Sachverhalt:
A.
Die Eheleute Dr. iur. A.A._ und B.B._ haben steuerrechtlichen Wohnsitz in U._/SO. Am 14. April 2016 erliess die Veranlagungsbehörde Olten-Gösgen ihnen gegenüber einen Einspracheentscheid betreffend die direkte Bundessteuer sowie die Staats- und Gemeindesteuer des Kantons Solothurn, Steuerjahr 2008. Dagegen erhoben die Steuerpflichtigen am 16. Mai 2016 Rekurs und Beschwerde an das Steuergericht des Kantons Solothurn. Dieses eröffnete das Verfahren SGSTA.2016.43 / BST.2016.41.
B.
In einem die Übergangsperiode 2000 ("2001A") betreffenden Verfahren hatten die Steuerpflichtigen zuvor mit Eingabe vom 23. November 2015 beim Steuergericht des Kantons Solothurn eine gegen die Veranlagungsbehörde Olten-Gösgen gerichtete Rechtsverweigerungsbeschwerde eingereicht. Darin machten sie geltend, über ihre Einsprache vom 17. April 2003 gegen die Veranlagungsverfügung 2001A sei nach wie vor nicht entschieden worden. Die Veranlagungsbehörde Olten-Gösgen sei daher anzuweisen, über die Jahressteuer 2000 (2001A) einen Einspracheentscheid zu erlassen.
Mit Entscheid SGDIV.2015.10 vom 25. April 2016 wies das Steuergericht die Beschwerde ab. Es erwog im Wesentlichen, gemäss einer Mitteilung des Steueramtes des Kantons Solothurn seien im Fall der Steuerpflichtigen in der Übergangsperiode keine ausserordentlichen Einkünfte besteuert worden, weshalb es zu keiner Veranlagungsverfügung gekommen sei. Das Steuergericht stützte sich dabei auf ein Einspracheprotokoll vom 10. November 2004. Die steueramtlichen Akten der Übergangsperiode waren im Übrigen nicht mehr greifbar, da sie im Urteilszeitpunkt (2016) nicht mehr bestanden.
Das Steuergericht führte alsdann im Entscheid SGDIV.2015.10 aus, dass es im Jahr 2001 "je nach persönlicher Situation der Steuerpflichtigen zu Mitteilungen anstelle von Veranlagungen gekommen" sei. Es belegte diese Aussage mit einer aus der Übergangsperiode stammenden allgemeinen Information des Steueramts des Kantons Solothurn. Im streitbetroffenen Fall hielt das Steuergericht abschliessend fest, dass "es wie gesehen nicht zu einer Veranlagung, sondern bloss zu einer Mitteilung" an die Steuerpflichtigen gekommen sei.
C.
Dagegen gelangten die Steuerpflichtigen an das Bundesgericht, welches auf die Beschwerde mangels eines aktuellen und praktischen Interesses nicht eintrat (Urteil 2C_584/2016 / 2C_585/2016 vom 9. Dezember 2016). Das Bundesgericht erkannte, im Fall der Übergangsperiode - im Kanton Solothurn aus dem Steuerjahr 2000 bestehend - seien sowohl die Veranlagungs- als auch die Bezugsverjährung eingetreten. Ein hinreichendes Rechtsschutzinteresse sei weder ersichtlich noch werde ein solches vorgebracht.
D.
Mit einer ersten Eingabe vom 25. Januar 2017 stellten die Steuerpflichtigen das Gesuch, im Verfahren SGSTA.2016.43 / BST.2016.41 (Veranlagungsperiode 2008) seien Dr. Thomas A. Müller (Präsident des Steuergerichts) und Wolfgang Hatzinger (Gerichtsschreiber am Steuergericht) in den Ausstand zu versetzen. Der Entscheid SGDIV.2015.10 vom 25. April 2016 betreffend die Übergangsperiode, unterzeichnet von den beiden Gerichtspersonen, enthalte eine tatsachenwidrige Feststellung. So werde unterstellt, das Steueramt habe ihnen, den Steuerpflichtigen, mitgeteilt, dass keine ausserordentlichen Einkünfte besteuert würden ("Null-Mitteilung"). Mit dieser unzutreffenden Feststellung hätten die beiden Gerichtspersonen den objektiven Tatbestand von <ref-law> (Urkundenfälschung im Amt) und eventualvorsätzlich den Tatbestand von <ref-law> (Urkundenfälschung) erfüllt, möglicherweise auch den objektiven Tatbestand von <ref-law> (Amtsmissbrauch). Die krassen Verfahrensfehler stünden einer unparteiischen Beurteilung der Rechtsmittel vom 16. Mai 2016 entgegen. Mit Verfügung vom 31. Januar 2017 teilte das Steuergericht den Steuerpflichtigen hierauf mit, dass Dr. Aristide Roberti und Sonja Bossart Meier über das Ausstandsgesuch entscheiden würden.
E.
In einer zweiten Eingabe, diesmal vom 2. Februar 2017, ersuchten die Steuerpflichtigen ferner darum, auch alle übrigen ordentlichen Richter - Vizepräsident Dr. Aristide Roberti, Roland Flury, Dr. Adolf C. Kellerhals, Christian Winiger - sowie die Ersatzrichterin Sonja Bossart Meier seien in den Ausstand zu versetzen. Zum einen hätten der Vizepräsident und der Richter Kellerhals am Entscheid SGDIV.2015.10 vom 25. April 2016 mitgewirkt, was die Frage nach der Teilnahme an den mutmasslich erfüllten Straftatbeständen aufwerfe. Zum andern ständen alle genannten Gerichtsmitglieder unter dem Anschein der Befangenheit, nachdem es um die Beurteilung dessen gehe, ob der Präsident eine Straftat verübt habe.
F.
Das Steuergericht des Kantons Solothurn entschied über die beiden Ausstandsgesuche mit Entscheid SGSTA.2016.43 / BST.2016.41 vom 16. März 2017. Zusammengesetzt aus Vizepräsident Roberti, Richterin Bossart Meier und dem stellvertretenden Sekretär David Stämpfli, erkannte es, das Gesuch vom 25. Januar 2017 werde abgewiesen und auf das Gesuch vom 2. Februar 2017 sei nicht einzutreten.
G.
Mit Eingabe beim Bundesgericht vom 8. Mai 2017 erheben die Steuerpflichtigen Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten. Sie beantragen, der angefochtene Entscheid sei insoweit aufzuheben, als das Ausstandsgesuch vom 25. Januar 2017 abgewiesen wurde. Der Präsident und der Gerichtsschreiber des Steuergerichts seien in den Ausstand zu versetzen, eventuell sei die Sache zur neuen Beurteilung an die Vorinstanz zurückzuweisen.
Der Abteilungspräsident als Instruktionsrichter (<ref-law> [SR 173.110]) hat von Instruktionsmassnahmen abgesehen.

Erwägungen:
I. Prozessuales
1.
1.1. Die Vorinstanz hat zum Steuerjahr 2008 betreffend die Staats- und Gemeindesteuern des Kantons Solothurn einerseits und die direkte Bundessteuer anderseits ein einziges Urteil gefällt, was zulässig ist, soweit die zu entscheidende Rechtsfrage im Bundesrecht und im harmonisierten kantonalen Recht gleich geregelt ist. Dies trifft hier zu. Die Steuerpflichtigen bringen ihre Einwände zulässigerweise in einer einzigen Beschwerdeschrift vor. Die Angelegenheit kann auch vom Bundesgericht in einem einzigen Urteil entschieden werden (zum Ganzen <ref-ruling> E. 1.2 S. 296).
1.2. Die Beschwerde richtet sich gegen einen selbständig eröffneten Zwischenentscheid über ein Ausstandsbegehren. Ein solcher ist mit der Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten selbständig anfechtbar (<ref-law>; <ref-ruling> E. 2.1.1 S. 277). Die weiteren Voraussetzungen der Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten liegen vor (Art. 82 lit. a, Art. 83 e contrario, Art. 86 Abs. 1 lit. d und Abs. 2, Art. 89 Abs. 1, Art. 100 Abs. 1 BGG i. V. m. <ref-law> [SR 642.11] und Art. 73 StHG [SR 642.14]). Auf die Beschwerde ist einzutreten.
1.3. Das Bundesgericht prüft das Bundesrecht von Amtes wegen (<ref-law>; <ref-ruling> E. 4.4.5 S. 157) und mit uneingeschränkter (voller) Kognition (<ref-law>; <ref-ruling> E. 2 S. 236).
1.4. Abgesehen von hier nicht einschlägigen Ausnahmen (Art. 95 lit. c und d BGG) kann das Bundesgericht die Auslegung und Anwendung kantonalen (und kommunalen) Verfassungs-, Gesetzes- oder Verordnungsrechts nicht als solche prüfen, sondern lediglich daraufhin, ob dadurch Bundes-, Völker- oder interkantonales Recht verletzt wird (Art. 95 lit. a, b und e BGG; <ref-ruling> E. 2.1 S. 372). Dabei beschränkt die Überprüfung sich auf die Verletzung verfassungsmässiger Rechte (<ref-ruling> E. 1.3 S. 96), insbesondere auf den Aspekt der Verletzung des Willkürverbots (<ref-law>; <ref-ruling> E. 4.2 S. 516).
1.5. Die Verletzung von verfassungsmässigen Rechten (einschliesslich der Grundrechte) prüft das Bundesgericht in jedem Fall nur, soweit eine solche Rüge in der Beschwerde überhaupt vorgebracht und ausreichend begründet worden ist (qualifizierte Rüge- und Begründungsobliegenheit gemäss <ref-law>; <ref-ruling> E. 1.7.2 S. 106).
1.6. Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (<ref-law>; <ref-ruling> E. 4.4.3 S.156).
1.7. Streitig und zu prüfen ist der vorinstanzliche Entscheid nur noch, soweit er das Ausstandsgesuch vom 25. Januar 2017 betrifft. Hinsichtlich jenes vom 2. Februar 2017 ist der angefochtene Entscheid in Teilrechtskraft erwachsen.
II. Direkte Bundessteuer
2.
2.1. Der Anspruch auf eine unabhängige und unbefangene Behörde ergibt sich bei Gerichtsbehörden aus Art. 30 Abs. 1, bei Verwaltungsbehörden aus <ref-law> (<ref-ruling> E. 3.1 und 3.2 S. 173). Was die gerichtlichen Verfahren betrifft, hat jedermann Anspruch darauf, dass seine Streitsache von einem unbefangenen, unvoreingenommenen und unparteiischen Gericht beurteilt wird. Es soll garantiert werden, dass keine sachfremden Umstände, die ausserhalb des Prozesses liegen, in sachwidriger Weise oder zu Lasten einer Partei auf das gerichtliche Urteil einwirken. Die Bestimmung will zu der für einen korrekten und fairen Prozess erforderlichen Offenheit des Verfahrens im Einzelfall beitragen und damit ein gerechtes Urteil ermöglichen (<ref-ruling> E. 4.1 S. 221 mit Hinweisen).
2.2. Im Kern geht es darum, dass Gerichtsmitglieder und Verwaltungsangehörige bei der Erhebung und Würdigung des Sachverhalts sowie der Auslegung und Anwendung des Rechts ohne vorgefasste Meinung tätig werden (vgl. <ref-ruling> E. 5.2 S. 329). Ein Verstoss gegen dieses Gebot ist nur, aber immerhin anzunehmen, wenn bei objektiver Betrachtung Sachumstände vorliegen, die den Anschein der Befangenheit oder die Gefahr der Voreingenommenheit zu begründen vermögen. Auf das subjektive Empfinden der Parteien kommt nichts an (<ref-ruling> E. 3.2.1 S. 179). Entsprechend vermag die Mitwirkung von Gerichtsmitgliedern an einem abgeschlossenen Verfahren, das nicht den Erwartungen der Steuerpflichtigen entsprechend ausfiel, für sich allein keinen hinreichenden Anschein der Befangenheit zu setzen (<ref-ruling> E. 2c S. 374; Urteil 2C_590/2016 vom 23. August 2016 E. 2.2).
2.3.
2.3.1. Im Bundessteuerrecht wird <ref-law> durch <ref-law> konkretisiert (Urteil 2C_811/2016 / 2C_812/2016 vom 6. Oktober 2016 E. 3.1). Dessen Anwendungsbereich erstreckt sich auf das Veranlagungs-, das Bezugs- und das Einspracheverfahren. Eine Bestimmung zu den Ausstandsgründen im direktsteuerlichen Beschwerdeverfahren (Art. 140 ff. und 145 DBG) lässt sich dem Bundessteuergesetz hingegen nicht entnehmen. Dies zu regeln, ist Sache des kantonalen Gesetzgebers (SILVIA HUNZIKER/JSABELLE MAYER-KNOBEL, in: Martin Zweifel/Michael Beusch [Hrsg.], Kommentar DBG, 3. Aufl. 2017, N. 1a der Vorbemerkungen zu Art. 140-146 DBG). Soweit kein entsprechendes kantonales Verfahrensrecht vorliegt, bleibt es bei <ref-law>. Dieser setzt eine bundesverfassungsrechtliche Minimalgarantie (<ref-ruling> E. 2.1 S. 241 f.; <ref-ruling> E. 3.2.1 S. 124; HUGO CASANOVA/CLAUDE-EMMANUEL DUBEY, in: Yves Noël/ Florence Aubry Girardin [Hrsg.], Commentaire romand zum DBG, 2. Aufl. 2017, N. 2 der Einführung zu Art. 140-144 DBG).
2.3.2. Im vorliegenden Fall ergibt sich das Verfahrensrecht aus dem Gesetz (des Kantons Solothurn) vom 13. März 1977 über die Gerichtsorganisation (GO/SO; BGS 125.12). Dessen § 92 umschreibt die Gründe, aus welchen ein Gerichtsmitglied von der Ausübung seiner Tätigkeit ausgeschlossen ist und in § 93 jene, aufgrund derer ein Gerichtsmitglied abgelehnt werden kann. In § 93 Abs. 1 lit. f GO/SO findet sich alsdann der Auffangtatbestand, wonach ein Gerichtsmitglied abgelehnt werden kann, wenn es "aus irgendeinem Grunde befangen erscheint".
2.3.3. Die Vorinstanz hat bei Anwendung des kantonalen Rechts keine Unterscheidung zwischen <ref-law> und § 93 Abs. 1 GO/SO getroffen. Mithin hat sie den beiden Normen dieselbe Tragweite beigemessen. Die Steuerpflichtigen bringen ihrerseits keine Argumente vor, die belegen könnten, dass das kantonale Recht über die in der Bundesverfassung festgehaltene Minimalgarantie hinausreicht.
3.
3.1. Zur Beurteilung der folgenden Streitsache hat das Bundesgericht die beim Urteil 2C_584/2016 / 2C_585/2016 vom 9. Dezember 2016 befindlichen Akten beiziehen können (<ref-law>). Daraus erhellt, dass die Vorinstanz im Entscheid SGDIV.2015.10 (Rechtsverweigerungsbeschwerde bezüglich der Übergangsperiode) beweiswürdigend zum Ergebnis gelangt war, das Steueramt des Kantons Solothurn habe mangels ausserordentlicher Einkünfte in der Übergangsperiode gegenüber den beschwerdeführenden Eheleuten keine Veranlagungsverfügung erlassen. Entsprechend habe die Übergangsperiode auch gar nicht Gegenstand der Einsprache vom 17. April 2003 gegen die Veranlagungen nach pflichtgemässem Ermessen der Steuerjahre 1998 bis 2000 bilden können. Mit Blick auf die seinerzeitige Verwaltungspraxis - Mitteilung oder Veranlagung - folgerte das Steuergericht im damaligen Entscheid, es sei "bloss zu einer Mitteilung" gekommen.
3.2. Die Vorinstanz setzt sich im vorliegenden Verfahren hauptsächlich mit dem Begriff der Urkunde im strafrechtlichen Sinn (<ref-law>) auseinander. Sie erwägt, einer sachverhaltlichen Feststellung in einem Gerichtsurteil komme strafrechtlich kein Urkundencharakter zu. Aus diesem Grund fielen die Art. 251 und 317 StGB von vornherein ausser Betracht. Zu <ref-law>, der nach Meinung der Steuerpflichtigen "möglicherweise" erfüllt sei, fehle eine hinreichende Substantiierung, zumal ein Ausstandsverfahren nicht dazu dienen könne, ein fehlerhaftes Urteil zu beurteilen.
3.3. Die Steuerpflichtigen berufen sich auch vor Bundesgericht im Wesentlichen auf eine falsche sachverhaltliche Feststellung, welche die Vorinstanz im Entscheid vom 25. April 2016 getroffen habe. Sie machen geltend, dass das Steueramt des Kantons Solothurn - anders als die Vorinstanz im Urteil SGDIV.2015.10 - nie geltend gemacht habe, eine "Nullmitteilung" erlassen und in den Akten abgelegt zu haben. Zu diesem Punkt äussere die Vorinstanz sich im angefochtenen Entscheid nicht oder nur ungenügend, was gegen <ref-law> verstosse. Sie begnüge sich mit der Einschätzung, dass "keine falsche (unwahre) Sachverhaltsfeststellung vorliege".
3.4. Für das vorliegende Ausstandsverfahren ist folgendes von Belang: Die Vorinstanz kam beweiswürdigend zum Ergebnis, das Steueramt habe im konkreten Fall zur Übergangsperiode keine Veranlagungsverfügung erlassen. Die Steuerpflichtigen nehmen nun aber Anstoss an der Formulierung, "im vorliegenden Fall (sei) es, wie gesehen, nicht zu einer Veranlagung, sondern bloss zu einer Mitteilung" gekommen. Sie messen dieser Wendung geradezu strafrechtlichen Charakter bei und leiten daraus ab, der Präsident und der Gerichtsschreiber seien zufolge Befangenheit aus dem Verfahren SGSTA.2016.43 / BST.2016.41 (Veranlagungsperiode 2008) zu entfernen.
3.5. Abgesehen davon, dass es nicht Sache des Bundesgerichts sein kann, in einem Ausstandsverfahren gewissermassen erstinstanzlich zu klären, ob die beanstandete Formulierung in einer Urkunde im Sinne von <ref-law> verbrieft ist, verlieren die Steuerpflichtigen mit ihrer Kritik den Kern der Sache aus den Augen. Nachdem auch sie keine Veranlagungsverfügung 2001A vorzulegen vermögen, ist es mehr als nachvollziehbar, dass die Vorinstanz - mit dem Steueramt des Kantons Solothurn - davon ausgeht, es sei zu keiner Veranlagung gekommen. Es ist einzuräumen, dass dies nicht zwingend bedeutet, dass das Steueramt den Steuerpflichtigen tatsächlich eine Mitteilung zugestellt hatte. Dies hätte aber zumindest dem ordentlichen Ablauf entsprochen, zumal die Zustellung oder Nichtzustellung der Mitteilung ohnehin bedeutungslos ist: Entscheidend ist einzig, dass keine Veranlagungsverfügung und damit kein Rechtstitel vorliegt, der hätte vollstreckt werden können.
3.6. Das Rechtsschutzinteresse der Steuerpflichtigen ist vor diesem Hintergrund zumindest höchst fraglich. Es erscheint als gesucht, eine Formulierung, die an sich nur den gewöhnlichen Lauf der Dinge beschreibt und aus welcher den Steuerpflichtigen keinerlei Nachteil erwächst, zum Anlass für ein Ausstandsgesuch zu nehmen. Läge ihnen viel an der strafrechtlichen Aufarbeitung, hätten sie Strafanzeige gegen den Präsidenten und den Gerichtsschreiber des Steuergerichts erheben können. Sie machen nicht geltend, dies getan zu haben.
3.7. Im Ergebnis zeigt sich, dass es den Steuerpflichtigen nicht gelungen ist, glaubhaft zu machen, es liege ein "krasser Verfahrensfehler" vor, der - wie sie zumindest vermuten - überdies strafrechtliche Implikationen aufweist. Ihr subjektives Empfinden mag sie zur Annahme führen, der Präsident und der Gerichtsschreiber seien befangen. Dazu hat das Bundesgericht sich nicht zu äussern. Bestätigende objektive Gründe, auf die es ausschliesslich ankommt, werden weder hinreichend gerügt noch begründet. Die Steuerpflichtigen hätten aber, da es sich um kantonales (Verfahrens-) Recht handelt, detailliert anhand des angefochtenen Entscheids nachzuweisen gehabt, inwiefern die streitbetroffene Norm (§ 93 GO/SG, der über <ref-law> nicht hinausgeht; vorne E. 2.3.3) unhaltbar ausgelegt und/oder angewendet worden sei (<ref-law>; vorne E. 1.4 und 1.5). Ihrer qualifizierten Rüge- und Begründungsobliegenheit haben sie offenkundig nicht genügt. Derartige Gründe sind im Übrigen auch nicht ersichtlich. Die Vorinstanz hat das Ausstandsgesuch vom 25. Januar 2017 daher willkürfrei und bundesrechtskonform abweisen dürfen. Die Beschwerde erweist sich insoweit als unbegründet, was zur Abweisung führt.
III. Staats- und Gemeindesteuer des Kantons Solothurn
4.
Ebenso wenig wie das DBG kennt das StHG eine eigenständige Bestimmung zu den Ausstandsgründen im Beschwerdeverfahren. Mithin kommen wiederum <ref-law> und der nicht darüber hinausgehende § 93 GO/SO zur Anwendung (vorne E. 2.3.2 und 2.3.3). Es kann damit in allen Teilen auf das zur direkten Bundessteuer Gesagte verwiesen werden. Die Beschwerde ist auch in dieser Hinsicht unbegründet und abzuweisen.
IV. Kosten und Entschädigungen
5.
Nach dem Unterliegerprinzip (<ref-law>) sind die Kosten des bundesgerichtlichen Verfahrens den Steuerpflichtigen aufzuerlegen. Diese tragen ihren Anteil zu gleichen Teilen und unter solidarischer Haftbarkeit (<ref-law>). Dem Kanton Solothurn, der in seinem amtlichen Wirkungskreis obsiegt, steht keine Entschädigung zu (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde hinsichtlich der direkten Bundessteuer, Steuerjahr 2008, wird abgewiesen.
2.
Die Beschwerde hinsichtlich der Staats- und Gemeindesteuer des Kantons Solothurn, Steuerjahr 2008, wird abgewiesen.
3.
Die Kosten des bundesgerichtlichen Verfahrens von Fr. 2'000.-- werden den Beschwerdeführern auferlegt. Diese tragen ihren Anteil zu gleichen Teilen und unter solidarischer Haftbarkeit.
4.
Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten, dem Kantonalen Steuergericht Solothurn und der Eidgenössischen Steuerverwaltung schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 14. Juni 2017
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Seiler
Der Gerichtsschreiber: Kocher