Sachverhalt:
A.
A.a. A._ stellte am 4. November 2016 einerseits ein Schlichtungsgesuch beim Friedensrichteramt der Kreise 11 und 12 der Stadt Zürich und andererseits ein Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege beim Bezirksgericht Zürich für die im Schlichtungsgesuch erhobenen Rechtsbegehren. Diese richten sich gegen die B._ und lauten wie folgt:
"1. Feststellung dass die Beklagte die Persönlichkeit widerrechtlich verletzt hat.
2. Falls das Begehren 1 gutgeheissen wird, sei dem Kläger Schadenersatz und eine Genugtuung zuzusprechen sowie die Beklagte zu verpflichten, das Urteil im nächsten dem Urteil folgenden Jahresbericht abzudrucken."
Der Begründung des Gesuchs um unentgeltliche Rechtspflege ist, soweit hier relevant, Folgendes zu entnehmen:
"Der Rechtsvertreter der Beklagten hat den Kläger an der GV vom 12. Mai 2016 die falsche Behauptung aufgestellt, der Kläger habe den objektiven Straftatbestand der Erpressung erfüllt."
In den Angaben zum Streitgegenstand im Schlichtungsgesuch steht:
"Persönlichkeitsverletzung an der GV vom 12. Mai 2016"
A.b. Am 14. November 2016 fand die Schlichtungsverhandlung statt. Da von der B._ niemand erschienen war, scheiterte die Schlichtung und wurde A._ die Klagebewilligung erteilt. Die Kosten des Schlichtungsverfahrens wurden (provisorisch) A._ auferlegt und für den Fall der Klageeinreichung zur Hauptsache geschlagen.
A.c. Mit Urteil vom 12. Dezember 2016 wies das Einzelgericht am Bezirksgericht Zürich das Gesuch von A._ um unentgeltliche Rechtspflege ab.
B.
B.a. Gegen das Urteil vom 12. Dezember 2016 erhob A._ am 19. Dezember 2016 Beschwerde ans Obergericht des Kantons Zürich und beantragte die Aufhebung des erstinstanzlichen Urteils und die Anweisung der Vorinstanz, das Verfahren im Sinne der Erwägungen zu ergänzen. Eventualiter beantragte er, ihm sei im Schlichtungsverfahren die [unentgeltliche] Rechtspflege zu bewilligen. Er stellte die Begehren unter Kosten- und Entschädigungsfolge zulasten der Beklagten respektive der Staats- oder Gerichtskasse. Ferner beantragte er die Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege für das Beschwerdeverfahren.
B.b. Mit Beschluss und Urteil vom 20. März 2017 wies die II. Zivilkammer des Obergerichts des Kantons Zürich (Vorinstanz) die Beschwerde ab und auferlegte A._ die zweitinstanzliche Entscheidgebühr. Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege für das Beschwerdeverfahren wies es ebenfalls ab.
C.
C.a. Dagegen erhob A._ (Beschwerdeführer) am 28. März 2017 Beschwerde ans Bundesgericht mit folgenden Rechtsbegehren:
"1. Der angefochtene Entschei[d] sei aufzuheben und dem BF sei die unentgeltliche Rechtspflege im Verfahren GV 2016.00380 des Friedensrichteramtes Zürich 11+12 zu bewilligen.
2. Dem BF sei eine Prozessentschädigung von Fr. 100.000.- zuzusprechen, alles unter Kostenfolge zulasten der BG
3. Dem BF sei im vorliegenden Verfahren sowie im Verfahren vor der Vorinstanz die unentgeltliche Rechtspflege (UP) zu gewähren. Es sei dabei auf die von der Vorinstanz in E. III/3 (S. 4) festgestellte Prozessarmut abzustellen"
C.b.
Die Vorakten wurden ediert, aber keine Vernehmlassung eingeholt. Auf die Einforderung eines Kostenvorschusses wurde mit Rücksicht auf das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege einstweilen verzichtet.

Erwägungen:
1.
1.1. Der Beschwerdeführer legt neu einen Beschluss des Bezirksgerichts Zürich, 10. Abteilung, vom 6. Februar 2017 vor (Anlage 2 zur Beschwerde), der ihm für die mittlerweile eingereichte Persönlichkeitsverletzungsklage das Recht zur unentgeltlichen Rechtspflege wegen Aussichtslosigkeit verweigert. Soweit sich daraus auf die Beurteilung der Prozessvoraussetzungen der Beschwerde schliessen lässt, wird das Dokument als Novum zugelassen (<ref-law>).
1.2. Die Beschwerde richtet sich gegen den Entscheid einer letzten kantonalen Instanz (<ref-law>), der die unentgeltliche Rechtspflege für die Schlichtung und für das Beschwerdeverfahren verweigert. Dies ist ein Zwischenentscheid, der einen nicht wieder gutzumachenden Nachteil bewirken kann (Art. 93 Abs. 1 Bst. a BGG; <ref-ruling> E. 4; <ref-ruling> E. 1.1; Urteil 4A_585/2013 vom 13. März 2014 E. 1.1 und 1.2), hier aber nicht zur Folge hat.
Nachdem der Beschwerdeführer die Schlichtung ohne Rechtsbeistand absolviert und die Klagebewilligung erhalten hat, geht es nur noch um die Kosten des Schlichtungsverfahrens. Diese wurden ihm zwar provisorisch auferlegt, aber für den Fall der Klageeinreichung zur Hauptsache geschlagen. Weil der Beschwerdeführer die Klage mittlerweile eingereicht hat, werden die Schlichtungskosten mit dem Endurteil des Bezirksgerichts zur Hauptsache verlegt (vgl. <ref-law>). Zusammen mit diesem kann der Beschwerdeführer den Entscheid, der die unentgeltliche Rechtspflege für das Schlichtungsverfahren verweigert, anfechten (Urteil 4A_483/2013 vom 1. November 2013 E. 1.5 Abs. 1 und 2). Ihm entsteht durch die Verweigerung der unentgeltlichen Rechtspflege für das Schlichtungsverfahren, die erst nach Erteilung der Klagebewilligung erfolgt ist, kein nicht wieder gutzumachender Nachteil. Die Kostenverlegung des Schlichtungsverfahrens wird erst mit dem Endurteil verbindlich (vgl. <ref-law>), und die Kosten des Zwischenentscheids zur unentgeltlichen Rechtspflege für das Schlichtungsverfahren werden vor dem Endurteil nicht vollstreckbar (vgl. <ref-ruling> E. 1.2.1 Abs. 2). Ferner bewirkt die Verweigerung der unentgeltlichen Rechtspflege für das Schlichtungsverfahren keinen Nachteil für das Hauptverfahren (dazu: <ref-ruling> E. 1.2.1 und 1.2.2; Urteil 8C_480/2016 vom 17. November 2016 E. 1.3), weil der Beschwerdeführer dafür separat die unentgeltliche Rechtspflege beantragen kann (und beantragt hat).
1.3. Fehlt es an einem nicht wieder gutzumachenden Nachteil im Sinne von Art. 93 Abs. 1 Bst. a BGG, dann ist auf die Beschwerde gegen den angefochtenen Zwischenentscheid nicht einzutreten. Das gilt auch für die gemäss dem Deckblatt der Beschwerde gleichzeitig erhobene subsidiäre Verfassungsbeschwerde (Art. 117 i.V.m. Art. 93 Abs. 1 Bst. a BGG).
2.
Bei diesem Verfahrensausgang hat der Beschwerdeführer für die Gerichtskosten aufzukommen (<ref-law>). Wie die vorstehenden Erwägungen zeigen, war die Beschwerde von Anfang an aussichtslos. Damit mangelt es an einer materiellen Voraussetzung für die unentgeltliche Rechtspflege (<ref-law>). Das entsprechende Gesuch ist abzuweisen.
Der als Gegenpartei geführten Erstinstanz bzw. dem dahinter stehenden Gemeinwesen ist keine Parteientschädigung zuzusprechen (Art. 68Abs. 3 BGG).
Der Beschwerdeführer hat schon deshalb keinen Anspruch auf die beantragte Prozessentschädigung, weil er unterliegt (Art. 68 Abs. 1 und 2 BGG). Worauf er die Forderung von Fr. 100'000.-- stützt, kann offen bleiben.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2.
Das Gesuch des Beschwerdeführers um unentgeltliche Rechtspflege wird abgewiesen.
3.
Die Gerichtskosten von Fr. 1'000.-- werden dem Beschwerdeführer zur Zahlung auferlegt.
4.
Es werden keine Parteientschädigungen zugesprochen.
5.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Zürich, II. Zivilkammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 18. Juli 2017
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: von Werdt
Der Gerichtsschreiber: Leu