Sachverhalt:
A.
A.a. Die B._ AG (Schiedsklägerin, Gesuchstellerin und Beschwerdegegnerin) ist eine Aktiengesellschaft mit Sitz in U._. Sie bezweckt die Erbringung von Dienstleistungen aller Art im Zusammenhang mit der Erstellung von Bauwerken, einschliesslich der Übernahme von Generalunternehmungen sowie den Erwerb, Verkauf und die Verwaltung von Liegenschaften. Alleinaktionär ist C._, Inhaber des bis Ende 2011 unter der Firma "D._" im Handelsregister eingetragenen Einzelunternehmens.
A._ (Schiedsbeklagter, Gesuchsgegner und Beschwerdeführer) ist wohnhaft in V._.
Die E._ AG ist eine Aktiengesellschaft mit Sitz in U._, die den Erwerb und die Führung von Betrieben des Hotel- und Gastgewerbes wie namentlich Restaurants bezweckt. Sie gehörte ursprünglich A._ und C._ zu je 50 %.
Die beiden waren weiter zu je 50 % Miteigentümer des Grundstücks mit der Kat.-Nr. xxxx, Plan yy, sowie des Baurechts Grundbuch BI. zzzzz in der Gemeinde W._ (nachfolgend "Liegenschaft F._" sowie "Miteigentümergemeinschaft F._").
Auf dieser Liegenschaft betreibt die E._ AG als Mieterin ein Restaurant.
A.b. lm Januar 2006 beschlossen A._ und C._, ihre rechtlichen Verhältnisse neu zu ordnen. In diesem Zusammenhang schlossen sie am 19. Januar 2006 eine neue Vereinbarung ab, die sämtliche bisherigen Vereinbarungen zwischen ihnen ersetzen sollte (nachfolgend "Vereinbarung F._"). In Ziff. II der Vereinbarung F._ wurde festgehalten, dass C._ seinen hälftigen Aktienanteil an der E._ AG an A._ übertragen solle, was in der Folge auch geschah. Die E._ AG steht heute in der Alleinaktionärschaft von A._.
Ebenfalls am 19. Januar 2006 vereinbarten und unterzeichneten A._ und C._ ein Verwaltungsreglement und eine Betriebsordnung für die Miteigentümerschaft F._. Das Verwaltungsreglement enthält in seiner Ziff. IV folgende Regelung, wie in Pattsituationen vorzugehen ist:
"Können die Parteien in einer die Miteigentümergemeinschaft betreffenden Frage keine gemeinsame Entscheidung finden, so vereinbaren sie, dass nach Ablauf einer Frist von 30 Tagen seit der ersten Versammlung eine zweite Versammlung durch den Verwalter einberufen wird. Können die Parteien auch an dieser Versammlung keine Einigung finden, so soll eine von ihnen gemeinsam ernannte Drittperson beigezogen werden, die nach Anhören beider Miteigentümer einen für die Gemeinschaft verbindlichen Entscheid fällen soll. Gelingt es den Parteien nicht, diesen Dritten gemeinsam zu ernennen, so soll er nach den Bestimmungen des Konkordates über die Schiedsgerichtsbarkeit vom Bezirksgerichtspräsidenten des Bezirks Höfe ernannt werden. Der Entscheid dieses Schiedsrichters ist für die Miteigentümer verbindlich, wie wenn sie selbst einen einstimmigen Beschluss gefasst hätten."
Ziff. V des Verwaltungsreglements lautet sodann wie folgt:
"2. Dieses Reglement sowie allfällige Abänderungs- oder Ergänzungsbeschlüsse hiezu, wie auch richterliche Urteile und Verfügungen, sind für alle Rechtsnachfolger an der Liegenschaft GBBl. zzzzz verbindlich.
3. Jeder Eigentümer bzw. jeder Miteigentümer der vorgenannten Liegenschaft ist verpflichtet, die sich aus diesem Reglement ergebenden Verpflichtungen einem Rechtsnachfolger zu überbinden, wiederum mit der Pflicht zur Weiterüberbindung."
Am 6. September 2011 übertrug C._ seinen hälftigen Miteigentumsanteil an der Liegenschaft F._ mittels einer Vermögensübertragung nach <ref-law> an die B._ AG.
Obwohl die E._ AG den Mietvertrag mit der Miteigentümergemeinschaft F._ am 26. Juni 2008 per Ende 2008 kündigte, hat sie die Liegenschaft bis heute nicht verlassen. Während A._ der Ansicht ist, die E._ AG berufe sich dabei auf einen gültigen, neuen Mietvertrag vom 18. Dezember 2008 mit der Miteigentümergemeinschaft F._, stellt sich die B._ AG auf den Standpunkt, dieser Mietvertrag sei nichtig. Denn dieser sehe entgegen der Abmachung in Ziff. 19 der Vereinbarung F._ statt einem jährlichen Mietzins von Fr. 360'000.-- einen um 50 % reduzierten Mietzins von lediglich Fr. 180'000.-- pro Jahr, bzw. einen monatlichen Mietzins von Fr. 15'000.-- vor. Eine solche Mietzinsreduktion liege nicht im Interesse der Miteigentümergemeinschaft F._ und stelle auch keine marktgerechte Miete dar. Zudem habe die E._ AG ab März 2014 nicht einmal mehr den eigenmächtig reduzierten monatlichen Mietzins in Höhe von Fr. 15'000.-- bezahlt, sondern lediglich noch Fr. 10'000.-- pro Monat.
Gestützt auf diese Behauptungen machte die B._ AG geltend, die Miteigentümergemeinschaft F._ habe ein Interesse daran, gegenüber der E._ AG eine Klage auf Zahlung der Differenz zwischen dem ursprünglich vereinbarten Mietzins und dem tatsächlich bezahlten Mietzins zu erheben. Gemäss Ziff. IV des Verwaltungsreglements F._ sei ein Schiedsgericht zuständig für den Entscheid, ob im Namen der Miteigentümergemeinschaft - bestehend aus A._ und der B._ AG - gegenüber der E._ AG eine Klage in der Höhe von Fr. 870'000.-- zuzüglich den jeweiligen Verzugszinsen von 5 % seit 1. Januar 2009 sowie unter dem Nachklagevorbehalt für die Geltendmachung weiterer Forderungen und diesbezüglichen Verzugszinsen zu erheben ist.
A._ bestritt die Zuständigkeit eines Schiedsrichters, da weder die Form- noch die Konsensvorschriften einer Schiedsvereinbarung erfüllt seien und damit zwischen den Parteien keine solche zustande gekommen sei.
B.
B.a. Da sich die Parteien in der Folge nicht auf die gemeinsame Ernennung eines Schiedsrichters einigen konnten, wandte sich die B._ AG mit Eingabe vom 25. Oktober 2013 an das Bezirksgericht Höfe und ersuchte um eine entsprechende Ernennung gestützt auf <ref-law>.
Nach erfolgtem Schriftenwechsel gab das Bezirksgericht den Parteien mit Verfügung vom 23. Oktober 2014 Gelegenheit, allfällige Einwendungen gegen die Ernennung von Rechtsanwalt Daniel Hochstrasser als Einzelschiedsrichter einzureichen.
Mit Eingabe vom 17. November 2014 teilte die Schiedsklägerin mit, dass sie diesbezüglich keine Einwendungen habe. Der Schiedsbeklagte liess sich nicht vernehmen.
Mit Verfügung vom 1. Dezember 2014 entschied das Bezirksgericht wie folgt (Dispositiv-Ziffer 1) :
"Rechtsanwalt lic.iur. Daniel Hochstrasser, LL.M., Bär & Karrer AG, Brandschenkenstrasse 90 in 8072 Zürich, wird als Schiedsrichter eingesetzt für den Entscheid, ob im Namen der Miteigentümergemeinschaft bestehend aus der Gesuchstellerin und dem Gesuchsgegner gegenüber der E._ AG eine Klage in der Höhe von Fr. 870'000.-- zuzüglich den jeweiligen Verzugszinsen von 5% seit 1. Januar 2009 sowie unter dem Nachklagevorbehalt für die Geltendmachung weiterer Forderungen und diesbezüglichen Verzugszinsen und unter Kosten- und Entschädigungsfolgen zu Lasten der E._ AG zu erheben ist."
Mit Schreiben vom 11. Dezember 2014 erklärte Daniel Hochstrasser gemäss <ref-law> Annahme des Schiedsrichtermandats.
B.b. In der Folge wurde das entsprechende Schiedsverfahren durchgeführt. Mit Endschiedsspruch vom 15. Juli 2015 entschied der Einzelschiedsrichter wie folgt:
"1. Es ist im Namen der Miteigentümergemeinschaft F._ bestehend aus der Klägerin und dem Beklagten gegenüber der E._ eine Klage in der Höhe von CHF 870'000 zuzüglich den jeweiligen Verzugszinsen von 5% seit 1. Januar 2009 sowie unter dem Nachklagevorbehalt für die Geltendmachung weiterer Forderungen und diesbezüglichen Verzugszinsen und unter Kosten- und Entschädigungsfolgen zu Lasten der E._ zu erheben. Dieser Entscheid tritt anstelle eines diesbezüglich einstimmig gefassten Beschlusses der Klägerin und des Beklagten als Miteigentümer der Liegenschaft F._.
2. Die Klägerin wird ermächtigt, in Vertretung der Klägerin und des Beklagten als Miteigentümer der Liegenschaft F._ das Prozessverfahren gegen die E._ gemäss Dispositiv-Ziffer 1 zu führen. Diese Ermächtigung tritt anstelle einer einstimmig erfolgten und unwiderrufbaren Bevollmächtigung der Klägerin durch die Klägerin und den Beklagten als Miteigentümer der Liegenschaft F._.
3. - 6. (...) "
C.
Mit Beschwerde in Zivilsachen vom 14. September 2015 beantragt der Schiedsbeklagte dem Bundesgericht, es sei die Verfügung des Bezirksgerichts Höfe vom 1. Dezember 2014 aufzuheben und festzustellen, dass keine gültige Schiedsvereinbarung bestehe; eventualiter sei die Sache zur Neubeurteilung an das Bezirksgericht zurückzuweisen.
Es wurde keine Vernehmlassung eingeholt.
D.
Mit Urteil 4A_492/2015 wies das Bundesgericht die vom Schiedsbeklagten ebenfalls am 14. September 2015 separat eingereichte Beschwerde gegen den Endschiedsspruch des gerichtlich ernannten Einzelschiedsrichters ab.

Erwägungen:
1.
Das Bundesgericht prüft von Amtes wegen und mit freier Kognition, ob ein Rechtsmittel zulässig ist (<ref-ruling> E. 1 S. 133 mit Hinweisen).
1.1. Angefochten ist ein Entscheid eines unteren kantonalen Gerichts, das gemäss Art. 356 Abs. 2 i.V.m. <ref-law> auf Gesuch hin einen Schiedsrichter ernannt hat. Im Folgenden ist zu prüfen, ob dagegen ein Rechtsmittel an das Bundesgericht offensteht.
1.2. Die Zuständigkeit staatlicher Gerichte im Zusammenhang mit einem internen Schiedsverfahren, um das es hier geht, ist in <ref-law> geregelt. Nach dessen Abs. 1 ist ein durch den Sitzkanton des Schiedsgerichts bezeichnetes oberes Gericht zuständig zur Behandlung von Rechtsmitteln gegen Schiedssprüche sowie deren Entgegennahme zur Hinterlegung und Bescheinigung der Vollstreckbarkeit. Nach Abs. 2 lit. a ist ein vom Sitzkanton bezeichnetes anderes oder anders zusammengesetztes Gericht als einzige Instanz zuständig für u.a. die Ernennung von Schiedsrichtern.
1.3. Wenn die Schiedsvereinbarung keine andere Stelle für die Ernennung der Mitglieder des Schiedsgerichts vorsieht oder diese Stelle die Ernennung nicht innert angemessener Frist vornimmt, so ernennt das nach <ref-law> zuständige staatliche Gericht auf Antrag einer Partei die Mitglieder des Schiedsgerichts, falls die Parteien sich über die Ernennung des Einzelschiedsrichters oder den Präsidenten nicht einigen (<ref-law>), eine Partei die von ihr zu bezeichnenden Mitglieder nicht innert 30 Tagen seit Aufforderung ernennt (<ref-law>) oder die Schiedsrichter sich nicht innert 30 Tagen seit ihrer Ernennung über die Wahl des Präsidenten einigen (<ref-law>).
1.4. Nach dem Wortlaut von <ref-law> entscheidet das zuständige kantonale Gericht über die Ernennung eines Schiedsrichters als einzige Instanz. Dies wirft die Frage auf, ob gegen den Entscheid des Ernennungsgerichts überhaupt ein Rechtsmittel offensteht:
1.4.1. Im Leitentscheid <ref-ruling> führte das Bundesgericht aus, dass gegen den Entscheid des Ernennungsgerichts ein Rechtsmittel an ein oberes kantonales Gericht ausgeschlossen ist, wenn es sich beim zuständigen Ernennungsgericht - wie im vorliegenden Fall aus dem Kanton Schwyz (§ 101 Abs. 2 der Schwyzer Justizverordnung [SRSZ 231.110]) - nicht um ein oberes, sondern um ein unteres kantonales Gericht handelt (E. 2.2.2.3). Ein innerkantonales Rechtsmittel gegen einen Ernennungsentscheid ist damit in jedem Fall ausgeschlossen. Gegen einen negativen Ernennungsentscheid, mit dem das Ernennungsgericht die Ernennung eines Schiedsrichters ablehnt, steht hingegen direkt die Beschwerde an das Bundesgericht offen, selbst wenn es sich beim Ernennungsgericht nicht um ein oberes kantonales Gericht handelt und dieses somit auch nicht als Rechtsmittelinstanz geurteilt hat (E. 2.3). Dies entspricht nicht nur der herrschenden Lehre (E. 2.2.5), sondern auch der Rechtsprechung des Bundesgerichts vor Inkrafttreten der eidgenössischen ZPO (E. 2.2.2.1 f.). Die Durchbrechung des Doppelinstanzprinzips nach <ref-law> ist diesfalls aufgrund des offensichtlichen Rechtsschutzbedürfnisses der Partei, die mit ihrem Ernennungsgesuch unterlegen ist, hinzunehmen (E. 2.2.5 in fine; 2.3).
Ob auch gegen einen positiven Ernennungsentscheid, mit dem das Ernennungsgericht - wie im vorliegenden Fall - gestützt auf <ref-law> einen Schiedsrichter eingesetzt hat, Beschwerde beim Bundesgericht erhoben werden kann, liess das Bundesgericht im genannten Leitentscheid hingegen offen. Die Frage ist nunmehr zu entscheiden:
1.4.2. Unter dem mit Inkrafttreten der ZPO aufgehobenen Konkordat vom 27. März 1969 über die Schiedsgerichtsbarkeit (AS 1969 1093) hat sich das Bundesgericht nie abschliessend dazu geäussert, ob positive Ernennungsentscheide des staatlichen Richters angefochten werden können (Urteil 5P.120/1997 vom 21. Mai 1997 E. 1). Zu <ref-law>, der Parallelnorm von <ref-law> in der internationalen lex arbitri, besteht hingegen eine gefestigte Rechtsprechung: Danach steht gegen den positiven Ernennungsentscheid des staatlichen Gerichts kein Rechtsmittel an das Bundesgericht offen, was bedeutet, dass das Vorliegen eines Ablehnungsgrundes gegenüber dem ernannten Schiedsrichter oder das Fehlen einer gültigen Schiedsvereinbarung und damit die Unzuständigkeit des Schiedsgerichts erst im Rahmen einer Beschwerde gegen den Schiedsspruch vorgebracht werden können (<ref-ruling> E. 3 S. 295; bestätigt in <ref-ruling> E. 1b S. 83). Die Unanfechtbarkeit des positiven Ernennungsentscheids folgt zum einen daraus, dass im Bereich der Schiedsgerichtsbarkeit die Beschwerdemöglichkeiten nach dem klaren Willen des Gesetzgebers beschränkt wurden, um die Eigenständigkeit und Speditivität der Schiedsgerichtsbarkeit zu wahren. Zum anderen schliesst <ref-law> ein Rechtsmittel an das Bundesgericht gegen richterliche Entscheide über die Ablehnung von Schiedsrichtern aus. Gegen den positiven Ernennungsentscheid des staatlichen Gerichts könnte daher einzig eingewendet werden, der Bestand einer Schiedsvereinbarung zwischen den Parteien sei zu Unrecht bejaht worden (<ref-law>). Dies betrifft aber die Frage der Zuständigkeit, worüber nach schweizerischer Auffassung vorerst das Schiedsgericht - das hinsichtlich der Zuständigkeitsfrage nicht an den Ernennungsentscheid gebunden ist - und erst in zweiter Linie der staatliche Richter zu befinden hat (Urteil 4P.157/1994 vom 20. Juni 1995 E. 3).
1.4.3. Diese Rechtsprechung soll nach herrschender Lehre auch auf positive Ernennungsentscheide übertragen werden, die gestützt auf <ref-law> ergangen sind. Danach sind solche Entscheide unanfechtbar (BOOG/STARK-TRABER, in: Berner Kommentar, 2014, N. 52 zu <ref-law>; STEFANIE PFISTERER, in: Berner Kommentar, 2014, N. 19 zu <ref-law>; PHILIPP HABEGGER, in: Basler Kommentar, 2. Aufl., 2013, N. 43 zu <ref-law>; URS WEBER-STECHER, in: Basler Kommentar, 2. Aufl., 2013, N. 13 zu <ref-law>; PHILIPPE SCHWEIZER, in: Bohnet et al. [Hrsg.], Code de procédure civile commenté, 2011, N. 24 zu <ref-law>). Ein Teil der Lehre bejaht - im Sinne einer Ausnahme und in Anlehnung an ein vereinzelt gebliebenes Urteil des Bundesgerichts (5P.362/2005 vom 19. Mai 2006 E. 1) - immerhin dann ein Rechtsmittel gegen positive Ernennungsentscheide, wenn der Ernennungsrichter gleichzeitig mit der Ernennung auch noch über ein Ablehnungsgesuch gegenüber dem ernannten Schiedsrichter befunden hat (BERGER/KELLERHALS, International and Domestic Arbitration in Switzerland, 3. Aufl. 2015, N. 842; STAEHELIN/STAEHELIN/GROLIMUND, Zivilprozessrecht, 2. Aufl., 2013, § 29 N 25; BRUNO COCCHI, in: Commentario al Codice di diritto processuale civile svizzero [CPC], 2011, N. 5 zu <ref-law>; STEFAN GRUNDMANN, in: Sutter-Somm et al. [Hrsg.], Kommentar zur Schweizerischen Zivilprozessordnung, 2. Aufl., 2013, N. 32 zu <ref-law>; a.M. aber BOOG/STARK-TRABER, a.a.O., N. 52 zu <ref-law>).
1.4.4. Der Lehre ist zu folgen und auch hinsichtlich positiver Ernennungsentscheide nach <ref-law> die mit <ref-ruling> zur internationalen lex arbitri begründete Rechtsprechung zugrunde zu legen. Solche Entscheide sind folglich jedenfalls dann nicht anfechtbar, wenn darin nicht gleichzeitig mit der Ernennung auch noch über ein Ablehnungsgesuch gegenüber dem ernannten Schiedsrichter befunden wurde. Die Zuständigkeit des Schiedsgerichts, über die der eingesetzte Schiedsrichter unabhängig vom Ernennungsentscheid selbst zu entscheiden hat, kann mithin erst im Rahmen einer Schiedsbeschwerde gegen den Schiedsspruch in Frage gestellt werden. Der positive Ernennungsentscheid selbst, in dem der staatliche Richter nach summarischer Prüfung den Bestand der Schiedsvereinbarung bejaht hat (<ref-law>), kann hingegen auch im Rahmen einer Schiedsbeschwerde nicht mehr indirekt angefochten bzw. mitangefochten werden. Soweit einige der oben in E. 1.4.3 zitierten Autoren eine andere Auffassung zu vertreten scheinen, nämlich dass der positive Ernennungsentscheid als "Zwischenentscheid" zusammen mit einem anfechtbaren Schiedsentscheid "mitangefochten" werden könne, beruht dies auf einem Missverständnis: Zwar hat das Bundesgericht in <ref-ruling> E. 2a und 2d einen positiven Ernennungsentscheid (untechnisch) als "décision incidente" bezeichnet; dies indessen nur vor dem Hintergrund, dass der Ernennungsentscheid lediglich eine Etappe im Rahmen des Schiedsverfahrens darstellt und dieses nicht zum Abschluss bringt. Hingegen bringt der positive Ernennungsentscheid das Verfahren vor dem staatlichen Ernennungsrichter sehr wohl zum Abschluss. Im Rahmen einer Beschwerde gegen den Zuständigkeitsentscheid des Schiedsgerichts kann mithin zwar die bereits dem Ernennungsrichter zur summarischen Prüfung vorgelegte Frage, ob eine Schiedsvereinbarung besteht, erneut aufgeworfen, hingegen die Ernennungeines Schiedsrichters als solche nicht mehr (rückwirkend) angefochten werden.
Gegen den vorliegend angefochtenen Ernennungsentscheid, mit dem die Vorinstanz einzig über die Ernennung eines Einzelschiedsrichters entschieden hat, steht damit kein Rechtsmittel an das Bundesgericht offen, dies weder direkt noch indirekt im Rahmen einer Beschwerde gegen einen anfechtbaren Schiedsspruch.
Da die Parteien im vorinstanzlichen Verfahren keine Ablehnungsgründe gegen den eingesetzten Schiedsrichter vorgebracht haben und sich die Vorinstanz damit zur Ausstandsfrage nicht geäussert hat, kann freilich die Frage offenbleiben, ob in Anlehnung an das vereinzelte und unpublizierte Urteil 5P.362/2005 gegen einen Ernennungsentscheid nur aber immerhin dann ein Rechtsmittel offenstünde, wenn darin gleichzeitig übereinen Ablehnungsgrund entschieden wurde.
2.
Auf die Beschwerde ist nicht einzutreten.
Bei diesem Verfahrensausgang wird der Beschwerdeführer kostenpflichtig (<ref-law>). Der Beschwerdegegnerin ist in diesem Verfahren kein Aufwand entstanden, womit ihr kein Anspruch auf Parteientschädigung zusteht.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 1'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Bezirksgericht Höfe schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 25. Februar 2016
Im Namen der I. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Kiss
Der Gerichtsschreiber: Hurni