Faits :
A.
A.a. A.X._, ressortissante portugaise née en, est la mère de B.X._, né en 1997.
L'intéressée est entrée en Suisse, pour la première fois, le 8 janvier 2003. Elle a été mise au bénéfice d'une autorisation de séjour de courte durée, permis L, au titre de travailleur européen. Après être repartie au Portugal le 15 janvier 2004, A.X._ est venue s'installer à Genève en date du 22 mai 2004. Le 15 juin 2004, l'intéressée a conclu un contrat de travail sur appel avec l'établissement D._. Elle a de ce fait été mise au bénéfice d'une autorisation de séjour de courte durée, permis L, au titre de travailleur européen, valable jusqu'au 13 juin 2005. Cette autorisation a été régulièrement renouvelée, chaque fois pour un an.
Le 26 avril 2006, A.X._ a donné naissance à Genève à C.X._.
A.b. Le 2 mars 2007, l'Office cantonal de la population et des migrations de la République et canton de Genève (ci-après: l'Office cantonal) a accusé réception du formulaire individuel "UE 2 " signé par E._ SA ainsi que par A.X._. La case "Chgt d'employeur" était cochée. Le type de livret sollicité était un livret de "Stabilisation (30 mois / L en B) ". L'intéressée bénéficiait d'un contrat de mission, de durée indéterminée conclu le 1er mars 2007, pour une activité de femme de chambre, à l'Hôtel F._. Son taux d'activité était estimé à quarante heures par semaine.
Le 24 juillet 2007, A.X._ a remis à l'Office cantonal une demande de renouvellement de son autorisation de séjour avec activité lucrative, celle-ci prenant fin le 11 juin 2007.
Le 9 janvier 2008, A.X._ a épousé Y._ à Lisbonne, au Portugal.
Le 18 février 2008, sur demande de l'Office cantonal, l'intéressée a produit des copies de contrats de missions chez E._ SA remontant à mars 2007 portant sur deux jours de travail par semaine en moyenne. Elle a également fourni des décomptes d'indemnités de chômage tenant compte de gains intermédiaires pour les mois de janvier 2006 à février 2008 et attestant de délais-cadres d'indemnisation portant sur des périodes du 13 janvier 2006 au 12 janvier 2008 et du 13 janvier 2008 au 12 janvier 2010.
Entre 2008 et 2009, A.X._ a exercé plusieurs activités différentes. Du 5 juin au 30 août 2008, l'intéressée a été engagée en qualité d'employée d'entretien par G._ SA à raison de dix heures par semaine. Les rapports de service ont pris fin le 15 août 2008. Le 17 octobre 2008, elle a été engagée à durée indéterminée par H._ SA en qualité d'auxiliaire de vente, à hauteur de trente-six heures par semaine sur le site de L._, dans le canton de Vaud, à partir du 1er octobre 2008. Elle a quitté cet emploi en mars 2009 en raison de la distance entre son domicile à Genève et son lieu de travail. Le 29 mai 2009, l'intéressée a été engagée à durée indéterminée comme "personnel d'entretien" par I._ SA à raison de quinze heures de travail par semaine. Les rapports de travail ont été résiliés le 19 juin 2009.
Le 23 mai 2011, A.X._ et Y._ ont été convoqués pour un examen de situation fixé le 9 juin 2011 dans les locaux de l'Office cantonal. Ils ne se sont pas présentés à l'entretien.
A.c. Le 15 novembre 2011, A.X._ a requis des autorisations de séjour pour elle et pour son fils cadet, C.X._. S'agissant de son fils aîné, B.X._, l'intéressée a informé l'autorité qu'une demande de regroupement familial avait été déposée en août 2008. A.X._ a relancé l'Office cantonal en date du 16 février 2012. Le 24 août 2012, précisant qu'il était prêt à régler les conditions de séjour de l'intéressée et de ses fils, l'Office cantonal a requis des nouvelles pièces (copie d'une pièce d'identité et deux photos format passeport pour chaque personne) ainsi que des renseignements sur la situation du couple qui s'était, entre temps, séparé.
A.d. Selon une attestation de l'Hospice général du 21 octobre 2014, A.X._ a bénéficié, depuis le 1er août 2008, d'un montant de 195'900 fr. à titre d'aide sociale. De plus, au 23 octobre 2014, l'intéressée faisait l'objet d'actes de défaut de bien pour un montant global d'environ 19'200 fr.
B.
Le 8 avril 2014, l'Office cantonal a refusé la demande de renouvellement d'autorisation de séjour de A.X._, ainsi que celle de son fils C.X._. Il a également refusé de délivrer une autorisation de séjour au titre de regroupement familial en faveur de son fils aîné B.X._. Un délai au 30 juin 2014 leur était imparti pour quitter la Suisse.
A la suite de cette décision, le Tribunal administratif de première instance de la République et canton de Genève (ci-après: le Tribunal administratif) a, par jugement du 16 avril 2014, déclaré le recours pour déni de justice que l'intéressée avait interjeté le 24 mars 2014 sans objet et a rayé la cause du rôle.
Agissant pour elle-même et pour ses fils, A.X._ a formé un recours contre la décision de l'Office cantonal du 8 avril 2014 auprès du Tribunal administratif. A l'appui de son recours, l'intéressée a produit une copie d'un contrat de travail de durée indéterminée, conclu le 1er juillet 2014 avec la société J._ SA, concernant une activité sur appel de femme de chambre à l'Hôtel F._. D'après les fiches de salaire également versées à la procédure, A.X._ a perçu un salaire de 808 fr. 30 pour le mois de juillet 2014 et de 1'330 fr. 50 pour le mois d'août 2014.
Par jugement du 26 août 2014, le Tribunal administratif a rejeté le recours de l'intéressée. Il a retenu en substance qu'en quittant de son plein gré son emploi de durée indéterminée auprès de H._ SA et en ne fournissant aucun justificatif pour la résiliation des trois autres postes occupés entre 2007 et 2009, A.X._ avait perdu son statut de travailleuse au sens de l'Accord du 1er juin 1999 entre la Confédération suisse, d'une part, et la Communauté européenne et ses Etats membres, d'autre part, sur la libre circulation des personnes (ALCP; RS 0142.112.68). L'intéressée ne pouvait pas non plus se prévaloir d'un droit de séjour en Suisse en qualité de personne à la recherche d'un emploi, le temps imparti par l'ALCP pour en trouver un étant déjà dépassé. Enfin, elle ne disposait à l'évidence pas des moyens financiers nécessaires pour prétendre à la prolongation de son autorisation de séjour.
C.
A.X._ a porté ce jugement devant la Chambre administrative de la Cour de justice de la République et canton de Genève (ci-après: la Cour de justice). Le 9 février 2015, alors que la cause était gardée à juger, l'intéressée a produit une copie d'un contrat de travail d'une durée indéterminée conclu le 29 août 2014 avec I._, d'où il ressort qu'elle avait été engagée le 28 août 2014 en qualité d'employée d'entretien à raison de dix heures par semaine. D'après le décompte de salaire produit par l'intéressée, celle-ci a touché 239 fr. 95 pour le mois d'août 2014.
Par arrêt du 23 juin 2015, la Cour de justice a admis le recours de l'intéressée. Elle a annulé le jugement entrepris ainsi que la décision de l'Office cantonal du 8 avril 2014 et renvoyé la cause à l'Office cantonal pour nouvelle décision dans le sens des considérants. Le raisonnement de la Cour cantonale procède d'une double motivation. Dans la première, l'instance précédente a considéré que l'Office cantonal avait violé le principe de la bonne foi en laissant penser qu'il était prêt à régler favorablement les conditions de séjour de l'intéressée et de ses enfants. Dans la seconde motivation, la Cour de justice a jugé que, contrairement à ce qu'avait retenu le Tribunal administratif, A.X._ pouvait se prévaloir du statut de travailleuse salariée au sens de l'ALCP.
D.
Agissant par la voie du recours en matière de droit public, le Secrétariat d'Etat aux migrations (ci-après: le Secrétariat d'Etat) demande au Tribunal fédéral, sous suite de frais, d'annuler l'arrêt du 23 juin 2015.
A.X._ a déposé des observations en date du 11 septembre 2015. L'Office cantonal renonce à prendre position et la Cour de justice se réfère aux considérants de l'arrêt attaqué.

Considérant en droit :
1.
1.1. Selon l'art. 83 let. c ch. 2 LTF, le recours en matière de droit public est irrecevable contre les décisions relatives à une autorisation de droit des étrangers à laquelle ni le droit fédéral, ni le droit international ne donnent droit. Le droit de séjour et d'accès à une activité économique est accordé aux ressortissants d'un État membre de la Communauté européenne conformément à l'ALCP, dont les dispositions sont directement applicables. En l'occurrence, l'intimée est de nationalité portugaise et a bénéficié d'un titre de séjour UE/AELE pour exercer une activité économique en Suisse; elle a ainsi potentiellement droit au renouvellement de son autorisation de séjour. Le recours échappe dès lors au motif d'irrecevabilité prévu à l'art. 83 let. c ch. 2 LTF (cf. <ref-ruling> consid. 1 p. 332; arrêt 2C_1061/2013 du 14 juillet 2015 consid. 1.2).
Le Secrétariat d'Etat a par ailleurs qualité pour recourir devant le Tribunal fédéral (<ref-law> et art. 14 al. 2 de l'ordonnance fédérale du 17 novembre 1999 sur l'organisation du Département fédéral de justice et police [Org DFJP; RS 172.213.1]). Au surplus, déposé en temps utile compte tenu des féries (art. 46 al. 1 let. b et 100 al. 1 LTF) et dans les formes prescrites (<ref-law>), le présent recours, dirigé contre une décision finale (<ref-law>) rendue dans une cause de droit public (<ref-law>) par un tribunal cantonal supérieur (art. 86 al. 1 let. d et al. 2 LTF), est en principe recevable.
1.2. Le recourant conclut uniquement à l'annulation de l'arrêt attaqué. Des conclusions purement cassatoires ne sont en principe pas suffisantes (<ref-law>). Dès lors que l'on comprend sans peine, à la lecture du mémoire de recours, qu'en demandant l'annulation de l'arrêt attaqué, le recourant conclut implicitement au rétablissement de la décision du 8 avril 2014 de l'Office cantonal et, partant, au non renouvellement de l'autorisation de séjour UE/AELE de l'intimée, il convient de ne pas se montrer trop formaliste et d'entrer en matière sur le recours (cf. <ref-ruling> consid. 1.3 p. 317; 133 Il 409 consid. 1.4 p. 414 s.).
1.3. En présence, comme en l'espèce, d'un arrêt qui repose sur une double motivation dont chacun des pans suffit à sceller le sort de la cause (interdiction de la bonne foi et violation des dispositions de l'ALCP), la jurisprudence exige, sous peine d'irrecevabilité, que le recourant s'en prenne à tous les motifs (<ref-ruling> consid. 3.4 p. 735). Le recours répondant à ces exigences, il convient d'entrer en matière.
2.
La demande de renouvellement du titre de séjour de l'intimée a été déposée le 2 mars 2007 soit avant l'entrée en vigueur, le 1er janvier 2008, de la loi fédérale sur les étrangers du 16 décembre 2005 (LEtr; RS 142.20). Le cas d'espèce demeure dès lors régi, pour ce qui est du droit interne, par l'ancien droit (cf. art. 126 al. 1 LEtr), à savoir les dispositions de la loi fédérale du 26 mars 1931 sur le séjour et l'établissement des étrangers (aLSEE; RO 2007 5437).
3.
Le Tribunal fédéral statue sur la base des faits établis par l'autorité précédente (cf. <ref-law>). Le recours ne peut critiquer les constatations de fait que si les faits ont été établis de façon manifestement inexacte ou en violation du droit au sens de l'<ref-law>, et si la correction du vice est susceptible d'influer sur le sort de la cause (<ref-law>), ce que la partie recourante doit démontrer d'une manière circonstanciée, conformément aux exigences de motivation des art. 42 al. 2 et 106 al. 2 LTF (cf. <ref-ruling> consid. 3 p. 104 s.). La notion de "manifestement inexacte" correspond à celle d'arbitraire au sens de l'art. 9 Cst. (<ref-ruling> consid. 7.1 p. 51). Enfin, aucun fait nouveau ni preuve nouvelle ne peut en principe être présenté devant le Tribunal de céans (<ref-law>).
En l'espèce, en tant que le recourant fait valoir que les rapports de travail entre la société I._ et l'intimée ont pris fin le 31 mars 2015, il avance un élément de fait nouveau qui ne ressort pas de l'arrêt attaqué, sans exposer en quoi les conditions qui viennent d'être rappelées seraient réunies. Il en va de même des allégations de l'intimée au sujet du nouvel emploi qu'elle occuperait auprès de K._ à partir du 1er juin 2015. Par ailleurs, en tant qu'elles sont postérieures à l'arrêt attaqué, les fiches de salaire produites par l'intimée à l'appui de sa réponse, sont également irrecevables. Dans la suite du raisonnement, le Tribunal fédéral se fondera donc exclusivement sur les faits établis par la Cour de justice.
4.
Le recourant reproche en premier lieu à l'instance précédente d'avoir considéré que la décision de l'Office cantonal du 8 avril 2014 était contraire à la bonne foi.
4.1. Découlant directement de l'art. 9 Cst. et valant pour l'ensemble de l'activité étatique, le principe de la bonne foi protège le citoyen dans la confiance légitime qu'il met dans les assurances reçues des autorités, lorsqu'il a réglé sa conduite d'après des décisions, des déclarations ou un comportement déterminé de l'administration (cf. <ref-ruling> consid. 3.6.3 p. 193; arrêt 2C_888/2014 du 7 juin 2015 consid. 7.2). Selon la jurisprudence, un renseignement ou une décision erronés de l'administration peuvent obliger celle-ci à consentir à un administré un avantage contraire à la réglementation en vigueur, à condition que (1) l'autorité soit intervenue dans une situation concrète à l'égard de personnes déterminées, (2) qu'elle ait agi ou soit censée avoir agi dans les limites de ses compétences et (3) que l'administré n'ait pas pu se rendre compte immédiatement de l'inexactitude du renseignement obtenu. Il faut encore (4) qu'il se soit fondé sur les assurances ou le comportement dont il se prévaut pour prendre des dispositions auxquelles il ne saurait renoncer sans subir de préjudice et (5) que la réglementation n'ait pas changé depuis le moment où l'assurance a été donnée (<ref-ruling> consid. 2.5.1 p. 72; <ref-ruling> consid. 6.1 p. 637).
4.2. Dans le cas particulier, la Cour de justice a considéré que le courrier du 24 août 2012, par lequel l'Office cantonal a réclamé des copies de pièces d'identité ainsi que des photos format passeport, laissait penser que l'autorité cantonale était prête à régler favorablement les conditions de séjour de l'intéressée et de ses enfants. L'instance précédente en a déduit que la décision du 24 août 2014, par laquelle l'Office cantonal a refusé de renouveler le titre de séjour de l'intéressée, respectivement d'octroyer un titre de séjour à ses enfants, était contraire à la bonne foi.
En l'occurrence, contrairement à ce que retient l'arrêt attaqué, au vu de la situation professionnelle de l'intéressée, celle-ci ne pouvait pas ignorer que ses chances d'obtenir un titre de séjour étaient pour le moins réduites. En effet, au moment où l'intimée a reçu le courrier de l'Office cantonal, cela faisait plus de trois ans qu'elle était sans emploi. Elle n'avait du reste plus droit aux prestations de l'assurance-chômage et subvenait à ses besoins uniquement grâce à l'aide sociale. En outre, on ne voit pas quelles dispositions l'intimée aurait pu prendre à la suite de ce courrier auxquelles elle ne saurait renoncer sans dommage. La critique du recourant doit partant être admise.
5.
Le recourant reproche ensuite à la Cour de justice d'avoir considéré que l'intimée pouvait se prévaloir du statut de travailleuse salariée au sens de l'ALCP. Il faut se pencher sur cette question avant d'examiner si le comportement de l'intimée relève de l'abus de droit, comme le soutient le recourant, puisque si l'on devait constater que l'intimée ne peut pas être qualifiée de travailleuse, elle n'aurait plus de droit au séjour en Suisse (compte tenu de sa situation financière défavorable, cf. infra consid. 6.3) et, partant, la question de l'abus de droit ne se poserait pas.
5.1. Aux termes de son art. 1 let. a, la LSEE n'est applicable aux ressortissants des Etats membres de la Communauté européenne et aux membres de leur famille que si l'ALCP, entré en vigueur le 1er juin 2002, n'en dispose pas autrement ou si ladite loi prévoit des dispositions plus favorables, ce qui n'est en l'occurrence pas le cas (cf. <ref-law> et 6 par. 1 annexe I ALCP).
5.2. Depuis l'entrée en vigueur, le 1er juin 2002, de l'ALCP, l'intimée peut en principe, du seul fait de sa nationalité portugaise, déduire un droit à une autorisation de séjour en Suisse, notamment pour y séjourner et accéder à la vie économique sous réserve des dispositions de l'<ref-law> et conformément aux dispositions de l'annexe I ALCP (art. 1 let. a et 4 ALCP).
L'<ref-law> prévoit que le travailleur salarié ressortissant d'une partie contractante (ci-après: le travailleur salarié) qui occupe un emploi d'une durée égale ou supérieure à un an au service d'un employeur de l'Etat d'accueil reçoit un titre de séjour d'une durée de cinq ans au moins à dater de sa délivrance. Celui-ci est automatiquement prolongé pour une durée de cinq ans au moins. Lors du premier renouvellement, sa durée de validité peut être limitée, sans pouvoir être inférieure à un an, lorsque son détenteur se trouve dans une situation de chômage involontaire depuis plus de douze mois consécutifs; selon l'<ref-law>, le titre de séjour en cours de validité ne peut être retiré au travailleur salarié du seul fait qu'il n'occupe plus d'emploi, soit que l'intéressé ait été frappé d'une incapacité temporaire de travail résultant d'une maladie ou d'un accident, soit qu'il se trouve en situation de chômage involontaire dûment constatée par le bureau de main-d'oeuvre compétent.
5.3. Aux termes de l'<ref-law>, dans la mesure où l'application de l'Accord implique des notions de droit communautaire, il sera tenu compte de la jurisprudence pertinente de la Cour de justice des Communautés européennes (actuellement: Cour de justice de l'Union européenne; ci-après: la Cour de justice UE) antérieure à la date de sa signature. La jurisprudence postérieure à la date de la signature de l'Accord est cependant prise en compte par le Tribunal fédéral pour assurer le parallélisme du système qui existait au moment de la signature de l'Accord et tenir compte de l'évolution de la jurisprudence de l'Union européenne (<ref-ruling> consid. 3.4 p. 12 et les références citées, 65 consid. 3.1 p. 70; arrêt 2C_1162/2014 du 8 décembre 2015 consid. 3.4).
L'acception de "travailleur" constitue une telle notion autonome du droit de l'UE, qui ne dépend donc pas de considérations nationales (arrêt 2C_1061/2013 du 14 juillet 2015 consid. 4.1 et les références citées; <ref-ruling> consid. 3.2 p. 117; <ref-ruling> consid. 3.1 p. 344). Il sied donc de vérifier l'interprétation qui en est donnée en droit communautaire.
5.3.1. La Cour de Justice UE estime que la notion de travailleur, qui délimite le champ d'application du principe de la libre circulation des travailleurs, doit être interprétée de façon extensive, tandis que les exceptions et dérogations à cette liberté fondamentale doivent, au contraire, faire l'objet d'une interprétation stricte. Doit ainsi être considérée comme un "travailleur" la personne qui accomplit, pendant un certain temps, en faveur d'une autre personne et sous la direction de celle-ci, des prestations en contrepartie desquelles elle touche une rémunération (existence d'une prestation de travail, d'un lien de subordination et d'une rémunération). Cela suppose l'exercice d'activités réelles et effectives, à l'exclusion d'activités tellement réduites qu'elles se présentent comme purement marginales et accessoires (cf. arrêt de la Cour de justice UE 53/81 D. M. Levin c. Secrétaire d'État à la Justice, du 23 mars 1982, par. 17; <ref-ruling> consid. 2.2.4 p. 6 et consid. 3.3.2 p. 9; arrêts 2C_1061/2013 du 14 juillet 2015 consid. 4.2.1; 2C_412/2014 du 27 mai 2014 consid. 3.3). Ne constituent pas non plus des activités réelles et effectives celles qui ne relèvent pas du marché normal de l'emploi, mais sont destinées à permettre la rééducation ou la réinsertion de personnes diminuées sur le plan physique ou psychique (cf. arrêt de la Cour de justice UE 344/87 Bettray du 31 mai 1989, par. 17). En revanche, aucun motif de principe ne s'oppose à ce que des activités rémunérées proposées aux bénéficiaires de l'aide sociale dans un but de réinsertion sur le marché général de l'emploi soient qualifiées de réelles et effectives (cf. arrêt de la Cour de justice UE C-456/02 Michel Trojani c. Centre public d'aide sociale de Bruxelles (CPAS) du 7 septembre 2004, par. 17; arrêt de la Cour de justice UE C-1/97 Mehmet Birden c. Stadtgemeinde Bremen du 26 novembre 1998, par. 32; arrêt 2C_761/2015 du 21 avril 2016 consid. 4.5). Ni la nature juridique de la relation de travail en cause au regard du droit national (par ex. contrat de travail sui generis), ni la productivité plus ou moins élevée du travailleur, ni son taux d'occupation (par ex. travail sur appel), ni l'origine des ressources pour le rémunérer (privées ou publiques), ni même l'importance de cette rémunération (par ex. salaire inférieur au minimum garanti) ne sont, en eux-mêmes et à eux seuls, des éléments décisifs pour apprécier la qualité de travailleur au sens du droit communautaire. En particulier, on ne saurait automatiquement dénier cette qualité à une personne qui exerce une activité salariée réelle et effective, en raison du seul fait qu'elle cherche à compléter la rémunération tirée de cette activité, inférieure au minimum des moyens d'existence, par d'autres moyens d'existence licites. Sous ce rapport, il n'importe pas de savoir si les moyens d'existence complémentaires proviennent de biens ou du travail d'un membre de la famille de l'intéressé ou s'ils sont dérivés d'une aide financière pré-levée sur les fonds publics de l'Etat membre de résidence, pourvu que la réalité et l'effectivité de l'activité soient établies (cf. ATF <ref-ruling> consid. 3.2 et 3.3 p. 345 ss et les nombreux arrêts de la Cour de justice UE cités; arrêt 2C_1061/2013 du 14 juillet 2015 consid. 4.2.1).
Il découle de ce qui précède que la qualité de travailleur selon l'ALCP s'applique également aux " working poor ", c'est-à-dire aux travailleurs qui, bien qu'exerçant une activité réelle et effective, touchent un revenu qui ne suffit pas pour vivre ou faire vivre leur famille dans l'Etat d'accueil (cf. arrêt de la Cour de justice UE 139/85 R. H. Kempf c. Secrétaire d'Etat à la Justice, du 3 juin 1986, par. 14; arrêt 2C_1061/2013 du 14 juillet 2015 consid. 4.2.1 et références).
5.3.2. Il n'en demeure pas moins que, pour apprécier si l'activité exercée est réelle et effective, on peut tenir compte de l'éventuel caractère irrégulier des prestations accomplies, de leur durée limitée, ou de la faible rémunération qu'elles procurent. La libre circulation des travailleurs suppose, en règle générale, que celui qui s'en prévaut dispose des moyens d'assurer sa subsistance, surtout dans la phase initiale de son installation dans le pays d'accueil, lorsqu'il est à la recherche d'un emploi. Ainsi, le fait qu'un travailleur n'effectue qu'un nombre très réduit d'heures - dans le cadre, par exemple, d'une relation de travail fondée sur un contrat de travail sur appel - ou qu'il ne gagne que de faibles revenus, peut être un élément indiquant que l'activité exercée n'est que marginale et accessoire (cf. ATF <ref-ruling> consid. 3.4 p. 347 et les arrêts de la Cour de justice UE cités). A cet égard, le Tribunal fédéral a eu l'occasion de préciser qu'un travail exercé au taux de 80% pour un salaire mensuel de 2'532 fr. 65 ne représentait pas un emploi à tel point réduit ou une rémunération si basse qu'il s'agirait d'une activité purement marginale et accessoire sortant du champ d'application de l'<ref-law> (arrêt 2C_1061/2013 du 14 juillet 2015 consid. 4.4). En revanche, le Tribunal de céans a considéré qu'une activité à taux partiel donnant lieu à un salaire mensuel d'environ 600 à 800 fr. apparaissait tellement réduite et peu rémunératrice qu'elle devait être tenue pour marginale et accessoire (cf. arrêt 2C_1137/2015 du 6 août 2015 consid. 4.4).
5.4. En vertu de l'art. 23 al. 1 de l'ordonnance fédérale du 22 mai 2002 sur l'introduction progressive de la libre circulation des personnes entre, d'une part, la Confédération suisse et, d'autre part, l'Union européenne et ses Etats membres, ainsi qu'entre les Etats membres de l'Association européenne de libre-échange (Ordonnance sur l'introduction de la libre circulation des personnes, OLCP; RS 142.203), les autorisations de séjour de courte durée, de séjour et frontalières UE/AELE, notamment, peuvent être révoquées ou ne pas être prolongées, si les conditions requises pour leur délivrance ne sont plus remplies.
En procédant à une interprétation de ces principes, le Tribunal fédéral a jugé qu'un étranger au bénéfice d'une autorisation de séjour UE/AELE peut perdre le statut de travailleur au sens de l'ALCP et par conséquent se voir refuser la prolongation, respectivement se voir révoquer l'autorisation de séjour dont il est titulaire si 1) il se trouve dans un cas de chômage volontaire; 2) on peut déduire de son comportement qu'il n'existe (plus) aucune perspective réelle qu'il soit engagé à nouveau dans un laps de temps raisonnable (cf. <ref-ruling> consid. 2.2.1 p. 4; arrêt de la Cour de justice UE du 26 mai 1993 C-171/91 Tsiotras, Rec. 1993 I-2925 point 14) ou 3) il adopte un comportement abusif p. ex. en se rendant dans un autre Etat membre pour y exercer un travail fictif ou d'une durée extrêmement limitée dans le seul but de bénéficier de prestations sociales meilleures que dans son Etat d'origine ou que dans un autre Etat membre (<ref-ruling> consid. 2.2.1 p. 4; <ref-ruling> consid. 3.4 p. 347; arrêts 2C_412/2014 du 27 mai 2014 consid. 3.2; 2C_390/2013 du 10 avril 2014 consid. 3.2, 4.3).
6.
En l'occurrence, le recourant estime, au contraire de la Cour de justice, que depuis qu'elle a quitté de manière volontaire son emploi auprès de la société H._ SA au mois de mars 2009, ou, dans tous les cas, dès qu'elle n'a plus eu le droit aux indemnités de l'assurance-chômage en octobre 2009, l'intimée se trouve dans une situation de chômage volontaire ne lui conférant plus la qualité de travailleuse au sens de l'<ref-law>. De l'avis du Secrétariat d'Etat, les emplois occupés par l'intimée en 2014 ne font pas renaître sa qualité de travailleuse, ces activités ayant été retrouvées après cinq ans d'inactivité et à la suite de la décision négative de l'Office cantonal.
6.1. Selon les constatations de la Cour de justice, qui lient le Tribunal de céans (cf. <ref-law>), l'intimée est arrivée en Suisse le 8 janvier 2003 et a été mise au bénéfice d'une autorisation de séjour de courte durée (un an) au titre de travailleuse européenne. Le 15 juin 2004, l'intéressée a conclu un contrat de travail sur appel avec l'établissement D._ et a, à nouveau, été mise au bénéfice d'une autorisation de séjour de courte durée. Cette autorisation a été régulièrement renouvelée chaque fois pour un an. Le 1er mars 2007, A.X._ a conclu un contrat de mission de durée indéterminée pour une activité de femme de chambre. Selon les copies des contrats de mission, le taux d'activité de l'intimée portait sur deux jours de travail par semaine en moyenne. Du 5 juin au 15 août 2008, l'intéressée a exercé l'activité d'employée d'entretien à raison de dix heures par semaine. A partir du 1er octobre 2008, A.X._ a travaillé en qualité d'auxiliaire de vente à hauteur de 36 heures par semaine dans un établissement sis à L._. On peut certes se demander si, durant cette période, l'intéressée avait le statut de travailleuse au sens de la jurisprudence précitée. La question n'est toutefois pas pertinente en l'espèce: même à considérer que l'intéressée avait acquis le statut de travailleuse au sens de l'ALCP durant cette période, force est de constater qu'elle l'a, par la suite, perdu. Il ressort en effet de l'arrêt attaqué que l'intéressée a abandonné son activité d'auxiliaire de vente en mars 2009, soit environ cinq mois après le début de son emploi, en raison de la distance qui séparait son domicile et son lieu de travail. L'intimée ne conteste pas avoir quitté son emploi de son propre chef, mais soutient qu'elle a été contrainte d'abandonner son poste dans le canton de Vaud, car elle devait assumer seule la prise en charge de ses deux enfants et qu'au surplus, elle n'avait pas de voiture lui permettant de se déplacer rapidement entre Genève et L._. Outre que ce dernier élément ne ressort pas de l'arrêt attaqué, sans que l'intimée n'invoque ni ne démontre l'interdiction de l'arbitraire dans l'établissement des faits (cf. supra consid. 3), son argumentation ne convainc pas. Comme le relève pertinemment le Secrétariat d'Etat, seuls 26 kilomètres séparent les deux lieux, soit environ 30 minutes en voiture et 26 minutes en transport public depuis la gare de Genève. S'ajoute à cela qu'à l'époque des faits, ses enfants avaient douze et trois ans, de sorte qu'ils n'étaient déjà plus des nourrissons. Ainsi, même si l'intéressée assumait seule la prise en charge de ses deux enfants, cette distance n'est de toute évidence pas à ce point importante qu'elle justifie l'abandon d'un poste de durée indéterminée, prévoyant un taux de travail de 36 heures par semaine, alors que l'intimée n'avait, jusqu'alors, décroché que des emplois à taux beaucoup plus réduit. Il s'ensuit qu'à partir du mois de mars 2009, l'intéressée se trouvait dans une situation de chômage volontaire ne lui conférant plus la qualité de travailleuse au sens de l'<ref-law>. Quant à l'emploi de personnel d'entretien que l'intimée a exercé du 29 mai au 19 juin 2009 pour le compte de I._ SA, il ne lui a pas permis de réactiver son statut de travailleuse, compte tenu de sa brièveté (21 jours) et de son taux d'activité réduit (15 heures par semaine). En conséquence, les conditions requises pour le renouvellement de l'autorisation de séjour de l'intimée n'étaient plus réalisées depuis le mois de mars 2009.
A cet égard, comme l'indique le recourant, l'argumentation de l'autorité cantonale selon laquelle une autorisation de séjour d'une durée de cinq ans aurait dû être délivrée à l'intimée dès son arrivée en juin 2004 n'est pas pertinente. Même dans l'hypothèse la plus favorable à l'intimée où celle-ci aurait acquis le statut de travailleuse salariée au sens de l'ALCP, lui ouvrant ainsi le droit à un titre de séjour d'une durée de cinq ans au moins (cf. <ref-law>) à compter de juin 2004, la situation de l'intéressée ne serait pas différente. En effet, le titre de séjour de l'intimée serait arrivé à échéance en juin 2009. A ce moment-là, l'intimée se trouvait dans une situation de chômage volontaire depuis plusieurs mois, de sorte que l'autorité aurait déjà pu considérer que l'intéressée avait perdu le statut de travailleur (cf. <ref-law>).
6.2. Reste à examiner si les deux fonctions dont se prévaut l'intimée pour l'année 2014 lui ont fait retrouver sa qualité de travailleuse. Le contrat qu'elle a conclu avec la Société J._ SA en date du 1er juillet 2014 pour une activité de femme de chambre mentionne un travail sur appel, à durée indéterminée à partir du 1er juillet 2014, pour un salaire horaire brut de 22 fr. 89. D'après les fiches de salaire versées à la procédure, l'intéressée a travaillé 42 heures au mois de juillet pour un salaire total de 808 fr. 30. Au mois d'août 2014, l'intimée a perçu un salaire de 1'330 fr. 50 pour 73 heures de travail. Il s'ensuit que l'intimée a effectué, par le biais de cet emploi, 115 heures de travail en deux mois, ce qui constitue un taux de travail très réduit, qui plus est sur une période limitée. A cela s'ajoute que la relation de travail est fondée sur un contrat sur appel, n'offrant ainsi aucune garantie quant à un nombre minimal d'heures de travail. La précarité de l'emploi ainsi que le taux d'occupation réduit de l'intimée plaident fortement en faveur d'une activité marginale et accessoire (cf. ATF <ref-ruling> consid. 3.4 p. 347; arrêt 2C_1061/2013 du 14 juillet 2015 consid. 4.2). Certes, l'intimée a cherché à compléter la rémunération tirée de cet emploi par la conclusion, en août 2014, d'un nouveau contrat de travail pour une activité d'employée d'entretien à raison de 16 heures par mois, le salaire horaire brut s'élevant à 18 fr. 40 (cf. fiche de salaire produite par l'intimée pour le mois d'août 2014). Ce nouvel emploi ne permet cependant pas de retenir que l'intimée bénéficie du statut de travailleuse au sens de l'ALCP. Le nombre d'heures effectuées au titre de cette activité demeure très faible. Du reste, aucun élément ne démontre que les activités effectuées en juillet et en août 2014 se soient poursuivies par la suite. Par ailleurs, même en cumulant les deux emplois à temps partiel, la rémunération que l'intimée perçoit ne lui permet pas, sans recourir en parallèle à l'aide sociale, de subvenir aux besoins d'une famille. Certes, la jurisprudence admet que la qualité de travailleur selon l'ALCP s'applique aux personnes qui, bien qu'exerçant une activité réelle et effective, touchent un revenu qui ne suffit pas pour vivre ou faire vivre leur famille dans l'Etat d'accueil (cf. arrêt 2C_1061/2013 du 14 juillet 2015 consid. 4.2.1). Il ressort cependant de la situation générale de l'intimée, que le Tribunal fédéral apprécie dans son ensemble (cf. <ref-ruling> consid. 3.4 p. 10), que les fonctions exercées par celle-ci ont été essentiellement de courte durée. Entre 2008 et 2009, l'intéressée a occupé trois emplois différents pour des périodes allant de trois semaines à cinq mois. En l'espace de sept ans, elle a exercé une seule activité à un taux supérieur à 50% qu'elle a quitté de sa propre initiative après cinq mois de travail. Les autres postes occupés par l'intimée ont été exercés soit sur appel, soit à des taux d'activité très réduits (deux jours par semaine pour le contrat de mission conclu en mars 2007, 10 heures par semaine pour l'activité d'employée d'entretien de juin à août 2008, 15 heures par semaine pour le poste de personnel d'entretien de fin mai à juin 2009 et 16 heures par semaine pour l'emploi de femme de chambre conclu en août 2008). Au vu des taux d'occupation très limités, il est douteux que l'intimée ait eu la volonté d'exercer une activité lucrative réelle davantage rémunératrice, dans la perspective de diminuer sa dépendance de l'assistance publique. Ce constat est du reste confirmé par le fait qu'à partir de 2009, l'intimée a connu une période sans emploi d'une durée de cinq ans. A cet égard, contrairement à ce qu'indique l'intimée, du moment qu'elle est ressortissante d'un Etat de l'Union européenne, ses difficultés pour trouver un emploi ne peuvent pas être imputées aux lenteurs de la procédure et à la précarité de son statut en Suisse. Il est d'ailleurs révélateur de constater qu'après cinq ans sans activité lucrative, l'intéressée a conclu deux contrats de travail en 2014, soit quelques mois après la décision négative de l'Office cantonal. Il faut encore retenir que l'intimée n'a plus droit aux indemnités de chômage et qu'elle touche l'aide sociale depuis le 1er août 2008, ayant bénéficié de prestations pour un montant total d'environ 195'900 fr.
6.3. Il résulte de l'ensemble des circonstances que l'activité de l'intimée ne peut être considérée comme réelle et effective au sens de la jurisprudence précitée. Dès lors qu'elle se confond avec le grief de violation du droit fédéral, il n'y a pas lieu d'examiner la critique du recourant portant sur la conclusion de l'instance précédente selon laquelle la décision de l'Office cantonal du 8 avril 2014 serait arbitraire. Les juges précédents ont, partant, méconnu les <ref-law> et 6 annexe I ALCP en considérant que l'intimée était en droit d'obtenir une prolongation de son autorisation de séjour avec activité lucrative d'une durée de cinq ans. En outre, dès lors qu'elle ne dispose pas de moyens suffisants d'existence, l'intéressée ne remplit pas non plus les conditions qui lui permettraient de continuer à séjourner en Suisse en qualité de personne n'exerçant pas d'activité économique au sens de l'<ref-law> (cf. arrêt 2C_471/2012 du 18 janvier 2013 consid. 4.4 in fine). Au demeurant, du moment qu'il ne ressort pas du dossier que C.X._, encore mineur et vivant avec sa mère au bénéfice de prestations d'assistance publique, remplirait à son tour les conditions de l'<ref-law>, l'intimée ne peut pas non plus se prévaloir d'un droit dérivé de celui de son fils (cf. arrêt 2C_716/2014 du 26 novembre 2015 consid. 5.2, destiné à la publication). L'intéressée ne peut pas davantage tirer un droit de séjour dérivé de l'<ref-law>. Outre qu'il est douteux que C.X._, actuellement âgé de neuf ans, ait commencé une formation qu'il ne serait pas en mesure de continuer ailleurs qu'en Suisse, son retour au Portugal n'apparaît pas inexigible (cf. <ref-ruling> consid. 4.2 p. 399 ss; arrêt 2C_716/2014, précité, consid. 4). Enfin, l'intimée n'ayant plus de droit à séjourner en Suisse, la question de l'abus de droit ne se pose pas.
7.
S'agissant des enfants, il sied de constater qu'ils ne sont pas formellement mentionnés, dans l'arrêt attaqué, comme parties à la procédure. En revanche, il est vrai qu'ils paraissent matériellement concernés par ladite décision, puisque leur cas a été examiné par la Cour de justice et que celle-ci a considéré que les conditions légales étaient réalisées pour qu'ils bénéficient d'une autorisation de séjour au titre de regroupement familial. Quoi qu'il en soit, même à considérer que la qualité de partie puisse leur être reconnue, C.X._ ne dispose pas, comme indiqué ci-avant, d'un droit à un séjour propre en vertu de sa citoyenneté européenne (cf. supra consid. 6.3). Quant à la situation de B.X._, désormais majeur, l'arrêt attaqué ne comporte aucun élément de fait pour que le Tribunal fédéral se prononce sur son droit de séjour en Suisse. La question n'a du reste jamais été examinée. Si l'intéressé estime qu'il remplit les conditions pour obtenir un titre de séjour, il lui appartient par conséquent d'en faire la demande en tant que citoyen majeur d'un Etat membre de l'ALCP.
8.
Compte tenu des éléments qui précèdent, le recours est admis et l'arrêt attaqué annulé. La décision de l'Office cantonal du 8 avril 2014 est rétablie.
Succombant, l'intimée doit supporter les frais judiciaires (<ref-law>). Aucun dépens ne sera alloué (art. 68 al. 1 et 3 LTF). La cause sera en outre renvoyée à la Cour de justice afin qu'elle fixe à nouveau les frais et dépens de la procédure cantonale (cf. art. 67 et 68 al. 5 LTF).

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce :
1.
Le recours est admis. L'arrêt rendu le 23 juin 2015 par la Cour de justice de la République et canton de Genève est annulé et la décision de l'Office cantonal de la population et des migrations de la République et canton de Genève du 8 avril 2014 rétablie.
2.
Les frais judiciaires, arrêtés à 2'000 fr., sont mis à la charge de l'intimée.
3.
La cause est renvoyée à la Cour de justice de la République et canton de Genève afin qu'elle fixe à nouveau les frais et dépens de la procédure cantonale.
4.
Le présent arrêt est communiqué au Secrétariat d'Etat aux migrations, à la mandataire de l'intimée, à l'Office cantonal de la population et des migrations ainsi qu'à Cour de justice de la République et canton de Genève, Chambre administrative, 1ère section.
Lausanne, le 30 mars 2016
Au nom de la IIe Cour de droit public
du Tribunal fédéral suisse
Le Président : Zünd
La Greffière : McGregor