Sachverhalt:
A.
A.A._ ist die Mutter der Kinder D.A._ (geb. 2001) und E.A._ (geb. 2007). Über die Kinder wurde 2009 im Rahmen eines Eheschutzverfahrens eine Erziehungsbeistandschaft errichtet. Im Zusammenhang mit einer Krise von A.A._ bat diese ihre Schwester, C.B._, sich um die Kinder zu kümmern. In Bestätigung ihres superprovisorischen Entscheids vom 7. Oktober 2015 entzog die Kindes- und Erwachsenenschutzbehörde (KESB) Olten-Gösgen A.A._ mit Entscheid vom 25. November 2015 das Recht, den Aufenthaltsort der Kinder zu bestimmen, und platzierte diese bei C.B._. Der Entscheid blieb unangefochten. Mit Eingaben vom 15. März 2016 und vom 18. Mai 2016 beantragte A.A._ der KESB unter anderem, die Beiständin zu beauftragen, die Rückplatzierung der Kinder vorzubereiten und zu begleiten. Das Verfahren ist hängig.
B.
Mit Verfügung vom 18. Oktober 2016 erteilte das Departement des Innern des Kantons Solothurn den Ehegatten B.B._ und C.B._ die Bewilligung zur Aufnahme der Kinder D.A._ und E.A._ zur Pflege. Auf eine von A.A._ dagegen erhobene Beschwerde trat das Verwaltungsgericht des Kantons Solothurn mit Urteil vom 15. Dezember 2016 nicht ein (Dispositiv-Ziff. 2). Es verweigerte A.A._ die integrale unentgeltliche Rechtspflege wegen Aussichtslosigkeit der Beschwerde (Dispositiv-Ziff. 3), verzichtete aber auf die Erhebung von Kosten für das Verfahren vor Verwaltungsgericht (Dispositiv-Ziff. 4).
C.
A.A._ (Beschwerdeführerin) gelangt mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten an das Bundesgericht. Neben der Aufhebung des angefochtenen Urteils beantragt sie die Rückweisung der Sache zur materiellen Behandlung an die Vorinstanz. Zudem verlangt sie die unentgeltliche Rechtspflege sowohl für das vorinstanzliche wie auch das bundesgerichtliche Verfahren. Das Bundesgericht hat die Akten des kantonalen Verfahrens beigezogen und beschränkt auf die Verweigerung der unentgeltlichen Rechtspflege das Verwaltungsgericht zur Vernehmlassung eingeladen, das diesbezüglich auf Abweisung der Beschwerde, soweit darauf einzutreten sei, schliesst.

Erwägungen:
1.
1.1. Der Rechtsmittelbelehrung im angefochtenen Urteil folgend, hat die Beschwerdeführerin Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten gemäss Art. 82 ff. BGG erhoben. In der Tat hatte das Bundesgericht unter der Geltung des Bundesgesetzes vom 16. Dezember 1943 über die Organisation der Bundesrechtspflege (Bundesrechtspflegegesetz, OG; BS 3 531) festgehalten, dass gegen die in Ausübung der Pflegekinderaufsicht ergehenden Verfügungen die Verwaltungsgerichtsbeschwerde grundsätzlich zulässig ist (<ref-ruling> E. 1). Die Rechtslage hat sich indessen mit Erlass des BGG geändert. In Art. 72 Abs. 2 Bst. b BGG ist der Anwendungsbereich der Beschwerde in Zivilsachen erheblich erweitert worden. Diese Bestimmung sieht als Rechtsmittel gegen öffentlich-rechtliche Entscheide, die in unmittelbarem Zusammenhang mit dem Zivilrecht stehen, insbesondere entsprechende Entscheide auf dem Gebiet des Kindes- und Erwachsenenschutzes (Ziff. 6), ausdrücklich die Beschwerde in Zivilsachen vor (vgl. <ref-ruling> E. 2.1).
Beim vorliegenden Verfahren geht es um eine Pflegekinderbewilligung nach der Verordnung über die Aufnahme von Pflegekindern (Pflegekinderverordnung, PAVO) vom 19. Oktober 1977 (SR 211.222.338). Diese Verordnung stützt sich ihrerseits auf Art. 316 Abs. 2 ZGB. Es handelt sich damit um Kindesschutz (Art. 307 ff. ZGB). Das darauf gestützte Urteil ist folglich in einer Zivilsache im Sinne von Art. 72 Abs. 2 Bst. b Ziff. 6 BGG ergangen und unterliegt der Beschwerde in Zivilsachen (so die ständige Praxis: Urteile 5A_1/2016 vom 5. Januar 2016; 5A_317/2013 vom 29. Juli 2013 E. 1.1; 5A_337/2012 vom 14. Mai 2012 E. 1.2; 5A_904/2011 vom 14. Mai 2012 E. 1.1; 5A_207/2012 vom 25. April 2012 E. 1; 5A_881/2010 vom 13. Mai 2011 E. 1.1; 5A_705/2010 vom 14. März 2011 E. 1.1; 5A_66/2009 vom 6. April 2009 E. 1.1; 5A_760/2008 vom 2. März 2009 E. 1.1; 5A_619/2008 vom 16. Dezember 2008 E. 1.1).
Dass die Beschwerdeführerin der Rechtsmittelbelehrung im angefochtenen Urteil folgend eine Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten und nicht in Zivilsachen eingelegt hat, hindert ein Eintreten nicht. Die Beschwerde ist vielmehr als solche in Zivilsachen entgegenzunehmen (<ref-ruling> E. 1.2).
1.2. Das Verwaltungsgericht hat als letzte kantonale Instanz in seiner Eigenschaft als Rechtsmittelinstanz (Art. 75 BGG) und zum Nachteil der Beschwerdeführerin entschieden, die gemäss Art. 76 Abs. 1 BGG am Verfahren vor der Vorinstanz teilgenommen hat (Bst. a) und auch ein schutzwürdiges Interesse (Bst. b) sowohl an der Prüfung ihrer Legitimation im kantonalen Beschwerdeverfahren hat (<ref-ruling> E. 3.1; Urteile 5A_44/2013 vom 25. April 2013 E. 1, nicht veröffentlicht in: <ref-ruling>; 5A_227/2017 vom 26. Juli 2017 E. 1.1; 5A_746/2016 vom 5. April 2017 E. 1.2) als auch an der Beurteilung ihrer Rügen, verfassungsmässige Verfahrensgarantien seien im kantonalen Verfahren verletzt worden (<ref-ruling> E. 1.9 und 41 E. 1.4; <ref-ruling> E. 1.1). Das angefochtene Urteil schliesst das kantonale Verfahren ab (Art. 90 BGG). Da es auf Nichteintreten lautet, genügt der blosse Aufhebungs- und Rückweisungsantrag in formeller Hinsicht (Art. 42 Abs. 1 BGG; <ref-ruling> E. 1.2). Die Beschwerde in Zivilsachen ist auch insoweit zulässig und im Weiteren rechtzeitig erfolgt (Art. 100 Abs. 1 i.V.m. Art. 46 Abs. 1 Bst. c BGG).
1.3. Mit der Beschwerde in Zivilsachen können Rechtsverletzungen gemäss Art. 95 f. BGG gerügt werden. Unter Vorbehalt der Verletzung verfassungsmässiger Rechte wendet das Bundesgericht das Recht von Amtes wegen an (Art. 106 Abs. 1 BGG) und prüft mit freier Kognition, ob der angefochtene Entscheid Recht verletzt. Es befasst sich aber nur mit formell ausreichend begründeten Einwänden, welche in gedrängter Form durch Auseinandersetzung mit den Erwägungen des angefochtenen Entscheides darlegen, welche Vorschriften und weshalb sie von der Vorinstanz verletzt worden sein sollen (Art. 42 Abs. 2 BGG; <ref-ruling> E. 1.1; <ref-ruling> E. 2.4). Die Beschwerdeführerin rügt im Wesentlichen eine Verletzung von Art. 29 BV, was in einer Beschwerde in Zivilsachen zulässig ist.
2.
Das Verwaltungsgericht ist auf die Beschwerde der Beschwerdeführerin gegen die Verfügungen, mit denen den Beschwerdegegnern die Pflegekinderbewilligungen für die beiden Kinder der Beschwerdeführerin erteilt worden sind, nicht eingetreten mit der Begründung, die Beschwerdeführerin als Mutter der betroffenen Kinder sei zur Beschwerde nicht legitimiert.
2.1. Das Verwaltungsgericht hat festgehalten, dass sich die Beschwerdelegitimation nach dem kantonalen Gesetz über den Rechtsschutz in Verwaltungssachen (Verwaltungsrechtspflegegesetz, VRG/SO; BGS 124.11) richte. Nach § 12 Abs. 1 VRG/SO sei zur Verwaltungs- und Verwaltungsgerichtsbeschwerde legitimiert, wer durch eine Verfügung oder einen Entscheid besonders berührt werde und ein schutzwürdiges Interesse an deren Aufhebung oder Änderung habe. Die Bestimmung sei im Wesentlichen identisch mit der Regelung der Legitimation in Art. 48 des Bundesgesetzes über das Verwaltungsverfahren (Verwaltungsverfahrensgesetz, VwVG; SR 172.021) und in Art. 89 BGG. Entsprechend sei die Rechtsprechung zu diesen Bestimmungen auch für die Auslegung des kantonalen Rechts heranzuziehen. Demnach sei zur Anfechtung nur legitimiert, wer vom Entscheid stärker betroffen sei und in einer besonderen, beachtenswerten, nahen Beziehung zur Streitsache stehe. Das erforderliche eigene Interesse bestehe im rechtlichen oder tatsächlichen Nutzen, den der Beschwerdeführer an der Änderung des angefochtenen Entscheides habe. Dieses Interesse müsse aktuell sein (angefochtenes Urteil, E. 1.2 S. 3). Nach Ansicht des Verwaltungsgerichts sind diese Voraussetzungen vorliegend nicht gegeben. Bei der Pflegekinderbewilligung handle es sich um eine Polizeibewilligung, welche nur festhalte, dass gewisse Voraussetzungen erfüllt seien und damit eine private Tätigkeit mit den gesetzlichen Vorschriften im Einklang stehe. Demgegenüber gehe es dabei gar nicht um die Frage, ob die Kinder sinnvollerweise dort zu platzieren seien. Ein aktuelles schutzwürdiges besonderes Interesse der Beschwerdeführerin an der Nichterteilung der Bewilligung sei nicht zu sehen. Es sei unbestritten, dass die Beschwerdeführerin als Mutter der betroffenen Kinder Rechtsmittel gegen jenen Entscheid habe, mit dem die Kinder gegen den Willen der Mutter bei dieser Familie platziert bzw. belassen würden. Dieser Entscheid sei aber in einem anderen Verfahren zu fällen (angefochtenes Urteil, E. 1.4 S. 4).
2.2. Im Nichteintreten auf ihre Beschwerde durch das Verwaltungsgericht erblickt die Beschwerdeführerin eine formelle Rechtsverweigerung gemäss Art. 29 Abs. 1 BV. Sie rügt eine Verletzung ihres verfassungsmässigen Anspruchs auf Rechtsschutz und macht geltend, soweit private Rechte und Rechtsverhältnisse im Bundesrecht begründet seien, müsse sich auch nach Bundesrecht entscheiden, ob und mit welchen Rechtsbehelfen der Rechtsschutz zu gewähren sei. Würde stattdessen die Bestimmung des Rechtsschutzanspruchs dem kantonalen Recht überlassen, bestünde die Gefahr, dass bundesrechtlich begründete materielle Rechte ohne Rechtsschutz blieben (S. 6 f. Ziff. 8 und S. 20 Ziff. 26). Die Beschwerdeführerin wendet ein und führt näher aus, dass und inwiefern sie ein schutzwürdiges Interesse an der rechtlichen Überprüfung der Pflegekinderbewilligung für ihre Kinder habe, da ihre Kinder wie auch sie selbst dadurch direkt betroffen seien (S. 17 f. Ziff. 23), und dass sie als sorgeberechtigte Mutter der beiden Kinder, für die die Pflegekinderbewilligungen ausgestellt worden seien, in höherem Masse als sonst ein Dritter berührt sei und eine nahe Beziehung zur Streitsache habe (S. 19 Ziff. 24 der Beschwerdeschrift).
2.3.
2.3.1. Unter den Bestimmungen über den Kindesschutz (Art. 307 ff. ZGB) sieht Art. 316 ZGB vor, dass einer Bewilligung der Kindesschutzbehörde oder einer andern vom kantonalen Recht bezeichneten Stelle seines Wohnsitzes bedarf und unter deren Aufsicht seht, wer Pflegekinder aufnimmt (Abs. 1), und dass der Bundesrat Ausführungsvorschriften erlässt (Abs. 2). Die Gesetzgebungszuständigkeit der Kantone erstreckt sich nach dem Wortlaut von Art. 316 Abs. 1 ZGB auf die Bezeichnung der Bewilligungs- und Aufsichtsbehörden (Urteil 5A.3/2003 vom 14. Juli 2003 E. 5.1, in: FamPra.ch 2003 S. 961; PERRIN, Commentaire romand, 2010, N. 2 zu Art. 316 ZGB mit Hinweis auf Art. 52 Abs. 1 SchlTZGB). Erklärt ein Kanton gestützt auf Art. 316 Abs. 1 ZGB eine andere Behörde als die Kindesschutzbehörde für zuständig, ist er auch in vollem Umfang zur Regelung des Verfahrens befugt (KLEY, Basler Kommentar, 2015, N. 1, und D. PIOTET, Commentaire romand, 2016, N. 4 zu Art. 52 SchlTZGB). Die Zuständigkeitsordnung widerspiegelt Art. 27 PAVO, wonach Verfügungen, welche die Kindesschutzbehörde gestützt auf diese Verordnung erlässt, der Beschwerde an das zuständige Gericht unterliegen (Art. 450 ZGB), sich die Weiterziehung der Verfügung hingegen nach kantonalem Recht richtet, wo andere Stellen mit den Befugnissen der Behörde betraut sind. Abweichendes könnte die Pflegekinderverordnung im Rahmen von "Ausführungsbestimmungen" auch nicht vorsehen (<ref-ruling> E. 2c; <ref-ruling> E. 3.3; <ref-ruling> E. 4.3.1). Der Kanton Solothurn hat seine Befugnis wahrgenommen und geregelt, dass nicht die Kindesschutzbehörde, sondern das Departement in der Pflegekinderaufsicht zuständig ist und die Aufnahme von Pflegekindern bewilligt (§ 92 Abs. 1 des Gesetzes über die Einführung des Schweizerischen Zivilgesetzbuches, EGZGB/SO; BGS 211.1). Die Weiterziehung von Verfügungen des Departementes richtet sich nach den Bestimmungen des Verwaltungsrechtspflegegesetzes (§ 2 Abs. 2 EGZGB/SO).
2.3.2. Sinngemäss rügt die Beschwerdeführerin eine Verletzung des Vorrangs des Bundesrechts (Art. 49 Abs. 1 BV), das in den Bestimmungen über das Kindesschutzverfahren das Beschwerderecht regelt und insbesondere auch die dem betroffenen Kind nahestehende Person zur Beschwerde berechtigt (Art. 314 Abs. 1 i.V.m. Art. 450 Abs. 2 Ziff. 2 ZGB; Urteil 5A_359/2017 vom 22. Mai 2017 E. 3). Die bundesgesetzliche Verfahrensordnung ist indes nicht abschliessend, regelt das Verfahren vor den Kindesschutzbehörden und den gerichtlichen Beschwerdeinstanzen nur in den Grundzügen und behält im Übrigen das kantonale Recht vor (Art. 314 Abs. 1 i.V.m. Art. 450f ZGB). Die Rechtsprechung hat bereits wiederholt festgehalten, dass die Art. 450 bis 450e ZGB nicht anwendbar sind, wo die Gesetzgebungszuständigkeit für das Verfahren vollständig bei den Kantonen liegt (z.B. für kantonale Begründungsvorschriften im Verfahren vor einer zweiten kantonalen Beschwerdeinstanz: Urteile 5A_327/2013 vom 17. Juli 2013 E. 3.2; 5A_478/2014 vom 15. Juli 2014 E. 2.2; z.B. zur Möglichkeit abweichender kantonaler Vorschriften über die Legitimation im Verfahren vor einer zweiten kantonalen Beschwerdeinstanz: Urteil 5A_112/2015 von 7. Dezember 2015 E. 2.1). Der Vorrang des Bundesrechts wird durch die Regelung des Beschwerderechts, wie sie in der Zuständigkeit der Kantone liegt (E. 2.3.1 oben), deshalb nicht verletzt.
2.3.3. Obwohl die Pflegekinderaufsicht ihre grundsätzliche Regelung im Rahmen des Bundeszivilrechts erfahren hat, handelt es sich bei den einschlägigen Bestimmungen und den gestützt darauf ergangenen Ausführungsvorschriften in materieller Hinsicht um öffentliches Recht (<ref-ruling> E. 1b). In Frage steht insoweit ein öffentlich-rechtliches Bewilligungsverfahren hier betreffend die Familienpflege. Partei in diesem Verfahren sind die Pflegeeltern, die ein Pflegekind in ihren Haushalt aufnehmen wollen und dafür eine Bewilligung einholen müssen (Art. 4 ff. PAVO). Als Bewilligungsnehmer sind sie ohne weiteres befugt, gegen die Bewilligungsverweigerung oder gegen Auflagen und Bedingungen Beschwerde zu führen. Wer durch die Pflegekinderbewilligung hingegen direkt weder berechtigt noch verpflichtet wird, ist Dritter und selber zur Beschwerde nur legitimiert, wenn er (kumulativ) einerseits ein schutzwürdiges Interesse, das rechtlich oder auch bloss tatsächlich sein kann, an der Aufhebung oder Änderung der Bewilligung hat und andererseits in einer besonderen, beachtenswerten, nahen Beziehung zur Streitsache steht. Im Lichte dieser Legitimationsvoraussetzungen hat das Bundesgericht den Eltern, deren Kinder eine Krippe besuchen, als Dritten das Beschwerderecht im kantonalen Verfahren betreffend die Beschränkung der Kinderkrippenplätze (Art. 13 ff. PAVO) zuerkannt, weil sie in einem privatrechtlichen Verhältnis zur Kinderkrippe standen und weil die Beschränkung der Anzahl tagsüber zur Betreuung aufzunehmender Kinder für (einzelne) Eltern zum Verlust oder zur Verteuerung des Krippenplatzes hätte führen können (Urteil 5A.10/2001 vom 6. August 2001 E. 3c-e, erwähnt bei BREITSCHMID, Basler Kommentar, 2014, N. 10, und AFFOLTER-FRINGELI/VOGEL, Berner Kommentar, 2016, N. 54 zu Art. 316 ZGB).
Die Beschwerdeführerin als leibliche Mutter der Pflegekinder ist nicht Partei im öffentlich-rechtlichen Bewilligungsverfahren betreffend Familienpflege. Die Pflegekinderbewilligung schränkt ihre Rechte nicht ein und auferlegt ihr auch keine Pflichten. Gleichwohl hat sie insofern ein tatsächliches Interesse an der Anfechtung der Pflegekinderbewilligung, als bei deren Verweigerung die behördlich angeordnete Unterbringung der Kinder bei den Pflegeeltern nicht durchgesetzt und damit von der Beschwerdeführerin unterlaufen werden kann. Letztere Möglichkeit aber lässt ihr Interesse als nicht schutzwürdig erscheinen. Denn der Entscheid der KESB, mit dem der Beschwerdeführerin gemäss Art. 310 Abs. 1 ZGB das Recht, den Aufenthalt ihrer Kinder zu bestimmen, entzogen wird, umfasst zwingend die Regelung der Unterbringung und hat insbesondere zu bestimmen, wo das Kind untergebracht wird und ob der Pflegeplatz geeignet ist (AFFOLTER-FRINGELI/ VOGEL, a.a.O., N. 18 f. zu Art. 310/314b ZGB; BREITSCHMID, a.a.O., N. 6 ff., und PH. MEIER, Commentaire romand, 2010, N. 19 ff. zu Art. 310 ZGB). Diesen Entscheid der KESB, einschliesslich aller Fragen der Unterbringung, ist die Beschwerdeführerin als Kindesmutter über alle kantonalen Instanzen hinweg bis vor Bundesgericht anzufechten berechtigt, das Entscheide über Kindesschutzmassnahmen - von deren vorsorglicher Anordnung abgesehen - ohne Einschränkung der Beschwerdegründe (Art. 98 BGG) überprüfen kann (Art. 95 f. BGG; Urteile 5A_404/2015 vom 27. Juni 2016 E. 2.1; 5A_65/2017 vom 24. Mai 2017 E. 1.2). Ein schutzwürdiges Interesse, beurteilte Fragen der Unterbringung im Verfahren der Erteilung der Pflegekinderbewilligung, gleichsam unter anderem Titel, erneut aufzugreifen, wie es die Beschwerdeführerin beabsichtigt, kann nicht anerkannt werden.
Es kommt hinzu, dass das Verfahren der Erteilung der Pflegekinderbewilligung und das Kindesschutzverfahren betreffend Aufhebung des Aufenthaltsbestimmungsrechts und Unterbringung des Kindes je einen eigenen Streitgegenstand aufweisen, mögen sich dabei auch einzelne Fragen gleich stellen (vgl. Urteil 5A_444/2016 vom 18. Mai 2017 E. 4). Die Pflegekinderbewilligung stellt lediglich eine formelle Voraussetzung dafür dar, dass die Platzierung erfolgen darf, weshalb die Bewilligung vor Aufnahme des Kindes einzuholen ist (Art. 8 Abs. 1 PAVO), oder dass die Platzierung beibehalten werden darf, wenn sie - wie hier und im Kindesschutz häufig - dringlich und sofort vollzogen werden musste und die Pflegekinderbewilligung erst danach eingeholt wird (vgl. MAX HESS-HAEBERLI, Die Eidgenössische Verordnung über die Aufnahme von Pflegekindern, ZVW 33/1978 S. 81 ff., S. 88; AFFOLTER-FRINGELI/VOGEL, a.a.O., N. 34 zu Art. 316 ZGB). Der Entscheid über die Pflegekinderbewilligung hat keine, namentlich keine präjudizierenden Auswirkungen auf den Entscheid über Kindesschutzmassnahmen, hier insbesondere den Entscheid im hängigen Verfahren auf Abänderung von Kindesschutzmassnahmen (Bst. A oben).
Aus dem Verbot formeller Rechtsverweigerung (Art. 29 Abs. 1 BV) und aus der Rechtsweggarantie (Art. 29a BV) kann die Beschwerdeführerin folglich nichts zu ihren Gunsten ableiten. Ihr verfassungsmässiger Anspruch auf gerichtliche Beurteilung, ist mit den ihr umfassend zustehenden Parteirechten im Kindesschutzverfahren ausreichend gewahrt.
2.4. Insgesamt hat das Verwaltungsgericht der Beschwerdeführerin zu Recht die Beschwerdelegitimation gegen die Verfügungen des in der Pflegekinderaufsicht zuständigen Departementes verweigert, das den Beschwerdegegnern die Pflegekinderbewilligungen für die beiden Kinder erteilte hatte. Die Beschwerde erweist sich somit in der Sache als nicht begründet. Entsprechend ist auf die Ausführungen, mit denen die Beschwerdeführerin darlegen will (z.B. S. 10 f. Ziff 13 der Beschwerdeschrift), warum die Pflegekinderbewilligung zu verweigern sei, nicht weiter einzutreten.
3.
Die Beschwerdeführerin rügt zudem, dass ihr das Verwaltungsgericht die unentgeltliche Rechtspflege verweigert hat. Die Vorinstanz hat zwar die Prozessbedürftigkeit der Beschwerdeführerin anerkannt, weil diese von der Sozialhilfe abhängig ist. Sie hat aber das Rechtsmittel als aussichtslos bezeichnet (angefochtenes Urteil, E. 2 S. 5). Die Beschwerdeführerin sieht darin eine Verletzung von Art. 29 Abs. 3 BV (S. 7 ff. Ziff. 9 und 10 der Beschwerdeschrift).
3.1. Nach Art. 29 Abs. 3 BV hat jede Person, die nicht über die erforderlichen Mittel verfügt, Anspruch auf unentgeltliche Rechtspflege, wenn ihr Rechtsbegehren nicht aussichtslos erscheint. Soweit es zur Wahrung ihrer Rechte notwendig ist, hat sie ausserdem Anspruch auf unentgeltlichen Rechtsbeistand. Als aussichtslos sind Begehren anzusehen, bei denen die Gewinnaussichten beträchtlich geringer sind als die Verlustgefahren und die deshalb kaum als ernsthaft bezeichnet werden können. Dagegen gilt ein Begehren nicht als aussichtslos, wenn sich Gewinnaussichten und Verlustgefahren ungefähr die Waage halten oder jene nur wenig geringer sind als diese. Massgebend ist, ob eine Partei, die über die nötigen Mittel verfügt, sich bei vernünftiger Überlegung zu einem Prozess entschliessen würde. Eine Partei soll einen Prozess, den sie auf eigene Rechnung und Gefahr nicht führen würde, nicht deshalb anstrengen können, weil er sie nichts kostet. Ob im Einzelfall genügende Erfolgsaussichten bestehen, beurteilt sich aufgrund einer vorläufigen und summarischen Prüfung der Prozessaussichten, wobei die Verhältnisse im Zeitpunkt der Einreichung des Gesuchs massgebend sind (<ref-ruling> E. 2.2; <ref-ruling> E. 9.1). Anspruch auf unentgeltliche Verbeiständung besteht, wenn die Interessen der Gesuchstellerin in schwerwiegender Weise betroffen sind und der Fall in tatsächlicher und rechtlicher Hinsicht Schwierigkeiten bietet (<ref-ruling> E. 2.2).
3.2. Auch wenn der Vorinstanz im Ergebnis, dass die Beschwerdeführerin zur Beschwerde nicht legitimiert war, recht zu geben ist, kann der bereits in der kantonalen Beschwerde vertretene Standpunkt nicht als von vornherein aussichtslos bezeichnet werden. Immerhin ist die Beschwerdeführerin durch die Erteilung der Pflegekinderbewilligungen zweifellos in ihren tatsächlichen Interessen betroffen. Auch musste sie in Anbetracht der Verfahrenslage befürchten, die erst nach der Platzierung ihrer Kinder bei den Beschwerdegegnern erteilten Pflegekinderbewilligungen könnten sich auf das bereits hängige Abänderungsverfahren auswirken. Die unentgeltliche Rechtspflege durfte somit nicht mit dem Argument der Aussichtslosigkeit verweigert werden. Mit Blick auf den weitgehend prozessualen Gegenstand des Verfahrens und den persönlichen Hintergrund der Beschwerdeführerin ist eine Rechtsverbeiständung für die Wahrnehmung ihrer Interessen notwendig gewesen.
3.3. Die Beschwerde erweist sich somit in diesem Punkt als begründet. Der Beschwerdeführerin ist die unentgeltliche Rechtspflege für das kantonale Beschwerdeverfahren antragsgemäss zu bewilligen (Art. 107 Abs. 2 BGG), soweit ihr Gesuch nicht gegenstandslos geworden ist, da das Verwaltungsgericht auf die Erhebung von Kosten verzichtet hat. Zur Festsetzung der Entschädigung an die unentgeltliche Rechtsbeiständin ist die Sache an das Verwaltungsgericht zurückzuweisen.
4.
4.1. Aus den dargelegten Gründen ist die Beschwerde in der Sache abzuweisen, soweit darauf eingetreten werden kann. Die Beschwerdeführerin wird damit kosten-, nicht hingegen entschädigungspflichtig, da die privaten Beschwerdegegner nicht zur Vernehmlassung eingeladen wurden (Art. 66 Abs. 1 und Art. 68 Abs. 1 BGG).
4.2. Mit Bezug auf die verweigerte Bestellung eines unentgeltlichen Rechtsbeistandes für das kantonale Verfahren vor Verwaltungsgericht ist die Beschwerde gutzuheissen. Der Kanton hat keine Gerichtskosten zu tragen (Art. 66 Abs. 4 BGG), der Beschwerdeführerin aber eine Parteientschädigung auszurichten (Art. 68 Abs. 1 BGG; <ref-ruling> E. 5; <ref-ruling> E. 5).
4.3. Die Beschwerdeführerin ersucht um unentgeltliche Rechtspflege für das bundesgerichtliche Beschwerdeverfahren. Da sie keine Parteientschädigung an die Beschwerdegegner zu bezahlen hat und vom Kanton entschädigt wird, ist ihr Gesuch insoweit gegenstandslos geworden. Es bleibt indessen zu beurteilen, was das Unterliegen der Beschwerdeführerin in der Sache, d.h. die Bezahlung der auferlegten Gerichtskosten und der von ihr beigezogenen Rechtsvertreterin angeht. Die unentgeltliche Rechtspflege kann erteilt werden, ist doch die Bedürftigkeit ausgewiesen, von fehlenden Erfolgsaussichten nicht auszugehen und die anwaltliche Vertretung geboten (Art. 64 Abs. 1 und 2 BGG). Die Entschädigung wird der Rechtsvertreterin der Beschwerdeführerin direkt zugesprochen. Die Beschwerdeführerin ist darauf hinzuweisen, dass sie der Gerichtskasse Ersatz zu leisten hat, wenn sie später dazu in der Lage ist (Art. 64 Abs. 4 BGG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten wird als Beschwerde in Zivilsachen entgegengenommen.
2.
Die Beschwerde wird teilweise gutgeheissen, Dispositiv-Ziff. 3 des Urteils des Verwaltungsgerichts des Kantons Solothurn vom 15. Dezember 2016 aufgehoben und wie folgt neu gefasst:
"Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege wird gutgeheissen, soweit es nicht gegenstandslos geworden ist. Rechtsanwältin Therese Hintermann wird als Rechtsbeiständin der Beschwerdeführerin bestellt. "
Zur Festsetzung der Entschädigung an die unentgeltliche Rechtsbeiständin wird die Sache an das Verwaltungsgericht des Kantons Solothurn zurückgewiesen. Im Übrigen wird die Beschwerde abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
3.
Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege für das bundesgerichtliche Verfahren wird gutgeheissen, soweit es nicht gegenstandslos geworden ist. Rechtsanwältin Therese Hintermann wird als Rechtsbeiständin der Beschwerdeführerin bestellt.
4.
4.1. Die Gerichtskosten werden im Umfang von Fr. 1'000.-- der Beschwerdeführerin auferlegt, indes vorläufig auf die Bundesgerichtskasse genommen.
4.2. Dem Kanton Solothurn werden keine Gerichtskosten auferlegt.
5.
5.1. Rechtsanwältin Therese Hintermann wird aus der Bundesgerichtskasse eine Entschädigung von Fr. 2'000.-- ausgerichtet.
5.2. Der Kanton Solothurn hat Rechtsanwältin Therese Hintermann als unentgeltliche Rechtsbeiständin der Beschwerdeführerin mit Fr. 1'000.-- zu entschädigen.
6.
Dieses Urteil wird den Parteien, dem Departement des Innern und dem Verwaltungsgericht des Kantons Solothurn schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 25. September 2017
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: von Werdt
Der Gerichtsschreiber: von Roten