Sachverhalt:
A.
Y._ ersuchte am 30. Januar 2012 den Gemeinderat Meggen um die Bewilligung des Abbruchs eines Einfamilienhauses und des Neubaus eines Dreifamilienhauses mit Einstellhalle auf der Parzelle Nr. 939 an der Kreuzbuchstrasse 40 in Meggen. Die Parzelle liegt in der Wohnzone c (W2-c). Während der Auflagefrist erhoben Gertrud Kiener-Büchi und X._ gemeinsam Einsprache. Mit Entscheid vom 2. Mai 2012 erteilte der Gemeinderat die Baubewilligung unter Bedingungen und Auflagen. Eine dagegen von Gertrud Kiener-Büchi und X._ erhobene Beschwerde wurde vom Verwaltungsgericht des Kantons Luzern mit Urteil vom 8. November 2012 teilweise gutgeheissen. Das Verwaltungsgericht ordnete an, das erste Untergeschoss dürfe mit der Stirnmauer seiner Terrasse talseits nicht mehr als 3.50 m aus dem ausgemittelten gewachsenen Terrain ragen und die Höhe des Attikageschosses sei auf 3 m zu reduzieren. Es verpflichtete zudem Y._, vor Baubeginn die im Sinn der Erwägungen anzupassenden Pläne dem Gemeinderat Meggen zur Genehmigung einzureichen. Im Übrigen wies es die Beschwerde ab, soweit es darauf eintrat.
B.
Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten vom 13. Dezember 2012 beantragt X._, das Urteil des Verwaltungsgerichts sei aufzuheben und die Baubewilligung zu verweigern.
Das Verwaltungsgericht beantragt die Abweisung der Beschwerde. Die Beschwerdegegnerin beantragt, die Beschwerde sei abzuweisen, soweit darauf einzutreten sei. Der Gemeinderat Meggen schliesst einerseits auf Abweisung der Beschwerde, andererseits beantragt er, das angefochtene Urteil sei insoweit aufzuheben, als von der Bauherrin Projektanpassungen verlangt werden; die kommunale Baubewilligung sei vollumfänglich zu bestätigen. Der Beschwerdeführer hält in seiner Stellungnahme dazu an seinen Anträgen und Rechtsauffassungen fest. Mit einer weiteren Eingabe gibt der Gemeinderat einen Beschluss vom 20. Februar 2013 zu den Akten, wonach die nach den Vorgaben des Verwaltungsgerichts geänderten Pläne genehmigt werden. Der Beschluss wurde den Verfahrensbeteiligten zur Vernehmlassung zugestellt. Der Beschwerdeführer und die Beschwerdegegnerin haben dazu Stellung genommen.
Mit Präsidialverfügung vom 21. Januar 2013 hat das Bundesgericht das Gesuch des Beschwerdeführers um aufschiebende Wirkung abgelehnt.

Erwägungen:
1.
1.1. Die Beschwerde richtet sich gegen einen kantonalen Entscheid, der eine Baubewilligung zum Gegenstand hat. Dabei handelt es sich um eine öffentlich-rechtliche Angelegenheit im Sinne von <ref-law>. Der Beschwerdeführer hat am vorinstanzlichen Verfahren teilgenommen und ist als direkter Nachbar zur Beschwerde legitimiert (<ref-law>). Auf die Beschwerde ist einzutreten.
1.2. Im Verfahren vor Bundesgericht gibt es keine Anschlussbeschwerde (<ref-ruling> E. 2.1 S. 110 mit Hinweis). Insoweit, als der Gemeinderat Meggen in seiner Vernehmlassung Anträge stellt, welche über die Abweisung der Beschwerde hinausgehen, ist darauf nicht einzutreten. Die Vernehmlassung kann auch nicht als eigenständige Beschwerde entgegengenommen werden, da sie nicht innerhalb der Beschwerdefrist von <ref-law> eingereicht wurde.
1.3. Der rechtserhebliche Sachverhalt geht aus den Akten hinreichend hervor. Auf die Durchführung eines Augenscheins und das Einholen eines Gutachtens kann daher verzichtet werden.
2.
2.1. Der Beschwerdeführer rügt zum einen eine Verletzung des rechtlichen Gehörs. Er habe im Verfahren vor Verwaltungsgericht ein Gutachten eines Architekten sowie Fotos und Visualisierungen des Bauprojekts eingereicht. Zudem habe er die Durchführung eines Augenscheins und das Einholen eines Gutachtens zur Eingliederung der geplanten Baute beantragt. Da das Verwaltungsgericht dem eingereichten Gutachten nicht gefolgt sei und das Eingliederungsgebot als nicht verletzt angesehen habe, hätte es weitere Beweiserhebungen vornehmen müssen.
Zum andern macht der Beschwerdeführer eine willkürliche Anwendung von § 34 des Bau- und Zonenreglements vom 13. Juni 2010 der Gemeinde Meggen (im Folgenden: BZR) geltend. Diese Bestimmung stelle strengere Anforderungen an die Eingliederung als § 140 des kantonalen Planungs- und Baugesetzes vom 7. März 1989 (SRL 735; im Folgenden: PBG). § 34 BZR verlange nämlich, dass Neubauten auf die Quartierstruktur Rücksicht nehmen. Die Bauten im Quartier Haldenried seien indessen deutlich kleiner und weniger hoch als der geplante Bau. Das Verwaltungsgericht habe übersehen, dass aufgrund von § 34 BZR, welcher auf die tatsächliche Situation abstelle, unter Umständen eben nicht die gesamte zonengemässe Nutzung realisiert werden könne. Das Gebiet sei zudem stark exponiert: Dem Quartier Haldenried sei eine unbebaute Grünfläche vorgelagert, die an die Kreuzbuchstrasse angrenze. Die Baureihe entlang der Kreuzbuchstrasse bilde mithin den Abschluss des Quartiers, weshalb an die Eingliederung erhöhte Anforderungen zu stellen seien.
2.2. Das Bundesgericht prüft die Anwendung von kantonalem und kommunalem Recht durch die Vorinstanz lediglich auf Willkür. Willkür in der Rechtsanwendung liegt dann vor, wenn der angefochtene Entscheid offensichtlich unhaltbar ist, mit der tatsächlichen Situation in klarem Widerspruch steht, eine Norm oder einen unumstrittenen Rechtsgrundsatz krass verletzt oder in stossender Weise dem Gerechtigkeitsgedanken zuwiderläuft. Das Bundesgericht hebt einen Entscheid jedoch nur auf, wenn nicht bloss die Begründung, sondern auch das Ergebnis unhaltbar ist. Dass eine andere Lösung ebenfalls als vertretbar oder gar zutreffender erscheint, genügt nicht (<ref-ruling> E. 2.4 S. 5 mit Hinweisen).
Das Bundesgericht legt seinem Urteil zudem den von der Vorinstanz festgestellten Sachverhalt zugrunde (<ref-law>), es sei denn, dieser sei offensichtlich unrichtig oder beruhe auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> (Art. 105 Abs. 2 und Art. 97 Abs. 1 BGG).
2.3. Gemäss § 140 Abs. 1 PBG haben sich Bauten und Anlagen in die bauliche Umgebung einzugliedern. Sie sind zu untersagen, wenn sie durch ihre Grösse, Proportion, Gestaltung, Bauart, Dachform oder Farbe das Orts- und Landschaftsbild beeinträchtigen. § 34 BZR verlangt zudem, dass Neubauten in homogen bebauten Wohnquartieren auf die Quartierstrukturen Rücksicht nehmen. Insbesondere dürfen sie nicht stark von den umliegenden Bauten in der gleichen Zone abweichen (Dimension, Situierung).
2.4. Das Verwaltungsgericht hat sich eingehend mit der Vereinbarkeit des Bauprojekts mit § 140 Abs. 1 PBG und § 34 BZR auseinandergesetzt. Es hielt zunächst fest, trotz der vorgelagerten Grünfläche und der damit einhergehenden Einsehbarkeit sei die Umgebung des Baugrundstücks weder besonders exponiert noch sensibel. Diese Feststellung ist nicht zu beanstanden. Dass das Verwaltungsgericht davon abgesehen hat, höhere Anforderungen an die Eingliederung zu stellen, weil die Kreuzbuchstrasse den Abschluss des Quartiers bildet und weil nördlich der betreffenden Parzelle eine Wohnzone liegt, in welcher lediglich ein Vollgeschoss zulässig ist, ist ebenfalls haltbar.
Das Verwaltungsgericht führte weiter aus, das Bauprojekt gliedere sich mit seinen Dimensionen in die Häuserzeile an der Kreuzbuchstrasse ein, auch wenn es etwas höher sei als die direkt benachbarten Gebäude. Es gehe nicht an, das Bauprojekt in dieser Hinsicht mit der Häuserzeile an der Haltenriedstrasse zu vergleichen, wo nur ein Vollgeschoss zulässig sei. Entgegen des vom Beschwerdeführer in Auftrag gegebenen Gutachtens gäben die Bauten an der Kreuzbuchstrasse auch kein einheitliches Bild ab. Vielmehr fänden sich in der näheren Umgebung Gebäude mit unterschiedlicher Dachgestaltung (Flach-, Giebel-, Pult- und Walmdächer) und unterschiedlichen Höhenmassen und Volumina. Diese Feststellungen lassen sich auf die in den Akten befindlichen Fotos und Visualisierungen stützen und sind keineswegs willkürlich (Art. 97 Abs. 1 und Art. 105 Abs. 2 BGG).
Insgesamt ist eine willkürliche Anwendung von § 34 BZR zu verneinen. Die an der Grösse der geplanten Baute anknüpfende Kritik des Beschwerdeführers würde zudem darauf hinauslaufen, dass ohne klar überwiegende öffentliche Interessen eine Unvereinbarkeit mit dem Eingliederungsgebot festgestellt würde, nur weil die Baute die bau- und planungsrechtlich zulässigen Masse ausschöpft. Dies ist nach der bundesgerichtlichen Rechtsprechung nicht zulässig (<ref-ruling> E. 3d S. 119, 370 E. 5 S. 377; Urteile 1P.709/2004 vom 15. April 2005 E. 2.3 f., in: ZBl 107/2006 S. 422; 1P.9/1997 vom 21. Mai 1997 E. 3a, in: ZBl 99/1998 S.170; je mit Hinweisen).
2.5. Unbegründet ist auch die Rüge des Beschwerdeführers, das Verwaltungsgericht hätte einen Augenschein durchführen und ein Gutachten in Auftrag geben müssen. Der Richter kann Beweisanträge ablehnen, wenn er aufgrund bereits abgenommener Beweise seine Überzeugung gebildet hat und ohne Willkür in vorweggenommener antizipierter Beweiswürdigung annehmen kann, dass seine Überzeugung durch weitere Beweiserhebungen nicht geändert würde (<ref-ruling> E. 5.3 S. 236 f.; <ref-ruling> E. 2b S. 56; je mit Hinweisen). Die Eingliederung der geplanten Baute lässt sich nach dem Gesagten aufgrund der Akten hinreichend beurteilen. Das Verwaltungsgericht ist deshalb nicht in Willkür verfallen, wenn es weitere Beweiserhebungen abgelehnt hat.
3.
Die Beschwerde ist aus den genannten Gründen abzuweisen.
Bei diesem Ausgang des Verfahrens sind die Gerichtskosten dem Beschwerdeführer aufzuerlegen (<ref-law>). Der Beschwerdeführer hat zudem der obsiegenden, anwaltlich vertretenen Beschwerdegegnerin eine angemessene Parteientschädigung auszurichten (Art. 68 Abs. 1 und 2 BGG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 3'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3.
Der Beschwerdeführer hat die Beschwerdegegnerin für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 2'000.-- zu entschädigen.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien, dem Gemeinderat Meggen und dem Verwaltungsgericht des Kantons Luzern, Verwaltungsrechtliche Abteilung, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 29. Juli 2013
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Fonjallaz
Der Gerichtsschreiber: Dold