Sachverhalt:
A.
Das Kurtheater Baden wurde in den 1950er-Jahren im nördlichen Teil des Kurparks durch die Architekten Lisbeth Sachs und Otto Dorer errichtet. Es wurde später mehrfach erweitert. So wurde sein Bühnenturm aufgestockt und daneben das Studiogebäude (Nr. 1001) erbaut. Das Kurtheater befindet sich auf der Parzelle Nr. 172, die im Eigentum der Einwohnergemeinde Baden steht und gemäss dem Nutzungsplan der Gemeinde Baden vom 10. Dezember 2013 der Parkzone (PA) zugewiesen wurde. Die Garderobenhalle, das Garten- bzw. Sachs-Foyer, der Zuschauerraum und das Freilichttheater des Kurtheaters wurden unter kantonalen Denkmalschutz gestellt. Das Inventar der Schützenswerten Ortsbilder der Schweiz (ISOS) weist auf das Kurtheater hin, ohne diesbezüglich ein Erhaltungsziel zu definieren. Dagegen nennt das ISOS bezüglich des Kurparks das Erhaltungsziel "a" (Die für das Ortsbild wesentliche Vegetation und Altbauten erhalten, störende Veränderungen beseitigen).
Das Kurtheater wird heute als ganzjährig bespieltes Gastspieltheater von der Theaterstiftung der Region Baden-Wettingen (nachstehend: Theaterstiftung) betrieben. Diese veranstaltete im Jahr 2007 für den Umbau und die Erweiterung des Kurtheaters einen Projektwettbewerb, in dem die Jury das Projekt der Boesch Architekten GmbH, Zürich, zur Weiterbearbeitung empfahl. Gestützt auf dieses nachträglich angepasste Projekt reichte die Theaterstiftung am 17. Dezember 2013 bei der Stadt Baden ein Baugesuch betreffend den Abbruch des Studiogebäudes (Nr. 1001) sowie den Umbau und die Erweiterung des Kurtheaters ein. Das Bauprojekt sah namentlich vor, dass der bestehende Theaterbau und der Bühnenturm auf der bisherigen Höhe gegen Norden durch einen Anbau erweitert werden sollten. Dieser sollte die (neue) Hinterbühne und Räumlichkeiten umfassen, die bisher im Studiogebäude untergebracht waren.
Zwei nördlich des Kurtheaters an der Römerstrasse gelegene Liegenschaften stehen im Eigentum von A._ und B._ (nachstehend: Nachbarn). Diese erhoben während der öffentlichen Auflage des Bauvorhabens dagegen Einwendungen.
B.
Am 13. Februar 2014 stimmte die Abteilung für Baubewilligungen des Departements Bau, Verkehr und Umwelt (BVU) des Kantons Aargau dem Baugesuch unter Bedingungen und Auflagen zu. Mit Entscheid vom 28. April 2014 wies der Stadtrat Baden die Einwendungen der Nachbarn ab und erteilte der Theaterstiftung die verlangte Baubewilligung unter Bedingungen und Auflagen.
Die dagegen erhobenen Beschwerden der Nachbarn wies der Regierungsrat des Kantons Aarau am 25. März 2015 ab, wobei er Ziff. 19 des Entscheids des Stadtrats vom 28. April 2014 neu fasste.
Diesen Regierungsratsentscheid focht einer der Nachbarn, A._, mit Beschwerde beim Verwaltungsgericht des Kantons Aargau an. Dieses führte am 5. April 2016 einen Augenschein durch und wies die Beschwerde mit Urteil vom gleichen Tag ab.
C.
A._ (Beschwerdeführer) erhebt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten mit den Anträgen, das Urteil des Verwaltungsgerichts vom 5. April 2016 und die Baubewilligung des Stadtrates Baden vom 28. April 2014 aufzuheben. Zudem ersuchte er darum, der Beschwerde die aufschiebende Wirkung zu erteilen. Dieses Gesuch wies das Bundesgericht mit Präsidialverfügung vom 21. Juni 2016 ab.
Das Verwaltungsgericht, der Stadtrat Baden, der Regierungsrat des Kantons Aargau und die Theaterstiftung (Beschwerdegegnerin) beantragen, die Beschwerde abzuweisen. In seiner Replik hält der Beschwerdeführer an seinen Beschwerdeanträgen fest. Die Stadt Baden und der Regierungsrat verzichteten ausdrücklich auf eine Duplik. Die Beschwerdegegnerin hält in ihrer Duplik an ihren in der Beschwerdeantwort gestellten Anträgen fest. Der Beschwerdeführer reichte dazu Bemerkungen ein.

Erwägungen:
1.
1.1. Gegen den kantonal letztinstanzlichen Endentscheid des Verwaltungsgerichts im Bereich des Baurechts steht die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten grundsätzlich offen (<ref-ruling> E. 2 S. 356). Der Beschwerdeführer hat am vorinstanzlichen Verfahren teilgenommen und ist als Eigentümer einer benachbarten Liegenschaft zur Beschwerde legitimiert (<ref-law>). Da auch die übrigen Sachurteilsvoraussetzungen gegeben sind, ist auf die Beschwerde grundsätzlich einzutreten.
1.2. Mit der Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann geltend gemacht werden, der angefochtene Entscheid verletze Bundesrecht, Völkerrecht oder kantonale verfassungsmässige Rechte (Art. 95 lit. a, b und c BGG). Die Verletzung des übrigen kantonalen Rechts kann abgesehen von hier nicht relevanten Ausnahmen gemäss Art. 95 lit. c und d BGG vor Bundesgericht nicht gerügt werden; zulässig ist jedoch die Rüge, die Anwendung dieses Rechts führe zu einer Verletzung von Bundesrecht, namentlich des verfassungsmässigen Willkürverbots (<ref-ruling> E. 2 S. 149 f.). Nach der Praxis des Bundesgerichts verstösst ein Entscheid gegen dieses Verbot, wenn er offensichtlich unhaltbar ist, weil er zum Beispiel eine Norm oder einen unumstrittenen Rechtsgrundsatz krass verletzt. Das Bundesgericht hebt einen Entscheid jedoch nur auf, wenn nicht bloss die Begründung, sondern auch dessen Ergebnis unhaltbar ist. Dass eine andere Lösung ebenfalls als vertretbar erscheint, genügt nicht (<ref-ruling> E. 2.2 S. 72 mit Hinweisen).
1.3. Rügt ein Beschwerdeführer die Verletzung des Willkürverbots von <ref-law>, genügt es nicht, wenn er einfach behauptet, der angefochtene Entscheid sei willkürlich. Er hat vielmehr anhand der Erwägungen des angefochtenen Entscheids im Einzelnen aufzuzeigen, inwiefern dieser an einem qualifizierten und offensichtlichen Mangel leidet. Auf Rügen, mit denen bloss allgemein gehaltene, appellatorische Kritik am angefochtenen Entscheid geübt wird, tritt das Bundesgericht nicht ein (<ref-ruling> E. 1.3 S. 262; <ref-ruling> E. 2.8; <ref-ruling> E. 1.3 S. 60; je mit Hinweisen).
1.4. Das Bundesgericht legt seinem Urteil den von der Vorinstanz festgestellten Sachverhalt zugrunde (<ref-law>). Es kann diesen berichtigen oder ergänzen, wenn er offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruht (Art. 97 Abs. 1 und Art. 105 Abs. 2 BGG).
2.
2.1. Der Beschwerdeführer erhebt verschiedene Rügen formeller Natur, die vorweg zu behandeln sind (vgl. <ref-ruling> E. 2.2 S. 197 mit Hinweis). So rügt er, die Vorinstanz habe sein rechtliches Gehör im Sinne von <ref-law> verletzt, indem sie auf seine Rechtsvorbringen in der Verwaltungsbeschwerde vom 8. Mai 2015 (S. 16 ff.) und der Replik vom 27. August 2015 (S. 5 f.) nicht eingegangen sei und nicht begründet habe, weshalb die geplante Höhe des Hinterbühnenbaus 22,6 m betragen müsse. Zudem habe die Vorinstanz zu seinen Ausführungen, dass das Kurtheater als Gastspieltheater grundsätzlich keine Probebühne brauche, keine Stellung bezogen. Auch habe die Vorinstanz sich nicht mit den Angaben des Regierungsrats auseinandergesetzt, dass die Erreichung der Ziele der Beschwerdegegnerin wohl auch mit einer 19 m hohen Baute möglich gewesen wäre. Der angefochtene Entscheid gehe auch nicht auf die an der Augenscheinsverhandlung vom 5. April 2016 eingereichten Beweismittel ein. Dazu zähle die schriftliche Kritik der Architektin des Kurtheaters an der im Jahr 1993 vorgenommenen Erhöhung des Bühnenturms und das vom Architekturbüro Burkhard Meyer erstellte Wettbewerbsprojekt, das keine Erweiterung des bestehenden Bühnenturms vorsehe.
2.2. Aus dem rechtlichen Gehör nach <ref-law> folgt die Verpflichtung der Behörde, ihren Entscheid zu begründen. Die Begründung muss so abgefasst sein, dass sich der Betroffene über die Tragweite des Entscheids Rechenschaft geben und ihn in voller Kenntnis der Sache an die höhere Instanz weiterziehen kann. Dazu ist nicht erforderlich, dass die Begründung sich mit allen Parteistandpunkten einlässlich auseinandersetzt und jedes einzelne Vorbringen ausdrücklich widerlegt. Jedoch müssen wenigstens kurz die Überlegungen genannt werden, von denen sich die Behörde hat leiten lassen und auf die sich ihr Entscheid stützt (<ref-ruling> E. 5.2 S. 236; <ref-ruling> E. 3.2.4 S. 41 mit Hinweisen).
2.3. Im angefochtenen Entscheid werden die betrieblichen Bedürfnisse der Bauherrschaft in Bezug auf den Anbau und seine ästhetische Einordnung eingehend erörtert (vgl. E. 3 hienach). Damit brachte die Vorinstanz implizit zum Ausdruck, dass sie die vom Beschwerdeführer an der Augenscheinverhandlung eingereichten Beweismittel insoweit als nicht beweistauglich betrachtete. Dies wird dadurch bestätigt, dass die Vorinstanz in ihrer Vernehmlassung ausführte, mit dem nicht zum Zug gekommenen Wettbewerbsprojekt des Architekturbüros Burkard Meyer lasse sich nicht widerlegen, dass beim strittigen Bauvorhaben auch oberhalb der Hinterbühne Räume angeordnet werden müssen, um die Raumbedürfnisse der Bauherrin ohne Nebengebäude zu befriedigen. Der Beschwerdeführer war daher in der Lage, das angefochtene Urteil sachgerecht anzufechten, weshalb eine Verletzung der Begründungspflicht zu verneinen ist.
2.4. Aus dem Anspruch auf rechtliches Gehör ergibt sich das Recht, mit rechtzeitig und formgültig angebotenen Beweisanträgen und Vorbringen gehört zu werden, soweit diese erhebliche Tatsachen betreffen und nicht offensichtlich beweisuntauglich sind (<ref-ruling> E. 2.1 mit Hinweisen). Keine Verletzung des rechtlichen Gehörs liegt vor, wenn das Gericht auf die Abnahme beantragter Beweise verzichtet, weil es aufgrund der bereits abgenommenen Beweise seine Überzeugung gebildet hat und ohne Willkür in vorweggenommener Beweiswürdigung annehmen kann, dass seine Überzeugung durch weitere Beweiserhebungen nicht geändert würde (<ref-ruling> E. 5.3 S. 236 f. mit Hinweisen).
2.5. Die Vorinstanz hat den Beweisantrag auf Erstellung eines Schattendiagramms für jeden Tag des Jahres oder wenigstens für den Zeitraum von Mitte September bis Anfang April namentlich mit der Begründung abgelehnt, dass der Schattenwurf bei der Zwei-Stunden-Schattenregel, wo sie Bestandteil des Baupolizeirechts bilde, für die mittleren Wintertage, d.h. für den 8. Februar und den 3. November, berechnet werde.
2.6. Der Beschwerdeführer rügt, die Vorinstanz habe mit der Ablehnung seines Antrags auf die Einholung zusätzlicher Schattendiagramme sein Recht verweigert. Da die Vorinstanz von einer Verletzung der Regel über den Zwei-Stunden-Schatten am mittleren Wintertag ausgegangen sei, hätte sie zwingend genau klären müssen, von wann bis wann die Zwei-Stundenregel verletzt sei. Die Vorinstanz habe somit die Ermittlung des Masses der Erheblichkeit seines privaten Interesses verhindert.
2.7. Zu beachten ist, dass sich die Regel über den Zwei-Stunden-Schatten auf die mittleren Wintertage (oder allenfalls die Tag- und Nachtgleiche) bezieht und daher das Mass der Überschreitung dieser Regel ebenfalls in Bezug auf diese Tage zu bestimmen ist (vgl. E. 5.2 hiernach). Im vorliegenden Fall konnte das Mass der Überschreitung des Zwei-Stunden-Schattens insoweit bestimmt werden, als davon unbestrittenermassen einzig die südöstliche Ecke der Liegenschaft des Beschwerdeführers und der runde Anbau betroffen sein würden, was eine sachgerechte Interessenabwägung zuliess (vgl. E. 5.3 hiernach). Unter diesen Umständen durfte die Vorinstanz weitere Abklärungen bezüglich der Beschattung in willkürfreier antizipierter Beweiswürdigung als nicht entscheidrelevant qualifizieren, ohne den Anspruch des Beschwerdeführers auf rechtliches Gehör zu verletzen.
2.8. Soweit der Beschwerdeführer der Vorinstanz vorwirft, sie habe zur Betriebsnotwendigkeit des Anbaus keine Beweismittel abgenommen, legt er nicht dar, inwiefern die Vorinstanz zur Abnahme weiterer Beweise verpflichtet gewesen sein soll, zumal er keine entsprechenden Beweisanträge nennt.
3.
3.1. Strittig ist, ob der vorgesehene Erweiterungsbau die Gesamthöhe von 22,6 m des bestehenden Bühnenturms erreichen darf.
3.2. Die Vorinstanz erwog dazu, das Baugesuch sei nach der revidierten Bau- und Nutzungsordnung der Stadt Baden vom 10. Dezember 2013 / 2. September 2014 (BNO) zu beurteilen. Die Bauparzelle liege gemäss dem Nutzungsplan vom 10. Dezember 2013 in der Parkzone (PA), für welche die Bau- und Nutzungsordnung der Stadt Baden keine Grundmasse festlege. Gemäss der Rechtsprechung des Verwaltungsgerichts seien daher die zulässigen Grundmasse im Einzelfall vorzunehmen. Dabei seien a) die allgemeinen Bestimmungen der Bau- und Zonenordnung, b) die speziellen Bestimmungen der angrenzenden Zonen und c) die speziellen Bestimmungen derjenigen Zonen, in denen das Bauvorhaben am ehesten zu realisieren wäre, als Kriterien heranzuziehen. Jedoch dürfe die maximale Gesamthöhe, die sich nach Massgabe einer Referenzzone ergebe, überschritten werden, wenn dies aufgrund einer Abwägung der öffentlichen und privaten Interessen begründet erscheine und die Grundmassstäblichkeit der geltenden Ordnung insgesamt nicht erheblich gestört und verletzt werde. Auch bei einem hohen öffentlichen Interesse sei es dem Gemeinderat verwehrt, die in vergleichbaren Zonen bestehenden Vorschriften erheblich zu überschreiten (vgl. AGVE 2002, S. 232 ff. mit Hinweisen).
Ausgehend von diesen Grundsätzen führte die Vorinstanz zusammengefasst aus, das Kurtheater diene einem kulturellen und gemeinnützigen Zweck, weshalb es grundsätzlich in die Zone für öffentliche Bauten und Anlagen (OeB) gehöre, in der es sich ursprünglich befunden habe. Für diese Zonen lege § 6 Abs. 1 BNO einzig den kleinen Grenzabstand fest (5 m). Die anderen Grundmasse seien - wie in der Parkzone - vom Stadtrat im Einzelfall festzulegen. Immerhin schreibe § 20 BNO für die Zone für öffentliche Bauten und Anlagen vor, dass Ausmass der Bauten und die Gesamthöhe auf die angrenzenden Zonen Rücksicht zu nehmen hätten. Demnach komme diesem Kriterium vorliegend eine prioritäre Bedeutung zu. Das Kurtheater liege im nördlichen Teil des Kurparks, der gegen Norden an die Wohnzone W3 und gegen Westen an die Gewerbezone G5 grenze. Da das Kurtheater primär einen räumlichen Bezug zu diesen Zonen aufweise, seien zur Bestimmung der Grundmasse primär diese Zonen beizuziehen. Für die Wohnzone W3 schreibe § 6 Abs. 1 BNO eine maximale Gesamthöhe von 13,5 m vor. Für die Gewerbezone G5 betrage diese Höhe 20 m, wobei sie auf 22 m erhöht werden könne, wenn die Baute sich gut ins Strassen- und Quartierbild einordne und die Nachbarn nicht übermässig beeinträchtige. Zur Bestimmung der zulässigen Gesamthöhe des umstrittenen Anbaus dürfe aufgrund des engen räumlichen Bezugs zur Wohnzone W3 nicht einseitig auf die Vorschriften für die Gewerbezone G5 abgestellt werden, weil darauf zu achten sei, dass zwischen diesen beiden Zonen eine langsam steigende Verdichtung erreicht werde. Zwischen den Zonen G5 und W3 ergebe sich ein Mittelwert von 17,75 m. Werde allein auf die Masse für die Umgebung Bezug genommen, sei die geplante Anbaute mit einer Gesamthöhe von 22,6 m klar zu hoch. Sie überschreite sogar die in der Zone G5 unter bestimmten Umständen maximal zulässige Gebäudehöhe geringfügig. Das in westlicher Richtung direkt gegenüber dem Kurtheater gelegene Gebäude der Motor Columbus sei 19,65 m hoch. Die Augenscheinverhandlung vom 5. April 2016 habe gezeigt, dass das Kurtheater im Vergleich mit den umliegenden Gebäuden zwar sehr hoch sei und die bestehende Situation durch den Anbau noch akzentuiert werde. Trotzdem könne das künftige erweiterte Theatergebäude namentlich mit Blick auf die höhenmässig abgestuften Fassaden in seinen Dimensionen nicht als dermassen wuchtig und mächtig bezeichnet werden, dass es in seiner Umgebung als Fremdkörper in Erscheinung treten würde, zumal dem Kurtheater keine Alleinstellung im Sinne eines absoluten Solitärs zukomme und es sich in einer sehr dicht besiedelten, städtisch geprägten Umgebung durchaus in den bestehenden Rahmen einzufügen vermöge. Daher sei eine erhebliche Störung der Grundmassstäblichkeiten zu verneinen. Für die Zulassung der umstrittenen Gebäudehöhe würden verschiedene öffentliche Interessen sprechen: Die betriebliche Optimierung des bestehenden Theaters mit hohen Besucherzahlen und grosser Veranstaltungsdichte sei für die Stadt Baden von erheblichem öffentlichen Interesse, weil das kulturelle Angebot für diese Stadt als regionales Zentrum und Bäder-Kurort wichtig sei. Der umstrittene Anbau sei zwar nicht ultimativ betrieblich notwendig, weil auch ohne ihn weiterhin Theater gespielt werden könne. Er bringe jedoch mit dem Verzicht auf das Nebengebäude Nr. 1001 und der Konzentration aller Räume unter einem Dach eine Vereinfachung der Abläufe und damit eine erhebliche betriebliche Optimierung. Es werde weiterhin ein Proberaum benötigt, in dem sich die Künstler auf die Veranstaltung vorbereiten können. Eine Auslagerung der Administration würde die Betriebsabläufe erschweren. Der Beschwerdeführer anerkenne die Raumbedürfnisse der Beschwerdegegnerin grundsätzlich, sei aber der Meinung, es kämen andere Lösungen bzw. bessere Projekte mit weniger hohen Anbauten in Betracht. Es mache jedoch aus gestalterischen Gründen durchaus Sinn, beim Anbau die Höhe des bestehenden Bühnengebäudes samt aufgesetztem Bühnenturm zu übernehmen, so dass wiederum höhenmässig abgestufte Fassaden entstehen, die sich am heutigen Erscheinungsbild orientieren. Der bestehende Bühnenturm könne durch die geplante Erweiterung sogar besser in die Volumetrie eingebunden werden. Jedenfalls hätten die hoch dotierte Jury und die Stadtbildkommission das Siegerprojekt als gut befunden. Zudem könne der Anbau nicht höhenmässig redimensioniert werden, ohne die Anlieferung zu gefährden. Zwischenlösungen gebe es für die Beschwerdegegnerin nicht. Mit dem Abriss des Gebäudes Nr. 1001 werde der Kurpark optisch gegen die Römerstrasse geöffnet, was den Park entlang dieser Strasse aufwerte. Wesentliche öffentliche Interessen, die gegen den umstrittenen Anbau sprechen, seien trotz der Unterschutzstellung des Kurparks und des Kurtheaters nicht ersichtlich, weshalb die kantonale Denkmalpflege dem Baugesuch zugestimmt habe.
Dem Theateranbau stehe das private Interesse des Beschwerdeführers an der Verhinderung des Schattenwurfs auf seine Liegenschaft entgegen. Gemäss dem vom Stadtrat Baden eingereichten Schattenwurfdiagramm würden an einem mittleren Wintertag (8. Februar) Teile der Liegenschaft des Beschwerdeführers über zwei Stunden im Schatten des erweiterten Kurtheaters liegen. Betroffen seien die südöstliche Ecke der Liegenschaft und der daran anschliessende runde Anbau. Die Überschreitung des "Zwei-Stunden-Schattens" während des Winterhalbjahres stelle in Bezug auf diese ausschliesslich Wohnzwecken dienenden Liegenschaft eine nicht unerhebliche Beeinträchtigung dar, die jedoch dadurch relativiert werde, dass nur Teile davon beeinträchtigt würden und der hauptsächlich betroffene runde Anbau gegen Süden keine Fenster aufweise. Weiter würde die relativ nahe Fassade des geplanten Anbaus den Ausblick von der Liegenschaft des Beschwerdeführers spürbar beeinträchtigen, was ein privates Interesse an der Einhaltung der Grundmassstäblichkeit der geltenden Ordnung begründe.
Zusammengefasst kam die Vorinstanz zum Ergebnis, da der geplante Erweiterungsbau die Grundmassstäblichkeit der geltenden Ordnung zwar tangiere, aber nicht erheblich störe, sei eine Interessenabwägung vorzunehmen. Dabei könne das erhebliche private Interesse gegen die Einschränkung die Besonnung der Liegenschaft des Beschwerdeführers das gewichtigere öffentliche Interesse an der Errichtung des stritten Anbaus nicht aufwiegen, weil diesbezüglich der Handlungsspielraum eingeschränkt sei und es gute architektonische Gründe dafür gebe, bei der Erweiterung die Höhe des Bühnenturms zu übernehmen.
3.3. Der Beschwerdeführer macht geltend, der vorinstanzliche Entscheid sei bezüglich der bewilligten Gesamthöhe des Anbaus von 22,6 m willkürlich. Die Vorinstanz habe die zulässige Gesamthöhe anhand der in § 6 BNO festgelegten Grundmasse für die Zonen OeB, W3 und G5 in offensichtlich unhaltbarer Weise festgelegt, weil sie in krasser Weise den Grundsatz verletze, dass auf die benachbarten Zonen angemessen Rücksicht zu nehmen ist. Die Vorinstanz bezeichne die bewilligte Gesamthöhe im Verhältnis zum Mittel der zulässigen Gebäudehöhen in den Zonen G5 und W3 als "klar zu hoch". Der geplante Bau würde damit die aufgrund eines Vergleichs mit den umliegenden Zonen ermittelte zulässige Gesamthöhe massiv überschreiten, was die Grundmassstäblichkeit erheblich störe. Mit der Zulassung der Gesamthöhe des Anbaus von 22,6 m missachte die Vorinstanz somit in willkürlicher Weise ihre eigene Praxis zur Bestimmung der maximalen Gesamthöhe in Bauzonen, die keine Grundmasse festlegen. Die Vorinstanz habe demzufolge die §§ 6, 20 und 21 BNO in offensichtlich unhaltbarer Weise angewendet.
3.4. Zwar trifft zu, dass gemäss der angerufenen Rechtsprechung des Verwaltungsgerichts des Kantons Aargau die für die Parkzone nicht ziffernmässig definierte zulässige Höhe eines Gebäudes unter Rücksichtnahme der Gebäudehöhen in angrenzenden Zonen zu bestimmen ist. Der Begriff der "Rücksichtnahme" und die dazu von der Rechtsprechung entwickelten Kriterien, dass die Grundmassstäblichkeit der geltenden Ordnung insgesamt nicht "erheblich" gestört werden darf, und die in den vergleichbaren Zonen bestehenden Vorschriften nicht "erheblich" überschritten werden dürfen, belassen den Rechtsanwendungsbehörden jedoch einen weiten Ermessensspielraum. Inwiefern dieser Spielraum im vorliegenden Fall überschritten sein soll, legt der Beschwerdeführer mit dem Verweis auf die vorinstanzliche Angabe, dass die Gebäudehöhe im Verhältnis zu den Regelungen der umliegenden Zonen "klar zu hoch" sei, nicht substanziiert dar. Dies ist auch nicht ersichtlich, da mit dem vorliegenden Bauprojekt das bestehende Kurtheater mit seiner bisherigen Höhe bloss gegen Norden hin erweitert werden soll und sich gegenüber dem Theater auf der anderen Seite der Parkstrasse das 19,65 m hohe dominante Gebäude der Motor Columbus befindet, das vom Haus des Beschwerdeführers sichtbar ist. Unter diesen Umständen durfte die Vorinstanz willkürfrei davon ausgehen, der geplante Anbau störe trotz der deutlichen Überschreitung der in den massgeblichen Vergleichszonen massgebenden Höhenbeschränkungen die Grundmassstäblichkeit der geltenden Ordnung insgesamt nicht erheblich. Demnach hat die Vorinstanz diesbezüglich weder das Gewaltenteilungs- noch das Legalitätsprinzip verletzt.
4.
4.1. Weiter rügt der Beschwerdeführer dem Sinne nach, die Vorinstanz sei in Willkür verfallen, wenn sie die öffentlichen Interessen an der Erstellung des Hinterbühnenanbaus als so gewichtig angesehen habe, dass sie einen Bau rechtfertigen können, der bedeutend höher sei als die Maximalhöhen in den benachbarten Zonen. Es möge ein öffentliches Interesse daran bestehen, dass die Beschwerdegegnerin zur Befriedigung ihrer Raumbedürfnisse einen Anbau errichten könne. Daran, dass dieser eine Gesamthöhe von 22,6 m erreiche, bestehe jedoch weder eine betriebliche Notwendigkeit noch ein öffentliches Interesse. Entgegen der Meinung der Vorinstanz könne die Frage, ob die Raumaufteilung des Projekts sinnvoll sei, nicht der Beurteilung der Theaterfachleute, d.h. den Vertretern der Beschwerdegegnerin, überlassen werden. Der Regierungsrat habe in seinem Entscheid vom 25. März 2015 eine eigentliche betriebliche Notwendigkeit für eine Gebäudehöhe von 20 m anstatt 19 m verneint und angenommen, die Erreichung der genannten Ziele sei wohl auch mit einer Baute mit einer Höhe von 19 m möglich. Die Vorinstanz zitiere diese Feststellung, ohne zu begründen, weshalb sie von diesem Schluss abweiche und sogar eine Gesamthöhe von 22,6 m zulasse, obwohl diese für die Probebühne nicht betriebsnotwendig sei. Soweit die Vorinstanz ausführe, es mache aus gestalterischen Gründen durchaus Sinn, beim Anbau die Höhe des bestehenden Gebäudes mit dem Bühnenturm zu übernehmen, lasse sie ausser Acht, dass mit der vorgesehenen Verlängerung des Bühnenturms um 9,5 m sein Volumen mehr als verdoppelt würde. Angesichts der privaten Interessen des Beschwerdeführers an der Besonnung seines Hauses und der Verpflichtung, auf die benachbarten Zonen Rücksicht zu nehmen, sei es in städtebaulicher Hinsicht weder zwingend noch wünschbar, mit der geplanten Vergrösserung der Hinterbühne die Höhe des bestehenden Bühnenturms zu übernehmen. Dies verlange auch der Denkmalschutz nicht, da der Turm ein unansehnlicher Zweckbau aus dem Jahre 1993 sei. Der Beschwerdeführer habe mit der Stellungnahme der Architektin des ursprünglichen Kurtheaters, welche die Erhöhung des Bühnenturms im Jahre 1993 massiv kritisiert habe, und mit dem Wettbewerbsprojekt Burkard Meyer, das keine Erweiterung des bestehenden Bühnenturms vorgesehen habe, nachgewiesen, dass offensichtlich andere architektonische und organisatorische Möglichkeiten bestünden, das Raumprogramm der Beschwerdegegnerin unterzubringen. Die bewilligte Höhe des Anbaus sei somit weder betrieblich noch gestalterisch notwendig.
4.2. Mit diesen Ausführungen widerlegt der Beschwerdeführer nicht, dass am Abriss des Studiogebäudes ein öffentliches Interesse besteht, weil damit der Kurpark gegen Norden geöffnet wird. Diese Öffnung entspricht im Übrigen auch dem privaten Interesse des Beschwerdeführers, weil er damit von seinem Haus aus einen erheblich erweiterten Einblick in den Kurpark erhält. Damit besteht an der Überführung der Räumlichkeiten im Studiogebäude in das Hauptgebäude des Theaters sowohl ein öffentliches als auch ein privates Interesse. Zudem vermag der Beschwerdeführer nicht zu widerlegen, dass es für den Betrieb des Kurtheaters wichtig ist, auch weiterhin über einen Proberaum zu verfügen, zumal es naheliegend ist, dass auch gastierende Theater-, Opern- und Tanzgruppen Räume brauchen, in denen sich die Künstler einsingen, eintanzen oder sonst auf die Veranstaltung vorbereiten können. Demnach besteht auch dann ein öffentliches Interesse an einem Proberaum, wenn ein solcher für den Gasttheaterbetrieb nicht absolut betriebsnotwendig ist.
Das vom Beschwerdeführer angerufene Projekt des Architekturbüros Burkard Meyer sah zwar keine Erweiterung des Bühnenturms, dafür jedoch eine Erweiterung des Theatergebäudes gegen Westen hin bis zum Trottoir der Parkstrasse vor. Der Beschwerdeführer legt nicht dar, dass eine solche Erweiterung für die Bau- und Denkmalbehörden akzeptabel gewesen wäre. Dies erscheint äusserst fraglich, weil die damit verbundene Verringerung der Grünfläche und die Fällung von zwei grossen Eichen dem im ISOS festgehaltenen Ziel, die für das Ortsbild wesentliche Vegetation zu erhalten, widersprochen hätte. Die Erweiterung des Theatergebäudes gegen Westen hin hätte zudem seine Struktur und die Gesamterscheinung grundlegend verändert, was zu Widersprüchen mit dem Denkmalschutz hätte führen können. Demnach durfte die Vorinstanz willkürfrei davon ausgehen, das abgelehnte Wettbewerbsprojekt des Architekturbüros Burkard Meyer vermöge nicht zu widerlegen, dass die Raumbedürfnisse der Beschwerdegegnerin ohne Räume oberhalb der Hinterbühne nicht befriedigt werden können. Etwas anderes kann auch aus den Erwägungen des Regierungsratsbeschlusses vom 25. März 2015 nicht abgeleitet werden. Darin wird zusammengefasst ausgeführt, der geplante Anbau mit einer Gebäudehöhe von 20 m überschreite die zulässige Gebäudehöhe von 19 m um einen Meter (Ziff. 10.4.1). Zwar könnten die Umbauziele wohl auch mit einer Baute mit einer Höhe von 19 m erreicht werden. Bei dieser Höhe könnte jedoch die bereits bestehende Höhe des Kurtheaters nicht weitergeführt werden, was mit der Ästhetik des zumindest teilweise geschützten Kurtheaters nicht verträglich wäre. Das Erhöhen des Referenzmasses um einen Meter sei daher durch die Anforderungen an das Erscheinungsbild der bestehenden Baute bedingt (E. 10.5.3). Damit ging der Regierungsrat im Übereinstimmung mit der Vorinstanz davon aus, dass es gestalterisch sinnvoll sei, für den Anbau die Höhe des bestehenden Bühnenturms fortzuführen. Inwiefern dies unhaltbar sein soll, legt der Beschwerdeführer nicht substanziiert dar. Dies ist auch nicht ersichtlich, zumal er den Bühnenturm als "unansehnliche Zweckbaute" bezeichnet und die Architektin Lisbeth Sachs in den vom Beschwerdeführer eingereichten Notizen vom Mai und August 1990 sinngemäss ausführte, bei der Veränderung des Bauwerks müsse das Neue mit dem Bestehenden wieder proportioniert bzw. harmonisch sein; durch die vorgesehene Erhöhung des Bühnenturms um 3 m fiele die Bauanlage ästhetisch auseinander, weil der angeschlagene Architekturstil von 1952 nicht feinfühlig fortgesetzt, sondern gestört würde. Dies wird dadurch bestätigt, dass der Bühnenturm gemäss den in den Akten befindlichen Fotos im Verhältnis zum Hauptgebäude als "aufgesetzter" Fremdkörper empfunden werden kann. Demnach ist durchaus vertretbar anzunehmen, der bestehende Bühnenturm sei im Verhältnis zum übrigen Theatergebäude nicht gut proportioniert und könne durch eine Erweiterung nach Norden zusammen mit dem ebenfalls verlängerten Hauptgebäude zu einer harmonischeren Gesamterscheinung führen. Aus dem Gesagten folgt, dass die Vorinstanz nicht in Willkür verfiel, wenn sie aus betrieblichen und ästhetischen Gründen erhebliche öffentliche Interessen an der Verwirklichung des umstrittenen Anbaus mit der vorgesehenen Gesamthöhe bejahte.
5.
5.1. Weiter bringt der Beschwerdeführer vor, die Höhe des Anbaus von 22,6 m führe für ihn zu einer unzumutbaren Beschattung, zumal an einem mittleren Wintertag (8. Februar) Teile seiner Liegenschaft über zwei Stunden im Schatten des erweiterten Kurtheaters liegen würden. Dies sei mit der erforderlichen Rücksichtnahme auf die benachbarten Grundstücke nicht vereinbar. Die Vorinstanz gehe davon aus, die Überschreitung des Zwei-Stunden-Schattens während des Winterhalbjahrs stelle eine "nicht unerhebliche Beeinträchtigung" seiner Liegenschaft dar. Demnach sei das private Interesse des Beschwerdeführers, dass die Besonnung gegenüber dem Ist-Zustand nicht zusätzlich eingeschränkt werde, gewichtig, weshalb die Anwendung der Praxis zur Referenzzone und § 20 Abs. 2 BNO zwingend zum Schluss führen müsse, dass ein Gebäude in der bewilligten Höhe in unmittelbarer Nachbarschaft zur Liegenschaft des Beschwerdeführers im Süden seiner Hauptwohnseite unzulässig sei.
5.2. Zwar trifft zu, dass das Bundesgericht zum Ergebnis kam, ausgehend von den bestehenden kantonalen Regelungen und den systematischen Studien über den Entzug von Sonnenschein, sei zu schliessen, die zulässige Dauer des Schattenwurfs auf eine Nachbarliegenschaft dürfe in der Regel höchstens zwei Stunden bei Tag- und Nachtgleiche oder an einem mittleren Wintertag betragen. Das Bundesgericht betonte jedoch, dass diesen Angaben keine empirische Bedeutung zukommt, da die Frage der minimalen Besonnung von Wohnungen noch wissenschaftlicher Abklärungen bedürfe (<ref-ruling> E. 9b S. 338 ff.; vgl. auch Urteil 1C_539/2011 vom 3. September 2012 E. 4.3; <ref-ruling> E. 4 S. 150; <ref-ruling> E. 8b S. 141; je mit Hinweisen). Das Bundesgericht unterstrich zudem, dass mit der in gewissen Kantonen vorgesehenen Regelung, wonach nur ein zweistündiger Verlust der Besonnung zulässig sei, die Beschattung des ganzen Gebäudes gemeint sei. Wenn nur ein Teil des Gebäudes oder der betroffenen Parzelle beschattet würde, müsse dies bei der Beurteilung der geltend gemachten Beeinträchtigung berücksichtigt werden (<ref-ruling> E. 9d S. 341; vgl. auch: Entwurf einer Europäischen Norm betreffend Tageslicht in Gebäuden, prEN 17037, Juli 2016, Anhang D, Ziff. 1, in dem ausgeführt wird, in jedem Einfamilienhaus oder jeder Wohnung sollte mindestens ein bewohnbarer Innenraum sonnenbestrahlt sein). Zudem kann die Grössenordnung von zwei Stunden gemäss der Rechtsprechung des Bundesgerichts keinen absoluten Charakter haben und für sich allein entscheidend sein. Vielmehr müssen die Umstände des Einzelfalls und insbesondere die öffentlichen Interessen berücksichtigt werden, die eine Erhöhung der Beschattung rechtfertigen können (<ref-ruling> E. 9d S. 341; vgl. auch Urteil 1C_539/2011 vom 3. September 2012 E. 4.3). Entsprechend hat das Bundesgericht unter Berücksichtigung des öffentlichen Interesses der haushälterischen Bodennutzung eine Beschattung an mittleren Wintertagen während insgesamt drei Stunden und 16 Minuten als zulässig erachtet (Urteil 1C_539/2011 vom 3. September 2012 E. 4.4 und E. 4.9).
5.3. Gemäss den vorinstanzlichen Feststellungen würden an einem mittleren Wintertag (8. Februar) die südöstliche Ecke der Liegenschaft des Beschwerdeführers und der daran anschliessende runde Anbau über zwei Stunden im Schatten des erweiterten Kurtheaters liegen. Damit würde jedoch der weit überwiegende Teil des Hauptgebäudes durch den umstrittenen Theateranbau an mittleren Wintertagen nicht mehr als zwei Stunden beschattet, weshalb die Vorinstanz in vertretbarer Weise davon ausgehen konnte, die Beeinträchtigung durch den Schatten würde dadurch relativiert, dass davon nur Teile der Liegenschaft des Beschwerdeführers betroffen wären. Daran vermag nichts zu ändern, dass der Rundbau gemäss den durch Fotos belegten Darlegungen des Beschwerdeführers entgegen der vorinstanzlichen Feststellung in Richtung Süden (bzw. Südosten) teilweise mit Fenstern verglast ist, was die Beschwerdegegnerin in ihrer Duplik ausdrücklich anerkennt. Der vorinstanzlichen Eventualerwägung, dass die Problematik der Beschattung ohne die Erweiterung des bestehenden Bühnenturms nicht (wesentlich) entschärft würde, kommt nach dem Gesagten keine entscheiderhebliche Bedeutung zu, weshalb auf die dagegen gerichtete Kritik des Beschwerdeführers nicht einzutreten ist.
5.4. Schliesslich macht der Beschwerdeführer geltend, von seiner Liegenschaft aus betrachtet führe die relativ nahe, 22,6 m hohe Fassade des geplanten Anbaus zu einer spürbaren Beeinträchtigung des Ausblicks, zumal die Fassade von dort aus gesehen als bedrohliche Staumauer erscheine. Dies sei aufgrund der Bauprofile deutlich erkennbar, weshalb ein Augenschein zweckdienlich sei. Dass die Vorinstanz bei der vorliegenden Sachlage die privaten Interessen des Beschwerdeführers den Bedürfnissen der Beschwerdegegnerin unterordne, sei offensichtlich unhaltbar und stehe zur tatsächlichen Situation in klarem Widerspruch.
5.5. Gemäss den in den Akten befindlichen Fotos mit den Bauprofilen beschränkt der umstrittene Anbau, vom Haus des Beschwerdeführers aus betrachtet, im Wesentlichen die Sicht auf den Himmel, ohne dabei jedoch erdrückend zu wirken, zumal der obere Teil des Anbaus zum Haus des Beschwerdeführers einen Gebäudeabstand von ca. 28,5 m aufweisen soll. Demnach erübrigt sich insoweit die Durchführung eines Augenscheins. Hinzu kommt, dass die Aussicht des Beschwerdeführers in den Kurpark durch den Abbruch des Gebäudes Nr. 1001 verbessert wird. Unter diesen Umständen ist es durchaus vertretbar, bezüglich der Aussicht gewichtige private Interessen des Beschwerdeführers zu verneinen.
5.6. Zusammenfassend ergibt sich, dass die Vorinstanz nicht in Willkür verfiel, wenn sie annahm, die privaten Interessen des Beschwerdeführers an der Vermeidung der teilweisen Überschreitung der Zwei-Stunden-Beschattung und der Beschränkung der Aussicht seien als weniger gewichtig zu qualifizieren als die öffentlichen und privaten Interessen an der Errichtung des umstrittenen Theateranbaus mit den vorgesehenen Dimensionen.
6.
Gemäss den vorstehenden Erwägungen ist die Beschwerde abzuweisen, soweit darauf einzutreten ist. Bei diesem Ausgang des Verfahrens sind die Gerichtskosten dem unterliegenden Beschwerdeführer aufzuerlegen (<ref-law>). Dieser hat der anwaltlich vertretenen privaten Beschwerdegegnerin eine angemessene Parteientschädigung auszurichten (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 4'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3.
Der Beschwerdeführer hat die private Beschwerdegegnerin für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 4'000.-- zu entschädigen.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien, dem Stadtrat Baden, dem Regierungsrat und dem Verwaltungsgericht des Kantons Aargau, 3. Kammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 5. Januar 2017
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Merkli
Der Gerichtsschreiber: Gelzer