisen.
8.
8.1. Das DEK ersucht in seiner Stellungnahme vom 21. Februar 2017 um Aufhebung von Dispositivziffer 3 des angefochtenen Entscheides, mit welcher dem Beschwerdeführer für das Rekursverfahren eine Parteientschädigung von Fr. 250.- zugesprochen wurde.
Zur Begründung führt es aus, die Unentgeltlichkeit des Verfahrens nach BehiG ergebe sich nicht bereits aus der Behinderung des Beschwerdeführers. Vielmehr müsse eine Diskriminierung in Bezug auf den Zugang zur Ausbildung dargelegt und begründet werden. Eine solche sei aber nicht erkennbar gewesen, da keine Benachteiligung des Beschwerdeführers vorliege. Das Verwaltungsgericht habe sich mit diesen Überlegungen des DEK nicht auseinandergesetzt, sondern das Verfahren lediglich aufgrund allgemeiner Ausführungen als unentgeltlich erklärt.
8.2. Zunächst ist darauf hinzuweisen, dass das DEK keine Beschwerde an das Bundesgericht erhoben hat und die dem Beschwerdeführer von der Vorinstanz zugesprochene Parteientschädigung lediglich im Rahmen der Vernehmlassung beanstandet. In einer Vernehmlassung dürfen indessen ungeachtet der Frage, ob das DEK überhaupt beschwerdeberechtigt wäre, keine selbständigen Anträge gestellt werden (vgl. <ref-ruling> E. 2.1 S. 110). Auf den Antrag, Ziffer 3 des Dispositivs des angefochtenen Entscheides sei aufzuheben und es sei festzustellen, dass keine ausseramtliche Entschädigung geschuldet sei, kann somit nicht eingetreten werden.
Angesichts der vom Departement vorgebrachten Argumentation rechtfertigen sich indessen folgende Bemerkungen:
8.2.1. <ref-law> über die Kostenfreiheit von Verfahren gilt für Ansprüche nach Art. 7 oder 8 BehiG, somit auch für den benachteiligungsfreien Zugang zu Aus- und Weiterbildung (Art. 8 Abs. 2 i.V.m. <ref-law>; Urteile 2C_686/2012 vom 13. Juni 2013 E. 6.1; 2C_930/2011 vom 1. Mai 2012 E. 3.1). Die Bestimmung ist von der kantonalen Behörde von Amtes wegen anzuwenden. Vorausgesetzt ist, dass es - wie in analogen Fällen etwa von Art. 13 Abs. 5 des Bundesgesetzes über die Gleichstellung von Frau und Mann (GlG; SR 151.1; vgl. <ref-ruling> E. 3) - in der Sache wirklich um einen solchen Anspruch geht, und nicht um eine andere Problematik, die lediglich einen gewissen Zusammenhang mit Behinderungen hat (vgl. Urteil 2C_930/2011 vom 1. Mai 2012 E. 3.2).
8.2.2. Der Beschwerdeführer berief sich im Verfahren vor dem DEK in vertretbarer Weise auf einen Anspruch nach Art. 8 Abs. 2 i.V.m. <ref-law> und machte eine aus seiner Behinderung resultierende unzulässige Benachteiligung geltend. Wie das Verwaltungsgericht zutreffend erkannte, war daher <ref-law> anwendbar und das Verfahren vor dem DEK hätte unentgeltlich sein müssen.
Das DEK argumentiert, <ref-law> sei bei der Verneinung einer Benachteiligung nicht anwendbar. Ein solches Verständnis würde jedoch dazu führen, dass im Resultat nur diejenigen Verfahren unentgeltlich wären, in denen eine Benachteiligung bejaht wird, die benachteiligte Person also obsiegt. Dies würde dem Sinn dieser Regelung, die Überprüfung von möglichen Benachteiligungen kostenlos zu gestalten, diametral entgegenstehen.
9.
Die Beschwerde ist nach dem Gesagten abzuweisen, soweit darauf eingetreten wird.
Verfahren betreffend Streitigkeiten nach <ref-law> sind grundsätzlich unentgeltlich (<ref-law>). Für das Verfahren vor Bundesgericht gilt jedoch gemäss <ref-law> die Regelung des Bundesgerichtsgesetzes, welche für die Ansprüche nach Art. 7 und Art. 8 BehiG reduzierte Gerichtskosten vorsieht (<ref-law>). Das Gesuch um unentgeltliche Prozessführung ist daher abzuweisen, zumal der Beschwerdeführer nicht vorbringt, er sei bedürftig. Die reduzierten Gerichtskosten sind dem unterliegenden Beschwerdeführer aufzuerlegen (Art. 65 Abs. 4 lit. d i.V.m. <ref-law>). Parteientschädigung ist keine geschuldet (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf eingetreten wird.
2.
Das Gesuch um unentgeltliche Prozessführung wird abgewiesen.
3.
Die Gerichtskosten von Fr. 500.- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
4.
Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten und dem Verwaltungsgericht des Kantons Thurgau schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 23. Mai 2017
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Das präsidierende Mitglied: Zünd
Die Gerichtsschreiberin: Straub