Faits:
A. A.a A._, ressortissant du Zimbabwe né en 1961 à Rusape (Zimbabwe), détenteur d'un passeport britannique, et dame A._, ressortissante du Royaume-Uni, originaire du Pakistan, née en 1969 à Leeds (Royaume-Uni), se sont mariés le 3 décembre 2007 à Genève. De cette union est issu un enfant, B._, né le 3 mars 2008.
Les conjoints se sont séparés le 11 août 2008.
Le 19 janvier 2009, l'épouse a saisi le Tribunal de première instance du canton de Genève d'une requête de mesures protectrices de l'union conjugale, assortie de conclusions préprovisoires.
Dans son ordonnance sur mesures préprovisoires du 2 février 2009, le Président du Tribunal de première instance a ratifié l'accord des parties qui confiait la garde de l'enfant à la mère, moyennant un droit de visite du père les samedis et les dimanches pendant la journée, de 11h00 à 17h00, ainsi que chaque mardi soir de 18h30 à 20h30. En ce qui concerne l'entretien de la famille, le Tribunal a considéré qu'une contribution pécuniaire de 2'000 fr. par mois apparaissait adéquate, dès lors que le mari assumait déjà le loyer de l'appartement occupé par l'épouse et les primes d'assurance maladie de la famille.
La comparution personnelle des parties a eu lieu le 1er avril 2009 et un rapport d'évaluation sociale a été établi par le Service de protection des mineurs (SPMi) le 30 juillet 2009.
A.b Par jugement sur mesures protectrices de l'union conjugale du 8 octobre 2009, le Tribunal de première instance a, notamment, autorisé les époux à vivre séparés (ch. 1); attribué la garde de l'enfant à la mère (2); fait interdiction à celle-ci de quitter le territoire suisse avec l'enfant sans l'autorisation écrite préalable du père (ch. 3); réglé le droit de visite de ce dernier de manière progressive en fonction de l'âge de l'enfant (ch. 4); fait interdiction au père de quitter le territoire suisse avec l'enfant sans l'autorisation écrite préalable de la mère (ch. 5); ordonné une curatelle de surveillance des relations personnelles (ch. 6); transmis le jugement au Tribunal tutélaire pour la nomination du curateur (ch. 7); condamné les parties à remettre à celui-ci, sous la menace des peines prévues par l'<ref-law>, le passeport de l'enfant, à charge pour ledit curateur de ne remettre ce document à l'un des conjoints qu'avec l'accord écrit préalable de l'autre (ch. 8); enfin, condamné le mari à verser à l'épouse une contribution à l'entretien de la famille d'un montant de 6'300 fr. par mois (ch. 9), allocations familiales en sus (ch. 10), ainsi qu'une provision ad litem de 2'500 fr. (ch. 11). Ces mesures ont été prononcées pour une durée indéterminée (ch. 12) et les dépens compensés (ch. 13).
B. Chaque partie a formé appel contre ce jugement. Par arrêt du 21 mai 2010, la Cour de justice du canton de Genève a annulé les chiffres 3, 8 et 9 du dispositif du jugement de première instance. Statuant à nouveau sur ce dernier chiffre uniquement, elle a condamné le mari à verser à l'épouse à titre de contribution à l'entretien de la famille, par mois et d'avance, allocations familiales non comprises, les sommes suivantes:
du 8 septembre 2008 au 31 janvier 2009:
6'500 fr. sous déduction de 2'921 fr. déjà versés chaque mois;
du 1er février au 31 octobre 2009:
6'500 fr. sous déduction de 4'921 fr. déjà versés chaque mois;
à compter du 1er novembre 2009:
5'000 fr. sous déduction de 4'921 fr. déjà versés chaque mois jusqu'au 30 avril 2010.
L'autorité cantonale a confirmé le jugement de première instance pour le surplus, compensé les dépens d'appel et débouté les parties de toutes autres conclusions.
C. Chacune des parties exerce un recours en matière civile contre l'arrêt du 21 mai 2010.
Par acte du 24 juin 2010, l'épouse conclut, principalement, à ce que l'autorité parentale sur l'enfant lui soit attribuée ou, à défaut, à ce qu'elle soit autorisée à s'installer en Angleterre avec celui-ci. Subsidiairement, elle demande le renvoi de la cause à la Cour de justice pour qu'elle se prononce sur son chef de conclusions tendant à ce qu'elle soit autorisée à s'installer en Angleterre avec l'enfant.
Elle sollicite en outre le bénéfice de l'assistance judiciaire.
Le mari, par mémoire du 25 juin 2010, conclut à l'annulation de l'arrêt attaqué et au renvoi de l'affaire à la Cour de justice pour qu'elle complète sa décision, le cas échéant pour qu'elle prenne une nouvelle décision.
L'épouse propose, en la forme, l'irrecevabilité et, au fond, le rejet du recours du mari; elle sollicite en outre que soit écartée du dossier la pièce nouvelle n° 2 (à savoir un décompte de chômage du mois de novembre 2009 daté du 1er décembre 2009) produite par celui-ci.
Le mari conclut derechef à l'annulation de l'arrêt de la Cour de justice ainsi qu'au renvoi de la cause à cette autorité pour qu'elle complète sa décision et, le cas échéant, prenne une nouvelle décision; il demande en outre le rejet des conclusions prises par l'épouse tant dans son recours que dans sa réponse.
L'autorité cantonale s'est référée aux considérants de son arrêt.
D. Par ordonnance du 13 juillet 2010, la Présidente de la cour de céans a confirmé l'effet suspensif accordé superprovisoirement quant à l'annulation des chiffres 3 et 8 du dispositif du jugement de première instance et a accordé l'effet suspensif s'agissant des aliments dus jusqu'en mai 2010, celui-ci étant refusé pour les aliments dus dès le 1er juin 2010.

Considérant en droit:
1. Les deux recours sont dirigés contre la même décision, reposent sur les mêmes faits et soulèvent des questions juridiques analogues; dans ces conditions, il se justifie de les joindre et de statuer à leur sujet par un seul arrêt (<ref-law>, applicable par renvoi de l'<ref-law>; cf. <ref-ruling> consid. 1a p. 385; <ref-ruling> consid. 1 p. 20).
2. 2.1 Le mari demande l'annulation de la décision attaquée et le renvoi de l'affaire à la cour cantonale. A l'instar des autres voies de recours devant le Tribunal fédéral, le recours en matière civile est une voie de réforme (<ref-law>). Le recourant ne peut donc se borner à demander l'annulation de la décision et le renvoi de la cause à l'autorité cantonale, mais doit également prendre, en principe, des conclusions sur le fond du litige; il n'est fait exception à cette règle que lorsque le Tribunal fédéral, en cas d'admission du recours, ne serait de toute manière pas en mesure de rendre un jugement final, faute d'un état de fait suffisant (<ref-ruling> consid. 2 p. 236; <ref-ruling> consid. 1.3 p. 383 et l'arrêt cité; <ref-ruling> consid. 3 p. 491 ss; <ref-ruling> consid. 1.2 p. 188; <ref-ruling> consid. 1 p. 436). En l'espèce, il n'apparaît pas - et le recourant ne prétend pas - que cette exception soit réalisée. La jurisprudence admet toutefois la recevabilité du recours en l'absence de conclusions sur le fond lorsqu'on peut déduire d'emblée, sur le vu de l'acte de recours, les modifications demandées (<ref-ruling> consid. 1.2 p. 135 s.; <ref-ruling> consid. 4 p. 122; <ref-ruling> consid. 2 p. 236; <ref-ruling> consid. 1 p. 210). Tel est le cas ici.
2.2 Invité à se déterminer sur le recours de l'épouse, le mari ne pouvait que proposer l'irrecevabilité ou le rejet, en tout ou partie, dudit recours.
Les décomptes de chômage du 1er juillet, respectivement du 25 novembre 2010, déposés par le mari avec sa réponse, ont été établis postérieurement à l'arrêt déféré (vrais nova), de sorte qu'ils sont d'emblée irrecevables (<ref-ruling> consid. 2.1 p. 343/344 et les citations). Le décompte du 1er décembre 2009 concernant le mois de novembre 2009, qu'il a déjà produit à l'appui de son recours, est également irrecevable (cf. infra, consid. 6.2).
2.3 La décision de mesures protectrices de l'union conjugale (<ref-law>) est une décision finale (<ref-law>; <ref-ruling> consid. 4 p. 395) rendue en matière civile (<ref-law>). Le recours de l'épouse concerne le sort de l'enfant et celui du mari, les questions patrimoniales y relatives ainsi que l'exercice du droit aux relations personnelles; la contestation est ainsi de nature non pécuniaire dans son ensemble (cf. notamment arrêt 5A_860/2009 du 26 mars 2010, consid. 1.1 et la jurisprudence citée). Les recours ont par ailleurs été déposés en temps utile (<ref-law>), contre une décision prise en dernière instance cantonale par le tribunal supérieur du canton de Genève (<ref-law>). Il y a donc lieu, en principe, d'entrer en matière.
2.4 Comme l'arrêt attaqué porte sur des mesures provisionnelles au sens de l'<ref-law> (<ref-ruling> consid. 5 p. 396, 585 consid. 3.3 p. 587), seule peut être dénoncée la violation de droits constitutionnels. Le Tribunal fédéral n'examine de tels griefs que s'ils ont été invoqués et motivés (<ref-law>), c'est-à-dire expressément soulevés et exposés de manière claire et détaillée (principe d'allégation; <ref-ruling> consid. 1.4 p. 287). Il n'entre pas en matière sur les critiques de nature appellatoire (<ref-ruling> consid. 2 p. 591/592). Le recourant qui se plaint d'arbitraire ne saurait, dès lors, se borner à critiquer la décision attaquée comme il le ferait en instance d'appel, où l'autorité de recours jouit d'une libre cognition; il ne peut, en particulier, se contenter d'opposer sa thèse à celle de la juridiction cantonale, mais doit démontrer, par une argumentation précise, que cette décision est manifestement insoutenable (<ref-ruling> consid. 3 p. 352 et les arrêts cités).
En ce qui concerne l'appréciation des preuves et la constatation des faits, le Tribunal fédéral se montre réservé, vu le large pouvoir qu'il reconnaît en la matière aux autorités cantonales (<ref-ruling> consid. 4b p. 40; <ref-ruling> consid. 9 p. 399 et les arrêts cités). Il n'intervient, pour violation de l'art. 9 Cst., que si le juge n'a manifestement pas compris le sens et la portée d'un moyen de preuve, a omis sans motifs objectifs de tenir compte de preuves pertinentes ou a opéré, sur la base des éléments recueillis, des déductions insoutenables (<ref-ruling> consid. 4.3 p. 62; <ref-ruling> consid. 1.4.3 p. 254/255; <ref-ruling> consid. 2.1 p. 9 et les références citées); encore faut-il que la correction du vice soit susceptible d'influer sur le sort de la cause.
3. La Cour de justice a estimé que, compte tenu des circonstances, il apparaissait contraire à l'intérêt de l'enfant de l'empêcher de voyager avec sa mère auprès de sa famille en Grande-Bretagne, de sorte qu'il convenait d'annuler l'interdiction faite à celle-ci de quitter le territoire suisse avec son fils sans l'autorisation préalable écrite du père (ch. 3 du dispositif du jugement de première instance). En ce qui concerne la question de l'autorité parentale, la cour cantonale a considéré que seule son attribution à la mère, à l'exclusion du père, permettrait à celle-ci de s'installer définitivement en Grande-Bretagne avec l'enfant sans le consentement du mari; il paraissait cependant préférable, au stade des mesures protectrices de l'union conjugale, de s'en tenir au statu quo s'agissant du lieu de résidence de l'enfant, cette question pouvant, le cas échéant, être soumise au juge du divorce.
La recourante reproche à l'autorité cantonale d'avoir, à la suite d'une appréciation arbitraire des faits, appliqué l'<ref-law> de manière insoutenable en refusant de lui attribuer l'autorité parentale sur son fils alors que les parties n'arrivent pas à s'entendre sur le lieu de résidence (Genève ou Grande-Bretagne) de celui-ci, à savoir sur un point déterminant le concernant. Elle soutient qu'elle est ainsi contrainte de vivre à Genève avec son fils bien que le seul lien de la famille avec la Suisse fût l'activité professionnelle du mari, au demeurant jusqu'à fin septembre 2009 seulement, celui-ci étant actuellement au chômage. La Cour de justice aurait en outre violé de manière grossière l'<ref-law> en la renvoyant à soumettre la question de l'autorité parentale au juge du divorce, en raison du fait que la procédure de mesures protectrices de l'union conjugale est de nature sommaire et prévoit une administration restreinte des moyens de preuve. Elle se plaint en outre sur ce point d'une violation des art. 8 CEDH, 10 al. 2, 11, 13 et 27 Cst., ainsi que de l'art. 3 CDE, au motif qu'il lui serait fait interdiction de s'installer en Grande-Bretagne avec son fils.
3.1 Selon l'<ref-law>, relatif à l'organisation de la vie séparée (note marginale), lorsque les époux ont des enfants mineurs, le juge ordonne les mesures nécessaires, d'après les dispositions sur les effets de la filiation (cf. <ref-law>). En vertu de l'<ref-law>, il peut attribuer l'autorité parentale à un seul des parents. Une telle attribution devrait cependant constituer l'exception dans le cadre des mesures protectrices de l'union conjugale (arrêt 5A_752/2009 du 11 février 2010, consid. 2.1; MEIER/STETTLER, Droit de la filiation, 4e éd., n. 460 p. 269/270; PARISIMA VEZ, Commentaire romand, n. 9 ad <ref-law>; IVO SCHWANDER, Commentaire bâlois, 3e éd., n. 12 ad <ref-law>). Si l'attribution du droit de garde à un seul des parents apparaît suffisante pour garantir le bien de l'enfant, il n'y a pas lieu de modifier aussi l'exercice de l'autorité parentale (Ingeborg Schwenzer, Commentaire bâlois, 3e éd., n. 6 ad <ref-law>). Par conséquent, il ne suffit pas que les parents entretiennent des relations conflictuelles ensuite de la séparation pour faire application de l'<ref-law> (ROLF VETTERLI, FammKomm Scheidung, n. 1 ad <ref-law>). Le fait que les mesures protectrices servent de plus en plus souvent à régler les rapports juridiques d'époux dont le lien conjugal est irrémédiablement atteint ne change rien à ces principes pour ce qui a trait aux relations entre parents et enfants (MEIER/STETTLER, op. cit., note de bas de page 984, p. 270).
3.2 La loi ne définit pas l'autorité parentale. La doctrine l'appréhende comme la responsabilité et le pouvoir légal des parents de prendre les décisions nécessaires pour l'enfant mineur. Il s'agit d'un faisceau de droits et de devoirs des père et mère à l'égard de l'enfant, dont l'étendue varie en fonction de plusieurs facteurs, soit en particulier de l'âge et de la maturité de l'enfant (VEZ, op. cit., n. 1 ad <ref-law>; MEIER/STETTLER, op. cit., n. 442 p. 259). Quant au droit de garde, il est une composante de l'autorité parentale. Il comprend en particulier la faculté de déterminer le lieu de résidence et le mode d'encadrement de l'enfant (<ref-ruling> consid. 4a p. 9/10; 120 Ia 260 consid. 2 p. 263 et les références). En cas de vie séparée des père et mère, le domicile légal de l'enfant se trouve auprès de celui des parents auquel la garde a été attribuée (<ref-law>). Le titulaire unique du droit de garde peut donc, sous réserve de l'abus de droit - par exemple s'il n'a pas de motif plausible ou si son seul but est de rendre plus difficiles les relations entre l'enfant et l'autre parent - déménager à l'étranger avec l'enfant sans l'accord de l'autre parent, le droit de visite devant alors être adapté en conséquence. En cas de menace sérieuse pour le bien de l'enfant, l'autorité tutélaire - respectivement le juge des mesures protectrices ou provisoires (cf. <ref-law>) - peut toutefois interdire le départ à l'étranger, en se fondant sur l'<ref-law>. Si tel n'est pas le cas, le parent seul titulaire du droit de garde ne se rend coupable d'aucune infraction en s'installant à l'étranger; le parent qui ne bénéficie pas du droit de garde n'a, quant à lui, pas qualité pour former une demande de retour au sens de la Convention de La Haye sur les aspects civils de l'enlèvement international d'enfants du 25 octobre 1980 (<ref-ruling> consid. 3 p. 355 ss).
Le titulaire unique du droit de garde peut donc, sous réserve de l'abus de droit, déménager avec l'enfant, notamment à l'étranger, sans avoir besoin d'une autorisation du juge. L'exercice du droit de garde doit toutefois tendre au bien de l'enfant. Si l'intérêt de celui-ci est menacé et si les parents n'y remédient pas d'eux-mêmes ou sont hors d'état de le faire, le juge compétent prend les mesures de protection appropriées (<ref-law>). Il peut, en particulier, donner aux père et mère, d'office ou sur requête, des instructions au sens de l'<ref-law>. Ainsi, il peut notamment interdire au parent titulaire du droit de garde d'emmener l'enfant à l'étranger si un tel déplacement compromettrait le bien de celui-ci. En règle générale, des difficultés initiales d'intégration ou de langue ne représentent pas un danger sérieux pour l'intérêt de l'enfant. De telles difficultés sont en effet plus ou moins inhérentes à tout changement de domicile, qu'il s'agisse d'une installation à l'étranger ou dans une autre partie du pays, et se présentent, pour l'essentiel, lorsque non seulement le titulaire du droit de garde, mais aussi l'ensemble de la famille, déménage. La perspective d'un changement d'établissement scolaire ou les limitations de l'exercice du droit de visite résultant inévitablement d'un éloignement géographique du titulaire du droit de garde ne sont pas non plus de nature, en principe, à mettre le bien de l'enfant sérieusement en danger. Tel peut en revanche être le cas lorsque l'enfant souffre d'une maladie et ne pourrait bénéficier des soins médicaux nécessaires dans son nouveau lieu de résidence, lorsqu'il est profondément enraciné en Suisse et n'a guère de liens avec l'endroit de destination ou encore lorsqu'il est relativement proche de la majorité et qu'une fois celle-ci atteinte, il retournera probablement vivre en Suisse. Il convient d'ailleurs de relever qu'en présence d'un tel danger pour le bien de l'enfant, une attribution du droit de garde à l'autre parent s'imposera le plus souvent, de sorte que la question d'une mesure de protection selon l'<ref-law> ne se posera plus (<ref-ruling> consid. 3.3 p. 357 ss).
3.3 Il résulte de ce qui précède que, contrairement à l'opinion de l'autorité cantonale, toute mère titulaire unique du droit de garde pourrait en principe s'établir à l'étranger contre la volonté du père sans avoir besoin d'une autorisation judiciaire ou administrative, ni être exposée à des poursuites pénales ou à une demande de retour au sens du droit international précité. L'argumentation de la recourante tendant à ce que l'autorité parentale lui soit attribuée pour lui permettre de s'installer en Grande-Bretagne avec son fils tombe dès lors à faux. Le seul motif invoqué à l'appui de ses conclusions est, en fin de compte, d'avoir la possibilité de vivre dans ce pays avec l'enfant sans l'accord du père; or, il résulte de ce qui précède que ce but pourrait a priori être atteint par l'octroi du droit de garde. Dans ces conditions, et bien que la motivation de la décision attaquée soit erronée (cf. <ref-ruling> consid. 2.2 p. 550), le refus d'attribuer l'autorité parentale exclusive à la mère et de l'autoriser expressément à s'installer en Angleterre avec l'enfant n'apparaît à tout le moins pas critiquable en tant que tel. Vu ce qui précède, les griefs de violation des art. 8 CEDH, 10 al. 2, 11, 13 et 27 Cst. ainsi que 3 CDE sont sans pertinence et doivent être rejetés d'emblée.
3.4 Dans la mesure où la recourante reproche à l'autorité intimée d'avoir omis de se prononcer sur son chef de conclusions alternatif tendant à ce qu'elle soit autorisée à s'installer en Angleterre avec son fils, son grief tombe dès lors à faux.
3.5 Il ressort toutefois de l'arrêt attaqué que la Cour de justice n'entendait pas permettre à l'épouse de s'installer librement à l'étranger avec son fils. L'autorité cantonale a en effet considéré que, si la mère et l'enfant semblaient relativement isolés à Genève, les parties avaient librement pris la décision de s'établir dans cette ville, où la famille résidait depuis près de deux ans. Il paraissait dès lors préférable, à ce stade, d'en rester au statu quo s'agissant du lieu de résidence de l'enfant, cette question devant, le cas échéant, être tranchée par le juge du divorce en relation avec celle de l'attribution de l'autorité parentale. Cette opinion apparaît arbitraire. Comme il a été exposé plus haut (consid. 3.2), le juge des mesures protectrices peut interdire au parent titulaire du droit de garde d'emmener l'enfant à l'étranger si un tel déplacement serait de nature à compromettre le bien de celui-ci. En l'espèce, l'autorité cantonale ne s'est pas prononcée expressément sur ce point, partant à tort de l'idée que le droit de garde ne permettait pas à la mère de déménager à l'étranger avec l'enfant. Dans ces conditions, il convient de lui renvoyer la cause pour qu'elle examine si l'intérêt de l'enfant commande d'interdire à la mère de déménager avec celui-ci hors de Suisse, en application de l'<ref-law>.
4. 4.1 Le recourant reproche pour sa part à l'autorité cantonale d'avoir, à la suite d'une appréciation arbitraire de la situation financière des parties, violé le droit fédéral en le condamnant à verser une contribution à l'entretien de sa famille d'un montant de 5'000 fr. par mois dès le 1er mai 2010. Il expose que la Cour de justice a retenu à tort qu'il bénéficiait d'un disponible de 5'000 fr. par mois, alors qu'en réalité ses charges incompressibles absorbent entièrement le revenu mensuel de 6'561 fr. - et non de 15'000 fr. ou de 11'500 fr. - qu'il perçoit de l'Office cantonal de l'emploi.
4.2 En ce qui concerne la capacité financière du débirentier, la Cour de justice a notamment retenu que celui-ci, avocat de formation, avait été licencié pour le 30 septembre 2009, son salaire complet lui ayant toutefois été versé jusqu'à fin octobre 2009. Auparavant, il percevait des revenus réguliers de l'ordre de 15'000 fr. net par mois. Dès lors qu'il s'était inscrit, le 20 octobre 2009, comme demandeur d'emploi auprès de l'Office régional de placement, il convenait de retenir les revenus allégués par l'intéressé à titre d'indemnité de chômage, soit 11'500 fr. par mois, en arrondissant. A terme, il devrait être en mesure de réaliser des revenus comparables à ceux qu'il percevait avant son licenciement, compte tenu de sa formation et de son expérience professionnelle.
Le recourant produit un décompte de la Caisse cantonale genevoise de chômage du 1er décembre 2009, selon lequel un montant de 6'561 fr. net lui a été payé pour novembre 2009. Ce décompte, antérieur au prononcé de l'arrêt attaqué, n'a cependant pas été versé au dossier cantonal. Le recourant se contente de dire qu'il ne disposait pas de ce document au moment où il a interjeté appel. Il s'agit néanmoins d'une pièce nouvelle et, partant, irrecevable dans la présente procédure de recours (<ref-law>).
5. 5.1 Le recourant fait aussi grief aux juges précédents de n'avoir pas tenu compte du fait qu'après son installation en Angleterre avec l'enfant, l'intimée pourra, selon lui, réaliser un revenu de l'ordre de 4'700 fr. par mois, que ses charges diminueront alors considérablement puisqu'elle vivra dans sa famille et n'aura pas à payer d'assurance maladie et, enfin, que le niveau de vie anglais, en dehors de Londres, est très nettement inférieur à celui prévalant en Suisse. Il se plaint en outre de ce que le droit de visite, tel que fixé par l'arrêt attaqué, ne pourra pas être respecté si l'intimée quitte la Suisse, ce qu'elle a toujours affirmé vouloir faire.
5.2 Si la perspective, voire la certitude d'un départ à l'étranger du parent seul titulaire du droit de garde n'est pas - sauf abus au sens de l'<ref-law> - un motif suffisant pour lui retirer ce droit, la réglementation du droit aux relations personnelles peut cependant être adaptée à la situation nouvelle qui résulterait de ce départ, un séjour plus long pendant les vacances pouvant, par exemple, remplacer le droit de visite fixé par jours; il en va de même s'agissant de la question des obligations pécuniaires, celle-ci devant toutefois être traitée indépendamment de celle des relations personnelles (<ref-ruling> consid. 3.3 p. 359; <ref-ruling> consid. 3 p. 388).
En l'occurrence, il appert que la mère et l'enfant résidaient dans le canton de Genève au moment où la décision attaquée a été rendue, ce qui paraît toujours être le cas actuellement. De surcroît, l'autorité cantonale sera encore amenée à se prononcer sur le point de savoir si l'intérêt de l'enfant commande d'interdire à la mère de déménager avec celui-ci hors de Suisse (cf. supra, consid. 3.5). Dans cette situation, on ne saurait considérer que l'arrêt attaqué apparaisse insoutenable en ce qu'il ne tient pas compte, en l'état, des conséquences éventuelles d'un hypothétique changement de circonstances. Cas échéant, il appartiendra au juge compétent de déterminer en temps et lieu si les mesures prises doivent être adaptées à une nouvelle situation.
6. En ce qui concerne la période du 8 septembre 2008 au 31 janvier 2009, le recourant soutient que la cour cantonale a mal apprécié les preuves en retenant qu'il avait déjà payé chaque mois à l'intimée une somme de 2'921 fr. seulement, correspondant aux frais de loyer et d'assurance maladie pour elle et l'enfant. Il soutient qu'elle a allégué dans ses écritures qu'il lui avait versé en sus, durant les mois en question, un montant total de 5'600 fr. - soit 1'120 fr. par mois -, montant qui n'aurait pas été pris en compte par l'autorité cantonale. Dès lors, la contribution due pour la période considérée devrait être de 6'500 fr. sous déduction de 4'041 fr. (à savoir 2'921 fr. + 1'120 fr.) déjà versés chaque mois.
Ce grief apparaît fondé. Il résulte en effet de la requête de mesures protectrices de l'union conjugale de l'épouse, du 19 janvier 2009, à laquelle le recourant se réfère, que celui-ci lui a versé, en sus du loyer et des primes d'assurance maladie de la famille, 300 fr. le 20 septembre 2008, 700 fr. le 29 septembre 2008, 500 fr. le 9 octobre 2008, 600 fr. le 10 octobre 2008, 1'000 fr. le 1er novembre 2008, 1'000 fr. le 21 novembre 2008, 500 fr. le 23 décembre 2008 et 1'000 fr. le 3 janvier 2009, soit un total de 5'600 fr. L'épouse conclut d'ailleurs, dans ladite requête, à ce que le mari soit condamné à lui verser à titre de contribution à l'entretien de la famille, dès le 8 septembre 2008, la somme de 6'800 fr. par mois, «sous déduction des montants déjà remis et de ceux déjà versés à titre de loyer et d'assurances». Dans son mémoire d'appel, l'épouse reprend exactement le même chef de conclusions, également formulé sous forme de motivation dans le corps de son écriture.
Le recours en matière civile du recourant ne contient certes formellement pas de conclusions sur le fond (cf. supra, consid. 2.1). Toutefois, dans la partie en droit de son mémoire, celui-ci allègue expressément que la Cour de justice devait le condamner, «pour la période du 8 septembre 2008 au 31 janvier 2009, au versement de 6'500 fr. sous déduction de 4'041 fr. déjà versés chaque mois, et non pas de 2'921 fr. déjà versés chaque mois». De plus, il ne s'agit pas d'un grief nouveau, le Tribunal de première instance ayant condamné le mari à payer une contribution d'entretien de 6'300 fr. par mois, sans autres précisions quant aux montants déjà versés. Enfin, le recourant a conclu en appel, principalement, à ce qu'aucune contribution ne soit mise à sa charge et, subsidiairement, en cas d'attribution de la garde de l'enfant à la mère, au paiement en faveur de celui-ci d'une pension mensuelle, échelonnée, de 2'100 fr., puis de 2'200 fr., mais au maximum de 2'300 fr. Ses prétentions ayant par conséquent diminué en instance fédérale, elles ne se heurtent pas à l'interdiction des conclusions nouvelles instaurée par l'<ref-law>. Au demeurant, l'intimée, dans son mémoire de réponse, dit avoir écrit au recourant pour lui réclamer les arriérés de pension, en précisant qu'il convenait de déduire le montant de 5'600 fr. qu'elle reconnaissait avoir reçu.
Dans ces conditions, il y a lieu de réformer l'arrêt attaqué sur ce point en ce sens que, du 8 septembre 2008 au 31 janvier 2009, le mari est condamné à verser mensuellement en mains de l'épouse, à titre de contribution à l'entretien de la famille, la somme de 6'500 fr. sous déduction de 2'921 fr. déjà versés chaque mois ainsi que d'un montant global de 5'600 fr. également payé durant la période considérée.
7. Le recourant reproche encore à l'autorité cantonale d'avoir traité les parties de manière différente et totalement arbitraire, en annulant l'interdiction faite à l'intimée de quitter le territoire suisse avec l'enfant sans son autorisation préalable, alors que lui-même reste tenu de requérir l'autorisation de celle-ci pour voyager hors de Suisse avec son fils. Il soulève aussi à cet égard la violation de l'<ref-law>.
En tant que le recourant semble se plaindre d'une inégalité de traitement entre les parents, son grief tombe à faux puisque l'attribution - qu'il ne conteste pas - du droit de garde à la mère justifie un traitement différent. Le recourant critique aussi en tant que telle l'interdiction qui lui est faite de voyager avec son fils à l'étranger sans l'autorisation de l'intimée: de nature appellatoire, ce grief est par conséquent irrecevable (<ref-law>).
8. Vu ce qui précède, le recours de l'épouse doit être partiellement admis, dans la mesure où il est recevable, l'arrêt attaqué annulé et la cause renvoyée à l'autorité cantonale pour qu'elle décide, le cas échéant après instruction complémentaire, si l'intérêt de l'enfant commande d'interdire à la mère de s'établir avec lui en Grande-Bretagne (<ref-law>).
Quant au recours du mari, il est partiellement admis, dans la mesure où il est recevable, ce qui conduit à la réforme de l'arrêt entrepris dans le sens des considérants s'agissant de la contribution d'entretien.
Il se justifie dès lors de répartir les frais judiciaires, arrêtés à 4'000 fr. au total, par moitié entre les parties (<ref-law>), et de compenser les dépens (art. 68 al. 1 et 2 LTF). La requête d'assistance judiciaire de l'épouse peut en outre être agréée (art. 64 al. 1 et 2 LTF).
Enfin, il appartiendra à l'autorité cantonale de statuer à nouveau sur les frais et dépens de la procédure cantonale (<ref-law>).

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Les causes 5A_456/2010 et 5A_460/2010 sont jointes.
2. Le recours de dame A._ est partiellement admis, dans la mesure où il est recevable, l'arrêt attaqué est annulé et la cause renvoyée à l'autorité cantonale pour nouvelle décision, au sens des considérants, en ce qui concerne le sort de l'enfant (5A_456/2010).
3. Le recours de A._ est partiellement admis, dans la mesure où il est recevable, et l'arrêt entrepris est réformé en ce sens que, pour la période du 8 septembre 2008 au 31 janvier 2009, celui-ci est condamné à payer mensuellement à titre de contribution à l'entretien de la famille, allocations familiales en sus, 6'500 fr. sous déduction de 2'921 fr. déjà versés chaque mois ainsi que d'un montant global de 5'600 fr. pour la période considérée (5A_460/2010).
4. La requête d'assistance judiciaire de dame A._ est admise et Me Alain Berger, avocat, lui est désigné comme conseil d'office.
5. Les frais judiciaires, arrêtés en totalité à 4'000 fr., sont mis pour moitié à la charge de chacune des parties, étant précisé que la part de dame A._ est provisoirement supportée par la Caisse du Tribunal fédéral.
6. Les dépens sont compensés.
7. La Caisse du Tribunal fédéral versera à Me Alain Berger une indemnité de 2'000 fr. à titre de dépens.
8. Le présent arrêt est communiqué aux parties et à la Chambre civile de la Cour de justice du canton de Genève.
Lausanne, le 21 février 2011
Au nom de la IIe Cour de droit civil
du Tribunal fédéral suisse
La Présidente: La Greffière:
Hohl Mairot