Sachverhalt:
A.
B._ (Kläger, Beschwerdegegner) war ab dem 1. Februar 1996 bei der C._ AG als Arbeitnehmer angestellt. Diese hatte mit der A._ eine Krankentaggeldversicherung abgeschlossen. Im Oktober 2004 meldete der Kläger der A._ eine Arbeitsunfähigkeit ab 7. Juni 2004 an und ersuchte um Auszahlung von Taggeldern. In der Folge kam es zu einer jahrelangen Korrespondenz zwischen der A._ und dem Kläger betreffend den Anspruch auf das versicherte Taggeld.
B.
Am 18. Dezember 2013 erhob der Kläger am Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich Klage gegen die A.A._ AG (Beklagte, Beschwerdeführerin) und beantragte, die Beklagte sei zu verpflichten, dem Kläger Fr. 313'858.60 nebst 5 % Zins seit 24. Januar 2007 zu bezahlen. In der Duplik vom 23. Februar 2015 machte die Beklagte geltend, sie sei nicht passivlegitimiert, vielmehr hätte die A.B._ AG eingeklagt werden müssen.
Mit Urteil vom 24. Februar 2016 wies das Sozialversicherungsgericht die Klage mangels Passivlegitimation der Beklagten ab. Sodann verpflichtete es den Kläger, der Beklagten eine Prozessentschädigung von Fr. 7'931.-- zu bezahlen (Ziff. 4).
C.
Die Beschwerdeführerin beantragt mit Beschwerde in Zivilsachen, es sei Ziffer 4 des Urteils des Sozialversicherungsgerichts aufzuheben, und es sei der Beschwerdegegner zu verpflichten, ihr eine Prozessentschädigung von Fr. 30'655.95 (inkl. Barauslagen und MwSt) zu bezahlen. Eventualiter sei Ziffer 4 des Urteils des Sozialversicherungsgerichts aufzuheben, und die Sache zur korrekten Festsetzung der Prozessentschädigung an die Vorinstanz zurückzuweisen.
Der Beschwerdegegner beantragt, die Beschwerde sei vollumfänglich abzuweisen. Die Vorinstanz verzichtete auf Vernehmlassung.
Die Beschwerdeführerin reichte eine Replik ein.

Erwägungen:
1.
Die Hauptsache betrifft die Leistungspflicht aus einer Zusatzversicherung zur sozialen Krankenversicherung. Derartige Zusatzversicherungen unterstehen gemäss Art. 2 Abs. 2 des Bundesgesetzes betreffend die Aufsicht über die soziale Krankenversicherung (Krankenversicherungsaufsichtsgesetz, KVAG; SR 832.12; bis zum 1. Januar 2016: Art. 12 Abs. 2 und 3 des Bundesgesetzes über die Krankenversicherung [KVG; SR 832.10], vgl. Botschaft zum Bundesgesetz betreffend die Aufsicht über die soziale Krankenversicherung, BBl 2012 S. 1941 ff., S. 1956) dem Bundesgesetz über den Versicherungsvertrag (Versicherungsvertragsgesetz, VVG; SR 221.229.1). Streitigkeiten aus solchen Versicherungen sind privatrechtlicher Natur, weshalb als Rechtsmittel an das Bundesgericht die Beschwerde in Zivilsachen gemäss <ref-law> in Betracht kommt (<ref-ruling> E. 1.1; <ref-ruling> E. 2.1 S. 441 f.).
Die Beschwerde richtet sich gegen einen Endentscheid (<ref-law>) einer oberen kantonalen Gerichtsinstanz, die als einzige kantonale Instanz im Sinne von <ref-law> in Verbindung mit <ref-law> entschieden hat. Die Beschwerde ist in diesem Fall streitwertunabhängig zulässig (<ref-law>; <ref-ruling> E. 1.2.2, 799 E. 1.1). Dies gilt auch, wenn wie hier einzig der Entscheid über die Parteientschädigung angefochten ist. Da auch die übrigen Sachurteilsvoraussetzungen erfüllt sind, ist unter Vorbehalt einer rechtsgenügenden Begründung (vgl. Erwägung 2) grundsätzlich auf die Beschwerde einzutreten.
2.
2.1. Mit Beschwerde in Zivilsachen können Rechtsverletzungen nach Art. 95 und 96 BGG gerügt werden. Die Beschwerde ist hinreichend zu begründen, andernfalls wird darauf nicht eingetreten (<ref-ruling> E. 2.1). In der Beschwerdeschrift ist in gedrängter Form darzulegen, inwiefern der angefochtene Akt Recht verletzt (<ref-law>). Unerlässlich ist, dass die Beschwerde auf die Begründung des angefochtenen Entscheids eingeht und im Einzelnen aufzeigt, worin eine Verletzung von Bundesrecht liegt. Die beschwerdeführende Partei soll in der Beschwerdeschrift nicht bloss die Rechtsstandpunkte, die sie im kantonalen Verfahren eingenommen hat, erneut bekräftigen, sondern mit ihrer Kritik an den als rechtsfehlerhaft erachteten Erwägungen der Vorinstanz ansetzen (<ref-ruling> E. 2 S. 89, 115 E. 2 S. 116).
Eine qualifizierte Rügepflicht gilt hinsichtlich der Verletzung von Grundrechten und von kantonalem und interkantonalem Recht. Das Bundesgericht prüft eine solche Rüge nur insofern, als sie in der Beschwerde präzise vorgebracht und begründet worden ist (<ref-law>; <ref-ruling> E. 1.4; <ref-ruling> E. 1.3.1). Soweit die Beschwerdeschrift diesen Begründungsanforderungen nicht genügt, so ist darauf nicht einzutreten (BGE <ref-ruling> E. 1.3.1).
Diesen Anforderungen genügt die Beschwerdeführerin nicht, wenn sie lediglich pauschal behauptet, dass eine "substantiierte Begründung" fehle, weshalb die Vorinstanz den angemessenen Aufwand ihres Rechtsvertreters auf 28 Stunden festgesetzt habe. Darauf ist nicht einzutreten.
2.2. Die Beschwerde ist innert der Beschwerdefrist vollständig begründet einzureichen (vgl. <ref-law>). Vor Bundesgericht findet in der Regel nur ein Schriftenwechsel statt (<ref-law>). Kommt es zu einem zweiten Schriftenwechsel, darf die beschwerdeführende Partei die Replik nicht dazu verwenden, ihre Beschwerde zu ergänzen oder zu verbessern (<ref-ruling> E. 1.7; <ref-ruling> E. 3.3.4). Mit Rügen, welche die beschwerdeführende Partei bereits in der Beschwerde hätte erheben können, ist sie nach Ablauf der Beschwerdefrist ausgeschlossen (<ref-ruling> E. 2.2; <ref-ruling> E. 1.7; <ref-ruling> E. 3.3.4 mit Hinweisen). Die Replik ist nur zu Darlegungen zu verwenden, zu denen die Ausführungen in der Vernehmlassung eines anderen Verfahrensbeteiligten Anlass geben (vgl. <ref-ruling> E. 2.2). Soweit die Beschwerdeführerin in ihrer Replik darüber hinausgeht, kann sie nicht gehört werden.
2.3. Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (<ref-law>). Dazu gehören sowohl die Feststellungen über den streitgegenständlichen Lebenssachverhalt als auch jene über den Ablauf des vor- und erstinstanzlichen Verfahrens, also die Feststellungen über den Prozesssachverhalt (<ref-ruling> E. 1.3.1 mit Hinweisen). Es kann die Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz nur berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruht (<ref-law>). "Offensichtlich unrichtig" bedeutet dabei "willkürlich" (<ref-ruling> E. 2 S. 117; <ref-ruling> E. 1.5). Überdies muss die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein können (<ref-law>).
Für eine Kritik am festgestellten Sachverhalt gilt das strenge Rügeprinzip von <ref-law> (<ref-ruling> E. 2.3 S. 266 mit Hinweisen). Die Partei, welche die Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz anfechten will, muss klar und substanziiert aufzeigen, inwiefern diese Voraussetzungen erfüllt sein sollen (<ref-ruling> E. 1.3.1 S. 18 mit Hinweisen). Wenn sie den Sachverhalt ergänzen will, hat sie zudem mit präzisen Aktenhinweisen darzulegen, dass sie entsprechende rechtsrelevante Tatsachen und taugliche Beweismittel bereits bei den Vorinstanzen prozesskonform eingebracht hat (<ref-ruling> E. 2 S. 90). Genügt die Kritik diesen Anforderungen nicht, können Vorbringen mit Bezug auf einen Sachverhalt, der vom angefochtenen Entscheid abweicht, nicht berücksichtigt werden (<ref-ruling> E. 1.3.1 S. 18).
3.
3.1. Vor Bundesgericht ist einzig die Festsetzung der Parteientschädigung durch die Vorinstanz strittig.
Die Beschwerdeführerin macht dabei geltend, dass die Vorinstanz die Bemessungskriterien nach der kantonalen Bestimmung von § 34 Abs. 2 [recte: Abs. 3] des Gesetzes über das Sozialversicherungsgericht (GSVGer, LS 212.81) willkürlich angewandt und damit <ref-law> verletzt habe. Die Vorinstanz lasse einerseits völlig ausser Acht, dass es sich bei der Klage um einen bedeutenden Streitfall mit erheblichen finanziellen Auswirkungen handle, denn der Beschwerdegegner würde Taggelder in der Höhe von über Fr. 313'000.-- verlangen. Zwar sei die Parteientschädigung streitwertunabhängig festzulegen, angesichts eines solch hohen Streitwerts könne jedoch nicht mehr ernsthaft von einem Bagatellfall oder einem unbedeutenden Streitfall ausgegangen werden. Andererseits lasse die Vorinstanz die Tatsache unberücksichtigt, dass es sich um eine rechtlich anspruchsvolle Angelegenheit handle. Die "höchst komplexen und schlichtweg nicht nachvollziehbaren (bestrittenen) Berechnungen" des Beschwerdegegners und seine widersprüchlichen Angaben hätten einen enormen Zeitaufwand erfordert. Der geltend gemachte anwaltliche Aufwand sei insbesondere wegen der umfangreichen und ausschweifenden Rechtsschriften des Beschwerdegegners nötig geworden. Angesichts des Umstandes, dass mit dem von der Vorinstanz zugestandenen Aufwand nicht einmal die Rechtsschriften abgedeckt seien (er habe insgesamt 74 Seiten Rechtsschriften verfasst), erweise sich die zugesprochene Parteientschädigung ausserhalb jedes vernünftigen Verhältnisses zum getätigten und aufgrund der Vorbringen des Beschwerdegegners erforderlichen Aufwands, sodass sich die Höhe der Parteientschädigung als offensichtlich unhaltbar und willkürlich im Sinne von <ref-law> erweise.
3.2. Nach ständiger Praxis des Bundesgerichts liegt Willkür in der Rechtsanwendung vor, wenn der angefochtene Entscheid offensichtlich unhaltbar ist, mit der tatsächlichen Situation in klarem Widerspruch steht, eine Norm oder einen unumstrittenen Rechtsgrundsatz krass verletzt oder in stossender Weise dem Gerechtigkeitsgedanken zuwiderläuft. Das Bundesgericht hebt einen Entscheid jedoch nur auf, wenn nicht bloss die Begründung, sondern auch das Ergebnis unhaltbar ist. Dass eine andere Lösung ebenfalls als vertretbar oder gar zutreffender erscheint, genügt nicht (<ref-ruling> E. 3.2.5 S. 339 mit Hinweisen). Dabei greift das Bundesgericht in vorinstanzliche Ermessensentscheide, zu denen Entscheide über die Höhe der Parteientschädigung gehören, nur mit grösster Zurückhaltung ein (vgl. <ref-ruling> E. 3.2.5 S. 339 bezüglich der Höhe der Gerichtskosten).
3.3. Die Vorinstanz erwog, dass nach <ref-law> die Kantone zuständig seien, die Tarife für die Prozesskosten festzusetzen. Das zürcherische Ausführungsgesetz zur ZPO, das Gesetz über die Gerichts- und Behördenorganisation im Zivil- und Strafprozess (GOG; LS 211.1), enthalte keine für das Sozialversicherungsgericht anwendbare Tarifbestimmung. Dasselbe gelte für die Verordnung über die Anwaltsgebühren (AnwGebV; LS 215.3). Die Bemessung der Parteientschädigung richtete sich somit nach § 34 GSVGer und den §§ 1, 6, 7 und 8 der Verordnung über die Gebühren, Kosten und Entschädigungen vor dem Sozialversicherungsgericht (GebV SVGer; LS 212.812). Gemäss § 34 Abs. 1 [recte: Abs. 3] GSVGer sei die Höhe der gerichtlich festzusetzenden Entschädigung nach der Bedeutung der Streitsache, der Schwierigkeit des Prozesses und dem Mass des Obsiegens, jedoch ohne Rücksicht auf den Streitwert festzusetzen. Für unnötigen oder geringfügigen Aufwand einer Partei werde keine Parteientschädigung zugesprochen (§ 7 Abs. 1 GebV SVGer).
Der Rechtsvertreter der Beschwerdeführerin habe dem Gericht am 13. Juli 2015 seine Honorarnote eingereicht. Dieser sei ein nicht weiter detaillierter, sondern pauschaler Zeitaufwand von 130 Stunden für wiederholtes, umfangreiches Aktenstudium, diverse Instruktionsbesprechungen, Korrespondenz und Telefonate mit der Klientin, Korrespondenz und Telefonate mit dem Sozialversicherungsgericht, umfangreiche rechtliche Abklärungen und das Verfassen von Klageantwort, Duplik und Quadruplik zu entnehmen. Beim geltend gemachten Stundenansatz von Fr. 300.-- ergebe dies eine Honorarforderung von Fr 39'000.-- (ohne Mehrwertsteuer). Zusätzlich würden in der Honorarnote pauschale Spesen für Kopien, Porti und Telefongebühren von 3 % in der Höhe von Fr. 1'170.-- (ohne Mehrwertsteuer) aufgeführt.
Der geltend gemachte pauschale zeitliche Aufwand von 130 Stunden sei, so die Vorinstanz weiter, unter Berücksichtigung der Bedeutung der Streitsache und der Schwierigkeiten des Prozesses sowie insbesondere auch mit Blick auf den praxisgemäss bei vergleichbaren Verfahren anerkannten Zeitaufwand deutlich überhöht. In Würdigung der gesamten Umstände und unter Berücksichtigung der vorgenannten Grundsätze erscheine ein Aufwand von 10 Stunden im Zeitraum bis 31. Dezember 2014 und 18 Stunden ab 1. Januar 2015, insgesamt also 28 Stunden, als angemessen und gerechtfertigt. Bei einem Stundensatz von Fr. 200.-- (bis 31. Dezember 2014) beziehungsweise von Fr. 220.-- (ab 1. Januar 2015) ergebe dies, inklusive Mehrwertsteuer, eine Entschädigung für den zeitlichen Aufwand von gerundet Fr. 7'700.--. Unter Berücksichtigung einer Spesenpauschale von 3 % beziehungsweise Fr. 231.-- (mit Mehrwertsteuer) belaufe sich die der Beschwerdeführerin zuzusprechende Parteientschädigung auf Fr. 7'931.-- (inkl. Mehrwertsteuer und Barauslagen).
3.4. Mit ihren Vorbringen vermag die Beschwerdeführerin die von der Vorinstanz zugesprochene Parteientschädigung nicht als willkürlich auszuweisen.
Die Beschwerdeführerin macht zunächst geltend, die Vorinstanz habe nicht berücksichtigt, dass es sich um einen bedeutenden Streitfall handle. Dem ist nicht so, denn die Vorinstanz nahm ausdrücklich auf das Kriterium der "Bedeutung der Streitsache" für die Festsetzung der Parteientschädigung Bezug und legte anschliessend in Würdigung der gesamten Umstände, und damit auch unter Berücksichtigung des erwähnten Kriteriums, die Parteientschädigung fest. Insoweit geht die Rüge der Beschwerdeführerin fehl.
Sodann legt die Beschwerdeführerin in ihren Ausführungen nicht dar, zumindest nicht hinreichend, warum es sich bei der vorliegenden Streitsache, abgesehen von der Höhe des Streitwerts, die nach der kantonalen Regelung von § 34 Abs. 3 GSVGer unbestrittenermassen für die Festlegung der Parteientschädigung nicht berücksichtigt wird, um eine bedeutende Streitsache handeln würde.
Im Weiteren zeigt die Beschwerdeführerin auch keine Willkür auf, indem sie vorbringt, die Vorinstanz habe die "Schwierigkeit des Prozesses" nicht berücksichtigt bzw. dass es sich vorliegend um eine rechtlich anspruchsvolle Angelegenheit handle. Vorerst ist - wie bereits für das Kriterium der "Bedeutung der Streitsache" - festzuhalten, dass die Vorinstanz ausdrücklich auf das Kriterium der "Schwierigkeit des Prozesses" für die Festsetzung der Parteientschädigung verwies und dies bei der Festsetzung der Parteientschädigung berücksichtigte. Die Rüge, die Vorinstanz habe das Bemessungskriterium der Schwierigkeit des Prozesses nicht berücksichtigt, geht damit fehl.
Sodann vermag die Beschwerdeführerin einzig mit dem Vorbringen, dass aufgrund der Ausführungen des Beschwerdegegners umfangreiche Rechtsschriften notwendig geworden seien und es sich daher um eine rechtlich anspruchsvolle Angelegenheit handle, nicht hinreichend darzulegen, dass es offensichtlich unhaltbar sein soll, wenn die Vorinstanz den angemessenen Aufwand im vorliegenden Verfahren auf 28 Stunden festlegte, zumal es schwergewichtig um die Frage der Passivlegitimation ging.
Dass die Beschwerdeführerin schliesslich eine Honorarrechnung präsentiert, welche aus ihrer Sicht korrekt wäre, legt nicht dar, inwiefern die zugesprochene Parteientschädigung schlechterdings nicht vertretbar sein sollte. Insbesondere entkräftet sie damit auch das Argument der Vorinstanz nicht hinreichend konkret, wonach der geltend gemachte Aufwand mit Blick auf den praxisgemäss bei vergleichbaren Fällen anerkannten Zeitaufwand deutlich überhöht sei.
4.
Nach dem Ausgeführten ist die Beschwerde abzuweisen, soweit auf sie eingetreten werden kann. Bei diesem Ausgang des Verfahrens wird die Beschwerdeführerin kosten- und entschädigungspflichtig (Art. 66 Abs. 1 und Art. 68 Abs. 1 BGG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 2'000.-- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
3.
Die Beschwerdeführerin hat den Beschwerdegegner für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 2'500.-- zu entschädigen.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich, I. Kammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 27. Juli 2016
Im Namen der I. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Kiss
Der Gerichtsschreiber: Brugger