Faits :
A.
A.A._, né en 1960, et B.A._, née en 1966, se sont mariés en 1992 en Espagne.
Un enfant, C._, est né de cette union le 9 avril 1997.
Les époux se sont séparés au printemps de l'année 2005 et ont réglé les modalités de leur séparation par convention de mesures protectrices de l'union conjugale, signée le 25 avril 2005 et homologuée par le Juge de district de Monthey (ci-après: le Juge de district) le 2 mai 2005. Celui-ci a par la suite régulièrement ordonné les modifications commandées par les faits nouveaux.
B.
Par acte du 3 mai 2007, B.A._ a requis le divorce.
Par jugement du 13 janvier 2014, le Juge de district a prononcé le divorce. Il a notamment condamné l'ex-époux à contribuer à l'entretien de son fils par le versement d'une contribution d'entretien mensuelle de 960 fr., allocations familiales comprises, et à celui de son ex -épouse par le versement d'une pension de 400 fr. par mois jusqu'au 1 er avril 2015, puis de 1'100 fr. par mois du 1er mai 2015 au 1er juin 2025 inclus.
Par jugement du 14 janvier 2016, la Cour civile II du Tribunal cantonal du canton du Valais (ci-après: la Cour civile II) a rejeté l'appel de l'époux, mis les frais des procédures de première instance et d'appel à la charge de l'ex-époux - qui avait succombé partiellement en première instance et entièrement en appel - à hauteur de 4'450 fr. et à celle de l'ex-épouse à hauteur de 2'650 fr. (chiffre 5 du dispositif), et condamné l'ex-époux à verser à l'ex-épouse une indemnité de dépens de première instance de 400 fr. (chiffre 6 du dispositif) et de deuxième instance de 2'030 fr. (chiffre 9 du dispositif).
Par décision séparée du même jour, le Président de la Cour civile II a rejeté la requête d'assistance judiciaire déposée par l'ex-époux pour la procédure d'appel et admis celle de l'ex-épouse.
C.
Par acte du 15 février 2016, l'ex-époux exerce un recours en matière civile au Tribunal fédéral, dirigé à la fois contre le jugement d'appel et contre la décision lui refusant l'assistance judiciaire.
Selon ses conclusions, le jugement d'appel doit être réformé en ce sens que la pension en faveur de l'ex-épouse est supprimée. Par ailleurs, les chiffres 5, 6 et 9 du dispositif doivent être annulés et l'affaire renvoyée à l'autorité cantonale pour nouvelle décision sur les frais et dépens de première instance et d'appel.
La décision sur l'assistance judiciaire doit quant à elle être annulée et l'affaire renvoyée à l'autorité précédente pour octroi de l'assistance judiciaire en procédure d'appel.
Le recourant requiert également le bénéfice de l'assistance judiciaire pour la procédure fédérale.
Invités à se déterminer sur l'octroi de l'effet suspensif assortissant le recours, l'ex-épouse a conclu à son rejet et l'autorité précédente s'est référée aux considérants de son jugement.
D.
Par ordonnance du 2 mars 2016, le Président de la IIe Cour de droit civil a rejeté la requête d'effet suspensif.
Des observations sur le fond n'ont pas été requises.

Considérant en droit :
1.
1.1. En raison de leur connexité, il se justifie de joindre les causes et de statuer par un arrêt unique (<ref-law> applicable par analogie vu le renvoi de l'<ref-law>).
1.2.
1.2.1. En tant qu'il est dirigé contre le jugement du 14 janvier 2016 portant sur l'entretien après divorce, le recours est formé contre une décision finale (<ref-law>), prise par un tribunal cantonal supérieur statuant sur recours (art. 75 al. 1 et 2 LTF), dans une affaire matrimoniale (<ref-law>). Le litige porte sur la contribution d'entretien en faveur de l'ex-épouse, à savoir une affaire pécuniaire (<ref-ruling> consid. 2 p. 395), dont la valeur litigieuse requise est atteinte (art. 51 al. 1 let. a, 51 al. 4 et 74 al. 1 let. b LTF). Le recours a été interjeté en temps utile (<ref-law>) et en la forme prévue par la loi (<ref-law>), par une partie qui a pris part à la procédure devant l'autorité précédente (<ref-law>) et a un intérêt digne de protection à l'annulation ou à la modification de la décision attaquée (<ref-law>).
1.2.2. L'assistance judiciaire pour la procédure d'appel a été refusée au recourant par décision séparée, prise simultanément au jugement final sur le fond. La voie de recours contre cette décision est déterminée par le litige principal (arrêt 4D_30/2009 du 1er juillet 2009 consid. 1.1 non publié in <ref-ruling>). La valeur litigieuse est quant à elle déterminée par les conclusions restées litigieuses devant l'autorité compétente sur le fond (art. 51 al. 1 let. c LTF). Il s'ensuit que le recours en matière civile (cf. supra consid. 1.2.1) est également ouvert contre la décision refusant l'assistance judiciaire pour la procédure d'appel.
2.
2.1. Le recours en matière civile peut être formé pour violation du droit, tel qu'il est délimité par les art. 95 et 96 LTF. Le Tribunal fédéral applique le droit d'office (<ref-law>). Cela étant, eu égard à l'exigence de motivation contenue à l'art. 42 al. 1 et 2 LTF, il n'examine en principe que les griefs soulevés; il n'est pas tenu de traiter, à l'instar d'une autorité de première instance, toutes les questions juridiques qui pourraient se poser, lorsque celles-ci ne sont plus discutées devant lui (<ref-ruling> consid. 2 p. 89, 115 consid. 2 p. 116). Pour satisfaire à son obligation de motiver, le recourant doit discuter les motifs de la décision entreprise et indiquer précisément en quoi il estime que l'autorité précédente a méconnu le droit; il n'est pas indispensable qu'il indique expressément les dispositions légales - le numéro des articles de loi - ou qu'il désigne expressément les principes non écrits de droit qui auraient été violés; il suffit qu'à la lecture de son exposé, on comprenne clairement quelles règles de droit auraient été, selon lui, transgressées par l'autorité cantonale (<ref-ruling> consid. 2 p. 89 et les références). En outre, le Tribunal fédéral ne connaît de la violation des droits fondamentaux que si de tels griefs ont été invoqués et motivés par le recourant ("principe d'allégation", <ref-law>; <ref-ruling> consid. 3.3 p. 310 s.), c'est-à-dire s'ils ont été expressément soulevés et exposés de façon claire et détaillée (<ref-ruling> consid. 1.3 p. 41; <ref-ruling> consid. 1.2 p. 234).
2.2. Le Tribunal fédéral statue sur la base des faits constatés dans la décision attaquée (<ref-law>). Il peut rectifier ou compléter d'office les constatations de l'autorité précédente si les faits ont été établis de façon manifestement inexacte, c'est-à-dire arbitraire aux termes de l'art. 9 Cst. (<ref-ruling> consid. 2 p. 117; <ref-ruling> consid. 4.1.2 p. 62), ou en violation du droit au sens de l'<ref-law> (<ref-law>), et si la correction du vice est susceptible d'influer sur le sort de la cause (<ref-law>). Une partie ne peut toutefois pas se borner à contredire les constatations litigieuses par ses propres allégations ou par l'exposé de sa propre appréciation des preuves; elle doit indiquer de façon précise en quoi ces constatations sont contraires au droit ou entachées d'une erreur indiscutable, c'est-à-dire arbitraires au sens de l'art. 9 Cst. (<ref-ruling> consid. 1.2.2. p. 252). Une critique de fait qui ne satisfait pas au principe d'allégation susmentionné (cf. supra consid 2.1) est irrecevable (<ref-ruling> consid. 2.3 p. 266 et les références; <ref-ruling> consid. 1.4.3 p. 255).
Sous l'intitulé " Allégués du recourant ", celui-ci se contente d'exposer sa propre version des faits. En tant que ces éléments divergent de ceux constatés dans l'arrêt cantonal et qu'ils ne sont pas critiqués sous l'angle de l'établissement arbitraire des faits ou de l'appréciation arbitraire des preuves, il n'en sera pas tenu compte.
3.
Le recours dirigé contre le jugement rendu en appel dans la procédure de divorce tend à ce que le recourant soit libéré de contribuer à l'entretien de l'intimée.
4.
Dans un grief de nature formelle qu'il convient d'examiner en premier lieu (<ref-ruling> consid. 5.1 p. 237), le recourant se plaint d'une violation de son droit d'être entendu (art. 29 al. 2 Cst.). Selon lui, la décision attaquée serait insuffisamment motivée, l'autorité cantonale n'ayant pas " [pris] la peine de critiquer l'argumentation circonstanciée exposée sous point b du recours en page 3, paragraphe 2, 3 et 4", qui comparait la présente cause avec l'arrêt du Tribunal fédéral rendu dans la cause 5A_767/2011 du 1er juin 2012.
4.1. Le droit d'être entendu garanti par l'art. 29 al. 2 Cst. implique, en particulier, le devoir pour l'autorité de motiver sa décision, afin que le destinataire puisse la comprendre, la contester utilement s'il y a lieu et exercer son droit de recours à bon escient. Pour répondre à ces exigences, le juge doit mentionner, au moins brièvement, les motifs qui l'ont guidé et sur lesquels il a fondé sa décision, de manière à ce que l'intéressé puisse se rendre compte de la portée de celle-ci et l'attaquer en connaissance de cause. Il n'a toutefois pas l'obligation d'exposer et de discuter tous les faits, moyens de preuve et griefs invoqués par les parties, mais peut au contraire se limiter à l'examen des questions décisives pour l'issue du litige (<ref-ruling> consid. 3.2.1 p. 564 s.; <ref-ruling> consid. 2.2 p. 183; <ref-ruling> consid. 4.1 p. 88 et les références). Dès lors que l'on peut discerner les motifs qui ont guidé la décision de l'autorité, le droit à une décision motivée est respecté même si la motivation présentée est erronée. La motivation peut d'ailleurs être implicite et résulter des différents considérants de la décision. En revanche, une autorité se rend coupable d'un déni de justice formel prohibé par l'art. 29 al. 2 Cst. si elle omet de se prononcer sur des griefs qui présentent une certaine pertinence ou de prendre en considération des allégués et arguments importants pour la décision à rendre (<ref-ruling> consid. 3.2.1 p. 565 et les références).
4.2. En l'espèce, la cour cantonale a indiqué les motifs qu'elle a considéré déterminants pour admettre le droit à une contribution de l'ex-épouse (durée du mariage, naissance d'un enfant et état de santé de l'intimée) et en fixer la durée (mariage de longue durée, impossibilité pour l'ex-épouse invalide de reprendre une activité professionnelle et réduction des ressources du débirentier à l'âge de la retraite). Sur cette base, le recourant était en mesure de contester la décision attaquée en connaissance de cause. Partant, le grief est infondé.
Pour le surplus, la question de l'applicabilité au cas d'espèce de la jurisprudence citée par le recourant sera examinée ci-après (cf. infra consid. 5.1.4.2 et 5.1.4.3).
5.
Le recourant se plaint également d'une violation de l'<ref-law>, sans mentionner expressément cette disposition (cf. supra consid. 2.1). Pour autant qu'on puisse le comprendre, il conteste le droit à une contribution d'entretien de son épouse dans son principe, le montant octroyé à ce titre ainsi que la durée pendant laquelle la contribution doit être versée.
5.1.
5.1.1. La cour cantonale a retenu que le mariage avait exercé une influence concrète sur la situation de l'intimée en raison de sa durée de plus de 13 ans, de la naissance d'un enfant, dont l'intimée s'était occupée, et de l'état de santé de celle-ci, qui percevait une rente AI entière depuis le 1er avril 1999 et était entièrement dépendante de son époux financièrement, à tout le moins depuis cette date. Au vu de l'invalidité de l'intimée, aucune activité lucrative n'était envisageable ou exigible. Sa seule source de revenus était constituée par la rente de l'assurance-invalidité d'un montant de 1'535 fr., les prestations complémentaires - subsidiaires à l'entretien dû en vertu du droit de la famille - n'ayant pas à être prises en considération dans le calcul de ses ressources.
S'agissant du calcul de la contribution d'entretien, la cour cantonale a constaté que le revenu de l'intimée ne couvrait pas son strict minimum vital, qui se montait à 2'447 fr. Le recourant disposait quant à lui, après déduction de son strict minimum vital de 2'767 fr. et de la contribution d'entretien en faveur de son fils de 960 fr., d'un solde de 413 fr. C'était par conséquent à bon droit que le premier juge avait arrêté à 400 fr. la contribution d'entretien en faveur de l'intimée, tant que le recourant subvenait à l'entretien de l'enfant, tout en constatant que ce montant additionné au revenu de l'ex-épouse ne permettait pas de couvrir le minimum vital de celle-ci. L'enfant étant devenu majeur le 9 avril 2015, la situation financière du débirentier s'était améliorée puisqu'il avait été libéré de l'obligation de contribuer à l'entretien de son fils. Partant, le premier juge avait à juste titre considéré qu'il y avait lieu d'adapter la contribution d'entretien pour tenir compte de ce fait prévisible. Le montant ainsi disponible devait être affecté en premier lieu à la couverture des besoins incompressibles de l'intimée et l'excédent réparti par moitié entre les parties, sans tenir compte de leur minimum vital élargi puisque celui-ci excédait le montant disponible. L'intimée pouvait dès lors prétendre à une contribution d'entretien de 1'100 fr., celle-ci assurant aux parties un train de vie équivalent.
S'agissant de la durée de la contribution d'entretien, la juridiction précédente a retenu qu'en raison de la longue durée du mariage, il ne se justifiait pas de limiter l'entretien à la date à laquelle l'enfant avait atteint l'âge de 16 ans révolus. La cour cantonale a par ailleurs relevé que l'empêchement d'exercer une activité lucrative ne résultait pas du temps à consacrer à l'enfant, mais de l'état de santé de la crédirentière. Les ressources du recourant seraient réduites quand celui-ci atteindra l'âge de la retraite, le 17 juin 2025, de sorte que la durée de l'entretien devait être limitée au 1 er juin 2025 inclus.
5.1.2. En substance, le recourant soutient que son ex-épouse n'avait droit à une pension que jusqu'à ce que leur fils ait atteint l'âge de 16 ans révolus, le 9 avril 2013. L'invalidité de l'intimée, survenue après le mariage, ne serait pas propre à remettre en cause la limitation de durée de la contribution d'entretien. En effet, lorsque les époux se sont mariés, l'intimée était en bonne santé, de sorte que le recourant ne pouvait imaginer que sept ans plus tard, elle serait incapable de travailler. De son côté, l'épouse ne pouvait raisonnablement espérer que son mari l'entretienne jusqu'à la retraite, si elle devenait invalide après quelques années de mariage. Les prestations complémentaires devaient dès lors " prendre le relais ".
S'agissant du calcul de la contribution d'entretien, la méthode du minimum vital avec répartition de l'excédent n'était pas justifiée en l'espèce, dès lors que pendant la vie commune, une part importante du revenu était consacrée à l'enfant commun du couple et ne bénéficiait pas à l'épouse.
Enfin, si le Tribunal fédéral n'admettait pas de limiter la durée de la contribution d'entretien aux 16 ans de l'enfant, il lui appartiendrait de fixer la durée de la pension, la durée de la vie commune constituant la " limite absolue " au droit à la contribution d'entretien.
5.1.3.
5.1.3.1. Aux termes de l'<ref-law>, si l'on ne peut raisonnablement attendre d'un époux qu'il pourvoie lui-même à son entretien convenable, y compris à la constitution d'une prévoyance vieillesse appropriée, son conjoint lui doit une contribution équitable. Dans son principe, comme dans son montant et sa durée, l'obligation d'entretien doit être fixée en tenant compte des éléments énumérés de façon non exhaustive à l'<ref-law> (<ref-ruling> consid. 11.1.2 p. 292; <ref-ruling> consid. 4.1 p. 104 s. et les références).
Une contribution d'entretien est due en vertu du principe de la solidarité si le mariage a eu une influence concrète sur les conditions d'existence de l'époux ("lebensprägende Ehe"), en d'autres termes si le mariage a créé pour cet époux - par quelque motif que ce soit - une position de confiance qui ne saurait être déçue même en cas de divorce. Un mariage peut notamment avoir une influence concrète sur la situation de l'époux crédirentier s'il a duré au moins dix ans - période à calculer jusqu'à la date de la séparation des époux (<ref-ruling> consid. 9.2 p. 600) - ou encore, indépendamment de sa durée, si les époux ont eu des enfants communs (<ref-ruling> consid. 3.1 p. 468; <ref-ruling> consid. 4.1 p. 61 et les références); une position de confiance digne de protection créée par le mariage peut être retenue pour d'autres motifs également (arrêt 5A_767/2011 du 1er juin 2012 consid. 5.2.2 et les références).
Un tel mariage ne donne toutefois pas automatiquement droit à une contribution d'entretien: selon la jurisprudence, le principe de l'autonomie prime le droit à l'entretien, ce qui se déduit directement de l'<ref-law> (<ref-ruling> consid. 3.1 p. 468 s.); un époux ne peut prétendre à une pension que s'il n'est pas en mesure de pourvoir lui-même à son entretien convenable et si son conjoint dispose d'une capacité contributive. En outre, si le mariage n'a pas été de très longue durée, le conjoint n'a pas droit à une rente illimitée dans le temps. Dans un tel cas, l'époux crédirentier ne peut en effet se prévaloir de la position de confiance créée par l'union pour obtenir une contribution d'entretien durant une période allant au-delà de ce qu'exige la prise en charge des enfants et sa réinsertion professionnelle (ATF <ref-ruling> consid. 4.1.2 p. 105 s.).
5.1.3.2. Lorsque le mariage a eu un impact décisif sur la vie des époux, l'état de santé doit être pris en considération pour déterminer le droit à une contribution et son étendue (<ref-law>), même si l'atteinte subie est sans lien avec le mariage. Le moment auquel survient l'atteinte à la santé n'est pas déterminant, tant qu'elle survient avant le jugement de divorce (arrêts 5A_894/2011 du 14 mai 2012 consid. 6.5.2; 5A_750/2011 du 5 décembre 2011 consid. 4; 5A_384/2008 du 21 octobre 2008 consid. 5.2.1 et 5.2.2). Le principe de solidarité implique en effet que les conjoints sont responsables l'un envers l'autre non seulement des effets que le partage des tâches adopté durant le mariage a pu avoir sur la capacité de gain de l'un des époux, mais aussi des autres motifs qui empêcheraient celui-ci de pourvoir lui-même à son entretien (arrêt 5P.51/2006 du 10 juillet 2006 consid. 3.3 et les références).
5.1.3.3. La loi n'impose pas de mode de calcul particulier pour fixer le montant de la contribution d'entretien de l'époux et les tribunaux jouissent d'un large pouvoir d'appréciation en la matière (<ref-law>; <ref-ruling> consid. 4 p. 580; <ref-ruling> consid. 3a p. 141). Il n'y a violation du droit fédéral que si le juge a abusé de son pouvoir d'appréciation, en se référant à des critères dénués de pertinence ou en ne tenant pas compte d'éléments essentiels, ou encore si, d'après l'expérience de la vie, le montant arrêté paraît manifestement inéquitable (<ref-ruling> consid. 2. p. 382; <ref-ruling> consid. 3a p. 141). Lorsque l'union conjugale a durablement marqué de son empreinte la situation de l'époux bénéficiaire, le principe est que le standard de vie choisi d'un commun accord doit être maintenu pour les deux parties dans la mesure où leur situation financière le permet (ATF <ref-ruling> consid. 4.2.1.1 p. 106; <ref-ruling> consid. 3.2 p. 595). Il s'agit de la limite supérieure de l'entretien convenable (<ref-ruling> consid. 3.1 p. 468; <ref-ruling> consid. 4.2.1.1 p. 106). Lorsqu'il est établi que les époux ne réalisaient pas d'économies durant le mariage, ou que l'époux débiteur ne démontre pas qu'ils ont réellement fait des économies, ou encore qu'en raison des frais supplémentaires liés à l'existence de deux ménages séparés et de nouvelles charges, le revenu est entièrement absorbé par l'entretien courant, il est admissible de s'écarter d'un calcul selon les dépenses effectives des époux durant le mariage (AF <ref-ruling> consid. 4.2.1.1 p. 106 s.). En effet, dans de tels cas, la méthode du minimum vital élargi avec répartition, en fonction des circonstances concrètes, de l'excédent entre les époux permet de tenir compte adéquatement du niveau de vie antérieur et des restrictions à celui-ci qui peuvent être imposées au conjoint créancier divorcé et à tous les enfants, selon le principe de l'égalité entre eux (ATF <ref-ruling> consid. 4.2.1.1 p. 106 s. et les références).
5.1.3.4. Le juge peut prévoir que la contribution d'entretien sera adaptée - à la hausse ou à la baisse - à des moments déterminés en fonction de l'évolution prévisible de la situation financière des parties (arrêts 5A_664/2007 du 23 avril 2008 consid. 4.1; 5C.84/2006 du 29 septembre 2006 consid. 4.2.3 et la doctrine citée); tel peut notamment être le cas pour tenir compte de la fin du devoir d'entretien en faveur d'un enfant (arrêt 5C.84/2006 précité consid. 4.3.2).
5.1.4.
5.1.4.1. En l'espèce, le mariage a eu une influence concrète sur la situation de l'intimée, compte tenu de sa durée de plus de 13 ans et de la naissance d'un enfant commun dont l'intimée s'est occupée.
Par ailleurs, il n'est pas contesté que l'intimée, bénéficiaire d'une rente d'invalidité entière, n'est pas en mesure de subvenir elle-même à son entretien et ne pourra augmenter ses revenus dans le futur. Comme l'a à juste titre retenu l'autorité cantonale, il n'y a pas lieu de tenir compte des prestations complémentaires reçues par l'intimée dans le calcul de ses ressources visant à déterminer si elle est en mesure de pourvoir elle-même à son entretien, puisque ces prestations sont subsidiaires aux obligations d'entretien du droit de la famille (arrêt 5A_158/2010 du 25 mars 2010 consid. 3.2 et les références).
Au vu de ces éléments, le principe de solidarité s'applique, la confiance placée par l'épouse dans la continuation du mariage méritant d'être protégée. A cet égard, l'argument du recourant selon lequel, à la date du mariage, les époux ne pouvaient s'attendre à ce que l'intimée devienne invalide n'est pas déterminant, dans la mesure où la question de savoir si le mariage a concrètement influencé les conditions d'existence du conjoint est examinée à la lumière de la situation des époux pendant la vie commune et non uniquement au moment de la conclusion du mariage.
Il résulte de ce qui précède que l'autorité cantonale n'a pas violé l'<ref-law> en retenant que l'intimée avait en principe droit à une contribution d'entretien.
Le fait que le dépôt de la demande de divorce soit postérieur à la date à laquelle l'enfant des parties a atteint l'âge de 16 ans n'est pas propre à remettre en cause cette conclusion, dès lors que, comme il sera examiné ci-après (cf. infra consid. 5.1.4.3), l'intimée avait droit à une contribution au-delà de cette date.
5.1.4.2. S'agissant de la quotité de la contribution d'entretien, le recourant ne remet pas en cause, ni dans leur principe ni dans leur montant, les revenus et charges des parties retenus par l'autorité cantonale (cf. supra consid. 2.2).
Il affirme que la méthode du minimum vital avec répartition de l'excédent, utilisée par la juridiction précédente pour calculer la contribution d'entretien, n'est pas justifiée en l'espèce, au motif qu'une part importante du revenu - qu'il ne chiffre au demeurant pas - était consacrée, pendant la vie commune, à l'entretien de l'enfant commun et ne bénéficiait dès lors pas à l'épouse. Or, il ressort de l'arrêt attaqué que le recourant " n'a pas établi que la [répartition par moitié de l'excédent] équivalaut (sic) à un transfert de patrimoine parce qu'une partie seulement de son revenu était utilisée pour l'entretien du couple ". Le recourant ne critique pas cette constatation sous l'angle de l'établissement arbitraire des faits ou de l'appréciation arbitraire des preuves. Sa critique est dès lors appellatoire, partant irrecevable (cf. supra consid. 2.2).
Pour autant qu'on puisse le comprendre, le recourant reproche également à l'autorité cantonale d'avoir adapté à la hausse le montant de la contribution d'entretien pour tenir compte du fait qu'il serait libéré de son obligation d'entretien en faveur de son fils une fois celui-ci majeur.
Il résulte de la jurisprudence susmentionnée (cf. supra consid. 5.1.3.3) que la cour cantonale n'a, en l'espèce, pas commis d'abus ou d'excès de son pouvoir d'appréciation en confirmant la décision du premier juge de tenir compte de l'augmentation prévisible des revenus du débirentier et d'adapter à la hausse la contribution d'entretien, dont le montant initial ne permettait pas de couvrir le minimum vital de l'intimée. Les arrêts 5A_767/2011 du 1er juin 2012 et 5A_23/2014 du 6 octobre 2014 cités par le recourant à l'appui de son argumentation ne sont pas pertinents sur ce point, car ils ne traitent pas de la question de la hausse de la rente en raison de la fin de l'obligation d'entretien en faveur d'enfants communs.
La comparaison avec l'arrêt 5A_384/2008 du 21 octobre 2008 - que le recourant semble invoquer à titre subsidiaire pour limiter le montant de la contribution d'entretien à 900 fr. par mois - ne convainc pas non plus, la contribution d'entretien n'ayant pas été calculée selon la méthode du minimum vital avec répartition de l'excédent dans cet arrêt.
5.1.4.3. S'agissant de la durée de la contribution d'entretien, la cour cantonale l'a limitée à la retraite du recourant. Celui-ci ne critique pas directement la prise en compte de ce critère, mais soutient que le droit de l'intimée à une contribution d'entretien aurait dû s'éteindre au moment où leur fils avait atteint l'âge de 16 ans ou, subsidiairement, que la durée admissible serait inférieure à celle retenue dans le jugement attaqué, la durée de la vie commune devant être considérée comme une " limite absolue ".
La jurisprudence invoquée par le recourant, selon laquelle on ne peut exiger d'un époux la prise ou la reprise d'une activité lucrative à un taux de 50 % avant que le plus jeune des enfants n'ait atteint l'âge de 10 ans révolus, et de 100 % avant qu'il n'ait atteint l'âge de 16 ans révolus (ATF <ref-ruling> consid. 4.2.2.2 p. 109; <ref-ruling> consid. 3c p. 10) ne permet en l'espèce pas, en elle-même, d'exclure toute contribution d'entretien au-delà de l'âge de 16 ans de l'enfant, dès lors qu'elle a clairement été pensée pour les situations dans lesquelles le parent gardien est en mesure de prendre ou reprendre une activité lucrative (arrêt 5A_767/2011 du 1er juin 2012 consid. 7.3), ce qui n'est pas le cas en l'espèce.
Au demeurant, on ne saurait - contrairement à ce que propose le recourant - déterminer la durée de la contribution d'entretien en fonction de la seule durée du mariage (<ref-ruling> consid. 5b p. 290; arrêt 5A_11/2010 du 18 mars 2011 consid. 6.1), ce critère devant être pris en compte au même titre que les autres critères mentionnés à l'<ref-law>.
En l'espèce, il n'apparaît pas que la cour cantonale, qui a tenu compte de la longue durée du mariage, de l'incapacité de l'intimée de pourvoir à son entretien en raison de son état de santé et de la baisse de revenus du recourant lorsqu'il atteindra l'âge de la retraite, ait commis un excès ou un abus de son pouvoir d'appréciation en condamnant le recourant à contribuer à l'entretien de l'intimée jusqu'à sa retraite.
Les arrêts 5A_767/2011 et 5A_24/2014 précités, sur lesquels le recourant fonde son argumentation, ne sont pas propres à remettre en cause cette conclusion, dès lors que leurs états de fait diffèrent du présent cas.
6.
S'agissant de la décision lui refusant l'assistance judiciaire en procédure d'appel faute de chances de succès, le recourant soutient que celle-ci viole l'<ref-law> ainsi que l'art. 29 al. 3 Cst.
6.1. En vertu de l'<ref-law> - qui concrétise les principes que le Tribunal fédéral a dégagés de l'art. 29 al. 3 Cst. (<ref-ruling> consid. 2.2.3 p. 218 et les références) -, une personne a droit à l'assistance judiciaire si elle ne dispose pas de ressources suffisantes (let. a) et si sa cause ne paraît pas dépourvue de toute chance de succès (let. b).
De jurisprudence constante, un procès est dépourvu de chances de succès lorsque les perspectives de le gagner sont notablement plus faibles que les risques de le perdre, et ne peuvent donc être considérées comme sérieuses, de sorte qu'un plaideur raisonnable et aisé renoncerait à s'y engager en raison des frais qu'il serait exposé à devoir supporter; en revanche, il ne l'est pas lorsque les chances de succès et les risques d'échec s'équilibrent à peu près ou que les premières n'apparaissent que légèrement inférieures aux secondes (<ref-ruling> consid. 9.1 p. 537; <ref-ruling> consid. 2.2 p. 476; <ref-ruling> consid. 2.2.3 p. 218). Cette évaluation doit s'opérer en fonction des circonstances existant à la date du dépôt de la requête. Le juge peut se limiter à un examen sommaire de la question (<ref-ruling> consid. 2.2.4 p. 218; <ref-ruling> consid. 5 p. 616), mais la loi ne lui interdit pas d'en faire plus, notamment en procédure d'appel où, sur la base du jugement attaqué et du mémoire de recours, l'examen des chances de succès des conclusions du requérant est souvent plus aisé qu'au début de la procédure judiciaire (ATF <ref-ruling> consid. 2.3 p. 477; arrêt 4A_665/2015 du 21 avril 2016 consid. 3.1). L'autorité chargée de statuer sur l'assistance judiciaire ne doit toutefois pas se substituer au juge du fond (arrêt 5A_614/2015 du 25 avril 2016 consid. 3.2).
6.2. Le recourant affirme que "[ses] arguments développés dans l'écriture d'appel étaient suffisamment solides, les questions de principe posées suffisamment importantes et les intérêts en jeu suffisamment grands pour justifier un appel au Tribunal cantonal ", le fait que l'autorité cantonale ait mis longtemps pour statuer étant un " indice très fort que les arguments présentés étaient sérieux et justifiaient l'appel ".
L'argumentation du recourant - qui s'en remet par ailleurs à " l'appréciation [du] Tribunal fédéral " quant à la question de savoir si un plaideur raisonnable aurait fait appel dans le cas d'espèce -, s'épuise en des considérations générales, qui ne remplissent pas les exigences de motivation susmentionnées (cf. supra consid. 2.1). Partant, son grief est irrecevable.
7.
En conclusion, le recours, en tant qu'il est dirigé contre le jugement d'appel du 14 janvier 2016, est rejeté dans la mesure où il est recevable. En tant qu'il est dirigé contre la décision de refus de l'assistance judiciaire pour la procédure d'appel du 14 janvier 2016, le recours est irrecevable. La requête d'assistance judiciaire pour la procédure fédérale est également rejetée, les conclusions du recourant étant d'emblée dépourvues de chances de succès (<ref-law>). Le recourant, qui succombe, supportera les frais judiciaires (<ref-law>). Il versera en outre à l'intimée, qui a obtenu gain de cause s'agissant de l'effet suspensif, mais n'a pas été invitée à se déterminer sur le fond, une indemnité de dépens (art. 68 al. 1 et 2 LTF). Au vu du sort de la cause, il n'y a pas lieu de modifier la répartition des frais et dépens de deuxième instance cantonale (art. 67 et 68 al. 5 LTF).

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce :
1.
Les causes 5A_128/2016 et 5A_537/2016 sont jointes.
2.
En tant qu'il est dirigé contre le jugement d'appel du 14 janvier 2016, le recours est rejeté dans la mesure où il est recevable.
3.
En tant qu'il est dirigé contre la décision de refus de l'assistance judiciaire pour la procédure d'appel du 14 janvier 2016, le recours est irrecevable.
4.
La requête d'assistance judiciaire du recourant pour la procédure fédérale est rejetée.
5.
Les frais judiciaires, arrêtés à 2'000 fr., sont mis à la charge du recourant.
6.
Une indemnité de 200 fr., à verser à l'intimée à titre de dépens, est mise à la charge du recourant.
7.
Le présent arrêt est communiqué aux parties et à la Cour civile II du Tribunal cantonal du canton du Valais.
Lausanne, le 22 août 2016
Au nom de la IIe Cour de droit civil
du Tribunal fédéral suisse
Le Président : von Werdt
La Greffière : Feinberg