Fatti:
A.
Nel periodo 1995-1998 A._, cittadino italiano domiciliato in Italia, ha aperto presso la sede luganese della banca B._SA le relazioni bancarie www, xxx e yyy, sulle quali ha svolto un'intensa attività.

Considerando che le operazioni eseguite dal cliente fossero ormai prive delle sufficienti coperture, nell'aprile del 2000 la banca ha coattivamente messo in liquidazione le sue posizioni e quelle del titolare del conto zzz, che aveva garantito le posizioni dei conti www, xxx e yyy.
B.
Con petizione del 3 novembre 2002 A._ ha convenuto in giudizio la banca B._SA per ottenerne la condanna al pagamento di un importo di fr. 13'023'036.--, arrotondato per eccesso a fr. 13'500'000.--. Egli ha sostenuto che la somma corrispondeva: alle perdite causate dalla banca sui conti www, xxx, yyy e zzz per aver violato i suoi obblighi contrattuali, per aver omesso i dovuti controlli e per non essere intervenuta tempestivamente con la richiesta di nuove e adeguate garanzie o con il rifiuto di passare nuove operazioni oppure ancora con la chiusura d'ufficio di operazioni in corso (che ammontavano a Lit. 14'700'000'000, pari a fr. 11'236'036.--); al corrispettivo delle 20'000 azioni C._SpA rinvenute unicamente il 17 aprile 2000 (del valore di Lit. 680'000'000, pari a fr. 427'000.--) vendute subito per coprire Io scoperto del conto www con un minor incasso (di Lit. 100'621'360, pari a fr. 80'000.--); alle retrocessioni accreditategli nel secondo trimestre 2000 poi addebitate per coprire Io scoperto del conto www (Lit. 120'000'000, pari a fr. 80'000.--); alla perdita delle retrocessioni per clienti apportati (fr. 2'250'000.--); alle non meglio precisate somme addebitategli per "capital gain" e all'indennità per torto morale (fr. 100'000.--); il tutto, previa deduzione dell'importo globale dei suoi prelevamenti e/o bonifici a favore di terzi (Lit. 1'400'000'000, pari a fr. 1'150'000.--). La convenuta si è opposta alla petizione.
Terminata l'istruttoria, le parti hanno inoltrato al Pretore le rispettive conclusioni. Mentre a quel momento la convenuta si è sostanzialmente riconfermata nelle sue precedenti domande, l'attore ha parzialmente modificato le sue richieste, chiedendo la condanna della controparte: al pagamento di fr. 6'142'692.46 (recte: fr. 6'142'692.51) e in via subordinata al pagamento di fr. 14'008'522.75, oltre interessi e all'annullamento degli addebiti per "capital gain" comunicati il 14 dicembre 2000 (di complessivi EUR 435'517.82) e degli avvisi di addebito comunicati il 19 dicembre 2000 (di complessivi EUR 46'696.07) cosi come di ogni altra eventuale successiva richiesta per interessi, spese in conto o altro.
Con sentenza del 17 gennaio 2014 il Pretore, ha parzialmente accolto la petizione condannando la convenuta al pagamento di EUR 845'671.-- arrotondati oltre interessi, nonché di fr. 78'470.-- oltre interessi, quindi ponendo la tassa di giustizia di fr. 40'000.--, le spese di complessivi fr. 1'000.-- e le spese peritali a carico della convenuta in ragione dell'8 % e in ragione del 92 % a carico dell'attore, tenuto a rifondere alla controparte fr. 248'400.-- per ripetibili.
C.
Entrambe le parti hanno impugnato la decisione del Pretore. Con appello del 18 febbraio 2014, avversato dall'attore con risposta 2 aprile 2014, la convenuta ha chiesto di riformare il querelato giudizio nel senso di respingere la petizione, protestando spese e ripetibili di entrambe le sedi.
Con reclamo del 19 febbraio 2014, poi parzialmente rettificato il 7 aprile 2014, avversato dalla convenuta con risposta 24 marzo 2014, l'attore ha chiesto di modificare la sentenza pretorile nel senso di porre la tassa di giustizia di fr. 40'000.--, le spese di complessivi fr. 1'000.-- e il costo base della perizia di fr. 60'000.-- (non cosi le spese complementari della perizia di fr. 113'340.--, tutte da caricare alla convenuta) in ragione del 30 % a suo carico e in ragione del 70 % a carico della convenuta, condannata altresì a rifondergli fr. 189'000.-- per ripetibili, protestando spese e ripetibili di secondo grado. Con appello incidentale del 2 aprile 2014, avversato dalla convenuta con risposta del 5 maggio 2014, l'attore ha chiesto di riformare la decisione del Pretore nel senso di condannare la convenuta al pagamento di EUR 1'392'073.73 oltre interessi e di fr. 394'400.-- oltre interessi, protestando spese e ripetibili di secondo grado. Egli ha in sostanza auspicato la rifusione: di EUR 1'044'749.-- corrispondenti al patrimonio netto che avrebbe avuto sui conti www, xxx e yyy; di EUR 236'855.73, corrispondenti al valore del patrimonio netto del conto zzz; di fr. 94'100.-- e di fr. 18'000.--, corrispondenti alle retrocessioni accreditategli nel secondo trimestre 2000 poi addebitate per coprire Io scoperto del conto www; di EUR 51'966.--, corrispondenti al rimborso per il minor valore ottenuto dalla vendita tardiva delle 20'000 azioni C._SpA ritrovate; di fr. 94'100.--, corrispondenti alle retrocessioni per clienti apportati non versate nel terzo trimestre 2000; di fr. 94'100.--, corrispondenti alle retrocessioni per clienti apportati non versate nel quarto trimestre 2000; di fr. 94'100.--, corrispondenti alle retrocessioni per clienti apportati non versate nel primo trimestre 2001; di EUR 58'503.--, corrispondenti alle somme addebitategli per "capital gain" nel settembre 2000.
Con sentenza del 16 novembre 2015, la II Camera civile del Tribunale d'appello ha accolto l'appello della convenuta riformando la sentenza del Pretore nel senso che la petizione era respinta. Essa ha quindi respinto l'appello incidentale, nella misura in cui fosse ammissibile, e stralciato dai ruoli il suo reclamo, poiché diventato privo d'oggetto.
D.
Contro quest'ultimo giudizio, A._ è insorto davanti al Tribunale federale con ricorso in materia civile chiedendo:
I. Il ricorso è accolto e di conseguenza la sentenza del 16 novembre 2015, emessa dalla II Camera civile nei dispositivi I. e II. : a) è annullata e l'incarto ritornato all'istanza inferiore per nuovo giudizio; b) subordinatamente così riformata:
1. L'appello della banca B._SA, V._, limitatamente a tutte le censure mosse in merito alle violazioni dell'<ref-law> è respinto siccome irricevibile per mancanza di interesse. § Di conseguenza l'incarto è ritornato al Tribunale d'appello, affinché si pronunci sulle altre censure di merito sollevate dall'appellante nel proprio gravame.
II. Il ricorso è accolto e di conseguenza la sentenza del 16 novembre 2015 emessa dalla II Camera civile nei suoi dispositivi III. e IV. sull'appello incidentale 2 aprile 2014 di A._ è annullata.
III. Il ricorso è accolto e di conseguenza la sentenza del 16 novembre 2015, emessa dalla II Camera civile nei suoi dispositivi V. e VI. sul reclamo 19 febbraio 2014 di A._ è annullata.
IV. Tasse, spese e ripetibili relative al presente ricorso sono poste a carico della parte resistente.
Con decreto del 18 gennaio 2016, la Presidente della Corte adita ha negato l'effetto sospensivo al ricorso. Con la risposta, l'opponente ha domandato che, per quanto ricevibile, il ricorso sia respinto. Nel seguito ha pure chiesto che il ricorrente venga costretto a depositare una garanzia per le ripetibili della presente procedura.
Diritto:
1.
1.1. L'impugnativa è stata presentata da una parte soccombente in sede cantonale (<ref-law>). Essa è tempestiva (art. 46 cpv. 1 lett. c in relazione con l'<ref-law>) ed è diretta contro una sentenza finale (<ref-law>) emanata su ricorso dall'autorità ticinese di ultima istanza (<ref-law>) in una causa civile (<ref-law>) che raggiunge il valore litigioso richiesto (<ref-law>). Sotto questi profili è perciò ammissibile.
1.2. L'opponente ha presentato la domanda di prestazione di garanzie per le spese ripetibili (<ref-law>) svariati mesi dopo l'inoltro della risposta, quindi in un momento in cui aveva già sostenuto le spese necessarie per la procedura innanzi al Tribunale federale. Per questa ragione la sua richiesta dev'essere dichiarata senza oggetto (sentenze 4A_148/2015 del 4 aprile 2015 consid. 1.2; 4A_232/2011 del 20 settembre 2011 consid. 1; <ref-ruling> consid. 2).
2.
2.1. Con ricorso in materia civile è possibile fare valere la violazione del diritto federale (<ref-law>), che include i diritti costituzionali dei cittadini (<ref-ruling> consid. 3.1 pag. 447). Salvo che per i casi citati dall'<ref-law>, non è invece censurabile la lesione del diritto cantonale. È però lecito sostenere che l'errata applicazione del diritto cantonale da parte dell'autorità precedente comporti una violazione del diritto federale, segnatamente del divieto d'arbitrio (<ref-law>; <ref-ruling> consid. 2.3 pag. 466).
2.2. Il Tribunale federale applica d'ufficio il diritto federale (<ref-law>). Tuttavia, tenuto conto dell'onere di allegazione e motivazione imposto dall'art. 42 cpv. 1 e 2 LTF, il cui mancato rispetto conduce all'inammissibilità del gravame (<ref-law>), considera di regola solo gli argomenti proposti nel ricorso (<ref-ruling> consid. 2 pag. 88 seg.; <ref-ruling> consid. 1.1 pag. 104 seg.). Le esigenze di motivazione sono inoltre più severe quando è lamentata la violazione di diritti fondamentali. Il Tribunale federale esamina la violazione di questi diritti soltanto se il ricorrente ha sollevato e motivato in maniera puntuale tale censura (<ref-law>). Ciò significa che quest'ultimo, pena l'inammissibilità del gravame, deve spiegare in modo chiaro e dettagliato, alla luce dei considerandi della sentenza impugnata, in che modo sarebbero stati violati i suoi diritti costituzionali (<ref-ruling> consid. 1.3.1 pag. 68; <ref-ruling> consid. 1.2 pag. 234). Critiche appellatorie non sono ammesse (<ref-ruling> consid. 1.3 pag. 59 seg.; <ref-ruling> consid. 2 pag. 591 seg.).
2.3. Per quanto riguarda i fatti, in linea di massima il Tribunale federale fonda il suo ragionamento giuridico sugli accertamenti svolti dall'autorità inferiore (<ref-law>). A questi appartengono sia le constatazioni concernenti le circostanze relative all'oggetto del litigio sia quelle riguardanti lo svolgimento della procedura innanzi all'autorità inferiore e in prima istanza, vale a dire gli accertamenti che attengono ai fatti procedurali (<ref-ruling> consid. 1.3.1 pag. 17 seg.). Il Tribunale federale può unicamente rettificare o completare l'accertamento dei fatti dell'autorità inferiore, se esso è manifestamente inesatto o risulta da una violazione del diritto ai sensi dell'<ref-law> (<ref-law>). "Manifestamente inesatto" significa in questo ambito "arbitrario" (<ref-ruling> consid. 2 pag. 116 seg.; <ref-ruling> consid. 1.5 pag. 401). L'eliminazione del vizio deve inoltre poter essere determinante per l'esito del procedimento (<ref-law>). La parte che critica la fattispecie accertata nella sentenza impugnata deve sollevare la censura e motivarla in modo preciso, come esige l'<ref-law> (<ref-ruling> consid. 2.3 pag. 265 segg.). Essa deve spiegare in maniera chiara e circostanziata in che modo queste condizioni sarebbero soddisfatte (<ref-ruling> consid.1.3.1 pag. 17 seg.). Se vuole completare la fattispecie deve dimostrare, con precisi rinvii agli atti della causa, di aver già presentato alle istanze inferiori, rispettando le regole della procedura, i relativi fatti giuridicamente pertinenti e le prove adeguate (<ref-ruling> consid. 2 pag. 88 seg.). Se la critica non soddisfa queste esigenze, le allegazioni relative a una fattispecie che si scosta da quella accertata non possono essere prese in considerazione (<ref-ruling> consid. 1.3.1 pag. 17 seg.).
3.
3.1. Ritenuto pacificamente applicabile il diritto svizzero, la Corte cantonale ha rilevato che con l'appello la convenuta ha preliminarmente sostenuto che gran parte delle pretese dell'attore avrebbe dovuto essere respinta già in applicazione dell'<ref-law>.
Esaminata la critica appena esposta, l'ha quindi ritenuta sostanzialmente fondata, concludendo che:
a) le pretese azionate in franchi svizzeri aventi per oggetto le perdite risultanti sui conti www, xxx e yyy e le perdite risultanti sul conto zzz, entrambe parzialmente accolte dal Pretore (con un giudizio reso in euro, in chiara violazione del divieto dell'extrapetizione dell'<ref-law>/TI), avrebbero dovuto e devono in realtà essere respinte in applicazione dell'<ref-law>, trattandosi di pretese originariamente sorte in lire italiane; il fatto che in sede di appello l'attore abbia provveduto a chiederne il risarcimento in euro non migliora la sua posizione, quella modifica costituendo un'inammissibile mutazione dell'azione (<ref-law>);
b) la pretesa azionata in franchi svizzeri avente per oggetto il rimborso per il minor valore ottenuto dalla vendita tardiva delle 20'000 azioni C._SpA ritrovate, non riconosciuta dal Pretore e riproposta dall'attore, deve essere respinta in applicazione dell'<ref-law>, trattandosi di una pretesa originariamente sorta in lire italiane; il fatto che in sede di appello l'attore abbia provveduto a chiederne il risarcimento in euro non migliora la sua posizione, quella modifica costituendo un'inammissibile mutazione dell'azione (<ref-law>);
c) la pretesa azionata in franchi svizzeri avente per oggetto le retrocessioni accreditate all'attore nel secondo trimestre 2000 poi addebitate per coprire Io scoperto di conto di www, che in petizione si affermava fosse sorta in valuta estera, avrebbe dovuto e deve essere respinta in applicazione dell'<ref-law>, anziché essere parzialmente accolta dal Pretore (con un giudizio reso in franchi svizzeri); il fatto che con le conclusioni l'attore abbia per la prima volta sostenuto che la stessa era in realtà sorta in franchi svizzeri non modifica la situazione, quella nuova allegazione essendo irricevibile (<ref-law>/TI);
d) la pretesa azionata in franchi svizzeri avente per oggetto gli addebiti per "capital gain" nel settembre 2000, sostanzialmente accolta dal Pretore (con un giudizio reso in euro, anche in questo caso in chiara violazione del divieto dell'extrapetizione dell'<ref-law>/TI), avrebbe dovuto e deve in realtà essere respinta in applicazione dell'<ref-law>, trattandosi di una pretesa originariamente sorta in lire italiane; il fatto che in sede di appello l'attore ne abbia chiesto il risarcimento in euro, quando in sede conclusionale aveva ribadito la rifusione di importi in franchi svizzeri, non migliora la sua posizione, quella modifica costituendo un'inammissibile mutazione dell'azione (<ref-law>).
3.2. Preso atto del fatto che l'unica pretesa ancora litigiosa sorta in franchi svizzeri e correttamente fatta valere in quella valuta era quella che riguardava la perdita delle retrocessioni per clienti apportati (per complessivi fr. 282'300.--), ha d'altro canto rilevato che il suo rigetto da parte del Pretore era corretto e andava confermato. Al riguardo ha infatti spiegato che:
a) davanti al Pretore l'attore aveva preteso il risarcimento della perdita di guadagno da lui subita durante cinque anni (mancate retrocessioni per i clienti da lui amministrati quale gestore esterno, persi dopo che la convenuta aveva scritto loro comunicando di non riconoscerlo più quale valido gestore esterno);
b) con un'inammissibile mutazione dell'azione (<ref-law>), in sede di appello si è però limitato a chiedere l'adempimento dell'accordo e meglio il pagamento delle retrocessioni maturate in precedenza, per il terzo e quarto trimestre 2000 e per il primo trimestre 2001;
c) in ogni caso, a fronte della chiara contestazione della convenuta secondo cui le pretese azionate non erano state provate nel loro ammontare, l'attore non ha dimostrato a quanto sarebbero ammontate le retrocessioni maturate nel periodo in questione, siccome non ha offerto nessuna prova sul tema: omettendo di chiedere alla controparte, che sino ad allora non aveva spontaneamente prodotto i documenti rilevanti alla loro quantificazione, di versarli agli atti, e rinunciando nel contempo a sottoporre la questione al perito giudiziario;
d) infine, non è possibile condividere nemmeno la tesi, formulata irritualmente solo in appello (<ref-law>), in base alla quale le somme corrisposte per il secondo trimestre 2000, da lui qui rivendicate anche per i 3 trimestri successivi, fossero dovute almeno in quella misura anche per quei periodi.
3.3. Giunta alla conclusione che la petizione avrebbe dovuto essere integralmente respinta, si è poi pronunciata sul reclamo osservando: da un lato, che siccome aveva ragione d'essere solo nel caso in cui il giudizio del Pretore fosse stato confermato, ciò che non era avvenuto, esso doveva esser stralciato dai ruoli, poiché privo di oggetto; d'altro lato, che lo stesso sarebbe comunque stato destinato all'insuccesso, motivo per cui le relative spese andavano poste a carico del reclamante.
4.
In primo luogo, il ricorrente non concorda con le conclusioni tratte dalla Corte cantonale sulla base dell'<ref-law>. Sempre in questo contesto, richiamandosi alla sentenza 4A_555/2014 del 12 marzo 2015, lamenta inoltre una violazione degli art. 59 cpv. 2 lett. a e 60 CPC. A torto, tuttavia.
4.1. Nel caso di debiti contratti in valuta estera il creditore deve accettare anche il pagamento in franchi svizzeri; il diritto di scelta in merito alla valuta spetta però unicamente al debitore, non anche al creditore (<ref-law>). La pretesa di quest'ultimo si estende infatti solo al pagamento in valuta straniera, di modo che egli può soltanto pretendere di essere tacitato nella valuta straniera stabilita (<ref-law>; <ref-ruling> consid. 2.2 pag. 154). Di conseguenza, nel quadro di una procedura che tende al riconoscimento di un credito espresso in valuta estera, il giudice può riconoscere unicamente il diritto al pagamento in quella valuta (<ref-ruling> consid. 2.4 pag. 155).
Nel medesimo contesto, anche se ancora con riferimento ad una norma di diritto cantonale, il Tribunale federale ha inoltre rilevato che chi si rivolge alle autorità giudiziarie elvetiche facendo valere un credito in valuta straniera deve pretenderne il pagamento in tale valuta e che se (per sbaglio) postula invece un pagamento in franchi svizzeri, la petizione va respinta. Diversamente, verrebbe infatti leso il principio dispositivo (sentenza 4A_391/2015 del 1° ottobre 2015 consid. 3), che dall'entrata in vigore del codice di procedura civile unificato è ancorato nell'<ref-law>.
Pure in base all'<ref-law>, il giudice non può in effetti aggiudicare a una parte né più né altra cosa di quanto la stessa abbia domandato, né meno di quanto sia stato riconosciuto dalla controparte, di modo che - quando una parte chiede il pagamento in franchi svizzeri di una pretesa sorta in valuta straniera - il giudice non può neanche riconoscere il diritto al pagamento in valuta straniera, perché altrimenti attribuirebbe appunto "altra cosa" di quanto originariamente richiesto (sentenza 4A_391/2015 del 1° ottobre 2015 consid. 3 con un rinvio alla dottrina).
4.2. Come indicato nel precedente considerando 3.1, esclusa la possibilità di presentare nuove allegazioni giusta l'<ref-law>/TI o di intervenire in appello (<ref-law>), nel caso in esame la Corte cantonale ha riformato il giudizio di prima istanza e respinto le richieste del qui ricorrente: da un lato, perché davanti a pretese sorte in lire italiane, aveva domandato la condanna della convenuta al pagamento di un importo in franchi svizzeri; d'altro lato, poiché davanti alla richiesta di condanna al pagamento di un importo in franchi svizzeri, il Pretore aveva illecitamente espresso un giudizio in euro.
Ora, contrariamente a quanto rilevato dall'insorgente - che considera che il Pretore abbia a ragione interpretato il petitum emettendo un giudizio che, "nella sostanza", è conforme all'<ref-law> - la conclusione tratta dalla Corte cantonale non presta il fianco a critica alcuna. Come indicato in precedenza, egli ha infatti adito le autorità giudiziarie, facendo valere crediti sorti in valuta straniera (lire italiane), postulando erroneamente la condanna della convenuta al pagamento di un importo in franchi svizzeri, di modo che la sua domanda andava respinta, poiché la legge non gli dava nessun diritto di scelta (<ref-law>; <ref-ruling> consid. 2.2 pag. 154). Nel contempo, davanti alla richiesta formulata in franchi svizzeri, il Pretore non poteva nemmeno d'ufficio riconoscere il pagamento di un importo in euro (sentenza 4A_391/2015 del 1° ottobre 2015 consid. 3).
4.3. A tale conclusione nulla muta poi nemmeno il richiamo alla sentenza 4A_555/2014 del 12 marzo 2015 e, in questo contesto, agli art. 59 cpv. 2 lett. a e 60 CPC.
4.3.1. A differenza di quanto avvenuto nella fattispecie, nel caso oggetto di quel giudizio la ricorrente aveva agito in modo conforme all'<ref-law>, domandando la condanna della controparte al versamento di un importo in franchi svizzeri; nonostante ciò, il Giudice di prime cure aveva pronunciato una condanna al pagamento di un importo in dollari americani.
Davanti alla mancata correzione della pronuncia di prima istanza in sede di appello, il Tribunale federale ha da parte sua respinto la critica con cui veniva messa in discussione la conclusione di un contratto tra le parti e dichiarato inammissibile il resto dell'impugnativa, in assenza di una motivazione sufficiente. In questo contesto, esso non si è quindi pronunciato in maniera vincolante sulla questione dell'interesse a criticare in appello il giudizio di prima istanza.
4.3.2. Nella misura in cui detto giudizio accenna all'aspetto dell'interesse a criticare in appello il giudizio di prima istanza, va ad ogni modo in via abbondanziale rilevato che esso lo fa basandosi su degli accertamenti di fatto precisi. Altra situazione è però quella qui in discussione. Come già detto, il ricorrente ha infatti agito in causa in maniera errata. Inoltre, egli non sostiene di avere sollevato la questione dell'interesse della controparte a ricorrere in appello, per lamentare la violazione dell'<ref-law>, già davanti alla Corte cantonale, quindi neppure di avere addotto elementi concreti che dovessero portare i Giudici ticinesi a negare un simile interesse.
Basandosi poi sull'<ref-law>, dimentica nel contempo che dall'obbligo imposto al tribunale da questa norma non può essere per nulla dedotto ch'esso debba cercare da solo i fatti determinanti, e che l'esame d'ufficio non dispensa le parti dal provare i fatti a sostegno dell'esistenza o dell'inesistenza dell'uno o dell'altro presupposto processuale previsto dall'<ref-law> (<ref-ruling> consid. 6.1 pag. 301; <ref-ruling> consid. 4.3 pag. 281 seg.; sentenze 4A_360/2016 del 12 gennaio 2017 consid. 3.3; 5A_85/2016 del 23 agosto 2016 consid. 3.1; FRANÇOIS BOHNET, CPC annoté, 2016, n. 1 ad <ref-law>; ALEXANDER ZÜRCHER, in: Sutter-Somm/Hasenböhler/Leuenberger [curatori], Kommentar zur Schweizerischen Zivilprozessordnung, 3a ed. 2016, n. 4 ad <ref-law>; FRANCESCO TREZZINI, Commentario al Codice di diritto processuale civile svizzero, 2011, pag. 202 seg. con ulteriori rinvii).
4.3.3. Ritenuto in particolare che, nell'ambito di procedure rette dal principio dispositivo, l'<ref-law> non impone al Tribunale di procedere motu proprio ad accertamenti atti a mettere in discussione l'ammissibilità di un'azione (DTF <ref-ruling> consid.4.3 pag. 282) e che - per altro in relazione ad un incarto assai voluminoso, nell'ambito del quale venivano fatte valere una serie di pretese distinte, formulate a vario titolo ed espresse via via in differenti valute - sulla questione l'insorgente non sostiene rispettivamente non dimostra di essersi pronunciato puntualmente in precedenza, anche la critica con cui viene fatta valere una violazione dell'art. 59 cpv. 2 lett. a in relazione con l'<ref-law> va pertanto respinta.
Negata la lesione dell'<ref-law>, nemmeno può quindi essere accolta la richiesta di rinviare l'incarto alla Corte cantonale, affinché proceda agli approfondimenti necessari e si pronunci nuovamente sulla fattispecie.
5.
In secondo luogo, l'insorgente fa valere un grave errore nell'accertamento dei fatti. Riferendosi al considerando 7 del giudizio impugnato rileva in particolare:
da un lato, che l'indicazione "le retrocessioni accreditategli nel secondo trimestre 2000 poi addebitate per coprire Io scoperto di conto di www sarebbe errata, perché quelle in discussione non sarebbero le retrocessioni "accreditate" durante il secondo trimestre 2000 bensì quelle "maturate" nel secondo trimestre, accreditate dalla banca sul suo conto solo l'11 luglio 2000;
d'altro lato, che "il credito derivante dalle retrocessioni andava fatto valere in franchi svizzeri, così come per altro è stato fatto e non in valuta straniera come invece preteso nel querelato giudizio, visto e considerato che dette provvigioni sono sempre state versate in franchi svizzeri dalla banca convenuta ".
5.1. Contrariamente a quanto richiesto dall'<ref-law>, l'eventuale rilevanza del primo errore denunciato non viene sostanziata. Sia come sia, va rilevato in via abbondanziale che essa non appare data.
Per quanto riguarda il secondo trimestre 2000 le pretese fatte valere sono infatti chiare e corrispondono a quanto indicato nel precedente considerando C; errata o meno, la denominazione delle stesse non risulta quindi determinante.
5.2. Diverso è invece il discorso riguardo al secondo aspetto sollevato, poiché un apprezzamento manifestamente inesatto circa la valuta in cui è sorta la pretesa ha rilevo anche ai sensi dell'<ref-law>. In questo caso, una simile inesattezza non è tuttavia dimostrata.
In effetti, chiamato a formulare una critica conforme a quanto esposto nel considerando 2.3, il ricorrente non sostanzia nessuna violazione dell'<ref-law> (<ref-law>). Anche volendo prescindere dall'<ref-law>, può essere poi in via abbondanziale osservato che l'arbitrio - ovvero la manifesta insostenibilità - in merito all'accertamento secondo cui la pretesa in questione era sorta in valuta straniera non appare dato. Come rilevato anche in risposta e come del resto risulta dal precedente considerando B, i cui contenuti sono incontestati e vincolano il Tribunale federale (<ref-law>), con la petizione il ricorrente stesso indicava infatti che occorreva da ultimo prendere "in considerazione l'importo di circa LIT 120'000'000, corrispondente a circa FR. 80'000.--" di retrocessioni del secondo trimestre 2000, che pure erano state accreditate per coprire lo scoperto del conto www.
6.
In terzo luogo, il ricorrente rimprovera alla Corte cantonale di essere incorsa nel formalismo eccessivo. Egli ritiene infatti che negargli "la possibilità di impugnare il giudizio di primo grado in punto alle varie argomentazioni e conclusioni esposte dal Pretore per una mera questione di valuta significa privarlo di un suo mezzo di difesa". Anche questa conclusione non può essere tuttavia condivisa.
6.1. Il formalismo eccessivo viene lamentato riguardo ai contenuti del considerando 7.2.2 del giudizio impugnato. In quella sede, i Giudici ticinesi, che già avevano constatato una violazione dell'<ref-law>, scartano anche la possibilità di una parziale mutazione dell'azione in appello in quanto, giusta l'<ref-law>, essa è ammissibile soltanto se (tra le altre cose) è fondata su nuovi fatti e nuovi mezzi di prova, e nella fattispecie tali circostanze non sono state né addotte né provate né tanto meno risultano dagli atti di causa.
6.2. Ora riguardo alla spiegazione fornita dalla Corte cantonale per scartare la possibilità della mutazione dell'azione, l'insorgente non prende posizione alcuna. Esclusa la facoltà di mutazione dell'azione in sede di appello, mal si comprende però cosa egli possa rimproverare alla Corte cantonale. Per giurisprudenza, l'assenza di conclusioni conformi al diritto federale, segnatamente all'<ref-law>, non può infatti essere definita una questione di mera forma, ragione per cui una costatazione in tal senso - con conseguente rigetto della pretesa in discussione - non è affatto costitutiva di formalismo eccessivo (sentenza 4A_206/2010 del 15 dicembre 2010 consid. 5.2.1 non pubblicato in <ref-ruling>).
7.
Respinte tutte le critiche relative all'esame dell'appello e dell'appello adesivo, anche la richiesta volta al rinvio dell'incarto alla Corte cantonale, affinché si esprima sul reclamo, non ha infine più ragione d'essere. Come risulta dall'impugnativa presentata davanti al Tribunale federale, la stessa era infatti subordinata all'accoglimento del ricorso in materia civile.
8.
Per quanto precede, nella misura in cui è ammissibile, il ricorso va respinto. Il ricorrente, interamente soccombente, deve prendersi carico delle spese giudiziarie della procedura federale e delle ripetibili dell'opponente (art. 66 cpv. 1 e 68 cpv. 1 LTF).

Per questi motivi, il Tribunale federale pronuncia:
1.
Nella misura in cui è ammissibile, il ricorso è respinto.
2.
Le spese giudiziarie di fr. 17'000.-- sono poste a carico del ricorrente, che rifonderà all'opponente fr. 19'000.-- a titolo di ripetibili per la procedura davanti al Tribunale federale.
3.
Comunicazione ai patrocinatori delle parti e alla II Camera civile del Tribunale d'appello del Cantone Ticino.