Sachverhalt:
A.
Die A._ AG (Klägerin, Beschwerdeführerin) betrieb am Argoviafest vom 8. Juni 2013 eine Sanitätsdienststelle, wo die Erstbehandlungen stattfanden und über die Hospitalisierung entschieden wurde. Als B._ (Beklagter, Beschwerdegegner) zur Sanitätsstelle gebracht wurde, ergab der vom dort tätigen Arzt Dr. C._ vorgenommene Atemalkoholtest einen Wert von 3.25 Promille. Der Beklagte widersetzte sich sodann der von Dr. C._ angeordneten Hospitalisierung und liess sich erst auf Drohung mit der Polizei von der Klägerin ins Kantonsspital Baden fahren. Der im Kantonsspital durchgeführte Blutalkoholtest ergab einen Wert von 1.8 Promille, woraufhin der Beklagte aus dem Kantonsspital entlassen wurde, weil er sich in einem guten Allgemeinzustand befand und der Grund für die Hospitalisierung nicht ersichtlich war. Der Beklagte weigerte sich in der Folge, die von der Klägerin gestellte Rechnung zu begleichen.
B.
Die Klägerin beantragte mit Klage vom 19. Dezember 2014 beim Bezirksgericht Bremgarten, der Beklagte sei zu verpflichten, ihr den Betrag von Fr. 1'122.-- zuzüglich Zins zu 5 % seit 15. Mai 2014, aufgelaufenen Zins von Fr. 46.30 vom 19. Juli 2013 bis 15. Mai 2014, Betreibungskosten von Fr. 73.30 und Kosten des Friedensrichteramts von Fr. 280.-- zu bezahlen. Sodann sei der Rechtsvorschlag in der Betreibung Nr. xxx des Betreibungsamts Oberwil-Lieli zu beseitigen und die definitive Rechtsöffnung zu erteilen.
Der Präsident des Bezirksgerichts verpflichtete den Beklagten mit Entscheid vom 4. Februar 2015, der Klägerin Fr. 1'022.-- nebst Zins zu 5 % seit 19. Juli 2013 und die Kosten des Schlichtungsverfahrens in der Höhe von Fr. 280.-- zu bezahlen. Im Umfang von Fr. 1'022.-- nebst Zins zu 5 % seit 19. Juli 2013 beseitigte er sodann den Rechtsvorschlag. Im Übrigen wurde die Klage infolge Rückzugs abgeschrieben.
Der Beklagte erhob dagegen Beschwerde an das Obergericht des Kantons Aargau. Mit Entscheid vom 29. Oktober 2015 hiess das Obergericht die Beschwerde gut und hob den Entscheid des Präsidenten des Bezirksgerichts auf. Das Obergericht erkannte, die Klage werde abgewiesen, soweit sie nicht infolge Rückzugs abgeschrieben werde. Sodann regelte es die Prozesskosten des erstinstanzlichen Verfahrens neu.
Das Obergericht kam zum Schluss, dass es sich bei der Einlieferung des Beklagten in das Kantonsspital Baden durch die Klägerin um eine Geschäftsführung ohne Auftrag nach <ref-law> handle. Es stelle sich daher die Frage, ob die Geschäftsbesorgung der Klägerin im Sinne von <ref-law> geboten gewesen sei. Unbestritten sei, dass der Atemalkoholtest beim Beklagten 3.25 Promille ergeben habe, dass der Beklagte aber trotz dieses "alarmierenden" ärztlichen Befunds auffällig wach gewesen sei und klar agiert sowie sich gegen die Hospitalisierung gewehrt habe. Unter diesen Umstände hätte die Klägerin allen Anlass zu berechtigten Zweifeln an der Gebotenheit der Hospitalisierung gehabt. Die Klägerin hätte bei einem Jugendlichen, der trotz eines Messwerts von 3.25 Promille auffällig wach und klar geblieben sei, die Unrichtigkeit des ärztlichen Befunds sofort und eindeutig erkennen können, da dieser Befund dem Zustand und den Aussagen des Beklagten derart offensichtlich widersprochen habe, dass sie ihn nach Treu und Glauben nicht mehr für wahr habe halten können. Da die Klägerin eine besondere Dringlichkeit weder behauptet noch bewiesen habe, hätte sie zumindest einen zweiten Atemalkoholtest verlangen können und müssen, um der von ihr als Geschäftsführerin verlangten gehörigen Sorgfalt nachzukommen. An ihre Sorgfalt seien erhöhte Anforderungen zu stellen, da sie die Geschäftsbesorgung in einer Tätigkeit vorgenommen habe, die sie von Berufs wegen und gegen Entgelt ausgeübt habe, zumal ihr bekannt gewesen sei, dass der Atemalkoholtest erheblich vom Blutalkoholtest abweichen könne.
Der Beklagte habe sodann behauptet, dass der Atemalkoholtest kurz nach einem Schluck Bier gemacht worden sei, ohne dass ihm vorher die Mundspühlung ermöglicht worden sei. Die Behauptung, der Atemalkoholtest sei durch Dr. C._ nicht korrekt durchgeführt worden, habe die Klägerin nicht bestritten. Nach der Darstellung der Klägerin habe die Praxis Dr. C._ an der Sanitätsstelle den ärztlichen Teil gemacht und sie habe den Sanitätsteil betrieben. Die Klägerin habe somit trotz der Mitwirkung des Arztes einen bestimmenden Einfluss auf die Ausführung der Geschäftsbesorgung behalten, weshalb nicht die Klägerin als Hilfsperson des Arztes, sondern der Arzt als Hilfsperson der Klägerin zu betrachten sei, gestützt auf dessen Befund sie gehandelt habe. Die Klägerin hafte daher auch für die Unsorgfalt des Arztes. Die Einlieferung des Beklagten in das Kantonsspital Baden sei nach dem Gesagten, entgegen der Auffassung der Erstinstanz, nicht geboten gewesen. Die Voraussetzungen der berechtigten Geschäftsführung ohne Auftrag seien damit nicht gegeben.
C.
Die Beschwerdeführerin beantragt mit Beschwerde in Zivilsachen, das Urteil des Obergerichts sei vollumfänglich aufzuheben und das erstinstanzliche Urteil sei zu bestätigen. Im Weiteren seien die Kosten des Berufungsverfahrens in der Höhe von Fr. 1'000.-- dem Beschwerdegegner aufzuerlegen und es sei der Beschwerdegegner zu verpflichten, die Beschwerdeführerin für das Berufungsverfahren mit Fr. 1'250.-- zu entschädigen. Eventualiter sei das angefochtene Urteil aufzuheben und die Sache zur materiellen Neubeurteilung sowie zur Neuverlegung der kantonalen Kosten- und Entschädigungsfolgen an die Vorinstanz zurückzuweisen.
Der Beschwerdegegner beantragt, auf die Beschwerde sei nicht einzutreten, eventualiter sei sie vollumfänglich abzuweisen. Die Vorinstanz verzichtete auf die Vernehmlassung zur Beschwerde.
Die Parteien reichten Replik und Duplik ein.

Erwägungen:
1.
1.1. Das Bundesgericht prüft von Amtes wegen und mit freier Kognition, ob ein Rechtsmittel zulässig ist (<ref-law>; <ref-ruling> E. 2; <ref-ruling> E. 1; je mit Hinweisen).
1.2. In vermögensrechtlichen Angelegenheiten, wie hier eine vorliegt, ist die Beschwerde in Zivilsachen grundsätzlich nur zulässig, wenn der Streitwert mindestens Fr. 30'000.-- beträgt (<ref-law>). Erreicht der Streitwert den massgebenden Betrag wie in casu nicht, ist sie dennoch zulässig, wenn sich eine Rechtsfrage von grundsätzlicher Bedeutung stellt (<ref-law>).
1.3. Der Begriff der Rechtsfrage von grundsätzlicher Bedeutung im Sinne von <ref-law> ist sehr restriktiv auszulegen (<ref-ruling> E. 1.2; <ref-ruling> E. 1.1). Soweit es bei der aufgeworfenen Frage lediglich um die Anwendung von Grundsätzen der Rechtsprechung auf einen konkreten Fall geht, handelt es sich nicht um eine Rechtsfrage von grundsätzlicher Bedeutung (<ref-ruling> E. 1.3 S. 4, 397 E. 1.2 S. 399; <ref-ruling> E. 1.2 S. 117; <ref-ruling> E. 1 S. 494 ff.; je mit Hinweisen). Die Voraussetzung von <ref-law> ist hingegen erfüllt, wenn ein allgemeines und dringendes Interesse besteht, dass eine umstrittene Frage höchstrichterlich geklärt wird, um eine einheitliche Anwendung und Auslegung des Bundesrechts herbeizuführen und damit eine erhebliche Rechtsunsicherheit auszuräumen (<ref-ruling> E. 1.3; <ref-ruling> E. 1.2 S. 210; <ref-ruling> E. 2.3; je mit Hinweisen). Es ist erforderlich, dass die Frage von allgemeiner Tragweite ist (<ref-ruling> E. 1.2).
Eine neue Rechtsfrage kann vom Bundesgericht beurteilt werden, wenn dessen Entscheid für die Praxis wegleitend sein kann, namentlich, wenn von unteren Instanzen viele gleichartige Fälle zu beurteilen sein werden (<ref-ruling> E. 1.3 S. 4). Damit Fälle als gleichartig angesehen werden können, genügt es nicht, dass sich dieselbe Rechtsfrage in weiteren Verfahren stellen wird. Die zu beurteilende Streitsache muss überdies geeignet sein, die Frage auch mit Bezug auf die anderen Fälle zu klären. Diese Voraussetzung ist nicht erfüllt, wenn entscheidrelevante Eigenheiten bestehen, die bei den anderen Fällen in der Regel nicht gegeben sind (<ref-ruling> E. 4 S. 343; Urteile 4A_475/2013 vom 15. Juli 2014 E. 2 nicht publ. in <ref-ruling>; 4A_353/2014 vom 19. November 2014 E. 1.2). Stellt sich eine Frage nur in speziellen Konstellationen, ist darzulegen, dass ein Entscheid in dieser Konstellation für die Praxis wegleitend sein kann und die Rechtsfrage nach einer höchstrichterlichen Klärung ruft. Es ist mithin aufzuzeigen, dass die dem Bundesgericht unterbreitete Konstellation keinen Einzelfall darstellt (Urteil 4A_290/2009 vom 12. August 2009 E. 2.2).
Ist eine Beschwerde nur unter der Voraussetzung zulässig, dass sich eine Rechtsfrage von grundsätzlicher Bedeutung stellt, ist in der Beschwerdeschrift auszuführen, warum diese Voraussetzung erfüllt ist (<ref-law>), ansonsten die Beschwerde in Zivilsachen unzulässig ist (<ref-ruling> E. 2.6; <ref-ruling> E. 2.2.2.1, 645 E. 2.4).
1.4. Die Beschwerdeführerin bringt zunächst vor, dass sich die Rechtsfrage von grundsätzlicher Bedeutung stelle, ob einem sanitären Rettungsdienst beim Entscheid über die Hospitalisierung eines Patienten ein Ermessen zustehe bzw. unter welchen Bedingungen eine Rettung bzw. eine Hospitalisierung auch gegen den Willen des Betroffenen vorgenommen werden könne und entschädigt werden müsse. An Grossanlässen bzw. ganz allgemein sähen sich Rettungsdienste, Sanitätsstellen und Ärzte wiederholt mit der Frage konfrontiert, ob, und unter welchen Umständen Personen behandelt bzw. in ein Spital eingeliefert werden dürfen.
1.5. Diese Argumentation der Beschwerdeführerin verfängt nicht. Wer für einen anderen ein Geschäft besorgt, ohne von ihm beauftragt zu sein, ist nach <ref-law> verpflichtet, das unternommene Geschäft so zu führen, wie es dem Vorteil und der mutmasslichen Absicht des anderen entspricht. Wenn die Übernahme einer Geschäftsbesorgung durch das Interesse des Geschäftsherrn geboten war, so ist dieser nach <ref-law> verpflichtet, dem Geschäftsführer alle Verwendungen, die notwendig oder nützlich und den Verhältnissen angemessen waren, samt Zinsen zu ersetzen und ihn in demselben Masse von den übernommenen Verbindlichkeiten zu befreien sowie für andern Schaden ihm nach Ermessen des Richters Ersatz zu leisten. Diesen Anspruch hat der Geschäftsführer, wenn er mit der gehörigen Sorgfalt handelte, auch in dem Falle, wo der beabsichtigte Erfolg nicht eintritt (<ref-law>).
Vorliegend stellt sich damit die Frage, ob die Geschäftsbesorgung der Beschwerdeführerin, mithin die von ihr vorgenommene Hospitalisierung des Beschwerdegegners, nach <ref-law> geboten gewesen ist. Die Frage der Gebotenheit der Geschäftsbesorgung eröffnet dem Gericht einen gewissen Ermessensspielraum. Das Gericht hat nämlich aufgrund der gesamten Umstände des konkreten Einzelfalls zu beurteilen, ob diese geboten war (JÖRG SCHMID, Zürcher Kommentar, 3. Aufl. 1993, N. 11 zu <ref-law>; CLAIRE HUGUENIN, Obligationenrecht, 2. Aufl. 2014, Rz. 1629). Da für diese Beurteilung die jeweiligen Verhältnisse des konkreten Einzelfalls entscheidend sind, liegt in der Regel keine Rechtsfrage von grundsätzlicher Bedeutung vor, sondern lediglich eine auf die konkrete Situation zugeschnittene Rechtsanwendung im Einzelfall.
Selbst wenn mit der Beschwerdeführerin angenommen wird, die unteren Instanzen hätten künftig viele gleichartige Fälle zu beurteilen und ein Entscheid des Bundesgerichts könnte über den vorliegenden Einzelfall hinaus für die Praxis wegleitend sein, muss die zu beurteilende Streitfrage geeignet sein, die Frage auch mit Bezug auf die anderen Fälle zu klären.
Daran fehlt es vorliegend: Die Vorinstanz stellte fest, die Beschwerdeführerin habe nicht bestritten, dass der Atemalkoholtest beim Beschwerdegegner nicht korrekt durchgeführt worden sei. Diese Feststellung wird von der Beschwerdeführerin vor Bundesgericht nicht in Frage gestellt, zumindest nicht hinreichend. Aufgrund dieser Fehldiagnose des Arztes hat sich dieser bzw. die Beschwerdeführerin über die Gebotenheit der Geschäftsbesorgung geirrt. In anderen Fällen, in denen es um die Beurteilung der Gebotenheit einer Hospitalisierung durch einen Fremdgeschäftsführer nach <ref-law> geht, wird der betroffene Geschäftsherr in der Regel nicht aufgrund einer Fehldiagnose eines Arztes eingeliefert, zumindest wird von der Beschwerdeführerin nicht dargelegt, dass die vorliegende Konstellation kein Einzelfall darstellt. Damit bestehen in der vorliegenden Konstellation entscheidrelevante Eigenheiten, die in anderen Fällen in der Regel nicht gegeben sind. Die Beschwerdeführerin zeigt dabei nicht hinreichend auf, inwiefern die vorliegende Streitsache trotz dieser Eigenheiten geeignet wäre, die aufgeworfene Rechtsfrage auch mit Bezug auf andere Fälle grundlegend zu klären.
1.6. Die Beschwerdeführerin bringt sodann vor, dass ein Eintreten auf die Rechtsfrage geboten sei, da auf kantonaler Ebene erhebliche Differenzen in der Rechtsprechung betreffend der Auslegung des Begriffs der Gebotenheit i.S.v. <ref-law> bestehen würden. Das Verwaltungsgericht des Kantons Luzern habe im Jahre 2008 in einem gleichartigen Fall erklärt, dass das Tatbestandsmerkmal der Gebotenheit dem Geschäftsführer einen Ermessensspielraum eröffne. In diesem Zusammenhang habe das Verwaltungsgericht erwogen, dass der Geschäftsführer in solchen Situationen durch sein Handeln eine strafrechtlich relevante Unterlassung vermeiden könne. Das Verwaltungsgericht sei daher zu einem gänzlich anderen Schluss als die Vorinstanz im vorliegenden Verfahren gekommen.
Mit dem blossen Verweis auf ein einzelnes kantonales Gerichtsurteil, das im konkreten Einzelfall bezüglich der Gebotenheit der Geschäftsbesorgung nach <ref-law> - nach der Darstellung der Beschwerdeführerin - zu einem anderen Schluss als die Vorinstanz im angefochtenen Entscheid gekommen ist, vermag die Beschwerdeführerin nicht aufzuzeigen, dass eine widersprüchliche Rechtsprechung der kantonalen Gerichte vorliegen würde, sodass ein allgemeines und dringendes Interesse daran bestünde, dass das Bundesgericht die umstrittene Frage klären müsste. Auch damit vermag die Beschwerdeführerin nicht aufzuzeigen, dass eine Rechtsfrage von grundsätzlicher Bedeutung bestehen würde.
1.7. Schliesslich bringt die Beschwerdeführerin vor, es handle sich um eine Rechtsfrage, in welcher der Streitgegenstand kaum je die Streitwertgrenze von Fr. 30'000.-- überschreiten werde. Die Kosten für den Rettungstransport würden sich in der Regel auf eine Summe belaufen, welche die Streitwertgrenze vor Bundesgericht bei Weitem nicht erreichen würde. Vorliegend habe die Beschwerdeführerin dem Beschwerdegegner Rettungskosten von Fr. 1'022.-- verrechnet. Stehe fest, dass für eine Rechtsfrage der notwendige Streitwert auch in zukünftigen Fällen kaum je erreicht werden könne, rechtfertige es sich, bezüglich der Grundsätzlichkeit keine allzu hohen Anforderungen zu stellen.
Zutreffend ist, dass das Bundesgericht für die Beurteilung der Rechtsfrage von grundsätzlicher Bedeutung berücksichtigt, ob die Wahrscheinlichkeit, dass die Frage dem Bundesgericht je unterbreitet werden kann, infolge der Streitwertgrenze äusserst gering ist (BGE <ref-ruling> E. 1.2 S. 117 f., 267 E. 1.2.3 S. 271; Urteil 5A_517/2015 vom 7. Dezember 2015 E. 1). Selbst wenn es zutreffen sollte, dass die Streitwertgrenze vor Bundesgericht in den vorliegenden Konstellationen kaum je erreicht wird, genügt dies allein nicht als Begründung für das Vorliegen einer Rechtsfrage von grundsätzlicher Bedeutung. Auch in den Fällen, in denen aufgrund der Streitwertgrenze die Wahrscheinlichkeit äussert gering ist, dass die Rechtsfrage dem Bundesgericht je unterbreitet werden kann, ist darzulegen, dass sich eine Rechtsfrage von grundsätzlicher Bedeutung stellt. Dass die Rechtsfrage von grundsätzlicher Bedeutung ist, vermag die Beschwerdeführerin - wie oben erwogen - nicht darzulegen. Auch diese Argumentation der Beschwerdeführerin geht damit fehl.
1.8. Die Beschwerdeführerin vermag nach dem Gesagten nicht darzulegen, dass sich vorliegend eine Rechtsfrage von grundsätzlicher Bedeutung stellen würde. Da der notwendige Streitwert nicht erreicht wird und sich auch keine Rechtsfrage von grundsätzlicher Bedeutung stellt, steht die Beschwerde in Zivilsachen nicht offen.
2.
Demnach ist die Beschwerde als subsidiäre Verfassungsbeschwerde zu behandeln (<ref-law>). Mit der subsidiären Verfassungsbeschwerde kann die Verletzung von verfassungsmässigen Rechten gerügt werden (<ref-law>). Die Beschwerdeführerin rügt in ihrer Beschwerdeschrift keine Verletzung ihrer verfassungsmässigen Rechte, zumindest nicht hinreichend, sodass auch auf die Beschwerde als subsidiäre Verfassungsbeschwerde nicht einzutreten ist.
3.
Bei diesem Ausgang des Verfahrens wird die Beschwerdeführerin kosten- und entschädigungspflichtig (Art. 66 Abs. 1 und Art. 68 Abs. 1 BGG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 2'000.-- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
3.
Die Beschwerdeführerin hat den Beschwerdegegner für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 2'500.-- zu entschädigen.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Aargau, Zivilgericht, 4. Kammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 19. April 2016
Im Namen der I. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Kiss
Der Gerichtsschreiber: Brugger