Sachverhalt:
A. Der 1960 geborene T._ bezog gestützt auf die - mit rechtskräftigem Entscheid des Verwaltungsgerichts des Kantons Thurgau vom 23. Dezember 2009 bestätigten - Verfügungen der IV-Stelle des Kantons Thurgau vom 31. August 2009 ab 1. Mai 2003 eine Viertelsrente, ab 1. August 2003 eine halbe Rente und ab 1. Januar 2004 eine bis 31. März 2009 befristete ganze Invalidenrente. Im Oktober/November 2011 meldete er sich erneut bei der Invalidenversicherung zum Leistungsbezug an. Er machte eine Verschlechterung seines psychischen Gesundheitszustandes geltend. Die IV-Stelle trat auf die Neuanmeldung ein und verneinte mit Verfügung vom 10. August 2012 einen Rentenanspruch, da keine wesentliche gesundheitliche Änderung eingetreten sei.
B. Beschwerdeweise beantragte T._, es sei die Verfügung vom 10. August 2012 aufzuheben, der Invaliditätsgrad zu berechnen und eine entsprechende Rente auszurichten; eventuell sei die Sache zu weiterer Abklärung und neuer Verfügung an die Verwaltung zurückzuweisen. Das Verwaltungsgericht des Kantons Thurgau gewährte ihm die unentgeltliche Rechtspflege und wies die Beschwerde ab (Entscheid vom 14. November 2012).
C. T._ lässt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten führen mit dem Rechtsbegehren, in Aufhebung des kantonalen Entscheids sei die Vorinstanz resp. die Verwaltung zu verpflichten, den Invaliditätsgrad neu zu berechnen und die entsprechenden gesetzlichen Leistungen, insbesondere eine Invalidenrente, auszurichten; eventuell sei die Sache zu neuer Beurteilung an das kantonale Gericht resp. an die IV-Stelle zurückzuweisen. Ein weiterer Antrag betrifft die Höhe des vom kantonalen Gericht zugesprochenen Honorars des unentgeltlichen Rechtsbeistandes. Zudem wird um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege für das bundesgerichtliche Verfahren ersucht.
Die vorinstanzlichen Akten wurden eingeholt. Ein Schriftenwechsel wurde nicht durchgeführt.

Erwägungen:
1. Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten (<ref-law>) kann wegen Rechtsverletzung gemäss Art. 95 f. BGG erhoben werden. Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (<ref-law>), und kann deren Sachverhaltsfeststellung nur berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruht (<ref-law>). Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (<ref-law>).
2. 2.1 Die Verwaltungsverfügung vom 10. August 2012 und der vorinstanzliche Entscheid befassen sich nur mit dem Anspruch auf eine Invalidenrente. Soweit letztinstanzlich erstmals auch andere Leistungen beantragt werden, ist daher auf die Beschwerde mangels eines Anfechtungsgegenstandes und weil neue Begehren unzulässig sind (<ref-law>) nicht einzutreten.
2.2 Nach der Rechtsprechung kann gegen eine vom kantonalen Gericht im Rahmen der unentgeltlichen Verbeiständung festgesetzte Entschädigung nur vom Rechtsvertreter beim Bundesgericht Beschwerde erhoben werden. Die rechtsvertretene Person selber ist dazu nicht legitimiert. Die Entschädigung kann auch nicht durch eine vom Rechtsvertreter im Namen seines Mandanten erhobene Beschwerde angefochten werden (SVR 2009 IV Nr. 48 S. 144, 9C_991/2008 E. 2.2.1; 2008 MV Nr. 2 S. 3, M 2/06 E. 5.3.2; je mit Hinweisen; Urteil 8C_298/2012 vom 5. Juli 2012 E. 2). Die vorliegende Beschwerde wurde vom Rechtsvertreter im Namen des Versicherten erhoben. Soweit sie sich gegen die zugesprochene Entschädigung des unentgeltlichen Rechtsbeistandes richtet, ist nach dem Gesagten ebenfalls nicht auf sie einzutreten.
3. Streitig und zu prüfen ist, ob nach dem Auslaufen der zuletzt ausgerichteten befristeten Invalidenrente Ende März 2009 erneut ein Rentenanspruch entstanden ist, wie dies mit der Neuanmeldung vom Oktober/November 2011 geltend gemacht wurde. Das beurteilt sich in analoger Anwendung der für die Rentenrevision geltenden Regeln. Massgeblich ist demnach, ob eine wesentliche Änderung in den tatsächlichen Verhältnissen eingetreten ist, die geeignet ist, den Invaliditätsgrad und damit den Rentenanspruch zu beeinflussen. Dabei bildet in zeitlicher Hinsicht die letzte, auf einer materiellen Prüfung des Rentenanspruchs beruhende, rechtskräftige Verfügung den Ausgangspunkt - hier demnach der 31. August 2009 - und die streitige Verfügung den Endpunkt - hier: 10. August 2012 - für die Beurteilung, ob eine solche Änderung eingetreten ist (vgl. <ref-law>; <ref-ruling> und 108; <ref-ruling>).
4. Als gegebenenfalls massgebliche Änderung steht eine Verschlechterung des psychischen Gesundheitszustandes und damit verbunden der Arbeitsfähigkeit zur Diskussion.
4.1 Gemäss dem diesbezüglich nicht umstrittenen vorinstanzlichen Entscheid beruhte die Rentenbefristung gemäss den Verwaltungsverfügungen vom 31. August 2009 auf dem polydisziplinären medizinischen Gutachten des Begutachtungsinstituts X._ vom 16. Februar 2009. Darin wurden als Diagnosen mit Einfluss auf die Arbeitsfähigkeit ein unspezifisches generalisiertes Schmerzsyndrom, unter Betonung der rechten Seite (bei kleinen Diskushernien ohne Neurokompression und Status nach Schussverletzung 1980), und ohne Einfluss auf die Arbeitsfähigkeit eine Somatisierungsstörung sowie eine arterielle Hypertonie genannt. Die Experten schätzten den Versicherten ab spätestens Januar 2009 für eine körperlich leichte bis mittelschwere, wechselbelastende Tätigkeit als zu 100 % arbeits- und leistungsfähig ein.
4.2 Im Rahmen der Neuanmeldung machte der Beschwerdeführer geltend, sein psychischer Gesundheitszustand habe sich seit 15. Juni 2010 verschlechtert. Er verwies dabei auf Dr. med. E._, Facharzt für Psychotherapie und Psychotherapie FMH, welcher ihn seit 15. Juni 2010 psychiatrisch-psychotherapeutisch behandelt. Dieser hat in der Folge wiederholt Stellung genommen. Dr. med. E._, und auf ihn verweisend die Hausärztin, gehen davon aus, die Arbeitsfähigkeit des Versicherten werde durch eine Persönlichkeitsstörung beeinträchtigt.
Das kantonale Gericht ist zum Ergebnis gelangt, aus den Arztberichten ergäben sich keine grundsätzlichen Veränderungen des Gesundheitszustandes und keine anderen Diagnosen. Das gelte auch hinsichtlich der von Dr. med. E._ diagnostizierten Persönlichkeitsstörung.
Diese Beurteilung beruht auf einer sorgfältigen Würdigung der medizinischen Akten. Hervorzuheben ist, dass die Diagnose einer Persönlichkeitsstörung zwar nicht im Gutachten des Begutachtungsinstituts X._ vom 16. Februar 2009, wohl aber im - dieses Gutachten kommentierenden - Bericht des Dr. phil. A._, Facharzt für Anästhesie (D), Psychosomatische und Sozialmedizin (APPM), Psychoanalytiker (SCIAP), vom 8. November 2009 gestellt wurde. Dieser Bericht lag bereits dem kantonalen Sozialversicherungsgericht bei seinem - die Verwaltungsverfügungen vom 31. August 2009 bestätigenden - Entscheid vom 23. Dezember 2009 vor. Zudem geht Dr. med. E._ selber davon aus, die Persönlichkeitsstörung reiche bis in die Kindheit und ins Jugendalter zurück und beeinflusse die zwischenmenschlichen Beziehungen seit Jahren. Der Beschwerdeführer sei auch bereits in seinem Herkunftsland - mithin vor seiner Einreise in die Schweiz im Jahr 1988 - kaum in der Gesellschaft integriert gewesen. Bei dieser Aktenlage kann die vorinstanzliche Beurteilung, wonach lediglich eine - revisionsrechtlich unbeachtliche - andere Einschätzung des an sich gleich gebliebenen Sachverhalts vorliegt, nicht als offensichtlich unrichtig oder sonstwie rechtswidrig betrachtet werden. Sie ist entgegen der in der Beschwerde vertretenen Auffassung insbesondere auch nicht willkürlich. Eine neue Diagnose im Sinne eines neu hinzugekommenen Krankheitsbildes ist ebenso wenig ausgewiesen wie eine Verschlechterung eines damals bestandenen Leidens.
Was in der Beschwerde vorgebracht wird, führt zu keiner anderen Betrachtungsweise. Das gilt auch für die Einwände gegen die RAD-Stellungnahmen, zumal auch ohne diese eine wesentliche gesundheitliche Verschlechterung zu verneinen ist. Dass die Verwaltung auf die Neuanmeldung eingetreten ist und damit die geltend gemachte Verschlimmerung des Gesundheitszustandes als glaubhaft erachtet hat, gestattet sodann nicht den Schluss, eine solche Veränderung liege auch mit dem für die Revisionsfrage erforderlichen Beweisgrad der überwiegenden Wahrscheinlichkeit vor. Von weiteren medizinischen Abklärungen ist kein entscheidrelevanter neuer Aufschluss zu erwarten, weshalb das kantonale Gericht zu Recht darauf verzichtet hat.
5. Die offensichtlich unbegründete Beschwerde ist im Verfahren nach <ref-law> abzuweisen, soweit auf sie einzutreten ist.
6. Die Kosten des Verfahrens sind vom unterliegenden Beschwerdeführer zu tragen (<ref-law>). Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege ist infolge Aussichtslosigkeit der Beschwerde abzuweisen (Art. 64 Abs. 1 und 2 BGG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2. Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege wird abgewiesen.
3. Die Gerichtskosten von Fr. 800.- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
4. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Verwaltungsgericht des Kantons Thurgau und dem Bundesamt für Sozialversicherungen schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 25. April 2013
Im Namen der I. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Leuzinger
Der Gerichtsschreiber: Lanz