Faits :
A.
X._, ressortissante de Syrie née en 1971, est arrivée en Suisse le 18 octobre 2013. Elle y a obtenu l'asile le 8 avril 2015, ainsi qu'une autorisation de séjour dans le canton du Valais, valable jusqu'au 7 avril 2016. Entre le 25 novembre 2013 et le 8 avril 2015, l'intéressée a bénéficié de l'aide sociale, sa dette s'élevant à 27'511 fr. 50. A partir du 8 avril 2015, elle a été aidée par la Croix-Rouge valaisanne pour un montant de 2'844 fr.
Le 21 octobre 2015, X._ a demandé au Service de la population et des migrants de l'Etat de Fribourg (ci-après: le Service cantonal) à pouvoir s'installer dans le canton de Fribourg, en précisant y résider depuis le 13 octobre 2015. Le Service cantonal a rejeté la demande de changement de canton par décision du 16 mars 2016, aux motifs que l'intéressée avait émargé à l'aide sociale, qu'elle avait obtenu le soutien de la Croix-Rouge et qu'elle n'avait produit aucun contrat de travail propre à attester de son autonomie financière dans un avenir proche.
B.
Reprochant notamment au Service cantonal de ne pas avoir tenu compte de sa relation avec son partenaire résidant à Fribourg, lequel l'entretiendrait financièrement, X._ a recouru contre cette décision au Tribunal cantonal de l'Etat de Fribourg (ci-après: le Tribunal cantonal), qui a rejeté le recours par arrêt du 15 juillet 2016.
C.
Agissant, sous la plume de Caritas Suisse, par la voie du recours en matière de droit public, X._ demande, sous suite de frais et dépens avec détail d'honoraires, l'annulation de l'arrêt du 15 juillet 2016 et de la décision du Service cantonal du 16 mars 2016, ainsi que l'admission de sa demande de changement de canton. Elle requiert aussi le bénéfice de l'assistance judiciaire, en indiquant être entièrement assistée par la Croix-Rouge valaisanne depuis le mois de mai 2015.
Le Service cantonal, le Tribunal cantonal et le Secrétariat d'Etat aux migrations se réfèrent aux considérants de l'arrêt attaqué, en concluant au rejet du recours. La recourante a répliqué le 7 novembre 2016, en maintenant les conclusions de son recours.

Considérant en droit :
1.
Le Tribunal fédéral examine d'office sa compétence (<ref-law> [RS 173.110]) et contrôle librement la recevabilité des recours qui lui sont soumis (<ref-ruling> consid. 2.1 p. 39; <ref-ruling> consid. 2 p. 59).
1.1. Selon l'art. 83 let. c ch. 6 LTF, le recours en matière de droit public est irrecevable contre les décisions en matière de droit des étrangers qui concernent le déplacement de la résidence dans un autre canton; et ce même si l'étranger dispose d'un droit au changement de canton (arrêts 2C_1115/2015 du 20 juillet 2016 consid. 1.3.1; 2D_17/2011 du 26 août 2011 consid. 1.1; 2C_140/2010 du 17 juin 2010 consid. 2.3; 2C_886/2008 du 4 mai 2009 consid. 2). Il s'ensuit que le mémoire est irrecevable en tant que recours en matière de droit public.
1.2. Seul le recours constitutionnel subsidiaire (<ref-law>) pour violation des droits constitutionnels (<ref-law>) entre partant en ligne de compte. La qualité pour former un recours constitutionnel subsidiaire suppose un "intérêt juridique" à l'annulation ou à la modification de la décision attaquée (<ref-law>).
Conformément à l'art. 37 al. 2 LEtr (RS 142.20), le titulaire d'une autorisation de séjour possède un droit au changement de canton s'il n'est pas au chômage et qu'il n'existe aucun motif de révocation au sens de l'art. 62 LEtr. La recourante, qui dispose - hormis de son statut de réfugiée - d'une autorisation de séjour, peut ainsi faire valoir - sous l'angle de l'interdiction de l'arbitraire dans l'application du droit fédéral, s'agissant d'un recours constitutionnel subsidiaire - un intérêt juridique à la modification de la décision cantonale, étant rappelé que savoir si l'autorisation sollicitée peut être délivrée relève du fond et non de la recevabilité (cf. mutatis mutandis, arrêt 2D_17/2011 du 26 août 2011 consid. 1.2; s'agissant du droit conditionnel au changement de canton, cf. PETER BOLZLI, ad art. 37 LEtr, in Migrationsrecht - Kommentar [Spescha et al. (éd.)], 4e éd., 2015, n. 6 p. 141; MINH SON NGUYEN, ad art. 37 LEtr, in Code annoté de droit des migrations, vol. II, 2017, n. 15 p. 351).
1.3. Pour le surplus, interjeté par une partie qui a succombé dans ses conclusions, le présent recours, déposé dans le délai légal, compte tenu des féries judiciaires (art. 117, 46 al. 1 let. b et 100 al. 1 LTF), et dans les formes prévues (<ref-law>), est en principe recevable comme recours constitutionnel subsidiaire, puisqu'il est dirigé contre un jugement final (art. 117 et 90 LTF) rendu par un tribunal supérieur statuant en dernière instance cantonale (art. 114 et 86 LTF).
1.4. Toutefois, la conclusion tendant à l'annulation de la décision du Service cantonal du 16 mars 2016 est irrecevable en raison de l'effet dévolutif complet du recours auprès du Tribunal cantonal, l'arrêt de cette autorité se substituant aux prononcés antérieurs (cf. <ref-ruling> consid. 1.2 p. 543; arrêts 2C_961/2016 du 30 mars 2017 consid. 1.2; 2C_682/2012 du 7 février 2013 consid. 1.2).
2.
La voie du recours constitutionnel subsidiaire n'est ouverte que pour se plaindre de la violation des droits constitutionnels (<ref-law>; cf. aussi, en lien avec la question du changement de canton, arrêt 2C_886/2008 du 4 mai 2009 consid. 3). Conformément à l'<ref-law>, applicable par renvoi de l'<ref-law>, le Tribunal fédéral ne se prononce sur la violation de droits fondamentaux que si ce grief a été invoqué et motivé de façon détaillée par le recourant (cf. <ref-ruling> consid. 4.1 p. 235; arrêt 2C_284/2016 du 20 janvier 2017 consid. 2.3, non publié in <ref-ruling>).
Dans son recours et sa réplique, la recourante se prévaut, en particulier, d'une violation, respectivement d'une interprétation divergente, d'une part, des art. 58 (législation applicable au statut des réfugiés) et 65 (renvoi ou expulsion) de la loi sur l'asile du 26 juin 1998 (LAsi; RS 142.31) et, d'autre part, des art. 37 al. 2 et 3 (nouvelle résidence dans un autre canton), 62 et 63 (révocation des autorisations) LEtr. Ce faisant, elle ne démontre pas en quoi le Tribunal cantonal aurait fait une application arbitraire (grief invoqué uniquement en lien avec la protection de la vie familiale) ou contraire à d'autres droits fondamentaux de ces dispositions de droit fédéral, ce qui n'est pas admissible au regard d'un recours constitutionnel subsidiaire. Il ne sera partant pas entré en matière sur ces différents griefs.
3.
D'après l'<ref-law>, le Tribunal fédéral statue sur la base des faits établis par l'autorité précédente (al. 1). Il peut rectifier ou compléter les constatations de l'autorité précédente si les faits ont été établis en violation du droit au sens de l'<ref-law> (al. 2), à savoir pour violation des droits constitutionnels, dont fait notamment partie l'interdiction de l'arbitraire (art. 9 Cst. [RS 101]). D'après la jurisprudence, une décision est arbitraire lorsqu'elle est manifestement insoutenable, méconnaît gravement une norme ou un principe juridique clair et indiscuté, ou heurte de manière choquante le sentiment de la justice et de l'équité (<ref-ruling> consid. 3.2.5); il ne suffit pas qu'une autre solution paraisse concevable, voire préférable (<ref-ruling> consid. 2.1); pour que cette décision soit annulée, encore faut-il qu'elle se révèle arbitraire, non seulement dans ses motifs, mais aussi dans son résultat (<ref-ruling> consid. 6.3 p. 375; <ref-ruling> consid. 2.1).
Dans la mesure où, en particulier dans la partie "bref exposé de faits" de son mémoire, la recourante présente une argumentation appellatoire, en opposant sa propre version des faits à celle du Tribunal cantonal ou en complétant librement l'état de fait, sans invoquer ou établir ni l'arbitraire, ni une autre violation des droits fondamentaux sur ce point, le Tribunal fédéral ne peut pas en tenir compte. Il statuera donc sur la base des faits tels qu'ils ressortent de l'arrêt attaqué.
4.
La recourante fait valoir une violation de son droit d'être entendue. Elle reproche au Tribunal cantonal de ne pas avoir suffisamment motivé les raisons qui l'ont amené à considérer que le refus de changement de canton n'apparaissait pas critiquable du point de vue du principe de la proportionnalité.
4.1. La jurisprudence a déduit du droit d'être entendu (art. 29 al. 2 Cst.) le devoir pour le juge de motiver sa décision, afin que le justiciable puisse la comprendre, la contester utilement s'il y a lieu et exercer son droit de recours à bon escient. Pour répondre à ces exigences, le juge doit mentionner, au moins brièvement, les motifs qui l'ont guidé et sur lesquels il a fondé sa décision, de manière à ce que l'intéressé puisse se rendre compte de la portée de celle-ci et l'attaquer en connaissance de cause. Il n'a toutefois pas l'obligation d'exposer et de discuter tous les faits, moyens de preuve et griefs invoqués par les parties, mais peut au contraire se limiter à l'examen des questions décisives pour l'issue du litige (<ref-ruling> consid. 5.1 p. 237; arrêt 2C_14/2014 du 27 août 2014 consid. 3.2, non publié in <ref-ruling>).
4.2. Contrairement à ce qu'affirme la recourante, le Tribunal cantonal a, dans son arrêt attaqué (p. 4 s.), consacré des développements suffisants et intelligibles au grief de violation de la proportionnalité en lien avec le droit au respect de la vie familiale invoqué par la recourante et la possibilité pour elle d'être soutenue financièrement par son compagnon séjournant dans le canton de Fribourg. Il a conclu au défaut de pertinence de cet argument, dès lors que le partenaire de la recourante, titulaire d'une admission provisoire, n'avait pas d'obligation d'entretien à son égard. Par ailleurs, la relation invoquée n'était, selon l'instance inférieure, pas suffisamment étroite ni effective pour tomber dans le champ de protection de l'art. 8 CEDH (RS 0.101), de sorte que le refus de changement de canton n'était pas disproportionné. Au regard de cet argumentaire, on ne voit pas que la motivation de l'arrêt eût été déficiente, de sorte qu'il y a lieu d'écarter ce grief.
5.
La recourante se prévaut d'une violation de l'art. 26 de la Convention de Genève relative au statut des réfugiés, du 28 juillet 1951 (RS 0.142.30; ci-après: la Convention de Genève ou CR). Elle affirme que cette disposition lui donnerait, en sa qualité de réfugiée titulaire d'une autorisation de séjour, un droit de changer de canton aussi étendu que celui dont dispose le titulaire d'une autorisation d'établissement, au sens de l'art. 37 al. 3 LEtr. Elle invoque aussi l'arrêt 2D_17/2011 du 26 août 2011 concernant le changement de canton d'un réfugié au bénéfice d'une autorisation d'établissement et dépendant de l'aide sociale.
5.1. Intitulé "liberté de circulation", l'art. 26 de la Convention de Genève prévoit:
"Tout Etat Contractant accordera aux réfugiés se trouvant régulièrement sur son territoire le droit d'y choisir leur lieu de résidence et d'y circuler librement sous les réserves instituées par la réglementation applicable aux étrangers en général dans les mêmes circonstances".
5.2. Le point - non élucidé (GIOVANNI BIAGGINI, ad <ref-law>, in Basler Kommentar - BGG, 2e éd., n. 21 p. 1524) - de savoir si la recourante peut invoquer directement l'art. 26 CR dans le cadre d'un recours constitutionnel subsidiaire en vue de s'établir dans un autre canton, souffre de rester indécis. De par sa formulation, cette disposition réserve en effet expressément la réglementation nationale applicable aux étrangers en général (cf., dans ce sens, <ref-law>). La question de savoir si la LAsi et/ou une disposition particulière de la LEtr, telles qu'interprétées à l'aune de la jurisprudence 2D_17/2011 précitée, conféreraient des droits plus amples ou spécifiques à la recourante tombe ainsi exclusivement sous le coup du droit national. Elle ne découle pas de l'interprétation de l'art. 26 CR invoqué par la recourante.
5.3. In casu, faute pour la recourante de s'être spécifiquement prévalue de la violation d'un droit fondamental, en particulier de l'interdiction de l'arbitraire (art. 9 Cst.), en lien avec l'application de la législation fédérale en cause, les questions soulevées ne sauraient être revues dans le cadre du présent recours constitutionnel (cf. consid. 2 supra). Au demeurant, tant l'art. 37 al. 2 LEtr relatif aux titulaires d'une autorisation de séjour que l'art. 37 al. 3 LEtr relatif aux titulaires d'une autorisation d'établissement restreignent le droit de changer de canton lorsque l'étranger dépend de l'aide sociale (cf. art. 62 al. 1 let. e LEtr, sur renvoi de l'art. 37 al. 2 LEtr), respectivement lorsqu'il dépend durablement et dans une large mesure de celle-ci (cf. art. 63 al. 1 let. c LEtr, sur renvoi de l'art. 37 al. 3 LEtr). A noter que la recourante ne conteste pas sa situation de dépendance de l'aide sociale, quand bien même elle en relativise le montant et en souligne la source de financement fédérale (et non cantonale).
Il s'ensuit que les griefs tirés de la violation de la CR doivent être écartés.
6.
La recourante déduit son droit à changer de canton de résidence du droit au respect de sa vie familiale, garanti aux art. 13 al. 1 Cst. et 8 CEDH, au motif qu'elle mènerait une relation affective stable avec son partenaire résidant dans le canton de Fribourg. En lien avec ces dispositions, elle reproche au Tribunal cantonal d'avoir rendu une décision disproportionnée et arbitraire.
6.1. De jurisprudence constante, le champ de protection de l'art. 8 CEDH sous l'angle de la vie familiale vise avant tout les relations qui existent entre époux, ainsi que les relations entre parents et enfants mineurs vivant en ménage commun (cf. <ref-ruling> consid. 1.3.2 p. 146; arrêt 2C_998/2015 du 20 septembre 2016 consid. 4.3.1). Les fiancés ou les concubins ne sont en principe pas habilités à invoquer cette disposition, à moins que le couple n'entretienne depuis longtemps des relations étroites et effectives et qu'il n'existe des indices concrets d'un mariage sérieusement voulu et imminent (cf. arrêts 2C_435/2014 du 13 février 2015 consid. 4.1; 2C_220/2014 du 4 juillet 2014 consid. 3.1). Les signes indicateurs d'une relation étroite et effective sont en particulier le fait d'habiter sous le même toit, la dépendance financière, des liens familiaux particulièrement proches et des contacts réguliers (<ref-ruling> consid. 3.1 p. 148; arrêts 2C_1045/2014 du 26 juin 2015 consid. 1.1.2; 2C_435/2014 du 13 février 2015 consid. 4.1).
6.2. Dans son arrêt querellé, le Tribunal cantonal a constaté que la relation sentimentale entre la recourante et son partenaire remontait tout au plus à deux ans, dès lors qu'au moment de déposer sa demande d'asile, l'intéressée avait indiqué vouloir vivre auprès de sa soeur en Valais, sans évoquer sa relation. Les juges cantonaux ont déduit de la durée de cette relation que celle-ci n'était pas suffisamment étroite et effective pour tomber dans le champ de protection du droit au respect de la vie familiale. En outre, la décision du Service cantonal ne violait pas le principe de proportionnalité et était raisonnablement exigible, dès lors que le partenaire de la recourante n'était pas obligé de subvenir à son entretien et pouvait y renoncer à tout moment.
6.3. En regard de la jurisprudence restrictive relative à la titularité du droit au respect de la vie familiale par un couple non marié (cf. consid. 6.1 supra), cette argumentation ne prête point le flanc à la critique. Les reproches de nature appellatoire que la recourante oppose à cette argumentation ne modifient en rien la conclusion du défaut d'une relation stable et durable, au sens de la jurisprudence précitée, en particulier: la circonstance alléguée par la recourante selon laquelle elle-même et son partenaire, ressortissant étranger au bénéfice d'une admission provisoire qui exercerait une activité lucrative à Fribourg, seraient en couple depuis le mois d'avril 2014, que son partenaire aurait subvenu à ses besoins entre les mois d'avril 2015 et août 2016 et qu'ils auraient "une réelle volonté de s'établir ensemble" (recours, p. 6). Force est en effet d'admettre que ni la condition de la durée, ni celle de l'imminence d'un mariage ne résultent de tels éléments. C'est donc en vain que la recourante invoque les art. 13 Cst. et 8 CEDH.
6.4. Quant au principe de la proportionnalité (art. 5 et 36 al. 3 Cst.), la recourante ne motive pas à satisfaction de droit (cf. <ref-law>) en quoi ce principe serait violé. Compte tenu de la brièveté de la relation entretenue par le couple et de la faible distance géographique entre les cantons du Valais et de Fribourg (malgré les frais allégués liés aux déplacements de la recourante), on ne voit pas que l'interdiction faite par l'Etat de Fribourg à la recourante de venir s'installer sur son territoire en raison de sa dépendance durable de l'aide sociale serait constitutif d'arbitraire ou de la violation d'un autre droit constitutionnel. Ce grief sera partant écarté.
7.
La recourante reproche au Tribunal cantonal d'avoir violé les principes de l'égalité de traitement et de l'interdiction de l'arbitraire. Selon elle, la juridiction cantonale n'avait pas correctement pris en compte la liste des réfugiés au bénéfice d'une autorisation de séjour qu'elle avait produite. Alors que ceux-ci se trouvaient dans une situation comparable à la sienne, ils avaient pu changer de canton sans aucune condition particulière, même en étant à l'aide sociale et en invoquant le droit fédéral, y compris l'art. 26 CR. L'intéressée se plaint en outre d'une inégalité de traitement entre son statut de réfugiée disposant du droit d'asile et celui d'une personne admise provisoirement en Suisse.
7.1. La protection de l'égalité (art. 8 Cst.) et celle contre l'arbitraire (art. 9 Cst.) sont étroitement liées. Une décision est arbitraire lorsqu'elle ne repose pas sur des motifs sérieux et objectifs ou n'a ni sens ni but. Elle viole le principe de l'égalité de traitement lorsqu'elle établit des distinctions juridiques qui ne se justifient par aucun motif raisonnable au regard de la situation de fait à réglementer ou lorsqu'elle omet de faire des distinctions qui s'imposent au vu des circonstances, c'est-à-dire lorsque ce qui est semblable n'est pas traité de manière identique et lorsque ce qui est dissemblable ne l'est pas de manière différente. Il faut que le traitement différent ou semblable injustifié se rapporte à une situation de fait importante (<ref-ruling> consid. 6.1 p. 213; <ref-ruling> consid. 3.3.2 p. 127).
7.2. En tant que la recourante se plaint d'une situation inégale et arbitraire en comparaison avec les titulaires d'une admission provisoire (cf. art. 83 LEtr), en lien avec certains arrêts rendus par le Tribunal fédéral et le Tribunal administratif fédéral, elle ne motive pas adéquatement son grief, sur lequel il ne sera partant pas entré en matière.
7.3. En tant que la recourante invoque les griefs précités à l'aune de certains cas d'application qu'elle considère comme étant similaires à sa propre situation, elle omet de réfuter l'argument principal du Tribunal cantonal. Ce dernier a relevé que les changements de canton mentionnés étaient intervenus non par vers le canton de Fribourg, mais à partir du canton de Fribourg vers Berne et Lucerne, avec l'accord des autorités de ces deux derniers cantons; celles-ci étaient libres de faire un autre usage que les autorités fribourgeoises du pouvoir d'appréciation que leur laisse le droit fédéral en la matière, sans qu'une telle divergence de pratique ne fonde un traitement inégal.
Il convient de suivre cet argument. Il ressort en effet de l'art. 37 LEtr que les cantons disposent d'une certaine marge d'appréciation s'agissant de l'octroi de l'autorisation d'un changement de canton (cf. al. 1). La doctrine admet par ailleurs qu'il leur reste possible d'octroyer une telle autorisation en fonction des circonstances du cas d'espèce, même lorsque les conditions fondant un droit au changement ne sont pas réalisées (cf. BOLZLI, op. cit., n. 9 p. 142; DANIA TREMP, art. 37 LEtr, in AuG-Handkommentar, 2010, n. 25, p. 316). A supposer donc que les causes mentionnées par la recourante présentent de fortes similitudes avec sa situation personnelle, la circonstance, inhérente au fédéralisme, que les mêmes dispositions légales aient été appliquées différemment par des autorités de cantons différents (pour autant qu'elles respectent le cadre légal), n'est constitutive ni d'une violation de l'interdiction de l'arbitraire, ni du principe d'égalité de traitement (cf. <ref-ruling> consid. 4.7 p. 284; <ref-ruling> consid. 3 p. 87; AUER/MALINVERNI/HOTTELIER, Droit constitutionnel suisse, vol. II, n. 1070, p. 498 s.).
Les griefs fondés sur les art. 8 al. 1 et 9 Cst. seront donc écartés.
8.
Au vu de ce qui précède, le recours doit être déclaré irrecevable en tant que recours en matière de droit public. Il sera rejeté, dans la mesure de sa recevabilité, en tant que recours constitutionnel subsidiaire. Le recours étant dénué de chances de succès, la requête d'assistance judiciaire est rejetée (cf. art. 64 al. 1 et 2 LTF a contrario). Compte tenu de la situation de la recourante, il sera néanmoins statué sans frais (art. 66 al. 1 in fine LTF). Il n'y a pas lieu d'allouer des dépens (art. 68 al. 1 et 3 LTF).

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce :
1.
Le recours est irrecevable en tant que recours en matière de droit public. Dans la mesure où il est recevable, le recours est rejeté en tant que recours constitutionnel subsidiaire.
2.
La requête d'assistance judiciaire est rejetée.
3.
Il n'est pas perçu de frais judiciaires.
4.
Le présent arrêt est communiqué à la représentante de la recourante, au Service de la population et des migrants et au Tribunal cantonal de l'Etat de Fribourg, Ie Cour administrative, ainsi qu'au Secrétariat d'Etat aux migrations.
Lausanne, le 12 juin 2017
Au nom de la IIe Cour de droit public
du Tribunal fédéral suisse
Le Président : Seiler
Le Greffier : Chatton