Sachverhalt:
A. A.a X._ hob vor dem Amtsgericht A._ gegen Y._ Klage wegen Persönlichkeitsverletzung an. In diesem Verfahren verweigerte die Amtsgerichtspräsidentin I von A._ mit Verfügung vom 17. Oktober 2006 dem neu beigezogenen Anwalt der Klägerin die Verschiebung der auf den 31. Oktober 2006 angesetzten Hauptverhandlung. Ferner verweigerte sie ihm die Herausgabe der Akten, da eine Rücksendung bis Ende Woche bzw. bis zur Hauptverhandlung nicht mehr möglich wäre. Gegen diese prozessleitende Verfügung beschwerte sich X._ beim Obergericht des Kantons Luzern, welches ihr Gesuch um aufschiebende Wirkung mit Verfügung vom 25. Oktober 2006 abwies. Mit Beschluss vom 14. November 2006 schrieb die zweite Zivilabteilung des Bundesgerichts die von X._ gegen die Verfügung des Obergerichts eingereichte staatsrechtliche Beschwerde als gegenstandslos ab. In der Begründung zum Kostenpunkt hielt das Bundesgericht fest, die Beschwerde erscheine wegen Verletzung der Verfahrensgarantien nach Art. 29 Abs. 1 und 2 BV als begründet, zumal die obergerichtliche Verweigerung der aufschiebenden Wirkung die erstinstanzlich verweigerte Verschiebung der Verhandlung vom 31. Oktober 2006 habe vollstreckbar werden lassen; damit sei der seit dem 17. Oktober 2006 mit der Sache befasste, bereits anderweitig stark beanspruchte, über keine Gerichtsakten verfügende und am Verhandlungstag selbst verhinderte Anwalt offen daran gehindert worden, sich in den umfangreichen Prozessstoff einzuarbeiten, an der Verhandlung teilzunehmen und die Interessen seiner Mandantin wirksam zu wahren (Beschluss 5P.450/2006 vom 14. November 2006, S. 3).
A.b Mit Verfügung vom 16. Januar 2007 verweigerte die Amtsgerichtspräsidentin I X._ Einsicht in die Belege der Beklagten 3 und 4. Das Obergericht des Kantons Luzern hielt in seinem Entscheid vom 28. März 2007 fest, die Beklagte habe lediglich den Antrag gestellt, deren Belege 3 und 4 nicht integral zur Einsicht zu geben. Mit ihrer Verfügung sei die Amtsgerichtspräsidentin über den Parteiantrag hinausgegangen, weshalb ihr empfohlen werde, die Verfügung vom 16. Januar 2007 durch eine neue zu ersetzen, in welcher Umfang und Form der Akteneinsicht in die Belege 3 und 4 geregelt werden. Die Amtsgerichtspräsidentin leistete dieser Empfehlung keine Folge.
B. B.a Aufgrund der in A.a und A.b wiedergegebenen Vorkommnisse verlangte X._ mit Eingabe vom 28. August 2007 den Ausstand der Amtsgerichtspräsidentin I von A._, welches Begehren das Amtsgericht A._ mit Entscheid vom 30. Oktober 2007 abwies.
B.b Mit Entscheid vom 1. Februar 2008 wies das Obergericht des Kantons Luzern die von X._ gegen den Entscheid des Amtsgerichts A._ vom 30. Oktober 2007 eingereichte Nichtigkeitsbeschwerde ab.
C. X._ (Beschwerdeführerin) gelangt mit Beschwerde in Zivilsachen an das Bundesgericht mit dem Antrag, den obergerichtlichen Entscheid aufzuheben und das Ausstandsbegehren gutzuheissen, eventuell die Sache im Sinn der Erwägungen zur Neubeurteilung an das Obergericht zurückzuweisen. Überdies ersucht sie darum, der Beschwerde aufschiebende Wirkung zuzuerkennen.
Das Obergericht schliesst auf Abweisung des Gesuchs und der Beschwerde.
D. Mit Verfügung des Präsidenten der II. zivilrechtlichen Abteilung des Bundesgerichts vom 16. April 2008 wurde der Beschwerde aufschiebende Wirkung zuerkannt.

Erwägungen:
1. 1.1 Angefochten ist ein letztinstanzlicher kantonaler Entscheid über den Ausstand einer Magistratsperson. Dabei handelt es sich um einen selbstständig eröffneten Zwischenentscheid im Sinn von <ref-law>, welcher ohne weiteres der Beschwerde unterliegt.
1.2 Der Rechtsweg des Zwischenentscheides folgt jenem der Hauptsache. Diese beschlägt ein Verfahren wegen Verletzung der Persönlichkeit, mithin eine Zivilsache im Sinn von <ref-law>. In diesem Verfahren geht es im Wesentlichen um die Feststellung, dass bestimmte Äusserungen die Persönlichkeit der Beschwerdeführerin verletzten. In einem weiteren Begehren wird schliesslich die Zusprechung einer den Betrag von Fr. 2'000.-- übersteigenden Genugtuung verlangt. Da es in der Hauptsache nicht nur um vermögensrechtliche Interessen, sondern im Wesentlichen um die Feststellung einer Persönlichkeitsverletzung geht, ist die Beschwerde auch ohne den bei vermögensrechtlichen Zivilsachen erforderlichen Streitwert gegeben (<ref-law>). Ist sie in der Hauptsache zulässig, unterliegt auch der vorliegende Zwischenentscheid dieser Beschwerde.
2. Die Beschwerdeführerin legt der Amtsgerichtspräsidentin Verfahrensfehler zur Last und leitet daraus ab, sie sei befangen. In diesem Zusammenhang rügt sie im Wesentlichen eine Verletzung von <ref-law>.
2.1 Nach <ref-law> hat jede Person Anspruch darauf, dass ihre Sache von einem unbefangenen, unvoreingenommenen und unparteiischen Richter beurteilt wird. Es soll garantiert werden, dass keine sachfremden Umstände, welche ausserhalb des Prozesses liegen, in sachwidriger Weise zugunsten oder zulasten einer Partei auf das Urteil einwirken. <ref-law> soll zu der für einen korrekten und fairen Prozess erforderlichen Offenheit des Verfahrens im Einzelfall beitragen und damit ein gerechtes Urteil ermöglichen (<ref-ruling> E. 3c S. 55). Die Garantie des verfassungsmässigen Richters wird verletzt, wenn bei objektiver Betrachtung Gegebenheiten vorliegen, die den Anschein der Befangenheit oder die Gefahr der Voreingenommenheit zu begründen vermögen (<ref-ruling> E. 3b und 3c S. 53, 131 I 24 E. 1.1 S. 25, 131 I 113 E. 3.4 S. 116, mit Hinweisen). Voreingenommenheit und Befangenheit in diesem Sinn werden nach der Rechtsprechung angenommen, wenn sich im Einzelfall anhand aller tatsächlichen und verfahrensrechtlichen Gegebenheiten Umstände ergeben, die bei objektiver Betrachtung geeignet sind, Misstrauen in die Unparteilichkeit des Richters zu erwecken (<ref-ruling> E. 2a S. 84, 127 I 196 E. 2b S. 198, 126 I 68 E. 3a S. 73, 125 I 119 E. 3a S. 122, 124 I 255 E. 4a S. 261, mit Hinweisen).
2.2 Richterliche Verfahrensfehler können ausnahmsweise die Unabhängigkeit bzw. Unbefangenheit einer Gerichtsperson in Frage stellen. Dabei müssen objektiv gerechtfertigte Gründe zur Annahme bestehen, dass sich in Rechtsfehlern gleichzeitig eine Haltung manifestiert, die auf fehlende Distanz und Neutralität beruht. Es muss sich um besonders krasse Fehler oder wiederholte Irrtümer handeln, die eine schwere Verletzung der Richterpflichten darstellen (<ref-ruling> E. 3e S. 124, 116 Ia 135 E. 31 S. 138, 116 Ia 14 S.20, 115 Ia 400 E. 3b S. 404, 114 Ia 153 E. bb S. 158). Angesichts der Bedeutung des Anspruchs auf einen unabhängigen Richter lässt sich eine einengende Auslegung von <ref-law> nicht rechtfertigen und allein die Möglichkeit, einen Entscheid weiterzuziehen und so zu korrigieren, vermag eine unzulässige Besetzung der Richterbank nicht zu beheben (Urteil 1B_60/2007 vom 21. September 2007, E. 3.1).
3. 3.1 Das Obergericht hat den Vorwurf der Befangenheit aufgrund der von der Beschwerdeführerin im kantonalen Verfahren geltend gemachten Vorkommnisse (A.a und A.b hiervor) geprüft und ist zum Schluss gelangt, dass die dem neu beigezogenen Anwalt der Beschwerdeführerin verweigerte Akteneinsicht, die Weigerung die Verhandlung zu verschieben (A.a), sowie der Umstand, dass die Amtsgerichtspräsidentin der Beschwerdeführerin Einsicht in die Belege 3 und 4 der Beklagten verweigerte bzw. sich trotz der obergerichtlichen Empfehlung vom 28. März 2007 passiv verhielt (A.b hiervor), den Ausstand der Amtsgerichtspräsidentin nicht zu rechtfertigen vermöchten.
3. 3.1 Das Obergericht hat den Vorwurf der Befangenheit aufgrund der von der Beschwerdeführerin im kantonalen Verfahren geltend gemachten Vorkommnisse (A.a und A.b hiervor) geprüft und ist zum Schluss gelangt, dass die dem neu beigezogenen Anwalt der Beschwerdeführerin verweigerte Akteneinsicht, die Weigerung die Verhandlung zu verschieben (A.a), sowie der Umstand, dass die Amtsgerichtspräsidentin der Beschwerdeführerin Einsicht in die Belege 3 und 4 der Beklagten verweigerte bzw. sich trotz der obergerichtlichen Empfehlung vom 28. März 2007 passiv verhielt (A.b hiervor), den Ausstand der Amtsgerichtspräsidentin nicht zu rechtfertigen vermöchten.
3.2 3.2.1 Mit Bezug auf den ersten Vorfall (A.a) macht die Beschwerdeführerin unter Hinweis auf den Beschluss des Bundesgerichts vom 14. November 2006 geltend, mit ihrer Weigerung, die Prozessakten herauszugeben und die Verhandlung vom 31. August 2006 zu verschieben, habe die Amtsgerichtspräsidentin in Verletzung der Verfahrensgarantien nach Art. 29 Abs. 1 und 2 BV den Anwalt der Beschwerdeführerin daran gehindert, sich in den umfangreichen Prozessstoff einzuarbeiten, an der Verhandlung teilzunehmen und dort die Interessen seiner Mandantin wirksam wahrzunehmen. Die unentschuldbare Reaktion auf das Verschiebungsgesuch vom 17. Oktober 2006 und die Verweigerung der Akteneinsicht liessen keine Zweifel daran offen, dass sich die Amtsgerichtspräsidentin durch persönliche Ressentiments gegen die Beschwerdeführerin zu einem verfassungswidrigen Verhalten habe verleiten lassen, welches als klares Zeichen ihrer Befangenheit zu werten sei. Die gegenteilige Auffassung des Obergerichts verletze <ref-law>.
3.2.2 Es ist richtig, dass das Bundesgericht im Zusammenhang mit der gegenstandslos gewordenen staatsrechtlichen Beschwerde hinsichtlich der Tragung der Kosten erwog, die Beschwerde erscheine als begründet, weil der Anwalt der Beschwerdeführerin infolge der Nichtbewilligung der Terminverschiebung daran gehindert worden sei, sich einzuarbeiten und an der Verhandlung teilzunehmen (5P.450/2007, act. 16/3). Die Beschwerdeführerin hatte am 27. Mai 2006 ein erstes Mal um Verschieben der auf den 20. Juni 2006 angesetzten Verhandlung ersucht, welchem Begehren stattgegeben wurde. Nachdem der Termin neu auf den 5. September 2006 angesetzt worden war, ersuchte sie am 14. August 2006 erneut um dessen Verschiebung, welchem Gesuch wiederum stattgegeben und der Termin auf den 31. Oktober 2006 anberaumt wurde, verbunden mit dem Hinweis, es handle sich um die letzte Verschiebung. Am 17. Oktober 2006 ersuchte der inzwischen mandatierte Anwalt der Beschwerdeführerin um eine weitere Verschiebung der Verhandlung, welchem Gesuch nicht mehr stattgegeben wurde unter Hinweis darauf, dass der Termin bereits mehrfach bzw. ausdrücklich ein letztes Mal verschoben worden war und die Beschwerdeführerin monatelang Zeit gehabt hätte, einen Anwalt zu mandatieren.
Wenn auch die Amtsgerichtspräsidentin zu Unrecht dem Verschiebungsgesuch nicht stattgegeben hat, zumal seitens der (nicht angefragten) Gegenpartei keine Opposition gegen eine weitere Verschiebung bekannt war, so lässt die Vorgeschichte das Verhalten der Amtsgerichtspräsidentin nicht als völlig unverständlich erscheinen, hatte sie doch bereits zweimal den Termin verschoben und sich insoweit selbst gebunden, als sie die zweite Verschiebung als letzte bezeichnet hatte. Jedenfalls bildete dieses Vorkommnis keinen Anhaltspunkt für einen in objektiver Weise gerechtfertigten Verdacht auf Voreingenommenheit oder gar persönliche Ressentiments gegenüber der Beschwerdeführerin. Dass dem Anwalt damals die Akten ("zurzeit") nicht zugestellt wurden, hing direkt mit der Abweisung des Verschiebungsgesuchs zusammen bzw. mit der Befürchtung der Amtsgerichtspräsidentin, ansonsten wären die umfangreichen Akten nicht rechtzeitig vor dem (nicht verschobenen) Termin zurück. Von einer grundsätzlichen Verweigerung der Akteneinsicht kann nicht die Rede sein, zumal die Akten auf der Kanzlei auflagen. Soweit die Beschwerdeführerin geltend macht, eine rechtzeitige und umfassende Konsultation der Akten auf der Kanzlei sei ihr aus zeitlichen Gründen nicht möglich gewesen, vermag sie nicht zu überzeugen. Wie der Anwalt der Beschwerdeführerin selbst ausführt, ging ihm die negative Antwort der Amtsgerichtspräsidentin am 19. Oktober 2006 zu, womit ihm bis zum Verhandlungstermin mehr als zehn Tage verblieben; es kann somit nicht nachvollzogen werden, inwiefern er nicht über genügend Zeit zum Fotokopieren der nicht sehr umfangreichen Akten verfügt hätte.
Wenn auch die Amtsgerichtspräsidentin zu Unrecht dem Verschiebungsgesuch nicht stattgegeben hat, zumal seitens der (nicht angefragten) Gegenpartei keine Opposition gegen eine weitere Verschiebung bekannt war, so lässt die Vorgeschichte das Verhalten der Amtsgerichtspräsidentin nicht als völlig unverständlich erscheinen, hatte sie doch bereits zweimal den Termin verschoben und sich insoweit selbst gebunden, als sie die zweite Verschiebung als letzte bezeichnet hatte. Jedenfalls bildete dieses Vorkommnis keinen Anhaltspunkt für einen in objektiver Weise gerechtfertigten Verdacht auf Voreingenommenheit oder gar persönliche Ressentiments gegenüber der Beschwerdeführerin. Dass dem Anwalt damals die Akten ("zurzeit") nicht zugestellt wurden, hing direkt mit der Abweisung des Verschiebungsgesuchs zusammen bzw. mit der Befürchtung der Amtsgerichtspräsidentin, ansonsten wären die umfangreichen Akten nicht rechtzeitig vor dem (nicht verschobenen) Termin zurück. Von einer grundsätzlichen Verweigerung der Akteneinsicht kann nicht die Rede sein, zumal die Akten auf der Kanzlei auflagen. Soweit die Beschwerdeführerin geltend macht, eine rechtzeitige und umfassende Konsultation der Akten auf der Kanzlei sei ihr aus zeitlichen Gründen nicht möglich gewesen, vermag sie nicht zu überzeugen. Wie der Anwalt der Beschwerdeführerin selbst ausführt, ging ihm die negative Antwort der Amtsgerichtspräsidentin am 19. Oktober 2006 zu, womit ihm bis zum Verhandlungstermin mehr als zehn Tage verblieben; es kann somit nicht nachvollzogen werden, inwiefern er nicht über genügend Zeit zum Fotokopieren der nicht sehr umfangreichen Akten verfügt hätte.
3.3 3.3.1 Was das zweite Vorkommnis (A.b) anbelangt, so hatte die Beklagte im Hauptverfahren beantragt, die Belege 3 und 4, da vertraulichen Inhalts, der Beschwerdeführerin nicht integral zur Einsicht zu geben. Auf ein entsprechendes klägerisches Gesuch hin teilte die Amtsgerichtspräsidentin am 16. Januar 2007 mit, die fraglichen, vertraulichen Akten könnten nicht herausgegeben werden. Auf eine dagegen erhobene Rüge der Klägerin trat das Obergericht zwar nicht ein, empfahl aber der Amtsgerichtspräsidentin festzulegen, in welchem Umfang und in welcher Form der Klägerin Einsicht in die fraglichen Belege zu gewähren sei. Im klägerischen Ausstandsbegehren vom 28. August 2007 wurde der Amtgerichtspräsidentin u.a. vorgeworfen, auch dieser Empfehlung nicht nachgekommen zu sein. In ihrer Vernehmlassung vom 3. September 2007 erklärte die Amtsgerichtspräsidentin, das Begehren der Beklagten so verstanden zu haben, dass die Belege 3 und 4 überhaupt nicht herausgegeben werden dürften, stattdessen aber die von der Beklagten daraus angefertigten Kopien, in die sie die Einsicht nicht verweigert habe; im Übrigen sei sie bis heute nicht mehr im Besitz der Aktensammlung. Das Obergericht erblickt in der Weigerung der Amtsgerichtspräsidentin ein Missverständnis.
3.3.2 Die Beschwerdeführerin macht geltend, sie habe nie behauptet, ihr sei Einsicht in die Belege 8 und 11 verweigert worden. Tatsache sei indes, dass sie nie in die Kopie des Belegs 4 der Beklagten habe Einsicht nehmen können. Indem das Obergericht in E. 7.2 Absatz 3 feststelle, es liege ein Missverständnis seitens der Amtsgerichtspräsidentin vor, gebe es den Sachverhalt schlichtweg tatsachenwidrig und zudem widersprüchlich wieder. Die Amtsgerichtspräsidentin habe die Weisung in E. 6 des Entscheides vom 28. März 2007 bewusst falsch verstanden. Im Lichte dieser Ausführungen und Belege lasse sich die konstruierte Rechtfertigung für das Fehlverhalten der Amtsgerichtspräsidentin nicht vertreten. Diese sei der Empfehlung des Obergerichts nicht gefolgt, habe der Beschwerdeführerin jegliche Einsicht in den Beleg 4 verweigert und damit erneut Verfahrensgarantien der Beschwerdeführerin verletzt. Selbst wenn die beschönigende Qualifikation der Vorinstanz für diese Verletzung der Verfahrensgarantien zutreffe, müsse dieses Fehlverhalten in Relation zur Verletzung der Verfahrensgarantien gemäss Beschluss des Bundesgerichts vom 14. November 2006 gesetzt werden.
3.3.3 Wie das Obergericht selbst feststellt, hat die Amtsgerichtspräsidentin lediglich die Belege der Beklagten 8 und 11 ausgehändigt, wobei es sich um Kopien aus dem Beleg 3 handelt. Dass die Beschwerdeführerin Kopien der sie betreffenden Stellen aus dem Beleg 4 erhalten hätte, kann dem obergerichtlichen Entscheid nicht entnommen werden. Aus dem passiven Verhalten der Amtsgerichtspräsidentin ergibt sich entgegen der Auffassung der Beschwerdeführerin nicht zwingend, sie habe die Einsichtnahme vorsätzlich in Verletzung einer obergerichtlichen Empfehlung verweigert. Ein Missverständnis bzw. ein Irrtum der Amtsgerichtspräsidentin ist keineswegs auszuschliessen. In ihrer Vernehmlassung zum Ausstandsbegehren der Beschwerdeführerin erklärte die Amtsgerichtspräsidentin, die Anwältin der Beklagten habe beantragt, die Belege 3 und 4 seien der Beschwerdeführerin wegen schutzwürdiger Interessen Dritter nicht integral auszuhändigen. Gleichzeitig habe die Beklagte Kopien aus den Belegen 3 und 4 derjenigen Notizen erstellt, welche die Beschwerdeführerin betreffen, und habe diese Kopien als Belege der Beklagten 8 und 11 der Beschwerdeführerin bereits vor dem Prozess ausgehändigt. Sie (die Amtsgerichtspräsidentin) habe den Antrag der Beklagten dahingehend verstanden, dass der Beschwerdeführerin die Belege 3 und 4 überhaupt nicht ausgehändigt, dass aber der Beschwerdeführerin Einsicht in die von der Beklagten selbst ausgefertigten Kopien aus den Belegen 3 und 4 zu gewähren sei. Die Amtsgerichtspräsidentin stützte diese Auslegung des beklagtischen Antrages auf die Stellungnahme der Beklagten vom 8. Februar 2007. In diesem Schreiben führt die Beklagte aus, sie habe im Verfahren betreffend Persönlichkeitsschutz der Beschwerdeführerin nicht nur sämtliche existierenden Personalakten im Original, sondern ausserdem die im Rahmen der Kündigung als zusätzliche Entscheidgrundlage verwendeten Handakten (einzelne Kopien aus den roten Heften BB 3 und 4) ausgehändigt. Weiter schreibt die Amtsgerichtspräsidentin in ihrer Vernehmlassung, entgegen den Ausführungen im Entscheid des Obergerichts (vom 28. März 2007) sei keine Verfügung getroffen worden, wonach keine Einsicht in Kopien derjenigen Notizen von Beleg 3 und 4 gewährt werde, welche die Beschwerdeführerin betreffen. Es kann somit nicht ausgeschlossen werden, dass die Amtsgerichtspräsidentin in der irrigen Annahme, die Beschwerdeführerin habe Einsicht in die Kopien sowohl des Belegs 3 als auch des Belegs 4 erhalten, der obergerichtlichen Empfehlung keine Folge geleistet hat. Damit aber lässt sich dem Obergericht auch nicht vorwerfen, in willkürlicher Weise klar vorsätzliches Handeln der Amtsgerichtspräsidentin als Versehen bzw. als Missverständnis hingestellt zu haben.
3.4 Aus den bisherigen Ausführungen erhellt, dass die Amtsgerichtspräsidentin zwar wiederholt Verfahrensfehler begangen hat. Diese waren indes zum Teil in der Sorge um die beförderliche Verfahrenserledigung begründet (E. 3.2.2); zum Teil aber kann nicht ausgeschlossen werden, dass sie auf einer irrtümlichen Annahme seitens der Amtsgerichtspräsidentin beruhten (E. 3.3.3). Namentlich das zweite Vorkommnis zeigt eine gewisse Ungeschicklichkeit im Umgang mit von den Parteien als vertraulich bezeichneten Akten. Daraus ergibt sich aber kein in objektiver Weise gerechtfertigter Verdacht auf Voreingenommenheit oder gar persönliche Ressentiments. Gesamthaft betrachtet sind keine Verletzungen der Richterpflicht erstellt, in denen sich eine den Vorwurf mangelnder Unvoreingenommenheit rechtfertigende Haltung manifestiert.
4. Damit ist die Beschwerde abzuweisen. Bei diesem Ausgang des Verfahrens wird die Beschwerdeführerin kostenpflichtig (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 2'000.-- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
3. Dieses Urteil wird den Parteien schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 23. Mai 2008
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Raselli Zbinden