Sachverhalt:
A.
A._ (Schiedsbeklagter und Beschwerdeführer) und die B._ AG (Schiedsklägerin und Beschwerdegegnerin) sind je Eigentümer von grossen, unmittelbar nebeneinander liegenden Kieslandparzellen im Gebiet von U._/TG.
Das Kiesabbaugeschäft besteht aus den Komponenten Abbau, Wiederauffüllung und Rekultivierung. Um einen geordneten, aufeinander abgestimmten Kiesabbau im Sinne des kantonalen Richtplanes sicherzustellen, einigten sich die Parteien mit Vereinbarung vom 26. Januar 2011 auf einen örtlich und zeitlich definierten Abbauplan. Mit ebenfalls vom 26. Januar 2011 datierendem Vertrag regelten die Parteien die Modalitäten zur Sicherstellung der Massenbilanz, das Nutzungsentgelt und die Rekultivierungspflicht.
Ziff. 9 dieses Vertrags sieht folgende Schiedsklausel vor:
"Für allfällige Streitigkeiten um die Erfüllung des vorliegenden Vertrags bestimmen die Parteien Rechtsanwalt Dr. Mike Gessner, bei dessen Verhinderung Rechtsanwalt Dr. Simon Ulrich, Frauenfeld, zum Einzelschiedsrichter. Der Sitz des Schiedsgerichts befindet sich in Frauenfeld. Es gelten die Bestimmungen der eidgenössischen Zivilprozessordnung zur Schiedsgerichtsbarkeit. Einem förmlichen Verfahren soll in jedem Fall ein Einigungsversuch durch den Schiedsrichter vorangehen. (...) "
In der Folge entzündete sich zwischen den Parteien ein Streit im Zusammenhang mit ihren unmittelbar nebeneinander liegenden Kiesparzellen.
B.
B.a. Mit Eingabe vom 5. Oktober 2012 ersuchte die B._ AG das im Vertrag vom 26. Januar 2011 vereinbarte Einzelschiedsgericht um Mediation. Auf dessen Vermittlung schlossen die Parteien am 13. Oktober 2012 einen Vergleich hinsichtlich eines Teils der umstrittenen Punkte. Weitere Einigungen konnten trotz diverser Vermittlungsversuche des Schiedsrichters nicht mehr erzielt werden.
B.b. Mit Schiedsklage vom 27. Februar 2013 stellte die Schiedsklägerin dem Schiedsgericht unter anderem folgendes Rechtsbegehren:
2. Es sei der Beklagte zu verpflichten, der Klägerin Schadenersatz zu bezahlen wie folgt:
- Fr. 1'607.40 für Kostenaufwand im Zusammenhang mit dem gestörten Massenausgleich Kies;
- im Zusammenhang mit von Parz. xx auf Parz. yy abgerutschtem/ abgelaufenen Erdmaterial: Fr. 33.-- je Kubikmeter von Parz. xx auf Parz. yy abgerutschtem Erdmaterial gemäss Ergebnis des Beweisverfahrens, mindestens aber Fr. 17'400.--; Fr. 990.-- für aus diesem Vorgang auf Parz. yy verschmutztes Kies."
Zur Begründung führt die Schiedsklägerin auf Seite 8 der Klageschrift Folgendes aus:
"Die eingeklagten Ansprüche der Klägerin haben unterschiedliche Rechtsgründe. Soweit sie sich aus der Vereinbarung vom 31.10.2012 oder dem Vertrag betreffend Kiesabbau (...) herleiten, sind sie vertraglicher Natur, was für die Rechtsbegehren (...) Ziff. 2 Al. 1 (...) zutrifft. Die weiteren Begehren (Ziff. 2. Al. 2 [...]) basieren auf den nachbarrechtlichen Bestimmungen des ZGB (Art. 685 i.V.m. <ref-law>).
(...)
Mit dem Rechtsbegehren Ziff. 2 macht die Klägerin Schadenersatz geltend. Mit Al. 1 sind die entstandenen Kosten für die beiden gutachterlichen Beurteilungen im Zusammenhang mit den Sicherheitsbedenken beim Massenausgleich Kies eingeklagt, welche sich auf insgesamt Fr. 1'607.40 belaufen. Der Anspruch ergibt sich aus dem vertraglichen Mängelrecht. (...) Mit Al. 2 wird nachbarrechtlicher Schadenersatz für die Beseitigung des von Parz. xx auf Parz. yy abgerutschten Schlammes/Erdmaterials geltend gemacht (...)."
Mit Klageantwort vom 3. Mai 2013 beantragte der Schiedsbeklagte die Abweisung der Klage. Unter dem Titel "I. Formelles " führte er aus, dass er die Zuständigkeit des Schiedsgerichts nicht bestreite. Zum Klagebegehren Ziff. 2 hielt er fest, dass die Expertisekosten nicht notwendig gewesen und zudem auch nicht kausal auf vertragsverletzendes Verhalten des Schiedsbeklagten zurückzuführen seien. Den Anspruch auf Schadenersatz wegen abgerutschtem Material bestritt der Schiedsbeklagte mit der Begründung, die Schiedsklägerin habe im fraglichen Bereich am 23. November 2012 den Grenzpunkt versetzt und ihm in der Folge die Durchfahrt verboten. Aus diesem Grund habe er den Schlamm nicht mehr erreichen und auch keine Vorkehren gegen weiteres Abrutschen treffen können.
Anlässlich der Hauptverhandlung vom 23. Mai 2013 erneuerte die Schiedsklägerin ihr Rechtsbegehren Ziff. 2 in einer leicht modifizierten Form:
"2. Es sei der Beklagte zur Leistung von Schadenersatz an die Klägerin wie folgt zu verpflichten:
- Fr. 1'607.40 für Kostenaufwand i.Z. mit dem gestörten Massenausgleich Kies;
- Fr. 33.--/m3 von Parz. xx auf Parz. yy abgerutschtes Schlamm-Material gemäss Ergebnis des Beweisverfahrens, mindestens aber Fr. 50'000.-;
- Fr. 990.-- für aus diesem Vorgang verschmutztes Kies."
Auch an der Hauptverhandlung bestritt der Schiedsbeklagte die Zuständigkeit des Schiedsgerichts zur Beurteilung der Schiedsklage nicht.
B.c. Mit Teilurteil vom 8. Februar 2016 beschränkte das Schiedsgericht das Verfahren auf die Beurteilung des Klagebegehrens Ziff. 2 betreffend die Frage der Schlammentsorgung und entschied wie folgt:
"1. Die Klage (Ziffer 2 der Rechtsbegehren der Klägerin B._ AG in der Fassung vom 23. Mai 2013) wird im Sinne der Erwägungen gutgeheissen und der Beklagte A._ verpflichtet, der Klägerin B._ AG Fr. 108'613.75 zu bezahIen.
2. Die Verfahrensgebühr für dieses TeilurteiI in der Höhe von Fr. 15'000.-- wird mit dem durch die Klägerin B._ AG geleisteten Kostenvorschuss von Fr. 15'000.-- verrechnet, womit die KIägerin B._ AG im Betrage von Fr. 15'000.-- Rückgriff auf den Beklagten A._ nehmen kann.
An Gutachtenskosten sind Fr. 2'357.10 angefallen. Sie werden mit dem Kostenvorschuss der KIägerin B._ AG im Betrag von Fr. 2'500.-- verrechnet (der Restbetrag von Fr. 142.90 wird der Klägerin B._ AG als Kostenvorschuss ans Schiedsgericht gutgeschrieben), womit die Klägerin B._ AG im Betrage von Fr. 2'357.10 Rückgriff auf den Beklagten A._ nehmen kann.
An Kosten für die vorsorgliche Beweisaufnahme sind Fr. 24'777.20 angefallen und von der Klägerin B._ AG bereits bezahlt worden, womit die Klägerin B._ AG im Betrage von Fr. 24'777.20 Rückgriff auf den Beklagten A._ nehmen kann.
3. (Regelung der Parteikosten) "
Das Schiedsgericht kam zum Schluss, dass der Schiedsbeklagte bei der Wiederverfüllung seiner Kiesgrube mit Deponiematerial nicht nach den einschlägigen Regeln der Baukunde vorgegangen sei und dadurch die schädigenden Schlammzuflüsse auf das Grundstück der Schiedsklägerin verursacht habe. Damit habe er im Sinne von <ref-law> sein Eigentum überschritten, weshalb er gestützt auf <ref-law> i.V.m. <ref-law> für den entstandenen Schaden hafte.
C.
Mit Beschwerde in Zivilsachen beantragt der Schiedsbeklagte dem Bundesgericht, es sei das Teilurteil vom 8. Februar 2016" wegen Kompetenzüberschreitung bzw. Kompetenzanmassung aufzuheben bzw. für unwirksam zu erklären ".
Die Schiedsklägerin und das Schiedsgericht beantragen in ihren Vernehmlassungen die Abweisung der Beschwerde, soweit Eintreten.
D.
Mit Präsidialverfügung vom 13. Mai 2016 wurde das Gesuch um Erteilung der aufschiebenden Wirkung abgewiesen.

Erwägungen:
1.
Das Bundesgericht prüft von Amtes wegen und mit freier Kognition, ob ein Rechtsmittel zulässig ist (<ref-law>; <ref-ruling> E. 2 S. 59; <ref-ruling> E. 1 S. 133; je mit Hinweisen).
1.1. Angefochten ist ein Teilschiedsspruch über eine Streitigkeit zwischen Parteien, die im Zeitpunkt des Abschlusses der Schiedsvereinbarung ihren Sitz in der Schweiz hatten. Weder in der Schiedsvereinbarung noch später haben die Parteien vereinbart, dass die Bestimmungen über die internationale Schiedsgerichtsbarkeit (<ref-law>) Anwendung finden sollen (vgl. <ref-law> [SR 272]). Es gelten somit die Regeln über die interne Schiedsgerichtsbarkeit gemäss dem 3. Teil der Schweizerischen Zivilprozessordnung (<ref-law>). Die Parteien haben von der ihnen durch <ref-law> eingeräumten Möglichkeit, als Rechtsmittelinstanz ein kantonales Gericht zu bezeichnen, nicht Gebrauch gemacht. Der ergangene Teilschiedsspruch unterliegt somit der Beschwerde an das Bundesgericht (Art. 389 Abs. 1 und Art. 392 lit. a ZPO sowie <ref-law>).
1.2. Die Beschwerdegründe gegen einen Schiedsspruch sind beschränkter als gegen ein staatliches Urteil; sie sind im Gesetz abschliessend aufgezählt (<ref-law>). Das Bundesgericht prüft zudem nur die Beschwerdegründe, die in der Beschwerde vorgebracht und begründet werden (<ref-law>). Diese Anforderung entspricht der nach <ref-law> für die Verletzung von Grundrechten vorgesehenen Rügepflicht (<ref-ruling> E. 5). Die beschwerdeführende Partei muss die einzelnen Beschwerdegründe, die nach ihrem Dafürhalten erfüllt sind, benennen; es ist nicht Aufgabe des Bundesgerichts, danach zu forschen, welcher Beschwerdegrund nach <ref-law> mit den einzelnen erhobenen Rügen geltend gemacht werden soll, wenn dies von der beschwerdeführenden Partei im Zusammenhang mit diesen nicht präzisiert wird. Sodann hat die beschwerdeführende Partei im Detail aufzuzeigen, warum die angerufenen Beschwerdegründe erfüllt sind, wobei sie mit ihrer Kritik an den als rechtsfehlerhaft erachteten Erwägungen des Schiedsgerichts anzusetzen hat (Urteil 4A_424/2011 vom 2. November 2011 E. 1.3 mit Hinweisen).
1.3. Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den das Schiedsgericht festgestellt hat (<ref-law>). Das Bundesgericht kann die Sachverhaltsfeststellung des Schiedsgerichts weder berichtigen noch ergänzen, selbst wenn diese offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruht (vgl. <ref-law>, der die Anwendbarkeit von <ref-law> sowie <ref-law> ausschliesst). Allerdings kann das Bundesgericht die tatsächlichen Feststellungen des angefochtenen Schiedsentscheids überprüfen, wenn gegenüber diesen Sachverhaltsfeststellungen zulässige Rügen im Sinne von <ref-law> vorgebracht oder ausnahmsweise Noven berücksichtigt werden (<ref-ruling> E. 2.2.1 S. 34; <ref-ruling> E. 3.1 S. 567; <ref-ruling> E. 5 S. 141; je mit Hinweisen). Wer sich auf eine Ausnahme von der Bindung des Bundesgerichts an die tatsächlichen Feststellungen des Schiedsgerichts beruft und den Sachverhalt gestützt darauf berichtigt oder ergänzt wissen will, hat mit Aktenhinweisen darzulegen, dass entsprechende Sachbehauptungen bereits im schiedsgerichtlichen Verfahren prozesskonform aufgestellt worden sind (vgl. <ref-ruling> E. 2 S. 90 mit Hinweisen).
2.
Der Beschwerdeführer rügt, das Schiedsgericht sei gemäss dem klaren Wortlaut der Schiedsklausel in Ziff. 9 des Vertrags vom 26. Januar 2011 nur zur Beurteilung vertragsrechtlicher Ansprüche im Zusammenhang mit der Vertragserfüllung, nicht aber zur Beurteilung ausservertraglicher Ansprüche aus Nachbarrecht zuständig gewesen. Das Schiedsgericht habe daher der Schiedsbeklagten keine Ansprüche aus Nachbarrecht zusprechen dürfen.
2.1. Nach <ref-law> ist die Einrede der Unzuständigkeit des Schiedsgerichts vor der Einlassung auf die Hauptsache zu erheben. Dabei handelt es sich um einen Anwendungsfall des Grundsatzes von Treu und Glauben (vgl. <ref-law>), der auch im Bereich der Schiedsgerichtsbarkeit zu beachten ist. Unterbleibt eine entsprechende Einrede, wird die Zuständigkeit kraft Einlassung begründet. Entsprechend anerkennt die Partei, die sich zur Sache geäussert hat, ohne einen entsprechenden Einwand zu erheben, die Zuständigkeit des Schiedsgerichts und kann sich in der Folge nicht mehr auf dessen Unzuständigkeit berufen (<ref-ruling> E. 2c/aa mit Hinweisen; Urteil 4A_172/2015 vom 29. September 2015 E. 3.1).
2.2. Der Beschwerdeführer gibt in seiner Beschwerdeschrift zu, dass er im Schiedsverfahren keine Unzuständigkeitseinrede erhoben hat. Er macht aber geltend, dass er bis zur Urteilsausfällung immer davon ausgegangen sei, dass es sich um eine Streitigkeit mit " ausschliesslich vertraglichem Hintergrund " handle. Er habe bis zur Zustellung des Teilurteils nicht wissen können, dass der Schiedsrichter den Streit als ausservertragliche Haftpflichtsache beurteilen würde.
2.3. Die Rüge geht fehl: Bereits in der Klageschrift vom 27. Februar 2013 hat die Beschwerdegegnerin ihr Rechtsbegehren Ziff. 2 unter anderem auf die nachbarrechtliche Bestimmung von <ref-law> und damit auf eine ausservertragliche Anspruchsgrundlage abgestützt. Der Beschwerdeführer wusste also schon zu Beginn des Verfahrens, dass die Beschwerdegegnerin ihre Ansprüche nicht nur aus Vertrag, sondern auch aus Nachbarrecht ableitet. In der Folge hat er aber in keiner Weise geltend gemacht, das Schiedsgericht sei zur Beurteilung nachbarrechtlicher Ansprüche nicht zuständig. Im Gegenteil hat sich der Beschwerdeführer bereits in seiner Klageantwort und anschliessend auch im weiteren Verfahrensverlauf mit der Argumentation der Beschwerdegegnerin auseinandergesetzt, ohne dabei geltend zu machen, dass nachbarrechtliche Ansprüche vom sachlichen Anwendungsbereich der Schiedsklausel ausgeschlossen seien. Damit hat er sich aber auf die Hauptsache vollumfänglich so eingelassen, wie sie von der Beschwerdegegnerin mit ihren Klagebegehren und ihrer Klagebegründung definiert wurde. Es ist ihm daher verwehrt, sich nunmehr im Beschwerdeverfahren vor Bundesgericht auf die Unzuständigkeit des Schiedsrichters zu berufen.
3.
Auf den Seiten 6 - 16 seiner Beschwerdeschrift ruft der Beschwerdeführer sinngemäss den Rügegrund von <ref-law> an. Er macht geltend, die bejahte Haftpflicht stelle "eine krasse Rechtsverletzung bzw. eine willkürliche Beurteilung " dar; die Annahme des Schiedsgerichts, dass der "Schlamm-Schaden" in quantitativer Hinsicht belegt und bewiesen sei, sei " aktenwidrig und willkürlich ", und der Umstand, dass das Schiedsgericht "eine als solche und in der Höhe unbewiesene Schadensposition" zuspreche, bedeute eine " offensichtliche Rechtsverletzung ".
3.1. Gemäss <ref-law> kann gegen den Schiedsspruch vorgebracht werden, er sei im Ergebnis willkürlich, weil er auf offensichtlich aktenwidrigen tatsächlichen Feststellungen oder auf einer offensichtlichen Verletzung des Rechts oder der Billigkeit beruht. Die Umschreibung des Willkürtatbestandes in <ref-law> stimmt mit dem Begriff der Willkür überein, den das Bundesgericht zu <ref-law> entwickelt hat (<ref-ruling> E. 3.4 S. 48). Willkürlich ist ein Entscheid danach nicht schon dann, wenn eine andere Lösung ebenfalls vertretbar erscheint oder gar vorzuziehen wäre, sondern erst, wenn er offensichtlich unhaltbar ist, zur tatsächlichen Situation in klarem Widerspruch steht, eine Norm oder einen unumstrittenen Rechtsgrundsatz krass verletzt oder in stossender Weise dem Gerechtigkeitsgedanken zuwiderläuft (<ref-ruling> E. 2.4 S. 5; <ref-ruling> E. 2.2.2 S. 318 f.). Die Tatbestände, hinsichtlich derer Willkür im genannten Sinne geltend gemacht werden kann, sind jedoch eingeschränkt. Eine Einschränkung der Willkürrüge betrifft Tatsachenfeststellungen. Es kann einzig offensichtliche Aktenwidrigkeit vorgebracht werden; diese ist nicht mit willkürlicher Beweiswürdigung gleichzusetzen. Offensichtlich aktenwidrige tatsächliche Feststellungen im Sinne von <ref-law> trifft das Schiedsgericht dann, wenn es sich infolge Versehens mit den Akten in Widerspruch gesetzt hat, sei es, dass es Aktenstellen übersehen oder ihnen einen anderen als den wirklichen Inhalt beigemessen hat, sei es, dass es irrig davon ausgegangen ist, eine Tatsache sei aktenmässig belegt, während die Akten in Wirklichkeit darüber keinen Aufschluss geben. Aktenwidrigkeit liegt nur vor, wenn der Richter bei der Beweiswürdigung von unrichtigen tatsächlichen Prämissen ausgeht; das Ergebnis und die Art und Weise der Beweiswürdigung sowie die darin liegenden Wertungen sind nicht Gegenstand der Willkürrüge, sondern einzig Tatsachenfeststellungen, die von keiner weiteren Würdigung abhängen, weil sie mit den Akten unvereinbar sind (<ref-ruling> E. 3.6 und 3.7 S. 49 f.; Urteile 4A_454/2011 vom 27. Oktober 2011 E. 2.2; 4A_424/2011 vom 2. November 2011 E. 2.1; 4A_390/2014 vom 20. Februar 2015 E. 3.2).
3.2. Mit seinen Vorbringen vermag der Beschwerdeführer weder willkürliche Rechtsanwendung noch aktenwidrige Tatsachenfeststellungen darzutun.
Er begnügt sich im Wesentlichen damit, dem Bundesgericht in appellatorischer Weise seine eigene Sicht der Dinge zu präsentieren, dies unter Anrufung vorinstanzlich nicht festgestellter Sachverhaltselemente und ohne auf die Erwägungen des Schiedsgerichts einzugehen, geschweige denn anhand dieser im Einzelnen darzutun, inwiefern sich der Rügegrund von <ref-law> verwirklicht haben soll. Seine Ausführungen genügen bereits den Begründungsanforderungen nach <ref-law> nicht.
Soweit er dem Schiedsgericht schliesslich vorwirft, dieses habe im Zusammenhang mit der bejahten Haftpflicht die Widerrechtlichkeit, das Verschulden und den Kausalzusammenhang nicht begründet, trifft dies mit Blick auf die Erwägungen auf den S. 33 ff. des angefochtenen Entscheids offensichtlich nicht zu. Wenn der Beschwerdeführer sodann rügt, das Schadensausmass sei nicht bewiesen, legt er gerade nicht dar, dass sich die Vorinstanz infolge eines Versehens mit den Akten in Widerspruch gesetzt hätte, sondern macht in unzulässiger Weise eine angeblich unzutreffende Beweiswürdigung geltend. Die Rügen sind - soweit überhaupt zulässig - unbegründet.
4.
Der Beschwerdeführer macht weiter eine Verletzung seines rechtlichen Gehörs (<ref-law>) geltend. Das Schiedsgericht halte in Ziff. 2 Abs. 3 des Urteilsdispositivs fest, dass für eine vorsorgliche Beweisaufnahme Kosten von Fr. 24'777.20 angefallen seien und die Beschwerdegegnerin für diese Rückgriff nehmen könne. Eine nachvollziehbare Spezifikation dieser Kosten lasse sich dem Schiedsspruch indessen nicht entnehmen und es sei auch nicht ersichtlich, an wen diese Zahlungen geflossen sein sollten.
Der Vorwurf trifft ins Leere: Für die Spezifikation der vorsorglichen Beweisaufnahmekosten von Fr. 24'777.20 wird auf S. 45 des angefochtenen Teilschiedsspruchs auf die Abschreibungsverfügung des Schiedsgerichts vom 13. Juni 2014 (act. 64) verwiesen. Dort werden die Verfahrensgebühr von Fr. 9'180.-- sowie Kosten für die Expertin C._ GmbH von Fr. 15'597.20, ausmachend total Fr. 24'777.20, ausgewiesen.
5.
Die Beschwerde ist abzuweisen, soweit darauf einzutreten ist.
Bei diesem Ausgang des Verfahrens wird der Beschwerdeführer kosten- und entschädigungspflichtig (<ref-law> und <ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 5'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3.
Der Beschwerdeführer hat die Beschwerdegegnerin für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 6'000.-- zu entschädigen.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Schiedsgericht mit Sitz in Frauenfeld schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 23. August 2016
Im Namen der I. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Kiss
Der Gerichtsschreiber: Hurni