Sachverhalt:
A.
Das I._-Spital reichte am 19. Oktober 2009 ein generelles Baubegehren für die Erstellung eines Neubaus an der Maiengasse "..." in Basel ein. Das Bau- und Gastgewerbeinspektorat des Kantons Basel-Stadt (BGI) beschloss mit Vorentscheid vom 28. Januar 2010 auf Empfehlung der Stadtbildkommission, dass ein Varianzverfahren durchzuführen sei. Gestützt auf das in diesem Wettbewerb am besten bewertete Projekt reichte das I._-Spital am 18. Dezember 2012 erneut ein generelles Baubegehren ein. Dabei wurde namentlich um die Beantwortung der Frage ersucht, ob die geplante Bebauung (a) generell (Schutzzone), (b) mit Blick auf das projektierte Nutzungsmass, oder (c) hinsichtlich der vorgesehenen Volumetrie bewilligungsfähig sei. Im Vorentscheid zum generellen Baubegehren vom 23. Juli 2013 führte das BGI die Stellungnahmen diverser Fachbehörden auf, darunter auch diejenige der kantonalen Denkmalpflege. Am gleichen Tag wies es die gegen das Baubegehren eingereichten Einsprachen ab.
B.
Den dagegen von A._ und weiteren Einsprechern erhobenen Rekurs wies die Baurekurskommission des Kantons Basel-Stadt mit Entscheid vom 26. Februar 2014 ab. Diesen Entscheid fochten sie beim Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt an, das ihr Rechtsmittel mit Urteil vom 31. Mai 2016 abwies.
C.
Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten vom 5. Oktober 2016 gelangen A._ und die weiteren im Rubrum genannten Mitbeteiligten an das Bundesgericht. Neben der Aufhebung des Urteils des Appellationsgerichts, des Entscheids der Baurekurskommission sowie des Einsprache- bzw. Vorentscheids zum generellen Baubegehren des BGI beantragen sie, die Sache sei zur neuen Prüfung und Entscheidung an das BGI zurückzuweisen.
Das Appellationsgericht schliesst auf Abweisung der Beschwerde. Die Baurekurskommission verzichtet auf eine Stellungnahme. Das I._-Spital beantragt die Abweisung der Beschwerde, soweit darauf einzutreten sei. Das Bundesamt für Kultur (BAK) kommt in seiner Stellungnahme zum Schluss, die zuständigen Behörden hätten bei der Beurteilung des generellen Baubegehrens gestützt auf die kantonale Nutzungsordnung die im Bundesinventar der schützenswerten Ortsbilder der Schweiz (ISOS) beschriebenen wesentlichen Merkmale für die betroffene Baugruppe nicht sachgerecht und umfassend gewürdigt. Es schliesst auf Gutheissung der Beschwerde, da den Schutzanliegen bei der Interessenabwägung zu wenig Beachtung geschenkt worden sei. Das BGI beantragt, die Beschwerde sei teilweise gutzuheissen und die Bebaubarkeit des Grundstücks hinsichtlich der Lage, des Volumens und der Ausgestaltung auf den historisch definierten Blockrand zu beschränken. Die Beteiligten halten im weiteren Schriftenwechsel an ihren Anträgen fest.
Der Präsident der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung hat mit Verfügung vom 4. November 2016 das Gesuch um aufschiebende Wirkung abgewiesen.

Erwägungen:
1.
1.1. Angefochten ist ein Entscheid einer letzten kantonalen Instanz, dem ein Beschwerdeverfahren über ein Baubegehren zugrunde liegt. Dagegen steht die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten offen (Art. 82 lit. a und Art. 86 Abs. 1 lit. d BGG); ein Ausschlussgrund nach <ref-law> liegt nicht vor. Der durch das angefochtene Urteil bestätigte baurechtliche Vorentscheid nach basel-städtischem Recht schliesst das Verfahren nicht ab, sondern stellt einen Zwischenentscheid dar, mit dem über eine wichtige Teilfrage auf dem Weg zur Baubewilligungserteilung befunden wurde. Dieser ist nach der Rechtsprechung anfechtbar (<ref-ruling> E. 1.3 S. 33 ff.). Die Beschwerdeführer haben am vorinstanzlichen Verfahren teilgenommen und sind als Eigentümer von Liegenschaften, die in unmittelbarer Nähe oder zumindest in kurzer Entfernung zum potenziellen Baugrundstück liegen, zur Beschwerde legitimiert (<ref-law>). Die übrigen Sachurteilsvoraussetzungen geben zu keinen Bemerkungen Anlass.
1.2. Nicht einzutreten ist auf die Beschwerde, soweit sie sich gegen die Argumentation der Vorinstanzen des Appellationsgerichts bzw. deren Entscheide richtet. Diese sind im Rahmen des Streitgegenstands durch dessen Urteil ersetzt worden (Devolutiveffekt) und gelten als inhaltlich mitangefochten (<ref-ruling> E. 1.4 S. 144).
1.3. Mit der Beschwerde an das Bundesgericht kann insbesondere die Verletzung von Bundesrecht gerügt werden (<ref-law>). Dieses wendet das Bundesgericht grundsätzlich von Amtes wegen an (<ref-law>). Die Verletzung von Grundrechten wird allerdings nur insoweit geprüft, als eine solche Rüge in der Beschwerde vorgebracht und begründet worden ist (<ref-law>; <ref-ruling> E. 1.3 S. 41 mit Hinweisen).
Soweit die Beschwerdeführer am Anfang ihrer Rechtsschrift Ausführungen zum Sachverhalt machen und diesen ergänzen, zeigen sie nicht in rechtsgenüglicher Weise auf, inwiefern die Feststellungen der Vorinstanz offensichtlich unrichtig oder unvollständig sind oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruhen und inwiefern deren Berichtigung für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein kann (<ref-law>). Gleiches gilt mit Blick auf den in der Replik - und damit ohnehin verspätet (<ref-law>) - vorgebrachten Einwand, das Gebäude an der Maiengasse "..." weise nicht ein Flach-, sondern ein Satteldach auf. Auf die Beschwerde ist insoweit nicht einzutreten.
2.
Streitig ist zunächst die Heilung einer Verletzung des rechtlichen Gehörs durch die Rechtsmittelinstanzen. Diese erblicken in der in den Vor- bzw. Einspracheentscheid vom 23. Juli 2013 eingeflossenen, zu kurz ausgefallenen Stellungnahme der kantonalen Denkmalpflege eine Verletzung der Begründungspflicht, die jedoch im Rekursverfahren geheilt worden sei. Die Beschwerdeführer bemängeln, eine Heilung hätte nicht vorgenommen werden dürfen, da die Gehörsverletzung aus zweierlei Gründen als schwer einzustufen sei: Zum einen sei das Gebot der grösstmöglichen Schonung gemäss Art. 6 Abs. 1 des Bundesgesetzes über den Natur- und Heimatschutz (NHG; SR 451) und der damit gebotenen Interessenabwägung in der Begründung der kantonalen Denkmalpflege vollkommen ausser Acht gelassen worden. Zum anderen komme dieser Behörde im erstinstanzlichen Verfahren ein "Vetorecht" zu, wohingegen die von der Baurekurskommission beigezogenen Experten für Stadtbildschutz und Denkmalpflege bloss über ein einfaches Stimmrecht verfügten; eine Mängelbehebung durch die zweite Instanz falle daher von vornherein ausser Betracht.
Dieser Argumentation kann nicht gefolgt werden. Die Beschwerdeführer verkennen, dass es sich bei einem Verstoss gegen die Begründungspflicht in der Regel nicht um eine besonders schwerwiegende Verletzung des rechtlichen Gehörs handelt (vgl. Urteil 1C_300/2015 vom 14. März 2016 E. 4.1). Auch hier enthielt der Vor- und Einspracheentscheid eine, wenn auch sehr kurze Begründung der kantonalen Denkmalpflege (vgl. Bst. A hiervor). Die Überlegungen, von denen sich die Behörde leiten liess, konnten daher zumindest im Kern nachvollzogen werden. Dass sie sich nicht mit dem Gebot der grösstmöglichen Schonung auseinandergesetzt hat, ist nicht weiter von Bedeutung. Es liegt keine Gehörsverletzung vor, nur weil die Begründung der Behörde nach Ansicht der Beschwerdeführer materiell fehlerhaft ist. Die Pflicht zur Entscheidbegründung bezweckt vielmehr, dass sich die Betroffenen über die Tragweite des Urteils Rechenschaft geben und dieses in voller Kenntnis der Sache an die höhere Instanz weiterziehen können, falls sie damit nicht einverstanden sind (<ref-ruling> E. 4.3.2 S. 436; Urteil 5A_299/2016 vom 17. Januar 2017 E. 5.2, zur Publikation vorgesehen).
Auch ist mit Blick auf die Heilung einer Verletzung der Begründungspflicht nicht nachvollziehbar, weshalb es eine Rolle spielen soll, dass die von der Baurekurskommission beigezogenen Experten, die hier als Mitglieder des Spruchkörpers ohnehin im gleichen Sinne wie die kantonale Denkmalpflege entschieden haben, nicht über ein "Vetorecht" verfügten. Vielmehr ist der Vorinstanz darin zuzustimmen, dass eine Heilung eines nicht besonders schwerwiegenden Mangels im Rechtsmittelverfahren vor der Baurekurskommission, der in dieser Sache grundsätzlich volle Überprüfungsbefugnis zusteht und daher an ein im erstinstanzlichen Verfahren eingelegtes "Veto" nicht gebunden wäre (vgl. § 5 Abs. 2 des Gesetzes betreffend die Baurekurskommission [BRKG/BS; SG 790.100]), möglich ist. Diese hat die verschiedenen, von den Beschwerdeführern vorgebrachten Argumente gegen die Zonenkonformität des projektierten Neubaus einlässlich widerlegt (vgl. E. 15 ff. des Entscheids vom 26. Februar 2014 der Baurekurskommission). Vor dem Appellationsgericht, das als Verwaltungsgericht die hier massgebenden Rechtsverletzungen und die unrichtige Feststellung des Sachverhalts prüfen konnte (vgl. § 8 Abs. 1 des Gesetzes über die Verfassungs- und Verwaltungsrechtspflege [VRPG/BS; SG 270.100]), hatten die Beschwerdeführer sodann erneut die Gelegenheit, sich umfassend zur Bewilligungsfähigkeit des Neubaus zu äussern. Die Vorinstanz hat sich mit den dazu vorgebrachten Einwänden ausführlich auseinandergesetzt (vgl. insb. E. 5 und E. 8 des angefochtenen Entscheids). Eine Verletzung des rechtlichen Gehörs ist demnach nicht auszumachen. Die Beschwerde erweist sich in diesem Punkt als unbegründet.
3.
3.1. Basel ist als Stadt im Anhang der Verordnung über das Bundesinventar der schützenswerten Ortsbilder der Schweiz (VISOS; SR 451.12) aufgeführt. Der Standort des projektierten Neubaus bildet Teil des Quartiers am Ring, für das gemäss dem ISOS das Erhaltungsziel B (Erhalten der Struktur) gilt (ISOS, Ortsbilder von nationaler Bedeutung, Kanton Basel-Stadt, 2012, S. 197 Nr. 30). Mithin sollen die Anordnung und Gestalt der Bauten und Freiräume bewahrt und die für die Struktur wesentlichen Merkmale integral erhalten werden (a.a.O., S. 366). Gemäss Inventareintrag ist das mondsichelförmige Wohnquartier zwischen Altstadtrand und dem ehemaligen Bahnbogen durch zwei- bis dreigeschossige Zeilenbebauungen um grosse Gevierte der 1860er bis 1910er Jahre, höhere und parzellenübergreifende Ersatzbauten der 1955er bis 1975er Jahre und hohe Bürogebäude sowie soziale Institutionen geprägt (a.a.O., S. 197 Nr. 30). Der Neubaustandort selbst befindet sich am nördlichen Rand des Quartiers und gehört zu der als "Friedens- und Maiengasse" bezeichneten Baugruppe 30.7 (a.a.O., S. 198 Nr. 30.7). Für diese gilt das Erhaltungsziel A (Substanzerhalt) und sie zeichnet sich gemäss Inventarblatt durch zweigeschossige Wohnhausreihen und Villen der 1870er bis 1895er Jahre, einen hohen Anteil an Sichtbacksteinfassaden und wertvolle Vorgärten aus (a.a.O., S. 198 Nr. 30.7). Zudem weist sie neben anderen Baugruppen im Quartier die besterhaltesten Beispiele von spätklassizistisch-biedermeierlichen Häuserzeilen auf (a.a.O., S. 214 f.).
3.2. Nach <ref-law> wird durch die Aufnahme eines Objektes von nationaler Bedeutung in ein Inventar des Bundes dargetan, dass es in besonderem Masse die ungeschmälerte Erhaltung, jedenfalls aber unter Einbezug von Wiederherstellungs- oder angemessenen Ersatzmassnahmen die grösstmögliche Schonung verdient. Entgegen der Auffassung der Beschwerdeführer gilt diese Schutzbestimmung indes nur bei der Erfüllung von Bundesaufgaben in unmittelbarer Weise. Soweit - wie hier - keine Bundesaufgabe in Frage steht, wird der Schutz von Ortsbildern vorab durch kantonales (und kommunales) Recht gewährleistet. Dies ergibt sich verfassungsrechtlich aus <ref-law>, wonach die Kantone für den Natur- und Heimatschutz zuständig sind. Allerdings sind Bundesinventare wie das ISOS auch bei der Erfüllung von kantonalen (und kommunalen) Aufgaben von Bedeutung. Die Pflicht zur Beachtung besteht zum einen in der Anwendung der die Schutzanliegen umsetzenden (Nutzungs-) Planung, zum anderen dort, wo nach kantonalem Recht im Einzelfall Interessenabwägungen im Lichte der Heimatschutzanliegen vorzunehmen sind (<ref-ruling> E. 2.1 S. 212 f.; Urteile 1C_488/2015 vom 24. August 2016 E. 4.3; 1C_130/2014 vom 6. Januar 2015 E. 3.2).
3.3. Die Vorinstanz hat für das umstrittene Bauvorhaben die Erteilung einer Ausnahmebewilligung nach § 37 Abs. 4 des Bau- und Planungsgesetzes vom 17. November 1999 (BPG/BS; SG 730.100) geschützt. Danach sind Um-, Aus- und Neubauten in der Schutzzone nur zulässig, wenn keine nach aussen sichtbare historisch oder künstlerisch wertvolle Substanz beeinträchtigt wird. Sie haben sich an die historischen Baufluchten, Brandmauern, Geschosszahlen und Dachformen zu halten. Die zuständige Behörde kann Ausnahmen zulassen, namentlich zur Schaffung von Wohnraum oder zur Gewährleistung eines zeitgemässen Wohnstandards, sofern der historische oder künstlerische Charakter der bestehenden Bebauung nicht beeinträchtigt wird.
Gestützt darauf erwog die Vorinstanz, es sei keine nach aussen sichtbare historische oder künstlerisch wertvolle Substanz vorhanden, die durch den projektierten Neubau beeinträchtigt werden könnte, da die betroffene Parzelle unüberbaut sei. Allerdings unterscheide sich das Vorhaben in verschiedener Hinsicht - vor allem mit Blick auf die Dachform und die Anzahl Vollgeschosse - von den meisten Gebäuden im Schutzzonengebiet. Da es sich insoweit nicht an die historischen Baufluchten, Brandmauern, Geschosszahlen und Dachformen halte, bedürfe es einer Ausnahmebewilligung. Mit dem Projekt werde unbestrittenermassen qualitativ hochstehender Wohnraum an attraktiver Lage geschaffen, weshalb ein Ausnahmetatbestand gemäss § 37 Abs. 4 BPG/BS vorliege. Im betroffenen Schutzzonengeviert bestünden bereits Gebäude, die - wie das Neubauprojekt - ein Flachdach aufwiesen. Die Gebäudehöhe des Bauvorhabens überrage jene in der Umgebung nicht. Das Projekt wirke insbesondere aufgrund der schlichten Gestaltung des Baukubus zurückhaltend. Durch dessen deutliche Rückversetzung, welche den Neubau in den Hintergrund treten lasse, werde Rücksicht auf die bestehende Bebauung genommen. Es beeinträchtige daher den historischen oder künstlerischen Charakter der bestehenden Bebauung nicht. Da ein gewichtiges öffentliches Interesse an der Schaffung von Wohnraum bestehe, dadurch die Siedlungsfläche verdichtet werde und der mit dem Neubau verbundene Eingriff in die Schutzzone geringfügig sei, könne eine Ausnahmebewilligung nach § 37 Abs. 4 BPG/BS erteilt werden. Ausserdem würden die im ISOS hervorgehobenen, erhaltenswerten Elemente durch das geplante Bauvorhaben nicht beeinträchtigt.
3.4. Die Beschwerdeführer wenden dagegen im Wesentlichen ein, die Vorinstanz habe bei der vorgenommenen Interessenabwägung das Gebot der grösstmöglichen Schonung gemäss <ref-law> ausser Acht gelassen. Damit nicht zu vereinbaren sei insbesondere der Umstand, dass der projektierte Neubau im rückwärtigen Bereich in den grünen Innenraum hineinrage, der durch das ISOS geschützt werde. Zudem biete das Gebot der grösstmöglichen Schonung einen weitergehenden Schutz als § 37 Abs. 4 BPG/BS, der nur verlange, dass der Charakter der bestehenden Bebauung nicht beeinträchtigt werde.
Auch das Bundesamt für Kultur bemängelt in seiner Vernehmlassung, die Vorinstanz habe bei der Interessenabwägung den Schutzanliegen des ISOS für das betroffene Geviert zu wenig Beachtung geschenkt. Dieses weise eine seit der Erstbebauungszeit weitestgehend intakte Struktur auf, die der geplante Neubau missachte. Die Schutzanliegen würden durch das Bauprojekt schwerwiegend beeinträchtigt.
Das BGI teilt in seiner Stellungnahme vom 20. März 2017 mit, die kantonalen Behörden seien der Ansicht, dass die betroffene Parzelle zwar überbaut werden könne, das Neubauprojekt aber die bestehende Struktur respektieren und hinsichtlich der Lage, des Volumens und der Ausgestaltung auf den historisch definierten Blockrand beschränkt werden müsse. Das BGI weist dabei auf den vom (neuen) kantonalen Denkmalpfleger bereits anlässlich des vorinstanzlichen Augenscheins vollzogenen Meinungsumschwung hin. Dieser erachtet in Übereinstimmung mit dem BAK die ursprüngliche Beurteilung des Baubegehrens durch die kantonale Denkmalpflege als nicht sachgerecht. Nach Ansicht des BGI vermag diese geänderte fachliche Einschätzung an der Verbindlichkeit des generellen Baubegehrens indes nichts zu ändern, denn die Behörden sind an die Beurteilung im generellen Baubegehren gebunden, sofern innerhalb von drei Jahren ein ordentliches Baugesuch eingereicht wird (Art. 53 Abs. 2 der Bau- und Planungsverordnung [BPV/BS; SG 730.110]).
4.
4.1. Gemäss den unbestritten gebliebenen Ausführungen der Vorinstanz tragen die Vorschriften über die Schutzzone den mit dem ISOS verbundenen Erhaltungszielen umfassend Rechnung. Mithin konkretisieren sie auf kantonaler Ebene die Anliegen des Natur- und Heimatschutzes und setzen die Vorgaben im Sinne des ISOS um. Bei der Beurteilung der Ausnahmebewilligung nach § 37 Abs. 4 BPG/BS ist zudem eine Interessenabwägung vorzunehmen, bei der die Schutzanliegen gemäss dem ISOS ebenfalls miteinzubeziehen sind. Der Vorinstanz kann nicht vorgeworfen werden, keinen strengeren Massstab bei der Beurteilung des Ortsbildschutzes angewendet zu haben. Das Gebot zur grösstmöglichen Schonung gemäss <ref-law> kommt hier nur im Rahmen der Interessenabwägung nach § 37 Abs. 4 BPG/BS zum Tragen.
Mit Blick auf die Ziele des ISOS wird das Bauvorhaben insbesondere aufgrund seiner Dachgestaltung, der Geschosszahl und den in den grünen Innenraum des Gevierts hineinragenden Baukörper kritisiert.
4.2. Die Vorinstanz erachtete das Flachdach des Neubauprojekts für hinnehmbar, obschon die Dachlandschaft in der Umgebung eher von Giebeldächern geprägt sei. Dies ist nicht zu beanstanden, zumal es nach ihren, für das Bundesgericht verbindlichen Sachverhaltsfeststellungen (<ref-law>) im geschützten Geviert bereits bestehende Gebäude gibt, die über ein Flachdach verfügen. Soweit das BAK die Eingliederung des Vorhabens in das historische Raumgefüge auch insoweit bemängelt, als es weder die Traufhöhe noch sonst eine horizontale Referenz aufnehme, kann ihm nicht gefolgt werden. Das Ziel des Erhaltens der Struktur, auf das es sich beruft, verlangt nicht, dass die Bebauungselemente der unmittelbar an das Baugrundstück angrenzenden Nachbargebäude strikte übernommen werden. Vielmehr muss auch Raum für eine - wie hier - zeitgenössische Überbauung bestehen. Da der geplante Baukörper schlicht gestaltet ist und daher zurückhaltend wirkt, was das BAK anerkennt, ist die Einschätzung der Vorinstanz vertretbar, wonach der Neubau nicht als störender Faktor im Geviert wahrgenommen würde. Dieses ist - wie das Appellationsgericht anlässlich des Augenscheins feststellte - ohnehin durch eine homogene Bebauungsstruktur geprägt und weist neben den historischen, zwei- bis dreigeschossigen Häuserzeilen auch Gebäude mit vier Vollgeschossen auf. Wenngleich sich die Baugruppe gemäss dem ISOS-Inventarblatt namentlich durch zweigeschossige Wohnhausreihen und Villen auszeichnet, kann der projektierte Neubau mit vier Vollgeschossen daher nicht als Fremdkörper bezeichnet werden. Dies umso mehr, als dessen Gesamthöhe trotz der grösseren Geschosszahl jene der bereits bestehenden Bebauung in der Umgebung nicht übersteigt.
4.3. Aus dem Strukturerhaltungsziel lässt sich ferner keine Pflicht ableiten, eine bestehende Blockrandbebauung auf einer unüberbauten Parzelle fortzuführen (vgl. Urteil 1C_398/2015 vom 6. August 2016 E. 5.5). Dies wäre vorliegend denn auch gar nicht möglich, zumal die Gebäude auf den unmittelbar angrenzenden Nachbarliegenschaften gemäss den unbestritten gebliebenen Feststellungen der Vorinstanz auf den dem Baugrundstück zugewandten Seiten keine Brandmauern aufweisen und überdies mit Maueröffnungen versehen sind. Einer Weiterführung der Blockrandbebauung steht zudem der Schutz der im strassenseitigen Bereich der Parzelle liegenden Platane entgegen.
4.4. Den in den Akten liegenden Plänen ist zu entnehmen, dass der geplante Solitärbau die vordere Baulinie einhält, womit er die im ISOS-Inventareintrag speziell erwähnten wertvollen Vorgärten im selben Umfang wahrt, wie die historischen Häuserzeilen auf den angrenzenden Nachbarparzellen. Im hinteren Bereich ragt er zwar in den Innenhofbereich des Gevierts hinein, womit sowohl von der Bauflucht der Blockrandbebauung abgewichen als auch in die nach dem ISOS zu erhaltenden Freiräume eingegriffen wird. Dass die Vorinstanz von einer Beschränkung des Neubaus auf die hintere Blockrandlinie absah, erscheint aber nicht als unhaltbar. Zum einen tritt der Neubau durch die gewählte Ausrichtung des Baukörpers in den Hintergrund, womit der Charakter der schutzwürdigen, historischen Häuserzeilen am ehesten gewahrt bleibt. Zum anderen lässt er eine sinnvolle Ausnutzung der sich länglich in den Hinterhof erstreckenden Bauparzelle zu, ohne dass dabei der Schutz der bestehenden Platane aufgegeben und Grenzabstände unterschritten werden müssten. Die Rückversetzung des Bauobjekts in den grünen Innenraum des Gevierts erlaubt es, zusätzlichen zeitgemässen Wohnraum zu schaffen, wofür § 37 Abs. 4 BPG/BS die Erteilung einer Ausnahmebewilligung vorsieht. Da der Hofbereich sehr grosszügig bemessen ist, erscheint es vertretbar, wenn die Vorinstanz davon ausging, er könne den nach hinten ragenden Gebäudeteil aufnehmen, ohne die benachbarten Liegenschaften über Gebühr zu beeinträchtigen. Ausserdem sind im hinteren Teil des Baugrundstücks Baumpflanzungen vorgesehen, die zusammen mit dem bestehenden Baumbestand einen gewissen Sichtschutz zu gewährleisten vermögen.
4.5. Nach dem Vorerwähnten scheint es somit haltbar, wenn die Vorinstanz auch unter Berücksichtigung des vom kantonalen Denkmalpfleger vollzogenen Meinungsumschwungs und den Vorgaben des ISOS lediglich von einem geringfügigen Eingriff in die Schutzanliegen ausging. Dass sie insofern bei der Güterabwägung dem Interesse an der Schaffung von qualitativ hochstehendem Wohnraum in einem attraktiven städtischen Quartier und an der Verdichtung der Bauzone den Vorrang einräumte, ist ebenfalls nicht zu beanstanden. Der angefochtene Entscheid hält somit vor Bundesrecht stand.
5.
Die Beschwerde erweist sich als unbegründet und ist abzuweisen, soweit darauf einzutreten ist. Bei diesem Verfahrensausgang werden die Beschwerdeführer für das bundesgerichtliche Verfahren unter solidarischer Haftung kostenpflichtig (<ref-law>). Zudem haben sie der privaten Beschwerdegegnerin eine angemessene Parteientschädigung auszurichten (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 5'000.-- werden den Beschwerdeführern auferlegt.
3.
Die Beschwerdeführer haben die private Beschwerdegegnerin für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 3'000.-- zu entschädigen.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien, dem Bau- und Gastgewerbeinspektorat des Bau- und Verkehrsdepartements, der Baurekurskommission, dem Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt als Verwaltungsgericht und dem Bundesamt für Kultur und dem Bundesamt für Umwelt schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 1. Juni 2017
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Merkli
Die Gerichtsschreiberin: Pedretti