Sachverhalt:
A.
Das Amt für Freiheitsentzug und Betreuung des Kantons Bern, Abteilung Straf- und Massnahmenvollzug (ASMV), wies X._ am 25. Februar 2016 im Rahmen der mit Urteil des Obergerichts des Kantons Bern vom 24. Juni 2011 angeordneten stationären therapeutischen Massnahme vorübergehend in die forensisch-psychiatrische Station Etoine der Universitären Psychiatrischen Dienste Bern ein.
Am 29. Februar 2016 gelangte X._ mit Beschwerde an die Polizei- und Militärdirektion des Kantons Bern (POM) und beantragte, die Verfügung der ASMV vom 25. Februar 2016 sei aufzuheben. Er sei aus der Haft zu entlassen. Zudem sei der Beschwerde die aufschiebende Wirkung zu erteilen.
Am 3. März 2016 wies die POM das Gesuch um aufschiebende Wirkung ab. Am 9. März 2016 erhob X._ dagegen Beschwerde beim Obergericht.
Mit Eingabe vom 22. März 2016 reichte X._ Beschwerde in Strafsachen an das Bundesgericht ein (Verfahren 6B_408/2016). Er beantragte, das Obergericht sei anzuweisen, sofort einen Entscheid betreffend die aufschiebende Wirkung zu fällen. Zudem sei festzustellen, dass es zu Rechtsverzögerungen und Rechtsverweigerungen gekommen sei, und es sei ihm die unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung zu gewähren.
Die gegen die Verfügung der POM vom 3. März 2016 erhobene Beschwerde zur Frage der aufschiebenden Wirkung wies das Obergericht am 23. März 2016 ab. Es hiess das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung gut, nahm die Gerichtskosten auf die Staatskasse und entschädigte Rechtsanwalt Julian Burkhalter mit Fr. 1'000.-- für das Verfahren vor Obergericht.
B.
X._ führte Beschwerde in Strafsachen (Verfahren 6B_409/2016) mit dem Hauptantrag, der Beschluss des Obergerichts vom 23. März 2016 sei aufzuheben. Zudem beantragte er unter anderem eine Parteientschädigung für das obergerichtliche Verfahren von Fr. 2'700.--.
Das Bundesgericht wies am 18. Mai 2016 die Beschwerde 6B_408/2016 ab, soweit sie nicht gegenstandslos geworden war. Auf die Beschwerde 6B_409/2016 trat das Bundesgericht nicht ein. Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung wies es infolge Aussichtslosigkeit der Beschwerde ab.
C.
X._ stellt ein Revisionsgesuch. Er beantragt zusammengefasst, es sei ihm in Aufhebung des bundesgerichtlichen Urteils vom 16. Mai 2016 (gemeint: 18. Mai 2016) und des obergerichtlichen Beschlusses vom 23. März 2016 für das Verfahren vor Obergericht eine Parteientschädigung von Fr. 2'700.-- auszurichten. Zudem sei das im Rahmen der Beschwerde in Strafsachen vor Bundesgericht gestellte Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung gutzuheissen. Ein Armenrechtsgesuch stellt X._ auch im Revisionsverfahren.

Erwägungen:
1.
Die Aufhebung und Abänderung eines Bundesgerichtsurteils ist nur gestützt auf einen Revisionsgrund im Sinne von Art. 121-123 BGG möglich.
2.
2.1. Das Bundesgericht trat auf die Beschwerde 6B_409/2016 nicht ein mit der Begründung, dass der angefochtene Beschluss die aufschiebende Wirkung der gegen die Einweisung erhobenen Beschwerde regelt und mithin ein selbständig eröffneter Zwischenentscheid gemäss <ref-law> darstellt. Weiter wurde dargelegt, dass die Voraussetzungen im Sinne von Art. 93 Abs. 1 lit. a und b BGG nicht erfüllt sind, kein selbständig anfechtbarer Entscheid vorliegt und deshalb auf die Beschwerde nicht einzutreten ist.
2.2. Der Gesuchsteller macht insbesondere geltend, das Bundesgericht habe seinen Antrag, die Parteientschädigung auf Fr. 2'700.-- festzusetzen, nicht behandelt. Deshalb sei der Revisionsgrund im Sinne von <ref-law> gegeben. Dies führe zudem zu einer neuen Überprüfung der Aussichtslosigkeit der Beschwerde und damit seines im bundesgerichtlichen Verfahren gestellten Armenrechtsgesuchs. Zum Kostenentscheid sei weder ein Nichteintretensentscheid noch ein materieller Entscheid getroffen worden.
2.3. Das Bundesgericht trat auf die Beschwerde mangels selbständig anfechtbaren Zwischenentscheids nicht ein. Der Gesuchsteller meint, es sei zur Prozessentschädigung weder ein Nichteintretensentscheid noch ein Entscheid in der Sache ergangen. Diese Ansicht kann nicht richtig sein. Wesen eines Nichteintretensentscheids ist die Nichtbehandlung von Anträgen und Vorbringen. Das heisst nichts anderes, als dass kein Sachentscheid ergehen kann. Endet das Verfahren mit einem Nichteintreten, liegt kein Anwendungsfall von <ref-law> vor (Urteil 8F_6/2016 vom 7. April 2016 E. 2.2 mit Hinweis auf die Urteile 2F_11/2014 vom 4. Juli 2014 E. 3.2 und 2F_13/2013 vom 31. Juli 2013 E. 2; Urteile 6F_11/2016 vom 19. April 2016 E. 2.4 mit Hinweis; 6F_32/2015 vom 16. Februar 2016 E. 1). An der Qualifikation des Beschlusses vom 23. März 2016 als Zwischenentscheid ändert sich im Übrigen nichts durch den Umstand, dass er die oberinstanzlichen Kosten- und Entschädigungsfolgen regelt. Nach der Rechtsprechung ist der in einem Zwischenentscheid enthaltene Richterspruch über die Kosten- und Entschädigungsfolgen nicht geeignet, einen nicht wieder gutzumachenden Nachteil im Sinne von <ref-law> zu bewirken (<ref-ruling> E. 1.2 S. 331 ff.; Urteil 8C_855/2014 vom 25. Februar 2015 E. 3.3.1; je mit Hinweisen). Das Revisionsgesuch ist offensichtlich unbegründet.
3.
Das Revisionsgesuch ist abzuweisen. Der Gesuchsteller wird grundsätzlich kostenpflichtig (<ref-law>). Sein Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung ist abzuweisen, da das Revisionsgesuch von vornherein aussichtslos war (<ref-law> e contrario). Wenn es die Umstände rechtfertigen, können die Kosten anstatt der unterliegenden Partei anders verteilt werden (vgl. <ref-law>). Unnötige Kosten hat zu bezahlen, wer sie verursacht hat (<ref-law>). Dass das Revisionsgesuch unbegründet ist, wäre bei Beachtung minimaler Sorgfaltspflichten auf Anhieb erkennbar gewesen. Das Gericht kann deshalb ausnahmsweise die Gerichtskosten anstatt der unterliegenden Partei ihrem Rechtsvertreter auferlegen (<ref-ruling> E. 2 S. 207 f.; Urteil 5A_183/2015 vom 29. April 2015 E. 7).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Das Revisionsgesuch wird abgewiesen.
2.
Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung wird abgewiesen.
3.
Die Gerichtskosten von Fr. 1'000.-- werden Rechtsanwalt Julian Burkhalter auferlegt.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien, der Polizei- und Militärdirektion des Kantons Bern, der Generalstaatsanwaltschaft des Kantons Bern und dem Obergericht des Kantons Bern, 1. Strafkammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 12. September 2016
Im Namen der Strafrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Denys
Der Gerichtsschreiber: Faga