Sachverhalt:
A.
A.a. A._ (Beschwerdeführer) erhob gegen ein Bauvorhaben der Politischen Gemeinde U._ (Beschwerdegegnerin) öffentlich-rechtliche und privatrechtliche Einsprache. Mit Entscheid vom 2. Juli 2013 wies der Gemeinderat U._ die öffentlich-rechtliche Einsprache ab (Dispositiv-Ziff. 1). Er wies die privatrechtliche Einsprache ab, soweit sie das Immissionsrecht nach <ref-law> betraf (Dispositiv-Ziff. 2), und verwies den Beschwerdeführer auf den Zivilprozessweg, soweit er andere privatrechtliche Einsprachen als Immissionseinsprachen nach <ref-law> geltend machte. Zur Einleitung des zivilrechtlichen Verfahrens wurde eine Frist von 14 Tagen angesetzt (Dispositiv-Ziff. 3). Mit Entscheid vom 3. Juli 2013 erteilte der Gemeinderat die Baubewilligung.
A.b. Den Zivilprozess leitete der Beschwerdeführer am 19./22. Juli 2013 mit den Begehren ein, der Beschwerdegegnerin das Bauvorhaben zu verbieten und das Bauverbot vorsorglich zu verfügen. Das Kreisgericht Rorschach erklärte sich für unzuständig und trat auf das Gesuch um vorsorgliche Massnahmen nicht ein (Entscheid vom 14. April 2014). Auf Berufung des Beschwerdeführers hin wies das Kantonsgericht St. Gallen das Massnahmegesuch ab (Entscheid vom 9. September 2014). Die anschliessende Beschwerde in Zivilsachen wies das Bundesgericht ab, soweit darauf einzutreten war (Urteil 5A_814/2014 vom 12. Dezember 2014). Es verneinte dabei Willkür in der Auslegung des kantonalen Baugesetzes, wonach der Gemeinderat nicht nur über privatrechtliche Einsprachen gemäss <ref-law>, sondern auch über die auf <ref-law> gestützten Abwehransprüche zu entscheiden befugt sei (E. 6 des Urteils 5A_814/2014).
A.c. In der Bausache rekurrierte der Beschwerdeführer am 19. Juli 2013 an das Baudepartement des Kantons St. Gallen. Er leistete den einverlangten Kostenvorschuss nicht innert angesetzter Frist und ersuchte deshalb um deren Wiederherstellung. Das Baudepartement wies das Fristwiederherstellungsgesuch ab und schrieb den Rekurs zufolge Nichtleistens des Kostenvorschusses ab (Entscheid vom 3. Oktober 2013). Der Beschwerdeführer erhob Beschwerde, die das kantonale Verwaltungsgericht abwies (Urteil vom 19. August 2014). Die anschliessende Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten wies das Bundesgericht ab (Urteil 1C_474/2014 vom 9. Februar 2015).
B.
Nach Erhalt des kreisgerichtlichen Nichteintretensentscheids vom 14. April 2014 und während der hängigen Beschwerdeverfahren legte der Beschwerdeführer am 29. April 2014 beim Baudepartement erneut Rekurs gegen die Einspracheentscheide des Gemeinderates vom 2. Juli 2013 und gegen die Baubewilligung vom 3. Juli 2013 ein. Das Baudepartement sistierte das Rekursverfahren und trat nach Vorliegen der Beschwerdeentscheide auf den Rekurs nicht ein, weil der Rekurs ausserhalb der seit der Eröffnung der angefochtenen Einspracheentscheide laufenden gesetzlichen vierzehntägigen Rekursfrist erfolgt sei (Entscheid vom 13. Oktober 2015). Die dagegen erhobene Beschwerde wies das Verwaltungsgericht ab mit der Begründung, die formell rechtskräftigen Einspracheentscheide könnten nicht mehr mit Rekurs angefochten werden (Entscheid vom 28. März 2017).
C.
Der Beschwerdeführer hat am 9. Juni 2017 Beschwerde in Zivilsachen erhoben. Er beantragt dem Bundesgericht, den Entscheid des Verwaltungsgerichts vom 28. März 2017 aufzuheben und die Angelegenheit an das Verwaltungsgericht zur nochmaligen Beurteilung zurückzuweisen, eventualiter das Baudepartement anzuweisen, seinen Rekurs betreffend die Verletzung von <ref-law> materiell zu behandeln. Der Beschwerdeführer ersucht ferner um aufschiebende Wirkung. Die Beschwerdegegnerin schliesst auf Abweisung des Gesuchs, soweit darauf eingetreten werden könne, während das Verwaltungsgericht auf eine Vernehmlassung zur aufschiebenden Wirkung verzichtet hat. Der Präsident der II. zivilrechtlichen Abteilung des Bundesgerichts hat der Beschwerde die aufschiebende Wirkung zuerkannt (Verfügung vom 12. Juli 2017). Es sind die kantonalen Akten, hingegen keine Vernehmlassungen in der Sache eingeholt worden.
D.
Gegen den Entscheid des Verwaltungsgerichts vom 28. März 2017 hat der Beschwerdeführer gleichzeitig Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten eingereicht. In der Sache erhebt er praktisch wörtlich (mit Ausnahme von Bst. C Ziff. 5 Abs. 2 der Beschwerdeschrift) dieselben Rügen wie mit der Beschwerde in Zivilsachen (Verfahren 5C_1/2017).

Erwägungen:
1.
1.1. Der angefochtene Entscheid bejaht die formelle Rechtskraft des Einspracheentscheids vom 2. Juli 2013, mit dem der Gemeinderat als Baubewilligungsbehörde andere privatrechtliche Einsprachen des Beschwerdeführers als Immissionseinsprachen nach <ref-law> auf den Zivilprozessweg verwiesen und sich insoweit für unzuständig erklärt hat. Der Einspracheentscheid stützt sich auf Bestimmungen des kantonalen Gesetzes über die Raumplanung und das öffentliche Baurecht (Baugesetz, BauG/SG; sGS 731.1), so dass dem angefochtenen Entscheid eine baurechtliche Streitigkeit und damit eine öffentlich-rechtliche Angelegenheit zugrunde liegt (Art. 82 lit. a und Art. 83 BGG; Urteil 1C_449/2015 vom 25. Februar 2016 E. 1.1). Streitig vor Verwaltungsgericht war indessen vorab die Frage, ob der Beschwerdeführer nach dem Unzuständigkeitsentscheid des Kreisgerichts (Bst. A.b oben) seine auf <ref-law> gestützten Abwehransprüche unter Wahrung der Rechtshängigkeit gemäss <ref-law> mit Rekurs an das Baudepartement geltend machen und den Unzuständigkeitsentscheid des Gemeinderates erneut anfechten konnte. Die entscheidende Frage nach der richtigen Anwendung von <ref-law> stellt sich in einer Streitigkeit über Abwehransprüche gemäss <ref-law> und damit in einer Zivilsache (<ref-law>). Zulässiges Bundesrechtsmittel ist insoweit die Beschwerde in Zivilsachen.
1.2. Der angefochtene Entscheid betrifft eine Angelegenheit vermögensrechtlicher Natur mit einem Streitwert von über Fr. 30'000.-- (<ref-law>; zit. Urteil 5A_814/2014 E. 1.1), ist ober- und letztinstanzlich (<ref-law>), lautet zum Nachteil des Beschwerdeführers (<ref-law>) und schliesst das kantonale Verfahren ab (<ref-law>; vgl. <ref-ruling> E. 2.2 S. 172). Da das Verwaltungsgericht einen Nichteintretensentscheid bestätigt hat, kann das Bundesgericht in der Sache nicht selber entscheiden, so dass der blosse Aufhebungs- und Rückweisungsantrag des Beschwerdeführers genügt (<ref-law>; <ref-ruling> E. 1.2 S. 48). Unzulässig ist hingegen der Verweis auf die Ausführungen im kantonalen Verfahren (S. 7 Ziff. 8 der Beschwerdeschrift), zumal die Begründung der Beschwerdegründe in der Beschwerdeschrift selbst zu erfolgen hat (<ref-law>; <ref-ruling> E. 2 S. 116).
1.3. Auf die - fristgerecht erhobene (<ref-law>) - Beschwerde in Zivilsachen kann grundsätzlich eingetreten werden.
2.
Für das Verwaltungsgericht ist der Einspracheentscheid des Gemeinderates vom 2. Juli 2013 (Bst. A.a oben) in formelle Rechtskraft erwachsen und infolgedessen mit dem Rekurs vom 29. April 2014 nicht mehr anfechtbar gewesen (E. 4 Abs. 2 S. 8 des angefochtenen Entscheids). Der Beschwerdeführer bestreitet die Rechtskraft von Ziff. 3 des Einspracheentscheids, mit der andere privatrechtliche Einsprachen als Immissionseinsprachen nach <ref-law> auf den Zivilprozessweg verwiesen wurden.
2.1. Der Beschwerdeführer spricht teilweise von materieller Rechtskraft, die vorliegt, wenn der streitige Anspruch mit einem schon rechtskräftig beurteilten identisch ist (<ref-ruling> E. 8.2 S. 432). Er meint aber wie das Verwaltungsgericht die formelle Rechtskraft, in die eine Verfügung erwächst, sofern gegen sie nicht innert nützlicher Frist Beschwerde erhoben wird (<ref-ruling> E. 8.1 S. 431). Gegenüber diesem Rechtskrafteintritt erneuert der Beschwerdeführer seine bereits vor Verwaltungsgericht erhobenen Einwände. Er macht geltend, das Baudepartement hätte auf seinen Rekurs eintreten müssen, weil erst durch den Entscheid des Kreisgerichts vom 14. April 2014 und durch das Urteil des Bundesgerichts vom 12. Dezember 2014 klar geworden sei, dass auch die auf <ref-law> gestützten Abwehransprüche im Verfahren vor den Verwaltungsbehörden vorgebracht werden müssten. Anders als Verwaltungsbehörden sei das Kreisgericht, das sich für die Beurteilung des auf <ref-law> gestützten Abwehranspruchs als unzuständig erklärt habe, nicht verpflichtet gewesen, die Sache unter Wahrung der Rechtshängigkeit an die zuständige Verwaltungsbehörde zu überweisen, doch sehe <ref-law> vor, dass die Rechtshängigkeit erhalten bleibe, wenn die Eingabe innert eines Monats seit dem Unzuständigkeitsentscheid beim zuständigen Gericht neu eingereicht werde. Er sei gemäss dieser Vorschrift vorgegangen und habe innert der Rekursfrist von vierzehn Tagen nach Erhalt des kreisgerichtlichen Unzuständigkeitsentscheids seinen auf <ref-law> gestützten Abwehranspruch mit Rekurs beim Baudepartement neu eingereicht. Im Sinne von <ref-law> habe er die Frist zum Rekurs gegen Ziff. 3 des Einspracheentscheids "perpetuiert" und damit den Rechtskrafteintritt verhindert (S. 16 ff. der Beschwerdeschrift).
2.2. Wie der Beschwerdeführer zutreffend annimmt, bietet <ref-law> eine Lösung für Fälle, wo die zuerst angerufene Instanz sich für unzuständig erklärt, weil sie die Zuständigkeit einer anderen Instanz befürwortet, diese andere Instanz, die alsdann angerufen wird, sich aber ebenfalls für unzuständig erklärt (<ref-ruling> E. 6 S. 481). Die Bestimmungen über die Rechtshängigkeit (<ref-law>) sind indessen lediglich auf die von der Zivilprozessordnung erfassten Verfahren anwendbar, nicht auf das Verfahren vor den Verwaltungsbehörden (zur Veröffentlichung bestimmtes Urteil 5A_243/2016 vom 12. Juni 2017 E. 6.3). Im Verfahren vor Verwaltungsbehörden, das durch das kantonale Gesetz über die Verwaltungsrechtspflege (VRP/SG; sGS 951.1) geregelt wird, ist <ref-law> folglich nicht unmittelbar anwendbar. Dass diese Bestimmung allenfalls als kantonales Ersatzrecht zur Anwendung käme (Urteil 2C_824/2014 vom 22. Mai 2015 E. 4), unterlässt der Beschwerdeführer mit klaren Hinweisen auf kantonale Verweisungsnormen (wie z.B. Art. 13 VRP/SG für den Beweis, Art. 30 VRP/SG für die Zeitbestimmungen, Art. 74 VRP/SG für die öffentlich-rechtliche Klage u.v.a.m.) zu belegen. Er nennt die kantonale Gesetzesvorschrift nicht, die das Verwaltungsgericht willkürlich missachtet haben könnte (<ref-law>; <ref-ruling> E. 2b S. 4; <ref-ruling> E. 2c S. 118; <ref-ruling> E. 2.1 S. 275; <ref-ruling> E. 2.2 S. 210).
2.3. Eine <ref-law> vergleichbare Bestimmung findet sich in Art. 11 Abs. 3 VRP/SG, wonach Eingaben an eine unzuständige Stelle von dieser der zuständigen Stelle übermittelt werden und die Frist als eingehalten gilt, wenn die Eingabe rechtzeitig einer unzuständigen Stelle eingereicht wird. Diese Bestimmung bezieht sich nach ihrem klaren Wortlaut, wie es das Verwaltungsgericht ohne Willkür (<ref-law>) annehmen durfte (E. 5.6 S. 11 des angefochtenen Entscheids), nur auf den Verkehr zwischen Amtsstellen in Verwaltungssachen, nicht hingegen auf das Verhältnis zwischen Zivilgerichten und Verwaltungsbehörden (GVP 2008 Nr. 107 E. 2.4 S. 288; Urteil 2C_707/2010 vom 15. April 2011 E. 3.4). Auch aus Art. 11 Abs. 3 VRP/SG kann der Beschwerdeführer folglich nichts ableiten (vgl. zum Willkürbegriff: <ref-ruling> E. 4.2 S. 516).
2.4. Der Beschwerdeführer macht weiter geltend, der innerkantonale Kompetenzkonflikt, der erst nach dem Einspracheentscheid des Gemeinderates durch die Praxisänderung der Zivilgerichte eingetreten sei, müsse gelöst werden. Das Verbot des überspitzten Formalismus, das Willkürverbot und weitere Verfassungsgarantien geböten, dass das Baudepartement auf seinen Rekurs eintrete und über seinen auf <ref-law> gestützten Abwehranspruch entscheide, dessen Beurteilung die Zivilgerichte verweigerten. Die Ausführungen sind schwer nachvollziehbar und belegen keine Verfassungsverletzung.
Es trifft zwar zu, dass das Kreisgericht im Rahmen vorsorglicher Massnahmen seine sachliche Zuständigkeit für die Abwehransprüche nach Art. 684 und nach <ref-law> verneint hat, weil darüber im öffentlich-rechtlichen Verfahren zu entscheiden sei. Diese Vorgehensweise hat das Kantonsgericht auf Berufung des Beschwerdeführers hin jedoch für unzulässig erklärt mit der Begründung, dass über die sachliche Zuständigkeit nicht schon im Massnahmenverfahren (Einzelgericht), sondern erst im Hauptprozess (Kollegialgericht) endgültig entschieden werden dürfe. Das Kantonsgericht ist deshalb - im Gegensatz zum Kreisgericht - auf das Massnahmegesuch eingetreten (E. III/1b S. 8), hat dann aber die sachliche Zuständigkeit für die Abwehransprüche nach Art. 684 und nach <ref-law> im Rahmen der Hauptsachenprognose verneint und deshalb das Massnahmegesuch abgewiesen (E. III/2 S. 9 ff. des Entscheids vom 9. September 2014, act. 26/43 der Akten des Verwaltungsgerichts B 2015/279).
Eine Hauptsachenprognose im Massnahmenverfahren beruht auf blosser Glaubhaftmachung und bloss summarischer Rechtsprüfung (<ref-ruling> E. 4.2 S. 91) und kann den Entscheid des Gerichts im Hauptprozess nicht vorwegnehmen oder präjudizieren (<ref-ruling> E. 4.3 S. 179; <ref-ruling> E. 3.4 S. 382). Dass die Zivilgerichte im Hauptprozess inzwischen endgültig geurteilt hätten, behauptet der Beschwerdeführer selber nicht. Ist die Zuständigkeitsfrage somit zur Zeit noch nicht endgültig und letztinstanzlich geklärt, kann kein innerkantonaler Kompetenzkonflikt zwischen Zivilgerichten und Verwaltungsbehörden und auch keine Praxisänderung durch Zivilgerichte angenommen werden. Aus einem angeblichen Kompetenzkonflikt und einer angeblichen Praxisänderung kann der Beschwerdeführer unter Anrufung von Verfassungsgarantien somit nichts ableiten. Daran ändert nichts, dass der Beschwerdeführer seine Klage zurückgezogen haben soll und dass - wie es die Beschwerdegegnerin in ihrer Gesuchsantwort belegt - der Zivilprozess zufolge Klagerückzugs abgeschrieben worden ist. Wie durch Nichtleisten des Kostenvorschusses im ersten Rekursverfahren hat der Beschwerdeführer sich damit das Forum selbst verschlossen, das eine Klärung der Rechtslage hätte herbeiführen können. Er kann sich nicht über eine Prozesslage beklagen, die er selber herbeigeführt hat.
2.5. Muss nach dem Gesagten davon ausgegangen werden, dass weder <ref-law> im Verwaltungsverfahren anwendbar ist noch eine Weiterleitungspflicht zwischen Zivilgerichten und Verwaltungsbehörden gestützt auf Art. 11 Abs. 3 VRP/SG besteht noch Verfassungsgarantien eine Eintretensfrage beantworten, kann die Annahme des Verwaltungsgerichts nicht beanstandet werden, der Einspracheentscheid des Gemeinderates vom 2. Juli 2013 sei rechtskräftig und könne deshalb nicht mehr mit Rekurs angefochten werden (E. 4 Abs. 2 S. 8 des angefochtenen Entscheids). Die Beschwerde erweist sich als unbegründet.
3.
Neben seiner Hauptbegründung, wonach die formell rechtskräftigen Entscheide des Gemeinderates nicht mehr mit Rekurs angefochten werden können (E. 4 S. 8), ist das Verwaltungsgericht der Vollständigkeit halber auf die Einwände des Beschwerdeführers näher eingegangen, um aufzuzeigen, dass die Beschwerde auch aus anderen Gründen abzuweisen sei (E. 5 S. 8 ff.) und im Übrigen nicht von einer Praxisänderung gesprochen werden könne (E. 6 S. 12 des angefochtenen Entscheids). Da die Hauptbegründung aus den dargelegten Gründen nicht beanstandet werden kann (E. 2 oben), erübrigt es sich, auf die Vorbringen des Beschwerdeführers gegen die Zusatzbegründungen des Verwaltungsgerichts einzugehen (<ref-ruling> E. 7 S. 228; <ref-ruling> E. 4.6 S. 613). Entgegen der Darstellung des Beschwerdeführers hat das Verwaltungsgericht das Urteil des Bundesgerichts 5A_814/2014 zudem nicht als "falsch" bezeichnet oder irgendwie einen Widerspruch geschaffen. Es hat vielmehr dafürgehalten, die Auffassung der Zivilgerichte, wonach Art. 86 Abs. 1 BauG/SG auch privatrechtliche Einsprachen nach <ref-law> umfasse, sei nicht zutreffend und der Umstand, dass das Bundesgericht diese Auffassung als nicht willkürlich bezeichnet habe, dürfe nicht massgebend sein (E. 6 S. 12 des angefochtenen Entscheids). Letzteres trifft fraglos zu. Denn die richtige Anwendung und Auslegung des kantonalen Rechts ist Aufgabe der kantonalen Gerichte, während das Bundesgericht - von hier nicht gegebenen Ausnahmen (Art. 95 lit. c-e BGG) abgesehen - lediglich eine Willkürprüfung vornimmt und deshalb nicht schon gegen die unrichtige Anwendung oder Auslegung des kantonalen Rechts einschreiten darf, sondern erst im Falle einer qualifiziert unrichtigen Anwendung oder Auslegung des kantonalen Rechts (<ref-ruling> E. 2a S. 3 f.; <ref-ruling> E. 4.4.1 S. 470).
4.
Insgesamt muss die Beschwerde abgewiesen werden, soweit darauf einzutreten ist. Der Beschwerdeführer wird damit kosten-, nicht hingegen entschädigungspflichtig, da die Beschwerdegegnerin in der Sache nicht zur Vernehmlassung eingeladen wurde und mit ihrem Antrag, das Gesuch um aufschiebende Wirkung abzuweisen, unterlegen ist (Art. 66 Abs. 1 und Art. 68 Abs. 1 BGG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 3'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3.
Es werden keine Parteientschädigungen zugesprochen.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Verwaltungsgericht des Kantons St. Gallen sowie dem Baudepartement des Kantons St. Gallen schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 10. August 2017
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: von Werdt
Der Gerichtsschreiber: von Roten