Sachverhalt:
A.
A._ arbeitete ab ... im Schulsekretariat des Berufsbildungszentrums B._ bei einem Arbeitspensum von anfänglich ..., ab ... von 75 %. Damit war sie bei der Luzerner Pensionskasse (LUPK) berufsvorsorgeversichert. Im August 2009 meldete sich A._ bei der Invalidenversicherung zum Leistungsbezug an. Nach Abklärungen und nach durchgeführtem Vorbescheidverfahren sprach ihr die IV-Stelle ... mit Verfügungen vom 23. November 2011 und 10. Januar 2012 aufgrund eines Invaliditätsgrades von 50 %, berechnet nach der allgemeinen Einkommensvergleichsmethode, ab 1. März 2010 eine halbe Rente samt einer Kinderrente zu. Das Gesuch von A._ um Ausrichtung einer Invalidenrente der beruflichen Vorsorge lehnte die LUPK mit der Begründung ab, bezogen auf das versicherte 75 %-Pensum betrage der Invaliditätsgrad lediglich rund 33 %, was für einen Anspruch nicht genüge (Schreiben vom 5. Dezember 2013 und 7. April 2014).
B.
Am 5. August 2014 reichte A._ beim Kantonsgericht Luzern, 3. Abteilung, Klage gegen die LUPK ein mit dem Rechtsbegehren, die Beklagte sei zu verpflichten, ihr rückwirkend ab 1. März 2010 eine halbe Invalidenrente im Sinne von § 34 Abs. 1 lit. c der Verordnung vom 11. Mai 1999 über die Luzerner Pensionskasse, zuzüglich Zins von 5 %, auszurichten. Das Gericht holte die Klageantwort ein und liess die IV-Akten edieren. Mit Entscheid vom 23. April 2015 hiess es die Klage gut und verpflichtete die Beklagte, der Klägerin bei einem Invaliditätsgrad von 50 % ab 1. März 2010 eine halbe Rente, zuzüglich 5 % Zins seit 5. August 2014 bzw. jeweiliger Fälligkeit des Rentenbetreffnisses, auszurichten; im Übrigen wies es die Klage ab.
C.
Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten beantragt die Luzerner Pensionskasse, der Entscheid vom 23. April 2015 sei aufzuheben und A._ keine Invalidenrente der beruflichen Vorsorge zuzusprechen.
A._ ersucht um Abweisung der Beschwerde, soweit darauf einzutreten sei. Das Bundesamt für Sozialversicherungen verzichtet auf eine Vernehmlassung.

Erwägungen:
1.
Die Beschwerdeführerin rügt eine Verletzung ihres Anspruchs auf rechtliches Gehör (Art. 29 Abs. 2 BV). Die Vorinstanz habe sich auch nicht ansatzweise mit ihren Vorbringen in der Klageantwort auseinandergesetzt. Darauf braucht mit Blick auf den Ausgang des Verfahrens nicht eingegangen zu werden. Abgesehen davon ist nicht ersichtlich und zeigt sie auch nicht auf, inwiefern es ihr nicht möglich war, das vorinstanzliche Erkenntnis - unter Berücksichtigung der Kognition des Bundesgerichts - sachgerecht anzufechten und dabei auch die unerörtert gebliebenen Argumente vorzubringen (Urteil 9C_200/2015 vom 19. Juni 2015 E. 1.2 mit Hinweisen).
2.
Streitgegenstand bildet die Frage, ob die Beschwerdeführerin gestützt auf die Verordnung vom 11. Mai 1999 über die Luzerner Pensionskasse (VoLUPK [SRL Nr. 131], in Kraft gestanden bis 31. Dezember 2013) verpflichtet ist, der Beschwerdegegnerin rückwirkend ab 1. März 2010 eine halbe Invalidenrente auszurichten, wie die Vorinstanz entschieden hat.
3.
Nach der VoLUPK hat Anspruch auf eine halbe Invalidenrente, wer beim Eintritt der Arbeitsunfähigkeit, deren Ursache zur Invalidität geführt hat, bei der Kasse versichert war (§ 12 Abs. 1; vgl. auch Art. 23 lit. a BVG) und mindestens zu 50 Prozent, aber weniger als zu 60 Prozent invalid ist (§ 34 Abs. 1 lit. c). Der Anspruch beginnt frühestens mit dem Anspruch auf Rentenleistungen der Invalidenversicherung (§ 34 Abs. 3; vgl. auch Art. 26 Abs. 1 BVG und <ref-ruling>). Invaliditätsgrad sowie Beginn und Veränderung des Anspruchs richten sich sinngemäss nach den Vorschriften des IVG (§ 34 Abs. 2 Satz 1).
Weiter hält § 11 VoLUPK fest, dass die zuständigen Organe der Alters-, Hinterlassenen- und Invalidenversicherung (AHV/IV) der Kasse die Entscheide zustellen, welche die Invalidenleistungen der ihnen gemeldeten Anspruchsberechtigten betreffen. Diese sind unter den im Bundesrecht geregelten Voraussetzungen für die Kasse verbindlich (Abs. 1). Die Kasse prüft die Entscheide und ergreift gegen rechtswidrige Verfügungen die erforderlichen Rechtsmittel, sofern deren Bindungswirkung zu unrichtigen Kassenleistungen führen würde (Abs. 2). Die Kasse entscheidet die Fragen, die sich bei der beruflichen Vorsorge gleich stellen wie bei der AHV/IV, nicht ohne sachlichen Grund anders als die zuständigen Organe der AHV/IV (Abs. 3).
Das seit 1. Januar 2014 in Kraft stehende Reglement der Luzerner Pensionskasse vom 12. Dezember 2013 hat inhaltlich keine Änderungen gebracht
4.
Das kantonale Berufsvorsorgegericht hat erwogen, die beklagte Vorsorgeeinrichtung statuiere aufgrund von § 11 Abs. 3 VoLUPK den gleichen Invaliditätsbegriff wie die Invalidenversicherung. Sie sei in das invalidenversicherungsrechtliche Verfahren einbezogen worden. Die beiden unangefochten in Rechtskraft erwachsenen Verfügungen der IV-Stelle vom 23. November 2011 und 10. Januar 2012, womit der Klägerin eine halbe Rente ab 1. März 2010 zugesprochen worden sei, seien somit nach der gesetzlichen Konzeption in Bezug auf Entstehung, Höhe (recte: Umfang) und Beginn des Rentenanspruchs für die beklagte Vorsorgeeinrichtung verbindlich, es sei denn, die betreffenden Festlegungen würden sich als offensichtlich unhaltbar erweisen (vgl. <ref-ruling> E. 4.3.2 S. 69 und Urteil 9C_858/2010 vom 17. Mai 2011 E. 2.3.1). Das sei indessen nicht der Fall. Namentlich seien weder die Bemessung der Invalidität durch Einkommensvergleich (Art. 16 ATSG i.V.m. Art. 28a Abs. 1 IVG) anstatt nach der gemischten Methode (Art. 28a Abs. 3 IVG), d.h. die Einstufung der Klägerin als ohne gesundheitliche Beeinträchtigung Vollerwerbstätige (vgl. <ref-ruling> E. 3.1-2 S. 20 f.), noch die Ermittlung des Invaliditätsgrades (50 %) unhaltbar. Somit habe die Beklagte gestützt auf § 34 Abs. 1 lit. c und Abs. 2 VoLUPK ab 1. März 2010 eine halbe Invalidenrente der beruflichen Vorsorge auszurichten. Der Umstand, dass die Klägerin lediglich zu 75 % versichert gewesen sei, werde dadurch kompensiert, dass die Rentenleistungen entsprechend geringer ausfielen, da sich die Rente nur aufgrund des angesparten Kapitals äufne.
Die Beschwerdeführerin verneint eine Bindungswirkung des im IV- Verfahren ermittelten Invaliditätsgrades von 50 %, sowohl nach Gesetz als auch aufgrund von § 11 Abs. 3 VoLUPK. Für die berufliche Vorsorge könne lediglich die Erwerbsunfähigkeit im Rahmen des bei Eintritt der Arbeitsunfähigkeit, deren Ursache zur Invalidität geführt hat (Art. 23 lit. a BVG und § 12 Abs. 1 VoLUPK), ausgeübten Arbeitspensums relevant sein, was die Beschwerdegegnerin bestreitet.
5.
5.1.
5.1.1. Die Grundsätze zur Bindungswirkung des im IV-Verfahren ermittelten Invaliditätsgrades für eine präsumtiv leistungspflichtige Vorsorgeeinrichtung gelten auch für die (Status-) Frage, in welchem zeitlichen Umfang die versicherte Person ohne gesundheitliche Beeinträchtigung erwerbstätig wäre (<ref-ruling> E. 2.5 S. 156). Wäre sie teilzeitlich erwerbstätig und betätigte sie sich daneben im bisherigen Aufgabenbereich im Sinne von Art. 5 Abs. 1 IVG (i.V.m. Art. 8 Abs. 3 ATSG und Art. 27 IVV), bemisst sich die Invalidität nach der gemischten Methode (Art. 28a Abs. 3 IVG; <ref-ruling> E. 3.1.3 S. 338, 125 V 146). In einem solchen Fall ist für die berufliche Vorsorge grundsätzlich nur der Invaliditätsgrad von Bedeutung, der für den erwerblichen Bereich resultiert, unter Vorbehalt offensichtlicher Unhaltbarkeit. Einzig insoweit ist eine Bindung an die Invaliditätsbemessung der Invalidenversicherung gegeben (<ref-ruling> E. 4b S. 109 f.). Eine im Sinne von Art. 17 Abs. 1 ATSG relevante Änderung des invalidenversicherungsrechtlichen Status, etwa von Teilerwerbstätigkeit zu Vollerwerbstätigkeit, oder des Anteils der Erwerbstätigkeit ist für die laufende Invalidenrente der beruflichen Vorsorge nicht von Bedeutung, d.h. stellt keinen berufsvorsorgerechtlichen Anpassungsgrund dar (<ref-ruling>; Marc Hürzeler, Invaliditätsproblematiken in der beruflichen Vorsorge, 2006, Rz. 406 S. 172). Massgebender Referenzzeitpunkt für den (erstmaligen) Statusentscheid ist der frühest mögliche Beginn des Rentenanspruchs (Art. 28 Abs. 1 und Art. 29 Abs. 1 und 2 IVG). Danach richtet sich auch der Beginn des Anspruchs auf Invalidenleistungen der (obligatorischen) beruflichen Vorsorge (<ref-ruling>).
5.1.2. Der Anspruch auf eine Rente der Invalidenversicherung setzt voraus, dass die versicherte Person während eines Jahres ohne wesentlichen Unterbruch durchschnittlich mindestens 40 Prozent arbeitsunfähig (Art. 6 ATSG) gewesen und nach Ablauf dieses Jahres zu mindestens 40 Prozent invalid (Art. 8 ATSG) ist (Art. 28 Abs. 1 lit. b und c IVG). Der Beginn der einjährigen Wartezeit kann, muss jedoch nicht notwendigerweise mit dem nach Art. 23 lit. a BVG berufsvorsorgerechtlich relevanten Eintritt der Arbeitsunfähigkeit, deren Ursache zur Invalidität geführt hat, zusammenfallen (vgl. <ref-ruling> E. 2b S. 98). In diesem Zeitpunkt jedenfalls muss bei einer Vorsorgeeinrichtung Versicherungsdeckung für das Risiko Invalidität bestanden haben (vgl. auch Art. 10 Abs. 3 BVG), andernfalls ein Anspruch auf Invalidenleistungen der beruflichen Vorsorge nicht entstehen kann (vgl. <ref-ruling> E. 2.6 S. 17). Deren Umfang bemisst sich nach dem Beschäftigungsgrad unter Berücksichtigung einer allfälligen vorbestandenen gesundheitlich bedingten Arbeitsunfähigkeit. Versah die versicherte Person ein Teilzeitpensum, besteht kein Anspruch auf Leistungen der beruflichen Vorsorge, wenn und jedenfalls solange sie trotz gesundheitlicher Beeinträchtigung im bisherigen Umfang weiterarbeiten kann oder könnte (vgl. Urteile 9C_821/2010 vom 7. April 2011 E. 4.2 und 9C_634/2008 vom 19. Dezember 2008 E. 5.1 und E. 5.1.1; Urteile des Eidg. Versicherungsgerichts B 34/05 vom 8. Juni 2006 E. 4.2 und B 46/03 vom 14. Februar 2005 E. 4); das Risiko Invalidität hat sich lediglich in dem berufsvorsorgerechtlich nicht versicherten Anteil einer Vollzeitbeschäftigung (100 % - Beschäftigungsgrad) verwirklicht. Eine (hypothetische) spätere Erhöhung des Arbeitspensums im Gesundheitsfall etwa aufgrund veränderter persönlicher, familiärer oder finanzieller Verhältnisse, ist zwar invalidenversicherungsrechtlich von Bedeutung (vgl. etwa Urteil 9C_193/2015 vom 7. August 2015 E. 2.1), dadurch kann indessen die Versicherungsdeckung nicht ausgeweitet werden (<ref-ruling> E. 5.3.2 S. 135).
5.2. Invalidität im berufsvorsorgerechtlichen Sinne, d.h. nach dem Wortlaut von Art. 23 lit. a BVG "im Sinne der IV invalid", meint somit die gesundheitlich bedingte Erwerbsunfähigkeit im Rahmen des bzw. bezogen auf das durch die versicherte Person geleistete Arbeitspensum bei Eintritt der Arbeitsunfähigkeit, deren Ursache zur Invalidität (im invalidenversicherungsrechtlichen Sinne) geführt hat. Mit dieser (versicherten) Tätigkeit in keinem Zusammenhang stehende Umstände haben bei der Bemessung der Invalidität ausser Acht zu bleiben (<ref-ruling> E. 4b S. 110; Hürzeler, a.a.O., Rz. 486 S. 204). Das gilt auch, wenn sich die Frage der Anpassung laufender Invalidenleistungen stellt, etwa - aber nicht notwendigerweise - im Zusammenhang mit einer Rentenrevision nach Art. 17 Abs. 1 ATSG (vgl. Urteil 9C_604/2014 vom 31. März 2015 E. 3.3) oder wenn das von der IV-Stelle erstmals festgesetzte (hypothetische) erwerbliche Arbeitspensum im Gesundheitsfall nicht mit dem bei Eintritt der Arbeitsunfähigkeit, deren Ursache zur Invalidität geführt hat (Art. 23 lit. a BVG), tatsächlich ausgeübten übereinstimmt. In diesem Rahmen besteht bei gegebenen Voraussetzungen eine grundsätzliche Bindung der Vorsorgeeinrichtungen an die Invaliditätsschätzung der Invalidenversicherung. Dabei ist die Invalidität im zeitlichen Rahmen der im massgebenden Zeitpunkt nach Art. 23 lit. a BVG ausgeübten Erwerbstätigkeit zu bemessen. Bei Teilerwerbstätigkeit ist somit der Invaliditätsgrad nicht bezogen auf ein Vollzeitpensum zu ermitteln, was auf eine mit dem Versicherungsprinzip nicht vereinbare Deckung des Risikos Erwerbsunfähigkeit als solcher hinausliefe (a.M. Hürzeler, a.a.O., Rz. 489 f. S. 205 ff.; kritisch Markus Moser, Teilzeitarbeitsbedingte Anwendungsprobleme im Leistungsbereich der beruflichen Vorsorge, in: AJP/PJA 10/2001 S. 1185 f.).
5.3. Vorliegend steht fest und ist unbestritten, dass die Beschwerdegegnerin bei Eintritt des Gesundheitsschadens ein Pensum von 75 % versah. Die IV-Stelle ging für die Zeit ab dem frühest möglichen Rentenbeginn am 1. März 2010 (Anmeldung bei der Invalidenversicherung im August 2009; Art. 29 Abs. 1 IVG) von einem Arbeitspensum im Gesundheitsfall von 100 % aus, da die Tochter in der Zwischenzeit das ... Altersjahr erreicht habe und die Versicherte somit ohne Probleme ganztags arbeiten könnte (recte: würde; <ref-ruling> E. 2c S. 150; IV-Aktennotiz vom 31. Oktober 2011). Nach den Darlegungen in E. 5.2 ist somit die für die berufliche Vorsorge relevante Invalidität bezogen auf ein Arbeitspensum von 75 % zu bemessen, was, insoweit unbestritten, einen nicht anspruchsbegründenden Invaliditätsgrad von 33 % ergibt (§ 34 Abs. 1 lit. d VoLUPK).
Entgegen der Auffassung der Beschwerdegegnerin lässt sich weder aus § 11 Abs. 3 noch § 34 Abs. 2 VoLUPK (vgl. E. 3 vorne) ableiten, dass der Invaliditätsgrad der Invalidenversicherung, soweit nicht offensichtlich unhaltbar, in jedem Fall für die Beschwerdeführerin verbindlich ist. Gemäss § 11 Abs. 3 VoLUPK können sachliche Gründe gegen eine Bindungswirkung sprechen. Ein solcher Grund ist namentlich gegeben, wenn, wie vorliegend, das invalidenversicherungsrechtlich bedeutsame hypothetische erwerbliche Arbeitspensum im Gesundheitsfall höher ist als der berufsvorsorgerechtlich relevante, den Umfang der Versicherungsdeckung bestimmende Beschäftigungsgrad bei Eintritt der zur Invalidität führenden Arbeitsunfähigkeit nach Art. 23 lit. a BVG. Sodann sind gemäss § 34 Abs. 2 VoLUPK bezüglich Invaliditätsgrad die Vorschriften des IVG lediglich sinngemäss anwendbar.
5.4. Nach dem Gesagten verletzt der vorinstanzliche Entscheid Bundesrecht (Art. 95 lit. a BGG). Die Beschwerde ist begründet.
6.
Ausgangsgemäss hat die Beschwerdegegnerin die Gerichtskosten zu tragen (Art. 66 Abs. 1 BGG). Die obsiegende Beschwerdeführerin hat keinen Anspruch auf Parteientschädigung (Art. 68 Abs. 3 BGG; Urteil 9C_767/2012 vom 22. Mai 2013 E. 4, in: SVR 2013 BVG Nr. 46 S. 197).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird gutgeheissen. Der Entscheid des Kantonsgerichts Luzern, 3. Abteilung, vom 23. April 2015 wird aufgehoben und die Klage der Beschwerdegegnerin abgewiesen.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 800.- werden der Beschwerdegegnerin auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird den Parteien, dem Kantonsgericht Luzern, 3. Abteilung, und dem Bundesamt für Sozialversicherungen schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 23. September 2015
Im Namen der II. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Glanzmann
Der Gerichtsschreiber: Fessler