Faits:
A.
S._ est mère d'un fils, A._, dont elle a la garde et l'autorité parentale et pour lequel elle perçoit une allocation familiale de 200 fr. par mois. Le père de l'enfant contribue à son entretien à raison de 100 fr. par mois.
Mise au bénéfice d'une mesure d'orientation dans le cadre de la formation professionnelle initiale de l'assurance-invalidité (AI), ainsi que d'une indemnité journalière dès le 3 janvier 2011, S._ a présenté, le 14 septembre 2011, une demande de prestations complémentaires. Par décision du 27 octobre 2011, le Service des prestations complémentaires du canton de Genève (ci-après: le SPC) lui a alloué des prestations complémentaires cantonales de 1'832 fr. par an dès le 1 er mars 2011. Celles-ci ont été calculées en fonction, notamment, du forfait et de la limite de loyer pour une personne seule, et compte tenu, à titre de revenus, des indemnités journalières versées par l'AI et de la pension alimentaire de l'enfant. Saisie d'une opposition de l'intéressée, le SPC l'a partiellement admise et a fixé les prestations complémentaires cantonales à 3'032 fr. par an dès le 1 er mars 2011 (décision sur opposition du 2 février 2012). Le calcul ne tenait plus compte, ni de la pension alimentaire, ni de l'enfant A._, respectivement de ses revenus et dépenses reconnues, au motif qu'il n'était pas titulaire d'une rente d'orphelin ou pour enfants de l'assurance-vieillesse et survivants (AVS) ou de l'AI.
B.
S._ a déféré cette décision à la Cour de justice de la République et canton de Genève, Chambre des assurances sociales, qui, par jugement du 20 septembre 2012, a admis son recours. Annulant la décision du 2 février 2012, la Cour de justice a reconnu que l'enfant de l'intéressée devait être inclus dans le plan de calcul des prestations dues. Elle a par ailleurs renvoyé la cause au SPC pour qu'il procède aux calculs des montants des prestations cantonales et fédérales dues dès le 1 er mars 2011 conformément aux considérants.
C.
Le SPC interjette un recours en matière de droit public contre ce jugement, dont il demande l'annulation en tant qu'il concerne les prestations complémentaires fédérales. Il conclut à ce qu'il soit dit que "c'est à bon droit que le SPC n'a pas tenu compte des revenus et des dépenses reconnues de l'enfant A._ dans les calculs de prestations complémentaires, motif pris qu'il n'était pas au bénéfice d'une rente pour enfant de l'AI".
S._ conclut au rejet du recours, tandis que l'Office fédéral des assurances sociales (OFAS) en propose l'admission.

Considérant en droit:
1.
1.1. Le dispositif (ch. 3) du jugement entrepris renvoie la cause au SPC pour procéder aux calculs du montant des prestations dues dès le 1 er mars 2011 conformément aux considérants. D'un point de vue formel, il s'agit d'une décision de renvoi, soit d'une décision incidente qui ne peut faire l'objet d'un recours au Tribunal fédéral qu'aux conditions de l'<ref-law> (<ref-ruling> consid. 4.2. et 4.3 p. 481 s.) Toutefois, le SPC est tenu de se conformer aux considérations de la juridiction cantonale selon lesquelles l'enfant de l'intimée doit être intégré au calcul des prestations en cause (ce qui a le cas échéant une influence sur le droit de l'intimée à des prestations complémentaires fédérales). Il n'a donc pratiquement plus aucune marge de manoeuvre pour statuer et le renvoi ne vise qu'à mettre à exécution la décision de l'autorité supérieure. Cette décision doit, en conséquence, être considérée comme une décision finale sujette à recours conformément à l'<ref-law> (arrêt 9C_684/2007 du 27 décembre 2007 consid. 1.1, in SVR 2008 IV n° 39 p. 131). Il convient dès lors d'entrer en matière sur le recours.
1.2. Le recourant a correctement limité ses conclusions aux prestations complémentaires de droit fédéral dans la mesure où il n'a pas qualité pour former un recours en matière de droit public portant sur de telles prestations prévues par le droit cantonal (<ref-ruling> consid. 2.3.4 p. 60).
1.3. Le recours en matière de droit public peut être interjeté pour violation du droit, tel qu'il est délimité par les art. 95 et 96 LTF. Le Tribunal fédéral applique le droit d'office (<ref-law>). Il n'est donc limité ni par les arguments soulevés dans le recours ni par la motivation retenue par l'autorité précédente; il peut admettre un recours pour un autre motif que ceux qui ont été invoqués et il peut rejeter un recours en adoptant une argumentation différente de celle de l'autorité précédente (cf. <ref-ruling> consid. 1.3 p. 519; <ref-ruling> consid. 1.4 p. 140).
2.
Le litige porte sur le droit de l'intimée à des prestations complémentaires pour la période courant à partir du 1 er mars 2011, singulièrement sur la prise en considération dans le calcul de celles-ci de l'enfant de l'intimée. Il s'agit d'examiner si c'est à bon droit que la juridiction cantonale a admis que les enfants mineurs de bénéficiaires d'indemnités journalières de l'AI doivent être pris en compte dans le calcul des prestations complémentaires de l'assuré (s'agissant des dépenses reconnues, du revenu déterminant et de la fortune), aux mêmes conditions que les enfants mineurs de personnes bénéficiant d'une rente de l'AI.
3.
3.1. Conformément à l'art. 4 al. 1 let. c LPC, les personnes qui ont leur domicile et leur résidence habituelle (<ref-law>) en Suisse ont droit à des prestations complémentaires dès lors qu'elles ont droit à une rente ou à une allocation pour impotent de l'assurance-invalidité (AI) ou perçoivent des indemnités journalières de l'AI sans interruption pendant six mois au moins.
Selon l'<ref-law>, le montant de la prestation complémentaire annuelle correspond à la part des dépenses reconnues qui excède les revenus déterminants (al. 1). Les dépenses reconnues et les revenus déterminants des conjoints et des personnes qui ont des enfants ayant droit à une rente d'orphelin ou donnant droit à une rente pour enfant de l'AVS ou de l'AI sont additionnés. Il en va de même pour les orphelins faisant ménage commun (al. 2).
L'<ref-law> définit les dépenses reconnues et fixe notamment les montants destinés à la couverture des besoins vitaux et le montant maximal reconnu pour le loyer d'un appartement. Il prévoit un montant séparé, respectivement plus élevé, pour les enfants ayant droit à une rente d'orphelin ou donnant droit à une rente pour enfant de l'AVS ou de l'AI (art. 10 al. 1 let. a ch. 3 LPC) ou pour les personnes qui ont de tels enfants (art. 10 al. 1 let. b ch. 2 LPC). Quant aux revenus déterminants, ils sont définis par l'<ref-law>, qui prévoit des montants forfaitaires (au-delà desquels sont compris les revenus déterminants ou la fortune à prendre en compte) plus élevés pour les personnes qui ont des enfants ayant droit à une rente d'orphelin ou donnant droit à une rente pour enfant de l'AVS ou de l'AI (art. 11 al. 1 let. a et c LPC).
A l'<ref-law>, le législateur fédéral a délégué au Conseil fédéral la compétence d'édicter notamment "des dispositions sur l'addition des dépenses reconnues et des revenus déterminants de membres d'une même famille; il peut prévoir des exceptions, notamment pour ceux des enfants qui donnent droit à une rente pour enfant de l'AVS ou de l'AI". Le Conseil fédéral a édicté des règles notamment sur le calcul de la prestation complémentaire annuelle pour enfants donnant droit à une rente pour enfant de l'AVS ou de l'AI (art. 7 al. 1 de l'ordonnance sur les prestations complémentaires à l'assurance-vieillesse, survivants et invalidité [OPC-AVS/AI; RS 831.301]). Il a également précisé, à l'<ref-law>, que pour calculer la prestation complémentaire annuelle, il n'est pas tenu compte des dépenses reconnues, des revenus déterminants ni de la fortune des enfants mineurs qui ne peuvent ni prétendre une rente d'orphelin ni donner droit à une rente pour enfant de l'AVS ou de l'AI.
3.2. Compte tenu de la lettre de ces dispositions de la LPC, on constate, à l'instar de la juridiction cantonale, qu'elles ne portent que sur les enfants donnant droit à une rente d'orphelin ou à une rente complémentaire de l'AVS ou de l'AI.
3.3. Ce nonobstant, les premiers juges ont retenu qu'une interprétation historique de la LPC ne permettait pas de répondre au point de savoir si cette loi excluait du calcul des prestations complémentaires l'enfant des bénéficiaires d'indemnités journalières. Le but et la nature de celles-ci n'étaient pas non plus pertinents pour trancher cette question, pas plus que les conditions du droit d'une personne bénéficiant d'indemnités journalières à une prestation pour enfant. La juridiction cantonale a ensuite constaté qu'il était contraire au principe de l'égalité de traitement d'exclure du calcul des prestations complémentaires l'enfant d'un bénéficiaire d'indemnités journalières (mineur et faisant ménage commun), alors que dans la même situation l'enfant du rentier AI était inclus dans le calcul. Elle en a déduit que l'interprétation de la LPC conforme à la Constitution fédérale commandait de s'écarter de son texte et de retenir que les enfants de bénéficiaires d'indemnités journalières de l'AI devaient, au même titre que les enfants de rentiers, être pris en considération dans les calculs des prestations complémentaires.
4.
Le recourant conteste le raisonnement de l'autorité cantonale de recours. Selon lui, le texte de l'art. 9 al. 2 première phrase LPC est clair et ne vise que les enfants donnant droit à une rente complémentaire AVS/AI ou d'orphelin, tandis que l'<ref-law> exclut la prise en compte des dépenses reconnues, du revenu déterminant et de la fortune des enfants qui ne peuvent ni prétendre une rente d'orphelin, ni donner droit à une rente pour enfant de l'AVS/AI. Le recourant fait par ailleurs valoir que l'interprétation de la juridiction cantonale ne tient pas compte de la jurisprudence du Tribunal fédéral des assurances, selon laquelle le texte de la loi - alors l'art. 2 al. 1quater aLPC - est clair et implique que les limites étendues de revenu (soit les limites de revenu augmentées du montant correspondant à la limite de revenu valable pour les orphelins) ne sont pas applicables aux bénéficiaires d'indemnités journalières de l'AI (<ref-ruling>).
Approuvant l'argumentation du recourant, son autorité de surveillance soutient que le législateur a sciemment renoncé à inclure les enfants de bénéficiaires d'indemnités journalières de l'AI dans le calcul des prestations complémentaires. Il ajoute toutefois que l'enfant de l'intimée pourrait être pris en considération dans le calcul, "dans le sens d'une considération pragmatique", par exemple en tenant compte à titre de dépenses reconnues d'un montant correspondant au montant destiné à la couverture des dépenses d'un enfant ayant droit à une rente d'orphelin ou donnant droit à une rente pour enfant de l'AVS ou de l'AI au sens de l'art. 10 al. 1 let. a ch. 3 LPC.
L'intimée se rallie entièrement aux considérations de la juridiction cantonale, en invoquant l'inégalité de traitement des bénéficiaires d'indemnités journalières de l'AI par rapport à ceux qui perçoivent une rente de l'AVS ou de l'AI. Elle soutient par ailleurs que la jurisprudence citée par le recourant n'est pas applicable, la systématique de la loi et le système des prestations complémentaires (fondé sur la prise en compte d'un certain nombre de dépenses minimales et non plus, avant tout, sur un montant minimal de revenus devant être couvert) ayant changé.
5.
5.1. Dans l'arrêt P 17/92 du 22 février 1993 publié aux <ref-ruling> invoqué par le recourant, le Tribunal fédéral des assurances a examiné la portée de l'art. 2 al. 1quater (RO 1987 447, 453; en vigueur dès le 1 er juillet 1987) et al. 3 première phrase aLPC (RO 1971 32, 33; version en vigueur dès le 1 er janvier 1971), dont la teneur était la suivante:
1quater Les assurés qui reçoivent une indemnité journalière de l'assurance-invalidité sans interruption pendant six mois au moins ont également droit aux prestations complémentaires, conformément aux alinéas 1 à 1ter. En dérogation à l'article 3, 2e alinéa, le revenu provenant d'une activité lucrative est entièrement pris en compte.
2 [...]
3 Pour les enfants donnant droit à une rente complémentaire de l'assurance-vieillesse et survivants ou de l'assurance-invalidité, les limites de revenu applicables aux personnes seules et aux couples sont augmentées du montant correspondant à la limite de revenu applicable aux orphelins.
Le Tribunal fédéral des assurances a considéré que selon le texte clair de la loi, les limites de revenu augmentées du montant correspondant à la limite de revenu valable pour les orphelins ne trouvaient application que si les enfants des bénéficiaires de prestations complémentaires donnaient droit à une rente complémentaire de l'AVS ou de l'AI. Tel était le cas des enfants de personnes bénéficiant d'une rente, mais pas des enfants de bénéficiaires d'indemnités journalières de l'AI. Aucun élément en faveur d'une autre solution ne ressortait des travaux préparatoires: avec la 2 ème révision de la LAI, les assurés suivant une formation professionnelle initiale avaient droit, nouvellement, à des indemnités journalières (au lieu d'une rente). La caducité du droit à la rente empêchait cependant la naissance du droit à des prestations complémentaires. Aussi, l'OFAS avait-il proposé à la Commission du Conseil des Etats chargée de la révision de la LAI, lors de la séance de commission du 8 novembre 1985, de demander une révision de la LPC qui permettait d'accorder également aux personnes bénéficiant d'indemnités journalières de l'AI pendant six mois au moins un droit à des prestations complémentaires. Cette proposition, qui fut introduite dans le texte de la révision, ne donna lieu à aucune discussion particulière, ni au sein de la Commission, ni dans chacune des Chambres de l'Assemblée fédérale et l'art. 2 al. 1quater aLPC fut adopté sans modification (BO 1985 CE 758 s.; BO 1986 CN 767).
Selon le Tribunal fédéral des assurances, le fait que la disposition renvoyait expressément aux al. 1 à 1ter de l'art. 2 aLPC, mais pas à l'al. 3, devait être interprété comme un silence qualifié du législateur. Si celui-ci avait en effet voulu rendre applicable aussi aux bénéficiaires d'indemnités journalières de l'AI les limites de revenus étendues au sens de l'<ref-law>, il l'aurait mentionné dans l'art. 2 al. 1quater aLPC. En conséquence, un assuré qui ne percevait pas une rente d'invalidité, mais des indemnités journalières de l'AI, ne pouvait se prévaloir des limites de revenus augmentées du montant correspondant à la limite de revenu valable pour les orphelins (<ref-ruling> consid. 1 p. 191 s.).
5.2. A la suite d'une révision législative, l'art. 2 al. 1quater aLPC a été abrogé, mais sa teneur a été reprise dans une autre disposition (cf. l'art. 2c al. 1 let. d aLPC, dans sa teneur en vigueur à partir du 1 er janvier 1997 [RO 1996 2466, 2490 et 2497], modifiée à partir du 1 er janvier 1998 [RO 1997 2952, 2953 et 2960]). Depuis l'entrée en vigueur de la LPC du 6 octobre 2006 (RS 831.30), au 1 er janvier 2008, le droit aux prestations complémentaires des personnes qui perçoivent des indemnités journalières de l'AI est prévu à l'<ref-law>, les dépenses reconnues et les revenus sont prévus aux art. 10 et 11 LPC (voir en particulier, l'art. 11 al. 1 let. a deuxième phrase LPC).
6.
6.1. L'interprétation des dispositions de la LPC effectuée par la juridiction cantonale ne tient pas compte de la jurisprudence du Tribunal fédéral des assurances relative à l'art. 2 al. 1quater aLPC - introduit au 1er juillet 1987 (et non au 1er janvier 1997) -, ni partant des motifs auxquels un changement de jurisprudence peut être admis. C'est le lieu de préciser qu'un revirement de jurisprudence peut se justifier notamment lorsqu'il apparaît que les circonstances ou les conceptions juridiques ont évolué ou qu'une autre pratique respecterait mieux la volonté du législateur. Les motifs du changement doivent être objectifs et d'autant plus sérieux que la jurisprudence est ancienne afin de ne pas porter atteinte sans raison à la sécurité du droit (<ref-ruling> consid. 3 p. 8; <ref-ruling> consid. 3.2 p. 85).
Contrairement à ce que soutient l'intimée, l'<ref-ruling> conserve toute sa pertinence sous l'empire de la LPC du 6 octobre 2006, même si, notamment en ce qui concerne les personnes vivant à la maison, tant la systématique de la LPC que le mode de calcul des prestations complémentaires ont été modifiés au gré des révisions législatives. Le fait qu'avec la 3 ème révision de la LPC, en vigueur à partir du 1 er janvier 1998 (loi fédérale du 20 juin 1997 [3 e révision PC]; RO 1997 2952, 2960), le calcul de la prestation complémentaire, qui s'établissait jusqu'alors par une juxtaposition de la limite légale de revenu, d'une part, et du revenu annuel déterminant, d'autre part (cf. art. 2 al. 1 aLPC, en vigueur jusqu'au 31 décembre 1997 [RO 1965 541; RO 1996 2466, 2490 et 2497]), s'effectuait désormais en fonction des dépenses reconnues qui n'étaient pas couvertes par les revenus déterminants (cf. art. 2 al. 1 aLPC [RO 1997 2952, 2953 et 2960]; <ref-law>), n'a pas modifié la prise en considération dans ce calcul exclusivement des enfants ayant droit à une rente d'orphelin ou donnant droit à une rente pour enfant de l'AVS ou de l'AI.
Par ailleurs, la circonstance que le renvoi initial de l'art. 2 al. 1quater aLPC aux al. 1 à 1ter de l'art. 2 n'a pas été repris lors de l'abrogation de cette disposition et sa reprise à l'art. 2c let. d aLPC s'explique par l'abrogation des revenus limites (prévus initialement à l'art. 2 al. 1 aLPC [dans sa version en vigueur jusqu'au 31 décembre 1997]). On ne saurait en revanche y voir une volonté du législateur d'appliquer aux bénéficiaires d'indemnités journalières de l'AI qui ont des enfants les montants destinés à la couverture des besoins vitaux prévus pour les enfants donnant droit à une rente pour enfant de l'AVS ou de l'AI. C'est dans ce sens du reste que la doctrine cite l'<ref-ruling> en rapport avec l'art. 3b al. 1 let. a aLPC (RO 1997 2952, 2954 s.) pour préciser que les limites plus étendues des montants destinés à la couverture des besoins vitaux pour les orphelins et les enfants donnant droit à une rente pour enfant de l'AVS ou de l'AI ne s'appliquent pas aux enfants de personnes bénéficiant d'indemnités journalières de l'AI (Erwin Carigiet/Uwe Koch, Ergänzungsleistungen zur AHV/IV, 2e éd., 2009, p. 136; Urs Müller, Bundesgesetz über Ergänzungsleistungen zur Alters-, Hinterlassenen- und Invalidenversicherung, 2e éd., 2006, ad <ref-law>, n° 219 p. 70 s.). Seul un auteur (Ralph Jöhl, Ergänzungsleistungen zur AHV/IV, in SBVR, 2e éd. 2007, n° 91 p. 1697), qui critique l'<ref-ruling> en contestant l'existence d'un silence qualifié du législateur, est d'avis que l'absence de mention, à l'art. 3b al. 1 let. a aLPC, des enfants qui donnent droit à une prestation pour enfant s'ajoutant à l'indemnité journalière de base constitue une inadvertance du législateur qu'il conviendrait de combler. L'auteur perd cependant de vue que le législateur n'a précisément pas saisi l'occasion des modifications législatives successives pour préciser la loi dans le sens voulu. Il n'indique pas non plus la raison pour laquelle il conviendrait de voir une lacune dans l'art. 3b al. 1 let. a aLPC et non pas aussi dans les autres normes qui mentionnent les enfants donnant droit à une rente pour enfant de l'AVS/AI.
6.2. On ne voit pas non plus, dans les considérations de la juridiction cantonale, d'élément plaidant en faveur d'une évolution des circonstances ou des conceptions juridiques justifiant une modification de la jurisprudence; elles ne permettent pas non plus de retenir qu'une autre pratique respecterait mieux la volonté du législateur.
On constate en effet qu'au cours des révisions législatives postérieures à l'<ref-ruling> - arrêt qui mettait donc en évidence une différence dans le calcul des prestations complémentaires d'une personne bénéficiant d'indemnités journalières par rapport à une personne percevant une rente de l'AVS ou de l'AI, en fonction de l'enfant donnant droit à une rente complémentaire de l'AVS ou de l'AI -, le législateur a maintenu le principe selon lequel on ne tient pas compte, pour le calcul des prestations complémentaires, des enfants qui n'ont pas droit à une rente d'orphelin ou ne donnent pas droit à des rentes pour enfant de l'AVS ou de l'AI. Cette règle, exprimée à l'<ref-law>, résulte de la mention exclusive dans la LPC des "orphelins et enfants donnant droit à des rentes pour enfants de l'AVS ou de l'AI" (aLPC, en vigueur jusqu'au 31 décembre 2007), respectivement des "enfants ayant droit à une rente d'orphelin ou donnant droit à une rente pour enfant de l'AVS ou de l'AI" (LPC du 6 octobre 2006). Compte tenu du nombre de références dans la LPC à cette catégorie d'enfants - qui s'explique par le lien initialement voulu par le législateur entre les prestations complémentaires et les rentes de l'AVS/AI (cf. Message du Conseil fédéral, du 21 septembre 1964, relatif à un projet de loi sur les prestations complémentaires à l'assurance-vieillesse, survivants et invalidité, FF 1964 II 705, 715 ch. II/2) -, on doit admettre que si le législateur avait eu l'intention de modifier les modalités de calcul des prestations complémentaires sur ce point, en incluant parmi celles-ci les enfants de bénéficiaires d'indemnités journalières de l'AI donnant droit à une prestation pour enfant, il l'aurait clairement exprimée. On ne saurait voir dans l'absence de modification législative sur ce point une inadvertance du législateur.
6.3. En conséquence, le Tribunal fédéral ne voit aucun motif de revenir sur la jurisprudence développée à l'<ref-ruling>. En tant que l'interprétation de la LPC à laquelle a procédé la juridiction cantonale revient, en définitive, à modifier les modalités de calcul légales des prestations complémentaires, au seul motif qu'elles consacreraient une inégalité de traitement, partant une violation de l'art. 8 al. 1 Cst., elle ne saurait être suivie. Elle se heurte en effet à l'art. 190 Cst., qui interdit au Tribunal fédéral d'examiner la constitutionnalité des lois fédérales (<ref-ruling> consid. 3.2 p. 565). Si le juge doit, lorsque plusieurs interprétations sont admissibles, choisir celle qui est conforme à la Constitution fédérale, il ne saurait en revanche se substituer au législateur par le biais d'une interprétation extensive des dispositions légales en cause (<ref-ruling> consid. 4.2 p. 72).
Bien fondé, le recours doit dès lors être admis, ce qui conduit à l'annulation du jugement entrepris.
7.
Vu l'issue de la procédure, l'intimée doit en principe supporter les frais y afférents. Elle a cependant sollicité le bénéfice de l'assistance judiciaire, dont elle réalise les conditions (<ref-law>). L'attention de l'intimée est cependant attirée sur le fait qu'elle devra rembourser la caisse du Tribunal si elle devient en mesure de le faire ultérieurement (<ref-law>).

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1.
Le recours est admis. La décision de la Cour de justice de la République et canton de Genève, Chambre des assurances sociales, du 20 septembre 2012 est annulée.
2.
L'assistance judiciaire est accordée et Maître Sarah Braunschmidt est désignée comme avocate d'office de l'intimée.
3.
Les frais judiciaires, arrêtés à 500 fr., sont mis à la charge de l'intimée. Ils sont toutefois supportés provisoirement par la caisse du Tribunal.
4.
Une indemnité de 2'500 fr. est allouée à Maître Sarah Braunschmidt à titre d'honoraires à payer par la caisse du Tribunal.
5.
Le présent arrêt est communiqué aux parties, à la Cour de justice de la République et canton de Genève, Chambre des assurances sociales, et à l'Office fédéral des assurances sociales.
Lucerne, le 15 mai 2013
Au nom de la IIe Cour de droit social
du Tribunal fédéral suisse
Le Président: Kernen
La Greffière: Moser-Szeless