Sachverhalt:
A.
Seit einigen Jahren bezichtigt X._ regelmässig seine Nachbarn B._ und A._ bei der Stockwerkeigentümergemeinschaft, in ihrer Wohnung einen Escortservice zu betreiben. Weiter äusserte X._ gegenüber anderen Stockwerkeigentümern den Verdacht, dass B._ als Prostituierte in einem Bordell arbeite und A._ Frauen für diese Geschäftstätigkeit anwerbe. Schliesslich unterstellte X._ den beiden auch, in der von ihnen bewohnten Liegenschaft ein "Bed and Breakfast" zu führen, um ihrer bisherigen Geschäftstätigkeit ein weniger anstössiges Image zu vermitteln.
B.
Am 23. Juli 2013 verurteilte das Strafgericht des Kantons Basel-Stadt X._ wegen mehrfacher übler Nachrede zu einer bedingten Geldstrafe von 50 Tagessätzen zu Fr. 60.-- bei einer Probezeit von 2 Jahren.
Auf Berufung von X._ bestätigte das Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt dieses Urteil am 26. Juni 2015 vollumfänglich.
C.
X._ führt Beschwerde in Strafsachen mit dem Antrag, der Entscheid des Appellationsgerichts vom 26. Juni 2015 sei aufzuheben und die Sache zu neuer Entscheidung an die Vorinstanz zurückzuweisen.
Das Appellationsgericht Basel-Stadt beantragt die Abweisung der Beschwerde. Die Staatsanwaltschaft des Kantons Basel-Stadt sowie die Privatkläger A._ und B._ verzichten auf eine Vernehmlassung.

Erwägungen:
1.
1.1. Der Beschwerdeführer rügt eine Verletzung von <ref-law> und macht geltend, es habe in sämtlichen Verfahrensstadien Anlass zu Zweifeln an seiner Schuldfähigkeit bestanden. So habe sich seine Ehefrau mehrfach an die Strafverfolgungsbehörden gewandt und auf seine psychische Erkrankung hingewiesen. Das erstinstanzliche Gericht und die Vorinstanz hätten sogar selbst Zweifel an seiner Schuldfähigkeit geäussert. Während die erste Instanz festgestellt habe, seinen Anschuldigungen liege erkennbar eine gewisse Fehlwahrnehmung zugrunde, sei die Vorinstanz der Auffassung gewesen, dass er "etwas gebastelt habe in seiner Phantasie" und es ihm schwer falle, "von seiner Wahrnehmung abzurücken und die Realität wahrzunehmen". Insgesamt hätten klare Zweifel an seiner Schuldfähigkeit bestanden, was zwingend zu einer Begutachtung hätte führen müssen.
1.2. Nach <ref-law> ordnet die Untersuchungsbehörde oder das Gericht die Begutachtung durch einen Sachverständigen an, wenn ernsthafter Anlass besteht, an der Schuldfähigkeit des Täters zu zweifeln. Ein Gutachten ist nicht nur einzuholen, wenn das Gericht tatsächlich Zweifel an der Schuldfähigkeit hat, sondern auch, wenn es nach den Umständen des Falls ernsthafte Zweifel haben sollte (<ref-ruling> E. 3.3 mit Hinweisen; Urteile 6B_352/2014 vom 22. Mai 2015 E. 5.1, nicht publ. in <ref-ruling>, und 6B_130/2012 vom 22. Oktober 2012 E. 2.3, nicht publ. in <ref-ruling>).
1.3. Zu Recht bringt der Beschwerdeführer vor, seine Frau habe sich mehrmals an die Strafverfolgungsbehörden gewandt mit dem Hinweis, er sei psychisch krank. Die entsprechenden Telefonate führte sie jeweils in seiner Abwesenheit, einmal sogar aus einer Telefonkabine, weil er nichts von diesen Gesprächen erfahren sollte. Bei diesen Gelegenheiten schilderte sie, dass der Beschwerdeführer teilweise ausgeprägte Verkennungen und eventuell auch Wahnideen habe. Selber sei er jedoch nicht dieser Meinung, weshalb er sich nicht behandeln lasse. Ausserdem erwähnte sie, dass sich sein Gesundheitszustand nach längerer Arbeitslosigkeit mit Depressionen verschlechtert habe (vgl. pag. 29 und 55).
Diese wiederholten Hinweise sowie die jeweiligen Einschätzungen der beiden Vorinstanzen selbst sprechen dafür, dass diese ernsthafte Zweifel an der vollen Schuldfähigkeit des Beschwerdeführers hätten haben sollen oder allenfalls sogar hatten. So führte das erstinstanzliche Gericht aus, die inkriminierten Behauptungen des Beschwerdeführers seien von den meisten Personen nicht allzu ernst genommen worden, wohl weil "den Anschuldigungen erkennbar eine gewisse Fehlwahrnehmung zugrunde liegt". Dem Beschwerdeführer falle es schwer, von seiner Wahrnehmung abzurücken und die Realität wahrzunehmen. Die Vorinstanz ihrerseits hielt fest, "die ganzen Anwürfe erscheinen vielmehr als ein Konstrukt seiner Phantasie, welches durchaus schon Krankheitswert erreicht haben dürfte".
Indem die Vorinstanz die Schuldfähigkeit des Beschwerdeführers trotz der Zweifel, die sie hätte haben sollen oder sogar äusserte, nicht durch eine sachverständige Person abklären liess, verletzte sie Bundesrecht. Die Rüge erweist sich als begründet.
2.
Die Beschwerde ist gutzuheissen und die Sache zur Neubeurteilung an die Vorinstanz zurückzuweisen. Diese wird die Schuldfähigkeit des Beschwerdeführers durch einen Sachverständigen abklären lassen müssen.
Es sind keine Kosten zu erheben (<ref-law>). Der Kanton Basel-Stadt hat den Beschwerdeführer für das bundesgerichtliche Verfahren angemessen zu entschädigen (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird gutgeheissen. Der Entscheid des Appellationsgerichts des Kantons Basel-Stadt vom 26. Juni 2015 wird aufgehoben und die Sache zur neuen Entscheidung an die Vorinstanz zurückgewiesen.
2.
Es werden keine Kosten erhoben.
3.
Der Kanton Basel-Stadt hat dem Beschwerdeführers für das bundesgerichtliche Verfahren eine Entschädigung von Fr. 3'000.-- auszurichten.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt, Ausschuss, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 12. Mai 2016
Im Namen der Strafrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Das präsidierende Mitglied: Oberholzer
Die Gerichtsschreiberin: Siegenthaler