Faits :
A.
La commune de Y._ (Neuchâtel) a publié un appel d'offres selon la procédure ouverte portant sur les prestations de ramassage et de transport des déchets urbains combustibles d'un volume d'environ 1'000 tonnes par an, répartis dans 81 conteneurs de 5 m 3, enterrés ou partiellement enterrés. L'appel d'offres contenait un cahier des charges techniques ainsi que différents formulaires à remplir par les soumissionnaires. Le dossier d'appel d'offres remis aux candidats fixait trois critères d'adjudication: le prix (pondéré à 50%), les expériences, références et moyens à disposition (pondéré à 40%) et la gestion des processus et développement durable (pondéré à 10%).
Trois soumissionnaires ont présenté une offre: X._ SA, Z._ SA et A._ Sàrl. L'ouverture des offres a eu lieu le 29 février 2016.
B.
Le 16 mars 2016, la commune de Y._ a adjugé le marché à Z._ SA qui a obtenu, après pondération, 481.50 points. X._ SA s'est placée en deuxième position, avec un total de 406.27 points. Le troisième concurrent, A._ Sàrl, a obtenu 333.10 points.
Le 31 mars 2016, X._ SA a déposé une déclaration de recours, subsidiairement un recours de droit administratif, devant la Cour de droit public du Tribunal cantonal de la République et canton de Neuchâtel (ci-après: le Tribunal cantonal). La société a notamment mis en cause l'impartialité de deux membres du comité d'évaluation. Elle demandait en outre à avoir accès à l'intégralité du dossier. Sur le fond, la société a soutenu que son offre était plus avantageuse que celle de l'adjudicataire.
Par courrier du 1er avril 2016, X._ SA a requis de la société B._ AG la production de la liste des véhicules, respectivement des grues, capables de manipuler des containers enterrés B._ (cf. <ref-law>). Le 24 mai 2016, le Tribunal cantonal a informé l'intéressée que le dossier était à sa disposition. Le 18 juillet 2016, après avoir consulté le dossier, X._ SA a fait valoir que Z._ SA n'avait ni l'expérience ni l'équipement nécessaires pour réaliser le mandat prévu par l'appel d'offres. Il a en outre requis de la société B._ "des explications quant à l'incompatibilité du dispositif de vidage kinshofer 921 avec une grue Fassi 41m".
Par arrêt du 5 octobre 2016, le Tribunal cantonal a rejeté le recours de X._ SA. Il a retenu en substance que l'argument d'impartialité était tardif, car la recourante connaissait la composition du comité d'évaluation au moment de présenter sa soumission. Il a également confirmé l'évaluation des différents critères opérée par la commune.
C.
Agissant par la voie du recours en matière de droit public, et celle subsidiairement du recours constitutionnel subsidiaire, X._ SA demande au Tribunal fédéral, sous suite de frais et dépens, d'annuler l'arrêt du 5 octobre 2016 du Tribunal cantonal et de lui attribuer le marché. Subsidiairement, elle conclut au renvoi du dossier à l'instance précédente pour instruction complémentaire et nouvelle décision au sens des considérants. A titre de mesures superprovisoires, X._ SA demande également au Tribunal fédéral d'accorder l'effet suspensif au recours et d'interdire à la commune de Y._ de conclure un contrat avec Z._ SA.
Par ordonnance du 25 novembre 2016, le Président de la IIe Cour de droit public a rejeté la requête d'effet suspensif formulée par X._ SA.
Le Tribunal cantonal conclut au rejet du recours dans la mesure de sa recevabilité. La commune de Y._ et l'adjudicataire concluent à l'irrecevabilité du recours en matière de droit public et au rejet du recours constitutionnel subsidiaire.
Le 8 février 2017, X._ SA a déposé une demande de suspension "jusqu'à droit connu dans la procédure de révision auprès du Tribunal cantonal neuchâtelois". Le 13 février 2017, le Tribunal cantonal a confirmé qu'une demande de révision avait été déposée par la recourante.

Considérant en droit :
1.
Le Tribunal fédéral examine d'office sa compétence (<ref-law>). Il contrôle donc librement la recevabilité des recours qui lui sont soumis (<ref-ruling> consid. 1 p. 116).
1.1. L'arrêt attaqué a été rendu par un tribunal supérieur statuant en dernière instance cantonale en matière de marchés publics, sans qu'un recours auprès du Tribunal administratif fédéral ne soit ouvert (art. 86 al. 1 let. d et al. 2 LTF). Il peut donc en principe faire l'objet d'un recours en matière de droit public au Tribunal fédéral, à condition qu'il ne tombe pas sous le coup de l'exception prévue à l'art. 83 let. f LTF. Selon cette disposition, le recours en matière de droit public n'est recevable contre les décisions en matière de marchés publics qu'à la double condition que la valeur du mandat à attribuer soit supérieure ou égale aux seuils déterminants prévus à cet effet et que la décision attaquée soulève une question juridique de principe. Il incombe à la partie recourante, sous peine d'irrecevabilité, de démontrer la réalisation de ces deux conditions (cf. <ref-law>; <ref-ruling> consid. 1.2 p. 20 s.).
1.2. L'existence d'une question juridique de principe s'apprécie en fonction du contenu de l'objet litigieux soumis au Tribunal fédéral et doit n'être admise que de manière restrictive (cf. pour les motifs de cette approche restrictive, <ref-ruling> consid. 1.1.2 p. 147). Pour qu'il y ait question juridique de principe, il ne suffit pas qu'elle n'ait encore jamais été tranchée par le Tribunal fédéral. Il faut de surcroît qu'il soit nécessaire, pour résoudre le cas d'espèce, de trancher une question juridique qui donne lieu à une incertitude caractérisée, laquelle appelle de manière pressante un éclaircissement de la part du Tribunal fédéral, en tant qu'autorité judiciaire suprême chargée de dégager une interprétation uniforme du droit fédéral (<ref-ruling> consid. 1.4.1 p. 118 s.; <ref-ruling> consid. 1.2 p. 210; <ref-ruling> consid. 1.1.2 p. 147). Ainsi, lorsque le point soulevé ne concerne que l'application de principes jurisprudentiels à un cas particulier, il ne peut être qualifié de question juridique de principe (arrêt 2C_6/2016 du 18 juillet 2016, consid. 1.4.1 non publié in <ref-ruling>). A l'inverse, il peut arriver qu'une question déjà résolue par le Tribunal fédéral revête néanmoins la qualité d'une question juridique de principe. Tel est notamment le cas si la jurisprudence rendue sur le sujet n'est pas claire, n'est pas constante ou qu'elle suscite d'importantes critiques dans la doctrine (cf. <ref-ruling> consid. 1.2.2.1 p. 21; <ref-ruling> consid. 1.4.1 p. 118 s.). S'agissant spécifiquement de l'art. 83 let. f LTF, il faut en outre que la question juridique en cause présente un lien avec le domaine des marchés publics (<ref-ruling> consid.1.4.1 p. 119 et les références citées; arrêt 2C_6/2016 du 18 juillet 2016, consid. 1.4.1 non publié in <ref-ruling>).
D'après la recourante, le Tribunal fédéral n'a jamais traité la question de savoir si, en matière de marchés publics, l'absence d'indépendance et d'impartialité du pouvoir adjudicateur devait être relevée d'office. Or, contrairement à ce que soutient l'intéressée, les principes prévalant en matière de récusation font l'objet d'une jurisprudence bien établie (<ref-ruling> consid. 8.4.3 p. 275; <ref-ruling> consid. 3.2.1 p. 124; <ref-ruling> consid. 2.2 p. 4; <ref-ruling> consid. 3.4 p. 211 s.; <ref-ruling> consid. 4.3.1 p. 21; <ref-ruling> consid. 4.3 p. 496; <ref-ruling> consid. 3 p. 229; <ref-ruling> consid. 2c/aa p. 24). D'après la jurisprudence, la partie qui a connaissance d'un motif de récusation doit l'invoquer aussitôt, sous peine d'être déchue du droit de s'en prévaloir ultérieurement. Le Tribunal fédéral considère en effet qu'il est contraire aux règles de la bonne foi de garder en réserve le moyen tiré de la composition irrégulière du tribunal pour ne l'invoquer qu'en cas d'issue défavorable de la procédure (cf. ATF <ref-ruling> consid. 3.2.1 p. 124). La recourante ne démontre pas en quoi cette jurisprudence devrait être modifiée lorsque la cause se rapporte à un marché public. Les "objectifs spécifiques" des marchés publics dont se prévaut la recourante (dont l'impartialité de l'adjudication, la mise en oeuvre d'une concurrence libre entre les soumissionnaires et l'interdiction des ententes illicites) impliquent certes l'indépendance et l'impartialité du pouvoir adjudicateur. Ils ne justifient cependant pas de retenir que le soumissionnaire évincé peut adopter une attitude contraire à la bonne foi en dissimulant un grief pour ne l'invoquer qu'en cas d'issue défavorable de la procédure. A tout le moins, la recourante ne le démontre pas, comme il lui appartenait de le faire (cf. supra consid. 1.1). Faute de poser une question juridique de principe, le recours en matière de droit public est par conséquent irrecevable, sans qu'il y ait lieu d'examiner si la valeur du marché litigieux dépasse la valeur seuil de l'art. 83 let. f ch. 1 LTF.
1.3. Seule subsiste la voie du recours constitutionnel subsidiaire. Déposé en temps utile (cf. art. 100 al. 1 en relation avec l'<ref-law>) et dans les formes prescrites (cf. art. 42 et 106 al. 2 LTF) par une partie à la procédure cantonale disposant d'un intérêt juridique à l'annulation à la modification de cet acte (<ref-law>), le recours constitutionnel subsidiaire formé par la recourante est recevable.
2.
Invoquant l'art. 29 al. 2 Cst., la recourante estime que son droit d'être entendue a été violé. Elle reproche à l'instance précédente de ne pas avoir donné suite à sa demande d'expertise visant à déterminer si la société adjudicataire disposait des moyens adéquats et nécessaires pour exécuter les travaux requis par le pouvoir adjudicateur. Elle se plaint également d'un défaut de motivation sur ce point.
2.1. Garanti par l'art. 29 al. 2 Cst., le droit d'être entendu est une garantie constitutionnelle de caractère formel, dont la violation doit entraîner l'annulation de la décision attaquée, indépendamment des chances de succès du recourant sur le fond (<ref-ruling> consid. 2.8.1 p. 226; <ref-ruling> consid 5.1 p. 390). Il comprend notamment le droit pour l'intéressé d'obtenir qu'il soit donné suite à ses offres de preuves pertinentes, de participer à l'administration des preuves essentielles ou à tout le moins de s'exprimer sur son résultat lorsque cela est de nature à influer sur la décision à rendre (<ref-ruling> consid. 6.3.1 p. 299; <ref-ruling> consid. 3.2 p. 270). Le droit de faire administrer des preuves suppose que le fait à prouver soit pertinent, que le moyen de preuve proposé soit nécessaire pour constater ce fait et que la demande soit présentée selon les formes et délais prescrits par le droit cantonal. Par ailleurs, la garantie constitutionnelle n'empêche pas le juge de mettre un terme à l'instruction lorsque les preuves administrées lui ont permis de former sa conviction et que, procédant d'une manière non arbitraire à une appréciation anticipée des preuves qui lui sont encore proposées, il a la certitude que ces dernières ne pourraient l'amener à modifier son opinion (<ref-ruling> consid. 2.3 p. 222 s.; <ref-ruling> consid. 6.3.1 p. 299).
2.2. Le droit d'être entendu impose également au juge de motiver sa décision. Selon la jurisprudence, il suffit que le juge mentionne, au moins brièvement, les motifs qui l'ont guidé et sur lesquels il a fondé sa décision, de manière à ce que l'intéressé puisse se rendre compte de la portée de celle-ci et l'attaquer en connaissance de cause. L'autorité n'a pas l'obligation d'exposer et de discuter tous les faits, moyens de preuve et griefs invoqués par les parties, mais elle peut au contraire se limiter à ceux qui lui paraissent pertinents (<ref-ruling> consid. 3.2.4 p. 41; <ref-ruling> consid. 5.1 p. 237). L'<ref-law> prévoit pour sa part que les décisions susceptibles d'un recours devant le Tribunal fédéral doivent contenir les motifs déterminants de fait et de droit (al. 1 let. b), à défaut de quoi le Tribunal fédéral peut soit renvoyer la décision entreprise à l'autorité cantonale en invitant celle-ci à la parfaire, soit l'annuler (al. 3; cf. <ref-ruling> consid. 2.3 p. 157). La motivation peut être implicite et résulter des différents considérants de la décision (<ref-ruling> consid. 3.2.1 p. 564 s. et les arrêts cités).
2.3. En procédure cantonale, la recourante a soutenu que l'adjudicataire ne disposait pas du matériel et de l'équipement nécessaire à la levée des conteneurs enterrés prévue par le cahier des charges de l'appel d'offres. Elle a en particulier exposé que l'appareil de vidage de conteneurs Kinshofer KM921 cité par l'adjudicataire dans son dossier ne permettait pas de vider les différents types de conteneurs enterrés présents dans la commune de Y._. L'intéressée a relevé en outre que cet équipement n'était pas compatible avec la grue Fassi M 40 que la société adjudicataire entendait acquérir. Ce raisonnement a amené la recourante à requérir, dans son courrier du 18 juillet 2016, une expertise portant sur "l'incompatibilité du dispositif de vidage Kinshofer 921 avec une grue Fassi 41m".
Dans l'arrêt attaqué, le Tribunal cantonal a retenu que dans la mesure où le modèle visé par l'adjudicataire était la grue Fassi M 40, et non la grue "Fassi 41 M", la recourante n'avait nullement démontré que la notation relative à l'équipement était arbitraire. Il résulte néanmoins clairement du dossier, en particulier de la réponse de la société adjudicataire du 25 juillet 2016, que la recourante se référait au modèle de grue Fassi M 40. Ainsi, alors même que le dossier permettait clairement de déceler l'erreur de plume de la rédactrice et de déterminer le contenu de l'expertise sollicitée, la Cour cantonale s'en est tenue à une lecture rigide de la demande d'expertise. L'approche formaliste de l'instance précédente est d'autant plus critiquable que la recourante avait déjà sollicité, dans une écriture du 1er avril 2016, la production de la liste des véhicules, respectivement des grues, capables de manipuler des containers enterrés B._ (cf. <ref-law>). Ainsi, en s'attachant à une lecture étroite de la demande d'expertise, l'instance précédente a omis d'indiquer les motifs ayant justifié le refus d'administrer cette preuve. La motivation doit cependant être contenue dans la décision attaquée pour que son destinataire puisse la comprendre et la contester en connaissance de cause. Or, les motifs qui ont conduit l'instance cantonale à refuser la demande d'expertise ne ressortent pas, même implicitement, de la décision entreprise. Ce point n'était en outre pas dénué de pertinence puisqu'il portait sur la question de l'équipement dont disposait la société adjudicataire pour réaliser le mandat prévu dans l'appel d'offre. Un tel facteur est susceptible de se répercuter tant sur la notation du critère des moyens à disposition que sur celle du prix. Dans ces conditions, la Cour cantonale devait expliquer pourquoi elle jugeait la mesure requise non pertinente. L'arrêt attaqué étant muet à cet égard, le Tribunal fédéral ne peut pas déterminer si l'appréciation anticipée à laquelle les juges ont procédé tombe sous le coup de l'arbitraire ou pas.
Dans ces circonstances, le jugement attaqué consacre une violation du droit d'être entendue de la recourante. Pour ce motif déjà, il convient d'admettre le recours, d'annuler l'arrêt attaqué et de renvoyer la cause à la juridiction cantonale pour qu'elle reprenne l'examen de la demande d'expertise et statue à nouveau sur celle-ci.
En outre, force est de constater que l'arrêt attaqué est muet quant aux raisons pour lesquelles la recourante n'avait pas réussi à démontrer que l'adjudicataire ne bénéficiait pas de l'équipement nécessaire pour exécuter le mandat prévu dans l'appel d'offre. L'arrêt attaqué se réfère aux documents produits par la recourante (plan d'implantation à C._ et descriptif de l'appareil) mais ne permet pas de comprendre en quoi ces pièces n'étaient pas convaincantes (cf. arrêt attaqué, p. 9). La recourante a ainsi été privée de la possibilité de comprendre les raisons pour lesquelles son argumentation n'a pas été retenue. En cela également le droit d'être entendue de la recourante a été violé, tout comme l'<ref-law>, aux termes duquel les décisions susceptibles de recours au Tribunal fédéral doivent contenir les motifs déterminants de fait et de droit.
3.
Les considérants qui précèdent conduisent à l'admission du recours constitutionnel subsidiaire, sans qu'il y ait lieu d'examiner les autres griefs de fond. L'arrêt rendu le 5 octobre 2016 par le Tribunal cantonal du canton de Neuchâtel sera annulé et la cause renvoyée à ce dernier pour nouvelle décision. La demande de suspension de la recourante devient sans objet.
L'autorité intimée et l'adjudicataire, qui succombent, doivent supporter les frais de la présente procédure solidairement entre elles (art. 66 al. 1 et 5 LTF). Elles verseront en outre solidairement entre elles une indemnité à titre de dépens pour la procédure fédérale à la recourante, qui obtient gain de cause avec l'assistance d'un avocat (art. 68 al. 1 et 2 LTF). Les frais et dépens seront fixés en tenant compte du fait que le recours est admis pour un motif formel (cf. arrêts 2D_59/2013 du 4 juillet 2014 consid. 3; 2C_560/2012 du 21 janvier 2013 consid. 5 et références).

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce :
1.
Le recours en matière de droit public est irrecevable.
2.
Le recours constitutionnel subsidiaire est admis.
3.
L'arrêt attaqué est annulé et la cause renvoyée au Tribunal cantonal du canton de Neuchâtel pour nouvelle décision dans le sens des considérants.
4.
Les frais judiciaires, arrêtés à 1'500 fr., sont mis à la charge de la commune de Y._ et de Z._ SA solidairement entre elles.
5.
Une indemnité de dépens pour la procédure fédérale de 1'500 fr. à charge de la commune de Y._ et de Z._ SA solidairement entre elles est allouée à X._ SA.
6.
Le présent arrêt est communiqué au mandataire de la recourante, à la commune de Y._, à la mandataire de Z._ SA et au Tribunal cantonal de la République et canton de Neuchâtel.
Lausanne, le 20 février 2017
Au nom de la IIe Cour de droit public
du Tribunal fédéral suisse
Le Président : Seiler
La Greffière : McGregor