Erwägungen:
1.
1.1. A._ ist beim Regionalgericht Bern-Mittelland in ein Gerichtsverfahren involviert. Mit Verfügung vom 19. Januar 2016 wurde ein Gesuch von A._ um Sistierung des Verfahrens abgewiesen und ihm eine kurze Nachfrist zur Leistung des Kostenvorschusses gesetzt. Gegen diese Verfügung beschwerte sich A._ am 31. Januar 2016 beim Obergericht des Kantons Bern (ZK 16 62) und ersuchte um Aufschub der Vollstreckbarkeit. Mit prozessleitender Verfügung vom 8. Februar 2016 wies die Referentin (Oberrichterin B._) das Gesuch ab.
1.2. Am 6. März 2016 stellte A._ ein Ausstandsgesuch gegen Oberrichterin B._, welches das Obergericht mit Entscheid vom 15. März 2016 abwies, soweit es darauf eintrat. Das Obergericht auferlegte A._ die Kosten des Verfahrens von Fr. 300.-- und sprach ihm keine Entschädigung zu.
1.3. A._ hat am 2. Mai 2016 (Postaufgabe) beim Bundesgericht gegen den besagten Entscheid Beschwerde in Zivilsachen erhoben. Zudem ersucht er um superprovisorische Sistierung der kantonalen erst- und zweitinstanzlichen Verfahren. Es sind keine Vernehmlassungen eingeholt worden.
2.
Gegenstand des vorliegenden Beschwerdeverfahrens ist ausschliesslich der Entscheid des Obergerichts vom 15. März 2016 (ZK 16 122) betreffend Ausstand der Oberrichterin.
3.
3.1. Die Beschwerde hat einen Antrag zu enthalten (<ref-law>). In der Beschwerde ist in Auseinandersetzung mit den Erwägungen des angefochtenen Entscheids darzulegen, welche Rechte der Beschwerdeführenden Partei durch das kantonale Gericht verletzt worden sind (<ref-law>; <ref-ruling> E. 2.1 S. 245), wobei eine allfällige Verletzung verfassungsmässiger Rechte vom Bundesgericht nicht von Amtes wegen geprüft wird, sondern nur dann, wenn solche Rügen in der Beschwerdeschrift ausdrücklich erhoben und begründet werden (<ref-law>; <ref-ruling> E. 1.2 S. 234). Wird eine Sachverhaltsfeststellung beanstandet, muss in der Beschwerdeschrift dargelegt werden, inwiefern diese Feststellung willkürlich oder durch eine andere Rechtsverletzung im Sinn von <ref-law> (z.B. <ref-law> oder <ref-law>) zustande gekommen ist (vgl. <ref-ruling> E. 1.2.2 und 1.4.3 S. 255) und inwiefern die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein kann (Art. 97 Abs. 1 in fine BGG; <ref-ruling> E. 2.2.2 S. 22). Auf rein appellatorische Kritik am Sachverhalt tritt das Bundesgericht nicht ein.
3.2. Das Obergericht hat erwogen, erweise sich das Ausstandsbegehren als trölerisch, könne auf die Einholung einer Stellungnahme verzichtet werden. Mit dem Ablehnungsbegehren nichts zu tun hätten die Anträge, die sich auf abgeschlossene frühere Verfahren bezögen. Soweit der Beschwerdeführer den Ausstand aller an diesen Verfahren beteiligten Personen oder gar die Aufhebung der entsprechenden rechtskräftigen Entscheide verlange, sei auf seine Eingabe nicht einzutreten. Die Ablehnung eines Gerichtsmitgliedes habe mittels begründeten Gesuchs zu erfolgen. Der Beschwerdeführer nenne weder einen konkreten Ausstandsgrund, noch erwähne er Umstände, die auf Ausstandsgründe schliessen liessen. Vielmehr beklage er sich über Fehlurteile diverser Richterinnen und Richter, die ihn benachteiligt haben sollen, weswegen er bei der Staatsanwaltschaft Strafanzeige erhoben habe. Mit solchen Vorbringen verfehle er die Anforderungen an die Begründung eines Ausstandsgesuches. Im Übrigen seien allfällige Verstösse gegen das materielle Recht sowie gegen die Verfahrensordnung ohnehin nicht geeignet, den Anschein der Befangenheit einer Gerichtsperson objektiv als gerechtfertigt erscheinen zu lassen. Verfahrensmassnahmen, seien sie richtig oder falsch, vermöchten keinen allgemeinen Anschein der Befangenheit zu begründen. Die blosse Tatsache, das ein Richter oder Richtergremium in einem früheren Verfahren falsch oder zum Nachteil des Beschwerdeführers entschieden habe, stelle keinen Ausstandsgrund dar. Das Gesuch sei daher abzuweisen, soweit darauf einzutreten sei.
3.3. Der Beschwerdeführer legt nicht substanziiert dar, weshalb das Obergericht zum fraglichen Zeitpunkt nicht über das Ausstandsbegehren entscheiden durfte. Er rügt zwar eine unvollständige Feststellung des Sachverhalts, ohne aber in verständlicher Weise auf den angefochtenen Entscheid Bezug zu nehmen. Im Übrigen rügt er eine Verletzung des rechtlichen Gehörs, des Willkürverbots, ferner insbesondere eine Verletzung von <ref-law> und <ref-law>, <ref-law> und <ref-law>. Dabei geht er indes nicht auf die Erwägungen des angefochtenen Entscheides ein, und zeigt daher auch nicht den Begründungsanforderungen entsprechend auf, inwiefern die Vorinstanz die fraglichen Verfassungsbestimmungen verletzt bzw. Bundesrecht willkürlich angewendet haben soll. Schliesslich wird auch nicht rechtsgenügend erörtert, weshalb der angefochtene Entscheid über keine genügende Begründung verfügt oder in der Kostenverlegung willkürlich ist oder die verfassungsmässigen Rechte des Beschwerdeführers verletzen soll. Zusammenfassend setzt sich die Beschwerde insgesamt nicht rechtsgenügend mit den Erwägungen des angefochtenen Entscheides auseinander.
3.4. Auf die offensichtlich nicht hinreichend begründete Beschwerde ist somit im vereinfachten Verfahren durch den Präsidenten der Abteilung (Art. 108 Abs. 1 bzw. <ref-law>) unter Kostenfolge für den Beschwerdeführer (<ref-law>) nicht einzutreten.
4.
Mit dem Entscheid in der Sache wird das Gesuch um Erlass superprovisorischer Massnahmen gegenstandslos.

Demnach erkennt der Präsident:
1.
Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 500.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Bern, 2. Zivilkammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 4. Mai 2016
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: von Werdt
Der Gerichtsschreiber: Zbinden