Faits :
A.
A.a. X._, né en 1966, a été victime, le 1er juin 1971, d'un accident de la circulation, alors qu'il n'avait que quatre ans et demi. Tandis qu'il s'engageait avec un tricycle sur une route communale à N._ (FR), il a été renversé par une voiture; grièvement blessé, il a souffert de diverses fractures ainsi que d'un traumatisme crânio-cérébral (<ref-law>). V._ SA, qui appartient aujourd'hui à Z._ SA (ci-après: l'assurance), assurait la responsabilité civile du détenteur du véhicule automobile.
X._ est invalide à 100% depuis le 1er novembre 1992 et perçoit depuis lors une rente entière de l'assurance-invalidité (<ref-law>).
A.b. Le 21 mai 2015, X._ a déposé une requête d'assistance judiciaire auprès du Président du Tribunal civil de l'arrondissement de la Sarine, concluant à ce qu'il soit dispensé d'avancer les frais judiciaires et à ce que lui soit désigné l'avocat Jean-Michel Duc en qualité de défenseur d'office. Déclarant vouloir intenter contre l'assurance une action contractuelle et délictuelle en paiement de plus de 10 millions de francs de dommages-intérêts, il a allégué que celle-ci lui aurait faussement affirmé que la couverture d'assurance responsabilité civile était illimitée, de sorte que son ancien mandataire (Me A._) n'avait jamais interrompu la prescription à l'encontre du détenteur de la voiture pour un éventuel montant qui n'aurait pas été couvert par l'assurance; or, en mars 1993, ledit mandataire a été informé par l'assurance que la couverture d'assurance était en réalité limitée à 1'000'000 fr., que ce montant était quasiment épuisé et qu'elle allait mettre fin aux prestations.
Par décision du 28 mai 2015, le Président du Tribunal civil a rejeté la requête d'assistance judiciaire. Ce magistrat a considéré que la cause que X._ entendait introduire était dépourvue de chances de succès, car le précité n'avait produit aucune pièce démontrant que l'assurance aurait clairement et expressément indiqué que la couverture d'assurance était illimitée, l'action en dommages-intérêts étant au demeurant atteinte par la prescription.
Statuant sur le recours de X._, la IIe Cour d'appel civil du Tribunal cantonal fribourgeois, par arrêt du 19 août 2015, l'a rejeté dans la mesure de sa recevabilité. La cour cantonale a retenu en résumé que les pièces produites par le recourant à l'appui de son recours étaient irrecevables, faute d'avoir été produites en première instance, et que, sur la base des allégués ressortant de sa requête, il n'était pas arbitraire de retenir qu'il avait échoué à prouver que ses prétentions n'étaient pas prescrites et que la couverture d'assurance était illimitée.
Aucun recours n'a été interjeté contre cet arrêt.
B.
Le 24 novembre 2015, X._ a déposé à l'encontre de l'assurance une requête en conciliation auprès du Tribunal civil de l'arrondissement de la Sarine dans le cadre d'une action en dommages-intérêts se montant à 10'307'168 fr. plus intérêts à 5% l'an dès le 1er juin 1971. Il a requis derechef l'assistance judiciaire.
Invité le 27 novembre 2015 par la Présidente du Tribunal civil à exposer en quoi cette requête différait de celle introduite le 21 mai 2015, X._ a écrit, par un pli de son conseil du 11 décembre 2015, qu'il a désormais produit avec sa nouvelle requête les deux pièces (cotées 4 et 5 dans son bordereau du 24 novembre 2015) déposées avec son précédent recours au Tribunal cantonal (soit le courrier de l'avocat A._ du 21 novembre 1994 et les deux extraits de mémoire rédigés par ledit conseil), lesquelles sont de nature à établir que le représentant de l'assurance lui a toujours indiqué, de même qu'à son père et à son précédent mandataire, que la couverture était illimitée. Il a ajouté que sa requête de conciliation (contrairement à sa requête du 21 mai 2015) expliquait que son précédent mandataire et lui-même avaient toujours interrompu la prescription à l'encontre de l'assurance depuis le jour de l'accident, ainsi que cela ressortait des pièces cotées 6 à 8 de son bordereau du 24 novembre 2015.
Dans sa détermination du 6 janvier 2016, l'assurance s'est opposée à l'octroi de l'assistance judiciaire, les prétentions de X._ étant à ses yeux privées de toute chance de succès; elle s'est encore expressément prévalue de la prescription.
Par décision du 19 janvier 2016, la Présidente du Tribunal civil de l'arrondissement de la Sarine a rejeté la requête d'assistance judiciaire en tant qu'elle était recevable. Elle a admis que X._ n'a pas démontré en quoi les moyens de preuve qu'il produit lui étaient inconnus lors de la procédure précédente, voire qu'il lui avait été impossible ou qu'il n'avait pas eu de raisons de les invoquer auparavant, de sorte que la nouvelle requête d'assistance judiciaire, qui repose sur les mêmes faits que la précédente, avait le caractère d'une requête de reconsidération paraissant irrecevable. De toute manière, quant au fond, les documents produits n'établissaient pas que la police du détenteur prévoyait en 1971 une couverture illimitée d'assurance responsabilité civile. Cette magistrate en a inféré que la requête d'assistance judiciaire devait être rejetée dans la mesure de sa recevabilité, faute de chances de succès du procès que le requérant entendait mener contre l'assurance (<ref-law>).
Statuant sur le recours de X._ contre la décision susmentionnée, la Ire Cour d'appel civil du Tribunal cantonal fribourgeois, par arrêt du 14 avril 2016, l'a rejeté, la décision attaquée étant confirmée.
C.
X._ exerce un recours en matière civile et un recours constitutionnel subsidiaire au Tribunal fédéral contre l'arrêt du 14 avril 2016. Dans ses deux recours, il conclut principalement à la réforme de cet arrêt en ce sens que la demande d'assistance judiciaire du 24 novembre 2015 est admise, qu'il est mis au bénéfice de l'assistance judiciaire gratuite dans le cadre de la procédure introduite le jour en question contre l'assurance, les avocats Jean-Michel Duc et Marie Signori lui étant désignés comme défenseurs d'office. Subsidiairement, il requiert l'annulation de l'arrêt cantonal, la cause étant retournée auprès de l'autorité cantonale pour nouvelle décision. Le recourant requiert également l'octroi de l'assistance judiciaire pour la procédure fédérale.
Des déterminations n'ont pas été requises.

Considérant en droit :
1.
1.1. Le refus de l'assistance judiciaire est une décision incidente susceptible de causer un préjudice irréparable (<ref-ruling> consid. 1.1 p. 131, 281 consid. 1.1 p. 283 s.) et, partant, sujette à recours en vertu de l'<ref-law>.
La voie du recours contre une telle décision est déterminée par le litige principal. Dès lors que la cause pour laquelle l'assistance judiciaire est sollicitée est un procès reposant tant sur la prétendue responsabilité délictuelle de l'intimée (<ref-law>) que sur la prétendue responsabilité contractuelle de cette dernière (<ref-law>), qu'il s'agit d'une contestation civile dont la valeur litigieuse dépasse largement 30'000 fr., le recours en matière civile est recevable au regard des art. 72 al. 1 et 74 al. 1 let. b LTF. Interjeté par la partie qui, ayant pris part à la procédure devant l'autorité cantonale, s'est vu refuser le bénéfice de l'assistance judiciaire (<ref-law>), déposé dans le délai (<ref-law>) et la forme (<ref-law>) prévus par la loi contre la décision prise sur recours par la Ire Cour d'appel civil du Tribunal cantonal fribourgeois, le recours est aussi recevable en application de l'<ref-law>.
1.2. L'ouverture de principe de la voie du recours en matière civile entraîne ipso facto l'irrecevabilité du recours constitutionnel subsidiaire (<ref-law>).
1.3. Le Tribunal fédéral statue sur la base des faits établis par l'autorité précédente (<ref-law>). Relèvent de ces faits tant les constatations relatives aux circonstances touchant l'objet du litige que celles concernant le déroulement de la procédure conduite devant l'instance précédente et en première instance, c'est-à-dire les constatations ayant trait aux faits procéduraux (<ref-ruling> consid. 1.3.1 et les références). Le Tribunal fédéral ne peut rectifier les constatations de l'autorité précédente que si elles sont manifestement inexactes, c'est-à-dire arbitraires (<ref-ruling> consid. 2 p. 117; <ref-ruling> consid. 1.5). Encore faut-il que la correction du vice soit susceptible d'influer sur le sort de la cause (<ref-law>).
Dans la mesure où le recourant entend ajouter aux faits constatés par la cour cantonale des éléments factuels dans les pages 4 à 8 de son recours, cela sans invoquer de disposition constitutionnelle ni démontrer l'arbitraire (art. 97 al. 1 et 106 al. 2 LTF), il n'en sera tenu aucun compte.
1.4. Saisi d'un recours en matière civile, le Tribunal fédéral applique en principe d'office le droit (<ref-law>) à l'état de fait constaté dans l'arrêt cantonal (ou à l'état de fait qu'il aura rectifié). Cela ne signifie pas que le Tribunal fédéral examine, comme le ferait un juge de première instance, toutes les questions juridiques qui pourraient se poser. Compte tenu de l'obligation de motiver imposée par l'<ref-law>, il ne traite que les questions qui sont soulevées devant lui par les parties, à moins que la violation du droit ne soit manifeste (<ref-ruling> consid. 2; <ref-ruling> consid. 2.2; arrêt 4A_399/2008 du 12 novembre 2011 consid. 2.1 non publié in <ref-ruling>). Il n'est en revanche pas lié par l'argumentation juridique développée par les parties ou par l'autorité précédente; il peut admettre le recours, comme il peut le rejeter en procédant à une substitution de motifs (ATF <ref-ruling> consid. 2.2; <ref-ruling> consid. 1.4).
2.
2.1. Le recourant reproche tout d'abord en vrac à la cour cantonale d'avoir violé l'<ref-law>, d'avoir restreint arbitrairement son pouvoir d'appréciation (art. 9 Cst.) et d'avoir commis une entorse à l'interdiction du formalisme excessif (art. 29 al. 1 Cst.). Il reproche à la cour cantonale d'avoir déclaré irrecevable sa seconde requête d'assistance judiciaire, de par l'effet de " force de chose jugée " qu'elle aurait attribué à l'arrêt du 19 août 2015.
2.2. A teneur de l'<ref-law>, le juge ne peut suppléer d'office le moyen résultant de la prescription. Il a été constaté en fait, au considérant 3b in initio de l'arrêt attaqué, que l'assurance a excipé de la prescription dans sa détermination du 6 janvier 2016 sur la seconde requête d'assistance judiciaire du recourant. L'assurance ayant désormais invoqué cette exception de droit matériel dans le procès ouvert par la requête de conciliation du 24 novembre 2015, on ne voit pas comment la cour cantonale a pu enfreindre cette disposition.
L'arrêt attaqué du 14 avril 2016 n'a pas déclaré irrecevable sa seconde requête d'assistance judiciaire, mais a confirmé la décision du premier juge, prise le 19 janvier 2016, qui a rejeté ladite requête en tant qu'elle était recevable.
On cherche vainement de quel formalisme excessif (art. 29 al. 1 Cst.) aurait fait preuve l'autorité intimée en rapport avec l'examen de la seconde requête d'assistance judiciaire du recourant. Ce dernier ne motive en rien ce pan du grief (<ref-law>).
Enfin, il n'apparaît pas que la cour cantonale ait fait usage d'un pouvoir d'appréciation (<ref-law>) en l'occurrence.
Le grief est infondé dans la faible mesure de sa recevabilité.
3.
Sous lettre B de son recours, le recourant reprend substantiellement les mêmes griefs que ceux qui viennent d'être examinés.
Il y a lieu de réserver à ces derniers griefs le même sort qu'aux précédents, sans en débattre derechef.
4.
4.1. Le recourant allègue qu'en ayant retenu que ses perspectives de gagner le procès sont notablement plus faibles que les risques de le perdre l'autorité intimée a transgressé les <ref-law>, 29 al. 3 Cst. et 6 par. 1 CEDH. Il soutient qu'il a amplement rendu vraisemblable que l'assurance lui a donné de véritables garanties quant au caractère illimité de la couverture d'assurance responsabilité civile du détenteur, tant à lui-même, qu'à son père et à son ancien mandataire. Pour finir, il prétend en quelques lignes que la cour cantonale a violé son droit à être jugé par un tribunal indépendant et impartial (art. 30 al. 1 Cst.) en ne laissant aucun doute sur la manière dont elle jugerait l'affaire au fond si elle avait à en connaître.
4.2. Selon la jurisprudence développée à propos de l'art. 29 al. 3 Cst., qui s'applique également dans le cadre de l'<ref-law>, un procès est dépourvu de chances de succès lorsque les perspectives de le gagner sont notablement plus faibles que les risques de le perdre, et qu'elles ne peuvent donc être considérées comme sérieuses, de sorte qu'une personne raisonnable et de condition aisée renoncerait à s'y engager en raison des frais qu'elle s'exposerait à devoir supporter; il ne l'est pas, en revanche, lorsque les chances de succès et les risques d'échec s'équilibrent à peu près, ou que les premières ne sont que légèrement inférieures aux seconds. Ce qui est déterminant est de savoir si une partie, qui disposerait des ressources financières nécessaires, se lancerait ou non dans le procès après une analyse raisonnable. Une partie ne doit pas pouvoir mener un procès qu'elle ne conduirait pas à ses frais, uniquement parce qu'il ne lui coûte rien. La situation doit être appréciée à la date du dépôt de la requête, sur la base d'un examen sommaire (<ref-ruling> consid. 5.1; <ref-ruling> consid. 2.2 et l'arrêt cité).
L'absence de chances de succès peut résulter des faits ou du droit. L'assistance judiciaire sera refusée s'il apparaît d'emblée que les faits pertinents allégués sont invraisemblables ou ne pourront pas être prouvés; cette hypothèse est réalisée lorsque la thèse du demandeur ne tient pas debout. L'assistance peut aussi être refusée s'il apparaît d'emblée que la démarche est irrecevable ou que la position du demandeur est juridiquement infondée; sur le fond, on peut imaginer l'hypothèse où les faits allégués ne correspondent pas aux conditions de l'action. L'autorité chargée de statuer sur l'assistance judiciaire ne doit évidemment pas se substituer au juge du fond; elle doit seulement examiner s'il lui apparaît qu'il y a des chances que le juge adopte la position soutenue par le demandeur, chances qui doivent être plus ou moins équivalentes aux risques qu'il parvienne à la conclusion contraire (arrêt 4A_454/2008 du 1er décembre 2008 consid. 4.2, avec référence à BERNARD CORBOZ, Le droit constitutionnel à l'assistance juridique, SJ 2003 II p. 67 ss, spéc. p. 82 s.).
Dire quels sont les éléments d'appréciation pertinents et s'il existe des chances de succès est une question de droit, que le Tribunal fédéral examine librement; en revanche, savoir si les faits sont établis ou susceptibles d'être prouvés est une question qui relève de l'appréciation des preuves, laquelle ne peut être corrigée qu'en cas d'arbitraire (arrêt 4A_454/2008 déjà cité, consid. 4.2, avec référence à CORBOZ, op. cit., p. 82).
4.3. Afin de prouver que l'assurance lui a donné des garanties que la couverture d'assurance responsabilité civile du détenteur était illimitée, le recourant a produit, avec sa seconde requête d'assistance judiciaire, un bordereau du 24 novembre 2015 contenant notamment un courrier de l'avocat A._ du 21 novembre 1994 (pièce 4), deux extraits de mémoire rédigés par ce conseil (pièce 5), une lettre de l'assurance du 28 avril 1998 écrite par B._, responsable de son dossier (pièce 6) ainsi que deux courriers de l'assurance des 21 mars 2014 et 15 mars 2011 accompagnés de polices d'assurances (pièce 9).
La pièce 4 est un courrier de l'avocat A._ qu'il a adressé le 21 novembre 1994 à un autre avocat. Dans ce pli, le prénommé a écrit qu'en sa présence B._ a affirmé au recourant qu'il n'y avait pas de limite à la couverture d'assurance. Toutefois, ce document n'indique pas quand, où et à quelle occasion B._ aurait indiqué au recourant que la couverture du détenteur était illimitée. Ce document ne précise pas que ledit avocat a eu en mains la police d'assurance qui couvrait le détenteur le 1er juin 1971. Dans ces circonstances, il n'est pas arbitraire de considérer qu'il n'est pas déterminant.
La pièce 5 comprend deux extraits de mémoire, non datés, rédigés par l'avocat A._. Il ne s'agit là que de simples allégations, dont il n'est pas insoutenable de ne pas tenir compte.
La pièce 6 est une lettre écrite par B._ à un avocat le 28 avril 1998, qui confirme que le délai de prescription contre l'assurance a toujours été interrompu par le conseil du recourant. Cette pièce ne concerne en rien la couverture d'assurance.
La pièce 9 comprend en particulier une lettre de l'assurance au conseil du recourant, datée du 21 mars 2014, où il est écrit que la somme garantie pour couvrir la responsabilité civile du détenteur de la voiture qui a renversé le recourant le 1er juin 1971 était de 1'000'000 fr. en 1974 et qu'elle n'est devenue illimitée que le 1er mai 1979. Sous la même cote figurent une police d'assurance du 11 juillet 1974 fixant la responsabilité civile dudit détenteur à 1'000'000 fr., une deuxième police du 14 août 1975 arrêtant toujours à 1'000'000 fr. la responsabilité civile du même détenteur et une troisième police du 22 mars 1979 prévoyant cette fois une somme illimitée couvrant la responsabilité civile de ce détenteur. Il appert donc que la pièce 9 va carrément à l'encontre de la thèse du recourant selon laquelle la couverture d'assurance responsabilité civile du détenteur en cause était illimitée en 1971. Cela d'autant que la couverture légale minimale d'assurance responsabilité civile de détenteur de 1'000'000 fr. n'a été instaurée par le Conseil fédéral que le 15 octobre 1975 (BUSSY/RUSCONI, Code suisse de la circulation routière, 3e éd. 1996, n. 1.3 ad <ref-law>).
Enfin, le reproche fait à l'autorité intimée d'avoir violé son devoir d'indépendance et d'impartialité (art. 30 al. 1 Cst.) est sans consistance. Cette autorité a seulement examiné s'il lui apparaissait qu'il existait des chances que le juge du fond puisse adopter la position soutenue par le recourant dans son action contre l'assurance. Rien de plus. Elle ne s'est en aucune manière substituée audit juge.
Le grief, sous toutes ces facettes, est dénué de fondement.
5.
En définitive, le recourant n'est pas parvenu à démontrer en quoi l'appréciation que son action est dénuée de chances de succès serait erronée.
Le recours en matière civile doit donc être rejeté dans la mesure de sa recevabilité. Le recours étant manifestent dépourvu de chances de succès, la requête d'assistance judiciaire doit être rejetée, en dépit de l'indigence du recourant. Les frais judiciaires, arrêtés à un montant réduit de 1'000 fr. pour tenir compte de la situation du recourant, sont mis à sa charge. Il n'est en revanche pas alloué de dépens, la partie intimée étant une autorité (<ref-law>), qui n'a du reste pas été invitée à déposer une réponse.

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce :
1.
Le recours constitutionnel subsidiaire est irrecevable.
2.
Le recours en matière civile est rejeté dans la mesure où il est recevable.
3.
La requête d'assistance judiciaire du recourant est rejetée.
4.
Les frais judiciaires, arrêtés à 1'000 fr., sont mis à la charge du recourant.
5.
Il n'est pas alloué de dépens.
6.
Le présent arrêt est communiqué aux parties et à Z._ SA, intéressée.
Lausanne, le 19 octobre 2016
Au nom de la Ire Cour de droit civil
du Tribunal fédéral suisse
La Présidente : Kiss
Le Greffier : Ramelet