Sachverhalt:
A.
Mit Strafbefehl vom 30. Mai 2012 sprach Y._, Staatsanwalt des Kantons Wallis, X._, Betriebsleiter des Kraftwerks A._ AG in B._, welches von der C._ SA in D._ betrieben wird, der fahrlässigen Verletzung der Gewässerschutzgesetzgebung schuldig, verpflichtete ihn zur Bezahlung einer Geldstrafe von Fr. 16'200.- und auferlegte ihm eine Busse von Fr. 3'000.- sowie anteilsmässig die Kosten des Verfahrens im Umfang von Fr. 800.-. Gleichzeitig stellte er das Strafverfahren gegen E._, Verwaltungsrat und Geschäftsführer der F._ AG in G._ und der H._ AG in G._ wegen fahrlässiger Widerhandlungen gegen das Gewässerschutzgesetz ohne Kosten- und Entschädigungsfolgen ein. X._ führte gegen den Strafbefehl Einsprache. Am 12. Februar 2013 erhob Y._ beim Bezirksgericht Brig Anklage gegen X._ und beschuldigte ihn, am 21. Mai 2010 in pflichtwidriger Unvorsichtigkeit eine Verschmutzung der Rhone zwischen B._ und I._ herbeigeführt zu haben. Nachdem X._ mit Eingabe vom 4. März 2013 ans Bezirksgericht einen Antrag um Durchführung einer Expertise gestellt und in diesem Rahmen unter anderem vorgebracht hatte, verschiedene Umstände seien geeignet, den Anschein zu erwecken, dass Y._ bei seiner Vorgehensweise in der Streitsache voreingenommen sei, setzte der Staatsanwalt dem Rechtsvertreter des Beschuldigten in seinem Schreiben vom 24. Juni 2013 (mit der Bezeichnung: "Verfügung [Ausstand]") eine zehntägige Frist, um ein allfälliges Ausstandsbegehren gegen ihn einzureichen.
Am 1. Juli 2013 liess X._ ein förmliches Ausstandsgesuch stellen, welches vom Kantonsgericht des Kantons Wallis abgewiesen wurde, soweit es darauf eintrat (einzelrichterliche Verfügung der Strafkammer vom 4. September 2013).
B.
X._ lässt Beschwerde in Strafsachen beim Bundesgericht führen mit dem sinngemässen Antrag, dem Ausstandsbegehren gegen Y._ sei stattzugeben und dieser sei durch eine unbefangene Staatsanwältin oder einen unbefangenen Staatsanwalt zu ersetzen.
Y._ schliesst unter Hinweis auf die Akten und den angefochtenen Entscheid vom 4. September 2013 auf Abweisung der Beschwerde. Das Kantonsgericht verzichtet auf eine Stellungnahme.

Erwägungen:
1.
Bei der angefochtenen Verfügung handelt es sich um einen selbstständig eröffneten Zwischenentscheid über ein Ausstandsbegehren in einer Strafsache (Art. 78 Abs. 1 und <ref-law>). Die Strafkammer des Kantonsgerichts hat als letzte und einzige kantonale Instanz entschieden (<ref-law> i.V.m. <ref-law>). Dagegen ist die Beschwerde nach <ref-law> zulässig. Der Beschwerdeführer ist gemäss Art. 81 Abs. 1 lit. a und lit. b Ziff. 1 BGG zur Beschwerde befugt. Die weiteren Sachurteilsvoraussetzungen geben zu keinen Bemerkungen Anlass. Auf die Beschwerde ist einzutreten.
2.
Mit der Beschwerde in Strafsachen an das Bundesgericht kann insbesondere die Verletzung von Bundesrecht gerügt werden (<ref-law>). Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (<ref-law>), prüft die bei ihm angefochtenen Entscheide aber grundsätzlich nur auf Rechtsverletzungen hin, die von den Beschwerdeführern geltend gemacht und begründet werden (vgl. <ref-law>). Erhöhte Anforderungen an die Begründung gelten, soweit die Verletzung von Grundrechten gerügt wird (<ref-law>; <ref-ruling> E. 1.4.2 S. 254 mit Hinweisen).
3.
Der Beschwerdeführer macht geltend, es lägen Umstände vor, die den untersuchungsleitenden Staatsanwalt objektiv als befangen erscheinen liessen. Diese seien rechtzeitig geltend gemacht worden. Der angefochtene Entscheid verstosse daher gegen Art. 56 und 58 StPO und gegen das Willkürverbot.
4.
4.1. Die Ausstandsgründe betreffend die in einer Strafbehörde tätigen Personen sind in <ref-law> geregelt. Zu den Strafbehörden gehören neben den Gerichten (<ref-law>) die Strafverfolgungsbehörden, darunter die Organe der Staatsanwaltschaft (<ref-law>). <ref-law> konkretisiert hinsichtlich der Staatsanwaltschaft in ihrer Funktion als Strafuntersuchungs- und Anklagebehörde den in <ref-law> und Art. 6 Ziff. 1 EMRK verankerten Anspruch jeder Person auf ein faires Verfahren. Von den in Art. 56 lit. a-e StPO geregelten besonderen Ausstandsgründen abgesehen, tritt ein Staatsanwalt oder eine Staatsanwältin in den Ausstand, wenn diese Justizperson "aus anderen Gründen, insbesondere wegen Freundschaft oder Feindschaft mit einer Partei oder deren Rechtsbeistand, befangen sein könnte" (<ref-law>).
4.2. Die Strafbehörden sind in der Rechtsanwendung unabhängig und allein dem Recht verpflichtet (<ref-law>). Gesetzliche Weisungsbefugnisse gegenüber den Strafverfolgungsbehörden nach <ref-law> bleiben vorbehalten (<ref-law>). Nach der Rechtsprechung des Bundesgerichtes hat die beschuldigte Person keinen grundrechtlichen Anspruch darauf, dass untersuchungsleitende Staatsanwälte (<ref-law>) oder mit Ermittlungen beauftragte Polizeiorgane (<ref-law>) mit qualifizierter richterlicher Unabhängigkeit im Sinne von <ref-law> amtieren (vgl. <ref-ruling> E. 2.2.1 S. 145; <ref-ruling> E. 2b S. 198; Urteil 1B_69/2013 vom 27. Juni 2013 E. 4).
4.3. Im Interesse einer beförderlichen Rechtspflege sind Ausstandsbegehren gegen Justizpersonen nicht leichthin gutzuheissen, zumal eine Bewilligung der Begehren zur Komplizierung und Verzögerung des Verfahrens führen kann. Zu beachten sind auch die unterschiedlichen gesetzlichen Funktionen der Gerichte einerseits und der Strafverfolgungsbehörden anderseits. Von Letzteren sind Sachlichkeit, Unbefangenheit und Objektivität namentlich insofern zu erwarten, als sie sich vor Abschluss der Voruntersuchung grundsätzlich nicht darauf festlegen sollen, dass der beschuldigten Person ein strafbares Verhalten zur Last zu legen wäre. Auch haben sie den entlastenden Indizien und Beweismitteln ebenso Rechnung zu tragen wie den belastenden (<ref-ruling> E. 2.2.1 S. 145; <ref-ruling> E. 2d S. 199 f.; Urteil 1B_69/2013 vom 27. Juni 2013 E. 4.1). Nach Abschluss des Vorverfahrens (bzw. im Haupt- und Rechtsmittelverfahren) hat die Staatsanwaltschaft hingegen Parteistellung (<ref-law>), weshalb in diesem Verfahrensstadium andere Gesichtspunkte gelten (<ref-ruling> E. 2.2.2 S. 145 f. mit Hinweisen).
5.
5.1. Der Staatsanwalt legte dem Strafbefehl hinsichtlich des Beschwerdeführers bzw. der uno actu ergangenen Einstellungsverfügung in Bezug auf E._ vom 30. Mai 2012 den nachfolgend - verkürzt - wiedergegebenen Sachverhalt zugrunde. Die C._ SA habe vom 18. bis 26. Mai 2010 eine bewilligte Spülung des Gebidem-Stausees durchgeführt. Der Beschwerdeführer sei als Betriebsleiter des Kraftwerks A._ AG für die Durchführung der Seespülung zuständig gewesen. Im Rahmen der Seespülung würden Sedimente aus dem Stausee in die Rhone ausgeschwemmt, wobei die F._ AG auf ihrem Areal kurz vor der Einmündung der Massa in die Rhone einen Teil des mit Geschiebe befrachteten Wassers mit Hilfe kleinerer Staubecken auffange. So werde das Kies ausgeschieden. Das Kieswerk werde durch E._ geführt. Am Morgen des 21. Mai 2010 sei anlässlich der Seespülung die Schwebestoffkonzentration des Rhonewassers auf der Höhe Brigerbad innerhalb sehr kurzer Zeit sprungartig von weniger als 10 ml/l auf über 150 ml/l angestiegen. Die gesetzlich vorgeschriebenen Einleitungsgrenzwerte für die gesamten ungelösten Stoffe in der Rhone von maximal 80 ml/l seien massiv überschritten worden. Eine Reduktion des Fischbestandes in der Rhone und Sachschaden an den Anlagen der J._ AG seien die Folgen des verunreinigten Kühlwassers gewesen.
5.2. E._ ist Mitglied und sein Schwager, K._, Präsident des Verwaltungsrates der F._ AG. Es ist unbestritten, dass Y._ sein Anwaltspraktikum bei K._ absolviert hatte, eine Mietwohnung, welche K._ gehört, bewohnt und, wie dieser auch, Mitglied im lokalen Jodlerverein ist. Uneinigkeit besteht über den Zeitpunkt der Kenntnisnahme dieser Umstände durch den Beschwerdeführer. Während dieser geltend macht, sein Rechtsvertreter habe am 16. Juli 2012 erstmals von den Beziehungen zwischen dem Staatsanwalt und dem Verwaltungsratspräsidenten erfahren, hielt Y._ in seinem Schreiben vom 24. Juni 2013 fest, er habe diesen Sachverhalt den Parteien vor der ersten Einvernahme vom 13. März 2012 in den Räumlichkeiten der Staatsanwaltschaft persönlich dargelegt, wobei er bereits damals mitgeteilt habe, dass er sich nicht als befangen erachte, er das Dossier aber umgehend abgeben werde, falls die Parteien dies wünschten. Überdies äusserte der Staatsanwalt, dass er sich einem allfälligen Ausstandsbegehren - für welches er eine zehntägige Frist einräume - widersetzen würde, weil es verspätet wäre und ein venire contra factum proprium darstellen würde.
5.3. Zur Begründung seines in der Folge erhobenen förmlichen Ausstandsgesuchs vom 1. Juli 2013 berief sich der Beschwerdeführer nur indirekt auf die Beziehung zwischen Y._ und K._, über welche er - nach seiner Behauptung - am 16. Juli 2012 orientiert worden sei. In erster Linie verwies er auf den Inhalt des staatsanwaltlichen Schreibens vom 24. Juni 2013 und machte geltend, bislang habe es nur den Anschein gemacht, dass Y._ befangen sei, aber nunmehr stehe es seit Erhalt dieses Schreibens definitiv fest: Der Staatsanwalt habe "den Tatbeweis" für seine Befangenheit erbracht, indem er eine unwahre Behauptung aufgestellt habe.
5.3.1. Soweit erst eine Kumulation mehrerer Vorfälle Anlass zur Besorgnis wegen Befangenheit gibt, ist bei der Beurteilung der Rechtzeitigkeit dem Umstand Rechnung zu tragen, dass der Gesuchsteller nicht vorschnell reagieren kann und gegebenenfalls zunächst zuwarten muss, um das Risiko zu vermeiden, dass sein Gesuch als unbegründet abgewiesen wird. Es muss daher zulässig sein, in Verbindung mit neu entdeckten Umständen auch bereits früher bekannte Tatsachen geltend zu machen, wenn erst eine Gesamtwürdigung zur Bejahung eines Ausstandsgrundes führt, während die isolierte Geltendmachung der früheren Tatsachen die Stellung eines solchen Begehrens nicht hätte rechtfertigen können ( MARKUS BOOG, in: Basler Kommentar, Schweizerische Strafprozessordnung, 2011, N. 7 zu <ref-law>). Begründen mehrere Vorkommnisse erst zusammen den Ausstandsgrund, so ist dieser Augenblick dann gekommen, wenn nach Auffassung des Gesuchstellers der "letzte Tropfen das Fass zum Überlaufen" gebracht hat ( ANDREAS J. KELLER, in: Kommentar zur Schweizerischen Strafprozessordnung, 2010, N. 3 zu <ref-law>).
5.3.2. Der Beschwerdeführer bringt vor, dass die persönlichen Beziehungen zwischen dem Staatsanwalt und dem Präsidenten der Kieswerkgesellschaft ihn nicht zur Stellung eines Ausstandsbegehren bewogen hätten, was aus heutiger Sicht zweifellos falsch gewesen sei. Dieser Entscheid sei aber unter Zeitdruck erfolgt und im Übrigen vorliegend nicht von Belang. Das Ausstandsbegehren sei einzig wegen der wahrheitswidrigen Äusserung des Staatsanwalts im Schreiben vom 24. Juni 2013 gestellt worden.
Schon vor Erhalt des staatsanwaltlichen Schreibens vom 24. Juni 2013 befasste sich der Beschwerdeführer allerdings mit der Befangenheitsfrage. Bereits in der im Nachgang zur Besprechung vom 16. Juli 2012 verfassten E-Mail vom 19. Juli 2012 teilte der Rechtsvertreter des Beschwerdeführers mit, dass er nach Studium der Rechtsquellen zur StPO zur Erkenntnis gelangt sei, es sei kein Ausstandsgrund gegeben. In seiner Eingabe vom 4. März 2013 nannte er jedoch bei der Aufzählung der Gründe, welche geeignet seien, den Anschein der Befangenheit zu erwecken, an erster Stelle die Beziehungen zwischen dem Staatsanwalt und K._. Zusätzlich werde die Anscheinserweckung durch "drei prozessuale Fakten" verstärkt. Die Instruktion sei bereits am 21. August 2012 abgeschlossen gewesen, die Anklageerhebung sei aber erst am 12. Februar 2013 erfolgt. Zudem sei die Einstellungsverfügung bezüglich E._ vom 30. Mai 2012 ergangen, ohne dass vorher eine Expertise eingeholt worden sei, und schliesslich habe der Staatsanwalt den von der Verteidigung gestellten Antrag auf ein Gutachten mit Entscheid vom 21. August 2012 unter Angabe nicht stichhaltiger Gründe abgelehnt. Vor Bundesgericht befasst sich der Beschwerdeführer wiederum mit dem Dauervertragsverhältnis zwischen dem Verwaltungsratspräsidenten der Kieswerkgesellschaft und dem Staatsanwalt. Y._ habe von Anfang an gewusst, dass er diesen Umstand gegenüber den Parteien verschweige. Damit könne ausgeschlossen werden, dass er sich "bei der Behauptung der unwahren Mitteilung" (vom 24. Juni 2013) geirrt habe. Ein Staatsanwalt, welcher bewusst eine Lüge in die Akten setze, biete keine Gewähr für Sachlichkeit und Objektivität, selbst wenn das Vorverfahren unmittelbar vor dem Abschluss stehe.
5.3.3. Ausstandsbegehren sind nach ausdrücklicher Gesetzesvorschrift "ohne Verzug" (<ref-law>), mithin sofort nach Bekanntwerden der Ausstandsgründe zu stellen, wobei die den Ausstand begründenden Tatsachen glaubhaft zu machen sind; wer den Anspruch auf Ausstand einer in einer Strafbehörde tätigen Person nicht so früh wie möglich vorbringt, verwirkt den Anspruch auf seine spätere Anrufung (<ref-ruling> E. 3.4 S. 211; <ref-ruling> E. 4.3.1 S. 21; Urteil 1B_13/2013 vom 17. April 2013 E. 4). Gleiche zeitliche Anforderungen stellt etwa <ref-law>. Ein unverzügliches Handeln wird auch in der Rechtsprechung zu Art. 30 bzw. <ref-law> gefordert (Urteil 1B_689/2012 vom 20. Dezember 2012 E. 3 mit Hinweisen). Praxisgemäss gilt ein Ausstandsgesuch, das sechs bis sieben Tage nach Kenntnis des Ausstandsgrundes eingereicht wird, als rechtzeitig. Ein Zuwarten während zwei oder drei Wochen ist hingegen nicht zulässig (Urteil 1B_499/2012 vom 7. November 2012 E. 2.3; vgl. auch BOOG, a.a.O., N. 5 zu <ref-law> mit weiteren Hinweisen).
5.3.3.1. Soweit die Vorinstanz davon ausgeht, die Verflechtungen zwischen dem Staatsanwalt und K._ könnten das Ausstandsgesuch nicht mehr rechtfertigen, da sie verspätet vorgebracht worden seien, kann ihr nicht ohne Weiteres gefolgt werden. Massgebend ist nämlich, ob - in zeitlicher Hinsicht ausgehend von der letzten bekannt gewordenen, erheblichen Tatsache, welche auf eine Befangenheit hinweist - eine Gesamtwürdigung aller Umstände zur Bejahung eines Ausstandsgrundes führt, weshalb in diesem Rahmen auch bereits früher entdeckte Tatsachen geltend gemacht werden können (E. 5.3.1 hiervor).
5.3.3.2. Im vorliegenden Fall kommt grundsätzlich einzig das Schreiben des Staatsanwalts vom 24. Juni 2013 als neu entdeckter, "das Fass zum Überlaufen bringender" Umstand in Frage. Alle anderen Rügen wären sowohl für sich allein betrachtet als auch in ihrer Gesamtheit als verspätet zu qualifizieren. Ob das staatsanwaltliche Schreiben allerdings Unwahrheiten enthält, lässt sich allein aufgrund der Akten nicht entscheiden. Der Staatsanwalt hält an seinen Angaben fest, wonach er vor der ersten Einvernahme vom 13. März 2012 informiert habe, vermag dafür aber mit der Begründung, es sei keine entsprechende Aktennotiz verfasst worden, keinen Beweis zu erbringen. Der Beschwerdeführer nannte vorinstanzlich für seine Version zwar Zeugen, welche jedoch vom kantonalen Gericht unter Hinweis auf <ref-law>, wonach ohne weiteres Beweisverfahren zu entscheiden ist, nicht befragt wurden. Die von ihm mit der Stellung des Ausstandsbegehrens am 1. Juli 2013 ins Recht gelegte Aktennotiz zur Besprechung vom 16. Juli 2012 schliesst sodann eine Kenntnisnahme der Beziehungen zwischen dem Staatsanwalt und K._ am 13. März 2012 nicht aus. So steht Aussage gegen Aussage. Bei dieser Sachlage ist die Annahme des kantonalen Gerichts, wonach der Beschwerdeführer die Wahrheitswidrigkeit der Aussage des Staatsanwaltes nicht glaubhaft habe machen können, nicht willkürlich. Ins Gewicht fällt dabei namentlich, dass bei objektiver Betrachtungsweise der Grund für eine Lüge des Staatsanwaltes nicht auszumachen wäre. Die Parteien sind sich einig, dass der Beschwerdeführer von den Verknüpfungen zwischen Y._ und K._ schon vor langer Zeit Kenntnis erlangt hatte. Ob dies nun am 13. März 2012 oder am 16. Juli 2012 war, ist unerheblich, weil ein gestützt darauf erst im Jahr 2013 erhobenes Ausstandsbegehren so oder anders als verspätet zu qualifizieren wäre.
5.3.3.3. Ebenso wenig ist von Belang, ob der Staatsanwalt bereits im März 2012 mitgeteilt hatte, dass er sich nicht als befangen erachte, und ob er tatsächlich angeboten hatte, das Dossier abzugeben, sollten die Parteien dies wünschen. Dem damals bereits anwaltlich vertretenen Beschwerdeführer war nämlich bewusst, dass er von sich aus ein Ausstandsbegehren hätte stellen müssen, falls er schon damals den Eindruck gehabt hätte, der Staatsanwalt sei befangen (vgl. E-Mail vom 19. Juli 2012). Letzter hätte im Falle von <ref-law> nicht einseitig den Ausstand erklären oder den Ausstand bewirken können, indem er den Grund anerkannt oder sich dem Gesuch nicht widersetzt hätte. Die in der Strafbehörde tätige Person trifft zwar gemäss <ref-law> eine Mitteilungspflicht. Ob sie sich für befangen hält oder umgekehrt davon überzeugt ist, das Verfahren mit der notwendigen Offenheit und Unabhängigkeit führen zu können, ist für sich allein jedoch nicht entscheidend ( BOOG, a.a.O., N. 1 zu <ref-law>). Die subjektive Einschätzung des Staatsanwaltes ist für den Entscheid über die Befangenheit nicht massgebend, weshalb irrelevant ist, ob und allenfalls zu welchem Zeitpunkt Y._ zu dieser Frage Stellung genommen hatte.
5.4. Nach dem Gesagten ist der Inhalt des Schreibens vom 24. Juni 2013 nicht geeignet, für sich allein einen Ausstandsgrund darzustellen oder einen letzten Anhaltspunkt zur Annahme der Befangenheit zu liefern und demgemäss als Anknüpfungspunkt zum Nachweis der Rechtzeitigkeit des Ausstandsgesuchs vom 1. Juli 2013 zu dienen. Die Rüge der Verletzung der Ausstandspflicht ist unbegründet, weshalb sich die diesbezügliche Abweisung der Beschwerde durch die Vorinstanz im Ergebnis nicht beanstanden lässt. Das teilweise Nichteintreten erweist sich ebenfalls als korrekt, da die anderen Rügen verspätet sind, weshalb einer Gesamtwürdigung der Weg versperrt ist.
5.5. Selbst wenn im Übrigen bereits die Eingabe vom 4. März 2013 ans Bezirksgericht als Ausstandsbegehren qualifiziert werden könnte, verhielte es sich nicht anders. Die Rügen im Zusammenhang mit den Beziehungen zwischen Y._ und K._ wären ebenfalls als verspätet zu qualifizieren. Die weiteren damals geltend gemachten Gründe betreffen die Führung der Strafuntersuchung, welche einen Ausstand nicht rechtfertigen können. In der Regel vermögen nämlich allgemeine Verfahrensmassnahmen, seien sie nun richtig oder falsch, als solche keine Voreingenommenheit der verfügenden Justizperson zu begründen. Soweit konkrete Verfahrensfehler eines Staatsanwaltes (oder polizeilichen Ermittlers) beanstandet werden, kommen als Ablehnungsgrund jedenfalls nur besonders krasse oder ungewöhnlich häufige Versäumnisse und Mängel in Frage (<ref-ruling> E. 2.3 S. 146). Solche Mängel wurden vorliegend nicht namhaft gemacht.
6.
Bei diesem Verfahrensausgang wird der unterliegende Beschwerdeführer kostenpflichtig (Art. 66 Abs. 1 und Art. 65 BGG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 2'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird den Parteien, dem Kantonsgericht Wallis, Einzelrichter der Strafkammer, und dem Bezirksgericht Brig schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 24. Januar 2014
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Fonjallaz
Die Gerichtsschreiberin: Berger Götz