Sachverhalt:
A.
A.a. C._ und A._ (Beschwerdeführer) sind die unverheirateten Eltern von B._ (Beschwerdegegner; geb. am 26. November 1999). Mit Unterhaltsvertrag vom 9. Februar 2000 verpflichtete sich A._ zur Zahlung von monatlichen Unterhaltsbeiträgen an seinen Sohn von Fr. 600.-- von der Geburt bis zum 6. Altersjahr, Fr. 800.-- vom 7. bis zum 12. Altersjahr und von Fr. 1'000.-- vom 13. Altersjahr bis zur Mündigkeit oder zum ordentlichen Abschluss einer Ausbildung. Am 14. Februar 2000 genehmigte der Gemeinderat Stansstad diese Vereinbarung.
A.b. Mit Gesuch vom 13. November 2014 beantragte A._ bei der Schlichtungsbehörde Nidwalden, der seinem Sohn geschuldete Unterhalt sei rückwirkend ab dem 1. Juli 2014 auf monatlich Fr. 300.-- festzusetzen. Nachdem das Schlichtungsverfahren gescheitert war, gelangte A._ mit identischem Klagebegehren an das Kantonsgericht Nidwalden. Dieses wies die Klage mit Urteil vom 12. August 2015 ab.
B.
Gegen diesen Entscheid reichte A._ beim Obergericht des Kantons Nidwalden Berufung ein. Er beantragte, es sei festzustellen, dass er seinem Sohn keinen Unterhalt mehr zu bezahlen habe. Eventuell seien die monatlichen Unterhaltsbeiträge ab 1. November 2014 auf Fr. 120.--, subeventuell auf Fr. 360.-- festzulegen, jeweils nebst allfälliger Kinderzulagen. Mit Entscheid vom 27. Oktober 2016 (eröffnet am 7. März 2017) wies das Obergericht die Berufung ab.
C.
Mit Beschwerde in Zivilsachen vom 6. April 2017 gelangt A._ mit den folgenden Anträgen ans Bundesgericht:
"1. Es sei die Beschwerde in Zivilsachen gutzuheissen und das angefochtene Urteil des Obergerichts des Kantons Nidwalden vom 27. Oktober 2016 [...] vollumfänglich aufzuheben. Es sei der Kinderunterhaltsbeitrag in der Höhe der IV-Kinderrente festzusetzen.
2. Eventualiter sei die Beschwerde als subsidiäre Verfassungsbeschwerde zu behandeln.
3. Subeventualiter sei die Streitsache anhand der bundesgerichtlichen Erwägungen zu Vervollständigung der Sachverhaltsfeststellung und Neubeurteilung an die Vorinstanz zurückzuweisen."
Ausserdem ersucht A._ um Erteilung der aufschiebenden Wirkung der Beschwerde und des Rechts auf unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung.
Mit Verfügung vom 10. April 2017 hat der Präsident der II. zivilrechtlichen Abteilung das Gesuch um aufschiebende Wirkung als Gesuch um Erlass vorsorglicher Massnahmen entgegengenommen und abgewiesen. Am 25. August 2017 hat A._ weitere Unterlagen zu den Akten gegeben. Diese sind den übrigen Verfahrensbeteiligten zur Kenntnisnahme zugestellt worden.
Im Übrigen hat das Bundesgericht die Akten des kantonalen Verfahrens, indessen keine Vernehmlassung in der Sache eingeholt.

Erwägungen:
1.
1.1. Die Beschwerde richtet sich gegen einen letztinstanzlichen kantonalen Endentscheid (Art. 75 und 90 BGG) betreffend die Abänderung von Kindesunterhalt. Dabei handelt es sich um eine Zivilsache (<ref-law>) vermögensrechtlicher Natur (<ref-ruling> E. 2a; Urteil 5A_90/2017 vom 24. August 2017 E. 1.1). Der Streitwert übersteigt den Betrag von Fr. 30'000.-- (Art. 74 Abs. 1 Bst. b und Art. 51 Abs. 1 Bst. a und Abs. 4 BGG). Die Beschwerde in Zivilsachen ist damit das zutreffende Rechtsmittel. Der Beschwerdeführer ist sodann gestützt auf <ref-law> zur Beschwerde berechtigt und diese ist fristgerecht erhoben worden (<ref-law>).
Da die Beschwerde in Zivilsachen zulässig ist, ist auf die ebenfalls erhobene subsidiäre Verfassungsbeschwerde nicht einzutreten (<ref-law>).
1.2. Die Beschwerdeschrift hat ein Rechtsbegehren zu enthalten (<ref-law>). Soweit es auf einen Geldbetrag lautet, muss es beziffert sein. Fehlt es an hinreichend bezifferten Begehren, ist auf die Beschwerde nicht einzutreten (<ref-ruling> E. 1.2; <ref-ruling> E. 2; Urteil 5A_346/2016 vom 29. Juni 2017 E. 2). Trotz formell mangelhaftem Begehren ist die Beschwerde ausnahmsweise dennoch an die Hand zu nehmen, wenn sich aus der Begründung, allenfalls in Verbindung mit dem angefochtenen Entscheid, ergibt, welcher Geldbetrag zugesprochen werden soll (<ref-ruling> E. 6.2 [zur Berufung nach ZPO]; <ref-ruling> E. 2).
Strittig ist die Anpassung des mit Unterhaltsvertrag vom 9. Februar 2000 vereinbarten Kindesunterhalts und damit eine Geldforderung. Der Beschwerdeführer beantragt, der Unterhalt sei in Aufhebung des angefochtenen Urteils "auf die Höhe der IV-Kinderrente festzusetzen". Er unterlässt es damit, ziffernmässig anzugeben, was er vor Bundesgericht begehrt. Auch der Beschwerdebegründung lässt sich nicht entnehmen, auf welche Höhe der Beschwerdeführer den Unterhalt neu festsetzen lassen will. Die weiteren vom Beschwerdeführer eingereichten Unterlagen helfen ebenfalls nicht weiter: Gemäss <ref-law> beträgt die Kinderrente 40 Prozent der dem massgebenden durchschnittlichen Jahreseinkommen entsprechenden Invalidenrente. Mit Verfügung vom 30. November 2016 hat die IV-Stelle Luzern dem Beschwerdeführer zwar eine Viertels-Invalidenrente in der Höhe von Fr. 527.-- und eine Kinderrente von Fr. 211.-- zugesprochen (vgl. Beschwerdebeilage 2). Der Beschwerdeführer hat diese Verfügung indessen unter anderem deshalb angefochten, weil seiner Ansicht nach die IV-Stelle das Validen- und das Invalideneinkommen falsch berechnete (vgl. Beschwerde, Ziff. 8 S. 11 f.; Beschwerde vom 13. Januar 2017 [Beschwerdebeilage 3], Ziff. II/C S. 6 ff.). Folglich ist die Höhe des massgebenden Einkommens und der dem Beschwerdeführer zustehenden Invalidenrente und damit auch die Höhe der Kinderrente gerade umstritten. Auch hieraus lässt sich daher nichts zur Klärung des vor Bundesgericht gestellten Begehrens ableiten. Damit fehlt es an einem hinreichend bezifferten Rechtsbegehren, weshalb auf die Beschwerde nicht einzutreten ist.
Ebenfalls nicht einzutreten ist auf das Subeventualbegehren (vgl. vorne Bst. C). Der dort gestellte Rückweisungsantrag "zur Vervollständigung der Sachverhaltsfeststellung" hat keine selbständige Bedeutung, sondern steht im Zusammenhang mit dem Hauptbegehren. Das Bezifferungserfordernis gilt damit auch für das Subeventualbegehren (vgl. auch Urteil 5A_485/2016 vom 19. Dezember 2016 E. 2.3).
2.
Bei diesem Ausgang unterliegt der Beschwerdeführer. Aufgrund der besonderen Umstände des Falles und mit Blick auf die finanziellen Verhältnisse des Beschwerdeführers wird auf das Erheben von Gerichtskosten allerdings verzichtet (<ref-law>). Der Beschwerdeführer hat keinen Anspruch auf Ersatz seiner Parteikosten. Dem obsiegenden Beschwerdegegner sind keine ersatzpflichtigen Kosten entstanden, da keine Vernehmlassung eingeholt wurde. Entsprechend sind keine Parteientschädigungen zuzusprechen (<ref-law>). Die Beschwerde muss nach dem Ausgeführten als von vornherein aussichtlos beurteilt werden, womit das Gesuch des Beschwerdeführers um unentgeltliche Rechtspflege abzuweisen ist (<ref-law>), soweit es mangels Kostenpflicht des Beschwerdeführers nicht als gegenstandslos abzuschreiben ist.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2.
Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege für das Verfahren vor Bundesgericht wird abgewiesen, soweit es nicht als gegenstandslos abgeschrieben wird.
3.
Es werden keine Gerichtskosten erhoben.
4.
Parteikosten werden keine zugesprochen.
5.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Nidwalden, Zivilabteilung, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 2. Oktober 2017
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: von Werdt
Der Gerichtsschreiber: Sieber