Faits :
A.
A.a. Le 8 janvier 2003, la Commission de visite sanitaire compétente (ci-après: la Commission) a déclaré A._, né en 1984, inapte au service militaire et au service de la protection civile, en raison d'un diabète de type 1.
Le 6 mars 2005, A._ a demandé à l'Etat-major de conduite de l'armée (ci-après: l'Etat-major) de trouver une solution lui permettant d'accomplir, à tout le moins dans une mesure limitée, ses obligations militaires. Le 16 mars 2005, cette autorité l'a invité à s'adresser au Service médico-militaire de l'armée (ci-après: le Service médico-militaire) pour que sa requête soit examinée. Le 19 février 2007, A._ a sollicité du Service médico-militaire son incorporation au sein de la protection civile. Le 22 février 2007, ledit Service a donné une suite négative à la demande de l'intéressé, en précisant que sa maladie conduisait, de manière automatique, à une décision d'inaptitude au service militaire et à la protection civile. Le 24 février 2007, A._ a réitéré sa requête, en expliquant que, depuis le prononcé de la décision d'inaptitude, son état de santé s'était considérablement amélioré. Le 7 mars 2007, le Service médico-militaire a confirmé à l'intéressé la teneur de son courrier du 22 février 2007.
Le 12 septembre 2009, A._ a déposé auprès du Service médico-militaire une demande de révision de la décision d'inaptitude du 8 janvier 2003, en vue d'incorporer le service de protection civile. Le 17 septembre 2008, le Service précité a indiqué à l'intéressé que, à la suite de sa demande, il allait être convoqué devant une commission de révision.
Le 26 juillet 2011, A._ a écrit à l'Etat-major, en réitérant sa requête d'intégration à la protection civile et en précisant que la demande de révision de son inaptitude à servir était toujours pendante. Le 1er février 2012, l'Etat-major a demandé à l'intéressé d'adresser sa requête au Service médico-militaire, seule autorité compétente pour évaluer son aptitude au service. Le 14 avril 2012, A._ a transmis audit Service un certificat médical attestant de sa capacité à être incorporé au sein de la protection civile, malgré son état de santé. Le 26 avril 2012, le Service médico-militaire a informé le requérant qu'il allait recevoir, en temps voulu, une convocation devant une instance de révision.
Le 24 aout 2012, l'intéressé a été déclaré apte au service de la protection civile. Le 20 mars 2013, le Service médico-militaire a évalué son taux d'atteinte à l'intégrité à moins de 40 %.
A.b. Parallèlement, le 15 février 2010, le 20 octobre 2010, ainsi que le 6 mai 2011, A._ a communiqué au Service genevois de la taxe d'exemption de l'obligation de servir (ci-après: le Service cantonal) qu'il refusait de s'acquitter de la taxe d'exemption relative aux années 2008, 2009 et 2010. Le 20 juin 2011, le Service cantonal a indiqué à l'intéressé que, son état de santé n'étant pas imputable à l'armée, celui-ci avait l'obligation de payer la taxe litigieuse. Le 2 novembre 2012, le Service cantonal a écrit à A._, pour lui signaler que son incorporation dans la protection civile du 24 aout 2012 n'était pas de nature à éteindre l'assujettissement à la taxe d'exemption, les jours accomplis au sein de la protection civile n'ayant qu'une incidence financière sur le paiement de celle-ci. Par courrier du 18 novembre 2012, le contribuable a maintenu son opposition à l'acquittement de la taxe litigieuse.
A.c. Le 3 décembre 2012, le Service cantonal a expliqué à A._ que, à la suite d'une modification du cadre légal, il avait la possibilité de demander une incorporation spéciale dans l'armée, à partir du 1er janvier 2013. Il l'invitait ainsi à présenter une telle demande auprès des autorités militaires compétentes. Le 3 janvier 2013, l'intéressé a répondu au Service cantonal qu'il avait, par le passé, déposé - sans succès - de nombreuses demandes d'incorporation, de sorte qu'il s'attendait à ce que les autorités militaires prennent spontanément contact avec lui.
B.
Par décision du 12 juin 2013, le Service cantonal a rejeté les demandes d'exonération de la taxe pour les années 2008 et suivantes, présentées par A._. Le 3 mars 2015, le Service précité a rejeté la réclamation élevée par le contribuable contre cette décision, qu'il a confirmée.
Le 9 mars 2015, A._ a recouru contre la décision du Service cantonal du 3 mars 2015 auprès de la Cour de justice du canton de Genève (ci-après: la Cour de justice). Par arrêt du 9 février 2016, la Cour de justice a rejeté le recours. Les juges cantonaux ont retenu, en substance, que le recourant avait, depuis le début de la procédure, entrepris des démarches uniquement en vue de son incorporation dans la protection civile, à l'exception du service militaire ou du service civil. Sa situation n'était ainsi pas la même que celle retenue dans la jurisprudence rendue en la matière par la Cour européenne des droits de l'homme, sur laquelle le contribuable avait notamment fondé son recours. En outre, A._ avait été informé par le Service cantonal de la possibilité de profiter d'une incorporation spéciale dans l'armée, à partir du 1er janvier 2013, à condition d'en faire la requête auprès des autorités militaires compétentes. Ayant négligé de le faire, il ne pouvait pas se plaindre d'un traitement discriminatoire à son égard. Finalement, le recourant ne pouvait pas se prévaloir d'une violation du principe de l'égalité des sexes, conformément à la jurisprudence constante du Tribunal fédéral en matière de service militaire obligatoire.
C.
Agissant à la fois par la voie du recours en matière de droit public et celle du recours constitutionnel subsidiaire, A._ demande au Tribunal fédéral, avec suite de frais et dépens, de "juge[r] que l'obligation de payer une taxe d'exemption de l'obligation de servir viole les droits fondamentaux du recourant, étant en particulier constitutif d'un traitement discriminatoire en raison du sexe et de la situation de santé de celui-ci" et, partant, de l'exonérer du paiement de la taxe d'exemption "jusqu'à et y compris l'année 2016".
La Cour de justice persiste dans les considérants et le dispositif de son arrêt. L'Administration fiscale cantonale genevoise, représentant le Service cantonal, dépose des observations et propose le rejet du recours. L'Administration fédérale des contributions renonce à se déterminer. Le recourant a répliqué.

Considérant en droit :
1.
Le Tribunal fédéral examine d'office sa compétence (art. 29 al. 1 LTF) et contrôle librement la recevabilité des recours qui lui sont soumis (<ref-ruling> consid. 1 p. 133).
1.1. Le recourant a déposé dans la même écriture un recours en matière de droit public et un recours constitutionnel subsidiaire. Celui-ci n'étant ouvert qu'à la condition que la décision attaquée ne puisse faire l'objet d'un recours ordinaire (cf. art. 113 LTF), il convient d'examiner en premier lieu la recevabilité du recours en matière de droit public.
1.2. L'arrêt attaqué est une décision finale (art. 90 LTF), rendue en dernière instance cantonale par l'autorité judiciaire supérieure compétente (art. 86 al. 1 let. d et al. 2 LTF; cf. art. 22 al. 3 de la loi fédérale du 12 juin 1959 sur la taxe d'exemption de l'obligation de servir [LTEO; RS 661] cum art. 31 LTEO et art. 2 de la loi genevoise d'application des dispositions fédérales sur la taxe d'exemption de l'obligation de servir du 14 janvier 1961 [LaTE/GE; RS/GE G 1 05]), dans une cause de droit public (art. 82 let. a LTF) ne tombant pas sous le coup de l'une des exceptions prévues à l'art. 83 LTF, étant précisé que l'art. 83 let. i LTF ne s'applique pas aux décisions en matière de taxe d'exemption de l'obligation de servir (arrêts 2C_955/2014 du 12 octobre 2016 consid. 1.3; 2C_1094/2014 du 12 juin 2015 consid. 1.1; 2C_285/2011 du 1er décembre 2011 consid. 1.1; art. 31 al. 3 LTEO). La voie du recours en matière de droit public est ainsi ouverte, ce qui entraîne l'irrecevabilité du recours constitutionnel subsidiaire formé en parallèle (art. 113 LTF a contrario).
1.3. Les conclusions formulées par le recourant, en ce qu'elles contiennent des constatations juridiques, ne sont en principe pas admissibles (<ref-ruling> consid. 1.7 p. 123; <ref-ruling> consid. 4 p. 122). Cependant, dès lors que l'on comprend clairement que le contribuable conteste le paiement de la taxe d'exemption auquel l'arrêt attaqué le condamne, elles sont suffisamment claires pour être recevables.
1.4. Pour le surplus, le recours a été interjeté en temps utile (art. 100 al. 1 LTF), et dans les formes requises (art. 42 LTF) par le destinataire de l'arrêt attaqué qui a qualité pour recourir au sens de l'art. 89 al. 1 LTF. Le recours en matière de droit public est donc recevable.
2.
2.1. Saisi d'un recours en matière de droit public, le Tribunal fédéral contrôle librement la violation du droit fédéral et du droit international (cf. art. 95 let. a et b LTF; art. 106 al. 1 LTF), sous réserve des exigences de motivation figurant à l'art. 106 al. 2 LTF. Aux termes de cet alinéa, le Tribunal fédéral n'examine la violation de droits fondamentaux que si ce grief a été invoqué et motivé par le recourant (cf. <ref-ruling> consid. 1.3 p. 41).
2.2. Le Tribunal fédéral conduit son raisonnement juridique sur la base des faits établis par l'autorité précédente (art. 105 al. 1 LTF). Il ne peut s'en écarter que si ceux-ci ont été établis de façon manifestement inexacte - ce qui correspond à la notion d'arbitraire (<ref-ruling> consid. 2.4 p. 313 s.) - ou en violation du droit au sens de l'art. 95 LTF (art. 105 al. 2 LTF), et pour autant que la correction du vice soit susceptible d'influer sur le sort de la cause (cf. art. 97 al. 1 LTF). La partie recourante qui entend s'écarter des constatations de l'autorité précédente doit expliquer de manière circonstanciée en quoi les conditions d'une exception prévue par l'art. 105 al. 2 LTF seraient réalisées. A défaut d'une telle motivation, il n'est pas possible de prendre en considération un état de fait qui diverge de celui retenu dans la décision attaquée, ni des faits qui n'y sont pas contenus (<ref-ruling> consid. 6.2 p. 288).
3.
Le recourant se plaint d'un établissement manifestement inexact des faits (soit arbitraire) par la Cour de justice, en relation avec deux éléments de fait relatifs au déroulement de la procédure devant les instances cantonales.
3.1. S'agissant de l'appréciation des preuves et des constatations de fait, il y a arbitraire lorsque l'autorité ne prend pas en compte, sans raison sérieuse, un élément de preuve propre à modifier la décision, lorsqu'elle se trompe manifestement sur son sens et sa portée, ou encore lorsque, en se fondant sur les éléments recueillis, elle en tire des constatations insoutenables (<ref-ruling> consid. 2.3 p. 266).
3.2. Le recourant reproche en premier lieu à l'autorité précédente d'avoir retenu qu'il "n'aurait jamais demandé son incorporation au service militaire, mais uniquement à la protection civile". De l'avis de l'intéressé, cette constatation serait manifestement inexacte, en ce sens qu'il aurait toujours mentionné sa disponibilité à servir au sein de la protection civile, mais seulement "en tant qu'alternative au service militaire" et "par principe de réalisme", en tenant compte du fait que "l'armée ne serait pas disposée à l'intégrer au sein du service militaire régulier" (cf. recours, p. 9).
Ce grief doit être rejeté. En effet, à la lecture des pièces topiques figurant au dossier (art. 105 al. 2 LTF), force est de constater que les lettres envoyées par l'intéressé aux autorités compétentes, tout en faisant effectivement référence à son inaptitude tant au service militaire qu'à la protection civile, avaient toutefois pour but principal l'intégration de celui-ci dans cette dernière entité. C'est ainsi que, dans les lettres précitées, le recourant avait notamment souligné qu'une "incorporation dans la protection civile, pour laquelle le service serait plus proche de mon domicile et au sein duquel je pense pouvoir trouver un poste adapté à ma condition, serait idéale" (lettre du 19 février 2007), que "la protection civile, contrairement au service militaire, impose de moins longues durées de mobilisation et permet de surcroît de rentrer chez soi le soir" (lettre du 24 février 2007) et que son médecin traitant, qui connaissait bien "les structures et le fonctionnement de la protection civile" et était donc "parfaitement à même d'émettre une opinion fondée", avait confirmé son "excellent état de santé" (lettre du 12 septembre 2009). Dans ces circonstances, on ne voit pas que l'autorité précédente serait tombée dans l'arbitraire en retenant que les requêtes de l'intéressé tendaient à son incorporation dans la protection civile.
3.3. Le recourant relève ensuite qu'il serait insoutenable de constater, comme l'a fait la Cour de justice, qu'il n'avait pas suivi les instructions du Service cantonal "afin de demander son incorporation au service militaire selon la nouvelle règlementation" (cf. recours, p. 9). A ce sujet, il soutient avoir formé par écrit sa demande d'incorporation spéciale auprès de l'Etat-major le 26 juillet 2011 déjà. Cependant, dans la lettre en question, l'intéressé se limitait en réalité à réitérer sa requête d'intégration dans la protection civile. En outre, et surtout, le 3 décembre 2012, le Service cantonal a expliqué au contribuable que, à la suite d'une modification du cadre légal, il avait la possibilité de demander une incorporation spéciale dans l'armée à partir du 1er janvier 2013 et que, pour cela, il aurait dû présenter une demande auprès des autorités militaires compétentes. Or, comme l'admet du reste le recourant lui-même, celui-ci n'a entrepris, sur la base de ces indications, aucune démarche en ce sens. Au contraire, le 3 janvier 2013, il a indiqué au Service cantonal qu'il attendait que les autorités militaires prennent spontanément contact avec lui (cf. supra let. A.c). Dans ces conditions, c'est sans arbitraire que la Cour de justice a retenu que l'intéressé n'avait pas formellement présenté une requête d'incorporation spéciale dans l'armée, fondée sur la nouvelle règlementation en vigueur à partir du 1er janvier 2013.
Le grief tiré de l'établissement manifestement inexact des faits doit partant être écarté. La Cour de céans se fondera donc exclusivement sur les faits établis par la Cour de justice.
4.
Le présent litige porte sur la confirmation, par la Cour de justice, du refus des autorités cantonales d'exonérer le recourant de la taxe d'exemption de l'obligation de servir pour les années 2008 et suivantes.
4.1. Cette taxe trouve son fondement à l'art. 59 Cst. Selon cette disposition, tout homme de nationalité suisse est astreint au service militaire ou au service civil de remplacement (art. 59 al. 1 Cst.; cf. aussi art. 2 al. 1 de la loi fédérale du 3 février 1995 sur l'armée et l'administration militaire; LAAM; RS 510.10). Celui qui n'accomplit pas son service militaire ou son service de remplacement s'acquitte d'une taxe (art. 59 al. 3 Cst.), laquelle est régie par le droit fédéral, en particulier par la LTEO et par l'ordonnance du 30 août 1995 sur la taxe d'exemption de l'obligation de servir (OTEO; RS 661.1). Aux termes de l'art. 2 al. 1 let. a LTEO, sont assujettis à la taxe les hommes astreints au service qui sont domiciliés en Suisse ou à l'étranger et qui, au cours d'une année civile, ne sont pas, pendant plus de six mois, incorporés dans une formation de l'armée et ne sont pas astreints au service civil. Selon la jurisprudence, cette taxe, qui constitue une contribution de remplacement, a pour but de garantir une égalité de traitement entre les personnes soumises à l'obligation de servir qui effectuent le service militaire ou le service civil et celles qui en sont exonérées (arrêts 2C_955/2014 du 12 octobre 2016 consid. 4.1; 2C_924/2012 du 29 avril 2013 consid. 5.3; 2C_226/2010 du 29 novembre 2010 consid. 3.1; 2C_221/2009 du 21 janvier 2010 consid. 4.2).
D'après l'art. 4 al. 1 LTEO, est notamment exonéré de la taxe quiconque, au cours de l'année d'assujettissement, est considéré comme inapte au service en raison d'un handicap majeur et perçoit une rente ou une allocation pour impotent de l'assurance-invalidité fédérale ou de l'assurance-accidents (lettre a bis; cf. aussi art. 1 al. 2 OTEO), ou est considéré comme inapte au service en raison d'un handicap majeur et n'est pas au bénéfice d'une allocation pour impotent, mais remplit cependant une des deux exigences minimales pour l'octroi d'une telle allocation (let. a ter; cf. aussi art. 1 al. 3 OTEO). La notion de handicap physique ou mental majeur doit être comprise dans un sens médical et non pas dans celui de l'assurance-invalidité (<ref-ruling> consid. 4 p. 246 ss; arrêt 2A.590/2003 du 9 mars 2004 consid. 2.1).
4.2. En l'espèce, il n'est pas contesté que le recourant, en date du 8 janvier 2003, a été déclaré inapte au service militaire et que, partant, il n'est pas incorporé dans une formation de l'armée et n'est pas astreint au service civil, de sorte qu'il est en principe soumis à la taxe d'exemption de l'obligation de servir sur la base de l'art. 2 al. 1 let. a LTEO, ce qu'il ne critique pas directement. En outre, l'intéressé ne remet pas non plus en question le fait que la maladie dont il est atteint (diabète de type 1) ne constitue pas un "handicap majeur" au sens de l'art. 4 al. 1 LTEO lui permettant d'être exonéré de la taxe litigieuse sur la base dudit article (cf. arrêt 2A.590/2003 du 9 mars 2004 consid. 2.2). A son avis, le système instauré par la LTEO serait toutefois discriminatoire et contraire ainsi à l'art. 8 CEDH cum art. 14 CEDH, comme l'avait retenu la CourEDH dans un cas "identique" au sien (arrêt de la CourEDH Glor c. Suisse du 30 avril 2009 [requête n o 13444/04]).
5.
5.1. L'art. 8 par. 1 CEDH garantit le droit au respect de la vie privée et familiale, c'est-à-dire le droit de toute personne de disposer librement de sa personne et de son mode de vie, le droit d'établir des rapports avec d'autres êtres humains et avec le monde extérieur en général ou le droit d'entretenir librement ses relations familiales et de mener une vie de famille. Le droit au respect de la vie privée protège notamment l'intégrité physique et morale, l'identité, le respect de la sphère intime et secrète (en particulier le domicile), l'honneur et la réputation d'une personne, ainsi que ses relations avec les autres. Le droit au respect de la vie familiale protège la personne contre les atteintes que pourrait lui porter l'Etat et qui auraient pour but ou pour effet de séparer la famille ou, au contraire, de la contraindre à vivre ensemble, ou encore d'intervenir d'une manière ou d'une autre dans la relation familiale, notamment dans les rapports entre les parents et leurs enfants. En d'autres mots, le droit au respect de la vie privée et familiale garantit à l'individu un espace de liberté dans lequel il peut se développer et se réaliser (<ref-ruling> consid. 5.2.1 p. 261 s.; <ref-ruling> consid. 4.1 p. 157 s.; <ref-ruling> consid. 6.1 p. 66 s.).
5.2. En vertu de l'art. 14 CEDH, la jouissance des droits et libertés reconnus dans la Convention doit être assurée, sans distinction aucune, fondée notamment sur le sexe, la race, la couleur, la langue, la religion, les opinions politiques ou toutes autres opinions, l'origine nationale ou sociale, l'appartenance à une minorité nationale, la fortune, la naissance ou toute autre situation. D'après la jurisprudence constante de la CourEDH, l'art. 14 CEDH complète les autres clauses normatives de la Convention et des Protocoles. Il n'a pas d'existence indépendante puisqu'il vaut uniquement pour "la jouissance des droits et libertés" qu'elles garantissent. Certes, il peut entrer en jeu même sans un manquement à leurs exigences et, dans cette mesure, possède une portée autonome, mais il ne saurait trouver à s'appliquer si les faits du litige ne tombent pas sous l'empire de l'une au moins desdites clauses (arrêt de la CourEDH Glor c. Suisse du 30 avril 2009, par. 45; <ref-ruling> consid. 5.2.1 p. 262 s.; arrêts 2C_396/2012 du 23 novembre 2012 consid. 2.3 et 9C_521/2008 du 5 octobre 2009 consid. 4.2).
5.3. Dans l'arrêt Glor sur lequel se fonde le contribuable - qui souffre de la même maladie (diabète de type 1) dont était atteint le recourant Glor -, la CourEDH a estimé que la taxe d'exemption prévue par la LTEO "trouv[ait] son origine dans l'incapacité de servir dans l'armée en raison d'une maladie, donc d'un état de fait qui échappe à la volonté du justiciable" et que, partant, elle "tomb[ait] sans aucun doute sous l'empire de l'article 8 de la Convention, même si les conséquences de cette mesure [étaient] avant tout pécuniaires" (arrêt de la CourEDH Glor c. Suisse du 30 avril 2009, par. 54). Le recourant peut donc lui aussi se prévaloir de la CEDH.
6.
6.1. Sur le fond, dans l'arrêt Glor c. Suisse du 30 avril 2009, la CourEDH a notamment jugé que, à la lumière du but et des effets de la taxe litigieuse, la différence opérée par les autorités suisses entre les personnes inaptes au service exemptées de ladite taxe et celles qui étaient néanmoins obligées de la verser, était discriminatoire et violait l'art. 14 CEDH cum art. 8 CEDH (arrêt Glor précité, par. 97 s.; cf. aussi arrêts 2C_396/2012 du 23 novembre 2012 consid. 4.3 et 2C_285/2011 du 1er décembre 2011 consid. 4.1). Aux yeux de la CourEDH, le fait que le contribuable avait toujours affirmé être disposé à accomplir son service militaire, mais qu'il avait été déclaré inapte audit service par les autorités militaires compétentes, était en l'occurrence essentiel (cf. arrêt Glor précité, par. 94; voir aussi arrêts 2C_396/2012 du 23 novembre 2012 consid. 4.3 et 2C_285/2011 du 1er décembre 2011 consid. 4.1). Selon la CourEDH, la discrimination résidait en particulier dans le fait que, contrairement à d'autres personnes qui souffraient d'un handicap plus grave, l'intéressé n'avait pas été exempté de la taxe litigieuse - son handicap n'étant pas assez important - et que, alors qu'il avait clairement exprimé sa volonté de servir, aucune possibilité alternative de service ne lui avait été proposée. A ce sujet, la CourEDH a notamment souligné "l'absence, dans la législation suisse, de formes de service adaptées aux personnes se trouvant dans la situation du requérant" (cf. arrêt Glor précité, par. 96; voir aussi arrêts 2C_396/2012 du 23 novembre 2012 consid. 4.3 et 2C_285/2011 du 1er décembre 2011 consid. 4.3).
6.2. A la suite de l'arrêt de la CourEDH Glor c. Suisse du 30 avril 2009, le Conseil fédéral a modifié, le 14 novembre 2012 (RO 2012 6943), l'ancienne Ordonnance du 24 novembre 2004 concernant l'appréciation médicale de l'aptitude au service et de l'aptitude à faire service (actuellement: Ordonnance du 24 novembre 2004 concernant l'appréciation médicale de l'aptitude au service militaire et de l'aptitude à faire du service militaire; OAMAS; RS 511.12). Dans sa nouvelle teneur, en vigueur depuis le 1er janvier 2013 (RO 2012 6943, p. 6495), l'OAMAS offre la possibilité, à certaines conditions, d'être déclaré "apte au service militaire uniquement dans des fonctions particulières, sous réserve" (cf. art. 9 al. 1 OAMAS et let. E Annexe 1 OAMAS). A ce sujet, l'Ordonnance prévoit ce qui suit: "en principe, la personne examinée devrait être déclarée inapte au service militaire et au service de protection civile pour des raisons médicales [...] si elle n'est pas libérée de l'obligation de payer la taxe d'exemption et qu'elle a exprimé par écrit sa volonté d'effectuer du service, elle peut être incorporée comme soldat d'exploitation dans une formation de l'instruction et du support 'dét exploit' par une [commission de visite sanitaire] constituée spécialement à cet effet. Les exigences du service doivent correspondre à l'activité civile ainsi qu'aux aptitudes physiques et intellectuelles de la personne concernée. Le médecin qui préside la [commission de visite sanitaire] peut émettre des réserves contraignantes pour l'accomplissement du service" (let. E Annexe 1 OAMAS).
6.3. La présente cause diffère, sur un point fondamental, de l'arrêt Glor précité, sur lequel le contribuable a fondé son recours. En effet, il ressort des faits constatés - sans arbitraire (cf. supra consid. 3.3) - par la Cour de justice, que, le 3 décembre 2012, le Service cantonal a expliqué au recourant que, à la suite d'une modification du cadre légal, il avait la possibilité de demander une incorporation spéciale dans l'armée, à partir du 1er janvier 2013. S'il souhaitait bénéficier de cette possibilité, il suffisait au recourant de présenter une demande écrite en ce sens auprès des autorités militaires compétentes (cf. let. E Annexe 1 OAMAS; consid. 6.2 ci-dessus). Le recourant n'a toutefois pas donné suite à ces indications, en expliquant avoir déjà formé par le passé de nombreuses demandes d'incorporation et s'attendre ainsi à ce que les autorités militaires prennent spontanément contact avec lui.
Contrairement à ce qui prévalait dans l'arrêt Glor, le droit suisse prévoit désormais depuis le 1er janvier 2013 la possibilité d'une incorporation spéciale dans l'armée, à condition que la personne concernée exprime par écrit sa volonté en ce sens (cf. let. E Annexe 1 OAMAS). En se fondant sur ce changement prévu par ordonnance, les autorités ont bel et bien proposé au contribuable une forme de service adaptée à sa situation. S'il faut admettre, avec le recourant, que celui-ci a exprimé pendant longtemps sa volonté de servir malgré sa maladie, en demandant avec insistance aux autorités compétentes de trouver une solution lui permettant d'accomplir ses obligations militaires, force est de constater que, dès que les autorités ont eu connaissance du changement de législation à venir, soit en décembre 2012 déjà, elles ont proposé au recourant de présenter la demande écrite nécessaire pour pouvoir profiter du nouveau cadre légal. Or, en refusant de déposer une telle demande écrite, le recourant a lui-même renoncé à une incorporation spéciale dans l'armée. Celle-ci lui aurait permis de s'acquitter de ses obligations militaires, conformément à la nouvelle règlementation mise en place par la Suisse à la suite de l'arrêt Glor (cf. supra consid. 6.2). Agé de 29 ans à l'époque, il aurait pu accomplir son service militaire (spécial) sous la forme d'un service long, en effectuant donc la durée totale des services d'instruction obligatoires en une seule fois (cf. art. 49 al. 2 LAAM cum art. 27 al. 4 de l'ordonnance du 19 novembre 2003 concernant les obligations militaires [OOMi; RS 512.21]; art. 54a LAAM), et se faire ainsi rembourser la totalité des taxes d'exemption payées depuis le début de son assujettissement (cf. art. 39 al. 1 LTEO: "celui qui rattrape le service militaire ou le service civil a droit au remboursement de la taxe une fois qu'il a accompli la durée totale des services obligatoires"). Le contribuable n'ayant pas voulu faire une demande en vue de profiter de cette possibilité - qui n'avait pas été offerte au recourant Glor puisque le droit suisse ne le permettait pas -, il ne peut pas se plaindre d'un traitement discriminatoire fondé sur les articles 8 et 14 CEDH.
En conclusion, c'est à juste titre que la Cour de justice a constaté que l'obligation faite au recourant de payer la taxe litigieuse ne violait pas l'art. 14 CEDH cum art. 8 CEDH.
7.
Le recourant invoque ensuite une violation du principe de l'égalité de traitement entre hommes et femmes (art. 8 al. 3 Cst.). A son avis, il n'existerait aujourd'hui plus aucune justification sociale permettant d'imposer "une obligation de service aux hommes exclusivement", de sorte qu'il serait "inacceptable de frapper uniquement ceux-ci" de la taxe d'exemption.
7.1. D'après l'art. 8 al. 3 Cst. (qui concrétise la clause interdisant toute discrimination notamment basée sur le sexe, ancrée à l'art. 8 al. 2 Cst.), l'homme et la femme sont égaux en droit; la loi pourvoit à l'égalité de droit et de fait, en particulier dans les domaines de la famille, de la formation et du travail; l'homme et la femme ont droit à un salaire égal pour un travail de valeur égale. Bien que l'art. 8 al. 3, 2e phr., Cst. ne s'adresse formellement qu'au législateur, cet article oblige aussi les autorités d'application du droit (administration, juges) à contribuer, dans les limites de leurs attributions, à la mise en oeuvre de l'égalité entre les sexes (<ref-ruling> 6.4.2 p. 209 et les nombreuses références citées).
7.2. Cette disposition entre en conflit avec l'art. 59 al. 3 Cst. qui, comme il a déjà été exposé (cf. supra consid. 4.1), prévoit notamment que tout homme de nationalité suisse qui n'accomplit pas son service militaire ou son service de remplacement s'acquitte d'une taxe. Or, selon la jurisprudence constante du Tribunal fédéral, l'art. 59 al. 3 Cst. prime, en tant que lex specialis, sur le principe général d'égalité de traitement de l'art. 8 Cst. Le fait que seuls les hommes de nationalité suisse soient astreints au paiement de la taxe d'exemption a ainsi été jugé conforme à la Constitution (cf. arrêts 8C_232/2014 du 21 avril 2015 consid. 5.2.3; 2C_221/2009 du 21 janvier 2010 consid. 2.1; 2A.47/2002 du 23 mai 2002 consid. 2.2). Il n'y a pas lieu de revenir sur cette jurisprudence.
Le grief relatif à la violation du principe de l'égalité de traitement entre hommes et femmes doit donc être écarté.
8.
Au regard de ce qui précède, le recours constitutionnel subsidiaire doit être déclaré irrecevable et le recours en matière de droit public doit être rejeté. Succombant, le recourant doit supporter les frais judiciaires (art. 66 al. 1 LTF). Il n'est pas alloué de dépens (art. 68 al. 3 LTF).

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce :
1.
Le recours constitutionnel subsidiaire est irrecevable.
2.
Le recours en matière de droit public est rejeté.
3.
Les frais judiciaires, arrêtés à 2'000 fr., sont mis à la charge du recourant.
4.
Le présent arrêt est communiqué au recourant, à l'Administration fiscale cantonale du canton de Genève, à la Cour de justice du canton de Genève, Chambre administrative, et à l'Administration fédérale des contributions.
Lausanne, le 23 décembre 2016
Au nom de la IIe Cour de droit public
du Tribunal fédéral suisse
Le Président : Seiler
Le Greffier : Ermotti