Sachverhalt:
A.
Die Bundesanwaltschaft führt eine Reihe von Strafuntersuchungen betreffend mögliche Bestechungen rund um die brasilianische Unternehmung B._. Am 2. Juli 2015 eröffnete sie in diesem Zusammenhang die Strafuntersuchung Nr. SV.15.0775 und am 16. Juli 2015 stellte sie ein erstes internationales Rechtshilfeersuchen in Strafsachen an Brasilien, worin sie die Befragung verschiedener Personen beantragte. Dem Ersuchen waren unter anderem in der Schweiz erhobene Bankunterlagen beigelegt. Das Bundesstrafgericht hiess die dagegen von Inhabern dieser Konten erhobenen Beschwerden mit Entscheid vom 18. März 2016 teilweise gut. Es hielt fest, die Herausgabe der Bankunterlagen sei unzulässig gewesen, und wies die Bundesanwaltschaft an, ein nachträgliches Rechtshilfeverfahren durchzuführen, um die Voraussetzungen der Rechtshilfe zu prüfen.
Am 26. Januar 2016 erfolgte eine Ausdehnung der Untersuchung auf A._. Mit ergänzendem Rechtshilfeersuchen vom 29. Februar 2016 bat die Bundesanwaltschaft die brasilianischen Behörden unter anderem um die Durchsuchung der Büroräumlichkeiten und des Privatdomizils von A._ und um dessen Einvernahme als beschuldigte Person. Am 8. April 2016 informierte ihn die Bundesanwaltschaft, dass die Durchführung eines Teils der rechtshilfeweise beantragten Untersuchungsmassnahmen, insbesondere die Befragung, in der Woche ab 9. Mai 2016 in Brasilien vorgesehen sei. Dagegen sowie gegen die beiden vorangehenden Rechtshilfeersuchen erhob A._ am 3. Mai 2016 Beschwerde. Mit Entscheid vom 13. Dezember 2016 trat das Bundesstrafgericht auf das Rechtsmittel nicht ein.
B.
Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten vom 23. Dezember 2016 ans Bundesgericht beantragt A._ im Wesentlichen, die Rechtshilfeersuchen vom 16. Juli 2015 und vom 29. Februar 2016 seien für nichtig zu erklären. Die Verfügung der Bundesanwaltschaft vom 9. Mai 2016 sei dementsprechend aufzuheben und sämtliche künftigen Untersuchungsmassnahmen im Verfahren Nr. SV.15.0775, darunter insbesondere die vorgesehenen Anhörungen in Brasilien, seien für unzulässig zu erklären.
Es wurde kein Schriftenwechsel durchgeführt.

Erwägungen:
1.
1.1. Gemäss <ref-law> ist gegen einen Entscheid auf dem Gebiet der internationalen Rechtshilfe in Strafsachen die Beschwerde nur zulässig, wenn er unter anderem eine Übermittlung von Informationen aus dem Geheimbereich betrifft und es sich um einen besonders bedeutenden Fall handelt (Abs. 1). Ein besonders bedeutender Fall liegt insbesondere vor, wenn Gründe für die Annahme bestehen, dass elementare Verfahrensgrundsätze verletzt worden sind oder das Verfahren im Ausland schwere Mängel aufweist (Abs. 2).
<ref-law> bezweckt die wirksame Begrenzung des Zugangs zum Bundesgericht im Bereich der internationalen Rechtshilfe in Strafsachen (<ref-ruling> E. 1.3.1 S. 160 mit Hinweisen). Ein besonders bedeutender Fall ist mit Zurückhaltung anzunehmen (<ref-ruling> E. 2.4 S. 144 mit Hinweis).
Bei der Beantwortung der Frage, ob ein besonders bedeutender Fall gegeben ist, steht dem Bundesgericht ein weiter Ermessensspielraum zu (<ref-ruling> E. 1.3.1 S. 160 mit Hinweis).
Gemäss <ref-law> ist in der Begründung der Rechtsschrift in gedrängter Form darzulegen, inwiefern der angefochtene Akt Recht verletzt. Ist eine Beschwerde nur unter der Voraussetzung zulässig, dass ein besonders bedeutender Fall nach Artikel 84 vorliegt, so ist auszuführen, warum diese Voraussetzung erfüllt ist.
Erachtet das Bundesgericht eine Beschwerde auf dem Gebiet der internationalen Rechtshilfe in Strafsachen als unzulässig, so fällt es gemäss <ref-law> - abgesehen von einem hier nicht gegebenen Ausnahmefall - den Nichteintretensentscheid innert 15 Tagen seit Abschluss eines allfälligen Schriftenwechsels.
Nach <ref-law> entscheidet die Abteilung in Dreierbesetzung über Nichteintreten auf Beschwerden, bei denen kein besonders bedeutender Fall vorliegt (Abs. 1). Der Entscheid wird summarisch begründet. Es kann ganz oder teilweise auf den angefochtenen Entscheid verwiesen werden (Abs. 3).
1.2. Vorliegend handelt es sich nicht um einen besonders bedeutenden Fall.
Das Bundesstrafgericht legte die beschränkten Rechtsschutzmöglichkeiten bei aktiver internationaler Strafrechtshilfe zutreffend dar. Darauf kann verwiesen werden. Weiter hielt es fest, soweit der Beschwerdeführer behaupte, es würden Bankdokumente unter Umgehung der Voraussetzungen der passiven Rechtshilfe an Brasilien herausgegeben, sei er nach <ref-law> (SR 351.1) nicht zur Beschwerde berechtigt. Er sei lediglich als Beschuldigter zu befragen. In den Akten gebe es keine Hinweise darauf, dass mit den beiden Rechtshilfeersuchen auch Bankunterlagen betreffend ein auf ihn lautendes Konto an die brasilianischen Behörden übermittelt worden wären.
Der Beschwerdeführer macht geltend, dass er im Rechtshilfeersuchen vom 29. Februar 2016 direkt erwähnt werde und die Bankunterlagen, die Gegenstand des Entscheids des Bundesstrafgerichts vom 18. März 2016 bildeten, "direkt auf ihn zurückzuführen seien". Damit zeigt er jedoch nicht konkret auf, dass das Bundesstrafgericht seine Beschwerdelegitimation hätte bejahen müssen. Dasselbe gilt für seine Behauptung, es sei nicht voraussehbar, welche anderen Beweismittel aus dem Geheimbereich die Bundesanwaltschaft anlässlich der Anhörungen noch verwenden könnte.
Die Beschwerde ist demnach unzulässig.
2.
Auf die Beschwerde ist nicht einzutreten.
Das Gesuch des Beschwerdeführers um aufschiebende Wirkung wird damit gegenstandslos.
Bei diesem Ausgang des Verfahrens sind die Gerichtskosten dem Beschwerdeführer aufzuerlegen (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 1'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer, der Schweizerischen Bundesanwaltschaft, dem Bundesstrafgericht, Beschwerdekammer, und dem Bundesamt für Justiz, Fachbereich Rechtshilfe, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 5. Januar 2017
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Merkli
Der Gerichtsschreiber: Dold