Sachverhalt:
A.
A.A._ (geb. 1966; Beschwerdeführer) und B.A._ (geb. 1982; Beschwerdegegnerin) heirateten 2013. Sie sind Eltern der Zwillinge C.A._ und D.A._ (geb. 2013). Aus einer früheren Beziehung ist der Beschwerdeführer zudem Vater von zwei Kindern im Alter von neun und zehn Jahren. Die Parteien trennten sich im März 2015. Seither leben die Kinder bei der Beschwerdegegnerin.
B.
Mit Eingabe vom 7. August 2015 beantragte die Beschwerdegegnerin beim Bezirksgericht Aarau Eheschutzmassnahmen. Mit Eheschutzentscheid vom 29. Februar 2016 wurden die Kinder für die Dauer der Trennung unter ihre Obhut gestellt. Der Beschwerdeführer wurde berechtigt, die Kinder jeden ersten und dritten Samstag von 9.00 bis 18.00 Uhr zu sich auf Besuch zu nehmen. Er wurde verpflichtet, ab 1. April 2015 monatliche Unterhaltsbeiträge für die Kinder von je Fr. 1'000.-- zuzüglich allfällig bezogener Kinderzulagen und für die Beschwerdegegnerin von Fr. 2'140.-- zu bezahle n. Weiter wurde, soweit nachfolgend relevant, die Anrechnung bisher bezahlter Unterhaltsbeiträge geregelt.
C.
C.a. Beide Parteien wandten sich mittels Berufung an das Obergericht des Kantons Aargau.
C.b. Der Beschwerdeführer beantragte mit Berufung vom 11. April 2016, die Kinder seien unter seine Obhut zu stellen, der Beschwerdegegnerin sei ein vierzehntägliches Besuchsrecht von Freitagabend bis Sonntagabend sowie ein Ferienrecht von drei Wochen einzuräumen; sie sei zur Bezahlung eines Kinderunterhaltsbeitrags von je Fr. 700.-- zu verpflichten. Eventualiter seien die Kinder unter die alternierende Obhut beider Parteien zu stellen (drei Tage unter der Woche beim Beschwerdeführer, zwei Tage bei der Beschwerdegegnerin, Wochenenden alternierend und je vier Wochen Ferien). Diesfalls sei gegenseitig kein Kinderunterhalt geschuldet. Weiter wehrte er sich gegen die Unterhaltspflicht gegenüber der Beschwerdegegnerin; bereits von ihm geleistete Unterhaltszahlungen seien zurückzuerstatten.
C.c. Die Beschwerdegegnerin verlangte ihrerseits mit Berufung vom 14. April 2016 eine Expertise über die Einkommens- und Vermögensverhältnisse des Beschwerdeführers und seine direkten und indirekten Beteiligungsverhältnisse an sämtlichen seiner Unternehmungen. Nach deren Vorliegen sei ihr Frist zu setzen zur Bezifferung der Anträge zum Kinder- und ihrem eigenen Unterhalt. Eventualiter sei der Beschwerdeführer zu monatlichen Unterhaltsbeiträgen für die Kinder von je Fr. 2'500.-- und für sie selbst von Fr. 5'220.-- zu verpflichten. Weiter verlangte sie, der Beschwerdeführer habe ihr einen Prozesskostenvorschuss zu bezahlen.
C.d. Das Obergericht des Kantons Aargau hiess die Berufung der Beschwerdegegnerin mit Urteil vom 29. Juni 2016 teilweise gut und erhöhte ihre persönlichen Unterhaltsbeiträge rückwirkend ab 1. April 2015 auf Fr. 5'220.--. Im Übrigen wies es beide Berufungen ab. Die Gerichtskosten auferlegte es zu drei Vierteln dem Beschwerdeführer, zu einem Viertel der Beschwerdegegnerin und es verpflichtete den Beschwerdeführer, der Beschwerdegegnerin die Hälfte ihrer Parteikosten zu ersetzen.
D.
D.a. Gegen dieses Urteil gelangt der Beschwerdeführer mit Eingabe vom 31. August 2016 an das Bundesgericht. Er verlangt die Feststellung, dass sich die Parteien gegenseitig keinen Unterhalt schulden. In Bezug auf die Kinder beantragt er, diese seien für die Dauer der Trennung unter seine, eventualiter unter die alternierende Obhut der Parteien zu stellen. Subeventualiter sei zumindest sein Besuchsrecht auszudehnen auf ein Wochenende alle zwei Wochen und vier Wochen Ferien. Weiter stellt er Anträge zum Besuchsrecht der Kindsmutter und deren Unterhaltspflicht für den Fall, dass die Obhut entsprechend seiner Anträge geändert werden sollte. Für den Fall, dass die Obhut bei der Beschwerdegegnerin verbleibt, sei der Kinderunterhaltsbeitrag auf Fr. 1'000.-- festzulegen. Schliesslich sei die Beschwerdegegnerin zu verpflichten, ihm über das gerichtliche Mass hinaus geleistete Unterhaltsbeiträge zurückzuerstatten und ihr seien die Kosten- und Entschädigungsfolgen aufzuerlegen.
D.b. Im Nachgang zur Beschwerde vom 31. August 2016 liess der Beschwerdeführer dem Bundesgericht am 5. September 2016 noch innert der Beschwerdefri st eine Anzeige im E._ vom xx.xx.2016 und einen Auszug aus dem Handelsregister zukommen. Zudem verwies der Beschwerdeführer auf eine Internetseite (F._ vom xx.xx.2015).
D.c. Mit Datum vom 26. Oktober 2016 und 1. November 2016 übermittelte das Bezirksgericht Aarau dem Bundesgericht Eingaben des Beschwerdeführers und seiner Rechtsvertreterin an die Kindes- und Erwachsenenschutzbehörde Aarau vom 19. September 2015 und vom 26. Oktober 2015 (samt Beilagen; insb. Ausführungen zum Besuchsrecht, Fotos).
E.
E.a. Das Bundesgericht hat die Beschwerdegegnerin zur Vernehmlassung eingeladen. Diese stellt in ihrer Vernehmlassung vom 3. März 2017 den Verfahrensantrag, die Akten der Verfahren KEMN.2016.xxx und KEMN.2016.yyy der Kindes- und Erwachsenenschutzbehörde des Kantons Aargau, Familiengericht Aarau, zum vorliegenden Verfahren beizuziehen und im Übrigen die Beschwerde unter Kosten- und Entschädigungsfolgen abzuweisen, soweit darauf eingetreten werden kann. Bereits am 8. September 2016 hatte das Obergericht erklärt, auf eine Vernehmlassung zu verzichten.
E.b. Mit Einschreiben vom 13. März 2017 nahm der Beschwerdeführer persönlich zur Vernehmlassung Stellung. Am 16. März 2017 folgte eine Eingabe von dessen Rechtsanwältin mit einer Kopie der neusten Eingabe an die KESB vom 15. März 2017 samt einer Dokumentierung zum Besuchsrecht inkl. Korrespondenz zwischen den Eltern und mit der inzwischen eingesetzten Beiständin.
E.c. Zur Wahrung des rechtlichen Gehörs brachte das Bundesgericht die Eingaben des Beschwerdeführers vom 13. März 2017 und 16. März 2017der Beschwerdegegnerin zur Kenntnis.
E.d. Am 6. April 2017 teilte die Beschwerdegegnerin mit, dass sie am 30. März 2017 beim Bezirksgericht Aarau die Scheidungsklage eingereicht hat. Mit derselben Eingabe verwahrt sie sich gegen die Behauptungen des Beschwerdeführers in dessen Schreiben vom 13. März 2017. Sie hält an ihrem Antrag, die Beschwerde abzuweisen, fest. Dem Beschwerdeführer wurde die Eingabe zur Wahrung des rechtlichen Gehörs zur Kenntnis gebracht.

Erwägungen:
1.
1.1. Das Bundesgericht prüft seine Zuständigkeit und die Eintretensvoraussetzungen von Amtes wegen und mit freier Kognition (<ref-law>; <ref-ruling> E. 1 S. 143; mit Hinweisen).
1.2. Die Beschwerde richtet sich gegen den Endentscheid (<ref-law>) einer letzten kantonalen Instanz in einer Eheschutzsache (<ref-law>). Vor Bundesgericht sind nebst dem Kindes- und Ehegattenunterhalt auch das Obhuts- sowie das Besuchsrecht umstritten und damit vermögensrechtliche und nicht vermögensrechtliche Zivilsachen (<ref-law>). Die Beschwerde unterliegt deshalb keinem Streitwerterfordernis. Der Beschwerdeführer ist gemäss <ref-law> zur Beschwerde berechtigt und die Beschwerdefrist ist eingehalten (<ref-law>). Insofern ist die Beschwerde zulässig.
1.3. In ihrer Eingabe vom 6. April 2017 bringt die Beschwerdegegnerin vor, infolge der Einreichung der Scheidungsklage beim Bezirksgericht Aarau sei dieses für die Beurteilung von Obhut und Besuchsrecht zuständig.
Das Bundesgericht hat in <ref-ruling> aufgezeigt, wie die Zuständigkeitsabgrenzung zwischen Eheschutz- und Scheidungsgericht vorzunehmen ist, wenn während des Eheschutzverfahrens die Scheidung rechtshängig gemacht wird. Demnach wird ein Eheschutzverfahren durch die Einleitung der Scheidung nicht hinfällig. Das Eheschutzgericht bleibt zuständig für Massnahmen bis zum Eintritt der Rechtshängigkeit der Scheidung, selbst wenn es darüber erst nach diesem Zeitpunkt entscheiden kann (<ref-ruling> E. 3 S. 62 f. und E. 4.2 S. 63; mit Hinweis auf <ref-ruling> S. 2 f.). Nach dem Gesagten ist das Eheschutzverfahren in Bezug auf alle strittigen Punkte zu Ende zu führen, ist doch die Regelung der Obhut Voraussetzung dafür, überhaupt über die Unterhaltsfrage entscheiden zu können. Ebenso knüpfen Besuchs- und Ferienrecht an der Obhut an. Die Eheschutzmassnahmen wirken über den Entscheid - und damit auch über die Rechtshängigkeit des Scheidungsverfahrens - hinaus, bis der Scheidungsrichter etwas anderes verfügt (<ref-ruling> E. 4.2 S. 63). Dass das Scheidungsgericht bereits Massnahmen angeordnet hätte, bringt die Beschwerdegegnerin nicht vor. Mithin bleibt das Bundesgericht zuständig über sämtliche ihm vorgelegte Fragen zu urteilen. Auf die Beschwerde ist einzutreten.
2.
2.1. Eheschutzentscheide unterstehen <ref-law> (<ref-ruling> E. 5.1 und 5.2 S. 396 f.). Daher kann nur die Verletzung verfassungsmässiger Rechte gerügt werden (s. dazu <ref-ruling> E. 4.1 S. 588). Auch die Anwendung von Bundesgesetzen prüft das Bundesgericht im Rahmen von <ref-law> nur auf Willkür, das heisst auf eine Verletzung von <ref-law> hin (vgl. <ref-ruling> E. 3b S. 628; Urteil 5A_261/2009 vom 1. September 2009 E. 1.2, nicht publ. in: <ref-ruling>; zum Willkürbegriff vgl. <ref-ruling> E. 4.1 S. 133). Für die Geltendmachung der Verletzung verfassungsmässiger Rechte gilt das Rügeprinzip (<ref-law>; <ref-ruling> E. 1.4.2 S. 254).
Auch eine Berichtigung oder Ergänzung der Sachverhaltsfeststellungen kommt nur in Frage, wenn die kantonale Instanz verfassungsmässige Rechte verletzt hat (<ref-ruling> E. 4.1 S. 588), was die rechtsuchende Partei wiederum präzise geltend zu machen hat (Art. 97 Abs. 1 i.V.m. <ref-law>; <ref-ruling> E. 2.3 S. 266).
2.2. Das Bundesgericht berücksichtigt keine Tatsachen und Beweismittel, die erst nach dem vorinstanzlichen Urteil entstanden sind (echte Noven). Unechte Noven werden berücksichtigt, soweit der Entscheid der Vorinstanz dazu Anlass gibt (<ref-law>). Das vorinstanzliche Urteil datiert vom 29. Juni 2016 (vgl. Sachverhalt Bst. C.d). Aus dem Recht zu weisen sind damit insbesondere die mit Beilage 14 eingereichten Bestätigungen vom 10., 11., 16. und 17. August 2016 diverser Auftraggeber über das Fehlen weiterer Honorarbezüge sowie der vom Beschwerdeführer ins Recht gelegte Chat-Verlauf vom 18. Juni bis 19. August 2016 soweit diese als echte Noven zu gelten haben. In Bezug auf die vor dem Urteil datierten Unterlagen, namentlich auch die Anzeige im E._ vom xx.xx.2016 legt der Beschwerdeführer keine Umstände dar, gemäss denen eine Berücksichtigung nach <ref-law> zulässig wäre.
Auch die Beschwerdegegnerin ist nicht zu hören, soweit sie sich in ihrer Vernehmlassung zu den unzulässigen Noven des Beschwerdeführers äussert und schildert, wie sich das Verhältnis unter den Parteien in ihren Augen nach dem vorinstanzlichen Urteil entwickelt hat. Auch der Verfahrensantrag der Beschwerdegegnerin, die Akten des Kindesschutzverfahrens zu edieren, ist abzuweisen (vgl. Sachverhalt Bst. E.a). Grundsätzlich spielt e s für das vorliegende Verfahren keine Rolle, dass in der Zwischenzeit eine Besuchsbeistandschaft errichtet worden ist. Die Beschwerdegegnerin legt auch nicht dar, dass sich daraus für das bundesgerichtliche Verfahren entscheidrelevante Informationen ergäben. Die Verbeiständung ändert sodann weder etwas am Beschwerdeinteresse (Art. 76 Abs. 1 Bst. b BGG) noch an der Zuständigkeit des Bundesgerichts. Zu den Auswirkungen der Einleitung des Scheidungsverfahrens siehe vorne E. 1.3.
3.
3.1. Der Beschwerdeführer rügt eine willkürliche Beweiswürdigung (<ref-law>), weiter seien sein rechtliches Gehör (<ref-law>) und die Offizialmaxime verletzt worden.
3.2. Der Anspruch auf rechtliches Gehör im Sinne von <ref-law> ist formeller Natur. Ist er verletzt worden, führt dies grundsätzlich ungeachtet der Erfolgsaussichten in der Sache selbst zur Aufhebung des angefochtenen Entscheides (<ref-ruling> E. 2.2 S. 197; <ref-ruling> E. 2.2 S. 190; zur Ausnahme <ref-ruling> E. 2.3.2 S. 197 f.). Die entsprechenden Rügen sind deshalb vorweg zu prüfen. Vorliegend wirft der Beschwerdeführer allerdings zwar das Stichwort "rechtliches Gehör" in die Runde, führt aber in der Folge in seiner Beschwerdeschrift nicht aus, inwiefern sein rechtliches Gehör verletzt worden sein soll. Auf die Rüge ist daher nicht einzutreten. Ebenso verhält es sich mit der Rüge, die Offizialmaxime sei verletzt worden. Der Beschwerde lässt sich keine Substanziierung des Vorwurfs entnehmen, weshalb darauf nicht weiter einzugehen ist.
3.3. Es verbleibt die Rüge der willkürlichen Beweiswürdigung, wobei der Beschwerdeführer sowohl im Zusammenhang mit der Regelung von Obhut und Besuchsrecht als auch bei der Festsetzung des Unterhalts diverse Sachverhaltsfeststellungen als willkürlich bezeichnet. Darauf soll nachfolgend, thematisch gruppiert, eingegangen werden (Obhut und Besuchsrecht E. 4-6; Unterhalt E. 7).
Die Sachverhaltsfeststellung bzw. Beweiswürdigung erweist sich als willkürlich (<ref-law>), wenn das Gericht Sinn und Tragweite eines Beweismittels offensichtlich verkannt hat, wenn es ohne sachlichen Grund ein wichtiges und entscheidwesentliches Beweismittel unberücksichtigt gelassen oder wenn es auf der Grundlage der festgestellten Tatsachen unhaltbare Schlussfolgerungen gezogen hat. Dass die von Sachgerichten gezogenen Schlüsse nicht mit der eigenen Darstellung des Beschwerdeführers übereinstimmen, belegt keine Willkür (<ref-ruling> E. 2.3 S. 266; <ref-ruling> E. 4.2 S. 234; <ref-ruling> E. 4.2 S. 560; je mit Hinweisen). Vielmehr muss er im Einzelnen darlegen, inwiefern das kantonale Gericht willkürlich entschieden haben soll und der angefochtene Entscheid deshalb an einem qualifizierten und offensichtlichen Mangel leidet (<ref-ruling> E. 2.2 S. 246). Ausserdem muss dargelegt werden, dass die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein kann (<ref-ruling> E. 2.3 S. 266).
4.
4.1. Im Hinblick auf die Regelung der Obhut hat die Vorinstanz erwogen, beide Parteien seien erziehungsfähig. Die Beschwerdegegnerin gehe keiner Erwerbstätigkeit nach und sei in der Lage und bereit, die Kinder persönlich zu betreuen. Der Beschwerdeführer sei beruflich stark eingebunden, sodass auch bei der von ihm für den Fall einer Zuweisung der Obhut in Aussicht gestellten Reduktion des Arbeitspensums auf 70 % seine neue Lebenspartnerin einen grossen Teil der Kinderbetreuung übernehmen müsste. Es erscheine zudem als unrealistisch, dass er kurz nach Aufnahme einer selbständigen Erwerbstätigkeit sein Arbeitspensum reduzieren könne. Zudem scheine der Beschwerdeführer auch keine klaren Vorstellungen von der Betreuung von Kleinkindern zu haben. Die blosse Anwesenheit im Alltag bei gleichzeitiger Beschäftigung stelle kein ausreichendes Betreuungskonzept dar. Ohne Belang sei, dass auch die Beschwerdegegnerin ursprünglich die Absicht gehabt habe, nach der Geburt der Kinder wieder ins Erwerbsleben einzusteigen, sie dies vorübergehend auch getan habe und nach der Trennung für kurze Zeit erwerbstätig gewesen sei. Tatsache bleibe, dass die Betreuung der Zwillinge sowohl während des Zusammenlebens als auch nach der Trennung hauptsächlich durch sie erfolgt sei. Im Übrigen sei das Verhältnis unter den Parteien nicht konfliktfrei und angesichts der relativ grossen Distanz zwischen den Wohnorten der Parteien erscheine auch eine alternierende Obhut als nicht praktikabel. In einer Gesamtwürdigung sei deshalb davon auszugehen, dass die für eine harmonische Entwicklung der Zwillinge erforderliche Stabilität in persönlicher, emotionaler und örtlicher Hinsicht unter der Obhut der Beschwerdegegnerin besser gewährleistet sei als unter der alleinigen Obhut des Beschwerdeführers oder bei alternierender Obhut beider Parteien.
4.2. Der Beschwerdeführer stösst sich in erster Linie daran, dass die Beschwerdegegnerin nicht erwerbstätig ist, obwohl sie vor der Geburt der Kinder gearbeitet habe und auch wieder habe arbeiten wollen, was sie nach der Mutterschaftspause auch getan habe. Es sei unklar unter welchen Umständen sie aufgehört habe. Jedenfalls sei von ihr zu verlangen, dass sie arbeite. Die Vorinstanz übergehe diese Zusammenhänge willkürlich und gehe damit auch willkürlich von einer grösseren Betreuungsmöglichkeit auf der Seite der Beschwerdegegnerin aus, was für die Obhutszuteilung ausschlaggebend gewesen sei.
Die Beschwerdegegnerin betont, dass sich der Beschwerdeführer aufgrund seiner beruflichen Einbindung kaum um die Kinder gekümmert habe. Auch als sie noch Teilzeit gearbeitet habe, sei sie es gewesen, welche die Zwillinge mit teilweiser Unterstützung der Tagesmutter betreut habe. Heute habe sie keine Nanny mehr, dies auch aus finanziellen Gründen, da der Beschwerdeführer seinen Unterhaltspflichten nicht, resp. erst auf richterliche Intervention hin nachkomme. Der Beschwerdeführer habe die Familie verlassen, als die Zwillinge gerade einmal ein Jahr alt gewesen seien, wobei es seine Wahl gewesen sei, so weit wegzuziehen. Der finanzielle und psychische Druck den der Beschwerdeführer damals auf sie ausgeübt habe, sei derart gewesen, dass ihr Arbeitsversuch von April bis August 2015 zum Scheitern verurteilt gewesen sei.
Der Beschwerdegegnerin ist beizupflichten, dass es im Hinblick auf die Regelung der Obhutsfrage nicht von Belang ist, zu welchem Zeitpunkt und aus welchem Grund ihr früheres Arbeitsverhältnis aufgelöst wurde. Aufgrund der erhobenen Beweise durfte die Vorinstanz davon ausgehen, dass die Beschwerdegegnerin nach der Geburt der Zwillinge nur während kurzer Zeit einer Erwerbstätigkeit nachging. Die ursprüngliche Absicht der Beschwerdegegnerin, nach der Geburt der Kinder wieder einer Erwerbstätigkeit nachzugehen, ist unbestritten. Es ist nicht zu beanstanden, wenn die Vorinstanz davon ausgegangen ist, dass dieser Plan unter der stillschweigenden Prämisse stand, dass die Familie zusammen bleibt. Da die beiden Kinder im Moment der Fällung des angefochtenen Urteils zweieinhalbjährig waren, konnte von der alleinerziehenden Ehefrau und Mutter nach der bundesgerichtlichen Rechtsprechung nicht die Aufnahme einer Erwerbstätigkeit verlangt werden. Der Beschwerdeführer übergeht überdies, dass die Vorinstanz nicht allein die zeitliche Verfügbarkeit der Kindsmutter als Zuteilungskriterium genommen hat, sondern vielmehr die Stabilität, also die Weiterführung der seit bald zwei Jahren gelebten Situation (Betreuung durch die Mutter, Wohnort bei der Mutter) als massgebend bezeichnet hat. Auch mit dem Argument der Vorinstanz, dass bei ihm die Möglichkeit zur persönlichen Betreuung der Kinder jedenfalls weniger gegeben wäre, setzt er sich nicht einlässlich auseinander. Die blosse Behauptung der Flexibilität und der Möglichkeit von Homeoffice stellt kein Betreuungskonzept dar. In diesen Punkten ist keine Willkür der Vorinstanz ersichtlich.
4.3. Weiter bringt der Beschwerdeführer vor, die Beschwerdegegnerin sei krank, sie sei nämlich stark in ihrer Sicht eingeschränkt und habe zudem ein Burnout. Sie sei mit der Kinderbetreuung überfordert und nicht in der Lage zu den Kindern zu schauen. Sie müsse auch ständig von ihrer Familie unterstützt werden, inkl. bei den Übergaben der Kinder für die Besuchszeiten.
Die Vorinstanz war in diesem Zusammenhang gestützt auf ein von der Beschwerdegegnerin eingereichtes Arztzeugnis von einer kurzfristigen Überlastungssituation im Zusammenhang mit der Trennung und der Doppelbelastung Arbeit und Mutterschaft ausgegangen, die aber behoben sei, seit die Beschwerdegegnerin nicht mehr arbeite. Den Begriff des Burnouts wirft der Beschwerdeführer ohne nachvollziehbare Begründung in den Raum. Er schildert keine konkreten Situationen, in denen das ersichtlich geworden wäre. Dass die Beschwerdegegnerin von ihrer Familie unterstützt wird, lässt per se nicht auf eine Überforderung schliessen. In Trennungssituationen ist familiäre Unterstützung oft die naheliegendste Hilfe und ohne weiteres üblich. Auch wenn die Beschwerdegegnerin bei der Übergabe jemanden von der Familie zur Unterstützung mitnimmt, spricht dies nicht gegen sie oder ihre Erziehungsfähigkeit. Das Beisein einer weiteren Person dient möglicherweise der Beruhigung der Übergabesituation, zumal die Beziehung zwischen den Parteien offenbar so konfliktbeladen ist, dass der Beschwerdeführer die Übergaben zeitweise sogar gefilmt hat. Der Vorwurf eines Burnouts ist auch deshalb nicht glaubhaft, weil der Beschwerdeführer gleichzeitig verlangt, die Beschwerdegegnerin habe eine Arbeit aufzunehmen, was bei einem Burnout kaum möglich wäre. Der Vorwurf schliesslich, die Beschwerdegegnerin fahre trotz einem Visus von nur 10 % Auto, bleibt blosse Behauptung. Die Beschwerdegegnerin bestreitert dies explizit; sie habe gar keinen Führerschein.
4.4. Die übrigen Ausführungen des Beschwerdeführers im Zusammenhang mit der Obhut (zeitliches Engagement nach der Geburt der Zwillinge; Flexibilität als Selbständigerwerbender; Beziehung zu den weiteren Kindern des Beschwerdeführers; Relativierung der Distanz zwischen den Wohnorten), die von der Beschwerdegegnerin bestritten werden, vermögen dem Rügeprinzip nach <ref-law> nicht zu genügen. Er beschränkt sich grösstenteils darauf, die Umstände und Ereignisse aus seiner Sicht zu schildern, was nicht geeignet ist, der Vorinstanz eine lückenhafte oder gar willkürliche Feststellung des Sachverhalts vorzuwerfen (vgl. E. 2.1, 3.3), womit von den Sachverhaltsdarstellungen der Vorinstanz auszugehen ist (<ref-law>).
5.
5.1. Das Bundesgericht hat sich bereits eingehend mit der Frage befasst, nach welchen Kriterien die alternierende Obhut (zum Begriff: Urteil 5A_46/2015 vom 26. Mai 2015 E. 4.4.3, in: FamPra.ch 2015 S. 981; mit Hinweisen) - allenfalls auch gegen den Willen eines Elternteils - angeordnet werden kann (<ref-ruling> E. 3.2.3 S. 621 f.; <ref-ruling> E. 4.3 S. 615 f.). Unter den Kriterien, auf die es bei dieser Beurteilung ankommt, ist zunächst die Erziehungsfähigkeit der Eltern hervorzuheben, und zwar in dem Sinne, dass die alternierende Obhut grundsätzlich nur dann in Frage kommt, wenn beide Eltern erziehungsfähig sind. Weiter erfordert die alternierende Obhut organisatorische Massnahmen und gegenseitige Informationen. Insofern setzt die praktische Umsetzung einer alternierenden Betreuung voraus, dass die Eltern fähig und bereit sind, in den Kinderbelangen miteinander zu kommunizieren und zu kooperieren. Allein aus dem Umstand, dass ein Elternteil sich einer alternierenden Betreuungsregelung widersetzt, kann indessen nicht ohne Weiteres auf eine fehlende Kooperationsfähigkeit der Eltern geschlossen werden, die einer alternierenden Obhut im Wege steht. Ein derartiger Schluss könnte nur dort in Betracht fallen, wo die Eltern aufgrund der zwischen ihnen bestehenden Feindseligkeiten auch hinsichtlich anderer Kinderbelange nicht zusammenarbeiten können, mit der Folge, dass sie ihr Kind im Szenario einer alternierenden Obhut dem gravierenden Elternkonflikt in einer Weise aussetzen würden, die seinen Interessen offensichtlich zuwider läuft. Zu berücksichtigen ist ferner die geographische Situation, namentlich die Distanz zwischen den Wohnungen der beiden Eltern, und die Stabilität, welche die Weiterführung der bisherigen Regelung für das Kind gegebenenfalls mit sich bringt. In diesem Sinne fällt die alternierende Obhut eher in Betracht, wenn die Eltern das Kind schon vor ihrer Trennung abwechselnd betreuten. Weitere Gesichtspunkte sind die Möglichkeit der Eltern, das Kind persönlich zu betreuen, das Alter des Kindes, seine Beziehungen zu (Halb- oder Stief-) Geschwistern und seine Einbettung in ein weiteres soziales Umfeld (vgl. Urteile 5A_46/2015 vom 26. Mai 2015 E. 4.4.2 und 4.4.5, in: FamPra.ch 2015 S. 981; 5A_345/2014 vom 4. August 2014 E. 4.2). Auch dem Wunsch des Kindes ist Beachtung zu schenken, selbst wenn es bezüglich der Frage der Betreuungsregelung (noch) nicht urteilsfähig ist. Während die alternierende Obhut in jedem Fall die Erziehungsfähigkeit beider Eltern voraussetzt, sind die weiteren Beurteilungskriterien oft voneinander abhängig und je nach den konkreten Umständen des Einzelfalls von unterschiedlicher Bedeutung. So spielen das Kriterium der Stabilität und dasjenige der Möglichkeit zur persönlichen Betreuung des Kindes bei Säuglingen und Kleinkindern eine wichtige Rolle. Geht es hingegen um Jugendliche, kommt der Zugehörigkeit zu einem sozialen Umfeld grosse Bedeutung zu. Die Kooperationsfähigkeit der Eltern wiederum verdient besondere Beachtung, wenn das Kind schulpflichtig ist oder die geografische Entfernung zwischen den Wohnorten der Eltern ein Mehr an Organisation erfordert. Oberste Maxime ist das Kindeswohl.
5.2. Die Vorinstanz hat sich an die geschilderte bundesgerichtliche Rechtsprechung gehalten. Die Voraussetzungen zur Anordnung einer alternierenden Obhut sind im vorliegenden Fall offensichtlich nicht gegeben. Im Zeitpunkt der Trennung waren die Kinder knapp eineinhalbjährig. Der Beschwerdeführer bestreitet nicht, dass er die Kinder seither nie mehr zu Übernachtungen bei sich hatte. Selbst wenn es zuträfe, dass er nach der Geburt ein ausserordentliches Engagement gezeigt hätte, wäre dies im vorliegenden Kontext nicht entscheidrelevant, da sich die Kinder kaum daran erinnern können. Jedenfalls entspräche eine alternierende Obhut nicht dem seit der Trennung - und damit seit zwei Jahren - Gelebten und stünde damit dem Stabilitätsbedürfnis der noch kleinen Kinder entgegen. Beide haben von Drittpersonen gesprochen, die für Übergaben der Kinder beigezogen werden. Die Vorinstanz zeichnet einen eher konfliktbeladenen Umgang der Eltern miteinander. Im Übrigen scheitert eine alternierende Obhut auch daran, dass die Parteien in U._ (AG) und V._ (BE) und damit in zu grosser räumlicher Distanz voneinander wohnen, seit der Beschwerdeführer umgezogen ist. Schliesslich ist auch die Beziehungspflege zu den anderen Kindern des Beschwerdeführers kein Argument für eine alternierende Obhut, leben diese doch ebenfalls nicht beim Beschwerdeführer, sondern sind nur im Rahmen eines Besuchsrechts dort. Hat das Obergericht eine alternierende Obhut für nicht dem Kindeswohl entsprechend erachtet, ist darin keine Willkür zu erblicken.
5.3. Scheidet die alternierende Obhut als Betreuungsmodell aus, ist auch nicht willkürlich, dass die Vorinstanz die alleinige Obhut der Beschwerdegegnerin übertragen hat. Wie bereits aufgezeigt wurde, ist sie es, welche die Zwillinge bisher hauptsächlich betreut hat. Sie ist gewillt und in der Lage, dies weiterhin zu tun. Die Beschwerdegegnerin bietet damit deutlich bessere Garantien für stabile Verhältnisse als der Beschwerdeführer, der für die Betreuung der Kinder sein Arbeitspensum reduzieren müsste oder auf die Unterstützung seiner neuen Partnerin oder Dritten angewiesen wäre. Die Tatsache, dass auch die Parteien ursprünglich eine Drittbetreuung ins Auge fassten, ist entgegen der Auffassung des Beschwerdeführers ohne Belang. Die Obhutsregelung hat sich an der Gegenwart anzulehnen und zukunftsgerichtet zu erfolgen und sich primär am Wohl des Kindes zu orientieren und nicht daran, welche Pläne die Eltern ursprünglich, d.h. noch während des Zusammenlebens, hatten. Der Beschwerdeführer hat die heutige Situation durch seinen Wegzug ohne vorgängig - notfalls richterlich - zu klären, wer in Zukunft die Kinder betreut, selbst herbeigeführt. Im Übrigen kann auf die bereits unter dem Titel der alternierenden Obhut beschriebenen Kriterien verwiesen werden, die allesamt für eine Obhutszuteilung an die Mutter sprechen.
6.
6.1. Der nächste umstrittene Punkt ist die Regelung des persönlichen Verkehrs (Besuchs- und Ferienrecht). Die Vorinstanz hat diesbezüglich den erstinstanzlichen Entscheid bestätigt, wonach der Beschwerdeführer seine Söhne je am 1. und 3. Samstag jeden Monats von 09.00 Uhr bis 18.00 Uhr zu sich auf Besuch nehmen darf. Zur Begründung führte die Vorinstanz aus, dass angesichts der über längere Zeit nur unregelmässigen Kontakte von einer gewissen Entfremdung der noch kleinen Kinder auszugehen sei. Die Kinder müssten sich zuerst wieder an die neue Situation gewöhnen. Die Behauptung der Mutter sei unbestritten geblieben, dass sich einer der Zwillinge geweigert habe, mit dem Beschwerdeführer mitzugehen, und geweint habe. Die Vorinstanz hat den erstinstanzlichen Entscheid auch in Sachen Ferienbesuchsrecht bestätigt. Insofern ist die Formulierung im angefochtenen Urteil falsch, aus den erwähnten Gründen sei "auch von einer Ausdehnung des zweiwöchigen Ferienrechts abzusehen"; die erste Instanz hatte kein Ferienrecht zugesprochen.
6.2. Der Beschwerdeführer verlangt subeventualiter zumindest ein ausgedehntes Besuchsrecht. Heute könne er die Söhne netto rund fünf Stunden bei sich haben. Die Fahrzeiten seien beinahe gleich lang, wie die Zeit, die er gemeinsam mit den Kindern verbringe und Tagesausflüge seien nicht möglich. Die Kinder seien ausserdem gerne bei ihm und der Kontakt zu ihm für die gesunde Entwicklung der Kinder genau so wichtig wie der zur Mutter. Es gehe nicht an, dass unter Verweis auf das kindliche Zeitgefühl eine Ausdehnung der Besuchstage verweigert werde. Der Beschwerdeführer unterlässt es in diesem Zusammenhang aber, Willkürrüge gegen den vom Obergericht festgestellten Sachverhalt zu erheben. Dieser ist damit für das Bundesgericht verbindlich (<ref-law>).
6.3. Gemäss <ref-law> haben Eltern, denen die elterliche Sorge oder Obhut nicht zusteht, und das minderjährige Kind gegenseitig Anspruch auf angemessenen persönlichen Verkehr. Dabei handelt es sich um ein gegenseitiges Pflichtrecht (<ref-ruling> E. 3b/aa S. 232 f.), wobei es in erster Linie dem Interesse des Kindes dient und oberste Richtschnur für die Ausgestaltung das Kindeswohl ist, welches anhand der Umstände des konkreten Einzelfalles zu beurteilen ist (<ref-ruling> E. 5 S. 212; <ref-ruling> E. 2.1 S. 587 f.; zuletzt Urteil 5A_968/2016 vom 14. Juni 2017 E. 4.1).
Das Obergericht hat berücksichtigt, dass - teilweise nach längeren Kontaktpausen - zwischen dem erst- und zweitinstanzlichen Urteil wieder regelmässige Kontakte zwischen Vater und Kindern stattgefunden haben. Nichtsdestotrotz ging es von Erinnerungskontakten aus, da die Kinder noch kein gefestigtes Vertrauen in die väterlichen Kontakte hätten. Indem die Vorinstanz sich auf den Standpunkt stellte, dass nach einem längeren Kontaktabbruch das Besuchsrecht so auszugestalten sei, dass in einer ersten Phase die damals relativ kleinen Kinder nicht bei ihrem mittlerweile fremd gewordenen Vater übernachten, ist dies nicht willkürlich. Wichtiger als die Übernachtungsmöglichkeit ist bei kleinen Kindern, dass sie ihre Eltern regelmässig, wenn auch möglicherweise nur für kurze Zeit sehen. Auch das Obergericht liess allerdings zu Recht durchblicken, dass mit der Zeit eine Ausdehnung des Besuchsrechts stattfinden sollte, zumal die Praxis - bei gegebenen Voraussetzungen - zu einer Ausweitung des Besuchsrechts tendiert (Urteil 5A_450/2015 vom 11. März 2016 E. 3.3 mit Hinweisen, nicht publ. in: <ref-ruling>; Urteil 5A_570/2016 vom 1. März 2017 E. 3.3.1).
7.
7.1. Weiter ist die Frage des Frauenunterhalts strittig. Da die von der Vorinstanz vorgesehene Obhuts- und Besuchsregelung nicht abgeändert wird und der Beschwerdeführer für diesen Fall keine Abänderung der Kinderunterhaltsbeiträge beantragt, erübrigt sich hingegen eine Prüfung der Letzteren.
7.2. Die Vorinstanz ermittelte die finanziellen Verhältnisse anhand der Jahre 2013 bis und mit Trennung Mitte 2015. Sie hielt hierzu fest, der Beschwerdeführer sei bis Ende Juni 2015 bei der G._ AG (heute: H._ AG) angestellt gewesen, deren einziger Aktionär, alleiniger Verwaltungsrat und Geschäftsführer dieser sei. Seit dem 1. Juli 2015 sei er als selbständig Erwerbender tätig. Aus den Ausführungen der Vorinstanz ist sodann ersichtlich, dass der Beschwerdeführer diverse weitere Firmen besitzt resp. dort involviert ist oder war (namentlich genannt werden: I._ GmbH, J._ AG, K._ AG, L._ AG, M._ GmbH, N._ AG, O._ GmbH, P._ AG, Q._ AG, R._ GmbH). Die Vorinstanz hielt fest, dass neben den tatsächlichen Bezügen auch die Ertragskraft der Unternehmen zu berücksichtigen sei, allerdings habe der Beschwerdeführer nur zu einem Teil der Unternehmen Unterlagen eingereicht und auch dort nicht vollständig. Die Durchführung eines Gutachtens über die Einkommensverhältnisse des Beschwerdeführers, wie dies die Beschwerdegegnerin beantragt hatte, lehnte die Vorinstanz jedoch ab. Der ungenügenden Mitwirkung sei bei der Beweiswürdigung Rechnung zu tragen. Schliesslich ging die Vorinstanz übereinstimmend mit der ersten Instanz von einem monatlichen Nettolohn von Fr. 11'874.-- aus (Lohn von Fr. 10'607.--, zuzüglich Privatanteile für Spesen und Geschäftsauto). Gestützt auf die Aussagen des Beschwerdeführers anlässlich der Verhandlung des Bezirksgerichts Aarau vom 14. Oktober 2015, wonach die Familie neben dem Einkommen von Fr. 10'607.-- im Umfang von Fr. 70'000.-- pro Jahr bzw. Fr. 6'000.-- pro Monat "vom Vermögen gelebt" habe, rechnete sie einen Betrag von Fr. 6'000.-- hinzu. Zwar sei (so die Vorinstanz) unklar, woher der Betrag gekommen sei, angesichts der in der Gesellschaft verbleibenden Gewinne, die der Beschwerdeführer erwirtschaften könne, stehe einer Anrechnung allerdings nichts entgegen. Damit resultierten auf der Seite des Beschwerdeführers Einkünfte von total Fr. 17'874.--.
Der Beschwerdegegnerin rechnete die Vorinstanz einen Betrag von Fr. 140.-- an (Hilflosenentschädigung von Fr. 470.-- abzüglich von als behinderungsbedingt anerkannten Auslagen von Fr. 313.-- für das GA und Fr. 17.50 für Leistungen von Audible des Schweizerischen Blinden- und Sehbehindertenverbandes). Im Übrigen hielt die Vorinstanz fest, dass der Beschwerdegegnerin aufgrund der Betreuung der beiden Kleinkinder keine Erwerbstätigkeit zuzumuten sei.
Das Existenzminimum des in neuer Partnerschaft lebenden Beschwerdeführers setzte die Vorinstanz auf Fr. 7'113.-- fest (Grundbetrag Fr. 850.--; hälftige Wohnkosten von Fr. 467.-- Hypothekarzins und Fr. 206.-- Nebenkosten, Krankenkassenprämien KVG Fr. 248.--, auswärtige Verpflegung Fr. 202.--, vorbestehende Unterhaltsverpflichtungen Fr. 5'140.--). Das Existenzminimum der Beschwerdegegnerin bezifferte das Obergericht mit Fr. 3'101.-- (Grundbetrag Fr. 1'200.-- [anstelle des gemäss Richtlinien der Konferenz der Betreibungs- und Konkursbeamten der Schweiz für die Berechnung des Notbedarfs eigentlich massgebenden Grundbetrags für Alleinerziehende von Fr. 1'350.--], Grundbetrag Kinder Fr. 800.--, Hypothekarzins inkl. Darlehenszins Fr. 571.--, Nebenkosten Fr. 500.--, Krankenkassenprämie KVG Beschwerdegegnerin Fr. 275.--, Krankenkassenprämie KVG Kinder Fr. 155.--, abzüglich Kinderzulagen Fr. 400.--).
Ausgehend von der Feststellung, dass es bei den Parteien keine Sparquote gegeben habe und unter Berücksichtigung eines Steueranteils von Fr. 200.-- auf beiden Seiten errechnete die Vorinstanz die umstrittenen Unterhaltsbeiträge anhand einer hälftigen Einkommens- resp. Überschussteilung. Sie hielt dabei fest, dass für die Klägerin ein Unterhaltsanspruch inkl. Kinderunterhaltsbeiträgen von total Fr. 8'094.-- resultieren würde, d.h. neben den Kinderunterhaltsbeiträgen von je Fr. 1'000.-- ein persönlicher Unterhaltsbeitrag von Fr. 6'094.--. Da sie aber nur Fr. 5'220.-- beantragt habe, sei ihr Unterhaltsbeitrag auf Fr. 5'220.-- festzusetzen.
7.3. Der Beschwerdeführer beanstandet, der Lebensstandard der Parteien habe sich mit der Geburt der Kinder verändert, weshalb nicht der Lebensstil vor der Schwangerschaft herangezogen werden dürfe. Inwiefern dies ein willkürliches Resultat ergeben soll, führt er allerdings nicht aus, womit er insofern den Rügeanforderungen nicht nachkommt. Ebenso verhält es sich mit den nachfolgenden Vorbringen zu seinem Einkommen. Er bringt vor, das Erwerbseinkommen von Fr. 10'607.--, auf welches die Vorinstanzen abgestellt hätten, habe den Privatanteil Geschäftswagen bereits beinhaltet und weiteres Einkommen habe er nicht. Die Vorinstanz habe in aktenwidriger Weise einen Vermögensverzehr von Fr. 6'000.-- angenommen. Der Beschwerdeführer übergeht hier die Alternativbegründung der Vorinstanz, dass er - obwohl unklar sei, woher das Geld gekommen sei - den Betrag angesichts der in der Gesellschaft verbleibenden Gewinne erwirtschaften könne. Damit setzt er sich nicht auseinander und verpasst es, Willkür darzutun.
7.4. Als willkürlich bezeichnet der Beschwerdeführer weiter in Bezug auf die Einkünfte der Beschwerdegegnerin, dass der Frauenunterhalt von beiden Vorinstanzen ab dem 1. April 2015 festgelegt wurde, die Beschwerdegegnerin aber noch bis September 2015 ein monatliches Nettoeinkommen von Fr. 3'803.30 erziehlt habe, das nicht berücksichtigt worden sei, weil sich die Auslagen für die Nanny und das Einkommen die Wage halten würden. Das sei aktenwidrig. Er habe die Nanny bezahlt. Der Beschwerdeführer verweist dabei auf das Protokoll der Verhandlung des Bezirksgerichts Aarau vom 14. Oktober 2015, in der er ausgesagt habe, dass er die Nanny in den Monaten März bis August (2015) mit Fr. 4'000.-- pro Monat bezahlt habe.
Der Blick in das erwähnte Protokoll, S. 17, ergibt, dass die Beschwerdegegnerin auf Rückfrage des Gerichts, ob dies stimme (dass er die Nanny bezahlt habe), antwortete: "Aus seinen Unterhaltsbeiträgen in Höhe von Fr. 22'430.-- wurde sie bezahlt". Demnach geht die Rüge des Beschwerdeführers ins Leere. Trifft zu, dass die Nanny aus den von ihm überwiesenen Unterhaltsbeiträgen bezahlt wurde, spielt dies allenfalls unter dem Titel der Anrechnung bisher bezahlter Unterhaltsbeiträge eine Rolle (vgl. Sachverhalt Bst. B in fine).
Wie bereits dargelegt wurde, durfte die Vorinstanz sodann willkürfrei davon ausgehen, dass der Beschwerdegegnerin eine Arbeit bei gleichzeitiger alleiniger Obhut über die Kinder nicht zuzumuten sei. Angesichts der Tatsache, dass die Beschwerdegegnerin aufgrund ihrer Sehschwäche nicht Auto fahren kann und angesichts der insgesamt guten finanziellen Verhältnisse der Parteien, ist es auch nicht willkürlich, wenn die Vorinstanz der Beschwerdegegnerin ein GA zugestand und ihr daher nicht die gesamte Hilflosenentschädigung als Einkommen anrechnete. Die Kosten von Fr. 313.-- pro Monat entsprachen im Übrigen den Kosten für ein Abonnement zweiter, und nicht wie vom Beschwerdeführer vorgebracht erster Klasse.
7.5. Soweit der Beschwerdeführer schliesslich in seiner Argumentation darauf aufbaut, dass er die Obhut, zumindest eine alternierende Obhut, hat (z.B. allfällige Reduktion seines Pensums auf 70 % und mögliche Betreuungsaufgaben seiner neuen Partnerin im Falle einer Übertragung der Obhut), ist nicht weiter auf seine Rügen einzugehen, da die Obhut bei der Beschwerdegegnerin verbleibt. Die weiteren allgemeinen Vorbringen zum Unterhalt (die Auslagen für die Neueinrichtung der diversen Liegenschaften dürften bei der Berechnung des ehelichen Bedarfs nicht berücksichtigt werden, seine Partnerin arbeite nicht, weshalb er die gesamten Lebenshaltungskosten trage, u.a.) genügen den Rügeanforderungen nicht.
8.
Die Beschwerde ist damit abzuweisen, soweit darauf einzutreten war. Dem Verfahrensausgang entsprechend wird der Beschwerdeführer kosten- und gegenüber der Beschwerdegegnerin entschädigungspflichtig (Art. 66 und 68 BGG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 2'500.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3.
Der Beschwerdeführer hat die Beschwerdegegnerin für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 3'000.-- zu entschädigen.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Aargau, Zivilgericht, 5. Kammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 28. August 2017
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: von Werdt
Die Gerichtsschreiberin: Friedli-Bruggmann