Sachverhalt:
A.
Die Staatsanwaltschaft des Kantons Solothurn führt eine Strafuntersuchung gegen A._ und B._ (im Folgenden: die Beschuldigten). Sie wirft ihnen vor, ihren im Mai 2010 geborenen gemeinsamen Sohn am 26. Juli 2010 vorsätzlich getötet zu haben. Schon ab einem Zeitpunkt kurz nach der Geburt hätten sie dem Sohn zudem vorsätzlich verschiedene schwere und einfache Körperverletzungen zugefügt. Überdies hätten die Beschuldigten ihrer im Februar 2012 geborenen gemeinsamen Tochter, als diese ca. 7 Wochen alt gewesen sei, eine schwere Körperverletzung zugefügt. Die bei der Tochter festgestellten medizinischen Befunde seien typisch für ein Schütteltrauma. Am 27. April 2012 habe die Tochter neurochirurgisch operiert werden müssen.
B.
Am 6. Dezember 2013 ordnete die Staatsanwaltschaft zur Aufklärung des Todes des Sohnes den Einsatz von zwei verdeckten Ermittlern ("VE 1" und "VE 2") für die Dauer eines Jahres, d.h. bis zum 5. Dezember 2014, an. Gleichentags beantragte die Staatsanwaltschaft dem Haftgericht des Kantons Solothurn die Genehmigung des Einsatzes der verdeckten Ermittler. Am 11. Dezember 2013 genehmigte das Haftgericht deren Einsatz gemäss der Verfügung der Staatsanwaltschaft vom 6. Dezember 2013.
Am 5. März 2014 ordnete die Staatsanwaltschaft den Einsatz eines weiteren verdeckten Ermittlers ("VE 3") an; dies für die Dauer von vier Monaten, d.h. bis zum 4. Juli 2014. Das genehmigte das Haftgericht am 6. März 2014.
Am 30. Juli 2014 ordnete die Staatsanwaltschaft den erneuten Einsatz von VE 3 an; dies bis zum 5. Dezember 2014. Das genehmigte das Haftgericht am 4. August 2014.
Ebenfalls am 30. Juli 2014 ordnete die Staatsanwaltschaft den Einsatz von drei weiteren verdeckten Ermittlern ("VE 4-6") bis zum 5. Dezember 2014 an. Dies genehmigte das Haftgericht am 4. August 2014.
Am 21. November 2014 ordnete die Staatsanwaltschaft in zwei separaten Verfügungen die Verlängerung des Einsatzes von VE 1-3 bzw. VE 4-6 bis zum 5. Juni 2015 an. Das genehmigte das Haftgericht jeweils am 26. November 2014.
Der Einsatz der verdeckten Ermittler betraf den Tod des Sohnes. Am 1. April 2015 ordnete die Staatsanwaltschaft den Einsatz der verdeckten Ermittler VE 1-6 auch zur Aufklärung der schweren Körperverletzungen zum Nachteil der Tochter bis zum 5. Juni 2015 an. Dies genehmigte das Haftgericht am 4. April 2015.
Am 7. Mai 2015 erklärte die Staatsanwaltschaft den Einsatz der verdeckten Ermittler als beendet.
C.
Am 22. Mai 2015 brachte die Staatsanwaltschaft A._ den Einsatz der verdeckten Ermittler zur Kenntnis.
Am 8. Juni 2015 erhob A._ hiergegen Beschwerde.
Am 3. Februar 2016 hiess das Obergericht des Kantons Solothurn (Beschwerdekammer) die Beschwerde gut. Es hob die oben erwähnten Verfügungen des Haftgerichts sowie die dazu gehörenden Anordnungen der Staatsanwaltschaft auf und stellte fest, dass der Einsatz der verdeckten Ermittler unrechtmässig erfolgte. Es ordnete die Entfernung aus den Akten und Vernichtung der aus dem Einsatz der verdeckten Ermittler gewonnenen Ermittlungsergebnisse nach Abschluss des Beschwerdeverfahrens (inkl. einer allfälligen bundesgerichtlichen Beurteilung) an, namentlich aller Amtsberichte und weiterer im Zusammenhang mit den verdeckten Ermittlungen stehender Dokumente.
D.
Die Staatsanwaltschaft, vertreten durch den Oberstaatsanwalt, führt Beschwerde in Strafsachen mit dem Antrag, den Entscheid des Obergerichts aufzuheben und die Beschwerde von A._ vom 8. Juni 2015 abzuweisen. Eventualiter sei der Entscheid des Obergerichts aufzuheben und die Sache zu neuer Beurteilung an dieses zurückzuweisen.
E.
Das Obergericht beantragt unter Hinweis auf seinen Entscheid die Abweisung der Beschwerde, soweit darauf einzutreten sei.
A._ hat sich vernehmen lassen mit dem Antrag, die Beschwerde abzuweisen, soweit darauf einzutreten sei.
Die Staatsanwaltschaft hat eine Replik eingereicht, A._ eine Duplik.

Erwägungen:
1.
1.1. Gegen den angefochtenen Entscheid ist gemäss <ref-law> die Beschwerde in Strafsachen gegeben.
1.2. Ein kantonales Rechtsmittel steht nicht zur Verfügung. Die Beschwerde ist somit nach <ref-law> zulässig.
1.3. Die Beschwerdeführerin ist für die Strafverfolgung im gesamten Kanton zuständig. Gemäss § 72 des Gesetzes vom 13. März 1977 des Kantons Solothurn über die Gerichtsorganisation (BGS 125.12) ist der Oberstaatsanwalt für die gleichmässige Durchsetzung des staatlichen Strafanspruchs im Kanton verantwortlich (Abs. 1). Er leitet die Staatsanwaltschaft (Abs. 2). Er vertritt die Anklage nach Massgabe des Gesetzes vor dem Obergericht und vor den eidgenössischen Instanzen (Abs. 4). Die Beschwerdelegitimation nach Art. 81 Abs. 1 lit. a und b Ziff. 3 BGG ist daher gegeben (<ref-ruling> E. 1.5 S. 198 ff.).
1.4. Der vorinstanzliche Entscheid schliesst das Strafverfahren nicht ab. Er stellt einen Zwischenentscheid dar. Dieser ist gemäss <ref-law> anfechtbar, wenn er der Beschwerdeführerin einen nicht wieder gutzumachenden Nachteil bewirken kann.
Die Vorinstanz hat die Entfernung aus den Akten und Vernichtung sämtlicher aus dem Einsatz der verdeckten Ermittler gewonnenen Ermittlungsergebnisse angeordnet, namentlich aller Amtsberichte und weiterer im Zusammenhang mit den verdeckten Ermittlungen stehender Dokumente.
Die Beschuldigten verweigern die Aussage. Da sich die ihnen vorgeworfenen Taten in ihrer Wohnung abgespielt haben sollen, es keine Tatzeugen gibt und keine Spuren erhoben werden konnten, die es ermöglichten, die von den Kindern erlittenen Verletzungen einem der beiden Beschuldigten zuzuordnen, kommt den Ergebnissen der verdeckten Ermittlung für das weitere Verfahren erhebliches Gewicht zu. Dies gilt etwa für die Darlegungen im Amtsbericht Nr. 42. Danach habe der Beschuldigte seiner Mutter gesagt, sie habe in seiner Wohnung nichts zu suchen; er würde sie rauswerfen oder die Polizei rufen (gemeint: falls sie die Wohnung nicht freiwillig verlassen sollte). Darauf habe die Mutter entgegnet, dass - wenn schon - sie die Polizei rufen würde. Falls dies passieren sollte, erzähle sie alles und der Beschuldigte würde dann für längere Zeit im Gefängnis sitzen. Ohne die aus der verdeckten Ermittlung gewonnenen Erkenntnisse würde der Beschwerdeführerin die Weiterführung des Verfahrens zumindest stark erschwert. Der Beschwerdeführerin droht damit aufgrund des angefochtenen Entscheids ein nicht wieder gutzumachender Nachteil im Sinne von <ref-law> (<ref-ruling> E. 2.4 S. 287 f.; 289 E. 1.4 S. 292). Die Beschwerde ist auch insoweit zulässig.
1.5. Die weiteren Sachurteilsvoraussetzungen sind ebenfalls erfüllt und geben zu keinen Bemerkungen Anlass.
2.
2.1. <ref-law> umschreibt den Begriff der verdeckten Ermittlung. Danach liegt diese vor, wenn Angehörige der Polizei oder Personen, die vorübergehend für polizeiliche Aufgaben angestellt sind, unter Verwendung einer durch Urkunden abgesicherten falschen Identität (Legende) durch täuschendes Verhalten zu Personen Kontakte knüpfen mit dem Ziel, ein Vertrauensverhältnis aufzubauen und in ein kriminelles Umfeld einzudringen, um besonders schwere Straftaten aufzuklären.
Nach der bundesgerichtlichen Rechtsprechung wird mit dem Kriterium des Eindringens in ein kriminelles Umfeld auf das Haupteinsatzgebiet der verdeckten Ermittlung - die organisierte Kriminalität - verwiesen. Die verdeckte Ermittlung ist aber auch ausserhalb dieses Bereichs und bezogen auf einen Einzeltäter als Zielperson möglich und zulässig (zur amtlichen Publikation bestimmtes Urteil 6B_1293/2015 vom 28. September 2016 E. 4.4 mit Hinweisen).
<ref-law> regelt die Voraussetzungen der verdeckten Ermittlung. Gemäss Absatz 1 dieser Bestimmung kann die Staatsanwaltschaft eine verdeckte Ermittlung anordnen, wenn: a. der Verdacht besteht, eine in Absatz 2 genannte Straftat sei begangen worden; b. die Schwere der Straftat die verdeckte Ermittlung rechtfertigt; und c. die bisherigen Untersuchungshandlungen erfolglos geblieben sind oder die Ermittlungen sonst aussichtslos wären oder unverhältnismässig erschwert würden.
Nach <ref-law> kann die verdeckte Ermittlung unter anderem zur Verfolgung einer vorsätzlichen Tötung gemäss <ref-law> oder einer schweren Körperverletzung gemäss <ref-law> eingesetzt werden.
Die Vorinstanz bejaht die Voraussetzungen von <ref-law>. Sie kommt zum Schluss, der Einsatz der verdeckten Ermittler sei gleichwohl unzulässig gewesen, da damit das Schweigerecht der Beschuldigten, von welchem diese Gebrauch gemacht hätten, umgangen worden sei.
2.2. Gemäss <ref-law> muss sich die beschuldigte Person nicht selbst belasten. Sie hat namentlich das Recht, die Aussage und ihre Mitwirkung im Strafverfahren zu verweigern. Sie muss sich aber den gesetzlich vorgesehenen Zwangsmassnahmen unterziehen.
Nach <ref-law> sind Zwangsmassnahmen Verfahrenshandlungen der Strafbehörden, die in Grundrechte der Betroffenen eingreifen und die unter anderem dazu dienen, Beweise zu sichern (lit. a). Zu den Zwangsmassnahmen gehört die verdeckte Ermittlung gemäss <ref-law>. Dies ergibt sich auch aus der Gesetzessystematik, sind diese Bestimmungen doch im 5. Titel der Strafprozessordnung enthalten, der die Zwangsmassnahmen regelt.
Gemäss <ref-law> muss sich somit, auch wer die Aussage verweigert, einer verdeckten Ermittlung unterziehen (VIKTOR LIEBER, in: Donatsch und andere [Hrsg.], Kommentar zur Schweizerischen Strafprozessordnung, 2. Aufl. 2014, N. 51 zu <ref-law>).
2.3. Hat der Beschuldigte von seinem Aussageverweigerungsrecht Gebrauch gemacht, setzt dies dem verdeckten Ermittler bei seinem Einsatz allerdings Grenzen. Die verdeckte Ermittlung darf nicht zu einer Umgehung des Aussageverweigerungsrechts führen. Eine solche Umgehung liegt vor, wenn der verdeckte Ermittler unter Ausnützung des geschaffenen Vertrauensverhältnisses in einer vernehmungsähnlichen Weise dem Beschuldigten Fragen unterbreitet, die diesem bei der Einvernahme gestellt wurden oder hätten gestellt werden sollen, und ihn zur Aussage drängt. Eine Umgehung des Aussageverweigerungsrechts liegt dagegen nicht vor, wenn der verdeckte Ermittler lediglich Äusserungen des Beschuldigten zur Kenntnis nimmt, welche dieser von sich aus, ohne vom verdeckten Ermittler dazu gedrängt worden zu sein, gemacht hat. Der Beschuldigte ist nicht davor geschützt, dass Äusserungen, die er von sich aus macht, von Dritten wahrgenommen werden und deshalb Eingang in das Strafverfahren finden (THOMAS HANSJAKOB, in: Donatsch und andere [Hrsg.], Kommentar zur Schweizerischen Strafprozessordnung, 2. Aufl. 2014, N. 10 zu <ref-law>; NIKLAUS SCHMID, Handbuch des schweizerischen Strafprozessrechts, 2. Aufl. 2013, S. 525 Fn. 603).
In diesem Sinne hat auch der deutsche Bundesgerichtshof mit Urteil vom 26. Juli 2007 entschieden (BGHSt 52 11, insb. Ziff. 14 f., 26 f. und 34). Er befand, der verdeckte Ermittler habe bei seinem Einsatz zur Aufklärung einer Körperverletzung mit Todesfolge die dargelegten Grenzen überschritten. Daraus leitete der Bundesgerichtshof ein Verwertungsverbot der vom verdeckten Ermittler gewonnenen Erkenntnisse ab (Ziff. 36). Die Anordnung der verdeckten Ermittlung beurteilte der Bundesgerichtshof dagegen als zulässig, da die Voraussetzungen für den Einsatz des verdeckten Ermittlers gemäss § 110a Abs. 1 Satz 4 dStPO, der <ref-law> in der Sache im Wesentlichen entspricht, erfüllt waren und die erforderliche richterliche Zustimmung vorlag (Ziff. 13).
Die dargelegten Grenzen beim Einsatz des verdeckten Ermittlers ergeben sich auch aus der Rechtsprechung des Europäischen Gerichtshofes für Menschenrechte. Danach gehört das Schweigerecht des Beschuldigten zum Kern des fairen Verfahrens gemäss Art. 6 Ziff. 1 EMRK. Die Behörden haben den Entschluss des Beschuldigten, zu schweigen, zu respektieren. Sie dürfen keine List anwenden, um aus dem Beschuldigten, der während der Einvernahme die Aussage verweigert hat, ein Geständnis oder andere belastende Angaben herauszulocken, welche sie bei der Einvernahme nicht erhalten konnten. Ein Informant der Polizei darf den Beschuldigten deshalb nicht unter Umständen, die einer Einvernahme gleichkommen, zu Aussagen drängen. Der Informant darf dagegen spontane und nicht provozierte Erklärungen des Beschuldigten, die dieser aus freien Stücken gemacht hat ("déclarations spontanées et non provoquées que le requérant aurait formulées de son plein gré"), zur Kenntnis nehmen (Urteil Allan gegen Vereinigtes Königreich vom 5. November 2002, Recueil CourEDH 2002 IX 63 § 44 und 50-53).
2.4. Gegenstand des angefochtenen Entscheids und somit auch des bundesgerichtlichen Verfahrens ist die Frage, ob die Staatsanwaltschaft den Einsatz der verdeckten Ermittler anordnen und das Haftgericht dies jeweils genehmigen durfte. Wie die Vorinstanz selber zutreffend darlegt, waren die Voraussetzungen für die Anordnung der verdeckten Ermittlung gemäss <ref-law> erfüllt. Die Staatsanwaltschaft durfte die verdeckte Ermittlung deshalb anordnen und das Haftgericht diese genehmigen. Gemäss <ref-law> hatte sich die Beschwerdegegnerin der verdeckten Ermittlung zu unterziehen. Die Anordnung der verdeckten Ermittlung wäre höchstens unzulässig gewesen, wenn die Staatsanwaltschaft die verdeckten Ermittler zum vornherein angehalten hätte, das zulässige Mass der Einwirkung auf die Beschwerdegegnerin, wie oben dargelegt, zu überschreiten. Dafür enthalten die Akten jedoch keine Anhaltspunkte.
Eine andere Frage ist, ob die verdeckten Ermittler bei ihrem Einsatz die Grenze des Zulässigen überschritten haben, etwa durch Schaffung einer vernehmungsähnlichen Situation (bejahend der vom Anwalt der Beschwerdegegnerin mitverfasste Beitrag JOSET/BÜRGI, Die beste Freundin - ein Polizeispitzel, plädoyer 2/16, S. 26 ff., insb. S. 30; vgl. mit Hinweis hierauf auch MARK PIETH, Schweizerisches Strafprozessrecht, 3. Aufl. 2016, S. 177). Diese Frage ist hier nicht Gegenstand des Verfahrens. Überschreitet eine verdeckte Ermittlerin oder ein verdeckter Ermittler das Mass der zulässigen Einwirkung, so ist dies gemäss <ref-law> bei der Zumessung der Strafe für die beeinflusste Person gebührend zu berücksichtigen, oder es ist von einer Strafe abzusehen. Wie sich aus dieser Bestimmung ergibt, ist es - sofern es zu einer Anklage kommt - Aufgabe des Sachgerichts, darüber zu befinden, ob die verdeckten Ermittler das Mass des Zulässigen überschritten haben und welche Rechtsfolgen sich daraus ergeben (vgl. zur amtlichen Publikation bestimmtes Urteil 6B_1293/2015 vom 28. September 2016 E. 5; TANJA KNODEL, in: Basler Kommentar, Schweizerische Strafprozessordnung, 2. Aufl. 2014, N. 14 zu <ref-law>). Nach in der Literatur vertretener Auffassung stellt <ref-law> eine Spezialbestimmung dar, welche <ref-law>, der ein Beweisverwertungsverbot statuiert, vorgeht (HANSJAKOB, a.a.O., N. 17 zu <ref-law>; KNODEL, a.a.O., N. 13 zu <ref-law>). Wie es sich damit verhält, kann hier dahingestellt bleiben.
2.5. War die Anordnung des Einsatzes der verdeckten Ermittler nach dem Gesagten zulässig, verletzt das angefochtene Urteil Bundesrecht. Die Beschwerde in Strafsachen wird gutgeheissen und das angefochtene Urteil aufgehoben. Es wird die Rechtmässigkeit der Anordnung der verdeckten Ermittlung festgestellt. Ob die verdeckten Ermittler das Mass der zulässigen Einwirkung auf die Beschwerdegegnerin überschritten haben und welche Rechtsfolgen sich daraus ergeben, wird - sofern es zu einer Anklage kommt - das Sachgericht zu entscheiden haben.
3.
Die Beschwerdegegnerin ersucht um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung gemäss <ref-law>. Die Voraussetzungen dafür sind erfüllt. Der Beschwerdegegnerin werden keine Gerichtskosten auferlegt und ihrem Anwalt wird aus der Bundesgerichtskasse eine Entschädigung ausgerichtet.
Die Akten des kantonalen Beschwerdeverfahrens werden der Vorinstanz übermittelt zur Neuregelung der vorinstanzlichen Kosten- und Entschädigungsfolgen.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde in Strafsachen wird gutgeheissen und das Urteil des Obergerichts des Kantons Solothurn vom 3. Februar 2016 wird aufgehoben. Es wird die Rechtmässigkeit der Anordnung der verdeckten Ermittlung festgestellt.
2.
Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung wird gutgeheissen.
3.
Es werden keine Gerichtskosten erhoben.
4.
Dem Vertreter der Beschwerdegegnerin, Advokat Alain Joset, wird aus der Bundesgerichtskasse eine Entschädigung von Fr. 2'500.-- ausgerichtet.
5.
Die Akten des kantonalen Beschwerdeverfahrens werden der Vorinstanz übermittelt zur Neuregelung der vorinstanzlichen Kosten- und Entschädigungsfolgen.
6.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Solothurn, Beschwerdekammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 21. März 2017
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Merkli
Der Gerichtsschreiber: Härri