Erwägungen:
1.
Die Gemeinde Obergoms erteilte am 19. Oktober 2012 die Baubewilligung zur Erstellung eines Mehrfamilienhauses mit Bedingungen und Auflagen. Auf eine dagegen von A._ erhobene Verwaltungsbeschwerde trat der Staatsrat des Kantons Wallis wegen fehlenden Vollmachten mit Entscheid vom 23. Januar 2013 nicht ein. Das Kantonsgericht Wallis bestätigte diesen Entscheid mit Urteil vom 17. September 2013.
2.
A._ wandte sich mit Schreiben vom 14. April 2014 an die Gemeinde Obergoms und machte die Nichtigkeit der Baubewilligung aufgrund der Zweitwohnungsinitiative geltend. Die Gemeinde Obergoms trat mit Verfügung vom 24. April 2014 auf die "Einsprache" nicht ein. A._ erhob dagegen Beschwerde, welche der Staatsrat des Kantons Wallis mit Entscheid vom 13. August 2014 abwies. Am 19. September 2014 erhob A._ Beschwerde gegen den Staatsratsentscheid. Das Kantonsgericht Wallis wies die Beschwerde mit Entscheid vom 28. Mai 2015 ab.
3.
A._ führt mit Eingabe vom 26. Juni 2015 Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten gegen den Entscheid des Kantonsgerichts Wallis vom 28. Mai 2015 und ersuchte dabei um Fristerstreckung zur Nachreichung einer verbesserten Beschwerde. Das Bundesgericht teilte ihm mit Schreiben vom 30. Juni 2015 mit, dass die Beschwerdefrist als gesetzliche Frist gemäss <ref-law> nicht erstreckt werden könne. Gleichzeitig machte es ihn auf die Voraussetzungen der Wiederherstellung nach <ref-law> aufmerksam.
Mit Eingabe vom 8. Juli 2015 ersuchte A._ um Wiederherstellung der Beschwerdefrist. Das Bundesgericht verzichtet auf die Einholung von Vernehmlassungen.
4.
Gemäss <ref-law> wird eine versäumte Frist wiederhergestellt, wenn der Gesuchsteller nachweist, dass er oder sein Vertreter durch ein unverschuldetes Hindernis abgehalten worden ist, innerhalb der Frist zu handeln, und binnen 30 Tagen die Wiederherstellung verlangt und die versäumte Rechtshandlung nachholt. Ein unverschuldetes Hindernis im Sinne der genannten Gesetzesbestimmung liegt vor, wenn der Partei (und gegebenenfalls ihrem Vertreter) kein Vorwurf gemacht werden kann (vgl. <ref-ruling> E. 2a).
4.1. Ein Krankheitszustand bildet, wenn und solange er jegliches auf die Fristwahrung gerichtetes Handeln verunmöglicht, ein unverschuldetes, zur Wiederherstellung führendes Hindernis. Doch muss die Erkrankung derart sein, dass der Rechtsuchende durch sie davon abgehalten wird, selber innert Frist zu handeln oder eine Drittperson mit der Vornahme der Prozesshandlung zu betrauen. Dass es sich so verhält, muss mit einschlägigen Arztzeugnissen belegt werden, wobei die blosse Bestätigung eines Krankheitszustandes und regelmässig selbst einer vollständigen Arbeitsunfähigkeit zur Anerkennung eines Hindernisses im Sinne von <ref-law> nicht genügt (vgl. Urteil 6B_230/2010 vom 15. Juli 2010 mit weiteren Hinweisen).
4.2. Der Beschwerdeführer macht zur Begründung seines Wiederherstellungsgesuches geltend, dass seine Ehefrau im Februar 2014 einen Hirninfarkt erlitten habe. Seither sei sie auf seine Betreuung rund um die Uhr angewiesen, was eine fristgerechte Beschwerdeführung verunmöglicht hätte. Selbst wenn dies zutreffen sollte, ist nicht ersichtlich, weshalb es dem Beschwerdeführer nicht möglich gewesen sein soll, rechtzeitig eine Drittperson mit der Vornahme der Prozesshandlung zu betrauen, zumal das Verfahren bereits seit April 2014 hängig ist. Das Fristwiederherstellungsgesuch ist abzuweisen. Somit ist die vorliegende Beschwerde allein aufgrund der Eingabe vom 26. Juni 2015 zu beurteilen. Für eine Beschwerdeergänzung nach Ablauf der Beschwerdefrist bleibt somit kein Raum.
5.
Nach <ref-law> ist in der Begründung einer Beschwerde in gedrängter Form darzulegen, inwiefern der angefochtene Entscheid Recht verletzt. Die Bestimmungen von <ref-law> nennen die vor Bundesgericht zulässigen Beschwerdegründe. Hinsichtlich der Verletzung von Grundrechten gilt der in <ref-law> verankerte Grundsatz der Rechtsanwendung von Amtes wegen nicht; insofern besteht eine qualifizierte Rügepflicht (<ref-law>; <ref-ruling> E. 1.4.1 S. 53, 65 E. 1.3.1 S. 68 mit Hinweisen). Es obliegt dem Beschwerdeführer namentlich darzulegen, inwiefern der angefochtene Entscheid gegen die gerügten Grundrechte verstossen soll.
Der Beschwerdeführer setzt sich mit der Begründung des Kantonsgerichts, die zur Abweisung der Beschwerde führte, nicht auseinander. Er vermag mit seinen Ausführungen nicht aufzuzeigen, inwiefern die Begründung des Kantonsgerichts bzw. dessen Entscheid selbst rechts- oder verfassungswidrig sein soll. Die Beschwerde genügt den gesetzlichen Formerfordernissen offensichtlich nicht, weshalb auf sie im vereinfachten Verfahren nach <ref-law> nicht einzutreten ist.
6.
Auf eine Kostenauflage ist zu verzichten (<ref-law>). Mit dem vorliegenden Entscheid in der Sache selbst wird das vom Beschwerdeführer sinngemäss gestellte Gesuch um Gewährung der aufschiebenden Wirkung gegenstandslos.

Demnach erkennt das präsidierende Mitglied:
1.
Das Fristwiederherstellungsgesuch ist abzuweisen.
2.
Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
3.
Es werden keine Kosten erhoben.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien, der Einwohnergemeinde Obergoms und dem Kantonsgericht Wallis, Öffentlichrechtliche Abteilung, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 14. Juli 2015
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Das präsidierende Mitglied: Merkli
Der Gerichtsschreiber: Pfäffli