Sachverhalt:
A.
A._ verlor am 18. März 2015 ihren Ehemann, der in einem Spital in ihrem Heimatland an den Folgen eines im Januar erlittenen Hirnschlags verstarb. Ab 1. April 2015 bezog sie eine Witwenrente der AHV. Im Oktober 2015 stellte A._ das Gesuch um Ausrichtung von Ergänzungsleistungen (EL). Mit Verfügung vom 18. Dezember 2015 lehnte die Ausgleichskasse des Kantons Thurgau das Leistungsbegehren für die Zeit ab 1. April 2015 mangels erfüllter Karenzfrist von zehn Jahren ununterbrochenen Aufenthalts in der Schweiz ab. Daran hielt sie mit Einspracheentscheid vom 19. April 2016 fest.
B.
Die Beschwerde der A._ wies das Verwaltungsgericht des Kantons Thurgau als Versicherungsgericht mit Entscheid vom 17. August 2016 ab.
C.
Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten beantragt A._, der Entscheid vom 17. August 2016 sei aufzuheben und die Sache an das kantonale Versicherungsgericht zur neuen Beurteilung zurückzuweisen, unter Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege.
Die Ausgleichskasse ersucht um Abweisung der Beschwerde. Das Bundesamt für Sozialversicherungen verzichtet auf eine Vernehmlassung.

Erwägungen:
1.
Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (<ref-law>); es ist folglich weder an die in der Beschwerde vorgetragenen Argumente noch an die Erwägungen der Vorinstanz gebunden (<ref-ruling> E. 1.3 S. 67 f.; <ref-ruling> E. 1.2 S. 252). Das Bundesgericht prüft unter Berücksichtigung der Begründungspflicht (Art. 42 Abs. 1 und 2 BGG sowie <ref-law>) indessen nur die geltend gemachten Rügen, sofern die rechtlichen Mängel nicht geradezu offensichtlich sind (<ref-ruling> E. 2 S. 315; <ref-ruling> E. 1.4.1 S. 254).
2.
2.1. Anfechtungsgegenstand des vorinstanzlichen Verfahrens bildete der Einspracheentscheid vom 19. April 2016, womit die Beschwerdegegnerin ihre Verfügung vom 18. Dezember 2015 bestätigte, wonach die Beschwerdeführerin ab 1. April 2015 aufgrund von Art. 5 Abs. 1 ELG keinen EL-Anspruch hat. Nach dieser unstreitig im vorliegenden Fall anwendbaren Bestimmung müssen Ausländerinnen und Ausländer unmittelbar vor dem Zeitpunkt, ab dem die Ergänzungsleistung verlangt wird, sich während zehn Jahren ununterbrochen in der Schweiz aufgehalten haben (Karenzfrist).
2.2.
2.2.1. Es steht fest (Art. 105 Abs. 1 und 2 BGG), dass sich die Beschwerdeführerin 2015 insgesamt während mehr als drei Monaten (92 Tage) im Ausland aufgehalten hatte. Eine derart lange Landesabwesenheit unterbricht von nach Auffassung der Vorinstanz hier nicht gegebenen Ausnahmen abgesehen die Karenzfrist nach Art. 5 Abs. 1 ELG (<ref-ruling> E. 2c-d S. 465 f.; Urteil 8C_98/2008 vom 27. August 2008 E. 3; Rz. 2440.01 ff. der Wegleitung über die Ergänzungsleistungen zur AHV und IV [WEL]). Daraus hat das kantonale Versicherungsgericht gefolgert, die Beschwerdegegnerin habe einen EL-Anspruch der Beschwerdeführerin zu Recht verneint; die Beschwerde sei somit abzuweisen. Dieses Ergebnis verletzt offensichtlich Bundesrecht (<ref-law>).
2.2.2. Wie die Beschwerdegegnerin in ihrer Verfügung vom 18. Dezember 2015 zutreffend festhielt, ist frühest möglicher Anspruchsbeginn der 1. April 2015 (Art. 22 Abs. 1 ELV und Rz. 2122.01 WEL; vgl. Sachverhalt A hiervor). Bis zu diesem Zeitpunkt weilte die Beschwerdeführerin nach verbindlicher Feststellung der Vorinstanz seit Anfang Jahr bzw. seit der Abreise am 23. Dezember 2014 höchstens insgesamt 84 Tage in ihrem Heimatland, wo am 18. März nach längerem Spitalaufenthalt im Koma ihr Ehemann verstarb. Hatte sie sich bis 31. März 2015 während mehr als zehn Jahren ununterbrochen in der Schweiz aufgehalten, wie sie unwidersprochen vorbringt, erfüllte sie somit am 1. April 2015 die Karenzfrist nach Art. 5 Abs. 1 ELG. Sie hat daher ab diesem Zeitpunkt Anspruch auf eine jährliche Ergänzungsleistung (Art. 3 Abs. 1 lit. a und Art. 9 Abs. 1 ELG), sofern die übrigen Voraussetzungen gegeben sind. Auslandaufenthalte danach haben allenfalls die Einstellung der Leistungen zur Folge; unter Umständen lebt der Anspruch nach der Rückkehr in die Schweiz nicht wieder auf (vgl. Rz. 2310.01 f. und 2330.01 ff. WEL).
2.3. Im Sinne des Vorstehenden wird die Beschwerdegegnerin über den EL-Anspruch der Beschwerdeführerin ab 1. April 2015 neu zu befinden haben. Die Beschwerde ist begründet.
3.
Ausgangsgemäss hat die Beschwerdegegnerin die Gerichtskosten zu tragen (<ref-law>) und der Beschwerdeführerin eine Parteientschädigung zu bezahlen (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird gutgeheissen. Der Entscheid des Verwaltungsgerichts des Kantons Thurgau als Versicherungsgericht vom 17. August 2016 und der Einspracheentscheid vom 19. April 2016 werden aufgehoben. Die Sache wird an die Beschwerdegegnerin zu neuer Verfügung im Sinne der Erwägungen zurückgewiesen.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 800.- werden der Beschwerdegegnerin auferlegt.
3.
Die Beschwerdegegnerin hat die Beschwerdeführerin für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 2'800.- zu entschädigen.
4.
Die Sache wird zur Neuverlegung der Parteientschädigung des vorangegangenen Verfahrens an das Verwaltungsgericht des Kantons Thurgau zurückgewiesen.
5.
Dieses Urteil wird den Parteien, dem Verwaltungsgericht des Kantons Thurgau und dem Bundesamt für Sozialversicherungen schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 22. Februar 2017
Im Namen der II. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Pfiffner
Der Gerichtsschreiber: Fessler