Sachverhalt:
A.
Die Staatsanwaltschaft Solothurn sprach X._ mit Strafbefehl vom 15. April 2015 der üblen Nachrede schuldig und verurteilte ihn zu einer Geldstrafe von fünf Tagessätzen zu Fr. 30.--; der Vollzug der Geldstrafe wurde aufgeschoben unter Ansetzung einer Probezeit von zwei Jahren.
B.
Im Einspracheverfahren stellte der Amtsgerichtspräsident von Solothurn-Lebern am 13. August 2015 fest, X._ sei zur Verhandlung trotz gehöriger Vorladung unentschuldigt nicht erschienen. Die Einsprache gelte damit als zurückgezogen. Der Amtsgerichtspräsident wies am 18. September 2015 das von X._ gestellte Wiederherstellungsgesuch ab.
Die Beschwerdekammer des Obergerichts des Kantons Solothurn hiess am 3. November 2015 die gegen die Abweisung des Wiederherstellungsgesuchs gerichtete Beschwerde gut und hob die Verfügung des Amtsgerichtspräsidenten von Solothurn-Lebern vom 18. September 2015 auf.
Im Neubeurteilungsverfahren stellte der Amtsgerichtspräsident von Solothurn-Lebern am 16. Februar 2016 fest, X._ sei auch zur neu angesetzten Verhandlung trotz gehöriger Vorladung unentschuldigt nicht erschienen. Die Einsprache gegen den Strafbefehl vom 15. April 2015 gelte damit als zurückgezogen.
C.
Der Amtsgerichtspräsident von Solothurn-Lebern wies am 9. März 2016 das von X._ eingereichte Wiederherstellungsgesuch ab. Die Beschwerdekammer des Obergerichts des Kantons Solothurn wies am 11. April 2016 die dagegen gerichtete Beschwerde ab und auferlegte X._ die Verfahrenskosten.
D.
X._ erhebt Beschwerde in Strafsachen und beantragt sinngemäss die Aufhebung des angefochtenen Entscheids.
E.
Das Obergericht des Kantons Solothurn beantragt die Abweisung der Beschwerde und verzichtet auf eine weitergehende Vernehmlassung. Die Staatsanwaltschaft des Kantons Solothurn verzichtet auf eine Vernehmlassung.

Erwägungen:
1.
Angefochten ist der Entscheid der Beschwerdekammer des Obergerichts, mit welchem die Wiederherstellung der Frist im Einspracheverfahren gegen den Strafbefehl abgewiesen wird. Soweit der Beschwerdeführer Einwendungen gegen das Untersuchungsverfahren oder den Strafbefehl erhebt, kann auf die Beschwerde nicht eingetreten werden.
2.
2.1. Nach <ref-law> kann unter anderem die beschuldigte Person innert 10 Tagen schriftlich Einsprache gegen den Strafbefehl erheben. Das erstinstanzliche Gericht entscheidet über die Gültigkeit des Strafbefehls und der Einsprache (<ref-law>). Bleibt die Einsprache erhebende Person der Hauptverhandlung unentschuldigt fern und lässt sie sich auch nicht vertreten, gilt die Einsprache nach <ref-law> als zurückgezogen, und wird der Strafbefehl zum rechtskräftigen Urteil (<ref-law>).
Bei Säumnis kann nach <ref-law> die Wiederherstellung verlangt werden, wenn die Partei eine Frist versäumt hat und ihr daraus ein erheblicher und unersetzlicher Rechtsverlust erwachsen würde; dabei hat sie glaubhaft zu machen, dass sie an der Säumnis kein Verschulden trifft. Zu prüfen ist einzig die gesetzliche Voraussetzung, dass den Beschwerdeführer "an der Säumnis kein Verschulden trifft". Nach der Rechtsprechung kann die Wiederherstellung nur bei klarer Schuldlosigkeit gewährt werden. Jedes Verschulden einer Partei, ihres Vertreters oder beigezogener Hilfspersonen, so geringfügig es sein mag, schliesst die Wiederherstellung aus (6B_968/2014 vom 24. Dezember 2014 E. 1.3; vgl. aber für den Fall der notwendigen Verteidigung 6B_294/2016 vom 5. Mai 2017 E. 1.3, zur Publikation bestimmt).
2.2. Der massgebende Sachverhalt ist im Wesentlichen unbestritten. Die Verhandlung vor dem Amtsgerichtspräsidenten war auf den 16. Februar 2016, 08.00 Uhr, angesetzt. Durch zwei Arztzeugnisse ist ausgewiesen, dass der Beschwerdeführer am 15. Februar 2016, ca. 11.00 Uhr, seinen Hausarzt aufsuchte und in der Folge in das Bürgerspital Solothurn eingewiesen wurde. Der Beschwerdeführer ist Diabetiker und musste sich wegen einer akuten Verschlechterung eines Vorfussinfektes einer notfallmässigen Operation unterziehen. Er war bis 6. März 2016 arbeitsunfähig.
Eine Mitarbeiterin des Amtsgerichts Solothurn-Lebern bestätigt in einer Aktennotiz, dass der Beschwerdeführer am 16. Februar 2016, ca. 08.15 Uhr, angerufen und mitgeteilt hatte, dass er zur Verhandlung nicht erschienen sei, weil er in das Bürgerspital Solothurn eingewiesen worden sei. Er habe leider nicht früher anrufen können, weil die Telefonzentrale des Bürgerspitals erst ab 08.00 Uhr offen sei.
2.3. Die Vorinstanz beruft sich im Wesentlichen darauf, dass der Beschwerdeführer am Nachmittag des 15. Februar 2016 genügend Zeit gehabt hätte, dem Gericht mitzuteilen, dass er zur Verhandlung nicht erscheinen könne. Allenfalls hätte er auch eine Vertretung beauftragen können, dies dem Gericht mitzuteilen. Es sei überdies nicht einsichtig, weshalb der Beschwerdeführer für seine telefonische Mitteilung auf die Schalteröffnungszeiten des Bürgerspitals angewiesen gewesen sei, um dem Gericht sein Nichterscheinen rechtzeitig vor Verhandlungsbeginn mitteilen zu können.
2.4. Mit ihrer Argumentation verkennt die Vorinstanz, dass es bei der Wiederherstellung einer Frist - anders als etwa bei einem Gesuch um Erstreckung von Fristen und Verschiebung von Terminen - um das unverschuldete Versäumnis an sich und nicht um die rechtzeitige Benachrichtigung geht. Ein Gesuch um Wiederherstellung ist innert 30 Tagen nach Wegfall des Säumnisgrundes zu stellen (<ref-law>), während das Gesuch um Erstreckung einer Frist und Verschiebung von Terminen vor Ablauf der Frist gestellt werden muss (<ref-law>). Der Beschwerdeführer war am Vortag der Verhandlung aus medizinischen Gründen notfallmässig in ein Spital zur Vornahme einer unaufschiebbaren Operation eingewiesen worden und war deshalb aus objektiven Gründen nicht in der Lage, an der Verhandlung teilzunehmen. An der Säumnis trifft ihn kein Verschulden, so dass die Voraussetzungen zur Wiederherstellung der Frist gegeben sind.
Bei dieser Rechtslage kann dahingestellt bleiben, ob der angefochtene Entscheid nicht auch gegen das Verbot des überspitzten Formalismus (<ref-law>) verstösst. Der Beschwerdeführer hat in einer ihn subjektiv äusserst belastenden Situation alles unternommen, um das Gericht möglichst umgehend über seine Spitaleinweisung zu informieren. Indem die Vorinstanz darauf abstellt, dass die Mitteilung erst 15 Minuten nach Beginn der Verhandlung erfolgt ist, stellt sie Anforderungen, die sich durch kein schutzwürdiges Interesse rechtfertigen lassen, zum blossen Selbstzweck werden und damit sowohl die Wahrheitsfindung wie auch die Ausübung der Verteidigungsrechte in unhaltbarer Weise erschweren oder gar verunmöglichen (vgl. <ref-ruling> E. 1.3.2; <ref-ruling> E. 5; je mit Hinweisen).
3.
Die Beschwerde ist gutzuheissen, soweit darauf einzutreten ist. Der Entscheid der Beschwerdekammer des Obergerichts des Kantons Solothurn vom 11. April 2016 ist aufzuheben und die Sache zur neuen Beurteilung an die Vorinstanz zurückzuweisen. Bei diesem Ausgang des Verfahrens sind keine Gerichtskosten zu erheben (Art. 66 Abs. 1 i.V.m. Abs. 4 BGG). Über eine Parteientschädigung ist nicht zu befinden, da dem Beschwerdeführer keine Kosten der Rechtsvertretung erwachsen sind (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird gutgeheissen, soweit darauf einzutreten ist. Der Entscheid der Beschwerdekammer des Obergerichts des Kantons Solothurn vom 11. April 2016 wird aufgehoben und die Sache zur neuen Beurteilung an die Vorinstanz zurückgewiesen.
2.
Es werden keine Kosten erhoben.
3.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Solothurn, Beschwerdekammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 26. Juli 2017
Im Namen der Strafrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Denys
Der Gerichtsschreiber: Faga