Sachverhalt:
A.
Die Staatsanwaltschaft Basel-Stadt führt eine Strafuntersuchung gegen A._ und B._ wegen Wirtschaftdelikten (ungetreue Geschäftsbesorgung sowie Konkurs- und Betreibungsdelikte). Mit Verfügung vom 26. April 2016 trennte die Staatsanwaltschaft das Verfahren gegen B._ ab, um gegen diesen ein abgekürztes Verfahren (Art. 358 ff. StPO) durchzuführen. Eine von A._ gegen diese Trennungsverfügung erhobene Beschwerde wies das Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt, Einzelgericht, mit Entscheid vom 15. September 2016 ab.
B.
Gegen den Entscheid des Appellationsgerichtes gelangte A._ mit Beschwerde vom 2. Dezember 2016 an das Bundesgericht. Er beantragt die Aufhebung des angefochtenen Entscheides.
Das Appellationsgericht und die Staatsanwaltschaft beantragen mit Stellungnahmen vom 7. bzw. 20. Dezember 2016 je die Abweisung der Beschwerde. B._ liess sich (nach mehrmals erstreckter Frist) am 1. Februar 2017 vernehmen; er schliesst ebenfalls auf Abweisung der Beschwerde. Innert der auf den 17. Februar 2017 (fakultativ) angesetzten Frist sind keine weiteren Stellungnahmen eingegangen.
Mit Aktenanforderungsverfügung vom 28. Februar 2017 ersuchte die Verfahrensleitung des Bundesgerichtes die Staatsanwaltschaft um Einreichung von Kopien der Einvernahmeprotokolle der beiden Beschuldigten. Am 3. März 2017 (Posteingang) übermittelte die Staatsanwaltschaft dem Bundesgericht sämtliche Untersuchungsakten.

Erwägungen:
1.
Mit dem angefochtenen Entscheid wird das gegen den Beschwerdeführer hängige Strafverfahren nicht abgeschlossen. Seine Beschwerde richtet sich gegen die Abtrennung des bisher in Verfahrenseinheit gegen einen Mitbeschuldigten geführten Strafverfahrens. Der Beschwerdeführer legt dar, dass ihm im Falle einer Verletzung des Grundsatzes der Verfahrenseinheit (Art. 29 StPO) massive prozessuale Rechtsnachteile drohen. Insofern macht er einen (auch mit dem ausstehenden Endentscheid) nicht wieder gutzumachenden Rechtsnachteil im Sinne von Art. 93 Abs. 1 lit. a BGG geltend (vgl. Urteile des Bundesgerichtes 1B_124/2016 vom 12. August 2016 E. 1; 1B_86/2015 vom 21. Juli 2015 E. 1.3.2-1.3.3 = Pra 2015 Nr. 89 S. 708; s.a. <ref-ruling> E. 4.6 S. 230; <ref-ruling>, dazu unten, E. 3.4).
Es kann (auch im vorliegenden Fall) offenbleiben, ob es sich bei Verfahrenstrennungen ohnehin um Streitigkeiten betreffend die Zuständigkeit von Behörden handelt (Art. 92 Abs. 1 BGG; offengelassen auch in den Urteilen 1B_124/2016 E. 1; 1B_11/2016 vom 23. Mai 2016 E. 1.2 und 1B_187/2015 vom 6. Oktober 2015 E. 1.5.2).
Die Sachurteilsvoraussetzungen von Art. 78 ff. BGG sind erfüllt und geben zu keinen weiteren Bemerkungen Anlass.
2.
Die kantonalen Instanzen begründen die Verfahrenstrennung damit, dass dem Beschwerdeführer und dem Mitbeschuldigten keine Mittäterschaft oder Teilnahme an den gleichen Delikten (mehr) vorgeworfen werde. Die Abtrennung eines abgekürzten Verfahrens gegen den Mitbeschuldigten sei daher bundesrechtskonform.
Der Beschwerdeführer wendet ein, ihm und dem Mitbeschuldigten sei stets gemeinsames Vorgehen und Mittäterschaft vorgeworfen worden. Der Mitbeschuldigte habe sich bei Einvernahmen selber als Mittäter (zumindest aber als Teilnehmer) belastet. Eine sachliche Ausnahme vom Grundsatz der Verfahrenseinheit sei nicht gegeben, zumal die streitige Rollenverteilung zwischen ihm und dem Mitbeschuldigten (im Hinblick auf die Tatvorwürfe) nicht ausreichend geklärt sei. Der Beschwerdeführer rügt (neben einer Verletzung seines rechtlichen Gehörs) einen Verstoss gegen Art. 29 f. StPO.
3.
3.1. Straftaten werden gemeinsam verfolgt und beurteilt, wenn Mittäterschaft oder Teilnahme vorliegt (Art. 29 Abs. 1 lit. b StPO). Die Staatsanwaltschaft und die Gerichte können aus sachlichen Gründen Strafverfahren trennen oder vereinen (Art. 30 StPO).
3.2. Art. 29 StPO statuiert nach seiner ausdrücklichen Marginalie den Grundsatz der Verfahrenseinheit. Dieser bildet gemäss der Rechtsprechung des Bundesgerichtes schon seit Langem ein Wesensmerkmal des schweizerischen Strafprozessrechts. Er bezweckt die Verhinderung sich widersprechender Urteile, sei dies bei der Sachverhaltsfeststellung, der rechtlichen Würdigung oder der Strafzumessung. Er gewährleistet insofern das Gleichbehandlungs- und Fairnessgebot (Art. 8 BV, Art. 3 Abs. 2 lit. c StPO). Überdies dient er der Prozessökonomie (Art. 5 Abs. 1 StPO). Eine Verfahrenstrennung ist gemäss Art. 30 StPO nur bei Vorliegen sachlicher Gründe zulässig und muss die Ausnahme bleiben. Die sachlichen Gründe müssen objektiv sein. Getrennte Verfahren sollen vor allem der Verfahrensbeschleunigung dienen bzw. eine unnötige Verzögerung vermeiden helfen. Als sachlicher Trennungsgrund gilt etwa die länger dauernde Unerreichbarkeit einzelner Mitbeschuldigter oder die bevorstehende Verjährung einzelner Straftaten (<ref-ruling> E. 3.2 S. 31; 214 E. 3.2 S. 219; Urteile 1B_124/2016 vom 12. August 2016 E. 4.4; 1B_86/2015 vom 21. Juli 2015 E. 2.1 = Pra 2015 Nr. 89 S. 708; je mit Hinweisen). Dass die Strafbehörde gegen eine oder mehrere mitbeschuldigte Personen ein abgekürztes Verfahren (Art. 358-362 StPO) durchführen will, bildet in Fällen von Mittäterschaft und Teilnahme (Art. 29 Abs. 1 lit. b StPO) für sich alleine noch keinen zulässigen Trennungsgrund. Bevor die Staatsanwaltschaft ein abgekürztes Verfahren abtrennt (Art. 359 Abs. 1 StPO), hat sie zu prüfen (und in der Trennungsverfügung gegebenenfalls zu begründen), ob und inwiefern eine Trennung nach Art. 29-30 StPO überhaupt zulässig ist (Urteil 1B_187/2015 vom 6. Oktober 2015 E. 1.5.3 und 2.8).
3.3. Wie das Bundesgericht schon vor Inkrafttreten der Schweizerischen Strafprozessordnung unter dem Gesichtspunkt des Anspruchs auf ein faires Verfahren (Art. 29 Abs. 1 BV, Art. 6 Ziff. 1 EMRK) erwog, ist namentlich bei mutmasslichen Mittätern und Teilnehmern eine Abtrennung des Verfahrens äusserst problematisch, wenn der Umfang und die Art der Beteiligung wechselseitig bestritten ist und somit die Gefahr besteht, dass der eine Mitbeschuldigte die Verantwortung dem andern zuweisen will (<ref-ruling> E. 4b S. 313; bestätigt in <ref-ruling> E. 3.3 S. 334). Belasten sich die Mittäter und Teilnehmer gegenseitig und ist unklar, welcher Beschuldigte welchen Tatbeitrag geleistet hat, besteht bei getrennten Verfahren die Gefahr sich widersprechender Entscheide, sei es in Bezug auf die Sachverhaltsfeststellung, die rechtliche Würdigung oder die Strafzumessung (Urteile 1B_124/2016 vom 12. August 2016 E. 4.5, 5.6-5.10 und 6.1-6.6; 1B_11/2016 vom 23. Mai 2016 E. 2.2-2.3; 1B_187/2015 vom 6. Oktober 2015 E. 1.5.3 und 2.8).
3.4. Zu beachten ist schliesslich auch, dass eine getrennte Führung von Strafverfahren gegen mutmassliche Mittäter und Teilnehmer (Gehilfen oder Anstifter) schwerwiegende Konsequenzen für die gesetzlich gewährleisteten Parteirechte der Betroffenen nach sich zieht:
Die Parteien können spätestens nach der ersten Einvernahme der beschuldigten Person und der Erhebung der übrigen wichtigsten Beweise durch die Staatsanwaltschaft die Akten des Strafverfahrens einsehen; Artikel 108 StPO bleibt vorbehalten (Art. 101 Abs. 1 StPO). Die Parteien haben auch das Recht, bei Beweiserhebungen durch die Staatsanwaltschaft und die Gerichte anwesend zu sein und einvernommenen Personen Fragen zu stellen (Art. 147 Abs. 1 StPO; vgl. <ref-ruling>, bestätigt in <ref-ruling> E. 4 S. 227 ff.).
Gemäss der Praxis des Bundesgerichtes (BGE <ref-ruling>, bestätigt in <ref-ruling> E. 4.5 S. 230) kommt den Beschuldigten in getrennt geführten Verfahren im jeweils anderen Verfahren keine Parteistellung zu. Es besteht daher kein gesetzlicher Anspruch auf Teilnahme an den Beweiserhebungen und an den Einvernahmen der anderen beschuldigten Personen im eigenständigen Untersuchungs- oder Hauptverfahren (Art. 147 Abs. 1 StPO e contrario). Ebenso wenig hat der separat Beschuldigte in den abgetrennten Verfahren einen Anspruch auf Akteneinsicht als Partei (Art. 101 Abs. 1 StPO). Er ist dort nötigenfalls als Auskunftsperson zu befragen bzw. als nicht verfahrensbeteiligter Dritter zu behandeln. Bei getrennt geführten Verfahren ist die Akteneinsicht an (nicht verfahrensbeteiligte) Dritte nur zu gewähren, wenn diese dafür ein wissenschaftliches oder ein anderes schützenswertes Interesse geltend machen und der Einsichtnahme keine überwiegenden öffentlichen oder privaten Interessen entgegenstehen (Art. 101 Abs. 3 StPO). Diese Einschränkung der Teilnahmerechte von Beschuldigten in getrennten Verfahren im Vergleich zu Mitbeschuldigten im gleichen Verfahren ist vom Gesetzgeber implizit vorgesehen und hinzunehmen (BGE <ref-ruling> E. 1.2.3 S. 176). Durch eine Verfahrenstrennung geht der beschuldigten Person (bezogen auf Beweiserhebungen der anderen Verfahren) auch das Verwertungsverbot des Art. 147 Abs. 4 StPO verloren, weil sie insoweit keine Verletzung ihres Teilnahmerechtes geltend machen kann (Urteil 1B_86/2015 vom 21. Juli 2015 E. 1.3.2 = Pra 2015 Nr. 89 S. 708). Schon angesichts dieser schwer wiegenden prozessualen Konsequenzen ist an die gesetzlichen Ausnahmevoraussetzungen einer Verfahrenstrennung (Art. 29 i.V.m. Art. 30 StPO) grundsätzlich ein strenger Massstab anzulegen (Urteil 1B_124/2016 vom 12. August 2016 E. 4.6).
4.
4.1. Streitig ist hier zunächst, ob ein Fall von Mittäterschaft oder Teilnahme (im Sinne von Art. 29 Abs. 1 lit. b StPO) zu untersuchen ist:
4.2. Die kantonalen Instanzen vertreten die Ansicht, dem Beschwerdeführer und dem Mitbeschuldigten werde keine Mittäterschaft mehr zur Last gelegt. Zwar werde gegen beide Beschuldigten wegen Verdachts der ungetreuen Geschäftsbesorgung (sowie Betreibungs- und Konkursdelikten) im Zusammenhang mit dem Konkurs einer Gesellschaft ermittelt. Aufgrund des aktuellen Ermittlungsstandes sei aber derzeit nicht mehr von einem mittäterschaftlichen Zusammenwirken der Beschuldigten auszugehen. Von einem gemeinsamen Tatentschluss könne nicht gesprochen werden. Vielmehr stünden jeweils unterschiedliche Tathandlungen im Fokus. Dem Beschwerdeführer werde vorgeworfen, als faktischer Geschäftsführer der konkursiten Gesellschaft tätig gewesen zu sein. Als solcher habe er sich (zum Nachteil der Gläubiger dieser Gesellschaft und zu seinem eigenen Vorteil bzw. zugunsten einer von ihm im Jahr 2014 neu gegründeten Firma) bereichert. Dem Mitbeschuldigten hingegen werde zur Last gelegt, die Verantwortung über die von ihm erworbene und später in Konkurs gefallene Gesellschaft nicht wahrgenommen zu haben. Insbesondere habe er leichtfertig Dokumente unterschrieben, die ihm vom Beschwerdeführer vorgelegt worden seien. Beim Mitbeschuldigten sei eine Bereicherung nicht festzustellen.
4.3. Der Beschwerdeführer wendet ein, es sei ein Fall von angeblicher Mittäterschaft zu untersuchen. Im Juni 2014 habe er die (später in Konkurs gegangene) Gesellschaft an den Mitbeschuldigten verkauft. Am 12. Juni 2014 sei er aus ihrem Verwaltungsrat zurückgetreten. In der Folge habe der Mitbeschuldigte als alleiniger Verwaltungsrat und Geschäftsführer gewirkt. Im Juni 2015 sei über die Gesellschaft der Konkurs eröffnet worden. Er und der Mitbeschuldigte seien am 2. Februar 2016 festgenommen und in Untersuchungshaft versetzt und am 5. April 2016 (gegen ein ersatzweise verfügtes Kontaktverbot) aus der Haft entlassen worden. In der Befragung vom 3. Februar 2016 habe der Mitbeschuldigte sich strafrechtlich ausführlich belastet. Bei späteren Einvernahmen habe dieser seine Verteidigungsstrategie geändert und neu behauptet, er habe keine Kenntnis, was mit dem Geld der Gesellschaft passiert sei. Bis zum vorinstanzlichen Beschwerdeverfahren habe die Staatsanwaltschaft ihm und dem Mitbeschuldigten stets vorgeworfen, gemeinsam die Geschäfte der konkursiten Gesellschaft ungetreu geführt zu haben. Die plötzliche Verneinung von Mittäterschaft oder Teilnahme sei offenbar nachgeschoben worden, um die zuvor gesetzwidrig verfügte Trennung des Strafverfahrens nachträglich zu legitimieren.
4.4. Laut Vorinstanz weist der Beschwerdeführer zutreffend darauf hin, dass die Staatsanwaltschaft ihn und den Mitbeschuldigten noch in ihrem Haftverlängerungsgesuch vom 29. Februar 2016 ausdrücklich als "Mittäter" bezeichnet hat. Gemäss den Vorbringen der Staatsanwaltschaft im vorinstanzlichen Beschwerdeverfahren entspreche dies jedoch nicht mehr dem Stand der Ermittlungen. Dass die Beschuldigten "ihre Absichten bezüglich deliktischer Handlungen geteilt oder aufeinander abgestimmt hätten", sei - nach Ansicht der Vorinstanz - "zumindest nicht evident". Zwar dürfe die Staatsanwaltschaft die Verfahren daher trennen und dabei "an separate Handlungen anknüpfen". Sie werde sich jedoch "darauf behaften lassen müssen, dem Beschwerdeführer keine Tathandlungen anzulasten, welche nur in mittäterschaftlichem Zusammenwirken" mit dem Mitbeschuldigten "einen Straftatbestand erfüllten". Andernfalls dürften "die Verfahren nicht getrennt bleiben". Analoges gelte für die Vorwürfe an den Beschwerdeführer, welche den Mitbeschuldigten "als mittelbaren Täter bedingen", sowie für die akzessorische Teilnahme im Sinne von Art. 24 und Art. 25 StGB. Diesbezüglich "wäre der Sachkonnex vorliegend zu stark, als dass die Verfahren getrennt geführt werden könnten" (angefochtener Entscheid, S. 4 E. 2.4).
Die Befürchtung des Beschwerdeführers, der Entscheid in seiner Sache werde durch die Verfahrenstrennung "inhaltlich eingeengt", sei (nach Ansicht der Vorinstanz) unbegründet. Allfällige von den bisherigen Aussagen abweichende neue Standpunkte im abgekürzten Verfahren könne der Mitbeschuldigte schwerlich glaubhaft erklären. Auch der Umstand, dass dieser nach Abschluss seines abgekürzten Verfahrens "allenfalls als Zeuge gegen den Beschwerdeführer befragt werden könnte", stehe der Verfahrenstrennung nicht entgegen. Eine "vollkommene inhaltliche Konvergenz der Urteile" sei im Übrigen "gar nicht zwingend", da aufgrund des Grundsatzes "in dubio pro reo" derselbe Sachverhalt "für zwei Beschuldigte jeweils unterschiedlich zu beurteilen" sei (angefochtener Entscheid, S. 4 f. E. 2.5).
4.5. Weder das StGB noch die StPO enthalten eine Legaldefinition der Täterschaft bzw. Mittäterschaft. Nach der bundesgerichtlichen Praxis gilt als Mittäter (coauteur), wer bei der Entschliessung, Planung oder Ausführung eines Deliktes vorsätzlich und in massgebender Weise mit anderen Tätern zusammenwirkt, so dass er als Hauptbeteiligter dasteht. Dabei kommt es darauf an, ob der Tatbeitrag (nach den Umständen des konkreten Falles und dem Tatplan) für die Ausführung des Deliktes so wesentlich ist, dass sie "mit ihm steht oder fällt" (<ref-ruling> E. 2.3.1 S. 155; <ref-ruling> E. 2.7 S. 82; <ref-ruling> E. 9.2.1 S. 66; je mit Hinweisen; zum Mittäter- und Tatherrschaftsbegriff vgl. auch Andreas Donatsch/Brigitte Tag, Strafrecht I, Verbrechenslehre, 9. Aufl., Zürich 2013, S. 173 ff.; Marc Forster, Basler Kommentar StGB, 3. Aufl. 2013, vor Art. 24 N. 7 ff.; Martin Killias/André Kuhn/ Nathalie Dongois, Précis de droit pénal général, 4. Aufl., Bern 2016, Rz. 602 ff.; Franz Riklin, Schweizerisches Strafrecht, Allgemeiner Teil I, 3. Aufl., Zürich 2007, § 18 Rz. 5 ff.; Claus Roxin, Täterschaft und Tatherrschaft, 7. Aufl., Berlin 2000, S. 65 ff., 275 ff., 335 ff., 684 ff.; Bernhard Sträuli, Code pénal I, Commentaire romand, Basel 2009, vor Art. 24-27, N. 22 ff.; Günter Stratenwerth, Schweizerisches Strafrecht, Allgemeiner Teil I, 4. Aufl., Bern 2011, § 13 Rz. 49 ff.; Stefan Trechsel/Marc Jean-Richard-dit-Bressel, Praxiskommentar StGB, 2. Aufl., Zürich 2013, vor Art. 24 N. 10 ff.).
Im Begriff der "Mittäterschaft" gemäss Art. 29 Abs. 1 lit. b StPO (Verfahrenseinheit) sind auch die mittelbare Täterschaft und die Nebentäterschafteingeschlossen (<ref-ruling> E. 3.2 S. 31; vgl. Urs Bartetzko, Basler Kommentar StPO, 2. Aufl. 2014, Art. 29 N. 6; Thomas Fingerhuth/Viktor Lieber, Zürcher Kommentar StPO, 2. Aufl. 2014, Art. 29 N. 1b) :
Falls verschiedene vorsätzlich handelnde Personen unabhängig voneinander und ohne bewusstes koordiniertes Zusammenwirken den Eintritt desselben tatbestandsmässigen Erfolges bewirken, liegt vorsätzliche Nebentäterschaft vor (juxtaposition d'auteurs directs, vgl. Donatsch/ Tag, a.a.O., S. 187 f.; Forster, a.a.O., vor Art. 24 N. 15-18; Philippe Graven, L'infraction pénale punissable, 2. Aufl., Bern 1995, S. 288; Riklin, a.a.O., § 18 Rz. 81; Sträuli, a.a.O., vor Art. 24-27, N. 30; Stratenwerth, a.a.O., § 13 Rz. 67; Trechsel/Jean Richard, a.a.O., vor Art. 24 N. 23). Der mittelbare Täter (auteur médiat) missbraucht den Tatmittler als "willenloses" oder jedenfalls nicht vorsätzlich handelndes Instrument der Tatausführung ("instrument dénué de volonté ou du moins agissant sans intention coupable, afin de lui faire exécuter l'infraction projeteé", <ref-ruling> E. 2d S. 22). Der mittelbare Täter nützt dabei entweder intellektuelle Defizite des Tatmittlers aus (z.B. Sachverhaltsirrtum, Mängel der Zurechnungsfähigkeit usw.) oder er nötigt den Tatmittler zur Tatausführung (vgl. Donatsch/Tag, a.a.O., S. 188 ff.; Forster, a.a.O., vor Art. 24 N. 28-35; Graven, a.a.O., S. 294-297; Killias/Kuhn/Dongois, a.a.O., Rz. 605 ff.; Riklin, a.a.O., § 18 Rz. 24 ff., 83 ff.; Roxin, a.a.O., S. 170 ff., 360 ff.; Sträuli, a.a.O., vor Art. 24-27, N. 32 ff.; Stratenwerth, a.a.O., § 13 Rz. 20 ff.).
Akzessorischer Teilnehmer (im Sinne von Art. 29 Abs. 1 lit. b StPO) ist, wer entweder als Anstifter den Haupttäter vorsätzlich zu dem von diesem verübten Verbrechen oder Vergehen bestimmt (Art. 24 Abs. 1 StGB) oder wer ihm als Gehilfe (Art. 25 StGB) zu einem Verbrechen oder Vergehen vorsätzlich Hilfe leistet (<ref-ruling> E. 3.2 S. 31; vgl. Bartetzko, a.a.O., Art. 29 N. 6; Fingerhuth/Lieber, a.a.O., Art. 29 N. 1b). Sachliche (subjektive) Unrechtsmerkmale wie Bereicherungsabsicht des Täters werden dem Teilnehmer (im Gegensatz zu persönlichen Merkmalen, vgl. Art. 27 StGB) akzessorisch angerechnet (Urteile 6B_711/2012 vom 17. Mai 2013 E. 7.5.2; 6B_86/2009 vom 29. Oktober 2009 E. 3.3; vgl. Forster, a.a.O., Art. 27 N. 21; Graven, a.a.O., S. 323; Riklin, a.a.O., § 18 Rz. 77; Stratenwerth, a.a.O., § 9 Rz. 51, § 13 Rz. 139; Trechsel/Jean-Richard, a.a.O., Art. 27 N. 4).
4.6. Soweit die kantonalen Instanzen die Ansicht vertreten, im vorliegenden Fall könne eine Mittäterschaft oder Teilnahme (im Sinne von Art. 29 Abs. 1 lit. b StPO) aus tatsächlichen oder rechtlichen Gründen ausgeschlossen werden, kann ihren Standpunkten nicht gefolgt werden:
Dem Beschwerdeführer und dem Mitbeschuldigten werden in einem sachkonnexen Fall je ungetreue Geschäftsbesorgung (Art. 158 Ziff. 1 StGB) sowie Betreibungs- und Konkursdelikte vorgeworfen. Als faktischer Geschäftsführer einerseits (Beschwerdeführer) bzw. als Eigentümer und Verwaltungsrat derselben Gesellschaft anderseits (Mitbeschuldigter) hätten sie dieselben Gesellschafts-Gläubigerinnen und -Gläubiger geschädigt. Dabei habe der Mitbeschuldigte unter anderem leichtfertig Dokumente unterschrieben, die ihm vom Beschwerdeführer vorgelegt worden seien.
Wie sich aus den Untersuchungsakten ergibt, hat sich der Mitbeschuldigte (anfänglich) stark mitbelastet: Bei der Einvernahme vom 3. Februar 2016wurde er von der Staatsanwaltschaft gefragt, was er (als alleiniger Verwaltungsrat und Geschäftsführer) mit dem Gesellschaftsvermögen gemacht habe. Es wurden ihm hohe Bargeldbezüge (Fr. 184'500.-- zwischen Ende Juni und Anfang Dezember 2014) aus dem Geschäftskonto (sowie wirtschaftlich nicht nachvollziehbare Verkäufe von Firmenfahrzeugen) vorgehalten. Der Mitbeschuldigte räumte unter anderem ein, er habe leichtsinnigerweise im Casino Geld verspielt und private Schulden abbezahlt. Einen Teil des Gesellschaftskapitals, das Geschäftsinventar sowie die Buchhaltungsunterlagen der Gesellschaft (für die Jahre 2010-2015) habe er in die Slowakei gebracht; die Geschäftsunterlagen habe er (bzw. seine geschiedene Ehefrau) dort vernichtet.
Anlässlich der Konfrontationseinvernahme vom 24. Februar 2016 hielt die Staatsanwaltschaft dem Mitbeschuldigten zudem vor, er habe elf Rechnungsbelege der Gesellschaft unterschrieben, laut denen er zwischen dem 1. und 28. Juli 2015 (noch nach Eröffnung des Konkurses) für diese Beträge im Wert von Fr. 45'000.-- entgegengenommen habe. Die Staatsanwaltschaft warf dem Mitbeschuldigten deshalb auch "betrügerischen Konkurs i.S.v. Art. 163 StGB" vor. Der Mitbeschuldigte sagte aus, er habe die Belege auf Veranlassung des Beschwerdeführers unterzeichnet.
Angesichts der sachlich eng verzahnten Vorwürfe gegen die beiden Beschuldigten kann hier eine mögliche Mittäterschaft oder zumindest eine strafbare Teilnahme nicht ausgeschlossen werden. Die kantonalen Instanzen scheinen in diesem Zusammenhang zu verkennen, dass weder eine (Mit-) Täterschaft noch eine Teilnahme an ungetreuer Geschäftsbesorgung (oder an Betreibungs- und Konkursdelikten) voraussetzen würde, dass sich jeder Mittäter, Gehilfe oder Anstifter selber bereichert hat oder bereichern wollte.
Auch die abschliessende strafrechtliche Qualifikation der untersuchten Tatbeiträge im Rahmen der Teilnahme- und Täterschaftsdogmatik (vgl. oben, E. 4.5) ist hier nicht im Vorverfahren durch die Staatsanwaltschaft zu treffen, sondern grundsätzlich dem Sachrichter (bzw. der den Endentscheid fällenden Strafbehörde) vorzubehalten. Als möglicher Anwendungsfall von Täterschaft und Teilnahme (im Sinne von Art. 29 Abs. 1 lit. b StPO) käme im Übrigen auch die (im angefochtenen Entscheid beiläufig aufgeworfene) strafrechtsdogmatische Konstellation einer allfälligen mittelbaren Täterschaft (bzw. Tatmittlerschaft) in Frage (<ref-ruling> E. 3.2 S. 31).
Im Übrigen war das Vorgehen der Staatsanwaltschaft auch in prozessualer Hinsicht fragwürdig: Bevor die Staatsanwaltschaft ein abgekürztes Verfahren (Art. 358-362 StPO) anordnet und vom ordentlichen Verfahren abtrennt, hat sie zu prüfen und in der Trennungsverfügung gegebenenfalls zu begründen, ob und inwiefern eine Trennung nach Art. 29-30 StPO überhaupt zulässig ist (Urteil des Bundesgerichtes 1B_187/2015 vom 6. Oktober 2015 E. 2.8). Bis zu ihrer Trennungsverfügung vom 26. April 2016 hat die Staatsanwaltschaft die beiden Beschuldigten ausdrücklich als mögliche Mittäter (zumindest aber als Teilnehmer) behandelt. In der Trennungsverfügung hat sie nicht dargelegt, inwiefern hier eine Ausnahme von Art. 29 Abs. 1 lit. b StPO zulässig sei. Erst in ihrer Vernehmlassung im vorinstanzlichen Beschwerdeverfahren hat sie (nach den Feststellungen des Appellationsgerichtes) erstmals vorgebracht, es liege unterdessen keine Mittäterschaft mehr vor. Inwiefern nicht einmal eine mutmassliche Gehilfenschaft zu untersuchen sei, wird weder von der Staatsanwaltschaft noch im angefochtenen Entscheid nachvollziehbar begründet. Insofern wurde jedenfalls das rechtliche Gehör des Beschwerdeführers verletzt.
4.7. Materiell bleibt zu prüfen, ob hier (im Lichte der dargelegten Praxis) der Ausnahmefall eines sachlichen Grundes vorliegen könnte, gestützt auf den das bisherige Strafverfahren - trotz mutmasslicher Mittäterschaft oder Teilnahme und entgegen dem Grundsatz der Verfahrenseinheit (Art. 29 StPO) - in zwei separate Verfahren aufgetrennt werden dürfte (Art. 30 StPO) :
4.8. Weder die länger dauernde Unerreichbarkeit eines der beiden Beschuldigten noch eine bevorstehende Verjährung einzelner Straftaten wurde von den kantonalen Instanzen als sachlicher Trennungsgrund angerufen. Der blosse Umstand, dass die Staatsanwaltschaft gegen den Mitbeschuldigten ein abgekürztes Verfahren durchführen möchte, vermag für sich alleine noch keine sachliche Ausnahme vom Grundsatz der Verfahrenseinheit zu begründen (Urteil 1B_187/2015 vom 6. Oktober 2015 E. 2.8), zumal die dem Beschwerdeführer drohende Beschränkung seiner Parteirechte (dazu oben, E. 3.4) auch in einem abgetrennten abgekürzten Verfahren gegen den Mitbeschuldigten unvermeidbar wäre. Zu befürchten wäre sodann, dass das Strafurteil im abgekürzten Verfahren deutlich vor dem hängigen ordentlichen Strafverfahren rechtskräftig werden könnte (vgl. Urteil 1B_187/2015 E. 1.5.3). Nicht nur wäre die von der Vorinstanz hypothetisch ins Auge gefasste allfällige "Wiedervereinigung" der beiden getrennten Verfahren dann gar nicht mehr möglich; zudem könnte der Mitbeschuldigte (nach Rechtskraft seines Urteils) als Belastungszeuge im hängigen Verfahren gegen den Beschwerdeführer befragt werden (vgl. Urteil 1B_187/2015 E. 1.5.3).
4.9. Nach der einschlägigen Praxis des Bundesgerichtes ist die Verfahrensabtrennung in der vorliegenden Konstellation jedenfalls dann unzulässig, wenn konkret zu befürchten ist, dass die Mitbeschuldigten die Hauptverantwortung an den untersuchten Delikten gegenseitig aufeinander abschieben bzw. wenn ihre jeweiligen Tatbeiträge noch nicht geklärt sind (vgl. oben, E. 3.3) :
4.10. Nachdem sich der Mitbeschuldigte in der Befragung vom 3. Februar 2016 noch stark mitbelastet hatte (vgl. oben, E. 4.6), stellte er seine Rolle (bei der Geschäftsführung und beim anschliessenden Konkurs seiner Gesellschaft) später als deutlich wenig bedeutend dar. Nicht er, sondern der Beschwerdeführer habe die Geschäfte faktisch geführt. Wie sein Name unter den Kaufvertrag für die Aktien der Gesellschaft gekommen sei, wisse er nicht. Die ihm am 24. Februar 2016 vorgehaltenen elf Belege habe er auf Veranlassung des Beschwerdeführers unterzeichnet. Er selber habe keinerlei Kenntnis davon, was mit dem Vermögen der Gesellschaft passiert sei, und er sei lediglich als privater Arbeitnehmer (mit Fr. 4'000.-- bis 4'500.--) entlöhnt worden.
Bei den betreffenden Konfrontationseinvernahmen (vom 24. Februar, 14. März und 22. März 2016) widersprach der Beschwerdeführer diesen Aussagen. Der Mitbeschuldigte sei über die Finanzen der Gesellschaft und deren Verwendung sehr wohl im Bilde gewesen und habe (neben seinem Lohn) pro Projekt eine hälftige Gewinnbeteiligung ("Bonus" von jeweils Fr. 10'000.-- bis 30'000.--) bezogen. Er, der Beschwerdeführer, sei seit 12. Juni 2014 nicht mehr Geschäftsführer der Gesellschaft gewesen, sondern von dieser (bzw. vom Mitbeschuldigten) als Projektmanager im Lohnverhältnis angestellt worden. Arbeitsverträge habe der Mitbeschuldigte auch mit weiteren Angestellten (darunter die Lebenspartnerin des Beschwerdeführers) abgeschlossen und unterzeichnet. Der Vertrag betreffend den Verkauf der Aktien an den Mitbeschuldigten sei nicht (auch nicht zu steuerlichen Zwecken) fingiert worden. Stark divergierende Aussagen machten die beiden Beschuldigten auch zu weiteren Fragen der Staatsanwaltschaft (etwa zum zeitlichen Aufenthalt des Mitbeschuldigten in der Schweiz oder zur gegenseitigen Verwendung einer Maestro-Debitkarte zulasten des Gesellschaftskontos).
Nach dem Gesagten droht hier bei einer Verfahrenstrennung die konkrete Gefahr sich widersprechender Urteile in Bezug auf die Sachverhaltsfeststellung, rechtliche Würdigung und Strafzumessung. Eine gesetzliche Ausnahme vom Grundsatz der Verfahrenseinheit liegt nicht vor. Der angefochtene Entscheid verletzt Art. 29 f. StPO.
5.
Die Beschwerde ist gutzuheissen und der angefochtene Entscheid aufzuheben. Damit ist zugleich die Verfügung vom 26. April 2016 der Staatsanwaltschaft Basel-Stadt betreffend Verfahrenstrennung aufgehoben. Die Sache ist an die Vorinstanz zur neuen Entscheidung über die Kosten- und Entschädigungsfolgen des vorinstanzlichen Verfahrens zurückzuweisen.
Die Gerichtskosten sind dem privaten Beschwerdegegner aufzuerlegen (Art. 66 Abs. 1 BGG). Ein Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege (Art. 64 BGG) hat dessen Rechtsvertreterin nicht gestellt. Dem Beschwerdeführer ist (antragsgemäss) eine angemessene Parteientschädigung zulasten des privaten Beschwerdegegners zuzusprechen (Art. 68 BGG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird gutgeheissen, der Entscheid vom 15. September 2016 des Appellationsgerichts des Kantons Basel-Stadt, Einzelgericht, aufgehoben und die Sache an die Vorinstanz zur neuen Entscheidung über die Kosten- und Entschädigungsfolgen des vorinstanzlichen Verfahrens zurückgewiesen.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 2'000.-- werden dem privaten Beschwerdegegner auferlegt.
3.
Der private Beschwerdegegner hat dem Beschwerdeführer eine Parteientschädigung von Fr. 2'200.-- (pauschal, inkl. MWST) zu entrichten.
4.
Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten und dem Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt, Einzelgericht, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 16. Mai 2017
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Merkli
Der Gerichtsschreiber: Forster