Sachverhalt:
A.
Der am 9. März 1960 geborene A._ arbeitete seit 1. September 1986 bei den Schweizerischen Bundesbahnen (nachfolgend: SBB) und war bei der Pensionskasse SBB berufsvorsorgeversichert. Die SBB lösten das Arbeitsverhältnis per 30. November 2006 auf. Zu diesem Zeitpunkt erfolgte auch der Austritt aus der Vorsorgeeinrichtung. Ab Anfang Dezember 2006 bezog A._ einige Monate Taggelder der Arbeitslosenversicherung und war bei der Stiftung Auffangeinrichtung BVG für berufliche Vorsorge versichert. Am 19. Mai 2005 meldete er sich bei der Invalidenversicherung zum Leistungsbezug an. Nachdem sowohl die IV-Stelle des Kantons Zürich (Verfügung vom 11. August 2005 bzw. Einspracheentscheid vom 28. November 2005) als auch das Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich einen Anspruch auf berufliche Massnahmen verneint hatten, erfolgte im Februar 2008 eine Neuanmeldung. Die folgende berufliche Abklärung im Zentrum B._ brach der Versicherte nach wenigen Tagen ab. Die IV-Stelle legte dem Regionalen Ärztlichen Dienst (nachfolgend: RAD) eine psychiatrische Expertise des Dr. med. C._ vom 7. November 2006 vor. Der beurteilende RAD-Arzt Dr. med. D._ ging von einer berufsrelevanten Einschränkung ab dem Begutachtungsdatum aus, gab diesbezüglich aber den 11. Juli 2007 an. Gestützt darauf wurde A._ mit Verfügungen vom 30. Juni und 15. Juli 2010 ab 1. Juli 2008 eine halbe und ab 1. Juli 2009 eine ganze Invalidenrente (Invaliditätsgrad: 54 % bzw. 100 %) zugesprochen.
Die Pensionskasse SB B lehnte eine Leistungspflicht ab, weil der Versicherte während seiner Anstellung bei den SBB nie längere Zeit 20 % oder mehr arbeitsunfähig gewesen sei; die Invalidenversicherung habe den Beginn der Arbeitsunfähigkeit (Beginn der einjährigen Wartezeit) vielmehr auf den 11. Juli 2007 festgelegt, also über dreissig Tage nach dem Austritt aus der Vorsorgeeinrichtung (Schreiben vom 24. Februar 2015).
B.
Am 7. April 2015 erhob A._ Klage gegen die Pensionskasse SBB und die Stiftung Auffangeinrichtung BVG mit den Rechtsbegehren, die Pensionskasse SBB sei zur Ausrichtung der obligatorischen und reglementarischen Leistungen, insbesondere Invalidenrente, zuzüglich Zins von 5 % ab Fälligkeit zu verpflichten. Eventualiter sei die Stiftung Auffangeinrichtung BVG zur Ausrichtung der obligatorischen und reglementarischen Leistungen, insbesondere Invalidenrente, zuzüglich Zins von 5 % ab Fälligkeit, zu verpflichten. Mit Entscheid vom 11. März 2016 wies das Verwaltungsgericht des Kantons Bern die Klage gegen die Pensionskasse SBB ab. Diejenige gegen die Stiftung Auffangeinrichtung BVG hiess es teilweise gut und sprach A._ ab 1. Juli 2008 eine halbe Invalidenrente aus obligatorischer beruflicher Vorsorge samt Verzugszins zu 5 % ab dem 7. April 2015 sowie ab dem jeweiligen Fälligkeitsdatum auf den seither fälligen Betreffnissen zu.
C.
Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten macht A._ geltend, der Entscheid vom 11. März 2016 sei aufzuheben und erneuert das vorinstanzliche Klagebegehren.
Die Pensionskasse SBB schliesst auf Abweisung der Beschwerde. Die Stiftung Auffangeinrichtung BVG beantragt, in Aufhebung des kantonalen Entscheids sei die Pensionskasse SBB entsprechend dem Rechtsbegehren des A._ zur Ausrichtung der obligatorischen und reglementarischen Leistungen zuzüglich Zins von 5 % für die bis zur Klageeinreichung fällig gewordenen und die seither fällig gewordenen Betreffnisse ab jeweiligem Fälligkeitsdatum zu verpflichten; im Übrigen sei die Beschwerde abzuweisen. Das Bundesamt für Sozialversicherungen verzichtet auf eine Vernehmlassung.

Erwägungen:
1.
Mit der Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann u.a. die Verletzung von Bundesrecht gerügt werden (<ref-law>). Die Feststellung des Sachverhalts kann nur gerügt werden, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von Artikel 95 beruht und wenn die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein kann (<ref-law>). Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (<ref-law>). Es kann die Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz von Amtes wegen berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von Artikel 95 beruht (<ref-law>).
2.
Die Anschlussbeschwerde ist dem bundesgerichtlichen Verfahren fremd (<ref-ruling> E. 2.1 S. 110), weshalb auf die von der Stiftung Auffangeinrichtung BVG gestellten Rechtsbegehren nicht einzutreten ist, soweit sie ihnen selbstständige Bedeutung zumisst.
3.
3.1. Streitig ist vorab die Leistungspflicht der SBB Pensionskasse. Die Vorinstanz hat eine Bindungswirkung betreffend die invalidenversicherungsrechtlichen Verfügungen vom 11. August 2005 und 30. Juni bzw. 15. Juli 2010 bejaht, wonach der Beschwerdeführer seit 11. Juli 2007 (Beginn des Wartejahres; <ref-law>) in seiner Arbeitsfähigkeit erheblich eingeschränkt ist. Da dessen Austritt aus der Pensionskasse SBB jedoch bereits per Ende November 2006 erfolgte, hat das kantonale Gericht einen Leistunganspruch verneint.
Die Bindung der Pensionskasse SBB ist in Bezug auf die Verfügungen vom 30. Juni und 15. Juli 2010 im Grundsatz unbestritten. Die Bindungswirkung erstreckt sich sowohl auf den obligatorischen als auch den überobligatorischen Bereich, nachdem die Vorsorgeeinrichtung (vgl. Art. 33 Reglement 2007) vom gleichen Invaliditätsbegriff ausgeht wie die Invalidenversicherung (Urteil 9C_712/2014 vom 31. März 2015 E. 4.1 mit Hinweisen).
3.2. Der Beschwerdeführer stellt sich auf den Standpunkt, der von der IV-Stelle übernommene Eintritt der Arbeitsunfähigkeit beruhe offensichtlich auf einem Tippfehler des RAD-Arztes Dr. med. D._, welcher das psychiatrische Gutachten des Dr. med. C._ vom 7. November 2006 falsch datiert habe (vgl. RAD-Stellungnahme vom 10. März 2010). Daran sei die SBB Pensionskasse nicht gebunden, wohl aber an das frühere (korrekte) Datum der Expertise. Mit anderen Worten verlangt der Beschwerdeführer eine formlose Änderung des Datums vom 11. Juli 2007 und damit der leistungspflichtigen Vorsorgeeinrichtung. Es stellt sich die Frage, ob ein solcher Fehler - eine Art Kanzleifehler - formlos berichtigt werden kann, ohne dass sich an der Bindungswirkung etwas ändert.
4.
4.1. Die Pensionskasse SBB kennt die Erwerbs- und Berufsinvalidität (vgl. Reglemente 2004 und 2007). Der Beschwerdeführer machte in der vorinstanzlichen Klage einzig einen Anspruch auf eine Erwerbsinvalidenrente geltend. In der Replik erfolgte zu Recht keine Klageänderung oder -ergänzung, waren doch die reglementarischen Voraussetzungen für eine Berufsinvalidität (vgl. Art. 64 Abs. 2 Reglement 2007 i.V.m. Art. 21 Abs. 1 Reglement 2004) bei Auflösung des Arbeitsverhältnisses mit der SBB Ende November 2006 klar nicht gegeben. Soweit der Beschwerdeführer vor Bundesgericht erstmals Berufsinvalidenleistungen beantragt, handelt es sich demnach um eine unzulässige Abänderung des eingeklagten Anspruchs, weshalb die Beschwerde in diesem Punkt zum vorneherein abzuweisen ist (vgl. <ref-law>). Ein Fehler in der Rechtsanwendung liegt - entgegen den Ausführungen in der Beschwerde - nicht vor, zumal die Erwägung 2.2 des vorinstanzlichen Entscheids unangefochten geblieben und diesbezüglich kein geradezu offensichtlicher Rechtsmangel ersichtlich ist (vgl. <ref-ruling> E. 1.4.1 S. 254).
4.2. Die Vorinstanz hat die gesetzlichen Bestimmungen zu den Invalidenleistungen der obligatorischen beruflichen Vorsorge (Art. 23 lit. a BVG) und zu Beginn und Ende der Versicherungspflicht (Art. 10 Abs. 2 lit. b und Abs. 3 BVG) korrekt wiedergegeben. Richtig sind auch die Ausführungen zur massgeblichen Einbusse an funktionellem Leistungsvermögen von mindestens 20 % sowie zum sachlichen und zeitlichen Konnex zwischen einer allfälligen Arbeitsunfähigkeit während des Vorsorgeverhältnisses und der späteren Invalidität bzw. zur Unterbrechung des engen zeitlichen Zusammenhangs (vgl. <ref-ruling> E. 4.1 in fine S. 275; <ref-ruling>). Schliesslich hat das kantonale Gericht auch die Grundsätze in Bezug auf den Zeitpunkt des Eintritts einer relevanten Arbeitsunfähigkeit zutreffend dargelegt (<ref-ruling> E. 3.1 S. 68). Darauf wird verwiesen.
5.
Das kantonale Gericht hat übersehen, dass in der Verfügung vom 11. August 2005 nicht über den Rentenanspruch, sondern einzig über berufliche Massnahmen entschieden wurde. Dies ergibt sich einerseits aus der Anmeldung des Beschwerdeführers, die sich ausschliesslich auf berufliche Massnahmen (Umschulung auf eine neue Tätigkeit) bezog, und andererseits aus der Verfügung selber, worin die IV-Stelle explizit darlegte, es sei (nur) der Anspruch auf berufliche Massnahmen geprüft worden. Hinzu kommt, dass die Verwaltung sowohl im Einspracheentscheid vom 28. November 2005 als auch in der Beschwerdevernehmlassung vom 9. Februar 2006 berufliche Massnahmen als Betreff anführte. In der Folge äusserte sich das zürcherische kantonale Gericht nicht zum Streitgegenstand, sondern erwog lediglich, dass (im Übrigen) auch ein Rentenanspruch des Beschwerdeführers zu verneinen sei (Urteil vom 28. August 2006 E. 5 S. 16). Diese Aussage bewegte sich nach dem Gesagten jedoch klarerweise ausserhalb des Streitgegenstandes, der lediglich den Anspruch auf berufliche Massnahmen umfasste. Die Voraussetzungen für eine Ausdehnung des Streitgegenstandes (vgl. <ref-ruling> E. 2a S. 415 f. mit Hinweis auf <ref-ruling> E. 2a S. 36) waren indes nicht gegeben: Aus der Beschwerdeschrift vom 22. Dezember 2005 kann nicht abgeleitet werden, dass der Beschwerdeführer eine solche verlangt hätte. Ebenso wenig gab die Verwaltung eine entsprechende Prozesserklärung ab (vgl. Vernehmlassung vom 28. November 2005). Dem Beschwerdeführer war es vor diesem Hintergrund verwehrt, den Entscheid des kantonalen Gerichts im Hinblick auf den Rentenanspruch anzufechten, zumal darüber im Dispositiv nicht befunden wurde (vgl. Urteil 8C_272/2011 vom 11. November 2011 E. 1.3 [nicht publ. in: <ref-ruling>]). Nachdem die Bindungswirkung nur einen Entscheid der Invalidenversicherung über Rentenansprüche betreffen kann (vgl. <ref-ruling> E. 4.3.2 S. 69), entfällt diese mit Blick auf die Verfügung vom 11. August 2005 ohne weiteres.
6.
6.1.
6.1.1. Auf die Möglichkeit einer formlosen Korrektur des falsch übernommenen Begutachtungsdatums (vgl. E. 3.2 vorne) ist das kantonale Gericht nicht eingegangen. Nachdem es sich jedoch um eine Rechtsfrage handelt, ist die Kognition des Bundesgerichts nicht eingeschränkt (vgl. E. 1 vorne). Soweit der Beschwerdeführer diesbezüglich eine Verletzung des Anspruchs auf rechtliches Gehör (<ref-law>) rügt, kann diese somit als geheilt betrachtet werden (vgl. <ref-ruling> E. 2.2 S. 204; <ref-ruling> E. 5.1 S. 390; <ref-ruling> E. 7.3 S. 562 mit weiteren Hinweisen).
6.1.2. Berichtigungsfähige Kanzleifehler haben den Ausdruck des Verfügungsinhalts und des behördlichen Willens, also die eigentliche Willensäusserung zum Gegenstand. Damit geht es um die Klarstellung eines Erklärungsirrtums, der bei der behördlichen "Handarbeit" auftritt. Solchen Unstimmigkeiten stehen die Fehler bei der "Kopfarbeit" gegenüber. Ein inhaltlicher Fehler der Verfügung und damit der Willensbildung liegt vor, wenn die Verfügung auf einer unzutreffenden tatbeständlichen oder rechtlichen Würdigung beruht, ungeachtet dessen, ob für die versicherte Person erkennbar ist, dass die Behörde sich in einem Sach- oder Rechtsirrtum und damit in einem eigentlichen Grundlagenirrtum befand. Derartige Fehler können nicht berichtigungsweise, sondern einzig auf dem Rechtsmittelweg geltend gemacht werden (vgl. Urteil 2C_436/2015 vom 22. Juli 2016 E. 3.2.2 und 3.2.3 mit Hinweisen).
6.1.3. Die IV-Stelle verwechselte in Bezug auf die Datierung der psychiatrischen Expertise des Dr. med. C._ nicht nur Tag und Monat (11. Juli statt 7. November), sondern setzte überdies eine gänzlich andere Jahreszahl ein (2007 statt 2006). Damit kann nicht von einem blossen Versehen ausgegangen werden. Jedenfalls kann weder von einem eigentlichen Rechen- noch einfachen Schreibfehler gesprochen werden (vgl. UELI KIESER, ATSG-Kommentar, 3. Aufl. 2015, Rz. 80 zu <ref-law>; <ref-ruling> E. 2.3 S. 326 mit Hinweis auf <ref-ruling>). Zur Korrektur verbleibt ausnahmslos der Weg der Wiedererwägung (<ref-law>), welcher in concreto jedoch nicht beschritten wurde und vom Berufsvorsorgerichter nicht begangen werden kann. Insoweit fällt eine formlose Änderung des Begutachtungsdatums, wie sie der Beschwerdeführer im Ergebnis geltend macht (vgl. E. 3.2 vorne), ausser Betracht.
6.2. Der Einwand, es sei widersprüchlich, dass die Vorinstanz einerseits eine Bindungswirkung bejaht, andererseits aber eine materielle Prüfung vorgenommen habe, ist nicht stichhaltig. Der Beschwerdeführer verkennt insbesondere, dass sich erstere auf die Pensionskasse SBB bezieht, während letztere die Stiftung Auffangeinrichtung BVG betrifft; das Ergebnis der (autonomen) Prüfung wirkt sich zwangsläufig auch auf die Leistungspflicht der Pensionskasse SBB aus. Nachdem die Stiftung Auffangeinrichtung BVG im IV-Verfahren unbestritten nicht begrüsst worden war, hatte der Beschwerdeführer mit einer materiellen Prüfung zu rechnen. Eine Verletzung des Anspruchs auf rechtliches Gehör (<ref-law>) liegt somit - entgegen der Ansicht des Beschwerdeführers - auch in diesem Zusammenhang nicht vor.
6.3.
6.3.1. Soweit der Beschwerdeführer schliesslich geltend macht, die 2009 vom behandelnden Psychiater Dr. med. E._ diagnostizierte schizoaffektive Störung (vgl. Bericht vom 15. Juni 2009) fusse auf einer bereits früher bestehenden psychiatrischen Erkrankung (schizoide und paranoide Persönlichkeit) mit funktionaler Leistungseinbusse, hilft dies nicht weiter. Denn selbst bei freier Prüfung ergäbe sich keine Leistungspflicht der SBB Pensionskasse. Diesbezüglich hat die Vorinstanz festgestellt, bereits im Urteil vom 28. August 2006 (siehe die dortige Erwägung 3.4) sei eine relevante Arbeitsunfähigkeit weder aus somatischer noch aus psychiatrischer Sicht als erwiesen angesehen worden. Mithin hat das kantonale Gericht dargelegt, die (echtzeitliche) Einschätzung des psychiatrischen Gutachters Dr. med. C._, wonach die Arbeitsfähigkeit des Beschwerdeführers um einen Drittel herabgesetzt sei, vermöge (auch bei freier Prüfung) nicht zu überzeugen.
6.3.2. Die vorinstanzlichen Sachverhaltsfeststellungen stimmen mit den übrigen Akten überein. So führte Dr. med. C._ selber aus, seine Untersuchung ergebe keine eigentliche psychiatrische Diagnose (vgl. psychiatrisches Gutachten vom 7. November 2006, S. 11). Inwiefern vor diesem Hintergrund eine Einschränkung der Arbeitsfähigkeit aus psychiatrischer Sicht gegeben sein soll, ist nicht nachvollziehbar und wird vom Beschwerdeführer auch nicht (substantiiert) dargetan. Hinzu kommt, dass selbst der behandelnde Psychiater Dr. med. F._ von einer 100%igen Arbeitsfähigkeit ausging, wobei der Versicherte überhaupt keine psychischen Beschwerden angegeben habe (Bericht vom 3. Februar 2006). Der Beschwerdeführer übersieht, dass eine Beweiswürdigung nicht bereits dann als willkürlich (zum Begriff der Willkür: <ref-ruling> E. 2.1 S. 18 f. mit Hinweisen) gilt, wenn eine andere Lösung ebenfalls vertretbar erscheint oder gar vorzuziehen wäre, sondern erst dann, wenn der Entscheid offensichtlich unhaltbar ist, zur tatsächlichen Situation in klarem Widerspruch steht oder auf einem offenkundigen Fehler beruht (<ref-ruling> E. 2b S. 56; <ref-ruling> E. 1.3 S. 4 f.). So verhält es sich hier nicht. Die Vorinstanz hat ihre Auffassung vielmehr nachvollziehbar begründet; deren Feststellungen bleiben für das Bundesgericht verbindlich (E. 1 vorne). Die Schlussfolgerung, dass während der Dauer des Arbeitsverhältnisses mit den SBB bis Ende November 2006 bzw. einen Monat darüber hinaus keine Anhaltspunkte für eine Arbeitsunfähigkeit des Beschwerdeführers vorliegen, ist bundesrechtskonform. Ob später mit Blick auf den Bericht des Dr. med. E._ (vgl. E. 6.4.1 vorne) ein (neuer) psychischer Gesundheitsschaden mit Auswirkungen auf die Arbeitsfähigkeit des Beschwerdeführers eingetreten ist, ist für die Beurteilung des Leistungsanspruchs gegenüber der Pensionskasse SBB unerheblich.
6.4. Nach dem Gesagten fällt eine Leistungspflicht der Pensionskasse SBB so oder anders ausser Betracht. Im Vordergrund steht der Leistungsanspruch des Beschwerdeführers gegenüber der Stiftung Auffangeinrichtung BVG, welchen die Vorinstanz aufgrund der unbestritten ab 16. November 2007 - und damit deutlich vor Ablauf der Versicherungsdeckung (Dezember 2006 bis 31. Dezember 2008 zuzüglich Nachdeckungsfrist) - ausgewiesenen Arbeitsunfähigkeit bejaht hat. Nachdem der Beschwerdeführer diesbezüglich nichts vorbringt, hat es damit sein Bewenden.
7.
Der Beschwerdeführer verlangt zusätzlich Zinsen für Rentenbetreffnisse, die vor der Klageeinleitung am 7. April 2015 fällig geworden sind. Der vorinstanzliche Entscheid steht, wie die Stiftung Auffangeinrichtung BVG zu Recht festhält (vgl. Vernehmlassung vom 1. Juli 2016), betreffend den Verzugszinsanspruch von 5 % für Rentenbetreffnisse ab Einreichung der Klage in Übereinstimmung mit der konstanten Rechtsprechung des Bundesgerichts (vgl. <ref-ruling> E. 4c S. 135; Urteil 9C_222/2014 vom 6. Mai 2014 E. 3.2). Es erübrigen sich daher Weiterungen. Die Beschwerde ist unbegründet.
8.
Dem Ausgang des Verfahrens entsprechend hat der unterliegende Beschwerdeführer die Gerichtskosten zu tragen (<ref-law>). Die Pensionskasse SBB und die Stiftung Auffangeinrichtung BVG haben keinen Anspruch auf eine Parteientschädigung (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Auf die Anschlussbeschwerde der Stiftung Auffangeinrichtung BVG wird nicht eingetreten.
2.
Die Beschwerde wird abgewiesen.
3.
Die Gerichtskosten von Fr. 800.- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien, der Stiftung Auffangeinrichtung BVG, dem Verwaltungsgericht des Kantons Bern, Sozialversicherungsrechtliche Abteilung, und dem Bundesamt für Sozialversicherungen schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 25. Januar 2017
Im Namen der II. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Das präsidierende Mitglied: Glanzmann
Der Gerichtsschreiber: Grünenfelder