Sachverhalt:
A.
Der 1977 geborene A._ meldete sich am 12. August 2008 bei der Invalidenversicherung zum Bezug von Leistungen an. Die IV-Stelle des Kantons St. Gallen tätigte Abklärungen in erwerblicher und medizinischer Hinsicht; namentlich veranlasste sie eine polydisziplinäre Begutachtung beim BEGAZ Begutachtungszentrum BL, Binningen (Expertise vom 11. Juli 2012). Nachdem der Regionale Ärztliche Dienst (RAD) dazu am 6. Februar 2013 Stellung genommen hatte, erliess die IV-Stelle am 19. April 2013 - nach durchgeführtem Vorbescheidverfahren - eine leistungsabweisende Verfügung.
B.
Dagegen erhob A._ Beschwerde an das Versicherungsgericht des Kantons St. Gallen. Mit Schreiben vom 9. Oktober 2015 gab dieses bekannt, es werde eine gerichtliche Expertise einholen und setzte die MEDAS Zentralschweiz, Luzern, als Begutachtungsstelle ein. Am 1. Juni 2016 erstattete die MEDAS die Expertise. Mit Entscheid vom 6. September 2016 hob das Versicherungsgericht in teilweiser Gutheissung der Beschwerde die Verfügung vom 19. April 2013 auf und sprach A._ für den Zeitraum vom 1. August 2013 bis 31. Mai 2016 eine ganze und ab 1. Juni 2016 eine halbe Rente der Invalidenversicherung zu. Zur Festsetzung und Ausrichtung der Rentenleistung gab es die Sache an die IV-Stelle zurück. Im Übrigen wies es die Beschwerde ab (Dispositiv-Ziffer 1). Gleichzeitig verlegte das Versicherungsgericht die Gerichtskosten gemäss dem teilweisen Obsiegen (Dispositiv-Ziffer 2) und verpflichtete die IV-Stelle zur Bezahlung der Kosten des MEDAS-Gutachtens im Betrag von Fr. 13'903.55 (Dispositiv-Ziffer 3).
C.
C.a. Die IV-Stelle führt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten (Verfahren 9C_672/2016) mit dem Rechtsbegehren, Ziffer 3 des Dispositivs des vorinstanzlichen Entscheides sei in dem Sinne abzuändern, als ihr die Kosten des Gerichtsgutachtens nur bis zur Höhe von Fr. 9'536.90 überbunden würden.
A._ verzichtet auf eine Stellungnahme. Das Bundesamt für Sozialversicherungen schliesst auf Gutheissung der Beschwerde. Die Vorinstanz beantragt, auf die Beschwerde sei nicht einzutreten; eventualiter sei diese abzuweisen.
C.b. A._ führt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten (Verfahren 9C_685/2016) mit dem Rechtsbegehren, ihm sei ab Januar 2011 bis und mit Juli 2013 eine halbe Rente sowie ab dem 1. Juni 2016 eine Dreiviertelsrente zuzusprechen. Das Kostendispositiv (Ziffer 2) sei aufzuheben und es sei festzustellen, dass eine anteilsmässige Beteiligung seinerseits an der vorinstanzlichen Gerichtsgebühr entfalle. Ausserdem ersucht er um Bewilligung der unentgeltlichen Rechtspflege für das bundesgerichtliche Verfahren.

Erwägungen:
1.
Die beiden Beschwerden richten sich gegen ein und denselben vorinstanzlichen Entscheid. Zwar werden unterschiedliche Punkte angefochten; einerseits der Rentenanspruch (Dispositiv-Ziffer 1) und die Beteiligung an der Gerichtsgebühr (Dispositiv-Ziffer 2), anderseits die Höhe der überbundenen Kosten des eingeholten Gerichtsgutachtens (Dispositiv-Ziffer 3). Da beiden Beschwerden jedoch der nämliche Sachverhalt zugrunde liegt, rechtfertigt es sich, die Verfahren 9C_672/2016 und 9C_685/2016 zu vereinigen und in einem einzigen Urteil zu erledigen.
2.
Der Entscheid mit dem die Vorinstanz den Rentenumfang, nicht aber den frankenmässigen Rentenbetrag festsetzt, ist als Endentscheid zu qualifizieren (vgl. statt vieler Urteil 8C_322/2011 vom 21. Juli 2011 E. 1.2).
3.
3.1. Mit der Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann unter anderem die Verletzung von Bundesrecht gerügt werden (<ref-law>). Die Feststellung des Sachverhalts kann nur gerügt werden, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von Artikel 95 beruht und wenn die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein kann (<ref-law>). Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (<ref-law>). Es kann die Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz von Amtes wegen berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von Artikel 95 beruht (<ref-law>).
3.2. Die Beschwerde hat unter anderem die Begehren und deren Begründung zu enthalten, wobei in der Begründung in gedrängter Form - unter Bezugnahme auf und in Auseinandersetzung mit den entscheidenden vorinstanzlichen Erwägungen - darzulegen ist, inwiefern der angefochtene Akt Recht verletzt (Art. 42 Abs. 1 und 2 BGG). Dabei gilt in Bezug auf die Sachverhaltsfeststellung und Beweiswürdigung durch die Vorinstanz eine qualifizierte Begründungspflicht (Urteil 9C_306/2016 vom 4. Juli 2016 E. 1.1 mit Hinweis auf <ref-ruling> E. 1.3 S. 261 und Urteil 9C_619/2014 vom 31. März 2015 E. 2.2).
3.3. Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (<ref-law>). Indes prüft es, unter Berücksichtigung der allgemeinen Begründungspflicht der Beschwerde (vgl. E. 3.2 vorne), grundsätzlich nur die geltend gemachten Rügen, sofern die rechtlichen Mängel nicht geradezu offensichtlich sind (<ref-ruling> E. 1 S. 236).
4.
4.1. Der Versicherte beanstandet in seiner Beschwerde (9C_685/2016) im Wesentlichen, die Vorinstanz habe bezüglich der Arbeitsfähigkeit vorbehaltlos auf das MEDAS-Gutachten abgestellt. Dies lässt sich indessen nicht sagen: So hat das kantonale Gericht zunächst festgehalten, dass die Parteien weder in tatsächlicher noch rechtlicher Sicht Mängel an der gerichtsgutachterlichen Beurteilung vorgebracht haben, was unbestritten geblieben ist. Sodann hat sie geprüft, ob das Gerichtsgutachten die Anforderungen, welche die Rechtsprechung an ärztliche Berichte stellt (vgl. dazu <ref-ruling> E. 3a S. 352), erfüllt und dies bejaht. Soweit der Versicherte meint, das Administrativ- resp. BEGAZ-Gutachten beinhalte sehr wohl verwertbare Erkenntnisse, so übersieht er, dass die Erforderlichkeit des Gerichtsgutachtens von keiner Seite angezweifelt wird und damit für eine "Teilgültigkeit" des BEGAZ-Gutachtens in Bezug auf die hier streitige Arbeits (un) fähigkeit von vornherein kein Raum verbleibt (vgl. <ref-ruling> E. 4.4.1.4 S. 264). Im Weiteren hat die Vorinstanz für das Bundesgericht verbindlich festgestellt (vgl. E. 3.1 vorne), dass keine Anhaltspunkte dafür bestehen, es seien objektiv wesentliche Tatsachen nicht berücksichtigt worden. Insbesondere haben sich die Gerichtsgutachter eingehend mit den Vorakten und den dortigen Einschätzungen der Arbeitsfähigkeit auseinandergesetzt. Weder trifft zu, dass die Feststellungen aus dem Anfangsbefund übergangen wurden (vgl. vor allem S. 11 und 20 des rheumatologischen Teilgutachtens vom 3. Februar 2016), noch stimmt, dass die Berichte von Dr. med. B._ vom 11. November 2010 und 14. Juni 2011 keine Beachtung gefunden haben (vgl. vor allem S. 21 des rheumatologischen Teilgutachtens). Ebenso hat der weitere Verlauf nach Austritt aus der Rehabilitationsklinik C._ (im August 2009) Eingang in die Würdigung gefunden (vgl. vor allem S. 20 f. des rheumatologischen Teilgutachtens). Von Mangelhaftigkeit des MEDAS-Gutachtens kann daher nicht gesprochen werden. Auch davon, dass die Entwicklung der Arbeitsfähigkeit, wie sie von den Gerichtsgutachtern dargelegt wird, unlogisch bzw. willkürlich ist, kann nicht die Rede sein. Der Versicherte blendet aus, dass selbst Dr. med. B._ im November 2010 eine 100%ige Arbeitsfähigkeit in einer angepassten Tätigkeit attestiert hat. Im Übrigen geht der pauschale Verweis auf die im vorangegangenen Verfahren eingereichten ärztlichen Zeugnisse nicht an (vgl. E. 3.2 vorne) wie auch der Versicherte ausser Acht lässt, dass sich im ganzen MEDAS-Gutachten kein Wort über den Rentenanspruch findet; sowohl Rentenbeginn als auch Invaliditätsgrad wurden allein vom kantonalen Gericht festgesetzt (vgl. vorinstanzliche Erwägung 4.3).
4.2. Was den Tabellenlohnabzug betrifft, so ist die Möglichkeit einer erneuten, akuten, radikulären Reiz- und Ausfallsymptomatik bis hin zu einem Cauda equina-Syndrom kein Grund, einen Abzug vom Invalideneinkommen als angezeigt erscheinen zu lassen (Urteile 8C_930/2014 vom 20. April 2015 E. 5.3.3; 9C_819/2008 vom 11. November 2008 E. 4.2).
4.3. Schliesslich führt die in Dispositiv-Ziffer 1 des vorinstanzlichen Entscheides erkannte Rückweisung zwecks Festsetzung und Ausrichtung der konkreten Rentenleistung nicht zu einem vollumfänglichen Obsiegen. Der materielle Ausgang des Verfahrens ist hier nicht mehr offen (vgl. zum Ganzen <ref-ruling> E. 10.3 und 11.1 S. 312; vgl. auch E. 2 vorne).
4.4. Nach dem Gesagten ist die Beschwerde des Versicherten (9C_685/2016) abzuweisen.
5.
5.1. Damit zur Beschwerde der IV-Stelle (9C_672/2016) : Gemäss bundesgerichtlicher Rechtsprechung ist für die Verteilung von Gerichtsgutachterkosten die Bestimmung von <ref-law> anwendbar (<ref-ruling> E. 4.4.2 S. 265). Nach Auffassung der Vorinstanz wird damit nichts über den Kostenumfang resp. die Entschädigung von gerichtlichen Sachverständigen gesagt. Mangels einer diesbezüglichen bundesrechtlichen Norm falle die Entschädigungskompetenz den Kantonen zu. In der Folge hat die Vorinstanz die Kosten losgelöst von den tarifvertraglichen Regelungen, wie sie in Nachachtung von <ref-law> und dem bereits zitierten <ref-ruling> (E. 3.2 S. 244) zwischen dem BSV und den MEDAS-Stellen ausgearbeitet worden sind, festgesetzt.
Die Vorinstanz verletzt dadurch Bundesrecht. Wie im Urteil 8C_483/2016 vom 27. Oktober 2016 E. 2 unter Hinweis auf <ref-ruling> E. 4.3 S. 501 f. einlässlich aufgezeigt, geht es bei der vorliegenden Konstellation nicht um die in <ref-law> und darauf gestütztem kantonalen Recht enthaltenen Regeln zum Gerichtsverfahren. Vielmehr stehen hier die Ansätze, wie sie für die Vergütung von Verwaltungsgutachten gelten, im Vordergrund. Denn die hier streitigen Kosten des MEDAS-Gutachtens stellen keine Gerichtskosten im Sinne von <ref-law> dar, sondern solche, die sich auf das Verwaltungsverfahren im Sinne von <ref-law> beziehen (vgl. auch Urteil 9C_541/2016 vom 26. Januar 2017 E. 2).
5.2. Entsprechend ist die Beschwerde der IV-Stelle gutzuheissen. Ihr errechneter Betrag gemäss Vereinbarung zwischen dem BSV und der MEDAS Zentralschweiz in der Höhe von Fr. 9'536.90 (vgl. Ziff. 10 der Beschwerde) wird weder vom Versicherten noch von der Vorinstanz beanstandet.
6.
Dem Versicherten kann die unentgeltliche Rechtspflege gewährt werden (<ref-law>). Er hat der Gerichtskasse Ersatz zu leisten, wenn er später dazu in der Lage ist (<ref-law>). Indes wird auf die Erhebung von Gerichtskosten verzichtet (vgl. <ref-law>). Die IV-Stelle hat keinen Anspruch auf eine Parteientschädigung (vgl. <ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Verfahren 9C_672/2016 und 9C_685/2016 werden vereinigt.
2.
Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege für das bundesgerichtliche Verfahren 9C_685/2016 wird gutgeheissen, und es wird dem Versicherten Rechtsanwalt Michael Ausfeld als Rechtsbeistand beigegeben.
3.
Die Beschwerde des A._ (9C_685/2016) wird abgewiesen.
4.
Die Beschwerde der IV-Stelle (9C_672/2016) wird gutgeheissen. Dispositiv-Ziffer 3 des Entscheides des Versicherungsgerichts des Kantons St. Gallen vom 6. September 2016 wird insoweit abgeändert, als die IV-Stelle verpflichtet wird, für die gerichtlich angeordnete Begutachtung Kosten in der Höhe von Fr. 9'536.90 zu übernehmen.
5.
Es werden keine Gerichtskosten erhoben.
6.
Dem Rechtsvertreter des Versicherten wird aus der Bundesgerichtskasse eine Entschädigung von Fr. 2'800.- ausgerichtet.
7.
Dieses Urteil wird den Parteien, dem Versicherungsgericht des Kantons St. Gallen und dem Bundesamt für Sozialversicherungen schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 2. Februar 2017
Im Namen der II. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Pfiffner
Die Gerichtsschreiberin: Huber