Sachverhalt:
A.
Die Eheleute X._ und Y._ sind die Eltern des Kindes A._ (geb. 2009). Am 28. Januar 2011 reichte Y._ beim Bezirksgericht Zürich ein Gesuch um Erlass von Eheschutzmassnahmen ein mit dem Begehren, es sei festzustellen, dass die bereits seit 17. Januar 2011 getrennt lebenden Parteien weiterhin zum Getrenntleben berechtigt seien. Im weiteren beantragte sie den Erlass von Massnahmen bezüglich des Kindes (Obhut, Besuchsrecht und Unterhalt), die Regelung des persönlichen Unterhalts für die Dauer des Getrenntlebens und weitere Massnahmen, die hier nicht von Belang sind. Mit Urteil vom 14. Dezember 2012 ordnete das Bezirksgericht Zürich Eheschutzmassnahmen an.
B.
Auf Berufung von X._ hin erkannte das Obergericht des Kantons Zürich mit Urteil vom 5. Juni 2013, die gemeinsame Tochter der Parteien werde für die Dauer des Getrenntlebens unter die Obhut von Y._ gestellt (1). Ferner wies das Obergericht den Antrag auf Erteilung der Weisung, es sei Y._ zu verbieten, den Wohnsitz ins Ausland zu verlegen, sowie den Antrag auf Einsetzung einer sozialpädagogischen Begleitung für Y._ ab (2 und 3). Im Weiteren ordnete das Obergericht das X._ zustehende Besuchs- und Ferienrecht (4 und 5). X._ wurde verpflichtet, Y._ an den Unterhalt und die Erziehung der Tochter ab 17. Januar 2011 monatlich im voraus, jeweils auf den Ersten des Monats einen Unterhaltsbeitrag zu bezahlen (7) und an den persönlichen Unterhalt von Y._ ab 17. Januar 2011 für die weitere Dauer des Getrenntlebens, monatlich im Voraus, jeweils auf den Ersten des Monats einen Beitrag zu leisten (8). Die Gerichtskosten des zweitinstanzlichen Verfahrens wurden Y._ zu 3/5 und X._ zu 2/5 auferlegt, jedoch zufolge Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege einstweilen je auf die Gerichtskasse genommen, wobei die Nachzahlungspflicht gestützt auf Art. 123 ZPO vorbehalten blieb (14).
C.
X._ (Beschwerdeführer) hat am 4. Juli 2013 (Postaufgabe) gegen das Urteil des Obergerichts des Kantons Zürich vom 5. Juni 2013 beim Bundesgericht Beschwerde und Verfassungsbeschwerde erhoben. Er beantragt, die Ziffern 1 bis und mit 5 vollständig, die Ziffer 7 bezüglich der Unterhaltspflicht ab 1. Februar 2013 und Ziffer 8 bezüglich der Unterhaltspflicht ab dem 1. Juli 2013 aufzuheben (1). Das Verfahren sei an das Obergericht des Kantons Zürich zurückzuweisen mit der Auflage, die Parteien zur Krankheit und den psychischen Problemen und insbesondere zu den Herzbeschwerden von Y._ (Beschwerdegegnerin) und zur Einnahme von Medikamenten zu befragen. Die Beschwerdegegnerin habe darüber Auskunft zu geben, welcher Arzt die Medikamente verschrieben habe. Es seien der Hausarzt der Beschwerdegegnerin sowie der Psychiater schriftlich oder mündlich betreffend Diagnose/psychische Beschwerden bzw. betreffend Einschränkung der Erziehungsfähigkeit anzufragen und soweit nötig weitere Erhebungen im Rahmen der Offizial- und Untersuchungsmaxime durchzuführen (2). Das Obergericht des Kantons Zürich sei anzuweisen, hernach neu im Rahmen der angefochtenen Dispositiv-Ziffern zu entscheiden, dem Beschwerdeführer die Obhut über die Tochter zu übertragen und der Beschwerdegegnerin ein angemessenes Besuchsrecht einzuräumen (3). Das Obergericht sei anzuweisen, die Unterhaltspflicht des Beschwerdeführers gegenüber dem gemeinsamen Kind bis zum Obhutswechsel zu befristen. Gegenüber der Beschwerdegegnerin sei die Unterhaltspflicht ebenfalls bis zum Obhutswechsel zu befristen und von weiteren Unterhaltsbeiträgen mangels Leistungsfähigkeit abzusehen (4). Eventuell seien die Beweiserhebungen vom Bundesgericht vorzunehmen und danach über die Rechtsbegehren 3 und 4 zu entscheiden (5). Subeventuell sei der Beschwerdegegnerin die Weisung zu erteilen, den Wohnsitz mit der gemeinsamen Tochter nicht ins Ausland zu verlegen sowie eine sozialpädagogische Familienbegleitung zu installieren (6). Für das bundesgerichtliche Verfahren ersucht der Beschwerdeführer um unentgeltliche Rechtspflege. Es sind keine Vernehmlassungen eingeholt worden.

Erwägungen:
1.
1.1. Angefochten ist ein kantonal letztinstanzlicher Endentscheid eines oberen kantonalen Gerichts als Rechtsmittelinstanz betreffend Eheschutzmassnahmen (Art. 75 Abs. 1 und 2; Art. 90 BGG). Es liegt eine Zivilsache im Sinn von Art. 72 Abs. 1 BGG vor, wobei nebst den Unterhaltsbeiträgen für die Beschwerdegegnerin und das gemeinsame Kind auch die Obhut über das Kind sowie das Besuchsrecht strittig sind. Stehen somit nicht ausschliesslich vermögensrechtliche Begehren zur Diskussion, ist die Beschwerde ungeachtet des Streitwertes gegeben (vgl. dazu: Urteil 5A_108/2007 vom 11. Mai 2007 E. 1.2; 5A_432/2011 vom 20. September 2011 E. 1.1.). Die übrigen Eintretensvoraussetzungen geben unter Vorbehalt von E. 1.3 bis 1.5 zu keinen Bemerkungen Anlass. Auf die Beschwerde ist unter dem genannten Vorbehalt einzutreten. Ist die Beschwerde zulässig, fällt die Verfassungsbeschwerde ausser Betracht (Art. 113 BGG).
1.2. Nach der Rechtsprechung gelten Eheschutzentscheide als vorsorgliche Massnahmen im Sinne von Art. 98 BGG (<ref-ruling> E. 5.1 und 5.2 S. 396 f.). Daher kann nur die Verletzung verfassungsmässiger Rechte gerügt werden (s. dazu <ref-ruling> E. 4.1 S. 588). Auch eine Berichtigung oder Ergänzung der Sachverhaltsfeststellungen kommt nur dann infrage, wenn die kantonale Instanz verfassungsmässige Rechte verletzt hat (<ref-ruling> E. 4.1 S. 588). Für alle Vorbringen betreffend die Verletzung verfassungsmässiger Rechte gilt das strenge Rügeprinzip. Die rechtssuchende Partei muss in der Beschwerde präzise angeben, welches verfassungsmässige Recht durch den angefochtenen kantonalen Entscheid verletzt wurde, und im Einzelnen darlegen, worin die Verletzung besteht (<ref-ruling> E. 3.2 S. 444). Das Bundesgericht prüft nur klar und detailliert erhobene und, soweit möglich, belegte Rügen. Auf ungenügend begründete Rügen und rein appellatorische Kritik am angefochtenen Entscheid tritt es nicht ein (<ref-ruling> E. 2.2 S. 246; <ref-ruling> E. 3.1 S. 399 f.).
1.3. Der blosse Rückweisungsantrag ist zulässig, zumal das Bundesgericht im Fall der Gutheissung der Beschwerde nicht selbst reformatorisch entscheiden könnte (Art. 42 Abs. 1; <ref-ruling> E. 1.2 S. 135).
1.4. Soweit der Beschwerdeführer vor Bundesgericht Beweisanträge stellt, ist darauf nicht einzutreten: Das Bundesgericht nimmt nicht selbst Beweise ab, um den Sachverhalt festzustellen oder den vorinstanzlich festgestellten Sachverhalt zu ergänzen (vgl. <ref-ruling> E. 3.4.2; Urteil 5A_339/2009 vom 29. September 2009 E. 2.4).
1.5. Nicht einzutreten ist auf die Noveneingabe des Beschwerdeführers vom 13. September 2013: Zum einen bezieht sie sich auf Tatsachen, die nach dem angefochtenen Entscheid eingetreten sein sollen (echte Noven), die im Beschwerdeverfahren grundsätzlich unzulässig sind (<ref-ruling> E. 2 unter Berufung auf: <ref-ruling> E. 2; <ref-ruling> E. 1.2.1, je mit Hinweisen). Zum andern betreffen sie die Einnahme von Medikamenten durch die Beschwerdegegnerin, wobei nicht dargelegt wird, inwiefern der angefochtene Entscheid zu deren Eingabe Anlass gegeben hat. Darauf ist nicht einzutreten (Art. 99 Abs. 1 BGG).
2.
Der Beschwerdeführer macht geltend, er habe in der Berufung vom 21. Januar 2013 Ziffer 6 an das Obergericht im Zusammenhang mit der strittigen Obhutszuteilung seine persönliche Befragung in Form einer Beweisaussage zu den geltend gemachten Herzbeschwerden bzw. der psychischen Gesundheit der Beschwerdegegnerin verlangt. Im weiteren habe er in seiner Stellungnahme an das Obergericht vom 14. März 2013 Ziffer 11 die schriftliche/mündliche Anfrage beim Psychiater der Beschwerdegegnerin beantragt. Das Obergericht sei auf diese relevanten Beweisanträge ohne Begründung nicht eingegangen und habe damit Art. 29 Abs. 2 BV verletzt.
2.1. Zum Anspruch auf rechtliches Gehör (Art. 29 Abs. 2 BV) gehört das Recht des Betroffenen auf Abnahme rechtzeitig und formrichtig angebotener rechtserheblicher Beweismittel. Das Gericht kann auf die Abnahme von Beweisen verzichten, wenn es aufgrund bereits abgenommener Beweise seine Überzeugung gebildet hat und ohne Willkür annehmen kann, seine Überzeugung werde durch weitere Beweiserhebungen nicht geändert (<ref-ruling> E. 5.3 S. 148 mit Hinweisen; <ref-ruling> E. 5.3; <ref-ruling> E. 5.3; <ref-ruling> E. 3).
2.2. Aus Art. 29 Abs. 2 BV ergibt sich die Pflicht der Behörde, ihren Entscheid zu begründen (<ref-ruling> E. 3a S. 51, 242 E. 2; je mit Hinweisen). Dabei ist nicht erforderlich, dass sie sich mit allen Parteistandpunkten einlässlich auseinandersetzt und jedes einzelne Vorbringen ausdrücklich widerlegt. Vielmehr kann sie sich auf die für den Entscheid wesentlichen Punkte beschränken. Die Begründung muss so abgefasst sein, dass sich der Betroffene über die Tragweite des Entscheids Rechenschaft geben und ihn in voller Kenntnis der Sache an die höhere Instanz weiterziehen kann. In diesem Sinne müssen wenigstens kurz die Überlegungen genannt werden, von denen sich die Behörde hat leiten lassen und auf die sich ihr Entscheid stützt (vgl. <ref-ruling> E. 3.3 S. 445; <ref-ruling> E. 4.3 S. 540; <ref-ruling> E. 3.2 S. 236; <ref-ruling> E. 2b S. 102 f.; je mit Hinweisen). Im Falle vorweggenommener Beweiswürdigung muss sich zumindest implizit ergeben, weshalb das Gericht dem nicht abgenommenen Beweismittel jede Erheblichkeit oder Tauglichkeit abspricht (Urteil 5P.322/2001 vom 30. November 2001 E. 3c, nicht publiziert in <ref-ruling> mit Hinweisen).
2.2.1. Mit Bezug auf den Gesundheitszustand der Beschwerdegegnerin und die geltend gemachten Herzbeschwerden bzw. die Panikattaken hat das Obergericht erwogen, entgegen den Aussagen des Beschwerdeführers habe sich die erste Instanz mit den diesbezüglichen Vorbringen auseinandergesetzt, sei jedoch darauf nicht weiter eingegangen, da die Behauptungen offenbar auf angeblichen Aussagen der Therapeutin des Beschwerdeführers beruhten. Auch im Berufungsverfahren erschöpften sich die Aussagen der Beschwerdeführers zu den angeblich psychisch bedingten Herzbeschwerden der Beschwerdegegnerin in blossen Behauptungen. Im Weiteren gilt es darauf hinzuweisen, dass die Beschwerdegegnerin in der Berufungsantwort die Ausführungen des Beschwerdeführers bestritten hat. Auch wenn sich das Obergericht nicht ausdrücklich zum Antrag auf Abnahme einer Beweisaussage (Art. 192 ZPO) geäussert hat, ergibt sich doch aus den Ausführungen zumindest implizit, dass dieses Beweismittel seiner Ansicht nach an der bejahten Eignung der Beschwerdegegnerin, das gemeinsame Kind in ihre Obhut zu nehmen, nichts zu ändern vermöchte. In diesem Zusammenhang ist insbesondere auf die Bemerkung des Obergerichts hinzuweisen, dass sich die Beschwerdegegnerin bis zur Trennung quantitativ am meisten um die Tochter gekümmert hat. Abgesehen davon dürfte es sich angesichts der Bestreitung der Beschwerdegegnerin aufdrängen, auch ihre Aussage als Beweisaussage abzunehmen, womit erneut Aussage gegen Aussage stünde. Von Bedeutung ist schliesslich, dass der Beschwerdeführer seine Aussagen auf Angaben seiner eigenen Ärztin stützt. Inwiefern mit einer darauf gründenden Beweisaussage des Beschwerdeführers etwas gewonnen werden könnte, bleibt unerfindlich. All dies rechtfertigt die Annahme, das Obergericht habe den Antrag in implizit vorgenommener antizipierter Beweiswürdigung verworfen. Der Entscheid erweist sich im Ergebnis als nicht willkürlich.
2.2.2. Was die beantragte Einvernahme des Arztes bzw. des Psychiaters der Beschwerdegegnerin anbelangt, so war dieser erst in der Stellungnahme des Beschwerdeführers vom 14. März 2013 gestellte Antrag eindeutig verspätet. Auch in den von der Offizial- und Untersuchungsmaxime beherrschten Kinderbelangen (Art. 296 ZPO) trifft die Parteien die Pflicht, an der Ermittlung des Sachverhalts mitzuwirken (<ref-ruling> E. 3.2.1 S. 413; Urteil 5A_285/2013 vom 24. Juli 2013 E. 4.3). Die Frage des Gesundheitszustandes der Beschwerdegegnerin war bereits vor der ersten Instanz thematisiert. Der Beschwerdeführer zeigt nicht substanziiert auf, dass er den entsprechenden Antrag bereits vor erster Instanz gestellt hat. Nach Art. 317 Abs. 1 ZPO können neue Beweismittel im Berufungsverfahren berücksichtigt werden, wenn sie ohne Verzug vorgebracht werden (lit. a) und trotz zumutbarer Sorgfalt nicht schon vor erster Instanz hätten vorgebracht werden können. Der Beschwerde lässt sich nicht entnehmen, warum der Beschwerdeführer nicht in der Lage gewesen sein sollte, den Antrag vor erster Instanz vorzutragen. Zudem ist auch nicht ersichtlich, weshalb dies nicht spätestens in der Berufung hätte nachgeholt werden können. Unter diesen Umständen war das Obergericht auch im Lichte von Art. 29 Abs. 2 BV nicht gehalten, sich zu diesem verspäteten und damit im Verfahren nicht zu berücksichtigenden Beweisantrag zu äussern.
2.2.3. Zusammengefasst kann somit von einer Verletzung von Art. 29 Abs. 2 BV keine Rede sein.
3.
Mit Bezug auf die Rechtsbegehren 2-5 und 14 zeigt der Beschwerdeführer nicht auf, inwiefern das Obergericht damit verfassungsmässige Rechte verletzt haben soll. Darauf ist nicht einzutreten (E. 1.2).
4.
Damit ist die Beschwerde abzuweisen, soweit darauf eingetreten werden kann. Bei diesem Ausgang des Verfahrens wird der Beschwerdeführer kostenpflichtig (Art. 66 Abs. 1 BGG). Er hat die Gegenpartei jedoch für das bundesgerichtliche Verfahren nicht zu entschädigen, da keine Vernehmlassung eingeholt worden ist.
5.
Wie die bisherigen Ausführungen zeigen, hat sich die vorliegende Beschwerde als von Anfang an aussichtslos erwiesen. Fehlt es somit an einer der kumulativen Voraussetzungen für die Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege für das bundesgerichtliche Verfahren (nicht aussichtslose Beschwerde), muss das entsprechende Gesuch des Beschwerdeführers abgewiesen werden (64 Abs. 1 BGG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.
Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege wird abgewiesen.
3.
Die Gerichtskosten von Fr. 2'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien, dem Obergericht des Kantons Zürich, I. Zivilkammer, der Staatsanwaltschaft IV des Kantons Zürich, Gewaltdelikte, Büro B-3, und dem Bezirksgericht Zürich, 10. Abteilung, Einzelgericht, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 20. Januar 2014
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: von Werdt
Der Gerichtsschreiber: Zbinden