Faits :
A.
A._, ressortissant suisse, est domicilié à B._, en Haute-Savoie (France).
Selon le contrat "d'emploi du personnel local du Service européen pour l'action extérieure en service dans un pays tiers" du 1 er octobre 2011, conclu entre C._ et A._, celui-ci travaillait en 2011 à Genève comme membre du personnel administratif de D._.
Le 22 novembre 2011, la Mission permanente de la Suisse auprès de l'Office des Nations Unies et des autres organisations internationales à Genève a adressé à D._ en tant qu'employeur, ainsi qu'à A._ en tant que contribuable, une information relative à la situation fiscale de l'intéressé. Il était indiqué que A._ était entièrement soumis aux impôts suisses. Si D._, qui n'y était pas tenue en raison du statut dont elle jouissait, ne prélevait pas l'impôt à la source, il appartenait à l'employé de s'annoncer auprès de l'Administration fiscale cantonale du canton de Genève (ci-après: l'Administration fiscale cantonale) pour déclarer ses revenus.
Par courriers des 23 mai, 14 juin, 28 juin et 20 juillet 2012, l'Administration fiscale cantonale a demandé à A._ de produire sa déclaration fiscale pour l'impôt cantonal et communal (ci-après: ICC), ainsi que pour l'impôt fédéral direct (ci-après: IFD) pour la période fiscale 2011. Dans ses réponses des 29 mai, 20 juin, 2 juillet et 20 août 2012, A._ a contesté devoir remplir une déclaration fiscale en Suisse au motif que sa résidence fiscale était en France, pays dans lequel il avait déjà satisfait, pour ses revenus 2011, à ses obligations fiscales.
B.
Par bordereaux de taxation d'office du 13 septembre 2012, l'Administration fiscale cantonale a fixé l'ICC de A._ pour l'année fiscale 2011 à 7'075.20 fr. et l'IFD à 1'539.75 fr., sur la base d'un revenu imposable de 37'500 fr. et d'une fortune de 50'000 fr. pour l'ICC et d'un revenu imposable de 37'500 fr. pour l'IFD.
Le 24 septembre 2012, A._ a déposé une réclamation contre les bordereaux précités, contestant son assujettissement à l'impôt en Suisse.
Après un échange de correspondances, l'Administration fiscale cantonale a rejeté, le 27 novembre 2014, la réclamation du contribuable et maintenu, par deux décisions, les bordereaux de taxation du 13 septembre 2012. L'imposition du salaire du contribuable avait été correctement établie, notamment au regard de l'art. 17 par. 1 et 2 de la Convention du 9 septembre 1966 entre la Suisse et la France en vue d'éliminer les doubles impositions en matière d'impôts sur le revenu et sur la fortune et de prévenir la fraude et l'évasion fiscales (en vigueur depuis le 26 juillet 1967; RS 0.672.934.91; ci-après: la CDI CH-FR).
Le 17 décembre 2014, A._ a recouru contre ces décisions auprès du Tribunal administratif de première instance de la République et canton de Genève (ci-après: le Tribunal administratif). Le 12 octobre 2015, après avoir implicitement joint les causes, le Tribunal administratif a rejeté le recours.
Par arrêt du 19 avril 2016, la Chambre administrative de la Cour de justice de la République et canton de Genève (ci-après: la Cour de justice) a rejeté le recours formé par A._ contre ce jugement. En substance, les juges cantonaux ont considéré que A._, qui ne pouvait pas bénéficier d'une exonération d'impôt sur la base de son statut d'employé d'une délégation permanente auprès d'une organisation internationale, était assujetti à l'impôt en Suisse pour les revenus acquis dans ce pays. Il ne remplissait pas une des conditions de l'exception au principe de l'imposition au lieu de travail des rémunérations perçues à ce titre contenue dans la CDI CH-FR, de sorte que cette convention internationale ne s'opposait pas à l'imposition des revenus de son travail en Suisse. Le montant de l'impôt n'était pas discuté.
C.
A._ forme auprès du Tribunal fédéral un "recours" à l'encontre de l'arrêt du 19 avril 2016. Il demande en substance au Tribunal fédéral, sous suite de frais et dépens, "d'indiquer que le pays qui doit recevoir [sa] déclaration fiscale est la France [et] qu'il n'a pas à déposer de déclaration fiscale en Suisse". Il sollicite en outre, sous le titre "conclusion et demandes", le constat de divers faits relatifs à son lieu de résidence, à ses obligations fiscales à l'égard de la France, au nombre de jours de travail qu'il a effectués en Suisse en 2011 et à la manière dont son salaire lui est versé par D._. Il dénonce une violation de la CDI CH-FR.
La Cour de justice s'en rapporte à justice quant à la recevabilité du recours et persiste dans les considérants et le dispositif de son arrêt. L'Administration fiscale cantonale conclut au rejet du recours. L'Administration fédérale des contributions, qui se rallie au dispositif et aux considérants de l'arrêt entrepris et fait siennes les considérations de l'Administration fiscale cantonale, conclut au rejet du recours. A._ a déposé des observations.

Considérant en droit :
1.
L'arrêt attaqué concerne l'ICC et l'IFD 2011 du recourant. La Cour de justice a rendu un seul arrêt valant pour les deux catégories d'impôt, ce qui est admissible lorsque la question juridique à trancher est réglée de la même façon en droit fédéral et dans le droit cantonal harmonisé (cf. <ref-ruling> consid. 1.3.1 p. 262 s.). Tel est le cas en l'espèce s'agissant de l'assujettissement à l'impôt fondé sur un rattachement économique (art. 5 al. 1 let. a de la loi fédérale du 14 décembre 1990 sur l'impôt fédéral direct [LIFD; RS 642.11]; art. 4 al. 2 let. a de la loi fédérale du 14 décembre 1990 sur l'harmonisation des impôts directs des cantons et des communes [LHID; RS 642.14]). Le recours conteste par ailleurs l'assujettissement tant à l'impôt fédéral direct qu'aux impôts cantonal et communal (cf. infra consid. 2.3).
Par souci d'unification par rapport à d'autres cantons dans lesquels deux décisions sont rendues, la Cour de céans a ouvert deux dossiers, l'un concernant l'IFD (2C_437/2016), l'autre l'ICC (2C_436/2016). Comme l'état de fait est identique et que les questions juridiques se recoupent, les deux causes seront néanmoins jointes et il sera statué dans un seul arrêt (cf. <ref-law> et 24 PCF [RS 273]; arrêt 2C_888/2014 du 7 juin 2015 consid. 1).
2.
2.1. Le recourant n'a pas indiqué par quelle voie de droit il entendait agir devant le Tribunal fédéral. Cette désignation imprécise ne saurait toutefois lui nuire si son recours remplit les exigences légales de la voie de droit qui lui est ouverte (cf. <ref-ruling> consid. 1.1 p. 370).
L'arrêt attaqué concerne l'assujettissement du recourant à l'impôt en Suisse pour la période fiscale 2011. Comme ce domaine relève du droit public et qu'aucune des exceptions prévues à l'<ref-law> n'est réalisée, la voie du recours en matière droit public est ouverte sur la base de l'<ref-law>. L'<ref-law> confirme du reste l'existence de cette voie de droit pour l'IFD. S'agissant de l'ICC, les règles relatives à l'assujettissement à l'impôt relèvent du titre 2 de la LHID, de sorte que la voie du recours en matière de droit public est aussi réservée par l'<ref-law>.
2.2. Déposé en temps utile (cf. <ref-law>) et, sous réserve de certaines conclusions (cf. infra consid. 2.3), dans les formes requises (<ref-law>), le recours est dirigé contre une décision finale (<ref-law>), rendue par un tribunal supérieur statuant en dernière instance cantonale (art. 86 al. 1 let. d et al. 2 LTF). Par ailleurs, le recourant a participé à la procédure devant l'instance précédente, est particulièrement atteint par la décision entreprise en tant que contribuable et a un intérêt digne de protection à son annulation ou à sa modification. Il a ainsi qualité pour recourir (cf. <ref-law>).
2.3. En principe, le recours en matière de droit public doit contenir des conclusions réformatoires (cf. <ref-law>; arrêt 2C_700/2015 du 8 décembre 2015 consid. 1.3). Les conclusions en constatation ont un caractère subsidiaire (cf. <ref-ruling> consid. 4 p. 122). Par ailleurs, l'objet du litige, délimité par les conclusions des parties (cf. <ref-law>), ne saurait s'étendre au-delà de l'objet de la contestation, déterminé par l'arrêt attaqué (<ref-ruling> consid. 4.4.2 p. 156). En l'espèce, le recourant, qui demande au Tribunal fédéral de constater qu'il n'a pas à déposer de déclaration fiscale à Genève, ne formule pas de conclusions réformatoires. Par ailleurs, la question du dépôt de la déclaration fiscale du contribuable ne fait pas l'objet de l'arrêt de la Cour de justice du 19 avril 2016, qui porte sur les décisions sur réclamation du 27 novembre 2014 confirmant les bordereaux de taxation du 13 septembre 2012 établis d'office par l'Administration fiscale cantonale. De telles conclusions ne sont pas recevables. Pour le surplus, dans la mesure où on comprend clairement, à la lecture du mémoire, que le recourant, qui agit sans l'aide d'un mandataire professionnel, conteste son assujettissement à l'impôt en Suisse et demande ainsi implicitement l'annulation de l'arrêt du 19 avril 2016, qui le condamne à verser des montants à titre d'IFD et d'ICC à Genève, il convient de ne pas se montrer trop formaliste et d'entrer en matière sur le recours (cf. <ref-ruling> consid. 1.3 p. 317; arrêts 2C_684/2012 du 5 mars 2013 consid. 1.3; 2C_564/2008 du 12 septembre 2008 consid. 1.1).
3.
3.1. Saisi d'un recours en matière de droit public, le Tribunal fédéral examine librement la violation du droit fédéral et du droit international (cf. art. 95 let. a et b; 106 al. 1 LTF), alors qu'il n'examine la violation de droits fondamentaux que si ce grief a été invoqué et motivé par le recourant (cf. <ref-law>).
3.2. Le Tribunal fédéral conduit son raisonnement en se fondant sur les faits constatés par l'autorité précédente (cf. <ref-law>), à moins que ceux-ci n'aient été établis de façon manifestement inexacte - notion qui correspond à celle d'arbitraire (<ref-ruling> consid. 2.3 p. 266) - ou en violation du droit au sens de l'<ref-law> (cf. <ref-law>). Si la partie recourante entend s'écarter des constatations de l'autorité précédente (cf. <ref-law>), elle doit expliquer de manière circonstanciée en quoi les conditions d'une exception prévue par l'<ref-law> seraient réalisées. A défaut d'une telle motivation, il n'est pas possible de prendre en considération un état de fait qui diverge de celui contenu dans la décision attaquée, ni des faits qui n'y figurent pas (cf. <ref-ruling> consid. 3.1.2 p. 34; <ref-ruling> consid. 6.2 p. 288; arrêt 2C_61/2016 du 4 octobre 2016 consid. 2.2). Par ailleurs, aucun fait nouveau ni preuve nouvelle ne peut être présenté devant le Tribunal de céans à moins de résulter de la décision de l'autorité précédente (<ref-law>).
En l'occurrence, dans la mesure où le recourant allègue des faits qui ne résultent pas de l'arrêt entrepris sans indiquer ni a fortiori démontrer en quoi cet acte serait manifestement inexact ou arbitraire, ses critiques ne peuvent pas être prises en considération. Le Tribunal fédéral statuera donc exclusivement sur la base des faits établis par la Cour de justice. En outre, en tant qu'elles ne ressortiraient pas déjà du dossier cantonal, il ne sera pas tenu compte des pièces que le recourant a jointes à son recours (cf. arrêt 2C_701/2013 du 26 juillet 2014 consid. 3.2, non publié in <ref-ruling>).
I. Impôt fédéral direct
4.
Le litige porte sur l'assujettissement du recourant, domicilié en France, à l'impôt en Suisse. En présence d'une imposition comprenant des éléments d'extranéité, il convient d'établir en premier lieu si le droit interne prévoit une imposition (cf. XAVIER OBERSON, Précis de droit fiscal international, 4 e éd., 2014, n o 138 s. p. 49). Ce n'est que lorsqu'il est établi qu'un impôt est dû en application du droit interne qu'il convient de se demander, dans un second temps, si le droit de prélever cet impôt est limité par une convention de double imposition (cf. PETER LOCHER, Einführung in das internationale Steuerrecht der Schweiz, 3 e éd., 2005, p. 95). Une telle convention ne peut en effet ni créer ni élargir une imposition, mais seulement restreindre celle prévue par le droit interne (<ref-ruling> consid. 3 in fine p. 366; arrêts 2C_888/2014 du 7 juin 2015 consid. 3; 2C_627/2011 du 7 mars 2012 consid. 3).
5.
Il s'agit donc de déterminer en premier lieu si le recourant, domicilié en France en 2011, peut être assujetti de manière limitée à l'impôt en Suisse pour l'année en question.
5.1. A titre liminaire, il faut préciser, ce qui n'est pas contesté, que le recourant ne peut pas bénéficier d'une exemption fiscale fondée sur les dispositions en matière de privilèges et immunités accordés aux membres du personnel des missions permanentes auprès des organisations intergouvernementales (cf. en particulier les dispositions de la loi fédérale du 22 juin 2007 sur les privilèges, les immunités et les facilités, ainsi que sur les aides financières accordés par la Suisse en tant qu'Etat hôte [LEH; RS 192.12] et son ordonnance d'application du 7 décembre 2007 [OLEH; RS 192.121], ainsi que de la Convention de Vienne du 18 avril 1961 sur les relations diplomatiques [RS 0.191.01], applicable par analogie [cf. art. 24 de l'Accord du 2 juin 1995 entre la Confédération suisse et l'Organisation mondiale du commerce en vue de déterminer le statut juridique de l'Organisation en Suisse; RS 0.192.122.632]). En effet, en vertu de ces textes, les ressortissants suisses membres du personnel administratif et technique d'une mission permanente restent en principe soumis aux impôts en Suisse. L'exemption des impôts directs ne peut leur être accordée qu'à condition que le bénéficiaire institutionnel des privilèges et immunités qui les emploie ait introduit un système d'imposition interne (cf. art. 4 al. 2 LEH), ce qui, à teneur des constatations cantonales, n'est pas le cas de l'employeur du recourant.
5.2. D'après l'<ref-law>, les personnes physiques qui, au regard du droit fiscal, ne sont ni domiciliées ni en séjour en Suisse, sont assujetties à l'impôt à raison du rattachement économique notamment lorsqu'elles exercent une activité lucrative en Suisse. L'assujettissement est alors limité au revenu de l'activité lucrative (cf. <ref-law>; cf. arrêts 2C_360/2015 du 13 mai 2015 consid. 6.1; 2C_604/2011 du 9 mai 2012 consid. 3.2).
5.3. En lien avec son assujettissement à l'impôt en Suisse, le recourant estime que tous les résidents français travaillant en Suisse (frontaliers) devraient déposer une déclaration fiscale dans ce pays si la position de l'Administration fiscale cantonale était suivie. Le recourant confond toutefois la question de l'assujettissement à l'impôt de celle des modalités de perception de l'impôt. Comme l'a relevé la Cour de justice, ce n'est pas parce que l'impôt n'est pas prélevé à la source qu'il n'est pas dû. La question à résoudre en premier lieu est ainsi celle de savoir si le recourant peut être imposé en Suisse et non de quelle façon l'impôt doit être prélevé.
5.4. Il est acquis que le recourant réside en France, mais qu'il a exercé durant l'année fiscale 2011 un emploi salarié en Suisse. Ainsi que l'a retenu la Cour de justice, les rémunérations qu'il a reçues à ce titre sont en conséquence en principe imposables en Suisse. Comme les autorités fiscales et la Cour de justice l'ont déjà signifié au recourant, l'assujettissement à l'impôt est toutefois limité aux revenus que celui-ci a réalisés en Suisse en 2011 (cf. supra consid. 5.2).
6.
Encore faut-il déterminer si cette imposition n'est pas limitée par une disposition conventionnelle visant à restreindre ou éliminer une éventuelle double imposition internationale (cf. supra consid. 4). Selon le recourant, l'art. 17 par. 2 CDI CH-FR s'opposerait à l'imposition en Suisse de ses revenus.
6.1. Les dispositions de l'Accord du 11 avril 1983 entre le Conseil fédéral suisse (au nom des cantons de Berne, Soleure, Bâle-Ville, Bâle-Campagne, Vaud, Valais, Neuchâtel et Jura) et le Gouvernement de la République française relatif à l'imposition des rémunérations des travailleurs frontaliers (FF 1983 II 559 s.) ne trouvent pas d'application dans le canton de Genève (cf. <ref-ruling> consid. 9.2 p. 243). Par ailleurs, l'Accord du 29 janvier 1973 entre le Conseil fédéral suisse et le Gouvernement de la République française sur la compensation financière relative aux frontaliers travaillant à Genève ne contient pas de dispositions particulières concernant l'imposition des revenus de l'activité salariée. Ce sont en conséquence les règles générales de l'art. 17 CDI CH-FR qui s'appliquent (DUSS/KUBAILE, in Kommentar zum Schweizerischen Steuerrecht, Internationales Steuerrecht, 2015, n o 125 ad Anhang zu Art. 15 OECD-MA: Grenzgänger).
6.2. En vertu de l'art. 17 par. 1 CDI CH-FR, sous réserve d'exceptions qui ne concernent pas la présente cause, les salaires, traitements et autres rémunérations similaires qu'un résident d'un Etat contractant reçoit au titre d'un emploi salarié ne sont imposables que dans cet Etat, à moins que l'emploi ne soit exercé dans l'autre Etat contractant. Si l'emploi y est exercé, les rémunérations reçues à ce titre sont imposables dans cet autre Etat.
L'art. 17 par. 2 CDI CH-FR prévoit une exception au principe de l'imposition du revenu au lieu de l'exercice de l'activité salariale. D'après cette disposition, les rémunérations qu'un résident d'un Etat contractant (ici la France) reçoit au titre d'un emploi salarié exercé dans l'autre Etat contractant (ici la Suisse) ne sont imposables que dans le premier Etat si:
a) le bénéficiaire séjourne dans l'autre Etat pendant une période ou des périodes n'excédant pas au total 183 jours au cours de l'année fiscale considérée;
b) les rémunérations sont payées par un employeur ou au nom d'un employeur qui n'est pas résident de l'autre Etat; et
c) la charge des rémunérations n'est pas supportée par un établissement stable ou une base fixe que l'employeur a dans l'autre Etat.
6.3. L'art. 17 par. 1 et 2 CDI CH-FR a en grande partie la même teneur que l'art. 15 par. 1 et 2 du Modèle de Convention fiscale OCDE concernant le revenu et la fortune (ci-après: MC OCDE). Il est en conséquence possible de se référer aux commentaires du MC OCDE pour interpréter cette disposition (cf. arrêt 2C_888/2014 du 7 juin 2015 consid. 5.3; sur la portée du MC OCDE ainsi que du commentaire y relatif, cf. arrêt 2A.239/2005 du 28 novembre 2005 consid. 3.4.5, in RDAF 2006 II 239 p. 247 s.), sous réserve de divergences entre ces textes.
6.4. Les trois conditions énoncées à l'art. 17 par. 2 CDI CH-FR/art. 15 par. 2 MC OCDE sont cumulatives. Si elles sont réalisées, l'Etat de résidence du travailleur possède le droit d'imposer des rémunérations réalisées à titre de revenus de l'emploi dans l'autre Etat (cf. arrêt 2C_627/2011 du 7 mars 2012 consid. 7.2). A l'inverse, si une de ces conditions fait défaut, l'Etat d'activité peut imposer la totalité des rémunérations réalisées sur son territoire, dès le premier jour d'activité (DANIEL DE VRIES REILINGH, Manuel de droit fiscal international, 2 e éd., 2014, n o 746, p. 221; YVES NOËL, in Modèle de Convention fiscale OCDE concernant le revenu et la fortune, Commentaire, 2014, n o 118 et 122 ad art. 15 MC OCDE).
6.5. Le critère des 183 jours énoncé dans la première condition de l'art. 17 par. 2 CDI CH-FR se réfère au nombre de jours de présence physique sur le sol de l'Etat d'activité, étant précisé que les fractions de journée, jour d'arrivée, jour de départ et tous les autres jours passés à l'intérieur de l'Etat où l'activité est exercée sont inclus dans le calcul (Commentaire OCDE, n o 5 ad art. 15 MC OCDE). Selon le texte de la CDI CH-FR, les jours sont décomptés sur l'année fiscale considérée (contrairement au texte du MC OCDE, qui permet la prise en compte d'un séjour de 183 jours à cheval sur deux périodes fiscales, cf. Commentaire OCDE, n o 4 ad art. 15 MC OCDE; PHILIPPE DAL COL, La "clause du monteur" selon l'article 15 (2) du Modèle de convention fiscale concernant le revenu et la fortune de l'OCDE, RDAF 2014 II p. 284; YVES NOËL, op. cit., no 133 ad art. 15; SAMUEL DÜRR, in Kommentar zum Schweizerischen Steuerrecht, Internationales Steuerrecht. 2015, n o 71 ad art. 15 Abs. 1 und 2 OECD-MA). L'art. 17 par. 2 let. a CDI CH-FR s'écarte donc du MC OCDE, de sorte que ce modèle ne peut servir à l'interprétation de la CDI CH-FR sur ce point (cf. la réserve de la Suisse sur l'art. 15 par. 2 let. a MC OCDE, Commentaire OCDE, no 19 ad art. 15).
6.6. En l'espèce, la Cour de justice a relevé que l'engagement du recourant par D._ pour une durée indéterminée impliquait une activité de 236 jours au cours de l'année dans le canton de Genève. Elle en a conclu que le seuil des 183 jours de séjour était largement dépassé et que le recourant ne pouvait partant pas se prévaloir de l'exception prévue à l'art. 17 par. 2 CDI CH-FR.
Une telle position ne peut être suivie. En effet, il résulte des faits de l'arrêt entrepris que le contrat d'engagement du recourant par D._ à Genève est daté du 1 er octobre 2011. Il est donc envisageable que, comme il le prétend, le recourant n'ait pas effectué 183 jours d'activité en Suisse en 2011. L'arrêt entrepris ne contient toutefois aucune indication sur une éventuelle activité du recourant en Suisse avant le 1 er octobre 2011. Dès lors qu'il convient d'examiner les jours de travail effectués par le recourant sur l'année fiscale 2011, la référence par la Cour de justice au fait que le contrat du recourant d'octobre 2011 est de durée indéterminée, ce qui implique en théorie 236 jours de travail effectif sur une année, n'est pas suffisante pour conclure à une activité supérieure à 183 jours.
Il suit de ce qui précède que la décision attaquée ne contient pas les éléments suffisants en fait permettant le contrôle de l'application de la première condition de la CDI CH-FR. Il convient donc d'admettre le recours sur ce point. Renvoyer la cause à la Cour de justice (cf. <ref-law>) pour qu'elle instruise cette question n'a toutefois de sens que s'il n'apparaît pas d'emblée qu'une des deux autres conditions cumulatives énoncées à l'art. 17 par. 2 CDI CH-FR fait défaut. Si tel était le cas, les revenus réalisés par le recourant en Suisse seraient en effet imposables dans ce pays, indépendamment du nombre de jours d'activité en Suisse durant la période fiscale considérée.
6.7. Déterminer la réalisation des conditions de l'art. 17 par. 2 CDI CH-FR relève du droit, que le Tribunal applique d'office et peut revoir librement (cf. <ref-law>). Cet examen suppose toutefois que les faits figurant dans l'arrêt entrepris soient suffisants (cf. <ref-law>).
6.8. L'art. 17 par. 2 let. b CDI CH-FR implique que les rémunérations soient payées par un employeur ou au nom d'un employeur qui n'est pas résident de l'Etat d'activité. Quant à la lettre c de cette disposition, elle suppose que la charge des rémunérations ne soit pas supportée par un établissement stable ou une base fixe de l'employeur dans l'Etat d'activité (cf. supra consid. 6.2). En l'occurrence, il est indiqué dans l'arrêt entrepris que le recourant a conclu son contrat de travail avec C._ (représentée) et qu'il est membre du personnel local du Service européen pour l'action extérieure. Sur la base de ces faits, on ne peut pas exclure la réalisation de la deuxième condition cumulative de l'art. 17 par. 2 CDI CH-FR relative au lieu de résidence de l'employeur dans un autre pays que celui de l'activité salariée. Quant à la troisième condition cumulative de l'art. 17 par. 2 CDI CH-FR, l'arrêt entrepris ne contient pas de faits suffisants sur la manière dont les rémunérations sont supportées par l'employeur du recourant pour conclure qu'elle n'est pas réalisée.
6.9. Comme les éléments de fait ne permettent pas au Tribunal fédéral de déterminer si la deuxième ou troisième condition de l'art. 17 par. 2 CDI CH-FR fait défaut, il convient de renvoyer la cause à la Cour de justice pour qu'elle complète l'état de fait et examine la durée réelle du travail du recourant en Suisse en 2011 (cf. supra consid. 6.6). Au cas où le recourant aurait travaillé en Suisse moins de 183 jours durant l'année fiscale 2011, il appartiendra à la Cour de justice d'instruire les faits pertinents pour l'application des deux autres conditions de l'art. 17 par. 2 CDI CH-FR, étant rappelé que si l'une d'entre elles fait défaut, l'imposition en Suisse est conforme à la CDI CH-FR.
II. Impôts cantonal et communal
7.
En application de la loi genevoise du 27 septembre 2009 sur l'imposition des personnes physiques (LIPP/GE; RS/GE D 3 08), les personnes physiques qui, au regard du droit fiscal, ne sont ni domiciliées, ni en séjour en Suisse, sont assujetties à l'impôt (revenu et fortune) à raison de leur rattachement économique lorsqu'elles exercent une activité lucrative dans le canton (cf. art. 3 al. 2 let. a LIPP/GE). L'assujettissement fondé sur un rattachement économique est limité aux parties du revenu et de la fortune, ainsi qu'aux gains immobiliers, qui sont imposables dans le canton (art. 5 al. 2 LIPP/GE).
Cette réglementation est similaire à celle qui prévaut en matière d'impôt fédéral direct. Partant, les considérations développées pour cet impôt s'appliquent mutatis mutandis aux impôts cantonal et communal de la période fiscale 2011.
8.
8.1. Il découle de ce qui précède que le recours doit être admis, dans la mesure où il est recevable, et l'arrêt du 19 avril 2016 de la Cour de justice annulé tant en matière d'impôt fédéral direct que d'impôts cantonal et communal. La cause est renvoyée à cette autorité pour instruction complémentaire des faits et nouvelle décision dans le sens des considérants (cf. <ref-law>).
8.2. Les frais judiciaires sont mis à la charge du canton de Genève, qui succombe et qui défend un intérêt patrimonial (cf. art. 66 al. 1 et 4 LTF; cf. <ref-ruling> consid. 8.1.3 p. 40 s.). Il n'est pas alloué de dépens, le recourant ayant agi en personne (cf. <ref-law>; cf. <ref-ruling> consid. 4 p. 446).

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce :
1.
Les causes 2C_436/2016 et 2C_437/2016 sont jointes.
2.
Le recours est admis, dans la mesure où il est recevable, en ce qui concerne l'impôt fédéral direct.
3.
Le recours est admis, dans la mesure où il est recevable, en ce qui concerne les impôts cantonal et communal.
4.
L'arrêt rendu le 19 avril 2016 par la Cour de justice de la République et canton de Genève est annulé et la cause est renvoyée à cette autorité pour nouvelle décision dans le sens des considérants.
5.
Les frais judiciaires, arrêtés à 2'000 fr., sont mis à la charge du canton de Genève.
6.
Il n'est pas alloué de dépens.
7.
Le présent arrêt est communiqué au recourant, à l'Administration fiscale cantonale du canton de Genève, à la Cour de justice de la République et canton de Genève, Chambre administrative, 4ème section, ainsi qu'à l'Administration fédérale des contributions.
Lausanne, le 21 décembre 2016
Au nom de la IIe Cour de droit public
du Tribunal fédéral suisse
Le Président : Seiler
La Greffière : Kleber