Faits :
A.
Les époux A._ se sont mariés en 1993 à U._ (Portugal). Deux enfants sont issus de cette union: C._, aujourd'hui majeure, et D._, né en 2001.
B.
B.a. Par jugement sur mesures protectrices de l'union conjugale du 13 mai 2015, le Tribunal de première instance du canton de Genève (ci-après: le Tribunal de première instance) a notamment autorisé les époux à vivre séparés, donné acte à l'époux de son engagement de verser, à compter du mois de mai 2015, un montant de 1'000 fr., allocations familiales éventuelles non comprises, à titre de contribution à l'entretien de son fils mineur, et condamné l'époux à contribuer à l'entretien de l'épouse par le versement d'une pension mensuelle de 2'300 fr., à partir du mois de mai 2015.
Le Tribunal de première instance a retenu que l'époux réalisait un revenu mensuel de 7'460 fr. pour des charges de 3'915 fr. par mois, comprenant 750 fr. de loyer, 294 fr. d'assurance-maladie, 599 fr. d'impôts, 221 fr. de transports, 850 fr. de dette à l'égard de E._, ainsi que 1'200 fr. de montant de base OP.
B.b. Le 19 août 2015, l'épouse a requis le prononcé de nouvelles mesures protectrices de l'union conjugale, visant à ce que la contribution d'entretien en sa faveur soit fixée à 3'150 fr. par mois dès le 1 er août 2015. Elle a également conclu au prononcé d'un avis aux débiteurs. L'époux a pour sa part conclu à la suppression de la contribution d'entretien en faveur de son épouse.
Par jugement du 18 novembre 2015, le Tribunal de première instance a débouté les parties de leurs conclusions en modification de la contribution d'entretien en faveur de l'épouse et a ordonné un avis aux débiteurs pour toute somme supérieure à 3'550 fr. par mois, à concurrence des contributions d'entretien dues de 1'000 fr. et 2'300 fr.
Par arrêt du 22 avril 2016, la Chambre civile de la Cour de justice du canton de Genève (ci-après: la Chambre civile) a rejeté l'appel de l'époux.
C.
Par acte du 2 juin 2016, l'époux exerce un recours en matière civile au Tribunal fédéral, assorti d'une requête d'effet suspensif et de mesures provisionnelles. Il conclut principalement à l'annulation de l'arrêt du 22 avril 2016, à ce qu'il soit constaté que ses dépenses mensuelles s'élèvent à 4'970 fr. pour des revenus mensuels moyens de 4'850 fr. et à ce qu'il soit dit qu'il ne peut pas contribuer à l'entretien de son épouse et de son fils; subsidiairement, il conclut au renvoi de la cause à l'autorité cantonale pour nouvelle décision dans le sens des considérants et, plus subsidiairement encore, à être acheminé à prouver par toutes voies de droit les faits allégués dans ses écritures.
Invitées à se déterminer sur la requête d'effet suspensif et de mesures provisionnelles, l'intimée a conclu à son rejet, subsidiairement à ce que la restitution de l'effet suspensif ne vaille que pour les prélèvements sur salaire antérieurs au dépôt du recours, et la Chambre civile s'est référée aux considérants de son arrêt.
L'intimée a également requis le bénéfice de l'assistance judiciaire et a produit un état de frais pour la période du 6 au 15 juin 2016.
D.
Par ordonnance du 23 juin 2016, le Président de la IIe Cour de droit civil a admis la requête d'effet suspensif s'agissant tant du versement des contributions d'entretien que du prélèvement de celles-ci sur le salaire du recourant, pour les montants dus jusqu'au 31 mai 2016, mais non pour ceux dus à partir du 1 er juin 2016, et a rejeté la requête de mesures provisionnelles pour le surplus.
Des observations sur le fond n'ont pas été requises.

Considérant en droit :
1.
L'arrêt attaqué, qui porte sur la modification de mesures protectrices de l'union conjugale, est une décision finale (<ref-law>; <ref-ruling> consid. 4 p. 395 s.; concernant l'avis aux débiteurs: <ref-ruling> consid. 1.1 p. 668), rendue par une juridiction cantonale de dernière instance ayant statué sur recours (<ref-law>). Le litige porte, d'une part, sur la question des contributions d'entretien, à savoir une affaire pécuniaire, dont la valeur litigieuse requise est atteinte (art. 51 al. 1 ch. 4, 51 al. 4 et 74 al. 1 let. b LTF). D'autre part, il a pour objet le prononcé d'un avis aux débiteurs (<ref-law>), à savoir une mesure d'exécution forcée privilégiée sui generis (<ref-ruling> consid. 1.1 p. 668 et les références), qui est connexe au droit civil (<ref-law>; <ref-ruling> consid. 1.1 p. 668). Le recourant, qui a été débouté de ses conclusions par l'autorité précédente, a qualité pour recourir (<ref-law>). Déposé dans le délai (<ref-law>) et la forme (<ref-law>) prévus par la loi, le recours est donc en principe recevable.
2.
2.1. Dès lors que la décision attaquée porte sur des mesures provisionnelles au sens de l'<ref-law>, la partie recourante ne peut dénoncer que la violation de droits constitutionnels (<ref-ruling> consid. 5.2 p. 397; s'agissant de l'avis aux débiteurs: <ref-ruling> consid. 1.1 p. 668 et la référence). Le Tribunal fédéral n'examine la violation de ces droits que si ce moyen est invoqué et motivé par le recourant (principe d'allégation; <ref-law>), c'est-à-dire s'il a été expressément soulevé et exposé de manière claire et détaillée (<ref-ruling> consid. 1.3 p. 41 et les références). Le recourant doit ainsi indiquer quelle disposition constitutionnelle aurait été violée et démontrer, par une argumentation précise, en quoi consiste la violation (<ref-ruling> consid. 3 p. 352). Les critiques de nature appellatoire sont irrecevables (<ref-ruling> consid. 2.8 p. 494 et les références).
Par ailleurs, s'agissant de l'arbitraire (art. 9 Cst.), la jurisprudence admet ce grief uniquement si la décision attaquée est manifestement insoutenable, méconnaît gravement une norme ou un principe juridique clair et indiscuté, ou heurte de manière choquante le sentiment de la justice et de l'équité; il ne suffit pas qu'une autre solution paraisse concevable, voire préférable; pour que cette décision soit annulée, encore faut-il qu'elle se révèle arbitraire non seulement dans ses motifs, mais aussi dans son résultat (<ref-ruling> consid. 4.1 p. 566 et les références).
2.2. Le Tribunal fédéral statue sur la base des faits établis par l'autorité précédente (<ref-law>). Dans l'hypothèse d'un recours soumis à l'<ref-law>, le recourant qui entend invoquer que les faits ont été établis de manière manifestement inexacte ne peut obtenir la rectification ou le complètement des constatations de fait de l'arrêt cantonal que s'il démontre la violation de droits constitutionnels, conformément au principe d'allégation susmentionné (cf. supra consid. 2.1). Le Tribunal fédéral ne corrige les constatations de fait que si elles sont arbitraires (art. 9 Cst.) et ont une influence sur le résultat de la décision. En matière d'appréciation des preuves et d'établissement des faits, il n'y a arbitraire que lorsque l'autorité ne prend pas en compte, sans aucune raison sérieuse, un élément de preuve propre à modifier la décision, lorsqu'elle se trompe manifestement sur son sens et sa portée, ou encore lorsque, en se fondant sur les éléments recueillis, elle en tire des constatations insoutenables (<ref-ruling> consid. 2.3 p. 266 et les références). Le recourant ne peut pas se borner à contredire les constatations litigieuses par ses propres allégations ou par l'exposé de sa propre appréciation des preuves; il doit indiquer de façon précise en quoi ces constatations sont arbitraires au sens de l'art. 9 Cst. (<ref-ruling> consid. 1.4.3 p. 255). Une critique des faits qui ne satisfait pas à cette exigence est irrecevable (<ref-law>; <ref-ruling> consid. 2.3 p. 266 et les références; <ref-ruling> consid. 1.4.3 p. 255).
Dans la partie " En fait " de son mémoire, le recourant se contente d'exposer sa propre version des faits. En tant que ces éléments divergent de ceux constatés dans l'arrêt cantonal et qu'ils ne sont pas critiqués sous l'angle de l'établissement arbitraire des faits ou de l'appréciation arbitraire des preuves (cf. infra consid. 4), il n'en sera pas tenu compte.
2.3. L'<ref-law> déclare irrecevable toute conclusion nouvelle, c'est-à-dire toute conclusion qui n'a pas été soumise à l'autorité précédente et qui tend, par conséquent, à élargir l'objet du litige. Il est ainsi exclu de demander davantage ou autre chose que ce qui figure dans les dernières conclusions prises devant l'autorité précédente (<ref-ruling> consid 1.2 p. 95; <ref-ruling> consid. 3.4.2 p. 365; arrêt 5A_168/2016 du 29 septembre 2016 consid. 2.4).
Il ressort des constatations de l'arrêt querellé qu'en appel, l'époux a notamment conclu " à ce qu'il lui soit donné acte de son engagement à verser 1'000 fr. chaque mois pour l'entretien de son fils D._, allocations familiales non comprises ". Partant, la conclusion du recourant tendant à la suppression de toute pension en faveur de son fils est irrecevable (arrêt 5A_807/2012 du 6 février 2013 consid. 4.2.3 et 4.3).
3.
3.1. Une fois que des mesures protectrices ont été ordonnées, elles ne peuvent être modifiées qu'aux conditions de l'<ref-law>. Aux termes de l'art. 179 al. 1, 1 ère phrase, CC, à la requête d'un époux, le juge prononce les modifications commandées par les faits nouveaux et lève les mesures prises lorsque les causes qui les ont déterminées n'existent plus. Selon la jurisprudence, la modification des mesures protectrices ne peut être obtenue que si, depuis leur prononcé, les circonstances de fait ont changé d'une manière essentielle et durable, à savoir si un changement significatif et non temporaire est survenu postérieurement à la date à laquelle la décision a été rendue, si les faits qui ont fondé le choix des mesures dont la modification est sollicitée se sont révélés faux ou ne se sont par la suite pas réalisés comme prévu, ou encore si la décision de mesures provisoires s'est avérée plus tard injustifiée parce que le juge appelé à statuer n'a pas eu connaissance de faits importants (arrêt 5A_235/2016 du 15 août 2016 consid. 3.1). En revanche, les parties ne peuvent pas invoquer, pour fonder leur requête en modification, une mauvaise appréciation des circonstances initiales, que le motif relève du droit ou de l'établissement des faits allégués sur la base des preuves déjà offertes; pour faire valoir de tels motifs, seules les voies de recours sont ouvertes (arrêts 5A_138/2015 du 1 er avril 2015 consid. 3.1; 5A_147/2012 du 26 avril 2012 consid. 4.2.1), car la procédure de modification n'a pas pour but de corriger le premier jugement, mais de l'adapter aux circonstances nouvelles (<ref-ruling> consid. 4.1.1 p. 606; <ref-ruling> consid. 2.7.4 p. 199; arrêt 5A_235/2016 précité consid. 3.1).
3.2. En l'espèce, l'autorité cantonale a retenu que l'époux n'avait pas rendu vraisemblable la diminution de ses revenus. Il ressortait au contraire du dossier que ceux-ci étaient vraisemblablement identiques, voire quelque peu supérieurs, à ceux retenus par le Tribunal de première instance dans son jugement du 13 mai 2015. Les extraits des comptes bancaires du recourant démontraient des entrées mensuelles conformes à ce que le Tribunal de première instance avait retenu. Les charges de l'époux n'avaient pas non plus évolué de manière notable. L'augmentation de son loyer - fixé désormais à 1'600 fr. - était en effet compensée par le montant de la dette auprès de E._ de 850 fr., que le recourant avait admis ne pas acquitter et qui devait dès lors être écartée des charges prises en compte.
A défaut d'évolution des revenus et charges du recourant, ou à tout le moins de variations significatives de ceux-ci, la cour cantonale a estimé qu'une modification de la contribution d'entretien de l'épouse ne se justifiait pas.
4.
Le recourant se plaint en premier lieu d'arbitraire " dans le calcul de la contribution d'entretien ".
4.1. Selon l'époux, la juridiction cantonale aurait arbitrairement tenu compte, dans le calcul de ses revenus mensuels, des avances sur salaire reçues de son employeur. S'agissant de prêts de celui-ci qui devront être remboursés au plus tard à la fin des rapports de travail, il serait insoutenable d'en faire profiter l'intimée.
En l'occurrence, le recourant se contente de proposer sa propre interprétation du montant de ses revenus, des avances sur salaire qu'il aurait obtenues et des modalités de remboursement y relatives. Ce faisant, il se fonde sur des éléments qui ne ressortent nullement de l'arrêt attaqué, sans démontrer de manière conforme aux exigences de motivation susmentionnées (cf. supra consid. 2.2) que la cour cantonale aurait arbitrairement écarté des faits régulièrement allégués en instance cantonale. Sa critique - appellatoire - n'est dès lors pas de nature à démonter le caractère insoutenable du raisonnement de l'autorité précédente, qui retient comme revenus les entrées mensuelles ressortant des extraits des comptes bancaires. Partant, son grief est irrecevable.
4.2. Le recourant reproche également à l'autorité cantonale d'avoir arbitrairement omis de tenir compte d'une augmentation de ses charges. Selon lui, la cour cantonale aurait, de manière insoutenable, compensé la hausse de son loyer avec sa dette envers E._. Selon lui, ce n'est pas parce qu'il ne s'acquitte pas régulièrement des mensualités en faveur de la banque créancière que la dette correspondante disparaît pour autant. La contribution d'entretien allouée à l'intimée porterait atteinte à son minimum vital, alors que celui-ci devrait être garanti, l'intimée devant supporter seule son déficit et faire appel à l'aide sociale.
Dans la mesure où seules les charges effectives, dont le débirentier s'acquitte réellement, doivent être prises en compte dans le calcul de la contribution d'entretien (<ref-ruling> consid. 3b p. 92 [saisie de revenus]; arrêt 5A_608/2014 du 16 décembre 2014 consid. 4.1 et les références), c'est sans arbitraire que l'autorité cantonale a refusé de prendre en considération la dette litigieuse - que le recourant admet ne pas payer régulièrement - et a retenu que le montant des charges n'avait pas varié de manière notable.
En tant que le recourant se prévaut, sans autre explication, d'un montant additionnel de 97 fr. pour ses frais de chauffage et d'électricité, sa critique ne remplit manifestement pas les exigences de motivation susmentionnées (cf. supra consid. 2.2), partant est irrecevable.
Au vu de ce qui précède, le grief du recourant est infondé, dans la mesure où il est recevable.
5.
Le recourant se plaint en deuxième lieu d'une application arbitraire de l'<ref-law>.
En tant qu'il soutient que le jugement du 13 mai 2015 serait à l'origine de sa faillite, le recourant se fonde sur des faits qui ne ressortent pas de l'arrêt attaqué, sans expliquer en quoi ils auraient été écartés arbitrairement (cf. supra consid. 2.2).
Pour le surplus, le fait de considérer que les conditions d'une modification de la contribution d'entretien ne sont pas remplies en l'espèce n'apparaît pas insoutenable, au vu des éléments de fait de l'arrêt attaqué, retenus sans arbitraire par la cour cantonale (cf. supra consid. 4).
6.
Le recourant soutient en dernier lieu que le maintien de l'avis aux débiteurs (<ref-law>) serait insoutenable, dès lors que la contribution d'entretien en faveur de son épouse doit être supprimée.
Il ressort des considérations qui précèdent (cf. supra consid. 4 et 5) que cette critique est d'emblée privée de tout fondement.
7.
En conclusion, le recours est rejeté dans la mesure où il est recevable. Le recourant, qui succombe, supportera les frais judiciaires (<ref-law>). Il n'y a pas lieu d'allouer de dépens (<ref-law>). Dans la mesure où elle n'est pas sans objet, la demande d'assistance judiciaire de l'intimée est admise et Me Philippe Gorla lui est désigné comme conseil d'office pour la procédure fédérale (art. 64 al. 1 et 2 LTF); au vu de l'objet des déterminations déposées et du temps usuellement requis pour traiter l'affaire, l'indemnité de l'avocat, supportée par la caisse du Tribunal fédéral, est arrêtée à 500 fr. (art. 64 al. 2, 2ème phrase, LTF).

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce :
1.
Le recours est rejeté dans la mesure où il est recevable.
2.
Les frais judiciaires, arrêtés à 2'500 fr., sont mis à la charge du recourant.
3.
Il n'est pas alloué de dépens.
4.
La demande d'assistance judiciaire de l'intimée est admise dans la mesure où elle n'est pas sans objet. Me Philippe Gorla, avocat à Genève, est désigné comme avocat d'office de l'intimée pour la procédure fédérale.
5.
Une indemnité de 500 fr., supportée par la caisse du Tribunal fédéral, est allouée à Me Philippe Gorla à titre d'honoraires d'avocat d'office.
6.
Le présent arrêt est communiqué aux parties et à la Chambre civile de la Cour de justice du canton de Genève.
Lausanne, le 2 novembre 2016
Au nom de la IIe Cour de droit civil
du Tribunal fédéral suisse
Le Président : von Werdt
La Greffière : Feinberg