Sachverhalt:
A.
A._ und B._ hatten am 10. Dezember 1988 geheiratet. Sie sind die Eltern des volljährigen Sohnes C._ und der Tochter D._, die am 3. Januar 1998 geboren ist. Das Landgericht Athen schied die Ehe der Parteien mit Urteil vom 26. Mai 2003 im Säumnisverfahren. Unterhaltsbeiträge wurden keine festgesetzt.
B.
Auf Klage von B._ hin ergänzte das Bezirksgericht Willisau mit Urteil vom 13. Januar 2015 das Scheidungsurteil (Bst. A) dahingehend, dass A._ seiner Tochter ab 1. Januar 2015 monatliche Kinderalimente von Fr. 400.-- und ab 1. April 2015 solche von Fr. 1'000.-- schuldet.
C.
A._ legte Berufung beim Kantonsgericht Luzern ein. Er verlangte, die Kinderalimente auf Fr. 270.-- von April bis Dezember 2015 zu bestimmen. Das Kantonsgericht hiess die Berufung teilweise gut und setzte die Unterhaltsbeiträge auf Fr. 400.-- (ab 1. Januar 2015) und Fr. 730.-- (ab 1. April 2015) fest (Urteil vom 8. April 2015).
D.
Auf Beschwerde von A._ hin hob das Bundesgericht das Urteil vom 8. April 2015 (Bst. C) wegen einer Gehörsverletzung auf und wies die Sache an das Kantonsgericht zurück, weil es dem Vater das Recht abgeschnitten hatte, auf B._s Berufungsantwort vom 20. März 2015 zu replizieren (Urteil 5D_81/2015 vom 4. April 2016).
E.
Das neuerliche Verfahren vor dem Kantonsgericht endete gleich wie dasjenige im Jahre 2015 (Bst. C) : Die Alimente für D._ wurden auf Fr. 400.-- (ab 1. Januar 2015) und Fr. 730.-- (ab 1. April 2015) bestimmt (Urteil vom 25. Mai 2016).
F.
Mit subsidiärer Verfassungsbeschwerde vom 13. Juli 2016 wendet sich A._ (Beschwerdeführer) erneut an das Bundesgericht. Er verlangt, das vorinstanzliche Urteil aufzuheben und ihn zu verpflichten, B._ (Beschwerdegegnerin) ab 1. April 2015 bis 2. Januar 2016 für die gemeinsame Tochter D._ monatliche Unterhaltsbeiträge von Fr. 270.-- (zuzüglich allfälliger Kinderzulagen) zu bezahlen (Ziff. 1). Eventualiter beantragt er, die Sache zu neuer Entscheidung an das Kantonsgericht zurückzuweisen. Zudem ersucht der Beschwerdeführer für das bundesgerichtliche Verfahren um unentgeltliche Rechtspflege. Das Bundesgericht hat sich die kantonalen Akten überweisen lassen, jedoch keinen Schriftenwechsel angeordnet.

Erwägungen:
1.
Angefochten ist binnen Frist der Entscheid einer letzten kantonalen Instanz, die als Rechtsmittelbehörde über die Leistung von Kinderalimenten, also über eine Zivilsache vermögensrechtlicher Natur entschieden hat (Art. 72 Abs. 1, 75, 90, 100 Abs. 1 BGG). Der Streitwert liegt unter Fr. 30'000.-- und eine Rechtsfrage von grundsätzlicher Bedeutung stellt sich nicht (Art. 74 Abs. 1 Bst. b und Abs. 2 Bst. a BGG). Damit steht dem Beschwerdeführer nur die subsidiäre Verfassungsbeschwerde (<ref-law>) offen.
2.
Mit der Verfassungsbeschwerde kann nur die Verletzung von verfassungsmässigen Rechten gerügt werden (<ref-law>). Das Bundesgericht prüft solche Rügen nicht von Amtes wegen, sondern nur insofern, als sie in der Beschwerde vorgebracht und begründet worden sind (Art. 117 i.V.m. <ref-law>). Die rechtsuchende Partei muss präzise angeben, welches verfassungsmässige Recht durch den angefochtenen kantonalen Entscheid verletzt wurde, und im Einzelnen substantiiert darlegen, worin die Verletzung besteht (Rügeprinzip; <ref-ruling> E. 3.2 S. 444). Wer sich auf eine Verletzung des Willkürverbots (<ref-law>) berufen will, kann sich demnach nicht darauf beschränken, den vorinstanzlichen Entscheid als willkürlich zu bezeichnen. Er muss anhand der angefochtenen Subsumtion im Einzelnen dartun, inwiefern das kantonale Gericht willkürlich entschieden haben soll und der Entscheid an einem qualifizierten und offensichtlichen Mangel leidet (<ref-ruling> E. 2.2 S. 246; <ref-ruling> E. 4b S. 11 f.). Willkür liegt zudem nur vor, wenn nicht bloss die Begründung eines Entscheids, sondern auch das Ergebnis unhaltbar ist (<ref-ruling> E. 5.4 S. 148; <ref-ruling> E. 3.1 S. 153; <ref-ruling> E. 2.1 S. 211; je mit Hinweisen). In tatsächlicher Hinsicht legt das Bundesgericht seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (<ref-law>). Auch diesbezüglich kann das Bundesgericht nur dann korrigierend eingreifen, wenn der Beschwerdeführer eine Verletzung verfassungsmässiger Rechte dartut (<ref-law>).
3.
3.1. Im Streit um den Kinderunterhalt hält das Kantonsgericht zunächst fest, dass das Gesetz keine bestimmte Methode zur Unterhaltsbemessung vorschreibe. Der Richter geniesse im Rahmen seines grossen Ermessens bei der Unterhaltsfestsetzung weitreichende Freiheiten in der Gewichtung der relevanten Kriterien; immerhin müsse er sich gegebenenfalls zur angewandten Methode äussern und diese begründen. Auch die in der Praxis verbreitete "Prozentregel", wonach der Unterhalt für ein Kind 15-17 %, für zwei Kinder 25-27 % und für drei Kinder 33-35 % des elterlichen Einkommens ausmache, bedürfe immer "konkreter Unterlegung aufgrund der Umstände des Einzelfalls". Dem Bezirksgericht hält die Vorinstanz vor, das Abweichen von der erwähnten Prozentregel mit der bisherigen Nachlässigkeit des Beschwerdeführers seinen Kindern gegenüber zu begründen. Dies gehe nicht an, da die Unterhaltspflicht nicht nach Verschuldenskriterien festgesetzt werden dürfe. Entgegen der Meinung des Beschwerdeführers habe das Bezirksgericht den Unterhalt jedoch nicht anhand von D._s konkreten Bedarf festgesetzt. Deshalb treffe es auch nicht zu, dass es - das Kantonsgericht - an die Methode der konkreten Unterhaltsbemessung gebunden sei. Mit diesen Erwägungen erklärt das Kantonsgericht, es sei frei, die für die Unterhaltsfestsetzung angemessene Methode selbst zu bestimmen. Bei den finanziellen Verhältnissen des Beschwerdeführers erscheine "das Abstützen auf die Prozentregel angemessen". Entsprechend seien die finanziellen Verhältnisse der Beschwerdegegnerin und der Tochter D._ nicht im Einzelnen abzuklären und orientiere sich der Unterhaltsbeitrag primär an der Leistungsfähigkeit des Beschwerdeführers.
3.2. Im konkreten Fall ermittelt die Vorinstanz in einem ersten Schritt, auf welchen Betrag sich die Kinderalimente in Anwendung der Prozentregel belaufen. Nachdem der Beschwerdeführer keinen nachehelichen Unterhalt zu bezahlen habe und auch für seinen volljährigen, in Ausbildung stehenden Sohn keine Leistungen erbringe, rechtfertige sich der Prozentsatz von 17 %. Bei einer monatlichen Arbeitslosenentschädigung während der Wintermonate von monatlich Fr. 3'440.-- resultiere ein Unterhaltsbeitrag von gerundet Fr. 580.-- für die Monate Januar bis März 2015; ab April 2015 ergebe sich bei einem monatlichen Erwerbseinkommen von Fr. 4'300.-- ein Unterhaltsbeitrag von Fr. 730.--. In einem zweiten Schritt prüft das Kantonsgericht, ob der Beschwerdeführer mit diesen Unterhaltsbeiträgen sein persönliches monatliches Existenzminimum wahren kann. Die Mobilitätskosten berücksichtigt es nur für die Zeit der aktiven Erwerbstätigkeit, nicht aber - mangels Substantiierung - für die Phase der Arbeitslosigkeit. Unter dem Titel der auswärtigen Verpflegung setzt es in der Existenzminimumberechnung ermessensweise den Betrag von Fr. 200.-- ein. Unbestritten seien sodann die Krankenkassenprämien von Fr. 290.80 (nach Abzug der Prämienverbilligung). Im Ergebnis beläuft sich das betreibungsrechtliche Existenzminimum dem angefochtenen Entscheid zufolge auf Fr. 3'025.30 (Januar bis März 2015) bzw. Fr. 3'175.30 (ab April 2015). Die Forderung des Beschwerdeführers, den erweiterten familienrechtlichen Bedarf zu berücksichtigen, verwirft die Vorinstanz mit der doppelten Begründung, dass die Unterhaltspflicht gegenüber D._ bloss bis Januar 2016 (Volljährigkeit von D._) festgesetzt werde und danach der Unterhalt der zweiten Frau des Beschwerdeführers vor demjenigen eines volljährigen Kindes vorrangig sei. Zweitens verzeichne die Beschwerdegegnerin "keineswegs einen Überschuss von Fr. 2'831.45". Vielmehr weise sie zusammen mit der Tochter einen Notbedarf von knapp Fr. 5'600.-- aus, wobei auch bei ihr nicht der erweiterte familienrechtliche Notbedarf berücksichtigt werde. Hinzu komme, dass die Beschwerdegegnerin auch noch für die Kosten des in Ausbildung stehenden volljährigen Sohnes C._ aufzukommen habe. Unter Berücksichtigung der erwähnten Einkünfte und Existenzminima kommt das Kantonsgericht zum Schluss, dass der Beschwerdeführer an den Unterhalt der Tochter in der ersten Phase (Januar bis März 2015) lediglich Fr. 400.-- (und nicht Fr. 580.--), ab April 2015 jedoch die vollen 17 %, das heisst Fr. 730.-- zu bezahlen habe.
3.3. In einer weiteren Erwägung legt das Kantonsgericht dar, dass der Unterhaltsbeitrag auch dann nicht tiefer ausfallen würde, wenn er nach D._s konkretem Bedarf und unter Berücksichtigung der finanziellen Verhältnisse der Beschwerdegegnerin festgesetzt würde. Neben dem Grundbetrag von Fr. 600.-- und dem Wohnkostenanteil in gleicher Höhe setzt die Vorinstanz in der Bedarfsrechnung des Kindes für die Krankenkassenprämie Fr. 68.25, für die Kosten eines SBB-Generalabonnements Fr. 95.-- sowie für Schulgelder und -kosten Fr. 100.-- ein. Weil D._ erst im Juni 2013 aus Griechenland in die Schweiz eingereist war, berücksichtigt das Kantonsgericht für Sprachunterricht ermessensweise den monatlichen Betrag von Fr. 560.--. Die daraus resultierende Summe von Fr. 2'023.-- entspricht laut Kantonsgericht ungefähr dem durchschnittlichen Unterhaltsbedarf für ein Einzelkind von 13-18 Jahren gemäss den Zürcher Tabellen. Was die finanziellen Verhältnisse der Beschwerdegegnerin angeht, stellt die Vorinstanz dem unbestrittenen Monatseinkommen von Fr. 6'321.-- einen Existenzbedarf von Fr. 3'554.-- gegenüber. Da lediglich zu prüfen sei, ob der nach der Prozentregel festgesetzte Unterhaltsbeitrag von Fr. 730.-- in etwa D._s Bedarf und den finanziellen Kräfteverhältnissen der Eltern entspreche, geht die Vorinstanz nicht näher auf alle Positionen ein. Einzig bezüglich der Wohnkosten erklärt sie den ausgewiesenen Betrag von Fr. 1'930.-- abzüglich D._s Wohnkostenanteil von Fr. 600.-- für massgeblich. Angesichts des Einkommens der Beschwerdegegnerin hält es das Kantonsgericht überdies für gerechtfertigt, die Mietkosten für einen Besucherparkplatz von Fr. 40.-- sowie bei den Krankenkassenprämien den Betrag für die Zusatzversicherung zu berücksichtigen. Im Ergebnis komme die Beschwerdegegnerin auf einen monatlichen Überschuss von Fr. 2'767.--, während sich derjenige des Beschwerdeführers auf Fr. 925.-- belaufe.
3.4. Zum Schluss rechnet das Kantonsgericht vor, dass der Beschwerdeführer sich an D._s Unterhalt von Fr. 1'788.-- (Fr. 2'023.-- abzüglich Ausbildungszulage von Fr. 235.--) im Umfang von Fr. 730.-- beteilige, was einer Quote von 34 % entspreche. Der finanzielle Anteil der Beschwerdegegnerin belaufe sich also auf Fr. 1'058.--. Zusätzlich leiste die Mutter Unterhalt in Gestalt von Pflege und Erziehung, was gemäss den Zürcher Tabellen für das Jahr 2015 bei einem Einzelkind im Alter von 13 bis 18 Jahren mit durchschnittlich Fr. 330.-- zu veranschlagen sei. Die (monetarisierten) Unterhaltsleistungen der Beschwerdegegnerin betrügen mithin rund Fr. 1'390.--, was einer Quote von 66 % entspreche. Auch wenn der Überschuss des Beschwerdeführers von Fr. 925.-- lediglich ein Viertel des Gesamtüberschusses der Parteien (Fr. 2'767.-- + Fr. 925.--) ausmache, entspreche dies den finanziellen Kräfteverhältnissen der Parteien. Dass der Unterhaltsbeitrag des Beschwerdeführers prozentmässig leicht höher sei als sein prozentualer Anteil am gemeinsamen Überschuss (34 % zu 25 %), lasse sich dadurch rechtfertigen, dass die Beschwerdegegnerin in der hier massgebenden Zeitspanne die Obhut über D._ innehabe und zudem unbestrittenermassen den gesamten Unterhalt des volljährigen, noch in Ausbildung stehenden Sohnes C._ trage.
4.
Der Beschwerdeführer wirft dem Kantonsgericht "offensichtlich aktenwidrige Feststellung" vor und rügt Willkür.
4.1. In methodischer Hinsicht beanstandet der Beschwerdeführer, dass sich das Kantonsgericht in seinem Urteil vom 8. April 2015 (s. Sachverhalt Bst. C) nicht dazu veranlasst sehe, von der erstinstanzlich angewendeten Prozentregel abzuweichen, während es in seiner Vernehmlassung vom 14. September 2015 zur ersten Beschwerde an das Bundesgericht (s. Sachverhalt Bst. D) von der durch das Bezirksgericht gewählten konkreten Berechnung explizit abgewichen sein will, um dann im jetzt angefochtenen Urteil vom 25. Mai 2016 letztlich frei zu sein, die angemessene Methode selbst zu bestimmen. Diese Argumentation sei "widersprüchlich, offensichtlich ergebnisorientiert und schlicht unhaltbar und damit willkürlich".
Der Beschwerdeführer übersieht, dass nur der angefochtene Entscheid selbst - hier das Urteil des Kantonsgerichts vom 25. Mai 2016 - Gegenstand der Beschwerde an das Bundesgericht ist. Ob dieser Entscheid auch im Ergebnis verfassungsmässige Rechte des Beschwerdeführers verletzt, beurteilt sich demnach in erster Linie nach dem vorinstanzlichen Richterspruch, nicht aber nach allfälligen Diskrepanzen im Verhältnis zum kantonsgerichtlichen Entscheid vom 8. April 2015, den das Bundesgericht mit Urteil vom 4. April 2016 aufgehoben und damit aus der Welt geschafft hat (s. Sachverhalt Bst. D), oder zu Eingaben im ersten bundesgerichtlichen Verfahren, mit denen das Kantonsgericht zum Ausgang jenes Verfahrens Stellung nahm. Der Beschwerdeführer beklagt sich zwar wiederholt darüber, dass die Begründung des Kantonsgericht "offensichtlich ergebnisorientiert" sei. Welches unzulässige Ergebnis das Kantonsgericht angestrebt und im angefochtenen Entscheid auch verwirklicht haben soll, will er aber nicht erklären.
4.2. Weiter bestreitet der Beschwerdeführer, dass das Kantonsgericht mit Blick auf die Unterhaltsberechnung "frei in der Wahl der anzuwendenden Methode" gewesen sei. Seiner Meinung nach stand die Festlegung der Methode im freien Ermessen der ersten Instanz. Dem Kantonsgericht wirft er vor, sich über dieses Ermessen hinwegzusetzen, "um sich so nicht mit den Rügen des Berufungsklägers auseinandersetzen zu müssen". Dies gehe nicht an und widerspreche dem Grundgedanken der schweizerischen Rechtsordnung, und zwar selbst dann, wenn der Streitgegenstand der Offizialmaxime unterliegt. Dies ergebe sich "direkt" aus der "Ohne-Not-Praxis", gemäss welcher auch eine Rechtsmittelbehörde, der die volle Kognition zusteht, in Ermessensfragen einen gewissen Entscheidungsspielraum der Vorinstanz zu respektieren habe. Dies müsse hier umso mehr gelten, als er, der Beschwerdeführer, die Wahl der Methode nicht angefochten habe. Die Erörterungen des Beschwerdeführers münden im Vorwurf, dass die Vorinstanz sich mit seinen Rügen nicht auseinandersetze und stattdessen auf die Prozentregel abstelle. Damit verletze sie das rechtliche Gehör und das Verbot der Willkür.
Was die Rüge der Verletzung des rechtlichen Gehörs angeht, übergeht der Beschwerdeführer, dass die Vorinstanz den Unterhalt auch anhand von D._s konkretem Bedarf und den finanziellen Verhältnissen beider Eltern berechnet (E. 3.2-3.4). Warum der angefochtene Entscheid trotz diesen Erwägungen den verfassungsmässigen Anforderungen an die Begründungspflicht nicht genügen soll, lässt sich der Beschwerde nicht entnehmen. Im Übrigen irrt sich der Beschwerdeführer, wenn er aus dem verfassungsmässigen Gehörsanspruch einen Rechtsanspruch darauf ableitet, dass sich der Richter zu allen aufgeworfenen Punkten einlässlich äussert und jedes einzelne Vorbringen gegebenenfalls widerlegt (zum Ganzen: <ref-ruling> E. 4.1 S. 88; <ref-ruling> E. 3.3 S. 445). Zu begründen ist das Ergebnis des Entscheids, das im Urteilsspruch zum Ausdruck kommt und das allein die Rechtsstellung der betroffenen Partei berührt (Urteil 5A_382/2013 vom 12. September 2013 E. 3.1). Zum Scheitern verurteilt ist auch der Vorwurf, das Kantonsgericht greife auf verfassungswidrige Art und Weise in das Ermessen des Bezirksgerichts ein. Ausgehend von <ref-law> kommt der Berufungsinstanz eine uneingeschränkte Prüfungsbefugnis in rechtlicher und tatsächlicher Hinsicht zu (<ref-ruling> E. 4.3.1 S. 375). Der Berufungsrichter kann mit anderen Worten den gesamten Prozessstoff des erstinstanzlichen Verfahrens (Rechtsanwendung und Sachverhalt) in freier Kognition überprüfen (Botschaft zur Schweizerischen Zivilprozessordnung [ZPO] vom 28. Juni 2006, BBl 2006 7372). Der Beschwerdeführer tut nicht dar, welche Rechtsgrundlage die Vorinstanz dazu verpflichtete, hinsichtlich der Methode der Unterhaltsberechnung "einen gewissen Entscheidungsspielraum" der ersten Instanz zu respektieren, und inwiefern sie sich über eine solche Vorschrift in Verletzung eines seiner verfassungsmässigen Rechte hinweggesetzt hätte. Allein mit dem pauschalen Hinweis auf eine angebliche "Ohne-Not-Praxis" vermag er nichts auszurichten.
4.3. Als Nächstes protestiert der Beschwerdeführer dagegen, dass das Kantonsgericht einerseits ausführe, die Festsetzung der Unterhaltspflicht dürfe nicht nach Verschuldenskriterien erfolgen, anderseits aber "genau dies" selbst tue: Es weise darauf hin, dass er keinen nachehelichen Unterhaltsbeitrag zu bezahlen habe und auch für seinen volljährigen, in Ausbildung stehenden Sohn C._ keine Leistungen erbringe, und folgere daraus, dass sich bei der Handhabe der Prozentregel der Ansatz von 17 % des Nettoeinkommens rechtfertige. Das sei Willkür. Die Rüge geht fehl. Die vorinstanzliche Erwägung, dass der Beschwerdeführer seinem Sohn und der Beschwerdegegnerin persönlich keinen Unterhalt bezahle (E. 3.2), ist eine Feststellung darüber, welche finanziellen Lasten der Beschwerdeführer zu tragen hat. Dass das Kantonsgericht dem Beschwerdeführer konkret ankreidet, seine Unterhaltspflicht in vorwerfbarer Weise zu verletzen oder zu vernachlässigen, und dass es die Anwendung des besagten Prozentsatzes mit einem so verstandenen Verschulden rechtfertigt, lässt sich dem angefochtenen Entscheid nicht entnehmen. Im Übrigen genügt es unter dem Blickwinkel des Rügeprinzips (E. 2) nicht, wenn der Beschwerdeführer dem angefochtenen Entscheid einfach seine eigene Sichtweise gegenüberstellt und behauptet, dass die Vorinstanz gemäss ihrer eigenen Praxis bei der Anwendung der Prozentregel für ein Kind im Sinne einer Faustregel von einem Prozentsatz von 10-15 % ausgehe, oder wenn er sich über seine äusserst angespannte finanzielle Situation und das ungleiche Kräfteverhältnis zwischen ihm und der Beschwerdegegnerin beklagt.
4.4. Willkürlich ist in den Augen des Beschwerdeführers auch die vorinstanzliche Aufstellung von D._s Bedarf (s. E. 3.3). So wirft der Beschwerdeführer der Vorinstanz vor, die Kosten für ein SBB-Generalabonnement damit zu rechtfertigen, dass er sich an C._s Ausbildungskosten nicht beteilige. Auf diese Weise bringe die Vorinstanz wiederum Verschuldenselemente ins Spiel. Inwiefern die Vorinstanz ihm konkret vorwirft, die Unterhaltspflicht gegenüber seinem Sohn vorsätzlich oder fahrlässig zu vernachlässigen, zeigt er aber nicht auf. Diesbezüglich kann auf die vorigen Ausführungen verwiesen werden (s. E. 4.3). Weiter argumentiert der Beschwerdeführer, nur für den Besuch des Sprachunterrichts seien in D._s Bedarf keine Kosten für den öffentlichen Verkehr einzusetzen, denn die Ausgaben für den Sprachunterricht seien in der Existenzminimumberechnung ohnehin nicht zu berücksichtigen. Er erachtete es als unzulässig, ihn auf das strikte Existenzminimum zu reduzieren und seiner Tochter einen nicht existenziellen privaten Sprachunterricht zu finanzieren. Die Gründe, die er gegen die Anrechnung dieser Ausgaben ins Feld führt, erschöpfen sich jedoch in blossen Gegenbehauptungen, die den angefochtenen Entscheid nicht ins Wanken zu bringen vermögen: Dass laufende und aufgelaufene Steuern bei knappen Verhältnissen grundsätzlich nicht als Zuschlag zum Grundbetrag in seinem Existenzminimum beansprucht werden können, entspricht der gefestigten Rechtsprechung (<ref-ruling> E. 4.4 S. 340). Unbehelflich ist auch die pauschale Kritik des Beschwerdeführers, wonach ihm die Schulden nicht zugestanden würden, die er "nachweislich" für seinen und den Lebensunterhalt seiner zweiten Frau benötigt. Welche konkreten Versäumnisse er den kantonalen Instanzen in diesem Zusammenhang vorwirft, bleibt unklar. Soweit er schliesslich protestiert, dass seine Tochter angesichts ihrer guten schulischen Leistungen und dem bevorstehenden Übertritt ins Gymnasium gar nicht auf Sprachunterricht angewiesen sei, erschöpfen sich seine Vorbringen in appellatorischer Kritik. Allein damit lässt sich die vorinstanzliche Feststellung, wonach das Kind in Deutsch und Französisch zusätzlichen Unterricht benötige, nicht als willkürlich ausweisen.
4.5. An der Existenzminimumberechnung der Beschwerdegegnerin bemängelt der Beschwerdeführer die Kosten für einen Aussenparkplatz von Fr. 40.--. Diese Position könne - zusätzlich zum Garagenparkplatz - in der Existenzminimumberechnung keinen Platz haben, wenn ihm, dem Beschwerdeführer, "lediglich das nackte Existenzminimum" zugestanden werde. Warum das Kantonsgericht angesichts der günstigeren Verhältnisse bei der Beschwerdegegnerin in Willkür verfallen soll, wenn es den Grundbedarf der Beschwerdegegnerin nicht nach dem gleich strengen Massstab bemisst wie den seinen, vermag der Beschwerdeführer nicht zu erklären. Bloss zu behaupten, die vorinstanzliche Feststellung sei willkürlich, genügt nicht (E. 2).
4.6. Schliesslich beanstandet der Beschwerdeführer die vorinstanzliche Beurteilung des finanziellen Kräfteverhältnisses zwischen den Parteien (E. 3.4). Zum einen reklamiert er, das Kantonsgericht lasse unberücksichtigt, dass er in der ersten Phase (Januar bis März 2015) lediglich über 13 % des Gesamtüberschusses verfüge. Der Beschwerdeführer übersieht, dass er den Unterhaltsbeitrag von Fr. 580.--, den das Kantonsgericht gestützt auf die Prozentregel für diese erste Phase errechnet, mit seinen Einkünften aus der Arbeitslosenversicherung ohnehin nicht vollumfänglich leisten kann, da D._s Unterhaltsanspruch in der Zeit von Januar bis März 2015 das väterliche Existenzminimum entgegensteht (E. 3.2). Der für die erste Phase festgesetzte Unterhaltsbeitrag von Fr. 400.-- unterschreitet den Überschuss von Fr. 414.70, den der Beschwerdeführer in seinem Schriftsatz selbst erwähnt. Warum es sich bei dieser Ausgangslage in geradezu zwingender Weise aufdrängt, die Kinderalimente für die erste Phase zusätzlich zu reduzieren, lässt sich der Beschwerde nicht entnehmen. Weiter erinnert der Beschwerdeführer daran, das D._ eines von zwei Kindern ist. Deshalb sei für ihre Pflege und Erziehung nicht der Betrag für ein Einzelkind von Fr. 330.-- einzusetzen, sondern Fr. 265.--. Dass die Zürcher Tabellen, denen die Vorinstanz den erwähnten Betrag entnimmt (E. 3.4), auch für volljährige Kinder einen Betrag für Pflege und Erziehung vorsehen, behauptet der Beschwerdeführer indes nicht. Auch sonst liefert er keine Erklärung für die geforderte Reduktion dieses Betreffnisses. Schliesslich beanstandet er, dass das Kantonsgericht den prozentmässig höher festgesetzten Kindesunterhalt nicht nur damit rechtfertige, dass die Beschwerdegegnerin den gesamten Unterhalt für C._ trage (s. E. 4.3), sondern auch damit, dass die Beschwerdegegnerin die Obhut über D._ innehabe. Dabei sei bei der Berechnung von D._s Bedarf ein Geldäquivalent von durchschnittlich Fr. 330.-- für die Betreuung veranschlagt, dieses Kriterium also rechnerisch bereits berücksichtigt worden. Auch damit gelingt es dem Beschwerdeführer nicht, den angefochtenen Entscheid auch im Ergebnis als willkürlich auszuweisen: Erstens ist daran zu erinnern, dass die Obhut über D._ nur einer von zwei Gründen ist, mit denen die Vorinstanz in ihrer Kontrollrechnung die Diskrepanz zwischen dem nach der Prozentregel ermittelten Unterhaltsbeitrag und dem Anteil des Beschwerdeführers am gemeinsamen Überschuss erklärt. Warum dieser Grund für sich allein genommen den angefochtenen Entscheid als willkürlich erscheinen lässt, tut der Beschwerdeführer nicht in einer Weise dar, die dem Rügeprinzip (E. 2) genügt. Zweitens ist zu berücksichtigen, dass es in der ersten Phase im Ergebnis die Beschwerdegegnerin ist, die mit ihrem Überschuss für den Fehlbetrag aufkommen muss, der in D._s Unterhaltsberechnung daraus resultiert, dass dem Beschwerdeführer sein Existenzminimum zu belassen ist. Auch unter diesem Gesichtspunkt hält der angefochtene Entscheid im Ergebnis vor Bundesrecht stand.
5.
Nach alledem erweist sich die Beschwerde als unbegründet. Sie ist abzuweisen. Bei diesem Ausgang des Verfahrens unterliegt der Beschwerdeführer. Er hat deshalb für die Gerichtskosten aufzukommen (<ref-law>). Der Beschwerdegegnerin ist kein entschädigungspflichtiger Aufwand entstanden. Das Gesuch des Beschwerdeführers um unentgeltliche Rechtspflege für das bundesgerichtliche Verfahren ist abzuweisen. Wie die vorigen Erwägungen zeigen, müssen die vor Bundesgericht gestellten Rechtsbegehren als von Anfang an aussichtslos gelten. Damit fehlt es an einer gesetzlichen Voraussetzung für die unentgeltliche Rechtspflege (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen.
2.
Das Gesuch des Beschwerdeführers um unentgeltliche Rechtspflege für das bundesgerichtliche Verfahren wird abgewiesen.
3.
Die Gerichtskosten von Fr. 2'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Kantonsgericht Luzern, 2. Abteilung, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 26. September 2016
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: von Werdt
Der Gerichtsschreiber: Monn