Faits :
A.
A.a. A._ est entré au corps de la police locale de la Ville de U._ en 1993 puis il a intégré la gendarmerie de la police neuchâteloise (police de proximité) le 1 er janvier 2007 en qualité de chef de quartier avec le grade de sergent-chef. Le 9 septembre 2008, il a renoncé avec effet immédiat à cette fonction et à son grade. Rétrogradé au grade de sergent, il a été affecté au poste de gendarmerie de V._, puis, dès le 1 er septembre 2009, à celui de U._.
Par décision d'avertissement du 25 avril 2014, le commandant de la Police neuchâteloise (ci-après: le commandant) a invité A._ à faire un effort en ce qui concerne la qualité de son travail, lequel ne correspondait pas aux attentes de la direction, notamment en termes de rigueur, de précision et de service à la population. L'intéressé a subi une incapacité de travail à partir du 17 novembre 2014. Le 20 novembre suivant, son supérieur hiérarchique, le sergent-chef B._, a établi un rapport explicatif indiquant divers manquements qui lui étaient reprochés. Le 13 avril 2015, le commandant a informé l'intéressé qu'il transmettait son dossier à l'autorité de nomination afin qu'elle ouvre une procédure de renvoi, motif pris qu'il n'avait pas apporté les améliorations exigées par l'avertissement du 25 avril 2014 et que le rapport de confiance avec les supérieurs hiérarchiques semblait définitivement rompu. Le 15 avril 2015, le commandant a saisi le chef du Département de la justice, de la sécurité et des finances (actuellement: Département de la justice, de la sécurité et de la culture; ci-après: le département) d'une requête tendant à l'ouverture d'une procédure de renvoi à l'encontre du sergent A._.
Après avoir donné au prénommé la possibilité de s'exprimer, le département a rendu une décision, le 27 octobre 2015, par laquelle il a résilié les rapports de service avec effet au 29 février 2016.
A.b. Saisie d'un recours, la Cour de droit public du Tribunal cantonal de la République et canton de Neuchâtel a annulé la décision attaquée en raison d'une violation du droit d'être entendu de l'intéressé et elle a renvoyé la cause au département pour nouvelle décision. Pour le surplus, elle a décliné d'office sa compétence pour statuer sur la demande d'indemnisation du tort moral formée par A._ et l'a transmise au département compétent (arrêt du 29 janvier 2016).
A.c. Par décision du 10 mai 2016, reprenant pour l'essentiel la motivation du prononcé du 27 octobre 2015, le département a résilié les rapports de service avec effet au 31 juillet 2016, il a dispensé l'intéressé de réintégrer son poste et retiré l'effet suspensif à un éventuel recours.
B.
Saisie d'un recours contre cette décision, la Cour de droit public du tribunal cantonal l'a admis partiellement et elle a réformé la décision attaquée en ce sens que les rapports de service de A._ ont été résiliés avec effet au 31 août 2016 au lieu du 31 juillet précédent (arrêt du 22 août 2016).
C.
Le prénommé forme un recours en matière de droit public contre ce jugement dont il requiert l'annulation, en concluant à ce qu'il soit constaté que les rapports de travail n'ont pas pris fin. Subsidiairement, il demande le renvoi de la cause à la juridiction cantonale pour nouvelle décision, le tout sous suite de frais et dépens. Par ailleurs, le recourant a requis l'effet suspensif à son recours.
L'intimé a conclut au rejet de la demande d'effet suspensif et du recours, tandis que la cour cantonale a renoncé à se déterminer.
Par courrier du 17 janvier 2017, le recourant a adressé au Tribunal fédéral copie d'une décision du 10 janvier précédent, par laquelle le département lui a restitué ses armes, ainsi que les accessoires.
D.
Par ordonnance du 25 octobre 2016, le juge instructeur a rejeté la demande d'effet suspensif.

Considérant en droit :
1.
Le jugement entrepris a été rendu en matière de rapports de travail de droit public au sens de l'art. 83 let. g LTF. Dans la mesure où la contestation porte sur la résiliation de ces rapports, il s'agit d'une contestation de nature pécuniaire, de sorte que le motif d'exclusion de l'art. 83 let. g LTF n'entre pas en considération (cf. arrêts 8C_67/2016 du 15 février 2017 consid. 1; 8C_869/2015 du 12 août 2016 consid. 1.1; 8C_176/2015 du 9 février 2016 consid. 1.1 et la référence). Le jugement entrepris indique une valeur litigieuse dépassant largement 30'000 fr., soit une valeur supérieure au seuil de 15'000 fr. ouvrant la voie du recours en matière de droit public en ce domaine (art. 51 al. 2 et 85 al. 1 let. b LTF).
Pour le surplus, interjeté en temps utile et dans les formes requises contre une décision finale prise par un tribunal cantonal, le recours respecte les exigences des art. 42, 86 al. 1 let. d, 90 et 100 al. 1 LTF. Il est par conséquent recevable.
2.
La décision du département du 10 janvier 2017 produite par le recourant en cours d'instance constitue un nouveau moyen qui ne peut pas être pris en considération par la Cour de céans. En effet, sauf exception non réalisée en l'espèce, un moyen de preuve qui n'a pas été examiné dans la procédure devant l'autorité précédente n'est pas admissible dans la procédure devant le Tribunal fédéral (art. 99 al. 1 LTF; cf. <ref-ruling>).
3.
3.1. Sous réserve des cas cités à l'art. 95 let. c à e LTF qui n'entrent pas en considération dans le cas particulier, le recours ne peut pas être formé pour violation du droit cantonal. En revanche, il est toujours possible de faire valoir que la mauvaise application du droit cantonal constitue une violation du droit fédéral, en particulier qu'elle est arbitraire au sens de l'art. 9 Cst. ou contraire à d'autres droits ou principes constitutionnels (<ref-ruling> consid. 3 p. 351; <ref-ruling> consid. 2.3 p. 466). Le Tribunal fédéral n'examine de tels moyens que s'ils sont formulés conformément aux exigences de motivation qualifiée prévues à l'art. 106 al. 2 LTF (<ref-ruling> consid. 1.3 p. 41; <ref-ruling> consid. 2.5 p. 314). Appelé à revoir l'interprétation d'une norme cantonale sous l'angle de l'arbitraire, le Tribunal fédéral ne s'écarte de la solution retenue par l'autorité cantonale de dernière instance que si celle-ci apparaît insoutenable, en contradiction manifeste avec la situation effective, adoptée sans motifs objectifs et en violation d'un droit certain. En revanche, si l'application de la loi défendue par l'autorité cantonale ne s'avère pas déraisonnable ou manifestement contraire au sens et au but de la disposition ou de la législation en cause, cette interprétation sera confirmée, même si une autre solution éventuellement plus judicieuse paraît possible (<ref-ruling> consid. 2.4 p. 5; <ref-ruling> consid. 4.2 p. 560).
3.2. Le Tribunal fédéral fonde son raisonnement sur la base des faits établis par l'autorité précédente (art. 105 al. 1 LTF), à moins que ces faits n'aient été établis de façon manifestement inexacte - notion qui correspond à celle d'arbitraire au sens de l'art. 9 Cst. (<ref-ruling> consid. 2.3 p. 266) - ou en violation du droit au sens de l'art. 95 LTF (art. 105 al. 2 LTF). Il n'entre pas en matière sur des critiques appellatoires portant sur l'appréciation des preuves ou l'établissement des faits par l'autorité précédente (<ref-ruling> consid. 2.3 p. 266; <ref-ruling> consid. 10.1 p. 445).
4.
4.1. Sous le chapitre "Cessation des rapports de service" et le titre marginal "Renvoi pour justes motifs ou raisons graves", l'art. 45 al. 1 de la loi cantonale neuchâteloise sur le statut de la fonction publique (LSt; RSN 152.510) prévoit que si des raisons d'inaptitude, de prestations insuffisantes, de manquements graves ou répétés aux devoirs de service ou d'autres raisons graves ne permettent plus la poursuite des rapports de service, l'autorité qui a nommé peut ordonner le renvoi d'un titulaire de fonction publique. Sous réserve d'un licenciement avec effet immédiat, l'autorité de nomination prononce le renvoi du titulaire de fonction publique et lui notifie la décision moyennant un préavis de trois mois pour la fin d'un mois (art. 48 LSt). Selon l'art. 46 LSt, lorsque les faits reprochés au titulaire de fonction publique dépendent de sa volonté ou lorsque les exigences de la fonction ne sont pas remplies à satisfaction, le chef de service doit en avertir par écrit l'intéressé après l'avoir entendu et lui fixer un délai raisonnable pour s'améliorer; il lui en suggère autant que possible certains moyens (al. 1); faute d'amélioration constatée dans le délai imparti, le chef de service transmet le dossier à l'autorité de nomination avec ses observations (al. 2); il en informe par écrit l'intéressé en mentionnant les faits ou omissions qui lui sont reprochés (al. 3).
4.2. Selon la jurisprudence, les justes motifs de renvoi des fonctionnaires ou employés de l'Etat peuvent procéder de toutes circonstances qui, selon les règles de la bonne foi, excluent la poursuite des rapports de service, même en l'absence de faute. De toute nature, ils peuvent relever d'événements ou de circonstances que l'intéressé ne pouvait éviter, ou au contraire d'activités, de comportements ou de situations qui lui sont imputables (arrêts 8C_585/2014 du 29 mai 2015 consid. 5.2; 8C_621/2014 du 4 février 2015 consid. 5.2; 8C_780/2012 du 11 février 2013 consid. 5.2.1; 8C_70/2010 du 20 décembre 2010 consid. 2.2 non publié in <ref-ruling>).
5.
5.1. En l'espèce, le département a prononcé une résiliation ordinaire. Toutefois, comme le terme de la résiliation (31 juillet 2016) ne respectait pas le préavis de trois mois (art. 48 al. 2 LSt), la cour cantonale l'a reporté au 31 août 2016.
Selon les constatations du jugement attaqué, le recourant a été incorporé le 1 er janvier 2007 dans la gendarmerie de la police neuchâteloise avec le grade de sergent-chef, après avoir été quatorze ans au service de la police locale de la Ville de U._. Cette nouvelle affectation a entraîné rapidement des difficultés, de sorte qu'à compter du 1 er février 2008, l'intéressé a été transféré au poste de gendarmerie de V._, sans fonction de cadre. Les différents rapports d'évaluation font état de lacunes professionnelles et de doutes du recourant quant à ses propres connaissances professionnelles. En particulier, un manque de connaissances a été relevé non seulement dans le domaine du "judiciaire" mais également dans la conduite du personnel. Par ailleurs, l'intéressé n'a pas donné suite à la proposition d'aide de son supérieur hiérarchique. A la suite d'une restructuration de la police, il a réintégré le poste de gendarmerie de U._ le 1 er septembre 2009. La situation s'est toutefois dégradée à partir de 2013: des citoyens ont été insatisfaits de la suite donnée à leur affaire par l'intéressé, des manquements professionnels ont été relevés dans plusieurs enquêtes et, bien qu'une prise de conscience professionnelle ait été requise du recourant et que tout ait été tenté pour que celui-ci puisse s'épanouir dans son travail, les résultats escomptés n'ont pas été atteints.
5.2. Au regard de l'ensemble des éléments figurant au dossier, la cour cantonale est parvenue à la conclusion que le parcours du recourant dans la police a été long, mais pas sans "embûches". Sa rétrogradation rapide au grade de sergent, de même que son affectation temporaire dans un autre poste de gendarmerie font montre d'une adaptation difficile au sein du poste de U._. Après des débuts difficiles, la situation n'a toutefois pas évolué à satisfaction de ses supérieurs hiérarchiques. Les manquements relatés par différentes personnes sont de nature diverse et, à tout le moins en partie, admis par l'intéressé. Celui-ci s'est vu offrir un encadrement, mais sans succès, dès lors qu'il n'y a pas pleinement donné suite. Aussi bien, selon la cour cantonale, l'autorité de nomination ne peut-elle se voir reprocher d'avoir considéré que la poursuite des rapports de service n'était plus envisageable, ce d'autant que cette situation semblait ne pas convenir au recourant. En effet, celui-ci a envisagé de réduire son temps de travail en raison de la charge importante au poste de U._ mais il a finalement renoncé pour des raisons financières. Ainsi, la cour cantonale a confirmé la décision de licenciement.
6.
6.1. Par un premier moyen, le recourant invoque une violation par l'intimé des règles relatives à la protection de la santé des travailleurs (art. 328 CO; art. 6 al. 1 et 2 en liaison avec l'art. 3a let. a de la loi fédérale sur le travail dans l'industrie, l'artisanat et le commerce [loi sur le travail, LTr; RS 822.11]; art. 2 al. 1 de l'ordonnance 3 relative à la loi sur le travail du 18 août 1993 [OLT 3]). Il fait valoir qu'il souffrait d'une dépression importante depuis 2013, laquelle a motivé l'intervention du responsable du Service psychologique de la Police neuchâteloise à son domicile, afin de lui retirer son arme de service en raison d'un risque de suicide. Cette affection a entraîné une incapacité de travail entière depuis cet événement. Or donc, il a fallu une menace de suicide et une incapacité de travail entière attestée médicalement pour que finalement, lors de la reprise de l'activité, l'employeur le transfère dans un autre service à W._. Selon le recourant, cette mesure est toutefois intervenue bien trop tardivement et s'est révélée clairement insuffisante. Enfin, l'intimé n'a pas tenu compte de cette situation, puisque au lieu de protéger la santé de son collaborateur, il a résilié les rapports de service.
6.2. Il incombe à l'employeur public, comme à l'employeur privé (art. 328 al. 1, 1 ère phrase, CO), de manifester les égards voulus pour la santé du travailleur. Aux termes de l'art. 6 LTr - applicable aux administrations cantonales (art. 2 al. 1 let. a et 3a let. a LTr) -, l'employeur est tenu, pour protéger la santé des travailleurs, de prendre toutes les mesures dont l'expérience a démontré la nécessité, que l'état de la technique permet d'appliquer et qui sont adaptées aux conditions d'exploitation de l'entreprise; il doit en outre prendre toutes les mesures nécessaires pour protéger l'intégrité personnelle des travailleurs (al. 1). En outre, l'art. 2 al. 1 OLT 3 énumère un certain nombre de mesures que l'employeur est tenu de prendre afin d'assurer et d'améliorer la protection de la santé physique et psychique des travailleurs.
6.3. Pour respecter les exigences de motivation qualifiée prévues à l'art. 106 al. 2 LTF (consid. 3.1 supra), il ne suffit pas que le recourant soulève des critiques d'ordre général. Il doit bien plutôt démontrer en quoi cette décision, dans son résultat, viole gravement une norme ou un principe juridique clair et indiscuté, contredit clairement la situation de fait ou encore heurte d'une manière choquante le sentiment de la justice et de l'équité. Aussi les exigences de motivation ne sont-elles pas satisfaites lorsque, comme en l'occurrence, la partie recourante se contente d'exprimer son point de vue sans apporter d'éléments objectifs permettant de vérifier le bien-fondé de ses critiques. En particulier, le recourant n'expose pas en quoi les troubles dépressifs dont il souffrait étaient en relation avec son activité au service de la police neuchâteloise. A la lecture de ses griefs, il n'est pas non plus possible de savoir en quoi le transfert dans un autre service, à W._, constituait une mesure clairement insuffisante pour répondre aux exigences liées à la protection de la santé des collaborateurs. Au demeurant, bien qu'il reproche à l'intimé d'avoir agi bien trop tardivement, il n'allègue pas l'avoir averti en temps utile de ses troubles de santé. Insuffisamment motivé, le grief doit donc être écarté.
7.
7.1. Par ailleurs, le recourant invoque le grief d'appréciation manifestement inexacte, incomplète et arbitraire des faits (art. 97 LTF et art. 9 Cst.) en tant que la cour cantonale n'aurait pas tenu compte de certains faits essentiels. En particulier, elle a retenu une dégradation de la situation à partir de 2013, sans tenir compte du fait qu'il souffrait à ce moment-là d'une atteinte à la santé, tant sur le plan physique que psychique. En outre, elle a méconnu ses excellents états de service au sein du corps de la police locale de la Ville de U._, ainsi que sa longue carrière dans la police. De même, elle a retenu qu'il n'avait pas fait montre d'amélioration depuis l'avertissement signifié le 25 avril 2014 - mesure qu'il considère d'ailleurs comme injustifiée - alors qu'il n'a commis aucune faute professionnelle depuis cette date.
7.2. Il ressort de ce qui précède que le recourant entend essentiellement, à l'aide d'une argumentation de nature appellatoire, minimiser l'importance de ses difficultés et lacunes professionnelles. Ce faisant, il voudrait substituer sa propre appréciation à celle de la cour cantonale, selon laquelle l'intimé ne pouvait se voir reprocher aucun manquement en tant qu'il a considéré que la poursuite des rapports de service n'était plus envisageable. Son argumentation ne suffit toutefois pas à faire apparaître comme arbitraire l'appréciation des premiers juges. Qui plus est, les allégations du recourant portent essentiellement sur la période antérieure à 2013 et concernent plus particulièrement ses états de service au sein de la police locale de la Ville de U._, avant son engagement dans la police cantonale neuchâteloise. En outre, son argumentation ne lui est d'aucune aide en tant qu'il fait valoir que les manquements professionnels reprochés aux mois de juillet, août et septembre 2013 ne relèvent ni d'une intention ni d'une négligence grave. Les justes motifs de renvoi peuvent en effet procéder de toutes circonstances qui, selon les règles de la bonne foi, excluent la poursuite des rapports de service, même en l'absence de faute (consid. 4.2 supra). Dans la mesure où, en outre, il conteste la validité de l'avertissement signifié le 25 avril 2014 au motif qu'il n'indiquerait aucun moyen pour lui permettre de s'améliorer, cette critique est malvenue. En effet, aux termes de cet avertissement, l'intéressé a été invité à rencontrer deux de ses chefs hiérarchiques en vue de déterminer les domaines nécessitant une amélioration de ses connaissances mais il n'a pas donné suite à cette injonction dans le délai imparti. Par ailleurs, le recourant s'inscrit en faux contre les déclarations de la procureure du Ministère public du canton Y._, consignées dans le rapport explicatif du sergent-chef B._ du 20 novembre 2014 et faisant état d'un défaut de collaboration dans le cadre d'une enquête relative à une affaire de stupéfiants. En l'occurrence, il n'est toutefois pas nécessaire d'examiner le bien-fondé de ce grief. En effet, même si les manquements relevés dans la collaboration avec la procureure n'étaient pas avérés, on ne saurait inférer que la cour cantonale a apprécié les faits de manière arbitraire, étant donné les nombreux autres manquements professionnels relevés dans cette enquête.
Vu ce qui précède, le grief d'appréciation manifestement inexacte, incomplète et arbitraire des faits doit être écarté.
8.
8.1. Par un autre moyen, le recourant invoque une violation du principe de proportionnalité (art. 5 al. 2 Cst.), en tant que la cour cantonale a confirmé la résiliation ordinaire des rapports de service sans tenir compte de sa longue carrière exemplaire au sein du corps de police neuchâteloise, de son état de santé au moment des faits reprochés, du fait que ceux-ci sont de faible gravité et que d'autres alternatives, en lieu et place du licenciement, étaient envisageables et auraient dû être privilégiées.
8.2. Le principe de la proportionnalité exige qu'une mesure restrictive soit apte à produire les résultats escomptés (règle de l'aptitude) et que ceux-ci ne puissent être atteints par une mesure moins incisive (règle de la nécessité); en outre, il interdit toute limitation allant au-delà du but visé et il exige un rapport raisonnable entre celui-ci et les intérêts publics ou privés compromis (principe de la proportionnalité au sens étroit, impliquant une pesée des intérêts; <ref-ruling> consid. 3.5.1 p. 84; <ref-ruling> consid. 7.4.3.1 p. 346; <ref-ruling> consid. 5.2.2 p. 104 et les arrêts cités). Le principe de la proportionnalité n'est pas, comme sa désignation l'indique, un droit fondamental mais uniquement un principe constitutionnel. Il peut être invoqué dans le cadre d'un recours en matière de droit public directement et indépendamment d'un droit fondamental (cf. <ref-ruling> consid. 5.3.2 p. 7; <ref-ruling> consid. 6.3.1 p. 267; <ref-ruling> consid. 4.1 p. 156). Toutefois, lorsque le recourant s'en prévaut en relation avec le droit cantonal et indépendamment de toute atteinte à un droit fondamental, le Tribunal fédéral ne revoit pas le respect du principe de la proportionnalité librement, mais seulement sous l'angle de l'arbitraire (cf. <ref-ruling> consid. 5.3.2 p. 7 s. et les références citées).
8.3. L'art. 48 al. 4 LSt dispose que, pour autant que l'état des fonctions le permette et que la mesure lui paraisse opportune au vu des faits pris en compte, l'autorité de nomination peut ordonner le déplacement dans un autre poste ou une autre fonction. A cet égard, la cour cantonale a considéré qu'à la différence de l'art. 44 al. 2 LSt qui impose à l'Etat l'obligation de prendre toutes mesures utiles pour offrir à l'intéressé un emploi de nature équivalente en cas de suppression de poste, l'art. 48 al. 4 LSt, applicable lorsqu'une procédure de renvoi est ouverte, dispose que l'autorité de nomination peut ordonner le déplacement dans un autre poste ou une autre fonction au lieu de prononcer le renvoi. En d'autres termes, il ne s'agit en aucun cas d'un droit que l'employé concerné pourrait faire valoir, de sorte que la décision de licenciement pour justes motifs, au lieu d'un déplacement dans un autre poste ou une autre fonction, n'était ni arbitraire ni disproportionnée.
8.4. En l'occurrence, le recourant ne démontre pas en quoi le point de vue des premiers juges est arbitraire. Au surplus, bien qu'il soutienne que "d'autres alternatives (...) étaient envisageables", il n'indique aucune mesure concrète que l'intimé aurait pu prendre au lieu de résilier les rapport de service. Le grief de violation du principe de proportionnalité se révèle ainsi mal fondé, dans la mesure où il est admissible sous l'angle des exigences de motivation (art. 42 al. 2 en liaison avec l'art. 106 al. 2 LTF).
9.
9.1. Le recourant invoque enfin une violation de son droit d'être entendu (art. 29 al. 2 Cst.). Alléguant que la résiliation de ses rapports de travail est notamment fondée sur une prétendue faute commise lors de la rédaction d'un mandat de comparution (dossier C._) et à l'occasion d'un séquestre préventif dont il était prétendument chargé (dossier D._), l'intéressé reproche à la cour cantonale de n'avoir pas donné suite à sa demande de production de ces deux dossiers.
9.2. En l'occurrence, la cour cantonale a évoqué divers incidents survenus au mois de septembre 2014 (séquestre d'armes dans le dossier D._) et au mois de novembre suivant (mandat de comparution dans le dossier C._). Toutefois, elle a considéré que la production et l'examen de ces deux dossiers n'étaient pas nécessaires aux fins de connaître ou de démontrer une éventuelle responsabilité de l'intéressé. En effet, se fondant sur la jurisprudence cantonale (RJN 2004 p. 125 consid. 3c) concernant l'art. 33 let. a et d de la loi cantonale sur la procédure et la juridiction administratives (LPJA; RSN 152.130), la juridiction précédente a limité son examen au point de savoir si le licenciement était constitutif d'un abus ou d'un excès du pouvoir d'appréciation de la part de l'autorité compétente. En l'occurrence, elle a considéré que le licenciement entrait dans le pouvoir d'appréciation de l'intimé et apparaissait, au regard des prestations et du comportement de l'intéressé, comme une mesure défendable sans qu'il soit nécessaire de produire les dossiers C._ et D._.
9.3. Le recourant ne discute pas le bien-fondé de cette interprétation de la disposition légale cantonale applicable. Dans cette mesure, on ne voit pas que la cour cantonale a violé le droit d'être entendu de l'intéressé en retenant, par une appréciation anticipée des preuves, que les faits de la cause étaient suffisamment établis par les pièces versées au dossier pour trancher le point litigieux (sur l'appréciation anticipée des preuves, cf. <ref-ruling> consid. 3.3 p. 64; <ref-ruling> consid. 5.3 p. 236). Le grief se révèle ainsi sans fondement.
10.
Vu ce qui précède, le recours doit être rejeté.
Le recourant, qui succombe, supportera les frais de justice (art. 66 al. 1 LTF).

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce :
1.
Le recours est rejeté.
2.
Les frais de justice, arrêtés à 3'000 fr., sont mis à la charge du recourant.
3.
Le présent arrêt est communiqué aux parties et à la Cour de droit public du Tribunal cantonal de la République et canton de Neuchâtel.
Lucerne, le 18 août 2017
Au nom de la Ire Cour de droit social
du Tribunal fédéral suisse
Le Président : Maillard
Le Greffier : Beauverd