Erwägungen:
1.
A._ gelangte mit mehreren Eingaben an die Rechtspflegekommission des Kantonsrates des Kantons St. Gallen. Darin bezichtigte er den Ersten Staatsanwalt und den regionalen Zwangsmassnahmenrichter am Kreisgericht St. Gallen der Freiheitsberaubung, der falschen Anschuldigung usw. Die Rechtspflegekommission des Kantonsrates leitete die Strafanzeigen am 27. Oktober 2016 zuständigkeitshalber an die Anklagekammer des Kantons St. Gallen weiter. Mit Eingabe vom 9. Dezember 2016 überwies auch das Untersuchungsamt St. Gallen eine weitere dahingehende Strafanzeige von A._ gegen den Zwangsmassnahmenrichter an die Anklagekammer.
2.
Die Anklagekammer des Kantons St. Gallen erteilte mit Entscheid vom 4. Januar 2017 keine Ermächtigung zur Eröffnung von Strafverfahren. Zur Begründung führte sie zusammenfassend aus, dass die Eingaben des Anzeigers weitgehend unsubstantiiert seien und einen Realitätsbezug vermissen liessen. Nach den ausgesprochenen Morddrohungen sei der Erste Staatsanwalt verpflichtet gewesen, gegen den Anzeiger ein Strafverfahren zu eröffnen und Massnahmen zum Schutze der Betroffenen zu ergreifen. Der Zwangsmassnahmenrichter hatte sich mit den die Haft des Anzeigers betreffenden Verfahren zu befassen. Die Handlungen der beiden Angezeigten liessen - zumal im Lichte der gutachterlichen Feststellungen - in keiner Weise darauf schliessen, dass sich jene in irgendeiner Weise strafrechtlich relevant verhalten haben könnten. Die Ermächtigung sei somit nicht zu erteilen.
3.
A._ führt mit Eingabe vom 4. Februar 2017 (Postaufgabe 6. Februar 2017) Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten gegen den Entscheid der Anklagekammer des Kantons St. Gallen vom 4. Januar 2017. Das Bundesgericht hat davon abgesehen, Stellungnahmen zur Beschwerde einzuholen.
4.
Nach <ref-law> ist in der Begründung einer Beschwerde in gedrängter Form darzulegen, inwiefern der angefochtene Entscheid Recht verletzt. Die Bestimmungen von <ref-law> nennen die vor Bundesgericht zulässigen Beschwerdegründe. Hinsichtlich der Verletzung von Grundrechten gilt der in <ref-law> verankerte Grundsatz der Rechtsanwendung von Amtes wegen nicht; insofern besteht eine qualifizierte Rügepflicht (<ref-law>; <ref-ruling> E. 1.4.1 S. 53, 65 E. 1.3.1 S. 68 mit Hinweisen). Es obliegt dem Beschwerdeführer namentlich darzulegen, inwiefern der angefochtene Entscheid gegen die gerügten Grundrechte verstossen soll.
Der Beschwerdeführer geht mit seinen nicht sachbezogenen Ausführungen überhaupt nicht auf die Begründung der Anklagekammer im angefochtenen Entscheid ein. Er legt nicht ansatzweise dar, inwiefern die Auffassung der Anklagekammer, ein strafrechtlich relevantes Verhalten sei nicht ersichtlich, rechts- bzw. verfassungswidrig sein soll. Somit ist mangels einer genügenden Begründung im Sinne von <ref-law> auf die Beschwerde nicht einzutreten. Der Begründungsmangel ist offensichtlich, weshalb über die Beschwerde im vereinfachten Verfahren nach <ref-law> entschieden werden kann.
5.
Auf eine Kostenauflage kann verzichtet werden (<ref-law>).

Demnach erkennt der Präsident:
1.
Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2.
Es werden keine Kosten erhoben.
3.
Dieses Urteil wird den Parteien und der Anklagekammer des Kantons St. Gallen schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 8. Februar 2017
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Merkli
Der Gerichtsschreiber: Pfäffli