Sachverhalt:
A.
Mit Eingabe vom 20. April 2016 (Postaufgabe: 23. April 2016) wandte sich A._ an das Bundesgericht. Sinngemäss machte er geltend, er habe am 3. April 2016 bei der Gesundheits- und Fürsorgedirektion des Kantons Bern ein Gesuch um Opferhilfe eingereicht. Am 7. April 2016 sei ihm von der Direktion telefonisch mitgeteilt worden, das Gesuch werde abgelehnt, da kein Straftatbestand vorliege. Über eine noch am gleichen Tag beim Verwaltungsgericht des Kantons Bern eingereichte Beschwerde habe dieses noch nicht entschieden. A._ beantragte sinngemäss die sofortige Zusprechung von Opferhilfe und von Ergänzungsleistungen sowie Krankenkostenentschädigungen (Pflegegeld) für sich, seine Ehefrau und seine Tochter. Mit Einzelrichterentscheid vom 29. April 2016 trat der Präsident der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung des Bundesgerichts mangels geeigneten Antrags sowie rechtsgenüglicher Begründung auf die Eingabe nicht ein (Urteil des Bundesgerichts 1C_187/2016).
B.
Im Anschluss an diesen Entscheid stellte der Präsident der Verwaltungsrechtlichen Abteilung des Verwaltungsgerichts des Kantons Bern dem Bundesgericht eine Kopie eines Schreibens vom 12. Mai 2016 zur Kenntnisnahme zu. Darin teilte er A._ im Wesentlichen mit, eine Nachfrage bei der Gesundheits- und Fürsorgedirektion des Kantons Bern habe ergeben, dass diese am 22. April 2016 eine Verfügung zum Gesuch von A._ um Opferhilfe getroffen habe. Seine vorher eingereichte Eingabe könne schon deshalb nicht als Beschwerde entgegengenommen werden, weil sie keine sachbezogene Begründung gegen die erst später ergangene Verfügung enthalte bzw. enthalten könne. Es sei A._ aber unbenommen, innert der laufenden 30-tägigen Rechtsmittelfrist eine formgültige Beschwerde beim Verwaltungsgericht einzureichen.
C.
Mit neuer Eingabe an das Bundesgericht vom 30. Mai 2016 macht A._ geltend, das Verwaltungsgericht des Kantons Bern habe in seiner Sache noch immer nicht entschieden. Sinngemäss führt er dazu aus, inzwischen seien schon rund sieben Wochen verstrichen, seit er sich an das Verwaltungsgericht gewandt habe. Da seiner Eingabe an das Verwaltungsgericht ein Gesuch um opferhilferechtliche Soforthilfe zugrunde liege, habe das Gericht eine Rechtsverzögerung begangen. Es sei festzustellen, dass eine solche vorliege und dass der Familie Tan Opfereigenschaft im Sinne des Opferhilferechts zukomme.
D.
Es wurde kein Schriftenwechsel durchgeführt.

Erwägungen:
1.
Nach <ref-law> kann gegen das unrechtmässige Verweigern oder Verzögern eines anfechtbaren Entscheids Beschwerde beim Bundesgericht geführt werden. Die neue Eingabe enthält einen geeigneten Antrag und eine zwar rudimentäre, aber rechtsgenügliche Begründung. Es ist darauf einzutreten, soweit der Beschwerdeführer eine Rechtsverzögerung geltend macht. Soweit er die Anerkennung der Opfereigenschaft verlangt, ist sein Rechtsbegehren verfrüht, da dies im angeblich unzulässig verzögerten opferhilferechtlichen Verfahren zu klären wäre und somit höchstens Gegenstand einer allfälligen Rückweisung an die Vorinstanz zu rascher Erledigung bilden könnte. Insofern kann auf die Beschwerde daher nicht eingetreten werden.
2.
2.1. <ref-law> bezieht sich auf Fälle, in denen die Behörde stillschweigend untätig bleibt oder es ausdrücklich ablehnt, innerhalb einer angemessenen Frist einen Entscheid zu fällen. Wenn sich Letzteres aus einem formellen Entscheid ergibt, liegt keine Rechtsverweigerung oder -verzögerung im Sinne dieser Bestimmung vor, sondern ein nach Massgabe der einschlägigen Bestimmungen anfechtbarer Entscheid (Urteil des Bundesgerichts 1C_433/2008 vom 16. März 2009 E. 1.4).
2.2. Im vorliegenden Fall hat das Verwaltungsgericht zwar nicht formell über die Behandlung der bei ihm eingereichten Eingabe des Beschwerdeführers entschieden. Es hat ihm aber mit Schreiben des Abteilungspräsidenten vom 12. Mai 2016 die Vorgehensweise ausdrücklich erläutert und ihn aufgefordert, innert 30-tägiger Beschwerdefrist gegen die inzwischen ergangene erstinstanzliche Verfügung formell Beschwerde zu erheben. Die verfrüht eingereichte Eingabe könne es mangels rechtsgenüglicher Begründung nicht entgegennehmen. Bei dieser Sachlage oblag es dem Beschwerdeführer, entweder das ihm mit Schreiben des Abteilungspräsidenten empfohlene Vorgehen zu wählen und die Verfügung der Gesundheits- und Fürsorgedirektion vom 22. April 2016 sachgerecht anzufechten oder dann vom Verwaltungsgericht einen anfechtbaren Nichteintretensentscheid zu verlangen. Es war ihm aber verwehrt und stellt einen Verstoss gegen den Vertrauensgrundsatz nach <ref-law> dar, einfach zuzuwarten und dann später eine Rechtsverzögerung geltend zu machen. Das Verwaltungsgericht ist seinen Obliegenheiten nachgekommen und es lag am Beschwerdeführer, die geeigneten Verfahrensschritte zu unternehmen. Eine Rechtsverzögerung liegt unter diesen Umständen klarerweise nicht vor.
2.3. Der Beschwerdeführer wird sich zu überlegen haben, sich allenfalls über das geeignete weitere Vorgehen fachlich beraten zu lassen.
3.
Die Beschwerde erweist sich als offensichtlich unbegründet und ist ohne weiteren Schriftenwechsel oder sonstige prozessuale Vorkehren im vereinfachten Verfahren nach <ref-law> abzuweisen, soweit darauf eingetreten werden kann.
Bei diesem Verfahrensausgang würde der unterliegende Beschwerdeführer kostenpflichtig. Aufgrund der besonderen Sachlage rechtfertigt sich noch einmal, ausnahmsweise von der Erhebung von Gerichtskosten abzusehen (vgl. <ref-law>). Bei allfälligen künftigen Eingaben dürfte der Beschwerdeführer aber mit Kostenfolgen zu rechnen haben.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.
Es werden keine Kosten erhoben.
3.
Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer, der Gesundheits- und Fürsorgedirektion des Kantons Bern und dem Verwaltungsgericht des Kantons Bern schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 9. Juni 2016
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Fonjallaz
Der Gerichtsschreiber: Uebersax