Sachverhalt:
A.
A.a. A._ (Kläger, Beschwerdeführer), geboren 1956, war ab dem Jahr 2008 als Taxifahrer selbständig erwerbstätig. Als Betriebsinhaber seines Einzelunternehmens war er bei der B._ AG (Beklagte, Beschwerdegegnerin) krankentaggeldversichert. Die Taggeldversicherung wurde als Summenversicherung bezeichnet; versichert war ein Jahreslohn von Fr. 85'000.--, was ein Taggeld von Fr. 232.90 ergibt.
A.b. Ab dem 21. Juli 2010 war A._ wegen Rückenschmerzen zu 100 % arbeitsunfähig. Die B._ AG anerkannte ihre Leistungspflicht und richtete A._ nach Ablauf der vereinbarten Wartefrist von 14 Tagen ab dem 4. August 2010 Taggelder auf der Basis einer Arbeitsunfähigkeit von 100 % aus.
A.c. Nach medizinischen Abklärungen teilte die B._ AG A._ mit Schreiben vom 27. September 2011 mit, die Taggeldleistungen würden bis zum 31. Dezember 2011 zu 100 % ausbezahlt, ab 1. Januar 2012 hingegen nur noch zu 50 %. Ab 1. März 2012 sei A._ eine Arbeitstätigkeit zu 80 % in einer angepassten leichten Tätigkeit zumutbar.
A.d. In der Folge stellte die B._ AG die Taggeldzahlungen per 1. März 2012 ein.
A.e. Am 5. April 2012 forderte A._ von der B._ AG, es seien ihm ab dem 1. März 2012 bis zum 21. Juli 2012 weiter Taggelder auf der Basis einer Arbeitsunfähigkeit von 50 % auszuzahlen. Die B._ AG lehnte dies ab.
B.
Am 29. Juni 2015 reichte A._ beim Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich eine Teilklage ein und beantragte, die B._ AG sei zur Zahlung von Fr. 20'000.-- (einem Anteil des dem Kläger zwischen 1. Januar 2012 und 19. Juli 2012 entstandenen Anspruchs auf Taggeldzahlungen) nebst Zins zu 5 % ab 1. Juli 2015 zu verurteilen. Weiter sei davon Vormerk zu nehmen, dass es sich bei der Klage um eine Teilklage handle und weitere Forderungen aus der Police Nr. xxx vorbehalten blieben.
Mit Urteil vom 18. Juli 2016 verpflichtete das Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich die B._ AG zur Zahlung von insgesamt Fr. 19'074.-- nebst Zins zu 5 % ab 12. April 2012. Im Mehrbetrag wies es die Klage ab (Dispositiv-Ziffer 1). Das Begehren, es sei davon Vormerk zu nehmen, dass es sich bei der vorliegenden Klage um eine Teilklage handle, schrieb das Gericht als durch Gegenstandslosigkeit erledigt ab (Dispositiv-Ziffer 2). Es verpflichtete die B._ AG zur Zahlung einer Parteientschädigung von Fr. 3'850.-- (Dispositiv-Ziffer 4).
C.
Mit Beschwerde in Zivilsachen vom 6. September 2016 beantragt A._ dem Bundesgericht, das Urteil des Sozialversicherungsgerichts sei aufzuheben und die B._ AG sei zur Zahlung von Fr. 20'000.-- nebst Zins zu 5 % ab 1. Juli 2015 zu verpflichten. Zudem sei davon Vormerk zu nehmen, dass es sich bei der vorliegenden Klage um eine Teilklage handle und weitere Forderungen aus der Police Nr. xxx vorbehalten blieben. Eventualiter sei das angefochtene Urteil aufzuheben und die Sache an die Vorinstanz zurückzuweisen. Die Beschwerdegegnerin sei zudem zur Zahlung einer Parteientschädigung von Fr. 8'109.40 für das Verfahren vor der Vorinstanz zu verurteilen.
Die Beschwerdegegnerin beantragt die Abweisung der Beschwerde. Die Vorinstanz hat auf Vernehmlassung verzichtet.

Erwägungen:
1.
Zu beurteilen ist die Leistungspflicht aus einer Zusatzversicherung zur sozialen Krankenversicherung. Derartige Zusatzversicherungen unterstehen gemäss Art. 2 Abs. 2 des Bundesgesetzes vom 26. September 2014 betreffend die Aufsicht über die soziale Krankenversicherung (KVAG; SR 832.12) dem Bundesgesetz vom 2. April 1908 über den Versicherungsvertrag (VVG; SR 221.229.1; vgl. Urteile 4A_329/2016 vom 20. September 2016 E. 1; 4A_220/2016 vom 27. Juli 2016 E. 1). Streitigkeiten aus solchen Versicherungen sind privatrechtlicher Natur, womit als Rechtsmittel an das Bundesgericht die Beschwerde in Zivilsachen gemäss <ref-law> in Betracht kommt (<ref-ruling> E. 1.1 S. 3; <ref-ruling> E. 2.1 S. 441 f. mit Hinweis).
Die Beschwerde richtet sich gegen einen Endentscheid (<ref-law>). Das Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich hat als einzige kantonale Instanz im Sinne von <ref-law> und <ref-law> entschieden, weshalb die Beschwerde in vermögensrechtlichen Angelegenheiten gemäss <ref-law> unabhängig vom Erreichen der Streitwertgrenze nach <ref-law> zulässig ist (vgl. <ref-ruling> E. 1.2.2 S. 4 ff., 799 E. 1.1 S. 800). Die Beschwerdefrist ist eingehalten (Art. 100 Abs. 1 i.V.m. <ref-law>). Da auch die übrigen Sachurteilsvoraussetzungen erfüllt sind, ist unter Vorbehalt rechtsgenügend begründeter Rügen auf die Beschwerde einzutreten.
2.
Der Beschwerdeführer rügt, die Vorinstanz habe ihm zu Unrecht ein Invalideneinkommen angerechnet und damit verschiedene Bestimmungen des Bundesrechts verletzt.
2.1. Die Vorinstanz hat ausgeführt, der Beschwerdeführer sei in seiner angestammten Tätigkeit als Taxifahrer dauernd zu 100 % arbeitsunfähig. Davon gingen sowohl Dr. med. C._, Hausarzt des Beschwerdeführers, als auch Dr. med. D._, Vertrauensarzt der Beschwerdegegnerin, und die Gutachter des Ärztlichen Begutachtungsinstituts (ABI) aus. In einer angepassten Tätigkeit sei der Beschwerdeführer ab Januar 2012 jedoch teilweise arbeitsfähig gewesen, und zwar entsprechend den von Dr. D._ aufgezeigten zumutbaren Schritten zunächst zwei Monate zu 50 % und sodann bis zum Ende des Leistungsanspruchs am 19. Juli 2012 zu 80 %. Auch Dr. C._ habe ein Pensum von 50 % nur als Wiedereinstieg vorgesehen. Unbeachtet zu bleiben habe die Auffassung der ABI-Gutachter, wonach für leidensangepasste Tätigkeiten gar nie eine Arbeitsunfähigkeit bestanden habe. Die Beschwerdegegnerin habe korrekt gehandelt, indem sie den Beschwerdeführer mit Schreiben vom 27. September 2011 zur Aufnahme einer leidensangepassten Tätigkeit zu 50 % ab 1. Januar 2012 aufgefordert habe.
Da der Beschwerdeführer mit einer leichten, wechselbelastenden Tätigkeit nur einen Teil des vereinbarten versicherten Jahreslohnes von Fr. 85'000.-- hätte erreichen können, müsse der Restschaden ermittelt werden, mithin der prozentuale Einkommensausfall nach Schadenminderung. Der Beschwerdeführer sei im Januar 2012 gut 55-jährig gewesen. Vor seiner im Jahr 2007 aufgenommenen Tätigkeit als Taxifahrer sei er viele Jahre als Fabrikarbeiter tätig gewesen. Ursprünglich habe er eine Ausbildung als Kellner absolviert und im Service gearbeitet. Sein Alter, der Teilzeitfaktor und seine angeschlagene Gesundheit (insbesondere die Tatsache, dass er nur noch leichte Tätigkeiten ausführen könne) würden seine Arbeitsmarktchancen einschränken. Positiv wirke sich demgegenüber aus, dass er während seiner beruflichen Laufbahn in verschiedenen Branchen tätig gewesen und entsprechend von einer gewissen Flexibilität auszugehen sei. Für die Bemessung des noch erzielbaren Einkommens sei auf den standardisierten Durchschnittslohn für einfache und repetitive Tätigkeiten in sämtlichen Wirtschaftszweigen des privaten Sektors abzustellen. Das im Jahr 2010 von Männern im Durchschnitt aller einfachen und repetitiven Tätigkeiten erzielte Einkommen habe monatlich Fr. 4'901.-- betragen (Lohnstrukturerhebung [LSE] 2010, S. 26, Tabelle TA1). Bei einer durchschnittlichen Wochenarbeitszeit von 41,7 Stunden ergebe dies umgerechnet auf ein Jahr unter Berücksichtigung der Nominallohnentwicklung von 1,0 % im Jahr 2011 und 0,8 % im Jahr 2012 einen Betrag von rund Fr. 62'420.-- für das Jahr 2012. Davon sei aufgrund der lohnmindernden Faktoren ein leidensbedingter Abzug von 15 % angemessen, womit bei vollem Pensum ein Jahreslohn von Fr. 53'057.-- resultiere. Bei einem Pensum von 50 % ergebe dies ein Jahreseinkommen von rund Fr. 26'529.--, bei einem Pensum von 80 % ein solches von rund Fr. 42'446.--. Gegenüber dem versicherten Jahreslohn von Fr. 85'000.-- ergebe dies für die Monate Januar und Februar 2012 eine Einbusse von 69 %, womit für diese Monate ein Taggeld von jeweils Fr. 160.70 geschuldet sei (69 % des Taggeldes von Fr. 232.90), insgesamt Fr. 9'642.--. Abzüglich der bereits ausbezahlten Taggelder verbleibe ein Restbetrag von Fr. 2'655.--. Ab März 2012 betrage die Einbusse 50 %, was ein Taggeld von Fr. 116.45 ergebe (Fr. 232.90 / 2), ausmachend insgesamt Fr. 16'419.--.
2.2. Dagegen bringt der Beschwerdeführer vor, die Vorinstanz habe sich zur Bestimmung des Invalideneinkommens auf die Praxis aus dem Sozialversicherungsrecht bezogen, indem sie auf statistische Werte (LSE-Tabellen) zurückgreife. Damit übersehe die Vorinstanz, dass die vorliegende privatrechtliche Streitigkeit materiell den Regeln des VVG und des OR und formell denjenigen der ZPO unterstehe. Die sozialversicherungs- und die privatrechtliche Erwerbsunfähigkeit seien nicht identisch. Der im Anwendungsbereich von Art. 46 i.V.m. <ref-law> massgebliche Arbeitsmarkt entspreche dem der versicherten Person konkret offen stehenden Arbeitsmarkt. Die Behauptungs- und Beweislast dafür, dass dem Beschwerdeführer andere Tätigkeiten zumutbar seien, und welches Einkommen er nach Eintritt des Gesundheitsschadens noch erzielen könnte, trage nach der allgemeinen Regel von <ref-law> und nach <ref-law> (Verhandlungsgrundsatz) die Beschwerdegegnerin. Diese habe zur Frage des Invalideneinkommens überhaupt keine substantiierten Behauptungen gemacht. Sie sei sich wohl bewusst gewesen, dass der gesundheitlich angeschlagene Beschwerdeführer im Alter von gut 55 Jahren nicht den Hauch einer Chance habe, noch ein Einkommen zu erzielen, schon gar nicht ein solches von jährlich Fr. 26'529.-- bzw. Fr. 42'446.--. Mit der Anrechnung eines Invalideneinkommens habe die Vorinstanz Art. 46 i.V.m. <ref-law>, <ref-law> und <ref-law> verletzt und willkürlich gehandelt (<ref-law>).
2.3. Nach <ref-law> ist der Anspruchsberechtigte verpflichtet, nach Eintritt des befürchteten Ereignisses tunlichst für Minderung des Schadens zu sorgen. Die Obliegenheit zur Minderung des Schadens hat die versicherte Person nicht nur bei einer Schadens-, sondern auch bei einer Summenversicherung (Urteil 4A_10/2016 vom 8. September 2016 E. 3.7.2, zur Publikation vorgesehen; <ref-ruling> E. 3b S. 36; vgl. auch <ref-ruling> E. 3.2.1 S. 531). Zur Erfüllung der Schadenminderungsobliegenheit kann ein Berufswechsel notwendig sein (<ref-ruling> E. 3.2.1 S. 531; Urteile 4A_521/2015 vom 7. Januar 2016 E. 3.3; 4A_574/2014 vom 15. Januar 2015 E. 4.1; 4A_529/2012 vom 31. Januar 2013 E. 2.3). Erwartet der Versicherer vom Versicherten einen solchen Berufswechsel, muss er dies dem Versicherten mitteilen und ihm eine angemessene Frist setzen, um sich anzupassen und eine Stelle zu finden (<ref-ruling> E. 3.2.1 S. 531).
Bei der Beantwortung der Frage nach der Zumutbarkeit eines Berufswechsels im konkreten Fall stellt die medizinisch-theoretische Würdigung nur einen ersten Schritt dar. Das Gesetz erlaubt dem Versicherer keine Reduktion seiner Leistungen einzig aufgrund eines theoretisch möglichen Berufswechsels, der indessen in der Praxis nicht realisierbar ist. Das Gericht hat im Gegenteil die konkrete Ausgangslage zu würdigen. Es muss sich fragen, welche reellen Chancen der Versicherte angesichts seines Alters und der Situation auf dem Arbeitsmarkt hat, eine Arbeit zu finden, welche seiner gesundheitlichen Beeinträchtigung Rechnung trägt. Es hat ebenfalls zu beurteilen, ob dem Versicherten ein entsprechender Berufswechsel unter Berücksichtigung seiner Ausbildung, seiner Arbeitserfahrung und seines Alters tatsächlich zugemutet werden kann (zum Ganzen: Urteile 4A_574/2014 vom 15. Januar 2015 E. 4.1; 4A_529/2012 vom 31. Januar 2013 E. 2.4; 4A_304/2012 vom 14. November 2012 E. 2.4; vgl. auch <ref-ruling> E. 3.2.1 S. 531).
2.4. Diese Vorgaben hat die Vorinstanz bundesrechtskonform umgesetzt. Entgegen der Ansicht des Beschwerdeführers hat sie sowohl dessen Alter wie auch seine Ausbildung und seine früheren Tätigkeiten berücksichtigt. Sie hat weiter seiner gesundheitlichen Beeinträchtigung Rechnung getragen, indem sie einerseits den "Teilzeitfaktor" einbezogen und andererseits auf den standardisierten Durchschnittslohn für bloss einfache und repetitive Tätigkeiten abgestellt hat. Entsprechend hat sie aufgrund der lohnmindernden Faktoren einen Abzug von 15 % vorgenommen. Die Vorinstanz hat damit die konkrete Situation gewürdigt und nicht bloss auf theoretische, statistische Werte abgestellt. Die Rüge des Beschwerdeführers, die Vorinstanz habe nicht auf den ihm konkret offen stehenden Arbeitsmarkt abgestellt, ist unbegründet.
Dasselbe gilt für die Rüge einer falschen Verteilung von Behauptungs- und Beweislast: Dem vorinstanzlich festgestellten Prozesssachverhalt ist zu entnehmen, dass die Beschwerdegegnerin behauptet hat, der Beschwerdegegner sei ab 1. Januar 2012 in einer adaptierten Tätigkeit arbeitsfähig. Für die Berechnung des Einkommens, das der Beschwerdeführer erzielen könnte, hat die Vorinstanz - neben statistischen Werten (Lohnstrukturerhebung), welche als notorisch gelten (<ref-ruling> E. 4c/bb S. 7 f.) - dessen Alter, Ausbildung, frühere Arbeitstätigkeit, reduzierte Arbeitsfähigkeit und angeschlagene Gesundheit berücksichtigt. Auf welches dieser Elemente die Vorinstanz mangels entsprechender Tatsachenbehauptungen nicht hätte abstellen dürfen, zeigt der Beschwerdeführer nicht auf. Da die Vorinstanz zudem in Würdigung der Beweise zu einem Beweisergebnis kam (Arbeitsfähigkeit in angepasster Tätigkeit Januar/Februar 2012 zu 50 % mit erzielbarem Jahreseinkommen von rund Fr. 26'529.--, ab März 2012 zu 80 % mit erzielbarem Jahreseinkommen von rund Fr. 42'446.--), ist die Beweislastverteilung - welche die Folgen der Beweislosigkeit regelt - gegenstandslos (vgl. <ref-ruling> E. 3.2 S. 243; <ref-ruling> E. 6.3 S. 365; je mit Hinweisen).
3.
3.1. Der Beschwerdeführer rügt weiter, die Vorinstanz habe <ref-law> (Dispositionsmaxime), <ref-law> (Teilklage) und <ref-law> (Willkürverbot) verletzt. Er habe den Verzugszins für die Zeit bis zur Klageeinreichung kapitalisiert und zur Taggeldforderung hinzugerechnet und sodann Zins zu 5 % ab Klageeinreichung am 1. Juli 2015 beantragt. In Missachtung dieses Antrags habe die Vorinstanz Verzugszins zu 5 % bereits ab dem 12. April 2012 und umgekehrt keine kapitalisierten Verzugszinsen zugesprochen. Hätte die Vorinstanz die Verzugszinsen wie beantragt zu einem Teil als kapitalisierte Forderung zugesprochen, hätte die Forderung des Beschwerdeführers den mit der Teilklage eingeklagten Betrag von Fr. 20'000.-- überschritten, womit die Teilklage vollständig hätte gutgeheissen werden müssen und das Feststellungsbegehren (von Teilklage Vormerk nehmen) nicht hätte abgeschrieben werden dürfen.
Auch nach Ansicht der Beschwerdegegnerin verstösst das Vorgehen der Vorinstanz gegen die Dispositionsmaxime.
3.2. Die Rügen sind unbegründet. Nach <ref-law> dürfen von Verzugszinsen keine Verzugszinse berechnet werden. Der Beschwerdeführer macht geltend, die Zinsen bis zur Klageeinreichung hätten ihm kapitalisiert zugesprochen werden müssen, wobei ab Klageeinreichung (wiederum) ein Verzugszins von 5 % auf der gesamten eingeklagten Summe geschuldet sei. Diese Berechnung verletzt das Zinseszinsverbot (vgl. auch Urteil 4A_514/2007 vom 22. Februar 2008 E. 4.3). Dass die Parteien eine Vereinbarung getroffen hätten, wonach die Verzugszinsen durch Neuerung Bestandteile des Kapitals geworden wären (vgl. dazu <ref-ruling> E. 2.2.3 S. 698), bringt der Beschwerdeführer nicht vor. Die Vorinstanz ist dem Antrag des Beschwerdeführers somit zu Recht nicht gefolgt. Dass sie den geforderten Zins von 5 % als solchen statt als Schadenersatz zugesprochen hat, stellt keine Verletzung der Dispositionsmaxime dar (vgl. Urteil 4A_614/2014 vom 2. April 2015 E. 12.1). Der Beschwerdeführer wendet sich einzig gegen die Art der Zusprechung der Zinsen und zeigt nicht auf, dass die Berechnungsweise der Vorinstanz im Ergebnis zu Unrecht zu einem tieferen Zinsbetrag geführt hätte. An der Korrektur eines allenfalls zu hohen zugesprochenen Betrags hat der Beschwerdeführer kein schutzwürdiges Interesse.
Da der von der Beschwerdegegnerin geschuldete Betrag somit unter dem eingeklagten Betrag von Fr. 20'000.-- liegt, erübrigen sich Ausführungen zur Rüge des Beschwerdeführers, die Vorinstanz habe sein Feststellungsbegehren (Vorliegen einer Teilklage, Vorbehalt weiterer Forderungen) zu Unrecht abgeschrieben (vgl. immerhin Urteil 4A_401/2011 vom 18. Januar 2012 E. 4: kein Rechtsschutzinteresse an Vormerknahme Nachklagevorbehalt).
4.
Die Vorinstanz hat die Kostennote des Rechtsanwalts des Beschwerdeführers über Fr. 8'109.40 im Rahmen der Festsetzung der Parteientschädigung auf Fr. 3'850.-- gekürzt. Der Beschwerdeführer rügt in diesem Zusammenhang eine Verletzung des rechtlichen Gehörs (Begründungspflicht; <ref-law>) und des Willkürverbots (<ref-law>).
4.1.
4.1.1. Das rechtliche Gehör nach <ref-law> verlangt, dass die Behörde die Vorbringen der vom Entscheid in ihrer Rechtslage betroffenen Person auch tatsächlich hört, prüft und in der Entscheidfindung berücksichtigt. Daraus folgt die Verpflichtung der Behörde, ihren Entscheid zu begründen. Dabei ist nicht erforderlich, dass sie sich mit allen Parteistandpunkten einlässlich auseinandersetzt und jedes einzelne Vorbringen ausdrücklich widerlegt. Vielmehr kann sie sich auf die für den Entscheid wesentlichen Punkte beschränken. Die Begründung muss so abgefasst sein, dass sich die betroffene Person über die Tragweite des Entscheids Rechenschaft geben und ihn in voller Kenntnis der Sache an die höhere Instanz weiterziehen kann. In diesem Sinne müssen wenigstens kurz die Überlegungen genannt werden, von denen sich die Behörde hat leiten lassen und auf die sich ihr Entscheid stützt (<ref-ruling> E. 3.2.4 S. 41; <ref-ruling> E. 4.2 S. 355; <ref-ruling> E. 4.1 S. 88 mit Hinweisen).
4.1.2. Die Vorinstanz hat ausgeführt, die Bemessung der Parteientschädigung richte sich nach § 34 des Gesetzes über das Sozialversicherungsgericht (GSVGer) des Kantons Zürich. Gemäss § 34 Abs. 3 GSVGer sei die Höhe der Entschädigung nach der Bedeutung der Streitsache, der Schwierigkeit des Prozesses und dem Mass des Obsiegens, jedoch ohne Rücksicht auf den Streitwert festzusetzen. Der geltend gemachte Aufwand von 27 Stunden erscheine der Bedeutung der Streitsache und der Schwierigkeit des Prozesses insbesondere auch mit Blick auf vergleichbare Verfahren nicht als angemessen. In Würdigung der gesamten Umstände erscheine ein Aufwand von insgesamt 17 Stunden als angemessen und gerechtfertigt. Ausgangsgemäss habe der nur teilweise obsiegende Beschwerdeführer Anspruch auf eine um einen Zehntel reduzierte Prozessentschädigung, welche in Berücksichtigung der Bedeutung der Streitsache und der Schwierigkeit des Prozesses bei einem gerechtfertigten zeitlichen Aufwand von 17 Stunden, einem Stundenansatz von Fr. 220.-- und Barauslagen von Fr. 218.70, zuzüglich Mehrwertsteuer, auf Fr. 3'850.-- festzusetzen sei.
4.1.3. Mit diesen Ausführungen genügt die Vorinstanz den Anforderungen an die Begründungspflicht, soweit es um die Festsetzung des zu entschädigenden Aufwandes geht. Die Begründung ist in dieser Hinsicht zwar in der Tat knapp gehalten, jedoch ergibt sich daraus, dass sich die Vorinstanz für die Bemessung des Aufwandes an vergleichbaren Verfahren sowie an den Kriterien der Bedeutung der Streitsache und der Schwierigkeit des Prozesses orientiert hat. Weshalb die Vorinstanz nicht nur den zeitlichen Aufwand, sondern auch den Stundenansatz des Rechtsvertreters des Beschwerdeführers - der immerhin Fachanwalt SAV Haftpflicht- und Versicherungsrecht ist - von Fr. 270.-- auf Fr. 220.-- gekürzt hat, ergibt sich aus der Begründung des angefochtenen Entscheids jedoch nicht. In diesem Punkt erweist sich die Rüge der Verletzung des rechtlichen Gehörs als begründet, womit Dispositiv-Ziffer 4 des angefochtenen Urteils aufzuheben ist.
4.2.
4.2.1. Willkür in der Rechtsanwendung liegt vor, wenn der angefochtene Entscheid offensichtlich unhaltbar ist, mit der tatsächlichen Situation in klarem Widerspruch steht, eine Norm oder einen unumstrittenen Rechtsgrundsatz krass verletzt oder in stossender Weise dem Gerechtigkeitsgedanken zuwiderläuft. Das Bundesgericht hebt einen Entscheid jedoch nur auf, wenn nicht bloss die Begründung, sondern auch das Ergebnis unhaltbar ist, das heisst, wenn die der unentgeltlichen Rechtsbeiständin zugesprochene Entschädigung gesamthaft gesehen als willkürlich erscheint (<ref-ruling> E. 2b S. 134; <ref-ruling> E. 3d S. 112), was der Beschwerdeführer in seiner Beschwerde aufzuzeigen hat (<ref-ruling> E. 2.1 S. 219; <ref-ruling> E. 4 S. 270).
4.2.2. Nach Ansicht des Beschwerdeführers ist die Kürzung seines Aufwands von 27 auf 17 Stunden willkürlich. Diese Rüge ist unbegründet: Der Gesetzgeber hat mit der Schaffung des vereinfachten Verfahrens bewusst auch verfahrensökonomische Ziele verfolgt - der Prozess sollte einfach und kostengünstig sein (vgl. Urteil 4A_389/2015 vom 9. Dezember 2015 E. 4.2.3). Entsprechend verwies der Beschwerdeführer zur Begründung der Klage denn auch auf die mündliche Hauptverhandlung, auf welche sich das eigentliche Verfahren vor der Vorinstanz beschränkte. Auch wenn 17 Stunden Aufwand für das vorinstanzliche Verfahren als sehr knapp bemessen erscheinen, kann die Festsetzung des Aufwands nicht als willkürlich tief bezeichnet werden.
5.
Nach dem Gesagten ist die Beschwerde teilweise gutzuheissen, Dispositiv-Ziffer 4 des angefochtenen Urteils ist aufzuheben und die Sache zu neuer Entscheidung an die Vorinstanz zurückzuweisen. Im Übrigen ist die Beschwerde abzuweisen.
Da der Beschwerdeführer damit nur in einem untergeordneten Punkt obsiegt, erscheint es gerechtfertigt, ihn die vollen Kosten- und Entschädigungsfolgen tragen zu lassen (Art. 66 Abs. 1, Art. 68 Abs. 1 und 2 BGG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird teilweise gutgeheissen, Dispositiv-Ziffer 4 des Urteils des Sozialversicherungsgerichts des Kantons Zürich vom 18. Juli 2016wird aufgehoben und die Sache wird zu neuer Entscheidung an die Vorinstanz zurückgewiesen.
Im Übrigen wird die Beschwerde abgewiesen.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 2'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3.
Der Beschwerdeführer hat die Beschwerdegegnerin für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 2'500.-- zu entschädigen.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich, II. Kammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 5. Januar 2017
Im Namen der I. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Kiss
Die Gerichtsschreiberin: Marti-Schreier