Sachverhalt:
A.
Das Bezirksgericht Bremgarten erklärte A._ am 3. Juli 2012 der mehrfachen sexuellen Handlungen mit einem Kind, der mehrfachen Vergewaltigung und der Hehlerei schuldig. Es verurteilte ihn zu einer Freiheitsstrafe von vier Jahren und sechs Monaten unter Anrechnung der Untersuchungs- und Sicherheitshaft von 192 Tagen. Das Bezirksgericht widerrief den bedingten Vollzug einer Strafe aus dem Jahre 2007 (80 Stunden gemeinnützige Arbeit). Es verpflichtete A._, B._ eine Genugtuung von Fr. 10'000.-- nebst Zins zu bezahlen.
Das Obergericht des Kantons Aargau wies eine von A._ dagegen erhobene Berufung am 2. Mai 2013 ab und legte die an B._ zu leistende Genugtuung in teilweiser Gutheissung der Anschlussberufung auf Fr. 15'000.-- nebst Zins fest.
B.
A._ führt Beschwerde ans Bundesgericht. Er beantragt, das Urteil des Obergerichts sei aufzuheben. Die Sache sei zu weiterer Sachverhaltsabklärung an die Staatsanwaltschaft Muri-Bremgarten, eventualiter an die Vorinstanz zurückzuweisen. Zudem ersucht A._ um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung.

Erwägungen:
1.
1.1. Der Beschwerdeführer macht geltend, B._ (nachfolgend: Beschwerdegegnerin 2) leide seit mehreren Jahren am sogenannten Alpers-Syndrom. Dabei handle es sich um eine degenerative Hirnerkrankung. Die Vorinstanz stelle betreffend den Vorwurf der mehrfachen Vergewaltigung einzig auf die Aussagen der Beschwerdegegnerin 2 ab. Indem die Vorinstanz kein Glaubhaftigkeitsgutachten über die Aussagen der Beschwerdegegnerin 2 eingeholt habe, habe sie den Untersuchungsgrundsatz im Sinne von Art. 6 und Art. 139 StPO, <ref-law> sowie den Anspruch auf rechtliches Gehör nach <ref-law> verletzt (Beschwerde S. 4 ff.).
1.2. Die Prüfung der Glaubhaftigkeit von Beweisaussagen ist primär Sache der Gerichte (<ref-ruling> E. 4 S. 57; <ref-ruling> E. 2 S. 84 ff.). Nach der Rechtsprechung drängt sich der Beizug eines Sachverständigen für die Prüfung der Aussagen nur bei besonderen Umständen auf. Dies ist etwa der Fall, wenn schwer interpretierbare Äusserungen eines Kleinkinds zu beurteilen sind, bei Anzeichen ernsthafter geistiger Störungen, welche die Aussageehrlichkeit des Zeugen beeinträchtigen könnten, oder wenn Anhaltspunkte für eine Beeinflussung durch Drittpersonen bestehen (<ref-ruling> E. 2.4 S. 184; Urteil 6B_667/ 2013 vom 20. Februar 2014 E. 2.4.5; je mit Hinweisen). Der Richter verfügt bei der Beantwortung der Frage, ob aufgrund der konkreten Umstände des Einzelfalles ein Sachverständiger zur Glaubwürdigkeitsbegutachtung beigezogen werden muss, über einen Ermessensspielraum. Eine starre Beweisregel, wonach bei streitigen Aussagen des mutmasslichen Opfers in jedem Fall ein Aussagegutachten anzuordnen wäre, widerspräche dem Grundsatz der freien richterlichen Beweiswürdigung (Urteil 6B_703/2012 vom 3. Juni 2013 E. 5.3 mit Hinweisen).
1.3. Der Vorwurf der mehrfachen Vergewaltigung stützt sich in erster Linie auf die Zeugenaussagen der Beschwerdegegnerin 2 (Jahrgang 1991). Sie gab an, die erste Vergewaltigung sei im Jahre 2006 auf der Damentoilette des Einkaufszentrums Coop in D._, die zweite im September oder Oktober 2009 in einem Motelzimmer in E._ geschehen. Die Beschwerdegegnerin 2 wurde am 12. und 20. November 2010 sowie am 14. April 2011 polizeilich befragt. Die Vorinstanzen würdigen zudem die Aussagen ihres Vaters und des Beschwerdeführers. Erst- und Vorinstanz gelangen zur Überzeugung, dass sich die Aussagen der Beschwerdegegnerin 2 durch eine Fülle von Realkriterien auszeichnen, selbst wenn die Vorfälle im Zeitpunkt der Befragungen einige Zeit zurücklagen. Die Schilderungen der Zeugin seien äusserst detailliert, in sich schlüssig und nachvollziehbar. Die Beschwerdegegnerin 2 habe das Geschehen mit verschiedenen Gegebenheiten zu einem stimmigen Ganzen verwoben. Der Tatablauf sei in den Einvernahmen beinahe identisch und stringent geschildert worden, ohne die Situation zu überzeichnen, das Geschehen zu dramatisieren oder den Beschwerdeführer unnötig zu belasten. Auch habe die Beschwerdegegnerin 2 sich teilweise selbst nachteilig dargestellt. Nachvollziehbar sei schliesslich, weshalb die Beschwerdegegnerin 2 nach den Übergriffen den Kontakt zum Beschwerdeführer nicht abgebrochen habe. Demgegenüber enthielten die Schilderungen des Beschwerdeführers mehrere offensichtliche Widersprüche und Unstimmigkeiten. Seine Aussagen seien nicht kohärent und unglaubhaft (erstinstanzlicher Entscheid S. 22 ff.; Urteil S. 14 ff.).
Die Beweiswürdigung der Vorinstanzen und insbesondere die Analyse der Zeugenaussagen fallen umfassend und sorgfältig aus. Die erste Instanz unterstrich, es setzte eine erhebliche intellektuelle Leistung voraus, den Vorfall in der Damentoilette frei zu erfinden. Dies sei kaum denkbar, insbesondere in Anbetracht des Alpers-Syndroms, welches bei der Beschwerdegegnerin 2 zu einer stetigen Degenerierung des Gehirns führe. Selbst wenn der Beschwerdeführer diese Diagnose in seiner Begründung aufnimmt, befasst er sich in keiner Weise mit der Sachverhaltsdarstellung der Beschwerdegegnerin 2. Er macht nicht geltend und es ist nicht ersichtlich, dass diese in ihrer Wahrnehmungs-, Erinnerungs- oder Wiedergabefähigkeit beeinträchtigt und zur wahrheitsgemässen Aussage nicht fähig oder nicht willens war. Mit Blick auf die protokollierten Schilderungen ist mit den Vorinstanzen festzuhalten, dass die Aussagen der Beschwerdegegnerin 2 authentisch und überzeugend ausfielen (vgl. vorinstanzliche Akten pag. 243 ff., 249 ff. und 270 ff.). In der Tat sind Auffälligkeiten in der Person oder Anzeichen für kognitive Beeinträchtigungen, welche sich in den Aussagen widerspiegeln und dem Gericht die fachgerechte Aussagenanalyse und Beweiswürdigung erschweren würden, weder dargetan noch ersichtlich. Die Vorinstanzen waren zweifelsohne in der Lage, die Zeugenaussagen zu würdigen, und konnten ohne Ermessensüberschreitung oder -missbrauch auf eine Glaubwürdigkeitsbegutachtung verzichten. Damit liegt auch keine Verletzung des rechtlichen Gehörs gemäss <ref-law> und <ref-law> vor (vgl. zum Recht des Betroffenen, mit erheblichen Beweisanträgen gehört zu werden, sowie zur antizipierten Beweiswürdigung <ref-ruling> E. 2.1 S. 127; <ref-ruling> E. 3.2 S. 270; <ref-ruling> E. 3.2 S. 272, 229 E. 5.3 S. 236 f.; je mit Hinweisen).
2.
2.1. Der Beschwerdeführer sieht unter Hinweis auf <ref-law>, Art. 6 Ziff. 3 lit. c EMRK, Art. 14 Ziff. 3 lit. d UNO-Pakt II (SR 0.103.2) und <ref-law> seinen Anspruch auf wirksame Verteidigung verletzt. Sein früherer amtlicher Verteidiger, Fürsprecher C._, sei offensichtlich überfordert gewesen. Dieser habe weder die Glaubhaftigkeit der Zeugenaussagen hinterfragt noch ein Glaubwürdigkeitsgutachten beantragt, sondern vielmehr an einer "von vornherein unwirksamen Strategie" festgehalten. Sein mündlicher Vortrag vor der ersten Instanz sei ungenügend gewesen. Die Überforderung habe sich auch im Fristversäumnis zur Berufungsbegründung gezeigt. Zudem habe der Offizialverteidiger gegen seinen (des Beschwerdeführers) Willen auf die Anhörung der Belastungszeugin im Berufungsverfahren verzichtet. Schliesslich macht der Beschwerdeführer ein fehlendes Vertrauensverhältnis zum amtlichen Verteidiger geltend. Er habe im vorinstanzlichen Verfahren wiederholt um einen Wechsel der Offizialverteidigung ersucht, was die Vorinstanz zu Unrecht abgewiesen habe (Beschwerde S. 6 ff.).
2.2. Die vorinstanzliche Verfahrensleitung wies das Gesuch des Beschwerdeführers um Wechsel der amtlichen Verteidigung am 21. Dezember 2012 ab. Sie erwog, der Beschwerdeführer habe einzig vorgebracht, mit seinem amtlichen Verteidiger nicht zufrieden zu sein. Anhaltspunkte für Pflichtverletzungen habe der Beschwerdeführer nicht dargelegt und seien nicht erkennbar. Fürsprecher C._ sei im Interesse des Beschwerdeführers tätig geworden. Hinweise, dass er bei den Einvernahmen nicht vorbereitet und die Verteidigung unwirksam war, bestünden nicht.
2.3. Nach der Praxis des Bundesgerichts zu Art. 29 Abs. 3 und <ref-law> hat der amtlich verteidigte Beschuldigte einen grundrechtlichen Anspruch auf sachkundige, engagierte und effektive Wahrnehmung seiner Parteiinteressen. Ein Begehren um Auswechslung des amtlichen Verteidigers ist zu bewilligen, wenn aus objektiven Gründen eine sachgemässe Vertretung der Interessen des Beschuldigten durch den bisherigen Rechtsanwalt nicht mehr gewährleistet ist (<ref-ruling> E. 2.4 S. 164 f. mit Hinweisen). Nach <ref-law> überträgt die Verfahrensleitung die amtliche Verteidigung einer anderen Person, wenn das Vertrauensverhältnis zwischen der beschuldigten Person und ihrer amtlichen Verteidigung erheblich gestört oder eine wirksame Verteidigung aus andern Gründen nicht mehr gewährleistet ist.
Allein das Empfinden der beschuldigten Person reicht für einen Wechsel der Verteidigung nicht aus. Vielmehr muss eine solche Störung mit konkreten Hinweisen, die in nachvollziehbarer Weise für ein fehlendes Vertrauensverhältnis sprechen, belegt und objektiviert werden. Der blosse Wunsch des Beschuldigten, nicht mehr durch den ihm beigegebenen Verteidiger vertreten zu werden, reicht für einen Wechsel nicht aus. Zudem ist der amtliche Verteidiger nicht bloss das unkritische Sprachrohr seines Mandanten. Für einen Verteidigerwechsel genügt deshalb nicht, wenn die Verteidigung eine problematische, aber von der beschuldigten Person gewünschte und verlangte Verteidigungsstrategie nicht übernimmt, oder wenn sie nicht bedingungslos glaubt, was die beschuldigte Person zum Delikt sagt, und das nicht ungefiltert gegenüber den Behörden vertritt. Gleiches gilt betreffend die Weigerung, aussichtslose Prozesshandlungen vorzunehmen. Hingegen erscheint der Anspruch auf eine wirksame Verteidigung verletzt, wenn die Verteidigung einer nicht geständigen beschuldigten Person andeutet, sie halte ihren Mandanten für schuldig (<ref-ruling> E. 2.4 S. 165 f. mit Hinweisen).
2.4. Wie die Vorinstanz nachvollziehbar darlegt, gibt es keine Anhaltspunkte, dass der amtliche Verteidiger seine Aufgabe nicht ernst genommen hätte. Dies gilt sowohl für das Untersuchungsverfahren als auch für das Verfahren vor den kantonalen Gerichten. Insbesondere zeigt der Beschwerdeführer nicht auf und fehlen konkrete Hinweise, dass die Offizialverteidigung sich ungenügend auf die Einvernahmen vorbereitet oder den Beschwerdeführer an der erstinstanzlichen Hauptverhandlung und im kantonalen Berufungsverfahren nicht hinreichend verteidigt hatte. Der Beschwerdeführer äusserte seine Unzufriedenheit erstmals wenige Monate nach der erstinstanzlichen Verurteilung. Was er durch seine erbetenen Verteidiger zur behaupteten unwirksamen Vertretung ausführen lässt, genügt teilweise den Begründungsanforderungen nicht und ist im Übrigen nicht stichhaltig.
2.4.1. Nicht einzugehen ist auf die nicht näher substanziierten Vorwürfe an die Adresse des amtlichen Verteidigers (etwa, sein Plädoyer vor der ersten Instanz sei "äusserst dünn bzw. dürftig", es habe "jegliches Engagement" gefehlt, es sei im vorinstanzlichen Verfahren "einfach stereotyp die im erstinstanzlichen Verfahren gescheiterte Strategie weiterverfolgt" worden). Solche pauschalen Behauptungen genügen den Begründungsanforderungen im Sinne von <ref-law> nicht.
2.4.2. Der Beschwerdeführer ersuchte im November 2012 schriftlich bei der Vorinstanz um Wechsel der amtlichen Verteidigung. Er hielt fest, er sei mit seinem amtlichen Verteidiger nicht zufrieden, da dieser ihm nicht geholfen habe. In der Folge wiederholte der Beschwerdeführer sein Gesuch mehrmals mit gleicher oder ähnlicher Begründung. Er wolle zudem einen amtlichen Verteidiger, den er selbst wählen könne. Die Vorinstanz hielt im Dezember 2012 zutreffend fest, dass der Beschwerdeführer, abgesehen von seiner Unzufriedenheit, keinen weiteren Grund für sein Gesuch genannt hatte. Der blosse Wunsch reicht für einen Verteidigerwechsel nicht aus. Der Beschwerdeführer macht nicht geltend, bei der Einsetzung des amtlichen Verteidigers (soweit erkennbar im November 2010) sei sein Vorschlagsrecht missachtet und dadurch Bundes- respektive Völkerrecht oder (früheres) kantonales Prozessrecht verletzt worden (vgl. betreffend <ref-law> <ref-ruling> E. 4.3 S. 119 mit Hinweisen). Vielmehr geht aus den Akten hervor, dass der Beschwerdeführer seinerzeit keinen Wunsch äusserte und mit der Bestellung durch das Bezirksamt Lenzburg einverstanden war (vorinstanzliche Akten pag. 18).
2.4.3. Im Verzicht, ein Glaubhaftigkeitsgutachten zu beantragen, sieht der Beschwerdeführer ohne Grund eine Pflichtverletzung der Offizialverteidigung (E. 1 hievor). Die Behauptung, der amtliche Verteidiger habe die Glaubhaftigkeit der Zeugenaussagen nicht ansatzweise hinterfragt, ist zudem aktenwidrig (vgl. das schriftliche Plädoyer vor der ersten Instanz, die Berufungserklärung vom 15. Oktober 2012 und die Berufungsbegründung vom 1. März 2013).
2.4.4. Es trifft zu, dass Fürsprecher C._ die ihm angesetzte richterliche Frist zur schriftlichen Berufungsbegründung im Sinne von <ref-law> nach zweimaliger Erstreckung versäumte (wobei die Rüge des Beschwerdeführers, es bleibe schleierhaft, wie eine gesetzliche Frist habe erstreckt werden können, und dessen Hinweis auf die nicht einschlägigen Art. 399 Abs. 3 und Art. 89 Abs. 1 StPO an der Sache vorbeigehen). Aus dem einmaligen Fristversäumnis vermag der Beschwerdeführer nichts für seinen Standpunkt abzuleiten. Zwar können in krassen Frist- und Terminversäumnissen schwere Pflichtverletzungen des Offizialverteidigers liegen (Urteil 1B_67/2009 vom 14. Juli 2009 E. 2.3 mit Hinweisen). Ein solcher Fall liegt hier nicht vor. Der amtliche Verteidiger legte im Rahmen seines Gesuchs um Wiederherstellung der Frist dar, wie es zum Fehler in seinem Sekretariat kam. Das entsprechende Verschulden hat sich der Offizialverteidiger anzurechnen. Die fehlerhafte Eintragung der Frist ist aber bis zu einem gewissen Grad verständlich. Sie kann auf jeden Fall nicht als krasses Versäumnis respektive als schwerwiegende Verfehlung eingestuft werden. Anzufügen bleibt, dass der Beschwerdeführer aufgrund der Fristwiederherstellung keinen prozessualen Nachteil erlitt. Soweit er wiederholt auf das "Verpassen der Nachholung der Berufungsbegründung mit dem Wiederherstellungsgesuch" verweist und damit bemängelt, der Offizialverteidiger habe das Wiederherstellungsgesuch und die Berufungsbegründung nicht gleichzeitig eingereicht, kann ihm in zweifacher Hinsicht nicht gefolgt werden. Zum einen war die versäumte Verfahrenshandlung innert 30 Tagen nach Wegfall des Säumnisgrundes nachzuholen (<ref-law>), welche Frist mit der Berufungsbegründung vom 1. März 2013 offensichtlich gewahrt wurde. Unter Beachtung dieser Frist konnte die Berufungsbegründung auch im Nachgang zum Gesuch um Fristwiederherstellung eingereicht werden (vgl. Daniel Stoll, in: Commentaire romand, Code de procédure pénale suisse, 2011, N. 16 zu <ref-law>). Zum andern hiess die vorinstanzliche Verfahrensleitung das Fristwiederherstellungsgesuch bereits am 25. Februar 2013 und damit vor der nachgeholten Verfahrenshandlung gut.
2.4.5. Die Vorinstanz hielt die Parteien am 19. November 2012 an, sich über die Durchführung des schriftlichen Verfahrens zu äussern, wobei Stillschweigen als Zustimmung gelte. Fürsprecher C._ erklärte sich mit dem vorinstanzlichen Vorschlag einverstanden. Der Beschwerdeführer sieht darin ohne Grund eine Pflichtverletzung. Dem amtlichen Verteidiger steht bei der Erfüllung seiner Aufgabe ein erheblicher Ermessensspielraum zu. Grundsätzlich wählt er (nach Rücksprache mit dem Beschuldigten) die Verteidigungsstrategie (<ref-ruling> E. 4b/bb S. 105 mit Hinweis). Er muss die Möglichkeit haben, Ansinnen seines Mandaten nicht mitzutragen. Dass die Vorinstanz den Verfahrensbeteiligten in Anwendung von <ref-law> die Behandlung der Berufung in einem schriftlichen Verfahren vorschlug, kann weder als sachlich unvertretbar noch als offensichtlich fehlerhaft bezeichnet werden. Mithin liegt in der fraglichen Zustimmung der Offizialverteidigung keine erhebliche Pflichtverletzung. Der Anspruch auf eine sachkundige, engagierte und effektive Wahrnehmung der Parteiinteressen war auch nicht deshalb tangiert, weil der Beschwerdeführer selbst ein mündliches Berufungsverfahren wünschte. Diesen Umstand hat der Offizialverteidiger, indem er eine persönliche Eingabe des Beschwerdeführers an die Vorinstanz weiterleitete, im Übrigen offengelegt.
2.4.6. Insgesamt sind keine konkreten Hinweise ersichtlich, die in objektiv nachvollziehbarer Weise für ein erheblich gestörtes Vertrauensverhältnis sprechen. Ebenso wenig sind erhebliche Pflichtverletzungen erkennbar, welche der Offizialverteidigung vorzuwerfen wären. Der Beschwerdeführer war durch seinen amtlichen Verteidiger sachgemäss vertreten. Die Vorinstanz verletzt ihre Fürsorgepflicht respektive die in der Verfassung und der EMRK gewährleisteten Verteidigungsrechte nicht, indem sie zum Schluss kommt, die amtliche Verteidigung nicht auf eine andere Person zu übertragen.
3.
Die Beschwerde ist abzuweisen, soweit darauf eingetreten werden kann. Der Beschwerdeführer wird ausgangsgemäss kostenpflichtig (<ref-law>). Sein Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung ist abzuweisen, da die Beschwerde von vornherein aussichtslos war (<ref-law> e contrario). Seinen angespannten finanziellen Verhältnissen ist mit reduzierten Gerichtskosten Rechnung zu tragen (<ref-law>). Der Beschwerdegegnerin 2 ist keine Entschädigung zuzusprechen, da ihr im bundesgerichtlichen Verfahren keine Umtriebe entstanden sind.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.
Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung wird abgewiesen.
3.
Die Gerichtskosten von Fr. 800.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Aargau, Strafgericht, 1. Kammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 8. Mai 2014
Im Namen der Strafrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Mathys
Der Gerichtsschreiber: Faga