Erwägungen:
1.
Mit Gesuch vom 2. November 2012 beantragte X._ die Erteilung einer Baubewilligung für den Neubau eines Mehrfamilienhauses auf Parzelle 2222 in Disentis/Mustér. Innert der Auflagefrist erhob die Helvetia Nostra Einsprache. Die Gemeinde bewilligte das Vorhaben am 21. Dezember 2012, wobei sie gleichzeitig auf die Einsprache nicht eintrat.
Hiergegen wandte sich die Helvetia Nostra mit einer Beschwerde ans Verwaltungsgericht des Kantons Graubünden. Dessen 5. Kammer trat mit Urteil vom 14. Februar 2013 auf die Beschwerde nicht ein und auferlegte die auf Fr. 1'033.-- bestimmten Gerichtskosten der Beschwerdeführerin. Gegen das verwaltungsgerichtliche Urteil gelangte die Helvetia Nostra mit Beschwerde vom 18. März 2013 ans Bundesgericht.
Gemäss Schreiben vom 16. August 2013 hat die Bauherrschaft bzw. der Beschwerdegegner sein Baugesuch zurückgezogen.
2.
2.1. Durch den Rückzug des Baugesuchs ist die vorliegende Beschwerde gegenstandslos geworden. Sie ist daher als erledigt abzuschreiben (<ref-law>), wobei mit summarischer Begründung über die Prozesskosten zu entscheiden ist (<ref-law> in Verbindung mit <ref-law>).
Der Beschwerdegegner führt in seinem Schreiben vom 16. August 2013 aus, bei der Kostenregelung sei zu berücksichtigen, dass der von der Beschwerdeführerin betriebene Aufwand vergleichsweise klein gewesen sei, da sie Standardbeschwerden eingereicht habe. Sodann habe er, der Beschwerdegegner, im Beschwerdeverfahren keine Parteirolle innegehabt.
2.2. Die Verfahrenskosten werden derjenigen Partei auferlegt, die sie verursacht hat (Art. 66 Abs. 1 und 3 BGG). Demgemäss rechtfertigt es sich, dem Beschwerdegegner die Kosten der durch den Baugesuchsrückzug gegenstandslos gewordenen Rechtsmittelverfahren aufzuerlegen. Aufgrund des Rückzugs des Baugesuchs in einem frühen Stadium des bundesgerichtlichen Verfahrens sind die diesbezüglichen Kosten auf eine reduzierte Gerichtsgebühr von Fr. 300.-- festzusetzen (<ref-law> analog).
Mit Blick auf das soeben Gesagte, den Baugesuchsrückzug und das Verursacherprinzip, steht dem Beschwerdegegner, auch wenn nun-mehr im bundesgerichtlichen Verfahren anwaltlich vertreten, keine Parteientschädigung zu.
Die Beschwerdeführerin ihrerseits ist nicht anwaltlich vertreten und hat daher praxisgemäss ebenfalls keinen Anspruch auf eine Parteientschädigung.
Ebenso steht der in ihrem amtlichen Wirkungskreis tätigen Gemeinde keine Parteientschädigung zu (<ref-law>; s. dazu <ref-ruling>).
3. Wie ausgeführt, ist das vorliegende Verfahren mit dem Baugesuchsrückzug gegenstandslos geworden.
Durch die am 22. Mai 2013 ergangenen Urteile des Bundesgerichts betreffend Beschwerdebefugnis der Helvetia Nostra und unmittelbare Anwendbarkeit der Art. 75b und 197 Ziff. 9 BV (<ref-ruling>, 263 und 271) ist die Basis des dem bundesgerichtlichen Verfahren zugrunde liegenden verwaltungsgerichtlichen Urteils vom 14. Februar 2013 und des ursprünglichen kommunalen Entscheids vom 21. Dezember 2012 massgebend verändert worden, was selbstredend Auswirkungen auf deren Kostenregelungen zur Folge hat.
Hinsichtlich des verwaltungsgerichtlichen Beschwerdeverfahrens ist es angezeigt, dass das Bundesgericht die diesbezügliche Kostenregelung wie in früheren Fällen sogleich selber neu trifft. Nachdem der Beschwerdegegner sein Baugesuch zurückgezogen hat, rechtfertigt es sich, ihm die verwaltungsgerichtlichen Kosten, gemäss Urteil vom 14. Februar 2013 ausmachend Fr. 1'033.--, aus denselben Gründen wie die bundesgerichtlichen Kosten aufzuerlegen. Sodann steht der Beschwerdeführerin auch für das kantonale Verfahren keine Parteientschädigung zu, da sie auch damals nicht anwaltlich vertreten war.
Auf welche Weise die Gemeinde Disentis/Mustér den nunmehrigen Abschluss des kommunalen Baubewilligungs- und Einspracheverfahrens im Kostenpunkt gemäss ihren Verfahrenstarifen zu regeln haben wird, lässt sich hier nicht abschätzen. Die Sache geht daher insoweit zurück an die Gemeinde.

Demnach wird erkannt:
1.
Die Beschwerde im Verfahren 1C_270/2013 wird als gegenstandslos geworden abgeschrieben.
Es wird festgestellt, dass der am 21. Dezember 2012 ergangene kommunale Baubewilligungs- und Einspracheentscheid und das verwaltungsgerichtliche Urteil vom 14. Februar 2013 gegenstandslos geworden sind. Die Sache geht zurück an die Gemeinde Disentis/Mustér zur Prüfung der Kostenfrage hinsichtlich des nunmehrigen Abschlusses des kommunalen Verfahrens.
2.
Dem Beschwerdegegner X._ werden die auf Fr. 1'033.-- festgesetzten verwaltungsgerichtlichen Kosten und die bundesgerichtlichen Kosten von Fr. 300.-- auferlegt.
3.
Es werden keine Parteientschädigungen zugesprochen.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien, der Gemeinde Disentis/Mustér und dem Verwaltungsgericht des Kantons Graubünden, 5. Kammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 10. Oktober 2013
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Fonjallaz
Der Gerichtsschreiber: Bopp