Sachverhalt:
A. Der 1952 geborene Z._ meldete sich im Dezember 2004 bei der Invalidenversicherung und ersuchte um Berufsberatung und Arbeitsvermittlung. Die IV-Stelle Bern liess den Versicherten u.a. in der Behindertenwerkstätte A._ (BEWA) beruflich abklären (Bericht vom 20. Dezember 2005). Ferner holte sie bei den Psychiatrischen Diensten des Spitals Y._ den Bericht vom 17. August 1990 über die ambulanten Behandlungen von Z._ seit 1984 ein. Gestützt auf die Stellungnahme des Regionalen Ärztlichen Dienstes (RAD) vom 17. März 2006, wonach «kein IV-relevanter Gesundheitsschaden mit Auswirkung auf die Arbeitsfähigkeit vorliegt», verneinte die IV-Stelle mit Verfügung vom 24. März 2006 den Anspruch auf berufliche Massnahmen und eine Rente. Nach Einholung einer weiteren Stellungnahme des RAD vom 3. Juli 2006 bestätigte die Verwaltung mit Einspracheentscheid vom 18. Juli 2006 die Leistungsablehnung.
B. Die Beschwerde des Z._ wies das Verwaltungsgericht des Kantons Bern, Sozialversicherungsrechtliche Abteilung, mit Entscheid vom 21. Dezember 2006 ab.
C. Z._ lässt Verwaltungsgerichtsbeschwerde führen mit dem Rechtsbegehren, Gerichtsentscheid und Einspracheentscheid seien aufzuheben und die Sache sei zu ergänzender Abklärung und zu neuer Entscheidung über den Leistungsanspruch zurückzuweisen.
Die IV-Stelle beantragt die Abweisung der Verwaltungsgerichtsbeschwerde. Das Bundesamt für Sozialversicherungen verzichtet auf eine Vernehmlassung.

Das Bundesgericht zieht in Erwägung:
1. 1.1 Der angefochtene Entscheid ist am 21. Dezember 2006 ergangen. Das Verfahren richtet sich somit nach dem Bundesgesetz über die Organisation der Bundesrechtspflege (OG). Das am 1. Januar 2007 in Kraft getretene Bundesgesetz vom 17. Juni 2005 über das Bundesgericht (BGG [AS 2006 1205 ff., 1243]) ist insoweit nicht anwendbar (<ref-law>).
1.2 Da die Verwaltungsgerichtsbeschwerde nach dem 1. Juli 2006 anhängig gemacht worden ist, bestimmt sich die Kognition im Streit um eine Rente der Invalidenversicherung nach Art. 132 OG, in der ab 1. Juli 2006 gültig gewesenen Fassung (<ref-ruling> E. 1.2 S. 395). Es ist daher nur zu prüfen, ob der angefochtene Entscheid Bundesrecht verletzt, einschliesslich Überschreitung oder Missbrauch des Ermessens (Art. 104 lit. a OG), oder ob das kantonale Gericht den Sachverhalt offensichtlich unrichtig, unvollständig oder unter Verletzung wesentlicher Verfahrensbestimmungen festgestellt hat (Art. 104 lit. b OG und Art. 105 Abs. 2 OG).
2. Invalidität ist die voraussichtlich bleibende oder längere Zeit dauernde ganze oder teilweise Erwerbsunfähigkeit (<ref-law> in Verbindung mit <ref-law>). Die Invalidität kann Folge von Geburtsgebrechen, Krankheit oder Unfall sein (<ref-law>). Krankheit ist jede Beeinträchtigung der körperlichen, geistigen oder psychischen Gesundheit, die nicht Folge eines Unfalles ist und die eine medizinische Untersuchung oder Behandlung erfordert oder eine Arbeitsunfähigkeit zur Folge hat (<ref-law> in Verbindung mit <ref-law>).
Ist ein Versicherter zu mindestens 40 Prozent invalid, so hat er Anspruch auf eine Rente (Art. 28 Abs. 1 erster Satz IVG). Für die Bemessung der Invalidität von erwerbstätigen Versicherten ist Artikel 16 ATSG anwendbar (Art. 28 Abs. 2 erster Satz IVG). Für die Bestimmung des Invaliditätsgrades wird das Erwerbseinkommen, das die versicherte Person nach Eintritt der Invalidität und nach Durchführung der medizinischen Behandlung und allfälliger Eingliederungsmassnahmen durch eine ihr zumutbare Tätigkeit bei ausgeglichener Arbeitsmarktlage erzielen könnte, in Beziehung gesetzt zum Erwerbseinkommen, das sie erzielen könnte, wenn sie nicht invalid geworden wäre (<ref-law>).
3. Das kantonale Gericht hat festgestellt, auf Grund der beruflichen Abklärung durch die BEWA wäre eine Eingliederung des Versicherten höchstens an einem Nischenplatz möglich. Es sei nicht zu bestreiten, dass die so genannten Nischenarbeitsplätze mehr und mehr verschwänden, so dass eine Eingliederung in der freien Wirtschaft unrealistisch erscheine. Auf Grund der überzeugenden Beurteilung des Regionalen Ärztlichen Dienstes sei indessen davon auszugehen, dass kein invalidisierender Gesundheitsschaden bestehe. Der Versicherte sei denn auch während rund dreissig Jahren als Hilfsarbeiter erwerbstätig gewesen. Die namhaft eingeschränkten Chancen auf dem Arbeitsmarkt beruhten auf invaliditätsfremden Umständen (unterdurchschnittliche Intelligenz, gewisse Eigenheiten der Persönlichkeit, fortgeschrittenes Alter). Es fänden sich in den Akten keine einlässlichen Diagnosen betreffend ein (krankheitswertiges) Leiden nach ICD-10, so dass kein Anlass für eine medizinische Abklärung der Arbeitsfähigkeit bestehe. Abgesehen davon hätten die vom Beschwerdeführer bis zum Verlust der letzten Stelle als Allrounder/Magaziner in der Firma S._ AG Ende Januar 2003 erzielten Einkommen jeweils um weniger als 40 % unter dem Durchschnittslohn für Berufsleute gleicher Qualifikation und vergleichbarer Funktion gelegen. Selbst wenn daher von einer gesundheitlich bedingten Einschränkung auszugehen wäre, könnte keine rentenbegründende Einkommenseinbusse angenommen werden.
In der Verwaltungsgerichtsbeschwerde wird gerügt, das kantonale Gericht habe den rechtserheblichen Sachverhalt unter Verletzung des Untersuchungsgrundsatzes festgestellt. Die Vorinstanz habe ohne Durchführung der gebotenen medizinischen Abklärungen einzig gestützt auf den Bericht des RAD vom 8. (recte: 3.) Juli 2006 einen invalidisierenden Gesundheitsschaden verneint. Es bestünden genügend Anhaltspunkte in den Akten, dass der Beschwerdeführer unter erheblichen gesundheitlichen Beeinträchtigungen leide. Insbesondere sei im Bericht der Psychiatrischen Dienste des Spitals Y._ vom 17. August 1990 eine infantile, retardierte Persönlichkeit mit unterdurchschnittlicher Intelligenzstruktur festgehalten worden. Der behandelnde Arzt habe diese Diagnosen in seinem Bericht vom 21. Dezember 2004 bestätigt. Ebenfalls sei im Abklärungsbericht der BEWA vom 20. Dezember 2005 mit aller Klarheit festgehalten worden, dass dem Beschwerdeführer wegen seiner geistigen und psychischen Beeinträchtigungen nur noch eine Beschäftigung in geschütztem Rahmen zuzumuten sei.
4. 4.1 Nach <ref-law> stellt das kantonale Versicherungsgericht unter Mitwirkung der Parteien die für den Entscheid erheblichen Tatsachen fest [Untersuchungsgrundsatz: <ref-ruling> E. 2 S. 195]; es erhebt die notwendigen Beweise und ist in der Beweiswürdigung frei. Welche konkreten Abklärungsmassnahmen in gesundheitlicher und beruflich-erwerblicher Hinsicht für eine rechtsgenügliche Sachverhaltsermittlung geboten sind, lässt sich angesichts der Besonderheiten jedes einzelnen Falles nicht allgemein sagen (Urteil I 281/06 vom 24. Juli 2006 E. 3.2.1). Gelangt das Gericht zur Überzeugung, die Akten erlaubten die richtige und vollständige Feststellung des rechtserheblichen Sachverhalts oder eine behauptete Tatsache sei für die Entscheidung der Streitsache nicht von Bedeutung, kann es auf die Erhebung weiterer Beweise verzichten. In dieser antizipierten Beweiswürdigung kann keine Gehörsverletzung erblickt werden (<ref-ruling> E. 4b S. 94, 122 V 157 E. 1d S. 162; Urteil H 59/04 vom 14. Dezember 2004 E. 3.3).
4.2 Die vom kantonalen Gericht angeführten Gründe, weshalb von weiteren Abklärungen insbesondere zum Gesundheitszustand abgesehen werden kann, überzeugen nicht. Es trifft zu, dass in den Akten eine einlässliche Diagnose nach ICD-10 fehlt. Ausser dem Bericht des Hausarztes vom 21. Dezember 2004 und den Stellungnahmen des RAD vom 17. März und 3. Juli 2006 umfassen die medizinischen Unterlagen indessen einzig den rund sechzehn Jahre früher verfassten Bericht der Psychiatrischen Dienste des Spitals Y._ vom 17. August 1990. Dieses mit Zusammenfassung der Krankengeschichte überschriebene Dokument erwähnte von den Strafbehörden u.a. wegen exhibitionistischem Verhalten vor Kindern angeordnete ambulante Behandlungen im Zeitraum 1984 bis 1988 und wiederum ab April 1990 für die Dauer von fünf Jahren. Eine Diagnose fehlte. Zum Befund wurde u.a. festgehalten, in der psychologischen Testung habe sich Z. als infantile, retardierte Persönlichkeit mit unterdurchschnittlicher Intelligenz gezeigt. Ob der Grund für das Fehlen einer Diagnose darin liegt, dass keine solche gestellt werden konnte, wie die Vorinstanz implizit annimmt, ist fraglich, kann aber offen bleiben. Tatsache bleibt, dass der Beschwerdeführer sich einer insgesamt neun Jahre dauernden psychiatrischen Behandlung unterziehen musste. Dies stellt ein gewichtiges Indiz für eine gesundheitliche Beeinträchtigung mit Krankheitswert dar. Abgesehen davon genügt eine im Zeitpunkt des Leistungsbegehrens fehlende Diagnose allein nicht, um von weiteren Abklärungen abzusehen, jedenfalls wenn und solange eine Diagnose nach ICD-10 nicht ausdrücklich verneint wurde (Urteil I 281/06 vom 24. Juli 2006 E. 3.2). In diesem Sinne müssen die im Bericht der BEWA vom 20. Dezember 2005 erwähnten Defizite (u.a. fehlendes Qualitätsbewusstsein, teilweise auffälliges Sozialverhalten, eingeschränkte Auffassungsvermögen und kognitive Fähigkeiten) für das Vorliegen eines IV-relevanten Gesundheitsschadens nicht beweisend sein, um Anlass für Abklärungen zur Arbeitsfähigkeit zu sein, wie der RAD in seiner Stellungnahme vom 3. Juli 2006 sinngemäss festhielt.
Im Weitern ist der Hinweis, der Beschwerdeführer sei während rund dreissig Jahren als Hilfsarbeiter erwerbstätig gewesen, schon deshalb nicht stichhaltig, weil auch nach Auffassung der Vorinstanz eine Eingliederung des Beschwerdeführers in der freien Wirtschaft unrealistisch ist und lediglich eine Beschäftigung im geschützten Rahmen in Betracht fällt. Abgesehen davon wird dabei ausgeblendet, dass der Versicherte im Zeitraum September 1969 bis März 1971 in den Werkstätten X._ im Rahmen einer erstmaligen beruflichen Ausbildung zu Lasten der Invalidenversicherung eine Anlehre in Richtung qualifizierter Industrie-Hilfsmechaniker absolviert hatte. Es kommt dazu, dass an den später innegehabten Stellen seine Leistung nicht durchwegs positiv bewertet wurde. Im Zeugnis der Firma B._ AG vom 30. Januar 1976 etwa wurde bestätigt, er habe alle ihm übertragenen Arbeiten bereitwillig übernommen. Im Arbeitszeugnis der Firma E._ vom 11. Juni 1981 stand, er habe sich bemüht, die ihm übertragenen Aufgaben zu unserer Zufriedenheit auszuführen. In beiden Fällen und noch anderen fehlte der Hinweis, dass der Beschwerdeführer die Firma auf eigenen Wunsch verliess, was auf eine Kündigung durch den Arbeitgeber schliessen lässt.
Schliesslich handelt es sich bei der unterdurchschnittlichen Intelligenz sowie den im Bericht des RAD vom 17. März 2006 so bezeichneten gewissen Eigenheiten der Persönlichkeit des Versicherten nicht um invaliditätsfremde Gründe im eigentlichen Sinne für die realistischerweise nicht (mehr) in Frage kommende Eingliederung in der freien Marktwirtschaft. Sie können im Unterschied etwa zum Alter und Geschlecht Zeichen (Symptom) eines geistigen oder psychischen Gesundheitsschadens im Sinne von <ref-law> sowie Art. 3, 6 und 7 ATSG sein. Weitere Umstände, welche die fehlende Einsetzbarkeit in der freien Wirtschaft erklären könnten, sind keine ersichtlich. Insbesondere fehlt es dem Beschwerdeführer nicht an Arbeitswillen. Das Alter fällt als wesentliche Ursache ausser Betracht.
4.3 Unter diesen Umständen stellt sich gebieterisch die Frage nach einem invalidenversicherungsrechtlich relevanten Gesundheitsschaden und allenfalls inwiefern dadurch Arbeits- und Erwerbsfähigkeit eingeschränkt werden. Die auf antizipierender Beweiswürdigung beruhende gegenteilige Auffassung des kantonalen Gerichts verletzt den Untersuchungsgrundsatz.
Die IV-Stelle wird Abklärungen insbesondere zum psychischen und geistigen Gesundheitszustand des Beschwerdeführers vorzunehmen haben. Danach wird sie über dessen Anspruch auf Leistungen der Invalidenversicherung (Eingliederungsmassnahmen beruflicher Art, Rente) neu verfügen.
5. Dem Ausgang des Verfahrens entsprechend sind die Gerichtskosten der IV-Stelle aufzuerlegen (Art. 134 OG, in der ab 1. Juli 2006 gültig gewesenen Fassung). Zudem hat die Verwaltung dem Beschwerdeführer eine Parteientschädigung zu bezahlen (Art. 159 Abs. 1 und 2 OG in Verbindung mit Art. 135 OG). Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege ist demzufolge gegenstandslos.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. In Gutheissung der Verwaltungsgerichtsbeschwerde werden der Entscheid des Verwaltungsgerichts des Kantons Bern vom 21. Dezember 2006 und der Einspracheentscheid vom 18. Juli 2006 aufgehoben. Die Sache wird an die IV-Stelle Bern zurückgewiesen, damit sie nach Abklärungen im Sinne der Erwägungen über den Anspruch des Beschwerdeführers auf Leistungen der Invalidenversicherung (Eingliederungsmassnahmen beruflicher Art, Rente) neu verfüge.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 500.- werden der IV-Stelle Bern auferlegt.
3. Die IV-Stelle Bern hat dem Beschwerdeführer für das Verfahren vor dem Bundesgericht eine Parteientschädigung von Fr. 2000.- (einschliesslich Mehrwertsteuer) zu bezahlen.
4. Das Verwaltungsgericht des Kantons Bern hat die Parteientschädigung für das kantonale Verfahren entsprechend dem Ausgang des letztinstanzlichen Prozesses festzusetzen.
5. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Verwaltungsgericht des Kantons Bern, Sozialversicherungsrechtliche Abteilung, der Ausgleichskasse des Kantons Bern und dem Bundesamt für Sozialversicherungen zugestellt.
Luzern, 24. Juli 2007
Im Namen der II. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber: