Sachverhalt:
A.
A.a. Im August 2009 trat A._ (geb. 1997) nach Abschluss der Primarschule U._ in die Kantonsschule X._ ein. Am 13. April 2010 wurde er in die Kinderstation V._ des Kantonalzürcher Kinder- und Jugendpsychiatrischen Dienstes (KJPD) eingewiesen. Der KJPD bescheinigte mit Bericht vom 15. Juni 2010, dass A._ kognitiv hochbegabt, seine emotionale Kompetenz indes unterdurchschnittlich entwickelt sei. Er leide unter einer "Anpassungsstörung mit gemischter Störung der Gefühle und des Sozialverhaltens" sowie an einem "atypischen Autismus". Es wurde deshalb "dringend die Beschulung in einer Kleinklasse mit strukturierter Lernumgebung auf gymnasialem Niveau" empfohlen. Für das Schuljahr 2010/2011 kehrte A._ in die Kantonsschule X._ zurück, wo er auf Kosten des Kantons bis Anfang Dezember 2010 sonderpädagogische Einzelbetreuung erhielt.
A.b. Nach weiteren Abklärungen, einem "runden Tisch" unter Beizug der Eltern sowie aufgrund zusätzlicher Empfehlung des Schulpsychologischen Dienstes des Bezirks W._ wurde A._ in der Schule U._ angemeldet. Mit Verfügung vom 10. Mai 2011 leistete die Schulpflege U._ die Kostengutsprache für die Sonderschulung im Lernstudio Y._ während des restlichen Schuljahres 2010/2011. Die dagegen erhobenen Rechtsmittel (mit den Begehren, die Schule U._ habe die Kosten für eine gymnasiale Schulung in einer Kleinklasse und/oder mit zusätzlichen Förderstunden, eventuell die Kosten für die notwendige Hochbegabtenförderung zuzüglich Lateinunterricht zu übernehmen) blieben erfolglos (vgl. letztinstanzlich Bundesgerichtsurteil 2C_930/2011 vom 1. Mai 2012).
B.
B.a. Mit Beschluss vom 30. Juni 2011 erteilte das Ressort Schülerbelange der Schule U._ die Kostengutsprache für die Sonderschulung am Lernstudio Y._ während des Schuljahres 2011/2012. Die Schulung sollte fünf Einzellektionen pro Woche beinhalten. Die Kosten für Lateinstunden wurden nicht übernommen. Dagegen erhob A._ am 13. Juli 2011 Einsprache bei der Schulpflege U._ mit denselben Begehren wie im Rekurs gegen die Verfügung vom 10. Mai 2011 (vgl. soeben Bst. A.b). Die Schulpflege sistierte das Verfahren vorerst antragsgemäss.
B.b. Ebenfalls am 13. Juli 2011 beantragte A._ der Schule U._ die Schulung im Gymnasium Z._. Am 22. August 2011 teilte er der Schulpflege U._ per E-Mail mit, dass er ins Gymnasium Z._ eingetreten sei. Am 5. September 2011 verlangte er die Übernahme der Kosten der Schulung im Gymnasium Z._ durch die Schule U._, sofern die Schulgemeinde U._ der Meinung sei, es sei über diese Frage noch nicht entschieden worden. Das Ressort Schülerbelange wies das Gesuch am 4. Oktober 2011 ab, soweit es überhaupt darauf eintrat. Da es sich nicht für die gymnasiale Schulung zuständig erachtete, leitete es das Gesuch an das Mittelschul- und Berufsbildungsamt des Kantons Zürich (MBA) weiter. Hiergegen reichte A._ am 9. November 2011 Einsprache bei der Schulpflege U._ ein und beantragte die Aufhebung des Beschlusses. Die Zuständigkeit für die Kostentragung sei in Zusammenarbeit mit dem MBA abzuklären; eventuell sei materiell auf das Gesuch um Übernahme der Kosten für eine gymnasiale Schulung am Gymnasium Z._ einzutreten. Am 23. Januar 2012 wies die Schulpflege vorerst den Antrag auf Abklärung der Zuständigkeit in Zusammenarbeit mit dem MBA ab und sistierte im Weiteren das Einspracheverfahren.
B.c. Am 27. Februar 2012 verlangte A._, dass zum Meinungsaustausch mit dem MBA eine anfechtbare Verfügung erlassen, eventualiter die Sache als Rekurs an den Bezirksrat überwiesen werde. Die Präsidentin der Schulpflege U._ leitete das Schreiben als Rekurs an den Bezirksrat weiter. Der Bezirksrat W._ sistierte mit Verfügung vom 29. Juni 2012 auf Antrag von A._ hin das Verfahren bis zum Entscheid der Schulpflege U._ über die Einsprachen vom 13. Juli und 9. November 2011.
B.d. Mit Eingabe vom 12. Juni 2012 verlangte A._ von der Schulpflege U._ die Aufhebung der Sistierungen betreffend die Verfahren gegen die Beschlüsse des Ressorts Schülerbelange vom 30. Juni und 4. Oktober 2011 (vgl. vorstehende Bst. B.a und B.b) und deren Vereinigung. Am 14. September 2012 zog er die Anträge der Einsprache vom 13. Juli 2011 zurück. Er beantragte nun lediglich noch, die Kostengutsprache für das Schuljahr 2011/2012 für das Lernstudio Y._ sei aufzuheben und anzuordnen, dass die Schule U._ die Kosten für seine gymnasiale Schulung (gymnasiale Kleinklasse und/oder zusätzliche Förderstunden) zu übernehmen habe. Die Schulpflege wies die vereinigten Einsprachen daraufhin am 5. November 2012 ab und leitete das Gesuch um Kostenübernahme an das MBA weiter.
C.
Ein Gesuch von A._ vom 23. Juli 2013 um Übernahme der Schulungskosten für das Schuljahr 2013/2014 überwies das Ressort Schülerbelange der Schule U._ am 13. August 2013 ebenfalls dem MBA.
D.
D.a. Mit Verfügung vom 27. Februar 2014 trat das MBA auf die Anträge, die Schule U._ habe die Kosten für eine gymnasiale Schulung in einer Kleinklasse und/oder mit zusätzlichen Förderstunden ab Datum der Einreichung der Einsprache vom 13. Juli 2013 zu übernehmen bzw. auf Übernahme der "derzeitigen" Schulungskosten im Gymnasium Z._ durch die Schulgemeinde U._ nicht ein. Es begründete dies damit, dass es nicht Aufsichts- bzw. Rechtsmittelinstanz gegenüber der Schulpflege U._ sei. Im Übrigen lehnte es sowohl die Übernahme der Kosten für die Schulung im Gymnasium Z._ für die Schuljahre 2011/2012 sowie 2012/2013 durch das MBA als auch den Antrag auf Überweisung der Sache an die Schule U._ ab. Der Antrag auf Übernahme der Kosten für die Schulung im Gymnasium Z._ für das Schuljahr 2013/2014 durch das MBA sowie der Antrag auf Überweisung dieses Gesuchs an die Schule U._ wurden als gegenstandslos geworden abgeschrieben, mit der Begründung, die IV-Stelle der Sozialversicherungsanstalt des Kantons Zürich habe diese Kosten im Sinne einer beruflichen Massnahme übernommen.
D.b. Den dagegen erhobenen Rekurs wies die Bildungsdirektion des Kantons Zürich mit Verfügung vom 10. Juli 2015 ab, soweit sie darauf eintrat. Mit Urteil vom 9. März 2016 hiess das Verwaltungsgericht des Kantons Zürich die Beschwerde von A._ insofern teilweise gut, als diesem für die vorinstanzlichen Verfahren Kosten auferlegt worden waren. Im Übrigen wies es die Beschwerde ab.
E.
Mit Eingabe vom 28. April 2016 führt A._ Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten beim Bundesgericht. Er beantragt die Aufhebung des Urteils des Verwaltungsgerichts (Dispositivziffer 1 letzter Satz und Dispositivziffer 4, das heisst soweit seine Beschwerde von der Vorinstanz abgewiesen wurde und hinsichtlich der Parteientschädigung). Die Kosten für seine gymnasiale Schulung am Gymnasium Z._ für die Schuljahre 2011/2012 und 2012/2013 seien vom MBA zu übernehmen. Eventualiter sei das Verfahren zur Klärung des Sachverhalts und der Zuständigkeit und Pflicht zur Kostentragung durch die Gemeinde U._ an die Vorinstanz zurückzuweisen. Schliesslich sei ihm die unentgeltliche Prozessführung gestützt auf das Bundesgesetz vom 13. Dezember 2002 über die Beseitigung von Benachteiligungen von Menschen mit Behinderungen (Behindertengleichstellungsgesetz, BehiG; SR 151.3) zu gewähren.
Das MBA beantragt die Abweisung der Beschwerde, soweit darauf einzutreten sei. Das Verwaltungsgericht hat auf eine Vernehmlassung verzichtet.

Erwägungen:
1.
1.1. Der angefochtene letztinstanzliche kantonale Endentscheid (<ref-law>) beschlägt eine Angelegenheit des öffentlichen Rechts (<ref-law>). Gegenstand des Verfahrens bildet die Frage der Kostentragung für die Sonderschulung und damit nicht eine Fähigkeitsbewertung im Sinne von Art. 83 lit. t BGG (vgl. Urteil 2C_930/2011 vom 1. Mai 2012 E. 1.1). Dieser Ausschlussgrund kommt somit nicht zum Tragen und die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten erweist sich als zulässig. Auf die form- und fristgerecht eingereichte Beschwerde (vgl. Art. 42 und 100 Abs. 1 BGG) des nach <ref-law> legitimierten Beschwerdeführers ist einzutreten.
1.2. Mit der Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann eine Rechtsverletzung nach Art. 95 und Art. 96 BGG gerügt werden. Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (<ref-law>). In Bezug auf die Verletzung von Grundrechten gilt eine qualifizierte Rüge- und Substanziierungspflicht (<ref-law>; <ref-ruling> E. 2.2 S. 232; <ref-ruling> E. 2.5 S. 314). Die rechtsfehlerhafte Auslegung von kantonalem Gesetzes- und Verordnungsrecht bildet keinen eigenständigen Rügegrund; sie wird nur daraufhin geprüft, ob sie vor dem Bundesrecht und dem Völkerrecht standhält (Art. 95 lit. a und b BGG; <ref-ruling> E. 2 S. 149 f.; <ref-ruling> E. 2.4 S. 249).
1.3. Das Bundesgericht legt seinem Urteil den von der Vorinstanz festgestellten Sachverhalt zugrunde (<ref-law>). Dieser kann als unzutreffend festgestellt gerügt bzw. vom Bundesgericht aus diesem Grund von Amtes wegen berichtigt oder ergänzt werden, wenn er als offensichtlich unrichtig (d.h. willkürlich) zu gelten hat oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruht (Art. 97 Abs. 1 bzw. <ref-law>). Die entsprechende Rüge muss präzise und verfassungsbezogen vorgebracht werden (Art. 42 Abs. 2 und <ref-law>; vgl. <ref-ruling> E. 1.4.3 S. 254 f.) und setzt voraus, dass sich die Behebung des Mangels als verfahrensentscheidend erweist (<ref-law>).
Neue Tatsachen und Beweismittel dürfen vor Bundesgericht nur soweit vorgebracht werden, als erst der Entscheid der Vorinstanz dazu Anlass gibt; echte Noven sind unzulässig (vgl. <ref-law>; <ref-ruling> E. 3.1.2 S. 123; <ref-ruling> E. 2.1 S. 343 f.). Das vom Beschwerdeführer vor Bundesgericht eingereichte Maturitätszeugnis vom 1. Juli 2016 ist als echtes Novum unzulässig und bleibt damit unbeachtlich.
2.
2.1. Der Beschwerdeführer rügt zunächst eine ungenügende Abklärung des Sachverhalts betreffend die (aktuelle) Beschulung am Gymnasium Z._. Am Gymnasium Z._ habe er zum ersten Mal über längere Zeit erfolgreich bestehen können. Er sei in einer Klasse von nur 17 Schülern; einige Fächer würden in Halbklassen oder sogar in Kleinstgruppen unterrichtet. Die Lehrpersonen hätten grosses Verständnis für seine Behinderung und würden in hohem Mass auf seine besonderen Bedürfnisse Rücksicht nehmen. Die Behauptungen der Vorinstanzen, wonach es ihm an "Grundkompetenzen für einen Gymnasiumsbesuch" mangle und ein Ausgleich seiner behinderungsbedingten Einschränkungen zu einer Herabsetzung des Leistungsstandards des Gymnasiums führe, seien willkürlich, aktenwidrig und fachlich nicht abgestützt. Soweit die vorinstanzliche Sachverhaltsfeststellung zudem den Eindruck erwecke, er sei ab Sommer 2010 jederzeit adäquat beschult worden, sei dies nicht der Fall gewesen. Vielmehr sei damals schon <ref-law> verletzt worden. Die Vorinstanz lasse weiter unbeachtet, dass er ab dem Schuljahr 2013/2014 durch die Invalidenversicherung unterstützt werde. Diese betrachte die Schulung am Gymnasium Z._ als adäquate Lösung und habe die entsprechenden Kosten ab diesem Zeitpunkt vollumfänglich übernommen.
2.2. Entgegen den Vorbringen ist dem Urteil der Vorinstanz weder zu entnehmen, dass sie die Kostenübernahme durch die Invalidenversicherung nicht beachtet hätte, noch am erfolgreichen Schulbesuch des Beschwerdeführers am Gymnasium Z._ Zweifel hatte. Diese Fragen erweisen sich vorliegend allerdings nicht als entscheidend. Vielmehr geht es einzig noch darum, abzuklären, durch wen die Kosten für den gymnasialen Unterricht der Schuljahre 2011/2012 und 2012/2013 zu tragen sind. Dasselbe gilt betreffend den Vorwurf, die Vorinstanz erwecke den Eindruck, der Beschwerdeführer sei ab Sommer 2010 jederzeit adäquat beschult worden. Die hier behandelten Rügen der fehlerhaften Sachverhaltsfeststellung beschlagen damit im Resultat nicht wesentliche Punkte (vgl. jedoch auch nachfolgende Erwägungen, insb. E. 3.2, 3.4.2 f.), weshalb darauf nicht weiter einzugehen ist (vgl. E. 1.3).
3.
Die Vorinstanz ging davon aus, der Beschwerdeführer hätte die Überprüfung des Beschlusses der Schulpflege U._ vom 5. November 2012 (vgl. Sachverhalt Bst. B.d) mit Rekurs an den Bezirksrat W._ verlangen müssen und habe nicht im Verfahren vor dem MBA resp. im Verlaufe des folgenden Rechtsmittelverfahrens eine Rücküberweisung an die Schule U._ verlangen können.
3.1.
3.1.1. Gemäss § 1 und § 41 Abs. 1 des Volksschulgesetzes des Kantons Zürich vom 7. Februar 2005 (VSG/ZH; LS 412.100) sind für die Bildung und Erziehung in der Volksschule die (Schul-) Gemeinden zuständig. Sonderpädagogische Massnahmen dienen der Schulung von Schülerinnen und Schülern mit besonderen pädagogischen Bedürfnissen (§ 33 Abs. 1 VSG/ZH). Zu den sonderpädagogischen Massnahmen gehören integrative Förderung, Therapie, Aufnahmeunterricht, besondere Klassen und Sonderschulung (vgl. § 34 VSG/ZH). Die Entscheidung über sonderpädagogische Massnahmen wird von den Eltern, der Lehrperson und der Schulleitung gemeinsam getroffen (§ 37 Abs. 1 VSG/ZH). Fällt eine Sonderschulung in Betracht, ist die Mitwirkung und die Zustimmung der Schulpflege erforderlich (§ 37 Abs. 2 VSG/ZH). Kann keine Einigung über die sonderpädagogische Massnahme erzielt werden oder bestehen Unklarheiten, wird eine schulpsychologische Abklärung durchgeführt (§ 38 Abs. 1 VSG/ZH). Wird nach durchgeführter schulpsychologischer Abklärung unter den Beteiligten keine Einigung erzielt, entscheidet die Schulpflege (§ 39 VSG/ZH). Die Gemeinden sorgen für die Überprüfung der angeordneten Massnahmen auf ihre Notwendigkeit und Wirksamkeit (§ 40 VSG/ZH). Anordnungen der Schulpflege können gemäss § 75 Abs. 1 VSG/ZH mit Rekurs beim Bezirksrat angefochten werden. Rekursentscheide des Bezirksrates unterliegen nach Massgabe des Verwaltungsrechtspflegegesetzes der Beschwerde an das Verwaltungsgericht (§ 75 Abs. 2 VSG/ZH). Für die Schulung von Mittelschülerinnen und Mittelschüler ist der Kanton zuständig (vgl. § 1 Abs. 1 des Mittelschulgesetzes des Kantons Zürich vom 13. Juni 1999 [MSG/ZH; LS 413.21). Das Mittelschulgesetz sieht keine sonderpädagogischen Massnahmen vor. Lediglich das Kinder- und Jugendhilfegesetz vom 14. März 2011 (KJHG/ZH; LS 852.1) enthält Bestimmungen zu sonderpädagogischen Massnahmen, die den Nachschulbereich betreffen (vgl. § 28 ff. KJHG/ZH).
3.1.2. Die Vorinstanz schloss aus diesen Bestimmungen, dass eine Kostenübernahme durch den Kanton nur in analoger Anwendung der Bestimmungen zu den sonderpädagogischen Massnahmen des Volksschulgesetzes denkbar wäre. Im Weiteren verwies sie auf "die zutreffenden Erwägungen des Beschwerdegegners" (MBA), wie sie in der Verfügung der Bildungsdirektion vom 10. Juli 2015 festgehalten wurden. In Bezug auf die Zuständigkeit des MBA, über den Entscheid der Schule U._ zu befinden, hielt sie fest, das MBA sei klarerweise weder Einsprache- noch Rechtsmittelinstanz für das Ressort Schülerbelange der Schule U._ oder deren Schulpflege. Es habe daher diese Entscheide nicht inhaltlich überprüfen können. Diese Feststellungen können nicht als willkürlich bezeichnet werden (vgl. E. 1.2).
3.2. Der Beschwerdeführer vertritt allerdings die Ansicht, die Schulpflege U._ habe mit ihrem Beschluss vom 5. November 2012 das gesamte vereinigte Einspracheverfahren an das MBA überwiesen. Er beantragt (eventualiter) die Rückweisung des Verfahrens an die Vorinstanz, weil diese eine willkürliche Sachverhaltsfeststellung und eine willkürliche rechtliche Würdigung vorgenommen habe. Die Vorinstanz erwähne in ihrem Entscheid nicht, dass er mit Schreiben vom 6. Dezember 2012 bei der Schule U._ um Erläuterung des Beschlusses der Schulpflege vom 5. November 2012 ersucht habe. Insbesondere habe er um eine Erläuterung/Bestätigung gebeten, ob die Weiterleitung das gesamte Verfahren betreffe und die Schulpflege nicht über einzelne Anträge "materiell" entschieden oder ob eine Überweisung des gesamten Verfahrens an das MBA stattgefunden habe. Für den Fall, dass die Weiterleitung das ganze Verfahren betreffe, habe er um erneute Zustellung des Entscheids mit einer Rechtsmittelbelehrung ersucht. Der Rechtsvertreter der Schulpflege U._ habe daraufhin mit Schreiben vom 14. Januar 2012 (recte: 2013) mitgeteilt, die Schule U._ sehe sich für die gymnasiale Schulung als unzuständig. Sie habe zu keinem Zeitpunkt bezüglich dieser Anträge materiell entschieden und sich von Beginn an auf den Standpunkt gestellt, für die diesbezüglichen Begehren sei das MBA zuständig. Die Unzuständigkeit schliesse einen Entscheid in der Sache selbstredend aus. Einen mit einer Rechtsmittelbelehrung versehenen Entscheid hat der Beschwerdeführer offenbar nicht erhalten.
3.3. Die Vorinstanz erachtete es als unklar, ob die Einspracheinstanz einen originären (Nichteintretens-) Entscheid habe fällen wollen oder ob sie wie in einem Rechtsmittelverfahren lediglich überprüft habe, ob die Vorinstanz zu Recht nicht auf das Gesuch eingetreten sei und die Einsprache daher materiell abgewiesen habe. Jedenfalls ergebe sich aber mit genügender Deutlichkeit, dass sich die Schulpflege U._ nicht etwa als unzuständig für die Behandlung der Einsprachen betrachtete, sondern wie das Ressort Schülerbelange die Auffassung vertrat, die Schule sei unzuständig für die Übernahme von Kosten einer gymnasialen Schulung. Aus der Formulierung des Dispositivs sowie dem Verfahrensablauf insgesamt erhelle, dass die Schulpflege U._ nicht die vereinigten Einspracheverfahren an das MBA überwiesen habe, sondern das MBA erstinstanzlich überprüfen solle, ob es selber die Kosten übernehme.
3.4.
3.4.1. In Dispositivziffer 1 des Beschlusses der Schulpflege vom 5. November 2012 werden die beiden Einspracheverfahren (Einsprachen vom 13. Juli und 9. November 2011) wieder aufgenommen und vereinigt. Dispositivziffer 2 lautet wie folgt: "Die Einspracheanträge vom 13. Juli 2011 resp. 14. September 2012 sowie die Anträge I und III vom 9. November 2011 werden abgewiesen (Antrag II vom 9. November 2012 wurde schon am 23. Januar 2012 abgewiesen). Die Schulpflege lehnt den Antrag um Kostenübernahme für die gymnasiale Schulung (gymnasiale Kleinklasse und/oder zusätzliche Förderstunden) von A._, namentlich im Gymnasium Z._, infolge Unzuständigkeit ab. Das Gesuch um Kostenübernahme für die gymnasiale Schulung (gymnasiale Kleinklasse und/oder zusätzliche Förderstunden) wird nochmals im Sinne von § 5 Abs. 2 VRG an das Mittelschul- und Berufsbildungsamt zum Entscheid überwiesen." Der Beschluss enthält keine Rechtsmittelbelehrung.
In den Erwägungen des Beschlusses wird in Randziffer 40 festgestellt, die Schule U._ sei nicht für eine gymnasiale Schulung zuständig. Dafür sei allein der Kanton Zürich zuständig. Entschieden sich die Eltern in eigener Kompetenz für eine private oder gymnasiale Schulung, sei die Schule U._ als Schulort der Volksschule nicht mehr zuständig, auch wenn dem Schüler zuvor der Sonderschulstatus zugesprochen worden sei. Die Randziffern 41 bis 43 setzen sich sodann mit <ref-law> und dem Anspruch auf einen Grundschulunterricht auseinander. In Randziffer 44 wird zusammengefasst, dass die Schule U._ nicht für eine gymnasiale Schulung zuständig sei und der vorliegende Entscheid deshalb an das MBA weitergeleitet werde. Weiter liege für das Schuljahr 2012/2013 lediglich ein Gesuch für das Gymnasium Z._ vor, auf das aus den bekannten Gründen nicht einzutreten sei. In Randziffer 45 wird mit Bezug auf die Frage, ob die Weiterleitung an die zuständige Behörde mit einer Rechtsmittelbelehrung zu versehen sei, ausgeführt, die sich als unzuständig erklärende Behörde habe ihren Nichteintretensentscheid (nur dann) in Form einer mit Rechtsmittelbelehrung versehenen Anordnung zu kleiden, sofern sie die Sache nicht sofort an die zuständige Behörde weiterleite. Entgegen früherer Äusserungen lege der Beschwerdeführer nun auch Wert darauf, dass das Verfahren seinen Weg über das MBA, die Bildungsdirektion und dann eventuell noch das Verwaltungsgericht nehmen werde. Auch aufgrund dieser Erwägungen sei in diesem Punkt namentlich auch die Einsprache vom 9. November 2011 abzuweisen.
3.4.2. Die Dispositivziffer 2 behandelt zahlreiche unterschiedliche Begehren; sie ist nicht leicht fassbar. Auch die sich darauf beziehenden Erwägungen können nicht als eindeutig klar bezeichnet werden. Die Ansicht der Vorinstanz, die Schulpflege U._ habe sich nicht etwa als unzuständig für die Behandlung der Einsprachen betrachtet, sondern wie deren Vorinstanz (das Ressort Schülerbelange) die Auffassung vertreten, die Schule sei unzuständig für die Übernahme von Kosten einer gymnasialen Schulung, erscheint zumindest nicht willkürlich. Allerdings ging die Vorinstanz, was vom Beschwerdeführer vorliegend gerügt wird, in keiner Weise auf dessen Vorbringen bezüglich seines Erläuterungsgesuchs und der von der Schule erhaltenen Antwort ein. So hatte der Beschwerdeführer am 6. Dezember 2012 - nachvollziehbarerweise - um Erläuterung des Entscheids ersucht, insbesondere zur Frage, ob die Weiterleitung das ganze Verfahren betreffe und die Schulpflege nicht materiell über einzelne Anträge entschieden habe. Dem Schreiben vom 14. Januar 2013 des Rechtsvertreters der Schule lässt sich keine klare Antwort entnehmen. Immerhin wird darin ausgeführt, die Schule U._ habe sich von Beginn an auf den Standpunkt gestellt, nicht für die gymnasiale Schulung zuständig zu sein; sie habe zu keinem Zeitpunkt bezüglich dieser Anträge materiell entschieden. Wohl liesse sich diese Antwort dahingehend verstehen, dass einzig die Anträge betreffend die Kostenübernahme der gymnasialen Schulung überwiesen worden seien, und damit implizit nicht das ganze Verfahren. Eindeutig ist dies allerdings nicht.
3.4.3. Unter diesen Umständen erscheint es nachvollziehbar, wenn der Beschwerdeführer von der Überweisung des gesamten Verfahrens an das MBA ausgegangen ist. Aus seiner Sicht erübrigte sich damit eine separate Anfechtung des Entscheids beim Bezirksrat W._ (vgl. § 75 VSG/ZH; oben E. 3.1.1) und er vertraute darauf, das MBA werde seine Zuständigkeit von Amtes wegen überprüfen und gegebenenfalls die umstrittenen Fragen an die Schule U._ zurückweisen. Der Beschwerdeführer hatte denn auch zuvor im Verfahren bereits mehrfach auf offene Fragen im Bereich der Zuständigkeit hingewiesen und die Klärung der Zuständigkeiten beantragt. Angesichts der zahlreichen Verfahren, des wenig übersichtlichen Ablaufs und insbesondere der unklaren Äusserungen von Seiten der Schule U._ (sowohl im Beschluss der Schulpflege vom 5. November 2012 als auch im Schreiben auf das Erläuterungsgesuch des Beschwerdeführers hin) kann dem Beschwerdeführer mit Blick auf die allgemeinen Verfahrensgarantien kein missbräuchliches Vorgehen vorgeworfen werden. Es wäre an den Vorinstanzen gelegen, sich dieser Frage und insbesondere den Vorbringen des Beschwerdeführers genauer anzunehmen. Entgegen dessen Antrag braucht die Frage nun freilich nicht mehr abschliessend geklärt zu werden - womit sich eine Zurückweisung erübrigt -, da eine solche am Ergebnis in der Sache, wie sogleich zu sehen ist, nichts ändern würde.
4.
Die Vorinstanz hat in ihrem Entscheid geprüft, ob das MBA die Kosten für die gymnasiale Schulung des Beschwerdeführers am Gymnasium Z._ für die Schuljahre 2011/2012 und 2012/2013 zu übernehmen habe.
4.1.
4.1.1. Für das Schulwesen sind die Kantone zuständig (<ref-law>). Sie sorgen für einen ausreichenden, an öffentlichen Schulen unentgeltlichen Grundschulunterricht, der obligatorisch ist und allen Kindern offen steht (Art. 19 und Art. 62 Abs. 2 BV). Die Kantone sorgen sodann für eine ausreichende Sonderschulung aller behinderten Kinder und Jugendlichen bis längstens zum vollendeten 20. Lebensjahr (<ref-law>; <ref-ruling> E. 3.1 S. 164). Gemäss <ref-law> achten die Kantone darauf, dass behinderte Kinder und Jugendliche eine Grundschulung erhalten, die ihren besonderen Bedürfnissen angepasst ist. Die Bestimmung konkretisiert die Grundsätze von Art. 19 und <ref-law> (i.V.m. <ref-law>), geht aber in der Regel nicht über sie hinaus (<ref-ruling> E. 3.2 S. 13; <ref-ruling> E. 3.1 S. 165; Urteil 2C_974/2014 vom 27. April 2015 E. 3.4; je mit Hinweisen).
Im Rahmen dieser Grundsätze haben die Kantone einen erheblichen Gestaltungsspielraum (<ref-ruling> E. 3.1 S. 158 f.; <ref-ruling> E. 3.2 S. 354). Das gilt auch für die Sonderschulung. Die Ausbildung muss für den Einzelnen angemessen und geeignet sein und genügen, um die Schüler auf ein selbstverantwortliches Leben im Alltag vorzubereiten. <ref-law> verschafft einen Anspruch auf eine den individuellen Fähigkeiten des Kindes und seiner Persönlichkeitsentwicklung entsprechende, unentgeltliche Grundschulausbildung auch für Behinderte. Der Anspruch ist verletzt, wenn die Ausbildung des Kindes in einem Masse eingeschränkt wird, welches die Chancengleichheit nicht mehr wahrt, bzw. wenn das Kind Lehrinhalte nicht vermittelt erhält, die in der hiesigen Wertordnung als unverzichtbar gelten (BGE <ref-ruling> E. 3.2 S. 354 mit Hinweisen). Der verfassungsrechtliche Anspruch umfasst somit nur ein angemessenes, erfahrungsgemäss ausreichendes Bildungsangebot an öffentlichen Schulen. Ein darüber hinausgehendes Mass an individueller Betreuung, das theoretisch immer möglich wäre, kann mit Rücksicht auf das staatliche Leistungsvermögen nicht gefordert werden (BGE <ref-ruling> E. 3.3 S. 354 f.; <ref-ruling> E. 6.4 S. 20). Der verfassungsmässige Anspruch auf unentgeltlichen Grundschulunterricht ist somit nicht gleichbedeutend mit dem Anspruch auf die optimale bzw. geeignetste Schulung eines (behinderten) Kindes (<ref-ruling> E. 3.3 S. 13; <ref-ruling> E. 3.2 S. 165; je mit Hinweisen). Das bedeutet, dass auch für Kinder mit einer Behinderung die jeweiligen staatlichen Betreuungspflichten aufwandmässig nicht unbegrenzt sind. Eine Abweichung vom "idealen" Bildungsangebot ist zulässig, wenn sie der Vermeidung einer erheblichen Störung des Unterrichts, der Berücksichtigung der finanziellen Interessen des Gemeinwesens oder dem Bedürfnis der Schule an der Vereinfachung der organisatorischen Abläufe dient und die entsprechenden Massnahmen verhältnismässig bleiben (<ref-ruling> E. 4.2.2 S. 15 mit Hinweisen).
4.1.2. Die Garantie auf ausreichenden und unentgeltlichen Grundschulunterricht im Sinne von <ref-law> beschränkt sich auf die öffentlichen Schulen (Art. 62 Abs. 2 dritter Satz BV). Der Besuch einer Privatschule ist ausnahmsweise unentgeltlich, wenn an öffentlichen Schulen im spezifischen Fall kein ausreichendes schulisches Angebot zur Verfügung steht (ANDREA AESCHLIMANN-ZIEGLER, Der Anspruch auf ausreichenden und unentgeltlichen Grundschulunterricht von Kindern und Jugendlichen mit einer Behinderung, 2011, S. 203). Unterhält der Staat ein geeignetes und zumutbares Angebot, ist er selbst dann nicht verpflichtet, eine private Lösung zu finanzieren, wenn dort ein noch besserer Unterricht zur Verfügung stünde (PETER UEBERSAX, Der Anspruch Behinderter auf ausreichende Grund- und Sonderschulung, in: Gabriela Riemer-Kafka [Hrsg.], Kinder und Jugendliche mit Behinderungen, 2011, S. 46; vgl. auch Urteil 2C_405/2016 vom 9. Januar 2017 E. 4.2 und 4.6).
4.1.3. Gemäss bundesgerichtlicher Rechtsprechung bezieht sich der unentgeltliche Grundschulunterricht schliesslich nur auf die (öffentliche) Grundschule während der obligatorischen Schulzeit (<ref-ruling> E. 7.4 S. 39). Der Gymnasialunterricht (Sekundarstufe II) fällt nicht darunter. Der verfassungsrechtliche Anspruch auf Unentgeltlichkeit erstreckt sich grundsätzlich auch nicht auf den Unterricht an (staatlichen) Untergymnasien, selbst wenn diese noch in die obligatorische Schulzeit fallen (<ref-ruling> E. 3.1 ff., S. 158 ff.). Dieser Entscheid wurde in der Literatur teilweise kritisiert. Es wird dafür gehalten, den Gymnasialunterricht, der parallel zum Grundschulunterricht (Primar- und Sekundarstufe I) angeboten wird, ebenfalls unter die Garantie von <ref-law> zu fassen (vgl. REGULA KÄGI-DIENER, in: Die schweizerische Bundesverfassung, St. Galler Kommentar, 3. Aufl. 2014, Rz. 34 zu <ref-law>). Vorliegend geht aus dem vorinstanzlichen Entscheid nicht klar hervor, ob es sich bei den Schuljahren, für die der Beschwerdeführer um Kostenübernahme ersucht, um die untergymnasiale Stufe handelt. Die Frage kann aber offen bleiben, da ein Anspruch so oder anders zu verneinen ist und sich daher, entgegen dem Dafürhalten des Beschwerdeführers, eine Praxisänderung erübrigt.
4.2. Die Vorinstanz erkannte, dass sich aus Art. 14 der Verfassung des Kantons Zürich vom 27. Februar 2005 (KV/ZH; SR 131.211), was die Pflicht der Kostentragung für den Besuch einer bestimmten Privatschule im Rahmen einer sonderpädagogischen Massnahme betreffe, jedenfalls kein über Art. 19 bzw. <ref-law> hinausgehender Anspruch ableiten lasse. Da es sich beim Beschwerdeführer um einen Mittelschüler handle, sei eine Kostenübernahme durch den Kanton nur in analoger Anwendung der Bestimmungen zu den sonderpädagogischen Massnahmen des Volksschulgesetzes denkbar. Diese Vorgaben seien aber schon deshalb nicht erfüllt, weil der Kanton vor dem Eintritt des Beschwerdeführers ins Gymnasium Z._ nicht mit einbezogen worden sei (vgl. § 37 VSG/ZH). So hätten ihn seine Eltern im Sommer 2011 in eigener Kompetenz ans Gymnasium Z._ gesendet. Zu diesem Zeitpunkt habe der Kanton bzw. das MBA keine Informationen über die Schulung an der Schule U._ und die durch die dortige Schulpflege verfügte Sonderschulung mit zusätzlichen Förderstunden gehabt bzw. darüber, dass der Beschwerdeführer diese als unzureichend empfunden habe. Es könne dem Kanton daher von vornherein nicht vorgeworfen werden, keine anderweitigen sonderpädagogischen Massnahmen getroffen zu haben. Im Übrigen handle es sich beim Gymnasium Z._ nicht um eine Sonderschule; es führe keine Kleinklassen und habe auch kein sonderpädagogisches Angebot im Sinne des Volksschulgesetzes.
4.3. Der Beschwerdeführer rügt (in der Hauptsache) eine Verletzung von <ref-law>, dadurch dass das MBA sich weigere, die Kosten seiner Schulung zu übernehmen. Er wirft der Vorinstanz vor, die entscheidende Frage, wie es sich mit der Zumutbarkeit verhalte, wenn ein Schüler eine kognitive Hochbegabung mit gleichzeitigen emotionalen und sozialen Schwächen aufweise und eine diesen Umständen Rechnung tragende Schulung auf gymnasialem Niveau als dringend notwendig erscheine, um eine depressive Entwicklung sowie Schulverweigerung und damit eine stationäre psychiatrische Behandlung zu vermeiden, offen gelassen zu haben.
4.4.
4.4.1. Das Bundesgericht hat mit - den Beschwerdeführer betreffendem - Urteil 2C_930/2011 vom 1. Mai 2012 festgehalten, dass Hochbegabung keine Behinderung im Sinne des Behindertengleichstellungsgesetzes darstelle und auch gewisse damit verbundene emotionale oder soziale Schwächen oder Befindlichkeitsbeeinträchtigungen das notwendige Gewicht nicht hätten, um vom Gesetz erfasst zu werden. Mit Bezug auf den atypischen Autismus stellte es fest, dass eine medizinische Diagnose für sich allein noch keine Arbeits- oder Erwerbsunfähigkeit und auch keine Beeinträchtigung im Sinne des Behindertengleichstellungsgesetzes begründe (vgl. Urteil 2C_930/2011 vom 1. Mai 2012 E. 3.3-3.5). Es stützte sich dabei auf den schon damals vorliegenden Bericht des KJPD vom 15. Juni 2010 (vgl. Sachverhalt Bst. A.a). Der Beschwerdeführer beruft sich im vorliegenden Verfahren (diesbezüglich) nicht auf das Behindertengleichstellungsgesetz. Er macht aber sinngemäss geltend, <ref-law> vermittle ihm aufgrund seiner Behinderung einen Anspruch auf unentgeltlichen Gymnasialunterricht.
4.4.2. Unter den allgemeinen grundrechtlichen Begriff der Behinderung fallen Personen, die in ihren körperlichen, geistigen oder psychischen Fähigkeiten auf Dauer beeinträchtigt sind und für welche die Beeinträchtigung je nach ihrer Form schwerwiegende Auswirkungen auf elementare Aspekte der Lebensführung hat (<ref-ruling> E. 6.1 S. 58). Auch bei Kindern erscheint entscheidend, dass die Fähigkeiten zumindest für eine gewisse Dauer beeinträchtigt sind und dies schwerwiegende Auswirkungen nach sich zieht (vgl. ausführlich AESCHLIMANN-ZIEGLER, a.a.O., S. 7, 13 ff.).
Die Hochbegabung des Beschwerdeführers stellt (auch) keine Behinderung im Sinne des grundrechtlichen Begriffs dar. Die von ihm vorgebrachte unterdurchschnittliche Entwicklung seiner emotionalen Kompetenzen und der diagnostizierten "Anpassungsstörung mit gemischter Störung der Gefühle und des Sozialverhaltens" sowie der "atypische Autismus" müssten, um als Behinderung zu gelten, dauerhaft bzw. von einer gewissen Dauer sein und sich schwerwiegend auf elementare Aspekte der Lebensführung, also etwa auf schulische Leistungen und soziale Kontakte, auswirken. Wie nun der Beschwerdeführer selber vorbringt, ist (oder war) er offenbar ohne grössere Schwierigkeiten in der Lage, sich am Gymnasium Z._ zurecht zu finden und dem Unterricht zu folgen. Auch wenn es sich dabei um ein besonderes und verständnisvolles Umfeld gehandelt haben soll, und der Unterricht (insbesondere in Latein und Altgriechisch) in kleineren Klassen stattfand als an der Kantonsschule, besuchte er doch keine Kleinklasse im Sinne einer sonderpädagogischen Massnahme. Vielmehr dürften die kleineren Klassenverbände darauf zurückzuführen sein, dass es einer Privatschule besser möglich ist, kleinere Klassen zu bilden, und gerade der altsprachliche Unterricht heutzutage nur noch von einer geringen Anzahl Schülerinnen und Schüler besucht wird. Dem Beschwerdeführer war es demnach unbestrittenermassen möglich, dem Schulunterricht ohne ein sonderpädagogisches Angebot im Sinne von § 34 VSG/ZH zu folgen. Damit kann aber nicht mehr von derart schwerwiegenden Auswirkungen ausgegangen werden, die eine Behinderung zu begründen vermöchten. Der Beschwerdeführer bleibt im Übrigen darauf hinzuweisen, dass selbst im Falle der Bejahung einer Behinderung gemäss bundesgerichtlicher Rechtsprechnung noch kein Anspruch auf ein optimales oder geeignetstes Bildungsangebot besteht (vgl. oben E. 4.1.1).
4.4.3. Im vorliegenden Fall kommt sodann noch Folgendes hinzu: Mit der Anmeldung des Beschwerdeführers in der Schule U._ lag seine Schulung in der Verantwortung der Schule U._. Diese verfügte eine Sonderschulung mit zusätzlichen Förderstunden (vgl. Sachverhalt Bst. B.a). Im Sommer 2011 beschlossen die Eltern des Beschwerdeführers nach eigenem Ermessen, ihn am Gymnasium Z._ anzumelden. Die Vorinstanz hat zutreffend erkannt, dass dem Kanton nicht vorgeworfen werden könne, keine anderweitigen sonderpädagogischen Massnahmen getroffen zu haben, zumal dieser nicht darüber orientiert war, dass der Beschwerdeführer die aktuelle Schulung als unzureichend empfunden habe. Ausserdem hat der Beschwerdeführer resp. haben dessen Eltern unbestrittenermassen auf eigene Faust gehandelt und damit die gesetzlich vorgesehene Mitwirkung resp. Zustimmung der Schulpflege übergangen (vgl. § 37 VSG/ZH; E. 3.1.1).
4.5. Der Beschwerdeführer vermag somit aus <ref-law> nichts zu seinen Gunsten abzuleiten. Die Vorinstanz ist jedenfalls im Ergebnis zu Recht davon ausgegangen, dass das MBA die Kosten für die Schulung des Beschwerdeführers nicht zu übernehmen habe.
5.
Nach dem Gesagten ist die Beschwerde abzuweisen.
Der Beschwerdeführer beantragt gestützt auf das BehiG die unentgeltliche Prozessführung. Das Bundesgericht hat, wie gesehen (oben E. 4.3.1), bereits im erwähnten Urteil 2C_930/2011 vom 1. Mai 2012 festgestellt, dass einerseits eine medizinische Diagnose (im Konkreten ein atypischer Autismus) für sich allein noch keine Arbeits- oder Erwerbsunfähigkeit begründet und andererseits Hochbegabung keine Behinderung im Sinne von <ref-law> ist, weil dieser Begriff eine Beeinträchtigung von einer gewissen Schwere voraussetzt (Urteil 2C_930/2011 vom 1. Mai 2012 E. 3.3-3.5 mit Hinweisen). Damit mangelt es beim Beschwerdeführer von Vornherein an einem Anspruch nach Art. 7 oder 8 BehiG, so dass <ref-law> betreffend die grundsätzliche Kostenfreiheit entsprechender Verfahren nicht zur Anwendung gelangt. Zudem gilt für das Verfahren vor Bundesgericht ohnehin nicht die Kostenfreiheit gemäss <ref-law>, sondern die (reduzierte) Kostenpflicht gemäss <ref-law>. Dass dem Beschwerdeführer im vorinstanzlichen Verfahren die Kostenfreiheit gewährt wurde, ist für das Bundesgericht nicht massgebend. Dem Beschwerdeführer sind folglich (reduzierte) Gerichtskosten aufzuerlegen (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen.
2.
Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege wird abgewiesen.
3.
Die Gerichtskosten von Fr. 1'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
4.
Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten und dem Verwaltungsgericht des Kantons Zürich, 4. Abteilung, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 2. Februar 2017
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Seiler
Die Gerichtsschreiberin: Fuchs