Sachverhalt:
A.
Am 12. Februar 2010 erschien in der Zeitschrift D._ der Artikel "Was der Verrat kostet". Wegen dieses Artikels leitete A._ ein Privatstrafklageverfahren betreffend Ehrverletzung gegen einen Journalisten sowie die Herausgeberin der Zeitschrift ein. C._ führte die Untersuchung als Untersuchungsrichter. Am 24. Februar 2014 fand vor dem Bezirksgericht Zürich die Hauptverhandlung statt. Am 2. Mai 2014 stellte Bezirksrichter B._ als Einzelrichter das Strafverfahren ein, weil am 12. Februar 2014 die Verfolgungsverjährung eingetreten sei.
A._ erstattete am 30. Dezember 2015 Strafanzeige gegen C._ und B._ wegen Begünstigung. A._ wirft C._ vor, er habe durch unnötige und rechtswidrige Sistierungen in der erwähnten Strafuntersuchung dazu beigetragen, dass die angezeigte Ehrverletzung am Tag der Hauptverhandlung bereits verjährt gewesen sei. B._ wird von A._ vorgeworfen, er habe die Hauptverhandlung so angesetzt, dass die angezeigte Ehrverletzung am Tag der Hauptverhandlung bereits verjährt gewesen sei.
B.
Die Staatsanwaltschaft I des Kantons Zürich überwies die Sache am 12. Januar 2016 via Leitung der Staatsanwaltschaft und Oberstaatsanwaltschaft des Kantons Zürich ans Obergericht des Kantons Zürich zum Entscheid über die Erteilung bzw. Nichterteilung der Ermächtigung zur Durchführung einer Strafuntersuchung gegen die angezeigten Personen. Die Staatsanwaltschaft I beantragte, die Ermächtigung nicht zu erteilen, weil nach summarischer Prüfung keine Anhaltspunkte für eine vorsätzliche Tatbegehung vorlägen. Mit Beschluss vom 11. Februar 2016 erteilte die III. Strafkammer des Obergerichts der Staatsanwaltschaft die Ermächtigung zur Strafverfolgung gegen die angezeigten Personen nicht.
C.
Gegen den Beschluss des Obergerichts hat A._ am 21. März 2016 Beschwerde ans Bundesgericht erhoben. Er beantragt, der angefochtene Beschluss sei aufzuheben und die Ermächtigung zur Durchführung einer Strafuntersuchung gegen C._ und B._ zu erteilen. Die Vorinstanz, die Oberstaatsanwaltschaft, die Staatsanwaltschaft I sowie die Beschwerdegegner haben auf eine Vernehmlassung verzichtet.

Erwägungen:
1.
1.1. Beim angefochtenen Entscheid handelt es sich um einen letztinstanzlichen kantonalen Endentscheid in einer öffentlich-rechtlichen Angelegenheit (vgl. <ref-ruling> E. 1.3.1 S. 272), gegen den die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten ans Bundesgericht nach Art. 82 lit. a, Art. 86 Abs. 1 lit. d sowie Art. 90 BGG grundsätzlich zulässig ist. Eine Ausnahme von der Zulässigkeit der Beschwerde nach <ref-law> besteht nicht, zumal <ref-law> nur auf die obersten Vollziehungs- und Gerichtsbehörden anwendbar ist (<ref-ruling> E. 1.3.2 S. 272 f. mit Hinweis) und die Beschwerdegegner nicht in diese Kategorie fallen.
1.2. Gemäss <ref-law> ist zur Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten berechtigt, wer vor der Vorinstanz am Verfahren teilgenommen hat oder keine Möglichkeit zur Teilnahme erhalten hat (lit. a), durch den angefochtenen Entscheid oder Erlass besonders berührt ist (lit. b) und ein schutzwürdiges Interesse an dessen Aufhebung oder Änderung hat (lit. c). Das Bundesgericht prüft an sich von Amtes wegen, ob die beschwerdeführende Person beschwerdeberechtigt ist (vgl. <ref-law>). Immerhin hat der Beschwerdeführer im Hinblick auf <ref-law> darzulegen, dass die gesetzlichen Legitimationsvoraussetzungen erfüllt sind, soweit dies nicht ohne Weiteres ersichtlich ist (Urteil 1C_344/2012 vom 31. Oktober 2012 E. 1.3; <ref-ruling> E. 2 S. 403 f., 353 E. 1 S. 356, 249 E. 1.1 S. 251).
Der Beschwerdeführer hat am vorinstanzlichen Verfahren teilgenommen und ist mit seinen Anträgen nicht durchgedrungen, mithin formell beschwert. Näher zu prüfen ist, ob der Beschwerdeführer auch im Sinne von Art. 89 Abs. 1 lit. b und c BGG materiell beschwert ist, namentlich ob sich das Ergebnis der Überprüfung des angefochtenen Beschlusses auf seine rechtliche oder tatsächliche Stellung auswirken kann, so dass ihm im Falle des Obsiegens ein praktischer Nutzen entstünde (vgl. Urteil 1C_344/2012 vom 31. Oktober 2012 E. 1.4; <ref-ruling> E. 2.2 S. 284; <ref-ruling> E. 3 S. 84, 249 E. 1.3.2 S. 253), wozu er sich in seiner Beschwerde nicht äussert. Den Akten ist zu entnehmen, dass der Beschwerdeführer sich an einem allfälligen Strafverfahren gegen die Beschwerdegegner als Partei beteiligen und Zivilansprüche geltend machen will. Dies würde allerdings voraussetzen, dass er im Sinne von <ref-law> als geschädigte Person angesehen werden könnte, welche durch die fragliche Straftat in ihren Rechten unmittelbar verletzt worden ist. Soweit er gegen die Beschwerdegegner Strafanzeige wegen Begünstigung (<ref-law>) erhoben hat, erscheint dies zumindest fraglich (vgl. Urteile 1C_382/2012 vom 10. Oktober 2012 E. 2.6 sowie 1P.448/2000 vom 4. Oktober 2000 E. 1a).
Bestünden indessen Anzeichen, wonach der Beschwerdegegner 2 als Untersuchungsrichter das Bezirksgericht über den Zeitpunkt der möglichen Verjährung der angeblichen Ehrverletzung bewusst falsch informiert hätte oder wonach dem Beschwerdegegner 1 - wie der Beschwerdeführer geltend macht - bereits bei der Ansetzung der Hauptverhandlung bewusst gewesen wäre, dass die angebliche Tat am Tag der Hauptverhandlung möglicherweise bereits verjährt sein würde, wäre allenfalls auch eine Untersuchung wegen Amtsmissbrauchs (<ref-law>) einzuleiten. Diesfalls erschiene es nicht ausgeschlossen, den Beschwerdeführer insoweit als unmittelbar geschädigte Person anzusehen, welche sich als Partei an der Strafuntersuchung beteiligen könnte. Damit erscheint insgesamt genügend plausibel, dass das Ergebnis der Überprüfung des vorliegend angefochtenen Beschlusses sich auf die rechtliche oder tatsächliche Stellung des Beschwerdeführers auswirken könnte, womit er auch im Sinne von Art. 89 Abs. 1 lit. b und c BGG als materiell beschwert zu betrachten ist.
1.3. Da auch die übrigen Sachurteilsvoraussetzungen erfüllt sind, ist auf die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten vorbehältlich zulässiger und genügend begründeter Rügen (vgl. Art. 42 Abs. 2 sowie Art. 106 Abs. 2 BGG) grundsätzlich einzutreten. Zulässiger Gegenstand der Beschwerde ist der Beschluss der Vorinstanz über die Nichterteilung der Ermächtigung zur Strafuntersuchung gegen die Beschwerdegegner. Nicht weiter einzugehen ist auf die Ausführungen des Beschwerdeführers, die damit in keinem direkten Zusammenhang stehen.
2.
2.1. Nach <ref-law> sind die Strafbehörden verpflichtet, im Rahmen ihrer Zuständigkeit ein Verfahren einzuleiten und durchzuführen, wenn ihnen Straftaten oder auf Straftaten hinweisende Verdachtsgründe bekannt werden. Gemäss <ref-law> können die Kantone allerdings vorsehen, dass die Strafverfolgung der Mitglieder ihrer Vollziehungs- und Gerichtsbehörden wegen im Amt begangener Verbrechen oder Vergehen von der Ermächtigung einer nicht richterlichen oder richterlichen Behörde abhängt.
2.2. Nach § 148 des Gesetzes vom 10. Mai 2010 über die Gerichts- und Behördenorganisation im Zivil- und Strafprozess des Kantons Zürich (GOG; LS 211.1) setzt im Kanton Zürich die Eröffnung einer Strafuntersuchung gegen Beamte im Sinne von <ref-law> wegen im Amt begangener Verbrechen oder Vergehen eine Ermächtigung des Obergerichts voraus. Vorbehalten bleibt § 38 Abs. 1 des Kantonsratsgesetzes des Kantons Zürich vom 5. April 1981 (KRG; LS 171.1), wonach die Eröffnung einer Strafuntersuchung gegen ein Mitglied des Regierungsrats oder eines obersten kantonalen Gerichts wegen eines in Ausübung seines Amtes begangenen Verbrechens oder Vergehens eine Ermächtigung des Kantonsrats voraussetzt. Mit diesen kantonalen Bestimmungen, die gemäss bundesgerichtlicher Rechtsprechung den bundesrechtlichen Anforderungen (namentlich <ref-law>) Rechnung tragen, sollen Staatsbedienstete vor mutwilliger Strafverfolgung geschützt werden (<ref-ruling> E. 2.2 f. S. 276 f.).
2.3. In verfassungskonformer Auslegung von <ref-law> dürfen in solchen Ermächtigungsverfahren - ausser bei obersten Vollziehungs- und Gerichtsbehörden - nur strafrechtliche Gesichtspunkte berücksichtigt werden. Über die Ermächtigung zur Strafverfolgung darf insbesondere nicht nach Opportunität entschieden werden (<ref-ruling> E. 2.4 S. 277 f.). Das schliesst aber nicht aus, für die Erteilung der Ermächtigung genügende minimale Hinweise auf strafrechtliches Verhalten zu verlangen. Nicht jeder behördliche Fehler begründet eine Pflicht, die Ermächtigung zur Strafverfolgung zu erteilen. Vielmehr darf dafür vorausgesetzt werden, dass ein strafrechtlich relevantes Verhalten in minimaler Weise glaubhaft erscheint, mithin genügende Anhaltspunkte für eine strafbare Handlung vorliegen (Urteil 1C_587/2015 vom 10. März 2016 E. 2.4 mit Hinweisen).
3.
Zu prüfen ist folglich, ob ein strafrechtlich relevantes Verhalten der Beschwerdegegner in minimaler Weise glaubhaft erscheint, mithin genügende Anhaltspunkte für eine strafbare Handlung vorliegen.
3.1. Wer jemanden der Strafverfolgung, dem Strafvollzug oder dem Vollzug einer der in den Art. 59-61, 63 und 64 StGB vorgesehenen Massnahmen entzieht, wird mit Freiheitsstrafe bis zu drei Jahren oder Geldstrafe bestraft (<ref-law>). Mitglieder einer Behörde oder Beamte, die ihre Amtsgewalt missbrauchen, um sich oder einem andern einen unrechtmässigen Vorteil zu verschaffen oder einem andern einen Nachteil zuzufügen, werden mit Freiheitsstrafe bis zu fünf Jahren oder Geldstrafe bestraft (<ref-law>).
Strafbar ist sowohl eine Begünstigung im Sinne von <ref-law> als auch Amtsmissbrauch im Sinne von <ref-law> nur bei vorsätzlicher Tatbegehung (vgl. <ref-law>). Vorsätzlich begeht ein Verbrechen oder Vergehen, wer die Tat mit Wissen und Willen ausführt bzw. wer die Verwirklichung der Tat für möglich hält und in Kauf nimmt (<ref-law>).
3.2. Der Beschwerdeführer legt nicht substanziiert dar, inwiefern die Vorinstanz den entscheidwesentlichen Sachverhalt geradezu willkürlich oder sonst im Sinne von <ref-law> rechtsverletzend festgestellt haben sollte. Dies ist auch nicht ersichtlich, sodass von den nachfolgend wiedergegebenen tatsächlichen Gegebenheiten auszugehen ist (vgl. Art. 97 Abs. 1 i.V.m. Art. 105 Abs. 1 und 2 BGG).
Das vom Beschwerdeführer eingeleitete Strafverfahren betreffend Ehrverletzung gegen einen Journalisten sowie die Herausgeberin der Zeitschrift wurde im Jahr 2011 sistiert. Mit Verfügung vom 21. März 2013 wies der Beschwerdegegner 2 als Untersuchungsrichter einen Antrag des Beschwerdeführers auf Aufhebung der Sistierung ab. Mit Beschluss vom 21. Juni 2013 hob das Obergericht die Verfügung vom 21. März 2013 sowie die Sistierung des Strafverfahrens auf Beschwerde hin auf, wobei es unter anderem darauf hinwies, dass die Zeitschrift D._ alle 14 Tage erscheine, weshalb die vorliegend interessierende Ausgabe wohl in der ersten Hälfte des Februars 2010 publiziert worden sei und die Verjährung der angeblichen Ehrverletzung folglich Anfang Februar 2014 eintrete. Mit Verfügung vom 3. Oktober 2013 sistierte der Beschwerdegegner 2 die Strafuntersuchung erneut, soweit der Beschwerdeführer in der fraglichen Ausgabe der Zeitschrift D._ als Datendieb bezeichnet worden war. Dabei stellte sich der Beschwerdegegner 2 auf den Standpunkt, bei der fraglichen Ausgabe der Zeitschrift D._ habe es sich um die Märzausgabe 2010 gehandelt, womit eine Verjährung Anfang März drohe. Im Übrigen, d.h. in Bezug auf die vom Beschwerdeführer weiter als ehrverletzend taxierten Passagen des Artikels, schloss der Beschwerdegegner 2 die Strafuntersuchung am 5. November 2013 ab und überwies den Fall insoweit ans Bezirksgericht Zürich zwecks Zuteilung an das sachlich zuständige Einzelgericht. Gleichzeitig vermerkte er unter Hinweis auf die "Märzausgabe der D._ 2010" ausdrücklich, dass Anfang März 2014 die Verfolgungsverjährung drohe.
In der Folge setzte der Beschwerdegegner 1 als Einzelrichter die Hauptverhandlung auf den 24. Februar 2014 an. Mit Beschluss vom 22. Januar 2014 hob das Obergericht die Sistierungsverfügung vom 3. Oktober 2013 auf. Dabei hielt es unter anderem fest, es handle sich bei der fraglichen Ausgabe der Zeitschrift D._ nicht um die Märzausgabe 2010, sondern um die dritte Ausgabe im Jahr 2010, herausgegeben am 12. Februar 2010. Mit Verfügung vom 2. Mai 2014 stellte der Beschwerdegegner 1 das Strafverfahren ein, weil am 12. Februar 2014 die Verfolgungsverjährung eingetreten sei.
3.3.
3.3.1. Die Vorinstanz kam im angefochtenen Entscheid zum Schluss, ein strafrechtlich relevantes Verhalten der Beschwerdegegner sei nicht ersichtlich. Für die zweifache Sistierung des vom Beschwerdeführer eingeleiteten Strafverfahrens durch den Beschwerdegegner 2 hätten nachvollziehbare Gründe vorgelegen, selbst wenn sich diese im Rahmen von Rechtsmittelverfahren ans Obergericht als unzutreffend erwiesen hätten. Sodann sei davon auszugehen, dass der Beschwerdegegner 1 die Hauptverhandlung auf einen Termin angesetzt habe, der nach seinem damaligen Erkenntnisstand noch einen Entscheid vor Eintritt der Verjährung ermöglicht hätte.
3.3.2. Dem Beschwerdeführer ist zuzugestehen, dass nicht ohne weiteres einleuchtet, weshalb der Beschwerdegegner 2 im Strafverfahren betreffend Ehrverletzung gegen einen Journalisten sowie die Herausgeberin der Zeitschrift trotz den entgegenstehenden Ausführungen des Obergerichts vom 21. Juni 2013 zuhanden des Sachrichters noch am 5. November 2013 ausdrücklich vermerkte, es drohe die Verfolgungsverjährung Anfang März. Für den Beschwerdeführer zweifellos unbefriedigend ist der Umstand, dass die Hauptverhandlung erst am 24. Februar 2014 durchgeführt wurde, obwohl der Beschwerdegegner 1 als zuständiger Einzelrichter aufgrund der gesamten Akten hätte rechtzeitig erkennen können, dass die angebliche Tat am Tag der Hauptverhandlung möglicherweise bereits verjährt sein würde. Sofern den Beschwerdegegnern allerdings tatsächlich prozessuale Fehler vorzuwerfen sind, lässt sich daraus noch nicht ableiten, es bestünden genügende Anhaltspunkte für eine strafbare Handlung, zumal nicht jedes rechtswidrige Handeln der Behörden strafrechtlich relevant ist.
3.3.3. Es ist nicht ersichtlich, inwiefern der Umstand, dass der Beschwerdegegner 2 die Strafuntersuchung zunächst sistiert liess und er sie später teilweise erneut sistierte, im erwähnten Sinne strafbar sein könnte, zumal die mit den Sistierungen verbundenen Verzögerungen an sich - selbst wenn sie (teilweise) ungerechtfertigt gewesen wären - klarerweise weder als Missbrauch der Amtsgewalt einzustufen sind noch dazu führten, dass die angezeigten Personen der Strafverfolgung oder dem Strafvollzug entzogen wurden. Auch bestehen keinerlei Anzeichen, wonach der Beschwerdegegner 2 den Sachrichter am 5. November 2013 über den Zeitpunkt der möglichen Verjährung bewusst falsch informiert hätte. Es muss vielmehr davon ausgegangen werden, dass der Beschwerdegegner 2 zu diesem Zeitpunkt die an sich klaren Ausführungen des Obergerichts vom 21. Juni 2013 unsorgfältigerweise nicht oder nicht mehr präsent hatte.
Es erscheint sodann naheliegend, dass sich der Beschwerdegegner 1 auf den ausdrücklichen Hinweis des Beschwerdegegners 2 vom 5. November 2013 verlassen und die Hauptverhandlung auf einen Termin angesetzt hat, der nach seinem damaligen Erkenntnisstand noch einen Entscheid vor dem Eintritt der Verjährung ermöglichen sollte. Es bestehen keinerlei Hinweise, dass der Beschwerdegegner 1 vor dem 12. Februar 2014 vom Beschwerdeführer oder von einer anderen Person aktiv darüber informiert worden wäre, dass die Verfolgungsverjährung bereits am 12. Februar 2014 eintreten könnte, weil die fragliche Ausgabe der Zeitschrift D._ nicht erst im März 2010, sondern bereits am 12. Februar 2010 veröffentlicht worden sei.
Strafbar sind sowohl Begünstigung als auch Amtsmissbrauch nur bei vorsätzlicher Tatbegehung (vgl. E. 3.1 hiervor). Selbst wenn man zum Schluss kommt, die Beschwerdegegner hätten mit ihrem Verhalten allenfalls den Tatbestand der Begünstigung oder des Amtsmissbrauchs objektiv erfüllt, bestünden nach dem Ausgeführten jedenfalls keine genügenden Anhaltspunkte für eine vorsätzliche oder eventualvorsätzliche Tatbegehung.
4.
Nach dem Ausgeführten durfte die Vorinstanz die Ermächtigung zur Eröffnung einer Strafuntersuchung verweigern, ohne Art. 7 Abs. 2 lit. b i.V.m. <ref-law> oder sonst im Sinne von <ref-law> Recht zu verletzen. Damit ist die Beschwerde abzuweisen, soweit darauf einzutreten ist. Bei diesem Ausgang des Verfahrens wird der Beschwerdeführer grundsätzlich kostenpflichtig. Es rechtfertigt sich jedoch, umständehalber ausnahmsweise auf die Erhebung von Gerichtskosten zu verzichten (vgl. <ref-law>). Die Beschwerdegegner haben keinen Anspruch auf eine Parteientschädigung, zumal sie sich nicht vernehmen liessen (vgl. Art. 68 Abs. 1 und 2 BGG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.
Es werden keine Kosten erhoben.
3.
Dieses Urteil wird den Parteien, der Staatsanwaltschaft I des Kantons Zürich, der Oberstaatsanwaltschaft des Kantons Zürich und dem Obergericht des Kantons Zürich, III. Strafkammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 14. Juli 2016
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Fonjallaz
Der Gerichtsschreiber: Mattle