Sachverhalt:
A.
A.a. Die Eheleute B._ und C._, beide kanadische Staatsangehörige, sind die Eltern der Kinder D._ (2004) und E._ (2007). Am 19. Mai 2014 stellte der Amtsgerichtspräsident des Richteramtes Dorneck-Thierstein im Rahmen von Eheschutzmassnahmen fest, dass die Parteien seit September 2013 getrennt leben. Festgehalten wurde ferner, dass die Ehegatten weiterhin über das gemeinsame Sorgerecht über ihre Söhne verfügen. Sodann regelte der Amtsgerichtspräsident die alternierende Obhut der Ehegatten über ihre Kinder. Im Weiteren wurde die mit Entscheid der Kindes- und Erwachsenenschutzbehörde Dorneck-Thierstein/Thal Gäu vom 23. April 2014 eingesetzte Erziehungsbeiständin gemäss Art. 308 Abs. 1 und 2 ZGB beauftragt, das Besuchs- und Ferienrecht zu terminieren und zu überwachen. Schliesslich erliess der Präsident weitere, hier nicht wesentliche Massnahmen. Der Sohn E._ lebt seit Ende Oktober 2015 zusammen mit seiner Mutter in Kanada.
A.b. Mit Urteil vom 19. Oktober 2015 änderte der Amtsgerichtspräsident die Verfügung vom 19. Mai 2014 ab. Die gestützt auf Art. 308 Abs. 1 und 2 ZGB angeordnete Beistandschaft mit den beschriebenen Aufgaben blieb aufrecht erhalten.
B.
B.a. Gegen diesen Entscheid gelangten beide Parteien an das Obergericht des Kantons Solothurn. Mit Verfügung vom 4. Januar 2016 stellte der Präsident der Zivilkammer des Obergerichts fest, dass der Schriftenwechsel geschlossen und die Frist für die Einreichung einer Replik abgelaufen sei. Am 3. Februar 2016 ging von der Sozialregion U._ ein Schreiben der Beiständin der Kinder ein.
B.b. Mit Urteil vom 26. Februar 2016 hiess die angerufene Instanz die Berufung des Vaters teilweise gut und wies jene der Mutter ab. Da die Kindesvertreterin ihr Mandat bezüglich D._ niedergelegt hatte, ernannte die Berufungsinstanz für den Sohn D._ für die Berufungsverfahren als neuen Kindesvertreter Rechtsanwalt A._ und setzte seine Entschädigung auf pauschal Fr. 2'500.-- fest (Dispositiv-Ziff. 8). Schliesslich überband sie die Kosten der Berufungsverfahren von gesamthaft Fr. 12'457.20 beiden Parteien zur Hälfte (Dispositiv-Ziff. 9).
C.
Der Kindesvertreter, Rechtsanwalt A._ (Beschwerdeführer), hat gegen das obergerichtliche Urteil Verfassungsbeschwerde erhoben. Er beantragt, in Abänderung von Ziffer 8 des angefochtenen Urteils sei die Entschädigung für die Kindesvertretung auf Fr. 10'362.-- (Honorar: Fr. 9'594.45; Barauslagen: Fr. 279.45; MWSt: Fr. 767.55) festzusetzen. Eventuell sei Ziffer 8 mit Bezug auf die Entschädigung des Kindesvertreters aufzuheben und die Sache zur Neufestsetzung der Entschädigung an die Vorinstanz zurückzuweisen.
D.
Das Obergericht hat sich am 5. Juli 2016 vernehmen lassen. Es beantragt Abweisung der Verfassungsbeschwerde. Der Beschwerdeführer hat am 7. Juli 2016 repliziert. C._ (Beschwerdegegner) schliesst sich dem Antrag des Beschwerdeführers an.

Erwägungen:
1.
Mit der Verfassungsbeschwerde richtet sich der Beschwerdeführer gegen die gerichtlich festgesetzte Entschädigung als Kindesvertreter in einem letztinstanzlichen Endentscheid betreffend Eheschutzmassnahmen (Art. 75 Abs. 1 und Art. 90 BGG). Die Entschädigung des Vertreters der Kinder im Rahmen eines Prozesses bildet Teil der Gerichtskosten (Art. 95 Abs. 2 lit. e ZPO). Diese sind ihrerseits Teil des Endentscheides in der Sache und können somit ungeachtet der strittigen Höhe dieser Kosten mit dem in der Sache zulässigen Rechtsmittel angefochten werden (<ref-ruling> betreffend die Parteientschädigung; Urteil 4A_146/2011 vom 12. Mai 2011 E. 1.3 die Gerichtskosten betreffend). In der Sache geht es um die Regelung der Elternrechte, weshalb dagegen die Beschwerde in Zivilsachen ohne weiteres gegeben ist (Art. 72 Abs. 1 ZGB); folglich kann auch der Entscheid über die Gerichtskosten mit diesem Rechtsmittel an das Bundesgericht gezogen werden. Der Beschwerdeführer erfüllt die Voraussetzungen von Art. 76 Abs. 1 BGG und die Eingabe ist rechtzeitig erfolgt (Art. 100 Abs. 1 BGG). Sie ist somit als Beschwerde im Sinn von Art. 72 ff. BGG zu behandeln.
2.
2.1. Der Beschwerdeführer rügt als Verletzung von Art. 29 Abs. 2 BV, er habe seine Kostennote als Vertreter des Kindes in der Höhe von Fr. 10'362.-- am 25. Februar 2016 der Post übergeben. Obwohl sie bereits am 26. Februar 2016 der Kanzlei des Gerichts zugestellt worden sei, habe sie das Obergericht in seinem Urteil vom gleichen Tag bei der Festsetzung der Entschädigung nicht berücksichtigt und die Entschädigung pauschal auf nur gerade Fr. 2'500.-- festgesetzt. Damit sei das Obergericht erheblich von der Kostennote in der Höhe von Fr. 10'362.-- abgewichen, ohne allerdings die Abweichung zu begründen.
2.2. Das Obergericht führt im angefochtenen Urteil im Wesentlichen aus, da keine Honorarnote vorgelegen habe, sei nur eine pauschale Festsetzung des Honorars infrage gekommen. In seiner Vernehmlassung vom 5. Juli 2016 lässt es zudem ausführen, der Beschwerdeführer habe die Eingabe der Beiständin der Kinder am 8. Februar 2016 zugestellt erhalten. Nach den zum Replikrecht entwickelten Grundsätzen hätte er demnach bis zum 18. Februar 2016 replizieren oder zumindest die Ansetzung einer Frist verlangen müssen.
2.3. Das Obergericht lässt unerwähnt, dass der Schriftenwechsel in der Sache am 4. Januar 2016 geschlossen worden ist. Angesichts dieser Sachlage hätte es dem Beschwerdeführer eine Frist ansetzen müssen, um zu der ihm nachträglich zugestellten Eingabe der Beiständin Stellung zu nehmen; damit wäre ihm auch die Möglichkeit geboten worden, seine Kostennote einzureichen. Unter den gegebenen Umständen lässt sich nicht vertreten, der Beschwerdeführer hätte von sich aus rechtzeitig eine Replik einreichen und bei dieser Gelegenheit die Kostennote einreichen müssen. Im Übrigen ändert all dies nichts daran, dass der Beschwerdeführer durch je einen Auszug aus dem "Postbüchlein" seiner Kanzlei und der Applikation Track and Trace belegt hat, dass die Kostennote am 25. Februar 2016 der Post übergeben und am folgenden Tag, dem 26. Februar 2016, dem Gericht zugestellt worden ist. Diese neuen Belege sind im vorliegenden Fall zuzulassen, hat doch erst das angefochtene Urteil Anlass geboten, die entsprechende Tatsache zu behaupten und den einschlägigen Beleg beizubringen (Art. 99 Abs. 1 BGG). Damit lag die Kostennote dem Obergericht am Tag des Urteils (26. Februar 2016) vor und hätte folglich berücksichtigt werden können und müssen.
2.4. Aus Art. 29 Abs. 2 BV ergibt sich die Pflicht der Behörden, ihre Entscheide zu begründen. Nach der bundesgerichtlichen Rechtsprechung zur Parteientschädigung, muss der Entscheid über die Höhe des anwaltlichen Honorars in der Regel nicht begründet werden. Eine Begründungspflicht wird indes namentlich dann angenommen, wenn das Gericht die Entschädigung abweichend von der Kostennote des Rechtsanwalts auf einen bestimmten, nicht der üblichen, praxisgemäss gewährten Entschädigung entsprechenden Betrag festsetzt. In einem solchen Fall kann nicht mehr davon gesprochen werden, der Anwalt vermöge die Überlegungen, die das Gericht zu einem solchen Entschädigungsentscheid führten, auch ohne Begründung zu erkennen (Urteile 4A_275/2010 vom 11. August 2010 E. 8.2; 2C_832/2008 vom 4. Mai 2009 E. 6.3, in: StR 64/2009 S. 668; I 308/1998 vom 28. Juli 1999 E. 3b, in: Pra 2000 Nr. 109 S. 635). Akzeptiert das Gericht in einem solchen Fall einzelne Posten der Kostennote, setzt es aber andere herab, hat es zu jeder Reduktion zumindest kurz auszuführen, aus welchem Grund die Aufwendungen als unnötig betrachtet werden (Urteil 9C_991/2008 vom 18. Mai 2009 E. 3.1.2, in: SZZP 2009 S. 391; zum Ganzen: Urteil 5D_15/2012 vom 28. März 2012 E. 4.2.2; 5D_178/2012 14. Juni 2013 E. 2.3).
2.5. Das Obergericht bringt in seinem Entscheid vom 26. Februar 2016 wie dargelegt zu Unrecht vor, mangels einer Kostennote sei das Honorar des Kindesvertreters pauschal festzusetzen. Indem es ohne Begründung in erheblicher Weise von der Kostennote abgewichen ist, hat es Art. 29 Abs. 2 BV verletzt. Damit ist die Beschwerde dem Eventualantrag entsprechend gutzuheissen und Ziff. 8 des angefochtenen Urteils aufzuheben. Aufzuheben ist damit selbstredend auch dessen Ziff. 9 (Höhe der Gerichtskosten; vgl. E. 1 hiervor). Die Sache ist zur Neufestsetzung der Entschädigung und neuem Kostenentscheid an die Vorinstanz zurückzuweisen.
3.
Die Rückweisung der Sache zu neuem Entscheid bei offenem Ausgang gilt als Obsiegen (vgl. <ref-ruling> E. 11.1; zuletzt: Urteile 5A_577/2016 vom 13. Februar 2017 E. 4; 5A_18/2016 vom 24. November 2016 E. 7). Da sich die Beschwerdegegner nicht vernehmen liessen bzw. sich den Anträgen des Beschwerdeführers angeschlossen haben, können ihnen keine Kosten auferlegt werden (Urteile 5A_8/2017 vom 25. April 2017 E. 3; 5A_61/2012 vom 23. März 2012 E. 4). Auf die Erhebung von Gerichtskosten ist zu verzichten, zumal sie dem Kanton nicht überbunden werden können (Art. 66 Abs. 4 BGG). Jedoch hat er den Beschwerdeführer zu entschädigen (Art. 68 Abs. 2 BGG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird gutgeheissen; die Ziffern 8 und 9 des angefochtenen Urteils werden aufgehoben und die Sache wird zur Neufestsetzung der Entschädigung des Beschwerdeführers und zu neuem Entscheid über die Gerichtskosten an die Vorinstanz zurückgewiesen.
2.
Es werden keine Gerichtskosten erhoben.
3.
Der Kanton Solothurn hat den Beschwerdeführer für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 1'500.-- zu entschädigen.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Solothurn, Zivilkammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 21. Juli 2017
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: von Werdt
Der Gerichtsschreiber: Zbinden