Sachverhalt:
A. Mit Entscheid vom 24. September 2010 stellte der Gemeinderat X._ fest, dass das Sozialamt X._ dem abgewiesenen Asylbewerber L._ im Bedarfsfall Nothilfe leiste, dieser jedoch auf Nothilfeleistungen verzichte und seinen Lebensunterhalt anderweitig decke. Dagegen erhob L._ Rekurs beim Sicherheits- und Justizdepartement (nachfolgend: SJD). Mit Entscheid vom 15. August 2011 trat das SJD mangels Beschwer auf den Rekurs nicht ein, weil weder der Aufenthaltsort von L._ bekannt sei noch ein konkretes Nothilfebegehren vorliege.
B. L._ erhob beim Verwaltungsgericht des Kantons St. Gallen Beschwerde gegen den Nichteintretensentscheid. Nachdem er zur Leistung eines Kostenvorschusses aufgefordert worden war, stellte er ein Gesuch um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege für das Beschwerdeverfahren. Das Verwaltungsgericht des Kantons St. Gallen wies das Gesuch mit Verfügung vom 10. Oktober 2011 ab, da die Beschwerde aussichtslos sei, und verlangte von L._ die Bezahlung des Kostenvorschusses.
C. L._ lässt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten führen mit dem Rechtsbegehren, es seien die vorinstanzliche Verfügung aufzuheben und das kantonale Gericht anzuweisen, die unentgeltliche Rechtspflege zu gewähren; nach Zustellung der Vernehmlassung sei ein zweiter Schriftenwechsel durchzuführen. Des Weitern sei die unentgeltliche Rechtspflege für das letztinstanzliche Verfahren zu gewähren.
Es wurde kein Schriftenwechsel durchgeführt.

Erwägungen:
1. Die vorinstanzliche Verfügung stellt einen anfechtbaren Zwischenentscheid im Sinne von <ref-law> dar (statt vieler: Urteil 8C_794/2011 vom 17. November 2011 E. 1). Die übrigen Voraussetzungen für das Eintreten auf die Beschwerde sind ebenfalls erfüllt.
2. Der Beschwerdeführer beantragt die Durchführung eines zweiten Schriftenwechsels. Ein solcher ist indessen nicht erforderlich (<ref-law>).
3. Der Beschwerdeführer rügt eine Verletzung des sich aus <ref-law> ergebenden Anspruchs auf unentgeltliche Rechtspflege. Er macht nicht geltend, das kantonale Recht oder die Bestimmungen der EMRK würden einen darüber hinaus gehenden Anspruch gewähren.
3.1 Gemäss <ref-law> hat jede Person, die nicht über die erforderlichen Mittel verfügt, Anspruch auf unentgeltliche Rechtspflege, wenn ihr Rechtsbegehren nicht aussichtslos erscheint; soweit es zur Wahrung ihrer Rechte notwendig ist, hat sie ausserdem Anspruch auf unentgeltlichen Rechtsbeistand.
Das kantonale Gericht hat die Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege und Verbeiständung mit der Begründung verweigert, die bei ihm eingereichte Beschwerde sei aussichtslos.
Als aussichtslos sind nach der bundesgerichtlichen Rechtsprechung Prozessbegehren anzusehen, bei denen die Gewinnaussichten beträchtlich geringer sind als die Verlustgefahren und die deshalb kaum als ernsthaft bezeichnet werden können. Dagegen gilt ein Begehren nicht als aussichtslos, wenn sich Gewinnaussichten und Verlustgefahren ungefähr die Waage halten oder jene nur wenig geringer sind als diese. Massgebend ist, ob eine Partei, die über die nötigen finanziellen Mittel verfügt, sich bei vernünftiger Überlegung zu einem Prozess entschliessen würde (statt vieler: erwähntes Urteil 8C_794/2011 E. 2.1 mit Hinweis).
3.2 Der Präsident des kantonalen Gerichts hat zunächst geprüft, ob das SJD mit Entscheid vom 15. August 2011 zu Recht auf den Rekurs des heutigen Beschwerdeführers nicht eintrat. Es hat dazu im Zwischenentscheid erwogen, dem SJD könne zwar insofern nicht gefolgt werden, als es auf Nichteintreten erkannt habe mit der Begründung, die Voraussetzungen für den Bezug von Nothilfe seien nicht erfüllt. In seiner materiellen Eventualbegründung habe dieses indessen zutreffend erwogen, dass der Rekurs in der Sache selbst abzuweisen wäre. Der Gesuchsteller habe weder bei der Abklärung mitgewirkt, noch der zuständigen Behörde seinen Aufenthaltsort mitgeteilt und auch die ihm angebotene Nothilfe nicht beansprucht. Da überdies keine Gehörsverletzungen auszumachen seien, die durch den streitigen Entscheid nicht bereits geheilt worden wären, seien die Erfolgsaussichten der Beschwerde insgesamt als gering einzustufen. Damit bestehe kein Anspruch auf unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung.
Die vorinstanzliche Beurteilung, die Beschwerde habe praktisch keinerlei Aussicht auf Erfolg, ist nicht zu beanstanden.
3.3 Was der Beschwerdeführer dagegen vorbringt, führt - soweit die Rügen überhaupt sachbezogen sind - zu keinem anderen Ergebnis. Insbesondere hat das SJD im Entscheid vom 15. August 2011 in einer Eventualbegründung das gestellte Rechtsbegehren materiell beurteilt und sich dabei auch zu den an eine Notunterkunft zu stellenden Mindestanforderungen geäussert. Hat eine Vorinstanz - entgegen dem grundsätzlich massgebenden Dispositiv ihres Entscheids - in den Erwägungen einen Rechtsanspruch materiell abgewiesen, beschränkt sich das Anfechtungsobjekt der Rechtsmittelinstanz nicht auf das vorinstanzliche Nichteintreten; vielmehr kann diese den angefochtenen Entscheid selber auch materiell überprüfen, wovon das Verwaltungsgericht zu Recht ausgegangen ist. In materiellrechtlicher Hinsicht nicht ersichtlich ist namentlich, gestützt auf welche rechtliche Grundlage der geltend gemachte Anspruch auf Unterstützung durch eine bestimmte Gemeinde geschuldet und inwiefern die erfolgte "Zuteilung" an die Gemeinde X._ rechtswidrig wäre, zumal der Gesuchsteller den Behörden seinen Aufenthaltsort nicht bekannt gegeben hat. Dass das effektive Vorliegen einer aktuellen Notlage im Sinne von <ref-law> für die Behörde unter den gegebenen Umständen tatsächlich überprüfbar gewesen wäre, legt der Beschwerdeführer nicht näher dar.
4. Die offensichtlich unbegründete Beschwerde ist im Verfahren nach <ref-law> abzuweisen.
5. Aufgrund der Umstände ist auf die Erhebung von Gerichtskosten zu verzichten (Art. 66 Abs. 1 zweiter Satz BGG). Das für das bundesgerichtliche Verfahren gestellte Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege ist somit gegenstandslos, soweit es auf die Befreiung von Gerichtskosten gerichtet ist. Die unentgeltliche Rechtspflege im Sinne der unentgeltlichen Verbeiständung kann zufolge Aussichtslosigkeit auch der letztinstanzlichen Beschwerde nicht gewährt werden (Art. 64 Abs. 1 und 2 BGG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen.
2. Es werden keine Gerichtskosten erhoben.
3. Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege wird abgewiesen, soweit es nicht gegenstandslos geworden ist.
4. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Sicherheits- und Justizdepartement des Kantons St. Gallen und dem Gemeinderat X._ schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 7. Februar 2012
Im Namen der I. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Ursprung
Die Gerichtsschreiberin: Hofer