Sachverhalt:
A.
A.a. Das Familiengericht U._ ordnete am 18. Juni 2014 für E.A._ (geb. 1918; Betroffene) eine Vertretungsbeistandschaft mit Einkommens- und Vermögensverwaltung an und entzog ihr diesbezüglich die Handlungsfähigkeit. Zu Beiständinnen ernannte es C._, Enkelin der Betroffenen, und D._, Kindes- und Erwachsenenschutzdienst (KESD) U._.
A.b. Auf Beschwerde einer Tochter der Betroffenen, B._, hin hob das Obergericht des Kantons Aargau, Kammer für Kindes- und Erwachsenenschutz, den Entscheid des Familiengerichts am 23. Februar 2015 auf und wies die Sache an dieses zurück. Der Betroffenen stellte das Obergericht Rechtsanwältin F._ als Vertreterin nach <ref-law> zur Seite. Ausserdem beauftragte es das Familiengericht, die Kosten des Beschwerdeverfahrens zu verlegen.
A.c. Hiergegen beschwerte sich der Sohn der Betroffenen, A.A._, beim Bundesgericht. Am 31. Mai 2015 verstarb die Betroffene, woraufhin das Bundesgericht das bundesgerichtliche Verfahren mit Verfügung 5A_302/2015 vom 3. Juli 2015 als gegenstandslos abschrieb. Dabei erwog es, das Obergericht habe nunmehr über die Kostenverlegung im kantonalen Rechtsmittelverfahren zu entscheiden. Ein Gesuch von B._ um Revision der Abschreibungsverfügung wies das Bundesgericht mit Urteil 5F_9/2015 vom 26. November 2015 ab.
B.
Mit Entscheid vom 7. März 2016 (eröffnet am 21. März 2016) schrieb das Obergericht das Erwachsenenschutzverfahren ab (Dispositivziffer 1) und auferlegte B._ die Kosten des Beschwerdeverfahrens von Fr. 1'000.-- (Dispositivziffer 2.1) sowie die Kosten der Vertretung der Betroffenen von Fr. 3'300.-- (inkl. Auslagen und MWSt; Dispositivziffer 2.2). Partei- und Umtriebsentschädigungen sprach es keine (Dispositivziffer 4).
C.
Mit Beschwerde in Zivilsachen, eventuell subsidiärer Verfassungsbeschwerde, ist B._ (Beschwerdeführerin) an das Bundesgericht gelangt und hat folgende Anträge in der Sache gestellt:
"1. Es sei die Dispositivziffer 2.1 des Entscheids des Obergerichts Kanton Aargau [...] vom 7. März 2016 aufzuheben und es seien die Gerichtskosten für das vorinstanzliche Beschwerdeverfahren [...] [A.A._] und [C._] aufzuerlegen (unter solidarischer Haftbarkeit derselben); eventualiter seien die Gerichtskosten für das vorinstanzliche Beschwerdeverfahren von der Staatskasse zu tragen.
2. Eventualiter zu Rechtsbegehren 1 sei die Dispositivziffer 2.1 des Entscheids des Obergerichts Kanton Aargau [...] vom 7. März 2016 aufzuheben und die Sache zur Neubeurteilung an die Vorinstanz zurückzuweisen.
3. Es sei die Dispositivziffer 2.2 des Entscheids des Obergerichts Kanton Aargau [...] vom 7. März 2016 aufzuheben und es seien die Kosten für die amtliche Vertretung der Betroffenen, eventualiter der Staatskasse, sub-eventualiter [A.A._] und [C._], unter solidarischer Haftbarkeit derselben, aufzuerlegen.
4. Eventualiter zu Rechtsbegehren 3 sei die Dispositivziffer 2.2 des Entscheids des Obergerichts Kanton Aargau [...] vom 7. März 2016 aufzuheben und die Sache zur Neubeurteilung an die Vorinstanz zurückzuweisen.
5. Es sei Dispositivziffer 4 des Entscheids des Obergerichts Kanton Aargau [...] vom 7. März 2016 aufzuheben und es sei der Beschwerdeführerin für das vorinstanzliche Beschwerdeverfahren eine Parteientschädigung in der Höhe von Fr. 14'740.-- zzgl. MWSt. zu Lasten [von A.A._] und [C._] (unter solidarischer Haftbarkeit derselben), eventualiter zu Lasten der Staatskasse zuzusprechen.
6. Eventualiter zu Rechtsbegehren 5 sei die Dispositivziffer 4 des Entscheids des Obergerichts Kanton Aargau [...] vom 7. März 2016 aufzuheben und die Sache zur Neubeurteilung an die Vorinstanz zurückzuweisen."
Mit Beschwerdeantwort vom 5. Dezember 2016 beantragt A.A._ (Beschwerdegegner) die Abweisung der Beschwerde. In den Eingaben vom 19. Dezember 2016, vom 31. März und vom 14. April 2017 halten B._ und A.A._ an ihren bisherigen Anträge fest. Das Obergericht hat am 7. Oktober 2016 auf eine Vernehmlassung verzichtet.
Im Übrigen hat das Bundesgericht die Akten des kantonalen Verfahrens eingeholt. F._ hat den obergerichtlichen Entscheid ebenfalls vor Bundesgericht angefochten (Verfahren 5A_296/2016).

Erwägungen:
1.
1.1. Die Beschwerde richtet sich gegen einen Endentscheid einer letzten kantonalen Instanz, die als oberes Gericht in seiner Eigenschaft als Rechtsmittelinstanz ein Erwachsenenschutzverfahren (Beistandschaft) abgeschrieben und dabei über die Prozesskosten sowie die Entschädigung der Vertreterin nach <ref-law> entschieden hat (Art. 75 Abs. 1 und Art. 90 BGG). Bei der in Frage stehenden Beistandschaft geht es insgesamt um eine nicht vermögensrechtliche öffentlich-rechtliche Angelegenheit in unmittelbarem Zusammenhang mit dem Zivilrecht (Art. 72 Abs. 2 Bst. b Ziff. 6 BGG; vgl. Urteil 5A_855/2015 vom 3. Mai 2016 E. 2). Die Beschwerdeführerin hat am vorinstanzlichen Verfahren teilgenommen, ist durch den angefochtenen Entscheid besonders berührt und hat ein schutzwürdiges Interesse an dessen Aufhebung oder Änderung. Sie ist zur Beschwerde berechtigt (<ref-law>). Auf die auch fristgerecht erhobene Beschwerde (<ref-law>) kann daher grundsätzlich eingetreten werden. Die ebenfalls erhobene subsidiäre Verfassungsbeschwerde ist damit unzulässig.
1.2. Neue Tatsachen und Beweismittel dürfen vor Bundesgericht nur so weit vorgebracht werden, als erst der Entscheid der Vorinstanz dazu Anlass gibt (<ref-law>). Die Beschwerdeführerin rügt, bei verschiedenen vom Beschwerdegegner eingebrachten Beweismitteln handle es sich um unzulässige Noven, welche unbeachtlich seien. Vorliegend kann gestützt auf die vorinstanzlichen Akten entschieden werden, womit auf das Vorbringen der Beschwerdeführerin nicht weiter eingegangen zu werden braucht.
1.3. Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (<ref-law>). Immerhin prüft es, unter Berücksichtigung der allgemeinen Begründungspflicht der Beschwerde (Art. 42 Abs. 1 und 2 BGG), grundsätzlich nur die geltend gemachten Rügen, sofern die rechtlichen Mängel nicht geradezu offensichtlich sind (<ref-ruling> E. 2). Wird eine Rechtsfrage aufgeworfen, ist das Bundesgericht weder an die von den Parteien geltend gemachten Gründe noch an die rechtliche Würdigung der Vorinstanz gebunden. Es kann die Beschwerde aus einem anderen als dem von der beschwerdeführenden Person angerufenen Grund gutheissen und es kann sie mit einer von der Argumentation der Vorinstanz abweichenden Begründung abweisen (<ref-ruling> E. 2.4).
2.
Die Beschwerdeführerin rügt die Verletzung des Anspruchs auf rechtliches Gehör (<ref-law>). Das Obergericht sei bei der Verlegung der Prozesskosten verschiedentlich auf ihre Ausführungen nicht eingegangen und habe nicht hinreichend begründet, weshalb es ihr die Kosten der Vertretung der Betroffenen auferlegte. Der Gehörsanspruch ist formeller Natur, womit seine Verletzung ungeachtet der materiellen Begründetheit des Rechtsmittels grundsätzlich zur Aufhebung des angefochtenen Entscheids führt (<ref-ruling> E. 2.8.1). Die entsprechende Rüge ist daher vorab zu behandeln (<ref-ruling> E. 5.1).
Der Anspruch auf rechtliches Gehör verlangt, dass das Gericht die Vorbringen der vom Entscheid in ihrer Rechtsstellung betroffenen Person tatsächlich hört, prüft und in der Entscheidfindung berücksichtigt. Daraus folgt die Verpflichtung des Gerichts, seinen Entscheid zu begründen. Dabei ist nicht erforderlich, dass es sich mit allen Parteistandpunkten einlässlich auseinandersetzt und jedes einzelne Vorbringen ausdrücklich widerlegt. Vielmehr kann es sich auf die wesentlichen Punkte beschränken. Die Begründung muss so abgefasst sein, dass sich die betroffene Person über die Tragweite des Entscheids Rechenschaft geben und ihn in voller Kenntnis der Sache an die höhere Instanz weiterziehen kann (<ref-ruling> E. 3.2.4; <ref-ruling> E. 5.2). Das Obergericht begründete eher knapp, weshalb es die Prozesskosten der Beschwerdeführerin auferlegte. Es hat aber die wesentlichen Punkte dargelegt, von denen es sich hat leiten lassen (Gegenstandslosigkeit des Verfahrens; Verlegung der Kosten nach Massgabe von <ref-law> mit Blick auf das Ergebnis des Verfahrens). Mehr war nicht notwendig und das Obergericht musste nicht weiter auf die Vorbringen der Beschwerdeführerin eingehen. Knapp aber ausreichend ist auch die Begründung, weshalb das Obergericht die Kosten der Vertretung nach <ref-law> der Beschwerdeführerin auferlegte (Kosten der Vertretung als Gerichtskosten; Verlegung mit den übrigen Prozesskosten). Damit legte die Vorinstanz ihre wesentlichen Überlegungen dar. Die Beschwerdeführerin war denn auch in der Lage, den Entscheid sachgerecht anzufechten. Ob die Vorgehensweise des Obergerichts überzeugt, ist sodann nicht eine Frage des rechtlichen Gehörs, sondern eine solche der Rechtsanwendung (Urteil 5A_286/2014 vom 30. September 2014 E. 2). Die Rüge der Gehörsverletzung erweist sich als unbegründet.
3.
In der Sache ist die Verlegung der Prozesskosten des kantonalen Beschwerdeverfahrens umstritten (vorne Bst. A.b und B).
3.1. Das ZGB enthält nur wenige Bestimmungen zum Erwachsenenschutzverfahren. Für dessen Regelung sind die Kantone zuständig, soweit das ZGB nicht eine Frage abschliessend bundesrechtlich beantwortet (vgl. <ref-law>). Die Verlegung der Prozesskosten im Beschwerdeverfahren regelt das ZGB nicht. Ebenso wenig das einschlägige kantonale Recht, welches aber ergänzend auf die Bestimmungen der ZPO verweist (§ 65a des Einführungsgesetzes [des Kantons Aargau] vom 27. März 1911 zum Schweizerischen Zivilgesetzbuch und Partnerschaftsgesetz [EG ZGB; SAR 210.100]). Diese gelangen folglich als subsidiäres kantonales Recht zur Anwendung. Das Bundesgericht überprüft ihre korrekte Handhabung daher nicht frei, sondern nur auf Willkür (<ref-law>) oder die Verletzung eines anderen verfassungsmässigen Rechts und auf entsprechende Rüge hin (<ref-law>; Urteil 5A_724/2015 vom 2. Juni 2016 E. 2.2, nicht publiziert in <ref-ruling>). Eine willkürliche Rechtsanwendung liegt vor, wenn der angefochtene Entscheid offensichtlich unhaltbar ist, mit der tatsächlichen Situation in klarem Widerspruch steht, eine Norm oder einen unumstrittenen Rechtsgrundsatz krass verletzt oder in stossender Weise dem Gerechtigkeitsgedanken zuwiderläuft. Das Bundesgericht hebt einen Entscheid jedoch nur auf, wenn nicht bloss die Begründung, sondern auch dessen Ergebnis unhaltbar ist. Dass eine andere Lösung ebenfalls als vertretbar oder gar als zutreffender erscheinen mag, genügt nicht (<ref-ruling> E. 2.2 mit Hinweisen).
3.2. Das Obergericht erwog, mit dem Tod der Betroffenen sei das Erwachsenenschutzverfahren gegenstandslos geworden und daher abzuschreiben. In dieser Konstellation seien die Prozesskosten mangels anderweitiger gesetzlicher Regelung nach Ermessen zu verlegen (§ 65a Abs. 4 EG ZGB i.V.m. Art. 107 Abs. 1 Bst. e ZPO). Hierbei sei der mutmassliche Prozessausgang am 31. Mai 2015, dem Zeitpunkt des Eintritts der Gegenstandlosigkeit, ausschlaggebend. In der Folge gelangte das Obergericht zum Schluss, der Beschwerde gegen die Beistandschaft wäre letztlich überwiegend wahrscheinlich kein Erfolg beschieden gewesen. Die Verfahrenskosten seien daher der Beschwerdeführerin aufzuerlegen und dieser sei keine Parteientschädigung auszurichten.
3.3. Fraglich ist vorab, ob das Obergericht die Regeln zur Kostenverlegung willkürlich zur Anwendung gebracht hat.
3.3.1. Die Beschwerdeführerin hält der Vorinstanz diesbezüglich entgegen, das Beschwerdeverfahren sei mit zwischenzeitlich rechtskräftigem Entscheid vom 23. Februar 2015 und nicht erst am 31. Mai 2015 abgeschlossen worden. Damit seien die Prozesskosten nach <ref-law> entsprechend dem tatsächlichen Ausgang des Verfahrens zu verlegen. Ihre Beschwerde sei gutgeheissen worden, womit ihr keine Gerichtskosten auferlegt werden dürften und ihr die Parteikosten zu ersetzen seien. Hieran ändere nichts, dass das Obergericht die Kostenverlegung der ersten Instanz überlassen habe (<ref-law>; vgl. vorne Bst. A.b). Es sei willkürlich, die Prozesskosten in dieser Situation in Anwendung von <ref-law> nach Ermessen und nicht entsprechend dem tatsächlichen Prozessausgang zu verlegen.
3.3.2. Das Gericht entscheidet über die Prozesskosten in der Regel im Endentscheid (<ref-law>). In einem Rückweisungsentscheid kann die obere Instanz die Verteilung der Prozesskosten des Rechtsmittelverfahrens der Vorinstanz überlassen (<ref-law>). Diese Sonderregelung berücksichtigt nach der Rechtsprechung, dass im Falle der Rückweisung der Sache unter Umständen völlig offen ist, welche Partei am Schluss obsiegen wird. Dies gilt namentlich, wenn die Rückweisung erfolgt, weil die Erstinstanz die Beweisabnahme zu ergänzen hat. Es macht in dieser Situation Sinn, dass die Erstinstanz im neuen Entscheid auch die Prozesskosten des Rechtsmittelverfahrens verlegt, das zur Rückweisung geführt hat. Dabei berücksichtigt sie den Prozessausgang in der Sache und nicht denjenigen im Rechtsmittelverfahren. Bezogen auf jenes Rechtsmittelverfahren wird das Unterliegerprinzip (vgl. <ref-law>) mithin relativiert: Es ist nicht massgebend, welche Partei mit ihren Rechtsmittelanträgen, sondern welche Partei später mit ihren ursprünglichen Begehren in der Sache obsiegt (Urteil 4A_364/2013 vom 5. März 2014 E. 15.4; vgl. auch Urteil 5A_517/2015 vom 7. Dezember 2015 E. 3).
3.3.3. Im Beschwerdeentscheid vom 23. Februar 2015 hat das Obergericht die Anordnung der Beistandschaft aufgehoben, da kein ärztliches Gutachten zum Gesundheitszustand der Betroffenen vorlag. Es hat die Sache zur Einholung eines solchen und zum neuen Entscheid an die erste Instanz zurückgewiesen (E. 2.2; vgl. unpag. Akten OGer xxx, 3. Teil). Damit hat es einen Rückweisungsentscheid im Sinn von <ref-law> ausgefällt, wobei der Prozessausgang im Entscheidzeitpunkt noch offen war. In der Folge hat das Obergericht darauf verzichtet, die Prozesskosten selbst zu verlegen. Stattdessen hat es diesen Entscheid dem Familiengericht überlassen (vorne Bst. A.b). Mit Blick auf die zitierte Rechtsprechung ist es in dieser Situation nicht willkürlich, dass das Obergericht die Prozesskosten nach Abschluss des Erwachsenenschutzverfahrens nach dem Prozessausgang in der Sache und nicht nach dem Ausgang des Rechtsmittelverfahrens verlegt hat. Da das Verfahren mit dem Tode der Betroffenen gegenstandslos geworden ist und abzuschreiben war (vgl. <ref-law>; § 60c Abs. 1 EG ZGB i.V.m. <ref-law>), durfte es dabei von einem Anwendungsfall von Art. 107 Abs. 1 Bst. e ZPO ausgehen ohne in Willkür zu verfallen. Anders als die Beschwerdeführerin meint, musste es für die Kostenverlegung daher nicht auf den Beschwerdeentscheid vom 23. Februar 2015 abstellen. Folglich bleibt unerheblich, ob dieser in Rechtskraft erwachsen ist. Auf diese Frage ist nicht weiter einzugehen. Nicht entscheidend und daher nicht zu klären ist sodann, ob eine Abschreibung des Erwachsenenschutzverfahrens durch das Obergericht notwendig war.
3.4. Zu prüfen ist weiter, ob die Kostenverlegung des Obergerichts als solche geradezu unhaltbar ist.
3.4.1. Die Beschwerdeführerin rügt insoweit als willkürlich, dass das Obergericht allein den mutmasslichen Prozessausgang berücksichtigte. Ihrer Ansicht nach hätte das Gericht auch bedenken müssen, welche Partei unnötige Kosten verursachte und ob die Beschwerde in guten Treuen erhoben worden war. Bei der Beurteilung des mutmasslichen Prozessausgangs habe das Obergericht sich sodann auf Arztberichte gestützt, die es im Beschwerdeentscheid noch als ungenügend angesehen habe. Es sei willkürlich, wenn es mit Blick auf diese Berichte nunmehr zum Schluss gelange, die Beschwerde wäre voraussichtlich abzuweisen gewesen. Dadurch habe es dem Kostenentscheid eine dem Beschwerdeentscheid widersprechende Auslegung des Sachverhalts zugrunde gelegt und die Kosten nicht nach dem effektiven Verfahrensausgang verlegt. Ausserdem habe das Obergericht den Eventualantrag der Beschwerdeführerin auf Wechsel der Beistandspersonen zu wenig berücksichtigt.
3.4.2. Das Gericht kann von den Verteilungsgrundsätzen nach <ref-law> abweichen und die Prozesskosten nach Ermessen verteilen, wenn das Verfahren als gegenstandslos abgeschrieben wird und das Gesetz nichts anderes vorsieht (Art. 107 Abs. 1 Bst. e ZPO). Dabei hat es je nach Lage des Einzelfalls zu berücksichtigen, welche Partei Anlass zur Klage gegeben hat, welches der mutmassliche Prozessausgang gewesen wäre, welche Partei unnötigerweise Kosten verursacht hat und bei welcher Partei die Gründe eingetreten sind, die dazu geführt haben, dass das Verfahren gegenstandslos wurde (<ref-ruling> E. 8.2; Urteil 5A_885/2014 vom 19. März 2015 E. 2.4). Das Bundesgericht hat bei vergleichbarer Rechtslage (Art. 266 aZPO/SG) zwar festgehalten, das Gericht dürfe sich bei der Ermessensausübung nicht auf ein einzelnes Kriterium versteifen, sondern habe alle Kriterien zu berücksichtigen (Urteil 5P.394/2005 vom 16. Januar 2006 E. 2.3; ebenso ALEXANDER FISCHER, in: Baker & McKenzie [Hrsg.], Schweizerische Zivilprozessordnung, 2010, N. 12 zu <ref-law>). Jedoch ist anerkannt, dass je nach Sachlage vorab auf den mutmasslichen Prozessausgang abgestellt werden kann (<ref-ruling> E. 8.2 mit Hinweisen; MARTIN H. STERCHI, in: Berner Kommentar, Schweizerische Zivilprozessordnung, Bd. I, 2012, N. 18 zu <ref-law>). Vorliegend wurde das Erwachsenenschutzverfahren aufgrund des Todes der Betroffenen und damit ohne Zutun der Verfahrensbeteiligten gegenstandslos. Besondere Umstände sind sodann nicht ersichtlich. Anders als die Beschwerdeführerin meint, können solche nicht darin gesehen werden, dass sie mit der Anordnung des Familiengerichts nicht einverstanden war, die übrigen Verfahrensbeteiligten die Beistandschaft aber aufrechterhalten wollten. Hierbei handelt es sich um Umstände, wie sie in jedem Verfahren auftreten oder auftreten können. Es ist folglich nicht willkürlich, dass die Vorinstanz die Prozesskosten allein aufgrund des mutmasslichen Prozessausgangs im Zeitpunkt des Todes der Betroffenen verlegt hat.
3.4.3. Ebenso wenig ist es geradezu unhaltbar, dass das Obergericht hierbei nicht einfach das Ergebnis des Beschwerdeverfahrens übernommen, sondern eine neue Würdigung der Sachlage vorgenommen hat. Auf das Beschwerdeverfahren konnte es auch deshalb nicht abstellen, weil es in diesem die Akten nicht inhaltlich gewürdigt hatte. Die Beschwerde hiess es gut, weil kein Gutachten vorlag (vorne E. 3.3.3). Der Beschwerdeentscheid war als Grundlage für die Beurteilung der mutmasslichen Prozessaussichten in der Sache daher nicht geeignet. Das Obergericht stützte sich hierzu stattdessen auf die vorhandenen Akten. Dies ist haltbar, sind die mutmasslichen Prozessaussichten doch aufgrund einer knappen, summarischen Beurteilung der Aktenlage zu beurteilen, ohne dass weitere Beweismassnahmen notwendig wären (<ref-ruling> E. 8.2 mit Hinweisen). Selbst wenn das Obergericht bei dieser Würdigung diejenigen Unterlagen beizog, welche es im Beschwerdeentscheid noch aus formellen Gründen als zur Begründung der Beistandschaft ungenügend beurteilte, hat es daher nicht willkürlich entschieden. Im Ergebnis kam es dabei zum Schluss, die Beistandschaft sei sehr wahrscheinlich zu Recht errichtet worden, weil die Betroffene wohl an einer geistigen Schwäche in Form einer fortgeschrittenen Demenz gelitten habe. Diese Folgerung ist nicht hinreichend substanziiert bestritten (<ref-law>).
3.4.4. Nichts anderes ergibt sich schliesslich aus den Ausführungen der Beschwerdeführerin zu dem vor der Vorinstanz gestellten Eventualbegehren um Wechsel der Beistandspersonen: Diesbezüglich verweist die Beschwerdeführerin auf E. 3 des Entscheids vom 23. Februar 2015, wonach von der Erstinstanz angeordnete vorsorgliche Anordnungen wieder aufleben würden (vgl. unpag. Akten OGer xxx, 3. Teil). Auch mit Blick hierauf ist es nicht willkürlich, auf die mutmasslichen Prozessaussichten beim Tode der Betroffenen abzustellen, wie das Obergericht dies getan hat. Ohnehin verkennt die Beschwerdeführerin, dass die Vorinstanz in jenem Entscheid einzig eine Feststellung zum weiteren Verfahrensgang getroffen und sich nicht zu den Beistandspersonen geäussert hat. Ansonsten verweist die Beschwerdeführerin in diesem Zusammenhang einzig auf Eingaben im vorinstanzlichen Verfahren, was den Begründungsanforderungen nicht genügt (<ref-law>; <ref-ruling> E. 2; <ref-ruling> E. 3.2).
3.5. Damit konnte das Obergericht ohne Willkür zum Schluss gelangen, die Beschwerdeführerin habe die Prozesskosten aufgrund des ansonsten nicht bestrittenen mutmasslichen Prozessausgangs im Zeitpunkt des Verfahrensabschlusses zu tragen, ihr entsprechend die in der Höhe ebenfalls unbestrittenen Gerichtskosten auferlegen und ihr keine Parteientschädigung zusprechen. Die Beschwerde erweist sich insoweit als unbegründet.
4.
Umstritten ist weiter, wer die Kosten der Vertretung der Betroffenen nach <ref-law> zu tragen hat. Anders als bei der Verlegung der Prozesskosten steht insoweit die Anwendung von Bundesrecht in Frage, welche das Bundesgericht mit voller Kognition prüft (Art. 95 Bst. a BGG).
4.1. Das Obergericht hat die Kosten der Vertretung nach <ref-law> ebenfalls der Beschwerdeführerin auferlegt. Es hat sie als Gerichtskosten eingestuft und mit den übrigen Prozesskosten verlegt. Die Beschwerdeführerin sieht dieses Vorgehen als bundesrechtswidrig an. Diese Kosten seien von der Betroffenen bzw. dem Nachlass und subsidiär vom Beschwerdegegner sowie der Enkelin und Beiständin der Betroffenen oder von der Staatskasse zu tragen.
Nach <ref-law> ordnet die Erwachsenenschutzbehörde wenn nötig die Vertretung der betroffenen Person an und bezeichnet als Beistand oder Beiständin eine in fürsorgerischen und rechtlichen Fragen erfahrene Person. Diese Bestimmung findet auch im gerichtlichen Beschwerdeverfahren Anwendung (Urteil 5A_368/2014 vom 19. November 2014 E. 5.2, in: FamPra.ch 2015 S. 253; Verfügung 5A_302/2015 vom 3. Juli 2015 E. 3.1.3).
4.2. <ref-law> äussert sich nicht zur Frage, wer die Kosten für die Vertretung zu tragen hat, was folglich durch Auslegung zu klären ist (vgl. dazu <ref-ruling> E. 2.5; S. 195 E 2.4).
4.2.1. <ref-law> findet sich bei den Verfahrensbestimmungen des Erwachsenenschutzrechts. Die Möglichkeit der Anordnung einer Vertretung ist damit bei den Bestimmungen über die Organisation der Erwachsenenschutzbehörden eingeordnet und nicht bei den behördlichen Massnahmen bzw. der Beistandschaft. Dennoch handelt es sich nach dem Wortlaut von <ref-law> beim Vertreter um einen Beistand (vgl. auch Urteil 5A_540/2013 vom 3. Dezember 2013 E. 2 und 4.2; AUER/MARTI, in: Basler Kommentar, Zivilgesetzbuch I, 5. Aufl. 2014, N. 1 f. und 18 zu <ref-law>). Der Gesetzgeber wollte denn auch die Möglichkeit schaffen, einen "Beistand für das Verfahren" zu ernennen (Botschaft vom 28. Juni 2006 zur Änderung des Schweizerischen Zivilgesetzbuches [Erwachsenenschutz, Personenrecht und Kindesrecht], BBl 2006 7001 ff. [nachfolgend: Botschaft Erwachsenenschutz], S. 7081). Ist die Vertretung nach <ref-law> aber eine Beistandschaft, sind für deren Ausgestaltung die allgemeinen Bestimmungen zur Beistandschaft massgebend. Dies gilt auch für die Kostenregelung von <ref-law> (vgl. Urteil 5A_422/2014 vom 9. April 2015 E. 8.1, in: RtiD 2016 I 617; AUER/MARTI, a.a.O., N. 23 zu <ref-law>; PHILIPPE MEIER, Droit de la protection de l'adulte, 2016, Rz. 236; DANIEL ROSCH, in: Rosch/Büchler/Jakob, Das neue Erwachsenenschutzrecht, Einführung und Kommentar, 2011, N. 3 zu <ref-law>; DANIEL STECK, in: Büchler/Häfeli/Leuba/Stettler, FamKommentar, Erwachsenenschutz, 2013, N. 27 und 29 zu <ref-law>; TUOR/SCHNYDER/ SCHMID/JUNGO, Das Schweizerische Zivilgesetzbuch, 14. Aufl. 2015, § 59 N. 37). Entsprechend wird in der Botschaft Erwachsenenschutz (S. 7081 f.) unter Verweis auf <ref-law> ausgeführt, "Kostenfragen" seien durch das kantonale Recht zu regeln. Dies ist in den Räten unbestritten geblieben (vgl. AB 2007 S. 840; AB 2008 N. 1539).
4.2.2. Anders als die Vorinstanz meint, rechtfertigt es sich demgegenüber nicht, sinngemäss auf die Regelung für die Vertretung des Kindes im eherechtlichen Verfahren nach Art. 299 f. ZPO abzustellen:
Die Kosten der Vertretung des Kindes sind aufgrund der ausdrücklichen Regelung in Art. 95 Abs. 2 Bst. e ZPO als Gerichtskosten zu qualifizieren. Eine entsprechende Regel für die Kosten der Vertretung nach <ref-law> enthält <ref-law> nicht. Nach dem klaren Wortlaut des Gesetzes zählt diese Bestimmung die Gerichtskosten indessen abschliessend auf (vgl. URWYLER/GRÜTTER, in: Brunner/Gasser/ Schwander [Hrsg.], Schweizerische Zivilprozessordnung, Kommentar, Bd. I, 2. Aufl. 2016, N. 6 zu <ref-law>; MARTIN H. STERCHI, a.a.O., N. 7 zu <ref-law>; VIKTOR RÜEGG, in: Basler Kommentar, Schweizerische Zivilprozessordnung, 2. Aufl. 2013, N. 6 zu <ref-law>; SUTER/ VON HOLZEN, in: Sutter-Somm et al. [Hrsg.], Kommentar zur Schweizerischen Zivilprozessordnung, 3. Aufl. 2016, N. 6 und 13 zu <ref-law>; den Gesetzesmaterialien lässt sich diesbezüglich nichts entnehmen, vgl. Botschaft vom 28. Juni 2006 zur Schweizerischen Zivilprozessordnung, BBl 2006 7221 ff. [nachfolgend: Botschaft ZPO], S. 7293 f.). Bereits deshalb überzeugt es nicht, die Kosten der Vertretung nach <ref-law> als Gerichtskosten zu verlegen. Hinzu kommt, dass auch der Vertreter des Kindes im eherechtlichen Verfahren ein Beistand ist (so ausdrücklich <ref-law>; vgl. <ref-ruling> E. 5.3.4.1; Urteil 5A_400/2015 vom 25. Februar 2016 E. 2.3, nicht publiziert in <ref-ruling>, aber in: FamPra.ch 2016 S. 772). Mit Erlass der ZPO wurde die zuvor ebenfalls im ZGB geregelte Vertretung des Kindes im Scheidungsverfahren (aArt. 146 Abs. 1 ZGB) anders als die hier interessierende Beistandschaft nach <ref-law> in das neue Prozessgesetz überführt (vgl. AS 2010 1739, S. 1838; Botschaft ZPO, S. 7367). Dort hat sie, wie gesehen, eine eigenständige Regelung auch der Kosten gefunden. Anlass, diese Regelung auf die Vertretung nach <ref-law> zu übertragen, besteht nicht, nachdem der Gesetzgeber dies gerade unterlassen hat.
4.2.3. Gemäss <ref-law> hat der Beistand Anspruch auf eine angemessene Entschädigung und auf Ersatz der notwendigen Spesen aus dem Vermögen der betroffenen Person. Die Kantone erlassen Ausführungsbestimmungen und regeln die Entschädigung und den Spesenersatz, wenn diese nicht aus dem Vermögen der betroffenen Person bezahlt werden können (<ref-law>). Nach § 67 Abs. 4 EG ZGB wird die Entschädigung bei volljährigen Personen aus deren Vermögen entrichtet. Unterschreitet das Vermögen einen vom Regierungsrat durch Verordnung festzulegenden Mindestansatz, trägt die Gemeinde die Entschädigung sowie den Spesen- und Auslagenersatz. Damit sind die Kosten in erster Linie von der betroffenen Person und in zweiter Linie von der Gemeinde zu tragen. Diese Lösung übernimmt die Grundsätze der Kostenverlegung bei Bestellung eines Rechtsbeistands im Verfahren der fürsorgerischen Freiheitsentziehung (FFE) nach aArt. 397f Abs. 2 ZGB, der Vorbildbestimmung von <ref-law> (Botschaft Erwachsenenschutz, S. 7081). Dort war ebenfalls nicht vorgesehen, dass der Rechtsbeistand auf Kosten des Gemeinwesens finanziert wird. Unter Vorbehalt des Anspruchs auf unentgeltliche Rechtspflege und des kantonalen Prozessrechts war er vielmehr von der betroffenen Person selbst zu entschädigen (Botschaft vom 17. August 1977 über die Änderung des Schweizerischen Zivilgesetzbuches [Fürsorgerische Freiheitsentziehung], BBl 1977 III 1, S. 41; ALEXANDER IMHOF, Der formelle Rechtsschutz, insbesondere die gerichtliche Beurteilung, bei der fürsorgerischen Freiheitsentziehung, 1999, S. 194; ELISABETH SCHERWEY, Das Verfahren bei der vorsorglichen fürsorgerischen Freiheitsentziehung, 2004, S. 50; vgl. auch <ref-ruling> E. 2; <ref-ruling> E. 1; EUGEN SPIRIG, in: Zürcher Kommentar, 3. Aufl. 1995, N. 92 zu aArt. 397f ZGB; THOMAS GEISER, in: Basler Kommentar, Zivilgesetzbuch I, 4. Aufl. 2010, N. 15 zu aArt. 397f ZGB).
4.2.4. Nach dem Ausgeführten sind die strittigen Kosten entsprechend Art. 404 Abs. 1 und 3 ZGB i.V.m. § 67 Abs. 4 EG ZGB zu decken, mithin dem Vermögen der Betroffenen zu entnehmen und subsidiär vom zuständigen Gemeinwesen zu tragen. Freilich bleibt zu beachten, dass es sich hierbei um Kosten handelt, welche allein aufgrund der Wahrung der Interessen der Betroffenen durch eine Rechtsanwältin im Erwachsenenschutzverfahren angefallen sind. Nach Massgabe des kantonalen Rechts, welches insoweit auf die ZPO verweist, können diese Kosten daher als Parteikosten geltend gemacht werden (<ref-law> i.V.m. § 65a EG ZGB, Art. 95 Abs. 3 Bst. b und Art. 68 Abs. 2 Bst. a ZPO; vgl. etwa MARTIN H. STERCHI, a.a.O., N. 13 zu <ref-law>; VIKTOR RÜEGG, a.a.O., N. 18 zu <ref-law>). Alles andere würde eine (finanzielle) Schlechterstellung der Betroffenen gegenüber Personen bedeuten, welche im sie betreffenden Erwachsenenschutzverfahren eine gewillkürte Vertretung bestellt haben. Dies liesse sich mit dem auch im Rahmen der Verlegung der hier strittigen Kosten zu berücksichtigenden Zweck des Erwachsenenschutzes, der Unterstützung der hilfsbedürftigen Person (<ref-ruling> E. 4.3.2), nicht vereinbaren.
4.3. Die Beschwerdeführerin hat wie ausgeführt die Prozesskosten zu tragen (vorne E. 3). Es ist daher im Ergebnis nicht zu beanstanden, dass das Obergericht ihr auch die Kosten der Vertretung nach <ref-law> auferlegt hat. Nach Massgabe des angefochtenen Urteils hat die Beschwerdeführerin diese Kosten direkt an die Vertreterin zu bezahlen. Dies ist vor Bundesgericht nicht bestritten, womit hierauf nicht weiter einzugehen ist. Nicht strittig ist sodann die Höhe der zugesprochenen Entschädigung, sodass sich auch diesbezüglich Weiterungen erübrigen (vgl. dazu Urteil 5A_296/2016 vom 1. Mai 2017). Die Beschwerde erweist sich somit auch hinsichtlich der Kosten der Vertretung nach <ref-law> als unbegründet.
5.
Damit ist die Beschwerde insgesamt unbegründet und abzuweisen, soweit darauf einzutreten ist. Bei diesem Ausgang des Verfahrens sind die Gerichtskosten der Beschwerdeführerin aufzuerlegen (<ref-law>) und hat diese dem Beschwerdegegner die Parteikosten zu ersetzen. Sie selbst hat keinen Anspruch auf Parteikostenersatz (Art. 68 Abs. 1 und 2 BGG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf eingetreten wird.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 3'000.-- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
3.
Die Beschwerdeführerin hat dem Beschwerdegegner für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 6'000.-- zu entschädigen.
4.
Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten und dem Obergericht des Kantons Aargau, Kammer für Kindes- und Erwachsenenschutz, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 1. Mai 2017
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: von Werdt
Der Gerichtsschreiber: Sieber