Sachverhalt:
A.
A._ ist als Journalist und Redaktor beim Schweizer Fernsehen (SRF) tätig und dort für die Produktion der Sendung "Rundschau" zuständig. Am 4. März 2014 gelangte er an die Steuerverwaltung des Kantons Basel-Stadt und ersuchte um Einsicht in die Steuerunterlagen der B._ AG für die Jahre 1973 bis 2003. A._ möchte mit seinem Gesuch Informationen beschaffen über allfällige Steuerrulings, d.h. verbindliche behördliche Vorbescheide betreffend die Steuerfolgen eines bestimmten wirtschaftlichen Sachverhalts. Das Gesuch wurde zuständigkeitshalber an das kantonale Finanzdepartement weitergeleitet und von diesem am 18. März 2014 abgewiesen.
B.
Gegen diesen Entscheid führte A._ am 20. März 2014 Rekurs an die Vorsteherin des Finanzdepartements bzw. an den Regierungsrat des Kantons Basel-Stadt. Das Rechtsmittel wurde zuständigkeitshalber an das kantonale Appellationsgericht (als Verwaltungsgericht) überwiesen. Dieses wies den Rekurs mit Urteil vom 8. Oktober 2014 ab. Es befand, das kantonale Informations- und Datenschutzgesetz sehe eine Einschränkung des Zugangs zu Informationen vor, wo eine gesetzliche Geheimhaltungspflicht bestehe. Dies treffe vorliegend zu, denn die interessierenden Steuerdaten unterlägen dem Steuergeheimnis. Es sei im vorliegenden Fall auch nicht möglich, anonymisierte Daten zu liefern.
C.
Gegen das Urteil des Appellationsgerichts vom 8. Oktober 2014 führt A._ am 2. Dezember 2014 Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten beim Bundesgericht. Er beantragt die Aufhebung des vorinstanzlichen Entscheids und die Gewährung des Zugangs zu den Steuerdaten.
D.
Das Bundesgericht hat die B._ AG mit Verfügung vom 16. September 2015 ins Verfahren einbezogen. In ihrer Stellungnahme vom 19. November 2015 stellt diese Antrag auf Abweisung der Beschwerde, eventuell auf Rückweisung an das Finanzdepartement. Das Appellationsgericht und das Finanzdepartement beantragen die Abweisung der Beschwerde. Der Beschwerdeführer hat repliziert.

Erwägungen:
1.
1.1. Angefochten ist ein letztinstanzlicher kantonaler Entscheid in einer Angelegenheit des öffentlichen Rechts, der unter keinen Ausschlussgrund gemäss <ref-law> fällt und daher mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten an das Bundesgericht weitergezogen werden kann (vgl. Art. 82 Abs. 1 lit. a, Art. 86 Abs. 1 lit. d sowie Art. 90 BGG).
1.2. Der Beschwerdeführer hat am vorinstanzlichen Verfahren teilgenommen, ist durch den angefochtenen Entscheid besonders berührt und hat ein schutzwürdiges Interesse an dessen Aufhebung oder Änderung (<ref-law>). Auf die Beschwerde ist einzutreten.
Obwohl die Interessen der B._ AG durch das vorliegende Verfahren offensichtlich und in wesentlicher Weise berührt werden, konnte sie sich vor den kantonalen Instanzen noch nicht zur Sache äussern. Das Bundesgericht hat sie daher in den Schriftenwechsel einbezogen (<ref-law>; zur Beiladung allgemein Urteil 8C_834/2013 vom 18. Juli 2014 E. 1.1; nicht publizierte E. 6.1 von <ref-ruling>).
2.
Der Beschwerdeführer wünscht Einsicht in die "Steuerausweise" der B._ AG für die Jahre 1973 bis 2003. Dieses Begehren ist insofern nicht ganz klar, als es sich beim Begriff des "Steurausweises" nicht um einen feststehenden und einheitlich benutzten steuerrechtlichen Fachausdruck handelt. Aufgrund des Rechtsbegehrens könnte man allenfalls davon ausgehen, dass der Beschwerdeführer bloss Einblick in die gegenüber der B._ AG ergangenen Veranlagungsverfügungen anstrebe. Mit Blick auf den deklarierten Zweck des Einsichtsgesuchs - abzuklären, ob das genannte Unternehmen mittels Offshore-Firmen in illegaler oder zumindest illegitimer Weise Steuerersparnisse erzielt hat - wird indessen klar, dass der Beschwerdeführer darüber hinaus zumindest weitere Akten betreffend allfälliger Steuerrulings einsehen möchte, allenfalls sogar die gesamten Akten der Veranlagungsverfahren der betreffenden Jahre. Die genaue Tragweite des Rechtsbegehrens kann indes offenbleiben.
3.
3.1. Das Steuergeheimnis ist in Art. 39 des Bundesgesetzes über die Harmonisierung der direkten Steuern der Kantone und Gemeinden vom 14. Dezember 1990 (StHG; SR 642.14) sowie in § 138 des basel-städtischen Gesetzes über die direkten Steuern vom 12. April 2000 (SG 640.100 StG/BS) geregelt (vgl. für die direkte Bundessteuer <ref-law>). Gemäss Art. 39 Abs. 1 Satz 1 StHG sind die mit dem Vollzug der Steuergesetze betrauten Personen zur Geheimhaltung verpflichtet. Etwas eingehender hält § 138 Abs. 1 StG/BS fest, dass Personen, die mit dem Vollzug des StG/BS betraut sind oder dazu beigezogen werden, über Tatsachen und Verhältnisse, die ihnen in Ausübung ihres Amtes bekannt werden, und über die Verhandlungen in den Behörden Stillschweigen zu bewahren und Dritten den Einblick in amtliche Akten zu verweigern haben. Vorbehalten bleibt die Auskunftspflicht, soweit hierfür eine gesetzliche Grundlage im Bundesrecht oder im kantonalen Recht besteht (Art. 39 Abs. 1 Satz 2 StHG bzw. § 138 Abs. 2 StG/BS).
Damit steht fest, dass die nachgesuchten Informationen grundsätzlich dem Steuergeheimnis unterliegen und von diesem geschützt werden. Davon ist auch die Vorinstanz ausgegangen.
3.2. Das Steuergeheimnis dient zunächst dem grund- und zivilrechtlich gesicherten Persönlichkeitsschutz sowie der Wahrung von Geschäftsgeheimnissen des Steuerpflichtigen. Es geht insofern über das Amtsgeheimnis hinaus, als der Steuerpflichtige aufgrund seiner sehr weitreichenden Offenlegungspflicht (Deklarations- und Auskunftspflicht) als besonders schutzbedürftig erscheint und eine Durchbrechung des Geheimnisses aus diesem Grund lediglich in besonderen Fällen gestattet ist, in denen das Geheimhaltungsinteresse überwiegende Interessen bestehen. Das Steuergeheimnis dient aber mittelbar auch der Sachverhaltsermittlung im Veranlagungsverfahren. Es erleichtert auskunftspflichtigen Dritten die ihnen obliegende Offenlegung, indem sie darauf vertrauen können, dass die gegenüber den Steuerbehörden offengelegten Informationen nicht allgemein bekannt werden (vgl. HUGO CASANOVA/MARTIN ZWEIFEL, in: Schweizerisches Steuerverfahrensrecht, Direkte Steuern, 2008, § 10 Rz. 1; MARTIN ZWEIFEL, Verfahrensgrundsätze und Veranlagungsverfahren, in: ASA 61 S. 417; vgl. auch <ref-ruling> E. 3.1 für die Interessenabwägung im Hinblick auf die allfällige Nicht-Öffentlichkeit einer bundesgerichtlichen Urteilsberatung).
3.3. Die Vorinstanz hat die Wahrung des Steuergeheimnisses der B._ AG gegenüber den vom Beschwerdeführer namhaft gemachten Informationsanliegen abgewogen. Sie hat befunden, der Beschwerdeführer könne sich auf die Medienfreiheit nach <ref-law> und § 37 der Verfassung des Kantons Basel-Stadt vom 23. März 2005 (SR 131.222.1; KV/BS) berufen, welche beide den ungehinderten Fluss von Informationen und Meinungen und namentlich die Kontrollfunktion der Medien als Bindeglieder zur Öffentlichkeit sicherstellen wollten. Diese Verfassungsgarantien könnten allerdings gestützt auf eine gesetzliche Grundlage eingeschränkt werden, wenn überwiegende Interessen dies rechtfertigten. Bei der erforderlichen Interessenabwägung hätten die vom Beschwerdeführer geäusserten Mutmassungen über allfällige Steuerprivilegien der B._ AG wenig Gewicht. Der Schutz des Vertrauens des Steuerpflichtigen in die Diskretion der Steuerbehörden und den Schutz seiner persönlichen Daten überwögen, weshalb dem Beschwerdeführer keine Einsicht zu gewähren sei.
Die Beschwerdegegnerin ist der Auffassung, das Steuergeheimnis geniesse absoluten Vorrang vor dem Öffentlichkeitsprinzip, da die Vertraulichkeit der Steuerdaten als dessen Schranke bereits in § 75 Abs. 3 KV/BS verankert sei. Der Kanton Basel-Stadt kenne ein besonders streng ausgestaltetes Steuergeheimnis; die Interessenabwägung gegenüber dem Öffentlichkeitsprinzip sei im Steuerbereich bereits verfassungsrechtlich bzw. gesetzlich vorweggenommen.
Der Beschwerdeführer erachtet das Urteil des Appellationsgerichts als unverhältnismässig und willkürlich (Art. 5, 9 und 36 BV). Zudem moniert er einen Verstoss gegen die Meinungs-, Informations- und Medienfreiheit (Art. 16 und 17 BV, Art. 10 EMRK), gegen diverse Bestimmungen des Bundesgesetzes vom 24. März 2006 über Radio und Fernsehen (RTVG; SR 784.40) sowie gegen § 75 der Verfassung des Kantons Basel-Stadt. Seine Anfrage richte sich nicht nach sensiblen Steuerdaten von Privaten, sondern fokussiere auf das Verhalten der Steuerbehörden bei der Aushandlung von Rulings, also auf amtliches Verwaltungshandeln. Es bestehe vorliegend ein öffentliches Interesse an der möglichst uneingeschränkten Geltung der Meinungs- und Informations- sowie der Medienfreiheit. Die Vertraulichkeit der Steuerdaten könne durch eine massvolle Zugänglichmachung etwa mittels Anonymisierung gewahrt bleiben.
4.
4.1. Der Beschwerdeführer macht in erster Linie eine Verletzung von Art. 16 und 17 BV (Informations- und Medienfreiheit) geltend.
Die Informationsfreiheit nach Art. 16 Abs. 1 und 3 BV räumt jeder Person das Recht ein, Informationen frei zu empfangen, aus allgemein zugänglichen Quellen zu beschaffen und zu verbreiten. Sie garantiert das Recht, Nachrichten und Meinungen ohne Eingriffe der Behörden zu empfangen (Empfangsfreiheit). Des Weiteren umfasst die Informationsfreiheit den Anspruch, Informationen aus allgemein zugänglichen Quellen zu beschaffen (Freiheit der Informationsbeschaffung). Ob eine Informationsquelle im Sinne der Verfassungsbestimmung als allgemein zugänglich zu betrachten ist, bestimmt sich weitgehend nach der entsprechenden Umschreibung und Wertung durch den Verfassungs- und Gesetzgeber. Die Medienfreiheit gemäss <ref-law> gewährleistet die Freiheit von Presse, Radio und Fernsehen sowie anderer Formen der öffentlichen fernmeldetechnischen Verbreitung von Darbietungen und Informationen, verbietet die Zensur und schützt das Redaktionsgeheimnis (dazu, mit Bezug auf die Tätigkeit der Medien: <ref-ruling> E. 2.3).
Da der Beschwerdeführer vorliegend seiner journalistischen Tätigkeit durch Einsicht in amtliche Akten nachgehen möchte, erscheinen die Medien- und die Informationsfreiheit in vergleichbarer Weise betroffen. Beide können gestützt auf eine gesetzliche Grundlage eingeschränkt werden, wobei die Einschränkungen im öffentlichen Interesse liegen oder durch den Schutz von Grundrechten Dritter gerechtfertigt und verhältnismässig sein müssen (Art. 36 Abs. 1-3 BV). Die nachfolgenden Erwägungen gelten denn auch für beide Grundrechte.
4.2. Das Bundesgericht hat sich in seiner veröffentlichten Rechtsprechung bereits mehrmals mit dem Verhältnis zwischen Öffentlichkeitsgrundsatz und Steuergeheimnis geäussert. Mit Bezug auf eine gesetzliche Regelung im Kanton Zürich, welche die Öffentlichkeit der Steuerregister vorsieht, hat es ein öffentliches Interesse an einer gewissen Transparenz über die Steuerverhältnisse anerkannt, solange damit nicht übermässig in persönliche Verhältnisse eines Steuerpflichtigen eingegriffen wird (<ref-ruling>). Diesen Grundsatz hat es kurz nach Inkrafttreten des BGG für seine eigenen öffentlichen Urteilsberatungen bestätigt. Diese sind im BGG ausdrücklich vorgesehen und liegen im öffentlichen Interesse; das Anliegen eines Steuerpflichtigen, das Bekanntwerden seines (betragsmässig, aber nicht hinsichtlich seiner Zusammensetzung genau angegebenen) Einkommens und Vermögens sowie der Modalitäten seiner beruflichen Vorsorge zu verhindern, erscheint demgegenüber als weniger bedeutsam (<ref-ruling> E. 3.2 S. 207 f.).
4.3. Die Rechtslage unterscheidet sich im vorliegenden Verfahren insofern wesentlich von den oben dargestellten Fällen, als dort die behördliche Handlung, die mit einem Eingriff in das Steuergeheimnis verbunden war, im Gesetz ausdrücklich vorgesehen war. So sieht das Zürcher Steuergesetz die Öffentlichkeit der Steuerregister ausdrücklich vor, und gemäss <ref-law> sind die mündlichen Urteilsberatungen des Bundesgerichts öffentlich, ohne dass für Steuerverfahren eine allgemeine Ausnahme vorgesehen wäre. Vorliegend verhält es sich grundlegend anders: Gemäss Art. 39 Abs. 1 StHG findet das Steuergeheimnis immer Anwendung, sofern keine gesetzlichen Auskunftspflichten bestehen (vgl. die ähnlichlautende Vorschrift des StG/BS). Solche sind vorliegend nicht ersichtlich: Der basel-städtische Verfassungsgeber hat das vom Beschwerdeführer angerufene Öffentlichkeitsprinzip gemäss § 75 Abs. 2 KV/BS bzw. gemäss dem kantonalen Informations- und Datenschutzgesetz (IDG; SG 153.260) in mehrerer Hinsicht eingeschränkt: Zunächst steht das Öffentlichkeitsprinzip allgemein unter dem Vorbehalt überwiegender öffentlicher oder privater Interessen; in § 75 Abs. 3 KV wird es für den Steuerbereich sogar noch dahingehend eingeschränkt, dass die Vertraulichkeit von Steuerdaten ausdrücklich vorbehalten bleibt. Damit hat der Kanton Basel-Stadt dem Steuergeheimnis bereits auf Verfassungsstufe einen sehr hohen Stellenwert beigemessen, was harmonisierungsrechtlich zulässig ist.
Mit den oben erwähnten Erlassen haben der Bund und der Kanton Basel-Stadt die Abwägung zwischen dem Persönlichkeitsschutz, der dem Steuergeheimnis zugrunde liegt, und dem Anliegen des ungehinderten Zugangs, namentlich der Medienschaffenden, zu staatlichen Informationen auf Gesetzes- bzw. Verfassungsebene vorab entschieden und dem erstgenannten Anliegen ein höheres Gewicht beigemessen. Diese vom Gesetz- bzw. Verfassungsgeber in genereller Weise vorweg genommene Interessenabwägung ist zulässig; sie ist zu respektieren und kann nicht auf gerichtlichem Weg korrigiert werden. Der Beschwerdeführer kann daher weder aus Art. 16 noch aus <ref-law>ein Recht auf Einsicht in Steuerakten der Beschwerdegegnerin ableiten.
4.4. Der Beschwerdeführer beruft sich auch noch auf Art. 10 EMRK. Es bleibt somit zu prüfen, ob sich aus dieser Konventionsbestimmung ein Anspruch des Beschwerdeführers auf Zugang zu den interessierenden Akten ergibt.
Im Entscheid Leander gegen Schweden vom 26. März 1987, 9248/81, hielt der EGMR fest, es könne kein allgemeiner Anspruch auf Informationszugang aus Art. 10 EMRK abgeleitet werden. Grundsätzlich gewährt Art. 10 EMRK dem Einzelnen demnach weder ein Recht auf Zugang zu Informationen, noch verpflichtet es die Behörden, dem Einzelnen Informationen zur Verfügung zu stellen. Immerhin ist es den Behörden jedoch untersagt, eine Person am Empfang von Informationen zu hindern, die andere ihr zukommen lassen (wollen). Der mit dem Urteil Leander begründete Grundsatz wurde vom EGMR seither immer wieder bestätigt (vgl. etwa kürzlich den Entscheid Guseva gegen Bulgarien vom 17. Februar 2015, 6987/07, § 36). Aus Art. 10 EMRK ergibt sich namentlich kein Anspruch auf Zugang zu Informationen, die der Staat geheim halten möchte ( Leander, a.a.O., § 74 f.). Von diesem Grundsatz ist der EGMR nur ganz ausnahmsweise in besonderen Konstellationen abgewichen (so etwa im Entscheid Tarsasag a Szabadsagjogokert gegen Ungarn vom 14. April 2009, 37374/05). Eine solche Situation liegt im hier zu beurteilenden Fall nicht vor. Dem Beschwerdeführer steht somit auch gestützt auf Art. 10 EMRK kein Anspruch auf Zugang zu den Steuerakten der Beschwerdegegnerin zu.
Die übrigen vom Beschwerdeführer angerufenen Bestimmungen, namentlich des RTVG, vermögen ihm ebenfalls keinen solchen Einsichtsanspruch zu verschaffen.
5.
Damit ist die Beschwerde abzuweisen. Bei diesem Verfahrensausgang trägt der Beschwerdeführer die Gerichtskosten (<ref-law>). Er hat der obsiegenden privaten Beschwerdegegnerin eine Parteientschädigung zu entrichten (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 2'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3.
Der Beschwerdeführer hat die Beschwerdegegnerin für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 3'000.-- zu entschädigen.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 18. April 2016
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Fonjallaz
Der Gerichtsschreiber: Härri