Sachverhalt:
A.
A._ (Rechtsanwalt, Beklagter, Widerkläger, Beschwerdeführer) vertrat die Interessen von B._ (Mandantin, Klägerin, Widerbeklagte, Beschwerdegegnerin) in deren Rechtsstreit gegen C._.
A.a. Der Rechtsstreit beruhte auf einem Vertrag, den die Mandantin am 1. Februar 2005 mit C._ abgeschlossen hatte, zu einer Zeit, als sie ihm persönlich nahe stand. Dieser hatte Mittel eines Bankkredits, den die Mandantin mit einem Drittpfand über 1 Mio. EUR sicherstellte, treuhänderisch im eigenen Namen, aber auf Rechnung der Mandantin angelegt. Er hatte 1 Mio. USD in den D._ Fund investiert; weil dieser in finanzielle Schwierigkeiten geriet, war C._ in der Folge zur Rückführung des Kredites - welche die Vertragsparteien am 18. Oktober 2005 vereinbart hatten - nicht in der Lage. Im Umfang der ausstehenden Kreditsumme wurde das Pfand der Mandantin verwertet.
A.b. Der Rechtsanwalt vertrat die Mandantin ab März 2006 in der Auseinandersetzung mit C._. Am 8. Juni 2007 reichte er namens der Mandantin beim Bezirksgericht Zürich Klage auf Zahlung von EUR 790'630.74 abzüglich USD 269'488.65 zuzüglich Zins ein. Nach durchgeführtem Schriftenwechsel fand am 8. April 2008 eine Referentenaudienz statt, in der ein Vergleich mit Widerrufsvorbehalt geschlossen wurde. Die Mandantin widerrief diesen Vergleich. Darauf verfasste der Rechtsanwalt eine 258-seitige Replik, die vom Bezirksgericht zur Verbesserung zurückgewiesen wurde. Gegen diesen Beschluss erhob der Rechtsanwalt namens seiner Mandantin am 17. Oktober 2008 Rekurs. Mit Eingabe vom 27. Oktober 2008 reichte er dem Bezirksgericht eine gekürzte Replik ein. Nach Eingang der Duplik legte er sein Mandat im August 2009 nieder.
A.c. Die Mandantin betraute einen anderen Rechtsvertreter mit der Wahrung ihrer Interessen und schloss darauf am 25./26. Januar 2010 eine Vereinbarung, mit welcher die hängigen Verfahren vor Bezirksgericht und Obergericht vergleichsweise erledigt wurden. Die Verfahren wurden am 5. bzw. 8. Februar 2010 vom Obergericht bzw. vom Bezirksgericht abgeschrieben.
A.d. Für die Führung des Mandates vom März 2006 bis August 2009 bezahlte die Mandantin dem Rechtsanwalt insgesamt Fr. 207'867.40. Im Dezember 2009 gelangte sie an die Honorarkommission des Zürcher Anwaltsverbandes (nachfolgend: Honorarkommission) mit dem Ersuchen, die in dieser Zeit gestellten Honorarrechnungen des Rechtsanwalts zu überprüfen. Die Honorarkommission kam am 9. Dezember 2011 zum Schluss, dass sich eine Reduktion der zur Diskussion stehenden 13 Honorarforderungen um Fr. 65'629.60 rechtfertige. Sie empfahl den Parteien, auf dieser Basis einen Vergleich zu schliessen. Keine der Parteien verlangte eine formelle Begutachtung durch die Honorarkommission.
B.
Mit Klageschrift vom 15. Oktober 2012 stellte die Mandantin (unter Beilage der Klagebewilligung vom 14. Juni 2012) dem Bezirksgericht Zürich das Rechtsbegehren, der Beklagte sei im Sinne einer Teilklage und unter Vorbehalt der Nachklage zu verpflichten, ihr Fr. 65'629.60 zuzüglich 5 % Zins seit 31. Januar 2012 zu bezahlen.
Der Beklagte beantragte die Abweisung der Klage und erhob Widerklage mit dem Begehren, es sei festzustellen, dass er der Klägerin nichts schulde.
Mit Urteil vom 12. Dezember 2014 verpflichtete das Bezirksgericht Zürich den Beklagten in Gutheissung der Klage, der Klägerin Fr. 65'629.60 zuzüglich 5 % Zins seit 31. Januar 2012 zu bezahlen. Die Widerklage wurde abgewiesen.
C.
Gegen dieses Urteil erhob der Beklagte Berufung an das Obergericht des Kantons Zürich und beantragte, das Urteil des Bezirksgerichts Zürich sei aufzuheben, die Klage sei abzuweisen und es sei widerklageweise festzustellen, dass er der Klägerin nichts schulde.
Mit Beschluss vom 21. August 2015 wies das Obergericht des Kantons Zürich die prozessualen Anträge des Beklagten vom 19. August 2015 (u.a. Antrag auf Sistierung des Verfahrens) ab und hielt fest, die Kosten für diesen Beschluss würden mit dem Endentscheid geregelt.
Mit Urteil und Beschluss vom 23. Oktober 2015 verpflichtete das Obergericht des Kantons Zürich den Beklagten, der Klägerin Fr. 65'629.60 zuzüglich Zins von 5 % seit 31. Januar 2012 zu bezahlen (Urteil Ziffer 1). Es hob sodann Ziffern 2 bis 6 des Urteils des Bezirksgerichts Zürich vom 12. Dezember 2014 auf und wies die Sache zur weiteren Prüfung der Widerklage und zu neuem Entscheid über die Widerklage und die Kosten- und Entschädigungsfolgen im Sinne der Erwägungen an die Vorinstanz zurück (Beschluss Ziffer 1). Auf das Ausstandsgesuch gegen die 4. Abteilung des Bezirksgerichts Zürich wurde nicht eingetreten (Beschluss Ziffer 2). Die Regelung der Prozesskosten des Berufungsverfahrens behielt es dem neuen Entscheid des Bezirksgerichts vor (Beschluss Ziffer 4). Das Obergericht verwarf zunächst Rügen wegen verschiedener Verfahrensfehler, verwarf die Verjährungseinrede und hielt vorweg fest, die Honorarvereinbarung beruhe auf Stundenaufwand. Das Obergericht prüfte sämtliche vom Bezirksgericht vorgenommenen Kürzungen und schützte die Hauptklage mit der ersten Instanz. Zur Widerklage erwog das Obergericht, die Klägerin habe weitere Rückerstattungen/Honorarkürzungen sowie Schadenersatzansprüche vorbehalten und diese seien auch ausreichend substanziiert. Die erste Instanz hätte die Widerklage daher inhaltlich beurteilen müssen und nicht wegen fehlender Substanziierung seitens des Beklagten abweisen dürfen. Schliesslich trat das Obergerich t auf das für die Zukunft gestellte Ausstandsbegehren nicht ein und sah keinen Anlass für eine Verzeigung des klägerischen Rechtsanwalts.
D.
Mit Beschwerde in Zivilsachen stellt der Rechtsanwalt die Begehren, das Urteil und der Beschluss des Obergerichts des Kantons Zürich vom 23. Oktober 2015 seien aufzuheben und die Klage sei abzuweisen (Ziffer 1.1); ausserdem sei widerklageweise festzustellen, dass der Beschwerdeführer der Beschwerdegegnerin nichts schulde (Ziffer 1.2). In der Begründung bringt er ausserdem vor, er fechte auch den Beschluss des Obergerichts vom 21. August 2015 an, in dem seine prozessualen Anträge abgewiesen wurden; er hält daran fest, das Obergericht sei zur Anzeige des Gegenanwalts an die Aufsichtskommission über Anwältinnen und Anwälte verpflichtet und bis zu deren Entscheid sei das Verfahren zu sistieren. In der Begründung wendet er sich zunächst gegen die Rückweisung zur Beurteilung der Widerklage; er hält daran fest, dass seine Widerklage hätte gutgeheissen werden müssen; nach einer Vorbemerkung über die von ihm erhobene Einrede der Verjährung wendet sich der Beschwerdeführer gegen die Rückerstattung des bezogenen Honorars/Vorschusses in Höhe von Fr. 447.-- für den Versuch, mit dem Gegenanwalt ins Gespräch zu kommen, die Fr. 1'425.-- und Fr. 24.-- für eine Eingabe zur Referentenaudienz und der Doppelverbuchung dieses Betrags, Fr. 45'000.-- für die vom Bezirksgericht zurückgewiesene Replik von 258 Seiten, Fr. 150.-- für Arbeit an einer Eingabe ausserhalb des Schriftenwechsels, Fr. 7'400.-- als Kürzung der in Rechnung gestellten Barauslagen auf rund 3 % des Honorars und schliesslich die Kürzung des Honoraranspruchs um Fr. 12'46 8.-- wegen unnützer Anzeige an die Eidgenössische Bankenkommission.
E.
Mit Verfügung vom 12. Januar 2016 wurde das Gesuch des Beschwerdeführers um Erteilung der aufschiebenden Wirkung abgewiesen.
Vernehmlassungen zur Sache wurden keine eingeholt.

Erwägungen:
1.
Die Beschwerde an das Bundesgericht ist zulässig gegen Entscheide, die das Verfahren abschliessen (<ref-law>). Sie ist auch zulässig gegen einen Entscheid, der nur einen Teil der gestellten Begehren behandelt, wenn diese Begehren unabhängig von den andern beurteilt werden können (<ref-law>). Gegen selbständig eröffnete Zwischenentscheide, die weder die Zuständigkeit noch den Ausstand betreffen (vgl. <ref-law>), ist die Beschwerde dagegen nur zulässig, wenn sie entweder einen nicht wieder gutzumachenden Nachteil bewirken können (<ref-law>) oder wenn die Gutheissung der Beschwerde sofort einen Endentscheid herbeiführen und damit einen bedeutenden Aufwand an Zeit oder Kosten für ein weitläufiges Beweisverfahren ersparen würde (<ref-law>).
1.1. Das Obergericht des Kantons Zürich hat im angefochtenen Urteil die Klage der Beschwerdegegnerin gutgeheissen. Das Verfahren über dieses Begehren ist damit abgeschlossen; die Berechtigung des Begehrens kann unabhängig von der Widerklage beurteilt werden, die das Obergericht mit Beschluss an die erste Instanz zurückgewiesen hat. Das Obergericht hat die Streitsache als Rechtsmittelinstanz beurteilt (<ref-law>), der Beschwerdeführer ist in Bezug auf die Klage mit seinen Anträgen unterlegen (<ref-law>), der Streitwert ist offensichtlich erreicht (<ref-law>) und die Beschwerdefrist ist eingehalten (<ref-law>). Die Beschwerde ist grundsätzlich zulässig, soweit sie sich gegen die Gutheissung der Klage der Beschwerdegegnerin richtet.
1.2. Das Obergericht des Kantons Zürich hat im angefochtenen Entscheid die Dispositiv-Ziffern 2 bis 6 des Urteils des Bezirksgerichts Zürich vom 12. Dezember 2014 aufgehoben und die Sache zur weiteren Prüfung der Widerklage und zu neuem Entscheid über die Widerklage sowie die Kosten- und Entschädigungsfolgen an das Bezirksgericht zurückgewiesen. Dieser Entscheid schliesst das Verfahren nicht ab und bildet einen Zwischenentscheid, wie der Beschwerdeführer erkennt. Entgegen seiner Auffassung handelt es sich dabei nicht nur formell um einen Entscheid im Sinne von <ref-law>. Denn das Obergericht des Kantons Zürich hat keinen Entscheid darüber getroffen, ob die von der Beschwerdegegnerin behaupteten bzw. vorbehaltenen weiteren Ansprüche gegen den Beschwerdeführer aus dem Mandat berechtigt seien; das Gericht hat vielmehr festgestellt, dass die Beschwerdegegnerin weitere Ansprüche aus Mandat in Höhe von Fr. 49'421.75 und als Schadenersatz Fr. 49'500.-- im erstinstanzlichen Verfahren gegen den Beschwerdeführer vorbehalten hatte. Mit seiner negativen Feststellungsklage beantragte der Beschwerdeführer die Feststellung des Nichtbestands dieser vorbehaltenen Ansprüche; das Bezirksgericht schloss mit der Abweisung der negativen Feststellungsklage des Beschwerdeführers sinngemäss, diese Ansprüche seien berechtigt, ohne sie zu beurteilen, weshalb das Obergericht die Sache zurückwies. Worum es sich bei diesen Ansprüchen handelt, deren Nichtbestand der Beschwerdeführer mit seiner Widerklage beantragt, ist vom Obergericht gerade nicht festgestellt worden. Die angeblichen Weisungen des Obergerichts, welche der Beschwerdeführer beanstandet, binden im Übrigen das Bezirksgericht - nicht jedoch das Bundesgericht für den Fall, dass der Entscheid über die Widerklage des Beschwerdeführers von einer der Parteien beim Bundesgericht angefochten werden sollte (vgl. <ref-law>).
Die Voraussetzungen von <ref-law> sind in Bezug auf den Rückweisungsentscheid zur Beurteilung der Widerklage offensichtlich nicht gegeben. Ein nicht wieder gutzumachender Nachteil ist nicht ersichtlich (<ref-law>); mangels tatsächlicher Feststellungen zu den vorbehaltenen Forderungen der Beschwerdegegnerin aus dem Mandat wäre das Bundesgericht bei Gutheissung der Beschwerde zudem nicht in der Lage, über die Widerklage zu entscheiden (<ref-law>). Die Beschwerde gegen Ziffer 1 des Beschlusses des Obergerichts des Kantons Zürich vom 23. Oktober 2015 ist nicht zulässig.
1.3. Der Beschwerdeführer beantragt die Aufhebung des Urteils und Beschlusses des Obergerichts des Kantons Zürich vom 23. Oktober 2015 insgesamt. In Ziffer 2 des Beschlusses ist das Obergericht auf das Ausstandsbegehren des Beschwerdeführers nicht eingetreten. Im Verfahren vor Bundesgericht sind Anträge nicht zulässig, die sich auf die blosse Aufhebung beschränken. Soweit das Bundesgericht einen neuen Entscheid fällen kann (<ref-law>), ist vielmehr ein Antrag in der Sache zu stellen (<ref-ruling> E. 1.3 S. 317 mit Hinweisen). Da kein Antrag in der Sache gestellt wird, ist insofern auf die Beschwerde nicht einzutreten, als die Aufhebung von Ziffer 2 des angefochtenen Beschlusses beantragt wird.
1.4. Der Beschwerdeführer ficht den Beschluss des Obergerichts vom 21. August 2015 mit an, in dem von ihm gestellte prozessuale Anträge abgewiesen wurden. Die Mitanfechtung derartiger Zwischenentscheide mit dem Endentscheid ist insoweit zulässig, als sie sich auf diesen auswirken. Diese Voraussetzung liegt hier nicht vor. Denn die Anträge betrafen die Sistierung des Verfahrens, um dem Beschwerdeführer eine Verzeigung gewisser Kollegen zu ermöglichen. Es ist nicht ersichtlich, inwiefern sich die Ablehnung einer Sistierung des Verfahrens auf den Endentscheid auswirken könnte; in der Beschwerde wird zwar behauptet, die angeblich ebenfalls verlangte Verzeigung durch das Obergericht und eine allfällige Disziplinierung hätte sich auf die Zulässigkeit eines Beweismittels oder einer Eingabe auswirken können. Abgesehen davon, dass die Beweise oder Eingaben nicht genannt werden, die hätten unberücksichtigt bleiben können, ist der Kausalzusammenhang nicht ersichtlich. Wie die Vorinstanz zutreffend ausführt, ist die Zulässigkeit von Beweismitteln und Eingaben im Prozess unmittelbar und unabhängig von Disziplinarmassnahmen zu beurteilen. Damit zudem die Kosten des Beschlusses vom 21. August 2015 angefochten werden könnten, bedürfte es eines Endentscheides, hat doch die Vorinstanz festgehalten, die Kosten für diesen Beschluss würden mit dem Endentscheid geregelt. Im Urteil und Beschluss vom 23. Oktober 2015 behielt es die Regelung der Prozesskosten des Berufungsverfahrens indessen dem neuen Entscheid des Bezirksgerichts vor. Eine Anfechtung des Beschlusses vom 21. August 2015 ist somit auch in Bezug auf die Kosten nicht möglich. Auf die Beschwerde ist nicht einzutreten, soweit sie sich gegen den angefochtenen Beschluss vom 21. August 2015 richtet.
2.
Mit Beschwerde in Zivilsachen können Rechtsverletzungen nach Art. 95 und 96 BGG gerügt werden. Die Beschwerde ist hinreichend zu begründen, andernfalls wird darauf nicht eingetreten. In der Beschwerdeschrift ist in gedrängter Form darzulegen, inwiefern der angefochtene Akt Recht verletzt (<ref-law>). Die Verletzung von Grundrechten und von kantonalem und interkantonalem Recht kann das Bundesgericht nur insofern prüfen, als eine solche Rüge in der Beschwerde präzise vorgebracht und begründet worden ist (<ref-law>; <ref-ruling> E. 1.3 S. 60; <ref-ruling> E. 1.3.1 S. 68; <ref-ruling> E. 3.2 S. 444).
3.
3.1. Wird ein Auftrag nicht sorgfältig ausgeführt, kann dies zu einer Herabsetzung der Vergütung als vertraglicher Gegenleistung im Sinne von <ref-law> führen. Wenn das Ergebnis des unsorgfältigen Beauftragten für den Auftraggeber vollständig unbrauchbar ist, schuldet er diesem gar keine Vergütung (<ref-ruling> E. 4a S. 427; <ref-ruling> E. 2a S. 567; <ref-ruling> E. 2a S. 198; <ref-ruling> E. 4c S. 293).
Die Vorinstanz hat erwogen, dass die Parteien einen Stundenansatz von Fr. 300.-- vereinbart hatten und die Mandantin daher der Honorarforderung des Rechtsanwalts den Einwand entgegen halten kann, er habe mehr Aufwand getrieben, als die sorgfältige Mandatsführung erfordert hätte. Diese zutreffenden Erwägungen der Vorinstanz vermag der Beschwerdeführer nicht zu entkräften mit der Behauptung, es gelte keine Erfolgshaftung. Soweit der Beschwerdeführer Aufwand in Rechnung gestellt hat, der für eine sorgfältige Ausführung des Auftrages nicht erforderlich war, ist seine Honorarforderung nicht gerechtfertigt.
3.2. Wer ohne jeglichen Vorbehalt in (vermeintlicher) Erfüllung des Vertrags mehr leistet als das vertraglich Geschuldete, kann die Differenz auf der Grundlage des Bereicherungsrechts zurückfordern (<ref-ruling> E. 6.2 S. 510; <ref-ruling> E. 3c/bb S. 426; je mit Hinweisen). Anders verhält es sich, wenn die Leistung in Form vertraglich vereinbarter Akontozahlungen erbracht, aber eine spätere Abrechnung vorbehalten wurde. In diesem Fall ist der Rückforderungsanspruch der zu viel geleisteten Akontozahlungen vertraglicher Natur (<ref-ruling> E. 6.4 S. 512; <ref-ruling> E. 3d S. 122). Diese Praxis wurde damit begründet, dass die Vereinbarung sowohl der Akontozahlung wie der Abrechnung auf dem Vertrag der Parteien beruht und daraus zu schliessen ist, dass diejenige Partei, die bei endgültiger Abrechnung zu viel erhalten hat, vertraglich zur Rückleistung der Akontozahlungen verpflichtet ist (BGE <ref-ruling> E. 3d S. 122). Demgegenüber ist auch im vertraglichen Abrechnungsverhältnis nach erfolgter und anerkannter Saldoziehung die Korrektur einer Fehlbuchung über das Bereicherungsrecht auszugleichen (<ref-ruling> E. 3.2.2 S. 359). Diese Rechtsprechung gelangt namentlich bei zu viel bezahlten Mietnebenkosten zur Anwendung (<ref-ruling> E. 3.2.2 S. 359 mit Verweis auf Urteil 4C.24/2002 vom 29. April 2002 E. 3.3.2, in: mp 2002 S. 163 ff., 168).
Die Vorinstanz hat mit der ersten Instanz geschlossen, dass eine Saldoziehung vorliegend nicht erfolgt ist. Sie hat mit einlässlicher und zutreffender Begründung dargelegt, dass ein Abrechnungsverhältnis (Akontozahlungen oder Teilhonorarzahlungen unter Vorbehalt definitiver Abrechnung) vorlag und dass folglich der Rückerstattungsanspruch der Beschwerdegegnerin vertraglicher Natur ist. Dem vermag der Beschwerdeführer nichts entgegen zu halten mit der Bemerkung, die Rückforderung sei verjährt oder auch, das Abrechnungsverhältnis umfasse Doppelbuchungen nicht.
3.3. Die Vorinstanz hat den Einwand des Beschwerdeführers verworfen, wonach die gesamte Klageschrift, weite Teile der Replik und das erstinstanzliche Urteil im Wesentlichen auf dem den Parteien unterbreiteten Vergleichsvorschlag der Honorarkommission beruhten und dessen Kenntnisgabe an das Gericht einen Verstoss gegen Standesregeln darstelle. Sie hat dazu ausgeführt, die Empfehlung der Honorarkommission sei kein Vorschlag einer Partei, sondern eines Dritten und sie enthalte keinen Vertraulichkeitsvorbehalt. Auch sei es gar nicht zu Vergleichsgesprächen unter den Parteien gekommen und der Beschwerdeführer lege nicht dar, dass er selbst im Vorprüfungsverfahren vertrauliche Mitteilungen gemacht habe.
Die Vorbringen des Beschwerdeführers dagegen beruhen auf der Annahme, es sei ein Vergleich geschlossen worden. Das trifft nach den Feststellungen der Vorinstanz nicht zu.
4.
Die Vorinstanz hat in den Erwägungen 6 bis 12 des angefochtenen Urteils die einzelnen Positionen der Honorarforderungen überprüft, für welche das Bezirksgericht geschlossen hatte, der Aufwand des Beschwerdeführers sei für eine sorgfältige Wahrnehmung der Interessen der Beschwerdegegnerin in ihrem Rechtsstreit gegen C._ ganz oder teilweise unnötig gewesen.
4.1. Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (<ref-law>). Es kann die Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz nur berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruht (<ref-law>). "Offensichtlich unrichtig" bedeutet dabei "willkürlich" (<ref-ruling> E. 2 S. 117). Überdies muss die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein (<ref-law>). Der Beschwerdeführer, der die Sachverhaltsfeststellungen der Vorinstanz anfechten will, muss klar und substanziiert aufzeigen, inwiefern die gerügten Feststellungen bzw. die Unterlassung von Feststellungen offensichtlich unrichtig sind oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruhen (vgl. <ref-ruling> E. 1.2 S. 511; <ref-ruling> E. 1.4.3 S. 254 f.; <ref-ruling> E. 7.1 S. 398, 462 E. 2.4 S. 466 f.). Soweit der Beschwerdeführer den Sachverhalt ergänzen will, hat er zudem mit Aktenhinweisen darzulegen, dass er entsprechende rechtsrelevante Tatsachen und taugliche Beweismittel bereits bei den Vorinstanzen prozesskonform eingebracht hat (<ref-ruling> E. 2 S. 90). Überdies ist in der Beschwerde darzutun, inwiefern die Behebung des gerügten Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein kann (<ref-law>; <ref-ruling> E. 1.6 S. 24). Auf eine Kritik an den tatsächlichen Feststellungen der Vorinstanz, die diesen Anforderungen nicht genügt, ist nicht einzutreten (vgl. BGE <ref-ruling> E. 1.4.3 S. 255).
4.2. Tatsächlicher Natur sind nicht nur die Feststellungen über die Handlungen, welche der Beauftragte im Rahmen des Mandates ausgeführt hat, sowie darüber, für welche Handlungen welche Beträge in Rechnung gestellt wurden. Auch die Beurteilung, ob eine Handlung zur Erreichung eines beabsichtigten Erfolges konkret nützlich oder mindestens geeignet war, einen Nutzen zu bringen, beruht auf Würdigung der Beweise. Zwar ist die Frage, welche Anforderungen an die Sorgfalt des Beauftragten zu stellen sind, rechtlicher Natur. Wenn jedoch das Gericht seiner Würdigung des konkreten Verhaltens des Beauftragten im Blick auf die Förderung der vertraglich bestimmten Interessen des Auftraggebers einen zutreffenden Sorgfaltsmassstab zugrunde legt, so beruht die Feststellung des konkreten Nutzens einer Handlung zur Förderung der vertraglich vereinbarten Interessen des Auftraggebers auf Würdigung der Beweise, welche das Bundesgericht nur berichtigen kann, wenn sie offensichtlich unrichtig - d.h. willkürlich - ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruht.
4.3. Dies verkennt der Beschwerdeführer, soweit er im Einzelnen - und zumeist unter Wiederholung seiner von der Vorinstanz verworfenen Erklärungen - darzulegen sucht, dass seine in Rechnung gestellten Bemühungen im Interesse seiner Mandantin gelegen oder von dieser ausdrücklich oder sinngemäss gewünscht bzw. verursacht seien. Die Vorinstanz ist mit dem Bezirksgericht in eingehender Würdigung der einzelnen in Rechnung gestellten Handlungen des Beschwerdeführers zum Schluss gelangt, diese seien mindestens im festgestellten Umfang für die von seiner Mandantin angestrebte Durchsetzung ihrer Forderung gegen C._ nicht nützlich gewesen. Was der Beschwerdeführer dagegen vorbringt, genügt den Anforderungen an Rügen der willkürlichen Beweiswürdigung nicht und es ist darauf nicht einzugehen. Daran ändert nichts, dass zuweilen der Vorwurf erhoben wird, dem Beschwerdeführer sei das rechtliche Gehör verweigert worden; denn dieses Grundrecht verlangt nicht, dass sich die entscheidende Behörde mit allen einzelnen Argumenten auseinandersetzt; auch <ref-law> wird gegenstandslos, wenn das Gericht in Würdigung der Beweise schliesst, eine Tatsache sei erstellt oder widerlegt. Der Beschwerdeführer zeigt weiter keine Rechtsverletzung auf, soweit er die Herabsetzung der Barauslagen auf ein übliches Mass beanstandet; die Vorinstanz ist in Würdigung der Beweise zum Schluss gekommen, dass diese Auslagen zu einem erheblichen Teil für unnütze Kopien etc. gemacht worden sind.
5.
Die Beschwerde ist als unbegründet abzuweisen, soweit darauf überhaupt einzutreten ist. Bei diesem Verfahrensausgang sind die Gerichtskosten dem Beschwerdeführer zu auferlegen (<ref-law>). Da keine Antwort zur Sache eingeholt worden ist, ist der anwaltlich vertretenen Beschwerdegegnerin nur ihr Aufwand für die Stellungnahme zum Gesuch um aufschiebende Wirkung mit einer reduzierten Parteientschädigung zu ersetzen (Art. 68 Abs. 1 und 2 BGG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 5'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3.
Der Beschwerdeführer hat die Beschwerdegegnerin für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 1'000.-- zu entschädigen.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Zürich, I. Zivilkammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 30. März 2016
Im Namen der I. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Kiss
Die Gerichtsschreiberin: Marti-Schreier