Sachverhalt:
A.
B._ und A._ (beide Jahrgang 1984) sind die Eltern des gemeinsamen Sohnes C._ (geb. 2008). Mit Urteil vom 15. April 2010 erhob das Stadtgericht Keszthely (Ungarn) eine zwischen den Eltern geschlossene Vereinbarung zum Urteil, in der sich der Vater verpflichtete, der Mutter an den Unterhalt des Kindes monatlich EUR 220.-- zu zahlen (Urteil 7.P.20.698/2009/11).
B.
B.a. Am 14. Januar 2016 gelangte A._ an das Bezirksgericht Pfäffikon (ZH). Sie stellte folgende Rechtsbegehren:
"1. Es sei das Urteil vom 15. April 2010 des Stadtgerichts Keszthely, Ungarn, 7.P.20.698/2009/11, für vollstreckbar zu erklären.
2. Es sei festzustellen, dass der Gesuchsgegner der Gesuchstellerin gestützt auf das Urteil vom 15. April 2010 des Stadtgerichts Keszthely, Ungarn, 7.P.20.698/2009/11, an den Unterhalt des gemeinsamen Sohnes seit dem 1. April 2010, einen monatlichen, bis zum 10. jedes Monats im Voraus fälligen Kindesunterhalt von EUR 220.-- zu leisten habe.
3. Der Gesuchstellerin sei für das vorliegende Verfahren die vollumfängliche unentgeltliche Rechtspflege zu gewähren. Sie sei von der Pflicht, einen Gerichtskosten- und Anwaltskostenvorschuss zu leisten, zu befreien. Der Gesuchstellerin sei der Unterzeichnende, Rechtsanwalt Sandor Horvath, als unentgeltlicher Rechtsbeistand beizugeben.
4. Unter Kosten- und Entschädigungsfolgen zulasten des Staates."
B.b. Mit Urteil und Verfügung vom 11. Februar 2016 erklärte das Bezirksgericht das Urteil des Stadtgerichts Keszthely, Ungarn, 7.P.20.698/2009/11, für vollstreckbar (Ziff. 1 des Urteils). Auf die Feststellungsklage trat das Bezirksgericht nicht ein (Ziff. 2 des Urteils). Die Gerichtskosten von Fr. 1'000.-- auferlegte das Bezirksgericht den Parteien je zur Hälfte (Ziff. 3 und 4 des Urteils). Parteientschädigungen wurden keine zugesprochen (Ziff. 5 des Urteils). A._ wurde die unentgeltliche Prozessführung gewährt (Ziff. 1 der Verfügung). Ihr Begehren um Bestellung eines unentgeltlichen Rechtsbeistandes wies das Bezirksgericht jedoch ab (Ziff. 2 der Verfügung).
C.
Gegen die Verweigerung der unentgeltli chen Verbeiständung legte A._ beim Obergericht des Kantons Zürich Beschwerde ein. Mit Beschluss und Urteil vom 22. April 2016 bzw. berichtigtem Urteil vom 24. Mai 2016 wies das Obergericht die Beschwerde ab, soweit es darauf eintrat (Ziff. 1 des Urteils), und auferlegte A._ die Entscheidgebühr von Fr. 1'000.-- (Ziff. 2 des Urteils). Parteientschädigungen wurden keine zugesprochen (Ziff. 3 des Urteils). Den Antrag von A._ auf Bewilligung der unentgeltlichen Rechtspflege und Verbeiständung für das zweitinstanzliche Verfahren wies das Obergericht ab (Ziff. 1 des Beschlusses). Auf den Antrag, Rechtsanwalt Sandor Horvath für seine Bemühungen als unentgeltlicher Rechtsbeistand im erstinstanzlichen Verfahren mit Fr. 1'496.45 (inkl. Auslagen und 8 % Mehrwertsteuer) zu entschädigen, trat das Obergericht nicht ein (Ziff. 2 des Beschlusses).
D.
D.a. Mit Beschwerde in Zivilsachen, eventualiter subsidiärer Verfassungsbeschwerde vom 23. Mai und 7. Juni 2016 wendet sich A._ (Beschwerdeführerin) an das Bundesgericht. Sie verlangt, die Ziffern 1 und 2 des Beschlusses sowie die Ziffern 1 bis 3 des Urteils des Obergerichts (s. Bst. C) aufzuheben und ihr für das Verfahren vor dem Bezirkgericht Pfäffikon sowie für das Verfahren vor dem Obergericht die vollumfängliche unentgeltliche Rechtspflege zu gewähren und den unterzeichnenden Anwalt als unentgeltlichen Rechtsbeistand zu ernennen. Auch für das Verfahren vor Bundesgericht ersucht die Beschwerdeführerin um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege.
D.b. Eingeladen, zur Beschwerde Stellung zu nehmen, hat das Obergericht auf eine Vernehmlassung verzichtet (Mitteilung vom 27. September 2016).
D.c. Am 18. Oktober 2016 hat die Beschwerdeführerin unaufgefordert eine Kostennote für das Verfahren vor dem Bundesgericht über Fr. 2'122.45 eingereicht.

Erwägungen:
1.
1.1. Angefochten ist zunächst der Entscheid, mit dem das Obergericht die kantonale Beschwerde gegen die Verweigerung der unentgeltlichen Verbeiständung im erstinstanzlichen Verfahren abweist bzw. darauf nicht eintritt. Dieser Entscheid erging von einer letzten kantonalen Instanz, die als oberes Gericht auf Rechtsmittel hin entschieden hat (Art. 75 Abs. 1 und 2 BGG). Die Beschwerdeführerin ficht auch die Abweisung ihres Gesuchs um unentgeltliche Rechtspflege für das kantonale Beschwerdeverfahren und den zweitinstanzlichen Kostenentscheid an. Die Tatsache, dass das Obergericht diesbezüglich nicht als Rechtsmittelinstanz im Sinne von <ref-law> entschieden hat, steht der Beschwerde an das Bundesgericht nicht entgegen (<ref-ruling> E. 2.2 S. 426 f. mit Hinweisen).
1.2. Der Rechtsweg im Streit um die unentgeltliche Rechtspflege folgt jenem der Hauptsache (Urteile 5A_463/2016 vom 12. August 2016 E. 1.2; 5A_58/2014 vom 17. Oktober 2014 E. 1.3). Dort geht es um die Vollstreckbarerklärung eines ausländischen Unterhaltsurteils, also um einen öffentlich-rechtlichen Entscheid, der in unmittelbarem Zusammenhang mit Zivilrecht steht (Art. 72 Abs. 2 Bst. b Ziff. 1 BGG) und vermögensrechtlicher Natur ist. Der Streitwert übersteigt Fr. 30'000.-- (Art. 74 Abs. 1 Bst. b BGG). Die weiteren Eintretensvoraussetzungen sind erfüllt und geben zu keinen Bemerkungen Anlass. Auf die Beschwerde in Zivilsachen ist einzutreten. Die subsidiäre Verfassungsbeschwerde erweist sich als gegenstandslos (<ref-law>).
2.
Mit der Beschwerde in Zivilsachen können Rechtsverletzungen gemäss Art. 95 f. BGG geltend gemacht werden. Dazu zählt neben dem Bundesrecht (Art. 95 Bst. a BGG) auch das Völkerrecht (Art. 95 Bst. b BGG). Das Bundesgericht wendet das Recht grundsätzlich von Amtes wegen an (<ref-law>) und prüft mit freier Kognition, ob der angefochtene Entscheid Recht verletzt. Es befasst sich aber nur mit formell ausreichend begründeten Einwänden und behandelt nicht von sich aus Fragen, die von den Parteien nicht mehr aufgeworfen werden (<ref-law>; <ref-ruling> E. 2 S. 88 f.; <ref-ruling> E. 1.1 S. 104 f.). Was den Sachverhalt angeht, legt das Bundesgericht seinem Urteil die vorinstanzlichen Feststellungen zugrunde (<ref-law>). Diesbezüglich kann die rechtsuchende Partei nur vorbringen, die vorinstanzlichen Feststellungen seien offensichtlich unrichtig (<ref-law>), das heisst willkürlich (vgl. <ref-ruling> E. 4.3 S. 62; <ref-ruling> E. 1.2.2 S. 252), oder würden auf einer anderen Rechtsverletzung im Sinn von <ref-law> (z.B. <ref-law> oder <ref-law>) beruhen (Urteil 5A_374/2010 vom 9. Juli 2010 E. 1). In der Beschwerde ist überdies darzutun, inwiefern die Behebung der gerügten Mängel für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein kann (<ref-law>; <ref-ruling> E. 2.2.2 S. 22).
3.
3.1. Dass auf den vorliegenden Fall das Übereinkommen über die gerichtliche Zuständigkeit und die Anerkennung und Vollstreckung von Entscheidungen in Zivil- und Handelssachen vom 30. Oktober 2007 (Lugano-Übereinkommen, LugÜ; SR 0.275.12) Anwendung findet, ergibt sich aus <ref-law> i.V.m. <ref-law> (SR 291) und wird, was die Anwendbarkeit dieses Übereinkommens in zeitlicher Hinsicht (Art. 63 Ziff. 2 Bst. b LugÜ) angeht, von den Parteien auch nicht in Abrede gestellt. Darauf ist nicht weiter einzugehen (E. 2).
3.2. Die Art. 38-52 LugÜ regeln die Vollstreckung im Ausland ergangener Entscheide. Nach <ref-law> werden die in einem durch dieses Übereinkommen gebundenen Staat ergangenen Entscheidungen, die in diesem Staat vollstreckbar sind, in einem anderen durch dieses Übereinkommen gebundenen Staat vollstreckt, wenn sie dort auf Antrag eines Berechtigten für vollstreckbar erklärt worden sind. <ref-law> regelt die Zuständigkeit für den Entscheid über den Antrag auf Vollstreckbarerklärung, <ref-law> das Verfahren; insbesondere sind dem Antrag auf Vollstreckbarerklärung die in <ref-law> angeführten Urkunden beizufügen (<ref-law>). Sobald die in <ref-law> vorgesehenen Förmlichkeiten erfüllt sind, wird die Entscheidung unverzüglich für vollstreckbar erklärt, ohne dass eine Prüfung nach den Art. 34 und 35 LugÜ erfolgt. Der Schuldner erhält in diesem Abschnitt des Verfahrens keine Gelegenheit, eine Erklärung abzugeben (<ref-law>). <ref-law> handelt von der Mitteilung des Entscheids über den Antrag auf Vollstreckbarerklärung an den Antragsteller und an den Schuldner. Gegen die Entscheidung über den Antrag auf Vollstreckbarerklärung kann jede Partei einen Rechtsbehelf einlegen (<ref-law>). Über den Rechtsbehelf wird nach den Vorschriften entschieden, die für Verfahren mit beiderseitigem rechtlichen Gehör massgebend sind (<ref-law>).
3.3. <ref-law> äussert sich zur unentgeltlichen Rechtspflege und bestimmt Folgendes: Ist dem Antragsteller im Ursprungsstaat ganz oder teilweise Prozesskostenhilfe oder Kosten- und Gebührenbefreiung gewährt worden, so geniesst er im Verfahren nach diesem Abschnitt, das heisst nach den Art. 38-52 LugÜ, hinsichtlich der Prozesskostenhilfe oder der Kosten- und Gebührenbefreiung die günstigste Behandlung, die das Recht des Vollstreckungsstaats vorsieht.
4.
Der Streit dreht sich um den Anspruch der Beschwerdeführerin auf unentgeltliche Verbeiständung im erstinstanzlichen Verfahren betreffend die Vollstreckbarerklärung des ungarischen Unterhaltsurteils.
4.1. Dem angefochtenen Entscheid zufolge bedeutet die nach dem Recht des Vollstreckungsstaats vorgesehene "günstigste Behandlung" (<ref-law>; E. 3.3), dass das um Vollstreckung ersuchte Gericht von einem Gesuchsteller, dem die unentgeltliche Rechtspflege bereits im Ursprungsstaat gewährt worden war, nicht erneut den Nachweis seiner Prozessarmut fordern darf. Im Übrigen findet das Obergericht, dass der Antragsteller nicht besser zu stellen sei als ein Inländer. Deshalb dürfe das um Vollstreckung eines LugÜ-Titels ersuchte Gericht die Bestellung eines unentgeltlichen Rechtsbeistands nach Massgabe des schweizerischen Rechts davon abhängig machen, dass das Rechtsbegehren des Antragstellers nicht aussichtslos (Art. 117 Bst. b ZPO) und die Verbeiständung wirklich geboten (Art. 118 Abs. 1 Bst. c ZPO) ist. Im konkreten Fall kommt das Obergericht zum Schluss, die Beschwerdeführerin habe diese beiden Voraussetzungen im bezirksgerichtlichen Verfahren dargetan. Mit Bezug auf das Vollstreckbarerklärungsbegehren hätte ihr im erstinstanzlichen Verfahren deshalb ein unentgeltlicher Rechtsbeistand beigegeben werden müssen. Für das Feststellungsbegehren, das mangels Feststellungsinteresse offensichtlich unzulässig gewesen sei, habe die Beschwerdeführerin hingegen infolge Aussichtslosigkeit keinen Anspruch auf einen unentgeltlichen Rechtsbeistand gehabt.
Bezüglich der Bestellung eines unentgeltlichen Rechtsbeistands im Vollstreckbarerklärungsverfahren erklärt die Vorinstanz, <ref-law> i.V.m. Art. 118 Abs. 1 Bst. c ZPO verschaffe dem Antragsteller keinen Anspruch darauf, dass der unentgeltliche Rechtsbeistand in jedem Fall für sämtliche Aufwendungen vom Staat entschädigt wird. Vielmehr kämen die Kostenliquidationsregeln des schweizerischen Rechts nach <ref-law> zum Tragen. Falls die vertretene Partei obsiege, stehe dem unentgeltlichen Rechtsvertreter gegenüber dem Staat nur dann ein Entschädigungsanspruch zu, wenn die der Partei zugesprochene Entschädigung (Art. 95 Abs. 3 und Art. 106 Abs. 1 ZPO) bei der Gegenpartei nicht oder voraussichtlich nicht einbringbar ist, und auch dies nur unter Legalzession des Parteientschädigungsanspruchs an den Kanton. Im vorliegenden Fall habe es die Beschwerdeführerin im Verfahren vor dem Bezirksgericht verpasst, vom Unterhaltsschuldner eine Parteientschädigung zu verlangen. Sie habe sich auch nicht dagegen gewehrt, dass ihr das Bezirksgericht die zulasten des Staates beantragte Entschädigung verweigerte. Dementsprechend könne auch die staatliche Ausfallhaftung nach <ref-law> nicht greifen. Nachdem die Beschwerdeführerin im Verfahren vor dem Bezirksgericht nicht unterlegen sei, bestehe auch kein direkter Entschädigungsanspruch des unentgeltlichen Rechtsbeistands nach <ref-law>. Unter diesen Voraussetzungen würde die für das erstinstanzliche Verfahren in Bezug auf das Vollstreckbarerklärungsbegehren eigentlich zu bewilligende unentgeltliche Verbeiständung weder der Beschwerdeführerin noch Rechtsanwalt Sandor Horvath einen Rechtsvorteil verschaffen. Mithin fehle es an einem Rechtsschutzinteresse an der Aufhebung des erstinstanzlichen Entscheides, weshalb diesbezüglich auf die Beschwerde nicht einzutreten sei. Soweit indessen die Verweigerung der unentgeltlichen Verbeiständung für das Feststellungsbegehren angefochten werde, sei sei die Beschwerde abzuweisen.
Soweit die Beschwerdeführerin im kantonalen Beschwerdeverfahren erstmals verlange, Rechtsanwalt Sandor Horvat sei für seine Aufwendungen als unentgeltlicher Rechtsanwalt mit Fr. 1'496.45 (inkl. Auslagen und 8 % Mehrwertsteuer) zu entschädigen, handle es sich um einen neuen Antrag, der im Beschwerdeverfahren nicht zulässig sei. Die dazu eingereichte Kostennote stelle im Beschwerdeverfahren ein unzulässiges Novum dar (<ref-law>). Auf den Entschädigungsantrag sei deshalb nicht einzutreten.
4.2. Die Beschwerdeführerin hält daran fest, dass ihr im Verfahren vor dem Bezirksgericht auch für das Feststellungsbegehren ein unentgeltlicher Rechtsbeistand zustehe. Sie argumentiert, dass es in der Hauptsache um die Vollstreckbarerklärung gegangen und der Aufwand für das Feststellungsbegehren vernachlässigbar klein bzw. nicht so gross gewesen sei, dass es sich rechtfertigen würde, die unentgeltliche Rechtspflege einschliesslich der unentgeltlichen Verbeiständung nur für das Begehren um Vollstreckbarerklärung zu gewähren.
Die Beschwerdeführerin irrt sich, wenn sie meint, dass diese Ansicht auch in Erwägung 1.8 des angefochtenen Entscheids zum Ausdruck komme. Die vorinstanzlichen Erwägungen lassen keinen Zweifel daran, dass ihr für das Feststellungsbegehren kein unentgeltlicher Rechtsbeistand zusteht, weil es ihr am vorausgesetzten Feststellungsinteresse fehlte und das fragliche Begehren deshalb aussichtslos war (E. 4.1). Damit setzt sich die Beschwerdeführerin nicht auseinander. Ihre Behauptung, dem Feststellungsbegehren komme vom prozessualen Aufwand her nur untergeordnete Bedeutung zu, geht an der Sache vorbei. Das belegen schon die speziellen Voraussetzungen, von denen die Zulässigkeit eines solchen Antrags abhängt. Darüber musste sich die anwaltlich vertretene Beschwerdeführerin im Klaren sein. Die Beschwerde ist in dieser Hinsicht unbegründet.
4.3. Was die unentgeltliche Verbeiständung im Vollstreckbarerklärungsverfahren angeht, stellt sich die Beschwerdeführerin auf den Standpunkt, dass gemäss <ref-law> das um Vollstreckung ersuchte Gericht die ausländische Entscheidung in diesem Verfahren unverzüglich für vollstreckbar erkläre, sobald die in <ref-law> vorgesehenen Förmlichkeiten erfüllt sind. Eine Prüfung nach Art. 34 und 35 LugÜ erfolge nicht. Die Beschwerdeführerin erinnert daran, dass der Schuldner gemäss <ref-law> in diesem Abschnitt des Verfahrens keine Gelegenheit erhalte, eine Erklärung abzugeben. Könne sich der Schuldner zum Vollstreckbarkeitserklärungsbegehren aber nicht äussern, so dürfe von ihr als Gesuchstellerin nicht verlangt werden, einen Antrag auf Parteientschädigung zu Lasten des Unterhaltsschuldners zu stellen, um "wenigstens potentiell" die staatliche Ausfallhaftung nach <ref-law> zum Tragen zu bringen. Vielmehr habe sie es "gestützt auf <ref-law>" unterlassen, den Antrag auf Parteientschädigung zu Lasten des Unterhaltsschuldners zu stellen.
Zu Recht kritisiert die Beschwerdeführerin die Argumente, mit denen ihr das Obergericht im kantonalen Beschwerdeverfahren das Rechtsschutzinteresse abspricht. Wie sich aus der klaren Vorschrift von <ref-law> ergibt, ist das Verfahren der Vollstreckbarerklärung gemäss <ref-law> - anders als dasjenige nach <ref-law> ( s. <ref-law>) - in der erstinstanzlichen Phase als einseitiges Verfahren ausgestaltet (E. 3.2). Hatte das Bezirksgericht über das Gesuch der Beschwerdeführerin um Vollstreckbarerklärung des ungarischen Urteils zu befinden, ohne den Unterhaltsschuldner anzuhören (<ref-law>), so konnte es ihm in diesem Verfahren keine Prozesskosten auferlegen. Entsprechend kann der Beschwerdeführerin mit Blick auf die subsidiäre Natur der unentgeltlichen Rechtspflege auch nicht zum Vorwurf gereichen, im Verfahren vor dem Bezirksgericht kein Begehren auf Parteientschädigung zu Lasten des Unterhaltsschuldners gestellt zu haben. Die Sichtweise des Obergerichts, wonach der Kanton dem unentgeltlichen Rechtsbeistand für das erstinstanzliche Verfahren nur dann eine Entschädigung hätte ausrichten müssen, wenn die Beschwerdeführerin gegen den Schuldner eine Parteientschädigung erstritten und ohne Erfolg erhältlich zu machen versucht hätte, verkennt also die Natur des erstinstanzlichen Vollstreckbarerklärungsverfahrens, wie sie von <ref-law> vorgegeben ist. Als bundesrechtswidrig erweist sich in der Folge auch die Art und Weise, wie das Obergericht der Beschwerdeführerin im kantonalen Beschwerdeverfahren betreffend die unentgeltliche Verbeiständung für das Vollstreckbarerklärungsbegehren das Rechtsschutzinteresse abspricht.
4.4. Auch den weiteren Vorhalten des Obergerichts an die Adresse der Beschwerdeführerin ist der Boden entzogen. So wirft die Vorinstanz der Beschwerdeführerin vor, sie habe sich auch nicht gegen die Verweigerung einer Parteientschädigung zu Lasten des Staates gewehrt. Im selben Federstrich erklärt sie, dass der Staat "nicht Gegenpartei des Vollstreckbarerklärungsbegehrens" und die Parteientschädigung zulasten des Staates deshalb zu Recht verweigert worden sei. Trat der Kanton Zürich vor Bezirksgericht aber gar nicht als (potentiell entschädigungspflichtige) Gegenpartei in Erscheinung, so ist auch nicht nachvollziehbar, warum die Beschwerdeführerin ihren Anspruch auf unentgeltliche Verbeiständung vertan haben soll, weil sie die Abweisung ihres gegen den Staat gerichteten Entschädigungsantrags nicht anfocht.
Den vorinstanzlichen Erwägungen zur konkreten Entschädigung für Rechtsanwalt Sandor Horvath im erstinstanzlichen Verfahren und zur dazugehörigen Kostennote (E. 4.1 a.E.) kann angesichts der Art und Weise, wie das Obergericht das kantonale Beschwerdeverfahren erledigt, im Prinzip keine rechtliche Tragweite zukommen. Auch so erweisen sich die Bedenken der Vorinstanz aber als unbegründet. Das Novenverbot gemäss <ref-law> ist Ausdruck davon, dass das Beschwerdeverfahren nur der rechtlichen Überprüfung des angefochtenen Entscheids dient. Der gesetzliche Ausschluss von neuen Anträgen, neuen Tatsachenbehauptungen und neuen Beweismitteln beschlägt den Streitgegenstand. Im konkreten Fall hatte das Bezirksgericht der Beschwerdeführerin die unentgeltliche Verbeiständung mit der Begründung versagt, sie habe ihre Einkommens- und Vermögensverhältnisse nicht dargelegt. Entsprechend hatte die (rechtliche) Überprüfung des erstinstanzlichen Entscheids durch das Obergericht allein die Anspruchsvoraussetzungen der unentgeltlichen Verbeiständung im erstinstanzlichen Verfahren zum Gegenstand. Die Höhe der Entschädigung von Rechtsanwalt Sandor Horvath war vor der ersten Instanz hingegen (noch) kein Thema und konnte somit auch im Beschwerdeverfahren nicht Streitgegenstand sein. War die Höhe der Entschädigung im kantonalen Beschwerdeverfahren aber nicht Prozessthema, so fielen die diesbezüglichen Vorbringen der Beschwerdeführerin auch nicht unter das Novenverbot von <ref-law>. Sollte sich das Obergericht ausserstande sehen, die Entschädigung für Rechtsanwalt Sandor Horvath selbst festzusetzen, ist es ihm unbenommen, die Sache diesbezüglich an das Bezirksgericht zurückzuweisen.
5.
Im Ergebnis ist die Beschwerde abzuweisen, soweit sich die Beschwerdeführerin gegen die Verweigerung der unentgeltlichen Verbeiständung für das vor erster Instanz gestellte Feststellungsbegehren wehrt (E. 4.2). Demgegenüber ist sie (teilweise) gutzuheissen und der angefochtene Entscheid aufzuheben, soweit das Obergericht auf die kantonale Beschwerde gegen die Verweigerung der unentgeltlichen Verbeiständung für das vor dem Bezirksgericht gestellte Vollstreckbarerklärungsbegehren nicht eintritt. Die Sache ist diesbezüglich zur weiteren Behandlung und neuem Entscheid an das Obergericht zurückzuweisen. In der Folge muss die Vorinstanz auch die Kosten des kantonalen Beschwerdeverfahrens neu verteilen. Damit braucht das Bundesgericht nicht darüber zu entscheiden, ob das Obergericht der Beschwerdeführerin im kantonalen Beschwerdeverfahren die unentgeltliche Rechtspflege hätte gewähren müssen. Dem Kanton Zürich sind keine Gerichtskosten aufzuerlegen (<ref-law>). Er hat die Beschwerdeführerin für ihren Aufwand im bundesgerichtlichen Beschwerdeverfahren aber zu entschädigen (<ref-law>). Das Gesuch der Beschwerdeführerin um unentgeltliche Rechtspflege im Verfahren vor dem Bundesgericht wird damit gegenstandslos.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird gutgeheissen, das Urteil des Obergerichts des Kantons Zürich, I. Zivilkammer, vom 22. April 2016, teilweise berichtigt am 24. Mai 2016, wird aufgehoben und die Sache zu neuer Entscheidung im Sinne der Erwägungen an die Vorinstanz zurückgewiesen.
2.
Das Gesuch der Beschwerdeführerin um unentgeltliche Rechtspflege für das bundesgerichtliche Verfahren wird als gegenstandslos abgeschrieben.
3.
Der Kanton Zürich hat die Beschwerdeführerin mit Fr. 2'000.-- für das bundesgerichtliche Verfahren zu entschädigen.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Zürich, I. Zivilkammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 29. November 2016
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: von Werdt
Der Gerichtsschreiber: Monn