Sachverhalt:
A.
C.B._, geboren am 8. April 2010, und D.B._, geboren am 3. März 2012, sind die Kinder von B.B._. Zur Zeit der Geburt der beiden Kinder war B.B._ mit E.B._ verheiratet. Mit rechtskräftigem Urteil vom 17. Mai 2013 beseitigte das Bezirksgericht Zürich die Vaterschaft des Ehemannes.
B.
B.a. Am 6. August 2013 klagte B.B._ (Gesuchsgegnerin 1) für sich und als gesetzliche Vertreterin ihrer beiden Kinder beim Bezirksgericht Meilen gegen A._ auf Feststellung seiner Vaterschaft bezüglich der beiden Kinder und auf Festsetzung des Kindesunterhalts. Das Bezirksgericht beschränkte das Verfahren auf die Feststellung der Kindesverhältnisse und stellte mit Teilurteil vom 3. Juni 2014 fest, dass A._ der Vater von C.B._ und D.B._ (Gesuchsgegnerinnen 2 und 3) ist.
B.b. Auf Berufung von A._ hin bestätigte das Obergericht des Kantons Zürich mit Urteil vom 5. September 2014 das bezirksgerichtliche Urteil.
B.c. Eine hiergegen erhobene Beschwerde wies das Bundesgericht mit Urteil vom 6. Mai 2015 ab, soweit es darauf eintrat (Urteil 5A_794/2014).
C.
Am 6. April 2016 ersuchte A._ um Revision des Urteils des Bundesgerichts vom 6. Mai 2015 und beantragte im Wesentlichen, dieses sei aufzuheben, die Vaterschaftsklage sei abzuweisen und es sei festzustellen, dass er nicht der rechtliche Vater der beiden Kinder sei. Mit Urteil vom 23. Mai 2016 wies das Bundesgericht das Revisionsgesuch ab, soweit es darauf eintrat (Urteil 5F_6/2016).
D.
Mit Eingabe vom 26. Juli 2016 gelangt A._ (Gesuchsteller) an das Bundesgericht und stellt in der Sache folgende Begehren:
"1. Das Urteil des Bundesgerichts 5F_6/2016 vom 23. Mai 2016 sei in Wiedererwägung zu ziehen und in Gutheissung der Wiedererwägung sei das Urteil des Bundesgerichts 5A_794/2014 vom 6. Mai 2015 aufzuheben, die Vaterschaftsklage vom 6. August 2013 abzuweisen und festzustellen, dass der Revisionsführer nicht der rechtliche Vater der Kinder C.B._, geb. 8. April 2010, und D.B._, geb. 3. März 2012, ist.
2. Eventualiter sei das Urteil des Bundesgerichts 5F_6/2016 vom 23. Mai 2016 in Wiedererwägung zu ziehen und es sei in Gutheissung der Wiedererwägung das Urteil des Bundesgerichts 5A_794/2014 vom 6. Mai 2015 aufzuheben, die Vaterschaftsklage vom 6. August 2013 abzuweisen und festzustellen, dass der Gesuchsteller nicht der rechtliche Vater der Kinder C.B._, geb. 8. April 2010, und D.B._, geb. 3. März 2012, ist, nachdem der Sachverhalt durch das Bundesgericht (ev. die Vorinstanz[en]) ergänzt und die Nichtigkeit des Anfechtungsurteils im Prozess FP130034 des BG Zürich vom 17. Mai 2013 festgestellt wurde."
Das Bundesgericht hat keine Vernehmlassungen eingeholt.

Erwägungen:
1.
1.1. Der Gesuchsteller ersucht um Wiedererwägung des Urteils 5F_6/2016 vom 23. Mai 2016 sowie daran anschliessend um Revision des Urteils 5A_794/2014 vom 6. Mai 2015. Entscheide des Bundesgerichts erwachsen am Tag ihrer Ausfällung in (formelle und materielle) Rechtskraft (<ref-law>). Dies gilt sowohl für Beschwerde-, als auch auch für Revisionsentscheide (Urteil 9F_13/2010 vom 12. November 2010 E. 1.1; JEAN-MAURICE FRÉSARD, in: Bernard Corboz et al. [Hrsg.], Commentaire de la LTF [Loi sur le Tribunal fédéral], 2. Aufl. 2014, N. 3 zu <ref-law>). Die endgültig beurteilte Streitsache kann damit grundsätzlich nicht mehr zum Gegenstand eines neuen Verfahrens gemacht werden (<ref-ruling> E. 2 S. 212; <ref-ruling> E. 3.1 S. 128 f.; <ref-ruling> E. 2.1 S. 582). Auf rechtskräftige Entscheide kann das Bundesgericht einzig auf dem Weg der Revision zurückkommen (<ref-law>; Urteil 2F_17/2016 vom 5. September 2016 E. 2.1; 1F_6/2016 vom 28. April 2016 E. 2.2). Die um Revision ersuchende Person muss in ihrem Begehren begründen, d.h. in gedrängter Form darlegen, weshalb ein bestimmter Entscheid zu revidieren ist (<ref-law>; Urteil 9F_5/2016 vom 23. September 2016 E. 1; 2F_15/2016 vom 7. September 2016 E. 6).
1.2. Das Gesuch des Beschwerdeführers betrifft einen Beschwerde- sowie einen Revisionsentscheid des Bundesgerichts. Diese können nach dem Ausgeführten einzig in Revision, nicht jedoch in Wiedererwägung gezogen werden (vgl. Urteil 2F_19/2016 vom 29. September 2016 E. 2; ELISABETH ESCHER, Revision, Erläuterung und Berichtigung, in: Geiser et al. [Hrsg.], Prozessieren vor Bundesgericht, 4. Aufl. 2014, Rz. 8.4 S. 388; HEIMGARTNER/WIPRÄCHTIGER, in: Basler Kommentar, Bundesgerichtsgesetz, 2. Aufl. 2011, N. 9 zu <ref-law>). Letzteres ist bereits deshalb nicht notwendig, weil das BGG eine hinreichende Revisionsmöglichkeit vorsieht (vgl. <ref-ruling> E. 5b S. 441; <ref-ruling> E. 3a S. 371 f.; vgl. auch <ref-ruling> E. 6 S. 138). Soweit der Gesuchsteller gestützt auf <ref-law> ein Gesuch um Wiedererwägung stellt, kann darauf folglich nicht eingetreten werden.
1.3. Soweit der Gesuchsteller die Revision der ihn betreffenden Entscheide des Bundesgerichts beantragt, ist auf das Gesuch einzutreten: Der Gesuchsteller war an beiden Verfahren, welche zu den betroffenen Urteilen geführt haben, als Partei beteiligt. Mit den fraglichen Urteilen hat das Bundesgericht über seine Vaterschaft bezüglich der Gesuchsgegnerinnen 2 und 3 bzw. die Revision dieses Erkenntnisses entschieden. Der Gesuchsteller hat damit ein schutzwürdiges Interesse an der Revision der fraglichen Urteile und ist zum Revisionsgesuchs berechtigt (vgl. <ref-ruling> E. 1a S. 320; Urteile 4A_688/2012 und 4A_126/2013 vom 9. Oktober 2013 E. 3; ESCHER, a.a.O., Rz. 8.7 S. 389). Er ist sodann von einem Entscheid des Obergerichts Zürich vom 23. Juni 2016 zu seinem Gesuch veranlasst worden (Gesuch, Ziff. II.1 S. 9), womit er dieses auch fristgerecht eingereicht hat (Art. 124 Abs. 1 Bst. d BGG; vgl. auch hinten E. 2.3).
2.
2.1. Die Revision ist ein ausserordentliches Rechtsmittel, welches es nur ausnahmsweise erlaubt, die Rechtskraft eines früheren Entscheids zu durchbrechen. Solches rechtfertigt sich nur, um Mängel zu beheben, die derart schwer wiegen, dass sie hinzunehmen in einem Rechtsstaat unerträglich wäre. Die Revision eröffnet der betroffenen Person dagegen nicht die Möglichkeit, einen Entscheid, den sie für unrichtig hält, neu beurteilen zu lassen (Urteil 1F_17/2016 vom 20. Juli 2016 E. 2; 8F_6/2016 vom 7. April 2016 E. 2.1; 6F_32/2015 vom 16. Februar 2016 E. 1). Der Gesuchsteller legt ausführlich dar, weshalb die bisher in seiner Sache ergangenen Urteile des Bundesgerichts rechtsfehlerhaft seien und weshalb das Urteil des Bezirksgerichts Zürich vom 17. Mai 2013 entgegen den Erwägungen des Bundesgerichts nichtig sei (Gesuch, Ziff. II.2 S. 9 f. und Ziff. III S. 10 ff.; anschaulich etwa Ziff. III S. 11 Rz. 39 ff.). Nach dem Gesagten ist hierauf nicht weiter einzugehen.
2.2. Der Gesuchsteller verweist weiter auf ein Urteil des Obergerichts des Kantons Zürich vom 23. Juni 2016. Das Obergericht habe ein auf Wiederherstellung der Vaterschaft von E.B._ gerichtetes Begehren des Gesuchstellers unter Hinweis auf die formelle Vaterschaft des Letzteren abgewiesen. Das Bundesgericht seinerseits habe in seinen Urteilen betreffend die Vaterschaft des Gesuchstellers jeweils auf die Rechtskraft des Anfechtungsurteils betreffend Vaterschaft des Ehemanns verwiesen. Die Gerichte und Behörden verwiesen "reflexiv" auf die Rechtskraft der im anderen Verfahren ergangenen Urteile und verwehrten es dem Gesuchsteller auf diese Weise, die Feststellung seiner Vaterschaft revidieren zu lassen. Notwendig sei daher eine gleichzeitige Behandlung sämtlicher Begehren durch das Bundesgericht, weshalb die hier beantragte Revision notwendig sei. Mithin habe sich aufgrund der Erwägungen des Obergerichts "der Sachverhalt in einer Art geändert [...], dass ein anderes Ergebnis der beiden Prozesse ernstlich in Betracht [falle]" (Gesuch, Ziff. II.1 S. 6 ff.).
2.3. Damit spricht der Gesuchsteller sinngemäss den Revisionsgrund von Art. 123 Abs. 2 Bst. a BGG an. Demnach kann in Zivilsachen die Revision verlangt werden, wenn die ersuchende Partei nachträglich erhebliche Tatsachen erfährt oder entscheidende Beweismittel auffindet, die sie im früheren Verfahren nicht beibringen konnte, unter Ausschluss der Tatsachen und Beweismittel, die erst nach dem Entscheid entstanden sind. Auch nach der Darstellung des Beschwerdeführers ist das Urteil des Obergerichts erst nach Ausfällung der Entscheide des Bundesgerichts vom 6. Mai 2015 bzw. vom 23. Mai 2016 ergangen. Bereits aus diesem Grund ist die beantragte Revision ausgeschlossen (vgl. Urteil 1C_231/2014 vom 14. Oktober 2014 E. 4.1; 5F_1/2008 vom 16. Mai 2008 E. 4.2; zur Parallelbestimmung von Art. 328 Abs. 1 Bst. a ZPO vgl. <ref-ruling> E. 2.2.6 S. 419). Ohnehin ist nicht ersichtlich, inwieweit im Umstand, dass ein neues, den Gesuchsteller betreffendes Urteil des Obergerichts vorliegt, eine erhebliche Tatsache nach Art. 123 Abs. 2 Bst. a BGG liegen sollte. Soweit der Gesuchsteller dieses Urteil sodann als unrichtig kritisiert ist darauf im vorliegenden Verfahren nicht weiter einzugehen.
2.4. Dass ein anderer der in <ref-law> genannten Revisionsgründe vorliegen würde, ist sodann auch nicht sinngemäss geltend gemacht.
3.
Nach dem Ausgeführten ist auf das Wiedererwägungsgesuch nicht einzutreten und das Revisionsgesuch abzuweisen. Der Beizug von Akten weiterer den Gesuchsteller betreffender Verfahren erübrigt sich. Der Gesuchsteller wird bei diesem Ausgang des Verfahrens kosten-, nicht hingegen entschädigungspflichtig, da in der Sache keine Vernehmlassungen eingeholt wurden (Art. 66 Abs. 1 und Art. 68 Abs. 1 BGG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
1.1. Auf das Wiedererwägungsgesuch wird nicht eingetreten.
1.2. Das Revisionsgesuch wird abgewiesen.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 2'000.-- werden dem Gesuchsteller auferlegt.
3.
Es werden keine Parteientschädigungen gesprochen.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien, dem Obergericht des Kantons Zürich, I. Zivilkammer, und dem Bezirksgericht Meilen schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 15. Dezember 2016
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: von Werdt
Der Gerichtsschreiber: Sieber