Fatti:
A.
Il 4 giugno 2015 il Ministero della Giustizia italiano ha presentato alla Svizzera una domanda di estradizione nei confronti di A._, condannato per reati patrimoniali complessivamente a una pena detentiva di 9 anni, 5 mesi e 29 giorni, con una pena residua da scontare di oltre otto anni. Con decisione del 20 maggio 2016, l'Ufficio federale di giustizia (UFG) ha concesso l'estradizione dell'interessato. Mediante scritto del 1° giugno 2016 l'UFG ha informato il patrocinatore dell'estradando che la consegna di quest'ultimo sarebbe avvenuta nei prossimi giorni, visto ch'egli non aveva dichiarato entro cinque giorni dalla notifica della decisione, come indicato nella stessa, di voler interporre ricorso (<ref-law>; RS 351.1). Con lettera del medesimo giorno, anticipata per fax, l'estradando ha dichiarato di voler presentare un ricorso contro la decisione di estradizione e di opporsi alla sua esecuzione.
B.
Contro l'esecuzione immediata dell'estradizione, con fax del 6 giugno 2016 l'interessato ha poi trasmesso alle ore 10.45 alla Corte dei reclami penali del Tribunale penale federale (TPF) un reclamo con domanda di effetto sospensivo (causa RR.2016.100), informandone alle ore 11.01 anche l'UFG. Un'ora dopo, il TPF ha ordinato all'UFG, a titolo superprovvisionale, l'immediata sospensione dell'esecuzione dell'estradizione. Il 7 giugno 2016 l'UFG ha informato il TPF che il giorno precedente, alle ore 11.00, l'estradando era stato consegnato alle autorità italiane.
C.
Con un ricorso del 21 giugno 2016 A._ ha impugnato la decisione di estradizione (causa RR.2016.104), postulando l'assistenza giudiziaria gratuita e il gratuito patrocinio per entrambi i gravami. Congiunte le cause, con giudizio del 28 luglio 2016 il TPF ha respinto i ricorsi, il secondo nella misura in cui non era divenuto privo di oggetto, rigettando pure le domande di assistenza giudiziaria.
D.
Avverso questa decisione A._ presenta un ricorso in materia di diritto pubblico al Tribunale federale. Chiede, concessogli il beneficio dell'assistenza giudiziaria gratuita e del gratuito patrocinio, di annullarla, di accertare la sua asserita ingiustificata consegna anticipata all'Italia, di rinviare gli atti al TPF affinché esamini nel merito il ricorso contro l'estradizione, subordinatamente vagli i presupposti dell'indigenza.
Il TPF rinuncia a formulare osservazioni e si conferma nell'impugnato giudizio, l'UFG propone di respingere il ricorso, rinunciando a pronunciarsi nel merito dello stesso. Il ricorrente ha potuto esprimersi al riguardo.

Diritto:
1.
1.1. Secondo l'<ref-law>, contro le decisioni emanate nel campo dell'assistenza giudiziaria internazionale in materia penale il ricorso è ammissibile soltanto se concerne, tra l'altro, come in concreto, un'estradizione (<ref-ruling> consid. 1.1 e 1.2) e inoltre se si tratti di un caso particolarmente importante (cpv. 1). Si è segnatamente in presenza di un siffatto caso, laddove vi sono motivi per ritenere che sono stati violati elementari principi procedurali o che il procedimento all'estero presenta gravi lacune (cpv. 2). Questi motivi di entrata nel merito non sono tuttavia esaustivi e il Tribunale federale può essere chiamato a intervenire anche quando si tratti di dirimere una questione giuridica di principio (<ref-ruling> consid. 1.2; <ref-ruling> consid. 1.3.3 e 1.3.4) o quando l'istanza precedente si è scostata dalla giurisprudenza costante (<ref-ruling> consid. 1.1; <ref-ruling> consid. 3). Conformemente all'<ref-law>, spetta al ricorrente dimostrare che le condizioni di entrata in materia richieste dall'<ref-law> sono adempiute (<ref-ruling> consid. 1.1).
1.2. Quest'ultima norma persegue lo scopo di limitare efficacemente l'accesso al Tribunale federale nell'ambito dell'assistenza giudiziaria in materia penale (<ref-ruling> consid. 1.3). Nella valutazione circa l'esistenza di un caso particolarmente importante giusta l'<ref-law>, che dev'essere ammesso in maniera restrittiva anche in materia estradizionale, il Tribunale federale dispone di un ampio potere di apprezzamento (DTF <ref-ruling> consid. 1.3.1 e 1.3.2).
2.
2.1. Il ricorrente sostiene che si sarebbe in presenza di un caso particolarmente importante poiché il Tribunale federale dovrebbe esprimersi sull'interpretazione e sulla portata dell'<ref-law>, secondo cui l'estradizione può essere eseguita se la persona perseguita chiede esplicitamente l'esecuzione immediata (lett. a) o non dichiara entro entro cinque giorni dalla notificazione della decisione di voler interporre ricorso (lett. b). Né il TPF né l'UFG sostengono che non si sarebbe in presenza di un caso che non giustificherebbe l'intervento di una seconda istanza. In effetti, la questione della portata dell'<ref-law> concerne una questione giuridica di principio.
2.2. Nella decisione impugnata, il TPF ha ritenuto che se la dichiarazione di voler interporre ricorso non interviene nel termine di cinque giorni dalla notificazione della decisione di estradizione, l'UFG può procedere all'esecuzione, rilevando nondimeno che, se non si è ancora proceduto, un eventuale ricorso presentato nel termine di trenta giorni la blocca a dipendenza dell'effetto sospensivo riconosciuto al ricorso dalla legge (<ref-law>). Ha accertato che in concreto la decisione di estradizione del 20 maggio 2016 è stata ricevuta dal patrocinatore del ricorrente, come da questi ammesso, il 23 maggio 2016, per cui il termine di cinque giorni scadeva il 30 maggio seguente. Con fax del 1° giugno 2016, l'UFG ha informato il ricorrente che non avendo dichiarato di voler interporre ricorso, la sua consegna avrebbe avuto luogo "nei prossimi giorni". Mediante fax dello stesso giorno, questi ha comunicato all'UFG di voler presentare ricorso contro la decisione di estradizione e di opporsi alla relativa esecuzione. Soltanto con fax del 6 giugno 2016, trasmesso alle ore 10.45, egli ha poi presentato un reclamo al TPF contro l'esecuzione immediata dell'estradizione, informandone l'UFG con un fax inviato alle ore 11.01. Con fax delle 12.04, il TPF ha quindi ordinato all'UFG, a titolo superprovvisionale, di sospendere immediatamente l'esecuzione dell'estradizione. Il giorno seguente, l'UFG ha comunicato che il ricorrente era stato consegnato alle autorità italiane a Briga il 6 giugno 2016 alle ore 11.00.
L'istanza precedente ha ritenuto che la descritta situazione di estrema urgenza era addebitabile esclusivamente al fatto che il patrocinatore del ricorrente non aveva rispettato l'inequivocabile termine dell'<ref-law>, espressamente indicato nella decisione di estradizione, nonché all'ulteriore circostanza che, ciò nonostante, egli ha ancora atteso fino al 6 giugno 2016 per adire il TPF, che temporalmente non ha più potuto sospendere l'esecuzione dell'estradizione. Considerata questa sua inattività, ha pertanto respinto il reclamo contro l'esecuzione della stessa, ritenendola avvenuta correttamente. Ha poi stabilito che la conclusione principale del ricorso del 21 giugno 2016, volta all'annullamento della decisione di estradizione, è divenuta priva di oggetto, poiché l'esecuzione della stessa non prestava il fianco a critiche. Lo ha per contro respinto riguardo alla decurtazione della nota d'onorario del patrocinatore operata dall'UFG, rigettando la domanda di assistenza giudiziaria, perché ambedue i gravami, vista la "chiara giurisprudenza relativa all'<ref-law>", erano fin dall'inizio privi di possibilità di successo.
2.3. In merito all'invocata giurisprudenza, il TPF richiama la sentenza 1A.219/2000 del 5 ottobre 2000, nella quale il Tribunale federale, accertato che l'estradando aveva inoltrato tardivamente la notificazione di voler interporre ricorso ai sensi dell'<ref-law>, rilevava che l'estradizione avrebbe potuto essere eseguita. Osservato che l'Ufficio federale, nell'attesa di chiarirne la capacità di subire la carcerazione e di essere trasportato in Italia, non aveva tuttavia estradato l'interessato, aveva nondimeno esaminato nel merito il ricorso presentato contro la decisione di estradizione (consid. 1d). In una sua sentenza dell'11 settembre 2012 il TPF, precisato che la decisione di estradizione avrebbe potuto essere eseguita, poiché l'estradando non aveva rispettato il termine litigioso, ha anch'esso esaminato il gravame nel merito, ritenuto che, pure in quella causa, prima dell'inoltro del ricorso l'estradizione non era ancora stata eseguita (RR.2012.118, consid. 1.3).
2.4. Sempre nella decisione impugnata, il TPF, preso atto di una critica dottrinale di cui ancora si dirà, ha ritenuto che il ricorrente non può rimproverare all'UFG di aver violato il principio della buona fede per non aver considerato la sua tardiva dichiarazione di voler ricorrere. Ha stabilito ch'esso non era tenuto a sospendere automaticamente la procedura, rilevando che un tale modo di agire svuoterebbe di fatto il senso del termine di cinque giorni previsto dal legislatore e indicato nella decisione di estradizione, scadenza che il ricorrente, patrocinato da un legale, non poteva ignorare. Ha ritenuto che spettava al ricorrente attivarsi immediatamente adendo l'autorità di ricorso, ciò che avrebbe permesso di sospendere l'esecuzione dell'estradizione.
2.5. Il TPF ha osservato che un'opinione dottrinale definisce discutibile la disciplina dall'<ref-law> (STEFAN HEIMGARTNER, in: Basler Kommentar, Internationales Strafrecht, 2015, n. 4-6 ad <ref-law>), perché anche a partire dal 6° giorno dalla notifica dell'estradizione l'interessato potrebbe interporre ricorso entro 30 giorni, gravame che beneficia dell'effetto sospensivo per legge (<ref-law>) : effetto questo non eludibile. L'autore aggiunge che dalla mancata dichiarazione di voler ricorrere non si potrebbe dedurre una rinuncia effettiva all'inoltro di un ricorso. Ne conclude che farebbe difetto una norma che, in analogia all'annuncio e alla dichiarazione di appello dell'<ref-law>, definirebbe il termine litigioso quale condizione di validità: ciò varrebbe anche quando l'estradizione sia già stata eseguita. Propone quindi che, finché non si è in presenza di una dichiarazione di rinuncia, prima di attuare l'estradizione occorrerebbe attendere lo scadere infruttuoso del termine ordinario di ricorso. Lo scopo di eseguire in maniera più efficace le estradizioni potrebbe essere raggiunto abbreviando il termine ricorsuale.
2.6. Queste considerazioni non reggono. Il richiamo alla disciplina dell'<ref-law> è inconferente. Contrariamente alla decisione motivata di estradizione, la sentenza penale di primo grado è notificata dapprima soltanto nel dispositivo (cfr. <ref-law>). Il termine di dieci giorni per annunciare l'appello davanti al Tribunale di primo grado, previsto dall'<ref-law>, inizia a decorrere dalla comunicazione del dispositivo scritto (<ref-law>); entro 20 giorni dalla notificazione della sentenza motivata, la parte che ha annunciato il ricorso in appello deve poi inoltrare una dichiarazione scritta d'appello al Tribunale d'appello (<ref-law>). In quell'ambito la notifica del dispositivo costituisce pertanto l'elemento determinante ma, contrariamente alla fattispecie in esame, l'appellante non conosce ancora la motivazione del giudizio. Qualora il tribunale di primo grado, contrariamente al sistema legale, non comunichi né oralmente né per scritto alle parti il dispositivo, ma notifichi loro direttamente la sentenza motivata, l'obbligo dell'annuncio d'appello decade (<ref-ruling> consid. 2.1 e 2.2; sentenza 6B_444/2011 del 20 ottobre 2011 consid. 2.5, in: SJ 2012 I pag. 268).
3.
3.1. L'<ref-law> richiede all'estradando di dichiarare di voler interporre ricorso contro la decisione già motivata di estradizione: si tratta di una dichiarazione unilaterale di volontà, che non dev'essere giustificata e non è sottoposta ad alcuna esigenza specifica.
Per il ricorrente, patrocinato da un legale, era pertanto semplice e non comportava alcun dispendio esprimere tempestivamente la sua intenzione di voler ricorrere. Ciò a maggior ragione rilevato che questa esigenza risulta dalla semplice lettura del testo legale, per di più ripreso e menzionato espressamente alla fine dell'indicazione dei rimedi di diritto della decisione di estradizione, nella quale il termine di 5 giorni è inoltre evidenziato in grassetto. Nemmeno si è pertanto in presenza di un formalismo eccessivo (cfr. sentenza 6B_170/2012 del 7 maggio 2012 consid. 1.4.2 relativa all'annuncio d'appello dell'<ref-law>) o di un diniego di giustizia. La norma litigiosa ha del resto occupato solo eccezionalmente i tribunali, visto che il suo rispetto da parte degli estradandi, adottata la necessaria diligenza, non pone alcun problema.
3.2. La citata opinione dottrinale, ricordato che sovente l'interessato si trova in carcere estradizionale, implicherebbe che in assenza della necessaria dichiarazione di voler ricorrere occorrerebbe attendere in ogni caso la scadenza del termine ricorsuale di 30 giorni. Ciò svuoterebbe di ogni portata l'<ref-law>, norma che ha un senso e scopi chiari e giustificati, senza imporre all'interessato alcun aggravio.
Nel messaggio dell'8 marzo 1976 sulla AIMP, si precisa infatti che per tener conto soprattutto dell'esigenza di una procedura accelerata, la decisione diviene esecutoria "senza che si debba attendere lo spirare del termine di ricorso" qualora la persona perseguita chieda l'esecuzione immediata o [all'epoca] nei due giorni successivi alla notificazione della decisione non dichiari d'essere intenzionata a ricorrere (FF 1976 II 443, 482 all'art. 52 del progetto). Non vi è motivo di scostarsi da questa chiara volontà del legislatore federale, considerata la specificità della procedura di estradizione.
3.3. Certo, la norma in esame è una disposizione potestativa: l'UFG in assenza di una dichiarazione tempestiva può, ma non deve necessariamente eseguire l'estradizione: in tale ambito esso fruisce di un margine di apprezzamento, che in concreto non è stato leso. In effetti, nel caso di specie il ricorrente non ha addotto alcun motivo, quale per esempio ragioni di salute o relative al suo trasferimento in Italia, né ne sono ravvisabili, che avrebbero impedito la preannunciata esecuzione dell'estradizione. Gli argomenti addotti nel ricorso contro l'esecuzione dell'estradizione si riferiscono d'altra parte solo al merito.
La soluzione adottata del TPF non lede neppure l'effetto sospensivo riconosciuto per legge al ricorso, ricordato che in assenza della necessaria dichiarazione l'estradizione poteva essere eseguita immediatamente e non doveva essere sospesa. Nemmeno l'accenno al parere del citato autore a un'eventuale difficoltosa riconsegna di un estradato dall'Italia alla Svizzera, nell'ipotesi di una reiezione della domanda di estradizione da parte del TPF, regge: eseguita l'estradizione, il TPF non deve esaminare un ricorso che disattende la chiara esigenza imposta dalla norma litigiosa, che implicherebbe l'avvio di una procedura internazionale di riconsegna, facilmente evitabile qualora l'interessato dimostri la necessaria diligenza.
Neppure le particolarità del caso di specie impongono di scostarsi dalla soluzione adottata dal TPF. Come visto, la norma litigiosa è stata espressamente indicata nella decisione di estradizione. Lasciato volontariamente trascorrere infruttuoso il termine di cinque giorni, il ricorrente nemmeno ha immediatamente reagito alla comunicazione dell'UFG, che gli preannunciava l'esecuzione dell'estradizione "nei prossimi giorni", reagendo alla stessa soltanto cinque giorni dopo.
4.
4.1.
Ne segue che il TPF non era tenuto a esaminare le censure di merito addotte dal ricorrente, segnatamente l'asserita violazione dei reati motivanti l'estradizione, nonché quella sulla prescrizione (art. 2 e 10 CEEstr) e sulla pretesa violazione del principio di specialità. Non si è quindi in presenza di un diniego di giustizia. L'accenno in replica del ricorrente a un accesso incompleto agli atti della procedura estradizionale, da lui sollevato nel maggio e nel giugno 2015, ossia un anno prima dell'emanazione della decisione di estradizione, è ininfluente.
4.2. Riguardo alla decurtazione dell'onorario del patrocinatore da parte dell'UFG (fr. 4'000.-- invece di fr. 6'009.60), il ricorrente rileva che in considerazione dei limiti imposti dall'<ref-law> si astiene dall'impugnare questa decisione. Con riferimento al negato gratuito patrocinio da parte del TPF, poiché ha ritenuto il ricorso privo di probabilità di successo, senza esaminare oltre l'invocata indigenza, egli si limita a rilevare ch'era tenuto a inoltrarlo, seppure l'abbia presentato tardivamente. Aggiunge che la questione potrebbe essere priva d'oggetto nella misura in cui gli siano assegnate ripetibili nell'ambito della presente procedura. Viste le particolarità della fattispecie si può rinunciare a prelevare spese (art. 66 cpv. 1 secondo periodo LTF) e accordare il gratuito patrocinio per la sede federale, ritenuto che la critica volta alla mancata concessione dello stesso da parte del TPF è comunque inammissibile per carenza di motivazione (<ref-law>).
5.
Ne segue che in quanto ammissibile il ricorso dev'essere respinto. Non si prelevano spese (art. 66 cpv. 1 secondo periodo LTF). La domanda di gratuito patrocinio è accolta (<ref-law>).

Per questi motivi, il Tribunale federale pronuncia:
1.
Nella misura in cui è ammissibile, il ricorso è respinto.
2.
Al ricorrente viene concesso il gratuito patrocinio.
3.
Non si prelevano spese giudiziarie.
4.
L'avv. Daniele Timbal viene designato patrocinatore del ricorrente per la procedura innanzi al Tribunale federale. La Cassa del Tribunale federale gli verserà un'indennità di fr. 1'500.--.
5.
Comunicazione al patrocinatore del ricorrente, alla Corte dei reclami penali del Tribunale penale federale e all'Ufficio federale di giustizia, Settore estradizioni.