Sachverhalt:
A.
A._ wurde am 30. September 2014 vom Regionalgericht Emmental-Oberaargau wegen gewerbsmässigen Betrugs und weiterer Delikte zu einer Freiheitsstrafe von 3 Jahren verurteilt. Dagegen legte er Berufung ein.
A._ wird von Rechtsanwalt Dr. B._ amtlich verteidigt. Am 21. Oktober 2015 leitete Letzterer der Verfahrensleitung des Obergerichts Bern ein Gesuch des Beschuldigten auf Wechsel der amtlichen Verteidigung weiter. Darin bringt der Beschuldigte vor, er habe kein Vertrauen zu seinem derzeitigen amtlichen Verteidiger, da er nach dessen Auffassung Dinge zugeben solle, die er nicht getan habe.
Mit Verfügung vom 17. November 2015 wies die Verfahrensleiterin des Obergerichts Bern das Gesuch ab. Sie bestätigte das amtliche Mandat von Rechtsanwalt Dr. B._ und gab A._ bis zum 23. November 2015 Gelegenheit mitzuteilen, ob er einen Wahlverteidiger beauftragt habe.
B.
Mit Beschwerde in Strafsachen ans Bundesgericht vom 7. Dezember 2015 beantragt A._, die Verfügung des Obergerichts sei aufzuheben und es sei Rechtsanwalt Remo Gilomen als amtlicher Verteidiger einzusetzen.
Die Staatsanwaltschaft und das Obergericht haben auf eine Vernehmlassung verzichtet. Der amtliche Verteidiger beantragt die Gutheissung der Beschwerde.

Erwägungen:
1.
1.1. Bei der angefochtenen Verfügung handelt es sich um einen kantonal letztinstanzlichen Zwischenentscheid in Strafsachen (Art. 78, 80 und 93 BGG).
1.2. Gemäss <ref-law> ist die Beschwerde gegen einen Zwischenentscheid unter anderem dann zulässig, wenn dieser einen nicht wieder gutzumachenden Nachteil bewirken kann. Dies trifft im Fall der Ablehnung eines Gesuchs um Wechsel des amtlichen Verteidigers insbesondere dann zu, wenn der amtliche Verteidiger seine Pflichten erheblich vernachlässigt oder zwischen ihm und der beschuldigten Person keine Vertrauensbasis mehr besteht (<ref-ruling> E. 1.1 f. S. 115 f.; Urteil 1B_297/2015 vom 26. Oktober 2015 E. 1.2; je mit Hinweisen). Der Beschwerdeführer hat detailliert dargelegt, weshalb nach seiner Auffassung derartige Gründe hier vorliegen. Damit ist die Sachurteilsvoraussetzung von <ref-law> erfüllt. Auf die Beschwerde ist grundsätzlich einzutreten.
2.
2.1. Der Beschwerdeführer macht geltend, der angefochtene Entscheid verletze <ref-law> sowie Art. 29 Abs. 3 und Art. 32 Abs. 2 BV, weil die Vorinstanz zu Unrecht davon ausgegangen sei, dass kein Grund für einen Wechsel der amtlichen Verteidigung vorliege.
2.2. Nach der Praxis des Bundesgerichts zu Art. 29 Abs. 3 und Art. 32 Abs. 2 BV hat der amtlich verteidigte Beschuldigte einen grundrechtlichen Anspruch auf sachkundige, engagierte und effektive Wahrnehmung seiner Parteiinteressen (<ref-ruling> E. 2.4 S. 164 mit Hinweis). Ein Begehren um Auswechslung des amtlichen Verteidigers ist zu bewilligen, wenn aus objektiven Gründen eine sachgemässe Vertretung der Interessen des Beschuldigten durch den bisherigen Rechtsanwalt nicht mehr gewährleistet ist (<ref-ruling> E. 4b/aa S. 105 mit Hinweisen).
Über diesen grundrechtlichen Anspruch hinausgehend sieht seit Inkrafttreten der Schweizerischen Strafprozessordnung deren Art. 134 Abs. 2 vor, dass die Verfahrensleitung die amtliche Verteidigung einer anderen Person überträgt, wenn das Vertrauensverhältnis zwischen der beschuldigten Person und ihrer amtlichen Verteidigung erheblich gestört oder eine wirksame Verteidigung aus andern Gründen nicht mehr gewährleistet ist. Die gesetzliche Regelung trägt dem Umstand Rechnung, dass eine engagierte und effiziente Verteidigung nicht nur bei objektiver Pflichtverletzung der Verteidigung, sondern bereits bei erheblich gestörtem Vertrauensverhältnis beeinträchtigt sein kann. Dahinter steht die Idee, dass eine amtliche Verteidigung in jenen Fällen auszuwechseln ist, in denen auch eine privat verteidigte beschuldigte Person einen Wechsel der Verteidigung vornehmen würde (<ref-ruling> E. 2.4 S. 165 mit Hinweis auf die Botschaft).
Wird die subjektive Sichtweise des Beschuldigten in den Vordergrund gestellt, bedeutet dies aber nicht, dass allein dessen Empfinden bzw. dessen Wunsch für einen Wechsel der Verteidigung ausreicht. Vielmehr muss die Störung des Vertrauensverhältnisses mit konkreten Hinweisen belegt und objektiviert werden (<ref-ruling> E. 2.4 S. 165 mit Hinweisen).
Bei der Behandlung eines Gesuchs um Wechsel der amtlichen Verteidigung berücksichtigt die Verfahrensleitung, dass der amtliche Verteidiger nicht bloss das unkritische Sprachrohr seines Mandanten ist. Für einen Verteidigerwechsel genügt deshalb nicht, wenn die Verteidigung eine problematische, aber von der beschuldigten Person gewünschte Verteidigungsstrategie nicht übernimmt, oder wenn sie nicht bedingungslos glaubt, was die beschuldigte Person zum Delikt sagt, und das nicht ungefiltert gegenüber den Behörden vertritt. Gleiches gilt betreffend die Weigerung, aussichtslose Prozesshandlungen vorzunehmen (zum Ganzen: <ref-ruling> E. 2.4 S. 166 mit Hinweisen). Im Zweifelsfall liegt es im pflichtgemässen Ermessen des Verteidigers zu entscheiden, welche Beweisanträge und juristischen Argumentationen er als sachgerecht und geboten erachtet (Urteil 1B_211/2014 vom 23. Juli 2014 E. 2.1, in: Pra 2014 Nr. 104 S. 838). Sein Vorgehen muss allerdings in den Schranken von Gesetz und Standesregeln auf die Interessen der beschuldigten Person ausgerichtet (<ref-law>) und in diesem Sinn sachlich begründet sein (Urteil 1B_297/2015 vom 26. Oktober 2015 E. 2.3 mit Hinweisen).
2.3. Die Vorinstanz legt dar, der amtliche Verteidiger habe in seinem Gesuch angedeutet, dass Differenzen zwischen ihm und seinem Klienten bestünden. Er habe diese Differenzen aufgrund des Anwaltsgeheimnisses aber nicht näher beschrieben. Der Beschwerdeführer habe seinerseits geltend gemacht, dass ihm sein Anwalt zu einem Geständnis geraten habe. Dies reiche jedoch nicht aus, um das Vertrauensverhältnis erheblich zu stören. Der amtliche Verteidiger habe den Beschuldigten über die möglichen Verteidigungsstrategien zu informieren und ihm die Prozessaussichten bzw. mögliche Szenarien aufzuzeigen. Es müsse dem amtlichen Verteidiger auch möglich sein, seinen Klienten über die Folgen eines Geständnisses bzw. dessen Auswirkung auf die Strafzumessung zu orientieren und ihn nach bestem Wissen und Gewissen offen zu beraten. Der amtliche Verteidiger habe gegenüber den Behörden zu keinem Zeitpunkt angetönt, dass er die von seinem Mandanten gewünschte Verteidigung nicht mittragen könne oder seinen Klienten für schuldig halte. Das Vertrauensverhältnis habe deshalb als intakt zu gelten. Weitere Gründe für eine Störung des Vertrauensverhältnisses seien nicht ersichtlich und würden auch nicht geltend gemacht.
2.4. Der Beschwerdeführer bringt vor, er sei in einer vollkommen unhaltbaren Situation. Einerseits müsse er darlegen, weshalb das Vertrauensverhältnis gestört sei, gleichzeitig wolle er sich natürlich bedeckt halten. Sein amtlicher Verteidiger habe von ihm verlangt, dass er von ihm bestrittene Vorfälle zugebe, so dass sich dies auf das Strafmass auswirken könne. Er habe ihn vor vollendete Tatsachen gestellt und keine Anstalten gemacht, von dieser Haltung abzuweichen. Er selbst habe dies so verstanden, dass er an der zweitinstanzlichen Verhandlung nicht so vertreten werden würde, wie er das wünsche. Der Verteidiger werde also Schuldsprüche verlangen und auf dieser Basis versuchen, das Strafmass zu reduzieren, obschon er selbst die Vorwürfe bestreite. Da der Verteidiger einräume, dass Differenzen bestünden, sei erwiesen, dass er seinem Klienten nicht glaube.
Zudem bestünden auch Zweifel an der Effektivität und Qualität der bisherigen Verteidigung. Es sei fraglich, weshalb der amtliche Verteidiger die Erstellung eines psychiatrischen Gutachtens verlangt habe. Der Verteidiger habe ihm zuvor die möglichen Konsequenzen der breiten Palette von möglichen Massnahmen (v.a. stationäre therapeutische Massnahmen) nicht erklärt und er sei deswegen heute verunsichert. Es gelte als erstellt, dass sich die erste Instanz der Persönlichkeitsanalyse aus dem Gutachten bedient und so seine Aussagen als unglaubwürdig taxiert habe. Er habe seinen Verteidiger zudem nicht instruiert, der Staatsanwaltschaft mitzuteilen, ohne psychische Störung seien die wiederholten Betrugstaten nicht erklärbar. Auch bleibe schleierhaft, warum der Inhalt des Strafverfahrens aus dem Kanton St. Gallen in die Begutachtung habe einfliessen sollen. Schliesslich seien seine Chancen auf einen Freispruch von den Betrugsvorwürfen in zweiter Instanz intakt, weshalb es fraglich sei, dass ihn sein Verteidiger zu einem Geständnis gedrängt habe.
2.5. Sollte der amtliche Verteidiger dem Beschwerdeführer zu einem Geständnis geraten haben, so wäre dies vor dem Hintergrund der zitierten Rechtsprechung nicht zu beanstanden. Die Vorinstanz hat zu Recht festgehalten, dass es für eine objektive Beeinträchtigung des Vertrauensverhältnisses nicht ausreicht, wenn der amtliche Verteidiger dem Beschuldigten intern mögliche Szenarien darlegt und in diesem Rahmen auch ein Geständnis zur Diskussion stellt (vgl. <ref-ruling> E. 2.5.4 S. 167 f. mit Hinweisen). Dass der Verteidiger von ihm ein Geständnis regelrecht verlangt habe, sich unnachgiebig gezeigt habe und dass zu erwarten sei, er werde im zweitinstanzlichen Verfahren Schuldsprüche verlangen, macht der Beschwerdeführer erstmals im Verfahren vor Bundesgericht geltend. Diese tatsächlichen Behauptungen sind neu und damit unzulässig (<ref-law>) und erschienen im Übrigen auch nicht geeignet, die Sachverhaltsfeststellungen der Vorinstanz als offensichtlich unrichtig erscheinen zu lassen (<ref-law>). Der amtliche Verteidiger weist in seiner Vernehmlassung den Vorwurf, er werde den Beschwerdeführer nicht so vertreten, wie dieser es wünsche, denn auch zurück.
Aus den weiteren Ausführungen des Beschwerdeführers geht nicht hervor, dass der amtliche Verteidiger seine Pflichten verletzt hätte. Wie erwähnt, liegt es im Zweifelsfall im pflichtgemässen Ermessen des Verteidigers zu entscheiden, welche Beweisanträge und juristischen Argumentationen er als sachgerecht und geboten erachtet. Dass ihm die bisherige Strategie seines Verteidigers regelrecht geschadet hätte, wie der Beschwerdeführer andeutet, vermag er mit seinen pauschal gehaltenen Vorbringen nicht darzutun (<ref-law>). Die Vorinstanz verletzte deshalb weder <ref-law> noch Art. 29 Abs. 3 oder Art. 32 Abs. 2 BV, indem sie das Gesuch des Beschwerdeführers um Wechsel der amtlichen Verteidigung ablehnte.
3.
Die Beschwerde ist abzuweisen, soweit darauf einzutreten ist.
Bei diesem Ausgang sind die Kosten des bundesgerichtlichen Verfahrens dem Beschwerdeführer aufzuerlegen (<ref-law>). Der Beschwerdeführer hat keinen Anspruch auf eine Parteientschädigung (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 2'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3.
Es wird keine Parteientschädigung zugesprochen.
4.
Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer, der Generalstaatsanwaltschaft des Kantons Bern, Rechtsanwalt B._ und dem Obergericht des Kantons Bern, Strafabteilung, 1. Strafkammer, Präsidentin i.V., schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 2. Februar 2016
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Fonjallaz
Der Gerichtsschreiber: Dold