Faits :
A.
A._, domiciliée à B._, est assurée par SWICA Assurance-maladie SA (ci-après: SWICA) pour l'assurance obligatoire des soins en cas de maladie.
Interpelée par l'assurée, la caisse-maladie lui a indiqué dans quelle mesure elle prendrait en charge les frais relatifs à un accouchement au Centre Hospitalier C._ en France dans le cadre de l'assurance obligatoire des soins (lettre du 2 novembre 2012).
D._ est venue au monde au Centre C._ le 22 décembre 2012. Les factures relatives à l'accouchement et au séjour hospitalier ont été transmises à SWICA. Celle-ci a accepté de rembourser 6'153 fr. 55 sur un montant total de 33'367 fr. (décompte du 12 juin 2013) et refusé d'allouer de plus amples prestations ainsi que d'intervenir pour le second séjour de D._ au Centre C._ (décision du 18 septembre 2013 - confirmée sur opposition le 20 décembre 2013).
B.
B.a. Saisie d'un recours interjeté par A._ et sa fille contre la décision du 20 décembre 2013, la Chambre des assurances sociales de la Cour de justice de la République et canton de Genève a constaté qu'outre la somme déjà remboursée, la caisse-maladie devait prendre en charge les factures afférentes aux deux séjours de D._ au Centre C._ de 17'290 fr. 85 et de 3'495 euros (jugement du 19 janvier 2015).
L'assurée et SWICA ont toutes deux interjeté un recours en matière de droit public contre ce jugement devant le Tribunal fédéral. Celui-ci a partiellement admis le recours de la première, rejeté celui de la seconde et renvoyé la cause à l'autorité précédente pour instruction complémentaire et nouvelle décision (arrêt 9C_144/2015 et 9C_152/2015 du 17 juillet 2015).
B.b. Au terme de son instruction, le tribunal cantonal a rejeté le recours en tant qu'il portait sur la prise en charge par SWICA d'un solde de 6'720 euros. Il a considéré que l'intéressée n'avait pas pu établir la transmission du devis du Centre C._ à la caisse-maladie et, par voie de conséquence, la violation par cette dernière de son devoir de conseil (jugement du 23 mai 2016).
C.
Derechef, A._ a déféré le jugement cantonal au Tribunal fédéral par la voie d'un recours en matière de droit public; elle en demande l'annulation et conclut, principalement, à la condamnation de l'assureur-maladie à rembourser le solde des frais d'accouchement, par 8'064 fr. avec intérêts à 5 % l'an depuis le 1er janvier 2015, et, à titre subsidiaire, au renvoi de la cause à l'autorité judiciaire précédente pour instruction complémentaire.
SWICA a conclu au rejet du recours, alors que l'Office fédéral des assurances sociales a renoncé à se déterminer. Au terme d'une ultime prise de position, l'assurée a maintenu ses conclusions.

Considérant en droit :
1.
La recourante fait tout d'abord grief à la juridiction cantonale d'avoir expressément retenu de manière erronée que les parties n'avaient pas présenté d'observations à la suites des audiences d'enquête et de comparution des parties du 4 avril 2016 alors que cette autorité leur avait laissé jusqu'au 18 avril 2016 pour déposer leur détermination et qu'elles s'étaient déterminées dans le délai imparti. Elle considère que cette erreur a amené le tribunal cantonal à ignorer le grief développé alors et - par conséquent - à violer son droit d'être entendue. Elle rappelle que sa critique portait sur le devoir d'enregistrer tous les documents déterminants au sens de l'<ref-law> ainsi que sur la violation dudit devoir par l'assureur intimé (qui n'aurait pas conservé les courriels ni rédigé de comptes-rendus des entretiens téléphoniques) et que cette violation était à l'origine des difficultés pour établir la date de la communication du devis du Centre C._ à la caisse maladie intimée.
2.
2.1. Dans la mesure où l'assurée soulève un grief d'ordre formel contre le déroulement de la procédure cantonale, soit la violation de son droit d'être entendue (art. 29 al. 2 Cst.), celui-ci doit être examiné avant tout autre car, si le Tribunal fédéral devait admettre le recours sur ce point, le jugement attaqué devrait être annulé indépendamment des chances de succès du recours sur le fond et la cause renvoyée à la juridiction cantonale (cf. <ref-ruling> consid. 3d/aa p. 437).
2.2. Le droit d'être entendu de l'art. 29 al. 2 Cst. comprend le droit pour l'intéressé de s'exprimer sur tous les éléments pertinents avant qu'une décision qui touche sa situation juridique ne soit rendue (cf. <ref-ruling> consid. 3.1 p. 564) ainsi que le devoir pour l'autorité de motiver sa décision afin que le justiciable puisse en saisir la portée et exercer ses droits en connaissance de cause; il suffit que le juge indique, brièvement, les motifs qui l'ont guidé et sur lesquels il a fondé sa décision; il ne doit toutefois pas discuter tous les arguments soulevés, mais peut se limiter à ceux qu'il juge pertinents (cf. <ref-ruling> consid. 2.2 p. 84).
3.
En l'espèce, il apparaît que l'assurée s'était déterminée après les audiences d'enquête et de comparution des parties du 4 avril 2016 et qu'elle avait à cette occasion critiqué la constitution du dossier par l'assureur-maladie intimé et l'absence de sauvegarde de documents, en invoquant la violation de l'<ref-law> par celui-ci. Comme mentionné (supra consid. 2.2), l'autorité saisie n'a pas à s'exprimer sur tous les griefs soulevés - en particulier sur ceux qui ne sont pas pertinents - ou n'est pas tenue de le faire de façon expresse et circonstanciée. Cependant, le fait d'indiquer explicitement que "les parties [n'avaient] pas fait d'observation dans le délai qui leur [avait] été imparti [...]" et l'absence de la moindre allusion à l'argumentation développée alors par la recourante montrent que la juridiction cantonale a fait abstraction d'une écriture complémentaire de la recourante et d'éléments dont la pertinence ne saurait être écartée d'emblée et sans explication dès lors que la difficulté à prouver un fait peut résulter de la tenue du dossier. Ce faisant, elle a porté atteinte au droit d'être entendue de l'assurée.
Il convient donc d'annuler le jugement attaqué et de renvoyer la cause au tribunal cantonal pour qu'il prenne en compte les observations des parties et statue à nouveau.
4.
Vu l'issue du litige, les frais judiciaires et les dépens doivent être mis à la charge de la caisse-maladie intimée (art. 66 al. 1 et 68 al. 1 LTF).

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce :
1.
Le recours est admis. Le jugement de la Cour de justice de la République et canton de Genève, Chambre des assurances sociales, du 23 mai 2016 est annulé. La cause est renvoyée à la juridiction cantonale pour nouveau jugement dans le sens des considérants.
2.
Les frais judiciaires, arrêtés à 500 fr., sont mis à la charge de l'intimée.
3.
L'intimée versera à la recourante la somme de 2'800 fr. à titre de dépens pour la procédure devant le Tribunal fédéral.
4.
Le présent arrêt est communiqué aux parties, à la Cour de justice de la République et canton de Genève, Chambre des assurances sociales, et à l'Office fédéral de la santé publique.
Lucerne, le 6 janvier 2017
Au nom de la IIe Cour de droit social
du Tribunal fédéral suisse
La Présidente : Pfiffner
Le Greffier : Cretton