Der Präsident zieht in Erwägung:
1. Eine Beschwerde ans Bundesgericht ist innert 30 Tagen nach der Eröffnung der vollständigen Ausfertigung des angefochtenen Entscheids beim Bundesgericht einzureichen (<ref-law>). Gemäss Empfangsbestätigung wurde der angefochtene Entscheid dem Beschwerdeführer am 20. Mai 2009 zugestellt. Die Beschwerde hätte deshalb, um rechtzeitig zu sein, bis 19. Juni 2009 beim Bundesgericht eingereicht worden sein müssen. Der Beschwerdeführer hat seine Eingabe indessen erst am 22. Juni 2009 auf die Post gegeben. Damit hat er die Frist nicht eingehalten. Auf die Beschwerde ist im Verfahren nach <ref-law> nicht einzutreten.
2. Die Gerichtskosten sind dem Beschwerdeführer aufzuerlegen (<ref-law>).

Demnach erkennt der Präsident:
1. Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 800.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3. Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht von Appenzell Ausserrhoden, 1. Abteilung, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 23. Juni 2009
Im Namen der Strafrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Favre Monn