Fatti:
A. Il 29 marzo e il 29 luglio 2006 due imprese di spedizione hanno proceduto, su incarico della A._ SA, allo sdoganamento in franchigia di dazio nell'ambito del sistema di preferenze generalizzate a favore dei Paesi in sviluppo (SPG), di apparecchi elettronici provenienti dalla Cina. A tal fine sono stati presentati i certificati d'origine modulo A www e xxx, compilati il 28 marzo, rispettivamente il 5 luglio 2006 dal medesimo esportatore, la ditta B._ Corp., (provincia di) Jiangxi, e autenticati dalla stessa autorità doganale cinese, sempre il 28 marzo 2006 per il primo e il 5 luglio 2006 per il secondo.
B. Procedendo ad un controllo per campionatura, la Direzione generale delle dogane (in seguito: DGD) ha chiesto, con due invii raccomandati del 25 e 26 ottobre 2006, all'autorità doganale cinese di verificare a posteriori l'autenticità e l'esattezza dei certificati di origine modulo A www e xxx. Non avendo ottenuto risposta, la DGD ha sollecitato la citata autorità, spedendole l'8 maggio 2007 due nuove lettere raccomandate. Lo stesso giorno ha pure informato la A._ SA del controllo in atto, suggerendole di avvisare il proprio fornitore affinché questi invitasse l'autorità doganale cinese a dare seguito alle sue richieste.
C. Non avendo ricevuto alcuna risposta dalle autorità cinesi, il 4 ottobre 2007 la DGD ha trasmesso le pratiche alla Direzione di circondario delle dogane di Lugano (di seguito: DCD) per disbrigo. Il 24 gennaio 2008 quest'ultima autorità ha informato la A._ SA che, in mancanza di un riscontro delle autorità cinesi, la merce aveva beneficiato a torto di un trattamento preferenziale all'atto di sdoganamento. Di conseguenza venivano rivendicati dazi pari a fr. 1'678.40, rispettivamente a fr. 1'555.45.
Dopo uno scambio di corrispondenza, il 20 giugno 2008 la DCD ha emanato una decisione formale di esazione posticipata di contributi, per complessivi fr. 3'233.85, la quale è stata confermata su ricorso dalla DGD il 3 ottobre 2008.
D. Adito il 3 novembre 2008 dalla A._ SA il Tribunale amministrativo federale, Corte I, ne ha accolto il gravame con sentenza del 3 giugno 2010. Ha giudicato, in sintesi, che la ricezione delle richieste di verifica inerenti ai certificati d'origine in esame da parte delle competenti autorità cinesi non era stata comprovata, motivo per cui l'esazione contestata andava annullata.
E. Il 7 luglio 2010 l'Amministrazione federale delle dogane ha presentato dinanzi al Tribunale federale un ricorso in materia di diritto pubblico con cui chiede che la sentenza del 3 giugno precedente sia annullata. Censura, in sintesi, un accertamento manifestamente incompleto dei fatti così come la violazione degli art. 39 cpv. 2 e 44 cpv. 1 dell'ordinanza del 17 aprile 1996 concernente le regole d'origine per la concessione di preferenze tariffali ai Paesi in sviluppo (Ordinanza sulle regole d'origine, OROPT; RS 946.39), dell'<ref-law> nonché degli art. 8 e 29 cpv. 1 Cost.
Chiamati ad esprimersi il Tribunale amministrativo federale, Corte I, ha fatto sapere, tardivamente, che rinunciava ad esprimersi, mentre la A._ SA ha chiesto, con risposta del 13 settembre 2010, la reiezione del ricorso.

Diritto:
1. Il Tribunale federale esamina d'ufficio e con piena cognizione la sua competenza (<ref-law>), rispettivamente l'ammissibilità dei gravami che gli vengono sottoposti (<ref-ruling> consid. 1 pag. 43; <ref-ruling> consid. 1 pag. 24; <ref-ruling> consid. 1.1 pag. 3; <ref-ruling> consid. 1 pag. 37 con rispettivi rinvii).
2. 2.1 Di carattere finale (<ref-law>), la decisione litigiosa è stata emanata nell'ambito di una vertenza concernente la riscossione posticipata di tributi previsti dalla legislazione federale determinante in materia. Pronunciata dal Tribunale amministrativo federale (<ref-law>) in una causa di diritto pubblico ai sensi dell'<ref-law>, che non ricade sotto alcuna delle eccezioni previste dall'<ref-law> segnatamente, trattandosi di tariffe doganali preferenziali, quella di cui alla lettera l della norma (sentenza 2C_355/2007 del 19 novembre 2007 consid. 1), la decisione contestata può, di principio, essere impugnata mediante il rimedio ordinario del ricorso in materia di diritto pubblico.
La presente vertenza è iniziata prima dell'entrata in vigore, il 1° maggio 2007, della legge federale del 18 marzo 2005 sulle dogane (LD; RS 631.0), motivo per cui va trattata, dal profilo sostanziale, secondo il diritto previgente, cioè la legge federale del 1° ottobre 1925 sulle do-gane (vLD; CS 6 475; RU 42 409 e successive modifiche; cfr. <ref-law>). Dal profilo dell'organizzazione e della procedura si applica invece il nuovo diritto (sentenza 2C_747/2009 dell'8 aprile 2010 consid. 2; Diego Clavadetscher in: Kocher/Clavadetscher [editori], Handkommentar zum Zollgesetz , Berna 2009, n. 9 all'art. 132). Lo stesso dicasi per quanto concerne la legge federale del 12 giugno 2009 concernente l'imposta sul valore aggiunto (LIVA; RS 641.20), entrata in vigore il 1° gennaio 2010, abrogando di riflesso la legge federale del 2 settembre 1999 concernente l'imposta sul valore aggiunto (vLIVA; RU 2000 1300). Altrimenti detto dal profilo materiale si applica il diritto previgente (art. 112 cpv. LIVA) e da quello procedurale la normativa attualmente in vigore (<ref-law>).
L'atto impugnato è suscettibile di violare la legislazione federale nel settore di competenza dell'Amministrazione federale delle dogane (<ref-law> nonché <ref-law>). Quest'ultima, rappresentata dalla DGD (<ref-law>), è perciò legittimata a ricorrere al Tribunale federale ai sensi dell'<ref-law> combinato con l'art. 4 dell'ordinanza del 17 febbraio 2010 sull'organizzazione del Dipartimento federale delle finanze [Org-DFF; RS 172.215.1]. Ciò che era già il caso sotto l'imperio del diritto previgente (sentenza 2C_355/2007 del 19 novembre 2007 consid. 1.4).
2.2 Con il ricorso in materia di diritto pubblico può in particolare venir censurata la violazione del diritto federale (<ref-law>), nozione che comprende anche i diritti costituzionali dei cittadini (<ref-ruling> consid. 3.1 pag. 447 seg.). Di principio, il Tribunale federale applica comunque il diritto d'ufficio (<ref-law>); esso non è vincolato né agli argomenti fatti valere nel ricorso né ai considerandi sviluppati dall'istanza precedente. In virtù dell'<ref-law>, il ricorrente è tuttavia tenuto a spiegare in modo conciso perché l'atto impugnato viola il diritto. Egli deve quindi confrontarsi almeno concisamente con i considerandi del giudizio impugnato, esponendo in quale misura sarebbe lesivo del diritto (<ref-ruling> consid. 2.1 e 2.3 pag. 245 seg.). Questa esigenza di motivazione è accresciuta quando viene lamentata la violazione di diritti fondamentali. Secondo l'<ref-law>, infatti, il Tribunale federale esamina tali censure soltanto se il ricorrente le ha sollevate e motivate. Ciò significa che il ricorrente deve dimostrare in maniera chiara e dettagliata in che misura la decisione impugnata li disattenda (<ref-ruling> consid. 1.4.1 pag. 53; <ref-ruling> consid. 2.2 pag. 246; <ref-ruling> consid. 3.2 pag. 88 con rispettivi rinvii).
2.3 Per il resto, il Tribunale federale fonda la sua sentenza sui fatti accertati dall'autorità inferiore (<ref-law>). Secondo l'<ref-law>, il ricorrente può censurare l'accertamento dei fatti soltanto se è stato svolto in modo manifestamente inesatto, ossia in maniera arbitraria (<ref-ruling> consid. 2.4) o in violazione del diritto ai sensi dell'<ref-law> e l'eliminazione del vizio può essere determinante per l'esito del procedimento (cpv. 1). Se ricorrono questi presupposti, ciò può indurre anche ad una rettifica o a una completazione d'ufficio (<ref-law>). Tocca alla parte che propone una fattispecie diversa da quella contenuta nella sentenza impugnata il compito di esporre in maniera circostanziata il motivo che la induce a ritenere adempiute queste condizioni (<ref-law>; <ref-ruling> consid. 6.2 pag. 288).
3. Secondo l'art. 38 OROPT il controllo a posteriori di prove dell'origine avviene, tra l'altro, per campionatura (cpv. 1). A tale fine le autorità doganali svizzere rinviano, tra l'altro, una copia del certificato d'origine modulo A all'organo governativo competente del Paese beneficiario (cpv. 2) affinché ne convalidi l'autenticità nonché l'esattezza. Ai sensi dell'art. 39 OROPT se, entro sei mesi (...), le autorità doganali svizzere non hanno ricevuto alcuna risposta (...), esse inviano una seconda lettera all'organo governativo competente del Paese beneficiario (cpv. 1). Se dopo quattro mesi dall'invio della seconda lettera le autorità doganali svizzere non hanno ricevuto alcuna risposta (...) le preferenze tariffali non sono allora concesse (cpv. 2).
4. 4.1 Procedendo all'esame della controversa questione dell'effettiva notifica all'autorità cinese delle richieste di verifica spedite i 25 e 26 ottobre 2006 e dei solleciti inviati l'8 maggio 2007, il Tribunale amministrativo federale, fondandosi sugli atti di causa, ha dapprima constatato che su richiesta della DGD la posta svizzera aveva effettuato delle ricerche le quali non avevano però avuto esito positivo, salvo per un'altra richiesta di verifica inviata al medesimo indirizzo e concernente i certificati di origine modulo A yyy e zzz. Esso ha poi definita arbitraria la conclusione alla quale erano giunte le autorità doganali svizzere, ossia che essendo l'indirizzo corretto, tutte le (altre) lettere (con il medesimo recapito) erano necessariamente giunte a destinazione. In effetti, a parere del Tribunale amministrativo federale, partire dal presupposto che tutti gli scritti inviati ad un indirizzo (corretto) giungono necessariamente a destinazione equivaleva a rendere priva di senso ogni ricerca di traccia postale. Esso ha quindi giudicato che la DGD non aveva sostanziato in modo sufficiente la ricezione delle lettere in questione ed aveva, di conseguenza, fondato la propria decisione su un fatto non provato. Motivo per cui l'esazione posticipata andava annullata.
4.2 Dopo avere rammentato che la ricerca postale concernente la richiesta di controllo a posteriori spedita il 4 ottobre 2007 e relativa ai certificati d'origine modulo A yyy e zzz aveva avuto esito positivo, motivo per cui la ricezione delle rispettive richieste di controllo doveva essere ritenuta provata, la ricorrente rimprovera al Tribunale amministrativo federale di avere accertato in modo inesatto i fatti rilevanti. Infatti la citata lettera e i documenti ivi connessi si riferivano anche al certificato d'origine modulo A www, ragione per la quale anche la ricezione delle corrispondenti domande di controllo avrebbe dovuto essere considerata comprovata e, di riflesso, essere confermata la percezione posticipata dei rispettivi tributi.
Ricordato poi il contesto nel quale il Sistema di preferenze generalizzate (SPG) era stato attuato e lo scopo con esso ricercato, la ricorrente afferma che tutelare il giudizio impugnato distoglierebbe i Paesi interessati dal loro obbligo di fornire assistenza e collaborazione il quale includerebbe, tra l'altro, la necessità di disporre di un'infrastruttura postale efficiente al fine di garantire che gli invii siano recapitati. Afferma in seguito che esigere dalle autorità svizzere che comprovino la ricezione di ogni scritto inviato ad un Paese beneficiario sarebbe impossibile e inopportuno, oltre a non essere previsto dalla OROPT. La ricorrente censura poi la lesione dell'<ref-law>, dato che nel diritto fiscale vige il principio secondo cui incombe al fisco provare le fattispecie che determinano o aumentano i tributi, mentre spetta al contribuente provare quelle che annullano o riducono l'obbligo di pagare i tributi. Orbene la presentazione di un certificato d'origine valido rientrerebbe in questa seconda categoria, motivo per cui spetterebbe in casu all'importatrice sopportare il pregiudizio derivante dal fallimento della prova. Adduce inoltre che dal principio della buona fede deriverebbe un obbligo di collaborazione, di cui l'importatrice era stata avvisata l'8 maggio 2007, ma al quale non ha dato seguito. Anche per questo motivo le incomberebbe sopportare le conseguenze derivanti dalla mancata prova della ricezione delle lettere.
La ricorrente osserva di seguito che la posta svizzera conserva i dati relativi agli invii all'estero solo per sei mesi. Nel caso concreto, visto il tempo trascorso, le era quindi impossibile fornire prove oggettive. Aggiunge inoltre che una richiesta di controllo a posteriori non è una decisione ai sensi dell'<ref-law> e che, di conseguenza, alla sua trasmissione non si potrebbero applicare le medesime esigenze di prove che per la notifica di decisioni, se non cadendo nel formalismo eccessivo e ledendo il principio di un procedimento equo.
Per concludere la ricorrente ritiene che il giudizio contestato, il quale porta a trattare allo stesso modo il Paese beneficiario che non reagisce ad una richiesta di controllo a posteriori e quello che invece adempie i propri obblighi e conferma la validità del certificato d'origine, disattende il principio dell'uguaglianza di trattamento garantito dall'<ref-law> poiché tratta allo stesso modo due fattispecie totalmente differenti.
5. 5.1 Come già accennato in precedenza, la censura concernente l'apprezzamento delle prove viene verificata solo entro i limiti dell'arbitrio (cfr. consid. 2.3). Secondo la giurisprudenza, in tale contesto vi è arbitrio se il giudice ha manifestamente misconosciuto il senso e la portata di un mezzo di prova, se ha omesso senza ragioni valide di tener conto di un elemento di prova importante, suscettibile di modificare l'esito della vertenza, oppure se, sulla base degli elementi raccolti, ha tratto delle deduzioni insostenibili. Affinché il Tribunale federale sostituisca il proprio apprezzamento a quello dell'autorità precedente non basta quindi che un'interpretazione diversa delle prove e dei fatti che ne derivano appaia altrettanto concepibile (<ref-ruling> consid. 2.1 pag. 9; <ref-ruling> consid. 2a pag. 40).
5.2 Come emerge dagli atti di causa, la lettera inviata il 4 ottobre 2007 all'autorità doganale cinese per un controllo a posteriori menzionava - nel suo intestato - solo i certificati d'origine modulo A yyy e zzz. Sennonché dal contenuto della medesima risulta che ad essa erano state allegate le copie di due lettere, la prima del 26 ottobre 2006 e la seconda dell'8 maggio 2007 il cui contenuto si riferisce invece espressamente ai tre certificati e alle quali erano state annesse delle copie dei medesimi. Ora, dalle ricerche effettuate dalla posta svizzera su richiesta della DGD risulta che detta lettera è stata recapita il 13 ottobre 2007 (cfr. lettera della posta del 29 febbraio 2008 nonché fotocopia dell'estratto di un libro postale cinese sul quale è riportato il numero d'impostazione della lettera del 4 ottobre 2007). Da quel che precede discende che il Tribunale amministrativo federale ha omesso, senza ragioni valide - perlomeno non sono né state fatte valere né emergono dagli atti - di tener conto di un elemento di prova importante, suscettibile di modificare l'esito della vertenza. L'autorità precedente è quindi caduta nell'arbitrario giudicando che non era stata fornita la prova della regolare notifica della richiesta di verifica a posteriori del certificato d'origine modulo A www. Su questo punto, il ricorso si rivela fondato e va pertanto accolto.
6. 6.1 Rimane da esaminare la questione della ricezione del certificato d'origine modulo A xxx. Per quanto concerne la notifica di una decisione o di una comunicazione dell'amministrazione, in Svizzera o all'estero, va ricordato che, per consolidata giurisprudenza, l'onere della prova incombe di massima all'autorità che intende trarne una conseguenza giuridica. Altrimenti detto l'autorità sopporta pertanto le conseguenze dell'assenza di prova (<ref-ruling> consid. 5.9 pag. 309 e riferimenti; sulla portata generale di questo principio cfr. Yves Donzallaz, La notification en droit interne suisse, 2002, n. 1231). La notificazione irregolare di un atto amministrativo non esplica effetti giuridici e non può cagionare alcun pregiudizio alle parti. È infatti solo con la sua comunicazione ufficiale alle parti che esso acquista esistenza giuridica. Fintanto che non è comunicato, l'atto non esiste. Senza notificazione la parte interessata non ha conoscenza del suo contenuto e non può prendere i provvedimenti necessari. La notificazione è pertanto indispensabile (cfr. Donzallaz, op. cit., n. 25, 141, 188).
6.2 La ricorrente non ha potuto dimostrare che gli scritti concernenti il certificato d'origine modulo A xxx sono stati ricevuti dall'autorità doganale cinese. Oltre al fatto che, come comunicato dalla posta svizzera, essendo trascorsi più di sei mesi dall'invio, non era più possibile effettuare ricerche di traccia postale, devesi osservare che la semplice presenza nel fascicolo della copia delle lettere non è sufficiente per dimostrare che le stesse siano state effettivamente spedite e ricevute (<ref-ruling> consid. 1 pag. 8). Inoltre, la semplice affermazione che tutte le lettere spedite al medesimo indirizzo vi pervengono non ha alcuna valenza probatoria. Va poi osservato che la tesi secondo cui non trattandosi di una decisione ai sensi dell'<ref-law> non si potrebbero porre esigenze eccessive riguardo alla notificazione non può essere condivisa. In effetti, dato che degli effetti giuridici possono scaturire per la controparte da una richiesta di controllo a posteriori, segnatamente l'obbligo di pagare dei contributi, devono pertanto essere poste esigenze elevate riguardo alla prova dell'effettiva comunicazione di queste domande. Allo stesso modo va respinta la censura secondo cui pretendere che venga comprovata la ricezione di ogni scritto inviato ad un Paese beneficiario sarebbe impossibile e inopportuno, oltre a non essere previsto dalla OROPT. In effetti, l'obbligo per l'amministrazione di fornire la prova dell'avvenuta regolare notifica di un suo atto amministrativo (dal quale scaturiscono effetti giuridici) è un principio generale del diritto che si applica in tutti i procedimenti, senza eccezioni. Ne discende che incombe all'autorità interessata organizzarsi in modo da poter provare, se necessario, la regolare notifica dei suoi atti, tenendo tra l'altro conto del fatto, che trattandosi di fattispecie internazionali, dopo un determinato lasso di tempo (sei mesi) la posta svizzera non effettua più ricerche postali. Per gli stessi motivi risultano prive di fondamento le censure relative agli obblighi e doveri dei Paesi beneficiari, alla violazione del principio della parità di trattamento nonché all'obbligo di collaborare che incomberebbe alla controparte dato che, come appena illustrato, spetta all'autorità (svizzera) provare l'avvenuta regolare comunicazione dei suoi atti, soprattutto quando ne derivano degli effetti giuridici.
6.3 Ciò premesso, la valutazione dei primi giudici che non hanno ritenuto provata, con la necessaria certezza, la trasmissione della richiesta di controllo a posteriori e del relativo sollecito riguardo al certificato d'origine modulo A xxx non lede alcuna norma di diritto federale, né risulta da un accertamento manifestamente errato o incompleto dei fatti o da un apprezzamento arbitrario delle prove. Su questo punto il ricorso si rivela infondato e dev'essere respinto.
7. In esito a quanto precede il ricorso va parzialmente accolto nel senso che la sentenza impugnata è annullata nella misura in cui concerne il certificato d'origine modulo A www, l'esazione posticipata corrispondente va confermata e la causa va rinviata al Tribunale amministrativo federale, Corte I, per nuovo giudizio sulle spese e ripetibili della sede precedente (art. 67 e 68 cpv. 5 LTF). Per il resto il gravame è respinto.
8. Visto l'esito del giudizio le spese vanno poste a carico della Confederazione (Amministrazione federale delle dogane), che ha un chiaro interesse finanziario in causa (<ref-law>) e della A._ SA, parzialmente soccombente (<ref-law>), a ragione di metà ciascuno. La Confederazione rifonderà inoltre alla A._ SA, assistita da un avvocato e che vince parzialmente, un'indennità ridotta a titolo di ripetibili della sede federale (<ref-law>). Non vanno invece riconosciute ripetibili all'autorità (<ref-law>).

Per questi motivi, il Tribunale federale pronuncia:
1. Il ricorso è parzialmente accolto, la sentenza impugnata è annullata per quanto concerne il certificato d'origine modulo A www, l'esazione posticipata corrispondente è confermata e la causa va rinviata al Tribunale amministrativo federale, Corte I, per nuovo giudizio sulle spese e ripetibili della sede precedente. Per il resto il ricorso è respinto.
2. Le spese giudiziarie di fr. 2'000.-- sono poste a carico della Confederazione (Amministrazione federale delle dogane) e della A._ SA, a ragione di metà ciascuno.
3. La Confederazione (Amministrazione federale delle dogane) verserà alla A._ SA fr. 1'000.-- a titolo di ripetibili ridotte della sede federale.
4. Comunicazione alle parti, rispettivamente al loro patrocinatore e al Tribunale amministrativo federale, Corte I.