Sachverhalt:
A.
X._, geb. 1946, führt in Altstätten einen Landwirtschaftsbetrieb (Milchwirtschaft) mit 1,86 Hektaren (ha [18'600 m2]) Eigenland und 9 ha Pachtland. Wohnhaus und Ökonomiegebäude liegen auf dem Grundstück Gbbl. Nr. 1'013 nördlich der Trogenerstrasse. Zum Eigenland gehört das gegenüber dem Betriebszentrum südlich der Trogenerstrasse gelegene Grundstück Gbbl. Nr. 1'037 mit einer Fläche von 1,3812 ha, welches nach dem Zonenplan Nord der Politischen Gemeinde Altstätten vom 11. Juni 1996 der Landwirtschaftszone zugeteilt ist und dessen nördlicher Teil gegen Osten im Gebiet "Blatten" an die Wohnzone W2a grenzt.
Der Stadtrat Altstätten leitete am 22. Januar 2001 die Landumlegung "Donner-Biser-Blatten" ein. Nach der Grundeigentümerversammlung vom 5. April 2001 beschloss er am 8. Oktober 2001 die Durchführung der Landumlegung und setzte das Beizugsgebiet fest. Aufgrund verschiedener Einsprachen änderte der Stadtrat Altstätten am 4. November 2002 das Beizugsgebiet. Unter anderem wurde vom nördlichen, an die Trogenerstrasse und die Bauzone grenzenden Teil des Grundstücks Gbbl. Nr. 1'037 eine dreieckige Fläche von 3'728 m2 ins Beizugsgebiet aufgenommen. Die von X._ beim Stadtrat und anschliessend beim Baudepartement des Kantons St. Gallen eingereichten Rechtsmittel blieben erfolglos. Eine gegen den Entscheid des Baudepartements geführte Beschwerde wies das Verwaltungsgericht des Kantons St. Gallen am 23. Januar 2004 ab.
Am 2. April 2007 beschloss der Stadtrat Altstätten für die Landumlegung "Donner-Biser-Blatten" den Teilzonenplan und den Umlegungsplan (unter anderem mit Baulinienplan, Teilstrassenplan, Strassenprojekt und Neuverteilungsplan) sowie eine Ergänzung des Schutzplans, welche er vom 1. bis 30. Mai 2007 öffentlich auflegte. Aufgrund verschiedener Einsprachen - darunter auch jene von X._ - beschloss der Stadtrat Altstätten am 11. Mai 2009 Änderungen des Teilzonenplans, des Umlegungsplans und des Schutzplans. Vom 27. Mai bis 25. Juni 2009 wurden diese Pläne neu aufgelegt.
Gemäss dem Teilstrassenplan soll der südlich der Trogenerstrasse gelegene, oberste Teil des Beizugsgebiets durch die neu zu erstellende Donnerstrasse erschlossen werden. Die neue Erschliessungsstrasse soll im Bereich des Grundstücks Gbbl. Nr. 1'037 von der Trogenerstrasse abzweigen und parallel zum Hang in östlicher Richtung weiterverlaufen. Von der zur Landumlegung beigezogenen Fläche von 3'728 m2 des Grundstücks Gbbl. Nr. 1'037 verbleiben 354 m2 in der Landwirtschaftszone, 121 m2 werden der Grünzone zugewiesen und die übrigen von der Donnerstrasse beanspruchten und von ihr unmittelbar erschlossenen Flächen werden der Wohnzone W2a zugeschieden.
Die innert der Auflagefrist erhobene Einsprache von X._ wies der Stadtrat Altstätten am 5. Oktober 2009 ab, soweit er darauf eintrat. Der Teilzonenplan wurde vom 26. Februar bis 26. April 2010 dem fakultativen Referendum unterstellt. Nachdem dieses nicht ergriffen worden war, eröffnete der Stadtrat X._ mit Schreiben vom 4. Mai 2010 die Rekursfrist für den Teilzonenplan und die weiteren Planunterlagen der Landumlegung neu. Den von X._ gegen den Einspracheentscheid eingereichten Rekurs wies das Baudepartement nach Durchführung eines Augenscheins mit Entscheid vom 14. Dezember 2011 ab, soweit es darauf eintrat.
X._ erhob mit Eingabe seines Rechtsvertreters vom 2. Januar 2012 beim Verwaltungsgericht Beschwerde gegen den Rekursentscheid des Baudepartements. Nach einer zwischenzeitlichen Sistierung des Verfahrens wies das Verwaltungsgericht die Beschwerde mit Urteil vom 12. Juni 2013 ab, soweit es darauf eintrat.
B.
Mit Eingabe vom 18. Juli 2013 führt X._ Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten an das Bundesgericht. Er beantragt, das Urteil des Verwaltungsgerichts vom 12. Juni 2013 sei aufzuheben, und es sei auf die Landumlegung "Donner-Biser-Blatten", auf die Erschliessungsvariante "Donnerstrasse" sowie auf die Erhebung von Verfahrens- und Erschliessungskosten zu verzichten. Gleichzeitig ersucht X._ darum, der Beschwerde die aufschiebende Wirkung zu erteilen.
Mit Verfügung vom 10. September 2013 wies das präsidierende Mitglied der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung das Gesuch um Gewährung der aufschiebenden Wirkung ab.
Das Verwaltungsgericht stellt Antrag auf Beschwerdeabweisung. Das Baudepartement und die Politische Gemeinde Altstätten beantragen, die Beschwerde sei abzuweisen, soweit darauf eingetreten werden könne. Der Beschwerdeführer hält in weiteren Eingaben an seinem Standpunkt und an seinen Anträgen fest.

Erwägungen:
1.
1.1. Beim angefochtenen Urteil handelt es sich um einen kantonal letztinstanzlichen Endentscheid (<ref-law>). Gestützt auf <ref-law> beurteilt das Bundesgericht Beschwerden gegen Entscheide in Angelegenheiten des öffentlichen Rechts. Dieses Rechtsmittel steht auch auf dem Gebiet des Raumplanungs- und Baurechts zur Verfügung. Das Bundesgerichtsgesetz enthält dazu keinen Ausschlussgrund (<ref-law>; <ref-ruling> E. 1.2 S. 251).
Der Beschwerdeführer hat am vorinstanzlichen Verfahren teilgenommen. Er ist Eigentümer des in die Landumlegung "Donner-Biser-Blatten" einbezogenen Grundstücks Gbbl. Nr. 1'037. Der Beschwerdeführer ist durch den angefochtenen Entscheid, mit welchem seine Beschwerde abgewiesen worden ist, besonders berührt und hat ein schutzwürdiges Interesse an dessen Aufhebung oder Änderung. Er ist damit gemäss <ref-law> zur Beschwerde legitimiert.
1.2. Der Beschwerdeführer reicht im bundesgerichtlichen Verfahren neue Beweismittel ein. Dies ist indes nur zulässig, soweit der Entscheid der Vorinstanz dazu Anlass gibt, was in der Beschwerde näher darzulegen ist (<ref-law>; <ref-ruling> E. 2.2.1 S. 226 mit Hinweis). Diese Voraussetzungen sind vorliegend nicht erfüllt. Gegenteiliges wird vom Beschwerdeführer auch nicht behauptet.
1.3.
1.3.1. Nach <ref-law> ist in der Begründung in gedrängter Form darzulegen, inwiefern der angefochtene Akt Recht verletzt. Dies setzt voraus, dass sich der Beschwerdeführer wenigstens kurz mit den Erwägungen des angefochtenen Entscheids auseinandersetzt. Zwar wendet das Bundesgericht das Recht grundsätzlich von Amtes wegen an (<ref-law>). Das bedingt aber, dass auf die Beschwerde überhaupt eingetreten werden kann, diese also wenigstens die Begründungsanforderungen von <ref-law> erfüllt.
Strengere Anforderungen gelten, wenn die Verletzung von Grundrechten (einschliesslich der willkürlichen Anwendung von kantonalem Recht und Willkür bei der Sachverhaltsfeststellung) geltend gemacht wird. Dies prüft das Bundesgericht nicht von Amtes wegen, sondern nur insoweit, als eine solche Rüge in der Beschwerde vorgebracht und begründet worden ist (<ref-law>). Die Beschwerdeschrift muss die wesentlichen Tatsachen und eine kurz gefasste Darlegung darüber enthalten, welche verfassungsmässigen Rechte bzw. welche Rechtssätze inwiefern durch den angefochtenen Erlass oder Entscheid verletzt worden sind. Das Bundesgericht prüft nur klar und detailliert erhobene und, soweit möglich, belegte Rügen. Wird eine Verletzung des Willkürverbots geltend gemacht, muss anhand der angefochtenen Subsumtion im Einzelnen dargelegt werden, inwiefern der Entscheid an einem qualifizierten und offensichtlichen Mangel leidet (<ref-ruling> E. 1.6 S. 130; <ref-ruling> E. 2.1 und 2.2 S. 245 f.; je mit Hinweisen).
1.3.2. Auch wenn zugunsten des Beschwerdeführers berücksichtigt wird, dass er im Verfahren von Bundesgericht nicht mehr anwaltlich vertreten ist, genügt die Beschwerde diesen Begründungsanforderungen nur zum Teil.
Das Baudepartement trat in seinem Entscheid vom 14. Dezember 2011 auf den Antrag des Beschwerdeführers, es sei auf die Erhebung von Verfahrens- und Erschliessungskosten zu verzichten, mangels sachlicher Zuständigkeit (vgl. Art. 115 des Gesetzes über die Raumplanung und das öffentliche Baurecht des Kantons St. Gallen vom 6. Juni 1972 [Baugesetz, BauG/SG; sGS 731.1]) nicht ein. Nicht eingetreten ist das Baudepartement zudem auf das Begehren, es sei auf die Landumlegung insgesamt zu verzichten. Schliesslich trat das Baudepartement auf die Rüge der Verletzung von (a) Art. 109 Abs. 2 BauG/SG mit der Begründung nicht ein, die Bestimmung sei per 1. Januar 2010 ersatzlos aufgehoben worden.
Die Vorinstanz ist in diesen Punkten auf die bei ihr erhobene Beschwerde ebenfalls nicht eingetreten. Zur Begründung hat sie ausgeführt, der Beschwerdeführer habe sich darauf beschränkt, seine Rechtsbegehren zu wiederholen, ohne sich mit den Erwägungen des Baudepartements auseinanderzusetzen.
Auch in seiner Beschwerde an das Bundesgericht geht der Beschwerdeführer insoweit mit keinem Wort auf die vorinstanzlichen Ausführungen ein und begründet nicht, weshalb die Vorinstanzen seines Erachtens zu Unrecht auf seine Rügen nicht eingetreten sind. Mangels hinreichender Substanziierung ist auf die Beschwerde in diesen Punkten nicht einzutreten.
2.
2.1. Der Beschwerdeführer rügt eine Verletzung der Eigentumsgarantie und macht geltend, an der Erschliessungsvariante "Donnerstrasse" bestehe kein öffentliches Interesse, denn es sei möglich, das Baugebiet stattdessen entweder über die "Blattenstrasse" oder die "Spitalstrasse" zu erschliessen; bei diesen beiden Varianten sei ein Einbezug seines Grundstücks nicht erforderlich. Des Weiteren hält der Beschwerdeführer dem öffentlichen Interesse an der Erschliessung des Plangebiets sein Interesse an der unveränderten Fortführung des Landwirtschaftsbetriebs entgegen.
2.2. Das Strassenprojekt "Donnerstrasse" bzw. die damit verbundene Landumlegung führt dazu, dass der Beschwerdeführer knapp 0,34 ha seines Eigenlands nicht mehr landwirtschaftlich nutzen kann (3'728 m2 abzüglich 354 m2 [vgl. Sachverhalt lit. A. hiervor]). Dies stellt einen Eingriff in die verfassungsrechtlich geschützte Eigentumsgarantie (<ref-law>) dar. Ein solcher Eingriff ist gemäss <ref-law> nur zulässig, wenn er auf einer genügenden gesetzlichen Grundlage beruht, im öffentlichen Interesse liegt und den Grundsatz der Verhältnismässigkeit wahrt.
Die Vorinstanzen haben als gesetzliche Grundlage für das Strassenprojekt Art. 115 lit. b BauG/SG herangezogen, was vom Beschwerdeführer nicht in Frage gestellt wird. Das öffentliche Interesse verlangt in erster Linie, dass unter ortsplanerischen Gesichtspunkten eine zweckmässige Erschliessung und unter polizeilichen Aspekten hinreichende Zufahrten geschaffen werden. Im Rahmen der Verhältnismässigkeitsprüfung ist eine Abwägung zwischen dem öffentlichen Interesse sowie allfälligen privaten Interessen anderer Grundeigentümer an der konkreten Linienführung der Erschliessungsstrasse und dem entgegenstehenden Interesse des Beschwerdeführers vorzunehmen (vgl. Urteil 1P.62/2007 vom 17. August 2007 E. 4). Das Bundesgericht prüft die Frage, ob die angefochtene Massnahme im öffentlichen Interesse liegt und verhältnismässig ist, grundsätzlich frei. Dabei auferlegt es sich allerdings eine gewisse Zurückhaltung, soweit die Beurteilung von besonderen örtlichen Verhältnissen abhängt, welche die kantonalen Behörden besser kennen und überblicken (vgl. <ref-ruling> E. 4.3 S. 416 mit Hinweisen).
2.3. Die Vorinstanz hat erwogen, mit der Landumlegung "Donner-Biser-Blatten" solle eine günstige Parzelleneinteilung herbeigeführt und eine zweckmässige Überbauung des Gebiets ermöglicht werden; dabei spiele die Erschliessung eine massgebliche Rolle. Die Topografie, d.h. die Steilheit des Geländes mit Steigungen bis zu 20%, lasse eine Erschliessung des obersten Teils des Baugebiets über die Spital- oder die Blattenstrasse - soweit technisch überhaupt machbar - nur mit unverhältnismässigen Erdbewegungen und einem beträchtlichen Landbedarf zu. Demgegenüber könne die Erschliessung mit dem Strassenprojekt "Donnerstrasse" mit relativ geringfügigem Gefälle technisch ohne erheblichen Aufwand realisiert werden. Zudem werde hierdurch der gewachsenen Struktur des überbauten und nicht überbauten Gebiets Rechnung getragen. Das Strassenprojekt "Donnerstrasse" erfülle die gesetzlichen Voraussetzungen und liege im öffentlichen Interesse. Das private Interesse des Beschwerdeführers an der unveränderten Weiterführung seines Landwirtschaftsbetriebs falle weniger stark ins Gewicht. Zu berücksichtigen sei insoweit, dass der im Pensionsalter stehende Beschwerdeführer nur über 1,86 ha Eigenland verfüge, und dass er aufgrund der Überbauung des Plangebiets rund 4 (der heute 9) ha Pachtland verlieren werde. Wie er diesen Wegfall kompensieren wolle, lege der Beschwerdeführer nicht dar. Nicht geregelt sei auch die Betriebsnachfolge.
2.4. Die Vorinstanz hat sich im angefochtenen Urteil mit den beiden vom Beschwerdeführer in der Beschwerde erwähnten Erschliessungsvarianten auseinandergesetzt und sie mit einlässlicher Begründung verworfen. Sodann hat sich die Vorinstanz eingehend mit dem Interesse des Beschwerdeführers am unveränderten Fortbestand seines Landwirtschaftsbetriebs befasst.
Der Beschwerdeführer rügt weder die tatsächlichen Feststellungen als willkürlich, noch setzt er sich auch nur ansatzweise mit der Argumentation der Vorinstanz auseinander. Inwiefern die Ausführungen im angefochtenen Urteil Bundesrecht verletzen sollten, ist nicht ersichtlich. Vielmehr hat die Vorinstanz nachvollziehbar aufgezeigt, dass die geplante Linienführung die einzig zweckmässige Lösung zur Erschliessung des Baugebiets ist. Auch die im angefochtenen Urteil vorgenommene Interessenabwägung überzeugt. Betreffend das dem gewichtigen öffentlichen Interesse an der Erschliessung des Baugebiets entgegenstehende Interesse des Beschwerdeführers fällt insbesondere ins Gewicht, dass allein der Verlust von knapp 0,34 ha Landwirtschaftsland keine Existenzbedrohung für den Landwirtschaftsbetrieb des Beschwerdeführers darstellt; die Existenz des Betriebs ist vielmehr vor allem deshalb gefährdet, weil der Beschwerdeführer nur über einen sehr geringen Anteil an Eigenland verfügt und künftig 4 ha Pachtland wegfallen werden. Bereits aus diesem Grund vermag das private Interesse des Beschwerdeführers das öffentliche Interesse nicht aufzuwiegen.
3.
Die Beschwerde ist abzuweisen, soweit darauf eingetreten werden kann. Die Gerichtskosten sind dem unterliegenden Beschwerdeführer aufzuerlegen (<ref-law>). Die Gemeinde hat keinen Anspruch auf eine Entschädigung (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 2'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer, der Politischen Gemeinde Altstätten, dem Baudepartement des Kantons St. Gallen und dem Verwaltungsgericht des Kantons St. Gallen schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 14. April 2014
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Fonjallaz
Der Gerichtsschreiber: Stohner