A.- K._, né le 5 février 1948, et dame K._, née le 1er mai 1953, se sont mariés le 5 juillet 1974 à Fribourg. Ils ont eu un fils, Philippe, né en 1978.
B.- Le 5 décembre 1997, le mari a ouvert action en divorce. L'épouse s'est opposée au divorce et a conclu reconventionnellement à la séparation de corps et à l'octroi d'une contribution pour son entretien.
Les 23 et 31 août 1999, les parties ont signé une convention réglant tous les effets accessoires de leur divorce à l'exception du principe, du montant et de la durée de la contribution d'entretien sollicitée par la défenderesse.
Tandis que celle-ci a conclu au versement par le demandeur d'une pension de 2'000 fr. par mois jusqu'à ce que leur fils Philippe ait acquis son indépendance économique, puis de 2'500 fr. par mois jusqu'à ce qu'elle atteigne l'âge de la retraite et de 1'000 fr. ensuite, le demandeur a conclu au rejet pur et simple de ces prétentions.
C.- Par jugement du 25 août 2000, le Tribunal civil de l'arrondissement de la Sarine a prononcé le divorce des époux K._ et ratifié la convention sur les effets accessoires du divorce, laquelle prévoyait notamment qu'une somme de 150'000 fr. serait prélevée sur le compte de prévoyance professionnelle du demandeur pour être versée sur celui de la défenderesse. Le Tribunal a en outre condamné le demandeur à verser à la défenderesse une contribution d'entretien mensuelle de 1'360 fr. du prononcé du divorce à juin 2001, 1'665 fr. de juillet 2001 à juin 2008, 1'740 fr. de juillet 2008 à février 2013, 1'170 fr. de mars 2013 à mai 2017 et 830 fr. à partir de juin 2017.
D.- Statuant par arrêt du 18 juin 2001 sur le recours en appel interjeté par le demandeur, la première Cour d'appel du Tribunal cantonal de l'État de Fribourg a réformé le jugement de première instance en réduisant la contribution d'entretien due par le demandeur à 1'200 fr. du prononcé du divorce à juin 2001, 1'430 fr. de juillet 2001 à juin 2008 et 1'500 fr. de juillet 2008 à février 2013; les contributions dues de mars 2013 à mai 2017 (1'170 fr.) puis dès juin 2017 (830 fr.) ont été confirmées.
E.- Contre cet arrêt, le demandeur interjette en parallèle un recours de droit public et un recours en réforme au Tribunal fédéral. Par le premier, il conclut avec suite de frais et dépens à l'annulation de l'arrêt attaqué. Il n'a pas été ordonné d'échange d'écritures.

Considérant en droit :
1.- a) En vertu de l'art. 57 al. 5 OJ, il est sursis en règle générale à l'arrêt sur le recours en réforme jusqu'à droit connu sur le recours de droit public. Cette disposition est justifiée par le fait que, si le Tribunal fédéral devait d'abord examiner le recours en réforme, son arrêt se substituerait à la décision cantonale, rendant ainsi sans objet le recours de droit public, faute de décision susceptible d'être attaquée par cette voie (<ref-ruling> consid. 1; <ref-ruling> consid. 1 et les arrêts cités). Il n'y a pas lieu d'y déroger en l'espèce.
b) Formé en temps utile contre une décision finale prise en dernière instance cantonale, le recours est recevable au regard des art. 86 al. 1, 87 et 89 al. 1 OJ.
2.- D'après l'art. 90 al. 1 let. b OJ, l'acte de recours doit, sous peine d'irrecevabilité, contenir un exposé succinct des droits constitutionnels ou des principes juridiques violés, précisant en quoi consiste la violation. Celui qui forme un recours de droit public pour arbitraire doit ainsi démontrer, par une argumentation précise, que la décision attaquée repose sur une application de la loi ou une appréciation des preuves manifestement insoutenables (<ref-ruling> consid. 3a; <ref-ruling> consid. 1c; <ref-ruling> consid. 2a). Il ne peut donc se borner à critiquer la décision attaquée comme il le ferait en procédure d'appel (<ref-ruling> consid. 4b; <ref-ruling> consid. 2a; <ref-ruling> et la jurisprudence citée), ni se contenter d'opposer sa thèse à celle de l'autorité cantonale (<ref-ruling> consid. 3a; <ref-ruling> consid. 2b; <ref-ruling>).
3.- a) En ce qui concerne le principe d'une contribution d'entretien en faveur de la défenderesse, la cour cantonale a constaté que la défenderesse, qui avait 47 ans lors du prononcé du divorce, a consacré, d'entente avec son époux, la majeure partie de ses 26 ans de mariage aux soins de sa famille. Elle a repris en 1993 une activité lucrative à temps partiel comme enseignante au Cycle d'orientation X._, où son taux d'occupation est actuellement de 69,23%. Elle est au bénéfice d'un statut de droit public et non d'une nomination, ce qui lui assure, pour la période administrative 2000-2004, un demi horaire d'enseignement.
Cependant, elle est la dernière arrivée des maîtresses chargées de l'enseignement de l'économie familiale; par conséquent, son statut revêt une certaine précarité, car il est très difficile de connaître à l'avance le nombre de cours de cette discipline qui seront effectivement mis sur pied. D'autre part, la procédure a révélé que l'état de santé de la défenderesse ne lui permettait pas d'avoir une activité professionnelle à temps complet.
Sur la base de ces constatations, la cour cantonale a considéré que la défenderesse a fourni tous les efforts que l'on pouvait attendre d'elle compte tenu du mode de vie du couple avant la séparation, de sa formation, de son âge et de son état de santé déficient. Son statut professionnel et son état de santé précaires ne lui permettant pas d'augmenter son temps de travail, il ne peut lui être demandé de faire face seule à ses besoins (arrêt attaqué, consid. 2a p. 6).
b) Pour ce qui est de la durée de la contribution d'entretien en faveur de la défenderesse, l'autorité cantonale a considéré que la défenderesse, qui a concédé de grands sacrifices pour sa famille et était dépendante pendant les 26 ans qu'a duré le mariage de l'aide de son mari, a contribué de manière conséquente à réduire son dommage puisque, malgré les problèmes de santé importants qui existaient déjà durant l'union conjugale, elle a repris progressivement une activité professionnelle et a obtenu aujourd'hui un poste à près de 70% comme enseignante. Toujours selon l'autorité cantonale, il convient en outre de ne pas perdre de vue que le demandeur a bénéficié d'un contrat de séparation de biens privant la défenderesse de tous bénéfices de l'union conjugale et qu'il dispose d'une fortune substantielle; en effet, sa fortune fiscale était de 214'000 fr. au 1er janvier 1999, auxquels s'ajoutent 54'000 fr. hérités par la suite ainsi que la propriété exclusive de son appartement. Cela étant, les juges cantonaux ont estimé qu'il se justifiait d'astreindre le demandeur à contribuer à l'entretien de la défenderesse par le versement d'une rente illimitée dans le temps (arrêt attaqué, consid. 2b/aa p. 7/8).
c) S'agissant enfin du montant de la contribution d'entretien en faveur de la défenderesse, l'autorité cantonale a constaté que le demandeur travaillait auparavant dans l'entreprise familiale K._ SA pour un salaire mensuel net de 6'835 fr. 90. Le 25 janvier 2000, soit pendant la procédure de divorce en première instance, il a décidé de quitter volontairement cette entreprise parce qu'il ne s'y sentait plus bien, ce qu'il a fait en août 2000. En septembre 2000, il a commencé à travailler comme agent technico-commer-cial dans l'entreprise Y._ pour un salaire mensuel net moyen, treizième salaire compris, de 6'773 fr. 70. À cette somme s'ajoutent 1'226 fr. 40 à titre de revenus des capitaux et des biens-fonds, d'où des revenus moyens de 8'000 fr. 10 pour la période d'octobre 2000 à avril 2001. Son salaire lui est assuré jusqu'au 30 juin 2001, date à laquelle le contrat qui le lie à l'entreprise Y._ prendra fin en raison d'une restructuration de cette entreprise. Il a été libéré de son obligation de travailler depuis le mois de février 2001.
La cour cantonale s'est déclarée convaincue que les relations professionnelles et extra-professionnelles du demandeur - qui est président de la société ..., membre du comité de ... et de club-service (...) -, son expérience et sa personnalité lui permettront de retrouver rapidement un emploi lui assurant des revenus comparables à ses revenus actuels, soit 8'000 fr. net par mois (arrêt attaqué, consid. 2b/bb et cc p. 8-10).
D'après les constatations de l'autorité cantonale, les charges du demandeur s'élèvent à 4'981 fr. 50, y compris les frais qu'il assume pour son fils majeur encore en formation par 868 fr. 30, de sorte que son disponible actuel s'élève à 3'018 fr. 60 (8'000 fr. 10 - 4'981 fr. 50). Quant à la défenderesse, son salaire net se monte à 4'067 fr. 20 par mois, treizième salaire compris, et ses charges à 3'454 fr.
par mois, d'où un disponible de 613 fr. 20 (4'067 fr. 20 - 3'454 fr.) (arrêt attaqué, consid. 2b/bb p. 8/9).
Selon les juges cantonaux, il paraît équitable, pour assurer l'entretien convenable de la défenderesse, de la faire bénéficier de la moitié (1'815 fr. 90) du disponible total (3'018 fr. 60 + 613 fr. 20 = 3'631 fr. 80), en astreignant le demandeur à lui verser une rente mensuelle arrondie de 1'200 fr. dès le prononcé du divorce (1'815 fr. 90 - 613 fr. 20 = 1'202 fr. 70) (arrêt attaqué, consid. 2b/bb p. 9).
Cette rente doit être portée à 1'430 fr. par mois à partir de juillet 2001, date à laquelle le disponible du demandeur s'accroîtra de 473 fr. 30 dès lors qu'il n'aura plus la charge de son fils, qui terminera son apprentissage de cuisinier (arrêt attaqué, consid. 2b/cc p. 10). La rente doit ensuite être portée 1'500 fr. dès juillet 2008, où l'assurance-vie conclue par le demandeur arrivera à échéance, lui assurant un revenu supplémentaire de 154 fr. par mois (arrêt attaqué, consid. 2b/dd p. 10). La rente doit une nouvelle fois être adaptée dès mars 2013, où le demandeur atteindra l'âge de la retraite de sorte que ses revenus diminueront à 7'101 fr. 25 (arrêt attaqué, consid. 2b/ee p. 10); le disponible total passant ainsi à 3'601 fr. 25, une rente de 1'170 fr. permettra à la défenderesse de disposer de presque la moitié du disponible total (1'170 fr. + 613 fr. 20 = 1'783 fr. 20).
Enfin, une dernière adaptation doit intervenir dès juin 2017, où c'est la défenderesse qui atteindra l'âge de la retraite de manière que ses revenus passeront à 4'523 fr. (rente AVS 2'010 fr. + rente LPP 2'515 fr.); son disponible devrait alors être de 1'069 fr. (4'523 fr. - 3'454 fr.), de sorte qu'une rente de 830 fr. lui assurera un niveau de vie convenable (arrêt attaqué, consid. 2b/ff p. 10).
4.- a) Le recourant fait grief à l'autorité cantonale d'avoir retenu de manière arbitraire que le statut professionnel et l'état de santé précaires de l'intimée ne lui per-mettent pas d'augmenter son temps de travail (cf. consid. 3a supra).
aa) S'agissant du statut professionnel de l'intimée, le recourant expose qu'il est notoire que dans le domaine de l'enseignement, il commence à manquer du personnel, manque qui devrait devenir préoccupant dans un très proche avenir; au surplus, l'on ne peut pas déduire de la situation actuelle que le statut professionnel de l'intimée serait définitivement précaire.
Par une telle critique, qui consiste à prendre le simple contre-pied de l'appréciation des juges cantonaux, le recourant ne démontre nullement que cette appréciation, fondée sur une attestation claire et précise du directeur du Cycle d'orientation X._, serait insoutenable et donc arbitraire, de sorte que le recours se révèle irrecevable sur ce point (cf. consid. 2 supra).
bb) En ce qui concerne l'état de santé de l'intimée, le recourant expose qu'aucun des deux certificats médicaux du Dr Z._, pneumologue, produits par l'intimée ne mentionne la durée de l'incapacité. En effet, tandis que le premier de ces certificats indique que "pour raison médicale il est très difficile pour Mme K._ d'avoir une activité professionnelle à temps complet", le second précise qu'en raison d'un état dépressif traité, "il est impossible pour Mme K._ de s'adonner à 100% à une activité professionnelle qui se déroule dans un contexte difficile du point de vue de la tension nerveuse (enseignement)". Selon le recourant, la tension nerveuse a été créée par le procès en divorce et ne constitue qu'un problème passager qui se résorbe avec le temps. Par ailleurs, l'intimée enseigne l'économie familiale, soit une "branche de détente", de sorte que même un enseignement à temps complet, portant sur 26 périodes de 45 minutes pendant 36 semaines, ne devrait pas avoir d'influence sur sa santé psychique, du moins pas à terme.
À nouveau, le recourant se borne à prendre le contre-pied de l'appréciation des juges cantonaux sans démontrer que celle-ci soit arbitraire. Au contraire, il apparaît à tout le moins soutenable, sur le vu des deux certificats médicaux précités et de celui de la Caisse de prévoyance du personnel de l'État auquel se réfère l'arrêt attaqué et sur lequel le recourant ne souffle pas mot, de considérer que l'impossibilité médicale pour l'intimée d'enseigner à temps complet n'est pas seulement passagère et liée au procès en divorce. Au surplus, les affirmations du recourant au sujet des effets sur la santé psychique de l'intimée d'un enseignement à temps complet de l'économie familiale ne reposent sur aucun élément de preuve et sont au contraire clairement infirmées par le second certificat médical précité. En tant qu'elles sont recevables, les critiques du recourant sur l'état de santé de l'intimée et ses conséquences apparaissent ainsi infondées.
b) Le recourant reproche à la cour cantonale d'avoir arbitrairement retenu que "la défenderesse a concédé degrands sacrifices pour sa famille" (cf. consid. 3b supra); selon lui, le fait que l'intimée s'est occupée pendant 15 ans de son fils pendant que le recourant se consacrait à acquérir un revenu ne peut être vu comme un sacrifice particulier, surtout par rapport aux épouses qui s'occupent de plusieurs enfants tout en exerçant une activité professionnelle.
Ce grief n'a pas à être examiné plus avant. En effet, il n'apparaît pas que l'affirmation incriminée ait joué un rôle dans la décision entreprise.
c) Le recourant conteste en outre l'affirmation de la cour cantonale selon laquelle il ne faut pas perdre de vue que le recourant a bénéficié d'un contrat de séparation de biens privant l'intimée de tous bénéfices de l'union conjugale et qu'il dispose d'une fortune substantielle (cf. consid. 3b supra). Toutefois, même s'il devait s'avérer inapproprié de dire que l'intimée a été privée de tous bénéfices de l'union conjugale du moment que toute la fortune du recourant serait selon ce dernier constituée par des apports, il n'en demeure pas moins que l'intimée n'a rien touché à titre de liquidation du régime matrimonial. De même, que l'on qualifie ou non la fortune du recourant de "substantielle" importe peu, seule comptant les constatations objectives de l'autorité cantonale quant à la composition de cette fortune. Quant au reproche fait à la cour cantonale de n'avoir pas pris en considération le fait que l'intimée était une fille unique qui allait toucher un héritage, il tombe à faux. En effet, les juges cantonaux ont exposé à cet égard que les expectatives successorales ne sont pas prises en compte dans l'appréciation du montant de la contribution, mais pourront le cas échéant fonder une action en modification (cf. arrêt attaqué, consid. 2b/gg p. 10/11).
d) Le recourant reproche enfin à l'autorité cantonale d'avoir retenu qu'il n'aurait plus d'emploi à partir du 1er juillet 2001 mais que ses relations professionnelles et extra-professionnelles, son expérience et sa personnalité lui permettraient de retrouver rapidement un emploi lui assurant des revenus comparables à ses revenus actuels (cf. consid. 3b supra). Il fait valoir qu'outre le fait qu'il s'est agi d'une hypothèse arbitraire, cette hypothèse ne s'est pas vérifiée, puisqu'il est actuellement au chômage et touche des indemnités de chômage à hauteur de 70% de son dernier revenu assuré.
Saisi d'un recours de droit public pour arbitraire, le Tribunal fédéral ne prend pas en considération les allégations, preuves ou faits qui n'ont pas été soumis à l'autorité cantonale; nouveaux, ils sont irrecevables (<ref-ruling> consid. 4a; <ref-ruling> consid. 2a et les arrêts cités). Le recourant ne saurait ainsi invoquer le fait qu'il se trouve au chômage depuis le 1er juillet 2001. Cela étant, le pronostic établi par les juges cantonaux sur la base des éléments de faits à leur disposition n'apparaît nullement arbitraire, et ce d'autant moins qu'ils ont souligné à raison que le recourant doit assumer les conséquences de son choix, qui a été fait en toute connaissance de cause pendant la procédure de divorce en première instance, de quitter l'entreprise familiale où il réalisait un salaire mensuel net de 6'835 fr.
90 (cf. arrêt attaqué, consid. 2b/cc p. 10).
5.- En définitive, le recours se révèle mal fondé en tant qu'il est recevable et ne peut ainsi qu'être rejeté dans cette même mesure. Le recourant, qui succombe, supportera les frais judiciaires (art. 156 al. 1 OJ). Il n'aura en revanche pas à payer de dépens, l'intimée n'ayant pas été invitée à répondre au recours (Poudret/Sandoz-Monod, Commentaire de la loi fédérale d'organisation judiciaire, vol. V, Berne 1992, n. 2 ad art. 159 OJ).

Par ces motifs,
le Tribunal fédéral :
1. Rejette le recours dans la mesure où il est recevable.
2. Met un émolument judiciaire de 2'000 fr. à la charge du recourant.
3. Communique le présent arrêt en copie aux mandataires des parties et à la première Cour d'appel du Tribunal cantonal de l'État de Fribourg.
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Lausanne, le 29 octobre 2001 ABR/frs
Au nom de la IIe Cour civile
du TRIBUNAL FEDERAL SUISSE :
Le Président, Le Greffier,