Faits :
A.
A.a. C._ est décédé le 26 avril 1996, laissant comme héritiers son épouse, B._, née le 11 mars 1919, ainsi que leurs enfants D._ et E._.
Le 18 avril 2005, l'exécuteur testamentaire a établi un projet de convention de partage, arrêtant à 985'400 fr. les biens propres de B._ et à 585'547 fr. le "solde net" lui revenant dans la liquidation du régime matrimonial avant le partage successoral. Aux termes des dispositions pour cause de mort de C._, sa veuve obtenait l'usufruit de la part de la succession dévolue aux enfants, conformément à l'<ref-law>. Ainsi le projet de l'exécuteur testamentaire accordait à B._, en plus de l'usufruit d'une maison, celui des "avoirs financiers" répartis en deux comptes distincts, l'un au nom de D._ et l'autre au nom de E._. Les héritiers n'ont pas signé cette convention.
Le 27 avril 2005, répondant à une demande de E._, l'exécuteur testamentaire a interdit tout prélèvement d'un compte de la succession auprès de la banque F._ SA, jusqu'à la conclusion entre les héritiers d'une convention de partage définitive.
C'est dans ce contexte que, en novembre 2005, B._ a sollicité les services de Me A._, avocat inscrit au barreau de Neuchâtel.
Le 12 janvier 2006, l'avocat prénommé a introduit pour le compte de sa cliente une requête de mesures provisionnelles pour obtenir la levée du blocage du compte précité, laquelle a été rejetée. Les 22 mars et 6 avril 2006, il a déposé deux requêtes de mesures provisionnelles visant à obtenir les relevés de ce même compte, dont la première a été déclarée irrecevable faute de compétence matérielle du tribunal saisi et la seconde sans objet, dès lors que la banque avait dans l'intervalle remis les documents demandés à l'exécuteur testamentaire, qui les lui avait fait suivre.
Le 26 septembre 2006, une convention a été signée entre les trois héritiers en l'étude de Me A._. A teneur de cet accord, B._ obtenait la libre disposition de 1'000'000 fr., prélevés sur les liquidités de la succession, à déduire de sa part héréditaire. Le lendemain, l'avocat a requis l'exécuteur testamentaire de mettre en oeuvre la convention et le 17 octobre suivant, la banque F._ SA a confirmé avoir pris les mesures nécessaires en vue du versement de la somme précitée.
A fin octobre 2006, l'avocat a fait signer à B._ un document intitulé « PROCURATION ET PACTUM DE PALAMARIO (sic) », rédigé en ces termes :
" La personne désignée ci-après, à savoir :
Madame B._, (...) donne mandat exclusif, avec faculté de substitution et élection de domicile en son Etude à Me A._, (...) aux fins de gérer toutes les affaires liées à la succession de feu son époux Monsieur C._.
1. Pactum de palmario :
La mandante fait transférer dès que possible au mandataire soussigné sur un sous-compte à créer sur la base de la relation bancaire (xxx) un montant de CHF 100'000.- (francs suisses cent mille) à titre de pactum de palmarioet pour solde de tout compte de ses honoraires et débours actuels et futurs.
Le titre du pacte repose sur la libération en faveur de la mandante d'un capital de CHF 1'000'000.- (francs suisses un million) dont elle dispose dorénavant librement sur son compte (yyy).
2. Mandat de gestion :
Le mandataire soussigné a la faculté de gérer en faveur de la mandante tout ou partie du montant qui lui a été remis par cette dernière au titre de pactum de palmario.
Il doit, cas échéant, procéder à des placements sûrs ce dont la mandante peut s'en enquérir en tout temps.
Le mandataire cède, cas échéant, à la mandante soussignée les intérêts des placements dès qu'ils sont encaissés, déduction faite des frais et commissions directs de courtage éventuels.
3. Validité temporelle
Le mandat de gestion du montant accordé au titre de pactum de palmarioet la convention de cession des intérêts cessent au décès de la mandante.
En revanche, le mandat de gestion général des affaires liées à la succession de feu Monsieur C._ continue en tous les cas jusqu'à la liquidation intégrale de la succession de la mandante.
Le mandataire est autorisé à faire dans les limites du présent mandat, tout ce qu'il jugera utile à la sauvegarde des intérêts qui lui sont confiés.
Plus spécialement en application des articles 396 al. 3 CO, 48 et 49 CPC, le mandataire peut :
représenter le mandant devant toute Autorité, faire tout ce qui est nécessaire à l'instruction d'une procédure jusqu'au jugement définitif,
procéder à l'exécution du jugement,
recevoir payement (sic) et donner quittance,
transiger, compromettre, se désister ou acquiescer en tout ou en partie. "
Par courrier du 30 janvier 2007, B._ a écrit à Me A._ qu'elle venait de comprendre la teneur de la convention signée en octobre 2006, sans qu'il lui laisse le temps de la lire en intégralité, la lui retirant par deux fois au moment où elle tentait de la saisir pour en prendre connaissance. Elle indiquait n'y avoir alors rien compris, si ce n'est qu'il l'avait assurée qu'elle pourrait réaliser un excellent placement à un taux d'intérêt de 15%. Elle signifiait à l'avocat " retire (r) avec effet immédiat tout mandat, procuration " et " dénonc (er) ce pacte "; elle lui réclamait la restitution des 100'000 fr. versés et lui faisait savoir qu'elle ne lui devait plus rien à titre d'honoraires.
L'avocat lui a répondu longuement par courrier du 31 janvier 2007. Il a notamment exposé que, le 18 octobre 2006, il avait évoqué pour la première fois la " prime ou pactum de palmario à laquelle l'avocat peut prétendre lorsqu'il obtient un résultat de cette importance " et qu'il avait articulé le montant de 100'000 fr. en soulignant qu'il représentait " 10% du résultat obtenu ". Il avait également informé sa mandante de possibilités d'investissement dans un futur projet immobilier à U._, susceptible de générer des " rendements intéressants ", grâce à ses contacts et relations étroits. Le 20 octobre suivant, il avait établi un projet de convention qu'il avait modifié à la suite de réflexions de sa mandante au sujet de l'importance du montant alloué à titre de prime et ainsi ajouté le texte suivant : " pour solde de tout compte de (mes) honoraires et débours actuels et futurs ". En fin de courrier, il indiquait partir du principe que " sans nouvelle de (sa) part au lundi 5 février 2007 18h.00 ", elle confirmait " par actes concluants la résignation de (s) on mandat ".
Le 13 février 2007, Me A._ a restitué son dossier à B._, prenant acte de la révocation du mandat. Le 5 juillet 2007, il a établi un décompte qui prenait en considération l'activité effectuée jusqu'au 16 mai 2007 et totalisait 118'386 fr. 90, TVA comprise, à titre d'honoraires et débours. Déduction faite des provisions acquittées par 17'000 fr. et du montant de 100'000 fr. versé sur la base du pactum de palmario, le solde en sa faveur se montait à 1'386 fr. 90. Le décompte indiquait toutefois que la déduction du montant de 100'000 fr. procédait d'une " simulation d'une restitution injustifiée ".
Le 28 août 2007, B._ a fait notifier à A._ un commandement de payer le montant de 124'500 fr. Le poursuivi a formé opposition.

A.b. Le 20 avril 2010, B._ a dénoncé Me A._ à l'Autorité de surveillance des avocates et des avocats du canton de Neuchâtel. Par décision du 9 novembre 2010 faisant également suite à d'autres dénonciations, ladite autorité a retiré à l'avocat l'autorisation de plaider durant quinze mois. S'agissant de l'activité déployée, elle a estimé incompréhensibles et inopportunes les démarches judiciaires engagées par l'avocat; la convention signée par les héritiers, qu'il avait préparée, était également problématique. L'activité de l'avocat avait ainsi " davantage contribué à embrouiller l'affaire de sa cliente qu'à l'éclaircir ". S'exprimant sur les honoraires réclamés par l'homme de loi, l'autorité de surveillance a relevé que - au vu des 291,5 heures prétendument consacrées à la défense des intérêts de sa cliente - l'avocat avait soit rédigé son mémoire d'honoraires dans la seule perspective de dépasser de peu le montant qu'il avait déjà perçu, soit déployé une énergie hors de propos qu'il ne saurait facturer. Quant au montant prétendu au titre de pactum de palmario, l'avocat n'avait donné aucune information sur la réalité de son activité, sur le montant normalement dû ni sur le supplément auquel il prétendait, de sorte que sa mandante avait signé un texte qu'elle ne pouvait pas mieux comprendre que l'autorité de surveillance, pour laquelle il restait mystérieux. Elle a conclu que, de quelque façon que l'on considère la manière dont l'avocat avait facturé son activité, elle violait gravement l'art. 12 let. i de la loi fédérale sur la libre circulation des avocats (LLCA; RS 935.61).
Statuant sur recours de l'avocat, le Tribunal cantonal neuchâtelois a ramené à six mois la durée du retrait de l'autorisation de plaider. En substance, les juges ont admis que les manquements de l'avocat à ses devoirs professionnels devaient être qualifiés de graves et justifiaient sans conteste une mesure d'interdiction temporaire de pratiquer. Cependant, les quinze mois prononcés étaient excessifs à l'endroit d'un avocat qui faisait l'objet pour la première fois d'une sanction disciplinaire. Le Tribunal cantonal ne s'est pas prononcé sur la rémunération de l'avocat, car la violation de l'<ref-law> n'était pas remise en cause dans le recours. L'intéressé a porté l'affaire devant le Tribunal fédéral, sans davantage contester la violation de l'<ref-law>. Son recours a été rejeté par arrêt du 28 février 2012 (cause 2C_878/2011).
B.
Par mémoire-demande du 4 novembre 2009, B._ a ouvert action contre A._ en paiement de 117'000 fr. avec intérêts, à titre de "restitution des montants qui lui ont été remis à titre de provision pour sa défense dans le cadre de la succession de feu C._, sous déduction des honoraires qui lui sont dus pour cette activité, à dire d'expert ". Par la suite, elle réduira ses prétentions à 100'000 fr.
Par jugement du 19 octobre 2012, le Juge du district de l'Entremont a admis la demande et condamné le défendeur à payer à la demanderesse 100'000 fr. avec intérêts à 5% dès le 1 er février 2007.
Le 12 juin 2014, le Tribunal cantonal valaisan a admis l'appel du défendeur et renvoyé la cause au Tribunal de l'Entremont pour complément d'instruction et nouvelle décision. En substance, il a considéré que le juge de district ne pouvait se déclarer lié par les considérants de la décision de l'Autorité neuchâteloise de surveillance des avocates et des avocats, dès lors que cette dernière n'avait pas examiné de façon exhaustive la question de la rémunération de l'avocat. Au demeurant, il n'appartenait qu'au juge civil de dire quelles conséquences devaient être déduites, sur le plan civil, d'une violation des règles de la LLCA.
Statuant à nouveau le 27 mars 2015 après avoir auditionné deux témoins, le juge de district a rejeté la demande. Il a retenu qu'au moment de la signature de la convention d'octobre 2006, la volonté réelle et commune des parties était que la demanderesse paie 100'000 fr. au défendeur, d'une part, pour le récompenser du résultat obtenu et, d'autre part, pour solde de toute rémunération, y compris celle se rapportant à l'activité que l'avocat serait encore appelé à déployer pour liquider la succession de C._. L'accord sur la prime ne violait pas les règles de la LLCA, de sorte qu'il n'y avait pas matière à restitution de celle-ci.
Par jugement du 14 mars 2017, la Cour civile II du Tribunal cantonal du Valais a admis l'appel de B._ et, en conséquence, a condamné A._ à verser à celle-ci 100'000 fr. avec intérêts à 5 % dès le 29 août 2007. En substance, l'autorité cantonale a considéré qu'une volonté commune des parties sur le motif du versement de 100'000 fr. faisait défaut et que le sens de la convention, selon le principe de la confiance, était impossible à établir. Il convenait donc d'interpréter l'accord contra stipulatorem. Comme l'avocat n'avait pas respecté son devoir d'information découlant de l'<ref-law>, il était justifié qu'il supporte les incertitudes créées par un texte qu'il avait lui-même préparé. L'interprétation au moyen de la règle favor debitoris aboutissait au même résultat. Le versement de 100'000 fr. avait donc été convenu à titre de provision à faire valoir sur la facture finale de l'avocat. S'agissant du décompte d'honoraires du 5 juillet 2007, il était disproportionné. L'avocat n'avait pas démontré que ses prestations justifiait une semblable rémunération. Il n'avait pas non plus prouvé que la provision de 17'000 fr. qui lui avait été versée n'était pas suffisante pour rémunérer son activité. Il devait dès lors restituer la totalité du montant qui lui était réclamé.
C.
A._ interjette un recours en matière civile. Il demande au Tribunal fédéral d'annuler le jugement cantonal du 14 mars 2017 "en ce sens que le jugement du Tribunal de district de l'Entremont du 27 mars 2015 est confirmé ". A titre subsidiaire, il conclut au renvoi de la cause au Tribunal cantonal valaisan pour nouvelle décision dans le sens des considérants.
B._ n'a pas été invitée à se déterminer.
Considérant en droit :
1.
Le recours satisfait sur le principe aux conditions de recevabilité du recours en matière civile, notamment sous l'angle de la valeur litigieuse minimale (<ref-law>) et du délai pour recourir ( <ref-law> en lien avec les art. 45 et 46 al. 1 let. a LTF). Même si la formulation de la conclusion principale du recours n'est pas des plus heureuses, il faut comprendre par là que le recourant demande bel et bien la réforme du jugement attaqué (cf. art. 42 al. 1 et art. 107 al. 2 LTF). Il y a donc lieu d'entrer en matière. Demeure réservé l'examen des griefs particuliers.
2.
2.1. Le recours en matière civile peut être exercé pour violation du droit fédéral (<ref-law>), y compris le droit constitutionnel (<ref-ruling> consid. 2.1 p. 247; <ref-ruling> consid. 2.4 p. 313). Le Tribunal fédéral applique le droit d'office (<ref-law>). Il n'est donc limité ni par les arguments soulevés dans le recours, ni par la motivation retenue par l'autorité précédente; il peut admettre un recours pour un autre motif que ceux qui ont été invoqués et il peut rejeter un recours en adoptant une argumentation différente de celle de l'autorité précédente (<ref-ruling> consid. 1.4; <ref-ruling> consid. 1.4 p. 400). Compte tenu de l'exigence de motivation contenue à l'art. 42 al. 1 et 2 LTF, sous peine d'irrecevabilité (<ref-law>), le Tribunal fédéral n'examine en principe que les griefs invoqués, sauf en cas d'erreurs juridiques manifestes. Il n'est pas tenu de traiter, comme le ferait une autorité de première instance, toutes les questions juridiques qui se posent, lorsque celles-ci ne sont plus discutées devant lui (<ref-ruling> consid. 2; <ref-ruling> consid. 2; <ref-ruling> consid. 1.3). Par exception à la règle selon laquelle il applique le droit d'office, il n'examine la violation d'un droit constitutionnel que si le grief a été invoqué et motivé de façon détaillée (<ref-law>; ATF <ref-ruling> consid. 1.4 in fine).
2.2. Le Tribunal fédéral statue sur la base des faits établis par l'autorité précédente (<ref-law>). Il ne peut rectifier ou compléter les constatations de l'autorité précédente que si elles sont manifestement inexactes ou découlent d'une violation du droit au sens de l'<ref-law> (<ref-law>). "Manifestement inexactes" signifie ici "arbitraires" (ATF <ref-ruling> consid. 2 p. 117; <ref-ruling> consid. 1.5). Encore faut-il que la correction du vice soit susceptible d'influer sur le sort de la cause (<ref-law>) La critique de l'état de fait retenu est soumise au principe strict de l'allégation énoncé par l'<ref-law> (<ref-ruling> consid. 2.3 p. 266 et les références).
La partie qui entend attaquer les faits constatés par l'autorité précédente doit expliquer clairement et de manière circonstanciée en quoi ces conditions seraient réalisées (<ref-ruling> consid. 1.3.1 p. 18 et les références). Si elle souhaite obtenir un complètement de l'état de fait, elle doit aussi démontrer, par des renvois précis aux pièces du dossier, qu'elle a présenté aux autorités précédentes en conformité avec les règles de procédure les faits juridiquement pertinents à cet égard et les moyens de preuve adéquats (<ref-ruling> consid. 2 p. 90). Si la critique ne satisfait pas à ces exigences, les allégations relatives à un état de fait qui s'écarterait de celui de la décision attaquée ne pourront pas être prises en considération (<ref-ruling> consid. 1.3.1 p. 18). Aucun fait nouveau ni preuve nouvelle ne peut être présenté à moins de résulter de la décision de l'autorité précédente (<ref-law>).
2.3. Le recourant présente, sur 14 pages de son mémoire, un exposé des faits qui ne contient aucune critique satisfaisant aux exigences de l'<ref-law>. Il n'en sera dès lors pas tenu compte.
3.
Le litige porte en l'espèce sur l'interprétation de la convention conclue par les parties à fin octobre 2006.
3.1. En la matière, le juge doit tout d'abord s'efforcer de rechercher la réelle et commune intention des parties, sans s'arrêter aux expressions ou dénominations inexactes dont elles ont pu se servir, soit par erreur, soit pour déguiser la nature véritable de la convention (<ref-law>). Constituent des indices en ce sens non seulement la teneur des déclarations de volonté - écrites ou orales -, mais aussi le contexte général, soit toutes les circonstances permettant de découvrir la volonté des parties, qu'il s'agisse de déclarations antérieures à la conclusion du contrat, des projets de contrat, de la correspondance échangée ou encore de l'attitude des parties après la conclusion du contrat, établissant quelles étaient à l'époque les conceptions des contractants eux-mêmes (<ref-ruling> consid. 1.2.2 p. 159 et les arrêts cités; <ref-ruling> consid. 4.1 p. 90 s.; arrêts 4A_200/2015 du 3 septembre 2015 consid. 4.1.1; 4A_65/2012 du 21 mai 2012 consid. 10.2). La recherche de la volonté réelle des parties est qualifiée d'interprétation subjective (<ref-ruling> consid. 4.1 p. 611; <ref-ruling> consid. 2b p. 308). Déterminer ce qu'un cocontractant savait et voulait au moment de conclure relève des constatations de fait qui lient le Tribunal fédéral (<ref-ruling> consid. 2.3.2; <ref-ruling> consid. 4.1 p. 611; <ref-ruling> consid. 2.2 p. 422).
Si le juge ne parvient pas à déterminer la volonté réelle et commune des parties - parce que les preuves font défaut ou ne sont pas concluantes - ou s'il constate qu'une partie n'a pas compris la volonté exprimée par l'autre à l'époque de la conclusion du contrat (<ref-ruling> consid. 3.1 p. 286), il doit recourir à l'interprétation normative (ou objective), consistant à déterminer le sens que, d'après les règles de la bonne foi, chacune des parties pouvait et devait raisonnablement prêter aux déclarations de volonté de l'autre (application du principe de la confiance; <ref-ruling> consid. 1.2.2 p. 159 et les arrêts cités; <ref-ruling> consid. 3.2; <ref-ruling> consid. 2.2.1; <ref-ruling> consid. 2.3.2 p. 274 s., 626 consid. 3.1 p. 632). Ce principe permet d'imputer à une partie le sens objectif de sa déclaration ou de son comportement, même si celui-ci ne correspond pas à sa volonté intime (<ref-ruling> consid. 3.2 p. 424 et les arrêts cités).
A cet égard, le juge part en premier lieu de la lettre du contrat. En principe, les expressions et termes choisis par les cocontractants doivent être compris dans leur sens objectif (<ref-ruling> consid. 4.2 p. 611). Cependant, il ressort de l'<ref-law> que le sens d'un texte, même clair, n'est pas nécessairement déterminant. Même si la teneur d'une clause contractuelle paraît limpide à première vue, il peut résulter d'autres circonstances que le texte de la clause litigieuse ne restitue pas exactement le sens de l'accord conclu (<ref-ruling> consid. 3.2.1 p. 188). Ainsi, l'interprétation (objective) s'effectue non seulement d'après le texte et le contexte des déclarations, mais également sur le vu des circonstances qui les ont précédées et accompagnées (<ref-ruling> consid. 5.2 p. 302; <ref-ruling> consid. 3.1. in fine; <ref-ruling> consid. 4.2.1), à l'exclusion des circonstances postérieures (<ref-ruling> consid. 5.2 p. 302; <ref-ruling> consid. 2.2.1 p. 67; <ref-ruling> consid. 3.1). Cela étant, il n'y a pas lieu de s'écarter du sens littéral du texte adopté par les cocontractants lorsqu'il n'existe aucune raison sérieuse de penser qu'il ne correspond pas à leur volonté (<ref-ruling> consid. 3.2.1). L'application du principe de la confiance est une question de droit que le Tribunal fédéral peut examiner d'office (<ref-law>); pour trancher cette question, il doit toutefois se fonder sur le contenu des manifestations de volonté et sur les circonstances, dont la constatation relève du fait (<ref-ruling> consid. 3.2).
Subsidiairement, si l'interprétation selon le principe de la confiance ne permet pas de dégager le sens de clauses ambiguës, celles-ci sont à interpréter contre celui qui les a rédigées, en vertu de la règle " in dubio contra stipulatorem " (ATF <ref-ruling> consid. 2.2.2.3 p. 69; <ref-ruling> consid. 3b; <ref-ruling> consid. 1b p. 158; <ref-ruling> consid. 2a p. 121).
3.2. En l'espèce, les parties sont en désaccord quant au motif pour lequel l'intimée a versé au recourant la somme de 100'000 fr. prévue dans la convention d'octobre 2006. La mandante affirme qu'il s'agissait d'une provision destinée à couvrir les honoraires actuels et ceux dus pour les activités futures de l'avocat, dont il devait assumer la gestion avant qu'elle ne lui soit acquise, en contrepartie du travail qu'il avait encore à effectuer. Le mandataire soutient pour sa part qu'il s'agissait bien plutôt d'une prime pour le résultat qu'il avait déjà obtenu dans le cadre de la défense des droits de la mandante.
3.2.1. La cour cantonale a retenu qu'il n'y avait pas de volonté commune des parties à cet égard. Elle s'est interrogée sur la possibilité même que l'avocat ait clairement exposé à sa mandante les deux questions, parfaitement distinctes selon ses allégations, qu'il entendait régler notamment dans la convention, soit, premièrement, le versement d'une prime pour le résultat obtenu et, deuxièmement, la remise d'un montant qu'il serait appelé à gérer, alors qu'il avait rédigé un projet de texte, puis une convention, qui mélangeait, respectivement, confondait les deux éléments. Quoi qu'il en soit, les circonstances ayant précédé la signature de la convention n'étaient pas établies et n'étaient en particulier pas celles exposées par l'avocat. Les actes de la cause ne permettaient pas non plus de répondre à la question de savoir si celui-ci avait volontairement entretenu une certaine confusion pour amener la cliente à signer le texte.
Invoquant une constatation de fait manifestement inexacte (<ref-law>) et l'arbitraire (art. 9 Cst.), le recourant formule des critiques purement appellatoires à cet encontre. Ainsi, il affirme sans démontrer un quelconque arbitraire que "la volonté de l'intimée de verser CHF 100'000.- à titre de récompense pour la victoire obtenue dans la succession de feu C._ est établie". De même, il se borne à prétendre qu'"au moment de la signature de cette convention, (l'avocat et sa cliente) s'étai (nt) au moins entendus de manière concordante sur un seul point, le versement de CHF 100'000.- à titre de rémunération de l'avocat". Tel n'est pas ce que la cour cantonale a constaté. Le recourant ne démontre ni en quoi cette dernière aurait, ce faisant, versé dans l'arbitraire, ni en quoi la correction de ce prétendu vice serait susceptible d'influer sur le sort de la cause. En outre, il reproche à la cour cantonale d'avoir fondé ses conclusions sur des événements postérieurs à la signature de la convention, sans spécifier ce dont il s'agirait, de sorte que sa critique est irrecevable. En tout état de cause, ce procédé n'a rien d'inadmissible, comme exposé plus haut (consid. 3.1). Quant aux autres faits que le recourant allègue sans même se prévaloir d'un quelconque arbitraire et qui divergent de ceux retenus par les juges cantonaux, il n'en sera tout simplement pas tenu compte.
Contrairement à ce que le recourant affirme de manière appellatoire, la cour cantonale n'était pas à même de déterminer la réelle et commune intention des parties, de sorte que c'est à bon droit qu'elle a examiné par la suite comment leurs déclarations auraient dû être comprises d'après les règles de la bonne foi.
3.2.2. Analysant la convention selon le principe de la confiance, la cour cantonale a considéré qu'il était impossible d'en dégager le sens objectif. Le titre de l'accord était rédigé en latin et la notion du pactum de palmario était connue essentiellement des avocats et de leurs collaborateurs, plus généralement des juristes. Le texte de la convention ne palliait pas à cette absence de clarté compte tenu de la confusion existant entre remise du montant à titre de prime ou en vue de gestion. Les juges valaisans ont dès lors recouru à l'interprétation contra stipulatorem ainsi qu'à l'interprétation au moyen de la règle favor debitoris, lesquelles aboutissaient au même résultat. Compte tenu du caractère pour le moins obscur de la convention et vu que les parties étaient initialement entrées en relation pour que le mandataire fournisse à la mandante les prestations usuellement offertes par un avocat, soit la dispense de conseils juridiques et, le cas échéant, la représentation en justice, ils ont jugé - solution la plus favorable à l'intimée - que la convention litigieuse ne consistait qu'en la remise d'un mandat portant sur la gestion des affaires liées à la succession de feu C._ contre paiement d'honoraires, ce qui les a conduit à qualifier le versement de 100'000 fr. de provision à faire valoir sur la facture finale de l'avocat.
Le recourant ne prétend pas que les juges cantonaux auraient méconnu les principes qui devaient guider leur raisonnement. Ses griefs sont d'un autre ordre. Cela étant, c'est à tort qu'il reproche à la cour cantonale d'avoir considéré que la convention querellée devait être comprise comme prévoyant des honoraires forfaitaires. Cette possibilité a simplement été évaluée par l'autorité cantonale, avant d'être écartée. Quant à la mauvaise foi que le recourant reproche à l'intimée, laquelle aurait fait volte-face après la signature de la convention, elle ne ressort que de ses allégations. Le principe de la liberté contractuelle dont il se prévaut n'est d'aucune pertinence dans le présent contexte. C'est tout aussi vainement que le recourant prétend démontrer que les clauses de la convention sont valables, puisque c'est leur sens qui est ici litigieux.
En conclusion, on ne discerne pas en quoi la cour cantonale aurait violé le droit fédéral dans son interprétation de la convention d'octobre 2006. Le recours est mal fondé à cet égard.
4.
Pour le surplus, le recourant n'élève aucun grief à l'encontre du jugement cantonal en tant qu'il est retenu que l'avocat n'a pas démontré que ses prestations justifient une rémunération totale de 117'000 fr., ce qui correspond au montant total versé par l'intimée, ni que la provision de 17'000 fr. versée par l'intimée est insuffisante pour rémunérer ses prestations.
C'est dès lors à bon droit que la cour cantonale a jugé que le recourant doit rembourser à l'intimée la totalité du montant qui lui est réclamé, à savoir 100'000 fr. avec intérêts. Le recours ne peut être que rejeté dans la mesure où il est recevable.
5.
Les frais judiciaires seront mis à la charge du recourant qui succombe (<ref-law>). Il n'est pas alloué de dépens à l'intimée, qui n'a pas été invitée à se déterminer (art. 68 al. 1 et 2 LTF).

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce :
1.
Le recours est rejeté dans la mesure où il est recevable.
2.
Les frais judiciaires, arrêtés à 5'000 fr., sont mis à la charge du recourant.
3.
Le présent arrêt est communiqué aux mandataires des parties et à la Cour civile II du Tribunal cantonal du canton du Valais.
Lausanne, le 23 octobre 2017
Au nom de la Ire Cour de droit civil
du Tribunal fédéral suisse
La Présidente : Kiss
La Greffière : Godat Zimmermann