Faits :
A.
A.a. Par décision du 20 novembre 2012, confirmée sur opposition le 25 juillet 2013, la Faculté des sciences de l'Université de Genève (ci-après: l'Université) a éliminé X._ du programme de maîtrise bidisciplinaire mineure en biologie (ci-après: la maîtrise), à la suite d'un (double) échec de l'étudiante à l'examen de biologie du développement I (<ref-law>).
Le 16 juillet 2013 (recte: 16 septembre 2013), l'étudiante a recouru contre la décision sur opposition du 25 juillet 2013. Dans le cadre de ce recours, elle a été mise au bénéfice de l'assistance juridique par décision du 27 septembre 2013.
Par arrêt du 28 octobre 2014, la Chambre administrative de la Cour de justice du canton de Genève a admis le recours et renvoyé le dossier à l'Université pour que celle-ci fasse passer une nouvelle fois l'examen en question à l'intéressée.
A.b. Le 2 juin 2015, X._ a obtenu la note 3,25 à l'examen litigieux (<ref-law>). Par décision du 14 juillet 2014 (recte: 14 juillet 2015), l'Université a éliminé X._ de la maîtrise.
B.
Le 4 août 2015, l'étudiante a requis l'assistance juridique en vue de former opposition contre la décision d'élimination du 14 juillet 2015 puis, dans un deuxième temps, pour recourir contre la décision sur opposition. Par décision du 6 août 2015, le Vice-président du Tribunal civil du canton de Genève (ci-après: le Vice-président du Tribunal civil) a rejeté la requête d'assistance juridique précitée, en considérant que l'on pouvait raisonnablement attendre de l'intéressée qu'elle agisse seule dans la procédure d'opposition.
Par décision du 6 novembre 2015, le Vice-président de la Cour de justice du canton de Genève (ci-après: le Vice-président de la Cour de justice) a rejeté le recours formé par X._ contre le refus de lui octroyer l'assistance juridique prononcé le 6 août 2015. De même, cette autorité a refusé de procéder à l'audition que l'intéressée avait requise. Le Vice-président de la Cour de justice a retenu, en substance, que l'étudiante n'avait apporté aucune preuve du fait que l'Université serait hostile à son encontre. En outre, elle parlait le français et disposait de tous les éléments nécessaires pour s'opposer valablement à la décision d'élimination du 14 juillet 2015 sans l'aide d'un avocat, la complexité de la procédure en question n'étant pas établie.
C.
A l'encontre de la décision du 6 novembre 2015, X._ dépose un recours constitutionnel subsidiaire auprès du Tribunal fédéral. Elle conclut à la réforme de la décision attaquée en ce sens que le bénéfice de l'assistance judiciaire lui soit octroyé pour la procédure d'opposition à la décision de l'Université du 14 juillet 2015. Subsidiairement, elle requiert le renvoi de la cause à l'autorité précédente pour nouvelle décision dans le sens des considérants. Elle sollicite en outre le bénéfice de l'assistance judiciaire pour la procédure devant le Tribunal fédéral.
Le Vice-président de la Cour de justice se réfère aux considérants de sa décision. Le Vice-président du Tribunal civil n'a pas formulé d'observations.

Considérant en droit :
1.
Le Tribunal fédéral examine d'office sa compétence (<ref-law>) et contrôle librement la recevabilité des recours qui lui sont soumis (<ref-ruling> consid. 1 p. 43).
1.1. La décision attaquée, rendue sur recours, confirme le rejet de la demande d'assistance judiciaire formée par la recourante. Il s'agit donc d'une décision incidente, notifiée séparément, qui peut faire l'objet d'un recours immédiat auprès du Tribunal fédéral en vertu de l'<ref-law>. En effet, selon la jurisprudence, le refus d'accorder l'assistance judiciaire est de nature à causer un préjudice irréparable au sens de la disposition précitée (cf. arrêts 2C_835/2014 du 22 janvier 2015 consid. 1.2; 2D_46/2012 du 16 janvier 2013 consid. 1.3; 2D_6/2012 du 31 juillet 2012 consid. 1.1).
1.2. La voie de recours contre une telle décision est déterminée par le litige principal (cf. <ref-ruling> consid. 1.4 p. 264; <ref-ruling> consid. 1.2 p. 269). En l'occurrence, l'étudiante a requis l'assistance judiciaire en relation avec une décision d'élimination du programme de maîtrise prononcée par l'Université à la suite d'un échec à un examen.
En vertu de l'art. 83 let. t LTF, le recours en matière de droit public n'est pas ouvert à l'encontre des décisions sur le résultat d'examens ou d'autres évaluations des capacités, notamment en matière de scolarité obligatoire, de formation ultérieure ou d'exercice d'une profession. Selon la jurisprudence, les décisions d'exmatriculation d'une université ou d'une haute école ou celles d'élimination d'une faculté ou d'un programme d'études tombent sous le coup de l'art. 83 let. t LTF lorsque la décision d'exmatriculation ou d'élimination est en lien avec une évaluation des capacités de l'étudiant évincé (cf. <ref-ruling> consid. 1 p. 231). Tel est le cas en l'espèce, la recourante ayant été éliminée de la maîtrise après avoir échoué à un examen.
Le recours en matière de droit public étant exclu en vertu de l'art. 83 let. t LTF, seule la voie du recours constitutionnel subsidiaire est envisageable. C'est donc à juste titre qu'un tel recours a été formé en l'espèce (cf. <ref-law>).
1.3. Le recours a été déposé le dernier jour du délai (art. 117 et 100 al. 1 LTF) dans une boîte postale. L'enveloppe contenant le recours comporte la mention "posté le 16.12.2015 à 21 h" et la signature de deux témoins. Le même jour, le mandataire de l'intéressée a en outre transmis le recours au Tribunal fédéral par télécopie. Par courrier du 30 décembre 2015, sur requête du Président de la IIe Cour de droit public du Tribunal fédéral, l'avocat de la recourante a précisé les circonstances exactes du dépôt du recours et a indiqué l'identité et les coordonnées des deux témoins. Dans ces circonstances, on peut admettre que la recourante est en mesure de prouver que son envoi a été expédié à temps, de sorte que le recours est recevable sous cet angle (cf. arrêt 1B_488/2011 du 2 décembre 2011 consid. 1.2 et les références citées).
1.4. Pour le surplus, interjeté dans les formes prévues par la loi (<ref-law>) par la partie qui, se voyant refuser le bénéfice de l'assistance judiciaire, dispose d'un intérêt juridique à recourir (<ref-law>), le recours est recevable, dès lors que la décision entreprise émane d'une autorité judiciaire cantonale supérieure statuant en dernière instance (art. 114 et 86 al. 1 let. d et al. 2 LTF).
2.
2.1. Le recours constitutionnel subsidiaire ne peut être formé que pour violation des droits constitutionnels (<ref-law>). Comme le recours en matière de droit public, il ne peut pas être formé pour violation du droit cantonal en tant que tel. En revanche, il est toujours possible de faire valoir que la mauvaise application du droit cantonal est arbitraire au sens de l'art. 9 Cst. ou contraire à un droit fondamental (cf. <ref-ruling> consid. 4.3 p. 521 s.; <ref-ruling> consid. 2.3 p. 466). En vertu de l'<ref-law>, applicable par renvoi de l'<ref-law>, les griefs y relatifs doivent être invoqués et motivés de façon détaillée, en précisant en quoi consiste la violation, sous peine d'irrecevabilité (<ref-ruling> consid. 2.2 p. 232; <ref-ruling> consid. 3 p. 237).
2.2. Le Tribunal fédéral statue sur la base des faits établis par l'autorité précédente (<ref-law>). Il peut néanmoins rectifier ou compléter les constatations de cette autorité si les faits ont été établis en violation d'un droit constitutionnel (<ref-law> en relation avec l'<ref-law>), ce que le recourant doit démontrer d'une manière circonstanciée et précise, conformément aux exigences de motivation posées à l'<ref-law> (par renvoi de l'<ref-law>; cf. <ref-ruling> consid. 3.2 p. 444 s.).
2.3. L'objet de la contestation qui peut être portée devant le Tribunal fédéral est déterminé par la décision attaquée (arrêt 2C_319/2009 du 26 janvier 2010 consid. 2.2, non publié in <ref-ruling> mais in RDAF 2010 II 308) et par les conclusions des parties (<ref-law>). Partant, le présent litige porte uniquement sur l'octroi de l'assistance judiciaire pour la procédure d'opposition à la décision de l'Université du 14 juillet 2015.
3.
Bien qu'elle commence par affirmer se référer aux faits constatés par l'autorité cantonale (recours, p. 3), la recourante se plaint par la suite d'un établissement arbitraire des faits (recours, p. 8 ss) en relevant que "la cour cantonale a opéré plusieurs constatations en contradiction flagrante avec les pièces au dossier, à tel point que l'on peut se demander si celle-ci s'est fondée sur le bon dossier pour statuer" (recours, p. 5).
3.1. S'agissant de l'appréciation des preuves et des constatations de fait, il y a arbitraire lorsque l'autorité ne prend pas en compte, sans raison sérieuse, un élément de preuve propre à modifier la décision, lorsqu'elle se trompe manifestement sur son sens et sa portée, ou encore lorsque, en se fondant sur les éléments recueillis, elle en tire des constatations insoutenables (<ref-ruling> consid. 2.3 p. 266).
3.2. La recourante reproche en premier lieu à l'autorité précédente d'avoir "retenu que la décision qui lui était déférée" faisait mention des articles 18 et 19 du Règlement du 16 mars 2009 relatif à la procédure d'opposition au sein de l'Université de Genève (ci-après: le Règlement), à l'exclusion de l'art. 12 du Règlement, qui n'était pas pertinent en l'espèce. De l'avis de l'intéressée, cette constatation serait insoutenable et en contradiction avec "la décision attaquée". A l'appui de ses critiques, la recourante cite des extraits de la décision du 6 août 2015 du Vice-président du Tribunal civil.
Ce grief doit être rejeté. En effet, l'intéressée n'a visiblement pas compris que, dans le passage en question, le Vice-président de la Cour de justice ne se réfère pas à la décision du 6 août 2015 du Vice-président du Tribunal civil (concernant l'assistance judiciaire), mais à la décision d'élimination rendue par l'Université le 14 juillet 2015. Or, conformément à ce que retient l'arrêt attaqué, ladite décision mentionne - à juste titre - les articles 18 et 19 du Règlement (<ref-law>).
3.3. L'intéressée soutient ensuite que le Vice-président de la Cour de justice serait tombé dans l'arbitraire en considérant qu'elle n'avait "pas démontré avoir par le passé obtenu l'assistance judiciaire pour former opposition contre une décision universitaire". A titre de preuve, la recourante reproduit partiellement dans son mémoire de recours une décision en matière d'assistance juridique la concernant, rendue à une date indéterminée, en affirmant que ladite décision "doit figurer dans le dossier cantonal". Cependant, la partie de décision reproduite dans le recours par l'intéressée ne permet pas de comprendre si la requête formulée par celle-ci (tendant à obtenir l'assistance judiciaire lors d'une procédure d'opposition) avait été acceptée ou pas. En outre, contrairement aux allégations de la recourante, la décision en question ne figure pas dans le dossier cantonal. L'intéressée n'étant pas parvenue à présenter un moyen de preuve topique devant le Tribunal fédéral, on ne voit pas que l'autorité précédente serait tombée dans l'arbitraire en ne retenant pas que la recourante avait obtenu l'assistance judiciaire dans le cadre d'une opposition formée précédemment.
Le grief tiré de l'établissement arbitraire des faits doit partant être écarté. La Cour de céans se fondera donc exclusivement sur les faits établis par le Vice-président de la Cour de justice.
4.
Le recourante se plaint d'une application arbitraire de l'art. 10 al. 3 de la loi genevoise sur la procédure administrative du 12 septembre 1985 (LPA/GE; RS/GE E 5 10) et d'une violation de l'art. 29 al. 2 Cst. Elle soutient que le Vice-président de la Cour de justice aurait nié à tort son droit "à une audience générale et orale".
4.1. Une décision est arbitraire (art. 9 Cst.) lorsqu'elle contredit clairement la situation de fait, qu'elle viole gravement une norme ou un principe juridique clair et indiscuté ou qu'elle heurte d'une manière choquante le sentiment de la justice et de l'équité. Il n'y a pas arbitraire du seul fait qu'une solution autre que celle de l'autorité cantonale semble concevable, voire préférable (<ref-ruling> consid. 2.1 p. 211). Pour qu'une décision soit annulée pour cause d'arbitraire, il ne suffit pas que sa motivation soit insoutenable; il faut encore que cette décision soit arbitraire dans son résultat (<ref-ruling> consid. 2.4 p. 5 et les arrêts cités).
4.2. La procédure principale est de nature administrative, de sorte que l'assistance judiciaire est régie par la LPA/GE. Selon l'art. 10 al. 3 LPA/GE, en cas de refus ou de retrait de l'assistance juridique, la personne qui l'a sollicitée peut recourir par écrit dans les 30 jours dès la notification de la décision auprès du président de la Cour de justice; en règle générale, le recourant est entendu. Cette disposition est entrée en vigueur le 1er janvier 2011. Le Tribunal fédéral a jugé que la jurisprudence rendue sous l'ancien droit, à savoir sous l'empire de l'art. 143A al. 3 de l'ancienne loi genevoise sur l'organisation judiciaire du 22 novembre 1941 (aLOJ/GE), qui avait la même teneur que l'art. 10 al. 3 LPA/GE, demeurait applicable sous le nouveau droit (cf. arrêts 2D_46/2012 du 16 janvier 2013 consid. 2.1; 2D_47/2012 du 12 décembre 2012 consid. 2.1; 2D_6/2012 du 31 juillet 2012 consid. 3.4, in RDAF 2012 I 588).
Il en découle que, selon l'art. 10 al. 3 LPA/GE (lequel va plus loin que l'art. 29 al. 2 Cst.), lorsqu'il est saisi d'un recours portant sur l'assistance juridique en matière administrative, le Président de la Cour de justice est en règle générale tenu d'entendre le recourant. Cette règle n'est toutefois pas absolue, étant précisé qu'il appartient au Président de la Cour de justice de motiver, le cas échéant, sa décision de renoncer à cette audition (cf. arrêts 2D_46/2012 du 16 janvier 2013 consid. 2.1 et 2D_47/2012 du 12 décembre 2012 consid. 2.1). Une motivation est suffisante en regard de l'art. 29 al. 2 Cst. si le recourant peut se rendre compte de la portée de la décision et l'attaquer en connaissance de cause (<ref-ruling> consid. 2.2 p. 183).
4.3. En l'espèce, l'autorité précédente, après avoir mentionné l'art. 10 al. 3 LPA/GE et les principes en découlant, a constaté qu'elle disposait des décisions antérieures opposant la recourante à l'Université et que les moyens de preuve nouveaux étaient irrecevables dans le cadre du recours déposé devant elle. Sur cette base, le Vice-président de la Cour de justice a retenu qu'il "ne se justifi[ait] pas de procéder à l'audition de la recourante".
L'autorité précédente a ainsi exposé les raisons pour lesquelles elle considérait que les circonstances justifiaient de renoncer à l'audition de la recourante, de manière à ce que l'intéressée puisse se rendre compte de la portée de la décision et l'attaquer en connaissance de cause. Il n'apparaît pas, dans ce contexte, que l'on puisse retenir une application arbitraire de l'art. 10 al. 3 LPA/GE, ni une violation de l'art. 29 al. 2 Cst.
Quant à savoir si la justification présentée par l'autorité précédente à l'appui du refus d'entendre la recourante est conforme au droit constitutionnel, la question sera analysée ci-après.
5.
La recourante invoque ensuite une "application arbitraire de l'art. 61 al. 1 LPA/GE" et une "violation subséquente de l'art. 29 al. 1 Cst.". Elle soutient que l'autorité précédente serait tombée dans l'arbitraire en refusant de l'entendre au motif que les allégations de faits et les preuves nouvelles étaient irrecevables dans la procédure qui se déroulait devant elle.
5.1. L'art. 61 LPA/GE traite des motifs du recours. Selon cette disposition, un recours peut être formé pour violation du droit y compris l'excès et l'abus du pouvoir d'appréciation (let. a); pour constatation inexacte ou incomplète des faits pertinents (let. b). La recourante fonde ses critiques sur cet article. Cependant, elle perd de vue que l'art. 10 LPA/GE précité (cf. supra consid. 4) prévoit des règles spécifiques concernant l'assistance juridique en matière administrative. En particulier, selon l'art. 10 al. 4 LPA/GE, "les dispositions réglementaires édictées par le Conseil d'Etat en matière d'assistance juridique s'appliquent pour le surplus". Cette disposition renvoie au règlement du 28 juillet 2010 sur l'assistance juridique et l'indemnisation des conseils juridiques et défenseurs d'office en matière civile, administrative et pénale (RAJ/GE; RS/GE E 2 05.04). Contrairement à ce que semble croire la recourante, le renvoi "pour le surplus" prévu à l'art. 10 al. 4 LPA/GE signifie que pour le reste, le RAJ/GE prévoit qu'en ce qui concerne la procédure d'instruction, les dispositions du CPC sont applicables à toute requête d'assistance judiciaire (cf. arrêt 2D_6/2012 du 31 juillet 2012 consid. 3.4, in RDAF 2012 I 588). Le CPC s'applique ainsi à titre de droit cantonal supplétif (cf. arrêt 1B_171/2011 du 15 juin 2011 consid. 2.2).
5.2. L'art. 10 LPA/GE ne précise pas le pouvoir d'examen de l'autorité de recours en matière d'assistance judiciaire. Dans ces circonstances, il y a lieu d'examiner ce que le CPC (applicable selon le renvoi de l'art. 8 al. 3 RAJ/GE) prévoit à ce sujet.
Les articles 117 ss CPC traitent de l'assistance judiciaire. Selon l'<ref-law>, les décisions refusant ou retirant totalement ou partiellement l'assistance judiciaire peuvent faire l'objet d'un recours. Saisie d'un recours, l'autorité doit examiner s'il y a eu violation du droit ou constatation manifestement inexacte des faits (<ref-law>). Les allégations de fait et les preuves nouvelles sont irrecevables en procédure de recours (<ref-law>). En matière d'assistance judiciaire, le CPC prévoit ainsi que le pouvoir d'examen de l'autorité de recours concernant les faits est limité à la constatation manifestement inexacte de ceux-ci et que les allégations de faits et les preuves nouvelles sont irrecevables (cf. arrêt 4A_34/2012 du 23 février 2012 consid. 2.3). C'est donc à juste titre que l'autorité précédente, en se fondant sur les articles 320 et 326 al. 1 CPC, applicables par renvoi de l'art. 8 al. 3 RAJ/GE, a limité à l'arbitraire son pouvoir d'examen en fait et a considéré que les moyens de preuve nouveaux étaient irrecevables dans le cadre du recours déposé devant elle. En rejetant la requête d'audition de la recourante pour ce motif, le Vice-président de la Cour de justice n'est pas tombé dans l'arbitraire. Ce motif suffisant à justifier le refus d'audition, il n'y a pas lieu d'examiner la seconde explication donnée par l'autorité précédente, liée au fait que celle-ci disposait des décisions antérieures opposant l'étudiante à l'Université.
6.
S'agissant du fond, soit du refus de l'assistance judiciaire, la recourante se prévaut d'une violation de l'art. 29 al. 3 Cst. A son avis, le litige ne serait "pas sans complexité", de sorte que la présence d'un avocat serait nécessaire. En outre, il serait choquant de lui nier le droit à l'assistance judiciaire après "une longue série d'octroi d'assistance juridique dans la même espèce".
6.1. D'après l'art. 29 al. 3 Cst., toute personne qui ne dispose pas de ressources suffisantes a droit, à moins que sa cause paraisse dépourvue de toute chance de succès, à l'assistance judiciaire gratuite. Elle a en outre droit à l'assistance gratuite d'un défenseur, dans la mesure où la sauvegarde de ses droits le requiert. L'art. 29 al. 3 Cst. confère au justiciable une garantie minimale, dont le Tribunal fédéral examine librement le respect (cf. arrêts 2C_1056/2015 du 20 janvier 2016 consid. 4.1 et 2C_835/2014 du 22 janvier 2015 consid. 6.2).
Selon la jurisprudence, il se justifie en principe de désigner un avocat d'office à la personne indigente lorsque la situation juridique de celle-ci est susceptible d'être affectée de manière particulièrement grave. Lorsque, sans être d'une portée aussi capitale, la procédure en question met sérieusement en cause les intérêts de l'intéressé, il faut en sus que l'affaire présente des difficultés en fait et en droit que le requérant ou son représentant légal ne peuvent surmonter seuls (<ref-ruling> consid. 2.2 p. 182 et les arrêts cités). Le point décisif est toujours de savoir si la désignation d'un avocat d'office est objectivement nécessaire dans le cas d'espèce. A cet égard, il faut tenir compte des circonstances concrètes de l'affaire, de la complexité des questions de fait et de droit, des particularités que présentent les règles de procédure applicables, des connaissances juridiques du requérant ou de son représentant, du fait que la partie adverse est assistée d'un avocat et de la portée qu'a pour le requérant la décision à prendre, avec une certaine réserve lorsque sont en cause principalement ses intérêts financiers (cf. arrêts 1D_1/2013 du 7 mai 2013 consid. 5.2 et 1D_6/2010 du 10 septembre 2010 consid. 3.1).
6.2. Le Vice-président de la Cour de justice, en confirmant sur ce point la décision du Vice-président du Tribunal civil, a jugé que, dans le cadre de la procédure d'opposition à la décision d'élimination du 14 juillet 2015, l'assistance d'un avocat n'était pas nécessaire. A ce sujet, il a constaté en particulier que l'intéressée parlait le français, que le déroulement de la procédure d'opposition était exposé de manière claire et précise dans le Règlement, que l'étudiante - sans bénéficier de l'assistance judiciaire - avait "déjà expérimenté" cette procédure et qu'il n'était pas établi que l'Université serait hostile à l'encontre de la recourante.
6.3. La procédure d'opposition pour les étudiants est traitée aux articles 18 ss du Règlement. Ces articles exposent dans le détail et de manière compréhensible les règles concernant notamment le délai d'opposition (art. 18), la forme et le contenu de celle-ci (art. 19), l'effet suspensif (art. 21 s.), la consultation du dossier (art. 23 s.), le retrait de l'opposition (art. 25 s.), le pouvoir d'examen de l'autorité (art. 30 s.) et le contenu de la décision sur opposition (art. 32 ss). L'interprétation et l'application de ces dispositions ne présentent pas de difficulté particulière.
6.4. La recourante se prévaut de la "complexité" de la cause pour justifier la désignation d'un défenseur. Elle ne fournit toutefois aucune explication à ce propos, en se limitant à se référer vaguement à l'arrêt de la Cour de justice du 28 octobre 2014 (dans lequel cette autorité avait admis le recours formé par l'étudiante le 16 septembre 2013, cf. supra let. A.a). Quoi qu'il en soit, ce critère n'apparaît pas rempli en l'espèce. En effet, comme on vient de le voir, les dispositions du Règlement concernant la procédure d'opposition sont claires et ne présentent pas de difficulté particulière.
Quant à la critique de l'intéressée concernant le fait qu'il serait "choquant" de lui nier le droit à l'assistance judiciaire après "une longue série d'octroi d'assistance juridique dans la même espèce" (recours, p. 11), elle ne peut qu'être écartée. En effet, la nécessité de l'assistance d'un avocat doit être examinée dans chaque cas en tenant compte des circonstances concrètes de la cause (cf. supra consid. 6.1). En outre, l'autorité précédente a constaté sans arbitraire (cf. supra consid. 3.3) que la recourante n'avait pas démontré avoir par le passé obtenu l'assistance judiciaire déjà au stade de la procédure d'opposition à une décision de l'Université. En revanche, elle a relevé pertinemment que l'intéressée avait déjà formé opposition précédemment, qu'elle maîtrisait la langue de la procédure et que le règlement était suffisamment précis pour lui permettre d'agir seule à ce stade.
Dans ces circonstances, en considérant que l'assistance d'un avocat n'était objectivement pas nécessaire au stade de l'opposition, et en refusant pour cette raison de mettre l'étudiante au bénéfice de l'assistance juridique, le Vice-président de la Cour de justice n'a pas violé l'art. 29 al. 3 Cst.
Les considérants qui précèdent conduisent au rejet du recours.
7.
La recourante a sollicité sa mise au bénéfice de l'assistance judiciaire pour la procédure devant le Tribunal fédéral. La cause paraissant d'emblée dépourvue de chances de succès, cette requête doit être rejetée (<ref-law>). Les frais judiciaires seront mis à la charge de la recourante, mais ils seront fixés en tenant compte de sa situation financière (art. 65 al. 2 et 66 al. 1 LTF). Il n'y a pas lieu d'allouer des dépens (art. 68 al. 1 et 3 LTF).

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce :
1.
Le recours est rejeté.
2.
La demande d'assistance judiciaire est rejetée.
3.
Les frais judiciaires, arrêtés à 500 fr., sont mis à la charge de la recourante.
4.
Le présent arrêt est communiqué au mandataire de la recourante, au Vice-président du Tribunal civil de la République et canton de Genève et au Vice-président de la Cour de justice de la République et canton de Genève, Assistance judiciaire.
Lausanne, le 30 juin 2016
Au nom de la IIe Cour de droit public
du Tribunal fédéral suisse
Le Président : Seiler
Le Greffier : Ermotti