Sachverhalt:
A.
A.a. A.B._ und C.D._ sind nicht miteinander verheiratet und die Eltern von E._ (geboren 2009) und F._ (2011). Die Kinder erhielten den Familiennamen der Mutter.
A.b. Mit Entscheiden vom 16. und 17. April 2014 entzog die Kindes- und Erwachsenenschutzbehörde (KESB) des Bezirks Hinwil der Mutter die elterliche Sorge für ihre Kinder und stellte diese unter die alleinige Sorge des Vaters.
A.c. In der Folge wurde der Vater "vor dem 1. Juli 2014" mehrmals beim Zivilstandsamt der Stadt Winterthur vorstellig, um die Erklärung abzugeben, dass die Kinder seinen Familiennamen - denjenigen des Vaters als alleinigen Inhaber der elterlichen Sorge - tragen sollen. Am 7. Juli 2014 wurde die Namenserklärung schriftlich entgegengenommen und beurkundet sowie im Personenstandsregister der Familienname von "B._" in "D._" geändert.
B.
B.a. Am 26. September 2014 gelangte A.B._ an die Direktion der Justiz und des Innern (Gemeindeamt) des Kantons Zürich und beantragte, der Familienname "D._" der beiden Kinder sei im Personenstandsregister zu streichen und es sei an dessen Stelle "B._" einzutragen. Im Wesentlichen machte A.B._ geltend, dass am 1. Juli 2014 die Rechtslage geändert habe: Änderungen bei der Zuteilung der elterlichen Sorge hätten keine Auswirkungen auf den Namen der Kinder unverheirateter Eltern, unter Vorbehalt einer Namensänderung nach <ref-law>. Mit Verfügung vom 13. November 2014 nahm das kantonale Gemeindeamt die Beschwerde als Aufsichtsbeschwerde entgegen und wies diese ab.
B.b. Gegen die Verfügung des kantonalen Gemeindeamtes erhob A.B._ Beschwerde beim Verwaltungsgericht des Kantons Zürich. Sie erneuerte ihren Antrag, wonach "B._" anstelle "D._" als Familiennamen der Kinder einzutragen sei. Mit Urteil vom 29. Juli 2015 wurde die Beschwerde abgewiesen.
C.
Mit Eingabe vom 25. September 2015 hat A.B._ Beschwerde in Zivilsachen eingereicht. Die Beschwerdeführerin beantragt, das Urteil des Verwaltungsgerichts des Kantons Zürich vom 29. Juli 2015 aufzuheben. In der Sache sei der Name "D._" (den Namen des Beschwerdegegners) als Familiennamen der Kinder zu löschen und an dessen Stelle "B._" einzutragen. Eventuell sei die Sache zu neuer Entscheidung an die Vorinstanz zurückzuweisen.
Weiter ersucht die Beschwerdeführerin um unentgeltliche Rechtspflege.
Es sind keine Vernehmlassungen, jedoch die kantonalen Akten eingeholt worden.

Erwägungen:
1.
1.1. Angefochten ist ein Entscheid einer kantonalen Rechtsmittelinstanz (<ref-law>), welche die von der Beschwerdeführerin bei der Aufsichtsbehörde im Zivilstandswesen verlangte Änderung im Personenstandsregister durch Abweisung der Beschwerde beurteilt hat. Die Beschwerdeführerin als Elternteil, dessen Namen die minderjährigen Kinder bisher getragen haben und mit einer (durch Erklärung des Vaters bewirkten) Namensänderung aufgeben, ist in ihren schutzwürdigen Interessen berührt (vgl. <ref-ruling> E. 2 S. 50/51) und hinreichend legitimiert (<ref-law>), um Beschwerde gegen den Entscheid über die Führung des Zivilstandsregisters zu führen (Art. 72 Abs. 2 lit. b Ziff. 2 BGG).
1.2. Mit vorliegender Beschwerde kann u.a. die Verletzung von Bundesrecht gerügt werden (<ref-law>). In der Beschwerdeschrift ist in gedrängter Form darzulegen, inwiefern der angefochtene Akt Recht verletzt (<ref-law>). Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (<ref-law>). Die Verletzung von verfassungsmässigen Rechten ist in der Beschwerdeschrift vorzubringen und zu begründen (<ref-law>), wobei das Rügeprinzip gilt (<ref-ruling> E. 2 S. 591).
1.3. Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (<ref-law>). Die Beschwerdeführerin rügt die Feststellung der Vorinstanz, der Beschwerdegegner habe die Namenserklärung vor dem 1. Juli 2014 abgegeben, als aktenwidrig. Es sei erstellt, dass das Zivilstandsamt die schriftliche Erklärung erst am 7. Juli 2014 entgegengenommen und beurkundet habe. Dass das Verwaltungsgericht indes ein Aktenstück inhaltlich falsch wahrgenommen oder in anderer Weise eine unrichtige Sachverhaltsfeststellung getroffen habe (vgl. Art. 97, Art. 105 Abs. 2 BGG), ist weder dargetan noch ersichtlich. Was die Beschwerdeführerin in diesem Zusammenhang vorbringt, ist Kritik an der rechtlichen Würdigung der Sachverhaltselemente.
2.
Das Verwaltungsgericht hat festgehalten, dass für den Namen der Kinder unverheirateter Eltern <ref-law> in der Fassung, wie sie vom 1. Januar 2013 bis zum 30. Juni 2014 galt, massgebend sei. Nach dieser Bestimmung könne der Vater im Fall, dass er alleiniger Inhaber der elterlichen Sorge ist, gegenüber dem Zivilstandsamt erklären, dass das Kind seinen Namen tragen soll. Im konkreten Fall habe der Beschwerdegegner "spätestens im Juni 2014" die betreffende Erklärung abgegeben und das namensändernde Gestaltungsrecht ausgeübt. Ob die schriftliche Entgegennahme sowie Beurkundung der Erklärung am 7. Juli 2014 durch das Zivilstandsamt eine anfechtbare Verfügung gemäss Art. 90 ZStV darstelle, könne offen bleiben. Die Beschwerde sei ohnehin - wie folgt - abzuweisen:
Die Sorgerechtsentscheidungen seien am 23. Mai 2014 in Rechtskraft erwachsen und der Beschwerdegegner habe in der Folge rechtzeitig bis zum 30. Juni 2014 durch Vorsprache beim Zivilstandsamt seinen "Handlungsteil" durch Erklärung "erledigt". Dass die schriftliche Abgabe und Entgegennahme sowie die Beglaubigung der Unterschrift und Beurkundung verzögert und erst nach dem 1. Juli 2014 - dem Datum des Inkrafttretens der Änderung des ZGB und der Aufhebung der Möglichkeit einer Namensänderung durch Erklärung - vorgenommen worden seien, könne nicht dem Beschwerdegegner angelastet werden. Die Vorinstanz hat geschlossen, dass es keinen genügenden Grund gebe, um die namensändernde Erklärung gegenüber dem Zivilstandsamt als wirkungslos zu betrachten und den Namen der Kinder von "D._" in "B._" zu ändern.
3.
Anlass zur vorliegenden Beschwerde gibt die Änderung des Namens von Kindern unverheirateter Eltern, welche der Vater als alleiniger Inhaber der elterlichen Sorge durch Erklärung gegenüber dem Zivilstandsamt bewirkt hat. Die Beschwerdeführerin wendet sich gegen die Auffassung des Verwaltungsgerichts, welche die Erklärung gegenüber dem Zivilstandsamt als wirksam und die Entgegennahme und Beurkundung im Personenstandsregister bestätigt hat.
3.1. Das Verwaltungsgericht hat offen gelassen, ob eine Verfügung des Zivilstandsamtes vorliege, welche nach Art. 90 ZStV anfechtbar ist, weil es die dagegen erhobene Beschwerde ohnehin als erfolglos erachtet hat. Aus dem angefochtenen Urteil geht hervor, dass das durch Erklärung ausgelöste Zivilstandsereignis - die Änderung des Namens der Kinder - am 7. Juli 2014 beurkundet worden ist. Das Verfahren der Beurkundung ist gemäss Art. 28 ZStV (durch den auf Infostar zugriffsberechtigten Zivilstandsbeamten) offensichtlich abgeschlossen. Was die Beschwerdeführerin mit ihrem Begehren vom 26. September 2014 anstrebt, ist die Änderung einer beurkundeten Namensänderung im Personenstandsregister. Das Begehren ist - im Folgenden - in das System über Eintragungen und Änderungen im Personenstandsregister einzuordnen.
3.1.1. Gegen Verfügungen der Zivilstandsbeamten kann Beschwerde bei der Aufsichtsbehörde geführt werden (Art. 90 ZStV; vgl. <ref-law>). Auf diesem Weg kann z.B. die Verweigerung einer Eintragung in das Personenstandsregister angefochten werden (vgl. <ref-ruling> E. 2 S. 211; u.a. STEINAUER/FOUNTOULAKIS, Droits des personnes physiques et de la protection de l'adulte, 2014, Rz. 810). Nach Abschluss der Beurkundung dürfen fehlerhafte Personenstandsdaten nur nach den Vorschriften über die Bereinigung des Zivilstandsregister gemäss Art. 42 und <ref-law> geändert werden (u.a. STEINAUER/ FOUNTOULAKIS, a.a.O., Rz. 814, 816; Kommentierte Zivilstandsverordnung, ZVW 2004 S. 152).
3.1.2. Gemäss <ref-law> kann beim Gericht auf Eintragung von streitigen Angaben über den Personenstand, Berichtigung oder Löschung einer Eintragung klagen, wer ein schützenswertens persönliches Interesse glaubhaft macht (Art. 30 ZStV). Das Klageverfahren dient dazu, eine Eintragung zu korrigieren, die bereits im Zeitpunkt der Vornahme unrichtig war, sei es infolge eines Irrtums oder Fehlers des Zivilstandsbeamten - etwa durch unrichtige Gesetzesauslegung - oder deshalb, weil dieser in Unkenntnis wichtiger Tatsachen war (<ref-ruling> E. 3 S. 393; STEINAUER/FOUNTOULAKIS, a.a.O., Rz. 815, 818; TUOR/ SCHNYDER/SCHMID, Das Schweizerische Zivilgesetzbuch, 14. Aufl. 2015, § 13 Rz. 20).
3.1.3. Gemäss <ref-law> ist die (sog. administrative) Berichtigung durch die Zivilstandsbehörden von Amtes wegen möglich, um Fehler einer abgeschlossenen Eintragung zu beheben, die auf einem offensichtlichen Versehen oder Irrtum beruhen. Jeder Betroffene kann Fehler der Aufsichtsbehörde melden, welche über die administrative Bereinigung entscheidet (Art. 29 ZStV). Die Berichtigung einer Eintragung auf dem Verwaltungsweg kann keinesfalls in Frage kommen, wenn von irgend einer Seite mit einem Widerspruch zu rechnen ist oder wenn die Eintragung den Angaben entspricht, über die der Zivilstandsbeamte verfügte (<ref-ruling> E. 5 S. 91; <ref-ruling> E. 2 S. 12; Urteil 5A_625/2010 vom 11. Januar 2011 E. 3; STEINAUER/FOUNTOULAKIS, a.a.O., Rz. 817; TUOR/SCHNYDER/SCHMID, a.a.O., § 13 Rz. 23).
3.2. Die Beschwerdeführerin ist entgegen ihrer Darstellung gegen die Eintragung im Personenstandsregister nicht "ohne Rechtsschutz". Zur Änderung der von ihr als fehlerhaft bezeichneten Eintragung des Namens ihrer Kinder kann sie nach Art. 42 oder <ref-law> vorgehen. Vorliegend ist keine Bereinigungsklage beim Gericht erhoben worden, sondern auf administrativen Weg (vom Gemeindeamt als kantonaler Aufsichtsbehörde) beurteilt worden, ob die Eintragung der Namensänderung der Kinder zu berichtigen ist. Im Folgenden ist zu prüfen, ob das Begehren der Beschwerdeführerin überhaupt Gegenstand des Verfahrens nach <ref-law> sein kann.
3.2.1. Zutreffend hat das Verwaltungsgericht ausgeführt, dass sich die Regelung des Namens von Kindern unverheirateter Eltern vor und nach dem 1. Juli 2014 unterscheidet:
Nach aArt. 270a ZGB in der Fassung, wie sie vom 1. Januar 2013 (Änderung des ZGB [Name und Bürgerrecht] vom 30. September 2011; AS 2012 2569, 2573) bis zum 30. Juni 2014 in Kraft stand (Änderung des ZGB [Elterliche Sorge] vom 21. Juni 2013; AS 2014 357, 363), erhielt das Kind unverheirateter Eltern den Ledignamen der Mutter (Abs. 1). Nach dieser Bestimmung konnten die Eltern im Fall, dass das Sorgerecht beiden übertragen wird, innerhalb eines Jahres gegenüber dem Zivilstandsamt erklären, dass das Kind den Namen des Vaters tragen soll (Abs. 2); die gleiche Erklärung konnte der Vater abgeben, wenn er alleiniger Inhaber der elterlichen Sorge wurde (Abs. 3). Das Gesetz bestimmte, dass die Namensänderung durch Erklärung gemäss a<ref-law> gegenüber dem Zivilstandsbeamten abzugeben ist, und die ZStV konkretisierte, dass die Erklärung gemäss a<ref-law> schriftlich abzugeben ist (aArt. 37a Abs. 2 und 3 ZStV, in der vom 1. Januar 2013 [AS 2012 6463] bis zum 30. Juni 2014 [AS 2014 1327] in Kraft stehenden Fassung; DE LUZE/DE LUIGI, Le nouveau droit du nom, AJP 2013 S. 516, Rz. 47).
Nach dem revidierten <ref-law>, in Kraft seit dem 1. Juli 2014 (Änderung des ZGB [Elterliche Sorge] vom 21. Juni 2013; AS 2014 357, 358), bleiben Änderungen bei der Zuteilung der elterlichen Sorge ohne Auswirkungen auf den Namen; vorbehalten bleiben die Bestimmungen über die Namensänderung (<ref-law>).
3.2.2. Das Verwaltungsgericht hat festgehalten, dass der Beschwerdegegner gestützt auf die am 23. Mai 2014 in Rechtskraft getretenen Entscheidungen der KESB vom 16. und 17. April 2014 alleiniger Inhaber der elterlichen Sorge war, als er im Juni 2014 bzw. spätestens am 30. Juni 2014 auf dem Zivilstandsamt persönlich vorsprach, um die namensändernde Erklärung gemäss a<ref-law> abzugeben. Durch die persönliche Vorsprache beim Zivilstandsamt habe er seinen "Handlungsteil erledigt" und sei die Namenserklärung nach bisherigem Recht wirksam, da sich die schriftliche Abgabe und Entgegennahme der Erklärung ohne sein Zutun verzögert hätten. Dagegen argumentiert die Beschwerdeführerin, dass sich keine relevanten Tatsachen oder Ansprüche unter altem Recht verwirklicht hätten, weshalb einzig das neue Recht anzuwenden sei.
3.2.3. Umstritten ist, ob die namensrechtliche Erklärung dem bisherigen oder neuen Recht zuzuordnen ist, d.h. ob sich Tatsachen oder Ansprüche unter altem Recht verwirklicht haben, welche - wie das Verwaltungsgericht angenommen hat - nach bisherigem Recht zu beurteilen sind. Für die namensändernden Erklärungen gemäss a<ref-law> wurden mit der Änderung des ZGB (Elterliche Sorge) keine spezielle übergangsrechtliche Regelung vorgesehen (vgl. AS 2014 357, 362). Es kommen die allgemeinen intertemporalrechtlichen Grundsätze nach Art. 1-4 SchlT ZGB zur Anwendung (vgl. SCHWANDER, in: ZGB Kommentar, 2. Aufl. 2011, N. 4 zu Art. 1 SchlT; SCHÜPBACH, SPR II/3, Der Personenstand, 1996, S. 159/160).
3.2.4. Zu Recht hat das Verwaltungsgericht erwogen, dass es sich bei der namensändernden Erklärung gemäss aArt. 270a ZGB um eine empfangsbedürftige Willenserklärung und um ein Gestaltungsrecht handelt (vgl. auch <ref-law>; HAUSHEER/REUSSER/GEISER, Kommentar zum Eherecht, 1988, N. 18 zu Art. 8a SchlT) : Die Ausübung der Erklärung gestaltet in materieller Hinsicht den Namen des Kindes. Nach Auffassung des Verwaltungsgerichts wurde die Abgabe der Erklärung - durch persönliche "Vorsprache" - unter bisherigem Recht begonnen und konnte sie - durch schriftliche Abgabe - auch nach Inkrafttreten des neuen Rechts in Anwendung des bisherigen Rechts beendet werden. Zu beurteilen ist, wann der Vorgang zur Herstellung der rechtswirksamen Abgabe der Erklärung gemäss ZGB und ZStV begonnen hat, ob der Vorgang nach bisherigem Recht beurteilt werden kann, und allenfalls Ausnahmefälle der Rückwirkung des neuen Rechts vorliegen (vgl. Art. 1, Art. 2, Art. 4 SchlT ZGB; vgl. SCHWANDER, a.a.O., N. 5 zu Art. 1 SchlT; TUOR/SCHNYDER/SCHMID, a.a.O., § 120 Rz. 8 ff.). Entscheidend ist jedenfalls die Rechtswirksamkeit der namensändernden Erklärung gestützt auf die persönliche Vorsprache; weder geht es allein um die Beurkundung der Erklärung, noch die Beglaubigung der Unterschrift des Erklärenden. Vielmehr steht der Zivilstand als solcher in Frage, weshalb das Verfahren nicht als administrativ bezeichnet werden kann (SCHÜPBACH, a.a.O., S. 104). Nicht anders hat das Bundesgericht im Jahre 1982 entschieden, als es die Befugnis der Aufsichtsbehörde untersuchte, ob sie die Wirksamkeit einer umstrittenen Erklärung zur Kindesanerkennung vor dem Zivilstandsamt prüfen durfte, obschon Ungewissheit über die Gültigkeit und Tragweite von Umständen besteht, von welchen die Eintragung abhängt (<ref-ruling> E. 5 S. 91/92). Wie in jenem Urteil muss auch im vorliegenden Fall das administrative Verfahren und damit die Prüfungsbefugnis der Aufsichtsbehörde verneint werden.
3.2.5. Schliesslich musste die Aufsichtsbehörde bereits bei der Prüfung des Begehrens der Beschwerdeführerin um Änderung der Eintragung der Namen der Kinder ohne weiteres damit rechnen, dass auf Widerspruch des Beschwerdegegners stossen könnte, falls seine Namenserklärung als unwirksam erachtet würde. Sodann entspricht die Eintragung (Abgabe, Entgegennahme und Beurkundung der Namenserklärung), welche der Zivilstandsbeamte am 7. Juli 2014 vornahm, unbestrittenermassen den Angaben, über welche er verfügte. Im Übrigen hat das kantonale Gemeindeamt selber festgehalten, dass von einem Fehler, der auf einem offensichtlichem Versehen oder Irrtum beruhe, keine Rede sein könne. Die Voraussetzungen, um die von der Beschwerdeführerin verlangte Änderung im Personenstandsregister auf dem administrativem Wege gemäss <ref-law> vorzunehmen, sind nicht erfüllt.
3.2.6. Was die Beschwerdeführerin ferner vorbringt, vermag an diesem Schluss nichts zu ändern. Sie macht geltend, dass selbst im Fall, in welchem aArt. 270a ZGB zur Anwendung komme, Bundesrecht verletzt sei. Die Bestimmung sei nur anwendbar, wenn das Sorgerecht dem Vater "unmittelbar" bzw. "von Anfang an" zugeteilt werde, nicht aber, wenn zunächst ein gemeinsames Sorgerecht ausgeübt worden sei. Die Kritik, wonach der Eintrag im Personenstandsregister auf einer falschen Auslegung von aArt. 270a ZGB beruhe, ist unbehelflich. Damit wird (ebenfalls) kein auf einem offensichtlichen Versehen oder Irrtum beruhender Fehler gemäss <ref-law> geltend gemacht (vgl. E. 3.1.3, sowie <ref-ruling> E. 4 S. 471; 76 I 229 S. 231; MONTINI, in: Commentaire romand, Code civil I, 2010, N. 1 zu Art. 43). Das Verwaltungsgericht brauchte sich damit nicht auseinanderzusetzen; die Rüge einer Verletzung der Begründungspflicht (<ref-law>; <ref-ruling> E. 5.2 S. 5.2) ist unbehelflich.
3.3. Nach dem Dargelegten hat das Verwaltungsgericht zu Unrecht beurteilt, ob das kantonale Gemeindeamt im Verfahren nach <ref-law> die Wirksamkeit der umstrittenen Namenserklärung gemäss a<ref-law> prüfen und bestätigen durfte. Das Ergebnis des angefochtenen Urteils, mit welchem die Eintragung im Personenstandsregister im administrativen Verfahren nicht geändert wird, stellt indes - mit vom Bundesgericht zu ersetzender Begründung - keine Verletzung von Bundesrecht dar.
Anzufügen bleibt, dass die Beschwerdeführerin die Klage gemäss <ref-law> auf Berichtigung des Registers erheben kann, um die (Un-) Wirksamkeit der namensändernden Erklärung des Beschwerdegegners zu prüfen. Die Aussichten einer Klage (und die Vorbringen der Beschwerdeführerin) sind nicht zu erörtern. Zuständig ist das Gericht, in dessen Amtskreis die zu bereinigende Beurkundung von Personenstandsdaten erfolgt ist oder hätte erfolgen müssen, und welches im summarischen Verfahren entscheidet (Art. 22, Art. 249 lit. a Ziff. 3ZPO). Klageberechtigt ist ebenfalls die kantonale Aufsichtsbehörde (<ref-law>).
4.
Der Beschwerde in Zivilsachen ist kein Erfolg beschieden. Bei diesem Ausgang des Verfahrens wird die Beschwerdeführerin kostenpflichtig (<ref-law>). Die Voraussetzungen zur Gewährung der unentgeltliche Rechtspflege zugunsten der Beschwerdeführerin sind erfüllt (<ref-law>). Über eine Parteientschädigung ist nicht zu befinden.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.
Der Beschwerdeführerin wird die unentgeltliche Rechtspflege gewährt.
3.
Es werden keine Gerichtskosten erhoben.
4.
Rechtsanwalt Philipp Ammann wird als unentgeltlicher Anwalt der Beschwerdeführerin bestellt, und es wird ihm für das bundesgerichtliche Verfahren aus der Gerichtskasse eine Entschädigung von Fr. 2'000.-- ausgerichtet.
5.
Dieses Urteil wird der Beschwerdeführerin, dem Zivilstandsamt Winterthur, dem Beschwerdegegner und dem Verwaltungsgericht des Kantons Zürich, 4. Abteilung, sowie dem Gemeindeamt des Kantons Zürich und dem Bundesamt für Justiz, EAZW, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 16. Juni 2016
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: von Werdt
Der Gerichtsschreiber: Levante