Fatti:
A.
Con sentenza del 14 luglio 2011 la Corte delle assise criminali ha riconosciuto A._ autore colpevole di falsità in documenti e di appropriazione indebita. Riguardo a quest'ultimo reato, gli è stato rimproverato di essersi, nel periodo tra dicembre 1998 ed agosto 2002, allo scopo di procacciarsi un indebito profitto, indebitamente appropriato di oggetti d'arte e antiquariato, nonché dell'importo di USD 270'000.-- a lui affidati da B._. L'imputato è stato condannato alla pena detentiva di otto mesi, sospesa condizionalmente per un periodo di prova di tre anni.
B.
Adita sia dal Procuratore pubblico (PP) sia dall'imputato, con sentenza del 17 marzo 2013 la Corte di appello e di revisione penale (CARP) ha respinto l'appello del primo e parzialmente accolto quello del secondo. Ha prosciolto l'imputato dall'accusa di falsità in documenti, confermando per contro la condanna per il reato di appropriazione indebita. Rilevata in particolare una violazione del principio di celerità, la CARP lo ha poi condannato alla pena detentiva di quattro mesi, sospesa condizionalmente per un periodo di prova di cinque anni.
C.
Il PP impugna questa sentenza con un ricorso in materia penale al Tribunale federale, chiedendo in via principale di annullare il dispositivo sulla sospensione condizionale della pena detentiva. In via subordinata, chiede di rinviare gli atti alla precedente istanza per la riformulazione della pena. Il ricorrente fa valere la violazione degli art. 41 e 42 cpv. 1 CP.
D.
La Corte cantonale chiede di respingere il ricorso, rilevando che i fatti oggetto di condanna sono stati commessi nel periodo dal 1998 al 2002, prima quindi dell'entrata in vigore, il 1° gennaio 2007, della revisione delle disposizioni generali del CP, sicché la sospensione condizionale di una pena detentiva di breve durata sarebbe comunque possibile secondo il diritto previgente applicabile alla fattispecie in virtù del principio della "lex mitior".
L'imputato contesta le argomentazioni del PP, chiedendo in sostanza di respingere il gravame. Richiama inoltre le conclusioni formulate nel connesso ricorso in materia penale del 13 giugno 2013 (causa 6B_551/2013).

Diritto:
1.
La decisione impugnata, di carattere finale (<ref-law>), è stata pronunciata in una causa in materia penale (<ref-law>), da un'autorità di ultima istanza cantonale (<ref-law>). La legittimazione del ricorrente è data (art. 81 cpv. 1 lett. b n. 3 LTF). Il ricorso è tempestivo (<ref-law>) ed è sotto i citati aspetti ammissibile.
2.
2.1. Il ricorrente sostiene che, pronunciando la sospensione condizionale di una pena detentiva inferiore a sei mesi, la Corte cantonale avrebbe violato l'<ref-law>. Ritiene inoltre che nella fattispecie non sarebbero date le "circostanze particolarmente favorevoli", ai sensi dell'<ref-law>, per potere sospendere condizionalmente l'esecuzione di una qualsiasi pena nei confronti dell'imputato.
2.2. La Corte cantonale, riconosciuto l'imputato colpevole di appropriazione indebita per fatti realizzati tra il dicembre del 1998 e l'agosto del 2002, ha stabilito la pena sulla base del diritto in vigore dal 1° gennaio 2007 in seguito alla revisione delle disposizioni generali del CP. Ammessa in particolare la circostanza attenuante del lungo tempo trascorso dal reato (art. 48 lett. e CP) ed accertata una violazione del principio di celerità, la CARP ha ritenuto giustificata una pena detentiva di quattro mesi. Ha poi rilevato che nonostante l'imputato fosse stato condannato in Italia, meno di cinque anni prima del reato qui in discussione, ad una pena privativa della libertà della durata di undici anni per infrazioni alla legge italiana in materia di stupefacenti, sussistessero circostanze particolarmente favorevoli giusta l'<ref-law> per una sospensione condizionale della pena. La Corte cantonale ha per finire condannato l'imputato alla pena detentiva di quattro mesi, sospesa condizionalmente per un periodo di prova di cinque anni.
2.3. Secondo l'<ref-law>, il giudice può pronunciare una pena detentiva inferiore a sei mesi, da scontare, soltanto se non sono adempiute le condizioni per la sospensione condizionale (<ref-law>) e vi è da attendersi che una pena pecuniaria o un lavoro di pubblica utilità non potranno essere eseguiti (cpv. 1). Il giudice deve motivare in modo circostanziato questa forma di pena (cpv. 2). Con questa disposizione, il legislatore ha introdotto per le pene fino a sei mesi un ordine di priorità legale a favore delle sanzioni non privative della libertà. Con riferimento a questa sussidiarietà, il giudice deve quindi dapprima esaminare la possibilità di infliggere una sanzione nella forma della pena pecuniaria o del lavoro di pubblica utilità (cfr. <ref-ruling> consid. 3.1 e 8.4, 82 consid. 4.1, 97 consid. 6.3.3.2 pag. 108).
Il ricorrente rileva pertanto a ragione che la pena detentiva di breve durata inflitta in concreto all'imputato, quattro mesi di detenzione con il beneficio della sospensione condizionale, contrasta con l'<ref-law>. Se i giudici cantonali ritenevano che nella fattispecie era adeguata una pena inferiore a sei mesi e che la stessa non doveva essere scontata, essi avevano unicamente la possibilità di infliggere una pena pecuniaria o un lavoro di pubblica utilità. La Corte cantonale non si è confrontata con queste alternative, in particolare non ha spiegato perché una sanzione pecuniaria non entrava in considerazione. Certo, la situazione economica dell'imputato non sembra favorevole. Tuttavia, secondo le intenzioni del legislatore, la pena pecuniaria deve potere essere pronunciata anche nei confronti di imputati che dispongono di un basso reddito, addirittura sotto il minimo vitale. In caso contrario, si correrebbe infatti il rischio di considerare in molteplici casi la pena pecuniaria quale sanzione inadeguata, ciò che condurrebbe a pronunciare spesse volte una pena detentiva, in contrasto con gli obiettivi perseguiti dalla revisione legislativa. Proprio l'imputato privo di mezzi è per contro maggiormente sensibile alla pena pecuniaria, siccome lo tocca nelle sue necessità vitali. Il legislatore ha quindi esplicitamente rinunciato a fissare un limite inferiore per la pena pecuniaria, lasciando la possibilità di pronunciare una pena pecuniaria ridotta nel caso di imputati con redditi modesti (<ref-ruling> consid. 8.4, 97 consid. 5.2.3; <ref-ruling> consid. 1.4). In concreto, non è pertanto di per sé escluso che l'imputato possa fare fronte al pagamento di una pena pecuniaria con un'aliquota corrispondentemente ridotta. In sostanza, infliggendogli una pena inferiore a sei mesi con la sospensione condizionale ed omettendo di esaminare la possibilità di pronunciare una pena pecuniaria, la CARP ha disatteso l'<ref-law>.
3.
3.1. La CARP sostiene che la sospensione condizionale di una pena detentiva di breve durata era comunque possibile secondo il diritto vigente prima del 1° gennaio 2007, applicabile alla fattispecie in virtù del principio della "lex mitior". Adduce che il giudizio sulle accuse nei confronti dell'opponente avrebbe dovuto essere reso ben prima della modifica legislativa e che il ritardo è imputabile esclusivamente alle lungaggini del magistrato inquirente. Sostiene inoltre che occorrerebbe tenere conto della procedura volta a modificare il diritto sanzionatorio avviata dal Consiglio federale, che prevede la reintroduzione delle pene detentive di breve durata con o senza sospensione condizionale (cfr. messaggio del 4 aprile 2012 del Consiglio federale [FF 2012 4181]).
3.2. L'imputato ha commesso il reato di appropriazione indebita sotto l'egida del diritto previgente, ma è stato giudicato dalle istanze cantonali quando già era in vigore quello nuovo. In tale evenienza, giusta l'<ref-law>, il nuovo diritto è applicabile se più favorevole all'autore. Per determinare quale sia il diritto più favorevole occorre confrontarsi con il caso concreto, esaminandolo sotto il profilo del vecchio e del nuovo diritto, comparandone poi i risultati. La contemporanea applicazione di entrambe le normative alla stessa fattispecie è esclusa (<ref-ruling> consid. 6.2, 97 consid. 4.1). La CARP non ha eseguito una simile valutazione nell'ambito del suo giudizio, che è stato reso sulla base del diritto in vigore dal 1° gennaio 2007. Ha spiegato soltanto nelle sue osservazioni al ricorso i motivi per l'applicabilità del diritto previgente.
Comunque, nella misura in cui il nuovo diritto per il reato di appropriazione indebita contempla anche la sanzione meno incisiva della pena pecuniaria (cfr. <ref-law>), esso è più favorevole rispetto a quello previgente che prevedeva esclusivamente una pena detentiva (<ref-ruling> consid. 7.2.2, 97 consid. 4.2.2). Né va trascurato che la sospensione condizionale della pena secondo il diritto previgente (art. 41 n. 1 vCP) presupponeva una prognosi positiva. Un'aspettativa generica che l'interessato si sarebbe comportato correttamente in futuro o l'assenza di una prognosi negativa non erano sufficienti al riguardo (<ref-ruling> consid. 4.2.2, 97 consid. 7.3). Occorreva per contro eseguire una valutazione complessiva, tenendo conto delle circostanze del reato, dei precedenti dell'autore, della sua reputazione e della sua situazione personale al momento del giudizio. La prognosi doveva quindi fondarsi su tutti gli elementi idonei a chiarire il carattere dell'accusato e le possibilità di un suo ravvedimento (<ref-ruling> consid. 4.2.1 e rinvii). In concreto, la Corte cantonale si è limitata a richiamare la natura diversa dei precedenti reati, non diretti contro il patrimonio, il lungo periodo di reclusione e l'età dell'imputato, ritenendo per finire che non si imponeva di formulare una prognosi negativa. Non ha tuttavia eseguito un esame globale della personalità dell'autore, che le avrebbe consentito di concludere a una prognosi favorevole. In tali circostanze, è quindi dubbio che il diritto previgente fosse più favorevole all'imputato.
Contrariamente a quanto sembra ritenere quest'ultimo, l'accertata violazione del principio di celerità di per sé non consente poi di sospendere condizionalmente l'esecuzione di una pena, quando non ne sono date le condizioni materiali. La violazione di tale principio deve infatti essere considerata nella commisurazione della pena e può comportarne una riduzione (<ref-ruling> consid. 3.3.1; <ref-ruling> consid. 2a e rinvii). Non interviene per contro sulla modalità di esecuzione della pena, non potendo eliminare un'eventuale prognosi negativa o l'esistenza di un impedimento oggettivo alla sospensione (cfr. sentenza 6S.313/2002 del 18 febbraio 2003 consid. 5.3).
3.3. La Corte cantonale sostiene poi a torto che occorrerebbe tenere conto del progetto di modifica del diritto sanzionatorio conformemente al messaggio del 4 aprile 2012 del Consiglio federale. Il Tribunale federale ha infatti già avuto modo di precisare che i lavori preparatori relativi a un progetto di legge non ancora entrata in vigore possono essere presi in considerazione per l'interpretazione di una norma soltanto quando il sistema vigente non è modificato di principio, ma è unicamente perseguita una concretizzazione della situazione giuridica attuale o quando viene colmata una lacuna della legge in vigore (<ref-ruling> consid. 7.2.4; <ref-ruling> consid. 2a; <ref-ruling> consid. 5d pag. 201). Queste condizioni non sono realizzate nella fattispecie. La modifica del diritto sanzionatorio non è infatti ancora stata trattata compiutamente da entrambe le Camere federali e, con la prospettata reintroduzione di soluzioni esistenti prima della revisione entrata in vigore il 1° gennaio 2007, implica modifiche di rilievo rispetto al sistema attuale. In particolare è previsto il ridimensionamento della pena pecuniaria e il ripristino delle pene detentive di breve durata (cfr. FF 2012 pag. 4183 segg. e pag. 4217 segg.). Il richiamo a tale progetto di legge non consente pertanto di non applicare il diritto vigente o di interpretarlo in manifesto contrasto con il suo tenore attuale.
4.
4.1. Ne segue che il ricorso deve essere accolto. La sentenza impugnata è annullata e la causa rinviata alla CARP per un nuovo giudizio sulla commisurazione della pena.
4.2. La domanda di assistenza giudiziaria con gratuito patrocinio presentata dall'opponente può essere accolta in considerazione della sua situazione finanziaria (art. 64 cpv. 1 e 2 LTF).

Per questi motivi, il Tribunale federale pronuncia:
1.
Il ricorso è accolto. La sentenza emanata il 17 marzo 2013 dalla Corte di appello e di revisione penale è annullata e la causa le è rinviata per un nuovo giudizio.
2.
La domanda di assistenza giudiziaria dell'opponente è accolta.
3.
Non si prelevano spese giudiziarie.
4.
La cassa del Tribunale federale verserà al patrocinatore dell'opponente fr. 3'000.-- a titolo di indennità di patrocinio per la procedura dinanzi al Tribunale federale.
5.
Comunicazione al ricorrente, al patrocinatore dell'opponente e alla Corte di appello e di revisione penale del Cantone Ticino.